/
Author: Дольд А.
Tags: математика алгебра топология естественные науки алгебраическая топология
Text
А.Дольд
ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ТОПОЛОГИИ
Этот курс алгебраической топологии и теории многообразий написан
известным ученым и талантливым педагогом. Простота и ясность подачи
материала сочетаются с аккуратностью и строгостью доказательств. Большое
количество интересных примеров способствует пониманию предмета.
Несомненное достоинство книги — элементарное и доступное изложение
топологии многообразий. В то же время новый взгляд на некоторые известные
понятия делает ее интересной и для специалистов.
Книга рассчитана на широкий круг математиков и вполне пригодна как
начальный учебник по алгебраической топологии для студентов и аспирантов
университетов и пединститутов.
Содержание
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Предварительные сведения о категориях, абелевых группах 9
гомотопиях
1. Категории и функторы 10
2. Абелевы группы (точность, прямые суммы, свободные абелевы группы) 16
3. Гомотопии 24
Глава II. Гомологии комплексов 27
1. Комплексы 27
2. Связывающий гомоморфизм, точная гомологическая последовательность 30
3. Цепная гомотопия 35
4. Свободные комплексы 39
Глава III. Сингулярные гомологии 42
1. Стандартные симплексы и их линейные отображения 42
2. Сингулярный комплекс 43
3. Сингулярные гомологии 45
4. Специальные случаи 47
5. Гомотопическая инвариантность 51
6. Барицентрическое подразделение 55
7. Малые симплексы. Вырезание 58
8. Последовательности Майера — Вьеториса 62
Глава IV. Применения к евклидову пространству 70
1. Стандартные отображения между клетками и сферами 70
2. Гомологии клеток и сфер 72
3. Локальные гомологии 77
4. Степень отображения 81
5. Локальные степени 85
6. Гомологические свойства окрестностных ретрактов пространства Rn 91
7. Теорема Жор дана, инвариантность области 99
8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 101
Глава V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии 109
1. Клеточные пространства 109
2. CW-пространства 113
3. Примеры 122
4. Гомологические свойства CW-пространств 129
5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 132
6. Описание клеточных цепных отображений и клеточного граничного 135
гомоморфизма
7. Симплициальные пространства 141
8. Симплициальные гомологии 152
Глава VI. Функторы на категории комплексов 156
1. Модули 156
2. Аддитивные функторы 161
3. Производные функторы 166
4. Формула универсальных коэффициентов 172
5. Тензорное и периодическое умножения 176
6. Функторы Нот и Ext 184
7. Сингулярные гомологии и когомологии с произвольными 188
коэффициентами
8. Тензорное произведение и билинейность 197
9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета 203
10. Функтор Нот на категории комплексов. Гомотопическая классификация 208
цепных отображений
11. Ацикличные модели 217
12. Теорема Эйленберга — Зильбера. Формула Кюннета для топологических 222
пространств
Глава VII. Умножения 231
1. Скалярное умножение 232
2. Внешнее гомологическое умножение 235
3. Внутреннее гомологическое умножение (умножение Понтрягина) 239
4. Индексы пересечения в Rn 243
5. Алгебраическое число неподвижных точек 249
6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 255
7. Внешнее когомологическое умножение 263
8. Внутреннее гомологическое умножение (и -умножение) 268
9. Вычисление u-умножения для проективных пространств. Отображения 272
Хопфа и инвариант Хопфа
10. Алгебры Хопфа 277
11. Косое когомологическое умножение 285
12. п-умножение 290
13. Косое гомологическое умножение и косое умножение Понтрягина 299
Глава VIII. Многообразия 301
1. Элементарные свойства многообразий 301
2. Ориентирующий пучок многообразия 306
3. Гомологии в размерностях, не меньших размерности многообразия 316
4. Фундаментальный класс и степень 324
5. Пределы 331
6. Чеховские когомологии локально компактных подмножеств пространства 343
Rn
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 357
8. Примеры и приложения 364
9. Двойственность в многообразиях с краем 371
10. Трансфер 377
11. Класс Тома, изоморфизм Тома 385
12. Последовательность Гизина. Примеры 399
13. Пересечение гомологических классов 412
Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов 427
Д. 1. Пределы функторов 427
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству, 432
Д.З. Распространение функторов с полиэдров на более общие пространства 443
Список литературы 452
Указатель терминов 456
Указатель терминов
Абсолютный окрестностный ретракт
(ANR) 107
Аддитивный функтор 161
Аксиома распространения гомотопии
(HEP) 108
Алгебра Хопфа 280
Алгебраическое число неподвижных
точек 249
Антиподальная точка 82
Ассоциативность 241
Атлас 305
Аугментация 47, 48
Ациклический комплекс 28
Базис 21
— модуля 159
— функтора 217
Барицентр 55
Барицентрическая координата 147
Барицентрическое подразделение 55
— разбиение 441
Башенная нормализация 439
— функция 438
Башенное покрытие 438
7?-биаддитивное отображение 198
Билинейное отображение 202
Бистепень отображения 83
Букет 60
Вершины 143
— симплекса 42
Вещественные числа 9
Внешнее гомологическое умножение
235
— когомологическое умножение 263,
264
Внутреннее когомологическое
умножение 268, 269
Внутренность многообразия 304
Вписанное покрытие 155
Вырезаемая триада 62
Гладкое многообразие 305
Гомологическая группа 27, 45
— последовательность 33, 46
— — ассоциированная с
коэффициентной 195
^-гомологическая последовательность
пары 190
приведенная 192
^-гомологические группы 165
Гомологический класс 27
Гомоморфизмы Бокштейна 195
Гомотетия 157
Гомотопическая ассоциативность 239
— единица 239
— классификация (цепных
отображенийJ11
— коммутативность 239
— эквивалентность 36
Гомотопический гомоморфизм 239
Гомотопия 24, 35
Градуированная группа 28
Градуированное кольцо 241
Граница 27, 46
Граничный оператор 27
Граф 122
Групповое кольцо ISO
Двойственное кольцо 157
Двойственность Александера 368
— в д -многообразиях 372
— Пуанкаре 365
— Пуанкаре — Лефшеца 357
Двойственные базисы 367
Действие группы 160
Делимая группа 187
Дерево 132
Деформационный ретракт 54
Деформация 24
Джойн 85
Диагональное отображение 280
комплекса 222, 227
Диагональный класс 370
Диффеоморфизм 303
Дуальная категория 11
Дуальные классы Чжэня 409
Евклидов окрестностный ретракт
(ENR) 103, 131
Единица 241
Естественная эквивалентность 13
Естественное преобразование 13
Замена карт 305
Изоморфизм 11, 16.
— Тома 393
Инвариант Хопфа 275, 276
Инволюция 330
Индекс зацепления 248
— пересечения 244, 423
Инъективный модуль 186
Каковское распространение 444
Канонические вложения 15, 19
Канонический базис 40
Карта 301
Касательное векторное поле 85
Категория 10
Квазиупорядочение 331
Класс Тома 388
— Эйлера 388
Классы Чжэня 409
— Штифеля — Уитни 411
Клетка 113
Клеточное отображение 109
— пространство 109
Клеточный комплекс ПО
Кобордизм 374
Ковариантный функтор 12
Когомологии комплекса 216
Когомологические операции 194
Когомологическое кольцо 232, 271
Кограница 189
Кольцо Понтрягина 241
Коммутативность 241
Комплекс 27
Комплексные числа 9
Композиция 10
Конечно-барицентрическое
разбиение 442
Контравариантный функтор 12
Конус над комплексом 29
— над пространством 55
— отображения 29
Коостов 112
Копроизведение 15
Короткая точная последовательность
16
Короткий комплекс 39
Косое гомологическое умножение
299
— когомологическое умножение 286
— умножение Понтрягина 300
Кофинальное отображение 337
— подмножество 337
Кофинальный функтор 431
Кофунктор 12
Коцикл 189
Коэффициент инцидентности 138
Коэффициентная последовательность
155
Коэффициентный гомоморфизм 154
Коэффициенты кручения 40
Край многообразия 304
Кратность пересечения 398
— точки прообраза 88
Кручение 23
Левое действие 242
Левый 7?-модуль 157
— обратный 11
Линзовое пространство 128, 129
Локальная и-связность 108
— степень отображения 85
Локально замкнутое множество 102
— конечное семейство 434
— плоское подмногообразие 303
Локальное сечение 379
Локальные гомологии 77
— индексы пересечения 423
Малая категория 221
Многообразие 301
С-многообразие 305
Многообразие Грассмана 406
— с краем 303
— Штифеля 403
Модели 217
Модуль конечного типа 214
7?-модульный гомоморфизм (R-
гомоморфизм) 157
Мономорфизм 16
Монофунктор 165
Морфизмы 10
Надстройка над комплексом 29
— над пространством 67
Направленная категория 432
Направленное множество 331
Наследственное кольцо 159
Невырожденное, спаривание 233
Нерв 152, 436
Непрерывность чеховских
когомологий 351
Нормализуемое покрытие 436
Нормализуемый функтор 437
Носитель 244
Нуль-гомотопия 210
Область значений 10
— определения 10
Обобщенное «-многообразие 315
Обратная Л-система 331
Объекты 10
Ограниченное множество 353
Ограниченный градуированный
модуль 214
Однородные координаты 124
Окрестностный ретракт 51
Ориентация 139, 306
— вдоль подмножества 310
— отображения 330
Ориентируемая поверхность рода q
76
Ориентируемое отображение 330
Ориентирующее многообразие 310
Ориентирующий пучок 308
Основная теорема алгебры 84
Остов 112
Открытая звезда вершины 151
Отмеченная точка 60
Отображение Александера — Уитни
229
— Хопфа124
— Эйленберга — Зильбера 223
Р-отображение 78
Пересечение гомологических классов
413,419
Периодическое произведение
комплексов 203
— умножение 178, 203
Петли 242
Плоский модуль 181
Поверхность рода h неориентируемая
128
Подкатегория 11
Подкомплекс 30
Подмодуль 158
Подчиненный полиэдр 432
— Полная линейная группа 242
— подкатегория 11
Полулокалыю стягиваемое
пространство 79
Полуточный функтор 165
Порядок ветвления 80
инвариантность 81
Последовательность Гизина 400
— Кюннета 205, 210, 225. 226, 369
— Майера — Вьеториса 64
относительная 64
приведенная 66
чеховских когомологий 349
— универсальных коэффициентов
173
Постоянный функтор 12
Правый R -модуль 157
— обратный 11
Предел функтора 427
Предпучок 332
Представимый функтор 14
Представление в виде прямого
произведения 19
прямой суммы 19
Предхопфова алгебра 280
Преобразование прямых (обратных)
систем 332
Приведенные гомологические
группы 47
Присоединение воротника 305
Проективное пространство 123
усеченное 126
Проективный модуль 187
Проекции на сомножители 15, 18
Произведение 15
Производное отображение 58
— преобразование 167
Производные координаты 58
Производный функтор 167
Пропускаемость через предел 334
Просвободный функтор 221
h, //-пространство 240
CW- пространство 114
— относительное 121
^-пространство 341
Прямая симплициальная
аппроксимация 151
— Л-система 331
— сумма 18
— точная последовательность 33
Прямое произведение 18
— слагаемое 20
Прямой предел (системы) 332
Пунктированное пространство 60, 79
Разбиение единицы 434
СРГ-разбиение 113
Разделяющее множество 348
Разложимый элемент 278
Размерность (СРГ-пространства) 114
Ранг группы 23
Расщепляющаяся алгебра 278
Рациональные числа 9
Регулярное значение 91
Резольвента (модуля) 166
Ретракт 50
Ретракция 50
Решетка 95
Росток отображения 78
Свободная группа 21
— коммутативная градуированная
алгебра 282
— часть 23
Свободный комплекс 39
— модуль 159
— функтор 217
Связная алгебра 278
Связывающий гомоморфизм 32, 46,
171,346
Сечение 309
Сигнатура квадратичной формы 373
— многообразия 373
Сильно аддитивный функтор 162
— кофинальный функтор 429
Симплекс разбиения 442
Симплициальная аппроксимация 152
— структура 143
— схема 148
Симплициальное отображение 146
— пространство 143
Симплициальные гомологии 152
Симплициальный атлас 142
упорядоченный 142
— комплекс 153
пары 153
Сингулярная цепь 44
Сингулярные (ко) цепи, (ко) циклы,
(ко) границы, (ко)гомологии
пары пространств с
коэффициентами 189
Сингулярный комплекс 44
— симплекс 44
Скалярное умножение 232
Слабо кофинальный функтор 429
След 257
Собственное отображение 89, 326
Спектральная последовательность
ПО
Спрямляемое отображение 151
Стандартная и-мерная клетка 70
Стандартный симплекс 42
Степень отображения 81, 326
над ЯГ 324
— собственного отображения 326
О-структура 305
д -структура 216
Стягиваемый комплекс 36
Тензорное произведение алгебр 271
комплексов 203
— умножение 178, 203
Теорема Брауэра о неподвижной
точке 74
— Даукера 435
— двойственности 357
— Жордана 99
— Кюннета 205, 210, 225, 226
для чеховских когомологий 369
— Лефшеца —Хопфа 255
— об ацикличных моделях 220
— об инвариантности границы 79
области 100
размерности 79
— об универсальных коэффициентах
172
— Рохлина — Тома о сигнатуре 377
— Хопфа 328
— Эйленберга — Зильбера 223
Тождественный морфизм 10
— функтор 12
Толстая сфера 66
Топологическая группа 242
— независимость 302
— сумма 26
Точка ветвления 80
Точная гомологическая
последовательность 33
— пара ПО
— последовательность 16, 31
Точный слева функтор 165
— справа функтор 165
— функтор 165
Трансверсальный класс 387
Трансфер гомологический 377, 380
— когомологический 326, 380
— мультипликативные свойства 384
Триада 26, 62
Тройки 26
Удвоение многообразия 305
Умножение 241
— Понтрягина 240
п-умножения 291
Универсальное преобразование 332,
427
Универсальный элемент 14
Факторгруппа 22
Факторкомплекс 30
Фактормодуль 158
Фильтрация 109
— клеточная 109
Фильтрованный комплекс ПО
Фундаментальный класс 237, 249
вблизи # 324
Функтор 12
— двух переменных 12
— Ext 186
— Нот 186
Характеристика Эйлера — Пуанкаре
132
Характеристическое отображение
114
Цепное отображение 27
степени п 209
Цепь 27
Цикл 27, 45
Чеховская когомологическая
последовательность 347
Чеховские когомологии 343
с ограниченными
(компактными) носителями 353
Чеховское распространение 445
— п-умножение 358
естественность 359
— и-умножение 352
Число вращения 98
— Лефшеца 257
Эйлерова Zp-характеристика 196
Эквивалентность 11
Элементарный комплекс 39
Эпиморфизм 16
Эпифунктор 165
От редактора перевода
Эту книгу можно было бы назвать «Теория гомологии для
нетопологов». Ее основным предметом является теория гомологи-
гомологических и когомологических умножений и теория гомологической
двойственности в многообразиях. Не вызывает сомнения, что зна-
знакомство с этими теориями необходимо всякому математику.
При этом степень подробности и уровень общности (и, пожалуй,
уровень педагогического мастерства) в этой книге выше, чем
в большинстве других учебников топологии. Стоит сказать, что
принятая в книге общность не является излишней: она как раз
соответствует, на мой взгляд, запросам анализа, алгебра-
алгебраической геометрии и других математических областей, посто-
постоянно обращающихся к элементарной алгебраической топологии.
Для тополога книга слишком элементарна: в ней отсут-
отсутствуют препятствия, когомологические операции, спектральные
последовательности — словом, разделы теории гомологии, слу-
служащие стержнем современной топологии. Зато читатель, не име-
имеющий вкуса и привычки к громоздким алгебраическим конст-
конструкциям, прочтет книгу с удовольствием и несомненной поль-
пользой.
В заключение я хочу поблагодарить проф. А. Дольда, ко-
который прислал нам тщательно составленный список опечаток,
а также новое доказательство одной из теорем (предл. VII.6.13);
благодаря этому указанная теорема доказывается в русском
переводе значительно короче и проще, чем в английском ориги-
оригинале.
Д. Фукс
Предисловие
Эта книга посвящена главным образом сингулярным гомо-
логиям и когомологиям, причем основное внимание уделяется
произведениям и многообразиям. Из теории гомотопий мы за-
затрагиваем лишь основные понятия, некоторые примеры и про-
простейшие применения (ко)гомологий к гомотопиям. Обобщенные
(экстраординарные) гомологии также отсутствуют, хотя многие
формулировки и доказательства теории, сингулярных гомологии
подобраны таким образом, что они без большого усилия рас-
распространяются на обобщенные гомологии. Я опустил и спект-
спектральные последовательности, так как их главные топологические
применения относятся к теориям гомотопий и обобщенных (кос-
(космологии. Чеховские когомологии рассматриваются только для ло-
локально компактных подмножеств многообразий; короткий систе-
систематический обзор для произвольных пространств, в котором
особое внимание уделяется универсальности конструкции Чеха,
содержится в добавлении.
Книга возникла из годового курса алгебраической тополо-
топологии и может служить пособием для такого курса. Более ко-
короткий курс (скажем, полугодовой) можно составить из гл. II,
III, IV (§ 1-4), V(§ 1-5,7, 8), VI (§ 3,7, 9, 11, 12). У студен-
студентов предполагается предварительное знание элементарных частей
общей топологии, теории абелевых групп и языка категорий —
хотя по двум последним темам в какой-то мере может слу-
служить пособием наша гл. I. Из педагогических соображений до
гл. VI я рассматривал только целочисленные гомологии; если
читатель или преподаватель предпочитает с самого начала
иметь дело с произвольными коэффициентами, ему достаточно
внести лишь незначительные изменения.
Книга состоит из восьми глав, I — VIII, и добавления (Д),
которые подразделяются на параграфы: § 1, 2... . В каждом
параграфе последовательно занумерованы определения, предло-
предложения, замечания, формулы и т. д.; каждому такому номеру
предшествует номер параграфа. Ссылка вида III.7.6 указывает
на главу III, § 7, пункт 6 (записанный в виде 7.6), который
может быть определением, предложением, формулой или чем-
нибудь еще. Если комер главы опущен, то ссылка производится
на текущую главу.
S Предисловие
Упражнения предназначены как для практического овладе-
овладения понятиями основного текста, так и для того, чтобы сфор-
сформулировать некоторые дальнейшие результаты. Упражнение
или его решение может понадобиться для последующих упраж-
упражнений, но не для основного текста. Особенно трудные упраж-
упражнения помечены звездочкой *.
Я прочитал несколько курсов лекций по предмету, состав-
составляющему содержание этой книги, и мне принесли большую
пользу многочисленные замечания моих коллег и учеников. Я
особенно обязан В. Босу и Д. Б. А. Эпштейну, которые прочли
большую часть рукописи и сделали ряд полезных предложений.
Гейдельберг Альбрехт Дольд
ГЛАВА I
Предварительные сведения о категориях,
абелевых группах и гомотопиях
Цель этой главы — дать читателю возможность быстро на
ходить все необходимые сведения о перечисленных в заглавии
понятиях. Они носят вспомогательный характер и понадобятся
в последующих главах. Желательно, чтобы4 читатель обладал
некоторыми элементарными сведениями о категориях и абеле-
абелевых группах, в противном случае изложение может показаться
ему слишком сжатым. Но даже если он обладает скромными
познаниями, ему все же следует начать чтение с гл. II и об-
обращаться к гл. I только по необходимости. Если соответствую-
соответствующая информация в гл. I покажется читателю слишком краткой,
недостаточной (некоторые доказательства опущены) или нося-
носящей уж слишком частный характер, он может обратиться к со-
соответствующей литературе (см., например, Маклейн [2], Мит-
Митчелл [1], Шуберт [2]; Фукс [1], Курош [1], Ван дер Варден [1]).
Стандартный язык и обозначения теории множеств (такие,
как U, П. <=, е=, 0, XXY, f: X-+Y, ху-^у, {х&Х\х обла-
обладает свойством Р} и т. д.) используются без пояснений. К тому
же предполагается, что читатель знаком с элементами общей
топологии.
Некоторые основные множества и пространства обознача-
обозначаются специальными символами, которые сохраняются на про-
протяжении всей книги. Например:
N — множество натуральных чисел,
Z — кольцо целых чисел,
Q, R, С — поля рациональных, вещественных и комплексных
чисел с обычной топологией,
R« = RXRX...XR, С" = СХСХ..-ХС (я со-
сомножителей),
fiB = {jceRn|||*|l<l}, где||х||2= ? х\, - шар раз-
мерности п,
Sn~l = {x<=Rn\\\x\\—\} — сфера размерности га—1,
[О, 1] = {t e R10 ^ t ^ 1} — единичный отрезок,
10 Гл. 1. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотетиях
1. Категории и функторы
1.1. Определение. Категорией W называется тройка, вклю-
включающая в себя:
(i) Класс объектов, обозначаемый через ОЪ^). [Когда это
не приводит к недоразумениям, мы вместо Ob (<$?) будем также
писать Я?.]
(И) Множество морфизмов из X в Y, заданное для каждой
пары X, У объектов и обозначаемое через &(Х, Y) или [X, Y].
[Для ае?(Х,7) объект X называется областью определения
морфизма а, а К — его областью значений; морфизмы из X в Y
иногда обозначают через a: X-*-Y, или X—>¦ У, или просто
X-+Y.]
(ш) Отображение из ^(Х, У)Х^(У, Z) в W{X, Z), заданное
для каждой упорядоченной тройки объектов X, Y, Z и называ-
называемое композицией. [Образ пары (а, р) обозначается через poet,
или ра, и называется композицией а и р.]
При этом должны выполняться две следующие аксиомы:
(iv) Для любых морфизмов а: X—>У, р: Y-+Z, у: Z->W
у ° (Р ° а) = (у ° р) о а.
(v) Для любого объекта X существует тождественный мор-
физм id ===== idji^: X—>Х, такой, что для любого объекта У и лю-
любого морфизма be?(I, Y)
Легко видеть, что для каждого X морфизм idA- единствен (id^ =
= \&х ° idx = id^)-
1.2. Примеры, (i) Категория множеств 9"ets: объектами этой
категории являются произвольные множества (Ob {9"ets) — класс
всех множеств), морфизмами — отображения ([Х,У] — множество
всех отображений X->Y), а композиция определяется, как
обычно.
(ii) Категория абелевых групп s^'S: Ob {s^'S) — класс всех
абелевых групп, [X, Y] = Hom(X, Y) — множество всех гомомор-
гомоморфизмов X-*Y, а композиция определяется, как обычно.
(ш) Категория топологических пространств Top: Ob {Top) —
класс всех топологических пространств, [X, У] — множество всех
непрерывных отображений X—*-Y, композиция определяется, как
обычно.
(iv) Гомотопическая категория Шр, которая будет опреде-
определена в § I. 3, имеет те же объекты, что и Тор, но морфизмы не
являются отображениями в обычном смысле.
(v) С каждым квазиупорядоченньш множеством С сопостав-
сопоставляется следующая категория W: Ob(W)=C, а множество ^{Х, У)
/. Категории и функторы 1!
состоит из единственного элемента (X, У), если X^Y, и пусто
для остальных пар Z, УеС. Обратно, если 'g' —такая катего-
категория, что Ob (W) есть множество и для любых X, Y e Ob (Щ мно-
множество <8(Х, Y) содержит не более одного элемента, то мно-
множество Ob (Щ можно сделать квазиупорядоченным, полагая
X<Y при <&{Х, У)ф 0.
(vi) Каждая группа G определяет категорию ^ с единствен-
единственным объектом е, Ob(f) = {e}. При этом ce(e,e) = G, и компо-
нирование морфизмов определяется как перемножение элементов
группы.
(vii) Любой категории %? можно отнести дуальную, или двой-
двойственную, категорию Фор следующим образом: Ob (W°9) = Ob {%?),
V°*(XY) V{YX) p p
(viii) Произведение ^ = ?!Х^2 категорий 93х и ^2 опреде-
определяется следующим образом: Ob С&) = Ob С&\) X Ob (^2) — класс
всех пар (Хи Х2), где Х;е0Ь(^); <&((Хи Х2), (У„ Y2)) = ^1(Xl, У,)X
Х%(Х2, Y,); (pJf p2) о (a,, a2) = (p1 ° a,, p, ° a2).
1.3. Определение. Категория *$" называется подкатегорией
категории W, если:
(i) Ob («") с= Ob («0;
(ii) Г (Г, Г) с: Я8{Х', Y') для любых Г, Г е Ob (Г);
(Ш) композиции морфизмов asf (Г, F') и ре?'(У, Z')
в ?' и ^ совпадают;
(iv) тождественные морфизмы объекта ХеОЬ (?') в "ё7' и ^
совпадают.
Далее, если V (X', V) = f {X', Y') для любых J', Г е Ob («"),
то W называется полной подкатегорией категории W. Следова-
Следовательно, полная подкатегория "g" категории f определяется клас-
классом Ob (*?")• Например, категория конечных множеств и всех
их отображений является полной подкатегорией категории ^ets.
Неполные подкатегории категорий (i), (ii), (iii) из 1.2 можно по-
получить, взяв в качестве f (X, Y) множество всех инъективных
(или сюръективных) морфизмов и положив Ob Сё") — Ob (¦??).
1.4. Определение. Если a: X—*-Y, P: Y->X — морфизмы
(в категории 93), такие, что Pa = id, то р называется левым
обратным к а и a — правым обратным к р. Если а допускает
как левый обратный {5;, так и правый обратный рг, то
Р/ = Э/ (арг) = (р/а) рг = рг; в этом случае а называется эквива-
эквивалентностью, или изоморфизмом, и обратный изоморфизм рг = рг
обозначается через а. Говорят, что два объекта X, Y эквива-
эквивалентны, или изоморфны, и пишут Х~У, если существует изо-
изоморфизм ae?(I, У), Например, эквивалентность в категории
9*ets — это обратимое отображение; эквивалентность в 0~ор — это
гомеоморфизм; эквивалентность в s^'S — это изоморфизм в обыч-
обычном смысле.
12 Гл. I. Сведения о категориях, абелееых группах и гомотетиях
1.5. Определение. Пусть <?" и ^5 — категории. Функтор, или
подробнее ковариантный функтор, Т из "й? в 2) (пишут Т: Я?-*®)
есть пара, включающая в себя:
(i) отображение Т: Ob {<&) -* Ob @);
(ii) отображения Т = ТХУ: ^(Х, Y)->2)(TX, TY), заданные для
любых X, У е Ob C2?) и сохраняющие композиции и тождествен-
тождественные морфизмы, т. е. такие, что
(Hi) Т (Р с а) = Г (р) о Г (а) для любых морфизмов X -^ У -^ Z
категории '5';
(iv) T (idjf) = idrx для любого leOb (f).
Кофунктор {контравариантный функтор) из ? в 2) есть, по
определению, функтор из ^ в дуальную категорию 0ор. Его
прямое определение отличается от предыдущего лишь тем, что
отображение Т из условия (ii) выше заменяется отображением
Т: W(X,Y)-+?)(TY,TX), а формула (ш) — формулой Г(|3°а) =
= G'а)°(ГР). Эквивалентным образом кофунктор из Я? в <?> может
быть описан как функтор из ^ор в 3). Функтор ^iX^-*®)
где ?|Х^2 — произведение категорий C'1 и ^ (см. 1.2(viii)),
называется функтором двух переменных (со значениями в ЗУ).
1.6. Примеры функторов, (i) Тождественный функтор
Id: ^—»-'?), задаваемый для всех объектов X и морфизмов а
равенствами \&{Х) — Х, Id(a) = a.
(ii) Если Т: & -> 2> и f/: 2D-+8 — функторы, то их компози-
композиция UT: W-+&, определяемая формулами (UT) X = U (TX),
(UT) (a) = U (Та), также является функтором.
(ш) Для любого фиксированного D e Ob @У) имеется постоян-
постоянный функтор Т: ^->2), определяемый формулами TX — D,
Та == idD для любых X, а.
(iv) Для любого фиксированного ЛеОЬСЗ?) имеются функ-
функторы WA: <F->9'ets, 4i?A: (&->9'etsav, определяемые следующим
образом: <FA{X)=W{A, X), ^А{Х)=^{Х, Л) для любого объекта X
и (ё'АA) = 1о (композиция с I слева), ($>А(?) = °| (композиция
с | справа) для любого морфизма |. Таким образом,
Y), a^goa,
(v) Если рассматривать группы G, Н как категории (см. 1.2 (vi)),
то функторы соответствуют гомоморфизмам G—>H, а кофунк-
торы — антигомоморфизмам.
1.8. Предложение. Пусть Т: 9!?-+2) — (ко)функтор. Если
)-изоморфизм, то Та — тоже изоморфизм и (Та) =
Действительно, aa-1 = id=#(Та) Gа~')=--Г(сю l)=7'(id) = id. Q
/. Категории и функторы . 13
1.9. Определение. Пусть S, Г: <5"->Ф — функторы. Есте-
Естественное преобразование Ф из S в Т (пишут Ф: S->T) состоит
из системы морфизмов Фх е ?D(SX, TX), заданных для каждого
JeObCS7) и таких, что все диаграммы
A.10) «
TX^*TY
(для всех аеУA, Y)) коммутативны, т. е. ФкоEа) = (Та) °ФХ.
Если каждый морфизм Ф^ есть эквивалентность, то Ф назы-
называется естественной эквивалентностью. В этом случае система
{цгх = Ф^1} также является естественным преобразованием (чтобы
убедиться в этом, достаточно перевернуть вертикальные стрелки
в A.10)) и естественной эквивалентностью; она называется обрат-
обратной естественной эквивалентностью.
1.11. Примеры естественных преобразований, (i) Для
любого функтора Т: 1!>-*Ф система тождественных морфизмов
Фх = \6.гх: ТХ-+ТХ представляет собой естественную эквива-
эквивалентность.
(п) Если 5, T, U: <$->Ф — функторы и Ф: S->T, ?: T-+U —
естественные преобразования, то композиция ?»©: S-+U, опре-
определяемая формулой (W°Ф)Х =^х °Фл, также является естест-
естественным преобразованием.
(ш) Пусть А — фиксированный объект категории <& я
S = ^A: <S-*9'ets — функтор из примера 1.6 (iv). Пусть, далее,
Т: (§'—>9:'ets — произвольный функтор и а — некоторый элемент
множества ТА. Формулы
Фах: SX = V (А, X) -> ТX, Фх (I) = Щ) а
определяют естественное преобразование Фа: S->T. Действи-
Действительно, диаграмма A.10) коммутативна:
(Ф? ° (So)) (I) = Ф? (Eа) (|)) = Ф? (а!) =
= Т (al) а = (Та) (П) а = ((Га) ° Ф^) A).
Аналогичное построение имеется и для кофункторов Т\^->
-*¦ 9>ets, т. е. если А е Ob (<&) и ае ТА, то формулы
Ф^: <€А (X) = <В (X, А) -* ТХ, Ф% (I) = (П) а
определяют естественное преобразование Фа: <&А-*-Т. Фактически
этими преобразованиями исчерпываются все естественные пре-
преобразования функторов вида <&& и ^Л- Более формально:
14 Гл. I. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотопиях
1.12. Предложение (лемма Ионеды). Если Т: %?-
функтор и Ф: f л -> 71 — естественное преобразование (Л s Ob (f)),
го существует единственный элемент аеТА, такой, что Ф = Фа,
а именно а = ФА('1дА).
Таким образом, естественное преобразование ^А-*-Т пол-
полностью определяется своим значением на idA^cS'A(A), и в ка-
качестве Фа№а) может быть выбран произвольный элемент в ТА.
Аналогичное верно и для кофункторов <& -> ^ets.
Доказательство. Если Ф: Ч?А->Т — естественное пре-
преобразование, то диаграмма
коммутативна для любого | е1?л (X) = <&{А, X). В частности,
Ф* («л {%) №а)) = (Ш (Фл (idл])- Но «^ (|) (icy = % о id4 = |; следо-
следовательно, Ф^ (|) = (Г|) а = Фх A), где а = ФлAс1л). []
1.13. Определение. Пусть Г: W-^-^ets есть (ко)функтор и
ЛеОЬ(?). Элемент и<зТА называется универсальным (для Г),
если Ф": <2?д->Г — естественная эквивалентность. Не каждый
(ко)функтор Г: ($'-+9'ets допускает универсальный элемент.
Функторы, которые допускают универсальный элемент, назы-
называются представимыми; при этом говорят, что объект А, точнее,
пара (А, и) представляет (ко)функтор Т. Следующее предложение
показывает, что пара (А, и) определена с точностью до экви-
эквивалентности однозначно.
1.14. Предложение. Пусть Т: ^'-*¦ Pets—представимый функ-
функтор, и пусть и е ТА — универсальный элемент. Ввиду универ-
универсальности для любого объекта С категории W и любого элемента
се ТС существует единственный морфизм у: А-*С с {Ту)и = с.
Если элемент с также универсален, то у есть эквивалентность.
Аналогичное верно и для кофункторов.
Доказательство. Если элемент с универсален, то суще-
существует морфизм р: С->Л с (ГР)с = м. Следовательно, Т($у)и =
= {Тр){Ту)и = и, и, в аилу универсальности элемента и, pY==id;
аналогично yP = id- U
1.15. Таким образом, для того чтобы задавать объекты катего-
категории ^ (с точностью до эквивалентности), можно использовать
(ко)функторы Т: <S>->9'ets. Этот метод «определения по уни-
универсальным свойствам» является весьма общим и очень важен
/. Категории и функторы 15
для многих областей математики. В качестве иллюстрации рас-
рассмотрим произведение
Если функтор Т является представимым, то представляющий
объект называется копроизведешем объектов В и С и обозна-
обозначается через B\JC. Универсальный элемент «ef(BLJC) =
= W(В, В(jС) X^(C, BU С) представляет собой пару морфиз-
мов ив: 8-»BLJC, ис: C-+BUC, называемых каноническими
вложениями (комножителей). По определению для любой пары
морфизмов ав: В-+Х, ас- С—*¦ X существует единственный
морфизм а: 8LJC -* X, такой, что сшв = ав, сшс = ас. Обычно
пишут а = (ав, ас). Аналогично можно определить копроизведение
произвольного семейства объектов {вх}ЛеЛ; оно обозначается
через LJ Вх и характеризуется естественной эквивалентностью
1Л
(UВк, Х\«ПV(Вк, X), где
Двойственным образом произведение В[~\С двух объектов В,
(С е Ob {Щ (если оно существует) определяется естественной экви-
эквивалентностью ff(X, ВГ\С)к,^{Х, В) X 9(Х, С), т. е. ВГ\С
есть объект категории <2?, который представляет кофуйктор
Т = (S'B X ^¦ Универсальным элементом и б Г (S П С) =
= f {В П С, В) X *& {В П С, С) является пара морфизмов
ив: ВПС-+В, ис; ВПС-^-С, называемых проекциями на сом-
сомножители. Для произвольной пары морфизмов ав: Х-+В,
ас: Х->С существует единственный морфизм а: X —>¦ ВГ\С,
такой, что ав=ива, ас=кса. Обычно пишут а = (ав, ас). Ана-
Аналогично произведение П В% произвольного семейства объектов
(если оно существует) определяется естественной эквивалентно-
эквивалентностью Т[
В конкретных категориях, таких, как Pets, Wop, si^ и т. д.,
произведения и копроизведения имеют специальные названия и
обозначения. Например, копроизведение LJ в категориях 9>ets,
Wop,s4-9 называется соответственно дизъюнктным объединением,
топологической суммой, прямой суммой и обозначается через U,
ф, ф. Произведение В ПС ['соответственно ПВЛ обозначается
в этих категориях через ВХС (соответственно ЦВ;Л ; более
Того, в категории sV3 ВХС
16 Гл. I. Сведения о категориях., абелевых группах и гоматапиях
2. Абелевы группы (точность, прямые суммы,
свободные абелевы группы)
Абелевы группы и их гомоморфизмы образуют категорию,
которую мы обозначаем через s4%. Если а: А -+ В — гомомор-
гомоморфизм одной абелевой группы в другую, ае^(Л, В), то мы
полагаем
B.1) ядро а = ker (а) = {а е А | а (а) = 0},
B.2) образ ct = im(a)—аЛ = {6е?|Яае А с а (а) = Ь}.
Это — подгруппы групп Л и б. Им соответствуют факторгруппы
B.3) кообр аз а = coim (а) = Л/ker (а),
B.4) коядро a = coker(a) = B/im(a).
Если ker(a) —{0}, то а называется мономорфизмом, если
coker (a) = {0}, то — эпиморфизмом.
Мономорфизм — это то же самое, что инъективный гомомор-
гомоморфизм, эпиморфизм — то же самое, что сюръективный гомо-
гомоморфизм. Гомоморфизм а называется изоморфизмом (пишут
а: Л ^ В), если он одновременно мономорфен и эпиморфен.
Теорема о гомоморфизме утверждает, что
B.5) im (a) ^ Л/ker (a) = coim (a).
Поэтому понятие кообраза почти не будет использоваться.
2.6. Определение. Последовательность Л—*¦ В—*~С гомо-
гомоморфизмов называется точной, если ker (р) = im (a). Длинная
последовательность ... —> А-.2~* А-\ ~* Ло—> Л, —> Л2-> ... назы-
называется точной, если любые две последовательные стрелки
образуют точную последовательность. Точная последователь-
последовательность вида
B.7) О-^Л'-^- Л-^Л"->0
называется короткой точной последовательностью. Например,
если В — подгруппа группы Л, то последовательность
где i — включение, а п — проекция, является короткой точной
последовательностью. Обратно, если последовательность B.7)
точна, то В = im (a') = ker (a") есть подгруппа группы Л и из B.5)
следует, что В ^ Л', А/В зё А".
2.8. Предложение. Пусть ...—>-Л—**В—*-...— точная
последовательность. Гомоморфизм а является мономорфизмом
2. Абелевы группы 17
в том и только в том случае, если а~=0, и эпиморфизмом
в том и только в том случае, если а+=0. Таким образом,
а есть изоморфизм тогда и только тогда, когда одновременно
о- = 0 и а+=0. D
Этот (довольно очевидный) факт будет использоваться очень
часто. Другой полезный результат (он менее очевиден) состоит
в следующем.
2.9. Лемма о пяти гомо морф изм ах E-лемма). Пусть
ф. | ф2 фИ фл) ЯЧ!
i i * у +
— коммутативная диаграмма с точными строками. Если фь ф2,
ф4> Фэ — изоморфизмы, то ф3 также изоморфизм.
Доказательство. Переходя в диаграмме к факторгруппам
и подгруппам, получаем следующую коммутативную диаграмму
с точными строками:
«2 аЗ
О -> coker Ц) —*¦ А3 —*¦ кег (а4) -*¦ О
B.10) ^'2
0 -> сокег (р,) —> В3 -т> кег (р4) -> 0
Р2 РЗ
Это сводит задачу к более простому частному случаю. Имеем
кег (ф3) сг кег (р^3) = кег (ф^) = кег (а'3) = im (aQ;
следовательно, кег (ф3) ^ кег (Фз^) = кег (Р2Ф2) — @}> т. е. ф3 —
мономорфизм. Двойственным образом РдФз^фХ есть эпи"
морфизм, а потому В3 = im (ф3) + кег (рз). Но кег (рз) = im (P0 =
= im (Р2Ф2) —im (Фза2) с im (Фз); значит> В3~*т(%)> т- е- Фз~
эпиморфизм. []
В качестве упражнения читатель может доказать 5-лемму
непосредственно, не сводя ее к диаграмме B.10).
2.11. Определение и предложение. Говорят, что корот-
короткая точная последовательность B.7) расщепляется, если выпол-
выполняется одно из следующих условий:
(i) а' обладает левым обратным р': Л—>• А'', Р'а' = !с1л';
(и) а" обладает правым обратным Р"; А"'-*A, a."$l" = idA".
18 Гл. I. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотопиях
Эти условия эквивалентны. Более того, формула
B.12) аТ + |3"а" = 1с1л
устанавливает взаимно однозначное соответствие между левыми
обратными р' к а' и правыми обратными р" к а", и если Р', Р"
удовлетворяют этому уравнению, то р'Р" = 0.
Доказательство. Если гомоморфизм р" является пра-
правым обратным к а", то a"(id,, — р"а") = а" — (а"р")а" = 0. Сле-
Следовательно, im 0с1л — Р"а") с= ker (а") = im (а'), и мы можем за-
задать гомоморфизм Р' равенством а'$'= \&А— P'V, т. е. равен-
равенством B.12); гомоморфизм р' определен этим однозначно,
поскольку а'— мономорфизм. Применив а' к этому равенству
(или к B.12)) справа и воспользовавшись равенством а"а' = 0,
мы получим, что а'(р'а') = а/. Так как а' — мономорфизм, из
этого следует, что p'a' = id. Тем самым доказано, что каждый
правый обратный Р" к а" однозначно задает левый обратный р'
к а', такой, что выполнено равенство B.12).
Если гомоморфизм р' является левым обратным к а', то
(\&А — а'р')а' = а' — а'(Р'а') = 0. Следовательно, гомоморфизм
(idx — a'p') тривиален на подгруппе im (a') = ker (a"); так как а" —
эпиморфизм, существует единственный гомоморфизм р": А"—>А,
такой, что $"а" = (id,, — a'p')> т. е. такой, что выполнено ра-
равенство B.12). Применив далее а" к этому равенству слева, мы
получим, что (a"p")a// = a//. Так как а" — эпиморфизм, из этого
следует, что a"p" = id.
Применив, наконец, к равенству B.12) гомоморфизм р'слева,
мы получим, что р' + (р'р")а" = р'. Следовательно, (р'Р")а" = О,
и, таким образом, р'р" = О. []
2.13. Определение. Пусть {Лх}АеЛ — семейство абелевых
групп. Рассмотрим множество всех функций а, заданных на Л
и таких, что й(Л,)е4 при всех AgA. Относительно сложения
функций по их значениям это множество образует абелеву
группу, называемую прямым произведением семейства {АК}Х(_А
и обозначаемую через JT ЛА. Элементы ах = а(Х) называются
Яе=Л
компонентами элемента a—{ak}<=YLA),. Гомоморфизм nv: Ц Ak-+
"К А.
->/lv, относящий каждому элементу абД4 его v-ю компо-
ненту jtva = av, называется проекцией на сомножитель Ау.
Прямая сумма семейства {Л^}ЯеА — это подгруппа ф Ах
группы И А^, которая состоит из всех функций а с конечным
2. Абелевы группы 19
носителем, т. е.
Ясно, что если Л конечно, то ®Ля = Г1Ля. Гомоморфизм
Л Л
Ах — /а е XI Ля I ая = О ДЛЯ почти всех
I. A
и Л конечно, то ®Ля = Г1Ля.
iv: /lv—>фЛЛ, такой, что nviv = id, лЛц = 0 для %фу, назы-
вается каноническим вложением слагаемого Av; таким образом,
если te/lv, то все компоненты элемента ця, кроме v-й, равны
нулю и (iv#)v = х.
2.14. Предложение и определение, (i) Если X е Ob (^4-9)
и {фх: X—> Aj}, X е Л, — семейство гомоморфизмов, то суще-
существует единственный гомоморфизм q>: X—>ЦЛ^, такой, что
ф# = {фх*}Ле_д при всех х^Х. Мы будем писать Ф = {фх} и
называть гомоморфизмы фя = л^ф компонентами гомомор-
гомоморфизма ф.
(И) Если X е Ob (sVS) и {$%: Ля -> X}, 1еЛ,- семейство
гомоморфизмов, то существует единственный гомоморфизм
¦ф; Ф^х~>^> такой, что afia = 2 г|\аА (эта сумма конечна!).
Мы будем писать <ф = {'фя} и называть гомоморфизмы "Фл.=== 'Ф'-л.
компонентами гомоморфизма -ф.
Другими словами, 11ЛЯ есть категорное произведение П Ах
в смысле 1.15, а фл^, есть категорное копроизведение LJ4;
Л Л
семейство проекций {%} (соответственно вложений {ik}) является
универсальным элементом для соответствующего функтора
1Х^#^(Х, Лх) (соответственно П-^^ЧЛ^ -ЮУ
А V I )
Обе части нашего предложения очевидным образом следуют
из определения 2.13.
2.15. Определение. Пусть (Ля}ХеЛ и А суть некоторые
абелевы группы. Семейство гомоморфизмов {рк: Л->Ля}Ле,у
(соответственно {L: Л1->Л}1=:Л называется представлением
в виде прямого произведения (соответственно представлением
в виде прямой суммы), если {р*,}: Л—>-ПЛя Г соответственно
Ля->Л>| есть изоморфизм.
2.16. Предложение. Пусть {рх: А~*А%\ и {ih:
АеЛ, — семейства гомоморфизмов, такие, что
B.17) Z
20 Гл. I. Сведения О категориях, абелевых группах и гомотопилх
Если Л конечно, то {р%} есть представление в виде прямого про-
произведения, a {ix} — представление в виде прямой суммы.
Обратно, если p = {/v. ^"*4}*sa ~ представление в виде
прямого произведения, то существует единственное семейство
гомоморфизмов {iK; A^-+A}, которое удовлетворяет равенствам
B.17); подобное верно и для представлений в виде прямой
суммы.
В частности, короткая точная последовательность 0—*¦ А'—*¦
—*¦ А—*А"-+0 расщепляется тогда и только тогда, когда а'
(соответственно а") является одной из компонент представления
в виде прямой суммы (соответственно в виде прямого произве-
произведения) А'@А" s*A (ср. 2.11).
Доказательство. Прежде всего мы должны показать,
что отображения i = {i%}\ (&АХ-*А и р = {рк}; А-П
являются изоморфизмами. Но так как Л конечно, то © =
и, очевидно,
(ip) а = i {рха} = ГZ hPi) а = а,
Таким образом, р и i—взаимно обратные изоморфизмы. Пере-
Переходя к обратному утверждению, мы можем предположить, что
А = П А, = 0 \ и рх = ля ('поскольку р: Ае* П Л> %Р = Рк\
Первые два равенства B.17) показывают, что г\ = 1я (см. опре-
определение 2.13), поэтому остается лишь проверить, что Х
Эту проверку мы оставляем читателю.
Для представлений в виде прямой суммы доказательство
аналогично. []
2.18. Пусть А — абелева группа и А\, А2 — ее подгруппы. Мы
будем говорить, что А есть прямая сумма своих подгрупп Аи
Л2> если включения задают представление в виде прямой суммы
(/,, i2): Ai@A2^ А. Легко показать, что для этого необходимо
и достаточно, чтобы (i) объединение Д (J А2 порождало А и (и)
пересечение Л^^г сводилось к нулю. Подгруппа А] группы А
называется ее прямым слагаемым, если А есть прямая сумма
подгруппы Л] и некоторой другой своей подгруппы Л2. Напри-
2. Абелевы группы 21
мер, если 0->Л'—* А~> А"->0 — короткая точная последова-
последовательность, то im(a) тогда и только тогда является прямым сла-
слагаемым в Л, когда последовательность расщепляется (см. заме-
замечание после предложения 2.16). Применяя это к последова-
последовательности
О -> Л, -^ А -+А/А{-+0,
мы видим, что подгруппа Aid А тогда и только тогда является
прямым слагаемым, когда включение i обладает левым обрат-
обратным г; A—>AU n' = id.
Если семейство (Лх}Ле_л подгрупп группы А таково, что
включения образуют представление в виде прямой суммы,
ik): © A-ъ — А< то мы также будем говорить, что А есть пря-
мая сумма своих подгрупп A-h.
2.19. Определение. Пусть А — абелева группа и aei
Определим гомоморфизм ie: Z-> А, полагая ian = n-a для
любого neZ. Таким образом, 1а — единственный гомоморфизм
Z—>-Л, такой, что ia(l) = a. Подмножество В группы Л назы-
называется базисом этой группы, если семейство гомоморфизмов
Ub)beB является представлением в виде прямой суммы,
{ib}'- ф Zs/1, Каждый элемент х е Л единственным образом
ь <= в
представляется в виде конечной линейной комбинации элементов
базиса с целыми коэффициентами: х= 2 Хь • Ъ, j;beZ, почти
все хь = 0. Не каждая абелева группа имеет базис; если абе-
абелева группа имеет базис, она называется свободной. Таким
образом, абелева группа является свободной тогда и только
тогда, когда она изоморфна прямой сумме групп Z. Из 2.14(п)
мы получаем
2.20. Предложение (универсальное свойство базиса). Пусть
В — базис абелевой группы А, X — произвольная абелева группа
и {^е1}1ев—произвольное семейство элементов. Тогда суще-
существует единственный гомоморфизм |: А->Х, такой, что %,Ь=Хь
для любого &е6, Таким образом, гомоморфизм свободной
абелевой группы однозначно определяется своими значениями
на базисе, и эти значения можно выбирать произвольно. []
2.21. Определение. Для любого множества Л мы можем
образовать прямую сумму © Z. Эта группа называется сво-
бодной абелевой группой., порожденной Л; ее часто обозначают
через ZA. Элементы этой группы являются функциями a: A-*Z,
22 Гл. I. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотопиях
которые почти всюду равны нулю. Если отождествить элемент
1еЛ с функцией A->Z, такой, что к<—» 1 и v—>0 при v=?l,
то Л станет подмножеством группы ZA; это подмножество
является базисом группы ZA. Таким образом, каждый элемент
aeZA имеет единственное представление а = 2] % • Я,, a^ e Z,
Л е Л
в котором почти все % равны нулю; группа ZA состоит из всех
конечных линейных комбинаций элементов АеЛ с целыми
коэффициентами.
2.22. Каждая абелева группа А изоморфна факторгруппе сво-
свободной абелевой группы. Действительно, пусть Л — произволь-
произвольное подмножество группы А, порождающее А. Тогда, в силу
предложения 2.20, существует (единственный) гомоморфизм
\: ZA-> А, такой, что %{к) = К. Так как Л порождает А, то ?
есть эпиморфизм и, следовательно, Л-^ ZA/ker(|).
Более того, следующее предложение показывает, что группа
кег(|) также свободна.
2.23. Предложение. Любая подгруппа свободной абелевой
группы свободна (см. Курош [1, § 19]). []
Если факторгруппа свободна, то, как сейчас будет показано,
она является прямым слагаемым.
2.24. Предложение. Каждая короткая точная последова-
последовательность 0 —*¦ А' —> А —*¦ F -> 0, в которой F — свободная абелева
группа, расщепляется {и, следовательно, As*Ar@F).
Доказательство. Рассмотрим базис В группы F и вы-
выберем элементы {аьеЛ}6еВ, такие, что а{аь) = Ь для каждого
Ь^В. Зададим гомоморфизм р.- F-*-A формулой $(b) = ab
(см. 2.20); тогда a$(b) = b и, следовательно, опять-таки в силу
предложения 2.20, a|3 = id. []
Для конечно порожденных групп предложение 2.23 можно
следующим образом усилить:
2.25. Предложение. Пусть F — конечно порожденная свобод-
свободная абелева группа и G cz F — ее подгруппа. Тогда существуют
такой базис {Ьи ..., bm) группы F и такой базис {с,, ..., сп)
группы G, что п^пг и Cj=* цуй/ (/ < п), где \it e Z и и/
делит ц/+1 (/<«).
Доказательство см. у Куроша [1, § 20]. Q
Факторгруппа F/G является, очевидно, прямой суммой своих
цикаических подгрупп С/, где группа Cj порождена классом
смежности элемента Ь; порядок этой подгруппы равен piy при
2. Абелевы группы 23
j^n и оо при j > п. Так как в силу 2.22 всякая конечно по-
порожденная абелева группа А имеет вид F/G, то имеет место
2.26. Следствие. Всякая конечно порожденная абелева группа А
является конечной прямой суммой своих циклических подгрупп
{C,czA}:
B.27) Л = фс/( Cj^Z/vjZ, v;gZ, vt>0. Q
Частичная сумма Т — ф С,- — ф С;- называется кручением
v,>0 v, > 1
группы Л; это конечная группа, состоящая из всех элементов
конечного порядка группы А. Факторгруппа Л/Г= $ Z назы-
v,-0
вается свободной частью группы Л. Число слагаемых Z в Л/Г
называется рангом группы А и обозначается через rank (Л).
Оно не зависит от способа разложения B.27) группы в прямую
сумму; rank (Л) есть максимальное число линейно независимых
элементов в А.
Числа V; > 1, входящие в B.27), определены неоднозначно.
Однако они могут быть выбраны в виде степеней простых чисел:
v. = Ру', р, простое, pf > 0, и в этом случае они уже определены
однозначно (т. е. не зависят от разложения B.27)) с точностью
до перестановки (см. Курош [1, § 20]). Эти числа V/ называются
коэффициентами кручения группы Л. Две конечно порожденные
абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они
имеют один и тот же.ранг и одну и ту же систему коэффициен-
коэффициентов кручения.
2.28. Предложение. Пусть А — конечно порожденная абелева
группа и А' — ее подгруппа. Тогда группы А' и А)А' также
конечно порождены и rank (Л) = rank (Л') -f rank (Л/А').
Это легко доказать, основываясь на предложении 2.25; см.
также Курош [1, § 19]. Q
2.29. Для произвольной абелевой группы G можно определить
ранг следующим образом. Если группа G свободна, то мы
считаем ее ранг равным мощности базиса; в общем случае
ранг группы G есть верхняя грань рангов свободных подгрупп
группы G. При таком определении равенство rank (G) =
= rank (GO + rank {GIG') справедливо в самом общем слу-
случае,
24 Гл. I. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотопиях
3. Гомотопии
Пусть X, Y — топологические пространства и f: X-*Y — не-
непрерывное отображение. Если мы немного изменим отобра-
отображение /, то можем ожидать, что его свойства также изменятся
в малой мере. Так это или не так, зависит, разумеется, от
того, какие свойства рассматриваются, и, быть может, от ото-
отображения /. Оказывается, что многие важные свойства так
себя и ведут. Если, в частности, свойство может изменяться
лишь скачками (например, если оно характеризуется целым
числом), то при малых вариациях / оно не изменится совсем.
Оно останется неизменным также и при большой вариации, если
эта большая вариация выполняется маленькими шагами, т. е.
является результатом непрерывного процесса. Интуитивно го-
говоря, в этом и заключается принцип гомотопической инвари-
инвариантности; понятие гомотопии, которое мы сейчас обсудим, есть
формализация того, что обычно понимают под «непрерывным
процессом».
3.1. Определение. Пусть X, У — топологические простран-
пространства, и пусть [0, 1] обозначает единичный отрезок. Гомотетией,
или деформацией (из X в Y), называется непрерывное отобра-
отображение в: XX [0, l]-*Y. Для каждого t <= [О, 1]
C.2) в,: X->Y, et(x) = @(x,t)
есть непрерывное отображение. Очевидно, что отображение в
определяется «однопараметрическим семейством» {©<}0<<<i и
обратно. Поэтому {@Л0<*<1 также называется гомотопией, или
деформацией. Понятие однопараметрического семейства {Qt} в
большей мере отвечает интуитивному представлению и иногда бо-
более полезно; однако,выразить свойство непрерывности гомотопии
удобнее на языке отображения в: X X [0, 1] —>• Y. Если зафиксиро-
зафиксировать хе1и менять t е [0, 1], то 0(х, t) можно представлять себе
как траекторию, которую описывает точка х в пространстве Y
за единицу времени [0, 1]; деформация в будет при этом семей-
семейством таких траекторий в Y, зависящих от параметра х^Х.
3.3. Определение. Два непрерывных отображения f0, /,: X->Y
называются гомотопными, если существует деформация
{в*: X->Y}Q<t<{, такая, что fo = ©o> fi=©i- Мы будем писать
в: /о — /i или просто /0 mfi и говорить, что в есть деформация
отображения f0 в отображение /[.
Если А — некоторое подмножество пространства X и в* | А =
= во|Л ПРИ всех *е[0, 1], то в называется гомотопией отно-
относительно А (пишут в: fo~/,reM). Гомотопия в, такая, что в!
есть постоянное отображение, иногда называется нуль-гомотопией,
а отображение f = в0 — нуль-гомотопным.
S. Гомотопии 25
3.4. Предложение и определение. Гомотопность ~ есть
отношение эквивалентности. Класс эквивалентности (относи-
(относительно с^.) отображения / обозначается через [/] и называется
гомотопическим классом отображения /.
Доказательство. Рефлексивность: постоянная гомотопия
{в(=/}0<(<1 есть деформация f^f. Симметричность: если
{в(}: Д) —/i> т0 {®1-<): f 1 — /о- Транзитивность: если в': /0 ~ /,
и в": /,~/2> то в: fo~f2, где Qt=% при 2/<1, в, = в?_,
при 2f>l. Q
3.5. Предложение и определение. Отношение гомотоп-
гомотопности согласовано с композицией, т. е. если /0, ft: X-+Y и g0,
gp Y—*Z— такие отображения, что /0 —/i u go — gi> To go/o —
си gj\. Действительно, если в': /0 ~ f, и в": go — gu то
в: gofo^g.f,, где et = e*oe;. Q
Таким образом, можно определить композицию гомотопиче-
гомотопических классов: [g]°[f] = [g°f]. Тем самым определена новая
категория Жгр: ее объектами являются, как и для Тор, то-
топологические пространства, Ob {Жгр) — Ob (Top); морфизмами
же являются гомотопические классы непрерывных отображений:
Шр{Х, Y) — {[f]\f<=Top{X, Y)}. Относя каждому непрерывному
отображению /: X-+Y его гомотопический класс [/], мы получим
функтор
C.6) л: Top-*Mtp, лХ = Х при Х<=ОЪ{Тор), nf = [f].
3.7. Важнейшими инструментами алгебраической топологии
являются некоторые функторы i: Top -> st-, где М- — одна из
алгебраических категорий (группы, кольца, ...). В большинстве
случаев эти функторы гомотопически инвариантны, т. е. из
fo<^f] следует tfQ = tfx. Иными словами, t пропускается через л,
т. е. представляется в виде Тор —*¦ Mtp —*¦ $?. Таким образом, t
не улавливает той информации о Тор, которую не улавливает я.
По этой причине топологи чаще интересуются категорией Ж1р,
чем категорией Тор. В частности, они иногда не делают раз-
различия между пространствами X и Y, если они эквивалентны
в категории Жгр. Последнее означает, что существуют непре-
непрерывные отображения /: X-*Y и g: Y-+X, такие, что fg^ idr,
g/~idx. Такие отображения называются (взаимно обратными)
гомотопическими эквивалентноеями, а пространства X и Y —
гомотопически эквивалентными; при этом пишут X ~ Y. Гомо-
Гомотопически инвариантные функторы t принимают одинаковые
значения на гомотопически эквивалентных пространствах; точ-
точнее, они преобразуют гомотопические эквивалентности /: Х~У
в эквивалентности //: tX ^ tY.
26 Гл. I. Сведения о категориях, абелевых группах и гомотопиях
3.8. Все эти понятия и результаты обобщаются на пары про-
пространств. По определению пара (X, А) топологических про-
пространств состоит из пространства X и его подпространства А.
Пусть {X, А) и (Y, В) — пары пространств. Отображение
f: (Х,А)-+(У,В) есть по определению (непрерывное) отображе-
отображение / пространства X в Y, такое, что fA с: В. Пары и их ото-
отображения образуют новую категорию (относительно обычной
композиции), которую мы обозначим через ёГор{2). Сопоставив
с каждым пространством X пару (X, 0) и с каждым отобра-
отображением X-+Y соответствующее отображение в категории пар
(X, 0)->(У, 0), мы получим функтор 2Гор-+ТорB). При помощи
этого функтора мы отождествляем категорию 9~ор с полной под-
подкатегорией категории 3~ор{2\ т. е. мы будем считать, что Х =
= {Х, 0).
Пусть X есть объединение семейства {Хх}, 1еЛ, попарно
не пересекающихся открытых подмножеств, т. е. 1=фхя —
топологическая сумма пространств Хх, и пусть Ах = А П Хх.
Тогда мы называем пару {X, А) топологической суммой пар
к, Ах)} и пишем (X, А) = ®{ХК, А)- Легко видеть, что это
определение согласуется с категорным определением копроизве-
дения в ?ГорB), приведенным в 1.15, т. е. © = |_1. Категорное
произведение (X, А) П (Y, B)==(Xy(Y, A\B) на практике почти
не используется. Однако мы часто будем сталкиваться с про-
произведением пар, которое определяется следующим образом:
(X, А)Х (У, В) = (X X У, (XX В) U (АХ У)У, это обозначение может
ввести в заблуждение, но оно общепринято.
Нам придется рассматривать также тройки (X, А, В), со-
состоящие из пространств, удовлетворяющих условию X гэ А =э В,
и триады (X; Хи Х2), состоящие из пространств, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям X =э Хь Хгэ Х2 (без требования включения между Х{
и Х2). Оба понятия приводят к категориям, содержащим кате-
категорию ZTop&, а также к очевидным гомотопическим понятиям
и гомотопическим категориям (см. ниже).
3.9. Гомотопия между отображениями f0, fx: (X, A)->(Y, В) есть
по определению однопараметрическое семейство в*: (X, А)->
-*(Г, В), 0<*<1,какв 3.1 — 3.3, с во = /О) 0, = /=,. Мы пишем
/0~/,; отношение ~ есть отношение эквивалентности (как 3.4),
которое согласуется с композицией (как в 3.5). Отождествив
гомотопные отображения, мы получим гомотопическую категорию
MtpW и функтор л: Тор'Ъ-*ЖрМ с л(Х, А) = (Х, Л), я/ =
= [/] = гомотопический класс отображения /.
ГЛАВА II
Гомологии комплексов
1. Комплексы
1.1. Определение. Комплекс К — это последовательность
• ••¦*- Krt-i "* Кп "* Кп+1 •«-¦..
абелевых групп Кп и гомоморфизмов дп, называемых гранич-
граничными операторами и удовлетворяющих для каждого п условию
<3,A+i=0-
Мы называем элементы группы К.п п-мерными цепями, эле-
элементы группы ZnK = кетдп = дп1 @) — п-мерными циклами и
элементы группы ВпК = \т.дп+1 —дп+1 {Kn+i) ~ п-мерными гра-
границами. Из дпдп+1=О следует, что BnK.aZnK., и мы можем
образовать факторгруппу НпК — ZnK.\BnK. Эта группа назы-
называется п-й гомологической группой комплекса К, а ее элементы
называются п-мерными гомологическими классами. Таким обра-
образом, гомологические классы — это классы эквивалентности цик-
циклов, причем два цикла гп, z'n e ZnK эквивалентны, или, как
говорят, «гомологичны», если их разность является границей,
гп — z'n e ВпК- Гомологический класс цикла z обозначается
через [г].
Если К, К' — комплексы, то цепное отображение f: К'-*К —
это последовательность таких гомоморфизмов /„: К'п~*Кп, что
dnfn = fn_ld'n для всех neZ. Композиция ff: К"->К двух
цепных отображений /': К"-*К', f: К'~*К определяется фор-
формулой (ff')n — fnf'n\ она снова является цепным отображением.
Комплексы и цепные отображения образуют, таким образом,
категорию, которую мы обозначим через дзФ9. Из определений
сразу же следует, что цепное отображение f тогда и только
тогда является изоморфизмом в категории dst-'B, когда все /„
являются изоморфизмами в категории si-'S.
Равенство djn = fn_fi'n влечет за собой включения /n (ZnK') cr
<=.ZnK и fn(BnK)czBnK. При переходе к факторгруппам гомо-
гомоморфизмы /„ индуцируют гомоморфизмы
Н J: НпК' - ад, (HJ) [z'\ - \fz%
28 Гл. II. Гомологии комплексов
и легко проверить, что
A.2) Hn(ff') = W
т. е. гомологии — это функтор
Н„:
1 п-
Часто там, где не могут возникнуть недоразумения, мы будем
опускать индексы: например, будем писать дху fx вместо дпх,
fnx. Мы также будем сокращать HJ до /,; соотношения функ-
ториальности A.2) запишутся тогда в виде (f/0* = /*/*> id* = id.
dn + i
1.3. Примеры. 1. Комплекс ... <-Кп-\ *—Кп
точен тогда и только тогда, когда для всех п выполнено ра-
равенство ker (dn) = im(dn+l), т. е. когда Я,Д = 0 для всех п.
Таким образом, гомологии можно интерпретировать как меру
отклонения от точности. Точный комплекс часто называют
ациклическим (в нем нет никаких циклов, за исключением
границ).
2. Последовательность G = {Gn}n^z (абелевых) групп назы-
называется градуированной (абелевой) группой. Например, циклы
ZK = {ZnK}, границы ВК = {ВпК) и гомологии НК = {НпК)
комплекса К являются градуированными абелевыми группами.
Таким образом, Z, В, Н — ковариантные функторы из категории
ds4-9 в категорию дзФд градуированных абелевых групп; мор-
физмы ф: G->G' этой категории — это последовательности
Ф„: Gn—>-Gn обычных гомоморфизмов.
Комплекс есть градуированная абелева группа с некоторой
дополнительной структурой, заданной граничным оператором д.
Всякую градуированную абелеву группу можно превратить
в комплекс, положив д = 0. Этим определяется вложение
S'зФ9'-> дз?%'. В частности, можно рассматривать градуирован-
градуированные группы Z/C, ВК, НК как комплексы (с нулевым граничным
оператором). Если G e= Ob($s?S), то ZG = G, BG = 0, HG = G.
Для абелевой группы А и целого k обозначим через (A, k)
следующую градуированную группу: (Л, k)n = A при n — k и
(A,k)n = O при остальных п\ таким образом, вся группа (Л, k)
сконцентрирована в размерности k, и там она равна Л. Эта
конструкция определяет последовательность вложений Ф%
3. Для семейства комплексов {K^}a<=a мы определяем прямую
сумму ф К1 s ds4-9 формулами
A.4)
1. Комплексы 29
т. е. берем прямую сумму в каждой размерности и задаем
граничный оператор © /Сп-*© Кп-i как действующий поком-
покомпонентно. Легко видеть, что
Z
A.5)
Для прямого произведения Ц все аналогично.
Вообще можно переносить различные понятия с абелевы>>
групп s?9 на комплексы <3«s#F, применяя их покомпонентно.
Примерами служат ядро, коядро, факторизация, мономорфизм,
точная последовательность и т. д. Обычно этот перенос будет
совершенно очевиден.
4. Конус отображения. Это — технически важное понятие.
Конус цепного отображения f: К -> L — это новый комплекс С/,
который определяется следующим образом:
A.6) (Cf)n = Ln@Kn-b dcf (у, х) = (dLy + fx, - дЧ).
Проверим, что dCfdcf = 0:
дд (у, х) = д (ду + fx, — дх) = (д ду + dfx — f дх, д дх) = @, 0).
Если L—0 и, следовательно, / = 0, то комплекс С/ обозна-
обозначается также через К и называется надстройкой над К.- Он
задается формулами (/С+)„ = Кп-и дк+ = — дк. Ясно, что
НпК+ = Hn-iK; другими словами, Н (К+) = (НК)+•
Имеется короткая точная последовательность
цепных отображений, задаваемых формулами iy=(y, 0), у,{у,х)—х.
Она, очевидно, расщепляется в каждой размерности, но рас-
расщепляющего цепного отображения может не быть (возьмите,
например, /C = /- = (Z, 0), / = id).
Конус тождественного отображения id: K-+K называется
конусом над К и обозначается через С/С. Последовательность
A.7) в этом случае принимает вид
A.8) 0~>К-
1.9. Упражнение. Для комплексов К и L определим новый
комплекс Нот (К, L) формулами
[Нот (К, !)]„ = П Нот (КУ, Ln+V)
Z
30 Гл. II. Гомологии комплексов
(т. е. элемент группы Нот (К, L)n — это последов ательность
f!=={fv' Ky->
гомоморфизмов) и
Проверьте, что <Э(д(/)) = О. Покажите, что Z0Hotn(A:, L) состоит
в точности из всех цепных отображений K->L. Более общо,
Z-feHom^, L) состоит в точности из всех цепных отображений
из К в /г-кратную надстройку над I; последние часто называют
цепными отображениями степени —k. Покажите, что если
g: L~*L' — цепное отображение, то таковым является и ото-
отображение
Нот (К, g): Нот (К, L) -*> Нот (К, //), (М ^ igfv]
и для его конуса С Нот (К, g) имеет место изоморфизм
С Нот (К, g) & Horn (К, Cg). Аналогичная задача для цепных
отображений К'-*К.
2. Связывающий гомоморфизм, точная гомологическая
последовательность
2.1. Определение. Пусть К — некоторый комплекс и К'п<^Кп,
«eZ,- последовательность подгрупп, такая, что <Э (К'п) сг К'п-\
для всех п. Тогда последовательность
.. • "* К'п* К'п+х* Кп+24 ..., д' = д\К'
сама является комплексом, и включение i: К' -*¦ К есть, в силу
определения д', цепное отображение. Такой комплекс К' назы-
называется подкомплексом комплекса !(¦ При переходе к фактор-
факторгруппам гомоморфизм дп индуцирует гомоморфизм
дп'- Кп/Кп~*Kn-i/Kn-i>
и ясно, что dndn+i=O. Получающийся комплекс К/К' =
— {KnIK'n, дп} называется факторкомплексом {К по К'). Есте-
Естественная проекция р: K-+KIK', относящая каждому х^.К его
класс смежности, является, в силу определения д, цепным ото-
отображением.
2.2. Примеры. Ядро ker(/) и образ im(f) цепного отображе-
отображения /:/(-> L представляют собой подкомплексы (комплексов К
и L соответственно), определенные формулами (ker (/))„ = кег(/„),
(im (/))„ = im (fn). Ввиду теоремы 1.2.5 о гомоморфизме /C/ker (f) =
(f)
2. Связывающий гомоморфизм 31
2.3. Последовательность
B.4) 0-+К' -^К~^ К1К'-*Ь
цепных отображений, определенных в 2.1, является точной в том
смысле, что для всех п точна последовательность
Обратно, если
B.5) 0-*K'-L*K-E*K'r^0
— короткая точная последовательность цепных отображений, то
имеются изоморфизмы К''s*i(K') и (в силу 2.2) K" = K/i(K'),
т. е. с точностью до изоморфизма любая короткая точная по-
последовательность B.5) имеет вид B.4).
2.6. Предложение. Если О->К' —*¦ К —*¦ К"->0 — точная
последовательность цепных отображений, то последовательность
нк: ^*нк-^ нк"
также точна (Я — полуточный функтор; ср. VI. 2.10).
Однако, вообще говоря, г„ — не мономорфизм и д, — не эпи-
эпиморфизм.
Доказательство. Надо показать, что im(«„)== ker(р„).
Так как pi == 0, то pjt = (р/)„ = 0„ = 0, и потому im (/„) cr ker (p„).
Обратно, пусть [z] e ker (р»), т.е. рг — д"х" для некоторого
х" е К". Возьмем хер (х"). Тогда р(г — дх) = д"х" - д"рх — 0,
и потому z — dx = iz' для некоторого /ei('. Далее, id'z'' =
= diz'=d(z — дх) = 0, и так как i мономорфно, то d'z' = 0.
Следовательно, z' — цикл и /„ [z'\ = [/z'] = [z — 6\t] = [z]. Таким
образом, [z] (= im (/„). (J
Чтобы убедиться в том, что /„, вообще говоря, не моно-
мономорфно, а р„, вообще говоря, не эпиморфно (т. е. что функ-
функтор Н не является точным ни слева, ни справа), достаточно
взять последовательность
0->(Z, 0)i=>C(ZJ0)?=>(Z, 1)->0
типа A.8). Легко видеть, что НС (Z, 0)=0, ker (/„) = (Z, 0),
tf(Z,l) = (Z, \)Ф\т{р,).
Теперь «измерим», насколько р, (соответственно /„) отли-
отличается от эпиморфизма (соответственно мономорфизма). Точнее,
с каждым у" е НпК" мы естественным способом ассоциируем
элемент djy" e Нп—хК', являющийся «препятствием» к поднятию
элемента у" в группу НпК. Иными словами, у" тогда и только
32 Гл. П. Гомологии комплексов
тогда принадлежит нп(р„), когда dty" — 0. Можно доказать,
что эти свойства однозначно характеризуют отображение д,
(см. упр. 2).
2.7. Определение отображения д„: НпК"'->Нп-{К''. Как и
раньше, пусть
B.8) 0->К'-^ К-Ъ-К"-+0
— точная последовательность цепных отображений. Рассмотрим
гомоморфизмы
#„_, К' <?- р-1 {ZnK") -*+ НпК",
где рх = [рх] (заметим, что px^ZnK") и д(х) = [Г] дх]; опре-
определение д имеет смысл, поскольку рдх — д"рх = 0, и потому
дх е im (/) и д' (Г1 дх) — Гхддх — 0. Ясно, что р = [ ]°р — эпи-
эпиморфизм. Мы увидим, что d\kerp =0; благодаря этому пере-
переход к факторам доставляет корректно определенный гомоморфизм
называемый связывающим гомоморфизмом последовательности
B.8).
Покажем, что из рх = 0 следует дх = 0. Если р# = 0, то
рх = д"ру = рду для некоторого у е К. Из того, что кег (р) = im (/),
вытекает, что x — dy—iy' для некоторого у'<=К'. Следова-
Следовательно, r1dx = r1diyf — dfi~liy' = d'y', и потому [i~]dx] = Q. Q
Основные свойства связывающего гомоморфизма таковы.
2.9. Предложение,
(а) Естественность. Если
— коммутативная диаграмма цепных отображений с точными
строками, то диаграмма
nL *• tin-xL
также коммутативна, т. е. d,f" = f'tdt.
2. Связывающий гомоморфизм 33
(b) Точность. Последовательность
... -^ нпк' -^ ял А- я,д" -^ я„_,г -^ я,,-,* -^ ...
(называемая гомологической последовательностью, ассоцииро-
ассоциированной с B.8)) точна.
Доказательство. Свойство (а) следует из того, что все
шаги в определении гомоморфизма д\ естественны. Более де-
детально:
ГА [рх] = Г. [Г1 дх] = [/'Г1 дх] = [у-1/ дх] =
= [ГЭД = а, [<?/*] = а, [/'>] = aj:
Докажем свойство (Ь). В силу предложения 2.6, достаточно
проверить точность в членах НК' и НК"• Это сводится к про-
проверке следующих четырех включений:
im C.) <= ker (г;). Если [рх] е= НК", то /Д [/ж] = /, [Г1 дх'] =
[l]
ker (О crim(aj. Если [z'\ е НК' и /Дг']=0, то гг' = <3лг для
некоторого х е К и д"рл: = р йд; = р/г' = 0. Следовательно, [zr] ==
pod4pJ2] =dt[pz]=\t ldz]=0,
так как dz = 0.
ker (а») с im (pj. Если ИеЯГ и 0 = д,[рх] = [Г' дх], то
Г1 дх = д'х/ для некоторого / е /С' и потому d{x — ix') = dx —
—/dV = 0 и р,[* — «'] = М- D
2.10. Следствие. Яг/сгь
4 I I
0-*L'-+ L->L"->0
— коммутативная диаграмма цепных отображений с точными
строками. Если две из трех вертикальных стрелок индуцируют
изоморфизмы в гомологиях, то то же верно и для третьей стрелки.
Доказательство. Вертикальные стрелки индуцируют
отображение точных гомологических последовательностей. Два
из трех типов членов этой последовательности отображаются
изоморфно; следовательно, третий тоже отображается изоморфно
в силу леммы 1.2.9 о пяти гомоморфизмах. Q
2.11. Определение. Точная последовательность 0-+К'—*¦
-> К—*¦ К" ~*0 цепных отображений называется прямой, если
34 Гл. II. Гомологии комплексов
она расщепляется в каждой размерности. Это означает (см. I. 2.11),
что для любого целого п существуют отображения/^пч—Кп*—
*- К'п, такие, что /7 = id, pq = id, ij -\- qp = id. Связывающий
гомоморфизм д„ имеет в этом случае следующее удобное описание.
2.12. Предложение. Последовательность отображений dn =
=j dq : К"-> К'п_{ = (К'Л+ представляет собой цепное ото-
отображение d: К"-*{К')+, и индуцированный им гомоморфизм
й„: НпК"'->Нп{К')+ = Ип-\К' совпадает со связывающим гомо-
гомоморфизмом д„.
Доказательство. Действительно,
i (d'd) = {id') jdq^d {ij) dq — д (id - qp) dq = - dq {pd) q =
= - dqd" (pq) = - dqd" = - (// + qp) dqd" =
= - / (j dq) d" - qd" (pq) d" = i (- dd").
Следовательно, drd = -~dd", ввиду мономорфности i, и, значит,
d: K"~*{K')+ — цепное отображение. Если z" e ZK", то djz"] =
= \_Г{dqz"~\ = ljdqz"] = [dz"]—di[z"], что и требовалось дока-
доказать. []
2.13. Следствие. Если f: /C->L — цепное отображение, то свя-
связывающий гомоморфизм точной последовательности A.7), 0->
-^¦L->Cf-*K+->0, совпадает с отображением Hf: HK->HL.
Действительно, эта последовательность расщепляется в ка-
каждой размерности по формулам qx — @, x), j (у, х) = у, и, значит,
!dq = f. D
2.14. Следствие. Если /: /С —>Z, — цепное отображение, то
отображение Hf: HK-+HL тогда и только тогда является изо-
изоморфизмом, когда конус Cf отображения f ацикличен, т. е.
H(Cf) = 0.
Это вытекает, ввиду следствия 2.13, из точности гомологи-
гомологической последовательности 2.9 (Ь). П
2.15. Пример. По комплексу К можно построить точную по-
последовательность 0-+ZK—*¦ К—"(ВК)+~>0 цепных отображе-
отображений (i — вложение). Связывающий гомоморфизм задается форму-
формулой i~l °д°д~\ имеющей смысл благодаря включению ВК с: ZK.
Гомологическая последовательность принимает вид
ня+1к -^ впк -^ гпк ^ нпк -Л в^к,
3. Цепная гомотопия 35
т. е. она, по существу, совпадает с точной последовательностью
О -> ВК -^* ZK -^ НК -> 0.
2.16. Упражнения. 1. Конус СК. над любым комплексом К
ацикличен, НСК = 0.
2. Докажите, что связывающий гомоморфизм <5„: Нп+]К"->
-*НпК' с точностью до знака определяется свойствами 2.9 (а)
и 2.9 (Ь). Указание: рассмотрите точную последовательность
(Е) 0-»(Z,/i)->C(Z,n)->(Z,n+l)->0,
докажите, что для любого z" e Zn+lК" существует отображение
последовательности (Е) в последовательность Q-+K'-*K-*K"-+Q,
переводящее 1 g (Z, д + 1) в г", и примените 2.9 (а).
3. Цепная гомотопия
Согласно упр. 1.9, цепные отображения f: K->L могут быть
интерпретированы как нульмерные циклы комплекса Нот (К, L).
Как понимать гомологичность двух цепных отображений f,g: K—*-L
в ZQ Нош (К, L)? По определению она означает, что существует
s e Horn(i(, L), с d(s)—f — g. Эта цепь s обычно называется
цепной гомотопией, и понятие цепной гомотопии оказывается
очень важным.
3.1. Определение. Пусть f, g: К->К' — цепные отображе-
отображения. Гомотопия s между fug (пишут s: f ~ g) — это последо-
последовательность таких гомоморфизмов sn: Kn-*Kn+u что
d'n+lsn + sn_. хдп = fn~gn Для всех л s Z.
Если такое s существует, то мы будем писать f ca g и го-
говорить, что отображения f и g гомотопны.
3.2. Предложение и определение. Гомотопность ~
является отношением эквивалентности. Класс эквивалентности
цепного отображения /: К-+К' обозначается через [/] и назы-
называется гомотопическим классом отображения f.
Доказательство. Рефлексивность 0: fcxf.
Симметричность s: /~g^ — s: gc^f.
Транзитивность s: f с* g, t: g ~ h =#(s -f fy f — h. []
3.3. Предложение и определение. Отношение гомотоп-
гомотопности согласовано с композицией, т. е. если fcag: К.-*К' и
f'~g': K'->K", Tof'f~g'g.
Таким образом, можно определить композицию гомотопиче-
гомотопических классов: [/'] ° [/] = [/' ° /1. Тем самым определена новая
36 Гл. II. Гомологии комплексов
категория ЖдЗ: ее объектами являются, как и для категории
ds49, комплексы; морфизмами же являются гомотопические
классы цепных отображений. Относя каждому цепному отобра-
отображению f: K->K' его гомотопический класс [/], мы получаем
ковариантный функтор it: dsPS -> Ж д9.
Цепное отображение /:/(-> К', класс [f] которого является
эквивалентностью в категории Жд9, называется гомотопической
эквивалентностью, а комплексы /С и К', для которых существует
такое/, называются гомотопически эквивалентными; в этом случае
пишут К — К''• Это равносильно существованию цепных отобра-
отображений К~~^К'—> К, таких, что f~f си \&к, ff~ ~idK>. Отобра-
Отображение f~ называется гомотопически обратным к /.
Доказательство предложения 3.3. Если s: f ~ g,
то f's: f'f ca f'g; действительно, д" (f's) + (f's) d = f (d's + sd) =
— fit — g) == f f — f'S- Аналогично, гомотопии s': f ~ g' отве-
отвечает гомотопия s'g: f'g c^i g'g, и, ввиду транзитивности гомо-
гомотопности, f'f ~ g'g. []
3.4. Предложение. Гомотопные цепные отображения инду-
индуцируют один и тот же гомологический гомоморфизм, т. е. если
f~g: K-*K', го f. = gm: HK-+HK'.
Доказательство: ft[z] — gt[z] = [fz— gz] = [dsz -f s(dz)]~
= [d(sz)] = 0. D
3.5. Следствие. Если f: K.-+K' — гомотопическая эквивалент-
эквивалентность, то /„: НК-+НК' — изоморфизм.
Доказательство. Из //~ ~ id, /~/ ~ id следует, что
f.f.~ = (fr). = i<i.= id, f."f.= id. Q
Ясно, что предложение 3.4 можно переформулировать сле-
следующим образом: гомологический функтор Н пропускается через
категорию Жд9, т. е. имеется коммутативная диаграмма
Ж д^
Следствие же утверждает, что функтор Н' переводит экви-
эквивалентности в эквивалентности.
Комплексы К, удовлетворяющие условию id^ ~ 0, или, что
эквивалентно, Кс^О, называются стягиваемыми. Ясно, что если
К си 0, то НК=0 (следствие 3.5). Что же касается обратного
утверждения, то имеет место
3. Цепная гомотопия 37
3.6. Предложение. Если комплекс К ацикличен (НК=0),
то для его стягиваемости (К ^ 0) необходимо и достаточно, чтобы
при каждом п группа ZnK была прямым слагаемым группы Кп.
Доказательство. Пусть имеется гомотопия s: id^ ~ 0,
т. е. ds -\- sd — idK. Так как д\ВК = 0, то ds\BK = idBK, и по-
потому последовательность 0-+ ZK-*К—>ВК->0 расщепляется,
т. е. ZK — прямое слагаемое. Обратно, пусть существует такое
t: BK-+K, что E/ = id, т. е. K = ZK®tBK = BK@tBK. Опре-
Определим s равенствами s\BK = t, s\tBK = 0. Тогда ds -f- sd \BK =
=*= id. Q
Вот пример комплекса К с НК = 0, не удовлетворяющего
условию К — 0: для каждого п Кп = Z4 и dn есть умножение
на 2.
Предложение 3.6 представляет особенный интерес в связи
со следующим фактом.
3.7. Предложение. Если конус отобраокения f: K-*L стяги-
стягиваем, то f — гомотопическая эквивалентность. (Верно и обратное,
см. упр. 5.)
Доказательство. Мы покажем, что
(I) если вложение i: L -> Cf, i (у) = (г/, 0), гомотопно нуле-
нулевому отображению, то f обладает правым гомотопически обрат-
обратным g-: L-+K, /°g-~ id;
(II) если проекция х: Cf—>K+, х(г/, х) =х, гомотопна нуле-
нулевому отображению, то f обладает левым гомотопическим обрат-
обратным /г. L-*K, hfczid. Этого достаточно, так как из С/~0
будет следовать, что i ~ 0, х~0 и, значит, hcz.h(fg) =
= (hf) g^g.
Докажем (I). Для данной гомотопии S: ic^.0 определим ото-
отображения g: L-*K и у. L->L формулой Sy = {y{y), g{y)).
Заметим, что С/ = 1ф/С+ в категории групп (а не комплек-
комплексов! у не является цепным отображением!). Тогда равенство
dSy -f- Sdy = u/ запишется следующим образом:
ФУ У + fgy + \ ду, —dgy + g ду) = (у, 0),
т. е. dg—gd и ду -f yd = id — fg.
Докажем (II). Для данной гомотопии Т: х~0 определим ото-
отображения h: L-+ К п ц: К -*К формулой Т (у, х) = h (у) -f- ч\(х).
Тогда равенство дТ -\-Тд = к запишется следующим образом:
— dhy -f hdy — дцх — цдх -f- hfx = x (заметим, что дк — — дк),
т. е. dh = hd и дц-\- т0 = А/ — id. Q
38 Гл. //. Гомологии комплексов
3.8. Упражнения. 1. Конус СК над любым комплексом К
стягиваем, СК^О.
2*. Для точной последовательности (Е): О—*-К'—*¦ К—*¦
—»./("-> О цепных отображений определим р: Ci->K" форму-
формулой р(х, х') — р{х). Докажите, что р — цепное отображение, что
р„: Я (Ci) ^ Я {К") — изоморфизм и что композиция НК"—*¦
-* Н {Ci)—^ H (К')+ совпадает с отображением — д». Сформу-
Сформулируйте и докажите двойственный результат для проекции
о: (К')+ ->Ср, а(х') = {0, ix'). Если последовательность (Е) пря-
прямая, то р и <т являются гомотопическими эквивалентностями.
3. Пусть 0->/('—*К—*-К"-*-0 — точная последователь-
последовательность цепных отображений.
(a) Если [s: icaO, то ps — цепное отображение К'+~> К" и
dAPs)* — '^HK'-
(b) Если t: р сх 0, то ti — цепное отображение К'+-*К" и
4*. Пусть 0-+К'—*¦ К—* К" —*-0—прямая последователь-
последовательность цепных отображений.
(a) Если /С'^0 или /С"^0, то К = К'@К", т. е. последо-
последовательность расщепляется.
(b) /С ~ О #Ф / ~ 0 и р ~ 0.
5. Докажите обращение предложения 3.7. Здесь имеются по
крайней мере две возможности.
(i) Прочтите доказательство предложения 3.7 в обратном
порядке и используйте утверждение 4(Ь). (и) Заметьте, что
Нот(Х,/) является гомотопической эквивалентностью, и потому
(в силу упр. 1.9) комплекс Нот(Х, С/) ацикличен. Отсюда сле-
следует, что элемент idc? e Z0Hom(C/, Cf) гомологичен нулю.
6. Если последовательность (Е): 0-*¦ К'->К ->К"-*¦ 0 является
прямой, то для любого комплекса L последовательность
0->Hom(L, /0-*Hom(Z,, /C)-»Hom(L, /С'0 -* 0
также является прямой. Если Ь = К", то
idK» e= Zo Нот (К", К")
и 5% [id/c] есть гомотопический класс цепных отображений
К" -> (/С')+- Покажите, что индуцированный гомоморфизм
НЦ" -> Я (/Г)+ совпадает со связывающим гомоморфизмом по-
последовательности (?).
4. Свободные комплексы 39
4. Свободные комплексы
Речь пойдет о комплексах, обладающих рядом специальных
полезных свойств и часто возникающих в приложениях.
4.1. Определение. Комплекс К называется свободным, если
для каждого «eZ группа Кп является свободной.
4.2. Предложение. В свободном комплексе К группа циклов
ZnK является прямым слагаемым группы Кп-
Доказательство. Подгруппы свободной абелевой группы
свободны (см. 1.2.23). Следовательно, подгруппа ВК cz К сво-
свободна, и потому точная последовательность 0 -> ZK-*¦ К -»
*0 расщепляется (см. 1.2.24). []
4.3. Предложение. Если f: K-*L— такое цепное отобра-
жение свободных комплексов, что отображение ft: HK-+HL —
изоморфизм, то f — гомотопическая эквивалентность.
Другими словами, для свободных комплексов имеет место
обращение следствия 3.5.
Доказательство. В силу предложения 3.7, достаточно
доказать, что Cf o± 0. Согласно предложению 3.6, для этого
мы должны доказать, что HCf = 0 и что группа циклов ZCf
является прямым слагаемым. Первое вытекает из следствия 2.14,
второе — из предложения 4.2. []
4.4. Определение. Комплекс К называется коротким, если
существует такое целое п, что Ki = 0 при i ф п, п-\- \ и ото-
отображение дп+1: Кп+\-*Кп мономорфно. (Иначе говоря, комплекс
является коротким, если он, по существу, сконцентрирован
в одной размерности п.) Если к тому же Kn = Z, то комплекс К
называется элементарным.
4.5. Предложение. Каждый свободный комплекс К является
прямой суммой коротких (свободных) комплексов. Если, кроме
того, каждая группа Кт конечно порождена, то К является
прямой суммой элементарных комплексов.
Доказательство. Согласно 4.2, можно представить Ki
в виде прямой суммы ZiK®Zf. Положим /<1т)=0 при i ф пг,
т+1, K(m]=ZmK, К\т>+1) = Zm+\ и определим dj?+i: К{т+\ -*¦ К^
как композицию сужения dm+\\Zm+\ и проекции Km-*ZmK.
Ясно, что получающийся короткий комплекс к}т) является под-
подкомплексом комплекса К и что К~(&К{т)-
т
Если группа Кт конечно порождена, то таковы же группы
ZmK и Zm- Более того, существуют базисы {а?,..., а?)
40 Гл. II. Гомологии комплексов
группы ZmK и {bT+\ ..., b?+l} группы Zm+i, s<r, такие, что
dm+ib?+l — %Та?, где х? е Z, /<s (для доказательства доста-
достаточно отождествить Zm+] с подгруппой группы Zm посред-
посредством дт+1 и применить 1.2.25). Пусть к}т'1) — подкомплекс
в К, порожденный парой (а7, bf+x~) при /^s и элементом а?
при / > s. Тогда комплекс К 1) является элементарным и
0 <<>
Замечание. Согласно предложению 1.2.25, базис {a?, bf}
можно выбрать даже так, что т?1 делит х'Р+1 и все xf положи-
положительны. Этот базис мы назовем каноническим. Числа xf1 > 1 назы-
называются коэффициентами кручения комплекса К (или группы НК).
Они однозначно определяются группой НК и поэтому не зависят
от выбора базиса {а?, Щ). По поводу доказательства и даль-
дальнейших подробностей см. Стинрод и Эйленберг [1] или Курош
[1, § 20].
4.6. Предложение. Если К—свободный комплекс, L—произ-
L—произвольный комплекс и ф„: НпК —> HnL, neZ, — последователь-
последовательность гомоморфизмов, то существует цепное отображение
f: /(—>/,, такое, что /„ = ф. Таким образом, каждый гомомор-
гомоморфизм ф: HK-+HL гомологии свободного комплекса К может
быть реализован цепным отображением.
Доказательство основывается на следующем факте.
4.7. Лемма. Всякая коммутативная диаграмма
I
В I
У
G\
абелевых групп и гомоморфизмов {здесь g еще надо построить),
в которой нижняя строка точна, верхняя строка является ком-
комплексом (т. е. 7071 = 0) и F есть свободная абелева группа,
может быть дополнена (с сохранением коммутативности) гомо-
гомоморфизмом g.
Доказательство. Если a^F, то YogoYia==g'-iYoYia; — 0>
т. е. goyra e ker (yo) === im (у'А- Поэтому для базиса |a \ группы F
мы можем найти такие элементы b^ e G[, что y[b^ = goYi^;
после этого g определяется формулой gali = bll. []
4. Свободные комплексы 41
Доказательство предложения 4.6. Так же, как в до-
доказательстве предложения 4.5, представим К в виде ZK&Z1.
По лемме 4.7 мы можем найти сначала ]zn, потом f^+l, такие,
что диаграмма
т —^ 7 j —>. H T —*C\
коммутативна. Тогда отображение /: К-> L, определенное усло-
условиями f\ZK = fZ, f\Z =/J", является цепным отображением,
и ясно, что ft = (f. П
4.8. Следствие. Пусть К, L — свободные комплексы. Тогда
Доказательство. Если ср: HK-+HL— изоморфизм, то
его можно реализовать цепным отображением /: K-+L, которое
будет гомотопической эквивалентностью в силу предложения 4.3.
Обратное утверждение вытекает из 3.5. []
4.9. Следствие. Если К— свободный комплекс и НК— сво-
свободный комплекс, го /( ~ НК. О
4.10. Упражнения. 1. (а) Для любой абелевой группы А и
любого целого п постройте такой короткий свободный комплекс
К, что НпК^А.
(Ь) Для любой градуированной абелевой группы G = {Gn}n<_z
постройте такой свободный комплекс /С, что НК = G.
2. Постройте свободный комплекс К, не являющийся прямой
суммой элементарных комплексов. Указание: если К — прямая
сумма элементарных комплексов, то НпК — прямая сумма цикли-
циклических групп (верно ли обратное?).
3. Если К — такой свободный комплекс, что HtK = 0 при
i < га, то существует такой подкомплекс К' комплекса К, что
К[ = 0 при i<n и К'<^К.
4. Пусть t: дбФд -> дбФ& — функтор из категории комплексов
в себя, являющийся гомотопически инвариантным (т. е. /~:g=#>
=^tf~tg). Если К и L — такие СЕободные комплексы, что
HK=HL, то H(tK) = H{tL). Постройте примеры таких функ-
функторов.
5. Если К — свободный комплекс и К — НК, то НК — сво-
свободная абелева группа.
ГЛАВА III
Сингулярные гомологии
1. Стандартные симплексы и их линейные отображения
1.1. Определение. Стандартный q-симплекс (или ^-мерный
симплекс) Д? есть подмножество пространства R4+[, выделяемое
условиями
(а) 0<х,<1, 1 = 0, 1, .... q,
(b)
(=0
(здесь Xi обозначает /-f 1-ю координату точки xeR'+I). Оче-
Очевидно, множество Дд замкнуто и ограничено, и, следовательно,
Рис. 1.
Рис. 2.
оно компактно. Если условие (Ь) выполнено, то условие (а)
равносильно условию
(а') 0<*„ / = 0, 1, ..., q.
q
Следовательно, Д. есть пересечение гиперплоскости У, х{ = 1
1=0
с положительным ортантом {л:г^0}. В частности, множество Aq
выпукло (т. е. отрезок, соединяющий любые две точки множе-
множества hq, лежит в hq).
Очевидно, Ао есть точка, Д] — отрезок, Д2 — равносторон-
равносторонний треугольник, Д3 — правильный тетраэдр. Концы ортов е1 =
= @, ..., 0, 1,0 0) лежат в Д?; они называются вершинами
симплекса Д..
2. Сингулярный комплекс 43
1.2. Определение. Отображение / симплекса Ад в простран-
пространство R" (или в его подмножество) называется линейным,
если существует линейное (в обычном смысле) отображение
F: R4+' —>¦ R", совпадающее на \ с /. Для произвольных точек
Р°, Р\ ..., P'eR" существует единственное линейное отобра-
отображение /: A<?-»R'\ такое, что f(el) — Pl, а именно отображение,
q
определяемое формулой f(x):=2lxiPi. Его образ / (Д9) состоит
=0
п
из всех точек PsR" вида Y< Xi-Pl с 0<л:г^1, ?}л;/ = 1.
г-о
Таким образом, линейное отображение симплекса Дд определяется
своими значениями на вершинах, и эти значения могут быть
какими угодно. Рассмотрим, в частности, линейные отображения
^ 3)
el(ei) = ei при i < /, e'(ei)=ei+l при
где / = 0, 1, ..., д. Образ отображения г1 состоит из всех
точек jgA,, о лг/ = О; он называется \-й гранью симплекса Д?.
Объединение всех граней симплекса Д9 называется его грани-
границей и обозначается через Lq. Оно состоит из всех точек сим-
симплекса Дд, у которых хотя бы одна координата обращается
в нуль.
В дальнейшем нам будет полезен следующий факт.
1.4. Лемма. Если k<j, то е^+1е^ = е^+1е^~1.
Действительно, обе части этого равенства действуют по форму-
формулам: е'|—э-е' при i<k, elt—*ei+l при k^i<j—l, е'н-т»е'+2
при t>/— 1. D
1.5. Упражнение. Если F: Rg+l ->Rn — линейное отображе-
отображение и К — такое выпуклое подмножество пространства R", что
F (е1) е К при i = 0, 1, ..., q, то F (Д^) с: К- В частности, Дд есть
наименьшее выпуклое множество, содержащее все точки е1
{выпуклая оболочка множества {е'}).
2. Сингулярный комплекс
Сейчас мы построим функтер из категории топологических
пространств в категорию комплексов, который называется син-
сингулярным комплексом.
44 Гл. III. Сингулярные гомологии
2.1. Определение. Пусть X — топологическое пространство.
Сингулярный q-симплекс пространства X(q^O)— это непре-
непрерывное отображение Aq-*-X. Обозначим через SqX свободную
абелеву группу, которая порождается множеством всех сингу-
сингулярных g-симплексов. Элементы этой группы называются син-
сингулярными q-цепями пространства X. Таким образом, каждая
<7-цепь с е SqX имеет однозначное представление в виде конечной
линейной комбинации сингулярных <7-симплексов а с целыми
коэффициентами са, с = ?сст • сг. Мы не будем делать различия
между сингулярным симплексом а и цепью с единственным
ненулевым коэффициентом са = 1. При q<.0 мы полагаем
SqX — 0. Зададим гомоморфизм dq: SqX ->Sq-lX формулой
а
5,(<г)=Е(-1)/(ог<,е0' где 8ч: \-i~*\> как в (ll3)' есть /-я
грань стандартного симплекса Д9.
2.2. Предложение и определение. Последовательность
. .. <- Sq-\X <— SqX < Sq+]X<- ... является комплексом, т. е.
dqdq+l=0. Этот комплекс называется сингулярным комплексом
пространства X и обозначается через SX.
Доказательство. Для всякого сингулярного симплекса а
l.k
= ? (-\)'+кав'вк +
(последнее равенство следует из леммы 1.4). Заменим во второй
сумме k индексом /, а / индексом &+ 1; тогда соответствующие
слагаемые в обеих суммах сократятся. Таким образом, гомо-
гомоморфизм дд тривиален на базисе {а}, и, значит, дд = О. []
Если/: X-+Y — непрерывное отображение ист: Aq—>X—син-
Aq—>X—сингулярный симплекс пространства X, то композиция fa: А,-»У
есть сингулярный симплекс пространства У, так что возникает
гомоморфизм
SJ: SqX->SqY, (Sqf)(a) = fa.
2.3. Предложение. Последовательность отображений SJ: SqX—>
-*¦ SqY, geZ, есть цепное отображение; обозначение: Sf: SX -*¦ SY.
Как правило, вместо Sf мы будем писать просто /.
Доказательство. Действительно, умножив равенство
(fa) е1 = f (въ!) на (—1)' и просуммировав по /, мы получим
d{fo)=f(do).Q
3. Сингулярные гомологии 45
2.4. Предложение. S(gf) = (Sg)(Sf), S(idx) = idsx (здесь
g: Y->Z), т. е. S есть функтор из категории пространств
в категорию комплексов, S: ?Гор-><5^^. []
2.5. Изложенное выше естественным образом обобщается на пары
пространств (X, А). Если i: А —>• X — включение, то отображение
/: SA-+SX мономорфно, и потому SA можно рассматривать как
подкомплекс комплекса SX. Факторкомплекс S(X, A) — SX/SA
называется (относительным) сингулярным комплексом пары
(X, А). Обозначив через / проекцию, мы получаем точную
последовательность цепных отображений
B.6) 0 -> SA -^ SX -1* S (X, Л) -н> 0.
Она расщепляется во всех размерностях: SqX = SqAQ)Sq(X, A,
Действительно, базис {a: hq->X} группы SqX состоит из двух
частей: симплексов, лежащих в Л, и симплексов, не лежащих
в А. Первые составляют базис группы SqA, вторые — базис
группы Sq (X, А).
Заметим, что S(X, 0) = SX.
Отображение f: (X, A)-*(Y, В) (см. 1.3.8) индуцирует ком-
коммутативную диаграмму
0 -* SA -* SX -> S (X, А) -* 0
B.7) S(f|
0->SB-+SY -+S(Y, B)-*0
цепных отображении с точными строками; здесь отображение Sf
получается из Sf посредством факторизации. []
Функториальные свойства 2.4 переносятся на пары. В дей-
действительности S есть функтор из категории пар пространств
в категорию коротких точных последовательностей комплексов.
Уточнение этой формулировки мы предоставляем читателю.
2.8. Упражнение. Имеется ли естественное расщепление
последовательности 0->SqA->S4X->Sq(X, А)—>0?
3. Сингулярные гомологии
3.1. Определение. (Сингулярными) гомологическими группами
пространства X, соответственно пары (X, А), называются гомо-
гомологические группы сингулярного комплекса SX, соответственно
S(X, А). Мы будем писать HX = HSX, H(X, A) = HS(X, A).
Группы Н(Х, А) называются также относительными гомологи-
гомологическими группами пространства XmodA в отличие от абсолют-
абсолютных групп НХ. Цепь z e SX называется циклом mod А, если
Гл. III. Сингулярные гомологии
dz^SA, и границей mod Л, если z = dx + y с x^SX, г/<= SA
Относительная гомологическая группа Hq(X, А), очевидно, изо-
изоморфна факторгруппе группы д-циклов mod А по группе
(/-границ mod A.
Для всякого отображения /: {X, Л)->(У, В) отображение
Sf: S{X, A)->S{Y, В) индуцирует гомоморфизмы #/=/*: H(X, А)-+
->#(У, В). Это обстоятельство превращает сингулярные гомо-
гомологии в функтор из категории пар пространств в категорию
градуированных групп. Иначе этот функтор описывается как
композиция ТорB) -^ ds4-% ~^> 'Ssi-'S.
Связывающий гомоморфизм dt: Hq+l (X, A)-^>Hq(A) после-
последовательности
O-^SA^SX-^SiX, A)-*0
называется связывающим гомоморфизмом пары (X, А), и после-
последовательность
C.2) ..Ля,+1(Л)-Я?+1A)-Я?+1A, Л)-*>
(см. предложение П. 2.9) называется гомологической последова-
последовательностью пары (X, А).
Для всякого отображения /: {X, A)->(Y, В) диаграмма
Hq+lA-+Hq+lX-+Hq+i(X, A)-^HqA-*HqX
C.3) JlfU). Jf. \f* \f\A)* jf*
Hq+]B->Hq+iY-+Hq+i(Y, B)-+HqB-+HqY
коммутативна (см. П. 2.9 (а)) и ее строки точны.
Рассмотрим теперь тройку пространств BczAczX, или, как
иногда пишут, (X, А, В). Включение i и проекция / определяют
точную последовательность
0-*S(i4, B)-L+S{X, B)~>S{X, Л)->0
цепных отображений. Соответствующая гомологическая после-
последовательность
C.4) ... ->Hq+l(A, ВУ-^НЧ+1(Х, В)-^НЧ+1(Х, А)^>
->Hq{A, B)J^Hq{X,B)J^ ...
называется гомологической последовательностью тройки {X, А, В).
При В — 0 она сводится к C.2),
4. Специальные случаи 47
3.5. Упражнения. 1. Для всякой тройки (X, А, В) связы-
связывающий гомоморфизм д„: Hq+l(X, A)-±Hq{A, В) совпадает
с композицией
Hq+l (X, А) -^ HqA -А я, (А, В),
где д'„ — связывающий гомоморфизм пары (X, А).
2. Если В а А а X — такая тройка, что it: НВ -* НА — изо-
изоморфизм, то /„: Н(Х, В)-*Н{Х, А) тоже изоморфизм.
4. Специальные случаи
4.1. Если Р — одноточечное пространство, то для каждого q^O
имеется в точности один сингулярный симплекс xq: Aq—>P,
Очевидно, тде/ = т?_1 при всех q > О, O^j^q, и, значит,
дт=г = т2г—i и (Зт2г-1==0 при любом г>0. Таким образом,
комплекс SP выглядит так:
о id о id
... О <- Z -—• Z <— Z ¦*— Z +— ...,
и, следовательно,
D.2) H0P = Z, HiP = 0 при /^=0.
4.3. Определение. Для любого пространства X постоянное
отображение у: X -> Р (Р — точка) индуцирует гомоморфизм
у ==yx: HX—>HP, называемый аугментацией. При этом yYf —yx
для всякого отображения /: X-+Y (естественность гомомор-
гомоморфизма Y»); в частности, отображение /„ переводит кет(ух\
в ker (\г). Последнее означает, что указанные группы зависят от
X^iWop функториально; они называются приведенными гомоло-
гомологическими группами и обозначаются через HqX [= ker (y*: HqX->
-*НдР)]. Если G^=0, то, в силу D.2), HqX = HqX.
Если X непусто, то любое отображение i: P->X является
правым обратным к у. Следовательно, y»i, ==^ и Н$Х =
= im (iJo ф ker (y»)o == Z ф Я0Х, т. е. в нулевой размерности при-
приведенная и неприведенная гомологические группы различаются
прямым слагаемым Z. Более того, из точности гомологической
последовательности Н0Р —** Н0Х —^ Яо (X, Р)->0, отвечающей
паре (X, Р), следует, что Н0Х ^ Яо (X, Р).
Для всякой пары (X, А) с Аф 0 имеются отображения
(J, Л) — -> (Р, Р)—>(Х, А), причем Yi = id. Отсюда вытекает,
что i^ отображает (почти тривиальную) гомологическую после-
последовательность пары (Р, Р) на прямое слагаемое гомологической
48 Гл. III. Сингулярные гомологии
последовательности пары (X, А); дополнительное прямое сла-
слагаемое есть ker(Y*). Поскольку кег(^„) — приведенная гомоло-
гомологическая группа, мы приходим к следующему результату.
4.4. Предложение и определение. Для любой пары
(X, А) с Аф 0 имеется точная последовательность
... -^ Hq+lA -^> Hq+lX~^Hq+l (X, А) -^ HQA-± HqX^ ...;
она называется приведенной гомологической последовательностью
пары (X, А).
4.5. Термин аугментация часто используется для обозначения
цепного отображения г| = г|А': SX—>(Z,0), которое переводит
каждый О-симплекс в leZ. Это отображение тесно связано
с отображением у, а именно цх = r\p ° ух. Более того, отобра-
отображение т]р: SP —>(Z, 0) есть гомотопическая эквивалентность:
(Z, 0) является прямым слагаемым в SP, и очевидно, что
дополнительное прямое слагаемое гомотопически эквивалентно
нулю (ср. с предложением 4.6). В частности, кег(гц) =
= кег (v,) = НХ. Благодаря этому можно не опасаться смешения
аугментации у и ц. В литературе отображение ц называют
иногда «индексом».
От одноточечного пространства мы переходим к выпуклым
множествам в R". Оказывается, что их гомологические группы
также тривиальны.
4.6. Предложение. Если X — непустое выпуклое подмно-
подмножество пространства Rn, то аугментация ц: SX —*¦ (Z, 0) есть
гомотопическая эквивалентность', в частности, НХ = 0.
Доказательство. Прием, при помощи которого мы
докажем эту теорему, называют иногда «конической конструк-
конструкцией». Возьмем точку Pel Для каждого ^-симплекса aq: kq->X
(q^O) определим {q -f 1)-симплекс (Р • aq); Aq+l-+X формулой
D.7) (P • aq) (дг0, хи ..., xq+]) =
P, если x0 = 1,
— xQ)aq{-.—i-—,..., i "+l ), если хоф\.
Этим задается гомоморфизм Р = Pq: SqX -> Sq+1X, Pq (a) = P • o.
Неформально говоря, Р • а получается проектированием сим-
симплекса а из новой вершины Р или построением конуса над о
с вершиной Р.
Найдем грани симплекса Р • о:
{Р • aq) г1 (х0, хх хч) = (Р • <yq) {х0 х^и 0, xt, ..., xq).
4. Специальные случаи 49
При / = 0 это oq (х0, ..., л:,,), при q = 0 и / = 1 это Р, а если
q > О и i > 0, то правая часть предыдущей формулы равна
,, .... xq).
Зададим цепное отображение Р: (Z, 0)-*SX формулой Р(т) =
= тР; тогда, в силу предыдущих вычислений,
D.8) (P-aq)e° = aq, (Р ¦ aq)zi+i =Р ¦ (адг1) при q > О,
Составляя альтернированные суммы равенств D.8), мы получаем
D.9) dq+1Pq = id-Pq-idq при ?>0 и a,P0 = id - {РцH.
Таким образом, {Pq} есть гомотопия id~:PTi. Что же касается
композиции цР, то она, очевидно, совпадает с id. []
Рис. 3.
4.10. Следствие. Для любого непустого множества YczRn
связывающий гомоморфизм д„: Hq (R", У) -> Hq—i (К) является
изоморфизмом.
Это следует из точности приведенной гомологической после-
последовательности пары (Rn, Y) (см. 4.4) и того факта, что (в силу 4.6)
Теперь мы покажем, что #0Х = 7для любого линейно связ-
связного пространства X. Читатель может заподозрить, что функ-
функтор Н вообще мало содержателен. Ему следует повременить
до гл. IV, и тогда он увидит, что это не так.
4.11. Предложение, Для любого непустого линейно связного
пространства X аугментация ц: SX-^>(Z, 0) индуцирует изомор-
изоморфизм л„: Н0Х = Но (Z, 0) = Z.
Доказательство. Возьмем точку Ре!и зададим цепное
отображение Р: (Z,Q)-+SX формулой P(m) = mP; очевидно,
50 Гл. III. Сингулярные гомологии
riP = id. Для каждого 0-симплекса сг0: ДО-*Х зафиксируем
1-симплекс (путь)^ па0: А^Х с (лао)е° = ао, {лво)г1 —Р, т. е.
с д (лсг0) = (id — Рц) а0. Получаем гомоморфизм я: S0X-*StX
с дл = id — Рг\. На гомологическом уровне имеем 0 = [длг] =
= [z] — [Рцг] = [z] — Р^ [z\, z <= ZUX, т. е. Н0Р и #ог| — взаимно
обратные изоморфизмы. []
Что можно сказать о группе #0 для несвязных пространств?
Следующий результат сводит этот вопрос к предложению 4.11.
4.12. Предложение. Пусть X — произвольное пространство
с компонентами Хх, АеЛ; пусть, далее, Аа X — подпростран-
подпространство и Ах = А[\ХХ. Тогда включения ix: (Хк, АХ)-+{Х, А) инду-
индуцируют разложение в прямую сумму {ix}\ © S(XX, AX)^S(X, A),
и, следовательно (см. П. 1.5), {Шх}\ ф Н {Хх, Af) ^ Я {X, А).
В частности, Н0Х есть свободная абелева группа, ранг которой
равен числу компонент пространства X.
Доказательство. Обозначим через s (соответственно sx)
множество сингулярных симплексов пространства X (соответ-
(соответственно Хх). Так как образ любого симплекса линейно связен,
то он лежит целиком в некотором Хх; следовательно, s = U sx.
Каждая сингулярная цепь с имеет единственное представление
с
= ? са • а = ? Z са • а = Z сх, сх е S (Хх);
sn,
значит, SX = ф S (Xk) и аналогично SA = ф S (Л^). Таким
образом, SX/SA^^SiX^/SiAf). П
4.13. Следствие. ?сл« пространство X дискретно, то HtX = 0
при i?^0, Н0Х= © Z. ?
Мы закончим обсуждение специальных случаев несколькими
замечаниями о ретрактах.
4.14. Определение. Пусть i: AczX — пара пространств;
А называется ретрактом пространства X, если существует отобра-
отображение г: Х-*-А, такое, что n = id; любое такое отображение г
называется ретракцией. Например, каждая точка пространства X
является его ретрактом; если В — произвольное пространство и
QseB, to A^aAXQczAXB и отображение г. AXB-+AXQ,
определяемое формулой г (a, b) = (a, Q), есть ретракция {сомно-
{сомножители являются ретрактами произведения).
5. Гомотопическая инвариантность 51
При тех же X, А пространство А называется окрестностным
ретрактом (в X), если оно является ретрактом некоторой своей
окрестности в X. Каждый ретракт является окрестностным ре-
ретрактом, но обратное неверно: если, например, X — единичный
отрезок, а А состоит из двух его концевых точек, то А является
окрестностным ретрактом, но не является ретрактом (докажите!).
Окрестностными ретрактами мы займемся позже, в гл. IV
и VIII, а сейчас нас будут интересовать лишь ретракты. Пусть
г: Х->А — ретракция. Тогда отображение г: SX -> SA расщепляет
точную последовательность 0-+SA—>SX—*~S(X, A)—>0; сле-
следовательно, (г, }): SX^SA®S(X, А) и
D.15) (г,,/.): НХ^НАфН(Х, А).
Мы приходим к следующей формулировке.
4.16. Предложение. Если А — ретракт пространства X, то
гомологическая последовательность пары (X, А) разбивается на
короткие точные последовательности
О —* HqA ^ HqX -^ Hq (X, А) -> О,
которые расщепляются отображением г„. []
4.17. Упражнения. 1. Гомологическая последовательность
тройки Р е А с: X изоморфна приведенной гомологической после-
последовательности пары (X, А).
2. Если X — стягиваемое пространство, X ~ Р, то r\: SX —>
—>(Z, 0) — гомотопическая эквивалентность. Указание: исполь-
используйте коническую конструкцию, как в предложении 4.6.
3. Вычислите Н (R, С), где Q c= R — подпространство действи-
действительной прямой, состоящее из всех рациональных чисел.
4. Если В с= A cz X — такая тройка, что А — ретракт про-
пространства X, то Н(Х, В)^Н(Х, А)фН(А, В).
5. Гомотопическая инвариантность
Напомним (см. 1.3.1), что два непрерывных отображения
f,g:X—>Y называются гомотопными, если существует деформа-
деформация в: [0, 1] X X-*Y с ®o — f,@i = g. Подобным же образом
определяется гомотопность отображений пар.
5.1. Предложение. Для любых гомотопных отображений
f, g: {X, А) -> (Y, В) отображения Sf, Sg: S {X, A)->S (Y, В)
{цепно-) гомотопны.
52 Гл. III. Сингулярные гомологии
5.2. Следствие. Если отображения /, g: (X, A)-*(Y, В) гомо-
гомотопны, то ft = gf: Я (X, А)-* И (Y, В); действительно, гомотопные
цепные отображения индуцируют одинаковые гомологические
гомоморфизмы групп гомологии (см. II. 3.4). []
5.3. Следствие. Если (X, А) ~ (У, В), то Н(Х, A)^H(Y, В).
Действительно, если (X, А)—*-(Y, В) *{Х, А) — взаимно
обратные гомотопические эквивалентности, то, в силу след-
следствия 5.2, Я(X, А) —+ Я (Y, В) —> Я {X, А) — взаимно обратные
изоморфизмы. []
5.4. Следствие. Если X стягиваемо, Хс^Р, то НХ = 0.
Подробнее, аугментация r\: SX-+{Z, 0) является гомотопической
эквивалентностью (ср. с II. 4.3). []
Лучше всего эта ситуация иллюстрируется коммутативной
диаграммой функторов
E.5)
в которой через я обозначен переход к гомотопическим классам.
В предложении 5.1 утверждается, что существует пунктирная
стрелка S. В II. 3.4 показано, что существует стрелка Я.
В следствии 5.2 утверждается всего лишь, что существует компо-
композиция (HS), а в следствии 5.3 отмечается, что функтор HS пе-
переводит, как и всякий функтор, эквивалентности в эквивалент-
эквивалентности.
5.6. Замечание. Если /: (X, A)—>(Y, В) — гомотопическая
эквивалентность, то /: X-+Y и f\A: A-* В также гомотопи-
гомотопические эквивалентности. Обратное неверно; чтобы получить
контрпример, достаточно взять X ~Y = [0, 1], Л == {0} U {1},
В = [0, 1] — {'/г}, / — включение (докажите!). На цепном уровне,
однако, обратное верно (см. II. 4.3).
Предложение 5.1 без труда доказывается на основании сле-
следующего факта.
5.7. Предложение. Пусть Р, Fl: SX->S([0, l]XX)—есте-
l]XX)—естественные цепные отображения, такие, что композиции SA0 F°" f'>
->S([0, 1] X ^о) —*"(Z, 0) (здесь До есть 0-симплекс, ц —аугмен-
—аугментация, см. 4.5) совпадают. Тогда существует естественная гомо-
топия s: F° ~ Fl.
5. Гомотопическая инвариантность S3
Естественность отображения ф {—F°, F[ или s) означает, что ф
определено для всех пространств X и что для любого непре-
непрерывного отображения h: X' -> X диаграмма
E.8) , v
), цхх)
коммутативна.
Доказательство. Предположим по индукции, что ото-
отображение sk: SkX->Sk+i ([О, 1] X X) при k < q уже найдено и что
E-9) dsk + sk_ld = Fi-F]t.
Пусть iq e 5fl (Д?) — тождественное отображение симплекса Д,,.
Тогда
d{F\ - F\ - sq-x diq} = F>diq- F' Л, - (cV,) Ei,) =
= f° diq - f1 at, - (F° ~f1- s,_2a) (ai,) = o.
Таким образом, F°iq — F\q — sq-x diq есть <?-цикл; если q = 0, то
аугментация переводит его в нуль, так как r\F° = y\F1. Поскольку
пространство [0, 1] X \ выпукло, то это граница (см. 4.6), т. е.
существует be=Sq+l ([0, 1] X А,) с db = F\ — F\ — sq^ diq. Опре-
Определим отображение
E.10) sq: SqX-+Sq([Q, I] XX)
формулой sq (a) = (id X cr) b, где a: Aq->X пробегает все q-сим-
плексы пространства X. Нужно еще доказать естественность
(коммутативность диаграммы E.8)) и формулу E.9) при k = q.
Возьмем а': ЛЧ-*Х'. Тогда
(id X h) sqa' = (id X h) (id X a') b = (id X ha') b = sq (ho') = (sq!i) a',
откуда следует естественность. Далее,
(dsq) o = d(idXo)b = (idX a) db =
— F°aiq — Flaiq — sq-iO diq =
= F°a — Flo — sfl_! aat, =
откуда следует E.9); четвертое равенство вытекает из естествен-
естественности отображений F°, Fl, sq-i. Q
54 Гл. III. Сингулярные гомологии
Приведенное доказательство — образец применения метода
«ацикличных моделей», принадлежащего Эйленбергу и Мак-
лейну [1]. В общем виде он будет объяснен в § 11 гл. VI.
Доказательство предложения 5.1. Для любого про-
пространства X включения
F': Х->[0, 1]ХХ, Р'(х) = У,х), 0</<1,
задают естественные цепные отображения F': SX -> 5'([0, 1] X X),
и, согласно предложению 5.7, существует естественная гомото-
пия s: F°~Fl. Если A cz X — подпространство, то F* (SA) а
c=S([0, 1]Х^) и, в силу естественности s, s (SA) cr S ([0, 1] X A).
Переходя к факторкомплексам, мы получаем отображения
F: S{X, A)-+S{[Q, \]XX, [0, 1}ХА) и гомотопию s: FQ ~ Я.
Рассмотрим теперь гомотопию в: f^-g. Очевидно, Qt = ©/•'',
и, значит,^ ==ЪР: S{X, A)-*S(Y, В). Следовательно, 5/ = во =
= ея ~ 6F1 = е, = sg. ?
5.11. Примеры. Пусть I: А с= X — пара пространств. Говорят,
что А — деформационный ретракт (пространства X), если суще-
существует гомотопия 0(: X->¦ X с в0 = id, @{(X)czA и 0j|i4 = id.
Таким образом, ©! определяет ретракцию г: X -> A cir — Q^; при
этом ri = idA, 0: idx ~ ir. В частности, i, r—взаимно обратные
гомотопические эквивалентности, так что /„: НА^НХ. Если
гомотопию 0 можно выбрать такой, что <dt\A — i при всех t,
то А называется сильным деформационным ретрактом.
Например, если Ле! — точка, то А является деформацион-
деформационным ретрактом тогда и только тогда, когда X стягиваемо; тогда
мы получаем НХ = 0, как в следствии 5.4. Например, единичная
сфера S"'1 = {л: е R" | \\x\\ = 1} является сильным деформацион-
деформационным ретрактом проколотого евклидова пространства R" — {0};
деформация определяется формулой 0*(л:)==A—t + t/\\ x\\)x.
Та же деформация показывает, что Sn~l является сильным де-
деформационным ретрактом проколотого единичного шара Вп — {0},
где В" = {*е!н!"|||лг|К 1}. В частности,
E.12) HS^1 ^H(Bn- {0}) s* H (R" - {0}).
5-13. Упражнения. 1. Если отображение /: (X, A)-*{Y, В)
таково, что f: X^Y и (/ \А): А ~ В, то f: S(X, A)c*S(Y, В);
ср. с замечанием 5.6.
2. Если А — (сильный) деформационный ретракт простран-
пространства X, то AXY есть (сильный) деформационный ретракт про-
пространства ХХ.У- Сделайте рисунок с Х = В2, Л = {0}, Y = Sl.
6. Барицентрическое подразделение 55
3. Конус СХ над X получается из [0, 1] X X склеиванием
подпространства {0} X X в одну точку v, вершину конуса. Дока-
Докажите, что (i) пространство СХ стягиваемо и (ii) Hq{CX, СХ —
- {и}) ~ Hq-X (X).
4. Рассмотрим заполненный тор, заполненный крендель, за-
заполненный тройной крендель и т. д., изображенные на рис. 4.
(в)
Рис. 4.
Покажите, что они содержат деформационные ретракты сле-
следующего вида:
(a)
Рис. 5.
6. Барицентрическое подразделение
Здесь описывается аппарат, который будет использован в § 7.
6.1. Определение. Для каждого пространства X зададим
гомоморфизмы pg: SqX->SqX, q^O, называемые барицентри-
барицентрическими подразделениями, формулами
F.2) pQ = id, $qiq = Bq • pg_! {diq), р„ (aq) = aq (P?i?), q > 0,
где iq e 5?Д? есть тождественное отображение симплекса А,,,
q+\' q+\' ••¦' q+\J~ Lj q+\
i=0
есть барицентр симплекса Д?, символ Вд обозначает операцию
конической конструкции (см. D.7); напомним, что Afl выпукло)
и aq: A^-^Z есть произвольный сингулярный симплекс.
Грубо говоря, барицентрическое подразделение симплекса aq
получается из барицентрического подразделения границы daq
посредством построения конуса с вершиной в центре симплекса aq.
(Читателю рекомендуется сделать несколько рисунков.) Наиболее
важное свойство операции р заключается в том, что она делит
симплексы на более мелкие части. Точнее, имеет место
56 Гл. III. Сингулярные гомологии
6.3. Предложение. Система гомоморфизмов $q: SqX-+SqX
q^Q, является естественным цепным отображением и обладает
следующим свойством: для любого q^O и любого действитель-
действительного е > О существует такое N = N (е, q), что при n ^ N все
симплексы х цепи с = р" (i9) = рр ... р (i?) имеют диаметр || т || < е
{т.е. || т ||^е=Фст = О). Диаметр ||т|| симплекса т: Ag-»-R& опре-
определяется как max{||хх — ху\\\х, у еЛд}.
Доказательство. Очевидно, (/р) ст9 = / (Рсх,) == (f о?,) (Pi?) =
==P(fff4) для любого отображения f: X->Y; это доказывает
естественность; что <3р? = Р^-Д проверяется индукцией по <7:
д (р.сг,) = (За?) (p,i,) = (agd) {Bq ¦ р,_, diq) = а,а (В, • р,_, diq) =
(четвертое равенство следует из граничной формулы D.9) и
формулы dp,-, = $q-2d).
Осталось найти N (в, q). Это делается при помощи следующей
леммы.
6.4. Лемма. Если a: Ag->Rfe — линейный симплекс (см. 1.2),
то цепь р (сг) состоит из линейных симплексов диаметра <! j_ . \\a\\.
В частности, р" (iq) состоит из симплексов диаметра ^ ( —~. J || iq ||.
Для доказательства леммы 6.4 нам потребуется еще одна
лемма.
6.5. Лемма. Если а: А? —> R& — линейный симплекс с верши-
вершинами Ро, Ри .. ., /%, то
(a) || Р — Р' || < max || Р - Pt || <5ля любьа Р, Р' е сг (Д.);
(b) HalKmaxHPi-РД
Доказательство леммы 6.5. Так как />'=
С АГ,- >0, ^Х{= 1, ТО
II р _ р' II=IE (jf;/3 - 4л-)!1 < Е ^' II я - я, II <
Этим доказано (а); часть (Ь) доказывается двукратным приме-
применением (а). []
Доказательство леммы 6.4. Из определения 4.7 выте*
кают следующие свойства конической конструкции;
6. Барицентрическое подразделение 57
(i) Каковы бы ни были сингулярный симплекс т: Лг—>R',
точка PeR' и линейное отображение f: R'—>Rfe, имеет место
равенство f (Р • х) = (/Р) • (ft).
(И) Если т: Лг -> R' есг& линейный симплекс с вершинами
Qo, ..., Qr, то Р ¦ т: Лг+1—>R' есг& линейный симплекс с вер-
вершинами Р, Qo, . . ., Qr.
В ситуации леммы 6.4
Ра = а (fi, • рЛ,) = (afl,) ¦ (арЛ,) в силу (i)
= (oBq) ¦ (fiadig) в силу естественности р
1=0
Таким образом, Ра состоит из симплексов вида a' = (oBq) • т,
где х содержится в Р (ае') с некоторым /. Диаметр симплекса о'
равен || Р — Q ||, где Р и Q — вершины симплекса о' (по лемме
6.5 (Ь)). В силу (и), либо эти вершины являются вершинами
симплекса х, либо одна из них есть oBq. В первом случае (при-
няем индукцию по q)
II а' || = II Р - Q ||< II х ||< ±=р-1| ае' ||< -^11| а ||< у^-р || а ||.
Во втором случае, если, скажем, P = oBq, то, в силу леммы
6.5 (а),
для некоторого / и, следовательно,
ц=0 II ц-0
Этим доказаны утверждения 6.5 и 6.3. Q
Нам потребуется также естественная цепная гомотопия
fS~id. Ее существование вытекает из следующей теоремы.
6.6. Предложение. Пусть y°> Y1; SX-+SX — естественные
цепные отображения. Если они совпадают в размерности нуль,
Yo = Yo> то существует естественная гомотопия y°^y'-
Имеется прямое доказательство этого факта методом «аци-
«ацикличных моделей», как в предложении 5.7: читатель может
58 Гл. III. Сингулярные гомологии
найти его и убедиться, что это легкое упражнение. Мы сведем
задачу к предложению 5.7, рассмотрев композиции F: SX—>¦
-+SX-!-+S([0, \]ХХ), где J{x) = @,x). Тогда естественная
гомотопия и: F° ~ F1 существует, в силу 5.7, и ее композиция
с проекцией я: [О, 1]ХХ—>Х представляет собой естественную
гомотопию nF°oanFl; остается заметить, что nF' = (л/) у' — у1. []
6.7. Упражнения. 1. Обозначим через Vn множество вер-
вершин симплекса Д„ и через Тп — множество непустых подмно-
подмножеств множества Vп. Для каждого V е Тп определим бари-
барицентр BV е А„ равенством BV — тут- ^ у. где | V | — число эле-
ментов множества V. Докажите, что каждая точка хеД„ имеет
единственное представление x — ^Xy-BV, такое, что (i) 0<
<xF<l, (ii) Z% = 1. ("О xv?=0, xv?*0=$VczW или WczV.
Числа {%}, V e Yn, называются производными {барицентриче-
{барицентрическими) координатами точки х. Можно представлять себе числа
{xv} как обычные координаты в симплексе А^, где N = \Тп\ —
— l=2rt+I — 2; тогда х^—> {xv} есть гомеоморфизм симплекса А„
на объединение некоторых n-мерных граней симплекса Ад,.
Пусть ф: V'a->V'm — некоторое отображение; зададим произ-
производное отображение ф': А„->Ат формулой (у'х)и = X xv,
U ef m. Докажите, что это определение корректно, что ф' пе-
переводит вершины в вершины и что ф' линейно тогда и только
тогда, когда ф инъективно.
2. Покажите, что система естественных гомоморфизмов
yq: SqX-^SqX (X ^3~ор) тогда и только тогда является цепным
отображением, когда cfy?1? — yq-\d\-q при всех q (как и выше,
7. Малые симплексы. Вырезание
Мы покажем (предложение 7.3), что для вычисления сингу-
сингулярных гомологии достаточно рассматривать малые симплексы.
Из этого будет следовать, что группа Н{Х, А) не изменится,
если удалить из А некоторую часть В, не пересекающуюся
с границей А (лемма 7.4).
7.1. Определение. Пусть X — пространство и Ш — некото-
некоторая система его подмножеств; обозначим через S°ll наимень-
наименьший подкомплекс комплекса SX, который содержит SU при
любом U е Ш, т. е. подкомплекс, порожденный комплексами
W' Цепями комплекса S'U являются линейные комбина-
7. Малые симплексы. Вырезание 59
ции симплексов a: &q-+X, каждый из которых переводит Л?
в некоторое U e °U, т. е. симплексов, которые имеют «порядок
малости Шу>.
Для подпространства А с X мы полагаем °U |"| A = {U П ^)и^а/
и соответственно определяем S (<2/ f] Л), S (<2/, °U П Л) =
= S°UIS (lift А). Возникает коммутативная диаграмма цепных
отображений
О -> S (<U П Л) -> S<2/ -> S (<2/, ^ П Л) -> О
G-2) ^ ^ {'
О >- SA > SX > S (X, А) >¦ О
у которой строки точны и вертикальные отображения инъективны.
7.3. Предложение. Если каждая точка пространства X со-
о о
держится во внутренности А множества А или во внутренности U
некоторого подмножества и^Ш, то i: S(<2/, Ш П Л) -> S {X, А)
есть гомотопическая эквивалентность и, следовательно,
I,: HS(<U, °U(\A)^»H(X, А) есть изоморфизм.
Если °11 состоит из единственного множества Y, то предло-
предложение носит название «теоремы о вырезании». В этом случае
предположение сводится к равенству Y U А=Х, а заключение
состоит в том, что S(Y, Yf}A)~S(X, А). В терминах дополне-
дополнений В = Х — Y, В=Х — Y предположение состоит в том, что
В а А, а заключение —в том, что S{X — В, А — В) ~ S(X, A).
Для удобства ссылок мы выделим получающееся утверждение:
7.4. Следствие (теорема о вырезании). Пусть (X, А) — пара,
о о
и пусть множество Y cz X таково, что Y\jA = X. Тогда вклю-
включение /: S(Y, Yf]A)-*S(X, А) является гомотопической эквива-
эквивалентностью. Равносильная формулировка: если множество В cz A
таково, что В а А, то включение }: S (X — В, А — В) ->S (X, A)
является гомотопической эквивалентностью. В частности,
/»: Н (Y, Y{]A)->H(X, А) (соответственно /.: Н(Х-В, А —В)-*
-> Н (X, А)) есть изоморфизм.
Доказательство предложения 7.3. Так как ком-
комплексы S(°U, fylftA), S{X, А) свободны, то достаточно доказать,
что I,: HS(<U, °U(\A)^H(X, А) (см. И. 4.3). В силу точности
гомологической последовательности (II. 2.9) для этого в свою
очередь достаточно доказать, что
Hq{S{X, A)/S(<U, ^ПЛ)} = 0 при всех q.
Элементы последней группы представляются циклами простран-
пространства X modSF (где Y = <U[){A}), т. е. цепями 2eS,X
60 Гл. III. Сингулярные гомологии
с dz e ST. Требуется доказать, что z является границей
т. е. z — дх + у с jcgSI, y^ST. Ниже мы увидим, что
G.5) если neZ достаточно велико, то fin(z)
Согласно 6.6 и 6.2, имеется естественная гомотопия s: id~p";
таким образом, z = д (sz) + s(dz) + Р"(г), и нам достаточно до-
доказать, что s(dz)^ST. Но dz^SY, и из естественности s сле-
следует включение s (ST) a SY; подробнее, если V — произвольный
элемент системы Y, то из естественности гомотопии s по отно-
отношению к включению V сг X следует, что s(SV)crSV\
Остается доказать G.5). Так как цепь z является конечной
линейной комбинацией симплексов a: kq-+X, достаточно пока-
показать, что $n(o)^ST при достаточно большом п для каждого
из этих симплексов 0. Далее, множества {o~1V}Vs.v. образуют
открытое покрытие W симплекса Л?. Выберем такое е > 0, что
каждое подмножество симплекса Д?, диаметр которого меньше е,
лежит в некотором a~lV; это возможно, поскольку А7 компактно
(е есть «число Лебега» покрытия W; ср. Шуберт [1, гл. I,
п. 7.4]). Согласно предложению 6.3, при достаточно большом п
диаметр каждого симплекса цепи p"i,eS?(A?) меньше е. Но
О
тогда каждый симплекс цепи f>\q лежит в некотором a~!V, и,
следовательно, каждый симплекс цепи р"а = а (Р\) лежит в не-
некотором FcF, a потому fi"o<=SY. Q
7.6. Пример. Пара (X, Р), где Р — точка, называется пункти-
пунктированным пространством, или пространством с отмеченной точ-
точкой. Если (X, Р) и (Y, Q) — пунктированные пространства, то
определен их букет:
G.7) XVY
т. е. топологическая сумма с отождествленными отмеченными
точками (которые и образуют естественную отмеченную точку
в X V Y). Можно представлять себе X и Y как подпростран-
подпространства букета X V Y ввиду наличия отображений X, Y aX@Y-*
-+X\/Y; при этом X{JY = X\/Y, Xf]Y = P = Q. Пусть /: Х-+
->X\JY, j: Y-+XVY - включения.
7.8. Предложение. Если замыкание точки Р в X обладает
в X окрестностью U, для которой включение U —> X гомотопно
rel P постоянному отображению U-+P (т. е. существует такая
деформация d^. U—>X, что d0—включение, dl{U)=P, dt(P)—P
при всех t e [0, 1]), то
G.9) (/., /,): Н {Х
7. Малые симплексы. Вырезание 6!
Согласно определению 4.3, имеет место также изоморфизм
HX@HYs*H(X VY).
Доказательство. Мы можем продолжить d до дефор-
деформации
Dt: U\JY-+X\JY, положив Dt\Y = j
(непрерывность деформации D очевидна, если Р и Q — замкну-
замкнутые точки; в общем же случае она следует из леммы V.2.13).
Таким образом, U V Y деформируется в F, и, следовательно,
отображение
HQJVY, Y)-*H{X\JY, Y)
тривиально. Рассмотрим, далее, коммутативную диаграмму
-^*Н(Х VY, Y)->H(XVY, UVY)-+H(UVY, Y)
G.10) f- t'1 V"
H(X,P) + H(X, U) >-H(U,P)
строки которой являются частями гомологических последова-
последовательностей троек (X V Y, U V Y, Y) и (X, U, Р), а вертикаль-
вертикальные стрелки индуцированы включениями. Все вертикальные
стрелки мономорфны; более того, они имеют левые обратные,
поскольку отображение /: X-+ X \/ Y имеет легое обратное г,
а именно r|X = id, r'Y = P. Более того, средняя стрелка
является изоморфизмом, так как, в силу теоремы о выреза-
вырезании 7.4, H{X\JY, U\JY)^H(X, U). Но тогда К также есть
изоморфизм, как это видно из леммы о пяти гомоморфизмах
или (проще) из непосредственного диаграммного поиска по диа-
диаграмме G.10).
Далее, подобно тому как i имеет левое обратное, отобра-
отображение /: Y-+X V Y имеет правое обратное; следовательно,
в силу 4.16, точная последовательность
G.11) 0-
расщепляется; более того, она расщепляется гомоморфизмом
^
Н (X V Y, Y) ^ НХ —+ Н (X V Y), что и доказывает наше утвер-
утверждение. []
7.12. Упражнения. 1. Пусть X — метрическое пространство;
диаметром ||<т|| сингулярного симплекса а: Д,-*^ называется
число max{dist(ax, ay) \x, j/еД,}. Докажите, что для любого
е>0 подгруппы S\X группы SqXx 4 = 0,1,2 порожден-
62 Гл. III. Сингулярные гомологии
ные симплексами диаметра меньше е, образуют подкомплекс SEX
комплекса SX и что SeX со. SX.
2. Букет Х= V Хх произвольного семейства пунктированных
пространств (Хк, Р%), 1еЛ, определяется как топологическая
сумма фХх, в которой множество отмеченных точек ф/\
склеено в одну точку Р. Докажите, что если замыкание^точки^Р
в X имеет в X такую окрестность U, что отображение HU -* НХ
тривиально, то {t\*}: фМ^Я/'У ^Л есть изоморфизм. У ка-
зание: используйте диаграмму
0->Н(Х, Р) *-Н(Х, U) *-H(U, Р)
t I t
где U^ = U f] Хх, и докажите, как в диаграмме G.10), что левая
вертикальная стрелка является изоморфизмом.
3. Для любых двух пунктированных пространств (X, Р), (У, Q)
имеется естественное вложение/: X V Y -> X УК.У, определяемое
формулами Jx = (x, Q), Jy — {P, у). Докажите, что если имеется
изоморфизм G.9), то отображение /,: Н {X V Y)-+ H {X X У)
имеет левое обратное {указание: рассмотрите сумму проекций);
итак, в этом случае гомологическая последовательность пары
(XXY, XV У) расщепляется в изоморфизм Н(ХХУ) = И (X V У)@
©Я(XXY, X V У), как будто пространство ХУУ является
ретрактом произведения X X У¦
8. Последовательности Майера — Вьеториса
Читатель, который предпочел бы теперь вместо дальней-
дальнейшего углубления в теорию сингулярных гомологии перейти
к интересным геометрическим приложениям, может продолжить
чтение с§ 1 — 5 гл. IV; материал настоящего параграфа не по-
потребуется до § 6 гл. IV.
Пусть X — пространство, а Хи Х2 — два его подпростран-
подпространства. Такая ситуация обозначается символом (X; Хи Х2) и на-
называется триадой (не путать с более узким понятием тройки
из § 3); обозначим через iv: Xv-+X включения. Мы хотим уста-
установить связь между группами Н (XJ, H (X2), H{Xi(\X2),
H(Xtl)XJ.
8.1. Предложение и определение. Триада (X; Хи Х2)
называется вырезаемой, если выполнено одно из следующих экви-
8. Последовательности Майера — Вьеториса 63
валентных условий:
(a) *,.: H(X1,XlnX2)s&H[X1[iX2, X2),
(b) /*: Н (Х2, X, [\Х2)^Н (X, U Х2, Хх),
(c) (i,., /2.): Я№, Х,ПХ2)фЯ(Х2) ^! П Х2) ^
sW(I,U Х2, X, П Х2),
(d) г,: Я5{Х„ Х2}^Я5(Х1и^2) = Я(Х1иХ2)>
(e) I: Я [S {Xlt X2}/S (Х{ f] Х2)] ^ Н [S (J, U *2)/S (X, f] *2)] =
(f) p.: H (X, X{ UX2) = H [SX/S (X, [j X2)] & H [SX/S {Xlt X2}],
где S{XU X2} — подкомплекс комплекса S(Xi\JX2), порожденный
комплексами SX^ и SX2 (см. 7.1), I — включение, р — проекция.
Например, если множества Х{ и Х2 открыты в Х1 {] Х2, то
условие (d) выполняется согласно предложению 7.3; такие три-
триады вырезаемы. Другие важные примеры дают ClF-простран-
ства и их CW-подпространства (V. 4.5). Примером невырезае-
мой триады служит триада X = R, Xl =(— «з, 0], Х2 = @, + оо).
Доказательство. Имеются следующие точные последо-
последовательности цепных отображений:
/я оч П SXi '\ 5^iU^) > S(XlUX2)
{б.Л) u "^ s (XiOXi) SX2 S{XUX2}
(8.3) 0 -» 5 {Xu X2} ^>S(Xl U X2) -> g(gtUff -» 0,
12) u>
U S{XltX2} S{X1,Xi]
Из точности гомологических последовательностей, ассоци-
ассоциированных с этими короткими точными последовательностями,
следует, что отображения iu, /„, /„, pt тогда и только тогда
являются изоморфизмами, когда
Таким образом, условия (a), (d), (e), (f) эквивалентны. Из со-
соображений симметрии условия (b), (d), (e), (f) также эквива-
эквивалентны. Эквивалентность условий (с) и (е) получается переходом
64 Гл. III. Сингулярные гомологии
к гомологиям в коммутативной диаграмме
SXi/S(X1f] X2)®SX2/S(X1 П Х2)~±
,S(Xif)X2)
S(XiUX2)/S(XinX2)
8.6. Предложение и определение. Для любой триады
(X; Хи Х2) последовательность
(8.7) 0 -> S (Х{ П Х2) (/"'/!>> SXi © S*2 -^^> S {X,, Х2) -> О
(здесь iv и /v — включения) точна. Если триада вырезаема, то
гомологическая последовательность короткой точной последова-
последовательности (8.7) имеет вид
(8.8) ... -> Нп+] (X, U Х2) ^> Я„ (X, П Х2) (/'*' "/2*}>
-> Я^! © Я,Д2 (''*' '2*}> Яга (Xi U Х2) -А» ..,,
Эта точная последовательность называется (абсолютной) после-
последовательностью Майера — Вьеториса триады (X; Хи Х2).
Для любой триады (X; Х{, Х2) имеется также точная после-
последовательность
(8.9) 0 -> SXJS (X, П Х2) -iii^-^i> SX/SX{ ф SX/SX2
-*SX/S{Xit XJ->0,
где iv, jv — проекции. Если триада вырезаема, то соответствую-
соответствующая гомологическая последовательность имеет вид
(8.10) ... -> Яп+1 (X, Xi U Х2) -^> Я„ (X, Х{ П Х2) (/'*' ~/2*}>
нп(X, х2)Л±М+ Нп(х, ххих2)-&+ ....
Эта точная последовательность называется относительной по-
последовательностью Майера — Вьеториса триады (X; Хь Х2).
Доказательство. Очевидно, что отображение
(/„ /2): SXl®SX2->S{Xh X2}
эпиморфно (по определению комплекса S{X,, X2}), отображение
(/1,-/2) мономорфно и (г,, г2)(/,, — /2) = 0. Если (сь с2) е
eker(^, г2), то /1с1 + г2с2 = 0 (в 5J), а это значит, что цепи с,
и — с2 в 5Z совпадают. Но с, е SJ, ис2е SX2; следовательно,
с = С[ = — c2eS(X, (]Х2) и (сь с2) = (/ь —/2)(с). Этим доказана
точность последовательности (8.7). Что касается последователь-
8. Последовательности Майера — Вьеториса 65
ности (8.8), то для ее получения достаточно использовать изо-
изоморфизм 8.1 (d).
Переходим ко второй части. Ясно, что отображение
(/,, г2): SX/SXi®SX(SXa->SX/S{Xu Х2} эпиморфно, (/„ -/2)
мономорфно и (iu /2) (/i. — /2) = 0. Пусть уи у2 е SX таковы,
что {уи у2) ее ker (/„ i2). Тогда ух + у2 е= S-{Jb X,}, т. е. ух + у2 =
= xl-Jr х2, где xv е SXV; следовательно, (г/, — я,) = — (у2 — х2) и
(</i> ^2) = (/1> ~/2) (i/i—*i)- Этим доказана точность последова-
последовательности (8.9). Наконец, последовательность (8.10) получается
при помощи изоморфизма 8.1 (f). []
Иногда полезно иметь больше информации о граничном
операторе с?„ последовательностей (8.8) и (8.10).
8.11. Предложение. Граничный оператор dt последователь-
последовательности Майера — Вьеториса (8.8) {соответственно (8.10)) совпадает
с композицией
(8.12) tfB+1(*,U*2)-+tfn+i(*iU*2, *2)^
s Нп+1 (Х„ Z, П Х2) ^> Ня (X, П Х2),
соответственно
(8.13) Я„+1 (Z, X, U Яз)—* ^ (^i U Х2, X.) ^
s Я„ (Х2, X, П Х2) -> Я„ (Z, Z! П Х2),
г5е все отображения, кроме д„, индуцированы включениями.
Доказательство. Предположим, что «еЯДи!^
&HS{Xi, Х2) представляется циклом хх + х2 е S{Zb Z2}
cive SZV и 0 = д(xi + л;2) = дхх + ^х2. Тогда d,« представляется
циклом (/], — j2)~i {dxlt dx2) — {jl: — /2)~' (дхи — дх{) = дхх. Но дхх
представляет также и образ элемента и при композиции (8.12).
Для доказательства второй части мы можем выбрать пред-
представитель 2GSI класса и е= Н (X, Хх \JX2) « Н [SX/S{XU X2}]
с &eS{I|, Z2}, т. е. (Эг = л;1 + х2, где xv e SZV. Тогда а!„м
представляется циклом (/1; — j2)~l(dz, 0) = (/,, — Уг)^. 0) = лг2.
Но х2 представляет также и образ элемента и при композиции
(8.13). D
Последовательность Майера — Вьеториса функториальна.
8.14. Предложение. Отображение f: (X; Хи X2)->(F; Yu Y2)
одной вырезаемой триады в другую (т. е. отображение f: X-+Y
с f (Xv) cz Yv) индуцирует гомоморфизм между соответствующими
(абсолютными и относительными) последовательностями Майера —
Вьеториса.
Гл. III. Сингулярные гомологии
Мы предоставляем читателю сформулировать это предло-
предложение более точно и доказать его. []
Например, любая триада отображается в триаду (Р; Р, Р),
где Р — одноточечное пространство. Если Х1(]Х2Ф 0, то су-
существует отображение (Р; Р, Р)— + (Х; Хь Х2), и композиция
{Р; Р, Р)-±>{Х\ Хь Х2)—*{Р; Р, Р) тождественна. Отсюда сле-
следует, что I, изоморфно отображает (абсолютную) последова-
последовательность Майера — Вьеториса триады (Р; Р, Р) на прямое сла-
слагаемое последовательности Майера—Вьеториса триады (X; X,, Х2);
дополнительное прямое слагаемое есть кег(\„). Так как кег(у„) —
приведенные гомологии, то мы приходим к следующей форму-
формулировке.
8.15. Предложение и определение (ср. 4.4). Пусть
(X; Хь Х2) — вырезаемая триада с Х1(]Х2ф 0. Тогда имеет
место точная последовательность
... -> Нп+1 (Х{ U Х2) ^> Нп (Z, П Х2) {'1*' "Ы>
-> нпх1 © нпх2 (г'*''2*}> нп (х, и х2) ^>... .
Она называется приведенной последовательностью Майера — Вье-
Вьеториса триады {X; Хи Х2). []
8.16. Примеры. Пусть (X; Хи Х2) — вырезаемая триада
с Х{(]Х2Ф 0- 1. Если Н(Xif\X2) = 0, то из предложения 8.15
следует, что
(/,„ Q: НХ{ ®НХ2-*Н (Xl U Х2)
есть изоморфизм.
Например, если X = X:\ZX2, то этот результат совпадает
с 7.8. В доказательстве предложения 7.8 основным моментом
была проверка условия 8.1 (а).
2. Если // (Х{ U Х2) == 0, то из 8.15 следует, что
есть изоморфизм. Рассмотрим, например, открытое подмно-
подмножество U в Rn, которое гомеоморфно Srt~'X(— 1, 1); пусть
Ф: S"~'X(—1» \)—>U — гомеоморфизм. Такое подмножество на-
называется толстой сферой, а множество 2rt~1 = <D(Srt~I X{0})«S"~I
называется остовом этой толстой сферы. Положим V =Rn — 2.
Тогда (Rrt; U, V) — вырезаемая триада (в силу открытости мно-
множеств U, V) с Н (U U V) = //R" = 0; следовательно, H(Uf\V) =
= HU@HV. В частности, H0{U C\V) = H0U@HQV S6 H0V, так
8. Последовательности Майера — Вьеториса 67
как U связно. Поскольку множество U Л V«(Sn~l X
Х(—1, 0)) U(S^~'X (О, 1)) состоит из двух компонент, то HQV =
= #о (?/ П V) = Z; следовательно, F=Rrt —S состоит из двух
компонент. Таким образом,
(8.17) остов 2rt~' любой толстой сферы в R" делит R" на две ком-
компоненты, называемые внутренностью и внешностью остова 2"~',
п>\.
Это — полезный частный случай обобщенной теоремы Жор-
дана (см. IV. 7.2).
3. Если НХХ = 0 = НХ2, то из 8.15 следует, что
Интересным примером является надстройка 2У над произволь-
произвольным непустым пространством У. Надстройка получается из
пространства [0, 1] X Y склеиванием каждого из множеств {0} X Y
и A}Х^ в точку. Более наглядно, это — двойной конус над Y.
Проекция [0, 1]Х^~>[0, 1] задает функцию h: 2F—>[0, 1], та-
такую, что h~'kttY при I ф 0, 1 и /г~'@), h~l A) — точки. Пусть
СУ = /г~1 @, 1], С1У = А~1[0, 1); эти «открытые конусы» стяги-
стягиваемы (посредством вертикального движения к /г A) и к /г @)),
и потому HC0Y = 0 = HCY. Применение нашего изоморфизма
к вырезаемой триаде BУ; C{Y, CXY) показывает, что
(8.18) Hn+l2Y ~ Нп (C0Y П С,У) = Яга [@, 1) X Y] ^ HJ
(последнее имеет место в силу гомотопической эквивалентности
@, 1) X Y ~ У).
В качестве упражнения покажите, что SS'«S'+1, и, поль-
пользуясь этим, вычислите по индукции HS'.
8.19. Обобщение. Рассмотрим пару триад (А; Аи A2)cz
cz(X; Хь Х2). Включение индуцирует коммутативную диаграмму
цепных отображений
0-*S{Au Л2}->5№, ^2}->|g^f -*0
(8.20) I I I
с точными строками. Если триады вырезаемы, то первые две
вертикальные стрелки индуцируют гомологические изоморфизмы
и, следовательно, третья также индуцирует гомологический изо-
изоморфизм по II. 2.10. Поскольку комплексы свободны, мы полу-
68 Гл. III. Сингулярные гомологии
чаем гомотопическую эквивалентность
S{X< X2)/S{Alt A2}^S(Xi[)X2)/S(A1[)A2).
Рассмотрим последовательность цепных отображений
,Я9П n SjX^Xi) ul,-ii)SX1SX2 d,,i,| 5D
Она точна, так же как и последовательность (8.7). Ее гомоло-
гомологическая последовательность имеет вид
(8.22) ...-+Нп+1{Х1\)Х2, Л, U Л)— *
-> Я„ (X, П *2> Л, П Л2) (/'*'"Ы> Я„ (*„ А{) © Я„ №, Л) -ii!^i*>>
-> Я„ (J, U *2. Л, U 4) —•> Я„_, (I, П *2, Л, П Л2) ->....
Эта точная последовательность называется последовательностью
Майера — Вьеториса пары вырезаемых триад (X; Хь Х2) =э
zd (А; А{, А2). Если А = 0, то она сводится к последователь-
последовательности (8.8); если X, = Х2 = X, то она сводится к последователь-
последовательности (8.10); если А{=А2 состоит из одной точки, то она сво-
сводится к последовательности 8.16; если Xt=X и А^с А2=*Х2,
то она сводится к последовательности C.4).
8.23. Упражнения. Г. Пусть {X; Хи Х2) — триада, и пусть
А — замкнутое подмножество в X, содержащее Хх П Х2 и такое,
что множества Хх — А, Х2— А открыты в Х{ UХ2. Пусть, далее,
W — окрестность множества А. Положим W{=W П Хи W2=W f\ X2
(для простоты можно вначале считать, что Х} и Х2 замкнуты
и А = Х{ П X,).
(a) Покажите, что если триада {W; Wu W2) вырезаема, то
триада (X; Хи Х2) также вырезаема, и обратно. Грубо говоря,
это означает, что свойство быть вырезаемой для триад зависит
лишь от ситуации вблизи пересечения Х{ и Х2. Указание: срав-
сравните гомологические последовательности троек (X, U Х>, Wx U Х2,
Х2) и (Х„ WuX^X,).
(b) Предположим, что существует ретракция г: W2 —> Х{ {] Х2 —
= Wlf]W2, а также деформация Dt: Wl\JX2-+Xl\JX2, такая,
что Do - включение, ?), (W, U X2) a X2> Di{W{)ciXb Dt(X2)dX2
при 0</<1. Тогда триада (X; Хи Х2) вырезаема. Указание: в
силу существования деформ ации D, отображения Я (W, U Х2, Х2) ->
->Н{Х,[]Х2, Х2) и Я(Г„ ХХ(\Х2)-*Н{ХЬ ХХ(\Х2) тривиальны.
Таким образом, имеется коммутативная диаграмма
(8.24) {а
8. Последовательности Майера — Вьеториса 69
с точными строками. Очевидно, отображение а мономорфно.
Для доказательства изоморфности отображения |3 вырежьте
множество Х2 (соответственно Xt(]X2)- Для доказательства мо-
номорфности у вырежьте Х2—W2 и используйте ретракцию г.
После этого диаграммный поиск показывает, что а —изомор-
—изоморфизм.
Часть (Ь) обобщает предложение 7.8. Сформулируйте и до-
докажите соответствующее обобщение упр. 2 из 7.12.
2. Абсолютная и относительная последовательности Майера—
Вьеториса вырезаемой триады тесно связаны. Покажите, что
связывающий гомоморфизм отображает каждый член относи-
относительной последовательности (8.10) в соответствующий член аб-
абсолютной последовательности (8.8) и что полученная диаграмма
коммутативна с точностью до знака.
Более общо, пусть
0 0 0
| \ |
(8.26)
0->
0-*-
l
L'->
к
0
I
\
0
L"
К
I
0
— коммутативная диаграмма цепных отображений с точными
строками и столбцами. Тогда гомологические последователь-
последовательности этих строк и столбцов образуют двумерную решетку
групповых гомоморфизмов. Она коммутативна всюду, кроме
Ф*> —dj-квадратов, которые антикоммутативны. Примените это
к диаграмме
0 0 0
1 I I
0->5(Л, Л A2)-+SA1®SA,-*S{Al, Л2}->0
I I ' i
0-*S(Xi{)X2)-+SXl®SX2-+S{Xl, Х2}-+0
I I 4
S (Xj П Xi) , SXj ~SX2 S {Xu X2} n
U~* S(A1(]A2) SAiWSA2 5 {Ль Л2}
I ; i
0 0 0
где {X; Xu X2)zs(A\ Аь А2)— пара вырезаемых триад. Полагая
Xi = X2= X, мы устанавливаем связь, о которой говорилось
в начале параграфа.
ГЛАВА IV
Применения к евклидову пространству
1. Стандартные отображения между клетками и сферами
Напомним определения стандартной п-мерной сферы
Sn = {х eRre+1| ||х||=1}
и стандартного п-мерного шара
здесь ||x||= A/ Z*?- ОткРытый шаР Bn={ys=Rn\\\y\\< 1}
называют также стандартной п-мерной клеткой. Положим
Q = @, 0, .... О, l)eS".
1.1. Определение и предложение. Стандартное отобра-
отображение л: (вп, S"~')->(S'l) Q) определяется формулой
n(y) = Ml-\\y\f.y, 2\\yf- l)eRnXR = Rn+I.
Оно индуцирует гомеоморфизм л: Bn/Sn~] -* Sn и, в частности,
о
гомеоморфизм л- Bn->Sn — Q. Другими словами, сфера полу-
получается из шара стягиванием его границы в точку. Более на-
наглядно л можно представить себе как обертывание (без складок)
глобуса S" круглым куском Вп эластичной материи, причем
весь край этого куска собирается на северном полюсе.
Проверка следующих фактов предоставляется читателю:
|| л; (г/) || = 1; n~1Q = Sn~i; отображение р: S" — Q->• В", заданное
формулой p(z, t) = z/-\/2(l — t), является обратным к отобра-
отображению л | Вп.
1.2. Предложение и определение. Стандартное отобра-
отображение п': Bn->Rn определяется формулой л'у = г//A —1|у\\);
оно является гомеоморфизмом. Обратное отображение р' опре-
определяется формулой p/(z) = z/(l +|| 21|), геК". []
Объединяя 1.1 и 1.2, мы получаем гомеоморфизм Sn — Q^Rn;
таким образом, удаление одной точки превращает 5" в R".
Обратно, присоединение точки к пространству R" превращает
/. Стандартные отображения между клетками и сферами 71
его в S"; более точно, Sn является одноточечной компактифи-
кацией пространства R": Sn x Rn U {°о}. Это иллюстрируется
Р ° я'
сквозным отображением S —Q—*¦ Вп—*¦ R": оно «переводит Q
в оо».
Покажем теперь, что симплексы, кубы и их произведения
гомеоморфны шарам.
1.3. Предложение. Если К — компактное выпуклое под-
подмножество пространства R", содержащее п-мерный шар В, то
пары {В, В), (К, К), где • обозначает границу, гомеоморфны.
Следующее далее доказательство содержит построение стан-
стандартного гомеоморфизма {К, К)-*(В, В).
Доказательство. Применив параллельный перенос и
умножив на некоторое положительное число, мы можем считать
Рис. 6.
что В есть стандартный шар Вп. Далее, если х^К и О^А < 1,
О
то Кх принадлежит внутренности К множества К', действительно,
%х лежит в открытом конусе, который получается проектирова-
проектированием множества Вп в точку х, а этот конус лежит в К, по-
поскольку К выпукло. Следовательно, каждый исходящий из
точки 0 луч содержит ровно одну точку границы К множе
ства К. Поэтому отображение
v: K-+Sn-\ v(y) = y/\\y\\
обратимо и, следовательно, является гомеоморфизмом (так как
К компактно). Радиальное расширение дает требуемый гомео-
гомеоморфизм
v: K-*B\ v(Xy)=Xy/\\y\\, y^K,
1.4. Предложение 1.3 доставляет, в частности, стандартный
гомеоморфизм между кубом и шаром: [—1, 1]" = [—1, 1] X •••
... X [— 1, 1]~В". Для симплекса Л„ мы сначала определим
п— 1
вложение i: An-*R", положив \,{е1) = е1 для i<n, i(e") = — У,е1.
72 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
Ясно, что 1(Д„)«Д,г и что i(An) есть выпуклое множество, со-
(п \
—;—г- У е' I; таким
П -\- I Z—f I
образом, имеется стандартный гомеоморфизм Ф: Ап«5rt ')•
Этот гомеоморфизм отображает границу А„ = {хеД„| лг? = 0 для
некоторого i ^ 0} симплекса А„ на Bn = Sn~l.
2. Гомологии клеток и сфер
Эти группы легко вычисляются с помощью аппарата, по-
построенного в гл. III. Получающиеся при этом результаты,
такие, как теоремы 2.3—2.6, принадлежат к числу наиболее
известных теорем топологии.
2.1. Лемма. Пусть Д„— стандартный симплекс, Д„ = {лге
eAJx/ = 0 для некоторого j ^0} — его граница и Лп =
= {х е Art | Xj = 0 (Зля некоторого / > 0} — объединение всех (п — 1)-
мерных граней симплекса, кроме одной. Тогда имеются следующие
изоморфизмы:
8°
, Д„) -^> Яй_, (А„, Л„) ^t H*-i (Ьп - е°, Л„ - е°) ^~
здесь е° — вершина, в которой лто==1, i — включение и п — нату-
натуральное число.
Доказательство. Гомотопия х»—>A —t)x-\-te° показы-
показывает, что (А„, Лге)^ (е°, е°). Следовательно, Н (Ая, Лге) = 0 и из
точности гомологической последовательности (III. 3.4) тройки
(Д„, Д„, Л«) следует, что д^—изоморфизм. Отображение/„ является
изоморфизмом ввиду теоремы о вырезании III. 7.4. Наконец,
е°: (Дя_1( ДЯ_,)-*(Д„ — е°, Л„ — е°) есть гомотопическая эквива-
эквивалентность; действительно, имеется деформационная ретракция
разности А„ — е° на «нулевую грань» e°(An_i), переводящая
Ли — ?° в е° (Дя-]), которую можно определить формулами
), где x(tH =
') Такой гомеоморфизм имеется для шара любого радиуса, как это
видно из доказательства предложения 1.3. — Прим. ред.
2. Гомологии клеток и сфер 73
2.2. Предложение.
ГО, если кфп,
(a) Hk(Sn) = \ „
4 (. Z, если ft = n;
, если k^=n,
' еслв '.""¦
, если k = n
(P — произвольная точка пространства R").
Доказательство. Ввиду 1.4 и 2.1
Hk(Bn, Sn-X) s Я,(А„, Ап)^ ЯА_, (Ап-„ Art_,)^ ...
... ё* Hk_n (Д0) До) ~ Я,_„ (До).
Так как Ло есть точка, утверждение (Ь) доказано. Поскольку
шар Bn+l стягиваем, то имеется изоморфизм dt: Hk+X (Bn+l, Sn) ^
^ Hk(Sn), благодаря чему (а) сводится к (Ь). Что же касается (с),
то можно считать (применив параллельный перенос), что Р = 0.
Тогда вложение (в'\ Srt~')-*-(R", Rn — Р) индуцирует гомологи-
гомологические изоморфизмы Н (Вп) « Н (Rn) и Н (S") ^ Я (R" - Р)
(см. III. E.12); В" есть деформационный ретракт пространства К",
a S"~' — деформационный ретракт разности R" — Р), а значит,
в силу точности гомологических последовательностей пар и
леммы о пяти гомоморфизмах, и изоморфизм Н(В", S'1'1)^
^H(Rn, Rn-P). Q
2.3. Следствие. Сферы разных размерностей не гомеоморфны.
Евклидовы пространства разных размерностей не гомеоморфны.
Для сфер это следует из 2.2 (а). Для евклидовых пространств
это следует из 2.2 (с), так как если Л: Rm-*Rrt — гомеоморфизм,
то и A: (Rm, Rm-0)->(R", Rn - А@)) — гомеоморфизм. Q
2.4. Следствие. Сфера Sn~l не является ретрактом шара В".
Если г: B"-»S"~' — ретракция, т. е. г/ == id, то композиция
Юлжна быть тождественным отображением. Но это невозможно,
поскольку HSn~] ФО, НВп = 0. Ц
2.5. Следствие. Пусть f: Bn-*-Rn — непрерывное отображение.
Тогда или fy = O для некоторой точки у е Вп, или fz = Kz для
некоторой точки zeS" и некоторого Я > О,
74 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
Доказательство. Определим отображение р: B"—>Rn
следующим образом: р* = B1|л:|| — I)х — B — 2\\х\\) f (х/\\х\\) для
21| х|| >1, рх= — f D||х||х) для 2||x||<l; в частности, pz = z
для 2GS". Тогда сужение р\ Вп должно принимать значе-
значение 0, так как в противном случае отображение х>—» р*
было бы ретракцией шара Вп на сферу S". Если рл; = О и
21| л; [К 1, то /г/ = 0, где у = 4\\х\\х, если же рл; = О и
1<2||х||<2, то
, / х \ 2\\х\
2 — 2 || л; ||
^ 2 и _? || ]
и потому fz = lz, где 2=-j—j, A, = yz^TJJ IIх II- D
Заменяя в следствии 2.5 fx разностью gx — х, мы получаем
следующее предложение, которое называется теоремой Брауэра
о неподвижной точке.
2.6. Следствие. Если g: Bn->R" — непрерывное отображение,
то или gy = у для некоторой точки у е Вп, или gz = цг для не-
некоторой точки z^Sn~ и некоторого ц > 1. []
Было бы желательно указать (относительный) цикл, гомо-
гомологический класс которого порождает группу Нп(В'\ S") (со-
(соответственно HnSn); такие циклы обычно называют фундамен-
фундаментальными. Наиболее простой способ построения этих циклов
содержит следующее
2.7. Предложение. Тождественное отображение in: А„—>А„
является циклом mod А„, гомологический класс [in] которого по-
порождает группу Я„(А„, А„) = Z. Граница этого цикла din является
циклом пространства А„, гомологический класс которого поро-
порождает группу Hn-ikn = Z.
Доказательство. Ввиду изоморфизма д,' Я„(А„, А„) ^
^ Нп-\ (Ая) два сформулированных утверждения эквивалентны.
Так как, очевидно, [i0] порождает группу Я0А0 = Но (Ао, Ао), мы
можем провести индукцию по п. В обозначениях леммы 2.1
ясно, что е°: А„_,->А„ является представителем как класса
д„ УеЯ,., (А„, Ап), так и класса ;(eJK-ile^-i OV Ля);
следовательно, [ь„_,] = (e°)~Ii"'^ [i 1 и наше утверждение до-
доказано. []
Лемму 2.1 и ее следствие 2.2 можно обобщить посредством
умножения всех пар и отображений на некоторое простран-
2. Гомологии клеток и сфер 75
ство Y. Доказательства остаются, по существу, прежними: про-
пространство Y играет в них фиктивную роль.
2.8. Предложение. Пусть Ре5". Имеются естественные
(по Y) изоморфизмы
(a) Hk(SnXY, PXY)^Hk-nY,
(b) Hk(Bn XY, Sn-[XY)~ Hk-J.
Доказательство. В обозначениях леммы 2.1 и в силу
тех же причин, что в 2.1, имеются изоморфизмы
B.9) Hk [(Д„, Д„) X Y] ~ Я,., [(Д„, Л„) X Y] ~
)
(i X id)
^* Hk-t[(K-e», An-e°)XY\ ~ * Я,_, [(Дп.„ Л„_
Следовательно, Hk [(Д„, Д„) X Y] as Hk-n[(A0, A(l) X F] s Я4_ J.
Это доказывает (b), поскольку (Л„, Ая) «г (вп, S"").
Для доказательства (а) рассмотрим тройку {вп+{ X Y,
SnXY, PXY). Так как Bn+i X Y ~ Р X Y, то H(Bn+1XY,
Р X Y) = 0, и гомологическая последовательность тройки
(В'г+1ХУ, 5"ХУ, -РХ^) дает изоморфизм д,: Hk+l(Bn+lXY,
SnXY)^Hk(SnXY, PXY). Тем самым (а) сводится к (Ь). []
2.10. Следствие. Имеются естественные (по Y) изоморфизмы
(р, <?,): Hk (Sn XY)^ Hk-n (Y) © Hk (Y),
где q: Sn X Y-+Y — проекция, q(x, y) = y.
Действительно, q: SnXY -*-Y —> PXY есть ретракция, и по-
потому имеется точная последовательность
XY, PXY)-»O,
расщепляющаяся посредством qt (см. III. 4.16). Наше утвер-
утверждение следует теперь из 2.8 (а). []
Теперь мы можем вычислить гомологии любого конечного
произведения S"lX ¦•¦ XS"r сфер (используя 2.10 и 2.2).
В частности, если п > 0, то Нп (Sn X Sn) — Z^Z. Чтобы опи-
описать образующие этой группы, рассмотрим отображения
Cl,- 1'2„) (PU. Р2.)
B.11) Я„5" ф Я„5" " Нп (S" X Sn) •- HnSn © Я^",
где /,, /2: S"-*S"XS" — вложения (определяемые формулами
li{x) = {x,P), is{x) = (P,x)) и ри р2: SnX Sn->S"- проекции.
76 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
Композиция отображений последовательности B.11) является
тождественным отображением, и потому (iu, г2») изоморфно ото-
отображает группу HnSn@HnSn = X®X на прямое слагаемое
группы Нп {Sn X 5") = Z © Z. Так как таким слагаемым может
быть только вся группа, мы получаем следующее утверждение:
2.12. Предложение. Оба отображения последовательности
B.11) являются изоморфизмами.
2.13. Упражнения. 1. Вычислите группу Я (Rft — F), где/7 —
конечное множество. Указание: вычислите сначала H(Rn, Rn — F),
используя подходящее вырезание.
2. Докажите, что если g: Bn->Rn (n > 1) — отображение
без неподвижных точек (gy ф у), то угол Z. (О, z, gz) принимает
при zeS" все значения от 0 до зх.
3. Докажите, что k-я гомологическая группа n-мерного тора
S1 X • ¦ ¦ X S1 (п сомножителей) является свободной абелевой
группой ранга Сп.
4. Пусть Dg — пространство, полученное из шара В2 удале-
удалением внутренностей g попарно не пересекающихся (замкнутых)
Рис. 7.
дисков, лежащих внутри В2. Таким образом, Dg — это диск
с g отверстиями. Возьмем два экземпляра Dg, Dg диска Dg
и отождествим их границы. Получившееся пространство Sg на-
называется ориентируемой поверхностью рода g. Таким образом,
Sg = Dg [)Dg, причем Dg(]Dg есть дизъюнктное объединение
окружностей. Например, S0&S2, S1«S'XS1.
Докажите, что H0Sg ^Zs* H2Sg, HiSg?*Z0 ... ф7 Bg сла-
слагаемых) и HiSe — 0 при i > 2. Опишите образующие группы tfjS,,.
-I- / -I-N
Указание; Dg — ретракт поверхности Sg, поэтому HSg — H(Dg)Q)
®#(Sg, Dg). Вычислите группу Н(Dg) так же, как в упр. 1.
Используя вырезание и гомотопию, докажите равенство
H(Sg, Dg) = ti{pi, Dg). Гомологии пространства Dg=Dg и
3. Локальные гомологии 77
его границы Dg известны; исследуйте отображение включения
HDg-yHDg и из гомологической последовательности пары (Dg, Dg)
найдите группу Н (Dg, Dg). При вычислении группы HSg можно
также использовать последовательность Майера — Вьеториса
триады (Sg; Dg, Dg).
5. Обобщите упр. 4 на высшие размерности, заменяя диск В2
шаром Вп с п > 2. Вы увидите, что
для остальных i.
3. Локальные гомологии
Группы гомологии являются глобальными инвариантами;
пространства с различными гомологиями все же могут быть
локально гомеоморфными, как, например, 5" и R". Однако, как
мы сейчас увидим, некоторые относительные группы гомологии
выступают как локальные инварианты.
3.1. Определение. Пусть X — некоторое пространство, и
пусть Р е X. Группа Н (X, X — Р) называется группой локаль-
локальных гомологии пространства X в точке Р.
Ниже объясняется смысл прилагательного «локальный».
3.2. Предложение. Если точка Р замкнута в X, Р = Р
(например, если X является Т ^пространством), то для любой
окрестности V точки Р включение (V,V — Р)->(Х, X — Р) инду-
индуцирует изоморфизм Н (V, V — Р) -*¦ Н (X, X — Р). Другими сло-
словами, локальные гомологии Н (X, X — Р) могут быть вычислены
в любой окрестности V точки Р.
Доказательство. Пара (V, V — Р) получается из пары
(X, X — Р) вырезанием множества В = X — V. Так как
о
V — окрестность точки Р, то Р е V (внутренность V) и потому
Ъ = Х — V с Х — Р = Х — ~Р = (Х — Р)°. Следовательно, приме-
применима теорема о вырезании III. 7.4. []
3.3. Для лучшего понимания локальных гомологии надо изучить
их поведение при отображениях, т. е. их функториальные свой-
свойства. Как показывает предложение 3.2, отображения достаточно
определять локально, но в то же время они не могут быть
совсем произвольными. Более точно, пусть заданы простран-
пространства X, Y, точка Р е V с= X и отображение /: V-*Y. Предпо-
Предположим, что точка Р обладает такой окрестностью U, что U с V,
f (U — P)<^Y — f (Р), т. е. Р является изолированным прообразом
78 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
точки Q = f{P). Тогда f называется Р-отображением из X в Y.
Оно индуцирует гомоморфизм локальных гомологии в точке Р:
C.4) f,\ Н (X, X - Р)е* Н {U,U - Р)-*Ш±» Н {Y,Y -Q),
по крайней мере в том случае, если точка Р замкнута, что мы
всегда предполагаем. Этот гомоморфизм не зависит от выбора
окрестности U. Более общо, имеет место
3.5. Предложение. Два Р-отображения /: V—>Y, f: V'-+Y,
совпадающие в окрестности точки Р, индуцируют один и тот же
гомоморфизм групп локальных гомологии.
Доказательство. Пусть U и U' — окрестности точки Р,
использованные в определении отображений fp, f'p. Можно найти
окрестность W точки Р, такую, что f\W=)'\W и WczUftU'.
В частности, f (W — Р) a Y — Q. Рассмотрим коммутативную
диаграмму
H(U,U-P)
Н(Х,Х-Р)
H<iY, Y - Q)
Верхняя композиция есть ff, а нижняя зависит лишь oif\W. []
3.6. Предложение 3.5 подсказывает следующее определение:
два Р-отображения из X в У называются Р-эквивалентными,
если они совпадают в некоторой окрестности точки Р. Класс
эквивалентности отображения f обозначается через fp и назы-
называется ростком f в точке Р. Если /: V —>У есть Р-отображение
из X в Y и g: W —*• Z есть Q = f (Р)-отображение из Y в Z, то
gf: f~lW-*Z является Р-отображением, росток которого в точке Р
зависит только от ростков fug. Следовательно, формуль
gQ о fp = (gf)p определяет композицию для ростков; мы получаем
категорию, объектами которой являются пары (X, Р) (пунктиро-
(пунктированные пространства, Р = Р^Х), а морфизмами (X, P)-*(Y, Q) —
ростки Р-отображений. Группы локальных гомологии являются,
в силу предложения 3.5, функторами на этой категории.
В частности, эквивалентные объекты имеют изоморфные локаль-
локальные гомологии.
3.7. Следствие из предложения 3.2. Если Р е X,
Q^Y — такие замкнутые точки, что для некоторых окрестно-
окрестностей V, W имеется гомеоморфизм {V, P)ta(W, Q), то Н (X, X — Р)^
H(YYQ)
3. Локальные гомологии 79
Действительно, Н(Х, X - P)stH(V, V - Р) ^ H(W, W — Q)st
e*H{Y,Y-Q). ?
Это следствие иллюстрируется следующими теоремами 3.8
и 3.9 Брауэра.
3.8. Предложение (инвариантность размерности). Если
точки PeRm, QeR" обладают такими окрестностями V, W,
что (V,P)&(W,Q)[), то т = п.
Доказательство. В силу 2.2 (с), из изоморфизма
Я (Rm, R'n — Р) as Я {Rn, Rn - Q) вытекает равенство т=п. Q
3.9. Предложение (инвариантность границы). Пусть R+=
= {хе R" Uo^O} обозначает «верхнюю половину» простран-
пространства R". Если точки Р, QeR+ обладают такими окрестно-
окрестностями V, W, что (V, P)&{W, Q), то или обе точки Р и Q лежат
на границе R+ = {х е R" | х0 = 0} пространства R+, или обе они
принадлежат его внутренности R+ ={^е Rre |л:0 > О}. Другими
словами, локальный гомеоморфизм никогда не переводит гра-
граничные точки во внутренние или наоборот.
Доказательство. Если PeR+ — граничная точка, то
пара (R+, R+ — Р) стягивается к паре (S, S), где SgK+ (путем
радиальной деформации к S). Следовательно,
Я (Rn+, Rn+-p)s*H {S, S) = 0.
С другой стороны, если QesR0", то Я„(Р+, R+— Q) ^
^ Я„ (Rn, R" — Q), в силу теоремы о вырезании III. 7.4, а послед-
последняя группа нетривиальна в силу предложения 2.2 (с). []
3.10. Мы сейчас покажем, что для многих пространств группы
локальных гомологии могут быть описаны как подходящие
абсолютные группы. Тем самым будет установлена связь нашего
определения локальных гомологии с более ранним их опреде-
определением.
Пусть X — некоторое пространство и Р — его замкнутая точка.
Предположим, что точка Р обладает такой окрестностью V,
что включение /: V->X гомотопно постоянному отображению
(пространство X, для каждой точки Р которого выполнено это
свойство, называется полулокально стягиваемым). Тогда ото-
') На самом деле уже из V «* W следует, что ш = п (см. 7.4).
80 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
бражение HV-^-HX тривиально, и диаграмма
HkV -^HhiV.V-P)-^ Я*_, (V - Р) ->Hk-,V
HkX->Hk(X,X-P)
показывает, что /'„ = 0. Первая строка является точной, что
дает изоморфизм
C.11) Нъ (X, Х-Р)^ ker [Я*_, (V - Р) -* Яй_,7].
окрестность V стягиваема или хотя бы ациклична (HV ==0),
то
C.12) Hk(X,X-P)=Hk-1(V-P).
Правая часть равенства — это, по существу, группа локальных
гомологии, фигурирующая в § 32 учебника Зейферта и Трель-
фалля [1].
3.13. Упражнения. 1. Покажите, что если точка Р является
целой компонентой линейной связности пространства X, то
Н0{Х, X — P) = Z, а в противном случае Н0{Х, X — Р) = 0.
2. Постройте пространство X, точку Р^Х и окрестность V
точки Р, такие, что Я (X, X - Р)& H(V,V — Р).
3. Если точка QgT замкнута, то для любой точки PeR":
C.14) Hk [Rn XY,RnXY- (P, Q)] ~ Hk-n (Y, Y - Q).
Указание: напишите (Rn, R" — P) X (Y ,Y — Q) вместо [R"X^
R" X У — (P, Q)] и действуйте по аналогии с доказательством
предложения 2.8 (Ь).
В частности, пусть Y = {z е С \zr+i ^0}, т. е. К есть звезда
cr-fl лучами, и пусть Q = 0. Произведение R" Х^ называют
иногда разветвленным евклидовым пространством.
У для г = 5
Это — объединение г + 1 полупространств R+, которые пере-
пересекаются по множеству точек ветвления R" X Q- Число г назы-
называется порядком ветвления. Группа я-мерных локальных гомо-
гомологии в точке ветвления является (в силу 3.14) свободной
4. Степень отображения 81
абелевой группой ранга г. Отсюда следует, что любой локаль-
локальный гомеоморфизм сохраняет порядок ветвления {инвариантность
порядка ветвления).
4. Вычислите локальные гомологии надстройки IY в вер-
вершине {0}Х^ (см. III. 8.16, пример 3).
4. Степень отображения
Каждый эндоморфизм ф свободной циклической группы опре-
определяется целым числом, т.е. <p{x)=dx для некоторого одно-
однозначно определенного rfeZ. Применение этого замечания
к гомологическим группам приводит к понятию степени ото-
отображения, которое имеет много приложений (см., например, 4.4
и 4.8).
4.1. Определение. Эндоморфизм f, группы HnSn = Z (соот-
(соответственно группы Нп+Х (Вп+], Sn) = Z), индуцированный непре-
непрерывным отображением f: Sn->Sn (соответственно f: (Bn+l, Sn) ->
-+(Bn+!, S")), задается формулой /„ (х) = deg (/) • х, где deg(f)e=
eZ- однозначно определенное целое число. Это число назы-
называется степенью отображения f.
Вот некоторые элементарные свойства степени.
4.2. Предложение.
(i) deg(id) h 1;
(ii) deg(W)=deg(fbdeg(f');
(iii) f ~ f =#deg(f) = deg {f)'):
(iv) если f — гомотопическая эквивалентность, то degf =
= ±1'):
(v) для всякого отображения f: (Bn+\ S")->(S"+I, S")
deg(f)=deg(/|S'!).
Действительно, (i) и (ii) выражают функториальные свойства
отображения ft, a (iii) и (iv) — его гомотопическую инвариант-
инвариантность. Свойство (v) вытекает из коммутативности диаграммы
п(Ъ ) ^"nW ) U
4.3. Пример. Степень линейного отображения 0: (А„, А«)->
->(А„, А„), переставляющего вершины, равна четности переста-
перестановки: deg (p) = sign (p |{е°, е1, ..., еп}). Степень ортогонального
') Верно и обратное; см. Спеньер [2, 7.5.7].
82 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
отображения a: Sn-> Sn равна его определителю: deg(a) = det(a);
в частности, антиподальное отображение х н->— х имеет степень
(-1Г1.
Доказательство. Пусть v = (v0, v,, ..., vr) — линейное
отображение Дг —*-Д„, переводящее вершину е1 в вершину
ev'@^V;^tt). Мы хотим показать, что если v — перестановка
(г = п), то [v0, ..., vj = sign(v) [0, 1, ..., п], где [ ] обозна-
обозначает гомологический класс в группе Нп (Д„, Д„); напомним, что
10, 1, ..., п] —образующая этой группы (см. 2.7). Предположим
сначала, что v — транспозиция соседних вершин i и i + 1. Пусть
\а: ДA+1 -> Д„ — отображение @, 1, ..., i — 1, i + 1, /, / -f 1. • • •, п)\
оно получается из тождественного добавлением вершины i -f- I
перед вершиной /. Тогда
где остаток R состоит из членов, в которых одна из вершин
отброшена, так что У? е S (А„). Переход к гомологиям тос1Д„
поэтому дает
0 = [0, 1, .... п] + [0, ..., i-\, i + \, i, г + 2 п],
как и утверждалось. Так как любая перестановка v является
произведением таких транспозиций, скажем v = х{ ... xq и
signv = (—\)q, то первая часть утверждения 4.3 следует из 4.2 (п).
Всякое ортогональное отображение a: Sn-*Sn с определите-
определителем + 1 гомотопно тождественному отображению, и потому
deg(a) = -f 1. Если же deta = — 1, то а гомотопно отражению р
в произвольной гиперплоскости, содержащей 0. Как и в 1.4,
рассмотрим линейный (п -f- 1)-симплекс s в R"+1 с вершинами
(е°, е1, ..., еп, — У, е11. Его гомологический класс [si порождает
группу #„+1 (R"+I, Rn+I — О), а класс [ds] порождает группу
Нп (R"+1 — 0) = HnSn (ср. 2.7). Существует отражение р, пере-
переставляющее между собой вершины е° и е1 и оставляющее на месте
вершины е' с i > 1. Симплекс ps имеет вершины (е\ е°, е2, е3, .. .
. .., еа, —Z^e1), и потому, в силу первой части доказательства,
[ps] = — [s]. Следовательно, pt [ds] = [о ds] = — [ds] и deg(p) =
4.4. Следствие. Если отображение f: Sn-»Sn не имеет непо-
неподвижных точек, то deg(f) = (— 1)"+1. Если отображение f: S"->S"
не имеет антиподальных точек {\хф—х), то deg (f) = -|- I.
4. Степень отображения 85
В частности, каждое отображение f: S2k -> S24 имеет или непо-
неподвижную, или антиподальную точку.
Доказательство. Действительно, если / не имеет непо-
неподвижных точек, то dt (х) =A — t) (fx) — tx Ф О при любом
(е [0, 1]. Следовательно, Dtx — (dtx)/\\dtx\\ есть деформация ото-
отображения f в антиподальное отображение х<—*~ х, и потому
deg (/) = (— l)n+I в силу 4.3. Если fx Ф — х, то отображение
gx = — fx не имеет неподвижных точек и потому (— 1)"+1 deg (/) =
+I
Приведенное далее определение представляет собой неболь-
небольшую модификацию понятия степени.
4.5. Определение. Для любого отображения ц: S" X S" -> S"
(/г > 0) индуцированный гомоморфизм
HnSn ф tfnS* ~ Я„ (S" X S") -^ HnSn
имеет вид jx* (^i. ^2) = fifi-^i + <^2^2> где du d2 — однозначно опре-
определенные целые числа. Пара (du d2) называется бистепенью ото-
отображения ii. Ее свойства аналогичны описанным в предложе-
предложении 4.2 свойствам степени. В частности, имеет место следую-
следующий аналог предложения 4.2 (ii).
4.6. Предложение. Для любых отображений fu f2: Sn->Sn
степень композиции Sn *¦ Sn X Sn —*¦ Sn вычисляется по фор-
формуле
deg [ц (fu f2)} = rf, • deg (f,) + d2 • deg (f2).
Доказательство. Пусть pu p2: Sn X S" -> S" — проекции.
Тогда PvC/l f2) — /v> и разложение B.11) показывает, что для
любого л; е HnSn
Следовательно, |х, (/,, /2), (х) = [d, • deg (f,) + ^2 • deg (f2)} (x). Q
Отображение ц можно представлять себе как мультиплика-
мультипликативную структуру на Sn, подобную перемножению комплексных
чисел (п = 1) или кватернионов (п = 3); в этих случаях ото-
отображение ц (zit z2) = zx • z2 имеет бистепень A, 1), и мы получаем
4.7. Следствие. Отображение рк: z*—*-zk, 6eZ, группы S1
(соответственно S3) единичных комплексных чисел (соответственно
кватернионов) в себя имеет степень k.
Действительно, в силу 4.6, deg (рк) = deg (рк-\) + deg (id) =
= deg(pft-1) + 1 и в то же время deg (pi) = deg (id) = 1. []
84 Гл. /V. Применения к евклидову пространств!/
Укажем важное применение этого следствия.
4.8. Предложение (основная теорема алгебры). Всякий
комплексный полином р (z) =zk -f- с^к~1 -f- c2zk~2 + ... + ck с
k > 0 имеет корень.
Доказательство. Для каждого полинома р, не имею-
имеющего корня на окружности S\ определим отображение/3: S1-> S1
формулой
p(z) = p{z)l\\p(z)\\.
Наша теорема будет доказана, если мы покажем, что
(i) если р не имеет корней г с ||z|Kl, то deg(jd) = O;
(ii) если р не имеет корней z с ||z||^l, то d eg (/)) = &.
Чтобы доказать (i), рассмотрим деформацию
pt: Sl^Sl, fit(z)
ясно, что /?i=p, а Д) есть постоянное отображение, и потому
deg(/?) = 0. Чтобы доказать (ii), рассмотрим деформацию pt{z) =
= q(z, t)/\\q(z, t)\[, где
D.9) q{z, f)=tkp(j)=zb + t{.cxzk^-{-tc2zk-*+ ... +/fe->cfe).
Правая часть D.9) показывает, что функция q(z, t) непрерывна
(даже при ? = 0). Очевидно, р\=р и po — zk, поэтому deg(p) =
= deg(/>o) = & в силу следствия 4.7. []
Теорема 4.8 и ее доказательство обобщаются на другие
умножения ц: Sn X Sn -> Sn на сферах бистепени (а, р), для
которых а > 0, Р > 0 (это — задача!). Ниже мы увидим (пред-
(предложение VII. 10.1), что если аР =#=(), то п нечетно.
4.10. Упражнения. 1. Каждое отображение S°->S° (соот-
(соответственно (В1, S°)->E', S0)) имеет степень 0 или ±1.
2. Для любого отображения f: X-+Y произведение id X
X f: [0, l]XX-*[0,l]XY переводит {t}XX в {t} X У и потому
индуцирует отображение 2/: 2X->2F (III. 8.16, пример 3).
В частности, по отображению f: Sn—>S" строится отображение
Щ: Sn+1 -*¦ Sn+l. Докажите, что degBf) = deg (f) (указание: ис-
используйте естественность изоморфизма III. 8.18). Следствие: для
всякого л>0 существуют отображения Sn->Sn любой степени.
3. Пусть пг, л^О — целые числа. Каждая точка г сферы
5m+n+i(_Rm+n+2==Rm+i^R»+i может быть представлена в виде
z = cos (t) • х + sin (t) • у с х е Sm, </eS°, 0 < t ^ л/2, и это пред-
представление единственно, за исключением тех случаев, когда х
или у не определено, что бывает соответственно при t = nJ2 и
5. Локальные степени 85
* = 0. Для двух отображений /: Sm-*Srn, g: Sn->Sn их джойн
f*g: Sm+n+1 -> Sm+n+i определяется формулой
Докажите, что deg (/ * g) = deg (f) • deg (g). Указание: используйте
равенство / * g = {f * id) (id * g) и докажите индукцией по п, что
deg(/ * id) = deg(f); начните индукцию с упр. 2.
4. Касательным векторным полем на Sn называется непре-
непрерывная функция v, относящая каждой точке ieS" вектор
u(x)elRr'+1, касающийся сферы S" в точке х. Например, если
n — 2k + l, то v(x) = (xu —xo,x3, —х2, ..., x2k+u —x2k) — ка-
касательное векторное поле на S2k+l, которое нигде не обращается
в нуль. Докажите, что если п четно, то любое касательное
векторное поле на Sn где-то обращается в нуль. Указание:
чуть-чуть сдвиньте точку х в направлении вектора v(x). Полу-
Получится отображение степени + 1, которое должно иметь непо-
неподвижную точку.
5. Если комплексный полином р не имеет корней на окруж-
окружности S1 = {z е С 11| г || = 1} и имеет m корней (с учетом их крат-
кратности) внутри окружности S1, то отображение р: S1->S1, задан-
заданное формулой р (г) = р {z)l || р (z) ||, имеет степень т.
5. Локальные степени
Это понятие позволит увидеть, что введенная в § 4 сте-
степень может быть определена локально (относительно области
значений), а именно как «число прообразов точки с учетом
их кратности».
5.1. Определение. Пусть V с Sn (п > 0) — открытое мно-
множество, f: V —> Sn — некоторое отображение и Q^Sn — такая
точка, что множество f~[Q компактно. Рассмотрим композицию
E.2) HnSnJ^Hn(Sn, Sn-r1Q)e^ Hn(V, V-r'Q)-^
где ехс — изоморфизм вырезания (III. 7.4), а последний изомор-
изоморфизм существует в силу гомотопической эквивалентности S" —
E.3) Нп (Sn, Sn-Q)9* Hn (Sn, P) ?* HnSn = HnS\ P^Sn-Q.
Композиция E.2) имеет вид х >—* (degQ f) x, где degQ(f) e=Z —
однозначно определенное целое число. Это число называется
(локальной) степенью отображения f в точке Q. Подчеркнем,
что степень в точке Q определена лишь в том случае, когда
множество f~lQ компактно.
Гл. IV. Применения к евклидову пространству
5.4. Примеры. Если Q^im(f), то degQ(f) = O. Если f: V->
->Sn — включение, то degQ(f) = \ для любой точки QeF, Если
f — гомеоморфизм на открытое множество fV cz Sn, то degQ (/) =
= ± 1 для любой точки Q e f V.
Доказательство. Первое и второе утверждения следуют
из определения локальной степени. Что касается третьего, то
в этом случае последовательность E.2) превращается в после-
последовательность изоморфизмов
HnS" ~ Hn(Sn, Sn - f-'Q) s Hn(V, V - Г'О) = Hn(fV, fV-Q)&
5.5. Предложение. Для любой последовательности вложен-
вложенных множеств f Q cz К czU czV, в которой К компактно и
U — окрестность К, степень отображения f в точке Q опреде-
определяется также композицией
exc i
HnSn -* Нп (Sn, Sn-K)^ Нп (U, U-К)-1*
Другими словами, можно заменить множество p'Q любым
большим компактным множеством, лежащим внутри V, Или,
иначе, сузить V до любой окрестности множества f~{Q. На-
Например, можно сузить V до множества f~]W, где W — любая
окрестность точки Q; это оправдывает термин «локальная сте-
степень».
Для доказательства достаточно рассмотреть коммутативную
диаграмму
H,,(S",Sn-K) s Hn(U,U-K)'
5.6. Следствие. Каково бы ни было отображение /: Sn-*Sn,
deg (f) = degQ (f) для любой точки Q <= Sn. Аналогично, deg (/) =
= degQ(f\Bn) для любого отображения f; (Bn, Sn 1)->{Вп, Sn~l)
и любой точки Q шараВп, удовлетворяющей условию f~lQ^Bn.
В частности, степень deg (f) локальна по отношению к мно-
множеству значений.
Доказательство. Первое утверждение следует из пред-
предложения 5.5, применяемого к K = Sn — U. Для доказательства
5. Локальные степени 87
второго утверждения представим S" как K"(J{°o} и радиально
распространим отображение f: (Bn, Sn~l)-*(Bn, S") до отобра-
отображения F: (Sn, Sn-Bn)-^(Sn, Sn-Bn). Тогда, в силу первого
утверждения и предложения 5.5,
deg (F) = degQ (F) = degQ (F | Bn) = degQ (f | Bn).
С другой стороны, из коммутативности диаграммы
(Вп, S") -* (Rn, R" - Вп) -^ (s", S" - В") <- (S", оо)
lf I" V V
(Вп, Sn~l)-y (Rn, Rn - Вп) ^> (S'\ Sn - Вп) <~ (Sn, oo)
следует, что deg^) =deg(f). []
Из функториальных свойств локальной степени мы ограни-
ограничимся следующим:
5.7. Предложение. Пусть /: Vn-*Sn, Qt=Sn те же, что
в 5.1, и пусть g: Sn-* Sn — произвольное отображение. Тогда
локальная степень отображения fg: g-'V-^ S" в точке Q опре-
определена и удовлетворяет соотношению degQ (fg) = deg,-, (f) • deg (g).
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
HnS"^> Hn(S",Sn-K) ^Hn(V,V-K) .
\,
где /(^p'Q. Верхняя строка определяет degQ(f), нижняя —
degQ{fg), и эти строки отличаются множителем g,: HnSn-^HnSn. []
Например, если f — включение, то degQ(g) = deg(g) (ср. 5.6).
5.8. Предложение (аддитивность). Пусть f: V~>Sn, Q e S"
ге же, что б определении 5.1. Предположим, что V является
г
объединением открытых множеств, V = U У*> " чго множества
А= 1
/^'Q, г<5е fA = /4Fv попарно не имеют общих точек, (fA'Q)fl
Г
П(/|Г'<2) = 0 при Я^ц. Тогда degQ(/) = Z degQ(f0-
А= 1
Это свойство часто позволяет вычислять degQ(f). Предпо-
Предположим, например, что множество f lQ конечно, скажем f~ Q =
88 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
= {Р,, ..., Рг)- Тогда можно выбрать такие открытые множе-
множества Vh, что Ph^Vx> Р^ф.Ук при \1фХ, и задача сводится
к вычислению degg^). Последнее число называют иногда
кратностью прообраза Рк; итак, степень degQ(f) отображения f
равна количеству точек множества f lQ, которые считаются с их
кратностями. Кратность точки Ря можно определить по любой
окрестности этой точки (см. 5.5); если f — локальный гомеомор-
гомеоморфизм, то, в силу 5.4, все кратности равны ±1.
Доказательство предложения 5.8. Выберем такие
открытые окрестности UK множеств f^Q, 4ToUKczVK,UKf]U=0
г
при Хф\1, и положим U — U Ux. Рассмотрим диаграмму
E.9)
|{id) j{id)
где все суммы © берутся по Я = 1, 2 г и где {id} —ото-
—отображение, каждая компонента которого является тождествен-
тождественным отображением, a i% и i{ — включения. Отображение {i'u}
является изоморфизмом, так как U — дизъюнктное объединение
множеств {U}}; ср. III. 4.12. Коммутативность диаграммы E.9)
очевидна всюду, за исключением, быть может, второго квадрата;
там она следует из того, что композиция
^ n n \y > ° — / 4.) ппуг> , о — j,i Ц)
совпадает с гомоморфизмом включения при Pi = \х, (это очевидно)
и тривиальна при Хф\1 (это следует из включения U^czSn —
— f^Q)- В силу 5.5, верхняя строка диаграммы E.9) опреде-
определяет degQ(f), а нижняя {degQ(fJ}. Благодаря этому компони-
рование нижней строки с двумя крайними вертикальными стрел-
стрелками дает равенство degQ (/) = J] degQ (/я). Q
5.10. Пример. Для любого ifeeZn любого п > 0 мы построим
сейчас отображение /: $п-+$п степени deg(/) = &.
5. Локальные степени 89
Представим S" как IR"U{°°} и определим отображение
g: Sn->Sn формулой
ix при |U||<1,
^B-IUII)-1 при 1<||*||<2,
оо при ||х||>2.
Ясно, что deg(g) = dego(g) = +1. Для каждой точки PeR"
рассмотрим параллельный перенос хР: Sn->Sn, %Р(х)=х— Р
для JteR" и тя(оо) = оо. Так как %Р ~ id, то dego(g-TP) =
= dego(g)deg(-tP) = dego(g) = + l (см. 5.7). Если /г>0, то вы-
выберем точки Ри ..., P4eR" так, чтобы расстояние между
любыми двумя было больше 4. Пусть Вк — шар радиуса 2
с центром в точке /\; тогда ВК[]В1Х = 0 при Кф\1. Определим
отображение f: Sn—>Sn формулами f\BK = fgxp )\BK, f(x) = <x>
k
при хф\] Вк. Ясно, что Г1(О) = {Ри Р2, ..., Pk), и из 5.8
следует, что
deg {f) = I deg0 (f I В,) - I deg0 (gxP J = k.
Если /г < 0, то мы сначала построим отображение /' степени — k,
а потом положим f — rf, где г — отражение относительно гипер-
гиперплоскости; тогда
deg (f) = deg (r) deg (П = (-1) (-*)=*. П
Заметим, кстати, что при k > 0 построенное отображение f
таково, что каждая точка QgR" имеет в точности k прообра-
прообразов, в то время как точка оо имеет их бесконечно много. Тем
не менее degos(f) = k, так как degM(f) = deg(/).
Как degQ(f) зависит от Q? Здесь мы дадим ответ в про-
простейшем случае; несколько более сильные результаты содер-
содержатся в § 6.
5.11. Определение. Пусть V cz Sn — открытое множество
и /: V —*¦ S" — непрерывное отображение. Отображение f назы-
называется собственным над WcrS", если для любого компактного
множества L cz W множество f~lL компактно. Если W — точка,
то это в точности то условие, при котором определена степень
deg^f. Например, если отображение f — гомеоморфизм на не-
некоторое множество f{V), то оно является собственным над f{V).
Любое отображение f: Sn->Sn является собственным над S".
Вложение (О, 1)->R не является собственным над @, 2).
5.12. Предложение и определение. Если W — связное
открытое подмножество сферы S" (п > 0) и f: V -+S" — отобра-
90 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
жение, собственное над W, то для любой точки QzbW опреде-
определена степень degQf и она не зависит от точки Q. Если f есть
гомеоморфизм на W, то для любой точки Qef степень degQ{f)
равна +1 или —1. В первом случае гомеоморфизм f называется
сохраняющим ориентацию, а во втором — обращающим ориен-
ориентацию.
Доказательство. Рассмотрим сначала некоторую дугу
А большого круга в W. Тогда множество f~*A компактно. Так
как множество Sn — А стягиваемо (посредством радиальной
деформации из середины дуги А), то Hn(Sn, Sn — Л) = HnSn.
Выберем точку Q е А и рассмотрим коммутативную диаграмму
В силу 5.5, верхняя строка определяет degQ(f). Поэтому ниж-
нижняя строка тоже определяет degQ(/). Так как нижняя строка
не зависит от Q, число degQ(/) одинаково для всех Q^A. Так
как W связно, то любые две точки Р, Qef можно соединить
ломаной из дуг большого круга и потому degP(f) = degQ(f). []
5.13. Упражнения. 1. Определим отображение pk: C->C
формулой pk(z) — zk; докажите, что deg0(/?&) = &• Заметим, что
р^'@) состоит из единственной точки.
2. Пусть f: F->Rm, g: V' -> Rn — такие отображения, что
определены локальные степени deg0 (/), deg0 (g). Тогда локаль-
локальная степень отображения f X g- V X V -^ Rm X R" = Rm+" над 0
определена и равна dego(f) • dego(g). Указание: используйте
4.10, упр. 3.
3. Пусть W- V~>Sn — деформация и QeS" — такая точка,
что множество U /Г1 (Q) компактно. Тогда dego(/0) = dego(fl).
Указание: используйте предложение 5.5, положив К = \j f7l(Q)-
t
4. Пусть V cz Rk — открытое множество, f: V -> Rk — непре-
непрерывно дифференцируемое («класса С») отображение и QeR'-
такая точка, что якобиан отображения / не равен нулю ни
6. Гомологические свойства ретрактов пространства R" 91
в одной точке множества f~lQ (т. е. Q — регулярное значение).
Докажите, что если множество f~lQ конечно, то degq(/) = /?— п,
где р (соответственно п) есть число точек, в которых якобиан
положителен (соответственно отрицателен). Указание: в силу
теоремы 5.8, можно считать, что f^1 (Q) — точка, например Q = 0
и f 1(Q) = 0- Примените упр. 3 к деформации ft = (l—t)f +
+ tf'(O), где f'@): R&->R& — дифференциал отображения /
в точке 0.
5. Пусть V, W — открытые подмножества сферы S" и
f: V->W, g: W -> Sn — такие отображения, что определены
локальные степени degP(f), degQ(g), degQ(gf) для некоторых
P<=W, Q = g(P). Всегда ли degQ(g/) = degP(f) ¦ degQ(g)?
6. Гомологические свойства охрестностных ретрактов
пространства R"
В § 5 локальная степень degQ(f) отображения f: V-* Sn
в точке Q была определена как образ при отображении
f,: Нп (V, V — К)-+Нп (Sn, Sn-Q)^Z некоторого элемента
у ^ Hn(V,V — К). В этом параграфе в качестве / мы будем
рассматривать только включения, но в то же время заменим у
произвольным элементом группы Hn(V, V — К); нас будет инте-
интересовать получающаяся при этом функция точки Qe/(. Мы
увидим, что сама группа Hn(V,V — K) может быть описана
в терминах таких функций и что Нг{у, V — /С) = 0 при i > п.
Аналогичные результаты для более широкого класса про-
пространств (многообразий) будут доказаны в § 3 гл. VIII. Начнем
с произвольных подмножеств В с Л с S". Для каждой точки
Р е А включения индуцируют отображения
Нп (Sn -B,Sn-A)^ Hn (Sn, Sn-P)+?- HnSn,
где lp — изоморфизм, так как пространство S" — Р стягиваемо.
6.1. Лемма. Для любого y^Hn{Sn — B, Sn — А) отображение
Jy: A^HnSn, определяемое формулой
непрерывно, т. е. локально постоянно. Кроме того, (Jy)\B =
Доказательство. Пусть (Jy)(P) = x, т. е. jpy — ipx-
должны построить такую окрестность U точки Р, что jQy = IqX
для каждой точки Q^UflA. Если ?eS(S"-fi)cS(S") и
92 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
г е S(Sn) — (относительные) представляющие циклы, то равен-
равенство /p[?l=*p[z] означает, что существуют цепи c^S(Sn),
c'^S(S" — P) с ? — г = Eс + с'. Цепь с' является линейной
комбинацией конечного числа сингулярных симплексов 0, у каж-
каждого из которых образ не содержит Р и потому не пересекается
с некоторой окрестностью Ua точки Р (множество im(cr) замк-
замкнуто!). Следовательно, с' е= S(Sn -U)<= S(Sn - Q), где U = f] Ua,
0
a Q — произвольная точка пересечения f/ПД и, таким образом,
/qKI=/q[z].
Второе утверждение (Jy) \ В = 0 следует из того, что для
любой точки Р^В отображение \р пропускается через нулевую
группу:
Н (Sn - В, S" - А)-> Н (Sn - В, Sn-B)-+H(Sn, Sn-P). П
Все сказанное приводит к следующему определению:
6.2. Определение. Пусть BaAczSn. Обозначим через
Г (А, В) (аддитивную) группу непрерывных (т. е. локально по-
постоянных) функций A-*HnSn, равных нулю на В, и положим
Г (Л, 0) = ГЛ. Лемма 6.1 определяет гомоморфизм
/ = /(Л,б): Hn(Sn-B,Sn-A)-+T(A, В),
и ясно, что справедливо следующее утверждение:
6.3. Предложение. Гомоморфизм J является естественным
относительно включений, т. е. если (Аь Bi)cz(A2, B2), то диа-
диаграмма
Нп (Sn - В2, Sn - Л2) -^ Нп (Sn -BuSn- Ад
Г (Л2) В2) ¦> Г (Аи В{)
коммутативна. Здесь lt, i' — гомоморфизмы, индуцированные
включением. \\
Следующее предложение подчеркивает важность гомомор-
гомоморфизма 7.
6.4. Предложение. Пусть X, Y — подмножества сферы Sn,
и пусть X с У. Если X uY являются окрестностными ретрактами
(например, если они открыты), то
(a) Нг (Y, Х) = 0 при i > п,
(b) /: Нп (У, X) -> Г [Sn -X, S"~ Y) есть изоморфизм.
6. Гомологические свойства ретрактов пространства R" 93
Напомним, что множество X cz Sn называется окрестностным
ретрактом, если существует открытое подмножество сферы Sn,
для которого X является ретрактом (ср. III.4.14).
6.5. Следствие. Если X с: Sn, n > 0, — окрестностный ретракт
и Хф8п,то Н{(Х) = 0 npui^n. Кроме того, Hn-lX^f(Sn — X),
где Г = Г/С — факторгруппа группы Г по подгруппе С постоян-
постоянных функций и Н обозначает приведенные гомологии.
Доказательство. Поскольку X^=Sn, включение X-+S"
гомотопно постоянному отображению, и потому индуцируемый
им гомоморфизм #Х—>#S" тривиален. Поэтому гомологическая
последовательность пары {Sn, X) разбивается на короткие точные
последовательности:
При i^-n первые два члена тривиальны (в силу 6.4 (а)), и по-
потому Ht (X) — Hi (X) = 0. При i = n — 1 мы применяем гомо-
гомоморфизм / и получаем диаграмму
0 -> HnSn -> Нп (S", X) -* Нп.хХ -> 0
F.6) '\* 'I* 7 Is*
0 -*- Г5" — > Г (Sn - X) -* coker (r) = f (Sn - X) -> 0
в которой первые две вертикальные стрелки являются изомор-
изоморфизмами в силу 6.4 (Ь) (г —сужение). Так как первый квадрат
коммутативен (в силу 6.3), мы можем вставить в диаграмму
стрелку /. []
Следующая лемма является решающим моментом доказа-
доказательства предложения 6.4.
6.7. Лемма. Пусть (У, Хи Х2) — вырезаемая триада, состав-
составленная из подмножеств сферы Sn. Если утверждения (а), (Ь)
предложения 6.4 выполнены для пар {Y, X,), (У, Х2) и (У, Z, U Х2),
то они выполнены и для пары (Y, Z, П Х2).
Доказательство. Рассмотрим отрезок
Hl+I (Y, Хх U Х2)-> Hi (У, Х{ П X2)-*Ht (У, X,)®Ht (У, Х2)
относительной последовательности Майера—Вьеториса (см.
III. 8.10). При / > п крайние члены тривиальны в силу пред-
предположения, а потому равен нулю и средний член. Это доказы-
доказывает утверждение (а). Утверждение (Ь) доказывается анало-
94 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
гично. Рассмотрим диаграмму
тт /т/ V I I V \ ^ U /V V О Y \ v
= Пп+1 [I , Л! U Л2) -> П„A, А, | | Л2) >-
О-
Нп (У, Z,) © Я„ (У, Z2) -i >- Я„ (У, Z, U Х2)
-> Г (Х'и Г) ф Г №, У) ——* Г (Л П Xi Y')
\h- l2)
в которой первая строка есть отрезок относительной последо-
последовательности Майера — Вьеториса, отображения /' и i' во второй
строке представляют собой сужения и X' = Sn — X. В силу
предложения 6.3, диаграмма коммутативна.
Ясно, что (/ь —/г) мономорфно отображает Г (X' [] Х'ч, Y') в
ядро отображения (/[, i'2). Поэтому возникает последовательность
мономорфизмов
F.9) ker (/„, /2.) & Нп (У, Z, П Z2) -^
-> Г (XI U ^2, П " " > ker «, i'2),
композиция которых является изоморфизмом, так как две пра-
правые вертикальные стрелки диаграммы F.8) являются изомор-
изоморфизмами. Следовательно, последовательность F.9) состоит из
изоморфизмов. []
(В частности, вторая строка диаграммы F.8) точна.)
Доказательство предложения 6.4. Мы проведем
его в несколько шагов. Как и выше, сократим обозначение
Sn — X до X' и будем интерпретировать S" как R"U{°°}- Пред-
Предположим, что п > 0.
Шаг 1. У = 5", X = S" илм Z = 5" — Р (Р — точка) илм Z = 0.
Если Z = S", то Я (У, Z) = O = r@, 0). Случаи X = Sn — P и
Z = 0 были разобраны раньше (см. § 2); поскольку п > 0,
в этих случаях Я„ (S", S" — Р) ss tfnS" э* Г (Sn) а* Г (Р).
Шаг 2. У — 5", Z = S"— П, г<3е П— замкнутый прямоли-
прямолинейный куб в R", 0^dim П ^п. Если Б — открытый шар
с центром в точке PsD, содержащий П, то Sn — Р~5" —
— В ~ Sn — ? (посредством радиальной деформации). Следо-
Следовательно, #(S", S"— П)^ЯE", S" — Р). Так как, кроме того,
ГП=ГР, шаг 2 сводится к шагу 1.
6. Гомологические свойства ретрактов пространства R" 95
Шаг 3. Y = S", X — Sn — F, где F — конечное объединение
кубов фиксированной решетки. Напомним, что решетка в R"
задается набором п положительных чисел (ць ..., цп); ее кубы
имеют вид
? ={х e=Rn iniiiii^Xi^i ntHi, i=l, ..., n}
с фиксированными m,eZ и с пг- = т< или п,-=/и,-+ 1.
Применим индукцию по числу кубов в множестве F. Пусть
FtczF — куб максимальной размерности, и пусть F2—замыка-
F2—замыкание множества F — Fu Мы можем применить шаг 2 или пред-
предположение индукции к множествам Fb F2 и F, f| F2, т. е. счи-
считать, что утверждения (а), (Ь) предложения 6.4 справедливы
для пар (S", S" - F,), (Sn, Sn - F2) и
(Sa, Sn - Fx П ^ = (S", (Sn - F,) U (S" - F2)).
Следовательно, в силу леммы 6.7, они справедливы и для
пары
(S", (S" - Л) П (Sn - F2)) = (Sn, S" - F, U F2) = (Sn, Sn - F).
Шаг 4. Y — Sn, X открыто. Можно считать, что X ф 0
(см. шаг 1) и что ooeZ, т. е. X' = Sn — X a Rn. Покажем
сначала, что образом отображения /: Нп (Sn, X) -> ТХ' служит
все ГХ'. Пусть s е ТХ'. Тогда компактное множество X' раз-
разлагается в дизъюнктное объединение конечного числа таких
компактных подмножеств X'k, что сужения s\X'k постоянны
(напомним, что s локально постоянно). Фиксируем положитель-
положительное е, меньшее минимального расстояния между любыми двумя
этими подмножествами, и выберем такую решетку L (см. шаг 3),
все кубы которой имеют диаметр, меньший е/2. Пусть
F — объединение всех пересекающихся с X' кубов решетки L.
Тогда X'cF, и можно продолжить функцию s до функции
(еГ/7, потребовав, чтобы для каждого куба решетки П, со-
содержащегося в F, сужение t \ ? было постоянной функцией,
принимающей значение s(OOX'). В силу шага 3, существует
у е Hn(Sn, Sn — F) с Jy = t, и поэтому благодаря естественности
гомоморфизма / (предложение 6.3) J(ity)—t\X'=s, где
it: Hn (Sn, S" — F)-> Hn (Sn, X) — индуцированный включением
гомоморфизм. Таким образом, \mJ = TX'.
Возьмем теперь [z]e//j(S"J), i~^sn, и предположим, что
если i = n, то /[г] = 0. Мы должны доказать, что [z]=0.
Симплексы цепи дг лежат в множестве X = Sn — X', а в силу
компактности, они не пересекаются с окрестностью V множе-
множества X'; поэтому можно рассматривать гомологический класс [z]v
цикла z в группе Hi(Sn, Sn — V). Если i = n, то, кроме того,
I( My) \Х' = 0, и потому /(My) равно 0 на всей окрестности
96 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
WczV множества X' (так как функция У локально постоянна);
при i > п положим W = V. Выберем решетку (см. шаг 3), кубы
которой имеют диаметр, меньший расстояния от X' до 5" — W,
и обозначим через F объединение всех пересекающихся с X'
кубов решетки. Так как X' cr F cr W, то jt([z]F) = [z], где
/,: Я (Sn, S" — F)-* H{Sn, X) индуцировано включением. Если
i — n, то, кроме того, J([z]F) = Q. Используя шаг 3, мы полу-
получаем, что [z]f = 0; следовательно, [z] = 0, как и утверждалось.
Шаг 5. Y = Sn, п > 0, ХфБ11— произвольный окрест постный
ретракт. Пусть U ф Sn — открытое множество, ретрактом кото-
которого является X, I: X-^-U — включение, г: U-> X — ретракция;
таким образом, ri = id, и потому rjt = id. При р>п имеется
коммутативная диаграмма
Нр (Sn, X) -> Нр (Sn, U) = 0 [в силу шага 4]
а* I ?й а* |
в которой вертикальные отображения являются изоморфизмами
в силу точности гомологической последовательности (см. дока-
доказательство следствия 6.5). Из диаграммы видно, что Нр (Sn, X) = О,
а это и утверждалось в 6.4 (а). Для доказательства утвер-
утверждения (Ь) рассмотрим диаграмму F.6):
o_»rs" —> гх' —*- гх'-*о
где Г — факторгруппа группы Г по группе постоянных функций.
Лемма о пяти гомоморфизмах показывает, что / является изо-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда изоморфизмом является /;
докажем последнее. То, что / — мономорфизм, сразу видно из
диаграммы
(ело)
ТХ' -^-> И/'
Эпиморфность — дело более деликатное. Поскольку U Ф Sn,
можно считать, что U cr R", и потому можно говорить об «от-
«отрезках» в множестве U. Для каждой точки Q е X' обозначим
через VQ множество таких точек Pet/, что отрезок Р,г{Р)
целиком лежит в множестве U — Q. Ясно, что X czVqCzU — Q,
6. Гомологические свойства ретрактов пространства Rn 97
что VQ открыто и включение kq\ Vq~+U — Q гомотопно компо-
rlvQ iQ
зиции Vq *¦ X —*¦ и — Q (гомотопия определяется формулой
Pr->(l—t)P + tr (P)). Следовательно, kQ, = (iQ\ (r \ VQ)t. Сложив-
Сложившуюся ситуацию удобно изображать следующей коммутативной
диаграммой (горизонтальные отображения в ней индуцированы
включениями):
Й^Х -^ H^Vq ~* Я„-, (U - Q) iQt = kQJQt
71 7.1
t У
УХ' -ii* fV'Q —^ Т(и-О)'-^*Ти' i'Q=k'QiQ [' = ,
Положим pQ==(r\ VQ)ti~lj'Q: YX' -> Hn-xX. Тогда
F.11) *VPq = «q,
так как
Составляя композицию обеих частей равенства F.11) с I'q, мы
получаем, что (i'J)pQ-i'. Так как правая часть последнего
равенства не зависит от Q и гомоморфизм i'J мономорфен
(см. F.10)), то и гомоморфизм р = р<з не зависит от Q. хМы
увидим сейчас, что /р = id, откуда и будет следовать, что / —
эпиморфизм.
Можно отождествить группы ГХ', ГС/', ... с группами
Г{Х', оо), Г (С/', оо), ... (каждый смежный класс обладает един-
единственным представителем, обращающимся в нуль в точке оо).
Если /<=Г(Г, оо), то i'QJP(f) = i'Q(f) ввиду F.11), т. е. f совпа-
совпадает с /р (/) на (U — QY, в частности, в точке Q. Так как точка
Qel' выбрана произвольно, то f = 7p(f) на X', как и утвержда-
утверждалось.
Шаг 6. Z c= Y Ф Sn — произвольные окрестностные ретракты
в сфере Sn.
Гомологическая последовательность тройки (Sn, Y, X) содер-
содержит отрезок Hp+l(Sn, Y)^HP(Y, X)->HP{S\ X). При р>п
крайние члены тривиальны в силу шага 5, поэтому HP(Y, X) = 0,
как и утверждается в 6.4 (а). Для доказательства (Ь) рас-
98 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
смотрим коммутативную диаграмму
0 = Hn+l(Sn, Y)-+Hn{Y, X)->Hn(S\ X)^Hn
0 -> Г (X', Г) — TX' v ГУ
верхняя строка которой есть часть гомологической последова-
последовательности, а нижняя индуцирована включениями. Две правые
вертикальные стрелки являются изоморфизмами в силу шага 5,
а потому /: Hn(Y, Х)-*Г{Х', Г)-изоморфизм. Q
6.12. Упражнения. 1. Для любого окрестностного ретракта
X <= Rn докажите, что Я„_, X ~ Гь (Rn - X), где Г„ (R" — X)—
группа локально постоянных функций Rre — X—>Z, тривиальных
вне некоторого ограниченного множества. Указание: в силу след-
следствия 6.5, Я„_,Х ^f(S"-I)sr (Sn - X, оо).
2. Пусть a: Sn~l—>R" — непрерывное отображение, и пусть
Wa<^ Tb(Rn — aS™) — образ образующей группы //„_iS"~' при
композиции
H^S'1'1 -^ Яге_, (aS") -^> f (S4 - aS"-1) эй Г, (Rn - aS"'1)-
Значение \^a(P) в точке PeR" — aS" называется числом вра-
вращения отображения а в точке Р. Исследуйте формальные свой-
свойства инварианта W; рассмотрите примеры.
3*. Докажите: если А — подмножество сферы S", дополнение
которого Sn — А несвязно, то любая окрестность множества А
содержит такую его окрестность U, что Hn-xU ф 0. Постройте
пример такого множества Л, что Нп-{А = 0, но дополнение
Sn — А несвязно, и другой пример, в котором А открыто, Hn-iA = О,
но дополнение Sn — А не является линейно связным. (Указание:
используйте график функции sin(l/x).)
4. Пусть Ап czR2 cr 52 — окружность радиуса \\п с центром
сю
в точке @, 1/«). Положим А— \] Ап. Согласно Гриффитсу [1],
ft=-i
существуют ненулевые элементы а^.Н\А, такие, что для любой
окрестности V точки @, 0) в А элементы а лежат в образе го-
гомоморфизма Н<У~*Н{А (эти элементы можно представлять
себе как бесконечные произведения коммутаторов группы niA).
Докажите, что aekerG: HiA-+r(S2 — А)), и выведите из этого,
что гомоморфизм /: Н2 (S2, А) -*¦ Г {S2 — А) не является моно-
мономорфизмом.
7. Теорема Жордана, инвариантность области 99
5. Постройте триаду (Y; Хи Х2) в сфере S", для которой вто-
вторая строка диаграммы F.8) не является точной.
6*. Для всякого ли окрестностного ретракта X сферы 5" группа
Ип-\Х является свободной (абелевой)? Читателю, желающему
поломать голову над этой задачей, мы советуем обратиться
к работе Шпекера [1].
7. Теорема Жордана, инвариантность области
Локально постоянная функция A-^-HnSn постоянна на каж-
каждой компоненте связности множества А. Следовательно, «раз-
«размеры» множества ТА дают информацию о числе компонент
связности множества А. Уточним это высказывание.
7.1. Лемм а. Пусть А — подмножество сферы S". Ранг(см. I. 2.29)
группы ГА равен числу с (А) компонент связности множества
А (с (А) — целое число или оо; если бы мы хотели различать
бесконечные кардинальные числа, то лемму следовало бы фор-
формулировать иначе).
Доказательство. Пусть А = А{{] ... [} Аг — разложение
множества А в объединение непустых попарно непересекаю-
непересекающихся относительно открытых множеств. Подгруппа Гг сг ТА
функций, постоянных на каждом At, изоморфна группе Z© . . .
... © Z = г • Z, и потому rank (Г) ^ rank (Гг) = г. Если с (А) = оо,
мы можем сделать г сколь угодно большим и потому rank (Г) = оо.
Если с(Л)<оо, можно найти разложение с г = с{А), в котором
каждое Л,- связно, так что в этом случае Гг = Г и, следова-
следовательно, гапк(Г) = г. []
7.2. Предложение (теорема Жордана). (а) Если подмноже-
подмножество X сферы Sn гомеоморфно шару В", то множество Sn — X
связно, т. е. с (Sn — X) = 1.
(b) Если подмножество X сферы Sn гомеоморфно сфере Sn~\
то множество Sn — X имеет две компоненты, т. е. c(Sn — X) = 2.
Доказательство. Сейчас мы увидим (см. замечание
после леммы 7.3), что X — окрестностный ретракт. А тогда,
в силу 7.1 и 6.5,
c(Sn — X) = rank Г(Sn — X)=l + rankf (Sn — X) =
= 1 + rank//„_,*,
как и утверждалось. []
7.3. Лемма (ср. 8.5). Пусть A<^N — замкнутое подмножество
нормального пространства N, и пусть f: Д—»• X — непрерывное
отображение.
100 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
(a) Если X еомеоморфно шару Вп, то f можно продолжить
до непрерывного отображения h: N~*X.
(b) Если X гомеоморфно сфере S", то f можно продолжить
до непрерывного отображения g: V -*¦ X, где V — некоторая
окрестность множества А в N.
Считая лемму доказанной, положим N—Sn, А — Х (как
в предложении 7.2) и / = id. Продолжение отображения /, су-
существующее по лемме, является тогда ретракцией, и потому
X — окрестностный ретракт.
Для доказательства леммы зафиксируем гомеоморфизм
В"«[0, 1]Х...Х[0, 1] = [0, 1]". Тогда отображение в шар В"
можно представить как набор п функций со значениями в [0, 1].
Такие функции можно продолжить с Л на N в силу теоремы
Титце; это доказывает утверждение (а). Для доказательства
утверждения (Ь) рассмотрим / как отображение в шар Вп (это
возможно ввиду включения Sn'l<zzBn), выберем его продолже-
продолжение h: N->Bn, положим V = h~l (вп — {0}) и определим g(z)
формулой g{z) = h(z)l\\h{z)\\. Q
7.4. Предложение (инвариантность области). Если X — от-
открытое подмножество пространства Rn и f: X -> Rn — непрерыв-
непрерывное взаимно однозначное отображение '). то множество f (X) cz Rn
также открыто. Другими словами, каждое непрерывное взаимно
однозначное отображение f: X-+R" открыто.
7.5. Следствие. Если X — открытое подмножество простран-
пространства R", X ф 0 и g: X -> Rm — непрерывное взаимно однознач-
однозначное отображение, то т^п.
Действительно, в противном случае отображение f: X ->
-> R'" X R™ ~m = R", определяемое формулой f(x) = (g(x), 0), также
взаимно однозначно, но имеет неоткрытый образ / (X) cz
cz R X R" m ==R". Это уточняет наш прежний результат, что
евклидовы пространства разных размерностей не могут быть
гомеоморфными.
Доказательство предложения 7.4. Пусть Р^Х;
зафиксируем е>0 так, чтобы шар Be = {х е R'l|||P — лгЦ^е}
содержался в X, и положим Se1 = {д:е Bi\\\Р — дг|| = е}. Из
взаимной однозначности / и компактности Be следует, что
fBe^aBe^Bn и fSe'^S"'1. В силу предложения 7.2, множество
') Т. е. отображение, переводящее разные точки в разные, це путать
с взаимно однозначным соответствием. — Прим. перев.
8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 101
Rre - fBne связно, а множество Rn—fS2~l=f (fiJf-ST1) U (Rn~fBn)
имеет две компоненты. Поскольку множество f (в% — S%"') связно,
оно долл<но быть компонентой множества Rn ~ fS"~\ а так как
последнее открыто, множество f(B% — Se1) также должно быть
открытым в R". Наконец, формула fP ef(Be — S?~l) a fX по-
показывает, что каждая точка множества fX содержится в }Х
вместе с некоторой окрестностью; таким образом, множество fX
открыто. Q
7.6. Упражнения. 1. Не существует взаимно однозначного
непрерывного отображения Sn-*Rn.
2. Пусть Cfe с R2 — окружность радиуса l/k с центром в точке
@, l/k), и пусть Ar = U Ск, г = 2, 3, .... Докажите, что если
множество А с S2 гомеоморфно Ап г^°о, то множество S2 — А
имеет г компонент.
3. Пусть a: 5re~1->R" —непрерывное взаимно однозначное
отображение. Компонента множества Sn — a(S"~'), содержащая
точку оо, называется внешностью множества aSn~l, а другая
компонента — внутренностью. Покажите, что число вращения
отображения а (см. 6.12, упр. 2) равно ± 1 для каждой внут-
внутренней точки и 0 для каждой внешней точки.
8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR)
Результаты § 6 побуждают нас предпринять более тща-
тщательное изучение подмножеств евклидовых пространств, явля-
являющихся окрестностными ретрактами. Здесь мы получим несколько
простых результатов о таких множествах. Будет показано,
в частности, что свойство быть окрестностным ретрактом в ев-
евклидовом пространстве топологически инвариантно, и приведено
несколько критериев того, что пространство (с точностью до
гомеоморфизма) этим свойством обладает.
Ясно, что открытые множества являются окрестностными
ретрактами и что окрестностные ретракты окрестностных рет-
рактов сами являются окрестностными ретрактами. Не всякое
подмножество пространства R" является окрестностным ре-
ретрактом: для этого оно должно быть локально замкнутым (8.1)
и локально стягиваемым (8.7), и этих свойств уже достаточно
(8.12).
8.1. Предложение. Если IcR" есть окрестностный ретракт,
то X имеет вид С {]О, где С — замкнутое, а О — открытое мно-
жества.
102 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
Доказательство. Пусть О — открытое множество, ре-
трактом которого является X. Ретракцию можно рассматривать
как отображение г: О-+О, и ясно, что X = {Р е О \гР = Р};
из этого описания видно, что X замкнуто в О, и, таким обра-
образом, Х = Х(]О. Q
Множества вида С П О называются локально замкнутыми.
Их всегда можно реализовать как замкнутые подмножества
евклидовых пространств. Более точно, имеет место следующее
утверждение:
8.2. Лемма. Каждое локально замкнутое подмножество X про-
пространства Rn гомеоморфно замкнутому подмножеству прост-
пространства Rn+l.
Доказательство. Пусть О cr R(t — открытое множество.
Тогда формула
;: О -* R" X R, / (Р) = (Р, W (P, Rn - О)),
где d — расстояние, определяет вложение / множества О в R"+!
(обратным отображением является проекция (Р, t)\—>P), образ
которого замкнут; последнее видно из равенства jO = {(Q, t)<=
eR"XR I t-d(Q, Rn— O) = l}. Если множество X cz О замк-
замкнуто в О, то множество jXt&X замкнуто в /О и, следова-
следовательно, в R"+I. []
8.3. Лемма. Следующие свойства множества X cz Rn эквива-
эквивалентны:
(i) X локально замкнуто (т. е. X = С (]О, где С замкнуто,
а О открыто);
(ii) каждая точка пространства X имеет такую открытую
окрестность U в Rn, что пересечение X П U замкнуто в U;
(ш) каждая точка пространства X имеет компактную окрест-
окрестность в X, т. е. X локально компактно.
Так как (ш) есть внутреннее свойство множества X, отсюда
вытекает
8.4. Следствие. Если множество X czRm локально замкнуто
и множество Y czRn гомеоморфно X, то множество Y локально
замкнуто. []
Доказательство леммы 8.3. (iii)=#(ii). Пусть Р^Х.
Выберем компактную окрестность К точки Р в X; тогда К = X Л V,
где V — некоторая окрестность точки Р в R". Положим U = V;
очевидно, пересечение Xf\U — K(]U замкнуто в U,
8. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 103
(ii)=^(i). Выберем для каждой точки Ре! ее окрестность
U— Up, _обладающую свойством, указанным в (и). Очевидно,
X()U = Xr\U, и потому Х = Х(] (\JUP\ = \J(X[)Up) =
= Xf\ (\}UpY, таким образом, X обладает свойством (i).
(i)=Miii). Пусть Х = С[]О, и пусть Р е X. Выберем ком-
компактную окрестность К точки Р в пространстве R". Тогда К П X =
= К П С — компактная окрестность точки Р в X. []
Замечание. Пространство R" в лемме 8.3 можно заме-
заменить любым локально компактным пространством (ср. Бурбаки
[1, I. 9.7]).
8.5. Предложение и определение. Если X czRm — окрест-
постный ретракт и множество Y czRn гомеоморфно X, то У—
окрестностныи ретракт. Другими словами, свойство быть окрест-
ностным ретрактом евклидова пространства является внутрен-
внутренним, т. е. не зависит от вложения. Будем говорить, что топо-
топологическое пространство У является евклидовым окрестностным
ретрактом (ENR), если существует окрестностныи ретракт
X d R", гомеоморфный У. Любое другое множество X' с= Rk,
гомеоморфное Y, также будет окрестностным ретрактом. На-
Например, сфера S"—ретракт пространства Rn — {0} и шар
Вп — ретракт пространства R". Следовательно, любое подмно-
подмножество пространства Rk, гомеоморфное Srt~' или Вп, является
окрестностным ретрактом (ср. 7.3).
Доказательство, В силу предположений относительно X,
имеются отображения X—*-U—*-Х с n = id и открытое вло-
вложение /: U—*-Rm; в частности, X локально замкнуто (8.1).
Далее, имеется гомеоморфизм h: YmX, следовательно, и Y ло-
локально замкнуто (8.4), т. е. У = С П О — замкнутое подмно-
подмножество открытого множества О. Согласно теореме Титце, су-
существует непрерывное отображение g: O-*-Rm с g\Y=jih;
множество g~lU открыто (в О и потому в R"), a h~xrg; g~lU ->Y
есть ретракция. []
8.6. Предложение. Пусть X есть ENR. Пусть, далее, f0,
f, : У -> X — отображения, такие, что /01В = /, | В для некоторого
Б с У. Тогда существуют открытая окрестность W множества В
в У и гомотопия в: fo\W~fi\W, такие, что Qt\B = f0\B при
любом t.
Доказательство. Имеются отображения X—*-0—*-Х,
где О открыто в R" и ri = id. Обозначим через W подмножество
104 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
множества У, составленное из таких точек г/еУ, что О цели-
целиком содержит прямолинейный отрезок, соединяющий ifo{y)
с ifx (у). Ясно, что множество W открыто и содержит В. Гомо-
топию в: W X [О, 1]->Z мы определяем формулой @(y,t) =
=-r[(l~t)ifo(y) + tifl(y)]. U
Например, две проекции /0, /^ XXX —> X совпадают на
диагонали B=={(xi, х2)^ ХУ[ X\xi=x2}; заключение предложе-
предложения 8.6 в этом случае описывает свойство так называемой рав-
равномерной локальной стягиваемости. Упражнение: сведите пред-
предложение 8.6 к этому частному случаю.
8.7. Следствие. Если В с X и каждое из пространств В, X
есть ENR, то В — окрестностный ретракт пространства X (это
очевидно). Если г. V—*¦ В— такая ретракция, то В имеет такую
открытую окрестность W в V, что включение /: W—>V гомо-
гомотопно отображению i (r | W), где i — включение В -> V.
Например, в случае, когда В — точка, здесь утверждается,
что пространство X локально стягиваемо. Вообще говоря, в след-
следствии утверждается, что В — «почти окрестностный деформа-
деформационный ретракт». Для доказательства следствия можно счи-
считать окрестность V открытой (в этом случае V есть ENR) и
применить предложение 8.6 к отображениям fo = ir, /1 = idv. (J
Если мы хотим узнать, является ли данное пространство X
евклидовым окрестностным ретрактом, то сначала нам нужно
выяснить, можно ли вложить X в Rk (с каким-нибудь k), а за-
затем, будет ли получающееся подмножество Y пространства R*
окрестностным ретрактом. Мы дадим сначала полезные, хотя
и довольно грубые ответы на эти вопросы (8.8, 8.10) и затем
укажем некоторые более тонкие результаты (8.9, 8.11, 8.12).
8.8. Предложение. Если хаусдорфово пространство X допу-
допускает конечное открытое покрытие локально компактными мно-
множествами Xt, i — l, 2, ..., г, каждое из которых гомеоморфно
некоторому подмножеству евклидова пространства, то X само
гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству евклидова
пространства.
Доказательство. Выберем вложения ht: Z^-^R' с зам-
замкнутыми образами h[Xt', это возможно в силу лемм 8.3 и 8.2.
Определим отображения
Ht: X-*Smi=Rmi\}{oo}, HilXi^ht, #,(*-*,) = «>.
Они непрерывны: если А — замкнутое подмножество сферы Sm',
не содержащее точки оо, то множество ЯГ1 (Л), гомеоморфное
ЛП/гДг, компактно, а потому замкнуто; если же оо <= А, то
5. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 105
множество Hi ' (Sm« — А) = hi' (Sm« — А) открыто в Xt и по-
потому открыто в X, и его дополнение, а именно Я,Г'(Л), замк-
замкнуто в X. Из непрерывности отображений Ht следует, что ото-
отображение
г
H = {Ht}: X^IIS'"icRlv(.V = r-f ?«,), HP={HXP, ...,HrP)
непрерывно; более того, так как Н\ — вложения пространств Xt,
то Н — вложение пространства Ц Xt = X. Поскольку простран-
i
ство НХ да X локально компактно, оно локально замкнуто
в RN (8.3) и потому замкнуто в RN+l (8.2). []
8.9. Замечание. Заключение предложения 8.8 справедливо
и в случае, когда хаусдорфово пространство X покрыто после-
последовательностью Хь i = \, 2, ..., локально компактных откры-
открытых множеств, каждое из которых гомеоморфно некоторому
подмножеству фиксированного евклидова пространства. В самом
деле, X является счетным объединением компактных подмно-
подмножеств и имеет конечную размерность по покрытиям (ср. Гуревич
и Волмэн [1, гл. V]); благодаря этому доказательство предложе-
предложения 8.8 можно модифицировать, как это сделано, например,
Босом [1]. Более тонкие теоремы вложения можно найти в упо-
упомянутой выше книге Гуревича и Волмэна [1, гл. V].
8.10. Предложение (ср. Ханнер [1, теорема 3.3]). Если
хаусдорфово пространство X покрыто открытыми множествами
Хо, ..., Хг и каждое Xt есть ENR, то само X есть ENR.
Доказательство. Очевидно, можно ограничиться слу-
случаем г = \ и, в силу 8.8, считать X замкнутым подмножеством
пространства R". Пусть rt: Ог->Хь / = 0, 1, — окрестностные
ретракции (О{ открыто в R"). Положим О01 —г~1 (^0П ^])П
П г (Х0П ^|); тогда г0, г,: О01—>Х0Л^[ — окрестностные ретрак-
ретракции. Так как пересечение Х0[}Х1 есть ENR (это пересечение
открыто в Хо), окрестность Ош содержит открытую окрест-
окрестность Uol множества Х0[)Хи в которой эти ретракции гомотопны,
и, более того, существует связывающая их гомотопия rt: UOi-+
—>XQ[]Xi с t~i | X() (~| Xi == id (cm. 8.6).
Пусть UQ a O0, Uxa0x — открытые окрестности множеств
X — Хь X — Хо, замыкания которых не пересекаются (такие
окрестности существуют в силу замкнутости множеств X — Xt),
и пусть т: R"-> [0, 1] —такая непрерывная функция, что т |{У0=0,
r\U1 = l (например, %Р = d(P, U0)/{d{P, Uo) + d{P, Ux)), где
d — расстояние). Положим U = U0\jUi [)U0l. Это — открытая
106 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
окрестность множества X, и отображение р: U—>X, определяе-
определяемое формулами
Р I С/о = г01 С/о, р|С/1 = г1|С/1, р(Р) = гХР(Р) при РеС/01,
является ретракцией. []
8.11. Замечание. Как и предложение 8.8, предложение 8.10
со
распространяется на счетные объединения Х= ]J Xt. Действи-
Действительно, предположим, что каждое пространство Х{ гомеоморфно
окрестностному ретракту некоторого фиксированного простран-
пространства Rn. Тогда, в силу замечания 8.9, имеется вложение X—>Rk.
Последовательность {Xt} можно сделать локально конечной,
после чего теорема доказывается бесконечной, но локально
конечной индукцией, шаг которой составляет доказательство
предложения 8.10. Более тонкий результат, принадлежащий,
по существу, Борсуку (см. также Ханнер [1, теоремы 5.1 и 4.2]
или Куратовский [1, гл. VII, § 48, IV]), заключается в сле-
следующем.
8.12. Предложение. Если подмножество X пространства R"
локально компактно и локально стягиваемо, то X есть окрест-
ностный ретракт и потому ENR.
Мы дадим лишь набросок доказательства. Ввиду локальной
компактности множества X ложно считать его замкнутым в R"
(см. 8.3, 8.2). Разложим R" — X на выпуклые клетки; точнее
говоря, выберем кубическую решетку L в R" (ср. V. 3.4) и ее
последовательные измельчения U, L", ... (например, разделим
пополам образующие векторы решеток L, L', ...). Среди откры-
открытых n-кубов решеток L, V, ... рассмотрим те, замыкания
которых лежат в К" — X и которые среди кубов, обладающих
этим свойством, максимальны; назовем их допустимыми. Их
замыкания покрывают R" — X и пересекаются только по граням
меньшей размерности. (Открытый) куб размерности k решеток
L, U, ..., 0^.k < n, называется допустимым, если он является
гранью допустимого «-куба той же самой решетки и среди
fe-кубов, обладающих этим свойством, максимален. Каждая
точка множества Rn — X лежит тогда в некотором допустимом
кубе и имеет окрестность, пересекающуюся только с конечным
числом допустимых кубов.
Для каждого k = 0, ..., п определим теперь подмножество Ak
пространства R"~ X и отображение pfe: Ak->X, такое, что Ak
будет объединением множества Ak-\ с некоторым количеством
допустимых А-кубов, а сужение р^|ЛА_, будет равно pA_l4
В качестве Ло мы возьмем множество всех допустимых 0-кубов
5. Евклидовы окрестностные ретракты (ENR) 107
(вершин) и для аеЛ0 определим Ро(я) как некоторую точку
множества X, расстояние до которой от а минимально. В ка-
качестве Ak возьмем объединение множества А^-\ со всеми допу-
допустимыми й-кубами е, граница которых ё — е лежит в Ак-Ъ
и такими, что отображение p^_i продолжается до отображения
Ak—i\je->X. Выберем такое продолжение ре: Аи—\\}е->Х, что
диаметр множества ре{ё) близок к минимальному (меньше
удвоенного значения нижней грани всех диаметров продолже-
продолжений), и определим pk формулой pk \ Ak~1 [} е = ре. Наконец, по-
положим V — Ап[) X и определим р: V ->X формулами р|Л„ = р„,
Тогда р есть окрестностная ретракция. Действительно, не-
непрерывность сужения р|Л„ = р„ очевидна (множество допусти-
допустимых кубов локально конечно). Для точки Pel и ее шаровой
окрестности W выберем шаровые окрестности W = W2n zd
zd W2n-\ ^ • • • zdWxzdWq точки P в X, такие, что окрест-
окрестность Wj стягиваема в Wi+x и имеет радиус, не превосходящий
одной десятой радиуса окрестности 1F/+1. Пусть U — шаровая
окрестность точки Р в пространстве R", имеющая радиус
не более одной десятой радиуса окрестности Wo. Положим
Uo = A0(]U и определим по индукции Uk как объединение Uk-X
с теми допустимыми й-кубами из U, граница которых лежит
в Uk—\. В силу минимальности, р (Uo) cz Wo. Сделаем индуктив-
индуктивное предположение, что pk определено на Uk и pk (Uk) cz W2k.
Если е есть (k -f- 1)-куб, лежащий в U^+i, то отображение pk
продолжается до отображения Uk\je->W2k+1czX, поскольку
множество W2k стягиваемо в множестве W2k+\- Следовательно,
отображение pk+i определено на е; более того, в силу минималь-
минимальности, pk+l (ё) cz W2k+2- При k = n мы получаем, что р опреде-
определено на Un и р (Un) cz W. Наконец, Un\j X — окрестность точки Р
в R" (допустимые кубы, замыкания которых покрывают точку Р,
лежат в [/„), а потому отображение р определено в окрест-
окрестности точки Р и непрерывно в этой точке. []
8.13. Упражнения. 1. Пусть X есть ENR. Докажите, что
для любого нормального пространства Y и его замкнутого
подмножества А всякое непрерывное отображение f: А -> X
продолжается на некоторую окрестность множества А (в Y).
Пространство X, обладающее таким свойством, называется
абсолютным окрестностным ретрактом (= ANR), так что ENR
есть ANR. Обратно, всякий локально компактный сепарабель-
ный метризуемый ANR конечной размерности есть ENR (ср.
Гуревич и Волмэн [1, гл. V]).
2. Пусть X есть ENR (ANR). Покажите, что для любого
бинормального пространства Y (т. е. такого, что произведение
108 Гл. IV. Применения к евклидову пространству
Y X [0, 1] нормально), любого его замкнутого подпространства Л
и любой пары Fo, Л: Y-+X гомотопных на А отображений
существует такая окрестность V множества А, что Fa | V гомо-
гомотопно F1\V; на самом деле любую гомотопию FQ\Acs± FX\A
можно продолжить на окрестность множества А.
3*. Говорят, что пара Y а X удовлетворяет аксиоме распро-
распространения гомотопии (HEP), если выполнено следующее условие:
для любого отображения F: X-+Z и любой гомотопии dt: Y ->Z,
такой, что do = F\Y, существует такая гомотопия Dt: X—>Z,
что Do —F и Dt\Y = dt. Докажите, что если X есть ENR,
то пара Y сг X удовлетворяет HEP тогда и только тогда, когда
У — замкнутый окрестностный ретракт пространства X.
4. Пространство X называется локально п-связным, если
любая окрестность V любой точки РеХ содержит такую
окрестность W этой точки, что любое отображение S!—>W
с j^n допускает продолжение B1 + [->V. Ясно, что локально
стягиваемые пространства являются локально «-связными для
всех п. Проверьте, что доказательство предложения 8.12 исполь-
использует лишь локальную (п — 1)-связность (и локальную компакт-
компактность) пространства X. Эти свойства для множества X cz Rn
влекут за собой, следовательно, локальную стягиваемость.
5*. Если A cz X — пара ENR и А компактно, то фактор-
пространство Х/А (полученное из X отождествлением всех точек
множества А) также есть ENR. Указание: выберите замкнутое
вложение h: X — A—>Rn и продолжите его до отображения
Н: X-+Sn, положив ЯЛ —оо. Для компактного X оно инду-
индуцирует вложение XjAczSn, и из предложения 8.12 следует, что
Х/А — окрестностный ретракт. Для некомпактного X сначала
вложите пространство V/A, где V — компактное множество,
содержащее окрестность множества А.
6*. Если Аса X — пара ENR и А замкнуто в X, то проекция
Х-+Х/А индуцирует изоморфизм Н(Х, А)^ Н (Х/А). Это можно
доказать, используя следствие 8.7 и теорему о вырезании. Более
прямое доказательство использует пределы и вырезание (ср.
VIII. 6.12 и 6.20).
ГЛАВА V
Клеточные разбиения и клеточные
гомологии
I. Клеточные пространства
Часто оказывается возможным разложить пространство X,
гомологии которого требуется вычислить, на простые части,
гомологические свойства которых уже известны, и извлечь
из этого информацию о группах НХ. Поучительным примером
является разбиение надстройки на два конуса (III. 8.16, пример 3).
В этом параграфе мы изучим общий класс разбиений, называе-
называемых клеточными, и покажем, как с их помощью можно упро-
упростить вычисление групп НХ. Наиболее важными среди клеточных
разбиений являются так называемые CW-разбиения, которыми
мы и займемся в последующих параграфах.
1.1. Определение. Фильтрацией топологического простран-
пространства X называется последовательность подпространств Хп с= X,
neZ, такая, что X" cr Xn+i при всех п. Фильтрация назы-
называется клеточной, если
(i) Н,(Хп, Хп'[) = 0 при 1фп;
(и) SX= U SX",
т. е. каждый сингулярный симплекс пространства X лежит
в некотором Хп. В частности, X = [) X'1 (поскольку SQX = U S0Xn).
Пространство, наделенное клеточной фильтрацией, называется
клеточным пространством.
Непрерывное отображение f клеточного пространства X в кле-
клеточное пространство У называется клеточным, если / (Хп) с: Yn
при любом п. Клеточные пространства и клеточные отображе-
отображения, очевидно, образуют категорию.
Например, если X — пространство и л: X—>R— непрерывная
функция, то множества Хп = {х е X \ л (х) ^ п) составляют в X
фильтрацию. Условие (п) при этом выполнено, что же касается
условия (i), то оно требует дополнительных предположений
относительно п. Примеры такого типа важны в дифференциаль-
дифференциальной топологии, в частности в теории Морса (см. Милнор [5]).
Другие примеры будут даны в § 3.
1.2. Определение. Для каждого клеточного (или даже просто
фильтрованного) пространства X положим WnX = Нп(Хп, Х"'1)
110 Гл. V, Клеточные разбиения и клеточные гомологии
и определим гомоморфизм дп: WnX~>Wn-\X как композицию
нп(хп, ха-1)±*нп-1ха 1-*нп^(хп-1, х'1-2).
Тогда (?„-!<?„ = 0, так как уже композиция
равна нулю. Следовательно, WX = {WnX, dn}nf=z есть комплекс;
он называется клеточным комплексом пространства X. Клеточ-
Клеточное отображение f: X~>Y очевидным образом индуцирует цепное
отображение Wf: WX--+WY, так что W представляет собой
ковариантный функтор из категории клеточных пространств
и клеточных отображений в категорию дзФ'З комплексов.
1.3. Предложение. Для любого клеточного пространства X
имеется естественный изоморфизм
в:
1.4. Замечания. Может создаться впечатление, что Х~1
играет в предложении 1.3 особую роль. Но из гомологиче-
гомологических последовательностей соответствующих троек следует, что
Н{Х, Х~1)^Н (X, X'2) ?= Н (X, Х~3) as .... ибо Я (Хп, Хп~1) = О
при п < 0. Во многих последующих примерах Х~{ будет пусто.
Определение комплекса WX применимо к произвольным
фильтрованным пространствам (не только к клеточным), но
в общем случае HWX^?.H(X, X~l). Однако между группами
{Hp(Xq, Xq~1)} и НХ всегда существуют определенные связи,
которые обычно выражаются спектральной последовательностью,
ассоциированной с точной парой {НР{ХЧ, Хч~1), НРХ4} или
с фильтрованным комплексом {SXP}; см. Ху Сы-цзян [1].
В клеточном случае указанная спектральная погледовательность
сходится и вырождается, и следующее далее доказательство
предложения 1.3 есть в действительности не что иное, как вы-
вычисление этой спектральной последовательности (ср., например,
Годеман [1, I. 4.4]).
1.5. Лемма. Нп(Х", Xq) — 0 при p^q^n и npun>p^q.
Доказательство проводится индукцией по р — q. При
р — q = 0 утверждение тривиально. При р — q > 0 гомологиче-
гомологическая последовательность тройки (Хр, Xq+\ Xq) содержит отрезок
Нп(Х"+\ Xq)->Hn(Xp, Xq)-»Hn(Xp, Xq+l).
/ Клеточные пространства
111
Левый член равен нулю в силу 1.1 (i), правый член равен нулю
по предположению индукции; следовательно, средний член также
равен нулю, как и утверждалось. []
1.6. Лемма. Нп(Х, Х") = 0 при q^n.
1.7. Следствие. Нп (X", Хг) ~ Нп (X, Хг) при q>n uq>r.
Следствие вытекает из леммы 1.6 и гомологической после-
последовательности тройки (X, Xя, Хг).
Доказательство леммы 1.6. Возьмем [г]ЕЯ„A, Xя),
где zeSnX — представляющий (относительный) цикл. Поскольку
5Z = |JSZ/', существует такое p^q, что z<^SnXp; следова-
следовательно, [z] e im [Нп(Хр, Х4)^- Нп(Х, X4)], последняя же группа
тривиальна согласно 1.5. []
Доказательство предложения 1.3. Возьмем /
и рассмотрим диаграмму
О > Нп(Х", Хк) — -г-»HJX", X"-1) —^—> Нп_,(Хп~\ Хк)
A.8)
о
в которой оба столбца и средняя строка являются отрезками
точных гомологических последовательностей соответствующих
троек; все нули в диаграмме возникают в силу леммы 1.5. Оба
треугольника коммутативны в силу естественности оператора <Э„.
Далее,
Нп{Х, Xk) ^ Нп(Хп+\ Хк) в силу 1.7
в силу точности левого столбца
в силу мономорфности /„
в силу точности строки
в силу мономорфности /„
ker (dj/im {дп+1)
ker (/A)/im {dn+i
112 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
Таким образом, HnWX е* Нп(Х, Х~1) при я > О,
H0WXe*H0(X, Х~2)^Н0(Х, Х~1) и HnWX = 0 = На(Х, X'1)
при я < 0, так как WnX = 0. []
Иногда полезно иметь описание изоморфизма в: HnWX ^
^ Н (X, Х~:) в терминах представляющих цепей. Его легко по-
получить из доказательства предложения 1.3: пройдя последова-
последовательность изоморфизмов снизу вверх, мы приходим к следую-
следующему заключению.
1.9. Предложение. Если класс y^HnWX (я^О) предста-
представляется циклом
ze=ZnWX<= Нп{Хп,Хп~1),
то геЯлA",А'"~') представляется цепью Z,<=SnXn с d? e
eVi(^"') {здесь используется точность строки в диаграмме
A.8); следовательно, ? является п-циклом пространства Xmod X~l.
Его гомологический класс [5]еЯпAД~') совпадает с в (у). []
1.10. Упражнения. 1. Для любого клеточного пространства X
и любого целого m определяется новое клеточное пространство
(Х,пг), называемое m-остовом пространства X: (X, т)п — Хп при
я<т, (X, т)п = Хт при п^т. Как топологическое простран-
пространство {X, т) совпадает с Хт. Поэтому часто вместо {X, т) пишут
Хт. Двойственным образом можно определить т-коостов (ш, X),
положив (tn,X)n = Xm при n^tn, (m,X)n — Xn при п^т.
2. Пусть X = Sk, P е X, k > 0; покажите, что следующие
фильтрации клеточны:
, D . . f 0 при п < 0,
| Р при п < к, .
IS
! при я < 0, Г 0 при я < 0,
Р при 0 < я< k, (d) Zrt = < Sn при 0 < л < k,
lk при я >/г;
здесь S^^gS'U^O при я<г<^}.
3. Для клеточного пространства Jf положим VпХ = (| s
eSrtZ'J|^eSZ'1~1}. Покажите, что l/J = {VnJ} - подкомплекс
комплекса SX, содержащий SX~\ и что
) s Я (SJ/SA "!) = Н (X, X ')•
2. CW'-пространства 113
Пусть р: VnXISnX~l -> WnX = Н (Хп, Хп~1) - отображение, отно-
относящее цепи ее гомологический класс. Покажите, что отобра-
отображение р является цепным и что р„: H^VX/SX'1)-* HWX есть изо-
изоморфизм. Докажите также, что изоморфизм в предложения 1.3
совпадает с i^p*1 (см. Шуберт [1, IV. 3.4]).
Следствие. Если комплекс WX свободен, то существует есте-
естественная с точностью до гомотопии гомотопическая эквивалент-
эквивалентность 9: WX~S(X, X~l).
2. CW-пространства
Наиболее полезными для теории гомологии клеточными раз-
разбиениями являются ClF-разбиения, введенные Дж. Г. К. Уайт-
хедом в 1949 г. Здесь они используются в основном для вычи-
вычислений; в действительности их роль в топологии, в частности
в теории гомотопии, гораздо более значительна. В этом пара-
параграфе мы изучим ClF-пространства с точки зрения общей топо-
топологии; их гомологические свойства рассматриваются в § 3.
2.1. Определение. Пусть X — хаусдорфово пространство;
CW-разбиением пространства X называется семейство <S под-
подпространств пространства X, удовлетворяющее следующим
далее условиям (i) — (v):
(i) Х = U е, ефе'=$е[\е'=0,
ее?
т. е. <$ есть покрытие пространства X попарно не пересекаю-
пересекающимися множествами.
(П) Каждое множество ее^ гомеоморфно некоторому евкли-
евклидову пространству RleL
Число | е | однозначно определено (в силу инвариантности раз-
размерности; см. IV. 2.3); оно называется размерностью е. Мно-
Множества ге^, гомеоморфные Rn, являются п-клетками, а объеди-
объединение Хп = П е есть п-остов ClF-разбиения.
\еУ<п
(iii) Для каждой п-клетки ее^ существует непрерывное ото-
отображение Фе: (Вп, Sn~l)^(Xn~l[}e, Xn~l), гомеоморфно отобра-
отображающее Bn—Sn~l на е. Здесь, как обычно, Вп = {х е R" 11| х || <! 1}
есть я-шар и Sn~l = {хе Вп \\\х\\= 1} есть (я—1)-сфера.
Это условие уточняет условие (п): кроме того, что клетка е
гомеоморфна пространству R" « В" — Sn'\ требуется, чтобы су-
существовал гомеоморфизм, который непрерывно продолжается
114 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомогогии
на границу Sn~l. На границе 5"~' отображение Фе уже не обя-
обязано быть гомеоморфизмом, а лишь
Отображение Фе называется характеристическим для клетки е,
а фв = Фв |S"~': S"~' —»¦ Хп~] называется приклеивающим отобра-
отображением для е (это название объясняется предложением 2.9).
Во многих важных примерах множество В конечно {конечное
CW-разбиение) и кроме условий (i) — (Hi) ничего не требуется.
В общем же случае должны выполняться еще два условия:
(iv) Замыкание каждой клетки содержится в конечном объе-
объединении клеток.
(v) Подмножество A cz X замкнуто (в X) тогда и только тогда,
когда для любой клетки ее^ множество А[\ё замкнуто в ё.
Эквивалентное условие: отображение f\ X-*Y непрерывно, если
непрерывны все сужения f\e.
Обозначение CW образовано из первых букв английских
названий этих двух последних условий — (iv) Closure finiteness
(конечность замыкания) и (v) Weak topology (слабая топология).
Хаусдорфово пространство X, наделенное CW-разбиением <%,
называется CW -пространством (в литературе чаще используется
термин «ClF-комплекс»). Размерность dim X CW-пространства Х
определяется как наименьшее целое п, такое, что Хп = X; если
такого п не существует, то полагают dimZ = oo.
Для данного подмножества <$"с<§? положим X'= TJ е.
Если ё" является CW-разбиением пространства X', то {X', &')
называется CW-подпространством CF-пространства [X, &)\ часто
мы просто будем говорить, что «X' есть ClF-подпространство
пространства X».
Теперь мы приведем несколько основных свойств C\F-npo-
странств.
2.2. Пусть Ф: Вп^>Х — характеристическое отображение, соот-
соответствующее клетке ее<?\ Тогда ё = Ф(Вп). (Замечание: в до-
доказательстве не будут использоваться свойства (iv) и (v).)
Доказательство. Так как отображение Ф непрерывно,
ф (В) = Ф {В — S) с= Ф {В — S) = ё. Обратно, так как В ком-
компактно, то Ф{В) компактно и потому замкнуто {X — хаусдор-
хаусдорфово); значит, ёаФ(В). []
2.3. Пусть <?' с: <? — конечное множество клеток. Тогда простран-
пространство Г= U е является CW-подпространством в том и только
2. CW-пространства 115
том. случае, если X' замкнуто. Следствие: конечные объеди-
объединения и произвольные пересечения конечных (т. е. имеющих ко-
конечное число клеток) CW-подпространств являются CW-подпро-
CW-подпространствами. (Мы увидим в 2.7, что это свойство обобщается
на произвольные Сй^-подпространства.)
Доказательство. Если X' есть С№-подпространство,
то для каждой клетки е пространства X' имеется характеристи-
характеристическое отображение Ф: В->Х' и потому ё = Ф{В)с X'. Следо-
Следовательно, X' — U ё замкнуто. Обратно, если X' замкнуто и
Ф: В—>Х — характеристическое отображение, соответствующее
клетке еаХ', то Ф(В) = ёсХ'; поэтому Ф(В) = X'. Тем самым
для X' доказано условие (Hi); условия (i) и (ii) очевидны. []
2.4. Замыкание ё любой клетки содержится в конечном CW-
подпространет ее.
Доказательство проводится индукцией поп = |е|. Из
условия (Hi) и предложения 2.2 мы видим, что ё — е с 1"~ ,
т. е. ё — е пересекается лишь с клетками размерности < п, ска-
скажем се, ег; их число конечно в силу (iv). По предполо-
предположению индукции каждое замыкание ё( лежит в некотором ко-
конечном CW-подпространствеХ,-; следовательно, ёсе (J Xx \}X2 U ••.
... U Хг, последнее же объединение является CW-пространством-
ввиду 2.3. []
2.5. Подмножество А а X замкнуто тогда и только тогда, когда А
пересекает каждое конечное CW-подпространство по замкнутому
множеству, т. е. X обладает слабой топологией по отношению
к конечным CW-подпространствам.
Это следует из (v), поскольку каждое ё лежит в конечном
ClF-подпространстве. []
2.6. Каждое компактное множество К сг X содержится в конеч-
конечном CW-подпрост ранет ее. В частности, пространство X компактно
тогда и только тогда, когда оно состоит из конечного числа клеток.
Доказательство. Для каждой пересекающейся с/С клетки е
выберем по точке ke^e(]K. Множество k, состоящее из всех
точек ke, замкнуто, потому что его пересечение с любым конеч-
конечным С^-подпространством конечно (и, значит, замкнуто). По
тем же причинам каждое подмножество множества k замкнуто;
следовательно, k дискретно. Но k также и компактно, так как
оно является замкнутым подмножеством компактного множе-
множества К- Следовательно, k конечно, т. е. К пересекает лишь ко-
конечное число клеток, и доказываемое утверждение следует из
2.3 и 2.4. Q
116 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
2.7. Предложение. Пусть <%'<=.& — некоторое множество
клеток. Положим X' = у е. Следующие утверждения эквива-
лентны:
(a) X' есть CW-подпространство;
(b) X' замкнуто;
(c) есГ^ёсГ.
Следствие: произвольные объединения или пересечения CW-
подпространете являются CW-подпространствами.
(Для объединений надо использовать эквивалентность (аLФ(с),
для пересечений — эквивалентность (аLФ(Ь).)
Доказательство предложения 2.7. Импликация
(Ь)=ф(с) очевидна, импликация (а)=Ф(с) следует из 2.2. Предпо-
Предположим, что выполнено (с), и докажем
(d) Если подмножество А а X' таково, что для любой клетки е
из X' пересечение ё{]А замкнуто в ё, то А замкнуто в X.
Полагая А = Х', мы получаем, что (с)=#(Ь); считая А про-
произвольным, мы получаем, что (X'', &') удовлетворяет условию
2.1 (v). Так как выполнение условий 2.1 (i), (H) и (iv) для
(X',&') очевидно, а (ш) следует из 2.2, то (с)=Ф(а).
Чтобы доказать (d), обозначим через Ха произвольное ко-
конечное ClF-подпространство пространства X. Тогда пересечение
Ха П X' состоит из конечного числа клеток, скажем еь ...,ег, и
et сХа[)Х', поскольку Ха замкнуто и выполнено (с). Следова-
Следовательно, пересечение
замкнуто, и, значит, А замкнуто в X (см. 2.5). []
2.8. Пусть &'c<S — произвольное множество п-клеток. Тогда
X' — Хп~х U TJ е замкнуто, т. е. является CW-подпространством.
В частности, остовы. Хп~1 являются CW-подпространствами (до-
(достаточно взять ё" — 0) и п-клетки е открыты в Хп (достаточно
взять в качестве <$' множество п-клеток, отличных от е).
Это следует из 2.7, поскольку X' удовлетворяет условию (с)
(см. 2.2 и 2.1 (Ш)). []
2.9. Предложение. Пусть <?1 с:$ — множество i-клеток.
оо
Рассмотрим © (Ж1 X В*), где © обозначает топологическую сумму
1=0
и S1 снабжено дискретной топологией (это пространство является
в таком случае топологической суммой стандартных шаров в ко-
2. CW-пространства 117
личестве, равном числу клеток в X). Для каждой клетки eel
выберем характеристическое отображение Фе: В1е1-*Х и рас-
рассмотрим отображения
со
(а) Ф: @(&1ХВ1)-»Х, Ф(е,у) = Фе(у) Для (е, г/)е{е}Х#е1;
1=0
п
(Ь) Ф": 0 (#' X В1) -> Xй, Ф" = Ф
i=0 i-Q
п)
X я');
(с) Ф(л): Zn~1©(<^"XS'l)->^n. Ф"|Я"""' — включение,
ф(п) | (.г х в")=ф ! («"* х ?п).
Утверждение: Эти отображения являются факторными. Таким
образом, X может быть склеено из стандартных шаров, а Хп
может быть получено из Хп~х приклеиванием стандартных
я-шаров {е} X Вп да Вп посредством приклеивающих отображе-
отображений фе = Фе\ Sn~l.
Доказательство. В силу 2.1 (v), отображение /: X~>Y
непрерывно, если сужение f \ё непрерывно для любой клетки е.
Так как отображение Фе: В^е^—>ё является факторным (см. 2.2),
то для непрерывности отображения f достаточно, чтобы для
всех е были непрерывны композиции /Фе, т. е. чтобы была не-
непрерывна композиция /Ф. Это и означает, что Ф факторно. Ана-
Аналогичное утверждение для Ф" можно получить, заменив в этом
рассуждении X остовом X". Далее, можно представить Ф" в виде
композиции
Ф": 0«"' X В1 Ф"~'Ш1 Хп~х ©{%пXВ11) -^1 Х\
i—Q
а потому отображение Ф(л> (являясь второй составляющей фак-
факторного отображения) факторно. []
Верна и обратная теорема:
2.10. Предложение. Пусть {Х',<%') есть CW-пространство
с dimZ/<rt, и пусть (ф^: Sn~l —*¦ X'}ke_A —семейство непрерыв-
непрерывных отображений. Положим 86 = J'©(A X В), где К наделено
дискретной топологией, и отождествим каждую точку {К, у) е
еЛ X Sn~l <^8? с ipjjlel'c 86. Обозначим, далее, через X
полученное пространство и через Ф: 86 —> X естественную проек-
проекцию. Тогда множества Ф(е) с е<=3" и ек = Ф {{X} X Вп) с X <= Л
образуют CW-разбиение пространства X, AimX^n, Xn~l =
= Ф (X') да X' и отображение Вп да {X} X Вп -*¦ X является харак*
теристическим для п-клетки е%.
118 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
Это предложение позволяет строить С^-пространства ин-
индуктивно, начиная с дискретного пространства Х°.
Доказательство. Если A cz X' замкнуто, то множество
ф-'ф (Л) = (Г П Ф"'Ф (A)) U (А X Вп П Ф~'Ф (Л)) =
= A U (Ф | (Л X Sn-l))~l ФА = A U (LI {А} X Ф.-'Л)
тоже замкнуто, а потому замкнуто и ФЛ (в силу определения
факторной топологии); значит, Ф\Х': Х'-+ФХ' — замкнутое ото-
отображение. Поскольку оно к тому же непрерывно и взаимно одно-
однозначно, оно гомеоморфно отображает X' на Ф(^'). Аналогично
если О сз Л X Вп открыто, то Ф~'Ф (О) =0, откуда следует, что
множество Ф(О) открыто и, следовательно, Ф гомеоморфно ото-
отображает ЛХЙ" на Ф (Л X В"). Это доказывает условие 2.1 (ii).
Более того, это показывает, что композиции характеристических
отображений, отвечающих клеткам пространства X', с отобра-
отображением Ф дают характеристические отображения для клеток
размерности меньше п и что отображение Вп & {к} X Вп--> X
является характеристическим для я-клетки ех. Таким образом,
условие 2.1 (in) выполнено.
Покажем теперь, что X хаусдорфово. Для каждой пары
точек Р, Qsf, такой, что Ф (Р) ф Ф (Q), мы должны найти
такие непересекающиеся открытые окрестности U, V а 36, что
ф~1Ф1! = 1!, Ф~1Ф1/ = 1/; тогда ФО, ФУ будут непересекаю-
непересекающимися окрестностями точек Ф (Р), Ф (Q). Если Р, Q е X', то Р, Q
обладают непересекающимися открытыми окрестностями U', V
в X', и мы полагаем
V = V U {{К х) е Л X Ва 11[ х || > О, Ф, (-^) е У' }.
Если РеГ, Q = (А,о, х0) е Л X -8", мы полагаем
V = {(I, х) е АХВп \\\х\\<± A +IU0||)}.
о
Если же Р, Q е Л X В , то в качестве С/, V можно взять какие
угодно непересекающиеся открытые окрестности, содержащиеся
в ЛХВ".
2. CW-пространства 119
Теперь перейдем к проверке условия (iv). Оно очевидно для
клеток размерности < п. Для я-клетки ек
(см. 2.2). Так как множество cpl(Sn~1) d X' компактно, оно пе-
пересекается лишь с конечным числом клеток (см. 2.6) и ёк пе-
пересекается с теми же клетками плюс еще одна. Наконец, чтобы
доказать (v), предположим, что некоторое множество A cz X
пересекает замыкание каждой клетки "по замкнутому множе-
множеству. Тогда пересечение Ф~1 (А)[\ X'ж А[)Ф(Х') замкнуто, по-
поскольку Ф (X') есть CW-пространство. Далее, множество
(ф-'Л) П ({М X В") = Ф-1 [А П Ф ({А} X Вп)] П ({Я} X Вп)
замкнуто для каждого 1еЛ, потому что А П Ф ({к} X Вп) =
= А П ё^ замкнуто по предположению, а Ф непрерывно. Из того,
что 36 является топологической суммой множеств X' и {1}ХВп,
следует, что Ф~1А замкнуто. Следовательно, А замкнуто в фак-
факторной топологии. []
2.11. Предложение. CW-пространства нормальны. В дей-
действительности они даже паракомпактны; ср. Мнядзаки [1] или
Мезер [1] ')•
Доказательство. Пусть А, В — непересекающиеся замк-
замкнутые множества в CW-пространстве Х. Мы должны найти
функцию р: Z->[0, 1], такую, что р|Л=0, р|й = 1. Мы по
индукции определим функции р„: X" —>[0, 1], п = 0, 1, ..., та-
такие, что рп|ЛГия = 0, р„|ВП^п = 1, pnl^"=pn-i, а затем
определим р равенством p|Zn = ptt.
Предположим, что уже построена функция рп-ь я>0 (на-
(начальная функция ро очевидна). Для каждой я-клетки е возьмем
характеристическое отображение Фе: (вп, Sn~[)-+(Xn, Xn~l) и
выберем функцию ре: В"->[0, 1] с
такая функция ре существует по теореме Титце о продолжении
отображений. Теперь определим функцию р„ формулами
pjr-^p»-,, р„Фе = Ре. D
Мы закончим этот параграф техническим результатом, ко-
который понадобится в § 4 гл. V.
') См. также Постников М. М., О паракомпактности клеточных поли-
полиэдров, УМН, 20, вып. 5 A25), A965), 226—230. —Прим. перев.
120 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
2.12. Предложение. Пусть X есть CW-прост ранет во, YczX—
его CW-подпространство и М а Хп — (Xn~l (J У) — множество,
которое пересекает каждую п-клетку пространства X — У ровно
в одной точке. Тогда Xn~l\}Y является сильным деформацион-
деформационным ретрактом множества Xй (J У — М.
Доказательство. Для каждой n-клетки е а X — Y вы-
выберем характеристическое отображение Фе: Вп->Хп, такое, что
Фе@) = МЛе. Требуемая деформация D: I X (Xn[)Y — М)-+
-> X" U У — М задается тогда формулой
(х, если x<=Xn~l[}Y,
D(t, x) = \ <De [(I — 0 С -4- ^ -irlf-]' если * = Фв@. ^в"-{0),
I
т. е. она оставляет Xn~l [}Y неподвижным, а проколотые п-клетки
е — М выталкивает по радиусам на границу. Остается лишь
проверить, что деформация D непрерывна. Так как У непо-
неподвижно (и У X I замкнуто), достаточно доказать непрерывность
сужения D |(/ Х(Хп — М)). Рассмотрим факторное отображение
ф(П). хп-{@(&пХВп)-^Хп из предложения 2.9 (^"-множе-
(^"-множество всех я-клеток).
Отображение id ХФ(я): / X 1хп~10 («"" X Вп)~\ -> / X Хп также
факторно, поскольку / компактно (см. 2.13); следовательно,
и его сужение / X (Ф^) (Хп - М)->1 X (Хп - М) является
факторным отображением (это следует, ввиду замкнутости М,
из определения фактортопологии). Теперь ясно, что отображе-
отображение 3>: I X (Ф(A))"' {Хп - М) -» (Ф<"))-' (Хп - М), определяемое
формулой
( I, если 6е(Ф'я>)ип~'иУ),
3>(t, 1) = \ Ф{п)[е, A — 0 S + ^ -jrfy]. если | = (е, 5) е Шп X
I Х(В"-{0}), е^У,
непрерывно, a D|/X(^" — ^W) получается из 2D факториза-
факторизацией. Q
2.13. Лемма. Если Ф: А -» В — факторное отображение и С —
локально компактное {хаусдорфово) пространство, то произве-
произведение 16ХФ: СХЛ->СХВ также является факторным ото-
отображением.
Доказательство (Д. Эпштейн). Мы должны доказать
следующее: если множество U cz С X В таково, что V =
2. CU?'-пространства 121
= (id X Ф) ' U открыто, то U открыто. Пусть (с, b) e U; выбе-
выберем (с, a)eF с Фа — Ь. Каждая окрестность точки с содержит
компактную окрестность (ср. Шуберт [1, 1,7.5]); в частности,
с обладает такой компактной окрестностью Л", что К X {«}cz V.
Пусть W = {x<=A\KX{x}<=V} = {x\KX{®x}<=U}. Ясно,
что W открыто и что Ф(Ф\^) = Ц7; следовательно, и CDW от-
открыто (отображение Ф факторно). Отсюда следует, что U со-
содержит некоторую окрестность точки (с, Ь), а именно /СХФИ7-
Итак, множество U открыто. []
2.14. Упражнения. 1. Пусть XzdY — пара хаусдорфовых
пространств. Т'orда CW-разбиением пространства XmodY назы-
называется множество & непересекающихся клеток в X, объедине-
объединение которых совпадает с X — Y, и при этом выполнены сле-
следующие условия: (iii) каждая n-клетка ее^ допускает харак-
характеристическое отображение {Вп, Sn~1)—>{Xn-i \je, Xn~l\ где
Xn~x = Y U U e\ (iv) замыкание ё каждой клетки лежит в
\е\<п
объединении конечного множества клеток и Y; (v) подмножество
Лс! замкнуто тогда и только тогда, когда каждое из мно-
множеств {АС\ё}ее.^, A(]Y замкнуто. Тройка (X, Y; <?) называется
относительным CW -прост ранет во м. Обобщите предыдущие резуль-
результаты на относительные Сй^-пространства.
2. Пусть (X, <§) есть ClF-пространство; рассмотрим фактор-
факторное отображение
Ф: @
(=0
из 2.9 (а). Покажите, что следующие утверждения эквивалентны:
(i) Ф замкнуто; (и) X локально компактно; (iii) каждая точка
множества X обладает окрестностью, которая является конеч-
конечным С^-пространством.
3. Покажите, что каждое CW-подпространство Y CW-npo-
странства X имеет открытую окрестность в X, для которой Y
является сильным деформационным ретрантом. Это доказы-
доказывается многократным применением предложения 2.12. Нам уже
известно, что Хп~1 [}У является сильным деформационным ре-
трактом множества Xn\}Y—Mn, где М = Мп, как и в предло-
предложении 2.12, есть множество центров n-клеток в 1-У, Пусть
г„: XnU Y - Мп-^ X"-1 [)Y - ретракция, и пусть V0 = Y, Vn =
оо
= Гп1 (Vn~\) при п > 0. Тогда V = U Vn открыто в X и отобра-
жение г. V->X, r\Vn = rxr2 ... гп является сильной деформа-
122 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
ционной ретракцией (чтобы доказать последнее утверждение,
удобно использовать в качестве параметризующего интервала
деформаций отрезок [0, оо] и поместить заданную деформацию
Vnc^Vn-x в [я —1, я]; проверять непрерывность нужно только
на конечных остовах, т. е. на V„ X [0. °°] )•
В действительности это построение доказывает больше: если
W cz Y, то r\r~'W: r~{W->W есть сильная деформационная
ретракция (и если W открыто в Y, то r~lW открыто в X). Кроме
того, если W открыто в Y, то каждая окрестность U множе-
множества W в X содержит открытую окрестность Va множества W,
для которой W является сильным деформационным ретрактом.
В самом деле, в качестве ]/и можно взять множество таких
u<=r~'W, что путь, описываемый v при деформации, содер-
О
жится в U.
Следствие 1. Каждая клетка CW-пространства X обладает
в X открытой окрестностью, для которой она является сильным
деформационным ретрактом. Действительно, каждая клетка
открыта в некотором CW-подпространстве пространства X. Так
как каждая точка лежит в какой-нибудь клетке, то мы полу-
получаем
Следствие 2. Каждая точка CW-пространства обладает от-
открытой окрестностью, для которой она является сильным дефор-
деформационным ретрактом.
3. Примеры
3.1. Нульмерное ClF-пространство— это то же самое, что ди-
дискретное пространство. Одномерное С ^-пространство X часто
называют графом.
3.2. Сфера Sn = {x<= Rn+l \\\x\\ = l} допускает CTF-разбиение на
одну нульмерную клетку <?° = @, 0, ..., 1) и одну я-клетку
en = Sn — e°. Стандартное отображение я: (вп, Sn~[)->(Sn, e°),
описанное в IV. 1.1, является характеристическим для е'г. Дру-
Другое С№-разбиение сферы S" имеет по две /-клетки е%, el для
каждого /, О^г^я, а именно
е\ = {х <= Sn | хп = хп-х = . .. = xi+l = 0, xt > О},
eL = {x^Sn\xn = xn-l= ... =д;, + 1=0, xt < О}.
Это разбиение обладает тем преимуществом, что оно инва-
инвариантно при антиподальном отображении А: лгн-s» — х, а именно
3. Примеры 123
Характеристическое отображение Ф+: В1 ->• S4 для е+ задается
формулой
ф+(у3, уи ¦¦¦, ?/«-i) = Oo, .... yt-u + д/i ~ Z #/> ° °)'
а для ?'„ — формулой Ф'1 = Лоф«+.
3.3. CIF-разбиение я-шара Вп получается из любого CW-разбие-
ния граничной сферы Sn~l добавлением одной rt-клетки еп =
= В'1 = В4 — Sn~l. Тождественное отображение шара Вп является
характеристическим для еп. В частности, мы можем разбить
шар Вп на три клетки е°, еп~], еп.
Симплекс Д„, который гомеоморфен шару Вп, разбивается
на клетки e'°ll'"lk, 0 <г0 < h < h < ••• <h^n, где
е'A"'' = {хеАл|х,о, хи, ..., xik > 0, х1л +xl{+ ... -\-xik = \).
Если мы отождествим Д& с Вк, то линейное отображение
Ф'о ¦••'*: А|%-»-А„, переводящее v-ю вершину ev e Aft в ^еД„,
является характеристическим для el°'"'k. Это CW'-разбиение
симплекса А„ инвариантно относительно линейных отображений
ДП->Д,7, переставляющих вершины. Замкнутые множества
ё'° '•• '* = im(O!°'" !&) называются k-гранями симплекса А„;
всего их Cnt! штук.
3.4. Каждый базис Ъх, Ьъ ..., Ьп векторного пространства R"
определяет CW-разбиение (решетку) пространства Rn, й-клет-
ками которого служат множества
где ^eZ — произвольные целые числа, a tv — такие целые
числа, что 1 </,</,< ... <Jfe<n. Отображение [О, 1]*->К",
определяемое формулой (^, ..., 4) *—> J]/'A + S ^v^tv> является
характеристическим для е1,1'";k (при этом мы отождествляем
[О, l]fe с Bk). Если базисные векторы 6Й взаимно ортогональны и
имеют одинаковую длину, то все клетки являются кубами [ку-
[кубическая решетка).
3.5. Если F — тело, то проективное п-прост ранет во PnF, п
определяется как множество всех одномерных линейных под-
Пространств (левого) векторного пространства Fn+ . Каждый
124 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
ненулевой вектор (|0 ln) e Fn+X порождает одномерное под-
подпространство, которое мы обозначим через [?0, ..., ?„]. Ска-
Скаляры ti называются однородными координатами подпростран-
подпространства [1о, ..., Уе PnF; они определены с точностью до общего
(левого) множителя Я, принадлежащего F* = F — {0}, мульти-
мультипликативной группе тела F. Поэтому мы можем считать, что PnF
получается из Fn+l — {0} отождествлением пропорциональных
векторов: PnF = (fn+1 — @})/f* — множество орбит группы F*
в Fn+l-{0}.
Если F — поле вещественных чисел R, поле комплексных
чисел С или тело кватернионов Н, то Fn+l ~ {0} есть тополо-
топологическое пространство и мы можем наделить
факторной топологией; пусть я: Fn+i — {0}—>PnF — естествен-
естественная проекция. Покажем, что пространство РпР хаусдорфово.
Пусть | = [|о, ..., |„], 11 = ho, •••> -П„1 — две различные точки
пространства PnF. Тогда существуют такие индексы i, j, что
пары (?ь lt) и (г},, т)у) не пропорциональны. Мы можем предпо-
предположить, что ?г, щ — вещественные числа; тогда g;r|/—g^r|? =^= 0
(это определитель, если F = R или С; то же самое верно, если
F = H, поскольку в этом случае ?ь ¦% лежат в центре тела Н).
Пусть V (соответственно W) состоит из всех таких точек
? = [?о, • ¦ •, Уе PnF, что || Ijli — Zilj II меньше (соответственно
больше), чем ||?/ть ¦—?*t|/II; тогда n~'V, n~'W — непересекаю-
непересекающиеся открытые множества, откуда следует, что V, W — непе-
непересекающиеся окрестности точек \, ц.
Каждое одномерное подпространство пространства Fn+1 пе-
пересекает сферу S(n+1)d~1 = {*«=y:in+1 |||jc || = l}, где d = dim{F)=
= 1, 2 или 4. Поэтому р„ = it |S(n+I)d~] отображает сферу
у р„ р фру
i на все ПрОСТранство pnF, и, так как сферы компактны,
рп является даже факторным отображением; оно называется
отображением Хопфа. Итак, PnF можно получить из sin+l) "'
отождествлением точек, которые отличаются только (левым)
множителем Я е F*; абсолютная величина этого множителя
должна быть равной 1, т. е. ^е^, откуда PnF«
« S(n+I)rf-1/Sd~1- пространство орбит группы Sd~l в &а+1)а-1.
В частности, пространство PnF компактно. В случае F = R сфера
5 ~l=S° состоит из двух чисел +1, —1; таким образом, PnR
получается из S" отождествлением антиподальных точек.
3. Примеры 125
CW-разбиение пространства PnF производится следующим
образом. Положим
в* = {[1о, • •-, ln}^PnF\h^Q, l, = 0 при j>k),
k = 0, 1, .... п.
Итак, ek получается из PkF = {| | ?;- — О для />&} выбрасыва-
выбрасыванием бесконечно удаленной гиперплоскости Aй = 0). Следова-
Следовательно, ек гомеоморфно аффинному пространству FkfaRdk; го-
гомеоморфизм задается следующим образом:
[?о> •••> iJ'—^dft So, ..., Sft Sfc-i)-
Ясно, что PnF = e°\Je1 U ... lie" есть разбиение пространства PnF
на непересекающиеся клетки размерностей 0, d, Id, ..., nd\
остается построить для ек характеристическое отображение
Ф*: Bdk-+PnF. Отождествим Bdk с {ze=/=*|||z|Kl} и опреде-
определим Ф*: Bdk->PnF формулой
C.6) Фк (z0, .... zft_!) -*» [z0, z,, ..., zA_,, 1 - II z ||, 0, ..., 0].
Композиция (Bdk — Sdk~l)—>ekttFk переводит (z0, ..., zk-{)
в (zo/(l —IIz\\), ..., zk-i/(l — ||z||)) и является, очевидно, гомео-
гомеоморфизмом (см. IV. 1.2); таким образом, Ф* есть характеристи-
характеристическое отображение.
Интересно отметить, что характеристическое отображение
Ф": Bdn-+PnF имеет своим образом все PnF и потому является
факторным. Приклеивающее отображение Фп s^" совпадает
с отображением Хопфа р„_,: (z0, ..., zn-\) i—> [z0, ..., г„_,].
Таким образом, PnF можно получить из шара Bdn отождествле-
отождествлением точек его границы Sdn~\ которые отличаются лишь мно-
множителем AgS^^'c/7*. В частности, PJR. получается из шара Вп
отождествлением антиподальных точек на его границе 5".
3.7. Пусть X есть CW-прост ранет во и X'czX есть CW'-подпро-
CW'-подпространство. Тогда факторпространство X" = Х/Х' (которое полу-
получается отождествлением всех точек множества X') наследует
от X CW-структуру и естественная проекция р: X —> X" отобра-
отображает клетки в клетки,. Точнее, если &' a<S — множество всех
клеток в X', то 8" = [X'} U {р (е) | е «= 8 — %'} является CW'-раз-
CW'-разбиением пространства X".
Доказательство. Пространство X" хаусдорфово. Дей-
Действительно, если Р^Х"~{Х'}, то, поскольку пространство
нормально (см. 2.11), существует такая функция т: Х->[0, 1],
126 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
что т(р-'Р) = 0, т | X' == 1. Переход к факторпространствам по-
порождает функцию х"\ Х"->[0, 1], которая разделяет Р и {X'}.
Если Р, Q — различные точки в Х" — {Х'}, то р~'Р, p~'Q имеют
непересекающиеся окрестности V, W в X — X'; следовательно,
множества pV, pW являются непересекающимися окрестностями
точек Р, Q. Если Ф: Вп —>Х — характеристическое отображение
для клетки e<=!f — &', то отображение рФ является характе-
характеристическим для р(е); этим доказано условие 2.1 (ш). Очевидно,
что конечность замыкания клеток в X сохраняется и для X",
Наконец, если AczX" пересекает каждое замыкание р(е) =
= рФе(Бп), еЕ?-г^', по замкнутому множеству, то р~'Л пе-
пересекает каждое объединение X' \]Фе{Вп) по замкнутому мно-
множеству. Следовательно, р~1А замкнуто, а значит, и А замкнуто;
этим доказано условие 2.1 (v). []
Например, множество PkF = {[t0, ¦¦-, 1Л] ^ ЛгЛ ?/= О Для
/ > k), k^.n, является CW-подпространством пространства PnF
(см. 3.5); факторпространство PnFjPkF называют усеченным
проективным пространством. Оно разбивается на клетки е°,
ек+{ еп размерностей 0, d (k + 1), .. ., dn, где d = 1, 2, 4
при F = R, С, Н. Если k = n—l, то PnF\Pn-xF « Sdn (ср. 3.2).
3.8. Если {Xf}k^ v — семейство CW-пространств, то топологиче-
топологическая сумма Х= ф Xi снова является С\^-пространством; это
Age Л
очевидным образом следует из определений. Если е\ — нуль-
нульмерная клетка в Хх, то X' = у е\ есть (дискретное) CW-nojx-
пространство пространства X. Факторпространство Х/Х' есть
букет (ср. III. 7.2, упр. 2) пространств Х% (с отмеченными точ-
точками efy, X\X' — V Х%. В частности, букет CW'-пространств
(с нульмерными клетками в качестве отмеченных точек) снова
является CW-пространством.
3.9. Если X, Y — пространства с ClF-разбиениями ¦& = {а},
$ — {Ь}, то ^Х^={аХ6} есть разбиение пространства ZXT
на непересекающиеся клетки. Является ли это разбиение CW'-раз-
CW'-разбиением? Аксиомы 2.1@ —(iv) легко проверяются; легко по-
понять, что (X X У)п = U X' X У'^ и что произведения характе-
i+i-n
ристических отображений являются характеристическими (при
этом приходится отождествлять В1 X В1 с Bt+t). Отсюда сле-
следует, в частности, что на наш вопрос можно дать утверди-
утвердительный ответ, если X и Y компактны. Однако в общем случае
наше разбиение не удовлетворяет аксиоме 2.1 (v) (см. упр. 5).
Оказывается все же, что она выполняется, если одно из про-
3. Примеры 127
странств X, Y локально компактно. Таким образом, если одно
из пространств X, Y локально компактно, то «s/ X ^ есть
CW-разбиение.
Доказательство. Пусть Фа: В|а|-*Х, фь: ^'6'__„j^ —
характеристические отображения для aei, b<=^$. Нам надо
доказать, что отображение
{ФаХФь}: ©B|a|X?m->*Xi/
а, Ь
является факторным (в силу 2.2, это равносильно условию 2.1 (v);
см. также доказательство утверждения (а) предложения 2.9).
Это отображение разлагается в композицию
Первая стрелка является факторным отображением, потому
что ©В161 локально компактно (и {Фа} факторно); вторая
стрелка является факторным отображением, если X локально
компактно (см. 2.13). Этим все и доказано, так как композиция
факторных отображений факторна. []
3.10. Единичный отрезок [0, 1] компактен и имеет ClF-разбиение
[0, 1] = {0} U {1} U @, 1). Если X — произвольное CW-пространство,
то, в силу 3.9, цилиндр [0, 1] X X есть ClF-пространство с клет-
клетками {0} X е, {1}Хе, @, 1) X в, где е пробегает все клетки про-
пространства X. Надстройка SZ получается из [0, 1]Х^ стягива-
стягиванием каждого из CW-подпространств {0} X X, {1}Х^ в точку.
В силу 3.7, она имеет CW-разбиение на клетки @, 1)Хе и две
нульмерные клетки {0} X X, {1}Х^.
3.11. Упражнения. 1. Так же, как в упр. IV. 2.4, обозначим
через Dh пространство, полученное из 2-сферы выбрасыванием
внутренностей п-\- 1 непересекающихся кругов, т. е. проделы-
проделыванием /г+1 дырок. Отождествим соответствующие точки гра-
граничных окружностей двух экземпляров пространства Dh. Полу-
Полученное пространство Sh называется ориентированной поверх-
поверхностью рода п. Покажите (например, индукцией по К), что Sh
допускает CIF-разбиение, состоящее из одной нульмерной
клетки, 2/г одномерных клеток аи ..., ah, bu ..., bh и одной
двумерной клетки е2, причем отвечающее е2 приклеивающее
отображение q>: S'-»Sj, устроено следующим образом: окруж-
окружность S1 делится на 4/г равных последовательных дуг аь рь
aj~, PJ", ..., ай, Рй, ад, р~; дуги аг аГ линейно отображаются
(но с противоположными ориентациями) на at, и то же самое
делается для рг, р~^ Ьг
128
Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
Очевидно, образ отображения ф есть все S/,; следовательно,
Sh получается из В2 отождествлением точек границы S1, имею-
имеющих один и тот же ф-образ (см. рис. 8). Покажите, что S0~S2,
S^S'X-S1. Сравните это и следующее упражнение с § 37—38
книги Зейферта и Трельфалля [1].
2. Так же, как в упр. 1, обозначим через Dk—i 2-сферу
с k дырками, где k > 0. На граничных окружностях каждой
дырки отождествим антиподальные точки. Полученное простран-
пространство Pk называется неориентируемой поверхностью рода k. По-
Покажите, что Рк допускает ClF-разбиение, состоящее из одной
Рис. 8.
Рис. 9.
нульмерной клетки, k одномерных клеток аь ..., ак и одной
двумерной клетки е2, приклеивающее отображение которой опи-
описывается символом а1а1а2а2 ... аАаА (аналогично упр. 1). Сле-
Следовательно, Рк получается из В2 отождествлением точек на
границе, как это показано на рис. 9. Покажите, что Р, да P2R.
3. Пусть nq — группа комплексных чисел
f-Q
I
(это — циклическая группа порядка q с образующей t=einilq).
Группа nq действует на сфере S2n~' ={геС" |l|z|| = l} посред-
посредством обычного скалярного умножения. Пространство орбит
L2qn~l =S2n~'/jt? (полученное отождествлением z с tz) называется
линзовым пространством. Покажите, что следующие клетки об-
образуют ClF-разбиение сферы S2", которое инвариантно отно-
относительно действия группы nq и индуцирует поэтому С№-раз-
биение пространства L2qn~l;
0
для
P2k+l _
j>k, arg B^) = r -y },
•' ViI
0 1
для j>k, r^
1, k = 0, 1, ..., n-1
4. Гомологические свойства CW-пространств 129
Вообще, если (/ь ..., ln—i)— числа, взаимно простые с q, то
формула ф0, .... zn_,) = (fe0, /''г,, ..., г'»-'^.-,) определяет
действие группы nq на S2". Пространство орбит L2qn~l(lu..., ln-{)
также называется линзовым пространством. Постройте его
ClF-разбиение подобно тому, как это сделано выше.
4*. Произведение s&X^l двух счетных ClF-разбиений снова
есть CW-разбиение (см. Милнор [1, лемма 2.1]). Если X =
= V [0, 1] — букет несчетного множества единичных отрезков
(отмеченная точка 0), то X X X не является CW-пространством
(см. Даукер [1, § 5]).
4. Гомологические свойства CW-пространств
В этом параграфе мы покажем, что фильтрация CW-upo-
странства X его остовами Хп является клеточной, дадим явное
описание клеточных цепных групп WnX и выведем некоторые
следствия для НХ.
4.1. Предложение. Пусть X — произвольное CW-простран-
CW-пространство, YczX — его CW-подпространство (в частности, Y может
быть пусто). Положим Ху = Хп[)У (в частности, Xy = Y для
п < 0). Пусть Му^(Ху — ГГ') — множество, пересекающее ка-
каждую п-клетку пространства X — Y ровно по одной точке. Тогда
Hi \Ху, Ху ) = Hi \Ху, Ху — Му) =
~ uAy1}. y>}.~1 y'.1. у?.~' мУ-Л ~-
D> ' ' п если 1фп,
n{X — Y), если i = n,
где суммирование ф распространяется на все п-клетки е из
$п(Х — Y), т. е. на множество п-клеток пространства X — Y, и
Z&n {X — Y) является свободной абелевой группой, порожденной
множеством S (X — Y).
В частности, {Ху} является клеточной фильтрацией множе-
множества X (ср. 2.6), и гомологии Н(Х, У) = Н(Х, ХуХ) естественно
изоморфны (см. 1.3) гомологиям клеточного комплекса W (X, Y),
где Wn (X, Y) = Нп (Хпу, ХГ') ^ Z&n (X - Y).
Доказательство. Первый изоморфизм имеет место, по-
поскольку Ху~1 является деформационным ретрактом множества
Ху — My (см. 2.12), второй—ввиду аксиомы вырезания (см. III. 7.4),
третий — потому, что Ху — Ху~1 есть несвязное объединение
открытых n-клеток ee^'(Z — Y), и четвертый — потому что
Hie, е- My) s*H (Rn, R" - 0) s (Z, n). Q
130 гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
4.3. Следствие. Если X — компактное CW-пространство, то
группы HtX являются конечно порожденными для всех i и
Н((Х) = 0 для i>dimX. Более общо, если Yс: X — такое
CW-подпространство, что X — Y содержит только конечное число
п-клеток (соответственно не содержит п-клеток), то группа
Нп(Х, Y) конечно порождена {соответственно Нп(Х, F) = 0).
В самом деле, уже группа Wn(X, Y) конечно порождена
(соответственно тривиальна), и Нп(Х, Y) = HnW(X, Y). []
4.4. Следствие. Если (X,Y) — napa CW-прост ранет в, то
естественная проекция р: (X, Y)-^-(X/Y, {Y}) индуцирует изомор-
изоморфизм
p.: H(X, Y)s*H(X/Y, {Y)) = H(X/Y).
В самом деле, в силу 3.7, X/Y является CW-пространством
и р является клеточным отображением, которое гомеоморфно
отображает клетки пространства X — Y в соответствующие
клетки пространства X/Y — {Y}. Так как W(X, Y) зависит лишь
от клеток в X — Y (см. третий изоморфизм в D.2)), мы полу-
получаем, что Гр: W{X, Y)->W(X/Y, {Y}) есть изоморфизм. Q
4.5. Следствие. Если (X, Y), [X', Y') — napa CW-прост ранет в
и /: (X, Y)—>(X', Y') — непрерывное (не обязательно клеточное)
отображение, превращающееся при факторизации в гомеоморфизм
f: X/Y~->X'/Y', то /„: Н(Х, Y)-*H{Xr, Г) есть изоморфизм.
Это — сильная теорема о вырезании. Она непосредственно
следует из 4.4. []
4.6. Следствие. Если X — произвольное CW-пространство и
Хи Х2<^Х — его CW-подпространства, то триада (X; Хи Х2)
является вырезаемой (см. III. 8.1).
Действительно, включение (Хи Х1Г\Х2)-*-(Х1[)Х2, Х2) удо-
удовлетворяет предположениям следствия 4.5 и потому индуцирует
гомологический изоморфизм. []
4.7. Предложение. Если X — произвольное CW-пространство
и Z<^Y — его CW-подпространства, то включения (У, Z) -»
—> (X, Z)-+(X, Y) индуцируют точную последовательность
0-^W(Y, Z)->W(X, Z)-*W{X, У)-*0
цепных отображений. Связывающий гомоморфизм йл этой по-
последовательности преобразуется под действием изоморфизма
в: HW(X, Y)~>H(X, Y) из предложения 1.3 в обычный связы-
связывающий гомоморфизм д, тройки (X, Y, Z) (ср. III. 3.4).
Доказательство. Точность следует из третьего изомор-
изоморфизма в D.2), поскольку {Xnz-Xr') = {Yz-Yz')
4. Гомологические свойства CW-пространств 131
несвязное объединение. Чтобы доказать равенство д„@ = Ш,,
мы используем предложение 1.9. Из него следует, что каждое
y<=HnW{X, Y) обладает представителем ?<=5,Д? с <3?<=Sn-iF
и что Qy = [?] для каждого такого ?• Отсюда следует, что dt,
представляет dty, откуда в (d,y) = [d?] e Hn-{ (Y, Z). Но и
[д?]=дЛ?] по самому определению д„; следовательно, 5%e = 0rf,. Q
4.8. Пример (ср. 3.5). Проективные пространства PnF,
над телами F = R, С, И допускают CW-разбиения PnF =
= e°Ue'U ••• \]еп на клетки размерностей 0, d, 2d,..., nd, где
d — d\mF=l, 2, 4. В случае F = C, И не существует нечетно-
мерных клеток. Следовательно, W2i + \(PnF) = 0, а потому гра-
граница д тривиальна на W(PnF), откуда в свою очередь вытекает,
что HPnF = WPnF, т. е. если F = С или Н, то
( Z, если j = О, d, Id, ..., nd,
D.9) Я,(/УО=1 п
(, U в остальных случаях.
Для того чтобы вычислить гомологии вещественных проективных
пространств PnR, мы должны определить граничный оператор
д. Wj—*-W]—u это будет сделано в примере 6.13. Но даже не
зная д, мы можем утверждать, что каждая группа HjPnR цик-
лична, поскольку она является факторгруппой подгруппы
циклической группы.
Включения i: PnF —>PmF с n^m клеточны. В действитель-
действительности PnF является [d(n + 1) — 1]-остовом пространства PmF.
Поэтому индуцированное отображение клеточных комплексов
является изоморфизмом до размерности (п-\-I) d — I (включи-
(включительно). Следовательно,
D.10) /,: H,PnF?*H,PmF при / < (п + \)d - 1, п <т.
Аналогичные утверждения справедливы для усеченных про-
проективных пространств (см. 3.7); мы предоставляем читателю
сформулировать и доказать их в качестве упражнений.
Пространства, являющиеся ретрактами Сй^-пространств, на-
наследуют некоторые их гомологические свойства. Например,
имеет место
4.11. Предложение. Если Y есть компактный ENR {евклидов
окрестностный ретракт; см. § IV.8), то группа НtY конечно поро-
порождена при всех i и тривиальна для достаточно больших i.
Доказательство. Мы можем предположить, что Y с: R".
Пусть Y—*¦ О—*¦ Y — окрестностиая ретракция, ri —id. Выбе-
Выберем решетчатое разбиение пространства Rn (см. 3.4), настолько
мелкое, что каждая замкнутая клетка, пересекающаяся с У,
132 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
лежит в О. Обозначим через X объединение замкнутых клеток,
пересекающихся с У. Тогда X лежит в О, содержит Y и является
компактным СИ^-пространством, а сужение r\X: X-+Y является
ретракцией. Следовательно, группа HY является прямым слагае-
слагаемым группы НХ (ср. III. 4.15), и утверждение следует из 4.3. []
4.12. Упражнения. 1. Если {ZjleA — семейство CW-npo-
странств с отмеченными точками е°х е X°v то, в силу C.8),
букет X = V Хх тоже является Сй^-пространством. Покажите,
что W {X, е°) =* ф W (Xk, е\), где е° е= Х° - отмеченная точка
Л
букета. Из этого следует, что НХ ^ ф
2. Связный граф F =^ 0 называется деревом, если множе-
множество F — е несвязно для любой 1-клетки е a Y. Покажите, что
каждое дерево стягиваемо. Покажите, что каждый граф X со-
содержит дерево Y с Y° = X° (постройте Y, начиная с нульмерной
клетки и постепенно наращивая ветви). Из HY = 0 выведите,
что НХ ^ Н (X/Y). Поскольку XjY есть букет окружностей, это
позволяет вычислить НХ с помощью упр. 1.
3. Пусть CcR2- объединение окружностей Сп, п = 1, 2, ...,
с радиусом 1/л и центром @, 1/я). Докажите, что С компактно,
но группа НС не является конечно порожденной. (Указание:
С ретрагируется на конечный букет сколь угодно большого
числа окружностей). Следовательно, С не имеет CW-разбиения
(и не есть ENR).
5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре
Из нетривиальных результатов алгебраической топологии,
вероятно, легче всего объяснить нематематику формулу Эйлера
для полиэдра. Грубо говоря, она утверждает, что для любого
разбиения сферы S?- на непересекающиеся клетки имеет место
равенство а0 — а1 + а2 = 2, где а; обозначает число /-клеток.
Мы увидим, что для произвольного конечного CW-пространства
число 2(—!)'«; не зависит от разбиения.
5.1. Определение. Пусть G = {Gi}i.sZ — такая градуирован-
градуированная абелева группа, что rankG; конечен для всех i и равен
нулю для почти всех i. Тогда выражение
X(G)= E (-1)'(rank G,)
i 6eZ
имеет смысл и называется характеристикой Эйлера — Пуанкаре
группы G [напомним, что rank (Л) есть наибольшее число линейно
5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 133
независимых элементов группы А; см. 1.2.29]. Если К — ком-
комплекс, то % (К) определяется как характеристика Эйлера — Пуан-
Пуанкаре градуированной группы К (без учета дк).
5.2. Предложение. Если комплекс К таков, что характери-
характеристика %{К) определена, то определена и характеристика %(НК)
и {К){К)
Доказательство. Если G — произвольная абелева группа
и G' — ее подгруппа, то rank (G) = rank (С) -f rank (G/C) (см.
1.2.28—2.29); в частности, rank(ЯД)< rank(ZtKXrank(/Q,
и, следовательно, характеристика %(НК) определена. Более того,
rank (Ki) = rank (Z,/C) + rank (B;_,/C) и rank {ZtK) = rank (BtK) +
-f- rank (HtK). Умножим оба равенства на (—1)' и просуммируем
по /. Мы получим %(K) = %(ZK)-X(BK), %{ZK) = %(BK)+%WK),
откуда и следует, что %(К) = %(НК). П
5.3. Следствие. Если ... <—Gi—] *- Gt+- Gl+1 ¦«-... — точная
последовательность, то %{(?»} = О при условии, что левая часть
определена.
Доказательство. Интерпретируем эту последователь-
последовательность как комплекс G. Тогда #G = 0, и, следовательно, %(G) =
= X(#G) = 0. D
5.4. Следствие. Пусть G'', G, G" — градуированные абелевы
группы, из которых можно составить точную последовательность
E.5) ... <-G,_i<-Gj-,<-G5/^-Gi<-G;*-G7+i'*- ....
Если какие-либо две из характеристик %(G), %(G'), %{G") опре-
определены, то определена также и третья и
[В большинстве примеров E.5) есть гомологическая последова-
последовательность некоторой точной последовательности комплексов.]
Доказательство. Предположим, например, что опреде-
определены характеристики %(G'), %(G). Так как последовательность E.5)
точна, то rank(G")<rank{Gi) + rank(G;_i) и, следовательно,
характеристика %(G") определена. Благодаря этому мы можем
применить к точной последовательности E.5) следствие 5.3,
которое дает
? (-1K'' rank (G,) + I (- if "' rank (G'[) + X (-1K'+' rank (GO = 0.
Но это и значит, что % (G) — % {G") — г (G') = 0. ?
5.6. Определение. Характеристика Эйлера — Пуанкаре про-
пространства Y или пары пространств (Y, А) есть характеристика
134 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
Эйлера — Пуанкаре ее гомологии, %{Y, A)~%H(Y, А), при усло-
условии, что последняя определена, т. е. что rank (ф#*(У, А)\ <оо.
Применяя следствие 5.4 к гомологической последовательности
пары (У, А), мы получаем
5.7. Предложение. Если пара пространств (Y, А) такова,
что два из чисел %{А), %(Y), %(Y, А) определены, то определено
и третье и
(Y) (YA) + (A). U
Подобным же образом предложение 5.4 применяется к после-
последовательностям Майера — Вьеториса:
5.8. Предложение. Пусть (Y; YUY2) —вырезаемая триада.
Если два из чисел x(Yi\JY2), х(У[ЛУ2), X(Y{) ¦}• x(Y2) определены,
то определено и третье и
% (У>) + % (Y2) = х (У, U У2) + % (Г, П Y2). U
Например, это верно, если Y есть CW-пространство, а
У], Y2 — его CW-подпространства; такая триада, согласно 4.6,
всегда вырезаема. Если Yl\jY2 имеет лишь конечное число
клеток, то предложение 5.8 очевидным образом вытекает также
из следующего обобщения полиэдральной формулы Эйлера.
5.9. Предложение. Если (У, А) — пара CW-прост ранет в и
Y — А содержит только конечное число клеток, то характери-
характеристика х(У. А) определена и
Х(У, А) =?(-1L,
«-о
где at — число i-клеток в У—А. В частности, это число ?(—l/ct,-
зависит только от Я (У, А) и не зависит от CW-разбиения.
Доказательство. Так как клеточная цепная группа
Wi(Y, А) является свободной абелевой группой с а; образую-
образующими (см. D.2)), мы получаем, что rank (IF,-(У, Л)) = аг; следо-
следовательно, Z(-l)tat=xW(X,A) = xHW(Y, A) = %(Y, Л) согласно
5.2 и 4.1. ?
5.10. Упражнения. 1. Докажите формулы
6. Описание цепных отображений и граничного гомоморфизма 135
где Sh, Pk — поверхности из упр. 3.11.1 и 3.11.2, а /4"~' — линзо-
линзовое пространство из упр. 3.11.3.
2. Если У есть конечное ClF-пространство и я: Y-+Y есть
G-листное накрытие, то У также является С^-пространством
(ср. Шуберт [1, III. 6.9]), а если q<°o, то %(Y) = q • х(У)-
3. Пусть if — множество классов гомеоморфных компактных
ClF-пространств. Зададим отображение Ф: W'->Z формулой
ФУ = ХУ —1. Проверьте, что ФУ = ФЛ + Ф (У/Л) для любой
пары (К, Л) в F\ Обратно, покажите, что если G— абелева группа
и W: V ->¦ G — такое отображение, что Ч-'У = 4х Л + Ч' (У/Л) для
любой пары (У, Л) из W, то ЧТ = (ФУ) • D'S°) для всех Y^W.
Указание: положите У = Вп и Л1==5П~1, Л2 = [л:<= В" |)U||> -j-J ;
сравнение Ч'07Л,) с Чг(У/ЛJ дает 4rS"~' = 4J'(S'I~1 X [0, 1]).
Далее, полагая Y = Sn~[X[0, 1], Л = 5*~1Х{0}, можно полу-
получить, что WBn = 0 при /г > 0. Затем отдельно докажите, что
хРВ° = 0, и примените индукцию по числу клеток в FgF,
Ср. Уотте [2].
6. Описание клеточных цепных отображений и клеточного
граничного гомоморфизма
Мы дадим простые геометрические интерпретации для матриц
отображений Wf: WX—>WY и д: WnX -> Wn-xX; полученные
результаты могут быть использованы для практических вычи-
вычислений.
6.1. Если X есть СГ-пространство, то Хп и Хп/Хп~1 тоже
являются CW-пространствами (см. 3.7) и естественные отобра-
отображения X о Хп ->• Хп1Хп"х индуцируют изоморфизмы WпХ ^
^WnXn^Wn(Xn/Xn'l) = Hn(Xn/Xn~l), поскольку все я-клетки
отображаются гомеоморфно (ср. с четвертым членом в фор-
формуле D.2)). Если У — тоже CIF-пространство, то всякое непре-
непрерывное отображение f: (Xn, Xn~l)->(Yn, У") (такое отображе-
отображение называется п-клеточным) индуцирует клеточное отображение
f: Xn/Xn~l-*-Yn/Yn~1 и гомоморфизмы WJ, Waf, причем диа-
диаграмма
w f
WX^UwY
Wn{XnIXn-1) ^ wn (Yn/Yn-1)
коммутативна, т. е. изоморфизм WnX = Wn(Xn/Xu~ ) является
136 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
естественным по отношению к п-клеточным отображениям. В част-
частности, он коммутирует с клеточными отображениями f: X-^-Y,
поскольку их можно рассматривать как и-клеточные для всех п.
Мы хотим дать полезное для практических вычислений опи-
описание отображений WJ и WJ. Сначала заметим, что
F.2) Wn (Хп/Хп->) = Нп (Хп/Хп-1) - 0 Нп (Хп/(Хп - е)\
е
где е пробегает множество <8п всех я-клеток. Этот изоморфизм
индуцирован проекциями ре: Хп/Хп~1-> Хп/(Хп — е) или включе-
включениями ie: Xn/(Xn-e) -± XnIXn~l (ie = id на е и постоянно
вне е). В самом деле, очевидно, что i* изоморфно отображает
Нп{Хп/(Хп — е)) на слагаемое Нп(е, е — М) в формуле D.2) и
что peie = id, peie = const, если ё ф е. Таким образом, отобра-
отображения
Нп (Хп/(Хп - е)) -^ Нп (Хп1Хп-{) -^ Нп (Хп/(Хп ~ е))
являются вложениями прямых слагаемых и проекциями на
прямые слагаемые относительно прямого разложения F.2). По-
Поэтому отображение WJ: Hn(Xn/Xn~l)~>Hn(Yn/Yl~l) задается
матрицей, элементами которой служат отображения
ia w j
F.3) Гь = {рЬПа\- Нп (Хп/(Хп ~ а)) ^> Нп(Хп1Хп~') -JU.
-+ Нп (Yn/Yn~l) -^Hn (Yn/(Yn - Ь)\
где а (соответственно Ь) пробегает я-клетки пространства X
(соответственно Y).
Эти fl представляют собой гомоморфизмы между свобод-
свободными циклическими группами, и потому они являются целыми
числами, определенными с точностью до знака. Чтобы избежать
неопределенности со знаками, нужно зафиксировать изомор-
изоморфизмы Hn(Xn/(Xn-a))^Hn(YWn-b)). Это обычно делается
с помощью характеристических отображений Ф°: (Вп, Sn~l)->
-*¦ (Хп, Хп — а) и т. д. Действительно, отображение Фа л-кле-
точно и,'индуцирует взаимно однозначное, и потому гомеоморфное
отображение Фа: Bn/Sn~l-*Xn/(Xn — а); благодаря этому
Фа ф4
Хп/(Хп - а) » S75"-1 « Ynl(Yn - Ь).
Итак, мы получаем
6. Описание цепных отображений и граничного гомоморфизма 137
6.4. Предложение. Отображение Wnf: WnX-> WnY преобра-
преобразуется изоморфизмами
WnX ^ © Я„ (Х"/(^п - а)) ~* © Я„ (я1^"). йе^" (*),
а
ь
в гомоморфизм
ФФ*
я„ (B7S"-1) - © я„
ft
матричный элемент /JeZ которого есть степень сквозного ото-
отображения
F.5) ?7Sre-' -^ХпЦХа-а)-?-*- Хп/Хп-1 -^
-¦ ^7^"" -^ У7(У - 6) > Bn/sn~'. D
Эту степень можно вычислить в какой угодно точке Q про-
пространства Bn/Sn~1 (см. IV. 5.6). В частности, мы можем выбрать
о о
Q е Ва (внутренность В"). Но на Вп отображения F.5) имеют
следующий вид (с точностью до гомеоморфизма):
(О0) Г(&)« « П Г (&) —/ Ф) -^ Ъ « ft « В".
Следовательно, мы получаем
6.6. Следствие. Матричный элемент \аь гомоморфизма Wnf
совпадает со степенью (в смысле § IV.5) композиции
Фй f Ф" о
о
(б каком угодно точке Q е В"). []
о
В частности, если точка Q е В такова, что пересечение
аП/~'(^) конечно, то /° есть число точек в аП/~'(^)> которые
считаются с учетом их кратности (см. комментарии к IV. 5.8).
Например, /? = 0, если bqLf(a), и /? = ±1, если / гомеоморфно
отображает a[\f~x (b) на й.
6.7. Теперь мы обсудим клеточный граничный гомоморфизм д:
прямая сумма свободных циклических групп, то клеточный
138 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
граничный гомоморфизм д может быть описан целочислен-
целочисленными матричными элементами даь, как и отображение Wnf
(ср. F.3)). Их геометрический смысл может быть усмотрен из
диаграммы
F.8)
где а, 6 — соответственно я-клетки и (л—1)-клетки простран-
пространства X с характеристическими отображениями Фа, Ф* и при-
приклеивающим отображением фа =Фа | S"~'. Отображения г", р\
определяются так же, как после F.2); они являются естествен-
естественными вложениями и естественными проекциями относительно
разложения в прямую сумму. Композиция отображений верхней
строки диаграммы F.8) есть д%. Из диаграммы следует
6.9. Предложение. Клеточный граничный гомоморфизм
д: WnX-+ Wп-хХ преобразуется изоморфизмами
©ф
WnX - 0 Нп (Хп, Хп - а) ~' © Нп (Вп,
в гомоморфизм ® Н n—\Snl ->@Hn-\Sn~\ матричный эле мен;
а Ь
[а : b] gZ которого есть степень сквозного отображения
(ело) sn-l-^>xn-i->xn-1l(xn-l-b){^CBn-llsn-2ttSn-1. D
Число [а: Ь] часто называется коэффициентом инцидентности
клеток а, Ь; с точностью до знака он определяется только
клетками а, Ь; знак же зависит от выбора характеристических
6. Описание цепных отображений и граничного гомоморфизма 139
отображений Фа, Фь или, точнее, от выбора изоморфизма
Йп (Г/(Г - а)) ~ //„_, (Г-'/СГ-1 - Ь)).
Вычисляя степень композиции F.10) в точке, принадлежа-
принадлежащей Вп~х (ср. доказательство предложения 6.6), мы приходим
к следующему результату:
6.11. Следствие. Коэффициент инцидентности [а'.Ь] совпадает
со степенью {в смысле § IV.5) отображения
о
(в произвольной точке Q е В ). []
В частности, если точка Q^Bn~l такова, что множество
(qpT'Q конечно, то [а'.Ь] есть число точек множества ((pa)~'Q,
причем каждая считается с ее кратностью. Например, [а '. Ь] =0,
если b ф (pa(S"~!). Если отображение фа локально гомеоморфно
в точках прообраза (фа)~'б, то каждый прообраз имеет крат-
кратность ±1.
6.12. Ориентация клеток. Если X есть ClF-простран-
ство и eczX — его «-клетка, то Нп (Хп/(Хп — е)) ^ Z. Каждый
такой изоморфизм (эквивалентно: каждая образующая группы
Нп (Хп/{Хп — е))) называется ориентацией клетки е. Для ориенти-
ориентированных клеток матричные элементы fab (см. F.3)) отображе-
отображения WJ или матричные элементы дь (см. 6.7) клеточной гра-
границы д можно рассматривать как целые числа (без явного
указания характеристических отображений). На практике клетки
обычно ориентируются с помощью гомеоморфизма Хп/(Хп — е) ?»
л; S" (как правило, выбирается отображение вида Фе; см. 6.1)
и фиксации образующей в HnSn. Стандартный выбор образую-
образующей s" в HnSn состоит в следующем. За s° e H0S° принимается
гомологический класс цикла {+1} — {—1}. Далее, если я > 0 и
образующая sn~l e Hn-{Sn~x уже выбрана, то мы определяем
bn<=Hn(Bn, S"-') равенством a,6" = s"~I и за s11 e= HnSn при-
принимаем класс, в который переводится Ьп стандартным отобра-
отображением л: (Вп, Sn-])->(Sn, точка) из IV. 1.1.
6.13. Пример (ср. 3.5). Вычислим клеточную границу в дей-
действительном проективном «-пространстве PnR, n > 0. Имеется
по одной клетке е1 в каждой размерности / с (XJ/^/г. При
г>0 приклеивающее отображение фг: S1-*Р{~^ для е1 сов-
совпадает с отображением Хопфа (х0, ..., jcf х) t—*- [jc0, .... л^-,],
140 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
т. е. является двулистным накрытием пространства P,--iR сфе-
сферой S1'1. Прообраз (ф')~' [а:] каждой точки Мее' (фактически
каждого [х] е Pi-{R) ¦ состоит из двух точек, а именно х и —х,
и ф' локально гомеоморфно. Кратности ц(±х) этих прообразов
равны поэтому ±1, и коэффициент инцидентности [е' :е'~1] равен 0
или ±2, если \х (х) = — ц. (— х) или \i(x)=\x(—х). Если А —
антиподальное отображение сферы S1'1, то ф'=ф('Л. Поэтому,
согласно IV. 5.7, ц (х) = deg (А) • ц (— х) = (— I)'ц (— х), и,
следовательно,
F.14) д{е1) = ±[1 + (-1I]е!-1 при i > 0.
Таким образом, l^PnR есть комплекс
0 2 ^ 0 -у 2 1+(-1)П _
1^0 == Z •<— Z <— Z -«— Z <— ... ¦< Z <- 0 = 1Г„+1
и
!0, если / четно или i > п,
Z2, если г нечетно и 0 < / < п,
Z, если г=л нечетно.
6.16. Упражнения. 1. Пусть X k = Sn V Sn V ... V Sn —
букет /г «сфер, /г > 0, разбитый на одну 0-клетку и /г «-клеток.
Если f: Xk -> X; — клеточное отображение, то WJ задается
целочисленной (fe X /)-матрицей {/j}. Покажите, что каждая
целочисленная {k X /)-матрица {ajj задает некоторое отображе-
отображение f. Указание: сведите общий случай к случаю k=l. Затем
обозначьте через Y объединение / непересекающихся открытых
шаров на S" и рассмотрите проекцию я: Sn -> Sn/(Sn — Y)zzXi.
Для заданных a1; a2, ..., at e Z выберите g/: S"->S" степени а/
и положите / = {?/}°я: Sn-*Xi.
2. Пусть R, F — свободные абелевы группы с базисами А, В,
и пусть р: R-*F — гомоморфизм, Р(а) = 2 Pj-i, аеЛ. С по-
defl
мощью упр. 1 постройте клеточное отображение q>a: Sn—>¦ V 5",
п > 0, с матрицей {Рй}6(_в- Для каждого йе/1 приклейте
6(_в
(п + 1)-клетку е^ к V S" с помощью фа. Полученное
странство ^з имеет только /г-клетки и (п + 1)-клетки, и
д: Wn+xX-*WnX совпадает с p.- R-+F-, в частности, Я„+1(Хр) =
==ker(p), Я„(^р)=сокег(р).
Если G — произвольная абелева группа, то выберем точную
последовательность 0 -> R —> F-+G-+0; тогда Нп (ХЛ = G и
7. Симплициальные пространства 141
Hk (¦Х'р) = О ПРИ кфп. Постройте, используя букеты таких про-
пространств, пространство X, гомологические группы HkX, k > 0,
которого совпадают с заданными абелевыми группами G^.
3. а) Все коэффициенты инцидентности ClF-разбиения ори-
ориентированной поверхности Sh в упр. 3.11.1 равны нулю. Поэтому
Hi (Sh) есть свободная абелева группа с 2/г образующими,
H2(Sh)^Z, ЯгEл) = 0 при i>2.
Ь) В CW-разбиении неориентируемой поверхности Рк из
упр. 3.11.2 2-клетка е2 имеет с каждой 1-клеткой коэффициент
инцидентности 2. Поэтому Я, (Pk) ^ Z2©{свободная абелева
группа с & —1 образующими}, Яг(РА) = 0 при /> 1.
4. Рассмотрим второе CW-разбиение сферы S", описанное
в 3.2. Покажите, что (при подходящей ориентации клеток)
д (е%) = е% -1 + е2/ - ¦ = д (е2_>),
= e% — e2i = — д
Заметим, что накрывающее отображение Sn-*PnR клеточно.
Используйте написанные выше формулы для другого доказа-
доказательства равенства F.14).
5. Докажите следующие формулы для CW-разбиения сферы
52«-i из упр. 3.11.3:
Я (P2k\ — У p2k-\ Я (р2к + 1\ — Р2к P1k
\r )~ fau t > °Ker ) er er+V
где клетки ориентированы подходящим образом и e2ft = e2ft.
Проекция р: S2" -> L2," на линзовое пространство клеточна;
применение этой проекции к написанным выше формулам дает
следующие граничные формулы для L2qn~l: d(e2k) = q-e2 ~l,
d(e2k+i) = 0. Вычислите H{L2qn~x).
7. Симплициальные пространства
Симплициальная структура представляет собой ClF-струк-
туру с некоторыми видоизменениями: характеристические ото-
отображения составляют часть структуры; они являются вложе-
вложениями и связаны между собой линейными преобразованиями
координат.
Симплициальные пространства играют в нашем курсе вспо-
вспомогательную роль, хотя на раннем этапе развития топологии
их значение было очень велико: они служили основным сред-
средством для построения теории гомологии.
142 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
7.1. Определение. Пусть X — хаусдорфово пространство.
Предположим, что для каждого га = 0, 1, ... задано некоторое
множество^ непрерывных отображений s: &п->Х. Тогда {9'п},
или 9* = U 9*п, называется симп.шциальным атласом, если вы-
«•=0
полнены следующие условия (i) — (iv).
(i) x= U im(s).
(ii) Каждое отображение sg^ является вложением. Так
как X хаусдорфово и А„ компактно, то s(An) замкнуто и гомео-
морфно симплексу Д„, s: A^^s (Д„) = im (s).
(iii) Каждые два отображения s, /e?1 связаны между собой
линейно. Под этим мы подразумеваем следующее. Если s: Am->X,
tf: Д„—> X — отображения из 9°, то множество ASm = s~4 (Ап)
(соответственно A^=/~'s(Am)) является гранью (см. 3.3) сим-
симплекса Дт (соответственно Д„) и отображение /~'s: Дт->Дп'
(соответственно s~'/) линейно. Так как s, t — вложения, то мы
получаем в действительности линейный изоморфизм t~ls: Д« ^
Если отображения t~]s, s~lt сохраняют также и порядок
вершин, то говорят, что s, t связаны между собой линейно и
упорядочение, а если это условие выполнено для всех s, t
атласа 91, то 9? называется упорядоченным симплшщальным
атласом.
Если s,t^Sf и im(s)cim@ (аналогично, Д„ = Дт), то s
называется гранью симплекса t.
(iv) Множество Acz X замкнуто тогда и только тогда, когда
пересечение А П im (s) замкнуто при любом se^1, т. е. X наде-
наделено слабой топологией по отношению к семейству {im(s)}s(_o,.
Аналогично отображение /: X-> Z непрерывно тогда и только
тогда, когда композиция fs непрерывна для любого s^tf. (За-
(Замечание: существует и сильная топология, которая также иногда
оказывается полезной; см. 7.14.)
Пример был уже дан в 3.3; там мы описали ClF-разбиение
симплекса Д„ и характеристические отображения, которые в дей-
действительности образуют упорядоченный симплициальный атлас.
Но тождественное отображение id: Д„->А„ само по себе тоже
является упорядоченным симплициальным атласом на Д„.
7.2. Предложение. Каждый {упорядоченный) симплициаль-
симплициальный атлас 9" содержится в единственном максимальном (упоря-
7. Симплициальные пространства 143
доченном) симплициальном атласе Т'. В действительности Т'„,
/г = 0, 1, ..., есть множество всех вложений t: An-*X, которые
(упорядоченно) линейно связаны (как в (iii)) со всеми s е 9'.
Доказательство. Рассмотрим указанные множества ?Г'„.
Согласно (iii), 9* czT и каждый атлас, содержащий 9>t содер-
содержится в ?Г. Поэтому достаточно показать, что *Э~ — атлас.
Условия (i), (ii) и (iv) очевидны; для доказательства (iii) пред-
предположим, что t: Art-> X принадлежит W, возьмем РеД„ =
= Д„ — Л„ = {х е Д„ \%i > 0 при всех /} и выберем в 9> такое
s: tsk-^X, что IPeim(s). Тогда Pe/~'s(Aft) и, следовательно,
/~!s(AA) = An (так как /~'s(Aft) является гранью симплекса А„);
таким образом, /А„ с sAft. Если ?': km-+X — другое отображе-
отображение из Т, то /~У(Ат) = (rls) (s'lf) Am есть грань симплекса А„,
так как (s,t), (s, t') связаны линейно, и t~lf = (/~'s)(s""V/) есть
линейное отображение. Это доказывает (iii) для атласа ST. []
7.3. Определение. (Упорядоченной) симплициальной струк-
структурой на пространстве X (или триангуляцией пространства X)
называется максимальный (упорядоченный) симплициальный
атлас 3~ на X. Согласно 7.2, каждый (упорядоченный) симпли-
симплициальный атлас У определяет единственную (упорядоченную)
симплициальную структуру У, и два атласа 9", 9" определяют
одну и ту же структуру тогда и только тогда, когда объедине-
объединение 93 U 9" снова является атласом. Хаусдорфово пространство X
вместе с (упорядоченной) симплициальной структурой Т на X
называется (упорядоченным) симп.шциальным пространством.
Если X' с: X и У с ?Г есть триангуляция пространства X',
то (X'', ?7"') называется симплициальным подпространством про-
пространства (J, ,9").
Элементы и множества S^~o, а также их образы v (Ао) е X
называются вершинами структуры ?Г или пространства X;
вообще t<^3~n называется п-симплексом структуры^, a \vn(t)aX
называется п-симплексом пространства X. Если t^.Wn, v<^?T0
и о(А0)е/(А„), то о называется вершиной симплекса t. Каждый
симплекс t<^?Tn имеет в точности п вершин, а именно / (е1),
/ = 0, 1, ..., п, где е' есть /-я вершина симплекса Д„. Если
триангуляция ^" упорядочена и симплексы /, t'<=*3~n имеют
одни и те же вершины, то (=(' (так как ^~У(Д„) содержит
все вершины, то ^~У(Д„) = Д„ и отображение ^~У: Д„->Д„
сохраняет порядок, откуда rV' = id). Если триангуляция ?Г
не упорядочена и t^?Tn, то существует ровно («-+- 1)! симплек-
симплексов теЗ"„ с тем же множеством вершин, что у t, а именно
все симплексы вида / ° л, где л обозначает линейный изоморфизм
144 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
ДП-*ДЛ) переставляющий вершины симплекса Д„ согласно неко-
некоторой перестановке множества @, 1, ..., «).
Например, множество ?Г отображений Ф'°"" '*: ДА—>Д„ из 3.3
является упорядоченной триангуляцией симплекса Д„ и назы-
называется стандартной триангуляцией Д„. Если мы удалим Ф° '•••« =
= idA из ST, то остаток §~ будет упорядоченной триангуляцией
границы Д„; следовательно, (Д„, &~) является симплициальным
подпространством симплициального пространства (Д„, ?Г). По-
Поскольку hnfnSn~x, этим задаются триангуляции сфер.
7.4. Предложение. Каждый максимальный симплициальный
атлас 'ЗГ содержит упорядоченный максимальный атлас 9'.
Доказательство. Введем полное упорядочение на струк-
структуре ?Г\> и положим
9>n = {te=0~n\t(e°)<t(el)< ... <*(??")}.
Легко понять, что {^„} — максимальный упорядоченный атлас. Q
Обратно, Т восстанавливается по 9>:
Тп = {s° л |se 9n, п: Д„->Д„ — линейный изоморфизм}.
7.5. Предложение. Пусть 9> — упорядоченный симплициаль-
симплициальный атлас на X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) атлас 9" максимален;
(b) *<=<?„#Sne'n<=^n-. для 0, 1, .... п, где ej;. ДП_,^Д„
определено как в III. 1.3;
(c) для любого Р е X существует единственное s е 9>, скажем
о
s е 9"п, такое, что Р е s (Д„). Это s называется носителем
точки Р.
Доказательство. (а)#(Ь). Пусть se^n, и пусть 9"'=
= 5'U{seji}. Так как для каждого fe?" отображение i~'s со-
сохраняет порядок, то t~lse'n тоже сохраняет порядок и, значит,
&' — упорядоченный атлас. Но атлас & максимален, следова-
следовательно, 9?' = 9>, т. е. se^e^.
(b)=#(c). Пусть Pel; выберем в 9" такое t: b.m-+X, что
Р е im @, скажем P — t(x), где л: =Х) *;<?'> хг-^0, Х)л:г = 1.
Пусть 0^Ji</2< ••• <'m-n^'" — все такие индексы, что
xt =0, т. е. /^гь ..., tm-n#Jc, > 0. Тогда л: = е''«-« ... 8'"(г/)
о . . . о
для некоторого у е Д„, и потому Р е {tem~n ... г !)(^rt)> a в силу
7. Симплициаяьные пространства 145
(b), s = izm-n . .. г1 е 9>. Если и г: Д;->Х принадлежит Я7,
а Р е г (А,), то jes"'r(A|), откуда sr(Az) = Art (поскольку
«-'/•(Д/) есть грань симплекса Д„); точно так же kl = r~ls(An),
откуда 1 = п. Но так как r~'s сохраняет порядок, то r^1 s = id
и г = s.
(Замечание: в доказательстве единственности мы не исполь-
использовали утверждение (Ь). Это значит, что единственность в (с)
выполняется для произвольных упорядоченных атласов.)
(с)=Ф(а). Пусть ?Г — упорядоченный атлас, содержащий 9*.
Возьмем (t: Дш ->1)еГдеДт и выберем в 9" такое s: An -> X,
что /Des(Д„); последнее возможно в силу (с). Согласно сде-
сделанному выше замечанию (в скобках), это значит, что t = s, и
потому Т а &''. []
7.6. П р е д л о ж е н и е. Пусть 0~ — триангуляция пространства X
и <%п — множество всех подмножеств этого пространства вида
t (АД где t е ?Г'„. Тогда <S = \J <§n есть CW-разбиение простран-
п
ства X и t e ?Г„ является характеристическим отображением для
О
I (Д„) g I" (лш отождествляем Ап с Вп). Если 9* aST — упоря-
о
доченная триангуляция, то формула s i—>• s (Д„) задает взаимно
однозначное соответствие 9>п-^-Жп.
Доказательство. В силу утверждения 7.5 (с), множества
О О
t (Д„) покрывают X, и соответствие s^*s(Art) взаимно одно-
однозначно. Если t (Ап) (] t'(&п') Ф 0, то п = п' и / отличается от /'
только перестановкой вершин (ср. со второй частью доказа-
о о
тельства импликации (Ь)=#(с) в 7.5), откуда t(An) = t (Д„).
Это доказывает условие 2.1 (i). Остальные условия из 2.1 оче-
очевидны. []
Теперь мы рассмотрим отображения между симплициальными
пространствами.
7.7. Определение. Пусть (X, 91), (У', ST) — симплициальные
пространства и se^ffl. Отображение /: im(s)—>Y называется
линейным, если существует такое t^ST (скажем, /е^"„), что
im (/) cz im (t) и композиция ^""'/s: Am-> An линейна. Это опре-
определение не зэеисит от выбора s и t. Если im (s') = im (s)
и im (f) cz im(/'), то композиция ^~'fs'= 0'~100~1/s)(ss/) тоже
линейна, так как (s, s') и (^, ^') связаны линейно. В силу тех же
соображений, если отображение /: im(s)->F линейно и im (s') с
crim(s), то и сул<ение /1 im (s'): im(s')-*Y линейно.
146 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
7.8. Предложение. Пусть (X, 9>), (У,?Г)— симплициальные
пространства, sG?ffl, / е Wn и у0, у1, ..., ут — произвольные
точки в im(/). Тогда существует единственное линейное отобра-
отображение f: im (s)-+Y, такое, что fs(el) = y'. Другими словами,
линейное отображение симплекса ira(s) определяется его зна-
значениями в вершинах s, и эти значения могут быть заданы
произвольно с единственным ограничением, что они должны
лежать в некотором симплексе im(/).
Доказательство. Существует единственное линейное
отображение g: Дт-» Д„, такое, что g(el) — t~l (у1) и / = tgs~l. Q
7.9. Предложение и определение. Пусть (X, 9>), (Y, Т)—
симплициальные пространства. Следующие свойства отображе-
отображения f: X -> Y эквивалентны:
(a) f линейно отобраоюает каждый симплекс im (s) a X на
некоторый симплекс im (/) cz Y;
(b) f отображает вершины в вершины и является линейным
на каждом симплексе im (s) пространства X.
Отображение, обладающее этими свойствами, называется сим-
плициальным. Если триангуляции 9', ST упорядочены и все
композиции t~lfs сохраняют порядок вершин, то f — упорядочен-
упорядоченное симплициальное отображение. Композиции симплициальных
отображений симплициальны, и тождественные отображения
симплициальны. Симплициальные пространства и отображения
образуют категорию, которую мы обозначим через 9"pl.
Доказательство. Импликация (а)=>(Ь) очевидна: / ото-
отображает каждую вершину оеА' на некоторый симплекс,
f(v) = t(An); следовательно, п = 0 и f (v) — вершина.
Обратно, если выполнено (Ь) и sG^m, то f линейно ото-
отображает im (s) в некоторый симплекс т(Д„), те?"л, и вершины
симплекса s —в вершины симплекса т. Поэтому x~'fs(Am) —
грань симплекса Д„, и /s(Am) = t [t-lfs(^nj)] есть симплекс
пространства Y. []
7.10. Предложение. Симплициальные отображения f: X—>Y
являются CW-отображениями по отношению к CW-разбиению
%n = {t(An)\teiTn} из предложения 7.6.
Доказательство. Линейные эпиморфизмы никогда, не
увеличивают размерности. Поэтому f отображает Хп — \] im(s)
|s|<n
(где s обозначает симплексы пространства X, а | | — размер-
размерность) в Yn. D
7. Симплициальные пространства 147
7.11. Предложение. Пусть (X, У), (Y, ?Г) — симплициальные
пространства и ср: 9>0->^~0 — такое отображение, что если
{v°, ..., vm}—набор вершин симплекса в X, то {q>v°, q>vl,..., <pym} —
набор вершин некоторого симплекса в Y. Тогда существует
единственное симплициальное отображение f: X->Y, такое, что
Ду) = ф(о) при v e 9й. Другими словами, симплициальные ото-
отображения определяются своими значениями в вершинах, и эти
значения могут быть заданы произвольно с единственным
ограничением, что вершины одного симплекса переходят в вер-
вершины одного симплекса.
Доказательство. Согласно предложению 7.8, для каж-
каждого se^ существует единственное линейное отображение
/s: im(s)->7, такое, что fs(v) = q>(v) для всех вершин v симп-
симплекса s. В силу единственности, /s и fs' совпадают на im (s) f)
nim(s') (заметим, что im (s) f] im (/) = im (s") для некоторого
s" ^ У); следовательно (в силу 7.1 (iv)), существует единствен-
единственное отображение f: X-*Y, такое, что /1 im (s) == fs, и это f
симплициально согласно 7.9 (Ь). []
7.12. Пример и определение. Пусть F = [0, 1] — единич-
единичный отрезок с очевидной симплициальной структурой (атлас
составляет линейное отображение Ал-*¦[(), 1] с е° i—>0, е[ н-^ 1).
Для каждого симплициального пространства (X, 91) и каждой
вершины оеЛ существует, согласно 7.11, единственное симп-
симплициальное отображение о: Х-*- [0, 1], такое, что v (о) = 1
и v(w) = 0 при юе^о, хюфи. Это отображение называется
барицентрической v-координатой. Для каждого ieI числа
{xv = v (x)}, v e д'о, называются барицентрическими координатами
точки х. Они обладают следующими свойствами:
G.13) xv~^0; для фиксированного х^Х
почти все xv равны нулю; ^xv = l.
v
Чтобы убедиться в справедливости второго и третьего свойств,
выберем такое s е 9п, что xeim (s). Тогда xv = 0, если у
п
не является вершиной симплекса s, и s~' (х) = 2 xv ¦ е\ где
1=0
v' = s(e) являются вершинами симплекса s. Это оправдывает
название «барицентрическая координата» и показывает, что х
определяется своими барицентрическими координатами.
7.14. Замечание. В некоторых случаях лучше наделить симп-
симплициальное пространство X сильной топологией. Это самая гру-
грубая топология, при которой все барицентрические координаты
у: Х-+[0, 1] непрерывны. Тогда отображение g: Z-+X, где
148 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
Z — произвольное топологическое пространство, непрерывно
в том и только том случае, если непрерывны все композиции
v о g. Если X локально конечно, т. е. если каждая вершина
содержится только в конечном числе симплексов, то слабая
и сильная топологии совпадают. В общем случае они различны,
но определяют гомотопически эквивалентные пространства
(ср. Д. 2.9).
Предложение 7.11 подсказывает следующее определение.
7.15. Определение. Симплициальной схемой называется мно-
множество V вместе с фиксированным множеством 2) его конечных
подмножеств, называемых выделенными подмножествами и
таких, что
(a) {v} е 2) для каждого ogF, т. е. все одноточечные мно-
множества выделены;
(b) D <= 0, D' aD=}D' е 2>, т. е. подмножества выделенных
множеств выделены.
Например, пусть 9* — триангуляция пространства X hV = 9*0.
Назовем множество Dat^o выделенным, если оно совпадает
с множеством всех вершин некоторого симплекса se?1. Обо-
Обозначим возникающую симплициальную схему через 5 (X, 9*).
Отображение (V, 2))->(V', 3)') одной симплициальной схемы
в другую определяется как теоретико-множественное отображе-
отображение ф: V->V, которое переводит выделенные множества в вы-
выделенные множества, т. е. De2Lip(O)e2)'.
Относительно обычной композиции эти отображения образуют
категорию, обозначаемую через Т9*.
Например, если f: (X, ^)->(У, ?Г) — симплициальное отобра-
отображение, то индуцированное отображение <?0 -> ?Г0 является ото-
отображением симплициальной схемы в симплициальную схему;
мы обозначим его через Sf: S{X, 9?)->S{Y, 2Г).
Если мы поставим в соответствие каждому симплициальному
пространству (X, 9>) его симплициальную схему S(X, 9") и
каждому симплициальному отображению /: (X, SP)-*\Y, ?Г) —
индуцированное отображение Sf, то получим ковариантный
функтор S: 9>lT9>
7.16. Предложение. S: 9>р1-*Т9' есть эквивалентность ка-
категорий, т. е. существует такой функтор R: Y9'-+9'pl, что
SM SRM
Доказательство, по существу, содержится в 7.12.
А именно, пусть (V, ЗУ) — симплициальная схема. Обозначим
через X множество всех таких функций х: V -> R, что
7. Симплициальные пространства 149
(a) {ое V \х(ю)фЩ <^3), т, е. множество точек, в которых х
отлично от нуля, выделено и, в частности, конечно;
(b) x(o)>0, ? *(»)=!•
Если D^SD имеет я+1 элементов и если a: D->@, 1, ..., «)
есть взаимно однозначное соответствие, то мы определяем ото-
отображение sa: Д„ -> X равенством
{г/а @) == а (у)-я барицентрическая координата уеДл,
если oeD;
О, если oel/-0.
Очевидно, sa есть вложение. Далее, каждое х е X имеет вид ,?az/
для некоторых а и г/ (возьмите О = {о|х(а)^=0}). Введем в X
слабую топологию по отношению к отображениям sa, т. е. самую
тонкую топологию, при которой все sa непрерывны. Тогда ото-
отображение f: X-*Z, где Z — любое топологическое пространство,
непрерывно в том и только том случае, если непрерывны все
композиции fsa. В частности, непрерывны отображения v: X-+R,
v(x)=x(v), oel/.
Если хфх', то х{ь)фх'(ь) для некоторого oeF и, значит,
в(х)фд(х/)', таким образом, пространство X хаусдорфово. Мы
утверждаем, что 9' = {sa} есть триангуляция пространства X.
Как мы заметили выше, условия 7.1 (i), (ii) выполнены, а усло-
условие (iv) выполнено согласно определению топологии в X, Далее,
если sa, Sp e 9", то s^'sa есть линейное отображение (опреде-
(определенное на грани симплекса Д„), которое переводит ё в e$a~l W»,
так что выполнено и условие (ш). Таким образом, 9" есть
симплициальный атлас. Чтобы доказать его максимальность,
возьмем отображение s: t^t-*X, линейно связанное со всеми
sa е Я7; тогда s(Д/) с: sa(Д„) для некоторого a: D «(О, 1, ..., п)
(возьмем РеД; и выберем sa с sPe im (sa)). Положим
D' = {v e D | sa (e« <«») e= s (A,)}
и определим p:D'->@, 1 /) формулой «(el3*0») = sa(ea<°>).
Тогда s = spGy, и, следовательно, ^ — максимальный атлас.
Итак, Я'—триангуляция пространства X. Мы полагаем R{V,?D)=
= {X, 9>). Вершины R (V, ЗУ) соответствуют отображениям D « {0},
т. е. одноточечным множествам D = {v) ^2), а {о0}, ..., {vn\
являются вершинами одного симплекса тогда и только тогда,
когда множество {и0, ..., vn} выделено.
Поэтому для любого отображения ср: (V, ??))-> (у', SD') мы
можем определить симплициальное отображение Rq>: R(V, 2D)->
->R{V, 3)') формулой {Rep){v} = {фу} (ср. 7.11); таким образом,
150 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
получаем функтор R: Т9* -> 9*р1. Далее,
есть естественная эквивалентность симплициальных схем. С дру-
другой стороны, в силу предложения 7.11, в категории SPpl имеется
симплициальная эквивалентность
(X, 9>)->RS(X, 9>), v^v, »e<?0. О
7.17. Замечание. При построении гомеоморфизма (X, 91)«
7nRS{X,9>) мы фактически не использовали хаусдорфовости
пространства X. В то же время было показано, что RS(X, <P)
хаусдорфово, а, следовательно, X также хаусдорфово, т. е.
если пространство допускает симплициальный атлас со свойст-
свойствами 7.1 (i) — (iv), то оно хаусдорфово.
7.18. Упражнения. Г. Пусть Ьх, Ь2, ..., Ьп — базис вектор-
векторного пространства Rn. Рассмотрим для каждой перестановки л
множества A, ..., п) линейный симплекс sn: An->R" с вер-
вершинами О, 6Я{1), ЬП(\)-\- Ьп#), Ьпп) + ЬПB) + ЬП(ъ), ..., 2^
i
Покал<ите, что эти симплексы образуют симплициальный атлас
основного параллелепипеда Р = j X tfii |0<^- < 1 > . Парал-
Параллельный перенос на вектор oeR" дает симплициалькый атлас
для v -f- P, и если v пробегает все целочисленные линейные
комбинации векторов (blt ..., bn), то получается симплициаль-
симплициальный атлас пространства R", инвариантный относительно пере-
переносов на bt.
2*. Предположим, что при каждом п задан какой-нибудь
симплициальный атлас If1 симплекса Д„. Мы говорим, что си-
система cU~{cUn} совместна, если каждое отображение е': ЛП_1->Д„
(см. III. 1.3) симплициально по отношению к триангуляциям,
определяемым атласами (W1~\ cUn. Тогда для каждого и: A^-^A^
из <Un множество «""'е' (Д„-!) является симплициальным под-
подпространством симплекса Aft (в стандартной триангуляции 3.3).
Если это подпространство ы~V(An-!) всегда является гранью
симплекса ДА (ср. 3.3), то мы будем говорить, что система °16
сильно совместна. Покажите, что если система 'U = {cUn} сильно
совместна и 91 — симплициальный атлас пространства X, то
объединение множеств
также является симплициальным атласом пространства X. Если
/: (X, 9>)—>(Xf, 9"') — взаимно однозначное симплициальное ото-
отображение, то /: (X, Р^)-*¦ (Х', d^'ll) также симплициально.
7. Симплициальные пространства 151
Например, барицентрическое подразделение В (О цепи in ==
= id(An), определенное в III. 6.1, является линейной комбина-
комбинацией линейных симплексов А„ -> Д„, образующих симплициальный
атлас ё&п симплекса Д„. Система Щ } сильно совместна, и 9$
называется барицентрическим подразделением атласа 9'.
3. Пусть (X, 9) — такое симплициальное пространство, что
множество 9о его вершин конечно, скажем 9>0 = {v0, vi> ¦ ¦ ¦> vn)-
(i) Определим симплициальное отображение /: Z->A,V фор-
формулами I(vk)=ek. Покажите, что / изоморфно отображает X
на симплициальное подпространство симплекса A_v.
(И) Пусть 9>] = 0 для / > «, т. е. пусть dim {X) ^ п. Выберем
точки wo, W\, . . ., ws в A2ra+i так, чтобы при г ^ 2я + 2 каждые г
точек были линейно независимы (не содержались в гиперпло-
гиперплоскости пространства R2"+2). Тогда существует единственное
отображение /: Х->А,„+Ь линейное на каждом симплексе про-
пространства X и переводящее vt в wt. Покажите, что / есть вло-
вложение. В частности, каждое симплициальное пространство X с ко-
конечным множеством вершин, размерность которого dim {X) ^ п,
вкладывается «кусочно линейно» в А2„+ь
4. Пусть (X, 9), (Y, 0Г) — симплициальные пространства.
Отображение/: X-^Y называется спрямляемым, если для каж-
каждой вершины ое! существует такая вершина v' e Y, что v (x) >
> 0=фи' (f (х)) > 0. (Замечание: множество {х е X \ v (x) > 0}
называется открытой звездой вершины о; таким образом, ото-
отображение f спрямляемо, если оно отображает открытые звезды
в открытые звезды.) Если / — спрямляемое отображение и vQ,
vlt ..., vn — вершины какого-нибудь симплекса пространства X,
то для некоторого .teX все vt(x) положительны, а потому все
v'i(f{x)) положительны, и, значит, {v'i} есть множество вершин
некоторого симплекса пространства У (носителя точки f(x)).
Тогда можно определить симплициальное отображение /': X —> У
формулами f'(y) = v'. Оно называется прямой симплициальной
аппроксимацией отображения f. Существует единственная дефор-
деформация 9: /~f, такая, что wQ(x, t) = A — /) w (/ (х)) + tw (/' (*))
для всех вершин шеГ.
Если f: X-> У ¦—некоторое отображение и триангуляция 9>
пространства X конечна (или, что эквивалентно, само X ком-
компактно), то отображение / является спрямляемым по отноше-
отношению к триангуляции 9"М, где CU = $$ ... $ —итерированное
барицентрическое подразделение в смысле упр. 2. (Указание:
использовать лемму III. 6.4, из которой видно, что открытые
звезды становятся произвольно малыми при итерированном
барицентрическом подразделении.) Полученное симплициальное
152 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
отображение /': (X, РШ)-> (Y, Т) называется симплициальной
аппроксимацией отображения f. Ср. Спеньер [1, 3.4—3.5].
5. Пусть У — множество и {Yv}osV— семейство его непустых
подмножеств. Определим симплициальную схему (V, ЗУ) следую-
следующим образом: конечное подмножество DczV принадлежит ЗУ
тогда и только тогда, когда [\ УиФ0. Соответствующее сим-
плициальное пространство R(V,3)) (см. 7.16) называется нервом
семейства {Yv}. Нервы открытых покрытий {Yv} топологических
пространств У используются в теории чеховских (ко)гомологий
(ср. упр. 8.8.3 и Д. 3. 5).
6. Упорядоченной симплициальной схемой называется симп-
лициальная схема (V, ЗУ) вместе с частичным порядком на V,
таким, что о, ieF сравнимы тогда и только тогда, когда
{v,w}^3). Покажите (как в 7.16), что упорядоченные симпли-
циальные отображения и отображения упорядоченных симпли-
циальных схем образуют эквивалентные категории.
8. Симплициальные гомологии
Симплициальные гомологии интуитивно понятней, чем любые
другие гомологии; симплициальные цепи можно представлять
себе как куски пространств, а циклы — как такие куски без
границ. Тем не менее для практических вычислений CW-раз-
биения (и некоторые другие средства) более удобны: триангу-
триангуляция— слишком богатая структура и ее часто трудно бывает
построить. Вычисление гомологии при помощи симплициальных
ъ
цепей можно уподобить вычислению интеграла \ f (х) dx посред-
а
ством аппроксимации римановыми суммами.
8.1. Определение. Пусть (X, 9>) — симплициальное простран-
пространство. Если а: Д„->Х— симплициальное отображение (относи-
(относительно стандартной триангуляции симплекса А„), то каждая
композиция А„_!—*¦ Д„—>¦ X также симплициальна. Поэтому
симплициальные отображения а: Ап->Х, я = 0, 1, ..., порож-
порождают подкомплекс Sp(X) сингулярного комплекса S{X). Оче-
Очевидно, операция Sp функториальна по отношению к симпли-
циальным отображениям X->Y и включение SpX с SX есте-
естественно.
Если отображение а: А„->^ симплициально, то а(А„) при-
принадлежит /г-остову Хп пространства X (ср. 7.6) и, следовательно,
5. Симплициальные гомологии 153
ffeS(l") и Eff)eS(^""'), Поэтому мы можем образовать
гомологический класс [о]<^ Нп(хп, Xn~l) = WnX и определить
цепное отображение
(8.2) Y: SpX-
Из определения 1.2 граничного оператора в WX видно, что
уд = ду.
8.3. П р ед л о жен ие. Цепное отображение у: Sp X-+WX зпи-
морфно, и ядро отображения уп: Spn X -> WnX порождено эле-
элементами двух типов: (а) гомологическими классами [т] отобра-
отображений т: Д„->Х, не являющихся вложениями, и (Ь) гомологи-
гомологическими классами разностей ал, — sign (я) а, где а: Д„-> X —
симплициальное отображение, ал — перестановка чисел @,1, ..., п);
как и прежде, мы используем ту оке самую букву л для обо-
обозначения линейного изоморфизма Д„->Д„, переводящего е1 в еяA).
Другими словами, вырожденные симплексы аннулируются,
а симплексы, которые отличаются друг от друга только пере-
перестановкой координат, отождествляются с точностью до знака
этой перестановки.
В частности, элементы вида (а), (Ь) порождают подкомплекс
комплекса Sp X {именно {(a), (b)} = ker (у)), и Sp X/{(a), (b)} ?й WX.
8.4. Определение. Комплекс SP {X) = Sp X/{{a), (b)} =
= Sp X/ker (y) называется симплициальным комплексом симпли-
циального пространства (X, 91). Если X' с X — симплициальное
подпространство, то включение SpX' cz Sp X индуцирует включе-
включение SP {X') cz SP {X) и факторкомплекс SP (X, X') = SP (X)/SP (Xf)
называется симплициальным комплексом пары (X, X'). Сим-
Симплициальное отображение /: X -> Y индуцирует отображение
Sp(f): Sp(X)-> Sp(y), которое превращается при факторизации
в отображение SP(f): SP(X)->SP(Y); подобная конструкция
имеется для симплициальных отображений симплициальных пар.
Таким образом, SP: 9>р1->д?Ф9? есть функтор из категории
симплициальных пространств в категорию комплексов. В силу
предложения 8.3, он зависит только от ClF-структуры: y инду-
индуцирует естественный изоморфизм SP (X) ?? W (X).
Так как можно пренебречь симплициальными отображениями
&п->Х, не являющимися вложениями, комплекс SP{X) можно
описать еще следующим образом: SPn(X) порождается множе-
множеством &П (это в точности множество симплициальных вложений
Д„->Х) с определяющими соотношениями sn = sign (я) s, где
seJ1,, а л — перестановка чисел @, 1, ..., п). Граничный опе-
оператор д: SPnX -* SPn-iX действует так же, как для сингулярных
154 Гл. V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии
симплексов. Если /: (X, 9')—* (Y, ?Г) — симплициальное отобра-
отображение и s e 9'п, то
( fs, если fs есть вложение, т. е. если
{SPJ) (s) = s „
( 0 в остальных случаях.
8.5. Следствие из предложения 8.3 (инвариантность
симплициальных гомологии). Существует естественный изомор-
изоморфизм HSP{X, X') ^ Н{Х, X') в категории симплициальных пар
(X, X') и симплициальных отображений. В частности, HSP{X, X')
не зависит от триангуляции.
Доказательство. Согласно 8.3, SPX^WX и ;
следовательно (см. 4.7), SP(X, A") = W(X, X'), откуда, согласно
4.1, HSP{X, X')*zHW(X, X')szH(X, X'). Q
Доказательство предложения. 8.3. Мы знаем, что
гомологический класс [in] цепи in = id: Д„—>Д„ порождает
Я„(Д„, Aj^Z (ср. IV. 2.7) и что [jt]=sign(n)[in] (ср. IV. 4.3).
Далее, если мы зафиксируем для каждой re-клетки е простран-
пространства X некоторое характеристическое отображение Фе: (Д„, Д„)—>
->(Х", Хп~1), то множество {ФПц]} будет базисом для WnX =
= Нп{Хп, Х11) (ср. с четвертым изоморфизмом в формуле D.2)).
Но отображение s e 91 п является характеристическим для
e = s(An) и st [in] = [s] = y (s). Поэтому у отображает каждое
se?, в элемент этого базиса (с точностью до знака) и
У (sn) = stnt [ij = s, (sign (л) [in]) = sign (л) y (s).
Отображение y переводит все не являющиеся вложениями ото-
отображения т: Д„ —>Х в нуль, поскольку t(An)czZ"~1. Отсюда
и следует требуемый результат, потому что SpnX имеет базис,
состоящий из (i) всех симплициальных отображений hn-+X, не
являющихся вложениями, и (И) всех s е 9>п. []
В случае упорядоченного симплициального пространства {X, 91)
связь между симплициальными и сингулярными гомологиями
оказывается даже более естественной. Пусть SP'nX — свободная
абелева группа, порожденная множеством 9'п, очевидно,
SP'nX cz SnX. Так как s e ^„ =Ф> se' e S^-, (см. 7.5), то эти группы
образуют подкомплекс сингулярного комплекса SX. Рассмотрим
цепные отображения
(8.6) SX ^~ SP'X -^> SPX -~
где / — включение, y индуцировано отображением у и v есть
композиция SP'X a SpX-+Sp X/{(a), {h)} = SPX. Очевидно,
8. Симплициальные гомологии 155
¦v — изоморфизм (по определению множества {(а), (Ь)}). Цепное
отображение (x=/v~1y~i: WX-+SX переводит гомологический
класс геГД = //„(Г,Г"') в его представитель ?e=S(*n).
Поэтому индуцированный гомологический гомоморфизм ц„ пере-
переводит [г] <= HWX в [?] е НХ и потому совпадает с изомор-
изоморфизмом G: HWX^HX (ср. 1.9). В частности, jt есть изомор-
изоморфизм. Мы приходим к следующему результату:
8.7. Предложение, (i) Отображения v; SP'X->SPX,
у: SPX —> WX являются гомотопическими эквивалент ноет я ми.
В частности, гомотопический класс комплекса SP'X зависит
только от CW-разбиения пространства X и не зависит ни от
триангуляции, ни от способа ее упорядочения;
(ii) Д: HSP'X~>HSX = HX есть изоморфизм.
Такие же результаты справедливы для пар; они выводятся
из предыдущих результатов с помощью леммы о пяти гомо-
гомоморфизмах. []
Заметим, что это предложение может быть использовано
для реализации изоморфизма HSPX ^ НХ из следствия 8.5
(для неупорядоченных триангуляции ?Г пространства X) цепным
отображением /': SPX^-SX. Для этого надо выбрать упоря-
упорядоченную триангуляцию 9> в Т (см. 7.4) и положить /' = /v~'.
8.8. Упражнения. 1. Триангулируйте проективную плоскость
X = P2R и вычислите HSPX.
2. Докажите, что H{SpX) ^ H(SPX). (Указание: обобщите
это на пары. Сначала рассмотрите (Д„, А„), затем (Хп, Хп~1).
После этого примените индукцию по размерности и восполь-
воспользуйтесь леммой о пяти гомоморфизмах.)
3*. Если Y — топологическое пространство и °ll, Т— его
открытые покрытия, то говорят, что Ш вписано в Т (и пишут
ОС < Т), если каждое (/е1?/ содержится в некотором Ке7.
Выберем такое отображение г|з: Щ-^Т, что U^ty(U) для всех
U €= <Ы, и определим симплициальное отображение W: нерв °ll —>
->-нерв Т (ср. упр. 7.18, 5), которое на вершинах совпадает
с я|) (ср. 7.11). Покажите, что гомотопический класс отобра-
отображения W не зависит от выбора -ф. Пусть, далее, Q — множество
всех открытых покрытий пространства Y. Гомологическим клас-
классом Чеха у пространства У называется такое семейство {уоц е
е Я (нерв ^)}^ s Q, что <U < Т =ф> yv. = xVt (уац). Относительно
сложения [у + у')оц = Уоц + у'оц классы Чеха образуют градуиро-
градуированную группу, называемую гомологической группой Чеха про-
пространства Y. Превратите гомологии Чеха ? функтор и изучите
его свойства (ср. Стинрод и Эйленберг [1, гл. IX]).
ГЛАВА VI
Функторы на категории комплексов
Если Т: ds^-'S->ds?$ — функтор из категории комплексов
d категорию комплексов, то соответствие X t—>TSX доставляет
обобщение сингулярного комплекса SX, которое может при-
привести к новым полезным топологическим инвариантам. Мы
рассмотрим эту возможность (§ 2 — 7) в случае, когда функ-
функтор Т является (поразмерностным) продолжением аддитивного
функтора t: M-%'-> $69'. Мы увидим, что для любой абелевой
группы G имеется, в сущности, один ковариантный и один кон-
травариантный функтор t, для которого tZ = G. Возникающие
при этом группы HTSX — так называемые гомологические и
когомологические группы пространства X с коэффициентами
в G. Функторы / полезны также при изучении произведений
пространств; эти применения обсуждаются в § 8—12.
Группа G в приложениях часто обладает структурой модуля,
которую наследует и комплекс TSX. В этом случае можно
компонировать функторы t и Т с функторами, заданными на
категории модулей. Желая избежать повторений, мы сразу
изучим функторы из категории модулей в категорию групп (мы
не обращаемся к очевидному обобщению Jlod-> Mod', так как
хотим, чтобы обозначения были простыми).
Читатель, знакомый с основными фактами, касающимися
модулей, аддитивных функторов, функторов <g>, Tor, Horn, Ext,
может пропустить § 1—6 и 8, хотя наш подход к изучению
функторов ®, Нот в § 5—6, 8 может показаться ему инте-
интересным.
1. Модули
Понятие модуля обобщает как понятие абелевой группы,
так и понятие векторного пространства. Абелевы группы
являются Z-модулями; векторные пространства над полем k
являются /г-модулями. Вообще мы рассматриваем произвольное
кольцо R, которое по предположению всегда имеет единицу 1.
^-модуль определяется как абелева группа, в которой R дей-
действует аддитивным образом. Более формально:
/. Модули 157
1.1. Пусть М — абелева группа и End (M) — кольцо эндомор-
эндоморфизмов группы М. Левой R-структурой на М называется
кольцевой гомоморфизм в: R-+En&{M) (переводящий 1 в 1).
Абелева группа с левой ^-структурой называется левым R-mo-
дулем. Эндоморфизмы в (г) е End (M) называют иногда гомо-
гомотетиями.
Если положить гх = [в (г)] х (г е R, х е М), то формула
(г, х)ь->гх определяет отображение /? X М-*-М, обладающее
следующими свойствами:
Г (Xi + Х2) = ГХХ + ГХ2, (/ + Г2) X = Г,* + Г2Х,
Первое равенство утверждает, что e(r)eEnd(M), а осталь-
остальные— что в является кольцевым гомоморфизмом. Обратно,
любое отображение Ry(.M->М, удовлетворяющее условиям A.2)
(«структурное отображение»), определяет левую ^-структуру в
по формуле [в (г)] (х) = гх.
Гомоморфизм f: L-> M одного ^-модуля в другой назы-
называется R-гомоморфизмом (или R-модульным гомоморфизмом),
если / о в (г) = в (г) о / для любого г е R, т. е. f{rx) — rf{x) для
любых г ^ R, xeL
Ясно, что левые ^-модули и ^-гомоморфизмы образуют
категорию; мы обозначаем ее через R-M
Пусть L снова есть абелева группа, а в': ^~>EndL есть
антигомоморфизм, т. е. отображение, удовлетворяющее условию
®'{r\r2> = ®'(''2)e'(/i)- В этом случае в' называется правой
R-структурой, а пара (Z-, 6') — правым Д-модулем. Положив
xr = [@'(r)]x, r e R, ieI, мы получим формулы типа A.2),
выражающие структурные свойства. На самом деле нет суще-
существенной разницы между левыми и правыми /^-модулями: если
мы определим двойственное кольцо Rop, совпадающее с коль-
кольцом R как абелева группа, но имеющее обратное умножение,
г • s = s • г, то левые ^ор-модули окажутся правыми ^-моду-
ор
лями и наоборот. Категория правых ^-модулей обозначается
через Jtod-R = R°V-Jlod.
Каждая абелева группа М имеет единственную структуру
Z-модуля в: Z->End(M), Q(п) = п • (idM). Таким образом,
Z-Jlod = M-'S. Каждую абелеву группу М можно рассматри-
рассматривать как левый End (М)-модуль. Действительно, тождественное
отображение G = id: End(M)-»End {M) является левой End (M)-
структурой.
158 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
1.3. Если /,, /2: L—s>M — два /^-гомоморфизма, то их сумма
f! -f- fi- L-+M, (f\ +f2)x = f\X + f^x тоже является ^-гомомор-
^-гомоморфизмом. Это сложение превращает множество /^-гомоморфизмов
L-+M в абелеву группу, которую мы обозначаем через
HomR(L, М). Это —подгруппа группыHomz(I, M) всех групповых
гомоморфизмов из L в М. Если g: L'-*L и h; М—>М'— два
/^-гомоморфизма, то отображение
g, h): WomR{L, Af)-> Нотя(//, М'),
определяемое формулой [Hom#(g, h)] (f) = h°f °g, является
групповым гомоморфизмом. Таким образом, Ногпд есть функтор
из категории модулей в категорию абелевых групп, контра-
вариантный по первому аргументу и ковариантный по второму.
1.4. Если подгруппа М' /^-модуля М удовлетворяет условию
гМ' с М' для любого г е /?, то М' с индуцированной /?-струк-
турой называется подмодулем модуля М. В этом случае на-
наследует структуру модуля и факторгруппа М/М', а именно
гх — гх, где хеМ, х —его класс в М/М'; мы называем М/М'
фактормодулем М по М'.
1.5. Многие понятия и результаты теории абелевых групп авто-
автоматически переносятся в теорию модулей. Например, для
модульного гомоморфизма f: L->M объекты ker (f), im(/),
coker (f) = M/im(f), coim(f) = L/ker(f) определены как группы,
но являются под- или фактормодулями. Аналогично обобщаются
понятия прямой суммы или произведения, точной последователь-
последовательности, комплекса и гомологии комплекса; гомологическая после-
последовательность (ассоциированная с короткой точной последова-
последовательностью /^-комплексов) состоит из /^-гомоморфизмов. Кате-
Категория (левых) /^-комплексов и цепных /^-отображений обозначается
через dR-Jlod.
1.6. Если подмодуль U модуля L и /^-гомоморфизм /: L->M
таковы, что f\L' = O, то существует единственный /?-гомомор-
физм: f: L/L'-*M, для которого f{x) = f(x), где xeL, x — его
смежный класс в L/L'. Это очевидно для абелевых групп, и
следует лишь проверить, что f есть /^-отображение. Действи-
Действительно, f {rx) = f {rx) = f (rx) = rf (х) = if (x).
Этот результат можно сформулировать следующим образом.
Если последовательность R-модулей 0-*¦ Lr—*¦ L—*¦ L"-*¦ 0 точна,
то для любого R-модуля М последовательность
A.7) 0 -> Horn* {L", М) -> Нотл (L, М) -> HomR {Lr, M)
также является точной.
/. Модули 159
1.8. Кольцо /^ само является /^-модулем: структура задается
отображением R X R -> R, (r, s) ь-> г • s. Оно определяет в R одно-
одновременно и левую, и правую /^-структуры. Гомотетии являются
левыми (соответственно правыми) сдвигами в R. Правый сдвиг
является левым /^-гомоморфизмом, и наоборот. Любой ^-гомо-
^-гомоморфизм f- R—>M однозначно определяется образом элемента 1;
действительно, f (r) — f (rl) = rf A). Подобное верно и для правых
модулей.
Обратно, для любого элемента ieAf отображение х- R—>M,
x{r) = rx, является /^-отображением. Таким образом,
A.9)
1.10. (Левый) /^-модуль L называется свободным, если он изо-
изоморфен прямой сумме вида © R. Если {L: /?->/_<} г — пред-
ставление в виде прямой суммы, то множество {ху = гу A)}уеГ
называется базисом модуля L. Например, если R — поле, то
любой модуль (векторное пространство) свободен (имеет базис).
Если бсL — базис свободного модуля L и у = {ijb s M}b^B —
любое семейство элементов любого R-модуля М, то существует
единственный R-гомоморфизм {)'¦ L —*¦ М, для которого у (Ь) = уь,
где Ь^В. В самом деле, в силу A.9), существует единственный
/^-гомоморфизм $ъ- R-+M, для которого Уь{\) = Уь- Следова-
Следовательно, по определению прямой суммы имеется отображение
В: © R~*Y, и у есть композиция L^ © R->Y. Q
Мы часто будем использовать этот принцип для определения
/^-гомоморфизмов свободных модулей.
1.11. Некоторые из наших результатов о свободных комплексах
(§ 4 гл. II) используют тот факт, что подгруппа свободной абеле-
вой группы всегда свободна. Желая обобщить эти результаты, мы
должны предположить, что каждый подмодуль свободного R-мо-
R-модуля свободен. Кольцо R, обладающее этим свойством, будет
называться наследственным ')• Все поля, конечно, наследственны.
Коммутативное кольцо наследственно тогда и только тогда,
когда оно является областью главных идеалов.
Примером ненаследственного кольца является кольцо Z/4Z;
подмодуль, порожденный классом B), не свободен.
') Этот класс колец уже класса наследственных колец из книги Кар-
тана—Эйленберга [1] (см. также Кон [1]). Однако серьезной опасности
путаницы здесь нет, так как теоремы, доказываемые нами для наследственных
колец, верны также и при более широком их определении; читатель, зна-
знакомый с техникой проективных модулей, сумеет обобщить доказательства.
160 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
На наследственные кольца результаты и доказательства § 4
гл. II переносятся почти дословно. В частности, каждый сво-
свободный комплекс С является прямой суммой коротких комплексов
(комплексов, которые тривиальны всюду, кроме двух соседних
размерностей п, п— 1, ив которых дп— мономорфизм); каждый
гомоморфизм одной гомологической группы в другую НС —> HD
реализуется цепным отображением (здесь С — свободный ком-
комплекс, a D — любой комплекс), и С ~С"^НС^НС (если
как С, так и С — свободные комплексы).
1.12. Упражнения. 1. Действием группы (не обязательно
абелевой) л на (левом) ^-модуле М называется функция в,
относящая каждому элементу шел ^-автоморфизм 6 (со) мо-
модуля М и такая, что 6(co1cu2) = Fcu1) ° @со2). Пусть Q = Rn —
групповое кольцо группы л над R: как аддитивная группа Q
есть свободный /?-модуль, порожденный элементами группы п,
а умножение в Q задается формулой (X га ¦ со) (? га' • со') =
= 1>О/Ш'ЫСОСО').
Докажите, что понятия п-действия и Q-структуры эквива-
эквивалентны. Если л — свободная циклическая группа (jx = Z), то
задание я-действия эквивалентно заданию /^-автоморфизма
а(= 6A)) модуля М.
2. Пусть Q, = R[u] — кольцо полиномов от переменной и
с коэффициентами в кольце R. Покажите, что задание Q-струк-
Q-структуры Ф в М равносильно заданию структуры /^-модуля в в М
и ^-автоморфизма р(—Ф(«)) модуля М.
3*. Модуль над кольцом R — Z/nZ, п > 0, — это то же, что
абелева группа М, удовлетворяющая условию пх = 0 для всех
хеМ. Докажите, что каждый /^-модуль является прямой сум-
суммой модулей вида Z/rnZ, где пг делит п (ср. Капланский
[1, теорема 6]).
4. В П. 3.6 приведен пример такого свободного комплекса К.
над кольцом R = ZIAZ, что НК = 0, но К^О. Это означает,
что не все результаты § 4 гл. II обобщаются на произвольные
кольца R. Однако если R — некоторое кольцо и С — такой сво-
свободный R-комплекс, что НС = 0 и Сг = 0 при i < 0, то С ~ 0.
Докажите этот факт (по индукции построив нуль-гомотопию
sn: Cn—>Сп+]) и выведите из него (ср. доказательство П.4.3),
что при любом R любое цепное ^-отображение f: С -*¦ С, где
С и С — свободные ^-комплексы с С* = 0 = С; при i < 0, индуци-
индуцирующее изоморфизм в гомологиях Hf'- HC^HC, является
гомотопической эквивалентностью. Следствие; если С и НС
свободны и Cj = 0 при / < 0, то С си НС.
2. Аддитивные функторы 161
2. Аддитивные функторы
Мы изучим функторы из категории R-Mod левых R-uq-
дулей в категорию s&S абелевых групп. Используются как ко-
вариантные, так и контравариантные функторы, но существенной
разницы между ними нет (они двойственны друг другу). В дей-
действительности если бы нам пришлось заменить категорию зФ'З
произвольной абелевой категорией з&, то все равно понятия
ковариантного и контравариантного функтора были бы эквива-
эквивалентны (ср. I. 1.5). Мы не можем использовать здесь эту фор-
формальную эквивалентность, но все же часто будем исследовать
лишь ковариантные функторы, доверяя способности читателя
дуализировать изложенное. Чтобы облегчить эту работу, мы
будем маркировать такие пункты значком #; для дуализации
читатель должен заменить ковариантность контравариантностыо,
обратить каждую стрелку вида ^ф (где ер есть /^-гомоморфизм),
изменить порядок сомножителей в каждой композиции вида
(t(f) (/ф) и в категории s4-*& поменять местами компоненты сле-
следующих пар: сумма — произведение, левый — правый, эпи — моно,
ker — coker, im — coim.
2.1*. Определение. Функтор t: R-Jtod-+ slS называется
аддитивным, если для любых /^-модулей М, N и любых а,
PeHom^OW, N) выполнено равенство /(а + р) = ta + /р. По-
Последнее означает, что отображение t: Нотя (М, N)~+Homz(tM, tN)
является гомоморфизмом; в частности, /0 = 0.
2.2*. Замечание. Если кольцо R коммутативно, то для лю-
любого элемента a^R и любого ^-модуля М умножение на а,
Qa- M-+M, Qa(x) = ax,
является модульным гомоморфизмом. Действительно, ва (гх) =
= а {гх) = г (ах) = гва [х) для всех г е R.
Применение аддитивного функтора t дает гомоморфизм
t®a: 1M-*tM. Благодаря этому можно определить ^-структуру
на Ш формулой ay = (t@a)y, ai=R, y^tM. Равенства A.2)
следуют из (очевидных) равенств 0i = id, @ab — ®а®ь, ®онб =
= ва + вй. Если /: М -> М' — модульный гомоморфизм, то
/в0 =GJ; следовательно, {tf){tSa)=(tea) {tf), и потому tf: tM-*tM'
также есть модульный гомоморфизм. Все это показывает, что
любой аддитивный функтор /: R-Jlod^>- s4S можно автомати-
автоматически рассматривать как функтор из категории ^-модулей
в категорию /^-модулей, t: R-Jtod-+R-Jtod.
Если кольцо R не коммутативно, но а лежит в центре cR
кольца R, то умножение ®а все же будет ^-гомоморфизмом.
Таким образом, любой аддитивный функтор / можно рассмат-
рассматривать как функтор /: R-Jtod-* cR-Jtod,
152 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
2.3*. Предложение. Если t: R-JCod-*¦ s4-9 — аддитивный
функтор и {ty. Мц-*- М}, ц = 1, 2, ..., г, — представление прямой
суммы в категории R-Mod, то {ti^: tM^-^tM} — представление
прямой суммы в категории M-'S. Другими словами, функтор t
переводит прямые суммы в прямые суммы.
Доказательство. Пусть pv: M-*Mv, v = 1, 2 г,—
проекции, определенные условиями /v'n = 0 при v Ф \х и
pvJv = id. Тогда 2_,ivpv —id. Применение функтора t дает
V
(/pv)(^'li) = 0 при v^(i и (tpv) (Ну) = id,
V
2.4*. Определение. Аддитивный функтор /:
вообще говоря, не коммутирует с бесконечными суммами (см.
упр. 3). Если же он с ними коммутирует, то называется сильно
аддитивным. Более точно, t является сильно аддитивным, если
для любого семейства {MY}Yer /^-модулей
\еГ
есть изоморфизм (iv: Mv—>@My — вложения^.
В ковариантном случае сильная аддитивность следует из
эпиморфности отображения {//Y}.
2.5. Предложение. Для любого ковариантного аддитивного
функтора t: R-JKod-*s4-4§ и любого семейства {Мч} г R~мо-
R~моду лей отображение
мономорфно (iv: My —> $ Му — вложения'].
Доказательство. Для любого конечного подмноже-
подмножества К множества Г рассмотрим коммутативную диаграмму
J{"?>
к
где iк• ф Мь -> © Мv — вложение частичной суммы. Левое
вертикальное отображение является изоморфизмом в силу пред-
2. Аддитивные функторы 163
ложения 2.3. Отображение iK имеет левое обратное я, и потому
отображение Нк имеет левое обратное tn; следовательно,
йк — мономорфизм. Диаграмма показывает теперь, что отобра-
отображение {Ну}, суженное на частичную сумму фША, мономорфно.
Так как всякий элемент группы фШу лежит в некоторой ко-
нечной частичной сумме, то и полное отображение {tiy} моно-
мономорфно. []
2.6*. Определение и предложение. Если t: R-
есть аддитивный функтор и
с- с <д с <д с
есть R-комплекс, то
'i+i
tC: . . . <—tL, ¦*— iL i
— тоже комплекс (так как (td)(td) =t(dd) — 0). Если f =
= {/t-: С{-^С'^, —цепное отображение, то tf={tf{: tC^tC'^ —
тоже цепное отображение. Если s- f ~ g есть цепная гомотопия,
ds + sd = f — g, то (td) (ts) + (ts) (td) = tf — tgu потому ts: tf~tg —
тоже цепная гомотопия. Таким образом, каждый аддитивный
функтор t: R-Mod -> s^& распространяется до сохраняющего
гомотопию функтора dR-Jtod—>ds&2?, который мы обозначаем
той же буквой. Так как функтор t сохраняет гомотопию, он
переводит гомотопически эквивалентные комплексы в гомото-
пически эквивалентные комплексы. []
2.7. Соглашение. Если t — контравариантный функтор,
то мы приписываем группе t (Сг) размерность —i, так что
(tC)i = t(C-i). Мы пишем также (tCI = (tC)_. =t{Ct); анало-
аналогичные обозначения используются для циклов, границ и т. д.;
например, ННС = Н-^С.
Вообще говоря, из наличия гомологического изоморфизма
HCs^HC не следует, что HtCsskHtC. Более того, из равенства
НС = 0 не следует, что ШС = 0, т. е. функтор / не переводит
точные последовательности в точные (см. упр. 4). Однако спра-
справедлива следующая теорема:
2.8*. Предложение. Если функтор t: R-jKod^si-'S пере-
переводит короткие точные последовательности 0 —>• М' -*¦ М ->¦ М" ->¦ 0
в короткие точные последовательности, то ШС ^ ШС для лю-
любого комплекса С из категории R-JCod. В частности, t переводит
произвольные точные последовательности (ацикличные комплексы)
в точные последовательности,
Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Доказател
строка и столбец
0
ь ст
0 —
во. В диаграмме
0
С
точны. Применяя /, получаем диаграмму
i
0
I
н
снова с точным столбцом и точной строкой. Отсюда следует,
что ZtC = ker {td) = IZC и BtC = im {td) = tBC. Применяя, далее,
/ к точной последовательности
мы получаем точную последовательность
о -* Btc -» ztc -> me -> о.
Таким образом, tHC = HtC. Q
Вот еще один случай, когда группа НС определяет группу HtC.
2.9*. Предложение. Если кольцо R наследственно и С,
С — такие свободные ^-комплексы, что НС^ НС', то HtC ^ HtC
для любого аддитивного функтора t.
Действительно, НС^ НС^>С~С (см. П. 4.8); следова-
следовательно, tC~tC (см. 2.6), и потому HtC^ HtC. []
Заметим, однако, что доказательство не дает выражения
группы HtC через группу НС. В ряде следующих параграфов
мы будем уделять много внимания этой проблеме, которая
исторически была, между прочим, одной из основных движущих
сил гомологической алгебры.
Так как аддитивные функторы, вообще говоря, не сохраняют
точность, имеет смысл классифицировать их в соответствии с их
поведением на (коротких) точных последовательностях. Для
удобства читателя мы дадим таблицу общепринятых назва-
названий, хотя пользоваться будем лишь некоторыми из них. Если
2. Аддитивные функторы 165
для всякой точной последовательности 0 -> М' -» М -*¦ М" -> О
в категории R-Jlod отрезок последовательности 0-»¦ Ш'->¦ Ш->
->Ш"->0, выписанный во втором столбце приведенной ниже
таблицы, точен, то функтор t получает соответствующее на-
название из первого столбца:
,*
Точный
Точный слева
Точный справа
Полуточный
Монофунктор
Эпифунктор
0
0
0
—>tM
—>Ш'
tM'
tM'
->tM'
-* Ш -> tM"
-> Ш -> tM"
-» Ш -> Ш"
-> Ш -> Ш"
B.10)
В некоторых случаях точность последовательностей из правого
столбца доказывается при более слабых предположениях; на-
приме}:
2.11*. Предложение. Если t: R-Mod-*sf>8 — ковариантный
точный справа функтор и последовательность М' —*¦ М —> М" —> 0
точна, то последовательность tM'—*¦ tM-*-tM" -*Q тоже точна,
т. е. нет необходимости предполагать отображение / мономорф-
ным. Отсюда следует, например, что композиция ковариантных
точных справа функторов — точный справа функтор.
Доказательство. Рассмотрим следующие последователь-
последовательности:
0 -» кег (/) -> М' -> im (у) -> 0, 0 -> im (/) -+М-+ М" -> 0;
из их точности следует, что точны последовательности
t (кег (/)) -+tM'-+t (im (/)) -> 0, t (im (у)) -> tM -> tM" -> 0.
Сравнивая две эти последовательности, мы получаем, что
точна и последовательность tM'—> tM—>tM"-+Q. []
2.12. Упражнения. 1. Пусть (X, Л) —пара пространств и
t: MS'—>sf-'S — аддитивный функтор. Можно применить его к син-
сингулярному комплексу S(X, А) и перейти к гомологиям. Возни-
Возникающие группы HtS (X, А) называются t-гомологическими груп-
группами пары (X, А) и обозначаются через Н(Х, A; t). Изучите
формальные свойства групп Н (X, A; t), аналогичные свойствам
групп Н{Х, А) = Н(Х, A; Id) из гл. III. Докажите, что Ht{Sn; t)s*
^ tZ для i = 0, п и что Hi (Sn; t) — 0 в остальных случаях (п > 0).
Мы вернемся к функторам Н (X, A; t) в § 7.
2. Докажите, что если функтор t: R-JCod-+stf-d переводит
прямые разложения в прямые разложения, то он аддитивен
(обращение предложения 2.3),
Гл. VI. Функторы на категории комплексов
3. Постройте такую абелеву группу Л, что функтор tX =
= Нот2(Л, X) не является сильно аддитивным.
4. Комплекс
9 9 9
ацикличен, а комплекс /С, где / = Homz(Z2, ), не ацикличен.
5. Пусть t: R-Лой-^- s4-& — аддитивный функтор и С — сво-
свободный /^-комплекс, у которого гомологии НС свободны и
Ct = О при г < 0. Тогда Я/С = ШС. (Указание: воспользуйтесь
упр. 1.12.4.)
6. Докажите, что для любой абелевой группы Л функтор
tX = Uova{X, А), ^еД контравариантен, сильно аддитивен
и точен слева, а функтор /Z = Z <8> А, 1ё л^^1 (тензорное умно-
умножение — см. § 5), ковариантен, сильно аддитивен и точен справа.
Если группа А конечно порождена, то функтор /^ = Нот(Л, X)
ковариантен, сильно аддитивен и точен слева, а функтор
Нот (Нот (Л, X), Q) контравариантен, сильно аддитивен и точен
справа. Функтор /, относящий каждой абелевой группе ее сво-
свободную часть, tX — Xj{orsion{X), не является полуточным.
3. Производные функторы
3.1. Пусть R-J?odf — категория свободных (левых) .^-модулей и
t: R-Modf ->б4-& — аддитивный функтор. Мы хотим, насколько это
возможно, выразить для свободного ^-комплекса С группу HtC
через НС. Простейшими нетривиальными комплексами являются,
по-видимому, те, для которых лишь один гомологический модуль
отличен от нуля; например, НС = (Л, 0). Этим мотивируется опре-
определение резольвенты: (свободной) резольвентой называется сво-
свободный ^-комплекс Р, для которого Р; = 0 при / < 0 и Я;-Р = 0
при / ф 0; резольвента модуля М е R-Mod — это резольвента Р,
для которой задан изоморфизм H0Ps*M. Если Р, Р' — резоль-
резольвенты, то через я(Р, Р') обозначается абелева группа гомото-
гомотопических классов цепных отображений Р->Р'. Резольвенты и
гомотопические классы цепных отображений образуют категорию,
которую мы обозначаем через R-ffl.es, а нульмерные гомологии
определяют функтор Яо: R-9tes-* R-Mod.
3.2. Предложение. Функтор Но является эквивалентностью
категорий, т.е. существует такой функтор F: R-Jjfod—*-R-ffl.es,
что функторы H0F и FHU эквивалентны соответствующим тож-
тождественным функторам.
Это предложение мы докажем немного позже,
3. Производные функторы 167
3.3* '). Следствие и определение. Существуют единствен-
единственные с точностью до эквивалентности функторы tj\ R-Jlod —* з&З,
/ = 0, 1, ..., такие, что для любой резольвенты Р <= R-0les
причем эти изоморфизмы естественны по Р. Функтор tf назы-
называется j-м производным функтором функтора t. Для всякого
естественного преобразования tp: t->tr и всякого } существует
единственное естественное преобразование ер.: t -+f, такое, что
диаграмма
HttP ——> Hjt'P
IK IR
t,HoP ¦*
коммутативна; <fj называется j-м производным преобразованием
преобразования ф.
Доказательство. Положим tj = HjtF, где F — функтор
из предложения 3.2. Функтор // обладает требуемыми свойствами:
tjH0P = HttFHuP ^ Hjt (id) P = HjtP. Если функтор t, тоже обла-
обладает этими свойствами, то ijM ^ tj {H0F) M = tjH0 (FM) =
?* H)t(FM)?ztjM. Часть предложения, относящаяся к преобра-
преобразованиям, доказывается точно так же. []
Следующая лемма необходима для доказательства предло-
предложения 3.2:
3.5. Лемма. Если Q — такой R-комплекс, что HSQ = 0 при j ф 0,
и Р — такой свободный R-комплекс, что Pj = Q при j < 0, то
отображение
Но: п(Р, Q)->HomR{H0P, H0Q),
где я — множество гомотопических классов цепных отображений,
является изоморфизмом. Это верно, в частности, если Р и Q —
резольвенты.
Доказательство. Мы можем считать, что Qj = 0 при / < 0;
в противном случае можно изменить Q, взяв Z0Q вместо Qo и 0
вместо Q/ с / < 0; группы, соединяемые нашим отображением Яо,
при такой замене не меняются.
') Значок * имеет тот же смысл, что и раньше; необходимо только доба-
добавить, что при дуализации tj превращается в /', a HjtC — в Н~ЧС.
168 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Чтобы доказать эпиморфность отображения Яо, мы должны
для данного а определить отображения /0, flt f2, ••-, делающие
коммутативной диаграмму
г\ ' ^ г г г\ г»
Это можно сделать последовательно, используя на каждом шаге
лемму II. 4.7.
Предположим теперь, что /: P-+Q — цепное отображение,
для которого Яо/= 0. Надо доказать, что /^0, т. е. построить
отображение s(={sk: Pk~*Qk+\}), Для которого <5sfe + sfe_j<5 = /A.
Применим индукцию по k, начинающуюся с s—1 = 0. Переход от
k — 1 к k состоит в построении отображения sk, делающего ком-
коммутативной диаграмму
(при k = Q вместо Qk—\ следует взять H0Q). Существование та-
такого отображения снова следует из леммы II. 4.7. []
3.6. Следствие. Пусть f: P-*P' — такое цепное отображение
одной резольвенты в другую, что Hof: Н0Р-> Н0Р' — изоморфизм.
Тогда f есть гомотопическая эквивалентность. (Это частный слу-
случай упр. 1.12.4.)
Доказательство. В силу 3.5, существует цепное отобра-
отображение g: P'-*P, для которого HQg = {Hof)~>. Следовательно,
#o(fg) = id, #0(g/) = id, и, еще раз применяя 3.5, мы получаем,
что fg~id, gf ca id. Q
Доказательство предложения 3.2. Для каждого
М е R-Жой определим последовательность
C.7) 0 ч- (F_1ЛГ ==) М <^- F0M ^-F^*-
/^-модулей и /^-гомоморфизмов, взяв за FkM (k ^ 0) свободный
/?-модуль, порожденный элементами х е ker (dk-{) (мы считаем,
что C_1 = 0), и положив dk{x) = x {x e ker(dft_[)). Кроме того,
для всякого /^-гомоморфизма а: М—>М' определим гомоморфизмы
ffcM->• ffcM' условием: F^a = а и Ffca с ^0 переводит
3. Производные функторы 169
свободную образующую х модуля FkM в свободную образующую
(Fk-.id)(x) модуля FkM'. Мы получаем функторы Fk: R-J(od->
-> R-Aod и естественные преобразования dk: Fft->Fft_,. Более
того, последовательность C.7) точна, так что FM = (FkM, <3ft)
есть резольвента, функториально зависящая от М, а д0 есть изо-
изоморфизм HuFMs*M. Итак, мы построили функтор F: R-JCod-*
-* R-ffles и эквивалентность H0F ~ Id. Следовательно, для
каждого Р е R-ffles существует изоморфизм рР: H0(FH0P) =
= (H0F)(H0P)-^ Н0Р, и он является естественным по Я. В силу
леммы 3.5, определен элемент Но ' (рР) е я (FH0P, P); совокуп-
совокупность этих элементов представляет собой естественное преобра-
преобразование #о~'р: FHo-+ld. Но, в силу 3.6, отображение Но1 (рР)
является при всяком Р гомотопической эквивалентностью, и, сле-
следовательно, #о~'р: FH0->ld есть эквивалентность. []
3.8. Предложение, (i) Имеется естественный изоморфизм
i: t01 R-Jiodf ^ /; если j > 0, то t, | R-J(odf — 0.
(ii) Для любого аддитивного функтора Т: R-Mod -> .s^^1 « лю-
любого естественного преобразования tp: t—>T\R-Mod* существует
единственное естественное преобразование Ф: ta—>T, такое, что
Ф | R-f
Например, если R — тело, то любой модуль М свободен, а
потому tos^t и /;- = 0 при / > 0. Для произвольного кольца
утверждение (ii) характеризует t0 как функтор, обладающий не-
некоторым универсальным свойством (ср. Митчел [1, VI. 5]); функ-
функторы tj с / > 0 могут быть аналогичным образом охарактеризо-
охарактеризованы как сателлиты (см. Картан и Эйленберг [I, V.6]).
Доказательство, (i) Для свободного модуля М его ре-
резольвентой является (М, 0), и потому ttM^Hjt(M, 0)~Hj(tM, 0).
(ii) Рассмотрим диаграмму
0+-t0M*-taF0M+-t0FlM
C.9) ;ф |?1 jw
0 <- ТМ <- TF0M <- TfjAl
строки которой получаются из C.7) применением функторов /0
и Г. Первая строка точна ввиду изоморфизмов t0M = HotFM =
= H^qFM (последнее равенство следует из (i)). Поэтому диа-
диаграмма C.9) допускает единственное пополнение Ф: t0M-*TM.
Если модуль М свободен, то пополнением является <pi: tM
и потому Ф = ф1. Q
170 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
3.10. Предложение. Для любой точной последовательности
0->М'-*-*-М—>M"-*-Q в категории R-Mod имеется точная по-
последовательность
> fgAf" -> txM' -^ txM -^ /,ЛГ -> t0M' -^*Щ-^ tJA" -> 0.
В частности, функтор t0 точен справа.
Доказательство. Возьмем резольвенту Р' модуля М' и
рассмотрим комплекс
Q: Q*-M<?-P'q*?-P\<? ,
где 8—композиция Р'о—>Н0Р'^М'—*-М. Его гомологии скон-
сконцентрированы в размерности —1 и совпадают с coker (/) =М".
В силу 3.5, для произвольной резольвенты Р" модуля М" су-
существует такое цепное отображение /: р"~—>Q, что H—J: Н0Р" ->¦
—>H-iQ есть изоморфизм (другими словами, / — цепное отобра-
отображение Р"->Q степени —1). Конус С/ отображения / (см. II. 1.6)
есть комплекс
и он точен, поскольку Hf — изоморфизм (см. II. 2.14). Члены,
находящиеся справа от М, составляют, таким образом, резоль-
резольвенту модуля М (с Pi — P'i@P'[). Она содержит резольвенту Р',
и индуцируемое включением отображение Н0Р' ->Н0Р совпадает
с отображением /: М'-> М. Кроме того, PjP' ^P", т. е. имеется
точная последовательность
C.12) 0-+Р'-^Р-*/>"¦-> 0
резольвент, гомологическая последовательность которой совпа-
совпадает с последовательностью 0-*-М'—УМ—*¦ М"-+§. Приме-
Применяя t, мы получаем точную (в силу равенства Pi=P'i®P'i) по-
последовательность
C.13) O-WP'-WP-^P"-^,
гомологическая последовательность которой и является точной
последовательностью требуемого вида. []
3.14. Следствие. Любой аддитивный функтор t: R-Mod):-> М$
допускает единственное (с точностью до эквивалентности) точное
справа продолжение R-Jtod-> $Ф*3, а именно t0. Если функтор tQ
точен, то tj==O при j > 0.
Действительно, для любого другого продолжения Т имеется
естественный гомоморфизм Ф: t^M-^TM, определенный диаграм-
3. Производные функторы
мой C.9) с ф = id. В этой диаграмме строки точны (поскольку
функтор Т точен справа) и две правые вертикальные стрелки
являются изоморфизмами; следовательно, и Ф — изоморфизм.
Если функтор t0 точен, то Hjt0C ^ t0H fi для любого комплекса С
(см. 2.8). В частности, если Р — резольвента модуля М, то
tjM ^ Hjt0P a* t0HtP, т. е. t,M = 0 при / > 0. Q
3.15. Предложение. Если функтор t: R-Jlod''-> s4-"S сильно
аддитивен, то производные функторы tf. R-Mod-> sfiS, /2&0,
также сильно аддитивны.
Доказательство. Для произвольного семейства R-моду-
R-модулей {Му} г выберем резольвенты Ру, уеГ, Тогда P = 0PY —
резольвента модуля ф Му, и потому
v
3.16. Предложение. Если R — наследственное кольцо и
t: R-Jlod) —> s4& — аддитивный функтор, то tj = O при j > 1, а
функтор t\ точен слева.
Доказательство. Для данного модуля М е R-Jlod по-
построим эпиморфизм е: Ро—>М, такой, что Ро — свободный модуль
(например, за в можно взять гомоморфизм <90 из доказательства
предложения 3.2). Тогда модуль P1 = ker(8) свободен, и Р =
= (Р0<— Р, -«-О <—•••) есть резольвента модуля М с Р/ = 0 при
/ > 1. Таким образом, /уМ^Я/Р = 0 при / > 1, и из предло-
предложения 3.10 следует, что функтор ^ точен слева. []
3.17. Упражнения. 1. Пусть Ж и Ж' — произвольные катего-
категории и Я: Ж-+Ж' — такой функтор, что (i) Я: [X, Y]->[HX, HY]
есть взаимно однозначное соответствие для любых X, Y е ЛГ;
(и) каждый объект Ге/ эквивалентен некоторому объекту
вида НХ, где X е Ж. Тогда Я есть эквивалентность категорий,
т. е. существует такой функтор F: Ж'-*Ж, что FH <~ Id,
Я/7 ~ Id. (Ср. доказательство предложения 3.2.)
2. Пусть t: R-Modf -* ^S — аддитивный функтор. Докажите,
что функтор tj точен слева тогда и только тогда, когда ^+i=0.
3. Если кольцо R наследственно и t: R-Mod* —> s^—моно-
s^—монофунктор, то ^=0 и функтор t0 точен.
4. Докажите, что связывающий гомоморфизм t/+iM"-*-tjMr
из предложения 3.10 естествен по отношению к гомоморфизмам
коротких точных последовательностей.
172 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
5. Если R — кольцо Z/p2Z с простым р, то для любого функ-
функтора U R-Jtod)'-*¦ sd-'S', любого модуля M^R-Mod и любого
натурального / имеет место изоморфизм t!+1M sztjM.
4. Формула универсальных коэффициентов
Как и выше, мы рассмотрим аддитивные функторы t: R-J(odf—>
-*s4-'S, продолженные, как в 2.6, на комплексы С свободных
модулей. Предполагая кольцо R наследственным, мы докажем
формулу универсальных коэффициентов
название мотивируется несколькими важными частными слу-
случаями (см. § 7). Мы сохраняем обозначение * предыдущих па-
параграфов, позволяющее нам ограничиться рассмотрением кова-
риантных функторов.
4.1*. Пусть С — свободный ^-комплекс. Включения ВС—*•
-* ZC—> С и граничный оператор д: С -> ВС можно рассматри-
рассматривать как цепные отображения, только во втором случае нужно
сдвинуть размерности на 1, т. е. заменить комплекс ВС его над-
надстройкой ВС+ (напомним, что С„ =Сп-\, дс+ = — дс; см. II. 1.3,
пример 4). В частности, мы можем (и будем) применять к этим
отображениям функтор H°t. Если кольцо R наследственно, то
комплекс ВпС свободен и потому ВпС-—>ZnC — резольвента
модуля НпС, так что coker (hn) s* tQHnC, ker (hn) ^ txHnC.
4.2*. Теорема об универсальных коэффициентах.
Если кольцо R наследственно и С — свободный R-комплекс, то
существуют единственные отображения а, р, которые делают
коммутативной диаграмму
coker {h) ?* t0HC
t0
D.з) tec — tzc ™г me H^l tBC+ -^ tzc+
t
^ ker (ft)
Отображения а и р естественны по С (т. е. коммутируют с цеп-
цепными отображениями). Последовательность
D.4) 0->tuHnCa-^~HntC^-?tlHn-lC-*0
4. Формула универсальных коэффициентов 173
точна и расщепляется. (Она называется последовательностью
универсальных коэффициентов.)
4.5. Замечание. Поскольку последовательность расщепляется,
HJC = t0HnC®tlHn-1C; однако расщепление это, вообще говоря,
неестественно (см. упр. 1).
4.6. Замечание. На языке элементов и представителей ото-
отображения аир описываются следующим образом. Пусть х е
е /,,//С — смежный класс элемента х е tZC. Тогда а(х) — гомо-
гомологический класс элемента (ti)x^ZfC, а(х) = [(ti)x]. Чтобы опи-
описать р, рассмотрим элемент у е ZtC = ker (tdC: tC->tC). Гомо-
Гомоморфизм d — (td: tC ->tBCj отображает у в группу ker (/i) =
= t1HC+, и мы полагаем $[y] = d(y).
Доказательство теоремы 4.2. Докажем сначала
точность средней строки диаграммы D.3); из нее будут следо-
следовать существование и единственность гомоморфизмов а и [3 и
точность последовательности D.4). Рассмотрим точную после-
последовательность
D.7) O-^ZC-^C-^ BC+->0.
Так как комплекс ВС+ свободен, последовательность D.7) рас-
расщепляется в каждой размерности; поэтому последовательность
D.8) 0-*tZC — >tC-^tBC+->0
тоже точна. Рассмотрим следующий отрезок ее гомологической
последовательности:
D.9) tBC+ ± tZC ^ ШС ^ tBC+ -± tZC.
Мы хотим доказать, что dt = h, т. е. что последовательность
D.9) совпадает со средней строкой диаграммы D.3), которая
благодаря этому точна. Как уже говорилось, последователь-
последовательность D.7) расщепляется в каждой размерности; значит, суще-
существуют такие q: BC+-+C,j: C-^-ZC, что dq = id, /7 = id, jq = O,
ij-{-qd = id. Отображения tq и tj расщепляют, очевидно, после-
последовательность D.8), и потому dt — (tj)(tdc)(tq) = t(jdcq) (см.
II. 2.12). Но из dq = id, /7 = id следует, очевидно, что jdcq — i;
поэтому d» = fi, что и требовалось.
Осталось доказать, что последовательность D.4) расще-
расщепляется. Как и выше, пусть /: С ->ZC — ретракция на циклы
(/7 = id). Тогда композиция у: С —> ZC—> НС, где ti — переход
к смежным классам, является цепным отображением, причем
yi = ту7 = т). Поэтому (*от)), = (tQy\ (V), = (*oY), a D1!)» (последнее
174 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
равенство справедливо в силу определения а). Так как (tof])t
есть эпиморфизм, то {toy)t a = id — требуемое расщепление. Q
При заданном функторе t заключение теоремы 4.2 можно
следующим образом распространить на некоторые несвободные
комплексы:
4.10*. Предложение. Если комплекс С из категории Ц-Mod
(R наследственно) удовлетворяет условию Я^С = 0, то имеется
естественная точная последовательность
D.11) 0 -> hHnC —¦> Hnt0C —* txHn-xC -> 0
и эта последовательность расщепляется. (Заметим, что t0C = tC,
t1C = Q и для любого свободного комплекса С; см. 3.8.)
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 0 0
У V У
V
0
у
0
0
где Cfn — свободный ^-модуль, порожденный элементами модуля
Сп< nn = (dn + lPn+VPn)> Pn- Cln-*Cn~ ГОМОМОрфиЗМ, ОТНОСЯЩИЙ
каждой образующей модуля Cfn соответствующий элемент мо-
модуля Сп (это — гомоморфизм д0: F0Cn-^Cn из доказательства
предложения 3.2), /(„ = ker (я„), in — включение и одна из ком-
компонент гомоморфизма dn есть нуль, а другая — включение
[dn\ Cfn+i = 0, dn\ Crt = (id, 0)). Рассмотрим строки диаграммы
как комплексы. Тогда диаграмма становится короткой точной
последовательностью цепных отображений
D.13) 0->/С—>С^>С->0.
Далее, комплекс С свободен, следовательно, свободен и ком-
комплекс К, а потому Кп-*Сп — резольвента модуля Сп. Применяя
функтор Hot к столбцам диаграммы, мы получаем, следова-
4, Формула универсальных коэффициентов 175
тельно, группы /0С, txC, т. е. точную последовательность цепных
отображений
Q-*tfi-+tK.-^tC-^ tQC -> 0,
или
D.14) 0 -> tKlhC Jl> tC-^toC-+O.
Далее, комплекс С нуль-гомотопен; в действительности он
является конусом над комплексом {Cfn+i, д = 0) (сразу видно,
что он ацикличен и что группы циклов ZnC = Cl+i являются
прямыми слагаемыми; далее применяется II. 3.6), поэтому tC c^ О
и, следовательно, HtC = 0. Таким образом, НпС ?* Нп_хК, и из
точности гомологических последовательностей коротких точных
последовательностей D.13), D.14) вытекает, что HntQC^i
s^ Hn—i{tKltxC). Кроме того, HtxC — 0 по условию, и потому
точность гомологической последовательности влечет за собой
изоморфизм #„_, (</С//,С) s=? Hn-itK- В силу 4.2, имеется есте-
естественная точная последовательность (которая расщепляется)
Подставляя сюда Я//С = Я/+1С, Нп-^К = HJ0C, мы получаем
требуемый результат. []
4.15. Упражнения. 1. Рассмотрим функтор t: s?$->s?$,
tA = А/2 А, т. е. факторизацию группы Л по подгруппе {а+а| а^А}.
Покажите, что не существует ненулевого естественного гомо-
гомоморфизма ф: HJC ->t0HnC (для свободных комплексов С).
В частности, не существует естественного изоморфизма HntC ^
^t0HnC@tiHn--[C. (Указание: покажите сначала, что ер = 0, если С
есть следующий комплекс: Ct = 0 для 1фп, п — 1, Cn = Cn_1 = Z,
д„ = 2; для любого другого комплекса С и элемента y^HJC'
существует такое цепное отображение /: С-*-С, что t/eim^/)»;
затем примените естественность.)
2. Пусть R— наследственное кольцо, t: R-JCodf-*s4-'S —
аддитивный функтор и Q-+C'—->¦ С—¦*С"->0 — точная после-
последовательность свободных /^-комплексов. Возникает диаграмма,
связывающая отображения г„, р„, д» из гомологической после-
последовательности и отображения а, р из последовательности уни-
универсальных коэффициентов. Проверьте ее коммутативность.
3. Покажите, что последовательность универсальных коэф-
коэффициентов D.11) коммутирует с естественными преобразова-
преобразованиями t->f аддитивных функторов.
176 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
5. Тензорное и периодическое умножения
Мы рассмотрим сильно аддитивные ковариантные функторы
t: R-Jlo$ -> $1% из категории свободных модулей и покажем,
что они полностью характеризуются группой tR — значением
функтора t на кольце коэффициентов. Их производные функторы
называются периодическими умножениями и обозначаются так:
tjM = Torf (tR, М). Функтор t0 чаще называют тензорным умно-
умножением; его значение на модуле М обозначают через (tR)®RM
или, когда путаница исключена, просто через tR ® M. Если
кольцо R наследственно, то вместо t\M. обычно пишут (tR)*RM
или {tR)*M (напомним, что в этом случае ^ = 0 при /> 1).
Двойственные результаты обсуждаются в следующем параграфе;
связь между двумя этими случаями мы рассмотрим позже.
5.1. Определение. Пусть t: R-Mod)->з4& — аддитивный
ковариантный функтор. Само кольцо R является (левым) ^-мо-
^-модулем (структура определяется обычным умножением гх), и
правые сдвиги
рг- R->R, pr(x) = xr, ге]?,
являются модульными гомоморфизмами. Применяя /, мы полу-
получаем преобразование t(pr): tR—>-tR. Из равенств t(prr') =
= t{pr'°pr) = t(pr')°t (pr) и t(pl) = t(\d) = id следует, что можно
определить правую R-структуру на tR формулой у г = (tpr) (у),
г е R, у ^tR. Говоря о tR как о правом ^-модуле, мы всегда
будем иметь в виду именно эту структуру.
Пусть Ф: t~>f — естественное преобразование. Условие есте-
естественности, примененное к гомоморфизму pr: R-> R, в точности
означает, что Фк: tR->t'R есть ^-модульный гомоморфизм.
Пусть [t, /'] обозначает множество классов естественных пре-
преобразований из t в /', и пусть е: [t, t'\—>Homft{tR, t'R) — ото-
отображение, относящее преобразованию Ф: t-*f его значение ФЛ
на кольце R.
5.2. Предложение. Для любого сильно аддитивного функ-
функтора t отображение е: [t, t'\ —> НотЛ (tR, t'R), определяемое фор-
формулой е(Ф) = Фд, является изоморфизмом. Другими словами,
естественное преобразование Ф: t->f полностью определяется
своим значением Q)R: tR-+t'R на кольце коэффициентов, и это
значение может быть любым.
5.3. Следствие. Если оба функтора t, t': R-Жой? -> s?3
сильно аддитивны, то R-изоморфизм tRszt'R влечет за собой
эквивалентность t ~ t'.
5. Тензорное и периодическое умножения 177
Доказательство. Пусть tR —> t'R—> tR — взаимно
обратные изоморфизмы. В силу 5.2, существуют естественные
ф Ф'
преобразования i—> t'—>t с ФЛ = ф, Фд = ф'. Следовательно,
(Ф'Ф)Л = ф'ф = id, и потому Ф'Ф = id в силу части предложе-
предложения 5.2, касающейся единственности. Аналогично O®/ = id.
5.4. Следствие. Пусть Т, Т': R-jiod—> sPS — аддитивные функ-
функторы. Предположим, что Т сильно аддитивен и точен справа.
Тогда
е: [Т, Г] -> НотЛ [TR, Г R], е (Ф) = ФЛ,
есть взаимно однозначное соответствие. Если функтор Т' также
сильно аддитивен и точен справа и если ФЛ: TR-+T'R есть изо-
изоморфизм, то Ф: Т—>Т есть эквивалентность.
Доказательство. Положим
t = T\ R-JlodK t' = T'\ R-Jlodh
Тогда T^t0 в силу 3.14 и [Т, Г]^[/о, T']^\t,t'\ в силу 3.8 (И).
Наше первое утверждение, наличие изоморфизма [Т, Т'} s;
^ Ногпд (tR, t'R), следует теперь из 5.2, а второе выводится из
первого так же, как 5.3 из 5.2.
Доказательство предложения 5.2. Предположим,
что ФЛ = 0. Пусть М — свободный 7?-модуль и i: R—>M — про-
произвольный ^-гомоморфизм. Из коммутативности диаграммы
следует, что im (h) a ker (Фм). Из сильной аддитивности функ-
функтора t (и того факта, что модуль М свободен) следует, что
модули im (ft.) с переменным i порождают tM. Поэтому Ф^ = 0.
Так как отображение е, очевидно, аддитивно, отсюда следует
его мономорфность.
Для доказательства эпиморфности возьмем ^-гомоморфизм
ф: tR-+t'R. ПустьМ — свободный ^-модуль ni={iy: R-> A4}yE,T —
представление в виде прямой суммы (эквивалентно — базис).
По предположению {tiy: TR->tM}r~ тоже представление
в виде прямой суммы. Поэтому формулы Ф' о (tiy) = (t'iy) о ф опре-
определяют гомоморфизм
E.5) Ф': tM-ft'M.
178 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Мы утверждаем, что гомоморфизм Ф = Ф' зависит только от
модуля М (а не от его базиса i) и является естественным пре-
преобразованием с е (Ф) = ф.
Пусть g: R-*M есть /^-гомоморфизм. Тогда g(l) есть конеч-
конечная линейная комбинация базисных элементов, g{l) = J^rkik(l) =
к
= 1ХЫ, где rk<=R, и потому g = ^ih°(>k, где pk: R-^R —
к к
правый сдвиг на гк. Следовательно,
E.6) Ф' с (tg) = ф; о /? ик о /рЛ = ? ф* о tik °tPk = Z t'ik о Ф о tPk =
V к ) к к
= D *% ° t'Pk ° Ф = ? (D ift о рЛ о ф = t'g о ф
к \ к )
(третье равенство следует из определения отображения E.5),
а четвертое — из того, что ф есть ^-гомоморфизм).
Пусть теперь М а N — свободные ^-модули с базисами I
и /, и пусть /: M-+N — произвольный /^-гомоморфизм. Мы по-
покажем, что
E.7) Ф/о(^) = (^)оф'.
Полагая M = N, / ===== id, мы получаем Ф' = Ф1, т. е. Фм ==Ф'
зависит только от М; снова считая отображение f произвольным,
мы получаем, что отображение Фм естественно (по М). Так как
равенство Фя=ф очевидно, нам остается лишь доказать E.7).
Поскольку {tiy: tR -> tM} есть представление в виде прямой суммы,
нам достаточно доказать справедливость равенства, получаю-
получающегося из E.7) компонированием с Нт Но
ф/ о (tf) о (Ну) == Ф' о t (fiy) = f (fiy) о ф = (t'f) о (t'iy) о <f = (t'f) о Ф' о Цу
(второе равенство следует из E.6)).[]
Мы показали, что сильно аддитивный функтор t: R-Jtodf
(или сильно аддитивный точный справа функтор t: R-Jtod- )
полностью определяется /^-модулем tR. Мы покажем теперь,
что этот модуль можно выбрать произвольно.
5.8, Предложение и определение (ср. Эйленберг [1] и
Уотте [1]). Для любого правого R-модуля L существует един-
единственный с точностью до эквивалентности ковариантный сильно
аддитивный функтор t: R-J(odi-* s4$ {или сильно аддитивный
точный справа функтор t: R-J?od-> ?Ф9), удовлетворяющий
условию tR^L. Он называется тензорным умножением на L;
обозначение: tM — L<8RM. Его производные функторы назы-
называются периодическими умножениями на L; обозначение:^ =
5. Тензорное и периодическое умножения 179
= Tor^(Z-, М). В частности, Tor^(L, M) = L <S>RM. Если R — на-
наследственное кольцо, то вместо TorJ^L, M) иногда пишут L*RM.
Доказательство. Необходимо установить только суще-
существование функтора t: R-Modf-» s&§ (существование продолже-
продолжения на всю категорию R-Jlod следует из 3.14, а единствен-
единственность — из 5.3 и 5.4). В каждом свободном ^-модуле X выбе-
выберем базис ВХ cz X; для X = R полагаем ВХ={\}. Пусть
tX — множество функций со: BX-+L, почти всюду равных нулю.
Подобно сингулярным цепям (см. §111.2), функция ш пред-
представляется в виде конечной линейной комбинации элементов
Ь е ВХ с коэффициентами со6 = соF) из L: со = 2 ®ь' Ь.
Ь<зВХ
Эти линейные комбинации можно покоэффициентно складывать,
и потому они образуют абелеву группу. Пусть а: Х-*Х' есть
^-гомоморфизм. Тогда для любого Ь е ВХ
V <= ВХ'
т. е. возникает конечный набор коэффициентов сф е R {матрица
отображения а). Рассмотрим отображение
E.9) ta: tX->tX', (ta) ( ? Щ-Ь)= ? ( ? ща1Л V.
\b<^BX ) b'^BX' \Ь<вВХ )
Равенство /(id) = id очевидно, а формула t(a°$) = ta°t$ пред-
представляет собой обычное правило умножения матриц. Итак,
t: R-Jtodf -> sffi есть ковариантный функтор.
Если а, Р: Х->Х' — два ^-гомоморфизма, то, очевидно,
(а +Р)б-=аб'+ Рь' и потому ?(а + Р) = Лх + ф; таким образом,
функтор t аддитивен. Ясно также, что имеется /^-изоморфизм
tR ^ L; остается доказать, что функтор t сильно аддитивен.
В силу 2.5, для этого достаточно доказать, что отображе-
отображение {tL}: © *Х„-> / ( ф ХЛ эпиморфно для любого семейства
{Ху} свободных модулей (iY — включение Vго слагаемого), т. е.
что любой элемент jef(®Ll содержится в некоторой ча-
\Y^r /
стичной сумме t ( ф ХЛ = ф tXk, где К а Г — конечное мно-
жество.
Пусть у = 2 со&-6 есть конечная линейная комбинация элемен-
элементов базиса В ( ф ZVV Каждый элемент этого базиса содержится
в некоторой конечной частичной сумме ф Ху, и потому существует
180 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
такое конечное множество К с Г, что со6=^=0=ФЬ еф Xk. Пусть
*"
— проекция и включение. Тогда со6=^=0=>(/р) b = 6, откуда
(//) (*/>) (г/) = / (jp) ? ©ft • b = ? ю6 • 0» 6 = I(iirft = jf.
Следовательно, г/ е im (//) = / ( ф Xft^ . []
5.10, Определение. Пусть L и L' — правые /^-модули и
/: L-+L' — произвольный ^-гомоморфизм. Тогда, в силу 5.4,
имеется естественное преобразование/®#: L<8)R-+ L'<8>x, такое,
что f®RR: L-+L' совпадает с /. Более того, для любого ^-го-
^-гомоморфизма g: M->Mf
M) = (f<8>RMf) o (L<8>Rg);
левая и правая части этого равенства по определению пред-
представляют собой гомоморфизмы
в частности, f<S)RM = f<8>RidM, L<8Rg=\dL<8>Rg.
Из определения следует, что \&l<S>r id;r = Hl®m и
(f®Rg) - (Г ®«/) = (/ о П®Л (g °g'),
если композиции определены. Эти формулы показывают, что
<S> R есть функтор двух переменных (L, M)^(J{od-R)X(R-J(od).
Далее,
первое равенство следует из того, что (fi-f-fs)®/? и /,<§>Л +
+ /я совпадают на /?, второе — из аддитивности функтора
5.12. Пример. Вычислим группы L<8>RM, L*RM для случая,
когда R = Z и М — циклическая группа. Для свободной цикли-
циклической группы М эё Z по определению L^M^L и L*Z = 0
(как и для любого производного функтора /,). Если М — конеч-
конечная циклическая группа порядка п, то, применив функтор L®
к точной последовательности
-> Z —>• Z -> Zn -*¦ 0,
мы получаем (в силу 3.10) точную последовательность
E.13) 0-»L*Zn->L ^L-
5. Тензорное и периодическое умножения 181
Следовательно,
E.14)
5.15. Следствие. Если L—конечно порожденная абелева группа
up — простое число, то dim (Z.® Zp) = rank (I) + dim (L * Zp), где
символом dim обозначена размерность векторного пространства
над полем Zp.
Полезность этой формулы — в ее связи с эйлеровой харак-
характеристикой (ср. 7.21). Для циклической группы L она сразу же
следует из E.14). В общем случае L представляется в виде
прямой суммы циклических групп, и формула вытекает из того,
что обе части аддитивны по L. []
В качестве интересного упражнения читатель может дока-
доказать тот же результат для группы L, не являющейся конечно
оо
порожденной, но такой, что любой элемент пересечения [\pnL
имеет конечный порядок, взаимно простой с р.
5.16. Пример. Назовем ^-модуль L плоским, если L0 —точ-
—точный функтор. Найдем все плоские абелевы группы (Z-модули).
Мы покажем, что функтор L®: sffi —*¦ s4-9 точен тогдаи только
тогда, когда группа L не имеет кручения, т. е. когда в L нет
(ненулевых) элементов конечного порядка, т. е. когда отобра-
отображение п: L-+L мономорфно для всякого целого п ф 0.
Если у е L — ненулевой элемент конечного порядка, скажем
п.у = 0г то 5.12 показывает, что последовательность
id® я
0->Z,®Z * L<g>Z-*L(g)Zn->0
не точна, и потому функтор L® не точен.
Для L = Z функтор L® = id, очевидно, точен. Если L — (ко-
(конечно порожденная и) свободная абелева группа, то Z.® есть
(конечная) прямая сумма тождественных функторов и потому
функтор L® точен. Возьмем теперь любую абелеву группу L
без кручения и выберем в ней конечно порожденную подгруппу F.
Если 0-^-д",—* Хо-* М-+ 0 — точная последовательность со
свободными Хь Хо, то
182 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
— коммутативная диаграмма с мономорфными вертикальными
стрелками (последнее становится очевидным, если воспользо-
воспользоваться описанной в доказательстве предложения 5.8 конструк-
конструкцией тензорного произведения как группы функций со значе-
значениями соответственно в F и L). Нижняя горизонтальная стрелка
мономорфна, так как группа F свободна (см. выше), и потому
отображение id®/ мономорфно на FQX^ Но любой элемент
представляется в виде конечной суммы X ®ь • Ь
с !>е ВХ (см. доказательство предложения 5.8); поэтому со е
^F<S>XU где F — свободная подгруппа группы Хь порожденная
множеством {со4}, и, следовательно, все отображение id®/ мо-
мономорфно. Поскольку Хх -> Хо — резольвента группы М, из этого
следует, что L * М = ker (id®/) = 0, и точность последователь-
последовательности 3.10 показывает, что функтор L® точен. []
В заключение параграфа сделаем несколько замечаний
о L®SM как о функторе переменной L. Уже запись L<8>M на-
наводит на мысль, что тензорное произведение зависит от L и М
симметричным образом; в § 8 мы увидим, что это действи-
действительно так (см. также упр. 1 (с)). Пока мы лишь покажем,
что функторы L<g>R и <8>RM обладают похожими свойствами
точности.
5.17. Предложение. Для любой точной последовательности
0 —> U -> L -> L" -> 0 в категории Mod-R и любого модуля
М е R-Жой имеется точная последовательность
E.18) ...->Torf+1(Z/', M)->Torf(L', M)-*Torf(L, M)
В частности, функтор <S>RM точен справа (и функтор *RM точен
слева, если кольцо R наследственно).
Доказательство. Если F = {... -> F{ -*¦ Fo} — резоль-
резольвента модуля М, то ее члены Ft — прямые суммы слагаемых
вида R; поэтому L<8>Fi — прямые суммы слагаемых вида L, и,
значит, 0 —>¦ L'<S>Fi —> L<8>Fi —> L"®/7; —> 0 — прямая сумма после-
последовательностей вида 0—>¦ U —> L-> L"-*¦ 0; в частности, она
точна. Таким образом, 0—>L'<S>RF-*L0RF—> Z/'®^/7—>0 — точ-
точная последовательность комплексов, и ее гомологическая после-
последовательность имеет требуемый вид E.18). []
5.19. Предложение. Пусть ... -">Е1+1 -+Е/->Е/-1-* ...
...-*¦ Ео — резольвента модуля L e Jlod-R. Тогда для любого
модуля М е R-Jlod
5. Тензорное и периодическое умножения
183
т. е. для вычисления группы Tor^ (L, М) можно брать резоль-
резольвенту любой переменной.
Доказательство. Заметим сначала, что функтор ?/®д
точен (E] = @R, и потому Ej<8>R — прямая сумма тождествен-
тождественных функторов); следовательно, Тог^(?7, Ж) = 0 при п>0
(см. 3.14). Теперь рассмотрим модули Lj = coker (?,+,-> Ej);
очевидно, L0=L, Lj^Bj-xE при />0 и последовательность
0-*L/+1 -*?¦/—>Lj—>-0 точна при любом /. Соответствующая
длинная точная последовательность E.18) показывает, что
Тог,?+, (L,, М) ^ Torf (L/+1, М) при п > 0 (ибо Тог^ (?/, М) = 0).
и многократное применение этой формулы показывает, что
Torf(L, M)^Torf(L,_,, М) при />0. Наконец, Torf (!,_,, М)
находится из коммутативной диаграммы
О
EJ+l®M
E.20)
Lj+X®M—'-
строки и столбцы которой являются отрезками последователь-
последовательности E.18):
Torj (Lj-U M) ^ ker (/) & ker (ш)/кег (л) = ker (<9,)/im (/') =
= ker (d,)/im it'n') = ker (<3,)/im (d,+l) = Я, (?® Af).
Тем самым наше предложение в случае / > 0 доказано. Что же
касается случая / = 0, то из точности последовательности
Ei-*¦ Ео —>¦ L -*¦ 0 следует (в силу 2.11) точность последователь-
последовательности El<g>M->E0<8>M-+L<g)M->0, а потому H0(E<8>M)^L<8>M. Q
5.21. Замечание. Имеется очевидная аналогия между пред-
предшествующим доказательством и доказательством предложения
V. 1.3. В действительности оба они основываются на «методе
вырождения спектральной последовательности» (см, Годеман
11,1.4.4]).
184 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
5.22. Упражнения. 1. (а) Прямая сумма t=@t^ (сильно
аддитивных) точных справа функторов Jtod-R-±s?$ является
(сильно аддитивным) точным справа функтором.
(b) Пусть т1->т0^/->0 — точная последовательность есте-
естественных преобразований. Если %х и т0 точны справа (и сильно
аддитивны), то таков и /.
(c) Тензорное произведение L<g>RM, рассматриваемое как
функтор переменной L (М фиксировано), является сильно адди-
аддитивным и точным справа. Следовательно, если кольцо R ком-
коммутативно, то L®RMs? M®RL.
2. Мы рекомендуем читателю ознакомиться с традиционным
доказательством теоремы существования 5.8 (см., например,
Маклейн [1, V. 1]). Вот еще один способ построения функтора
tM — L<g)RM (для свободных М): tM = HomR{HomR{M, R), L)
в случае конечно порожденного М и Ш = lim (Ш„) для произ-
произвольного свободного модуля М, где прямой предел (см. § 4,
гл. VIII) берется по всем конечно порожденным подмодулям Ма
модуля М.
3. Для конечной абелевой группы А имеет место естествен-
естественный по is sPS изоморфизм L *ZA s* Homz (A, L).
4. (а) Пусть /: Z->Q — включение. Ядро отображения L —
= L®Z-—>L<&Q совпадает с tors!on(L), т. е. с подгруппой
группы L, составленной из элементов конечного порядка.
(b) L * (Q/Z) ^ torsion L.
5. Если t: R-J{od!'—> s4-c§ — аддитивный функтор и Е — такой
комплекс в категории R-J{od, что Ej = O при / < О, НfE = О
при />0 и /„? = 0 при п > 0, то Hjt0E^tjH0E. Это можно
доказать аналогично предложению 5.19. Отсюда следует,
в частности, что группы Tor? (L, М) можно вычислять с по-
помощью плоской резольвенты (вместо свободной).
6. Функторы Нот и Ext
Функторы Нот и Ext двойственны функторам ® и Тог. На
самом деле можно просто применить #-соглашение, принятое
в § 2—4, ко всему § 5. Тогда L<8>R превратится в Hom#(—, L), а
Tor? (L, —) в Ext'^ (—, L). Однако ввиду важности функторов Нот
и Ext и ввиду того, что обилие значков # может запутать чита-
читателя, мы дадим отдельное изложение. Доказательства будут
сокращены или опущены, а обозначения взяты из § 5. Нуме-
Нумерация этого параграфа выбрана в соответствии с § 5 (поэтому
6. Функторы Нот и Ext 185
некоторые номера пропущены); так, например, определение 6.1
двойственно определению 5.1 и т. п.
6.1. Определение. Пусть t: R-Mod' -> s4-3 — аддитивный ко -
функтор. Определим левую R-структуру на группе tR форму-
формулой ry = t(pr)y{r<= R, y<=tR), где pr: R-> R — правый сдвиг
наг. Если Ф: t'-*t — естественное преобразование, то ФЛ: t'R—>
->tR есть ^-гомоморфизм. Обозначим через [f, t] множество
классов естественных преобразований t'-*t.
6.2. Предложение. Если t — сильно аддитивный (контрава-
риантный) функтор, то
е: [?, t] -> Нот* {t'R, tR), е (Ф) = Фн,
есть взаимно однозначное соответствие.
6.3. Следствие. Если t, f: R-Mod)' -> s&3' — такие сильно ад-
аддитивные кофункторы, что R-моду ли tR и t'R изоморфны, то
кофункторы tut' эквивалентны. []
6.4. Предложение. Пусть t, f: R-Jlod-> s&3 ~ аддитивные
кофункторы, причем кофунктор t сильно аддитивен и точен слева.
Тогда
е: [f, t] -> НотЛ (t'R, tR), е (Ф) = ФЛ>
есть взаимно однозначное соответствие. Если кофунктор' f тоже
сильно аддитивен и точен слева и Фя: t'R -> tR есть изоморфизм,
то Ф: t' -*-t есть эквивалентность.
Доказательство предложения 6.2. Предположим,
что Ф^ = 0. Пусть М — свободный ^-модуль hi: /?-> М — произ-
произвольный ^-гомоморфизм. Из коммутативности диаграммы
t'R ^- t'M
следует, что 1т(Фм)скег{й), а из сильной аддитивности ко-
функтора / следует, что
Пкег(/1)={0},
i
а потому Фм=0. Это доказывает мономорфность отобра-
отображения е.
Для доказательства его эпиморфности возьмем произ-
произвольный ^-гомоморфизм ф: t'R->tR. Пусть М — свободный
186 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
/^-модуль и i = {iy: /?-> М}уеГ — представление в виде прямой
суммы. По предположению {tiy: tM-+tR}y^r есть представле-
представление в виде прямого произведения. Таким образом, существует
отображение
F.5) Ф1;ГМ-+Ш с (tfY)оФ' = <ро (/'/,).
Читатель может без труда дуализировать оставшуюся часть
доказательства предложения 5.2, т. е. показать, что гомомор-
гомоморфизмы Фм = Ф' не зависят от выбора базисов i и составляют
естественное преобразование Ф с <?(Ф) = ср. []
6.8. Предложение и определение. Для любого левого
R-модуля L существует единственный с точностью до эквива-
эквивалентности сильно аддитивный кофунктор t: R-Лод)'—> stS (или
сильно аддитивный точный слева кофунктор t: R-Jtod-+ s?9),
удовлетворяющий условию tR ss L. Примером такого кофунк-
тора служит Ш = Hom^ (M, L). Для его производных функто-
функторов t1 употребляется обозначение t!M = Ext^ (M, L); в частности,
Extj?(Af, L)^HomR(M, L).
Если кольцо R наследственно, то вместо Ext]? (M, L) пишут
также Ext^ (M, L) или Ext {M, L) (имея в виду, что в этом
случае Ext^ = 0 при /> 1).
Чтобы доказать 6.8, достаточно проверить, что функтор
д(—, L) сильно аддитивен (точность слева и равенство
^(i?, L)—L следуют из 1.6 и 1.9). Но изоморфизм
^ {®M L) з* Ц Hom# (Afv, L) вытекает из первоначального
v
определения прямой суммы (см. I. 2.13, I. 2.14). []
6.12. Пример. Вычислим группы HomR(Af, L), Ext^ (M, L)
в случае, когда R = Z и М есть циклическая группа. Ясно,
что Homz(Z, L) — L и Extz(Z, L) = 0. Если M = Zn, то, приме-
применив функтор Hom(—, L) к точной последовательности 0-»-Z—>•
->Z->Zn-*0, мы получим (в силу 3.10) точную последова-
последовательность
F.13) 0->Hom(Zn, Z,)-^L-^L-
Следовательно,
Нот (Zn, L) g* {у s L | пу — 0} s< L *
( • 4) Ext(Zn, L)^L/«L = L® Zn.
6.16. Пример. 7?-модуль L называется инъективным, если
Нпд (—, L) — точный кофунктор. Какие абелевы группы инъек-
6. Функторы Нот и Ext 187
тивны? Оказывается, что кофунктор Нот(—, L): $Ф§—> зФ'З
точен тогда и только тогда, когда группа L делима, т. е. когда
отображение п: L-*L эпиморфно для любого целого пфО.
Хотя этот результат двойствен 5.16, его доказательство более
трудно; мы дадим лишь несколько указаний, отсылая читателя
за дальнейшими деталями к Митчелу [1, II. 15.4]. Прежде всего,
если отображение п: L-+L не эпиморфно при некотором пфО,
то, как это видно из последовательности F.13), кофунктор
Hom( —, L) не точен. Обратно, пусть группа делима. Нужно
доказать, что для любой группы М и любой ее подгруппы М'
отображение Hom(M, Z,)-* Нот (Л4', L) эпиморфно, т. е. что
любой гомоморфизм а: М'—*¦ L продолжается на М. Пусть
у е М — М'\ если существует такое целое число тФО, что
ту^М', то через п мы обозначим образующую идеала кольца Z,
составленного из всех таких т. Выберем, далее, ге! с nz =
= а(пу) и определим продолжение р отображения а на группу
{Мг, у}, порожденную М' и у, формулами р|А4' = а, fi(y)=z.
Если же такого т нет, т. е. если тф 0=$>ту<?М', то построим
продолжение, просто полагая Р(г/)=О. Многократное повторе-
повторение этой процедуры (трансфинитное, если группа М/М' не ко-
конечно порождена) доставляет продолжение M—>L. []
6.21. ^-модуль М называется проективным, если функтор
Honifl (М, —) точен. Модуль М проективен тогда и только тогда,
когда он является прямым слагаемым свободного модуля.
Доказательство. Пусть {Му} г — семейство модулей.
Ясно, что функтор Нотя(фЛ1,, —") ^ ПНотЛ (AL, —) точен
V Y / Y
тогда и только тогда, когда точен каждый функтор HomR{My, —).
Так как Hom^ (R, —)=id, отсюда следует, во-первых, что
каждый свободный модуль /r = ©JR проективен, и, во-вторых,
у
что каждое прямое слагаемое свободного модуля проективно.
Предположим теперь, что функтор Hom# (M, —) точен. Вы-
Выберем точную последовательность
где F — свободный модуль, и применим к ней функтор
НотЛ(М, —). Получим точную последовательность НотЛ {М, F) —*¦
-> Нот^ (М, М)->0. В частности, имеется отображение
р г НотЛ (М, F)
с [dM = p (Р) =ро р, и потому р изоморфно отображает М на.
Прямое слагаемое модуля F, Q
188 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
6.22, Упражнения. 1. Для любого модуля М^ R-Jlod и
любой точной последовательности 0 -> Z/ -> L -> L"-> 0 в кате-
категории R-Jlod имеется точная последовательность
О -> Нот« (М, V) -> Нот« (М, L)-+...-+ Extfe (Af, Z,") -*
-> Exti (M, Z/) -> Ext^ (Af, L) -> Extji (M, L") -» Ext^+1 (M, L') -»....
Это — дуализация последовательности 5.17. Следствие: модуль Л1
проективен тогда и только тогда, когда Ext]; (M, —) = 0.
2. Если /? — наследственное кольцо и модуль L e R-Jlod
обладает резольвентой Fx -*• Fo, составленной из двух конечно
порожденных свободных модулей, то
Ext« (M, L) « Ext^(Af, /?) ®«L.
Кроме того, такой модуль L проективен тогда и только тогда,
когда ExtR(L, /?) = 0.
3. Для любой конечной абелевой группы А имеется есте-
естественный по L e si^ изоморфизм Extz(-4, L)^L<S>zA.
4. Для любого проективного модуля Р существует такой
свободный модуль F, что модуль P®F свободен (см. Эйлен-
берг[1]). (Указание: в силу 6.21, существует некоторый модульР',
такой, что сумма Р@Р' свободна; установите изоморфизм
Г ')(')
5. Если С — комплекс свободных абелевых групп, «-я гомо-
гомологическая группа НпС которого содержит элементы бесконеч-
бесконечного порядка, то Н—п (Нот (С, Q))=^=0 (поскольку Я Нот (С, Q) s*
s* Нот (НС, Q)). Если р — такое простое число, что (Нп-хС) * Zp =
= {хеЯ„_1С|рл: = 0}=^=0, то Я_„Нот(С, Zp)=5^0 (поскольку
Я Нот (С, 2р)^Нот(Я(С®7р), Zp) => Нот (Нп^С* Zp, Zp)).
Таким образом, если ЯНот(С,&)=0 для всякого простого поля^,
то ЯС==0 и потому С CZ.0.
7. Сингулярнне гомологии и когомологии с произвольными
коэффициентами
В этом параграфе мы применим аддитивные функторы t из
категории абелевых групп к сингулярным комплексам SX топо-
топологических пространств и обсудим формальные свойства и смысл
возникающих гомологических групп HtS(X).
7.1. Определение. Сингулярный комплекс S(X, А) пары
пространств (X, А) состоит из свободных абелевых групп. Сле-
Следовательно, любой аддитивный функтор /: $Ф& -*¦ зФ^, опреде-
7. Произвольные коэффициенты 189
ленный на категории свободных абелевых групп, можно при-
применить к комплексу S(X, А), при этом получается новый
комплекс tS{X, А). Его гомологические группы HtS(X, А) обо-
обозначаются через Н{Х, А; /) и называются {сингулярными)
t-го мо логически ми группами пары {X, А).
Обычно рассматривают только сильно аддитивные функторы,
такие, как ® и Нот; в этих случаях используют следующие
специальные обозначения. Для любой абелевой группы G ком-
комплексы S{X, A)<g>Gl) и Нот {S{X, A), G) называются соот-
соответственно сингулярным цепным и сингулярным коцепным ком-
комплексом пары {X, А) с коэффициентами в G и обозначаются
через S{X, A; G) и S*{X, A; G). Элементы групп Sn{X, A; G) =
= Sn(X,A)®G и
Sn{X, A; G) = {S*{X, A; G))n = tiom(Sn(X, A), G)
называются соответственно сингулярными п-иепями и сингуляр-
сингулярными п-коцепями пары {X, А) с коэффициентами в G.
Таким образом, n-цепь с е Sn {X; G) есть конечная линейная
комбинация X са • а сингулярных «-симплексов а: Д,г->Х с ко-
эффициентами cogG (cm. доказательство предложения 5.8);
сложение задается формулой (с + с')а = са + с'а. Цепи из
Sn {X, A; G) = Sn {X; G)/Sn {A; G) можно представлять себе как
конечные линейные комбинации X са ¦ а, где а(кп)фА. Двои-
а
ственным образом, /г-коцепи ф е S" {X, A; G) — это функции ф (а),
равные нулю на симплексах оса (Д„) с: А; эти функции скла-
складываются по значениям. Как и для обычных (целочисленных)
цепей, граничный оператор задается альтернированной суммой
а
граней, дс = Tj Т, (— II са ¦ {рг'Л; соответственно [д (ф)] (т) ==
а / =0
п + 1
*= 1] (—1)'ф(те^+1), где х: Ап+1-> X — сингулярный симплекс.
Коцепной граничный оператор обычно обозначают через 6; итак,
6(ф)=ф°<3. Часто бывает удобным заменить б оператором
(—1)п+1б (ср. 10.28).
Если в предыдущих обозначениях вместо S написать Z, В, Н,
то получаются сингулярные (ко)циклы, (ко)границы, (ко)гомо-
логии с коэффициентами в G. Например, группа Нп(Х, A; G) =
= H-n(Hom(S{X, A), G)=HnS*(X, A; G) называется /г-н
') Скорее G <S) S (X, А); однако, в силу 8.13, имеется канонический изо-
изоморфизм М ® N = N ® М.
190 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
когомологической группой пары (X, А) с коэффициентами в G,
и H*(X,A;G)={Hn{X, Л; G)}neZ.
Если G есть R-иолулъ (R — произвольное кольцо), то ком-
комплексы S{X,A;G) = S(X,A)<8)ZG и S*(X, A;G)=Homz{S(X, A),G)
являются комплексами ^-модулей. В частности, гомологии этих
комплексов состоят из ^-модулей, т. е. (ко)гомологш пары
(X, А) с коэффициентами в R-модуле являются R-модулями,
Формальные свойства обычных целочисленных гомологии
Н {X, А) — Н {X, A; Z) переносятся на произвольные коэффи-
коэффициенты; более того, они без каких-либо затруднений переносятся
и на /-гомологии, где/: s?$f -> зФ'З — произвольный аддитивный
функтор. Мы перечислим наиболее важные свойства /-гомоло-
/-гомологии. Как и в § 2—4, имеет силу *-соглашение, т. е. мы будем
формулировать результаты только для ковариантных функто-
функторов, маркируя знаком * автоматически дуализируемые пред-
предложения; дуализация заключается в замене ковариантных функ-
функторов контравариантными, обращении стрелок в категории,
в которой функтор принимает значения, взаимозамене верхних
и нижних индексов, звездочек и т. д.
7.2*. Для любого f: (X, A)->(Y, В) отображение tSf: tS(X, Л)->
->tS(Y, В) является цепным. Оно индуцирует, следовательно,
гомологический гомоморфизм
f. = H(f; /): Н(Х, А; /) -*H{Y, В; /).
Очевидно, (fg)t = ftgt, id^ == id, т. е. Н(Х, A; t) есть ковариант-
ный функтор из категории пар пространств в категорию градуи-
градуированных абелевых групп.
7.3*. Для любой пары (X, А) последовательность 0->SA~-*¦
—>• SX—>S(X, A)—>0 точна и расщепляется в каждой размер-
размерности. Поразмерностно применяя функтор /, мы получаем по-
последовательность 0 -> tSA —*- tSX —*- tS (X, А) -> 0, которая тоже
точна (и тоже расщепляется в каждой размерности). В част-
частности, имеются связывающий гомоморфизм д„: Hq+l(X, A; t)->
-> Hq (A; /) и {естественная) точная последовательность
-> Hq+1 (X, A; t) -^Hq(A;t)-^...
(cp. II. 2.9 и III. 3.2), называемая t-гомологической последова-
последовательностью пары (X, Л).
7.4*. Если отображения f, g: (X, Л)->(У, В) гомотопны, то,
В силу III. 5.1, отображения Sf, Sg; S(X, A)-+S(Y, В) тоже
7. Произвольные коэффициенты 191
гомотопны; поэтому, в силу 2.6, tSfcxtSg: tS{X, A)->tS(Y, В)
и f* = g*' Н{Х, A; t)-+H(Y, В] t). Таким образом, t-гомологии
гомотопически инвариантны; их можно рассматривать на кате-
категории, морфизмами которой являются гомотопические классы
непрерывных отображений.
7.5. Пусть (X, А) — пара пространств и (U = {U} — такое семей-
семейство подмножеств пространства X, что каждая точка из X
лежит либо внутри А, либо внутри некоторого U. Тогда отобра-
отображение S(<U, cUf\A)-+S(X, А), где SliaSX — подкомплекс,
порожденный всеми комплексами SU, и S{°U, 11 f) Л) =
= S^U/S {tl П А), является гомотопической эквивалентностью
(см. III. 7.3). Отсюда следует (в силу 2.6), что tS{<U, <U[\A)~
~tS{X, A).
В качестве следствия из III. 7.4 мы получаем, что для любого
подмножества В, замыкание В которого лежит во внутрен-
внутренности А множества А, включение /: {X — В, А — В)-^-(Х, А)
индуцирует гомотопическую эквивалентность S(X — В, А — В) о*
~5(Х, Л). Отсюда, в силу 2.6, следует, что tS{X — B, Л —В)~
~tS(X, А) и Н{Х — В, А- В;о t)~H(X, Л; t) для всех В, удо-
удовлетворяющих условию В а А. Другими словами, t-гомологии
обладают, подобно обычным гомологиям, свойством выреза-
вырезания III. 7.4.
7.6*. Последовательность Майера— Вьеториса (см. § 8 гл. III)
получается из точной последовательности типа
и гомотопической эквивалентности S{XU X2} c~ 5(Z, \JX2) Для
вырезаемых триад (X; Х\, Х2). Поскольку указанная точная
последовательность расщепляется в каждой размерности, она
останется точной и после применения функтора t, а, в силу 2.6,
для вырезаемых триад имеется гомотопическая эквивалентность
tS{Xlt Х2} си tS(X^ (J Х2). Следовательно, последовательность
Майера — Вьеториса обобщается на ^-гомологии, т. е. для любой
вырезаемой триады (X; Хи Х2) имеются точные последователь-
последовательности Майера — Вьеториса
... -» Нп+1 (X, U X2; t) -^ Hn (J, П Х2; t) (/'*' ~'2'\
-* Нп (Z,; О ФЯ„ (Х2; t) (h*' '"'I Hn (Z, [}X2;t)-*...,
—±Н (У У I I У • Л > JJ (Y У П У . Л '*' »
• • • " п+1 чЛ > Л1 U Л2| I) ' /7га \Л, Л | | | Л2, Г^ >"
-* //„(*, zi; f)®Ha{X, x2, t) (''*' '2'}> я„(х, J,u^2; 0-> ... .
]92 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Аналогично обобщается предложение III. 8.11, описывающее
граничный оператор dt.
Заметим, что все сказанное в 7.6 можно чисто формально
вывести из 7.2— 7.5 (см. Стинрод и Эйленберг [1,1, 14—15]).
7.7*. Для стягиваемого пространства X (например, для точки)
имеется гомотопическая эквивалентность r\: SX c^ (Z, 0) ~
~ 5(точка) (ц — аугментация; см. III. 4.5). Следовательно, tSX ~
~(/Z, 0); в частности, Ht (X; t)=tZ при г = 0 и Н;(Х; t)=0
в остальных случаях. Для непустого X аугментация i): SX -> (Z, 0)
обладает правым обратным отображением, и потому SX —
= (Z, 0)фкег(т1), откуда Н (X; t) = HtSX = H (tZ, 0)®
®tff(ker(Ti)) = (fZ, 0)®Н(Х; t), где Н (X; t) = Ht (ker (ц)) =
= ker (Я (X; /) ->^Я (точка; /)).
Эти группы Н (X; t) называются приведенными t-гомологи-
ческими группами пространства X. Они отличаются от групп
Н (X; t) только в размерности 0 и, подобно обычным приведен-
приведенным гомологиям, составляют приведенную I-гомологическую по-
последовательность
... -+Hq+l{A;t)-+Hq+1(X; t)^Hq+l(X, A; *)->
qq
(ср. III. 4.4).
7.8*. Вычислить /-гомологические группы сферы Sn можно
так же, как в § 2 гл. IV вычисляются ее обычные гомологии.
Более простой способ основывается на том, что группа HS"
свободна. В силу П. 4.9, из этого следует, что S {Sn) ~ H (Sn),
и потому tS(Sn)~tH (Sn) (см. 2.6); следовательно, Н (Sn; 0 =
^ Ш (Sn) = (tZ, 0) ® {tZ, п). Аналогично Н (Rn, R" - 0; /) = (tZ, n).
Вообще /-гомологии всегда можно выразить через целочислен-
целочисленные гомологии: для этого достаточно применить теорему об
универсальных коэффициентах 4.2 к комплексу C = S(X, A).
При этом в случаях i = ® G, / = Иот(—, G) получаются есте-
естественные точные последовательности
G.9) 0 -> Нп (X, А) ® G -> Нп (X, A; G) -> Я„_, (X, Л) * G -> 0,
G.10) 0-> Ext (#„_,(*, A), G)-^Hn{X, A; G)->
X, Л), G)-*0,
которые расщепляются (но не естественным образом). В част-
частности, группа Нп {X, A; G) определяется группой Н (X, А). Од-
Однако для индуцированных гомоморфизмов подобное утверждение
неверно: гомоморфизмы Я (/; G) не определяются гомоморфиз-
гомоморфизмами Я(/; Z) (см. упр. 2).
7. Произвольные коэффициенты 193
7.11*. В гл. V мы доказали, что для любого клеточного про-
пространства X
Н{Х, X'l)
где WX — клеточный цепной комплекс (напомним, что WnX =
= #„(Х", Х'г~')). При попытке обобщить этот результат на /-го-
/-гомологии встречаются неожиданные трудности. Их можно избе-
избежать, предположив, что комплекс WX свободен (например, это
так, если X есть CW-пространство). В этом случае изоморфизм
HWX Зё Я (X, X) влечет за собой гомотопическую эквива-
эквивалентность WX~S(X, X), из которой следует, что tWX ~
~tS(x, X) и HtWX^H(X, X'1', t). Другими словами, если
клеточный комплекс WX свободен (например, если X есть CW-
прост ранет во), то #(Х, X; i) = HtWX. Более того, в этом
случае комплекс tWX можно отождествить с комплексом W (X; t),
определенным равенствами
G.12) Wn (X; t) = Нп (Хп, Г'1; t), дп = /Д,
еде д^ и it — отображения из последовательности
Нп(Хп, Г; t) --//„_, (Х^1; 1)-±+Нп^(Х"-\ Г; t).
Доказательство. Отображение а = а„: tHn\Xn, X")-»
->Нп(Хп> X"; /) из теоремы об универсальных коэффициен-
коэффициентах 4.2 (применяемой к комплексу C = S(Xn, X'1^1)) определяет
согласованный с градуировкой гомоморфизм a: tWX->W (X; t),
который является изоморфизмом, поскольку группа Н{Х", Хп~)
свободна. Осталось доказать, что а является цепным отобра-
отображением, т. е. что коммутативна составная диаграмма
шп(хп, х"-1)^ шп-Х-] -^///„-.(г-1, х-2)
Нп {Х'\ Х«-'; t) -^ Я„_, (Г-1; t) -- Я„_, (Xnl, X"; i)
Правый квадрат коммутативен ввиду естественности отображе-
отображения а, т. е. его согласованности с цепными отображениями. Но
граничный оператор д„ тоже индуцирован цепным отображением
(см. II. 2.12; напомним, что SXn~x—прямое слагаемое группы SX11),
и потому левый квадрат тоже коммутативен. []
7.13. Результаты § 6 гл. IV об (обычных) гомологиях открытых
подмножеств сферы 5" обобщаются на гомологии с произволь-
произвольными коэффициентами G почти дословно (в то время как для
1Й4 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
/-гомологии возникают трудности). Подробнее, пусть В сг Л сг 5",
п > 0, — произвольные множества, ЯеЛ — произвольная точка и
//„ E" - В, Sn - Л; G) -^ Я„ E", 5" -P;G)-~ Hn (Sn; G)
— гомоморфизмы, индуцированные включением. Тогда для лю-
любого у е= Нп (Sn — B,Sn — Л; G) отображение
/ */• А ^, I-T I v • (i 1 ( I ] /\ (Р\ . / / A1\
J Ц • Ул ~ * * tx V^ > ^ / j V У} \ } "' ' Р i P \i? / j
локально постоянно (ср. IV. 6.1) и сужение [Jy)\B тривиально
(ср. IV. 6.2), так что соответствие y*-*Jy определяет гомомор-
гомоморфизм
= /(Л, о): пп\о —В, о —Л; и) —> 1 (А, о, и),
где Г (Л, В; G) — группа локально постоянных функций Л—>
—> Hn(Sn; G), обращающихся в нуль на В. Если X сг У cz Sn —
пара окр-естностных ретрактов, то (ср. IV. 6.4)
G.14а) Ht(Y, X;G) = Q при i>n
G.14b) /: Нп (Y, X; G) -> Г {Sa -X,Sn- Y; G)
— изоморфизм.
Доказательства такие же, как в § 6 гл. IV. Читателю мо-
может показаться интересным снова обратиться к следствиям и
применениям предложения IV. 6.4 (см. § 6 и 7 гл. IV) и обоб-
обобщить их на произвольные коэффициенты; особенно поучителен
случай G = Z2.
7.15. До сих пор мы рассматривали (ко)гомологии с коэффи-
коэффициентами в группе G исключительно как функтор пары (X, А);
группа G была фиксирована. Однако гомоморфизм ф: G-+G'
одной группы коэффициентов в другую индуцирует цепные
отображения id ® cp: S{X, A)<8> G->S(X, A) ® G' и Нот (id, <p):
Hom(S(Z, A), G)-* Нот (S (X, Л), G')\ переходя к гомоло-
гиям, мы получаем отображения yt=H{X, А; ф): Н{Х, Л; G)->
-+Н(Х, A; G') и ф* = #*(Х, Л; ф): Н*(Х, A; G)->H*(X, A; G').
Это превращает {ко)гомолсгии в функтор группы коэффициен-
коэффициентов G. При фиксированном гомоморфизме ф: G-^~Gr отображе-
отображения ф„ = #(Х, А; ф), ф* = Н*{Х, Л; ф) естественны по отношению
к (X, Л); они являются простейшими примерами (когомологи-
(когомологических операций (естественных преобразований одних (когомо-
(когомологических групп в другие).
7. Произвольные коэффициенты 195
Точная последовательность 0-*Gr—*• G—*-G"-*0 абелевых
групп индуцирует последовательности
0-+S(X,
->Hom(S{X, A), G")-*0,
которые тоже точны (так как группа S(X, А) свободна;
см. 6.21). Связывающие гомоморфизмы
р: Нп+ЛХ,А;О")-*Нп{Х,А\(У),
$:Нп(Х, A; G")-> Hn+l (X, A; G'),
ассоциированные с этими последовательностями (см. II. 2.7), на-
называются обычно гомоморфизмами Бокштейна (коэффициентной
последовательности i, it). Они естественны по отношению к (X, А)
и доставляют еще один пример (когомологической операции
(уже из (ко)гомологической группы в группу другой размер-
размерности). Последовательности
G.17) ...-=*> Нп+1 (X, A; G") -^ Hn(X, A; G') -*+
—> Нп (X, A; G) -^ Нп (X, A; G") -1* ...,
G.18) ... -^>Я"-'(Х, Л; G")-^»Hn{X, Л; G')-^+
—> Нп (X, A; G) ^* Hn(X, A; G") -1* ...
точны и естественны; они называются соответственно гомологи-
гомологической и когомологической последовательностями, ассоциирован-
ассоциированными с коэффициентной последовательностью (i, я).
7.19. В § 5 гл. V мы определили, используя понятие ранга
абелевой группы, эйлерову характеристику градуированных
групп и топологических пространств. Для ряда колец R можно
определить ранг рл конечно порожденных /^-модулей (см. Суон
[1, II. 4.6], а также Кон [1, 2.4]) и с помощью этого ранга —
эйлерову ^-характеристику Хя градуированных 7?-модулей и то-
топологических пространств. Для простоты рассмотрим, кроме
случая R = Z, только случай, когда R есть поле; при этом
Ря есть размерность dim^ векторного пространства. Если R —
поле характеристики 0, char/? = 0, то для любого топологи-
топологического пространства X
dim* Hi (X; R) = dim* (Я, (X; Q)® R) = dimQ#* (X; Q) = rank (HtX),
и мы попадаем в ситуацию § V.5. Если же char R = р > 0, то
dim* (Я, {X; R)) = dim* (Я, (X; Zp) ® R) = dimzp (#j {X; Zp)),
что сводит проблему к случаю простого поля Zp.
196 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Пусть G = {Gl}i e z — конечно порожденное ( ? dim (G,) < «Л
градуированное векторное пространство над полем ZD. Поло-
Положим ip{G)= Yj (—D'dimG; и для пары пространств (X, А)
( е Z
определим число %Р(Х, А) как хР[Н(Х, A; Zp)] (если, конечно,
последнее имеет смысл). Числа xp(G) и %Р{Х, А) называются
соответственно эйлеровой Z^характеристикой группы G и эйле-
эйлеровой Zp-характеристикой пары (X, А).
В точности так же, как в V. 5.2, оказывается, что если
К — комплекс векторных пространств над полем Zp, для кото-
которого определена эйлерова Zp-характеристика %РК, то эйлерова
Zp-характеристика %Р(НК) тоже определена и совпадает с ХрК-
Отсюда следует (ср. V.5.7), что
G.20) ХР(Х) =
если определены обе части этого равенства. Вообще говоря,
Zp-характеристика отличается от обычной эйлеровой характе-
характеристики; если HX = {Q, 1), то х(Х) = 0, а %Р{Х)=\. Однако
такие феномены возможны только в случае бесконечно поро-
порожденных гомологии.
7.21. Предложение. Если гомологические группы Н(Х,А)
пары (X, А) конечно порождены, то хр(Х, А) — %(Х, А).
Доказательство. В силу G.9),
Hi (X, A; Zp) =* [Н, (X, А) ® Zp]©[^_, (X, А) * Zp],
а потому
%р (X, А) = хР [Н (X, А) ® Zp] - Хр [Н (X, А) * Zp].
С другой стороны, из 5.15 следует, что
, A)*ZP]. D
Предложение 7.21 справедливо, в частности, если (X, А)—
компактная Ctt^-napa. В этом случае, однако, соответствующий
результат можно получить непосредственно (ср. V. 5.9 или
V. 5.10, упр. 3).
7.22. Упражнения. 1. Пусть X — любое пространство и G —
любая абелева группа. Докажите, что Я' (X; G) ^ Нот (Я, (X), G);
в частности, группа Я1 (X; Z) никогда не имеет кручения (хотя
Ну{Х; Z) может быть любой абелевой группой; см. упр. V.6.2).
2. Пространство P2R/PiR, получающееся из вещественной
проективной плоскости стягиванием в точку проективной пря-
8. Тензорное произведение и билинейность 197
мой, гомеоморфно двумерной сфере. Покажите, что проекция
P2R-^P2R/PiR индуцирует тривиальный гомоморфизм приведен-
приведенных целочисленных гомологии и нетривиальный гомоморфизм
гомологии с коэффициентами в Z2 (ср. 4.15, упр. 1).
3. Пусть о: (Д„, Д„) -*• (Rn, R" — 0) — сингулярный симплекс,
гомологический класс которого порождает группу
#n(R", Rn — 0) ^ Z. Покажите, что для любой абелевой группы G
гомоморфизм G -> Нп (Rn, Rn — 0; G), определяемый формулой
gy-*-[g-a], является изоморфизмом.
4. Для свободной абелевой группы F имеется изоморфизм
Н (X; F) ^ Я (X; Z) <8> F. Для произвольной абелевой группы G
существует точная последовательность 0 -> Т7, —*¦ Fo —> G -> 0,
где Z7, и ^о — свободные абелевы группы (см. доказательство
предложения 3.16). Ее гомологическая последовательность со-
содержит отрезок
Нп (X; Л) "^ Я„ (Z; /'о) "^ На (X; G) -1* Я„_, (X; FJ -^
поэтому имеется точная последовательность 0-»-coker (t»)->
—>Нп(Х; G)-> ker (О->0. Докажите, что эта последователь-
последовательность изоморфна последовательности универсальных коэффи-
коэффициентов 0 -* {НпХ) ®G-+Hn (X; G) -* {Нп-хХ) * G -»• 0.
5. Если (X, А) — такая пара пространств, что /Г(Х, A; k) = 0
(т. е. Я* (X; k) ^ Я* (Л; k)) для любого простого поля k, то
Я(Х, Л; G) = 0 (т. е. Н(Х; G) s Я (Л; G)) для любой абелевой
группы G. Это следует из 6.22, упр. 5.
6*. Если для пространства X определены характеристики
%(Х) и %„(Х) и любой элемент группы П р1НХ имеет конечный
i >о
порядок, взаимно простой с р, то %(Х) =%Р(Х) (ср. это с заме-
замечанием после 5.15).
8. Тензорное произведение и билинейность
Мы определим билинейные отображения и покажем (см. 8.11,
8.19), как с помощью тензорных произведений можно свести их
к гомоморфизмам абелевых групп. Наоборот, билинейные ото-
отображения можно использовать для изучения свойств тензорного
умножения (см. 8.13, 8.17).
8.1. Определение. Для любого модуля M^R-JCod и лю-
любого элемента jgM имеется ^-гомоморфизм #: R-+ М, у (г) = гу.
198 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Подобным же образом для правого /?-модуля L e JCod-R и эле-
элемента je[ имеется гомоморфизм St: R-* L, х(г) = хг. Опре-
Определим элемент х <8> R у е L 0 R M как образ единицы 1е/? =
= R 0r R при гомоморфизме х ®Ry: R <8>R /?-> L <8RM (cp. 5.10);
таким образом,
(8.2) x®Ry = (x®
В частности, если L = R или M — R, то для любого г е R
гомоморфизм f является соответственно левым или правым
сдвигом. Отсюда следует, что
(8.3) r<g>Ry = ry, x<g>Rr = xr (x e L, у <= М, г е /?).
Кроме того, для любых х, л:ь х2 е L, г/, г/ь г/2 е ^f
= ^i ® /г 1/ + *2 ® й У,
х ® я (^i + у2) — х ® л г/, -f ^ ® R У2,
(8.5) иг)®Л0=*®л(г0) (ге/?).
Формулы (8.4) совершенно очевидны: они являются частным
случаем формул E.11). Что же касается формулы (8.5), то
8.6. Определение. Рассмотрим модули Le.Jlod-R,M<=
^R-Jlod и абелеву группу N^s^S. Отображение ?: L X
~X,M->N называется R-биаддитивным, если для любых #, л;ь
, . S (*i + лг2, У) == I {xi, у) 4-1 (х2, У),
( j S(*. 0i+ y2) = ?(*,*.)+ ?(*>&),
(8.8) ?(*/¦, «/) = ?(*, г»).
Например, структурные отображения /? X Л1 -> М, (г, г/) ь—> гг/
(соответственно Ly, R^ L, (х, г) '<—> л:г) являются /?-биаддитив-
ными. Формулы (8.4) и (8.5) означают /?-биаддитивность ото-
отображения
(8.9) я = жш: LXM-*L®RM, я{х, y) = x®Ry.
Если'отображения t,, ц: ЬУ,М —>¦ N являются /?-биаддитивными,
то отображение ? +ц: LX M-> N, (?±ц)(х, у) = ?(х, у)±г\{х,у)
тоже #-биаддитивно. Поэтому множество Biad^LXM, N) всех
i^-биаддитивных отображений LXM-+ N является абелевой
группой. Если /: L'-+L, g: M'->M, h: N -> N' — произвольные
^-гомоморфизмы и ?:. L X М -* N — некоторое /?-биаддитивное
8. Тензорное произведение и билинейность 199
отображение, то отображение V X М' -*¦ N', (х', у') ^—> й? (fx', gy')
тоже /?-биаддитивно. Возникает гомоморфизм Biad^(L X М, N)-*-
—>BiadR(Z/ X М', N'), который превращает Biad# в функтор со
значениями в категории групп, контравариантный по L, М и
ковариантный по N. Для нас будет существенна только функ-
ториальность по М.
Функцию двух переменных всегда можно рассматривать как
функцию одного (второго) переменного, принимающую значение
в множестве функций от первой переменной. Подобную интер-
интерпретацию допускает и функтор Biad#.
8.10. Предложение. Гомоморфизмы
Ф: BiadR(LXM, N)T=±HomR(M, Homz(L, N)) :ЧГ,
КЧ) У]х = 1 (х, у), (?т)) (х, у) = [ц (у) х] (*«=/,, г/ е М),
являются естественными взаимно обратными изоморфизмами.
Стоящая справа группа Homz(?, N) рассматривается как левый
^-модуль; структура определяется формулой (га) х = а (хг) (а е
eHom(L, N), r<=R, x<=L).
Доказательство. Если пренебречь ^-структурой (т. е.
считать, что R = Z), то из определения совершенно очевидно,
что Ф и W являются взаимно обратными изоморфизмами. Что
касается ^-структуры, формулы [Ф(?)(п/)] *=?(*, ту), (т[Ф{?)у])х=
= [Ф (?) у] (хг) = ? (хг, у) показывают, что Ф(?) является R-rouo-
морфизмом тогда и только тогда, когда ? удовлетворяет соот-
соотношению (8.8).
Доказательство естественности преобразований Ф, W предо-
предоставляется читателю. []
Следующее предложение сводит ^-биаддитивные отображения
к аддитивным. Оно может служить также аксиоматическим
определением ^тензорного произведения через .R-биаддитивные
отображения (ср. Бурбаки [2]).
8.11. Предложение. Для любого R-биаддитивного ото-
отображения ?: L X М -*¦ N существует единственный гомоморфизм
I: b®RM-+N с l(xg)Ry) = ?(x,y), ieL, yeM. Другими
словами, компонирование с отображением пш определяет изо-
изоморфизм °пш: Homz(L <g)RM, N) ^ Biads(L X М, N).
Доказательство. Очевидно, что отображение
является естественным преобразованием одного функтора от
М е R-Mod в другой. Оба функтора контравариантны, сильно
аддитивны и точны слева; для первого это верно, поскольку он
является композицией функторов L ®R и Homz(—, N) (см. 2.11),
<Юо Гл. V/. Функторы на категории комплексов
а для второго следует из установленного в 8.10 изоморфизма
BiadR(LXM, N)^HomR(M, Homz(?, N)). Поэтому, в силу
предложения 6.4, достаточно доказать, что изоморфизмом
является отображение ояц: Homz(? ®# R, N)-> Biad#(L X
X R, Ю- Но, как это сразу видно из его определения, оно
совпадает с композицией
8.10
Homz (L ®R R, N) os Homz (L, N) s Нотй (R, Homz (L, N)) sf
s*BiadR(LXR,N). 0
8.12. Следствие. Элементы x<8)Ry (iei, у ^ М) порождают
L®RM.
Доказательство. Пусть К — подгруппа, порожденная
элементами x<8>Ry. Положим N — (L®RM)/Ku рассмотрим
проекцию 1: L®RM-*N. Так как ?,(х, у) = l(x <8>Ry) =0,
то ввиду теоремы единственности (см. 8.11) ^ = 0; таким обра-
образом, K = L ®RM. Q
8.13. Предложение. Для любых L^Jlod-R, М <= R-Лой
соответствие х ® R у *—>¦ у ® RoPx устанавливает естественный изо-
изоморфизм L <S>RM = M <8>RopL; напомним, что Rop — кольцо, двой-
двойственное R, и что R-JCod = jiod-R°»,J(od-R = Ro»-JCod (см. 1.1).
Доказательство. Очевидно, что отображение ЬУ^М->
—* М <S>^opL, (л:, у) i—> у <S>RopX является /?-биаддитивным, так что
возникает гомоморфизм L ® RM—> М ®RoP L с х ® R у*—> у <g> RoPx.
Аналогично строится встречное отображение, и обе композиции
являются тождественными отображениями в силу теоремы
единственности. []
Симметрия L®Ms*M®L показывает, что тензорное произ-
произведение точно справа по каждой переменной,
8.14. Предложение. Если V—*¦ L—*L"-*-0,M'—*М-^*
—>М"-+0 — точные последовательности в категориях Mod-R,
R-Jlod, то последовательность
(8A5)(L'®RM)@(L®RM')-("
тоже точна.
Доказательство. Ясно, что (8.15) — комплекс и отобра-
отображение р® <7 = (id® q)° (p®id) эпиморфно. Поэтому нужно лишь
доказать, что из (p®q)z — Q следует ze im(i® id, id®/). Рас-
8 Тензорное произведение и билинейность 201
смотрим коммутативную диаграмму
L"
li
lid®/ lid®/
li
lid® a
L"®M"
Так как правый столбец точен, существует t^L"®M'
с (id ® })t = (p® id) z. Последнее означает, что (р ® id) (id ® /) у —
= (p®id)z для любого у е(/?® id)~'/, и так как вторая строка
точна, то существует xei'®A( с (/' ® id)x~z — (id ® /) у.
Таким образом, 2eim(i®id, id®/). []
8.16. Определение. Если R и S —два кольца и Л1 есть
как /^-модуль, так и S-модуль, причем преобразования, опре-
определяемые в М элементами кольца R, коммутируют с преобра-
преобразованиями, определяемыми элементами кольца S, то М назы-
называется бимодулем. (У нас обычно будут совмещаться левая
/^-структура и правая 5-структура.) Условие коммутирования
означает, что умножение на г е R (т. е. отображение вг: М-+М
из 2.2) является S-гомоморфизмом, а умножение 0S на s g S
является /^-гомоморфизмом. Мы можем теперь применить функ-
функторы L® R, Le J(od-R, к гомоморфизму @s и превратить L ® R M
в правый 5-модуль, положив xs = (id ®Qs)x (i;el ®RM, s e S).
Аналогично для любого jV e S-Jtod тензорное произведение
M 0S N является левым /^-модулем.
Такая ситуация возникает, например, в случае, когда
кольцо R коммутативно, 5 совпадает с R и две структуры
модулей в М одинаковы.
8.17. Предложение. Пусть L, M, N —модули из 8.16. Име-
Имеется естественный изоморфизм
{L ® д М) <8> s ^ — L <8> r {М ® s N), (х ® R у) ® $ z i—> х ® R (у ® sz).
Доказательство. Для любого z ^ N определим R-биац-
дитивное отображение Ly<M-*L ®Д(Л1 ®sA0 формулой (х, y)t—>
*-*х® {y®z). В силу 8.11,оно индуцирует гомоморфизм L (8>RM—>
-+L <8>R(M ®s N) и, следовательно, 5-биаддитивное отображение
(L ®RM)XN->L ®R(M®SA^), (л:® у, z)r->х®(у®г). Еще раз
применяя 8.11, получаем гомоморфизм (L ®RM) ®s Л^ ->
) ) () Аналогично
202 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
строится встречный гомоморфизм, и обе композиции оказы-
оказываются тождественными отображениями. []
8.18. Предположим, что кольцо R коммутативно. В этом слу-
случае L<E}RM, как и любой другой аддитивный функтор пере-
переменной М, имеет естественную /^-структуру: r(x <8>Ry) — х ®Rry
(см. 2.2). Произведение L®RM имеет /^-структуру и как
функтор переменной L; она определяется формулой r{x®Ry) —
= {xr ®Ry)\ в силу (8.5), обе эти структуры совпадают. Изо-
Изоморфизмы L ®ДМ^ М ®RL (см. 8.13) и (L ®RM) <8>R N s*
^ L ®Л(А1 ®R N) (см. 8.17) являются, очевидно, ^-отображе-
^-отображениями. Таким образом, <S>R: R-JtodX, R-jf[od-* R-JCod есть
(сильно) аддитивный (ковариантный, точный справа) функтор,
который ассоциативен, коммутативен и имеет единичный объект
(/?®* = id).
Для /^-модулей L, М, N группа HomR(L <8>RM, N) является
подгруппой группы Homz(L ®#M, N). Какова соответствующая
подгруппа группы Biad^(L X М, N)? Формула l(x®Ry) = t,{x, у)
предложения 8.11 показывает, что условие |eHom^(L 0RM, N)
эквивалентно условию ?,(xr,y) = r?>(x, y) = ?,(x, ry). Такие /?-би-
аддитивные отображения называются R-билинейными (или просто
билинейными).
8.19. Предложение. Для любого коммутативного кольца R
формула I (х 0 r у) = С (х, у)(х е L, у е М) определяет взаимно
однозначное соответствие между R-гомоморфизмами \:L®RM->N
и R-билинейными отображениями ?: Ly^M—> N. Ц
8.20. Упражнения. 1. Для любого коммутативного кольца R
и любых х е L, у е М отображение х <%> Rij: R->L <g> R M является
/^-гомоморфизмом; следовательно, (х <8>Ry) г —г (х ®д у) A) =
= f(x0Ry); в частности, отображение x<S>Ry полностью опре-
определяется элементом x®Ry. Обратно, для некоммутативного
кольца R отображение x®Ry не определяется элементом x<8>Ry.
(Указание: положите L = R, M = R.)
2. Покажите, что универсальное свойство 8.11 (соответственно
8.19) характеризует тензорное произведение L <^RM^s4-9 (соот-
(соответственно L ®RM e R-Mod).
3. Для любого коммутативного кольца R и любых .R-моду-
лей L, М, N
Нотя (L ® R M, N) ^ Нотд (М, Нотл (L, N))
(ср. 8.10, 8.11). Этот естественный изоморфизм выражает тот
факт, что функторы L <8>л и Нотд(/,, —) сопряжены (см. Кан [1]).
9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета 203
9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета
В этом параграфе мы распространим определение тензорного
произведения С ®RD на случай, когда обе переменные — ком-
комплексы. Обобщая формулу универсальных коэффициентов (см.
§ 4), мы выразим группу H(C<k>RD) через группы НС и HD
по крайней мере в случае, когда один из комплексов С, D
свободен (см. 9.13); при этом, как и раньше, основное кольцо R
предполагается наследственным. Впоследствии мы заметим
(см. § 12), что S{XXY)~{SX)®{SY) для любых топологиче-
топологических пространств X, Y; это позволит нам выразить группу
H{XXY) через группы НХ, HY.
9.1. Определение. Пусть С — комплекс правых ^-модулей
и D — комплекс левых /^-модулей. Определим новый комплекс
С ®RD, полагая
(9.2) (C®RD)n=t(B C,®RDh
д = дР*°: (С ®*V-*(С »*/>)„-,,
V-6) dc®D\Ci%Dj = dc ®id -\-{-\I id®dD.
Так как дд |C,<g D, = (-1)г-> дс ® д° + (—1)' дс ®д° = 0, эти
формулы действительно определяют комплекс.
Пусть f: C-+C, g: D -*D' — цепные отображения. Тогда
тензорное произведение
(9.4) f ®Rg: C®RD^C ®RD', (/®sg)n= © U ®R g,
также является цепным отображением:
Таким образом, тензорное перемножение есть ковариантный
функтор дЖой-R ХдЯ-ЖоA^>-дзФ'§, а в случае коммутативного
кольца R — функтор dR-J(od X dR-J(od -> dR-Jlod.
Аналогично можно определить периодическое произведение
С * D комплексов, полагая (С * D)n = © С, * D, и т. д.; вообще
i+i-n
функтор ® можно заменить любым аддитивным функтором
Жой-RX R-Jtod-^sL'S. Детали мы опускаем, поскольку такие
операции над комплексами у нас встречаться не будут.
9.5. Предложение. Пусть CR, RDS, SE — комплексы моду-
модулей над кольцами R, S, действующими так, как показывают
индексы. Тогда имеют место изоморфизмы
(9.6) т: C®RDs*D®ROpC, т(х®у) ==(—I
(9.7) а: (С ®д D) ®s Е 3? С ®Л ф ®s E),
204 Гл. Vf. Функторы на категории комплексов
Доказательство. Очевидно (см. 8.13, 8.17), что т и
а — корректно определенные изоморфизмы абелевых групп, так
что нужно лишь проверить, что они коммутируют с д:
%д {х® у) = (—\Удх^У\ у ®дх + {— 1I*1+1*М<5И<5г/®л: =
= (-l)\ *i\y\ (ду ® х + {-\УУ1 у ®дх) = дт {х ® у),
ад [{х ®у) ®z] =
= a[{dx®y)®z + (-iyx\(x®dy)®z + (-l)\*\+\y\ (x®y)®dz} =
= d[x®(y®z)]=da[{x®y)®z]. Q
9.8. Замечание. Удобный способ запоминания знаков состоит
в том, что если переставляются объекты и, v размерностей \и\,
| у |, то возникает множитель (—I)'"!!0', Примерами служат
формулы (9.6) и (9.3), причем в последней нужно считать,
что \д\ = —1.
9.9. Предложение. Если отображения f°, /': С-+С и g°,
g1: D^>D' гомотопны, то
т. е. функтор ® гомотопически инвариантен.
9.10. Следствие. Если /: С~С' и g: D ~ D' — гомотопиче-
гомотопические эквивалентности, то f®g: C®DcxC'®D' — тоже гомото-
гомотопическая эквивалентность.
Доказательство предложения 9.9. Пусть s: f°^'fl,
т. е. ds + sd = fl — f°. Тогда в Cl®Dl
+ (sd ® g° + (- 1)г 5
Следовательно, s®id — гомотопия f°®g°^fl®g°. В силу сим-
симметричности (см. 9.6), /' ® g°c^fl ® g1, и, значит, /° ® g°c^fl ® g1. []
Другие свойства функтора ®, такие, как точность справа
или сильная аддитивность, переносятся с модулей на комплексы
автоматически, и мы не будем их формулировать. Аксиомати-
Аксиоматическое описание тензорного произведения намечено в упр. 3 § 10.
Наша следующая цель — выразить Н (С ®RD) через НС, HD.
Мы начинаем с обобщения отображения а из 4.2.
9.11. Предложение. Для произвольных комплексов CR, RD
{не обязательно свободных) существует единственный гомомор-
гомоморфизм а: НС ®RHD-+H(С ®ЛD) с а([*] ® [у]) = [х®у] (хе ZC,
9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета 205
и символ [ ] обозначает переход к гомологическим
классам). Отображение а естественно относительно {С, D).
Доказательство. Единственность очевидна. Для дока-
доказательства существования определим отображение a: ZC X ZD —>
-*H{C®D) формулой а(х, у) = [х® у]. Если [а'] = [л:'], |г/] = [г/']>
то х = х' -\- дс, у = у' -\-dd и
а {х, у) = [х'®у'-\- x'®dd-\-dc®y\ = [х?<3у'±.д (х'®4 + д (с®у)] =
= а(х',у\
Следовательно, а индуцирует отображение а: НС X HD ->
-> Н (С & D). Так как а, очевидно, /?-биаддитивно, то ft-биад-
дитивно и а и потому возникает отображение а: НС & HD -->
-*H(C®D) (см. 8.11).
Очевидно, для любых цепных отображений /: С —* С',
g: D-+D'
^ [fx®gy\ =a(f,®gf)([x]
откуда следует естественность. []
9.12. Лемма. Если комплекс С свободен и дс = 0 (так что
С — НС), то а — изоморфизм.
Доказательство. В случае C — (R, п), т. е. при Cft = 0,
если кф п, и Сп — R, утверждение леммы очевидно. В общем
случае комплекс С является прямой суммой таких комплексов,
и как HC®HD, так и H(C®D) коммутируют с прямыми
суммами. []
9.13. Теорема Кюннета. Пусть R — наследственное кольцо,
и пусть С, D — такие R-комплексы, что Н (С * D) = 0'). Тогда
имеется естественная точная последовательность
(9.14) 0-*{НС® HD)n -^ Hn{C®D)-^ {НС * HD)n-x->0.
Она расщепляется, но расщепление неестественно (см. упр. 4.15.1).
Следующее далее доказательство представляет собой незна-
незначительную модификацию доказательств предложений 4.2 и 4.10:
tC заменяется тензорным произведением C®D.
Предположим сначала, что комплекс С свободен. Тогда имеется
точная последовательность свободных комплексов (C^ = Cre-i)
(9.15) о->гс-^с-^»дс+-»>о,
') В большинстве приложений один из комплексов С, D будет плоским
или даже свободным, и потому С * D = 0. Однако условие Н (С *?>)== 0
ботее удобно ввиду его гомотопической инвариантности.
206 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
и последовательность
(9.16) Q-*ZC®D^ic®D^iBC+®D-+Q
тоже точна. Рассмотрим следующий отрезок ее гомологической
последовательности:
(9.17) Н(ВС+® D) -*> Н (ZC ®D){^H(C(g D)
*¦ Я {ВС+ (&D)-^> H{ZC® D).
Пусть q: BC+-*C, j: С -> ZC — отображения, расщепляющие
последовательность (9.15) (ср. эту часть доказательства с рас-
рассуждением, следующим за D.9)). Тогда отображения q&id,
/<2>id расщепляют последовательность (9.16), и потому d,=
= [(/ ® id) о дс®° о (q ® id)], (см. II. 2.12). Но
0" ® id) (Эс®° (<7 ® id) (х®у) = (/ ® id) (dqx ®y±qx® ду) =
{jq) х®ду =
так как jdq = i, jq = O, и потому d» = (i®id),, где i: BC-+ZC —
включение.
Диаграмма
«{« «f
> ZC ®
в которой, в силу 9.12, вертикальные стрелки — изоморфизмы,
коммутативна в силу естественности отображения а, применяе-
применяемой к nape (i, id). Поэтому
coker (dj ?ё coker (i ® id) s НС ® HD,
ker (d.) ^ ker (i ® id) s*HC *HD
(второе следует из того, что ВС+ -+ZC—резольвента группы НС).
Преобразуя с помощью этих равенств последовательность (9.17),
мы получаем естественную точную последовательность
(9.18) 0->HC®HD-2^H{C®D)-^ HC+
Рассмотрим теперь общий случай: Я(С*О) = 0. Мы сведем
его к случаю свободных комплексов точно так же, как это
сделано в § 4 (см. доказательство предложения 4.10). Имеется
естественная точная последовательность
о-*/с-*с->с->о,
и. I ензорное произвеоение комплексов. Формула Кюннета 207
в которой комплексы К а С свободны, причем С~0 (см. D.13)).
Возникают точные последовательности
0->C*D-+K®D->C®D-*C®D->0,
0-н
Далее,
С ~ 0#С®Dm 0=> Н {^§-) е& Н(С®D).
Следовательно, Н(К ®D)+ = Н(С ® D). Применение этого ра-
равенства к последовательности (9.18), составленной для пары
(К+, D), дает естественную точную последовательность
(9.19) 0
Осталось доказать, что а" = а и что последовательность (9.14)
расщепляется. Рассмотрим сначала случай C = (R,n). Тогда
функтор С ® = НС <8>, в сущности, является тождественным
(он сводится к сдвигу размерностей), и из определения сразу же
следует, что a// = id = a. В общем случае выберем x^.ZnC
и определим цепное отображение /: (R, п)-*С формулой /A) = л:.
В силу естественности отображения а", применяемой к паре (f, id),
a" (W ®Ы) = a" (f. ® id J A ® [у]) = (f® id), a"(l ®\y]) =
и потому a" = a.
Если С и D — свободные комплексы, то существуют такие
цепные отображения у: С -> НС, е: D —> HD, что ух = [х], еу = [у]
для любых x^ZC, y^ZD (см. II. 4.6), и потому
[(Y® e).a](M®Ud) = (Y® е). [х®у] = [х] ® [у],
т. е. (y®e), a = id. Поэтому отображение (у®е)„ расщепляет
последовательность Кюннета (9.14). В общем случае выберем
такие свободные комплексы С и D' и такие отображения
/: С'-*-С, g: D'-*-D, что отображения /„ и gt являются изо-
изоморфизмами (см. II. 4.6). В силу естественности, возникает ком-
коммутативная диаграмма
0 _> НС ® HD' ~^Н{С® D') -^> НС'+ * HD'+ -+ 0
(9.20) Hf®Hg\&s H(f<Big)\
0->HC®HD ~^>
208 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
и, в силу леммы о пяти гомоморфизмах, отображение H(f®g)
является изоморфизмом. Поэтому вторая строка изоморфна
первой, которая, как уже было доказано, расщепляется. [}
9.21. Упражнения. 1. С помощью формулы Кюннета дока-
докажите, что если Р, Q — плоские комплексы в категории R-Jtod,
Jtod-R (R — наследственное кольцо), причем HtP = 0, HtQ = 0 при
2^=0, то Hs {НоР ®я Q) ^Hj{P<S>RQ)^HI (Р ®R H0Q) при любом j
и эти группы совпадают с Н0Р ® rH0Q при / = 0, с HoP*RHoQ
при / = 1 и тривиальны при остальных / (ср. с упр. 5 § 5).
2. Подобно тому, как мы это сделали для тензорного пере-
перемножения, распространите с модулей на комплексы произволь-
произвольный функтор двух переменных (ковариантныи, контравариантный
или смешанный). Попытайтесь обобщить теорему Кюннета.
3. Пусть 0-> С—>¦ С—*¦ С" —>0 — точная последовательность
свободных (плоских) комплексов и D — произвольный комплекс.
Можно применить формулу Кюннета к членам последователь-
последовательности 0—>• С (& D —> С ® D-> C"®D —>0. Получается диаграмма,
содержащая отображения /„, /?„, д^ из гомологической последо-
последовательности и отображения Кюннета а, р. Проверьте ее ком-
коммутативность.
4. Произведение двух конечных С1^-пространств X, Y само
является CW-пространством с клетками вида с X d, с <= X,
d еУ, — произведениями клеток из X и Y. Покажите, что соот-
соответствие coS^b^cX^ определяет цепной изоморфизм (WX)<8)Z
<g>z(U7Y)-> W (X X У) (здесь W — клеточный цепной комплекс;
см. V.4.1). С помощью формулы Кюннета вычислите гомологи-
гомологические группы пространства PJR X PnF-
5*. Если С, D — конечно порожденные свободные Z-комп-
лексы, то
(С ® ZJ ® {D ® Zn) = С ® D ® ZH. о. д. (т, п);
возникает отображение а: Н{С&Zm)®H{D® Zn)-»Н(С® D ®
® ZH. о. д. (т, п))- Покажите, что любой элемент группы Н (С <S>
®D®Zk) можно получить из элементов вида х ^ Н (С ®Zm),
у е. Н {D®Zn) применением комбинаций отображений а, коэф-
коэффициентных гомоморфизмов, гомоморфизмов Бокштейна и сло-
сложения. Все ли эти операции необходимы?
10. Функтор Нот на категории комплексов.
Гомотопическая классификация цепных отображений
Дуализируя § 9, мы определим функтор (С, ?))i—>Hom(C, D)
из категории пар комплексов в категорию комплексов. Как
и следует ожидать, если основное кольцо У? наследственно,
10. Функтор Нот на категории комплексов 209
имеются формулы Кюннета, выражающие группу Н (Нот (С, D))
через группы НС и HD (см. 10.11). Так как #0Нот(С, D) можно
интерпретировать как группу гомотопических классов цепных
отображений C—>D, мы получаем в качестве следствия простое
описание этой группы (см. 10.13).
10.1. Определение. Пусть С, D — (левые) ^-комплексы. Опре-
Определим новый комплекс HomR(C, D) формулами
A0.2) НотЛ (С, D)n = П Нот* (С„ Dt+n),
д: Нот* (С, О)п-НотЛ(С, О)„_„
( } 5{/,} = {^}-{(-1Г/^},
где {/J е П Нотд(Сг, ?);+„) = НотЛ(С, ?))„. Эти формулы
действительно определяют комплекс, так как
дд {/л = {dDdDft} - {(-if" dDf{dc) - {(-l
Если g: С'-* С, h: D —>D' — цепные отображения, то
Horn (g-, /г): Нот (С, D) -у Нот (С, D'),
<10-4) Нот (gr, Л)„ = Ц Нот (gt, hi+n)
i
есть цепное отображение, поскольку
- {(-1)" /гг+„ (
, h)n-xd{U).
Итак, Нотд есть аддитивный функтор dR-Mod X dR-Jlod -»<3^^
(-*dR-Jlod в случае коммутативного /?), контравариантный
по первой переменной и ковариантный по второй. Аналогично
можно определить функтор ExtR{C, D), полагая ExtR{C, D)n =
= П Ext«(Cb Dy) и т. д.
11
10.5. Замечания. Элементами группы Нот (С, D)n являются
последовательности гомоморфизмов {ft: Ci-^-Di+n\i(^Z}. Каждая
такая последовательность называется отображением степени п.
Ее называют цепным отображением степени п, если выполнено
условие dD/ = (—l)nfdc. Таким образом, граничный оператор
комплекса Нот (С, D) измеряет отклонение отображения f
от цепного отображения. В частности, группа Zo Horn (С, D) —
это группа обычных цепных отображений C-+D.
210 14. VI. Функторы на категории комплексов
Цепное отображение feZra Horn (С, D) степени п является
границей в Нот (С, D) тогда и только тогда, когда существует
такое отображение s — {st: Ct—>Di+n+i} степени п-\-\, что
dDSt-\-{—l)nS;_i<3c = /,-. Такое отображение s называют обычно
нуль-гомотопией, а отображение f в этом случае называют
нуль-гомотопным; обозначение: / ~ 0. Таким образом, группа
границ Во Нот (С, D) состоит в точности из всех нуль-гомотоп-
ных цепных отображений, и потому
A0.6) #0Hom(C, D) = я (С, D) есть группа гомотопических
классов цепных отображений С -> D.
Цепное отображение f — {ft' Ct —*-Di~n} степени —п можно также
рассматривать как обычное цепное отображение /: С —> DM
комплекса С в л-кратную надстройку комплекса D; подобным
образом интерпретируются и гомотопии. Таким образом,
A0.7) Н-п Нот (С, D) = n (С, DM) = л (С{~п), D).
Всякое цепное отображение f: C^D индуцирует отображение
f,: HC-+(HD{n)) = (HD)in>. Если f ~ 0, то ft = 0; благодаря
этому возникает отображение
а: Я„Нот(С, D)-+ Horn {НС, HD)n,
A°-8) a[f] = /., L[z] = [fz)
(f <= Zn Нот (С, D), z e 1С).
Если g: C'—>C, h: D-+D' — два цепных отображения, то,
как это следует из определений, для любого /<=ZnHom(C, D)
(Ю.9) Hom(g, h),{\f\) = [hfg].
В частности,
A0.10) g°^g\ h°~hl=$liom{g°, /г0), = Нот(§', h\,
т. е. функтор Нот гомотопически инвариантен.
10.11. Теорема Кюннета. Пусть RC, RD — комплексы над
наследственным кольцом R, причем Н [Exts (С, D)] — 0 {например,
комплекс С свободен). Тогда имеется естественная точная после-
последовательность
A0.12) 0 -> Ехтд {НС, HD)n+l -^> Нп Нотд (С, D) ^>
->Homs{НС, HD)n->0,
и она расщепляется {не естественным образом).
В случае д° = 0 это сводится к формуле универсальных ко-
коэффициентов 4.2, если положить в ней / = Нот(—, D). Полагая
п = 0, получаем
10. Функтор Horn на категории комплексов 211
10.13. Следствие (гомотопическая классификация). Пусть RC,
RD — такие комплексы над наследственным кольцом R, что
H[ExtR(C, D)\—0. Тогда существует естественная точная после-
последовательность
A0.14) 0->Д Ext (#,-!<:, tf ,D)-^-> я (С, D) -+
i
-*П Horn (Я;С, H,D)->0,
i
и она расщепляется (не естественным образом). []
Если комплекс С свободен, то, как мы знаем из II. 4.6, ото-
отображение а эпиморфно. Кроме того, следствие 10.13 показывает,
сколько цепных отображений С —*¦ D индуцирует одинаковые
гомологические гомоморфизмы.
Построение последовательности A0.12) двойственно построе-
построению последовательности (9.14): достаточно применить *-согла-
шение из § 2, в частности Hom = <S>*, Ext = *#. Однако на
этом пути не удается расщепить последовательность A0.12).
Тем не менее уже точность последовательности A0.12) позволяет
получить следующий результат:
10.15. Предложение. Пусть f: C2-+C\ g- D1 -> D2 — цеп-
цепные отображения, индуцирующие гомологические изоморфизмы
f,: HC2^HC[, g^.HD'^HD2, и пусть HExtR(C\ Dl) = 0,
#(Ext#(C2, D2))=0. Тогда пара (/, g) индуцирует изоморфизм
между последовательностями Кюннета пар (С, ?)'), (С2, D2).
В частности, Hom(/, g),: Я Нот (С, ?»') s Я Нот (С2, D2).
Это следует из естественности отображений а и E и леммы
о пяти гомоморфизмах (ср. 9.20). []
Перейдем к доказательству расщепляемости последователь-
последовательности A0.12). Возьмем свободные комплексы С, D' и цепные
отображения
с J^Cr JU Hc, D^-Dr ^ HD',
индуцирующие гомологические изоморфизмы, причем f, = id
(см. ниже лемму 10.16 и II.4.6). Тогда, в силу 10.15, отобра-
отображения
(Г П\ !/' ld) (Г' П\ (-'d> g) in' Г\'\ (id' g'\ (Г> НП\
(С, D) ¦< (С , D) -* (С , D ) > (С , HU)
индуцируют изоморфизм последовательностей Кюннета A0.12)
пар (С, D) и (С, HD) и потому достаточно расщепить последнюю.
Но отображение
Нот (/', id),: Worn (НС, HD)-+HUom(C, HD)
212 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
служит правым обратным к отображению а из этой последо-
последовательности.
Остается доказать существование отображений fag.
10.16. Лем м а. Для любого комплекса Е над наследственным
кольцом R существует цепное отображение h' E-+E свободного
комплекса в комплекс Е, индуцирующее изоморфизм /г„: НЕ^НЕ.
Если Нп-\Е = НпЕ = 0 для некоторого п, то можно взять Еп — 0.
В случае когда модули Нп-{Е, НпЕ конечно порождены и
кольцо R нётерово {например, R — область главных идеалов),
можно выбрать модуль Еп конечно порожденным. Если ком-
комплекс Е свободен, то h — гомотопическая эквивалентность
(в силу Н.4.3).
Доказательство. Рассмотрим двучленную резольвенту
модуля НпЕ (если модуль НпЕ тривиален или конечно порожден,
то такова и резольвента) и поместим ее в размерности п, n-j- 1.
Для получившегося свободного комплекса Е(п)
НпЕ{п)^НпЕ, Н/Е{п) = 0 при \Фп.
Полагая ? = ф?(«), мы получаем изоморфизм НЕ^НЕ,
i п
который, в силу П.4.6, реализуется цепным отображением. Q
Соотношения между Нот и ® обобщаются и на комплексы.
Мы рассмотрим сейчас один пример (который потребуется нам
в дальнейшем), а другие наметим в упражнениях.
Пусть R — область главных идеалов; все модули считаются
/^-модулями, а функторы Нот и ® рассматриваются на ка-
категории ^-модулей. Два /^-гомоморфизма /: L—>L', g'- M-*M'
дают третий ^-гомоморфизм /®g: L®M-*-L'®M'. Соответ-
Соответствие (/, g)*—>}®g является естественным билинейным отобра-
отображением; в силу предложения 8.19, оно индуцирует естественный
/^-гомоморфизм
A0.17) y: Horn (L, V) ® Нот (М, М') -* Нот (L ®M, L'® М'),
описываемый вносящей путаницу формулой y(f®g) = f®g.
Путаница возникает, конечно, потому, что символ f®g обо-
обозначает две разные вещи, а у переводит одну в другую.
В большинстве случаев из контекста будет ясно, что означает
f®g. Если считать, что f®g есть элемент группы Hom(L, L') ®
® Нот (М, М'), то отображение A0.17) описывается формулой
10. Функтор Horn на категории комплексов 213
10.18. Предложение. Если L — свободный конечно поро-
порожденный модуль, М — свободный модуль и один из модулей М,
U конечно порожден, то у — изоморфизм.
Доказательство. В случае L = M = R обе группы, свя-
связываемые отображением у, совпадают с L'® М' и у —id.
В случае когда L, М — конечные суммы слагаемых R, у является
изоморфизмом ввиду аддитивности обеих частей. Аналогично
в случае L — L' = R обе части совпадают с группой Нот(М, Мг)
и у = \й, а если L, U — конечные суммы слагаемых R, то
у — изоморфизм ввиду аддитивности обеих частей. Если мо-
модуль V конечно порожден, то он представляется в виде Р0/Ри
где Ро и Рх — свободные конечно порожденные модули. Пусть
L — конечная прямая сумма слагаемых R. Если заменить мо-
модуль V любым из модулей Ро, Р\, то у будет изоморфизмом.
Следовательно, у будет изоморфизмом и для самого Z/, по-
поскольку обе части точны справа как функторы переменной L'
(L и М свободны). Q
10.19. Следствие. Если L, М, V, М! — такие же модули, как
в 10.18, то
Нот (L, V) * Нот (М, М') g* Нот (L ®M, U * М').
Доказательство. Как и раньше, возьмем точную после-
последовательность 0—>-Pt -+Р0-*- L'-+Q, где модули Ри Ро свободны
(и конечно порождены, если конечно порожден модуль L').
Тогда последовательность
A0.20) 0-* I/• Af'-»• Р, ® ЛГ-> Ро ® Л*'
точна в силу определения функтора *. Кроме того, последова-
последовательность
A0.21) 0->Hom(L, Pj) -»¦ Horn {L, P0)-^Hom(L, L')-»Q
точна, а поскольку модуль L свободен и конечно порожден,
модуль Нот (L, Р/) свободен. Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
A0.22)
0->Hom(L, L')*Uom(M,M')->Hom(L,р,)®Нот(М, М')->Нот(?, Р0)®Нот(М,М')
0->Hom(L®M, V * М') -> Нот (L ® М, Рх ® М') -> Нот (L ® М, Ра®М')
Первая строка точна ввиду точности последовательности A0.21)
и определения функтора *. Вторая строка точна, поскольку
точна последовательность A0.20) и модуль L®M свободен.
214 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Обе вертикальные стрелки являются изоморфизмами в сил
предложения 10.18. Следовательно, левые члены изоморфны.
Пусть теперь С, С, D, D' — произвольные /^-комплексы.
Определим отображение
A0.23) у: Нот (С, C')®Hom{D, D')-* Нот (С® D, C'®D')
формулой (y(f®j))(x®y)=(-l)lgUxl(fx)®(gy). Это-цепное
отображение. Действительно, в силу определений 9.3 и 10.3,
[yd(f®g)](x®y) = (-l)lgilx](dfx-(-l)]flidx)®gy +
+ (-\fl + lxl]delfx®(dgy-(-l)lsigdy),
[ду(f ®g)\(x®y) = (-l)l8llxl (dfx®gy + (-l)ul + lxl fx®dgy) -
-(-lfl + lgl((-l)]gUdx]fdx®gy +
Правые части совпадают, и потому у<3 —<5у.
10.24. Предложение. Если выполнено одно из следующих
предположений I — III, то у — гомотопическая эквивалентность
(R — область главных идеалов).
I. Комплексы С и D свободны, градуированные модули НС
и HD имеют конечный тип и ограничены ')•
II. Комплексы С и D свободны, группы НС и HD ограничены
снизу, комплексы С и D' ограничены сверху, градуированный
модуль НС имеет конечный тип, один из градуированных мо-
модулей HD, С имеет конечный тип.
III. Комплексы С и D свободны, градуированный модуль НС
ограничен и имеет конечный тип, комплексы С и D' ограничены,
один из градуированных модулей HD, С имеет конечный тип.
Если выполнено одно из условий I—III и условие Н(С *D')=Q,
то теорема Кюннета 9.13 применима к комплексу Нот (С, С)®
0 Нот (D, D'). Поэтому имеется расщепляющаяся точная после-
последовательность
A0.25) 0-> ф Н, Нот (С, С) ® Hk Horn (D, D') -*
-*Я„Нот(С®О, C'®D')-*
-+ 0 Н, Нот (С, С) * Hk Нот {D, D') -+ 0.
i+k=n—1
') Градуированный модуль G называется ограниченным {ограниченным
сверху, ограниченным снизу), если О/ = 0 = G-/ (Gj = O, G-j = O) для
больших /. Говорят, что он имеет конечный тип, если каждый модуль G]
конечно порожден.
10. Функтор Нот на категории комплексов 215
Применяя предположение III предложения 10.24 к случаю
С = D' = (R, 0) и С = (М, 0), где М — некоторый Я-модуль,
мы получаем
10.26. Следствие. Пусть D — свободный R-комплекс и М — не-
некоторый R-модуль. Предположим, что градуированный модуль HD
имеет конечный тип или что модуль М конечно порожден. Тогда
имеется естественная расщепляющаяся точная последовательность
A0.27) 0-+М & Нп (D; R)^Hn(D; М)-+М * Hn+l (D; R)-*0. Q
(Здесь и ниже используется обозначение Нп (D; М) —
= Н-п Нот (D, М).)
Доказательство предложения 10.24. Если градуи-
градуированный модуль НС ограничен или имеет конечный тип, то
комплекс С гомотопически эквивалентен свободному комплексу С,
который соответственно тоже ограничен или имеет конечный
тип (см. 10.16); аналогичное утверждение верно и для D. Так как
отображение \ гомотопически инвариантно, можно заменить
комплексы С, D комплексами С, D, т. е. считать, что ком-
комплексы С, D сами удовлетворяют условиям, налагаемым на
модули НС, HD. Тогда каждое из условий I — III влечет за
собой, что группа Нот (С, С')» = П Нот (Ср, C'p+i) является
р
конечным произведением (т. е. суммой); аналогичное верно для
комплекса Hom(D, D'). Поэтому левая часть формулы A0.23)
является, в каждой размерности п, прямой суммой членов вида
Нот (Ср, С'г)'/ Нот(Ь„ D's) с p-\-q —r-{-s-\-n. Подобным же
образом любое из условий I — III влечет за собой, что правая
часть является суммой членов вида Horn (Cp ® Dq, C'r&D's).
В силу 10.18, гомоморфизм у является изоморфизмом на ка-
каждом из этих членов, а потому он и в целом является изо-
изоморфизмом.
Остается доказать применимость формулы Кюннета (9.13),
т. е. доказать ацикличность комплекса Нот (С, С') *Hom(D, D').
В силу очевидного обобщения следствия 10.19, Нот (С, С')*
* Нот (D, D') ?ё Нот (С ®D,C* D') (можно повторить доказатель-
доказательство следствия 10.19, заменяя модули Ро, Р\ свободными ком-
комплексами). Наконец, ацикличность комплекса Hom(C &Z), С * D')
вытекает из теоремы Кюннета 10.11, применяемой к функтору
Нот, и условия Н{С *D') = Q. Q
10.28. Замечание. Если L^R-JKod и С — комплекс левых
/?-модулей, то комплекс HomR(C, L) можно построить с по-
помощью 2.6, т. е. применяя функтор Нотд(—, L) к комплексу С;
с другой стороны, можно рассматривать L как комплекс.
216 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
L = (L, 0), и построить комплекс Нотй(С, L) — HomR(C, (L, 0))
с помощью 10.1. Эти комплексы совпадают как градуированные
группы, но граничные операторы их отличаются знаком: в первом
случае д(ср) —<f°d, а во втором д(ф) = — (—1)|гр|ф°д. В боль-
большинстве приложений это различие не проявится, поскольку
комплексы изоморфны. Если же оно все-таки проявится, мы
всегда будем считать, что (Э(ф) = — (— 1) ф°<Э; это лучше со-
согласуется с нашей точкой зрения.
Гомологии комплекса Нот (С, L) обычно называют когомо-
логиями комплекса С с коэффициентами в L и обозначают
через Н* (С; L); подробнее: Hq (С; L) = Я_„ Нот (С, L).
10.29. Упражнения. 1. Отображение
Homfi(C, D)®zHomR(B, C)-*HomR(B, D),
является цепным. В частности, является цепным естественное
отображение Нот^ (С, D)®zС->D, {g;} ® хн-> glx{х. Исследуйте
отображения, получающиеся из этого отображения переходом
к гомологиям и компонированием с а (см. 9.11).
2. Покажите, что отображение Ф: Homz (С ®л D, ?) -*•
->Нотд(С, Homz(D, Я)), определяемое формулой [Ф{/,-}*]у =
= f\x\+\u\(x ®j?^)> является Цепным изоморфизмом.
Упражнения 1 и 2 иллюстрируют полезность правила знака 9.8.
3*. Пусть t: dR-jKod-yds^'S — (ковариантный) функтор на
категории комплексов. Определим д-структуру на / как такое
естественное цепное отображение т: Wovs\R{D, D') -> Homz (tD, tD'),
что отображение Zot: Z0HomR(D, Dr) —*¦ Zo Homz (tD, tD') совпа-
совпадает с отображением t: [D, D']—>-[tD, tD'], где [ ] обозначает
множество цепных отображений. Покажите, что функтор
t = C ®д (с фиксированным С) допускает E-структуру. Докажите,
что сильно аддитивный точный справа функтор t с д-структурой
полностью определяется своим значением на R = (R, 0); дей-
действительно, tD^t(R, 0) <8>RD (см. 5.4, 5.8). Сформулируйте и
докажите двойственный результат для кофункторов (см. 6.4,
6.8). Покажите, что функтор «перехода к л-остову», опреде-
определяемый формулами (tX)t = Xt при i < п, (tX)t = 0 при i > п,
dtx = dx или 0, не допускает ^-структуры. (Указание'- он не
является гомотопически инвариантным.)
4*. Для комплексов С, С, D, D' над областью главных
идеалов рассмотрите цепные отображения С->С, C'-+C't
//. Ацикличные модели
?>—>D, D'' -*D' из леммы 10.16. Они индуцируют коммутативную
диаграмму
A0.30)
Нот (С, С')®Нот(?>, D')->
Hom(C&D, C'
-> Нот (С, С) ® Нот (D, D')«- Нот (С, С') ® Нот (D, D')
I
у \у
, C'®D')*-Hom(C®5, C'®D')
С помощью этой диаграммы и теорем Кюннета 9.13, 10.11 по-
постройте точную последовательность A0.25) при более слабых,
чем выше, предположениях. Например, комплексы С, D не обя-
обязательно являются свободными. Вместо этого можно предпо-
предполагать, что (i) комплексы Ext (С, С), Ext(D, D'), Ext(C®D,
С ® D') ацикличны или что (ii) комплексы C*D, С * D'',
Нот (С, C)*Hom(D, D') ацикличны.
Я не знаю, можно ли заменить условия, налагаемые на
комплексы С, D', условиями на их гомологии НС, HD'.
11. Ацикличные модели
Мы уже неявно использовали метод ацикличных моделей
в доказательстве гомотопической инвариантности сингулярных
гомологии (§ 5 гл. III). Теперь мы дадим его общую и явную
формулировку. Этот метод будет еще раз использован в § 12
для доказательства теоремы Эйленберга — Зильбера.
11.1. Определение. Пусть Ж — некоторая категория и
F: Ж'—>s&3— ковариантный функтор из категории Ж в кате-
категорию абелевых групп. Базисом функтора F называется семей-
семейство элементов {mj}jlsI, nij^FMj, М/^Ж, такое, что для
любого объекта Х^Ж абелева группа FX свободно поро-
порождается элементами {(Fa) m,}, где /е/, a e Ж {М{, X). Функ-
Функтор, обладающий базисом, называется свободным.
Если ЛаОЪ(Ж) — класс объектов, содержащий все Mj, то
говорят также, что функтор F имеет базис в Л или что функ-
функтор F свободен над Л. Класс Ж называется при этом классом
моделей. Мы часто будем говорить об Л как о подьатегории
категории Ж, имеющей те же морфизмы (для М, М'^Л), что
и Ж, т. е. как о полной подкатегории.
218 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
Например, для Ж = 3~ор группа FX — SnX свободно поро-
порождается элементами {a (in)}, где ira = id ESn (Д„), а а: Дга-> X—
сингулярный симплекс. Поэтому элемент in является базисом
функтора Sn. Для категории Ж — &~орХ&~ор функтор F(X, Y) =
= Sn{XXY) свободен и имеет базис (in, in)e= Sn(AnXAn), a
функтор F(X,Y) = (SX®SY)n= 0 SpX®SqY имеет базис
в Жп = {(Ар, Д?)}р+?=„, а именно {ip®i?}p+?_n.
11.2. Предложение. Пусть F: Ж-> S&3 — свободный функ-
функтор с базисом {nij e FMj}/e?j, и пусть W: Ж -> sf-'S — произ-
произвольный функтор. Для любого семейства {wj ^WMj}is^j суще-
существует единственное естественное преобразование Ф: F -»W,
такое, что Ф (nij) = Ш/ <Эля всех j e /. Другими словами, есте-
естественные преобразования F-+W полностью определяются своими
значениями на базисе, и эти значения могут быть произволь-
произвольными. Это универсальное свойство объясняет введение термина
«свободный» (ср. I. 2.20).
Доказательство. Если Ф: F-*W — естественное пре-
преобразование и a: Mj^>X—морфизм, то (b((Fe)m/) — (№а)(Фт/).
Так как {(Fa) nij} — базис группы FX, преобразование Ф дей-
действительно определяется своими значениями на элементах {nit}.
Отсюда видно также, как строить Ф по данным значениям Wj.
А именно, Ф: FX-* WX переводит свободные образующие (Fa)m{
группы FX в (Wa) wt. Проверка естественности: для любого
морфизма g: X'->X
(Ф о F (g)) ((Fa) m,) = Ф (F (ga) mj) = W (ga) w, = W (g) W (a) w, =
= {W(g)oq>)((Fo)m,),
и потому (?>
11.3. Следствие. Пусть Ж<^Ж — полная подкатегория, и
пусть функтор F; Ж —> s&d имеет базис {nij e FMj}jsJ с Mj e Ж
для всех j (F имеет базис в Ж). Тогда каждое естественное пре-
преобразование Р\Ж-+W \Ж, где W: Ж->s&3 — любой функтор,
имеет единственное продолжение F—>W.
Действительно, как F | Ж -> W \ Ж, так и F->W характери-
характеризуются своими значениями на базисе {nij}. Q
Это следствие допускает следующее полезное обобщение на
факторы свободных функторов:
р я
11.4. Предложение. Пусть F{—*¦ Fo—*G->0 — точная по-
последовательность естественных преобразований между функто-
//. Ацикличные модели 219
рами Ж' —> s№ (точность означает точность для любого ZeJf).
Предположим, что функтор FQ имеет базис в Ж{) с Ж, а функ-
функтор F{ — базис в Жх с Ж. Пусть W: Ж —> sf-d — такой функтор,
что для любого ненулевого элемента w'^WM', М'^ЖХ, най-
найдется морфизм g: М' -> М с М е Ж^ и (Wg) (wf) ф О (это усло-
условие всегда выполнено, если Ж^аЖ). Тогда любое естествен-
естественное преобразование ty: G\MU-*W \Мй допускает единственное
продолжение Чг: G —> W на всю категорию Ж.
Доказательство. Если преобразования ?,, Чг2: G-+W
совпадают на Жц, то Ч^л, W2n тоже совпадают на Ж{) и потому
Ч/,я. = Ч-Г2я в силу 11.3. Так как я — эпиморфизм, это означает,
что 4fi=4/2. Пусть теперь дано преобразование -ф: Gl^,—>
->W\JlQ\ тогда преобразование qp = -ф (л | Жо): FQ\jk,,-+W \Жй
допускает продолжение Ф: Fo~+W (см. 11.3). Если мы покажем,
что Фр = 0, то можно будет определить преобразование Ч; фор-
формулой Ч;л = Ф (поскольку G ^ coker (p)). Пусть m' e F{Mf,
М'^Ж1, и пусть g: М'-+М, М е Жо, — некоторый морфизм.
Тогда
(Wg) (Фр) т' = (Фр) (Flg) т' = ((Ф 1 Жо) (р Ж,)) (Fxg) m' =
Ж0)(9\Ж0))(Р1§)т' = 0
(последнее равенство справедливо, поскольку яр = 0). Итак,
элемент ш'=(Фр)т' аннулируется всеми морфизмами g: М''—> М,
и поэтому он равен нулю (по условию). Следовательно, (Фр) \Ж\ —
= 0, откуда Фр = 0, так как FX имеет базис в Жх (см. 11.3). []
11.5. Лемма (ср. II. 4.7). Пусть
т
F —* Wo -^ W.
(П.6) К
•'о
1
ф-1
— коммутативная диаграмма естественных преобразований между
функторами Ж -> ^#^. Предположим, что F имеет базис в Ж а Ж,
totj = 0 и что вторая строка точна в Ж (т. е. что последова-
последовательность W\M-+WoM-*W'-\M точна для каждого М^Ж).
Тогда диаграмму A1.6) можно пополнить естественным преобра-
преобразованием <р: F -> W\ таким образом, что она останется комму-
коммутативной.
Доказательство. Если m е FM, то хг0 (фот, (т)) =
= ф_,тот, (т) = 0. Если при этом М е Ж, то фот, (пг) = т^ (да)
с некоторым да е И^^М, так как вторая строка точна.
220 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
В частности, имеются такие элементы \ws i= W'Af/}/e/, что %\ (&>/)=
= фот1(т;-) для каждой базисной образующей nij^FMj функ-
функтора F. В силу 11.2, имеется естественное преобразование
<р: F-*-W\, удовлетворяющее условию ф(/Пу) = о>/. Так как ото-
отображения т'ф и фот1 совпадают на {пг^, они совпадают на всей
категории Ж (см. 11.2). []
11.7. Предложение (теорема об ацикличных моделях). Пусть
F, V: Ж -^дэФ'З — ковариантные функторы из категории Ж в ка-
категорию комплексов, причем F{ = 0 — V\ при i < 0. Пусть суще-
существуют такие классы ЖксЖ, & = 0, 1, ..., что функтор Fk
имеет базис в Жк и что Hk+lVM~0 при M^J(k+l и при
М е Mk+2- Тогда любое естественное преобразование ф: HLF->
-> H0V индуцируется единственным (с точностью до естественной
гомотопии) естественным цепным отображением f: F->V. Таким
образом, имеется изоморфизм
Но: n[F, V]^[H0F, H0V],
где я [ ] — группа естественно-гомотопических классов естествен-
естественных цепных отображений, а [ ] — группа естественных преобра-
преобразований.
Доказательство. Прежде всего мы должны по ф по-
построить /, т. е. пополнить диаграмму
... -^> F2 —» Fx -^ Fo -> H0F -> 0
(П.8) |f; ;f' ;f°
Это можно сделать поэтапно, используя на каждом шаге
лемму 11.5 и тот факт, что Hk+\VM. — 0 при М е Лk+2-
Пусть теперь f: F-+V — цепное отображение с Hof — O. Мы
должны построить гомотопию si={sk: Fk->Vk+i}, dsk-\-sk—ld = fk.
Проведем индукцию по k, начиная с s_( =0. Индуктивный пере-
переход от k — 1 к k состоит при i^O в пополнении диаграммы
0
A1.9) \sk
(где при k = 0 надо заменить группу V~\ группой HnV). Это
пополнение возможно опять-таки в силу леммы 11.5, поскольку
HVM = Q для М^Жк+1. Q
//. Ацикличные модели 221
В предложении 11.7 мы не налагали никаких условий на H0VM;
если это сделать, то теорему можно усилить следующим образом:
11.10. Следствие. В условиях предложения 11.7 предположим,
что для любого ненулевого элемента v e HUVM', M' е Жи можно
найти такой морфизм g: М''-* М с М ^ Жа, что (H0Vg) v Ф 0.
Тогда любое естественное преобразование H0F \ Жо -> H0V \ Жо
индуцируется единственным (с точностью до естественной гомо-
топии) естественным цепным отображением F —> V, т. е. п [F, V] ^
^ [H0F\J(Q, HQV \JCo]. Таким образом, естественные цепные ото-
отображения F -> V характеризуются (с точностью до естественной
гомотопии) своим поведением на группах H0FM с М е Жо.
Это следует из предложения 11.4, применяемого к G — H0F,
W = HQV: оно доставляет равенство [H0F \ Ж^ Н0У\Жи] =
= [H0F, H0V], а последняя группа совпадает с л [F, V], в силу
предложения 11.7. []
11.11. Упражнения. 1. Назовем функтор Р: Ж -> s&'S npo-
свободным, если он является прямым слагаемым свободного
функтора F: X-+s?$, т. е. если имеются естественные пре-
преобразования Р—* F — * Р с pi = Id. Обобщите предшествующие
результаты со свободных функторов на просвободные. Если
V, V, V"—функторы из категории Ж в категорию $4-*§,
0 —> V —> V -> V" —> 0 — точная последовательность естественных
преобразований и Р — просвободный функтор, то последователь-
последовательность 0-*[Р, V'\-*[P, V]->[P, V"]^0 тоже точна, т. е. про-
просвободный функтор проективен в смысле 6.21.
2. Для малой категории Ж (объекты образуют множество)
и любого функтора V: Ж'-> S&3 существует свободный функтор
F: Ж -> s?$ с естественным эпиморфизмом Ф: F-+V. (Указание:
для любых К^Ж, v^VK, Isl обозначим через FKiV(X)
свободную абелеву группу, порожденную элементами множества
Ж{К,Х); пусть, далее, Ф^, 0: FKtV(X)-+ У J—естественный гомо-
гомоморфизм, задаваемый формулой at—>{Va)v, а^Ж (К, X). Поло-
Положим F= ф FK v, Ф = {ФК, 0}.) С помощью этого предложения
(К- v)
и упр. 1 покажите, что каждый проективный функтор Ж'-> s4-"S
просвободен. (Ср. Дольд, Маклейн и Оберет [1].)
3. Используя следствие 11.10, покажите, что группа есте-
естественно-гомотопических классов естественных цепных отображе-
отображений SX-+SX, Х^.?Гор, свободно порождается тождественным
отображением, т. е. я [SX, SX] ?== Z. Вообще если (непустое) про-
пространство / ациклично, т. е. Я/ = 0, то л [SX, S(Xy,I)] есть
свободная циклическая группа, порожденная элементом S(iP),
222 Гг. VI. Функторы на категории комплексов
где Ре/ —точка, a iP: X -> X X I — вложение х^—>(х, Р)>
Сравните это с III. 5.7 и III. 6.6.
4. Докажите, что я [SX, SX®SX] ?*• Z {Х^Тор). Для любого
естественного цепного отображения -ф: SX -+ SX ® SX существует
такое целое п, что -ф (а) = п (а ® а) для любого О-симплекса
а: А0-*Х (это следует из естественности отображения -ф, при-
применяемой к а); указанный выше изоморфизм индуцируется соот-
соответствием ty I—» п. В частности, имеется единственное (с точностью
до естественной гомотопии) цепное отображение D: SX —> SX&SX,
такое, что D(a) = a®a, где ст: А0-*Х — сингулярный 0-сим-
плекс. Это отображение D называется естественным диагональ-
диагональным отображением комплекса SX.
5*. Пусть F, V — такие функторы из категории Ж в кате-
категорию комплексов ds^'S, что /гг=0 = К,- при / < 0. Предполо-
Предположим, что существует класс ^сОЬ(Х), такой, что каждый
функтор Fk имеет базис в 1 и что HkVM = 0 при М е Л и
k > 0. Пусть Нот(/Г, V) обозначает следующий комплекс:
Hom(F, V)n = 0 при п < 0, Hom(.F, F)o — группа естественных
цепных отображений /•"—>¦ 7, HomCF, 7)п = П[/;'й, 1^а;+п] пРи
k
k
п>0 (символ [ ] обозначает то же, что в 11.7), а граничный
оператор действует по формуле д {fk} = {dv ° fk} — {(— 1)" fk о dF},
как в A0.3). С помощью 11.7 докажите, что Я„Нот(/7, V) = 0
при пфО, H0Hom(F, V)^[HtJF, H0V].
Для любого свободного комплекса С е dsf-d с Сп = 0 при
п< 0 и любого гомоморфизма ф: Н0С->[H0F, H0V] существует
единственное (с точностью до гомотопии) цепное отображение
Ф: C->-Hom(F, V), индуцирующее ф (ср. 3.5). Переходя к сопря-
сопряженным гомоморфизмам (упр. 8.20.3), докажите, что если
o|)jM: Н0С ® H^FM-* H0VM, М е Ж, — семейство гомоморфизмов,
естественных на Ж cz Ж', то существует единственное (с точностью
до естественной гомотопии) естественное цепное отображение
Wx: C®FX-+VX, Х(=Ж, такое, что НохРм = ^м для МевЖ.
Это — теорема об ацикличных моделях с параметром С. Она
содержится в теореме 11.7 при C = (Z, 0). Ее можно рас-
распространить на комплексы С, удовлетворяющие условиям
Я (Ext (С, Нот (.F, V)) = 0, Ext (Я_,С, [H0F, Я07]) = 0 (восполь-
(воспользуйтесь следствием 10.13).
12. Теорема Эйленберга — Зильбера. Формулы Кюннета
для топологических пространств
В этом параграфе с помощью ацикличных моделей мы по-
построим для любой пары пространств X, Y^tTop эквивалент-
эквивалентность 5(X X Y) ~ SX® SY. Объединяя ее с теоремой Кюннета
12. Теорема Эйленберга — Зильбера 223
9.13, можно выразить группу H(XX,Y) через группы НХ, HY.
Если каждая группа Я,Х конечно порождена, то имеется и фор-
формула, аналогичная A2.18), выражающая когомологии #*(XXF)
через Н*Х и НУ.
12.1. Теорема Э й л ен бер г а — 3 и л ь бе р а. Функторы
(SX) ® (SY) и S(XXY) из категории Тор X Тор {пар про-
пространств) в категорию дзФ'З (комплексов) гомотопически экви-
эквивалентны. Точнее, имеются единственные (с точностью до есте-
естественной гомотопии) естественные цепные отображения
Ф:
такие, что Ф0(ст®т) = (а, т), W0(a, r)==a®r для любых ^-сим-
^-симплексов а: А0->Х, т: Д0->У.
Каждое такое цепное отображение является гомотопической
эквивалентностью: имеются естественные гомотопии ФЦгс±.1й,
WOcald. Такое цепное отображение будет называться отобра-
отображением Эйленберга — Зильбера и обозначаться через EZ.
Аналогичные утверждения верны для трех и более про-
пространств (или для одного пространства!).
Доказательство. Положим F(X, Y)=SX®SY, F'(X,Y)=
= S(X'XY)- И F, и F' — свободные функторы (см. 11.1): дей-
действительно, Fk имеет базис в множестве {{Ар, Aq)}p+q=k, a
Fi — в множестве (Ak, Aft), а именно {(i^, ® ^q)}P+q~k (соответ-
(соответственно (ik, ik)), где lp = id (Ар). Так как множества Ар и АрХ\
выпуклы, то (см. III.4.6)
S (Ар X А,) ^ (Z, 0), (SAp) ® (SAq) ~ (Z, 0) ® (Z, 0) = (Z, 0),
и потому группы HkF, HkF' тривиальны на всех моделях (Ар, Aq)
при k > 0 и отображения (Ар, Aq) -> (Ао, До) индуцируют изо-
изоморфизмы групп H0F, HUF'. Можно теперь применить след-
следствие 11.10 (с V = F или F'). Так как Жй = {уа, i0) состоит из
единственного объекта и группы HQF(i0, i0), H0F'(i0, i0) сво-
свободно порождены элементами io®lo, (io> lo). T°. в силу этого
следствия, существуют единственные (с точностью до естествен-
естественной гомотопии) естественные цепные отображения Ф: F—> F',
W: F'-*F, такие, что Ф(i0®i0) = (i0, i0), XV(^o, io) = h®h- По-
Поскольку 4*XD (i0 ® i0) = i0 ® io. Ф^ (lo. lo) = (lo. lo)> T0. опять-таки
в силу 11.10, ЧГФ ~ Id, ФЛУ ~ Id. Наконец, равенство Ф(ц ® io) =
= (i0, i0) влечет за собой равенство Фо (а ® т) = (а, т) ввиду
естественности Ф, примененной к сингулярным симплексам
а: А0->Х, т: Ao^-F, а равенство xF(i0, io)== io®io влечет за собой
равенство Ч;о (а, т) = а ® т. Очевидное обобщение на три про-
пространства и большее их число предоставляется читателю. []
224 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
12.2. Следствие. Для любых отображений Эйленберга-
Зильбера следующие диаграммы гомотопически коммутативны:
A2.3)
Р7 FZ
SX®SY —>S{XXY) SX®SY+-S(XXY)
Sit) т| Is (О
%
Y
P7 P7
SY ®SX —>S(YXX) SY®SX+—S(YX X)
где t{x, y) — (y, x), %{u® v) ==(— 1)' " " v 'о®м (коммутативность
EZ - отображений);
EZ
F7
SX®S(YXZ) —> S(XXYXZ)
id® EZ
EZ
(ассоциативность EZ-отображений);
EZ EZ
SX&SP —> S (X X P) SX®SP +—S(XXP)
A2.5) id ® 11 jproj Id ® 11 jproj
SX ® (Z, 0) -^> SX SX & (Z, 0) *^ SX
где P — точка, r\ — аугментация (EZ-отображения сохраняют
единицы).
Действительно, в каждой из этих диаграмм оба пути, иду-
идущие из какого-нибудь угла в противоположный, индуцируют
тождественное отображение в размерности 0 (в группе #0) и
потому (естественно) гомотопны. []
12.6. Следствие. Для любых EZ-отображений Ф, XF и любых
пар пространств (X, A), (Y, В) имеется коммутативная диаграмма
с точными строками
0->SA® SY + SX®SB-^+ SX&SY -> SX/SA ® SY/SB-+ 0
A2.7) ф'Цчг'
0-+ S{AXY, XXB} —
Вертикальные отображения индуцированы отображениями Ф,
12. Теорема Эйленберга — Зильбера 225
как в III. 7.1. Более того, имеются естественные гомотопии
(D'W ~ id, ?'Ф' ~ id, Ф"Ч'" ~ id, гР"Ф" ~ id.
Доказательство. Естественность преобразования Ф, при-
применяемая к включению у'1: А—>Х и отображению idK, доста-
доставляет включение
и аналогично доказываются включения Ф (SX ® SB) cz S (X X В),
W{SA®SY)czS(AXY), W(SX®SB)czS(XXB). Таким обра-
образом, построены отображения Ф', W, Ф", W". Из естественности
гомотопии ФЧ^ с~ id следует, что отображение ФЧ1 переводит
S{AXY, XX В} в S{AXY, XX В}, поэтому возникают гомо-
гомотопии Ф'Ч''^^, Ф"'1F//~id. Аналогично строятся гомотопии
4^'~id, ^'^"^id. D
12.8. Следствие. Для любых пар (X, А), (У, В) имеются есте-
естественные отображения
П2 9) SX OSY E\ S{XXY)
П2 9) O \
-*S(XXY, (AXY)\j(XXB)).
Второе отображение является гомотопической эквивалентностью
тогда и только тогда, когда триада (X X Y; А X Y, XX В) вы-
вырезаема (например, когда множества А и В открыты или одно
из них пусто; см. III. 8.1). Q
Объединяя 12.8 с теоремой Кюннета 9.13, мы получаем
12.10. Следствие. Пусть (X, A), (Y, В) — такие пары, что три-
триада {X X Y; А X Y, X X В) вырезаема. Тогда имеется естествен-
естественная точная последовательность
© [i( A)*H}{Y, B)}->0,
и эта последовательность расщепляется (но не естественным об-
образом). [}
Можно, конечно, применить, к A2.9) произвольный аддитив-
аддитивный функтор, и, если триада (XXY; А X Y, XX В) вырезаема,
получится гомотопическая эквивалентность. Например, для
226 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
любых Я-модулей L,- М
A2.11) {SXISA®L)<8>R{SY/SB®M)^
s {SX/SA ® SY/SB) ® (L ® R M) ~
~S(XXY,(AXY)l)(XXB))®(L®RM),
и потому, в силу 9.13, справедливо следующее предложение:
12.12. Следствие. Пусть {X, А), (У, В) —такие же пары, как
в 12.10, и пусть L^JCod-R, M e R-JCod — такие модули над
наследственным кольцом R, что L*RM = 0. Тогда существует
естественная точная последовательность
Q-*H(X, A; L)®RH{Y, В; М)->
->H(X®Y, (AXY)IJ(XXB);L®RM)-+
-+Н(Х, A; L)*RH{Y, В; М)+^0,
и она расщепляется (но не естественным образом). В частности,
если R — поле, то
A2.13) Я (X X Y, (А X Y) U (X X В); R) е&
^Н(Х, A; R)®RH(Y, В; R). Q
Сравним теперь когомологии пространств X, Y и X X Y. За-
Заметим сначала, что для любого кольца R и любого ^-модуля М
A2.14) Homz(SX, M)s*HomR(SX®zR, M).
Действительно, обе части (точнее, их я-мерные компоненты)
можно отождествить с множеством всех функций /, определен-
определенных на множестве сингулярных я-симплексов а: Ап—>Х со зна-
значениями / (а) в модуле М. При этом отождествлении отобра-
отображение y из A0.23) (с C' = (L, 0), D' = (M, 0), где L, М —
произвольные ^-модули) превращается в
A2.15) y: HomzEJ, L) ®
->Homz(SX®SY,
Предложение 10.24 (случай II) показывает, что отображение
A2.15) является гомотопической эквивалентностью, если гра-
градуированные ^-модули Н (X; R), H (Y; R) имеют конечный тип
или если модуль Н (X; R) имеет конечный тип, а модуль L ко-
конечно порожден (R — область главных идеалов).
В этих рассуждениях можно заменить пространства X, Y
парами {X, A), {Y, В). Более того, если триада {X XY; AXY,
12. Теорема Эпленберга — Зильбера 227
XXВ) вырезаема, то можно заменить комплекс SX/SA&SY/SB
гомотопически эквивалентным ему комплексом S(XX.Y>
{AXY)[)(XXB)) (ср. 12.8). Применяя предложение 10.24 (слу-
(случай II), мы получаем
12.16. Предложение. Пусть L, М —модули над областью
главных идеалов R, и пусть (X, A), (Y, В) — такие пары, что
триада (XXY; А X Y, XX В) вырезаема. Если градуированные
модули Н (X, A; R), H (Y, В; R) имеют конечный тип или если
Н (X, A; R) имеет конечный тип и модуль L конечно порожден, то
A2.17) Homz (S (X, A), L) ® R Homz (S (Y, В), М) ->
-*Homz(S(XXY, (AXY)\J(XXB)),L®RM)
— гомотопическая эквивалентность. Если, кроме того, L*RM — 0,
то применима теорема Кюннета 9.13 и возникает естественная
расщепляющаяся точная последовательность
A2.18) Q-* @ Hi{X,A;L)®RHl{Y,B; М)-^
-*Hn{XXY, (AXY)\J(XXB),L®RM)->
-» 0 Н' (X, A; L) *R H1 (Y, В; М) -+ 0.
В частности, если R — поле и (X, A), (Y, В) — такие пары, что
триада (X X Y; А X Y, XX В) вырезаема и градуированный мо-
модуль Н (X, A; R) имеет конечный тип, то
A2.19) H*(XXY,(AXY)\J(XXB); M)s*
^Н*(Х,А; R)®RH*(Y,B; M),
где М — любое векторное пространство над R. []
Мы закончим эту главу несколькими замечаниями о диаго-
диагональном цепном отображении SX —> SX ®SX. Для любого про-
пространства X диагональное отображение А: Х-> XXX, А(х)=(х,х),
индуцирует естественное цепнре отображение A: SX ->S(X XX).
Можно в отображении Эйленберга — Зильбера EZ: S(XXY)-*
->SX®SY положить X = Y и скомпонировать EZ с А; со-
составное естественное цепное отображение
A2.20) D: SX^*S(XXX)^>SX®SX
называется естественным цепным диагональным отображением
комплекса SX. Оно само зависит от выбора отображения EZ,
а его гомотопический класс от него не зависит.
Пусть А\, А2 — два подпространства пространства X. Тогда D
отображает подкомплекс S{AU A2}, порожденный комплексами
228 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
SAU SA2, в SAt ® SX + SX ® SA2; это следует из 12.6 или не-
непосредственно из естественности отображения D. Переходя
к факторкомплексам, мы получаем (относительное) диагональ-
диагональное отображение
A2.21) D: SX/S{AU A2}-*-SX/SAi® SX/SA2,
единственное с точностью до (естественной) гомотопии. Более
того, для произвольных семейств st-u $?2 подмножеств про-
пространства X имеется отображение D: SX/S{s?it s&2}—>-
-*SXlSs?l<8)SXISs?2,rAe{s&u зФ2) — объединение семейств^,, зФ2.
Свойства отображений Эйленберга — Зильбера переносятся
на диагональные отображения. В частности, диаграммы A2.3) —
A2.5) превращаются в следующие соотношения:
A2.22) %D ~D (коммутативность),
где т: SX ® SX -*¦ SX ® SX—перестановка сомножителей, т (и ® у)=
= (-1)|и||г|о®н. ?
A2.23) (id ® D) о D ~ (D ® id) о D (ассоциативность);
обе части этого равенства — отображения SX^-SX ®SX ®SX. []
A2.24) (id ® r\) о D c^ id ~ (т) & id) о D (наличие единицы),
где tj: SA"->(Z, 0) — аугментация и
SX®(Z, Q) = SX = (Z, 0)®SX. Q
Эти соотношения имеют смысл и в обсуждавшемся выше отно-
относительном случае.
Отображение EZ: S(X X^)-* SX®SY, участвующее в опре-
определении диагонального отображения D, само может быть полу-
получено из D:
A2.25) EZ = (p®q)oD,
где D = Dx х г: S (X X Y) -+ S (X X Y) ® S (X X Y) - диагональное
отображение комплекса S(XXY), a p: XXY ~> X w.q;XXY ^>Y—
проекции. Действительно, применяя естественность отображе-
отображения EZ к паре (р, q), мы получаем EZ °(pXq) = (pXq)° EZ,
и компонируя это равенство (справа) с отображением А =
= Д*ху: S(XXY)^S((XXY)X(XXY)), мы получим в точ-
точности равенство A2.25), так как (р X<7)°^ = id, ?Z<=A = D.
Можно определить естественные диагональные отображения
и вывести их основные свойства, не обращаясь к отображениям
Эйленберга — Зильбера (но используя ацикличные модели;
см. упр. 11.11.4). На самом деле естественные диагональные
отображения SX^-SX ®SX и отображения Эйленберга — Зиль-
Зильбера 5 (X X Y) -> SX ® SY — это формально эквивалентные по-
понятия (см. упр. 5).
12. Теорема Эйленберга — Зильбера 229
12.26. Упражнения. Г. Для каждого /, 0</<и, рассмот-
<- -> <- ->
рим линейные отображения е^, sf: A/->Afi, е^(е.)=е., е?(е,) =
= ei+n-j (/ = 0, 1, ..., /), где е^ — вершины симплекса А. Пока-
Покажите, что гомоморфизмы
A2.27) AW: Sn(X XY) ^(SX®SY)n,
(AW) (а, т)= I Й^
где (а, т): А„->Х X Y — сингулярный симплекс, составляют
отображение Эйленберга — Зильбера; в частности, d{AW) =
= {AW)d. Покажите, что это отображение AW строго ассоциа-
ассоциативно (а не только с точностью до гомотопии) в смысле A2.4),
но не является строго коммутативным (см. A2.3)). Обозначе-
Обозначение AW составлено из первых букв фамилий Александера и
Уитни, которые впервые определили v^-умножение, (неявно)
используя это отображение.
2*. Пусть р, q— два неотрицательных целых числа. Под
(р, q)-nepeMetuueaHiieM (ц, v) мы будем понимать два непересе-
непересекающихся целочисленных множества
Пусть sign(|x, v) — знак перестановки (iiu ..., р,р, vb ..., vq)
(чисел 1, . .., p + q)- Определим линейное отображение х\^:
формулой
rf(el) = el для ц
где е1 — вершины симплекса А и ^0 = 0, цр+1 = р + q + 1. Опре-
Определим, далее, гомоморфизмы
Vp?{a® t) = 2, sign(ц, v)(сто rf, то tiv),
где a: Ap—>X, %: Aq -> Y — сингулярные симплексы и суммиро-
суммирование ведется по всем (р, ^-перемешиваниям (ц, v). Покажите,
что сквозное отображение
A2.29) VB = {Vw}p+,-ft: (SX®SY)n-+
-> 0 (SpX®SqY)->S(XXY)n
P+q=n
является отображением Эйленберга — Зильбера; в частности,
Vd = dV. Покажите, что «перемешивающее отображение» V
является строго ассоциативным и коммутативным в смысле
A2.3), A2.4).
230 Гл. VI. Функторы на категории комплексов
3. В силу 1.12, упр. 4 для свободного /^-комплекса С, у ко-
которого С1- = 0 при /<0 и гомологическая группа НС которого
свободна, имеется гомотопическая эквивалентность С ~ НС.
С помощью этого факта и теоремы Эйленберга — Зильбера до-
докажите следующее: если X — такое пространство, что модуль
Н {X; R) свободен (как правый /^-модуль), то для любого ле-
левого ^-модуля М е R-Jllod
H(XXY; M)^H(X; R)®RH(Y; M).
Если Н (X; R) — свободный правый ^-модуль конечного типа,
то, кроме того,
Н* {X XY; М) ?* Н* {X; R)®RH* (Y; М).
Подобные формулы справедливы и для пар (X, A), (Y, В).
(Ср. с A2.13) и A2.19).)
4. Пусть X = Y = Sn V S" V 5" V ... — букет бесконечного
числа сфер. Тогда отображение Homz (SX, R) <g>RHomz(SY, /?)->
-^Homz(S(X X Y), R) из A2.17) не является гомотопической
эквивалентностью (оно не индуцирует гомологических изомор-
изоморфизмов). Более общий результат (с наброском доказательства)
можно найти в VII. 7.15, упр.1.
5. Пусть Ж — категория с умножением П: Ж У. Ж ->Ж
(см. 1.1.15), и пусть G: Ж—>Жу(Ж — диагональный функтор,
<дХ — (Х, X). Покажите, что для любых функторов S: Ж-+&,
Т: Ж У, Ж -> 3? имеется взаимно однозначное соответствие между
естественными преобразованиями D: S-+T°@ и естественными
преобразованиями Е: S°\~\->T, определяемое формулами Dx=
= Eex°SA, Exy = T(p, q)oDxnv, где A = (id, id): Х-+ХПХ-
диагональный морфизм и р: X П Y->X, q: X П Y -> Y — проек-
проекции.
Пусть Ж=&~ор — категория топологических пространств,
3? = д^ — категория комплексов, S — функтор, относящий
пространству его сингулярный комплекс; положим Т (X, Y) =
= SX®SY. Формулы A2.20) (или A2.25)) показывают, что есте-
естественные диагональные отображения D: SX-* SX ®SX соответ-
соответствуют отображениям Эйленберга — Зильбера EZ: S(X ХУ)->
->SX®SY. Проверьте, что естественное цепное отображение
D: SX-> SX ®SX соответствует отображению Эйленберга—Зиль-
Эйленберга—Зильбера (т. е. является естественным диагональным отображением)
тогда и только тогда, когда Do = a®a для любого 0-сим-
плекса а.
ГЛАВА VII
Умножения
В теориях гомологии и когомологий топологических про-
пространств определяется много различных умножений; здесь мы
рассмотрим восемь из них. В основе всех конструкций лежат:
(i) соотношения между операциями ® и Нот в (полилиней-
(полилинейной алгебре; (и) отображения а: НС ®HD-> Я (С ® D) и
а: Я Нот (С, D)-> Horn (НС, HD) из VI.9.11 и VI.10.8; (ш) ото-
отображения Эйленберга — Зильбера (см. VI.12.1) и, конечно,
(iv) стандартные функториальные свойства (ко)гомологий. Зна-
Значение этих умножений состоит в том, что они вводят в (ко)го-
мологии дополнительную структуру. Например, w-умножение
превращает Н*(Х\ R) в градуированное кольцо (когомологиче-
(когомологическое кольцо) и Н* (—, R) в функтор из категории ?Гор в кате-
категорию 'SSlg градуированных колец (R — кольцо с единицей).
Этот функтор доставляет значительно более богатую информа-
информацию о пространстве, чем групповой когомологический функтор,
который представляет собой композицию функтора Н*(—, R)
с пренебрегающим функтором F: 'SSlg -> $s&§ (F относит кольцу
его аддитивную группу).
Во всей седьмой главе действует следующее правило. Если
а, Ь — (ко)цепи или (ко)гомологические классы с коэффициен-
коэффициентами в ^-модулях L, М, то каждое из наших произведений
aLb имеет коэффициенты в L®RM. Иногда это будет явно
оговариваться, а иногда, для сокращения записи, мы не будем
указывать коэффициентов, подразумевая приведенное выше пра-
правило. Если С есть ^-комплекс и М есть ^-модуль, то мы будем
использовать следующие сокращения: Я Нот (С, М) = Н*(С, М),
Z Нот (С, М) = Z* (С, М), В Нот (С, М) = В* (С, М); с индексами,
tf_?Hom(C, M) = HQ(C, М) и т. д. Элементы этих групп назы-
называются когомологическими классами (коциклами, кограницами)
комплекса С с коэффициентами в М. Если /: C-+D — цепное
отображение, то мы полагаем /* = ЯНот(/, М): H*(D, M)-*-
-*¦ Н* (С, М). Аналогичные обозначения будут употребляться
для сингулярных когомологий (ср. VI. 7.1).
За небольшими исключениями, логическая зависимость между
различными параграфами этой главы описывается следующей
939 Гл. VII. Умножения
диаграммой:
+-2-»5-»6, 7-^8^ш, 11-
4-
4
Таким образом, читатель может изучать ^-произведения (§ 12)
без предварительного чтения § 1 —10, хотя его продвижение
будет легче, если он знаком с § 7 — 8.
Для простоты мы полагаем, начиная с § 2, что основное
кольцо R коммутативно, хотя ценою некоторого неудобства
в обозначениях можно было бы избежать этого ограничения.
1. Скалярное умножение
1.1. Определение. Рассмотрим для (правого) ^-комплекса С
и ^-модуля М отображение
Нотд(С, М)ХС-»М, (ф, с)к^ф(с).
Очевидно, оно биаддитивно и ^-линейно по второму перемен-
переменному с^С; в случае коммутативного R оно и ^-билинейно.
Поэтому оно индуцирует R,-гомоморфизм (см. VI. 8.11 и VI.8.19)
A.2) е: НогпЛ(С, М)®2С-*М, е(<р®с) = ф(с)
(соответственно е: НотЛ(С, Л1)®ДС->Л1,
если R коммутативно).
Это цепной гомоморфизм:
Поэтому мы можем перейти к гомологиям и взять композицию
с а (см. VI. 9.11):
A.3) Н*(С, М)®НС^*Н(Нот(С, М)® С) —> М.
Композиция A.3) или соответствующее биаддитивное (или би-
билинейное) отображение Н*(С, Л!) X НС —>М называются ска-
скалярным умножением, а образ элемента х®% называется ска-
скалярным произведением элементов х, |. Обозначение:
A.4) (х, l) = eta(x®t), х<=Н*(С, М),1(=НС.
На уровне представляющих (ко)цепей равенство A.4) прини-
принимает такой вид:
A-5) <[ф], М> = ф(г), ФеГ(С, М), z^ZC.
1. Скалярное умножение 233
Отсюда видно, что умножение ( , ) может быть описано также
через отображение a: HHomR(C, M)-+HomR(HC, M) из VI. 10.8,
а именно
A.6) <*,?> = (а (*))(&).
Поэтому из теоремы об универсальных коэффициентах VI. 4.2
вытекает следующий результат:
1.7. Предложение. Если кольцо R наследственно и
HExtR(C, M) = 0 (например, если комплекс С свободен), то
отображение
Нп{С, M)-+HomR(HnC, М), < )
эпиморфно и его ядро изоморфно ExtR(Hn-lC, M).
Например, если R— поле (следовательно, Ext^ = 0) и НпС
имеет конечную размерность (как векторное пространство), то
скалярное умножение ( , ): Нп (С, R)XHnC->-R представляет
собой невырожденное спаривание в смысле линейной алгебры.
Если /: C->D — цепное отображение и i|)eHom(D, M), то
) с = -ф (/с). Поэтому из равенства A.5) следует, что
A.8) (Гу, I) = (у, Ui), y^H*(D,M),tt= нс,
т. е. /*, /, — сопряженные отображения (в смысле линейной
алгебры) относительно скалярного умножения ( , ).
В этом же смысле сопряжены и гомоморфизмы 6*, dt. Точ-
Точнее, если 0—>С—* С—*¦ С"->0 — точная последовательность
цепных отображений (над R), такая, что последовательность
0«-Нот(С, М)*-Иот(С, ЛГ)•<-Нот (С", М)<-0 тоже является
точной, то
FV, |")=-(-1)|*'|<*', д.1")
A.9) для всех х' е Н* (С, М), I" e НС".
Действительно, %" = [рс] для некоторого сеСи <5,Е// = [г/], где
iz'=дс; с другой стороны, x/ = [q>°i] для некоторого фЕ
еНот(С, М) и 6*д:' = [ф"], где <р"ор =бф = — (— 1)|ф|ф° д.
Следовательно, FV, |"> = ф" (рс) = {у"°р)с = — (— 1Iф|ф^с =
Заметим, что равенство A.9) приняло бы более простую
форму FV, 1")^={хг, дЛ"), если бы мы положили 6ф = ф°д
(ср. VI. 10.28); однако в последующих параграфах этой главы
оказывается значительно более удобным иметь дело с форму-
формулой 6ф = — (— 1)'ф1ф°(Э'
234 Гл. VII. Умножения
Можно определить более общее скалярное умножение, тен-
зорно умножив гомоморфизмы A.2) на произвольный левый
^-модуль М'\
e®^id: Нотк(С, М)® (С ®кМ')^>М ®д М'\
A.10) (e®*id)»a: Н*(С, М)®Н(С ®RM')-+M ®дМ';
{х, I) = (е ®Rid),a(x®l) <= М ®R M'
(х<=Н*(С,М), |<
Более того, если задан гомоморфизм я: M<g>RM'->N, то мы
можем взять композицию скалярного умножения с я. Иногда
п(х, |) по-прежнему обозначается через {х, I) и называется
скалярным произведением элементов х, ? относительно спари-
спаривания я.
1.11. Пример. Легко показать, что для любого топологиче-
топологического пространства X
Нотл (SX ® z R, M) m Homz (SX, М)
(ср. VI. 12.14). Поэтому если в качестве С взять SX®zR, то
скалярное умножение A.4) примет вид
A.12) (,): Нп{Х;М)ХНп{Х; R)-*M;
если М = R — поле и Нп (X; R) имеет конечную размерность (как
векторное пространство), то A.12)—невырожденное спаривание.
Можно заменить X парой (X, А) и ввести, как в A.10), допол-
дополнительный множитель М'\
A.13) <,>: Нп(Х, А; М)Х НЯ(Х, А; М')-+ М ®RM'.
1.14. Упражнения. 1. Если ./? —произвольное кольцо (не
обязательно наследственное) и X — такое пространство, что
^-модуль Н(Х; R) свободен, то
Я* (X; М) -*- Ногпд (Я (X; R), М), х и-»- (х, —)
есть изоморфизм {указание: используйте VI. 2.12, упр. 5).
2. Покажите с помощью A.8), что если /: Sn-*¦ Sn{n > 0)
имеет степень k, то f*{x) = kx для любого xe//*(S"; М).
3. Если X — такое пространство, что Нп{Х; Q) имеет конеч-
конечную размерность (как векторное пространство) и /: X -> X — не-
непрерывное отображение, то эндоморфизмы /„, f пространств
Нп{Х; Q), Hn{X; Q) имеют один и тот же след (и даже один и
тот же характеристический многочлен). Это довольно тривиаль-
тривиальное замечание оказывается полезным для подсчета так назы-
называемого алгебраического числа неподвижных точек (см.
9.12, упр. 3).
2. Внешнее гомологическое умножение 235
2. Внешнее гомологическое умножение
Начиная с этого места, основное кольцо R предполагается
коммутативным.
2.1. Определение. Внешнее гомологическое умножение НХХ
XHY->H(XXY) получается из отображения Эйленберга —
Зильбера SX® SY ->S(XXY) переходом к гомологиям и ком-
понированием с а. Более общим образом, для произвольных пар
пространств {X, А), (У, В) и произвольных ^-модулей L, М со-
составим цепное отображение
B.2)
где 5{ЛХ^> XX В}, как и в III. 7.1, обозначает подкомплекс
комплекса S(X~X,Y), порожденный симплексами, лежащими
в AXY и в X X В, а/ индуцируется включением. Переход
к гомологиям и компонирование с
а:
дают отображение
B.3) i,{EZ)ta: H{X, A; L)®RH{Y, В; М)-+
->H(XXY, (AXY)U(XXB); L®RM),
или, подробнее,
B.3') Ht{X, A; L)®RHk{Y, В; Af)->
-^Hl+k(XXY, (AXY)\j(XXB); L®RM).
Это отображение (или соответствующее билинейное отображе-
отображение) называется внешним гомологическим умножением. Обозна-
Обозначение:
B.4) 5Хл =
zeH(XXY, (AXY)U(XXB); L®rM),
где ^еЯ(Х, A; L), т]еЯ(У, В; М). На уровне (относительных)
циклов это умножение определяется формулой
B.5) [a}X[b] = [EZ(a®Rb)],
где a<=(SX)®L, da^(SA)®L, b<={SY)®M, dbt=(SB)®M.
Если (X X Y; A X Y, XXB) — вырезаемая триада (см. III. 8.1),
то отображение EZ Эйленберга — Зильбера и отображение /
являются гомотопическими эквивалентностями. Поэтому теорема
Кюннета VI. 9.13 влечет за собой следующее предложение (ср.
VI. 12.12):
236 Гл. VII. Умножения
2.6. Предложение. Если (X, A), (Y, В) —такие пары про-
пространств, что (X X У\ А X Y, X X В) — вырезаемая триада (на-
(например, А, В открыты или 5 = 0), и если L *RM = 0, то (при
условии, что кольцо R наследственно) отображение
0 Н,(Х, A;L)®RHk(Y,B; М)-*
-+Hn(XXY, (AXY)U(XXB); L®RM),
переводящее |®Л в ?Хл> является мономорфизмом на прямое
слагаемое, коядро которого естественно изоморфно
© Н((Х,А; L)*RHk(Y,B;M). Q
(+k=n-l
Теперь мы перечислим некоторые свойства умножения Х-
Пусть /: (Х,А)-+ (X', A'), g: (Y, В) -> (У, В') — произвольные ото-
отображения. Естественность отображения EZ означает, что
(fXg)EZ(a®b) = EZ(fa®gb), и это равенство, вместе с фор-
формулой B.5) (при |=[а], f] = [b]), дает
B.7) (f X g), AХч) = (Ш X {gjq) (естественность).
Коммутативность и ассоциативность отображения EZ (см.
VI. 12.3 и VI. 12.4) влекут за собой равенства
B.8) U?Xri)=(-l)m|T%X? (коммутативность),
B.9) (!Xti)XS = !XOiX?) (ассоциативность),
где %(=Н(Х,А), t}t=H(Y,B), Z<=H(Z,C) (с надлежащими
коэффициентами), отображение t: XXY->YXX задано фор-
формулой t(x, y) = (y, х).
Если Y = P — точка, В=0 и 1Р = 1 е /? = ЯоG; /?), то
(ХХ^,(ЛХПи(^ХВ)) = (Х, Л) и
B.10) Iя X I = IX Iя = I (наличие единицы)
(см. VI. 12.5).
Согласованность операций X и д„ выражается следующей
коммутативной диаграммой (коэффициенты опущены):
H(X,A)®H(Y,B)-^H(XXY,(AXY)\J(XXB))
B.11)
H((AXY)U(XXB),AXB)
t('l*. '2*)
X ffi X
Y, AXB)@
@H(XXB,AXB)
2. Внешнее гомологическое умножение 237
где ilt i2 — включения; другими словами,
B.12) д.(БХл) = Л.Ш)Хт1] + '*[(-1)тБХдл1] (стабильность).
В важном частном случае В = 0 имеют место равенства i{ = id,
/а» = 0, и формула B.12) превращается в
B.13) д.(БХл) = (<и)Хл, ?е=Я(*,Л), т,<=ЯУ.
Доказательство равенства B.12). Пусть a^SX,
Ъ е 57 — представители классов |, ti; в частности, da e 5Л,
дй е SB. Тогда цепи
EZ(da ® 6) eSD ХЮ cS(WX^UdX fl)),
?Z (a ®db)<=S(XX В) с: S((Л X У) U (* X В))
представляют классы t'i«[(d.i) X ill» «2* [I Х^.л]» а Цепь
5 (?Z) (а ® 6) = (?Z) 5 (а ® b) = ?Z (За ® Ь) + (-l)u' EZ (а ® 56)
представляет класс д. (| X л)- D
2.14. Пример. Отождествим RmXR" с Rm+"; тогда
((Rm - 0) X R") U (Rm X (R" - 0)) = R"+m - О,
и мы получаем отображение
Hm (Rm, Rm - 0) ® На (R", R" - 0) -^ Ят+„ (Rm+n, Rm+n - 0).
Если все коэффициенты берутся в Z, то каждая из этих групп
изоморфна Z и отображение является (согласно 2.6) изоморфиз-
изоморфизмом. Иными словами, если о' — образующая группы Ht (R', R' — 0),
то о X о* = i om+".
Более общий пример: рассмотрим пару (V, К), где V — от-
открытое подмножество пространства Rm с: Sm==RmU{°°}, а мно-
множество К с: F компактно. Согласно IV. 6.4 (Ь), существует един-
единственный элемент ок е Hm(V, V — К), такой, что для каждого
Р е /С образ элемента о# при отображении
m
Я/т/ т/ ts-\ . Tj /т/ т/ г%\ __, и f Qftl Qttl Г}\ «^ и С1
т(К, К — l\)-+Hm{V, V — F)^ ЯтE ,5 —F)szHmb
совпадает с фиксированной образующей группы HmSm ^ Z.
Каждый из двух классов ок, соответствующих двум образующим
группы HmSm, называется фундаментальным классом вблизи /С.
Если V cz V'', то, очевидно, гомоморфизм включения переводит
фундаментальные классы, лежащие в Hm(V, V — К), в фунда-
фундаментальные классы, лежащие Hm(V', V' — К), что объясняет вы-
выражение «вблизи К» и обозначение ок, в котором V не фигурирует.
Следующее предложение обобщает формулу omX°" = ± om+n.
238 Гл. VII. Умножения
2.15. Предложение. Если oK^Hm(V,V — K) и о^е
е= Нп {V, V — К') — фундаментальные классы {К' <=. V cz Rn).
то класс
ок X ок> е= Hm+n (VXV',VXV'-KX К')
гоже является фундаментальным.
Для доказательства достаточно применить коммутативность
диаграммы
Нт (V, V-К) ® Нп (V, V'-K') + Hm(V, V-P) О Нп (У, V'-P') s HmSm ® HnSn
mS
X six
у
Ят+п (V/ X F', 7 X V-/C X К') + Нт+п (V XV'.VX V'-P X Р') s Hm+nSm+n
(Р е К, Р' ^ К') к элементу о^ ® о^'. Коммутативность этой
диаграммы следует из 2.7, а то, что вторая вертикальная стрелка
есть изоморфизм, — из 2.6. []
2.16. Упражнения. 1. Покажите, что для любого топологи-
топологического пространства У и любой точки jeF коммутативна
диаграмма изоморфизмов
Я„+1 (/ X Y, (I X Y) U (/ X у))
„+1 BУ, / X
где S обозначает надстройку (см. III. 8.16, пример 3), / = [0, 1],
/ = 0 U 1, <у — изоморфизм III. (8.18), i — включение, р — есте-
естественная проекция, [i] s Н\ (/, /) — гомологический класс линей-
линейного отображения i: К{->1, переводящего A, 0) в 0 и @, 1) в 1.
2. При помощи предложения 2.15 докажите равенство
deg (f X g) = deg (/) • deg (g) для собственных отображений
/: V->Rm, g: K'->R" открытых множеств V czRm, V'czRn.
3*. Для ненулевого комплексного полинома спгп +
+ cn-xzn-1 + ... + cxz + с0 степени < п (ct s С) рассмотрим точку
[с0, С\, ..., с„] е РЛС. Всякая точка в проективном пространстве
РпС имеет такой вид, и два полинома определяют одну и ту же
точку в РпС тогда и только тогда, когда они пропорциональны.
Таким образом, РпС можно отождествить с множеством всех
ненулевых комплексных полиномов, если считать одинаковыми
полиномы, отличающиеся только на ненулевой скалярный мно-
множитель J,eC (или, что эквивалентно, полиномы, имеющие оди-
одинаковые корни).
3. Внутреннее гомологическое умножение 239
(i) Умножение полиномов определяет отображение ц^: Р/С X
PftC—>Pi+kC Проверьте его непрерывность и докажите, что
vi+k,
где Vj — образующая группы Н21 (Р/С; Z) ^ Z. {Указание: возь-
возьмите полином w se P,-+feC с / +/г различными корнями; тогда
ц(-' (да) состоит из -—:. . точек; воспользуйтесь изоморфизмом
Я2/ (Р/С) ^ Я2/ (Р/С, Р/С—да), да е= Р/С, и выразите X и ц» в тер-
терминах этих локальных групп.)
(ii) Обозначим через SP"(PiC) п-ю симметрическую степень
пространства Р]С « S2, т. е. пространство, которое получается
из обычной п-я степени X "PiC отождествлением точек, отли-
отличающихся лишь порядком координат. Покажите, что отобра-
отображение
п
v=l
индуцирует гомеоморфизм SPn(PxC)m РпС
(iii) Определите и исследуйте аналогичные объекты для ве-
вещественных проективных пространств (коэффициенты Z или Z2).
3. Внутреннее гомологическое умножение (умножение
Понтрягина)
Если X У(,Х —>¦ X есть умножение в пространстве X (см. ниже),
X Ц
то композиция НХУ^НХ—*-Н(Х~ХХ)—*-> ИХ называется вну-
внутренним гомологическим умножением относительно ц. Подробнее:
3.1. Определение. Умножением в X называется произволь-
произвольное непрерывное отображение ц: ХУ^Х->Х\ там, где это не
будет приводить к недоразумениям, мы будем писать ххх2 вместо
ц(л:], х2). Элемент eel называется гомотопической единицей ум-
умножения (х, если отображения х^—^-ех, х^-^-хе гомотопны то-
тождественному отображению idx. Умножение \х называется го-
мотопически ассоциативным, если гомотопны отображения X X
X X X X -> X, определяемые формулами (*,, х2, х3) ь-> хх (х2х3),
\ххх2) х3, и гомотопически коммутативным, если гомотопны отобра-
отображения ХХХ-+Х, определяемые формулами (хих2)>->ххх2, х2хх.
Если {X, ]i), (X\ [i') — пространства с умножениями, то ото-
отображение Л; Х-+Х' называется гомотопическим гомоморфизмом,
если гомотопны отображения ХХХ->Х', определяемые форму-
формулами
(хх ,x2)*->h (xxx2), h (л;,) h (x2).
240 Гл. VII. Умножения
Пространство X с умножением, имеющее гомотопическую еди-
единицу е, называется h-прост ранет во м. Мы используем название
Н-прост ранет во, если умножение также и гомотопически ассо-
ассоциативно. Гомотопический гомоморфизм h: X—*-Xr одного /г-про-
странства (Я-пространства) в другое называется h-отображением
{Н-отображением), если h(e) лежит в компоненте линейной связ-
связности единицы ё'. Не всякое топологическое пространство до-
допускает структуру /i-пространства; например, сфера S2k, как мы
увидим в 10.1, ее не допускает.
3.2. Определение. Если (X, ц) — пространство с умножением,
то композиция
C.3) Н(Х; L)®RH(X; M)^+ H(XXX; L® RM)-^> H(X; L®RM)
(или соответствующее билинейное отображение) называется умно-
умножением Понтрягина относительно ц. Обозначение:
C.4) M?.Xy = ii-i2, Е,еЯ№Д |2еЯA;М).
Свойства B.7) — B.10) внешнего умножения влекут за собой сле-
следующие свойства умножения Понтрягина:
C.5) Если h: X-> X' — гомотопический гомоморфизм, то
т. е. /г, есть гомоморфизм относительно умножения Понтрягина.
C.6) Если eeJ[ — гомотопическая единица и [е] е Яо (X; R) —
гомологический класс элемента е е Z0SX, то для любого | е
е= Я (X; М)
[e]-t = l-[e] = l.
C.7) Если умножение ц гомотопически ассоциативно, то
ir(&2-y = (E,-Ы-Ез.
C.8) Если умножение ц гомотопически коммутативно, то
s t —( nll.llblt .t
fel * 62 — \-~Ч S2 Ы-
Доказательства очевидны. Для иллюстрации мы приведем
доказательство утверждения C.8). По предположению диаграмма
X х X - -'—> X х X
гомотопически коммутативна, т. е. ц ^ lit', следовательно, ц, =
= ^Л- Применяя это к gj X h и используя равенство B.8), мы
3. Внутреннее гомологическое умножение (Понтрягина) 241
получаем
l,-l2 = (-i)llllll2ll2-l1. D
Формальные свойства произведения Понтрягина подсказы-
подсказывают следующее
3.9. Определение. Пусть Л = {Л,}(.(_2; — градуированная абе-
лева группа. Умножением в А называется гомоморфизм v: A ®
® А -> А одной градуированной группы в другую; такой гомо-
гомоморфизм распадается в семейство гомоморфизмов vik: At® Ak->
-*Ai+k. Вместо v(a®b) мы будем писать короче: а • Ъ. Единицей
умножения у называется такой элемент 1 е Ао, что 1 • а = а • 1 = а
при всех aei Умножение называется ассоциативным, если
а • (Ь • с) = (а • Ь) •с для всех а, Ь, с е А, и коммутативным, если
а • 6 = (— 1)|а| |й| ъ • а для всех а, Ъ е А. Пара (A, v) — или просто
А — называется градуированным кольцом, если умножение v ас-
ассоциативно и обладает единицей; если оно коммутативно, то
(A, v) называется коммутативным градуированным кольцом.
Заметим, что Л =фЛ(- есть обычное кольцо относительно инду-
цированного умножения (определенного формулой [{а,} • {&/}]„ =
= Л ai' bj, где [ ]п обозначает компоненту в Ап), Однако
если А коммутативно (в градуированном смысле), то А не обя-
обязательно коммутативно (в обычном смысле). Если Л, = 0 при
i < 0, то А = П Ai также есть кольцо с умножением [{#;}• {^/}]я=
t € Z
= Z at-b,.
Пусть А — градуированное кольцо и G — градуированная
абелева группа; левой А-структурой в G называется такой гра-
градуированный гомоморфизм 0: A®G->G, что Q(l®g) = g и
6 (а & 8 F ® g)) = G ((а • b)®g) для всех g e G, а, Ъ е А. Если мы
используем сокращенную запись B(a®g) — a • g, то это прини-
принимает обычный вид 1 • g = g, a • (b • g) = (a • b) • g. Пара (G, 8),
или просто G, называется левым А-модулем.
ЗЛО. Определение. В случае когда (X, ц) есть Я-простран-
ство, утверждения C.6) и C.7) показывают, что Н(X; R) есть
градуированное кольцо относительно умножения Понтрягина.
Оно называется кольцом Понтрягина пространства {X, ц). Если
h: X-+X' есть Я-отображение, то h.;. H{X; R)-*H(X'\ ^ — го-
гомоморфизм одного градуированного кольца в другое (ср. C.5));
таким образом, кольцо Понтрягина является функтором из ка-
категории Я-пространств и Я-отображений в категорию градуиро-
градуированных колец и их гомоморфизмов.
242 Гл. VII. Умножения
Пусть X есть Я-пространство и У — произвольное простран-
пространство. Левым действием Я-пространства X в Y называется такое
отображение ц: X\Y-*Y (мы пишем далее х-у вместо ц(х,у)),
что отображение у*~*е-у гомотопно idK и отображения {хих2,у)>—>
1—5**1 • (х2 • у), (хь х2, г/I—* (xi • х2) • у гомотопны между собой.
Возникающее сквозное отображение
H(X;R)®H(Y; M)-^> H(XXY\ М)-^> Я (Г; М)
является левой Н(Х; /?)-структурой на Н (Y; М), т. е. H(Y; M)
есть левый Я {X; К)-модулъ (для любого /^-модуля М). Все дока-
доказательства очевидны (они используют формулы B.9), B.10)) и
предоставляются читателю.
3.11. Примеры. Если ц: X У( Х-> X — умножение, относи-
относительно которого X есть группа, и если, более того, отображение
xh->jt' непрерывно, то пара (X, ц) называется топологической
группой. Например, пространство всех обратимых (лХ п)-матриц
(над R, С, Н) является топологической группой относительно
обычного умножения матриц; эта группа называется полной
линейной группой GL{n, F), где F — R, С, Н. Матрицы с опре-
определителем + 1, ортогональные матрицы, унитарные матрицы
и т. п. образуют подгруппы этой группы и также являются
топологическими группами. Кольца Понтрягина этих и других
групп были вычислены А. Борелем [2] в 1954 г.
Другими примерами Я-пространств служат пространства
петель QY; они играют важную роль в теории гомотопий. Если
Y — произвольное пространство и yQ^.Y, то по определению
QY — Q(Y, г/0) как множество состоит из всех таких путей
w: [0, X\->Y, что w@) = wA) = у0 (это так называемые петли).
Две петли v, w могут быть перемножены:
( vBt) для 0<2/<1,
wBt-\) для
Таким образом определяется отображение \i: QY X &Y -> QY,
ix (v, w) = v-w. Если наделить пространство QY компактно-
открытой топологией, то отображение ц становится непрерывным
и {Q.Y, ц) становится Я-пространством (см. том Дик, Кампс и
Пуппе [1, § 11]). Во многих случаях кольцо Понтрягина про-
пространства OF может быть вычислено в терминах гомологических
свойств самого Y (см. Адаме [1]).
3.12. Упражнения. 1. Определите относительное умножение
Понтрягина Я (X, А)®Н (X, В)^Н (X, (А-Х)[){Х- В)) и изучите
свойства этого умножения.
4. Индексы пересечения в Rn 243
оо
2. Пусть РХС = U РцС — бесконечномерное комплексное
проективное пространство со слабой топологией (множество А
замкнуто тогда и только тогда, когда замкнуто каждое пере-
пересечение А П PfeC). Мы можем представлять себе РХС как мно-
множество всех ненулевых комплексных полиномов, в котором про-
пропорциональные полиномы отождествлены (ср. упр. 2.16.3).
Покажите, что обычное перемножение полиномов превращает
РХС в строго (а не только с точностью до гомотопии) ассоциа-
ассоциативное Я-пространство. С помощью упр. 2.16.3 (i) найдите кольцо
Понтрягина Я(РооС; Z). Покажите, что Н (РМС; Q) s* Q [ [v] ] —
кольцо формальных степенных рядов над Q от переменной v.
3. Если G — градуированная абелева группа, то, согласно
VI. 10.2, Hom(G, G) также есть градуированная абелева группа.
Относительно композиции эндоморфизмов она является даже
градуированным кольцом, и отображение Hom(G, G)®G->G,
определяемое формулой {tyt}® g1-^- ^^„^{g), превращает G в ле-
левый Hom(G, С)-модуль. Имеется естественное взаимно одно-
однозначное соответствие между левыми Л-структурами 0 в G и
градуированными гомоморфизмами в: A—>Hom(G, G) (ср.
3.9 и VI. 1.1).
4. Индексы пересечения в R"
Интуиция подсказывает нам, что компактные подмножества
X, Y пространства R", размерности которых в сумме дают п,
должны, если они находятся в «общем положении», пересе-
пересекаться в конечном числе точек. Более того, если не существует
общих точек, лежащих на границе множеств X, Y, то общее
число точек пересечения инвариантно при малых деформациях X
и Y. Последующее является в известном смысле формализацией
этого соображения, только компактные множества приходится
заменить сингулярными цепями.
Для простоты мы ограничиваемся гомологическими группами
с коэффициентами в фиксированном коммутативном кольце R
(которое обычно не будет фигурировать в обозначениях). На
практике R бывает равным Z или Z2.
4.1. Определение. Пусть А а X czRn, В cz Y с R" — такие
множества, что A(]Y=0, X(]B=0. Рассмотрим отображе-
отображение d: (XXY, {А X Y) U {X X В)) -> (Rn, R"-0), определяемое
формулой d(x, y) = x — у. Композиция
D.2) Hn-t(X, A)XHi{Y, B)-^ t
-*Нп(ХХ У, (А X Y) U (X X В)) (-°'*>/fB(R", R"- 0)
244 Гл. VII. Умножения
называется индексом пересечения. Обозначение:
D.3) ?°П = (— l)'rf.(SXn), l^Hn-i(X, A), r\e=Hi(Y,B);
элемент %°г\ кольца Я„(Rn, R" — 0)^ R называется индексом
пересечения классов |, т]. Мы увидим, что отображение D.2)
действительно служит алгебраической характеристикой геоме-
геометрической ситуации вблизи X[\Y (см. 4.6, D.8), D.11)).
4.4. Замечание. Классический индекс пересечения сингу-
сингулярных цепей с е 5„_гК", с' е S{Rn определяется при условии
Сагг(с) П Carr(ac') = 0=Carr((?c) П Сагг(с') (см. Зейферт и
Трельфалль [1, § 73]), где носитель Сагг(с) представляет собой
наименьшее подмножество X пространства R", такое, что с е SX.
Но это условие как раз и означает, что существуют такие
(Х,А), (У,В), что ХПВ=0=ЛПУ и ceSI, dce=SA, c'<=SY,
dc'^SB; поэтому мы можем взять гомологические классы
[с] е Я„-г (X, А), [с'] е Яг (У, В) и составить индекс пересече-
пересечения [с]°[с']. Следующее предложение показывает, что он не
зависит от выбора пар (X, А), (У, В).
4.5. Предложение. Если f: (X, А)-+(Х', A'), g: (У, ?)->
-> (Y', В') — включения пар подмножеств пространства R" и
Л' (] 7' = 0=Г П В', то для любых "?,<=Hn-t(X, А), ц е
^Ht(Y,B)
Это очевидным образом следует из естественности X -умно-
-умножения (см. B.7)). Q
Например, мы всегда можем взять Х' = Х, A' = X — Y,
Y' = Y, В' = Y — X и пропустить отображение D.2) через про-
произведение Я (X, X — Y) X Я (У, У — X). Это произведение изо-
изоморфно в свою очередь (согласно III. 7.4) произведению H(X(]V,
(X - У) П V) X Я (У П V, , (У - X) П У), где F - произвольная ок-
окрестность множества ХГ)У- Грубо говоря, индекс пересечения
|oTi зависит только от частей классов |, ti, лежащих в V,
где V — произвольная окрестность множества X {] У. В частности,
если X[\Y=0, то мы можем взять V — 0; получается сле-
следующий результат:
4.6. Предложение. Если X(]Y = 0, то все индексы пере-
сечения Нп-{(Х, A)XHt(Y, B)-+Hn(Rn, Rn — 0) тривиальны.
В действительности это очевидно, поскольку если X{]Y=0,
то d(XXY)cz(Rn-0). Q
Если пересечение X Л У разлагается на непересекающиеся
части, точнее, если {^<}/_i, 2,... — такие попарно не пересекаю-
4. Индексы пересечения в R" 245
щиеся открытые множества, что X f) У сг V = TJ Vi, то
D.7)
D.8) Z,°r\ = Zh°n,
i
где I = {li} — разложение класса ^еЯ(Х, X — Y), отвечающее
разложению D.7). Число h° 4 = ^1° 41 называется индексом
пересечения классов |, ц в Vt. Его можно рассматривать как
«локальный» индекс пересечения; формула D.8) утверждает, что
глобальный индекс пересечения классов |, г\ есть сумма их ло-
локальных индексов пересечения (доказательство очевидно и пре-
предоставляется читателю). []
4.9. Следствие предложения 4.5. Все индексы пересе-
пересечения
Hn-t(X, 0)XHt(Y, 0)-*Я„(К", R"-0)
тривиальны; действительно, если А = 0 = В, то мы можем про-
пропустить их через Я„_ЛК", 0)ХЯг(К", 0). Q
Приведем важный пример ненулевого индекса пересечения.
4.10. Пример. Пусть X, Y — векторные подпространства про-
пространства R" дополнительных размерностей п — /, /. Предполо-
Предположим, что они находятся в общем положении, т. е. Xf\Y = 0.
Если | €= Hn-i (X, X - 0; Z) ^ Z и ц е Я, (У, У — 0; Z) ^ Z — об-
разующие, то i° r\^ Hn(Rn, Rn — 0; Z) также есть образующая.
Точнее, если q>: Rn~'-+X, ф: R'—>Y — линейные изоморфизмы, и
ok e Hk (Rfe, Rk — 0; Z) — образующая, то
D.11) Ф>я-|)оЧ>.(о*) = (ф. Ф),(о,-(ХО|),
(ф, if)): R"~' X R'->R" — отображение, определяемое фор-
формулой
(Ф, ф)(а, 6) = Ф(а)
Доказательство. Диаграмма
Я„. t(X, X - 0)в Я,( 1; У-0)
246 Гл. VII. Умножения
коммутативна. Проводя элемент (?„_,¦ X о,- по пути [_+_+, мы
получаем (—1)гф„(о„_г) ° ^До,), в то время как путь —»-\
ведет к
(ф, - ф), (О„_, X О,) = (- 1/ (ф, Ч>). (о„_, X О,)
(последнее равенство вытекает из формулы (—id), (о,-) = (—1)'ог
(см. IV. 4.3)). D
Формула D.11) была одной из причин, побудившей нас вве-
ввести в определение индекса пересечения знак (—1)'. Другой при-
причиной является следующий результат (ср. VI. 9.8):
4.12. Предложение. В обозначениях D,3)
|oTl=(-l)'<ft-%o?.
Доказательство.
где t: YX Х->XXY, как обычно, определяется формулой
t(y, л:) = (х, у). Второе равенство вытекает из B.8), третье — из
равенств dt(y, х) = х — у — — d {у, х). []
В нашем определении индекса пересечения использовалась
групповая структура пространства R". Теперь мы дадим его
описание в чисто топологических терминах.
4.13. Лемма. Пусть D = {(x, у) <= R" X R" U = у} — диагональ.
Тогда для любой точки PeR" отображения
ip: (R", R" - 0) -> (Rn X R", (R" X R") - D), ip (x) = (x + P, P),
d: (R" X R", (Rn X R") -D)-+ (Rn, R" - 0), d(x,y) = x~ y,
являются взаимно обратными гомотопическими эквивалент-
ностями.
Доказательство. Очевидно, dip=iA; гомотопия в: id~ipd
•может быть задана равенством 6^ (х, у) = [х + t {P — у), у -f-
+ t(P-y)}. U
4.14. Следствие. С точностью до знака (—1)' индекс пересе-
пересечения D.2) совпадает с композицией
Я„_; (X, А) X Я, (Y, В) ^>Нп(ХХ Y, (AXY)U(XX В)) ~^
('ГГ1
-¦ Нп (Rn X R", (R" X Ю - -D) > Я„ (Rn, Rn - 0)
j — включение).
4. Индексы пересечения в Rn 247
Действительно, в силу леммы 4.13, (i?)~1 — dt, и, значит,
Ю~' I. (Б X л) = (df). (I X л) = d, (Б X п) = (-1)' Б ° л- D
Таким образом, индекс пересечения пары (|, г\), по существу,
совпадает с ;„(| X Л), и никакой групповой структуры в R" не
требуется для его определения.
4.15. Предложение (топологическая инвариантность). Под
действием вложения Л: R" —>R" все индексы пересечения умно-
умножаются на степень отображения Л, т. е. (АД) ° (htr\) = deg (A) (| ° rj).
По определению IV. 5.1 степень deg (A) = degQ(A) определяется
как композиция
HnSn si Hn {Rn, Rn - A"'Q) -^> Я„ (Rrt, R" - Q) ^ Я„5",
где Q e AR". Так как A(R") открыто и Л гомеоморфно отобра-
отображает R" на A(R") (ср. IV. 7.4), то degQ(A) не зависит от Q e AR"
и равно ±1 (см. IV. 5.4 и IV. 5.12); в этих двух случаях А
называется соответственно сохраняющим ориентацию и обращаю-
обращающим ориентацию. Таким образом, индексы пересечения остаются
неизменными или меняют знак в зависимости от того, сохраняет
или обращает Л ориентацию.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Я( Y Л\ \У И IV R\ fc. И I Y \/ V t Д \/ V\ I \ ( Y \У Д\\ %
\Л, Л) /\ П (I , о) * П \Л /\ 1 , \Л /\ I ) U ^Л /\ D)) *
ft.XftJ (ftXft).l
Я {hX, hA) X Я {hY, hB) -^H(hXX hY, (hA X hY) U (hX X hB)) -*>
-* H {Rn X R", (R" X R") - D) -^ H (Rn, R" - 0) = HnSn
(ftXft).j J(ft-Q),
-^ Я (Rn X R", (R" X R") - D) -^ Я (Rn, R" - 0) = HnSn
где Q = A@) и (Л — Q)(jc) = A(x) — Q. Первый квадрат коммута-
коммутативен в силу естественности Х"умножения, второй и третий
квадраты коммутативны даже на уровне непрерывных отображе-
отображений. Согласно 4.14, строки диаграммы совпадают (с точностью
до знака) с индексами пересечений; далее, (Л — Q)t — degQ(A) =
= deg (А). Поэтому, пропуская элемент A, ц) е Я„_г- (X, А) X
X Hi(Y, В) по стрелкам диаграммы и двигаясь крайними путями
из верхнего левого угла к правому нижнему, мы получаем
,(- 1)* deg (Л) (| о п) = (_ 1)' (АД) о (й.т,). Q
248 Гл. VII. Умножения
4.16. Замечание. Можно обобщить предложение 4.15 на вло-
вложения h, определенные только в окрестности множества X П Y
(ср. замечание в 4.5). Утверждение и доказательство остаются
неизменными, если (как это часто бывает) сама окрестность го-
меоморфна R". Общий случай более сложен; он встретится нам
в § 13 гл. VIII, где речь пойдет о пересечениях в общих много-
многообразиях.
4.17. Упражнения. 1. Пусть A cz X с R", BcFcR", A'cz
cI'cR"', B'cfcR"', l^H(X, A), Tje Я (У, В), l's=H{X', Л'),
r[ e Я (У, В') таковы, что определены | ° г\ и %' °ч\'. Тогда
(IXI') ° (л X л') е Я„+л< (Rn+"', R"+"' - О) определено и равно
2*. Пусть Р е 5", Qe S*, и пусть W cz S» X 5? - подмноже-
подмножество, которое содержит EР X Q) U(-P X5?) = 5P V5?, а также
содержит некоторую окрестность У точки (Р, Q) e Sp X 5?. До-
Докажите, что не существует вложения J: W-+Rp+q. (Указание:
/(SPXQ) и J(PyiSq) пересекаются точно в одной точке J(P, Q).
Индекс пересечения образующих групп Нр, Hq может быть опре-
определен внутри J(V), и, согласно 4.10, 4.15, он равен ± 1. А это
невозможно в силу 4.9.)
При q=\ этот результат тесно связан с теоремой Жордана
(см. IV.7.2); как? Сделайте рисунок для случая p — q — \.
3*. Пусть А, В cr R"— непересекающиеся множества. Назовем
индексом зацепления композицию
Я„_И X Н{ _,В 'd i'* Hn-tA X Н{ (R", S) -^ Я„ (R", R" - 0) ^ R.
Для l^Hn-tA, t,^Hi-{B мы полагаем L(|, g) = | о д~' (?) и на-
называем этот элемент кольца R индексом зацепления элемен-
элементов |, ?.
(a) Изучите свойства индекса зацепления L, аналогичные
свойствам индекса пересечения. В частности, сравните L (§, ^)
и L(?, S).
(b) Пусть f: S" ' -> R" — непрерывное отображение и s e
e^-jS" —образующая. Рассмотрим для Р е (R" - / (S"))
целое число w(P, f) = L([P], f,s); оно называется числом обхо-
обходов f вокруг Р. Докажите, что если / — фиксированное вложе-
вложение, то w(P, f) принимает в точности два значения, а именно 0
и ± 1. (Указание: воспользуйтесь доказательством предложения
IV. 7.2.)
5. Алгебраическое число неподвижных точек 249
5. Алгебраическое число неподвижных точек
Если V — открытое множество пространства R" и g: V ->R"—
непрерывное отображение, то степень отображения g над QeR"
интерпретировалась в § 5 гл. IV как «число» точек прообраза
g~l(Q) при условии, что это множество конечно или хотя бы
компактно. Множество Fg неподвижных точек отображения g
есть (i — g)~l @), где i — включение; поэтому если Fg компактно,
то «число» неподвижных точек должно измеряться степенью ото-
отображения (i — g) над 0. Эта степень называется алгебраическим
числом неподвижных точек отображения g и обозначается че-
через Ig. Мы установим некоторые элементарные свойства опера-
оператора /, в частности докажем (с помощью Х"умно«ения) с, ойство
его инвариантности E.9), которое позволит распространить опре-
определение числа Ig на отображения g евклидовых окрестностных
ретрактов (см. 5.10).
Все гомологические группы берутся в этом параграфе с це-
целыми коэффициентами Z.
5.1. Напомним сначала, что для каждой образующей о группы
HnSn s*Z (где S" = R"U{°°}, n > 0) и каждой пары К cz V (где
V cz R" открыто, К компактно) определен фундаментальный класс
ок <= Hn(V, V — К) вблизи К (см. B.14)). Этот класс ок является
образом класса о при отображении HnSn-+Hn(Sn, Sn — K)s^
s; Hn(V, V — К) и характеризуется тем, что для каждого Р е К
его образ при отображении Hn(V, V — К)->Hn(V, V — P)s*Z
совпадает с оР (см. IV. 6.4). Очевидно, (—о)к = — (ок).
5.2. Определение. Пусть V cz R" — открытое множество и
g: V —*¦ R" — непрерывное отображение. Предположим, что мно-
множество F = Fg = {xel/ |g(x) = x} неподвижных точек отображе-
отображения g компактно (заметим, что F всегда замкнуто в V). Рас-
Рассмотрим отображение
(i-г).: Hn(V, V-F)-+Hn(R", Rn-0)^Z
(где (i — g)x — x — g(x)) и определим алгебраическое число не-
неподвижных точек Ig^Z отображения g равенством
E.3) (i-?Uof) = V°o
(напомним, что о0 порождает группу Hn(Rn, R" —0)). Это опре-
определение не зависит от выбора образующей о е HnSn, так как
(— о)р = — (oF) и (—о)о = —(о0).
5.4. Предложение. Пусть g: V->R" то же, что в 5.2, и пусть
заданы такое открытое множество W и такое компактное
250 Гл. VII. Умножения
множество К, что Fg с К. cz W cr V, Тогда (i — g) отображает
(W, W-K) в (R", R"-0) и (i-gUoK) = Igo0.
Таким образом, Ig зависит лишь от сужения g\W, где W —
некоторая окрестность множества F неподвижных точек и при
вычислении /g можно заменить множество F более обширным
компактным множеством К cz W.
Предложение очевидно, поскольку включение (W, W — К)-*
->(V, V — F) переводит ок в oF. []
5.5. Единицы. Алгебраическое число неподвижных точек по-
постоянного отображения g: V -*R" равно 1, если g(F)eF, и 0,
если g(V)<?V.
Доказательство. Если gV ф V, то F = 0 п оР = 0; если
gV = PeK, то отображение
i-gi (V, V-P)->(Rn, R"-0)
переводит оР в о0. П
5.6. Аддитивность. Пусть g: V->Rn то же, что в 5.2. Пред-
Предположим, что V представлено в виде конечного объединения та-
таких открытых множеств Vit i=\, ..., г, что множества F1 =
= {х е V i | g (x) = х} компактны и Fl (]F^ = 0 при i Ф /. Тогда
Эти равенства выражают локальный характер оператора /;
они утверждают, что «глобальное» число Ig является суммой
«локальных» чисел Ig\vr
Доказательство. Мы можем окружить каждое F1 такой
открытой окрестностью Wt, что Wtc:VinWi(}Wj = 0 при i Ф /;
положим W = U Wi. Тогда, согласно 5.4, Ig = /g | w и /g] к.=/„| г .
Но Я (W, W - F) ?ё ф Я (Г;, Г^ - Fl) (потому что множества Wt
Не пересекаются) и ot. = {o^,}, благодаря чему
*) = (X /if 15Г,) O0. Q
5.7. Мультипликативность. Пусть отображения g: V—>Rn,
g': V —>Rn те же, что в 5.2. Тогда множество неподвижных точек
отображения gXgf: VXV -* R" X R"' = R"+"' совпадает с FSXFS'
и
5. Алгебраическое число неподвижных точек 251
Доказательство. Положим F=Fe, F' = Fg*. Согласно 2.15,
of X o'f1 (соответственно оо X Оо') есть фундаментальный класс
вблизи F XF' = Fgxg' (соответственно 0X0'eR"+"); следова-
следовательно,
Ig X g' (ОО X О'о') = (lXl'~gX g% (OF X O>') =
= [(i -g)X (i' - g% (of X o'f>) = [(i - g), o,] X [(i' - g\ o'P>\ =
= (/Л-)(ооХоо');
третье равенство следует из B.7). []
5.8. Гомотопическая инвариантность. Если gt: V ->R"
(O^^^l) — такая деформация, что множество
К = (х ^ V \ gJx) — х при некотором t) = TJ Fa
к ' t st
компактно, то /й0 = /г1 (заметим, что множество \] Fg всегда
замкнуто в V).
Это значит, что если в процессе деформации неподвижные
точки остаются расположенными далеко от границы множества V
(включая оо), то их «общее число» остается неизменным. Сле-
Следующий пример показывает, как неподвижная точка исчезает
в оо: gt: R->R, gt(x) = l -\-tx; очевидно, что /г, = 1, /gl = 0.
Доказательство предложения 5.8. Согласно 5.4,
tg^iy-StXi0*)- Ho (l-St)- (У' V-K)-+(Rn, Rn-0)-де-
Rn-0)-деформация; следовательно, (i — go)t = (i — gi), (см. III. 5.2). []
5.9. Коммутативность. Если U czR", V a Rn —открытые
множества, то для произвольных отображений f: U->Rn , g: U'->Rn
композиции
gf: V = rlU'-+Rn, fg: V'^g-'U-^R"'
имеют гомеоморфные множества неподвижных точек, Fgf « Ffg.
Если эти множества компактны, то Igf = Ifg-
Доказательство. Первое утверждение очевидно: сужения
отображений f, g определяют взаимно обратные гомеоморфизмы
Fgf «Ffg. Предположим теперь, что эти множества компактны,
и рассмотрим отображение
y: VXV'^RnXRn>, У(х, y) = (gy, fx).
Мы покажем, используя гомотопическую инвариантность, что
Iy = Igf, ly—Ifv и тем самым докажем предложение. Сначала
252 Гл. VII. Умножения
рассмотрим деформацию
ъ(х, y)=[tgf(x) + (l-t)gy, fx}, xe=V, y<=V,
Неподвижные точки отображения у* удовлетворяют уравнениям
y = fx и x = tgf(x) + (l — t)gf(x) — gf(x), т.е. множество Fyt не-
неподвижных точек отображения yt есть {(х, y)\x<=Fgf, */ = /*}.
Оно, очевидно, компактно и не зависит от t; следовательно,
/V = /Yo = /Yi (см. 5.8). Отображение Yi является сужением ото-
отображения 6: KXR" ->R" X R" . определяемого формулой 6 (я, у)=
= (gfx, fx), и потому /у, = /б (см. 5.4). Теперь применим к 6 де-
деформацию bt(x, y) = [gfx, (I—t)fx]. Неподвижные точки (х, у)
отображения б/ удовлетворяют уравнениям x = gfx, z/ = (l —t)fx;
следовательно, \] F& совпадает с образом отображения
t '
FgfX[0, l]^VXR"', (x, t)^(x, (\-t)fx).
Так как этот образ компактен, мы можем еще раз применить
предложение 5.8 и получить h = h, = ht, где 6i (x, y) = (gfx, 0).
Но 6j есть произведение двух отображений; поэтому, в силу 5.7
и 5.5, /а, = Igflconst = Igf. Все это вместе дает /Y = ISf. В силу
симметричности отображения у, мы получаем также, что /Y = Ifg;
доказательство последнего равенства использует деформации
[gy, tfg(y) + (l-f)f(x)] и [(l-t)gy, fgy]. U
Доказанное предложение подсказывает следующее обобщение
алгебраического числа неподвижных точек. Предположим, что
Y — произвольное топологическое пространство, U с= У — откры-
открытое множество и h: U —>Y — отображение, которое пропускается
через некоторое открытое множество V cz R", т. е. представляется
в виде композиции U —*¦ V —> Y. Тогда алгебраическое число
неподвижных точек отображения h (если оно вообще может быть
определено) должно совпадать с алгебраическим числом не-
неподвижных точек отображения ар: $~1U-+V c=R". He ясно, ко-
конечно, будет ли это число независимым от разложения h = pa.
Я не знаю ответа на этот вопрос в общем случае, однако он
положителен, если U есть ENR (см. § 8 гл. IV).
5.10. Предложе ние и оп реде л ен ие. Если Y — произволь-
произвольное топологическое пространство и U aY — открытое множество,
которое также есть ENR, то всякое отображение h: U —>Y пред-
представляется в виде композиции U -—*¦ V -—>• Y, где V — открытое
подмножество некоторого евклидова пространства Rn. Если мно-
множество Fh = {y^U \hy=y) компактно, то алгебраическое число 1а&
5. Алгебраическое число неподвижных точек 253
неподвижных точек отображения ар: p~'[/->F cz R" определено и
не зависит от разложения /г = [3а (т.е. зависит только от К).
Оно называется алгебраическим числом неподвижных точек ото-
отображения h и обозначается через lh.
Если Y = Rn, мы можем взять V =U, a = id, р = /г и тогда
определение 5.10 совпадает с определением 5.2. Заметим также,
что всякое открытое множество U cz Y есть ENR, если Y есть ENR;
в § 8 гл. IV мы показали, что класс евклидовых окрестностных
ретрактов весьма широк.
Доказательство. По предположению существует евкли-
евклидова окрестностная ретракция U—*•]/'—*-U, ri — id, где V —
/ i hr
открытое подмножество некоторого R . Тогда U —> V •—*¦ Y —
требуемое разложение. Если U —>¦ V —*¦ Y — любое другое такое
разложение, то FaB та F^a = Fh; считая это множество компакт-
компактным, мы должны показать, что /ав зависит только от h. Рас-
Рассмотрим отображения
ar: V'-+VczRn, /p: p-'t/-* V'cR"'.
Композиции (ar)(/p) = aP и (ip) (ar) = ihr имеют, согласно 5.9,
одно и то же алгебраическое число неподвижных точек /aB = Iihr;
правая часть Iihr не зависит, очевидно, от а, р. []
Свойства 5.4—5.9 оператора / переносятся на более общую
ситуацию 5.10. Мы сформулируем обобщения, но опустим неко-
некоторые из доказательств; они состоят в очевидных редукциях
к 5.4—5.9. Обозначения те же, что и в 5.10, множество Fh пред-
предполагается компактным.
E.11) Если W—такое открытое множество, что FhczW czU, то
1/1= h\w. U
E.12) Если отображение h постоянно, то /А = 1, если h(U)^U,
и /„ = 0, если h (U) фи. []
E.13) Если U представлено в виде конечного объединения таких
открытых множеств Uh /=1, ..., г, что Ui[\Ut[\Fh= 0 при
г
1ф], то lh— 2 (h\ut)- Это утверждение сведется к 5.6, если
положить Vi = $~1Ui. []
E.14) Если отображения h: U-+Y, hr: Uf-+Y' те же, что в 5.10,
и множества неподвижных точек компактны, то hxh' — hh1- Q
254 Гл. VII. Умножения
E.15) Если ht: U->Y@^.t^. 1) — деформация и объединение \] Fh.
t '
компактно, то /д0 = /а,.
Доказательство. Фиксируем евклидову окрестностную
ретракцию U—> V—*¦ U. Тогда, в силу определения 5.10, h( =
= Iih г и, в силу 5.8, правая часть не зависит от /. []
E.16) Пусть U a Y, U'czY'— открытые множества (каждое из
которых есть ENR) и k: U->Y', k'\ Ur-+Y — непрерывные ото-
отображения. Тогда композиции k'k: k~lU'—>Y, kk': k ~lU->Y' имеют
гомеоморфные множества неподвижных точек, F^k» Fkw. Если
эти множества компактны, то Ikk1 = h'k-
Доказательство. Фиксируем евклидовы окрестностные
ретракции U-^V-^U, U' —> V -^* U'. Тогда k'k \(k'k)~lU ==
— r(ikk) и kk' — [kk'r') i', и, в силу определения 5.10 и предло-
предложения 5.11, h'k — Iik'kr, hk' — Ii'kk'r'. Но отображения ik'kr =
= (Ik'r') (i'kr) и i'kk'r' = (i'kr) (ik'r) имеют, согласно предложе-
предложению 5.9, одно и то же алгебраическое число неподвижных то-
точек. []
5.17. Упражнения. 1. Если множество неподвижных точек
отображения g: R—>R компактно, то /г = 0 или ±1.
2. Постройте отображение g: R2->R2 с заданным алгебраи-
алгебраическим числом неподвижных точек, единственной неподвижной
точкой которого является лишь 0. Сделайте рисунок.
3. Если <р: R"—>R" — линейное отображение, то множество Fy
компактно тогда и только тогда, когда + 1 не является собст-
собственным значением отображения ф. В этом случае (id — ф) есть
изоморфизм, 0 — единственная неподвижная точка отображе-
отображения ф и /ф = (—1)л, где г\ — число вещественных собственных
значений отображения ф, больших 1.
4. Если V czRn — открытое множество, содержащее 0, и
g: V -> Rn — такое непрерывное отображение, что gx Ф Хх при
х ф 0 и Я>1, то g@) = 0. Если, более того, множество Fg
компактно, то /й = 1. (Указание: рассмотрите деформацию
() t())
5*. Обозначим через 'З класс всех таких непрерывных отоб-
отображений g: U-+Y, что Y есть ENR, U — открытое подмножество
пространства Y и множество Fg = {х е U | gx = х) компактно.
Теорема. Если I: 2?->-Z — функция, обладающая свойствами
E.11) — E.16) (в действительности свойство E.14) следует из
6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 255
остальных свойств), то I есть алгебраическое число неподвиж-
неподвижных точек, I (g) = Ig. Схема доказательства '): с помощью рас-
рассуждения, подобного доказательству предложения 5.10, общий
случай сводится к случаю 7 = R"; далее производится гладкая
(или симплициальная) аппроксимация отображения, и его гра-
график становится трансверсальным к диагонали, а множество Fg
становится конечным и даже (ввиду E.13)) состоящим из одной
точки 0; при этом дифференциал Dg{0) не имеет собственного
значения +1. Далее g аппроксимируется отображением Dg@),
и проблема сводится к линейным отображениям. Наконец, с по-
помощью собственных значений она сводится к случаю п=\.
6*. Пусть Y, Y' — произвольные пространства, U cz Y, U' cz Y' —
открытые множества и ф: U->Y', q/: U'-*Y — такие отображе-
отображения, что множества неподвижных точек Fw-faF^ компактны.
Если отображения ф, ф' допускают евклидовы разложения
ф. цЛ^уЛ+у', y'-.U'-^V'^Y,
где множества VcrR", K'czR"' открыты, то композиции у'Ь и
уЬг имеют одинаковые алгебраические числа неподвижных точек
(см. 5.9) и число /у'фв' = /уф'в не зависит от разложений.
Назовем его алгебраическим числом неподвижных точек
пары ф, ф' и обозначим через /ф, ф' = /ф',ф. Если каждое из мно-
множеств U, U' есть ENR, то /ф,ф' = /фф' =/ф'ф. Если Y = Y',U = U'
и ф' — включение, то у', б' — евклидова окрестностная ретрак-
ретракция и, согласно предложению 5.10, /ф, ф' = /ф.
6. Теорема Лефшеца —Хопфа о неподвижных точках
Эта знаменитая теорема выражает алгебраическое число не-
неподвижных точек отображения g: Y-+Y, где У — компактный
евклидов окрестностныи ретракт, через эндоморфизм gj Я (Y; Q)—>
->ЯG; Q). Мы начнем с некоторых предварительных алгебраи-
алгебраических рассуждений об эндоморфизмах градуированных моду-
модулей. Пусть R — фиксированное коммутативное кольцо с едини-
единицей; все модули считаются заданными над R, п в этом смысле
понимаются операции ® и Нот. Приложения будут относиться
к случаю /? = Q.
6.1. Определение. Пусть M = {Mi}i sZ — градуированный
^-модуль. Обозначим через М* двойственный (градуированный)
') См. Brown R. F., An elementary proof of the uniqueness of the
fixed point index, Pacific J. Math., 36 A970), 544 — 558.
256 Гл- VII. Умножения
модуль, АГ-г = Нот(Мь R), и определим для каждого градуи-
градуированного /^-модуля N отображение
F.2) @ = &MN: M*®N->Hom{M, N),
(определение операции Нот см. в VI. 10.1). Очевидно, в есть
градуированный гомоморфизм, естественный по М и N. (Ото-
(Отображение 0 является частным случаем отображения у из
VI. 10.23: следует положить там С = М, C' = R = D, D' = N.)
6.3. Предложение. Образ отображения в состоит из гомо-
гомоморфизмов |3: M—*N, пропускающихся через конечно порожден-
порожденный свободный {градуированный) модуль, т. е. из композиций
вида р: M-+F-+N, где Ft ^ R®R® ... фR для всех i, и
Fi — О для почти всех i. Такие гомоморфизмы называются го-
гомоморфизмами конечного ранга.
Если модуль N свободен, то отображение 6 мономорфно.
Следовательно, в этом случае в изоморфно отображает М* ® N
на пп(в) = {[3: М—»-ЛЧр имеет конечный ранг}.
Доказательство. Если ф е М* и ne N = Hom(R, N),
то, с точностью до знака, ®(q>®n) совпадает с композицией
М—>R—+N. Это доказывает первую часть предложения, так
как элементы модуля М* ® N являются конечными суммами
элементов вида ф®я, и гомоморфизмы M-+N конечного ранга
являются конечными суммами композиций М->/?—»¦ N.
Пусть теперь модуль N свободен, и пусть {/Y: R—> N} т
есть представление' в виде прямой суммы. (Заметим, что /Y
могут иметь разные степени.) Тогда каждый элемент а е М* ® N
имеет вид а= ? Ф7®г7A). Если р- N^-R есть ц-я проекция
Y s Г
(p^ = id, ,tyY = 0 при Y=^n), то (id®pjа= ? <ру®Pili (l) =
у
= Фи® 1 и, значит,
Но ®MR (id ® рц) а = р^мы (а) в силу естественности в (по отно-
отношению к отображению р^). Поэтому из вМЛ,(а) = 0 следует, что
Ф^ = ± Рц®мы (а) — 0 ПРИ всех Ц е Г; значит, в этом случае
а = 0. D
6.4. Определение. Пусть N — градуированный ^-модуль и
е: N*® N -* R — каноническое спаривание, е(ф®/г) = ф(л). Если
б. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 257
модуль N свободен и j3: N-> N — эндоморфизм конечного ранга,
то, согласно предложению 6.3, в"'(р) е N*® N; в этом случае
Л (Р) = ев'' (Р) е R называется следом, или числом Лефшеца,
гомоморфизма р.
Так как е переводит в нуль элементы размерности ф О,
число Лефшеца гомоморфизма р равно нулю, если | р | ф О,
т. е. если р не является последовательностью эндоморфизмов
рг: Nl—>N{, I'eZ, Чтобы вычислить Л(р), в этом случае мы
выберем в каждом Nt базис Г;; тогда для у е Т{
P(v)= I РХ-и,
цеГ
где pv e i^ — некоторые матричные коэффициенты. Определим
для / ^ Z и ц е Г; гомоморфизм ф»1 е N*_t = Нот(Л^, /?)_/ фор-
формулой ф11 (y) = PjJ(, Ys Г^ Если р имеет конечный ранг, то
почти все ф^1 равны нулю, так что сумма
М. s Гу, / е Z
определена, и [У _
" д, i ц
т. е. 6(а) = р. Поэтому
F.5) Л(р) = е(а) = Z (—1)/ф|1(М')= Z (—1)' Z Pit-
В частности, мы видим, что последнее выражение (которое часто
принимают за определение Л(р)) не зависит от выбора ба-
базиса Г/.
Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках формули-
формулируется следующим образом:
6.6. Предложение. Пусть Y есть ENR, К — компактное под-
подмножество пространства Y и f: Y-+K<^Y — непрерывное ото-
отображение. Тогда множество неподвижных точек отображения f
компактно, эндоморфизм (f\K)t- H (К; Q)->#(/C; Q) имеет ко-
конечный ранг и If = A(f \K),.
Доказательство. Множество неподвижных точек ото-
отображения / замкнуто в К и потому компактно. Пусть Y —*¦
->V—>Y — евклидова окрестностная ретракция (r/ = id, V —
открытое множество в Rn); тогда JK&K, алгебраическое число
неподвижных точек отображения / равно алгебраическому числу
неподвижных точек отображения g = jfr. V —»¦/(« JK cz l\n
258 Гл. Vll. Умножения
(см. 5.10) и f\K&g\K. Поэтому нам нужно показать, что
Ig = Л (g | К)„. Мы всюду используем рациональные гомологии
(и опускаем значок Q), так что Н (X X Х') = (НХ)® {НХ')\ образ
фундаментального класса ок при отображении H(V, V—Л'; Z) —>
—> Н (V, V — К; Q) снова обозначается через ок.
Рассмотрим сначала диаграмму
H(V, V-
F.7) }д.
H(V,V-K)
где А: (V, V — К)-* (V, V — К) X V — диагональное отображение
(Д(*) = (*, х)), ф. (V, V -K)XK-+{Rn, R"-0) определяется
формулой d{x, y)==x — y (ср. 4.1), е — каноническое спаривание
из определения 6.4 и d: H(V, V — К)-*(НК)* = Нот {НК, Q)
определяется условием коммутативности правого квадрата,
{[d{v)]k)o0 = d,(v®k). Левый квадрат коммутативен потому,
что d (id X g) А (х) = х — gx — (i — g) x. Согласно определению 5.3,
нижняя строка диаграммы F.7) переводит ок в Ig. Движение
по верхней строке должно дать то же самое, т. е.
F.8) Is = e(ag), где ag = {d ® g,) A, (oK),
В силу определения 6.4,
F.9)
Мы покажем, что в (ag) = {g | К)*, тем самым доказательство
будет завершено.
Рассмотрим диаграмму
id ® t* dt ® id ,
H{V,V-K) ®HV ® НК *¦ H (V, V-K) ®HK®HV >- H (R«, R«-o) ®HV^HV
| j j
H{V,VK) ®V ® К (, )
F.10) |d®g*®id jd®id®g»
* ® нк ® hk —. >- (ню* ®нк®нк
id ® t
.> (ю ®нк®к> q®hk^hk
id ® t, e® id
где t(x, y)~(y, x). Правый квадрат получается из правого
квадрата диаграммы F.7) тензорным умножением на gt, и по-
потому он коммутативен; коммутативность левого квадрата оче-
очевидна. Если взять элемент А,(ок)® k ^ Н(V,V — К)® HV ®НК
и проследовать нижним путем |_>_>, то, в силу определе-
определения 6.2, мы получим [&(ag)]k (напомним, что t*(l,®r\) —
*= {—lI5"*11 ц®|). Движение по верхнему пути ~*'~>| должно
6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 259
дать то же самое, т. е.
FЛ1) е(ав) = ?,оф(К, V),
где Ф(К, V) = {Фа(К, V)}AeZ, а Ф4(К, V) есть следующая ком-
композиция:
F.12) ВД^ ЯЛ+„ [(У, V-K)XK]¦^^-
-> нк+п №п, Rn - о) х v] -^Ш я,к.
Мы покажем ниже, что
F.13) фл(к,1/) = ;д#, V),
где /(/С, F): /C-*F — включение. В силу F.11), это означает,
что e(ag)*=gj9{K, V) = (g\K). и (см. F.9)) /г = Лв(ае) =
= Л (g\К)*, что и требуется.
Доказательство соотношения F.13) использует следующие
две леммы.
6.14. Лемма. Отображения
Фь ф2-- (V, V-K)XK-»(Rn, Rn-0)XV,
(о.15)
Ф,(у, k) = (v — k, v), ф2(v, k) — (v — k, k), »el/, k <= /C
индуцируют одинаковые гомологические гомоморфизмы.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
(ПГ, IR"-0)x^
F.16)
eVXid^ fecl/},a,^- отрезок, соединяющий о с &, о)), (у, й)=
= (у — &, о), ajJ(w, k) = (v — k, k) и ф^ tiv — сужения отображе-
отображений aj)v. Поскольку Л/ есть окрестность множества D в F X -К,
260 Гл. VII. Умножения
то /„ есть изоморфизм (по теореме вырезания). Поэтому ojI:f = \$2л
и, значит, ф„ = ф2,. D
6.17. Лемма. Пусть В cr R" — замкнутый шар с центром 0,
содержащий К. Пусть, далее, Ф' — последовательность
F.18) (Rn, Rn - В) X К '-^ (Rn, Rn-K)XK
где A (v) = (v, v), t (v, k) = (k, v), d(v, k) = v — k. Включение ин-
индуцирует в гомологиях изоморфизм (в силу теоремы вырезания),
так что Ф' индуцирует гомоморфизм
F.19) <D't: H{(Rn, Rn-B)XK)->H{(Rn, Rn-0)XV).
Утверждение: Ф'„ совпадает с гомоморфизмом, индуцированным
включением ((Rn, Rn-B)XK)~> ((Rn, Rn ~ 0) X V).
Доказательство. Часть (V ,V - K)X K-+{Rn, Rn — 0)XV
последовательности Ф' переводит (v, k) в (v — k, v). В силу
леммы 6.14, эта композиция индуцирует такой же гомологи-
гомологический гомоморфизм, как (v, k)b—>(v — k, k). Поэтому вся после-
последовательность Ф' индуцирует такой же гомологический гомо-
гомоморфизм, как
F.20) of: (Rn, Rn-B)XK~+ (Rn, Rn - 0) X V, Ф (v, k) = (v - k, k).
Но ф гомотопно включению, как это показывает деформация
(х, k)*->{x — tk,k), 0 < t < 1. Q
Доказательство формулы F.13). Гомоморфизм Ф =
= Ф (К, V), по существу, не отличается от Ф«; точнее Ф« (овХ z) =
= ОоХФB) для z e Я/С, где о — фундаментальные классы
(см. 2.14). Это следует из определения и того факта, что вклю-
включение переводит фундаментальные классы в фундаментальные
классы. Далее, по лемме 6.17, Ф»(ов X z) = o0X г'*2> гДе 1 —
включение /С —> У. Поэтому о0 X Ф (z) = о0 X L (z) и, значит,
ф-v Q
6.21. Пример. Если N — свободный градуированный /^-модуль,
то тождественное отображение id: N -+ N имеет конечный ранг'
(см. 6.3) тогда и только тогда, когда все Ni имеют конечные
базисы и почти все Nt обращаются в нуль. В этом случае
Л (id) = 2 (-— 1); Р/ (ср. 6.5), где fy — число элементов базиса в Nj.
i
6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках 261
Таким образом, число Лефшеца Л является обобщением характе-
характеристики Эйлера — Пуанкаре (см. V. 5.1): %(N) — A.(idN) для сво-
свободных градуированных абелевых групп N (если группа N не
свободна, то %(N) = %{N <8> Q), а Q-модуль N <8>Q всегда сво-
свободен). Из этого вытекает следующий результат (ср. 6.6):
6.22. Предложение. Если Y — компактный евклидов окрест-
ностный ретракт и f: Y-+Y— такое отображение, что ft =
= id: Я {Y; Q)-*H {Y; Q) {например, если f =* id), то If = % (Y) -
характеристика Эйлера — Пуанкаре пространства Y. []
В частности, если H(Y; Q) = 0, т. е. если Y имеет такие же
рациональные гомологии, как точка, то /^ = id для всех f и If = 1
для всех /. Это предложение применимо к стягиваемым про-
пространствам, к вещественным проективным пространствам четной
размерности и к другим пространствам.
6.23. Замечание. Формула F.13), которая была использована
в доказательстве теоремы о неподвижных точках, представляет
и самостоятельный интерес; мы рекомендуем читателю изучить
ее и подумать о других ее возможных приложениях. Заметим,
что отображение Ф{К, V), определенное формулой F.12), сохра-
сохраняет смысл при произвольных коэффициентах Г, т. е. имеется
отображение Ф {К, V): Я (К; Г)->ЯA7; Г). При этом нужно либо
взять ок с целыми коэффициентами, чтобы класс ок X Л имел
те же самые коэффициенты, что и tj, либо сразу взять кольцо
коэффициентов Г и заменить ок его образом при отображении
H{V, V — К; Z)-+H{V, V — K; Г). В любом случае равен-
равенство F.13) имеет место, и его доказательство практически не ме-
меняется.
Теперь мы можем проиллюстрировать значение формулы F.13)
следующей теоремой:
6.24. Предложение. Пусть Г — поле, /fcrR" — компактное
множество и т)еЯ(/С; Г) — такой гомологический класс, что
'*(т))=7?:0 для некоторой открытой окрестности V множества К
(i — включение К —*¦ V). Тогда существует такой класс ? е
еЯ(К", R" — /С; Г), что индекс пересечения Ъ,°г\ не равен нулю
(заметим, что если К,—ретракт окрестности V, то ti =5^=0=^ г л =7^0).
Доказ ательство. В качестве области коэффициентов для
фундаментального класса ок мы возьмем Г; тогда
А,ЫеЯ((У, V-K)XV\ T)^H(V, V - К; Г)®гЯ(У; Г)
имеет вид
д, (ок) = ? и ® г»,
262 Гл. VII. Умножения
где
U<=H(V; Г), U^H(V, V-K; T)^H(Rn, Rn-K; Г).
Поэтому, согласно F.13),
О Ф о0 ® /, (л) = о0 ® (Ф (К, F) л) = (d. ® id) (id ® /,) (А, (ок) ® л) =
=(rf.® id) E2 ± &*® л®5*) = 2 ^^ F*® л)® S* = XI =ь F* ° л) ® 5*.
и, значит, ifcOTi^O по крайней мере для одного &. []
Предложение 6.24 представляет собой частный случай двой-
двойственности Александера (которая будет рассмотрена в более
общем виде в VIII. 8.15).
6.25. Упражнения. 1. Если М, N — комплексы /^-модулей,
то отображение в из 6.1 является цепным.
2. Если
О -> iV' -»- W -> Л^" -> О
— коммутативная диаграмма конечно порожденных свободных
градуированных ^-модулей с точными строками, то Л (р) =
= Л(р') + Л(Р"). Подобно тому как это было в V. 5.7, это влечет
за собой
для отображений /: (X, А) —*¦ (X, А) пар компактных евклидовых
окрестностных ретрактов (fx, fA — индуцированные эндоморфизмы
гомологии НХ, НА; коэффициенты берутся в Q).
Если f: X/A-*Х/А—.индуцированное отображение, то 1 + If—
— L -\- L,A. (Указание: используйте упр. 5 и 6 § IV.8.)
3. Пусть Y есть ENR и /: Y—>Y — такое отображение, что
множество fY компактно и что каждый элемент ? е Я (Y; Q)
аннулируется некоторой степенью гомоморфизма f (т. е.
TJ ker(fk) — Н(Y; Q), где/* есть ^-кратная итерация отображе-
ния/). Тогда /f = l. (Указание: след нильпотентного эндомор-
эндоморфизма равен нулю.)
4. Пусть У —компактный евклидов окрестностный ретракт
и /: У-> Y — отображение с /f = 0. Можно ли деформировать /
в отображение без неподвижных точек? Ответ положителен,
если У — односвязное многообразие (Фаделл [1]), но отрицателен
7. Внешнее когомологическое умножение 263
в общем случае. Например, если А — компактный евклидов
окрестностный ретракт с %(А) = — 1 (например, неориентируемая
поверхность рода 3; см. V. 3.11, упр. 2) и Y есть букет S2\/ А,
то %(Y) = %(S2) + %(А) — 1 = 0, но каждое отображение /: Y-*Y,
индуцирующее тождественный эндоморфизм в Н {Y; Q), имеет
неподвижную точку. (Указание: рассмотрите композиции А, 52^»
^tAWS2-^AVS2^tA, S2.)
5. Пусть f—такое же отображение, как в 6.6. Тогда A(f | /О*—
= A(f\K)*, т.е. числа Лефшеца (или алгебраические числа не-
неподвижных точек) могут быть вычислены с помощью когомоло-
гий (сравните с упр. 1.14.3).
7. Внешнее когомологическое умножение
Это умножение Н*ХХ H*Y-+H*(X X Y) совершенно анало-
аналогично внешнему гомологическому умножению, описанному в § 2.
7.1. Определение. Пусть (X, А), (У, В) — такие пары, что
{X\Y; A\Y, XX.В) — вырезаемая триада, и пусть L, М — про-
произвольные /^-модули. Рассмотрим составное цепное отображение
G.2) Нот (||, L)®«Hom(~, м) -*>
JU Нот
где у определяется формулой
*)] (с ® rf) = (-
(ср. VI. 10.23), EZ обозначает отображение Эйленберга — Зиль-
бера и / индуцируется включением S{AXY, XXB}czS((AX
ХЮ U {X X ?)) (ср. 2.2). Вторая и третья стрелки композиции G.2)
являются гомотопическими эквивалентностями. Переход к гомо-
логиям и компонирование с
а: Н*(Х, A; L)®RH*(Y, В; M)->H[S*(X, A; L)®RS*(Y, В; М)\
дают отображение
G.3) (Г) (?ZL<*: H*(X, A; L)®RH*(Y, В; Щ-+
, (AXY)\j{XXB); L®RM),
264 Гл. VII. Умножения
или, подробнее,
G.30 Я' (X, A; L)®RHk (У, В; М) -+
-> Hi+k(XXY,{AXY)[)(XX В); L®RM).
Это отображение (или соответствующее билинейное отображение)
называется внешним когомологическим умножением. Обозначение;
G.4) х X у = (ГУ1 (EZY Y.a (x ® у) е
где
шЯ1 (X, Л; L), y^Hk (Y, В; М).
На уровне представляющих коциклов ф, t|)
G.5)
где ?gS*(I; L),
Замечание. Нужно быть осторожным при применении фор-
формулы G.5): у (ф <8> ip) о ?Z обращается в нуль на 5 (Л X ^. -У X #}
но, вообще говоря, не обращается в нуль на S{{A X Y) U (X \
Тем не менее
B); L®RM),
так что [у (ф ® -ф) о ?Z] можно считать лежащим в последней
группе. Конечно, эта маленькая трудность не возникает, если
одно из множеств А, В пусто.
Из VI. 12.16 вытекает следующий аналог теоремы 2.6:
7.6. Предложение. Пусть L, М — такие модули над областью
главных идеалов R, что L*RM = 0. Пусть, далее, (X, А),
(Y, В) — такие пары, что триада (X X Y; А X Y, XX В) выре-
вырезаема и Н (X, A; R) имеет конечный тип. Если, кроме того, МО'
дуль L конечно порожден или Н (У, В; R) имеет конечный тип, то
ф Hl{X, A; L)®RH'(Y, В; М)-+
i +j=n
-+Hn(XXY,(AXY){J(XXB); L®RM),
x <g> у н-э- х X У,
1. Внешнее когомологическое умножение 265
— расщепляющийся мономорфизм, коядро которого естественно
изоморфно
ф Н{(Х,А; L)*H}{Y, В; М). Q
i+j=n+l
Следующие далее предложения аналогичны (дуальны) предложе-
предложениям 2.7 — 2.13.
7.7. Естественность. Если (X, А), (X', A'), (Y, В), (Г, В') -
такие же пары, как в 7.1, то для любых отображений /: (X, А)->
-»(*', A'), g: (Y, В)-+(Г, В')
7.8. Коммутативность. f(xXy) = (—l)]xlly]yXx, где
t: X X.Y ~*Y }(X — перестановка координат.
7.9. Ассоциативность. (x'Xy)Xz = x'X(yX.z).
7.10. Наличие единицы. Если Y — P — точка, В=0 и
\р е Н°{Р; R) — когомологический класс аугментации ч\: S0P-> /?,
/>i—*• 1, то 1рХ.х — х = х'Х1Р (подразумеваются отождествления
Р X (X, А) = (X, А) = (X, А)Х. Р). Если же Y — произвольное про-
пространство и я — отображениеУ —>Р, то 1к = я*AР) е Я0 G; Р)есть
класс аугментации S0Y->R и, в силу 7.7,
* X 1к = (id X я)* (*ХЫ =/>•(*),
где р: (X, А)X У-*(X, А) = (Х,А)ХР-проекция.
7.11. Стабильность (ср. упр. 3). Диаграмма
Н*А ® Н* (Y, В) -** н* (AXY, AXB) i Н* ((Л X У) U {ХХЩ,
|e*®id |б*
Н*(Х, A)®H*(Y, В) > H*(XXY,
(коэффициенты опущены, i — включение) коммутативна. Иными
словами, для любых аеЯ*Л, г/еЯ*G, В)
G.12) 6*(ГГ1(аХу) = ({>*а)Ху.
В важном частном случае В—0 включение / превращается
в id, и стабильность сводится к равенству
G.13) б* (а X У) = (б'а) X У (а<=Н*А,у<= ИГУ).
266 Гл. VII. Умножения
7.14. Двойственность связывает гомологическое и когомо-
когомологическое Х-умножения: если \^.Н(Х, A; R), ц^Н(У, В; R),
Х<=Н*(Х,А;Ь),у<=Н*(У,В;М),т(ХЛ) ()илпК)
& (у, л).
Доказательства предложений 7.7— 7.14. Выбрав
представляющие коциклы ср, д/, ар, ... для х, х\ у мы
находим, согласно G.5), следующие представляющие коциклы
для левых и правых частей равенств G.7)— G.10):
Левая часть 7.7; у (g/ ® ар') о EZ ° (f X g); правая часть 7.7:
Y (ф7 ® ?g) ° EZ = y (<p' ® ¦фО ° (f ® g) ° EZ; они равны в силу
естественности отображения EZ.
Левая часть 7.8: у(ф ® ty) ° EZ о f, правая часть 7.8:
^q \(()toEZ; они равны в силу
коммутативности отображения EZ (см. VI. 12.3).
Левая часть 7.9: у (ф ® ар ® р) о (EZ ® id) ° EZ; правая часть 7.9:
V (ф <8 ip ® р) ° (id ® EZ) о EZ; они равны в силу ассоциативности
отображения EZ (см. VI. A2.4)).
Левая часть 7.10: у (ц ® ф) о EZ\ средняя часть 7.10: ср; они
равны в силу VI. 12.5.
Для доказательства предложения 7.11 мы выберем сначала
представляющий коцикл элемента аеЯМ и продолжим его
до коцепи ф на X; в частности, бф|5Л = 0. Как и выше, через ар
обозначается представляющий коцикл элемента y^H*(Y,B).
Тогда левая часть равенства G.12) представляется коциклом
Последнее выражение представляет также правую часть равен-
равенства G.12). (Заметим, что эти коцепи обращаются в нуль лишь
на S{AXY, XXВ], но не обязательно на S((AXY)[](X ХВ))у
этого достаточно в силу теоремы о вырезании.)
Для доказательства предложения 7.14 мы также используем
представители и получаем, что
(MXW, И
7. Внешнее когомологическое умножение 26?
где W, Ф — взаимно обратные отображения Эйленберга — Зиль-
бера. Так как \FoCp~id, то правая часть последнего равен-
равенства равна
7.15. Упражнения. Г. Если R — поле, то отображение X:
#* (X; R)®RH* {Y; R) -+ Н* (Xyj; R) мономорфно. Оно эпиморфно
тогда и только тогда, когда один из модулей Н(Х; R), H(Y; R)
имеет конечный тип. Поскольку Н'(Х; R)^Ht(X; R)*, это сво-
сводится к следующему алгебраическому утверждению: если V,
W — векторные пространства над R, то отображение у: V*®W*-+
-> {V ® Wf, [y(q>®i>)](v®w) = q>(v)i]p(w), мономорфно; оно эпи-
эпиморфно тогда и только тогда, когда по крайней мере одно
из пространств V, W конечномерно. Наметим доказательство.
Пусть В, С —базисы пространств V, W; тогда V*, W\ (V ®W)*
можно отождествить с функциональными множествами F(B, R),
F (С, R), F{BXC, R). Пусть р е= F {В X С, R) и с е= С. Обозначим
через pc^F(В, R) «частичную» функцию pc(b) = p(b, с). Если
р = y (ф 45 Ф), то рс F) = ф F) -ф (с) и, следовательно, все рс крат-
кратны ф. Так как peim(v) всегда является конечной линейной ком-
комбинацией элементов вида у(ф®'Ф)> то множество {рс|сеС}
содержит не более чем конечное число линейно независимых
элементов (если р g im (у)!). Пусть Fe(B X С, R) есть множество
таких р, что {рс | с е С} имеет конечный ранг. Легко видеть, что
Fe(By,C, R) = F(BX.C, R) тогда и трлько тогда, когда хотя
бы одно из множеств В, С конечно. Остается показать, что у:
F(B, R)®F(C, R)->Fe(BXC, R) есть изоморфизм. Пусть
peFe(BXC, R); выберем максимальное линейно независимог
множество элементов вида рс, скажем фь ..., фг. Тогда для
г
каждого с^С мы имеем рс= X'Фг(с)ф/; коэффициенты я|)((с) —
единственным образом определенные функции переменной с и
Г
соответствие pi—>Хфг ®я 'Фг определяет обратное к у отображение.
! = 1
Обобщите все это на свободные модули над областями
главных идеалов.
2. Пусть R — область главных идеалов и X — такое про-
пространство, что Н(Х; R) имеет конечный тип. Существуют два
способа для выражения H*(XXY; R) через Н(X; R), H(Y; R).
Первый способ: к Н(X XY; R) применяется формула Кюннета,
а затем формула универсальных коэффициентов. Второй способ:
к Н* (X; R), Я* (У; R) применяется формула универсальных коэф-
коэффициентов, а затем предложение 7.6. Сравните оба результата.
Сформулируйте и докажите соответствующие алгебраические
соотношения.
268 Гл. VII. Умножения
3. Под заголовком «стабильность» читатель, возможно,
ожидал увидеть следующую диаграмму, аналогичную B.11):
х
Я*Л®Я"В ¦> Н* (АхВ)
Я* HXXBWAXY), ЛХВ)
I»
хфх
[Н*(Х, A)®H*Bl®[H*A®H*(Y, В)] >- Н*(ХХВ, ЛхВ)фЯ*(ЛХУ, ЛхВ)
Поскольку нижняя правая группа диаграммы G.16) представляет
собой прямое произведение, G.16) разбивается на две диаграммы,
коммутативность каждой из которых является частным случаем
стабильности G.12) (с точностью до естественности 7.7 и ком-
коммутативности 7.8). В частности, вся диаграмма G.16) ком-
коммутативна,
8. Внутреннее когомологическое умножение (^-умножение)
В упр. 5 § 12 гл. VI уже говорилось, что отображения
Эйленберга — Зильбера EZ: S(XXY)->SX®SY и естественные
диагональные отображения D: SX —» SX ®SX формально экви-
эквивалентны. В частности, можно заменить диагональным отобра-
отображением отображение EZ, встречающееся в определении внешнего
когомологического умножения X: Н*Х ® H*Y -> Н* (X X Y); в ре-
результате получается так называемое внутреннее когомологиче-
когомологическое умножение w: Н*Х ® Н*Х -> Н*Х. Хотя умножения X и w
эквивалентны, удобно рассматривать их параллельно. Например,
Х'умножение, как правило, вычисляется легче (см. доказатель-
доказательство предложения 9.4), a w-умножение дает более привычную
алгебраическую структуру: оно естественным образом превра-
превращает Н* (X; R) в градуированное кольцо.
8.1. О пред е л е ние. Пусть (X; Аи А2) — вырезаемая триада
и Mh M2 — произвольные /^-модули. Рассмотрим цепные ото-
отображения
(8.2) Нот (SX/SAU Af,) ® R Нот (SX/SA2, M2) -I>
^ SX/SA2, Mt ®R M2) -^~
SX
SX
где, как и прежде, (v(q>i® q>2))(a\® <k) = (—II ф2' Ы' '(<Piai)®(<p2a2)
и у индуцируется включением. По предположению / есть гомо-
8. Внутреннее когомологическое умножение (^-умножение) 269
топическая эквивалентность. Переход к гомологиям и компо-
нирование с а дают отображение
(8.3) (/Г1 D*yjx\ Н* (X, Ап М{) ®RH* (X, Л2; М2) -+
-*Н*(Х, Л1иЛ2; M,®RM2),
(ср. G.3)) или, подробнее,
(8.3') Н1(Х, Л,; Мг) ®RHk{X, A2; М2)-+
Это отображение (или соответствующее билинейное отображение)
называется внутренним когомологическим умножением, или
w-умножением. Обозначение:
(8.4) *, kj х2 = (/-) D*yta (x{ ® х2),
где х^ е Я* (X, Л^; Af^) или, на уровне представляющих коциклов,
(8.5) [q>iW[q>2]
где фм,е5*(Х; Af^), фи,|5Л1Х==0, ф1хОE = 0. Как и в G.5), надо
помнить, что у(ф1®ф2)°-0 обращается в нуль на S{Alt Л2},
но не обязательно обращается в нуль на S(Al\jA2).
Следующие далее свойства 8.6 — 8.10 ^--умножения выво-
выводятся из свойств естественного диагонального отображения
так же, как предложения 7.7 — 7.11 выводятся из свойств
отображений EZ.
8.6. Естественность. Если f: (X; Аи A2)->(Y; Вь В2) — ото-
отображение одной вырезаемой триады в другую, то для любых
y{^H*{Y, fil5 Af,), y2 s H* (Y, B2; M2)
Г(!/1^У2) = (ГУ1)^(ГУ2). U
8.7. Коммутативность. Xi<jx2 = (—1) х2^х{. []
8.8. Ассоциативность. xt \-j {х2 ^ х3) = (Х] ^> х2) ^> х3. Это
тройное произведение лежит в Я* (X, Ai U Л2 U Л3), если х„ е
Я*(* AJ. D
8.9. Наличие единицы. Ix^jx=x=x\jIx, где 1
когомологический класс аугментации S0X-+R. ?
270 Гл. VII. Умножения
8.10. Стабильность. Диаграмма
H*Ai ®Н*{Х, Л2) ^? Н*Аг ® Я* (Л,,
(8.11)
Я* (X, Л,) ® Я* (X, А2)
и-
>я*
*(Л
(А'
(X,
„А
л,
2ПЛ2)
12, Л2)
U4)
где /, / — включения, коммутативна. Иными словами, для любых
а^Н*Аи х<=Н*(Х, Л2)
(8.12) б* (f) (a w i*x) = F*a) w *.
В важном частном случае Л2 = 0
(8.13) 5*(й^Гх) = F'й)их
(/: А—>Х — включение) для любых а^Н*А, х^Н*Х. Q
Два следующих свойства отражают связь между отображе-
отображениями Эйленберга — Зильбера и естественными диагональными
отображениями. Первое свойство;
(8.14) (*, w х2) = А* (х2 X ^i), х^ е Я* (X, ЛД
где А: (X, Л, U А2)-+(Х X X, ^ X*)UU ХЛ2)) -диагональное
вложение, ДР = (Р, Р); здесь предполагается, что триады
(X; Ль Л2) и (X X X; Л, X Я, X X Л2) вырезаемы.
Доказательств*о. Пусть <р,, ф2 — представляющие ко-
коциклы; тогда левая часть равенства (8.14) представляется ко-
коциклом [y(<Pi® <fe)OjD]. а правая — коциклом [y(<Pi ® <$2)°EZ° A],
и остается заметить, что D = EZ ° А (см. VI. 12.20). Q
Второе свойство: для любых х^Н* (X, Л), у <= Н* (Y, В)
(8.15) *X</ = (A)w(<7»,
где р: (X X Г, Л X У) -> (*,/4), <?: (Z X У, X X В) -> (У, В) - проек-
проекции; предполагается, что триада (Xy^Y; AX.Y, Х~ХВ) вырезаема.
Доказательство. Пусть<р, а)) — представляющие коциклы;
тогда левая часть равенства (8.15) представляется коциклом
[(ф ® ^ф) ° EZ], а правая — коциклом [(ф • р) ® ('t1 ° </) ° В] =
= Кф& ty)°(p® q)°D], и остается заметить, что EZ = {p<g>q)°D
(см. VI. 12.25). D
8. Внутреннее когомологическое умножение (^-умножение) 271
Заслуживает внимания следующее следствие из предло-
предложения 8.15:
8.16. Мультипликативность: (х1 X У\) ^~> (х2 X Уг) =
= (-1I у ''Xl' (х, w х2) X (г/i ^ г/2) для любых ^ е= Я* (X, Л^)^
(/„?^G, ВД если (X; Ль А2), (Y; Ви В2) — такие триады, что
выписанные произведения определены.
Доказательство:
(*i X г/i) ^ (*г X г/2) = P*^i ^ ?>! w /?*лг2 w q*y2 =
= (-1)]у'их'](х^х2)Х(У1^У2). U
8.17. Замечания. Если Мх = R = М2, то Ml®RM2= R.
В этом случае предложения 8.3', 8.6 — 8.9 означают, что
Н* (X; R) — коммутативное градуированное кольцо (бюлее того,
/^-алгебра), которое функториальным образом зависит от X.
Оно называется когомологическим кольцом (когомологической
алгеброй) пространства X с коэффициентами в R. Далее,
Н*{Х, А; М) есть Н*(Х; R)-ModyAb относительно «^-умножения
Н*Х (g> Н* (X, А) -> Н* (X, А), а Н" (А; М) есть Н*(Х; #)-модуль
относительно спаривания Н*Х®Н*А->Н*А®Н*А-^+ Н*А, где
первая стрелка индуцируется включением А-+Х, и предложе-
предложение 8.13 утверждает, что б*: Н* (А; М)->Н*{Х, А; М) есть
Н*(Х; R)-гомоморфизм.
Если К, L — градуированные /^-алгебры, то %<g>RL есть
градуированная алгебра по отношению к умножению
(ki ® /,) • (k2 ® 12) = (-1)''м (kxk2) ® (Щ.
Эта алгебра называется тензорным произведением алгебр К, L.
Предложение 8.16 утверждает, что
Я* (X; R) ®R Я* (У; R) ^ Я* (X X Y; R)
есть гомоморфизм алгебры в алгебру. Более того, из 7.6 выте-
вытекает следующая теорема:
8.18. Предложение. Если R —область главных идеалов и X,
Y — такие пространства, что модуль H(X;R) имеет конечный
тип и все периодические произведения Hl {X\ R)*H}(Y; R) три-
тривиальны, то X: H*(X;R)®H*{Y;R)-+H*(XXY;R) есть изо-
изоморфизм алгебр, Q
272 Гл. VII. Умножения
8.19. Упражнения. 1. Мы можем определить w-перемноже-
ние коцепей посредством композиции
(8.20) S*X®StX-1>(SX®SX)*-^StX,
где D — естественное диагональное отображение. Это — цепное
отображение. Оно зависит от выбора D, но его гомотопический
класс от D не зависит. Покажите, что если D — AWok, где
AW — отображение Александера — Уитни (см. VI.12.27), то
соответствующее w-произведение коцепей ф] е SPX, ф2 S'l
задается формулой
(8.21) (Ф, ^Ф2)(Т = (-1ГФ,(^+'7)®Ф2(
¦<-
где ст: Ap+q->X — сингулярный симплекс и гр+9\ Ар—>Ар+?,
ер+<?: д^_^д^+^_ грани симплекса Ар+?, содержащие соответ-
соответственно первые р + 1 и последние q -f- 1 его вершин (ср. VI. 12.26,
упр. 1). Формулу (8.21) (без множителя (—\)pq) часто принимают
за определение w-умножения. Это прямое определение, не
использующее отображений Эйленберга — Зильбера, а также
естественных диагональных отображений, и было дано в осново-
основополагающих работах Александера и Уитни.
Покажите, что w умножение (8.21) ассоциативно, но не ком-
коммутативно.
2. Сформулируйте для ^-умножения свойство стабильности,
аналогичное G.16).
9. Вычисление w-умножения для проективных пространств.
Отображения Хопфа и инвариант Хопфа
9.1. Мы начинаем с некоторых w-умножений в евклидовом
пространстве. Коэффициенты берутся в фиксированном комму-
коммутативном кольце R и не включаются в обозначения. При k^n
мы считаем R* подпространством пространства R", а именно
мы полагаем
Rk = {x = (xu ..., xn)€=Rn\Xi = 0 при i>k}\
положим также
6"-*=4xeRn|*< = 0 при /<6}«R«-ft.
Очевидно,
(R" - R*) U (Rn - Un~k) = (R" - 0).
9. Вычисление ^-умножения для проективных пространств 273
Оказывается, что
(9.2) ^:Hk(Rn, Rn-Un-k)®RHn-k(Rn, Rn-Rk)-+Нп (Rn, R"-0)
есть изоморфизм.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
О
Н"(Шк х ИГ, R* х Ш.и-Л_0).
в которой принято сокращение Ro = (R/, К; —О). В силу (8.15),
диаграмма коммутативна. Левая стрелка X является, согласно
7.6 (или согласно 7.14 и 2.14), изоморфизмом; значит, и правая
стрелка — изоморфизм. Но правая стрелка совпадаете (9.2) в си-
силу естественности w-умножения, примененной к RAXRrt~*=!Rrt. Q
9.3. w-умножение в проективных пространствах.
Мы одновременно изучаем проективные пространства Рп над R,
С и Н (ср. V. 3.5). Напомним, что Н'(Рп; R)s*R при г = 0, d,
Id, ..., nd и Hl{Pn; R) = 0 при остальных i, где d = \, 2, 4 и
R = Z2, Z, Z в случаях R, С, Н.
9.4. Предложение. Если i, />0, i + /^ п, го ^: Hld(Pn; R)®
® Я/й (Рп; /?) -> H{i+l)d(Pn; R) есть изоморфизм. Иными словами,
если хе. Hd (Pn; R)^i R — образующая, то {1, х, х2, ..., хп} —
базис R-модуля Н"(Рп; R) и хп+1=0. Или, иначе, Н*(Рп; R) s*
— R[x]/(xn+l) — кольцо полиномов от х, профакторизованное по
идеалу (хп+х).
Доказательство. Фиксируем k^n и будем считать Pk
подпространством пространства Рп, полагая
Pft=={EsPj?*+1=0 = S/t+2e= ... =?„},
где ^v — однородные координаты. Как мы знаем (см. V. 4.10 и
V. 6.13), Н1Рп?±Н1Рк при /<d/e. Положим Р„_А = {? е= Р„ |?0 =
= 0 = С,= ... =C»-i}. Тогда
(9.5) Р„~Р„_,~Р,_,
благодаря наличию деформационной ретракции ?н-?* [?0, • • •, Ss-i,
^, ...,^J, 0</<1. Далее, мы отождествим Rd" с {^е
274 Гл. VII. Умножения
?еР„|?*^О}, так что Rdk = Rdn[\Pk, йй(п~к) = Rdn [\Рп-к, и
рассмотрим диаграмму
HdkPn <- Hdk (Р„, Рп - Pn-k) -* Hdk (Rdn, Rdn -Rd{n'k))
(9.6) |p |ф Ip
HdkPk «?_ Hdk (Рь pk _ po) _?+ jjdh fpdk^ ^dk _ 0)
в которой все отображения индуцированы включениями (Ро =
— Pkf}Pn-k). Мы уже знаем, что все отображения, отмеченные
знаком р, являются изоморфизмами. Далее, ср есть изоморфизм,
поскольку Н1Рп з* Н1Рк при г<ЙиР„- Рп-к ~ Л.-, ^Pk — Ро.
Поэтому все отображения в (9.6) — изоморфизмы. Мы также
можем поменять ролями Pk, Pn-k и получить аналогичную
диаграмму (9.6) изоморфизмов для нй(п~к\
Рассмотрим теперь диаграмму
HdhP 65 на^п~к)Р <- Hdk (P P —P hNt>Hd{ll~k)(P Р — Р«.)-»¦
Hdk(Rdn, Rdn-Rd(n-k))®Hd{n-k)(Rdn, Rirt-
Верхняя строка получена тензорным перемножением верхних
строк диаграмм (9.6) и (9.6) и, следовательно, состоит из изо-
изоморфизмов. Нижняя строка состоит из изоморфизмов, как и
в (9.6). Правая вертикальная стрелка—изоморфизм в силу (9.2).
Следовательно, все отображения этой диаграммы являются изо-
изоморфизмами, и в частности левое вертикальное отображение.
Этим доказывается наша теорема в случае i-\-j = n. Общий
L*
случай i + / < п сводится к рассмотренному, поскольку Н*Рп —*¦
-+ H*Pi+t есть кольцевой изоморфизм до размерности d(i + /). Q
9.8. Следствие. Если 0 < k < п, то Pk не является ретрактом
пространства Рп.
Доказательство. Пусть г: Рп->Рк — ретракция оле
eHd(Pn; R), xk^Hd(Pk; ^ — образующие, определенные в 9.4;
тогда r*xk = xn, откуда получается противоречие: 0 = г*(л;*+1) =
9. Вычисление ^-умножения для проективных пространств 275
9.9. Следствие. Отображение Хопфа h: Sdn~1->Pn-u
h(z0, ..., zn-i) = [zQ, ..., zn~i\, л>1, не гомотопно постоян-
постоянному отображению (в координатах 2,eR, С, Н сфера Sdn~l за-
п-\
дается уравнением ? || zv [|2 = 1). В частности, при п а= 2 мы
v-0
получаем существенные отображения 53 -> Р{С « 52,57 -> РХИ ж S4.
Доказательство. Если h~0, то существует отобра-
отображение 0: Bdn-+Pn-X с e\Sdn-l = h (где Bdn = Uz0, . . .
..., zn-x) Xllzvil2^UV Но тогда мы можем определить рет-
V } )
ракцию г: Рп-*Рп-х, полагая
[Со. .... C-i], если EllSvlP^HCJI2,
У =
л-1
v-0
если
v=0
Существование такой ретракции противоречит следствию 9.8. Q
Инвариант Хопфа. Анализируя взаимоотношения между Рп
и отображением Хопфа h: Sdn~l-^-Pn-u мы приходим к следую-
следующему определению:
9.10. Определение. Пусть /: X -*¦ Y — непрерывное отобра-
отображение. Назовем конусом С/ этого отображения пространство,
полученное из топологической суммы
{X X [0, 1]) 0F отождествлением всех точек
множества X X 0 и отождествлением для
каждого х^Х точки (х, 1) е X X [0, 1]
с / (#) е F. Конус С/ можно определить и
иначе — как пространство, полученное из
CX&Y отождествлением каждой точки х
основания X конуса СХ с / (х) е Y (см.
рис. 10); в соответствии с этим можно напи-
написать Cf = Y(JfCX, Поскольку в Y никаких отождествлений не
сделано, мы можем рассматривать Y как подпространство про-
пространства С/.
9.11. Лемма. Отображение f: X-+Y тогда и только тогда
гомотопно постоянному отображению, когда Y является рет-
рактом конуса Cf.
Доказательство. Обозначим через ({х, t))^Cf класс
точки (я, /) е X X [0, 1]. Формула г ((х, t)) = 6 (х, t) устанавли-
устанавливает взаимно однозначное соответствие между ретракциями
г. Cf-*Y и гомотетиями 6: / са 0. Q
276 Гл. VII. Умножения
Таким образом, каждое (ко)гомологическое условие суще-
существования ретракции г: Cf—>Y является также условием суще-
существования гомотопии G: f~0. Например, если f есть отобра-
отображение S2^'-^S", п> 1, ToCf = Sn\jfB2n. Это СГ-пространство,
имеющее по одной клетке в размерностях 0, п, In и не имеющее
никаких других клеток. Следовательно, Нп (Cf; Z) s* Z se
s Hln (Cf; Z). Если y^Hn(Cf; Z), y'^H2n(Cf; Z) - образующие,
то y^y — \{f)y', где y(/) —целое число. Это число, как легко
видеть, является инвариантом гомотопического класса отобра-
отображения f (действительно, f ~ f =ф Cf ~ Cf); оно называется
инвариантом Хопфа отображения f. Если / ~ 0 и г — соответ-
соответствующая ретракция (n = idsn), то O = r*(i*y\ui*y) = y\uy~
= y(f)y\ следовательно, y{f) = O. Инвариант Хопфа позволяет
построить существенные отображения Sik~l ->52fe для всех к > О
(это построение и дальнейшие свойства инварианта у можно
найти у Стинрода и Эпштейна [1, 1,5]).
9.12. Упражнения. Г. Наметим другой путь для вычисления
w-произведений в Р„С (с коэффициентами в Z). Очевидно,
Н*{Р{С) имеет базис, состоящий из 1еЯ" и s e Я2. Поэтому
X "(ЛС) ==PiC X ЛС X • • • обладает когомологическим базисом
где S; = 1X1X.-.XsX...X1, a s стоит на г'-м месте
(ср. 8.18). Пусть Xj еЯ2'ВДй2-образующая, 0</<и.
Рассмотрите отображение ц: X^-PiC-^PnC из упр. 2.16, 3 (ii)
п
и докажите, что ± ц*^) = Л sh ± у.*(хп) = п[ (sx ^ s2 w ... w sj.
(Указание: сначала докажите аналогичное гомологическое утвер-
утверждение и затем перейдите к когомологиям с помощью скаляр-
скалярных произведений.) Из этого следует, что ± ц* (х^ \j xx w ...
w Xi) = (Yj st)n = n!s|us2u ... us, = |i* (xn), и потому
{1) = ±xn, и это равенство описывает мультипликативную
структуру в Н*(РпС).
2. Для любого отображения f: РпС-+РпС (п > 0) индуци-
индуцированный эндоморфизм /„ группы Нп(РпС; Z)^Z есть умноже-
умножение на степень deg (/)eZ отображения/. Покажите, что deg(f)=Afl
для некоторого Я е Z. В частности, если п четно, то deg(/)^0.
(Указание: рассмотрите мультипликативный эндоморфизм f*
кольца H*(PnC;Z).)
3. Покажите с помощью w-умножения, что число Лефшеца
/ произвольного отображения /: Єї>Р„С имеет вид
1-т-А. + Я2+ ... +А" с AeZ (ср. 1.14, упр. 3). Следовательно,
если п четно, то Л(/„)т^=0 и f обязательно имеет неподвижную
Ю.Алгебры Хопфа 277
точку. Если п нечетно и, скажем, равно 2k — 1, то следующее
отображение не имеет неподвижной точки A = — 1):
1?о> ?l> •••> ^2/г] h~> I—?l> ?о> —Ь3> Ь2> •••> —?гЬ ?2ft-lJ-
4. Покажите, что пространство Pn+iF с F —R, С или Н го-
меоморфно конусу отображения Хопфа
S*«+»-*-+PnF, (го> #.м гп)^[г0) г„ ..., г„].
Выведите отсюда, что инвариант Хопфа отображений Хопфа
S3->PlC^S2, S7->P,H«S4 равен ±1.
5. Покажите, используя правило перестановки сомножи-
сомножителей в w-произведении, что у всякого отображения Sik+l-+
->S2k+l инвариант Хопфа равен нулю.
Замечание. Если п, у четны, то существует отображение
S2n~l—>-Sn с инвариантом Хопфа, равным у; см. Стинрод и
Эпштейн [1, 1,5.2]. Отображения S2n~l->Sn с нечетным инва-
инвариантом Хопфа существуют лишь при п = 2, 4, 8 (см. Адаме [2];
более простое доказательство имеется у Адамса и Атьи [1]).
10. Алгебры Хопфа
В определении 3.1 мы заметили без доказательства, что
сферы четной размерности не допускают умножения ц: S2n X
X«S2n—>S2n с двусторонней единицей. Такое отображение имело
бы бистепень A,1) (из-за наличия единицы), а это противоречило
бы следующей теореме:
10.1. Предложение. Если отображение ц: S2'1 XS2tl —>S2n
имеет бистепень (а, р), то ар = 0.
Доказательство. Пусть s <= H2n {S2n; Z) — образующая.
Тогда, по определению бистепени, n*(s) = a(sX 1) + Р0 X s)>
и потому
s). Q
Заметим, что четномерность класса s была использована
для получения равенства A X s) w (s X 1) = s X s.
Доказательство предложения 10.1 является чисто алгебраи-
алгебраическим: кольцо H*S2n не допускает такого мультипликативного
гомоморфизма
H*S2n -+ H*S2n ® H*S2" » Н* E2« X S2n),
278 Гл. VI/. Умножения
что s*—*-s® I -f I ®s. Поэт.ому возникает вопрос, какие алге-
алгебраические условия налагает на Н*Х существование умножения
ц: ХУ^Х->Х с единицей. Предположим, что X линейно связно
и что Н*{ХХХ)^Н*Х&Н*Х (ср. 8.18). Тогда \х*: Н*Х ->
-> Я*J ® Я*Х — такой мультипликативный гомоморфизм, что
если | jc | > 0, то ц* (х) = jc ® 1 + 1 ® х + г, где
геф Н1Х®Н}Х.
i.i >0
Какие градуированные алгебры Л допускают такие отображения
А-*- А® Л? Для связной коммутативной градуированной алгебры
над полем ^(даже в случае char{R)> 0) этот вопрос был пол-
полностью решен Хопфом, Лере и Борелем (см. Милнор и Мур [1]
и упр. 10.17.5). Мы обсудим здесь эту проблему, но приведем
окончательный результат лишь для случая нулевой характе-
характеристики (см. 10.16).
10.2. Определение. Градуированная /^-алгебра A (R — ком-
коммутативное кольцо с единицей 1) называется связной, если
А{ = 0 при г'<0 и Ло = ^. Например, когомологическая алгебра
Н* (X; R) линейно связного пространства X связна.
Пусть А — связная градуированная /^-алгебра с умножением
ц: А®А->А, ц(а& а') = аа'. Определим градуированные Л-под-
модули DnA алгебры Л (п = 0, 1, ...) следующим образом:
?>°Л = Л; (DlAI = AJ при />0, (dU)/ = 0 при /<0; Dn+lA =
= \m{DnA®D]A~+A), если я>1. Очевидно, DnA zd Dn+lA и
{DnA)k = 0, если k < п. Элементы подмодуля D2A часто назы-
называются разложимыми. Элементы подмодулей DnA можно наз-
назвать (п—1) раз разложимыми; они являются линейными ком-
комбинациями произведений а{а2 ... ап с | at \ > 0.
Мы рассмотрим также Л-модули в"Л — DnA/Dn+1A. В боль-
большинстве случаев мы будем предполагать, что Dn+XA есть прямое
слагаемое модуля DnA для всех п; тогда мы будем говорить,
что Л расщепляется. (Если R—поле, то всякая связная ^-алгебра
расщепляется.) Если алгебра Л расщепляется, то
A0.3) DnA^QnA®Dn+1A^ © бМ.
Следующая теорема позволяет рассматривать Dn и 6" как
функторы на категории связных алгебр.
10.4. Предложение. Если h: A~+А'— гомоморфизм одной
связной алгебры в другую, то h(DnA) с: DnA', так что возни-
кают гомоморфизмы Dnh: DnA-+DnA' и ®nh: &пА-*впА'. Q
10. Алгебры Хопфа 279
Модуль &A = D]A/D9-A будет играть в последующем особую
роль. Прежде всего мы покажем, что его можно считать «по-
«порождающим алгебру Л».
10.5. Лемма. Если М есть R-подмодуль модуля DlA, эпи-
морфно проектирующийся на &A*=DlA/D2A, то М порождает
алгебру А.
Доказательство. Зафиксируем целое число k и пока-
покажем индукцией по k — п, что (ОпА)к содержится в'подалгебре {М},
порожденной М. Начальный шаг индукции тривиален, поскольку
(DnA)k = 0 при п > k. Рассмотрим произвольный элемент
а^ ¦ .. ап модуля (DnA)k, где at e D'A. По предположению
ai = ml-\-bi с т;<=М, bi^D2A; следовательно, а1а2...ап =
— mxm2 ... mn + b, где & е Dn+1A. Но mlm2 ... mn лежит в под-
подалгебре, которую порождает М, и по предположению индукции
то же верно для Ь. Таким образом, [DnA)k а {М} при любых п
и k, и нам остается заметить, что (D°A)k = Ak. []
10.6. Следствие. Если h: A'->А —такой гомоморфизм связ-
связной алгебры в связную алгебру, что в'/п в'Л'-»0'Л есть эпи-
эпиморфизм, то и h есть эпиморфизм.
Для доказательства достаточно применить лемму 10.5
к M = hDxA'. D
10.7. Предложение. Если А, В — связные расщепляющиеся
алгебры, то А®В — A®RB — также связная расщепляющаяся
алгебра. При этом
A0.8) Dn{A®B)= E О1А®Оп~'В1),
0 < I < п
A0.9) вга(Л®В)= 0 &'А®&п~1В.
0 < i < п
Доказательство. Связность очевидна. Если | а ® Ъ \ > 0,
либо | а | > 0, ?либо |&|>0 и, следовательно, D'(A®B) —
= DlA®B + A®DlB. Если п>1, то
Dn+l (A® B) = im[Z)n(А® В)® Dx {А® В)-* А® В\ =
= im[YГ DlA®Dn~lB\®{DxА® В + A®DXB)-+ А®в] =
= ZDi+iA®D"-lB+Z DlA®Dn-i+1B,
1 i
что и доказывает A0.8).
то
') Это равенство (как это видно и из приводимого ниже доказательства)
справедливо и для нерасщепляющихся алгебр. — Прим. ред.
280 Гл. VII. Умножения
Если А, В— расщепляющиеся алгебры, то в силу A0.8) и
(Ю.З),
ф
p>n-i
= Ф (&VA®QPB) =
v+p >п
= ф (evA®QpB)@Dn+](A®B),
V + p —Я
что доказывает оставшуюся часть предложения. []
10.10. Определение. Пусть Л —связная алгебра. Назовем
диагональным отображением такой мультипликативный гомо-
гомоморфизм iji: А->А®А, что
г с г <= ?)'Л ®/)'Л для любого а е?)М.
Задача состоит в следующем (см. замечание после предложе-
предложения 10.1): какие алгебры допускают диагональные отображения?
Например, если топологическое пространство X допускает умно-
умножение с единицей (структуру /г-пространства), то Н*Х допу-
допускает диагональное отображение (если Я* (X X X) = Н*Х ® Н*Х).
Связная алгебра А, снабженная диагональным отображе-
отображением а|), называется предхопфовой алгеброй; она называется
алгеброй Хопфа, если диагональное отображение ассоциативно,
т. е. если композиции
А-^А®АЫ®^®1 А®А®А
совпадают. Сказанное выше означает, что когомологическая
алгебра линейно связного ft-пространства (соответственно Я-про-
странства) X является предхопфовой алгеброй (соответственно
алгеброй Хопфа), если Н*(Х X X) ?ё Н*Х® Н*Х. Алгебра Понт-
рягина ЯД Я-пространства также является алгеброй Хопфа:
геометрическое диагональное отображение Х->ХУ^Х индуци-
индуцирует алгебраическое диагональное отображение Н,Х -> ЯД ® Н^Х
(опять-таки если Н^Х ® Н^Х = Я, {X X X)). Эти две алгебры
Хопфа связаны двойственностью (см. упр. 3).
10.11. Лемма. Пусть h: A''->А — гомоморфизм одной связной
расщепляющейся алгебры в другую. Предположим, что алгебра А'
коммутативна и что задано диагональное отображение а|з: А—>
~+А®А (отметим симметричность наших требований: они озна-
означают, что А'®А'—*¦ А' и А—*¦ А®А — мультипликативные
гомоморфизмы). Если &h: в'Л'->в*Л, в*7г: вМ'->6*Л для не-
W.Алгебры Хопфа 281
которых i, k являются изоморфизмами, то композиция
A0.12) (ГА' ™ 6"Л вЛ&"(А®А)^ &А ® ОМ (<И» «
-> е!л' ® eft А' Д- ега (Л' ® л') ^2- ем',
где n = i-{-k, умножает каждый элемент модуля QnA' на бино-
биномиальный коэффициент С'п, т. е. совпадает с С^ id.
Полагая h = id, получаем
10Л3. Следствие. Если А — связная коммутативная расще-
расщепляющаяся алгебра н -ф: Л->А® А — диагональное отображе-
отображение, то композиция
() е'л ® в"-1 a ^Xq"(A®A)
равна С^ id.
Доказательство леммы 10.11. Достаточно рассмотреть
элементы а[а'2 ... a'n^QnA', где а'ч ев'Л' сгД'Л'. Положим
av = ha'v; тогда i|3av = av® I + 1 ® av + rv, где г?е1J(Л®Л),
и, следовательно,
а'2 ... <) = 1|,(аха2 ... ап) = ll(av® 1 + 1 ® av) + г,
где г еОл+1(Л® Л). Компонентой произведения II(av® 1-fl® av)
V
в ®lA®@kA служит a=2]±av ••• av ®ap ¦ • • aP ! сумма
распространяется на такие наборы i индексов {v}, что l^vj<
< v2 < ... < V; ^п, а (р! pfe} обозначает дополнение
к (v[, ..., v,} в A, ...,«}; наличие знаков «±» объясняется ком-
коммутативным законом A ®ap)(av® 1) = (—1) р v av®ap.
Рассмотрим соответствующее выражение
в ®1А' ® в*Л'. Очевидно, (S'h ® @kh) a! = a = proj о -ф ° h {а\ ... а'п).
Если же мы применим к а' отображение ц', то каждое сла-
слагаемое перейдет в а\ ... а'п (знак исчезнет при обратной пере-
перестановке), а число слагаемых равно С'п. Q
10.14. Предложение. Пусть h: А''—>А — такой гомоморфизм
одной связной расщепляющейся алгебры в другую, что ©'/г: в'Л'->
->в'Л есть изоморфизм. Если алгебра А' не имеет кручения
282 Гл. VII. Умножения
(как абелева группа), коммутативна и допускает диагональное
отображение, то h есть изоморфизм.
Доказательство. Согласно следствию 10.6, h эпимор-
фно. Отсюда следует, что 6"Л: вяЛ'->вМ есть эпиморфизм при
всех п (поскольку @пА порождается элементами вида а, ... ап
с аг ев1 Л). Покажем, что отображение вя/г является и моно-
мономорфизмом. По индукции мы можем предположить, что
Qn~lh: &l~1A'~j> &l~lA есть изоморфизм. Тогда, согласно лемме
10.11, применяемой к i = n — 1, Дг == 1, композиция A0.12) мо-
номорфна @яЛ' не имеет кручения!). В частности, мономорфно
первое отображение композиции Qnh. Теперь мы зафиксируем /
и покажем индукцией по / — п, что (Dnh)j-. (DnA')j -> (DnA)j —
изоморфизм; при п — 0 это и есть наша теорема. Начальный
шаг индукции тривиален, поскольку (DnA')j = 0 = {DnA)j при
п > /. Дальнейшее получается из точной последовательности
0 -> Dn+1A' -* DnA' -*QnA' -> 0 и леммы о пяти гомоморфизмах. []
10.15. Пример (см. Шевалле [1, гл. V]). Для каждого гра-
градуированного множества M = (Mi, М2, ...) имеется свободная
коммутативная градуированная R-алгебра FM, порожденная
множеством М. Она содержит М и характеризуется следующим
свойством универсальности: если А — произвольная градуиро-
градуированная коммутативная ^-алгебра и f: M-+А — отображение,
согласованное с градуировкой, то существует единственный
мультипликативный согласованный с градуировкой гомомор-
гомоморфизм h: FM-+A, такой, что h\M = f. В частности, FM всегда
допускает диагональное отображение "ф: FM -> FM ® FM, причем
¦ф (m) = m ® 1 + 1 ® m для любого m s M.
Если Mi — М3= ... =0, то FM — алгебра полиномов, по-
порожденная М; если М2 — М4 = ... ==0 (и '/2 е Ю, т° FM —
внешняя алгебра, порожденная М.
В общем случае конструкция такова (далее FM используется
только в случае, когда R — поле характеристики нуль). Обоз-
Обозначим через ФМ градуированный ^-модуль, /г-я компонента
которого свободно порождается множеством таких конечных
последовательностей [хь х2, ..., хг) элементов из М, что
Yj\X}\ = n\ в частности, (ФМH есть свободный /^-модуль с од-
одной образующей, которой служит пустая последователь-ность 1.
Если (хь ..., хг), (г/[, ..., уг) — две последовательности, отли-
отличающиеся лишь перестановкой а, то их подпоследовательности,
составленные из элементов, лежащих в нечетных компонентах
множества М, также отличаются лишь некоторой перестанов-
перестановкой, скажем а, и мы полагаем (хи ..., хг) = sign (о) (у{ уг);
в частности, 2(х, д;г) = 0, если какой-либо нечетномерный
элемент xs встречается в последовательности дважды. Мо-
10. Алгебры Хопфа 283
дуль FM получается из ФМ введением этих соотношений; если
двойка обратима в R, то FM также является свободным R-uo-
дулем (некоторые элементы базиса модуля ФМ приравниваются
нулю, а некоторые другие отождествляются с точностью до
знака).
Определим, далее, произведение двух последовательностей,
приписывая одну к другой: (х{ хг) • (уи ..., ys) = (xu ...,хп
уи ..., ys). Это превращает ФМ в связную градуированную
/^-алгебру с единицей 1 (свободная градуированная /^-алгебра,
порожденная М). Легко проверить, что умножение переносится
на фактормодуль FM и превращает его в коммутативную связ-
связную градуированную /^-алгебру. Эта алгебра содержит М как мно-
множество одночленных последовательностей, и класс [*,, ...,*,.]<=
^FM последовательности (хи ..., xr)gФМ совпадает с произ-
произведением Х\Х2 ... хг. В частности, /^-модуль QlFM = DlFMjD2FM
свободно порождается множеством М. Если f есть согласован-
согласованное с градуир'овкой отображение множества М в градуирован-
градуированную коммутативную /^-алгебру А, то формула h[xu ..., хг] =
= f (x\) f (х2) ¦ • • f (xr) определяет продолжение отображения f до
гомоморфизма FM-+A и ясно, что такое продолжение един-
единственно; таким образом, FM обладает требуемым свойством
универсальности.
10.16. Предложение (Хопф — Лере). Пусть А —связная гра-
градуированная коммутативная алгебра над полем R характери-
характеристики нуль. Если А допускает диагональное отображение, то
А есть свободная алгебра; более того, если М есть R-базис мо-
модуля в1 А, то A^FM.
Иными словами, над полем характеристики нуль единствен-
единственными коммутативными связными алгебрами, допускающими
диагональное отображение, являются свободные алгебры. В част-
частности, этим определяется мультипликативная структура кого-
мологий Н* (X; Q) связнрго /г-пространства X, такого, что все
Н1(Х; Q) конечно порождены (так что Н" {X X Х) = Н*Х®Н*Х).
Это показывает, что четномерные сферы, а также многие дру-
другие пространства, как, например, РкС, не являются /г-прост-
ранствами. Вообще в конечномерном случае, т. е. когда
Н1 (X; Q) = 0 для большого i, алгебра Я* (X; Q) не может иметь
образующих четной размерности (никакие степени таких обра-
образующих не будут нулями), так что в этом случае Н* (X; Q)
есть внешняя алгебра от нечетномерных образующих. Это и есть
классический результат Хопфа.
Доказательство предложения 10.16. Поднимем
Mcz@lA = D'A/D2A в D'AczA. Если h: FM-+ А — гомоморфизм,
284 Гл. VI/. Умножения
продолжающий включение М-> А, то, очевидно, &h: &FM ^ 0'Л.
Следовательно, h есть изоморфизм (см. 10.14). []
10.17. Упражнения. 1. Умножение ц: Л® А-> А в градуи-
градуированной алгебре А индуцирует гомоморфизмы ц1к; 0'Л®0АЛ->
—>&+кА, которые превращают (@M)/)n /eZ в биградуирован-
ную алгебру, ассоциированную с А. Если пренебречь /г-градуи-
ровкой, то эта биградуировэнная алгебра превращается в гра-
градуированную алгебру 0Л, определяемую равенством @Л)Г =
= ©@'гЛ)г. Покажите, что 0/4 — расщепляющаяся алгебра и
п
0@/4)~0Л. Далее, если алгебра А коммутативна и алгебра 0/4
свободна как коммутативная алгебра, то А ^ 0/4.
2. Если А — расщепляющаяся алгебра и ф: Л->/4®/4 —
диагональное отображение, то
©•ф: 0Л-*0(Л®Л) = 0Л®0Л
также диагональное отображение, причем в действительности
0i|) не зависит от i|).
3. Если Л — градуированный /^-модуль, каждая компо-
компонента Л; которого свободна и конечно порождена, то тем же
свойством обладает градуированный /^-модуль Л* = Нотл(Л, К).
Кроме того, (Л ® R А)* г=; Л* <g) R А* и А** ^ Л; все это хорошо из-
известно из линейной алгебры. Предположим теперь, что Л —
алгебра Хопфа с умножением \х: А®А-^А и диагональным
отображением ф: А-+А<%. А. Тогда ц*: А* -> Л* ® Л* и ф*: Л* ® Л*->
—> Л* — диагональное отображение и умножение, определяющие
структуру алгебры Хопфа на Л*, и А**, А изоморфны как
алгебры Хопфа. Говорят, что Л, А* — двойственные алгебры
Хопфа. Покажите, что алгебра Понтрягина и когомологическая
алгебра связного Я-пространства являются двойственными
алгебрами Хопфа (если они свободны и конечно порождены
в каждой размерности).
4. Если п — натуральное число, то
\ 1, если п не является степенью
, , .1
н. о. д. {Сп 0 </<«} =
I р, р,
число и г > 0.
\
1 простого числа,
I р, если п = р, где р — простое
0
С помощью этой формулы и леммы 10.11 покажите, что заклю-
заключение предложения 10.14 останется справедливым, если требова-
требование отсутствия кручения у А' ослабить до требования отсут-
отсутствия р-кручения у 0рГЛ'.
5. Над полем R характеристики р > 0 существуют связные
коммутативные алгебры Л, которые допускают диагональное
//. Косое когомологическое умножение 285
отображение, но не являются свободными. Например, если
А?? R [x]/(xN) для некоторого N, 0<./V<oo (х°° = 0), то един-
единственным кандидатом в диагональные отображения служит ото-
отображение г|): А->А®А, определяемое формулой i|)(jc) = jc®1 +
-|- 1 ®х. Покажите, что это отображение является диагональ-
диагональным в том (и только том) случае, если выполнено одно из
следующих условий: (i) \х\ нечетно, JV^2; (ii) р = 2, N = 2r,
O^r^oo; (iii) | х | четно, N = pr, О^г^оо.
Теорема А. Бореля (см. Милнор и Мур [1, 7.11]) утверждает,
что над совершенным ') полем R характеристики р > 0 един-
единственными связными коммутативными алгебрами А, допускаю-
допускающими диагональное отображение (и удовлетворяющими условию
dim^ (Лу) < оо), являются кратные тензорные произведения опи-
описанных выше алгебр с одной образующей.
6. Пусть R — поле характеристики р > 0, которое несовер-
несовершенно; выберем элемент pei?, который не имеет вида X" с X^R.
Положим А = R [х, у]/(хр + РУР)- Покажите, что А допускает
диагональное отображение, но не является тензорным произве-
произведением алгебр с одной образующей.
11. Косое когомологическое умножение
Это умножение в известном смысле содержит больше инфор-
информации, чем внешнее когомологическое умножение (см. § 7), но
обычно является менее удобным. Его алгебраическим прото-
прототипом (в простейшем случае, когда все коэффициенты берутся
в кольце R) является естественное отображение id®: D* =
= Hom(Z), R)-+Hom(C®D, С), или, вернее сказать, сопря-
сопряженное с ним отображение D*®{C®D)-+C, в то время как
внешнее когомологическое умножение строится с помощью ото-
бражения С* ® D* — * (С ® D)*, сопряженного с композицией
D* ^ Нот (С ® D, С) — * Нот (С*, (С ® D)*).
11.1. Определение. Пусть С, D — произвольные /^-комплексы
и L, М — модули над R. Рассмотрим составное цепное отобра-
отображение
Е: Hom(Z), M)®(C®D®L)^
id ® e
, M)®D) * C®L®M,
') Поле R характеристики р > 0 называется совершенным, если для
любого ое^ существует реR с рр = а. — Прим, ред.
286 Гл. VII. Умножения
где со — перестановка множителей, а е — отображение A.2).
Более явная формула:
A1.2) ЕСФ ® с ® d ® I) = (-1I *''с' с ® I® i|j (d).
Переход к гомологиям и композиция с а (см. VI. 9.11) дают
отображение
A1.3) Я*(Я, M)®H(C®D®L)^+ H(C®L®M),
или, подробнее,
A1.3') Я'(Я, М)® Нп{С ® D ® L)-> Hn-t{C ® L ® М).
Это отображение (или соответствующее билинейное отобра-
отображение) называется косым когомологическим умножением {для
комплексов). Обозначение:
A1.4) y\Z = Eta(y®Z)^H,l-i(C®L®M),
где 1/еЯ'@, М), ?,<=HI1(C®D®L). Косое когомологическое
умножение для пространств (X, A), {Y, В) получится, если по-
положить
A;R) = -j$$, D = S(Y,B;R)
и заменить комплекс S(X, A; R)®S(Y, В; R) гомотопически
эквивалентным комплексом
EZ
S(XXY,(AXY)\j(XXB); R)~
;*} =
EZ
e*S(X, A; R)®S(Y, B; R).
Мы должны, конечно, предположить, что (XXY\ A~X.Y, X)
вырезаемая триада. В этом случае косое когомологическое
умножение представляет собой гомоморфизм
A1.5) Я' (Y, В; М) ® Нп (X XY, (А X Y) U (X X В); L) ->
-¦ Hn-t(X, A; L®M).
Как и в случае комплексов, мы обозначаем произведение эле-
элемента у е= Н' (Y, В) на элемент ? <= Нп(Х X Y, (А X Y) U (X X В))
через г/ \ S- На уровне представляющих относительных (ко)цик-
лов t е5'(У; Л1), ге5AХ У; Z-)
//. Косое когомологическое умножение 287
где av^S(X; L), bv^S(Y; R) определяются формулой EZ(z) =
= Xav®^v При применении формулы A1.6) надо выбирать z
v
таким образом, чтобы dz^S{A X У, X X В; L), а не только
(AYU(XB)L)
(()(X))
Если в A1.3) C = (R, 0) или в A1.5) X есть точка и Л = 0,
то \ -умножение сводится к скалярному умножению из § I.
Перечислим главные формальные свойства \ -умножения
(коэффициенты опущены).
11.7. Естественность. Если (XXY; ЛХУ, ХХВ), {Х'ХУ'\
А' X У > X' X В') — вырезаемые триады, то для любых отобра-
отображений f: (X, А)-*{Х', A'), g: (Y, В)-*(У, В') и для любых
y'<=H*(Y', Bf), UH(XXY (AXY)U(XXB))
11.8. Ассоциативность. Для любых х е Я* (X, А),
у^Н*(У, В), у^Н((W, U) X (X, А) X (У, В))
В частном случае, когда W есть точка и U = 0, это свойство
переходит в
11.9. Двойственность. Для любых х^Н*(Х, А), у е
<=H*(Y,B), i^H(XXY,(AXY)\J(XXB))
(хХуЛ) = (х, у\§.
11.10. Наличие "единицы: 1Г\^ = РЛ, где 1кеЯ°G; R),
Ъ^Н{ХХУ, АХУ) и р: (XXY, АХУ)-*(Х, А)-проекция.
11.11. Стабильность. Следующие диаграммы коммутативны:
И' (Y, В) ® Н (X X Y, (А X К) U (X X В)) > Н (X, А)
A1.12) |(-i)dimid®a» [a,
id®/,
H"{Y, B)®H((AXY)U(XXB), ХХВ) s* H*(Y, B)®H(AXY, АХВ)-+ НА
б»® Id
H*B®H(XXY,(AXY)U(XXB)) >¦ H*{Y,
A1.13) |-(-i)dimid®a» |\
id®/» \
HfB®H((AXY)U(XXB), AXY) a H'B®H(X XS, AXB) —> H{X, A)
288 Гл. VI! Умножения
где j всюду обозначает включение. Иначе говоря,
A1.14) <?,(у\Е) = (-1)ы0\/:Ч?.
если у^Н*(Y, В), ?е= Я(X X У, (Л X Г) U (X X
если 6еЯ'В, ?
Заметим, что /, = id, если В=0 в (П.14) «ли /1 = 0 в A1.15).
11.16. Мультипликативность. Для любых y^H*(Y, В),
соеЯAГ, U), ?^H(XXY, (AXY)[)(XXB))
((W, U), (X, A), (Y, В) — такие пары, что обе части формулы
имеют смысл). В частном случае, когда X — точка и А — 0,
это утверждение означает, что
A1.17) г/\(соХг!) = (—1)|у11ю|со®<?/, л)
для любых ®e=H(W, U), y^H*(Y, В), r\<=H{Y, В).
Доказательство предложения 11.7. Поскольку
fZ-отображения естественны, можно вместо пространств рас-
рассмотреть комплексы. Пусть /: С-+С, g: D->D'— цепные ото-
отображения. В обозначениях формулы A1.2) {I — пропущено)
т. е.
foEo{g*®i6.) = Eo[id®{f®g)]: Hom(D', M)®(C®D)-*C'®Mt
где g* =Hom(g, idc®o). Переходя к гомологиям и компонируя
обе части равенства с a: H*(D\ M)® H(C ®D)-+H [Нот (D't AQ®
®С®?>], мы получаем
(в силу естественности а); применение обеих частей равенства
к у'&Ъ дает A1.7).
Доказательство предложения 11.8. Можно, как и
в предыдущем доказательстве, рассмотреть вместо пространств
комплексы В, С, D, поскольку .EZ-отображения (гомотопически)
И. Косое когомологическое умножение 289
ассоциативны. Рассмотрим диаграмму
Hom(C, AJ)®Hom(D, Л0®(В<8>С<8>й)^Нот(С, М)® В® С® N
Y ® Id \e
у у
Нот (С® D, M®N)®(B®(C®D))-^B®M®N
где y обозначает то же, что в G.2). Образующая qp®i|5®&<g>
<g>c®d левого верхнего комплекса обоими путями отображается
в (_1I*11»1+1*11в1+1фИ»1й®ф(с)®М)(?/). Поэтому диаграмма
коммутативна. Нам остается перейти к гомологиям и применить
обе части полученного равенства к a(jt®r/<g?).
Доказательство предложения 11.10. Пусть / =
= id: (X, А) -> (X, А) и g есть отображение Y -> Р, где Р — точка.
Тогда
h \ I = ШAр) \ S) = 1р \ (/ X g).Z = 1р \ (РЛX U = p,S;
здесь второе равенство следует из 11.7, третье — из 2.10 и по-
последнее—из определения \-умножения (см. A1.6)).
Доказательство предложения 11.11. Докажем сна-
сначала A1.14). Выберем, как в A1.6), представляющие (ко)циклы
г|5 и г классов у и ?. Тогда г|5|5В = 0, бф = О и fe = a + P.
где a^S(AXY), peS(JX^). Следовательно,
дЕ (г|) ® EZ (г)) = (-1I ф' Е (f ® EZ (дг)) = (-1I ф' ? (г|) ® ?Z (a)).
Но крайние члены представляют обе части равенства A1.14)
или два пути, по которым y®z движется из левого верхнего
угла диаграммы A1.12) в правый нижний угол.
Для доказательства равенства A1.15) мы выберем предста-
представитель класса b и продолжим его до коцепи г|) пространства Y;
тогда i|;| SB представляет Ъ и б\|) представляет Ъ*Ъ. Следовательно,
дЕ (ч> ® EZ {z)) = E Fi|) ® EZ (z)) + (-1)'ф' Е (f ® EZ (дг))
или
= дЕ (г|) ® ?Z (г)) - (-1I *' Е (г|) ® EZ (а)).
Левая часть представляет сумму, стоящую в формуле A1.15),
а правая представляет 0еЯA, А), поскольку E{EZ())SA
290 Гл. VII. Умножения
Доказательство предложения 11.16. Как и раньше,
достаточно рассмотреть комплексы B(~SW/SU), C(—SX/SA),
D(=SY/SB). Пусть г|), и, z = ? av & bv — представители клас-
классов у, со, ?. Тогда со X ?> г/ \ (« X 0, а X (# \ S) представляются
элементами
^). D
11.18. Упражнения. 1. Покажите, что \: H*(Rn, Rn — 0)®
®Я(Кт+п, Rm+n-0)-*#(Rm, Rm-0)-изоморфизм; мы ото-
отождествляем (Rm+rt, Rm+n-0) с (Rm, Rm-O)X(R'1, R"-0).
2. Определим отображение a: H(XXY)->Hom(H*X, HX)
формулой (oQy = y\?> (или лучше (—1)|г/"?| г/\ ?). Покажите,
что при надлежащих условиях конечности на НХ и HY (ср. 7.6;
удобно считать, что R — кольцо главных идеалов) существует
расщепляющаяся точная последовательность
0 -> Ext {НУ, НХ)~ ->ЯAХЮЛ Нот {НУ, НХ) -> 0.
Подобно упр. 7.15.2, эта последовательность дает два предста-
представления H(X~XY) через НХ и НУ и подсказывает алгебраиче-
алгебраические соотношения между <8>, *, Нот, Ext.
3. Что представляет собой аналог диаграммы G.16) для
\-умножения?
4*. Пусть К cz V cz Rn, и пусть V открыто, а К компактно;
пусть, далее, i: К -> V — включение и Д: (V, V — К) ->
-*¦№> V — К) У. V — диагональное отображение. Покажите, что
где oKE±Hn{V, V — К), о0еНп(R", R" — 0) — фундаментальные
классы (см. 2.14), y^H*V, ?,^HK и ° обозначает индекс пе-
пересечения (см. § 4). Указание: примените F.13), как в доказа-
доказательстве предложения 6.24.
12. ^-умножение
Это умножение, г>, связано с \-умножением так же, как
^ связано с X (и связано с w, как \ связано с X)- Грубо
говоря, § 12 можно получить из § 11, положив в последнем
У = Х и заменив в нем отображение EZ отображением
(в частности, пространство ХуУ пространством X) и значок
значком г\. Мы произведем эту замену в определениях и фор-
12. r^ -умножение 291
мулировках, но опустим большую часть доказательств. Главное
свойство ^-умножения состоит в том, что оно превращает НХ
в градуированный #*Х-модуль; эта дополнительная структура
в НХ оказывается чрезвычайно важной в теории многообразий
(гл. VIII).
Как и прежде, основное кольцо предполагается коммута-
коммутативным.
12.1. Определение. Пусть (X; Аи А2) — вырезаемая триада
и Mlt М2 — произвольные /^-модули. Рассмотрим составное цеп-
цепное отображение
A2.2)
су
(
гдеО — естественное диагональное отображение (см. VI. 12.21)
и Е — очевидная модификация отображения A.2) (ср. 11.1). Пе-,
SX
реходя к гомологиям, напомним, что Я ~s ,д д , ^ Я (X, Л, (J А2),
и компонируя получающееся отображение с а, мы приходим
к отображению
A2.3) E.(id®?),a: Hk(X, A2; M2)®Hn(X, А{\]А2; М,)->
Оно (или соответствующее билинейное отображение) называется
г\-умножением. Обозначение:
A2.4) xr^l = Et(id®D)ta(x®l),
где х^Н*(Х, А2; М2), |еЯA, А{ U А2) Мх), или, на уровне
представителей,
A2.5) [ф]^[с] = (-1Iч>|(|сНф
где феИ, ф|5Л2 = 0, бф = О, с е SX, dcf=S{Au A2} и Dc =
v
Следующие предложения 12.6 — 12.14 соответствуют предло-
предложениям 11.7 — 11.15:
12.6. Естественность. Если триады (X; Ait Л2), (Xf; A[, А2)
вырезаемы, то для любого отображения }: (X; А\, А2)—>
->(Х'\ А\, А'2) и любых х'^Н*{Хг, А2), 1^Н{Х, А,\] Л2)
292 Гл. VII. Умножения
12.7. Ассоциативность. Для любых х{^Н*(Х, Ai+l),
1<=Н{Х, Л,иА,иЛ3)
(хг ^ х2) ^ | = хх г\ (х2 г\ ?). []
12.8. Двойственность. Для любых xt^.H*{X, At), ?е
еЯ(Я, Л, U 4)
В частности, для любых ^еЯ'(Х, Л), ?еЯу(Х, Л)
Если J линейно связно, то х г\ I кратно [Р]ейоA; R), где
Р е X; в этом случае формула означает, что x^| = (x, |)[Я].
Последнее условие выполнено уже в случае, когда X — Л содер-
содержится в одной линейно связной компоненте X пространства X
и Pel; этот случай сводится к связному случаю с помощью
изоморфизма вырезания Н(Х, А)^Н{Х, Xf\A).
12.9. Наличие единицы: 1 г\ | = |, где | е Я(Х, Л) и 1 е
еЯ°A; R) — класс аугментации. []
12.10. Стабильность. Следующие диаграммы коммутативны:
Я* (X, Л2) ® Я № Л! U Л2) 2 ^ Я (X, Л,)
A2.11)
Я* (Л„ Л, П Л2) ® Я (Л, U Л2, Л2) 2' Я* (Ль Л, П Л2) ® Я (Ль Л, Л Л2)
H*A2 ® H (X, Ai U Л2) " Я* (X, Л2) ® Я (Я, Л, U Ла) -> Я (X, Л,)
A2 12) I Wlm I
Vi^.i^; -(-l)d"n idea." I/,
Y I *
Я*Л2® Я (Л: U А2, Л,) "~'*Я*Л2® //(Л2, Л, П А2)Л Я (Л2, Л, П Л)
где г, / — включения. Иными Словакии,
если х^Н* (X, Л2), I е Я (X, Л, U Л2),
A2.14) F*а) ^ | + (—1)'а 'г, (а ^ /Т'^Д) = °»
если а е Н*А2, I е Я (J, Л, U Л2). Q
Заметим, что L = id, если Л2 = 0 в A2.13) или А, = 0
в A2Л4).
12. /-^.умножение 293
Следующие два свойства отражают связь между отображе-
отображениями Эйленберга — Зильбера и естественными диагональными
отображениями:
Если х<=Н*(Х,А2), 1<=Я(Х, Л,иЛ2) и Д: (X, A,UA>)->
->{ХХХ, {Ai X X) U (ХХЛ>)) — диагональное отображение {АР=
= (Л Р)), то
A2.15) хъЪ = х\\Ъ\
здесь предполагается, что обе триады (X; Аи А2) и AХ^;
Л[ X ¦Х'» X X А2) вырезаемы. Это сразу следует из формул A2.5)
и A1.6): если ф, с — представители классов х, | и Dc = J] Cv®Cv>
то обе части равенства A2.15) представляются выражением
(__iy<p|(M-i<p|) jr c^ ^ f(cv) (правая часть — в силу равенства
D = EZ°A). U
Если у е= Я* (Г, B),Z^H(XX Y, (AXY)UUX^)) и р: (ХХУ,
ЛХЮ->№ ^4), ?: (^ХУ, ^Х5)->(У, В)-проекции, то
A2.16) y\t*=P.(q*y^Q;
предполагается, что триада (X X У; ^Х^, ^ X S) вырезаема.
Доказательство. Если of, 2 — представители клас-
классов у, ? и D2== 2^2{,®г2, то правая часть формулы A2.16)
v
представляется выражением ± p^z^ ® tyqz2v. В силу VI. 12.25,
EZ (z) = X (P2v) ^ (</zv); поэтому левая часть формулы A2.16)
представляется выражением ± 2(P2v) ®^(^2v)> Очевидно, ука-
указанные выражения совпадают. []
Следующее предложение вытекает из 12.15:
12.17. Мультипликативность. Для любых хе Н*(Х, А2),
y<=H*(Y,B2), 1<=Н(Х,АХ\}А2), ц^Н(У, В^В,)
(хХу)^AХц) = (-1Iу]П](хr^DXiy^ ц),
если (X; Аи А2), (Y; Вь В2) — такие триады, что обе части фор-
формулы имеют смысл.
Наше доказательство также предполагает, что определены
и некоторые другие произведения, как, скажем, хХу\ А^ЦХц),
а это (быть может) потребует дополнительных предположений
о вырезаемости. Мы их не формулируем; они выполнены, если
.4Ь А2, Ви В2 — открытые множества, или если не более чем
одно из них непусто, или если (X; Аи А2), {Y; В., В2)—CW-триады.
Мы наметим также общее (совсем другое) доказательство
в упр. 4.
294 Гл. VII. Умножения
Доказательство предложения 12.17. Рассмотрим
диаграмму
ЩХ xXxYx У)-^-> ЩХ х X х У) -^ Я(Ух X х Х)-^-> Я(Ух А)
12.18)
(idxfxid), (idxf)«\ /(Г х id).
ЩХх УхХхУ) ^ >Н(Хх YxX) — >Я(Хх У),
где /, f, х — отображения, переставляющие сомножители:
(t(Pf Q) = (P} Q)) t'{Q, P) = (P, Q), x(P, P', Q) = (Q, Pt Pr)).
Для простоты мы опускаем все подпространства, по модулю
которых берутся гомологические группы. Средний треугольник
диаграммы A2.18) коммутативен по очевидным причинам, а ее
внешние квадраты коммутативны в силу естественности \ -ум-
-умножения (см. 11.7). Рассмотрим элемент (А* X AK)t (| X л) =
= (А*|) X (АГтО верхней левой группы Н(ХХ XX У X Y). Вер-
Вертикальная стрелка переводит его в Д?ХГ(|ХТ1)| затем левая
горизонтальная стрелка переводит его в
11.8 A2.15)
Если двигаться сначала вправо, а затем вниз, то мы последо-
последовательно получим:
П.IS A2.15) т,
у \ (А5|) X (АГл) = ± (Afi) X (у \ А.УЧ) = ± (Afg) X (уъ г\) ь->
т* *\ iii.m
>-* ± (у ^ i\) X (А.I)*-*±х\{уг
11.16 12.15
= ± (г/ ^ л) X (х ^ I) н4 ± (х ^ g) X (г/ г\ ц).
Окончательный знак есть (—1) в степени
и этот показатель ^| у [(I |mod2. Q
12.19. Замечание. Если в когомологиях коэффициенты та-
таковы, что M2 = R, то М ®RM2 = M; в этом случае A2.3), 12.7,
12.9 утверждают, что Я (X, А; М) есть градуированный Н*{Х; R)-
модуль. Если f: X -* X' — любое отображение, то f: H* (Xr; /?)->
—> Я* (X; R) — кольцевой гомоморфизм, так что всякий Я* (X] R)-
12. r^ -умножение 293
модуль становится Н*(Х'; #)-модулем, и предложение 12.6 по-
показывает, что /. есть Н*(Х'\ ^-гомоморфизм.
Подобным же образом 12.13 показывает, что д,: Н(Х, А; М)->
-*Н(А; М) есть Н* (X; #)-гомоморфизм (степени —1), и 12.17
утверждает, что гомологическое X-умножение есть Н*(Х; R)<S>R
®RH*(Y; #)-гомоморфизм.
В заключение этого параграфа мы приведем еще одну (бо-
(более трудную) формулу стабильности. Для простоты мы сделаем
более сильные предположения, чем это нужно: мы предпола-
предполагаем, что все подмножества открыты, хотя достаточно было бы
потребовать вырезаемость некоторых триад.
12.20. Предложение. Пусть Хи Х2, Yu Y2 — такие откры-
открытые подмножества пространства X, что Хх U У\ = X2 U Y2 =
= Хх U Х2 = X. Пусть, далее,
Обозначим через !' образ элемента % при композиции
Я (X, У, Л Y2) -> Я (X, Yx {JY2)kH (Хх Л Х2, (X, П Х2) П (Г, U Y2))
(коэффициенты опущены). Тогда
где
d;. H(X,Yx\}Y2)->H(X,Yx(\Y2),
(Г: Я* (Хх П Х2) -> Н* (Хх U Х2) = Н*Х
— граничные гомоморфизмы Майера — Вьеториса (см. § 8 гл, III).
Доказательство. Рассмотрим диаграмму
Я* (Хх [\Х2)^Н (Х{ П Х2, (Хх П Х2) П (Yx U Y2)) ^ Я (X, Г, U Y2)
д,
A2.21) f-
H* (Хх U Х2, Х2) » H\Y2, X2 Л Y2) ^> H (Y2, Y{ Л Y2)
I I
Я* (Z, U ^2) — > Я (X, Yx Л У2)
где все непомеченные стрелки индуцированы включениями.
Композиции вертикальных стрелок совпадают с отображениями
d* и dt (см. III. 8.11); поэтому мы должны показать, что внешняя
296 Гл. VII. Умножения
часть диаграммы (без средней горизонтали) коммутативна.
Символ li (в этой средней горизонтали) обозначает образ
класса | при композиции
ехс
Я (X, Y{ [\Y2)->H (X, (Г, П Y2) [}Х2)^Н (Г2, (Г, П Y2) U (Х2 П Y2)).
Напомним, что ^-умножение индуцировано цепным отображе-
отображением
S*X ® SX ^2- S*X ® SX ® SX -^ SX.
Обозначим это цепное отображение снова через г\, так что
[ф г\ г] = [ф] ^ [г], где ф, z — некоторые относительные (ко)циклы
и [ ] обозначает переход к гомологиям. Заметим еще, что
если z^SB, где В<^Х, то ф^ге58 для любого ф е S*I;
если, кроме того, ф|5В = 0, то ф<^г = 0. Все это мы сейчас
будем использовать.
Выберем коцикл ф, представляющий х, и продолжим его до
коцепи ф' на X; тогда 6qp'|SJ! представляет 6**. В силу тео-
теоремы о вырезании, существует такой коцикл ty^Z*(X, X2), что
¦ф|5Х1 = бф'|5Х, + 6о15/, где i|/e= S*(X,, X{[]X2); продолжим i|/
до коцепи ty"^S*(X, X2) (например, считая ее равной нулю на
симплексах, не лежащих в SXX) и заменим of) коцепью г|) — 6i|/';
новый коцикл of) удовлетворяет равенству -ф | SХ{ = бф' | SXX и
представляет образ класса х в Н* {Х{ [} Х2, Х2) и Я* (Xr U Х2).
Так как Х^Уг. -^гПУь Х{ П -^2 — открытые множества, по-
покрывающие J, мы можем (см. III. 7.3) найти такой представи-
представитель ц класса |, что [х = Ц] + ц-> + ц', где ц, eS(Jjny2).
(х2 е S(J2 П УО, n'eS(Хх Г\Х2) н, конечно, дц е= S (Г, П У2)- Тогда
(х' представляет ?' и [Х) представляет |1# Отсюда следует, что
образ элемента х в //(FtU^. У1), полученный двумя путями
в верхней части диаграммы A2.21), представляется циклами
¦ф^щ и д(ф ^ ц/) = (— 1)'Ф| Ф ^ Ф' соответственно. Мы пока-
покажем, что эти циклы гомологичны, т. е. что верхняя часть диа-
диаграммы A2.21) коммутативна. В самом деле,
= 6Ф' ^
и, кроме того,
(i) бф' r\ [i! = а]з гл [i1( так как [i!^^^, и -ф j SXX = бф' 1
(и) ф' г\ дц' = ф r> <5[i', так как 5[i' e S {Хх П ^2) и
'|S№nX)
(iii) ф' ^ <5[i — ф' ^ ф2 е 5ylf так как
12. r\ -умножение 297
Следовательно, <3(q/ r\ M-i) = "Ф ^ Hi ~ (—1)'Ф'ф ^ d\i'mod SYU что
и требовалось доказать.
Остается доказать коммутативность нижней части диа-
диаграммы A2.21). Пусть i|)eZ*№ UХ2,Х2). Тогдаг|з^(ц24-ц0 = 0,
так как \i2 -f ц' е SX2 и -§\SX2 = 0; следовательно, i|)^^,=
== -ф ^ Ц]. Переходя к гомологиям, получаем [-ф] ^ g = [гЙ^'. Q
12.22. Следствие. Яг/сгб V, W, W — такие открытые под-
подмножества пространства X, что V czW и W U W = X. Тогда
диаграмма
H*W ^> Н* (X, W) -* Н* {W, W П W)
A2.23) \nV [nt
H{W, WflW)-*H{X, W')-^H{W, V)
коммутативна для любого |еЯA, V), где I', %\ — образы
класса \ в
Н (X, W) ^ Н (W, W П W), Н (X, V'[)W)?iH (ИГ, V' U (W П W')).
Доказательство: это—верхняя часть диаграммы A2.21)
для случая Х1=Х, X2 = W, Y^V, Y2 = W. ?
Более тщательный анализ доказательства предложения 12.20
показывает, что в качестве ? можно было бы взять элемент
группы Н(Х, А), где А — любое подмножество множества
V U (W П W). Чтобы лучше оценить этот результат или след-
следствие 12.22, читатель может рассмотреть случай V = 0 (см.
также упр. 5).
12.24. Упражнения. 1. Покажите, что (х, 1) = Ц,(хг\1) для
всех х<=Н*(Х, А; М2), ^еЯA, А; М^), где т) — аугментация
(тензорно умноженная на id (Мх ® М2)).
2. Покажите, что #(Р„С; R) — свободный Н*(РпС; /?)-модуль
с одной образующей.
3*. Если KczVczRn и oKe=Hn(V, V — K) — w же, что
в упр. 11.17.4, то (у г\ ок) о % = ± {у, /»0°о Для любых у е H*V',
нк
4*. Пусть (Y; Ви В2) — произвольная триада, b ^SY — такая
цепь, что cb<^S{Bu В2), и ф е Z7 - такой коцикл, что
ty\SB2 = 0. Рассмотрим естественные преобразования F, G: SX->
->-S(IXi')i определяемые формулами
F(c) = E (if q ® D (EZ) (с ® bj), G (c) = EZ(c®E{q® Db)),
298 Гл. VII. Умножения
где q: S(X X У) ~* SY — проекция, a D, Е, EZ — те же, что
и выше (см. 12.1, VI. 12.20 и VI. 12.25). Эти два выражения
являются представителями классов q*[ty] ^ ([с] X [^])> MX
X ([i|>] ^ Щ)> мы хотим показать, что, с точностью до знака,
они гомологичны. Прежде всего покажите, что если X — точка,
то F совпадает с (—1) '*' G. Затем из естественности выведите,
что<7^==(—1)|с||*'<70 и, следовательно, (F -(-1)|c| |Ф|С): SX->
-» ker (q: S (X X У) -*¦ SY). Покажите, далее, что отображения F, G
индуцируют цепные отображения F, G: SX—>S(X X Y)/S(Xy(,Bl).
Из них составляется естественное цепное отображение
(р _(_1)И1*1с): SX-»ket(q: S(XXY, XXB1)->S(Y, В,)).
Теорема об ацикличных моделях (см. § 11 гл. VI) показывает,
что оно гомотопно нулю (S есть свободный функтор, и ker<7
ациклично на моделях Х = АРУ, следовательно, /7~(— 1)|с| '*'g.
Естественность отображений F и G (применяемая к включению
А-*Х) доставляет индуцированные цепные отображения F,
G: S(X, A)-+S(XXY)/S{AXY, XXBJ и индуцированную
гомотопию /7~(—1)'c''*'g. Переходя к гомологиям, мы полу-
получаем, что для любых у = [г|з] е Н* (Y, В2), т] = [Ь] е Я (У, В, U В2),
1<вН(Х, А)
при условии, что (Y; В„ В2) и (Z X У; MX П U(^ X В,),
вырезаемые триады. Аналогично (или применяя к полученному
результату t: X XY^Y XX) можно вычислить (р*х) rs(ix Tli)=
= (x^l)Xrll, где р: (XXY, A2XY)-»(X, A2) - проекция.
В результате мы получаем
(*Х У) ^ ll]U]
(утверждение предложения 12.17).
5*. Пусть V cz W, V czW — такие открытые пары в про-
пространстве X, что W[)W==X. Обобщая следствие 12.22, пока-
покажите, что диаграмма
Я* (W, V) -^ Я* (X, W) -> Н* (W, W r\ W)
A2.25) \пь J«6-
H{W, W(\W')-*H{X, W')-^H(W, V)
13. Косое гомологическое умножение 299
коммутативна для любого %<=Н(Х, (V U W) П (V U W)), где ^
и g2-образы класса ?в Н(Х, V'\)W)e* H(W, Vr[}(W[\W'))
и Я (Я, V[}W')s*H(W, V\]{W{\W')). Можно вместо открытых
пар взять пары СИ^-подпространств CW-пространства Х или
сделать некоторые предположения о вырезаемости.
13. Косое гомологическое умножение
и косое умножение Понтрягина
Косое гомологическое умножение появилось в связи с кого-
когомологическими операциями (Стинрод[2]) и 5-двойственностью
(Спеньер [1]). Оно не применяется в этой книге, и поэтому мы
скажем о нем очень кратко. Оно двойственно гомологическому
Х-умножению в том же смысле, в каком когомологическое
Х-умножение двойственно к когомологическому \ -умножению.
Косое умножение Понтрягина получается из гомологического
косого умножения композицией с умножением ц: X X X -*¦ X; оно
превращает когомологии Н*Х произвольного Я-пространства
в модуль над кольцом Понтрягина НХ.
13.1. Определение. Пусть С, D — комплексы и L, М — мо-
модули над R. Определим отображение
0: Hom{C®D, L)®(С®М)->Нот(D, L®M)
формулой [0(р® с® т)] (d) = p(c® d)®tn.
Проверьте, что это — цепное отображение.
Пусть теперь (X, A), (Y, В) — произвольные пары пространств.
Рассмотрим составное цепное отображение
Hom(S(XXY, (AXY)U(XXB)), L)®(S(X,
-*HomE(Z, A)®S{Y, В), L)®{S(X,
->НотE(Г, В), L®M).
Переходя к гомологиям и добавляя к композиции отображе-
отображение а (см. VI. 9.11), мы получаем гомоморфизм
A3.2) Я* (X XY,(AXY)U(XX В); L)®H (X, А; М) ->
->H*(Y,B;L®M).
Этот гомоморфизм (или соответствующее билинейное отображе-
отображение) называется косым гомологическим умножением и обозна-
обозначается символом /; более подробно, (г/|) е Я"~' (Y, В; L ® М)
300 Гл. VII. Умножения
есть образ при указанной композиции элемента z®l, где
zeHn(XXY,(AXY)[)(XXB); L), l^Ht{X,A; M). Мы пре-
предоставляем читателю установить формальные свойства этого
умножения. Двойственность с гомологическим Х^умножением
выражается формулой
A3.3) (z/l, т]> = {2,1ХЧ),
где zeEH*(XXY, (AXY)U(XXB); L), le=H(X, A; M), т, e
<=H(Y, В; N); обе части равенства A3.3) являются элементами
модуля L®М® N.
13.4. Определение. Предположим теперь, что (X, ц) — про-
пространство с умножением \х: X XX ->X. Тогда композиция
Нп(Х; L)®Hi(X; М)^^1нп(ХХХ; L)®Hi(X; Щ-1*
-*Нп-1(Х; L®M
(или соответствующее билинейное отображение) называется
косым умножением Понтрягина. Обозначение:
A3.5) (ц'*)/6 = х Т I для х <= Нп (X; L), \ е Н, (X; М).
Изучение свойств Т-умножения мы также предоставляем чита-
читателю; в частности, выведите для т формулы, которые следуют
из гомотопической ассоциативности и гомотопической коммута-
коммутативности умножения ц и из наличия у него гомотопической
единицы. Например, если (X, ц) есть Я-пространство, то т пре-
превращает Н* (X; L) в градуированный модуль над кольцом
Понтрягина Н (X; R).
ГЛАВА VIII
Многообразия
Многообразие — это пространство, которое локально устроено
как евклидово пространство. Многие из наиболее важных топо-
топологических пространств, как, например, группы Ли и их одно-
однородные пространства, являются многообразиями. Если (компакт-
(компактная) группа Ли действует на многообразии, то орбита каждой
точки — многообразие; если это действие достаточно регулярно,
то пространство орбит также является многообразием. Множе-
Множество решений х = (хь ,.,,xJgR" достаточно регулярной системы
уравнений а^(хи ..., хп) = 0, ц = 1, ..., т, опять-таки является
многообразием. Эти и другие примеры мотивируют изучение
специфических гомологических свойств многообразий.
1. Элементарные свойства многообразий
1.1. Определение. Хаусдорфово пространство М = Мп назы-
называется п-мерным многообразием, или п-многообразием, если
каждая точка пространства М обладает окрестностью, гомео-
морфной открытому подмножеству пространства R". Таким
образом, «-многообразие — это хаусдорфово пространство, ло-
локально гомеоморфное R". Если многообразие одновременно
m-мерно и «-мерно, то, в силу инвариантности размерности
(IV.3.8), га = т или М = 0.
Например, каждое открытое подмножество пространства R"
является «-многообразием. Более общо, каждое открытое под-
подмножество «-многообразия является снова «-многообразием.
Сферы Sn являются многообразиями размерности «, проектив-
проективные пространства PnR и РпС являются многообразиями соот-
соответственно размерностей « и 2«. Решения систем уравнений
часто образуют многообразия (см. 1.7). Поверхности, рассмотрен-
рассмотренные в V. 3.11 (упр. 1 и 2), являются 2-многообразиями.
1.2. Лемма. Каждая точка Р п-многообразия обладает окрест-
окрестностью V, которая гомеоморфна Rn. Каждая такая окрестность V
называется координатной окрестностью точки Р, а каждый
гомеоморфизм V —> R" — картой (в окрестности точки Р).
302 Гл. VIII. Многообразия
Доказательство. Пусть h: U -> W — гомеоморфизм
окрестности U точки Р на открытое подмножество W простран-
пространства R". Образ множества внутренних точек hU открыт в If и,
следовательно, открыт в R". Пусть W — такой открытый шар,
О J О
что hP e W a hU. Тогда множество V =h W открыто в U
и, следовательно, в М и Р е 7 « F « R". Q
Очевидно, каждая координатная окрестность многообразия
есть ENR. Поэтому из предложения IV. 8.10 вытекает следующее
1.3. Предложение. Если многообразие М является объеди-
объединением конечного числа координатных окрестностей {в частности,
если М компактно), то М есть ENR. П
В действительности всякое многообразие, обладающее счетной
базой, есть ENR (ср. IV. 8.11 и IV. 8.9).
В силу V. 4.11, из этого вытекает
1.4. Следствие. Если М — компактное многообразие, то группа
Ht (M; Z) конечно порождена для всех i и Н\ (М; Z) = 0 для
достаточно больших i (в действительности, как мы это увидим
в 3.3, равенство нулю имеет место при />dimAf). Q
Покажем теперь, что решения системы независимых уравне-
уравнений образуют многообразие.
1.5. Определение. Пусть №"" —многообразие размерности пг
и gi, g2> •••> gk (k^m) — непрерывные функции с веществен-
вещественными значениями, определенные в окрестности точки Pelf,
Мы будем говорить, что функции gu ..., gk топологически
независимы в точке Р, если существуют непрерывные функции
gk+x gm, также определенные в окрестности точки Р и такие,
что х н-> (gxx, ..., gmx) гомеоморфно отображает некоторую
окрестность точки Р на,открытое подмножество пространства Rm
(в силу инвариантности области, достаточно потребовать, чтобы
оно было вложением; ср. IV. 7.4).
Ясно, что если функции gt gk топологически незави-
независимы в точке Р, то они топологически независимы и в точках
некоторой окрестности точки Р. Рассмотрим следующий важный
пример:
1.6. Предложение. Если UaRm — открытое множество и
gu ..., gk'- U->R — непрерывно дифференцируемые функции,
дифференциалы dg] (Р), ..., dgk (P): Rm -> R которых линейно
независимы в точке Ре(/, то функции gi, ..., gk топологически
независимы в точке Р.
Доказательство. Пусть gk+1, ..., gm: Rm->R — такие
линейные отображения, что отображения dg^P), .,., dgk{P),
/. Элементарные свойства многообразий 303
gk+i, • • •. em линейно независимы. Тогда дифференциал в точке Р
отображения g: U—>Rm, определяемого формулой gx — {gxx, ...
•••> gmx)> является изоморфизмом; поэтому по теореме об
обратной функции (см. Дьедонне [1, 10.2.5]) g есть гомеоморфизм
вблизи точки Р. []
В действительности отображение g является вблизи точки Р
даже диффеоморфизмом, т. е. оно имеет дифференцируемое
обратное отображение вблизи Р.
1.7. Предложение. Пусть N — подмножество многообразия
Wn+k, локально являющееся множеством решений системы k
независимых уравнений. Это значит, что для каждой точки Ре N
существуют окрестность Vp (в W) и топологически независимые
в точке Р функции gp, ..., gp: Vp-+R, такие, что
N[\Vp = {xeVp\gpx = 0 = gpx= ... =gpkx).
Тогда N является п-многообразием.
Доказательств/). По предположению (о независимости)
существует такой гомеоморфизм gp: VP->U, что U открыто
в Rn+k = R* X R" и N П Vp = (/Г' [U П (О X R")]. Точнее говоря,
это верно, если заменить Vp меньшей окрестностью. Таким
образом, N П Vp — окрестность точки Р в N, гомеоморфная
открытому подмножеству пространства 0XR"~R"- П
1.8. Замечание. Подмножество N многообразия W, удовле-
удовлетворяющее условиям предложения 1.7, называется локально
плоским подмногообразием. Не всякое подмножество N много-
многообразия W, являющееся многообразием, локально плоско:
контрпримеры имеются даже для W = R3 и NthS] или 52
(ср. Артин и Фокс [1]). С другой стороны, нетрудно показать,
что всякое компактное многообразие (более общо, многообразие,
покрываемое конечным числом координатных окрестностей)
гомеоморфно локально плоскому подмногообразию евклидова
пространства (см. упр. 5).
Наряду с множествами решений систем уравнений g = 0,
можно рассматривать множества решений комбинированных
систем, составленных из уравнений g = 0 и неравенств /г^О.
Это приводит к следующему определению:
1.9. Определение. Пусть R+ = {хе= R"|хп>0} — «верхняя
половина» пространства R". Хаусдорфово пространство L — L"
называется и-мерным д-многообразием (или п-многообразием
с краем), если каждая точка Р е L™ обладает окрестностью U,
304 Гл. VIII. Многообразия
гомеоморфнои открытому подмножеству W множества R+. Пусть
h: U-* W— такой гомеоморфизм. Мы называем Р краевой точкой
многообразия L, если h (Р) е R" = {ieR° \хп = О}; в противном
случае Р называется внутренней точкой многообразия L. Свой-
Свойство быть краевой (внутренней) точкой не зависит от выбора
h: U&W (инвариантность границы; ср. IV. 3.9). Множество <3L
всех краевых точек является (п—1)-многообразием (возможно,
пустым); оно называется краем многообразия L; множество И
всех внутренних точек является «-многообразием; оно назы-
называется внутренностью многообразия L. Внутренность является
в L открытым подмножеством, край — замкнутым; при этом
il UdL = L, iL[\dL=0.
По аналогии с леммой 1.2 можно показать, что каждая
точка множества iL (соответственно dL) обладает открытой
окрестностью (она называется координатной окрестностью),
которая гомеоморфна R" (соответственно R+); эти гомеоморфизмы
по-прежнему называются картами.
1.10. Примеры. Всякое многообразие является <3-многообра-
зием (с пустым краем). Полупространство R+ является «3-много-
образием. Всякое открытое подмножество E-многообразия также
является ^-многообразием. Шар Вп есть ^-многообразие с краем
дВп = Sn~\ Произведение многообразия М и E-многообразия L
является ^-многообразием, и д(МУ^Ь) = МУ^дЬ (доказатель-
(доказательство очевидно). Более общо, произведение L^L' двух <5-много-
образий есть ^-многообразие, и д(Ь X L') = dL X L' \]L X<5L'
(доказательство предоставляется читателю). Решения комбини-
комбинированной системы, состоящей из равенств и неравенств, часто
образуют ^-многообразия (см. упр. 4).
Если два (Э-многоо'бразия имеют гомеоморфные края, то
можно склеить их по (общему) краю и получить обычное
многообразие, подобно тому как R" можно получить склеива-
склеиванием двух экземпляров полупространства R+. Более точно:
1.11. Предложение. Пусть L, V — два п-мерных д-многообра-
д-многообразия и tj: dL->dL' — гомеоморфизм. Тогда пространство М —
= (L©L')/(i/ ~ ц(у) при уедЬ), полученное из топологической
суммы L@L' отождествлением соответствующих краевых то-
точек, является п-многообразием. Оно содержит L, U:
L, L'c
и L U V = М, L П V « дЬ а; дЦ. Мы будем иногда писать
M LL'
/. Элементарные свойства многообразий 305
Доказательство очевидно: для построения координатной
окрестности точки Р е L[\V в М используются координатные
окрестности точки Р в L и в V. []
Например, если L' = L и T] = id(<5L), то мы говорим, что
M = L\JidL получается удвоением многообразия L. Если // =
= dLX[0, 1), то имеется гомеоморфизм dU = dL X {0} -«-г- dL
[/(«/) = («/, 0)]; в этом случае мы говорим, что Af = /, U/(<3LX[0, 1))
получается из L присоединением воротника.
1.12. Упражнения. 1. Пространство, локально гомеоморф-
ное R", всегда является ^-пространством (его точки замкнуты),
но не обязательно хаусдорфово. Например, если Хп получается
из двух экземпляров пространства R11 отождествлением всех пар
соответствующих точек, кроме нуля, то Хп представляет собой
объединение двух координатных окрестностей, гомеоморфных R",
но не является хаусдорфовым пространством.
2*. Пусть W — вполне упорядоченное множество, предста-
представляющее первый несчетный ординал. Упорядочим множество
W X [0, 1) лексикографически:
[(w, /)<(и/, f)]&[w<wr, или (w = wr, *<*')].
введем в W X [0, 1) «топологию порядка» и обозначим получен-
полученное пространство через LH («длинная полупрямая»). Покажите,
что LH — связное одномерное ^-многообразие, край д(ЬН) кото-
которого состоит из единственной точки и внутренность которого
i{LH) не может быть покрыта счетным множеством координат-
координатных окрестностей. Удвоение многообразия LH дает «длинную
прямую» LL = LH U \&LH. Покажите, что LL # i {LH) (прямая LL
является «длинной в оба конца», i (LH) — только в один конец).
См. Кнезер и Кнезер [1].
3. Если h: F->R", h': V-> R" — карты многообразия Мп, то
отображение
h'hTx: h(V [\V')-+hf {V [\V')czRn
называется заменой карт. Множество карт sl = {h: Fft«R"} на-
называется атласом, если \] Vh = М. Атлас, у которого все за-
мены карт принадлежат классу С (г раз непрерывно дифферен-
дифференцируемы), называется Ст-атласом. Два С-атласа si, si' назы-
называются Ст-эквивалентными, если объединение s4-[]s4-' также
является С-атласом. Класс эквивалентности С-атласов назы-
называется Ст-структурой на М, а М вместе с С-структурой назы-
называется С-многообразием (или гладким многообразием, если
306 Гл. VIII. Многообразия
г=оо). Не каждое многообразие допускает С'-структуру (см. Кер-
вер [1]), но каждый С-атлас с г > 0 С-эквивалентен С^-атласу
(см. Кох и Пуппе [1]).
(a) Придумайте определение С'-отображений между С-много-
образиями (s^.r), используя карты заданных Сг-структур.
(b) Покажите по аналогии с предложением 1.7, что подпро-
подпространство N Сг-многообразия wn+k, локально являющееся мно-
множеством общих нулей k С5-функций с независимыми дифферен-
дифференциалами (l<!s<Ir), наследует С5-структуру. Оно называется
Ся-подмногообразием многообразия W.
(c) Взяв за образец доказательство предложения IV. 8.8, по-
покажите, что всякое компактное С-многообразие С-гомеоморфно
С-подмногообразию евклидова пространства.
4. Пусть N — такое подмножество многообразия Wn+k, что
для каждой точки Р е N существуют ее окрестность Vp (в W)
и топологически независимые в точке Р функции gf, ..., g?t
hi, ..., hi: V —*-R(k фиксировано, / может зависеть от Р), для
которых
Nr}Vp = {xeVp\g*(x) = 0, hP(x)>0 для всех ц, v}.
Тогда N есть (Э-многообразие размерности п.
5. Покажите, что всякое компактное «-многообразие М го-
меоморфно локально плоскому подмногообразию пространства R\
(Указание: доказательство предложения IV.8.8 доставляет вло-
вложение M->Rk; график произвольного отображения M->Rl является
локально плоским в М X R'.) Обобщите этот результат на мно-
многообразия со счетной базой (ср. Бос [1]).
2. Ориентирующий пучок многообразия
Пусть Мп — многообразие; мы введем топологию на объеди-
объединении U Нп{М, М — Р) его локальных гомологических групп;
Р(=М ^
полученное пространство М будет называться ориентирующим
пучком многообразия М. Тогда можно будет говорить о непре-
непрерывных функциях ф с ф(Р)бЯл(М, М — Р), Р^М (сечениях
пучка М; см. 2.4), а это в свою очередь позволит определить
понятие ориентации многообразия М (см. 2.9). В § 3 мы дадим
на языке группы всех таких сечений удобное описание «-мерных
гомологии открытых подмножестэ многообразия М.
2. Ориентирующий пучок многообразия 307
2.1. Предложение и определение. Локальные гомологи-
гомологические группы Hj (Мп, Мп — Р; G) п-многообразия Мп равны нулю
при }фп, и Нп(М, М-Р; G)^G^Hn{M, М-Р; Z) ® G.
Образующая оР группы Нп(М, М — Р; Z) называется ориента-
ориентацией (многообразия М) в точке Р. В каждой точке Р имеются
в точности две ориентации, скажем оР и — оР.
В случае G = Z предложение следует из IV. 2.2 (с) и IV. 3.7,
потому что многообразие Мп локально гомеоморфно R". В общем
случае можно применить теорему об универсальных коэффици-
коэффициентах или (это проще) использовать гомотопическую эквивалент-
эквивалентность S(M, M-P)~(Z, n). ?
Теперь мы свяжем друг с другом локальные гомологические
классы в различных (близких) точках.
2.2. Лемма. Пусть z, z'<=S(Af; G) — циклы mod М — Р, т.е.
dz, dz' e S (М — Р; G). Тогда существует такая окрестность V
точки Р, что z, z' являются циклами mod M — Q для любой точки
QeF, т.е. dz, dz'^S(M— V; G). Если гомологические классы
циклов z, z' согласованы в точке Р, т. е. MP=[z']Pe// (М, М—Р; G),
то они согласованы и во всех точках Q некоторой окрестности
V'czV, т.е. [z]q — [z']q при QeF'. (Замечание: в силу 5.18,
это означает, что Н(М, М — Р) = lim Н (М, M — V).)
Доказательство. Цепи dz, dz' являются конечными ли-
линейными комбинациями (с коэффициентами в G) симплексов а
с im (о) с М — Р. Так как множество im(a) компактно, то су-
существует такая окрестность Va точки Р, что im (a) cz M — Va, и
пересечение V — Д Vа является такой окрестностью точки Р, что
dz, dz' e S(M — V; G). Если ИР = [2/]Р, то существует цепь
ceS(M; G) с z — z' — dc eS(Af — P; G); следовательно (как и
выше), z — z' — dc e S(M — V; G) для некоторой окрестности V
точки Р (и можно считать, что V' cz V). []
2.3. Определение и предложение. По каждому «-мно-
«-многообразию М и каждой абелевой группе G можно построить
новое многообразие М ® G ш накрытие уа: М ® G->M, такое,
что Yo1 (Р) = Нп (М, М — Р; G) для каждой точки РеМ;в част-
частности, М <g> G как множество совпадает с \] Нп{М, М — Р; G).
_ PeiH
Чтобы определить на М ® G топологию, рассмотрим всевозмож-
всевозможные пары (V, z), где V —открытое подмножество многообразия М
иге2л(М, М — V; G) — цикл mod{M — V), и положим
Vz = {[z]P^Hn(M, М-Р;
308 Гл. VIII. Многообразия
Оказывается, что множество всех таких Vz является базисом
некоторой топологии на М ® G. Отображение уа является в этой
топологии локальным гомеоморфизмом и даже накрывающим
отображением (ср. Масси [1, гл. V]). Далее, отображения (и, v)i—>
ь-> и ± v мноэюества D = {(и, v) е (М ® G) X Ш ® G) I Yo" — Vov}
в M0G непрерывны, т. е. операции сложения и вычитания
в М <S> G непрерывны, там где они определены.
В случае G = Z используются сокращенные обозначения Yz===Y
и М <8> Z = Л1 Отображение у: М->М называется ориентирующим
пучком многообразия М. Отображение
Р: M^Z,
р(н) = ||ы|| = модуль числа и^Нп(М, M — P)^Z
непрерывно, т. е. локально постоянно. В частности, М разла-
разлагается в топологическую сумму
Af = M@)©M(l)©AfB)©..., где Л1 (г) == Р (г).
Сужения у\М(г): М(г)-+М также являются накрывающими
отображениями.
Доказательство. Каждая точка ке М <g> G лежит в не-
некотором Vz; действительно, если z^Zn(M, М — Р; G) — предста-
представитель гомологического класса и, то, в силу леммы 2.2, суще-
существует такая открытая окрестность V точки Р, что 2eZn(Af,
М — V; G); следовательно, и е Vz. Если и е (VZ' fl F""), то,
опять-таки в силу леммы 2.2, мы можем выбрать z и Vc{V fl V"),
такие, что [z]Q = [z']Q = [z"]Q для всех Q e F; значит, кеУгс
с A^г'П Vz")- Это доказывает, что семейство {Vz} является базой
некоторой топологии. ,
Покажем теперь, что уа — локальный гомеоморфизм. Оче-
Очевидно, уа взаимно однозначно отображает Vz на V; следова-
следовательно, отображение уа открыто и локально взаимно однозначно,
и нам нужно лишь проверить его непрерывность. Пусть W —
открытая окрестность точки Р = \а(и). Как мы уже знаем, и ле-
лежит в некотором множестве Vz; очевидно, (V {] W)z есть окрест-
окрестность точки и, и эта окрестность отображается в W. Отобра-
Отображение (и, и')>->и±и' гомеоморфно проектирует D f| (Vz X Vz>)
на Vz±z> (мы только что видели, что оба множества гомеоморфно
отображаются на V посредством уа), и поэтому оно непрерывно.
Остается показать, что р локально постоянно и что уа есть
накрытие. Пусть Р е М; выберем замкнутый шар с центром Р
(в некоторой координатной окрестности) и обозначим через V
2. Ориентирующий пучок многообразия 309
его внутренность. Тогда для каждого QgF разность М — V
является деформационным ретрактом множества М — Q и, сле-
следовательно, I?: Н(М, М — ]/)-> Н (М, М — Q) есть изоморфизм.
Если 2GZB(M, M — V; Z), to [z]q = i9[z] и потому p([z]Q) =
= IIMqII = 11 МП не зависит от Q; следовательно, отображение р
постоянно на Vz, что и утверждалось. Более того, если мы вы-
выберем образующую [г] группы Нп (М, М — V; Z) ^ Z, то Yq1 (К) =
= U ^г®я есть разложение множества у^1(У) на непересе-
кающиеся открытые множества F2®g, каждое из которых го-
меоморфно отображается на V. Поэтому отображение уа (как и
каждое сужение y\M(i)) является накрытием. []
2А. Определение. Пусть Мп — многообразие, уа: М ® G-+M—
такое же отображение, как в 2.3, и AczM. Отображение s: A—>
->М ® G называется сечением (пучка уа над Л), если yGs(P) = Р
для каждого PgA Согласно 2.3, сумма или разность двух се-
сечений снова являются сечениями. Поэтому сечения составляют
абелеву группу; она обозначается через Г (Л; G). Поскольку уа
есть локальный гомеоморфизм, эта группа обладает следующими
двумя свойствами:
B.5) Если и еЛ4 0 G, то существуют такая окрестность V точки
уа(и) и такое сечение seT^; G), что sya(u) = u.
B.6). Если сечения s, <еГ(Л; G) совпадают в точке Ре/1, то
они совпадают в целой окрестности точки Р; другими словами,
{Q е А | sQ = tQ} — открытое множество в А. []
Если [z] е Нп (М, М — A; G), то отображение Q н-> [г]с, Q е Л,
является сечением над Л; мы обозначим его через Ja\z] (непре-
(непрерывность сечения J'А [г] станет очевидной, если сузить его на Vz).
Таким образом, мы получаем гомоморфизм
B.7) JA: Нп(М, М-A; G)^T(A; G), (/A
который будет играть фундаментальную роль в § 3. Он, очевидно,
является естественным по отношению к включениям:
2.8. Если A cz A' cz M, то диаграмма
Нп(М, М-A'; G)^>T(Л'; G)
Ha(M,.M — A; G)—>Г(Л; G)
коммутативна (здесь i — включение up — сужение, p (s) = s \A). Q
310 Гл. VIII. Многообразия
2.9. Определение. Сечение О: A->M — M<8>Z называется
ориентацией многообразия М вдоль А, если рО (Р) = 1 для всех
РеД т.е. если элемент О(Р) группы Нп(М, М — Р) является
ее образующей (ориентацией в Р) для каждой точки РеЛ.
Иначе гозоря, ориентация многообразия М вдоль А состоит
в непрерывном выборе ориентации в точках РеА Мы говорим,
что М ориентируемо вдоль А, если такое сечение О существует.
В случае А = М мы говорим об ориентации (соответственно
ориентируемости) без дополнительных пояснений. Если О —
ориентация многообразия М и V czM — открытое множество, то
О \V есть ориентация многообразия V.
Если s еГА = Г(А; Z) — сечение, нигде не обращающееся
в нуль, sP?=0, то Р г—» sP/\\ sP || есть ориентация. В частности,
М ориентируемо вдоль А, если существует нигде не обращающееся
в нуль сечение s e ГЛ.
Если О е ГА — ориентация вдоль А, то формула (Р, g)>—>
н-> О (Р) ® g задает гомеоморфизм
B.10) AXG-^yJA.
В частности, если М ориентируемо, то М ® G » М X G. Тогда
сечение s е Г (Л; G) принимает вид локально постоянной функции
s: A->G; группа Г (Л; G) становится изоморфной группе локально
постоянных функций A-+G. Если Л связно, то локально по-
постоянные функции постоянны и, значит, Г (Л; G)^G. В част-
частности, если М ориентируемо и связно, r(AJ) = Z; в этом слу-
случае М имеет в точности две (противоположные) ориентации. На-
Например, если M=Sn и ?еЯ„E"; Z)— образующая, то /(?)<=I\Sn—
ориентация. Это показывает, что определение 2.4 группы ГЛ =
= Г(Л; Z) для Л с: 5" эквивалентно данному в IV. 6.2.
2.11. Ориентирующее накрытие. Многообразие Af(l) часто
называют ориентирующим многообразием многообразия М; его
точками как раз и являются ориентациями в различных точках
многообразия М. Ориентирующее многообразие М{\) всегда ори-
ориентируемо. Его каноническая ориентация О «выбирает» ту ори-
ориентацию в точке ыеЛ1A), которая переходит в и при изоморфизме
Y,: Нп(М(\), М(\) — {и})^Нп(М, М-Р) (напомним, что у =
= yz — локальный гомеоморфизм; ср. IV. 3.7). Конечно, МA) не
отличается от всякого другого многообразия M(i) с i > 0. В са-
самом деле, формула Wr-^-iu определяет гомеоморфизм Л? A) —>
—> М (/), коммутирующий с у.
Отображение Yi==Y I-M(l): MA)-*M является двулистным
накрытием, и ориентация является сечением этого накрытия;
2. Ориентирующий пучок многообразия 311
следовательно, многообразие М ориентируемо тогда и только
тогда, когда накрытие Yi тривиально. Так как двулистные на-
накрытия находятся во взаимно однозначном соответствии с под-
подгруппами фундаментальной группы щМ индекса <2 (см. Шу-
Шуберт [1, III. 6.8]), то справедлива следующая теорема:
2.12. Предложение. Если М — связное многообразие, фунда-
фундаментальная группа щМ которого не имеет подгрупп индекса 2,
то М ориентируемо. В этом утверждении мы можем заменить
п{М группой Н1М, группа Я, получается из группы пх комму-
коммутированием (см. Шуберт [1, IV. 3.8]). Q
Пусть w. [О, 1]->М — путь и « — ориентация в ю@); тогда,
согласно теореме 1 книги Шуберта [1, III. 6.3], существует
единственный путь w: [О, I] —>М(\) с yw = w, w@) = u. Мы бу-
будем говорить, что w (t) есть перенос ориентации и = w @) вдоль w
и что w A) получается из и переносом вдоль хю. Ориентация w A)
в точке w A) зависит, очевидно, только от гомотопического класса
пути w. Многообразие М ориентируемо тогда и только тогда,
когда w A) вовсе не зависит от w. В этом случае ориентация
многообразия М получается выбором ориентации и в одной
точке />еЛ1и переносом и вдоль всевозможных путей (М пред-
предполагается связным). Все эти утверждения доказываются в теории
накрывающих пространств (см. Годбийон [1, VII—X], Масси
[1, V], Шуберт [1, III. 6]). Доказательства просты, и даже чи-
читатель, не знакомый с накрывающими пространствами, может
попытаться их восстановить.
2.13. Ориентация произведений. Пусть даны много-
многообразия Mm, Nn. Рассмотрим следующее отображение между
ориентирующими пучками:
ц: MXN->MX~N, n(u,v) = uXv,
заметим, что
и X ое Нт+п(Ш, М - Р) X (N, N - Q)) =
= Нт+п(М XN,(MXN)~ (P, Q)).
Ясно, что ya1xjV = Vм X Ум- Если V с= М, W cz N — открытые
множества и
y^Zm(M,M~V), zz=Zn(N,N-W),
то EZ(y®z)e=Zm+n(MXN,(MXN)-(VXW)) и ц гомео-
морфно отображает Vy X Wz на (VXW)EZ{y®z) (напомним, что
[EZ {у ® z)] = [у] X И, где EZ — отображение Эйленберга—
Зильбера). В частности, ц непрерывно. Если AczM, В cz N и
s(=TA, t<=TB, то композиция ^Й±'
312 Гл. VIII. Многообразия
является сечением. Мы получаем (билинейное) отображение
B.14) (ГА)Х(ГВ)->Г(АХВ), (s,t)*->n°(sXt).
Если иеНт(М,М — Р), v e Hn(N, N — Q) — образующие, то
«Хи также образующая (см. VII. 2.14). Поэтому если selM,
t s ТВ — ориентации вдоль А и вдоль В, то ц ° (s X 0 есть
ориентация вдоль АХ В; она называется произведением ориен-
ориентации s, t. В частности, произведение ориентированных много-
многообразий ориентировано. []
Квадрат МХЛ! связного ориентируемого многообразия М
имеет каноническую ориентацию, а именно ОХО, где О — одна
из двух ориентации многообразия М. В частности, C = RXR
обладает канонической ориентацией и потому канонически
ориентировано С1 (ориентацией ОсХОсХ ¦ • • X Ос).
Рассмотрим теперь ^-многообразия Ln. Мы хотим связать
друг с другом ориентирующие накрытия iL и 0L. Каждое
открытое множество V с L само является (Э-многообразием, и
iV = V П iiL), dV — V П (dL). По аналогии с 2.7 определим гомо-
гомоморфизмы
B.15) Гу. Нп (L, L - iV, G) -+ Г (»У; G), (/(, [г/]) (Р) = [у]Р,
где г/ — цикл из Zn{L,L—IV; G) и [у]Р—его гомологический
класс в
H(L,L- P; G) ^ Hn {iL, iL - Р; G), P e iV;
B.16L: Hn-x(L-iV,L-V\G)-*T{dV\G), (j°v Ы) (Q) = [z]Q,
где z — цикл из Zra_i {L — iV, L — V; G) и [zQ] — его гомологи-
гомологический класс в
H(L-iV,L- iV - Q; G) ^ Я CL, 5L - Q; G), Q e aV.
Гомоморфизмы /у, /к можно определить также условием
коммутативности диаграмм
^
Hn{L,L-iV;G)^T{iV;G)
I
Нп(L, L-P;G)^-Hn{iL, iL - Р; G)
Яп_, (L - IV, L - V; G) -^ Г (<51/; G)
1
„_, (L - iV, L - iV - Q; G) ^=- Hn-X {dL, dL - Q; G)
2. Ориентирующий пучок многообразия 313
для всех Р е iV (соответственно Q e dV); здесь е относит каж-
каждому сечению s его значение в точке Р (соответственно в Q).
Мы опускаем несложные доказательства непрерывности
(ср. с замечанием в скобках перед B.7)), а также доказатель-
доказательства следующих свойств естественности.
2.18. Лемма. Если V czV' с L — открытые множества, то
диаграммы
4'
Hn(L, L-lV'iG) — Г(iV'i G)
I I»
Hn(L,L-iV;G)—>r(iV;G)
jd,
Hn-X (L - iV, L - V; G)^Y {dV; G)
Я„_,(L-iV,L-V;G)-^>T(dV; G)
где p (sf) = s' \ iV (соответственно p (s') = s' \ dV), коммутативны. []
2.19. Предложение. Если Ln есть д-многообразие, то суще-
существует единственное семейство гомоморфизмов {dv: T(iV;G)->
-*T(dV\ G)}y открыто в L> которое естественно по отношению
к включениям V с V (т. е. р<Эу' = dvp) и делает диаграмму
4
Hn(L,L-iV;G)-+r(iV;G)
B.20)
Я„_, (L ~ iV, L-V;G)-^T (dV; G)
коммутативной. Более того, если ОеГ(iV) — ориентация много-
многообразия iV, то ду0 еГ(dV) — ориентация многообразия dV,
называемая индуцированной ориентацией. В частности, если
многообразие iL ориентируемо, то таково же и dL. Ориен-
Ориентация iL часто называется ориентацией многообразия L, и L
называется ориентируемым, если ориентируемо iL.
Доказательство. Если Q e dL, то существует вложение
{х e=R+ ||U || ^ l}->L, которое гомеоморфно отображает {хе=
eR+|||jc||< 1} на окрестность W точки Q; в действительности
эти «полушары» W образуют базис окрестностей точки Q.
314 Гл. VIП. Многообразия
Если W—полушар, то существуют деформационные ретракции
L — iW~L — P (для Р е= iW), L — W ~L — iW — Q, L — W ~L
(деформации производятся по радиусам соответственно от точек
Р, Q, @, 0, ..., - I) e R" - R" ); поэтому, взяв точные гомо-
гомологические последовательности надлежащих троек, мы полу-
получаем изоморфизмы:
H{L,L- IW; G)e*H(L,L- P\ G);
H{L-iW,L-W; G) ~ H (L-iW, L -iW -Q; G);
dt: Hn (L, L - iW\ G) ~ #„-, (L - iW, L-W; G).
Кроме того, имеют место изоморфизмы
е: Г (iW; G) s* Я„ (iL, iL - Р; G) ss G,
e: Г (aiT; G) s Я„_, (<3L, 3L - Q; G) ?* G,
поскольку i?gG«(ilF)XC, dW®G&{dW)XG (см. 2.10;
напомним, что многообразия iW(mRn, dW&W1'* ориентируемы).
Из коммутативности диаграмм B.17) следует, что /^, J% — изо-
изоморфизмы (поскольку таковыми являются все остальные
стрелки), и потому диаграмма B.20) показывает, что имеется
единственное отображение cV = Jy?dt (/у) и что оно, будучи
композицией естественных изоморфизмов, естественно (по отно-
отношению к включениям полушаров). Более того, оно является
изоморфизмом и, следовательно (при G = Z), переводит ориен-
ориентации (образующие) в ориентации.
Пусть W = {W} — множество всех полушаров. Если V cz L —
произвольное открытое множество и seT{iV; G), то, в силу
естественности, dv (s) должно удовлетворять соотношению
B.21) dv (s) | dW = dw (s | W) для каждого полушара WczV.
Это полностью определяет dv (s), так как dV = TJ dW, W e Ж,
WcV
Мы хотим показать теперь, что (i) частичные сечения dw(s\W)
совпадают на пересечениях (dW)(](dW) [так что соотношение
B.21) полностью определяет dv]; (ii) dv(s±: s') = (dvs) ± (dvs')\
(iii) естественность: p<V (s') = dvp (s) для V с: У и (iv) коммута-
коммутативность диаграммы B.20), т. е. Jvd»(l)=dvJlv{l)- Каждая из этих
формул означает, что сечения в dU равны для некоторого от-
открытого множества U a L. Чтобы доказать это равенство
в точке Q^dU, выбирают такой полушар W, что Q^WczU,
и переходят к W, для которого утверждение уже доказано.
Аналогично и для второй части предложения 2.19: если
2. Ориентирующий пучок многообразия 315
О е Г (г'У) — ориентация, то О \ W — ориентация для каждого
полушара W czV; следовательно, и dv (О) | dW = dw (О | W) есть
ориентация, а значит, ориентацией является и dv (О), поскольку
U \ D
2.22. Упражнения. 1. Для любого хаусдорфова простран-
пространства X объединение
Х= U Нп(Х,Х-Р)
РХ
его локальных гомологических групп можно наделить тополо-
топологией, и по аналогии с 2.3 может быть определена проекция
у: Х->Х. Это отображение по-прежнему будет локальным
гомеоморфизмом, но не обязательно накрытием. Если для всех
Ре!
Н,(Х, Х-Р) = 0 при \фп, Hn(X,X-P)^Z,
и если у — накрытие (эквивалентно: Р локально постоянно),
то X называется обобщенным «-многообразием. Как бы вы
определили обобщенное ^-многообразие?
2. Пусть Мп, JV" —многообразия одинаковой размерности и
/: M—>N — локальный гомеоморфизм (например, накрытие или
включение открытого множества). Покажите, что f индуцирует
естественные гомоморфизмы f*: Г (В) —> Г (f "' (В)) для всех В cz N
(определяемые формулой /f [(f*t)P] = t(fP); ср. IV. 3.4). Если
t е Г (В) — ориентация многообразия N вдоль В, то ft есть
ориентация многообразия М вдоль f~1B. В частности, если Л'
ориентируемо, то ориентируемо и М. Если М, N наделены
ориентациями О, О', то отображение / называется сохраняющим
(соответственно обращающим) ориентацию, если f*O' = О (соот-
(соответственно если f*O'= — О). В частности, это применимо
к случаю М — N, 0 = 0'.
3. Пусть р: М-*-N — накрытие. Если N ориентируемо, то
ориентируемо и М. Если накрытие р регулярно (см. Шуберт
[1, III. 6.6]) и М ориентируемо, то N ориентируемо тогда и
только тогда, когда каждое преобразование монодромии М-+М
сохраняет ориентацию.
4. Рассмотрите отображение ц: AfX'N->MXW из 2.13
и покажите, что для любых Р^М, Q^\N
Q)) = (vM(P), yN(Q)),
316 Гл. VIII. Многообразия
Покажите, что сужение отображения ц определяет двулистное
накрытие
тривиальное тогда и только тогда, когда одно из многообразий
М, N ориентируемо. Обобщая \i, определите (М ® G) X (N ® G') —>
-»(М X N)®{G®G'), где G, G' — произвольные абелевы группы.
5. Покажите на примере (лист Мёбиуса), что край дЬ
^-многообразия L может быть ориентируемым и в том случае,
когда L не ориентируемо. Может ли случиться, что dL(s) e T(dL)
является ориентацией, a sgF(L) нет? Покажите, что ответ
отрицателен, если каждая компонента многообразия L имеет
непустой край.
3. Гомологии в размерностях, не меньших размерности
многообразия
В этом параграфе результаты, полученные в § 6 гл. IV для
сфер Sn, распространяются на произвольные «-многообразия Мп.
Грубо говоря, мы покажем, что гомологии (пар) открытых
множеств в Мп обращаются в нуль в размерностях > п и
описываются как некоторые группы сечений (в стиле § 2)
в размерности п. Более общо, это выполняется для ретрактов
открытых множеств.
3.1. Определение. Пусть М есть «-многообразие [п > 0), и
пусть BczAczM. Обозначим через Г (Л, В; G) группу сечений
накрытия \q (см. определение 2.4) над А, обращающихся в нуль
на В, Г (А, В; G) = {s^T(A; G)\s\B = 0}. Тогда существует
единственный гомоморфизм JAB, который дополняет до ком-
коммутативной диаграмму
#„ (М - В, М - A; G) -* Нп {М, М - A; G) -> #„ (М, М - В; G)
C.2) !'дв |'д \>в
0->Г(Л, В; G) —> Г (Л; G) Р—+ Г (В; G)
здесь p(s) = s\B, а /л, 1В определены формулой B.7). Это
утверждение очевидно: строки диаграммы C.2) точны и правый
квадрат коммутативен. []
3.3. Предложение. Если X czY — подмножества многооб-
многообразия Мп, являющиеся окрестностными ретрактами (например,
если X, Y открыты), то
(a) Hl(Y,X;G) = 0 при i>n,
(b) JXY- Hn(Y, X;G)->T{M-X,M~Y; G)
S. Гомологии в размерностях ^ п в п-многообразиях 317
есть мономорфизм, образ которого состоит из всех финитных
сечений, т. е. из всех сечений sеГ(М — X, М — Y; G), для ко-
которых множество {Ре(М — Х)\ s(P)^O) содержится в ком-
компактной части многообразия М. Таким образом, если Гь — группа
таких сечений, то
JXY: Hn (Y, X; G)^Tb{M~X, М- Y; G).
Заметим, что если замыкание Y — X компактно, то Гь = Г.
3.4. Следствие. Если М есть п- многообразие и С с: М — замк-
замкнутое связное подмножество, то
G, если С компактно и М ориентируемо
вдоль С;
G * Z2 — {g e G 12g = 0}, если С компактно
и М не ориентируемо вдоль С;
0, если С не компактно.
В частности, если М связно, то это применимо к случаю С = М.
Доказательство. В силу предложения 3.3, Нп(М, М —
—С; G) ^ Гь (С; G). Если С не компактно, то Гь (С; G) = 0. Если С
компактно, то сечения накрытия уа: M®G->M над С могут
быть отождествлены с теми компонентами пространства у^С,
которые гомеоморфно отображаются на С посредством уа; это
следует из того, что уа есть накрытие. Если М ориентируемо
вдоль С, то yg'С « С X G и, следовательно, Г6 (С; G) = Г (С; G) = G.
Если М не ориентируемо вдоль С, то ориентирующее накрытие
Уу М{\)->М нетривиально над С, т. е. Yf'C связно. Тогда
компоненты множества Yo'C имеют вид g(y~[lC}, где g: M{\)—>
—>M®G определяется формулой g(u) = u®g (g^G) (непре-
(непрерывность отображения g доказывается при помощи окрестно-
окрестностей Vz, определенных в 2.3). Единственными точками множества
g(y~lC^, которые при отображении уа переходят в Q^C,
являются точки u®g и (—u)®g = u®{—g), где и^Нп(М,
М — Q; Z) — образующая. Таким образом, сужение yG\g(y1'lC)
является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда g~ — g,
т. е. тогда и только тогда, когда 2g = 0. Q
3.5. Следствие. Пусть М есть п- многообразие и С аМ — замк-
замкнутое связное подмножество. Периодическая часть группы
Нп-\ (М, М — С; Z) имеет порядок 2, если С компактно и М не
ориентируемо вдоль С, и равна нулю в остальных случаях.
318 Гл. VIII. Многообразия
Доказательство. Пусть q — не равное нулю целое число.
Если С компактно и М ориентируемо вдоль С, то
Zq^Hn(M, М-С; Zq)^[Hn(M, M-C;Z)®Zq)@
ф[Я„_, (М, M-C;Z)* Zq] si Zq®[Hn^ (M, М-С; Z) * Z,]
(мы используем следствие 3.4 и теорему об универсальных
коэффициентах); следовательно,
Я„_,(М, М-С; Z)*Zq = 0.
Аналогично О — Нп(М, М — С; Zq) = Hn-{{M, M — С; Z)*Zq,
если С не компактно или М не ориентируемо вдоль С и q не-
нечетно. Так как
Я„_! (М, M-C;Z)*Zq = {a^ Нп-Х (М, М - С; Z)\qa = 0},
это показывает, что Н^^М, М — С; Z) не имеет в этих слу-
случаях ^-кручения. Наконец, если С компактно и М не ориенти-
ориентируемо вдоль С, то, снова согласно 3.4,
Z2^Hn(M, М-С; Z4)~tfB_,(M, М-С; Z)*Z4 =
= {aE/f»-,(Af, М-С; Z)|4a = 0},
откуда следует, что Нп-{ {М, М — С; Z) содержит в точности
один ненулевой элемент конечного порядка. []
3.6. Следствие. Для произвольного множества АаМ обо-
обозначим через сь(А) число ограниченных компонент множества А
(т. е. компонент, замыкание которых в М компактно). Если
М — связное п-многообразие и X с М — окрестностный ретракт
(X Ф М), то
C.7) сь(М-Х) =
= сь (М) + dim (ker [Я„_, (X; Z2) -> Я„_, (М; Z2)]).
В частности, если Нп-{(М\ Z2)=0, то
сь (М-Х) = с„ (М) + dim Я„_! (X; Z2).
Ес^ги Л/ ориентируемо, то, кроме того,
C.8) сь (М-Х) = сь (М) + rank (ker [Я„_, (Z; Z) -». Нп.х (М; Z)]).
Эти результаты обобщают теорему Жордана IV. 7.2. Грубо го-
говоря, они утверждают, что каждый нетривиальный цикл в X,
являющийся границей в М, разделяет М. Заметим, что сь{М)
равно 1 или 0 в зависимости от того, компактно М или нет.
3. Гомологии в размерностях ^ п в п-многообразиях 319
Доказательство. По аналогии с IV.7.1 легко показать,
что сь (i4) = dim Гь (Л; Z2); следовательно, сь(М — X)—
= dim Нп (М, X; Z2), и, согласно предложению 3.3, сь{М) =
= dim#,j(M; Z2). Теперь формула C.7) следует из точности по-
последовательности
Нп{Х; Z2)->Hn(M; Z2)-+Hn(M, X; Z2)->#„_,(*; Z2)->
первый член которой обращается в нуль: Нп(Х; Z2) =
s* Гй(.М, Af—X; Z2) = 0; последнее же равенство следует из того,
что М связно, а М — X непусто.
Если М ориентируемо, то cb(A) = rankTb(A) и в предыдущем
рассуждении можно заменить группу Z2 группой Z. []
3.9. Следствие. Пусть Xn~i — компактное связное (я—1)-
многообразие, Мп — ориентируемое связное п-многообразие и
/: X —*¦ М — такое вложение, что X гомологично нулю mod 2 в М
(это значит, что гомоморфизм г„: Нп-х{Х\ Z2)-+Нп~{ (М; Z2)
тривиален). Тогда X ориентируемо и гомологично нулю в М
с целыми коэффициентами.
Например, не существует вложения P2kR->R2k+1, и всякое
вложение P2kR-+P2k+lR индуцирует изоморфизм на H2k{ ; Z2).
Доказательство. Сравнение формул C.7) и C.8) пока-
показывает, что
rankker[#„_,(*; Z)± Hn-X(M; Z)\ =
= dim ker [Я„_! (X; Z2) -±> Я»-, (M; Z2)\ = 1
(последнее следует из того, что i* = 0). Поэтому Нп-\{Х\ Z) = Z
(см. 3.4), и группа im(O конечна; так как Нп-х(М\ Z) — группа
без кручения, то im(O = 0 (см. 3.5). []
Доказательство предложения 3.3. Заметим сна-
сначала, что образ отображения / действительно содержится в Г6,
потому что каждый гомологический класс у имеет представляю-
представляющую цепь в компактной части К многообразия М (и, значит,
(Jy) Р ф 0 =# Р е К). Дальнейшее рассуждение проводится в не-
несколько шагов.
Случай 1. X открыто, Y — M — открытое подмножество
сферы Sn.
Для целых коэффициентов, G = Z, утверждение содержится
в IV. 6.4; надо только заметить, что ТЬ(М — X) = T(Sn—X,
Sn — У). Для произвольных коэффициентов G оно доказывается
так же; более того, наиболее трудный шаг 5 этого доказатель-
320 Гл. VII/. Многообразия
ства можно здесь опустить, так как X и Y по предположению
открыты.
г
Случай 2. X открыто, Y = М = \] V,• есть конечное объеди-
;=i
нение множеств Vit каждое из которых гомеоморфно открытому
подмножеству пространства R".
Этот случай сводится к случаю 1 применением принципа
Майера — Вьеториса IV. 6.7, который утверждает следующее:
C.10) Если (Y; Хь Х2) — вырезаемая триада в М и если пары
(Y, Xi), (Y, Х2) и (Y, Х{ (J Х2) удовлетворяют условиям 3.3 (а) и
3.3 (Ь), то этим условиям удовлетворяет и пара (У, Х{ П Х2).
В IV. 6.7 мы предполагали, что G = Z и M = Sn, но дока-
доказательство остается точно таким же для общего случая (ЗЛО).
Вернемся к нашим предположениям: если г=\, мы нахо-
находимся в предыдущей ситуации. В общем случае используем
индукцию по г; если г > 1, то М = V[ (J V'2, где Vi — объедине-
объединение евклидовых открытых множеств в количестве, меньшем г.
Тогда можно найти такие открытые множества Wk, что Wk^zVi
и М = W{ U W2. Например, можно выбрать на М некоторую
метрику р и положить
Wl = {x<=M\29(x, M-V'1)>p(x, M-Vi)};
аналогично можно поступить для W2. Пусть Xk = X U (М — Wk).
Тогда, в силу теоремы о вырезании,
Н(М, Xk)^H(V'k, УьпХы).
В силу предположения индукции (применяемого к многообра-
многообразию П), Н,(М, Xk)^Hj(V'k, V'k[\Xk) = 0 при }>п, и так как
V'k-Xk = M-Xk, то
Нп (М, Xk) - Нп (V'k, V'u П Хк) = ГЬ {V'k - Xk) = Гь(М- Xk).
Таким образом, условия 3.3 (а) и 3.3 (Ь) выполняются для пар
(М, X]), {М, Х2) и по тем же соображениям для (М, Х1[)Х2).
Поэтому, согласно C.10), они выполнены для пары (М, Xtn^2)-
Но Xt П Х2 = X, поскольку
(М - Г,) П (М - W2) = M - (Wy U W2) = 0.
Случай 3. Y = М — то же, что в случае 2 (конечное объеди-
объединение евклидовых открытых множеств), X — произвольный окре-
стностный ретракт.
Как и в IV. 6.4, это наиболее трудный случай. Доказатель-
Доказательство очень похоже на шаг 5 из IV. 6.4, но имеет смысл повто-
3. Гомологии в размерностях ^ п в п-шогообразиях ¦ 321
рить это рассуждение, поскольку мы находимся теперь в не-
несколько иной ситуации. Заметим, что как само многообразие М,
так и всякий его окрестностный ретракт есть ENR (см. IV. 8.10).
Можно предположить, что М связно (в противном случае
мы должны отдельно рассмотреть каждую компоненту) и что
X ф М. Тогда Т(М, М — Х) = 0 и гомоморфизм НпХ->НпМ
тривиален, поскольку он разлагается в композицию НпХ—*¦
¦—* Г;,(М, М — X)-* \\М ^ НпМ. Гомологическая последователь-
последовательность пары (М, X) показывает, следовательно, что Ht(M, Х)&
^ И'i~\X при i > п. Далее, если U ф М — открытое множество,
которое ретрагируется на X, то Hi-lX<=iHi-[ Us?Ht(M, U) — 0
(последнее — в силу случая 2). Это доказывает часть (а) предло-
предложения 3.3.
Для доказательства (Ь) рассмотрим диаграмму
0 -». НпМ ^* Нп (М, X) -». Hn-iX -> 0
(з.П) i- t [> |7
0 -> TbM -?* Vb (M—X) -* f (M—X) -* 0
где Я„_Д = ker (Я„_,Х -> Я„_,М) ш coker (и.), f (M - X) =
= coker(x') и / индуцируется отображением /. Мы видим, что
J = Jx в том и только том случае является изоморфизмом, если
J = JX есть изоморфизм. В частности, согласно случаю 2,
/у — изоморфизм для любого открытого подмножества U много-
многообразия М.
Пусть г: U'-> X — ретракция открытого подмножества. Если
выбрать U достаточно малым, то отображения ixr, iu: U-+M,
где ix, iu — включения, гомотопны (см. IV. 8.6); следовательно,
i*rt = i?, а потому г„ отображает HU = ker(/^) в HX = ker(i$)
и является левым обратным к /„: HK-+HU. В частности, г»
есть мономорфизм, и из диаграммы
C.12) [Г
f(M-X)-*f(M — U)
видно, что / также есть мономорфизм.
Чтобы доказать его эпиморфность, мы выбираем для произ-
произвольной точки QeM — X открытое множество Vq, такое, что
XcrVQc:[/ —Q и отображения iQ(r\VQ), kQ: VQ-*U — Q, где
iQ, kQ — включения, гомотопны (это возможно в силу IV. 8.6);
322
Гл. VIII. Многообразия
тогда iq* (r | VQ)t = kq*. Вся ситуация в целом записывается
в виде диаграммы
„_,V
Яп_, (U - Q)
C.13)
>- Г
Т(М-Х) ~>- Г (Л* -
Г ((М - U) U Q) -^ f (M - ?/)
-%
Пусть pQ = (r\VQ)tJ-ljQ: T(M-X)->Hn^X. Тогда
C.14) i'QJpQ=i'Q,
поскольку
jVpq = ifQ4r I vq)J~1Iq = ^"«* (r I vq\ ' "xJq =
= Уй^*У Jq = KqJJ ]Q== Kq]q— Iq.
Компонируя C.14) с Iq, мы получаем, что (г//)р<э = г/. Правая
часть этого равенства не зависит от Q, и i'J — Ji, есть моно-
мономорфизм; следовательно, р = pQ также не зависит от Q. Мы
утверждаем, что 7p = id; из этого будет следовать, что 7 есть
эпиморфизм.
Пусть seFj(M — X), и пусть seF(AI-X) — класс, содер-
содержащий s. Пусть, далее, а е ГЬ(М — X) — представитель класса
7p(s). Мы должны показать, что s и о различаются лишь гло-
глобальным сечением t^Tb(M). В силу C.14),
iQ§; следо-
следоb o Q
вательно, s\(M — U)[)Q и о\{М —U)[)Q различаются лишь
глобальным сечением tQ<^Yb(M). Все такие tQ совпадают на
М — U (там они равны s — а), и потому совпадают (М связно!),
скажем, tQ — t. Отсюда следует, что sQ — aQ = tQ для всех
QeM — X, что и требовалось доказать.
Случай 4. М — то же, что в случаях 2 и 3, X и Y — произ-
произвольные окрестностные ретракты.
Можно применить случай 3 к обеим парам (М, X) и (М, Y).
Тогда гомологическая последовательность тройки X cz Y с М
дает требуемый результат для пары (У, X), как в шаге 6 дока-
доказательства предложения IV. 6.4.
Случай 5. Общий случай. Пусть у se Hk(Y, X), и пусть
z se SY — представитель класса у. Так как z имеет компактный
носитель, существует такое конечное объединение W коорди-
координатных окрестностей, что z^SW. Если k>n, то [z] se
е H/tiY[}W, Xf]W) равняется нулю согласно случаю 4 (при-
3. Гомологии в размерностях ^лв п-многообразиях 323
мененному к многообразию W); следовательно, y = i*[z]=0
(/ — включение). Если k = n, рассмотрим диаграмму
Hn(Y[]W, X(\W)±+Hn{Y,X)
C.15) «l>
0-+Fb(W-X, W -Y)—>rb{M-X, M-Y)
где e — отображение, продолжающее нулем каждое сечение (ко-
(которое обращается в нуль вне некоторого компактного множе-
множества в W); ясно, что е есть мономорфизм. Левое отображе-
отображение / является изоморфизмом согласно предыдущему случаю
(примененному к многообразию W); следовательно,
Jy = 0 #е/ [г] = 0 # [г] = О =ф у = 0.
Остается доказать эпиморфность отображения /: Hn(Y, X)-+
-*ТЬ{М — Х, M — Y). Если s^Tb(M-X, M — Y), то s рав-
равняется нулю вне некоторого компактного подмножества К
многообразия М и К, содержится в конечном объединении W
координатных окрестностей. Поэтому s содержится в образе
отображения е и, как это видно из диаграммы C.15), в образе
отображения /. []
3.16. Упражнения. 1. Если X czY — открытые подмножества
многообразия М, то г изоморфно отображает ТЬ(М — X, М—Y)
на группу TC(Y — X) сечений с компактным носителем, т. е. на
группу таких сечений se Г (F — X), что множество Y—X—s~l @)
компактно. Изоморфизм г получается сужением, обратный изо-
изоморфизм /~' — тривиальным продолжением сечений.
Группа TC(Y — X) представляет самостоятельный интерес,
поскольку она зависит только от Y — X и части ориентирую-
ориентирующего накрытия над Y — X и не зависит от объемлющего мно-
многообразия М. Для ориентируемого У или в случае коэффи-
коэффициентов Z2 она зависит только от пространства Y — X; в этом
случае, следовательно, и Hn(Y, X) зависит только от Y — X. Мы
увидим в предложении 7.14, что аналогичный результат имеет
место для всех гомологических групп Н (Y, X).
2. Если М есть «-многообразие, А с М п G — абелева группа,
то существует единственное семейство гомоморфизмов а': Г(Л; Z)®
® G —> Г (A; G), которое естественно по отношению к включе-
включениям и для одноточечных множеств А = Р совпадает с изомор-
изоморфизмом Нп(M,M-P;Z)®Gsz Нп(М, М - Р; G) из 2.1.
3. Если X czY — окрестностные ретракты в ориентируемом
/г-многообразии М, то гомоморфизмы
a': Tb(M~X, M-Y; Z)®G^Yb{M-X, M-Y; G),
а: Hn{Y, X)®G-*Hn(Y, X; G)
324 Гл. VIII. Многообразия
являются изоморфизмами для всех G. Из этого вытекает (как
в 3.5), что группа Нп-х(У, X; Z) не имеет кручения.
4*. Пусть L есть я-мерное (^-многообразие и V a L. Опре-
Определите гомоморфизм
J'v: Hn(L,L~iV;G)-+rb(iV\G),
как в B.15), где iV = V [\iL, и покажите, что если L — iV есть
окрестностный ретракт, то Гу— изоморфизм. (Указание: сведите
это к абсолютному случаю 3.3 приклеиванием воротника к L.)
Найдите аналогичные условия для V, которые обеспечивали бы
изоморфизм Я„_, (L — iV,L — V;G)e* Гь (dV; G), где dV = V Л dL.
4. Фундаментальный класс и степень
Для открытых подмножеств сферы 5" эти понятия нам уже
известны (см. IV. 5; VII. 2.14). Сейчас мы коротко обсудим не-
некоторые их обобщения для произвольных многообразий.
4.1. Определение. Пусть М" — ориентированное «-многооб-
«-многообразие, ОеГ(М; Z)— его ориентация и К — его компактное
подмножество. Тогда в группе Нп(М, М — К', Z) имеется един-
единственный элемент ок, переходящий при изоморфизме / из 3.3
в (О ] К) ^ Г (К; Z). Таким образом, класс ок характеризуется
тем свойством, что для любой точки Р е К. индуцированный
включением гомоморфизм if: Нп{М, М — К)-+Нп{М, М — Р)
переводит его в О(Р). Такой элемент ок называется фундамен-
фундаментальным классом вблизи /С- В частности, если многообразие М
само компактно, то имеется фундаментальный класс ом е
е Нп (М; Z). Если множество К. связно и непусто, то
Нп (М, М — k; Z) ss ГК = Z и ок есть образующая этой группы.
Если многообразие М не ориентировано (или даже не ориен-
ориентируемо), то мы можем дословно повторить приведенное выше
определение, взяв гомологии с коэффициентами в Z2. Это за-
замечание относится ко всему § 4: мы говорим об ориентирован-
ориентированных многообразиях, но вся теория сохраняется и в неориенти-
неориентированном случае, только группу Z надлежит заменить группой Z2.
4.2. Определение. Пусть f: M'n-*Mn — непрерывное отобра-
отображение одного «-многообразия в другое, и пусть К — такое
непустое связное компактное подмножество многообразия М,
что множество f~lK также компактно. Тогда отображение
/,: Нп(М', М'-Г]К)->Я„(М, М-К)переводитof_lKв классок,
умноженный на некоторое целое число. Это число называется
степенью отображения f над К. и обозначается через deg^/;
таким образом, /»(о t ) == (degK/) oK. В случае /С=0 сте-
4. Фундаментальный класс и степень 326
пень deg^ f не определена; мы будем считать, что deg0f есть
множество всех целых чисел.
Если, скажем, К.— точка и М, М' — открытые подмножества
сферы 5", то определение степени deg# / сводится к определе-
определению, данному в § 5 гл. IV. Если /"'/( = 0 (например, К, —
точка, лежащая вне множества im(/)), то deg^/ = 0. Если / есть
включение открытого множества М' в М (с О' — О \ М'), то
deg# / = 1 Для любого К с= М'. Вообще если / — гомеомор-
гомеоморфизм многообразия М' на открытое подмножество многообра-
многообразия М, то deg#/ = ±l для любого /(c:im(/). Все это совер-
совершенно очевидно (ср. IV. 5.4).
Иногда бывает удобно заменить f~xK большим компактным
множеством. Это делается следующим образом:
4.3. Предложение. Если /i M'-^-M и КаМ такие же, как
в 4.2, и К.' с= М' — любое компактное множество, содержащее
Г1 К, то отображение f,: Н(М', М' — /С) -> Н {М, М - К) пере-
переводит фундаментальный класс о„, в (degKf^o^.
Доказательство. Индуцированный включением гомо-
гомоморфизм Н(М', М'-К')->Н(М', M'-f~lK) переводит ок,
в о _j (по определению фундаментального класса о). Поэтому
композиция Н(М', М' -К')-*Н (М', М' - /"'/() -^ Н (М, М-К)
переводит ок, в ft(of_^ = (degKf)oK. Q
4.4. Предложение. Если f: М'->М и К<= М такие же, как
в 4.2, и если I с К —другое компактное множество, то отобра-
отображение /v Н(М', М' — f~lf)-+H{M, M — I) переводит of_l{
в (degK f)oj. В частности, deg,f — degKf для любого (непу-
(непустого) связного компактного подмножества I множества К-
Отсюда следует, например, что deg# f = degP f для любой
точки Р^К. В частности, если /(<?im(f), то Р ^im(f) для
некоторой точки Р е К, и потому deg^ / = degP f = 0.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму
Я (Л*', М' - Г1 К) -^> Я (М, М - К)
\ |
Я (AT, M' - f~ll) Д. Я (AT, AT — /)
где i, i' — включения. Проводя по этой диаграмме элемент о _.
мы получаем о . t-^(degKf')oK>—^(degKf^oJ<) о ,
-/.(orI/). D
326 Гл. VIII. Многообразия
Если множество / ХК компактно для любого компактного
К,сМ, то /: М'-*¦ М называется собственным отображением.
Например, всякий гомеоморфизм М' -* М является собственным
отображением. Если М' само компактно, то любое непрерыв-
непрерывное отображение М' -> М собственное.
4.5. Предложение и определение. Если f: M'->M —
собственное отображение одного ориентированного многообразия
в другое и М связно, то число deg^- / одно и то же для всех
связных компактных непустых подмножеств К многообразия М.
Это число называется степенью отображения f и обозначается
через deg/. Равенство ftfo _, ) = (deg/) о^ выполнено для всех
компактных множеств К, с М, как связных, так и нет.
Например, если М и М' компактны, то степень deg/ ха-
характеризуется формулой /„ (ом,) = (deg /) ом. Если М' компакт-
компактно, а М нет, то degf = O, так как \т{1)фМ. В общем слу-
случае, если f: М—>М' — гомеоморфизм и М связно, то deg/ = ±l;
в первом случае гомеоморфизм f называется сохраняющим
ориентацию, а во втором — обращающим ориентацию.
Доказательство. Для любых компактных множеств /(',
К2 с: М можно найти связное компактное множество K,czM,
содержащее как К1, так и /С2 (покроем /С1 [}К2 конечным числом
замкнутых шаров и соединим эти шары дугами). В силу пред-
предложения 4.4,
»)V v=1.2. ?
4.6. Следствие. Пусть М", ЛГ, М—ориентированные п-мно-
п-многообразия, причем многообразие М' связно. Пусть, далее,
g: М" —> М' — собственное отображение и f: М'-> М — произ-
произвольное непрерывное отображение. Если К cz M — компактное
связное непустое множество с компактным прообразом f~lK, то
deg^ (fg) = (deg g) (deg# f). В частности, если отображение f также
является собственным, а М связным, то deg (fg) = (deg g) (deg f).
Доказательство. Имеем deg(fg)otr = (fg)to
A (fg) 'K
= f*[(deS g)of_iK\^=(deg g)(degKf)oK; второе равенство следует
из последней части предложения 4.5. []
Следующее предложение обобщает предложение VI. 5.8:
4.7. Предложение (аддитивность). Пусть /: М'->М и
/(с: М такие же, как в 4.2, и пусть М — конечное объединение
открытых множеств М\, k = l, 2, ..., г, причем множества
К,'х — C~1К){]М'к попарно не пересекаются. Тогда deg^f==
4. Фундаментальный класс и степень 327
fK, где fl — f\M'K (каждое множество К[ компактно,
Л= 1
так как f~'/( есть топологическая сумма множеств /A).
Доказательство. Рассмотрим отображения
h=1
где t" — включения и Q^.f~lK — произвольная точка. Если при-
применить эту композицию к [о , \, то все компоненты о , пе-
рейдут в нуль, за исключением той компоненты о ,, для кото-
кото} (
рой Q е К'^, а она перейдет в oQ. Следовательно, /? Г{^} (о |1 = oQ
для любой точки Q e f~lK, и потому {/,*} f о , ) —о _j (ср. 4.1).
Благодаря этому
* о»»=f. (»г *) - /. к) {vj - ю {\}=
Предложение 4.7 позволяет интерпретировать число degpf как
«количество точек прообраза f~yP, подсчитываемое с их крат-
ностями». За подробностями мы отсылаем читателя к замеча-
замечаниям после предложения IV. 5.8; они переносятся на наш общий
случай дословно.
4.8. Пример. Если X cz R" — компактное связное (я —^-мно-
—^-многообразие, то множество R" — X имеет две компоненты, одну
ограниченную, скажем V, и одну неограниченную, скажем W
(ср. 3.7). Положим B = V \jX — Vl). Это — окрестностный ре-
тракт. Действительно, если р: U —> X — окрестностная ретрак-
ретракция, то отображение г: U[) V-*¦ В, определяемое формулами
r\B — id, r\(U — V) = p\(U — V), также является окрестностной
') Докажем равенство V\jX = V. Включение V c{V\}X) очевидно. Пред-
Предположим, что X qt_ V; тогда X содержит такой маленький открытый (я— 1)-
шар D, что D П V = 0. В этом случае W [} D открыто в R и R — (X .— D) =
= V U W U D; в частности, V — ограниченная компонента множества R —(X—D).
Но Hn-i(X—D; гг)йГA, D; Z2) = 0 в силу 3,3; поэтому, согласно 3.7,
Rn —(X — D) не имеет ограниченной компоненты. , ..
328 Гл. VIII. Многообразия
ретракцией. Если X локально плоско (см. 1.8) в R", то В, как
легко видеть, есть многообразие с краем X.
Имеется теорема Хопфа, утверждающая, что если v(*) —
ненулевой вектор с началом х, непрерывно зависящий от точки
х^Х и направленный во внешнюю часть множества В, то
степень отображения X-+Sn~\ x>->v(x)/\\v(x)\\, равна эйлеро-
эйлеровой характеристике пространства В. Чтобы аккуратно доказать
это, заметим сначала, что Нп (В, X) s* Tb (Rn — X, W) =* TV ?* Z.
Пусть о e Hn (B, X) — образующая, переходящая для Р е V в
oP s Hn (B, B-P) = Hn (Rn, R" - P).
Тогда до есть образующая группы Я,(_,Х (так как НпВ^
^ГЬ(К", W) = 0 и ЯВ_,В^ЯВ(РВ, Б)^ГЬ(К"-В) = О, то
5»: Я„(В, Х)-^-Нп-]Х есть изоморфизм). Эту образующую
группы Нп-\Х и аналогичную образующую группы Hn-xSn~l
мы и используем для определения степени отображения
X-*Sn~l. Теорему Хопфа можно теперь переформулировать
следующим образом:
4.9. Предложение. Если qp: X-+B — отображение, гомотоп-
гомотопное включению v. X-+B и не имеющее неподвижных точек
(ф ~ I, (f{x)?=x), то степень отображения g: X~>Sn~l, g(x) =
— {х — ф {х)I\\ х — ф (л:) ||, равна эйлеровой характеристике про-
пространства В, deg(g) = %(B).
Доказательство. Мы можем продолжить отображение ф
до такого отображения Ф: В-*-В, что CP^id. Такое продолже-
продолжение существует, поскольку пара X с В удовлетворяет аксиоме
продолжения гомотопии (см. IV. 8.13, упр. 3), но в данном слу-
случае его можно построить следующим образом. Сначала про-
продолжим ф до некоторого отображения а|э: U-+B, где U — окрест-
окрестность многообразия X в В, и построим деформацию й: и\[0,1]->В
с d(u, 0) = i|3«, d(u, \) = u\ это можно сделать в силу 6.2. За-
Затем выберем такую непрерывную функцию т: В-+[0, 2], что
т|Х = 0, х\(В — ?/) = 2, и определим отображение
D: ВХ[0, 1]-*В
формулой
Г d(b, min(l, t + xu)) прит«<1,
D (о, t)==\ , . ,
х ' (. b при то > 1.
Полагая Ф(Ь) = D(b, 0), мы получаем требуемое отображение
Ф: В->В и D есть гомотопия Ф~1A.
Пусть F — множество неподвижных точек отображения Ф.
Алгебраическое число /ф неподвижных точек отображения Ф
4. Фундаментальный класс и степень 329
совпадает, ввиду включения F czV, с алгебраическим числом
неподвижных точек сужения Ф\У: V->В aRn (см. VII. 5.11).
Последнее совпадает с локальной степенью над 0 отображения
G: V->Rn, определяемого формулой Gv = v — Фо (см. VII. 5.2).
Как было сказано выше, фундаментальный класс oF e
еЯ,(К, V — F)з* Нп(В, В — F) является образом класса ое
6ЙЛ(В, X), и потому отображение
G; (В, X) -> (R", R" - {0}), Gb = b-<$>b
переводит о в образующую о0еЯ„(К°, Rn — {0}), умноженную
на /ф.
Отсюда следует, что G \X: X-*-Rn — {0} переводит 5,0 в умно-
умноженную на /ф образующую группы #„_, (R" — {0}) ^ Hn-lSn~l-
Но G | X есть, по существу (с точностью до гомотопии), g,
и поэтому deg(g) = .Ai>. С другой стороны, в силу VII. 6.6,
/ф==лф = л(ил)=х(Я). D
4.10. Упражнения. 1. Пусть М — ориентируемое «-многооб-
«-многообразие и X — его компактное (но не обязательно связное)
подмногообразие размерности п—1, которое является границей
mod 2, т. е. такое, что его фундаментальный класс б mod 2
лежит в ядре гомоморфизма /„: Hn-i(X; Z2)—>Hn-i(M; Z2), где
/ — включение. Тогда многообразие X ориентируемо, и его можно
ориентировать так, что его целочисленный фундаментальный
класс о будет принадлежать ker(i,: Нп-{ (X; Z)->#n_,(M; Z)).
Этот факт обобщает предложение 3.9. Доказывается он при
помощи диаграммы
Г„ (М -X;Z)si Я„ (М, X; Z) -> Я„_, (X; Z) -> Нп.х (М; Z)
III!
Гь (М - X; Zp) е& Нп (М, X; Zp) -> Яв_, (X; Zp) -> Я„_, (Л1; Zp)
рассматриваемой сначала для р==2, а затем для остальных
простых р.
2. Если Mm, Af" — ориентированные многообразия и / с: М,
К cz Л^ — компактные подмножества, то oIXK—OjX.oK (ср.
VII. 2.15). Если /: М""-->ЛГ, g: N'n-> iV" - отображения ориен-
ориентированных многообразий в ориентированные многообразия, то
deg/XK (/ X g) = (deg/f) (deg^), если члены этого равенства
определены.
3. Если в: [0, \}ХМгп-*Мп — деформация (М и М' ориен-
ориентированы) и К с: М — такое (непустое) связное компактное множе-
330 Гл. VIII. Многообразия
ство, что в 1К компактно, то deg^eo=degA-e1 (ср. IV. 5.13, упр. 3).
Покажите, что каждый комплексно линейный изоморфизм qp: С"—*¦
—> С" имеет степень + 1 (указание: qp~id).
4. Каждое собственное отображение R-*R имеет степень 0
или ± 1. Определите степень отображения х н-> xk, k = 0, 1, 2, ...
(для j;eR, а также для х е С).
5*. Докажите, что если х: Sn-> Sn — инволюция, т. е. TT = id
и % ф id, то хР =—Р для некоторой точки P^Sn. Указания.
Для каждой точки jeS" обозначим через f(x) центр геодези-
геодезической дуги, соединяющей х и хх; если хх Ф — х ни при каком
х е S", то этим определено отображение /: S"->5", причем
f(x) = f(xx) и / ^ id (гомотопия осуществляется деформацией
вдоль дуг больших кругов); следовательно, deg/=l. Положим
М = {х е= S" | тл: ^ л:} и М' = /"'М; тогда deg(/|M': ЛГ->ЛГ) =
:= deg f = 1. Но /| ЛГ разлагается в композицию М'—>М"—*-М,
где М" получается из М' отождествлением точек х и хх. На-
Накрывающее отображение я имеет четную степень, и потому
deg (f | М') = (deg f") (deg я) = 0 mod 2.
Обобщение: если т: Sn—>-Sn — такое отображение, что xk = id,
х =т^= id, то Р + тР + х2Р + ... + tfe" lP = 0 для некоторой точки
6*. Пусть Yi: Мх->-М обозначает для произвольного много-
многообразия М ориентирующее накрытие (см.2.11), и т: М1->М1 —
каноническую инволюцию t(w) = — и. Отображение /: М'п-*Мп
называется ориентируемым, если существует такое отображение
f, :М\-*-М[, что yjj = /y, и Tfl=/1T'; это отображение f[ назы-
называется ориентацией отображения f. (Например, всякий гомео-
гомеоморфизм многообразия М' на открытое подмножество много-
многообразия М ориентируем. Если многообразия М и М' ориенти-
ориентированы посредством О и О', то любое отображение /: М' -> М
обладает единственной ориентацией f,, удовлетворяющей условию
f! о О' = О о f.) Покажите, что сказанное выше о степени ото-
отображений (с целыми коэффициентами) обобщается на ориенти-
ориентируемые отображения посредством замены f отображением fi
(напомним, что многообразие Mi обладает канонической ори-
ориентацией).
7. Если /: М'—*¦ М — отображение одного ориентированного
многообразия в другое и К cz M — связное компактное множе-
множество, то иногда удается определить степень deg^ / даже в том
-случае, когда множество f~lK не компактно. Предположим,
5. Пределы 331
например, что множество f '/С является дизъюнктным объеди-
объединением множеств Кк, Я е Л, которые одновременно компактны
и открыты в f~lK. Выберем такие открытые множества М{ а М',
что Кь = (Г1К)ПМк, и положим degKf=ZdegKfl (где f =
= f \М'к), если это выражение имеет смысл (deg^f может быть
целым числом или ± оо). Например, если / — накрытие одного
ориентированного (связного) многообразия другим, то degpf
для любой точки Р^М есть число листов (возможно, оо).
5. Пределы
Пределы пространств или групп фактически уже появлялись
в нескольких местах (см., например, 3.3, 2.2 и IV. 6.4), но явно
не упоминались. Во всех этих случаях нам удавалось обойтись
без общей теории пределов, и мы не обращались к ней, просто
чтобы сделать изложение более кратким. Однако некоторые
более глубокие результаты теории многообразий (§ 7) невозможно
получить, не пользуясь пределами, и мы приступаем к их
систематическому изучению. Более общие пределы (в смысле
Кана) обсуждаются в добавлении (ср. Д.1).
5.1. Определение. Отношение Я^ц на множестве Л назы-
называется квазиупорядочением, если
0) Я^Я для любого 1еЛ (рефлексивность),
(ii) A,<In<Iv=^A,^v (трлнзитивность).
Квазиупорядоченное множество называется направленным,
если для любой пары Я, Я' е Л существует элемент цеЛ,
такой, что Я<; ц и Я'<ц.
5.2. Определение. Если Л — квазиупорядоченное множество
и Ж — категория, то прямая А-система (в Ж) определяется как
функция D, относящая каждому элементу Я se Л объект Dk кате-
категории Ж и каждой паре J,, цеЛс ^<ц морфизм D?J: Dk-^D^.,
причем Dk = id и D^D^ = Dl при Я<;ц<^. Другими словами,
если рассматривать Л как категорию с объектами Я и морфиз-
мами Л —> ц, взаимно однозначно соответствующими отношениям
Я<1 |х, то прямая система—это функтор D: К-*Ж.
Кофунктор I: А->Ж называется обратной А-системой (в Ж).
Он относит элементу Я множества Л объект /Л категории Ж,
а паре Я, цеЛ с Я^ц —морфизм It: F->1%, причем I\ = id
и Iill^ll при Я<
332 Гл. VIII. Многообразия
Естественное преобразование D—>D' (соответственно /->/')
одного функтора в другой называют также преобразованием
прямых (обратных) систем. Прямые (обратные) системы и их
преобразования образуют категорию {Л, Ж} (соответственно
{Л, Жор}). Замена категории Ж двойственной категорией Жор
(или категории Л категорией Лор) переводит одну из них в другую.
Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением прямых
систем.
5.3. Примеры. Если множество Л упорядочено тривиальным
образом (Я,^ ц^Х = ц), то Л-системы — это просто Л-семейства
{Dk}1iebA объектов. Если Л = N — множество натуральных чисел
с обычным упорядочением, то Л-системы — это последователь-
последовательности Di-*¦ D2->D3 —*¦ • • • (соответственно /' <—Г2<-13<-•••) в
категории Ж. Если Л — множество открытых подмножеств то-
топологического пространства Y и отношение ^ означает вклю-
включение, то обратные Л-системы называют обычно предпучками
(над Y со значениями в Ж). В последних двух примерах мно-
множества Л являются направленными, а в первом — нет (если Л
состоит более чем из одного элемента). Другим примером на-
направленного множества Л является множество (квази)компактных
подмножеств пространства Y (упорядоченное по включению).
5.4. Определение. Пусть Л — квазиупорядоченное множество,
а Ж — категория. Зафиксируем объект К. е= Ж и рассмотрим
постоянный функтор Л.-+Ж, переводящий все элементы АеЛ
в К и все отношения A,<Iji в id^-; этот функтор будет также
обозначаться буквой /(. Преобразование ф: D->K. произвольной
прямой системы в К, относит каждому А е Л морфизм q\: Dk—>- К,,
такой, что <f>llD^ = (pk при Я^
Зафиксируем теперь произвольную прямую систему D. Пре-
Преобразование и: D—*-L, где L eJ, называется универсальным,
если соответствие
Ж{Ь, /C)-*Transf(?), К), о|^а|>°«, A|>°«)л = о|>°%
является взаимно однозначным для любого объекта К, катего-
категории Ж, т.е. если для любого преобразования qp: D->K. суще-
существует единственный морфизм т|з: L-+K., такой, что ф^ = т|>«Л
для любого J,eA. Например, если функтор D сам постоянен,
Dk=*L, Dtt = idL, то универсальным является тождественное
преобразование id?.
Если универсальное преобразование существует, то оно в неко-
некотором смысле единственно. Сформулируем это более точно.
5. Пределы 333
5.5. Предложение и определение. Если и: D-+L, и': D->
-> L' — два универсальных преобразования, то имеется единствен-
единственный морфизм и: L-+L', такой, что ки = ис, и он является экви-
эквивалентностью, L ?ё V.
Если универсальное преобразование и: D^>-L существует,
то L называется (прямым) пределом системы D; обозначение:
L = limD. Мы будем писать также L==lim{DA|A,eA} или
L = lim{DK}, если из контекста ясно, о каких морфизмах Dt
(и каком множестве Л) идет речь. Если ф: D-+K — произвольное
преобразование, то для соответствующего морфизма т|) (см. 5.4)
мы используем также запись {ф^}: lim {Dk}->K.
Двойственным образом для обратных систем / определяется
универсальное преобразование и: L-+I и вводятся обозначения
L = lim / = lim {/*}, {Ф*}: /С—*¦ Hm {/Л}.
Доказательство предложения 5.5. В силу универ-
универсальности и, и\ имеются единственное преобразование и: L-*-L'
с ш = и' и единственное преобразование v!\ L' —*¦ L с и'«'=«.
Отсюда следует, что х'ш = и, и так как и универсально, то
x'x = idi; подобным же образом Ku' = idL'. []
5.6 (ср. I. 1.15). Если множество Л упорядочено тривиальным
образом (Я,^цО^ = и)> то предел HmZ) (если он существует)
совпадает с копроизведением LJ Dk семейства {Dk}Xe,A, а мор-
физмы 1Й: Dp-*- LJ Dk являются вложениями комножителеи. В не-
которых конкретных категориях {s&§, &~op, .,.) копроизведение
LJDi обозначается также через ф/\ и называется (прямой, или
Л
топологической) суммой, а морфизмы i^ называются включени-
включениями слагаемых D^.
' Двойственным образом lim/ совпадает в указанном случае
с произведением П 1К'
Для любого квазиупорядоченного множества предел limZ)
можно трактовать как «факторобъект копроизведения LJ DK»,
a lim / — как «подобъект произведения П / ». Мы не обсуж-
обсуждаем здесь общего случая (см. Митчел [1, 11,2]), однако при-
приведем следующую формулировку:
5.7. Предложение. Пусть D: Л->• s4% — прямая система абе-
мвых групп {модулей, комплексов). Тогда предел lim D является
334 Гл. VIII. Многообразия
факторгруппой (фактормодулем, факторкомплексом) прямой сум-
суммы © Dk no подгруппе (подмодулю, подкомплексу) с образую-
1А
щими (и — 1Й?>я)(*я), где хк е Dx, A<fi,«u- включение. Универ-
Универсальное преобразование v = {i»;J определяется как композиция
veA v e Л
Двойственным образом
В частности, эти пределы всегда существуют.
Доказательство. Положим L = ф Dv/{ivxv —
veA
Если {ф^: Dk->К} — некоторое преобразование (/( — объект ка-
категории $У§), то мы должны построить afi: L-*K с ^и^ = Ф^ при
всех 1еА; так как образы im (vK), очевидно, порождают
группу L, такое отображение of) единственно. В силу универсаль-
универсального свойства 1.2.14 прямых сумм, существует такое of)': © Dv-+K,
vsA
что ty\\ = Ф\. Далее, \|/ \\xxi — ЦлО>, х%) = фя^я, — ФцО^хд, = фх,х>, —
— ФЛ = 0> и потому отображение т|/ тривиально на подгруппе
ker(proj: ®Z)V->L). Следовательно, имеется отображение i|): L->K
с т|з proj = of)' и if>i\ = т|з proj i^ = т|Лх = фЛ. Для lim / проходит
двойственное рассуждение. []
5.8. Следствие. Пусть t — контравариантный функтор из ка-
категории абелевых групп (или модулей, или комплексов) в эту же
категорию. Если функтор t сильно аддитивен и точен справа
(см. VI .2.10), то t(\\mD) = \\m(tD) для любой прямой системы D.
Действительно, функтор t коммутирует с операциями пря-
прямого сложения и факторизации (по предположению), и потому он
коммутирует с функтором lim (см. 5.7). Q
Установим теперь несколько функториальных свойств опе-
операции lim.
5.9. Определение. Пусть D: А-+Ж, D': А'-*-Ж — прямые
системы. Если y: Л—>Л' — некоторое отображение (не обяза*
тельно сохраняющее порядок) и йх: DK-+D'yi, Я^Л, — семей-
семейство морфизмов, то мы говорим, что d = {dK}Kt_^ пропускается
через предел, если композиция отображения d с любым преоб-
преобразованием ф': D'->K, К^Ж, представляет собой преобразо-
5. Пределы 335
вание cp'd = {ф^я: DK-*K}- Другими словами, требуется, чтобы
для любого преобразования q/: ?)'->•/С и любых Я, цеЛ(с Я,^(х)
выполнялось соотношение ф' d D? = ф'^г
Если система ?)' допускает универсальное преобразование
и': D' -> lim /У, то of пропускается через предел тогда и только
тогда, когда u'd есть преобразование (это — легкое упражнение;
оно не будет использоваться в дальнейшем). Если система D
тоже имеет предел, и: D—>V\mD, и d пропускается через этот
предел, то существует единственный морфизм
E.10) limd: lim ?>->lim D',
такой, что (\\md\ux = uKdK для всех А,<=Л. Вот полезный при-
признак пропускаемое™ через предел:
5.11. Лемма. Пусть d = {dx\ DX->D'^\ ^ — семейство мор-
физмов, такое же, как в 5.9. Предположим, что для любой пары
К, (ieA с Я^р, существует реЛ' с y^ ^ P. YM- ^ P> Dy^d^Di =
= Dyt.d\. Тогда d пропускается через предел.
Действительно, для любого преобразования q/: D' —> К
5.12. Предложение. Пусть D: \-+Ж, D': А'-*Ж, D":
прямые системы и
d = {dh: DK->D'yl}^A, d' = {d-p: D'p -> ^}
те же, что и раньше. Если dud' пропускаются через предел,
то это же верно для d'd = {d'hdx: Dx -> D'^,yX\ . Если, кроме
того, системы D, D' и D" имеют пределы, то lim (d'd) =
= (limd') Oimd). ~^
Доказательство. Если ф": D"—>-К — преобразование,
то преобразованиями являются и q/'a", (cp"d')d = cp" (d'd), так
как d' и d пропускаются через предел. Следовательно, d'd также
пропускается через предел. Если все пределы существуют, то
(lim d'd} и = и" {d'd) = (u"dr) d = (HrrwT) u'd = (Hn^d') Qimd^ и
и потому lim (d'd) = (\im d'\ (lim d\ в силу универсальности пре-
преобразования и. []
33S Гл. VIII. Многообразия
Предложение 5.12 позволяет трактовать lim как функтор на
категории всех семейств морфизмов d, пропускающихся через
предел. Мы оставляем точную формулировку читателю, а сами
ограничимся рассмотрением двух часто используемых специаль-
специальных случаев E.13, 5.15).
5.13. Пример 1 (Y = id). Если d: D-^ D' — преобразование пря-
прямых систем над одним и тем же множеством Л=Л' (см. 5.2),
то d пропускается через предел, поскольку композиции преоб-
преобразований являются преобразованиями.
Предположим, например, что D: A-^-дяРЗ — прямая система
комплексов. Тогда я-цепи образуют для любого целого п пря-
прямую систему абелевых групп Dn: А-ь-зФ'З, а граничные опера-
операторы {дЬ /)?->¦/)л+1}АеЛ являются преобразованиями одной
прямой системы в другую (мы используем для обозначения раз-
размерности верхние индексы п, чтобы отличать их от А,).
5.14. Если и={ик: DK-^- L}kisK — универсальное преобразование,
то ип = {и1: D'l-> Ln}ki_A тоже универсально и потому (WmD)n =
= lim {pn). При этом отождествлении граничный гомоморфизм дп
комплекса HmD переходит в гомоморфизм Игл {<Эа}. Первое
утверждение совершенно очевидно в силу 5.7; по поводу прямого
доказательства см. упр. 4. Далее, из 5.10 и того факта, что
ик\ ?>л-»НтО есть цепное отображение, следует, что (дп)и"\ =
= ul~[dl — (lim {di])ul. Поскольку преобразование ип универ-
универсально, равенство крайних членов показывает, что дп — lim {<??}•
5Л5. Пример 2 (d^ = id). Пусть Л, Л' — квазиупорядоченные
множества и у': Л'-^-Л — сохраняющее порядок отображение
(А/<1 ц/^ y'^' ^ y'i-O- Для любой прямой системы D: К-^-Ж
композиция D' = Dy': А'-*-Ж также является прямой систе-
системой (D\' = Dy't/, Dk' — Dy't')- Далее, семейство морфизмов
d' = {dx' = id: Dk>-*- D^k'} пропускается через предел, так как
для любого преобразования qp: D—>К
В этой ситуации вместо limd' мы пишем y^,. Нтак, y^: limD'—>
->HmZ). " ~*
Часто важно знать, оставляет ли такая «замена парамет-
параметров» y'; Л'-»Л неизменным предел, т. е. является ли у' изо-
5. Пределы 337
морфизмом. Ниже (см. 5.16 и 5.17) приводится полезный кри-
критерий.
5.16. Определение. Сохраняющее порядок отображение
уг: Л'—>-Л одного направленного множества в другое называется
кофинальным, если для любого Я е Л существует такое X' е Л',
что Х^у'Х'. (По поводу обобщения этого понятия на ненаправ-
ненаправленные множества или на категории см. Д.1.7 и Д.1.12, упр. 2.)
Если включение Л' с Л кофинально, то говорят, что Л' ко-
кофинально в Л. Например, каждое бесконечное подмножество
множества N кофинально в N. Если множество Л имеет верх-
верхнюю границу т (Л < m для всех X), то подмножество Л' = {т}
кофинально; в этом случае lim D = Dm для любой системы
D: А->Ж. ~~*
5.17. Предложение. Если отображение у': Л' -> Л кофинально
и D: А-*-Ж — любая прямая система, то компонирование с у'
устанавливает взаимно однозначное соответствие между преобра-
преобразованиями ф: D-+K и преобразованиями q/: D' -> К. Таким
образом,
у': Transi(D,K)^*Transt(D',K), (у' (<p))v = <py,v = ф^,.
Более того, преобразование и: ?)->• L универсально тогда и только
тогда, когда универсально преобразование и' = у' (и): D''-*L. Сле-
Следовательно, Ym: limZ)'->limZ) — изоморфизм, если один из этих
пределов существует (в этом случае существует и другой).
Доказ ательство. Построим обратное к отображе-
отображению у' отображение е: Transf (?>', К) -*• Transf (D, К). Для
ф' е Transf (D'; К) определим (е<$\: DK->K, ЯеЛ, формулой
(еф')^ = Ф^/)^4', где Я'еЛ' выбрано таким образом, что Я < у'Х'.
Морфизм (еф')я, не зависит от X', так как если \х,' е Л' — другой
элемент, то мы можем считать, что \xf ^ X' (поскольку мно-
множество Л' направлено), и тогда
Покажем, что г^'~{{щ')к}к^к есть преобразованиеD-*К- Дейст-
Действительно, выберем для [г>А такое [г'<г Л', что ц^у'ц'. Тогда
(еф')й = Ф>Г'> Fф')а = Ф>Г' и потому (еф')Д = (еф')„ что
и требовалось доказать. Далее,
338 Гл. VIII. Многообразия
и (у'е (q/))v = (eq>')Y'v = Ф^Х>^, = Ф^. Следовательно, отображе-
отображения у'ие взаимно обратны.
Чтобы показать, что и универсально одновременно с и!', рас-
рассмотрим коммутативную диаграмму
Transf(D, К)
Ж {UK)
Transf(Z)', К).
Универсальность и означает, что верхнее отображение обратимо
при всех К, а универсальность и' — что нижнее отображение
обратимо при всех К. Q
До сих пор категория Ж, в которой брались пределы, была,
по существу, произвольной (хотя некоторые утверждения, на-
например 5.7, формулировались для абелевых групп). Последующие
результаты, напротив, будут использовать некоторые специаль-
специальные свойства объектов категории (групп,...); они не обоб-
обобщаются на произвольную категорию. Например, они не дуали-
дуализируются; двойственные утверждения для обратных пределов
абелевых групп неверны (см. упр. 5).
5.18. Предложение. Пусть Л — направленное множество
и D: Л-> s4% — прямая система абелевых групп (модулей, комп-
комплексов). Преобразование v = {vk: Oi^i}lejV является универ-
универсальным (и потому L = lim D), если выполнены следующие два
условия:
(i) L = U im (vk);
1Л
(ii) ker (vk) = [J кer (Dl) для всех К е= Л.
Л. ^ ц
Иными словами, каждый элемент у е L лежит в образе некото-
некоторого Dk, и если элемент x^Dx таков, что vl(x) = 0, то обяза-
обязательно найдется ц^Х с Di(x) = 0.
Доказательство. Пусть выполнены условия (i) и (ii).
По данному преобразованию ф: D->/C, К^Ж, мы должны
построить такой гомоморфизм "ф: L-+K., что "Ф^^Фх» Я е Л;
так как образы im(uj покрывают L, такой гЬмоморфизм един-
единствен. Заметим, что равенство ф /)? = фя влечет за собой ра-
равенство ц>к ] ker (Z)?) = 0; поэтому, в силу условия (ii), существует
единственный гомоморфизм t|^: im(vK)->K, такой, что 'ф^ = фя.
5 Пределы 339
Мы утверждаем, что гомоморфизмы семейства {^?"}^eA соста-
составляют гомоморфизм я|): L-+K- Действительно, пусть А, «С р.
Тогда
im (up) =d im (vpDl) = im (vk),
и потому "фр |im(uj = т|Л Для любых двух элементов Я, Я'
множества Л можно найти реЛ с р^Я, р^Я'; в этом слу-
случае "фр является общим продолжением а|)я и tyk'. Поэтому фор-
формулы о|э |irn(i>a,) = V1 действительно определяют гомоморфизм
¦ф: L—>K, и при этом tyvk = tylvk = (pK, что и требовалось.
Предположим теперь, что v: D -> Z. — универсальное преобра-
преобразование; мы должны доказать (i) и (И). Заметим сначала, что
U im (vx) cz L — подгруппа (или подмодуль, или подкомплекс),
так как для любых к, А'еЛ
[im (vk) U im (tv)] с: im (vp),
где р^Я, р^Я'. Рассмотрим проекцию л: L-*L/\J im(uj.
Очевидно, ли^ = 0 для любого Я е Л; в силу универсальности и,
это означает, что я = 0 и, следовательно, [] im(V}) = L.
Для доказательства утверждения (ii) предположим, что пре-
преобразование v такое же, как в предложении 5.7 (это возможно,
поскольку любые два универсальных преобразования эквива-
эквивалентны). Далее, если vk(xk) = Q, то элемент i^e © Dv имеет
veA
вид la**, = 2 AЛ — ipD^n). Так как суммирование ведется
по конечному множеству индексов, можно выбрать такое яеА,
что х^Я, (г, р (х^ всех встречающихся индексов); следова-
следовательно, это равенство имеет место в группе ф Dv. Применив
к этому равенству гомоморфизм {D*}: @Dy->Dw мы по-
лучим, что
5.19. Следствие. Если А — абелева группа (модуль, комплекс)
и {Di}k<sA — прямая система подгрупп группы А (Л — на-
направленное множество, Dk — включение), то преобразование
{iK: DK -^> U Dv ] универсально и потому lim {Dk} = {J Dk. []
340 Гл. VIII. Многообразия
Другое следствие предложения 5.18:
5.20. Предложение. Пусть Л— направленное множество,
С: Л—>д?Ф^—прямая система комплексов и и = {ик: Ск -> L}X^A—
универсальное преобразование (L = iim С). Тогда преобразование
Ни = {Ник: Я(Cf)-+ HL}leA тоже универсально, и потому
Iim {ЯСЯ} = Я (Iim (CJ).
5.21. Следствие. Если Л — направленное множество, D, Dr,
D": А.-+зФ'§—прямые системы, абелевых групп и D' —> D—> D" —
такие преобразования, что для любого X е Л последовательность
Di—* DK—*¦ D'l точна, то последовательность
также точна.
Действительно, можно рассматривать последовательность
d'-k-^Dk-^D'I как комплекс Ск с С\ — D\\ тогда комплекс
limD'-MimD-MimZ)" совпадает, в силу 5.14, с комплексом
По предположению Я°С^ = 0; поэтому, в силу 5.20,
Доказательство предложения 5.20. Пусть [г] е HL,
и пусть 2GZL — представляющий цикл. В силу 5.18 (i), суще-
существуют такие Я е Л, х е Ск, что uKx = z. Тогда 0 = дг == ди%х =
= ик(дх), и, в силу 5.18(ii), существует v^A с Dl(dx) = 0.
Таким образом, д(Dlx) = Dtдх = 0 и uv{ptx) — ukx=z, а потому
Zy = Dix — цикл, гомологический класс [zv] которого при ото-
отображении Н(uv) переходит в [г]. Следовательно, преобразование
{#(«v)}veA удовлетворяет условию 5.18 (i).
Предположим тейерь, что класс [zk] e НС% таков, что
(Я (Uf)) [^]=0, Тогда ukzk=dy для некоторого г/eL. В силу 5.18 (i),
можно найти такие veAHieCv, что uvx=y. Выберем реЛ,
удовлетворяющее условию р ^ Я, р ^ v. Тогда ир (р^г^ — dDpvx) ==
= U},zx — duvx = Q. Согласно 5.18 (ii), можно найти такое сг^р,
что D°p (D{zk — dD^x) = 0 и, следовательно, Dakzx = d(plx), а по-
потому Я(/^)[2я] = 0. Таким образом, преобразование
удовлетворяет условию 5.18 (ii). []
5. Пределы 341
5.22. Примеры. Пусть У— топологическое пространство и
Л — множество всех его квазикомпактных подмножеств. Вклю-
Включение определяет отношение порядка, которое превращает Л
в направленное множество (действительно, если к, к е Л,
то (к[}к')^А и к, к' ^(k[jk')). Функция S, относящая каждому
множеству к его сингулярный комплекс S(k) и каждой паре к,
[г с Я<[г включение S%: S(k)->S(\x), является прямой системой,
а включения /\: S(k)-*SY составляют преобразование. Оче-
Очевидно, выполнены условия (i) и (ii) предложения 5.18 (образ
каждого сингулярного симплекса квазикомпактен), и потому
S7 = lim{S(A)}, откуда, в силу 5.20, HY = lim {H(k)}. Анало-
Аналогично, H(Y, В) = lim{H(к)}, если к пробегает все пары квази-
квазикомпактных множеств в (У, В).
Для этого же пространства У обозначим через Л' некоторое
множество его открытых подмножеств, упорядоченное по вклю-
включению. Предположим, что множество Л' является направленным
и объединение всех множеств из Л' совпадает со всем про-
пространством, [)X' = Y. Каждый сингулярный симплекс лежит
в некотором к'; поэтому SY = (J 5 (к') = lim {S {к')} и HY =
= lim {H (к')}, как и в предыдущем случае.
В действительности каждое компактное множество к е Л
лежит в некотором к' еЛ', Выберем такую функцию у: Л->Л',
что kczyk для любого к е Л, и определим dK: S(k)-*-S(yk)
как включение. Легко показать, что d — {d}} пропускается
через предел и что lim d = idSK. To же верно для гомологии.
5.23. Упражнения. 1. Пусть У — топологическое простран-
пространство и S6 = {X} — семейство подпространств, направленное по
включению и такое, что объединение всех множеств этого семей-
семейства есть все пространство, [}X = Y. Включения {jx: X-+Y}Xs=gs
составляют универсальное преобразование (т. е. Y ==\im{X})
тогда и только тогда, когда топология пространства У является
тончайшей из топологий, относительно которых все включения jx
непрерывны. (Важный пример: пусть дв — множество всех ком-
компактных подмножеств пространства У; если Y — Wm.36, то У
называется k-пространетвом; см. Келли [1].) Покажите, что
если L — локально компактное пространство, то из Y = \'im{X}
следует, что У X L = lim {X X Ц-
2*. Пусть У есть ^-пространство (точки замкнуты) и T={V}~
разложение пространства У в дизъюнктное объединение под-
подмножеств (U V = У, V Л У'Ф 0 =# V = V). Пусть SB — множество
342 Гл. VIII. Многообразия
всех подпространств пространства Y, являющихся конечными
объединениями множеств из Т. Тогда $? —направленное по
включению множество. Докажите, что если F = lim^, то любое
квазикомпактное подмножество К пространства Y содержится
в некотором lef. Например, Т может быть множеством
всех клеток CW-разбиения; тогда это утверждение превращается
в предложение V. 2.6. Другой пример: Т — последовательность
множеств вида Yn — У„_ь где {Yп)п=.и 2,...—возрастающая по-
последовательность подмножеств множества Y, объединение всех
членов которой есть Y; в этом случае всякое К должно лежать
в некотором У'„.
С другой стороны, R = lim$?, где дв — множество всех счет-
счетных подмножеств прямой R, но K = [0t 1] не лежит ни в одном
множестве lef.
3. Рассмотрим последовательность
7 -^> 7 —^ 7 -^> -Д>- 7 п -Д>
/1/2 ^4 8 ' ' ' 2 ....
Ее можно рассматривать как прямую систему (Л = М) в кате-
категории @~s4-§ конечных абелевых групп или в категории st-'S всех
абелевых групп. Покажите, что в категории 9~$ФС3 прямым
пределом является тривиальная группа, в то время как в ка-
категории s&§ — нетривиальная группа. В категории ЗГзФ-'З по-
постройте последовательность, которая не имеет предела (в ЗФЗ
4. По абелевой группе А построим комплекс А следующим
образом: Л" = 0 для пфО, — 1, Л° = Л == А, а = id: А~х-+Ай.
Покажите, что для любого комплекса С = {...-?• С-»С°->
->С'-> ...} цепные отображения С->Л находятся в есте-
естественном взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами
С°->А. Используя это замечание, найдите прямое доказатель-
доказательство предложения 5.14, т. е. того, что (Нт{С\})° = Нт {cl}.
5 (ср. Стинрод и Эйленберг [1, VIII, 5.5]). Покажите, что
обратный предел обратной системы
/ i-j <3 у <3 7 <3 7 -Д- \
(над N) равен нулю. Пусть /" — постоянная обратная система
с / =Z2, /ц =id. Тогда последовательность преобразований
2
0->/—*I-*¦!"—>О точна, но соответствующая последователь-
последовательность обратных пределов 0 -> 0 —> 0 —> Z2 —>¦ 0 не является точной.
6. Чеховские когомологии 343
6. Чеховские когомологии локально компактных подмножеств
пространства R"
Чеховские когомологии НХ пространства X обычно опре-
определяются как прямой предел системы {H*(NK)}t где Я пробегает
множество всех открытых покрытий пространства X (упорядо-
(упорядоченное по измельчению), a Nk — нерв покрытия Я (см. Стинрод
и Эйленберг [1, гл. IX]). Если X — локально компактное под-
подмножество евклидова окрестностного ретракта Е, то, используя
соображения кофинальности (см. 5.17), можно показать, что
НХ ^ Him {H*V}, где V пробегает множество всех открытых
окрестностей множества X в Е (упорядоченное обратным вклю-
включением). Именно в этой форме чеховские группы естественно
возникают в (ко)гомологической теории многообразий. Поэтому
мы определим НХ как \\m{H*V} и будем изучать формальные
свойства этого функтора Н.
6.1. Определение. Пусть YczXczE, где Е есть ENR (см.
IV. 8.5), а X и Y локально компактны. Пусть, далее, А =
= А(Х, Y) — множество всех таких пар (V, W) окрестностей
множеств X, Y, что WczV. Упорядоченное обратным включе-
включением, множество Л оказывается направленным ((V, W) ^
<(У, WX^VaV и W<=W), и семейство {H*JVLW)} вместе
с гомоморфизмами сужения Н* (V', W)->H*(V, W) образует
прямую систему (градуированных) абелевых групп; коэффи-
коэффициенты теории Н* лежат в некоторой фиксированной абелевой
группе G, которая, как правило, не будет фигурировать в обо-
обозначениях. Мы определяем чеховские когомологии Н(Х, Y) про-
пространства XmodF как lim{H*(V, W)\(V, F)sA} и обозначаем
через u=uvw: H*(V, W)-> H(X, Y) универсальное преобразование,
Более подробное обозначение: Н"(Х, Y; G) = lim {Нч (V, W; G)} —
чеховская q-я когомологическая группа пространства X mod Y
с коэффициентами в группе G. Как обычно, вместо Н(Х, 0)
мы пишем НХ. Скоро мы увидим (см. 6.8), что группа Н(Х, Y)
зависит только от X и Y и не зависит от Е. Заметим, что
множество Л' открытых пар (V, lf)eA кофинально в Л, поэтому
можно, если это удобно, заменить множество Л множеством Л'
(см. 5.17).
Следующая лемма поможет нам сделать Н функтором.
6.2. Лемма. Пусть Е, Е'— евклидовы окреетпостные perракты
и X' с: Е' — локально компактное множество.
344 Гл. VIII. Многообразия
(a) Любое непрерывное отображение f: X' —> Е допускает
продолжение F: V -*Е на некоторую окрестность множества Х'\
таким образом, f — F\X'.
(b) Если F, О: Е' -> Е — два непрерывных отображения и
0*: X''->Е — гомотопия между F\X' и G\X', то существует
такая гомотопия ©t: V" ~*E, определенная на некоторой окрест-
окрестности V" множества X'', что в0 = F \V", в, = G \U" и @t \X' = 9<.
Замечание. Как легко понять, это означает, что л (X', Е) ^
&\\m{n{U', ?)}, где л(—, —) обозначает множество гомотопи-
гомотопических классов отображений (ср. 5.18).
Доказательство. Рассмотрим отображения Е —*¦ О-—*¦ Е,
где О — открытое множество в R", / — включение и r/==id. Мы
можем считать, что Е' тоже содержится в некотором евклидовом
пространстве, и тогда, как мы знаем из IV. 8.3, множество X'
обладает такой открытой окрестностью Е" в Е', что X' замк-
замкнуто в Е".
(a) Если задано отображение /: Х'-+Е, то, в силу теоремы
Титце, композиция //: X' —> Rn продолжается до отображения
Ф: E"-+Rn. Положим [/ =Ф~1 (О) и определим F: U' -* Е как гФ.
(b) По заданным отображениям F, G: Е'->Е и гомотопии
б: F\X'2nG\X' можно построить отображение d замкнутого
подмножества А = (Х'Х [0, 1]) U {Е" X 0) U (?" X D простран-
пространства ?"'Х[0, 1] в R", положив
d {%', t) = /9, (л:'), d ie", 0) = IF {e"), d (e", 1) = Ш {е").
Опять-таки в силу теоремы Титце, отображение d допускает
продолжение D: Е"*Х [0, 1]-> R". Положим U" = {у^Е"\
D(yX[0, 1])сО}. Это открытая окрестность множества X', и
формула ®t(y) = rD(y, t) определяет требуемую деформацию
в,: U"-+E. U
6.3. Определение (индуцированного отображения f). Пусть
Y а X cz E, F'cfci'- такие же тройки, как в 6.1 (евклидовы
окрестностные ретракты и их локально компактные подмноже-
подмножества), и пусть f; (X't Y')-+(X, Y) — отображение. В силу 6.2 (а),
найдутся такая окрестность U' множества X' и такое отобра-
отображение F: U'~*E, что F\X' = f. Для пары W с V (открытых)
окрестностей пары Y cz X рассмотрим композицию
F.4) Fvw: Я*G, W) -^ H*(F~W, F-lW)-^H(X\ Г),
6. Чеховские когомологии
345
где и' — универсальное преобразование прямой системы, опре-
определяющей группу H(X',Y'). Так как F' коммутирует с ото-
отображениями, индуцированными включениями (V, W)cz(V, W),
{F~XV, F~xW)a{F~lV, F~[W), то семейство {Fvw} представляет
собой преобразование прямой системы {Н* (V, W)} [в постоян-
постоянную прямую систему Н(Х', У')]. Поэтому оно индуцирует гомо-
гомоморфизм F: H(X,Y)-*H(X',Y') предела системы {H*(V, W)}
в группу Н(Х', Y') (определяемую условием Fu = {Fvw}).
Пусть G: V -*Е — другое продолжение отображения f; по-
покажем, что G = F. Рассмотрим даже более общий случай,
когда G: Т -*Е есть такое отображение открытой окрестности Т'
множества X', что G(X')czX, G{Y')cY и G\X'cs>f: (Г, У')-*
-*(Х, У) (т. е. сужение G\{X',Y') не обязательно равно f, a
должно быть всего лишь гомотопным ему). В силу 6.2 (Ь), мы
можем найти такую открытую'окрестность U"cz(U'[\Т') множе-
множества X' и такую деформацию в^. U"—*-E между G\U" и F\U",
что Qt\X' переводит {Хг, У) в (X, У). Пусть, как и выше,
W czV — пара открытых окрестностей множеств YczX. Положим
V' = {у е U" | в< (у) е V для всех t},
W' = {у е f/" I ef (у) е W для всех ^}>
Тогда W" с: V — пара открытых окрестностей множеств У с X',
а е* IV'— гомотопия F\V c~G\V: (V, W')-+(V,W). Таким
образом, {F\V')* = (G\V')*, и мы получаем коммутативную диа-
диаграмму
Я*(К И7) С >H*(F К F ИЧ
F.5)
H*(V',W)
(i—включение). Равенство внешних композиций означает, что
FVW = GVW, и потому F — G. Таким образом, отображение
f = F: Н (X, У)-> Н (X', Y') зависит только от отображения f
(а не от его продолжения F).
Итак, для любой пары {X, У), удовлетворяющей условиям
определения 6.1, мы определили градуированную группу Н (X, У)
и для любого отображения f: (X\ Y')->(X, У) — индуцирован-
индуцированный гомоморфизм Hf = f: H(X, Y)->H(X', Y'). Скоро мы
346 Гл. VIII. Многообразия
увидим, что в действительности Я есть кофунктор. Кроме того,
равенство F—G верно уже при условии F\(X', Y')~G\(Xr, У),
и это приводит к следующему результату:
6.6. Предложение. Если /, g; (X', У")->(X, У) — такие же
отображения, как в 6.3, и отображения fug гомотопны, то
l = g: H(X,Y)-*H(X',Y'). U
6.7. Предложение. Если (X", Y")^>(X', Г)-^(X, Y) -
такие же отображения, как в 6.3, то H{ff')= (Hf')(Hf); если
f = \d(X,Y), то Hf — тождественное отображение группы Н(Х, Y).
Таким образом, Я есть кофунктор на категории, объектами
которой являются пары пространств (X, Y), описанные в 6.1,
а морфизмами — непрерывные отображения (или гомотопические
классы этих отображений).
Это довольно очевидно: если F — продолжение отображе-
отображения / и F' — продолжение отображения /', то FF' — продолже-
продолжение отображения ff и потому (в обозначениях определения 6.3)
(FFTu = (FF')VW = u"{FF'f = u"F'*F* = F'rv,F* = F'u'F* = F'Fu.
Следовательно, (FF')" = F'F. Далее, отображение IdB есть про-
продолжение отображения id(A-F Y), и потому Я (id) = Id = id. []
6.8. Следствие. Если YczXczE, Y'czX'czE'— такие же
тройки, как в 6.3, j/ /: (X', У')~(Х, У) — гомотопическая экви-
эквивалентность, то f: H (X, Y)->H(X', У) — изоморфизм. Это верно
потому, что функтор переводит эквивалентности в эквивалент-
эквивалентности. \2
6.9. Определение ,(связывающего гомоморфизма 6). Пусть
Е есть ENR и У с X— локально компактная пара его под-
подмножеств (как и выше). Мы хотим определить гомоморфизм
б: HqY ->Hq+l(X, У). Относя каждой паре W cz V открытых
окрестностей пары У с X гомоморфизм
(f = t>*vv; HqW->Hq+l(V, W),
мы получаем преобразование одной прямой системы над А(Х, У)
в другую. Очевидно, соответствие (V, №)>—>{W, 0) является
кофинальным отображением множества А(Х, У) в Л (У, 0);
поэтому Пт{6и1г} представляет собой гомоморфизм 6: HqY-+
-> Hq+l (X, Y); последний называется связывающим гомомор-
гомоморфизмом. При этом 6uw = uywbyW. Для любого отображения
6. Чеховские когомологии 347
/: (Х\ У')->(Хг Y) имеет место равенство fd = 6(f\Y') (см.
5.12 (а)), т. е. 6 есть естественное преобразование одного функ-
функтора на категории пар (X, Y) в другой.,
6.10. Предложение. Если (X, Y) — такая же пара, как в 6.9,
то чеховская когомологическая последовательность
... -1* Н"Х --> HqY -^ Hq+l (X, Y) -1* НЧ+ХХ —> Hq+XY -^ ...
точна.
Доказательство. Пусть Л = Л(Х, Y) — направленная
система всех пар WaV окрестностей множеств YczX. Ото-
Отображения
Л (Г, 0)+-К{Х, Y)->A(X, 0), (W, 0)*-*(V, W)^(V, 0)
кофинальны, и потому
lim {H*W | {V, F)eA} = HX, lim {H*V I (V, W) e= Л} = ЯГ
—> —>
в силу 5.17. Так как последовательность
... -+H"V-*H"W-*Hq+l(V, W)->Hq+lV-+Hq+lW-+ ...
точна для любой пары (V, W)^A(X, Y), то и соответствующая
Л-Пт-последовательность тоже точна (см. 5.21). Q
—>
Сравним теперь чеховские когомологии Н(Х, Y) с обычными
когомологиями Н*(Х, Y).
6.11. Определение. Пусть Е есть ENR и Y а X — локально
компактная пара его подмножеств. Для любой пары WczV
окрестностей множеств Y, X включение {X, Y)->(V, W) индуци-
индуцирует гомоморфизм р^: H*(V, W)->H*(X, Y). Семейство {pvw}
является преобразованием прямой системы {H*(V, W)} в по-
постоянную прямую систему и поэтому определяет гомоморфизм
р: H(X,Y) = \\m{H*{V, W)}-*H*(X,Y), причем pvw = puvw, где
uvw: H*(V, W)->H(X, Y) — универсальное преобразование.
Если f: {X', Y') -> (X, Y) — произвольное отображение и
F: U'->E — такое же его продолжение, как в 6.3, то
*vw
(обозначения те же, что в 6.4) и потому f*p = pF = (>f, т. е.
р коммутирует с отображениями /; более точно, р есть есте-
348 Гл. VIII. Многообразия
ственное преобразование одного функтора (на категории пар
(X, У}) в другой. Кроме того, р коммутирует со связывающим
гомоморфизмом, ро = 6*р. Действительно, р buw = puvwb'vw =
= pvw6*vw = 6*XYpw = 6*puw для любой пары W czV окрестностей
пары Y cz X.
Вообще говоря, гомоморфизм р: Н(Х, Y) -> Н*(Х, У) не
является ни эпиморфизмом, ни мономорфизмом (см. упр. 3),
однако справедлива следующая теорема:
6.12. Предложение. Если Y с X — пара евклидовых окрест-
постных ретрактов, то р: Н(Х, Y)->H*(X,Y)—изоморфизм,
т. е. для евклидовых окрестностных ретрактов чеховские кого-
мологии совпадают с обычными коеомологиями.
Доказательство. Так как X есть ENR, его чеховские
когомологии НХ являются прямым пределом системы {H*V},
где V пробегает все окрестности X в Е = X; имеется лишь одно
такое V, а именно V = X, поэтому р: НХ -> Н* (X) — изоморфизм.
Аналогично, р: HY -> H*Y — изоморфизм. Далее, так как гомо-
гомоморфизм р естествен и коммутирует со связывающими гомо-
гомоморфизмами, он отображает чеховскую когомологическую после-
последовательность 6.10 в обычную когомологическую последователь-
последовательность. На абсолютных группах в этих последовательностях он
является изоморфизмом, и потому, в силу леммы о пяти гомо-
гомоморфизмах, он является изоморфизмом и на относительных
группах. []
6.13. Последовательность Майера — Вьеториса.
Пусть Хь Х2 cz X — топологические пространства. Мы говорим,
что множество Хх |~| Х2 разделяет Х\ и Х2, если множества
X2 — Xi и X, — Х2 оба открыты (или оба замкнуты) в про-
пространстве Xi[)X2—{Xr0X2), или, другими словами, если мно-
множество X, U Х2 — (X, П Х2) разлагается в топологическую сумму
(Х2 — Х{) ф (X, — Х2). Вот еще одна формулировка этого условия:
Х2-Х1П(Х1-Х2)=0=(Х2-Х1)ЛХ,-Х2.
Например, если множества Х{ и Х2 оба открыты или оба
замкнуты в Х{ U Х2, то Х{ (] Х2 разделяет их. Если Xj — замкну-
замкнутая полусфера сферы 5", а Х2 — дополнительная открытая полу-
полусфера, то множество X^f] Х2— 0 не разделяет X, и Х2.
Мы выведем чеховскую когомологическую последователь-
последовательность Майера— Вьеториса для таких триад (Е; X,, Х2), что
Е есть ENR и Х1( Х2 — локально компактные подмножества,
разделяемые пересечением ХХ{\Х2. Заметим, что множества
ХХ(]Х2 и ХХ[}Х2 тоже локально компактны (поскольку ком-
компактность множеств Ait A2 всегда влечет за собой компактность
6. Чеховские когомологии 349
множеств АХ(\А2, Ах U А2). Пусть АХ — направленная система
всех открытых окрестностей множества X в Е. Рассмотрим ото-
отображения
АХХХАХ2-+АХХ, АХ2, Л(Х,иХ2), А(ХХ(]Х2),
(Vu V2)^VX, V2, Vx\]Vit VX(\V2.
Все эти отображения кофинальны и даже сюръективны. Для
первых трех отображений это очевидно, поскольку (Vx, E)>—*- Vx,
(E,V2)*->V2, (V,V)^V для V <=A(XX\JX2). Что касается
последнего отображения (Vx, F2) i—^ Fi П V2, то мы выберем
такие открытые множества Оь О2 в Е, что (Хх—X2)czOu
{Х2—Xi)czO2 и О1ПО2=0; это можно сделать, поскольку
пересечение ХХ{\Х2 разделяет Хх и Х2; например, в качестве Ох
(соответственно О2) можно взять множество всех точек, расстоя-
расстояние от которых до Хх — Х2 в некоторой фиксированной метрике
меньше (соответственно больше), чем расстояние до Х2 — Хх.
Тогда для любого И^еЛ (Хх (") Х2)
(W\jOu W \j O2)^(W [j 0{)(](W U O2) = W.
Для каждой пары (Vu V2) s Л^! Х ЛХ2 открытых окрест-
окрестностей рассмотрим последовательность Майера — Вьеториса
(см. § III. 8 и VI. 7.6)
^ X U V2) 2>> H«VX®H«V2 % H"(V1 П V,)^
Если Vi c= Vx, V2c:V2, то последовательность Майера—Вьето-
Майера—Вьеториса пары (Vx, V2) отображается в последовательность Майера —
Вьеториса пары (Vx, V2). Возникает прямая система последова-
последовательностей, индексированная множеством АХХУ,АХ2. Мы можем
перейти к пределу и благодаря кофинальности (см. 5.17) полу-
получим последовательность
F.14) ,.. -^> Н" (Хх U Х2) ^Л- Н"ХХ 0 Н"Х
2 *"
* л ^л 111 л 2) *¦ л \Л 1 и л2) —>...,
которая называется абсолютной чеховской когомологической по-
последовательностью Майера — Вьеториса; в силу 5.21, она точна.
Последнее имеет место при условии, что ХХ[\Х2 разделяет Хи Х2
(и X, и Х2 — локально компактные подмножества некоторого
ENR). Q
350 Гл. VIII. Многообразия
6.15. Вырезание. Мы пользуемся обозначениями из 6.13.
Для любых окрестностей V\, V2 множеств Хи Х2
H*(Vi\JV2, VX)^H*{V2, VX{\V2).
Переходя к пределу, получаем
F.16) Н{ХХ\]Х2, ХХ)^Н{ХЪХХ(\Х2);
другими словами, триады (Е; Xlt X2), описанные в 6.13, выре-
вырезаемы по Чеху.
Для того чтобы сравнить последнее утверждение с уже из-
известной нам теоремой о вырезании III. 7.4, возьмем некоторый
евклидов окрестностный ретракт Е и его подмножества В cz AczX
и положим ХХ = А, Х2 = Х — В. Тогда Х1[}Х2 = Х, ХХ[}Х2 =
= А — В и из F.16) вытекает
6.17. Предложение. Пусть Е есть ENR и В cz Acz X—его
о —
подмножества. Если В с: А, В cz А (внутренность и замыкание
берутся в X, а не в Е) и множества А, X — В локально ком-
компактны, то множества X, А — В тоже локально компактны и
i: Н(X, А)-*Н(X — В, А — В) {где i — включение) есть изомор-
изоморфизм.
о —
Действительно, условия В cz A, BczA означают, что мно-
множество ХХ[\Х2 = А— В разделяет Хх и Х2. []
6.18. Непрерывность. Можно попытаться построить своего
рода «суперчеховские группы», итерируя описанный в 6.1 процесс
предельного перехода. Однако, как мы сейчас увидим, это при-
приводит к тем же чеховским группам. Пусть F — локально ком-
компактное подмножество некоторого ENR и Y cz X — локально
компактные подпространства пространства F, Пусть Л — мно-
множество локально компактных пар в F, обладающее следующими
свойствами:
(i) Л — направленное множество {по отношению к обратному
включению);
(ii) (M, N)<=A=$XaM, YczN;
(Hi) если V, W — открытые окрестности множеств X, Y, то
найдется пара {М, JV)eA с М cz V, N czW.
Тогда семейство {Н{М, N)}{M, д,)еЛ составляет с гомоморфиз-
гомоморфизмами, индуцированными включениями, прямую систему (над Л)
и можно построить lim {H{M, N)}. Кроме того, включения (ii)
индуцируют гомоморфизмы aMN: H {M, N)-> H {X, Y), которые
в пределе дают гомоморфизм о: lim {H{M, N)}-*-H{X, Y). Ока-
6. Чеховские когомологии 351
зывается, что
F.19) сг: \\т{Н(М, N)}-*H{X, Y)
—>•
— изоморфизм. Это важный частный случай того, что называют
непрерывностью чеховских когомологии. В качестве Л можно
взять кофинальную систему пар локально компактных окрест-
окрестностей пары (X, У). Если Л—прямая система компактных пар,
то можно показать (это — упражнение), что условия (ii) и (iii)
эквивалентны равенству [\ (М, N) = {X, Y).
л
Доказательство изоморфизма F.19). Покажем, что
система {oMN} удовлетворяет условиям 5.18 (i), (ii). Фиксируем
y<=H(X,Y). Существуют такие открытые окрестности W cz V
множеств Y cz X в Е и такой элемент x^H*(V, W), что
и^(х) = у, где и\\: Н"(V, W)->H(X, Y) — универсальное пре-
преобразование. Возьмем (М, N)cz(V, W). Тогда и-™(х)е=Н(М, N)
и амм[.иуж^хУ\~и%^==У'' таким образом, а удовлетворяет
условию 5.18 (i).
Пусть теперь х е Н(М, Л'') — такой элемент, что eMN(x)—0.
Выберем такую пару открытых окрестностей (V, W) множеств
М, N в Е и такой элемент v^H*(V, W), что x = u'^(v). Тогда
Mv^(u) = omnuvw(v)~®' и потому имеется пара меньших
окрестностей {V', W) пары (X, Y), такая, что j*(v) — O, где
/: (V, W')->{V, W) есть включение. В силу (ii) и (i), можно
найти такую пару (M',N')^A, что (M't N') cz (V, W) и
(М', N') с: (М, N). Второе из этих включений k переводит х
в kx = &uM$(v) = ufi$',j*(v) = O; таким образом, гомоморфизм а
удовлетворяет условию 5.18 (ii).
Первым применением изоморфизма F.19) является следую-
следующая теорема:
6.20. Предложение. Если Е есть ENR и Y а X — пара его
подмножеств, причем X локально компактно, a Y компактно,
то пространство X/Y (получающееся из X отождествлением всех
точек множества Y) локально компактно в некотором евклидовом
окрестностном ретракте и проекция л: (X, Y)-*(XJY, {Y}) инду-
индуцирует изоморфизмы
й: H(X/Y,
Доказательство. Покажем сначала, что XJY вклады-
вкладывается в некоторое евклидово пространство Rh. В силу IV. 8.2,
352 Гл. VIII. Многообразия
имеется гомеоморфизм ф разности X — У на замкнутое подмно-
подмножество некоторого евклидова пространства R". Тогда отображе-
отображение Ф: X->Sn=Rn\j {оо}, определяемое формулами Ф| (X — У)=ф,
ф(У) = оо, непрерывно, и в случае компактного X факторно,
следовательно, X/Y « 1т(Ф) с: S"c:R"+1. Если же простран-
пространство X не компактно, то мы выберем такую окрестность О мно-
множества У в X, что замыкание О компактно (замыкание берется
в X). В силу сказанного выше, имеется вложение O/Y с R1;
в частности, O/Y с: R1. Так как 1/7-{7}«1-7 тоже со-
содержится в некотором евклидовом пространстве R", из IV. 8.8
следует, что пространство X/Y = (X/Y — {У}) (J (O/Y) тоже вклады-
вкладывается в некоторое Rk.
Рассмотрим теперь направленное множество Л всех ком-
компактных окрестностей TV множества Y в X. Оно кофинально
в множестве всех окрестностей; поэтому, в силу 6.19,
Н(Х, Y) = \im{H(X,
Аналогично, Н (X/Y, {Y}) = \im{H (X/Y, N)}, где N пробегает
множество Л всех компактных окрестностей точки {Y} в про-
пространстве X/Y. Но формулы N>-*-n(N), TV»-»я (iV) устана-
устанавливают взаимно однозначное соответствие между Л и Л, и,
кроме того,
Н(Х, N)siH(X-Y, N-Y)sL
s& H (X/Y, N),
где N = nN (первый и последний изоморфизмы являются изо-
изоморфизмами вырезания 6.17). Следовательно,
lim {Н (X, N)} ?* Km {H (XJY, N)}. ?
6.21. Операция w-умножения может быть определена в чехов-
чеховских когомологиях просто как предел последовательности
w-умножений в обычных когомологиях. Пусть, например, У,
Y'czX — локально компактные подмножества некоторого евкли-
евклидова окрестностного ретракта Е. Если W, W с V — соответ-
соответствующие открытые окрестности в Е, то определены умножения
(с подходящими коэффициентами)
Я* (V, W) X Н* (V, W) ^^ Н* (V, W[)W)-Z+H(X, У U У)
и предельный переход дает умножение
Н (X, У) X Я (X, Г) ^H(X,Y{) Г).
6. Чеховские когомологии 353
Мы оставляем все детали читателю, но заметим, что здесь,
в противоположность § VII. 8, не нужно налагать на триаду
(X; У', У) каких-либо условий вырезаемости.
Можно определить также ^-произведение чеховского кого-
когомологического класса х на сингулярный гомологический класс ?
(или на элемент группы чеховских гомологии, которую мы не
вводили). Результат х <~^Z, (соответственно х ГЛ ?') является клас-
классом сингулярных (соответственно чеховских) гомологии. Под-
Подробности см. в 7.1; см. также упр. 5.
6.22. Чеховские когомологии с ограниченными
(компактными) носителями. Подмножество В топологиче-
топологического пространства Е называется ограниченным (в Е), если его
замыкание В компактно. Пусть Е есть ENR и Y сг X — его ло-
локально компактные (или локально замкнутые; см. VI. 8.3) под-
подмножества. Рассмотрим множество Q = ?l(X, Y) всех локально
компактных множеств со, таких, что Y cz ю сг X и множество
X — со ограничено. Множество й оказывается направленным
относительно обратного включения (со <! со #ф ю гэ й). Для лю-
любого со е Q имеется градуированная группа Н(Х, со), и любой
паре со^со в Q отвечает гомоморфизм Н{Х, со) —*¦ Н(Х, й).
Возникает прямая система, прямой предел \im{H(X, co)!coeQ}
которой называется чеховской когомологической группой с огра-
ограниченными носителями. Эта группа обозначается через Hb(X,Y).
Например, если множество X — Y само ограничено, т. е. если
7eQ, то подмножество У составляет в Q кофинальную систему
и потому Hb(X, Y) = H(X, Y).
Если множество X замкнуто в Е, то В cz X для любого
Всг X; следовательно, Q состоит из всех таких локально ком-
компактных подмножеств со множества X, что Ycza и X — со огра-
ограничено в X. Итак, в этом случае группа Hb(X, Y) не зависит
от вложения X с= Е; она называется группой чеховских когомо-
когомологии пары (X, Y) с компактными носителями и обозначается
через НС(Х, Y). Как обычно, мы сокращаем запись НЬ(Х, 0)
до НЬХ и запись НС(Х, 0) до НСХ.
Если рассмотреть лишь те множества со е Q, которые от-
открыты в X, то мы получим направленное подмножество Qo —
= Q0(X, F) = {co e Q(X, Y) 1 со открыто в X}. Оно не обязано
быть кофинальным в Q, но тем не менее
F.23) Нь (X, Y) з* lim {Н (X, со) | со е Йо}-
354 Гл. VIII. Многообразия
Доказательство. Покажем, что преобразование
{Н(Х, со0) -*¦ НЬ(Х, У)}и eQ_ удовлетворяет условиям предложе-
предложения 5.18. Действительно, всякий элемент y^.Hb(X, У) полу-
получается из некоторого ieff(I, со) с aefi, а х, в силу 6.19,
получается из некоторого х0 е Я (X, со0) с со0 е Qo, coo гэ со. Сле-
Следовательно, у получается из х0 и мы проверили условие 5.18 (i).
Пусть теперь элемент 1леЯ (X, соо), где со0 е Qo, переходит
в нуль группы Hb(X,Y); тогда найдется такое со е Q, что
соо гэ со и элемент х0 переходит в нуль группы Н (X, со). Снова
применяя 6.19, мы получаем, что х0 переходит в нуль группы
Н(Х, соо) для некоторого соо е О0 с соо гэ и>'0 гэ <в; таким образом,
выполняется и условие 5.18 (И). []
(Замечание: проанализировав это доказательство, читатель
может извлечь из него общий результат о кратных пределах.)
Как следствие из F.23), мы получаем, что
F.24) НС(Х, Y)^HC(X—Y), если Y замкнуто в X.
Действительно, группа НС(Х, Y) является прямым пределом
системы {Н{Х, со0)}, где соо — такая открытая окрестность мно-
множества У, что дополнение X — со0 компактно. В силу теоремы
о вырезании 6.17, Н(Х, со0) = Я(Х — Y, со0 — Y). Но, согласно
6.23, \lm{H(X-Y, ao-Y)} = He(X-Y, 0). []
—>
6.25. Пример. Если Y замкнуто в X и разность X — Y является
связным п-многообразием, то H"lc{X, Y; Z) ^ Z в случае ориенти-
ориентируемого X — Y и Нс(Х, У; Z) 5ё Z2 в противном случае. В обоих
случаях Нс(Х, У; Z2) = Z2.
Доказательство. Благодаря F.24) мы можем считать,
что У=0. Каждое компактное подмножество многообразия X
содержится в некотором связном компактном множестве К (ко-
(которое получается присоединением дуг), и в случае неориенти-
руемого X мы можем - даже считать, что X неориентируемо
вдоль К (для этого достаточно присоединить к К обращающую
ориентацию дугу). Точнее, семейство таких К кофинально в си-
системе всех компактных множеств, а потому семейство {X — К}
кофинально в Qo(^, 0). Следовательно, НСХ = Iim {H(X,X — К)}.
С другой стороны,
Нп{Х, Х-К; Z)^Hn(X, X-K;Z)s*
^Hom(Hn(X, X-К; Z), Z)® Ext(//„_,(*, X - К; 2), Z).
б. Чеховские когомологии 355
В случае ориентируемого X второй член правой части тривиа-
тривиален в силу 3.5, а первый член равен Z в силу 3.4; следова-
следовательно, Нп{Х, X — К; Z) se Z. Этот изоморфизм согласован
с включениями, и потому Н"СХ = lim {нп (X, X — К)} = Z. В слу-
случае неориентируемого и, следовательно, неориентируемого вдоль К
многообразия X первый член тривиален в силу 3.4, а второй
член равен Z, в силу 3.5. Значит, Нп(Х, X — К; Z2)s=< Z2, и
потому НпсХ = Ит{нп(Х, X-K)} = Z2. Для H'l(X, Y; Z2) дока-
доказательство аналогично. \j
6.26. Индуцированные гомоморфизмы fb: Hb(X, Y)-*
-+НЬ(Х', У) определяются для непрерывных отображений
f: (X', Y')-*{X, Y), таких, как в 6.3, если они удовлетворяют
следующему условию: co<=Q0(X, F)==>(/~'co) e QQ(X', Y'). Дей-
Действительно, в этом случае семейство отображений
пропускается через предел (см. 5.9) и определяет отображение
fb = \\m{fj: Hb(X, Y)-*Hb(Xf, Y').
Таким образом, Нь есть кофунктор по отношению к описанным
выше отображениям.
Условие coeQ0(Z, Г) =ф(/-1со) е Q0(Z', Г) означает, что
подмножества многообразия X — Y, которые замкнуты в X и
ограничены в Е, имеют прообразы, ограниченные в Е'. Это
условие выполняется автоматически, если композиция X' —Ц. X cz E
является собственным отображением над Е — Y (прообразы ком-
компактных подмножеств множества Е — Y компактны), в частности
если X замкнуто в Е и отображение f: X' -> X является соб-
собственным над X — Y.
6.28. Упражнения. 1. В определении функтора Н(Х, Y) и
в большинстве теорем этого параграфа требование локальной
компактности множества Y (но не X) было излишним. Проверьте
это.
2. Для локально компактных подмножеств ZczYczX не-
некоторого ENR составьте по аналогии с 6.10 и III. 3.4 точную
последовательность
... -*Н"(Х, Z)-*Hq{Y, Z)-*Hq+1{X, Y)-»Hq+l{X, Z)-* .. . .
356 Гл. VIII. Многообразия
3. (а) Пусть Хп с: R2 — окружность радиуса 1/п с центром
оо
в точке @, 1/п). Положим Х= (J Хп. Покажите, что
р: Я1 (X; Z2)-» Hl(X; Z2) не есть эпиморфизм. (Указание: если
xGira(p), то х\Хп — 0 почти для всех п.)
(Ь) Пусть Г = {(х, y)e±R2\x =^_0, г/ = sin(l/x)} — график
функции (/ = sin(l/x), и пусть Х — Г — его замыкание в сфере
52 = R2(J{oo}. Покажите, что Н'(Х) = 0, в то время как
Я1 (X) ф О (указание: множество X обладает кофинальной по-
последовательностью окрестностей, каждая из которых гомеоморфна
кольцу; поэтому Я' (X; Z) ^ Z).
4. Докажите, что если (X; Хи Х2) — такая триада, что каж-
каждое из пространств Хи Х2, Х] П Хъ Х^\]Х2 есть ENR и пересе-
пересечение ХХ(\Х2 разделяет Z, и Х2 (см. 6.13), то триада вырезаема
(III. 8.1). Указание: из 6.16 и 6.12 следует, что независимо от
группы коэффициентов
Н*(ХХ\}Х,}, XJezlTiXi, XX(]X2);
благодаря этому
Н(ХЪ Х^Х2)^Н(Х{\]ХЪХХ)
в силу VI. 6.22, упр. 5 (см. также VI.7.22, упр. 5).
5*. Пусть (X; Хи Х2) — такая триада, что X и Х\ локально
компактны в евклидовом окрестностном ретракте Е и Х{—Х2(]
П (^2 — %i)= 0- Если W с V — пара открытых окрестностей
пары Хх <= ХъЕ,то множества Х\ = (Хх U X2) ()W,X'2 = (X{ [} Х2) —
— Z,—Х2 открыты в Хх U Х2 и Хх U Х2 = Х\ (J Х2. Благодаря
этому имеются отображения
Я* (V, Г) X Я (X, Хх U Х2) -у Н* (X, Х[) X Я (X, Х[ U Х'2) -2^
и переход к пределу дает отображения
Н(Х, Хг)ХН(Х, Xl[jX2)-^H(X, X'2)-+H(X, Х2).
Восстановите детали.
6. Пусть Y а X — локально компактные подмножества ориен-
ориентируемого многообразия. Покажите, что группа ГЬ(Х, Y), опре-
определенная в 3.3, изоморфна группе Й1(Х, Y).
7*. Для пары (X, Y) из 6.22 постройте естественную точную
последовательность
,..-*Hl(X, Y)-*Hl(X)-+Hl(Y)-+Ht+i(X, Y)-y ....
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 357
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца
Для многообразия Мп и его компактных подмножеств L cz К
мы определим (см. 7.4) естественное билинейное спаривание
G.1) о: Hl(K, L)XHk(M, M-K)^Hk-i(M-L, М-К)
просто как предел обычных ^-умножений; при этом L и К
должны быть лишь замкнутыми в М, но К должно обладать в М
окрестностью, являющейся евклидовым окрестностным ретрактом.
В качестве группы коэффициентов для Я (М, М — К) берется
произвольное (коммутативное) кольцо R с единицей, а для И {К, L)
и Я (М — L, М — К) — произвольный ^-модуль G. Если много-
многообразие М ориентируемо вдоль К и множество К компактно,
то фундаментальный класс (с коэффициентами в R), т. е. эле-
элемент группы Нп(М, М — К; R), который при изоморфизме
/: Нп(М, М — К; /?)—>Г(/С; R) соответствует ориентации, мы
обозначаем через ок (в обозначениях определения 4.1 это oK<S> 1).
Мы используем обозначение ок также для неориентируемых
многообразий, если кольцо коэффициентов R имеет характери-
характеристику два (т. е. если в R элементы 1 и —1 равны); как и
раньше, ок соответствует каноническому сечению Р<—> 1 накры-
накрытия М<& R = MXR-
Если мы фиксируем в G.1) вторую переменную, придав ей
значение о = ок, то получим гомоморфизм ^ о: Н (К, L)—>
—> Н (М — L, М — К). Основной результат этого параграфа со-
состоит в следующем:
7.2. Предло жение (теорема двойственности). Если L cz К —
компактные подмножества п-многообразия М, то
ъо: Hl(K, L)-*tfre_(.(M-L, М-К)
есть изоморфизм. Если многообразие М ориентируемо вдоль К,
то утверждение справедливо для любого кольца коэффициентов;
в противном случае надо потребовать, чтобы это кольцо имело
характеристику два. (Замечание: если К, L — окрестностные
ретракты, то Я (К, L) ?* Я* {К, L); см. 6.12.) Элементы
Х€вН1{К, L) и 1 = хглО€Е Hn-t {M — L, М-К)
называются двойственными (по Пуанкаре) друг к другу.
Эта теорема имеет много интересных следствий и примене-
применений; некоторые из них будут приведены в следующем пара-
параграфе. Известно несколько ее обобщений; некоторые из них
указаны в 7.12 и 7.16.
358 Гл. VIII. Многообразия
Построим теперь ^-умножение G.1). Напомним, что L cz К —
замкнутые подмножества многообразия М, содержащиеся в не-
некотором открытом евклидовом окрестностном ретракте Е а М.
Рассмотрим множество Л = Л (К, L) всех пар W czV открытых
окрестностей пары LcK. Оно является направленным относи-
относительно обратного включения, и система Л' = {(V, W) е Л | V е Е)
кофинальна в Л. Из этого следует, что
lim{H*(V, W)}K^ \\m{H*(V, W)}A, = H(K, L).
Для произвольного l^H(M,M — К) рассмотрим композицию
G.3)
'"' I I exc
%vw: H*(V, W)-*H*(V-L, W - L)—?-¦> H {V - L, V-K)si
ШнЩ-L, M-K),
где jj обозначает композицию
iJ: H(M,M-K)-+
exc
-> Я (M, (M — K) U W) ^ Я (V — L, (V — K) U (W — L)).
Когда (V', W) пробегает все Л, отображения l,vw с фиксирован-
фиксированным \ задают преобразование прямой системы {Я* (У, W)},v „еЛ
в Я (М — L, М — К) и потому определяют предельный гомо-
гомоморфизм
G.4) ^?: Н(К, L)^H{M-L, М-К), (^l)°uvw = lvw,
где uyw: Н* (V, W)-*H(K, L) — универсальное преобразование.
Образ элемента х е Я (К, L) при гомоморфизме ^ | обозначается
через х<~\\ и называется {чеховским) г\-произведением элемен-
элементов х и \. Если х s ti\K, L) и %€ЕНк{М, М — К), то {х r>, |) e
е Я,-(- (М - L, Af - /С).
По построению {x-\-xr) ^ ^ = Ar^ Е + л:' ^ I, и так как
(S + ?'W = ^и? + ^уц7' т0 х ^ ^ "Ь I') — х ° 5 + л: ^ V*. таким
образом, чеховское умножение билинейно.
Если i: (К, L)->(K, L) — включение пары, удовлетворяющей
приведенным выше условиям, в другую такую пару, то диа-
диаграмма
H*(V, W)
G.5)
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 359
в которой все вертикальные стрелки индуцированы включе-
включениями, коммутативна (средний квадрат коммутативен в силу
естественности гл-умножения; см. VII. 12.6). Верхняя строка
диаграммы G.5) есть %vw = (^ |) о Uyw, а нижняя есть {i'.%)vw =
= (^> iil)ouvw = (r> i'tQoiouvw; последнее равенство следует из
определения гомоморфизма i: H(K, L)->H(K, L). Благодаря
этому i'Ar\Quvw = (>^i'tl)iuvw, и, значит, i',(^ ?) = (o i%)l
ввиду универсальности преобразования и; таким образом, для
любых I <= Н (М, М-К), хевН (К, L)
G.6) i', (х<^1) = Gх) гл (i%)
(естественность г\-умножения по отношению к включениям).
Теорема 7.2 утверждает, что если | — фундаментальный
класс ок, то ^ | есть изоморфизм. Мы рассмотрим сначала
абсолютный случай L=0; его доказательство, в точности
так же, как это было в 3.3, основывается на принципе Майера —
Вьеториса:
7.7. Лемма. Пусть К\ и Д'2 — компактные подмножества
многообразия М. Если 7.2 справедливо для пар (Ки 0), [K-i, 0),
(К\[\К2, 0). то оно справедливо и для пары (K[\JK2> 0)-
Доказательство. Пусть У, и V2 — открытые окрест-
окрестности множеств К\, К2- Рассмотрим диаграмму
G.8)
Н{М, M-Ki)@H(M, M~K2) -+H(M, M ~ (Ki П К2))
> НУ г ф H*V2 > Н* (Vi П V2)
-+Н(М, M-Ki)@H{M, M-K2)-+H(M, M-(Ki П
Строки являются отрезками последовательностей Майера —
Вьеториса и потому точны. Первый, третий и четвертый ква-
квадраты коммутативны в силу естественности ^-умножения
(см. VII. 12.6; заметим, что Н(М, М -{Ki П#2))= H(VU У,—
-(Я 1 Л Ka))s&H(V1 П V2, {Vx П V2)-(Kl П ^2))). Второй квадрат ком-
коммутативен в силу VII. 12.20 (подробнее: положим M = V1UVr2
360 Гл. VIII. Многообразия
и применим VII. 12.20 к случаю X^—V^, Yil = M—Kli, 1 =
= oK[jKi; второй квадрат диаграммы G.8) —это в точности
внешняя часть диаграммы VII. 12.21).
Множество всех пар (Vu V2) является направленным по от-
отношению к обратному включению, и отображения (V,, V2)*—> Vlt
V2, Vlf]V2, Vt{]V2 этого множества в множества Л (К,, 0),
\(К2, 0), \(К][\К2, 0), A(K{{jK2, 0) кофинальны. При пере-
переходе к пределу по системе {(Vi, V2)} члены первой строки
диаграммы G.8) становятся чеховскими когомологическими
группами (см. 5.17), и диаграмма приобретает следующий вид;
G.9)
Н(М, М-Кд®Н{М, М-К2)-*Н(М, M-
—> Н(К: U К2) >
-* Н (М, М - К,)ф Я (М, М - /С2)-> Я (М, М - (Кг П К2))
Строки остаются точными в силу следствия 5.12 (на самом
деле первая строка есть не что иное, как последовательность
F.14)), и внешние вертикальные стрелки по предположению
являются изоморфизмами. Следовательно, и средняя стрелка
^ ок<ик1 является изоморфизмом (в силу леммы о пяти гомо-
гомоморфизмах). Q
Доказательство теоремы 7.2. Мы проведем его в не-
несколько шагов аналогично доказательствам предложений IV. 6.4
и VIII. 3.3.
Случай I. К—0 или К— Р — точка.
При К = 0 все группы тривиальны. Если /С = Р, то гомо-
гомоморфизм гл оР переводит, в силу VII. 12.9, образующую \Р<^Н°К—
= Н°К в образующую оР<= Нп(М, М — Р), а все остальные
группы тривиальны.
Случай 2. M — R", К —куб (мы пишем К=П), L = 0.
Выберем точку Ре П. Тогда П^Л R"— ? =^ R" — Р,
а потому НК^Н*К^ Н*Р, H{Rn, Rn — n)s*H(Rn, Rn — P) и
утверждение сводится к случаю 1 (в силу естественности г\-ум-
г\-умножения; см. 7.6).
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 361
Случай 3. М = R", К есть объединение конечного числа (ска-
(скажем, г) кубов некоторой решетки (ср. V. 3.4), 1 = 0.
При г = \ это случай 2. Если г > 1, то К имеет вид К\\)К2,
где Ки Къ К\ П К2 — объединения меньшего, чем г, числа ку-
кубов. Применяя к множествам Ки Къ К1пК2 предположение
индукции и используя принцип Майера— Вьеториса (см. 7.7),
мы получаем нужный результат для К — KiU К2-
Случай 4. M — Rn, /( — произвольное компактное множество,
L=0.
Пусть {V} — направленное множество всех компактных ок-
окрестностей множества К, .каждая из которых является конеч-
конечным объединением кубов некоторой решетки. Это множество
кофинально в множестве всех окрестностей множества К, и
потому Я7( = Нт{Я1/} (см. 6.19). Подобным же образом
H(Rn, R — /С) = Нт{Я(К", Rn — V)}, поскольку Rn—K =
= U (R" — V) (ср. второй пример из 5.22). В силу случая 3,
v
r^ ov\ HV -> Н (Rn, Rn — V) есть изоморфизм для всех V, а есте-
естественность ^-умножения позволяет совершить предельный пе-
переход, который показывает, что и ^ок: НК~* Н (Rn, R" — К) есть
изоморфизм.
Случай 5. М — произвольное многообразие, К — произволь-
произвольное компактное множество, L —0.
Множество К содержится в объединении конечного числа
(скажем, г) координатных окрестностей, каждая из которых го-
меоморфна R". При г == 1 это — случай 4, так как Я (М, М — К) =
=ёЯ(К", R" — К). Если г > 1, то множество К имеет вид
KiUK2, где Ки К2 — компактные множества, покрытые менее
чем г координатными окрестностями. Применяя к множест-
множествам Ки -Кг, К\[\К2 предположение индукции и используя прин-
принцип Майера — Вьеториса, мы получаем нужный результат для
Случай 6. Общий случай.
Рассмотрим диаграмму
НК * HL 5 * Н (К, Ц >
Н(М, М — К)-->Н(М, M — L)-^-H(M — L, М — К)-+
> НК * HL
¦Н(М, М-К)^Н{М, M-L)
362 Гл. VIII. Многообразия
строки которой — обычные гомологические последовательности
(см. 6.10 н III. 3.4). Первый, третий и четвертый квадраты ком-
коммутативны в силу естественности ^-умножения. Второй квад-
квадрат коммутативен потому, что он является прямым пределом
квадратов, соответствующих парам окрестностей WczV пары
/. czK, каждый из которых коммутативен в силу VII. 12.22 (под-
[о'нее: положим V = М и применим VII. 12.22 к случаю X = V,
W = M— L,V = М — К, \ = ок). Внешние вертикальные стрелки
являются изоморфизмами (см. случай 5), и потому средняя
стрелка тоже (в силу леммы о пяти гомоморфизмах). []
Используя простые соображения типа вырезания, можно
обобщить предложение 7.2 на пары произвольных замкнутых
подмножеств L cz К многообразия Мп, для которых множество
К — L компактно. Действительно, если С — такое компактное
множество, что К — L czC cz M, то
G.10) Н(К, L)^.H(K[]C, L[\C) ~
& Н (М — L П С, M — K(]C)^H(M — L, M — K),
где внешние изоморфизмы представляют собой вырезание,
а средний — двойственность, устанавливаемую в теореме 7.2.
(С первого взгляда кажется необходимым, чтобы множество К
лежало в некотором ENR; однако, если это не так, группу Н (К, L)
можно определить с помощью первого из изоморфизмов G.10).)
Композицию изоморфизмов G.10) мы будем обозначать через r\ 0
(хотя для некомпактного множества К класса ок е Н (М,М — К)
нет). Тогда отображение ^ о является естественным по отноше-
отношению к включениям i: (К, L)->(K, Ц, если пары (К, L), (К, Z)
удовлетворяют сформулированным выше условиям, т. е.
G.11) i'.{xr\o) = (jx)r\o
для любого х^:Н(К, Ц, где i' есть включение пары (М — L,
М-К) в (M-L, М - К). D
7.12. Пусть К — произвольное замкнутое подмножество мно-
многообразия Мп, и пусть Q — множество таких замкнутых под-
подмножеств А множества К, что К—А компактно. Тогда {К—А} _—
кофинальная система ограниченных подмножеств множества К,
т. е. Q — кофинальная подсистема системы Q(K, 0) (мы ис-
используем обозначения из F.22)); поэтому lim {H(K, A) | A e Q} =
= НСК — чеховские когомологии множества К с компактными
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 363
носителями. Далее, в силу 5.22,
Нт {Я (М - А, М - К) \А е= Q} = Н (М, М - К),
поскольку U (М — А) = М. Если многообразие М ориентировано
вдоль К, то ^ о: Н(К, А)-> Н(М —А, М — К) есть изомор-
изоморфизм в силу G.10) и потому предельный гомоморфизм
G.13) гло: НС{К)->Н{М, М~К)
тоже является изоморфизмом. Этот изоморфизм описывается
следующим образом. Всякий элемент х^НсК получается из
некоторого х'^Н(К, А), где А замкнуто в К и К — А ком-
компактно. Класс х' в свою очередь получается из некоторого
у е Н* (V, W), где W с V — подходящие открытые окрестности
пары A cz К в М. Тогда
(хглО) = {угл oK_w) еЯ(У, V -К)^Н(М, М~ К),
где oK—w е Н {V, (V — К) U W) — фундаментальный класс вдоль
к-w.
Следующее обобщение изоморфизма G.13) делает его более
симметричным.
7.14. Предложение. Если LczKczX — топологические про-
пространства, такие, что L замкнуто в К, К — L замкнуто в X — L
и X — L есть ориентированнее вдоль К, — L п-многообразие, то
Н[ (К, Ц 9*Н'С(К- Ц ~° На-1 (X - L, X - К).
Первый изоморфизм имеет место в силу 6.24, второй —
в силу 7.13 (с M = X — L). U
В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Пусть
уп~р — замкнутое подмногообразие многообразия Мп и L cz К —
пара замкнутых подмножеств многообразия V; пусть, кроме
того, и М, и V ориентированы вдоль К — L. (В неориентируемом
случае нужно взять коэффициенты mod 2.) Применив 7.14 сна-
сначала к V, а потом к М, мы получаем
G.15) Hi(V-L, У-КJ*Н1~'~"(К, L)^Hi+p(M-L, M-K).
Композиция этих изоморфизмов называется обычно го-
гомологическим изоморфизмом Тома. Особенно важен случай,
когда К = V, L=0; тогда изоморфизм Тома принимает вид
364 Гл. VIII. Многообразия
НtV ?? Hl+p(M, M — V). Более подробное изучение изоморфизма
Тома мы откладываем до § 11.
7.16. Упражнения. 1. Для существования изоморфизма
Н(К, L)->H(M — L, М — К) из G.10) вовсе не нужно требовать,
чтобы К и L были замкнуты, a K — L компактно. Покажите,
что для этого достаточно замкнутости L в К и компактности
Л' П (К — L) (чтобы группы Н(К,Ц были определены, нужно,
чтобы множество К — L было локально компактно и содержа-
содержалось в некотором ENR). Кроме того, М должно быть ориенти-
ориентировано только вдоль К — L.
2. Если К — локально компактное (но необязательно замк-
замкнутое) подмножество некоторого многообразия Мп и М
ориентировано вдоль К, то HlcK = Hn-i(M — К, М — К), где
К = К — К- Указание: представьте К в виде 0[}А, где О от-
открыто в М, а А замкнуто в М; тогда
^ Я„_г (М-К, М- К).
3*. Если X есть ENR и содержится в некотором многообра-
многообразии М, то можно найти такую открытую окрестность U мно-
множества X в М и такое отображение р: (М, U)->(M, X), что
р\Х есть включение и композиция (М, Х)-+(М, U)—> (М, X)
гомотопна тождественному отображению (указание: используйте
технику IV. 8.6, IV. 8.7 и 6.2). Предполагая, что М — X ло-
локально компактно и ограничено (т. е. М — X компактно),
а М ориентировано, рассмотрите композицию
R: Н (М - X) -+Н (М - U) i° Я (ЛГ, U) -^> Я (М, X).
Мне кажется, что R есть изоморфизм, но я не имею полного
доказательства этого факта (оно должно быть довольно замы-
замысловатым и, вероятно, будет аналогично случаю 3 доказатель-
доказательства предложения 3.3). Если М — X не ограничено, аналогичный
результат должен получиться для когомологий с ограничен-
ограниченными носителями НЬ(М — X); более того, этот результат должен
распространяться на пары (Y, X) евклидовых окрестностных
ретрактов, лежащих в многообразии М.
8. Примеры и приложения
8.1. Двойственность Пуанкаре. Если многообразием"
компактно, то можно применить предложение 7.2 к случаю
К = М, L=0. Тогда НМ — Н*М, поскольку единственной ок-
8. Примеры и приложения 365
рестностью множества К в многообразии М служит само М;
кроме того, о е НпМ, и потому возникает изоморфизм
(8.2) гл о: Я' (М; G) s* Я„_, (М; G),
где группа G произвольна в случае ориентированного М, а в про-
противном случае должна состоять из элементов второго порядка.
Этот частный случай предложения 7.2 часто называют двой-
двойственностью Пуанкаре. По теореме об универсальных коэффи-
коэффициентах VI. 7.10 когомологии можно выразить через гомологии;
тогда формула (8.2) принимает вид
Ha-i(M; G)^HomR(Ht(M; R), G)®ExtR{Hl-l(M; R), G),
где # —наследственное кольцо и G — некоторый ^-модуль. На-
Например, если R — поле, то
(8.3) Нп-, (М; R) ?* Нотл (Н{ (М; R), R) = Ht (М; R)*
(звездочка обозначает переход к сопряженному пространству).
Напомним, что должно выполняться одно из двух условий:
или М ориентируемо, или характеристика поля R равна двум.
8.4. Эйлерова характеристика многообразий. Пусть
Мп — произвольное «-многообразие (не обязательно компактное
или ориентированное), и пусть К с: М — компактный евклидов
окрестностиый ретракт. Тогда (ко)гомологии пространства К
mod 2 конечны (см. V.4.11) и Нп~1К^ НпК^ Н\{М, М — К);
в частности,
(8.5) dim #„_; (К; Z2) = dim Hl (M, M - К; Z2).
Отсюда следует
8.6. Предложение. Если К. cz Mn — компактный евклидов
окрестностный ретракт, то группа Н (М; Z2) конечна тогда и
только тогда, когда конечна группа Н (М — К', Z2), и в этом
случае
где %2 есть ^-характеристика (см. VI. 7.19).
Напомним, что для пространств с конечно порожденными
гомологиями характеристика %2 совпадает с эйлеровой характе-
характеристикой % (см. VI. 7.21). В частности, %2К — ХК (СР- V. 4.11).
Доказательство. Первое утверждение следует из гомо-
гомологической последовательности mod 2 пары (М, М — К) и ра-
равенства (8.5), второе—из того, что %2М=%2(М — КL %2(М,М — К)
366 1л. VIII. Многообразия
(см. VI. 7.20), поскольку
Х2 (М, М - К) = Z (-1)' dim Ht (М, М - К; Z2) =
= (-l)nX(-ir'dimtfB_,(K; Z2) = (-l)Bx,JC. D
8.7. Следствие. ?е./ш Af — компактное многообразие нечетной
размерности, то %М = 0. Если К, cz M — компактный евклидов
окрестностный [етракт, то %К = %(М — К)-
Действительно, применим 8.6 сначала с К. = М, а затем
с произвольным К и заметим, что в нашем случае %2 = %
(VI. 7.21). D
8.8. Следствие. Если Ln+X—компактное многообразие
с краем 3L, то %{dL) = (\-\-{—\)'1)%L. В частности, характе-
характеристика %(дЬ) всегда четна.
Например, проективное пространство P2k (вещественное, ком-
комплексное или кватернионное) не может быть краем компактного
многообразия с краем (так как число %Р2& нечетно).
Доказательство. Приклеив к L воротник (см. 1.11), мы
получим многообразие Мп+Х =L (J (<Э/_ X [0. 0)- Тогда L есть ком-
компактный деформационный ретракт многообразия М и М — L =
= 5LX@, \)cz.dL; поэтому
xL = %M = %(M-L) + (-l)n+lxL = x(dL)-(-l)nxL. ?
8.9. Двойственность Пуанкаре в кого м о л ог и я х.
Дуализируя G.1), мы получаем билинейное спаривание
(8.10) w: Hi(K,L)XHl(M-L,M-K)^Hi+t(M, M — K)
как предел обычных w-умножений (при тех же предположениях,
что и в G.1)). Действительно, фиксируем у е Н1 (М — L, М — К)
и для каждой пары W czV окрестностей пары Laz К, рассмо-
рассмотрим композицию
yvw: H*(V, W)-*H*(V-L, W-L)^±
&? H* (M, W\j{M-K))^ H* (M, M - K).
Считая пару {V, W) переменной, получаем преобразование пря-
прямой системы {Н* (V, W)} в группу Н*(М, М — К) и с ним — пре-
предельный гомоморфизм
(8.11) vy: H(K,L)-*h*(M,M—K).
8. Примеры и приложения 367
Как и в § 7, мы обозначаем образ элемента х е #'(К, L) при
гомоморфизме w у через х w у е Н1+1 (М, М — К). Читатель без
труда докажет (пользоваться этим мы не будем), что операция w
билинейна и естественна относительно включений (К, L) cz (К, L).
Кроме того, если х^Н(К,Ц, У е Я*(М — L, М — К), ? е
s Н (М, М - К), то
(8.12) {xw(/,|)=(-l)|l|l!"(j,,^0,
где (—, —) — скалярное произведение.
Доказательство. Существуют такие окрестности W cz V
пары L cz К и такой элемент даеЯ*(У, W), что x = uw, где
и: Н* {V, W)-> Н (К, Ц — универсальное отображение (см. 5.18 (i)).
Тогда лир г/у w (w) — w^y (в последнем выражении опущены
гомоморфизмы, индуцированные включениями). Подобным же
образом х <~> ?, — w ^ I, и потому
8.13. Предложение. Пусть М есть п-многообразие и L cz К —
его компактные подмножества, каждое из которых есть ENR;
пусть, далее, областью коэффициентов является поле R. Тогда
композиция
Н1 {К, L) X Я""' (М - L, М - К) -^ Нп (М, М-К) ("' °К)> R
является невырожденным спариванием при условии, что М ориен-
ориентировано вдоль К или характеристика поля R равна двум; вто-
вторая стрелка есть скалярное умножение на ок (заметим, что
Нг (К, Ц —Н1 (К, L), поскольку К, и L — евклидовы окрестно-
стные ретракты).
В частности, если М компактно, то предложение 8.13 при-
применимо к случаю К — М, L—0. Мы получаем тогда невы-
невырожденное спаривание о-: Н1М X Нп~ьМ -> НпМ -> R. Конечно,
это просто другая интерпретация изоморфизма (8.2) (для случая
коэффициентов в поле G = R), однако, поскольку в ней участ-
участвуют только когомологии, она иногда оказывается более удобной
для применения. Как обычно, наличие невырожденных спари-
спариваний позволяет ввести двойственные базисы: если В = {Ь} —
базис пространства Н* (М — L, М — К), то двойственный базис
В = {Ь} пространства Н* {К, Ц определяется условием {b w а, о)=
— Ьаь {a, b e В); подобным же образом определяется двойствен-
двойственный базис для данного базиса пространства Н* (К, Ц- Очевидно,
368 Гл. VIII. Многообразия
Доказательство предложения 8.13. Наше спари-
спаривание имеет вид
(х, у)>->{хку у, ок) = ±{у,хгл ок)
(последнее равенство имеет место в силу (8.12)). Но скалярное
произведение (—, —) представляет собой невырожденное спари-
спаривание (см. VII. 1.7), а ху^х ^ ок есть изоморфизм в силу 7.2. Q
8.14. Следствие. Если М — компактное ориентируемое
гообразие размерности п = 2 mod 4, то его эйлерова характери-
характеристика %М четна.
Доказательство. Примем за поле коэффициентов поле
рациональных чисел Q и рассмотрим спаривание Нп12М X
X НпПМ ->Q. Это невырожденная кососимметрическая (я/2 не-
нечетно!) билинейная форма на векторном пространстве Нп12М,
а такие формы могут существовать лишь при четном dim Нп'2М.
Но с другой стороны,
ХМ = Z (-1I dimHtM = Zi-lI dim Н'М =
I=0 i=0
= - dim Hn!2M + 2 Z (-1)' dim UlM
2«" <п
(последнее равенство вытекает из того, что dim(#*M) =
(')). D
8.15. Двойственность Александера. Пусть К ~ ком-
компактное подмножество сферы 5", и пусть Р^К, Q^Sn — К.
Тогда
(8.16) Я""' (К, Р) ss H{(Sn - Р, Sn - К) к Я,-_,E" - К, Q);
последний изоморфизм имеет место, так как Н (Sn — PtQ) = 0,
Если К. — окрест постный ретракт, то (8.16) превращается в
(8.17) Hn~{(K)^Hi-1(Sn-K),
где Я обозначает, как обычно, приведенные гомологии. Фор-
Формулы (8.16) и (8.17) описывают так называемую двойственность
Александера. Они показывают, в частности, что группа Н (Sn—/()
зависит только от топологических свойств самого К (в действи-
действительности только от НК.) и не зависит от способа вложения К.
в 5". Например, если К — связное компактное (я— ^-много-
^-многообразие, 7oZ2 = Hn-l(K;Z2)^HQ(Sn-K;Z2); поэтому Sn - К
состоит в точности из двух компонент (ср. 3.6).
8. Примеры и приложения 369
Если X — замкнутое (собственное) подмножество простран-
пространства R", то K = X\J{<x>) есть компактное подмножество сферы
5" = К"и{оо} и, читая формулу (8.16) справа налево, мы полу-
получаем
(8.18) Я,_, (Rn -Х) = Я,_, E" - К) ss Я"'' (/С, {оо}) ~ ЯГ'^Г
(последний изоморфизм имеет место в силу F.24)). Таким обра-
образом, снова оказывается, что группа Я [Rn— X) зависит только
от топологических свойств X (в действительности лишь от Нс (X))
и не зависит от способа замкнутого вложения X в R". Напри-
Например, если X — связное (я— 1)-многообразие, то Я" (X; Z2) = Z2
(в силу 6.25) и потому Я0(К"— X; Z2) ^ Z2, т. е. пространство
R"— А' состоит в точности из двух компонент. Если же в ка-
качестве области коэффициентов взять Z, то мы получим Z =
s*H0(Rn — X; Z)SEffc~'X; следовательно, многообразие X ориен-
ориентируемо (см. опять-таки 6.25). []
8.19. Формула Кюннета для чеховских когомо-
логий. Если X, X'— локально компактные подмножества
евклидовых окрестностных ретрактов, то можно найти такие
ориентированные многообразия М, М', что X, X' будут их замк-
замкнутыми подмножествами; действительно, в силу IV. 8.2, суще-
существуют даже замкнутые вложения пространств X, X' в R", R"'.
Тогда НСХ ^.Н{М,М- X), НСХ' ^ Я (ЛГ, М' - X') и
нс (х х х') & н (м х м', (м х м') -(хх х')) =
= Я ((М, М-Х)Х (АГ, М' - Х%
Составляя для последней группы последовательность Кюннета
VI. 12.12, мы получаем расщепляющуюся точную последователь-
последовательность
О -> (НСХ) ® {НСХ') ^НС(ХХ X') -^ (НСХ) * [НСХ')+ -> О,
или, с учетом индексов,
(8.20) О"*.® (Н!сХ)®(НксХ')->Нгс{ХХХ')~+
-> © оад.(яс*г)-о.
Эго — точная последовательность Кюннета для чеховских кого-
мологий с компактными носителями. Она естественна (с точ-
точностью до знака) относительно собственных отображений; дока-
доказательство естественности намечено в упр. 5. Как и обычная
последовательность Кюннета VI. 12.12, она расщепляется (неесте-
370 Гл. VIII. Многообразия
ственно). Группы коэффициентов G, G' для НСХ, НСХ' могут
быть произвольными (модулями над наследственным кольцом)
при условии G*G/ = 0; модулем коэффициентов для НС(ХУ,Х')
будет тензорное произведение G®G'. В частности, если коэф-
коэффициенты всюду берутся в поле, то Нс (X X X') ^ (НСХ) ® (НСХ'). []
Можно также доказать соотношения Кюннета для относи-
относительных групп НС(Х, Y), где X то же, что и раньше, a Y — замк-
замкнутое подмножество множества X. Однако этот случай сводится
к абсолютному случаю, так как Нс (X, Y) ?=; Нс (X — Y) в силу
F.24).
8.21. Упражнения. 1. Постройте связное компактное ориен-
ориентируемое четырехмерное многообразие с заданной эйлеровой
характеристикой.
Указание: пусть М и N — два четырехмерных многообразия.
Вырежьте из каждого маленький открытый шар и склейте по-
получившиеся многообразия с краем по их границам; возникнет
четырехмерное многообразие М-\-N, причем % (М + N) = %М +
-\-%N — 2. Теперь, начиная с многообразий Р2С и S1 X S3,
стройте последовательные суммы.
Ориентируемые многообразия размерности 4k (соответственно
4k + 2), k~^\, любой (соответственно любой четной) характе-
характеристики могут быть построены как произведения четырехмерных
многообразий (и сферы S2).
2. Пусть М — компактное ориентированное «-многообразие и
d: M-+M X М — диагональное отображение. Класс dt(o)<^
е Нп(Му^М; R) называется диагональным классом, а двойст-
двойственный ему класс \х е Н'г(Му(М; R) — двойственным диагональ-
диагональным классом, |i^(oXo) = (i,o. Предположим, что R — поле,
В = {Ь} — базис пространства Н*(М; R) и {Ь}—двойственный
базис, определенный условием (b w а, о) = 6аЬ, а, 6еВ, Дока-
Докажите, что ц= Yi (—^Ь^ьх,ь.
ЬевВ
Указание: положите \i = 2J ^аъ (а X Ь) и вычислите коэффи-
коэффициенты %аЪ е R из соотношения
= (d* (а X Ь), о) = (a w Ь, о) = ± E ^ а, о) = ± 6
аЬ.
3. Пусть /: М—> М' — непрерывное отображение компактного
ориентированного n-многообразия в компактное ориентирован-
ориентированное д'-многообразие, и пусть yf есть класс графика отображе-
отображения Д т. е. образ класса о^НпМ при отображении НМ^+
(^^ Н(М'ХМ). Обозначим через yf €=Нп'{М'ХЩ
У. Двойственность в многообразиях с краем 371
класс, двойственный к Yf> т- е- такой, что yf ^ {о' Х°) = Yf-
Пусть область коэффициентов R есть поле. Пусть В = {b}t
?' = {b'} — базисы пространств Н*М, Н*М' и {Ь}, {Ь'} — двой-
двойственные базисы. Докажите, что если f*{b')= 2 "kyb (ky e R),
beiB
TO
yf= ? (-I)|6|a?F'x&).
Другими словами, компоненты вектора vf относительно базиса
\b' X ^} совпадают (с точностью до знака) с элементами ма-
матрицы отображения /*; в частности, отображение /* определяется
классом у1. Сравните класс yf e (Н*М')& (Н*М) с элементом
e-l(f*)<=(H*M')®(H*M), определенным в VII. 6.1 (где (HlM'f =
= Нп'~1М' в силу 8.13).
4*. Постройте цепное отображение ф (степени я —1), инду-
индуцирующее двойственность Александера (8.17), и докажите, что
если К есть компактный окрестностный ретракт, то я|з устана-
устанавливает цепную гомотопическую эквивалентность i|): S*K —
~S(Sn-K).
5. Естественность последовательности Кюннета (8.20). Пока-
Покажите сначала, что последовательность (8.20) не зависит от
объемлющих многообразий М, М'; это позволяет считать, что
XczM\CZ Мг. Затем докажите естественность относительно вклю-
включений X—>Y. Произвольное же собственное отображение раз-
разлагается в композицию X —*¦ Sk X У —*" У, где i — собственное
вложение, р — проекция и число k настолько велико, что ото-
отображение р является изоморфизмом в нужных размерностях.
Тогда p = (j)~l, где / есть включение У—v^X^-
9. Двойственность в многообразиях с краем
Для простоты мы ограничимся компактными <3-многообра-
зиями Ln (обобщение намечено в упр. 3). Через Мп обозначается
многообразие, которое получается из L приклеиванием ворот-
воротника к краю dL (см. 1.11), т. е. М — L U /(dL X [0, 1)). Заметим,
что (М, М — iL)~(L,dL): деформационная ретракция пары
(М, М —it) на (L, dL) заключается в стягивании каждого полу-
полуинтервала [0, 1) к нулю. Заметим также, что М — IL есть окрест-
окрестностный ретракт в М (доказательство; покроем dL конечным
множеством координатных окрестностей Uk; тогда разность М — iL
покрывается системой окрестностей Uk X [0, 1), каждая из кото-
которых является евклидовым полупространством; поэтому из IV. 8.10
следует, что М — iL есть ENR).
372 Гл. VIII. Многообразия
Пусть R — кольцо (характеристики 2, если L неориентируемо);
фиксируем ориентацию
3.3
ОеГ (iL; R) ss Нп (М, М - iL; R) ~ Нп (L, dL; R).
Гомоморфизм dt: Нп (L, dL; R) —> Я„_, (dL; R) переводит О в фун-
фундаментальный класс о = <Э„О многообразия dL (см. 2.19).
9.1. Предложение. Следующая диаграмма коммутативна,
и все ее вертикальные стрелки являются изоморфизмами:
..._* Hn~l~xL -> Hn~i~l(dL)-^>Hn~i(L,dL)-*
-l)«-«-l^O
., dL)-^* Hi (dL) > Htl
-*Hi(L,dL)-+Hi.
Строки, конечно, точны. Коэффициенты берутся в произвольном
^-модуле G.
Доказательство. Первый, второй и четвертый квадраты
коммутативны в силу согласованности гомоморфизма d с <~\-
умножением (см. VII. 12.13—12.14), третий квадрат — в силу
естественности ^-умножения (см. VII. 12.6). Отображения г^ о
являются изоморфизмами в силу (8.2). Таким образом, ввиду
леммы о пяти гомоморфизмах, нам достаточно доказать, что
г\ О: H*L-+ H(L, dL) есть изоморфизм. А это видно из диа-
диаграммы
H*L ==; Н*М ess H*L
Н (L, dL) 2*H(M,M — iL) ^H{M,M-L)
В ней горизонтальные отображения индуцированы включениями,
которые являются гомотопическими эквивалентностями. Класс
О' е Нп(М, М — L) есть по определению образ класса О при
правом нижнем изоморфизме. Соответствующее сечение /(О')е
е FL принимает в каждой точке множества iL значение 1 (там
оно совпадает с сечением J0) и потому, в силу непрерывности,
принимает значение 1 и в каждой точке множества iL = L.
Следовательно, /О' есть ориентация вдоль L, а О' — фунда-
9. Двойственность в многообразиях с краем 373
ментальный класс вдоль L; следовательно, г\ О' есть изомор-
изоморфизм в силу предложения 7.2. Q
9.2. В качестве приложения предложения 9.1 мы докажем тео-
теорему Рохлина — Тома о сигнатуре. Напомним сначала несколько
элементарных фактов теории квадратичных форм над полем R
вещественных чисел. Если V есть r-мерное векторное простран-
пространство и Q: V —> R — квадратичная форма, то существует базис
пространства V, в котором форма Q имеет вид Q{x) = x\-\- ...
... + *р — x2p+i— ... — xp+q, где xt —координаты вектора х.
Число о (Q) — р—q называется сигнатурой формы Q; оно
не зависит от выбора базиса. Если через а обозначить макси-
максимальную размерность линейного подпространства, на котором
форма Q принимает значение нуль, то
(9.3) \o(Q)\ = 2r-2a-(p + q).
(Если p^q, то одно из таких подпространств можно задать
уравнением Xi—x{+p для 1^/^^, xt = 0 для q<i^p; не-
нетрудно видеть, что его размерность максимальна.) В частности,
если форма Q невырожденна, т. е. если р + q = г, то
(9.4) | ст (Q) | = г — 2а.
9.5. Определение. Пусть Мп — компактное ориентированное
многообразие и о^Нп{М; Z) — его фундаментальный класс.
Если n = 4k, то квадратичная форма
QM: н» (Mi
Qm (x) = (x w x, o)
невырожденна (см. 8.13 с K — M, L — 0, i = 2k). Ее сигнатура
называется сигнатурой многообразия М и обозначается через аМ.
Если п Ф 0 mod 4, то мы полагаем аМ = 0.
Сигнатура — важный инструмент теории многообразий. Одно
из ее основных свойств состоит в следующем:
9.6. Предложение. Если L4k+l—компактное ориентирован-
ориентированное д-многообразие, то o(dL) — 0.
Доказательство. Пусть А = im (i*: H* (L; R) -> Я* (dL; R)).
Рассмотрим следующую часть диаграммы 9.1:
H*L -^ Я* (dL) -^ Я* (L, 5L)
Ь J-
Я E1) ^* HL
374 Гл. VIII. Многообразия
Далее,
VII. 1.7 VII. 1.8
VII. 12.8
т. е. пространство Л является относительно спаривания (я, г/)ь->
¦ -^¦(х^у,о) своим аннулятором; в частности, dim,44ft^' =
= dim Н' — dim Л', и, следовательно, 2 dim Л2* = dim H2k. Ква-
Квадратичная форма Q(i)=(iui, о) обращается на A2k в нуль,
и потому | аМ | = | ctQ | ^ dim H2k— 2 dim Л'24 = 0 (неравенство
следует из (9.4)). []
Предположим, .например, что М4к — компактное ориентиро-
ориентированное многообразие, такое, что число г = dim H2k (M; R) нечетно
(скажем, M—P2kC, Р2/Н). Тогда число оМ нечетно в силу (9.4),
и потому М не может быть краем никакого ориентированного
d-многообразия L4k+1. Конечно, проще вывести это из 8.8'),
поскольку эйлерова характеристика %М многообразия М нечетна,
но этот результат можно следующим образом усилить. Если / • М
обозначает /-кратную топологическую сумму М@ ... @М,
в которой все слагаемые ориентированы одинаково, то число
а(I ¦ М) = I(аМ) тоже отлично от нуля (/>0), а потому много-
многообразие 1-М тоже не является краем ориентированного много-
многообразия. Вообще а (М4к © N4k) = oM + aM, так как H2k(M®N) =
= H2kM@H2kN — разложение в прямую сумму, расщепляющее
квадратичную форму QM®N = QM®QN- Если мы обратим ориен-
ориентацию многообразия М (обозначение: — М), то Q_M = — QM
и потому ст(— М) = — аМ. Формула а (/ • М) = / (аМ) имеет
смысл и справедлива для любого целого I.
В теории кобордизмов (см. Милнор [4]) изучается следующее
отношение эквивалентности («кобордизм») между (компакт-
(компактными ориентированными) n-многообразиями: М ~ N, если
Мф(—N) = dL для некоторого компактного ориентированного
многообразия L. Множество классов эквивалентности обозна-
обозначается через 0,п. Операция топологического сложения превра-
превращает Q" в абелеву группу, и предложение 9.6 вместе со сде-
сделанными выше замечаниями показывает, что а определяет
нетривиальный гомоморфизм Q4ft->Z.
9.7. Предложение. Если М, N — компактные ориентирован-
ориентированные многообразия и многообразие М X N ориентировано по-
!) Из 8.8 следует даже больше: что Рги^ч РгкЬ\ не являются краями
никаких многообразий, даже неориеитируемых. — Прим. ред.
9. Двойственность в многообразиях с краем 375
средством произведения ориентации, то а (М X N) = а (М) a (N)
(по поводу обобщения на случай расслоенных многообразий
см. Чжэнь, Хирцебрух и Серр [1]).
Доказательство. Пусть dimM = m, dimN = n. Если
т + пфОтсйА, то а(М X N) = 0 = (oM)(oN). Предположим,
что т + п = Ар. Мы можем разложить квадратичную форму
Q = Qmxn в сУммУ квадратичных форм согласно расщеплению
Н2р (М XN) = (Hm'2M) ® (Hni2N) ф
) ® (H2p-'N) © (Ят
где первое слагаемое равно нулю в случае нечетного т или п;
коэффициенты берутся в поле R вещественных чисел. Возмо-
Возможность такого разложения следует из VII. 8.18; произведения
сомножителей из различных слагаемых никогда не дают эле-
элементов максимальной размерности Ар = т + п. Поэтому
(9.8) а (М XN) = o(Q\ (Hml2M ® Hn/2N)) +
+ I a(Q\[(HiM®H2p-iN)®(Hm-iM®Hn-2p+iN)']).
2t < т
Фиксируем i < т/2, выберем базис А пространства Н1М и базис В
пространства H2p~lN и обозначим Л, В двойственные им базисы
пространств Нт~'М, Hn~2p+'N. Рассмотрим, далее, базис
{a®b + a®b}U{a®b — a®b) пространства (Н'М ® H2p-1N)@
®(Нт~'М®Нп~2р+!м), гдеаеЛ, b ев В и {а}, {5} - двойствен-
двойственные базисы.
Из VII. 8,16 следует, что произведение любых двух различ-
различных элементов базиса равно нулю и что (a®bJra®bJ =
= 2 (а ® b) w (а<8 Ь) = — (а® Ъ — а® ВJ. Следовательно, форма
Q\[(HiM®H9-p'iN)@(Hm-iM®Hnp+iN)] имеет в нашем ба-
базисе канонический вид, причем число положительных квадра-
квадратов равно числу отрицательных квадратов. Таким образом,
a(Q\l(HiM®H2p-lN)@(Hm-iM®Hn-2p+iN)J) = 0, и, в силу
(9.8), a (MX N) = o(Q\(Hm2M®Hn/2Ny). Если т или п нечетно,
то это нуль. Если т/2 (и, следовательно, л/2) нечетно, то
Q | (Нт12М ® Hni2N) = 0 ввиду (косой) коммутативности w-умно-
жения (см. VII. 8.7). Итак, все свелось к случаю m = Ar, n — As
и известному утверждению, что сигнатура мультипликативна
по отношению к тензорному умножению квадратичных форм.
Доказательство довольно просто: если А — такой базис про-
пространства Н2гМ, что форма QM имеет в нем канонический вид,
376 Гл. VIII. Многообразия
и В — аналогичный базис пространства H2sN, то А X В =
= {аб> 6}аеЛ] bsB — такой же базис пространства H2rM® H2sN.
Pio тогда
°М = X (а ^ а, ом),
as A
GN = Z(b^b, oN),
ЬеВ
a (MX N) = a(Q\ (H»M ® H2°N)) = ? {(а ® Ъ) w(a ® Ъ), oMXoN) =
а, Ъ
= Е ((a w a) ® (ft wft), о^Холг) =
а, Ь
а, 6
= (аЛ^)(о^). ?
Предложение 9.7 показывает, например, что всякое произведение
имеет сигнатуру ст = 1. Легко показать, что операция X согла-
согласована с кобордизмом и превращает градуированную группу
со
Q = (J)Q,- в кольцо; предложение 9.7 утверждает, что a: Q->Z —
кольцевой гомоморфизм. Если рассматривать лишь гладкие
многообразия, то, как показал Том, всевозможные выписанные
выше произведения комплексных проективных пространств поро-
порождают в ?С", где п = 2 (я, + п2 + ¦ ¦. + «а), свободную абелеву
подгруппу конечного индекса, а группа Qj с /^0mod4
конечна. Полная структура кольца ^di!f тоже известна (см.
Милнор [4]).
9.9. Упражнения. 1. Если Ln — компактное ориентированное
^-многообразие с фундаментальным классом О <= Hn(L, dL; R),
где R — поле, то
Hl{L, dL; R) X Нп~'(L; R)-*Hn(L, dL; R){-—^Ir
есть невырожденное спаривание (ср. 9.1 и 8.13).
2. Пусть L = Ln — компактное ориентированное д-многообра-
зие с краем dL, являющимся дизъюнктным объединением двух
(я — 1)-многообразий, dL = diL@d2L. Рассмотрим диаграмму
Hn-l-lL _^ fjn-l-l (E[L) _^ Hn-i (L) g^ _^ Hn-iL _^ Hn-l (^L)
(9.10)
Hl+1 (L, дЦ -* Я, {дхЦ -* Н( (L, d2L) -> Нг (L, dL) -> Я,_, (<5,L)
10. Трансфер 377
первая строка которой есть когомологическая последователь-
последовательность пары (L, 5[L), вторая строка — гомологическая последова-
последовательность тройки (L, dL, d2L), в которой О е Hn(L, dL), о, е
е Нп-\ (d{L) — фундаментальные классы. Покажите, что эта
диаграмма коммутативна (она совпадает с 9.1 при d2L=0).
Ее внешние вертикальные стрелки — изоморфизмы (см. 9.1),
и потому Hn-'(L, diL)mHt(L, d2L).
3*. Пусть Ln— ориентированное многообразие с краем (воз-
(возможно, некомпактное) и К a L — компактное множество. При-
Приклеив воротник вдоль dL, получим многообразие Мп. Имеются
изоморфизмы НК^Н (М, М—К), Н {К, дК) s Н (М-дК, М-К),
Н (дК) ^Н(М, М — дК), где дК = К П dL. Покажите, что если
вблизи дК выполнено условие регулярности, то Н(М, М — К)^
s* Н (L, L—iK), Н (М—дК, М-К) а* Н (L, L-K), Нг (М, М-дК) ^
e=z Яг_, (dL, dL — дК), где iK — K~ дК. Условие «регулярности
вблизи дК», можно, например, понимать так: каждая точка
множества дК =К {]dL должна обладать в L такой окрест-
окрестностью U, что пара (U, U [} К) гомеоморфна паре (dU, 5/C)X[0, 1).
4. Покажите, что для любого компактного ориентирован-
ориентированного многообразия М его сигнатура оМ и эйлерова характе-
характеристика %М сравнимы mod 2.
5. Если L2n+l—ориентируемое многообразие с краем, то
A\mHn{dL\ fl) = 2dimker[/,: Hn(dL; R)-+Hn(L; R)]
для любого поля R, т. е. в точности половина образующих
группы HndL аннулируется гомоморфизмом /, (доказательство
такое же, как в 9.6). Если многообразие M2n+l получено удвое-
удвоением многообразия L, то dim Hn(dL; R)^ 2 dim Hn+i (M; R).
6*. Если M — компактное ориентированное «-многообразие,
допускающее такое вложение /: М->У в некоторое (п + ^-мно-
^-многообразие V, что /*(<%) = 0, то 0ЛГ = О.
10. Трансфер
Если f: М'—*¦ М — отображение одного ориентированного
многообразия в другое, то можно преобразовать гомомор-
гомоморфизмы ft, f посредством двойственности Пуанкаре. Результи-
Результирующие отображения f' = D~lftD', /| = ?)/fZ)~1 называются
трансферами. Если f — накрытие, то /' и /, превращаются в то,
что называется трансфером в гомологической теории групп;
этим и объясняется наше название.
В этом параграфе мы используем трансфер для изучения
геометрических свойств отображения f, удовлетворяющего усло-
условию f~ (ок)ф0 (где К — компактное подмножество много-
378 Гл. VIII. Многообразия
образия М и ок — соответствующий фундаментальный класс).
В § И мы изучим трансферы, отвечающие включениям. Их
мультипликативные свойства сформулированы в упр. 4.
Мы начинаем с естественности г\-умножения. Пусть
f: М' —> М — отображение одного многообразия в другое, и пусть
К cz M — такое замкнутое множество, что как К, так и f~lK.
лежат в некотором ENR (например, это так, если эти множества
компактны или каждое из многообразий М, М' есть ENR).
Для любого замкнутого множества L а К имеются гомо-
гомоморфизмы
f: H(K, L)->H(rlK, f~lL),
f,: Н(М' -f~lL, M' -f~lK)-+H(M-L, M - К);
мы утверждаем, что для любых хеЯ (К, L), ч\<=н(м', м'~/~'/с)
(ЮЛ)
Это выводится посредством предельного перехода из естествен-
естественности VII. 12.6 обычного ^-умножения. Действительно, элемент
х<^Н(К, L) представляется (в смысле 5.18 (i)) некоторым эле-
элементом v группы Н* (V, W)^H*(V -L,W - L), где WaV -
окрестности множеств L а К, а элемент fx представляется
элементом ['веЯ (f~lV, f~!W). Далее, в силу определе-
определений G.3), G.4),
х ^ (fЛ) = vr\ (jj,i\) = v r> (fj^), (fx) г\ц = (f*v) r. (/,n),
и формула A0.1) превращается в равенство f„((/*«) ^ О'*1!)) =
= v гл (f j\r\), которое следует из VII. 12.6. []
10.2. Предложение. Пусть М и М' — ориентированное пг-мно-
пг-многообразие и ориентированное пг'-многообразие, и пусть f:M'->M—
отображение. Пусть К а М — компактное множество, прообраз
f~lK которого лежит в некотором ENR. Если r-кратный фун-
фундаментальный цикл ок е Нт (М, М — К) является образом при
отображении ft некоторого элемента ц группы Нт(м , м'—/~'/С)
(т. е. если f~x (гок)ф0), то для любого компактного множества
L а К имеется последовательность гомоморфизмов
A0.3) Н1(К, L)-^Hl(rlK, f"'!)->
- Hi+{m'-m) (Г1 К, r*L) ~> Н1 (К, L),
композиция которых является r-кратным тождественным ото-
отображением {Нс — чеховские когомологии с компактными носи-
10. Трансфер 379
телями; коэффициенты для ок и х\ берутся в кольце R, коэффи-
коэффициенты для групп последовательности A0.3) — в произвольном
R-модуле). Если в R 1 + 1=0, то все это верно и в неориенти-
руемом случае.
Доказательство. Композиция
¦^ Яш_г- (М' - Г% М' - Г1К)~^ Hm-t (M-L,M-K)
переводит х е Н1 {К, L) в ft( (fx) гл ц) = х гл (f^) = х гл (Гок) =
= r(x ^ ок). Если мы добавим к этой последовательности изо-
изоморфизм (r\ oK)~l: Hm-i (М — L, М — К) = Н1 (К, L), то компо-
композиция будет переводить элемент х в гх. Если заменить теперь
группу Hm-t (Af — f~lL, M' — f~lK) изоморфной группой
Hf'~m+i{j~xK, f~lL) (см. 7.14), то мы получим требуемую пос-
последовательность A0.3). []
10.4. Замечания. Из предложения 10.2 вытекают интересные
геометрические следствия. Определим размерность множества К
как наибольшее из таких I, что/Г {К, L; G) ф Одля каксго-нибудь
L czK (детали см. Нагами [1, § 35—39]). Из 10.2 следует, что
если о# е im(/»), то размерность множества f~lK больше раз-
размерности множества К по крайней мере на т' — т. Следует
также заметить, что из roK e im (/„) вытекает, что ro7e;im(f4)
для любого компактного подмножества / а Д" (например, для
случая, когда / — точка). Если М само компактно и roM e im (/,),
то эти замечания применимы к любому компактному множеству
К cz М. В частности, если при этих условиях гН1М ф 0, то
Н1М' Ф0 и Hi+(m'~m)Mf Ф0. Если M' = Sm (т'=т)н f: M'->
—уМ — отображение степени г, то гН'М = 0 для 0 < I < т.
Предложение 10.2 можно использовать для изучения про-
проблемы локальных сечений. Локальное сечение отображения f: М'—>
—>М в точке PgM — это такое отображение a: U —>М' окрест-
окрестности U точки Р в АГ, что /cr = id. Если такое а существует,
то fto,(oP) = oP, т.е. оР €=im(/,), и группа^ Hf'-m(j~xP\Z) об-
обладает прямым слагаемым, изоморфным Н°(Р; Z) = Z. В част-
частности, dim (f~lP)^mr — т. Таким образом, иногда уже по
виду множества f~lP можно сказать, что отображение f не до-
допускает локального сечения в точке Р (пример: т' > т, и мно-
множество /~'Р конечно). Чтобы сделать это место понятным
380 Гл. VIII. Многообразия
нетопологам, выделим следующий частный случай, когда М и
М' — открытые подмножества евклидова пространства. Пусть
fj(xi, ..., xn) = bj, / = 1, ..., m, — система m непрерывных урав-
уравнений с n^tn неизвестными. Предположим, что она обладает
непрерывным решением в окрестности U точки Р е R'n, т. е. су-
существуют непрерывные функции аи{У\, ¦¦-, ym), k=l, ..., п,
определенные при у е(/', принимающие значения в открытом мно-
множестве V a Rn и такие, что //(сг,г/ опУ)==У1- Тогда для
любого b = (bx, ..., bm)^U решения образуют множество раз-
размерности по крайней мере п — т:
dim{x е V |/7- {хь ..., xn) = bj для всех j}^n — m.
10.5 Определение. Гомоморфизм
].Hc\] A,/ L)->Hc (A, L)
из A0.3) зависит только от f и не зависит от ц. Он называ-
называется (когомологическим) трансфером. Как видно из доказатель-
доказательства предложения 10.2, он совпадает с композицией
A0.6) Н'с (Г]К, f']L) ^ Hm.-t (ЛГ - f~'L, М' — f~]K) -^
->Hm'-i(M-L.M-K) ("°Г>> Hf~m'+! [К, L),
т. е. получается из гомоморфизма /. посредством двойственности
Пуанкаре. Он определен для любого отображения f: М' -> М
одного ориентированного многообразия в другое и любой за-
замкнутой пары [К, L) в М. Заметим, что в A0.3) мы предпола-
предполагали К компактным; в этом случае Я (К, L) = НС(К, L).
Двойственным образом гомологический трансфер
/У. Hj(V, U)->Hj+w-m)(f~lV, f~lU)
определяется как композиция
->н?-' (м' - г1и, м' - rlv) ^ Hm'-m+,(rlv, rlu)-
Он определен для таких открытых пар {V, U) в М, что отобра-
отображение f является собственным над (М — U) — {М — V) = V — U
(см. 6.26.) Интуитивно отображение fi можно представлять себе
как «взятие прообраза» (см. 10.10, 10.12).
Оба трансфера при композициях ведут себя функториаль-
ным образом и коммутируют с вложениями; более точно:
10. Трансфер 381
10.8. Предложение. Пусть М, М', М" — ориентированные
f f
многообразия и М" -—*¦ М' —>• М — отображения.
(a) Если (К, L) — замкнутая пара в М, то композиция
яК/'-'Г1*, f-]rlL)^> H'c-m"+m'(г1*, Г10 -^
—>Й[~т"+т{К, L)
совпадает с (ffI, т.е. (//')' ==/'Г'-
(b) Если (V, U) — открытая пара в М, такая, что отображе-
отображение f является собственным над V — U, а отображение f явля-
является собственным над f~ V — f U, то отображение ff является
собственным над V — U и
Если f: M-^-M — тождественнее отображение, то /"' == id, fi = id.
Это следует из определений 10.6, 10.7, поскольку гомомор-
гомоморфизмы /„ и fc ведут себя функториальным образом по отноше-
отношению к композициям. []
10.9. Предложение. Пусть f: М'^>М — отображение одного
ориентированного многообразия в другое.
(а) Если i: (К, L)—>{K, L) — включение одной пары замкну-
замкнутых подмножеств многообразия М в другую, то диаграмма
коммутативна (/' — включение).
(Ь) Если i: (V, U)-+(y, U) — включение одной пары открытых
подмножеств многообразия М в другую и отображение f явля-
является собственным над V — U uV — U, то диаграмма
коммутативна (/' — включение.)
Так как отображения ft, fc функториальны, нужно доказать
лишь, что отображения о о, г\о' коммутируют с включениями.
382 Гл. VIII. Многообразия
А это получается предельным переходом из предложения 7.6
(группа Нс является пределом групп Н). Мы предоставляем
читателю восстановить недостающие подробности. []
Следующий результат является интересным приложением го-
гомологического трансфера /| и диаграммы 10.9 (Ь):
10.10. Предложение. Пусть М, М' — ориентированные мно-
многообразия одной и той же размерности и f: M' —>М — непрерыв-
непрерывное отображение. Если (V, U) — такая открытая пара в М, что
отображение f является собственным над V — U и имеет над
V — U степень г (т. е. имеет степень г над любой точкой P^V — U;
см. 4.2), то композиция
(io.li) h,{v, u)-^h,Q-1v, flv)-^H!(v, и)
является r-кратным тождественным отображением.
Например, если f: М'-* М — накрытие одного (связного)
ориентированного многообразия другим и число листов г конечно,
то f — собственное (над М) отображение степени ± г. Если р',
р — фундаментальные группы многообразий М', М, то группы
НМ'', ИМ можно интерпретировать как гомологические группы
групп р', р (с коэффициентами в некотором цепном комплексе).
Кроме того, f мономорфно отображает группу р' на подгруппу
индекса г группы р, и гомоморфизм /| можно отождествить
с обычным трансфером Н (р) —> Н (р'); см. Картан и Эйленберг
[1, XII, 8B)]'); предложение 10.10 превращается в предложение
XII. 8F), 1 (с) указанной книги.
Другой пример: пусть /: Rtl-*-Mri — собственное отображение
степени г; тогда, в силу 10.10, r{HM)cif:t(HRn), и потому
г(НМ) = 0. В частности, собственное отображение степени ±1
пространства Rn в М может существовать лишь в случае, когда
многообразие М ациклично. (На самом деле многообразие должно
быть для этого стягиваемым; см. упр. 3.)
Доказательство предложения 10.10. Если множе-
множество М — U компактно, то доказательство аналогично доказа-
доказательству предложения 10.2: любой элемент h е Н (V, U) пред-
представляется в виде yr\ocy^H(M — U,M — V) и /i (h)=(fy)i^or;
поэтому fj{h = /. ((fу) г\ о') = у г^ (ftof) = r{y r\ o) = rh (третье
равенство следует из 4.5). Предположим, далее, что множество
V—U компактно. Положим В = М — V—U; тогда множество
[М — (U U В)] cz (M — В) компактно, и потому предложение 10.10
') В русском переводе книги Картана и Эйленберга этот гомоморфизм
называется гомоморфизмом перенесения. — Прим. ред.
10. Трансфер 383
справедливо для пары (V \}В, U [) В); следовательно, /»(/»/))==
= (/J,)^ = n; в силу 10.9 (Ь). Но it: Н (V', U)-+H(V[}B, U [) В)
есть изоморфизм по теореме о вырезании, и потому равенство
fj\ = r id справедливо и для пары (V, U).
Рассмотрим, наконец, общий случай. Для любого h е Н (V, U)
можно найти такое открытое множество W cz V с компактным
замыканием W, что элемент h лежит в образе отображения
i,: H{W\)U, U)-+H(V, U), скажем h = itk. Тогда
(Ш h = (/./,) (i,k) = it (hhk) = /. (rk) - r (ijt) = rh
(второе равенство следует из 10.9(b), третье имеет место, по-
поскольку (W U U)—U компактно). []
10.12. Следствие. Пусть М — ориентированное многообразие,
и пусть i: W -*¦ М — включение некоторого открытого множества.
Если {V, U) — такая открытая пара в М, что (V — U) cz W, то
включение i является собственным над V — U и имеет степень 1;
поэтому
H(V, U)~^H{V[\W,U[\W)^*H(V, U)
есть тождественное отображение в силу 10.10. Но it: H(V[)W,
U [\W)-+ H (V, U) — изоморфизм вырезания, так что в этом
случае i\ = i~ . Q
10.13. Следствие. Пусть f: М'-> М— отображение одного
ориентированного многообразия в другое и i: W а М — включение
некоторого открытого множества. Пусть, далее, W' = f~l\V,
I': W'-*Mf — включение и fw = f\Wf: W-+W. Если (V,U) —
такая открытая пара в W, что отображение f является соб-
собственным над V — U, то возникают два трансфера ff и ff'. Мы
утверждаем, что они совпадают, ff = ff; H(V, [/)->#(f~V,
f~lU). В частности, при вычислении гомоморфизма f\\ H (V, ?/)->
-> Н (/"" V, f~ U) можно заменить отображение f: М' -> М ото-
отображением fv: /~V->F.
Доказательство. Так как fMi' = if, то /f/f = {fMi% =
= (tfv)t = /f/, в силу 10.8 (b). Но t,: H (V, U) -> Н (V П W, U П W) et
s& H (V, U) и
тождественны в силу 10.12. Следовательно, ff — ff, как и
утверждалось. []
384 Гл. VIII. Многообразия
10.14. Упражнения. 1. Пусть Г = {(.?, (/)eR!|jt^=_0j =
= sin(l/x)} — график функции у — s'm(l/x), и пусть Х = Г— его
замыкание в сфере S2 = R2U{°°}- Постройте такое отображение
/: S2 —>S2 степени 1, что X — f S —прообраз некоторой окруж-
окружности. Это показывает, что сингулярные когомологии прообраза
f~'5' могут быть нулевыми (в то время как //'(/"'S1) -ф 0, если
dcg(f) Ф0). Близкая задача: постройте такое отображение
g: S2—>Sl, что X = g~l(P) для некоторой точки Ре S1 и g
допускает локальное сечение в точке Р.
2. Дуализируйте предложение 10.2.
3. Пусть f: Mf —>М — отображение одного связного много-
многообразия в другое, и пусть р: М^>М — накрытие, соответствую-
соответствующее подгруппе ^(л,М') фундаментальной группы пхМ, так что
индекс i = [jt1iVf : !,(л{М')] равен числу листов накрытия р.
Отображение f поднимается до отображения f: M'-*M, pf--f
(по поводу теории накрытий см. Шуберт [1, III. 6]). Если dimyW'=
= dimM и f — собственное отображение степени г, то f — тоже
собственное отображение и г = i (deg (f)); в частности, i делит г.
Например, если M' — Rn, то пхМ'= \, поэтому \. — \п\М\\\,
т.е. i — порядок группы пхМ. Таким образом, в этом случае
\щМ '. 1] делит г. В частности, если /: R"-> Mn — отображение
степени ± 1, то щМ = {1}. Так как в этом случае и НМ = 0
(см. 10.10), отсюда следует, что многообразие М должно быть
стягиваемым (см. Ху [2, VII, 8.5]).
4*. Мультипликативные свойства трансфера описываются сле-
следующими формулами:
A0.15) fdx^t) = (Ix)n(fxi),
A0.16) Nxvy) = XKjfly,
A0.17) h(y^f?) = (-l)im-ri[Hm^mn(fly)^t
Формула A0.15) имеет место для любых х^Йс(К, L), |е
е Н (М, М — К), если L а К. — замкнутые подмножества много-
многообразия Мт и отображение f: М'т'-+Мт является собственным
над К — L. Она требует определения о-умножения для чехов-
чеховских когомологических классов с компактными носителями;
это умножение задается при помощи композиции НС-*Н—*¦ Н.
Формула применима и в несколько более общей ситуации,
а именно если ie HC(K, L{), I е Н(М — L2, М — К), где Lh L2cz
сг К — замкнутые подмножества многообразия М и произведение
(хгл%) е Н(М — (L, U L2), M —К) определено, как и раньше, с за-
заменой многообразия М многообразием М — L2. Аналогично
обстоит дело с формулой A0.17). Формула A0.16) имеет место
11. Класс Тома, изоморфизм Тома 385
для любых х^Н{К, L\), y^H(f~xK, f~1L2), где Lu L2aK
такие же, как выше, но отображение f не обязано быть соб-
собственным. Она требует определения ^-произведения чеховских
когомологических классов; это определение намечено в 6.21.
Согласно правилу знака VI. 9.8 для коммутирования градуи-
градуированных объектов, мы должны были бы ожидать множителя
(_l)|fi|-l*l = (_l)<'»'-m4*l =(_l)№l в (ЮЛ5), A0.16) и множи-
множителя (_i)^Km'-m> в A0.17), так как /ь /' — отображения степени
±{т — т'). Действительно, при более систематическом изучении
трансферов мы должны были бы переопределить их, умно-
умножив композиции A0.6), A0.7) соответственно на (—\y(m'~m\
(_1 )("•-/> <m'-m) ^для включении мы это сделаем в § 11), что
приведет к появлению ожидаемого знака в перечисленных выше
формулах. Для запоминания формулы A0.15) заметим следую-
следующее: она выражает тот факт, что fi есть морфизм в категории
ЯК-модулей, где кольцо НК действует на группе Я (М, М — К)
посредством операции ^, а на группе Н(М', М' — f~xK) —
посредством f и последующего применения операции г\. Подоб-
Подобный же факт выражает формула A0.16), а формула A0.17)
означает, что гомоморфизмы /' и /i двойственны друг другу.
5. Покажите, что средняя стрелка HlQ~lK, f~xL)~*
-±н1Мт'~п)(Г1К, Г1!) последовательности A0.3) является
w-умножением (см. 6.21) на фиксированный элемент z группы
нТ~т(]~хК), а именно на элемент, двойственный по Пуанкаре
элементу т^ (z ^ о' = т]).
11. Класс Тома, изоморфизм Тома
Пусть Мп+ — ориентированное многообразие, iVrt — его ориен^
тированное подмногообразие и е: N -> М — включение. Предпо-
Предположим, что N = N (N замкнуто в М). Тогда для любой замк-
замкнутой пары (X, А) в N трансфер е\ есть композиция
A1.1) Hq(M-A, М-Х) U- Hnc+k-q(X, A) "
->Hq-k(N-A, N-X).
По причинам, которые выяснятся позже, мы изменим опреде-
определение гомоморфизма е\, умножив его на (_iN're+6-'')> T# 6i
с этого момента гомоморфизм е\\ Hq(M — A, M — X) -+
-+Hq-k{N — A, N — X) обозначает композицию A1.1), умножен-
умноженную на (_i)ft<ra+6-'?>i в СИЛу 7.14, это — изоморфизм (коэффи-
(коэффициенты произвольны, но если мы хотим распространить теорию
Рл. Vlll. Многообразий
на неориентируемый случай, то должны взять коэффициенты
mod 2; мы мажем не Предполагать, что множество N замкнуто,
если подмножества А, X множества N замкнуты в М).
В малых размерностях A1.1) означает, что
A1.2) Н„(М-А, М — Х)>=0, если q < k = dim M - dim N,
A1.3) Hk(M-A, M — X; Z)^Ha(N-A, N - X; Z)—
свободная абелева группа, порожденная лежа-
лежащими в X компонентами множества N — А.
В частности, Hk(M, М — N; Z)e*H0(N; Z) есть свободная абе-
абелева группа, порожденная элементами vx, соответствующими
компонентам Л^ Множества N. Мы называем vA трансверсаль-
ным классом многообразия N^ (в М). В разложении
Нк(М, M-N)^^Hk(M, M-N,)
он является образующей группы Hh{M, М — Njj; Z) ^ Z. Если N
связно, то мы обозначаем его трансверсальный класс через vN
или vj^.
Изоморфизм в\ Коммутирует с включениями. Подробнее, если
(X, А) с (X, А) — замкнутые пары в N, то диаграмма
Hq(M-A, M-X)s?Hq-k(N-A, N-X)
A1.4) |/« [i*
Hq(M-A, M-X)s*Hq-k(N —A, N-X)
где j — включение, коммутативна (в силу 10.9 (b)).
Если V — открытое в М множество, то диаграмма
Hq(V-A,V-X) e& Hq.k((V(]N)-A,(V(]N)-X)
A1.5)
Hq(M-A, M-X)^Hq~k(N-A, N-X)
коммутативна для любой замкнутой в N пары (X, А); дей-
действительно, поскольку (e\V [) N)t =ei (см. 10.13), это утвер-
утверждение есть в точности 10.9 (Ь). []
В частности, если q = k, A=0, X — N, то, как мы видим,
jt: Hk(V, V — N)~*Hk{M, M — N) переводит трансверсальные
// Класс Тома, изоморфизм Тома 387
классы в трансверсальные классы:
(Н.6) /,(v,) = v,,
где %, % — компоненты множества Vf\N, N и A,:z>L Из A1.6)
следует, что г рансверсальные классы vx^Hk(M, M — N) пред-
ставимы сколь угодно малыми циклами. Действительно, если
Р е JVA и V — некоторая окрестность точки Р в М, то vx яв-
является образом элемента v^ e Hk(V', V — (V f\ N)), где X — ком-
компонента точки Р в множестве V П N.
11.7. В качестве иллюстрации рассмотрим случай iV=R"X{0} с:
czRnX^k = M. Тогда (М, М - N) = R" X (Rft, Rfe - {0}) и
Нк{М, M-N; Z)s*Z, Ht{M, M-N) = 0 при 1фк. Если
0: Afe->Rra+fe = Rra X Rfe — некоторый невырожденный аффинный
симплекс, пересекающий N точно в одной внутренней точке
(т. е. симплекс 0 «трансверсален» к R"X{0}), то он задает
относительный цикл пространства М mod (М — N), класс гомо-
гомологии [а] которого порождает группу Hk(M, M— N; Z); поэтому
[о] = ± vN.
Обратимся снова к общему случаю. Если вложение е: N-+M
плоско в точке P^N (см. 1.8), то по определению точка Р
обладает в М такой открытой окрестностью V, что (V, V П N)f&
»(R"XRfe, R"X{0})- Трансверсальный класс v^ (в предполо-
предположении, что N связно) является тогда образом класса vKnJV,
который мы только что описали. Это создает наглядное пред-
представление о классе vN для довольно широкого класса вложе-
вложений.
Если применить к формулам A1.2), A1.3) формулу универ-
универсальных коэффициентов (VI. 7.10), то мы получим
A1.8) Н"{М~ А, М-Х) = 0 при <7</j
A1.9) Нк{М-А, М-Х; G)^Uom(H0(N-A, N - X; Z), G);
последняя группа является прямым произведением стольких
групп G, сколько компонент имеет N — А в X.
11.10. Предложение и определение. Элементы группы
Hk(M, M-N; G) = Hom(H0(N; Z), G)
можно следующим образом описать с помощью формулы A1.3).
Для каждой компоненты Nx множества N выберем какой-нибудь
элемент g% e G; тогда имеется единственный класс у е
е Hk (М, М — N; G), такой, что {у, v^) = g% для любого к
(vx — трансвереальный класс). Q
388 Гл. VIII. Многообразия
В частности, имеется единственный класс т = т*еЯ'(М,
М — N; Z), такой, что (т, vA)—1 для любого I; он называется
классом Тома подмногообразия N в М. Образ класса Тома
при гомоморфизме е: Hk(M, M — N; Z)->Hk(N; Z) называется
классом Эйлера вложения е, или нормальным классом Эйлера
подмногообразия N в М; он обозначается через % = %д?. Мы
сохраняем также обозначения тих Для образа (при гомомор-
гомоморфизме ® 1) класса Тома и класса Эйлера в группах
Hk(M, M — N; R), Hk (M; R), где #-—произвольное кольцо.
Источником этого термина служит следующий частный случай:
если е: N —> N X N— диагональное вложение и многообразие N
компактно, то, как можно показать, число (%^XN, oN^ равно
эйлероЕой характеристике многообразия N (см. упр. 3).
Как класс Тома, так и класс Эйлера естественны по отно-
отношению к включениям /: V —>М открытых множеств, т. е.
(ll.ll) f«) =
Первая формула следует из формулы A1.6) и определения
класса т; вторая вытекает из первой. []
11.12. Предложение. Если отображение е: N'->М можно
продеформировать в отображение f: N->M, образ которого
лежит в многообразии М — N, то xjv == 0. Другими словами,
класс xjv можно рассматривать как препятствие к деформации
многообразия N внутрь многообразия М — N (см. также 11.25).
Кроме того, если Hk(M; Z) = 0, то опять-таки %')J — 0. Напри-
Например, это применимо к случаю M = Rn+k.
Доказательство. В обоих случаях гомоморфизм
е*\ Hk(M, M — N; Z)-> Hk(N; Z) равен нулю; в первом случае
по той причине, что гомоморфизм е* = /* пропускается через
группу Hk(M — N', М — N) = 0, во втором — потому, что е про-
пропускается через группу Hk (M; Z) = 0. []
В следующем предложении устанавливается' связь между
пересечением и ^-умножением; эти соотношения более подробно
будут изучены в § 13.
11ЛЗ. Предложение. Пусть JVj и N2 —такие замкнутые
(Np = Np) ориентированные подмногообразия ориентированного
многообразия М, что пересечение N =-= N\ fl N-> является связным
многообразием. Предположим, что многообразия Ыг и N% транс-
версально пересекаются в некоторой точке Р е N, т. е. Р обла-
//. Класр Тома, изоморфизм Тома 389
дает в М такой открытой окрестностью V, что
(V;VuNu V(]N2)«(Rfe2XR"XRftl; оxRrtXRftl, R*2XR"Xo);
в частности, размерности многообразий N, Nu N2, M равны,
n, n-\-ku n-{-k2, n + k\ + k2. Тогда многообразие N ориенти-
ориентируемо и т# = ± (т$ ^ т$). Аналогично ± х# = ^^mj w (еЩ,
где ер: N-+Np —включение. (Что же касается знаков, то из
первой части доказательства будет видно, как вычислить их по
заданным ориентациям многообразий М, Nu JV2.)
Доказательство. Предположим сначала, что V = M;
тогда (М; Nu N2) = (Rk2X Rn X Rfel; 0XR"XRftl, Rfe2XRnX0)
и ^ = JV1n^2 = 0XRllX0. Если Oi&HtiR1, R' —0; Z)«Z и
|i,eH'(R', Rr —0; Z)— образующие, то (цИ ог) = ±1. Симво-
Символом 1 мы будем обозначать образующие всевозможных групп
Яо(-, 2)и Н°{-, Z). Тогда о^Х 1 X 1, lXIXoft,, oftlXlXofel-
образующие групп Нк2Ш, M—Nu Z), Нк,Ш, M — N2; Z),
Hkt+kiiM, M — N; Z) (ср. VII. 2.14), так что они совпадают,
с точностью до знака, с трансверсальными классами подмно-
подмногообразий Nlt N2, N. Следовательно, ± т^ =jift X 1 X 1,
± %1 = 1 X 1 X Н, ± *# =* Н2 X 1 X цА1, и потому tJ? -±(т«) w
w(t^) в силу VII. 8.15.
В общем случае пусть v^njv — трансверсальный класс под-
подмногообразия V П N (в V) и
/: (V; К - Nu V - N2, V - N)->(М\ М — Nu M—N2, M — N)
— включение. Тогда
/rM w xM i (vv Xs = /(i*xM} w (i*rM~\ vv \жв
— (xv w tv vv \= -\- /tV vv- \ = 4-
В частности, элемент /»(v^nv,) должен иметь бесконечный по-
порядок, а потому группа
HncN^Hkl+kl{M, M~N)
бесконечна и многообразие N ориентируемо (см. 6.25 или 11.29).
Но тогда L(yvNnv)~v!N (см- О1-6))- и> следовательно, (т^ «^
w tj^2, vj^^ = ± 1. Поэтому т^ ^ т^ = ± t')J по определению т$.
Что же касается эйлерова класса, то
УМ __ а* /-УИЧ _. _)_ р* /-УИ . . ТМ \ = 4- ft (гЧ \ к j о* СгМ \ п=
390 Гл. VIII. Многообразия
Теперь мы покажем, что трансфер е\ можно аппроксимиро-
аппроксимировать гомоморфизмами т^, т. е. ^-умножениями на класс
Тома.
11.14. Предложение. Пусть е: Nn -+ Мп+ — то же, что раньше
(замкнутое включение одного ориентированного многообразия
в другое), и пусть множество icJV замкнуто, а множество
W а М открыто, причем (N — X) с W с (М — X). Тогда компо-
композиция
Hq (М, М - X) —> Hq-k (N, N — X)-^* Hq-k (M, W)
(где i — включение) совпадает с гомоморфизмом т^, т. е.
ite\(h) = xr^h для любого h^H(M,M — X) (заметим, что
М~Х = (М- N)\}W, так что % rs h e= H (M, W)).
Доказательство требует некоторой подготовки.
11.15. Лемма. Если в предположениях из 11.14 X компактно,
то для любого w e H* (M, W)
где о$, о% — фундаментальные классы множества X в М, N
(ср. с 10.15).
Доказательство. Если z — образ элемента w при ком-
композиции
Я*CM, W)^H*(N, N-X) = H(N, N-X)->HCN,
то w ^ o% = г г\ ом и (i*w) rs o% — z r\ oN в силу определения
z гл ом и z гл oN (см. G.13) и последующие пояснения); поэтому
11.16. Следствие. Если в предположениях из 11.14 X = Р
есть точка, то для любого w e Hn (M, W)
w^0M = (-\)kn(i*w, oNp)vp,
где vP — трансвер'сальный класс компоненты точки Р.
Действительно, (— \)kn e, (w r\ о^) = (i*w) <s o^ — это (i*w, o^\-
кратный гомологический класс точки Р (см. VII. 12.8); поэтому
наше утверждение следует из определения класса vP. []
11. Класс Тома, изоморфизм Тома 391
11.17. Лемма. Если в предположениях из 11.14 X компактно
и г: (М, W)-+(N, N — X) —ретракция, то rt(%Nf %
Доказательство. Предположим сначала, что Х — Р
есть точка. Пусть [ie#"(iV, N — Р; Z) — образующая с
(ц, о?)=1. Тогда, в силу 11.16, (г'р)ъо» = (-1)ка(\и, o$)vp=
= (—l)knvP, и потому
о*)) =
Поскольку г„ (т ^ о*1) кратно о?, отсюда следует, что
В общем случае рассмотрим коммутативную диаграмму
Н (М, г-1 (iV -Р))±-Н (М, W)
H(N, N — P)+-*-H(N, N- X)
где РёХ — точка и jp, j — включения. Приравнивая образы
элемента т^о* в H{N, N — Р), мы получаем ввиду сказан-
сказанного выше и естественности «^-умножения, что }р (г (х г\ о^)) =
= г* (? ^ о]?) — °р • Эти равенства справедливы для всех точек
Р е X, так что г» (т <^> о^) = о$ в силу определения о^ (см. 4.1). []
Теперь мы докажем частный случай предложения 11.14.
11.18. Предложение. Если в предположениях из 11.14 X ком*
пактно, то it (о$) = т^ ^ о^1.
В частности, если № = Л4-^-Х, то (по определению 7.4) пра*
вая часть совпадает с х^^о1^, где %% — образ элемента т^
при гомоморфизме Hk (М, М — N)-+ HkM-+ HkX\ наше предло-
предложение утверждает в этом случае, что элемент 3C^(=3CJv
двойствен по Пуанкаре элементу im (о%) е Нп (М, М — X). Если
само компактно и X=^N, W = 0, то т^ гл о^ = xj^ «^ (/ojjj) =
= (/*х^) ^ oJU, где /' — включение. Следовательно, элементы
/*х$ s HhM, /,o^ e ЯпМ двойственны по Пуанкаре.
Доказательство. Предположим сначала, что М п N—
евклидовы окрестностные ретракты, и зафиксируем окрестностную
392 Гл. VIII. Многообразия
ретракцию г: М' -> N. Полагая W'= r~l (N — X)(] W, мы можем
считать, что г есть ретракция пары (М\ W) в (N, N — X). Если
пара (М', W) выбрана достаточно малой, то композиция (ЛГ, Wf)!+
—* (N, N — X)—>(М, W) гомотопна включению / (см. IV. 8.7)
и потому /»= vv Применяя /„ к равенству 11.17 (с М' вместо М),
мы получим
г* К°х) ~~ l*r* \xn п°х ) e J* V тлг °х j "~Tiv ^ 'At ~тял%'
В общем случае мы можем найти такое открытое подмноже-
подмножество М' многообразия М, что как М', так и N' = N(]M'
являются евклидовыми окрестностными ретрактами и сохра-
сохраняется включение X a N' (поскольку М и N локально являются
евклидовыми окрестностными ретрактами и X компактно; см.
IV. 8.10). Положим W = W(]M'. Тогда диаграмма включений
(JV'f N' — X)-^-{M', W)
A1.19) \>' \i
(N, N-X)-1* (M, W)
Коммутативна, и потому
i (o1^) = i f (oj) = / i' (о%'Л = j (%$ о o§'\ *= / (fx'fi r\ o%') =
Где третье равенство имеет место в силу предыдущей части
доказательства. []
Доказательство предложения 11.14. Элемент Ае
е Я (М, М — X) двойствен в М некоторому классу х е НСХ,
и элемент (— 1)*'*'е,Л двойствен тому же классу л: в iV. Возь-
Возьмем такое замкнутое множество AczX, что замыкание X — А
компактно; поскольку НСХ = lim H (X, А), класс х представляется
некоторым классом х' еН(Х, А). Класс х1 в свою очередь пред-
представляется некоторым классом у е Н* (М'', М"), где М\ М" —
подходящие открытые окрестности множеств X, А в М (так как
Н{Х, A) = \im H*(M\ M")). В силу замечаний, следующих за
G.13), элемент h, двойственный по Пуанкаре элементу х, имеет
вид h = /t (у гл of_M,), где /: (М', М' — Х)-* (М, М — Х) — вклю-
включение. Аналогично в обозначениях из 11.19 элемент i'*y пред'
ставляет в ./V элемент х, и двойственный к х в N элемент
//. Класс Тома, изоморфизм Тома 393
(— l)felx|e,/z определяется формулой
Поэтому
U[h = (-1)* I у I // (Г у г, 0»i „.) - (-1)» I * I /Г
«-=/*< в СИЛУ 11-и). D
11.20. Следствие из 11.14. Пусть е: Nn-*¦ Мп~*~к — такое же
включение, как в предложении 11.14. Предположим, чть N —
окрест постный ретракт в М, г. М' -» N — окрестностная ретрак-
ретракция (М' открыто в М). Тогда для любого замкнутого X с N
композиция
A1.21) Н„(М,М-Х)е?Н„(М',М'-Х) >
-*Hq_k{M', M'-r-*X)-^Hq-k(N, N-X)
совпадает с е,; в частности, она является изоморфизмом. Двой-
Двойственным образом композиция
A1.22) е!: Hq~k(N, N - X) -^ Hq~k {м', М' -г"'Х)-^Х
ехс
->Н"(М', М! — X)s* Н"{М, М — Х)
является изоморфизмом. Оба изоморфизма называются изомор-
изоморфизмами Тома.
Если, кроме того, композиция М' —*¦ N —*¦ М гомотопна
включению j: M'-> М, то изоморфизмы Тома являются изомор-
изоморфизмами в категории Н*М-модулей, т. е.
A1.23) el(y^h)=-{-l)k^\(e*y)r^(elh), e'(x wе*у) == (e'jc) \j у
для любых yt=H*M, ht=H(M, М — Х), x<=H*{N, N — X).
Заметим, что условия предложения 11.20 выполнены, если
М, N — евклидовы окрестностные ретракты (см. IV. 8). Если
ретракция г или гомотопия ercaj задана лишь в окрестности
множества X, то все же можно (с помощью вырезания) полу-
получить заключение предложения 11.20 для этого X. В действи-
действительности предположение егса] вообще не нужно для доказа-
доказательства первого из равенств (Ц.23) (предельный переход можно
394 Гл. VIII. Многообразия
сделать в гомологиях), но я не знаю, справедливо ли это в от-
отношении второго равенства.
Доказательство. Компонируя равенство x^'rs==i/ef
(см. 11.14) с отображением г„, мы получаем г (х^' <^\ — e'[t что
доказывает первую часть (в силу естественности отображения е,;
см. A1.5)). Для доказательства второй части выберем коцикл '(,
представляющий т^'; все отображения
S(M', M' -X)~SM'IS{M'- N, M' -r~lX}
-rS(M', M'-r^X)~^>S(N, N -X)
г
являются цепными (строго говоря, чтобы это было так, надо
кое-где сдвинуть размерности и ввести знаки). Их композиция
индуцирует изоморфизм в гомологиях, а именно изоморфизм
г (%г\) = е'], и является поэтому гомотопической эквивалент-
эквивалентностью (в силу II.4.3). Следовательно, двойственная компо-
композиция
S*(N, N-X)jl>S*(M/, M'-r-'X)-^
->(SM'/S{M'-N, M' -r-lX})*~S*(M', M'-X)
тоже является гомотопической эквивалентностью. Поэтому инду-
индуцированный ею гомоморфизм (хк^)г* является изоморфизмом
в (ко)гомологиях, что и доказывает наше второе утверждение.
Наконец,
ei(y^h) = rt(тJо /;'(у о а)) = гл(тJ rs fy ^ /;'h) =
Утверждение, касающееся е\ доказывается двойственным обра-
образом. Q
11.24. Следствие. В 11.20 положим X = N. Тогда е!A) = т^,
и е1 (%$) = %^ vj т^. В частности, если k нечетно, то 2%^ = 0
{так как г ^ т = (— l)k % ^ х).
Действительно, е'A) = т ^ г*A) = т <-/ 1 ==т, и потому
е|(^) = е'A ^е*т) = е1A)ит = тит. Q
Я не знаю, верно ли последнее заключение B%*=0) след-
следствия 11.24 без предположения о существовании ретракции г
или гомотопии er c~ j,
//. Класс Тома, изоморфизм Тома 395
Предложение 11.14 имеет много других интересных следствий.
Некоторые мы обсудим здесь, другие — в § 12.
11.25. Предложение. Если, как и выше, е: Nn-~*Mn+k —
замкнутое включение одного ориентированного многообразия
в другое и X cz N—замкнутое множество, то композиция
Hq(N, N-X)-^Hq(M, M-X)-^Hq_k(N, N-X)
совпадает с %^ ^, т.е. ехе1, = % о ? для любого I s Hq(N, N—X).
В частности, е„1 = 0 #Ф Х1^ ? = 0.
Например, если X — компактный евклидов окрестностный
ретракт, содержащийся в N, то еДо*) = Офф>%<^ о? = 0?Фх \Х=0
(последнее имеет место в силу двойственности Пуанкаре). Дру-
Другими словами, фундаментальный цикл многообразия N вблизи X
гомологичен в М некоторому циклу разности М — X («может
быть вытолкнут в М — X») тогда и только тогда, когда % \Х = 0.
Если N компактно, то это применимо к случаю X = N.
Доказательство. Как и в 11.14, рассмотрим такие
открытые множества W с М, что
N - X a W с= М - X;
пусть i: (N, N — Х)-*(М, W) — включение. Тогда / е,е ^ =
= т г\ е& = г, (е*х ^ |) = г"» (% ^ I) (первое равенство следует из
11.14, второе — из естественности «^-умножения). Это доказы-
доказывает утверждение в случае мономорфного /„. В общем случае
для любого |еЯ(Лг, N — X) можно найти такую открытую
пару (М', W) в (М, М — X), что пара (N', N' - X) —
= (N(]Mf, N(]M' — X) является ретрактом пары (М', W) и
что geim(/,: H{N', N'~X)->H(N, N-X)), скажем ? = /.!'
(поскольку класс | представляется цепью с компактным носи-
носителем и М, N локально являются евклидовыми окрестностными
ретрактами; ср. доказательство предложения 11.18). Тогда ото-
отображение i't: H {N', N' — X) -> Н (М', W) является мономорф-
ным, и потому е'хе'Х = %%' ^ %> в силУ первой части доказа-
доказательства. Применив к последнему равенству гомоморфизм /„,
получим требуемый результат в силу естественности отображе-
отображения е, и класса %. [J
11.26. Предложение. Пусть N, M, L — ориентированные
многообразия и N — -* М —*¦ L — замкнутые включения. Пред-
Предположим, что класс Тома tjj6ff'(M, M — N) допускает про-
396 Гл. VIII. Многообразия
долокение т^е#*(Г, W) на некоторую окрестность (L, W) пары
(М, M-N) в (L, L - N). Тогда х\ = т# w x% <f (т?) = т* w x&
)
и %LN = %^ ^j е* (%м)- Такое продолжение заведомо существует,
если М — окрестностный ретракт в L: достаточно положить
Ъм==г*хы> г^е r: С-> М — окрест постная ретракция, и W =
= г-' (M — N).
Я не знаю, всегда ли существует класс т и всегда ли спра-
справедливо последнее соотношение между эйлеровыми классами.
Доказательство. Пусть N^ — произвольная компонента
многообразия N и v^ — ее трансверсальный класс; положим
k = dim M — dim N, h = dim L — dim N. Тогда
(третье равенство следует из того, что элементы е{ (vF) и
6j (d,v?) = (de), v? совпадают: оба они равны классу точки в NA.
Отсюда следует, что г1}* ^ Тд, = т^ по определению т^. Применив
к этому равенству гомоморфизм d*, мы получаем, что d* (%ЬЛ =
= d* (f-w) w d* (т?) = т# ^ х? = т# w X^f, благодаря чему
5C^ = Xf = И' W) = eV Й) = •*«) w e* (xi,) = %« v e* (Xy. Q
11.27. До сих пор в этом параграфе рассматривались лишь
ориентированные многообразия. Как обычно, аналогичные ре-
результаты справедливы (с теми же доказательствами) для не-
ориентируемых многообразий, если использовать коэффициенты
mod 2. Чтобы получить более тонкую теорию, нужно исполь-
использовать локальные коэффициенты (см. Стинрод [1, § 31]). Мы
не будем здесь этим заниматься, но выведем некоторые более
простые целочисленные результаты непосредственно, по существу
путем редукции к ориентированному случаю. Предположим,
что Nn cz Mn+k — пара многообразий (не обязательно ориенти-
ориентируемых) и N = N. Для каждой компоненты N^ многообразия N
выберем такое открытое множество М'аМ, что многообра-
многообразия М' и N' = NПМ' ориентируемы и множество N{ = NxflM'
непусто. Пусть \'%<^Hk{M', M' — N') — трансверсальный класс
многообразия N'% в М', и пусть v^ e Hk (М, М — iV) — его образ.
Мы знаем (см. 11.6), что vx, по существу, есть трансверсаль-
трансверсальный класс многообразия N^ (с точностью до знака) в М, если
эти многообразия ориентируемы, поэтому мы будем так же
11. Класс Тома, изоморфизм Тома 397
называть эти классы и в том случае, когда многообразия не-
ориентируемы.
11.28. Предложение. Пусть многообразия Nn, Mn+k такие же,
как выше, и пусть X — замкнутое подмножество многообразия N.
Тогда Н, (М, М — X; Z) = 0 для j < k, и группа Нк (М, М — X; Z)
порождена трансверсальными классами vA компонент Nk, лежа-
лежащих в X. В противоположность случаю A1.3) эти классы, вообще
говоря, не являются свободными образующими; некоторые из
них могут иметь порядок 2 (см. 11.29).
Доказательство. Предложение справедливо, если как М,
так и N ориентируемы. Предположим, что Мх и М2 — такие
открытые подмножества многообразия М, что предложение
справедливо для пар (Ми Nx), (М2, N2), (Mi(]M2, Ni(]N2), где
Ni = Mif}N. Рассмотрим последовательность Майера —Вьето-
риса (III. 8.22)
Hj(Ми Мх -Х,)@Н!(М2, М2 - Х2)->
-> Hj (М, U М2, (Мх U М2) - (Хх U *2)) ->
-* Яу_! (Af, П М2, (Mi П М2) - (Х{ П Хг)),
где Xq = Mq(]X. Мы можем применить предложение к крайним
членам и, используя точность последовательности, доказать его
для среднего члена, т. е. установить справедливость предложе-
предложения для пары (Мх U M2, Mi U JV2). Как показывает индукция,
предложение справедливо для любого конечного объедине-
ния (Af, N') = U (Mq, Nq) ориентированных пар. Поскольку
Н(М, М — X) — lim H (Mr, M' — X), переход к пределу доказы-
доказывает предложение. []
11.29. Предложение. Пусть Мп+ —ориентируемое много-
многообразие и N^cz Mn+k — его неориентируемое связное подмного-
подмногообразие с N=N. В силу 11.28, трансверсальный класс v^
порождает группу Нк (М, М — N; Z). Мы утверждаем, что v^
имеет порядок 2 и потому Hk(M, M — N; Z) se Z2.
Доказательство. Выберем точку Р е N и фиксируем
ориентацию оР<= Hn(N, N — Р) в этой точке. Рассмотрим все
связные ориентированные открытые подмножества многообра-
многообразия N с данной ориентацией в точке Р. Их объединение — это
все многообразие N, и так как N неориентируемо, то должны
найтись по крайней мере два из них, скажем N' и N", ориента-
ориентации которых различаются в некоторой другой точке Q e N' П N".
Ориентируем многообразие М и выберем открытые подмножества
398 Гл. VIII. Многообразия
ЛГ, М"сМ, такие, что N'=>N[\Mr, N"=N(\M". Тогда
определены (однозначно, а не с точностью до знака) трансвер-
сальные классы v'eflff, M' — N'), v"z=H{M", M"- N").
Поскольку оба они являются образами при гомоморфизмах
включения трансверсального класса
ур е= Н (М' П М", (М' П М") -(N'0 ЛГ)),
они отображаются другими гомоморфизмами включения в одну
и ту же образующую vN ^Hk(M, М — N). С другой стороны,
трансверсальный класс vQ е= Я (Af П М", (М'П М") — (ЛГ П N"))
отображается в классы ±v', =Fv" с разными знаками, так как
ориентации многообразий N' и N" в точке Q различны. Поэтому
образы элементов v', v" в группе Hk(M, M — N) должны иметь
противоположные знаки, и, следовательно, v^ = — vN, 2vA, = 0.
Осталось показать, что v^ ф 0, т, е. что Нк(М, М—N\
Z) Ф 0. Но
Нк(М, M-N; Z)<8>Z2?*Hk(M,M-N; Z2) s& Z2
(первый изоморфизм имеет место в силу предложения 11.28 и
формулы универсальных коэффициентов, второй — поскольку
изоморфизмы A1.1), A1.3) по модулю 2 имеются и в неориен-
тируемом случае). (J
11.30. Упражнения. 1*. Пусть Nit M2 a M — ориентируемые
многообразия и Np = Np. Предположим, что iV, (] N2 — связное
многообразие размерности dim (JV, П iV2)=dimiV1 + dim N2— dimM.
Докажите, что если т^ \~> т^ Ф 0, то многообразие JV, П N2
ориентируем©, т№ <^> xN = цт№ ^ ^ для некоторого целого (д, и
е2 (т^) = ^ п W|, ' 4 (х«) = та^; n n2' гДе е2- е2! ~ включения.
Целое число ц называется кратностью пересечения (= 0, если
тлг, ^ тлг2 г= ^)* Покажите, что кратность ц может быть опреде-
определена локально, т. е. в любом открытом подмножестве W много-
многообразия М, пересекающемся с Л/"] П N-2- Если многообразия Л^
и N2 трансверсально пересекаются в некоторой точке Ре Nx П Л^2,
то, как было показано в 11.13, ц = ±1; вычислите знак через
ориентации многообразий Nx П N2, Nu N2, M.
2. Пусть N cz M, N' cr M' —ориентированные многообразия
размерностей п, т, п', т' и N — N, N' — N'. Ориентируем
N X N' и МХМ' произведениями ориентации; докажите, что
ГМ X М' __ / 1 4"^ (W-n') м V 1-М'
3. Пусть N — компактное ориентированное многообразие.
Ориентируем многообразие N X N как произведение ориентиро-
12. Последовательность Гизина. Примеры 399
ванных многообразий и рассмотрим диагональное вложение
е: N -> N X N. Докажите, что (%$ХЛГ, oN} = %(N) есть эйлерова
характеристика многообразия N. Указание: используйте предло-
предложение 11.18 и упр. 8.21.2.
4. Пусть f: N-* М — отображение одного компактного ори-
ориентированного многообразия в другое. Определим элемент теЯ'Ж
формулой r^oM = ft(oN). Докажите, что U(f\h) — xr\h для лю-
любого h(=HM (ср. 11.14).
5*. Напомним (упр. 4.10.6), что отображение /: N -> М одного
многообразия в другое называется ориентируемым, если оно
поднимается до отображения f: N —>• М между ориентирующими
накрытиями, коммутирующего с каноническими инволюциями
в N, М. Покажите, что замкнутое вложение е: N-+M ориен-
ориентируемо тогда и только тогда, когда каждый трансверсальный
класс v^ подмногообразия N в М имеет бесконечный порядок.
Это в свою очередь справедливо тогда и только тогда, когда
существует такой класс таЯ'(М, М — N; Z), что (т, v>} = 1
для всех Я.
12. Последовательность Гизина. Примеры
Последовательность Гизина получается из предложения 11.14.
Она связывает (ко)гомологии многообразий N и М— N при
условии, что е„: HN-+HM — изоморфизм. Это предположение
может показаться очень ограничительным, но даже если оно
и не выполняется, обычно удается найти такую открытую окрест-
окрестность М' подмногообразия N в многообразии М, что HN s HM',
и заменить многообразие М многообразием Ш'\ я не знаю слу-
случая, когда не нашлось бы такого М'. Мы обсудим некоторые
примеры, показывающие, как используется последовательность
Гизина для нахождения группы Н (М — N) по группе HN (мно-
(многообразия Штифеля) и для нахождения группы HN по группе
Н (М — N) (многообразия Грассмана).
12.1. Предложение. Пусть е: Nn-> Mn+k — замкнутое включе-
включение одного ориентированного многообразия в другое (как в § 11),
Ш с= М — открытое множество и N' ~ N (} М'. Если включение
I: (N, N')-+{M, M') индуцирует изоморфизм в гомологиях, то
A2.2) х^: Hr(M, M'\]{M-N))=*Hr^k{M, M'),
A2.3) гм w: Hr~k (M, M') st Hr (M, М'ЩМ — N))
(коэффициенты произвольны; если М или N неориентируемо, то
это же верно с коэффициентами mod 2). Более того, имеются
400 Гл. VIII. Многообразия
{двойственные друг другу) точные последовательности
A2.4) > Hr-k+, {N, Nf) -^>Hr{M- N, Ж - N') p*"f*~'4
-» Hr {N, N') ~JL-> Hr-k (N, N') —> #,_, (M-N, M'-N') ->••-
A2,5) -•'<-Hr-k+l{N, N') ^- Hr {M - JV, M' - N')+p'-''(it)~l
N')<—Hr-X{M-N,M'-N')
Отображения р„, р* скомпонованы из отображений, индуциро-
индуцированных включениями /: (N, N')-+(M, M'), j: (М — N, М' — Nf)-+
->(ЛГ, М'), а отображение о будет определено в процессе дока-
доказательства. Обе последовательности называются последователь-
последовательностями Гизина. Особенно важен случай М' = 0 = N'; тогда
последовательность Гизина связывает (ко)гомологии многообра-
многообразия N с (ко)гомологиями многообразия М — N.
Доказательство. Из предложения 11.14 мы знаем, что
отображение т^ совпадает с точностью до знака с компози-
композицией Н(М, М' U(M-JV))-1* Я(N, Л")-^ Я(М, М'), которая, в
силу нашего предположения, является изоморфизмом. Как и в
доказательстве предложения 11.20, мы выбираем коцикл ^.пред-
^.представляющий т, и убеждаемся в том, что
t^: S{M, M'\J{M-N))-+S(M, M')
— цепная гомотопическая эквивалентность. Двойственная цепная
гомотопическая эквивалентность t \s индуцирует в когомологиях
гомоморфизм %^i, который поэтому является изоморфизмом.
Тем самым доказаны формулы A2.2) и A2.3).
Для построения последовательности Гизина рассмотрим ди-
диаграмму
A2.6)
/2 7" д
->Н(М'{](М- N), М') -^ Н (М, М') -^ Н (М, М' U (М — N)) ~^
H{M-N, M' -N')-^H (N, N') ———> Я (JV, Nr)
H W U (Af - N), M')
первая строка которой есть гомологическая последовательность
тройки {М, М'[){М — N), М'). Вертикальные стрелки являют
12. Последовательность Гизина. Примеры 401
изоморфизмами (у1—изоморфизм вырезания), и гомоморфизмы р„,
ег„ определяются таким образом, чтобы первый и третий квадраты
были коммутативными. Вторая строка — это и есть обещанная
последовательность Гизина A2.4). Чтобы доказать ее точность,
достаточно проверить коммутативность среднего квадрата (по-
(поскольку первая строка точна), а это делается автоматически:
i, (х ^ А) = к ((Рт) ^ А) = t ^ (ith) = т ^ (/Хй).
Когомологическая последовательность Гизина A2.5) полу-
получается двойственным образом: достаточно в диаграмме A2.6)
написать Н* вместо Н, \j вместо г\ и обратить все стрелки. []
Градуированные группы (ко)гомологий, появляющиеся в по-
последовательностях Гизина A2.4), A2.5), можно рассматривать
как модули над кольцом Н*М (структура определяется посред-
посредством включения и г\- и ^-умножений).
12.7. Дополнение к предложению 12.1. Все отображе-
отображения в последовательности Гизина являются {градуированными)
Н*М-гомоморфизмами (подразумевается, что для градуирован-
градуированных отображений ф выполнено правило знака: ф (г/ - /г) =
||Ы
(Hф())
Это можно уточнить; действие кольца Н М пропускается че-
через гомоморфизм Н*М-+Н (М — М') (посредством вырезания и
перехода к пределу), и отображения последовательности Гизина
являются в действительности Н (М — М')-гомоморфизмами. Мы
предоставляем восстановить эти детали читателю в качестве
упражнения.
Доказательство утверждения 12.7. Первая строка
диаграммы A2.6) состоит из Я*М-гомоморфизмов (см. VII. 12.19).
Поэтому достаточно показать, что вертикальные стрелки являются
Я*М-гомоморфизмами. Это ясно для у1 и i , а для т ^ прове-
проверяется автоматически:
т ГЛ (У гч h) = (т w у) r\ h =
= (-l)'lsl(jut)nA = (-lfljlyA(Tn h).
Утверждение доказано, fj
Укажем теперь несколько следствий и частных случаев по-
последовательности Гизина, которые будут использоваться в наших
примерах. Для простоты рассмотрим лишь абсолютный случай
М' = 0 = N' и только когомологии. Коэффициенты всюду бе-
берутся в фиксированном коммутативном кольце R (характе-
(характеристики 2, если М или N неориентируемо); мы используем
обозначение % как для (целочисленного) эйлерова класса, так
и для его образа в Hk(N; R).
402 Гл. VIII. Многообразия
12.8. Предложение. Пусть е: Nn->Mn+k — такое же вклю-
включение, как в предложении 12.1, и пусть е„: НN-* НМ — изомор-
изоморфизм. Тогда;
(\) Гомоморфизм р*: HTN —> Нт (М — N) является мономор-
мономорфизмом при г < k и эпиморфизмом при г < k — 1. Ядро гомо-
гомоморфизма р*: Hk (N; Z) -> Hk (М — N; Z) есть циклическая группа
с образующей %, Если многообразие N связно, то группа
coker[p*: Hk~l(N; Z)->Нк~х(М-N; Z)]
тривиальна или является бесконечной циклической в зависимости
от того, бесконечен или конечен порядок элемента %.
(ii) Если А — такое подмножество группы H*N, что множество
р*А порождает кольцо Н* (М — N), го множество A U {%} по-
порождает кольцо H*N.
(Hi) Если %х=0 (следовательно, а* — эпиморфизм) и we
е= Hk~l (М-Ю~такой элемент, что a*(u)=leiH0N, то Н* (M—N)?i
?*H*(N)- l®H*(N)-u в категории Н*Ы-модулей {см. 12.7); по-
подробнее:
Hr (M — N)s< Hr (N) ф (Hr~k+1N).
Заметим, что %'^ = 0, если число k нечетно и группа Hk(N; Z)
не имеет 2-кручения (см. 11.24).
(iv) Предположим, что заданы такие гомоморфизмы уг:
Hr {M — N)-+ HrN, что рV = id для г < s и у {у ^ г) = (уу) w {yz)
для | у | + 12 |<s. Это означает, что отображение Y = {Yr} является
мультипликативным правым обратным к отображению р* до
размерности s; при r>s мы полагаем \г=0. Пусть Н* (М—N) [х] —
(градуированное) кольцо полиномов над кольцом Н* (М — N) от
одной переменной х степени \ х | = k. Тогда
Г: H*(M-N)[x]->H*N, Г (Ц а/) = ? Y (а;) %'
есть кольцевой изоморфизм до размерности s. В размерности
s + 1 ядро гомоморфизма Г состоит из всех постоянных поли-
полиномов, ker (rs+1) = Hs+l (M - N).
Доказательство. Часть (i) сразу же следует из точности
последовательности Гизина A2.5), так как H'N = 0 при / < 0,
и если JV связно, то H°(N; Z)^Z. Часть (ii) доказывается
индукцией по размерности: если у е H*N, то существует такой
полином р(а) от элементов не А, что р*(р) = р*(у), т. е. (у — р) е
eker(p*), и из точности последовательности A2.5) следует, что
у — р представляется в виде % \j q, где | q \ = \ р \ — k < | р |. По
предположению индукции q есть полином от % и элементов
«еД и потому y = p(a)-\-%\jq(a, %), что и утверждалось.
12. Последовательность Гизина. Примеры 403
Если % = 0, то последовательность A2.5) вырождается в ко-
О*
роткую точную последовательность //"ЛГ-модулей 0-*H*N—*¦
->#*(М — N)-^~> H*N-+0u отображение у^(р*у)^и, y(=H*N,
является правым обратным к о* (см. 12.7); это доказывает
часть (iii). Часть (iv) аналогична (п); действительно, как это
видно из доказательства (ii), Г есть эпиморфизм (до размер-
размерности s). Предположим теперь, что элемент J] а,х! размерности
лежит в ядре кегГ гомоморфизма Г. Тогда ? v(«/)X; —0;
/>0
применяя к этому равенству гомоморфизм р*, мы получим,
поскольку р*(%) = 0, что ао — р*у(ао) = О. Следовательно,
.х
и
? % Z Y(/)X (Z
V>o / />о \/>о
Из точности отрезка
последовательности Гизина следует, что % ^ есть мономорфизм
(так как р*— эпиморфизм), и потому Г ( 2 ajxl~i\=0. Следо-
v>o /
вательно, ? й/л;/~1 = 0 по предположению индукции, а потому
/>о
X fl;A:'V::=0. Аналогичные соображения приме-
/>о /
нимы к случаю dim (J] й/л;') = s + 1, если ао = О; следовательно,
ker (Г5+1) = Hs+1 (M — iV), что и утверждалось. Q
12.9 Пример. Многообразия Ш ти ф е л я. Пусть F есть R,
С или Н. Обозначим через VpqF множество всех линейно неза-
независимых наборов из р векторов в пространстве Fp+q:
Pq = {(vlt v2, ..., vp)^Fp+qXFP+qX ... XFP+q\
{vt} — линейно независимая над F система}.
Очевидно, VpqF — открытое подмножество пространства
(рр+чу ~ рр(р+ч)^ и ПОТОМу оно является многообразием размер-
размерности dp(p + q), где d= I, 2, 4 при /r = R, С, Н. Это многообра-
многообразие называется (вещественным, комплексным, кватернионным)
многообразием Штифеля; его элементы называют также р-репе-
р-реперами в Fp+q. Заметим, что Vp0F — это множество всех базисов
пространства Fp; его можно отождествить с полной линейной
группой GL(F, p).
Применение предложения 12.8 (iii) дает следующий результат:
404 Гл. VIII. Многообразия
12.10. Предложение. Комплексное многообразие Штифеля
VpqC имеет такое же кольцо целочисленных когомологий, как
произведение сфер S2q+[XS2q+"X ... XS2q+2p~l,T. e. H*(VpqC; Z)=
=E(o2l}+l, ..., 02«+2"-1) есть внешняя алгебра (см. VII.10.15)
над Z с образующими а1 размерности j = 2q-\-l, 1q + 3, ...
..., 2q + 2p-l.
Для VPqH имеет место аналогичная теорема, и доказывается
она точно так же, только нужно всюду заменить двойку четверкой;
в то же время для VpqR ситуация значительно сложнее (см. 12.11).
Доказательство. Применим индукцию по р, начиная
с точки V0,p+q (или I/lp+^C^S2^2"-1). Пусть
{vu...,vp}-
линейно независимая система}
и
Npq = {(vu ..., vp, vp+l) e=Mpq | vp+i — линейная
комбинация векторов (vu ..., vp)}.
Очевидно, Npq — замкнутое подмножество топологического
пространства Mpq и Mpq — Npq = VP+U „-iC Кроме того, отобра-
отображение
VpqCXC"-+Npq,
, . f А \
(у,, ..., и,, %ь . . ., Лр) ь-г-1 у,, ..., t)p, ур+1 = Zj Я,^г I
\ (=1 /
является гомеоморфизмом, а потому Npq есть многообразие
размерности п = 2р (р + <?) + 2р, гомотопически эквивалентное
Ур^С. Аналогично ЛГР? есть многообразие размерности 2р(р+^)+
+ 2(р + Я) — n + 2q, также гомотопически эквивалентное VpqC\
следовательно, HtMpq ^ H*VpqC ^ HtNpq. Мы можем поэтому
применить к включению Npq с: Мр<7 последовательность Гизина.
Эйлеров класс %$ лежит в группе H2qN = Н2ч (У С), равной
нулю в силу предположения индукции H*(VMC) — E(e2i+l, ...).
Из 12.8 (ш) следует, что
причем изоморфизм имеет место в категории Я (а2<7+1, ..., о2<?+2''-1)-
модулей. Для завершения доказательства нам осталось пока-
показать, что а2?-' ^ а21? = 0. Но 2 (а2"-1 ^ а2") = 0, так как число
12. Последовательность Разина. Примеры 405
2д — 1 нечетно, а группа Н* (V р+и q-xC) не имеет кручения в силу
уже доказанной формулы. Q
12.11. Для вещественных многообразий Штифеля VpJR можно
было бы ожидать аналогичного результата (с заменой двойки
единицей). Однако эта теорема оказывается неверной; предыду-
предыдущее доказательство не проходит потому, что эйлеров класс
yj§ e Hq (VpcjR) не всегда равен нулю. Выбор в качестве группы
коэффициентов группы Z2 позволяет обойти эту трудность
(тогда %fj = O; см. упр. 6), но возникает новая неприятность: не
удается доказать равенство a kj а = 0. Тем не менее из предло-
предложения 12.8 (ш) выводится, что существуют такие элементы а/ е
R; Z2), j — q, q+l q + p — l, что мономы
образуют Х2-базис пространства H*(VpqR; Z2). Вычисление ква-
квадратов a' w a! см. в книге Стинрода и Эпштейна [1, IV. 4].
В обход всех трудностей, связанных с х$ и ° ^ а> можно
применить 12.8 (i) к включениям NpqR cz MpqR и получить по
индукции следующий результат.
12.12. Предложение. Hr(VpqR; Z2) = 0 при 0<r^q; более
того, Hr (VpqR; Z) *= 0 при 0 < г ^ q {последнее доказывается npw
менением, гомологической последовательности Гизина). []
12.13. Пример. Многообразия Грассмана. Пусть F
есть R, С или Н. Обозначим через Gpq = GpqF множество всех
р-ме-рных линейных подпространств пространства Fp+q. Напри-
Например, GOqF состоит из одного элемента, G\qF — это множество
всех одномерных подпространств пространства Fq+l, т. е. GlqF—
= PqF (см. V. 3.5). Мы сейчас увидим, что в множестве GpqF
имеется естественная топология, которая превращает его в ком-
компактное многообразие размерности dpq, являющееся обобще-
обобщением проективного пространства PqF.
Пусть a: Fp~rq->FP—некоторый линейный эпиморфизм, и пусть
GaPq = {g e GPq \a(g) = Fp} = {geGp, linker (а) = 0}.
Если g e Gapq, то существует единственное линейное отображе-
отображение ?: Fp->Fp+qt такое, что t,(.Fp)~g и a^ = id, т.е. формула
Фа (?) = Z (FP) определяет взаимно однозначное соответствие
<р0: {l<=2(Fp, Fp+q) |aS = id} « G^. Мы вводим в Qa тополо-
406 Гл. VIII, Многообразия
гию, при которой фа становится гомеоморфизмом (при этом
пространство 3!(Fp, Fp+q) линейных отображений Fp-+Fp+q на-
наделено обычной топологией, т.е. SB{FP, Fp+q)^ Fp(p+q)). Если
зафиксировать одно отображение ?,0: Fp -> Fp+g с a^9 = id, то сло-
сложение с ?0 определяет гомеоморфизм
Со +: 2 {F\ ker (a)) « {g е- ^ (f, F'+«) | a? = id}, g н-> ?0 +
поэтому Gp4 « ?> (>p, ker (a)) ж /^ « Rrfp", где, как и выше, rf =
= 1, 2, 4 для F = R, С, Н. Ясно, что каждый элемент g^Gpq
лежит в некотором Gpq; более того, любые два элемента g, g' eGw
лежат в одном Gapq (это — легкое упражнение по линейной
алгебре). Если а, 0: Fp+q ~> F" — два линейных эпиморфизма, то
Ф«' (Gpj = {S i «? = id) П {S i ker (pg) = 0).
Ясно, что {?| ker (|J?) = 0} — открытое множество, поэтому пере-
пересечение Gpq П GPq открыто в Gpq (и в Gpq). Мы введем теперь
в Gpq тончайшую из топологий, при которых включения Gpq-*Gpq
непрерывны, т. е. назовем множество C/eGP(| открытым, если
каждое пересечение Uf[G% открыто в своем G"?. Так как пере-
пересечения G^nG™ открыты, включения G& -*Gpq являются от-
открытыми отображениями, т. е. множество Gpq открыто в Gpq и
его собственная топология (индуцированная отображением <pj
совпадает с его топологией как подпространства Gpq. Поскольку
каждые два элемента g, g' eGM лежат в одном Gapq и обла-
обладают там непересекающимися окрестностями, они обладают
непересекающимися окрестностями и в Gpq. Таким образом,
GpqF — многообразие размерности dpq; оно называется (веще-
(вещественным, комплексным, кватернионным) многообразием Грае-
смана.
Дадим теперь другое описание многообразия GpqF. Обозна-
Обозначим через GL{p-\- q, F) группу всех линейных изоморфизмов
рр+ч _> Fp+4. Это — открытое подмножество пространства 2 (Fp+4,
Fp+qS), являющееся топологической группой относительно ком-
композиции. Определим отображение GL(p-\- q)'XGpq-+ Gpq (дей-
(действие группы GL(p-\-q) в Gpq) формулой (¦ф, g)i—>ty(g) (фе
<=GL{p-\-q),g^Gpq); очевидно, оно непрерывно. Это действие
транзитивно, т. е., фиксируя некоторую точку g0 e Gpq, можно
представить любую точку g<^Gpq в виде ip(g0). Следовательно,
отображение л: GL{p-\- q)->GP4, определяемое формулой л{$) =
12. Последовательность Гизина. Примеры 407
— xP(go), индуцирует непрерывное обратимое отображение
я: GL (р + q)/GL (p, p + q)-+ Gpq, где GL (p, p + q) — подгруппа
всех таких г|з, что г|з (g0) = gQ (стационарная подгруппа точки gQ)
и GL(p + q)/GL (p, p -j- q) — множество левых классов смежности
с факторной топологией. Если /Г = С или F = U, то группа
CL(p-\-q) связна и потому многообразие Gpq связно. В случае
F — R тот же результат можно получить, взяв вместо GL(p-\-q)
группу GL+ (p + q) линейных изоморфизмов, сохраняющих ориен-
ориентацию. Обозначим, далее, через t/(p + q) — U(p + <?> F)^GL(p-\-
+ ^, F) подгруппу всех изометрий пространства /;'р+'7 (относи-
(относительно метрики Yuxi*i)'> действие группы U(p-\-q,F) все еще
транзитивно, т. е. n(U(p-\- q, F)) — Gpq. Но группа U(p-j-q) ком-
компактна, и потому многообразие Gpq — n{U{p-\-q)) тоже ком-
компактно и л; | {/(р + <7) — факторное отображение. Значит, и я —
факторное отображение, а потому я есть гомеоморфизм QL(p-\-
+ )/GL( + )G
q)/(p,p + q)pq
Если F = С или п, то многообразие GpqF ориентируемо. Дейст-
Действительно, зафиксируем ориентацию о многообразия GP4 в точке g0
и определим отображение п: GL(p -J- q)-+Gpq (где Gpq — ориен-
ориентирующее накрытие многообразия GPq; см. 2.11) формулой л(г(з)=
= 113» (о), где -ф рассматривается как гомеоморфизм GPq->Gpq.
Из определения многообразия Gp<7 (см. 2.3, 2.11) сразу следует,
что отображение я непрерывно. Сужение xt| GL(p, p + g) может
принимать лишь одно из двух значений о, — о; так как оно
непрерывно и группа GL (p, p -\- а) связна (это — легкое упраж-
упражнение, см. Понтрягин [1, § 65, пример 108], здесь существен-
существенно, что F ф R), оно должно быть постоянным отображением.
Точно так же доказывается, что отображение я постоянно на
каждом смежном классе подгруппы GL(p, p + q), и потому
отображение я индуцирует отображение
Gpq &GL(p + q)JGL (p, p+q)-> GP4,
т. е. ориентацию многообразия GM. []
12.14. Мы приступаем к вычислению когомологий многообразий
Грассмана. Для простоты положим ^ = С; случай ^ = Н ана-
аналогичен этому (но менее важен), в то время как случай ^ = R
доставляет больше трудностей (даже с коэффициентами в Z2;
см. упр. 5). Будут использоваться следующие вспомогательные
пространства:
(i) Lpq = Gpq X Cp+q. Это — ориентированное многообразие
размерности 2 (pq -j- p -f- q)\ при этом пространства Сг считаются
408 Гл. VIII. Многообразия
ориентированными каноническим образом (см. 2.13), а много-
многообразия Gpq — посредством гомеоморфизмов G%q л; Ср"'.
(И) MP4 = Hg,v)<=GpqXCq+p = LM\v<=g} (не путать с Мщ
из 12.10). Очевидно, что это — замкнутое подмножество много-
многообразия Lpq. Множества М% = {(g, v) e Mpq \ g e Gapq) покры-
покрывают, очевидно, Mpq, и отображения
{? е 2 (Ср, Ср+<?) | а? = id} ХС-> Л*?„ (?, г) ь-> (g (Cp),
являются гомеоморфизмами; таким образом, Mapq « Gp? X Ср»
« Ср<7 X Ср и МРG есть многообразие размерности 2(pq-{-p).
Его можно ориентировать, дословно повторив сказанное в 12.13,
или, что эквивалентно, проверив согласованность ориентации
множеств Мр?, определяемых как произведения ориентации мно-
множеств G^q и Ср, в пересечениях этих множеств.
{ \ }
^q р
(Hi) Npq = {(g, v)^GpqXCp+q\v = 0} (не путать с N
pq
из
12.10). Очевидно, что Npq есть замкнутое подмножество много-
многообразия Mpq, гомеоморфное Gpq и являющееся деформационным
ретрактом как многообразия Lpq, так и многообразия Mpq (обе
деформационные ретракции определяются гомотопией (g, и)н->
ь-^(Я, tv), 0</<l), так что H*L^H*M^H*N.
Кроме того,
A2.15) (Lpq - Mpq) си (Мр+и,_, - Np+h,_,).
Действительно, обозначим для (g,v)^(Lpq — Мрд) через [g-,w]
(р+1)-мерное подпространство пространства Cp+q, натянутое на
g и v, и определим, отображение
г: (Lp<7 — МрG)->(Мр+,,7_1 — iVp+liG_,)
формулой r(g, v) = {\g, v], v). Определим, далее, встречное ото-
отображение / формулой j(g, v) = (v I g, v), где v ± g обозначает
p-мерное подпространство пространства g, ортогональное к v.
Тогда rj (g, v) = ([v 1 g, v], v) = (g, v), т. e. rj = id, и /r (g, v) =
= (a ± [g, у], и). Далее, оба подпространства о 1 [g, о] и j транс-
версальиы и, и мы можем продеформировать одно в другое,
двигая каждую точку вдоль отрезка, параллельного v\ таким
образом, jr cz. id.
12.16. Определение. Классы Чжэня
C(~Cf6=tf«(GMC;Z) @ </</>)
12. Последовательность Гизина. Примеры 409
определяются по индукции следующим образом. Положим
Cq = 1, пусть р>0 и класс cf'1 уже определен. Рассмотрим
последовательность Гизина включения Npq d Mpq; в силу 12.8 (i),
при г < 2 (р — 1) имеется изоморфизм р*: HTNpq s== Hr (Mpq — Npq),
и мы определяем класс cf,^. H2p(Npq; Z) — H2p(GPQ; Z) как эйле-
эйлеров класс вложения Npq<=Mpq, а класс cf при 0=^л <р — как
образ класса cf~l при композиции
Очевидно, ср=1 для всех р. Часто полагают с? = 0 при />р
и с = ср = 2 cf = X с? = У] с; этот элемент с группы © H2iGnn
(=0 (=0 1=0 ( V
называется полным классом Чжэня.
Сопоставив с каждым р-мерным пространством g&Gpq орто-
ортогональное ^-мерное пространство g1 ^Gqp, мы получаем гомео-
гомеоморфизм двойственностиD: Gpq&Gqp. Элементы cf = D*cf назы-
называются дуальными классами Чжэня. Можно показать, что с ^
^с = 1, т. е. что X с{ w сп-1 = 0 при /г > 0. Можно показать
t
также, что классы {с?} порождают кольцо H*Gpq\ если в каче-
качестве системы образующих в H*Gpq взять объединение обоих мно-
множеств {cf), {cf}, то равенство сис=1 становится системой
определяющих соотношений. Относительно доказательства см.
Борель [1, 31.1] (а также упр. 3); здесь мы ограничимся сле-
следующим частным результатом:
12.17. Предложение. Пусть Z[xlt x2, ..., хр] — градуиро-
градуированное кольцо полиномов от xt размерности 11, кольцевой гомо-
морфизм
С: Z [хь х2 х„] -> Я* (GpqC; Z), С (*,) = cf, 1 < i < р,
является изоморфизмом до размерности 1q (включительно), т. е.
до размерности 2q классы cf алгебраически независимы.
Доказательство проводится индукцией по р. Случай
р = 0 очевиден. Предположим, что р>0 и что элементы (с?},
l^i^p — 1, являются алгебраически независимыми обра-
образующими кольца Н* (Gp-Uq+l). Отображение HrLp_Uq+l-+
!ич+1 — Mp-i,а+1) является при \^2q изоморфизмом,
410 Гл. VIII. Многообразия
поскольку
при }^.2q-{-\ (ср. предложение 12.8 (i), примененное к вклю-
включению Mp-i,q+i—*-Lp-\,q+\)> Следовательно, композиция
->H*(Lp-Uq+l~Mp-Uq+l)^H*(MM - Npq)
является изоморфизмом до размерности 2q, и мы можем
определить (в размерностях ^2q) кольцевой гомоморфизм
у: Н* (Mpq - Nrq) -> H*Gpq формулой уф (cf~') = с\ @ < i < р).
Так как (р*"у)(фс?~1) = фс1?~1 по определению класса cf, то в раз-
размерностях ^2q композиция р*у совпадает с id. Применяя
12.8 (iv), мы получаем в размерностях до 2q включительно изо-
изоморфизм
H*Gpq si H* (Mpq - Npq) \Xp\etZ\xu..., xp-{] [xp] = Z [Xl xp]. Q
oo
12.18. Упражнения. 1. Положим П = фЯ''(Х; Z). В усло-
виях предложения 12.8 докажите, используя последовательность
Гизина, что
rank (H"N) < oo <4 rank (Я** (М - N))< oo
(и аналогично в каждой размерности, если коэффициенты бе-
берутся в поле). В этом случае ядро и коядро гомоморфизма
<(и: H**N->H**N имеют одинаковые ранги, а из точности по-
последовательности Гизина следует, что ker(x ^) = coker (р*) и
coker (х ^>) = im (р*)> а потому rank im(p*)= rank coker(p*) =
= у rank H** (M — JV). При тех же предположениях докажите,
что %(М— N) = A + (—l)k)%(N), где % — эйлерова характеристика.
2, Снова предположим, что выполнены условия предложения
12.8. Если группы kerfaw: H'(N; Z)-*W*k{N; Z)) с />г не
имеют кручения, то группы H!(N;Z) с |>г тоже не имеют
кручения (доказательство: если z — элемент конечного порядка
максимальной размерности, то % w z — 0, поэтому |г|<г). Если
группы coker (xw: Hf (N; Z)-> Hl+k(N; Z)) не имеют кручения
при j^r, то группа Н' (М — N; Z) не имеет кручения при /^
^r + k (указание: примените последовательность Гизина).
3*. Докажите, что когомологическое кольцо H*(GpqC; Z) по-
порождено классами Чжэня {с?} и что Я* (Gf?; Z) — свободная абе-
12. Последовательность Гизина. Примеры 411
лева группа. Примените индукцию по р: рассмотрите последо-
последовательность Гизина включения Mp~liq+i—>-Lp^Lq+l и в ней
кольцевой гомоморфизм р*: H**M-*H**{L — М); так как классы
{сР~1\. порождают кольцо H**G { {, то их образы {р*сР~{\
порождают кольцо im (p*), а поскольку группа coker (р*) =
?^кег(Хд, ^) свободна, то H**(L — М)^ ш((Г)фсокег(р*). Ото-
Отображение
р*: H**Npq -> Н** (Mpq - Npq) s& Н** (Lp_,, q+1 - Mp_,, ,+1)
из последовательности Гизина включения Npq->Mpq переводит
с? в р*(с?-1) по определению класса с?, поэтому im(p*Kim(p*).
Как это следует из упр. 1, rank im(p*) = rank im(p*), а поскольку
группа coker(p*) свободна, то im (p*) = im (p*). Следовательно,
элементы {p*(cf~')}- порождают кольцо im(p*) и группы
ker (%% w~) ^ coker (p*) ^ coker (p*) свободны. Значит, элементы
{cf}. порождают кольцо H*Npq = H*Gpq (см. 12.8 (И)) и группа
H*NM свободна (упр. 2).
4. Пусть go^GpqF, и пусть ?: Fp -> g0 — линейный изомор-
изоморфизм. Покажите с помощью предложения 11.6, что отображе-
отображение ?0: (Fp, F" — 0) -> (Mpq, Mpq — Npq), определяемое формулой
So(v) = (ёо> ?и)> переводит образующую группы Hdp(Fp, Fp — 0)
в i'vjy, где v^ — трансверсальный класс (область коэффициен-
коэффициентов есть Z при F == С, Ни Z2 при F = R).
5* Пусть р: MPq — Npq->Gp-liq+1 — отображение, относя-
относящее каждой паре (g, v) е М — N плоскость v I g, т. е. орто-
ортогональное дополнение к v в g (ср. доказательство предложения
12.15). При F = С индуктивное построение классов Чжэня можно
описать единой формулой p*(cf) = p*(cf-1), i < р. Если F— R,
то аналогичным образом определяются классы Штифеля — Уитни:
wp e H1 (GpqR; Z2), класс w" определя-ется как эйлеров класс
включения Npq-*Mpq, а классы до? с /<р определяются
индуктивно, с помощью формулы р*(до?) = р*(дор-1). Однако
при / = р — 1 возникает такая трудность: отображение р* может
не быть эпиморфным в размерности р — 1 (хотя оно мономор-
фно); поэтому надо доказать, что p*wpz\ e im(p*). Из точности
последовательности Гизина включения Npq->Mpq следует, что
это эквивалентно обращению в нуль элемента 6*p*wpp-\ e H" (Mpq,
Mpq-— NP9). Последняя группа порождена классом Тома тд?;
поэтому 6Т^:| = Ат, где Я = (б*р*<:{, vj?) = <<:}, рДг^>.
412 Гл. VIII. Многообразия
В силу упр. 4, класс dtv представляется единичной сферой
S11'1 пространства go^Gpq. На этой сфере р (х) — р (— х),
поэтому отображение р|5Р~' пропускается через естественную
проекцию Sp*1-* Pp^R, благодаря чему рДл> — 0 и А, —0.
За исключением этого дополнительного рассуждения, теория
классов Штифеля — Уитни параллельна теории классов Чжэня.
В частности, надлежащие модификации доказательства пред-
предложения 12.17 и упр. 3 показывают, что кольцо H*(GpqR; Z2)
порождено элементами {wf\ и что эти классы алгебраически
независимы (над Z2) в размерностях ^.q.
6*. Обозначим через VpqR пространство, которое получается из
многообразия Штифеля VpqR отождествлением р-реперов, векторы
которых отличаются лишь знаками: (vu ..., vp) ~ (± vь ..., ± vp).
Пусть, далее, пространства Mpq — Vpq X RP+", Npq cr Mpq
получаются аналогичным образом из многообразий Mpq =
«= Vpq X Rp+<7, Npq с: Mpq, комплексные аналоги которых фигу-
фигурировали в доказательстве предложения 12.10 (не путать эти
МрЧ, Npq с Мрч, Npq из 12.14). Покажите, что, как и в упр. 4,
проекция я: М-+М переводит трансверсальный класс Vм в vE.
(коэффициенты в Z2), и поэтому эйлеров класс %— — в %м.
С другой стороны, покажите, что отображение я*: Hq (N\ Z2)->
-*Hq(N; Z2) тривиально (доказательство аналогично доказатель-
доказательству равенства рДд> = 0 в упр. 5), и потому %$=== 0- Это позво-
позволяет доказать замечания из 12.11.
7. Покажите, что многообразие GpqR с р > 0, q > 0 ориен-
ориентируемо тогда и только тогда, когда р + q четно. Указание:
специальная ортогональная группа SO (p + а) (изометрии с опре-
определителем + 1) действует в GpqR транзитивно, и стационарная
подгруппа любой точки g&Gpq состоит из двух компонент.
Изучите действие стационарной подгруппы на окрестности Gapq
точки g и повторите затем рассуждение, содержащееся в конце
пункта 12.13.
13. Пересечение гомологических классов
Если X, Y — подмножества (ориентируемого) многообра-
многообразия Мп, то локальные геометрические свойства триады (М; X, Y)
вблизи пересечения X[}Y можно попытаться описать посред-
посредством спаривания HiX X HjY -> Hi+f-n (X Л Y), обобщающего
13. Пересечение гомологических классов 413
индекс пересечения из § 4 гл. VII. Примеры показывают, од-
однако, что этот замысел не может быть реализован полностью
(упр. 3). Тем не менее оказывается возможным отнести любым
двум элементам | е HtX, r\ e HJY согласованную систему клас-
классов пересечения (| • г})и е Hi+l-.nU, где U пробегает все окрест-
окрестности множества X (]Y, т. е. определить спаривание HkX X И tY —>
->lim {Hk+l-nU}. Если X(]Y есть ENR, то можно ретрагиро-
вать (I • т))у на Н(X [}Y) и получить таким образом класс
пересечения | • т] в группе Hk+j-n (X f] К).
Мы начнем с открытых множеств, а затем перейдем к об-
общему случаю, совершив надлежащий предельный переход. Все
группы гомологии рассматриваются с коэффициентами в фи-
фиксированном коммутативном кольце R (характеристики 2, если
М неориентируемо).
13.1. Определение. Пусть М — М" — ориентируемое много-
многообразие и d: M-* MX M — диагональное вложение. Для про-
произвольных открытых пар (V, S), (W, Т) подмножеств многооб-
многообразия М рассмотрим отображения
A3.2) Ht (V, S) ® H,(W, Т) ^> Н,+, (VXW,SXWUVXT)->
Л Яг+/_„ (V fl W, (S П W) U (V П Т)),
где d\ — трансфер (см. 10.5). Композиция отображений A3.2)
(или соответствующее билинейное отображение), умноженная
на (—1)"(п~/), называется пересечением и обозначается жирной
точкой •. Более подробно:
A3.3) g.i] = (-1Г{п~]^ddtX-n), lsH(V,S), i\e-H(W,T).
В правой чэсти не отражена непомеченная стрелка композиции
A3.2) (индуцированная включением); подобные сокращения (от-
(отбрасывание гомоморфизмов включения) будут производиться
и в других местах этого параграфа.
Естественность Х-умножения (VII. 2.7) и трансфера
(VIII. 10.9 (Ь)) влечет за собой
13.4. Предложение (естественность пересечения • относи-
относительно включений).
(а) Если /,: (V, S)-*(V, S), i2: (W, T)-+(W, T),
i: (V[\W, (S[\W)U(V(]T))-+(VnW, (S(]W)
414 Гл. VIII. Многообразия
— включения открытых пар подмножеств многообразия М в от-
открытые пары, то для любых | е Н (V, S), т] е Н (W, Т)
(Ь) Если (V, S), {W, Т), |, г) те же, что и выше, и L<^M —
открытое множество, содержащее V \JW, то пересечения % • ц,
1-ц согласованы. []
Например, в (Ь) мы всегда можем положить L — V Ц W.
В (а), мы можем взять (V, S) = (V, S [) (V - V (] W)), (W, f) =
= {W, T U {W — W П V)), и предложение в этом случае показы-
показывает, что пересечение пропускается через отображение
H(V, S)XH(W, T)->H(V, (V-V{]W)US)X
XH(W, (W-VnW)\JT)~>H(V()W, (Sf\W)\j(V(]T)),
Если U — некоторая окрестность множества V П W, то, в силу
теоремы о вырезании, средний член изоморфен группе
H(UnV,U(][(V-V(]W)\JS])XH(U(]W,U(][(W-V{]W)[}T})-
поэтому мы можем сказать, что пересечение |-г| зависит лишь
от «частей'» циклов %, ц, лежащих в U, где U — произвольная
окрестность множества V П W (ср. замечание после VII. 4.5).
Если подставить в формулу A3.3) определение 10.5 отобра-
отображения d\, то получится формула %>х\ = (—1)п{п~1ц^(d*z) r\ о,
где о — надлежащий фундаментальный класс, а элемент z, двой-
двойственный к ЪХЧ, определяется равенством z r\ (о X о) = % X Л-
Если когомологические классы х, у двойственны гомологическим
классам^, г\,тох^о*=?„у г\ о—ц;следовательно, (хХу)ГЛ(оХо)=
= (-1)п 'у ' (х ^ о) X (У ^ о) = (—1)" 'у ' I X Л (см. VII. 12.17), а по-
потому z = {-l)n]y*xXy и d*z = {-l)n]ylx^y (см. VII. 8.14).
Таким образом, если х, у двойственны по Пуанкаре элементам
I e= H(V, S), ц s H (W, Т), то
A3.5) 1'T) = (xkj у) r\ o = x<~^(y r\ o) = x i^ ц.
Эти формулы определяют выбор знака в A3.3). К сожале-
сожалению, наш вывод формулы A3.5) содержит ряд неточностей. Мы
пренебрегли в нескольких местах символами, обозначающими
включения, говорили о w-произведении чеховских когомологи-
когомологических классов, хотя фактически его не определяли, и некото-
некоторые формулы, которые применялись к произведению чеховских
классов, были доказаны нами лишь для сингулярных когомо-
13. пересечение гомологических классов 415
логий. Однако по определению чеховских когомологий каждый
элемент группы Я представляется сингулярными когомологи-
когомологическими классами, и элементы х, у, г из предшествующего рас-
рассуждения можно рассматривать как соответствующие предста-
представители. Формулы тогда приобретают смысл (хотя обозначения
некоторых включений по-прежнему пропущены) и верны. (Более
подробный вариант формулы Ь, • ц = х г^ ц приведен в упр. 1.)
Формулы A3.5) и свойства ^- и /^-умножений влекут за
собой следующие формулировки:
13.6. Естественность. Если f: М'' —>Tkf — отображение одного
ориентированного многообразия в другое и (V, S), (W, Т) — такие
открытые пары в М, над которыми f собственно, то транс
фер /, (см. VIII. 10.5) удовлетворяет соотношению
/, (I • Л) == (f ,1) • (/,Л> I е Я (V, S), л е Н (W, Т).
13.7. Следствие. Если М' и М — ориентированные многооб*
разия одной и той же размерности и f: M'-*¦ At — отображение
степени г (см. 4.5), то /¦/,(!'• ц') = (fJO • (/„лО для любых
Г eimft: Я (К, S)-*/f(rV, /"
,: Я (ИГ, 71)-* Я(/-'Г, Г
В частности, если гомеоморфизм f: Ш -*¦ М сохраняет {соответ-
{соответственно обращает) ориентацию, то f „ (?' • r\') = {fg) • (ftr{) {coot-
ветственно = — (fg) • (fX))» г^е l'< Л' -" любые элементы групп
Н {V, S'), H {W, Г), а (V, S'), (Г, Г) - любые открытые пары
в Ж'.
Действительно, если |'==f,|, rj' = /";Г|, то
rU (Г • л') = rh Щ® • QV)) = /¦/j, (| • л) = /-2 E • л) = (Я)
(третье и пятое равенства следуют из ШЛО). Если /: Mf-+M —
гомеоморфизм, то г=»±1 и потому /j^i/ есть изомор-
изоморфизм (см. 10.10), что и утверждалось,
13.8. Коммутативность: g • л = (~l){n~lu Hn~[ri[) ц. |.
13.9. Ассоциативность: (| • л) •$ = 1*(л*?)'
13.10. Наличие единицы. Если |еЯ(У, 5), К cz At —такое
компактное множество, что (V — S)Cz К. и о е Я (М, М — Д') —•
фундаментальный класс вблизи К, то о -1 = | = | • о,
416
Гл. VIII. Многообразия
Н ((S П W) U (V П Т), S Л Т)
*. '2*)
13.11. Стабильность. Диаграмма
Я (V, S)®H(W,T) ^
<а, ® id, + id ® д«)
|(<1*. '2*)
[Я5®ЯAГ, Г)]ф[Я(К, 5)®ЯГ]^ЯEП«7, 5П Т) ф/7 G Л Г, 5f] T)
где iu i2 — включения, коммутативна. Точнее,
A3.12) d,(i-т1) = /,Л(ал)-11]+ (-1)(вЧЕ "«^ 11-(^il-
is. 13. Мультипликативность. Вели Мп, М/п —ориенти-
—ориентированные многообразия и |, т) (соответственно %', г{) — голюло-
гические классы открытых пар в М (соответственно в М'), то
В частности, если М, Ш — компактные многообразия с фунда-
фундаментальными классами о, о', а р, р': MX М' -> М, М' — про-
проекции, то р,1 = 1Хо\ р\ч' = (-\)п(п'~^'[)оХч' и, следова-
следовательно,
Это равенство выражает гомологическое Х"пРоизведение через
трансфер и пересечение.
Как уже говорилось, предложения 13.6—13.13 следуют из
A3.5) и из свойств w- и ^-умножений (см. § 8 и 12 гл. VII).
Мы оставляем детали читателю, но укажем, что в доказа-
доказательстве можно считать множества V, W, ..., о которых идет
речь, ограниченными, т. е. содержащимися в одном компактном
множестве, скажем К, (это не ограничивает общности, поскольку
каждый гомологический класс |, tj, ... представляется цепью
с компактным носителем), и тогда о = ок<^Н (М, М — К). Q
Теперь мы распространим определение пересечения на про-
произвольные подмножества X, Y, ... многообразия М. В общем
случае | • т) уже не будет гомологическим классом множества
X П У г скорее он будет семейством согласованных гомологи-
гомологических классов {(|*т))?/}, где U пробегает все (открытые) окрест-
окрестности множества Xf\Y, т. е. |-т| будет элементом обратного
предела гомологических групп. Для окрестностных ретрактов
(например, открытых множеств) этот предел изоморфен, как мы
увидим, обычным гомологиям,
13. Пересечение гомологических классов 417
13.14. Определение. Пусть М — такое же многообразие, как
прежде, и (X, А) — произвольная пара его подмножеств. Опре-
Определим гомологическую группу Н(Х, А) как обратный предел
групп H(U, R) по системе пар (U, R) окрестностей мно-
множеств X, А в М; коэффициенты берутся в произвольной абе-
левой группе. Элемент x<^Hk(X, А) представляет собой, в силу
этого определения, семейство {nUR^ Hk(U, R)}, такое, что
hKUR=Vj— для всякого включения i: (U, /?)->(?/,. R). В част-
частности, если ^еЯA, А) и iUR: (X, /!)—>(?/, R) — включение, то
семейство {i^Rl} обладает указанными свойствами, благодаря
чему возникает гомоморфизм
A3.15) i: H(X, A)^H(X, A), (il)UR = tf%
Очевидно, любое включение /: (X, A)j+(X, A) индуцирует гомо-
гомоморфизм / = #(;): H{X, А)^>Н{Х, А), и потому Н есть функтор
на категории включений. В этом смысле i: Н -> Н — естествен-
естественное преобразование.
13.16. Замечания. Если ограничиться локально компактными
парами (X, А), то можно, как в 6.3, превратить Н в функтор
на категории всех непрерывных отображений (а не только вклю-
включений), по крайней мере если X лежит в некотором ENR.
В частности, в этом случае группа Н(Х, А) не зависит от
объемлющего многообразия М и определяется парой (X, А). Она
совпадает тогда с так называемой чеховской гомологической
группой (доказательство такое же, как в Д.3.11 или Д.3.16,
упр. 3). Мы не будем здесь вникать в это главным образом
из-за следующей теоремы, сводящей во многих интересных слу-
случаях Н к Н.
13.17. Предложение (ср. 6.12). Если подмножество X мно-
многообразия М есть ENR и если некоторая его окрестность в М
также есть ENR, то для любого (относительно) открытого под-
подмножества А множества X
v. Н{Х, А)->Н{Х, А)
есть изоморфизм.
Фактически это верно уже в том случае, когда X есть ENR
и А есть ENR, но доказательство становится более сложным.
Доказательство. Можно считать, что само М есть ENR
и что X — ретракт многообразия М, т. е. имеется ретракция
г: М^-Х, гг = id (если это не так, мы заменим многообразие М
418 Гл. VIII. Многообразия
его открытым подмножеством). Положим N = г~1А; тогда г есть
ретракция {М, N)->(X, A), a i есть включение (X, А)^(М, N)
и по-прежнему ri = id. Для Z, е Я (X, А) = lim {Я (U, R)} положим
Р (?) = г. (Saijv)- ТогАа Р1A) = Р1^ЛГA) = ''ЛA) = 1. и потому ото-
отображение р: Я(Х, Л)->Я(Х, Л) является левым обратным
к отображению i. Для доказательства равенства ip = id на-
напомним, что каждая открытая окрестность U множества X со-
содержит такую его открытую окрестность V, что отображения
iu(r\V), Щ: У->С/ гомотопны и гомотопия может быть сделана
постоянной на X (см. IV. 8.6, IV. 8.7). Пусть S с: V — множество
точек, деформационные пути которых лежат в R; тогда мно-
множество S открыто, rS cz A cz S cz R, и та же самая гомотопия
связывает отображения \,UR(r\V), iy§: {V, S) ->(?/, R). Таким
образом, iyR(r\V)t = i™t, и, значит,
\lP(b))uH~~ l* r*=MN — l* r*lVS**VS ~l* V lifers —
= Wvs=sW T- e- lP = id- D
13.18. Определение. Пусть М — ориентированное многооб-
многообразие и (X, A), {Y, В) — произвольные пары его подмножеств.
Рассмотрим компактные пары (X'', A')cz{X, А), (У, B')cz(Y, В)
и пару (U, R) открытых окрестностей пары
(Xf]Y, (Af]Y)U(Xf]B)).
Выберем, далее, такие открытые пары (V, S), (W, Т), что
(Г, А') с (V, S), (Г, flO cr (W, Т),
и рассмотрим композицию
A3.19) Н(Х', A')XH(Y', B')-*H(V, S)XH(W,
В силу естественности пересечения, эта композиция не за-
зависит от выбора множеств S, Т, V, W\ образ элемента (?', ц') е
еЯ(Г, Л')ХЯ(Г, S') мы обозначаем через (Е'-лОия- Опять-
таки в силу естественности, композиция согласована с гомо-
гомоморфизмами включения внешних членов, т. е. /»(?'• л')^ =
= (|' • ti')~~ для любого включения /: (U, R) cz (U, R) и (!' • ц')ия =
= {1"'"Ч")ии Для любых включений {X', A')cz{X", А"), (Г, B')cz
с: (У", В"), где |", ^" — образы элементов %', ц'. Первое озна-
13. Пересечение гомологических классов 419
чает, что семейство {(!' • v\')UR} есть элемент группы lim {Я (?/, /?)}=
= H(X(]Y, (Af\YjU(XUB)), второе-что (Г, Tj')t* ((Г • п'Ы
есть преобразование прямой системы {Н(Х', А')У^ту', В')},
индексированной компактными парами (XJ', A'), (Y', В'), лежа-
лежащими в {X, A), (Y, В). Мы можем поэтому перейти к пределу;
так как, в силу 5.22, lim {Я (X', А')} = Я (X, A), lim {Я (Г', В')} =
—> —>
= H(Y, В), то мы получаем отображение
A3.20) Я (X, Л) X Я (Y, B)-^H(X(]Y,(AftY)[}(Xn В)),
по-прежнему называемое пересечением и обозначаемое через •,
т. е. образом пары (g, r\) <= Ht (X, А) X Я/ (Y, В) является эле-
элемент l-r\<=Hi+!-n{X[\Y, (А П Y) U (X П В)). Заметим, что это пе-
пересечение согласовано с 13.1, поскольку для открытых мно-
множеств (и даже для окрестностных ретрактов) группы Я, Я
совпадают.
Определение пересечения S, - Л без изменения переносится на
произвольные пары. Если |еЯA, A), i]eff(F, В), то мы вы-
выбираем компактные пары {X', А') а (X, А), (У, В') с= (Y, В) и
элементы ^'eff(f, A'), r\'<=H{Y', В'), такие, что i'*->l,
¦n/i—>ti; тогда (I • y\)UR = {I' • r\')UR — образ элемента (?', r\) при
композиции A3.19).
Общее пересечение A3.20) и частное пересечение A3.2) раз-
различаются, таким образом, лишь гомоморфизмами, индуциро-
индуцированными включением. Поэтому свойства 13.4 — 13.13 частного
пересечения обобщаются автоматически, хотя некоторые форму-
формулировки становятся более сложными. Например, формула ас-
ассоциативности (I • ц) •? — | • (ц • ?) даже не имеет смысла, если
для какого-нибудь из пересечений нет изоморфизма Н^Н (эту
формулировку все же можно исправить; см. упр. 6). Что же
касается стабильности, она имеет место, но надо определить
связывающий гомоморфизм <3„: Я (X, А) -> Н (А). Мы опустим
все это и выделим лишь следующее свойство естественности:
13.21. Предложение, (а) Если i{: (X, А)->{Х, А), /2: (F, В)-*
-> (F, В) — включения, то
(Ь) Если L cz M — открытое множество, содержащее X \J Y, то
(с) Если М 'и Ш — ориентированные многообразия одной и
той же размерности и /: М' w M — сохраняющий (соответственно
420 Гл. VIII. Многообразия
обращающий) ориентацию гомеоморфизм, то
L (Г • л') = (Ш' (f X) (соответственно = - (/ДО • (/.т,0).
Все это следует из 13.4 и 13.7. []
Как объясняется после предложения 13.4, из утверждений
(а) и (Ь) следует, что пересечение g • ц может быть вычислено
в любой окрестности замыкания X (] У.
13.22. Пример. Пусть JVb N2 — ориентированные подмного-
подмногообразия размерностей щ, щ ориентированного m-многообразия М,
и пусть N = Nif] N2 есть компактное связное ориентируемое
многообразие размерности n = nl-\-n2 — m. Тогда пересечение
°лг'' °jv Фундаментальных классов
лежит в группе Hn(N; Z) (так как N есть ENR), и потому
°w"°w ~^°jV> где Ие^. Из 11.18 очевидным образом выво-
выводится, что ц есть не что иное, как «кратность пересечения» (см.
11.30, упр. 1). Независимо от § 11, но в стиле предложения
11.13 мы докажем
13.23. Предложение. Если многообразия Nt и N2 трансвер-
сально пересекаются в некоторой точке Р е W = Л^ П Л^2, то
°n' ' °n2 ~ ^- °n- В°°бще о^[ • о^- = ± о$ для любого компактного
множества К сг N. Знак один и тот же для всех К', как выра-
выразить его через ориентации, будет видно из доказательства.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай К = Р.
Пересечение о*р • о^ можно вычислить в любой окрестности V
точки Р (это следует из естественности пересечения ввиду изо-
изоморфизма вырезания 'Я (X, X — Р) s* H (U ft X, U f| X — Р)). По
предположению найдется окрестность U точки Р, в которой
многообразия JV1( N2 расположены как координатные подпро-
подпространства пространства Rm:
«(R*2XR"XR*'; 0XR"XRk\ Rk'XR"X0; @, 0, 0)),
где kv~n — nv, nv = dim7Vv. Следовательно, мы должны пока-
показать, что
A3.24) ([0] X оп X он) • К X оп X [0]) = ± [0] X оп X [0],
где О[ <? Hi (Rl, Rl — 0), [0] <= Я00 — образующие. В силу есте-
естественности (см. 13.21 (а)), достаточно доказать это равенство
IS. Пересечение гомологических классов 421
для пересечения
Hn+ki (в*1 X (Rrt, R" - 0) X (R\ R*' - Bk')) x
X Hn+k2 ((Rk\ Rh> - B*') X (Rn, Rn - 0) X Bfel) -U
—> Я„ (в*1 x (R", R" - 0) x fl*0-
Но теперь мы имеем дело с открытыми подмножествами про-
пространства Rm и можем применять A3.5). Когомологический
класс, двойственный по Пуанкаре классу [0] X оп X о*, (соответ-
(соответственно Ок2 X оп X [0]), представляется образующей щ e
е//^!^, R*J — 0) X R" X R*1), соответственно
На е Я6' (Rfe2 X R" X (R*1, Rkl - 0)),
и jxj w р,2 есть, в силу VII. 9.2, образующая группы
Hki+h ((Rh\ Rkl - 0) X R" X (R*1, R - 0)).
Согласно A3.5), из этого следует A3.24).
В общем случае рассмотрим диаграмму
Hn,{Nu Nl-P)XHn2(N,, N2-P)-^Hn(N, N - Р)
f I-
A3.25) Я„, (Nu N,-N)X Hn?(N2, N2 - N) '-+ HnN
I I
H!:[(Nu Nl -K)X НП2(N2, N2-K)-^+ Hn(N, N-K)
где все вертикальные стрелки индуцированы включениями; они
переводят фундаментальные классы в фундаментальные классы.
Диаграмма коммутативна в силу естественности пересечения,
и ее правая верхняя вертикальная стрелка является изомор-
изоморфизмом, поскольку многообразие N связно. Коммутативность
верхнего квадрата показывает, что о§'О^1 = ±о§, а нижнего
квадрата — что о^1 • о^ = ± о?. []
13.26. Приложения. Так как пересечения, в сущности, двой-
двойственны по Пуанкаре w- и «^-умножениям (см. 13.5), они не
могут дать больше, чем эти умножения (а даже меньше, по-
поскольку они определены только в многообразиях). Однако они
ближе к геометрической интуиции и поэтому обладают значи-
значительной эвристической ценностью: они часто подсказывают, как
превратить интуитивные геометрические соображения в строгие
422 Гл. VIII. Многообразия
результаты. Например, если слегка деформировать две непарал-
непараллельные плоскости в R3, то получившиеся после деформации
фигуры будут пересекаться все еще по континууму. Цочему?
Пересечения могут служить и для вычисления w-произве-
дений в многообразиях. Предположим, например, что в много-
многообразии М классы х, у е Н*М двойственны классам |, r\ e HM
и, следовательно, класс хкуу двойствен |«т]. Если %, г\ допу-
допускают простые представляющие циклы или представляющие
циклы, лежащие в простых множествах X, Y, то можно без
труда вычислить ? • ц (используя свойства пересечения или
сравнивая с другими многообразиями) или по крайней мере
установить, что элемент ?«т] имеет представитель в (вблизи) X (] Y.
В частности, если |, ц представляются трансверсально пересе-
пересекающимися многообразиями JV,, N2, то Nif]N2 представляет
± |«Т1 (см. 13.23). Например, для проективного пространства Рп
легко показать (используя СЖ-разбиение V. 3.5), что группа
Н(Рп) (в вещественном случае mod 2) свободно порождается
гомологическими классами проективных подпространств Pk,k^n.
Любые два проективных подпространства Р, Р' одинаковой раз-
размерности представляют один и тот же гомологический класс
[Р] = \Р'\, так как можно перевести Р в Р' проективным преобразо-
преобразованием, гомотопным id. При вычислении гомологического класса
[Pk]'[Pj] можно считать, следовательно, что Pk и Pt находятся
в общем положении (и потому пересекаются трансверсально),
так что [Рк] • [Pt] = ± [Pk+f-.n]. Это равенство описывает опера-
операцию • в НРп и, следовательно, операцию ^ в Н*Рп.
В качестве другого примера рассмотрим ориентированное
многообразие М и его компактное ориентируемое подмногообра-
подмногообразие N. Мы хотим выяснить, когда многообразие N гомологично
нулю в М (/„ow = 0?); для этого имеется следующий критерий:
если существует другое ориентированное подмногообразие N'
многообразия М, пересекающее N трансверсально и такое, что
многообразие N (} N' не гомологично нулю в N', то многообра-
многообразие N не гомологично нулю в М.
Доказательство. Предположим, что itoN—0. Тогда мож-
можно на Яти ограниченное открытое множество MczM с включением
i: NczM, такое, что t,o^ = 0. Выберем компактное множество
KczN', содержащее $[}N', и рассмотрим диаграмму
(HN) X Я (Nf, N' - К) -^-> (НМ) X Н (N', N' - К)
V . i-
H(NftN') —¦> H(M[)N')
13. Пересечение гомологических классов 423
где / — включение N П Nf-*-M{] N'. Эта диаграмма коммута-
коммутативна в силу 13.21 (а), и потому /, (о^ • О/<') = (} °N) • о% = 0.
Но оЛГ«о^' = оЛГ»о^П/У = ±оЛгпдг, в силу 13.23, следовательно,
многообразие N f] N' ограничивает в М П N', и потому в TV' —
противоречие. Q
13.27. Замечание. В§ 4 гл. VII мы определили индекс пере-
пересечения § о г) для гомологических классов ^еЯA, А), ц^
е= Я (К, В) с | g | +1 Л I = «, ЛП^=0=^П5- Теперь мы можем
определить индекс пересечения I (|, т]) формулой
A3.28) / (|, л) = V (I • т|)м = <!,(!• т|)м>,
где у — аугментация Я0(М)—> область коэффициентов. Мы
сейчас увидим (см. 13.29), что это определение согласуется
с определением, данным в гл. VII. Мы можем определить также
локальные индексы пересечения в случае, когда X П Y распа-
распадается на куски; точнее, если {Vi}, 1=1, 2, ...,—такое семей-
семейство попарно не пересекающихся открытых множеств в Мп, что
X П Y cz U Vi = V, то элемент (? • r\)v e HV ^фЯК/ имеет ком-
компоненты (| • r\)v e HVI, образы которых при аугментации назы-
называются локальными индексами пересечения, /;(?, ц) = у (| • т})|,.
Ясно, что глобальный индекс пересечения /(?, т}) является сум-
суммой локальных индексов пересечения //(?, ц).
13.29. Предложение. Пусть (X, А), (Г, В) —такие пары под-
подмножеств пространства R", чго ЛПК=0=ХП?. " «г/сгб
g e Hn-k (X, A), r\ e Hk (Y, В). Напомним (VII. 4), что 1°ц<=
е Hn(Rn, R" — 0), в го врежя как (|• т])^ е Яо?/ <5ля любой
окрестности U множества X П К. Тогда
ji/~, (| о Г)) = (Т) • g) „,
г5е ц = |1„еЯ*(R", R" — 0) — такая образующая, что <ц, о„) = 1.
Другими словами, | ° т] = Яо^, г<5е lei? — образ пересечения
т\ • | «ри аугментации.
Доказательство. По определению имеем (?«ti)r« =
= (—l)"|tl1 de/.(I X Л)'), W rf: R"-^R" X R" - диагональное
вложение и
/: (X X Y, (А X У) U (X X В)) -> (R» X Re, (R" X R") - dR")
') Здесь rf| обозначает трансфер из § 11, а не из 10.5, поскольку впо-
впоследствии к нему будет применяться предложение 11.14.
424 Гл. VIII. Многообразия
— включение; поэтому
d. (I• t|)r» = (- 1)"'n| dM. (E X л) = (- If'nl т ^ /, (I X л),
где т —класс Тома вложения d (см. 11.14). С другой стороны,
|от! = (-1)|т1|С1/.AХл) в силу VII. 4.14, где L: (Rn, R"-0)->
-*(R"XR", {Rn X^n) — dRn) действует по формуле ix = (x,0).
Поэтому »,(|от1) = (-1)|Т1|/,(|Хл) и
= т ^ гЛ1 ° Л) =г"* <А ^ (I ° л))-
Так как, очевидно, г„ = й„: #0R" ^ Яо (R" X R")> то этим дока-
доказано равенство (л • |)Rn = гЧ ^ (| о ri). Если теперь | = о„ — обра-
образующая группы #n(Rrt,eRB —fi")?itfn(Rn, R"-0), a tj = [0] -
образующая группы HoB^su H0Rn, то (л *!)r" = [0] в силу 13.10
и |от1 = о„ в силу VII. 4.11. Следовательно, [0] = Гт-^ о„ и
13.30. Упражнения. 1*, Покажите, что для открытых
пар в многообразии М пересечение совпадает со следующей
композицией:
Это — уточнение равенства |«л = л:^'п из A3.5). Мы могли бы
использовать эту композицию для определения пересечения, но
она кажется нам белее громоздкой, чем A3.2); в частности,
она несимметрична. С другой стороны, эта несимметричность
приводит к более тонкому результату: мы на самом деле не
пользуемся открытостью множеств W, T: W может быть любым,
а Т должно быть открытым в W (проверьте это утвержде-
утверждение). Отсюда следует, что в предельной конструкции из 13.18
мы всегда можем положить W — V (и считать Т открытым в W)
и в качестве (U, R) брать открытые окрестности пары (Xf]Y,
(Af]Y)\j(Xf]B)) в Y (вместо М). Мы получаем таким образом
пересечение Н(Х, A)XH{Y, В)->lim{Я(U, R)}, где (U, R) про-
пробегает все окрестности пары (X(]Y, {A{]Y)[){X(]B)) в Y.
2. Если М — ориентированное многообразие и А — такое его
открытое подмножество, что дополнение М — А компактно, то
13. Пересечение гомологических классов 425
надлежащим образом градуированная группа Н(М, А) является
градуированным коммутативным кольцом (относительно •) с еди-
единицей о м-а- Если Y — произвольное подмножество многообра-
многообразия М, множество В czY открыто в Y и (Y П A) cz В, то Н (Y, В)
есть Н(М, Л)-модуль относительно операции • (которая пони-
понимается в уточненном смысле упр. 1); ср. VII. 8.17.
3. Представим окружность S1 в виде RU{°°}- Пусть Г =
= {(х, у) е SlJX R \х ф О, y = sm(l/x)} — график функции sin(I/x),
и пусть Z == Г — его замыкание в Sl X R- Постройте такую функ-
функцию f: 5'XR-^R, что f~i(t) = S1Xt при |*|>2 и /~1@) = Z
(ср. 10.14, упр. 1). В многообразии М3 = S1 X К X К рассмотрите
подпространства X = Sl Х^ХО и Y — график функции /. Тогда
Xf\YmZ. С другой стороны, если
то Н2(Х, А) ^ Zs* H2(Y, В) и пересечение {\,'Ц)М любых обра-
образующих этих групп является образующей группы HXM^Z.
Отсюда следует, что (?*тОлг не лежит в образе гомоморфизма
Нх (X П Y) -*¦ Н\М. Чтобы получить аналогичный пример с А —
= 0 = В, замените прямую R факторпространством R/{^ || 11^2},
т. е. отождествите все точки t прямой R с |/|^2.
4. Покажите, что если X и А — евклидовы окрестностные
ретракты, то отображение i: H(X, А)-+Н{Х, А) является изо-
изоморфизмом. Указание: как в упр. 3 из 7.16, покажите, что суще-
существует пара (V, 5) открытых окрестностей множеств X, А и
такое отображение ст: (V, S)—*-(X, А), что композиция (X, А) -^>
->(V, S)—>(Х, А) гомотопна тождественному отображению.
Другими словами, с точностью до гомотопии пара (X, А) яв-
является ретрактом некоторой открытой пары. Затем примените
13.16 и 13.17.
5. Пусть X, Y — подмножества ориентированного многообра-
многообразия М, разделенные пересечением X(]Y (см. 6.13), т. е. такие,
что множества X — Y, Y — X оба открыты или оба замкнуты
в (X\j Y) — {X П Y). Для любой открытой окрестности U множе-
множества X(]Y можно найти такие открытые окрестности V, W мно-
множеств X, Y, что (V П W) cr U. Поэтому определено пересечение
(HV) X (HW) -*• HU, и переход к пределу доставляет спаривание
О: (HX)X(HY)^H(X(]Y). Покажите, что спаривание A3.20)
пропускается через отображение
(НХ) X(HYI-^ (НХ) X (HY) ^
Обобщите это на относительные гомологии.
426 Гл. VIII. Многообразия
6. Покажите, что пересечение О из упр. -5 ассоциативно.
Для спаривания A3.20) ассоциативность не имеет смысла. Вме-
Вместо нее можно доказать следующее (более громоздкое) соотно-
соотношение:
оно справедливо для любых | е НХ, ц е HY, ? е HZ и таких
открытых окрестностей U, V, W множеств X [\ Y, Y f] Z, X (~) Y f] Z,
что (X П V) cz W, {Uf\Z)c W. Проверьте это утверждение и обоб-
обобщите его на относительные гомологии.
Покажите, что х ^ (| • г\) = (х г\ |) • т] для любых х е Н* (X, Ах),
^e//(I, AjU^)» 4^H(Y,B) и любых открытых множеств
X, Ait Y, В. Обобщите это на произвольные множества.
Добавление. Кановские и чеховские
расширения функторов
Д.1. Пределы функторов
В § 5 гл. VIII, когда мы имели дело с пределами направ-
направленных систем D, нам было удобно представлять себе D как
функтор. С этой точки зрения является естественной общая
теория пределов функторов (см. Кан [1, гл. II]), которая соста-
составляет предмет этого параграфа. В более подробных изложениях
наши пределы называются копределами (левыми пределами,
прямыми пределами), но мы будем говорить просто о «пределах»,
так как только они нами и используются.
1.1. Определение. Пусть Л и Ж— категории и D: А-+Ж—
функтор. Каждому объекту К^Ж отвечает постоянный функ-
функтор К->Ж, который мы обозначим той же буквой К. Тогда
(естественным) преобразованием ср: D-+K будет такое семейство
{фЛ: /Д—>/(}Л(_л морфизмов категории Ж, что фл = фд(.Оа) для
любого морфизма а: l^-ц категории Л. Преобразование и: D-+L,
где L е Ж, называется универсальным, если для каждого пре-
преобразования ф: D -*¦ К. существует единственный морфизм
г|з: L—>K, такой, что ф = г|)М, т. е.
A.2) Ж (L, К) да Transf (D, К), $ *-> $и.
Если и: D->L и и': D—>L' — два универсальных преобразова-
преобразования, то имеется единственная эквивалентность к: L fa L' с и'=ки,
т. е. все универсальные преобразования канонически эквива-
эквивалентны (доказательство такое же, как в VIII. 5.5). Их может
не быть, но если они есть, то L называется пределом функ-
функтора D; пишут L = lim(D). Если ф: D -> К — преобразование,
то соответствующий морфизм lim(Z))->/( также обозначается
через ф.
Рассмотрим все функторы D со значениями в Ж, пределы
которых существуют. Тогда lim будет функтором, принимающим
значения в Ж и определенным на «категории», объектами
которой служат указанные функторы D и морфизмы которой
сейчас будут определены; однако этих морфизмов настолько
много, что они не образуют категории в обычном смысле.
428 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
1.3. Определение. Пусть D: Л~>Ж, D': А'-+Ж — произ-
произвольные функторы. Рассмотрим пары (у, d), где у — функция,
относящая каждому объекту ЛеЛ объект yW^A', a d =
= {dK: D(X)-+D (yk)}leX— семейство морфизмов. Мы говорим,
что пара (y, d) стремится к пределу, если композиция семей-
семейства d с любым преобразованием ср': D'->K, К^Ж, есть
d%
преобразование cp'd: D-+K., т. е. если композиции {DK—*•
-+D'(yk)—>¦ K)xs&. образуют преобразование для любого ф'е
eTransf(ZX, К), К е Ж. Если D имеет предел, скажем
и: D->\\m(D)— универсальное преобразование, то преобразова-
преобразование q>'d задает единственный морфизм -ф: lim(D) —> К. с tyu = q>'d
(согласно определению 1.1); если же и D' имеет предел и
ur: D'—>lim(D') — универсальное преобразование, то существует
единственный морфизм \\m{d): lim (D)-*-lim(D') c \\rri(d)u = u'd.
1.4. Лемма. Пусть D, Dr и (у, d) обозначают то же, что в 1.3.
Предположим, что для любого морфизма а: Я -> \i категории А
существуют такие морфизмы уК —> р *— уц категории А', что
диаграмма
A.5)
Din)
D'(P)
коммутативна. Тогда пара (у, d) стремится к пределу.
В самом деле, если q/: D'-*¦ К — любое преобразование
и ф = <p'd, то
Фх = Ф; А = Фр (°'а) dK = Фр (D'b) ^ (Da) = ф;^ (Da) = Ф„ (Da),
т. е. ф есть преобразование. []
1.6. Предложение. Пусть D: А->Ж,&: А'-*Ж,&'\ А"->Ж—
функторы и (у, d), (у', d') — пары, как в 1.3 (у: А -* Л', у': А' -*¦ А",
dK: D%->D'(y%), d{>; D'(k')-+D"(y'Xr)). Если обе пары (у, d)
и (у', d') стремятся к пределу, то пара (у', d') (у, d) = (y'y. d'd),
где (a"d)% —d'y\d%, также стремится к пределу. Если, кроме
того, D, D' и D" имеют пределы, то lim (d'd) = (lim d') (lim d).
Доказательство такое же, как в VIII. 5.12. []
Например, всякое естественное преобразование d, связы-
связывающее функторы D, D': А-+Ж, стремится к пределу (v = id;
ср. VIII. 5.13).
R.I. Пределы функторов 429
Если в: й-> А — функтор, то его композиция с любым функ-
функтором D: А-+Ж есть некоторый функтор E = DQ: О.-+Ж.
Функтор в и тождественные морфизмы йа: Еа —>D(всо), соей
образуют пару (у = @, <2m = id), стремящуюся к пределу (ср.'
VIII. 5.15). Как и в VIII. 5.15, в этом случае мы пишем
в^: lim Е —>limZ) вместо lim(<i). Следующее определение обоб-
обобщает определение VIII. 5.16:
1.7. Определение. Функтор в: й—>-Л называется слабо ко-
кофинальным, если для любого объекта Л,еЛ при некотором
соей существует морфизм Л->6(со). Функтор в называется
сильно кофинальным, если, кроме этого, любая пара морфизмов
во»] <— Л—>всо2 с cojGQ может быть дополнена до коммутатив-
коммутативной диаграммы
A.8)
где g;: сог -> со — морфизмы категории й. Подкатегория й кате-
категории Л называется (слабо, сильно) кофинальной, если таков
функтор включения. Более совершенные формы кофинальное™
приведены в упр. 2. Мы выбрали здесь грубейший вариант,
который достаточен для наших приложений.
1.9. Предложение. Пусть в: й—>Л — функтор. Для любого
функтора D: А^-Ж и любого объекта К ej положим Е = DQ
и определим отображение
A.10) в: Transf (?>, К) -> Transf (E, К)
формулой @ф)м = Фвм; другими словами, отображение в относит
преобразованию ф: D ~* К. преобразование ¦ф = в(ф): Е—>К, такое,
что ^а = Фвм- Тогда
(i) если функтор в слабо кофинален, то отображение в
мономорфно;
(и) если в сильно кофинален, то в есть взаимно однозначное
соответствие; более того, преобразование и: D -> L универсально
тогда и только тогда, когда универсально преобразование
V = в (и): Е -»¦ L; таким образом, если один из этих пределов
430 Добавление. Каковские и чеховские расширения функторов
lim (Е), lim (D) существует, то существует и другой, и 0^: lim (Е) —>¦
—>lim(D) есть изоморфизм.
Доказательство. Предположим, что функтор в слабо
кофинален, и пусть ф е Transf(Z), К) — преобразование. Так
как для каждого ЯеЛ существует морфизм /: Л—>0со, то
Фл = Фвм(/)/) =(вф)ш (?>/). Эта формула выражает ф через 6ф
и показывает, что отображение 0 инъективно; она показывает
также, как построить отображение /, обратное 0, в случае
когда функтор в сильно кофинален. Оно строится следующим
образом. Для каждого преобразования ¦ф е Transf (E, К) мы
определяем Ity e Transf (D, К) формулой (/"ф)л = tya (Df). Вообще
говоря, tya(Df) зависит от выбора (со, /), но если функтор в
сильно кофинален, то не зависит. Действительно, если выбор
сделан двумя способами: f;: Я—>всоь /2: А,->0со2, то мы можем
найти морфизмы ?,: со, -»¦ со <- щ :g2 с (Qg:) °f{ = (@g2) ° f2, и тогда
ЧЧ »(Dfd = i|>a о (Egt) о (Dft) = ^ о (DQgi) о (Dfi) = ^м о D ((Qgl) о /,.);
последнее выражение не зависит от i. Остается показать, что
/i|3 = {(/ifkKeA ~ преобразование и что отображение / обратно в.
Пусть е: \х-+к— морфизм категории Л и /: Я->всо обозна-
обозначает то же, что и выше. Тогда
(De) = (/^)Aо(De),
т. е. /о]? — преобразование.
Далее,
(/§Ф), = (вф)в о (Df) = Фвм о (Df) = <рх,
= $а о D (id) = 4>в,
т. е. /0=id, 0/ = id. Наконец, последняя часть утверждения (ii)
доказывается, как подобное предложение в VIII. 5.17. []
Когда же существуют пределы функторов А-+Ж? Если
категория Л является малой (т. е. если класс объектов пред-
представляет собой множество), то для этого имеется такой же
критерий, как в случае квазиупорядоченных множеств (см.
VIII. 5.7). Если же категория Л не является малой, то извест-
известную пользу может принести следующее обобщение предложе-
предложения VIII. 5.7:
1.11. Предложение. Если Л — произвольная категория,
Q — малая категория, «0; Q -> Л — слабо кофинальный функтор,
Д./. Пределы функторов 431
то любой функтор D: Л -> sift (это — категория абелевых групп,
модулей, комплексов и т. п.) имеет предел, который получается
факторизацией суммы ф D @v) no подгруппе (подмодулю, под-
комплексу) с образующими вида (i^ (jD/j) — iM, (^/2)) (xx)> г^е
1И — включения, Хх eZ)(A), К е Л, соь со2ей, и Gcoj <^~К—"-* 0со2—
морфизмы категории Л.
Доказательство. Пусть L= ф Z?Fv)/{ia (Df^xK —
— im (-О^г)**,}* Каждый объект ЯеЛ допускает морфизм /: Л->0со
с шеО. Пусть «д,: DK^-L есть композиция
DK-^DW-^ ф D(ev)-^>L,
где р — проекция. Эта композиция не зависит от выбора пары
(со, f): если вщ-*-1—)^—^ 0со2 — два различных морфизма, то
разность iffl (pfi) — la, (Pf2) отображает DX в ядро проекции р.
Далее, система и = {щ) является преобразованием, так как
если g: ц -*¦ Я — морфизм категории Л, то uk (Dg) = pia (Df) (Dg) =
= piaD (fg) = «ц. Покажем, что и универсально. Очевидно, что
для любого преобразования {q\: Z)A -> К} морфизм ¦ф'=
= (фо1 : Ф Z)(ev)->/( обладает тем свойством, что ^'iM(D/)=
= Фвм(Д/) = фЛ и г|з' | ker (р) = 0; следовательно, ¦ф' пропускается
через L и индуцирует морфизм г|з: L—>K с i|)% = i|AM(Z)f).
Такой морфизм г|з единствен, потому что образы морфизмов их
порождают L (уже образы морфизмов u&v порождают L). []
1.12. Упражнения. 1. Пусть я —группа. Представим ее как
категорию с единственным объектом е, морфизмами которой
являются элементы группы п. Покажите, что задание функтора
D: n^-sfiS равносильно заданию левого действия группы л;
на абелевой группе G = De и что lim D = Gn есть факторгруппа
группы G по подгруппе, порожденной элементами вида g—(Dx)g,
geG, х^я.
2. Наше понятие сильной кофинальное™ 1.7 довольно грубо:
даже тождественный функтор в = id: Л->Л может не быть
сильно кофинальным, хотя в этом случае 6^ есть (очевидно)
изоморфизм. Очевидно, функтор в: Й->Л следует назвать
кофинальным, если 0^: lim(Z)e)->lim(Z)) есть изоморфизм для
любого функтора D: А-+Ж в любую категорию Ж. Покажите,
что функтор 0 кофинален, если (i) для каждого объекта AgA
существует морфизм Я-?-0(о и (И) любая пара морфизмов
432 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
Р Р'
©со ¦*—Я—*¦ во/ может быть связана в Л коммутативной диа-
диаграммой вида
®со'
строка которой лежит в im(e). Верно и обратное: всякий кофи-
кофинальный функтор обладает свойствами (i), (ii) (см. Маклейн
[2.IX.3]).
3. Категория Л называется направленной, если (i) для каждой
пары^ объектов Хь %2 существуют морфизмы ^-»¦ ц <-Л2 и
(ii) для каждой пары морфизмов аь а2: К->\х, существует мор-
физм р: ц-^v с ра] = Ра2 (ср. Вердье [1, 2.7]).
Понятие направленной категории обобщает понятие направ-
направленного множества, и свойства точности VIII. 5.18—5.20 обоб-
обобщаются на пределы функторов A^-s&$ из направленной кате-
категории в категорию групп.
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству,
и разбиения единицы
Мы обсудим некоторые общие методы распространения функ-
функторов с категории полиэдров на более широкие категории
топологических пространств. Один из этих методов, принадле-
принадлежащий Д. Кану, заключается во взятии пределов функторов,
определенных на категории так называемых подчиненных поли-
полиэдров; мы выведем 'нужные свойства таких категорий. Другой
способ, восходящий к Е. Чеху, состоит в предельном переходе
по направленным системам, индексированным множествами
покрытий (ср. Стинрод и Эйленберг [1, IX]); связь между этими
двумя методами задается разбиениями единицы (нормали-
(нормализация ми).
2.1. Определения. Мы определим для каждого топологи-
топологического пространства Л категорию &А полиэдров, подчиненных Л,
или просто Л-полиэдров, следующим образом. Объект катего-
категории @А (А-полиэдр) — это гомотопический класс отображений
|: A-+R\, где /?| — полиэдр. Морфизм g —> rj есть гомотопи-
гомотопический класс отображений a: Rt^Rr] с a|^ii. Композиция
морфизмов определяется как композиция соответствующих ото-
отображений а.
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству 433
Категория 0>А функториальным образом зависит от А: каждое
отображение f: В—>А индуцирует функтор
B.2) &L. &A^&*, [ll^MS/L М-* [а],
где скобки, как обычно, обозначают гомотопический класс.
Очевидно, ^fg = (^>g)(^)f) и ^"d = Id, так что сопоставление
Л н-> 0>А является кофунктором из пространств в категории.
Обычно вместо ?РА мы будем использовать двойственную
категорию, которую мы обозначим через Л=ЛЛ, так что A^p=^) .
2.3. Предложение. Если А — полиэдр, то Лл содержит сильно
кофинальную подкатегорию Q, состоящую из единственного
объекта, а именно id: A-+A, и единственного морфизма [idj.
Если А доминируется полиэдром &, т. е. если существуют
отображения А—*¦ Р—*¦ А с ri cz. id, то АА содержит сильно
кофинальную подкатегорию Q, состоящую из единственного
объекта, а именно А—*¦ Р и двух морфизмов [idP] и [ir].
Доказательство. В первом случае каждый объект
|: А—*¦ Ri категории Л допускает единственный морфизм
в id: А-*-А, а именно % (необходимо обратить стрелки, так
как 5эА = Ллр|). Во втором случае ?: A-*Ri допускает морфизм %г
в /: А-+Р,.и любые два морфизма объекта ?: A—>Ri в г: А->Р
делаются равными после применения ir. ?
2.4. Предложение. Пусть А—локально замкнутое подмно-
подмножество полиэдра Р. Обозначим через Q направленное множество
всех открытых окрестностей множества А в Р {относительно
обратного включения). Множество Q можно рассматривать как
категорию, двойственную категории открытых окрестностей мно-
множества А в Р и их включений. Тогда функтор
B.5) в: О-*АЛ, QV = [A-^V], 0i = [i],
где V обозначает открытые окрестности множества А и i — вклю-
включения, сильно кофинален.
Доказательство. Вначале напомним, что открытые
подмножества полиэдров — полиэдры'), так что вУ — полиэдр,
подчиненный А, и в — функтор Q -> Л. Так как, далее, А ло-
локально замкнуто, то в Р существует такое открытое множество Q,
') Для полиэдров в R" см. Александров н Хопф [1, 111,3.2]; доказатель-
доказательство в общем случае использует теорему Уайтхеда о подразделении (см.
Спеньер [1, стр. 196, упр. 3], Уайтхед [1, теорема 35]).
434 Добавление. Кановские а чеховские расширения функторов
что А замкнуто в Q. Если [I] —объект категории Л, то, в силу
теоремы Титце, отображение g: A->Ri может быть продолжено
до отображения открытой окрестности V множества А в Q;
таким образом, мы можем разложить | в композицию AaV-*R\,
и это доказывает слабую кофинальность функтора в. Пред-
Предположим теперь, что заданы два таких разложения, т. е. два
отображения Vx—'* Rf*~^~V2 открытых окрестностей Vи совпа-
совпадающие на А (с точностью до гомотетии) с |. Снова применяя
теорему Титце, мы получаем открытую окрестность V с: (У, f) У2)
множества А, на которой г\и % гомотопны; это доказывает силь-
сильную кофинальность (ср. доказательство утверждения VIII. 6.2 (Ь)).
Теперь мы сравним категорию АА с обычной чеховской кате-
категорией открытых покрытий пространства А. Начнем с нескольких
замечаний. Напомним, что семейство непрерывных функций
я = {я/: Л->[0, 1]}.-<=; называется локально конечным, если
каждая точка аеЛ имеет такую окрестность V, что я/|У=0
для почти всех (для всех, кроме конечного числа) /. Оно
называется поточечно конечным, если для каждого а^А
множество {/|яДа)=г?0} конечно. Оно называется разбиением
единицы, если ^?,П/{а) — \ для каждого аеА; в частности,
в этом случае множество {} |л/(а)=т^0} должно быть счетным
для каждого А
2.6. Лемма. Если я = {я;}/6Е/—разбиение единицы (не обяза-
обязательно поточечно конечное) и е > 0, то каждая точка а е А
обладает окрестностью, в которой только конечное число функ-
функций Я[ принимает значения ^ е.
Доказательство. Пусть аеЛ; можно выбрать такое
конечное подмножество F czJ, что У. л, (а) > 1 — е. Пусть
у = { х е А У, п, (х) > 1 — el. Это — окрестность точки а, в ко-
торой Л] может принимать значения ^е, только если /ef
С потому что 2 яу = 1у []
2.7. С л едете и е. Если я = {я s}; e; — разбиение единицы, то
функция
х и-» ц (х) == sup/eE/ {л^} = тах/е/ {л^}
непрерывна и положительна.
Доказательство. Так как ЛЯ/(*) = Ь то ц(х)>0.
В силу 2.6, выражение sup/e/{n/} в окрестности каледой точки
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству 435
совпадает с максимумом конечного числа функций я/ и потому
непрерывно. []
2.8. Предложение (Мезер). Если я = {я/},е/— разбиение
единицы (не обязательно поточечно конечное), то существует ло-
локально конечное разбиение единицы р = {р/}7- s/, такое, что
prl@, 1] с:яг40, 1] для любого /е/ (такое разбиение р назы-
называется усовершенствованием разбиения л).
Доказательство. Пусть а}(х) = max@, 2nt(x) — \i(x)),
где \i(x), как и в 2.7, есть тах/.е/^я/(л;)|. Ясно, что функция а,
непрерывна и что 0^@, 1]ся-'@, 1]. Пусть, далее, аеЛ и
е = — (х(а). В силу 2.7 и 2.6, существуют такие окрестность V
точки а и конечное множество Fcr/, что если x^V, j^F,
то [х(д;)>2е и nj(x)<e; следовательно, (Х;(л;) = О при lei7,
}фр, т. е. семейство {ff/}/s/ локально конечно. С другой сто-
стороны, существует fee/, для которого яь(а) = ц(а), и, значит,
о* (а) — як (а) = М- (а) > 0; следовательно, Ха/(а)>0 для всех
аеЛ Таким образом, Р/(*) = а/(#)//? сгг (л;) — разбиение еди-
ницы. []
2.9. Следствие (Даукер [1, § 16, теорема 1]). Если А— сим-
плициальное пространство и А' получается из А введением силь-
сильной топологии (V.7.14), то тождественное отображение i: A—*¦ А'
является гомотопической эквивалентностью. Более того, отобра-
отображения к:А'~>А гомотопически обратны. ц и деформации
jac^id, ixc^id' могут быть выбраны таким образом, что ни-
никакая точка не покидает замыкания своего симплекса.
Доказательство. Барицентрические координаты я/.- А'->
—>[0, 1], ;'е/, где / — множество вершин, образуют (поточечно
конечное) разбиение единицы я (см. V.7.13). Согласно 2.8,
.я допускает локально конечное усовершенствование р. Оче-
Очевидно, существует единственное отображение к: А'-* А, такое,
что it/iK = р/ при каждом /'. Оно непрерывно, потому что не-
непрерывно ix (последнее— согласно определению сильной топо-
топологии), и каждая точка пространства А' имеет окрестность,
образ которой лежит в конечном (т. е. компактном) симпли-
циальном подпространстве (на нем топологии пространств А
и А' совпадают). Деформация *ь->xt, определенная формулой
Я/ (*,) = tfif (X) + A - t) Я/ (ДС),
непрерывна как отображение D'- Л'Х[0, \]-+А', потому что
непрерывна композиция я^О', и непрерывна как отображение
43б Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
D: ЛХ[О, 1]->Л, потому что сужение D|I"X[0, 1] непрерывно
для каждого конечного симплициального подпространства
XczA. Следовательно, D: xi^id, D': iK~id. []
2.10. Определения. Покрытие °U топологического простран-
пространства А называется нормализуемым, если существует такое раз-
разбиение единицы п — {яц}и<=оц> чт0 лг/'@, 1]с=?/ для каждого
U^°U. Если разбиение л поточечно конечно, то оно называется
нормализацией покрытия °U. Из 2.8 следует, что если покры-
покрытие Ш нормализуемо, то оно допускает даже локально ко-
конечную нормализацию.
Множество пА всех нормализуемых покрытий пространства А
направленно (напомним, что Ш^Т, если каждое множество
U^Ш содержится в некотором множестве V еТ). Как обычно,
мы рассматриваем QA как категорию.
Если пространство А паракомпактно, то каждое открытое
покрытие нормализуемо, а если пространство А нормально, то
каждое локально конечное открытое покрытие нормализуемо.
Нерв чШ нормализуемого покрытия °U определяется как
симплициальное пространство (см. гл. V.7), «-симплексы ко-
которого соответствуют (п-\- 1)-наборам (Uo, Uu ..., Un) с Uj<=<M
и [\Uj=^= 0; в частности, вершины v°U — это непустые множе-
множества U<^°U (мы задаем нерв vQl как симплициальную схему;
ср. V. 7.15).
Если мы наделим vil сильной топологией, то задание нор-
нормализации л покрытия °и будет равносильно заданию непре-
непрерывного отображения я: A^\°U, для которого n(U) содер-
содержится в открытой звезде вершины U (ср. V. 7, упр. 4),
а именно я отображает а е А в точку с барицентрическими ко-
координатами {пи(а)}. Если наделить v^/ слабой топологией (как
мы обычно делаем), то отображение я: A—*v<2/ не обязательно
будет непрерывно; однако оно непрерывно, если покрытие {яу}
локально конечно, потому что тогда каждая точка а^А имеет
окрестность, образ которой при отображении я лежит в ко-
конечном симплициальном подпространстве нерва v<2/. Гомотопи-
Гомотопический класс этого отображения не зависит от выбора я: если
я' — другое такое отображение, то A—г)п-{-1я', Os^s^l,—
деформация я в я' (см. 2.22). Предположим теперь, что °W^Y —
нормализуемое покрытие. Существует такое отображение
ц: <Ы-+У, что U<s{\iU) для каждого U^<U, и существует
единственное симплициальное отображение v^: v°U-^-vT, ко-
которое совпадает с ц в вершинах (см. V. 7.11); его гомотопиче-
гомотопический класс не зависит от выбора ц, — это доказывается с по-
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству 437
мощью «линейной деформации», как выше (см. также 2.22).
В барицентрических координатах (у^х^у = ? хи при x^v<U.
Следовательно, (у~)п = р, где я: A->v°U — некоторая норма-
нормализация покрытия 'U, и р: A->vY — такая нормализация, что
Так как гомотопический класс отображения р единствен,
то (v^)n^p для любых ц, я, р. Мы можем поэтому опреде-
определить функтор
B.11) в: ЙЛ->ЛЛ, Ш = [п: A-*v<U], Q[<U ^Г) = [vf],
который мы назовем нормализующим функтором (Л0р = 55Л,
[ ] — гомотопический класс).
2.12. Предложение. Нормализующий функтор слабо кофи-
кофинален. В действительности он и сильно кофинален, но это
труднее доказать (ср. упр. 5), и мы в этом не нуждаемся.
Доказательство. Пусть [|: A-*-Ri] — объект катего-
категории АА. Нам надо построить такое нормализуемое покрытие 11,
что, с точностью до гомотопии, I пропускается через я: А->\16.
Обозначим через / множество вершин триангуляции простран-
пространства R\, через ру: /?|-»[0, 1], /е/, —соответствующие бари-
барицентрические координаты и через °U — семейство множеств вида
(РД)~'(О> !]• По определению мы можем приписать каждому
такой индекс }{U)<=J, что U = {$nv)l)~l®, 1]. Тогда
р/(У)|}?/е^ есть нормализация <Ы и сопоставление
U *—> I (U) определяет такое симплициальное отображение
f: vH-^-Ri, что /я~|. П
2.13. Следствие. Для каждого топологического простран-
пространства А категория ЛА = (^л)ор допускает слабо кофинальный
функтор QA—>AA, область определения ?iA которого является
малой категорией. Q
2.14. Определение. Пусть а: В->А — непрерывное отобра-
отображение. Если Ш — нормализуемое покрытие пространства А, то
a~lcU = {a~1U}Ues(n — нормализуемое покрытие пространства В;
действительно, если л — нормализация покрытия °U, то па —
нормализация покрытия а~1еМ. Если <U~^>T, то, очевидно,
a~laW^a~lT. Поэтому можно определить функтор
B.15) Qa: Q^-*QB, Qa2/ = a~1(U.
Очевидно, Qap = QpQa и Q,d == id, так что Q есть кофунктор из
пространств в категории (точнее говоря, в направленные мно-
множества).
438 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
Если 11 — ™ же, что и выше, то каждому (непустому)
lfeo"l(i/ = G|i?/ можно отнести такое множество \iW^1C,
что аг1 (\iW) = W, и сопоставление ц определяет симплициальное
отображение нервов v^: vQa1C—>v1C, совпадающее на верши-
вершинах с ц. Его гомотопический класс не зависит от выбора ц.,
и диаграмма
В ^ А
B.16)
я
vun1C
a
'a '
гомотопически коммутативна (оба утверждения следуют из за-
замечания 2.22). Подобным же образом
если
v^^vjvftau, если С->В^А.
2.17. Нормализуемое покрытие произведений (ср.
Стинрод и Эйленберг [1, IX, 5]). Пусть А, В — топологические
пространства и Ф/— нормализуемое покрытие пространства А.
Функция 9", которая относит каждому U&.1I нормализуемое
покрытие 9) пространства В, называется башенной функцией
(на 11). Система всех множеств вида UXV с 1)^11, FgW,
которую мы обозначим через ИХ У, является покрытием про-
произведения АХ В. Это покрытие нормализуемое; действительно,
если тс11 = {jt^I — нормализация покрытия 11 и л^и = {л^и} —
нормализация покрытия ff'U, то
«&V: AXB-*V>,1], nfxf (а, Ь) = nJ(a) ¦ 4"(Ь)
— нормализация я^х<у покрытия 11Х^. Покрытия вида
ИХ ^ называются башенными покрытиями (пространства АХ В
над 11).
Пусть даны покрытие 11 и башенная функция 9Р, и пусть
для каждого U^H задана нормализация л^и покрытия 9>U.
Рассмотрим непрерывное отображение
B.18) п^: (ч<и)ХВ-+\(<иХ'9),
где \1С, v{1lX^) — нервы покрытий 1С, 1С XУ и точки
х^":11, уevA1XУ) задаются своими барицентрическими
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству 439
координатами х — {%}, у =={#ухк}- ^'акое отображение л^ на-
называется башенной нормализацией.
Легко показать, что гомотопический класс отображения п&
зависит только от 9 (и не зависит от п^и) и что композиция
J~\ /4 LJ I V t-t' / y\. LJ VI IAj /4 is i
гомотопна лих&', где я^, пих^ — нормализация покрытий <U,
Ш X 3". Это утверждение не будет использоваться, и мы
оставляем его доказательство читателю в виде упражнения.
Можно также показать (см. упр. 6), что если В компактно, то
каждое нормализуемое покрытие произведения АХ В допускает
башенное утончение. Нам потребуется лишь случай В = [0, 1],
в котором имеет место следующий более точный результат:
2.19. Предложение. Если А —пространство и Ж —норма-
—нормализуемое покрытие произведения А X [0> 1]> то существуют
нормализуемое покрытие °U пространства А и функция г: °Ll —> Z
со значениями rU > 1, такие, что каждое множество
где U &U, isZ, 0 < / < rU,
содержится в некотором W^W. В частности, существует ба-
башенное покрытие, которое вписано в W, а именно
Док аз ательство. Для каждого (г— 1)-набора (Wu ..., !Fr_1)
в Ж положим
B.20) U(WU .... Wr-l) =
^ [a ^A\ax[I^J~, -—-]<=: ^i при i = l, 2 '"-1}-
Очевидно, U(Wu...t Wr.l)x[L~, ^—]czWt ПРИ всех 1>
следовательно, достаточно показать, что CU = {U(W1,..., Wr-X)} —
нормализуемое покрытие пространства А. Возьмем произвольную
локально конечную нормализацию n = {nw} покрытия W и
рассмотрим отображение
B.21) ру: Л->[0, 1],
_
440 Добавление. Кандвские и чеховские расширения функторов
где ?/ = U(Wi Wr-i). Если ри(а) > 0, то nW{(a, t) > 0; сле-
следовательно, (a, f)<=Wi для всех /g[ l~ , '^" 1 и всех /, и,
значит, a^U(Wv ..., Wr_,); таким образом, р^1 @, \]cU.
Каждая точка (a, t)^AX[®, 1] имеет окрестность, которая со-
содержится в одном из множеств л^.'@, 1] и пересекается лишь
с конечным числом этих множеств. Так как отрезок [0, 1] ком-
компактен, то для каждого а^А
(i) существуют такие множества Wh ..., ^ef, что
L !я^@, 1];
(ii) существует такая окрестность V точки а, что V X [0. 1]
пересекается лишь с конечным числом множеств я^О, 1].
Из @ следует, что для каждого аеЛ найдется U = U(WU ...
..., Wr-i) с Ро(а) > 0, а из (ii) следует, что для фиксированного
г семейство |ру ,w _ w Л локально конечно. Положим рг(а)==
= max |ру AГ _ _ _, ^^ (а) | s < rj. и
"у (ir, 1Гг)(а) = тах{0, Pj/(^ ^}(а) - гРг (а)}.
Очевидно, Яу-'@, 1] сгру^О, 1] сг?/. фиксируем йеЛ и вы-
выберем наименьшее k, такое, что ру(а)>0 при U = U(Wu..., Wk);
тогда Яу(а) = ру(а) > 0. Более того, если выбрать такое N > к,
что УУру(а) > 1, то Npv(x) > 1 и для всех х, лежащих в окрест-
окрестности V' точки а; в этой окрестности V для всех г ^ N вы-
выполняется неравенство грг > 1, следовательно, все л' .w w .
с r^ N равны нулю в V. Это показывает, что семейство {я^}
локально конечно. Чтобы сделать его нормализацией покрытия^,
можно просто разделить каждое п'и на сумму всех этих функ-
функций. D
2.22. Замечание. Пусть А — симплициальное пространство
и X — произвольное топологическое пространство. Два отобра-
отображения fo, fy X—*¦ А называются смежными, если для всех
хе! точки fo(x), f\(x) содержатся в одном симплексе про-
пространства А. Смежные отображения гомотопны. Этот факт
хорошо известен для симплициальных отображений (Стинрод
и Эйленберг [1, VI, 3]), но мы использовали его и в общем
случае (см. окрестность диаграммы B.16)), Вот его доказатель-
доказательство: определим ft: X->A, O^t^l, формулой я/<(х) =
= A — t) я/0 (*) -+- tnfi (х), где я: А -> [0, 1] — барицентрическая
координата. Эта «линейная деформация» {ft} не обязательно
непрерывна в слабой топологии, но, очевидно, непрерывна
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству 441
в сильной топологии, следовательно, в силу теоремы Даукера
(см. 2.9), /о ы h.
2.23. Упражнения. 1. Если {п}: Л->[0, 1]}/S/—разбиение
единицы (не обязательно поточечно конечное) и / — произволь-
произвольное подмножество множества /, то отображение
и/. Л-*[0, 1], я;(а) = ?я,(а)
непрерывно.
2. Покрытие У пространства А, допускающее нормализуе-
нормализуемое утончение, нормализуемо. Если А — полиэдр и У — его
открытое покрытие, то можно так триангулировать А, что
каждая открытая звезда содержится в некотором 1/ef (см.
Уайтхед [1, теорема 35]). Множество открытых звезд нормали-
нормализуемо (барицентрическими координатами) и утончает У, сле-
следовательно, и У нормализуемо. Это рассуждение (вместе с 2.8)
показывает, что А паракомпактно.
3. (ср. Стинрод и Эйленберг [1,11.8]). Если 11, У — норма-
нормализуемые покрытия пространств А, В, то °ii X У = {U X V},
U e %L, 7ef — нормализуемое покрытие произведения ЛХб.
Проекции ШУ^Т-^-Ш, Т определяют симплициальные ото-
отображения нервов v(^X V)-+vaU, \T, а следовательно, и ото-
отображение г: v {°U X У)-*¦ (vii) X (vF). Имеется также отобра-
отображение г: (уеЫ)Х(уУ)-*у(<КХУ), а именно (i(x, y))UxV =
— Хц-уу, где {%} — семейство барицентрических координат
точки iev^ и т. д. Покажите, что гг == id, /r~id и что диа-
диаграмма
(v^)x(vr)
гомотопически коммутативна. Следствие: произведение двух
полиэдров имеет гомотопический тип полиэдра.
4. Пусть я = {я/}/е,/ — разбиение единицы, заданное на
пространстве А. Подмножество ScJ называется симплексом
разбиения я, если существует такая точка аеД что Яуа ф О
при всех /gS. Каждый симплекс разбиения я счетен; далее,
разбиение я поточечно конечно тогда и только тогда, когда
каждый симплекс конечен. Разбиение называется барицентри-
барицентрическим, если
442 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
(i) для всякого симплекса SczJ и всякого семейства чисел
(as}seS, такого, что 0^as^l, J^as = l, существует единствен-
единственная точка а^А с as — ns(a) для всех s^S;
(ii) топология в А совпадает с топологией, индуцированной
разбиением л, т. е. с грубейшей топологией, для которой ка-
каждая из функций n,j непрерывна.
Если, более того, каждый симплекс конечен, то мы назы-
называем разбиение л конечно-барицентрическим. Конечно-барицен-
Конечно-барицентрическое разбиение л — это то же самое, что триангуляция
пространства А; точнее говоря, оно определяет гомеоморфизм
л: Amv6!!, где 1^ = {я~1@, Щ и v°U наделяется сильной топо-
топологией. Общее барицентрическое разбиение л можно рассма-
рассматривать как триангуляцию, в которой допустимы счетномерные
симплексы. Пусть А; а А — подпространство, состоящее из таких
точек а, что множество {/е/|я/а ф 0} конечно. Тогда разбие-
разбиение л\А^ является конечно-барицентрическим; с помощью 2.8
покажите, что включение Af-+A является гомотопической экви-
эквивалентностью.
5*. Для каждого топологического пространства А нормали-
нормализующий функтор ОЛ->ЛЛ сильно кофинален. Его слабая кофи-
нальность уже доказана B.12). Остается показать, что всегда
может быть пополнена (пунктирными стрелками) следующая
диаграмма:
где Р — полиэдр. Согласно 2.12, достаточно доказать требуемое
для какого угодно полиэдра Q вместо нерва vW. Очевидно,
в качестве Q можно взять
{(*, у, со) е= Ш) X (чГ) X ^°' " I а @) = f (д), о A) = g(у)},
и тогда ясно, как определять пунктирные стрелки. Единствен-
Единственным затруднением является необходимость показать, что Q —
(с точностью до гомотопической эквивалентности) полиэдр. По
этому поводу см. Милнор [3]. Там же содержится доказатель-
доказательство того, что Лл — направленная категория A.12, упр.З).
Д.З. Распространение функторов с полшоров 443
6*. Если А — произвольное пространство, В — компактное
пространство и Ж—нормализуемое покрытие пространства
А X В, то существует башенное покрытие пространства АХ В,
вписанное в Ж. Отсюда сразу же следует 2.19. Доказательство
проводится по той же схеме, что в 2.19, но несколько более
сложно. Мы дадим некоторые указания. Рассмотрите множе-
множество / всех отображений /: Ж }-+Ж, где Ж/— конечное норма-
нормализуемое покрытие В компактными множествами. Для каждого
/ еУ положим
Uj = {ae=A\aXK<=j(K) для всех К^Ж/}.
Можно показать, что ?^/ = {[//}/s/—нормализуемое покрытие
пространства А; очевидно, U/XK с= /(/С) ^Ж, следовательно,
{t/;X К} — башенное покрытие (с башенной функцией t//->X/),
вписанное в Ж.
Для того чтобы показать, что Ш нормализуемо, можно (как
и в 2.19) использовать функции
Р/: А~*[0, 1], pl(a) = minKeXi mm{n!K(a, t)\t<=K),
где п = {^w)w<=w — локально конечная нормализация покры-
покрытия Ж; затем надо вполне упорядочить /, положить п\ (а) =
= max{0, Pj(a) — supl<jpl(a)j и разделить каждое я^ на сумму
всех этих функций. Чтобы доказать нормализуемость °U дру-
другим путем, нужно сначала предположить, что пространство А
паракомпактно. Если покрытие Ж открыто, то °U, как легко
видеть, также есть открытое покрытие; следовательно, °U нор-
нормализуемо. Например, это верно в случае А — Рв, где Р — по-
полиэдр с сильной топологией, поскольку в этом случае Рв ме-
тризуемо. Отсюда следует и наше общее утверждение, так как
прообраз имеющегося у нас нормализуемого покрытия произ-
произведения (уЖ)в Х.В при непрерывном отображении AXid: AXB->
->{\Ж)ВХВ вписан в Ж.
Д. 3. Распространение функторов с полиэдров
на более общие пространства
Как и раньше, через 0~ор обозначается категория тополо-
топологических пространств и непрерывных отображений. Пусть ?Pol—
полная подкатегория категории Тор, составленная из полиэд-
полиэдров (триангулируемых пространств). Рассмотрим гомотопически
инвариантный1) кофунктор F: !Ро1->Ж и попытаемся распро-
') То есть такой, что а <а р =ф Fа = F0 для любых непрерывных ото-
отображений а, §.
444 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
странить F на Тор. Предполагается, что категория значений Ж
обладает пределами каких угодно направленных систем (в смысле
§ 5 гл. VIII), а в остальном произвольна. Например, катего-
категория Ж может быть категорией абелевых групп или категорией
множеств.
3.1. Определение. Пусть F: Ро1->Ж, G: Тор->Ж — ко-
функторы; кофунктор G называется распространением кофунк-
тора F, если сужение G \ Pol эквивалентно F.
3.2. Лемма. Если кофунктор G : Тор-+Ж является распро-
распространением кофунктора F: Pol-*-Ж, то он эквивалентен неко-
некоторому кофунктору G'\ Top -*¦ Ж с G' \ Pol = F. Поэтому, говоря
о распространении, мы всегда будем считать, что Q\Pol = F.
Доказательство. Пусть Ф: G\ Pol-*-F— эквивалент-
эквивалентность. Определим функтор С на объекте А категории Тор и
на морфизме а<&Тор(В, С) формулами
FA,
GA,
Fa,
<D(Gc
(Ga)<
Get.
если
если
если
i), если
t>~\ если
если
А
А
С
С
С
с
В е= Pol,
В ф Pol,
В е Pol,
В ф Pol.
Очевидно, что G' — кофунктор, такой, что G' ^ G и G I Pol — F.[]
3.3. Определение. Пусть F: Pol-*-Ж — гомотопически инва-
инвариантный кофунктор. Рассмотрим для произвольного топологи-
топологического пространства. А категорию РА полиэдров, подчинен-
подчиненных А, двойственную ей категорию АА и функтор F° R: АА-*-Ж,
где R — функтор [?: А —>Р\\ •—*-Р?. Таким образом, FoR отно-
относит объекту [1: A->Ri] из Лл объект F(Ri) из Ж. Ниже мы
увидим C.8), что предел функтора FoR (в смысле 1.1) всегда
существует; мы обозначим его через FKA = \im(F о R).
Каждое непрерывное отображение а: В-*-А индуцирует фун-
функтор Ла: ЛЛ->ЛВ (см. 2.2), а значит, и предельный морфизм
(см. замечание после предложения 1.6), который мы обозначим
через FKa = (Aa)oo: FKA->FKB. Так как Лар = ЛрЛа и Aid = id,
то FK — кофунктор Тор-*Ж. Мы увидим C.8, 3.7), что FK есть
распространение функтора F; оно называется каковским распро-
распространением.
3.4. Определение (ср. 2.10). Пусть F: Ро1->-Ж — гомотопи-
гомотопически инвариантный кофунктор. Для произвольного топологи-
Д.З. Распространение функторов с полиэдров 445
ческого пространства А обозначим через QA направленное мно-
множество нормализуемых покрытий пространства А. Если мы
сопоставим с каждым нормализуемым покрытием 'МеОд зна-
значение F на нерве v°U и с каждым утончением Ш^-Т индуци-
индуцированный морфизм F(v^y. F(yT)—>F(vcU), то мы получим
направленную систему; ее предел обозначается через FA =
= lim (F о v) = lim {РчЩоц egA.
Если а: В-v A — непрерывное отображение, то отображение
Qa: Q4->Qa сохраняет порядок (см. 2.15, 2.16) и семейство мор-
физмов F(v^): F(v^li)-+F (упа<%1) стремится к пределу (см.,
например, VIII. 5.11). Индуцированный предельный морфизм
Fa: FA-+FB задается формулой
C.5) fa)««»«Se
где иА, ив — универсальные преобразования для FA, FB. Легко
проверить, что F(a, $) = (F$)(Fa), F(id) = id, т. е. что F — ко-
функтор Тор-+Ж. Мы увидим (см. 3.7), что F есть распро-
распространение функтора F; оно называется чеховским распростра-
распространением. Более того, мы докажем (см. 3.8), что F~FK.
3.6. Предложение. Если функтор F: !?о1->Ж гомотопически
инвариантен, то и функтор F: Wop-*Ж гомотопически инва-
инвариантен.
Доказательство. Достаточно показать, что если jt: A->
->ЛХ[0, 1], jt{a) — {a, 0~деформация, то Fjo= //,. Рассмо-
Рассмотрим башенные покрытия Ш X У — { V X Г^у—> * г ]} ПР°"
странства ЛХ[0, 1], Uf=<U, / = 1,2 r(U)-l (ср. 2.19).
Тогда it ' (<M X У) — % для каждого t. Более того, отображе-
отображения vffx<^, vffx<ff>: v(U->v{<UX&>) из 2.16 гомотопны, а именно
башенная нормализация п&: (v<2/) X [0, 1] -> v Щ X У) из 2.18
является деформацией отображения v^x^ в отображение
¦ча^у"э>. Для доказательства заметим, что для фиксированного
U ^.Щ каждая концевая точка отрезка [0, 1] лежит только
в одном множестве покрытия PU (а именно Оеш, -JM, 1е
еГ^у—, l|j; следовательно, единственной функцией nfu,
не равной нулю в точке 0, является nfu (nfu @) = 1) и единст-
единственной функцией nfu, не равной нулю в точке 1, является
nf-\(nf}{ A) = 1). Поэтому определение 2.18 показывает, что
446 Добавление. Каневские и чеховские расширения функторов
отображения it^lv^XO. ^Iv^/Xl совпадают с симпли-
циальными отображениями
?/-*t/x[0, 4]' U^UXI1—-, l],
и эти отображения совпадают с отображениями v.ux ,
по определению последних.
Так как функтор F гомотопически инвариантен, то
), следовательно (ср. 3.5), (/7/0)ы^Ха/ =
) = \г]х)ии' , где « обозначает
универсальные преобразования. Каждое нормализуемое покры-
покрытие Ж пространства А X [0, 1] допускает, в силу 2.19, утонче-
утончение вида CU'%,9>. Отсюда следует, что
и, значит, F/0 = ^7i. D
Напомним (см. 2.10), что каждое покрытие °U a QA обла-
обладает единственной (с точностью до гомотопии) нормализацией
я^: Л->\><2/. Пусть F: 0>о1->Ж — гомотопически инвариантный
кофунктор.
3.7. Предложение. Если Р — полиэдр, то семейство мор-
физмов {Fn0^: Fv'U-*¦ FP}ou<=qp является универсальным преоб-
преобразованием (для F о v); следовательно, FP s* FP. Последний изо-
изоморфизм естествен, т. е. F есть распространение функтора F.
Для каждого топологического пространства А преобразование
{f^ f}^uA универсально.
Доказательство. Если W — триангуляция полиэдра Р,
то для каждой вершины v триангуляции ?Г имеется барицен-
барицентрическая координата v: P—> [0, 1] и множества v~l@, 1] соста-
составляют нормализуемое покрытие Y*3~ полиэдра Р. Более того,
барицентрические координаты {и} составляют нормализацию
ягз~: P-*-vT?T, которая является также симплициальным го-
гомеоморфизмом; в частности, F (nr;r): F (vTST)^ FP.
Если 9", Т — такие триангуляции полиэдра Р, что ТЯ'^-ТТ,
то мы говорим, что 9° есть утончение 0~, и пишем У~^-?Г.
Например, каждое подразделение (Спеньер [1,3.3]) триангуля-
триангуляции Т является ее утончением. Если 9'^ST, то яг;г ~ v^fnv^;
следовательно, F (ягг) = F (я**) F (vjf), и, значит, F(y*f)=*
= F (пг^)~1 F(пг;г) есть изоморфизм. Полиэдр допускает сколь
Д.З. Распространение функторов с полиэдров 447
угодно тонкие триангуляции (см. Уайтхед [1, теорема 35]), т. е.
множество покрытий Т0~, где ?Г пробегает все триангуляции,
кофинально в множестве ОР всех нормализуемых покрытий;
следовательно (VIII. 5.17), FP = \\m {Fv<U} s* \\m{FvTT}. Так
как все морфизмы F(y^f) последней направленной системы
являются изоморфизмами, то итт: F(vT0~)->FP есть изомор-
изоморфизм для всех &~ (через и обозначаются универсальные преоб-
преобразования); в сочетании с изоморфизмом Р(птз~): F(vTT)^ FP
он дает изоморфизм p3'=urj' (Fnr3~)~l: FP ^ FP. Если ^—произ-
^—произвольное нормализуемое покрытие Р и 91 — такая триангуляция,
что Т9^Ш, то и^=ит^р{ущ) и л11 ~vqfnrJ/>, следовательно,
F (v^f) = F (п^У' F (я^) и uV-u^.F (nrjr)' F (я^) =
= P^F(o^). Если само Ш имеет вид YST, то это показывает,
что р'^ — р3', и, следовательно, р==рсГ не зависит от ST. Для
произвольного Ш мы видим, что преобразование {77(я^)} —
== р" о {и^} действительно является универсальным. Теперь
пусть a: Q-*P — непрерывное отображение полиэдра в полиэдр.
Для любого нормализуемого покрытия Ш полиэдра Р
(Fa) №) = F (л^аУ^Р^п^) =
B0
следовательно, Fa = Fa. Таким образом, F\0>ol = F. Наконец,
если А — произвольное пространство и °U — его нормализуемое
покрытие с нормализацией п = пи\ A-^v'U и универсальным
отображением u\L. F(\<U)-*FA, то, согласно 3.5, для любого
нормализуемого покрытия Т нерва v'U
В частности, если Y— YT, где ^" — данная триангуляция
нерва \°И (с множеством вершин Ш), то соответствующая норма-
нормализация лТ!Г\ vtyl^-vYtT является (симплициальным) гомео-
гомеоморфизмом и u^q/ = F{nr;r) согласно первой части предложения
3.7. Следовательно,
Fn^ = uTlr (F4%) F (п^Г1 = uTVF((n'^-'vj).
Но отображение (яУ1Г)~Ч^: vn~lT~->v16 совпадает с v"Tl2>" no
самому определению. Следовательно, Рл^=и% lrP(v%/ F)=«
,,<u
A
448 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
(последнее равенство вытекает из того, что иА есть преобразо-
преобразование). Q
3.8. Предложение. Преобразование {Fl:FR% -* FA}, [I] e AA,
универсально, так что FA — lim(FоR: АА-+Ж) = F*A. Этот изо-
изоморфизм естествен, т.е. F = FK.
Доказательство. Пусть дано преобразование {щ\ FRi~>Y}
функтора FRi в объект У категории Ж; мы должны показать,
что существует единственный морфизм ф: FA->Y с q>°(.F?) = <pj.
Морфизм ф должен удовлетворять равенству ф о G7я)=фя для лю-
любой нормализации п: A->v<U; так как преобразование {^}^eQ
универсально (в силу 3.7), то это показывает, что ф единственно;
более того, мы можем определить ф: FA->Y этими равенствами.
Остается доказать, что ф°(^|)==ф|. Но \, согласно 2.12, про-
пропускается через некоторую нормализацию
(нормализующий функтор слабо кофинален); следовательно,
Ф5 = фя ° (Fa) = ф о (рп) о (Fa) ==q><>F (ал) = фо (Ft).
Остается доказать естественность; пусть Р: В -> А — непрерывное
отображение. Тогда, согласно определению, (FKfi)uA — u$, где и
обозначает универсальные преобразования. Но tfi = F%, следо-
следовательно, (FK$)(Fl) = P(l$) = (F$)(Fl), и из универсальности
преобразования {F?} вытекает, что F^p = Fp. []
Кановское и чеховское распространения функтора F: 2Ро1->Ж
допускают следующую абстрактную характеристику:
3.9. Предложение (свойство универсальности). Если G: Wop-*
-*¦ Ж—гомотопически инвариантный кофунктор и if>: F -*¦ G I ?Fol —
естественное преобразование, то существует единственное есте-
естественное преобразование W: FK-*G (f: F-*G) с ХР | ^oZ = г().
Доказательство. Пусть W: FK->G —такое преобразо-
преобразование, что Ч1" | ?Pol = я|). Применяя естественность преобразова-
преобразования Ч? к отображению |: A->Ri, где [|] е АА, мы находим, что
^а ° (FKt)= (Gt) ° 'Фд.- Так как преобразование {FK?, = F|} уни-
универсально (см. 3.8), это показывает, что отображение XYA опре-
определено однозначно, и, более того, мы можем определить
WA:FKA-+GA указанными равенствами. Остается доказать
Д.З. Распространение функторов с полиэдров 449
естественность; пусть р: В —у А — непрерывное отображение.
Тогда
F*l = % о F« Ш = G Aр) о г|^ =
= (GP) о (GI) = ФД|
из универсальности преобразования {FK%} вытекает, что
(* ) 4V D
3.10. Следствие. Нормализующий функтор в: ЙЛ->ЛД (ср. 2.11)
индуцирует изоморфизм в^: Л4 ^ FM.
По существу, это предложение является переформулировкой
предложения 3.8; оно также следует из 3.9, потому что в^: FA ss
^ FK — такое естественное преобразование, что @x\!Pol = id. [}
В § 6 гл. VIII имя Чеха и обозначение Н были употреблены
в ситуации, которая несколько отличается от теперешней. Это
оправдано следующим утверждением:
3.11. Предложение. Если А —локально замкнутое подмно-
подмножество полиэдра Р, то FA = FKA s== HmJ^F}, где предел берется
по направленному множеству открытых {или полиэдральных)
окрестностей пространства А в Р.
Это следует из 2.4 и 1.9 (И). []
3.12. Пример (ср. Ли и Раймонд [1, теорема 2]). Пусть Р —
фиксированный полиэдр и НР: Wop-^&ets — кофунктор, который
относит каждому пространству А множество гомотопических
классов непрерывных отображений /: Л—>Р и каждому р: В->А
отображение ЯРр: НРА-> HPB,(HP$)[f] = [fP]. Пусть, далее,
hP = Hp\&ol. Тогда
C.13) hP = HP,
т. е. Нр является чеховским (или кановским) распространением
своего сужения на !Pol. Это вытекает из следующего предложения:
3.14. Свойство универсальности. Если G: ?Top-+-9'ets —
гомотопически инвариантный кофунктор и я|>: hP-+G\f?ol —
естественное преобразование, то существует единственное есте-
естественное преобразование Ч: HP-*G, такое, что Чг|^/
Доказательство получается применением леммы Ионеды 1.1.12
к кофункторам hP, HP. Вот необходимые детали. Для любого
преобразования ?: ЯР->G с ? | ^о/= я|> мы применяем его
естественность к отображению /: Л—>Р и получаем, что ^л[/] =
= ?^o(^p/)[idp] = (Gf)oi|)p[idp]. Это показывает, что ?л опре-
определяется преобразованием г|з (даже элементом i|>p[idp]), точнее
говоря, что мы можем определить ^А: HPA->GA равенством
450 Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов
дШ ffp[idp]. Остается доказать естественность. Пусть
р: В->А — непрерывное отображение; тогда
(GP) ° WA [f] = (Gp) = (Gf) о г!)Р [idP] = G (fp) о г!)р [idP] =
Например, если P — K(G, n) — пространство Эйленберга —
Маклейна, то hP совпадает с (сингулярными) когомологиями:
hP = Hn{—\ G) (ср. Спеньер [1,8.18]). Следовательно, НР
совпадает с чеховскими когомологиями #(—; G) (Хубер [1]).
3.15. Замечания. Ясно, что кановская и чеховская конструк-
конструкции распространения функторов применимы ко многим другим
ситуациям. Например, мы можем заменить &>ol категорией
специальных полиэдров (скажем, конечных, конечномерных, ...)
или заменить 2Гор категорией специальных пространств (напри-
(например, компактных, конечномерных, ...). Или мы можем рас-
рассмотреть категорию &~орB) пар топологических пространств и
в ней категорию ^о/<2) пар полиэдров. Читателю рекомендуется
подумать над этими обобщениями и модификациями; детали
приведены в книге Ли и Раймонда [1].
3.16. Упражнения. 1. Пусть Fu F2: Ж -* 3? — функторы
и i: X->Y, r. Y->X — морфизмы в Ж с ri = id (X — ретракт
объекта Y). Покажите, что если FiY = F2Y и 771(гг) = F2(ir), то
F[X s* F2X; более того, существует единственный морфизм
ср: FXX->F2X, такой, что {F2i)<$ = Fxi или ср {Fxr) — F2r, и этот
морфизм является изоморфизмом. Грубо говоря, это означает,
что функторы, совпадающие на объекте Y, совпадают на рет-
рактах объекта Y.
Пусть функтор определен только на некоторой подкатегории,
содержащей Y и ir. К^ак бы вы распространили его на XI
2. Определите для топологического пространства А катего-
категорию iPA, дуальную 2.1 (объектами являются гомотопические
классы I: Di~*А, область определения которых — полиэдры,
и т. д.). Покажите, что категория &А направленна (ср. 1.12,
упр. 3).
Для ковариантного гомотопически инвариантного функтора
F: 0>о1-+Ж положите FKA — llm(FD: <РА-*Ж) и превратите
FK в (гомотопически инвариантный) функтор FK: Top-*Ж.
Это — кановское распространение ковариантного функтора. По-
Покажите (с помощью кофинальности), что FKA = F\sA\, где
sA — сингулярное полусимплициальное множество простран-
пространства А и \sA\ — его геометрическая реализация (см. Милнор
[2, теорема 4]). С помощью последнего замечания (или, что
проще, непосредственно) покажите, что сингулярные гомологии
Д.З. Распространение функторов с полиэдров 451
являются кановским распространением симплициальных гомо-
гомологии (точнее говоря, эквивалентны этому распространению).
В этом случае (но не для произвольного функтора F) можно
также заменить &А подкатегорией гомотопических классов ото-
отображений компактных полиэдров в А.
3. Пусть X — нормальное пространство, для которого про-
произведение X X [0, 1] также нормально, и пусть АсХ — замкну-
замкнутое подпространство. Пусть !% — такое направленное (относи-
(относительно обратного включения) множество замкнутых подмножеств
пространства X, что (i) Aа В для каждого Ве1и (ii) каждая
окрестность множества А содержит хотя бы одно fiel. Напри-
Например, $ может быть множеством всех замкнутых окрестностей
множества А. Каждое непрерывное отображение |: Л->/?|
пространства А в полиэдр допускает распространение на некото-
некоторое В, скажем е\\ B\-*R\, B\^$. Пусть теперь F: $Ро1-+Ж —
гомотопически инвариантный кофунктор и FK: Wop —> Ж — его
кановское распространение. Рассмотрим направленную систему
{FKB}BeS} со стрелками, индуцированными включением. Для
каждого [|: Л->#|] построим, как выше, е%: Bi~> R\ и положим
vll] = Bi, dE1 = .F*(e0: F(Ri)-*FKBt. Покажите, что (у, d)
стремится к пределу (в смысле Д. 1.3), т. е. к предельному мор-
физму lim(flf): FkA->\\m{FkB}Bs3^. С другой стороны, включе-
включения ig: A->B индуцируют отображение FKiB: FKB-> FKA, и,
следовательно, отображение {FKiB}: lim {FKB} -^-FKA. Покажите,
что lim (of) и {FKig} — взаимно обратные изоморфизмы, т. е.
что FKA ^ lim {FKB}BeSS (слабая непрерывность каковского рас-
распространения).
Список литературы
Адаме (Adams J. F.)
[1] On the cobar construction, Coll. de Topol. Algdbr. Louvain, 1956,
pp. 81—87.
[2] On the nonexistence of elements of Hopf invariant one, Ann. of Math.,
72 A960), 20—104. (Русский перевод: сб. Математика, 5:4 A961),
3—86.)
Адаме, Атья (Adams J. F., Atiyah M.)
[1] /(-theory and the Hopf invariant, Quart. J. Math., Oxford B) 17 A966),
31—38.
Александров, Хопф (Alexandroff P., Hopf H.)
[1] Topologie, Berlin, Springer, 1935.
Артин, Фокс (Artin E., Fox R.)
[1] Some wild cells and spheres in threedimensional space, Ann. of Math.,
49 A948), 979—990.
Борель (Borel A.)
[1] Sur la cohomologie des espaces fibres principaux et des espaces homo-
genes de groupes de Lie compacts, Ann. of Math., 57 A953), 115—207.
(Русский перевод: сб. «Расслоенные пространства», ИЛ, М., 1958,
стр. 163—246.)
[2] Sur l'homologie et la cohomologie des groupes de Lie compacts conne-
xes, Amer. J. Math., 76 A954), 273—342.
Борсук (Borsuk K.)
[1] Uber eine Klasse von lokal zusammenhangenden Raumen, Fund. Math.,
19 A932), 221—242.
Бос (Bos W.)
[1] Zur Einbettung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit in einen eukli-
dischen Raum, Arch. d. Math., 16 A965), 232—234.
Браун (Brown R.)
[1] Elem«nts of modern topology, London, McGraw-Hill, 1968.
[2] An elementary proof of the uniqueness of the fixed point index, Pa-
Pacific J. Math., 35 A970), 549—558.
Бурбаки (Bourbaki N.)
[1] Topologie generale, Chap. I/II, Paris, Hermann, 1947, 3e ed., 1961. (Рус-
(Русский перевод: Бурбаки Н., Общая топология, Физматгиз, М., 1966.)
[2] Algebre, Chap. Ill, Paris, Hermann, 1948, 2e ed., 1951. (Русский пере-
перевод: Бурбаки Н., Алегбра, Физматгиз, М., 1962.)
Ван дер Варден (v. d. Waerden В. L.)
[1] Algebra, Bd. II, Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1967.
Вердье (Verdier J. L.)
[1] Topologie et faisceaux, Sem. IHES, Bures-sur-Yvette, 1964.
Годбийон (Godbillon C.)
[1] Elements de topologie algebrique, Paris, Hermann, 1971.
Годеман (Godement R.)
[1] Topologie algebrique et theorie des faisceaux, Paris, Hermann, 1958.
(Русский перевод: Годеман Р., Алгебраическая топология и теория
пучков, ИЛ, М., 1961.)
Список литературы 453
Гринберг (Greenbeig M. J.)
[1] Lectures on algebraic topology, New York, Benjamin, 1967.
Гриффите (Griffith H. B.)
[1] The fundamental group of two spaces with a common point Quart.
I. Math., Oxford B) 5 A954), 175—190; correction, Quart. J. Math.,
Oxford B) 6 A955), 154—155.
Гуревич, Волмэн (Hurewicz W., Wallman H.)
[1] Dimension theory, Princeton Univ. Press, 1948. (Русский перевод:
Гуревич В., Волмэн Г., Теория размерности, ИЛ, М., 1948.)
Даукер (Dowker С. Н.)
[1] Topology of metric complexes, Amer. J. Math., 74 A952), 555—577.
том Дик, Кампс, Пуппе (torn Dieck Т., Kamps К. Н., Puppe D.)
[1] Homotopietheorie, Lecture Notes in Math., 157, Berlin — Heidelberg ~
New York, Springer, 1970.
Дольд, Маклейн, Оберет (Dold A., MacLane S., Oberst U.)
[1] Projective classes and acyclic models, Reports of the Midwest Category
Seminar, Lecture Notes in Mathematics, 47, Heidelberg, Springer, 1967.
Дьёдонне (Dieudonne J.)
[1] Foundations of modern analysis. New York, Acad. Press, 1960. (Рус-
(Русский перевод: Основы современного анализа, «Мир», М., 1964.)
Зейферт, Трельфалль (Seifert H.; Threlfall W.)
[1] Lehrbuch der Topologie, Leipzig, Teubner, 1934, Chelsea Publ. Co.,
1947. (Русский перевод: Топология, ГОНТИ, 1938.)
Кан (Kan D.)
[1] Adjoint functors, Trans. Amer. Math. Soc, 87 A958), 294—329.
Капланский (Kaplansky I.)
[1] Infinite abelian groups, Ann Aibor, Univ. of Mich. Press, 1954, rev.
ed., 1969.
Картан, Эйленберг (Cartan H., Eilenberg S.)
[1] Homological algebra, Princeton, Univ. Press., 1956. (Русский перевод:
Гомологическая алгебра, ИЛ, М., 1960.)
Келли (Kelley J. L.)
[1] General topology, Princeton, Van Nostrand, 1955. (Русский перевод:
Общая топология, «Наука», М., 1968.)
Кервер (Kervaire M. А.)
[1] A manifold which does not admit any differentiable structure, Com-
Comment. Math. Helv., 34 A960), 257—270.
Кнезер Г., Кнезер М. (Kneser H., Kneser M.)
[1] Reell-analytische Strukfuren der Alexandroff-Halbgeraden und der Ale-
xandroff-Geraden, Arch. й. Math., 9 (I960), 104—106.
Кон (Cohn P. M.)
[1] Tree ideal rings, /. Algebra, 1 A964), 47—69.
Кох, Пуппе (Koch W., Puppe D.)
[1] Differenziebare Strukturen auf Mannigfaltigkeiten ohne abzahlbare Ba-
Basis, Arch. d. Math., 19 A968), 95—102.
Куратовский (Kuratowski C.)
[1] Topologie, 2 vols, Warschau, 1948—1950. (Русский перевод: Топология,
т. I, «Мир», М., 1966; т. II, «Мир», М., 1969.)
Курош А. Г.
[1] Теория групп, 3-е изд., «Наука», М., 1967.
Ли, Раймонд (Lee С. N., Raymond F.)
[11 Cech extensions of contravariant functors, Trans. Amer. Math. Soc, 133
A968), 415—434.
Маклейн (MacLane S.)
[1] Homology, Berlin — G6ttingen — Heidelberg, Springer, 1963. (Русский
перевод: Гомология, «Мир», 1966.)
454 Список литературы
[2] Categories. For the working mathematician, Berlin — Heidelberg —
New York, Springer, 1972.
Масси (Massey W. S.)
[1] Algebraic topology: an introduction, New York, Harcourt, Brace and
World, 1967.
Мезер (Mather M. R.)
[1] Paracompactness and partitions of unity. Mimeographed Notes 1964.
Cf. also Ph. D thesis, Cambridge University, 1965.
Миадзаки (Miyazaki H.)
[1] The paracompactness of CU7-complexes, Tohoku Math. J. B) 4 A952),
309-313.
Милнор (Milnor J.)
[1] Construction of universal bundles, I, Ann. of Math., 63 A956), 272—
284.
[2] The geometric realization of a semi-simplicial complex, Ann. of Math.,
65 A957), 357—362.
[3] On spaces having the homotopy type of a CW-complex, Trans. Amer.
Math. Soc, 90 A959), 272—280.
[4] A survey of cobordism theory, Enseignement Math., B) 8 A962),
[5] Morse theory, Ann. of Math. Studies 51, Princeton, Univ. Press, 1963.
(Русский перевод: Теория Морса, ИЛ, М., 1965.)
Милнор, Мур (Milnor J., Moore J.)
[1] On the structure of Hopf algebras, Ann. of Math., 81 A965), 211 —
264.
Митчел (Mitchell B.)
[1] Theory of categories, New York, Acad. Press, 1965.
Нагами (Nagami K.)
[1] Dimension theory, New York, Acad. Press, 1970.
Понтрягин Л. С.
[1] Непрерывные группы, Гостехиздат, 2-е изд., 1954.
Спекер (Specker E.)
[1] Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen, Portugaliae Math., 9
A950), 131-140.
Спеньер (Spanier E.)
[1] Function spaces and duality, Ann. of Math., 70 A959), 338—378.
[2] Algebraic topology, New York, McGraw-Hill, 1966. (Русский перевод:
Алгебраическая топология, «Мир», М., 1971.)
Стинрод (Steenrod N.)
[1] The topology of fibre bundles, Princeton, Univ. Press, 1951; 2nd ed.,
1957. (Русский перевод: Топология косых произведений, ИЛ, М.,
1953.)
[2] Homology groups of symmetric groups and reduced power operations,
Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 39 A953), 213—217.
Стинрод, Эпштейн (Steenrod N., Epstein D.)
[1] Cohomology operations, Ann. of Math. Studies, 50, Princeton, Univ.
Press. 1962.
Стинрод, Эйленберг (Steenrod N., Eilenberg S.)
[1] Foundations of algebraic topology, Princeton Univ. Press, 1952. (Рус-
(Русский перевод: Основания алгебраической топологии, Физматгиз, М.,
1958.)
Суон (Swan R.)
[1] Algebraic K-theory, Lecture Notes in Math., 76, Berlin-Heidelberg-New
York, Springer, 1968.
?1] Quelques proprietes globales des varietes differentiables, Comment.
Список литературы 455
Math. Helv., 28 A954), 17—86. (Русский перевод: сб. «Расслоенные
пространства», ИЛ, М., 1958, стр. 293—351.)
Уайтхед (Whitehoad J. Н. С.)
[1] Simplicial spaces, nuclei and m-groups, Proc. London Math. Soc, B)
45 A939), 243—327.
[2] Combinatorial homotopy I, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 213—245.
Уотте (Watts Ch.)
[1] Intrinsic characterisation of some additive functors, Proc. Amer. Math
Soc, 11 A960), 5—8.
[2] Intrinsic characterisation of some additive functors, Proc. Amer. Math.
Soc, 13 A962), 304—306.
Фаделл (Fadell E.)
[1] On a coincidence theorem of F. B. Fuller, Pacific J. Math., 15 A965),
825—834.
Фукс (Fuchs L.)
[1] Abelian groups, Hung. Acad. Sci. Budapest, 1954; New York, Pergamon
Press, 1960.
Ханнер (Hanner O.)
[1] Some theorems on absolute neighborhood retracts, Arkiv Mat. 1 A952),
389—408.
Хилтон (Hilton P. J.)
[1] An introduction to hornotopy theory, Cambridge Univ. Press, 1953.
Хубер (Huber P.)
[1] Homotopical cohomology and Cech cohomology, Math. Annalen, 144
A961), 73—76.
Xy Сы-цзян (Ни S. T.)
[1] Homotopy theory, New York, Acad. Press, 1959. (Русский перевод:
Теория гомотопий, «Мир», М., 1964.)
[2] Theory of retracts, Detroit, Wayne State Univ. Press, 1965.
Чжзнь, Хирцебрух, Cepp (Chern S. S., Hirzebruch F., Serre J.-P.)
[1] On the index of a fibered manifold, Proc Amer. Math. Soc, 8 A957),
587—596.
Шевалле (Chevalley C.)
[1] Fundamental concepts of algebra, New York, Acad. Press, 1956.
Шуберт (Schubert H.)
[1] Topologie, Stuttgart, Teubner, 1964.
[2] Kategorien, 2 vols, Berlin — Heidelberg — New York, Springer, 1970.
Эйленберг (Eilenberg S.)
[1] Abstract description of some basic functors, /. Indian Math. Soc. 24
A960), 231—234.
Эйленберг, Маклейн (Eilenberg S., MacLane S.)
[1] Acyclic models, Amer. J. Math., 75 A953), 189—199.
Указатель терминов
Абсолютный окрестностный ретракт
(ANR) 107
Аддитивный функтор 161
Аксиома распространения гомотопии
(HEP) 108
Алгебра Хопфа 280
Алгебраическое число неподвижных
точек 249
Антиподальная точка 82
Ассоциативность 241
Атлас 305
Аугментация 47, 48
Ациклический комплекс 28
Базис 21
— модуля 159
— функтора 217
Барицентр 55
Барицентрическая координата 147
Барицентрическое подразделение 55
— разбиение 441
Башенная нормализация 439
— функция 438
Башенное покрытие 438
/?-биаддитивное отображение 198
Билинейное отображение 202
Бистепень отображения 83
Букет 60
Вершины 143
— симплекса 42
Вещественные числа 9
Внешнее гомологическое умножение
235
— когомологическое умножение 263.
264
Внутреннее когомологическое умно-
умножение 268, 269
Внутренность многообразия 304
Вписанное покрытие 155
Вырезаемая триада 62
Гладкое многообразие 305
Гомологическая группа 27, 45
— последовательность 33, 46
ассоциированная с коэффици-
коэффициентной 195
/-гомологическая последовательность
пары 190
приведенная 192
/-гомологические группы 165
Гомологический класс 27
Гомоморфизмы Бокштейна 195
Гомотетия 157
Гомотопическая ассоциативность 239
— единица 239
— классификация (цепных отобра-
отображений) 211
— коммутативность 239
— эквивалентность 36
Гомотопический гомоморфизм 239
Гомотопия 24, 35
Градуированная группа 28
Градуированное кольцо 241
Граница 27, 46
Граничный оператор 27
Граф 122
Групповое кольцо ISO
Двойственное кольцо 157
Двойственность Александера 368
— в ^-многообразиях 372
— Пуанкаре 365
— Пуанкаре — Лефшеца 357
Двойственные базисы 367
Действие группы 160
Делимая группа 187
Дерево 132
Деформационный ретракт 54
Деформация 24
Джойн 85
Диагональное отображение 280
комплекса 222, 227
Диагональный класс 370
Диффеоморфизм 303
Дуальная категория 11
Дуальные классы Чжэня 409
Указатель терминов
457
Евклидов окрестностнын ретракт
(ENR) 103, 131
Единица 241
Естественная эквивалентность 13
Естественное преобразование 13
Замена карт 305
Изоморфизм 11, 16
— Тома 393
Инвариант Хопфа 275, 276
Инволюция 330
Индекс зацепления 248
— пересечения 244, 423
Инъективный модуль 186
Косое гомологическое умножение
299
— когомологическое умножение 286
— умножение Понтрягина 300
Кофинальное отображение 337
— подмножество 337
Кофинальный функтор 431
Кофунктор 12
Коцикл 189
Коэффициент инцидентности 138
Коэффициентная последовательность
155
Коэффициентный гомоморфизм 154
Коэффициенты кручения 40
Край многообразия 304
Кратность пересечения 398
— точки прообраза 88
Кручение 23
Кановское распространение 444
Канонические вложения 15, 19
Канонический базис 40
Карта 301
Касательное векторное поле 85
Категория 10
Квазиупорядочение 331
Класс Тома 388
— Эйлера 388
Классы Чжэня 409
— Штифеля — Уитни 411
Клетка 113
Клеточное отображение 109
— пространство 109
Клеточный комплекс 110
Кобордизм 374
Ковариантный функтор 12
Когомологии комплекса 216
Когомологические операции 194
Когомологическое кольцо 232, 271
Кограница 189
Кольцо Понтрягина 241
Коммутативность 241
Комплекс 27
Комплексные числа 9
Композиция 10
Конечно-барицентрическое разбиение
442
Контравариаптный функтор 12
Конус над комплексом 29
— над пространством 55
— отображения 29
Коостов 112
Копроизведение 15
Короткая точная последовательность
16
Короткий комплекс 39
Левое действие 242
Левый Я-модуль 157
— обратный 11
Линзовое пространство 128, 129
Локальная я-связность 108
— степень отображения 85
Локально замкнутое множество 102
— конечное семейство 434
— плоское подмногообразие 303
Локальное сечение 379
Локальные гомологии 77
— индексы пересечения 423
Малая категория 221
Многообразие 301
О-миогообразие 305
Многообразие Грассмана 406
— с краем 303
— Штифеля 403
Модели 217
Модуль конечного типа 214
^?-МОДуЛЬНЫЙ ГОМОМОрфИЗМ (R-TOMO'
морфизм) 157
Мономорфизм 16
Монофунктор 165
Морфизмы 10
Надстройка над комплексом 29
— над пространством 67
Направленная категория 432
Направленное множество 331
Наследственное кольцо 159
Невырожденное спаривание 233
Нерв 152, 436
453
Указатель терминов
Непрерывность чеховских когомоло-
гий 351
Нормализуемое покрытие 436
Нормализуемый функтор 437
Носитель 244
Нуль-гомотопия 210
Область значений 10
— определения 10
Обобщенное «-многообразие 315
Обратная Л-система 331
Объекты 10
Ограниченное множестпо 353
Ограниченный градуированный мо-
модуль 214
Однородные координаты 124
Окрестностный ретракт 51
Ориентация 139, 306
— вдоль подмножества 310
— отображения 330
Ориентируемая поверхность рода q
76
Ориентируемое отображение 330
Ориентирующее многообразие 310
Ориентирующий пучок 308
Основная теорема алгебры 84
Остов 112
Открытая звезда вершины 151
Отмеченная точка 60
Отображение Александера — Уитпи
229
— Хопфа 124
— Эйленберга — Зильбера 223
/¦-отображение 78
Пересечение гомологических классов
413, 419
Периодическое произведение комп-
комплексов 203
— умножение 178, 203
Петли 242
Плоский модуль 181
Поверхность рода h неориентируе-
мая 128
Подкатегория 11
Подкомплекс 30
Подмодуль 158
Подчиненный полиэдр 432
-Полная линейная группа 242
—-"пОдтгаТегория 11
Полулокалыю стягиваемое про-
пространство 79
Полуточный функтор 165
Порядок ветвления 80
инвариантность 81
Последовательность Гнзина 400
— Кюннета 205, 210, 225. 226, 369
— Майера — Вьеториса 64'
относительная 64
— приведенная 66
чеховских когомологий 349
— универсальных коэффициентов 173
Постоянный функтор 12
Правый ^-модуль 157
— обратный 11
Предел функтора 427
Предпучок 332
Предстаоимый функтор 14
Представление в виде прямого про-
произведения 19
— прямой суммы 19
Предхопфова алгебра 280
Преобразование прямых (обратных]
систем 332
Приведенные гомологические группы
47
Присоединение воротника 305
Проективное пространство 123
усеченное 126
Проективный модуль 187
Проекции на сомножители 15, 18
Произведение 15
Производное отображение 58
— преобразование 167
Производные координаты 58
Производный функтор 167
Пропускаем ость через предел 334
Просвободный функтор 221
/г, //-пространство 240
СИ7-пространство 114
— относительное 121
й-пространство 341
Прямая симплициальная аппрокси-
аппроксимация 151
— Л-система 331
— сумма 18
— точная последовательность 33
Прямое произведение 18
— слагаемое 20
Прямой предел (системы) 332
Пунктированное пространство 60, 79
Разбиение единицы 434
CW-разбиение 113
Разделяющее множество 348
Разложимый элемент 278
Размерность (Cl^-пространства) 114
Ранг группы 23
Расщепляющаяся алгебра 278
Рациональные числа 9
Регулярное значение 91
Указатель терминов
459
Резольвента (модуля) 166
Ретракт 50
Ретракция 50
Решетка 95
Росток отображения 78
Свободная группа 21
— коммутативная градуированная
алгебра 282
— часть 23
Свободный комплекс 39
— модуль 159
— функтор 217
Связная алгебра 278
Связывающий гомоморфизм 32, 46,
171, 34ё
Сечение 309
Сигнатура квадратичной формы 373
— многообразия 373
Сильно аддитивный функтор 162
— кофинальный функтор 429
Симплекс разбиения 442
Симплициальная аппроксимация 152
— структура 143
— схема 148
Симплициальное отображение 146
— пространство 143
Симплициальные гомологии 152
Симплициальный атлас 142
упорядоченный 142
— комплекс 153
— — пары 153
Сингулярная цепь 44
Сингулярные (ко) цепи, (ко) циклы,
(ко)границы, (ко)гомологии пары
пространств с коэффициентами 189
Сингулярный комплекс 44
— симплекс 44
Скалярное умножение 232
Слабо кофинальный функтор 429
След 257
Собственное отображение 89, 326
Спектральная последовательность
ПО
Спрямляемое отображение 151
Стандартная п-мерная клетка 70
Стандартный симплекс 42
Степень отображения 81, 326
над К 324
— собственного отображения 326
С-структура 305
<3-структура 216
Стягиваемый комплекс 36
Тензорное произведение алгебр 271
комплексов 203
— умножение 178, 203
Теорема Брауэра о неподвижной
точке 74
— Даукера 435
— двойственности 357
— Жордана 99
— Кюннета 205, 210, 225, 226
— — для чеховских когомологий 369
— Лефшеца —Хопфа 255
— об ацикличных моделях 220
— об инвариантности границы 79
области 100
размерности 79
— об универсальных коэффициентах
172
— Рохлина — Тома о сигнатуре 377
— Хопфа 328
— Эйленберга — Зильбера 223
Тождественный морфизм 10
— функтор 12
Толстая сфера 66
Топологическая группа 242
— независимость 302
— сумма 26
Точка ветвления 80
Точная гомологическая последова-
последовательность 33
— пара 110
— последовательность 16, 31
Точный слева функтор 165
— справа функтор 165
— функтор 165
Трансверсальный класс 387
Трансфер гомологический 377, 380
— когомологический 326, 380
— мультипликативные свойства 384
Триада 26, 62
Тройки 26
Удвоение многообразия 305
Умножение 241
— Понтрягина 240
^-умножения 291
Универсальное преобразование 332.
427
Универсальный элемент 14
Факторгруппа 22
Факторкомплекс 30
Фактормодуль 158
Фильтрация 109
— клеточная 109
Фильтрованный комплекс ПО
460 Указатель терминов
Фундаментальный класс 237, 249 Чеховская когомологическая после-
вблизи К 324 довательность 347
Функтор 12 Чеховские когомологии 343
— двух переменных 12 — — с ограниченными (компакт-
— Ext 186 ными) носителями 353
— Нот 186 Чеховское распространение 445
— о, .умножение 358
— — естественность 359
„ _. л — ^-умножение 352
Характеристика Эйлера - Пуанкаре ЧисжДращения 98
1 о2, Л егЬшбпа 257
Характеристическое отображение 114 v
Эйлерова Zp-характеристика 196
Цепное отображение 27 Эквивалентность 11
— — степени п 209 Элементарный комплекс 39
Цепь 27 Эпиморфизм 16
Цикл 27, 45 Эпифунктор 165
Оглавление
От редактора перевода 5
Предисловие . . . .- 7
Глава I. Предварительные сведения о категориях, абелевых группах
и гомотетиях 9
1. Категории и функторы 10
2. Абелевы группы (точность, прямые суммы, свободные абе-
левы группы) 16
3. Гомотопии 24
Глава II. Гомологии комплексов 27
1. Комплексы 27
2. Связывающий гомоморфизм, точная гомологическая после-
последовательность 30
3. Цепная гомотопия 35
4. Свободные комплексы 39
Глава III. Сингулярные гомологии 42
1. Стандартные симплексы и их линейные отображения ... 42
2. Сингулярный комплекс 43
3. Сингулярные гомологии 45
4. Специальные случаи 47
5. Гомотопическая инвариантность 51
6. Барицентрическое подразделение 55
7. Малые симплексы. Вырезание 58
8. Последовательности Майера — Вьеториса 62
Глава IV. Применения к евклидову пространству 70
1. Стандартные отображения между клетками"и сферами ... 70
2. Гомологии клеток и сфер 72
3. Локальные гомологии 77
4. Степень отображения 81
5. Локальные степени 85
6. Гомологические свойства окрестностных ретрактов про-
пространства R™ 91
7. Теорема Жордана, инвариантность области 99
8. Евкчидовы окрестностные ретракты (ENR) 101
Глава V. Клеточные разбиения и клеточные гомологии 109
1. Клеточные пространства 109
2. CW-пространства - - ИЗ
462 Оглавление
3. Примеры 122
4. Гомологические свойства Ci^-пространств 129
5. Характеристика Эйлера — Пуанкаре 132
6. Описание клеточных цепных отображений и клеточного гра-
граничного гомоморфизма 135
7. Симплнциальные пространства 141
8. Симплициальные гомологии 152
Глава VI. Функторы на категории комплексов 156
1. Модули 156
2. Аддитивные функторы , 161
3. Производные функторы 166
4. Формула универсальных коэффициентов 172
5. Тензорное и периодическое умножения 176
6. Функторы Нот и Ext 184
7. Сингулярные гомологии и когомологии с произвольными
коэффициентами 188
8. Тензорное произведение и билинейность 197
9. Тензорное произведение комплексов. Формула Кюннета . . 203
10. Функтор Нот на категории комплексов. Гомотопическая
классификация цепных отображений 208
11. Ацикличные модели 217
12. Теорема Эйленберга — Зильбера. Формула Кюннета для
топологических пространств 222
Глава VII. Умножения 231
1. Скалярное умножение 232
2. Внешнее гомологическое умножение 235
3. Внутреннее гомологическое умножение (умножение Пон-
трягина) 239
4. Индексы пересечения в R" 243
б. Алгебраическое число неподвижных точек 249
6. Теорема Лефшеца — Хопфа о неподвижных точках .... 255
7. Внешнее когомологическое умножение 263
8. ~Внут_редаее"когомологическое умножение (w-умножение) . . 268
9. Вычисление ^-умножения для проективных пространств.
Отображения Хопфа и инвариант Хопфа 272
10. Алгебры Хопфа 277
11. Косое когомологическое умножение 285
12. <~i-умножение 290
13. Косое гомологическое умножение и косое умножение Пон-
трягина 299
Глава VIII. Многообразия 301
1. Элементарные свойства многообразий 301
2. Ориентирующий пучок многообразия 306
3. Гомологии в размерностях, не меньших размерности мно-
многообразия 316
4. Фундаментальный класс и степень 324
5. Пределы 331
6. Чеховские когомологии локально компактных подмножеств
пространства R™ 343
7. Двойственность Пуанкаре — Лефшеца 357
8. Примеры и приложения 364
9. Двойственность в многообразиях с красы 371
10. Трансфер 377
Оглавление 463
11. Класс Тома, изоморфизм Тома 385
12. Последовательность Гизина. Примеры ..'!,' 399
13. Пересечение гомологических классов .......... 412
Добавление. Кановские и чеховские расширения функторов 427
Д.1. Пределы функторов 427
Д.2. Полиэдры, подчиненные топологическому пространству,
и разбиения единицы 432
Д.З. Распространение функторов с полиэдров на более общие
пространства 443
Список литературы 452
Указатель терминов . . . ' 456