/
Author: Масси У. Столлингс Дж.
Tags: математика алгебра топология естественные науки точные науки
Year: 1977
Text
Algebraic Topology:
An Introduction
by
WILLIAM S. MASSEY
Yale University
Harcourt, Brace & World, Inc.
New York —Chicago—San Francisco—Atlanta 1967
Group Theory and
Three-Dimensional Manifolds
JOHN STALLINGS
Yale University Press
New Haven and London 1971
У. Масси Дж. Столлингс
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТОПОЛОГИЯ
Введение
Перевод с английского
М. С. Кушельиава
Под редакцией
А. В. Чернявского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1977
УДК 519.443 + 513.836
Книга, в которой объединены две монографии, может служить хорошим
введением в алгебраическую топологию. В первой ее части, написанной
У. Масси, подробно рассматриваются фундаментальная группа и основные
понятия топологии — накрывающие пространства, двумерные многообра-
многообразия, CW-комплексы, приводятся многочисленные примеры и устанавли-
устанавливаются связи с теорией групп. Во второй части, написанной Дж. Столлинг-
сом, развиваются приложения фундаментальной группы к трехмерным много-
многообразиям, обсуждаются дальнейшие связи с теорией групп, в частности
дается теория концов групп.
Кнпга рассчитана на студентов старших курсов, специализирующихся
в области топологии. Написанная современным языком и содержащая боль-
большое число примеров, она интересна и специалистам-математикам.
Редакция литературы по математическим наука «
М 41 @1 >—77 5~77 © Перевод на русский язык, «Мир», 1977
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В первоначальном изложении топологии, которое дал Пуанка-
Пуанкаре в «Analysis Situs», фундаментальной группе и накрывающим
было уделено столько же внимания, сколько и гомологиям. Даль-
Дальнейшее развитие этой науки оказалось в значительной мере раз-
развитием теории гомологии, и в силу этого во всех учебниках о фун-
фундаментальной группе сообщается теперь лишь несколько общих
фактов. Между тем фундаментальная группа и накрытия — это,
несомненно, лучший путь для ознакомления неспециалистов
с топологией, особенно ввиду непосредственной близости его
к ряду вопросов анализа и алгебры.
Известный американский тополог У. Масси впервые написал
вводный курс алгебраической топологии в форме книги о фунда-
фундаментальной группе. Ограничив себя этой темой, он тем не менее
постарался познакомить читателя-студента также и с современ-
современным стилем математического мышления, прежде всего с языком
универсальных задач. Кроме того, много внимания в книге уде-
уделено раскрытию связей фундаментальной группы с теорией групп.
Приведены, например, доказательства таких трудных в алгебраи-
алгебраическом изложении теорем, как теоремы Куроша и Грушко. Это,
несомненно, сделало книгу интересной и для изучающих теорию
групп.
К этой книге прилагается перевод небольшой книжки более
молодого американского тополога Дж. Столлингса. Она естествен-
6 Предисловие редактора перевода
но продолжает на более современном уровне изучение связей меж-
между фундаментальной группой и теорией групп. Хотя все необхо-
необходимое для ее понимания содержится в книге Массы, но читается
она трудно и местами, возможно, доступна лишь специалистам.
С другой стороны, в ней собраны и изящно изложены важные
факты из топологии трехмерных многообразий и теории групп,
в том числе полученные недавно (лемма Дена, теорема о сфере,
концы групп и др.). Кроме того, приведены теоретико-групповые
построения автора, к которым он пришел от задач топологии трех-
трехмерных многообразий и которые, по-видимому, являются началом
нового изучения алгебраических конструкций, возникающих
в топологии. Несомненно, и топологи и алгебраисты смогут найти
здесь для себя новые темы для размышления.
А. В. Чернавский
У. Масси
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ.
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот учебник предназначен для того, чтобы облегчить знаком-
знакомство с алгебраической топологией]тем, кто начинает ее изучать.
Основные рассматриваемые нами вопросы — двумерные многооб-
многообразия, фундаментальная группа и накрывающие пространства,
а также та теория групп, которая нужна для этих вопросов. Предпо-
Предполагается, что читатель владеет теорией групп лишь в пределах
обычного курса алгебры и общей топологией в объеме односеме-
стрового курса.
Обсуждаемые здесь вопросы «стандартны» в том смысле, что
в хорошо известных учебниках им посвящено несколько коротких
разделов или глав. Я полагаю, что настоящая книга является
первым учебником, где эти вопросы рассматриваются непосред-
непосредственно, без лишних определений, терминов и т. д., зато с большим
числом примеров и упражнений — именно это позволяет изучить
предмет.
Результаты, изложенные в этой книге, используются, кроме
алгебраической топологии, и в некоторых других областях мате-
математики, таких, как дифференциальная геометрия, теория групп
Ли, теория римановых поверхностей и теория узлов. В процессе
исследования рассматриваемых здесь вопросов выявляется заме-
замечательная связь алгебры и топологии, которая обогащает каждый
из этих разделов математики возможностью интерпретации в дру-
другом разделе. Такая взаимосвязь между различными разделами
математики ломает зачастую искусственное ее деление на раз-
различные «области» и подчеркивает существенное единство этой
науки.
Несомненно, некоторые специалисты будут шокированы тем,
что учебник, назначение которого — быть введением в алгебраи-
алгебраическую топологию, не содержит даже упоминания о гомологиче-
гомологической теории. Разумеется, теория гомологии и когомологий состав-
составляет суть алгебраической топологии. Однако зта теория трудна для
8 У- Масси. Алгебраическая топология- Введение
студента, изучающего топологию впервые, и для систематического
ее изучения требуется непростой аппарат. Лишь после нескольких
месяцев лекционных занятий и самостоятельного изучения можно
дать интересные применения, показывающие, что этот аппарат был
развит не напрасно. Поэтому я считаю, что студенту легче понять
и оценить теорию гомологии после того, как он изучил фундамен-
фундаментальную, группу и примыкающие к ней вопросы, представленные
в этой книге.
По всей вероятности, гл. I, в которой обсуждаются двумерные
многообразия, покажется наименее строгой частью книги. Конеч-
Конечно, было бы нетрудно провести уже здесь достаточно строгие рас-
рассуждения. Однако они были бы довольно скучными и утомитель-
утомительными, содержали бы многословные доказательства очевидных и
наглядных фактов. Кроме того, основные теоремы в других гла-
главах не основываются на результатах гл. I, которые скорее можно
считать примерами, иллюстрациями и применениями результатов
дальнейших глав.
В гл. II приведены определение и основные свойства фунда-
фундаментальной группы и гомоморфизма фундаментальных групп, инду-
индуцированного непрерывным отображением. Общие методы опреде-
определения структуры фундаментальной группы пространства развиты
позже, в гл. IV, после введения в гл. III некоторых существен-
существенных теоретико-групповых понятий.
В гл. III и IV делается акцент на таком способе введения опре-
определенных математических структур, как решение «задач универ-
универсального отображения», и это делается по двум причинам. Во-пер-
Во-первых, по-видимому, подавляющее большинство эффективных мето-
методов определения структуры фундаментальной группы значитель-
значительного числа пространств состоит в использовании теоремы Зей-
ферта — ван Кампена (гл. IV); наиболее удачная формулировка
этой замечательной теоремы основана на понятии задачи универ-
универсального отображения. Во-вторых, метод характеризации различ-
различных математических структур в виде решений задач универсаль-
универсального отображения принадлежит к тому ряду действительно объеди-
объединяющих математических принципов, которые были введены
в 1945 г., и его следует применять как можно раньше в процессе
предподавания математики студентам.
Глава V содержит достаточно полное обсуждение накрываю-
накрывающих пространств. На всем ее протяжении подчеркивается связь
между накрывающими пространствами и фундаментальной груп-
группой.
В гл. VI и VII приведены топологические доказательства
нескольких хорошо известных теорем из теории групп, главным
образом теоремы Нильсена—Шрейера о подгруппах свободной
группы, теоремы Куроша о подгруппах свободного произведения
групп и теоремы Грушко о разложении конечно порожденной груп-
Предисловие , ¦ ¦ 9
пы в свободное произведение. Эти теоремы относятся к разделу
теории групп, первоначальное развитие которого было во многом
стимулировано комбинаторной топологией. Я считаю, что дока-
доказательства этих теорем, использующие фундаментальные группы
и накрывающие пространства определенных комплексов малых
размерностей, значительно легче для понимания, чем чисто алгеб-
алгебраические доказательства. Я надеюсь, что унифицирующая обра-
обработка этих теорем методами, по существу геометрическими, сде-
сделает этот раздел теории групп менее громоздким и легче усваи-
усваиваемым.
Глава VIII довольно краткая и имеет описательный характер;
в ней не доказывается ни одной теоремы. Цель ее — помочь сту-
студенту совершить переход к изучению более трудных вопросов
алгебраической топологии.
Хотя триангуляция 2-многообразий используется в гл. I,
а CW-комплексы Уайтхеда вводятся в последней главе, в этой
книге нет систематического изучения симплициальных комплек-
комплексов. Это может удивить читателя, так как большинство курсов
по алгебраической топологии начинаются именно с обсуждения
этих вопросов. Однако трудно увидеть, как они могут существенно
упростить изложение. По-моему, любое такое обсуждение даже
обязательно было бы неясным. Одна из тенденций алгебраической
топологии примерно последних 15 лет состояла именно в пере-
переходе от симплициальных комплексов к CW-комплексам как глав-
главному объекту изучения.
Некоторые разделы не обязательны для понимания дальней-
дальнейшего изложения теории, и их можно опустить или не слишком
обращать на них внимание в сокращенном курсе лекций и при пер-
первом чтении книги; перечислим их:
глава I, разделы 9—13,
глава II, разделы 7, 8,
глава III, раздел 7,
глава IV, раздел 6,
глава V, разделы 10—12,
глава VI, раздел 8,
глава VII, разделы 5, 6.
Более краткий курс можно построить также на основе мате-
материала, помещенного в первых пяти главах, за исключением ука-
указанных разделов.
Эта книга возникла из лекций, которые читались в Йельском
университете в течение нескольких лет. Очень приятно выразить
признательность моим слушателям. Мне очень помогали их вопро-
вопросы, критические замечания и предложения. Я приношу глубокую
благодарность моим коллегам за многочисленные обсуждения
10 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение
идей, изложенных в этой книге. Подавляющее большинство тео-
теорем и определений можно найти в хорошо известных учебниках
и статьях, опубликованных в математических журналах. Особо
отмечу учебники Зейферта и Трельфалля [3], Керекьярто [4]
и Рейдемейстера [6] 1). В большинстве случаев я пытаюсь отме-
отметить тех, кому, как я полагаю, следует приписывать ту или иную
идею или теорему. Разработка представленных здесь вопросов
началась в основном в прошлом веке, и в ней принимали участие
многие математики из разных стран, так что в моей попытке ука-
указать авторов неизбежны ошибки. Я приношу свои извинения тем,
чьи имена по оплошности не приводятся; я надеюсь, что они пой-
поймут меня и простят.
У. Масси
Нью-Хейвен, Коннектикут
г) Литературу см. в конце гл. I. — Прим. перев.
ЗАМЕЧАНИЯ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ
Требования к читателю. Для чтения этой книги предполагается,
что студент владеет стандартными понятиями теории групп: группа,
подгруппа, нормальная подгруппа, гомоморфизм, факторгруппа,
класс смежности, абелева группа и циклическая группа. Кроме
того, предполагается, что он знает достаточно много примеров
и проделал достаточное количество упражнений, чтобы почув-
почувствовать истинный смысл этих понятий. Для тех, кто не знаком
с перестановками и группами преобразований, приведены соответ-
соответствующие приложения. Большинство дополнительных вопросов,
нужных в теории групп, развиты в тексте, в особенности в гл. III.
Необходимые сведения из теоретико-множественной топологии
можно почерпнуть из односеместрового курса по этому предмету.
Так как в большинстве учебников, предназначенных для чтения
такого курса, факторпространства либо рассматриваются кратко,
либо целиком опускаются, мы предлагаем их короткое обсужде-
обсуждение. Нет необходимости знать области алгебры, отличные от тео-
теории групп; в частности, из теории колец, полей, модулей и вектор-
векторных пространств не понадобится ничего.
Терминология и обозначения. Так как большая часть терми-
терминологии и обозначений в современных математических книгах
этого уровня стандартна, сделаем лишь некоторые пояснения.
В теории групп всюду применяется мультипликативная форма
записи (за некоторыми стандартными исключениями, такими, как
аддитивная группа целых чисел). Гомоморфизм одной группы
в другую называется эпиморфизмом, если он является «отображе-
«отображением на», мономорфизмом,-если он взаимно однозначен (т. е. его
ядро состоит лишь из единицы), и изоморфизмом, если взаимно
однозначен и является «отображением на». Говорят, что диаграмма
12 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение
групп и гомоморфизмов
г
коммутативна, если оба возможных гомоморфизма одной группы
из этой диаграммы в другую совпадают. В приведенной выше диаг-
диаграмме два гомоморфизма из группы А в группу D, а именно gf
(гомоморфизм g следует после гомоморфизма /) и f'g'. Таким обра-
образом, требование коммутативности диаграммы эквивалентно усло-
условию gf = f'g'. Заметим, что коммутативность диаграммы не имеет
ничего общего с коммутативностью самих групп в диаграмме.
Например, наша диаграмма может быть коммутативной, даже
если группы А, В, СиДне абелевы.
В теории множеств символ
означает произведение (или декартово произведение) семейства
множеств St, i ? /. Элемент х декартова произведения — это
функция, ставящая в соответствие каждому индексу i ? / элемент
xt ? St. Элемент xt ? St называется также координатой элемента
х, соответствующей индексу i ? /.
Если А — подмножество множества В, то существует однознач-
однозначно определенное отображение включения множества А в В: каж-
каждому элементу х ? А оно ставит в соответствие сам этот элемент х.
В символах: если i: А -> В — отображение включения, то i (x) =
= х для любого элемента х ? А. Если С — другое множество
и /: В -> С — любая функция, то / | А обозначает сужение функ-
функции / на подмножество А, т. е. (/ | А) (а) = / (а) ? С для любого
а ? А.
На протяжении всей книги применяются следующие обозна-
обозначения:
Z — множество всех целых чисел, положительных
и отрицательных,
Q — множество всех рациональных чисел,
R — множество всех действительных чисел,
С — множество всех комплексных чисел.
Через R" (соответственно С") для любого целого числа п > О
обозначается множество всех и-векторов (хх, . . ., хп), составлен-
составленных из действительных (соответственно комплексных) чисел;
Замечания, предназначенные для студентов 13
R" — обычное евклидово п-пространство, наделенное обычной
топологией. Если х = (хг, . . ., хп) — точка в R", то норма, или
абсолютное значение, вектора х, обозначаемое через | х \, опре-
определяется как обычно:
Пользуясь этими обозначениями, определим следующие стан-
стандартные подмножества евклидова /i-пространства для любого
п>0:
Еп = {Z6R": \х |<1},
Un = {*6Rn: I -r I <1},
5" = {г 6 R": | х | = 1}.
Эти подмножества называются замкнутым п-мерным диском, или
шаром, открытым п-мерным диском, или шаром, и (/г — 1)-мерной
сферой соответственно. В каждом из них топология вводится как
в подпространстве пространства R". Иногда те же названия соот-
соответственно присваиваются гомеоморфным топологическим про-
пространствам.
Если а и Ъ — действительные числа, а <с Ь, то для открытого,
полуоткрытого и замкнутого интервалов с концами а и Ь употреб-
употребляются стандартные обозначения:
(а, Ь) = {х? R: а <х <Ь},
(а, Ь] = {х 6 R: а <х< 6},
la, 6] = {i'ER:e<i< b}.
Говорят, что два пространства имеют один и тот же топологи-
топологический тип, если они гомеоморфны.
Ссылки. Ссылка на теорему или лемму III.8.4 означает ссылку
на теорему или лемму 4 из разд. 8 гл. III; если написано просто
теорема 8.4, то теорема находится в разд. 8 той же главы, где эта
ссылка встретилась.
В конце каждой главы помещена краткая библиография. Числа
в квадратных скобках в тексте относятся к таким же числам в биб-
библиографии.
Об изучении этой книги. Упражнения и примеры составляют
неотъемлемую часть текста; без них намного труднее достичь пони-
14 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
мания предмета. Большинство утверждений приводятся без дока-
доказательства, детали некоторых доказательств опущены. Восполне-
Восполнение недостающих деталей рассматривайте как упражнения, про-
проверяющие, на самом ли деле вы поняли те или иные идеи.
Помните, что при изучении любого предмета путь от незнания
к знанию не прям, а почти всегда извилист. Видимо, изучать что-
либо надо способом последовательного приближения к истине.
Следовательно, первая попытка одолеть некоторые трудные тео-
теоремы в этой книге, вероятно, будет не совсем успешной. Однако
не падайте духом. Вернитесь к упражнениям, примерам, попро-
попробуйте продвинуться немного дальше, и можно быть уверенным,
что за ваше упорство вы будете вознаграждены более глубоким
пониманием изучаемых идей.
Глава I
ДВУМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
1. Введение
Топологическое понятие поверхности, или двумерного много-
многообразия,— это математическая абстракция представления о по-
поверхности, сделанной из бумаги, листа металла, пластмассы или
какого угодно другого тонкого материала. Поверхность, или дву-
двумерное многообразие,— это топологическое пространство с теми
же локальными свойствами, что и у плоскости в евклидовой гео-
геометрии. Разумный клоп, ползущий по поверхности, не может отли-
отличить ее от плоскости, если его поле зрения ограничено.
В более высоких размерностях аналогом поверхности является
и-мерное многообразие, представляющее собой топологическое
пространство с теми же локальными свойствами, что и у евклидова
м-пространства. Так как многообразия часто встречаются и при-
применяются во многих других областях математики, они составляют
один из важнейших классов топологических пространств. Мы
определим и дадим примеры м-мерных многообразий для любого
положительного целого числа п, но большую часть этой главы мы
посвятим случаю п = 2. Для компактных 2-многообразий есть
классификационная теорема, так что о 2-многообразиях известно
несравнимо больше, чем о многообразиях более высоких размер-
размерностей. Кроме того, существуют просто вычислимые инварианты,
позволяющие установить, гомеоморфны ли между собой два любых
данных компактных 2-многообразия. Этот факт можно считать
некоторой идеальной теоремой. Подавляющее большинство иссле-
исследований в топологии направлено на то, чтобы найти аналогичные
классификационные теоремы в других ситуациях. К сожалению,
такой теоремы нет для компактных 3-многообразий, и логики пока-
показали, что для «-многообразий, п ^ 4, мы не можем даже надеять-
надеяться на получение такого полного результата. Тем не менее теория
многообразий высоких размерностей в настоящее время и, вероят-
вероятно, надолго представляет довольно активную область математиче-
математических исследований.
Материал, излагаемый в этой главе, особенно в разд. 2—8,
нам понадобится в дальнейшем.
16 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.1
2. Определение и примеры п -многообразий
Пусть п — положительное целое число; п-мерным многообра-
многообразием называется хаусдорфово пространство (т. е. пространство,
удовлетворяющее аксиоме отделимости Т2), каждая точка кото-
которого имеет открытую окрестность, гомеоморфную открытому
м-мерному диску Un = {х ? R": | х | <1}. Ради краткости мы,
как правило, будем говорить п-многообразие.
Примеры
2.1. Очевидно, что евклидово n-мерное пространство Rn есть п-мерное
многообразие. Легко доказать, что n-мерная единичная сфера
5»= (^R"*l: | ас | = 1}
есть п-многообразие. Для точки х = A, 0, . . ., 0) множество {(хг, . . .
. . ., хп+1) ? Sn : хг > 0} является окрестностью с требуемыми свойствами.
Это можно увидеть, проектируя ортогонально на гиперплоскость в Rn+1,
определенную соотношением х1 = 0. Для любой другой точки х ? Sn суще-
существует вращение, переводящее х в точку A,0, . . ., 0). Это вращение — го-
гомеоморфизм сферы Sn на себя; следовательно, х также имеет окрестность тре-
требуемого вида.
2.2. Если Мп — любое n-мерное многообразие, то любое его открытое
подмножество также будет n-мерным многообразием. Доказательство полу-
получается сразу.
2.3. Если М есть m-мерное многообразие, а N есть n-мерное многообра-
многообразие, то произведение М X N есть (та -|- п)-мерное многообразие. Это следует
из того, что Um X Un гомеоморфно Um*n. Для доказательства заметим, что
для любого положительного целого числа к дпск Uh гомеоморфен Rft, а произ-
произведение Rm X Rn гомеоморфно Rm+n.
Помимо 2-сферы S2 читатель легко может дать примеры под-
подмножеств евйлидова 3-пространства R3, являющихся 2-многообра-
зиями, например поверхности вращения и др.
Какпоказывают эти примеры, re-мерное многообразие может быть
связным или несвязным, компактным или некомпактным. В любом
случае п-многообразие всегда локально компактно.
Не совсем очевидно, что связное многообразие не обязано
удовлетворять второй аксиоме счетности (т. е. не обязано иметь
счетную базу). Простейший пример — трансфинитная прямая
(называемая также «прямой Александрова») *). Обычно такие мно-
многообразия считаются патологическими, и мы ограничимся рас-
рассмотрением многообразий со счетной базой.
Отметим, что в нашем определении требовалось, чтобы много-
многообразие удовлетворяло аксиоме отделимости Хаусдорфа. Это необ-
необходимо потребовать именно в определении, так как нельзя вывести
См. Келли Дж., Общая топология, изд-во «Наука», М., 1968, стр. 222.
1.3 Гл. I. Двумерные многообразия 17
из других условий, наложенных на многообразие. Предлагаем
читателю построить примеры нехаусдорфовых пространств, каж-
каждая точка которых имеет открытую окрестность, гомеоморфную
Un, где п = 1 или п = 2.
3. Ориентируемые и неориентируемые многообразия
Связные «-многообразия для п >• 1 подразделяются на два
класса: ориентируемые и неориентируемые. Попытаемся объяс-
объяснить различие между ними, не стремясь к математической точ-
точности.
Прежде всего рассмотрим случай п = 2. Ориентацию евклидо-
евклидовой плоскости R^ или, более общим образом, любой малой области
в плоскости можно задать различными способами. Например, мож-
можно указать, какая из двух возможных систем координат на пло-
плоскости должна считаться правосторонней, а какая — левосторон-
левосторонней. Другой способ: задать, какое направление вращения в пло-
плоскости вокруг некоторой точки должно считаться положительным,
а какое — отрицательным. Представим себе, что разумный клоп
(или некоторое двумерное существо) вынужден передвигаться
в плоскости; однажды он решает выбрать ориентацию в какой-
нибудь точке плоскости, и в то время, когда он переходит с одного
места на другое, он переносит эту ориентацию вместе с собой.
Если два таких клопа согласовали ориентацию в данной точке
плоскости и один из них отправился в длительное путешествие
в некоторую отдаленную точку плоскости и случайно вернулся
в исходную точку, то мнение обоих клопов о выборе ориентации
будет одно и то же.
Аналогичные рассуждения применимы к любому связному дву-
двумерному многообразию, так как каждая его точка имеет окрест-
окрестность, гомеоморфную окрестности точки в плоскости. Здесь так-
также наши два гипотетических клопа договариваются о выборе ори-
ориентации в данной точке. Однако теперь может оказаться, что после
того, как один из них вернулся из длительного путешествия к неко-
некоторой далекой точке на многообразии, они обнаружат, что между
ними нет больше согласия в выборе ориентации. Это явление может
встретиться, даже если оба клопа все время тщательно заботились
о точной проверке положительной ориентации.
Простейшим примером двумерного многообразия, иллюстри-
иллюстрирующим это явление, служит хорошо известный лист Мёбиуса.
Возможно, читатель знает, что для получения листа Мёбиуса доста-
достаточно склеить концы длинного узкого прямоугольного листа бума-
бумаги, повернув один из концов на 180° (рис. 1.1). Математически лист
Мёбиуса — это топологическое пространство, описываемое сле-
следующим образом. Обозначим через X прямоугольник
X = {(х, у) € R2: -Ю < х < + 10, -К у < + 1}.
2 У. Масси, Дж. Столлинге
18
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.3
Построим факторпространство пространства X, отождествляя точ-
точки A0, у) и (—10, —у) для —1 <г/ <.+ 1- (Сведения о фактор-
пространствах см. в приложении А.) Заметим, что две границы
прямоугольника, соответствующие у = +1 и у = —1, не вклю-
включаются. Этот факт решающий; в противном случае получившееся
факторпространство не могло бы быть многообразием (оно было
Склеим крап ABC с краем А'В'С'
Рис. 1.1. Построение листа Мёбиуса.
бы «многообразием с краем»; к этому понятию мы обратимся позд-
позднее в этой главе). Можно также определить некоторое подмноже-
подмножество пространства R3, гомеоморфное только что описанному фак-
фактор простр анству.
Итак, мы определили лист Мёбиуса; средняя линия прямоуголь-
прямоугольника после склеивания, или отождествления, двух концов ста-
становится окружностью. Предоставляем читателю убедиться в том,
что если наш воображаемый клоп отправляется в путь из любой
точки этой окружности с определенным выбором ориентации
и переносит ориентацию вместе с собой, то при однократном обхо-
обходе окружности он должен вернуться в исходпую точку с обратной
ориентацией. Путь на многообразии, обладающий описанным
свойством, мы будем называть путем, меняющим ориентацию.
Замкнутый путь, не обладающий этим свойством, мы будем назы-
называть путем, сохраняющим ориентацию. Например, любой замкну-
замкнутый путь в плоскости является путем, сохраняющим ориентацию.
2-многообразие называется ориентируемым, если каждый замк-
замкнутый путь сохраняет ориентацию; связное 2-многообразие назы-
1.3 Гл. I. Двумертиле многообразия 19
вается неориентируемым, если существует по крайней мере один
путь, меняющий ориентацию.
Рассмотрим ориентируемость 3-многообразий. Можно опре-
определить ориентацию евклидова 3-пространства или его малой обла-
области, указывая, какую систему координат считать правосторонней,
а какую — левосторонней. Другой способ — указать, какой тип
винтовой нарезки или винтовой линии следует считать правосто-
правосторонним, а какой — левосторонним. Теперь можно охарактеризо-
охарактеризовать замкнутый путь в 3-многообразии как путь, сохраняющий ори-
ориентацию или меняющий ее, в зависимостит от того, изменится ли
у путешественника, который отправляется по этому пути и воз-
возвращается в исходную точку, первоначальный выбор того, что
считать правым, а что — левым. Если наша Вселенная неориен-
тируема, то астронавт, совершающий путешествие вдоль некото-
некоторого пути, меняющего ориентацию, должен возвратиться на Зем-
Землю с переставленными правой и левой сторонами его тела: его
сердце должно быть с правой стороны его грудной клетки и т. д.
Существует трехмерное обобщение листа Мёбиуса, которое слу-
служит в то же время простейшим примером неориентируемого 3-мно-
гообразия. Пусть
X = {{х, у, z) 6 R3: -Ю < х < + 10, -1 <у < + 1,
Построим факторпространство пространства X, отождествляя точ-
точки A0, у, z) и (—10, —у, г) для —1 <г/ <+ 1 и — 1 <z <+ 1.
Это пространство можно рассматривать как произведение обыч-
обычного двумерного листа Мёбиуса и открытого интервала {z ? R:
—1 <;z <;+ 1}. В любом случае после отождествления отрезок
—10 ^ х ^ + 10 оси х становится окружностью, и мы предла-
предлагаем читателю самому убедиться в том, что эта окружность в полу-
получившемся 3-многообразии является путем, меняющим ориента-
ориентацию.
Чтобы дать аналогичные определения для тг-мерных многооб-
многообразий, прежде всего надо уметь различать два вида систем коор-
координат в евклидовом «-пространстве. Это можно сделать следующим
образом. Если заданы две системы координат, то любая точка х
имеет координаты (xv . . ., хп) и (х\, . . ., х'п) соответственно,
и эти координаты связаны уравнениями
п
х\= ^ai}xj + bu i = l, 2, ..., п. A.3.1)
5—1
2*
20 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.4
Здесь atj и bt — действительные числа, не зависящие от выбора
точки х. Хорошо известно, что определитель
аи а12 ... ain
a2i агг ... а2п
anl an2 • •• Яп
не равен нулю. Назовем две системы координат системами одного
и того же класса, если этот определитель больше нуля. В силу
обычных свойств определителя системы A.3.1) — это отношение
принадлежности одному и тому же классу является отношением
эквивалентности между системами координат в Rn и существует
точно два класса эквивалентности. Для того чтобы задать ориен-
ориентацию в Rn, надо выбрать один из этих двух классов систем коор-
координат. Выбранную систему координат можно охарактеризовать,
например, как «положительную» или «правостороннюю».
Как только выбран класс систем координат, путь в связном
га-мерном многообразии, сохраняющий или меняющий ориента-
ориентацию, по существу определяется тем же способом, что и в двумер-
двумерных и трехмерных многообразиях. Единственная разница состоит
в том, что у нас нет геометрической интуиции, которая руководила .
бы нами в случае высоких размерностей. Конечно, для математи-
математической строгости необходимо более подробное рассмотрение.
Так или иначе, но для связных га-мерных многообразий можно
определить понятия ориентируемости и неориентируемости. Евкли-
Евклидово га-пространство Rn и га-сфера Sn дают примеры ориентируе-
ориентируемых га-многообразий. Легко определить га-мерное обобщение листа
Мёбиуса, которое является неориентируемым га-мерным многооб-
многообразием. Оно гомеоморфно произведению обычного двумерного ли-
листа Мёбиуса и (га — 2)-мерного открытого диска С7п~а.
В оставшейся части этой главы мы будем рассматривать в основ-
основном двумерные многообразия, поэтому не будем глубже вдаваться
в эти вопросы.
4. Примеры компактных связных 2-многообразий
Связное 2-многообразие будем называть для краткости поверх-
поверхностью. Простейшим примером компактной поверхности служит
2-сфера S*', другой важный пример — тор. Грубо говоря, тор —
это любая поверхность, гомеоморфная поверхности бублика или
массивного кольца. Точнее его можно определить несколькими
способами, например следующими:
(а) Любое топологическое пространство, гомеоморфное произ-
произведению двух окружностей S1 X S1.
1.4
Гл» I. Двумерные многообразия
21
(b) Любое топологическое пространство, гомеоморфное под-
подмножеству
{(х, у, z) 6 R3: \{х2 + у2I'2 - 2Р + z2 = 1}
пространства R3. [Это множество получается вращением
окружности (х — 2J -f z2 = 1 в плоскости xz вокруг оси z. ]
(c) Пусть X — единичный квадрат в плоскости R2:
{(х, у) 6 R2: 0 < х < 1, 0 < у < 1}.
Тогда тором будет любое пространство, гомеоморфное фак-
торпространству пространства X, полученному отождествле-
отождествлением противоположных сторон квадрата X согласно сле-
следующим правилам. Точки @, у) и A, у) отождествляются
для 0 <[ у ^С1, а точки (х, 0) и (х, 1) — для 0 ^ х ^1.
С помощью диаграммы на рис. 1.2 удобно показать, как сле-
следует провести отождествление. Отождествляемым сторонам при-
а а а
Рис. 1.2. Построение Рис. 1.3. Построение Рис. 1.4. Построение бу-
тора. проективной плоскости тылки Клейна из квад-
из квадрата. PaTa-j
писывается одна и та же буква алфавита, и отождествление осуще-
осуществляется так, чтобы направления, указанные стрелкой, были
согласованы.
Предоставляем читателю доказать, что топологические про-
пространства, описанные в (а), (Ь) и (с), на самом деле гомеоморфны.
Читатель должен также уяснить себе, что тор ориентируем.
В качестве другого примера компактной поверхности рассмот-
рассмотрим действительную проективную плоскость (для краткости назы-
называемую проективной плоскостью). Это компактная неориентируе-
мая поверхность. Так как она не гомеоморфна никакому подмно-
подмножеству евклидова 3-пространства, то представить себе проек-
проективную плоскость намного труднее, чем 2-сферу или тор.
Определение. Факторпространство 2-сферы S2, получаемое
отождествлением каждой пары диаметрально противоположных
22 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.4
точек, называется проективной плоскостью. Любое пространство,
гомеоморфное этому пространству, мы также будем называть про-
проективной плоскостью.
Читателям, знакомым с проективной геометрией, поясним, почему эта
поверхность называется действительной проективной плоскостью. Напом-
Напомним, что в проективной геометрии на плоскости точка имеет «однородные»
координаты (х0, хъ х2), где хо, х^ и хг — действительные числа и по крайней
мере одпо из них не равпо пулю. Термин «однородные» означает, что {хй, хг, г2)
и (х'о, Xi, x%) представляют одну и ту же точку тогда и только тогда, когда
существует такое действительное число Я, (обязательно не равное 0), что
xt = kx[, i = 0, 1, 2.
Если интерпретировать (хо, х\, х%) как обычные евклидовы координаты точки
в R3, то (хо, xi, хг) и (х'о, х±, x'i) представляют одну и ту же точку в проектив-
проективной плоскости тогда и только тогда, когда они лежат на одной и той же пря-
прямой, проходящей через начало координат. Следовательно, можно интерпре-
интерпретировать точку проективной плоскости как прямую, проходящую через на-
начало координат в R3. Следующий вопрос: как ввести топологию во множество
всех прямых, проходящих через пачало координат в R3? Может быть, самый
легкий путь — заметить, что каждая прямая, проходящая через начало
координат в R3, пересекает единичную сферу S2 по паре диаметрально про-
противоположных точек, а это и ведет к определению, данному выше.
Обозначим через Н = {(х, у, z) ? S2: z ^ 0} замкнутую верх-
верхнюю полусферу сферы S%. Ясно, что для каждой пары диамет-
диаметрально противоположных точек в S2 по крайней мере одна лежит
в Н. Если обе точки лежат в Н, то они находятся на экваторе,
являющемся границей для Н. Следовательно, можно было опре-
определить проективную плоскость *) как факторпространство про-
пространства Н, получаемое отождествлением диаметрально противо-
противоположных точек на границе пространства Н. Очевидно, что Н
гомеоморфно замкнутому единичному диску
в плоскости R2. Поэтому факторпространство диска Е2, получае-
получаемое отождествлением диаметрально противоположных точек гра-
границы, будет проективной плоскостью. Диск Е2 можно заменить
любым гомеоморфным пространством, например квадратом. Итак,
проективная плоскость получается отождествлением противопо-
противоположных сторон квадрата, как показано на рис. 1.3. Предлагаем
сравнить эту конструкцию с построением тора на рис. 1.2.
Легко видеть, что проективная плоскость неориентируема;
в самом деле, она содержит подмножество, гомеоморфпое листу
Мёбиуса.
J) Для строгого обоснования этого утверждения можно воспользоваться
предложением 4.2 в приложении А. Оно применимо, так как естественное
отображение сферы S2 в проективную плоскость замкнуто и Я — замкнутое
подмножество в <Sa.
1.4.
Гл. I. Двумерные многообразия
23
Опишем сейчас, как с помощью так называемой связной суммы
строить новые примеры компактных поверхностей. Пусть 54
и58 — непересекающиеся поверхности. Их связная сумма, обозна-
обозначаемая через 5Х Д S2, образуется вырезанием малого круга из каж-
каждой поверхности и затем склеиванием этих двух поверхностей
вдоль границ кругов. Точнее, выберем такие подмножества Dx cz
cr Sx и ZJ cz S2, что Dx и D2 — замкнутые диски (т. е. они гомео-
морфпы Е2). Пусть S[ — дополнение внутренности диска Dt в St
для i = 1, 2. Рассмотрим некоторый гомеоморфизм h граничной
окружности диска D1 на границу диска D2. Тогда S1 Д S2 есть
факторпространство пространства S[ [j S'v получаемое отождест-
отождествлением точек х и h (x) для всех х на границе диска Dx. Ясно, что
$1 й ^2 — поверхность. Представляется правдоподобным и мож-
можно доказать строго, что топологический тип поверхности S1 $ S%
не зависит от выбора дисков Dlt D% и гомеоморфизма h.
Примеры
4.1. Если S2 есть 2-сфера, то связная сумма Sx $ S2 гомеоморфна S^
4.2. Если <?! и S2 — торы, то их связная сумма Si й <52 гомеоморфна
поверхности кирпича, сквозь который просверлены два отверстия. (Разу-
(Разумеется, при этом предполагается, что отверстия расположены на таком рас-
расстоянии, что их границы не касаются и не пересекаются.)
4.3. Если Si и S2 — проективные плоскости, то их связная сумма Sx $ S2
представляет собой бутылку Клейна, т. о. гомеоморфна поверхности, пблу-
чаемой отождествлением противоположных сторон квадрата, как показано
Рис. 1.5. Бутылка Клейна — объединение двух листов Мёбиуса.
на рис. 1.4. Пользуясь техникой «разрезания и склеивания», можно дока-
доказать это следующим образом. Если St — проективная плоскость, a Dt —
такой замкнутый диск, что Dt cz S{, то дополнение St внутренности диска Dt
24 Уг Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.5
гомеоморфно листу Мёбиуса (включая границу). Действительно, если пред-
представить S{ как пространство, полученное отождествлением диаметрально
противоположных точек, лежащих на границе единичного диска Е2 в Ra, то
можно выбрать диск Di так, чтобы при отождествлении он стал образом мно-
множества {(х, у) ? Е% : | у | :> V2}, и тогда утверждение очевидно. Отсюда
следует, что St ft S2 получается склеиванием двух листов Мёбиуса вдоль
их границ. С другой стороны, на рис. 1.5 видно, как разрезать бутылку Клей-
Клейна, чтобы получить два листа Мёбиуса. Сделаем разрезы вдоль прямых А В'
и В А'; при отождествлении этот разрез станет окружностью.
Рассмотрим теперь некоторые свойства операции взятия связ-
связных сумм.
Из наших определений ясно, что между S1 ft S2 и S2 ft S1 нет
различий, т. е. операция взятия связной суммы коммутативна.
Нетрудно показать, что многообразия {St ft S2) ft S3 и S1 ft
ft (S2 ft S3) гомеоморфны. Следовательно, операция взятия связ-
связной суммы коммутативна и ассоциативна на множестве гомео-
морфных типов компактных поверхностей. Кроме того, из приме-
примера 4.1 вытекает, что для этой операции сфера служит единичным,
или нейтральным, элементом. Но не торопитесь с выводом о том,
что относительно этой операции множество гомеоморфных типов
компактных поверхностей образует группу: здесь нет обратной
операции. Оно образует лишь так называемую полугруппу.
Связная сумма двух ориентируемых многообразий снова ориен-
ориентируема. С другой стороны, если какое-нибудь из многообразий
Si и S% неориентируемо, то их сумма S1 ft S2 также неориепти-
руема.
5. Формулировка классификационной теоремы
для компактных поверхностей
В предыдущем разделе мы показали, как построить примеры
компактных поверхностей, образуя связные суммы различного
количества торов и (или) проективных плоскостей. Наша основ-
основная теорема утверждает, что этими примерами исчерпываются все
возможности. На самом деле она утверждает даже еще больше,
а именно, что нет необходимости рассматривать поверхности,
в представление которых в виде связных сумм входят одновре-
одновременно и торы и проективные плоскости.
Теорема 5.1. Любая компактная поверхность гомеоморфна либо
сфере, либо связной сумме торов, либо связной сумме проективных
плоскостей.
В качестве подготовки доказательства опишем так называемую
«каноническую форму» для связной суммы торов или проективных
плоскостей.
Вспомним наше представление тора как квадрата с отождеств-
отождествленными противоположными сторонами (см. рис. 1.2). Аналогич-
1.5
Гл. I. Двумерные многообразия
25
ное представление связной суммы двух торов можно получить
следующим образом. Каждый из торов 7\ и Т% представим в виде
квадрата с отождествленными противоположными сторонами, как
Рис. 1.6. а — два непересекающихся тора Т± иГ,;б — непере-
непересекающиеся торы с вырезанными областями; в — после скле-
склеивания»
показано на рис. 1.6, а. Заметим, что все четыре вершины каж-
каждого квадрата отождествляются с единственной точкой соответ-
соответствующего тора. Чтобы образовать связную сумму торов, сначала
26
У. Массы. Алгебраическая топология. Введение
1.5
надо вырезать круглую дыру в каждом из них, и сделать зто мож-
можно любым способом. Удобно вырезать области, заштриховашше
на диаграммах. Границы дыр обозначены сг, с2 и их отождествле-
отождествление указано стрелками. Дополпение к дырам в этих двух торах
также можно представить в виде многоугольников на рис. 1.6, б,
поскольку при указапном отождествлении края две граничные
точки отрезка С;, i = 1, 2, также отождествляются. Отождествляя
далее отрезки с1 и с2, получаем восьмиугольник иа рис. 1.6, в,
в котором стороны попарно отождествлены. Заметим, что все
восемь вершин этого восьмиугольника отождествляются с един-
единственной точкой в Т1 $ Т2.
Этот восьмиугольник с попарно отождествленными сторонами
появляется «канонической формой» связной суммы двух торов.
Рис. 1.7. Связная сумма трех торов
получается попарным отождествлением
^сторон двенадцатиугольника.]
Рис. 1.8. Проективная плоскость
получается в результате отож-
отождествления краев двуугольника.
Повторяя наши рассуждения, можно показать, что связной сум-
суммой трех торов будет факторпространство, получаемое из две-
двенадцатиугольника на рис. 1.7 отождествлением сторон, обозначен-
обозначенных одними и теми же буквами. Теперь должно быть ясно, как
по индукции доказать, что связная сумма п торов гомеоморфна
факторпространству, полученному из 4?г-уголы1ика попарным
отождествлением сторон по некоторому правилу, точное описание
которого оставляем читателю.
Проведем аналогичное построение для связпой суммы проек-
проективных плоскостей. Проективную плоскость мы рассматривали
как факторпространство, образованное из круглого диска отожде-
отождествлением диаметрально противоположных точек его границы.
1.5
Гл. I. Двумерные многообразия
27
Выберем в качестве вершин пару диаметрально противоположных
точек на границе диска. Тогда окружность, служащая границей
диска, делится ими па два отрезка. Поэтому можно считать, что
проективная плоскость получается из двуугольника отождествле-
отождествлением его краев (рис. 1.8).
C2I
аг
Рис. 1.9. а — две непересекающиеся проективные плоскости РЛ и
Р2] б — непересекающиеся проективные плоскости с вырезанными
областями; в — после склеивания.
На рис. 1.9 показано, как представить связную сумму двух
проективных плоскостей в виде квадрата с попарно отождествлен-
отождествленными сторонами. В основном способ тот же, что и для представле-
представления связной суммы двух торов в виде факторпрострапства восьми-
восьмиугольника (рис. 1.6). Повторяя рассуждения, видим, что связная
28
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
сумма трех проективных плоскостей есть факторпроетрапство,
полученное из шестиугольника попарным отождествлением его
сторон, как указано на рис. 1.10. Применяя далее очевидную
индукцию, можно доказать, что для любого целого положитель-
положительного числа п связная сумма п проективных плоскостей является
факторпространством 2тг-угольника, полученным попарным отож-
отождествлением его сторон согласно определенному правилу. Заме-
Заметим, что все вершины этого многоугольника отождествляются
с одной точкой.
Остается еще представить сферу в виде факторпространства
многоугольника с попарно отождествленными сторонами. Это
Рис. 1.10. Построение связной
суммы трех проективных пло-
плоскостей попарным отождест-
отождествлением сторон шестиуголь-
шестиугольника.
Рис. 1.11. Сфера — факторпрост-
ранство двуугольника с отожде-
отождествленными краями.
можно сделать, как указано на рис. 1.11. Сферу можно' предста-
представить себе кошельком, застегнутым на молнию; когда молния не за-
застегнута, кошелек можно сделать плоским.
Итак, мы показали, как представить каждую из компактных
поверхностей, о которых шла речь в теореме 5.1, в'виде факторпро-
факторпространства многоугольника с попарно отождествленными сторо-
сторонами. Теперь опишем довольно очевидныйи удобный способ обозна-
обозначения того, какие именно стороны должны отождествляться в та-
таком многоугольнике. Рассмотрим диаграмму, указывающую, как
происходит отождествление сторон; начиная с определенной вер-
вершины, будем двигаться вдоль границы многоугольника, последо-
последовательно обозначая его стороны буквами. Если направление стрел-
стрелки на стороне совпадает с направлением нашего движения, то зтой
стороне припишем букву без степени (или со степенью +1). Если
же стрелка на стороне указывает направление, противоположное
нашему, то этой стороне припишем букву со степенью —1. На-
1.6 Гл. I. Двумерные многообразия 29
пример, отождествления на рис. 1.7 и 1.10 точно указываются
символами
a1b1a'^b~^a2b2a^b~^a3b3a11bil и а1а1а2а2а3а3
В каждом случае мы начинали двигаться от нижней вершины
диаграммы и обходили границу против часовой стрелки. Ясно, что
такое обозначение указывает отождествление однозначно; с дру-
другой стороны, написав символ, соответствующий данной диаграм-
диаграмме, можно начать движение из любой вершины и двигаться вдоль
границы как по, так и против часовой стрелки.
Подведем итог нашим результатам, выписав символы, соот-
соответствующие каждой из поверхностей в теореме 5.1:
(a) сфера: аа~1.
(b) связная сумма п торов:
(с) связная сумма п проективных плоскостей:
a1aia2a2 . . . anan.
Упражнение
5.1. Пусть Р — многоугольник с четным чпслом сторон. Предиоложим,
что стороны его попарно отождествлены в соответствии с каким угодно симво-
символом. Докажите, что полученное факторпространство будет компактной по-
поверхностью.
6. Триангуляция компактных поверхностей]
Для того чтобы доказать теорему 5.1, надо предположить,
что данная поверхность триангулируема, т. е. разбивается па тре-
треугольники, правильно примыкающие друг к другу. Легко видеть,
что поверхность земного шара разбивается на треугольные обла-
области и что такое же разбиение пригодно и для других компактных
поверхностей, а также в общем случае.
Определение. Триангуляция компактной поверхности S состоит
из конечного семейства замкнутых подмножеств {Tlt Тг, . . ., Тп),
покрывающего S, и семейства гомеоморфизмов фг: Т\ ->- Т%, i =
= 1,2, . . ., п, где каждое мпожество Т\ есть треугольник в пло-
плоскости R2 (т. е. компактное подмножество в R2, ограниченное тремя
различными прямыми). Подмножества Tt называются «треуголь-
«треугольниками». Подмножества треугольников Т{, являющиеся образами
вершин и ребер треугольников Т\ при отображении срг, также
30
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.6
называются «вершинами» и «ребрами» соответственно. Наконец,
требуется, чтобы любые два различных треугольника Tt и Tj либо
Рис. 1.12. Некоторые типы пересечений, запрещенных при триангуляции.
не имели пи одной общей точки, либо имели единственную общую
вершину, либо пересекались по одному ребру.
Условия этого определения поясняются на рис. 1.12, где ука-
указаны три запрещенных типа пересечений треугольников.
Представляется правдоподобным, что для любой заданной ком-
компактной поверхности S должна существовать триангуляция.
Строгое доказательство этого факта (данное впервые Радо в 1925 г.)
требует сильной формы теоремы Жордана. Хотя эта теорема не-
нетрудна, доказательство ее довольно утомительно, и поэтому здесь
мы его не приводим.
Триангулированную поверхность можно рассматривать как
поверхность, построенную склеиванием по определенному пра-
правилу различных треугольников: это напоминает составление раз-
разрезной картинки-загадки. Так как два различных треугольника
не могут иметь одних и тех же вершин, можно полностью опреде-
определить триангуляцию поверхности, перечисляя вершины, а затем
составляя список троек вершин, являющихся вершинами тре-
треугольников. Такой список треугольников с точностью до гомео-
гомеоморфизма полностью определяет поверхность с данной триангу-
триангуляцией.
Примеры
6.1. Поверхность обыкновенного тетраэдра в евклидовом 3-иространстве
гомеоморфна сфере S2; кроме того, четыре треугольника, составляющие эту
поверхность, удовлетворяют всем условиям, наложенным на триангуляцию
сферы S2. В этом случае четыре вершины и каждая тройка вершип образуют
множество вершин треугольника. Этим свойством не обладает никакая три-
триангуляция никакой другой поверхности.
6.2. На рис. 1.13 указана триангуляция проективной плоскости, рас-
рассматриваемой в виде пространства, полученного из диска отождествлением
диаметрально противоположных точек его границы. Вершины занумерованы
числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и в триангуляции 10 треугольников:
124
235
156
236
134
245
135
126
346
456
1.6
Гл. I. Двумерные многообразия
31
6.3. На рис. 1.14 показана триангуляция тора, нредставленного в виде
квадрата с отождествленными противоположными сторонами. В триангуля-
триангуляции 9 вершин и 18 треугольников:
124
356
457
689
187
239
245
361
578
649
128
379
235
146
658
479
289
137
/
/ 6
/ 3
/
/
/
/
Рис. 1.13. Триангуляция проектив-
проективной плоскости.
7 I 3 1
Рис. 1.14. Триангуляция тора.
Обсуждение триангуляции закончим замечанием о том, что
любая триангуляция компактной поверхности удовлетворяет сле-
следующим двум условиям:
A) Каждое ребро триангуляции является ребром точпо двух
треугольников.
B) Пусть v — вершина триангуляции. Тогда множество всех
треугольников с вершиной v можно расположить в цикли-
циклическом порядке То, Т-у, . . ., Тп_г, Тп = То, так что Tt
и Tj+n ? = 0, 1, ..., п — 1, обладают общим ребром.
Справедливость условия A) вытекает из того, что каждая точка
на ребре должна иметь открытую окрестность, гомеоморфпую
открытому диску U2. Это оказалось бы невозможным, если бы
ребро принадлежало лишь одному треугольнику или более чем
двум. Строгое доказательство последнего утверждения увело
бы нас очепь далеко, но справедливость его не подлежит сом-
сомнению. '
32 У» Масси. Алгебраическая топология- Введение 1.7
Условие B) можно доказать так. Из условия A) легко следует,
что множество всех треугольников с вершиной и можно разбить
на несколько таких непересекающихся подмножеств, что треуголь-
треугольники в каждом подмножестве расположены в описанном выше
циклическом порядке. Однако если этих подмножеств больше
одного, то нарушается требование о том, что точка и имеет окрест-
окрестность, гомеоморфную U2. Строго доказать последнее утверждение
мы не пытаемся.
7. Доказательство теоремы 5.1
Пусть S — компактная поверхность. Для доказательства тео-
теоремы 5.1 покажем, что поверхность S гомеоморфна многоуголь-
многоугольнику, стороны которого отождествлены в соответствии с одним
из символов, указанных в конце разд. 5.
Первый шаг. На основании изложенного в предыдущем разделе
можно предположить, что поверхность S триангулирована. Обо-
Обозначим через п число треугольников в триангуляции. Мы утвер-
утверждаем, что можно так упорядочить треугольники Тг, Т2, . . ., Тп,
что треугольник Tt имеет общее ребро ег по крайней мере с одним
из треугольников Tv . . ., Tt-lt 2 ^ i <^. п. Чтобы доказать это
утверждение, обозначим через Тг какой-нибудь треугольник;
в качестве Т2 выберем любой треугольник, имеющий общее ребро
с Tv в качестве Тг выберем любой треугольник, имеющий общее
ребро с Тг или с Т2, и т. д. Если на некотором шаге нельзя будет
продолжать этот выбор, то получатся два множества треуголь-
треугольников {Tv . . ., Tk} и {Th+1, . . ., Тп}, обладающие тем свой-
свойством, что ни один из треугольников первого множества не имеет
общего ребра и общей вершины ни с одним из треугольников
второго множества1). Но тогда поверхность S разбивается на два
непересекающихся непустых замкнутых множества, что противо-
противоречит предположению о ее связности.
Воспользуемся теперь упорядоченностью треугольников
Ти ..., Тп и ребер е2, . . ., еп и построим некоторую «модель»
поверхности S в евклидовой плоскости; этой моделью будет
многоугольник с попарно отождествленными сторонами. Вспом-
Вспомним, что для каждого треугольника Tt существует обычный (т. е.
расположенный в евклидовой плоскости) треугольник Т\ и гомео-
гомеоморфизм (pi, переводящий Т\ в \Tt. Можно предположить, что
треугольники Т[, . . ., Т'„ попарно не пересекаются; если это
не так, то можно перенести некоторые из них в другие части
плоскости R2. Пусть
Т'= U Т\;
i
На основании условия B).— Прим. перев.
1.7 Гл. I. Двумерные многообразия 33
тогда Т' — компактное подмножество в R2. Определим отображе-
отображение ф: Т' -*- S, положив ф | Т[ =•¦ фг; очевидно, что отображение
Ф непрерывно и является отображением на. Так как множество
I" компактно и пространство S хаусдорфово, то ф — замкнутое
отображение, и, следовательно, пространство S наделено фактор-
топологией, определенной отображением ф (см. приложение А,
разд. 1). Это утверждение представляет собой строгую математи-
математическую формулировку нашей интуитивной идеи о том, что поверх-
поверхность S получается в результате склеивания треугольников
Tv Т2, . . . вдоль их сторон, выбранных нужным образом.
Многоугольник, о котором шла речь выше, будет факторпро-
странством пространства Т'. Рассмотрим любое из ребер е,-, 2 ^
^ i ^ п. По предположению ег — ребро треугольника Tt и неко-
некоторого другого треугольника Tj, 1 ^ / ^ п. Поэтому ф (et)
состоит из ребра, принадлежащего треугольнику Т\, и ребра, при-
принадлежащего треугольнику Т}. Отождествим эти два ребра тре-
треугольников Т\ и T'j, отождествляя между собой точки, отображае-
отображаемые в одну и ту же точку на et (грубо говоря, склеим треуголь-
треугольники Т\ и T'j). Такое отождествление произведем для каждого
из ребер е2, е3, . . ., еп. Обозначим получившееся факторпро-
странство пространства Т" через D. Ясно, что отображение ф: Т'-*-
-*-S индуцирует отображение \р пространства D на S и что про-
пространство S наделено фактортопологией, индуцированной отобра-
отображением г|з (так как D компактно, S хаусдорфово, а отображение г|з
замкнуто).
Мы утверждаем, что топологически D есть замкнутый диск.
Доказательство опирается на два факта.
(а) Пусть Ег и j&2 — непересекающиеся пространства, являю-
являющиеся замкнутыми топологическими дисками (т. е. каж-
каждое из них гомеоморфно Ег), а Аг и Аг — такие подмноже-
подмножества множеств дЕ1 и дЕ2 соответственно, что каждое из них
гомеоморфно замкнутому интервалу [0, 1]. Пусть h: Ax -*¦
-*- А 2 — некоторый гомеоморфизм. Построим факторпро-
странство объединения Ех \] Е2, отождествляя точки,
переходящие друг в друга при отображении h. Тогда это
факторпространство также будет топологически замкну-
замкнутым диском. Читатель может принять этот довольно прав-
правдоподобный факт на веру или же провести доказательство,
используя те же аргументы, что и в разд. П. 4. Интуитивно
это означает, что если склеивать два диска вдоль общего
отрезка их границ, то в результате склейки получится
снова диск.
(Ь) При построении факторпространства D пространства Т'
можно осуществить все отождествления либо сразу, либо
последовательно: провести отождествление, соответствую-
3 У. Масои, Дж. Столлингс
34
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.7
щее сначала ребру е2, затем — е3 и т. д. Это утверждение
вытекает из леммы 2.4 приложения А (см. применение (а)
этой леммы).
Теперь с помощью этих фактов докажем, что D — диск. Про-
Пространства Т[ и Т'2 топологически эквивалентны диску. Поэтому
по (а) факторпространство объединения Т[ [) Т2, полученное ото-
отождествлением точек ф (е2), снова является диском. Факторпро-
Факторпространство объединения этого диска с Т'г, получаемое отождествле-
отождествлением, соответствующим ребру е3, также является диском, и т. д.
Ясно, что пространство S получается из диска D отождествле-
отождествлением определенных пар ребер, принадлежащих краю диска D.
Пример
7.1. На ряс. 1.15 иллюстрируется довольно наглядный пример. По-
Поверхность куба триангулирована следующим образом: каждая грань куба
своей диагональю разбивается на два треугольника. Образовавшийся диск
а
а
/г,
d
d,
/ч
е7 /
ь
ь
/ Г'
с
f
т«7
/ та
9
Рис. 1.15. Пример, иллюстрирующий первый шаг доказательства
теоремы 5.1.
D можно считать диаграммой, зависящей, разумеется, от упорядочения тре^
угольников и от выбора ребер е2, . . ., е12. Отождествляемые между собой
ребра диска D обозначены одними и теми же буквами. На этом шаге можно
забыть о ребрах е2, е$, ¦ • ., «12- Поэтому вместо многоугольника рис. 1.15
столь же успешно можно было взять многоугольник, изображенный на
рис. 1.16.
1.7
Гл. I. Двумерные многообразия
35
Упражнения
Проведите указанный выше процесс для каждой из поверхностей, три-
триангуляция которых дана ниже. {Замечание. Эти примеры понадобятся нам
в дальнейшем.)
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
Второй шаг. Уничтожение пар смежных ребер первого типа.
Итак, построен многоугольник D, из которого попарным отожде-
f Ь
124
367
698
289
238
123
123
136
124
713
126
123
156
167
172
236
347
678
578
135
234
234
246
235
134
237
256
268
275
283
134
469
457
358
341
345
356
346
245
341
357
374
385
246
459
259
125
412
451
416
457
356
451
468
476
485
512
526
561
467
672
571
Рис. 1.16. Упрощенный вариант многоугольника, указанного
на рис. 1.15.
ствлением ребер образована данная поверхность S. Эти отожде-
отождествления можно указать с помощью соответствующего символа;
например на рис. 1.16 отождествления описываются символом
я*
36
У. Шасси'. Алгебраическая топология. Введение
1.7
Пару ребер, которую обозначает буква, встречающаяся в символе
с обоими показателями +1 и —1, будем называть парой первого
типа; пару, не удовлетворяющую этому условию, будем называть
парой второго типа. Например, на рис. 1.16 все семь пар — пер-
первого типа.
Покажем, что пару смежных ребер первого типа можно уничто-
уничтожить, если в символе участвуют по крайней мере четыре ребра.
Это легко увидеть на последовательности диаграмм, изображен-
изображенных на рис. 1.17. Процесс можно' продолжать до тех пор, пока
6 г
Рис. 1.17. Уничтожение пары смежных ребер первого типа.
все такие пары не окажутся уничтоженными или пока не полу-
получится многоугольник лишь с двумя сторонами. В последнем слу-
случае этот многоугольник, символом которого будет аа или аа~г,
должен быть либо проективной плоскостью, либо сферой, и дока-
доказательство закончено. В противном случае переходим к третьему
шагу.
Третий шаг. Преобразование к многоугольнику, у которого все
вершины должны быть отождествлены с одной точкой. Хотя ребра
нашего многоугольника должны быть отождествлены попарно,
вершины могут отождествляться по одной, по две, по три и т. д.
Две вершины многоугольника назовем эквивалентными, если они
1.7 Гл. I. Двумерные многообразия 37
должны быть отождествлены. Например, читатель легко может
проверить, что на рис. 1.16 восемь различных классов эквивалент-
эквивалентности вершин. Некоторые классы эквивалентности содержат лишь
но одной вершине, другие классы — по две или по три.
Предположим, что второй шаг мы совершили столько раз,
сколько это оказалось возможным. Мы хотим доказать, что наш
многоугольник можно преобразовать в другой, у которого все
вершины принадлежат одному классу эквивалентности.
Допустим, что различных классов эквивалентности вершин
по крайней мере два. Тогда у многоугольника должна быть смеж-
смежная пара неэквивалентных вершин. Обозначим эти вершины через
с
о 6
Рис. 1.18. Третий шаг доказательства теоремы 5.1.
Р и Q. На рис. 1.18 объяснено, как следует поступать. Так как Р
и Q неэквивалентны и мы уже совершили второй шаг, то ребра а
и Ъ отождествляться не должны. Сделаем разрез из вершины Q
до вершины ребра а, отличной от Р, вдоль прямой, обозначенной
через с. После этого склеим два ребра, обозначенные буквой а.
В результате получится новый многоугольник, у которого по срав-
сравнению со старым в классе эквивалентности вершины Р на одну
вершину меньше, а в классе эквивалентности вершины Q — на одну
вершину больше. Если окажется возможным, снова совершим
второй шаг. Затем совершим третий шаг, чтобы еще уменьшить
количество вершин в классе эквивалентности вершины Р, а потом
снова второй. Такое чередование второго и третьего шагов произ-
производим до тех пор, пока полностью не уничтожим класс эквива-
эквивалентности вершины Р. Если остается больше одного класса экви-
эквивалентности, то процедуру можно повторить и, таким образом,
уменьшить количество этих классов еще на один. Продолжая так
дальше, мы в конце концов построим многоугольник, все вершины
которого отождествлены с одной.
38
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.7
Четвертый шаг. Как сделать любые два ребра второго типа
смежными. Докажем, что нашу поверхность можно преобразовать
так, что любые два ребра второго типа будут смежными. Предпо-
Предположим, что у нас два несмежных ребра второго типа, как, напри-
например, н>1 рис. 1.19, а. Разрежем вдоль штриховой линии, обозна-
Рис. 1.19. Четвертый шаг доказательства
теоремы 5.1.
Рис. 1.20. Пара ребер
первого типа.
ченной через а, и склеим вдоль Ь. Как видно из рис. 1.19, б, ука-
указанные два ребра становятся смежными.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все пары ребер вто-
второго типа не станут смежными. Если нет пар смежных ребер пер-
первого типа, то процесс заканчивается, так как в этом случае сим-
символ многоугольника должен иметь вид а1а1а2а2 . . . апап и, сле-
следовательно, S — связная сумма п проективных плоскостей.
Допустим, что на этом же этапе есть по крайней мере одна
пара ребер первого типа, каждое из которых обозначено буквой с.
Мы утверждаем, что существует по крайней мере еще одна пара
ребер первого типа; эта пара такова, что обе пары отделены друг
от друга, т. е. при обходе границы многоугольника ребра из этих
пар встречаются поочередно (так что символ должен иметь вид
с . . . d . . . с . . . й~г . . ., где точками обозначены осталь-
остальные буквы символа).
Для доказательства этого утверждения предположим, что реб-
ребра, обозначенные буквой с, не отделены друг от друга никакой
парой первого типа. Тогда наш многоугольник имеет вид, указан-
указанный на рис. 1.20. Здесь буквы А и В обозначают каждая целую
последовательность ребер. Любое ребро из А должно быть отож-
отождествлено с некоторым другим ребром также из А (это относится
и к В), и ни одно ребро'из А не должно отождествляться с ребром
из В. Но это противоречит тому, что при выполнении третьего шага
начальная и конечная вершины любого из ребер, обозначенных
буквой с, должны быть отождествлены.
Гл. I. Двумерные многообразия
39
Пятый шаг. Пары первого типа. Пусть есть две отделенные
друг от друга парыпервого типа (рис. 1.21). Покажем, что можно
преобразовать многоугольник следующим образом: при обходе
вдоль периметра полученного многоугольника все четыре ребра,
входящие в эти пары, следуют друг за другом непосредственно.
ь
а
б в
Рис. 1.21. Пятый шаг доказательства теоремы 5.1.
Сначала, чтобы получить рис. 1.21, б, разрежем многоуголь-
многоугольник вдоль с и склеим вдоль Ъ. Затем, чтобы получить, как нам
и нужно, рис. 1.21, в, разрежем вдоль d и склеим вдоль а.
Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все пары первого
типа не расположатся в примыкающие друг к другу группы,
состоящие из четырех ребер, как, например, группа сйс'Ы'1 на
рис. 1.21, в. Если нет ни одной пары второго типа, то нужный
результат достигнут, так как в этом случае символ должен иметь
вид
и поверхность, описываемая данным символом, представляет собой
связную сумму п торов,-
40
У. Масси- Алгебраическая топология. Введение
1.7
Остается случай, когда на этом этапе есть пары обоих типов.
Тогда основой для дальнейших действий служит следующая
довольно неожиданная лемма.
Лемма 7.1. Связная сумма тора и проективной плоскости гомео-
гомеоморфна связной сумме трех проективных плоскостей.
Доказательство. Мы уже отмечали, что связная сум-
сумма двух проективных плоскостей гомеоморфна бутылке Клейна
(см. пример 4.3). Поэтому мы должны доказать, что связная сумма
Рис. 1.22. а — тор с дырой; б — бутылка Клейна с дырвй.
проективной плоскости и тора гомеоморфна связной сумме проек-
проективной плоскости и бутылки Клейна. Для того чтобы это сделать,
удобно дать иную конструкцию связной суммы любой поверхности
S и тора или бутылки Клейна. Тор и бутылку Клейна можно
представить в виде прямоугольников, у которых противополож-
противоположные стороны отождествлены так, как показано на рис. 1.22. Чтобы
получить связную сумму, вырежем сначала диск, заштрихован-
заштрихованный на диаграмме, а затем сделаем такую же дыру в S и приклеим
границу дыры в торе или бутылке Клейна к границе дыры в S.
Вместо того чтобы за один шаг приклеивать полностью тор или
бутылку Клейна, можно сделать это в два этапа: на первом
приклеиваем часть тора или бутылки Клейна, являющуюся обра-
образом при отождествлении прямоугольника ABB'А', на втором —
остальную часть тора или бутылки Клейна. На первом этапе полу-
получается связная сумма поверхности S и открытого цилиндра. Такой
цилиндр гомеоморфен сфере с двумя дырами. Поэтому простран-
пространство, получающееся на первом этапе, гомеоморфно первоначальной
поверхности S, у которой сделаны две дыры.
На втором этапе границы этих двух дыр соединяем трубкой,
оставшейся от тора или бутылки Клейна. Разница между этими
двумя случаями в том, что в случае тора ориентации грапиц этих
дыр, перенесенные с поверхности S на трубку, согласованы,
а в случае бутылки Клейна — нет. Это иллюстрируется на
рис. 1.23, где S — лист Мёбиуса.
1.7
Гл. /» Двумерные многообразия
41
Мы утверждаем, что пространства, указанные на рис. 1.23
(т. е. связная сумма листа Мёбиуса с тором и с бутылкой Клейпа
соответственно), гомеоморфны. Чтобы увидеть это, представим
себе, что каждое из этих топологических пространств разрезается
вдоль прямой АВ. В обоих случаях в результате получается связ-
связная сумма тора и прямоугольника, пара противоположных сторон
В
Рис. 1.23. а — связная сумма листа Мёбиуса с фтором; б —
связная сумма листа Мёбиуса с бутылкой Клейна.
которого отождествлена так, как показано на рис. 1.24. Следова-
Следовательно, эти два пространства гомеоморфны.
Как установлено ранее, склеивание границы диска с границей
листа Мёбиуса дает проективную плоскость. Так как два простран-
пространства на рис. 1.23 гомеоморфны, то гомеоморфны и пространства,
образованные приклеиванием диска к границе каждого из них,
т. е. связная сумма проективной плоскости и тора гомеоморфна
связной сумме проективной плоскости и бутылки Клейна, что
и требовалось доказать.
42 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.7
Ясно, что этой леммой учитывается случай, оставшийся при
доказательстве теоремы 5.1. Например, предположим, что после
завершения пятого шага многоугольник имеет т (т >» 0) пар
второго типа, ребра каждой жз которых смежны, и п (п > 0)
четверок, каждая из которых состоит из таких двух пар, что каж-
каждая пара является парой первого типа и разделена другой. Тогда
эта поверхность есть связная сумма т проективных плоскостей
Рис. 1.24. Результат разрезания пространств, указанных на
рис. 1.23, вдоль прямой А В.
и п торов, гомеоморфная по доказанной лемме связной сумме
т -\-2п проективных плоскостей. На этом доказательство тео-
теоремы 5.1 заканчивается.
7.6. Провести каждый из упомянутых выше шагов для примеров, дан-
данных в упражнениях 7.1—7.5.
Ясно, что описанный процесс можно осуществлять в обратном
направлении; всякий раз, когда есть три пары второго типа, можно
заменять их одной парой второго типа и двумя парами первого
типа. Другими словами, можно применять лемму 7.1 к любой
связной сумме, где слагаемыми служат три или более проектив-
проективных плоскостей. В результате получается следующая новая форма
теоремы 5.1, которая иногда может оказаться предпочтительней.
Теорема 7.2. Любая компактная ориентируемая поверхность
гомеоморфна сфере или связной сумме торов. Любая компактная
.неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме либо
проективной плоскости, либо бутылки Клейна и некоторой ком-
компактной ориентируемой поверхности.
1.8 ' Гл. I. Двумерные многообразия 43
8. Эйлерова характеристика поверхности
Хотя мы показали, что любая компактная поверхность гомео-
морфна сфере, сумме торов или сумме проективных плоскостей, мы
не знаем, различаются ли эти связные суммы топологически. Воз-
Возможно, существуют такие целые положительные числа тип
(тфп), что сумма т торов гомеоморфна сумме п торов. Чтобы
показать, что этого случиться не может, введем числовой инва-
инвариант, называемый эйлеровой характеристикой.
Прежде всего определим эйлерову характеристику триангули-
триангулированного пространства. Пусть М — компактная поверхность
с триангуляцией {Тг, . . ., Тп). Пусть
v — количество вершин в М,
е — количество ребер в М,
t — количество треугольников в М (в нашем случае t=n).
Тогда число
X (М) = v - е +1
называется эйлеровой характеристикой поверхности М.
Пример
8.1. На рис. 1.25 предлагаются стандартные методы триангуляции сфе-
сферы, тора и проективной плоскости, причем количество треугольников может
быть любым. Для таких триангуляции читателю предлагается проверить, что
эйлерова характеристика сферы, тора и проективной плоскости равна 2, О
и 1 соответственно. Проверьте также, что эйлерова характеристика не зави-
зависит от количества вертикальных и горизонтальных прямых на диаграммах
сферы и тора и от количества радиальных прямых и концентрических окруж-
окружностей на диаграмме проективной плоскости.
Рассмотрение этих и других примеров наводит на мысль, что
% {М) зависит лишь от М, а не от выбранной на М триангуляции.
Мы дадим метод доказательства этого утверждения. Для доказа-
доказательства разобьем М на любые многоугольники, а не только на тре-
треугольники. Многоугольники могут иметь любое количество п
сторон и вершин, п ^ 1 (см. рис. 1.26). Может случиться, что
ребро не разбивает многоугольник на части, как, например,
на рис. 1.27. В любом случае требуется, чтобы каждая открытая
область, лежащая внутри многоугольника, была гомеоморфна
открытому диску, а внутренность каждого ребра гомеоморфна
открытому интервалу прямой (замыкание каждого ребра должно
быть гомеоморфно замкнутому интервалу или окружности). Нако-
Наконец, требуется, чтобы количество вершин, ребер и многоуголь-
многоугольных областей было конечным. Как и прежде, эйлерова характери-
характеристика такого разбиения компактной поверхности М задается
формулой
X (М) = (количество вершин) — (количество граней) -)-
+ (количество областей).
о.
б
Рис. 1.25.
гуляции.
Вычисление эйлеровой характеристики по триан-
а — сфера; б — тор; в — проективная плоскость.
1.8
Гл. I. Двумерные многообразия
45
Легко видеть, что эйлерова характеристика инвариантна отно-
относительно следующих преобразований:
(а) разбиение ребра на два добавлением новой вершины во внут-
внутренней точке (обратно, если ровно два ребра примыкают
друг к другу в данной вершине, можно выкинуть вершину
и объединить эти два ребра в одно);
Рис. 1.26. а — одноугольник; б — двуугольник; в — треуголь-
треугольник.
(b) разбиение п-угольника, п ^ 1, на два соединением двух
его вершин новым ребром (обратно, удаляя ребро, можно
объединить две области в одну);
(c) введение нового ребра и новой вершины так, как изобра-
изображено па рис. 1.27 (обратно, удаление такого ребра вместе
с такой вершиной).
Теперь для доказательства инвариантности эйлеровой харак-
характеристики покажем, что любую триангуляцию (или разбиение)
поверхности М можно перевести в любую другую с помощью
конечной последовательности преобразований типа (а), (Ь) и (с).
Пусть
= {T[, г;,
rn)
— две триангуляции данной поверхности. Легко видеть, что если
пересечение любого ребра триангуляции У с любым ребром три-
46 У. Maccv* Алгебраическая топология. Введение 1.8
ангуляции 2Г' состоит из конечного числа точек и замкнутых
интервалов, то переход от триангуляции 2Г к триангуляции &~г
можно осуществить за конечное число указанных выше преобра-
преобразований; детали оставляются читателю. Однако может оказаться,
что ребро из $" пересекается с ребром из ST' в бесконечном числе
точек, как, например, кривые
{{х, у): у = 0;
{(х, у): i/ = a;Sin-i;O<|a;|<l}u{@, 0)}
в плоскости ху. Ясно, что в этом случае нельзя перейти от триан-
триангуляции У к триангуляции ?Г' конечным числом наших преобра-
преобразований. Но кажется правдоподобным, что
всегда можно избежать такой ситуации, слег-
слегка «сдвигая» одно из ребер. Это на самом деле
так и можно доказать строго. Доказатель-
Доказательства мы здесь не приводим по нескольким
причинам: (а) подробное доказательство запу-
запутанно и утомительно; (Ь) эйлерову харак-
характеристику можно определить для более об-
общих пространств, чем поверхности, и ее инва-
Рис. 1.27. Допусти- риантность можно доказать с привлечением
мый тип ребра. теории гомологии; в этой более общей ситу-
ситуации то доказательство, которое мы имеем
в виду, не годится; (с) с помощью эйлеровой характеристики мы
будем отличать друг от друга компактные поверхности; в следую-
следующей главе, используя фундаментальную группу, мы сумеем про-
проделать это со всей строгостью.
Предложение 8.1. Пусть Sx и S^ — компактные поверхности.
Эйлеровы характеристики этих поверхностей и их связной суммы
St $ 52 связаны формулой
Xtfi #Sj = %(S1) +X(S2)-2.
Доказательство. Доказательство довольно простое.
Предположим, что поверхности Si и S2 триангулированы. Их
связную сумму построим, выкидывая из каждого пространства
внутренность какого-нибудь треугольника и отождествляя затем
ребра и вершины, находящиеся на границе этих двух треугольни-
треугольников. Справедливость доказываемой формулы проверяется пересче-
пересчетом количества вершин, ребер и треугольников до и после построе-
построения связной суммы.
Применяя формулу и очевидную индукцию, начинающуюся
с известных результатов для сферы, тора и проективной плоскости,
IS Гл. I. Двумерные многообразия 47
получаем для эйлеровых характеристик всех возможных компакт-
компактных поверхностей следующие значения:
Поверхность Эйлерова
характеристика
Сфера 2
Связная сумма п торов 2—2п
Связная сумма п проективных 2—п
плоскостей
Связная сумма проективной пло- 1—2п
скости и п торов
Связная сумма бутылки Клейна
и п торов —2ге
Заметим, что эйлерова характеристика ориентируемой поверхно-
поверхности всегда четна, в то время как для неориентируемой поверхности
она может быть как нечетной, так и четной.
Предполагая, что эйлерова характеристика топологически
инвариантна, и применяя теорему 5.1, приходим к важному
результату.
Теорема 8.2. Компактные поверхности Si и S2 гомеоморфны
тогда и только тогда, когда они обе либо ориентируемы, либ&
неориентируемы и их эйлеровы характеристики равны.
Это замечательная топологическая теорема: она сводит пробле-
проблему классификации компактных поверхностей к определению
ориентации и эйлеровой характеристики, а обе эти задачи решают-
решаются довольно легко. Кроме того, из теоремы 5.1 ясно, что представ-
представляют собой все возможные компактные поверхности.
Такая полная классификация класса топологических про-
пространств встречается довольно редко. Известно, что для компакт-
компактных 3-многообразий соответствующей теоремы нет, а для 4-много-
образий можно доказать, что, грубо говоря, такой результат невоз-
невозможен.
Закончим раздел введением некоторой стандартной термино-
терминологии. Поверхность, являющаяся связной суммой п торов или п
проективных плоскостей, называется поверхностью рода п, при
этом сфера — поверхность рода 0. Род g и эйлерова характери-
характеристика % компактной поверхности связаны формулой
\ -~- B — х) в ориентируемом случае
12 — х в неориентируемом случае.
Упражнения
8.1. Свыше 2000 лет известно, что существует лишь пять правильных
полиэдров, а именно правильные тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икоса-
-48 У. Масса. Алгебраическая топология. Введение 1.8
эдр. Докажите это, рассматривая такие разбиения сферы па га-угольники
{га фиксировано), что в каждой вершине пересекаются точно т граней (т фик-
фиксировано и т., га ^ 3). Используйте при доказательстве тот факт, что % (S2) =
= 2.
8.2. Покажите, что для любой триангуляции компактной поверхности
3t = 2e,
Какие минимальные значения могут принимать числа v, e и t в случае сферы,
тора и проективной плоскости? (Здесь t, e и v означают количество треуголь-
треугольников, ребер и вершин соответственно.)
8.3. На сколько кусков делят сферу га таких ее больших окружностей,
что никакие три из них не пересекаются в общей точке?
8.4.
(a) Стороны правильного восьмиугольника попарно отождествлены так,
что получается компактная поверхность. Докажите, что эйлерова
характеристика этой поверхности ^ — 2.
(b) Докажите, что любую поверхность (как ориентируемую, так и не-
ориентируемую) с эйлеровой характеристикой ^ — 2 можно полу-
получить подходящим попарным отождествлением сторон правильного
восьмиугольника.
8.5. Докажите, что нельзя так разбить поверхность сферы, чтобы каж-
каждая из областей была шестиугольником и две различные области пересека-
пересекались не более чем по одному ребру.
8.6. Пусть S1 — сумма т торов, т ^ 1, a S2 — сумма га проективных
плоскостей, га ^ 1. Предположим, что в каждой из этих поверхностей сдела-
сделано по дыре и затем они склеены вдоль границ этих дыр. Какая получится
поверхность?
8.7. Какая поверхность представляется правильным 10-угольпиком,
у которого ребра попарно отождествлены в соответствии с символом
abcdec-1da-4-le-'4
{Указание. Как отождествляются вершины при обходе вдоль границы много-
многоугольника?]
8.8. Какая поверхность представляется 2га-угольником, у которого ребра
попарно отождествлены в соответствии с символом
8.9. Какая поверхность представляется 2га-угольником, у которого ребра
попарно отождествлены в соответствии с символом
{Указание. Случаи с четным и нечетным га рассмотреть отдельно.]
Замечание. Результаты упражнений 8.8 и 8.9 дают еще одну «нормаль-
«нормальную форму» представления компактной поверхности в виде факторпростран-
¦ства многоугольника.
1.9 Гл. I. Двумерные многообрагия 49
9. Многообразия с краем
Понятие многообразия с краем слегка обобщает понятие мно-
многообразия.
Определение, п-мерным многообразием с краем называется
такое хаусдорфово пространство, что каждая его точка имеет
открытую окрестность, гомеоморфную либо открытому диску ?/",
либо пространству
{(*!, *„ . . ., хп) 6 Un: хх > 0}.
Множество точек, имеющих открытую окрестность, гомеоморфную
?/", называется внутренностью многообразия, а множество точек
р, имеющих такую открытую окрестность V, что существует гомео-
гомеоморфизм ft окрестности V на {х ? Un: хг ^ 0} и ft (р) = @, 0, ...
. . ., 0), называется краем (или границей) многообразия.
Примеры
9.1. Замкнутый диск, или шар,
есть n-мерное многообразие с краем. Его край — сфера rSn~l, а внутрен-
внутренность — открытый диск Un.
9.2. Другой пример — «полупространство»
{х е Rn : *i > 0}.
9.2. Лист Мёбиуса — двумерное многообразие с краем.
9.4. Дальнейшие примеры двумерных многообразий с краем получаются,
если из двумерных многообразий выкинуть то или иное количество малых
открытых дисков, g
Весьма правдоподобно и можно доказать строго, что множество
граничных точек не пересекается с множеством внутренних точек.
Легко видеть, что множество внутренних точек открыто и всюду
плотно; следовательно, множество граничных точек замкнуто.
Множество граничных точек re-мерного многообразия является
(п — 1)-мерным многообразием. Внутренность re-мерного много-
многообразия является некомпактным ге-многообразием.
Читатель должен заметить, что термины «внутренность» и «гра-
«граничные точки» в предыдущем абзаце употреблялись в некотором
смысле, отличном от того, какой им обычно придается в теоретико-
множествепной топологии. Однако к путанице это почти не при-
приводит.
Из примеров видно, что многообразие с краем может быть ком-
компактным или некомпактным, связным или несвязным. Некомпакт-
Некомпактное многообразие с краем может иметь или не иметь счетную базу
открытых множеств. В любом случае оно всегда локально ком-
компактно. Заметим, что край связного многообразия может быть
4] У. Масси, Дж. Столлингс
50 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.9
несвязным, край некомпактного многообразия может быть ком-
компактным.
Понятия ориентируемости и неориентируемости для много-
многообразий с краем вводятся точно так же, как и для многообразий.
Например, лист Мёбиуса — неориентируемое многообразие с кра-
краем, а цилиндр
{(х, у, г) € R3: х* + i/2 = 1, 0 < г < 1}
— ориентируемое многообразие с краем.
Ориентируемость многообразия с краем существенно зависит
от ориентируемости его внутренности, рассматриваемой как неком-
некомпактное многообразие. Заметим, что каждая компонента края
re-многообразия является (п — 1)-многообразием, которое может
быть либо ориентируемым, либо неориентируемым. Встречаются
оба случая. Можно показать, что каждая компонента края ориен-
ориентируемого многообразия должна быть ориентируемой. С другой
стороны, неориентируемое многообразие может иметь в крае как
ориентируемые, так и неориентируемые компоненты. Например,
если Р2 — проективная плоскость, а / — замкнутый единичный
интервал, то Р2 X / — неориентируемое 3-многообразие с краем.
Край этого многообразия состоит из двух компонент: Р2 х {0}
и Р2 X {1}. Если из внутренности многообразия Р2 X I выкинуть
малый открытый трехмерный диск, то получится многообразие
с краем, состоящим из трех компонент: Р2 X {0}, Р2 X {1} и 2-
сферы, являющейся границей выкинутого диска. Таким образом,
две компоненты края этого многообразия неориентируемы,
а одна — ориентируема.
Упражнения
9.1. Докажите, что произведение многообразия и многообразия с краем
есть многообразие с краем. Что является краем произведения?
9.2. Пусть Р — многоугольник. Предположим, что определенные, но
не все пары ребер этого многоугольника отождествлены. Докажите, что полу-
полученное факторпространство есть компактное связное 2-многообразие с краем.
Замечание к терминологии. В силу наших определений, каж-
каждое w-многообразие (как определено в разд. 1) есть ге-многообразие
с краем (как определено в настоящем разделе). Для удобства
примем следующее соглашение. Когда речь идет о многообразии
с краем, будем считать, что край непуст; в противном случае,
т. е. когда край пуст, будем употреблять только одно слово —
«многообразие». Так как мы в основном будем рассматривать дву-
двумерный случай, то связное двумерное многообразие с (непустым)
краем мы будем называть поверхностью с краем. Отдельно слово
«поверхность» будет, как и прежде, означать 2-многообразие
с пустым краем.
1.10 Гл. /. Двумерные многообразия 51
10. Классификация компактных связных
2-многообразий с краен
Мы уже упоминали о том, что если в компактной поверхности
выбрать конечное число попарно непересекающихся замкнутых
дисков и выкинуть их внутренности, то получится поверхность
с краем. Количество компонент края равно числу выбранных
дисков.
Обратно, предположим, что М — компактная поверхность
с краем и что край состоит из к компонент, к ^ 1. Каждая компо-
компонента края — это компактное, связное 1-многообразие, т. е.
окружность. Ясно, что если взять к замкнутых дисков и приклеить
край i-ro диска к г-й компоненте края поверхности М, то полу-
получится компактная поверхность М*. Очевидно, что топологический
тип поверхности М* зависит только от топологического типа
поверхности М. Не столь очевидно, но также верно обратное
(в некотором смысле) утверждение: топологический тип поверх-
поверхности с краем М зависит только от количества компонент края
и топологического типа поверхности М*, образованной в резуль-
результате приклеивания диска к каждой компоненте края.
Можно выразить это и иначе. Если начать с компактной поверх-
поверхности М* и строить поверхность с краем, выкидывая внутренности
к замкнутых попарно непересекающихся дисков, то неважно, где
расположены эти диски. В результате мы придем к топологически
тому же самому многообразию с краем независимо от располо-
расположения выбранных дисков. Этот результат сформулируем в виде
следующей теоремы.
Теорема 10.1. Пусть Мг и М% — компактные поверхности
с краем и их границы содержат одинаковое количество компонент.
В этом случае М\ и М2 гомеоморфны тогда и только тогда, когда
гомеоморфны] поверхности М* и М* {образованные в результате
приклеивания диска к каждой компоненте края).
Доказательство. Наметим в общих чертах доказатель-
доказательство необходимости условия. Оно существенно опирается на клас-
классификационную теорему для компактных поверхностей. Как в тео-
теореме 5.1, доказательство состоит в том, что показывается гомео-
гомеоморфность поверхностей Мх и М2 многоугольнику, у которого
отождествлены определенные пары ребер, т. е. Мх и Мг приво-
приводятся к так называемой «нормальной форме». Прежде всего под-
подробно объясним, что здесь служит нормальными формами.
(а) Нормальная форма для сферы с к дырами. Сфера представ-
представляется многоугольником с двумя ребрами, у которого ребра
отождествляются в соответствии с символом аа'1. Вырежем
в таком многоугольнике к дыр, как показано на рис. 1.28, а
4*
52
У. Млсси- Алгебраическая топология. Введение
1.10
для случая к = 4. Затем сделаем разрезы с1? с2, . . ., ck из
некоторой вершины, лежащей на границе многоугольника,
до соответствующих компонент края Вх, Б2, . . ., Вк.
Расширим каждый разрез так, чтобы построить многоуголь-
многоугольник, изображенный на рис. 1.28, б. В общем случае мы
Рис. 1.28. Сфера с четырьмя дырами.
получим многоугольник, у которого ребра отождествлены
в соответствии с символом
аа-хсхВхс-{сгВ*сг? . . . chBhcll.
(b) Нормальная форма для связной суммы п торов с к дырами.
Диаграммы рис. 1.29 иллюстрируют случай п == 2 и к = 4.
В этом случае построение совершенно аналогично построе-
построению в случае сферы с дырами. В результате получается
многоугольник с 4/г -\-Зк ребрами, которые должны быть
отождествлены в соответствии с символом
b^BiC-1 . .. chBkcl\
(с) Нормальная форма для связной суммы п проективных пло-
плоскостей с к дырами. Предлагаем читателю проверить, что
в этом случае получается многоугольник с 2п -(- 3/с реб-
ребрами, которые отождествляются согласно символу
РЗаметим, что во всех приведенных построениях в качестве
путей сх, . . ., cfe, по которым происходит разрезание, можно
1.10
Гл. I. Двумерные многообразия
53
выбрать отрезки прямых, пересекающиеся лишь в одной точке —
в крае каждого отрезка.
Рассмотрим теперь триангуляцию компактных поверхностей
с краем. Определение триангуляции в точности то же, что и в разд. 6
а,
Рис. 1.29. Ориентируемая поверхность рода 2 с четырьмя ды-
дырами.
для случая компактных поверхностей. Однако между этими двумя
случаями есть существенное различие, которое мы хотим подчерк-
подчеркнуть. В случае триангуляции поверхности каждое ребро служит
54 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1%10
стороной в точности двух треугольников, а в случае триангуляции
поверхности с краем найдется ребро, принадлежащее только
одному треугольнику. Такое ребро будет лежать в крае. Теорема,
которую мы примем без доказательства, состоит в том, что каждую
компактную поверхность с краем можно триангулировать (дока-
(доказательство см. Альфорс и Сарио [1, гл. 1, разд. 8]).
Пусть М — компактная поверхность с краем и на ней задана
триангуляция. Мы утверждаем, что триангуляцию можно выбрать
удовлетворяющей следующим условиям. Если ребро целиком
не принадлежит краю, то его вершины не могут обе одновременно
Рис. 1.30. Барицентрическое разбиение треугольника
принадлежать краю; ни в одном треугольнике более чем одно ребро
не принадлежит краю. Если эти условия не выполняются, то
можно разбить каждое ребро на два, а каждый треугольник
на шесть треугольников, как это показано на рис. 1.30. Такое раз-
разбиение называется барицентрическим. Для него указанные усло-
условия выполнены. Строя, если необходимо, барицентрическое раз-
разбиение еще раз, будем считать, что наша триангуляция удовлет-
удовлетворяет даже более сильному условию. Пусть Ti и Tj — треуголь-
треугольники, у которых по одному ребру принадлежит краю. Тогда Ti
и Tj или не пересекаются, или у них есть одна общая вершина,
принадлежащая краю.
Обозначим через Ви . . ., Bk компоненты края. Если Т —
треугольник, имеющий непустое пересечение с одной из компо-
компонент Bt, то в Г содержится ровно два не принадлежащих Bt ребра,
у каждого из которых по одной вершине лежит в Bt. Если е —
ребро, не принадлежащее целиком Bt и пересекающееся с Bt
по одной вершине, то е — общая сторона двух треугольников,
каждый из которых имеет с Bt непустое пересечение. Отсюда сле-
следует, что треугольники, имеющие с Bi непустое пересечение, и реб-
ребра, пересекающиеся с Вг по одной вершине, можно расположить
в один или более циклов, где ребра и треугольники чередуются:
Т2, е2, . . ., Т
п,
при атом каждое ребро е^ принадлежит Tj и Т]+г, а каждый тре-
треугольник Tj содержит ребра е>_! и в]. Легко показать, что каждой
[JO
Гл. I. Двумерные многообразия
55
компоненте края Bt соответствует лишь один такой цикл. Из усло-
условий, которым удовлетворяет триангуляция поверхности М, ясно,
что объединение всех треугольников Tt, Т2, . . ., Тп, имеющих
непустое пересечение с Bj, гомеоморфно плоскому многоугольнику
с дырой (см. рис. 1.31 для п = 17). Каждой компоненте края Вг-,
1 ^ i ^ к, соответствует один такой многоугольник Рг-.
Обозначим заново через Тг, . . ., Tt треугольники данной три-
триангуляции поверхности М, не содержащиеся ни в одном из много-
многоугольников Pt, I ^ i ^ к. Теперь, используя эти к многоуголь-
многоугольников и I треугольников, проведем процесс, описанный на первом
Рис. 1.31. Треугольники][в окрестности компоненты края В{.
шаге доказательства теоремы 5.1 (разд. 7). В результате полу-
получится единственный плоский многоугольник, имеющий к дыр
и такой, что внешние его ребра должны быть попарно отождествле-
отождествлены (см., например, рис. 1.29, а).
К этому многоугольнику с дырами можно применить остав-
оставшиеся шесть шагов доказательства теоремы 5.1, однако с одной
оговоркой. На каждом шаге необходимо делать определенные раз-
разрезы и склейки. При этом предполагается, что разрезы проводятся
так, чтобы они не задевали ни одной дыры. Ясно, что это можно
сделать всегда. Ясно также, что на всех шести шагах количество
дыр не меняется.
В результате получится один из трех типов многоугольников,
указанных на рис. 1.32. Для удобства на каждом чертеже положе-
положено к = 4. Диаграмма а соответствует сфере с дырами, б — связ-
связной сумме проективных плоскостей с дырами ив — связной сумме
торов с дырами. В каждом случае все вершины, лежащие на крае
многоугольника, должны быть отождествлены с одной.
56
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.10
Чтобы завершить доказательство, сделаем разрезы сх, с2, ...
. . ., ck, которые начинаются в начальной вершине, лежащей
на крае многоугольника, и заканчиваются на крае каждой из дыр.
Расширяя разрезы, получаем многоугольник в нормальной форме,
к чему мы и стремились. Мы должны быть уверены в том, что
любые два разреза пересекаются лишь по начальной вершине.
Если число к очень велико (например, к = 1010) и дыры располо-
расположены как попало, то сразу может быть не ясно, как проводить раз-
О в
Рис. 1.32. Возможные типы поверхностей с краем при к = 4.
резы. Чтобы обойти эту трудность, предлагается следующая индук-
индуктивная процедура. Сделайте разрез от начальной вершины до бли-
ближайшей дыры. Расширьте разрез — получится многоугольник,
у которого количество сторон увеличилось на три, а количество
дыр уменьшилось на единицу по сравнению с прежним. В постро-
построенном многоугольнике снова сделайте разрез от начальной вер-
вершины до ближайшей дыры и расширьте его — в новом много-
многоугольнике количество сторон увеличится на три, а количество дыр
уменьшится на единицу по сравнению с прежним. Повторите этот
процесс к раз, т. е. пока не будет сделано необходимое количество
разрезов. Ясно, что в результате получится многоугольвик одного
из трех возможных нормальных типов. Доказательство теоремы
закончено.
1.11 Гл- I. Двумерные многообразия 57
П. Эйлерова характеристика поверхности с краем
Эйлерова характеристика триангулированной, поверхности
с краем определяется точно тем же способом, что и поверхности
без края. Чтобы показать, что она не зависит от триангуляции,
можно привести точно такую же аргументацию, что и в разд. 8.
С помощью эйлеровой характеристики можно дать полное мно-
множество инвариантов для классификации компактных поверхностей
с краем.
Теорема 11.1. Две компактные поверхности с краем ' гомеоморф-
ны тогда и только тогда, когда у них одинаковое количество ком-
компонент края, обе одновременно ориентируемы или неориентируемы
и имеют одну и ту же эйлерову характеристику.
Доказательство. Пусть М — компактное связное 2-
многообразие с краем или без него. Предположим, что на М зада-
задана триангуляция и что, выкидывая внутренность одного треуголь-
треугольника, целиком содержащегося внутри М, мы образуем новую
поверхность с краем М'. Ясно, что край поверхности М' имеет
на одну компоненту больше, чем край поверхности М, и
% Ш') = % (М) - 1,
т. е. эйлерова характеристика уменьшается на единицу.
Отсюда вытекает, что если из триангулированной поверхности
М* (без края) выкинуть внутренности к попарно непересекаю-
непересекающихся треугольников, то получится поверхность с краем, причем
X (М) = % (М*) - к.
Согласно теореме 5.1, эта процедура приводит к поверхности М
с краем, состоящим из к компонент. Следовательно, эйлерова ха-
характеристика поверхности М однозначно определяется эйлеровой
характеристикой поверхности М* и обратно. Также ясно, что М
и М* одновременно ориентируемы или пет. Теперь теорема следует
из теорем 5.1 и 10.1.
Определение. Род компактной| поверхности с краем М опре
деляется как род компактной поверхности М*, получаемой заклей
ванием диском каждой компоненты края поверхности М.
Упражнения
11.1. Докажите, что эйлерова характеристика компактной поверхности
с краем, состоящим из к компонент, не превосходит 2 — к.
11.2. Выведите формулу для рода компактной поверхности с краем
в терминах ее эйлеровой характеристики и количества компонент края (ориен-
(ориентируемый п неориентируемый случай разберите отдельно).
11.3. Составьте список всех компактных поверхностей М, с краем или
без него, для которых —2 < у_ (м) ^ + 2.
58 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение 1,12
12. Модели компактных поверхностей с краем
в евклидовом 3-пространстве
Много конкретных моделей поверхностей с краем можно
построить следующим образом. Вырежем из бумаги диск и несколь-
несколько длинных прямоугольных лент и приклеим оба конца каждой
ленты к границе диска. Приклеивать концы лент к границе диска
можно в любом порядке и при желании некоторые из лент можно
закрутить на 180°. Понятно, что концы лент, приклеенные к гра-
границе диска, не должны перекрываться. Эта процедура показана
на рис. 1.34—1.36.
Мы утверждаем, что таким образом можно получить модели
всех компактных поверхностей с краем. Приведем относительно
простое доказательство. Если М — компактная поверхность с кра-
краем и М' строится из М приклеиванием двух концов прямоуголь-
пой ленты в любом месте края поверхности М, то
Это можно проверить, предполагая, что поверхность М подходя-
подходящим образом триангулирована, триангуляция ленты показана
Рис. 1.33. Триангуляция ленты.
на рис. 1.33. Отождествим ребра а и Ъ с двумя ребрами, принадле-
принадлежащими триангуляции края поверхности М, я пересчитаем вер-
вершины, ребра и треугольники до и после отождествления.
Покажем, как получить любую компактную ориентируемую
поверхность с краем, состоящим из к компонент, к ^ 1. Сначала
приклеим к — 1 лент к краю (без закручивания), как изображено
на рис. 1.34 для к = 4. В результате получим ориентируемую
поверхность с краем, состоящим из к компонент, эйлерова харак-
характеристика которой равна 2 — к. Заметим, что при данном числе
компонент края эта эйлерова характеристика максимальна.
Теперь присоединим несколько пар лент так, чтобы число ком-
компонент края осталось тем же, а эйлерова характеристика умень-
уменьшилась до желаемого значения (см. рис. 1.35). Здесь па две ленты
больше по сравнению с моделью на рис. 1.34, и, таким образом,
эйлерова характеристика уменьшилась на 2, а число компонент
края не изменилось. Можно повторно присоединять такие «скре-
1.12 Гл. I. Двумерные многообразия 59
щепные» пары лент и уменьшать эйлерову характеристику на лю-
любое четное число.
Для построения неориентируемои поверхности с краем, состоя-
состоящим из к компонент, начнем так же, как и раньше. Присоединим
Рис. 1.34. Приклеивание лент к диску.
к — 1 лент (см. рис. 1.34) и получим ориентируемую поверхность
с краем, состоящим из к компонент, и с эйлеровой характеристи-
характеристикой 2 — к. Если присоединить ленту, закручивая ее на 180°, как
показано на рис. 1.36, то эйлерова характеристика уменьшится
Рис. 1.35. Приклеивание лент к диску (ориентируемый случай,
более высокий род).
на единицу, при атом число компонент края не изменится, и мы
получим неориентируемую поверхность с краем. Присоединяя
много таких закрученных на 180° лент, можно уменьшить эйлерову
характеристику до любого наперед заданного числа.
Из всего сказанного должно быть ясно, как построить этим
методом модель любой компактной поверхности с краем. Отсюда
60
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
1.12
следует, что любую такую поверхность, ориентируемую или нет,
можно гомеоморфно вложить в евклидово 3-пространство (вспом-
Рис. 1.36. Приклеивание лент к диску (неориентируемый случай).
ним, что для компактных 2-многообразий без края соответствую-
соответствующее утверждение не верно).
Упражнения
12.1. Какие компактные поверхности с краем гомеоморфны подмноже-
подмножествам плоскости R2? Ответ дайте в терминах эйлеровой характеристики, коли-
количества компонент края и ориентируемости.
12.2. Какие компактные поверхности с краем можно построить следую-
следующим образом? Возьмем замкнутый диск D и несколько малых замкнутых по-
Рис. 1.37. Способы приклеивания трубки к диску D с двумя дырами.
парно непересекающихся :днсков, принадлежащих внутренности диска D.
Сделаем'дыры в D, выкидывая внутренности этих малых дисков. Выберем
некоторые пары дыр и границы этих дыр в каждой паре соединим трубками.
1.13 Гл. I. Двумерные многообразия 61
Эти трубки могут приклеиваться к диску двумя различными способами, ука-
указанными на рис. 1.37.
12.3. Какие получатся компактные поверхности с краем, если проделать
все так же, как в предыдущем примере, но начать не с диска, а с листа Мё-
Мёбиуса?
12.4. Пусть Mi и Мг — компактные поверхности с краем. Построим
новую поверхность с краем Мi ft М2, называемую связной суммой вдоль края.
Для этого на границе поверхности Мi выберем подмножества et, каждое из
которых гомеоморфно замкнутому интервалу [0,1], i = 1, 2, и склеим М%
и М^ по этим подмножествам, т. е. выберем гомеоморфизм из ех на е2 и обра-
образуем факторпроетранство пространства М\ U М- отождествляя точки от-
отрезка е1 с образами их на г,»
(a) Выразите эйлерову характеристику поверхности с краем Mi ft Мг
через эйлеровы характеристики поверхностей^ краем Мх и М2.
(b) Из скольких компонент состоит край поверхности Mi ft Af2?
(c) Докажите, что любую компактную поверхность с краем можно полу-
получить как итерированную связную сумму с краем, пользуясь лишь
экземплярами следующих четырех поверхностей: (а) замкнутый диск,
(Ь) кольцо (т. е. диск с одной дырой), (с) лист Мёбиуса, (d) тор
с одной дырой.
13. Замечания о некомпактных поверхностях
Существует очень много различных некомпактных поверхно-
поверхностей, и многие из теорем о них довольно сложны, поэтому мы
дадим лишь краткое введение в эту тему. Прежде всего множество
некомпактных поверхностей разобьем на два больших класса:
один класс образуют поверхности, имеющие в своей топологии
счетную базу, другой класс — поверхности, не имеющие счетной
базы. Стандартный пример связной поверхности, не имеющей
счетной базы открытых множеств, принадлежит Прюферу (см.
Радо [7]; этот пример приведен также в книгах Неванлинны Р.,
Униформизация, ИЛ, М., 1955, стр. 58, и Спрингера Дж., Введе-
Введение в теорию римаповых поверхностей, ИЛ, М., 1960, етр. 68).
Обычно такие поверхности считаются патологическими и их
не1 рассматривают; в большинстве работ предполагается, что есть
счетная база открытых множеств. В теореме Радо [7] утверждается,
что поверхность можно триангулировать тогда и только тогда,
когда ее топология имеет счетную базу (доказательство приведено
в книге Альфорса и Сарио [1]). Под триангуляцией некомпактной
поверхности подразумевается то же, что и под триангуляцией
компактной поверхности, за исключением того, что число треу-
треугольников триангуляции бесконечно, и требуется, чтобы каждая
точка имела окрестность, пересекающуюся лишь с конечным чис-
числом треугольников.
Существование триангуляции для поверхности, имеющей счет-
счетную базу, очень важно, и многие известные результаты доказы-
62 У. Масси, Алгебраическая топология. Введение 1.13
ваются лишь при использовании этого факта. В оставшейся части
главы мы будем рассматривать только такие поверхности *).
Приведем примеры некомпактных поверхностей.
(a) Любое открытое подмножество компактной поверхности. Уже это
приводит к слегка озадачивающим примерам. Рассмотрим, напри-
например, дополнение к любому конечному подмножеству или, более общо,
дополнение к любому компактному вполне несвязному подмноже-
подмножеству (например, канторову множеству) поверхности.
(b) Поверхность лестницы бесконечной длины с бесконечным числом
перекладин.
(c) Рассмотрим следующие три семейства параллельных прямых в ев-
евклидовом 3-пространстве: прямые, параллельные оси х и проходя-
проходящие через точки в плоскости уг с целочисленными координатами;
прямые, параллельные оси у и проходящие через точки в плоскости
xz с целочисленными координатами; прямые, параллельные оси z
и проходящие через точки в плоскости ху с целочисленными коорди-
координатами. Представим себе, что все эти прямые немного «утолщены»
так, что они стали похожи на стержни; поверхность получившегося
тела некомпактна.
(d) Конструкцию предыдущих двух примеров можно несколько видо-
видоизменить, беря другое связное множество прямых и кривых в R3
и каждую из них немного утолщая. Поверхность получившегося тела
часто оказывается 2-многообразием.
(e) Операция взятия связной суммы применима также и к некомпактным
поверхностям; в этом случае возможностей намного больше, так как
можно строить бесконечные связные суммы. Например, можно на-
начать с евклидовой плоскости R2 и сделать в ней маленькие круглые
дыры, центр каждой из которых находится в точке с целочислен-
целочисленными координатами. Затем каждую из дыр заполнить листом Мёбиу-
Мёбиуса, приклеивая границу листа Мёбиуса к границе дыры. Ясно, как
можно видоизменить эту процедуру: евклидову плоскость заменить
другой некомпактной поверхностью, а вместо листа Мёбиуса взять
любую поверхность со связным краем.
(f) Пусть М — компактная поверхность, отличная от сферы или проек-
проективной плоскости, а (м, р) — накрытие поверхности М (см. гл. V),
соответствующее некоторой подгруппе группы п(М) бесконечного
индекса. Тогда М — некомпактная поверхность. Если же поверх-
поверхность М некомпактна, то любое ее накрытие некомпактно.
Комбинируя указанные методы, можно построить еще и другие примеры.
Ясно, что возможности огромны.
Так как для компактных поверхностей известна классифика-
классификационная теорема, естественно поставить вопрос о существовании
удовлетворительной классификационной теоремы для некомпакт-
некомпактных многообразий. Ответ зависит от того, что понимать под сло-
словом «удовлетворительная»; классификационная теорема есть, но
она не так легко применяется к проблемам, возникающим при
изучении некомпактных поверхностей. Если вдаваться в подроб-
*) Можно доказать, что поверхность метризуема тогда и только тогда,
когда она имеет счетную базу открытых множеств. Аналогично параком-
паракомпактность эквивалентна существованию счетной базы.
1.13 Гл. I. Двумерные многообразия 63
ыости, то это уведет слишком далеко, и потому мы приведем лишь
идею этой теоремы.
Пусть М — некомпактная поверхность. Как обычно, под ком-
пактификацией поверхности М мы понимаем компактное хаус-
дорфово пространство X, содержащее М в качестве открытого
всюду плотного подпространства. Две компактификации X и Y
считаются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм
h из X на Y, что h \ М — тождественное отображение. Приведем
некоторые примеры.
A) Так как поверхность М локально компактна, всегда можно
образовать одноточечную компактификацию Александрова. Это
единственная «минимальная» компактификация, поскольку добав-
добавляется лишь одна точка. Так как М — вполне регулярное про-
пространство, можно также осуществить компактификацию Стоу-
Стоуна — Чеха. В некотором смысле она будет максимальной ком-
пактификацией.
B) Предположим, что М — открытое подмножество компакт-
компактной поверхности М''. Тогда его замыкание М в М' является ком-
пактификацией для М.
C) Пусть М' — компактная поверхность с краем, а М —
ее внутренность. Тогда М' является компактификацией для М.
Чтобы сформулировать нашу следующую теорему, введем еще
одно определение. Пусть X — топологическое пространство, а А —
некоторое его подпространство. Подпространство А не разбивает
X, если для любого открытого связного подмножества U простран-
пространства X дополнение U — А связно. Например, любое конечное
подмножество поверхности М не разбивает М\ любая кривая в R3
не разбивает R3.
Теорема 13.1. Пусть М — некомпактная поверхность. Суще-
Существует компактификация М* поверхности М, обладающая такими
свойствами:
A) пространство М* локально связно;
B) дополнение Р (М) = М* — М вполне несвязно;
C) р (М) не разбивает М*.
Кроме того, любые две компактификации поверхности М, обла-
обладающие этими тремя свойствами, эквивалентны.
Доказательство существования и единственности компактифи-
компактификации М* довольно длинное; отсылаем читателя к книге Альфорса
и Сарио [1, гл. I, разд. 6], где приведен также список более ран-
ранних работ.
64 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение 1.18
Пример
13.1. Пусть X — компактное связное 2-многообразие, а А — его замк-
замкнутое вполне несвязное подмножество. Например, А может быть коночным
или гомеоморфным замкнутому подмножеству канторова множества. Можно
строго доказать, что X — компактификация для М = X — А, обладающая
всеми тремя свойствами, сформулированными в теореме 13.1. Следовательно,
можно положить М* — X, C (М) = А. Вообще говоря, М* поверхностью не
будет.
Пространство р (М) называется идеальной границей или мно-
множеством концов пространства М; его точки называются гранич-
граничными компонентами или концами. Справедлива теорема, утверж-
утверждающая, что р (М) — компактное метрическое пространство.
На приведенных выше примерах мы вкратце покажем, как
строится пространство Р (М). Для каждой точки х ? А = р (М)
можно найти как угодно малую открытую окрестность U, пред-
представляющую собой открытый двумерный диск, граница замыкания
которой есть окружность, не пересекающая А. Для всех таких
окрестностей U точки х в X рассмотрим подмножества U f) M.
Семейство этих подмножеств в М можно описать внутренним обра-
образом (т. е. без привлечения] пространства М* = X) на основе
нескольких простых свойств. Следовательно, точке идеальной
границы р (М) поставлено в соответствие семейство открытых
связных подмножеств в М, обладающее требуемыми свойствами.
В нашем примере множество U f) M гомеоморфно диску с выки-
выкинутыми точками, а его граница есть окружность. В общем случае
эти два свойства не всегда выполняются: множество U f) M
может быть и не быть гомеоморфным подмножеству диска, может
быть и не быть ориентируемым. Вообще назовем точку х ? р (М)
планарной, если для всех ее достаточно малых открытых окрест-
окрестностей U пересечение U (] М гомеоморфно подмножеству плоско-
плоскости; аналогично точку х назовем ориентируемой, если для всех
достаточно малых U пересечение U f) M ориентируемо. Обозначим
через Р' (М) подмножество ориентируемых точек в Р (М), а через
Р" (М) — подмножество пленарных точек в р (М). Можно пока-
показать, что как Р' (М), так и р" (М) — открытые подмножества
компактного вполне несвязного метрического пространства р (М).
Очевидно, что Р' (М) => Р" (М).
Так как пространство р (М) и подпространства Р' (М) и р" (М)
определены внутренним образом, то они являются топологиче-
топологическими инвариантами многообразия М. Удивительно, что в сово-
совокупности с несколькими простыми свойствами они характеризуют
М. Прежде всего опишем эти свойства.
Определения, (а) Некомпактная поверхность М называется
поверхностью конечного рода, если существует такая компактная
поверхность А с: М с краем, что дополнение М — А гомеоморфпо
1.13 Гл. I. Двумерные многообразия 65
подмножеству плоскости R2. Ее род определяется как род поверх-
поверхности А. В противном случае М — поверхность бесконечного рода.
(Определение рода поверхности с краем см. в разд. 8.)
(b) Некомпактная неориептируемая поверхность М называется
конечно неориентируемой, если существует такое компактное
подмножество Acz M, что дополнение М — А ориентируемо,
в противном случае М называется бесконечно неориентируемой.
Ясно, что неориентируемая поверхность конечного рода
конечно неориентируема, но не обратно.
(c) Конечно неориентируемая поверхность называется поверх-
поверхностью четного или нечетного типа неориентируемости в зависи-
зависимости от того, четного или нечетного рода каждое достаточно боль-
большое компактное подмножество А, являющееся поверхностью
с краем. (Это определение имеет смысл, так как связная сумма
проективной плоскости и тора гомеоморфна связной сумме трех
проективных плоскостей; более общо, если «прибавить» ориенти-
ориентируемую поверхность к неориентируемой, то по mod 2 род не
изменится.)
Очевидно, что только что описанные свойства поверхности
топологически инвариантны.
Теорема 13.2. Пусть Мх и М2 — некомпактные поверхности
одинакового рода и одинакового типа ориентируемости (в соответ-
соответствии с только что введенными определениями (a), (b) u (с)). В этом
случае Мг и Мг гомеоморфны тогда и только тогда, когда сущест-
существует гомеоморфизм из р (Mj) на р (М2), переводящий р' (Мх)
и р" (Mi) в Р' (М2) и Р" {Мч) соответственно.
Эта теорема принадлежит Керекьярто; доказательство ее
можно найти в статье Ричардса [8], который дополнил эту теорему
следующим образом:
Теорема 13.3. Пусть X — вполне несвязное компактное метриче-
метрическое пространство, a U и V — открытые его подмножества, U zdV.
Тогда существует такая некомпактная поверхность М, что про-
пространство Р (М) гомеоморфно X при гомеоморфизме, отобража-
отображающем Р' (М) на U и Р" Ш) на V.
Нетрудно показать, что М может быть любого наперед задан-
заданного рода и любого типа ориентируемости, совместимого с требова-
требованием о том, чтобы р' (М) и Р"(М) были гомеоморфны U и V соот-
соответственно.
В заключение рассмотрим различные свойства некомпактных
2-многообразий.
В предыдущем разделе мы доказали, что каждая компактная
поверхность с краем гомеоморфна некоторому подмножеству
5 У. Масси, Дж. Столлингс
66 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
евклидова 3-пространства. Такой же результат справедлив и для
некомпактных поверхностей.
Теорема 13.4. Каждое некомпактное 2-многообразие гомео-
морфно некоторому подмножеству в R3.
Заметим, что данное некомпактное 2-многообразие может ока-
оказаться гомеоморфным как замкнутому, так и незамкнутому под-
подмножеству в R3.Например, нлоскость ху в R3 и открытый единичный
диск в плоскости ху гомеоморфны. Однако можно доказать, что
неориентируемая поверхность иегомеоморфна никакому замкну-
замкнутому подмножеству в R3.
Эта теорема является частным случаем теоремы Хирша 111,
теорема 4.6]. Работа Хирша опирается на результаты Уайтхеда
[9]. В частности, Уайтхед доказал, что каждая триангулирован-
триангулированная некомпактная поверхность М имеет остов, т. е. замкнутое
подмножество La M, представимое в виде объединения некото-
некоторой системы ребер этой триангуляции, и существуют как угодно
малые окрестности U множества L, гомеоморфпые М. Кроме того,
требуется, чтобы для каждой такой окрестности U нашлась такая
меньшая окрестность V множества L, чтобы точки из окрестности V
при этом гомеоморфизме оставались неподвижными. В некоторых
случаях существование остова почти очевидно. Например, для
открытого листа Мёбиуса остовом служит центральная окруж-
окружность. В других случаях существование остова не кажется столь
правдоподобным.
ПРИМЕЧАНИЯ
Определение связной суммы двух многообразий
В разд. 4 определена связная сумма 2-многообразий. При определении
связной суммы двух ориентируемых ^-многообразий, п > 2, необходимо со-
соблюдать осторожность. Мы должны знать, сохраняет или меняет ориентацию
гомеоморфизм h из нашего определения. Существенным поводом для такого
различия является то, что любая ориентируемая поверхность допускает го-
гомеоморфизмы на себя, меняющие ориентацию, тогда как в более высоких раз-
размерностях существуют ориентируемые многообразия, не допускающие такого
гомеоморфизма. Пример 3-многообразия, обладающего этим свойством, дан
Зейфертом и Трельфаллем [3, стр. 320]. Примером 4-многообразия с этим
свойством служит комплексная проективная плоскость.
Триангуляция многообразий
В раннюю пору развития топологии, по-видимому, было принято на
веру, что все поверхности и все многообразия более высоких размерностей
можно триангулировать. Первое строгое доказательство триангулируемости
поверхностей опубликовано Радо [7] в статье о римановых поверхностях.
Радо указал необходимость требования, чтобы топология поверхности имела
счетную базу, и привел пример (принадлежащий Прюферу) поверхности, не
Гл. I¦ Двумерные многообразия 67
имеющей такой счетной базы. Доказательство Радо, данное в книге Альфорса
и Сарио [1, гл. I], существенно использует сильную форму теоремы Жордана
о кривой. Триангулируемость 3-многообразий доказана Мойзом (Affine
structures in 3-manifolds, V: the triangulation theorem and Hauptvermutung,
Ann. Math., 56 A952), 96-114).
До сих uop неизвестно, можно ли триангулировать все многообразия
более высоких размерностей *).
Модели неориентируемых поверхностей в евклидовом 3-иространстве
Ни одно замкнутое подмножество евклидова «-пространства не гомео-
морфно неориентируемому (п — 1)-многообразию. Этот результат, впервые
доказанный голландским математиком Брауэром в 1912 г., в настоящее время
можно легко вывести из нескольких общих теорем теории гомологии. Этот
факт серьезно препятствует развитию нашей геометрической интуиции отно-
относительно компактных неориентируемых поверхностей, поскольку их нельзя
гомеоморфно вложить в евклидово 3-иространство. Однако в евклидовом
3-пространство можно построить модели таких поверхностей, снабдив их
«особенностям:», или «самопересечениями». Можно даже дать математическую
теорию таких моделей, рассматривая понятие погружения многообразий.
Непрерывное отображение / компактного re-многообразия Мп в m-мерное ев-
евклидово пространство Rm назовем топологическим погружением, если каждая
точка из Мп имеет окрестность, гомеоморфно отображаемую при отображении
/ на ее образ. (Определение дифференцируемого погружения аналогично;
требуется, чтобы / было дифференцируемым отображением и его якобиан всю-
всюду имел максимальный ранг.) Обычная модель бутылки Клейна в R3 является
погружением бутылки Клейна в 3-нространство. В 1901 г. Вернер Бой (Uber
die Abbildung der projektiven Ebene auf eine im Endlichen geschlossene singu-
laritatenlreie Flache, Nach. Konigl. Gesell. Wiss. Gottingen (Math. Phys. Kl.),
1901, pp. 20—33; см. также Math. Ann., 57 A903), 173—184) построил погру-
погружение проективной плоскости в R3. Одно из этих погружений приведено
Гильбертом и Кон-Фоссеном в [2, стр. 322—326]. Так как любая компактная
неориентируемая поверхность гомеоморфна связной сумме ориентируемой
поверхности и проективной плоскости или бутылки Клейна, то теперь легко
построить погружение остальных компактных неориентируемых поверхно-
поверхностей в R3.
Обычное погружение бутылки Клейна в R3 намного проще любого из по-
погружений проективной плоскости, полученных Боем. Множество особых то-
точек этого иогружения бутылки Клейна состоит из окружности двойных точек,
тогда как для погружений Боя проективной плоскости это множество очень
сложно. Возникает вопрос: существует ли такое погружение проективной
плоскости в R3, что множество особых точек состоит из несвязных окружно-
окружностей двойных точек? Ответ на этот вопрос отрицателен по крайней мере в слу-
г) В настоящее время вопрос о триангуляции многообразий и связашшй
с ним вопрос о комбинаторной эквивалентности различных триангуляции
одного и того же многообразия решены для размерностей больших 4 и 5 соот-
соответственно. Оказалось, что существуют многообразия, не имеющие триангу-
триангуляции (правда, с естественной оговоркой, что эти триангуляции локально
должны быть комбинаторно эквивалентны триангуляциям евклидова про-
пространства), и существуют многообразия (например, произведение окружно-
окружностей) с комбинаторно неэквивалентными триангуляциями. Заключительный
шаг в получении этих результатов, в котором участвовало большое число
топологов, был сделан Р. Керби и Л. Зибенманом (Bull. Amer. Math. Soc,
75 A969), 742—749). Недавно построены также триангуляции многообразий
(размерности больше 4), не удовлетворяющие сформулированному выше ло-
локальному требованию.— Прим. ред.
5*
68 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
чае дифференцируемых погружений; доказательство требует, по-видимому,
довольно сложной техники алгебраической и дифференциальной топологии.
Дальнейшую информацию о погружениях компактных поверхностей
в R3 можно найти в интересной статье Филлипса (Turning a surface inside out,
Sci. Amer., 214 A966), 112-120).
Библиографические примечания
Первое доказательство классификационной теоремы для компактных
поверхностей принадлежит Брахане {Ann. Math., 23 A922), 144—168). Одна-
Однако, Зейферт и Трельфалль [3, стр. 362] приписывают его Дену и Хегору, и
статьи Браханы нет даже в библиографии, приведенной в их книге. Несуще-
Несуществование алгоритма для классификации компактных триангулируемых 4-
многообразий доказано советским математиком А. А. Марковым (Proceedings
of the International Congress of Mathematicians, 1958, 300—306). Применение
эйлеровой характеристики при доказательстве теоремы о пяти красках можно
найти в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, Что такое математика?, изд-во «Про-
«Просвещение», М., 1967. Мы также рекомендуем превосходные чертежи в книгах
Кэрнса [5, стр. 28] и Гильберта и Кон-Фоссена [2, стр. 306], иллюстрирующие,
как разрезать связную сумму двух или трех торов, чтобы получить многоуголь-
многоугольник, противоположные стороны которого должны попарно отождествляться.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Книги
1. Альфорс, Сарио (Ahlfors L. V., Sario L.), Riemann surfaces, Princeton, N.J.:
Princeton University Press, 1960, Chapter I.
2. Гильберт Д., Кон-Фоссен С, Наглядная геометрия, Гостехиздат, М.,
1951, гл. VI.
3. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехиздат, М., гл. VI.
4. Керекьярто (Kerekjarto В.), Vorlesungen tiber Topologie, Berlin: J. Sprin-
Springer, 1923. Chapters IV and V.
5. Кэрнс (Cairns S. S.), Topology, New York: Ronald, 1961, Chapter II.
6. Рейдемейстер (Reidemeister K.), Einfiihrung in die kombinatorische Topo-
Topologie, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932, Chapter V.
Статьи
7. Радо (Rado Т.), Uber den Begriff der Riemannschen Flache, Ada Litt. Sci.
Szeged., 2 A925), 101—121.
8. Ричарде (Richards I.), On the classification of noncompact surfaces, Trans.
Amer. Math. Soc, 106 A963), 259—269.
9. Уайтхед (Whitehead J. H. C), The immersion of an open 3-manifold in
Euclidean 3-space, Proc. London Math. Soc, 11 A961), 81—90.
10. Фрейденталь (Freudenthal H.), Uber die Enden topologischer Raume und
Gruppen, Math. Zeit., 33 A931), 692—713.
11. Хирш (Hirsch M.), On imbedding differentiable manifolds in Euclidean
space, Ann. Math., 73 A961), 566—571.
Г лав а II
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
1. Введение
Для произвольного топологического пространства X и любой
точки х0 ? X мы определим группу, называемую фундаментальной
группой пространства X и обозначаемую через п (X, х0). (На самом
деле выбор точки х0 не имеет обычно первостепенного значения
и поэтому часто ее не указывают в обозначении.) Фундаментальная
группа определяется' довольно простой интуитивной процедурой,
использующей замкнутые пути в X. Из определения будет ясно,
что это топологический инвариант пространства X, т. е. если два
пространства гомеоморфны, то их фундаментальные группы изо-
изоморфны. Это позволяет доказывать негомеоморфность двух про-
пространств: достаточно показать, что их фундаментальные группы
не изоморфны. Например, таким образом можно различать ком-
компактные поверхности.
Фундаментальная группа не только дает информацию о про-
пространствах, но оказывается часто полезной при изучении непре-
непрерывных отображений. Как мы увидим позже, любое непрерывное
отображение пространства X в пространство Y индуцирует гомо-
гомоморфизм фундаментальной группы X в фундаментальную груп-
группу Y. Определенные топологические свойства непрерывного
отображения найдут свое отражение в свойствах этого индуциро-
индуцированного гомоморфизма. Следовательно, можно доказывать факты,
относящиеся к непрерывным отображениям, изучая индуцирован-
индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп.
Смысл сказанного можно подытожить следующим образом.
При помощи фундаментальной группы топологические пробле-
проблемы, возникающие при изучении пространств и непрерывных
отображений, иногда можно свести к чисто алгебраическим пробле-
проблемам, касающимся групп и гомоморфизмов. Основная стратегия
во всей алгебраической топологии состоит в том, чтобы найти
методы сведения топологических проблем к вопросам чистой
алгебры, после этого остается надеяться, что их смогут решить
алгебраисты.
В настоящей главе дается лишь основное определение и изу-
изучаются свойства фундаментальной группы и индуцированного
70 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение II.2
гомоморфизма, а также выясняется строение фундаментальных
групп для нескольких очень простых пространств. В следующих
главах мы разовьем более общие методы нахождения фундамен-
фундаментальных групп, рассматривая некоторые более интересные про-
пространства.
2. Основные обозначения и терминология
Как обычно, если а и Ъ — действительные числа, я < Ъ,
то [а, Ь] обозначает замкнутый интервал действительной прямой
между точками я и Ъ. Для краткости положим / = ГО, 1]. Заметим,
что для любых двух замкнутых интервалов [я, Ъ] и [с, d] можно
указать единственные линейные гомеоморфизмы
ht, h0: [я, b] -> [с, d],
для которых
h0 (а) = с, h0 (b) = d, '
hx (a) = d, hx (b) — с
Эти два гомеоморфизма различают, называя h0 гомеоморфизмом,
сохраняющим ориентацию, a hx — меняющим ориентацию.
Путем в топологическом пространстве X называется непре-
непрерывное отображение некоторого замкнутого интервала в X.
Образы концов интервала называются концевыми точками пути;
говорят, что путь соединяет свои концевые точки. Одна из кон-
концевых точек (ясно, какая) называется начальной, другая — конеч-
конечной.
Пространство X называется линейно связным, если любые две
точки в X можно соединить путем. Линейно связное пространство
связно, но обратное не верно. Линейно связные компоненты про-
пространства X — это его максимальные линейно связные подмно-
подмножества (по аналогии с его обычными компонентами). Заметим,
что линейно связные компоненты пространства X не обязательно
должны быть замкнутыми множествами. Пространство называется
локально линейно связным, если для каждой его точки найдется
база, состоящая из линейно связных окрестностей (по аналогии
с обычной локальной связностью).
Упражнение
2.1. Докажите, что связное и локально линейно связное пространство
линейно связно.
Определение. Пусть /0, f±: [а, Ь] -»- X — такие два пути в X,
что /0 (я) — /х (а), /0 (b) = /j (b) (т. е. оба пути имеют одну и ту же
начальную и конечную точки). Говорят, что эти два пути эти-
II.2 Гл. IF. Фундаментальная группа 71
валентны, и пишут /0~Л, если существует такое непрерывное
отображение
/: fa, b] X/->X,
что
/(a, *) = /0(a) = /i(oM
Заметим, что в этом определении можно было бы заменить
/ любым другим замкнутым интервалом. В качестве упражнения
предлагаем проверить, что введенное отношение рефлексивно,
симметрично и трапзитивно.
Другими словами, два пути эквивалентны, если один из них
непрерывно деформируется в другой в пространстве X, причем
во время деформации общие концевые точки остаются неподвиж-
неподвижными.
Второе наше основное определение — произведение двух путей.
Произведение двух путей определяется только тогда, когда конеч-
конечная точка первого пути совпадает с начальной точкой второго.
В этом случае путь-произведение составлен из двух путей: сначала
проходится первый, а затем второй путь. Точнее, пусть
/: \а, Ы -+Х и g: \Ъ, с) -+Х
— два пути и / (Ь) --- g (b) (здесь я < Ъ < с). Тогда произведение
f-g определяется формулой
f{t), t?[a, b],
g(t), "¦"¦ -' (^Л'
•*)(*) = {
Ясно, что оно отображает [я, с] в X. В нашем определении фигу-
фигурирует довольно неуклюжее требование о том, чтобы области
определения путей / и g были интервалами [а, Ь] и [Ь, с] соответ-
соответственно. Это требование можно опустить, изменяя области опре-
определения путей / и g с помощью сохраняющего ориентацию линей-
линейного гомеоморфизма. В самом деле, в дальнейшем нас будут
интересовать не сами пути, а их классы эквивалентности. Говоря
о классе эквивалентности, мы имеем в виду только что определен-
определенную эквивалентность путей, а также следующее отношение экви-
эквивалентности: если /: [я, 6] -*¦ X и g: [с, d] -*¦ X — такие пути,
что g = fh, где h: \c, d] -»-[a, b] — сохраняющий ориентацию
линейный гомеоморфизм, то / и g считаются эквивалентными.
Вместо того чтобы рассматривать пути, областью определения
которых служат любые замкнутые интервалы, и вводить сохра-
72 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение II.3
няющие ориентацию линейные гомеоморфизмы между двумя
такими интервалами, технически проще потребовать, чтобы все
пути были функциями, определенными на одном фиксированном
интервале, а именно па интервале / = [0, 1]. В результате простая
формула B.2.1), дающая произведение двух путей, заменяется
более сложной. Кроме того, становится совсем не очевидным, что
произведение классов путей ассоциативно. Во всяком случае,
читатель должен помнить, что для исследования этих вопросов
можно применять различные альтернативные подходы.
3. Определение фундаментальной группы пространства
Начиная отсюда будем понимать под путем в X непрерывное
отображение I -*¦ X. Если / и g — такие пути в X, что конечная
точка пути / совпадает с начальной точкой пути g, то произведе-
произведение f -g определяется формулой
(/•*)(*)=
Два пути /о и jx будут называться эквивалентными (fo~ Д),
если выполняется условие эквивалентности, введенное в разд. 2.
Лемма 3.1. Отношение эквивалентности и произведение совме-
совместимы, т. е. если /0 ~ Д и g0 ~ gu то /0 ^0 ~ Д -gx (при этом,
разумеется, предполагается, что конечная точка пути /г- совпа-
совпадает с начальной точкой пути gt, i = 0, 1).
Доказательство предоставляем-читателю. При доказательстве
подобных лемм может пригодиться следующий факт. Пусть
А и В — такие замкнутые подмножества топологического про-
пространства X, что X = A U В. Если f — такая функция на X,
что сужения f \ А и f \ В непрерывны, то функция f непрерывна.
Доказательство легкое и оставляется читателю. Мы будем исполь-
использовать этот факт без дополнительных объяснений.
Из леммы 3.1 вытекает, что произведение путей определяет
произведение классов эквивалентности путей (при условии, что
конечная точка первого пути совпадает с начальной точкой
второго). Это и есть то произведение классов эквивалентности,
которое нам было нужно. Заметим, что произведение путей в общем
случае неассоциативпо, т.е. (/-g) -h ф f-(g-h) (предполагается,
что произведения определены). Однако для классов путей спра-
справедлива
Лемма 3.2. Произведение классов эквивалентности путей ассо-
ассоциативно.
11.3
Гл. П. Фундаментальная группа
73
Доказательство. Достаточно доказать следующее.
Пусть f,gnh — такие пути, что конечная точка пути / совпадает
с начальной точкой пути g, а конечная точка пути g — с началь-
начальной точкой пути h. Тогда
(f-g)-h~f-{g-h).
Для доказательства рассмотрим отображение F: I X I
определенное формулой
X,
f'(-Hh-).
F(t, s)= 4 ^D*—1 —e),
I , / . 4A — t) \
(M1---5=7-)'
00^-
s+2
<f<l.
Это отображение непрерывно, F (t, 0) = \{f-g)-h] (t) и F (t, 1) =
= If'(g'h)] (t). Из рис. 2.1 видно, как определено отображение F.
*-?
О
Рис. 2.1. Доказательство ассоциативности.
Для любой точки х ? X обозначим через гх класс эквивалент-
эквивалентности постоянного отображения отрезка / в точку х ? X. Этот
класс путей обладает следующим фундаментальным свойством.
Лемма 3.3. Пусть а — класс эквивалентности путей, для
которых х — начальная точка, а у — конечная. Тогда ех-а —
— аи CL-Zy = a.
Доказательство. Пусть е: I -*¦ X — такое постоян-
постоянное отображение, что е (I) = х, а /: / ->- X — некоторый пред-
представитель класса а. Для доказательства первого равенства доста-
74
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
П.З
точно показать, что e-f ~ /. Определим отображение F: I X /
формулой
'• »)=
Тогда, как и требуется, F (i, 0) = / (i) и F (i, 1) = (е-/) (t).
Определение отображения F показано на рис. 2.2. Доказательство
равенства а-ен =--• а аналогично и оставляется читателю.
Рис. 2.2. Доказательство существования единиц.
Для любого пути f: I ~> X обозначим через / путь, определен-
определенный формулой
Tit) = / A -1), tei.
Путь / получается при прохождении пути / в противополож-
противоположном направлении.
Лемма 3.4. Пусть а и а — классы эквивалентности путей
/ и / соответственно. Тогда
а-а —.
а-а =
где х и у — начальная и конечная точки пути / соответственно.
Доказательство. Для доказательства первого соотно-
соотношения достаточно показать, что /-/~ е, где е — постоянный путь
11.3
Гл. II. Фундаментальная группа
75
в точке х. Определим отображение F: I X / ->- X формулой
1
Lc
2 '
/B0,
F(t, s)= { /(*), 4
|/B-20, 1—г
Тогда F (t, 0) = x и (/•/) (*) = F (f, 1). На рис. 2.3 показано,
как выбрано отображение F. Деформацию пути /-/в постоянный
Рис. 2.3. Доказательство существования обратного класса.
путь е можно также объяснить с помощью простой механической
модели.
Представим себе путь / в виде эластичной нити в простран-
пространстве X, соединяющей точки х и у, и выберем па ней направление
от х к у; тогда / — та ?ке самая нить, но проходимая в противо-
противоположном направлении (от у к х), а путь /•/ — две эти нити, свя-
связанные в точке у. Получившуюся двойную нить можно стянуть
в точку х, поскольку теперь точка у не концевая, так что мы не
обязаны держать нить закрепленной в точке у.
Доказательство соотношения а-а — гу аналогично и предо-
предоставляется читателю.
Имея в виду свойство класса а, описанное в лемме 3.2, мы будем
обозначать начиная с этого момента класс а через а'1. Легко
видеть, что класс а определяется однозначно. Следовательно,
если /0 ~ /17 то /0 ~ Д.
76 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение IT.3
Все только что доказанные леммы можно суммировать сле-
следующим образом: множество всех классов эквивалентности путей
пространства X удовлетворяет аксиомам группы, если только
определено произведение двух классов.
Определение. Путь называется замкнутым, или петлей, если
его начальная и коночная точки совпадают. В таком случае гово-
говорят о петле в этой точке.
Пусть х — любая точка в X; мы видим, что множество клас-
классов всех петель в точке х образует группу. Эта группа называется
фундаментальной группой или группой Пуанкаре пространства X
в точке х и обозначается через я (X, х).
Исследуем, как группа я (X, х) зависит от точки х. Пусть
х и у — две точки пространства X, а у — класс путей с начальной
точкой х и конечной у (следовательно, точки х и у принадлежат
одной и той же компоненте линейной связности пространства X).
Используя класс у, определим отображение и: я (X, х) ->- я (X, у)
соответствием а -^у^ау. Ясно, что это гомоморфизм. Беря вместо
у класс у1, можно определить гомоморфизм v: я (X, у) -*¦
—>-я (X, х). Легко проверить, что композиции гомоморфизмов ни
и uv тождественно отображают на себя группы я (X, х) и л (X, у)
соответственно. Следовательно, и и v — взаимно обратные изо-
изоморфизмы. Таким образом, доказана
Теорема 3.5. Если пространство X линейно связно, то для
любых двух точек х, у ? X группы я (X, х) и я (X, у) изоморфны.
Значение этой теоремы очевидно; например, вопрос о том,
какими теоретико-групповыми свойствами обладает группа
л (X, х) (является ли она абелевой, конечной, нильпотентной,
свободной и т. д.), не зависит qt выбора точки х и, следовательно,
зависит лишь от X, при условии что пространство X линейно
связно.
С другой стороны, мы должны помнить, что между я (X, х)
и я (X, у) нет канонического, или естественного, изоморфизма:
каждому выбору класса путей, соединяющих точку х с у, будет
соответствовать свой изоморфизм группы я (X, х) на п (X, у),
и в общем случае различные классы таких путей будут давать
различные изоморфизмы.
Упражнения
3.1. Каким условиям должны удовлетворять два класса у и у' путей,
соединяющих точку icy, чтобы они давали один и тот же изоморфизм группы
я (X, х) на группу я (X, у)?
3.2. Пусть X — липейно связное пространство. При каких условиях
справедливо следующее утверждение: для любых двух точек х, у ? X все
классы путей, соединяющих х с у, дают один и тот же изоморфизм группы
я (X, х) на я (X, у)?
II.4 Гл. II. Фундаментальная группа 77
3.3. Пусть /, g: / ->- X — два пути с начальной точкой г0 и конечной xv
Докажите, что / ~ g тогда и только тогда, когда произведение f-g эквива-
эквивалентно постоянному пути в х0 (путь g определяется так же, как в лемме 3.4).
Фундаментальные группы различных пространств мы будем
вычислять дальше в этой главе и в гл. IV.
4. Действие непрерывного отображения
на фундаментальную группу
Пусть ф: X ~>Y — непрерывное отображение, а /0, Д: / ->-
->- X — пути в X. Легко видеть, что если /0 и f1 эквивалентны,
то эквивалентны также пути ф/0 и ф/х, представляемые компози-
композицией отображений. Следовательно, если через а обозначить класс
путей, содержащий /0 и /х, то через ф, (а) имеет смысл обозначить
класс путей, содержащий пути ф/0 и фД. Класс ф„ (а) есть образ
класса а во множестве классов путей пространства Y, и легко
проверить, что отображение ф„, определенное соответствием
Ф -*" Ф* (a)i обладает следующими свойствами:
(a) если аир — такие классы путей в X, что произведение
a-fj определено, то ф„. (а«|3) = (ф„а)-(ф^Р);
(b) ф,. (ех) = 8Ф(Ж) для любой точки х ? X;
(c) ф„ (а-1) = (ф^а)-1.
На основании этих свойств будем называть отображение ф*
«гомоморфизмом» или «гомоморфизмом, индуцированным отобра-
отображением ф» х).
Если if: Y ->¦ Z — также непрерывное отображение, то легко
проверяется свойство
(d)
И, наконец, если ф: X -*¦ X — тождественное отображение, то
(е) ф, (а) = а для любого класса a ? X, т. е. ф„. — тождест-
тождественный гомоморфизм.
Теперь отметим, что на основании перечисленных свойств
непрерывное отображение ф: X -*¦ Y индуцирует гомоморфизм
Ф,.: я (X, х) ->я (Y, ф (я)), и если ф — гомеоморфизм, то ф, —
изоморфизм. Этот индуцированный гомоморфизм чрезвычайно
важен при изучении фундаментальной группы.
*) Это не настоящий гомоморфизм, так как все множество классов путей
пространств X и У не составляет группы (см. абзац перед определением
петли).— Прим- перев.
78 У. Масеи. Алгебраическая топология. Введение II.4
Предостережение. Если ср — взаимно однозначное отображе-
отображение, то это вовсе не значит, что ф„. тоже взаимно однозначно;
если ср — отображение на, то это вовсе не значит, что ф„. — тоже
отображение на. Позднее мы приведем соответствующие примеры.
Упражнение
4.1. Пусть <р: X -> Y — непрерывное отображение, а |- класс путей
в X, соединяющих точку х0 с хх. Докажите коммутативность диаграммы
*».
7Г(Х, So) -> тг(Г
Здесь изоморфизм и определяется формулой и (а) = у^ау, а изоморфизм v
определяется аналогично с заменой у на ф* (у). (Замечание: Частный случай,
когда Ф (х0) = ф Ui), отметим особо; в этом случае ф* (у) — элемент группы
я (У, Ф (*„)).)
Для дальнейшего изучения индуцированного гомоморфизма
ср* введем важное понятие гомотопии непрерывных отображений.
Определение. Два непрерывных отображения ф0, ц>г: X -*¦ Y
называются гомотопными, если существует такое непрерывное
отображение ф: X X / -*¦ Y, что для х g X
Ф (х, 0) = ф0 (х),
Ф (х, 1) = фх (х).
Гомотопность отображений ф0 и фх мы будем обозначать через
ф0 с±± фх- Предоставляем читателю убедиться в том, что гомото-
пия есть отношение эквивалентности на мпожестве всех непрерыв-
непрерывных отображений X -*¦ Y. Классы эквивалентности при этом
отношении называются гомотопическими классами отображений.
Чтобы лучше представить себе геометрическую суть этого
определения, запишем ф< (х) ~ ср (х, t) для любой точки (х, t) 6
fix/. Тогда для всех t ? I
щ: X -+Y
— непрерывное отображение. Будем считать, что параметр t —
время. Тогда в момент времени t = 0 мы получаем отображение
ф0, и при изменении t меняется непрерывно отображение цц, так
что в момент t = \ мы получаем отображение ф2. По этой причине
11.4 Гл. П. Фундаментальная группа 79
о гомотопии часто говорят как о непрерывной деформации ото-
отображения 1).
Определение. Два отображения ср0, фх: X ->¦ Y называются
гомотопными относительно подмножества А а X, если суще-
существует такое непрерывное отображение <р: X X / —>- У, что
Ф (х, 0) = ф0 (х), х?Х,
Ф (х, 1) = <Рх (х), х ? X,
Ф (a, t) = ф0 (а) = фх (а), а ?А, t ? I.
Заметим, что из последнего условия вытекает равепство фо)Л =
= ФхИ-
Теорема 4.1. Пусть ф0, фх: Z ->-У — отображения, гомотоп-
гомотопные относительно подмножества {х}. Тогда
Фо* = Ф1«: л (X, х) -»-я (У, ф0 (х)),
т. е. гомоморфизмы, индуцированные этими отображениями,
совпадают.
Доказательство очевидпо.
К сожалению, выделение при определении гомотопии одной
какой-то точки х во многих случаях оказывается слишком обре-
обременительным. Этого можно не делать, но тогда формулировки
теорем усложняются. Мы отложим ото до разд. 8.
Сейчас дадим применения некоторых из наших результатов.
Определение. Подмножество А топологического простран-
пространства X называется его ретрактом, если существует такое непре-
непрерывное отображение г: X -*¦ А (называемое ретракцией), что
г (а) = а для любой точки а ? А.
Как мы вскоре увидим, требование о том, чтобы подмноже-
подмножество А было ретрактом пространства X, довольно сильное. Про-
Простым примером ретракта пространства служит «центральная
окружность» листа Мёбиуса. (Как в этом примере построить рет-
ретракцию?)
1) Читатель, знакомый с компактно-открытой топологией функциональ-
функциональных пространств, сразу же распознает, что два отображения q>0, q>i: X-+-Y
гомотопны тогда и только тогда, когда их можно соединить путем в про-
пространстве всех непрерывных функций X -> У (при этом X и Y должны
удовлетворять определенным предположениям). Действительно, в наших
обозначениях отображение t -*¦ <pt будет путем, соединяющим в этом про-
пространстве ТОЧКИ ф0 И ф1.
80 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение II.4
Пусть г: X -+А — ретракция, a i: А -*¦ X — отображение
включения. Для любой точки а ? А рассмотрим индуцированные
гомоморфизмы
г0: л (А, а) ->- я (X, а),
г„: я (X, а) ->- л (А, а).
Так как ri — тождественное отображение, то г#г„ — тождествен-
тождественный гомоморфизм группы я (А, а), обладающий свойствами
(d) и (е), перечисленными в начале раздела. Отсюда следует, что
г, — мономорфизм, а г, — эпиморфизм. Кроме того, условие
r#i# = id налагает сильные ограничения на подгруппу г,я (А, а)
группы л (X, а).
Этот результат нам понадобится позднее для доказательства
того, что пекоторые подпространства не являются ретрактами.
Упражнения
4.2. Покажите, что ретракт хаусдорфова пространства должен быть
замкнутым подмножеством.
4.3. Докажите, что если А — ретракт пространства X, г: X -*¦ А —
ретракция, i: А -*¦ X — включение и i+n (A) — нормальная подгруппа груп-
группы л (X), то л (X) можно представить в виде прямой суммы подгрупп Imim
и Кег гш (определение прямой суммы групп см. в разд. III.2).
4.4. Пусть А — подпространство пространства X, а У — непустое то-
топологическое пространство. Докажите, что А X У — ретракт произведения
X X У тогда и только тогда, когда А — ретракт пространства X.
4.5. Докажите, что отношение «быть ретрактом» транзитивно, т. е. если
А — ретракт пространства Б, а В — ретракт пространства С, то А — ретракт
пространства С.
Теперь введем понятие деформационного ретракта. Подпро-
Подпространство А называется деформационным ретрактом простран-
пространства X, если существует ретракция г: X ->А, гомотопная тожде-
тождественному отображению X-*¦ X. Точное определение формули-
формулируется так:
Определение. Подмножество А пространства X называется
деформационным ретрактом *) для X, если существуют такая
ретракция г: X -*-А и такая гомотопия /: X X J->X, что
f(x, l) = r
f(a, t) = a,
, Теорема 4.2. Если А — деформационный ретракт простран-
пространства X, то для любой точки а ? А отображение включения i: A -*¦
-v X индуцирует изоморфизм группы я (А, а) на группу я (X, а).
') Некоторые авторы определяют этот термин более слабыми условиями.
TI.4 Гл. II. Фундаментальная группа 81
Доказательство. Как и выше, r^i^ — тождественное
отображение группы я (А, а). Мы докажем теорему, если сможем
показать, что 1^\ — тождественное отображение группы л (X, а).
Но это следует из того, что композиция ir гомотопна тождествен-
тождественному отображению X -*¦ X (относительно {а}), и из теоремы 4.1.
Теорему 4.2 мы будем иснользонать двумя различными спо-
способами. С одной стороны, на протяжении всей оставшейся части
книги она будет применяться для доказательства того, что два
пространства имеют изоморфные фундаментальные группы. С дру-
другой стороны, с ее помощью доказывается, что какое-то подпро-
подпространство не является деформационным ретрактом пространства;
достаточно показать, что их фундаментальные группы не изо-
изоморфны. В частности, мы докажем, что некоторые ретракты не
являются деформационными ретрактами.
Определение. Топологическое пространство X называется стя-
стягиваемым в точку, если существует такая точка х0 ? X, что {х0} —
деформационный ретракт пространства X.
Определение. Топологическое пространство X называется одно-
связным, если оно линейно связно и л (X, х) = {1} для какой-
нибудь (следовательно, для любой) точки х ? X.
Следствие 4.3. Если пространство X стягиваемо в точку,
то оно односвяэно.
Примеры
4.1. Подмножество X плоскости или, в более общем случае, евклидова
гс-пространства R" называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые
две точки из X, целиком принадлежит X. Мы утверждаем, что любое выпук-
выпуклое подмножество X cz It" стягиваемо в точку. Для доказательства выберем
произвольную точку х0 6 X и определим отображение /: X X / -> X фор-
формулой
(х, *) = (!-
для любой точки (х, t) d X X / (т. е. точка / (х, I) лежит на отрезке, соединяю-
соединяющем х и х0, и делит его в отношении A — I): I). Отображение / непрерывно,
/ (х, 0) — х и / (х, 1) -= х0, что и требуется. Более общо, определим подмноже-
подмножество X cr R", звездное относительно точки х0 d X, т. е. такое, что для любом
точки х 6 X отрезок, соединяющий точки х„ и х, целиком принадлежит X.
Тогда точно таким же способом показывается, что если пространство X
звездно относительно х0, то оно стягиваемо в точку х0.
4.2. Мы утверждаем, что единичная (п — 1)-сфера 5" является дефор-
деформационным ретрактом замкнутого единичного ге-мерпого диска Ёп, из которого
удалено начало координат. Для доказательства определим отображение /:
X X / -*¦ X, где
X = ?" — {0} = {х ? R" : 0 < | х К 1},
формулой
У. Масси, Дж. Столлингс
82 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение II.S
(Рекомендуем читателю сделать чертеж, чтобы проследить за всем происходя-
происходящим в случаях п = 2 и п = 3.) Отображение / непрерывно, / (х, 0) = х,
/ (х, 1) = х/ | х 1 ? S"-1, и если г 6 Sn-\ то / (х, t) = х для всех t 6 /. В част-
частности, при и = 2 окружность края диска является деформационным ретрак-
том этого диска с выколотой точкой.
Упражнения
4.6. Пусть х0 — любая точка в плоскости R2. Найдите окружность С
в R2, являющуюся деформационным ретрактом для R2 — {х0}. Что будет
в-мерным аналогом этой ситуации?
4.7. Найдите окружность С, являющуюся деформационным ретрактом
листа Мёбиуса.
4.8. Пусть Т — тор, а X — дополнение к точке в Т. Найдите подмноже-
подмножество в X, гомеоморфное восьмерке (т. е. объединению двух окружностей с
одной общей точкой) и являющееся деформационным ретрактом для Т.
4.9. Обобщите упражнение 4.8 на произвольные компактные поверхно-
поверхности. Пусть S — компактная поверхность, а X — дополнение к точке в 5;
найдите такое подмножество A cz X, что (а) А гомеоморфно объединению ко-
конечного числа окружностей и (b) A — деформационный ретракт пространства
X. [Указание. Рассмотрите представление поверхности S в виде пространства,
полученного попарным отождествлением сторон некоторого многоугольника.]
4.10. Пусть х и у — различные точки односвязного пространства X.
Докажите, что существует единственный класс путей в X с начальной точкой
х и конечной у.
4.11. Пусть X — топологическое пространство и Хп для любого нату-
натурального числа п > 0 обозначает его линейно связное подпространство, со-
содержащее базисную точку х0 ? X. Предположим, что система Хп «растет»
(т. е. Хп а Хп+1 для всех п),
Х= U Хп
п=1
и для любого компактного подмножества А а X найдется такое натуральное
число п, что А сг Хп. {Пример: каждое пространство Хп открыто.) Обозначим
через in: я (Хп) ->- я (X) и jmn: я (Хт) -*¦ п (Хп), т < п, гомоморфизмы, ин-
индуцированные отображениями включения. Докажите утверждения: (а) для
любого а 6 я (X) найдутся такое натуральное число п п такой элемент а' ?
6 я (Хп), что in (а') = а; (Ь) если Р 6 п (Хт) и ^ (Р) = 1, то найдется такое
число п ^ т, что jmn (P) = 1. (Замечание. Из этих двух утверждений следует,
что я (X) — прямой предел последовательности групп я (Хп) и гомоморфиз-
гомоморфизмов jmn. В дальнейшем мы приведем примеры, в которых будут выполнены
предположения этого упражнения.) Если гомоморфизмы /n>n+i являются
мономорфизмами для всех п, то докажите, что каждый гомоморфизм in —
также мономорфизм и группа я (X) представима в виде объединения своих
подгрупп inn (Xn).
5. Фундаментальная группа окружности — бесконечная
циклическая группа
Обозначим через S1 единичную окружность в евклидовой
плоскости R2, iS1 = {U, у) ? R2: х1 -)- у2 = 1} (или, что то же,
в комплексной плоскости С). Пусть /: I -*¦ S1 — замкнутый
путь, обегающий окружность только один раз и определенный
11.5 Гл. П. Фундаментальная группа 83
формулой
/ (t) = (cos 2nt, sin 2nt), 0 < t < 1.
Обозначим класс эквивалентности пути / через а.
Теорема 5.1. Фундаментальная группа я (S1, A, 0)) является
бесконечной циклической группой, порожденной классом а.
Доказательство. Пусть g: I -+ S1, g @) — g A). =
= A, 0), — замкнутый путь в S1. Сначала докажем, что класс
пути g принадлежит классу эквивалентности ат для некоторого
целого числа т {т может быть положительным, отрицательным
или нулем).
Пусть
Ul=((x, у)
f/x и t/2 — связные открытые подмножества окружности S1,
каждое из которых немного больше полуокружности, и иг (J U2 =
= 51. Очевидно, что как иг, так и U2 гомеоморфпы открытому
интервалу действительной прямой и потому стягиваемы. Если
g(I)cz иг или g(I)cz Uг, то ясно, что путь g эквивалентен
постоянному пути и, следовательно, принадлежит классу экви-
эквивалентности а0. Мы этот случай отложим и начиная с этого момен-
момента будем считать, что g G) ф U1 и g (I) ф: U2.
Мы утверждаем, что можно разбить единичный отрезок на
замкнутые интервалы [/„, ij, \tt, t2], . . ., fin_l5 tn], где О =
= i0 < ^ <C . . . <C ?„_! <C iiv = 1. так, чтобы выполнялись сле-
следующие условия:
(a) g (Hi, ti+1])cz U1 или
g ([tt, ti+1])cz U2 для О < i < n;
(b) g ([ii-j, tt]) и g (Uj, ^+1]) не содержатся в одном и том же
открытом множестве U), / = 1 или / = 2.
Это утверждение можно доказать так: {g (t/j), g (t/2)} —
открытое покрытие компактного метрического пространства /;
пусть е — лебегово число х) этого покрытия.
Разобьем как угодно единичпый интервал, лишь бы длина
отрезков разбиения была меньше е. При таком разбиении условие
1) е называется лебеговым числом покрытия метрического пространства X,
если любое подмножество в X диаметра меньше в содержится в каком-нибудь
множестве покрытия. Существует теорема о том, что любое открытое покры-
покрытие компактного метрического пространства имеет лебегово число. Читатель
может либо доказать ее в качестве упражнения, либо найти доказательство
в учебнике по общей топологии.
6*
84 У. Масси, Алгебраическая, топология. Введение II.5
(а) выполняется, но может но выполняться условие (Ь). Если g
переводит два последовательных интервала в одно и то же мно-
множество Uj, то объединим эти интервалы в один, склеивая их по
общей точке. Процесс объединения интервалов продолжаем до
тех пор, пока не будет выполняться условие (Ь).
Обозначим через р* класс эквивалентности пути g, а через
Р,- — класс эквивалентности пути g \[tt, i;+1] для 1 ^ i =?C n.
Тогда очевидно, что р можно представить в виде произведения
Каждый сомножитель C; есть класс путей в Ux или С/2- В силу
условия (Ь) ясно, что g (tt) 6 U1 fl U2. Пересечение U1 (] C/2
состоит из двух компонент, одна из которых содержит точку A, 0),
а другая — точку (—1, 0). Для каждого индекса i, 0 <С i <C п,
выберем класс yt путей в С7Х П С72 с начальной точкой g {tt)
и конечной точкой либо A, 0), либо (—1, 0) в зависимости от того,
какая из компонент U1 П С/2 содержит g (tt). Пусть
Для
6n = v«-ipn-
Ясно, что
р = 6А . . . б„, B.5.1)
где каждый сомножитель 8; — это класс путей в Ut или U2 с началь-
начальной и конечной точками в множестве из двух точек {A, 0),(— 1, 0)}.
Так как U1 и U2 односвязны, то б,- — 1 для любого индекса ?,
если бг — класс замкнутых путей. Можно предположить, что
все такие классы б; в формуле B.5.1) опущены, и, изменяя, если
надо, обозначения, считать 6j, б2, . . ., б„ классами незамкну-
незамкнутых путей.
Так как множество Ux односвязно, существует единственный
класс г]х путей в U1 с начальной точкой A, 0) и конечной (—1, 0)
(см. упражнение 4.10). Точно так же т^1 — единственный класс
путей в иг с начальной точкой (—1, 0) и конечной A, 0). Анало-
Аналогично через Т12 обозначим единственный класс путей в U2 с началь-
начальной точкой (—1, 0) и конечной A, 0). Отметим, что т^т^ = а.
Таким образом, для каждого значения индекса i
6i=T]±1 или бг = 'П±1.
Учитывая это, в формуле B.5.1) можно вычеркнуть некоторые
члены, например если б; = т^ и бг+1 = т|7\ то бгб;+1 вычеркиваем.
11.5
Гл, II. Фундаментальная группа
85
После того как все, какие можно, пары вычеркнуты, останутся
только три случая:
л—lm—1*1-1^—1
Во втором случае |3 = ат для некоторого целого числа т > О,
тогда как в первом |3 = ат для некоторого целого числа т < 0.
Таким образом, во всех случаях |3 = ат.
Отсюда следует, что я E1) — циклическая группа. Однако
приведенное рассуждение ничего не говорит о том, каков порядок
Рис. 2.4. Определение а (г).
этой группы. Для доказательства бесконечности группы л (S1)
введем попятие степени класса замкнутого пути в S1. Грубо
говоря, степень — это целое число, показывающее, сколько раз
путь наматывается на окружность.
Удобно определять степень пути, считая S1 единичной окруж-
окружностью в комплексной плоскости С:
S1 = {z?C: 1*1 = 1}.
Так как произведение и частное любых двух комплексных чисел
с модулем 1 снова имеют модуль 1, то S1 — группа, групповая
операция в которой — обычное умножение. Если z^S1, то через
a (z) обозначим аргумент вектора z, т. е. угол в радианах, отсчиты-
отсчитываемый против часовой стрелки от положительной части действи-
действительной оси до вектора z (см. рис. 2.4). Таким образом, для любого
86 У. Масси. Алгебраическая, топология. Введение 11.5
вектора z ? S1 аргумент a (z) — действительное число; однако оно
определено не однозначно. Если Э — значение аргумента a (z),
то для любого целого числа к число 9 -(- 2&я будет в равной степе-
степени подходящим значением аргумента. Это можно выразить иначе
следующим образом. Если z = eie = cos 9 -f- i sin 9, то Э —
зпачение аргумента a (z). Отметим, что если 0Х и 92 — значепия
аргументов a (zx) и a (z2) соответственно, то Q1 +92 есть значение
аргумента a (z1z2), a 9j — 92 есть значение аргумента a (zj/zg).
Пусть h: I -+S1 — замкнутый путь, h @) = h A) = 1. Выбе-
Выберем разбиение
0 = t9 < tx < . . . < tn = 1
единичного интервала так, чтобы для t', t" ? [fj_lt fj]
| fe (f) - h (t") | < 1. B.5.2)
Существование такого разбиения можно доказать, опираясь
на равномерную непрерывность функции h или на существование
лебегова числа некоторого покрытия интервала /. Пусть 9; для
каждого значепия индекса i, I ^ i ^ п, будет однозначно опре-
определенным значением аргумента функции h Ui)lh (tj _x), удовлетво-
удовлетворяющим неравенству
Возможность \ выбора такого 9; следует из неравенства
| h (tt) — h (ij_i) | < 1, представляющего собой частный случай
неравенства B.5.2). Теперь определим степень функции h фор-
формулой
п
п
Это целое число, так как 2 9* — значение аргумента комплекс-
г=1
ного числа
nh(tj) _ h(tn) 1 .
{=i h (tt-i) h(t0) - i -1-
Чтобы определение степени было корректным, надо показать, что
оно не зависит от выбора разбиения интервала /. Так как любые
два разбиения имеют общее подразбиение, достаточно выяснить,
что произойдет при переходе к общему подразбиению. Любое
подразбиение данного разбиения можно получить серией после-
последовательных подразбиений, при которых на каждом шаге к преды-
предыдущему подразбиению добавляется лишь одна точка. Поэтому
II.S Гл. II. Фундаментальная группа 87
достаточно проверить только случай разбиения интервала
[?;_!, tt] точкой s так, что ?г_1 < s< tt. Тогда надо замеьить Эг
на 0- +91, где
е*=
и | Э{| < я/2, 1 Э{| < я/2. Ясно, что как 9г, так и Qi -f 81 будут
значениями аргумента комплексного числа fe (i;)/fe (^_i) и потому
должны отличаться на число, кратное 2я. Но так как все три
значения по модулю меньше я/2, то это возможно, лишь когда
0г = 0{-{-0{. Следовательно, определение степепи функции h не
зависит от выбора разбиения.
Далее докажем, что если h ~ g, то deg h = dog g. Так как
h ~ g. то существует такое непрерывное отображение F: I X / ->
-*¦ S*, что
F (t, 0) = h (О,
J? («, 1) = g @, B.5.3)
F @, s) = F A, s) = 1.
Выберем такие разбиения 0 = ?0 < ?х < • • • < *п == 1 и 0 =
= s0 < «1 < • • • < sm == 1 единичного интервала, что ^ отобра-
отображает каждый из прямоугольников [ti_1, fjj X [sj_l5 s^] в подмно-
подмножество окружности S1, имеющее диаметр < 1, т. е. если (t, s)
и (f, s') принадлежат Uj-i, tt] X tsj_l5 Sj], то
|F(i, s) -/"(«', s') К 1. B.5.4)
Пусть
Мы хотим доказать, что
Тогда, применив это рассуждение последовательно для / = 1,2,
. . ., га, получим deg h = deg g. Итак, положим
*-(-JTO-). 1«1<т. 1-0.1.......
88 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 11.5
Выбор значения ф;, удовлетворяющего неравенству | <р; | <; я/2,
возможен в силу выполнения условия B.5.4). Числа dl — Q\
и ф,- —y>i-i являются значениями аргумента комплексного числа
F(tj, S:)F(tj_i, Sj-j)
F(ti-i, sj)F(th Sj_i)
и потому отличаются на число, кратное 2я. В силу ограничений,
наложенных на модуль, это целое число равно нулю, т. е.
О- — О- = фг — ф,- _х.
Теперь суммируем от i ~ 1 до i = п:
2 э i—S 0i = 2 4>t—ф*-1 = фп—фо-
Из соотногаений B.5.3) вытекает, что фп -- ф0 -- 0. Поэтому
Таким образом, любому элементу E ? я (S1) можно поставить
в соответствие однозначно определенное целое число — его сте-
степень. Предлагаем читателю проверить непосредственным вычис-
вычислением, что для любого целого числа т отображение hm: I -+S1,
определенное формулой
hm {t) = cos 2mnt -\- i sin 2mnt,
имеет степень т. Поэтому я (S1) — группа бесконечного поряд-
порядка, и, следовательно, она бесконечная циклическая, что и требо-
требовалось доказать.
Замечание. Основная идея нашего изложения понятия степени
элемента я (S1) будет усовершенствована и обобщена в гл. V
при рассмотрении фундаментальной группы накрывающего про-
пространства.
Из теоремы 5.1 вытекает, что фундаментальная группа любого
пространства с окружностью в качество деформационного ротракта
является бесконечной циклической группой. Примерами таких
пространств служат лист Мёбиуса, диск с выколотой точкой, пло-
плоскость с выколотой точкой, область на плоскости, ограниченная
двумя концентрическими окружностями, и т. д. (см. упражнения
в предыдущем разделе).
Упражнения
5.1. Докажите, исходя из определений, что отображение л (S1) ->¦ Z,
определенное соответствием р ->- deg p, есть гомоморфизм группы я (S1)
в аддитивную группу целых чисел.
5.2. Дайте прямое доказательство (следуя в основном первой части до-
доказательства теоремы 5.1) того, что если Р ? я (S1) и deg р = 0, то Р = 1.
(Замечание. Это иной способ доказательства теоремы 5.1.)
IF.6 Гл. II. Фундаментальная группа 8Э1
5.3. Пусть {Ut} — открытое покрытие пространства X, обладающее сле-
следующими свойствами: (а) существует такая точка х0, что х0 (Е Ut для всех i;
(b) каждое множество Ut одпосвязно; (с) если i Ф /, то пересечение Ut f| Uj
линейно связно. Докажите, что пространство X односвязно. [Указание. Для
доказательства того, что любая петля f: I -*¦ X в точке х0 тривиальна, рас-
рассмотрите открытое покрытие {f'1 (?/;)} компактного метрического простран-
пространства / и используйте лебегово число этого покрытия.] Замечание. Два наиболее
важных случая этого упражнения: A) покрытие двумя открытыми множест-
множествами и B) множества Ut линейно упорядочены но включению. Предлагаем
читателю самому сформулировать утверждение для этих двух частных слу-
случаев.
5.4. Воспользуйтесь результатом упражнения 5.3 (замечание A)) и до-
докажите, что единичная 2-сфера S2 (или, более общо, n-сфера Sn, п ^ 2) одно-
связна.
6. Применение: теорема Брауэра о неподвижной точке
в пространстве размерности ^ 2
Одна из наиболее известных теорем топологии — теорема
Брауэра о неподвижной точке. Обозначим через Еп замкнутый
единичный шар в евклидовом пространстве R":
?" = {iER": UK 1}.
Теорема 6.1. Любое непрерывное отображение f шара Еп
в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку, т. е. такую
точку х, что f (х) = х.
Докажем теорему лишь для п ^ 2. Прежде чем приступить
к доказательству, стоит указать, чем интересны подобные теоремы
о неподвижной точке.
Предположим, что задана система п уравнений с п неизвест-
неизвестными:
g1 {xlt . . ., хп) = О,
g2 (хи . . ., хп) = О,
B.6.1)
gn (хи . . ., хп) = О,
где gt — непрерывные действительные функции действительных
переменных хг, . . ., хп. Часто бывает трудно выяснить, суще-
существует ли решение такой системы. Этот вопрос можно свести
к задаче о существовании неподвижной точки. Делается это так.
Пусть
ht {хг, . . ., хп) = gi (xi, . . ., хп) -\-x-t
для i = 1, . . ., п. Для любой точки х -_ (хи . . ., хп) положим
h(x) ^(К(х), . . ., hn{x)).
Тогда h — непрерывная функция, отображающая подмножество
евклидова «-пространства (зависящее от области определения
У. Масси- Алгебраическая топология. Введение
П.6
функций gi, . . ., gn) в евклидово п-пространство. Если мы сумеем
найти подмножество X евклидова «-пространства, гомеоморфное
Еп и такое, что функция h определена в X и h {X)cz X, то из тео-
теоремы Брауэра получим, что функция h в X имеет неподвижную
точку; легко видеть, что любая неподвижная точка функции h
служит решением системы B.6.1).
Теорему Брауэра можно обобщить для некоторых подмножеств
функциональных пространств и затем применить для доказатель-
доказательства теорем существования решений обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными
производными; для определенных типов нелинейных уравнений
это один из самых мощных методов доказательства теорем су-
существования.
Доказательство теоремы 6.1 (для п ^ 2). Сна-
Сначала докажем, что для любого целого числа п > 0 из существова-
существования непрерывного отображения /: Еп -> Еп, не имеющего непо-
Рис. 2.5. Доказательство теоремы Брауэра о неподвижной
точке.
движных точек, следует, что (га — 1)-сфера S71'1 — {z?Rn: И = 1}
является ретрактом для Еп. Это делается с помощью следующей
простой геометрической конструкции. Для любой точки х ? Еп
через г (х) обозначим точку пересечения (га — 1)-сферы S71'1
с лучом, соединяющим точки / {х) и х. На рис. 2.5 показан случай
га = 2. Используя векторные обозначения, легко написать фор-
формулу, выражающую г (х) через / {х). Из этой формулы видно,
11.7 Гл. II. Фундаментальная группа 91
что г — непрерывное отображение из Еп в S71. Если х ? S71'1,
то г (х) = х. Поэтому г — требуемая ретракция.
Теперь мы придем к противоречию, если сумеем доказать, что
5" не является ротрактом для Еп. При п — 1 это ясно, так как
множество Е1 связно, а 5° нет. При п = 2 вспомним уже известные
нам факты о фундаментальной группе ретрактов. Так как группа
я (S1) — бесконечная циклическая, а группа я (Ег) — тривиаль-
тривиальная, то S1 не может быть ретрактом для Е2 (см. обсуждение вопро-
вопросов, связанных с ретрактами, в разд. 4).
7. Фундаментальная группа произведения
пространств
В зтом разделе мы докажем, что фундаментальная группа
произведения двух пространств естественным образом изоморфна
прямому произведению их фундаментальных групп, т. е.
л (X X Y) » п (X) X п (Y.)
(Определение прямого произведения групп см. в разд. III.2.)
Пусть X. Y и А — топологические пространства, а /: А -*¦
-*• X X Y — отображение. Для любой точки а ? А через (/х (а),
/2 (а)) обозначим координаты точки / (а). Тогда Д и /2 отображают
А в X и Y соответственно, и хорошо известно, что отображение
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны оба отобра-
отображения f1 и /2. Это основное свойство топологии прямого произве-
произведения. Следовательно, существует естественное взаимно однознач-
однозначное соответствие между непрерывными отображениями /: А ->
-> X X Y и парами непрерывных отображений Д : A -v X,
/2: A -+Y. Обозначим через р: X X Y -+ X и ?: ХхУ->У
проекции пространства-произведения на его сомножители; тогда
Д = pf и /2 = qf.
Применим эти рассуждения к случаю А = I (где / — единич-
единичный интервал). Тогда получим, что существует естественное взаим-
взаимно однозначное соответствие между путями /:/->¦ X X У в про-
пространстве-произведении и парами путей Д: / ->Х, /2: / -> У
в сомножителях. Как и прежде, Д = pf и /2 = qf. Это естественное
соответствие обладает следующими очевидными, но важными
свойствами:
(a) если /, g: I ->- X X Y — пути с одной и той же начальной
и конечной точками, то / ~ g тогда и только тогда, когда
/i ~ gi и U ~ g2 (здесь gt = pg, g2 = qg);
(b) пусть f, g: I -> X X Y — такие пути, что конечная точка
пути / совпадает с начальной точкой пути g, и пусть h —
= f.g; тогда fex = Д ¦g1 и h2 = /2 -g2, где hx = ph и h2=qh.
92 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение II.Т
Свойства (а) и (Ь) можно свести вместе, сказав, что естествен-
естественное соответствие /¦«->-(/1, /3) совместимо с отношением эквивалент-
эквивалентности между путями и произведением путей. Проверку справед-
справедливости этого утверждения предоставляем читателю.
Теперь применим эти рассуждения к изучению фундаменталь-
фундаментальной группы л {X X Y, (х, у)) пространства-произведения. Пусть
р„: л(Х X Y, (х, у)) -v л (X, х), q#: я (X xY, (x, у)) -+n(Y,y)
— гомоморфизмы, индуцированные проекциями р и д. Из свойства
(а) вытекает, что соответствие а —*¦ {р^ос, д%а) задает взаимно одно-
однозначное отображение множества л (X х Y, (х, у)) в л (X, х) X я (У, у),
а из (Ь) вытекает, что это отображение сохраняет произведение,
т. е. является изоморфизмом групп. Перечисленные результаты
соберем в следующей теореме.
Теорема 7.1. Фундаментальная группа я (X X У, (х, у)) про-
пространства-произведения естественным образом изоморфна прямому
произведению фундаментальных групп л (X, х) х л (Y, у) про-
пространств-сомножителей. Их изоморфизм определяется сопоставле-
сопоставлением с любым элементом а ? я (X X Y, (х, у)) упорядоченной
пары (р*а, q#oc), где р: X X Y -*- X и q: X хГ-^-7 — проекции,
пространства-произведения на его сомножители.
Очевидно, что теорему можно распространить на произведение
любого конечного числа пространств.
Упражнения
7.1. Опишите структуру фундаментальнои группы тора.
7.2. Докажите, что для любой точки х0 ? S1 подмножество S1 X {х0}
является рстрактом произведения S1 X S1, но не является его деформацион-
деформационным рстрактом.
7.3. Обобщите теорему 7.1, чтобы получить описание фундаментальной
группы произведения бесконечного мпожества топологических пространств.
7.4. Пусть ;: X -+¦ X X У и /: У ->- X X Y — отображения, определен-
определенные формулами i (х) --- (х, уQ) и / (у) =- (х„, у), где (х„, у„) 6 X X Y — фик-
фиксированная точка. Докажите, что соответствие (f5, у) -^ (z'*P) -O'*v) задает изо-
изоморфизм группы п (X, х0) X п (У, у0) на п (X X Y, (х0, у0)). [Указание.
Докажите, что этот изоморфизм — обратный к изоморфизму, описанному
в теореме 7.1.] В качестве следствия выведите, что элементы г„.|3 и /*у комму-
коммутируют, т. е. (i*P) (/„y) = 0*Y) (г*Р)-
7.5. Предположим, что G — топологическое пространство, ц: G X G ->-
-*¦ G — непрерывное отображение и е ? G — такая точка, что ц (х, е) —
= (.1 (е, х) — х для всех х ? G. (Важный пример: G — топологическая группа,
е — единичный элемент и ц. (х, у) для любых х, у ? G есть произведение эле-
элементов х и у.) Пусть i: G -»- G X G и /: G -> G X G определены так же, как
в упражнении 7.4: i (х) — (х, е), ; (х) = (е, х) для всех х ? G. Докажите, что-
И* [(г*Р) 0*7I = P*V Для всех Р, 7 ? я (G, е). [Указание. Используйте уп-
упражнение 7.4 и рассмотрите сначала случай Р = 1 или у = 1; затем заметьте,
что в л (G, е) х я (G, е) выполняется равенство (р. у) — (|3, 1) A, у).] В каче-
качестве следствия выведите, что я (G, е) — абелева группа.
11.8 Гл. II. Фундаментальная группа 93
7.6. Пусть G, е и \а те же, что в упражнении 7.5. Дополнительно пред-
предположим, что существует такое непрерывное отображение с: G -*¦ G, что
ц (х, с {х)) = (i (с (х), х) для всех х ? G. (Важный пример: G — топологиче-
топологическая группа и с (х) = х'1.) Докажите, что с* ф) = Р для всех E ? п (G, е).
8. Гомотопический тип и гомотопическая
эквивалентность пространств
Прежде чем приступить к доказательству нашей следующей
теоремы, мы должны ввести предварительные понятия и некоторые
результаты относительно топологии определенных подмножеств
плоскости. Топологическое пространство называется замкнутым
диском, если оно гомеоморфно множеству
Е2 = {(*, y)€R2: х2 +у2<1},
и открытым диском, если оно гомеоморфно множеству
Граница замкнутого диска — это его подмножество, соответ-
соответствующее окружности S1 при гомеоморфизме диска па Е2; можно
доказать, что оно не зависит от выбора гомеоморфизма.
Рассмотрим несколько элементарных свойств дисков.
(a) Любое компактное выпуклое подмножество Е плоскости
с непустой внутренностью является замкнутым диском.
Доказательство. Гомеоморфизм между Е и Е2 можно
выбрать так. Возьмем точку х0, принадлежащую внутренности
множества Е. Проведем в плоскости любой луч из точки х0; его
пересечение с Е дожно быть замкнутым интервалом с х0 в качестве
одной из концевых точек. Отобразим линейно этот интервал на
единичный, расположенный на луче, параллельном нашему
и выходящем из начала координат. Если проделать это с каждым
лучом, выходящим из точки х0, то получим взаимно однозначное
отображение из Е в Е2, которое, как можно доказать, непрерывно
в обоих направлениях.
(b) Пусть ?j и ?8 — замкнутые диски с границами Вг и В2
соответственно. Тогда любое непрерывное отображение
/: В1 ->J92 можно продолжить до непрерывного отображе-
отображения F: Ei -> Е2. Если / — гомеоморфизм, то и отображе-
отображение F можно выбрать так, чтобы оно было гомеоморфизмом.
Доказательство. Из определения замкнутого диска
ясно, что утверждение достаточно доказать в случае Ег = Е2 = Е2
и Вх = В2 — S1. Предоставляем это читателю.
(c) Пусть Ех — замкнутый диск, Е% — факторпространство
диска Ех, построенное отождествлением замкнутого сег-
94
У- Масси. Алгебраическая топология. Введение
П.8
мента, принадлежащего границе диска Еи с точкой. Тогда
факторпространство Ег — также замкнутый диск.
Доказательство. На основании свойства (Ь) доста-
достаточно доказать это утверждение в частном случае замкнутого
диска и сегмента, расположенного на его границе. Мы вольны
выбрать этот частный случай так, как нам удобно. В качестве
диска Е1 возьмем часть плоскости ху, ограниченную трапецией
Рис. 2.6. Доказательство свойства (с).
ABDE, как показано на рис. 2.6, а в качестве диска Е2 — часть
плоскости, ограниченную треугольником ABC. Определим ото-
отображение /: Е] —v Ег так, чтобы отрезок DE, принадлежащий
границе диска Ег, отображался в вершину С диска Е2, а на всем
оставшемся множестве отображение / было взаимно однозначным.
Тогда доказательство будет закончено, если мы покажем, что
пространство Е2 наделено фактортопологией, определенной ото-
отображением /.
Зададим отображение / условием, что для любой точки Р ? Ег
три точки Р, Р' = / (Р) и С = (О, 1) лежат на одной прямой
и ордината точки Р' в два раза больше ординаты точки Р. Если
(х, у) и (х'', у') — координаты точек Р и Р' соответственно, то
V y-1 /'
II.8 Гл. II. Фундаментальная группа 95«
ИЛИ
=*'( If-г )'
Из первой пары формул следует, что отображение / непрерывно,,
а из второй, — что оно взаимно однозначно всюду, за исключе-
исключением отрезка DE; очевидно, что весь отрезок DE отображается
в точку С. Так как пространство Е\ компактно, а пространство Е%
хаусдорфово, то / — замкнутое отображение, и, следовательно,
топология в Е2 совпадает с фактортопологией.
Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать и дока-
доказать ключевую лемму. Обозначим через D замкнутый диск, через
В — его границу и через g: I —*-B — непрерывное отображение,
при котором / наматывается на окружность ровно один раз,
т. е. g @) = g A) = d0 ? В, и g гомеоморфно отображает открытый
интервал @, 1) на В — {do}. Пусть X — некоторое топологиче-
топологическое пространство.
Лемма 8.1. Непрерывное отображение /: В -> X можно про-
продолжить до отображения D -*- X тогда и только тогда, когда
петля fg: I -> X эквивалентна постоянной петле в базисной
точке f (d0).
Доказательство. Сначала предположим, что отобра-
отображение f: В -=>-Х можно продолжить до непрерывного отображе-
отображения F: D -*¦ X. Рассмотрим единичный квадрат {(х, у) ? R2: 0 ^
^z^l, 0^г/^1} и зададим непрерывное отображение k
границы этого квадрата в В формулами
h(x, 0) =g(x), 0<s^l,
B.8.1)
h(x, 1) =Mp, У) =М1, у) =d0
для х d I, у ? I. На основании свойства (Ь) можно продолжить h
до непрерывного отображения Н единичного квадрата. Тогда
из существования композиции отображений FH следует, что
петля fg эквивалентна постоянному пути.
Теперь предположим, что петля fg эквивалентна постоянному
пути. По определению это означает, что существует непрерывное-
отображение G единичного квадрата в X, для которого
G (х, 0) = / (g (x)),
G (х, 1) = G @, у) = G A, у) = / (d0).
96 У- Масси- Алгебраическая топология. Введение II.8
Так какСотображает верхнюю и две боковые стороны этого квадра-
квадрата в единственную точку / (do), то G индуцирует непрерывное
отображение факторпрострапства квадрата (построенное отожде-
отождествлением этих сторон с одной точкой) в X. По свойству (с) это
факторпространство будет замкнутым диском, который можно
взять в качестве D, а естественное отображение границы квадрата
на факторпространство можно выбрать в качестве отображения h
в формулах B.8.1). Ясно, что индуцированное отображение диска
D в X и будет требуемым продолжением отображения /.
При применении леммы 8.1 удобно допускать следующую воль-
вольность в терминологии. Будем говорить, что отображение /: В ->¦ X
представляет класс эквивалентности петли fg.
Чтобы сформулировать теорему, предположим, что <р0, срх: Х->
-*-Y — непрерывные отображения, а <р: X X / ->У — гомото-
пия, связывающая <р0 и q>v т. е. <р (х, 0) = <р0 (х) и <р (х, 1) --
— фх (х). Возьмем базисную точку х0 ? X. Отображения <р0 и фх
индуцируют гомоморфизмы
сро*: л (X, х0) -+я (Y, ф0 (*„)),
ф1#: я (X, х0) -+п (Y, ,ф! (х0)).
Обозначим через у гомотопический класс пути t -»-q> (x0, t), 0 ^
^t^l, в7. Класс у определяет изоморфизм и: л (Y, ф0 (х0)) -v
—*¦ л (Y, ц>1 (х0)) по формуле
и (а) = Y-rav, a 6 я (Y, ф0 (х0)).
Теорема 8.2. При сделанных предположениях диаграмма
7Г(У,
т(У,
коммутативна.
Эта теорема естественно обобщает теорему 4.1.
Доказательство. Пусть а ? я (X, х0); надо дока-
доказать, что
<Pi* («) = Y (Фо*«) Т-
Выберем замкнутый путь /: /—>¦!, представляющий класс а,
и рассмотрим отображение
g: I X I -vY,
II .8 Гл. II. Фундаментальная группа 97
определенное формулой
g(x, у) = <р(/(ж), у).
Тогда для х, у ? /
? (ж, 0) = Фо (/ (х)),
g (ж, 1) = фх (/ (ж)),
? @, у) = g A, у) = ф (ж0, У)-
Следовательно, отображение g на нижней стороне квадрата пред-
представляет фо* (а), на верхней <р1ш (а), а на двух боковых у.
При обходе границы квадрата отображение g представит класс
(фо*а) У ((Риа)~1У~1- По лемме 8.1
(фо*«) У (ф^а)?-1 = 1.
Отсюда вытекает требуемое соотношение (умножаем это равенство
справа на у (ф!#а) и затем слева на у'1).
Определение. Два подпространства X и Y называются про-
пространствами одного и того же гомотопического типа, если суще-
существуют такие непрерывные отображения (называемые гомотопи-
гомотопическими экеивалектностями) /: X ->-У, g: Y -*-Х, что gf ~
~ id: X -> X и fg ~ id: Y -+ Y.
Очевидно, что гомеоморфные пространства являются простран-
пространствами одного и того же гомотопического типа, но обратное не
верно.
Упражнение
8.1. Докажите, что если А — деформационный ретракт пространства X,
то включение г: А -»- X будет гомотопической эквивалентностью. (В самом
деле, первое из условий в определении деформационного ретракта, данном
в разд. 4, здесь излишне; выкидывание этого условия ведет к понятию «де-
«деформационного ретракта в слабом смысле». Можно доказать, что для доста-
достаточно «хороших» пространств эти два понятия совпадают.)
Теорема 8.3. Если /: X -*-Y — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, то для любой точки х ? X гомоморфизм /#: п (X, х) ->
-> п {Y, f (x)) является изоморфизмом.
Доказательство. Так как gf ~ id: X -*• X, полу-
получаем диаграмму (коммутативную по теореме 8.2)
7 У. Масса, Дж. Столлингс
98 У- Масси. Алгебраическая топология. Введение
Здесь и — изоморфизм, индуцированный некоторым путем, соеди-
соединяющим точки х и gf (x). Следовательно, /„ — мономорфизм,
g# — эпиморфизм.
Применяя те же рассуждения к гомотопии fg ~ id: Y ->У,
получаем коммутативную диаграмму
тг(У,/(*)
Здесь g^ — мономорфизм. Так как g# — эпиморфизм и мономор-
мономорфизм, то g+ — изоморфизм. Так как
gj* = и,
a g# и и — изоморфизмы, то /^ — изоморфизм.
С помощью этой теоремы мы сможем находить фундаментальные
группы некоторых пространств и доказывать, что определенные
пространства не являются пространствами одного и того же
гомотопического типа (и, следовательно, не гомеоморфяы).
Упражнение
8.2. Предположим, что G, ц и е удовлетворяют предположениям упраж-
упражнения 7.5. Воспользуйтесь леммой 8.1 для непосредственного доказательства
того, что aftec1!? = 1 при всех а, |3 ? л (G, е). [Указание. В качестве D возь-
возьмите квадрат и выберите отображение из В в G, представляющее аРа-1^.
Чтобы определить требуемое продолжение, используйте существование ото-
отображения \а.] Выведите отсюда, что группа п (G, е) абелева.
ПРИМЕЧАНИЯ
Фундаментальная группа введена великим французским математиком
Анри Пуанкаре в 1895 г. (Analysis Situs, /. Ecole Polytechn., 1 A895), 1—121).
Понятие двух пространств одного и того же гомотопического типа введено
в 1935—1936 гг. Витольдом Гуревичем в серии работ, состоящей из четырех
статей, которые появились в Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Acade-
mie'van Wetenschapen. В этих статьях Гуревич также ввел многомерные анало-
аналоги фундаментальной группы, называемые гомотопическими группами. С 1935 г.
эти идеи Гуревича играют значительную роль в алгебраической топологии.
Читателя, интересующегося доказательством теорем существования
в анализе с помощью теорем о неподвижной точке, мы отсылаем к книге-
Кронин (Mathematical Surveys, № 11, Fixed points and topological degree in
nonlinear analysis, Providence: American Mathematical Society, 1964).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зейферт Г., Трельфалль В.,-Топология, Гостехиздат, М., 1938, гл. VII..
2. Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, изд-во «Мир», М., 1967,
гл. II и V.
3. Понтрягин Л. С, Непрерывные группы, изд-во «Наука», М-, 1973.
4. Хилтон П., Уайли С., Теория гомологии. Введение в алгебраическую'
топологию, изд-во «Мир», М., 1966, гл. VI.
Глава III
СВОБОДНЫЕ ГРУППЫ И СВОБОДНЫЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
1. Введение
В предыдущих главах мы ввели фундаментальную группу
пространства и определили ее строение в некоторых простейших
случаях. Для более сложных случаев необходим более широкий
словарь и лучшее знание теории групп, чтобы уметь описывать
строение фундаментальной группы и пользоваться ее свойствами.
Настоящая глава восполняет такую необходимость. Сначала
рассмотрим случай абелевых групп, так как он проще. Затем
обсудим общий случай необязательно абелевых групп. Резуль-
Результаты вполне аналогичны абелевому случаю, но возможности шире
и в меньшей степени доступны интуиции.
Здесь вводятся три основных теоретико-групповых понятия:
свободная группа, свободное произведение групп и представле-
представление групп посредством образующих и соотношений. Эти понятия
используются на протяжении всей оставшейся части книги.
Определения свободной группы и свободного произведения групп
приводят к широко применяемому математическому понятию —
так называемой «задаче универсального отображения», основной
в гл. IV.
2. Слабое произведение абелевых групп
Возможно, читатель уже знаком с понятием произведения, или
прямого произведения, или декартова произведения двух групп;
определение довольно просто, и мы его здесь повторим. Пусть
G1nG2 — группы. Их произведением, обозначаемым через Gx X G2,
называется множество всех упорядоченных пар {gx, g2), где g1 ?
6 ?ц g2 6 G2, в котором операция умножения задана правилом
Легко проверить, что G, X G2 — группа.
Аналогично определяется для любого положительного целото
числа п произведение п групп Сх, . . ., Gn; qho обозначается
7*
100 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение III.2
Gx X G2 x . . . X Gn или
Тем же способом можно определить произведение бесконечной
последовательности групп Gx, G2, G3, . • ., обозначаемое
Каждый раз получается группа, являющаяся как множество
декартовым произведением групп как множеств, причем умноже-
умножение определено покомпонентно. Читатель, возможно, вспомнит
здесь, что в теории множеств корректно определено декартово
произведение любого (непустого) множества множеств; нет необ-
необходимости ограничиваться случаем счетного числа множеств.
Аналогично можно определить произведение любого (непустого)
множества групп {Gt: i ? /}, где / — некоторое множество индек-
индексов, счетное или нет (здесь / не обозначает единичный интервал).
Сначала надо построить теоретико-множественное произведение,
а затем покомпонентно определить умножение: для любых эле-
элементов g, g' ? П Gt и любого индекса i ? / зададим ?-ю компоненту
произведения gg' формулой
(gg')i = (gt) (gi),
т. е. i-я компонента произведения равна произведению i-x ком-
компонент сомножителей.
Пусть {Gt: i ? /} — множество групп и G = П Gt — их произ-
ведение.
Определение. Слабым произведением х) множества {Gt: i 6 /}
называется подгруппа произведения G, состоящая из всех элемен-
элементов g ? G, для которых gi — тривиальный элемент группы Gt
для всех, кроме конечного числа, индексов i. Очевидно, что если
{Gt: i б 1} — конечное множество групп, то их произведение
и слабое произведение совпадают.
Если G — произведение или слабое произведение множества
{Gil i ? I), то для каждого индекса i ? / существует естествен-
г) В случае когда каждая группа Gt абелева и групповая операция —
сложение, слабое произведение обычно называется «прямой суммой». В этом
определении мы не требуем, чтобы любые две группы из множества {Gt}
были неизоморфны. Может даже встретиться случай, когда все группы
этого множества изоморфны некоторой заданной группе.
III.2 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 101
кый мономорфизм фг: Gt -»-G, определенный по следующему
правилу: для любого элемента х ? Gi и любого индекса / ? /
х, если /'= I,
1, если
Приведем теорему, характеризующую слабое произведение G
и мономорфизмы q>t в случае, когда все группы Gt абелевы.
Теорема 2.1. Если {Gt: i ? /} — множество абелевых групп
и G — их слабое произведение, то для любой абелевой группы А
и любого множества гомоморфизмов
существует единственный гомоморфизм /: G -> А, такой, что
для любого индекса i ? / диаграмма
коммутативна.
Доказательство. Если заданы отображения %, опре-
определим / по следующему правилу: для любого элемента х ? G пусть
/ (х) будет произведением элементов % {xt) при всех i ? /. Так как
хг = 1 для всех, кроме конечного числа, индексов i, то это произ-
произведение конечно, а так как все группы абелевы, то порядок сомно-
сомножителей несуществен. Следовательно, элемент / (х) определен
корректно и нетрудно проверить, что / — гомоморфизм, превра-
превращающий нашу диаграмму в коммутативную. Очевидно, что / —
единственный гомоморфизм, обладающий этим свойством.
Теперь докажем, что теорема 2.1 действительно характеризует
слабое произведение абелевых групп.
Предложение 2.2. Пусть {Gi} и фг: Gt ->G me же, что в тео-
теореме 2.1; пусть G — любая абелева группа, а ф?: Gt ->G' — любое
множество таких гомоморфизмов, что справедливо заключение
теоремы 2.1, только G и фг заменены на G' и ц>\ соответственно.
Тогда существует единственный изоморфизм h: G—>-G', такой,
102 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
что для любого индекса i ? I диаграмма
,G
III.2
коммутативна.
Доказательство. Существование гомоморфизма h:
G ->•(?', превращающего диаграмму в коммутативную, обеспечи-
обеспечивается теоремой 2.1. Так как по предположению теорема 2.1 так-
также справедлива для G' и cpj, то существует единственный гомомор-
гомоморфизм k: G' -*¦ G, такой, что для любого индекса i ? / диаграмма
G'
коммутативна. Отсюда следует, что для любого индекса i
коммутативны диаграммы
G _?'
*><¦
kh
G
•Pi
<et'
hk
'G'
Однако эти две диаграммы должны остаться коммутативными,
если в первой заменить отображение kh тождественным отобра-
отображением G ->¦ G, а во второй — отображение hk тождественным
отображением G' -*•(?'. Теперь, используя утверждение о един-
единственности в теореме 2.1, заключаем, что kh и hk — тождествен-
тождественные отображения. Следовательно, 7&'и к — взаимно обратные изо-
изоморфизмы.
Попробуем осмыслить характеризацию слабого произведе-
произведения, данную теоремой 2.1. В качестве претендента на какое-то
«произведение» абелевых групп Gt можно рассмотреть любую
другую абелеву группу А с определенными гомоморфизмами
яр?: Gt ->А; тогда в этой теореме утверждается, что среди всех
претендентов слабое произведение G «наиболее свободно» в том
смысле, что существует гомоморфизм группы G в А, коммути-
111.3 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 103
рующий с фг и \pi для всех i. Здесь слова «наиболее свободно»
употребляются в значешш «удовлетворяет как можно меньшему
числу соотношений», и общая философия состоит в том, что если
некоторые соотношения выполняются в группе G, то они также
будут выполняться в любом ее гомоморфном образе; разумеется,
в этом образе могут выполняться еще и дополнительные соотноше-
соотношения. Те же рассуждения применимы и для других алгебраических
объектов, таких, как кольца и т. д.
Как мы увидим, аргументация, использованная при доказа-
доказательстве предложения 2.2, почти дословно переносится на многие
другие случаи.
В силу того что слабое произведение G множества {Gt} абеле-
вых групп полностью характеризуется свойствами мономорфизмов
фг: Gt -*•(?, сформулированными в теореме 2.1, можно было бы
пренебречь тем фактом, что G — подгруппа группы Д Gt, и вместо
этого сосредоточить внимание на группе G и гомоморфизмах фг.
Кроме того, так как каждое отображение ф; есть мономорфизм,
можно отождествить группы Gt с их образами в G при отображе-
отображениях фг и, если это удобно, рассматривать фг- как отображения
включения. В этом случае, называя G слабым произведением под-
подгрупп Gn подразумевают, что каждое отображение ф* есть отобра-
отображение включения.
3. Свободные абелевы группы
Пусть S — подмножество группы G. Говорят, что 5" порождает
G, если каждый элемент группы G можно записать в виде произве-
произведения положительных и отрицательных степеней элементов из 5".
Множество S называют порождающим множеством, а его эле-
элементы — образующими группы G. (Эквивалентное условие состоит
в том, что S не содержится ни в одной собственной подгруппе
группы G.) Например, если G—циклическая группа порядка п,
G = {х, х\ х3, . . ., хп = 1),
то множество 5" = {х} порождает G.
Если S порождает G, то некоторые произведения элементов
из 5" могут совпасть с единичным элементом группы G. Например,
(a) если х ? S, то хх'1 = 1,
(b) если G — циклическая группа порядка п, порожденная
одним элементом х, то хп = 1.
Такое равенство произведения элементов из S единице (а также
левую часть равенства) называют соотношением между элементами
порождающего множества S. Грубо говоря, можно различить два
типа соотношений между образующими: тривиальные соотноше-
104 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение III.3
ния (такие, как в примере (а)), непосредственно вытекающие из
аксиом группы, так что не важно, что выбрано в качестве G и S,
и нетривиальные соотношения (такие, как в примере (Ь)), не выте-
вытекающие из аксиом группы, а определяемые конкретным выбором
группы G и множества S.
Эти понятия естественным образом приводят к следующему
определению. Пусть S — множество образующих группы G.
Группа G называется свободно порожденной множеством S или
свободной над S, если между элементами из 5" не существует нетри-
нетривиальных соотношений. Например, если G — бесконечная цикли-
циклическая группа, состоящая из всех положительных и отрицатель-
отрицательных степеней элемента х, то G — свободная группа над множе-
множеством S = {х}.
Эти понятия также наводят на мысль, что можно полностью
описать группу, перечисляя элементы порождающего множества S
и нетривиальные соотношения между ними.
Описанные идеи как бы витали среди специалистов по теории
групп в течение длительного времени. К сожалению, когда они
формулируются так, как это сделано выше, они теряют матема-
математическую точность. Например, какой точный смысл вкладывается
в понятие нетривиального соотношения? Оно не может быть эле-
элементом группы G в силу того, что все соотношения, рассматривае-
рассматриваемые как элементы группы G, равны единице. Точно так же, при
каких условиях два соотношения должны считаться одинаковы-
одинаковыми? Например, в циклической группе порядка п соотношения
хп = 1,
xn*Ix~1 = 1
должны считаться одинаковыми или разными?
Мы хотели бы подчеркнуть, что для математиков нелегко было
найти совершенно удовлетворительный и точный путь разрешения
этих вопросов. К счастью, в последние годы такой путь все же
был найден. Он обладает тем преимуществом, что применим не
только к группам, но также и к другим алгебраическим объектам,
например кольцам, и даже ко многим ситуациям в других обла-
областях математики. И как часто случается в математике, оконча-
окончательно принятый способ кажется неочевидным и обходным *).
Этот способ определения исходит из следующих довольно про-
простых наблюдений.
A) Предположим, что S — множество образующих группы G
и /: G ->(?' — эпиморфизм, т. е. G' — гомоморфный образ груп-
*) Аналогичная ситуация встречается, когда в анализе дают точное
определение предела. Язык е, б, ставший сегодня стандартным, кажется
довольно далеким от нашего интуитивного представления о том, как пере-
переменная величина стремится к своему пределу.
III.3 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 105-
пы G. Тогда / (S) будет множеством образующих для G'. Кроме
того, любое соотношение между элементами из S выполняется так-
также и для элементов из f (S). Таким образом, группа G' удовлетво-
удовлетворяет по крайней мере тем же соотношениям, что и G (и, кроме
того, еще некоторым).
B) Предположим, что S — множество образующих группы G
и /: G ->•(?' — гомоморфизм. Тогда / полностью определяется его-
сужением на множество S. Однако мы не утверждаем, что любое
отображение g: S ->•(?' можно продолжить до гомоморфизма
/: G ->• G' (хотелось бы, чтобы читатель сам построил контрпри-
контрпример). Интуитивно причина ясна: для данного отображения g: S —>¦
-*¦ G' могут выполняться нетривиальные соотношения между эле-
элементами из 5", которые не выполняются между элементами из g (S).
Сейчас мы дадим точное определение свободной абелевой груп-
группы над данным множеством S; в разд. 5 рассмотрим случай общих
(т. е. необязательно абелевых) групп. Случай абелевых групп
обсуждается сначала, так как он проще.
Определение. Пусть S — произвольное множество. Свободной
абелевой группой над множеством S называется абелева группа F
вместе с такой функцией ср: S -+-F, что для любой абелевой груп-
группы А и любой функции \р: S -+А существует такой единствен-
единственный гомоморфизм /: F ->- А, что диаграмма
коммутативна.
Прежде всего покажем, что это определение на самом деле
характеризует свободные абелевы группы над данным множе-
множеством S.
Предложение 3.1. Пусть F и F' — свободные абелевы группы-
над множеством S, заданные вместе с функциями ср: S ->F и-
ф': S -*¦ F' соответственно. Тогда существует такой единствен-
единственный изоморфизм h: F ->F', что диграмма
F
S
коммутативна.
106 У. Шасси. Алгебраическая топология. Введение III.3
Доказательство. Доказательство совершенно анало-
аналогично доказательству предложения 2.2; предоставляем его чита-
читателю.
Следует подчеркнуть, что пока мы дали только определение;
вовсе не ясно, существует ли свободная абелева группа F над
данным множеством S. Более того, если даже F существует, ото-
отображение ф, быть может, необязательно взаимно однозначно
или F не порождается подмножеством <р {S) в смысле определения,
данного в начале этого раздела. Мы ответим на все эти вопросы,
доказав существование группы F и полностью выяснив ее строение.
Упражнение
3.1. Докажите, исходя из определения, что <р (S) иорождает F. [Указа-
[Указание. Исследуйте подгруппу F' группы F, порожденную множеством <р (S).]
В качестве первого шага рассмотрим следующую ситуацию.
Предположим, что {St: i ? /} — семейство непустых подмно-
подмножеств множества S, попарно непересекающихся и таких, что
S=[}St.
Для каждого индекса i ? / пусть Fi будет свободной абелевой
группой над множеством Si, заданной вместе с функцией <рг: St -*¦
-*-Ft. Обозначим через F слабое произведение групп Ft для всех
i ? /, а через r|i: Ft ->F — естественный мономорфизм. Так как
Si попарно не пересекаются, можно определить функцию ф: 5" -*•
—*-F формулой
Ф I St = г)гфг.
Предложение 3.2. При сделанных предположениях F — сво-
свободная группа над множеством S, заданная вместе с функцией
чр: S -+F.
Грубо говоря, это предложение означает, что слабое произве-
произведение любого множества свободных абелевых групп является
свободной абелевой группой.
Доказательство. Пусть А — абелева группа, задан-
заданная вместе с функцией \р: S -+А. Надо доказать, что существует
•единственный гомоморфизм /: F -> А, для которого \j) = /ф. Для
каждого индекса i через iff. Si -> А обозначим сужение функции г|)
на подмножество St. Так как Ft — свободная абелева группа на
множестве St, то существует такой единственный гомоморфизм
III.3 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 107
ft: Ft -*-A, что диаграмма
?>»
C.3.1)
коммутативна. Учитывая основное свойство слабого произведения
групп (теорема 2.1), видим, что существует такой единственный
гомоморфизм/: F -+А, что для любого индекса i диаграмма
C.3.2)
коммутативна. Эти две диаграммы можно объедипить в одну:
F
C.3.3)
Так как ф | St = г]гфг, то для любого индекса i коммутативна диа-
диаграмма
&-&.F
C.3.4)
И, наконец, так как -фг | St для всех i и S = U St, то -ф = /ф.
Для доказательства единственности предположим, что /: F —»-
->А — любой гомоморфизм, обладающий требуемым свойством.
Так как т],: Ft -*• F — мономорфизм, то существует такой един-
единственный гомоморфизм /г: Ft ->A, что диаграмма C.3.2) комму-
коммутативна. Отсюда следует коммутативность диаграммы C.3.1)
для каждого индекса i:
= / (ф I St) = яр | St = г|5г.
108 У» Шасси. Алгебраическая топология. Введение II 1.3
Так как Ft — свободная абелева группа над St (вместе с функ-
функцией фг), то каждый гомоморфизм ft единствен. В силу того что
для каждого индекса i диаграмма C.3.2) коммутативна и F —
слабое произведение групп Ft, гомоморфизм / единствен. Доказа-
Доказательство закончено.
Теперь применим эту теорему. Предположим, что
S = {xt: i ?1}.
Для каждого индекса i обозначим через Si подмножество {xt},
состоящее только из одного элемента, и пусть Ft — бесконечная
циклическая группа, состоящая из всех положительных и отрица-
отрицательных степеней элемента xt:
Ft = {*?: п е Z}.
Обозначим через фг: Si^Ft отображение включения, т.е.
фг (xt) = х\. Ясно, что Ft — свободная абелева группа над мно-
множеством St. Таким образом, выполняются все предположения
предложения 3.2. Поэтому заключаем, что свободная абелева
группа над любым множеством S является слабым произведением
множества бесконечных циклических групп, причем мощность
этого множества равна мощности множества S.
Так как F — слабое произведение групп Ft, то любой эле-
элемент g ? F имеет следующий вид: для любого индекса i компо-
компонента gt равна х"*, где nt ? Z и nt — 0 для всех (кроме конечного
числа) индексов i. Кроме того, функции ф$ определяются так:
для любого индекса / ? /
х\ , если i = /,
х\, если гф].
Из этой формулы ясно, что ф — взаимно однозначное отобра-
отображение.
Так как отображение ф взаимно однозначно, можно, если
угодно, отождествить каждый элемент xt ? S с его образом ф (xt) ?
6 F. Тогда S станет подмножеством в F и каждый элемент g ф 1
группы F можно записать в виде
где все индексы il7 i2, . . ., ik различны, а пг, щ, . . ., nk —
целые числа, все не равные нулю. Эта запись элемента g един-
единственна с точностью до порядка сомножителей. Кроме того, каждое
такое произведение элементов xt представляет единственный эле-
элемент g ф 1 группы F. Отсюда следует, что F порождается своим
подмножеством S = ф (S).
111.3 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 109
Отождествление S и ф (S) — это обычное явление при изуче-
изучении свободных абелевых групп. Когда оно сделано, ф: S-+F
становится отображением включения и зачастую о нем даже
не упоминают.
При другом подходе к свободным абелевым группам опреде-
определяют абелеву группу F как свободную группу над ее подмноже-
подмножеством {zt: i ? 1}а F (т. е. как группу, удовлетворяющую тому
условию, что каждый элемент g Ф I в ней представляется един-
единственным образом в виде C.3.5) с дополнительной оговоркой, что
представление C.3.5) единственно с точностью до порядка сомно-
сомножителей). В самом деле, этот подход был бы, вероятно, легче
того, который мы избрали. Однако, следуя ему, мы могли бы
оказаться в невыгодном положении при переходе к неабелевым
группам и другим интересующим нас ситуациям.
Одну из причин, почему так важны свободные абелевы группы,
выясняет следующее предложение.
Предложение 3.3. Любая абелева группа является гомоморфным
образом свободной абелевой группы, т. е. для данной абелевой груп-
группы А существует свободная абелева группа F и эпиморфизм
/: F -+А.
Доказательство. Доказательство очень простое.
Пусть Scz A — множество образующих группы А (например,
можно было бы взять S — A), a F — свободная группа над мно-
множеством S, заданная вместе с функцией ф: S ->F. Обозначим через
-ф: S -+А отображение включения. По определению существует
такой гомоморфизм /: F -*• А, что /ф = ty. Отсюда вытекает, что
гомоморфизм / должен быть эпиморфизмом, поскольку множество
S выбрано в качестве множества образующих группы А.
Это предложение позволяет придать точный смысл понятию
«нетривиального соотношения между элементами из S», упоми-
упоминавшемуся ранее. Предположим, что A, S, F, f имеют только что
описанный смысл, и определим любой элемент г ф 1 ядра отобра-
отображения / как нетривиальное соотношение между элементами
множества S, Если {rt: i ? 1} — любое множество этих соотноше-
соотношений иг — элемент подгруппы группы F, порожденной элемен-
элементами гг, то говорят, что соотношение г есть следствие соотноше-
соотношений rt. Отсюда вытекает, что г можно представить в виде произве-
произведения элементов rt и обратных к ним. Если множество {rt: i ? 1}
порождает ядро отображения /, то с точностью до изоморфизма
группа А полностью определяется множеством образующих S
и множеством соотношений {rt: i 6 /}. т. е. группа А изоморфна
факторгруппе группы F по подгруппе, порожденной элементами rt.
Ясно, что если S и S' — множества одинаковой мощности,
a F и F' — свободные абелевы группы над S и S' соответственно,
110 У. Массы. Алгебраическая топология- Введение III.3
то F и F' изоморфны. Покажем, что верно и обратное утверждение,
по крайней мере в случае конечных множеств. Для этого введем
следующее обозначение. Если G — любая группа и п — любое
положительное число, то через Gn обозначим подгруппу группы
G, порожденную множеством {gn: g ? G). Если группа G абелева,
то множество {gn: g ? G} всегда будет подгруппой.
Лемма 3.4. Пусть F — свободная абелева группа над множе-
множеством, состоящим из к элементов. Тогда факторгруппа F/Fn
является конечной группой порядка nh.
Доказательство. Доказательство предоставляем чита-
читателю; оно не трудно, если использовать описанную выше точную
структуру свободных абелевых групп.
Следствие 3.5. Пусть S и S' — конечные множества, содержа-
содержащие различное число элементов, a F и F' — свободные абелевы груп-
группы над S и S' соответственна. Тогда F и F' неизоморфны.
Доказательство. Любой изоморфизм между F и F'
должен был бы индуцировать изоморфизм между факторгруп-
факторгруппами F/Fn и F'/F'n, что в силу леммы 3.4 невозможно.
Упражнение
3.2. Докажите, что следствие остается верным, если S — конечное мно-
множество, a S' — бесконечное.
Пусть| F — свободная абелева группа над множеством S. Мощ-
Мощность множества S называется рангом группы F. Мы доказали,
что две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда,
когда они имеют один и тот же ранг, по крайней мере в случае,
когда одна из них конечного ранга.
Закончим этот раздел об абелевых группах кратким обсужде-
обсуждением структуры конечно порожденных абелевых групп. Пусть
А — абелева группа; легко видеть, что множество всех элементов
группы А, имеющих конечный порядок, образует подгруппу,
называемую подгруппой кручения группы А. Если подгруппа
кручения состоит из единственного элемента 1, то А называется
абелевой группой без кручения. С другой стороны, если каждый-
элемент из А имеет конечный порядок, то А называется группой
кручения. Если Т — подгруппа кручения, то очевидно, что фак-
факторгруппа А/Т — группа без кручения. Ясно, что если А и А'
изоморфны, то изоморфны и их подгруппы кручения Т и Т', и их
фактогруппы без кручения А/Т и A'IT'. Обратное утверждение,
вообще говоря, неверно; если Т m T' и А/Т « А'Т', то необя-
необязательно А та А'. Для абелевых групп, порожденных конечным
подмножеством, справедлива следующая теорема, полностью
описывающая их структуру.
III.3 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 111
Теорема 3.6. (а) Предположим, что А — конечно порожденная-
абелева группа, а Т — ее подгруппа кручения. Тогда Т и А/Т также
конечно порождены и группа А изоморфна прямому произведению
Т X А /Т. Таким образом, структура группы А полностью опре-
определяется ее подгруппой кручения Т и ее факторгруппой без круче-
кручения А/Т. (Ь) Каждая конечно порожденная абелева группа без
кручения является свободной абелевой группой конечного ранга.
(с) Каждая конечно порожденная абелева группа Т, совпадающая
со своей подгруппой кручения, изоморфна произведению Сг X
X С2 X . . . X Сп конечных циклических групп Ct порядка eif
где 8; — делитель числа е?+1 для ? = 1, 2, . . ., п — 1. Кроме
того, целые числа еи е2, • . ., еп определяются однозначно группой
кручения Т и полностью определяют ее структуру.
Числа ег, е2, . . ., еп называются коэффициентами кручения-
группы Т. Более общо, если Т — подгруппа кручения группы А,
они называются коэффициентами кручения группы А. Аналогич-
Аналогично ранг свободной группы А/Т называется рангом группы А,
Применяя эту терминологию, можно подытожить теорему 3.6,
заявив, что ранг и коэффициенты кручения составляют полный,
набор инвариантов конечно порожденной абелевой группы.
В теореме 3.6 утверждается, что каждая конечно порожденная
абелева группа представляет собой прямое произведение цикли-
циклических групп. Отметим, что конечно порожденная группа круче-
кручения есть группа конечного порядка.
Здесь будет уместно несколько пояснить упоминающиеся
в теореме 3.6 изоморфизмы. Эти изоморфизмы не яляются есте-
естественными и не определены однозначно. Обычно в каждом случае-
для рассматриваемого изоморфизма существует много различных
выборов, и они одинаково хороши.
Теорема 3.7. Пусть F — свободная абелева группа над множе-
множеством S, a F' — ее подгруппа. Тогда F' — свободная абелева груп-
группа над множеством S', мощность которого не больше мощности
множества S.
Хотя доказательства теорем 3.6 и 3.7 нетрудны, мы их не при-
приводим, так как, строго говоря, они связаны с изучением линейной
алгебры и модулей над областью главных идеалов.
Упражнения
3.3. Приведите пример абелевой группы без кручения, не являющейся
свободной.
3.4. Пусть абелева группа А равна произведению двух циклических
групп порядков 12 и 18 соответственно. Какие коэффициенты кручения у
группы А? (Не забудьте, что коэффициенты кручения должны удовлетворять
условию делимости.)
112
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
III.4
3.5. Приведите пример, показывающий, что в теореме 3.7 подмножество
S с: F и подгруппа F' cz F могут не пересекаться даже и тогда, когда мощ-
жости множеств S и S' равны.
4. Свободные произведения групп
Свободное произведение групп совершенно аналогично слабому
произведению абелевых групп в случае, когда перемножаемые
абелевы группы заменяются любыми группами. (Подчеркнем,
что группы", рассматриваемые в этом разделе, могут быть как
абелевыми, так и неабелевыми, если только не оговаривается про-
противное.)
Определение. Пусть {G,: i ? /} — множество групп и для
каждого индекса i задан гомоморфизм фг группы Gt в фиксирован-
фиксированную группу G. Группа G называется свободным произведением
групп Gt (по отношению к гомоморфизмам ф*), если выполняется
следующее условие: для любой группы Н и любых гомоморфизмов
существует такой единственный гомоморфизм /: G
любого индекса i ? / диаграмма
G
-Н, что для
коммутативна.
Справедливо утверждение о единственности свободных про-
произведений.
Предложение 4.1. Пусть G и G' — свободные произведения
множества групп {б> i ? /} (по отношению к гомоморфизмам
<рг: Gt —*-G и ф{: Gj —>•(?' соответственно). Тогда существует
такой единственный изоморфизм h: G ->-G', что для любого
индекса i ? / диаграмма
G
G'
коммутативна.
III.4 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 113
Доказательство. Доказательство почти дословно пов-
повторяет доказательство предложения 2.2.
Хотя мы определили свободные произведения групп и доказа-
доказали их единственность, мы не доказали, что они всегда сущест-
существуют. Покажем сейчас, что каждый из гомоморфизмов фг в опре-
определении свободного произведения групп является мономорфизмом
и свободное произведение порождается объединением образов
Фг (Gj), а также подробнее исследуем алгебраическое строение
свободного произведения.
Теорема^ 4.2. Для любого множества групп {Gt: i ? /} суще-
существует их свободное произведение.
Доказательство. Определим слово над группами Gt как
конечную последовательность (згх, хг, . . ., хп), где хк для всех
к= 1, 2, . . ., п принадлежит одной из групп Gt, любые два после-
последовательных члена этой последовательности принадлежат разным
группам и ни один член не является единичным элементом никакой
из групп Gj. Число п назовем длиной слова. Введем также пустое
слово, т. е. единственное слово длины 0. Множество всех слов
обозначим через W.
Теперь для каждого индекса i определим действие слева
группы Gt на множестве W (см. приложение В). Пусть g ? Gt
и (хх, . . ., хп) ? W; требуется определить g {хг, . . ., хп).
Случай 1: хг ^Gt. Тогда если g Ф 1, то
g (х1: . . ., хп) = (g, Жц . . ., хп).
Действие g на пустом слове зададим аналогичной формулой, т. е.
g ( ) = g. Если g -. 1, то
g (Хц • • ., Хп) = \Х±, . . ., Xj,).
Случай 2: хх ^ Gi. Тогда
gxi, x2, ¦¦¦, хп), если gxi^l,
(a?2j _ ^ Xnh если №=1<
(Если gxt = 1 и п ¦— 1, то понятно, что g {хг) — пустое слово.)
Мы должны проверить, что для введенного действия группы
Gt на W выполняются требования, предъявляемые к левым опе-
операциям, т. е. для любого слова w
1 w = w,
(gg') w = g {g'w).
Эта проверка тривиальна.
8 У. Масси, Дж. Ствллинге
114 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение III.4
Ясно, что каждая из групп Gt действует эффективно 1). Следо-
Следовательно, каждый элемент g группы G, можно рассматривать
как перестановку множества W, a G, — как подгруппу группы
перестановок множества W (см. приложение В). Обозначим через
G подгруппу группы всех перестановок множества W, порожден-
порожденную объединением всех G*. Тогда G содержит любую группу G,-
в качестве своей подгруппы. Пусть
Ф4: Gt -+G
обозначает отображение включения.
Любой элемент, принадлежащий G, можно представить в виде
конечного произведения элементов из различных подгрупп Gt.
Если два последовательных сомножителя в этом произведении
принадлежат одной и той же подгруппе G*, то очевидно, что их
можно заменить одним. Таким образом, любой элемент g ф 1
группы G можно представить в виде конечного произведения эле-
элементов из всех подгрупп Gt в редуцированном виде, т. е. так, что
никакие два последовательных сомножителя не принадлежат
одной и той же группе и ни один из сомножителей не является
единичным элементом. Мы утверждаем, что представление в реду-
редуцированном .виде любого элемента g Ф 1 группы G единственно:
если
g = gigz • • • gm = W • • • К
— два представления в редуцированном виде, то т = п ш g( = ht
для 1 ^ i ^ т. Чтобы это увидеть, рассмотрим действие переста-
перестановок gigz . . . gm и hji^ . . . hn на пустом слове; результатом
будут слова (g17 g2, . . ., gm) и (\, йг, . . ., hn) соответственно.
Наше утверждение вытекает из того, что эти два слова должны
совпадать.
Ясно, как получить элемент, обратный к элементу из G, записан-
записанному в редуцированном виде, и произведение двух элементов
в редуцированном виде.
Теперь легко проверить, что в действительности G — свобод-
свободное произведение групп G* по отношению к гомоморфизмам ф^.
Для этого предположим, что Н — любая группа, а л|зг: G; ->• Я,
i ? /, — любое множество гомоморфизмов. Определим следующим
образом функцию /: G -*¦ Н. Представим любой элемент g Ф 1
в редуцированном виде
g = 8igz • • • gm, gh 6 G, 1 < k < m,
и положим
/ (g) = (Ьг8д D?i2gi) • • • foiraftn)-
l) To есть никакой элемент g ? G, кроне единичного, не оставляет на
месте всех элементов множества W.— Прим. ред.
Ill А Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 115
Разумеется, мы считаем, что/ A) = 1. Ясно, что/ — гомоморфизм,
который все требуемые диаграммы делает коммутативными.
Также очевидно, что / — единственный гомоморфизм, обладающий
этим свойством. Теорема доказана.
Так как гомоморфизмы фг: Gt -»-G являются мономорфизмами,
обычно каждую группу G, отождествляют с ее образом при отобра-
отображении фг- и рассматривают ее как подгруппу свободного произ-
произведения. В этом случае фг становится отображением включения
и обычно отпадает необходимость явно его упоминать.
Из доказательства теоремы 4.2 следует запомнить два важ-
важнейших факта:
(a) любой элемент g ф 1 свободного произведения можно пред-
представить единственным образом как произведение в реду-
редуцированном виде элементов из групп Gc,
(b) правила перемножения таких произведений в редуциро-
редуцированном виде (и перехода к обратному элементу) очевидны
и естественны.
Эти факты позволяют уяснить строение свободного произведе-
произведения групп.
Пример
4.1. Пусть С[ и Gj - циклические грушщ порядка 2, Gl = {I, xt) и
G2 = {1, х2}- Тогда любой элемент g Ф 1 их свободного произведения можно
единственным образом записать в виде произведения Xi и х2 с чередующимися
я\ и х2. Например,
или
xix1x2,
Отметим, что элементы Хусг и x2xi различны и имеют бесконечный поря-
порядок. Отметим также существенное отличие в этом случае прямого произведе-
произведения групп Gi и G2 от их свободного произведения. Прямое произведение здесь
будет абелевой группой порядка 4, тогда как свободное произведение —
неабелева группа с элементами бесконечного порядка.
Обозначение. Свободное произведение групп Gu G2, . . ., Gn
обозначим через G4 *G2*. . . * Gn или через
IT Gf
ls?fc?n
Свободное произведение семейства групп {Gt: i ? 7} обозначается
через
В-
8*
116 У. Масси» Алгебраическая топология. Введение III.4
Упражнения
4.1. Предиоложим, что {Gt: i ? /} — множество групп, содержащее бо-
более чем одну группу, и каждая из групп состоит более чем из одного эле-
элемента. Докажите, что свободное произведение этих групп неабелево, содер-
содержит элементы бесконечного порядка и его центр состоит только из единич-
единичного элемента.
4.2. Пусть Gi для каждого индекса i обозначает подгруппу группы G;
(нормальную или нет). Докажите, что свободное произведение множества
групп {Gv i ? /} можно рассматривать как подгруппу свободного произве-
произведения групп Gt.
4.3. Пусть {Gt: i ? 1} и {Gv. i ? /} — два множества групп с одним и
тем же множеством индексов /. Предположим, что для каждого индекса
i ? / задан гомоморфизм f{. Gt ->- Gi. Докажите, что существует такой един-
единственный гомоморфизм /: G ->- G' свободного произведения первого множест-
множества групп в свободное произведение второго, что диаграмма
,
J J
коммутативна; для всех I. Покажите, что если /; для всех i является мономор-
мономорфизмом (соответственно эпиморфизмом), то / — мономорфизм (соответствен-
(соответственно эпиморфизм).
4.4. Пусть G и Н — конечные абелевы группы порядков тип соответст-
соответственно, т>1и л > 1. Докажите, что единственные элементы их свободного
произведения G*H, имеющие конечный порядок, — это элементы из G и Н
и все сопряженные с ними. [Указание. Пусть х ? G*H и зЯ = 1. Представьте
х в виде редуцированного слова от элементов из G и Я; затем проведите ин-
индукцию по длине слова.] Выведите отсюда, что максимальный порядок любого
элемента группы G»H (конечного порядка) равен max (то, п).
4.5. Пусть {Gt: i ? /} — множество абелевых групп, a G — их свобод-
свободное произведение по отношению к гомоморфизмам <рг: Gj ->- G. Обозначим че-
через G = Gl[G, G] факторгруппу группы G но ее коммутаторной подгруппе 1)
и через фг- Gi -*¦ G' композицию гомоморфизма фг с естественным гомоморфиз-
гомоморфизмом G -*¦ G'. Докажите, что G' — слабое произведение групп {Gi} по отно-
отношению к гомоморфизмам cpi (т. е. справедливо предложение 2.1).
4.6. Пусть G, H, G' и Н' — циклические группы порядков т, п, то' и
п' соответственно. Если G*H и G'*H' изоморфны, то т = т! и п = п или
т — п' и п — то'. [Указание. Применим к G*H и G'*H' упражнение 4.5;
мы видим, что если «прокоммутировать» 2) G*H и G'*H', то получатся конеч-
конечные абелевы груипы порядков тп и т'п' соответственно. Теперь можно при-
применить упражнение 4.4.]
4.7. Пусть II н Н' — сопряженные подгруппы группы G. Докажите, что
если / — такой гомоморфизм группы G в некоторую другую rpvnnv что
/{Я)= 1, то и /(//')= 1. '
4) Эта терминология и обозначения объясняются в следующем разделе
перед формулировкой предложения 5.3.
2) То есть построить факторгруппы этих групп по их коммутаторным
подгруппам.— Прим. перев.
III.5 Гл. Jilt Свободные группы и свободные произведения 117
4.8. Пусть G — свободное произведение множества групп {Gt: i ? /},
причем Gt Ф {1} для любого индекса i. Докажите, что для любых двух раз-
различных индексов i, i' ? / подгруппы Gt и Gv группы G не сопряжепы. [Указа-
[Указание. Примените упражнение 4.7. Для построения гомоморфизма / группы G
в другое свободное произведение с нужными свойствами используйте уираж-
нение 4.3.]
4.9. Пусть G -- G^*G2 и N — паименьшая нормальная подгруппа группы
G, содержащая Gv Докажите, что факторгрушт G/N изоморфна G2. [Указание.
Используйте упражнение 4.3. Пусть GJ == {1}, GJ = G2, /х: Gx ->¦ G'x — три-
тривиальный гомоморфизм и /2: G2 -*¦ Сг — тождественное отображение. Дока-
Докажите, что N — ядро индуцированпого гомоморфизма /: G -*¦ G'.]
4.10. Предположим, что G допускает два различных разложения в сво-
свободное произведепие
с одним н тем же множеством индексов /. Пусть Gt и Hi для каждого индекса
i ? / обозначают сопряженные подгруппы группы G. Докажите, что Go и Яв
изоморфны. [Указание. Доказательство аналогично доказательству утверж-
утверждения в упражнении 4.9.]
5. Свободные группы
Читатель, возможно, уже догадался, что определение свобод-
свободной группы совершенно аналогично определению свободной абеле-
вой группы.
Определение. Пусть S — произвольное мпожество. Свободной
группой над множеством S (или свободной группой, порожденной S)
называется группа F вместе с такой функцией ф: S -»- F, что для
любой группы Н и любой функции г|>: S ->• Н существует един-
единственный гомоморфизм /: F -*¦ Н, для которого диаграмма
коммутативна.
Точно так же, как и в предыдущих случаях, это определение
полностью характеризует свободную группу. Чтобы быть вполне
точными, сформулируем
Предложение 5.1. Пусть F и F' —• свободные группы над мно-
множеством S, заданные вместе с функциями ф: S -»- F и ф': S -»- F'
соответственно. Тогда существует такой единственный изомор-
118 У. МйССи. Алгебраическая топология. Введение III.5
физм h: F -> F', что диаграмма
S
коммутативна.
Остается доказать, что для любого данного множества S
существует свободная группа над множеством S, и установить
ее основные свойства. Мы проделаем это точно таким же методом,
как и в случае свободных абелевых групп.
Предположим, что
где подмножества 5; непусты и пе пересекаются. Пусть Ft для
каждого индекса i обозначает свободную группу пад множеством
St, заданную вместе с функцией ф*: St -+Fi, a F — свободное
произведение групп Ft по отношению к гомоморфизмам i\t: Ft -*• F
(вспомним, что, как было доказано, т)* на самом деле мономорфиз-
мономорфизмы!). Так как подмножества St не пересекаются, можно опреде-
определить функцию ф: S ->- F по правилу
ф I St =
Предложение 5.2. При сделанных предположениях F — сво-
свободная группа над множеством S по отношению к функции
<р: S ->-F.
За исключением очевидных изменений, доказательство этого
предложения то же, что и предложения 3.2. Поэтому нет необходи-
необходимости еще раз подробно проводить его. Это предложение можно
переформулировать так: свободное произведение любого множе-
множества свободных групп является свободной группой.
Применим это предложение для доказательства существования
свободных групп; это делается так же, как и в случае применения
предложения 3.2 для доказательства существования свобод-
свободных абелевых групп. Подробно это делается так. Пусть S =
= {xt'. i 6 1} — произвольное непустое множество и St — {xt}
для всех i. Обозначим] через Ft бесконечную циклическую груп-
группу, порожденную xt:
Ft = {*?: п € Z},
и пусть ф: Si-^-Fi — отображение включения. Тогда легко
видеть, что Ft — свободная группа над множеством St по отно-
III.5 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 119
шению к отображению фг (как мы увидим позже, этот случай, т. е.
когда S состоит из одного элемента, единственный, при котором
свободная группа над S и свободная абелева группа над S совпа-
совпадают). Все предположения предложения 5.2 выполняются, следо-
следовательно, F — свободная группа над множеством S по отношению
к функции ф: S ->• F. Отметим, что F — свободное произведение
бесконечных циклических групп. На основании того, что мы уже
знаем о свободных произведениях, заключаем, что каждый элемент
g ф 1 свободной группы F можно представить единственным обра-
образом в виде
где хг, х2, . . . , xh — такие элементы из S, что любые два сосед-
соседних элемента различны и щ, пг, . . ., пк — отличные от нуля
целые числа, положительные или отрицательные. Такое представ-
представление элемента g называется редуцированным словом, построенным
на элементах множества S. Чтобы не выделять отдельные случаи,
будем считать, что единичный элемент представляется пустым
словом. Правила построения обратных элементов и произведений
редуцированных слов очевидны.
Отсюда ясно, что функция ф: S —*- F взаимно однозначна
и F порождается подмножеством ф (S) в ранее определенном
смысле.
Часто удобно рассматривать S как подмножество ъ F, а ф —
как отображение включения. Тогда о ф можно вообще не упо-
упоминать.
Упражнения
5.1. Докажите, что свободная группа над непустым множеством S абелева
тогда и только тогда, когда состоит из одного элемента.
5.2. Докажите, что центр свободной группы над множеством, содержа-
содержащим более одного элемента, состоит только из единичного элемента.
5.3. Пусть g и ft — два элемента свободной группы над множеством S,
состоящим более чем из одного элемента. Дайте необходимое и достаточное
условие того, что g и ft сопряжены, в терминах их представлений в виде реду-
редуцированных слов. [Указание. Рассмотрите циклические перестановки множи-
множителей редуцированного слова.]
Закончим этот раздел исследованием связи между свободными
группами и свободными абелевыми группами. Вспомним, что
если х и у — любые два элемента группы G, то [х, у] обозначает
элемент хух~гу~г ? G, называемый коммутатором элементов х и у
(именно в данном порядке). [G, G] означает подгруппу группы G,
порожденную всеми коммутаторами: она называется коммутатор-
коммутаторной подгруппой и, как легко проверить, является нормальной.
Факторгруппа G/\G, G] абелева. Обратно, если N — такая нор-
нормальная подгруипа группы G, что GIN абелева, то N zd \G, G].
120 У- Масси- Алгебраическая топология. Введение III.5
Предложение 5.3. Пусть F — свободная группа над множе-
множеством S по отношению к функции <р: S ->• F, а я: F ->• F/IF, F] —
естественная проекция группы F на факторгруппу. Тогда F/[F, F]—
свободная абелева группа над S по отношению к функции
шр: S -F/[F F]
Доказательство представляет собой хорошее упражнение на
использование определений и фактов, сформулированных в преды-
предыдущем абзаце.
Следствие 5.4. Если F и F' — свободные группы над конечными
множествами S и S', то F и F' изоморфны тогда и только тогда,
когда S и S' содержат одинаковое число элементов.
Доказательство. Любой изоморфизм группы F на F'
индуцирует изоморфизм факторгрупп F/[F, F] и F'I\F', F'\.
Используя предыдущее предложение и следствие 3.5, придем
к противоречию. Этим доказывается необходимость условия,
сформулированного в следствии. Доказательство достаточности
тривиально.
Упражнение
ЬА. Докажите, что следствие 5.4 остается в сило, если S — конечное,
a S' — произвольное множества.
Если F — свободная группа над множеством S, то мощность
множества S называется рангом группы F. Из следствия 5.4 сле-
следует, что ранг — инвариант группы, по крайней мере в случае
свободных групп конечного ранга. Можно также доказать, что
ранг свободной группы будет инвариантом даже тогда, когда он
выражается бесконечным кардинальным числом. Доказательство
представляет собой упражнение скорее из арифметики кардиналь-
кардинальных чисел, нежели из теории групп, и мы его не приводим.
Если F — свободная группа над множеством S по отношению
к функции ф: S —*¦ F, то ф — взаимно однозначное отображение,
и потому обычно удобно считать S подмножеством в F, а ф-
отображением включения; об этом мы уже упоминали. При таком
соглашении S называется базисом группы F. Другими словами,
базис группы F — это такое подмножество Scf, что F — сво-
свободная группа над S по отношению к отображению включения
S ->• F. Свободная группа имеет много различных базисов.
В гл. VI и VII мы докажем несколько важных теорем о сво-
свободных группах.
111.6 Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 121
6. Представление групп с помощью образующих
и соотношений
Начнем с результата, аналогичного предложению 3.3, но отно-
относящегося к произвольным группам.
Предложение 6.1. Любая группа является гомоморфным обра-
образом свободной группы. Точнее если S — любое множество образующих
группы G, a F —• свободная группа над S, то отображение включе-
включения S —>G определяет единственный эпиморфизм группы F на G.
Доказательство такое же, как и у предложения 3.3. Предло-
Предложение 6.1 позволяет придать точный математический смысл выра-
выражению «нетривиальное соотношение между образующими»; это
делается так же, как и для абелевых групп. Между абелевым слу-
случаем и этим есть одно небольшое различие, а именно в абелевом
случае ядром гомоморфизма может быть любая подгруппа, а в не-
абелевом — только нормальная подгруппа. Поэтому случай неабе-
левых групп мы изложим полностью.
•Пусть S — множество образующих группы G, F — свободная
группа над S по отношению к отображению ср: S -> F, г|з: S ->- G—
отображение включения и /: F -*¦ G — единственный гомомор-
гомоморфизм, для которого /ф — г|э. Любой элемент г Ф 1 ядра группы F
по определению является соотношением между образующими
из S для группы G. Как уже было доказано, г можно представить
единственным образом в виде редуцированного слова от элемен-
элементов из S. Так как каждый элемент из S есть также элемент из G,
то редуцированное слово можно рассматривать как произведе-
произведение в G; однако в G это произведение редуцируется к единичному
элементу. Таким образом, благодаря этой схеме, состоящей во вве-
введении свободной группы F над множеством S, мы дали соотно-
соотношению г «право на жизнь». Если {г,-} — любой набор соотноше-
соотношений, то соотпошение г называется следствием соотношений г},
если г содержится в наименьшей нормальной подгруппе группы F,
содержащей все соотношения г,-. В случае когда каждое соотноше-
соотношение является следствием множества соотношений {^}, ядро гомо-
гомоморфизма / полностью определяется множеством {г,-}; оно совпа-
совпадает с пересечением всех нормальных подгрупп группы F, содержа-
содержащих множество {г,}. В этом случае с точностью до изоморфизма
группа G полностью определяется множеством образующих S
и множеством соотношений {г;}, так как она изоморфна фактор-
факторгруппе группы F по наименьшей нормальной подгруппе, содер-
содержащей множество {г]}. Такое множество соотношений называется
полным.
122 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение III.6
Определение. Непредставлением 4) группы G называется пара
(S, {Г]}), состоящая из множества образующих группы G и полного
множества соотношений между ними. Копредставление назы-
называется конечным, если S и {rj} — конечные множества; группа G
называется конечно копредставимой, если она имеет по крайней
мере одно конечное копредставление.
Подчеркнем, что любая группа допускает много различных
копредставлений, которые могут быть совершенно непохожими
друг на друга. И обратно, зачастую почти невозможно определить,
изоморфны ли две группы, заданные разными копредставлениями
(S, {Г;}) И (S', {Г'к}).
Примеры
6.1. Циклическая группа порядка п допускает копредставление с одной
образующей х и одним соотношением хп.
6.2. Позже мы докажем, что фундаментальная группа бутылки Клейна
допускает (среди других) два различных копредставлення:
(a) две образующие а и Ъ и одно соотношение ЬаЪа-1;
(b) две образующие а и с и одно соотношение а2с2.
В этом случае связь между двумя копредставлениями очень проста: с — Ъа-1,
или Ъ = са. Точнее обозначим через F (а, Ь) и F (а, с) свободные группы над
множествами {а, 6} и {а, с) соответственно. Определим гомоморфизмы /:
F (а, Ь) -*¦ F (а, с) и g: F (а, с) ->- F (а, Ъ) условиями
/ (а) = a, f F) = са,
g (a) = a, g (с) = 6а.
Непосредственно из определения свободной группы вытекает, что эти усло-
условия однозначно определяют гомоморфизмы. Вычисляем:
g [f (a)] = a, g[f (b)] = b,
f [g (a)] = a, f[g (c)] = с
Таким образом, gf — тождественное отображение группы F (я, Ь) на себя,
a fg — тождественное отображение группы F (а, с) на себя, так что / и g —
взаимно обратные изоморфизмы. Далее проверяем, что
aV = с [/ (ЪаЬа-1)] с,
ЪаЪа-1 = (ba-1) [g (aV)] (Ьа).
Следовательно, нормальная подгруппа группы F (а, Ь), порожденная эле-
элементом ЬаЬа~Л, и нормальная подгруппа группы F (а, с), порожденная эле-
элементом Л5, переходят друг в друга при изоморфизмах fug. Поэтому / и g
индуцируют изоморфизмы соответствующих факторгрупп.
*) В оригинале "presentation" — представление. Чтобы не путать два зна-
значения русского слова (второе широко используемое его значение —, гомомор-
гомоморфизм в известную группу, например перестановок или линейных преобразо-
преобразований) и чтобы подчеркнуть двойственность этих значений, переводчик
книги Кроуэлла и Фокса [1] предложил термин «копредставление», который
получил распространение. Говорят также «задание группы».— Прим-
перев.
111.7 Гл. III. Свободные группы, и свободные произведения 123
Отметим, что суть приведенных рассуждений содержится в простых
вычислениях:
(a) если Ъ — са, то ЬаЪа-1 = сс?с и а*с2 = с [baba'1] с;
(b) если с = Ъа-1, то Л2 = аЧа~Ча-1 и baba-1 = (Ъа-1) (Лг) (Ьа).
6.3. Рассмотрите два копредставления групп:
(a) две образующие а и b и одно соотношение as6"s;
(b) две образующие х я у я одно соотношение хуху~1х~1у~г.
Мы утверждаем, что эти копредставления задают изоморфные группы. Связь
между двумя парашг образующих выражается системой уравнений
а = ух, Ь = у2х,
х = aba, у = Ьа.
Предоставляем читателю провести подробные вычисления. В разд. IV.6 мы
увидим, что это копредставление является копредставлением фундамен-
фундаментальной группы некоторой окружности, заузленной в евклидовом 3-про-
странстве.
При работе с группами, заданными копредставлениями, зача-
зачастую удобно выбрать менее формальный подход. Проиллюстри-
Проиллюстрируем нашу мысль на примере 6.3. Группа G в копредставлении (а)
будет факторгруппой свободной группы F с двумя образующими
а и Ь по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей эле-
элемент a3b~2. Обозначим образы образующих а и Ь в группе G теми
же символами а и Ь. Тогда в группе G будет а?Ь~2 = 1, или о3 =
= Ь2. При вычислениях, проводимых с элементами группы G
(т. е. с произведениями степеней элементов а и Ь), можно там,
где удобно, использовать уравнение о3 = б2.
Упражнение
6.1. Предположим, что группы Gx и G2 заданы своими копредставления-
копредставлениями. Покажите, как получить копредставления прямого произведения Gx X Goi
свободного произведения GX*G2 и коммутаторной факторгруппы G-yllGx, Gj].
7. Задачи универсального отображения
В предыдущих разделах настоящей главы мы определили
и изучили следующие алгебраические объекты: слабые произве-
произведения абелевых групп, свободные абелевы группы, свободные
произведения групп и свободные группы. В каждом из этих слу-
случаев алгебраический объект представлял собой систему, состоящую
из двух объектов и отображения между ними, например ср: S ->
—>• G. Система характеризовалась некоторой треугольной дна-
124 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение 1II.7
граммой, например
Читатель помнит, что объект Н и отображение я)) в этой диаграмме
или выбирались совершенно произвольными, или могли удовле-
удовлетворять лишь незначительным ограничениям. И, наконец, тре-
требовалось существование единственного отображения /, превра-
превращающего диаграмму в коммутативную.
Обычно на такую характеризацию системы ср: S -*- G ссы-
ссылаются, заявляя, что эта система (или просто объект G) служит
решением «задачи универсального отображения». В следующей
главе мы увидим другой важный пример задачи универсального
отображения. В последние годы определение или характеризация
математических объектов как решения задачи универсального
отображения стало делом довольно обычным. Например, один
из наиболее известных современных алгебраистов Шевалле напи-
написал учебник по алгебре [11], в котором задачи универсального
отображения составляют одну из главных тем.
Если математический объект определяется или характери-
характеризуется как решение задачи универсального отображения, то
можно доказать (методом, применяемым при доказательстве пред-
предложения 2.2), что с точностью до изоморфизма этот объект един-
единствен. На самом деле уже сам изоморфизм определяется одно-
однозначно!
Другой вопрос — существование объекта, удовлетворяющего
данной задаче универсального отображения. Читатель заметит,
что из четырех обсуждаемых в этой главе случаев по крайней
мере в трех даны различные конструкции для доказательства
существования решения. Однако в каждом случае труд, затра-
затраченный на доказательство существования, вознаграждается глу-
глубоким проникновением в структуру рассматриваемого математи-
математического объекта.
Для доказательства существования решений задач универ-
универсального отображения есть довольно общий метод (см. Бурбаки
[9] и Самюэль [10]). Но он абсолютно не раскрывает математиче-
математическую структуру решения, а является чистым доказательством
существования.
Приведем два примера характеризации математических объек-
объектов как решений задач универсального отображения. Они служат
для иллюстративных целей и в последующих главах не исполь-
используются.
Гл. III. Свободные группы, и свободные произведения 125
Примеры
7.1. Свободное коммутативное кольцо с единицей. Пусть Z [xlt x2, ...
. . ., хп], как обычно, означает кольцо всех полиномов с целочисленными коэф-
коэффициентами от переменных хг, х2, . . ., хп. Каждый ненулевой элемент коль-
кольца можно единственным образом представить в виде конечной линейной ком-
комбинации с целочисленными коэффициентами мономов х\*х\2, . . ., х%п, где
&i, k2, . . ., кп — неотрицательные целые числа. Это кольцо можно рассмат-
рассматривать как свободное коммутативное кольцо с единицей, порожденное множе-
множеством S = {хъ х2, .... хп). Сформулируем точнее: пусть <р: S -*¦ Z [хъ . . .
. . ., хп] — отображение включения. Тогда для любого коммутативного
кольца R (с единицей) и любой функции Ир: S ->• R существует такой единст-
единственный кольцевой гомоморфизм /: Z [хъ . . ., хп] -*¦ R (с / A) = 1), что диа-
диаграмма
коммутативна.
7.2. Компактификация Стоуна —¦ Чеха. Для любого тихоновского про-
пространства определяется некоторое компактное хаусдорфово пространство
Р (X), содержащее X в качестве всюду плотного подмножества; оно назы-
называется компактификацией Стоуна — Чеха пространства X. Пусть <р: X -*¦
-*¦ Р (X) — отображение включения. Тогда получаем следующую характери-
зацию: для любого компактного хаусдорфова пространства У и любого не-
непрерывного отображения ty: X -*¦ Y существует такое единственное непрерыв-
непрерывное отображение /: Р (X) -»- У, что диаграмма
коммутативна. Подробное обсуждение можно найти в книге: Келли Дж.,
Общая топология, изд-во «Наука», М., 1968, стр. 206.
Точную аксиоматическую формулировку общей задачи уни-
универсального отображения и дальнейшие примеры см. в книгах
Бурбаки [9] и Самюэль [10].
ПРИМЕЧАНИЯ
Определение свободных групп, свободных произведений и т. д.
Понятия свободной абелевой группы, свободной группы, свободного
произведения групп и т. д. довольно старые. Основное различие между со-
современным подходом к ним и более старыми состоит в способе задания этих
126 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
алгебраических объектов. Раньше они определялись в тех понятиях, кото-
которые сейчас считаются лишь некоторыми из характеристических свойств.
Например, свободная группа над множеством S определялась как множество
классов эквивалентности «слов», составленных из элементов множества S.
С логической точки зрения против такой процедуры не может быть возраже-
возражений. Однако с точки зрения общих представлений невыгодно, что определе-
определение каждого вида свободного объекта требует особого искусства и воображе-
воображения и попросту может оказаться трудной проблемой. Идея определения сво-
свободного объекта как решения задачи универсального отображения, которая
понемногу развивалась со времени второй мировой войны и непосредственно
после нее, кажется одной из важных объединяющих идей в современной ма-
математике.
Элегантное доказательство существования свободных произведений групп
(теорема 4.2), которое оказалось проще уже известного, принадлежит Ван-
дер-Вардену (Атег. J. Math., 70 A948), 527—528). В более поздней статье
(Ргос. Коп. Ned. Akad. Weten (series A), 69 A966), 78—83) Ван-дер-Варден по-
показал, как применяется основная идея приема, использованного при доказа-
доказательствах теоремы 4.2, в доказательстве существования решений задач уни-
универсального отображения во многих других алгебраических ситуациях.
Различные уровни абстракции в математике
На первых порах материал этой главы может показаться читателю не-
несколько странным. Причина, по-видимому, состоит в том, что уровень аб-
абстракции, принятый здесь, выше, чем в тех разделах математики, которые
читатель изучал раньше.
Чтобы пояснить это высказывание, попытаемся кратко описать уровни
абстракции, которые, на наш взгляд, естественно различать в математике.
Самый низкий уровень абстракции принят в средней школе и на первых
годах обучения в высшей школе. Этот уровень характеризуется изучением
немногих очень простых математических объектов, таких, как целые, рацио-
рациональные, действительные и комплексные числа, евклидова плоскость и др.
Следующий уровень абстракции принимается, когда выделяются некоторые
общие свойства различных конкретных математических объектов, и выделен-
выделенные свойства рассматриваются сами по себе. Это приводит к изучению таких
абстрактных и общих математических систем, как группы, кольца, поля, век-
векторные пространства и т. д. Обычно изучающие математику переходят к это-
этому уровню абстракции спустя некоторое время своих занятий в высшей шко-
школе.
Материал данной главы представляет собой введение в следующий, еще
более высокий уровень абстракции. Как было указано в примере 4.1, слабое
прямое произведение двух абелевых групп Gx и G2 и их свободное произведе-
произведение G!*GS — совершенно различные типы групп. Однако между слабым пря-
прямым произведением абелевых групп и свободным произведением произволь-
произвольных групп можно провести аналогию. Чтобы понять ее, надо рассмотреть
категорию всех абелевых групп и категорию всех (т. е. необязательно абе-
абелевых) групп соответственно. Это характерно для следующего уровня абстрак-
абстракции: одновременное рассмотрение всех математических систем (например,
групп, колец, топологических пространств) определенного вида и исследо-
исследование свойств такого множества математических систем.
История математики примерно в последние два столетия характеризуется
изучением математических систем высоких уровней абстракции. По-види-
По-видимому, эта тенденция сохранится и в будущем. Однако следует подчеркнуть,
что такой ход развития не имеет своей целью абстракцию ради нее самой.
Скорее он вынуждает математиков отыскивать аналогии между явлениями, ка-
казалось бы, совсем далекими друг от друга.
, Гл. III. Свободные группы и свободные произведения 127
Представление групп с помощью образующих и соотношений
Подчеркнем, что определение группы с помощью образующих и соотно-
соотношений во многом довольно неудовлетворительно, так как некоторые из наи-
наиболее естественных проблем, возникающих в связи с копредставлениями
групп, очень трудны или же вообще неразрешимы. Дальнейшее обсуждение
этого вопроса можно найти в учебнике Куроша [2] или Ротмана [4].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, изд-во «Мир», М., 1967,
гл. III и IV.
2. Курош А. Г., Теория групп, изд-во «Наука», М., 1967, гл. IX и X.
3. Рейдемейстер (Reidemeister К.), Einfiihrung in die kombinatorische Topo-
logie, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932, Chapter II.
4. Ротман (Rotman J. J.), The theory of groups, Boston: Allyn and Bacon,
1965, Chapter 11.
5. Скотт (Scott W. R.), Group theory, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall,
1964, Chapter 8.
6. Холл М., Теория групп, изд-во «Мир», М., 1962, гл. 7 и 17.
7. Шенкман (Schenkman E.), Group theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand,
1965, Chapter V.
8. Шпехт (Specht W.), Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften, Band LXXXII), Berlin — Gottingen — Heidelberg:
Springer-Verlag, 1956, Chapters 2.1 and 2.2.
Задачи универсального отображения
9. Бурбаки Н., Теория множеств, изд-во «Мир», М., 1965.
10. Самюэль (Samuel P.), On universal mappings and free' topological groups,
Bull. Amer. Math. Soc, 54, A948), 591—598.
11. Шевалле (Chevalley C), Fundamental concepts of algebra, New York:
Academic Press, 1956.
Глава IV
ТЕОРЕМА ЗЕЙФЕРТА - ВАН КАМПЕНА
О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ
ДВУХ ПРОСТРАНСТВ. ПРИМЕНЕНИЯ
1. Введение
Пока мы определили строение фундаментальной группы лишь
для некоторых пространств (например, для стягиваемых про-
пространств, для окружности). Чтобы иметь возможность применять
фундаментальную группу в более широком круге задач, надо
определить ее строение для большего числа пространств. Для
этого в настоящей главе мы разовьем довольно общий аппарат.
Пусть требуется определить фундаментальную группу линейно
связного пространства X, представляемого в виде объединения
двух своих линейно связных подпространств U и V, фундамен-
фундаментальные группы которых известны. Выберем базисную точку
х» € U П У', естественно ожидать, что между группами я (U, хи),
я (V, ж0) и я (X, х0) должна быть определенная связь. В основ-
основной теореме этой главы (полученной независимо Зейфертом и ван
Кампеном) утверждается, что если U и V — открытые множества
и их пересечение U (] V линейно связно, то группа я (X, х0)
полностью определяется следующей диаграммой групп и гомо-
гомоморфизмов:
Здесь отображения ср2 и ср2 индуцированы отображениями вклю-
включения. Способ определения группы я (X, х0) с помощью этой
диаграммы можно приблизительно описать так. Диаграмму мож-
можно дополнить до коммутативной диаграммы
T(U П V) > тг(Х). D.1.2)
IV..2 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 129
Все стрелки здесь означают гомоморфизмы, индуцированные
отображениями включения, а базисная точка х0 опущена. Тогда
в теореме Зейферта — ван Кампепа утверждается, что л (X) —
группа, обладающая наибольшей возможной свободой, которую
можно использовать для того, чтобы замкнуть диаграмму D.1.1)
до коммутативной диаграммы D.1.2). Как обычно, выражению
«наибольшая возможная свобода» будет придан точный смысл
в рамках некоторой задачи универсального отображения.
На самом деле мы сформулируем и докажем более общий вари-
вариант теоремы, в котором в качестве пространства X возьмем объе-
объединение необязательно двух, но любого числа линейно связных
открытых подмножеств. Этот более общий вариант теоремы дока-
доказывается ненамного труднее, а в некоторых ситуациях именно
его и приходится применять. После завершения доказательства
теоремы Зейферта — ван Кампена мы сформулируем несколько
следствий и с их помощью определим строение фундаментальных
групп различных компактных поверхностей и некоторых других
пространств. В последнем разделе покажем, как применять эти
методы для различения некоторых узлов.
2. Формулировка и доказательство теоремы
Зейферта — ван Кампена
Прежде всего дадим точную формулировку теоремы. Пусть U
и V — такие линейно связные открытые подмножества про-
пространства X, что X — U U V и пересечение U П V непусто
и линейно связно. Для всех рассматриваемых фундаментальных
групп выберем базисную точку х0 ? U Q V.
Теорема 2.1. Пусть Н — любая группа, р1г р2 и р3 — такие
гомоморфизмы, что диаграмма
*(U r\ V) —^ Н
9 У. Масси, Дш. Столлинго
130 У. Маеси. Алгебраическая топология. Введение JV.2
коммутативна. Тогда существует такой единственный гомомор-
гомоморфизм а: л (X) -*¦ Н, что три диаграммы
7Г(Х) 7Г(Х) 7Г(Х)
" "я г- ^я "я
коммутативны. (Здесь гомоморфизмы фг и т|эг, i = 1, 2, 3, инду-
индуцированы отображениями включения.)
Методом, описанным в гл. III, можно доказать, что этой тео-
теоремой группа л (X) характеризуется с точностью до изоморфизма.
Точную формулировку и доказательство этого факта предоставляем
читателю.
Дадим теперь обобщение теоремы Зейферта — ван Кампена.
Это обобщение заключается в том, что пространство X покры-
покрывается любым числом открытых подмножеств, а не только двух,
как в теореме 2.1. Разумеется, все открытые множества должны
быть линейно связными и пересечение любого конечного числа
их также должно быть линейно связпым и содержать базисную
точку. Итак, предположим, что
(a) X — линейно связное топологическое пространство и
™ г V.
Zo С Л,
(b) {U\: X ? Л} — покрытие пространства X такими линейно
связными открытыми множествами, что х0 ? Ux для всех
X ? Л;
(c) для любых двух индексов Кг, Я2 6 Л существует такой
индекс К ? Л, что С/х, f] Uhl = U% (т. е. семейство мно-
множеств {С/х} замкнуто относительно конечных пересечений).
Рассмотрим фундаментальные группы этих различных множеств
с базисной точкой х0. Для краткости мы будем в обозначениях
опускать базисную точку.
Если Ux d С/ц, то через
л (С/у,)
обозначим гомоморфизм, индуцированный отображением вклю-
включения. Аналогично для любого индекса К отображение
i|V л (С/я) -»- л (X)
IV.2 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 131
индуцировано отображением включения Е/\ -> X. Отметим, что
если их а ии, то диаграмма
коммутативна.
Теорема 2.2. При сделанных предположениях группа л (X)
удовлетворяет следующему условию универсального отображения.
Пусть Н — любая группа и рх: л (Ux) -> Н — любой набор гомо-
гомоморфизмов, определенных для всех К 6 Л так, что если Ux a U^,
то диаграмма
Я
коммутативна. Тогда существует такой единственный гомомор-
гомоморфизм а: л (X) -*¦ Н, что для любого индекса Я, 6 Л коммутативна
диаграмма
тг(Х)
7ГA/Х)
Кроме того, это условие универсального отображения характе-
характеризует л (X) с точностью до единственного изоморфизма.
Доказательство последнего утверждения теоремы — дело стан-
стандартное, и его мы предоставляем читателю. Мы докажем сейчас
остальные утверждения теоремы. Применения теоремы даны
в разд. 3—6.
Лемма 2.3. Группа л (X) порождена объединением образов
% [л @^I. * 6 Л.
9»
132 У. Масси Алгебраическая топология. Введение IV.2
Доказательство. Пусть а ? я (X); выберем петлю
/: /->¦ X, представляющую а. Возьмем целое число п настолько
большим, чтобы число \1п было меньше лебегова числа открытого
покрытия {/"* (V\): X ? Л} компактного метрического простран-
пространства /. Разобьем интервал / на замкнутые подынтервалы Jt =
= [i/n, (i + 1)/и], 0 ^ i ^ п — 1. Для каждого подинтервала Jt
выберем такой индекс Xt ? Л, что / (/,) cr U.K.. Рассмотрим
в U%и1 П Uk. путь gt, соединяющий точку х0 с точкой / (i/n),
1 ^ i ^ п — 1. Обозначим через ft: I -> X путь, представлен-
представленный композицией
hi
где hi — единственный сохраняющий ориентацию линейный гомео-
гомеоморфизм. Тогда fo-gi1, gi-fi-g2l, g2-U-g~3l, • • •, gn-t-fn-2-g'n-u
gn-i'fn-i— замкнутые пути, каждый из которых содержится
целиком в одном из открытых множеств U\ и произведение их
в указанном порядке эквивалентно /. Следовательно,
а = aQ'ax'O.2- . . . •«„_!,
где
«I €4>х, [« @х,)Ь 0<i<i»-l.
Лемма доказана.
Замечание. Предположения этой леммы можно было немного
ослабить. Действительно, важно лишь, чтобы {UK} было таким
открытым покрытием пространства X, что все множества U%
и пересечение любых двух из них линейно связны. Линейная свя-
связность пересечения"трех мпожеств не имеет значения.
Доказательство теоремы 2.2. Пусть Н — любая
группа и ра,: я (Ux) -*¦ Н, К ? Л, — множество гомоморфизмов,
удовлетворяющих условиям теоремы. Мы должны показать, что
существует единственный гомоморфизм а: я (X) -> Н, превра-
превращающий для всех Я, 6 Л диаграмму
я
в коммутативную. Если такой гомоморфизм 0 существует, то
в силу леммы 2.3 он единствен и должен определяться по еле-
IV.2 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 133
дующему правилу. Пусть( а ? я (X). Тогда по лемме 2.3
. •%„(«„), D.2.1)
где at 6 я (#\.), i = 1, 2, . . ., га. Поэтому если гомоморфизм ст
существует, то
... рлп(а„). D.2.2)
Наша стратегия состоит в том, чтобы взять уравнение D.2.2)
в качестве определения гомоморфизма a. Чтобы определение было
корректным, мы должны показать, что оно не зависит от выбора
представления элемента а в виде D.2.1). Ясно, что в этом случае a
будет гомоморфизмом и диаграмма, указанная в условии теоремы,
будет коммутативной.
Для доказательства независимости а от способа представле-
представления а в виде D.2.1) достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 2.4. Пусть р*г ? я (?7a,,), i = 1, 2, . . ., q, и
^(РЛ-Фх, №*)•••¦ 'Фи, (Р„> = 4-
Тогда
P*.t (Pi) -Рха (Р«) • - - • •Рх,(Рв) = 1-
Доказательство. Выберем замкнутые пути
представляющие р\ для i = 1, 2, . . ., q. Ясно, что произведение
Дфх,(Р|)
представляется замкнутым путем /: [0, 1] -> X, определенным
равенствами
По предположению путь / эквивалентен постоянному пути. Сле-
Следовательно, существует такое непрерывное отображение
F: I X /-> X,
что для любых s, t (: I
F (*, 0) = / (*),
/¦(*, 1) = F@, i) = F(l, t) = x0.
Обозначим через е лебегово число открытого покрытия
{F'1 {Ui): К ? Л} компактного метрического пространства 1x1
(метрика на / X / вводится как на подмножестве евклидовой пло-
134 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение IV.2
скости). Разобьем квадрат I x / на малые прямоугольники диа-
диаметра <е. Для этого выберем числа
s0 == ", 5l» S2' • •' •« sm == 1»
t0 = U, ti, t2, • • м tn = 1
так, чтобы выполнялись условия:
(a) s0 <$! <s2 <. . . <sm и t0 <tj. <t2 < <f;
(b) б 1/ 2/ ( /
() 0 <! <2 0 <j. 2 < <n;
(b) дроби 1/g, 2/g, . . ., (g — l)/g содержатся среди чисел
(c) если разбить единичный квадрат / X / на прямоуголь-
прямоугольники вертикальными и горизонтальными прямыми s = st
(i = 0, 1, . . ., т), t = tj (j = 0, 1, . . ., n), то длина
диагонали каждого прямоугольника будет меньше е. Ясно,
что такое разбиение возможно.
Обозначим вершины, ребра и прямоугольники получившегося
разбиения следующим образом.
Вершины:
vu — (si? */)> 0 ^ i ^ /n, 0 <; у <; п.
Подинтервалы в / = [0, 1]:
Ji = [Sj_i, Si), 1 --^ i < т,
Kj = [tj-ь tt], 1 </<n.
Прямоугольники:
RH = Ji X Kj> 1 < i < m, 1 ^ / ^ ra.
Горизонтальные ребра:
агу == /г X [fj], 1 < i < /n, 0 < / < w.
Вертикальные ребра:
bu = {st} X Kj, 0 < i < m, 1 < 7 < w.
На рис. 4.1 указан один из прямоугольников разбиения и обозна-
обозначены его вершины и ребра. Введем также обозначения для неко-
некоторых путей:
Аи: Jt -+ X, Atj (*) = F (s, tj), s 6 /|,
Bt]: K,-+X, Вu (t) = F (*,, t), t? Kj.
Допуская небольшую вольность в обозначениях, можно записать
IV.2
Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена
135
Для каждого прямоугольника Rtj выберем такое открытое мно-
множество и^а.]), что
F(RU) <= ^не-
^невозможность такого выбора обеспечивается условием (с). Каж-
Каждая вершина г>м является вершиной четырех прямоугольников
Рис. 4.1. Обозначения, используемые при доказательстве лем-
леммы 2.4.
RM для некоторых значений индексов к и I; обозначим через
UvlU,}) пересечение открытых множеств UMk,i> Для этих же
значений индексов к и I. Тогда U^а, у, — открытое множество
из данного покрытия и
Выберем путь
ft,:
с начальной точкой х0 и конечной F (иц); если F {vtj) = х0, то
потребуем, чтобы путь gtj был постоянным.
Введя эти необходимые обозначения, докажем теперь
Утверждение. Пусть U% и U^ — два множества из заданного
открытого покрытия пространства X и
h: I -»{/>.[)
h @) = h A) = х0,
136 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение IV.2
— петля в точке х0. Пусть а ? я (U%, х0) и р ? л (U ^, xQ) —
классы эквивалентности одной и, той же петли h в двух разных
группах. Тогда р^ (а) = р^ (р).
Доказательство утверждения. По предполо-
предположению множество Uv = Ux \\ U^ принадлежит покрытию и h
представляет элемент у ? я (Uv, x0). Ясно, что
а = 4>ч\ (У), Р = <Pvn (?)•
Следовательно,
Рх («) = P\4>vk (У) = Pv (V)'
Ри (Р) = P^vn (?) = Pv (?)•
откуда и вытекает доказываемое утверждение.
Это утверждение позволяет несколько отклониться от приня-
принятых обозначений. Элемент р^ (а) = р^ (р) g H можно обозначить
через р (h); неважно, где взят класс эквивалентности петли h —
в группе я (U\) или в группе я (?7U).
Приняв это соглашение, положим
аи = Р
Здесь (gij)'1 означает путь t-*- gtj A — t). Отметим, что как ai},
так и ргу — корректно определенные элементы группы Н.
Мы утверждаем, что для каждого прямоугольника Rtj в груп-
группе Н выполняется соотношение
«-i.j-iPu = Pi-i.jao- D.2.3)
Для доказательства отметим эквивалентность между (незамкну-
(незамкнутыми) ПуТЯМИ В Uш, jy
Эта эквивалентность следует из леммы II.8.1, примененной к ото-
отображению F | Rtf. Fti]-*- UMitj), и упражнения II.3.3. В резуль-
результате получаем эквивалентность между замкнутыми путями
в Uut.a'
gi-i, i-iAi. t-i (git .мГ1 gu i-iBu (gu)-1 ~
- gt-i, i-iBi-u j (gt-i, iT1 ft-i. jAti (gij)-1. D.2.4)
Если в обеих частях соотношения D.2.4) перейти к классам экви-
эквивалентности в я (Uuui)), а затем применить гомоморфизм Рмг.Я'
то получим уравнение D.2.3). (Примечание. Так как произведение
путей не ассоциативно, то, строго говоря, в D.2.4) должны стоять
скобки. Однако в конечном счете они не играют роли.)
IV.2 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 137
Далее нам понадобится соотношение
Д Д D-2.5)
которое вытекает из определений, проведенных построений и тре-
требования (Ь) о том, чтобы точки 1/д, 21 q, . . ., (q — l)/g принадле-
принадлежали множеству {st: О < i <.m}.
Наконец, граничные условия:
«I» = If 1<;<т, D.2.6)
Poj = 1. 1^7 < и. D.2.7)
Они вытекают из того, что для любых s, t ? I
F (s, i) = F @, t) = F A, 0 = x0.
Учитывая соотношение D.2.5), мы должны доказать, что
Паю=1- D-2.8)
i=i
Докажем это, пользуясь соотношениями D.2.3), D.2.6) и D.2.7).
Сначала покажем, что
т т
11«иы= {[*и D-2.9)
i=i i=i
для любого целого индекса /, 1^/^га. Действительно,
«1, ы«2, j-i ••¦ «m, m = <*i. i-i<*s, i-i ¦¦¦ а-т. )-$mi (B силу D.2.7))
= «1, j-l«2, )-l ••¦ «m-l. j-lPm-1, jO-mj (» СИЛу D.2.3))
z,i-i ... pm-2,jam_i,jamj (в силу D.2.3))
(в силу D.2.3))
... am-it}am] (в силу D.2.7)).
Соотношение D.2.3) надо применить т раз. Если теперь приме-
применить D.2.9), полагая / последовательно равным 1, 2, . . ., и,
то получим
т т
Ц аго= [] ain.
t=l i=l
Но на основании D.2.6)
IifB
t=l
На этом заканчивается доказательство соотношения D.2.8) и, сле-
следовательно, леммы 2.4.
138 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение /F.3
3. Одно из применений теоремы 2.1
Предположим, что, как и в формулировке теоремы 2.1, про-
пространство X можно представить в виде объединения таких откры-
открытых множеств U и V, что U, V и U ("| V линейно связны. Пусть
фг- и ipi обозначают то же, что и в разд. 2.
Теорема 3.1. Если пересечение U [\ V односвязно, то я (X) —
свободное произведение групп п (U) и я (V) по отношению к гомо-
гомоморфизмам %: я (U) -*¦ я (X) и г|J: я (F) -*¦ я (X).
Доказательство. Теорема непосредственно следует
из теоремы 2.1. Если я (U ("| V) = {1}, то диаграмма
тг(и n F) » Я
\
коммутативна для любого выбора рх и р2; таким образом, эти два
гомоморфизма совершенно произвольны, тогда как гомоморфизм
р3 определен однозначно. Аналогично диаграмма
РЗ
коммутативна для любого выбора а; требование коммутативности
не налагает никаких условий на 0. Остальные два условия на 0
в теореме 2.1 точно такие же, какие были в определении свобод-
свободного произведения двух групп.
Приведем несколько примеров, в которых применяется эта
теорема. В свою очередь эти примеры применяются дальше для
изучения других примеров.
Примеры
3.1. Пусть X — такое пространство, что X — A U fli ^ П ^ = {^о}.
А иВ гомеоморфныокружности Si(си. рис. 4.2). Пространство X можно пред-
представлять себе в виде кривой в форме восьмерки.
IV.3 Гл. IV. Теорема Зейферта — еан Кампена 139
Если бы А и В были открытыми подмножествами в X, то для определе-
определения строения группы я (X) можно было бы применить теорему 3.1, взяв U =
— А и V — В. К сожалению, А и В не открыты.
Однако с небольшим видоизменением ее все же можно применить. Выбе-
Выберем такие точки а ? А и Ъ 6 В, что а Ф х0 и Ь Ф хв. Пусть U = X — {6}
и V — X — {а}. Тогда U и V гомеоморфны окружности с двумя «усами».
Ясно, что А и В — деформационные ретракты множеств U и V соответствен-
соответственно, а пересечение U Г\ V = X — {а, Ь} стягиваемо и, следовательно, одно-
связно. Поэтому я {X) — свободное произведение групп я (?0 и я (V), или,
что эквивалентно, групп я {А) и я (В) (так как п (А) ж я (U) и я (В) ж
х я (У)). Так как А и В — окружности, то я (Л) и я (В) — бесконечные
циклические группы. Следовательно, я (X) — свободное произведение двух
Рис. 4.2. Пример 3.1: кривая в форме восьмерки.
бесконечных циклических групп; в силу предложения III.5.2 я (X) — сво-
свободная группа с двумя образующими. В качестве образующих можно взять
классы а и Р петель в точке х0, обегающих по одному разу множества А и В
соответственно.
3.2. Пусть Е2 — замкнутый единичный диск в плоскости, а и Ъ — раз-
различные его внутренние точки иУ=Р — {а, Ь}. Легко найти подмножество
X'a Y, представимое в виде объединения двух окружностей, пересекающихся
лишь в одной точке, как в примере 3.1, и такое, что X — деформационный
ретракт для У (см. рис. 4.3). Следовательно, я (У) zz я (X) и я (У) — сво-
свободная группа с двумя образующими. В качестве образующих можно взять
классы аир петель в точке хй, обегающих по одному разу «дыры» а и Ь соот-
соответственно.
Существует экспериментальная физическая проверка этого результата,
обращенная к нашей геометрической интуиции. Возьмем кусок фанеры или
другого жесткого и легкого материала, имеющий форму круглого диска,
и в точках а и b закрепим небольшие вертикальные колышки! Возьмем длин-
длинный шиур и прикрепим, скажем, кнопками, оба его конца к диску в точке х0.
Любой элемент Ф 1 фундаментальной группы У можно представить единст-
единственным образом в виде «редуцированного слова» от а и Р; для любого такого
редуцированного слова можно выбрать путь в У, представляющий его, и уло-
уложить шнур на диск в виде этого пути. Теперь, смещая шнур по диску, можно
экспериментально проверить, эквивалентен ли наш . путь постоянному.
Конечно, при этом не допускается, чтобы шнур проходил над концами
колышков.
3.3. Такие же рассуждения применимы и в том случае, когда У — откры-
открытый диск без двух точек, вся плоскость без двух точек или сфера без трех
точек, а также если вместо двух изолированных точек из диска выкидываются
малые круглые диски, открытые или замкнутые.
3.4. Пусть X будет объединением п окружностей, пересекающихся
в одной точке, п > 2, т. е.
140
У. Масси- Алгебраическая топология- Введение
IV.3
где каждое множество At гомеоморфно S1 и Ai^\Aj = {z0}, если гФ].
Пространство X имеет вид «re-лепестковой розы» на плоскости (в случае ге = 4
Рис. 4.3. Пример 3.2: диск с двумя дырами.
см. рис. 4.4). Докажем индукцией по п, что я (X) — свободная группа с п обра-
образующими <Zi, <z2, . . ., ап, где элемент <Xj представляется петлей, обегающей
окружность Аг один раз. Для п= 2 это уже доказано. Чтобы провести
Рис. 4.4. Пример 3.4 для случая п «= 4.
индукцию, применим теорему 3.1 следующим образом. Выберем такую точку
Н 6 АI, что at Ф х0. Пусть
U = X - {«„},
V = X — К, а2, . . ., an-t}.
Тогда U и V—открытые множества, 4jU-• • LMn-i — деформационный
ретракт для U, Ап — деформационный ретракт для V и пересечение U (] V
стягиваемо. Поэтому на основании теоремы 3.1 заключаем, что я (X, х0) —
IV.3 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 141
свободное произведение групп я (U) и я (F), или, что эквивалентно, групп
я MiU- • .lMre-i) и п(Ап).
Чтобы завершить индукцию, воспользуемся предложением III.5.2.
3.5. Доказанный в упражнении 3.4 результат можно применить в сле-
следующем примере. Пусть У — пространство, полученное выкидыванием из
(открытого или замкнутого) диска или из плоскости п точек. Используя те же
рассуждения, что и в примере 3.2, заключаем, что я (У) — свободная группа
с п образующими oci, сс2, . . ., ап. Грубо говоря, элемент <хг представляется
петлей, обегающей один раз i-ю дыру.
Предоставляем читателю самому построить, как в примере 3.2, физиче-
физическую модель, показывающую, что я (У) — свободная группа с п обра-
образующими.
Эти примеры иллюстрируют одно важное обстоятельство:
чтобы применить теорему Зейферта — ван Кампена в каждом
конкретном случае, обычно приходится использовать свойства
деформационных ретрактов. Для дальнейших ссылок дадим сей-
сейчас строгую формулировку этого принципа. Пусть {U%: % ? Л} —
открытое покрытие пространства X, для которого выполняются
все предположения теоремы 2.2. Пусть {А%: К ? Л} — семейство
подмножеств пространства X, удовлетворяющее следующим усло-
условиям :
(a) х0 6 А% для всех Я, 6 Л;
(b) А% с U% для всех Ц Ли отображение включения инду-
индуцирует изоморфизм я {А%, х0) « я (U%, x0);
(c) если U% a U^, то Ах а А^.
Пусть гр?: л (А^) -*¦ п (X) и ф^: я (А ^ -*- п (A J обозначают
гомоморфизмы, индуцированные отображениями включения.
Лемма 3.2. При сделанных предположениях теорема 2.2 оста-
останется в силе, если заменить я A7}) на я (А}), 1|^ на i|){ для каж-
каждого индекса Я, и ф^„ на ф^ц для каждой такой пары (К, [i), что
U U
Доказательство. Доказательство очевидно.
Практически наиболее общий случай — это случай, когда
А х — замкнутое подмножество пространства X для всех К и дефор-
деформационный ретракт для Ux.
Предоставляем читателю точно сформулировать частные случаи
леммы 3.2, соответствующие теоремам 2.1 и 3.1.
Упражнения
3.1. Докажите следующее обобщение теоремы1 3.1. Пусть {W}[}
\J{Vi' i G /} — покрытие пространства X открытыми линейно связными
подмножествами, обладающее такими свойствами: (a) W — собственное под-
подмножество в Уг для всех i ? /; (b) 7; П У} = W для любых двух различных
индексов i, j ? /; (с) множество W односвязно; (d) х0 ? W. С помощью тео-
теоремы 2.2 докажите, что я (X, х0) — свободное произведение групп яGг, а:0)
142 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение IV.4
(по отношению к гомоморфизмам фг: л (Vt) -*¦ л (X), индуцированным ото-
отображениями включения).
3.2. Пусть
где каждое множество At гомеоморфно S1, будет таким пространством, что
Аг[\А] = {х0} для любых двух различных индексов г, / \ I, и пусть топо-
топология на X удовлетворяет аксиоме отделимости и следующему условию:
подмножество В пространства X замкнуто (открыто) тогда и только тогда,
когда В П A i — замкнутое (открытое) подмножество для всех i g /. Пусть
аг для каждого индекса i будет образующей бесконечной циклической группы
л (At, х0). Используйте результат упражнения 3.1 для доказательства того,
что л (X, х0) — свободная группа над множеством {at: i g /}.
3.3. Приведите пример компактного хаусдорфова пространства
i—1
где каждое множество At гомеоморфно S1, At[)A] = {х0} для i Ф), но X
не удовлетворяет условию предыдущего упражнения. [Указание. Простран-
Пространство, обладающее требуемыми свойствами, лежит в евклидовой плоскости.]
Будет.ли л (X, х0) свободной группой над множеством {аЛ, как в упражне-
упражнении 3.2?
3.4. Пусть У — дополнение множества
{(х, 0)gR2: х—целое число}
в плоскости R2. Докажите, что л (У) — свободная группа над счетным множе-
множеством образующих.
3.5. Пусть X — такое хаусдорфово пространство, что X = А \]В, где
А и В гомеоморфны тору и А [\В = {хс}. Каково строение группы п(Х, х0)?
3.6. Пусть Mi и М3 — непересекающиеся связные п-многообразня.
Докажите, что следующий способ построения связной суммы Afx # М2
эквивалентен построению в разд. 1.4 для случая п = 2. Выберем точки
mi g Mi и их открытые окрестности и{, для которых существуют такие
гомеоморфизмы ht из Ui на R",4TO ht (пч) = 0, i = 1, 2. Определим Afx # М2
как факторпространство пространства (Afx — {mi}) \j (Af2 — {то2}), полу-
полученное отождествлением точек хх? Ui — {^i} и х2 g I/2 — {т2}, если
3.7. Пусть Afx и Af2 — связные n-многообразия, п > 2. Докажите, что
я (Afx # Л/г) — свободное произведение групп я (Mi) и я (М2).
4. Другое применение теоремы 2.1
Пусть выполнены предположения теоремы 2.1, т. е. U, V
ж U (] V — линейно связные открытые подмножества простран-
пространства X, X = U\] F и /0 Е f/ П F.
Теорема 4.1. Предположим, что множество V односвязно.
Тогда %: я (С/) -> я (X) — эпиморфизм и его ядром служит наи-
наименьшая нормальная подгруппа группы я (U), содержащая мно-
множество фх [я (U П УI-
IV Л Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 143
Отметим, что эта теорема полностью описывает группу я (X):
она изоморфна факторгруппе группы я (U) по указанной в тео-
теореме нормальной подгруппе.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
r\ V)
Так как я (F) = {1}, то -ф3 — тривиальный гомоморфизм и^образ
гомоморфизма фг содержится в ядре гомоморфизма %. Ясно так-
также, что % — эпиморфизм; зто следует из леммы 2.3 и можно
доказать непосредственно, исходя из теоремы 2.1.
Итак, осталось доказать, что ядро гомоморфизма % совпадает
с наименьшей нормальной подгруппой группы я (U), содержащей
образ гомоморфизма фх (вообще говоря, оно могло бы быть и наи-
наибольшей нормальной подгруппой, содержащей образ гомомор-
гомоморфизма фх). Для этого возьмем Н = я (U)/N, где N — наименьшая
нормальная подгруппа группы я (U), содержащая образ гомо-
гомоморфизма фц и обозначим через рх: я (U) -*¦ Н естественный
гомоморфизм группы я (U) на ее факторгруппу. Пусть р2: я (V)-»-
->1Ги р3: я(С/|~| V) -*¦ Н — тривиальные гомоморфизмы. Тогда
выполняются все предположения теоремы 2.1. Следовательно,
существует гомоморфизм а: я (X) -*¦ Н, для которого диаграмма
t(Z)
коммутативна. Отсюда следует, что
Кег % с: Кег рх = N.
Мы уже знаем, что N а Кег %, так что можем заключить, что
Кег % = N. Теорема доказана.
В следующем разделе мы объединим эту теорему с нашими
предыдущими результатами и построим фундаментальные группы
различных компактных связных 2-многообразий.
144 У. Молей. Алгебраическая топология. Введение IV.5
Упражнение
4.1. Предполагая выполненными условия теоремы 2.1 и используя ее
обозначения, докажите следующие утверждения:
(a) Если ф2 — изоморфизм, то и г|э2 — изоморфизм.
(b) Если ф! и ф2 — эпиморфизмы, то i|K — также эпиморфизм и Кег i|K —
наименьшая нормальная подгруппа группы n(U[\V), содержащая
Кег фг и Кег ф2.
(c) Если л (U[}V) — циклическая группа с образующей а, то группа
я (X) изоморфна факторгруппе свободного произведения групп
я (U) и я (V) по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей
(ФЮО (Фа)-1
(ФЮО (Фга).
(d) Группа л (X) изоморфна факторгруппе свободного произведения
л (U) * я (V) по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей
(е) Пусть даны копредставления групп л {U) и я {V), а также множество
образующих группы it (U (~| V); покажите, как получить копредстав-
ление группы л (X), исходя из этих данных и зная гомоморфизмы ф(
и ф2. Докажите, что если л (U) и л (V) имеют конечные копредставле-
копредставления и группа л (t/fl V) конечно порождена, то л (X) имеет конечное
копредставление.
5. Строение фундаментальной группы
компактной поверхности
Покажем на примерах, как использовать теорему 4.1 для
определения строения фундаментальной группы различных ком-
компактных связных 2-миогообразий.
Примеры
5.1. Гор Т. Так как Т = S1 X S1, то по теореме II.7.1
л (Т) х л E») X я
есть произведепие двух бесконечных циклических групп, т. е. свободная
абелева группа с двумя образующими. Мы выведем сейчас этот результат
нз теоремы 4.1. Этот простой случай послужит хорошим введением для
остальных примеров.
Представим тор в виде пространства, полученного из квадрата отождест-
отождествлением его противоположных сторон, как показано на рис. 4.5. При таком
отождествлении стороны о и 6 становятся окружностями, пересекающимися
в точке х0. Пусть у — центр квадрата и U = Т — {у}- Обозначим через
V образ внутренности квадрата при указанном отождествлении. Тогда
U и V — открытые множества, U, V и I/f| V линейно связны, а V односвязно
(V гомеоморфно открытому диску). Поэтому можно применить теорему 4.1
и 'заключить, что
^: л(и, *!>-> л (Г, *!>
— эпиморфизм, а его ядром служит наименьшая нормальная подгруппа,
содержащая образ гомоморфизма
фх: n(U[\V, xJ^niU, xy).
Так как граница квадрата есть деформационный ретракт квадрата без одной
точки, то объединение двух окружностей а и 6 будет деформационным ретрак-
IV.5
Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена
145
Рис. 4.5. Определение фунда-
фундаментальной группы тора.
том множества U. Поэтому л (U, х{) — свободная группа с двумя образующи-
образующими. Точнее я (U, х0) — свободная группа с двумя образующими аир, где
аир представляются окружностями а и 6 соответственно. Следовательно,
я (U, х\) — свободная группа с двумя образующими
а' = 6Ja6, Р' = 6-грб,
где 8 — класс эквивалентности пути d, соединяющего точку хв с х1 (см.
рис. 4.5). Ясно, что пересечение U[\V имеет гомотопический тип окружно-
окружности. Поэтому я A/A V, хх) — бесконечная
циклическая группа, порожденная клас-
классом эквивалентности у петли с, обегающей
один раз вокруг точки у. Из рис. 4.5 ясно
также, что
Следовательно, группа я (Т, х{) изоморф-
изоморфна факторгруппе свободной группы с об-
образующими а' и Р' по нормальной подгруп-
подгруппе, порожденной элементом а'Р'а'^р'-1.
Беря вместо точки х1 точку х0, видим,
что группа я (Г, х0) изоморфна фактор-
факторгруппе свободной группы с образующими
а и Р по нормальной подгруппе, порож-
порожденной элементом аРа^Р.
Все сказанное означает как раз, что
мы имеем ко представление группы я (Т)
(см. разд. II 1.6). В этом случае легко
определить строение группы я (Г), исхо-
исходя из ее копредставления. С одной стороны, образующие аир комму-
коммутируют; отсюда следует, что я (Л — коммутативная группа, и потому
наименьшая нормальная подгруппа свободной группы с образующими а и Р,
содержащая аРа^Р, содержит также и коммутаторную подгруппу. С дру-
другой стороны, очевидно, что эта нормальная подгруппа сама содержится
в коммутаторной. Следовательно, эти две подгруппы совпадают. Таким обра-
образом, на основании предложения III.5.3 заключаем, что я (Т) — свободная
абелева группа с образующими а и р.
5.2. Действительная проективная плоскость Р2. С помощью теоремы 4.1
докажем, что я (Р2) — циклическая группа порядка 2. Представим Р2 в виДе
двуугольника с отождествленными противоположными ребрами, как пока-
показано на рис. 4.6. При таком отождествлении ребро а становится окружностью.
Пусть у — центр двуугольника, U = Р2 — (у), V — образ внутренности
двуугольника прн указанном отождествлении. Тогда выполняются все
условия, позволяющие применить теорему 4.1. В этом случае окружность
а будет деформационным ретрактом множества U', поэтому я (U, х0) —
бесконечная циклическая группа, порожденная классом а петли а. Группа
я (U, хЛ) — также бесконечная циклическая, но порождена элементом а' =
= б^аб, где б то же, что и в примере 5.1. Наконец, я (U[\ V, xj) будет беско-
бесконечной циклической группой с образующей у — классом петли с, обегающей
один раз точку у. Ясно, что
Ф1 (?) = «'2-
Поэтому л (Рг, xi) — факторгруппа бесконечной циклической группы,
порожденной элементом а', по подгруппе, порожденной а'2, или, что экви-
эквивалентно, я2 (Р2> *о) — факторгруппа бесконечной циклической группы,
порожденной а, по подгруппе, порожденной а2. Следовательно, я (Р2) —
циклическая группа порядка 2.
10 У. МасСи, Дне. Столлингс
146
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
IV.5
5.3. Связная сумма п торов. Метод, используемый в этом примере, совер-
совершенно аналогичен методам предыдущих примеров, но окончательный резуль-
результат выглядит иначе и сложнее. Представим М, сумму п торов, в виде 4ге-уголь-
Рис. 4.6. Определение
фундаментал ьной
плоскости.
группы проективной
ника с попарно отождествленными сторонами, как показано на рис. 4.7.
При этом отождествлении ребра аъ bx, a2, b2, • • ., ап, Ьп становятся окруж-
окружностями на М и любые две из них пересекаются только в базисной точке х0.
Рис. 4.7. Определение фундаментальной группы ориентируе-
ориентируемой поверхности рода п.
Как и раньше, пусть U = М — {у} — дополнение центра у, а V — образ
внутренности многоугольника при отождествлении; V — открытый диск
в М. Объединение Ъп окружностей аи Ъ\, . . ., ап, Ьп есть деформационный
IV.5
Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена
147
ретракт множества U; следовательно, л (U, х0) — свободная группа с 2ге
образующими otj, plt а2, Р2, . . ., а„, Р„, где а; и р; — классы окружностей
at и 6j соответственно. Как и раньше, п (Uf)V, xt) будет бесконечной цикли-
циклической группой с образующей 7 — классом окружности с и
где через [а[, Р-] обозначен коммутатор aJPJaj
Таким образом, л (Л/, х0) — факторгруппа свободной группы с образующими
ах, Р,, . . ., an, Р„ по нормальной подгруппе, порожденной элементом
п
JI [«;. Pj]> T- е- л (Л^1 го) задается копредставленпем, состоящим из обра-
п
зующих {ах, рх, . . ., ап, р } п одного соотношения Г| [аг, Рг].
В случае п > 1 нет простого инвариантного описания этой группы. Однако
легко видеть, что если прокоммутировать группу я (М, я0) (т. е. взять фак-
Рис. 4.8. Определение фундаментальной группы неориентируе-
мой поверхности рода п (первый метод).
торгруппу по ее коммутаторной подгруппе), то получится свободная абелева
группа с In образующими. Это вытекает из того, что единственное соотноше-
соотношение свободной группы с образующими oti, plf . . . , ап, р„ содержится в ее
коммутаторной подгруппе. Отсюда следует, что при т Ф п связная сумма т
10*
148
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
IV.5
торов и связная сумма п торов имеют неизоморфные фундаментальные группы.
Поэтому у них разный гомотопический тип. Этот результат сильнее дока-
«4 + 1
Рис. 4.9. Определение фундаментальной группы неориентируе-
мой поверхности рода п (второй метод): я — п. нечетно,
к = — (п — 1); 6 — п четно, к = — (п — 2).
занного в гл. I, где выяснено, что указанные пространства негомеоморфны
(при этом предполагалась топологическая инвариантность эйлеровоп харак-
характеристики).
IV.5 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 149
5.4. Связная сумма п проективных плоскостей. Связную сумму М п проек-
проективных плоскостей можно получить попарным отождествлением сторон
2п-угольника, как показано на рис. 4.8. Производя точно такую же про-
процедуру, как и раньше, находим, что фундаментальная^ группа я (М, х0)
задается непредставлением, состоящим из образующих
{ах, а2, . . ., <*„},
где otj — класс окружности аг, и одного соотношения
в?а! ... а*.
В случае п > 1 снова нет простого инвариантного описания группы. Если
ее прокоммутировать, то получим абелеву группу, копредставление кото-
которой состоит из п образующих и одного соотношения. Читатель, знакомый
с теорией конечно порожденных абелевых групп, легко сможет вычислить
ранг и коэффициенты кручения этой группы, приводя некоторую целочис-
целочисленную матрицу к каноническому виду. Мы проделаем это, воспользовавшись
геометрическими соображениями.
Применяя теорему 1.7.2, видим, что М, неориентируемая поверхность
рода п, имеет следующее представление:
(a) если п — нечетное число, то поверхность М гомеоморфна связной
сумме ориентируемой поверхности рода (п — 1)/2 и проективной
плоскости;
(b) если п — четное число, то поверхность М гомеоморфна связной
сумме ориентируемой поверхности рода (п — 2)/2 и бутылки Клейна.
Это приводит к представлению М в виде 2п-угольника с попарно отождест-
отождествленными сторонами, как показано на рис. 4.9. В случае (а) группа я (Af, г0)
йадается копредставлением с образующими
(«1, Pi, • • ч «ft, Pft, e}
и одним соотношением
[«1, PJ [а„ р2] . . . [сц, Pft] e2,
а в случае (Ь) группа я (М, х0) задается копредставлением с образующими
{а4, Pi, ..., ak, Рй, ah+i, г)
и одним соотношением
[аь Pi] l<*2, P2] • • • l<*k, P
Используя это копредставление, легко определить строение прокоммутиро-
ванной группы
п(Щ
[я (AT), л (М)\ •
В случае (а) она совпадает с прямым произведением свободной абелевой
"группы с 2к образующими {alt pa, . . ., щ, Р^} и циклической группы
порядка 2 (порожденной элементом е), т. е. является абелевой группой ранга
2к = п — 1с одним коэффициентом кручения, равным 2. В случае (Ь) она
совпадает с прямым произведением свободной абелевой группы с 2к + 1
образующими {<*!, р1( . . ., aft, pft, a^+x} и циклической группы порядка 2
(порожденной элементом е), т. е. является абелевой группой |ранга 2к + 1 =
= п — 1с одним коэффициентом кручения, равным 2.
Наши результаты о прокоммутированных фундаментальных
группах сформулируем вместе следующим образом.
150 У. Масси. Алгебраическая топология- Введение IV.5
Предложение 5.1. Если М — связная сумма п торов, то про-
коммутированная фундаментальная группа я (М)/Ы (М), л (М)]
является свободной абелевой группой ранга 2га. Если М — связная
сумма п проективных плоскостей, то прокоммутированная фунда-
фундаментальная группа имеет ранг п — 1 и один коэффициент кру-
кручения, равный 2.
Из этого предложения следует, что компактное связное ориен-
ориентируемое 2-многообразие никогда не имеет тот же гомотопический
тип, что и компактное связное неориентируемое 2-многообразие,
поскольку прокоммутированная фундаментальная группа неориен-
тируемого многообразия всегда содержит элемент порядка 2,
тогда как в ориентируемом случае каждый элемент бесконечного
порядка. Из предложения 5.1 также следует, что при тфп
связная сумма т проективных плоскостей и связная сумма га
проективных плоскостей имеют разные гомотопические типы.
Эти результаты слегка улучшают результаты гл. I, полученные
с помощью эйлеровой характеристики.
Упражнения
5.1. Воспользовавшись результатами разд. 1.10—1.12, докажите, что
фундаментальная группа компактной связной поверхности с краем является
свободной группой. Как в ориентируемом, так и в неориентируемом случаях
выразите ранг этой фундаментальной группы через эйлерову характеристику
поверхности и число компонент края.
5.2. Покажите, как геометрически получить два различных копредстав-
ления фундаментальной группы бутылки Клейна, о которых шла речь в при-
примере из разд. III.6.
5.3 Рассмотрим копредставление фундаментальной группы бутылки
Клейна с двумя образующими о и 6 и одним соотношением baba-1. Докажите,
что подгруппа, порожденная элементом 6, будет нормальной, а соответствую-
соответствующая факторгруппа — бесконечной циклической. Докажите также, что
подгруппа, порожденная элементом а, будет бесконечной циклической.
5.4. Тот факт, что связная сумма трех проективных плоскостей гомео-
морфна связной сумме тора и проективной плоскости, порождает два разных
копредставления фундаментальной группы (как в упражнении 5.2). Дока-
Докажите алгебраически, что эти копредставления задают изоморфные группы.
5.5. Покажите, как для любого целого числа п > 2 построить простран-*
ство, фундаментальная группа которого является циклической группой
порядка п.
5.6. Докажите, что копредставлеиие фундаментальной группы компакт-
компактной неориентируемой поверхности рода п состоит из п образующих ах, а2, . . .
. . ., ап и одного соотношения а1а2 . . . а„a^aj1 . . . a^-i^n (см< упражне-
упражнение 1.8.8).
5.7. Докажите, что копредставление фундаментальной группы компакт-
компактной ориентируемой поверхности рода п состоит из 2ге образующих ах, а2, .. .
. . ., ain и одного соотношения о^аз . . . a2n&i1ai1 • ¦ . а^ (см. упражне-
упражнение 1.8.9).
IV.6 Гл. IV. Теорема Зейферта — еан Кампена 151
6. Применение к теории узлов
По определению узел — это простая замкнутая кривая в евкли-
евклидовом 3-пространстве. Узел является математической абстракцией
обыкновенного узла, сделанного из куска веревки, концы которой
сращены, так что ее уже невозможно развязать.
Необходимо определить, в каком случае два узла должны счи-
считаться эквивалентными или неэквивалентными. При этом было бы
очень желательно дать такое определение, чтобы оно соответство-
соответствовало обычному пониманию того, когда два узла из двух разных
кусков веревки считаются одинаковыми. В результате попыток,
делавшихся на протяжении многих лет, выработалось следующее
наиболее приемлемое
Определение. Два узла К1 и Кг, содержащиеся в R3, называют-
называются эквивалентными, если существует такой сохраняющий ориен-
ориентацию гомеоморфизм h: R3 -»- R3, что h (К-,) = Кг.
Очевидно, что если Кг и Кг эквивалентны в смысле этого опре-
определения, то h гомеоморфно отображает R3 — Кг на R3 — Кг.
Поэтому R3 — Кг и R3 — К2 имеют изоморфные фундаментальные
группы. Следовательно, если для двух узлов Кг и Кг в R3 груп-
группы я (R3 — Кг) и я (R3 — Кг) окажутся неизоморфными, то узлы
Кг и К2 будут неэквивалентными. Это наиболее общий способ
различения узлов. Фундаментальная группа л (R3 — К) назы-
называется группой узла К.
Мы покажем, как применить теорему Зейферта — ван Кам-
Кампена для определения копредставления групп некоторых узлов,
а затем обсудим вопрос, как доказывать, что группы этих узлов
неизоморфны.
В некоторых случаях удобно представлять узел вложенным
не в R3, а в 3-сферу
S3 = {х 6 R4: 1*1 = !}•
Различие небольшое, так как сфера Sz гомеоморфна одноточечной
компактификации Александрова пространства R3; это можно
доказать с помощью стереографической проекции (см. Ньюман,
Elements of the topology of plane sets of points, Cambridge: The
University Press, 1951, pp. 64—65).
Упражнение
6.1. Пусть К — узел в R3. Представим S3 в виде одноточечной компакти-
компактификации пространства R3. Докажите, что группы п (R3 — К) и л E3 — К)
изоморфны. [Указание. Воспользуйтесь теоремой 4.1.]
Рассмотрим класс узлов, называемых торическими, так как
они лежат на торе, вложенном в S3 стандартным образом (т. е.
152 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение IV.6
тор получается вращением окружности вокруг прямой в ее пло-
плоскости). Вспомним, что тор можно рассматривать как простран-
пространство с отождествленными противоположными сторонами единич-
единичного квадрата
{(х, у) 6 R2: 0 < а: < 1, 0 ^ у ^ 1}
или как пространство, построенное из всей плоскости R2 отожде-
отождествлением двух точек (х, у) и (х', у') тогда и только тогда, когда
числа х — х' и у — у' целые. Пусть р: R2 -*- Т — отображение
отождествления, a L — прямая в R2, проходящая через начало
Рис. 4.10. Торический узел типа B,3).
координат с угловым коэффициентом /и/га, где 1 <; /га <С га и /га, га —
взаимно простые целые числа. Нетрудно видеть, что образ
K = p(L)
будет простой замкнутой кривой, лежащей на торе Т. Если теперь
предположить, что тор Т стандартно вложен в R3, то получим
К с Т a R3
и К — узел в R3, называемый гпорическим узлом типа (т, га).
Эти узлы и будут основным объектом нашего изучения (см.
рис. 4.10 для т = 2, га = 3).
Мы будем также рассматривать незаузленные окружности
в R3, т. е. любой узел, эквивалентный обычной окружности,
лежащей в плоскости в R3.
Для начала найдем копредставления группы торического узла
типа (т, га) и группы незаузленной окружности. Первый шаг —
разложить 3-сферу »S3 на два куска так, чтобы можно было вое-
IV .6 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 153
пользоваться теоремой Зейферта — ван Кампена. Пусть
А = {(*!, х2, х3, xk) 6 Ss: x\ + х\ ^ х% + х\),
В = {(хг, хг, х3, хк) 6 S3: а* + а\^а\ + х\).
Ясно, что А и В — замкнутые подмножества сферы »S3, А \] В =
= S3 и
А[)В = {(хи х2, x
Отсюда следует, что А [\ В — тор; в самом деле, А [\ В — декар-
декартово произведение окружности х\ + х\ = 1/2 (в плоскости (хг, х2))
и окружности ^3 + ^4 = 1/2 (в плоскости (х3, Xi)).
Мы утверждаем, что А и В — полнотория (т. е. гомеоморфны
произведению диска на окружность). Докажем это, непосредствен-
непосредственно выписывая формулу, задающую гомеоморфизм. Пусть
— замкнутый диск и окружность, оба радиуса ^2/2. Определим
отображение
формулой
f(Xi, x2, аг3, ж4) =
= {хи х2, V2 х3 [1 - (а* + х^)]1/2, ]Л2 Ж4 [1 - {х\
Очевидно, что это отображение непрерывно. Предоставляем чита-
читателю проверить, что оно взаимно однозначно и является отображе-
пием на и, следовательно, гомеоморфизмом. Аналогично для
множества В. Отсюда ясно, что тор А [\ В представляет собой
общий край двух полноторий А и В.
Предоставляем читателю проверить, что при стереографиче-
стереографической проекции тор А С\ В соответствует стандартному тору в R3.
Рассмотрим группу незаузленной окружности К в »S3. В каче-
качестве незаузленной окружности можно взять «центральную линию»
полнотория А:
К — {(xv x2, xs, xt) ?А: хх = хг = 0}.
Тогда К — единичная окружность в плоскости (х3, х$. Ясно,
что край полнотория А является деформационным ретрактом для
154 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение IV.6
А — К; следовательно, В — деформационный ретракт для S3 — К.
Ясно также, что центральная линия полнотория В
{(xv х2, х3, xt) 6 В: х3 = xk = 0}
есть деформационный ретракт для В. Поэтому центральная линия
полнотория В — это деформационный ретракт для S3 — К. Таким
образом, »S3 — К имеет гомотопический тип окружности и груп-
группа К — бесконечная циклическая. Итак, мы доказали
Предложение 6.1. Группа незаузленной окружности в R3 —
бесконечная циклическая.
Теперь рассмотрим торический узел К типа (т, п) в S3. Узел К
можно представить в виде подмножества тора A f) В <= S3. Для
определения фундаментальной группы пространства »S3 — К удоб-
удобно применить теорему Зейферта — ван Кампена, используя
равенство
S3 - К = (А — К) U (В - К).
Пространства А — К, В — К и (А — К) П (В — К) линейно
связны, но, к сожалению, множества А — К и В — .ЙГне открыты
в S3 — К. Как обойти эту трудность, ясно: чтобы получить откры-
открытые множества того же гомотопического типа, что А и В, надо
немного расширить А и В.
Точнее, обозначим через N трубчатую окрестность узла К
радиуса е. Число s > 0 можно выбрать достаточно малым, чтобы
множество Ss — N было деформационным ретрактом для Ss — К.
Точный смысл выражения «достаточно малое» зависит от выбора
целых чисел т и п. Пусть U и V будут е/2-окрестностями множеств
А и В соответственно. Ясно, что U и V гомеоморфны произведению
открытого диска на окружность, А и В — деформационные ретрак-
ты для U и V соответственно, а пересечение U [} V —«утолщенный»
тор, т. е. оно гомеоморфно произведению множества А |~| В и от-
открытого интервала (—е/2, е/2). Теперь можно воспользоваться
равенством
S3 - N = (U — N)[j (V - N)
и для получения копредставления группы я (S3 — N) да я (S3 —
— К) применить теорему Зейферта — ван Кампена.
Во-первых, U — N и V — N имеют гомотопический тип
окружности; в самом деле, центральные линии полноторий А и В
являются их деформационными ретрактами. Поэтому их фунда-
фундаментальные группы — бесконечные циклические.
Во-вторых, пространства (U — N) П (V — N) = (U |~| V) — N
и (А — К) П (В — К) = (А П В) — К имеют один и тот же гомо-
гомотопический тип. В самом деле, деформационным ретрактом этих
пространств служит множество (А — N) П (В — N) = (А ("| В) —
IV.6 Гл. IV. Теорема Зейферта — ван Кампена 155
— N. Легко видеть, что (А {] В) — К есть подмножество тора
А П В, гомеоморфное произведению окружности и открытого
интервала. Это узкая полоска, закручивающаяся вокруг тора
наподобие ленты. Ее фундаментальная группа — бесконечная
циклическая.
Наконец, мы должны определить гомоморфизмы
ФХ: я (U П V — N) -> я (U - N),
ф2: я (U П V - N) -* я (V - N).
Здесь подробности мы оставляем читателю. Результат состоит
в том, что один из этих гомоморфизмов имеет степень т, а дру-
другой — степень п. (Говорят, что гомоморфизм одной бесконечной
циклической группы в другую имеет степень т, если образ обра-
образующей первой группы является то-й степенью образующей второй
группы.) Если скомбинировать этот результат с упражнением
4.1 (с), то получим
Предложение 6.2. Копредставление группы G торического узла
типа (т, п) состоит из двух образующих а, Р и одного соотноше-
соотношения ampn.
Остается доказать, что эти группы неизоморфны для различ-
различных значений пар (т, п). Для доказательства воспользуемся
методом О. Шрейера. Рассмотрим в группе торического узла
элемент ат = Р~™. Этот элемент коммутирует с а и р и потому
с каждым элементом; следовательно, он принадлежит центру.
Обозначим через N подгруппу, порожденную этим элементом;
очевидно, она нормальна. Рассмотрим факторгруппу GIN. Пусть
а' и Р' означают классы элементов а и Р в GIN. Очевидно, что
группа GIN порождена элементами а' и р' и имеет ел едущее
копредставление:
образующие а', р", соотношения а'та, Р"\
Отсюда следует, что GIN — свободное произведение циклической
группы порядка т (порожденной а') и циклической группы
порядка п (порожденной Р'). Нетрудное доказательство этого
факта оставляется читателю.
Теперь применим упражнение III.4.1 для вывода того, что
центр группы GIN равен {1}. Так как образ центра группы G
содержится в центре группы GIN, то N совпадает со всем центром
группы G. Следовательно, факторгруппа группы G по ее центру —
это свободное произведение двух циклических групп (порядков
т и п). Применяя результат упражнения III.4.6, заключаем,
что целые числа т и п полностью определяются (с точностью
до их порядка) группой G. Таким образом, мы доказали
156 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
Предложение 6.3. Если торические узлы типов (т, п) и (т', п')
эквивалентны, то т = т' и п = п' или т = п' и п = т'. При
т, п > 1 ни один торический узел не эквивалентен незаузленной
окружности.
Итак, с помощью торических узлов мы построили бесконечное
семейство неэквивалентных узлов.
Разумеется, большинство узлов — не торические. Настоящий
раздел можно рассматривать как краткое введение в теорию узлов.
Читатель, желающий ближе познакомиться с этой темой, может
прочитать книги Кроуэлла и Фокса [4] и Нойвирта [5].
ПРИМЕЧАНИЯ
По-видимому, теорема, близкая к теореме 2.1, впервые была доказана
в 1931 г. Зейфертом (Konstruktion dreidimensionaler geschlossener Raume,
Вет. Sachs. Akad. Wiss., 83 A931), 26—66). Немного позже была открыта и неза-
независимо доказана ван Кампеном аналогичная теорема (On the connection
between the fundamental groups of some related spaces, Amer. J. Math., 55
A933), 261—267). Однако в американских книгах и статьях на эту теорему
ссылаются как на теорему ван Кампена. Разумеется, формулировка теоремы
как решения задачи универсального отображения появилась позже. Нате
изложение основано на статье Кроуэлла [3], которая, по-видимому, навеяна
лекциями Фокса в Принстоне; см. их совместный учебник [4].
Читатель, знакомый с теорией симплициальных комплексов, легко может
вывести зейфертов вариант теоремы Зейферта — ван Кампена (сформулиро-
(сформулированный в разд. 52 книги Зейферта и Трельфалля [2]) из теоремы 2.1 и леммы 3.2
данной главы. Для этого надо использовать свойства регулярной окрестности
подкомплекса симплпциального комплекса, изложенные в общих чертах
в разд. II.9 книги Эйленберга и Стинрода (Foundations of algebraic topology,
Princeton, N. J.: Princeton University Press, 1951).
Свободные произведения с объединенными подгруппами
Пусть {W}U{Pj: * ? I) — такое покрытие пространства X линейно
связными открытыми множествами, что Vt П V) — W, если г Ф /, и ха 6 W
(см. упражнение 3.1). Предположим, что для каждого индекса i гомоморфизм
п (W, х0) ^>~ п (Vi, х0) является мономорфизмом. Тогда фундаментальная
группа, определяемая теоремой 2.2, имеет строение, хорошо изученное спе-
специалистами по теории групп; она называется «свободным произведением
с ббъединенной подгруппой». Это факторгруппа свободного произведения
групп я (F;), полученная отождествлением различных подгрупп, соответ-
соответствующих группе я (W, хл) при заданных мономорфизмах. Каждый элемент
такого свободного произведения с объединенной подгруппой представляется
единственным образом «словом в каноническом виде». Хотя такие группы
занимали и занимают видное место в теории групп, до сих пор в топологии
они играют второстепенную роль. Дальнейшую информацию об этих группах
можно найти в учебниках по теории групп, приведенных в списке литера-
литературы к гл. III.
Гипотеза Пуанкаре
Из вычислений, проделанных в настоящей главе, следует, что любая
односвязная компактная поверхность гомеоморфна 2-сфере S2. В начале
1900-х гг. Пуанкаре выдвинул гипотезу о том, что аналогичное утверждение
Гл. IV. Теорема Зепферта — ван Кампена 157
справедливо и для 3-мпогообразий, а именно что компактное односвязное
3-многообразие гомеоморфно 3-сфере S3. Несмотря на значительные усилия
многих выдающихся математиков, до сих пор неизвестно, справедлива лп эта
гипотеза. Легко привести примеры компактных односвязных 4-многообразий,
негомеоморфных 5* (например, S2 X S2). Однако для всех целых чисел
п > 3 существует аналог гипотезы Пуанкаре, а именно что компактное
и-многообразие, имеющее гомотопический тип и-сферы, гомеоморфно сфере
Sn. Эта обобщенная гипотеза Пуанкаре для п > 4 была доказана в 1960 г.
Смейлом (см. Ann. Math., 74 A961), 391—406) *). Случай n = 4 остается
открытым.
До тех пор пока не решена классическая гипотеза Пуанкаре (случай
п = 3), мы не можем даже надеяться получить классификационную теорему
для компактных 3-многообразий.
Гомотопический и топологический типы компактных многообразий
На основании вычисления фундаментальных групп компактных поверх-
поверхностей, проведенного в данной главе, мы выяснили следующий факт: если
две компактные поверхности негомеоморфны, то они имеют разный гомотопи-
гомотопический тип. Известно, что аналогичное утверждение для компактных 3-много-
3-многообразий неверно; существуют довольно простые примеры компактных трех-
трехмерных многообразий одного и того же гомотопического типа, но не гомео-
морфных между собой (так называемые пространства линзы). Доказательство
этого факта явилось кульминационным моментом работы математиков ряда
стран в течение нескольких лет. Детали довольно сложны.
По-видимому,] в более высоких размерностях такие примеры неизве-
неизвестны ?).
Фундаментальная группа некомпактной поверхности
Фундаментальная группа любой некомпактной поверхности (со счетной
базой) представляет собой свободную группу со счетным или конечным мно-
множеством образующих. Любая односвязная некомпактная поверхность гомео-
морфна плоскости R2. Доказательство этих фактов можно найти в книге
Альфорса и Сарио [1] (см. также упражнения в разд. VI.5).
Набросок доказательства того, что любая конечно непредставимая группа
может быть фундаментальной группой компактного 4-многообразия
Сначала заметим, что фундаментальная группа пространства S1 X S3 —
бесконечная циклическая. Следовательно, при построении связной суммы »
экземпляров пространства S1 x S3 мы получим ориентируемое компактное
') Русский перевод см. в сб. Математика, 5 : 3 A962), 139—155.— Прим.
ред.
2) В настоящее время этот вопрос выяснен достаточно полно. Работа
С. П. Новикова (Изв. АН СССР, 30 A966), 207—246) о топологической ин-
инвариантности классов Понтрягина вместе с предшествующими работами
Милнора сразу показала, что имеются негомеоморфные, но гомотопическн
эквивалентные многообразия в высоких размерностях. Д. Сулливан прове-
проверил, что здесь можно взять гомотопический тип комплексного пространст-
пространства. Из работы Керби и Зибенмана (см. прим. ред. на стр. 67) следует, что
второе многообразие можно взять даже нетриангулируемым (с учетом ого-
оговорки о локальном характере триангуляции, см. то же прим.).— Прим. ред.
158 У. Шасси. Алгебраическая топология. Введение
4-многообразп«, фундаментальная группа которого — свободная группа
с п образующими (см. упражнение 3.7).
Теперь предположим, что М — компактное ориентируемое 4-многообра-
зие и С — простая гладкая замкнутая кривая в М; можно показать, что
любая достаточно малая замкнутая трубчатая окрестность N кривой С гомео-
морфна S1 X Е3 (это утверждение было бы неверным, если бы многообразие
М было неориентируемым). Кроме того, край окрестности N гомеоморфен
51 X S2 и пространство S1 X S2 есть край 4-многообразия Е2 X S2. Обозна-
Обозначим через М' дополнение к внутренности окрестности N и построим фактор-
пространство пространства М' U (Е2 X S2), отождествляя соответствующие
точки края окрестности N и края пространства Е2 X 52; полученное фактор-
пространство обозначим через М\. Легко видеть, что М\ — компактное
ориентируемое 4-многообразие; процедура получения М\ из М часто назы-
называется «перестройкой».
Какова фундаментальная группа пространства Afi? Ответить на этот
вопрос можно, дважды применяя теорему Зейферта — ван Кампена. Во-пер-
Во-первых, М = M'\]N и пересечение М'[\N гомеоморфно S1 X S2. Легко
видеть что гомоморфизм я (Af' f\N) -*¦ л (N) (индуцированный включением)
является изоморфизмом; следовательно, на основании упражнения 4.1 (а)
гомоморфизм я (Af') -»- я (М) также является изоморфизмом. Во-вторых,
Mi = М' [)(Е2 х S2) и М' (](Е2 X S2) = M'[\N. Так как пространство
Е2 X S2 односвязно, то применима теорема 4.1, и можно заключить, что
я (М') -*¦ я (Afj) — эпиморфизм, ядро которого совпадает с наименьшей
нормальной подгруппой, содержащей образ гомоморфизма я (Л/' П N) -»-
-*¦ я (М'У, но очевидно, что образы гомоморфизмов я (Af' П Я) -*¦ я (М')
и я (С) -*¦ я (Af) эквивалентны. (Примечание. На самом деле, применяя тео-
теорему Зейферта — ван Кампена, каждый раз необходимо ссылаться на лем-
лемму 3.2, так как множества М' и N не открыты в Af.)
Подведем итог: группа я (М\) естественно изоморфна факторгруппе
группы я (М) по наименьшей нормальной подгруппе, содержащей образ гомо-
гомоморфизма я (С) -*¦ я (М). Другими словами, мы «уничтожаем» элемент а
группы я (М), представляемый замкнутым путем С. Если группа я (Af) зада-
задана некоторым копредставлением, то копредставление группы я (Mi) состоит
из того же множества образующих, что и копредставление группы я (Af),
и одного дополнительного соотношения, а именно а.
Нетрудно показать, что любой элемент а ? я (М) можно представить
замкнутым гладким путем С без самопересечений, как и требуется в преды-
предыдущих рассуждениях. На самом деле это утверждение справедливо для
любого n-мерного многообразия Af при п ^ 3. В многообразиях размерности
п > 3 есть достаточно «места» для того, чтобы малыми деформациями изба-
избавиться от самопересечений любого замкнутого пути.
Пусть G — группа, заданная копредставлением, состоящим из п обра-
образующих хг, х2, . . ., хп и к соотношений г15 г2, . . ., т>. Предположим, что
М — связная сумма п экземпляров пространства 51 X S3; тогда я (Af) —
свободная группа с п образующими, которые мы также обозначим через
#1, . . ., хп. Произведем к раз перестройку многообразия М, уничтожая
последовательно элементы rlt г2, . . ., rk. В результате получим компактное
ориентируемое 4-многообразие Мд, для которого я (Mk) ~ G, что и тре-
требуется 1).
Это построение использовано А. А. Марковым в его доказательстве того,
что не может существовать алгоритма для решения вопроса, гомеоморфны
ли два данных компактных ориентируемых триангулируемых 4-многообразия.
Доказательство Маркова опирается на факт несуществования общего алго-
алгоритма для выяснения того, задают ли два данных копредставления изоморф-
1) Этот результат принадлежит Зейферту и Трельфаллю [2, стр. 208,
упр. 4].
Гл. 1V. Теорема Зейферта — ван Кампепа 159
ные группы (см. Proceedings of International Congress of Mathematicians, 1958,
pp. 300—306; см. также статью Буне, Хакена и Поэнару в Contribution to
Mathematical Logik, Nord Holland Publication Company, Amsterdam, 1968,
pp. 37—74).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альфорс, Сарио (Ahlfors L. V., Sario L.), Riomann surfaces, Princeton, N.J.:
Princeton University Press, 1960, chapter I.
2. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехиздат, М., 1938, гл. 7.
3. Кроуэлл (Crowell R. H.), On the van Kampen theorem, Рас. J. Math., 9
A959), 43-50.
4. Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, пзд-во «Мир», М., гл. V,
добавление III.
5. Нойвирт (Neuwirth L. P.), Knot groups (Annals of Mathematics Studies
No. 56), Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1965.
6. Хилтон П., Уайли С., Теория гомологии. Введение в алгебраическую
топологию, изд-во «Мир», М., 1966, гл. VI.
Глава V
НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Введение
Предположим, что X — топологическое пространство; накры-
накрывающее пространство пространства X состоит из пространства X
и непрерывного отображения р пространства X на X, удовлетво-
удовлетворяющего довольно сильным требованиям правильности. Точное
определение дано ниже. Теория накрывающих пространств важна
не только в топологии, но также в таких связанных с ней разделах
математики, как дифференциальная геометрия, теория групп Ли
и теория римановых поверхностей.
Теория накрывающих пространств тесно связана с изучением
фундаментальной группы. Много основных вопросов, касающихся
пространств, можно свести к чисто алгебраическим вопросам,
касающимся фундаментальных групп. Практически нельзя дать
законченное изложение одной из этих тем без привлечения другой.
'2. Определение и некоторые примеры
накрывающих пространств
В настоящей главе мы будем предполагать, что, если не огово-
оговорено противное, все пространства линейно связны и локально
линейно связны (определение см. в разд. П.2). Этого предположе-
предположения мы больше повторять не будем. Кроме того, необходимо еще
потребовать, чтобы все рассматриваемые здесь пространства
удовлетворяли аксиомам отделимости.
Определение. Пусть X — топологическое пространство. Накры-
Накрывающим пространством для X, или накрытием, называется пара,
состоящая из пространства X и непрерывного отображения
р: Х-»-Х, удовлетворяющих следующему условию: для каждой
точки х 6 X найдется такая линейно связная открытая окрест-
окрестность U, что каждая компонента связности множества р'1 (U)
при отображении р топологически отображается на U (в частности,
предполагается, что множество p~l (U) не пусто). Любая такая
открытая окрестность U называется элементарной окрестностью.
V.2 , Гл. V. Накрывающие пространства 161
Отображение р называется отображением накрытия; часто его
называют проекцией.
Чтобы пояснить определение, рассмотрим несколько приме-
примеров. Обсуждение некоторых из них будет неформальным, чтобы
выработать интуицию в вопросах, относящихся к накрывающим
пространствам; такое обсуждение часто бывает полезнее более
строгого и формального.
Примеры
2.1. Пусть отображение р: R —>^ S1 определено формулой
р (t) = (sin t, cos t)
для любого элемента t ? R. Тогда пара (R, р) будет накрывающим про-
пространством единичной окружности S1. В качестве элементарной окрестности
можно взять любой открытый интервал окружности S1. Этот пример — один
из наиболее простых и важных.
2.2. Введем на плоскости R2 полярные координаты (г, 9). Тогда единич-
единичная окружность 51 задается условием г = 1. Для любого целого, положи-
положительного или отрицательного, числа п определим отображение рп: S1 ->¦ S1
уравнением
Рп A, 9) = A, пв).
Отображение рп накручивает окружность саму на себя п раз. Легко видеть,
что при п Ф 0 пара (S1, рп) будет накрывающим пространством окружности
S1. И снова любой открытый интервал в S1 можно взять в качестве элемен-
элементарной окрестности.
2.3. Если X — любое пространство и i: X ->¦ X — тождественное ото-
отображение, то пара (X, i) служит тривиальным примером накрывающего про-
пространства для X. Аналогично, если / — гомеоморфизм из У па X, то пара
(У, /) — накрывающее пространство для X; это тоже довольно тривиальный
пример. Позже в этой главе мы докажем, что если пространство X односвязно,
то любое накрывающее пространство для X совпадает с одним из этих три-
тривиальных накрывающих пространств. Поэтому петривиальные примеры
накрывающих пространств надо искать над неодносвязными пространствами.
2.4. Если (X, р) — накрывающее прострапство для X, а (У, q) —
накрывающее пространство для У, то (X X У, р X q) — накрывающее
пространство для X X У (отображение р х q определяется формулой
(р X д) (х, у) = (рх, qy)). Доказательство оставляем читателю. Ясно, что
если U ш V — элементарные окрестности точек х ? X и у ? У соответственно,
то UX V — элементарная окрестность точки (х, у) 6 X X У.
Используя этот результат и примеры 2.1 и 2.2, читатель может построить
примеры накрывающих пространств для тора Т = S1 X S1. В частности,
плоскость R1 = R X R, цилиндр R X S1 и сам тор могут быть накрывающи-
накрывающими пространствами для тора. Рекомендуем читателю попытаться представить
себе на рисунках, как в каждом случае устроена проекция р.
2.5. В разд. 1.4 проективная плоскость Р определялась как факторпро-
странство 2-сферы S2. Обозначим через р: S? -»- Р естественное отображение.
Легко видеть, что E2, р) — накрывающее пространство для Р. В качестве
элементарной окрестности любой точки х 6 Р можно взять открытый диск,
содержащий х.
2.6. Пусть S — компактная ориентируемая поверхность рода 2. Пока-
Покажем, как строить для S различные накрывающие пространства. Можно
рассматривать S как факторпространство компактной ориентируемой поверх-
поверхности М рода 0 с краем, состоящим из четырех окружностей С{, CJ, Сг и С\.
11 У, Иасси, Дж. Столлингс
162
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
V.2
Естественное отображение М -*¦ S попарно отождествляет окружности,
лежащие на крае (См. рис. 5.1): с\ и Сл склеиваются в одну окружность Ci
при гомеоморфизме ht, отображающем Ci на Ci, i = 1, 2. Можно представить
Рис. 5.1. Поверхность рода 2 как факторпространство поверхности с краем.
себе, что поверхность М получается из S разрезанием вдоль окружностей
Cj и С2.
Пусть D — конечное множество {1, 2, . . ., и) с дискретной топологией,
a q: М X D -*¦ М — проекция произведения на первый сомножитель. Про-
Пространство М X D можно представлять себе как п непересекающихся экзем-
экземпляров пространства М, каждый из которых отображением q гомеоморфно
переводится на М. Опишем, как получить такое факторпространство произ-
произведения М X D, что оно будет связным 2-многообразием S и отображение q
будет индуцировать отображение р: S ->- S факторпространств, т. е. диа-
диаграмма
MXD >S
м-
S
будет коммутативной. При этом окажется, что (S, р) — накрывающее
пространство для S. Отождествления, которые перевели М X D в S, имеют
следующий [вид: окружность CJ X {/} отождествляется с окружностью
С{ X {Ц при гомеоморфизме, переводящем точку (х, j) в точку (ht (z), k),
где i = 1 или i = 2, а / и к — положительные целые числа ^ п. Такое попар-
попарное отождествление окружностей можно производить различными способами,
лишь бы получающееся пространство S было связным. Например, в случае
п = 3 можно было бы отождествить
c;x{i} с Cix{2},
с;х{2} с с;х{3},
V.2 Гл. V. Накрывающие пространства 163
с;х{3} с схх{\),
С'2Х{1) с С1х{2),
С'2Х{2) с С?х{1},
С'2Х{3) с СгХ{3}.
Предоставляем читателю построить другие примеры и доказать, что в каж-
каждом случае действительно получается накрывающее пространство. Очевидно,
что можно было применить аналогичную процедуру для получения про-
пространств, накрывающих поверхности более высокого рода.
2.7. Пусть X — подмножество плоскости, состоящее из двух окружно-
окружностей, касающихся друг друга в некоторой точке:
Ci={(*. у): (*-1)8 + ^= 1),
Приведем два различных примера накрывающих пространств для X. В пер-
первом примере через X обозначим множество таких точек (х, у) ? R2, что либо х,
либо у (либо и х, и у) — целые числа; X — объединение горизонтальных
и вертикальных прямых. Зададим р: X -*¦ X формулой
( A + cos (я — 2пх), ат2яг), если у — целое число,
у, sin 2пу), если г—целое число.
Отображение р накручивает каждую горизонтальную прямую на окруж-
окружность Ci, а каждую вертикальную — на окружность С2.
Во втором примере для любого целого числа п обозначим через Dn окруж-
окружность {(х, у) 6 R2"- (г — IJ + (у — ЗпJ = 1}, а через L — вертикальную
прямую {(г, у): х = 0}. Окружности Dn попарно HeJ пересекаются, и каж-
каждая из них касается прямой L. Положим
X' = L\)( U Dn)
и зададим отображение р': X' -*¦ X следующим образом. Пусть р' с помощью
вертикального смещения отображает гомеоморфно каждую окружность
Dn на Си а прямую L накручивает на окружность С2 в соответствии с фор-
формулой
Тогда (X1, р') — накрывающее пространство для X.
2.8. Этот пример предназначен для читателей, немного знакомых с тео-
теорией функций комплексного переменного. Как обычно, пусть
оо
п=0
— показательная функция комплексного переменного z. Эта функция задает
отображение ехр: С ->- С — @), где С — комплексная плоскость. Мы утвер-
утверждаем, что (С, ехр) — накрывающее пространство для С — {0} н что для
любой точки z ? С — {0} открытый диск
Ut = (w 6 С: 1 ш - z |< | z 1}
может служить элементарной окрестностью. Для доказательства этого
утверждения достаточно показать, что любая компонента V прообраза диска
11*
164 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.2
Uz при отображении ехр гомеоморфно переводится этим отображением на
Uz, т. е. что существует такая непрерывная функция /: Uz -*¦ V, что для
любой точки ш ? Uz
ехр [/ (w)] = ш
и для любой точки v ? V
f (ехр и) = v.
В книгах по комплексному переменному такая функция / называется
«ветвью логарифмической функции в диске GZ» и требуемые факты доказы-
доказываются при выводе свойств логарифма.
Вспомпим, что если z = х + iy, то ехр z = (ехр х) (cos у + г sin у), где
ехр г = ех — более привычный вид действительной показательной функции
ехр: R -*¦ {t ? R: t > 0}. Из этой формулы следует, что если С = R X R
и С — {0} = {г ? R: г > 0} X 51 (воспользуемся полярными координатами),
то ехр: С -»- С — {0} можно считать отображением р X q: R X R -»-
->- {г б R: г > 0} X S1, где р (г) = е^ и g (у) = (cos у, sin г/). Сравните
с примерами 2.1, 2.3 и 2.4.
2.9. Приведем еще один пример из теории функций комплексного пере-
переменного. Для любого целого числа п Ф 0 зададим рп: С -»- С формулой рп (z) =
= zn. Тогда (С — {0}, рп) — накрывающее пространство для С — {0}. Дока-
Доказательство приводится в книгах но комплексному переменному при выясне-
выяснении существования и свойств разных «ветвей» функции r\/~z\ ситуация анало-
аналогична примеру 2.8. Отметим, что из области определения и из множества зна-
значений функции рп обязательно надо выкинуть нуль, в противном случае
мы не получим накрывающего пространства. Как и в примере 2.8, можно
рассмотреть С — {0} = {г ? R: г > 0} X S1 и представить накрывающее
пространство (С — {0}, рп) в виде декартова произведения двух накрыва-
накрывающих пространств.
Для того чтобы лучше разъяснить понятие накрывающего
пространства, приведем несколько примеров пространств, похо-
похожих на накрывающие, но не являющихся ими.
Определение. Непрерывное отображение /: X -*• Y называется
локальным гомеоморфизмом, если для каждой точки х ? X най-
найдется такая открытая окрестность V, что множество / (V) открыто
и / топологически отображает V на / (У).
Легко доказать, что если (X, р) — накрывающее пространство
для X, то р — локальный гомеоморфизм (доказательство выте-
вытекает из того, что в локально линейно связном пространстве ком-
компоненты линейной связности открытого множества открыты).
Также нетрудно доказать, что отображение включения открытого
подмножества топологического пространства во все пространство
является локальным гомеоморфизмом и, наконец, что композиция
двух локальных гомеоморфизмов снова является локальным
гомеоморфизмом. Таким способом можно построить много при-
примеров локальных гомеоморфизмов.
С другой стороны, легко построить примеры локальных гомео-
гомеоморфизмов, которые будут отображениями на, но не дадут накры-
накрывающего пространства. Например, пусть р отображает открытый
V.2 Гл. V. Накрывающие пространства 165
интервал @, 10) на окружность S1 по формуле
р (t) = (cos t, sin t).
В этом случае р — локальный гомеоморфизм, но пара (@, 10), р)
не образует накрывающего пространства для S1. (Какие точки
окружности «S не имеют элементарных окрестностей?) Более
общо, если (X, р) — накрывающее пространство для X и V —
связное открытое собственное подмножество в X, то р | V —
локальный гомеоморфизм, но пара (V, р | V) не образует накры-
накрывающего пространства для X. Важно всегда помнить это различие
между локальными гомеоморфизмами и отображениями накрытия.
Отметим, что локальный гомеоморфизм — открытое отображе-
отображение (см. определение в приложении А). В частности, если (X, р) —
накрывающее пространство для X, то р — открытое отображение.
Приведем лемму, которая позволит дать много новых при-
примеров накрывающих пространств.
Лемма 2.1. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для X,
А — линейно связное и локально линейно связное подпространство
пространства X и А — компонента линейной связности множе-
множества р~х (А). Тогда (А, р \ А) — накрывающее пространство
для А.
Доказательство получается сразу. Два накрывающих про-
пространства, описанные в упражнении 2.7, можно также построить,
применяя эту лемму к пространствам Ra = R X R и R X <S\
накрывающим тор S1 X S1 (см. пример 2.4; в качестве А выбираем
подмножество А = (S1 X {х0}) 0 (lx0} x S1) T<>na S1 X S1, где
*о 6 ^1).
Закончим этот раздел формулировкой двух основных задач
теории накрывающих пространств:
(a) Дать необходимое и достаточное условия того, что два
накрывающих пространства (Xv pj и (Х2, р2) для X
изоморфны (по определению они изоморфны тогда и только
тогда, когда существует такой гомеоморфизьг h простран-
пространства Хг на Х2, что p2h ч= ?>-,).
(b) Для данного пространства X определить с точностью
до изоморфизма все возможные накрывающие простран-
пространства.
Как мы увидим далее, удовлетворительное решение этих задач
получается в терминах фундаментальных групп рассматриваемых
пространств.
166 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V-3
Упражнения
2.1. Докажите эквивалентность следующих четырех условий на топо-
топологическое пространство:
(a) компоненты линейной связности любого открытого подмножества
открыты;
(b) каждая точка имеет базу, состоящую из множества линейно связных
открытых окрестностей;
(c) каждая точка имеет базу, состоящую из множества линейно связных
окрестностей (не предполагается, что они открыты);
(d) для каждой точки х и каждой ее окрестности U найдется такая ее
окрестность V, что Fc U и любые две точки из V можно соединить
дугой, лежащей в U.
Таким образом, любое из этих условий можно взять в качестве определе-
определения локальной линейной связности.
2.2. Докажите, что если /: X ->- У — локальный гомеоморфизм и А сг X,
го / | А — локальный гомеоморфизм из А на / (А).
2.3. Докажите, что если пространство X компактно и /: X -+• У —
липальный гомеоморфизм, то для любой точки у ? У множество f'1 (у) конеч-
конечно. Если к тому же предположить, что У — связное хаусдорфово пространст-
пространство, то / отображает X на У.
2.4. Предположим, что пространства X и У линейно связны и локально
линейно связны, X компактно и У хаусдорфово. Пусть /: X ->- У — локаль-
локальный гомеоморфизм; докажите, что (X, /) — накрывающее пространство
для У.
3. Поднятие путей в накрывающее пространство
В этом разделе мы докажем несколько простых лемм, ключевых
по отношению ко многим результатам настоящей главы. Пусть
(X, р) — накрывающее пространство для X и g: I ->¦ X — путь
в X; тогда pg — путь в X. Если g?> Si- I -»¦ X и g0 ~ gu то
pg0 ~ pgv Поставим обратный вопрос: если /: I-*-X — путь
в X, существует ли такой путь g: I -*¦ X, что pg' = /? Если
вы U\- I' -*¦ X и pg0 ~ pgv будет ли g0 ~ gx? Мы увидим, что
ответы на оба вопроса утвердительные, и в этом одно из основных
свойств накрывающих пространств.
Лемма 3.1. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для
X, х0 ? X и хь = р (х0). Тогда для любого пути /: / -*¦ X с началь-
начальной точкой х0 существует такой единственный путь g: I -*- X
с начальной точкой х0, что pg = f.
Доказательство. Если бы путь / содержался в эле-
элементарной окрестности U, то проблемы не возникало бы. В самом
деле, если V — компонента линейной связности множества/» (U),
содержащая точку х0, то, поскольку р топологически отображает
V на U, в V должен быть единственный путь g с требуемыми
свойствами.
V-3 Гл. V. Накрывающие пространства 167
Разумеется, в общем случае путь / не содержится в элемен-
элементарной окрестности. Однако всегда можно представить его в виде
произведения конечного числа «коротких» путей, каждый из кото-
которых содержится в элементарной окрестности, и затем к каждому
из коротких путей применить рассуждения предыдущего абзаца.
Эту процедуру подробнее можно описать так. Пусть {Ut} —
покрытие пространства X элементарными окрестностями; тогда
I/ {Ui)} — открытое покрытие компактного метрического про-
пространства /. Выберем целое число п настолько большим, чтобы
дробь 1/п была меньше лебегова числа этого покрытия. Разобьем
интервал / на замкнутые подинтервалы [0, 1/п), [1/п, 2/п), . . .
. . ., [(п — 1)/п, 1]. Заметим, что / отображает каждый такой
подинтервал в элементарную окрестность в X. Теперь, начиная
с [0, 1/п], последовательно определим на этих подинтервалах g. <
Единственность поднятого пути g вытекает из следующей
более общей леммы.
Лемма 3.2. Пусть {X, р) — накрывающее пространство для X
и Y — связное и локально связное пространство. Тогда для любых
непрерывных отображений /0, Д: Y ->¦ X, для которых pf0 = pflf
множество {у ? Y: /„ {у) = Д (у)} либо пусто, либо совпадает
со всем Y.
Доказательство. Так как пространство Y связно,
достаточно доказать, что указанное в лемме множество открыто
и замкнуто одновременно. Сначала докажем, что оно замкнуто.
Пусть у — точка из замыкания этого множества,
х = pf0 (У) = Ph {У)
и U — элементарная окрестность точки х. Используя непрерыв-
непрерывность отображений р/0 и pfr и локальную связность пространства
Y, можно построить такую связную окрестность W точки у, что
р/о (W) сг U и pfy (W) cr U. Так как множества /0 (W) и Д (W)
связны, то каждое из них должно содержаться в одной компоненте
множества р~г (U), а так как множество W пересекается с мно-
множеством, указанным в лемме, то /0 (W) и Д (W) должны содержать-
содержаться в одной и той же компоненте множества р (U). Пусть V —
эта компонента. Так как р топологически отображает V на U,
то fo'{j/) = Д (У)-
Аналогично можно показать, что каждая точка множества
{у 6 Y: /0 {у) = Д (у)} является внутренней.
Лемма 3.3. Пусть {X, р) — накрывающее пространство для X
и g0, g\- I-*• X — пути в X, начинающиеся в одной и той же
точке. Если pg0 ~ pgv то g0 ~ gi, в частности, g0 и gx имеют
одну и ту же конечную точку.
168 У. Масси. Алгебраическая топология- Введение V.3
Доказательство. Рассуждение здесь в основном то же,
что и в лемме 3.1. Пусть х0 — начальная точка путей g0 и gv
Из условия pg0 ~ pgr вытекает существование такого отображения
F: /Х/->Х, что
F (s, 0) = pg0 (в),
F (в, 1) = Pgl (s),
F @, t) = pg0 @) = p (x0),
F(i, t)=pgo(l).
Применяя рассуждения, использующие лебегово число и т. д.,
можно найти такие числа 0 = s0 ¦< sx <;...<; sm = 1 и 0 =
= *о < h < • • • <'n = 1» что F отображает каждый малый
прямоугольник lst-lt S;] X [jfy_!, tj] в некоторую элементарную
окрестность пространства X. Докажем, что существует такое
единственное отображение G: I X / -> X, что pG = F и G @, 0) =
= #„. С 1 чала зададим G на малом прямоугольнике [0, s^] X
X [0, tx] так, чтобы выполнялись требуемые свойства; это можно
сделать, так как F отображает указанный малый прямоугольник
в элементарную окрестность точки р (х0). Затем продолжим ото-
отображение G последовательно на прямоугольники [s4 _x, sj X
X [0, ?j для i = 2, 3, . . ., п, чтобы оно совпадало на общих
сторонах двух соседних прямоугольников. Таким образом, ото-
отображение G задано на всей полосе / X [0, ?j. Затем определим G
на прямоугольниках полосы / X [tx, t2] и т. д.
Единственность отображения G гарантируется леммой 3.2.
Аналогично, в силу единственности, которая утверждается в лем-
лемме 3.1, G (в, 0) = g0 (e), G @, t) =^0, G (в, 1) = ft (s) и G ото-
отображает {1} X / в такую точку xlt что
Р («0 = Р*о (!) = P*i (!)•
Следовательно, как и требуется, G определяет эквивалентность
между путями g0 и gv
В качестве следствия этих результатов о поднятии путей
докажем, что справедлива
Лемма 3.4. Если (X, р) — накрывающее пространство для, X,
то множества р~1 (х) для всех х 6 X имеют одинаковую мощность.
Доказательство. Пусть х0 и х± — любые две точки
из X. Выберем путь / в X с начальной точкой х0 и конечной х\.
С помощью этого пути определим отображение р'1 (х0) -*¦ р'1 (х^).
Выберем любую точку у0 ? р'1 (х) и поднимем путь / до пути
g g X, начинающегося в точке у0 и такого, что pg = f. Обозначим
V.4 Гл. V- Накрывающие пространства 169
через ух конечную точку пути g. Тогда нужное отображение опре-
определяется соответствием у0 -> yv С помощью пути /, обратного к /
(т. е. / (t) = / A — t)), аналогично определяем отображение
Р'1 (xi) -*~ Р~г (хо)- Ясно, что построенные отображения взаимно
обратны; следовательно, каждое из них взаимно однозначно
и является отображением на.
Кардинальное число — общая мощность множеств р'1 (х)г
х g X,— называется числом листов накрывающего пространства
(X, р). Например, накрытие может быть n-листное или бесконеч-
нолистное.
; 4. Фундаментальная груцпа накрывающего пространства
Из леммы 3.3 вытекает следующий фундаментальный резуль-
результат.
Теорема 4.1. Пусть (Х,р) — накрывающее пространство для X,
х0 ? X и хо = р(хо). Тогда гомоморфизм р^: л (X, ж0) -> я (X, хо)г
индуцированный проекцией р: X -*¦ X, является мономорфизмом.
Эта теорема сразу получается из леммы 3.3, если пути g0 и
gi в ней взять замкнутыми.
Теорема 4.1 приводит к такому вопросу. Предположим, что
х0 и х± — точки в X и р(х0) = p{xj) = х0. Как соотносятся
образы гомоморфизмов
р„: п(Х, хо)->-п(Х, х0),
р«: я (X, ж4)-»-я (X, хоу>
Ответ очень прост. Выберем класс у путей в X, соединяющих
точку х0 с хх; он определяет изоморфизм и: л (X, х0) -*¦ л (X, хх)
по формуле и (а) = у~1ау. Следовательно, диаграмма
7Г(Х, Х0) %> 7Г(Х, Хо)
&" V(X, Хо)
коммутативна (см. упражыепия в разд. [II.4). Здесь v (§) =
= (Р*?)'1 Р (Р*т)- Но Pt (у) — замкнутый путь, и потому он
определяет элемент группы я (X, х0). Итак, образы групп л (X, х0)
и л {X, хх) при отображении р+ являются сопряженными под-
подгруппами группы я (X, х0).
170 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.5
Возникает следующий вопрос: может ли каждая подгруппа
из класса подгрупп, сопряженных с подгруппой р^п {X, х0),
получаться как образ р„л (X, хх) для некоторого выбора точки
¦^1 6 Р'1 (#о)' Ответ на этот вопрос утвердительный. Для дока-
доказательства заметим, что любая подгруппа из этого класса сопря-
сопряженных подгрупп имеет вид а [р+л (X, хо)\ а для некоторого
элемента а ? я (X, х0). Выберем замкнутый путь /: /—*¦ X, пред-
представляющий элемент а. Применяя лемму 3.1, найдем путь g: I ->
-*¦ X, начинающийся в точке х0 и накрывающий /. Обозначим
через хх конечную точку пути g. Тогда, как легко видеть,
р^п (X, xt) = сс~1 [р^п (X, х0)] а.
Подведем итог доказанных только что результатов.
Теорема 4.2. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для
X и х0 6 X. Тогда для х ? р'1 (х0) подгруппы р+л (X, х) образуют
класс подгрупп, сопряженных с я (X, х0).
Читатель, желающий сам привести примеры к этой теореме,
может вернуться к примерам накрывающих пространств, данным
в разд. 2.
Упражнение
4.1. Рассмотрите, что получится, если в утверждении теоремы 4.2 перейти
от «базисной точки» х0 к новой базисной точке гх ? X.
Класс сопряженных подгрупп группы я (X, х0) является
алгебраическим инвариантом накрывающего пространства (X, р).
Позже мы докажем, что с точностью до изоморфизма он полностью
определяет накрывающее пространство!
5. Поднятие отображений в накрывающее
пространство
В разд. 3 мы изучили «поднятие» путей из пространства X
в накрывающее пространство X. Сейчас исследуем аналогичный
вопрос для отображений любого пространства Y в X. Введем
обозначение: если X и Y — топологические пространства, х ? X
и у f У, то через /: (X, х) -*¦ (Y, у) будем обозначать такое непре-
непрерывное отображение из X в Y, что f (x) = у. Используя это обо-
обозначение, можно четко сформулировать наш основной вопрос.
Пусть (X, р) — накрывающее пространство для X, х0 ? X, х0 =
= Р (жо)» Уо 6 У и ф: (Y, у0) -*¦ (X, Хо). При каких условиях
существует отображение ф: (У, у0) ->- (X, х0), превращающее диа-
V.5 Гл. V. Накрывающие пространства 171
грамму
(X, ?о)
(Y, у0) (^
(X, xt)
в коммутативную? Если такое отображение ф существует, говорят,
что ф можно поднять до отображения ф или что ф — поднятие
отображения ф.
Легко вывести необходимое условие существования такого
поднятия ф, рассматривая фундаментальные группы пространств,
участвующих в диаграмме. В самом деле, если предположить,
что ф существует, то получается следующая коммутативная диа-
диаграмма групп и индуцированных гомоморфизмов:
тг{А} Xq)
ir{Y,y0) Р*.
7Г(Х, Хо)
Так как р,, — мономорфизм, то существование гомоморфизма
Ф„: л {Y, у0) -*¦ л (X, х0), при котором диаграмма коммутативна,
в точности эквивалентно тому, что образ гомоморфизма ф,, содер-
содержится в образе гомоморфизма р,. Это и есть необходимое условие.
Замечательно, что оно также и достаточное.
Теорема 5.1. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для
X, Y — связное и локально линейно связное пространство, у0 6 Y,
х0 g X и х0 = р (х0). Для данного отображения ф: (У, у0) -*¦
-*- (X, х0) поднятие ф: (У, у0) -> (X, х0) существует тогда и толь-
только тогда, когда ф^я (Yt у0) ср+л (X, х0).
Доказательство. Необходимость уже доказана; оста-
осталось доказать достаточность. Для этого построим отображение ф.
Покажем, что если ф существует, то фактически есть лишь один
способ его построения. Предположим, что ф существует; пусть
у — любая точка в Y. Так как пространство У линейно связно,
172 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.S
можно выбрать путь /: I -*-Y с начальной точкой у0 и конеч-
конечной у. Рассмотрим пути <р/ и <р/ в X и X соответственно. Путь
ф/ есть поднятие пути ф/, а ф (j) — конечная точка пути ф/.
Исходя из этого, зададим отображение ф: (Y, у0) -*¦ (X, х0)
так. Для данной точки у 6 Y выберем путь /: / -*¦ Y с начальной
точкой у0 и конечной у. Тогда <р/ — путь в X с начальной точ-
точкой х0. Применяя лемму 3.1, получаем путь g: /-> X, начальной
точкой которого служит х0 и для которого pg — ф/. Теперь поло-
положим
ф (у) — конечная точка пути g.
Чтобы определение было корректным, надо показать, что ф (у)
не зависит от выбора пути /. На основании леммы 3.3 путь / можно
заменить эквивалентным, при этом определение ф (у) не изме-
изменится; иными словами, ф (у) зависит только от класса эквивалент-
эквивалентности а пути /. Предположим, что а и Р — два различных класса
эквивалентности путей в Y, соединяющих точку у0 с у. Тогда
аР — класс петли в точке у0, т. е. сф ? я (Y, у0), и потому,
в силу предположений теоремы, ф„ (аР) ? р^п (X, х0). Таким
образом, существует класс петель в точке хп ? X, проектирующий-
проектирующийся на (ф^а) (ф^Р), или, если любой путь, представляющий эле-
элемент (ф^а) (фаР), «поднимается» до пути в пространстве X,
начинающегося в точке х0, этот последний путь будет петлей
в точке х0. Следовательно, если два пути, представляющие эле-
элементы ф„а и ф#р соответственно, поднимаются в X до путей,
начинающихся в точке х0, то поднятые пути имеют одну и ту же
конечную точку.
Теперь докажем, что так определенная функция ф непрерывна.
Пусть у ? Y и U — произвольная окрестность точки ф (у). Мы
должны показать, что существует такая окрестность V точки у,
что ф (У) с: U. Выберем элементарную окрестность V точки
РФ (у) ~ Ф (у) TaKi что U' czp (U). Пусть W — компонента линей-
линейной связности множества р'1 (U1), содержащая ф (y)t a U" —
такая элементарная окрестность точки ф (у), что U" czp (U f) W).
Легко показать, что компонента линейной связности множества
Р'1 (U"), содержащая ф (у), содержится в U. Так как отображе-
отображение ф непрерывно, можно выбрать окрестность V так, что ф (V) cz
<zz U'. Кроме того, так как пространство Y локально линейно
связно, окрестность V можпо выбрать линейно связной. Предо-
Предоставляем читателю самому проверить, что выбранная так окре-
окрестность V обладает требуемыми свойствами.
V.6 Гл, V. Накрывающие пространства 173
Из нашего способа определения ф очевидно, что выполняется
соотношение коммутативности рф = ф.
Замечания. 1. На основании леммы 3.2 отображение ф един-
единственно. Единственность ф ясна также из доказательства теоремы.
2. Эта теорема прекрасно иллюстрирует общий метод алгеб-
алгебраической топологии. Чисто топологический вопрос (существова-
(существование непрерывного отображения, удовлетворяющего определенным
условиям) сводится к вопросу чисто алгебраическому. В алгеб-
алгебраической топологии в большинстве случаев, в которых при-
применим этот подход, детали намного сложнее, чем в теореме 5.1.
Упражнения
5.1. Пусть G — топологическое пространство с непрерывным умноже-
умножением ц: G X G -»- G, обладающим единицей е, т. е. ц (е, х) = ц (х, е) = х
для любого элемента х ? X (см. упражнение II.7.5). Пусть (G, р) — накры-
накрывающее пространство для G и 7 ? G — такая точка, что р (е) = е. Докажите,
что существует такое единственное непрерывное умножение ]I: G X G ->- G,
что е — единица (т. е. ц G, у) = jx (у, е) — у для любого элемента у ? G)
п р коммутирует с умножением в G ж G (т. е. ц (рх, ру) = рр, (х, у)). [Указа-
[Указание. Примените теорему 5.1 вместе с результатами примера 2.4 и упражне-
упражнения из разд. II.7.] Предположим, что G — линейно связное и локально
линейно связное пространство. Докажите, что если умножение ц ассоциатив-
ассоциативно, то ассоциативно также и умножение \i.
5.2. Пусть G — связная и локально линейно связная топологическая
группа с единицей е, (G, р) — накрывающее пространство для G и е ? G —
такой элемент, что р (е) = е. Докажите существование такого единственного
непрерывного умножения \а:Ъ Xfi-+fi, что G — топологическая группа
с единицей е и р — гомоморфизм. [Указание. Для того чтобы показать суще-
существование обратного элемента в S", используйте результаты упражнений 5.1
и II.7.6.] Докажите также, что ядро гомоморфизма р есть дискретная нормаль-
нормальная подгруппа группы G, которая, следовательно, содержится в центре этой
группы.
5.3. Примените упражнение 5.2 к случаю G = S1, рассматривая S1
как мультипликативную группу комплексных чисел с модулем 1. Примеры
пакрывающих пространств для S1 описаны в разд. 2.
5.4. Докажите, что если в упражнениях 5.1 и 5.2 умножение в группе G
коммутативно, то коммутативно и умножение в группе G.
6. Гомоморфизмы и автоморфизмы накрывающих
пространств
Мы хотим получить информацию о множестве пространств,
накрывающих данное пространство X. Как мы увидим, достичь
этого можно, рассматривая гомоморфизмы и автоморфизмы накры-
накрывающих пространств для X. Такой способ согласуется со следую-
следующим полумистическим принципом, который, видимо, служит
174 У. Масси. Алгебраическая топология, Введение V.6
путеводной нитью во многих современных математических иссле-
исследованиях: всякий раз, когда мы хотим получить информацию
о некотором классе математических объектов, как правило,
полезно рассматривать также подходящий класс допустимых
отображений и автоморфизмов этих объектов.
Определение. Пусть (Xlt рг) и (Х2, р2) — накрывающие про-
пространства для X. Гомоморфизмом пространства (Хх, рх) в (Х2, р2)
называется непрерывное отображение ф: Хг -»- Х2, превращаю-
превращающее диаграмму
> Х
X
в коммутативную.
Заметим, что композиция двух гомоморфизмов снова является
гомоморфизмом и, если (X, р) — накрывающее пространство для
X, тождественное отображение X ->- X есть также гомоморфизм.
Определение. Гомоморфизм ф из (Хг, рг) в (Х2, р2) называется
изоморфизмом, если существует такой гомоморфизм г|з из (Х2, р2)
в (Хг, Рх), что обе композиции г|)ф и фя|) — тождественные отобра-
отображения. Если существует изоморфизм одного накрывающего про-
пространства на другое, то эти пространства называются изоморфны-
изоморфными. Автоморфизм — это изоморфизм накрывающего пространства
на себя; он может быть или не быть тождественным отображением.
Обычно в литературе автоморфизмы накрывающих пространств
называются преобразованиями накрытия, или скольжениями. Заме-
Заметим, что гомоморфизм накрывающих пространств является изо-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда это гомеоморфизм в обыч-
обычном смысле. Очевидно, что множество автоморфизмов накрываю-
накрывающего пространства (X, р) образует группу относительно ком-
композиции отображений. Эту группу мы будем обозначать через
А (X, р).
Установим основные свойства гомоморфизмов и автоморфиз-
автоморфизмов накрывающих пространств.
Левша 6.1. Пусть ф0 и щ — гомоморфизмы из (Хх, рг)
в (Х2, р2). Если существует такая точка х ? Xlt что ц>0 (х) =
= фх (ж), то ф0 = ФГ
Эта лемма — частный случай леммы 3.2.
V.6 Гл. V. Накрывающие пространства 175
Следствие 6.2. Группа А (X, р) действует без неподвижных
точек на пространстве X, т. е. если ф ? А (X, р) и ц> Ф 1, то
Ф не имеет неподвижных точек.
Лемма 6.3. Пусть (Х4, р^) и (Х2, Рг)— накрывающие прост-
пространства для X и xt?Xt, i = l, 2, — такие точки, что jPi(zi) =
= р2(х2). Гомоморфизм ф пространства (Х4, р4) в (Х2, р2), для
которого <р (а^) = х2, существует тогда и только тогда, когда
рип(Хи Xi) cz рип (Х2, х2).
Эта лемма — частный случай теоремы 5.1.
Следствие 6.4. Если выполнены предположения леммы 6.3,
то изоморфизм ц> пространства (Xlt pt) на (Х2, р2), для которого
Ф (х±) =ж2, существует тогда и только тогда, когда рып (Хи хг) =
Это утверждение непосредственно вытекает из леммы 6.3,
определения изоморфизма и следствия 6.2.
Следствие 6.5Л Пусть (X, р) — накрывающее пространство
для X и хх, ж2 6 Р~х (яо)> г&е хо ? Х- Автоморфизм ф ? А (X, р),
для которого ф (хх) = х2, существует тогда и только тогда,
когда р+п (X, хг) = р^п (X, х2).
Это частный случай следствия 6.4.
Теорема 6.6. Два накрывающих пространства (Хх, pt)
и (Х2, р2) изоморфны тогда и только тогда, когда для любых
двух точек хг ? Xv х2 6 Х2, для которых pt (xj) = р2 (х2) = xot
подгруппы Рх,я (Хх, хх) и р2*я (¦Х'г» хг) принадлежат одному
и тому же классу сопряженных подгрупп в л (X, х0).
Доказательство. Теорема непосредственно вытекает
из следствия 6.4 и теоремы 4.2.
Из этой теоремы следует, что класс сопряженных подгрупп,
о котором шла речь в теореме 4.2, с точностью до изоморфизма
полностью определяет накрывающее пространство.
Лемма 6.7. Пусть (Хх, рх) и (Х2, р2) — накрывающие про-
пространства для X, а ф — гомоморфизм первого пространства
во второе. Тогда (Xlt ф) — накрывающее пространство для Х2.
Доказательство. Прежде всего заметим, что любая
точка х ? X имеет открытую линейно связную окрестность U,
176 У. Массы- Алгебраическая топология. Введение V.6
элементарную одновременно для обоих накрывающих пространств.
Такую окрестность можно получить, выбирая открытые элемен-
элементарные окрестности Ux и ?/2 точки х из пространств (Хг, pt)
и (Хг, р2) соответственно и затем беря в качестве U ту компо-
компоненту линейной связности пересечения Ux f\ U2, которая содер-
содержит х.
Докажем, что <р отображает Хх на Х2- Пусть у — любая точка
из Х2; надо показать, что существует точка х ? Х±, для которой
<р (х) = у. Выберем базисную точку хг ? Хг и положим х2 =
= ф (хх), х0 = рх (хг) — р2 (х2). Выберем в Хг путь / с начальной
точкой хг и конечной у, и пусть g = p%f — образ этого пути в X.
По лемме 3.1 в Xt существует единственный путь h с начальной
точкой xv для которого p-Ji = g. Пусть х — конечная точка пути h.
Тогда пути (fh и / имеют одну и ту же начальную точку и p2q>h =
= S = PJ- Следовательно, в силу утверждения о единственности
в лемме 3.1, tph — f. Поэтому ф (х) = у, что и требовалось дока-
доказать.
Теперь должно быть ясно, как выбрать элементарную окре-
окрестность любой точки z ? Х2. Возьмем окрестность U точки х =
= р2 (z), элементарную для обоих накрывающих пространств,
и обозначим через W компоненту множества р^1 (U), содержащую
г. Легко доказать, что W обладает требуемыми свойствами.
Пусть (X, р) — накрывающее пространство для X и про-
страпство X односвязно. Если (X', р') — любое другое накрываю-
накрывающее пространство для X, то по лемме 6.3 существует гомоморфизм
Ф пространства (X, р) на (X', р'), а по только что доказанной
лемме (X, ф) — накрывающее пространство для X'; иными сло-
словами, X может служить накрывающим пространством для любого
пространства, в свою очередь накрывающего X. По этой причине
такое односвязное накрывающее пространство, как (Л, р), назы-
называется универсальным накрывающим пространством. В силу тео-
теоремы 6.6, любые два универсальных накрывающих пространства
для X изоморфны.
Упражнения
6.1. Докажите, что если X — односвязное пространство и (X, р) —
накрывающее пространство для X, то р — гомеоморфизм из {X, р) на X.
6.2. Определите (с точностью до изоморфизма) все накрывающие про-
пространства для каждого из следующих пространств: окружность S1, проектив-
проективная плоскость Р, подмножество {(х, у) ? R2: 1 < х2 + у2 < 4} плоскости R2.
Из каждого класса изоморфных пространств выделите и точно покажите на-
накрывающее пространство (X, р). [Указание. Рассмотрите пример в разд. 2.]
6.3. Пусть X — топологическое пространство с абелевой фундаменталь-
фундаментальной группой. Если (Хъ p-j) и (Х2, р2) — накрывающие пространства для X,
V.7 Гл. V. Накрывающие пространства 177
то положим (xlt p^ > (]Ct, ?t) тогда и только тогда, когда существует
гомоморфизм из [Х±, pi) на {Х2, р2)- Докажите, что это отношение транзи-
тивпо и рефлексивно, и если (Xi, р{) ^ (Х2, р2) и (Х2, р2) ^ (Хх, Pi),
то пространства (Хх, pj) и (Х2, р2) изоморфны. Наконец, докажите, что
относительно этой частичной упорядоченности система пространств (X, р),
накрывающих X, имеет наименьшую верхнюю и наибольшую нижнюю грани.
(Примечание. Этот результат не верен, если не выполнено предположение
о коммутативности группы п (х).)
6.4. Пусть
— коммутативная диаграмма пространств и непрерывных отображений. Пред-
Предположим, что (X, р) — накрывающее пространство для У и (X, q) — накры-
накрывающее пространство для Z. Докажите, что (У, г) — накрывающее простран-
пространство для Z. [Указание. Пусть U cz Z — элементарная окрестпость для пакры-
вающего пространства (X, д) и V — компонента линейной связности множе-
множества г (U). Примените лемму 2.1 к множеству V, считая его подпространст-
подпространством в Y.]
6.5. Пусть X — пространство, имеющее универсальное накрывающее
пространство. Если (Х±, pi) — накрывающее пространство для X, а (Х2, р%) —
накрывающее пространство для Xlt то] (Х2, pip2) — накрывающее про-
пространство для X.
7. Действие группы л(Х,х) на множестве р'1 (х)
Для того чтобы дальше изучать группу автоморфизмов накры-
накрывающего пространства (X, р), определим для любой точки х ? X
действие группы я (X, х) на множестве р'1 (х), т. е. превратим
я (X, х) в группу операторов, действующих справа на р'1 (х).
Определение довольно естественно и просто; оно вытекает из
лемм 3.1 и 3.3 о поднятии путей.
Определение. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для
X и х ? X. Для любой точки х 6 р~х (х) и любого элемента а 6
6 я (X, х) определим х-а 6 Р (х) следующим образом. В силу
лемм 3.1 и 3.3, существует такой единственный класс а путей в X,
начинающихся в точке х, что рф (а) = а. По определению х-а —
конечная точка этих путей класса а.
Предоставляем читателю проверить формулы
a).pex.(o.p), E.7.1)
х-1 = х. E.7.2)
12 у. Масси, Д/К. Столлипгс
178 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.7
Эти формулы в точности выражают условие того, что я (X, х) —
группа правых операторов, действующих на множестве р~г (х)
(см. приложение В). Мы утверждаем, что группа я (X, х), дей-
действует на множестве р (х) транзитивно. Для доказательства
предположим, что х0, хг 6 р'1 (я); так как пространство X линейно
связно, существует класс а путей в X с начальной точкой ха
и конечной^. Пусть а = р^ (а). Тогда а — класс эквивалентно-
эквивалентности петель, и очевидно, чтоа^-а = х1, что и требовалось доказать.
Таким образом, р~г (х) — однородное правое я {X, ^-про-
^-пространство (см. определение в приложении В). Из определения
немедленно вытекает, что для любой точки х 6 р'1 {х) изотропная
подгруппа, соответствующая этой точке, есть в точности под-
подгруппа р^п (X, х) группы я (X, х). Следовательно, будучи пра-
правым л (X, ^-пространством, множество р~г (х) изоморфно про-
пространству классов смежности л (X, х)/р#п (X, х) и число листов
накрывающего пространства равно индексу подгруппы р„я {X, х).
Итак, мы получили важный результат, устанавливающий
связь между группой автоморфизмов накрывающего пространства
и действием группы я (X, х) на р'1 (х):
Предложение 7.1. Для любого автоморфизма ф ? А (X, р)г
любой точки х ? р'1 {х) и любого элемента а ? я (X, х)
т. е. каждый элемент ф ? А (X, р) индуцирует автоморфизм
множества р~1 (х), рассматриваемого как правое л (X, х)-про-
странство.
Доказательство. Доказательство просто. Поднимем
класс а до класса а путей в X, начинающихся в точке х, для кото-
которого Ръ (а) = а; тогда х-а — конечная точка путей из класса а.
Рассмотрим класс ф# (а) путей в X. Начальной точкой этих
путей будет ф (х), а конечной — ф (х-а). Заметим, что
Р* [ф* («)] = (РФ)* (а) = Р*(а) = а.
т. е. ф„ (а) — поднятие класса а. Следовательно, по определению
(фж)-а — конечная точка путей класса ф„ (а), т.е. (qx)-a =
= Ф (х-а), что и требуется.
Теперь можно полностью описать строение группы автомор-
автоморфизмов А (X, р).
V.7 Гл. V. Накрывающие пространства 179
Теорема 7.2. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для
X. Тогда группа автоморфизмов А (X, р) естественно изоморфна
группе автоморфизмов множества р'1 (х), х ? X, рассматриваемого
как правое л {X, х)-пространство.
Доказательство. Если ф — любой автоморфизм про-
пространства (X, р), то сужение ф | р'1 {х) есть автоморфизм мно-
множества р*1 (х), рассматриваемого на основании предложения 7.1
как правое я (X, ж)-пространство. Кроме того, из следствия 6.2
вытекает, что каждый автоморфизм ф полностью определяется
его сужением ф | р'1 (х). Другими словами, отображение ф ->
-^"Ф I Р'1 (х) есть мономорфизм группы А {X, р) в группу авто-
автоморфизмов правого я (X, ж)-пространства р'1 (x). Далее, из лем-
леммы 2.1 приложения В и из следствия 6.5 вытекает, что отображе-
отображение ф ->- ф | р~1 (х) — эпиморфизм группы А {X, р) на группу
автоморфизмов множества р~г (х). Теорема доказана.
Следствие 7.3. Для любых точек х ? X и х ? р {х) группа авто-
автоморфизмов А(Х,р) изоморфна факторгруппе N [р^п(Х, х)]/р^п(Х, х),
где через N [р„п (X, х)] обозначен нормализатор подгруппы
р„п (X, х) в группе п (X, х).
Это следствие получаем, сопоставляя теорему 2.2 приложения В
с теоремой 7.2.
Особенно важен случай накрывающих пространств, для кото-
которых р^п (X, х) — нормальная подгруппа группы я (X, х). (Заме-
(Заметим, что это условие не зависит от выбора точки х ? р~г (х).)
Такое накрывающее пространство называется регулярным.
Следствие 7.4. Если (X, р) — регулярное накрывающее про-
пространство для X, то для любых точек х ? X их ? р'1 (х) группа
А (X, р) изоморфна факторгруппе я (X, х)/р^п (X, х).
Это вытекает из следствия 7.3, так как здесь N Ip^n (X, х)] =
= я (X, х).
Применим следствие 7.4 к универсальным накрывающим
пространствам:
Следствие 7.5. Пусть (X, р) — универсальное накрывающее
пространство для X. Тогда группа А {X, р) изоморфна группе
л (X) и порядок группы я (X) равен числу листов универсального
накрывающего пространства (X, р).
12*
180 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.8
Примеры
7.1. Рассмотрим пространство (R, р), накрывающее окружность S1
по формуле р (t) = (sin t, cos (), I ^ R (см. пример 2.1). Так как действитель-
действительная прямая R стягиваема, то она односвязна. Поэтому (R, р) — универсаль-
универсальное накрывающее пространство для S1, и применимо следствие 7.5. Опреде-
Определим группу автоморфизмов этого пространства. В силу периодичности функ-
функций sin t и cos t, сдвиг Тп: R -*¦ R, заданный формулой Тп (t) = t + 2яп,
является автоморфизмом для любого целого числа п. Кроме того, ясно, что
если х — любая точка из S1, a tx, t2 — любые две точки из р-1 (х), то суще-
существует такое целое число п, что Тп (t{) = t2- Таким образом, каждый авто-
автоморфизм накрывающего пространства (R, р) будет таким сдвигом (см. лем-
лемму 6.1 и следствие 6.2). Очевидно, что группа всех таких сдвигов {Тп: n?Z) —
бесконечная циклическая, так что мы снова доказали, что я (S1) — беско-
бесконечная циклическая группа. На самом деле во второй половине доказатель-
доказательства этого факта в разд. II.5 используются в неявном виде некоторые идеи
теории накрывающих пространств. Действительно, аргумент a (z) любой
точки z ? Si неявно указывает точку пространства (R, р), накрывающего
S1, и рассуждение, проведенное при определении степени замкнутого пути
на S1, означает поднятие такого пути из S1 в накрывающее пространство
(R, Р).
7.2. Пусть р: S* ->- Р будет естественным отображением 2-сферы на ее
факторпространство — проективную плоскость; тогда (S2, р) — накрыва-
накрывающее пространство для Р (см. пример 2.5), и так как сфера S2 односвязна, то
(S2, р) — универсальное накрывающее пространство. Так как оно двулист-
двулистно, то фундаментальная группа я {Р) и группа автоморфизмов должны быть
обе порядка 2. Ясно, что группа автоморфизмов порождена антиподальным
отображением Т: S2 -*¦ S2, заданным формулой Т (х, у, z) = (—х, —у, —z).
Упражнения
7.1. Пусть р:Ъ ->- G — непрерывный гомоморфизм топологических
групп, а E, р) — накрывающее пространство для G. (Разумеется, пред-
предполагаем, что G и G связны и локально линейно связны.) Пусть К обозначает
ядро отображения р\ тогда К — дискретная подгруппа группы G, содержа-
содержащаяся в центре (см. упражнения в разд. 5). Для каждого элемента к ? К
определим отображение фй: G ->- (Гформулой щ (х) = х»к — к-х. Докажите,
что соответствие к -*¦ ф^ задает изоморфизм из К на A (G, р).
7.2. Определите группу автоморфизмов накрывающих пространств,
описанных в примерах 2.2, 2.4, 2.7—2.9.
— 8. Регулярные накрывающие пространства
н факторпространства
Пусть (Z, р) — накрывающее пространство для X; так как
р — открытое отображение, то X наделено фактортопологией,
индуцированной отображением р (см. приложение А). Поэтому
можно считать, что пространство X получено из X отождествле-
отождествлением определенных точек; для любой точки х ? X все точки мно-
множества р'1 (х) должны быть отождествлены. Вспомним, что группа
автоморфизмов А (X, р) переставляет между собой точки мно-
множества р'1 (х). Однако в общем случае факторпространство
V.8 Гл. V. Накрывающие пространства 181
XIA (X, р) не обязательно будет естественно гомеоморфным про-
пространству X, так как могут быть такие различные точки хг, хг ?
? р (х), что не найдется автоморфизма <р ? А (X, р), для кото-
которого ф (Я]) = х2\ другими словами, группа автоморфизмов А (X, р)
не обязательно действует транзитивно на р~г (х). В самом деле,
справедлива
Лемма 8.1. Пусть (X, р) — накрывающее пространство для X.
Группа автоморфизмов А (X, р) действует транзитивно на
р'1 (х), х ? X, тогда и только тогда, когда (X, р) — регулярное
накрывающее пространство для X.
Эта лемма непосредственно вытекает из теоремы 4.2 и след-
следствия 6.5.
В результате мы видим, что если {X, р) — регулярное накры-
накрывающее пространство для X, то пространство X естественно гомео-
морфно факторпространству XIА (X, р). Это ведет к такому
довольно естественному вопросу. Пусть Y — топологическое про-
пространство и G — группа его гомеоморфизмов. Пусть р: Y -*¦
-*¦ Y/G — естественное отображение пространства У на его фак-
торпространство. При каких условиях (Y, р) будет регулярным
накрывающим пространством для Y/G с A (Y, р) — G? Сразу же
ясно, что должны быть удовлетворены несколько необходимых
условий. Например, если {X, р) — регулярное накрывающее
пространство для X, то А (X, р) действует на X без неподвижных
точек (следствие 6.2). Далее, орбита любой точки х ? X при дей-
действии группы Л (X, р) (т. е. множество точек {ф (х): ф 6 А (X; р)})
есть дискретное замкнутое подмножество пространства X. На
самом деле выполнено даже более сильное условие: каждая точка
х ? X обладает такой окрестностью U, что множества ц> (U), где
Ф ^ А (X, р), попарно не пересекаются (в качестве U можно
взять какую-нибудь компоненту прообраза подходящей элемен-
элементарной окрестности в X). Группу гомеоморфизмов, удовлетворяю-
удовлетворяющую этим условиям, называют вполне разрывной. Заметим, что
вполне разрывная группа гомеоморфизмов не имеет неподвижных
точек. Оказывается, что перечисленные необходимые условия
являются также и достаточными.
Предложение 8.2. Пусть Y — связное и локально линейно
связное топологическое пространство и G — вполне разрывная
группа его гомеоморфизмов. Обозначим через р: Y -+Y/G есте-
естественную проекцию пространства Y на его факторпространстео.
Тогда (У, р) — регулярное накрывающее пространство для YIG
и G =A{Y, p).
182 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.8
Доказательство. Пусть х ? Y/G; надо показать, что
х имеет элементарную окрестность. Выберем такую точку у 6 Y,
что р (у) — х. По предположению существует такая окрестность N
точки у, что множества ф (N), ф ? G, не пересекаются. Так как
пространство Y локально линейно связно, найдется такая откры-
открытая линейно связная окрестность V точки у, что V cz N. Пусть
U = р (V). Мы утверждаем, что U — элементарная окрестность
точки х. Так как р — открытое отображение (см. разд. 1 прило-
приложения А), то U — открытое множество, и очевидно, что оно
линейно связно. Ясно, что р отображает V на U взаимно одно-
однозначно и непрерывно, а так как отображение р открыто, то р —
гомеоморфизм из V на U. Если W — любая компонента множества
р~х (U), отличная от V, то существует такое отображение ф 6 G,
что W = ф (F). Так как ф — гомеоморфизм из V на W и р =
= рф, то р гомеоморфно отображает W на U. Поэтому U — эле-
элементарная окрестность точки х и (Y, р) — накрывающее про-
пространство для YIG. Очевидно, что каждый элемент ф ? G будет
автоморфизмом пространства (Y, р); следовательно, G с A (Y, р).
Предположение о том, что G — собственная подгруппа группы
A (Y, р), влечет за собой, что A (Y, р) имеет элементы с непо-
неподвижными точками. Следовательно, G = A (Y, р). Наконец, из
леммы 8.1 вытекает, что (Y, р) — регулярное накрывающее
пространство для YIG.
Теперь приведем несколько простых примеров к этой теореме.
Примеры
8.1. Пусть Y = R — действительная прямая; для каждого целого числа
п зададим отображение фп: R -»- R формулой фп (х) = х + п. Положим G =
= {фп: п 6 Z}. Тогда G — вполне разрывная группа гомеоморфизмов пря-
прямой R; в самом деле, если U — открытый интервал (х — 1/3, х + 1/3), где
х 6 R, то окрестности фп (U) не пересекаются. Следовательно, в силу пред-
предложения 8.2 R — регулярное накрывающее пространство для R/G. Из резуль-
результатов разд. 4 приложения А вытекает, что пространство R/G гомеоморфно
факторпространству замкнутого единичного интервала [0, 1], полученному
отождествлением концевых точек этого интервала. Следовательно, R/G —
окружность. Снова мы доказали, что универсальным накрывающим про-
пространством окружности служит действительная прямая и что группа авто-
автоморфизмов — бесконечная циклическая (см. пример 7.1).
8.2. Пусть Y = Sn — единичная n-сфера в евклидовом (п + ^-про-
^-пространстве и Т: Sn -*¦ Sn — антиподальное отображение, определенное фор-
формулой Т (х) = —х для всех х ? Sn. Ясно, что Га — тождественное преобра-
преобразование, и потому группа G гомеоморфизмов сферы Sn, порожденная отобра-
отображением Т, будет циклической группой порядка 2. Очевидно, что G — вполне
разрывная группа гомеоморфизмов; поэтому Sn — накрывающее простран-
пространство для проективного действительного и-пространства SnlG. Так как сфера
Sn односвязна, она служит универсальным накрывающим пространством,
и фундаментальная группа действительного проективного п-пространства
будет циклической группой порядка 2 (см. пример 7.2, в котором п = 2).
V.8 Гл. V. Накрывающие пространства 183
Упражнения
8.1. Пусть Y — хаусдорфово пространство и С — такая конечная группа
гомеоморфизмов пространства У, что каждый элемент <р Ф 1 группы G не
имеет неподвижных точек. Докажите, что G — вполне разрывная группа
гомеоморфизмов.
8.2. Пусть У — топологическая группа и G — дискретная подгруппа
группы У. Докажите, что существует такая окрестность U единицы, что
множества g-U для g ? G попарно не пересекаются. (Примечание. g-U =
= {g-x: х ? Щ.) [Указание. Выберите такую окрестность V единицы, что
у f] jG = {1}. Докажите, что существует такая окрестность U единицы,
что {х-у-1: х, у 6 U] a V.\
8.3. Пусть Y — топологическая группа и G — ее дискретная подгруппа.
Пусть через Y/G обозначено пространство классов смежности {G -у. у ? У)
с топологией факторпространства и р: У-^ Y/G — естественная проекция.
Докажите, что (У, р) — регулярное накрывающее пространство для Y/G
с А (У, р) = G, где G действует на У умножением слева. [Указание. Исполь-
Используйте результат упражнения 8.2 и предложение 8.2.] Обратите внимание
на то, что пример 8.1 служит частным случаем этого упражнения.
Закончим этот раздел двумя примерами, иллюстрирующими
некоторые возможности, возникающие из предложения 8.2. В пер-
первом примере показывается, что факторпространство Y/G не обя-
обязательно хаусдорфово, даже если пространство Y удовлетворяет
всем аксиомам отделимости. А именно мы приводим пример,
в котором Y — евклидова плоскость R2, a G — бесконечная цик-
циклическая вполне разрывная группа ее гомеоморфизмов.
Примеры
8.3. Рассмотрим простую систему обыкновенных дифференциальных
уравнений в плоскости (х, у)
dx
—
dy
Легко видеть, что интегральными кривыми этой системы будут кривые
у = sec х + С
для различных значений постоянной интегрирования С и вертикальные
прямые
для всех целых чисел п. Можно считать, что эта система дифференциальных
уравнений описывает движение частицы в плоскости; t — время, (х, у) —
координаты частицы в момент t. Частица должна перемещаться вдоль одной
из интегральных кривых. Вдоль какой именно — зависит от начального
положения частицы.
Используя эту систему дифференциальных уравнений, определим дей-
действие аддитивной группы R действительных чисел на евклидовой плоскости.
184 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.8
Для любого действительного числа t и любой точки (х, у) плоскости опреде-
определим t-(x, у) как положение частицы в момент t, если в момент 0 она находи-
находилась в точке (х, у). Ясно, что
s-U-(x, у)]= (s+ t)-(x, у),
О-(г, у) = (х, у).
Отображение RX R1-^ Ra, заданное соответствием (t, (x, у)) ->- t-(x, у),
непрерывно (и даже дифференцируемо). Это утверждение вытекает из стан-
стандартных теорем о дифференциальных уравнениях. Ясно, что описанное дей-
действие прямой R на плоскости R2 не имеет неподвижных точек.
Теперь рассмотрим действие подгруппы Zcr R на плоскости; оно и дает
нужный пример.
Докажем, что действие подгруппы Z на Ra вполне разрывно. Пусть для
любой точки Р = (х, у) кривая С будет единственной интегральной кривой,
проходящей через эту точку. Предположим, что Сг и С2 — близкие интеграль-
интегральные кривые, находящиеся по разные стороны от С, и То — гладкая кривая,
проходящая через точку Р и ортогональная ко всем интегральным кривым,
расположенным между Сх и Сг. Для любого действительного чпсла t обозна-
обозначим Tt = t-T0. Пусть U —окрестность точки Р, ограниченная кривыми
Г_1/3, У+1/31 С\ и С2- Тогда, как легко видеть, образы последовательных
«сдвигов» окрестности U
{n-U: п ? Z>
попарно не пересекаются.
Докажем, что получающееся факторпространство нехаусдорфово. Рас-
Рассмотрим точки
и покажем, что их образы в факторпространстве R2/Z не имеют непересе-
непересекающихся окрестностей. Для этого достаточно показать, что для любых
окрестностей N\ точки Рх и ./Va точки Рг найдется точка в iVj, эквивалентная
при действии группы Z какой-нибудь точке в iVo- Возьмем любое малое число
а > 0. Очевидно, что точки (я/2 — о, 0) и (—я/2 + а, 0) принадлежат одной
и той же интегральной кривой. Сколько времени частица из точки (—я/2+я,0)
перемещается вдоль этой интегральной кривой в точку (я/2 — о, 0)? Ясно,
что достаточно вычислить, сколько времени перемещается проекция этой
частицы па ось х из первой точки во вторую. Так как dx/dt = cos2 x, то время
перемещения равно
я/2 -а
Г d 2
-я/2+а
Из этой формулы можно сделать несколько выводов:
A) время, затраченное на описанное перемещение частицы, непрерывно
зависит от а;
B) при а —*¦ 0 это времи 1а стремится к + оо",
C) для любого числа е > 0 существует бесконечно много таких значе-
значений а, что 0 < а < е и /а — целое число.
Вспомним, что точки (я/2 — а, 0) и (—я/2 + а, 0) эквивалентны тогда
и только тогда, когда 1а — целое число.
Отсюда сразу получаем доказываемое утверждение (а именно: образы
точек (я/2, 0) и (—я/2, 0) в факторпространстве R2/Z не имеют непересека-
непересекающихся окрестностей. — Перев.).
V.8
Гл. V. Накрывающие пространства
185
8.4. Приведем пример *) такого действия без неподвижных точек бес-
бесконечной циклической группы гомеоморфизмов хорошего пространства, что
Рис. 5.2. Диаграмма для примеров 8.3 и 8.4.
«орбита» каждой точки — замкнутое дискретное подпространство, но дей-
действие не является вполне разрывным! Этот пример иллюстрирует силу тре-
требования в предложении 8.2, чтобы группа G была вполне разрывной.
Этот пример предложил автору Ауслендер.
86 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение. V.9
Рассмотрим только что описанное действие группы Z на евклидовой
плоскости R2. Любой элемент группы Z отображает бесконечную ленту
на себя. Построим факторпространство ленты S, отождествляя точки (я/2, у)
и (—я/2, —у) для любого действительного числа у. Это факторпространство
будет листом Мёбиуса без края (некомпактной поверхностью). Кроме того,
как легко видеть, действие группы Z на S совместимо с отождествлением,
и потому она действует также и на факторпространстве. Ясно, что Z дей-
действует на открытом листе Мёбиуса без неподвижных точек и орбита любой
точки х (т. е. множество всех точек п-х при п ? Z) есть дискретное замкнутое
подмножество. С помощью рассуждений предыдущего примера, из которых
вытекало, что получающееся факторпространство нехаусдорфово, можно
показать, что для точки (я/2, 0) (отождествляемой с точкой (—я/2, 0))
нельзя найти такой окрестности U, чтобы множества n-U для п ? Z попарно
не пересекались. Следовательно, действие группы Z на листе Мёбиуса не
является вполне разрывным.
9. Применение: теорема У лама — Борсука для 2-сфер
Пусть, как обычно, через Sn обозначена единичная гс-сфера
в Rn+1:
Sn = {х е Rn+1: | х | = 1}.
Для любых положительных целых чисел тш п назовем отображе-
отображение /: Sm ^>~ Sn антиподалъным, если / (—х) = —/ (х) для любой
точки х 6 Sm.
Приведем теорему, принадлежащую польским математикам
Борсуку и Уламу; из нее вытекает много интересных следствий.
Теорема 9.1. Не существует непрерывного антиподалъного ото-
отображения /: Sn -+Sn~x (n > 0).
Мы докажем эту теорему лишь для п^. 2. Сначала сформу-
сформулируем и докажем несколько интересных следствий.
Следствие 9.2. Пусть /: Sn —*- R™ — такое непрерывное ото-
отображение, что f (—х) — —/ (х) для всех х ? Sn. Тогда найдется
точка х ? Sn, для которой f (х) = 0.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
/ (х) Ф 0 для всех х 6 Sn. Положим для х ? Sn
Тогда g — непрерывное антиподальное отображение Sn -»- S™,
что противоречит теореме 9.1.
Следствие 9.3. Пусть /: Sn ->¦ Rn — непрерывное отображение.
Тогда найдется точка х 6 5™, для которой f (х) = / (—х). В ча-
частности, отображение f не является взаимно однозначным.
V.9 Гл. V. Накрывающие пространства 187
Доказательство. Предположим противное, т. е. что
/ (х) ф f (—х) для всех х 6 Sn. Положим g (х) = / (х) — f (—х).
Тогда g (—х) — — g (х) и g (х) Ф 0 для всех ж, что противоречит
следствию 9.2.
Следствие 9.4. Ни одно подмножество евклидова пространства
R" не гомеоморфно сфере Sn.
Это с очевидностью вытекает из следствия 9.3.
Существует еще одиа интересная интерпретация следствия 9.3.
Если /: Sn -*- R" — непрерывное отображение, то можно записать
fix) =(h(x), ..., fn(x)),
где fi(x), . . ., /n (z) — непрерывные действительные функции
на Sn. Поэтому можно переформулировать следствие 9.3 так:
пусть fx, /2, . . ., /„ — непрерывные действительные функции на
Sn; существует такая точка х ? Sn, что ft (х) = ft (—х) для
i = 1, 2, . . ., п. Например, если /х (х) и /2 (х) — температура
и атмосферное давление в некоторый момент времени в любой точ-
точке х поверхности Земли, меняющиеся непрерывно при переме-
перемещении точки х по поверхности Земли, то на ней существуют пары
антиподальных точек, в которых одновременно одинаковая тем-
температура и одинаковое давление! Это утверждение есть полностью
топологическая теорема; формулировка и доказательство содер-
содержат только топологические предположения.
Доказательство теоремы 9.1 (для п ^ 2). Слу-
Случай п = 1 тривиален, так как окружность S1 связна, a S0 нет.
Поэтому переходим к случаю п = 2. Доказательство проведем
методом от противного. Предположим, что существует непрерыв-
непрерывное антиподальное отображение /: S2 -+-S1. Рассмотрим фактор-
пространства пространств S2 и S1, полученные отождествлением
диаметрально противоположных точек. Это действительная про-
проективная плоскость Р2 и действительная проективная прямая,
гомеоморфная S1. Обозначим через р2: S2 -*-Р2 и рх: SI-+S1
естественные отображения каждой из сфер на свои факторпро-
странства. Так как / — аптиподальное отображение, то оно инду-
индуцирует такое непрерывное отображение g: P2 -». S1, что диаграмма
коммутативна. Заметим, что (S2, р^) и (S1, pi) — двулистные
накрывающие пространства Р2 и S1 соответственно; это вытекает
188 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.9
из предложения 8.2 (где G — циклическая группа порядка 2).
Теперь мы получим противоречие, используя индуцированный
гомоморфизм
фундаментальных групп.
С одной стороны, так как я СР2) — циклическая группа поряд-
порядка 2, а я (S1) — бесконечная циклическая группа, то из чисто
алгебраических соображений этот гомоморфизм должен быть
тривиальным.
С другой стороны, обозначим через а класс эквивалентности
путей на сфере 52, в котором концевые точки путей антиподальны.
Так как / — антиподальное отображение, то концевые точки
путей класса /,. (а) антиподальны на S1. Пути классов pilt (a)
и Pi»/* (°0 будут петлями на Рг и S1 соответственно, и потому эти
классы будут элементами фундаментальных групп я (Р2) и п (^х)
соответственно. Мы утверждаем, что ри (а) Ф 1 и pxj^ (а) Ф 1;
это вытекает из того, что л (Р2, х0) и п (S1, у0) действуют нетри-
нетривиально па множествах р (х0) и pi1 (x0) соответственно (см.
разд. 7). В силу коммутативности приведенной выше диаграммы
Следовательно, g_. переводит pii( (а) в ры1* (а), а это противоречит
тому, что g^ — тривиальный гомоморфизм.
Ясно, что для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной
точке (см. гл. II) и теоремы Борсука — Улама в случаях п > 2
нужен аналог фундаментальной группы в более высоких размер-
размерностях. По существу фундаментальная группа — это одномерный
инвариант пространства и для таких целей иметь лишь ее одну
недостаточно. Одна из основных задач алгебраической топологии
состоит в том, чтобы развить полную теорию многомерных ана-
аналогов фундаментальной группы и использовать их для доказа-
доказательства теорем типа теорем Брауэра и Борсука — Улама.
Упражнение
9.1. Обобщите рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы
Борсука — Улана, в следующем направлении. Пусть X и У — связные
и локально линейно связные пространства, G — вполне разрывная группа
гомеоморфизмов каждого из пространств, действующая слева на X и Y,
/: X ->- Y — непрерывное <?-эквивариантное отображение (определение см.
в приложения В), р: X -*¦ X/G и q\ Y -*¦ YlG — естественные отображения
и, наконец, g: X/G -*¦ YlG — отображение, индуцированное отображением /.
Докажите, что гомоморфизм g^: л (X/G) -*¦ л (У, (?) индуцирует изоморфизм
факторгрупп я (Х/С)/р*я (X) х л (YlG)lq*n (У).
V-10 Гл. V. Накрывающие пространства 189
10. Теорема существования для накрывающих
пространств
Мы доказали, что с точностью до изоморфизма пространство
(X, р), накрывающее X, определяется классом подгрупп, сопря-
сопряженных с подгруппой р„.я(Х, х) группы я (X, х). Возникает
следующий вопрос. Пусть X — топологическое пространство,
и пусть дан класс сопряженных подгрупп в группе я (X, х).
Существует ли пространство (X, р), накрывающее X и такое, что
р^.п (X, х) принадлежит данному классу? Мы покажем, что при
некоторых дополнительных предположениях относительно X на
этот вопрос можно ответить утвердительно.
Прежде всего покажем, что эту задачу достаточно рассматри-
рассматривать для частного случая, в котором данный класс сопряженных
подгрупп состоит из тривиальной подгруппы в я (X, х).
Лемма 10.1. Пусть X — топологическое пространство, имею-
имеющее универсальное накрывающее пространство. Тогда для любого
класса сопряженных подгрупп группы я (X, х) существует такое
пространство (X, р), накрывающее X, что р^п (X, х) принадле-
принадлежит этому классу.
Доказательство. Пусть (Y, q) — универсальное на-
накрывающее пространство для X, тогда Y односвязно. В силу
изложенного в разд. 7, действие справа группы я (X, х) тран-
зитивно на множестве q~x (x), и так как пространство Y односвяз-
односвязно, то это действие не имеет неподвижных точек. Группа авто-
автоморфизмов A (Y, q) изоморфна группе я (X) и действует транзи-
тивно без неподвижных точек слева на множестве q~x (x). Выберем
точку у 6 q'1 (x) и подгруппу G группы я (X, х), принадлежащую
данному классу сопряженных подгрупп. Определим подгруппу Н
группы A {Y, q) следующим образом: ф ? Н тогда и только тогда,
когда существует такой элемент a?G, что ср {у) =у-а. Легко
видеть, что соответствие «ф ч—><х тогда и только тогда, когда ф (j/) =
= У -а» устанавливает изоморфизм между G и Н.
Так как Н — подгруппа группы A (Y, q), то она вполне раз-
разрывная группа гомеоморфизмов пространства Y. Обозначим через
X факторпространство Y/H, через г: Y ->- X естественную проек-
проекцию и через р: X ->¦ X отображение, индуцированное отображе-
отображением q: Y -»-Х. Тогда диаграмма
¦*-i
190 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.1O
коммутативна. По предположению {Y, q) — накрывающее про-
пространство для X, а по предложению 8.2 (Y, г) — накрывающее
пространство для X. Отсюда легко следует, что (X, р) — накры-
накрывающее пространство для X (см. упражнение 6.4). Так как (X, р)
накрывает X, то группа л (X, х) действует справа на множестве
р'1 (х). Пусть z = г (у) 6 р'1 (х). Из нашего построения про-
пространства X ясно, что изотропная подгруппа группы л (X, х),
соответствующая точке х, совпадает с группой G. Но это эквива-
эквивалентно утверждению о том, что р^п (X, х) = G (см. разд. 7).
Теперь исследуем вопрос: существует ли универсальное накры-
накрывающее пространство для данного топологического простран-
пространства X? Сначала выведем довольно простое необходимое условие.
Пусть (X, р) — универсальное накрывающее пространство для
X, х — произвольная точка из X, ж — некоторая точка из р Or),
U — элементарная окрестность точки х и V — компонента мно-
множества р-1 (U), содержащая точку х. Тогда диаграмма
7г(У, *) -> 7Г(Х, ?)
7Г([/, Х) -» 7Г(Х, X)
»¦
коммутативна. Так как р \ V — гомеоморфизм из V на U, то
(р| ^)* — изоморфизм. Заметим, что по предположению я (X, х) =
= {1}. Из этих двух условий и из коммутативности диаграммы
вытекает, что i^ — тривиальный гомоморфизм, т. е. Im i* =
— {1}. Таким образом, пространство X обладает следующим свой-
свойством: для каждой точки х ? X найдется такая окрестность V',
что гомоморфизм n(U, x) -*-п(Х, х) тривиален. Пространство,
обладающее этим свойством, называется полулокалъно одпосвяз-
ным *). Это определение можно сформулировать еще и так: про-
пространство X полулокально односвязно тогда и только тогда, когда
для каждой точки х ? X найдется такая окрестность U, что любую
петлю в U можно стянуть в этом пространстве в точку.
Приведем пример связного и локально линейно связного,
го не полулокально односвязного пространства. Пусть для любого
х) Название довольно длинное и неуклюжее, однако оно точно описы-
описывает нужное свойство, промежуточное между обычной односвязностью-
и настоящей локальной односвязностью (которая в нашей книге по рас-
рассматривается). К тому же этот термин уже употреблялся в течение несколь-
нескольких лет.
V.10 Гл. V. Накрывающие пространства 191!;
положительного целого числа п
т. е. Сп — окружность радиуса \/п с центром в точке (\/п, 0)..
Обозначим через X объединение окружностей С„ для всех поло-
положительных целых чисел п. Пространство X не будет полулокалъно
односвязным: точка @, 0) не имеет окрестности требуемого вида.
К счастью, большинство топологических пространств, фигу-
фигурирующих в задачах из тех областей математики, где возникают
накрывающие пространства, полулокально односвязны. Напри-
Например, этим свойством обладают все многообразия и многообразия
с краем.
Теперь докажем, что это необходимое условие существования
универсального накрывающего пространства также и достаточно.
Теорема 10.2. Пусть X — связное, локально линейно связное
и полулокалъно односвязное топологическое пространство. Тогда
для любого класса сопряженных подгрупп группы я (X, х) суще-
существует пространство (X, р), накрывающее X и соответствующее
данному классу сопряженных подгрупп (т. е. такое, что р^.п (X, х)<
принадлежит данному классу сопряженных подгрупп).
Доказательство. На основании леммы 10.1 достаточна
доказать, что X имеет универсальное накрывающее пространство.
Это мы проделаем прямым построением. Для того чтобы обосновать
наше построение, попытаемся описать, как бы к нему пришел
тополог старой школы.
Предположим на минуту, что X имеет универсальное накры-
накрывающее пространство (X, р). Выберем базисную точку х0 ? X
и положим х0 = р (х0). Так как пространство X линейно связно,
то для любой точки у 6 X существует класс а путей с начальной
точкой х0 и конечной у. В силу того что пространство X односвяз-
но, этот класс единствен. Рассмотрим функцию, ставящую в соот-
соответствие точке у класс р„. (а) в X. Из лемм 3.1 и 3.3 вытекает, что
этой функцией определяется взаимно однозначное отображение
пространства X на множество классов путей в X, для которых
х0 —начальная точка. Следовательно, можно отождествить точки
пространства X с классами путей в X, начинающихся в точке х0.
Это простое замечание лежит в основе следующей конструкции.
Выберем базисную точку х0 ? X и определим X как множество
классов путей в X, начинающихся в точке х0. Зададим отображение
р: X ->¦ X, положив р (а) равным конечной точке путей клас-
класса а. Покажем, как ввести топологию на множестве X, чтобы она
192 У. Масси. Алгебраическая топология Введение V.10
«тало односвязным пространством и чтобы пара (X, р) накры-
накрывала X.
Из наших предположений следует, что топология на X имеет
базу, состоящую из открытых множеств U, обладающих такими
¦свойствами: U — линейно связное множество и гомоморфизм
л (Е7)-»-п (X) (индуцированный отображением включения) три-
тривиален. Иными словами, каждая петля в U эквивалентна (в X)
постоянному пути. Для краткости такое открытое множество U
будем называть базисным. Заметим, что если х и у — любые две
точки базисного открытого множества U, то любые два пути
/ и g в U с начальной точкой х и конечной у эквивалентны (в X).
Для любого класса а путей в X и любого базисного открытого
множества U, содержащего точку р (а), обозначим через (a, U)
множество таких классов р* путей в X, что р* = а «а' для некоторого
класса а' путей в U. Тогда (a, U) — подмножество в X. Введем
в X топологию, выбирая в качестве базы открытых множеств
семейство всех множеств вида (a, U). Для того чтобы семейство
множеств вида (a, U) могло быть базой некоторой топологии
на X, необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: если
у ? (a, U) Г) (р\ V), то найдется такое открытое множество W,
что (у, W) с (a, U) П (Р) V). Легко показать, что это условие
выполняется: в качестве W возьмем любое открытое базисное
множество, для которого р (у) ? W с V П V.
Прежде чем продолжать доказательство того, что (X, р) —
универсальное накрывающее пространство для X, сделаем два
простых замечания:
a) пусть а ? X и U — базисная открытая окрестность точки
р (а); тогда р | (a, U) — взаимно однозначное отображение
из (a, U) на U;
b) пусть U — любое открытое базисное множество ах —
любая точка в U; тогда
P-1(U)=[] (о*, V),
где {ад,} — множество классов всех путей в X с начальной
точкой х0 и конечной точкой х; множества (a*,, U) попарно
не пересекаются.
Доказательство этих двух фактов просто; оставляем его читателю.
Заметим, что из (Ь) вытекает непрерывность отображения р.
Следовательно, по (а) р \ (a, U) взаимно однозначно и непрерывно
отображает (a, U) на U. Мы утверждаем, что р \ (a, U) — откры-
открытое отображение из (a, U) на U. В самом деле, любое открытое
подмножество множества (a, U) можно представить в виде объе-
V.10 Гл. V. Накрывающие пространства 193
динения множеств (р\ V), где V с: U, и открытость отображения
р | (a, U) вытекает из (а). Итак, р отображает (a, U) гомеоморфно
na U. Так как множество U линейно связно, то линейно связно
и (a, U). Поскольку множества (ах, U), фигурирующие в (Ь),
попарно не пересекаются, любое базисное открытое множество
U cz X обладает всеми свойствами элементарной окрестно-
окрестности.
Далее, покажем, что пространство X линейно связно. Обо-
Обозначим через х0 6 X класс эквивалентности постоянного пути
в точке х0. Теперь достаточно для любой точки а ? X найти путь,
соединяющий х0 и а. Выберем путь /: / -*- X, принадлежащий
классу а. Для любого действительного числа s ? / зададим ото-
отображение /s: / -»- X формулой /„ (t) — f (st), t ? /. Тогда /х = /
и /0 — постоянный путь в точке х0. Обозначим через as класс
эквивалентности пути /s. Мы утверждаем, что отображение / ->¦ X,
заданное соответствием s->-as, непрерывно, т. е. является путем
в X. Чтобы это доказать, мы должны проверить, что для любого
числа s0 ? / и любой базисной окрестности U точки / (s0) найдется
такое действительное число б > 0, что если \ s — s0 | < б, то
as g (as , U). Выберем б так, чтобы / (s) ? U для всех s, для
которых | s — s0 | <С б. Так как отображение / непрерывно,
такое число б существует. Следовательно, соответствие s—>-as
задает путь в X с начальной точкой х0 и конечной а.
Наконец, покажем, что пространство X односвязно. Группа
р„л (X, х0) — изотропная группа точки х0 относительно действия
группы л (X, х0) на множестве р'1 (х0) (см. разд. 7). Таким обра-
образом, мы должны определить хо-а для любого элемента a ?
? я (X, х0). Выберем петлю /: / ->- X, принадлежащую классу а,
и способом, изложенным в предыдущем абзаце, определим в X
путь s -*-as с начальной точкой х0 и конечной а. Очевидно, что
этот путь будет поднятием пути /. Следовательно, хо-а = а.
по определению действия группы л (X, х0) на множестве р-1 (х0).
Поэтому хо-а = х0 тогда и только тогда, когда a = 1. Отсюда
заключаем, что изотропная подгруппа состоит лишь из одного
элемента 1, что и требовалось доказать.
Упражнение
10.1. Докажите, что для любого положительного целого числа п суще-
существуют некомпактная поверхность S и вполне разрывная группа G гомео-
гомеоморфизмов S, для которых G — свободная абелева группа ранга 2/г, а S/G —
компактная ориентируемая поверхность рода п.
13 У. Масси, Дж. Столлингс
194 У. Масси. Алгебраическая топология» Введение V.11
11.Индуцированное накрытие подпространства
Пусть {X, р) — накрывающее пространство для X, А — связ-
связное и локально линейно связное подпространство пространства X
и А — компонента линейной связности множества р'1 (А). Тогда,
в силу леммы 2.1, (А, р \ А) — накрывающее пространство для А.
Естественно спросить: Какому классу сопряженных подгрупп
группы л (А) соответствует это накрывающее пространство? При
каких условиях множество р~х (А) связно, т. е. А = р'1 (А)?
Мы увидим, что ответы на эти вопросы относительно просты.
Введем обозначения: а ? А, а = р (а), р' = р \ А: А ->Л, и пусть
i: А -*- X — отображение включения.
Предложение 11.1. В принятых обозначениях
Р>(Л а) = i;1 [р„п(X, а)].
Доказательство. Сначала докажем, что р'„п (А, о) с
с i*1 [р+п (X, а)]. Это непосредственно вытекает из коммутатив-
коммутативности диаграммы
ж(А,
v*'{
ж(А,
а)
а)
—>-<х%
, 1
, а)
р*
а)
Теперь покажем, что р'^п (A, a) zd i;1 [р+л (X, а)]. Пусть а ?
€ К1 [р*п (-^' а)Ь т- е- найдется элемент р ? л (X, а), для кото-
которого 1„ (а) = Ръ (р). Выберем петлю /: I ->-А, представляющую
класс а. По лемме 3.1 существует такой единственный путь g: I ->-
->-А с начальной точкой а, что pg = /. В силу единственности,
путь g должен принадлежать классу р ? я (X, а), т. е. g — петля.
Пусть у ? л (А, а) — класс эквивалентности пути g. Тогда
Р* (у) — а' что и требовалось доказать.
Предложение 11.2. Если выполнены сформулированные выше
предположения, то множество р~х (А) связно (т. е. А = р'1 (А))
тогда и только тогда, когда подгруппа i#n (^4, а) пересекается
с каждым классом смежности подгруппы р^л (X, а).
Доказательство. Будем рассуждать, как в разд. 7.
Множество р (а) — однородное правое л (X, а)-пространство,
а рщл (X, а) — изотропная подгруппа точки а. Аналогично мно-
V.11 Гл. V. Накрывающие пространства 195
жество р'~г (а) = А |"| р~г (а) — однородное правое я; (А, ^-про-
^-пространство с изотропной подгруппой р„л (А, а) точки а. Из опре-
определения действия групп я (X, а) ш л (А, а) на этих двух множе-
множествах видно, что для любых точек х ? р1'1 (а) и а ? л (А, а)
х-а. = x-(i0a).
Теперь заметим, что если множество р'1 {А) связно, то р'1 (а) —
= р'~г (а). Обратно, если р'1 (а) = р' (а), то множество р'1 (А)
связно. Докажем это. Если х — любая точка в р'1 (А), обозначим
через /:/—>- А путь, начинающийся в р (х) и кончающийся в а.
По лемме 3.1 существует такой путь g: I ->-Х, что pg = / и х —
его начальная точка. Тогда конечной точкой пути g будет точка
р-1 (а) = р1'1 (а), т. е. точка из А. Так как pg — путь в А, то g —
путь в р'1 (А). Таким образом, мы доказали, что каждую точку
из р~г (А) можно соединить с некоторой точкой из А путем, лежа-
лежащим в р'1 (А). Следовательно, множество р'1 (А) связно.
Исследуем, при каких условиях р'1 (а) = р1'1 (а). Будучи
однородным правым я (X, ^-пространством, множество р~х (а)
изоморфно пространству классов смежности л (X, а)/р^,п (X, а);
аналогично множество р'~г (а) изоморфно пространству
л {А, аIр'*л (А, ~а) как правое л D, а)-пространство (см. разд. 2
приложения В). Рассуждая, как в начале доказательства предло-
предложения, видим, что отображение включения р'~г (а) -*-р'х (в)
эквивалентно отображению пространств
л (А, а) г п(Х,а)
р*к(А,а) р*я(Х, а) '
индуцированному отображением 1„: л (А, а) ->-л(Х, а). Сле-
Следовательно, р' (а) = р'1 (а) тогда и только тогда, когда это
отображение пространств классов смежности является отображе-
отображением на. Отсюда сразу вытекает справедливость доказываемого
предложения.
Теперь, придерживаясь введенных обозначений, рассмотрим
некоторые частные случаи этой теоремы и примеры.
Примеры
11Л. Пусть (X, р) — регулярное накрывающее пространство для X,
тогда (А, р') — регулярное накрывающее пространство для А. В самом деле,
еслир„я (X, а) — нормальная подгруппа группы п (X, а), то i^lp^n (X,"a)]—
нормальная подгруппа группы я (А, а). Заметим, что группу автоморфиз-
автоморфизмов накрывающего пространства (А, р') можно рассматривать как подгруппу
группы автоморфизмов пространства (X, р). В этом случае множество р (А)
13*
196 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.11
связно тогда и только тогда, когда гомоморфизм факторгрупп
Л (А, а) л(Х, а)
р; Л (А, "а) р*я (X, а)
индуцированный отображением г„, есть эпиморфизм (он всегда мономорфизм).
Может оказаться, что (А, р') — регулярное накрывающее пространство
для А, даже если (X, р) не является регулярным накрывающим простран-
пространством для X.
11.2. Пусть (X, р) — универсальное накрывающее пространство для X.
Тогда р'#л {А, а) — ядро гомоморфизма г„. Следовательно, пространство А
односвязно тогда и только тогда, когда it — мономорфизм. В силу пред-
предложения 11.2. А = р'1 (А) тогда и только тогда, когда г* — эпиморфизм.
Таким образом, р-1 (А) — односвязное пространство, накрывающее А, тогда
и только тогда, когда i* — изоморфизм группы л (А) на л (X).
11.3. Пусть г^л (А) -*¦ л (X) — тривиальный гомоморфизм, т. е.
Im г* = {1}. Тогда (А, р) — тривиальное накрывающее пространство для
А, т. е. р' — гомеоморфизм пространства А на А. Следовательно, р-1 (А)
распадается на компоненты линейной связпости, каждая из которых гомео-
морфно переводится на А отображением р. В частности, это верно в случае,
когда А — открытое линейно связное множество: если гомоморфизм
{*: я (А) -*• л (X) тривиален, то А — элементарная окрестность в X для
любого пространства (X, р), накрывающего X. Этот факт мотивирует опре-
определение топологии на X в конструкции, использованной при доказательстве
теоремы 10.2.
11.4. Если г*: л (А) -*• л (X) — эпиморфизм (и множество А связно. —
Ред.), то множество р-1 (А) связно для любого пространства (X, р), накры-
накрывающего X.
11.5. Если г*: я (А) -*• л (X)—изоморфизм, то для любого простран-
пространства (А, р'), накрывающего А, существует пространство (X, р), накрывающее
X и такое, что (А, р') изоморфно накрывающему пространству (р-1 (А), р\(р~гА))
(при условии, что пространство X полулокально односвязно). Другими сло-
словами, при этих условиях каждое накрывающее пространство для А можно
рассматривать как часть некоторого накрывающего пространства для X,
лежащую над А. Следовательно, существует естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между накрывающими пространствами для X и для А.
11.6. Пусть X = S1 X S1 — тор и (R2, р) универсально накрывает X
по формуле
р (х, у) = (cos 2яя, sin 2ят, cos 2лу, sin 2лу)
для любой точки (х, у) ? R2. Пусть А — подмножество тора S1 X S1, состоя-
состоящее из всех точек (и, v), для которых и = A, 0) или v = A, 0). Тогда А —
объединение двух окружностей, пересекающихся лишь в одной точке,
и я (А) — свободная группа с двумя образующими. В гл. IV мы доказали,
что ?*: л (А) -*¦ п (X) — эпиморфизм и его ядро — коммутаторная подгруп-
подгруппа группы л (А). В этом случае А = р'1 (А) — объединение горизонтальных
прямых у = т и вертикальных прямых х = п, где т, п — целые числа.
Таким образом, (А, р) есть по существу накрывающее пространство, соответ-
соответствующее накрытию из первой части примера 2.7. Из предложения 11.1 выте-
вытекает, что (А, р) — регулярное накрывающее пространство для А, соответ-
соответствующее коммутаторной подгруппе группы л (А).
Этот пример можно было бы видоизменить в нескольких направлениях:
(а) вместо универсального накрытия тора можно было бы взять любое дру-
V.12 Гл. V. Накрывающие пространства 197
гое накрытие; (Ь) вместо пространства X = S1 X S1 можно было бы взять
произведение п экземпляров окружности S1, а вместо А — подмножество
в X, состоящее из всех точек, у которых п — 1 координат равны A, 0). Тогда
А — объединение п окружностей с одной общей точкой. Детали оставляем
читателю.
11.7. Пусть X—компактное множество, совпадающее с замыканием
области в Rs, ограниченной ориентируемой поверхностью А рода 2 (вложен-
(вложенной в R3 стандартным образом); см. рис. 5.3. Из рисунка видно, что объедине-
объединение двух окружностей а и Ь служит для X деформационным ретрактом.
Следовательно, я (X) — свободная группа, порожденная классами эквивалент-
пости петель а и Ъ. В гл. IV мы показали, что л (А) — группа, порожденная
Рис. 5.3. Диаграмма для примера 11.7.
классами эквивалентности четырех петель а, Ь, с и d, связанных одним соот-
соотношением. Следовательно, i*: л (А) -»- я (X) — эпиморфизм и его ядро —
наименьшая нормальная подгруппа, содержащая классы эквивалентности
путей cud. Если пространство (X, р) накрывает X, то к индуцированному
накрывающему А пространству (Л, р') можно применить предложения 11.1
и 11.2. Так как объединение окружностей а и Ь служит деформационным рет-
ретрактом для X, то в силу примера 11.5 задача построения накрывающего
пространства для X эквивалентна задаче построения пространства, накры-
накрывающего объединение двух окружностей с одной общей точкой. А такие
накрывающие пространства сравнительно легко представить себе наглядно;
предоставляем читателю самому построить примеры.
12. Топологические свойства накрывающих
пространств
В этом разделе мы рассмотрим несколько не совсем очевидных
топологических фактов о накрывающих пространствах, которые
иногда оказываются полезными. В оставшейся части главы будем
предполагать, что все рассматриваемые пространства связны
и локально линейно связны.
Предложение 12.1. Пусть X — полулокалъно односвязное про-
пространство со счетной базой открытых множеств. Тогда любое
198 У. Масси- Алгебраическая топология. Введение V'.12
накрывающее пространство для X также имеет счетную базу
открытых множеств.
Доказательство. Сначала сделаем два простых заме-
замечания, которые нам понадобятся при доказательстве:
(a) число компонент линейной связности любого открытого
подмножества пространства X не более чем счетно;
(b) пусть U — такое линейно связное открытое подмножество
пространства X, что естественный гомоморфизм п {U)-*¦
-*¦ л (X) тривиален; если х0, хх ? U, то любые два пути в U,
соединяющие х0 и хг, эквивалентны (в X).
Сначала покажем, что фундаментальная группа простран-
пространства .Х^счетна. Для этого заметим, что из наших предположений
вытекает, что X — пространство Линделёфа, т. е. что любое откры-
открытое покрытие пространства X имеет счетное подпокрытие. Следо-
Следовательно, можно выбрать такое счетное покрытие {Ult ?72, ?73> • • •}
пространства X, что каждое множество ?/г линейно связно и есте-
естественный гомоморфизм л (С/j) ->я (X) тривиален.
Если пересечение Ut f] V] непусто, то число его компонент
не более чем счетно. (См. замечание (а).) Выберем в каждой ком-
компоненте пересечения V\ f| U} точку. Проделаем это для всех пар
(i, /), для которых ?/( П U] Ф- 0. Назовем такие точки выделен-
выделенными. Их число не более чем счетно.
Для каждой пары различных выделенных точек, лежащих
в одном и том же множестве ?/,-, выберем соединяющий их путь
в V'{. Такой путь будем называть выделенным. Число выделенных
путей не более чем счетно. Из замечания (Ь) вытекает, что все
выделенные пути, соединяющие- две точки, эквивалентны между
собой.
Возьмем в качестве базисной точки некоторую выделенную
точку х0. Мы закончим доказательство, показав, что замкнутый
путь, представляющий любой элемент группы л (X, х0), эквива-
эквивалентен произведению конечного числа выделенных путей. Пусть
/: /-> X
— петля, представляющая элемент а ? л (X, х0). Используя лебе-
лебегово число, легко доказать существование такого разбиения еди-
единичного отрезка / = [0, 1]
О = t0 <*! <*2 < . . . <tn = 1,
что для каждого отрезка [tit ti+1] путь f(Ui, tt+1]) содержится
в одном из открытых множеств Uj. Сформулируем это точнее.
Для i = 1, 2, . . ., п выберем такое открытое множество ?/аш> что
/([*,_!, *,]) <=?/а(О, i = 1, 2, . . ., п.
V.12 Гл. V. Накрывающие пространства 199
Можно считать, что Uaii> и Uaa+i) различны; если они совпадают,
можно объединить два отрезка [f?_x, tt] и [tt, ti+1] в один Ui-j,
ti+1], выкидывая из разбиения точку tt.
Обозначим через at класс эквивалентности пути / | Uj_i, t[]
для i = 1, 2, . . ., п. Тогда at — класс путей множества Uaii> и
а = OL-ja.^ . . . ап.
Каждая точка / (it,), i = 1, 2, . . ., п — 1, лежит в некоторой
компоненте пересечения Uau, f) f^acm)! обозначим эту компо-
компоненту через С,-. Выберем класс $г путей в Ch соединяющих точку
/ (tt) с выделенной точкой в Сг. Тогда
последовательные пути
соединяют выделенные точки в множествах C/aa), UaB), . . ., Ua{n);
следовательно, каждый из этих путей эквивалентен выделенному
(по замечанию (Ь)). Итак, мы показали, что а можно представить
в виде произведения классов эквивалентности выделенных путей.
Упражнение
12.1. Докажите, что если X — полулокально односвязное компактное
цространство, то его фундаментальная группа конечно порождена."
Так как группа л (X) счетпа, то любая ее подгруппа имеет
счетный индекс, и потому любое накрывающее пространство для X
имеет счетное число листов. Таким образом, для завершения дока-
доказательства предложения 12.1 достаточно доказать следующую
лемму.
Лемма 12.2. Пусть X — полулокально односвязное простран-
пространство со счетной базой открытых множеств. Если (X, р) накрывает
X и имеет счетное число листов, то X также имеет счетную базу
открытых множеств.
Доказательство. Выберем для X такую счетную базу
открытых .множеств Ult U2, U3, . . ., что каждое множество Ut
линейно связно и л (Ut) -»- л (X) — тривиальный гомоморфизм.
Легко показать, что такая база существует. В силу примера 11.3,
для каждого целого числа i множество р'1 (?/г) состоит из счет-
счетного числа компонент, каждая из которых отображением р гомео-
морфно отображается на ?7;; обозначим эти компоненты через
^ii' ^j2i • • • . Тогда {Utj} — счетное семейство открытых мно-
множеств, и легко показать, что оно служит базой топологии на X.
Теперь докажем предложение, касающееся топологии накры-
накрывающих пространств, которое нам понадобится в дальнейшем
(пока его можно пропустить).
200 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V.12
Исследуем такую задачу. Пусть пространство (Y, р) накры-
накрывает Y. Как обычно, предположим, что Y и Y связны и локально
линейно связны. Кроме того, предположим, что Y — регулярное
хаусдорфово пространство (т. е. удовлетворяет аксиоме отделимо-
отделимости Т3 Александрова и Хопфа). Отсюда вытекает, что и Y удовлет-
удовлетворяет той же аксиоме отделимости.
Пусть {Х%: К ? Л} — семейство компактных, локально линей-
линейно связных, связных и односвязных хаусдорфовых пространств,
и {/х: Х^-*- У\: Я ? Л} — семейство непрерывных отображений.
Из наших предположений следует, что каждое отображение /^
можно поднять (различными способами) до отображений fu: Х% ->
-»- Y так, что /j, = pfxf Обозначим через {fu: i ? Mk} множество
всех таких поднятий для />,.
Нашу задачу можно теперь сформулировать так: пусть Y имеет
сильнейшую топологию, в которой все отображения fk непрерыв-
непрерывны (т. е. множество U czY открыто тогда и только тогда, когда
fx1 (U) открыто в X), для всех К); имеет ли Y сильнейшую тополо-
топологию, в которой непрерывны все отображения fki? Следующая
лемма, по существу принадлежащая Дж. Уайтхеду, показывает,
что при небольших дополнительных предположениях ответ утвер-
утвердительный.
Лемма 12.3. Пусть выполнена указанные выше предположения,
и пусть либо (Y, р) — регулярное накрывающее пространство для
Y, либо пространство Y полулокалъно односвязно. Если Y имеет
сильнейшую топологию, в которой все отображения fx непрерыв-
непрерывны, то Y имеет сильнейшую топологию, в которой непрерывны
все отображения fki.
Доказательство. Условимся о терминологии. Как
обычно, под элементарной окрестностью точки в Y мы понимаем
такую линейно связную открытую окрестность U, что каждая ком-
компонента множества р'1 (V) отображением р топологически отобра-
отображается на U. Под базисной открытой окрестностью V точки в Y
мы понимаем такую линейно связную открытую окрестность, что
V содержится в некоторой элементарной окрестности U. Условие
регулярности пространства Y гарантирует, что каждая точка из Y
содержится в произвольно малых базисных окрестностях. Если
V — базисная окрестность в Y, то каждую компоненту W множе-
множества р'1 (V) назовем базисной окрестностью в Y.
Идея состоит в том, чтобы сначала доказать эту лемму для слу-
случая, когда (Y, р) — регулярное накрывающее пространство, а за-
затем для другого случая. Поэтому предположим, что (Y, р) —
V.12 Гл. V. Накрывающие пространства 201
регулярное накрывающее пространство для Y, и обозначим груп-
группу автоморфизмов пространства (Y, р) через G.
Сформулируем два утверждения, которые нам понадобятся
при доказательстве.
Утверждение 1. Подмножество Л cr Y замкнуто тогда и только
тогда, когда A Л. W замкнуто для каждой базисной окрестности W
в Y (определение базисной окрестности дано выше).
Утверждение 2. Если X — компактное пространство, /: X ->
->¦ Y — непрерывное отображение и W — базисная окрестность
в Y, то непусто лишь конечное число множеств
{/"V1 (W): Ф е G).
Доказательство утверждения 1. Так как
базисные окрестности покрывают У, то Y — А можно предста-
представить в виде объединения подмножеств W — А для всех базисных
окрестностей W. Очевидно, что множество W — А = W —
— (А П W) открыто. Следовательно, Y — А открыто, а А зам-
замкнуто.
Доказательство утверждения 2. Пусть V =
— Р (W)i тогда V — базисная окрестность в Y, и потому в Y
найдется такая элементарная окрестность U, что V czU. Обозна-
Обозначим через U компоненту множества р'1 (U), содержащую W,
и пусть для любого элемента ф ? G
Е7Ф = /-V1 Ф)-
Множества Uv попарно не пересекаются. Заметим, что
— замкнутое подмножество пространства X и, следовательно, оно
компактно. Кроме того, {Uv: ф ? G} — открытое покрытие мно-
множества С, из которого можно выделить конечное. Единственный
случай, когда это можно было бы сделать, это случай, когда все,
кроме конечного числа множеств /ф~1 (W), пусты.
Приступим к доказательству леммы. Пусть А — такое под-
подмножество пространства Y, что /j$ (A) — замкнутое подмноже-
подмножество пространства Х^ для каждого отображения /j_,-; надо дока-
доказать, что А замкнуто. Из утверждения 1 вытекает, что достаточно
доказать следующее: если для любого подмножества А с У
и любой базисной окрестности W в Y множество /^ (А) замкнуто
для любого отображения fu, то пересечение W Л. А замкнуто..
202 У. Масси- Алгебраическая топология- Введение V.12
Заменяя, если необходимо, А на A f] W, видим, что это достаточ-
достаточно доказать в частном случае A cz W; мы так и сделаем. Пусть
р (А) = В czY. Так как р отображает множество W на его образ
гомеоморфно, то достаточно доказать, что В замкнуто. Для этого
надо показать, что множество fa1 (В) замкнуто для всех А. 6 Л.
¦Легко видеть, что
fi4B)=\Jfl}(B). E.12.1)
Выберем какое-нибудь значение j индекса i; тогда
и/йD)= и /ЙФ-ЧЛ).
i 4>6G
Согласно утверждению 2, множество /а$ф~х (W) непусто лишь для
конечного числа q> ? G; следовательно, и /йф (-4) непусто лишь
для конечного числа q> 6 G. Таким образом, в правой части равен-
равенства E.12.1) стоит лишь конечное объединение замкнутых мно-
множеств, а потому множество слева замкнуто, что и требовалось.
Теперь докажем лемму в случае, когда (У, р) не является регу-
регулярным накрывающим пространством, в этом случае мы предпо-
предполагаем, что Y полулокалыю односвязно. Следовательно, суще-
существуют универсальное накрывающее пространство (У", q) для Y
и такое отображение г: Y -+-Y, что (У, г) накрывает У. Тогда
пространство У наделено фактортопологией, определяемой отобра-
отображением г. По только что доказанному накрывающее пространство
У имеет сильнейшую топологию, в которой поднятые отображения
Х% -*¦ У непрерывны. Осталось применить к отображению г: Y -+
-*¦ У лемму 2.4 из приложения А.
Пример
12.1. Любая компактная поверхность М является факторпространством
диска D, ограниченного многоугольником в плоскости, при отображении
/: D -+ М,
попарно отождествляющим определенные стороны диска D. Если {М, р) —
накрывающее пространство для М, то существуют поднятия
/г: D-+M, pft = /,
отображения /. Тогда по лемме 12.3 М имеет сильнейшую топологию, в кото-
которой все отображения /г непрерывны. Заметим, что образы /г (D) покрывают М.
Каждый такой образ называется фундаментальной областью в М. (См. также
пример 2.6.)
Гл. V. Накрывающие пространства 203
Упражнения
12.2. Пусть X — связное и локально линейно связное пространство,
а (X, р) — накрывающее пространство для X. Докажите, что если X обла-
обладает любым из следующих свойств, то этим же свойством обладает и X'.
(a) хаусдорфовость,
(b) регулярность,
(c) полная регулярность,
(d) локальная компактность.
12.3. Пусть X — связное и локально линейно связное пространство,
а (X, р) — накрывающее пространство для X. Докажите, что X компактно
тогда и только тогда, когда X компактно и накрытие конечнолистно.
12.4. Пусть X — связное, локально линейно связное, полулокально
одпосвязноо сепарабельное метрическое пространство. Докажите, что любое
пространство, накрывающее X, также сепарабельное метрическое. [Указа-
[Указание. Воспользуйтесь метризационной теоремой Урысона и Тихонова: прост-
пространство является сепарабельным метрическим тогда и только тогда, когда
оно регулярно и имеет счетную базу открытых множеств.]
ПРИМЕЧАНИЯ
Разветвленные накрывающие пространства
Риманова поверхность так называемой «многозначной» аналитической
функции обычно не служит накрывающим пространством для области опреде-
определения этой функции из-за наличия «точек ветвления». Это пример «разветвлен-
«разветвленного накрывающего пространства». Для ознакомления с общей теорией раз-
разветвленных накрывающих пространств можно посмотреть статью Фокса
(Covering spaces with singularities, в книге Algebraic Geometry and Topology:
A Symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton, N. J.: Princeton University
Press, 1957, стр. 243—257); см. также статью Микаэля в Ргос. Коп. Ned.
Akad. Weten. Amsterdam (ser. A), 66 A963), 629—633. Вообще о разветвлен-
разветвленных накрывающих пространствах, по-видимому, известно немного.
Накрывающие пространства без каких-либо предположений
о локальной связности
Естественно спросить, можно ли ослабить или совсем опустить пред-
предположение о локальной линейной связности, которое прошло через всю эту
главу. Этот вопрос рассматривался несколькими авторами. Например,
в книге Шевалле [3] предположение о локальной линейной связности сводится
к обычной локальной связности. Вот другие работы, в которых исследуется
этот вопрос:
Банашевский (Banaschewski В.), Math. Nachr., 15 A956), 175—180;
Дугунджи (Dugundji J.), Proc. Nat. Acad. Sd. USA, 36 A950), 141—143;
де Ламадрид я Дженс (Gil de Lamadrid J., Jans J. P.), Proc. Amer. Math.
Soc, 10 A959),10—715;
Ли (Lee С N.), Duke Math. J., 24 A957), 547—554;
Новосад (Novosad R. S.), Trans. Amer. Math. Soc, 79 A955), 216—228;
Лабкин (Lubkin S.), Trans. Amer. Math. Soc, 104 A962), 205—238.
В свою очередь эти авторы ссылаются на более ранние статьи по рассматри-
рассматриваемому вопросу. Большинство статей краткие и в них не пытаются пере-
перестроить всю теорию при ослабленных предположениях.
204 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
До спх пор не доказано, что идеи, развиваемые в этих работах, важны,
так как пространства, возникающие в тех ситуациях, где теория накрыва-
накрывающих пространств находит естественное применение, удовлетворяют всем
локальным условиям, которые можно было бы пожелать. Конечно, может
оказаться, что когда-нибудь в будущем у кого-то возникнет необходимость
в применении теории накрывающих пространств к пространствам, локально
устроенным плохо.
Читателю будет интересен пример, принадлежащий Зиману, приведен-
приведенный на стр. 244 книги Хилтона и Уайли [2]. Этот пример показывает необ-
необходимость условия в теореме 5.1 о том, чтобы пространство У было локально
связным.
Частичное упорядочение классов изоморфизмов пространств,
накрывающих данное пространство
В упражнении 6.3 показано, что если X — пространство, фундаменталь-
фундаментальная группа я (X) которого абелева, то существует естественное частичное
упорядочение классов изоморфизмов пространств, накрывающих X: по опре-
определению (Х-,, Pi) ^ (Х2, р2) тогда и только тогда, когда существует гомомор-
гомоморфизм из (Хх, р^ на (Х2, р2). При таком частичном упорядочении классы
изоморфизмов накрывающих пространств образуют решетку, изоморфную
решетке всех подгрупп группы я (X).
Этот результат остается в силе, если немного ослабить предположение
о фундаментальной группе я (X) пространства X, а именно если предполо-
предположить, что группа я (X) гамильтонова, т. е. каждая подгруппа группы я (X)
нормальна. Сведения о структуре гамильтоновых групп можно найти в книге
М. Холла, Теория групп, ИЛ, М., 1962, стр. 213.
Если мы попытаемся распространить этот результат на более общие
группы, то столкнемся с серьезными затруднениями. Например, может ока-
оказаться, что существуют такие накрывающие X пространства (Xlt рх) и (Х2, р2),
что (Хх, рг) > (Хг, р^ и (Х2, р2) > (Xj, Pl), но (Хх, pi) и (Х2, рг) не изо-
изоморфны. Такое могло бы встретиться в следующей ситуации. Выберем некото-
некоторую базисную точку х ? X и предположим, что найдутся такие точки хг, х[ ?
6 pl1 (х) и х2, х'2 е Рг1 (х), JtTO
(a) подгруппы рц.л (Хи хг) и р2*я (^г, хг) т будут сопряженными
подгруппами группы я (X, х);
(b) между подгруппами выполняются соотношения включения
i) id р2Я!л (Х2, х'г),
Наше утверждение о (Хх, pt) и (Х2, р2) вытекает теперь из результатов
разд. 6.
Построение группы, имеющей четыре подгруппы с этими свойствами,
составляет нетрудную алгебраическую задачу, а в гл. VII мы покажем, что
любую группу можно «реализовать» как фундаментальную группу некоторого
связного, локально линейно связного и полулокально односвязного про-
пространства X.
Накрывающие пространства как расслоения
Читатель, знакомый с теорией расслоенных пространств или пучков,
распознает в накрывающем пространстве (как мы его определили) локально
тривиальное расслоенное пространство с дискретным слоем. Поэтому теорию
накрывающих пространств можно рассматривать как часть общей теории
Гл. V. Накрывающие пространства 205
расслоенных пространств. Можно также считать, что пространство (X, р),
накрывающее А", является расслоенным пучком со структурной группой
я (X) и слоем — дискретным однородным пространством я {ХIр%п (X).
Тогда регулярные накрывающие пространства соответствуют главным рас-
расслоениям. Этот вопрос обсуждается в книге Н. Стипрода, Топология косых
произведений, ИЛ, М., 1953, в частности разд. 13, 14.
Высшие гомотопические группы накрывающего пространства
Для любого пространства X и любой точки х0 ? X через лп (X, х0) обо-
обозначается множество всех гомотопических классов отображений (Sn, у0) -*¦
-»- (X, хд); здесь у0 ? Sn и все гомотопии производятся относительно базисной
точки у0 (определение относительной гомотопии см. в разд. II.4). Заметим,
что если п = 1, то яг {X, х0) = я (X, х0) — фундаментальная группа. В мно-
множестве яп (X. х0) для п > 1 можно естественным образом ввести сложение,
так что пп (X, х0) станет абелевой группой, называемой п-й гомотопической
группой пространства X. Мы утверждаем, что если пространство (X, р)
накрывает X, то для любой точки х ? X и любого целого числа п > 1 проекция
р индуцирует изоморфизм группы пп (X, х) на группу пп (X, р (х)). Доказа-
Доказательство заключается в простом применении теоремы 5.1. Если qp: (Sn, y0) -*¦
-*¦ {X, р (х)) — любое непрерывное отображение, то существует такое единст-
единственное отображение qr. (Sn, y0) -*¦ (X, х), что рф — ф. Далее, два таких
отображения ф0, фг: (Sn, у0) -»- (X, р (х)) гомотопны (относительно у0) тогда
н только тогда, когда гомотопны соответствующие поднятые отображения
?о, <&: (Sn, ув) -*- (X, х).
Этот результат часто оказывается полезным при изучении высших
гомотопических групп.
Нахождение всех накрывающих пространств с конечным числом листов
Вообще говоря, у нас, вероятно, нет надежд на то, чтобы найти эффек-
эффективную процедуру для перечисления всех пространств, накрывающих данное
пространство X (или, что эквивалентно, для перечисления всех классов
сопряженных подгрупп группы п {X)). Однако если фундаментальная груп-
группа я (X) конечно задана, то для любого целого числа п есть эффективная
процедура нахождения всех n-листных накрывающих пространств для X.
Ята процедура иллюстрируется в § 58 книги Зейферта и Трельфалля [1].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зсйферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехиздат, М., 1938, гл. 8.
2. Хилтон П., Уайли С, Теория гомологии. Введение в алгебраическую
топологию, изд-во «Мир», М., 1966, гл. 6.
3. Шевалле К., Теория групп Ли, ИЛ, М., 1948, гл. II, разд. VI—X.
Глава VI
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА
И НАКРЫВАЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ГРАФА.
ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ ГРУПП
1. Введение
Граф — это топологическое пространство, состоящее из мно-
множества точек, называемых вершинами, и множества ребер. Каж-
Каждое ребро гомеоморфно либо отрезку прямой и соединяет две раз-
различные вершины, либо окружности и соединяет какую-нибудь
вершину саму с собой. Предполагается, что два различных ребра
либо не пересекаются, либо пересекаются по общей концевой
точке.
Графы встречаются всюду: например, графами можно считать
схемы, используемые электроинженерами. На языке графов можно
сформулировать много задач из различных областей математики
и связанных с нею дисциплин, особенно задачи комбинаторной
природы. В результате за прошедшее столетие выросла обширная
теория. Следует, однако, подчеркнуть, что эта теория касается
главным образом комбинаторных свойств графа, т. е. свойств,
связанных с соотношениями между ребрами и вершинами. Тополо-
Топологическими свойствами графов скорее вообще пренебрегают. По тео-
теории графов имеется несколько учебников; см. Берж [1], Оре [2].
В этой главе мы будем изучать фундаментальную группу
и накрывающие пространства графа; таким образом, мы буделг.
обращать больше внимания на топологические свойства графов..
Затем применим полученные результаты к теории групп и дока-
докажем некоторые классические теоремы. Хотя эти теоретико-группо-
теоретико-групповые результаты можно доказать чисто алгебраическим путем.,
топологические доказательства, которые мы дадим, более прозрач-
прозрачны. В действительности многие доказываемые нами теоремы были-
открыты при рассмотрении фундаментальной группы и накрываю-
накрывающих пространств графа.
Если граф имеет лишь конечное множество вершин и ребер, то
топологизация его не составляет проблемы: существует один-
довольно очевидный способ ввести на нем топологию. Для бес-
бесконечного графа дело намного сложнее. Мы рассмотрим эту зада-
задачу подробно, так как пространство, накрывающее конечный граф,»
вполне может оказаться бесконечным графом.
У1,2 Гл. VI. Фундаментальная группа графа 207
Граф, как мы его определили, является одномерным CW-kom-
плексом. Таким образом, материал, изложенный в настоящей
главе, можно считать введением в теорию CW-комплексов Уайт-
хеда.
2 Определение в примеры
Граф — это пара, состоящая из хаусдорфова пространства X
и его подпространства Х° (называемого «множеством вершин про-
пространства X»), удовлетворяющая таким условиям:
(a) Х° — дискретное замкнутое подпространство пространства
X (точки пространства Х° называются вершинами);
(b) X — Х° можно представить в виде объединения открытых
непересекающихся подмножеств et, каждое из которых
гомеоморфно открытому интервалу действительной прямой
(множества et называются ребрами);
(c) граница et — et каждого ребра е,- есть подмножество множе-
множества Х°, состоящее либо из одной, либо из двух точек; если
et — et состоит из двух точек, то пара (et, et) гомеоморфна
паре ([0, 1], @, 1)); если et — et состоит из одной точки, то
пара {еи et)\ гомеоморфна паре (S1, S1 — {1}), где S1 —
единичная окружность в плоскости;
(d) пространство X наделено так называемой слабой тополо-
топологией: подмножество А аХ замкнуто (открыто) тогда и
только тогда, когда пересечение A f] et замкнуто (открыто^
для всех ребер et.
Условие (d), несомненно, наиболее трудно для понимания. Оно
автоматически удовлетворяется в том случае, когда X имеет
конечное число ребер. Следовательно, оно представляет интерес
лишь тогда, когда X имеет бесконечное число ребер. Это условие
мы объясним на нескольких примерах.
Примеры
2.1. Для любого целого числа п> 0 обозначим через Сп окружность
в плоскости (ж, у) с центром A/п, 0) и радиусом iln. Она касается оси у
в пачале координат. Пусть X — объединение окружностей Сп для всех
и > 0, а Xй = {@, 0)}, т. е. имеется лишь одна вершина. Тогда условия (а),
(Ь) и (с) выполняются, a (d) нет. Читателю предлагаем найти множество А,
не замкнутое в X, но такое, что пересечение А Л et замкнуто для всех ребер et.
2.2. Воспользуемся полярной системой координат (г, 6) и зададим для
каждого целого числа п > 0 множество
Пусть
Х= U ~еп,
71=1
208 У. Масси, Алгебраическая топология. Введение VI.2
где еп — замыкание множества еп в топологии плоскости. Пусть Х° состоит
из начала координат и точек (г, 0) = A, 1/я) для п > 0. Снова условия (а),
<Ь) и (с) выполняются, a (d) нет.
2.3. Пусть X = R — действительная прямая, а X' — подмножество
точек с целочисленными координатами. Тогда выполняются все условия
(a)—(d). Проверку условия (d) оставляем читателю в качестве упражнения.
2.4. Для каждого целого числа п, положительного или отрицательного,
обозначим
п р, а Вп — горизонтальные прямые на плоскости.
Пусть X — объединение всех этих прямых, а Х° — множество точек их
пересечения, т. е. множество точек плоскости с целочисленными координа-
координатами. Тогда выполняются все условия (а)—(d).
В примерах 2.1 и 2.2 на множестве X можно задать новую
топологию, при которой будет выполняться условие (d). В при-
примере 2.1 топология на каждой окружности Сп остается той же,
а множество A czX считается замкнутым тогда и только тогда,
когда пересечение А |~] Сп замкнуто в Сп для всех п. В примере 2.2
можно проделать то же самое, беря вместо окружностей Сп ребра
еп. Читатель может убедиться в том, что пространство X в каждом
случае хаусдорфово.
Предлагаем читателю построить примеры графов с конечным
числом вершин и ребер. Можно доказать, что каждый конечный
граф гомеоморфен подмножеству евклидова 3-пространства. Этот
факт нам не понадобится, и мы его доказывать не будем.
Заметим, что если X — пространство графа, то придать этому
пространству структуру графа можно несколькими различными
способами. Например, если X = [0, 1], то можно взять Х° =
= {0, V2, 1} или Х° = {0, V3, 2/?, 1}, т. е. единичный отрезок
можно разбить на два или на три отрезка. Вообще если Х° и
Х'° — два различных множества вершин на пространстве X, то
пару (X, Х'°) будем называть разбиением пары (X, Х°), если Х° сг
с= Х'°. Ясно, что любой граф можно разбить, вставляя новые вер-
вершины в некоторые или во все ребра.
Упражнения
2.1. Пусть X — граф и У — топологическое пространство. Докажите,
что функция /: X -»- У непрерывна тогда и только тогда, когда сужение
/ | е; непрерывно для каждого ребра ег из X.
2.2. Пусть X — граф и / — единичный отрезок 10, 1]. Докажите, что
подмножество A cz X X / замкнуто (открыто) тогда и только тогда, когда
пересечения A f] (е X I) и А |~1 (v X /) замкнуты (открыты) для каждого
ребра е и каждой вершины v из X.
2.3. Пусть X — граф и У — топологическое пространство. Докажите,
что функция /: X X / -»¦ У непрерывна тогда и только тогда, когда f \ е X I
и / | v X / непрерывны для всех ребер е и вершин v из X.
17.3 Гл. VI. Фундаментальная группа графа 209
3. Основные свойства графов
Как видно на простых примерах, граф может быть как связ-
связным, так и несвязным. В самом деле, в нашем определении нет
ничего, что препятствовало бы существованию вершин, являю-
являющихся изолированными точками, т. е. точками, не принадлежащи-
принадлежащими замыканию ни одного из ребер.
Мы будем называть граф конечным, если он состоит из конеч-
конечного числа ребер и вершин. Конечный граф компактен, так как он
представляет собой объединение конечного числа компактных
подмножеств. Обратно, если граф компактен, то он конечен; дока-
доказательство очевидно. Граф называется локально конечным, если
каждая его вершина инцидентна лишь конечному числу ребер
(вершина v называется инцидентной ребру е, если v ? е). Граф ло-
локально компактен тогда и только тогда, когда он локально коне-
конечен; снова доказательство очевидно. Заметим, что если бы в опре-
делешш графа мы не предусмотрели условия (d), то, как показы-
показывает пример 2.1, эти утверждения были бы неверны.
Подмножество А графа (X, Х°) называется подграфом, если
пара (А, А0), где А° = А |~| Х°, образует граф. Это происходит
тогда и только тогда, когда А есть в точности объединение неко-
некоторого набора вершин и замкнутых ребер графа X. Отсюда следует,
что А — замкнутое подмножество в X.
Докажем лемму, иоказывающую, что локально граф является
настолько «хорошим», насколько этого можно было бы пожелать.
Лемма 3.1. Каждая точка графа имеет базисное семейство стя-
стягиваемых окрестностей.
Доказательство. Лемма очевидна для внутренних
точек ребер и для изолированных вершин. Пусть v — изолирован-
изолированная вершина, at/ — открытое множество, содержащее v. Надо
указать некоторую стягиваемую окрестность V точки v, принадле-
принадлежащую множеству U. Для каждого ребра е, инцидентного v, мно-
множество U П е есть открытая окрестность точки v в е. Выберем V
так, чтобы V П е было открытой стягиваемой окрестностью точки v
в е, V [) е czU [\ е, и для любого ребра е', неинцидентного у,
множество У П е' было пустым. В силу (с) такой выбор возможен.
По условию (d) V — открытое множество. Осталось доказать, что
оио стягиваемо. Для любого ребра е, инцидентного v, выберем
стягивающую гомотопию
Фе: (V П ё) х / -> V П ~е
14 у, Масси, Дж. Столлияго
210 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI.3
так, что для любых x(:Vf\ent?l
фе (х, 0) = х,
фе (х, 1) = v,
фе (v, t) = v.
Зададим отображение /: V X / ->¦ V формулой
./ | (V ПI) х / = Фе.
Непрерывность отображения / вытекает из того, что каждое
из отображений фе непрерывно и граф наделен слабой топологией
(т. е. выполняется условие (d)); см. упражнение 2.3.
Из леммы следует, что граф локально линейно связен и полу-
полулокально односвязен. Таким образом, к графам применима вся
теория накрывающих пространств. Если граф связен, то он ли-
линейно связен. В частности, любые две вершины связного графа
можно соединить путем.
Ребро графа ориентируется тем, что па нем помещается стрел-
стрелка, указывающая выбор положительного направления вдоль этого
ребра. Каждое ребро имеет две возможные ориентации. Этой
интуитивной идее можно придать точный смысл. По определению
ребро е гомеоморфно открытому интервалу @, 1).
Будем называть два гомеоморфизма
h0, \: е -> @, 1)
эквивалентными, если композиция hoh"^: (О, 1) ->¦ @, 1) моно-
монотонно возрастает. Легко видеть, что существуют два класса экви-
эквивалентности гомеоморфизмов е ->- (О, 1). Ориентировать ребро е
значит выбрать один из этих классов эквивалентности.
Пусть е — ребро графа, инцидентное двум вершинам. Предпо-
Предположим, что ребро е ориентировано; ясно, что понимать под его
начальной и конечной вершинами. Для полноты дадим точные
математические определения этих понятий. По предположению
пара (е, е) гомеоморфна паре ([0, 1], @, 1)). Можно выбрать гомео-
гомеоморфизм h: е-*- [О, 1] так, чтобы сужение h \e принадлежало
классу эквивалентности, которым задается ориентация ребра е.
Тогда начальной вершиной ребра е будет точка h'1 @), а конеч-
конечной — точка h~r A).
Если ребро е инцидентно лишь одной вершине (т. е. пара (е, е)
гомеоморфна паре (S1, S1 — {1}))> мы договоримся считать эту
вершину и начальной, и конечной.
Путем из ребер в графе назовем конечную последовательность
ориентированных ребер (е1( е2, . . ., еп) (п ^ 1), в которой конеч-
конечная вершина ребра ei_1 служит начальной вершиной ребра е%
для 1 <; i <[ п. Путь (е1? е2, . . ., еп) называется редуцированным,
VIA Гл. VI. Фундаментальная группа графа 211
если ни для какого числа i — 2, 3, . . ., п ребра ег_х и ег не предо-
предоставляют одно и то же ребро с противоположными ориентациями.
Обычно нас интересуют лишь редуцированные пути из ребер,
и, если явно не оговорено противное, мы будем считать, что все
пути из ребер редуцированы. Если (еи е2, . . ., еп) — путь из ре-
ребер, то начальная вершина ребра ег называется начальной верши-
вершиной пути, а конечная вершина ребра еп — конечной вершиной
пути. Говорят, что такой путь соединяет свою начальную и конеч-
конечную вершины; путь из ребер называется замкнутым, если его
начальная и конечная вершины совпадают. Замкнутый путь из ре-
ребер также называется циклом.
Упражнения
3.1. Докажите, что любое компактное подмножество графа содержится
в конечном подграфе.
3.2. Докажите, что граф связен тогда и только тогда, когда каждую пару
его вершин можно соединить путем из ребер.
3.3. Докажите, что объединение и пересечение любого множества под-
подграфов данного графа X также являются подграфами.
3.4. Пусть X — граф, не являющийся локально конечным, и v — вер-
вершина графа X, инцидентная бесконечному числу ребер. Докажите, что v пе
имеет счетной базы окрестностей. Отсюда выведите, что если граф метризуе-
мый, то он локально конечный.
V 4. Деревья
Дерево — это связный граф, не содержащий ни одного замкну^
того (редуцированного) пути из ребер. Например, деревом будет
граф, состоящий из одного ребра е и двух вершин, инцидентных
ему, а также граф, состоящий только из одной вершины и не имею-
имеющий ребер. Граф в примере 2.3 есть дерево, то же верно и для гра-
графа в примере 2.2, если на нем задана слабая топология, как объяс-
объяснено в разд. 2. С другой стороны, любой граф, содержащий ребро
е, инцидентное только одной вершине (т. е. ё гомеоморфно S1), де-
деревом не является.
Предоставляем читателю доказать следующие два свойства
деревьев:
(a) любой связный подграф дерева также является деревом;
(b) в любом дереве любые две различные вершины можно соеди-
соединить единственным редуцированным путем из ребер.
Докажем основную теорему о топологии деревьев.
Теорема 4.1. Любое дерево стягиваемо.
Доказательство. Сначала индукцией по числу ребер
докажем теорему для конечных деревьев. Теорема очевидна в слу-
случаях, когда дерево не имеет ребер (т. е. это граф, состоящий из
единственной вершины) и когда у него в точности одно ребро.
14*
212 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI,i
Предположим, что теорема доказана для всех деревьев, имеющих
менее п ребер, и пусть Т — дерево с п ребрами, п > 1. Мы утвер-
утверждаем, что в Т найдется вершина v, инцидентная лишь одному
ребру из Т. Это утверждепие доказывается методом от нротивного:
если;каждая вершина в конечном связном графе инцидентна двум
или более ребрам, то легко построить замкнутый путь из ребер.
Итак, пусть е — то единственное ребро, которому инцидентна
вершина v, и пусть Т' — Т — (е [} {о}). Легко доказать, что Т' —
связный подграф графа Т. Следовательно, Т' — дерево. По пред-
предположению индукции Т' стягиваемо. Для завершения доказатель-
доказательства остается показать, что 7" — деформационный ретракт графа
Т. Описание очевидной деформационной ретракции мы оставляем
читателю.
Теперь предположим, что Т — любое дерево. Выберем некото-
некоторую вершину v0 6 Т и определим стягивающую гомотопию
/: Т X I-+ Т
Так, что / (х, 0) = х, f (х, 1) = v0 и / (v0, t) — v0 для любых х 6 Т
й i ? /. Отображение / построим последовательными шагами.
Для каждой вершины v 6 Т выберем конечный связный подграф
Т (и) графа Т, содержащий вершины v0 и v. Так как граф Т свя-
связен, такой выбор возможен. Выберем в Т (v) путь t -> / (v, t),
0 ^ t ^ 1, с начальной точкой v и конечной v0. Положим
/ (у0, t) = v0 для всех t. Таким образом определена функция /
на множестве Т° X /, где Т" — множество вершин дерева Т.
Пусть е — любое ребро из Т; покажем, как распространить
отображение / на е X I. Пусть vt и уа — вершины, инцидентные
ребру е. Тогда Т (i\) U T (v2) [] е — конечный связный подграф
дерева Т и, следовательно, дерево. На основании первой части
доказательства это конечное дерево стягиваемо и потому одно-
связно. Множество ё X / гомеоморфно квадрату. На двух его
сторонах {Vi} X / и {v2} X / отображение / уже определено.
Ясно, как определить / на остальных двух сторонах квадрата:
на стороне ё X {0} должно быть
/ (*, 0) = х,
а на стороне ё х {1}
/ (х, 1) = v0.
Итак, четыре стороны квадрата ё X / отображены в односвяз-
ное пространство Т (vj \j Т (v2) \J е. На основании леммы П.8.1
заключаем, что отображение / можно распространить на внутрен-
внутренность этого квадрата.
Применяя указанную процедуру к каждому ребру дерева Т,
Можно продолжить отображение /: Т° X / -> Т до отображения
/: Т X / -> Т. Осталось доказать, что так определенное отобра-
VIA Гл. VI. Фундаментальная группа графа 213
жение непрерывно. Но это следует из того, что оно непрерывно
на Ъ X / и Т для каждого ребра е имеет слабую топологию (см.
упражнение 2.3).
Замечание. Во второй части доказательства вершина v0 была
выбрана произвольно, так что на самом деле мы доказали немного
более сильный результат, а именно дерево Т можно гомотпопически
стянуть в любую наперед заданную вершину v0 так, что при этом
образ точки v0 останется неподвижным. Это замечание нам пона-
понадобится в доказательстве теоремы 5.2.
Любой граф содержит подграфы, являющиеся деревьями,
например подграф, состоящий из единственной вершины. Множе-
ство всех таких деревьев, содержащихся в данном графе, частично
упорядочено по включению.
Теорема 4.2. Пусть X — некоторый граф; тогда любое дере*
во х), содержащееся в X, содержится в максимальном дереве в X,
Доказательство. Если X — конечный граф, то суще-
существует лишь конечное число его подграфов, и теорема очевидна.
Чтобы справиться со случаем бесконечного графа X, привлечем
лемму Цорна. Для этого надо доказать такое утверждение: пусть
{7\: К ? Л} — семейство деревьев, содержащихся в X, линейно
упорядоченное по включению; тогда объединение
U Ту.
есть подграф графа X, являющийся также деревом. Доказатель»
ство оставляем читателю.
Теперь справедливость теоремы вытекает непосредственно из
леммы Цорна.
Следующая теорема позволяет глубже проникнуть в природу
максимальных деревьев в графе.
Теорема 4.3. Пусть X — связный граф и Т — его подграф,
являющийся деревом. Это дерево максимально тогда и только
тогда, когда оно содержит все вершины графа X.
Доказательство. Предположим, что Т — максималь-
максимальное дерево, не содержащее всех вершин графа X. Так как граф X
связен, в нем найдется путь (е±, . . ., е„) из ребер, начальная
вершина которого содержится в Т, а конечная — нет. Легко пока-
показать, что начальная вершина одного из ребер, встречающихся
при движении вдоль этого пути, скажем еи должна содержаться
х) В этой теореме предполагается, что все рассматриваемые деревья
в графе X являются его подграфами.
214 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI.5
ь 71, а конечная — нет. Следовательно, ej не содержится в Т.
Однако Т U гг — связный подграф графа X и, как легко доказать,
дерево. А это противоречит максимальности Т. Итак, необходи-
необходимость условия доказана.
Чтобы доказать достаточность, предположим, что Т содержит
Все вершины графа X. Если е — любое его ребро, не содержащееся
в Т, то вершины ребра е содержатся в Г, и потому Т \] е — связ-
связный подграф графа X. Легко видеть, что Т [} е содержит замкну-
замкнутый путь из ребер; следовательно, Т (J е не дерево. Так как эти
рассуждения применимы к любому ребру е не из дерева Т, то
Т — максимальное дерево.
\ 5. Фундаментальная группа графа
Теперь мы подготовлены к доказательству одной из основных
теорем настоящей главы.
Теорема 5.1. Фундаментальная группа любого связного графа X
свободна.
Теорема очевидна, если X — дерево, так как в этом случае
фундаментальная группа тривиальна (тривиальную группу мож-
можно считать свободной группой с пустым множеством образующих).
В случае когда X не дерево, мы докажем теорему, сформулиро-
ваппую более явно.
Сначала заметим, что хотя путь из ребер в графе несколько
отличается от пути, определенного в гл. II, между этими двумя
понятиями есть довольно очевидная связь. Путь из ребер (elt . . .
. . ., еп) в графе X, соединяющий вершины v0 и ylf следующим
образом определяет единственный класс эквивалентности путей
в топологическом пространстве X, соединяющих точки v0 и vv
Для каждого ориентированного ребра ег выберем отображение
ft: I -*¦ et так, что ft | @, 1) — гомеоморфизм интервала @, 1)
на et, обратный к которому принадлежит классу эквивалентности,
определяемому ориентацией ребра et. Обозначим через at класс
эквивалентности пути ft- Тогда произведение а1а2 • • • ап опре-
определяется однозначно путем (е±, . . ., еп) из ребер.
В оставшейся части главы, рассматривая пути из ребер и ассо-
ассоциированные с ними классы эквивалентности путей, мы позволим
себе'удобства ради несколько отклониться от обычной термино-
терминологии.
Из контекста обычно будет ясно, что имеется в виду, и ошибки
не возникнет.
Пусть X — связный граф, v0 — его вершина и Т — макси-
максимальное дерево в X, содержащее v0. Обозначим через {ех: К 6 Л}
множество ребер графа X, не содержащихся в Т. Для каждого
из ребер е^ выберем определенную ориентацию и обозначим через
VI.5 Гл. VI- Фундаментальная группа графа 215
а% и Ъ% начальную и конечную вершины ребра е% (конечно, может
оказаться, что а% = Ъ%). Каждому ребру е% поставим в соответ-
соответствие элемент а^я (X, v0) по такому правилу. В графе Т суще-
существуют единственный редуцированный путь из ребер А^, соеди-
соединяющий v0 с а^, и единственный путь из ребер В^, соединяющий
v0 с b^. Тогда а>, — класс эквивалентности, определенный путем
из ребер (А%, е%, В^). Если ак = v0, опускаем А%, аналогично
если Ь% = и0, опускаем В^.
Теорема 5.2. Фундаментальная группа л (X, v0) — свободная
группа с множеством образующих {а.}.: к ? Л}.
Доказательство. Сначала докажем для случая, когда
множество индексов Л содержит лишь один элемент, т. е. когда
только одно ребро графа X не содержится в максимальном дереве
Т. Обозначим это ребро через ev Так как X не дерево, то в X суще-
существует замкнутый путь из ребер, и ясно, что любой такой путь
должеп включать ребро ev Выберем на ех ориентацию. Тогда
в графе X должен быть редуцированный замкнутый путь из ребер,
начинающийся с ребра еъ т. е. путь вида (ег, . . ., еп). Выбирая
среди всех таких путей «кратчайший», получаем простой замкну-
замкнутый путь из ребер, т. е. такой, в котором ни одна вершина и ни одно
ребро не встречаются дважды. Обозначим этот простой замкну-
замкнутый путь через (е15 . . ., ет). Пусть
»» _
С= U в,.
1=1
Тогда С — подграф графа X, гомеоморфный окружности.
Рассмотрим дополнение X — С. Пусть {Yt} — множество его
компонент. Каждое множество Yt будет^подграфом дерева Т и пото-
потому деревом, причем Yi пересекается с С ровно по одной вершине.
Па основании замечания, сделанного после доказательства теоре-
теоремы 4.1, каждое из деревьев Yt можно стянуть в эту вершину.
Отсюда вытекает, что С — деформационный ретракт графа X и,
следовательно, отображение включения С ->- X индуцирует изо-
изоморфизм фундаментальных групп. Таким образом, я (X) — бес-
бесконечная циклическая группа. Оставляем читателю проверку того,
что она порождается, как указано в теореме 5.2.
Для доказательства общего случая применим общую форму
теоремы Зейферта — ван Камнена.
Для каждого индекса X 6 Л выберем некоторую точку х^ 6 ех.
Множество {хх: К ? Л} замкнуто и дискретно, поскольку про-
пространство X наделено слабой топологией. Обозначим через U
дополнение к {х%: Я ? Л} в X. Тогда Т — деформационный
ретракт множества U, так что U стягиваемо. Пусть для любого
216 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI.5
индекса К
Vy. = и и
Тогда Y% zd U для всех % и, если % Ф \i,
У% П У и = \и.
Ясно, что Т [} е% — деформационный ретракт для V%, и потому
фундаментальная группа я (F>,, v0) — бесконечная циклическая
группа, порожденная элементом а%.
Теперь применим теорему IV.2.2 к открытому покрытию про-
пространства X, состоящему из множеств Т\ и U. Тогда я (X, v0) —
свободное произведение групп п (Vx, v0) (см. упражнение IV.3.1).
Упражнения
5.1. Пусть Т •— треугольник в плоскости R2 с вершинами а, Ъ и с. (а) До-
Докажите, что замкнутый отрезок аЪ есть деформационный ретракт треуголь-
треугольника Т. (Ь) Докажите, что объединение двух замкнутых отрезков аЬ иГЪе
есть деформационный ретракт треугольника Т.
5.2. Пусть S — компактная поверхность с краем, на которой задана
триангуляция. Докажите, что существует конечный связный граф Хс S,
состоящий из ребер и вершин заданной на S триангуляции, являющийся дефор-
деформационным ретрактом поверхности S и имеющий ту же эйлерову характери-
характеристику, что и S. Выведите отсюда, что л E) — свободная группа с 1 — х E)
образующими. [Указание. Пусть Т — такой треугольник из заданной триан-
триангуляции, что по крайней мере одно из его ребер содержится в крае поверх-
поверхности S. Покажите, что S — Т — деформационный ретракт поверхности S.
(Рассмотрите отдельно случаи, когда одна и когда две стороны треугольни-
треугольника Т принадлежат краю.) Используйте результат предыдущего упражнения.
Повторяя последовательно эту процедуру стягивания S на S — Т, можно
избавиться от всех треугольников. В результате останется как раз нужный
граф X.]
5.3. Пусть X — связный граф, Y — его связный подграф и v — некото-
некоторая вершина подграфа Y. Докажите, что можно так выбрать образующие
Wi} группы п (Y, v) и {bj} группы л (X, v), что л (X, v) и л (У, v) будут
свободными группами над {aj} и {bj} соответственно и образ множества {а;}
при гомоморфизме i%: л (У, v) -*¦ л (X, v) будет подмножеством множества
{bj}. В частности, i% — мономорфизм. [Указание. Выберите максимальное
дерево в У и расширьте ого до максимального дерева в X.]
5.4. Пусть S и S' — компактные поверхности с краем, S' содержится
во внутренности поверхности S, каждая компонента связности множества
S — S' пересекается с краем поверхности S и существует такая триангуляция
поверхности S, что S' можно представить в виде объединения некоторых
ее треугольников. Докажите, что можно так выбрать образующие {at} груп-
группы л (S', х) и {bj} группы к (S, х), что п {S', х) и я (S, х) будут свободно
порожденными группами над {at} и {bj} соответственно и образ множества
{at} при гомоморфизме г'*: л E", х) -*¦ л (S, х) будет подмножеством множе-
множества {6;}. [Указание. Проведите процесс сжимания треугольников, описан-
описанный в упражнении 5.2, так, чтобы сначала сжать все треугольники из 5 — S',
а затем из S'. Этим способом мы сводим задачу к упражнению 5.3.]
Замечание. Можно показать, что предположение о существовании на S
определенной триангуляции всегда автоматически выполняется.
VI.6 Гл. VI. Фундаментальная группа графа 217
5.5. Пусть S — некомпактная поверхность с заданной триангуляцией.
Докажите, что существует последовательность Sx, S2, Ss, . . . компактных,
поверхностей с краем, содержащихся в S и обладающих такими свойствами:
(a) для всех п поверхность Sn содержится во внутренности поверхности
sn+u
(b) S = U Sn;
n=l
(c) каждая компонента множества ?„+]. — Sn пересекается с краем
поверхности Sn+a
(d) каждую поверхность Sn можно триангулировать так, что 5П_Х будет
объединением треугольников данной триангуляции.
[Указание. Построим поверхности Sn индукцией по п. В качестве Sr
возьмем какой-нибудь треугольник из данной триангуляции. Предположим,
что поверхности Slt S2, • ¦ ¦, Sn, обладающие свойствами (а) — (d), построе-
построены. Построим Sn+1, присоединяя к Sn треугольники и куски треугольников.
Чтобы поверхность Sn+1 обладала свойством (с), выберем ее так, чтобы замы-
замыкание каждой компоненты множества S — Sn+1 было некомпактным. Так как
любая триангуляция поверхности S состоит из счетного числа треугольников,
то нетрудно удовлетворить условию (Ь).]
5.6. Используйте упражнения 5.4 и 5.5 для доказательства того, что
фундаментальная группа некомпактной поверхности (которую можно триан-
триангулировать) есть свободная группа с конечным или счетным множеством
образующих. [Указание. Заметим, что если в конструкции упражнения 5.5
С — компактное подмножество поверхности S, то найдется такое целое число
п, что CczSn. Следовательно, можно применить результат упражнения II.4. П.]
5.7. Предположим, что S — некомпактная триангулируемая одвосвяз-
ная поверхность. Докажите, что если конструкция упражнения 5.5 приме-
пима к S, то каждая поверхность Sn гомеоморфна единичному диску Е2.
[Указание. Используйте упражнение 5.6 и классификационную теорему
из разд. 1.10 для компактных поверхностей с краем.]
Замечание. Доказываемая в упражнении гомеоморфность поверхности
Sn диску Е2 вытекает из того, что поверхность S гомеоморфна плоскости R2.
Доказательство опирается на классическую теорему Шёнфлиса.
^ 6. Эйлерова характеристика конечного графа
Точно так же, как в случае компактного 2-многообразия,
эйлерову характеристику конечного графа X (обозначаемую через
% {X)) положим равной разности числа вершин графа X и числа его
ребер. Оставляем читателю проверку того, что эйлерова характе-
характеристика инвариантна относительно разбиения.
Предложение 6.1. Если Т — конечное дерево, mo %(T) — i.
Доказательство. Доказательство проводится индук-
индукцией по числу ребер в дереве. Если всего 0 ребер и 1 вершина или
1 ребро и 2 вершины, то утверждение очевидно. Для проведений
шага индукции можно рассуждать, как в первой части доказа-
доказательства теоремы 4.1. Подробности оставляем читателю.
218 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI»7
Теорема 6.2. Пусть X — конечный связный граф. Тогда фун-
фундаментальная группа п (X) есть свободная группа с 1 — % (X)
образующими.
Доказательство. Пусть Т — максимальное дерево
в графе X, a elt . . ., ek — ребра, не содержащиеся в Г. В силу
предложения 6.1
X (X) = 1 - к.
С другой стороны, по теореме 5.2 л (X) — свободная группа
с к образующими. Отсюда вытекает теорема.
Следствие 6.3. Если два конечных связных графа X и Y имеют
один и тот же гомотопический тип, то % (X) = % {Y), т. е. эйле-
эйлерова характеристика графа является гомотопическим инвариан-
инвариантом.
Утверждение, обратное этому следствию, также справедливо,
но нам оно не понадобится.
Следствие 6.4. Если X — конечный связный граф и % (X) = 1,
то X — дерево.
Следствие 6.5. Если X — конечный связный граф, то % (X) < 1.
Заметим, что если не предполагать связность графа X, то
число х (X) может быть произвольно большим.
\/ 7. Пространства, накрывающие граф
Как было отмечено ранее в этой главе, связный граф обладает
достаточно хорошими локальными свойствами, так что к нему
целиком применима теория накрывающих пространств. Покажем,
что любое накрывающее граф пространство естественным образом
является графом.
Теорема 7.1. Пусть X — связный граф с множеством вершин
Х°, (Y, р) — накрывающее его пространство и Ya = р~х (Х°).
Тогда Y — граф с множеством вершин Y0.
Доказательство. Ясно, что Y° — замкнутое дискрет-
дискретное подмножество пространства Y. Пусть е — ребро графа X.
Тогда но лемме V.2.1 каждая компонента множества р~г (е) будет
накрывающим пространством для е. Так как множество е одно-
связно, то каждая компонента множества р~х (е) отображается
на е гомеоморфно и в силу локальной связности она открыта
в р~1 (е). Следовательно, выполняется условие (Ь) из разд. 2.
-Легко проверить также условие (с); если множество ё гомеоморф-
гомеоморфно отрезку [0, 1], то каждая компонента множества р~г (ё) отобра-
отображается гомеоморфно. Если множество ё гомеоморфно окружности
VI.7 Гл. F/. Фундаментальная группа графа ~ 219
S1, то применяем все, что мы знаем о возможных накрытиях окруж-
окружности. Наконец, условие (d) непосредственно следует из лем-
леммы V.12.3, поскольку существует такое соответствующее любому
ребру et отображение ft: I ->-Х, что U (I) = et и ft гомеоморфно
отображает открытый интервал @, 1) на ег.
Опишем простой способ, как указать на чертеже всю информа-
информацию, относящуюся к пространству, накрывающему граф. Пусть
X — связный граф, лучше конечный. Пометим ребра графа бук-
буквами а, Ь, с, . . ., снабдим каждое ребро ориентацией и укажем
ее стрелкой. Вершины пометим буквами U, V, W, . . . и т. д.
Пусть граф (X, р) накрывает X. Отображение р на диаграмме
графа X укажем так. Ребра множества р'1 (а) пометим буквами
а1: а2, as, ... и на каждом из них поместим стрелку, указываю-
указывающую ориентацию, согласованную с ориентацией ребра а при отоб-
отображении р. Проделаем то же с ребрами из р~х (b), р'1 (с) и т. д.
Вершины из множества р'1 (U) пометим буквами иъ U2, U3
и т. д.
Примеры
7.1. На рис. 6.1,а показан простой граф, помеченный буквами так,
как указано выше, а на рис. 6.1, б я в два различных накрывающих простран-
пространства этого графа, также помеченных буквами. Хотя оба накрытия являются
6-листными и регулярными, они не изоморфны. Можно доказать, что группа
автоморфизмов накрытия на рис. 6.1, б — циклическая группа порядка 6,
а группа автоморфизмов накрытия на рис. 6.1, в — неабелева группа поряд-
порядка 6. Предлагаем читателю попытаться обнаружить в каждом случае эти
различные автоморфизмы. На данном примере видно, как важны стрелки,
указывающие ориентации ребер. Заметим, что из этих диаграмм легко вывести,
как действует группа к {X, V) на множестве вершин р-1 (F).
7.2. На рис. 6.2 показано накрытие графа, изображенного на рис. 6.1, а,
отличное от предыдущих. Рекомендуем читателю доказать, что группа авто-
автоморфизмов этого накрывающего пространства состоит из одной лишь еди-
единицы.
Непосредственно из теоремы 7.1 вытекает очень важный тео-
ретико-групновой результат:
Теорема 7.2. Любая подгруппа свободной группы свободна.
Доказательство. Пусть F — свободная группа над
множеством S и F' — ее подгруппа. Построим такой связный
граф X, что я (X) « F. Это можно сделать так. Пусть X имеет
одну вершину, а множество его ребер находится во взаимно одно-
однозначном соответствии с элементами множества S, т. е. X
представляет собой объединение окружностей, попарно пересе-
пересекающихся в одной точке — вершине графа X. Снабдим X слабой
топологией. Из теории накрывающих пространств известно, что
существует пространство (X, р), накрывающее X и такое, что
,. с
Рис. 6.1. Пример 7.1: два различных 6-листных регулярных накрывающих
пространства графа, а — база; б — первое накрытие; в — второе накрытие.
VI.7
Гл. VI. Фундаментальная группа графа
221
я (X, р) « F'. По теореме 7.1 пространство X является графом.
Следовательно, F' — свободная группа.
Позже мы займемся'вопросом описания множества свободных
образующих подгруппы F', а сейчас остановимся на конечно
порожденных свободных группах.
Рис. 6.2. Пример 7.2: 3-листное нерегулярное накрывающее пространство
графа.
Теорема 7.3. Пусть F — свободная группа с к образующими,
к ^ 1, и F' — ее подгруппа индекса п. Тогда F' — свободная груп-
группа с п (к — 1) +1 образующими.
Доказательство. Пусть X — такой конечный граф,
что л (X) « F. Тогда по теореме 6.2
X (X) = 1 - к.
Пусть X — накрывающее пространство графа X, соответствую-
соответствующее подгруппе F'. Тогда X есть и-листное накрытие и потому
Таким образом, F' — свободная подгруппа с
1 - х(Х) = 1 — п +пк
образующими.
При сравнении с теорией свободных абелевых групп или конеч-
конечных групп этот результат кажется парадоксальным. Если к > 1,
то при возрастании индекса число образующих также возрастает.
С другой стороны, для конечных групп чем больше индекс под-
222 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI.S
группы, тем меньше ее порядок. Если А — свободная абелева
группа с к образующими, то любая ее подгруппа конечного индек-
индекса есть также свободная абелева группа.ранга к.
8. Образующие элементы подгруппы
свободной группы
В предыдущем разделе, используя то, что любое накрываю-
накрывающее граф пространство является графом и фундаментальная груп-
группа графа свободна, мы доказали, что каждая подгруппа свободной
группы свободна. Однако в нашей теореме о фундаментальной
группе графа в действительности доказывается большее: дается
явное описание множества образующих фундаментальной группы.
Естественно ожидать, что этим более точным результатом можна
воспользоваться для определения образующих пекоторой под-
подгруппы свободной группы. Покажем, как это сделать.
Так как выбор образующих фундаментальной группы графа
связан с выбором максимального дерева, наша первая задача
состоит в том, чтобы показать, как выбором определенных элемен-
элементов фундаментальной группы графа X определяется максималь-
максимальное дерево графа X, накрывающего X.
Пусть'/*1 — свободная группа над множеством S и F' — ее под-
подгруппа. Мы хотим найти такое множество S' образующих группы
F', что F' — свободная группа над S'. Как и в доказательстве
теоремы 7.2, предположим, что X — связный граф с одной вер-
вершиной v0 и л (X, v0) « F; ребра графа X находятся во взаимно
однозначном соответствии с элементами множества S. Предпола-
Предполагается, что на каждом ребре задана ориентация. Пусть граф (X, р)
накрывает X так, что р% л {X, vt) = F' для| некоторой вершины
v1 графа X. Для определения образующих фундаментальной груп-
группы л {X, Vi) мы собираемся применить теорему 5.2. Пусть Т — мак-
максимальное дерево в X. Каждой вершине v графа X соответствует
в дереве Т единственный редуцированный путь Yi> из ребер,
начинающийся в vx и заканчивающийся в v. Обозначим через
Р% (Vv) путь из ребер в X, представляющий собой образ пути у„
при проекции р; этот путь замкнут в X и ассоциированный с ним
класс эквивалентности путей есть элемент группы л (X, v0), который
мы также обозначим через р% (yv). Приведем несколько результа-
результатов относительно этого множества классов замкнутых путей.
A) Множество классов {р% (yv): v — вершина из X} замкну-
замкнутых путей из ребер полностью определяет дерево Т (очевидно).
B) Каждый класс смежности F'-a подгруппы F' содержит
точно один из классов р% (yv). (Это легко следует из рассуждений,
приведенных в гл. V.)
VI.8 Гл. VI. Фундаментальная группа графа 223-
C) Множество {р% (yv): v — вершина из 1} является систе-
системой Шрейера в свободной группе F = п (X, v0). Под системой
Шрейера в свободной группе F с множеством образующих S'
понимается непустое подмножество группы F, удовлетворяющее
такому условию. Предположим, что элемент g Ф 1 принадлежит
системе Шрейера. Представим g в виде редуцированного слова
от образующих группы:
Пусть
Тогда мы требуем, чтобы элемент g' также принадлежал этой
системе (элемент g' можно представлять себе как редуцированное-
слово, полученное из g зачеркиванием его последней буквы). Заме-
Заметим, что 1 принадлежит каждой системе Шрейера.
Предоставляем читателю доказать, что множество {р% (yv): v —
вершина из X} есть система Шрейера в F;\ доказательство не-
нетрудно .
Обратно, если G — такая система Шрейера в свободной груп-
группе F, что каждый класс смежности F' -ос подгруппы F' состоит
не более чем из одного элемента из G, то в X существует единствен-
единственное дерево Т, содержащее vx и такое, что
{р* ("fv)i v — вершина из Т) = G,
где через yv обозначен единственный класс путей из ребер в Т,
соединяющих вершину vx с вершиной v. Если каждый класс смеж-
смежности F' -а подгруппы F' содержит элемент из G, то это единствен-
единственное дерево Т является максимальным деревом накрытия X.
Эти результаты, каждый из которых легко проверяется, пока-
показывают, что можно установить естественное взаимно однозначное
соответствие между максимальными деревьями накрытия X и таки-
такими системами Шрейера G в группе F, что каждый класс смежно-
смежности подгруппы F' содержит точно один элемент из G. Применим
это взаимно однозначное соответствие для нахождения множества
образующих подгруппы F'. В наших обозначениях множество
образующих группы я (X, vj строится так. Пусть е — ребро накры-
накрытия X, не содержащееся в Т; ориентируем ребро е так, чтобы его
ориентация была согласована с ориентацией ребра р (е) при проек-
проекции р, и обозначим через v и v' его начальную и конечную вер-
вершины. Тогда yve (у^') — типичная образующая группы п (%, иг),
и, беря типичную образующую, соответствующую каждому ребру
накрытия X, не лежащему в дереве Т, мы получим полную систему
224 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI.8
образующих. С помощью изоморфизма р% строим множество сво-
свободных образующих подгруппы F". Далее,
1. F.8.1)
Здесь (р#ув) и (р*уъ') — элементы из G, а (р*е) — образующая
группы F (т. е. элемент множества S). Так как F.8.1) представляет
элемент подгруппы F', то (p*yv), (р%е) и (р*7«') принадлежат одно-
одному и тому же классу смежности подгруппы F".
Представим F.8.1) в более удобной алгебраической форме.
Для любого элемента а ? F обозначим через Ф (а) тот единствен-
единственный элемент из G, который принадлежит тому же классу смеж-
смежности подгруппы F', что и а. Тогда правая часть в F.8.1) прини-
принимает вид
gs [Ф (gs))-\ F.8.2)
где g ? G, s ? S. Таким образом, мы показали, что подгруппа F'
группы F есть свободная группа, порожденная элементами вида
F.8.2). Вообще говоря, не каждый элемент вида F.8.2) будет сво-
свободной образующей подгруппы F', задаваемой формулой F.8.1).
Предлагаем читателю проверить, что возможны лишь две альтер-
альтернативы: для любых элементов g ? G и s ? S либо gs [Ф (gs)]'1 = 1,
либо gs [Ф (gs)] — одна из образующих, задаваемых форму-
формулой F.8.1). Итак, мы доказали, что справедлива
Теорема 8.1. Пусть F — свободная группа над множеством
S, F' — ее подгруппа и G — система Шрейера, содержащая точно
один элемент из каждого класса смежности подгруппы F'. Тогда
F' — свободная группа над множеством
{gs [Ф (gs)]-1: g 6 G, s 6 S, gs[O (gs)}-1 ф\).
Пример
8.1. Пусть F — свободная группа над множеством S, состоящим из двух
¦элементов: S = {sj, s2}, a F' — ее коммутаторная подгруппа. В этом случае
граф X имеет вид восьмерки и состоит из двух окружностей, пересекающихся
в одной точке; накрытие X будет графом, состоящим из вертикальных пря-
прямых х = т и горизонтальных прямых у = п, где т. и п пробегают все целые
числа (см. пример 2.4). Проекция р: X -+¦ X накручивает каждую горизон-
горизонтальную прямую на окружность slt а каждую вертикальную прямую — на
окружность sa. В примере V.11.6 доказано, что (X, р) — накрывающее про-
пространство для X, соответствующее коммутаторной подгруппе группы я (X).
Факторгруппа F/F' — свободная абелева группа с двумя образующими
s: и s2. Следовательно, в качестве представителей классов смежности можно
взять элементы s^s™, где тъп — целые числа. Ясно, что эти элементы обра-
образуют систему Шрейера. Соответствующее максимальное дерево в графе X
состоит из объединения оси х и всех вертикальных прямых х = т. Элементы
вида gs [Ф (gs)] здесь таковы:
(sfstjsi W"-1^)-!, F-83)
(s?1^) s2 («fej*1)-1. F.8.4)
VI.8 Гл. VI. Фундаментальная группа графа 225
Они получаются, если положить g — s^s® и s= «, или s = s2. Нетрудно
видеть, что элемент, задаваемый формулой F.8.4), есть единица, а элемент,
задаваемый формулой F.8.3), равен s^^s^^sj-1. Таким образом, мы дока-
доказали, что коммутаторная подгруппа свободной группы с двумя образующими
{.?j, у2} есть свободная группа с образующими SitsI2S1sinslm~'-, где (т, п) про-
пробегает все пары целых чисел Ф (О, 0).
Советуем читателю как следует изучить этот пример, поскольку
он довольно нагляден и хорошо иллюстрирует общий случай.
В частности, предлагаем убедиться в том, что полученные нами
образующие коммутаторпой подгруппы в точности соответствуют
образующим фундаментальной группы графа X, найденным с по-
помощью теоремы 5.2. Советуем также рассмотреть другие макси-
максимальные деревья в графе X и построить соответствующие системы
Шрейера в группе F.
Упражнения
8.1. Найдите какое-нибудь множество свободных образующих коммута-
коммутаторной подгруппы свободной группы с п образующими (slt s2, . . ., sn}.
8.2. Пусть F — свободная группа с двумя образующими sj и s2. Сколько
подгрупп индекса 2 имеет группа ^? [ Указание. Каждая подгруппа индекса 2
нормальна и факторгруппа по ней — циклическая порядка 2.] Для каждой
подгруппы индекса 2 найдите множество свободных образующих. Интер-
Интерпретируйте результаты па языке графов.
if 8.3. Пусть F — свободная группа, N — нетривиальная нормальная
подгруппа бесконечного индекса. Докажите, что группа N не является
копечно порожденной.
8.4. Пусть F — свободная группа с двумя образующими а в Ъ, a Sa —
симметрическая группа степени 3, рассматриваемая как множество всех
перестановок множества A, 2, 3}. Зададим эпиморфизм /: F ->- S3 равенст-
равенствами / (а) = A, 2), / (Ь) = A, 2, 3), где A, 2) и A, 2, 3) — циклические
перестановки. С помощью теоремы 8.1 постройте множество свободных обра-
образующих ядра отображения /. Интерпретируйте результаты на языке накры-
накрывающего граф пространства.
8.5. Пусть F — свободная группа с двумя образующими а и 6, а Я —
циклическая группа порядка 6 с образующей х. Зададим эпиморфизм
/: F -*¦ Н равенствами / (а) = х3 и / (Ь) = х2. С помощью теоремы 8.1 построй-
постройте мпожество свободных образующих ядра отображения / и интерпретируйте
результаты на языке накрывающего граф пространства. Сравните накрыва-
накрывающие пространства в упражнениях 8.4 и 8.5 (они оба 6-листные регулярные
накрытия кривой, имеющей форму восьмерки) с накрывающим простран-
пространством из примера 7.1.
8.6. Пусть F — свободная группа с двумя образующими а и Ь. Зададим
действие группы F на множестве {1, 2, 3} так: а — транспозиция A, 2),
Ь — циклическая перестановка A, 2, 3) (считается, что элементы группы F
действуют справа). Пусть F' — изотропная подгруппа элемента 1, т. е. мно-
множество элементов группы F, оставляющих элемент 1 неподвижным. С помощью
теоремы 8.1 постройте множество свободных образующих группы F' и интер-
интерпретируйте свои результаты на языке графов. [Указание. Используйте резуль-
результаты разд. 2 приложения В.] Сравните с примером 7.2.
^ У. Масси, Дж. Столлннге
226 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
ПРИМЕЧАНИЯ
Большинство из представленных в этой главе результатов по свободным
группам относится к 1920-м гг.; они в основном принадлежат трем лицам:
немецким математикам Рейдемейстеру, Шрейеру и датскому математику
Нильсену. Большинство статей Рейдемейстера и Шрейера опубликовано
в журнале Hamburger Abhandlungen, а затем эти результаты собраны Репде-
мейстером в его книге [6].
Теорема Куратовского о вложении графов в плоскость
Одна из наиболее известпых теорем по топологии графов доказана в 1930 г.
польским топологом К. Куратовским.
В разд. 2 мы упоминали о том, что каждый конечный граф можно тополо-
топологически вложить в евклидово 3-пространство. Но не каждый такой граф
можно вложить в плоскость. Приведем два примера.
(a) Пусть X — граф с пятью вершинами, десятью ребрами, причем каж-
каждую пару различных вершин соединяет одно ребро.
(b) Пусть Y — граф с шестью вершинами {а, Ъ, с, а', Ъ', с'}, девятью
ребрами и каждую вершину, отмеченную буквой со штрихом, с каж-
каждой вершиной, отмеченной буквой без штриха, соединяет одно
ребро.
Оставляем читателю проверить, что ни X, ни У нельзя вложить в плоскость
(используйте теорему Жордана о кривой). В теореме Куратовского утверж-
утверждается, что любой конечный граф, который нельзя вложить в плоскость,
содержит подграф, гомеоморфный либо графу X, либо графу Y. Доказатель-
Доказательство этой теоремы приведено в книге Бержа [1, гл. 21], а также в статье
Дирака и Шустера (A theorem of Kuratowski, Proc. Kon. Nederl. Akad. Weten.
(ser A), 57 A954), 343—348). В этой статье кратко рассматривается проблема
вложения в плоскость счетных графов. Иные условия возможности вложе-
вложения в плоскость конечного графа исследуются в статье Маклейна (A structural
characterization of planar combinatorial graphs, Duke Math. /., 3 A937),
400—472). Клейтор обобщил теорему Куратовского на широкий класс ком-
компактных метрических пространств (Peanian continue not imbeddable in a
spherical surface, Ann. Math., 38 A937), 631—646).
Слабая топология для графа
Согласно данному в разд. 2 определению, граф является одномерным
CW-комплексом в смысле Уайтхеда (Combinatorial homotopy, I, Bull. A mer.
Math. Soc, 55 A949), 213—246). Подробно CW-комплексы обсуждаются
в гл; vii.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Теория графов
1. Берж К., Теория графов и ее применения, ИЛ, М., 1962.
2. Оре О., Теория графов, изд-во «Наука», М., 1968.
Топология
3. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехиздат, М., 1938, гл. 7 п 8.
4. Хилтон П., Уайли С, Теория гомологии. Введение в алгебраическую
топологию, изд-во «Мир», М., 1966, гл. 6.
Гл. VI. Фундаментальная группа графа 227
Теория групп
5. Курош А. Г., Теория групп, изд-во «Наука», М., 1967, гл. IX.
6. Рейдемейстер (Reidemeister К.), Einfiihrung in die kombinatorische
Topologie, Braunshweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Chapters 3 and 4.
7. Ротман (Rotman J. J.), The theory of groups, Boston: Allyn and Bacon,
1965. Chapter 11.
8. Скотт (Scott W. R.), Group theory, Englewood Cliffs, IN.J.: Prentice
Hall, 1964. Chapter 8.
9. Холл М., Теория групп, изд-во «Мир», М., 1962, гл. 7.
10. Шенкман (Schenkman E.), Group theory, Princeton, N.J.: Van" Nostrand,
1965, Chapter V.
11. Щпехт (Specht W.), Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften, Band LXXXII). Berlin — Gottingen — Heidelberg:
Springer-Verlag, 1956, Chapter 2.1.
15*
Глава VII
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВ
ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ
1. Введение
В гл. IV мы нашли фундаментальные группы компактных связ-
связных 2-многообразий. Вернемся к этому в свете предыдущей главы.
Пусть М — компактное связное 2-многообразие. Мозкно счи-
считать, что многообразие М получено попарным отождествлением
ребер некоторого многоугольника. Обозначим через X подмноже-
подмножество многообразия М, являющееся образом ребер при этом отожде-
отождествлении. Тогда X — объединение окружностей, попарно пере-
пересекающихся лишь в одной точке; таким образом, X можно счи-
считать 'конечным графом с одной вершиной. Кроме того, можно счи-
считать, что многообразие М получается «приклеиванием» диска
к 1этому графу X. Если пересмотреть результаты гл. IV, можно
заметить, что отображение включения графа X в многообразие М
индуцирует эпиморфизм л (X) -*-п {М); ядро этого эпиморфизма
порождено тем элементом группы л (X), который «уничтожается»
приклеиванием диска.
В настоящей главе мы обобщим эти результаты. Взяв произ-
произвольный связный граф X, мы построим новое пространство Y,
приклеивая к X любое количество дисков. Мы докажем, что отобра-
отображение включения графа X в пространство Y индуцирует эпимор-
эпиморфизм п{Х) ->n(Y); ядро этого эпиморфизма порождено в точ-
точности теми элементами группы л (X), которые «уничтожаются»
приклеиванием различных дисков. Таким образом, группа п (Y)
имеет копредставление, состоящее из одной образующей для каж-
каждой образующей'группы л (X) и одного соотношения для каждого
приклеиваемого2диска.
it. Пространство У можно еще увеличить, приклеивая к нему
шарыЗили диски высоких размерностей; мы увидим, что эта про-
процедура (уже не оказывает никакого действия на фундаментальную
группу. В некотором смысле это отрицательный результат. Он
означает, что фундаментальная группа является топологическим
инвариантом именно «малой размерности» и приводит к необходи-
необходимости иметь аналогичные топологические инварианты в высших
размерностях.
У//.2 Гл. VII. Пространства высокой размерности 229
Указанная процедура приклеивания дисков высоких размер-
размерностей ведет к важному понятию CW-комплекса, принадлежащему
Уайтхеду. CW-комплекс — это пространство, построенное при-
приклеиванием к некоторому графу клеток последовательно все более
высоких размерностей. Опыт показывает, что для целей алгебраиче-
алгебраической топологии категория CW-комплексов — одна из наиболее
полезных категорий топологических пространств. CW-комплексы
обладают достаточно хорошими локальными свойствами, так что
мы избавляемся от многих патологических ситуаций, но они доста-
достаточно общи, чтобы охватывать большинство пространств, необхо-
необходимых для рассмотрения в алгебраической топологии.
В качестве побочного результата мы докажем, что/любая груп-
группа изоморфна фундаментальной группе некоторого разумно
построенного пространства, в частности пространства, получае-
получаемого приклеиванием к графу дисков (т. е. 2-мерного CW-комплек-
CW-комплекса). Наконец, в разд. 5 и б мы используем эти идеи в топологиче-
топологических доказательствах хорошо известных теорем из теории групп.
2. Приклеивание 2-клеток к пространству
Предположим, что X* — хаусдорфово пространство, построен-
построенное из своего линейно связного подпространства X приклеива-
приклеиванием обычных двумерных дисков. Точнее предположим, что суще-
существует такое замкнутое подмножество X с: X*, что X* — X можно
представить в виде объединения непересекающихся открытых под-
подмножеств el, Я 6 Л, каждое из которых гомеоморфно открытому
диску С/2 плоскости R2. Каждое подпространство е\ называется
«открытой 2-клеткой». Кроме того, предположим, что для каждой
клетки е\ существует так называемое «характеристическое отобра-
отображение», т. е. непрерывное отображение
где, как обычно, Е% — {х ? R2: | х | ^ 1}, /*, гомеоморфно отобра-
отображает открытый диск U2 на el и /я, (S1) сг X. Наконец, будем счи-
считать, что пространство X* наделено «слабой» топологией: подмно-
подмножество А пространства X* замкнуто тогда и только тогда, когда
А П X и ft1 U) замкнуты для всех Я 6 Л.
Как уже упоминалось во введении, любое компактное связное
2-многообразие можно считать полученным приклеиванием одной
2-клетки к некоторому графу X. Конечно, когда пространство X*
получается из X приклеиванием конечного числа 2-клеток, как
в случае компактного 2-многообразия, оно автоматически имеет
слабую топологию. Условие о том, что пространство X* должно
обладать слабой топологией, представляет интерес лишь тогда,
когда приклеивается бесконечно много 2-клеток.
230 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII.2
Основная паша цель — вывести соотношение между фундамен-
фундаментальными группами пространств X и X*. Для этого мы введем
следующее обозначение. Зафиксируем замкнутый путь ср: / —*• S1,
представляющий образующую фундаментальной группы я (S1,
A, 0)), т. е. путь ф обегает окружность S1 в точности один раз.
Для каждого диска ек через ocj, обозначим класс пути /х,ср. Выбе-
Выберем базисную точку х0 ? X ш для каждого диска е% рассмотрим
класс (ij, путей в X, начинающихся в точке х0 и заканчивающих-
заканчивающихся в точке fx A, 0). Тогда Yx = Р^ьРя.1 — элемент группы
п (X, х0).
Теорема 2.1. При сделанных предположениях гомоморфизм
п (X, х0) -у я (X*, х0) является эпиморфизмом и его ядро совпадает
с наименьшей нормальной подгруппой, содержащей множество
{Уу.: Я- € Л}.
Доказательство. Докажем теорему для трех слу-
случаев.
Случай 1. Предположим, что множество Л состоит из одного
элемента, т. е. пространство X* получается из X приклеиванием
к последнему одной клетки, которую для простоты обозначим
через е2:
X* = X U е2.
Возьмем какую-нибудь точку у ? е2 и положим U = X* — {у},
V — е2. Тогда U и V — открытые множества и множество V стя-
стягиваемо. Кроме того, X — деформационный ретракт множества U.
Поэтому можно применить теорему IV.4.1. Подробности анало-
аналогичны построению фундаментальной группы компактного про-
пространства, приведенному в разд. IV.5, и потому оставляем их
читателю.
Случай 2. Предположим, что множество Л конечно. Можно
считать, что клетки {el: X ? Л} добавляются к X не все сразу,
а последовательно, одна за другой, и доказывать теорему индук-
индукцией по числу элементов множества Л. При проведении индукции
необходимо использовать случай 1.
Случай 3. Осталась последняя возможность: Л — бесконечное
множество. Для каждого индекса Я, 6 Л выберем какую-нибудь
точку уь 6 е\. Тогда А = {у*,: Я, 6 Л} — замкнутое дискретное
подмножество пространства X* (так как X* обладает слабой
топологией). Для каждого подмножества Scz А, для которого мно-
множество А — S конечно или пусто, обозначим через Us дополне-
дополнение к S в пространстве X*, т. е.
Us = X* - S.
VII.3 Гл. VII.Пространства высокой размерности 231
Тогда Us — открытое линейно связное подмножество простран-
пространства X*, а
{Us: A — S есть конечное подмножество в А}
— открытое покрытие пространства X*, удовлетворяющее пред-
предположениям обобщенной теоремы Зейферта — ван Кампена
(теорема IV.2.2) (в силу того, что Us f] UT = U&jt)- Заметим,
что если А — S = {ж^, xj,2, . . ., xkjt}, то деформационным ре-
трактом дополнения Us = X* — S будет подпространство X [}
U ея2 U e% U • • • U е%г, которое охватывается случаем 2. Таким
образом, остается доказать, что применение в этой ситуации тео-
теоремы IV.2.2 дает нужный результат. Это мы оставляем читателю.
Следствие 2.2. Для любой группы G существует такое линейно
связное пространство Y, что группа п (Y) изоморфна группе G.
Если группа G имеет копредставление, состоящее из конечного
числа образующих и соотношений, то можно потребовать, чтобы
пространство Y было компактным.
Доказательство. Выберем какое-нибудь копредстав-
копредставление группы G, т. е. представим G в виде факторгруппы свобод-
свободной группы F. Возьмем связный граф X, для которого я (X) « F
(см. гл. VI). Добавим к нему 2-клетки так, чтобы получить про-
пространство Y, как описано в предыдущей теореме. Присоединение
клеток «уничтожает» все элементы-соотношения, и потому п (Y) «
В разд. 4 мы увидим, что пространство Y является GW-kom-
плексом и, следовательно, обладает многими хорошими свой-
свойствами.
3. Приклеивание к пространству клеток
высокой размерности
В этом разделе мы будем предполагать, что пространство X*
получается из пространства X приклеиванием к последнему кле-
клеток размерности >2. Точные предположения аналогичны пред-
предположениям предыдущего раздела: существует такое линейно
связное замкнутое подпространство X cz X*, что X* — X есть
объединение непересекающихся открытых подмножеств е\, % ? Л,
каждое из которых гомеоморфно открытому n-мерному диску Un
в Rn. Каждое подпространство е\ называется «открытой п-клет-
кой». Предполагается также, что для каждой n-клетки А суще-
существует характеристическое отображение
232 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VI 1.4
непрерывное и переводящее Un гомеоморфно в е", a Sn~l в X (здесь
Еп = {х ? Rn: | х | <1 1}). Если число клеток е\ бесконечно, то
предполагается, что пространство X* наделено слабой тополо-
топологией.
Теорема 3.1. Если п>2,то отображение включения простран-
пространства X в X* индуцирует изоморфизм группы п (X) на группу
п (X*).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству тео-
теоремы 2.1, только теперь детали доказательства легче, так как все
рассматриваемые гомоморфизмы являются изоморфизмами, а не
эпиморфизмами. Причина различия между этой теоремой и тео-
теоремой 2.1 такова: дополнение к точке в Un имеет гомотопический
тип (п — 1)-сферы jS", а для п > 2 пространство S'1'1 односвязно,
в то время как для п = 2 фундаментальная группа сферы 5" —
бесконечная циклическая.
4. CW-комплексы
Процедура присоединения клеток к пространству, описанная
в разд. 2 и 3, естественным образом приводит к важному понятию
CW-комплекса. Грубо говоря, CW-комплекс — это пространство
X, которое можно построить следующим образом. Начнем с неко-
некоторого графа X1 (не обязательно связного) и присоединим к нему
какое-то множество 2-клеток, как описано в разд. 2; в результате
получим пространство X2. Затем, как описано в раэд. 3, присоеди-
присоединим к X2 какое-то множество 3-клеток; получим пространство X3
и т. д. Тогда
Х = U Хп
71=1
есть CW-комплекс.
Более точное описание таково. Структура^ CW-комплекса
на некотором хаусдорфовом пространстве X определяется воз-
возрастающей последовательностью
Х° с X1 с X2 с= . . .
замкнутых подпространств пространства X, удовлетворяющей
следующим условиям:
(a) пространство Х° дискретно;
(b) для п > 0 пространство X" получается из пространства
Хп~х приклеиванием некоторого множества n-клеток, как
описано в разд. 3;
(c) X = U Хп;
71=0
VII.4 Гл. VII. Пространства высокой размерности 233
(d) пространство X и каждое из его подпространств Хп наде-
наделены слабой топологией, т. е. подмножество А простран-
пространства X (или Хп) замкнуто тогда и только тогда, когда А П
П eq замкнуто для каждой <?-клетки ея.
Множество Хп называется п-остовом пространства X.
Подчеркнем, что для некоторых значений п наличие п-клеток
не обязательно, т. е. Хп = Хп~1. Возможно также, что X = Хп,
т. е. не существует клеток размерности >п. В этом случае про-
пространство X называется конечномерным. Если X — конечномерный
CW-комплекс и и — такое наименьшее число, что X = Хп, то
пространство X называется п-мерным. CW-комплекс не обяза-
обязательно должен быть связным.
Вообще говоря, хаусдорфово пространство не всегда допускает
структуру CW-комплекса. Например, пространство, не являющееся
локально связным или нормальным, не может быть никаким CW-
комплексом. Обычно если пространство допускает какую-то
структуру CW-комплекса, то оно допускает очень много различ-
различных таких структур.
Подпространство Y некоторого CW-комплекса Х называется
подкомплексом комплекса X, если Y можно представить в виде
объединения клеток комплекса X и для любой <?-клетки е9, при-
принадлежащей Y, замыкание eq также принадлежит Y. В этом слу-
случае п-остов Yn определяется как
У" = Хп П Y.
Можно показать, что подпространство Y является CW-комплексом
и что оно замкнуто в X. Примером подкомплекса служит п-остов
Хп для любого целого числа п. Объединение и пересечение любого
множества подкомплексов являются подкомплексами.
Примеры
4.1. Наш первый пример — бесконечномерное действительное проек-
проективное пространство. Определим д-мерное действительное проективное про-
пространство Рп как факторпространство сферы Sn, полученное отождествле-
отождествлением любых двух диаметрально противоположных точек х и ~х. Если рас-
рассматривать R" как подмножество пространства Rn+1, состоящее из всех
точек (хц . . ., хп+1), для которых хп^.г = 0, то сфера 5™ — подмножество
сферы Sn. Это ведет к естественному вложению факторпространств Рп^с: Рп
для всех п > 0. Определим бесконечномерное действительное проективное
пространство Р как объединение
оо
Р= U Рп,
п=0
наделенное слабой топологией (подмножество А а Р замкнуто тогда и только
тогда, когда Рп [\ А замкнуто для всех и). Предоставляем читателю прове-
проверить, что пространство Рп получается из Рп _j приклеиванием (в смысле разд. 3)
единственной и-клетки (Р2 получается из Р1 известным приклеиванием;
234 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII.4
диска). Таким образом, на Р задана структура CW-комплекса с одной клет-
клеткой в каждой размерности и n-остов пространства Р есть re-мерное действи-
действительное проективное пространство Рп.
4.2. Некоторая триангуляция 2-мерного многообразия (с краем или без)
очевидным образом задает на нем структуру 2-мерпого CW-комплекса.
Более общо: разбиение 2-многообразия не обязательно на треугольники,
а на любые многоугольники, описанное в разд. 1.8, задает на нем структуру
2-мерного CW-комплекса. Наконец, обычное представление компактной
поверхности как результат попарного отождествления сторон некоторого
многоугольника также приводит к CW-комплексу с одной 0-клеткой, или
вершиной, и одной 2-клеткой. Аналогичные соображения применимы и к триан-
триангулируемым многообразиям высших размерностей.
В этом кратком введении мы не можем дать больше подробно-
подробностей о CW-комплексах. Читателю, интересующемуся ими, реко-
рекомендуем первую статью Уайтхеда [2] по этому вопросу, а также
книги Хилтона [3] и Ху [4]. Там доказывается, что CW-комплексы
¦обладают следующими свойствами:
(a) CW-комплекс является пара компактным хаусдорфовым про-
пространством и, следовательно, нормальным.
(b) CW-комплекс локально стягиваем. Это означает, что для
любой точки х и любой ее окрестности U найдется такая ее
окрестность V, что V cr U и V стягиваема. Это условие
влечет за собой локальную линейную связность, полуло-
полулокальную односвязность и многое другое; это — сильное
условие. При выполнении его, в частности, применима вся
теория накрывающих пространств.
(c) Любое пространство, накрывающее CW-комплекс, снова
является СW-коиндексом.
(d) Любое компактное подмножество CW-комплекса пересекает
лишь конечное число клеток и содержится в некотором
конечном подкомплексе.
Мы описали здесь CW-комплекс как пространство, построен-
построенное вполне определенным образом. Обычное определение отли-
отличается от нашего: пространство X разлагается в открытые п-клетки
е™ для п = 0, 1, 2, ... с определенными условиями на это разло-
разложение. В этом случае доказывается, что любой CW-комплекс
можно построить описанным нами методом.
Результаты гл. VI и разд. 2 и 3 непосредственно применимы
к фундаментальной группе CW-комплекса. В частности, справед-
справедлива
Теорема 4.1. Пусть X — связный CW-комплекс. Отображение
включения 2-остова X2 в X индуцирует изоморфизм группы п (X2)
на п (X).
Теорема вытекает из теоремы 3.1 и свойства (d), приведенного
выше; см. упражнение 11.4.11.
VII-4 Гл. VII. Пространства высокой размерности 235
1-остов X1 любого CW-комплекса — это граф; следовательно,
применимы результаты гл. VI. Теорему 2.1 можно использовать
для непосредственного установления связи между группами п (X1)
и л (X2).
В следующих двух разделах нам понадобится лемма о фунда-
фундаментальной группе некоторых GW-комплексов.
Лемма 4.2. Пусть X будет CW'-комплексом, предстаеимым
в виде объединения связных подкомплексов {А%: X ? Л}. Предпо-
Предположим, что существует непустое дерево Т, являющееся подком-
подкомплексом 1-остова X1 и такое, что А},(] А^ = Т для любых двух
различных индексов X и (л. Тогда для любой вершины v ? Т фунда-
фундаментальная группа п (X, v) есть свободное произведение групп
я (A),, v) относительно гомоморфизмов ф^,: я Цц,, v) -*-п (X, v),
индуцированных отображениями включения.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда
комплекс X и, следовательно, подкомплексы А}, одномерны. Если
использовать результаты разд. VI.5, то в этом случае лемма ста-
становится очевидной; надо лишь выбрать максимальное дерево в X,
содержащее данное дерево Т, и применить к X и подкомплексам
А\ теорему VI.5.2.
Далее рассмотрим случай 2-мерного комплекса X. Мы должны
доказать, что для любой группы Н и любого множества гомомор-
гомоморфизмов "фх,: п{Ау)-*-Н существует единственный гомоморфизм
о: п (X) ->#, для которого оф&, = i|)x при всех X. Пусть А{ и X1
обозначают 1-остовы комплексов А^ и X, а ;\: п {А\) ->п (А)
и /: л (X1) -*¦ п (X) — гомоморфизмы, индуцированные отображе-
отображениями включения. Тогда для каждого индекса X диаграмма
коммутативна. В силу сказанного выше, существует единственный
гомоморфизм о': п (X1) -> Я, для которого
= о'фх G.4.1)
при всех X ? Л. По теореме 2.1 гомоморфизм / (соответственно
]\) — эпиморфизм и образующие его ядра взаимно однозначно
соответствуют 2-клеткам комплекса X (соответственно подком-
подкомплекса А 0- Пусть ef — любая 2-клетка комплекса X, a yt —
соответствующая этой клетке образующая ядра эпиморфизма ;.
Выберем такой индекс X, что е\ с= А *.; тогда yt — также образую-
образующая ядра эпиморфизма /*,. Из G.4.1) и мономорфности отображе-
236 У. Маеси. Алгебраическая топология. Введение VII.5
вия ц>1 вытекает, что о' (yt) = 0. Так как это верно для каждой 2-
клетки е\, то существует единственный гомоморфизм о: п (X) -*¦
-*-Н, для которого о' = о/. Легко проверить, что гомоморфизм о
обладает требуемыми свойствами.
Наконец, исследуем общий случай. Теперь мы рассматриваем
2-мерные остовы комплекса X и подкомплексов А х и применяем
теорему 4.1. Детали те же, что и в проведенном рассуждении,
иногда даже проще. Мы оставляем их читателю.
По-видимому, эту лемму можно было бы доказать, строя такие
открытые окрестности Uх подкомплексов А %, что каждый под-
подкомплекс А х служит деформационным ретрактом для Ux, а затем
применяя лемму IV.3.2. Однако приведенное доказательство кажет-
кажется проще.
5. Теорема Куроша о подгруппе
Предположим, что G — свободное произведение некоторого
семейства групп
В упражнениях в разд. II 1.4 указывалось, что если для каждого
индекса % ? Л выбрать подгруппу G% группы Gx, то свободное
произведение
можно считать подгруппой группы G. Естественно спросить, мож-
можно ли считать свободным произведением каждую подгруппу груп-
группы G. Как показывают простые примеры, ответ определенно отри-
отрицательный. В то же время известная теорема Куроша показывает,
что он довольно близок к утвердительному:
Теорема 5.1. Пусть Н — подгруппа свободного произведения
G = TL*Gx- Тогда подгруппа Н сама есть свободное произведение
где F — свободная группа и каждая подгруппа Hv сопряжена в G
с некоторой подгруппой одного из свободных сомножителей Gx.
Доказательство. Приведем топологическое доказа-
доказательство, используя результаты и методы гл. V — VII. Для каж-
каждого индекса % 6 Л пусть Хх обозначает 2-мерный CW-комплекс
с единственной вершиной и^, для которого
YI1.5 Гл. VII. Пространства высокой раамерности 237
Пусть v0 — точка, не принадлежащая ни одному из пространств
X*,; для каждого индекса % ? Л соединим вершину vQ с вершиной и*.
ребром в},. Обозначим через X объединение всех пространств Х^,,
всех ребер е?, и вершины v0 и наделим X слабой топологией.
Тогда X — связный 2-мерный CW-комплекс и п (X, v0) можно
отождествить со свободным произведением G, указанным в усло-
условии теоремы (см. лемму 4.2). Пусть (X, р) — накрывающее про-
пространство для X, соответствующее подгруппе Н. Как указывалось
в разд. 4, пространство X естественным образом является CW-
комплексом. Выберем такую вершину v0 ? р~х (v0), что
(X, v0) = Н.
Доказательство будет закончено, если мы покажем, что группа
л (X, v0) — свободное произведение определенных подгрупп; это
мы сделаем с помощью леммы 4.2. Чтобы провести доказательство
для общего случая, потребуются довольно сложные обозначения.
Читателю надо тщательно разобраться в них, чтобы они не затмили
по существу простое доказательство. Быть может, читатель лучше
поймет детали, если разберется в относительно простом частном
случае, например когда Л = {1, 2, 3}, G% для всех % — свободная
абелева группа с двумя образующими, X*. — тор, Я — подгруп-
подгруппа конечного индекса в G и (X, р) — накрывающее конечнолист-
ное пространство.
Для каждого индекса % ? Л обозначим через
{XKfi: \i?MK}
множество компонент слоя р (X;J . По лемме V.2.1 пространство
(Х).и 1 Р I -^?.ц) накрывает Х^. Каждое пространство Х^ есть
2-мерный CW-комплекс; выберем максимальное дерево Tkil в 1-
остове комплекса Х^ц. Обозначим через Y объединение всех дере-
деревьев 7\ц вместе со всеми ребрами р~х (ё^,) для всех % ? Л; это —
связный граф, содержащийся в 1-остове комплекса X. Пусть Т —
максимальное дерево в Y, содержащее каждое из деревьев Z\w;
существование таких максимальных деревьев доказать не труд-
трудно !).
Теперь мы готовы применить лемму 4.2 для нахождения фун-
фундаментальной группы п (X, v0). Рассмотрим покрытие простран-
пространства X подкомплексами У и Х^ [) Т для всех пар (к, ц). Каждый
из них связен, содержит вершину и0 и пересечение любых двух
из них совпадает с деревом Т. Следовательно, по лемме 4.2 группа
х) Один из способов — построить из Y новый граф У, сводя каждое
из деревьев Т^ к вершине v\^. Пусть q: Y ->¦ Y' — естественное отображе-
отображение. Выберем максимальное дерево 7" cz Y' и за*ем положим Т — д-» G")-
238 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение V11-5
п (X, !H) есть свободное произведение групп я (У, v^ и п (X^\j
U Т, Ио). По теореме VI.5.1 группа п (У) свободна, и Х^ — дефор-
деформационный ретракт пространства Х^ [} Т (см. теорему VI.4.1).
Таким образом, п (Х^[) Т) « п (Х^). Ясно, что при мономор-
мономорфизме
р,: п(Х vo)-+n(X, v0)
группа п (Х^р, U T, v0) отображается в группу, сопряженную
подгруппе группы п (Х^ U &u vo) — &\\ как устроено это сопря-
сопряжение, зависит от выбора максимального дерева Т. Доказатель-
Доказательство закончено.
Для многих целей в формулировке теоремы 5.1 необходимо
дать более точное описание свободных сомножителей Hv и неко-
некоторые указания о том, до какой степени однозначно они опреде-
определяются подгруппой Н. Для формулировки такого уточненного
варианта теоремы 5.1 удобно использовать понятие двойного класса
смежности. Вспомним, что для любого элемента g ? G двойным
классом смежности подгрупп Яиб^ называется множество
HgG>. = {hgz: h 6 Н, х 6 G%),
причем любые два двойных класса смежности подгрупп Н и G&
либо не пересекаются, либо совпадают, точно так же, как и обыч-
обычные классы смежности (см. Холл [9, стр. 25] или1 Курош [9,
стр. 53]).
Теорема 5.2. Пусть выполнены предположения теоремы 5.1»
Тогда для каждого индекса ^ Л существует множество предста-
представителей
по одному из каждого двойного класса смежности подгрупп Н и
причем
ИГ
где, как и в теореме 5.1, F — свободная группа.
Ясно, что это более точная форма теоремы 5.1, так как содер-
содержит указание относительно числа сомножителей Hv в теореме 5.1
и способа их определения. Заметим, что если аир — элементы
одного и того же двойного класса смежности подгрупп Н и G%,
то подгруппы Я П aG^oc и Я П рСЧр1 сопряжены в Я. Поэтому
кажется правдоподобным, что E^ должны быть представителями
различных двойных классов смежности.
VII-5 Гл. VII. Пространства высокой размерности 239
Следует подчеркнуть, что некоторые или все подгруппы Н |~|
П РхцСяРЙг в теореме 5.2 могут состоять лишь из единицы, даже
если Н — собственная подгруппа группы G. Примеры приведены
ниже в упражнениях.
Доказательство. Повторим доказательство теоре-
теоремы 5.1, останавливаясь подробнее на деталях. Будем придержи-
придерживаться тех же обозначений, что и в доказательстве теоремы 5.1,
лишь иногда немного усложняя их.
Пусть У\ = XxU gx Для всех К; тогда У*. — подкомплекс
комплекса X, содержащий базисную точку vQ. Обозначим череа
tt(Fx,
Рис. 7.1. Коммутативная диаграмма, используемая при дока-
доказательстве теоремы 5.2.
{^\ц: Ц 6 М},} множество компонент слоя р (УО, гДе Y^v. =>
=з Х^№ для всех \i. Можно считать, что каждый подкомплекс y?w
получается из Xh]l присоединением «усов»; число их равно числу
листов пространства (Х^ц, р | Х^), накрывающего комплекс X-h-
В каждом подкомплексе У^ц выберем вершину и^ц так, чтобы
р (vkv) = v0; для каждого индекса К существует точно один такой
индекс ц g Мъ, что можно выбрать vkfl = v0, но мы не настаи-
настаиваем на таком выборе. Хотя все вершины vkil с фиксированным
индексом X различны, они не обязательно различны^для различ-
различных ^ И К2.
Далее теорема доказывается с помощью коммутативной диа-
диаграммы на рис. 7.1. Такая диаграмма существует для каждой
пары индексов (k, \i). В этой диаграмме pkil = р \ У^ и все гомо-
гомоморфизмы i^, гхц, h» и Ф^р, индуцированы отображениями вклю-
включения. Для каждой вершины и>,ц обозначим через а^ единствен-
единственный класс путей в дереве Т с начальной вершиной vQ и конечной
И ПОЛОЖИМ
Изоморфизмы Uxp, и w^v зададим формулами
иы (х) =
(У) =
240 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII.5
Заметим, что /\ц — изоморфизм, w^ — внутренний автоморфизм
и все гомоморфизмы в этой диаграмме — мономорфизмы.
По построению
п (X, v0) = G, р„п (X, у0) = Я, ikn (Ух, у0) = Gk.
Пусть р*Фг,цЯ (Ykil U T, v0) = H^cz II. Тогда, как показано
в доказательстве теоремы 5.1, Н — свободное произведение груп-
группы F и всех подгрупп Н^ (которые были обозначены через Hv).
Применим к диаграмме на рис. 7.1 предложение V.11.1; полу-
получим
hPm*n (?mi> v)-v) = [Р*п (*, yx.u)l П G%..
Подействуем на обе части этого соотношения изоморфизмами и%^
и ы>а,ц и учтем все соотношения коммутативности диаграммы на
рис. 7.1; тогда
#,41 = ЯП(РмАР&).
Для завершения доказательства надо проверить, что {Р^: ц 6
0. Мъ) — множество представителей двойного класса смежности
HxG},. Рассмотрим, как в разд. V.7, действие справа группы G =
= я (X, vQ) на множестве р-1 (у0). Подгруппа Н — эхо изотроп-
изотропная подгруппа, соответствующая точке и0; можно обычным спо-
способом отождествить точки слоя р~г (v0) с классами смежности Нх.
Рассмотрим действие подгруппы G}, на слое p~r (vQ), или, что экви-
эквивалентно, на пространстве классов смежности GIH. Для любого
индекса \л ? М\ группа G% транзитивно переставляет точки множе-
множества У\ц f] p~x (v0). Следовательно, множество компонент {Y},^:
(х ? М>,} взаимно однозначно соответствует множеству двойных
классов смежности HxG},, и любой выбор путей р^ц € G, для кото-
которого fvPx,n = г\ц С Уя,ц при всех (х ? Мц., есть выбор предста-
представителей для» этих двойных классов смежности.
Предложение 5.3. Пусть в теореме 5.1 Л = A, 2, . . ., п},
G = Gx * G2 * . . . *Gnu H — подгруппа группы G индекса к < оо.
Тогда ранг свободного сомножителя F в теореме 5.1 задается фор-
формулой
че/>ез с>, обозначено число различных двойных классов смежности
для К = 1, 2, . . ., п.
Доказательство. Вспомним, что в доказательстве тео-
теоремы 5.1 F « п (Y), где Y — граф, содержащийся в X. Если
% (Y) — эйлерова характеристика графа Y, то по теореме VI.6.2
rank F = 1 - % (У).
Vll.5 Гл. VII. Пространства высокой размерности 241
Следовательно, надо найти % {Y). Комплекс X имеет п +1
вершин, так что комплекс X имеет к (п +1) вершин. Так как
граф У"содержит*все вершины комплекса X, то Y имеет к (п +1)
вершин. Теперь сосчитаем ребра графа Y — это ребра, проекти-
проектирующиеся на одно из ребер е% комплекса X, и ребра, лежащие
в одном из деревьев Z\n. Очевидно, что ребер первого типа, т. е.
проектирующихся на некоторое ребро ед,, всего кп. Мы утвержда-
утверждаем, что ребер второго типа всего
п
пк— 2 cj,.
k=i
Для доказательства заметим, что с^ для 1 ^ % <I n обозначает
число компонент {Х^: (х ? М^}, или, иначе, число деревьев
И- € Af».- Так как эйлерова характеристика каждого дерева
равна +1, то эйлерова характеристика объединения U Т
равна с»,. Очевидно, что в этом множестве всего к вершин и потому
& — ск ребер. Теперь, суммируя по % — 1, 2, • . ., п, получаем
наше утверждение. Из него следует формула
из которой в свою очередь следует формула для ранга груп-
группы F.
Предложение 5.4. Пусть выполнены все предположения теоре-
теоремы 5.2. Тогда если Н (] pGvP"r Ф {1} для любых р 6 G и v ? Л,
то в точности одна из подгрупп Н П Pxn^Piji, фигурирующих
в заключении теоремы 5.2, сопряжена в Н с пересечением Н f]
Доказательство. Так как {^ц= Ц 6 Afv} — полная
система представителей двойных классов смежности HxGv, суще-
существует в точности один такой индекс ja ? Mv, что р* и pvtl принад-
принадлежат одному и тому же двойному классу смежности. Как было
отмечено ранее, отсюда следует, что ЯП ^„р* и Я |~| Pvn^vPlw—
сопряженные подгруппы группы Н. Если бы подгруппа Я |~|
f| РС?,,^-1 была сопряжена с двумя подгруппами Н f\ РьцС^мх,
то последние были бы сопряженными между собой. Применяя
к группе Я упражнение II 1.4.8, видим, что это невозможно.
Это предложение можно интерпретировать так. Рассмотрим
семейство
{Н П PG^p-1: Я. 6 Л, р 6 G, Я П (ад-1 ^ 1}
16 У, Масон, Дж. Столлингс
242 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII.5
подгрупп группы Н. Как и любое семейство подгрупп груп-
группы Н, это семейство распадается на различные классы сопряжен-
сопряженности. Тогда среди групп Н П РьцСхРг^ц, фигурирующих в заклю-
заключении теоремы 5.2, существует точно один представитель каждого
класса сопряженности. Поэтому, хотя подгруппы Н ("I Рхц6?я(ЗлД
из разложения группы Н в свободное произведение в теореме 5.2
ни в коем случае не являются ни каноническими, ни однозначно
определенными, классы сопряженности этих подгрупп однозначно
определены и канонические. Отсюда легко следует, что для двух
различных разложений группы Н в свободное произведение опи-
описанного в теореме 5.2 типа свободные сомножители F должны быть
изоморфными (см. упражнение II 1.4.10). В случае когда индекс
группы Н конечен, это утверждение также следует из предложе-
предложения 5.3.
Из всего этого легко вывести, что любые два разложения произ-
произвольной группы в свободное произведение обладают изоморфными
подразложениями, и если существует свободное разложение дан-
данной группы G на неразложимые сомножители, то любые два таких
разложения изоморфны. Подробности см. в книгах Куроша [8,
§ 34] и Шпехта [10, стр. 189].
Упражнения
5.1. Пусть в теореме 5.2 Я—нормальная подгруппа группы G. Докажите
что каждый из свободных сомножителей Я П Ря.цбя,Р№ сопряжен (в G) с
подгруппой Я П G), и Я [\G% — нормальная подгруппа группы G^. Что
можно сказать о свободных сомножителях Я П Рхцб^РЙ группы Я, если
G% — простая группа для каждого индекса Я,?
5.2. Пусть G = Gj * G2 и N — наименьшая нормальная подгруппа груп-
группы G, содержащая группу G2. Докажите, что N — свободное произведение
семейства подгрупп {gG^g-1: g ? G4}. (См. упражнение III.4.9.)
5.3. Пусть в теореме 5.2 каждая из подгрупп G\ бесконечна и под-
подгруппа Я имеет конечный индекс в G. Докажите, что Я П Ряц^Ряц. Ф М
для всех пар (Я, ц).
5.4. Докажите, что в теореме 5.2 можно так выбрать представителей Р^ц,
что для каждого индекса Я g Л найдется такой индекс |х ? М%, что Р^ц = !•
[Указание. В доказательстве теоремы 5.2 возьмите v\^ = v0, если vo? Y^.]
5.5. Пусть в теореме 5.2 Я — коммутаторная подгруппа группы G. Дока-
Докажите, что для любою индекса X группа Н П G\ — коммутаторная подгруп-
подгруппа 1руппы G%. [Указание. Очевидно, что коммутаторная подгруппа груп-
группы G% содержится в Д A G^. Чтобы доказать обратное включение, предпо-
предположим, что )х g Л/;, — такой индекс, что vQ g Уя,ц и v^p, = vQ, как?в предыду-
предыдущем упражнении. Докажите, что (Y^, pxu) — регулярное накрывающее
пространство для Yx и группу автоморфизмов накрытия (^яц, рхц) можно
считать подгруппой группы автоморфизмов накрытия (У, р); см. при-
пример V.11.1. По предположению последняя группа автоморфизмов абелева,
а потому абелева и первая группа.]
VII.6 Гл. VII. Пространства высокой размерности 243
5.6. Пусть в теореме 5.2 каждая из подгрупп Gx абелева и Я — ком-
коммутаторная подгруппа группы G. Докажите, что Л |"| РяуСя.Ряу.= {1} для
всех пар (к, ц) и потому группа Н свободна. Вычислите ранг группы Я
в частном случае Л = A, 2, . . ., п], как в предложении 5.3, причем G^—ко-
G^—конечная абелева группа для всех Я. {Указание. Для нахождения индекса
коммутаторной подгруппы Н в этом частном случае используйте упражне-
упражнение Ш.4.5.]
5.7. Докажите, что пересечение любых двух свободных сомножителей
группы снова есть свободный сомножитель. Точнее, если Gj, G2, G{ и G%—
такие подгруппы группы G, что G = Gi*G2 = G'1*G2, то Gj f] G{ —свободный
сомножитель группы G. [Указание. Примените теорему 5.2, рассматри-
рассматривая ff = G( как подгруппу группы Gj *G2; используйте вариант теоремы 5.2,
предложенный в упражнении 5.4.] .
6. Теорема Грушко
Одна из важнейших теорем о свободных группах и свободных
произведениях групп — теорема, принадлежащая советскому мате-
математику И. Грушко A940). Вспомним, что если {GjJ и {Gi} — два
семейства групп с одним и тем же множеством индексов Л и для
каждого К ? Л задан гомоморфизм f%: G% -*~G'%, то существует
единственный гомоморфизм
продолжающий гомоморфизмы /^ (см. упражнение II 1.4.3). Для
краткости мы будем говорить, что / — свободное произведение
семейства гомоморфизмов {/>,}• По существу в теореме Грушко
утверждается, что любой эпиморфизм свободной группы (т. е.
свободного произведения бесконечных циклических групп) на про-
произвольное свободное произведение групп будет таким свободным
произведением гомоморфизмов. Точная формулировка теоремы
такова:
Теорема 6.1. Пусть
— эпиморфизм свободной группы F на произвольное свободное
произведение групп. Тогда существует разложение группы F в сво-
свободное произведение
произведение групп.
бодное произведение
1Г
причем ф (F)) a G% для всех Л ? Л.
Мы дадим здесь топологическое доказательство, принадлежа-
принадлежащее Джону Столлингсу; рассмотрим лишь случай, когда множе-
16*
244 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII-6
ство индексов Л конечно и F — свободная группа конечного ран-
ранга. Метод доказательства Столлингса работает также и в общем
случае, но некоторые детали более сложны.
Начнем с построения топологического аналога гомоморфизма
Для каждого индекса Я, обозначим через В\ такой 2-мерный CW-
комплекс с единственной вершиной v%, что я (В%, vy) = G\. Можно
считать, что комплексы В^ для различных Я, попарно не пересе-
пересекаются. Обозначим через Y факторпространство пространства (J 5 л,
л
полученное отождествлением всех вершин v% с одной вершиной и.
Тогда Y будет 2-мерным CW-комплексом с единственной вершиной,
и по лемме 4.2
Пусть {ух} — базис свободной группы F. Для каждого индекса
т элемент <р (ух) имеет единственное представление в виде редуци-
редуцированного слова в свободном произведении П*6?а,|
ф (Ух) =• сцаг ... ап.
Выберем для каждого индекса т некоторую окружность Sx. Разо-
Разобьем п вершинами окружность Sx на п сегментов. Обозначим сег-
сегменты в том порядке, в каком они следуют по окружности, через
Wx, W2, . • -, Wn. Таким образом, окружность Sx становится
графом с п вершинами и п ребрами. Зададим непрерывное отобра-
отображение /: Sx ~*-Y так, что f \ Wt — замкнутый путь, представляю-
представляющий элемент at, ? = 1,2, . . ., и, в некотором комплексе В\. Про-
Проделаем это для каждого индекса т и обозначим через X объедине-
объединение всех окружностей Sx с начальными вершинами, отождествлен-
отождествленными с одной. Тогда X — конечный связный граф, я (X) = F
и отображениями Sx ->• Y определяется такое единственное непре-
непрерывное отображение /: X ->У, что индуцированный гомо-
гомоморфизм /„: я' (X) -*-n(Y) эквивалентен заданному гомомор-
гомоморфизму <p.f
С каждым ребром Wt графа Sx можно однозначно сопоставить
такой индекс К, что f (Wt) а В%. Обозначим через А% подграф
графа X, состоящий'|из всех вершин и всех ребер Wt, сопостав-
сопоставленных с индексом X. (в общем случае граф А% не связен). Тогда
/отображает А% в В^ и [\А\ — множество всех вершин гра-
графа X.
Для доказательства теоремы мы построим конечный связный
двумерный CW-комплекс Х', содержащий граф X в качестве де-
деформационного ретракта, и отображение /': X' ->-Y, продолжаю-
VII.6
Гл. VII. Пространства высокой размерности
245
щее /. Тогда я (X') « я (X) = F и ?: я (X') -*я (У) - задан-
заданный гомоморфизм ф. Более того, комплекс X' будет объединением
связных подкомплексов А'х, для которых А'% zd At, и /' (А?) с
а Вх, и найдется дерево Т, содержащее все вершины комплекса
X', содержащееся в каждом под-
подкомплексе А'\ и такое, что для щ
любых двух различных индексов
К и ц,
"Иг
\
\
Из леммы 4.2 вытекает, что
л {X') — свободное произведение
групп я (А1); следовательно, мож-
можно положить F\ = л (А%), и тео-
теорема будет доказана.
Прежде чем давать прямое
доказательство Столлингса воз-
возможности всегда провести такое
построение, проиллюстрируем его
в частном случае. Пусть G=GX *G2,
где Gx — циклическая группа по-
порядка 2 с образующей a, a Ga —
циклическая группа порядка 3
с образующей Ъ. Пусть F — сво-
свободная группа с двумя образую-
образующими х и у. Зададим гомоморфизм
<р: F -> G формулами ф (х) = aba,
Ф (у) = ababa. Оставляем читателю
проверку того, что ф — эпимор-
эпиморфизм.
В этом примере пространство
X есть объединение двух окруж-
окружностей, одна из которых разбива-
разбивается на три, а другая — на пять
сегментов. Можно считать, что пространство X вложено в пло-
плоскость, как показано на рис. 7.2. (Почему на рис. 7.2 простран-
пространство X изображено несимметрично, станет ясным несколько поз-
позже.) Ребра комплекса X, отображаемые в Б1 и Б2, удобно пред-
представлять себе окрашенными в разные цвета, например в оранже-
оранжевый и зеленый. Тогда Аг — подкомплекс комплекса X, состоящий
из всех оранжевых ребер аъ а2, . . ., а5, а Аг — подкомплекс
комплекса X, состоящий из всех зеленых ребер Ъг, Ь2 и Ь3. Вер-
Вершины v0, . . ., v6 считаются окрашенными и в оранжевый, и в зе-
зеленый цвета. Стрелка на ребре указывает, как оно отображается,
чтобы представлять элемент а ? я (В^ = Gx или Ь 6 я (В2) = G2.
Рис. 7.2. Комплекс X.
246
У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
VII.6
Комплекс X' показан на рис. 7.3. К сожалению, его нельзя вло-
вложить в плоскость, поэтому на рисунке изображены два его куска,
которые надо склеить вдоль указанной линии. Комплекс X' полу-
получается из графа X присоединением ребер сг, с2, . . ., с6 и 2-клеток
elt е2, . . ., е6; ни одной новой вершины не добавляется. 2-клетки
Рис. 7.3. Комплекс X'• Два куска надо склеить вдоль прямой
е4 и еъ окрашены в зеленый, а 2-клетки ег, е2, е3 и е6 — в оранже-
оранжевый цвета. Новые ребра съ . . ., с6 окрашены как в зеленый, так
и в оранжевый цвета. Отображение /: X -*¦ Y продолжается до не-
непрерывного отображения /': X' ->У следующим образом: каждое
из ребер ct отображается в общую базисную точку комплексов Bt
и В2, оранжевые 2-клетки отображаются в Вх, а зеленые 2-клетки
отображаются в В2. В каждом из этих шести случаев легко про-
VII.6 Гл. VII. Пространства высокой размерности 247
верить, что в действительности отображение /' можно непрерывно
продолжить на каждую 2-клетку (воспользуйтесь леммой II.8.1
и соотношениями а2 = 1, Ь3 = 1). Ясно, что X — деформацион-
деформационный ретракт комплекса X', оранжевый подкомплекс А\ и зеле-
зеленый подкомплекс А'г оба связны и А\ П А'2 состоит из ребер
Сц с2, . . ., с6, т. е. является деревом, содержащим все вершины.
Следовательно, по лемме 4.2
f = я (X) « я (X') « п U;) * я и;),
и потому /' (А[) с Вг и f (A'2) <= Вг. Таким образом, в этом част-
частном случае теорема справедлива.
Рассмотренный пример очень хорошо иллюстрирует стратегию
доказательства в общем случае. Мы последовательно присоединяем
к X ребра-С!, с2 . . . так, чтобы соединить вершины и построить
дерево. Далее, мы присоединяем последовательно 2-клетки
ег, е.г, . . . так, чтобы ребро сь было частью границы клетки et,
а граф X был деформационным ретрактом комплекса X'. Наконец,
всю конструкцию надо провести так, чтобы отображение / можно
было непрерывно продолжить на каждую 2-клетку et и чтобы она
отображалась в один из подкомплексов В^.
Теперь докажем строго, что такую конструкцию можно осуще-
осуществить всегда. Сначала введем некоторую терминологию. Зафикси-
Зафиксируем на все время доказательства CW-комплекс У, представляю-
представляющий собой объединение подкомплексов ВХ) ^ 6 Л. Систему, состоя-
состоящую из конечного связного двумерного CW-комплекса К, множе-
множества подкомплексов С\, К ? Л, и непрерывного отображения
/: К —>Y\ назовем системой Столлингса, если
(a) К=[)С).;
(b) для любой пары различных индексов ц и v
CtlnCv= П С,;
Л
(c) / (С\) С1 Вх для любого индекса X и
(d) / для всех п отображает га-остов комплекса К в тг-остов
комплекса У.
Мы всегда будем предполагать, что в любой такой системе Стол-
Столлингса определенным образом выбрана базисная точка для К,
являющаяся вершиной пересечения [\С%. Заметим, что мы не тре-
буем связности ни подкомплексов С%, ни их пересечения.
Удобно считать каждый индекс К окрашенным в свой цвет, как
и в частном примере, приведенном выше. В связи с этим путь в К
назовем монохроматическим, если он целиком лежит в одном
подкомплексе С\. Путь в 1-остове комплекса К будем называть
петлей, если обе его концевые точки находятся в одной и той же
248 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII-6
вершине, и шнурком, если его концевые точки — вершины в раз-
различных компонентах пересечения П С я- Шнурок g: I -*-К будем
Л
называть связывающим, если найдется такой индекс %, что g (I) c=
с: С% и путь fg: I -> У эквивалентен в Вх постоянному пути. Заме-
Заметим, что связывающий шнурок всегда монохроматичен. Это опре-
определение связывающего шнурка можно перефразировать так: обо-
обозначим через г\ класс эквивалентности пути g в С\, а через
fx'. С -*-Вх — сужение отображения/ на комплекс С^; требуется,
чтобы /х* (л) = 1 в группе я {By).
Далее, опишем основную конструкцию, которую всегда можно
осуществить в любой системе Столлингса, если задан связываю-
связывающий шнурок. Пусть К, {Сх,: ^ ? Л} и /: К ->У — система Стол-
Столлингса, и g: I —>• Cu — связывающий шнурок цвета \i. Пусть D
обозначает 2-мерный замкнутый диск, граничная окружность кото-
которого разбита на два сегмента с1 и с2, пересекающихся лишь по кон-
концевым точкам. Отождествим сг с единичным интервалом / так,
что g отображает сг в С^.
Обозначим через К' факторпространство объединения К [} D,
полученное отождествлением каждой точки t ? сг с ее образом
g (f) ? К. Тогда К' будет CW-комплексом, содержащим К в каче-
качестве подкомплекса, а также дополнительное ребро с2 и дополни-
дополнительную 2-клетку D. Очевидно, что К — деформационный ретракт
для К'. Пусть CJj, — объединение комплекса Си и замкнутой 2-клет-
ки D (с заданными отождествлениями), а С% для любого индекса
Я, Ф \i — объединение комплекса Cj, и ребра с2 (концевые точки
ребра с2 отождествлены с концевыми точками пути g). Ясно, что
П С'ъ получается из П С% приклеиванием дуги с2, соединяющей две
х х
различные компоненты множества {\С%.
к
Продолжим отображение /: К -*-Y до отображения /': К' ->-
-*-Y следующим образом: /' отображает дугу с2 в единственную
вершину v комплекса У и продолжается затем до непрерывного
отображения 2-клетки D в В^. Это последнее продолжение всегда
возможно, в силу предположения о том, что путь fg: I -ь-В^
эквивалентен постоянному пути (см. лемму П.8.1). Ясно, что
К', {С'%;. "к ? Л}, /': К -*-Y снова есть система Столлингса.
Эту конструкцию можно использовать для того, чтобы всякий
раз, когда существует связывающий шнурок, соединять две ком-
компоненты множества [\С%. Теперь поставим вопрос о существова-
нии связывающего шнурка.
Лемма 6.2. Пусть К, {Сх: X ? Л}, /: К ->-У — такая система
Столлингса, что /#: я (К) ->я (У) — эпиморфизм. Если пересе-
пересечение [\С% несвязно, то связывающий шнурок существует.
Vll>6 Гл. VII. Пространства высокой размерности 249
Доказательство. Для каждой компоненты пересече-
пересечения f) С\ выберем в качестве базисной точки некоторую вершину.
Рассмотрим любую петлю или шнурок g, начальная и конечная
точки которого расположены в этих базисных точках. Из резуль-
результатов гл. VI легко следует, что любая такая петля или шнурок
эквивалентны произведению путей, каждый из которых обегает
единственное ребро. Таким образом, эти петля или шнурок экви-
эквивалентны произведению монохроматических путей. Группируя
пути в максимальные монохроматические блоки, видим, что
g ~ ёгёг • • • &и
где каждый путь gt монохроматичен, и для всех i пути gt и gj+i
окрашены в разные цвета. Следовательно, концевые точки каж-
каждого пути gi должны принадлежать [)С\; для начальной точки
пути g1 и конечной точки пути gn это выполняется по предположе-
предположению. Пусть для 1 < i<n путь fej из ребер в ("| С% соединяет конеч-
конечную точку пути gt с той базисной точкой, которая принадлежит
компоненте пересечения ("I С%, содержащей этот путь. Тогда
я
8 ~ (gth) (KBzki) • • • {K-iSn)-
Каждое произведение в скобках монохроматично, и его концевые
точки находятся среди выбранных базисных точек. Следовательно,
оно является петлей или шнурком. Итак, мы доказали, что каж-
каждая петля и каждый шнурок в системе Столлингса эквивалентны
произведению монохроматических петель и шнурков, концевые
точки которых принадлежат множеству выбранных базисных
точек, и соседние сомножители этого произведения скрашены
в разные цвета.
Мы утверждаем, что в К существует шнурок g, класс эквива-
эквивалентности Т| которого таков, что /# (г|) = 1 в группе я (У). В са-
самом деле, так как комплекс К связен, а пересечение ("| С\ не связ-
но, в К существует шнурок h, концевые точки которого находятся
в различных компонентах множества [)Сх. Обозначим через 6
класс пути h. Так как /„: я (К) ->я (У) — эпиморфизм, в К
существует петля к, начинающаяся и заканчивающаяся в началь-
начальной точке пути h, а ее класс эквивалентности ? ? я (К) удовлетво-
удовлетворяет уравнению /„ (?) = /„. @). Тогда k~rh = g — нужный шну-
шнурок, поскольку /* (?-х6) = 1.
По доказанному выше можно считать, что
g ~ gjgt • ¦ • gn G.6.1)
250 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение VII-6
есть произведение монохроматических петель и шнурков. Обозна-
Обозначим через г\г для i ¦= 1, . . ., п класс эквивалентности монохро-
монохроматической петли или шнурка gt в G.6.1).
Мы утверждаем, что существует шнурок g ~ g1g2 ... gn,
представляющий г\ = т^г . . . г\п, для которого выполнены сле-
следующие три условия:
(a) /* (Л) = 1;
(b) для всех i монохроматические петли или шнурки gt и gt+t
окрашены в разные цвета;
(c) если gt — петля для любого индекса ъ, то /* ("Hi) =т^ 1-
Мы уже показали, как удовлетворить условиям (а) и (Ь).
Чтобы удовлетворить условию (с), просто выкинем из произведе-
произведения любую петлю gt, для которой /# (г\г) =¦ 1. Так как gt — петля,
то концевые точки ее совпадают, и gt . . . gt -igt+i • • • gn остается
однозначно определенным произведением путей. После исключе-
исключения из произведения gig% ¦ . • gn любой такой петли gi можно
объединить gt _г и gi+x, так как они окрашены в один и тот же цвет.
В любом случае после конечного числа таких редукций мы полу-
получим нужный шнурок g. Число сомножителей п должно оставаться
^1, так как концевые точки пути g различны и при наших редук-
редукциях не меняются.
Рассмотрим любой шнурок g ~ g^g^ ... gn, удовлетворяющий
трем перечисленным условиям. Мы имеем в я (У) уравнение
1 = /* (Л) = (/*%) (/*Лг) • • • (/**Ь)-
Для всех i элементов /„. (r\t) и /„, (т^^-ы) принадлежат различным
свободным сомножителям n (Bi) и n ^ 1. Поэтому найдется такой
индекс i, что /„, (т),-) = 1; иначе в свободном произведении
было бы представление единицы в виде редуцированного слова
длины ^1. Теперь gt не может быть петлей, потому что от три-
тривиальных петель мы избавились. Следовательно, gt — шнурок. Он
монохроматичен по построению и связывающий, так как /# (r\i) =
= 1 в группе л (У). Поскольку я (У) — свободное произведение,
то, как и требуется, для некоторого цвета К должно быть /* (т]г) =
— 1 в группе л (Вх).
На этом доказательство леммы 6.2 заканчивается.
Теперь можно закончить доказательство теоремы 6.1. Рассмот-
Рассмотрим систему Столлингса X, {А^: К 6 Л}, /: X ->-У, построенную
в начале доказательства, так что /*: л (X) ->л(У) представляет
заданный эпиморфизм ср. В этой системе пересечение (\А% состоит
из вершин конечного графа X. Если оно не связно, то, в силу
yll.6 Гл. VII. Пространства высокой размерности 251
леммы 6.2, существует связывающий шнурок. Осуществляя основ-
основную конструкцию, получаем систему Столлингса X1, {А\}, f1: X1 -*•
—*-Y, в которой X — деформационный ретракт комплекса X1,
Z1 — продолжение отображения / и число компонент пересечения
(]А\ на 1 меньше числа компонент пересечения {]Ах, так как две
"л X.
вершины последнего соединены дугой. Если множество [\А%
не связно, повторяем этот процесс и получаем новую систему
Столлингса Х\ {Ai}, p: X2 ->У, и т. д.
Этот процесс должен закончиться через конечное число шагов,
поскольку множество П А\ имеет конечное число компонент,
Л.
и через конечное число шагов соответствующее пересечение будет
связным. Таким образом, если [\ А^ имеет п + 1 компонент,
Л
то через п шагов мы получим систему Столлингса Хп, {А%}, fn:
Хп -> Y, для которой пересечение П ^1 связно; ясно, что это
Л.
пересечение должно быть деревом. Если положить X' = Хп,
А'% = А%, /' = /п, то обещанная выше система построена.
Теорема Грушко доказана.
Упражнения
6.1. Предположим, что G = Gt * . . . * Gk. Пусть п — минимальное
число образующих группы G, a nt — минимальное число образующих груп-
группы Gh I ^ i ^ к. Докажите, что п = пх + п2 + . • ¦ + щ. Выведите, что
группа, порожденная п элементами, не может быть свободным произведением
более чем п нетривиальных сомножителей и каждую конечно порожденную
группу можно разложить в свободное произведение конечного числа нераз-
неразложимых сомножителей.
6.2. Докажите, что свободная группа ранга п не может быть порождена
менее чем п элементами.
6.3. Пусть F и G — свободные группы ранга п и q>: F -+¦ G — эпимор-
эпиморфизм. Докажите, что <р — изоморфизм. Выведите отсюда такие следствия:
(а) если G — свободная группа ранга л и а,, . . ., ап 6 G — любые п элемен-
элементов, порождающие ее, то {aL, . . ., ап) — базис группы G; (Ь) если G — сво-
свободная группа конечного ранга а N — собственная нормальная подгруппа
группы G, то группы GIN и G пе изоморфны.
00
6.4. Пусть G — U Gn, где Gn — подгруппа в G, для всех п группа Gn —
п=1
собственная подгруппа группы Gn+1 и группа Gn порождена не более чем т
элементами. Если G = Яо * Я, где Но — конечно порожденная группа,
то Яо порождена менее чем т элементами, а группа Я не является конечно
порожденной (Шпехт [10]). [Указание. Докажите последовательно следу-
следующие утверждения: 1) группа G не является конечно порожденной; 2) груп-
группа Я не является конечно порожденной; 3) найдется такое целое число щ,
что Яос: б„0. Примените теорему Куроша о подгруппе для того, чтобы полу-
получить разложение G в свободное произведение. Воспользуйтесь упражне-
упражнением 6.1.] °
252 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
ПРИМЕЧАНИЯ
CW-комплексы
Введение и систематическое применение CW-комплексов в топологии
принадлежит Уайтхеду [2]. Хотя раньше использовались и другие виды ком-
комплексов, специалисты пришли к выводу, что CW-комплексы имеют* много
преимуществ (ср. Милнор [1]).
Теорема Куроша о подгруппе
В приложении к тому II книги Куроша [8] приведено шесть различных
доказательств теоремы Куроша о подгруппе. Этой теореме посвящены также
статьи Маклейна (A proof of the subgroup theorem for free products, Mathe-
matika, 5 A958), 13—19), Дея (Schreierjsystems in free products, Proc. Glasgow
Math. Assoc, 7 A965), 61—79) и Хиггинса (Presentations of groupoids, with
applications to groups, Proc. Cambridge Phil. Soc, 60 A964), 7—20). За обра-
8ец приведенного здесь доказательства теоремы взято доказательство Бэра
и Леви (Freie Produkte and ihre Untergruppen, Compositio Mathematica, 3
A936), 391—398). Наша формулировка теоремы в большей степени отвечает
подходу, принятому в ряде более позднпх книг и статей.
Теорема Грушко
Доказательство теоремы Грушко, приведенное здесь, принадлежит
Столлингсу (A topological proof of Grushko's theorem of free products, Math.
Zeitschr., 90 A965), 1—8). В книге Шпехта [10] указаны некоторые следствия
этой теоремы для теории групп. Чисто алгебраическое доказательство, более
короткое, чем в стандартных учебниках, можно найти в статье Линдона
(Grushko's theorem, Proc. Amer. Math. Soc, 16 A965), 822—826),
^СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
CW-комплексы^,
1. Милнор (Milnor J.), On spaces having the homotopy type of a CW-complex,
Trans. Amer. Math. Soc, 90 A959), 272—280.
2. Уайтхед (Whitehead J. H. C), Combinatorial homotopy, I, Bull. Amer.
Math. Soc, 55 A949), 213—245.
3. Хилтон (Hilton P. J.), An introduction to homotopy theory (Cambridge
Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, A"» 43), Cambridge: The
University Press, 1953, Chapter VII.
4. Xy Сы-цзян (Ни S. Т.), Elements of General Topology, San Francisco:
Holden-Day, 1964. Chapter IV.
Фундамеитальная^группа^комплекса
5. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехпздат, М., 1938, гл. 7.
6. Рейдемейстер (Reidemeister К.), Einfuhrung in die kombinatorische Topo-
logie, Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932. Chapters 5 and 6.
7. Хилтон П., Уайлп С, Теория гомологии. Введение в алгебраическую
топологию, изд-во «Мир», М., 1966, гл. 6.
Теория групп
8. Курош А. Г., Теория групп, изд-во «Наука», М., 1967, гл. IX и X.
9. Холл М., Теория групп, изд-ео «Мир», М., 1962, гл. 17.
10. Шпехт (Specht W.), Gruppentheorie (Die Grundlehren der Mathematischen
Wissenschaften, Band LXXXII), Berlin — Gottingen — Heidelberg:
Springer-Verlag, 1956, Chapter 2.2.'
Глава VIII
ЭПИЛОГ
Предыдущие главы ввели читателя лишь в небольшой круг
вопросов алгебраической топологии. В этой главе мы дадим неко-
некоторые советы тем, кто будет продолжать дальнейшее ее изучение.
В разд. II.6 и V.9 упоминалось, что одна из целей алгебраиче-
алгебраической топологии — определить в высших размерностях аналоги
фундаментальной группы так, чтобы можно было доказывать
утверждения типа теоремы Брауэра о неподвижной точке и теоре-
теоремы Борсука — Улама. Как мы увидим, таких аналогов несколь-
несколько. Опишем один из них, наиболее тесно связанный с фундамен-
фундаментальной группой, а именно гомотопические группы Гуревича
(о которых упоминалось в примечаниях к гл. II и IV). Эти группы
определяются довольно просто. Для любого положительного цело-
целого числа п через
7" = {(хи . . ., хп) 6 Rn: 0 < xt < 1 для i = 1, 2, . . ., п)
обозначим единичный n-мерный куб, а через 7П — его край|
7" = {(xv . . ., хп) 6 7n: xt = 0 или xt = 1 для всех i}.
Для любого топологического пространства X и любой базисной
точки х0 ? X через гт„ (X, х0) обозначается множество всех отно-
относительных гомотопических классов отображений /: /п -> X, для
которых / (/п) = х0. Говоря «относительный гомотопический
класс», мы подразумеваем, что все гомотопии рассматриваются
относительно края 7" (определение см. в разд. II.4). Если / и g —
• •
такие два отображения 7" -> X, что / Gn) = g Gn) = х0, то их
сумму / + g зададим формулой
ffBxt,x2, ..., хп) при
••'*»)e\sBz1_lfz2 Хя) при V
Можно показать, что эта формула задает сложение в множестве
гомотопических классов я„ (X, х0), так что я„ (X, х0) превра-
254 У. Шасси- Алгебраическая топология. Введение
щается в группу, называемую п-й гомотопической группой прост-
пространства X; доказательство почти такое же, как и приведенное
в разд. П.З для фундаментальной группы. В самом деле, при
п = 1 гомотопическая группа, как она определена выше, есть
фундаментальная группа я (X, х0). Также без особых трудностей
можно показать, что при п > 1 группа пп (X, х0) абелева.
Группа яп (X, х0) является аналогом фундаментальной группы
я (X, х0) и в других отношениях. Например, любое непрерывное
отображение ф: X -> Y индуцирует гомоморфизм (pt: лп (X, х0) —*-
-> лп (Y, ф (х0)), определенный следующим образом: если ото-
отображение /: /" -> X представляет гомотопический класс а ?
6 яп (X, х0), то отображение ф/ представляет гомотопический
класс ф„ (а) 6 лп (Y, ф (х0)). Этот индуцированный гомоморфизм
Ф,„ обладает свойствами, описанными в разд. П.4 для случая
п = 1. Другим примером аналогии между пп (X, х0) и я (X, х0)
служит такое свойство: любой класс у путей в X с начальной точ-
точкой х и конечной у задает изоморфизм группы я„ (X, х) на группу
пп (X, у); таким образом, если пространство X линейно связно,
то структура группы я„ (X, х0) не зависит от выбора базисной
точки х0.
Однако аналогию между фундаментальной группой и высшими
гомотопическими группами нельзя продолжать слишком далеко.
Например, для высших гомотопических групп нет разумного
аналога теоремы Зейферта — ван Кампена. В результате задача
определения групп яп (X) для нестяги в аемого пространства X
либо трудна, либо вообще невозможна. Подавляющее большин-
большинство высших гомотопических групп лп (X) неизвестно даже в отно-
относительно простом случае, когда X есть А-сфера, к >» 1; определе-
определение этих групп — одна из важных нерешенных проблем алгебраи-
алгебраической топологии.
Хотя с 1935 г., когда гомотопические группы в высших раз-
размерностях были введены Гуревичем, они имели и имеют громад-
громадное теоретическое значение для алгебраической топологии, они
не слишком полезны в таких теоремах, как теорема Брауэра
о неподвижной точке или теорема Борсука — Улама. В таких
теоремах обычно используются гомологические или когомологиче-
когомологические группы. Эти группы обладают многими свойствами, похожи-
похожими на только что приведенные свойства гомотопических групп
Гуревича, но по сравнению с последними у них есть одно важное
преимущество: для широкого класса топологических пространств
их алгебраическая структура вычислима. Гомологические группы
были введены Пуанкаре приблизительно в 1895 г.
К сожалению, определение гомологических или когомологиче-
когомологических групп пространства X в некоторых случаях бывает сложнее,
чем приведенное выше определение гомотопических групп Гуре-
Гуревича. Действительно, известно несколько различных способов
Гл. VIII. Эпилог 255
определения гомологических и когомологических групп простран-
пространствах. Если пространство X компактно и хорошо устроено локаль-
локально (например, многообразие или CW-комплекс), то эти различны^
определения приводят к изоморфным группам. Для некомпакт-
некомпактных пространств или же для пространств, в некотором смысле
локально патологических (например, не локально связных или
не полулокально односвязных), различные определения могут
привести к неизоморфным группам. Для любой пары (X, G),
состоящей из топологического пространства X и абелевой груп-
группы G (называемой «группой коэффициентов»), каждое из этих
различных определений ставит в соответствие некоторой после-
последовательности абелевых групп
Hn(X,G), п = 0, 1, 2, . . .,
называемых гомологическими группами пространства X (с группой
коэффициентов G), другую последовательность абелевых групп
Hn(X,G), n = 0, 1, 2, . .., -
называемых когомологическими группами пространства X (с груп-
группой коэффициентов G). Выбор в качестве группы G аддитивной
группы целых чисел Z или конечной циклической группы Zk
для многих целей очень важен. Как и в случае гомотопических
групп Гуревича, непрерывное отображение ср: X -*¦ Y индуцирует
гомоморфизмы гомологических групп
ср,: Нп (X, G) -v Hn (Y, G), п = 0, 1, 2
и когомологических групп
Ф*: Я" (Y, G) -v Нп (X, G), п = 0, 1, 2, . . . .
Заметим, что индуцированные гомоморфизмы гомологических
и когомологических групп направлены в противоположные сто-
стороны. Эти индуцированные гомоморфизмы гомологических и кого-
когомологических групп обладают свойствами, в точности аналогич-
аналогичными свойствам индуцированных гомоморфизмов фундаменталь-
фундаментальной группы, описанным в разд. П.4. В частности, если два ото-
отображения ф0, фх: X -> Y гомотопны, то они индуцируют одинако-
одинаковые гомоморфизмы. Отсюда следует, что если ф: X -> Y — гомото-
гомотопическая эквивалентность, то индуцированные гомоморфизмы ф#
и ф* будут изоморфизмами. Таким образом, пространства одного
и того же гомотопического типа имеют изоморфные гомотопиче-
гомотопические и когомологические группы.
До сих пор мы подчеркивали сходство гомологических и кого-
когомологических групп с гомотопическими группами Гуревича (вклю-
(включая и фундаментальную группу). Теперь укажем наиболее важные
различия между ними.
256 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение
(a) В определении гомологических и когомологических групп
не требуется никакого выбора базисной точки. Это часто
приводит к значительным упрощениям.
(b) Гомологические и когомологические группы Нп (X, G)
и Нп (X, G) определяются для всех п ^ 0, тогда как гомо-
гомотопические группы лп (X, х0) определяются лишь для
п > 0. (Часто удобно и естественно определять Нп (X, G) =
= Нп (X, G) = {0} для всех п -<0; естественным образом
можно также определить множество л0 (X, х0), не снабжая
его групповой структурой, но разумного способа определе-
определения я„ (X, х0) для п <0 не видно.)
(c) Гомологические и когомологические группы любого про-
пространства абелевы, тогда как фундаментальная группа
часто бывает неабелевой. Это означает, что вся техника
и аппарат теории абелевых групп (особенно теории конечно
порожденных абелевых групп) применима в теории гомологии
и когомологий, которая поэтому выгодно отличается от тео-
теории фундаментальных групп, представленной в этой книге.
Как упоминалось выше, определения гомологических и кого-
когомологических групп пространства слишком сложны для того,
чтобы воспроизводить их здесь. Однако можно описать структуру
этих групп для в = 0ип = 1. Пусть X — пространство, состоя-
состоящее из к компонент. Тогда каждая из групп Но (X, G) и Н° (X, G)
изоморфна прямой сумме к экземпляров группы коэффициентов G.
Таким образом, структура этих 0-мерных групп зависит лишь
от числа связных компонент пространства X. Если оно линейно
связно, то группа Н1 (X, Z) естественным образом изоморфна
прокоммутированной фундаментальной группе л (Х)/[п (X), п (X)].
Напомним, что в разд. VI.5 мы пользовались прокоммутирован-
прокоммутированной фундаментальной группой различных компактных поверхно-
поверхностей, таким образом, на самом деле мы рассматривали там одно-
одномерные гомологические группы этих поверхностей. Если про-
пространство X линейно связно, то одномерная когомологическая
группа Н1 (X, G) естественным образом изоморфна группе всех
гомоморфизмов группы я (X) в группу коэффициентов G. Более
общим образом, можно показать, что одномерные группы Ht (X, G)
и Н1 (X, G) полностью определяются фундаментальными группами
различных компонент пространства X.
Помимо этих общих результатов о группах Нп (X, G)
и /Р (X, G) для п = 0 или п = 1 можно отметить различные
частные результаты для больших значений п. Приведем три при-
примера таких результатов.
(а) Если пространство X состоит из одной точки, то
[G, если гс=0,
[{0}, если
Гл. VIII. Эпилог 257
Отсюда следует, что то же справедливо и для отбиваемого
пространства X.
(b) Если М — компактное связное ориентируемое гс-много-
образие, то
Нп (М, G) = Я" (М, G) = G
и для q> n
Ня (М, G) = #« (М, G) = 0.
В частности, это справедливо, когда М есть гс-сфера Sn.
Это позволяет применить гомологические группы для дока-
доказательства того, что сфера Sn не является ретрактом
(п + 1)-мерного шара Еп+1; метод доказательства аналоги-
аналогичен методу, которым в разд. П.6 доказывалось, что окруж-
окружность S1 не является ретрактом диска ZJ. Как было указа-
указано в разд. П.6, из этого факта легко следует теорема Брауэ-
ра о неподвижной точке.
(c) Если X есть га-мерный CW-комплекс, как он определялся
в разд. VII.4, то Hq (X, G), Hq (X, G) равны нулю для
q> п. Это наводит на мысль о связи между гомологической
теорией и теорией размерности.
Для гомологических и когомологических групп существует
аналог теоремы Зейферта — ван Кампена, так называемая теоре-
теорема Майера — Виеториса. В принципе эту теорему можно приме-
применить для определения гомологических и когомологических групп
многих пространств.
Для широкого класса пространств (например, конечных
CW-комплексов) когомологические группы пространства полно-
полностью определяются его гомологическими группами и обратно.
Поэтому при решении многих задач с равным успехом можно рабо-
работать как с гомологическими, так и с когомологическими группами.
Однако для когомологических групп пространства можно ввести
дополнительную структуру, так называемые «когомологические
операции». Эта дополнительная структура необходима при реше-
решении определенных задач. Например, один из способов доказа-
доказательства обобщенной теоремы Борсука — Улама (формулировку
см. в разд. V.9) состоит в использовании когомологических опера-
операций, называемых «и-произведениями».
Попытаемся указать несколько главных проблем, к которым
применима теория гомологии и когомологий. Прежде всего это
общие проблемы теории гомотопий.
(а) Гомотопическая классификация отображений. Даны два
пространства X и Y; можно ли что-нибудь сказать о множе-
17 У. масси, Дж. столлингс
258 У. Массы. Алгебраическая топология. Введение
стве всех гомотопических классов непрерывных отображе-
отображений из X в У? Даны два отображения / и g пространства X
в Y; можно ли связать с / и g некоторый вид алгебраиче-
алгебраических инвариантов, помогающих определить, гомотопны лв
/и*?
(b) Продолжение непрерывных отображений. Пусть X и Y —
топологические пространства, А — замкнутое подмноже-
подмножество в X ж f: А ->- Y — непрерывное отображение; суще-
существует ли продолжение отображения / до отображения
всего X, т. е. существует ли такое непрерывное отображе-
отображение g: 1-+У, что g \ А = /?
(c) Гомотопический тип пространств. Найти необходимые
и/или достаточные условия для того, чтобы два простран-
пространства были пространствами одного и того же гомотопиче-
гомотопического типа.
Для решения этих проблем была проделана огромная работа
и при этом развита мощная техника, включающая гомологические
и когомологические группы. Полученные результаты нашли при-
применение в других областях математики. Общая стратегия заклю-
| чается в том, чтобы проблемы в теории гомотопий попытаться
| свести к проблемам в алгебре.
; Другая обширная группа проблем возникает при изучении
! многообразий. Существуют три общих типа многообразий: топо-
топологические многообразия, определенные в гл. I, кусочно-линей-
кусочно-линейные, или комбинаторные, многообразия (т. е. многообразия с неко-
некоторым классом триангуляции) и дифференцируемые многообразия
¦(т. е. многообразия с некоторой дополнительной структурой,
определенной так, что имеет смысл понятие дифференцируемой
.функции). В каждой из этих трех категорий многообразий одна
;из основных проблем — это проблема классификации. Например,
в гл. I обсуждалась проблема классификации для двумерных
многообразий. Две другие основные проблемы таковы: Каждое ли
топологическое многообразие допускает кусочно-линейную струк-
ТУРУ) т- е- триангуляцию? Каждое ли кусочно-линейное много-
многообразие допускает дифференцируемую структуру? Ответ на пер-
первый вопрос неизвестен, за исключением случая размерности
п ^ 3 (см. примечания к гл. I). Ответ на второй вопрос утверди-
утвердительный для размерностей -<8 и отрицательный для размерно-
размерностей ^ 8. Первый пример триангулируемого многообразия, не
допускающего никакой дифференцируемой структуры, был дан
М. Кервером. Если такое многообразие вложено в евклидово
пространство, то его нельзя повсюду «сгладить» так, чтобы не
было «углов».
Одни из самых замечательных результатов в топологии много-
многообразий — доказательство Смейла обобщенной гипотезы Пуанкаре
Гл. VIII. Эпилог 259
(см. примечания к гл. IV) и исследование Кервером и Милнором
различных дифференцируемых структур на сферах. Кервер и Мил-
нор вычислили количества N различных дифференцируемых струк-
структур на и-сфере Sn для п от 5 до 15:
п
N
1
6
1
7
28
8
2
9
8
10
6
11
992
12
1
13
3
14
2
15
16 256
Они доказали, что для любого целого числа п множество различ-
различных дифференцируемых структур на Sn конечно. Интересно
отметить, что доказательство этих результатов в значительной
степени опирается на теорию гомотопий.
Алгебраическая топология — это быстро растущая дисцип-
дисциплина, протягивающая свои ветви в различные области математики.
Изложение большинства полученных в последние годы результа-
результатов — довольно сложная задача; для исследователей, работаю-
работающих в алгебраической топологии, еще не настало время для того,
чтобы отшлифовать детали и сложить их в стройную теорию.
Многие определения и доказательства вряд ли покажутся читателю
оправданными. Построение ясного и удобочитаемого изложения
различных частей этой дисциплины — одна из больших задач на
будущее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Теория гомологии и когоыологий
1. Зейферт Г., Трельфалль В., Топология, Гостехиздат, М., 1938.
2. Семинар Картана (Seminaire Henri Cartan) 1. 1948/49. Topologie Algebri-
que. 2nd edition, Paris: Secretariat Mathematique, 1955.
3. Семинар Картана (Seminaire Henry Cartan) 3. 1950/51. Cohomologie des
groupes, suite spectrale, faisceaux. 2nd edition, Paris: Secretariat Mathe-
Mathematique, 1955.
4. Спеньер Э., Алгебраическая топология, изд-во «Мир», М., 1971.
5. Стинрод Н., Эйленберг С., Основания алгебраической топологии, ИЛ,
М., 1956.
6. Стинрод, Эпштейн (Steenrod N. Е., Epstein D. В. A.), Cohomology opera-
operations, Annals of Mathematics Studies, № 50, Princeton: Princeton Uni-
University Press, 1962.
7. Уоллес (Wallace A. N.), An introduction to algebraic topology, New York:
Pergamon Press, 1957.
8. Хилтон П., Уайли С, Теория гомологии. Введение в алгебраическую
топологию, изд-во «Мир», М., 1966.
9. Шуберт (Schubert H.), Topologie, Stuttgart: В. G. Teubner, 1964.
Теория гомотопий
10. Семинар Картана (Seminaire Henri Cartan) 2. 1949/50. Espaces fibres
et homotopie. 2nd edition, Paris: Secretariat Mathematique, 1956.
17*
260
У Масси Алгебраическая топология. Введение
11. Стинрод Н., Топология косых произведений, ИЛ, М., 1953.
12. Хилтон (Hilton P. J.), An introduction to homotopy theory (Cambridge
Tracts, № 43), Cambridge: The University Press, 1953.
13. Хилтон (Hilton P. J.), Homotopy theory and duality, New York: Gordon
and Breach, 1965.
14. Xy Сы-цзян, Теория гомотопий, изд-во «Мир», М., 1964.
Дифференциальная топология
15. Маякрес (Munkres J. R.), Elementary differential topology, Annals
of Mathematics Studies № 54, Princeton: Princeton University Press
1963.
16. Смейл (Smale S.), A survey of some recent developments in differential
topology, Bull. Amer.' Math. Soc, 69 A963), 131—145. (Русский пере-
перевод: УМН, 19 :1 A964), 123—138.)
17. Уолл (Wall С. Т. С), Survey article, topology of smooth manifolds,
/. London Math. Soc, 40 A965), 1—20.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
ФАКТОРТОПОЛОГИЯ,
ИЛИ ТОПОЛОГИЯ ОТОЖДЕСТВЛЕНИЯ
1. Определения и основные свойства
Понятие фактортопологии, или топологии отождествления,
придает точность нашему интуитивному пониманию процесса ;¦
образования нового топологического пространства посредством '
отождествления в данном топологическом пространстве определен- [
ных точек. Оно также соответствует представлению о «склеивании»
или «сшивании» двух или большего числа пространств. Оно дает
важный способ образования новых топологических пространств ;
из некоторого заданного множества топологических пространств, i
Определение. Пусть X — топологическое пространство, Y —
некоторое множество и /: X —*- Y — отображение пространства X
на Y. Фактортопология на множестве Y, задаваемая отображе-
отображением f (называемая также топологией отождествления на Y,
задаваемая отображением /), определяется следующим образом:
множество U cz Y открыто тогда и только тогда, когда f'1 (U) —
открытое подмножество пространства X.
Разумеется, надо проверить, что так определенные открытые
множества удовлетворяют аксиомам топологии; это мы оставляем
читателю. Обращаем внимание читателя на два таких факта:
(a) фактортопология — сильнейшая топология на Y, в которой
отображение / непрерывно; фактически с этой целью
и вводят фактортопологию;
(b) подмножество А множества Y замкнуто в фактортопологии
тогда и только тогда, когда f~l (А) замкнуто в X.
Примеры
1.1. Пусть X — замкнутый интервал [0, 2л], У — единичная окруж-
окружность я? + у2 — 1. Определим / формулой / (t) = (cos t, sin t). Легко прове-
проверить, что обычная топология окружности У совпадает с топологией отожде-
отождествления, еадаваемой отображением /. Этот пример соответствует тому, что
при сварке друг с другом двух концов тонкого провода получается круглое
кольцо.
1.2. Аналогичный пример: пусть У — цилиндр
Y = {(*, у, :)ERS:^+J?=1,O<K *},
262 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение А. 1
а X — прямоугольник
X = {(х, у) ? R8: 0 < х < 2я, 0 < у < 2л).
Определим f: X -*¦ Y формулой
/ (*> ») = (cos х, sin x, у).
Тогда обычная топология на У также совпадает с топологией отождествле-
отождествления, индуцированной отображением /. Мы можем представлять себе, что
цилиндр образован из прямоугольника склеиванием друг с другом противо-
противоположных сторон.
1.3. Пусть R — отношение эквивалентности (т. е. рефлективное, сим-
симметричное и транзитивное) на топологическом пространстве X, Xl R —
множество всех классов эквивалентности и /: X -*¦ X/R — естественное
отображение, ставящее в соответствие каждой точке из X ее класс эквивалент-
эквивалентности. Тогда естественно ввести на X/R фактортопологию, задаваемую ото-
отображением /; наделенное этой топологией пространство X/R обычно назы-
называется факпгорпроспгранствож пространства X по модулю R.
Приведем простой пример. Пусть X — R — действительная прямая
nJR — отношение эквивалентности «х = у mod R тогда и только тогда,
когда число х — у целое». Тогда факторпространство X/R гомеоморфно
окружности.
1.4. Изложим другой подход к отношениям эквивалентности. Пусть
V — разложение, или разбиение, топологического пространства X, т. е.
семейство непустых попарно непересекающихся множеств, покрывающих X.
Если R — отношение эквивалентности на X, то множество классов эквива-
эквивалентности образует такое разложение, или разбиение. Обратно, любое раз-
разбиение определяет отношение эквивалентности: по определению х и у экви-
эквивалентны тогда и только тогда, когда они принадлежат одному и тому же
элементу разбиения.
Пусть /: X -»•11 — естественное отображение, ставящее в соответствие
каждой точке х ? X единственный элемент семейства 41, содержащий х.
Тогда естественно ввести на 41 топологию факторпространства (фактортопо-
(фактортопологию), задаваемую отображением /; наделенное этой топологией V назы-
называется пространством разбиения (или разложения).
1.5. Пусть X — топологическое пространство, G — группа, действу-
действующая на X слева (см. определение в приложении В). Это действие группы G
на X определяет отношение эквивалентности: точки х и у эквивалентны тогда
и только тогда, когда существует такой элемент g ? G, что. g-x = у. Предо-
Предоставляем читателю проверить, что это отношение рефлексивно, симметрично
и транзитивно. Получающееся факторпространство обозначается обычно
через X/G. Каждый класс эквивалентности называется орбитой. В большин-
большинстве случаев налагают дополнительное требование: для любого элемента
g ? G отображение X -*¦ X, определенное соответствием x-*-g-x, должно
быть непрерывным. Отсюда следует, что это отображение является гомео-
гомеоморфизмом пространства X на себя (так как х -*¦ g-' -x -- обратное отображе-
отображение). Если G — топологическая группа, обычно налагают более сильное
условие: отображение G X X ->- X, определенное соответствием (g, x) -*¦
•*¦ g-x, должно быть непрерывным.
Примеры групп, действующих на пространствах, можно найти в гл. V
(группа автоморфизмов накрывающего пространства).
Здесь целесообразно сделать предостережение: если X и У —
топологические пространства и / — непрерывное отображение из
X на Y, то это вовсе не значит, что Y имеет фактортопологию,
задаваемую отображением /. Легко построить контрпримеры.
A.I Приложение А. Фактортопология 263
Однако если / — замкнутое х) или открытое отображение, то про-
пространство Y обязательно имеет фактортопологию. Доказательство
легкое.
Если Y имеет фактортопологию, задаваемую отображением /:
X -v Y, то условие о замкнутости или открытости отображения /
часто бывает полезным предположением. В связи с этим отметим
эквивалентные формы таких условий:
(a) отображение / замкнуто тогда и только тогда, когда для
любого замкнутого подмножества А пространства X множе-
множество /~х/ (А) замкнуто;
(b) отображение / открыто тогда и только тогда, когда для
любого открытого подмножества U пространства X множе-
множество /"х/ (U) открыто.
Еще раз подчеркнем, что здесь предполагается, что простран-
пространство Y наделено фактортопологией.
Например, если G — группа, действующая на пространстве X
слева и такая, что для любого ее элемента g отображение X -> X,
¦определенное соответствием х —>¦ g -х, непрерывно, то естественное
отображение X -> XIG открыто. Если G — конечная группа, то
естественное отображение X -> XIG также и замкнуто. Доказа-
Доказательство оставляем читателю.
Вероятно, читателю уже знакома топология подпространства
и произведения пространств и он знает теоремы об этих тополо-
топологиях. Хотелось бы, чтобы для факторпростраиств были справед-
справедливы аналогичные теоремы. К сожалению, это не так. Например,
любое произведение хаусдорфовых пространств и любое под-
подпространство хаусдорфова пространства снова хаусдорфовы. Одна-
Однако совершенно неверно, что факторпространство хаусдорфова
пространства хаусдорфово. В самом деле, если X — замкнутый
интервал [0, 1], а 41 — разложение пространства X, состоящее
из трех множеств {0}, @, 1) и {1}, то пространство разложения 41
состоит лишь из трех элементов и очевидно, что его топология
не хаусдорфова. Этот пример иллюстрирует одну из наиболее
общих проблем, возникающих в связи с факторпространствами:
пространство X может удовлетворять всем аксиомам отделимо-
отделимости, какие мы только пожелаем, но его факторпространство не
обязано удовлетворять какой-нибудь из них.
г) Отображение /: X -*- У называется замкнутым, если образ любого
замкнутого множества при отображении / замкнут. Определение открытых
отображений аналогично. Непрерывное отображение может не быть ни
•открытым, ни замкнутым, открытым, но не замкнутым, замкнутым, но не
открытым, одновременно открытым и замкнутым. Читателю советуем пост-
построить примеры, иллюстрирующие все четыре возможности. Открытое отобра-
отображение иногда называется внутренним.
26* У. Масси- Алгебраическая топология. Введение А. 2
Предложение 1.1. Пусть пространство Y наделено фактор-
топологией, задаваемой отображением /: X —*¦ Y. Если простран-
пространство X компактно, связно или линейно связно, то таково же и про-
пространство Y.
Это предложение — частный случай хорошо известного факта,
утверждающего, что непрерывный образ компактного, связного
или линейно связпого пространства снова компактен, связен или
линейно связен.
2. Обобщение топологии факторпространства
Задание фактортопологии является частным случаем следую-
следующей более общей конструкции. Пусть Y — множество, {Хх:
X ? Л} — произвольное семейство топологических пространств
и {/я: X), -v Y: X ? Л} — произвольное семейство отображений.
В этой ситуации естественно наделить Y сильнейшей топологией,
в которой все отображения /^ непрерывны. Эта топология задается
так: множество U cz Y открыто тогда и только тогда, когда
Я1 (U) открыто для всех X ? Л. По-другому: множество 4 сУ
замкнуто тогда и только тогда, когда fll (А) замкнуто для всех
JL 6 Л.
Второй важный частный случай этого общего построения —
образование так называемой (по Бурбаки) «топологической суммы»
семейства пространств. Если в приведенном определении каждое
из отображений f%: X^~*- Y взаимно однозначно, образы fx (Xk)
попарпо не пересекаются и их объединение покрывает Y, то
Y называется топологической суммой семейства {Хх} (по отноше-
отношению к отображениям fi). Легко проворить, что при этих пред-
предположениях каждое из пространств Х^ отображается на свой
образ в Y топологически и каждый такой образ fx {X%) открыт в Y.
Еще один пример — задание слабой топологии на CW-kom-
плексе (см. гл. VII).
Заметим, что для описанной общей конструкции топологии
на Y существует двойственный процесс, а именно: пусть X —
множество, {Yh: X ? Л} — семейство топологических пространств
и {fk: X -v Y%'- X ? Л} — произвольное семейство отображений;
естественно наделить множество X слабейшей топологией, в кото-
которой все отображения fx непрерывны. Псевдобаза этой топологии
образована всеми множествами вида fx1 (?/\), где U\ — произ-
произвольное открытое подмножество пространства Ух. Приведем
два наиболее общих и важных примера этого способа введения
топологии.
(а) X — декартово произведение пространств Y\,
A .2 Приложение A. Фактортопология 265
a fi — проекция пространства-произведения на сомножи-
сомножитель Yk. В этом случае описанная общая конструкция
задания топологии на X приводит к обычной топологии
произведения пространств.
(Ь) Множество индексов Л состоит из одного элемента; следо-
следовательно, существует лишь одно пространство Y\; обозна-
обозначим его через Y. Предположим, что X — подмножество
в У, а /: X -> Y — отображение включения. Если при-
применить в этом случае описанный выше общий процесс,
то получим на X топологию подпространства. Таким обра-
образом, известные приемы образования подпространств и про-
произведения пространств представляют собой частные случаи
общего метода введения топологии.
Не только эти два общих метода введения топологии двой-
двойственны друг другу, но и процедуры образования подпространств
и факторпространств, а также произведений и топологических
сумм в некотором смысле двойственны друг другу.
Лемма 2.1. Пусть {Хх: X ? Л} — семейство топологических
пространств, /я: Х% -*¦ Y — семейство отображений и простран-
пространство Y наделено сильнейшей топологией, в которой все отображе-
отображения f% непрерывны. В этом случае отображение g: Y -*¦ Z, где
Z — некоторое топологическое пространство, непрерывно тогда
и только тогда, когда непрерывна каждая композиция отображе-
отображений gfx: Xx-+Z.
Довольно легкое доказательство оставляем читателю.
Следствие 2.2. Пусть X — топологическое пространство,
а пространство Y наделено фактортопологией, задаваемой ото-
отображением /: X -v Y (/ — отображение на). В этом случае ото-
отображение g: Y —*- Z непрерывно тогда и только тогда, когда
непрерывна композиция отображений gf: X -> Z.
Следствие 2.3. Пусть Y — топологическая сумма семейства
пространств {Х^: % € Л} по отношению к отображениям fx'-
Х% -v Y. В этом случае отображение g:Y-*-Z непрерывно тогда
и только тогда, когда каждая из композиций gfk: X% -> Z непре-
непрерывна.
Для полноты сформулируем утверждение, двойственное лем-
лемме 2.1.
Лемма 2.Г. Пусть {Yh: k ? Л} — семейство топологических
пространств, fx: X -*- Yx — семейство отображений и простран-
пространство X наделено слабейшей топологией, в которой все отображе-
отображения fx непрерывны. В этом случае отображение g: W ->- X непре-
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна каждая композиция
отображений f%g : W -> Yx.
266 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение А.2
Читателю предоставляем сформулировать и доказать утверж-
утверждения, двойственные следствиям 2.2 и 2.3, выражающие хорошо
известные свойства подпространств и произведений пространств
¦соответственно.
Отметим, что при предположениях леммы 2.1' нельзя дока-
доказать общую лемму, дающую необходимое и достаточное условие
непрерывности отображения h: W -*- Y, в частности нет общего
условия непрерывности отображения в факторпространство. Ана-
Аналогично при предположениях леммы 2.1 не существует общего
условия непрерывности отображения h: X->Z.
Для следующей леммы предположим, что заданы
топологическое пространство Z;
семейство топологических пространств {У},: X 6 А};
семейство непрерывных отображений {/я: Уя -*- Z};
для каждого индекса X ? Л семейство {ХЯA: ц, ? М^топо-
М^топологических пространств и семейство {f^: X^-vY^:
(Л ? Mj,} непрерывных отображений.
Лемма 2.4. Пусть каждое пространство Y\ наделено сильней-
сильнейшей топологией, в которой все отображения /fc(l, ц ? М%, непре-
непрерывны, a Z наделено сильнейшей топологией, в которой все ото-
отображения jx непрерывны. Тогда топология на Z совпадает с силь-
сильнейшей топологией, в которой непрерывны все композиции fxf^n'
Доказательство тривиально.
Приведем три применения этой простой леммы.
(а) Пусть отображения /: X -*¦ Y и g: Y -> Z, где X, Y, Z —
топологические пространства, являются отображениями
на. Предположим, что пространство Y наделено фактор-
топологией, задаваемой отображением /, a Z — фактор-
топологией, задаваемой отображением g. Тогда топология
на Z совпадает с фактортопологией, задаваемой отображе-
отображением gf. Если представлять себе пространство Z получен-
полученным из пространства X отождествлением определенных
точек, то не имеет значения, осуществляется отождествле-
отождествление сразу или в два этапа, дающих сначала пространство Y,
а затем — пространство Z.
{Ъ) Предположим, что Z — топологическая сумма семейства
пространств Yx и каждое пространство Y\ — топологиче-
топологическая сумма семейства пространств Xj^. Тогда Z — топо-
топологическая сумма всех пространств ХЯA.
{с) Процессы образования факторпространств и топологических
сумм взаимозаменяемы, т. е. порядок их осуществления
не играет роли. Точнее пусть для каждого индекса К 6 А
А.З Приложение А. Фактортопология 267
отображение /^: Хд,-»-У\ есть отображение топологиче-
топологического пространства Хх на топологическое пространство У»,
и каждое пространство Уд, наделено фактортопологией,
задаваемой отображением fx. Пусть X и Y — топологиче-
топологические суммы семейств {.Х\} и {У*,} по отношению к ото-
отображениям ер*.: Х^->- X и 1|)я,: У"», -> У соответственно.
Очевидно, что существует единственное отображение /:
X -»- У", непрерывное и на все Y, превращающее для
каждого X диаграмму
X ^Y
в коммутативную. Мы утверждаем, что фактортопология
на Y, задаваемая отображением /, совпадает с топологией
на Y как на топологической сумме. Доказательство выте-
вытекает непосредственно из леммы 2.4 и коммутативности
приведенной диаграммы.
Предоставляем читателю сформулировать утверждение, двой-
двойственное лемме 2.4. Утверждения, двойственные утверждениям (а),
(Ь) и (с), настолько тривиальны, что обычно в учебниках они даже
не формулируются явно.
3. Факторпространства и произведения пространств
Естественно, возникает вопрос, совпадает ли факторпростран-
ство произведения пространств с произведением факторпро-
странств? Точнее предположим, что для каждого индекса X ? Л
отображение /,_: Х^ -> Y\ непрерывно и является отображением
на, а пространство У\ наделено фактортопологией, задаваемой
отображением fk. Тогда можно построить произведения
и отображения fx очевидным образом определяют отображение /:
¦X" -» У, а именно {fx)x = f% (arj для всех х ? X.
Ясно, что отображение / непрерывно и является отображе-
отображением на. Вопрос заключается в следующем: имеет ли Y фактор-
топологию, задаваемую отображением /? Другими словами, на
Y можно ввести топологию либо как на произведении пространств,
либо как на факторпространстве. Совпадают ли эти две топо-
топологии?
Приведем пример Келли [3], показывающий, что в общем
случае ответ на этот вопрос отрицательный. Пусть X — нерегу-
268 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение А.4
лярное хаусдорфово пространство. Можно выбрать такое замкну-
замкнутое подмножество А сХя такую точку Ъ ? X, что у них не будет
непересекающихся открытых окрестностей, т. е. если U и V —
любые открытые множества, содержащие А и S соответственно,
то пересечение U (~| V не пусто. Пусть У — факторпространство-
пространства X, полученное отождествлением всех точек множе-
множества А с одной точкой а ? У. Тогда пространство У не хаусдорфо-
хаусдорфово, так как у точек а и Ь нет непересекающихся окрестностей.
Пусть /: X -v Y — естественное отображение. Рассмотрим ото-
отображение / X /: X X X -> Y X У, где Y x Y имеет топологию
произведения. Мы утверждаем, что У х У не имеет фактор-
топологии, задаваемой отображением / х /. В самом деле, посколь-
поскольку пространство Y не хаусдорфово, диагональ произведения
Y х Y — не замкнутое множество, но очевидно, что ее прообраз
при отображении / X / — замкнутое подмножество простран-
пространства X X X.
В общем случае фактортопология на У сильнее, чем тополо-
топология произведения (т. е. у нее больше открытых множеств). Приве-
Приведем достаточное условие совпадения этих двух топологий на У.
Предложение 3.1. Пусть выполнены предположения, сформули-
сформулированные выше, и каждое из отображений f%: Xi —у У\ открыто.
Тогда топология произведения и фактортопология на
совпадают.
Доказательство. Так как каждое из отображений fx
открыто, является отображением на, то отображение /: X -*¦ У
также открыто. Следовательно, У имеет фактортопологию, зада-
задаваемую отображением / (см. замечания в разд. 1).
Теоремы этого типа можно найти в статье Химмельберга
(On the product of quotient spaces, Amer. Math. Monthly, 72 A965),
1103-1106).
4. Подпространство факторпространства
и факторпространство подпространства
Другой естественный вопрос таков: совпадают ли факторпро-
факторпространство подпространства и подпространство факторпростран-
факторпространства? Этот вопрос точно можно сформулировать так. Предположим,
что /: X -*¦ У — отображение на, пространство У наделено топо-
топологией, задаваемой отображением /, А — подпространство в X
и В = / {А) с: У. В этой ситуации В можно наделить топологией
подпространства в У или фактортопологией, задаваемой отображе-
отображением / | А: А ->- В. Совпадают ли на В эти две топологии? В общем
АЛ Приложение А. Фактортопология 269
случае ответ отрицательный. Рассмотрим простой контрпример.
Пусть пространства X, Y и отображение /: X -> Y те же, что
и в примере 1.2, и пусть
А = {{х, у) е X: 0 ^ х <2я, у = 0}.
Тогда А — полуоткрытый интервал, и если наделить В = / (Л)
топологией подпространства, то В будет одной из окружностей
края цилиндра Y. С другой стороны, так как отображение f \ А:
A -*¦ В взаимно однозначно и является отображением на, то
наделенное фактортопологией пространство В становится гомео-
морфным А. Но полуоткрытый интервал и окружность не гомео-
морфны: первое пространство компактно, второе — нет. Поэтому
эти две топологии на В различны.
Предложение 4.1. Если выполнены предположения, сформули-
сформулированные в начале этого раздела, то фактортопология на В сильнее
топологии подпространства.
Доказательство. Пусть i: А -> X и ;': В -> У —
¦отображения включения. Тогда диаграмма
ч и
XyY
коммутативна. Если наделить В фактортопологией, то, в силу
следствия 2.2 и коммутативности этой диаграммы, отображение ;
будет непрерывным. Доказательство закончено, так как топология
подпространства на В — слабейшая из топологий, в которых
отображение / непрерывно.
Приведем достаточное условие совпадения топологии подпро-
подпространства и фактортопологии на В.
Предложение 4.2. При тех же предположениях, что и выше,
если А — замкнутое подмножество в X и отображение /: X -> Y
замкнуто или если А — открытое подмножество в X и отображе-
отображение f открыто, то топология подпространства и фактортополо-
фактортопология на В совпадают.
Доказательство. Наделим В топологией подпростран-
подпространства. Сначала рассмотрим случай открытых подмножества А
и отображения /. Тогда В — открытое подмножество в Y и оче-
очевидно, что отображение f \ А: А —>- В открыто. Следовательно,
В имеет фактортопологию, задаваемую отображением f \ А.
270 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение A.S
В случае замкнутых подмножества А и отображения / рас-
рассуждения аналогичны: всякий раз, когда в предыдущем абзац©
встречается слово «открытый», его надо заменить на слово «замк-
«замкнутый».
5. Условие, при котором факторпространство
хаусдорфово
Сейчас мы исследуем одну из наиболее серьезных проблем,
относящихся к факторпространствам. Прежде всего докажем сле-
следующее необходимое условие:
Лемма 5.1. Пусть /: X -*¦ Y — непрерывное отображение.
Если У — хаусдорфово пространство, то {(хх, я2) ? X X X: f (а^) =¦
= / (х2)} — замкнутое подмножество в X X X.
Доказательство. Легко доказать, что пространство У
хаусдорфово тогда и только тогда, когда диагональ D = {(ух, уг) 6
6 Y х У: уг = уг) — замкнутое подмножество в У X У.
Рассмотрим отображение /х/: X х Х-+У XF; оно непре-
непрерывно, а (/ X f)~l (D) есть как раз то множество, о котором идет
речь в лемме. Так как прообраз замкнутого множества при непре-
непрерывном отображении замкнут, то лемма доказана.
Заметим, что в лемме не предполагается, что пространство У
наделено фактортопологией. Следовательно, она дает необходимое-
условие существования некоторой хаусдорфовой топологии на Y,
в которой отображение / непрерывно. Однако если на У суще-
существует какая-то топология, обладающая указанным свойством,,
то фактортопология, задаваемая отображением /, также хаус-
дорфова; в самом деле, любая топология на Y, более сильная,,
чем хаусдорфова, также хаусдорфова.
В общем случае утверждение, обратное к этой лемме, не верна
даже для фактортопологии на У. Однако верно частичное ее
обращение.
Лемма 5.2. Пусть отображение /: X -> У непрерывно и является
отображением на. Если множество {(xL, х2) 6 X X X: f (хх) =
= / (Х2)} замкнуто, то Y — хаусдорфово пространство.
Доказательство. Рассмотрим снова отображение
f X f: X X X-+Y X Y,
которое, как и /, открыто. По предположению множество
{fo, х2)?Х х X: f (х,) Ф 1 (х2)}
открыто в X X X; поэтому его образ при отображении / X f
открыт в У X У. Но это — дополнение диагонали D с: У х У*
A.5 Приложение А. Фактортополозия 27 fi
Следовательно, D — замкнутое множество, и пространство Y
хаусдорфово.
В этой лемме не предполагается, что отображение / непрерыв-
непрерывно. Леммы 5.1 и 5.2 можно объединить в одно предложение:
Предложение 5.3. (Н. Бурбаки [1].) Пусть отображение /:
X -*¦ Y непрерывно, открыто и является отображением на.
В этом случае пространство Y хаусдорфово тогда и только тогдаг
когда множество
{fo, х2)еХ XX: /fo) =/(*,)}
замкнуто в X X X.
Заметим, что из условия этого предложения вытекает, что про-
пространство Y наделено фактортопологией, задаваемой отображе-
отображением /.
Более благоприятная ситуация возпикает при рассмотрении
факторпространств компактных хаусдорфовых пространств. В этом
случае справедлива следующая важная теорема (см. Бурбаки [1]):
Теорема 5.4. Пусть X — компактное хаусдорфово простран-
пространство, а отображение /: X -> У непрерывно и является отображе-
отображением на. Предположим, что пространство Y наделено фактор-
топологией, задаваемой отображением /. Тогда условия
(a) пространство Y хаусдорфово;
(b) отображение f замкнуто;
(c) множество {{хг, х2) 6 X X X: f (xt) = / (хг)} замкнута
в X X X
эквивалентны.
Доказательство. Докажем теорему, показав справед-
справедливость импликаций (а) -*¦ (с), (с) -*¦ (Ь) и (Ь) -> (а). Имплика-
Импликация (а) -»- (с) содержится в лемме 5.1.
(с) -» (Ь). Пусть С = {{хг, х2) е X X X: f (хг) = / (*,)>; по
условию С замкнуто в X X X. Так как пространство Y наделено
фактортопологией, то для доказательства замкнутости отображе-
отображения / надо доказать, что для любого замкнутого множества A cz X
множество /-1/ (А) также замкнуто. Обозначим через рг, рг:
X х X -v X проекции рх (хг, х2) = хх, р2 (хи х2) = хг. Легко про-
проверить, что для любого подмножества A cz X
Если А замкнуто, то замкнуто и рЪ1 (А), а следовательно,
и С П Р2гА. Так как X X X компактно, то компактно и С f) Р2гА.
Таким образом, поскольку пространство X хаусдорфово, то
Pi {С П Р21А) компактно и потому замкнуто.
(Ь) ->- (а). Пусть Ух и уг — различные точки пространства Y;
мы должны доказать, что у них есть непересекающиеся окрестно--
272 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение А.5
сти. Заметим, что f~x (уг) и f'1 (г/2) — непересекающиеся замкну-
замкнутые подмножества пространства X. Так как X — компактное
хаусдорфово пространство, оно нормально, и потому существуют
такие непересекающиеся открытые подмножества U1 и U2 про-
пространства X, что
/-1 (xj) с Ult /-1 (xt) a Ut.
По предположению отображение / замкнуто, так что / (X — Uj)
и / (X — иг) — замкнутые подмножества пространства Y. Пусть
7,и72 — их открытые дополнения:
V1 = Y-f(X- UJ,
Vt = Y-f(X- U2).
Тогда легко проверить, что уг ? Vx, у2 € V2 и Vj_ П У2 — 0«
что и требовалось доказать.
В связи с этой теоремой напомним, что непрерывное отображе-
отображение компактного пространства в хаусдорфово всегда замкнуто;
доказательство элементарно.
Эта теорема иллюстрирует пользу условия замкнутости ото-
отображения /. В работах Мура, Уайберна и их учеников всегда,
когда идет речь о факторпространствах, принимается точка зре-
зрения, указанная в-примере 1.4. В случае когда естественное ото-
отображение /: X -*¦ 41 замкнуто, они называют разложение 41
разложением, полунепрерывным сверху *). Еще одну полезную тео-
теорему о таких разложениях можно найти в книге Келли [3].
Упражнение
5.1. Пусть X к Y — топологические пространства, а /: X ->- Y и g:
Y -*¦ X — такие непрерывные отображения, что fg — тождественное отоб-
отображение пространства Y на себя. Докажите, что
(a) отображение g взаимно однозначно;
(b) пространство Y имеет фактортопологию, задаваемую отображе-
отображением /;
(c) g гомеоморфно отображает У на подпространство пространства X
(т. е. Y имеет топологию подпространства, задаваемую отображе-
отображением g); если пространство X хаусдорфово, то пространство Y также
хаусдорфово.
(d) если пространство X хаусдорфово, то пространство Y также хаус-
хаусдорфово.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Л. Бурбаки'Н., Общая топология, изд-во «Наука», М., 1975.
2. Дугунджи (Dugundji J.), Topology, Boston: Allyn and Bacon, 1966,
Chapter VI.
3. Келли Д., Общая топология, изд-во «Наука», М., 1968, гл. 3, 5.
х) В русской терминологии П. С. Александрова 41 — непрерывное раз-
разбиение.— Прим- ред.
ПРИЛОЖЕНИЕ В
ГРУППЫ ПЕРЕСТАНОВОК,
ИЛИ ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
1. Основные определения
Читатель, несомненно, знаком со следующим фактом из тео-
теории групп: если Е — любое множество (конечное или бесконеч-
бесконечное), то множество всех его перестановок (т. о. функций Е-+Е,
взаимно однозначных и являющихся отображениями на) образует
группу с групповой операцией — композицией, или суперпози-
суперпозицией, перестановок. И, конечно, он встречал примеры таких групп
(называемых симметрическими группами множества Е), главным
образом когда множество Е конечно. Вероятно, изучил он также
различные подгруппы симметрической группы конечного .множе-
.множества.
Если G — произвольная группа, то гомоморфизм группы G
в симметрическую группу множества Е называется представле-
представлением группы G перестановками множества Е. Если этот гомо-
гомоморфизм есть изоморфизм, то представление называется точным.
Легко доказать, что любая группа допускает точное представление
перестановками. Доказательство мы не приводим, так как в наглей
книге этот факт нам не понадобился.
Изложим еще один часто встречающийся подход к этим вопро-
вопросам. На первый взгляд этот подход не кажется достаточно прямым,
но приводит он к тем же результатам.'
Определение. Пусть Е — множество, a G — группа. Множе-
Множество Е называют левым G-пространством (или говорят, что Е допу-
допускает группу G в качестве группы операторов, действующих слева),
если отображение G X Е -*¦ Е задано соответствием (g, х) —>- g-x
для любых g ? G, х ? Е и обладает свойствами
A) 1 -х = х для всех х ? Е;
B) для любых х ? Е и gv g2 6 G
Например, если G — подгруппа симметрической группы множе-
множества Е и g-z — результат применения перестановки g к элемен-
элементу х 6 Е, то Е — левое G-пространство.
18 У. Масси, Д:к. Столлингс
274 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение В.1
Другой простой пример: пусть Е — обычное евклидово 3-про-
странство, G — группа всех вращений пространства Е, оставляю-
оставляющих неподвижным начало координат, a g -х — образ точки х
при вращении g; тогда Е — левое G-пространство.
Аналогично определяются правые G-пространства. Отображе-
Отображение Е X G-*- Е задано соответствием (х, g) -»- x-g и обладает
свойствами
A') хЛ =х;
B') x-(glg2) - (x-gl)-g2.
Правые и левые G-пространства отличаются не только тем,
что элементы группы G пишутся справа или слева от элементов
множества Е, но — и это главное — свойствами B) и B')- Если
Е — левое G-пространство, то g±g2 действует на х ? Е так, что
сначала на х действует g2, а затем на получившийся результат
действует glt а для правого G-прострапства сначала действует glt
а затем уже g2.
Упражнение
1.1. Предположим, что Е — левое G-пространство. Для любых х ? Е
и g ? G положим
x-g= (g-1)-*.
Докажите, что при таком определении действия группы G пространство Е
становится правым G-пространством.
Теорема 1.1. Пусть Е — левое G-пространство. Тогда для
любого элемента g ? G отображение Е —*¦ Е, определенное соответ-
соответствием х -*¦ g -х, есть перестановка множества Е..
Доказательство. Отображение, о котором идет речь
в условии теоремы, обозначим через (pg. Рассмотрим отображение
(pg'1- Из аксиом левого G-пространства вытекает, что (fgtyg-1
и (Pg^cpg — тождественные отображения пространства Е на себя.
Следовательно, отображение ф? взаимно однозначно и является
отображением на, т. е. перестановкой.
Эта простая, но важная теорема показывает, что понятие
левого G-прострапства эквивалентно понятию представления груп-
группы G перестановками множества Е. Однако не следует торопиться
с выводом, что такое представление точное; может оказаться, что
в G найдется такой элемент g Ф 1, что g -х = х для всех х ? Е.
Если таких элементов g ? G нет, то говорят, что G действует на
множестве Е эффективно.
Пусть Ег и Ег — левые С-пространства; отображение /:
Ei -»- Ег называется G-эквивариантным, или просто отображением
B.2 Приложение В. Группы перестановок 275
левых G-пространств, если
f(g-x) = g-{fx)
для любых g ? G и ж ? Ех. G-эквивариантное отображение /:
Ег -*- 2?2 называется изоморфизмом левых G-пространств, если
существует такое G-эквивариантное отображение /': Е2-+ Еи что
/'/ и //' — тождественные отображения пространств Ех и ?2
соответственно. Это эквивалентно условию, что отображение /
взаимно однозначно и является отображением на. В данном кон-
контексте такое определение изоморфизма естественно. Обращаем
внимание читателя на то, что группа G может действовать на
данном множестве Е несколькими различными неизоморфными
способами. Обычно автоморфизм G-пространства — это изомор-
изоморфизм на себя.
2. Однородные (^-пространства
Пусть Е — левое G-пространство. Говорят, что группа G дей-
действует на пространстве Е транзитивно или что Е — однородное
левое Cr-пространство, если для любых элементов х, у ? Е суще-
существует такой элемент g ? G, что
g-x = у.
Однородные Сг-пространства встречаются довольно часто и поэтому
важны.
Пример
2.1. Пусть G — группа, а Л — произвольная ео подгруппа. Обозначим
через G/H множество всех классов смежности, т. е. множеств g-H для всех
g ? G. Очевидно, что после умножения слева элементов данного класса смеж-
смежности на любой элемент g ? G получаются элементы из одного класса смеж-
смежности. Этим задается отображение G X G/H ->- G/H, и легко проверить, что
выполняются обе аксиомы левого G-пространства. Ясно, что G/H — однород-
однородное левое G-пространство.
Покажем, что любое однородное левое G-пространство изо-
люрфно некоторому пространству классов смежности GIH. Пусть
Е — произвольное однородное G-пространство. Выберем элемент
х0 6 Е; пусть
Я = {g eG: g-x0 = х0}.
Легко проверить, что Н — подгруппа группы G. Она называется
изотропной подгруппой, соответствующей элементу х0. Рассмо-
Рассмотрим отображение G -*¦ Е, определенное соответствием g -*- g -x0.
Так как Е — однородное G-прострапство, это — отображение на.
При каких условиях два элемента glt g2 ? G отображаются в один
18*
276 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение В.2
и тот же элемент пространства Е? Ответ найти легко:
Следовательно, gx и g2 отображаются в один и тот же элемент
пространства Е тогда и только тогда, когда они принадлежат
одному и тому же классу смежности. Таким образом, отображе-
отображение G -»- Е индуцирует отображение /: GIH -»- Е, взаимно одно-
однозначное и на все Е; легко проверить, что / есть G-эквивариантное
отображение. Таким образом, GIH и Е — изоморфные левые
(г-пространства.
Изоморфизм / и подгруппа Н в предыдущих рассуждениях
зависят от выбора точки х0 в Е. Другой выбор точки х0 приведет
к сопряженной подгруппе.
Для целей гл. V надо знать структуру группы автоморфизмов
однородного G-пространства. Рассдютрим однородное правое G-npo-
странство Е. Пусть ф: Е —*¦ Е — автоморфизм пространства Е.
Непосредственно из определений вытекает, что для любой точки
х ? Е точки х и ф (х) имеют одну и ту же изотропную подгруппу.
Обратно, предположим, что х и у — точки пространства Е, имею-
имеющие одну и ту же изотропную подгруппу. Мы утверждаем, что
существует такой автоморфизм ф пространства Е, что ф (х) = у.
Определим ф следующим довольно очевидным образом. Пусть
z ? Е. Тогда найдется элемент g ? G, для которого
Z = X'g.
Поэтому должно быть
ф (z) = ф (х -g) = (фа:) -g = у -g,
так что определяем ф (z) = y-g. Разумеется, надо проверить, что
это определение не зависит от выбора элемента g, т. е. если x-g =
= x-g', to y-g = y-g'- Но это вытекает из предположения о том,
что х и у имеют одну и ту же изотропную подгруппу. Мы должны
также проверить, что так определенное отображение G-эквива-
риантно, взаимно однозначно и является отображением на. Про-
Проверка первого утверждения тривиальна, а для проверки второго
и третьего можно точно таким же способом построить отображе-
отображение, обратное к отображению ф, для которого ф (у) = х.
Заметим, что если ф: и ф2 — автоморфизмы однородного пра-
правого G-пространетва йи^ (х) = ф2 (х) для какой-то точки х 6 Е,
то^ф! = ф2. Это утверждение непосредственно следует из того,
что G действует на Е транзитивно.
{-\ Из всех этих результатов вытекает
Лемма 2.1. Группа А автоморфизмов однородного G-простран-
ства Е будет группой всех автоморфизмов тогда и только тогда-
B.2 Приложение В. Группы перестановок 277
когда для любых двух точек х, у ? Е, имеющих одну и ту же изо-
изотропную подгруппу, найдется такой автоморфизм ф ? А, что
ф (я) = У-
Найдем структуру группы автоморфизмов однородного G-npo-
странства. Сначала введем определение. Пусть Я — подгруппа
группы G и
N (Я) = {g e G: gHg~l = Я}.
N (II) — подгруппа группы G, содержащая Я. Она называется
нормализатором группы Я. Это наибольшая подгруппа группы G,
содержащая Я в качестве нормальной подгруппы.
Теорема 2.2. Пусть Е — однородное G-пространство, а Н —
изотропная подгруппа группы G, соответствующая точке х0 6 Е-
Тогда группа автоморфизмов пространства Е изоморфна группе
N {НIН.
Доказательство. Обозначим через S множество всех
точек х ? Е, изотропной подгруппой которых является группа Н.
По доказанному выше группа автоморфизмов действует на множе-
множестве S транзитивно.
Мы утверждаем, что если х ? S и g ? G, то х-у ? S тогда
и только тогда, когда g ? N (Н). В самом деле, условие x-g ? S
эквивалентно условию
{he G: x-g-h = x-g} = Я.
Но xgh = xg тогда и только тогда, когда xghg~l = х, т. е. тогда
и только тогда, когда ghg'1 ? Я, или h ? g^Hg. Таким образом,
подгруппа N (Я) действует на подпространстве S транзитивно
и элементы группы Я оставляют неподвижными точки из S. Сле-
Следовательно, факторгруппа ./V {Н)Ш действует справа на S транзи-
транзитивно и без неподвижных точек.
Теперь установим изоморфизм между группой автоморфизмов
и группой ./V (НIН. Пусть ф — некоторый автоморфизм; так как
./V {НIН действует на S трапзитивно и без неподвижных точек,
то существует такой единственный элемент а ^ N (НIН, что
хо-а = ф (х0).
Обратно, для любого элемента а ? ./V (Я) существует такой един-
единственный автоморфизм ф, что ф (х0) = хо-а. Следовательно, соот-
278 У. Масси. Алгебраическая топология. Введение В.2
ветствие ф-«-»-а определяет взаимно однозначное отображение
между групиой автоморфизмов и группой ./V (НIН. Проверим,
что оно сохраняет произведение. Допустим, что
Ф (х0) = х0 -а,
У М = *о -Р-
Тогда
() () -= Ф №о) = Ф (х<&) =
Р = (яоа) Р = х0 (оф).
Таким образом, это изоморфизм.
Подчеркнем, что этот изоморфизм между N (//)/// и группой
автоморфизмов не является естественным; он зависит от выбора
точки х0 6 Е. Предлагаем читателю исследовать, как влияет на
это взаимно однозначное соответствие выбор базисной точки х0.
Дж. Столлингс
ТЕОРИЯ ГРУПП И ТРЕХМЕРНЫЕ
МНОГООБРАЗИЯ
Глава 1
ИСХОДНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ И РОЛЬ ТРЕХМЕРНЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
1.А. Введение
Изучение трехмерных многообразий часто оказывается взаимо-
взаимосвязанным с определенным разделом теории групп, занимающимся
свободными группами, свободными произведениями, конечными
заданиями групп и подобными комбинаторными вещами.
Так, в фундаментальной статье Кнезера [1929] скрыто содер-
содержались предпосылки теоремы Грушко [1940]; в одном из парагра-
параграфов этой статьи Кнезера доказывается теорема о том, что если
фундаментальная группа многообразия является свободным про-
произведением, то это проявляется геометрически следующим образом:
существует сфера с подходящими свойствами, разделяющая дан-
данное многообразие па две области. Доказательство Кнезера на-
наполнено всякой геометрией, но один из шагов доказатель-
доказательства, состоящий в перестройках одномерного остова много-
многообразия и его разбиениях, содержит в завуалированном виде
что-то вроде теоремы Грушко: множество образующих свободного
произведения .можно видоизменить некоторым простым образом
так, чтобы оно стало объединением множеств образующих сомно-
сомножителей.
Подобным же образом в серии теорем Папакирьяконулоса —
теореме о петле (Папакирьякопулос [1957а]), лемме Деиа и теореме
о сфере (Папакирьякопулос [19576]) — неявно содержатся факты
из теории групп, которые и составляют основной предмет этих
глав.
Философски говоря, глубина и привлекательность теории
3-многообразий обязаны, на мой взгляд, главным образом тому
факту, что теоремы этой теории дают побеги, которые в конечном
счете пробиваются в другом месте, а именно в теории групп.
Поэтому я склонен верить в то, что у новых результатов в этой
теории, таких, как результаты Вальдхаузена [1968], со временем
могут отыскаться «родственники»^ теории групп; решение гипо-
280 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 1-А
тезы Пуанкаре [1904], если оно когда-либо будет получено, будет
иметь далекие' последствия для теории групп.
Чтобы проследить связь между результатами Иапакирьяко-
пулоса и теорией групп, рассмотрим теорему о сфере (Папакирья-
копулос [19576]). Она гласит:
1.А.1. Если М — ориентируемое Ъ-многообразие с л2 (М) Ф 0,
то существует 2-сфера S, вложенная в М и не стягиваемая в М.
Имеется также неориентируемый вариант этой теоремы
(Эпштейн [1961]):
1.А.2. Если М — {ориентируемое или нет) Ъ-многообразие
с л2 (М) Ф 0, то в М существует двустороннее 2-под'многообра-
2-под'многообразие 2, являющееся 2-сферой или проективной плоскостью, которое
представляет нетривиальный элемент группы п2 (М).
В случае когда М — компактное многообразие без края, из
существования 2-сферы, не стягиваемой в М, следует, что nL (M) —
либо бесконечная циклическая группа, либо нетривиальное сво-
свободное произведение. Теоретико-групповая интерпретация суще-
существования в М двусторонней проективной плоскости труднее,
так как для групповой ситуации, возникающей здесь, нет стан-
стандартной терминологии; пока мы удовлетворимся тем, что скажем:
«Группа ях (М) довольно близка к свободному произведению
с объединенной подгруппой порядка два».
Таким образом, из теоремы о сфере вытекает, что если некото-
некоторую группу можно представить в виде л1 (М), где М — опреде-
определенного рода пространство, удовлетворяющее условию л2 (М) Ф 0,
то эту группу мы можем разложить в свободное произведение,
быть может с некоторой конечной объединенной подгруппой.
Аналогично обстоит дело с леммой Дена и теоремой о петле.
Объединим их в виде следующей теоремы.
1.А.З. Если М — трехмерное многообразие с краем В и ядро
гомоморфизма включения лг (В) ->- ях (М) нетривиально, то в М
существует 2-клетка А, край которой лежит в В и не стяги-
стягиваем в В.
Как и в случае теоремы о сфере, из зтой теоремы следует,
что при соответствующих предположениях относительно В группа
лг (М) — либо бесконечная циклическая, либо разлагается
в нетривиальное свободное произведение. Предположения, накла-
накладываемые на В, можно сформулировать, исходя из точной гомо-
гомотопической последовательности пары (М, В), и это приводит
к следующему теоретико-групповому заключению:
1.А.4. Если группа G представляется в виде лх (Л/), где М —
некоторое ориентируемое (или неориентируемое) ^-многообразие
1.A Гл. 1. Исходные соображения 28t
с краем В, ни одна компонента которого не является 2-сферой
или проективной плоскостью, и если л2 (М, В) Ф О, то группа G —
либо бесконечная циклическая, либо свободное произведение (быть
может, в некотором смысле, с Ъ2-пбъединением).
Доказательства леммы Дера и теоремы о петле на порядок
легче доказательства теоремы о сфере. Поэтому интересно отме-
отметить, что теорема о сфере является довольно простым следствием
нашего основного теоретико-группового результата и более легких
теорем Папакирьякопулоса. В § 5.С мы указываем ход рассужде-
рассуждений, приводящих к этому следствию.
Тот недостаток, что предположения, при которых получается'
предыдущий результат, относятся к группе я2 (М, В), а не к самой
группе G, исправляется следующим образом (Шпеккер [1949]).
Показывается, что л2 Ш, В) Ф О тогда и только тогда, когда
Н\ (М) Ф О, где М — универсальное накрытие многообразия М
и Н\ — группа когомологий конечных коцепей, для доказатель-
доказательства чего используется двойственность Пуанкаре в М и пред-
предположение о том, что В асферично. Группа Н\ тесно связана
с группой пг (М) гомологическими условиями.
Теперь несколько слов о концах.- Если X — связное локально
связное локально компактное хаусдорфово пространство, то
множество его концов — это обратный предел направленного
множества, общим элементом которого служит множество ком-
компонент пространства X — С, где С — произвольное компактное
подмножество в X. Таким образом, множество концов действи-
действительной прямой состоит из двух точек, плоскости — из одной
точки, для любого локально конечного связного дерева это будет
некоторое замкнутое подмножество канторова множества.
Концы связаны с когомологиями посредством ряда утвержде-
утверждений, одно из которых звучит так:
1.А.5. Если К — связный локально конечный комплекс, то
К имеет больше одного конца тогда и только тогда, когда ядро-
гомоморфизма Н\ (К) -*¦ Я1 (К) нетривиально.
В нашем случае условие л2 (М, В) Ф 0 эквивалентно тому,
что М имеет более одного конца. Копцы многообразия М можно
определить чисто алгебраическим путем, исходя из группы пг (М),
и это приводит к понятию концов абстрактной конечно порожден-
порожденной группы. При зтом естественно возникает следующая гипотеза:
1.А.6. Конечно порожденная группа G с более чем одним концом
есть либо бесконечная циклическая группа, либо нетривиальное
свободное произведение групп, либо нечто аналогичное свободному
произведению с конечной объединенной подгруппой.
282 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 1.В
Ниже мы точно сформулируем и докажем это утверждение
и тем самым в некотором смысле полностью охарактеризуем
конечно порожденные группы с более чем одним концом.
1.В. Точные формулировки упомянутых теорем
Под 3-многообразием мы понимаем хаусдорфово пространство,
каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную либо
трехмерному евклидову пространству, либо его замкнутому полу-
полупространству. Однако наши рассуждения мы всегда будем прово-
проводить в полиэдральном контексте, рассматривая нижележащее про-
пространство симплициалыюго комплекса К, для вершин которого
краями звезд служат либо 2-сферы, либо 2-клетки; мы всюду при-
применяем полиэдральную технику (например, метод приведения
в общее положение и метод разрезания и склеивания). Как стало
ясно благодаря статьям Мойза [1952] и Бинга [1959], эти два под-
подхода для метризуемых 3-многообразий более или менее эквивален-
эквивалентны.
Точная формулировка теоремы о сфере Папакирьякопулоса
[19576] в том виде, как она была усовершенствована Уайтхедом
И958] и Эпштейном [1961], такова.
1.8.1. Теорема о сфере. Пусть М — некоторое Ъ-многообразие
и А — такой лх (М)-подмодулъ модуля л2 (М), что л.2 (М) — А Ф
Ф 0. Тогда существует такое подпространство X с М, что
X гомеоморфно либо 2-сфере, либо действительной проективной
плоскости и имеет в М окрестность, гомеоморфную пространству
X X (—1, +1), причем фундаментальный элемент группы л2 (X)
представляет элемент из л2 (М) — А.
Точная формулировка теоремы о петле и леммы Дена, дока-
доказанных Папакирьякопулосом [1957а, б] и усовершенствованных
Шапиро и Уайтхедом [1958] и Столлингсом [1960], такова.
1.8.2. Теорема о петле — лемма Дена. Пусть М — некоторое
3-многообразие, В — компонента его края и N — некоторая нор-
нормальная подгруппа группы лх (В), такая, что
К (В) -N)[\ ker К (В) -> лх (М)) Ф 0.
Тогда существует 2-клетка D а М, край которой содержится в В,
представляющая элемент из лг (В) — N.
Важным для нашего обсуждения результатом является гипо-
гипотеза Кнезера — одна теорема, доказанная Кнезером [1929], но,
к сожалению, с использованием ошибочных некорректных методов
Дена [1910], связанных с понятием свободного произведения
групп. Этот результат, усовершенствованный Столлиигсом [1959],
таков.
1.B Гл. 1. Исходные соображения 283
1 .В.З. Гипотеза Кнезера. Пусть М — компактное связное
^-многообразие без края, и пусть ср: П\ (М) —*- А * В — такой
гомоморфизм группы лх (М) на свободное произведение, что всякое
двустороннее 2-многообразие Т в М, для которого гомоморфизм
щ (Т) -v ях (М) инъективен и ср (nx (T)) = {1}, является 2-сфе-
рой. (Это условие заведомо удовлетворено, когда ср — изоморфизм
или когда группа лх (М) не содержит никакой нетривиальной
подгруппы вида яг (Т), где Т — замкнутое 2-многообразие.) Тогда
можно записать М = МА (J М в, где МА {] М в — некоторая
2-сфера и ср (лх (МЛ)) = А, ф (ях (Мв)) = в-
Именно в процессе доказательства этого результата для слу-
случая, когда ф — изоморфизм, Кнезер предвосхитил теорему Груш-
ко. Фактически теорема Груошо получается из этого результата,
как он здесь сформулирован, если в качестве М взять 3-сферу
с ручками, так что группа лх (М) свободна.
Говорят, что подмножество А топологического простран-
пространства X является цилиндрически вложенным х) в X, если суще-
существует открытое подмножество в X, гомеоморфпое произведению
А X (—1, +1) и содержащее А в качестве А X 0.
Вот один результат, который связан с гипотезой Кнезера
и из которого в конечном счете можно получить теорему о сфере:
1.В.4. Пусть М — компактное Ъ-многообразие, ф: М->-Х —
непрерывное отображение, и пусть пространство X содержит
некоторое цилиндрически вложенное подмножество А. Предпо-
Предположим, что отображение ф„: % (М) -*~ пх (X) инъективно
и я2 (X - А х (- 1/2, 4- 1/2), А х {- 1/2, + 1/2}) = 0 для
любого выбора базисной точки. Тогда ф гомотопно такому отображе-
отображению /: М —*- X, что /~х (А) есть 2-многообразие, цилиндрически
вложенное в М, для каждой компоненты Tt которого гомоморфизм
/„ : ях (Ti) -v лг (А) инъективен.
Упоминавшаяся нами теорема Вальдхаузена, пожалуй, слиш-
слишком сложна, чтобы ее здесь точно формулировать. Она была дока-
доказана в работе Вальдхаузена [1968], и в качестве следствия из нее
была получена классификация некоторых 3-многообразий только
по их фундаментальным группам (при некотором предположении,
служащем для обхода всемогущей гипотезы Пуанкаре [1904]).
Теперь мы скажем несколько слов, касающихся теории групп,
отложив рассмотрение подробностей до гл. 3.
Свободное произведение А * В двух групп А ш В — это «копро-
изведение» А и В в категории групп и гомоморфизмов. Классиче-
Классически это произведение описывается в терминах редуцированных
слов в A U В. Именно таким образом свободные произведения
') В оригинале bicollared (буквально — «двухворотниковое»).— Прим
ред.
284 Дж. С толлинге. Теория групп и трехмерные многообразия 1.В
были впервые введены Шрейером и Артином около 1925 г. Понятие
свободного произведения было непосредственно обобщено Шрейе-
Шрейером [1927] до понятия свободного произведения с объединенной
подгруппой. Такие свободные произведения с объединением воз-
возникают в топологической ситуации как фундаментальные группы
объединений пар пространств в соответствии с теоремой Зейферта
[1931] и ван Кампепа [1933].
Из теорем о свободных произведениях особый интерес для нас
представляет теорема Грушко [1940] (см. также Нейман [1943]),
вариант которой для бесконечно порожденных групп принадлежит
Вагнеру [1957] (имеется топологическое доказательство Стол-
лингса [1965]).
1.В.5. Теорема Грушко — Вагнера. Если F — свободная груп-
группа (т. е. свободное произведение бесконечных циклических групп}
и ф: F^-*aAa— гомоморфизм на свободное произведение, то
F можно записать в виде свободного произведения F = *aFa так,
что ф (Fa) = Aa-
Наши исследования по концам групп привели нас к одному
обобщению понятия свободного произведения с объединением,
которое мы подробно обсуждаем в гл. 3.
Сначала мы рассматриваем «предгруппы». Предгруппа — зто
некоторая алгебраическая система, в которой произведение опре-
определено не всегда, но в других отношениях очень похожая на
группу: существует единичный элемент; для каждого элемента
существует обратный; когда это возможно, имеет место ассоциа-
ассоциативность; выполняется также своеобразное свойство, состоящее
в том, что каждый раз, когда определены произведения wx, xy и yz,
определено по крайней мере одно из произведений wxy или xyz.
Для предгрупп существуют универсальные группы, в которых
проблема слов разрешима, примерно так же, как и в свободных
произведениях с объединением. Универсальная группа U (Р)
определяется как в некотором смысле наибольшая группа, которая
может быть порождена предгруппой Р. На множестве редуциро-
редуцированных слов в предгруппе Р существует отношение эквивалентно-
эквивалентности, которое характеризуется следующим примером: (х, у) экви-
эквивалентно (ха, а^у), если определены оба фигурирующих здесь
произведения. Имеет место теорема о том, что каждый элемент
группы U (Р) представляется единственным классом эквивалент-
эквивалентности редуцированных слов.
Частным случаем универсальной группы предгруппы является
свободное произведение с объединением.
Мы пришли к рассмотрению предгрупп, анализируя доказа-
доказательство Ван-дер-Вардепа [1948] закона ассоциативности для сво-
свободных произведений, определенных в терминах редуцированных
слов. Предгруппы определяются требованиями, которые пред-
I.В Гл. 1. Исходные соображения 285
ставляются минимально необходимыми для проведения этого
доказательства.
Подгруппы оказываются полезными при исследовании другой
комбинаторной теоретико-групповой ситуации, а именно биполяр-
биполярных структур. Первоначально мы определили биполярные струк-
структуры для случая групп без кручения [19681, но, по-видимому,
будет разумным определить это понятие заново так, чтобы охва-
охватить и случай периодических элементов.
Биполярная структура на группе G встречается, в частности,
тогда, когда G можно представить в виде свободного произведения
двух групп А и В с конечной объединенной подгруппой F. В этом
случае элементы множества G — F распадаются на четыре класса
соответственно тому, начинается или кончается в А или в В
содержащий их класс эквивалентности редуцированных слов
в A U В. Мы можем аксиоматизировать эту ситуацию, грубо
говоря, так. В группе G даны конечная подгруппа F и четыре
поддшожества, обозначаемые через ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е* соответ-
соответственно, которые все вместе следующим образом осуществляют
разбиение группы G. Пусть X и Y означают Е или Е*; примем
соглашение, что Е** — Е. Тогда если g ? XY и а ? F, то ga ? {
если g 6 XY и h ? Y*Z, то gh ? XZ; наконец, для любого g ? G
существует ограничение на длину представлений g в виде g =
= Sig2 ¦ ¦ ¦ gni где gt ? XiX*+1. В общем случае мы должны
допустить еще одно множество S, входящее в разбиение группы G,
такое, что F [} S — подгруппа, в которой F имеет индекс один
или'два, и ga б XY* для g б XY и а ? S.
Строение группы с биполярной структурой можно исследовать,
замечая, что она является универсальной группой предгруппы,
состоящей из F [} S [] {неразложимые элементы}. Неразложимый
элемент здесь — это элемент из XY, который не может быть нред-
ставлеп в виде произведения элемента из ХЪ и элемента из Z*Y.
Эта предгруппа принадлежит к одному из трех типов, которые
легко истолковываются как предгруппы, порождающие свободное
произведение с объединением по конечной подгруппе или же при-
приводящие к аналогичной ситуации, в которой группа G порождена
подгруппой А и одним дополнительным элементом х с соотноше-
соотношениями, получающимися из некоторого вложения конечной под-
подгруппы F группы А снова в А; эти соотношения имеют вид
ф-1 = ф (/).
Биполярную структуру мы называем нетривиальной, если суще-
существует хотя бы один элемент, принадлежащий ЕЕ*. Теперь мы
можем сформулировать наш главный теоретико-групповой
результат.
1.В.6. Каждая конечно порожденная группа с более чем одним
концом имеет нетривиальную биполярную структуру и поэтому
286 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 1.В
может быть описана как нетривиальное свободное произведение
с объединенной подгруппой или как группа другого указанного
выше типа. Обратно, любая группа с нетривиальной биполярной
структурой имеет два или бесконечно много концов.
Далее, скажем несколько слов о графах.
Если Г — локально конечный граф (т. е. одномерный ком-
комплекс), то мы можем рассмотреть некоторые когомологические
группы с простейшей группой коэффициентов Z2. Обычные (бес-
(бесконечные) коцепи содержат в качестве коцепного подкомплекса
конечные коцепи; именно в факторкомплексе С* (Г) проявляются
эффекты, связанные с «концами». В частности, П% (Г) есть «группа
концов», ранг которой как 72-модуля равен «числу концов» гра-
графа Г. Можно заметить, что Н% (Г) на самом деле наследует струк-
структуру булевой алгебры от С°(Г), т. е. алгебры подмножеств множе-
множества всех вершин из Г.
«Пространство концов» является тогда с классической точки
зрения пространством максимальных идеалов булевой алгебры
Я?(Г).
Если G — конечно порожденная группа, порожденная множе-
множеством Т = {tu . . ., tn}, то мы определяем граф Г, отражающий
эту ситуацию, как граф с вершинами в элементах группы G,
причем вершины g и tig связаны ребром (tt, g). Если определить
А как G-модуль, состоящий из всех подмножеств группы G по
модулю всех конечных подмножеств (роль операции сложения
играет взятие симметрической разности), то Н% (Г) та Н° (G; А);
это получает свою интерпретацию, как факт теории когомоло-
гий групп. Поэтому концы графа Г не зависят от Т. Они будут
называться концами группы G.
Если Г — связный локально конечный граф с более чем одним
концом, то существуют такие 0-коцепи Q с конечной кограницей
&Q, что ни О, ни дополнение Q* не являются конечными. Среди
этих коцепей Q есть такие, кограницы которых имеют наименьше©
число элементов; такие коцепи будут называться узкими 0-коце-
пями. Узкие коцепи обладают некоторыми удобными свойствами
решеток; в частности, для любой вершины v существует наимень-
наименьшая узкая 0-коцепь, содержащая v. Для таких наименьших узких
0-коцепей Q имеет место следующий факт.
1.В.7. Если X — произвольная узкая коцепь, то по крайней
мере одна из 0-коцепей Q |~| X, Q П X*, О* |~| X, О* |~| X* конечна.
Это утверждение представляет собой решающий результат
из теории графов, который получает применения в теории
групп. Предположим, что Г — граф группы G по отношению-
к некоторому конечному множеству образующих; G действует
на Г справа, и поэтому Qg — узкая коцепь всякий pas, когда
1.B Гл. 1. Исходные соображения 287
Q — узкая коцепь; применим сформулированный выше результат
в случае X = Qg. Тогда для всякой заданной такой коцепи Q
имеется шесть возможностей, когда хотя бы одно из множеств
Qg П <?> Qg П <?*> Q*g П (?. <?*? О Q* конечно. Если конечны
второе и третье из этих множеств, то мы говорим, что g ? F. Если
конечны первое и четвертое, то мы говорим, что g ? S. Если
конечно только первое множество, мы говорим, что g ? ЕЕ. Если
конечно только второе, то мы говорим, что g ? ??*. Если конечно
только третье множество, мы говорим, что g ? ?*?. Если конечно
только четвертое, то мы говорим, что g ? Е*Е*.
Оказывается, если G имеет более двух концов, то это разбиение
группы G дает нетривиальную биполярную структуру. Для случая
когда G имеет точно два конца, строение группы выяснялось
многими авторами, и из их работ, в частности, следует, что такая
группа также имеет нетривиальную биполярную структуру.
Используя эти результаты, мы доказываем гипотезу Эйлен-
берга и Гани [1957]:
1.8.8. Любая конечно порожденная группа G когомологической
размерности 1 является свободной.
Недавно здесь было осуществлено дальнейшее продвижение
Суоном [1969], показавшим, как можно освободиться от пред-
предположения о конечной порожденности группы.
Мы также устанавливаем следующий результат, высказанный
в качестве гипотезы Серром [1965] и опять-таки обобщенный на
случай бесконечно порожденных групп Суоном:
1.8.9. Если конечно порожденная группа G не имеет нетри-
нетривиальных элементов конечного порядка и содержит свободную под-
подгруппу конечного индекса, то она сама свободна.
Это — наиболее важный результат нашей работы, так как он
формулируется с привлечением лишь простых теоретико-группо-
теоретико-групповых понятий и в то же время влечет за собой тонкие комбинатор-
комбинаторные факты. Для случая когда допускается существование элемен-
элементов конечного порядка, структура группы G, имеющей свобод-
свободную подгруппу конечного индекса, не выяснена пока сколько-
нибудь полно.
Глава 2
ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
2.А. Теорема о петле и лемма Дена
Здесь мы кратко 'изложим основные результаты статьи Стол-
лингса [1960].
2.А.1. Если V — компактное ^-многообразие и Я1 (V; Z2) = 0
(это эквивалентно тому, что V не имеет связного двулистного
накрытия), то каждая компонента связности края dV является
2-сферой.
Доказательство. По двойственности Пуанкаре
Я2 (V, dV; Z2) « Я1 (V; Z2) = 0. По теореме об универсальных
коэффициентах группа Н1 (V; Z2) двойственна группе Я1 (V; Z2)
и, следовательно, является нулевой. Из точной гомологической
последовательности вытекает тогда, что Н1 (dV; Z2) = 0, откуда
и следует утверждение леммы.
2.А.2. Пусть V — компактное ^-многообразие, В сг dV — неко-
некоторое 2-многообразие и N — собственная нормальная подгруппа
группы лг (В); предположим, что V не имеет связного двулистного
накрытия. Тогда существует такая 2-клетка АсУ, что дД сг В
.и класс петли <ЭД не принадлежит к группе N.
Доказательство. Так как и качестве образующих
группы Л! (В) можно взять петли в В без самопересечений, то по
крайней мере одна из таких петель не представляет элемента из N;
согласно 2.А.1, такая петля ограничивает некоторую 2-клетку
Л с ЗУ.
2.А.З. Пусть /: А —>- К — симплициалъное отображение, где
А — односвязный конечный комплекс, а К = /(А). Предположим,
что заданы последовательности связных накрывающих пространств
pt: Li+1 -»- Kt, гдг Ко = К,
отображений
h: b->Kt с ft (A) - Kh /о = /
2.A
и вложений
Гл. 2. Трехмерные многообразия
289
так что отображение ft+1 является поднятием отображения ft
(рис. 2.1). Тогда для достаточно больших п ситуация стабили-
стабилизируется, т. е. рп становится гомео-
гомеоморфизмом.
Доказательство. Мы мо-
можем триангулировать все так, чтобы
отображения pt, ft стали симпли-
циальными. Определим сложность
отображения /г как количество сим-
симплексов в А минус количество сим-
симплексов в Kt. Так как /г — симпли-
циальное отображение, то это число
всегда неотрицательно. |Но для не-
нетривиального pi сложность fi+1 мень-
меньше, чем сложность /;.
2.А.4. Пусть р: V -+ V — дву-
двулистное накрытие компактного
Ъ-многообразия и В' cz dV', В adV —
такие 2-многообразия что р (В1) = В.
Пусть, далее, N — нормальная под-
подгруппа группы пг (В), a N' =
= (р | В') (N) — нормальная под-
подгруппа в лг (В'), и пусть А' — это 2-клетка в V' с краем в В',
который представляет элемент группы лг (В'), не принадлежащий
N'. Тогда существует 2-клетка А в V с краем 5А аВ, представ-
представляющим элемент группы лг (В), не принадлежащий N.
Доказательство. Слегка пошевелив отображение
р | А', добьемся того, чтобы особенностями р (А') были лишь
двойные кривые; это можно сделать потому, что р \ А' — погру-
погружение, имеющее самое большее двойные точки (р: V -*¦ V — дву-
двулистное накрытие). Тогда получаем четыре вида особых кривых.
Прообразы этих кривых в Д' изображены на рис. 2.2, причем
точки, склеивающиеся друг с другом при отображении в р (А'),
обозначены одинаковыми буквами.
В каждом из этих случаев, разрезая А' и переклеивая, мы
можем видоизменять А' и р | А' так, чтобы сохранялись свойства:
(а) р (<?Д') представляет элемент группы лх (В), не принадлежа-
принадлежащий iV; (b) особенностями р (А') являются двойные кривые 1).
Рис. 2.1.
х) Например, в первом случае мы можем вырезать оба диска и приклеить
пх снова, поменяв местами, так, чтобы отображение сохранилось на каждом
из них. Затем нужно немного пошевелить отображение. — Прим. ред.
19 у. Масси, Дж. Столлингс
290 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 2.А
При этом количество двойных линий будет уменьшаться. Дей-
Действуя таким способом, мы в конце концов получим нужную несин-
несингулярную 2-клетку Д.
а
D (EZD
Рис. 2.2.
2.А.5. Теорема о петле — лемма Дена. Пусть М — некоторое
^-многообразие, В — некоторое 2-многообраэие, лежащее в дМ,
а N — такая нормальная подгруппа группы ях (В), что
(я, (В) - N) П Кег (ях (В) -> п, (М)) Ф 0.
Тогда существует такая 2-клетка А с М, что <?Д с В и петля
дД представляет элемент группы лг (В), не принадлежащий^".
Доказательство. Мы начинаем с такого отображения
/: Д ->¦ М, что / (дА) представляет элемент из лг (В) — N. Превра-
Превратим отображение / в симплициальное, и пусть V будет регуляр-
регулярной окрестностью множества / (А) в М. Построим следующим обра-
образом башню двулистных накрытий над / (Д) и, следовательно, над
V. Положим Fo = V, /0 = /, В0 = В {] Vo, No = {а б щ (Во):
а принадлежит N в щ (В)}. Это нулевой этаж башни. Пусть
pt: Wi+-y-*- Vi — некоторое двулистное накрытие F,, fi+1 — под-
поднятие /,-, Vi+1 — регулярная окрестность fl+1 (A), Bi+1 = Vi+1 f)
П pll (В,) и Nt+1 = {a 6 Щ (Bi+1): рыа g Nt в лх (В,)}. !
По лемме 2.А.З построение должно закончиться. По лемме^2.А,2
на самом верхнем этаже башни можно найти подходящую несингу-
несингулярную 2-клетку. Используя лемму 2.А.4, зту несингулярную
2-клетку можно спустить через всю башню до нулевого этажа,
что и даст нам клетку, существование которой требовалось дока-
доказать.
2.B Гл» 2» Трехмерные многообразия 291
2.В. Лемма Кнезера и другие применения
Пусть Т представляет собой двустороннее (т. е. цилиндрически
вложенное) компактное 2-многообразие в 3-многообразии М.
Предположим, что А — такая 2-клетка в М, что A f] T = дк —
нестягиваемая петля в Т. Можно расположить клетку А так,
чтобы она содержалась во внутренности М, и найти подмноже-
подмножество М,гомеоморфное А X (—1, +1), пересекающееся с Т по
дА X (—1, +1) и содержащее клетку А в качестве А X 0.
Пусть
-*. +±))]и[Дх{-± +1}].
Многообразие 7" называется уменьшением Т вдоль А; оно является
результатом сферической перестройки многообразия Т вдоль Д
(или перестройки Т вдоль <?Д, произведенной внутри М). Любо-
Любому компактному 2-многообразию Т мы можем приписать слож-
сложность
где Тi — компоненты связности многообразия Т, % (Тг) — эйле;
рова характеристика многообразия Гг и суммирование произво-
производится по всем i. Легко доказать, что сложность 7" меньше сложно-
сложности Т и, следовательно, термин «уменьшение» оправдан.
2.В.1. Лемма Кнезера. Пусть Т — компактное двустороннее
2-многообразие, лежащее в Ъ-многообраэии М. Тогда после конеч-
конечной серии уменьшений вдоль 2-клеток А мы получим больше уже
неуменьшаемое двустороннее многообразие 7". В этом случае для
любой компоненты Т\ многообразия Т' гомоморфизм % (T'i) -*¦
-*¦ лх (М) инъектпивен.
Доказательство. Пусть /: <?Д -*•' Т\ — отображение,
представляющее элемент ядра гомоморфизма ях G\;) -*¦ лх (М).
Тогда / продолжается до отображения /: А ->- М. Используя
двусторонность многообразия 7", легко добиться, чтобы /-1 G")
состояло из конечного числа простых замкнутых кривых, в том
числе <?Д. Пусть С — самая внутренняя кривая в /~х G"); она
ограничивает некоторую 2-клетку D сг А, для которой D f|
П Z G") = С. Тогда / (С) содержится в некоторой компоненте Т)
многообразия 7". Если бы петля / | С была не стягиваема на Т',,
то мы могли бы расщепить М вдоль 7" и, применив к получив-
получившемуся многообразию теорему о петле и лемму Дена, найти 2-клет-
2-клетку, вдоль которой T'j можно было бы уменьшить, что невозможно.
Следовательно, петля / | С стягиваема 'на Т] и мы можем пере-
переопределить / так, чтобы оно отображало D в T'j и совпадало
19*
292 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 2.В
с прежним / на Д — D. Затем мы можем слегка подвигать полу-
полученное отображение и получить новое отображение g, для которого
g-1 (П = /-* (Г) - с.
Повторяя это рассуждение, мы придем к такому отображению
клетки Д в T'j, для которого дк становится самой внутренней кри-
кривой в /-1 G"), причем это отображение является продолжением
исходного отображения / | дД. Следовательно, любой элемент
из ядра гомоморфизма пг (Т\) -*- лх (М) тривиален.
Приводимое ниже полезное следствие леммы Кнезера или
что-то в этом роде можно найти также в статье Фойстеля, ко-
которая должна скоро появиться г).
2.В.2. Пусть X — топологическое пространство, содержащее
цилиндрически вложенное подмножество А. Обозначим через X
пространство X, расщепленное вдоль А, и через Ах и А2 — два
прообраза множества А в X. Предположим, что для всех базисных
точек я2 (X, Аг\} А2) =0. Пусть, далее, М — компактное 3-мно-
гообразие и f: M —> X — непрерывное отображение. Тогда f гомо-
гомотопно такому отображению g: M -> X, что g'1 (А) представляет
собой неуменьшаемое двустороннее 2-многообразие Т в М, причем
g отображает цилиндрическое расслоение некоторой окрестности Т
послойно в такое же расслоение некоторой окрестности А. В этой
ситуации если гомоморфизм fm: пг (М) —*¦ лх (X) инъективен,
а Тi — любая компонента Т, то и гомоморфизм gt: пг (Гг) ->-
-*¦ пг (А) инъективен.
Доказательство. Отображение / можно изменить так,
чтобы f'1 (А) стало цилиндрически вложенным 2-многообразием.
Уменьшим Z (А) вдоль некоторой 2-клетки Л. В силу того что
п2 (X, Аг U А2) =0 и в силу свойства распространения гомо-
топии с подкомплексов многообразия М, осуществляющее это
уменьшение отображение можно выбрать гомотопным /. Следова-
Следовательно, мы придем к 2-многообразию g'1 (А) = Т, где g гомотоп-
гомотопно /, которое является цилиндрически вложенным и дальше уже
неуменыпаемо.
На основании леммы Кнезера мы заключаем, что гомоморфизм
ni (Tf) -*- лх (М) инъективен. А так как мы можем пропустить
отображения лх (Tt) -*¦ пг (X) через щ (А), то если гомоморфизм
лх (М) -у пг (X) тоже инъективен, то инъективен и гомоморфизм
Тд^А)
2.В.З. Гипотеза Кнезера. Пусть М — компактное связное
Ъ-многообразие с дМ = 0, а ср: щ (М) -*• А * В — гомоморфизм
х) Она появилась: Trans. Amer. Math. Soc, 217 A976).— Прим. ред.
2.В Гл. 2. Трехмерные многообразия 293
на свободное произведение, обладающий следующим свойством:
любое двустороннее 2-многообразие Т в М, для которого гомомор-
гомоморфизм пг (Г) -»- пг (М) инъективен и ф(я1(Г)) = {1}, является
2-сферой. Тогда М = МА [} Мв, где МА Л Мв представляет
собой 2-сферу и ф (пг (МА)) — А, ф (ях (Мв)) = В.
Доказательство. Начнем с того, что построим асфе-
асферичные пространства КА и К в с фундаментальными группами А
и В соответственно и соединим их отрезком прямой. Обозначим
середину отрезка через р, а получившееся пространство — через X.
Это пространство содержит цилиндрически вложенное подмноже-
подмножество {р}, и существует отображение /: М->-Х, индуцирующее
задаппый гомоморфизм ф: щ (М) -»- А * В яг пг (X).
Применим к этой ситуации утверждение 2.В.2, позаботившись
при этом о том, чтобы уменьшения и гомотопии не трогали базис-
базисную точку многообразия М. Тогда получим, что отображение /
гомотопно отображению g, такому, что g'1 (p) представляет собой
неуменьшаемое 2-многообразие Т, которое по нашему пред-
предположению состоит из 2-сфер.
Теперь воспользуемся предположением о том, что <р — отобра-
отображение на все А * В, чтобы осуществить некоторую одномерную
перестройку на Т. Если Т имеет больше одной компоненты, то
существует путь Я в М, концевые точки которого принадлежат
различным компонентам многообразия Т; путь g (К) представляет
некоторый элемент группы А * В, и поэтому если у — петля в М
с базисной точкой в начальной точке пути К, которая отображается
в элемент [g (X)]'1 группы А * В (а такая петля у существует
в силу того, что ф — отображение на), то g (\i), где \i = yk,
является стягиваемой петлей в I и [i соединяет различные ком-
компоненты Т. Расправляя, если нужно, петлю \i, мы можем запи-
записать ее в виде произведения путей: |д, = аха2 • • • <хп, причем
на Т лежат лишь концевые точки путей аг; каждый путь gl(a})
представляет элемент либо из А, либо из В. Длину п пути ц
можно уменьшить: A) склеивая пути at и ai+1 в один путь, если
оба эти пути принадлежат одновременно либо А, либо В; B) опу-
опуская путь а;, если обе его концевые точки принадлежат одной
и той же компоненте многообразия Т и путь g (at) стягиваем.
Так как копцевые точки пути [д, принадлежат различным компо-
компонентам многообразия Т, то длина ц никогда не сведется к 0.
Наконец, если длину ц уменьшить больше нельзя, то либо g (\i) =
= ? (ai) • • • 8 (an) является приведенным словом в А * В, что
невозможно, так как g (\i) = 1 и п ^ 1, либо некоторый путь
g (a,) стягиваем в X. Тогда путь at должен соединять различные
компоненты многообразия Т и отображаться весь в X — {}
за исключением концевых точек.
294 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 2.В
Далее, аппроксимируем путь at каким-нибудь несингулярным
путем, не проходящим через базисную точку многообразия М;
используя тот факт, что путь g (аг) стягиваем в X, расщепленном
вдоль {р}, и продолжение гомотопии в М, получим отображение
g': M -+¦ X, гомотопное g и такое, что g' {p) совпадает с g^1 (p)
повсюду, за исключением двух компонент множества g~l (p), ко-
которые теперь соединены трубкой. Эта процедура уменьшает число
компонент множества'g~l (p), так что в конечном счете мы получим
такое отображение h: M -*¦ X, гомотопное g и, следовательно, /,
что h'1 (p) есть связная сумма всех компонент множества g~l (p)
и потому является 2-сферой.
Теперь возьмем в качестве М.А и М в образы двух половин
пространства X при отображении h'1. Ясно, что при этом все
утверждения теоремы будут выполнены.
Глава 3
КОМБИНАТОРНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП
3. А. Обобщение понятия свободного
произведения групп с объединенной подгруппой
(предгруппы и их универсальные группы)
В заметке [20] мы рассмотрели ситуацию, когда группа G
обладает таким подмножеством Р, что каждый ее элемент одно-
однозначно представляется редуцированным словом в Р. Как выяс-
выяснилось, такая группа G очень похожа на свободное произведение.
А что можно сказать, когда представление редуцированным
словом является однозначным лишь по модулю некоторой экви-
эквивалентности, как это оказывается в теории свободных произведе-
произведений с объединенной подгруппой? В этом параграфе мы вводим
внутреннюю ^структуру подмножества Р (которую мы называем
«предгруппой») и, следуя методу Ван-дер-Вардена, доказываем,
что универсальная группа этой структуры обладает нужным
свойством.
Можно указать много интересных примеров предгрупп; все они
чем-то похожи на свободные произведения с объединенной под-
подгруппой, однако никакого простого способа построения всех их
из обычных произведений с объединенной подгруппой не суще-
существует. Бэр [1950] описал бы предгруппу как «сложение», удовле-
удовлетворяющее его постулатам I — VII и закону ассоциативности Т.
З.А.1. Определения и формулировка
основной теоремы
З.А.1.1. Определение. Предгруппа — это
(a) некоторое множество Р;
(b) некоторый элемент множества Р, обозначаемый через 1;
(c) некоторая функция Р ->- Р, обозначаемая через х н-*- х~1т,
(d) некоторое подмножество D произведения Р X Р;
(e) некоторая функция D ->- Р, обозначаемая через (х, у) ^-*¦
,«-* ХУ-
При этом должны выполняться следующие пять аксиом:
A) для всякого х ? Р пары A, х), (х, 1) ? D и \х = х\ = х;
B) для всякого х ? Р пары (х, аг1), (аг\ х) б D и хх'1 =
= х~1х = 1;
296 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия З.А
C) 'для любых х, у ? Р, если (х, у) б D, то (у'1, х~1) ? D
и (х, у)-1 = у^х-1;
D) для любых х, y,z б Л если (х, у), (у, z) б D, то (ж, г/z) ? #
тогда и только тогда, когда (ху, z) б D, и в этом случае а; (г/z) =
()
)
E) для любых и;, х, у, z ? Р, если (и;, х), (ж, у), (у, z) б Dt
то либо (w, xz/) ?D, либо (ед, z) ? D.
Вместо того чтобы говорить «(ж, z/) принадлежит D», мы часто
будем говорить чху определено».
З.А.1.2. Определение. Пусть Р — предгруппа. Слово в Р —
это (упорядоченный) набор из п элементов, принадлежащих Р,
где п ^ 1, т. е. (хи .. ., хп). Число п называется длиной слова.
Если для некоторого i определено Xixi+1, то слово (хи . . ., хп)
можно редуцировать; при этом
называется одной из его редукций. Говорят, что слово редуциро-
редуцировано, если у него нет никаких редукций, т. е. для всех I мы имеем
(хг, xi+1)QD. Каждое слово длины единица редуцировано.
Если (хг, . . ., хп), (ах, . . ., an_x) — слова и если произве-
произведения хгаг, ajLiXi, aXL\xlal (с а0 = ап = 1) все определены, то мы
определяем прокладку х) первого слова вторым словом как
(хг, . . ., хп) * (av . . ., ап) = {уг, . . ., уп),
где yt = atiiXtui.
Ниже будут доказаны такие утверждения:
A) Если слово X редуцировано и прокладка X * А определена,
то она редуцирована.
B) Отношение X « X * А на множестве редуцированных слов
является отношением эквивалентности.
Для произвольного а б Р и произвольного редуцированпого
слова X = (х15 . . ., хп) определим Ха (X) следующим образом:
если ахх не определено, то
Ка (X) = (a, xlt . . ., хп);
если ахг определено, но (ахг) х2 не определено, то
Ха (X) = {ахг, . . ., хп); '
если определены как ах-у, так и (ах^) хг, то
^а (X) = ((axj) х2, х3, . . ., хп).
х) В оригинале interleaving (interleave — прокладывать, прослаи-
прослаивать). — Прим. ред.
З.А Гл. 3. Комбинаторная теория групп 297
C) Если X редуцировано, то таково же и Ха (X).
D) Если X редуцировано и аЪ определено, то
ХаЬ (X) « К (Кь (X)),
где « — отношение, определенное в B).
E) Функция Ха индуцирует некоторое отображение на множе-
множестве классов эквивалентности редуцированных слов.
F) Предгруппу Р можно включить в некоторую универсаль-
универсальную группу U (Р) таким образом, что каждый элемент g ? U (Р)
запишется в виде произведения
g = ХуС^ . . . Хп,
где (xv . . ., х,) — некоторое редуцированное слово в Р, причем
всякие два редуцированных слова, задающих один и тот же эле-
элемент g, эквивалентны.
Утверждение F) — основная теорема; остальные утверждения
представляют собой вспомогательные леммы по образцу доказа-
доказательства Ван-дер-Вардена [1948] аналогичного результата для
свободных произведений. Из основной теоремы вытекает как
следствие тот факт, что каждая предгруппа точным образом
содержится в своей универсальной группе.
Существует много примеров предгрушг; в частности, один из
них дает свободное произведение с объединенной подгруппой,
а другой — объект, который мы будем обозначать через AF-^ ср.
Имеются и более эксцентричные примеры. Перед тем как приво-
приводить все эти примеры, мы докажем саму теорему.
З.А.2. Леммы A)—C)
В этом и следующем пунктах мы предполагаем, что Р — фикси-
фиксированная предгруппа.
З.А.2.1. (х-1)-1 = х.
Доказательство. Применим аксиомы D), B) и A)
к произведению
хх-1 (х-1)-1.
З.А.2.2. Если ах определено, то определено а (ах) и а'1 (ах) =
= х. Двойственным образом, если ха определено, то определено
(ха) а и (ха) а = х.
Доказательство. По аксиоме B) а~1а определено и рав-
по 1. Поэтому по аксиомам D) и A) а (ах) определено и равно>
(а^а) х = х. Двойственный случай рассматривается аналогично.
З.А.2.3. Если ха и а~ху определены, то "ху определено тогда
и только тогда, когда определено (ха) (а~1у), и в этом случае ху =
= (ха) (а-1у).
298 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия З.А
Доказательство. К произведению элементов х, а,
(а~гу) применяем аксиому D) и лемму З.А.2.2.
З.А.2.4. Если ха и а~*у определены, то слово (х, у, z) редуциро-
редуцировано тогда и только тогда'-когда редуцировано слово (ха, a~ly, z).
Двойственным образом, слово (z, х, у) редуцировано тогда и только
тогда, когда редуцировано слово (z, ха, а~гу).
Доказательство. Нам надо показать, что если слово
(х, у, z) редуцировано, то слово (а~гу) z не определено. Предполо-
Предположим, что (а~гу) z определено, и рассмотрим {х, a, a~ly, z). По акси-
аксиоме E) определено либо слово х (а (а~гу)), либо слово (a (a~ly)) z
(слово а (а~1у) определено, в силу лемм З.А.2.1 и З.А.2.2). Так как
а (a~xy) = у, то в обоих случаях слово (х, у, z) не редуцировано.
Следовательно, {a~ly) z не определено, если (х, у, z) редуцировано;
на основании З.А.2.3 мы заключаем, что (ха) (а~1у) также не опре-
определено; поэтому (ха, а~ху, z) редуцировано.
Обратное и двойственное утверждения доказываются точно
так же.
Можно показать, что аксиома E) следует из аксиом A) — D)
вместе с З.А.2.4. Аксиомы A) — D) являются разумными и есте-
естественными, а лемму З.А.2.4 мы хотим использовать для определе-
определения классов эквивалентности редуцированных слов. Поэтому нам
и нужна аксиома E).
З.А.2.5. Если слово (х, у) редуцировано и определены слова ха,
а^у, уЪ, то определено и слово (а~ху) Ь.
Доказательство. Если бы это было не так, то на осно-
основании леммы З.А.2.3 слово (ха, а~1у, Ь) было бы редуцированным.
Поэтому, в силу леммы З.А.2.4, было бы редуцированным слово
(х, у, Ъ) в противоречие с тем, что слово уЪ определено.
З.А.2.6. Если слово (х, у) редуцировано и слова ха, а~1у, (ха) Ь,
Ь'1 (а~ху) определены, то определено слово аЪ.
Доказательство. Дважды воспользовавшись леммой
З.А.2.3, получим, что слово {{ха) Ь) (Ь~* {а~гу)) не определено.
Применим аксиому E) к {х~1, ха, Ь, Ь'1 (а^у)}; фигурирующие
в этой аксиоме последовательные попарные произведения опреде-
определены на основании леммы З.А.2.2; произведение последней тройки
пе определено. Следовательно, по аксиоме E) определено произве-
произведение первой тройки. Но по аксиоме D) х~1 ((ха) Ъ) = (х'1 (ха)) Ь =
= аЪ (последнее равенство имеет место в силу леммы З.А.2.2).
З.А.2.7. Лемма A). Пусть X = (хи . . ., хп) — некоторое
редуцированное слово и А = (а1, . . ., ап_х) — произвольное слово.
Положим а0 = ап = 1 и предположим, что слова х{аг и ajLiXi
З.А Гл. 3. Комбинаторная теория групп 299
все определены. Тогда все слова (ajLixt) at определены и слово Y =
= X * А = (#!%, а11х2а2, ¦ ¦ -, a^-i^n) редуцировано.
Доказательство. Применяем леммы З.А.2. 4 и З.А.2.5
к подсловам слова X; из леммы З.А.2.5 следует, что слово
(ajLiXi) at определено. Иа основании аксиомы D) скобки можно
опустить. По теореме З.А.2.4 слово X * А редуцировано.
З.А.2.8. Обозначения. Через Rn или Яп (Р) будем обозначать
множество редуцированных слов в Р длины п. Через Р71'1 обозна-
обозначим множество всех слов в Р длины п — 1. Если А =
= (аи . . ., ап_^) и В = (Ъг, . . ., bn.j) ? Pn~l и если слова
afti определены для всех i, то через АВ мы обозначаем слово
. . ., ап-i&n-i).
З.А.2.9. Если X ? Rn, А, В ? Рп~1 и определены слова X * А
и (X * А) * В, то определено слово АВ и
(X * А) * В = X * (АВ).
Доказательство. Применяя лемму З.А.2.6 к подсловам
слова X, получаем, что АВ можно определить. То, что (X * А) *
* В = X * (АВ)-, следует из аксиом D) и C).
З.А.2.10. Определение. Определим отношение да на Rn сле-
следующим образом:
(хг, . . ., хп) « (ylt . . ., уп)
тогда и только тогда, когда существует такое слово (аг, . . ., an-i) б
б р"-1, что все слова хгаг и atL\Xi определены и yt = ail^a;.
Другими словами, X да У тогда и только тогда, когда существует
такое слово А, что У = X * А.
З.А.2.11. Лемма B). Отношение да является отношением экви-
эквивалентности на Rn.
Доказательство. Для / = A, . . ., 1) имеем X =
= X * /, поэтому X да X. Если для А = (а1, . . ., an_±) положить
А'1 = (ai1, . . ., a^-i), то ясно, что Y — X * А тогда и только
тогда, когда X = Y * А ~и, поэтому X да Y влечет за собой Y да X.
Пусть, наконец, Y = X*AnZ = Y*B. Тогда по лемме З.А.2.9
можно определить слово АВ и Z = X * (АВ). Следовательно, если
X да Y и У да Z, то X да Z.
З.А.2.12. Определение. Будем обозначать через Д или Д (Р)
объединение всех Rn, п = 1, 2, . . . . Для каждого a ? Р и каждого
X ? R определим слово А,а (X) следующим образом. Пусть
X = (^1, ж2, х3, . . .)¦
300 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 3-А
A) Если слово (а, хг) редуцировано, то
ка (X) = (а, ху, х2, . . .)•
B) Если ах1 определено, но (ахг, х2) редуцировано, то
C) Если ахг и (axt)x2 определены, то
К (X) = ((ахг) хг, xs, . . .)•
В B) мы включаем в качестве вырожденного тот случай, когда
слово ахх определено, а X имеет длину один.
З.А.2.13. Лемма C). Если слово X редуцировано, то редуцирова-
редуцировано и слово %а (X).
Доказательство. В случаях A) и B) наше утверждение
очевидно. В случае C), когда слова axv (ахг) хг определены, но
слова ххх2, хгх3 не определены, мы должны показать, что слово
((ах^ ж2) х3 не определено. Предположим противное и применим
аксиому E) к {xlt ж71а~1, (ах^ х2, хг) — это можно сделать, если
{(aXi) x2) х3 определено. Мы получим, что из двух слов хгх2 и хгх%
хотя бы одно определено. Но это противоречит редуцированности
слова X.
З.А.З. Лемма D)
Здесь доказывается
З.А.3.1. Лемма D). Если слово X редуцировано, а слово аЬ опре-
определено, то каь (X) fa %a (кь (X)).
Доказательство. Доказательство состоит в рассмо-
рассмотрении различных возможных случаев. Пусть X = (хъ . . ., хп).
Случай 1. Слово Ьхг не определено. Тогда
кь (X) = (Ь, хх, . . ., хп).
Подслучай lv Слово (ab) хг не определено. При применении %а
мы находимся в ситуации 3.А.2.12B). Поэтому
К (Кь (X)) = (ab, xlt . . ., хп) = ^аЬ (X).
Подслучай 12. Слово (ab) xt не определено. Мы находимся
в ситуации 3.А.2.12C). Поэтому
К (Кь (X)) = ((ab) хи х2, . . ., хп).
Из леммы З.А.2.13 следует, что слово ((ab) xt) хг не определено^
поэтому, применяя каь к X, мы имеем случай 3.А.2.12B); следо-
следовательно,
Кь (X) = ((ab) хг, х2, . . ., хп) = Ха (Хь (X)).
¦З.А Гл. 3. Комбинаторная теория групп 301
Случай 2. Слово Ьхх определено, но не определено слово (Ьхг) х2.
Тогда
Хь (X) — (bxlt ж2, . . ., хп).
Подслучай 2Х. Слово а (Ьхг) не определено. Тогда слово (а, Ьхг)
редуцировано. Поэтому, в силу леммы З.А.2.3, также редуциро-
редуцировано слово (ab, Ъ'1 (bxj) = (ab, хг). В этом случае
Ха (Хь (X)) — (a, bxlf х2, . . ., хп),
Хаь (X) = (ab, хг, х2, . . ., хп).
Поэтому] каЬ (X) = (Ха (Хь (X))) * F, 1, . . ., 1).
Подслучай 2г. Слово а (Ьхг) определено. Тогда определено так-
также и слово (ab) хх и (ab) хх = а (Ъхг). Если (abx±) х2 не определено,
*го
Кь (X) = К (Хь (X)) = (аЪхх, х2, . . ., хп).
Если (аЬхг) х2 определено, то
Кь (X) = К (Хь (X)) = ((abxt) xt, х„ . . ., хп).
Случай 3. Слова Ъхг и (Ьхг) х2 определены. Тогда
Кь (X) = ((Ьхг) х2, х3, . . ., хп).
Подслучай 3V Слово а (Ьху) пе определено. Этот подслучай
никогда не встречается. В самом деле, если бы слово а (Ьх-^) было
не определено, то не определено было бы и слово (ab) xu и мы
имели бы
ХаЬ (X) = (ab, хи . . ., хп) « (а, Ьхх, хг, . . ., хп).
Поэтому па основании леммы З.А.2.4 слово (bXj)x2 не было бы
определено в противоречие с предположением для случая 3.
Подслучай 32. Слово а (Ьхг) определено. Тогда слово (ab)xx
определено и равно a (bxj).
Подподслучай S2j. Слово (аЬхг) хг не определено. Тогда пе
определено также и слово a ((bxj x2). Следовательно,
Хаь (X) = (abxx, х2, . . ., хп),
Ха (Кь (X)) = (a, (bxj) х2, х3, . . ., хп)
и потому
Кь (X) = (Ха (Хь (X))) * (Ьхи 1, .... 1).
Подподслучай 32 . Слово (abxj x2 определено. Тогда определено
слово (a (bxt)) х2 — a ((bxj x2) и
Кь (X) = ((abxx) х2, х3, . . ., хп).
302 Дж. Стеллите. Теория групп и трехмерные многообразия З.А
Значит, ((abxj) я2) х3 не определено, и потому
ка (Хь (X)) = ((abxj хг, х3, . . ., хп) = КаЬ (X).
Этим исчерпаны все возможные случаи, и, следовательно,
лемма D) доказана.
З.А.4, Лемма E) и основная теорема
Для предгруппы Р у нас имеется множество R (Р) всех реду-
редуцированных слов в Р, на котором задано отношение эквивалент-
эквивалентности «. Обозначим через R (Р) множество классов «-эквива-
«-эквивалентности.
З.А.4.1. Лемма E). Для всех а ? Р отображение %а: R (Р) -*-
-*¦ R (Р) индуцирует отображение R (Р) -*¦ R (Р), также обо-
обозначаемое через Ха.
Доказательство. Нам надо показать, что если Y =
= X * В, то Ха (X) « Ха (F). Пусть X = {хх, . . ., хп) и В =
= (blt . . ., bn-i). Возможны три случая.
A) Слово ахг не определено. В этом случае
ьо СП = (К (X)) *в',
где
В' = A, Ьх, . . ., bn-J.
B) Слово ахг определено, но (ах^ х2 не определено. В этом
случае
К (Y) = (К (X)) * В.
C) Слова . хг и (ах^} х2 оба определены. В этом случае
Ха (Y) = (К (X)) * В",
где
В" = (Ь2, . . ., &»_!).
Приведенные формулы устанавливаются так. В каждом из слу-
случаев мы выписываем слово Ха (X); выражение в правой части
доказываемой формулы определяет некоторое редуцированное
слово, исследуя которое, мы убеждаемся, что это как раз Ха (Y).
Например, в наиболее трудном случае C)
К (X) -= ((axj х2, х3, . . ., хп).
Произведение (ахг) x2b2 определено, в силу утверждения, двойст-
двойственного лемме З.А.2.5, так как (х2, х3) редуцировано, хгЬ2 и Ъ~^х.л
определены и (ахг) хг определено. Аналогично, ахфх определено.
Следовательно,
(Ь) b1^ = (aj/i) уг
3,A ' Гл. 3. Комбинаторная теория групп 303
определено на основании леммы З.А.2.3, и потому мы имеем
Xa(X)*B"—((axi)x2b2, Ъ^х3, Ъ3, ..., Ь^хп) =
bi) Ъ?х2Ъ2) ..., Ь^Хп) =
З.А.4.2. Определение. Пусть Р и Q — предгруппы. Функция
ф: Р —*¦ Q называется морфизмом предгрупп (или предгрупповым
морфизмом), если для всех х, у 6 Р, для которых ху определено,
определено ф (х) ф (у) и ф (ху) = ф (х) ф (у).
Класс предгрупп с предгрупповыми морфизмами представляет
собой расширение категории групп и гомоморфизмов. На основа-
основании «абстрактной чепухи» (теорема о сопряженном функторе)
существует функтор, косопряженный функтору включения. Это
дает нам универсальную группу U (Р) произвольной предгруппы Р,
т. е. для всякой предгруппы Р существуют такая группа U (Р)
и такой специальный (предгрупповой) морфизм i: Р -*¦ U (Р),
что для каждой группы G и всякого морфизма ф: Р -*- G существует
единственный гомоморфизм (групп) ip: U (Р) -*- G, такой, что
Ф = гр о I.
З.А.4.3. Пусть S — группа перестановок множества R (Р).
Тогда X — морфизм предгруппы Р в S.
Доказательство. Так как Х± — тождественное отобра-
отображение R (Р) на себя и Хх о kxri:= A^-i ° Хх = Xlt ввиду леммы
З.А.3.1, то каждое Хх принадлежит S. Следовательно, можно
переформулировать лемму З.А.3.1, сказав, что К является мор-
морфизмом.
З.А.4.4. В силу свойства универсальности, Я единственным
образом распространяется до гомоморфизма, также обозначаемого
через X, группы U (Р) в S. Значение X на g 6 U (Р) мы будем обо-
обозначать через Xg: R (Р) -> R (Р).
Так как i (Р) порождает U (Р), то каждое g ? U (Р)
может быть записано в виде g = i (хг) i (хг) . . . i (xn), где
(хг, х2, . . ., хп) — некоторое слово в Р. После применения редук-
редукций к этому слову мы получаем редуцированное слово (хх, х%, . . .
. . ., хп), такое, что
g = i (xj) i (хг) ... i (хп).
Обозначим через Л слово A) длины один. Имеет место формула
Xg ([Л]) = Xxl (XXi (. . . (ХХп ([Л])) ...)) = [(х1т х2, . . ., хп)\.
Здесь [ ¦] обозначает класс «-эквивалентности. Каждое приме-
применение Хх относится к случаю 3.А.2.12A).
304 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия З.А
Таким образом, g определяет класс редуцированных слов, кото-
который представляет g.
З.А.4.5. Теорема. Каждый элемент g универсальной группы
U (Р) предгруппы Р может быть представлен произведением
ссх хг '. . . хп для некоторого редуцированного слова (хх, . . ., хп)
<в Р. Два таких редуцированных слова представляют один и тот
же элемент группы U (Р) тогда и только тогда, когда они та-экви-
•валентны. (Здесь мы, чтобы упростить обозначения, отождествили
х?Р с i(x)eU (P).)
Доказательство. Утверждение «только тогда» мы
только что доказали. Утверждение «тогда» устанавливается
тривиальным вычислением: если g = хххг . . . хп, то g =
= (ЗД) (а;1х2а2) . . . (a2-ixn).
З.А.4.6. Следствие. Всякая предгруппа Р точным образом
содержится в своей универсальной группе U (Р).
Это значит, что специальный морфизм i: P -*~ U (Р) является
инъективным. Это следует из теоремы, так как ни одно слово длины
1 не эквивалентно никакому другому слову.
З.А.5. Примеры
З.А.5.1. Самый стандартный пример предгруппы получается
так. Возьмем три группы А, В, С и два мономорфизма ср: С -*¦ А,
ур: С -*~ В и отождествим ф (С) с ip (С); тогда А [\ В = С. Положим
Р = A U В. Что такое элемент 1 и обратные элементы, очевидно;
произведение двух элементов х и у определено тогда и только тогда,
когда они оба принадлежат либо А, либо В. Ясно, что все аксиомы
A) — D) удовлетворяются. Что касается аксиомы E), то здесь
дело сводится к рассмотрению ряда простых случаев, в каждом
из которых ее справедливость легко устанавливается. Универсаль-
Универсальная группа этой предгруппы — не что иное, как свободное произ-
произведение с объединением А *с В.
З.А.5.2. Вот подобный, но более общий случай. Дерево групп
определяется заданием
(a) некоторого частично упорядоченного множества / (с отно-
отношением порядка, обозначаемым символом ¦<), имеющего наимень-
наименьший элемепт и такого, что для всех i, j, k 6 I, если i ^.k и / ^ k,
то либо i ^ ], либо j ^ i (такое упорядоченное множество пред-
представляет собой некую разновидность абстрактного дерева);
(b) некоторого класса групп {(?,}, индексированного элемен-
элементами i 6 /;
(c) для любых i, j ? /, таких, что i <C7,— некоторого моно-
мономорфизма фг^: Gt -*¦ Gj.
З.А Гл. 3. Комбинаторная теория групп 305
Эта структура должна удовлетворять следующему условию:
для всех i, j, к ? I, если ? </ <ik, то
4>ih° 4>ij—4>ik- Gi -»- Gft.
Как и в предыдущем примере, мы можем сконструировать пред-
груипу Р, взяв в качестве нее объединение всех {<?;}, в котором
производится отождествление элементов х ? G; и ер,; (х) ? Gj. Чита-
Читатель может проверить, что, в силу указанных свойств дерева, Р
является предгрушгой с очевидными операциями. Универсальные
группы таких предгрупп включают в себя все обычпые свободные
произведения с объединением, в которых объединение происходит
по многим группам.
З.А.5.3. Рассмотрим некоторое свободное произведение с объеди-
объединением А *с В. Пусть Р — подмножество всех таких элементов,
которые можно записать в виде ЬаЬ' для некоторых Ь, Ь' ? В
иа?4; следовательно, Р содержит А, В а сверх того еще другие
элементы. Скажем, что произведение ху двух элементов х, у ? Р
определено, если ху ? Р. Используя структуру (определенную
при помощи редуцированных слов в A [J Вит. д.) i *c В, можно
доказать, что Р — предгруппа. Универсальной группой пред-
группы Р является снова А *с В; но структура А *с В, опреде-
определенная посредством слов в Р, отличается от структуры, опреде-
определенной посредством А [} В.
З.А.5.4. Рассмотрим некоторую группу G с подгруппой Н.
Пусть Р как множество совпадает с G, а произведение х и у опре-
определено тогда н только тогда, когда по крайней мере один из эле-
элементов {х, у, ху} принадлежит подгруппе //. Тогда Р — предгруп-
предгруппа, и ее универсальная группа не очепь-то похожа на свободное
произведение с объединенной подгруппой.
З.А.5.5. Пусть G — пекоторая группа, Н — ее подгруппа
и <р: // ->• G — некоторый мономорфизм. Построим четыре множе-
множества, элементы каждого из которых находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии с элементами группы G:
G, х~Ю, Gx, х~Юх.
Отождествим h 6 Н a G с х~\ {К) х 6 x~xGx. Определим умноже-
умножение между G и G, G и Gx, x~xG и G, x~xG и Gx, Gx и x~lG, Gx и x^Gx,
x~^Gx и x'xG, x~lGx и x~xGx посредством сокращения хх'1 и умно-
умножения в G. Формулы
hx'1 = х-1(р (h) и xh = ф (h) x,
вытекающие из отождествления Н и х~1ф (Н) х, определяют про-
произведение во всех случаях, когда один из сомножителей принадле-
принадлежит //. Это чудовище является предгруппой, универсальную
группу которой мы будем обозначать через Gn <~~':э ф.
20 у. Масси, Дж. Столлингс
306 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия З.В
З.В. Биполярные структуры и конечные подгруппы,
по которым происходит объединение
Сейчас мы рассмотрим некую комбинаторную теоретико-груп-
теоретико-групповую структуру, более конкретную, чем та, которой мы занима-
занимались в предыдущем параграфе. Она доставляет обобщение понятия
свободного произведения с конечной объединенной подгруппой.
З.В.1. Биполярная структура на группе G — это разбиение
ее на шесть не пересекающихся между собой множеств
F, S, ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*,
удовлетворяющих аксиомам, перечисленным ниже. Пусть X, Y, Z
означают Е или Е*, причем если X — Е или Е*, то X* = Е*
или Е соответственно. Аксиомы таковы:
1. F — некоторая конечная подгруппа группы G.
2. F U S — некоторая подгруппа группы G, в которой F
имеет индекс 1 или 2.
3. Если / 6 F, a g ? XY, то gf ? XY.
4. Если s 6 S, age XY, то gs ? XY*.
5. Если g 6 XY, то g-1 6 XY.
6. Если g 6 XY, a he Y*Z, то gh 6 XZ.
7. Для каждого элемента g 6 G найдется такое число N (g),
что для всякого представления этого элемента в виде g =
= ?ig2 • ¦ ¦ gn, где gi 6 Xf-iXi для некоторых Хо, Хг, . . ., Хп,
обязательно п ^ N (g)
8. ЕЕ* Ф 0.
В какой-то степени аксиомы 7 и 8 необязательны в том смысле,
что многое может быть доказано и без них. В аксиоме 7 заключено
условие порождаемости группы G «неприводимыми» элементами,
а аксиома 8 обеспечивает некоторого рода нетривиальность.
Элементы подгруппы F являются, так сказать, стабилизаторами
структуры, а элементы из множества S, которое может быть и пу-
пустым,— инволюциями.
З.В.2. Говорят, что элемент р ? G неприводим, если либо
р g F 1) S, либо р ? XY и при этом р нельзя записать в виде
р = gh, где g 6 XZ, a h ? Z*Y. Другими словами, элемент р непри-
неприводим, если аксиома 7 выполняется при N (р) = 1.
3.8.2.1. Каждый элемент группы G представим в виде произве-
произведения конечного числа неприводимых элементов.
Это следует из аксиом 7 и 6.
3.8.2.2. Если g 6 XY, p ? YZ up — неприводимый элемент,
то. либо gp 6 F 1) S, либо gp 6 XW для некоторого W.
З.В Гл. 3. Комбинаторная теория групп 307
Доказательство. Есть лишь одна возможность, отлич-
отличная от указанных в формулировке утверждения, а именно gp ?X*W.
Тогда по аксиоме 5 g'1 6 УХ. Так как р — (g") (gp), то по
определению элемент р не может быть неприводимым.
3.8.2.3. Двойственным образом, если g ? XY, р ? ZX и р непри-
неприводим, то pg 6 WY для некоторого W или pg 6 F U &•
3.8.2.4. Если элементы р ? XY и q 6 YZ оба неприводимы,
то элемент pq лежит в F [} S [} XZ и неприводим. Если pq ?
6 F U S, то pq ?F, когда X = Z, и pq ? S, когда X = Z*.
Доказательство. Если pq ? F, то, в силу аксиом 5 и 3,
q — р'1 (pq) б УХ и поэтому X = Z. Все остальные утверждения
нашего предложения, за исключением неприводимости элемента
pq, уже доказаны в З.В.2.2 и З.В.2.3. Если элемент pq не является
неприводимым, то он принадлежит XZ и pq = gh, где g ? XVF
и h ? W*Z для некоторого И7. Тогда р = g (hg'1) и по аксиоме 5
и предложению З.В.2.3 hg~l 6 ТУ*С/ для некоторого U или
/ig ^ F U 5. Так как р пеприводим, то не может случиться, чтобы
hq~x ? И^*С/. Если hq ? F, то из аксиомы 3, примененной к р =
= g (hq'1), и аксиом 1, 3 и 5, примененных к^ = [h~x (hq'1)]'1,
следует, что р ? XW и д ? W*Z, а это противоречит тому, что
р ^ ^^г. <7 6 ^Z. С другой стороны, если hq'1 6 ?> то, применяя
аксиомы 1, 4 и 5 к тем же произведениям, видим, что р ? XVF*
и д 6 WZ, что снова приводит к противоречию. Следовательно,
произведение pq должно быть неприводимым.
3.8.2.5. Если р ? XY, q 6 F \j S и элемент р неприводим, то
произведение pq неприводимо.
Доказательство вполне аналогично доказательству предложе-
предложения З.В.2.4.
3.8.2.6. Если элемент р неприводим, то неприводим и эле-
элемент р.
3.8.2.7. Если а, Ь, с, ab, be неприводимы и Ь ($ F \] S, то произ-
произведение аЪс неприводимо.
Доказательство. Если Ь 6 XY, то, в силу З.В.2.4
и З.В.2.5, либо аЪ 6 F U S, либо аЬ 6 ZY. Если аЬ 6 F [} S,
то, согласно З.В.2.5 и З.В.2.6, произведение аЬс неприводимо.
Если аЪ 6 ZY и с 6 F (J S, то аЬс неприводимо, ввиду З.В.2.5,
а если аЬ 6 ZY и с Q F {} 5, то мы должны иметь с ? УТУ, так как
Ьс неприводимо; в этом случае, чтобы установить неприводимость
аЬс, мы применяем З.В.2.4, учитывая, что аЪ ? ZY.
3.8.2.8. Если элементы а, Ь, с, d, ab, be, cd неприводимы, то
либо abc, либо bed неприводимо.
20*
308 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия З.В
Действительно, согласно З.В.2.7, в противном случае и Ъ и с
принадлежали бы F \j S, так что Ьс ? F [j S, а тогда, в силу
З.В.2.5 и З.В.2.6, abc и bed оба неприводимы.
з.в.з.
3.8.3.1. Пусть множество Р состоит из неприводимых эле-
элементов группы G, a D — из таких упорядоченных пар (а, Ь) ?
6 Р X Р, что произведение а на b в группе G принадлежит Р,
т. е. аЬ 6 Р. Тогда множество Р с той же единицей и той же опе-
операцией взятия обратного элемента, что и в G, и с той же операцией
умножения, что и в G, но только суженной на D, является пред-
группой.
Доказательство. Это легко следует из того факта, что
G — группа, и из предложений З.В.2.6 и З.В.2.8.
Теперь мы можем говорить о редуцированных словах в пред-
группе Р; оказывается, что слово (р1У . . ., рп) при п > 1 редуци-
редуцировано тогда и только тогда, когда существуют такие Хо, Х1? . . .
. . ., Х„, что pi 6 Xf-iXi.
3.8.3.2. Пусть (рг, . . ., рп) и {qx, . . ., qn) — два таких реду-
редуцированных слова в Р, что
PlPi ¦ • • Рп = ?1?2 • • • Чт-
Тогда т = п и существуют такие сг, . . ., сп_? ? F (J S, что
qt — cjlyPiCi для всех i (где с0 = сп = 1).
Доказательство. Предположим, что п ^ т, и дока-
докажем предложение ипдукцией по п.
Если га = 1, то должно быть также т = 1, так как элемент
Pi = ЯгЯг ¦ • • Чт неприводим; при этом pt = q±.
В случае п > 2, если ргр2 . . . Pn-tfn = q-Дг • ¦ • Чт = g, то
g ? XY для некоторых X и У и потому рп 6 #Y. gm 6 VY для
некоторых Е/ и V, а значит, д^р 6 V"C/ или ^ [J S и дтрй* непри-
воДимо. Согласно З.В.2.4, если qmp? g VU, то (д^ д2. • •
ЧтР'п) — все е1Де редуцированное слово, так как gm_x
поэтому
• • Чт-i (ЧтРп),
и, следовательно, по индукции п — 1 = т в противоречие с пред-
предположением, что п ^. т.
Таким образом, дтр^ 6 ^ U «5; значит, слово {qx, g2, ...
• • ч <7m-i (^mPri1)) редуцировано; следовательно, по индукции
и. — 1 = ттг — 1, и существуют такие сх, с2, . » ., cn_x g F [} S, что
9i = c7VA Для i<ra—1,
З.В Гл. 3. Комбинаторная теория групп 309
По определению cn_1 = (gn/)~1) = png~1, чем шаг индукции и завер-
завершен.
З.В.3.3. Группа G является универсальной группой предгруппи
Р неприводимых элементов в биполярной структуре.
Это следует из З.В.3.2 и З.В.2.1.
З.В.4. Пусть па группе G задана некоторая биполярная струк-
структура. Полагаем по определению
(?! = F U {неприводимые элементы из ЕЕ),
G2 = F U {неприводимые элементы из Е*Е*}.
3.8.4.1. Gx и (?2 являются подгруппами группы G.
Это следует из аксиом 1, 3, 5, предложения З.В.2.4 и того
наблюдения, что если х, у 6 ЕЕ, то ху не принадлежит S (действи-
(действительно, в противном случае, согласно аксиомам 5 и 4, элемент
у = х'1 (ху) принадлежал бы ЕЕ*).
3.8.4.2. Если S ф 0, то G = {F [j S} *F Gv
Доказательство. Пусть s ? S. Тогда неприводимые
элементы биполярной структуры образуют множества
Gt a F U ЕЕ, sG1dS\j E*E,
Gjs a S U ЕЕ*, sG^ = G2 a F [j E*E*.
Сравнивая с примером З.А.5.3, мы видим, что наша предгруппа
неприводимых элементов изоморфна предгруппе этого примера,
где вместо А ж В следует взять Gx и F [} S соответственно. Следо-
Следовательно, универсальная группа представляет собой свободное
произведение с объединенной подгруппой.
3.8.4.3. Если S = 0 и в ЕЕ* нет неприводимых элементов,
то G = (?! *F (?2.
Доказательство. В этом случае предгруппа неприво-
неприводимых элементов есть просто Gx U G2, и мы по существу оказы-
оказываемся в ситуации примера З.А.5.1.
3.8.4.4. Если S = 0 и в ЕЕ* существует неприводимый эле-
элемент t, то tFt'1 cz (?!, и если отображение ср: F -> G± определено
правилом f i-> tft~x, то G = G1F <~=> ф.
Доказательство. Если / ? F, то по аксиоме 3 и пред-
предложению З.В.2.5 элемент tf неприводим в ЕЕ* и потому, в силу
З.В.2.4, элемент (tf) t*1 неприводим в ЕЕ и принадлежит F, а сле-
следовательно, принадлежит Gx. Мы можем построить из t и Gx целую
предгруппу неприводимых элементов; так, например, если х 6
6 Е*Е, то tx 6 Gx a F [} ЕЕ и потому х = t'1 (tx); неприводимые
310 Дж. Спеллинге. Теория групп и трехмерные многообразия З.В
элементы образуют тогда множества
Gx a F U ЕЕ, t-1^ с Е*Е,
GJ <=ЕЕ*, t^Gjt = G2 aF U E*E*.
Эти четыре множества попарно не пересекаются, за одним исклю-
исключением: Gx П t~xGxt = F = Г1 (ф ()
Сравнивая с примером З.А.5.5, видим, что наша предгруппа
в точности изоморфна описанной: там предгруппе; следовательно,
универсальной группой G будет, как мы ее там обозначили,
GlF «—:э ф.
3.8.5. Если группа G снабжена биполярной структурой, удов-
удовлетворяющей аксиоме 8 {аксиоме нетривиалъности), то эту группу
можно представить в одном из двух видов
A *F В либо AF "*~з ф,
где F — некоторая конечная подгруппа группы G, причем в первом
случае группа F является собственным подмножеством как в А,
так и в В.
Доказательство. Это — итог результатов пункта
З.В.4. Если бы, скажем, F — В в первом случае, то G = А и, в силу
З.В.4.2 и З.В.4.4, группа G должна была бы состоять только либо
из F U S, либо из F U ЕЕ; в обоих случаях ЕЕ* = 0, в проти-
противоречие с аксиомой 8.
3.8.6. Топологическое замечание. Пусть КА и Кв — комплексы
с фундаментальными группами А и В соответственно, пересекаю-
пересекающиеся по некоторому связному подкомплексу с фундаментальной
группой F = А П В. По теореме Зейферта [1931] — ван Кампена
[1933] фундаментальная группа комплекса КА [} Кв равна A *F В.
Если КА содержит два изоморфных подкомплекса KF и K'F
с фундаментальными группами F и ф (F) соответственно и мы
приклеиваем к комплексу КА цилиндр KF X [0, 1], отождествляя
KF с KF X 0, а К'р с Кр X 1, то мы получим комплекс с фунда-
фундаментальной группой AF *~г> ф. Это также следует из теоремы
Зейферта — ван Кампена.
Таким образом, комбинаторная ситуация биполярной струк-
структуры до некоторой степени аналогична топологической ситуации.
Эта топологическая картинка очень полезна для интуиции. Для
случая S Ф 0 соответствующая картинка несколько сложнее
и включает в себя приклейку цилиндра отображения некоторого
связпого пространства, являющегося двулистным накрытием дру-
другого. Интересно было бы исследовать, при каких видах отожде-
отождествления получаются пространства, фундаментальные группы
которых имеют естественные структуры, аналогичные бипо-
биполярным.
Г лава 4
ТЕОРИЯ КОНЦОВ
4.А. Концы групп
К теории концов можно подходить либо с комбинаторной, либо
с топологической точки зрения. Здесь мы выбираем первый подход.
4.А.1. Пусть G — некоторая группа. Через Л или Л (G)
мы обозначаем булеву алгебру всех подмножеств группы G. При
этом А -\- В обозначает симметрическую разность А и В, АВ —
их пересечение. (Здесь можно перепутать пересечение и множество
всех произведений ab в G. В данном параграфе под АВ всегда пони-
понимается пересечение.) Далее, 1 обозначает саму группу G — единич-
единичный элемент алгебры ^,аО — пустое множество 0; А* — 1 -f- A —
= G \ А — обозначение для дополнения. На Л имеются совме-
совместимые друг с другом левое и правое действия группы G, являю-
являющиеся автоморфизмами алгебры Л.
4.А.2. Для g ? G пусть Vg (А) = А ~\- gA. Мы можем выписать
для этой простой операции несколько правил:
Vg (AB) = Vg (А) В + (gA) Vg (В),
Vg (A) — 0 для всех g =>- A = 0 или A = 1.
4.A.3. Обозначим через 3F подмножество алгебры А, состоящее
из всех конечных подмножеств группы G. Множество ,F есть идеал
в Л, замкнутый относительно лево- и правостороннего действия
группы G на Л -а. относительно операции Vg для всех g.
Обозначим, далее, через Q (G) или просто Q множество всех
А ? Л, таких, что Vg (А) 6 .? для всех g ? G. Из свойств операции
312 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.А
Vg следует, что Q — подалгебра алгебры <Л, содержащая ,f, и что
алгебра Q замкнута относительно левого и правого действий груп-
группы G.
Пусть % (G) или просто % обозначает факторалгебру Q {G)L?.
Тогда § — булева алгебра с правым действием группы G; инду-
индуцированное левое действие группы G на § тривиально; фактиче-
фактически % является как раз подгруппой в Jtl.F, инвариантной отно-
относительно действия группы G слева.
Структурная теорема для булевых алгебр утверждает, что
Е — пространство максимальных идеалов алгебры % — является
0-мерным компактным хаусдорфовым пространством и что алгебру
§ можно отождествить с классом открыто-замкнутых подмножеств
в Е. Пространство Е называется пространством концов группы G;
числом концов называется при этом (все бесконечные числа ото-
отождествляются) размерность % как векторного пространства над
GF B).
4.А.4. Пусть Т — любое множество, порождающее группу G.
Из свойств, перечисленных в пункте 4.А.2, следует, что алгебру
Q (G) можно определить лишь в терминах множества Т. А именно:
Q(G) = {A?Jl: Vt(A)€& Для всех t?T).
Граф группы G по отношению ко множеству Т, обозначаемый
через Г (G, Г), состоит из двух множеств Го = G, Т1 = Т X G
и двух функций у17 v2: I\ ->- Го, определяемых формулами
vx (t, g) = g, v% {t, g) = tg. Множество Т порождает G тогда и
только тогда, когда граф Г связен. Группа G действует справа
на графе Г.
Посмотрим на коцепи mod 2 графа Г. Нульмерные коцепи
можно отождествить с элементами алгебры Л (G). Кограница
некоторой такой 0-коцепи А на ребре (t, g) принимает значение,
равное 0, если g и tg принадлежат одновременно либо А, либо А*,
и значение, равное 1, в противном случае. Таким образом,
6Л = {(*, g): g e V,-i (A)}.
Отсюда следует, что в случае, когда Т — конечное множество,
А 6 Q (G) тогда и только тогда, когда 8^4 конечно.
4.А.5. Теперь мы хотели бы сказать несколько слов, относя-
относящихся к локально (конечным графам Г вообще. Пусть Q (Г) —
множество 0-коцепей Л, кограница 8A которых конечна, и % (Г) —
булева алгебра Q (Г) (конечные 0-коцепи); под концом графа Г
понимается максимальный идеал в § (Г).
Таким образом, в том случае, когда граф является графом
группы по отношению к некоторому конечному порождающему
ее множеству, можно отождествить концы группы и концы графа.
4.A Гл. 4. Теория концов 31$
4.А.6. В этом пункте мы перечислим более или менее классиче-
классические теоремы о концах групп, см. Фрейденталь [1945], Хопф-
[1943]. При этом мы используем абстрактное определение, не делая,
если специально не оговорено противное, никаких предположений
относительно конечной порожденное™. Потом мы приведем дока-
доказательства.
4.А.6.1. Если N — конечная нормальная подгруппа группы Gr
то %{G)w% {GIN).
4.А.6.2. Если Я — подгруппа конечного индекса в G, то % (G) «
« % (Я).
4.А.6.З. Если G содержит некоторую конечно порожденную
бесконечную нормальную подгруппу Я бесконечного индекса в G,
то % (G) ж Z2 (т. е. G имеет один конец).
4.А.6.4. Пусть существуют такие А ? Щ (G), А Ф О, А Ф 1,
и бесконечное число таких элементов g ? G, что Ag = А. Тогда
если группа G конечно порожденная, то G имеет два конца.
4.А.6.5. Если G — конечно порожденная группа с двумя конца-
концами, то существует такая конечная нормальная подгруппа N, что
группа GIN либо бесконечная циклическая, либо изоморфна Z2 * Ъ.г
(бесконечная диэдралъная группа).
4.А.6.6. Если G — свободное произведение с конечной объединен-
объединенной подгруппой, G — A *F В, где F является собственной подгруп-
подгруппой как в А, так и в В, причем индекс группы в В не меньше 3, то G
имеет бесконечно много концов. Также если G = AF *~з ср, где F —
собственная конечная подгруппа в А, то G имеет бесконечно много
концов.
4.А.7. Доказательства
Доказательство теоремы 4.А.6.1. [N — конеч-
конечная нормальная подгруппа в G => % (G) « § (G/N).]
Пусть ср: G -*¦ GIN — естественный гомоморфизм факториза-
факторизации. Для A d GIN положим / {А) = ср (А) с G. Тогда /
индуцирует отображения Л {GIN) -*-Л (G), 2F {GIN) -> 2F {G),
Q {GIN) -у Q {G) и § {GIN) -> % (G). Пусть Я — множество пред-
представителей в G классов смежности из GIN, содержащее 1 ? .V.
Для В с= G положим s {В) = ср {В f] Я); отображение s задает
отображения на всех уровнях, в частности задает отображение
% {G) ~> § {GIN). Единственное, что здесь не совсем очевидно,
это что Vft (ср {В П Я)) конечно для всех h ? GIN, если Vg {В)
конечно для всех g ? G.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим В' = ср (ср {В)); эта
некоторое объединение классов смежности по N. Если Vg {В1}
314 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.А
конечно для всех g, то, как легко видеть, S/h (<р {В' f) Я)) конечно
для всех h. Но
В= \J{nB}\Bc
U
последнее же множество конечно. В этих вычислениях мы исполь-
использовали следующее тождество, имеющее место в любой булевой
алгебре:
U (A + Bi) = A U U {Д»}\ЛП П {Bth
г=1 г=1 г=1
Таким образом, В' отличается от В на некоторое конечное множе-
множество, и потому если В ? Q (G), то и В' ? Q (G).
Располагая теперь отображением s из % (G) в % (GIN), мы
замечаем, что отображение s/ (т. е. А -> ф (А) ->ф (Я f) ф (yl)))
тождественное и что для множеств вида В' отображение /s (т. е.
В' ->-ф (ЯП 5') -^-ф (ф (ЯП -В'))) тождественное. Следователь-
Следовательно, па уровпе Щ, где каждый элемент множества % (G) представ-
представляется посредством В', / и s — взаимно обратные отображения.
Доказательство теоремы 4.А.6.2. [Я с G,
\G : Я] < оо => % (G) ж g (Я).]
Лемма. Зто еерно гари дополнительном предположении, что
Я — нормальная подгруппа е G.
Пусть 4cG; отображение /: Jt (G) -+Л (Я), определенное
формулой / (Л) = Л П Н, индуцирует отображения на всех уров-
уровнях и, в частности, индуцирует отображение из % (G) в % (Я).
Пусть {gj, . . ., gn} — представители классов смежности Яg
с gy = 1; для В с Я положим s (В) = g^ U • • • U ?n# с: G.
Ясно, что s индуцирует отображение Д (H)-+Jh (G), при котором
/ (s (В)) = В; остается доказать, что s индуцирует отображение
на уровпе % и что s/ (А) -\-А конечно для А ? Q (G). Этим будет
показано, что на уровне % отображения «и/ являются взаимно
обратными.
Пусть В ? Q (Я), так что для всех h 6 Я множество Vft (¦#)
конечно; имеем
Vg (s (В)) = v
где ggi = gxiifii, hi 6 Я и т — некоторая перестановка множества
{1, • .... п).
4.A Гл. 4. Теория концов 315
Так как Vftf (В) конечно для всех ht, то множество Vg (s (В))
конечно. Проведенное выше вычисление показывает, что s инду-
индуцирует отображение % (Я) ->-$((?).
Для всякого А ? Q (G) имеем
- Jl (?ГИ + Л) П 0?i#) = Д Vg.D)
что представляет собой конечное множество. Отсюда вытекает,
что s/ индуцирует на % {G) тождественное отображение. Тем самым
лемма доказана.
Теперь докажем саму теорему 4.А.6.2. Пусть Н — подгруппа
конечпого индекса в G. Обозначим через К пересечение всех клас-
классов, сопряженных с Н. Подгруппа К — тоже конечного индекса
в G (фактически [G : К] ^ [G: Н]\) и нормальна в G. Значит, К —
нормальная подгруппа группы Н. По лемме % {G) та % (К)
и % (Н) ж g {К); таким образом, % (G) « %{Н).
Доказательство теоремы 4.А.6.3. [Н — нормаль-
нормальная бесконечная конечно порожденная подгруппа в G, [G: Н] = оо
=Ф % (G) = Z,.]
Пусть Л ? B (G). Надо показать, что А или А* конечно.
Пусть Т = {fe1? . . ., /in} — какое-нибудь конечное множество
образующих группы Н, a S — какое-нибудь множество предста-
представителей классов смежности из GIH. Для s ? S положим As =
= А П (#s). Тогда для Л,- g T имеем
VfcfD)- U УйЛЛ),
а так как А ? Q (G), то мы заключаем, что для всех s, кроме конеч-
конечного числа,
V/..U,) = 0.
Следовательно, для всех s, кроме конечного числа, и для всех
в этом случае (As) s'1 с: Я, и для всех ht ? Т имеет место формула
Используя последнее правило пункта 4.А.2 и вычисления пункта
4.А.4, получаем (Аа) s = 0 или = Н. Следовательно, для всех
s ? S, кроме конечного числа, имеем As = 0 или As = Hs;
в частности, существует такое s ? S, что Л8 = 0 или As == #s.
316 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.А
Если As = 0 для некоторого s, а для некоторого другого s*
множество As' бесконечно, то множество
пересекается с s'H по A's -j-s's^Ag = A's и, значит, бесконечно,
что противоречит условию А ? Q (G). Поэтому если As = 0 для
некоторого s, то Ая = 0 для всех s, кроме конечного числа, и ко-
конечно для остальных s. Таким образом, А конечно.
Аналогично, если А = Hs для некоторого s, то, применяя
приведенное выше рассуждение к Л*, получим, что А* конечно.
Замечание к теореме 4.А.6.3. Эту теорему можно применять
к группам G, не являющимся конечно порожденными. Например,
если Q — аддитивная группа рациональных чисел, являющаяся
расширением группы целых чисел (конечно порожденной беско-
бесконечной нормальной подгруппы) с бесконечной факторгруппой, то
% (Q) » Z2. Поэтому мы могли бы получить результат типа сле-
следующего. Пусть А — такое подмножество группы Q, что для всех
п множество
1 п)
отличается от А лишь на некоторое конечное множество; тогда
либо само А конечно, либо Q — А конечно.
Тем самым одновременно дается пример группы с одним кон-
концом, являющейся прямым пределом групп с двумя концами.
Можно рассмотреть и другие специфические случаи бесконечно
порожденных групп. Для аддитивной группы G = Ъп°° рациональ-
рациональных чисел mod 1, знаменатель которых можно представить в виде
степени п, при п > 2 нетривиальный элемент алгебры % {G)
можно описать при помощи элемента А ? Q {G), состоящего из
всех элементов группы G, которые могут быть записаны в виде
-^, где а = 1 (mod и).
Легко доказать, что множества
А и А + \
отличаются на конечное множество, так как множество
порождает G. Отсюда следует, что А ? Q (G), и кроме того очевид-
очевидно, что vi A w. А* — бесконечные множества.
Обобщая сказанное, можно получить в этом примере, что группа
Zn« имеет бесконечно много концов. Такого рода группы дают
4.A
Гл. 4. Теория концов
317
нам контрпримеры, показывающие, что условие конечной порож-
денности в теоремах 4.А.6.3, 4.А.6.4 и 5.А.10 опустить нельзя.
Доказательство теоремы 4.А.6.4. [G конечно
порождена, А ? % (G) — нетривиальный элемент, существует бес-
бесконечное множество элементов g ? G, таких, что Ag = A =#>
G имеет два конца.]
Элемент А представляется в Q (G) некоторым элементом, также
именуемым Л, таким, что ни Л, ни Л* не являются конечными и для
бесконечного множества элементов g множество Ag -j- А конечно.
Рис. 4.1.
Рассмотрим граф Г группы G по отношению к какому-нибудь
конечному множеству образующих; поскольку A ? (?, то ЬА конеч-
конечно. Поэтому существует некоторый конечный связный подграф
А графа Г, содержащий все ребра из ЬА.
Пусть Гд — граф, состоящий из Л, всех вершин из А и всех
ребер, вершины которых лежат в А или в А. Граф ГЛ связен,
так как в противном случае существовало бы собственное подмно-
подмножество множества А с пустой кограницей.
Поскольку группа G действует свободно на графе Г, существует
лишь конечное число таких элементов g ? G, для которых А (")
f\ Ag=^= 0. Следовательно, существует такой элемент g ? G, что
А + Ag конечно и A f| Ag = 0; для этого элемента g множества
А — Ag и Ag — А не могут быть оба непустыми (рис. 4.1).
Рассуждения, при помощи которых устанавливается этот факт,
основаны на геометрических Соображениях. Как A f) Ag, так
и А* П A*g должны быть бесконечными множествами и, следова-
следовательно, непусты. Если А — Ag ^f= 0, то в ГА существует некото-
некоторый путь, соединяющий точки из А — Ag и A f| Ag и, следова-
следовательно, пересекающий 8Ag a Ag. Место пересечения лежит внутри
А. Аналогичное рассуждение показывает, что если Ag — А Ф 0,
то некоторая часть Ag лежит внутри А*. Путь, соединяющий эти
две части в связном множестве Ag, пересекает ЬА с: А, и, следова-
следовательно, A fl Ag не должно быть пустым.
318 Дж- Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.А
Итак, либо A cz Ag, либо Ag cz А. Рассматривая, если нужно,
If, можно считать, что A cz Ag; далее, так как A f| Ag = 0,
то ЬА П &Ag = 0. Пусть В = Ag — А; это множество конечно.
Положим
+0О
С n
Легко видеть, что ЬС = 0. Отсюда следует, что С = G.
Пусть теперь D — произвольный элемент из Q (G). Так как
8D конечно, существует такое число А:, что все вершины некоторого
конечного связного графа А', содержащего 8D, лежат в
Ch- tf Bg\
n=-fc
Рассуждения, аналогичные тем, в которых фигурировали А и Ag,
показывают, что существуют четыре возможности:
DczCh, так что D конечно;
D* czCk, так что D* конечно;
Ag~hczD и D—Ag~k конечно, так что D-\-A— D + Ag~k -f
+ (Ag~h + A) конечно;
A*gh+l cz D и D—A*gh+l конечно, так что D -\- А* конечно.
Таким образом, элемент из Q (G) может представлять лишь один
из четырех элементов алгебры % (G) и G имеет точно два конца.
Замечание к теореме 4.А.6.4. Если рассмотреть % (G) как мно-
множество, на котором действует группа G, и предположить, что
группа G имеет больше двух концов и конечно порождена, то тео-
теорема 4. А.6.4 говорит нам, что для любого нетривиального элемента
из % (G) его группа изотропии / конечна. Поэтому орбита любого
нетривиального элемента, которая находится во взаимно одно-
однозначном соответствии с классами смежности из Gil, бесконечна.
Отсюда вытекает, что % (G) бесконечно и что G действует на % (G)
существенно нетривиальным образом. Таким образом, мы полу-
получаем теорему о том, что конечно порожденная группа с более чем
двумя концами имеет бесконечно много концов.
Доказательство теоремы 4.А.6.5. [G конечно
порождена и имеет два конца =#• существует конечная нормальная
подгруппа N cz G, такая, что GIN a? Z или яа Z2 * Z2.]
Пусть А — такой элемент из Q (G), что множества А а А*
оба бесконечны. Для всякого g ? G либо Ag -f- А, либо Ag -{-A*
конечно. Множество Н тех элементов g 6 G, для которых Ag -j- -4
конечно, является подгруппой индекса 1 или 2 в б.
4.А Гл. 4. Теория концов 319
Определим отображение ср: Н ->Z следующим образом. Пусть
отображение /: G -+Ъ таково, что / (g) — 1 для g ? А и / (g) = О
для g ? А*. Далее, для g ? II пусть /g (а) = 1, если а ? Ag, и =0,
если а?Л*#. Положим
т. е. ф (h) — это количество элементов во множестве Ah — А
минус количество элементов во множестве А — Ah. Замечая, что
fhg — fg представляет собой сдвиг элемента /Л — /на элемент g-
и потому имеет тот же самый интеграл, так что
= J (/h« - /) = J (ы - и)+j (и- п=ф w+ф (g),
видим, что ф — гомоморфизм. Используя рассуждение, применен-
примененное при доказательстве теоремы 4.А.6.4, получаем, что ядро IV
отображения <р конечно, и потому ф есть гомоморфизм на бесконеч-
бесконечную циклическую подгруппу группы Z.
Если Н имеет индекс 2 в G, то отображение <р можно распро-
распространить на конечную диэдральную группу, используя то обстоя-
обстоятельство, что Ag = А* по модулю конечных множеств.
4.А.8. Некоторые вычисления
и допазагпельство теоремы 4.А.6.6
Для подсчета числа концов удобнее всего работать с группами,,
снабженными биполярной структурой.
Пусть G — такая группа и {F, S, ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*} —
ее биполярная структура. По аксиоме нетривиальности ЕЕ* Ф 0,
в силу аксиомы 5 Е*Еф 0, и из аксиомы 6 следует, что ЕЕ*
и Е*Е бесконечны.
Положим А = ЕЕ U Е*Е. Тогда А я А* = G — А бесконеч-
бесконечны. Пусть g — произвольный неприводимый элемент биполярной
структуры. Если g ? F \j S, то, ввиду аксиом 3 и 4, gA = A.
В остальных случаях, в силу З.В.2.2 и З.В.2.3,
gAczA\JF[}S,
и так как элемент g~* также неприводим, то
g-*A <=A[}F[JS,
так что
А с= gA U g (F U S).
Таким образом,
gA - A cr F U S и А - gA^g(F{] S).
Следовательно, S7g (А) = А + gА с F U 5 (J g (F U 5) конечно
для всех неприводимых элементов g. Поскольку группа G поро-
320 Джг Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.А
ждается своими неприводимыми элементами, то, согласно А.АЛ,
А ? Q (G), а так как, кроме того, А я Л* бесконечны, то А пред-
представляет нетривиальный элемент алгебры % (G). Итак:
4.А.8.1. Если у группы G имеется биполярная структура, то G
имеет более чем один конец.
Пусть G2 — подгруппа группы G, образованная элементами
объединения F [} {неприводимые элементы множества Е*Е*}.
Если мы предположим, что F имеет индекс ^3 в G2, то найдутся
такие "элементы а, Ъ ? G2 — F, что ab'1 $ F. Рассмотрим, как выше,
А — ЕЕ U Е*Е; множества А, Аа, АЬ являются непересекающи-
непересекающимися элементами из Q (G) и, следовательно, представляют собой
три различных нетривиальных элемента из % (G). Сопоставляя
этот факт с теоремой 4.А.6.4, получаем:
4.А.8.2. Если группа G снабжена биполярной структурой и F
имеет индекс ^3 в Gx, то у G бесконечно много концов.
Примерно такие же вычисления можно проделать в случае,
когда ? --= 0, ЕЕ* содержит неприводимый элемент х и G2 — F
содержит некоторый элемент а. В этом случае ха — неприводимый
элемент из ЕЕ* и множества Ах, Аа~хх~х а А* не пересекаются.
Следовательно, как и раньше, G имеет бесконечно много концов.
4.А.8.З. Если G имеет биполярную структуру, S = 0, F —
подгруппа индекса ^ 2 в G2 и ЕЕ* содержит некоторый неприводи-
неприводимый элемент, то у G бесконечно много концов.
Опишем теперь некоторые частные случаи биполярных струк-
структур.
(i) Пусть G = Gx *F G2, где F — конечная группа, содержащаяся
собственным образом как в Gl5 так и в G2. Тогда G — универсаль-
универсальная группа предгруппы Gx U G2. Рассмотрим слова этой предгруп-
пы. Пусть X и Y обозначают ?или Е*\ предположим, что XYсосто-
XYсостоит из всех элементов группы G, представляемых такими редуци-
редуцированными словами (хг, . . ., хп) в Gx [} G2, что
если
если
если
если
X = Е,
X = ?*,
Y = Е, *
У = Е*,
то
то
то
то
Х1
хп
f* Cti
eG2
С "^2
-^,
^
— У.
Легко проверить, что получающаяся в результате структура яв-
является биполярной структурой на G с S — 0.
(ii) Пусть G = G1F ¦*—d ср, где F — некоторая конечная под-
подгруппа группы Gx. Тогда G — универсальная группа предгруп-
предгруппы Р, состоящей из Gj, xGl7 G-^x'1, xG^x'1, где F отождествляется
¦с xq> (F) x. Введем биполярную структуру, считая, что XY состо-
4.В Гл. 4. Теория концов 321
ит из элементов, представленных редуцированными словами
(иг, . . ., и„) в Р, причем
если
если
если
если
X = Е*,
\г 1?
X —— Ej ¦
Y = Е*,
то
то
то
то
щ
6 (х^
6 (Gl
е(^
6 (^1
Iх —
-F)
\x~l -
-Л
Этим также задается биполярная структура с S = 0.
Конечно порожденные группы с двумя концами были охарак-
охарактеризованы теоремой 4.А.6.5. А именно, для таких групп возмож-
возможны следующие два случая:
(i) G — Gx *F G%, где F — подгруппа индекса 2 как в Gv так
и в G2. Это тот случай, когда G имеет конечную нормальную под-
подгруппу F, факторгруппа по которой Ъг * Ъг. Эта последняя группа
имеет бесконечную циклическую подгруппу индекса 2; ясно, что
эта бесконечная циклическая группа имеет два конца, и потому
на основании теорем 4.А.6.1 и 4.А.6.2 любая группа рассматри-
рассматриваемого вида имеет два конца.
(ii) G = FF -*~э ф, где группа F конечна и <р — некоторый ее
автоморфизм. Это тот случай, когда G имеет конечную нормальную
подгруппу F с бесконечной циклической факторгруппой. Каждая
такая группа имеет два конца.
Теперь мы знаем, сколько в точности будет иметь концов груп-
группа G, если ее можно представить в виде G = Gt*F G2 или G =
— &if <~=> Ф- Если она непосредственно подпадает под один из двух
предыдущих случаев, то у нее два конца; если же нет, то соответ-
соответствующая биполярная структура удовлетворяет предположениям
теоремы 4.А.8.2 или 4.А.8.3 и потому G имеет бесконечно много
концов.
В частности, этим завершается доказательство теоремы 4.А.6.6.
4.В. Результаты, относящиеся к теории графов
Граф Г — это пара множеств Го и Гх — множества вершин
и множества ребер соответственно — и пара функций vv v2:
I\ -*- Го, задающих для каждого ребра соответственно начальную
и конечную вершины. Говорят, что граф Г локально конечен, если
отображения ух и v2 обладают тем свойством, что прообраз каждого
элемента из Го есть конечное множество.
Типичный пример графа — граф некоторой группы G по
отношению к некоторому множеству Т czG. Здесь Го = G, Г^ =
= Т X G, vx (t, g) = g, v2 {t, g) = tg. Этот граф.Г локально коне-
конечен, если Т — конечное множество, и связен (в очевидном смысле),
если Т порождает G.
i/z 21 У. Масси, Дш. Столлингс
322 Дж- Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.В
Булеву алгебру всех подмножеств множества Го будем обозна-
обозначать через Л (Г); пересечение обозначается через АВ. Группу всех
подмножеств множества 1\ с операцией взятия симметрической
разности будем обозначать через 38 (Г); если нам понадобится
иметь дело с пересечением двух подмножеств из Г1? то мы будем
писать X [} Y, поскольку мы не будем рассматривать 38 (Г) как
булеву алгебру.
Для любых Л 6 Ж (Г), X ? 38 (Г) полагаем по определению
АХ = {е?Х: Vl(e)eA),
ХА = {ееХ: »2(«)Е4}.
Это — элементы из 38 (Г); справедливы законы ассоциативности
и дистрибутивности для АВХ, АХВ, ХАВ, (А + В) X,
Л (X + Y), Х(А+ В), (X + Y) А, где А, В ? Л (Г), X, Y ?
6 38 (Г).
Само множество Го мы обозначаем через 1 ? Л (Г). Справедли-
Справедливы правила 1А = А1 = А, IX = XI = X. Наконец, А* — 1 + А
обозначает дополнение к А.
Для А 6 "* (Г) определим 6Л с: J? (Г) формулой
Выполняются правила
б (А + В) = 8А + 65,
б (АВ) = F4) 5 + А F5),
б (Л*) = 6Л.
Говорят, что элемент А М (Г) связен, если для всякого пред-
представления А = В + СсВС = ОиВ^0^=Смы имеем F5) |"|
j~| FC) =^ 0. Это эквивалентно существованию некоторого связного
подграфа графа Г с множеством вершин А.
Весь граф Г связен тогда и только тогда, когда связен элемент 1,
а это в свою очередь имеет место тогда и только тогда, когда из
8А = 0 следует, что А = 0 или А = 1.
4.В.1. Если А, В ?Л (Г), 0ф А аВ, ЬАаЬВ и В связно,
то А = В.
Доказательство. Имеем В = А + (А + В), и так как
А с: В, то А (А + В) = 0. Следовательно, если Л + 5 =^ 0, то
6Л П б (Л + В) Ф 0, но это противоречит тому, что 6Л с: 65.
Обозначим через Q (Г) множество тех Л 6 ^ (Г), для которых
6Л конечно. Ясно, что Q (Г) — подалгебра алгебры Л (Г). Будем
обозначать через | 8Л | число элементов в ЬА. Пусть М — под-
подгруппа группы 38 (Г), состоящая из всех 8А, для конечных Л.
Вспомипая определение концов графа (см. § 4.А), мы видим, что
4.B Гл. 4. Теория концов 323
если граф Г имеет более чем один конец, то М заведомо меньше,
чем б (Q (Г)). Последующие рассмотрения, по-видимому, можно
обобщить на случай подгрупп М менее специального вида, однако
мы не проделали этого во всех подробностях и потому не включили
сюда это обобщение.
Всякий элемент А 6 Q (Г) с 8А $ М мы называем нетривиаль-
нетривиальным. Пусть к — минимальное из всех чисел | ЬА | для нетривиаль-
нетривиальных А. Назовем к шириной графа Г. Если граф Г связен и имеет
более чем один конец, то его ширина — корректно определенное
положительное целое число. Всякий нетривиальный элемент
А 6 Л (Г), для которого \ЬА \ = к, где к — ширина графа Г,
будем называть узким. Мы хотим установить некоторые теоретико-
решеточные свойства множества узких элементов из Q (Г).
4.В.2. Если элемент А узок, а граф Г связен, то и А связен.
Доказательство. Будь зто не так, А можно было бы
представить в виде нетривиальной суммы В -\- С непересекающих-
непересекающихся элементов, границы которых также не пересекаются. Так как
ЬА = ЬВ -\- ЬС $ М, то либо 8В, либо 8С не принадлежит М;
пусть, скажем, это будет 6В. Поскольку 0 Ф С Ф 1 и граф Г свя-
связен, то мы имели бы ЬС Ф 0 и потому | ЬВ \ ¦< | ЬА |, т. е. элемент
А не был бы узок.
4.В.З (условие обрыва убывающих цепочек). Пусть Ах гэ A2zd
гэ . . . — убывающая последовательность узких элементов из Q (Г),
где Г — связный граф. Предположим, что
В= П Апф0.
Тогда В = Ап для некоторого п.
Доказательство. Пусть к — ширина графа Г. Если
ребро е 6 ЬВ, то одна из его вершин принадлежит всем Ап, а дру-
другая лежит вне всех Ап, кроме конечного числа. Поэтому существует
такое пе, что е ? ЬАп для всех п ^ пе. Следовательно, в ЬВ имеется
не более к элементов, ибо если бы их было больше, то почти все
Ап должны были бы иметь в ЬАп по меньшей мере к -\- 1 элементов.
Отсюда следует, что ЬВ содержится в некотором ЬАп. Согласно
4.В.2, элемент Ап связен и потому, согласно 4.В.1, В = Ап.
4.В.4. Следствие. Существует узкий элемент А ? Q (Г), являю-
являющийся минимальным среди всех узких элементов, содержащих
вершину v 6 Го, т. е. если v ? В а А и элемент В узок, то В = А.
В противном случае существовала бы (по аксиоме выбора)
строго убывающая последовательность узких множеств, содержа-
содержащих V.
21*
324 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.В
4.8.5. Теорема. Если А — узкий элемент, минимальный среди
содержащих v, а В — произвольный узкий элемент, то по крайней
мере для одного из элементов
X = АВ, АВ*, А*В, А*В*
выполнено условие
ьхем.
Доказательство. Предположим, что ни для одного из
указанных элементов условие 6Х 6 М не выполняется. Пусть
к — ширина графа Г. Используя тот факт, что ЬА = ЬА*, запишем
б {АВ) = А (Щ + {ЬА) В,
б {АВ*) = А F5) + {ЬА) В*,
б (А*В) = А* F5) + {ЬА) В,
6 {А*В*) = А* F5) + F4) В*.
Отсюда получаем, что
1 6 {АВ) 1+16 {АВ*) | + | 6 (А*В) | + 6 {А*В*) | <
< 2 | ЬА | + 2 | 65 | = 4к.
Ни для какого X не может быть | 6Х | < к, так как в этом случае
ввиду того, что 6Х $ М, ширина графа Г была бы меньше, чем к.
Следовательно, | 6Х | ^ к для всех X и потому =к. Таким обра-
образом, все элементы
АВ, АВ*, А*В, А*В*
являются М-узкими. Однако в этом случае либо АВ, либо АВ*
содержит v и строго меньше, чем А, что противоречит минималь-
минимальности А.
Подведем итоги предыдущего обсуждения в виде одного само-
самостоятельного утверждения.
4.8.6. Пусть Г — локально конечный связный граф с более чем
одним концом и
k = min {| ЬА |: А 6 Q (Г), А и А* бесконечны).
Назовем элемент А узким, если А и А* оба бесконечны и \ ЬА | = к.
Тогда существует такой узкий элемент А, что для всех узких
элементов В один ш элементов
АВ, АВ*, А*В% А*В*
конечен.
Доказательство. Выберем какой-нибудь узкий эле-
элемент А, минимальный среди содержащих некоторую фиксирован-
4.B Гл. 4. Теория концов 325
ную вершину. Согласно 4.В.5, одно из множеств б (АВ) и т. д.,
скажем б (АВ), представляет собой б (/")для некоторого конечно-
конечного множества F; следовательно, поскольку граф Г связен, АВ -\-
-Ь F = 0 или 1. Так как А* бесконечно, a F лишь конечно, то
случай АВ -\- F = 1 невозможен. Значит, АВ -\- F = 0, т. е.
4.8.7. Пусть А и В — такие узкие элементы из Q (Г), что АВ
и А*В* бесконечны. Тогда АВ и A [j В = (А*В*)* узки.
Доказательство. Пусть к — ширина графа Г. Заме-
Заметим, что множества АВ и (АВ)* гэ А*В* оба бесконечны. Следова-
Следовательно, | б (АВ) | ^ к; аналогично, | б (А*В*) | ^ к. Из соот-
соотношений
б (АВ) = FА) В + А F5),
б (А*В*) = (ЬА*) В* + А* F5*) = F4) В* + А* (ЬВ)
вытекает, что
| 6 (АВ) | + I 6 (А*В*) | ^ | ЬА | + I 65 | = 2к.
Следовательно, | б (АВ) | = | б (А*В*) | = А; и элементы АВ, А*В*
оба узки, а так как б (А [) В) = б (А*В*), то и элемент А\] В
узок.
Напомним, что % (Г) обозначает факторалгебру алгебры Q (Г)
по идеалу конечных подмножеств множества Го.
4.8.8. Пусть 0^=асР^=1, где а, 0 6 % (Г), и пусть
L (а, Р) = {у 6 % (Г): а с у с Р, у предстаеимо некоторым
узким элементом С из Q (Г)}.
Тогда множество L (а, р*) замкнуто относительно операций
взятия пересечения и объединения и, будучи подрешеткой булевой
алгебры, является дистрибутивной решеткой.
Доказательство состоит в выборе представителей и примене-
применении предложения 4.В.7.
4.8.9. Множество L (а, р*) удовлетворяет условию обрыва убы-
убывающих цепочек, т. е. если Р гэ ух zd y2 id . . . id yn id . . . id a,
где все yt представимы узкими элементами С 6 Q (Г), то суще-
существует такое N, что yn = Tjv ^ля п ^ N.
Доказательство. Мы можем считать, что все уп Ф а,
в противном случае заключение теоремы очевидно. Представим
уг узким элементом С% 6 Q (Г). Тогда уг представляется также
и элементом Dt = Сх (]...{] Ct, узким в силу 4.В.7, и мы имеем
Dx =dD2 id. . . zdDr id. . ..
Представим a элементом А 6 Q (Г). Обозначим через S множе-
множество вершин тех ребер, которые лежат в б А; это множество конеч-
326 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 4.В
но. Согласно 4.В.2, элемент Dt, будучи узким, является связным;
далее, поскольку уга* Ф О (так как yt Ф а) и yta = а Ф О, то
Х)г-4* ф О Ф DtA. Из связности Х)г вытекает, что два множества
б (DtA*) = (8D,) А* + Dt F4) и б (DfJ4) = FZ?,) Л + Dt (S4)
должны пересекаться, следовательно, #г F4) ^Ои потому Z); f)
П ^ Ф 0. Таким образом,
П Dkzd Г\ (Dn [\Б)Ф0,
71=1 71=1
поскольку пересечение обрывающейся последовательности непу-
непустых конечных множеств непусто. А тогда, ввиду 4.В.З,
П Dn*=Ds
n=l
для некоторого N, и, значит, для п ^ N мы имеем Dn = DX
и, следовательно, уп = yN.
4.В.10. Двойственным образом L (а, Р) удовлетворяет условию
обрыва возрастающих цепочек.
Доказательство. Это утверждение эквивалентно усло-
условию обрыва убывающих цепочек для L (Р*, а*).
4.В.11 (ограниченность цепочек в Z(ec, {$)). Для любых заданных
О Ф а сф Ф 1 в % (Г) существует такое число N = N (а, Р),
что для всякой цепочки
асу^угс... супср,
где уг =5>fc уг+1, i = 1, ..., п — 1, и элементы уг, г = 1, . . ., п,
представимы узкими элементами из Q (Г), мы имеем п ^ N.
Доказательство. В силу условий обрыва возрастаю-
возрастающих и убывающих цепочек в L (а, Р), существует далее не расши-
расширяемая цепочка
acfijcSjC... cr бдг cz р\
такая, что если 6; сес бг+1, где е 6 L («> Р), то бг = е или
е = б,+1. Если бы существовала более длинная цепочка
:...c:v7iC=P с п> N,
то, согласно теореме Жордана — Гёльдера — Шрейера — Цассен-
хауза — Артина, примененной к L (а, Р), мы могли бы уплотнить
нашу б-цепочку так, чтобы в ней было по меньшей мере п — 1
нетривиальных включений. Но это противоречило бы ее макси-
максимальности.
Глава 5
СЛЕДСТВИЯ
5.А. Структура групп с бесконечным числом концов
Пусть G — бесконечно порожденная группа с более чем одним
концом. Теоремой 4.А.6.5 мы полностью выяснили, какого вида
группы имеют два конца — это группы, имеющие гомоморфизмы
с конечным ядром на Z или па Z2 * Z2. Если у группы G более двух
концов, то по теореме 4.А.6.4 она имеет бесконечно много концов.
Пусть Т — какое-нибудь конечное множество, порождающее
группу G, и Г — соответствующий граф. Заметим, что группа G
действует справа на Г и, следовательно, действует справа на Q (Г)
и % (Г). Согласно 4.В.6, существует узкий, элемент А ? Q (Г),
минимальный среди узких множеств, содержащих некоторую
фиксированную вершину v ? G = Г„. Для любого данного g ? G
мы имеем | 6Л | = | 8Ag |, так что элемент Ag узок и, следова-
следовательно, в силу 4.В.6, по крайней мере одно из четырех множеств
Ag[\A, Ag(}A*, A*g[]A, A*g[\A*-
конечно. Поскольку множества A, A*g, Ag, A*g все бесконечны,
то невозможно, чтобы четыре из шести возможных попарных пере-
пересечений этих множеств были конечны. Рассматривая вопрос о том,
какие именно из этих пересечений конечны, мы можем получить
разбиение группы G на шесть множеств. А именно, введем сле-
следующие обозначения.
Пусть Е и Е* действуют на Л так: Е (А) = А, Е* (А) = А*,
и пусть ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е* — четыре символа, получаемые
выписыванием подряд двух букв из алфавита {Е, Е*}. Пусть,
далее, X, Y, Z — переменные, принимающие значения Е или Е*,
причем если X принимает значение Е или Е*, то X* принимает
значение Е* или Е соответственно.
Определим F, S, ЕЕ и т. д. как следующие подмножества
группы G:
Ag П А* и A*g П А конечны} =
A=Ag в
S = {g ? G: Ag П An A*g ( А* конечны} =
328 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 5.А
= A* в
XY={g?G — H: X(Ag) f| Y(А) конечно}
: X(Ag) 5 Y*(A) в
: Y(A)%X*(Ag) в
Последние три эквивалентные между собой условия определяют
четыре подмножества ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*.
Ниже мы предполагаем, что группа G имеет бесконечное число
концов.
5.А.1. F — конечная подгруппа группы G.
Это следует из теоремы 4.А.6.4, так как F — группа изотропии
элемента А в % (G).
5.А.2. Н — F [J S — подгруппа группы G, в которой F имеет
индекс 1 или 2.
Это очевидно.
5.А.З. Если g 6 XY, то g-1 € YX.
Действительно, X (Ag) % Y* (А) в % (G). Умножая справа
на g'1, получаем X (А) ф Y* (Ag'1), откуда следует, что g'1 ? YX.
5.А.4. Если g?XY ufeF,mo gfe XY.
Имеем X (Ag) % Y* (А) и Y* (Af) = Y* (А) в % (G). Умножая
первое неравенство на /, получаем
X (Agf) 5 Y* (Af) = Y* (A)
и, следовательно, gf 6 XY.
5.A.5. Если g ?XY и s ? S, mo gs ? XY*.
Действительно, в % (G) имеем Y* (As) = Y* (A*) = Y (A),
так что из X (Ag) $ Y* (А) следует, что X (Ags) 5 Y* (As) =
= Y (А) и gs e XY*.
5.A.6. Если g ?XY и p 6 Y*Z, mo gp 6 XZ.
Действительно, X (Ag) ф Y* (А) в % (G), так что X (Agp) %
$ Y* (Ар). Далее, Y* (Ap) J Z* (А) и, следовательно, Х\ (Agp) 5
5 Z* (А), т. e. gp 6 XZ.
Итак, мы проверили все аксиомы биполярной структуры, за
исключением аксиом ограниченности и нетривиальности (аксиом 7
и 8).
5.A Гл. 5. Следствия 329
Пусть даны Хг, . . ., Хп+1, и пусть g, g XtX*i+1, так что для
всех i
Xt(Agt)$XM(A),
или
X, (Agig2 ...gn)%Xz (Agz ...gn)$...$Xn (Agn) 5 Xn+1 (A).
Отсюда видно, что существование верхней границы для п в пред-
представлениях вида р = gxg2 • • • 8п является следствием утвержде-
утверждения 4.В.11 о том, что цепочки, составленные из узких элементов,
расположенных между двумя узкими элементами, имеют ограни-
ограниченные размеры. Итак:
5.А.7. Для любого данного р ? G существует такое число N (р),
что если р = g^^ . . . gn и gt ? X,-Xf+1, то п < N (р).
5.А.8. ЕЕ* непусто.
Доказательство. Пусть Д — некоторый конечный
связный подграф графа Г, содержащий все ребра из ЬА, и L —
множество вершин этого подграфа. Поскольку группа G действует
на вершинах графа Г транзитивно, а Д имеет ограниченные разме-
размеры, то, как легко видеть, существуют такие х, у ? G — Н, что
Дх П Л = 0 = Аг/ П Л и Lx cz A, Ly ci*.
Если Ах П Л = 0) то все четыре множества (Ах) (] А, (Ах) (] А*
и т. д. не могут быть пустыми. (Чтобы доказать это, надо рассуж-
рассуждать так же, как при доказательстве теоремы 4.А.6.4.) Так как
по построению L содержит точки и из А и из А*, то (Ах) (] А
и (А*х) П А непусты, и непусты также (Ау) П А* и (А*у) (] А*.
Отсюда следует, что либо (Ах) (] А*, либо (А*х) (] А* пусто,
а поскольку х $ Н, то либо х 6 ЕЕ*, либо х ? Е*Е*. Аналогично,
либо у 6 ЕЕ, либо у 6 Е*Е. Следовательно, один из элементов
х, у1, ух принадлежит ЕЕ*.
Таким образом, в предположении, что G имеет более чем два
конца, мы доказали, что если задан минимальный узкий элемент
А 6 Q (Г), где Г — граф группы G по отношению к некоторому
конечному множеству образующих, то на G можно определить
биполярную структуру.
5.А.9. Если G — конечно порожденная группа с бесконечным
числом концов, то на G существует биполярная структура
{F S, ЕЕ, ЕЕ*, Е*Е, Е*Е*}.
Следовательно, G принадлежит к одному из следующих двух типов
структур:
22 у. Масси, Дж, Столлингс
330 Дж. С толлинге. Теория групп и трехмерные многообразия 5.В
A) G = Gx *p G2 — свободное произведение с конечной объеди-
объединенной подгруппой F, содержащейся собственным образом в обоих
сомножителях и имеющей индекс >2 по крайней мере в одном из них;
B) G = G1F '<r~"^> ф, где F — некоторая конечная подгруппа, соб-
собственным образом вложенная в Gv
Доказательство. Это единственные возможности, име-
имеющиеся для биполярной структуры (см. З.В.5), если еще принять
во внимание результаты пункта 4.А.8, чтобы исключить случаи,
когда G имеет два конца.
Присовокупляя сюда результат, сформулированный выше как
теорема 4.А.6.6, получаем необходимое и достаточное условие:
5.А.10. Конечно порожденная группа имеет бесконечно много
концов тогда и только тогда, когда она допускает разложения A)
или B) из теоремы 5.А.9.
5.В. Теоретико-групповые следствия
Груупа без кручения определяется как группа, в которой едини-
единица — единственный элемент конечного порядка.
5.8.1. Конечно порожденная группа без кручения имеет два
конца тогда и только тогда, когда она бесконечная циклическая.
Она имеет бесконечно много концов тогда и только тогда, когда
ее можно нетривиально представить в виде свободного произве-
произведения.
Это следует из 4.А.6.5 и 5.А. 10.
5.8.2. Пусть & — некоторое свойство групп, наследуемое
нетривиальными свободными сомножителями. Допустим, что
если некоторая группа обладает свойством аР, то у нее имеется
более чем один конец. В этом случае любая конечно порожденная
группа без кручения, обладающая свойством ИР, является свободной
группой.
Доказательство. Пусть группа G обладает свойством <9\
Тогда у нее более чем один конец. Если у нее два конца, то по
теореме 5.В.1 она свободная (циклическая). Если число концов
больше двух, то по теореме 5.В.1 G является свободным произве-
произведением Gx * G2, где Gt и G2 обладают свойством & и (по теореме
Грушко) могут быть порождены меньшим числом образующих,
чем G; проводя индукцию по числу образующих, получаем, что
группы С?! и G2 свободны и, следовательно, группа G свободна.
5.8.3. Гипотеза Серра. Всякая конечно порожденная группа G
без кручения, имеющая свободную подгруппу F конечного индекса,
свободна.
5.C Гл. 5. Следствия 331
Доказательство. Любая конечно порожденная под-
подгруппа Н в G содержит свободную подгруппу F f| H в качестве
подгруппы конечного индекса. Но всякая нетривиальная свобод-
свободная группа имеет более чем один конец, а потому, согласно 4.А.6.2,
и всякая группа конечного индекса, содержащая такую группу,
имеет более чем один конец. Значит, по теореме 5.В.2 группа G
свободна.
5.В.4. Гипотеза Эйленберга — Гани. Всякая конечно порожден-
порожденная группа G когомологической размерности 1 свободна.
Доказательство. Свойство &, состоящее в том, чтобы
иметь когомологическую размерность 1, наследуется нетривиаль-
нетривиальными подгруппами, и из него следует отсутствие кручения. Тот
факт, что из этого свойства вытекает существование у группы более
чем одного конца, является (см. Столлингс [1968]) простым след-
следствием теоремы двойственности для конечно порожденных проек-
проективных модулей над групповым кольцом группы G, с учетом гомо-
гомологической интерпретации концов.
5.С. Теорема о сфере
В заключение мы ириведем набросок доказательства теоремы
о сфере. Оно предлагается здесь не столько как альтернатива к до-
доказательству Папакирьякопулоса, Уайтхеда и Эпштейна, сколько
как пример переплетения топологических и теоретико-групповых
фактов. В рассуждениях Папакирьякопулоса имеются идеи,
касающиеся накрывающих пространств и расправления особен-
особенностей, которые наводят на мысль о чисто комбинаторных иссле-
исследованиях в теории групп, вроде того, какое предпринято в данной
работе. Встав на путь такого исследования, мы теперь достигли
места, где теорему о сфере уже легче понять интуитивно.
Мы не будем здесь доказывать теорему о сфере в самой общей
ее формулировке; мы докажем эту теорему в некоторой достаточно
общей формулировке, из которой без большого труда можно выве-
вывести теорему 1.В.1. При этом, конечно, мы допускаем использо-
использование теоремы о петле, леммы Дена и других результатов гл. 2.
5.С.1. Пусть М — компактное 3-многообразие с я2 (М) Ф 0.
Тогда в М существует двусторонняя поверхность Е, являющаяся
2-сферой или проективной плоскостью, представляющая нетриви-
нетривиальный элемент группы я2 (М).
Доказательство. Прежде всего мы упростим дело
с помощью перестроек вдоль края, что позволит нам установить,
что фундаментальная группа многообразия М имеет в этом упро-
упрощенном случае более чем один конец. Используя тот факт, что
22*
332 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия 5.С
у нас есть характеризадия таких групп, и тем самым и их тополо-
топологическое представление, мы сконструируем некоторую ситуацию,
в которой можно будет применить теорему 2.В.2, и после ряда
топологических построений придем к заключению теоремы.
Если ЭМ содержит в качестве компоненты 2-сферу или проек-
проективную плоскость, то сама эта компонента определяет нетриви-
нетривиальный элемент группы я2 (М) и, сдвинув ее немного внутрь М,
можно взять ее в качестве S. (Легко видеть, что в случае, когда
дМ содержит 2-сферу, стягиваемую в М, многообразие М само
стягиваемо.)
Бели для некоторой компоненты Т края дМ отображение
Я1 {Т) ~> ni (Щ не инъективно, то, применяя теорему о петле
и лемму Дена, можно представить М как М' плюс ручка D2 X /;
поскольку М имеет гомотопический тип остова многообразия М'
и окружности, рассмотрение гомологии универсального накрытия
показывает, что я2 (М1) Ф 0. Операция перехода от М к М' осу-
осуществляет редукцию на дТ.
Таким образом, либо теорема справедлива, либо существует
подмногообразие М" многообразия М, для которого отображения
л 2 (М°) -> я2 (М) и щ (дМ") -»- щ (М") инъективны, я2 (М") Ф
Ф {0}, и дМ" не содержит ни 2-сфер, ни проективных плоскостей.
В этом случае, если М" — универсальное накрытие много-
многообразия М", то дМ" состоит из экземпляров универсальных накры-
накрытий пространства дМ", и потому в размерностях ^ 1 край дМ"
ацикличен. Таким образом,
я2 (М") » Я2 (М") « Я2 (М", дМ") » Н\ {М").
Если Cf я С — коцепные комплексы конечных и обычных
коцепей соответственно и Сь — их факторкомплекс, то мы имеем
точную когомологическую последовательность, из которой следу-
следует, что Н% (М") — группа ранга ^2; этот вывод основан на том,
что Н1 (М") = 0 и Щ (М") = 0; а это в свою очередь есть след-
следствие того, что М" — универсальное накрытие и группа пх (М")
бесконечна (в противном случае либо многообразие М" должно
было бы быть гомотопической 3-сферой, либо все компоненты края
дМ" должны были бы иметь конечные фундаментальные группы).
На основании сказанного мы заключаем (см. Шпеккер [1949],
Эпштейн [1962]), что М", а следовательно, и лх (М") имеют по
крайней мере два конца.
Если G = щ (М"), то, в силу теорем З.В.6, 4.А.6.5, 4.А.6.6
и 5.А.10, мы можем следующим образом построить асферичное
пространство с фундаментальной группой G.
В случае A) теоремы 5.А.9 имеем G = Gt *F Gz. Пусть Кх
и К2 — асферичные пространства с фундаментальными группами
5.C Гл. 5. Следствия 333
Gt и G2 соответственно, содержащие копию iff.-асферичного про-
пространства с фундаментальной группой F. Обозначим через X
пространство Кг Q {KF X [—1, -f 1]} U К2, в котором KF x (—1)
и Кр X (+1) отождествлены с копиями KF, содержащимися в Кх
и К2 соответственно. Определим А как Кр X 0.
В случае B) теоремы 5.А.9 имеем G = G1F ~*~^> ф. Пусть Кг —
асферичное пространство с фундаментальной группой Glt содер-
содержащее пространство Кр в виде двух подпространств с фундамен-
фундаментальными группами F cz Gx и ф (F) czGx соответственно. Обозна-
Обозначим через X объединение Кг [} {Кр X [—1, +1]), в котором
Кр X (—1) и Кр X (+1) отождествлены с подпространствами
Кр и К^р) соответственно. Положим А = KF X 0.
Легко видеть, что в каждом случае А цилиндрически вложено
в X и что пространство X асферично (см. Уайтхед [1939]) и лх (X) та
« G (см. Зейферт [1931] и ван Кампен [1933]).
Существует некоторое отображение /: М" -*• X, индуцирующее
изоморфизм фундаментальных групп. Согласно 2.В.2, / гомотопно
такому отображению g, что g'1 (А) является неуменьшаемым 2-мно-
гообразием в М", цилиндрически вложенным в М", и для каждой
компоненты Tt многообразия g'1 (А) отображение лг (Tt) -> nt (A)
инъективно. Таким образом, каждая группа щ (Tt) конечна, и,
следовательно, Tt — либо 2-клетка, либо 2-сфера, либо проектив-
проективная плоскость.
Если Тi является 2-клеткой, то край dTi с дМ" должен быть
стягиваем на дМ" и потому должен ограничивать на дМ" неко-
некоторую 2-клетку. Пусть Тг — это 2-клетка, для которой дТ% огра-
ограничивает самую внутреннюю 2-клетку на дМ"'. Перестраивая g
в окрестности этой 2-клетки в дМ", мы можем заменить Tt на
некоторую 2-сферу.
Если Tt представляет собой 2-сферу, стягиваемую в М", то Тг
ограничивает некоторое стягиваемое подмногообразие N а М"
и некоторая гомотопия в окрестности многообразия N сдвигает
Tt с g-i (A).
Если Tt — двусторонняя проективная плоскость, то она пред-
представляет нетривиальный элемент группы л2 (М"), так как подня-
поднятие 2-сферы в ориентированное двулистное накрытие простран-
пространства М" не может ограничивать никакого стягиваемого много-
многообразия (на этом стягиваемом многообразии преобразование накры-
накрытия, являющееся гомеоморфизмом, не имело бы неподвижных
точек, что противоречило бы теореме Лефшеца о неподвижных
точках).
Таким образом, либо в конце концов мы придем к заключению
теоремы, либо мы сможем найти некое отображение h: M" —*¦ X,
гомотопное отображению / и такое, что h~x (A) = 0; но это послед-
последнее невозможно, поскольку тогда отображение h# фундаменталь-
фундаментальных групп не было бы эпиморфизмом.
334 Дж. Столлингс. Теория групп и трехмерные многообразия
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бинг (Bing R. Н.), An alternative proof that 3-manifolds can be triangula-
triangulated, Ann. Math., 69 A959), 37—65.
2. Бэр (Ваег R.), Free sums of groups and their generalizations. Ill, Amer.
J. Math., 72 A950), 647—670.
3. Вагнер (Wagner D. H.), On free products of groups, Trans. A mer. Math. Soc,
84 A957), 352-378.
4. Вальдхаузен (Waldhausen F.), On irreducible 3-manifolds which are suf-
sufficiently large, Ann. Math., 87 A968), 56—88.
5. Ван дер Варден (Waerden В. L., van der), Free products of groups, A mer.
J. Math., 70 A948), 527-528.
6. Грушко И. А., О базисах свободного произведения групп, Матем. сб.,
8 A940), 169-182.
7. Ден (Dehn M.), Uber die Topologie des dreidimensionalen Raumes, Math.
Ann., 69 A910), 137—168.
8. Зейферт (Seifert H.), Konstruktion dreidimensionaler geschlossener Raume,
Berlin Verb. Sachs, Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl., 83 A931), 26—66.
9. ван Кампен (Kampen E. R., van), On the connection between the funda-
fundamental groups of some related spaces, Amer. J. Math., 55 A933), 261—267.
10. Кнезер (Kneser H.), Geschlossene Flachen in dreidimensionalen Mannig-
faltigkeiten, JB. Deutsch. Math.-Verein., 38 A929), 248—260.
11. Мойз (Moise E. E.), Affine structures in 3-manifolds, V, The triangulation
theorem and Hauptvermutung, Ann. Math., 56 A952), 96—114.
12. Нейманн (Neumann В. Н.), On the number of generators of a free product,
/. London Math. Soc, 18 A943), 12—20.
13. Папакирьякопулос (Papakyriakopoulos C. D.), On solid tori, Proc. London
Math. Soc, 317 A957a), 281—299.
14. Папакирьякопулос (Papakyriakopoulos С D.), On Dehn's lemma and the
asphericity of knots, Ann- Math., 66 A9576), 1—26. [Русский перевод:
Математика, 2:4 A958), 32—49.]
15. Пуанкаре (Poincare H.), Cinquieme complement a l'analysis situs, Rend.
Circ. Mat. Palermo, 18 A904), 45—110. [Русский перевод: А. Пуанкаре,
Избранные труды, т. 2, М., 1972, стр. 676—734.]
16. Серр (Serre J.-P.), Sur la dimension cohomologique des groupes profinis,
Topology, 3 A965), 413—420.
17. Столлингс (Stallings J. R.), Some topological proofs and extensions of
Grushko's theorem, Thesis, Princeton Univ. A959).
18. Столлингс (Stallings J. R.), On the loop theorem, Ann. Math., 72 A960),
12-19.
19. Столлингс (Stallings J. R.), A topological proof of Grushko's theorem on
free products, Math. Zeitschr, 90 A965), 1—8.
20. Столлингс (Stallings J. R.), A remark about the description of free products
of groups, Proc. Cambridge Philos. Soc, 62 A966), 129—134. J
21. Столлингс (Stallings J. R.), On torsion-free groups with infinetely many
ends, Ann. Math., 88 A968), 312—334.
22. Суон (Swan R. G.), Groups of cohomological dimension one, /. Algebra,
12 A969), 588-610.
23. Уайтхед (Whitehead J. H. C), On the asphericity of regions in the 3-sphere,
Fund. Math., 32 A939), 149—166.
24. Уайтхед (Whitehead J. H. C), On finite cocycles and the sphere theorem,
Colloq. Math., 6 A958), 271—282.
25. Фрейденталь (Freudenthal H.), Uber die Enden diskreter Raume und Grup-
pen, Comm. Math. Helv., 17 A945), 1—38.
26. Хопф (Hopf H.), Enden offener Raume und unendliche diskontinuierliche
Gruppen, Comm. Math. Helv., 15 A943), 27—32.
Список литературы 335
Шапиро и Уайтхед (Shapiro A., Whitehead J. Н. С), A proof and extension
of Dehn's lemma, Bull. Amer. Math. Soc, 64 A958), 174—178. [Русский
перевод: Математика, 4:1 A960), 9—14.]
Шпеккер (Specker E.), Die erste Cohomologiegruppe von Uberlagerungen
und Homotopie-Eigenschaften dreidimensionalerMannigfaltigkeiten, Comm.
Math. Helv., 23 A949), 303—333.
Шрейер (Schreier 0.), Die Untergruppen der freien Gruppen, Hamburg.
Abh., 5 A927), 161-183.
Эйленберг и TaHH(EilenbergS., Ganea Т.), On the Lusternik—Schnirelmann
category of abstract groups, Ann. Math., 65 A957), 517—518.
Эпштейн (Epstein D. B. A.), Protective planes in 3-manifolds, Proc. London
Math. Soc, 11 A961), 469-484.
Эпштейн (Epstein D. B. A.), Ends, Topology of 3-manifolds and related
topics, Prentice-Hall, 1962, 110 — 117.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Александров П. С. 272
Альфорс (Ahlfors L. V.) 54, 61, 63,
67, 68, 157, 159
Артин (Artin) 284
Ауслендер (Auslander J.) 169
Банашевский (Banaschewski В.) 203
Берж (Berge С.) 206, 226
Бииг (Bing R. Н.) 282
Бой (Boy W.) 67
Брауэр (Brouwer L. E. J.) 67
Брахана (Brahana H. R.) 68
Буне (Boone W.) 159
Бурбаки (Bourbaki N.) 124, 271, 272
Бэр (Baer R.) 252, 295
Кампен, ван (Kampea E. R., van)
156, 333
Картан (Cartan H.) 259
Келли (Kelley J. L.) 16, 125, 267, 272
Керби (Kirby R.) 67
Кервер (Kervaire M.) 259
Керекьярто (Kerekjarto В.) 10, 65
Клейтор (Claytor S.) 226
Кнезер (Kneser H.) 279, 282, 283
Кон-Фоссен (Cohn-Vossen S.) 67, 68
Кронин (Cronin J.) 98
Кроуэлл (Crowell R. R. H.) 98, 127,
156, 159
Курант (Courant R.) 68
Куратовский (Kuratowski K.) 226
Курош А. Г. 127, 227, 238, 242, 252
Кэрнс (Cairns S. S.) 68
Вагнер (Wagner D. H.) 284
Вальдхаузен (Waldhausen F.) 279,
283
Ван-дер-Варден (Van der Waer-
den B. L.) 126, 284, 295, 297
Ганя (Ganea T.) 287
Гильберт (Hilbert D.) 67, 68
Грушко И. А. 243, 284
Гуревич (Hurewicz W.) 98, 254
Дей (Dey I. M. S.) 252
Ден (Dehn M.) 68, 282
Дженс (Jans J. P.) 203
Дирак (Dirac G. A.) 226
Дугунджи (Dugundji J.) 203, 272
Зейферт (Seifert H.) 6, 10, 68, 98,
156,158,159, 205,226, 252, 259, 333
Зибенман (Siebenmann L.) 67
Зиман (Zeeman E. C.) 204
Лабкин (Lubkin S.) 203
Ламадрид, де (Gil de Lamadrid J.)
203
Леви (Levi F.) 252
Ли (Lee С N.) 203
Линдон (Lyndon R. C.) 252
Маклейн (Mac Lane S.) 226, 252
Манкрес (Munkres J. R.) 260
Марков A. A. 68, 158
Микаэль (Michael E.) 203
Милнор (Milnor J.) 252, 259
Мойз (Moise E.) 67, 282
Myp (Moore R. L.) 272
Неванлинна (Nevanlinna R.) 61
Нейман (Neumann В. Н.) 284
Нильсен (Nielsen J.) 226
Новиков С. П. 157
Новосад (Novosad R. S.) 203
Нойвирт (Neuwirth L. P.) 156, 159
Ньюман (Newman M. H. A.) 151
Именной указатель
337
Ope (Ope 0.) 206, 226
Папакирьякопулос (Papakyriakopou-
los С. D.) 279—282, 331
Поэнару (Poenaru V.) 159
Понтряпш Л. С. 98
Прюфер (Priifer) 61, 66
Пуанкаре (Poincare H.) 98, 156, 157,
254
Радо (Rad6 Т.) 30, 61, 66
Рейдемейстер (Reidemeister К.) 10,
127, 226, 227, 252
Ричарде (Richards I.) 65
Роббинс (Robbins H.) 68
Ротман (Rotman J. J.) 127, 227
Самюэль (Samuel P.) 124
Сарио (Sario L.) 54, 61, 63, 67, 68,
157, 159
Серр (Serr J.-P.) 287
Скотт (Scott W. R.) 127, 227
Смейл (Smale S.) 157, 258, 260
Спеньер (Spaaier E. Н.) 259
Спрингер (Springer G.) 61
Стинрод (Steenrod N.) 156, 205, 259
Столлингс (Stallings J. R.) 243, 244,
252, 282, 284, 288, 295, 331
Сулливан (Sullivan D.) 157
Суон (Swan R. G.) 287
Трельфалль (Threlfall W.) 10, 66, 68,
98, 156, 158,159,205, 226, 252, 259
Уайберн (Whybern G. T.) 272
Уайли (Wylie S.) 98, 159, 204, 205,
226, 252, 259
Уайтхед (Whitehead J. H. C.) 66,
200, 226, 229, 234, 252, 282, 331, 333
Уолл (Wall С. Т. С.) 260
Уоллес (Wallace A. N.) 259
Филлипс (Phillips A.) 68
Фойстель (Feustel) 292
Фокс (Fox R. H.) 98, 127, 156, 159,
203
Фрейденталь (Freudenthal H.) 68, 313
Хакен (Haken W.) 159
Xerop (Heegard) 68
Хиггинс (Higgins P. J.) 252
Хилтон (Hilton P. P.) 98, 159, 204,
205, 226, 234, 252. 259
Химмельберг (Himmelberg C. J.) 268
Хирш (Hirsch M.) 66
Холл (Hall M.) 127, 204, 227, 238, 252
Хопф (Hopf H.) 313
Xy Сы-цзян (Ни S. T.) 234, 252, 259
Шапиро (Shapiro A.) 282
Шевалле (Chevalley C.) 124, 203, 205
Шенкман (Schenkman Б.) 127, 227
Шпеккер (Specker E.) 281, 332
Шпехт (Specht W.) 127, 227, 242, 251,
252
Шрейер (Schreier O.) 155, 226, 284
Шуберт (Schubert H.) 259
Шустер (Schuster S.) 226
Эйленберг (EilenbergS.) 156, 259, 287
Эпштейн (Epstein D. B. A.) 259, 280,
282, 331, 332
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абсолютное значение вектора 13
антиподальное отображение 186
базис группы 120
барицентрическое разбиение 54
бесконечно неориентируемая не-
некомпактная поверхность 65
биполярная структура 285, 306
Борсука — У лама теорема 186
Брауэра теорема 89
внутренность многообразия 49
вполне разрывная группа гомеомор-
гомеоморфизмов 181
выпуклое подмножество 81
дерево 211
— групп 304
деформационный ретракт 80
длина слова 113
евклидово ге-пространство 13
замкнутое отображение 203
замкнутый гс-мерный диск (шар) 13,
93
звездное относительно точки под-
подмножество 81
Зейферта — ван Кампена теорема 8,
129, 156, 158, 284
— — — применение 215, 231
гомоморфизм накрывающих про-
пространств 174
гомотопическая эквивалентность 97
гомотопические группы 253
— классы отображений 78
гомотопные отображения 78
граф 206, 207, 321
— конечный 209
— локально конечный 209, 321
группа без кручения 110, 330
— кручения НО
— Пуанкаре 76
— свободная над множеством (сво-
(свободно порожденная множеством)
104
— узла 151
Грушко теорема 8, 243, 252, 279, 283
Грушко — Вагнера теорема 284
двойной класс смежности 238
действительная проективная плос-
плоскость 21
Дена лемма 279, 280, 282
идеальная граница 64
изоморфизм 11
— накрывающих пространств
174
изотропная подгруппа 275
164,
Кнезера гипотеза 282, 283
коммутативная диаграмма 12
коммутатор 119
коммутаторная подгруппа 119
компактификация поверхности 63
CW-комплекс 9, 229, 232
— ге-мерный 233
конец графа 312
конечно копредставимая группа 122
— неориентируемая некомпактная
поверхность 65
концы 64
координата 12
копредставление 122
коэффициенты кручения 111
край (граница) многообразия 49
Куратовского теорема 226
Предметный указатель
339
Куроша теорема о подгруппе 8,
236, 252
лебегово число покрытия 83
левое G-пространство 273
Линделёфа пространство 198
линейно связная компонента 70
— связное пространство 70
лист Мёбиуса 17
локально линейно связное простран-
пространство 70
локальный гомеоморфизм 164
многообразие с краем 49
— re-мерное (га-многообразие) 16
множество концов пространства 64
мономорфизм 11
накрывающее пространство 160
накрытие 160
незаузленная окружность 152
некомпактная поверхность беско-
бесконечного рода 65
— — конечного рода 64
неориентируемое многообразие 19
неразложимый элемент 285
Нильсена — Щрейера теорема 8
норма вектора 13
нормализатор группы 277
образующие 103
однородное G-пространство 275
орбита 262
ориентируемая точка 64
ориентируемое многообразие 18
остов (ге-остов) 66, 233
открытое отображение 263
открытый re-мерный диск (шар) 13,
93
отображение включения 12
— накрытия 161
отображения, гомотопные относи-
относительно подмножества 79
пара ребер первого (второго) типа 36
петля 76
пленарная точка 64 ,
поверхность 20
— рода п 47
погружение дифференцируемое 67
— топологическое 67
подгруппа кручения 110
поднятие отображения 171
полное множество соотношений 121
полулокально односвязное про-
пространство 190
порождающее множество 103
правое G-пространство 273
предгруппа 284, 295
представление группы перестанов-
перестановками 273
преобразование накрытия 174
проективная, плоскость 21, 22
проекция 161
произведение путей 71
пространства одного гомотопиче-
гомотопического типа 97
пространство концов группы 312
— стягиваемое односвязное 81
прямая сумма 100
прямое (декартово) произведение
групп 99
Пуанкаре гипотеза 156, 280
пустое слово 113
путь 70, 72
— из ребер 210
— меняющий ориентацию 18, 19
— сохраняющий ориентацию 18, 19
ранг группы НО, 120
регулярное накрывающее простран-
пространство 179
редуцированное слово 119
ретракт 79
род поверхности 47, 57
свободная абелева группа 105
— группа 117
связная сумма 23
— — вдоль края 61
Серра гипотеза 330
системы координат одного и того же
класса 20
скольжение 174
слабое произведение 100
следствие соотношений 109, 121
слово 113
— в предгруппе 296
— редуцированное 296
сложность отображения 289
соотношение 103
— нетривиальное 104
— тривиальное 103
степень гомоморфизма бесконечных
циклических групп 83, 155
— класса замкнутого пути 85
Столлингса система 247
сужение функции 12
сфера (п—1)-мерная 13
340
Предметный указатель
теорема о петле 280, 282
сфере 279, 280, 282
тип неориентируемости конечно не-
ориентируемой поверхности 65
топологический тип 13
тор 20, 144
торические узлы 151
триангуляция 29
узел 151
универсальное накрывающее про-
пространство 176
фактортопология 261
фундаментальная группа 76
цилиндрически вложенное подмно-
подмножество 283
число листов накрывающего про-
пространства 169
Шрейера метод 155
— система 223
эйлерова характеристика 43
— — конечного графа 217
Эйленберга — Гани гипотеза 331
эквивалентные пути 71
— узлы 151
элементарная окрестность 160
эпиморфизм 11
G-эквивариантное отображение 274
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
У. Шасси
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ. ВВЕДЕНИЕ
Яредисловие 7
Замечания, предназначенные для студентов 11
Гл. I. Двумерные многообразия 15
1. Введение 15
2. Определение и примеры п-многообразий 16
3. Ориентируемые и неориентируемые многообразия 17
4. Примеры компактных связных 2-многообразий 20
5. Формулировка классификационной теоремы для компактных
поверхностей 24
6. Триангуляция компактных поверхностей 29
7. Доказательство теоремы 5.1 32
8. Эйлерова характеристика поверхности 43
9. Многообразия с краем 49
10. Классификация 'компактных связных 2-многообразий с краем 51
11. Эйлерова характеристика поверхности с' краем 57
12. Модели компактных поверхностей с краем в евклидовом 3-про-
страистве 58
13. Замечания о некомпактных поверхностях 61
Примечания 66
Список литературы 68
Гл. II. Фундаментальная группа 69
1. Введение 69
2. Основные обозначения и терминология 70
3. Определение фундаментальной группы пространства 72
4. Действие непрерывного отображения на фундаментальную группу 77
5. Фундаментальная группа окружности — бесконечная цикличе-
циклическая группа 82
6. Применение: теорема Брауэра о неподвижной точке в пространстве
размерности ^2 89
7. Фундаментальная группа произведения пространств ...... 90
8. Гомотопический тип и гомотопическая эквивалентность пространств 93
Примечания 98
Список литературы 98
Гл. III. Свободные группы и свободные произведения групп . , 99
1. Введение 99
2. Слабое произведение абелевых групп 99
3. Свободные абелевы группы 103
4. Свободные произведения групп 112
5. Свободные группы 117
6. Представление групп с помощью образующих и соотношений . . 121
7. Задачи универсального отображения 123
Примечания 125
Список литературы 127
Глава IV. Теорема Зейферта — ван Кампена о фундаментальной
группе объединения двух пространств. Применения 128
1. Введение 128
2. Формулировка и доказательство теоремы Зейферта — ван Кампена 129
3. Одно из применений теоремы 2.1 133
4. Другое применение теоремы 2.1 142
5. Строение фундаментальной группы компактной поверхности . . 144
6. Применение к теории узлов 151
Примечания 156
Список литературы 159
Глава V. Накрывающие пространства 160
1. Введение 160
2. Определение и некоторые примеры накрывающих пространств . 160
3. Поднятие путей в накрывающее пространство 166
4. Фундаментальная группа накрыиающего пространства .... 169
5. Поднятие отображений в накрывающее пространство 170
6. Гомоморфизмы и автоморфизмы накрывающих пространств . . 173
7. Действие группы п (X, х) на множестве р-1 (х) 177
8. Регулярные накрывающие пространства и факторпространства 180
9. Применение: теорема Улама — Борсука для 2-сфер 186
10. Теорема существования для накрывающих пространств .... 188
11. Индуцированное накрытие подпространства 194
12. Топологические свойства накрывающих пространств 197
Примечания 203
Список литературы 205
Гл. VI. Фундаментальная группа и накрывающие пространства
графа. Применения в теории групп 206
1. Введение 206
2. Определение и примеры 207
3. Основные свойства графов . 209
4. Деревья 211
5. Фундаментальная группа графа 214
6. Эйлерова характеристика конечного графа 217
7. Пространства, накрывающие граф 218
8. Образующие элементы подгруппы свободной группы 222
Примечания 226
Список литературы 226
Глава VII. Фундаментальная группа пространств высокой раз-
размерности 228
1. Введение 228
2. Приклеивание 2-клеток к пространству 229
3. Приклеивание к пространству клеток высокой размерности . . . 231
4. CW-комплексы . 232
5. Теорема Куроша о подгруппе 236
6. Теорема Грушко 243
Примечания 252
Список литературы 252
Глава VIII. Эпилог 253
Список литературы 259
Приложение А. Фактортопология, или топология отождествления 261
1. Определения и основные свойства 261
2. Обобщение топологии факторпространства 264
3. Факторпространства и произведения пространств 267
4. Подпространство факторпространства и факторпространство под-
подпространства 268
5. Условие, при котором факторпространство хаусдорфово .... 270
Список литературы 272
Приложение В. Группы перестановок, или группы преобразований 273
1. Основные определения 273
2. Однородные б-пространства 275
Дж. Столлипгс
ТЕОРИЯ ГРУПП И ТРЕХМЕРНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Глава 1./Исходные соображения и роль трехмерных многообразий 279
1.А. Введение 279
1.В. Точные формулировки упомянутых теорем 282
Глава 2. Трехмерные многообразия 288
2.А. Теорема о петле и лемма Дена 288
2.В. Лемма Кнезера и другие применения 291
Глава 3. Комбинаторная теория групп 295
З.А. Обобщение понятия свободного произведения групп с объеди-
объединенной подгруппой (предгруппы и их универсальные группы) 295
З.В. Биполярные структуры и конечные подгруппы, по которым проис-
происходит объединение 306
Глава 4. Теория концов 311
4.А. Концы групп 311
4.В. Результаты, относящиеся к теории графов 321
Глава 5. Следствия 327
5.А. Структура групп с бесконечным числом концов 327
5.В. Теоретико-групповые следствия 330
5.С. Теорема о сфере 331
Список литературы 334
Именной указатель 336
Предметный указатель 338
У. Маееи. Дж. С толлинге
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТОПОЛОГИЯ. ВВЕДЕНИЕ
Редакторы В. И. Авврбух и Д. Б. Штейнпресс
Художник Л. А. Гвантжахер
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Ф. X. Третьяпвеа
Сдано в набор 27/VHI 1976 г.
Подписано к печати 29/XII 1976 г.
Бум. тип. М 1 60x901/16=10,75 бу*. л.
21,50 печ. л.
Уч.-изд. л. 20,08. Изд. Xi 1/8776.
Цена 1 р. 66 1.-. Зак. 01507
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знаиеии
Московская типография Л; 7
«Искра революции» Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва, К-1, Трехпрудный пер., 9