Text
                    6П2.2
К 36
УДК 536.24:621.1.016.4
EXTENDED SURFACE HEAT TRANSFER
DONALD Q. KERN, ALLAN D. KRAUS
MCGRAW-HILL BOOK COMPANY, NEW JORK
i
Керн Д. и Краус А.
К 36 Развитые поверхности теплообмена. Пер. с англ.
М., «Энергия», 1977.
464 с. с ил.
Книга является руководством по расчету и конструированию тепло-**
обменников различного назначения. Приведены многочисленные примеры,
иллюстрирующие предлагаемую методику расчета. Книга снабжена
большим количеством справочных таблиц и расчетных графиков. Важнейшие
случаи расчета наиболее типичных конструкций представлены в виде
программ для ЭВМ на языке ФОРТРАН.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников различных
отраслей промышленности, занятых расчетом и конструированием
теплообменников она может быть полезна студентам и молодым специалистам,
желающим самостоятельно изучить этот вопрос.
„ 30302-552
К 05Ц0Ц-77 И77 6П"
© Перевод на русский язык, Издательство «Э н е р г и я», 1977».


ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ За последние годы издано немало работ, посвященных изложению вопросов теплообмена на развитых поверхностях, расчету и конструированию теплообменников с такими поверхностями теплообмена, гидродинамике течения в каналах сложного профиля. Вопросам расчета теплообменников отводится место почти в каждом учебнике по теплопередаче. Но потребность в литературе подобного рода не уменьшается, а растет с каждым годом. Это связано прежде всего с постоянным расширением сферы практического применения подобного рода теплообменников, их внедрением в новые, быстро развивающиеся области техники. К таким традиционным устройствам, как экраны топок парогенераторов, воздухоподогреватели, теплообменники газовых турбин и систем кондиционирования, радиаторы автомобилей, где развитые поверхности применяются уже сравнительно давно, в последнее время добавились плазменные и ядерные установки, системы, утилизирующие солнечную энергию, различные элементы электродных схем. В связи с этим публикуемая книга американских ученых Д. Кра- уса и А. Керна, исследования и публикации которых по теплообмену на развитых поверхностях широко известны инженерам и исследователя?^ вызовет прежде всего интерес у специалистов, работающих в указанных областях техники. Вместе с тем она может оказаться полезной и для лиц, только приступивших к изучению данной проблемы. Кроме того, внимание читателей несомненно привлечет и необычность построения книги. По замыслу авторов она может быть использована читателями с различными уровнями подготовленности. Первая часть — «Анализ развитых поверхностей теплообмена», имеющая самостоятельное значение и завершенность, может служить учебным пособием для студентов и молодых специалистов, а вторая часть — «Расчет теплообменников» — практическим руководством и справочником для инженеров-конструкторов, занимающихся расчетами и разработкой теплообменной аппаратуры; большинство важнейших типовых вариантов доведено до достаточно простых аналитических соотношений. Но главным достоинством книги, выделяющим ее в ряду литературы аналогичного характера, является подход к освещению проблемы, т. е. ярко выраженная прикладная направленность. Авторами осуществлена четкая классификация видов оребрений, приведены хорошо отработанные типовые расчетные методики, позволяющие быстро и эффективно производить расчет теплообменников, оптимизировать их конструктивные характеристики и режимные параметры. В книге представлены как точные, так и приближенные методы расчета развитых поверхностей для стационарных и нестационарных условий работы. В каждый раздел включены численные примеры расчета описываемого вида поверхности, которые органически связаны с з
текстом и позволяют читателю глубже понять излагаемый материал и применить на практике описанные приемы и методы расчета. Большой интерес представляют приводимые в книге программы расчета процессов на развитых поверхностях на ЭВМ, записанные на языке ФОРТРАН-IV. Они служат не только иллюстративным целям, но и могут непосредственно быть применены для практических расчетов. Использование в программах английских единиц измерения при машинных расчетах не является серьезным препятствием для их реализации Перевод книги осуществлен с некоторыми небольшими сокращениями, касающимися главным образом материалов, содержащих сведения по американским стандартам и выпускаемым в соответствии с ними изделиям. Исключены некоторые примеры из гл. 12 по компактным теплообменникам, поскольку они известны советскому читателю по книге В. М. Кэйса и А. Л. Лондона «Компактные теплообменники» («Энергия», i967), а также ряд примерных расчетов из глав 6 и 7. Существенно сокращены приложения, главным образом за счет исключения таблиц и графиков теплофизических свойств, которые часто выпускаются нашими издательствами и имеются в распоряжении специалистов. При переводе был осуществлен пересчет всех величин из английской системы единиц в систему СИ, исключение составляют материалы глав 6 и 7, где оставлены английские меры, поскольку они заложены в машинные программы. Большую работу по пересчету единиц, перестройке графиков и оформлению рукописи провели Д. В. Власов и И. В. Власов, а по переводу текста задач глав 1—3 и 8—12 и пересчету данных, приведенных в английской системе единиц, ов систему СИ — Е. В. Сидоров, за что переводчики выражают им свою .признательность. Переводчики считают своим долгом выразить благодарность канд. техн. наук И. Н. Дулькину за большую кропотливую работу по научному редактированию перевода. Перевод глав 1—3 и 8—12 выполнил В. Я. Сидоров, а глав 4—7 — Ю. А. Зейгарник. Ю. Зейгарник 5. Сидоров
ОБОЗНАЧЕНИЯ А— площадь поперечного сечения; для излучения — постоянная в законе Планка; Ар — площадь профиля ребра; а — альбедо, безразмерный; произвольный параметр в обобщенном уравнении Бесселя; do, d\ и т. д. — коэффициенты в уравнениях; половина расстояния между ребрами; В — константы, определяемые по мере использования; расстояние между перегородками; Ь — расстояние между двумя вертикальными пластинами; постоянная в обобщенном уравнении Бесселя; оптимальное расстояние между пластинами; высота ребра; Bi — число Био=й60/2&; В г — число Бринкмана; С — произвольная постоянная; С—электрическая емкость; С% — термическая емкость; Сь С2 и т. д. — константы, определяемые по мере использования; с — удельная теплоемкость; безразмерная постоянная; сР — удельная теплоемкость при постоянном давлении; d — диаметр цилиндрического шипа; D — внутренний диаметр цилиндра; Е — электродвижущая сила; Е0 — плотность потока излучения абсолютного черного тела; ER — отраженное излучение; Es — солнечное излучение; Ет — земное (излучение; Е\ — плотность потока излучения первого тела; Е2 — плотность потока излучения второго тела; Еп — плотность потока излучения п-то тела; ЕР, — отраженное излучение; Еьх —спектральная- плотность потока излучения; F — коэффициент, безразмерный; FA — угловой коэффициент, безразмерный; F а\2, FА2\ — угловые коэффициенты между телами 1 и 2 B и 1) соответственно; FT, FRy Fs, Fe — угловые коэффициенты для падающих на космический корабль потоков земного излучения, солнечного излучения, отраженного Землей, и прямого солнечного излучения; приведенная степень черноты. Fo — число Фурье; G — массовый расход; g — ускорение свободного падения; h — коэффициент теплоотдачи; tiam — коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по среднеарифметическому температурному напору и внутренней поверхности Si\ hi и 7*2 — коэффициенты теплоотдачи, вычисляемые по разности температур на входе и Sf, hi — коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по средне- логарифмическому температурному напору и Si\ ha — средний коэффициент теплоотдачи; he — коэффициент теплоотдачи на торце ребра; /i<x>— асимптотический коэффициент теплоотдачи; /—интенсивность излучения; /п( ) и т. д. — модифицированная функция Беоселя 1-го рода п-то порядка; i — мгновенный ток; /п( ) и т. д. — функция Бесселя 1-го рода я-го порядка; / — показатель степени в обобщенном уравнении Бесселя; Кп( ) и т. д.—модифицированная функция Бесселя 2-го рода я-го порядка; 5
К s — постоянная; Ке — кинетическая энергия; k — коэффициент теплопроводности; L — длина; длина входного участка в круглой трубе; длина продольного ребра; М — масса; т — индекс суммирования; т\, т2— постоянные времени, определяемые по мере использования; параметр ребра; п — константа, указывающая порядок функции Бесселя; индекс суммирования; число слоев насадки; P(Fo)—ряд в задаче о теплопроводности пластины; периметр ребра; р — показатель степени в обобщенном уравнении Бесселя; Q — количество тепла Qi (Дж), внутреннее тепловыделение (Дж/м3); q — тепловой поток; qc—конвективный тепловой поток; q\— внутренний тепловой поток; qr — лучистый тепловой поток; ## — отраженный тепловой поток; qi — тепловой поток земного излучения; q' — мощность внутренних источников теплоты; qi2 — тепловой поток, передаваемый от тела 1 к телу 2; q2\— тепловой поток, передаваемый от тела 2 к телу 1; q0 — тепловой поток через основание ребра. R — тепловое сопротивление; Re—радиус Земли; R' — электрическое сопротивление на единицу длины; R — отношение Кошй; г — радиус; гг-— внутренний радиус; г0 — внешний радиус; гь г2— промежуточные радиусы; расстояние от Солнца; радиальная координата; радиус ребра; г с — приведенный радиус ребра, ге — радиус торца ребра; г0 — радиус основания ребра; г' — фиктивное приращение радиуса; S — площадь поверхности теплообмена; «Si — площадь внутренней поверхности теплообмена трубы; для излучения: Sh S2— площади поверхностей первого и второго тел; полная поверхность теплообмена оребрения и основной поверхности; s — переменная преобразования Лапласа; s0 — внешняя поверхность цилиндра на единицу длины; Si — внутренняя поверхность цилиндра на единицу длины; Т — абсолютная температура; равновесная температура поверхности космического корабля; Г0 — определяющая температура; Т$ — температура окружающей среды; t — температура, температура ребра; tP — температура пластины; t8 — температура окружающей среды; t\ — температура на входе; t2 — температура на выходе; t\ — температура поверхности на выходе; te — температура торца ребра; U — температура основания ребра; t(x) —температура как функция х, определяемая по мере использования; Д^ — температурный напор; изменение температуры жидкости или твердого тела; U — коэффициент теплопередачи; и — переменная, определяемая по мере использования; V — объем; скорость; электрический потенциал; v — переменная,определяемая по мере использования; w — телесный угол; стерадиан; массовый расход; Хс — критическое расстояние в пограничном слое; X" — вторая производная; х — линейная координата; Ал: — линейный интервал; У — электропроводность; V — вторая производная; Yn( ) и т. д. — функция Бесселя 2-го рода /i-го порядка; у — линейная координата; z — линейная координата; а — температуропроводность; произвольный параметр в обобщенном уравнении Бесселя; о/ — поглощательна.: способность, безразмерная; а\ — поглоща- тельная способность Солнца; а'т—поглощателыная способность Земли; a'i— поглощательная способность тела I; о/2 — поглощательная способность тела 2; р — температурный коэффициент объемного расширения. Произвольный параметр в обобщенном уравнении Бесселя, параметр оптимизации; Г( )—гамма-функция; 6
б — толщина 'пограничного слоя; толщина ребра; бе — толщина ребра у торца; бо — толщина ребра в основании; е — степень черноты; 0 — полярный угол, рад; цилиндрическая координата, рад; 0е — температурный напор у торца ребра; 0о — температурный напор в основании ребра; угол конусности трапециевидного ребра; X — постоянная; для излучения — длина волны; |х — вязкость; \iw — вязкость при температуре стенки; вспомогательная переменная в уравнении C.16): \ке — значение у торца ребра; \х0 — значение в основании ребра; р — плотность; отношение радиусов; отношение радиуса основания ребра к приведенному радиусу; р' — отражательная способность радиального ребра; v — кинематическая вязкость; ц/у; а — постоянная Стефана — Больцмана; т — время; т/ — пропускательная способность; ts — касательное напряжение; Г — дополнительная переменная, используемая для подстановок; Y' — переменная, используемая в подстановках; Ф — сферическая координата; параметр радиального ребра, определяемый выражением C.31); комбинация членов в выражении C.46); X — сферическая координата; отношение конвективного теплового потока к полному; со — постоянная в обобщенном уравнении Бесселя; ©ь со2,..., соп — толщина разделительных пластин в насадке. Индексы а — среднее значение; с — скорректированная величина; е — торец ребра; / — жидкость; i — номер элемента поверхности; О — основание ребра; R — излучение, приемный конец линии передачи; s — окружающая среда, передающий конец линии передачи; / — термический; * — оптимизированный параметр.
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга написана с целью дать систематические сведения по теории и применению развитых поверхностей теплообмена. Совершенствование развитых поверхностей способствует прогрессу многих областей техники, в которых процессы теплообмена играют основную или вспомогательную роль. Среди них такие разнообразные области, как космонавтика, авиация, кондиционирование воздуха, химическая и нефтеперерабатывающая промышленность, производство ЭВМ, крио- геника и холодильная техника, электроника, топливные элементы, печи, газовые турбины, магнитогидродинамика, плазма, отопление, ядерная и гелиоэнергетика и, наконец, генерирование электроэнергии традиционными методами. В результате проведенной работы по отбору и обобщению материалов здесь в единообразной форме представлен ряд исследований, заимствованных из отраслевых периодических изданий, малодоступных отчетов и препринтов научных симпозиумов. Некоторые узкоотраслевые издания отсутствуют во многих библиотеках, а ряд отчетов и препринтов до появления в учреждениях копировальной техники не печатался. При разработке методики изложения материала постоянно имелись в виду два типа читателей с различными запросами. Прежде всего авторы ориентировались на читателя, который будет использовать эту книгу как учебное пособие по развитым поверхностям теплообмена. Часть I — «Анализ развитых поверхностей теплообмена» авторы задумали представить в форме, позволяющей читателю активно овладеть теоретическими методами, приобрести опыт и уверенность при самостоятельном решении задач, возникающих в практической деятельности, но не рассмотренных в литературе. Второй тип читателя — это инженер-практик, которому необходим справочник по основным соотношениям, использованным при решении задач в первой части книги. В то же время предполагалось, что такой читатель заинтересован прежде всего в получении быстрых численных ответов на задачи, подобные рассматриваемым в первой части, т. е. для более или менее обычных геометрических форм развитых поверхностей и параметров окружающей среды. Теоретический материал, излагаемый в ч. I, иллюстрируется численными примерами. Кроме того, для облегчения ручных расчетов 8
приведены многочисленные таблицы и графики, рассчитанные на ЭВМ. В тех случаях, когда расчеты на ЭВМ являются неотъемлемой частью процесса решения задачи, как в гл. 5—7, приводятся результаты сравнения данных численных расчетов и ручных расчетов по различным приближенным уравнениям, которые приходится использовать при отсутствии ЭВМ. В отличие от первой части книги, в которой в обобщенной форме рассматривается теплообмен между единичным ребром и окружающей его средой, в части II — «Расчет теплообменников» приводятся соотношения для расчета теплопередачи между двумя потоками, разделенными развитой поверхностью. Вторая часть знакомит читателя с конструкциями выпускаемых промышленностью развитых поверхностей теплообмена, а также с методами их расчета, основанными на сочетании теоретического анализа и эмпирических соотношений. В связи с тем что развитые поверхности широко распространены в самых различных отраслях промышленности, при отборе материала для расчетов в гл. 6—8 не было возможности включить примеры, одинаково интересные широкому кругу читателей. Уже в начале работы над планом книги стало очевидным, что она легко может превратиться в энциклопедический труд, содержащий сведения, накопленные авторами в процессе их инженерной деятельности. Если бы авторы позволили случиться такому, то цель, ради которой эта книга была написана, а именно подготовить труд, избавляющий читателей от длительных поисков литературы и повторного вывода уже опубликованных соотношений для расчета теплопередачи ребер, не была бы достигнута. Чтобы удержать объем книги в разумных пределах, пришлось опустить ряд опубликованных аналитических работ других авторов, а также ряд наших собственных еще не опубликованных работ. Вывод некоторых аналитических соотношений не включен просто потому, что пояснительный текст к ним занял бы слишком много места. Авторы прекрасно сознают, что в книгу не включены такие вопросы, как совместный конвективный тепло- и массообмен на ребрах, широко распространенный в установках кондиционирования воздуха, радиа- ционно-конвективный теплообмен на оребренных поверхностях в камерах сгорания, расчет радиаторов орбитальных космических аппаратов с изменением положения ребер относительно источника тепла и многие другие. В некоторых случаях применяемые в промышленности методы расчета настолько основательно оптимизированы и стандартизованы на эмпирической основе, что никакая другая методика, кроме чисто аналитической, если бы такая имелась, не заслуживает места. Если работа какого-либо автора изложена слишком кратко или совсем опущена, это не следует воспринимать как неуважение к нему, поскольку нам пришлось иметь дело с чрезвычайно обширной литературой. 9
По собственному опыту мы знаем, что инженеры и ученые, занятые в новых областях техники, получили образование и основные навыки в самых различных учебных заведениях. Поэтому настоящая книга написана с междисциплинарных позиций. Мы чувствовали, что подготовлены для этого, поскольку имеем дипломы инженера-химика, инженера-электрика и инженера-механика. Нам хотелось, чтобы каждый читатель чувствовал себя «как дома» в любой части книги. Поэтому наше изложение отдельных вопросов некоторым читателям может показаться слишком элементарным. Предполагалось, что читатель прослушал общий курс теплопередачи и имеет математическую подготовку, позволяющую решать дифференциальные уравнения. В написании данной книги авторам оказывали прямую и косвен* ную помощь многие лица. Прежде всего мы выражаем признательность Отделению аэронавтики фирмы Хонивел за поддержку, за разрешение использовать вычислительные машины и за помощь в программном обеспечении. Все машинные вычисления, приведенные в книге, были выполнены на машинах типа «Хонивел Н-800». Мы также прекрасно осознаем ту важную роль, какую для нас сыграла возможность использовать результаты исследователей, чьи работы упоминаются в тексте, и выражаем им признательность. Нам особенно хочется отметить вклад в литературу о развитых поверхностях нашего давнего друга Карла Гарднера, методы расчета которого значительно облегчили нашу задачу. Д. Керн А. Краус /
ЧАСТЬ I АНАЛИЗ РАЗВИТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕПЛООБМЕНА ГЛАВА ПЕРВАЯ ТЕПЛООБМЕН И НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ Развитые поверхности теплообмена Вопросы интенсификации теплообмена актуальны для все возрастающего числа технических дисциплин, в которых приходится иметь дело с различными формами передачи энергии. Эти отрасли техники выдвигают высокие требования к эффективным теплообменным устройствам, касающиеся сокращения их массы, объема, снижения стоимости или оптимизации формы. Теплообмен развитых поверхностей представляет собой раздел теплопередачи, изучающий высокоэффективные теплообменные устройства и их работу в различных условиях. Q СЫ5> С^=зр з) *) . з) и) Рис. 1.1. Некоторые характерные примеры развитых поверхностей. а — продольное ребро прямоугольного профиля; б — круглая труба с продольными ребрами прямоугольного профиля; в — продольное ребро трапециевидного профиля; г — продольное ребро параболического профиля; д — круглая труба с радиальными ребрами прямоугольного профиля; е — круглая труба с радиальными ребрами трапециевидного профиля; ж — цилиндрический шип; з — усеченный конический шип; и — параболический шип. С типичными примерами высокоэффективных поверхностей теплообмена можно встретиться в самолетах, космических кораблях и их силовых установках, в химической промышленности, в холодильной и криогенной технике, в электрических аппаратах и электронных приборах, промышленных печах и теплообменниках, котлах-утилизаторах и газотурбинных установках, твэлах ядерных реакторов, в устройствах прямого преобразования энергии и т. п.
Для передачи тепла от источника к стоку в теплообменных устройствах различного типа широко применяют такие простые формы тел, как цилиндры, стержни, пластины. Рассеивающие или поглощающие тепло поверхности этих тел называют первичными1. Если первичная поверхность развивается посредством выступов, например металлических полос или шипов на трубах (рис. 1.1), эта дополнительная поверхность называется развитой. Иногда развитой поверхностью называют первичную гладкую поверхность вместе с выступами. В этой книге используется преимущественно последнее определение. Выступы, применяемые для развития первичных поверхностей, называются ребрами. Если ребра имеют коническую или цилиндрическую форму, они называются соответственно шипами или штифтами2. В последние годы авиационно-космическая промышленность, энергомашиностроение, кондиционирование, криогенная техника предъявляют два основных требования к элементам систем теплообмена — компактность и малые гидравлические сопротивления. Несколько типов компактных поверхностей теплообмена показано на рис. 1.2. Компактность характеризуется поверхностью теплообмена в единице объема теплообменника. Раньше компактными называли теплообменники, содержащие более 245 м2/м3 [1]. В настоящее время имеются компактные теплообменники, содержащие свыше 4100 м2/м3 F5—130 м2/м3 в обычных теплообменниках из труб наружным диаметром 15,9— 25,4 мм). Многие компактные теплообменники состоят из пластин или труб — первичных поверхностей, разделенных пластинами, стержнями или шипами, работающими как ребра. Из рис. 1.2,г видно, что гофрированную полосу можно рассматривать как отдельное ребро с высотой, равной половине расстояния между разделительными пластинами, 1 Часто употребляют также названия «основная» или «несущая» поверхность. г 3 дальнейшем ребра обоих типов называются одним термином — «шипы». П
Нагребаемая поверхность п несущей стенки Р t РеЬро выступающими в роли первичных поверхностей. Таким образом, компактные теплообменники представляют собой одну из форм развитых поверхностей теплообмена. Эффективность ребра Легко показать, что если оребренная поверхность помещается в среду с однородной температурой, поверхность ребра менее эффективна в смысле теплоотдачи, чем основная (несущая ребра) поверхность. Рассмотрим пластину с продольным ребром прямоугольного поперечного сечения (рис. 1.3). Пусть к внутренней поверхности пластины подводится тепло от источника с температурой t\ при однородном коэффициенте теплоотдачи, а с внешней поверхности пластины и поверхностей ребра тепло отводится к более холодной окружающей среде с температурой ts, причем коэффициент теплоотдачи одинаков по всей поверхности теплоотвода. Поверхность теплоотдачи пластины имеет некоторую промежуточную температуру tPi а температурный напор между ней и окружающей средой равен tP—ts. Поверхность ребра имеет температуру t, а температурный напор ребро — окружающая среда равен /—ts. Тепловой поток, подводимый к основанию ребра, передается по ребру путем теплопроводности. Обычно температура в основании ребра близка к tv. Тепло может передаваться по ребру только в том случае, если по его высоте существует градиент температуры, т. е. если tp больше, чем t. При этом t—18 меньше, чем /р—^s, и поверхность ребра менее эффективна, чем поверхность несущей пластины. Температура поверхности ребра t изменяется по его высоте от основания к торцу. Таким образом, плотность локального теплового потока с поверхности ребра всегда ниже, чем с основной поверхности. Под эффективностью ребра понимается отношение теплового потока, действительно отведенного ребром, к потоку, который отвело бы такое же идеально проводящее (&=оо) ребро с однородной температурой, равной температуре в основании. Это определение сохраняется на протяжении всей книги. Для оценки работы ребра применяются также и другие характеристики, такие как эффективность ребра по отношению к основной поверхности с площадью, равной площади поперечного сечения ребра в основании, средняя эффективность оребрения, термическое сопротивление ребра. Эти характеристики рассматриваются в последующих главах. Ребро данного размера, формы и материала обладает различной эффективностью в зависимости от количества тепла, которое поглощается (отводится) единицей поверхности1. Эффективность продольного ребра прямоугольного поперечного сечения, показанного на рис. 1.3, изменяется также с изменением теплопроводности, размеров поперечного сечения и высоты. В первой части настоящей книги пред- t Окружающая среда ts Рис 1.3. К определению эффективности ребра. 1 Точнее,- в зависимости от коэффициента теплоотдачи на поверхности ребра. (Прим. ред.) 13
полагается, что контактное термическое сопротивление между ребром и несущей поверхностью отсутствует. Подробнее контактные сопротивления рассматриваются в гл. 11. Виды теплообмена между оребренными поверхностями и окружающей средой При изучении теплопередачи развитых поверхностей в большинстве случаев удобно раздельно рассматривать перенос тепла теплопроводностью внутри ребра и теплообмен с окружающей средой на поверхности. Обычно это конвективный или лучистый теплообмен либо оба вида теплообмена, действующие совместно. Могут быть и другие случаи. Например, если на полое ребро из материала с низким коэффициентом теплопроводности с одной стороны падает лучистый тепловой поток от источника с высокой температурой, при анализе необходимо наряду с теплопроводностью учитывать внутренний лучистый теплообмен. За последний десяток лет опубликовано несколько превосходных общих курсов теплопередачи, появились отличные монографии, в которых подробно рассматриваются отдельные виды теплообмена. Поэтому даже если не принимать во внимание, что выходят новые и переиздаются существующие книги, можно полагать, что читатель обеспечен обширным материалом по основным разделам теплопередачи. Поскольку тематика этой книги была четко определена, авторы сочли нецелесообразным рассматривать в ней элементарные понятия теплообмена. Вместо этого в конце данной главы приводится список рекомендуемых книг. Остальная часть главы посвящена краткому обзору тех аспектов теплопередачи и математических методов, которые особенно полезны при изучении теплообмена развитых поверхностей. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Введение Теплопередача — это явление энергопереноса, а теплопроводность— один из ее видов, при котором перенос осуществляется путем обмена кинетической энергией между молекулами. Следовательно, теплопроводность представляет собой микрофизическое явление, реализуемое только в физической среде. Перенос энергии в результате упругих столкновений соседних молекул характерен как для тепло-, так и для электропроводности. В последнем случае дополнительный вклад в проводимость вносит упорядоченное движение свободных электронов. Перенос тепла теплопроводностью можно рассматривать также макроскопически. Согласно закону, впервые предложенному Био [2], но обычно приписываемому Фурье [3], тепловой поток прямо пропорционален градиенту температуры и площади поперечного сечения, нормального к направлению теплового потока. Таким образом, для одномерного потока где q — тепловой поток; А — площадь поперечного сечения потока; t — температура; х — координата; -т~—градиент температуры. Знак минус означает, что тепловой поток положителен, когда градиент температуры 14
отрицателен. Этого требует второй закон термодинамики, в соответствии с которым тепло не может самопроизвольно передаваться от низкого температурного уровня на более высокий. Подставив в предыдущее соотношение константу пролорциональности, получим закон Фурье: dQ ил dt 4 dx dx ' (i.i) где q — тепловой поток; Q — количество передаваемого тепла; х — время. Уравнение A.1) служит также для определения коэффициента теплопроводности: dQ/dz к= — Adt/dx' Дифференциальные уравнения теплопроводности Уравнение теплопроводности может быть получено из рассмотрения элементарного объема в изотропной стационарной среде. Элементарный объем пред- fy+o?</ I dx ставляет собой куб размерами dx, dy, dz (рис. 1.4), с коэффициентом теплопроводности и удельной теплоемкостью, значения которых есть функции как положения, так и температуры. В направлении любой координаты тепловой поток описывается уравнением A.1). Результирующий тепловой поток, поступающий в элементарный объем в направлении х, дается выражением Чх- Цг dqs тепло^ккумули,- рованное 6 объеме Цх+dx dqi тепло, выделяемое 6 одьеме х Рис. 1.4. К выводу дифференциального уравнения теплопр ов одности. dt dQx—dQx+dx=—k(xy yt z, t) —dydzdz — ЩИ дщ Г dQx — dQx+dx=^ k{x% y, z, t)^r\dxdydzd%. Аналогичные выражения можно- записать для направлений у и г: dQy - dQy+dy = щ- ["* (х, у, г, t) ^LJ dx dy az dx; dQ* -dQz+dz=-^- [k(x, у, z, /) Щ dxdydzdx. Если в объеме происходит химическая или ядерная реакция или протекает электрический ток, в уравнение необходимо ввести функцию 15
источников или скорость выделения тепла (т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема в единицу времени). Если qi=dQi/dx на единицу объема, то dQi = qi dx dy dz dx, где индексом i обозначается тепловыделение внутренних источников. Если тепловой поток нестационарный, тепло будет накапливаться в элементе. Согласно закону сохранения энергии количество накопленного тепла должно быть равно увеличению или уменьшению внутренней энергии в объеме. Обозначая накопленное тепло через Qs, имеем: dQs = рс (х, у, г, t) ~^т- dx dy dz dx, где р — плотность; с — удельная теплоемкость. Исключая из предыдущих уравнений общие члены dx, dy, dz и dx, получаем: W [k{x> »• z^u] +W [*(*¦ »• г*')?f\+ Уравнение A.2) представляет собой общее уравнение теплопроводности, и его решение дает температурное поле как функцию координат х, у, z и т. Если коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость не зависят от координат и температуры, уравнение A.2) сводится к соотношению ах2" ду2 't'dz2'f~ k ~~ a dz • ^ > где а — коэффициент температуропроводности. В общем случае он может быть функцией х, у, z и t, так что: / л\ k (Х. У, Z, t) а (л, у, z, t) = ; — ' v ' ** ' ' рс (х, у, z, t) или — JL ¦ Если система не содержит ни источников, ни стоков тепла, то A.3) приводится к уравнению Фурье: дЧ i дЧ \дЧ 1 dt n 4v Если система содержит источники и стоки тепла, но не зависит от времени (стационарна), то уравнение A.3) приводится к уравнению Пуассона: ^+1+5+1 = 0- 0-5) Наконец, для системы, не зависящей от времени, при отсутствии источников и стоков тепла A.3) переходит в уравнение Лапласа: дЧ . дЧ <дЧ n n fiv ^+-§^+а?=0. A.6) Уравнение Лапласа обычно записывается в виде V2*=0, 16
где V — оператор: В цилиндрических координатах, где г — радиус, 8 — угловая, a z — осевая координаты, A.3) может быть записано в виде _ / д л д 4- д \ дН , 1_ dt_j 1_ дН | дЧ | цл ' г дг ' г2 ля2 ¦ ^^2 ¦ ь (V дв2 dt_ A.7) Существует пять методов решения задач теплопроводности: аналитический, аналоговый, численный, графический и экспериментальный. Четыре из них исходят непосредственно из A.3) или различных его форм — уравнений A.4) — A.6). Экспериментальным методом пользуются, когда остальные методы не дают результатов. Кроме того, его применяют для определения теплофизических свойств, таких как теплопроводность и удельная теплоемкость. При этом выбирают конфигурацию системы, задают координаты и температуры, а получают искомое значение теплофизического свойства. Можно также с помощью термодатчиков измерять температурное поле в различных точках на модели системы. В этом случае точность решения определяется точностью измерительных приборов. Четыре других метода используются в зависимости от специфических особенностей рассматриваемой задачи. Аналитический метод Аналитический метод состоит в математическом решении дифференциальных уравнений теплопроводности. Обычно задачи теплопроводности делят на два класса — стационарные и нестационарные (или переходные). Стационарные задачи могут быть- очень простыми. Например, плоская одномерная задача теплопроводности описывается уравнением A.6), имеющим в левой части лишь один член. Они могут быть и довольно сложными, например полное уравнение Пуассона A.5). Рассмотрим плоскую пластину с коэффициентом теплопроводности k, поверхности которой Х\ и х2 поддерживаются соответственно при температурах t\ и \t2. Требуется найти распределение температур в пластине. Это — одномерная стационарная задача теплопроводности, описываемая уравнением типа A.6) с единственным членом в левой части ' dx 2 = 0, где х—координата, начало которой находится в некоторой точке вне пластины. Двойное интегрирование дает: dt =с» dx t = Cxx + C2, где постоянные интегрирования С\ и С2 вычис условий t(x{) =i\ и t(x2) =t2. Таким образом t = (t1~t2) В цилиндрических координатах ан сложнее, поскольку радиальная состав 2—192 / /J ся из граничных A.8) з'кдача несколько авне'мя Лапласа
имеет два члена. Однако и эта задача решается весьма просто. Рассмотрим толстостенную трубу, на внутренней и наружной поверхностях которой (радиусами г\ и г2) поддерживаются температуры U и t2 соответственно. Основное уравнение задачи содержит первые два члена уравнения A.7): дг** г дг — U> где г — радиальная координата с началом на оси трубы. Двойное интегрирование дает: t=Cllnr+C2, где постоянные интегрирования вычисляются из граничных условий i(r1)=/1 и t(r2)=t2. Таким образом, t = Jip**inJL jLf A.9) Рассмотрим снова плоскую пластину при условии, что в ней имеется постоянный источник тепла мощностью q%> как, например, в тепловыделяющих элементах ядерных реакторов. В этом случае необходимо применять уравнение A.5), которое в одномерном варианте записывается в виде Ё!?.4- qi — п dx2lr к —и- Двойное интегрирование дает: ' + $-** 4-С.^С,. где постоянные интегрирования вычисляются из граничных условий t(x\) =t\ и t(x2) =t2. Таким образом, * == х X I 2k~ *№ 2 X х) X \Х2 Ху) ХгХ2\ -\- + t>(x2~x1) + t2(x2-x1)}-?x\ A.10) Анализ несколько усложняется при решении неодномерных задач. Рассмотрим тонкую пластину, изображенную на рис. 1.5. Пусть на , поверхностях пластины х—0, x=L и у=оо под- f держивается постоянная одинаковая температура t0, а на поверхности у=0 — распределение температуры вцда t=t0(l-\-x/L). Рассма- триваемая полуограниченная пластина пол- r~tetrt ностью теплоизолирована. Стационарное распределение температуры в пластине описывается уравнением Лапласа. Поскольку пластина тонкая, градиентом температуры в направлении z можно пренебречь. Используя первые два члена уравнения A.6) и обозначая Д*= =t—10, получаем следующее исходное уравне- 5 ние задачи: Рис. .1.5. Стационарная теп- . д*Ш) \ д* (Aft л лопроводность тонкой ила- .Л '-\- й\ ' =и. A-П) стины. 0Х °У 18 t=t04
Граничные условия имеют вид: при х = 0, L At = to — t0 = 0 при у = оо M — t0 — ^0 = 0 при у = 0 .... . At = t(x) — t0 = At(x) Уравнение A.11) решается методом разделения переменных. Предполагается, что решение можно записать в виде произведения (М)=Х(х) -Y(y). Используя двойные штрихи для обозначения вторых производных, запишем d2(At)/dx2=X"Y и d2(At)/dy2=XY". Таким образом, A.11) сводится к виду yrr угг 4-=-V; <112> Для того чтобы уравнение A.12) удовлетворялось при всех значениях X и К, обе его части должны быть равны постоянной, например, —X2. Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения j2 Q2. _ _? Q2 •кг Л > ~y Л . Запишем эти уравнения в виде Х"+Я2Х=0; Y"—X2Y=0. Они имеют следующие решения: Х=С\ sm%x+C2COs'kx\ A.13а) 7 = С8^ + С4<гЧ A.136) Таким образом, общее решение уравнения A.11) имеет вид: М — ху = (С1 sin Хх + С2 cos Хх) (Съегу + С^е~Ху). A.1 Зв) Для того чтобы при #=0 решение обращалось в нуль, первый член выражения A.13а) при этом условии также должен обращаться в нуль. Следовательно, Сг=0. По тем же соображениям условие Af=0 при y=zoo требует, чтобы второй член уравнения A.136) также становился равным нулю при */=оо, откуда С3=0. Таким образом, общее решение сводится к зависимости M = Ce~*ysin3Lx, где С — произвольная постоянная, равная произведению С\ и С±, Для выполнения граничного условия М=0 при x=L необходимо, чтобы sinAZ=0 или X=mt/L, где п=1, 2, 3 ... Тогда общее решение записывается в виде —s оо Cne-n«y,Ls.n™c_ где каждому п соответствует свое значение С. Для определения значений Сп при #=0 используем граничное условие At=At {x), где Щх) = ^СяЛп^ *=1 2* 19
и представляет собой разложение функции At(x) в ряд Фурье по синусам. Следовательно, L Cn = -j- \ М (х) sin ?jZ- dx, о причем при M(x)=U(l+x/L)—t0=t0xfL это выражение принимает вид: L . mix * х sin —j- ax. о Интегрирование по частям приводит к выражению С„ == т~4г(sinптс — /zrccosnTu), n = 1, 2, 3..., и частное решение имеет вид: f = *# + 2*,fj Г5)ПП"-^С05П «T^sin^x. A.14) Я=1 Нестационарные задачи. Аналитические решения нестационарных задач теплопроводности получают, решая A.3). При отсутствии внутренних источников тепла оно сводится к A.4). Процедура аналитического решения очень похожа на использованную при решении двумерной стационарной задачи. Рассмотрим плоскую пластину, неограниченную в направлениях у и z. Пусть координата х=0 соответствует одной поверхности пластины, a x=L — другой (т. е. толщина пластины равна L). В начальный момент вся пластина имеет однородную температуру to. Требуется определить распределение температуры в пластине, после того как ее поверхности мгновенно охлаждаются до /=0. Следовательно, необходимо решить A.4) в одномерном приближении: дН 1 dt n 1С;ч при следующих граничных условиях: при х = 0 t = 0 для т> О при х =L ? = 0 для х> 0 Начальные условия: т=0 t = t0 для O^x^L. Уравнение A.15) не сложнее, чем A.11), и также решается методом разделения переменных. Пусть t=XT9 так что A.15) можно записать в виде X ~~ а г — к ' где X— постоянная разделения. В результате получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения: Г + сЛ2Г=0, 20
которые соответственно имеют решения: Х= Ci sin Хх + C2 cos %x\ = Съе Постоянные интегрирования теперь С4 = СхСз и С5 = С2С3 и t(x, z) = e-al4(C,smXx+C5cosXx). A.16) Поскольку при х—0 t(x, т)=0, очевидно, что Cs=0. Кроме того, при x=L t(x, т)=0. Таким образом, либо С4, либо sin XL должны быть равны 0. Если С4=0, получаем тривиальное решение, поэтому выбираем sinAX=0 или Х=пл/Ь для м=1, 2, 3 . .. Уравнение A.16) при этом запишется в виде t(x,z) = e-a(n*IL)^Cnsm"?-x, /1=1,2,3..., и для того чтобы удовлетворить граничным условиям, потребуем: оо /0 = JjCnsin^x. п=\ Это выражение — разложение постоянной температуры to в ряд Фурье, причем коэффициенты ряда определяются из соотношения L Сп = — [toSin^xdx. A-17) о Выполняя интегрирование в выражении A.17), получаем: Сп = 2^- (cos ш- 1). п tin v ' Частное решение уравнения A.15) имеет вид: t(x^)=V4^e'a^IL)^sm^-x,n^\,3,5... (!.18a) Рассмотрим теперь плоскую пластину, неограниченную в направлениях у и z и имеющую в начальный момент однородную температуру ti. Требуется найти распределение температур в пластине, после того как ее поверхности (при х=0 и x=L) мгновенно нагреваются до температуры t0. Эта задача описывается A.15) при следующих граничных условиях: при х = 0 t — t0 для х > 0 при x = L t = tQ для х> 0 при т = 0 t = ^ для 0 ^ х ^ L Решение определяется выражением A.18а), соответствующим образом измененным для того, чтобы учесть повышение температуры на поверхностях пластины: t (Х, Т) _ ;о = V 4 (г;-^ е- "»/L>2T sinЦ-х, п = 1.3,5... A.186) /1=1 21
Олсон и Шульц [4]j вычислили сумму ряда A.186) для средней плоскости пластины при x=L/2. Выраженная через число Фурье Fo=4ax/L2, она оказалась равной P(Fo) = ±^-L e-^'2)'Fosm^-. A.19а) /2=1 Таким образом, В [5—10] имеется множество графиков, позволяющих быстро решать задачи, подобные рассмотренным, избегая трудоемкой процедуры вычисления рядов типа A.18). Эти графики дают готовые решения, и их не следует путать с процедурой графического решения, которая будет рассмотрена ниже. Численный метод Численный метод решения задач теплопроводности основан на использовании техники конечных разностей. Этим методом могут быть решены как стационарные, так и нестационарные задачи, а также, что наиболее важно, задачи, не имеющие аналитического решения. Подробное обсуждение метода конечных разностей проводится в гл. 6 и 7, где детально рассматриваются программы решения стационарных и нестационарных задач для ЭВМ. Аналоговый метод Аналоговый метод основан на подобии двух форм уравнения диффузии: дх2 —^° дч и дх2 a dz ' где Е — напряжение; С— емкость йа единицу длины; R' — сопротивление на единицу длины. Первое из этих уравнений описывает распределение напряжения в линиях передач с распределенными параметрами (сопротивлением и емкостью). Второе представляет собой одномерное уравнение Фурье и следует непосредственно из A.4). Электрическими и тепловыми аналогами являются: напряжение и температура, ток и тепловой поток, электрическое время (с) и тепловое время (ч). Эти величины используются для определения значений термического сопротивления, °С/Вт, *=? и термической емкости, Дж/°С, Ct=pVc. Заметим, что произведение RCt на единицу длины является аналогом величины, обратной коэффициенту температуропроводности: Аналоговую схему стационарной задачи легко получить, если разделить рассматриваемое тело на конечное число дискретных элементов 22
(узлов) и пренебречь термическими емкостями. По существу это применение конечно-разностного метода, подробно описанного в гл. 6. Затем рассчитываются термические сопротивления между узлами, как в соответствующих задачах теории электрических цепей. Большинство теорем и правил теории электрических цепей применимо и к задачам теплопроводности. Аналоговым методом удобно решать не очень трудоемкие задачи, решение которых на ЭВМ неоправданно. Строзер [10]1 описывает решение стационарных уравнений теплопроводности на аналоговых вычислительных машинах (АВМ). Электрические моделирующие схемы, содержащие около сотни усилителей, легко собираются и позволяют получать решение простым измерением напряжений в соответствующих точках. Рис. 1.6. Трехконтурная электроаналоговая модель пластины (ввиду симметрии задачи емкость центрального конденсатора уменьшается вдвое, а изображенная пунктиром часть схемы не рассматривается). Нестационарные задачи теплопроводности моделируются набором дискретных 7?С-цепочек. На рис. 1.6 показана трехконтурная модель для решения следующей задачи теплопроводности в плоской пластине. В начальный момент пластина имеет однородную температуру t0, а затем ее поверхности мгновенно нагревают до температуры t\. Электрическим аналогом этой задачи является мгновенное подключение к цепи источника напряжения с последующей зарядкой конденсаторов. Задачи такого типа можно решать методами теории переходных процессов в линейных электрических цепях или на АВМ [11]. АВМ имеет два недостатка. Во-первых, в комплекте установки всегда имеется ограниченное число усилителей, в связи с чем и число ^С-цепочек, используемых для решения задачи, ограниченно. Кроме того, АВМ необходимо градуировать относительно электрических параметров. При выборе масштабных множителей для пересчета от часов к секундам и от градусов температуры к вольтам необходимо следить за тем, чтобы ни один из усилителей не работал в режиме перегрузки, т. е. не попал под напряжение, превышающее максимально допустимое. Для вычисления с помощью аналоговой схемы, показанной на рис. 1.6, изменения температуры центра пластины во времени применяют первый или второй законы Кирхгофа для токов в узлах или напряжений в контурах. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру, содержащему электрические аналоги термического сопротивления и емкости, получаем: E^Ri + ^Udz, где Е — напряжение; i — мгновенный ток. Запишем соответствующие уравнения для двух соседних контуров в интегральной форме, заменяя Е и / на М и q: 0==-(^Jdt)'7i+Bi?+^rIdx+^ldT)'72- 23 Г 2R О Яг ZR т1 I --oS>-j
Определим преобразование Лапласа оо о где 5 — переменная преобразования Лапласа. Поскольку решение проводится для температурного напора Мг а начальный температурный напор между поверхностью пластины и жидкостью равен нулю, уравнения для контуров преобразуются к виду -^=f« + 7frJ Q. (*) - Ш Q, (*); Cts) ^ r> [Cts Решив систему преобразованных уравнений для двух контуров относительно Q2(s), получим: ^2 E) = Ct BR*s2 +5Rs/Ct + 2/C2t)' Обратное преобразование дает выражение для мгновенного теплового потока At J e^^__em, q* (T) = WCJ [ т2—т1 где т т — ~5/С* ±y^/CtL-lW/C~t Температуру центра пластины находим, интегрируя выражение для мгновенного теплового потока: t(±_,.)-t+ M (e—-e— - J-4-—I A-20) Для более сложных задач вместо аналогового метода предпочтительнее использовать численный расчет на ЭВМ. Это продемонстрировано в гл. 7, которая содержит детальное описание обобщенной программы решения задач нестационарной теплопроводности для электронно-вычислительной машины. Графический метод Графический метод решения уравнения теплопроводности, называемый иногда методом Шмидта [12], не требует сложных вычислений и позволяет получить практические решения нестационарных задач с различными граничными условиями. Однако он применим лишь для тел простейших геометрических форм или простых составных тел, таких как ряд параллельных плоских стенок. Согласно методу Шмидта исследуемое тело разбивается на отдельные слои небольшой толщины Ад:. Противоположные границы каждого из слоев соединяются прямыми, совокупность которых аппроксимирует профиль температуры в теле, причем чем меньше Ах, тем ближе аппроксимирующая ломаная проходит к действительной температурной кривой. Температура центра каждого слоя в рассматриваемый момент считывается непосредственно с графика. 24
Интервал времени между последовательно наносимыми линейными аппроксимациями профиля температуры зависит от выбранной толщины слоя Ах и вычисляется по формуле График каждого последующего температурного распределения строят, соединяя точки пересечения границ слоев с графиком предшествующего распределения температуры. Анализ показывает, что температура центра любого слоя в конце рассматриваемого интервала времени равна средней арифметической из температур центров двух соседних слоев в конце временного интервала, предшествующего рассматриваемому. Пример 1.1. Сравнение различных методов решения нестационарной задачи теплопроводности. Плоская металлическая пластина толщиной 0,1525 м обладает следующими теп- лофизическими свойствами: теплопроводность 33,4 Вт/(м-°С), удельная теплоемкость 846 Дж/(кг-°С) и плотность 7350 кг/м3. Первоначально пластина имела однородную температуру 38°С, а при т=0 поверхности пластины мгновенно нагревают до 260°С. Определить температуру центра пластины по прошествии 5 мин (т = 5 мин = = 5/60 ч), используя аналитический метод с применением уравнения Фурье, численный метод, аналоговый метод (схема с тремя ^С-цепочкахМи) и графический метод. Решение, 1. Аналитический метод. Для рассматриваемой задачи применяем решение уравнения Фурье, полученное Олсоном и Шульцем: A.19а) и A.196). Вычисляем коэффициент температуропроводности а и число Фурье Fo: а = ^=84о^=5>37'10м2/^0,0193м7ч; 4а, _ 4.0,0193.5/60 Fo=-_ 5-Tg5^ = 0,276. Из A.19a) P(Fo) =0,6435; из A.196) t Цг, -^Л = 260 + C8 — 260) 0,6435 = 117°С. 2. Численный метод. В основе метода — конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений. Пластина делится на слои толщиной Д#=2,54 см. С помощью программы для ЭВМ, подробно описанной в гл. 6, получаем, что температура центра пластины через 5 мин составляет: <(-г> ж)=118'5°с- Разницу результатов численного и аналитического решений можно сократить, применив Ах. 3. Аналоговый метод. Применяем трехконтурную аналоговую схему, изображенную на рис. 1.6, и уравнение A.20). Поскольку пластина симметрична, рассматривается только часть схемы, показанная сплошными линиями. Пластина делится на три слоя, причехМ каждое R соответствует слою толщиной 2,54 см. Термическое сопротивление участка одного слоя площадью 0,0929 м2 A фут2) L 0,0254 R=II= 33,4.0,0929 = 0,00818»С/Вт. Каждое значение емкости Ct соответствует слою толщиной 5,08 см, за исключением центрального конденсатора, емкость которого ввиду симметрии схемы равна ~2-Ct. Термическая емкость слоя объемом 1/=0,0508-0,0929 = 0,00472 м3: С,=р1/с=7350-0,00472-846=29 350 Дж/°С. 25
При вычисленных значениях R и Ct, М = 260 — 38 = 222°С и *=~Qfr ч по уравнению A.20) находим: 'D- w)=iio°c- Подобное же, но значительно более трудоемкое решение этой задачи с помощью пятиконтурной аналоговой модели дает ответ, более близкий к 117°С —результату расчета аналитическим методом. 4. Графический метод. Для графического решения пластина разбивается на 6 слоев толщиной Ах=2,54 см каждый. Тогда Д*2 0,02542 Ат = 2а 2-0,0193 =0,0167 ч. Границы слоев Рис. 1.7. Решение уравнения теплопроводности графическим методом (по Шмидту). Следовательно, каждый временной интервал равен 1 мин и кривые Шмидта строятся для пяти интервалов. Построение показано на рис. 1.7. Температура центра пластины по прошествии 5 мин L 5 t 60 :137*С. КОНВЕКЦИЯ Введение Конвекция — это перенос тепла движущейся жидкостью, сопровождаемый перемешиванием ее объемов с различной температурой. Жидкость, соприкасающаяся с горячей поверхностью, нагрета сильнее, чем остальная масса. Если движение жидкости происходит только вследствие возникающей при этом разницы плотностей и подъемных сил в поле тяжести, такой процесс называют свободной или естественной конвекцией. Если перемешивание осуществляется каким-либо другим способом, то такой процесс называют вынужденной конвекцией, хотя в некоторых случаях свободная и вынужденная конвекция вносят одинако- вый вклад в результирую- Ezz2zzgzzzzzzzzg2zzz3 щее движение жидкости. В любом случае конвекция представляет собой явление переноса энергии или массы, имеющее преимущественно макроскопический характер. Можно спорить о том, представляет ли собой ХГГГ7 UZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZb а) *). Рис. 1.8. Профили скорости при ламинарном (а) и турбулентном ((б) течении. конвекция отдельный в.ид теплообмена или это по существу явление теплопроводности. Принято, однако, считать конвекцию особым видОхМ теплообмена. Так это или не так, но при составлении уравнений баланса энергии необходимо учитывать движение жидкости. Несомненно, в настоящее время наибольший интерес в области конвективного теплообмена представляет изучение механизма энергообмена между стенкой и 26
движущейся жидкостью, причем понимание этого механизма невозможно без понимания как процессов теплопроводности, так и характера движения жидкости. Существуют два различных режима течения жидкости — ламинарный и турбулентный (рис. 1.8). При ламинарном течении отдельные линии тока упорядочены и параллельны, а компоненты скорости, нормальные к основному потоку, отсутствуют. Распределение скоростей по поперечному сечению ламинарного потока — параболическое, скорость жидкости, соприкасающейся со стенкой, равна нулю. Передача тепла в жидкости осущест^яетс^ теплопроводности.уЗгР- ^хре1шя7~1нте1Ш^ Турбулентное течение в отличие от ламинарного" неупорядочено. Линии тока, если их вообще удается различить, хаотично переплетаются. Скорость движения изотермического турбулентного потока практически постоянна по поперечному сечению канала. К механизму теплопроводности добавляется перенос энергии поперек основного потока турбулентными вихрями.) Коэффициент теплоотдачи Конвективный тепловой поток от поверхности к движущейся жидкости прямо пропорционален площади поверхности и разности температур поверхности f и жидкости t". Следовательно, Вводя коэффициент пропорциональности, получаем равенство q=hS{f—t"), A.21а) служащее определением коэффициента теплоотдачи А: и— g/g__ —k(dt/dy) /i 9ix\ п — t' — t" V — t" ' U-^ioj где координата у перпендикулярна к поверхности. Уравнение A.21а) предложено Ньютоном. Согласно уравнению Ньютона коэффициент Ш теплоотдачи h является функцией скорости потока, его конфигурации щ (учитывающей и шероховатость поверхности) и некоторых теплофизик ^ ческих свойств жидкости. Для любых условий коэффициент теплоотдачи не определен до тех пор, пока не заданы площадь поверхности и разность температур (температурный напор), к которым его относят. Рассмотрим, например, движение жидкости ло трубе внутренним диаметром D и длиной L. Площадь внутренней поверхности трубы Si=nDL. Это значение целесообразно использовать в качестве площади поверхности теплообмена, хотя труба имеет и другую поверхность, соответствующую наружному диаметру. Однако если температура внутренней поверхности трубы t'i изменяется по длине, то при одной и той продольная координата же площади поверхности S< можно определить несколько коэффициентов теплоотдачи Рис- L9- Профили температур в зависимости от выбора сответствующей стенки и ™?ти по длине разности температур. imm стенка. 2- жидкость. 27 ) <^ о ^ в а. OJ с К 1 t{ tf '/ / 2 — Ь'г —h =^>
Рассмотрим рис. 1.9, на котором показаны профили температуры внутренней стенки и жидкости по длине трубы. Можно ввести несколько разностей температур, в частности разность температур на входе и выходе, среднеарифметическую и среднелогарифмическую. Разность температур на входе где индекс 1 соответствует входу. Среднеарифметическая разность температур где индекс 2 соответствует выходу. Среднелогарифмическая разность температур «лог— In [(*',-*,)/(*',-*,)] • Эта формула будет выведена в гл. 9. Следовательно для одной и той же поверхности площадью Si = jtDL можно определить три различных коэффициента теплоотдачи. Это Аь определяемый по температурному напору на входе: К Я — A.22) Аа, определяемый по среднеарифметическому температурному напору: и —._?_= 2Л A.23) и hlt определяемый пэ среднелогарифмическэму температурному напору: q q\bWx-tx)/(t\-U)] . (j 24) hr 'SiM» ¦^К^-М-^-У] Пограничный слой Коэффициент теплоотдачи как при свободной, так и при вынужденной конвекции связан с характеристиками пограничного слоя. Рассмотрим вынужденное изотермическое течение жидкости вдоль плоской пластины, как показано на рис. 1.10. Скорость жидкости, непосредственно соприкасающейся с поверхностью, равна нулю. Как видно из рисунка, в направлении, перпендикулярном к пластине, происходит непрерывное изменение скорости от нуля на поверхности до скорости основного потока на некотором небольшом расстоянии от нее б, называемом толщиной гидродинамического пограничного слоя. Значение 6 можно опре- Рис. 1.10. Профили скорости ори продольном Делить из УСЛОВИЯ, ЧТО СКО- обтекании плоской пластины. рость жидкости на этом рас- 28 Переходная зона
стоянии от стенки достигает, скажем, 99% скорости основного потока, хотя распространены и другие определения 1. Вблизи пластины, вдоль параллельных ей плоскостей, действуют касательные напряжения, пропорциональные градиенту скорости, нормальному к поверхности — скорости сдвига. Пропорциональность между касательным напряжением ts, скоростью V и расстоянием от стенки у можно обратить в равенство, введя в качестве коэффициента пропорциональности динамическую вязкость \х. Таким образом, Это соотношение, впервые установленное Ньютоном, справедливо для большой группы жидкостей, в которых касательные напряжения пропорциональны скоростям сдвига. Такие жидкости называются ньютоновскими. Жидкости, для которых зависимость A.25) не выполняется, называются неньютоновскими. Влияние вязкости существенно лишь в ламинарном пограничном слое, где происходит резкое изменение скорости по нормали к поверхности (-г— ф0\. Вне пограничного слоя внутреннее трение в жидкости можно не учитывать и рассматривать течение невязкой (идеальной) жидкости. Возвращаясь к рис. 1.10, заметим, что толщина ламинарного пограничного слоя нарастает от нуля у передней кромки пластины до некоторого значения на расстоянии Хс от нее, называемом критическим. При х>Хс течение теряет ламинарный характер и становится неупорядоченным (линии тока хаотически переплетаются). Хс характеризует начало турбулентного течения, точнее, начало зоны переходного режима течения от ламинарного к развитому турбулентному. Опыты, проведенные на жидкостях с различными вязкостями в широком диапазоне изменения скоростей, показали, что безразмерный комплекс вида XcVp/[i=XcV/v остается практически неизменным при изменении вязкости и скорости. Этот комплекс называется критическим числом Рейнольдса Rec и используется для определения режима течения жидкости (ламинарный или турбулентный). Хотя на критическое число Рейнольдса влияют шероховатость поверхности и условия у передней кромки, обычно Rec= (З-т-5) • 105. Для того чтобы определить, ламинарно течение или турбулентно на некотором расстоянии х от передней кромки пластины, вычисляют число Рейнольдса с характерным размером х и сравнивают его с Rec. При Re<Rec режим течения ламинарный, при Re^Rec — переходный или турбулентный. Из приведенного выражения для Rec и аналогичного выражения для произвольного числа Re с характерным размером х следует, что число Рейнольдса представляет собой отношение сил инерции к силам вязкости. Проведенный анализ обтекания плоской пластины применим и при течении жидкости в трубе — для участка, на котором происходит развитие пограничного слоя. Как видно из рис. 1.11, пограничный слой симметричен относительно оси трубы на расстоянии Le от входного сечения. 1 В отечественной литературе толщиной динамического пограничного слоя называют условную величину, равную расстоянию по нормали от стенки, на котором продольная составляющая скорости с заданной точностью достигает своего предельного значения вдали от стенки. (Прим. пер.) 29
^Гп!^рИ X=sL: погРаничный слой ламинарный, профиль скорости имеет параболический вид по сечению трубы. Если же при S? течение турбулентное, профиль скорости имеет вид, показанный на рис 1Д6 при x>Le профиль скорости не изменяется по длине трубы Такое течение называется полностью развитым. Для полностью развитого те чения критическое число Рейнольдса, у которого в качестве^хара™?оно го размера используется внутренний диаметр трубы (ReJ^wX- =DGI^), равно приблизительно 2100. р/ц ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ2& Д°Сих пор мы Рассматривали изотермическое течение жидкости. Конвективный теплообмен — процесс столь сложный, что общего подхода к решению любых задач не су- is^zzszzzzzzzSSSSZQ, ществует Точные решения уравнений пограничного слоя довольно сложны, за исключением лишь Рис. l.ll. Формирование по- самых простых случаев. Их применяют обычно граничного слоя в круглой к задачам ламинарной конвекции, основные трубе. характеристики которой хорошо известны, но область практического использования ограничена. Для решения задач как ламинарной, так и турбулентной конвекции получили распространение методы приближенного интегрирования не требующие детального описания физического механизма процессов Эти методы привлекательны тем, что позволяют значительно расширить круг задач, для которых может быть получено аналитическое решение При анализе турбулентной конвекции широко используется аналогия между переносом тепла, массы и количества движения, подтвержденная ^ольшим объемом достоверных опытных данных. / В тех случаях, когда математический анализ задачи неосуществим ввиду большой ее сложности или недостаточного понимания физиче- \ ского механизма явлений, мощным средством для получения обобщен- , ных зависимостей служат методы анализа размерностей в сочетании | с надежными опытными данными. Коэффициент теплоотдачи при вынужденной конвекции жидкости в трубах и каналах и^™,аССМ0Т?ИМ ста1*ионаРное течение жидкости с постоянными физическими свойствами р с, ц я k в трубе внутренним радиусом гДли- ?ЦЯС постоянной температурой стенки if. Введем полярные координаты и обозначим полярный угол через 8. Полный тепловой поток от трубы к жидкости составляет: q = l\(k^\=rr^dx> A26) 0 0 * где знак минус отсутствует, так как положительное направление градиента температуры dt/dr выбирается в направлении г. Из A 24) и A.гь) получаем выражение для коэффициента теплоотдачи А«, отнесен- нГти^ТрРаетуНреМд1оГ-аМеТРУ ТРУбЫ ° И сРе^елогаРиФ"и^ской раз- J J [k(dt/dr)]rssridBdx и ° ° h> = ЬШ^ . A.27) 30
Умножив hi на D/k, получим безразмерный коэффициент теплоотдачи— число Нуссельта: L2«c f [ [k(dt/dr)]r=r.dQdx Nu = ° 6 h0 тжп . (l-?8> ?2тс (L/Z)) Млог \ / Для вычисления Nu по этому уравнению необходимо определить градиент температуры у стенки (dt/dr)r=r.. Температура жидкости t обычно является функцией многих переменных, в частности: * = /(-2Г' А/' Re' Рг' Вг)' (Ь29) где Pr=c]x/k — число Прандтля, безразмерный комплекс, составленный из теплофизических свойств жидкости и представляющий собой отношение скоростей переноса количества движения и энергии; Re — число Рейнольдса, параметр режима течения, определенный ранее; Вг — число Бринкмана, являющееся мерой вязкого нагрева жидкости (обычно пренебрежимо мало). Из A.28), учитывая A.29) и пренебрегая числом Бринкмана, получаем следующие формы обобщенных зависимостей для теплоотдачи при вынужденном стационарном течении в горизонтальных трубах или каналах: ламинарное течение Nu^f(Re, Pr, 4"); 0-30) турбулентное течение Nu=f(Re, Pr). A.31) Эти уравнения подтверждаются и анализом размерностей. При выводе A.30) и A.31) физические свойства жидкостей принимались постоянными. При больших температурных напорах между стенкой и жидкостью это допущение может приводить к серьезным ошибкам, так как \х и р могут сильно изменяться в зависимости от температуры. Зидер и Тейт [13] предложили поправочный коэффициент \i/\xw, учитывающий изменение вязкости, где \х — вязкость жидкости при среднемассовои температуре, или средней температуре жидкости (между температурами на входе и выходе из канала), а [iw— вязкость жидкости при температуре стенки трубы. Коэффициент теплоотдачи может быть получен из уравнений, содержащих число Нуссельта Nu=hiD/k или в соответствии с рекомендациями Колберна [14] из уравнений, содержащих число Стантона: ef_ Nu _ hD/k h_ ~ Re Pr (DG/p) (c^/k) — cG ¦ Уравнения, обычно используемые для обобщения данных о тепло-') отдаче или для вычисления коэффициентов теплоотдачи, называют иногда уравнениями типа Нуссельта или типа Колберна. Каждый из этих типов может быть преобразован в другой. Следовательно, единственной причиной выбора уравнения того или иного типа является удобство его применения. Долгое время в литературе почти отсутствовали данные об изменении теплопроводности газов с температурой, особенно в высокотемпературной области. Уравнения типа Колберна наиболее удобны для расчета теплоотдачи к газам, поскольку тепло- 31
проводность газа входит только в число Прандтля, сравнительно слабо зависящее от температуры. Поэтому значения коэффициентов теплоотдачи к газу можно вычислять с довольно высокой степенью точности даже в тех случаях, когда известно лишь число Прандтля при температуре, отличной от реального интервала ее изменения. С другой стороны, теплофизические свойства капельных жидкостей удобно представлять в графической форме и использовать эти графики при вычислении коэффициентов теплоотдачи по уравнениям типа Нуссельта. Например, зависимость комплекса &(c|i/&I/3 от jul хорошо описывает свойства различных углеводородов. Ниже приводятся уравнения обоих типов, обобщающие опытные данные Зидера и Тейта для ламинарного и турбулентного режимов течения жидкостей в трубах. Уравнения имеют достаточно высокую точность для труб внутренним диаметром примерно до 80 мм при температурных напорах между стенкой и жидкостью до 60°С. Ламинарное течение (Re<2100) Уравнение типа Нуссельта ".= '•»(" 5"ГГ(?Г. С32) где коэффициент теплоотдачи h относят к среднеарифметическому температурному напору; теплофизические свойства с, [х и k определяют при среднеарифметической температуре жидкости (между температурами на входе и выходе из канала), a \iw — при температуре стенки. Уравнение типа Колберна h /ср.\2/з /L\i/3 /> \-o>i4_ 1,86 п q. Переходный режим течения (Re = 2100-МО4) Согласно работе Хаузена [15] уравнение типа Нуссельта «> :0,11бГ/^2/3_ k u», '25К^)(?П'+(?Г} <1М> а уравнение типа Колберна (h/cG)(c^/kJ^^/^w)-0^ 0, П6 [(DG/m.J/3-125] (] «-. Турбулентное течение (Re>104) Уравнение типа Нуссельта уравнение типа Колберна h_ /qx_\2/3 / ^ \-0,14 0,023 , „ cG [k ) [v.w) —(DGM*-*- Kl01) Уравнения A.32) — A.37) можно применять также для расчета теплоотдачи в каналах некруглого поперечного сечения и в трубах с внутренним оребрением. Необходимо лишь видоизменить характерный размер D, входящий в число Рейнольдса. Применение этих уравнений подробно рассматривается во второй части книги, посвященной расчету теплообменников. 32
Коэффициенты теплоотдачи при вынужденной конвекции в случае внешнего обтекания труб Уравнения для теплоотдачи при вынужденном продольном или поперечном обтекании труб можно получить с помощью анализа размерностей. Как видно из рис. 1.1, наружная и внутренняя поверхности труб могут быть развиты либо с помощью дополнительных ребер, укрепляемых на стенке, либо путем экструзии (выдавливания) ребер из материала самой трубы. В этой книге гладкие трубы рассматриваются главным образом с точки зрения возможности их развития и создания оребренных поверхностей различных геометрий, а также как эталон для сравнения с оребренными трубами по эффективности и стоимости. Свободная конвекция При свободной или естественной конвекции характер движения жидкости определяется только подъемными силами, зависящими в свою очередь от плотности и сил тяжести. Кроме того, профили скорости и температуры в жидкости тесно взаимосвязаны. Это резко отличает рассматриваемый вид теплообмена от вынужденной конвекции, когда режим течения определяется внешними силами, создаваемыми, например, насосами или вентиляторами. В последнем случае предварительно определяют профиль скорости, а затем используют его для расчета профиля температуры. При вынужденной конвекции число Нуссельта является функцией чисел Прандтля и Рейнольдса, а при свободной конвекции — чисел Прандтля и Грасгофа. Число Грасгофа— это безразмерный комплекс, представляющий собой отношение подъемных сил к силам вязкости: где р — температурный коэффициент объемного расширения; g — локальное ускорение свободного падения. Обобщенное соотношение для теплоотдачи при свободной конвекции имеет вид: Nu^C.KGrHPrr^C, [(i^) (??.)]". A.38) Уравнение A.38) справедливо для тел различных геометрических форм при различных положениях в поле тяжести. Значения С\ и п зависят от геометрии и характера течения. При свободной конвекции произведение GrPr заменяет число Рейнольдса в качестве критерия режима течения (ламинарного или турбулентного). Граница между этими режимами лежит примерно при GrPr=109. При ламинарном течении (GrPr=103-f-109) я=1/4, при турбулентном течении (GrPr= =109^-1012) л=1/3. Средний коэффициент теплоотдачи при свободной конвекции между параллельными вертикальными пластинами можно определить из рис. 1.12 по Эленбаасу [16];. Этот автор получил следующее соотношение для оптимального расстояния между пластинами заданной длины L, при котором они передают максимальный тепловой поток: 6-fGronrPi=50, где в качестве характерного размера в число Грасгофа входит расстояние между пластинами Ь. Все физические свойства жидкости за исклю- 3—192 33
чением р, определяются при температуре стенки, а р — при среднемас- совой температуре жидкости. Старнер и Мак-Манус [17] опубликовали данные по теплоотдаче при свободной конвекции на продольных ребрах с различной ориентацией. Собел, Лэндис и Мюллер [18] исследовали теплоотдачу при свободной конвекции воздуха в коротких прямых и ступенчатых верти- 10 1 0,1 ST ¦Т., ПС гА/и=т - — — - Л- t jji [д..... —L. J. JJJ J -J- jL r i II u L Iff ff -J II I i hiii л GvPry- _L J_ [X Qljj %o 10 100 w6 10* 105 Рис. 1.12. Теплоотдача при свободной конвекции между вертикальными параллельными пластинами. кальных каналах, образованных продольными ребрами, расположенными коридорно или в шахматном порядке, при постоянном тепловом потоке на стенке. Числа Нуссельта для прямых каналов хорошо согласуются с зависимостью Эленбааса [16], но для очень коротких ступенчатых каналов число Нуссельта значительно возрастает. Коэффициент теплопередачи При решении практических задач очень редко можно ограничиться анализом лишь одного вида теплообмена. Как правило, общий тепловой поток определяется двумя или несколькими его видами. Например, в случае, когда две жидкости с температурами i\ и t2 разделены плоской стенкой толщиной L, тепловой поток зависит от соответствующих коэффициентов теплоотдачи h\ и h2 и теплопроводности стенки к, т. е. определяется конвективной теплоотдачей и теплопроводностью. Если температура стенки со стороны жидкости с температурой \U равна ?и г со стороны жидкости с температурой t2 — соответственно f% то для теплового потока через участок стенки площадью А можно записать следующие три соотношения: q = hxA{U-t\)\ Решая их относительно разностей температур, находим; *» *l A hx> f —f — -2-— • t\ f* A h2 • 34
Сложив эти уравнения, получим: или где {l/hl + L/k+l/h2) A С ~ О =U* «. " О. ^— i/^ + i/fc+i/л, A,39) называется коэффициентом теплопередачи между двумя жидкостями, разделенными плоской стенкой. Если стенка очень тонкая и обладает высокой теплопроводностью, то членом L/k можно пренебречь, что приводит к соотношению _: ^ U-- h.+ h, Рассмотрим теперь более сложный случай. По трубе внутренним и наружным радиусами т\ и г\ движется жидкость с температурой t\. Коэффициент теплоотдачи от жидкости к внутренней стенке трубы Л*. Снаружи труба покрыта теплоизоляцией внешним радиусом г0. Коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности изоляции к окружающей среде (с температурой t2)h0. В этом случае коэффициент теплопередачи между жидкостью в трубе и окружающей изоляцию средой определяется соотношением ~~ s0 sQ In (rjrj) SplnCro/rt) 1 ' I' ' htSt "*~ 2nkp "*" 2nkm hQ где kp и km — теплопроводность трубы и изоляции соответственно; so — площадь наружной поверхности изоляции на единицу длины трубы. Из A.40) можно найти тепловой поток на единицу длины, передаваемый через трубу с изоляцией. ИЗЛУЧЕНИЕ Введение Излучение — это явление переноса энергии, для осуществления которого присутствие физической среды необязательно. Оно имеет электромагнитную природу, причем в вакууме энергия излучения распространяется со скоростью света. Теоретическое решение задач лучистого теплообмена происходит в общих чертах в такой последовательности: 1. Вводится понятие идеального излучателя с температурой Г«К, излучающего во всем диапазоне длин волн в соответствии с законом распределения Планка. Этот закон определяет спектральную (монохроматическую) плотность потока энергии, излучаемой «идеальной» поверхностью. 2. Посредством интегрирования кривой распределения Планка находится плотность потока интегрального (полусферического) излучения тела при температуре Ts. 3. Определяется лучистый теплообмен между двумя телами — идеальными излучателями при полном взаимном облучении. 3* 35
4. Вносятся поправки, учитывающие, что одно или оба тела не являются идеальными излучателями. 5. Вносятся поправки, учитывающие неполное взаимное облучение тел. Закон Планка Зависимость спектральной (монохроматической) плотности потока излучения идеального излучателя [ЕвХ от длины волны X была в конце прошлого века предметом многочисленных исследований, как экспериментальных, так и теоретических. Планк, создавая квантовую теорию, постулировал следующий закон, описывающий распределение энергии по спектру излучения, Вт/(м2-мкм): ¦¦ Е _ 3,740,-IPX- П41> Этот закон показывает, что спектральная плотность потока излучения сильно зависит как от длины волны, так и от абсолютной температуры. Однако он не позволяет определить плотность полного потока энергии, излучаемой телом при данной температуре. Ее получают интегрированием A.41) по всем длинам волн. Закон Стефана—Больцмана Плотность полного (полусферического) потока излучения идеального излучателя при определенной температуре, Вт/м2, можно получить, проинтегрировав зависимость Планка по всем длинам волн 00 СО Eb = $EbXdX=j 3,740-10- е1Х?_ч. A.42) о о * Произведем замену переменной z—A/X, где А = 14 387/7. Тогда X=A/z и dX=—A dzlz2. После подстановки новой переменной .„--3,740-10» J-yggnr ?».=- О Разложив l/(ez—1) в ряд, почленно проинтегрировав его и подставив пределы, получим: с. _3,74(Ы08 / 3! | 3! , 3! , 3! , \ ** — —JP (Т"+^+^+4Г"Г--^- Вычислив выражение в скобках, найдем: F 3,740.10» ft Л0Ч Учитывая, что Л = 14 387/7, получаем окончательно закон Стефана — Больцмана: Еъ=5,668- 1(Н74. Постоянная, как правило, обозначается греческой буквой а и называется постоянной Стефана—Больцмана. Следовательно, Еъ=оТ\ где 0=5,668.10-* Вт/(м2-К4). 36
Закон Стефана—Больцмана определяет плотность полного потока энергии, излучаемой идеальным радиатором, как функцию абсолютной температуры. Полный поток излучения идеального радиатора получают, умножая Еъ на площадь излучающей поверхности 5, Вт: q=cST\ Закон смещения Вина Из закона Планка можно получить важное соотношение между длиной волны и температурой излучения. Введя новую переменную х=А /К, где Л = 14 387 jT, подставим ее в A.41) и продифференцируем это уравнение по длине волны: dEbX __dEbl dx d j C,740.108/Л5)*5 \ ( A\_q d j C,740.108/Л5)х5 ) I "=1х \ e*f^\ I V или dl dx dX ~~dx I ex\—\ I \ *2 После дифференцирования и приведения подобных членов получим 5(ех— \)=хех с / 14387 ДГ п 14 387 _14387/>Т о (е —- I)— ~jf~e Последнее уравнение можно преобразовать к виду 14387 +5e-H387/xr_5==0 Это уравнение удовлетворяется при ЯГ=2897,6 мкм-К; A.43) это и есть закон смещения Вина, позволяющий определять длину волны максимума спектральной плотности потока излучения для любой заданной температуры. Излучение и поглощение, закон Кирхгофа Характеристики излучения и поглощения тела можно рассматривать независимо, но при определенных условиях их можно связать между собой. Пусть на поверхность падает некоторое количество энергии излучения Е. Эта энергия частччно поглощается, частично отражается и частично пропускается поверхностью. Обозначим через а', р' и т' соответственно доли поглощаемой, отражаемой и пропускаемой поверхностью энергии от падающей на нее или поглощательную, отражательную и пропускательную способности1. Тогда для единичной падающей энергии Назовем теперь идеальный излучатель «абсолютно черным телом», т. е. телом, которое поглощает все падающее на него излучение, ничего не отражая и не пропуская. Понятие черного тела весьма полезно, поскольку законы излучения таких тел просты, и многие реальные тела можно приближенно считать черными. Этот термин связан с тем, что 1 Эти обозначения не следует путать с а и т без штрихов, которые использовались ранее в этой главе. 37
поверхность, действительно поглощающая всю падающую на нее энергию, кажется глазу черной. Некоторые поверхности поглощают почти все падающее на них излучение, но все же не кажутся черными. Дело в том, что они поглощают не все видимые лучи света (.например, свеже- выпавший снег или окрашенные белой краской стены, имеющие погло- щательную способность около 0,95). На рис. 1.13 изображено небольшое нечерное тело, полностью окруженное черной оболочкой. Пусть пропускательная способность малого тела % равна нулю, т. е. оно непрозрачно. Следовательно, ¦a'+f/=l. Для случая, представленного на рис. 1.13, излучение черного тела Еъ падает на малое тело, и поток излучения, поглощаемый малым телом, равен а\Еъ. Малое тело, однако, излучает поток энергии Еи и результирующий тепловой поток между малым телом и окружающей его черной оболочкой составляет: q=a'iEb—Е\. Если малое тело имеет ту же температуру, что и оболочка, теплообмена излучением происходить не будет и результирующий тепловой поток равен нулю (^=0). Следовательно, a\Eh = 0; Eb = - Аналогичное соотношение можно получить для произвольного числа нечерных или серых тел в условиях теплового равновесия: Е * - 2 ~^z n A.44) Это весьма общее соотношение известно также как закон Кирхгофа. Плотности тепловых потоков излучения всех черных тел при одинаковой температуре равны. Если малое тело на рис. 1.13 — черное, то a'i=:l и Е\ = Еь. Если предположить, что Е\ больше, чем ?0, то малое тело будет охлаждаться вследствие переноса тепла к черной оболочке. Однако перенос тепла от малого тела к более нагретой оболочке невоз- «\ можен по второму закону термодинамики, согласно которому тепло не может самопроизвольно передаваться от более холодного источника к более нагретому приемнику. Таким образом, если малое тело — черное, то в условиях теплового равновесия оно излучает тепловой поток той же плотности, что и черная оболочка. На % основании изложенного можно сделать следующие выводы: 1. Согласно закону Кирхгофа в условиях теплового равновесия отношение плотности инте- '•••;;';:.•*¦*- трального излучения с поверхности к ее погло- щательной способности одинаково для всех тел. Рис 1.13. Малое тело, за- 2. Поскольку поглощательная способность абсолютно 4рнуюЛЬЖ ПРИ любой температуре не превышает единицы, лочку. плотность потока интегрального излучения по- /-малое тело (нечерное); верхности черного тела максимальна (по срав- 2^очТГтТмпе1?тТр1я°т°' нению с любой другой поверхностью). 38
3. Черное тело можно считать как идеальным излучателем, так и идеальным поглощателем энергии излучения. Поскольку в действительности идеально излучающих и поглощающих тел нет, понятие черного тела представляет собой идеализацию. Разумеется, излучательные характеристики так называемых нечерных тел могут значительно отличаться от их поглощательных характеристик. Излучательные характеристики поверхности при определенной температуре определяются ее излучательной способностью1, представляющей собой отношение действительной плотности потока излучения к плотности потока излучения поверхности черного тела при той же температуре. Таким образом, Е=гЕъ. Обратимся снова к рис. 1.13 и предположим, что малое тело не черное. Энергия, излучаемая черной оболочкой, окружающей малое тело, в единицу времени, равна Еъ. Энергия, поглощаемая малым телом, Е\ = а'\Еъ, а энергия, излучаемая малым телом, в соответствии с определением степени черноты Е\ = г\Еъ. Результирующий тепловой поток между оболочкой и малым телом q=a!\Eb—г\Еъ. Когда малое тело и окружающая его поверхность имеют одинаковую температуру и, следовательно, #=0, af \Еъ=щЕъ, откуда a/i=i8i. Таким образом, в условиях теплового равновесия поглощательная способность поверхности равна ее степени черноты. Заметим, что два тела находятся в тепловом равновесии, только если их температуры равны. Интенсивность излучения и закон косинусов Ламберта На рис. 1.14 показана полусфера, помещенная над элементом излучающей поверхности dS\. На полусферу падает все испускаемое излучение, однако без геометрических искажений излучение попадает только в одну точку полусферы, находящуюся непосредственно над элементом dS\. Из точки на полусфере, смещенной на угол Ф относительно нормали к dSu излучающий элемент dSi будет иметь видимую площадь, равную проекции dS\ cos ф. Интенсивность излучения / в некоторой точке пространства с поверхности^! определяется как энергия, излучаемая в единицу времени, отнесенная к единич- ному телесному углу, построенному на 1 В отечественной литературе принят термин «степень черноты», который и будет использоваться в дальнейшем. (Прим. ред.) Рис. 1.14. К определению интенсивности излучения. 39
элементарной площадке dS2 и к единице поверхности, перпендикулярной направлению луча, соединяющего данную точку пространства с источником излучения. Если поверхность dS2 лежит на полусфере и смещена на угол Ф от нормали к dSu тепловой поток от dS\ к dS2 dq^ I cos Ф dSl yr=I cos Ф dSxdw. A.45) Здесь dw = dS2/r2 есть телесный угол, опирающийся на dS2, под которым dS2 видна из dS{. Обратим внимание, что dS\ cos Ф есть проекция площади dS\, видимая из dS2. Таким образом, интенсивность излучения определяется как ' ^ = dSг cos Фс1ьо ' t1-46) Плотность полусферического потока излучения определяется интегрированием по рассматриваемой поверхности. Следовательно, для поверхности на рис. 1.14 ?=Г Г/со*Ф</ФЛи>=Г C/cosOrfO у*. A.47) W Ф S3 Ф Поскольку dw= (r sin Ф йф) (гЖр) I'г2=sin Ф dO d% A.48) то 2тс тс/2 Е = j* dty f / cos Ф sin Ф а?Ф. A.49) ^ть тс/z В результате двойного интегрирования получаем 2 ? = 2%1 D-sin2 ф) |тс/2 = */, A.50) т. е. плотность полусферического потока излучения в я раз больше интенсивности излучения. Это находится в соответствии с законом косинусов Ламберта, который гласит, что интенсивность излучения по полусфере над излучающим элементом постоянна. Из этого следует, что интенсивность излучения меняется обратно пропорционально квадрату расстояния от источника. Тепловой поток между идеальными излучателями На рис. 1.15 изображены две поверхности S\ и 52, разделенные непоглощающей средой, т. е. средой, не способной задерживать излучение. Некоторые пары и газы, такие как водяной пар, двуокись углерода, сернистый газ, способны значительно поглощать излучение. Обозначим расстояние между элементарными площадками dS\ и dS2 через г. Лучистый поток от \dS\ к dS2 можно записать в виде dqi2—Ii cos<bidSidwi2, где dw\2 — телесный угол, под которым элементарная площадка dS2 видна из dSi. Он равен проекции площади, воспринимающей излучение 40
поверхности, деленной на квадрат расстояния между поверхностями dwi2=dS2 cos Ф2[г2. Следовательно, d ^^cosc^cosjEaofS^S, A51) Поскольку /ь—-jEj/tc, A.51) может быть записано в виде ^м=д1<а1(сиф,У**'). 0.52) где член в скобках определяет часть полной энергии, излучаемой dSu которая попадает на dS2. Аналогично ^MgBg.dS.(Sg*ifflfgi). Результирующий лучистый поток между dSj и dS2 р \ ( cos Фг cos Ф2 dS1 dS2 A.53) или cos Фх cos Ф2 dSjdSt A.54) Двойной интеграл в A.54) может быть записан в виде 5ц/\а12> где /\ai2— геометрический параметр, называемый угловым коэффициентом излучения поверхности S\ на S2. Значение /^12 зависит от конфигураций излучающей и поглощающей поверхностей. Таким образом, тепловой поток S\ к S2 можно записать в виде qi2=(Ei-E2)SlFAl2. A.55) Аналогично q2l=(E2—El)S2FA2l. A.56) Следовательно, результирующий тепловой поток q = SFA (Ex—E2) = SFA AE. A.57) Равенство SiFa\2 = S2Fa21 A.58) Рис. 1.15. Поверхности, разделенные непо- глощающей средой. известно как теорема взаимности. Определение угловых коэффициентов путем вычисления двойных интегралов— трудоемкая процедура даже для самых простых конфигураций. Но в литературе [19—21] имеются результаты множества расчетов угловых коэффициентов для различных конфигураций, представляющих практический интерес. Тепловой поток между неидеальными излучателями В предшествующем разделе рассматривался лучистый теплообмен между двумя идеальными излучателями и было показано, что передаваемый тепловой поток зависит от взаимного расположения поверхно- 41
стей. Для двух непрозрачных поверхностей при полном взаимном облучении (FA=l) лучистый тепловой поток находится из соотношения q=SFAAE=SAE. A.59) Энергия излучения, испускаемого единицей поверхности 1 в единицу времени, Е\=ъ\Еъ\. Эта энергия падает на поверхность 2, которая частично ее поглощает (а'ге^ы) и частично отражает (р^е^ы). Поскольку мы приняли, что обе поверхности непрозрачны, поверхность 2 не пропускает излучения. Отраженная поверхностью 2 часть излучения вновь попадает на поверхность i, которая частично ее поглощает (ot'ip^eifbi) и частично отражает (р^р^е^м). Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Аналогично рассматривается и излучение с поверхности 2. Энергия, излучаемая единицей поверхности 2 в единицу времени, ъъЕъч при падении на поверхность 1 частично поглощается (а^егЯьг) и частично отражается (р^ег^ьг). Отраженная часть вновь попадает на поверхность 2, которая частично ее поглощает (а'гр^ег^&г) и частично переотражает (р^р^бг-Еьг). Таким образом, полная энергия, передаваемая от поверхности 1 к поверхности 2 в единицу времени, равна излучению г\ЕЪ\ и 82^62, которые поглощаются в конце концов поверхностью / после последовательных отражений: <7i2 = Si?i^i — S2a\e2Eb2 - Syy^Efr - S2a\s29'l9'2Eb2 — — V'iP'sP'i8 Ai — W \?'\*2Еь* — ••• или q12=SxsxEbl A - a'lP'2 - a'/sPx - а'гР'У - •••) — ~82в2ЕЬ2(а\ + а\9\9\^а\9У2 + а\9^+-''У 0-60) Если разница температур обоих тел невелика и они излучают приблизительно в одинаковом диапазоне длин волн или если поверхности тел можно считать серыми, то 8l—а'ь 82=(Х2; Р,1=1—<xri==l—ei; p72=l—^2=1—е2; ?i.=S.«Aiti - Mi - ?2) - Mi - О A - ••)•- - Mi - ?Л1 - *2K - .-.] - s,«A.[«i + + «t(i ~ s>) A ~ **) + Mi - ^Jd - *2J+•••]. Суммируя ряд, при S1^=S2 получаем: qlt = SF,(Ebl-EbJ, A.61) где Fe = (l/s1-|- l/e2— 1)— приведенная степень черноты системы. Результирующее уравнение теплообмена излучением Исходя из закона Стефана — Больцмана и вводя «коэффициенты, учитывающие взаимное расположение и неидеальность излучателей, получаем следующее уравнение лучистого теплообмена: q„ = SFAFs (Et-Et), или '*'¦'"', \ О-62) qi2 = oSFAFt(T\-T\). 42
Излучение в топках котлоагрегатов и технологических печей Для удовлетворения непрерывно возрастающей потребности в электроэнергии в топках котлоагрегатов тепловых электростанций сжигаются громадные количества твердого, жидкого и газообразного топлива. Схематический разрез такого котлоагрегата показан на рис. 1.16. Топки современных котлоагрегатов экранированы трубами, в которых происходит частичное превращение воды в пар. Термодинамическая эффективность парогенераторов постоянно увеличивается с ростом температуры горения в топочной камере. Однако практически не приходится ограничивать, исходя из условий равновесия процессов и устойчивости материалов к воздействию излучения и высокотемпературных топочных газов. При использовании в качестве топлива угольной пыли, как в кот- лоагрегате, изображенном на рис. 1.16, необходимо считаться также с вредным воздействием на материалы расплавленной и твердой золы. Выше уже упоминалось, что некоторые газообразные продукты горения поглощают излучение. Тем не менее температуры в топочных камерах столь высоки, что лучистый, а не конвективный теплообмен является определяющим. Развитые поверхности получили наиболее широкое распространение не в топках, а в качестве конвективных поверхностей нагрева экономайзеров и воздухоподогревателей паровых котлоагрегатов. При проектировании топок современных крупных паровых котлоагрегатов, рассчитанных на получение пара высоких 'параметров (давления и температуры), сталкиваются с двумя материаловедческими проблемами. Во-первых, при повышении температуры горения от 1300 до 1700°С стоимость футе- ровочных материалов, которыми облицовывают топку, значительно возрастает, поскольку приходится использовать огнеупоры с более высокой температурой плавления. Во-вторых, температура поверхности экранных труб не должна превышать предельно допустимой для труб из углеродистой стали, равной приблизительно 730°С. При этой температуре в углеродистой стали происходит фазовый переход. Если труба работает при температуре, превышающей точку перехода, она разрушается, причем разрушение ускоряется при многократных переходах через эту точку во время пусков и остановов котлоагрегата. Однако тот высокий уровень развития, которого достигли современные крупные энергетические котлоагрегаты, стал возможным благодаря тому, что превращение воды в пар в экранных трубах сопровождается поглощением через стенку трубы огромного количества тепла, в то время как температура самой стенки остается сравнительно низкой. Для наилучшего использования этих чрезвычайно благоприятных свойств экранных труб их устанавливают в топочной камере двумя способами. По первому способу экран из плотно прилегающих друг к другу труб размещается на некотором расстоянии от стен топочной камеры или непосредственно возле стен, защищая футеровку от излучения факела. По зторому способу экранные трубы по полупериметру заделывают непосредственно в огнеупорный кирпич. При этом температуры как футеровки, так и экранных труб остаются сравнительно низкими. В обоих случаях излучение поглощает только половина поверхности экранных труб, хотя частично энергия падающего излучения передается к непоглощающей стороне 'путем теплопроводности. Если экранные трубы не касаются стен топки, они поглощают падающее излучение от факела, а также излучение, отраженное от кладки (футеровки) и других труб. На рис. 1.17 представлена зависимость эффективного углового коэффициента излучения от плоскости на один или два ряда экранных 43
Рис. 1.16. Парогенератор с пылеугольной топкой, оборудаванной радиадианными экранами. / — подвод воздуха; 2 — воздухоподогреватель; 3 — экономайзер; 4 — пароперегреватель. 44
труб, параллельных плоскости (по Хоттелю [19]). Трубы расположены в шахматном порядке в вершинах равносторонних треугольников. Эти же графики справедливы и для коридорного расположения труб в вершинах квадратов. При расчете угловых коэффициентов предполагалось, что отражающая излучение огнеупорная кладка нетеплопроводна. Применяют также ошипованные экранные трубы с шипами, приваренными по полупериметру либо по всей наружной поверхности. Трубы, ошипованные по полупериметру, заделывают в огнеупорный кирпич, и они выполняют функции ребер, поддерживая температуру футеровки достаточно низкой. Трубы, ошипованные по всей поверхности, покрывают слоем огнеупора для защиты шипов, обращенных к факелу, которые в свою очередь защищают футеровку от перегрева. Отношения тага труЬ б ряду к наружному диаметру rripyfoi Рис. 1.17. Теплообмен излучением между плоскостью и одним или несколькими рядами труб, параллельными плоскости. / — футеровка; 2 — первый ряд; 3 — второй ряд; 4 — излучающая плоскость; 5—излучение непосредственно на второй ряд; 6 — полное излучение на два ряда для двухрядного экрана; 7 — полное излучение на один ряд для однорядного экрана; 8 — полное излучение на первый ряд для двухрядного экрана; 9 — непосредственно на первый ряд; 10 — полное излучение на второй ряд для двухрядного экрана. Приведены значения для труб, расположенных но вершинам равносторонних треугольников; во всех практических случаях их можно использовать и для труб, расположенных по вершинам квадратов. 45
Для поглощения излучения применяют ребра ряда специфических форм. Хотя при кипении воды температура стенки гладкой трубы остается достаточно низкой, существуют причины, препятствующие использованию ребер в таких системах. Основания ребер значительно холоднее, чем их вершины. Для того чтобы вершины ребер выдерживали высокие техмпературы, их необходимо изготавливать из стали с повышенным содержанием хрома, что увеличивает допустимые температуры их эксплуатации. Для повышения допустимой температуры до 870— 925°С требуется сталь, содержащая 27% хрома. Для того чтобы допустимая температура составляла около 1000°С, требуется нержавеющая сталь с содержанием 18% хрома и 8% никеля. При этом не только возрастает стоимость материала, но, что, пожалуй, самое существенное, вследствие увеличения содержания хрома и никеля происходит значительное уменьшение теплопроводности. В табл. 1.1 приведены данные Таблица 1.1 Теплопроводности некоторых сталей, применяемых для изготовления экранных труб парогенератора Сфстав сплавов 0,Обо/о С 0,23о/о С 5о/0,С—0,50% Мо 12% Сг Коэффициент теплопроводности k, Вт/(м-°С) 55,4 43,3 36,4 27,7 Состав сплавов 17% Сг 27% Сг 18% Сг—8% Ni 25% Cr—20o/a Ni Коэффициент теплопроводности k, Вт/(м°С) 25,98 22,15 17,3, 15,б|/; о теплопроводности высокотемпературных сплавов при средней температуре трубы 315°С. При этом наружная поверхность трубы может быть нагрета до 733°С и выше, поскольку средняя температура трубы существенно зависит от температуры пара в ней. Допустимые температуры поверхности труб из других сплавов увеличиваются до 1000°С (нижние строки табл. 1.1). Аналогичные проблемы возникают в топках и печах, применяемых для осуществления технологических процессов. В топках, используемых в химической промышленности или в установках для крекинга нефти, нет необходимости поддерживать столь высокие температуры. С другой стороны, нефть поглощает тепло значительно хуже, чем вода. Кроме того, появление на трубе «горячих пятен» может приводить к разложению нефти и частичному выпадению кокса, который скапливается в местах расположения «горячих пятен» и постепенно закупоривает трубу. Совместное действие теплового излучения и конвекции На практике встречаются ситуации, когда лучистый и конвективный теплообмен действуют одновременно. В этом случае оба эффекта аддитивны. Соответственно плотности лучистого и конвективного тепловых потоков запишем в виде ±-=aFAF,(T\-T\); 3c_=hc{Ti_Ti)t где Т\—Гг — среднеарифметический температурный напор. ; 46
Коэффициент теплоотдачи излучением можно определить по соотношению а плотность полного теплового потока при совместном действии конвекции и излучения ir={hc + K){Ti-T2). Доля тепла, передаваемого путем конвекции, составляет: *= K+hr^ hc + aFAFB(T\ + T\)(T1+T2) • (L63) Следует обратить внимание на зависимость -ф от hc. В области свободной конвекции при /ic^5 Вт/(м2-°С) и высоких температурах излучение играет важную роль. ИЗЛУЧЕНИЕ В КОСМОСЕ Источники энергии Солнечное излучение. Средний поток солнечного излучения, падающего на единицу площади поверхности, расположенной нормально к направлению солнечных лучей в верхних слоях земной атмосферы, или так называемая солнечная постоянная, равен приблизительно 1395 Вт/м2 [22, 23]. Это положение подтверждено Драмметером и Хассом [24]. Они получили на 50-сантиметровой сфере значение солнечной постоянной 1340—1450 Вт/м2. Таким образом, тело в верхних слоях земной атмосферы будет поглощать 1395 Вт/м2 при условии, что его поглощательная способность равна единице. Очевидно, что Солнце излучает конечное количество энергии, и плотность лучистого потока, соответствующего этой энергии, подчиняется закону обратных квадратов где г — расстояние. Если исключить из рассмотрения атмосферу Земли толщиной 160 км и считать расстояние от центра Солнца до верхних слоев земной атмосферы равным 150 млн. км, можно определить константу Ks: /Cs=1395. A50-106J=:3,14-1019 Вт-км2/м2. Следовательно, для всех г, км, больших радиуса Солнца F91000 км), с, 3,14-1019 0 , 2 Es = -^-pi , Вт/м2. На рис. 1.18 изображена солнечная постоянная в функции расстояния от Солнца. Земное излучение. Кажущаяся наблюдателю из космоса температура земной поверхности может быть рассчитана из рассмотрения энергетического баланса солнечного излучения, падающего на Землю и излучения Земли как диффузного черного тела. Если через а обозначить земное альбедо, т. е. отношение отраженной части энергии излучения 47
к падающей, и через Re— радиус Земли, то излучение Солнца, поглощаемое Землей, равно A—a)ttRe2Es. Излучение Земли происходит со всей ее поверхности. Если считать Землю идеальной сферой, энергетический баланс можно записать в виде oD*R2e)T<e = (l-a)*R\ES9 откуда кажущаяся абсолютная температура Земли Те равна: Используя значение а=0,35 [25, 26], получаем Ге=250 К=—23°С. Температуре Те соответствует тепловой поток излучения Земли плотностью Ет = о7\ = :221,4Вт/м2, Это значение можно подтвердить различными расчетами. Если смотреть на Землю из космоса, она представляет объект, состоящий из собственно Земли и атмосферы. Поэтому при анализе теплового 5* юоао 83 1000 ? а: QJ 100 X S Е О а. 10 t=— г- г 1 ь г- \- \- ь- ь h 1 • Jii il _L Ш uj Земля 150-10ькп Г Г <ES=1295 Вт/мг Г J _L ill il JL Ш J i ill il Ю'1 1 10 Юг 10s Солнечная постоянная Е$1х%16Вт/м2 10 Рис. 4.18. Солнечная постоянная как функция расстояния от Солнца. II2 II t 1 kvl / Is ^c ^L <xxvv \A В Ж vffi/, ////Z/ 7ZZZ2Z , 10 20 30 Длина 6олны,мкм 4Q 50 Рис. 1.19. Излучение Земли. А — плотность интегрального потока излучения абсолютно черного тела при температуре 287 К A4°С); В —вклад тропосферы при температуре 213 К (—60*0); С —вклад Земли при температуре 48
IX 3 50,8 8- 1—1 1 и Li I 1 1/1 1 mi II i / г / 4 6 8 10 Длина волны, мкм П П Рис. 1.20 Спектр пропускания земной атмосферы. излучения такого объекта следует принимать во внимание вклад каждого компонента. Температура поверхности собственно Земли меняется от —40°С в полярных областях до +40°С на экваторе. Усредненная по поверхности Земли температура лежит между этими двумя предельными значениями. По Голдмену и Зингеру [27] средняя температура поверхности Земли 14,5°С. Температура тропосферы — верхней части атмосферы, лежащей непосредственно под стратосферой, согласно опытным данным равна —56,5°С. Для того чтобы рассчитать излучение Земли, воспользуемся приведенными на рис. 1.19 кривыми излучения двух черных тел. Кривая А представляет плотность потока излучения Земли при температуре 14,5°С, кривая В — излу- W\ чение тропосферы при —56,5°С. Тепловой поток, излучаемый поверхностью Земли, изменяется в зависимости от пропускательной способности атмосферы, поскольку, перед тем как выйти в космос, он проходит через толщу атмосферы в 160 км. Чтобы найти это изменение, используем данные Гэбби, опубликованные в [28] о зависимости пропускательной способности атмосферы от длины волны (рис. 1.20). Для каждой длины волны излучение черного тела при 14,5°С умножается на пропускательную способность (для той же длины волны). Эта процедура приводит к спектру, соответствующему кривой С на рис. 1.19, определяющей вклад Земли в тепловой поток, уходящий в космос. Вклад тропосферы пропорционален площади под кривой fi, соответствующей излучению при —56,5°С. Полное излучение Земли и атмосферы как единого целого находится суммированием площадей под этими кривыми. Согласно расчетам оно составляет 217 Вт/м2. Это значение подтверждено Драмметером и Хассом [24]. По их данным действительное значение лежит между 144,5 и 323 Вт/м2. Разброс возникает вследствие непостоянства пропускательной способности атмосферы, которая сильно зависит от содержания водяного пара, облачности, широты и времени года. Необходимо отметить, что данные Гэбби, использованные здесь, основываются на предположении о количестве осадков 17 мм и атмосферной дымке такой концентрации, что пропускание красных лучей с длиной волны 0,61 мкм составляет 60%. Отраженное солнечное излучение. Солнечное излучение, отражаемое планетой, Е , можно найти довольно просто, вычислив произведение альбедо планеты и солнечной постоянной. Для Земли, где а=0,35 и ?s= 1395 Вт/м2, такое вычисление дает ?р = 0,35-1395 = 488 Вт/м2. Согласно другому методу рассматриваются энергии, отраженные тропосферой и земной поверхностью. При этом надо учитывать пропускательную способность земной атмосферы и спектральные характеристики солнечного излучения. Распределение падающей солнечной энергии по длинам волн можно найти следующим образом. На рис. 1.21 4—192 4^
справа представлена зависимость спектральной плотности потока солнечного излучения от длины волны при кажущейся температуре поверхности Солнца около 6100°С. Полная энергия Е, излучаемая единицей поверхности в единицу времени, определяется интегрированием по всем длинам волн или по закону Стефана — Больцмана: ?з=(тГ4=7,9-107 Вт/м2. Это значение, вычисленное для поверхности Солнца, интересно сравнить с 1395 Вт/м2 — плотностью потока солнечного излучения на внешней границе земной атмосферы. ВтЦм2-мнм) *3,15 Вт/(м2-мим) %3,15*10Ч- Вт/(м2-мкм) 693 ~~ 2Г5 «5 600 ш ? !^ ?§- 500; «I е1 S X с г> «о 21 зоо |§ 200 * а: * qj 5: 100 / J 1 А *-\ Ь^ 1 -э» Ear 5 <Ь Ъ 2 1 630 561 504 ?ti 378 315 Z5Z 189 126 63 I -L 4-6 8 10 12 Длина Волны,мкм П Рис. 1.21. Спектральная (монохроматическая) плотность потока излучения на поверхности Солнца Естх и на границе земной атмосферы. 0 2 4 6 Алина Волны} мкм Рис. 1.22. Спектральная плотность потока солнечного излучения на границе земной атмосферы с учетом двух проходов лучистого потока через нее. Из условия сохранения энергии солнечного излучения можно построить спектральную кривую, площадь под которой соответствует Е— = 1395 Вт/м2. Для этого каждое значение кривой для 6100°С умножаем на коэффициент 1395/7,9-107^1,75-10~5. В результате получаем кривую, изображенную на рис. 1.21 слева. Можно видеть, что вклад энергии излучения на длинах волн более 14 мкм пренебрежимо мал. Теперь рассмотрим значение 1395 Вт/м2, характеризующее лучистый поток, падающий на внешнюю границу земной атмосферы. Альбедо атмосферы равно 0,35, следовательно, 0,35-1395=488 Вт/м2 отражается 50
непосредственно атмосферой. Остальная часть энергии A395—488= =907 Вт/м2) проходит через толщу атмосферы и, достигая поверхности Земли, отражается от нее с альбедо 0,0568 [29], а затем снова проходит через атмосферу. Кривая, показанная на рис. 1.22, соответствует произведению квадрата пропускательной способности, построенной на рис. 1.20, и энергии солнечного излучения, падающего на границу земной атмосферы (левая кривая на рис. 1.21). Энергия, отраженная от поверхности Земли, получается умножением площади под этой кривой на коэффициент 0,65, который выделяет часть падающей энергии, проходящую через толщу земной атмосферы, и затем на коэффициент 0,0568, учитывающий альбедо земной поверхности. Площадь под кривой на рис. 1.20 составляет 424,6 Вт/м2. Следовательно, к энергии, отраженной атмосферой* нужно прибавить 0,65-0,0568-424,6=15,7 Вт/м2. В результате полная солнечная энергия, отражаемая Землей и атмосферой, составляет: ?н=424,6+15,7=440,3 Вт/м2. Это значение хорошо согласуется с предельным значением 523,9 Вт/м2 по Драмметеру и Хассу и немного больше, чем значение, рассчитанное в начале этого раздела в предположении, что полное альбедо Земли и тропосферы равно 0,35. Как показано Крейтом [20], в действительности альбедо изменяется. Важно, однако, что оба расчетных значения хорошо совпадают с имеющимися в литературе. Другие источники энергии. Все тела, находящиеся в космическом пространстве, вносят свою долю в энергию излучения, падающую на поверхность космического корабля. На достаточно больших расстояниях от Земли значение плотности галактического лучистого потока можно взять равным 7,14-Ю-4 Вт/м2 [30]. Это значение существенна меньше плотности потоков солнечного и земного излучения. Рассмотрим тело массой М. Пусть эта масса с относительной скоростью V неупруго соударяется с космическим кораблем. Согласно закону сохранения энергии кинетическая энергия тела непосредственно в момент соударения должна превращаться в тепло. Кинетическая энергия тела массой М равна: EK = ±MV\ По закону сохранения энергии Q = EK=±-AIV\ На рис. 1.23 изображена зависимость выделяемого тепла от относительной скорости соударения для различных масс М. Следует полагать,, что относительная скорость соударения достаточно велика, поскольку корабли двигаются по орбите со скоростями, превышающими 24 000 км/ч. Однако нет точных данных о столкновениях с частицами, масса которых отлична от микроскопической. При столкновении с любой частицей, имеющей достаточно большую массу, выделяется значительное количество тепла, что может привести к разрушению оболочки корабля. Приток тепла к кораблю вследствие столкновения с частицами пренебрежимо мал за исключением возможного столкновения с крупной 4* 51
10 з igiol cu eta 10 I / I I И \_Ш Ш Ufl л ЬУ l|/ МЛ ^/-ж **/—— ^ 1 / T7FF Я! jfl К 1/111 я 1 / 1 1 А К РИ Ш\ А \\\ 1/1 III 1 ffl 1 10z 103 10* Скорость *1,6км/ч 105 Рис. 1.23. Тепловыделения при столкновении с частицами различной массы. частицей. При этом происходит разрушение корабля и задача снимается. Голдмен и Зингер [27] рассмотрели приток энергии к космическому кораблю с космическими лучами. В результате расчета они получили очень небольшое значение (9,6- Ю-7 Вт/м2). Тепловой поток вследствие выделения тепла внутри корабля q\ легко вычисляется и не требует отдельного рассмотрения. Тепловое равновесие космического корабля Энергетический баланс космического корабля сферической формы представляет собой равенство теплового потока, получаемого от внешних источников, и потока, излучаемого кораблем, плюс часть, идущая на его нагревание: <7s + <7r + ^ + <7(=oeD^2)^ + P^f-, A.64) где qs — поток солнечного излучения, поглощаемый кораблем, Вт; qT — поток земного излучения, поглощаемый кораблем, Вт; qR — поток солнечного излучения, отраженный поверхностью Земли и поглощаемый кораблем, Вт; qi — тепловой поток, выделяемый внутри корабля, Вт; с — удельная теплоемкость корабля, Дж/(кг-°С); г — радиус корабля, м; V — эффективный объем материала корабля, м3; Г-—равновесная температура корабля, К; р — плотность материала корабля, кг/м3; т — время, с. Уравнение A.64) записано для космического корабля на околоземной орбите, диаметр которой мало отличается от диаметра Земли. 52
В этом случае собственным излучением Земли Ет и солнечным излучением, отраженным земной поверхностью, ER пренебречь нельзя, поскольку они вносят заметный вклад в энергобаланс. Ограничим наше рассмотрение кораблем сферической формы радиусом г и пренебрежем внутренним тепловыделением приборов и оборудования (^г=0). Каждый из членов левой части уравнения A.64) можно представить в форме q=a'EApF, A.65) где Ар — площадь проекции поверхности тела на плоскость, перпендикулярную направлению распространения излучения; а' — поглощатель- ная способность; F — угловой коэффициент. Следовательно, qs = a'sEs(<Kr*)Fs; A.66а) <7r = a'r?r(*r2)Fr; A.666) qR = a'sER(>xr*)FR. A.66в) Поглощательные способности в A.66а) и A.66в) равны, поскольку в обоих случаях речь идет об энергии солнечного излучения. В стационарном состоянии накопление энергии равно нулю и, следовательно, равен нулю последний член уравнения A.64). С учетом A.66а) — A.66в) из уравнения A.64) находим равновесную температуру корабля в стационарном тепловом режиме: ^ Г 1 /а'<.?«/? a'TETFT a'EaFoW'2* , „„ Таким образом, согласно A.67) рдавновесная температура корабля сферической формы не зависит от его размера, а является функцией угловых коэффициентов, зависящих от орбиты корабля. ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ГАММА-ФУНКЦИИ Уравнения Бесселя и бесселевы функции. Введение Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение fxJf+(.*2-n2)r/==--0. A.68) dx2 ' dx Это уравнение с переменными коэффициентами известно как дифференциальное уравнение Бесселя для функций п-го порядка. Поскольку это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, оно должно иметь два линейно независимых решения. Общее решение для нецелых значений параметра п y=CiJn(x)+C2J-n(x): A.69а) Для целых п y=CiJn(x)+C2Yn(x). A.696) В уравнениях A.69а) и A.696) Ci и Cz — произвольные постоянные; Jn(x)—функция Бесселя 1-го рода /г-го порядка от аргумента х
и Yn(x)—функция Бесселя 2-го рода я-го порядка от аргумента х. j п (X) И J—n (х) — бесконечные ряды вида 00 Jfl ^ = U 22т+пт]- Г {т + п + 1)' A.70а) оо S/ \\ту2т-п где Г(т+/г+1) и Г(т—д+1) —гамма-функции от аргументов т + п+\ и /п—/г+1 соответственно. Гамма-функции будут рассмотрены позже в этой главе. Yn(x) также представляется бесконечным рядом, который можно записать в общем виде: Yn(x) =AJn(x) ^jy^+BJ^x). A.71a) В зависимости от выбора констант А я В можно получить различные формы записи Yn(x). Например, выражение Y(x) = Jn(*)™™-J-n{*) AJ16) называют формулой Вебера и обычно используют в задачах с целевым значением параметра п. Для целых п функция Yn(x) есть предел выражения A.716), когда п стремится к целому значению; следовательно, Yn(x) можно представить в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнение, которое очень сходно с уравнением Бесселя: Уравнение A.72а) отличается от A.68) только знаком последнего члена. Уравнение A.72а) называют модифицированным уравнением Бесселя. Оно может быть приведено к форме х% %+* ?+№ - п*)У = °- A-726) Уравнения A.72а) и A.726) эквивалентны. Общее решение этих уравнений формально записывается в следующем виде: для нецелых п y=CiJn (ix) +C2J-n (ix); A.73a) для целых п y=dJn (ix) + C2Yn (ix). A.736) Любые решения A.72а) и A.726) представляют собой действительные функции, так как в них не входит мнимая единица i= V—1. Таким образом, модифицированная функция Бесселя 1-го рода л-го порядка от аргумента х определяется рядом 00 m=0 54
/-.(*) = ««/_.(*) = V. 2>rn-nfZ"-n4-ir О46) /j 22m"nm\T(m — n+ 1)' m=0 Второе независимое решение модифицированного уравнения Бесселя есть модифицированная функция Бесселя 2-го рода /г-го порядка от аргумента х. Это решение обозначается Кп(х) и записывается в форме, аналогичной Yri (х). Следовательно, для нецелых п ^п(х) = ^[1.я(х)-1я(х)]. A.75а) Для целых п функция Кп{х) определяется как предел выражения {1.75а), когда п стремится к целому значению: Таким образом, решение уравнения A.72а) для целых п может быть записано как y=CJn (х) + С21-п (х); A.76а) для нецелых п y=CJn(x)+C2Kn(x). A.766) Уравнения, представляющие функции Бесселя в виде бесконечных рядов, кажутся весьма громоздкими, однако для них легко составить программу численного расчета на ЭВМ. Наиболее распространенные таблицы содержат значения функций Бесселя /<*(*), h(x), Yq(x), Y\(x), Iq(x), h(x), Ka(x) и Ki(x), табулированные в интервале изменения аргумента от 0,00 до 5,00 с шагом 0,01. При интерполяции значений функций Бесселя 2-го рода [Y0(x), Yt(x), Ko(x), Ki(x)] с помощью таблиц необходимо проявлять особую осторожность, когда аргумент принимает значения, меньшие чем 0,50. Линейную интерполяцию можно проводить для всех функций, когда значения аргумента превышают 0,50. Обобщенная форма уравнения Бесселя Бесселевы функции играют очень важную роль при решении различных уравнений, возникающих в инженерных приложениях и в особенности при анализе теплопередачи развитых поверхностей. Часто бывает достаточно трудно предсказать заранее, являются ли функции Бесселя решениями рассматриваемых уравнений. Следовательно, желательно в общем случае исследовать возможность сведения заданных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициента- !ми к уравнению Бесселя. Возьмем, например, дифференциальное уравнение общего вида zr[xPjPj+(axi+bxkyy=° >>k о-.77) и попытаемся привести его к форме уравнения Бесселя ^+тг?+(т'-?На A-78) 55
Для того чтобы исследовать возможность такого перехода, произведем следующие преобразования переменных: X==U ; ¦ A.79) где а и р — произвольные параметры, подлежащие определению. Следовательно, dx а—1. 1 da 1 A.80) dx аа«-1 ' dy 0 3—1 . з dv Используя A.80), получаем: dx da dx \ r ' da / aua~l xp?t~ (uap+*-a+l ^.+poa«^-V A.81) Подставив производную по х из A.81), а также х и у из A.79) в исходное уравнение A.77), после упрощения получим: ^ d2v , ар + 2{? — а + 1 <Ь i + Г р (ар +1 - а) +агаца/+201_а/,_2 + atbuak_ap+2a_2 I ( } g2a) Уравнение A.82а) имеет в точности ?форму уравнения Бесселя: Л ' ' * ' Л»' —?|о = 0, A.826) da2 г и с?и откуда видно, что для полной эквивалентности A.82а) и A.826) необходимо выполнение следующих соотношений: 1. Коэффициент при (I /u)(dv/du) должен быть равен единице, или ар + 2р—а+1=1. A.83) 2. Показатель степени при и во втором члене в скобках должен быть равен нулю, или а/+2а—ар—2=0. A.84) 3. Показатель степени при и в третьем члене в скобках должен быть равен —2, чтобы его можно было объединить с первым членом в скобках: ak—ар + 2а—2=—2. A.85) Уравнения A.83) — A.85) позволяют вычислить значения параметров а, р и k. Во-первых, из A.84) a=2~l + i •¦• (Ь86) 56
Затем, подставив значение а в A.83), получим: и, наконец, из A.85) k=p—2. A.88) Когда Дг=р—2, исходное уравнение может быть преобразовано к форме уравнения Бесселя, где аир определяются выражениями A.86) и A.87)*: ! (ар + р — а) + а2Ь d2o j 1 cfa | Из A.826) _П2=-р(а/? + р —аL-а26, Подставив а и р из A.86) и A.87), получим: аа2+_К^ + Р-.а)+а^ 1 Q A89) 2—р+] v ' и, наконец, со2 = аа2, ИЛИ со = а)/"а". A.91) Общее решение A.826) для нецелых я можно записать в виде v=CiJn (сом) + C2J-n (<ои); A.92а) для целых п v=dJn (сои) + C2Yn (®и). A.926) Затем решаем A.826) относительно у к х. Согласно A.79) 1/а В В/о Тогда для нецелых я у = ^/« [С1/Я (с«х1/а) + С2/_ я (сох1/а)]; A.93а) для целых п y = x*l%CiJn(*xlla) + C2Yn{«>xxl«)]. A.936) Пример 1.2. Решение уравнения Бесселя. Найти общее решение уравнения d*y ( 6 \ Решение. Для этого уравнения р=0, &=—6, а=3, ?=—2, Во-первых, проверим, удовлетворяется ли соотношение k=p—2: Аг=—2=р—2=0—2=—2. * Очевидно, что если в A.77) 6=0, выполнение условия k=p—2 несущественно. 57
Итак, k=p—2, и уравнение приводится к уравнению Бесселя. При этом 2 _ 2 _ 2 а===2 —/? + /~~2 —0+1~~ 3 ; р 1-/7 _ 1-0 _ 1 , Р — 2 — p + j  — 0+ 1 3 ' l/"(l--jpJ —4fr |A(i-.QJ-_4(-^6) K25 5_. n— 2 —p + j — 2 — 0+1 ~ 3 " 3 ' — 2 _ 2^3". со = а V a = ~o~ V 3 =—о—' 1 P _A_ 1 —-_2_--2". 3 Таким образом, решение (для нецелых п) имеет вид: * = ^/а [С,/„(«х"-) + Сг/_п(<ох^)]; L з з Гамма-функция Гамма-функция по определению есть T(n)=lxn-1e-xdx9 A.94) о где/г — произвольное положительное число, хотя и необязательно целое. Эта функция играет важную роль, поскольку она является обобщением факториала. Гамма-функцию Г(/г+1) можно вычислить из определения A.94) с помощью интегрирования по частям: 00 T(n + l)=:^xne-xdx, где Следовательно, и = хп; dv = e~xdx; du = nxn'1; v = — е~х. Г udv = uv — Г v du или '(п+1) = 1^е'хйх = — ^е'х\^~^—п^'1еш *dx. Первый член обращается в нуль при подстановке как нижнего, так и верхнего пределов интегрирования; второй член дает: 00 00 _ l — nxn-le-xdx = n^xn-le-xdx=nY{n). о о 58
Таким образом, получаем фундаментальное соотношение Г(л + 1)=лГ(л). A.95) Значение ГA) можно вычислить непосредственно из определения гамма-функции A.94) следующим образом: 00 ОО ГA)= [x?-le~*dx = ^j?e-*dx = — е'х\™=1. о о Затем согласно A.95) ГB)=1ГA)=1-1=1=1! ГC)=2ГB)=2-1ГA)=2-1-1=2-1=2! ГD)=ЗГC)=3-2ГB)=3-2-1ГA)=3-2-1=3! ГE)=4ГD)=4-ЗГC)=4-3-2ГB)=4-3-2-1=4!, откуда можно вывести общее соотношение Г(п+1)=п\ A.96) Это очень важное соотношение между гамма-функцией и факториалом п\ Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х=Ьу как известно, записывается в виде \_Л* — ьуг" F) , , (х-ь)Т(Ь) -\ § -h.. • i й! ' где штрихи использованы для обозначения производных. С точки зрения математического формализма и для придания этому выражению полной симметрии первый член ряда Тейлора записывают в виде fib) О! • Это условное обозначение не имеет отношения к обычному определению факториала: п\=п(п— 1)(л+2)'(п—3) ... C) B) A). С другой стороны, 0! можно определить, используя гамма-функцию непосредственно из выражения A.96) при п=0: 0!=Г@+1)=ГA)=1. Гамма-функцию можно определить и для нецелых значений аргумента я. Действительно, легко видеть, что нет никаких оснований считать значения аргумента п целыми. Гамма-функцию можно записать в виде ОО T{x)=^tx~1e-tdt, о где переменная х теперь может принимать любые значения. Однако в отношении простой связи между гамма-функцией и обычным факториалом необходимо проявлять определенную осторожность. Обращаясь вновь к A.95), для произвольного значения переменной х получим: Г(*+1)=*Г(*), 59
откуда видно, что Т(х) ._ Г (х + О Таким образом, когда х стремится к нулю, значение Г (я) становится неопределенным. Более тоге*, гамма-функция не определена в точках х=—1, —2, —3 ..., поскольку Г @) _ оо Г(-1)=: Г (-2) = Г (—!)_ оо г(_з)=?^=:5. Формальное решение уравнения Бесселя и функция Бесселя 1-го рода Рассмотрим A.68) X d2y dx2 \-*ж+(х2-п2)у=0> называемое уравнением Бесселя для функций порядка п. Для того чтобы решить A.68), используем метод Фробениуса. Предполагаем, что искомое решение можно записать в форме степенного ряда по независимой переменной х. Пусть это разложение имеет вид: y=xPiao+aiX + a2x2+asx3+ ...). A97) Первая и вторая производная у по х будут: *=^-(ав + а1д: + а2д:2 + ...) + ^(а1 + 2а2х + За8х2 + ...); dx d2y dx2 --р(р— 1)хр~2(ав + а1х-\-ажх* + а9хш+-') + + рхр-1(а1 + 2а2х + За3х2 + ...) + рхр-1(а1 + 2а2х + За3х2^-^) + + хрBа2 + 6а3х + ...). Степенные ряды для искомой функции у и ее производных подставляем в исходное уравнение A.68), умножая вторую производную на л:2, первую производную на х9 а саму функцию на (х2—я2). После подстановки исходное дифференциальное уравнение содержит различные степени переменной х, которые приведены в следующей таблице: X2 х (dy/dx) х2у —п2у хр Р(р—1)а0 ра0 ... —п2а0 хр+1 р(р—\)ах +2рах ра>\ + а>\ —п2ах хР+2 р(р—\)а2 +4ра2 +2а2 fa2 -f- 2а2 а0 —п2а2 хР+* р(р—1)а3 +6/?а3 +6аш раг + Ъа3 ах —п2а3 хр+* Р(Р—1)«л +8ра± +12*4 раА + \а± а2 —пЧь 60
Теперь можно определить коэффициент при каждой степени х: O=[p(p-l) + p-n>}a0x»+[p(p-l) + Zp+l-n°]a1xp+t + + {[p(p-l) + 5p + 4-n*\at + at}xO+* + + {[р(р-1) + 7р + Э-п*]а, + а1}хр+> + + {[P(P-l) + Vp+W-n*]a< + ai}x'>+* + ... A.98) Уравнение A.98) справедливо, когда коэффициенты при всех степенях х равны нулю. Возьмем коэффициент члена х?. Он определяется выражением [р (р—1) Ч-Р—«23 ао=0. Предположим, что а0=^0. Следовательно, р2-—р+р—п2=р2—л2=0, откуда р= ± п. Пусть р = -\-п. Тогда можно найти коэффициент при хр+%: [р(р-1) + Зр+1- 41^=0; [п(п— 1L-3/1+ 1 — п*]а1 = 0; A+2я)а, = 0; а, = 0. Далее определяем коэффициент при хр+2, причем снова считаем р= + п: [p(p-l) + 5p + 4-n*]at + at = 0; [п(п- 1) + 5л + 4 — n*]at-\~a, = 0; Dл + 4)а, + а4 = 0; "«— 4(n+l) • Аналогичным образом найдем коэффициенты при х*+3 и xp+i, откуда получим: а3=0 и а4: 8л + 16 4 Bп + 4) Следовательно, общее рекуррентное соотношение для коэффициентов имеет вид: «*=nrSrV- A"> т. е. каждый коэффициент аъ. пропорционален коэффициенту с индексом k—2. Поскольку ai=0, очевидно, что все коэффициенты с нечетным индексом исчезают. Это справедливо даже для особого случая п= =—1/2, поскольку без ограничения общности aA можно считать равным нулю. Таким образом, с помощью рекуррентного соотношения A.99) можно находить коэффициенты для любого индекса, выбирая первый 61
коэффициент и определяя все остальные через него. Пусть ао=ао. Тогда п —#о —«о —- аа '2Bл + 2) 4 (п+1) 22.1!(л+1)' а —а2 _ —^2 ^0 ^0  4 Bл+ 4) 8 (л+ 2) 8.22.1!(п+2)(п+1) 24-2! (/г + 2) (л + 1) п —а* _ —^ _ ^?в u« — 6 Bл + 6) 12 (л + 3) 2в-3! (л + 3) (л + 2) (л + 1) Ш (-1)*+Ч> или, если & = 2т, а* - 2* (Л/2) ! (я +Л/2)... (л + 2) (л + 1)' <*гт = 22тт\{п + т)... (л°+ 2) (л + 1) ' A.100) где т=1, 2, 3, 4 ... Умножим числитель и знаменатель выражения A.100) на 2п (целесообразность этого будет очевидна в дальнейшем). Тогда (-1)'*2Х **т — 22т2пт\(п + т)... (л + 2) (л + 1)# A.101) Кроме того, если числитель и знаменатель умножить на я!, выражение (п+т) (п+т— 1) ... (п+3) (п+2) (п+1) будет представлять собой факториал. Но п — не обязательно целое число, и, следовательно, необходимо использовать обобщение п\, а именно, гамма-функцию. Таким образом, числитель и знаменатель умножаются на гамма-функцию Г(я+1), что дает „ _ (—1)™2лГ(л+1)Оо "гет — 2*m+nmi (Д + т) _ (п + 2) (п + 1) Г (л + 1)' Подставив A.95) в A.102), получим: ___ (-1)"*2"Г(л+1Н0 и2т 2гт+"т\ Г (т + л + 1) ' где а0 можно принять равным 1 A.102) 2я Г (п + 1) Такой выбор возможен, поскольку находится частное решение уравнения Бесселя и Оо — произвольная постоянная. Используя эти соотношения, находим агт\ / \\т 0>2т = 2*т+пт\Т(п + т+\) ' A.103) Таким образом, решение дифференциального уравнения имеет вид: ,. 1 х2 , х4 или 2Т(л+1) 2*+2Г(л + 2) ¦ 2*+* 2!Г (л + 3) г2*+*2!Г(л + 3)* * -J У— 2j 22™+"яг!Г(л + яг + 1) J»w U-^-t; т.* О Эта функция ранее была определена как функция Бесселя 1-го рода /2-го порядка. 62
Если функция Jn(x), определяемая A.104), сходится для всех значений х, она является единственным решением уравнения Бесселя. Для определения области сходимости используем признак Коши, находя отношение (/п+1)-то члена ряда к т-иу: (_l)M+ixim+a+i/[2Mi+n+« (jn + 1I Г (п + т + 2)] (—1)'"х«т+7[22от+лт! Г (л + т + 1)] ИЛИ ^~~22{т+\)(п + т + \)' В пределе, когда т стремится к бесконечности, R стремится к нулю, ;и ряд A.104) сходится для всех значений х. Формальное решение уравнения Бесселя и функция Бесселя 2-го рода Уравнение A.68) является дифференциальным уравнением 2-го порядка с двумя независимыми решениями. Поскольку первое решение Jn(x) найдено, второе ищем, предполагая, что р=—/г, и проверяя, является ли J-n(x) вторым решением. Подставляя р=—п в выражение A.104), находим, что все разложения в ряд функции Бесселя 1-го рода записываются в виде 00 S/ \\тхгт-п 2*».-«т!Г(|в_п + 1) ' (\ЛЩ Рассмотрим подробнее выражение A.105). Очевидно, что для нецелых п функция /_п (х) является решением дифференциального уравнения. Когда п целое, значения Г(т—п+\) не определены, и A.105) не является вторым решением. Более того, так как J-n(x) содержит отрицательные степени х, в то время как Jn(x) не содержит их, очевидно, что J-n(x) и Jn(x) >не могут быть пропорциональны. Следовательно, если п не является целым числом, общее решение имеет ©ид: y=CJn (х) +C2J-n(x), гще С\ и Сг — произвольные постоянные. Однако когда п — целое, второе независимое решение уравнения можно найти, полагая, что y=f(x)Jn(x)=yix), и определяя затем функцию f(x). Начнем с нахождения второй производной у (х), снова обозначая производные штрихами: у' (x) = f(x)J'n(x) + f (x)J№(x); y"(x)=fWJ"n(x)+2f'(x)J'n(x) + r(x)Jn(x) Далее подставляем функцию и ее производные в исходное уравне. ние A.68): х1 [/ (х) J"n(x) + 2/< (x) J'n (х) + f" С*)У. (х)) + + х [f (х) J'n (х) + Г С*) Jn (х)) = 0. ба R= m+l
Группируя члены, получаем: [х% (х)] f" С*) + [2x4'п (х) + xJn (х)] f (х) + + [x*J"n (х) + хГп (х) + (х3 - л8) Jn (х)] f(x)=0. A.106) Коэффициент при f(x) равен нулю, поскольку Jn{x) —решение уравнения Бесселя /г-го порядка. Другими словами, если Jn(x)—решение уравнения *г1^+ХЖ+(х*-п*)у = 0, ТО хЧ"п(х) +xJ'n(x) + (x2—n2)Jn(x)=0. В результате остаются только первые два члена A.106): [x2Jn(x)]f"(x) +\[2хЧ'п(х) +xJn(x)]f'(x)=0. A.107) Полученное уравнение можно решить путем разделения переменных. Запишем A.107) в виде •*Ч, (х) -jL [f (x)] + \2x*f „ (х) + xJn (x)\ f (x) = 0. Разделяем переменные и интелрируем lnf (x)+]2lnJn(x)+lnx=lnA, где А —произвольная постоянная, откуда Пх) = х[/п(х)Г Следовательно, где В — другая произвольная постоянная. Выражение для второго независимого решения можно теперь зависать в виде y(x)=f(x)Jnix) или y = AJn(x)§ x[JdnX{x)]* +BJn(x). A.108) Это уравнение, как и следовало ожидать, совпадает с A.71а). Заметим, что при т==0 первый член ряда Jn(x) согласно уравнению A.70а) содержит хп, который после возведения в квадрат и умножения на х превращается в х2п+1. Таким образом, знаменатель подынтегрального выражения в A.108) 'содержит х2п+1, .который в результате интегрирования дает (—1/2п)х2п (при -пФО) или \пх (при я=0). В любом случае при х=0 первый член ряда A.108) обращается ib бесконечность. Следовательно, второе независимое решение, апределяемое A.108), не пропорционально первому и является независимым. Это второе независимое решение, жак уже отмечалась выше, есть функция беоселя 2-го рода. 64
Формальное решение в модифицированных функциях Бесселя 1-го и 2-го рода Решение уравнения A.68) получено в виде функций Бесселя 1-го и 2-го рода. Однако уравнение Бесселя может иметь вид A.72а): х^+хЖ-^ + пг) = °- Учитывая, что i = V—1 , преобразуем^ 1.72а) к виду A.726): Решение этого уравнения известно: для нецелых п y=CiJn (ix) + C2J-n (ix); для целых п y=CiJn{ix) +C2Yn(ix), где Jn(ix) —функция комплексной переменной,не равная Jn(x) —функции действительной переменной. Решение A.72а) не совпадает с (решением A.68). Необходимо представить Jn(ix) в виде функции действительной переменной х. С этой целью в A.70а), представляющее собой разложение /П'(*) в РЯД, подставим комплексную переменную ix: т // \_11 (—l)m UxJm+n _Г1 Aг)ггщут+пх1т+п _ Jn\ix) — 2j 22m+nm\T(n + m+\) Jj ^2т+пт\Т (n + m+l) m**0 m=aQ oo v-« рт1пх2т+п ' J^j 22m+n m\V(n + m+ 1) m=0 Поскольку m может быть только целым числом (номер члена ряда), ikm всегда равен единице, a in может быть вынесен из-под знака суммирования; следовательно, п %2т-\-п Jn\lx) l 2j 22™+"т!Г(я + т+1) m«=0 После несложных алгебраических преобразований получим разложение в ряд модифицированной функции Бесселя 1-го рода n-vo порядка 1п(х) в виде ю-/.м=/.(*)=2] 2т:^+т+1). (Ы09) Поскольку Jn(ix) —частное решение A.726), очевидно, что это решение, умноженное на постоянную, также будет частным решением. 5—192 65
Таким образом, для нецелых п решение уравнения A.726) можно записать в виде y=CJn (х) + С21-п (х). Как видно из A.109), для целых п функция J-n(x) не определена, поскольку знаменатели первых п членов разложения обращаются в бесконечность. В этом случае эти члены опускают, и разложение J-n(x) начинается с номера т=п. Следовательно, >-»(*)=2] (—\)тх2 2*т-пт\Т(т—п + 1) что совпадает с A.105). Определим W так, что h'=m—п. Тогда т= =hf + n и (__\}h'-\-nx2{h>+n)-n h'=0 22 (h'+n)-n (Л, + пу щ, + n_^n+i) h> 2h'-\-n J-nW — \ l) 2j 22h'+"hlT(h' + n+l) ' /i'=0 /_„(*) = (—l)»/«.(x). A.110) Из A.110) следует, что при целых п второе решение A.68) пропорционально первому. Более того, когда п — целое, J-n{ix) = {-\fJn{ixy, i-nJ.n(ix) = (-iy[i-nJn(ix)]; i~tn \inJ.n (ix)\ = (-1)" [i~nJn (ix)); i-inl_n{x) = {-\fln{x); I.n(x)=In(x). A.111) Определим теперь второе линейно-независимое решение уравнения A.72а). Его выражают через 1п(х) так же, как Yn(x) (выражали через Jn(x). Снова предполагаем, что решение имеет вид У=4{хIп(х)=у(х) и получаем: у (х) = А1п (х) j - ?щг+В1п (х), A.112) где А и В—(произвольные постоянные. Уравнение A.112) определяет модифицированную функцию Бесселя 2-го рода п-го порядка, которую» как отмечалось ранее, в литературе обычно обозначают Кп{х). Рекуррентные соотношения Функции Бесселя определяют целый ряд соотношений. Эти соотношения называются рекуррентными, или основными тождествами. Некоторые из них приведены ниже без доказательства: 1. ^[Xn+1Jn+1{x))=Xn+'Jn(x). 66
2- ?-lx-njnH)=-x-Vn+1(x). 7. /я.,(л) = уУAМ-/(,+ 1D *• ^W^^l^.W + ^-.W]. 9. § xn+4n(x)dx = xn+1Jn+1(x) + C. \Q.\x-nJn+l{x) dx=-x-nJn(x) + C. 1! • x ST Vn Ml = nJn (x) - xJn+, (л). 12. х5|[Кя(х)] = пГ„(х)-д;7„+1(л:). 13. x?¦ [Jn (x)] = - nJn (x) + */„_, (x).' 14. х^-^^Я^-п^М+^.Лх). 15. J-[^W1 = 4-Wn-г(x)-Yn+Ax)V iS.^-Yll(x) = Yn+1(x) + Yll.l(x). 17.^[/,(x)] = -/,(x). 19. jx-"F„+1(A;)dx = —л-"Гя(;с) + С. 20. Jjc»y/I.1(^)^ = JCey«W + C. 21. ¦^¦Un(x)] = /n.1(x)~J^In(x). 23.|-[/„(x)] = ^-/„(.v)+/„+1W. 24. ^f-/„(*) = /,,-,(¦*)-'»+,(¦*)• 25-53Г ['.(*)] = /, (*)•
Пример 1.3. Применение рекуррентных соотношений: Дано: /оB,0) =0,2239, Л B,0) =0,5767. Найти: /4B,0). Решение. Используем соотношение 6 для я=3 2/г *п+1 (*) =—Jn (*) —In-г (*); б Палее, для л =2 и п = 1, л (*> =4~[/z+i (x)] ""/i+i {х) = "т [4"/а м -^ (*) — /,(*)-/.(*> 24 б 2 48 24 8 48 8 Теперь, поскольку /0 (x) и /j (x) для x — 2,0 заданы, /48 8 \ / 24 \ /4 = B,0) = /-jr rj @,5767) + /1 —2TJ @,2239) = 0,0339. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Определение Гиперболический косинус и гиперболический синус можно определить, используя возрастающие и убывающие экспоненциальные функции: ch„\; = ех + е~х shx = ел— е~ A.113) A.114) По аналогии с обычной тригонометрической функцией tgx определим гиперболический тангенс: ,, shx ех—ет chx ex + е~х A.115) Три функции — гиперболический котангенс, гиперболический секанс и гиперболический косеканс определяются соотношениями cthx schjc cschx— . — - ¦ v . Складывая A.113) и A.114), получаем: e^^ohx+shx. _ 1. thx 1 chx 1 \ e* + e"x е* — q-x » 2 ?* + #~* ' _ 2 A.116) A.117) A.118) A.119) 68
И аналогично, вычитая A.114) из A.113), находим: e-*=:ch х—sh x. A.120) Функции chx и shx — четные функции, т. е. f(x)—f(—х). Это легко показать, непосредственно заменяя х на —х в выражении A.113): и/ \ е"тХ + е-т('х) е~х + ех * /1101ч ch(— х) = -^ = J-— = ch^:. A.121) Как следствие обратной пропорциональности В результате такой же замены х на —х находим, что shx — нечетная функция [f(x)——f(—х)], поскольку sh(-;c) = '-x-fl-*=-(?=^ = -ux. A.123) Следовательно, ch(-^)=iM^)-=-ihW==-ch^ AЛ24) для th(—х) и cth (—х) справедливы зависимости clh<—') = тмЬ)-=~--п^=-с*х- <1Л2в> Квадратичные соотношения Гиперболические функции не являются независимыми. Известны три важных «соотношения, связывающие их квадраты, а именно: ch2x—sh2*=l; A.127) 1—th2x=sich2A:; A.128) eth2*—l=*csch2*. A.129) Равенство A.127) проверяется непосредственно возведением в квадрат выражения для chx [уравнение A.113)] и вычитанием квадрата shx [уравнение A.114)]: ch! x-^x = ^±fLy^-fxy= = Jr(e™ + 2 + e-2x — е2* + 2 — e'2x) =-\-D)=L Если A-127) разделить на ch2x, получим: ch2x sh2x : 1 ch2x ch2x ~~ch2;c ' 1 — th2jc = sch2x. И, наконец, аналогично, разделив A.127) на sh2A\ получим: ch2* sh2x 1 sh2x sh2x sh2x > cth2*—l=cs!ch2*. 69
Формулы суммы и разности При рассмотрении двух аргументов х и у можно определить ch (х + у) — ch х ch у -f- sh x sh у; A.130) ch (x — у) = ch х ch г/ — sh x sh у; A.131) sh (лг + У) = sh x ch у -f- ch x sh у; A.132) sh(x—-y) = shxchy — chxsh у. A.133) Выражения A.130) и A.131) выводятся непосредственно из определения гиперболических косинуса и синуса. В частности, chxchy + sh^shy = (^^)(^+?^) + ,/?*_?-* \ /еУ--е-У\__ех+У + ех'-У+ е~(х~У) + е~(х+У) , + ^—2—Д—у— J 4 + + 4 = ^ = ch(x + y). Аналогично sh*ch;c + chxshy = (?^l) (?Цг^) + /ех + е-х \ (ей — е-У\ ^+^ — е~(х~У) + ех~У — е~(х+У) , -^ 2—J ^ 2— J- 3 + Н 2- ? = g = Мх + У). Если в A.130) и A 132) х=у, то ch2*=ch2x+sh2Jt; A.134) sh2*=2sh*<ch*. A.135) Используя эти (соотношения и A.127), находим: di2*=2ch2*—1 A.136) или ch2x=2sh2x+l. A.137) Решив A.136) и (Г.137) относительно ch2x и sh2*, получим: ch2x=ch2x2+1; A.138) sh2x = ch2x2". A.139) Обратные гиперболические функции Обозначения, используемые для обратных гиперболических функций, подобны обозначениям обратных тригонометрических функций. Так, например, sin-1 ху или aricsin х — это «угол, синус которого есть х», аналогично можно рассматривать ch-1 х или агюсЬх как значение переменной, гиперболический косинус которого есть х. Если y=ch~l х, то еУ + е-У x = chy = —^ . 70
Последнее выражение можно записать в виде еУ-2х + ±=0 или в виде квадратного уравнения с корнями еу = х±Ух? — 1. Взяв натуральный логарифм, получим: или Аналогично ch~1x = ln(x±Vx2- 1); х2>1. A.140) sh-'x = ln(x + Vjc2+l) A-141) th-^=4-ln(f=r); X*<L AЛ42> Производные Производные гиперболических функций легко получить непосредственно из определения. Например, дифференцируя A.113), получаем: =¦<**-=¦ P^)=^ = 3h., ¦ (,.143) Аналогично из A.114) =-**==-Рт^)-^-** (М44) Дифференцируя A.115), получаем производную th^:: д? « _ d (ех — е~х\_ (ех + е-х)(ех — е-х) — (ех — е-х)(ех — е-х) _ dx mX~~dx [e* + e-x ) (ех + е~хJ = {e* + e-xr=rtk=Sch2x- AЛ45> Аналогично находим производные других гиперболических функций. jLcth;t = — csch2;c; A.146) /-sch = —schxthx; A-147) cschx= — cschxcthx. A.148) Теперь рассмотрим обратный гиперболический косинус: , z/=jch_1 x\ x=,ch у, 71
тогда dx , следовательно, dy l _ l или -?-ch~lx = -7 1 , jc>1. A.149) Подобным образом, если y=sh~l x, то x=sh #; тогда W = Chy; _^= 1 _ ^ \ dx chy Vsh2 y+l9 и, наконец, ^shjc=1^ * , A.150) Аналогично находят производные остальных обратных гиперболических функций: ^th-^=nL?.^<i; ОЛИ) ^cth-1^=nip, ^>1; A.152) -^-sclr1;c = Г1 0<х<1; A.153) ^-csch^x 71 *=?0. A.154) Интегрирование Таблицу элементарных интегралов можно получить, проводя интегрирование выражений с A.143) по A.148). Рассмотрим, например, A.143): -т—chx = sh.r, dx Uchx=\shxdx; \ A.155) chx + c= Г shxdx. I Двумя важными интегралами, которые не могут быть получены обращением дифференцирования, являются: ttiixdx = lnchx-\-C\ A.156) Г cthxdx = lnshx-{-'C: A.157) 72
Соотношение A.156) доказывается следующим образом: Доказательство соотношения . A.157) совершенно аналогично. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Книги, перечисленные ниже, делятся на две категории: книги, посвященные общим вопросам теплопередачи и книги, в которых рассматриваются специальные вопросы теории или применения теплопередачи. В список включены книги на английском языке, опубликованные за последние 10—15 лет, а также некоторые более ранние работы, имеющие важное значение. Рекомендуемая дополнительная литература Общие вопросы Bennett С. О., Myers J. E. Momentum, Heat and Mass Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1962. Boelter L. M. K., Cherry H., Johnson H. A., Martinelli R. С Heat Transfer Notes, 2d ed. McGraw-Hill Book Company, New York, 1964. Brown A. I., Marco S. M. Introduction to Heat Transfer, 3d ed. McGraw-Hill Book Company, New York, 1958. Chapman A. J. Heat Transfer, 2d ed. The McMillan Company, New York, 1966. Eckert E. R. G. Introduction to Heat and Mass Transfer, translated by J. F. Gross. McGraw-Hill Book Company, New York, 1963. Fishenden M., Saunders O. A. An Introduction to Heat Transfer. Oxford University Press, New York, 1950. Gebhart Benjamin. Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1961. Giedt W. H. Principles of Engineering Heat Transfer. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1957. Holman J. P. Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1963. Hsu S. T. Engineering Heat Transfer. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton, N. J., 1963. Kaye J. M. Fluid Mechanics and Heat Transfer. Cambridge University Press, New York, 1957. Knudsen J. G., Katz D. L. Fluid Dynamics and Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1958. Kreith F. Principles of Heat Transfer, 2d ed. International Textbook Company^ Scranton, Pa., 1965. McAdams W. H. Heat Transmission, 3d ed., McGraw-Hill Book Company, New York, 1954. Rohsenow W. M., Choi H. Y. Heat, Mass and Momentum Transfer, Prentice-Hall, Inc., Englewood, Cliffs, N. J., 1961. Schenck H. Heat Transfer Engineering. Prentice — Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1959. Специальные вопросы Bonilla С. R. Nuclear Engineering. McGraw-Hill Book Company, New York, 1957. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids, 2d ed. Oxford University Press, New York, 1959. Dusinberre G. M. Heat Transfer Calculations by Finite Differences, 2d ed. International Textbook Company, Scranton, Pa., 1961. Fourier J. B. J. The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman, Dover Publications, Inc., New York, 1955. Kern D. Q. Process Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1950. Kreith F. Radiation Heat Transfer. International Textbook Company, Scranton, Pa., 1962. Threlkeld J. L. Thermal Environmental Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1962. 73
Thring M. W. The Science of Flames and Furnaces, 2d ed. John Wiley and Sons, Inc., New York, 1962. Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с нем. М., Изд-во иностр. лит., 1958. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Карлсруэ, 1951, Пер. с нем. М, Изд-во иностр. лит., 1956. Кэйс В. М. Конвективный тепло- массообмен. Нью-Йорк, 1966, Пер. с англ. М., «Энергия», 1972. Краус А. Д. Охлаждение электронного оборудования. Инглвуд Клиффс (Нью- Джерси), 1965. Пер. с англ. М., «Энергия», 1971. Сполдинг Д. Б. Конвективный массоперенос. Лондон, 1963. Пер. с англ., М., «Энергия», 1965. Якоб М. Вопросы теплопередачи. Нью-Йорк, 1957, Пер. с англ. ИЛ, 1960. Кэйс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. Нью-Йорк, 1964, Пер. с англ. М., «Энергия», 1967. Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. Кембридж (Масс), 1955, Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1960. Тонг Л. Теплоотдача при кипении и двухфазное течение. Нью-Йорк, 1965. Пер. с англ. М., «Мир», 1969. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. Новосибирск, «Наука» (СО), 1970. Шак А. Промышленная теплопередача. Нью-Йорк, 1965, изд. 6-е. Пер. с нем. М., «Металлургия», 1961. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. Нью-Йорк, 1959. Пер. с англ. М., Госэнергоиздат, 1961. ЗАДАЧИ 1.1. Определить потери тепла через одинарное оконное стекло толщиной 3 мм, площадью поверхности 0,9 м2, если температура в помещении 20°С, а на улице —18!°С. Коэффициент теплопроводности стекла 1,1 Вт/(м-0С), коэффициенты теплоотдачи от воздуха в помещении к стеклу и от стекла к наружному воздуху равны соответственно 5,7 и 34,2 Вт/(м2-°С). 1.2. Адиабатически теплоизолированный бак диаметром 60 см и высотой 120 см полностью заполнен водой с температурой 40°С. Определить время, необходимое для нагревания воды до 65°С при использовании погружного кипятильника мощностью 500 Вт. 1.3. Для определения степени черноты поверхности сферы диаметром 7,6 см ее подвешивают на тонкой нетеплопроводной нити в большой полностью откачанной камере. Вычислить степень черноты поверхности, если сфера рассеивает 5 Вт, ее температура равна 95°С, а температура поверхности камеры 10°С. 1.4. Три тонких листа полированного алюминия (8=0,035) очень больших размеров установлены параллельно друг другу и полости между ними откачаны. Рассчитать температуру внутреннего листа, если температуры внешних листов поддерживаются равными 340 и 120°С. 1.5. Горизонтальный проводник диаметром 6,4 мм помещен в большую камеру, заполненную воздухом с температурой 25°С. В камере поддерживается давление, при котором коэффициент теплоотдачи свободной конвекцией можно достаточно точно вычислять по формуле /г = 1,4(A//<i)°»25 Вт/(м2;оС), где At — разность температур поверхности проводника и воздуха в камере. Рассчитать ток через проводник, если его температура 80°С, степень черноты поверхности 0,75 и сопротивление 6,7 Ом/м. 1.6. Два потока жидкости с температурами 290 и 65°С разделены составной стенкой из слоя стали толщиной 25 мм [6=42,5 Bt/(m-qC)] и слоя алюминиевого сплава толщиной 50 мм [6=170 Вт/(м«°С)]. Коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости к стальной поверхности 11,5 Вт/(м2*°С), а от поверхности слоя из алюминиевого сплава к холодной жидкости 28,5 Вт/(м2»9С). Определить плотность передаваемого теплового потока и температуру на стыке между двумя слоями. 1.7. В трубу наружным диаметром 50 мм с толщиной стенки 0,8 мм, длиной 30 м поступает 5,5 кг/мин насыщенного водяного пара под давлением 2,76 МПа B8кгс/см2). Рассчитать толщину теплоизоляции трубы, необходимую для того, чтобы массовое расходное паросодержание на выходе из трубы было равно 94%. Считать, что температура окружающего воздуха равна 30°С, коэффициент теплоотдачи от пара к внутренней стенке трубы и от наружной поверхности изоляции к воздуху соответственно 2300 и 28 Вт/(м2-°С), а коэффициент теплопроводности изоляции &=0,6 Вт/;(м-°С). 1.8. Железная пластина [?=60 Вт/(м-°С), р=7824 кг/м3, с=0,76 кДж/(кг-°С)] толщиной 30 см равномерно нагрета до 650°€. Рассчитать температуру центра пла- 74
стины через 3 мин после того, как температура ее поверхностей мгновенно понижается до 40°С. 1.9. Для вулканизации большого листа резины толщиной 25 мм его помещают между нагретыми поверхностями пресса. Поскольку процесс вулканизации является одной из операций автоматической производственной линии, необходимо знать время,, требуемое для полной вулканизации резинового листа. Резиновый лист считается полностью обработанным, когда температура в его средней плоскости достигает 120°С. Резина обладает следующими теплофизическими свойствами: р=1200 кг/м3, с= =2,02 кДж/(кг»°С), &=0,Т5 Вт/(м-°С). Определить время, требуемое для вулканизации, если температура поверхностей пресса поддерживается равной 150°С и начальная температура резинового листа 10аС 1.10. Объяснить, почему замерзает вода, оставленная в теплоизолированной тарелке на ночь в пустыне при температуре 18°С. 1.11. Круглая труба покрыта цилиндрическим слоем теплоизоляции с коэффициентом теплопроводности к. С увеличением толщины слоя термическое сопротивление теплопроводности возрастает, но при этом увеличивается и площадь наружной поверхности изоляций, что при постоянном коэффициенте теплоотдачи h на этой поверхности уменьшает термическое сопротивление теплоотдачи. Получить выражение для внешнего радиуса изоляции, при котором тепловой поток, передаваемый через нее, максимален. 1.12. По трубе наружным диаметром 50 мм с толщиной стенки 0,8 мм, длиной 3,7 м движется хладоагент со среднемассовой температурой —12°С и следующими теплофизическими свойствами при этой температуре: & = 0,56 Вт/(м-°С), с = =4,2 кДж/(кг-°С), iu.=4,3-10~4 кг/(м»с), р=1000 кг/м3. Труба окружена слоем теплоизоляции с теплопроводностью &из=0,3 Вт/(хМ-°С). Коэффициент теплоотдачи конвекцией и излучением от наружной поверхности изоляции к окружающему воздуху с температурой 20°С равен 10 Вт/(м2-с). Определить толщину слоя изоляции, необходимую для того, чтобы предотвратить обмерзание ее наружной поверхности, если расход хладоагента составляет 30 л/мин, а температура точки росы равна 11 °С. При расчете пренебречь поправочным коэффициентом (мУЦгсH'14 в A.32), A.34) или A.36). СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 1 1. Kays W. M., London A. L. Trans. ASME, 72, 1076, 1950. 2. Biot J. В. Bibliotheque Britanique, 27, 310; Traite de Physique, 4, 669. 3. Fourier J. B. Theorie Analytique de la Chaleur, Paris, 1882. 4. Olson F. С W., Schultz O. T. Ind. Eng. Chem., 34, 874, 1942. 5. Heisler M. P. Trans. ASME, 69, 227, 1947. 6. Boelter L. M. K., Cherry H., Johnson H. A., Martinelli R. G. Heat Transfer Notes, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965. 7. Groeber H. Z. ver. Deut. Ing., 69, 705, 1925. 8. Schneider P. J. Temperature Response Charts, John Wiley and Sons, Inc., New York, 1965. 9. Gurnie H. P., Lurie J. Ind. Eng. Chem., 15, 1170. 10. Strothcr F. P. Proc. Natl. Electron. Pack anil Prod. Conf., Long Beach. Calif.. 1965, p. 52. 11. Tribus M. The Use of Analogs and Analog Computers in Heat Transfer. Oklahoma State Univ. Publ. 100, 1958. 12. Schmidt E. Festschr. Siebzigsten Geburstag August Foeppls, 179, 1924. 13. Sieder E. N., Tate G. E. Ind. Eng. Chem., 28, 1428, 1935. 14. Colburn A. P. Trans. AIChE, 29, 174, 1933. 15. Hausen H. Z. VDI, Beih. Verfahrenstech., 4, 91, 1943. 16. Elenbaas W. Philips Res. Rep. 3, 1948, p. 453. 17. Starner K. E., McManus H. N., J. Heat Transfer, 84, 273, 1963. 18. Sobel N., Landis F., Mueller W. K. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf.r v. 2, p. 121, 1966. 19. Hottel H. С Mech. Eng., 52, 699, 1930. 20. Kreith F. Radiation Heat Transfer, p. 201, International Textboek Company, Scranton, Pa., 1962. 21. Stevenson J. A., Grafton J. С ASD Tech. Rep. Pt., I., p. 61, Dayton, Ohio, Dec. 1961. 22. Johnson F. S. J. Meteorol., 11, 431, 1954. 75
23. Gast P. R. in J. A. van Allen r(ed.). Scientific Uses of Earth Satellites. The University of Michigan Press, Ann. Arbor, 1956. 24. Drummeter L. F., Hass G. H. Infrared Information Symp., 4, 1, 116, 1959. 25. Fritz S. J. Meteorol., 6, 131, 1949. 26. Kuiper G. P. The Atmosphere or the Earth and Planets, The University of Chicago Press, Chicago, 1952. 27. Goldman D. Т., Singer S. F. Univ. Maryland, Physics Dept. Rept. 46, 1956. 28. Locke A. J. Guidance, p. 185,. D. Van Nosirand Company, Inc., Princeton, N. J., 1955. ..*-.... 29. List R. Smithsonian Meteorological Tables, The Smithsonian Institution, Washington, 1951. 30. Sandorff P. E., Prigge J. S., Jr. J. Astronautics, 3, 4 (Spring 1956). ГЛАВАВТОРАЯ РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА КОНВЕКЦИЕЙ (АНАЛИЗ С УПРОЩАЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ) Основные допущения В предыдущей главе рассмотрены развитые поверхности различных тицов, в том числе несколько разновидностей основных поверхностей и ребер. Полное представление о тепловых потоках, профилях температуры, эффективности и оптимизации параметров ребер можно получить в результате анализа ребер трех основных геометрических форм — продольных, радиальных и шипов (рис. 1.1). Ребра различной геометрии и теплопроводности по-разному работают даже в одинаковых условиях при однородных источниках и стоках тепла. Между тем температуры источников и стоков и коэффициенты теплоотдачи между ними и ребром,могут изменяться по различным законам. Поэтому при анализе ребер важную роль играют допущения, позволяющие четко определить и ограничить задачу, а зачастую и упростить ее решение. Анализ рассматриваемых здесь ребер трех основных геометрических форм опирается на следующие допущения, сформулированные Мэрреем [1] и Гарднером [2]: 1. Тепловой поток и распределение температуры в ребре постоянны во времени. 2. Материал ребра однороден, коэффициент теплопроводности одинаков во всех направлениях (изотропен) и постоянен. 3. Коэффициент теплоотдачи постоянен и однороден по всей поверхности ребра. 4. Температура окружающей ребро среды однородна. 5. Толщина ребра мала по сравнению с его высотой, в связи с чем температурными градиентами поперек ребра (по толщине) можно пренебречь. 6. Температура в основании ребра однородна. 7. Контактное термическое сопротивление между ребром и основной поверхностью отсутствует. 8. Источники и стоки тепла внутри ребра отсутствуют. 9. Тепловой поток через торцевую поверхность ребра пренебрежимо мал по сравнению с тепловым потоком, отводимым с боковых поверхностей. 10. Тепловой поток между ребром и окружающей средой пропор- дионален температурному напору между ними. 76
ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности Гарднер предложил рассматривать обобщенное ребро. Согласно его методу дифференциальное уравнение, получаемое из теплового баланса для элемента ребра, почленно сравнивается с обобщенным уравнением Бесселя, предложенным Дугласом [3]. Рассмотрим продольное ребро произвольного профиля, показанное на рис. 2.1, и предположим, что оно рассеивает тепло в окружающую среду. Пусть х — продольная координата, отсчитываемая от вершины ребра. Площадь поперечного сечения ребра A(x)=f\(x). Профиль ребра Осиобиая пб$ерхншь x-dx \х г-Щ Х=Ь а) Х = 0 Рис. 2.1. Продольное ребро произвольного профиля, а —система координат; б —профильное сечение ребра; в — поперечное сечение ребра. ограничен двумя симметричными кривыми y=f2(x) и у=—h{x)- Тогда площадь поперечного сечения на единицу длины ребра есть А(х) = —fl(x)=2Lf2(x)==2f2(x). Обозначим через 9 —разность между температурой произвольной точки на поверхности ребра и температурой окружающей среды. Очевидно, 0 также является функцией расстояния от основания ребра. Дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры вдоль ребра, получают из рассмотрения стационарного теплового баланса для бесконечно малого элемента ребра высотой dx, заключенного между плоскостями х и x+dxy параллельными основанию, и кривьими ±f2(x), ограничивающими профиль ребра. Для обобщенного ребра с температурой t и коэффициентом теплопроводности k разность тепловых потоков, поступающего в элемент через сечение x+dx и покидающего его через сечение х путем теплопроводности, есть dq — k dx шЩ dx. B.1) Поскольку процесс стационарен, эта разность должна равняться тепловому потоку, отводимому с боковых поверхностей элемента ребра. Если тепло отводится в окружающую среду конвекцией я h— коэффициент теплоотдачи, то dq—2h(t—ts)dx. B.2) 77
При этом предполагается, что высота элемента dx на произвольной поверхности fz(x) такая же, как и на оси ребра1. Так как локальный температурный напор между ребром и окружающей средой Q=ty—t8> а температура окружающей среды ts по предположению постоянна, то dQ—dt и B.1) и B.2) можно приравнять. В результате получаем следующее дифференциальное уравнение теплопроводности для обобщенного ребра: dx = 2A6dx или M*)-S+*w'e 2/г tfx2 dx dx 0 = 0. B.3) Заменив в B.3) функцию поперечного сечения для единицы длины ребра /i(jc) функцией толщины (профиля) ребра 2L/2(*)=^2(*)> получим: ^(Л)^+^^5--4в=о. dx2 dx dx B.4) Обобщенная функция профиля /г(^) для продольных ребер записывается в виде ш=ШТ~2пт~п)> B.5) где бо — толщина ребра в основании. Частное решение B.4) получают при следующих граничных условиях, используемых для определения произвольных постоянных: при х=Ь 9 = 6о; B.6а) db при х = 0 -т— = 0. B.66) Продольное ребро прямоугольного профиля Для ребра прямоугольного профиля, показанного на рис. 2.2, показатель степени п обобщенной функции профиля ребра B.5) равен 1/2. Контур (функция) профиля такого ребра имеет вид: /.(*)=-?-; dh (*) dx = 0. Рис. 2.2. Элементы продольного ребра прямоугольного профиля и используемая система координат. 1 — основная поверхность; 2 — боковая поверхность; 3 — концевая поверхность; 4—торец ребра; 5 — высота ребра; 6— толщина ё0; 7 — длина ребра. з=Ь я=0 1 Гарднер отмечает [2], что это справедливо для тонких ребер и шипов, поскольку квадрат наклона боковых сторон ребра мал по сравнению с единицей. 78
Подставив эти соотношения в B.4), получим основное дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра прямоугольного профиля 5~же-°- B-7> Оно представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, имеющее решение: Q=Ciemx-\-C2e-mx, B.8) где m=Bh/k8o)il2. Вычисляя произвольные постоянные Ci и Сч с помощью граничных условий B.6а) и B.66), получаем частное решение в виде зависимости температурного напора Q—t—ts от продольной координаты х: Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, определяется: «•=kAzr\ ¦ BЛ°) Вычисляя из B.9) производную dQ/dx при х=Ь, подставляя результат в зависимость B.10) и учитывая, что площадь поперечного сечения ребра на единицу длины в основании Л=бо, получаем: kdQmB0 sh mb q* ~ ch~mb ' или q0=k80mQo t h mb. B.11) Эффективность ребра определяется как отношение теплового потока, действительно передаваемого ребром, к тепловому потоку, который передало бы такое же идеально проводящее ребро (k=<x>) с однородной температурой, равной температуре в основании. Таким образом, hP (* 0 (х) dx J 0 (x) dx *= hPKb —eg-' <2Л2> где P — периметр поперечного сечения ребра. Для продольного ребра прямоугольного профиля действительный тепловой поток определяется B.11). Поскольку L^>6o, тепловой поток, который передало бы идеально проводящее ребро (&=оо) на единицу длины, qid=2hbQo. Следовательно, kd0mb0 th mb 71 ~~ 2ШГ0 • Учитывая, что &6o/2/i=m~2, получаем окончательное выражение для эффективности продольного ребра прямоугольного профиля: th mb BЛЗ) 1 " mb ' На рис. 2.6 (кривая А) приведен график зависимости т] от mb, рассчитанный по B.13), а также графики эффективностей других продольных ребер, которые будут рассматриваться далее. Зависимость ц от mb в табличной форме приведена в табл. 2.1. 79
Таблица 2.1 Эффективность продольных ребер и шипов тЬ 0,00 0,01 0,38 0,39 0,83 0,94 0,95 1,33 1,34 1,78 1.87 3,99 4,22 Продольные прямоугольные ребра, цилиндрические и прямоугольные шипы 1,0000 1,0000 0,9545 0,9522 0,8199 0,7822 0,7787 0,6536 0,6505 0,5307 0,5099 0,2505 0,2369 Продольные треугольные ребра 1,0000 0,9999 0,9341 0,9309 0,7630 0,7203 0,7165 0,5875 0,5845 0,4743 0,4560 0,2344 0,2225 Продольные параболические вогнутые ребра 1,0000 0,9999 0,8865 0,8817 0,6807 0,6391 0,6355 0,5206 0,5181 0,4257 0,4106 . 0,2212 0,2105 Параболические вогнутые шипы 1,0000 1,0000 0,9698 0,9683 0,8811 0,8561 0,8538 0,7681 0,7659 0,6772 0,6607 0,4088 0,3920 Конические шипы 1,0000 1,0000 0,9551 0,9529 0,8283 0,7941 0,7910 0,6802 0,6775 0,5729 0,5546 0,3085 0,2940 Примечание. Таблица дается с большими сокращениями по сравнению с оригиналом. В ней помещены только те значения, которые необходимы для решения приводимых в книге примеров. {Прим. пер.) Пример 2.1. Продольное ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм, высотой 101,6 мм, изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности 34,1 Вт/(м-°С), отводит тепло в окружающую среду с температурой 50°С. Температура ребра в основании 100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Определить эффективность ребра, температуру торца и тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром. Повторить расчет для коэффициента теплоотдачи 250 Вт/(м2«°С) при прочих равных условиях. Решение, il. Коэффициент теплоотдачи Л=50 Вт/(м2-°С). В основании ребра 00= = 100—50=50°С; 60=9,5 мм=9,5-10-3 м. / 2h у/2 / 2.50 у/2 т=\Ж) V~34,1-9,5.10— J =17'5rl; Ь = 101,6 мм = 0,1016 м; mb= 17,5-0,1016= 1,78. Из табл. 2.1 при тЬ=\,7& находим ^ = 0,531; по B.13) th/иЬ thl,78__0,9447_ 7,~ тЬ 1,78 " 1,78 ~0»531- Аналогичный результат получаем по кривой А рис. 2.6: при т&=1,78 Т]=--0,531. Температурный напор у торца ребра (при х=0) вычисляем по B.9) д0сЬтх __ 50ch0 _ 50 Ье— Qhmb ^ chl,78 ",0493= lD'*°C- Следовательно, температура торца ребра /e = 9e+/s = 16,4+50 ==66,4°С. Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, рассчитываем по B.11): ?o=?6ow9othm&=34,l-9,5-10-3-17,5-50-0,9447 = 270 Вт/м. С другой стороны, <7о можно определить по тепловому потоку, передаваемому идеально проводящим ребром, и эффективности: <7о=Ш9оТ1=2-50-0,1016-50-0,531 =270 Вт/м. 80
2. Коэффициент теплоотдачи h=250 Вт/(м2-°С). Расчет проводим так же, как в в предыдущем случае: 2/г У/2 / 2-250 \1/2 kbu JQ j v 34,1-9,5. Ю-3 m&=39,3-0,1016=3,99. Из табл. 2.1 при mb--=3,99 находим г]=0,2505; по B.13) th mb th3,99 0,9993 tj = — - = 39,3 м-1; 0,2505. 1,85°С, тЬ 3,99 3,99 Температурный напор у торца ребра (при х=0) вычисляем по B.9): 60chwx _50ch0_ 50 6<?~~ chmb ch3,99 27,037 откуда температура торца U=9*+** = 1,85+50=51,85°С. Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, вычисляем по B.11): q0=kdofnQ0 thmb=34,1-9,5-lO-39,3-50-0,9993=636 Вт/м; с использованием эффективности q<f=2hbQ0r\=2 -250 -0,1016 -50-0,2505=636 Вт/м. Продольное ребро треугольного профиля Для ребра треугольного профиля, показанного на рис. 2.3, показатель степени обобщенной функции профиля [уравнение B.5)] удовлетворяет этой геометрии, когда п=0. Контур (функция) профиля ребра имеет вид: f. (¦*) = ¦ 2{b)> df2(x) dx 2b ' Подставляя эти соотношения в B.4), получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для треугольного ребра: х dx2 dx т2т-. х=р x=Q где m = BhfkbQ)~ . Общее решение B.14) определяется соотношением 6 = CJ0 Bт УЩ + С2К0 Bт уЪх). Рис. 2.3. Продольное ребро треугольного профиля. B.15> Для того чтобы температурный напор у вершины ребра (при х=0) был конечным, произвольная постоянная Сч должна быть равна 0, поскольку функция /Со@) в этой точке не ограничена. Следовательно, Ь=^С110Bт\/Щу где Ci вычисляется с помощью граничного условия B.6а). Таким образом, частное решение B.14) имеет вид: А_ %lJ2mVb~x) /0 B/77.6) 6—192 B.16) 81
Тепловой поток через основание находим, используя B.16) с учетом того, что для единицы длины ребра А=8о. Разложив функцию Бесселя /оBт Ybx) в ряд, почленно продифференцировав его и подставив производную при х=Ь в уравнение B.10), получим: а = 2/*9q/i Bm6) ^° ml0 Bmb) B.17) Эффективность ребра есть отношение теплового потока, определяемого B.17), к тепловому потоку на единицу длины, передаваемому идеально проводящим ребром qi(i=2hbQo: _ 2/г80/1 Bmb)/ml0 BтЬ) _ Л BтЬ) 2Ш0 mbl0 Bmb) ' B.18) Зависимость ц от mb, рассчитанная по B.18), приведена на рис. 2.6 (кривая В). Соответствующая зависимость в табличной форме приведена в табл. 2.1. Продольное ребро вогнутого параболического профиля Для ребра вогнутого параболического профиля, показанного на рис. 2.4, показатель степени обобщенной функции профиля B.5) удовлетворяет указанной геометрии, когда /г=оо. Контур (функция) профиля записывается э виде df2 (х) dx Подставляя эти соотношения в B.4), получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для вогнутого параболического ребра: х=Ь х*0 Рис. 2.4. Продольное ребро вогнутого параболического профиля. х :dx* ^ zxdx j_ где m = Bh/kb0J. ¦ тгЬЧ = 0, B.19) В отличие от предыдущих соотношений B.19) представляет собой не уравнение Бесселя, а уравнение Эйлера. Решение его получаем с помощью замены переменной x=ev или v=\nx. Тогда dx dti dv dv dx 1 d9 x dv d4 dx2 d[(\/x) (dQ/dv)]_ 1 db , 1 d(d$/dv) _ 1 ^9, 1 d4 dx x2 dv ' x dx x2 dv Подставив эти зависимости в B.19), получим: 2 / 1 d4 l dB \ . о / 1 db \ 2и2й Л dv2 S2
Приводя подобные члены, находим: i™4-?--m2&2e=o. dvz ¦ dv Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение Возвращаясь к независимой переменной х, имеем: 6 = C1je|,1 + Ctx'\ B.20) где P1,Pi = -±±4r(l+4mV)> . Общее решение можно записать в виде -4-+ 4- <l+4m«&«J г 6=0^ н %— ' 1 • х Легко видеть, что при х—0 температурный напор 9=^—ts не ограничен, если С2 не равна 0. Следовательно, Так как температурный напор в основании ребра (х=Ь) задан, частное решение имеет вид: в = в.(ЧгУ\ B-21). Продифференцировав B.21) по л: и подставив производную при х= =Ъ в B.10), получим тепловой поток, передаваемый ребром. Учитывая, что на единицу длины ребра Л=бо, q.= kKl*Pl =Q&L[- 1 +У\ + BтЬ)% B.22) Разделив B.22) на тепловой поток, передаваемый идеально проводящим ребром qid=2hbQo, найдем эффективность ребра: 71 — Bb) BШ0) Если числитель и знаменатель эт©го выражения умножить на (_ J —у~\ _|_Bт6J), оно упрощается: _ Г-1 + Vi + Bmb)*] [-1 -УТ+1Шу] _ 2 B23) 71— 2(ш^J [_! _^1 + B/776J] 1 + 1Л + B/яЬJ ' Зависимость ц от /ли, рассчитанная по B.23), представлена на рис. 2.6 (кривая С) и табулирована (табл. 2.1). 6* 83
Продольное ребро выпуклого параболического профиля Для ребра выпуклого параболического профиля, показанного на рис. 2.5, найдем, что показатель степени обобщенной функции профиля ребра B.5) удовлетворяет этой геометрии, когда n—l/З. Контур (функция) профиля такого ребра имеет вид: df2 (х) _ о0 dx 4 Vbx' Подставляя эти соотношения в B.4), получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра выпуклого параболического профиля: х= ух dx2 ' 2 VX dx .m2]/H = 0, B.24) Рис. 2.5. Продольное ребро выпуклого параболического профиля. где m=Bh!k6o) .Почленное сравнение с обобщенным уравнением Бесселя позволяет найти его общее решение: 1 г Ъ = х4 ' 4Л С,/, 1^-тЬ*х* +С2/ 4 г 4 4 — mbx B.25) Для вычисления произвольных постоянных в B.25) применяют разложение функций 11 (и) я I 1 (и) в ряды, используя в качестве аргумента 4 t.4 4 &= — то х . Тогда B.25) можно записать в виде i = Qa C1/J_H + C2/_1_(^) з з где Q = ч Amb Граничные условия для переменной и B.26) d9_ da Э0 при u = u0=:-j-tnb; = 0 при и = 0. B.27а) B.276) 84
При^использовании граничного условия? B.276) каждый член рядов для /, (и) и / 1 (и) умножают на и3 с последующим почленным дифференцированием. Тогда при х = 0 член, содержащий (djdu) иЧх{и) становится неограниченным. Следовательно, постоянная Сг должна быть равна нулю. После определения с помощью граничного условия B.27а) постоянной С2 частное решение уравнения B.26), выраженное через переменную и, запишется в виде Qu3 e0/ \_(и) 3 Qu* I j (uQ) J_/ ,-(") и \ з - («o) и через переменную д; X 6 1 ¦)т / 1 3 / / 14- \ f iX 3 mb 4 3 i 3, 4 x4 / /и*Л B.28) Как и следовало ожидать, при х=Ь B.28) дает 9=9о- Почленно продифференцировав B.28), вычислив производную при х—Ь и подставив ее в уравнение B.10), получим тепловой поток через основание ребра (на единицу длины): 4 х 1>°Г -kbXm 1 2 {Т~тЬ ¦ mb . B.29) 0,9 0,8 Эффективность ребра определим, разделив B.29) на тепловой поток, передаваемый 0,7 идеально проводящим ребром qid=2hb%: ( 4 \ 0,6 mkd0Q0I 2 i-g-mb 7] <7о 2Ш0 2Ш0/ ___p(-3-wb) J_ з ч y 0,5 0,4 p л \ 'Э ^в с \ ^mb 1 B.30) Рис. 2.6. Эффективность четырех продольных ребер: прямоугольного (Л); выпуклого параболического (D); треугольного (В) и вогнутого параболического (С). 85
Зависимость г) от mb, вычисленная по B.30), построена на рис. 2.6 (кривая D) и представлена в табличной форме (табл. 2.1). Продольное ребро формы, требующей минимальной затраты материала Все полученные соотношения для температурных напоров, тепловых потоков через основания и эффективностей ребер являются следствиями общего дифференциального уравнения теплопроводности B.4): Часто ребра приходится изготавливать из дорогостоящих металлов с высокой теплопроводностью и коррозионной стойкостью. И во многих других случаях цена ребер связана с их массой. По той или иной причине бывает желательно знать соотношение геометрических размеров ребер, передающих заданный тепловой поток с наименьшими затратами металла. Для этого необходимо найти контур (функцию) про- ь филя, при котором площадь профиля Ар=2 {f2(x)dx минимальна. о Рассмотрим продольное ребро с теплоизолированными боковыми поверхностями, так что оно может проводить тепло только вдоль продольной оси. Если площадь поперечного сечения ребра (от х=0 да х=Ь) постоянна, эффективность передачи тепла каждой единицей поперечного сечения ребра одинакова, поскольку тепловой поток q/A постоянен по условию. Следовательно, A-=JL=JL— —JL Лг А% А.% Л Однако если теплоизоляцию убрать, тепло будет отводиться с боковых поверхностей ребра в более холодную окружающую среду. Теперь тепловой поток в различных сечениях по высоте ребра не остается постоянным. В самом деле, для того чтобы плотность теплового потока была постоянной, а все сечение одинаково эффективно в передаче тепла, оно должно уменьшаться как некоторая функция расстояния от основания ребра, учитывающая изменение q/A, обусловленное отводом тепла через боковые поверхности. Рассмотрим тепловой поток в некоторой точке ребра произвольного профиля: ил db где А — функция х. Тогда № ц_ dx kA ' Для постоянной плотности теплового потока db _г 1х~~~^1 постоянна и 6=CiX+C2, т. е. температурный напор вдоль ребра (или распределение температуры в ребре) является линейной функцией. 86
Единственной формой продольного ребра, имеющего линейное распределение температуры, является ребро вогнутого параболического профиля, для которого температурный напор определяется выражением б = в. (-?-)''при Р, = 1. B.31) Таким образом, вогнутое параболическое ребро является ребром, требующим наименьших затрат материала только при условии, что Pi= =1. Заметим также, что в этом случае 1 ! 1 P1 = ~-^-+~Vrl-{-{2mbJ=\; l+Bm6J = 9; {mbJ = 2; mb = V2. Вышеизложенное интуитивное заключение, высказанное впервые Шмидтом [4], впоследствии было строго доказано Дафином [5]. Эппл и Ханг [6] проводили оптимизацию оребренных поверхностей, используя индивидуально оптимальные ребра (ребра с минимальной затратой материала), ограниченной высоты. Задаваясь минимальным расстоянием между ребрами, Эппл и Ханг вывели уравнение для определения числа ребер, обеспечивающего наименьшую массу материала ребер при заданном теплоотводе с оребренной поверхности. Хотя показано, что общая масса ребер на таких поверхностях часто меньше, чем у поверхностей с ребрами прямоугольного профиля, в некоторых случаях справедливо обратное. Влияние геометрии ребра на характеристики теплообменных поверхностей исследовал также Хилдинг [7]. Пример 2.2. Продольные ребра прямоугольного, треугольного, вогнутого и выпуклого параболических профилей толщиной в основании 9,5 мм, высотой 101,6 мм, изготовленные из стали с коэффициентом теплопроводности ?=34,1 Вт/(м-°С), отводят тепло в окружающую среду с температурой '50°С. Температура ребер в основании 100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Сравнить эффективности ребер, теп- -ловые потоки, передаваемые на единицу длины, и температуры торцов (вершин) ребер. Решение. Для всех ребер 00=d00—50=50РС; 60=9,5 мм=9,5-И0-3 м; 6=101,6 мм=0,1016 м. 1. Прямоугольный профиль (см. пример 2.1) г) = 0,531; ?о —270 Вт/м; /е = 66,4°С. 2. Треугольный профиль 2/г У/2 / 2-50 у/2_ 34,1.9,5.10-* ) ~1/'5 м 1; mb= 17,5-0,1016= 1,78. Эффективность ребра вычисляем по B.18): 7,B016) ЛC,56) ¦ 6,5515 ri — mbIQBmb) 1,78/0C,56) 1,78-7,7608 ~ и'4/4' Расчет можно проверить по табл. 2.1 или по рис. 2.6 (кривая В): при тЬ=Л,78 т} = 0,474. Тепловой поток на единицу длины, отводимый ребром, рассчитываем по B.17): 2MJ1Bmb) __ 2-50.50-6,5515 ?0== mIQBmb) ~ 17,5-7,7608 = 24° Вт/М> или, используя эффективность, ?о=2Ш0т1=2.50-0,1016.50-0,474==240 Вт/м. 87
Температурный напор у торца ребра вычисляем по B.16): b0I0BmVbx) 50/0@) 50-1 _ р 4сС 9*- 10BтЬ) "" 7,7608~,7608 " ' ' откуда температура торца 3. Вогнутый параболический профиль. Эффективность ребра определяем по B.23): 2 2 т)= •= -г. =0,426. 1 \ + V\ + BmbJ l + Kl+3,562 Расчет можно проверить по табл. 2.1 или по рис. 2.6 (кривая С): при mb — \J8 ц = 0,426. Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, вычисляем по B.22): kB°%° г 1 л_ 1^1 ./о «ли 34,1-9,5-Ш-'-бО ^ <7о = -~25" [— 1 + К 1 + Bгс&J] = 2-0,1016 f— J +  + 3,562] = = 216Вт/м. Температура вершины ребра в соответствии с B.21) приближается к температуре окружающей среды: 8е=90^Л = 50.0р^О, так что /е = 9е+^==0+50 = 50°С. 4. Выпуклый параболический профиль. Эффективность ребра вычисляем по B.30):: /2 {irmb) 1_ ______ з ч 4 Так как 4/3 m6 = -jp-l,78 = 2,373, то / 2 B,373) ^=1778/-^ = °>503- —Т B,373) Это значение можно проверить по рис. 2.6 (кривая D) при m6=l,78, ri=0,503. Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, определяем по B.29): / о [-7Г nib) -о-\6 I 2,6060 q0 = k8QB0m 3—— -- = 34,b9,5.10-3.50.17,5 2-9l4'i =254 Вт/м. 1 * f-o-m6) з v 3 Температура вершины ребра приближается к температуре окружающей среды пропорционально (х/ЬH*26 в B.28). При х=0 (х/Ь)°>2*=;0. Следовательно, температура вершины ребра /е=50°С.
Расчетные характеристики ребер четырех профилей сведены в следующую таблицу: Профиль ребра Прямоугольный Выпуклый параболический *) 0,531 0,503 <7о. Вт/м 270 254 Температура у вершины, °С 66,4 50 Профиль ребра Треугольный Вогнутый параболический Ч 0,474 0,426 <?о. Вт/м 240 216 Температура у вершины, °С 56,5 50 РАДИАЛЬНЫЕ РЕБРА Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности Рассмотрим радиальное ребро произвольного профиля, показанное на рис. 2.7. Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности можно вывести для любого радиального ребра с произвольным контуром профиля, используя процедуру, аналогичную применявшейся для продольного ребра. Профиль ограничен двумя симметричными кривыми у=42{г) и у——Ыг)- Разность тепловых потоков, поступающих путем теплопроводности в бесконечно малый элемент через поверхность г и покидающим его через поверхность r-\-dr тем же путем, равна: *l = k±[Q*rJf.(r)?]dr. Рис. 2.7. Радиальное ребро произвольного профиля. / — основная поверхность. Это выражение для не зависящей от времени (стационарной) системы можно приравнять к тепловому потоку, покидающему элемент путем конвекции: dq=2hBnrdr)Q. Уравнение теплового баланса имеет вид: d г с , v db 4ък dr [".«# dr — \%Шг dr или [MO* d4 dr2 ja + Ur)% + r ,df2(r) dr db_ dr = hbr. После некоторых преобразований это уравнение приводится к обобщенному дифференциальному уравнению теплопроводности для радиальных ребер произвольного профиля: L (г) <М \h(r) db , rf/,(r) db fLa—0 dr2 dr dr dr B.32) 89
Радиальное ребро прямоугольного профиля Для радиального ребра прямоугольного профиля, показанного на рис. 2.8, контур (функция) профиля имеет вид: МО=4 и ее производная равна нулю. Подставляя ^(г) и ее производную в B.32), получаем: d4 dr2 dr B.33} где m = Bhlk§0) . Уравнение B.33) — это модифицированное дифференциальное уравнение Бесселя, и его общее решение определяется соотношением e=Ci/0 (тг) + С2Ко (тг). B.34) Произвольные постоянные вычисляются с помощью граничных условий: при г=г0 9=0о; 'B.35а) при г = ге *1 = 0. B.356) *-! 1- тт L? Rv J —№ Подставив эти граничные условия в B.34), получим два уравнения для определения С\ и С2: 60 = С1/0(тг0) + СД0(тг0); 0 = СЛ(тгв)-СЛ1(тгв). Рис. 2.8. Радиальное ребро прямоугольного профиля. / — торец; 2 — основная поверхность. Вычислив Ci и С2 и подставив их в B.34), получим зависимость для распределения температурного напора по радиусу q _ 60 \КЛ (тгР) /0 (тг) + Л (/wrg) #0 {тг)} /0 (mr0) /d (даге) + Л (/яге) #0 (mr0) B.36) При г=го B.36), разумеется, дает 0=8о. Тепловой поток через основание ребра определяется по общей формуле i Дифференцируя B.36), вычисляя производную при г=г0 и подставляя результат в предыдущее соотношение, получаем: 0 • • ° L7o (w0) Кг (тге) + Л (тге) К0 (mr0)y v ; 1 Здесь знак «минус» использован потому, что с увеличением координаты градиент температуры уменьшается. Обратите внимание на различие между этим выражением я B.10). 90
Тепловой поток, передаваемый идеально проводящим ребром qid= =2п (г2е—г2о)Або. Следовательно, эффективность ребра 2пгшЬшкт%, Ix (mre) Кг (mr.) — К, (mre) /, (mre) 1 Учитывая, что /n2=2A/&6o, перепишем предыдущее соотношение в виде 2г0 Г 1Х (тге) Кг {тг^—Кг \тге) Л (тге) 1 ((у ооч 4 т (г2е-г\) [ /0 (дат.) /Ct (mre) + Л (mre) *0 (mr.) J * У '° } Эффективность ребра, записанная в форме B.38), не позволяет провести сравнение с эффективностями радиальных ребер других профилей. Для того чтобы это сделать, г\ следует выразить через отношение радиусов Р = 77 B.39) и параметр где Ар — площадь профильного сечения ребра (площадь профиля) Ар=8о(ге—г0). B.41) Выразим аргументы функций Бесселя в B.38) через площадь профиля 1 1 тг. = г.(гв-г.J (^J- B-43) Высота радиального ребра b равна разности радиусов у вершины и в основании b=re—г0. Умножив числитель и знаменатель B.42) и B.43) на ге—г0, получим: — JL тге = —— =т±г7 B-44) тг> = Г^7- B-45) Определим теперь две дополнительные функции радиуса: R - 1 - * *а~ 1 —r0/Ve 1 — р' #& — Р^а = i _р • Подставив их в B.44) и B.45), получим: Ф рФ 91
Наконец, выразим член перед квадратными скобками в B.38) через Ф и р. Тогда эффективность радиального ребра прямоугольного профиля запишется в виде ¦»_ 2Р f Л[Ф/0"-р)]^1[рФ/0-р)]-^1[Ф/A-Р)]Л[рФ/0-Р)] \ 71 — ФA+Р; \ /о [рФ/A — Р)] ^Ci [Ф/A — P)J + /1 [Ф/A — Р)] /Со [рФ/d — P)J Г B.46) Эффективности радиальных ребер прямоугольного профиля, рассчитанные по B.46), приведены на рис. 2.10 для р=0,8 и р=0,4. Численные значения эффективности ребра как функции параметра Ф и отношения радиусов р часто представляются в виде таблиц. Пример 2.3. Радиальное ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм, наружным диаметром 254 мм, внутренним диаметром 101,6 мм, изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности ?=34,1 Вт/(м'°С), отводит тепло в окружающую среду с температурой 50°С. Температура ребра в основании 100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Определить: 1) эффективность ребра, 2) температуру торца, 3) тепловой поток, отводимый ребром. Решение. Для рассматриваемого ребра ге = 127 мм=0,127 м; г0=50,8 мм = 0,0508 м; г0 0,0508 ' д0 = 9,5 мм = 9,5-Ю-3 м; 2Я у/2 / 2.50 у/2 kdQ) [ 34,Ь9,5.10-3 ) -17'5м ,; тге= 17,5-0,127=2,24; mr0= 17,5.0,0508 = 0,892; е0=100—50 = 50°С. 1. Эффективность ребра вычисляем по B.38): 2л„ т(г2е — г\) Ii(mr^KAmrQ) — K1(mre)/1(mr0) i^r^K^mre) + IArfire)Ko(fnr0) 2-0,0508 [1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919 , 1 * 4,537. [1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919 | [1,2090.0,1025+ 1,9857-0,4925 J = °'5 17,5@,I272 — 0,05082) [1,2090-0,1025+ 1,9857-0,4925 Эффективность можно определить также с помощью рис. 2.10. Л ля этого находим: 3/2 / 2А у/2 я/9 Г 2/* I1/2 Так как ге — г0 = 0,127 — 0,0508 = 0,0762 м, то о/9Г 2-50 V/2 ф-°>07623/2 [34,1.9,5.10-3.07O62-] ==U34- р = 0,4. Из рис. 2.10 при Ф=1,34 и р=0,4 находим г| = 0,537. 2. Температурный напор у торца ребра вычисляем по B.36) е _ ^о[Кг(тгеI0(тге) + 1Лтге)Кй(тге)} _ е КЛ^ге)/0(тг0) + К0(тг*IАтге) ___ 50[0,1025.2,7071 + 1,9857.0,0851] 0,1025-1,2090 + 0,4925-1,9857 = 2()е>С' откуда температура торца ребра U=Ве+4*=20+50 = 70°С. 92
3. Тепловой поток, отводимый ребром, вычисляем по B.37): 1\{тге)КАтг„) — Кг(тгеI\(mrQ) _ q0 - Znr0t0/zmV0 /o(mro)Ki(mre) + /.(тГеШтг») = 2-3,14.0,0508-9,5.10-3-34, Ы7,5.50 X 1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919 Х 1,2090-0,1025+ 1,9857-0,4925 — 113>5 Вт- Радиальное ребро гиперболического профиля Для радиального ребра гиперболического профиля, показанного на рис. 2.9, функция профиля имеет вид: /,@=1?-. а ее производная dh (г). С, dr где С\ — постоянная. Подставляя функцию профиля в формулу для площади поперечного сечения, находим, что /1(г)=2B«г)/1(г) = 4^(^ = = 4*С1Р т. е. площадь поперечного сече ния, нормального тепловому по- г ни- * I — току, постоянна. При г=г0, | д ~~7 f2(^o)=6o/2, и постоянная С :=6оП)/2. Подставляя функцию профиля с этим значением С\ в уравнение B.32), после некоторых преобразований получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для радиального ребра гиперболического Рис 29. Радиальное ребро гиперболическо- профиля го профиля. d29 m2 гЪо = 0, B.47) где снова т = BЛ/?80)" . Для простоты обозначим Общее решение B.47) имеет вид: з | = г К(- Mr \+CJ , •Mr B.48) где произвольные постоянные Ci и Сг вычисляются из граничных условий B.35а) и B.356). 95
Как и в случае продольного ребра выпуклого параболического профиля, введем новую переменную так что u = -j- Mr da IF -Mr где 2 /Зи\3 3 Q: 3 \ з 2M G помощью этого преобразования получаем: б = &/ -Iм] B.49) Уравнение B.49) по форме идентично общему решению для распределения температурного напора в продольном ребре выпуклого параболического профиля. Однако преобразованные граничные условия имеют вид: при и = ий = -т-Mr* 6 = б0; 2-Mr* 2 при u = ue = -TMre -г- = 0. da B.50а) B.506) J- -L Почленно продифференцировав произведения и I { (и) и и I { (и) Т ~~ з" в соответствии со вторым граничным условием и выразцв аргумент через исходную переменную г, из B.506) получим первое уравнение для вычисления произвольных постоянных: 0=/г, —\ / — CJ^MrJj+C,,^ T .Mr )] Подставив граничное условие B.35а) в B.48), получим второе уравнение для вычисления произвольных постоянных: в, =Vr[cj^ Mr.y+cj .Mr- 94
Определив из этих уравнений произвольные постоянные С\ и С2 и подставив их в B.48), получим частное решение для температурного напора в радиальном ребре гиперболического профиля: х ТМг» 1/1 е=е„ 2 -г ~ГМг х -/ 2 -fV D- Mr- Mr : i^MrAiA 3 \ / 3 \ 2 ..Чг1 3 ^02 М 2 l-T^'- 2 ..-тг /А -\ 3 з V Мгп B.51) откуда очевидно, что при г=г0, 9=0о. Тепловой поток через основание ребра определяется по формуле <70 = -2тсг060Д> °~°'v dr в которой используется производная уравнения B.51), вычисленная при г=г0. Для вычисления производной необходимо дифференцировать произведения вида 1 3 ч 1 / 3 г21 1-Мг 3 Л иг2/ 1 1_|_уМг: что значительно проще выполнить, перейдя к переменной и и используя граничное условие в основании, заданное выражением B.50а), Почленно продифференцировав зависимость B.51) с последующим использованием выражения B.50а) и возвратившись к исходной переменной г, приходим к выражению для теплового потока через основание ребра: х Ы- '2\-ТМге* _2 2 I ~3 q,=2Ttkrfi\MV7,X з \ / „ з / , I -i- Mrn2 I -/ 2 | 3" Ше I ' 2 2 -Х \мг> I 2\-fMre2\I , 9 J. i-^o2 2 i-g-^e2 Wrt D^о2) B.52) Тепловой поток, передаваемый идеально проводящим ребром, Эффективность ребра представляет собой^отношение выражения B.52) к #^, или 2nkr060B0MrQ2 Ф __ 2г0Ф :2я(г% —r»e)A8e — IS^V1 /•%) B.53) где г|} — комбинация модифицированных функций Бесселя в квадратных скобках уравнения B.52). Заметим, что М исключено из уравнения B.53) при помощи подстановки М2=т2/Го. 95
Эффективность ребра, записанная в форме B.53), не позволяет провести сравнение с эффективностями радиальных ребер других профилей. Для того чтобы провести такое сравнение, нужно выразить эффективность через отношение радиусов р. Для этого определим прежде всего площадь профиля ребра: Г -, Г г, е е = 8.г.1п4- • Лр= J2 [ft(r)] dr = f 2 (!?)dr = 8/0 In*- = 8, Данное выражение может быть полезно для определения эффективности, по B.53). Выразим для этого толщину ребра в основании 6о через площадь профиля ребра Ар: » _. ар 0 г0 In A/р) • Тогда JL JL 2Л \ 2 /2Лг01пA/р)\ 2 т /2ft — {kd0 kAp i М= gj =/ 2ft In A/р) \2 кЛр 'о Члены B.53), не содержащие г|э, могут быть представлены в виде 2rft _ 2г( V0 О т(г\-г\) ± JL — BА/МР) 2 [In A/р)] * (г, - г0) (ге + гв) J_ -L _ Чг0J(Ге-Г0J ; Ф[1пA/Р)]2(г, + г0) где, как и в случае радиального ребра прямоугольного профиля, Предшествующую зависимость можно еще упростить, используя отношение радиусов р: JL JL J_ JL _L 2(r0J(rg-r0J _2(r0J(rgJ(l-r0/rgJ _ JL JL Ф[1пA/р) 2](re + r0) Ф[1пA/р)] 2r,(l + r0/r,) J_ 1 r 4p(l—p) 12 ф L (i + pJin(i/p) Обозначим теперь 3 3 Ra^±Mr2 ; Rb=*Mre* . 96
Выразим эти соотношения через Ф и р: к.=4*.! =4 &т-г^ ±-мА=±(^2 3 ШГе 3 [кАр И*-г 1 1 ± J~Ar A-рJ 1 3 КГ'7^.К) A-р) Подставляя полученные соотношения в B.53), получаем эффективность радиального ребра гиперболического профиля, выраженную только через Ф и р: Ч = ЧГ 4рA~Р) A+рJ[1пA/р)] I±(Rb)I_2_(Ra) - I 2 («(,)/ 2 («<,) 3 3 3 3 3 3 3 3 B.54) Эффективности радиальных ребер гиперболического профиля при р=0,8 и 0,4 построены на рис. 2.10. Эти эффективности можно сравнить с соответствующими эффективностями радиальных ребер прямоугольного профиля, также приведенных на этом рисунке. Как видно из рисунка, эффективность ребер гиперболического профиля выше (при одинаковых значениях Ф). Это происходит потому, что при равных площадях профилей и высотах радиальное ребро гиперболического* профиля имеет большую площадь поперечного сечения вблизи основания. 1,0 0,9 Радиальное р^бро, требующее минимальной затраты материала ^7 Согласно Шмидту [8] радиальное р'ебро, требующее 0,6 минимальной * затраты мате* риала—• это такое ребро, которое имеет линейный про- Ф5 филь температурного напора. Для ребра, радиальная коор- q^ дината которого увеличивает- ; о ся в направлении внешнего диаметра, такое линейное соотношение для температурного напора может быть записано в виде л* ' ^ I I 0\ V i Л \ч V №,8 \ 1 i. <$ / ; \р=и,ч s^ \N 'f sx 1 1 1 ] k Ф={Г^Щ v№ 7—192 Рис. 2.10. Сравнение эффективности радиальных ребер прямоугольного и гиперболического ft — Й (\ t=l»\ /о W\ профилей. 0 — °e I * 1 |. \&.ОЭ) / — гиперболический профиль: 2 — прямоугольный V re rnj профиль. 97
Двойное дифференцирование дает: dB _ -Л dr d2B 'r* — ra' dr2 = 0. Подставив B.55) и его производные в обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности для радиального ребра, получим: 7~(?^Г.) dr \Ге-Г.) к "•[ Г,-Г.) или sb.['.w+^]+4v(i r*-—rt = 0. B.56) Член в квадратных скобках уравнения B.56) можно представить в форме /.«+rf=jW.W]. = С, B.57) Интегрируя B.56), получаем: где С —произвольная постоянная, определяемая из граничного условия: при r=rey f2(r)=f2(re)=0. Следовательно, =-и*- с= W'e 'We — r*)~We — Г,) Подставляя значение С в B.57), получаем функцию профиля ребра: г,(гг-г2е) —1—гШ = -т ге — r0 R Г* — Гг Цгв (г2-г\) 1 ^У 2 2(, после перегруппировки 1,6 0,8 **юОА 0,2 0,* ^^-~*Ъ - rejv 8 1,0 #•-4-®+^)- 0 -0,4 -1,8 -1,6 Рис. 2.11. Построение профиля радиального ребра, требующего наименьшей затраты материала. 98 кЩ_ 1 B.58) График функции B.58) приведен на рис. 2.11. Пример 2.4. Стальное [Я=34,1 Вт/(м-К)] радиальное ребро, требующее наименьшего количества материала, с температурой в основании 113°С, отводит тепло в окружающую среду с температурой 46°С. Коэффициент теплоотдачи равен 224,6 Вт/(м2-К). Ребро имеет наружный диаметр 101,6 мм и установлено на трубе с наружным диаметром 50,8 мм. Определить толщину ребра: 1—в основании, 2 —на расстояниях 6,4 мм и 12,7 мм от основания ребра иЗ- у вершины. Решение. 1. Толщину ребра в основании вычисляем по уравнению, полученному из "B.58): 2hr2e Г 1 fry 1 / г ++(*)
При /•<, = 0,0508 м имеем: % 2.224,6-0,05082 34,1 =0,034 1 3 1^0,0508 2 10,0508) + " 6 1 /0,0508Y 3 ^0,0508^/ 1 /0,0508' 2 10,0508 Г 6 I r В основании г = 0,0254 м. Следовательно, 5 = 0,034 1_ /0t0254y 1_ /0,0254\ 1 /0,0508 а = о,оз4 3 ^0,0508^/ 2 ^0,0508 2. Толщина ребра на расстоянии 6,4 мм от основания, где г=0,00635+0,0254=0,03175 м, 0,03175 \2 1 / 0,03175 2 I 0,0508 =0,00567 м = 5,67 мм. 1 [ 3 ( о', 0,0508 + 6 [ 0,03175 0508 = 0,00287 м^г2,9 мм. + Толщина ребра на расстоянии 12,7 мм от основания, где г=0,0127+0,0254= =0,0381, ¦ ЛЛ Г I /0,0381\2 1 /0,0381\ . 1 /0,0508\1 ЛЛЛ„Л * = о>°34^г(оТо50§) -—((цш]+— (oro38TJ|=0'°0118 3. Толщина ребра у вершины, где г = 0,0508 м, : 1,2 ММ. 5 = 0,034 т. е. у вершины ребро сужается в острие. 1 /0,0508\2 1_ /0,0508\ 1 0, 3 ^0,0508] 2'^0.,0508J+, 6 0, 0508\ 0508 = 0 м, ШИПЫ Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности Наряду с обобщенной функцией профиля для продольных ребер B.5) Гарднер [9] предложил аналогичную функцию для шипов: /.m-tH-ST""**. B.59) При соответствующим образом выбранных значениях п выражение B.59) можно использовать для цолучения обобщенного дифференциального уравнения теплопроводности для шипов. На рис. 2.12 показан шип произвольного профиля. Легко видеть, что площадь поперечного сечения шипа, нормального к направлению распространения теплового потока, контур, ограничивающий профиль, и периметр шипа являются некоторыми произвольными функциями расстояния х от вершины шипа. Дифференциальное уравнение теплопроводности при температурном напоре -Q=t—ts для шипов может быть получено так же, как и для продольных и радиальных ребер на основании рассмотрения теплового баланса для элемента с площадью поперечного сечения 7* х=Ь х=0 Рис. 2.12. Шип произвольного профиля. 99
fi(x). Разность тепловых потоков поступающего и покидающего элемент dx путем теплопроводности должна быть равна тепловому потоку,, отводимому поверхностью элемента шипа в окружающую среду: При конвективном теплоотводе с постоянным коэффициентом теплоотдачи dq—hf3(x)Q dx, где fs(x)—функция периметра Р(х), зависящая от расстояния х до начала координат системы. Приравняв тепловые потоки вследствие теплопроводности и конвекции dB к?г[шах = hf,(x)b. после преобразввания получим обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности для шипов произвольного профиля: 1Лх)^+йШ.§-^ШЬ = 0. B.60) Соотношение между f±(x) и /г(*) имеет вид: М*)=*[М*)Р. где h(x) определяется из B.59). Учитывая, что /3(х) =2я/2(х), B.60) можно переписать в виде v> wis 5-+^ i/. wi'^-r f • wе=°- <261> Уравнение B.61) является дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами за исключением того случая, когда поперечное сечение «шипа, нормально^ к направлению теплового потока, постоянно. Его можно решить с помощью почленного сравнения с обобщенным уравнением Бесселя. Процедура решения полностью идентична рассмотренной ранее для обобщенного продольного ребра. Сравнение рисунков 2.1 и 2.12 показывает, что и граничные условия одинаковы в обоих случаях. Следовательно, общее решение уравнения B.61) будет иметь две произвольные постоянные, вычисляемые из граничных условий B.6а) и B.66). Цилиндрический шип Для цилиндрического шипа, показанного на рис. 2ЛЗ, И В этом случае показатель степени в B.59) равен нулю, что соответствует я=1/2. Заменив бо из B.59) на диаметр шипа и подставив это значение /г(х) в B.61), получим дифференциальное уравнение теп- 100
лопроводности для цилиндрического шипа: d2* -„2Й dx2 m26 = 0, B.62) где m = Dh/kd)z . Уравнение B.62) эквивалентно B.7). Общее решение, граничные условия, частное решение, тепловой поток через основание и эффективность ребра — те же, что и для продольного ребра прямоугольного профиля. Разница заключается в том, что вместо толщины ребра бо используется диаметр шипа d, а вместо параметра BА/&80) ~ —параметр цилиндрического шипа т= Dh/kd) . Это сравнение позволяет сразу записать выражения для распределения температурного напора по высоте: B0chmx Ь- B.63) Для шипа ch mb ' теплового потока через основание <7t = — kd2mb0 th mb и для эффективности шипа th mb ч = - mb B.64) B.65) 1 г х = (—1 -ь 1—1 II АХ b Х~* ' •ai f-Vl sT? ' а=0 Рис. 2.13. Цилиндрический шип. На рис. 2.18 (кривая А) представлена зависимость ц от mb, построенная по уравнению B.65). На этом же рисунке построены эффективности ряда шипов других профилей, которые будут рассмотрены ниже. Зависимость ц от mb приведена также в табл. 2.1. Прямоугольный шип Для шипа с прямоугольным поперечным сечением, показанного на рис. 2.14, dfM = Q fl(x) = a1a2; dx /,W = 2(ei + 4 Падставляя эти значения в B.60), получаем: d4 dx* m26 = 0, B.66) где m X-b x^O Рис. 2.14. Прямоугольный шип. 101
Это — наиболее общее выражение для т, и все приведенные выше выражения для параметра ребер и шипов постоянного поперечного сечения являются частными случаями этой формулы. Для шипа квадратного поперечного сечения (а=а1=а2) справедливо уравнение B.66) при j_ m = Dhfka)\ Уравнение B.66) идентично с B.62); следовательно, распределение температуры и эффективность шипа рассчитываются по B.63) и B.65) при использовании соответствующих значений т. Тепловой поток через основание прямоугольного шипа вычисляется по формуле q0=kaia2mQo th mb. Пример 2.5. Цилиндрический шип диаметром 9,5 мм и высотой 50,8 мм, изготовленный из стали с коэффициентом теплопроводности &=34,1 Вт/(м-°С), отводит тепло к окружающей среде с температурой 40,6°С. Температура шипа в основании 96,1°С, коэффициент теплоотдачи от шипа к окружающей среде Л=56 Вт/(м2-°С). Определить: 1) эффективность шипа, 2) температуру торца, 3) отводимый тепловой поток. Повторить расчет для А=560 Вт/(м2-0С) при прочих равных условиях. Решение. Коэффициент теплоотдачи Л=56 Вт/(м2-°С); в0=96,1—40,6=55,5°С; ?/=9,5 мм=9,5-10-3 м; 4/г\1/2 / 4-56 у/2 m = (ldj =C4,1.9,5.10-^ = 26,2 м; 6=50,8 мм =0,0508 м; mb=26,2 -0,0508 =1,33. 1. Эффективность ребра. По табл. 2.1 при mb=i,33 находим г) ==0,654. Проверяем этот результат по кривой А рис. 2.18, а также по B.65): th mb 0,8693 — =0,654. '— mb 1,33 2. Температурный напор у торца вычисляем по B.63). При х — 0 имеем: 80chmx _ 55,5 ch 0 __ 55,5 Ве= cbmb — chl,33 ¦~2,0228==27,5°С' откуда температура торца fe=ee+f,=27,5+40,6=68,rC. 3. Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.64): qQ = -^-kd2mQ0thmb = 0,785-34,1 (9,5.Ю-3J.26,2.55,5-0,8693 = 3,08 Вт. 4. Коэффициент теплоотдачи h = 560 Вт/(см2.°С): 4/i у/2 / 4-560 '" . т=(~М) = [ 34,Ь9,5.10-з ) =83 м-*; " mb=83 -0,0508=4,22. По табл. 2.1 при т6=4,22 находим г\=0,237. Этот же результат получаем по {2.65): th mb 0,9996 Из B.63) при х = 0 получаем: i.r. 60chmx __55,5.ch0_ 55,5 . Ве = ch mb ch4,22 34,024 = 1>63#С' ш
откуда температура торца шипа U=Qe+U =1,63+40,6=42,2°С. Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.64): <7о= "Г"kd2m%thmb= 0,785-34,1 (9,5-Ю-3J.83-55,5-0,9996 = 11,2 Вт. Конический шип Для конического шипа, показанного на рис. .2.15, функция профиля определяется уравнением B:59), где п=—II. Следовательно, &0 х и dx 2b * Подставляя эти соотношения в B.61), получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для конического шипа: х 64 db dx2 \-2хр~-М2хЪ = 0, B.67) x=b х=0 Рис. 2.15. Конический шип.. где М = Bт2ЬJ и т = BА/А8.J . Общее решение B.67) имеет вид: i_ б = х 2 \CJ, BЖ Ух) + С2Кг BМ Ух)], B.68) где Ci и С2 — произвольные постоянные, которые вычисляют из граничных условий B.6а) и B.66). Однако следует сразу обратить внимание на то, что температурный напор при х=^0 будет конечным только в том случае, если С2 равна нулю, поскольку функция К\BМУх)!Ух при х=0 неограниченна 1. Следовательно, нужно вычислять только С\. Вычисляя С\ при х—Ь и подставляя результат в B.68), получаем частное решение — распределение температурного напора по длине шипа: Ь \Т 1гBМУх) х 1гBМУЬ) B.69) При х=Ь B.69) дает, разумеется, 9=0О. Тепловой поток через основание конического шипа получаем, дифференцируя B.69), вычисляя производную при х=Ь и подставляя результат в B.10). Таким же способом вычисляют д0 и для обобщенного шипа, показанного на рис. 2.12. Уравнение B.69) удобнее дифференцировать, произведя замену переменной и = 2МУ7, Умножение каждого члена ряда для /г BМ Vх) на \/Ух показывает, что при #— = 0 в произведении 1г BМ V x)jVx отсутствуют неограниченные члены. юа
так что dB da db __ 2M2 db dx dx da и da' причем dbjdu вычисляется при u0 = 2MVb. Таким образом, тепловой поток через-основание конического шипа, выраженный через и, равен: _ Ш\Ъ,М>Уъ Ши.) 1 Чш~ и\ L/1ЫJ, а выраженный через х, nkd\B0M Г /»BAf УЬ) <Jo- \%м Г /2( BМУТ) B.70) Площадь поверхности конического шипа равна интегралу от функции периметра, вычисленному в пределах от х=0 до х—b. Следовательно, * ъ S = ^f,(x)dx = ^^f\xdx = ^-btb. о о Умножив поверхность шипа на температурный напор в основании, получим тепловой поток, передаваемый идеально проводящим шипам: ?«=A(-f«.6)e.. Наконец, эффективность шипа (при Ж = т|/^26) равна: go ^=пд\кВ0М12BМУЬ)/4Уы1BМУЬ) _ У212BУ2тЬ) (fid ~~ («/2)А«вЬ8в ~~ (тЬIхBУ2тЬ) B.71) Зависимость г] от тб, рассчитанная по формуле B.71), построена на рис. 2.18 (кривая В) и табулирована (табл. 2.1). Шип вогнутого параболического профиля Система координат, используемая для описания вогнутого параболического шипа, показана на рис. 2.16. При этом показатель степени функции профиля соответствует /г=оо. Функция профиля для такого шипа записывается в виде Ы*)= Х=Ь х=0 dx ~~ • Ьг ' Подставляя эти соотношения в уравнение B.61), получаем: Рис. 2.16. Шип вогнутого параболического профиля. 104 X ЧхТ~Ч~*Х dx f+4xi^-Aiijrt = 0. B.72)
где M = Y2mb и m=BA/?S0J . Поскольку уравнение B.72) лредставля- ет собой уравнение Эйлера, частное решение находим так же, как и при расчете продольного ребра вогнутого параболического профиля: где Р1 = ~--|-+4-^9 + 4^2. Шип, требующий минимальной затраты материала, соответствует линейной зависимости в B.73), т. е. р,=-4+4-(9+4Ж2J=1' откуда 7И = 2. Выражая М через параметр шипа т, получаем: 2Л \т_ V2 Тепловой поток через основание находится по формуле -k(±b\)M Ч.'г—»\ 4 "•Jdx x=b Используя B.73), находим: п — ^2oM-3+(9+WJ] 9 ?4v Площадь поверхности шипа S определяем из соотношения ь ь S = j/3(x)rfx=JA(-fJ^ = -r7C^ о о откуда можно вычислить тепловой поток, отводимый идеально проводящим шипом, считая, что температура всего шипа постоянна и равна температуре в основании Во.* Эффективность вогнутого параболического шипа рассчитывается по формуле __ д0 _^Ы20Я190/46_ЗЫ0Я1 71 ~ q id hnd0m0/3 4hb2 ' которую можно привести к виду TQ: 3 2т2Ь2 3 §-+-1- (9 + 4/И2) После алгебраических преобразований получаем окончательную и простейшую форму выражения для эффективности вогнутого параболического шипа: ¦4 = -• B.75) 1 + |" (i+4^2) 105
Зависимость т| от mb, построенная по B.75), приведена на рис. 2.18 ^кривая С) и табулирована (табл. 2.1). Шип выпуклого параболического профиля Система координат, используемая при анализе шипа выпуклого параболического профиля, показана на рис. 2.17. В это!М случае показатель степени в функции профиля соответствует п=0. Функция профиля для такого ребра имеет вид: dh (*) dx к- ХЛ 2 ъ Подставляя эти соотношения -в B.61), получаем: d4 , dB x=t> Я=0 х%г+?-М'УЪ=0, dx2 ' dx B.76) 'Рис. 2.17. Шип выпукло- Г то параболического профиля. где УИ = [! 2т2(ЬJ\2 и m = BhfkbQJ Общее решение уравнения B.76) имеет вид: в=с,/. ¦^-Мх* j+CtKj-^-Mx B.77) Можно сразу заметить, что температурный напор при х=0 имеет конечное значение только в том случае, если С2 равна нулю, поскольку функция Ко @) неограниченна. Тогда уравнение B.77) можно переписать в виде / 4 4 b = cjA—Mx Подставляя граничные условия для температурного напора в основании шипа (8 = 0о при х=Ь), вычисляем С\ и получаем частное решение 1 3' B.78) Л(_±К^ь4*4 Тепловой поток через основание шипа определяется достаточно просто, если в B.78) произвести замену переменной JL JL и — -»-у2тЬ х , а производную от температуры подставить в B.10). Поскольку при х = Ь и = и0 — -тГУ'2тЬ, 106
из B.78) и B.10) получаем: Чо- ^kb\bJ 16т*Ь\ 3 d \ Ъи da [^o(w( о) U—Uq Тепловой поток через основание, выраженный через и, равен: и выраженный через заданные размеры шипа, запишется: V2 ч*-- k%b\bjn Il[—V2mb I0[—V2mb Площадь поверхности шипа вычисляется по формуле ъ ь * S = |/3(x)dx=j4(-fJ^ = —тов6. B.79) Тепловой поток, отводимый идеально проводящим шипом с температурой, равной температуре в основании, находим из соотношения ?*=Asef=4*8.Mfl. ЬО Наконец, эффективность шипа дд выпуклого параболического профиля чы (V2/4)k7zd\mI1 (-о- V2mb -у nd0bhB Л 0/0 (-J- v^\ •j-VJmb BV2/3)mb Io(jLVlmb B.80) 0,8 0,1 0,6 0,5 Fr ^ л rfl л Ч ч \ mm График зависимости Г] ОТ mbf Рис. 2.18. Эффективность четырех шипов построенный в соответствии с различной формы. ФОРМУЛОЙ B.80), ПОИВедеН на С-вогнутого параболического; В - конического; кр^ушу^их! v^,uu/' ПРГШСАСП па А — постоянного поперечного сечения; D — выпук- рИС 2.18 (Кривая D). лого параболического. Пример 2.6. Шипы цилиндрической, конической, выпуклой и вогнутой параболической форм диаметром в основании 9,5 мм высотой 50,8 мм, изготовленные из стали с коэффициентом теплопроводности & = 34,1 Вт/(м«°С), отводят тепло в окружающую среду с температурой 40,6°С. Температура шипов в основании 96,1°С, коэффициент теплоотдачи 56 Вт/(м2-°С). Сравнить эффективности шипов и отводимые Ихми тепловые потоки. Решение. Для всех шипов е0 = 96,1— 40,6 = 55,5°С; 60=9,5 мм = 9,5-10-3 м; 6 = 50,8 мм = 0,0508 м. 107
1. Цилиндрический шип (см. пример 2.5): rj=0,654; ?0=3,08 Вт. 2. Конический шип: /2И2 / 2-56 у/2 т = [1$Г) =[ 34,1.9,5-10— ) 8'6г" тЬ= 18,6-0,0508 = 0,945. Из B.71) находим эффективность шипа У2!%BУ2тЬ) 71 ~ тЫхB V2mb) * 2 V2mb = 2 К2.0,945 = 2,68; К2/2B,68) 7]~,945/1B,68)* По таблицам численных значений бесселевых функций находим /о(х), имея в виду, что !г(х)=*19(х)—B/x)Ii(x), получим: 2 2 /2 B,68) = /0 B,68) — §138 7* <2'68) = 3'7819 ~~~2~68 2'9621 = 1'5722- Следовательно, *ТA,5722) 71 — 0,945.2,9621~u,/y,i- Этот результат можно проверить по табл. 2.1 и кривой В на рис. 2.18: при mb= =0,945 г] = 0,793. Тепловой поток, передаваемый коническим шипом, вычисляем по B.70): при М = т V2b = 18,6 К2.0,0508 = 5,9; 2Л4 KF= 2-5,9 |ЛрЭД8 = 2,65, 2{2МУ"Щ 1 3,14.34,1.(9,5-Ю-3J.55,5-5,9[ /2B,65) ?0 = *»fA '¦B,65) 1 Г,B,65) ]• 4 Vb I lxBM Vb ) J 4-КО,0508 Вычисляем /2 B,65) 2 /2 B,65) = /0 B,65) —2~65 ll ^2,65) =3,6942—0,754.2,8829 = 1,5205; /1,5205\ д0 = 3,53 B^8829) = 1 '8б Втч 3. Вогнутый параболический шип: / 2/1 \ 2 /77 = (-^~ =18,6 м-1; т6 = 18,6.0,0508==0,945. Из B.75) находим эффективность 2 1 + |^1 + -§-(w&J 1 + У 1 + 4'(<V ¦ = 0,854. 945J Результат можно проверить, используя табл. 2.1 или кривую С иа рис. 2.18. В обоих случаях при mb=0,945 tj=0,854. Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.74): ^%80 .3+(9 + 4Л12) 2 86 где М = V2mb = V2 @,945) = 1,336. Таким образом, <7о = 3,14>34,Ь(9,5»10-3J.55,5 8-0,0508 {_3 + [9+ 4(иЗЗбJ]1^2} = 1,34 Вт. 108
4. Выпуклый параболический шип: / 2h \ 2 m==1\W) ==18>6 M_1» mb = 18,7-0,0508 = 0,945. Эффективность шипа вычисляем по B.80): 3 2V~2mb 1(-j:V2mb) [4- V2mb Кг ¦)J 4 -_ 4 ^_ Поскольку -у" К 2 mb= -тт V 2 @,945) = 1,78, то 3 Г 1Х A,78) 1 /1,2922\ Этот результат можно проверить, используя кривую D на рис. 2.18 при т&=0,945, чему соответствует ti=0,739. Тепловой поток, отводимый шипом, находим по уравнению B.79): V? 6гсо2090т I1(-j-V2mb) JQ(j-V2mb^ V^2~ Г / (i 78^ 1 1 2922 =— 3M.3,14.<9.5.10-V.55.5^^ Вт. Расчетные характеристики шипов четырех форм в одинаковых внешних условиях сведены в следующую таблицу: Профиль шипа Цилиндрический Конический •п 0,654 0,793 <7о» Вт J 3,08 1,86 ! j Профиль шипа j Вогнутый параболический j Выпуклый параболический •П 0,854 0,739 *о. Вт 1,34 2,34 ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРОДОЛЬНЫХ РЕБЕР Продольное ребро прямоугольного профиля Оптимальная высота и толщина ребра соответствуют максимальному количеству отводимого тепла. При этом и тепловой поток через основание ребра максимален. Пусть рь — оптимизируемый параметр, который можно определить через площадь профиля ребра, АР=ЬЫ: 1 1 3 $L — mb = b 2h "N,w ! Р\ k Выразим тепловой поток через основание (на единицу длины ребра), определяемый B.11), через площадь профильного сечения и толщину ребра: _i_ JL JL ' 2/г \ 2 / 1 \ 2 «.=*М.(-й-)'»^(т Продифференцировав эту зависимость и приравняв производную по бо нулю, получим: ЗРь sch2 pL==th pL. 109
Решая трансцендентное относительно (Зь уравнение методом проб и ошибок, находим корень рь=1,4192. Используя это значение, получаем соотношение для оптимальной толщины ребра .-[тЗь&Г]*-*™ 2hA2p\ з B.81) Оптимальная высота и толщина ребра связаны следующим образом: Ь = 4-= 1,262 kAp \T B.82) Продольное ребро треугольного профиля Тепловой поток через основание ребра определяется по B.17): _ 2hB0I,Bmb) q°~~ ml0Bmb) • Характеристический параметр ребра выразим через площадь профильного сечения Лр=6оЬ/2 и толщину ребра в основании: откуда толщина ребра 1 2 4ApBh/k) Подставляя эти значения рт и бо в B.17), находим тепловой поток через основание: ?0 = [4ЛрBй)г*]ЧРг3/г^-. Дифференцируя qQ по (Зг и приравнивая результат нулю, получаем: Л(рг)*2\?т) + "з р^— =7 * (рг)- Решение методом проб и ошибок дает действительный корень Рт= =2,6188, который определяет оптимальную толщину ребра в основании: 4ApBh/k) 2,6188 Оптимальная высота ребра On 2 -1 2 2 N 1,328 Mil _, 3 '•«[(tIj B.83) B.84> по
Продольное ребро вогнутого параболического профиля После оптимизации треугольного ребра перейдем к решению соответствующей задачи для вогнутого параболического ребра. Начнем с определения теплового потока на единицу длины, передаваемого через основание ребра [уравнение B.22)]: JL <70=^{-1+[1+Bтй)г]2}. Определим характеристический параметр ребра: 2 , 5 = m6 = Площадь профиля находим из соотношения М р~ з • Выражая $р через площадь профиля и толщину ребра в основании, получаем: ft» = (**,) откуда толщина ребра ГзЛрB/г/й)Т1Т Подставляя Рр и So в выражение для теплового потока, получаем: &А„ [зл„A);_|ч Н-'+<¦+« Дифференцирование q0 по |3р с последующим приравниванием результата нулю приводит к соотношению з Рр [¦ 1+A+4ру +^_* = 0. A+4PVJ После упрощения получаем зависимость ргр = 2, имеющую |положи- тельный корень ^р-=]/г2. Тогда оптимальная толщина ребра в основании составляет: зл"~ .-..-.-'- , B85) 8.=| а оптимальная высота ^]*-,.«.№)]4. »=^ ¦•Ч?) B.86) Сравнение продольных ребер Сравним продольные ребра прямоугольного, треугольного и вогнутого параболического профилей, чтобы определить, какой из них требу- 111
ет наименьшей площади профильного сечения для передачи заданного теплового потока. Сравнение проводим посредством подстановки оптимальной толщины ребра в выражение для теплового потока через основание. Тепловой поток через основание ребра прямоугольного профиля может быть записан в виде _L JL <70 = k\mb, th mb = BhkJ 802 в0 th mb. Учитывая, что для ребра оптимальной толщины mb= 1,4192, получаем: q откуда о = BЩ 2 [0.791 р^р) j 80 th 1,4192 = 1,26 (h2Apk) 3 60, Л —_L /1L -2lY-^ (ЯЛг B 87) Лр— h*k [1/26 %)— h*k [В0 ) ' (Z'Q/} Аналогично тепловой поток через основание треугольного ребра определяется из соотношения _ mjxBmb) _(9hhAA« /tBmb) q*~ ml0Bmb) —\АПЯ) °о °о /oBmb) ' Для ребра оптимальной толщины 2mfe = 2,6188 и Я. = т? [ 1.328 i^lff К {ffgj = 1,422 №,*К Наконец, для вогнутого параболического ребра тепловой поток через основание составляет: ?. = 13r[-l+Vl+Bm&)']. При т6 = |^2, используя B.85), получим: {_1 + [1+B1/2J]Т} = откуда ?8 1,651^^4 V * _1_ = 1,442 (АМрАKвв; Р~^\^Т* J ~~йй[тг) \ ( ' Уравнения B.87) — B.89) определяют площади профильного сечения ребер прямоугольного, треугольного и вогнутого параболического профилей соответственно. Площадь профильного сечения в каждом случае является функцией куба отношения теплового потока через основание к температурному напору. Можно видеть также, что площади профилей обратно пропорциональны коэффициенту теплопроводности материала ребра и квадрату коэффициента теплоотдачи к окружающей среде. 112
Из приведенного рассмотрения можно сделать три важных вывода. Первый состоит в том, что для одного и того же материала, при одинаковых внешних условиях и одинаковых отношениях теплового потока через основание к температурному напору в основании оптимальное вогнутое параболическое ребро требует лишь около 65% материала, необходимого для изготовления оптимального ребра прямоугольного профиля. В этих же условиях ребро треугольного профиля требует около 69% материала, необходимого для изготовления прямоугольного ребра и примерно на 6% больше, чем вогнутое параболическое ребро. Второй вывод касается выбора материала для рассматриваемых профилей ребер. Приведенные выше соотношения показывают, что площадь профиля обратно пропорциональна теплопроводности материала ребра. Масса ребра пропорциональна площади профиля и плотности используемого материала. Следовательно, масса прямо пропорциональна плотности р и обратно пропорциональна коэффициенту теплопроводности k. Рассмотрим, например, три следующих материала: Медь р = 8900 кг/м3, k = 389 Вт7 (м-°С) Алюминий р=2705кг/м3, к = 202 Вт/(м-°С) Сталь р=7250кг/м3, k = 43,2 Вт/(м-°С) Для заданного теплового потока, температурного напора и коэффициента теплоотдачи алюминиевое ребро требует только 2705-43,2/7250 X X202—0,08, или 8% материала, необходимого для изготовления стального ребра. При тех же условиях медное ребро требует 8900X X 43,2/7250-389=0,137, или 13,7% материала, необходимого для изготовления стального ребра, но в 8900-202/2705-389=1,71 раз, или на 71% больше материала, чем ребро из алюминия. Наконец, из полученных соотношений следует, что площадь профиля и объем ребра возрастают как куб теплового потока. Если требуется увеличить тепловой поток вдвое, то можно либо использовать два одинаковых ребра, либо изготовить ребро в 8 раз больше. С конструкторской точки зрения очевидно, что гораздо выгоднее использовать большое число ребер небольших размеров, чем меньшее число больших. Пример 2.7. Оптимальные продольные ребра. Гладкую поверхность необходимо развить продольными ребрами из алюминия с ?=202 Вт/(м-°С) и плотностью р = =2705 кг/м3. Коэффициент теплоотдачи от ребер к окружающей среде /г = =625 Вт/(м2-°С). Если максимальная допустимая масса ребер на 1 м длины равна 37,2 г, определить оптимальные размеры и эффективность продольных ребер следующих профилей: 1) прямоугольного, 2) треугольного, 3) вогнутого параболического. Решение. Максимально допустимая площадь профиля каждого ребра W 0,0372 < А^гГ^Г^тОо^1'375-10-5^ 1. Прямоугольное ребро. Линейные размеры профильного сечения вычисляем по B.81) и B.82): 2М2р\1/з д0 = 0,791 —т— =0,791 2.625-A,375-Ю-5J ],/3 v ! =0,835- Ю-3 м = 0,835 мм. 202 , ар 1,375.Ю-5 о = -;—= q 835» 10~3 ~*>65-10 м = 16,5 мм и0 Эффективность ребра рассчитываем по B.13): th mb 8—192 113
где /п==B/г/Ы0I/2 = B-625/202.0,835.Ю-3I/2 = 86 м-1. Следовательно, т& = 86.1,65.10-2 = 1,42; th 1,42 0,8896 лпП09 2. Треугольное ребро. По B.83) [2-625A,375» 10-5J]1/з_ 202 По B.84) I2h \i/3 Г2-625A,375.10-5J11/з *0 = 1,328 (-^А^ =1,328 [ ^-202 LJ = = 1,395-Ю-3 м= 1,395 мм. 2Ап Ь = - 2-1,375.Ю-5 1,97-Ю-2 м = 19,7 мм. 1,395.10-' Следовательно, m = B/i/^0I/2 = B.625/202.1,395-10-3I/2 =66,6 м-1; т6=66,6.1,97.10-2 = 1,311; 2т6= 2-1,311 =2,622. По B.18) 1 Il{2mb)_ 1 2,8108 71 ^ mb I0Bmb) 1,311 3,6145 -и>оу^ 3. Вогнутое параболическое ребро. По B.85) и B.86) 2/П1/3 . _А A,375. Ю-5J.2.625 р/3_ 202 S0 = 1,651 ^2pXJ e 1.661 [- ЗЛр 3.1,375-Ю-5 ь=-^-=- 11/3 = 1,738.10-* м; 2,37.Ю-2 м = 23,7 мм. и0 1,738-Ю-3 Следовательно, m = Bh/kdQ)l/2 = B.625/202.1,738-10~3I/2 = 59,5 м~!; mb = 59,5.2,37.10-2=l,41; 2тЬ = 2,82. По B.23) 2 2 7) = Г7п= Г79 = 0,502. J I +[\ + BmbJ]l/2 1+ fl + 2,822]1/2 ' Таким образом, при продольных ребра имеют Профиль ребра Прямоугольный Треугольный Вогнутый параболический рассматриваемых условиях тр следующие характеристики: Толщина, мм 0,835 1,395 1,738 Высота, мм 16,5 19,7 23,7 и оптимальных Эффективность 0,627 0,593 0,502 Оптимальные размеры радиального ребра прямоугольного профиля Уравнение B.58) определяет функцию профиля радиального ребра, требующего минимальной затраты материала. Такое ребро обладает определенными преимуществами, но поскольку его изготовление весьма трудоемко, оно редко применялось на практике. Браун [9] провел исследование радиального ребра прямоугольного профиля и разработал 114
графики для определения оптимальных размеров ребер в области, важной для практического применения. Тепловой поток, передаваемый радиальным ребром прямоугольного профиля, показанным на рис. 2.8, определяется по B.37): <70 = 2тсг080Ьг60 iiipire)Kl(mrQ) — К^тге^^тгр) Используя т = Bй/&80) и объем ребра запишем B.37) в виде <7„ = 2ic?roej- 2W0 I1(Ze)K,(Z0)-K1(Ze)I1(Zo) I0(Z0)K1(Ze)+I1(Ze)Kl оB») J' где f?ff; ¦2Лг%A + У/яУ.П2 *а0 I B.90) B.91) B.92а) B.926) Уравнение B.91) определяет тепловой поток как функцию толщины ребра :бо. Приравнивая производную dqo/d8o нулю и сохраняя Л, k, 8o, г0 и V постоянными, находим максимум отводимого теплового потока. Дифференцируя B.91) по бо и приравнивая производную нулю, получаем: 04-7 \Ь <z°)*' <z«>~*' <z*> 7' (Z"> 7*Ё°> *J (z^> + к° <z°> 7» <z*> I .1- *^~** [/„(Z0)^I(Ze) + /C()(Z0)/1Be) /, (Z0) Д", (Ze) — JC, (Z0) /, (Ze) J "T" + ^(l + Z2„l-' Z2eit/-20ft X чу ([/„ (Z.) It, (Zt) + /, (Z„) Kq (Z.)] [/, (Ze) K, (Ze) + /, (Ze) Ко (Ze)] A 1 [/. (Z.) JCt (Z.) + /, (Ze) /C0 (Z,)] [/, (Z„) /Cx (Ze) - tf, (Z0) /, (Ze)] J = 0. B.93) Оптимальные размеры радиального ребра прямоугольного профиля получаются из решения B.91) и B.93). Результаты решения, выраженные через безразмерные переменные «-(* v= - йо Шг0Ъ0 B.94а) B.946) B.94в) представлены на рис. 2.19. Пример 2.8. Оптимальное радиальное ребро прямоугольного профиля. Определить толщину оптимального радиального ребра прямоугольного профиля наружным ма- метром 101,6 мм, установленным на трубе диаметром 50,8 мм. Ребро, изготовленное из 8* 115
100 50 10 ', -?с* рр^ ! 14 и I ] I ... .. : мм 11 \(Я ^ \ -*• Xs* 1 \ \ I Vc 111 к<?- 1111 о , \х . JF г г ¦ villi m \llii 0,01 0,05 0,1 q0/2xKro9o 0,5 1,0 Рис. 2.19. Оптимальные размеры радиального ребра прямоугольного профиля. стали с коэффициентом теплопроводности &=34,1 Вт/(м-Х), отводит 23,4 Вт к окружающей среде с температурой 46,2°С. Температура в основании ребра равна 113°С, коэффициент теплоотдачи 42 Вт/(м2-Ч:). Решение. По B.94в) при 0О= ^ПЗ—46,2=66,8°С имеем: <7о _ 2я?г09в 2^4 ___ "-3,14.34,1.0,0254.66,8 ~" = 0,0647. По B.94а) u = BhrQ/k)lf2 = = B.42.0,0254/34,1I/2 = 0,25. По рис. 2.19 при q0/2nkr0B0 = ==0,0647 и й=;Р»25 находим о = = Го/д0 = 20, откуда а°-|20 0,0254 = 20 : = 0,00127 м = 1,27 мм. ОБЩИЕ (СПЛОШНЫЕ) РЕБРА Развитые поверхности с периодической структурой изготавливают КЗ единого металлического листа, пронизанного круглыми трубами в определенном геометрическом порядке. Забронскии [10] Расс™^ эффективность общего ребра с размещением труб в центрах квадратов, как показано на рис. 2.20. Решение Забронского точно Удовлетворяет условию адиабатичности на внешней границе ребра, но лишь приближенно условию изотермичности в основании. Спэрроу и Лин LUJ разработали совершенно другой метод анализа, который позволяет получить решение, точно удовлетворяющее изотермическому граничному условию в основании ребра, и приближенно, но с любой степенью точ!аости адиабатическому условию на внешней границе ребра. Спэрроу^и Лин рассмотрели также общее ребро в виде правильного ™™^™*™; Такое ребро образуется, когда трубы, пронизывающие металлический лист расположены в вершинах равносторонних треугольников как по- * г - казано на рис. 2.2I. Приравнивая разность тепловых потоков (поступающего в бесконечно малый элемент ребра и покидающего его путем теплопроводности к конвективному тепловому потоку, отводимому в окружающую среду), получаем следующее уравнение теплового баланса ,^ л для оебер, изображенных Рис. 2.20. Система координат (б) общего квадрат- А ^„%о<\ г* 9 91 ного ребра (а). на рис. 2.20 и 2.21. 116
т, #(-?)- 1 дЧ г дФ2 — 2А6г, B.95) где Ф — окружная координата в радианах. Решение B.95) должно удовлетворять граничным условиям: при r = rQ и Ф = 0 6 = при г = г09я Ф = Ф0б = B.96) :) ?=Фп Ф=0 Рис. 2.21. Система координат (б) общего шестиугольного ребра (а). где n=mjtl<Do (—4m) для квадратного ребра и n=Qm для шестиугольного ребра. Кроме того, для любого г, при Ф=0 или Фо, дв/дФ=0, а при r=s/cos<&, d0/cW=O, где через N обозначено направление по нормали. Используя приведенные выше условия, получим решение B.95) в виде ¦==•.. Л> (mr) /о К) -^ Cmcosn<D К я(т)-1 .(«*)%$$ т=0 B.97) где /i = -tc/4 и ти/б для квадратного и шестиугольного ребер соответственно и где m = {2h!kbQf . Необходимые т констант Ст находятся из условия адиабатичности при r==s/cos<J>, dQ/dN—0 на правой границе элемента в р отдельных точках. Эта процедура дает р линейных неоднородных алгебраических уравнений для р неизвестных Ст, а именно С0, Ci, ..., Ср_2, Cp_i. Эта система уравнений, усеченная при т=р—1, может быть решена численно, причем р должно быть взято достаточно большим, чтобы решение соответствовало требуемой точности. Эффективность г\= =q/qid получается из чис- %щ ленного решения для температуры и удобно выражается через фиктивный внешний радиус г*е радиального ребра, имеющего такую же площадь поверхности, как и квадратное или шестиугольное ребра. Фиктивный внешний радиус является функцией размера s. Как ге, так и 5 показаны на рис. 2.20 и 2.21; легко видеть, что для квадратного общего ребра / 2 ^\ G$ ~Гс)<ЩкЪй Bi98a) Рис. 2.22. Эффективность квадратных ребер. / — радиальное ребро прямоугольного профиля. 117
для шестиугольного ребра г^е = {~~У s' B-98б) Эффективности квадратного и шестиугольного общих ребер построены на рис. 2.22 и 2.23 соответственно. ЗАДАЧИ 2.1. Используя зависимость B.5) при значении /2= =—1, получить обобщенное дифференциальное уравнение для температурного напора и его общее решение — профиль температурного напора. 2.2. Записать функцию профиля и получить дифференциальное уравнение температурного напора для радиального ребра треугольного профиля, Проанализировать возможные решения полученного дифференциального уравнения. 2.3. Определить тепловой поток, передаваемый радиальным ребром прямоугольного профиля из алюминия с & = 202 Вт/(м-К). Ребро укреплено на трубе с наружным диаметром Z)H = 25 мм, толщина ребра 2,6 мм, отношение радиусов р = 0,5 и коэффициент теплоотдачи равен 133 Вт/(м2»К). Температура основания ребра 185°С, а окружающей среды 28°С. 2.4. Для ребра, описанного в задаче 2.3, построить график зависимости температуры от расстояния до основания ребра и определить тепловой поток, передаваемый внешней половиной ребра. 2.5. На трубе длиной 3,7 м необходимо установить 16 стальных (& = 40 Вт/(м-К) продольных ребер общей массой, не превышающей 10,9 кг. Плотность стали р = =7250 кг/м3. Определить оптимальные размеры ребер (а) прямоугольной, (б) треугольной, (в) вогнутой параболической форм и (г) рассчитать эффективности этих ребер, если известно, что /*=371 Вт/(м2«К). 2.6. Для ребер из задачи 2.5, построить зависимость отношения температурных напоров 6/00 от высоты ребра. 2.7. Для продольного ребра прямоугольного профиля, изготовленного из меди (& = 389 Вт/(м-К)) высотой 7,60 см, помещенного в среду с коэффициентом теплоотдачи, равным 260 Вт/(м2«К) при температурном напоре в основании 68°С, построить график зависимости (а) количества отдаваемого тепла и (б) эффективности ребра от его толщины. При построении ограничиться ребрами толщиной не более 0,60 см. 2.8. Определить увеличение теплового потока (в процентах) от основной поверхности с температурой, равной 104°С, при ее оребрении стерженьковыми стальными ребрами высотой 19 мм н диаметром 6,3 мм, расположенными коридором на расстоянии 2,54 см друг от друга. Теплопроводность стали можно взять равной 34,6 Вт/(м«К). Температура окружающей среды равна 80°С, а коэффициент теплоотдачи равен Л= = 110 Вт/(м2.К). . 2.9. Продольное ребро треугольного профиля должно отводить 1160 Вт на 1 м длины. Температурный напор в основании ребра 73°С, коэффициент теплоотдачи 78 Вт/(м2-К). Определить размеры ребра, если оно изготовлено из меди с k= = 389 Вт/(м-К). 2.10. Шиловидное ребро выпуклого параболического профиля имеет следующие характеристики: Материал Алюминий (?=202 Вт (м-К)) Высота 38,0 мм Толщина основания 6,35 мм Коэффициент теплоотдачи h • . 200 Вт (м2-К) Температурный напор в основании 60°С H-r0)T/2h/kt0 Рис. 2.23. Эффективность шестиугольных ребер. / — радиальное ребро прямоугольного профиля. 118
Необходимо уменьшить массу, используя шипы вогнутого параболического профиля, имеющие те же физические характеристики и условия работы. Определить (а) процентное изменение количества отдаваемого тепла при использовании вогнутого параболического ребра и (б) коэффициент теплоотдачи, при котором тепловые потоки, рассматриваемые обоими видами ребер, одинаковы; сравнить для последнего случая эффективности ребер. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 2 1. Murray W. M. J. Appl. Mech., 5, А78, 1938. 2. Gardner К. A. Trans. ASME, 67, 621, 1945. 3. Mickley H. S., Sherwood Т. К., Reed С. Е. Applied Mathematics in Chemical Engineering, p. 42, McGraw-Hill Book Company, New York, 1957. 4. Schmidt E. Die Warmeubertragung durch Rippen. Z. VDI, 70, 885—889, 947, 1926. 5. Duffin R. J. A Variotional Problem Relating to Cooling Fins. J. Math. Mech. 8, 47—56, 1959. 6. Appl F. C, Hung H. M. Symposium on Air-cooled Heat Exchangers, 7th National Heat Transfer Conference, Cleveland, Ohio, 1964. 7. Hilding W. E. ASME paper 53—42, 1953. 8. Schmidt E. Z. ver. deut. Ing., 70, 885, 947, 1926. 9. Brown A. Intern. J. Heat Mass Transfer, 8, 655, 1965. 10. Zabronsky H. J. Appl. Mech., 22, 119, 1955. 11. Sparrow E. M., Lin S. H. Intern. J. Heat Mass Transfer, 7, 951, 1964. ГЛАВА ТРЕТЬЯ РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА КОНВЕКЦИЕЙ (ПРАКТИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ) Введение В предшествующей главе рассмотрены ребра нескольких типов в предположении, что теплоотдача с торца ребра отсутствует (9-е допущение гл. 2). Однако в ряде случаев теплоотдачу с торца следует учитывать для продольных и радиальных ребер прямоугольного и трапециевидного профилей и цилиндрических шипов. В соответствии с 3-м допущением гл. 2 коэффициент теплоотдачи постоянен и однороден по всей поверхности ребра. Однако довольно часто и это допущение несправедливо. В настоящей главе проводится анализ ребер различных геометрических,.форм в условиях, когда упомянутые допущения последовательно снимаются. При отказе от допущения о теплоизоляции торца анализ проводится двумя методами. Согласно первому методу теплоотдачу с торца учитывают непосредственно в граничном условии у вершины ребра и находят частное решение уравнения теплопроводности для ребра при этом условии. По второму методу, называемому методом Харпера — Брауна, на торце сохраняется граничное условие теплоизоляции, а теплоотдачу с торца учитывают изменением высоты ребра (используется так называемая приведенная или эффективная высота). ПРОДОЛЬНОЕ РЕБРО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ Точное решение На рис. 3.1 показана система координат, используемая при выводе соотношений для температурного напора, теплового потока и эффективности ребра с учетом теплоотдачи с торца ребра. Заметим, что начало координат помещено в основании ребра и положительное направление 119
соответствует направлению от основания к торцу ребра. Такая ориентация противоположна использованной в гл. 2 при анализе ребер с теплоизолированным торцом. Это методическое различие вводится для удобства вычислений и в тоже время оно обеспечивает большую универсальность и гибкость анализа ребер. Уравнение теплового баланса, использованное в гл. 2 при выводе дифференциального уравнения теплопроводности ребра, не зависит от теплового потока с торца ребра. Не изменяется в этом случае и общее решение. Однако вследствие различия граничных условий для теплового потока через торец ребра теперь получается другое частное решение. Обозначим коэффициент теплоотдачи на торце ребра через he. Это позволяет рассматривать различные коэффициенты теплоотдачи на торце и на боковых поверхностях ребра, поскольку они могут быть и не равны друг другу. Тепловой поток через торец ребра равен /i^L6o6e. Дифференциальное уравнение и общее решение для этого случая идентичны полученным в упрощенном случае в гл. 2: d4 х=0 Рис. 3.1. Обозначения и система координат для анализа продолы ного ребра прямоугольного профиля с учетом теплоотдачи с торца. / — основная поверхность; 2 — боковая поверхность; 3 — концевая поверхность; 4 — торец ребра; L — длина ребра; Ь — высота ребра; 60 — толщина ребра. dx2 -m26 = 0; C.1) \ = CleTx + Cte' C.2) где т = Bй/&80J. Однако при учете теплового потока через торец ребра граничные условия имеют вид: и db he fi C.3а) Дифференцируя в C.3а), получаем: при х=0 8=90. выражение C.2) по х и подставляя Cjne^ — Cjne" * = —!?{Сге" } + Сже'т). C.36) результат C.4) Подстановка C.36) в C.2) дает: 8o=Ci-rC2. C.5) Совместно решая C.4) и C.5), определяем постоянные интегрирования Ci и С2 и получаем следующее частное решение: 0О (emb[{x/b)~2] + ае~тЬ {xjb)) а + е-2т~Ь C.6) где а = т + he/k т — he/k 120
Частное решение для случая, когда тепловой поток через торец ребра отсутствует, для конфигурации, изображенной на рис. 3.1, имеет вид: b0chm (b —х) ch- mb C.7) 90 Если коэффициент теплоотдачи на торце равен нулю, тепловой поток через торец ребра отсутствует (а=1) и уравнение C.6) сводится к C.7). Выражение C.6) является точным решением, а C.7) соответствует случаю, когда тепловой поток через торец предполагается пренебрежимо малым. Различие между двумя этими решениями про- 4. 100^ иллюстрировано на рис. 3.2. Температурный напор в произвольном сечении в процентах от температурного напора в основании ребра 1000/00 показан на рисунке как функция х и а. Кривые построены для медного ребра [&=389 Вт/(м.°С)] высотой 50,8 мм и толщиной 1,6 'ММ. Значение т получено при коэффициенте теплоотдачи на боковых поверхностях ребра, равном 143 Вт/(м2«°С), а значения а — изменением коэффициента теплоотдачи на торце he. Кривая а=1 соответствует уравнению C.7). 13 О «SO о CS а: Quo о о § =* 80 СО СЭ м 70 со t: Ей ^р ей 60 50 а= 1,00 ¦1,10 а= ,1,25 1,50 0 10 20 20 40 Расстояние от основания х9мм $0 Рис. 3.2. Распределение температуры в продольном медном ребре крямоугольного профиля толщиной 1,6, высотой 50,8 мм, показывающее влияние тепловых потерь с торца. Приближение Харпера — Брауна Анализ C.6) показывает, что часть тепла, поступающего в ребро через его основание, должна отдаваться в окружающую среду через торец. Температура торца ребра te отличается от температуры окружающей среды. Харпер и Браун предложили прием решения, состоящий в увеличении высоты ребра на такую величину, чтобы тепло, отдаваемое в реальном ребре через торец, рассеивалось теперь на дополнительной высоте ребра. Фиктивная добавка вы- «=> соты ребра изображена на рис. 3.3. Если полную н высоту ребра обозначить bc=b-\-b\ то можно считать, что фиктивный торец при х=Ьс имеет температуру окружающей среды t8, т. е. температурный напор у вершины равен нулю. Это позволяет использовать граничные условия, соответствующие нулевому тепловому потоку через торец при увеличенной (приведенной) высоте ребра Ьс. 121 II с? °3 1 L*L -«5 ' 1 А 1 -4Г ; | Рис. 3.3. Система координат для анализа продольного ребра прямоугольного профиля в приближении Харпера — Брауна.
Таким образом, dx =0:=mC1e с — тС2е с; х=ье л rrib„ _ — mft Схе с = С2е с. Тепловой поток, рассеиваемый с торца для реального ребра (беа увеличения высоты) составляет1: q=h8QL(te~ts)=hboLQe. C.8> резке между х=Ъ и х=#с, то ^г Если это тепло рассеивается боковыми поверхностями ребра на от- = 0. Это в свою очередь требует». \х=Ьс чтобы Ь'—Ьс—Ъ имела такое значение, при котором весь тепловой поток,, определяемый уравнением C.8), рассеивался бы боковыми поверхностями ребра в интервале от х=Ь до х=Ьс или hb0Lbe = kBL-{-2b0)b%9 и если L > 80, h\IAe = 2hU>\. Теперь вычисляем Ъ'\ приведенная высота ребра становится равной Ье = Ь + Н = Ь + \. C.9> Таким образом, Ьс равна начальной, нескорректированной высоте ребра + половина толщины ребра. Действительно, получается так, как будто торец ребра повернут, разделен на две части и каждая часть* приставлена к своей грани, что и приводит к увеличению высоты ребра. Для ребра, у которого тепловые потери с торца отсутствуют, тепловой поток через основание можно найти из C.7) и закона Фурье, рассмотренного в гл. 1. Используя эти выражения и заменяя Ь на Ьс, получаем:. qo=k8oLmQ0 th mbc. Однако i т=Ы) ; 2А 8. km2 и приведенная высота ребра ъс=ь+^=ь+ h km2 ' 1 Здесь предполагается, что коэффициенты теплоотдачи на боковых поверхностях и на торце ребра одинаковы и равны h (а не he). 122
Тепловой поток через основание ребра Тепловой поток через основание ребра можно найти из закона Фурье, используя производную от соответствующего температурного напдра. Продифференцируем точное решение — уравнение C.6) сМ _ d \ 80 (етЬ К*1Ь)-Ъ + *е~тЬ {х^) 1 Ъ0т (emb tW^^j - *е~тЬ {xfb)) dx dx \_ a-\-e—2mb- J cL + e— 2™ь При х = 0 получаем формулу dB _Ъ<>т(е-ЬпЬ— а) dx a + e—^mb Таким образом, точное решение для теплового потока через основание ребра имеет вид: п _ UK T dB I _ kd0Lm$0(a—e-bnb) или в более удобной форме kS0LmB0 [(he/mk) + th mb] /"Ч 1 1 \ ?0~~ 1 + (he/mk) th mb • V6Al) В рамках приближения Харпера — Брауна, как было показано, qQ=nkdoLme0 th mbc; это соотношение можно преобразовать к виду Если учесть, что q0 = k\Lmb0th(mb+JLy h / ftS„ \ km k B/г/Н0J получим окончательное выражение в виде q0 = k80LmbQ th •*+№Jrl C.12) Эффективность ребра Точное решение для теплового потока через основание определяется C.10). Эффективность находится делением C.10) на уравнение теплового потока, отводимого идеально проводящим ребром, qid=Bbh+6dhe)LQo, или *ч = Bbh + d0he) {¦^Щ- <3-13» Если потери через торец не учитываются, т. е. he=0, a=l, то зависимость C.13) принимает вид: kb0m Г \ — е-2тЬ \ th mb ^~~~ 2bh \ 1 + e~2mb )~ mb ' Это соотношение совпадает с эффективностью ребра, полученной ъ упрощенном случае, которая определяется по B.13). Эффективность 123
ребра в приближении Харпера — Брауна полностью совпадает с B.13), в котором действительная высота ребра Ьс заменена на приведенную: ,=^. C.14> Пример 3.1. Продольное ребро с учетом тепловых потерь с торца. Продольное ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм, высотой 101,6 мм, длиной 304,8 мм, изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности 34,1 Вт/(м«°С), отводит тепло в окружающую среду с температурой 50 С. Температура ребра в основании 100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-0С). Сравнить: а) эффективности ребра, б) температуры торца, в) отводимый тепловой поток, 1) без учета теплоотдачи с торца, 2) с точным учетом теплоотдачи с торца, 3) с учетом теплоотдачи с торца в приближении Харпера — Брауна. Провести аналогичное сравнение для случая, когда коэффициент теплоотдачи с торца равен 100 Вт/(м2-°С). Решение. е0=100—50=50°С; 6«=9,5 мм=9,5-10-3 м; / 2-50 \1/2 т = ( 34,1-9,5.10-^ J =17'5 м~*; 6 = 101,6 мм =0,1016 м; т& = 17,5-0,1016= 1,78; m + he/k _ 17,5 + 50/34,1 a — m — he/k 17,5 — 50/34,1 — Ы79. а) Эффективность ребра без учета теплоотдачи с торца определена в примере 2.1 по B.13), кривой Л на рис. 2.6 и по табл. 2.1 При mb=\JS т]=0,531. В соответствии с точным решением для эффективности с учетом теплоотдачи с торца—уравнением C.13) при /*е=50 Вт/(м2-°С), а=1,179, т=17,5 м~* и /п6 = 1,78 имеем: 7| = kd0m f g — e-2mb \ __ 34,1-9,5.10-».17,5 2bh + bQhe I a+,e'~2mb J ~ 2-0,1016-50+9,5.10"*.50X /1,179—-0,0284 4 ^[ 1,179 + 0,0284 ) =0»511- В приближении Харпера—Брауна при mbc~ 1,87 по C.14) находим: th тЪс th 1,87 0,9536 ~~ =U,D1U. Л на рис. 2.6. ^^~mbf~T^f ЬГ = 0'510 Тот же результат можно получить по табл. 2.1 и по кривой Если коэффициент тплоотдачи с торца равен 100 Вт/(м2-°С), то m + he/k _ 17,5 + 100/34,1 zm — he/k 17,5—100/34,1 — 1^УЙ» по C.13) получаем: Вйт ( а — е~2тЬ \ 34,Ь9,5.Ю-3-17,5 ^о" / д-е-2тЬ \ \ * + e~2mb j 71— ЧЪкЛ-ЬЛ. „ , „-2mb )— 9.0 IOIfi.nO-4-Q Я. 10-*. 1 00 X 2Ьк + Ь^е I а + е-жь j— 2-0,1016-50+9,5.10-».100 /1,398 —0,0284 N X (^1,398 + 0,0284 J =°,493. б) Температура торца. Без учета теплоотдачи с торца температура торца определена в прИхмере 2.1 по B.9) и составляет 66,4ГОС. Точное решение с учетом теплоотдачи с торца — уравнение C.6) при х=Ь и he = =50 Вт/(м2-°С) дает 9 (emb[(xlb)-2] + M-mbixlb^ 5Q (^l,78(l-2) + j 179tf—1.7IK ft — ! '— = - ' - — 1 R oof откуда *e=6e+/*= 15,2+50=65,2°C. 124
В приближении Харпера— Брауна заменяем Ь на Ьс: 8 9 б-10~*3 Ьо = Ъ + "Г = °'1Ш6 + "J~2 = °'1064 м; т&с = 17,5.0,1064== 1,87 и из C.7) при (х — Ьс) получаем: 9echmFc — х) __ 90ch@) 50-1 "« — chm6c chl,87 3,3212" откуда /e=0e+/e = 15+50=65°C. 15eC, Если коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен 100 Вт/(м2-°С), а коэффициент теплоотдачи на боковых поверхностях остается равным 50 Вт/(м2«°С), то в соответствии с точным решением — уравнением C.6) при х=Ь имеем: В (emb[(xJb)-2]+ ae-mbix/bU 5Q ( ,,78(, -2) . j Я98*-».") е~ а+е-2тЬ ~ 1,398 + ^-3»5б —14,Z^, откуда /e=ee+^=14,2-f50='64,2°C. Следовательно, увеличение коэффициента теплоотдачи с торца приводит к снижению его температуры. в) Тепловой поток на единицу длины, отводимый ребром без учета теплоотдачи с торца, определен в примере 2.1 и составляет 270 Вт/м. Поскольку длина ребра L = =0,3048 м, полный тепловой поток, отводимый ребром, ^0—270-0,3048=82,3 Вт. В соответствии с точным решением C.11) при /ге=50 Вт/(м2«°С) тб «1,718; Не _ 50 m/c ~ 17,5-34,1 =0*0835. Тепловой поток, отводимый ребром, kd0LmB0(he/mk-j-tb mb) __ йо = 1 + (he/mk) th mb _ 34,Ь9,5-10-3-0,3048*17,5-50@,0835 + th 1,78) "" 1 + 0,0835 th 1,78 =82,6 Вт. Тепловой поток через торец ребра, составляющий около 0,3 Вт, пренебрежимо мал по сравнению с 82,3 Вт, отводимыми через боковые поверхности. В приближении Харпера — Брауна при Ь = ЬС и т&с=A,87 получим: ^o=^6oLmeothm6c = 34,b9,5-10-3-0,3048-17,5-50-th 1,87=82,6 Вт. Бели коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен 100 Вт/(м2-°С), то тепловой поток, отводимый ребром, в соответствии с точным решением C.11) несколько изменится: при he _ 100 тк 7,5-34,1 ^О»167; kbQLm4u{he/mk + th mb) qo== 1 + (he/mk) th mb _34,1.9>5-10-3-0,3048-17>5-50@,167 + thl,78) 1+0,167 th 1,78 -83,5 Вт. 125
Результаты расчетов сведены в следующую таблицу: Вариант Упрощенное решение (без учета теплоотдачи с торца) Точное решение (с учетом теплоотдачи с торца): he = 50 Вт/(м2.°С) Ае = 100 Вт/(м2.°С) Приближение Харпера — Брауна Температура торца, °С 66,4 65,2 64,2 65,0 <7о. Вт 82,3 82,6 83,5 82,6 •п 0,531 0,511 0,493 0,510 Критерий целесообразности применения продольного ребра прямоугольного профиля Рассмотрим еще раз действительный тепловой поток через основание ребра, с учетом теплоотдачи с торца, определяемый выражением C.11): kd0Lm$0 [(he/mk) + th mb] Уо— \ + (he/mk)thmb Вид этого уравнения показывает, что когда все переменные, кроме высоты ребра Ь, постоянны, максимальному тепловому потоку через основание ребра соответствует некоторое определенное значение высоты ребра1. Это максимальное или оптимальное значение высоты ребра может быть получено из графика зависимости q0 от Ь путем определения точки, где наклон кривой исчезает, т. е. оптимальная высота соответствует обращению в 0 q0 как функции Ь. Ее можно найти, дифференцируя C.11) и приравнивая результат нулю. Учитывая, что -т— th ах = a sch2 ах, выпишем производную dq0 k$0LQ0m [(he/mk) th mb + 1] m sch2 mb kd0LQQm [(he/mk)+th mb] (he/mk) sch2 mb db~~ [1 + (he/mk) th mb]2 [1 + (he/mk) thmb] ' • 1 Это совершенно неправильное утверждение является следствием некорректного анализа зависимости q0 от высоты ребра Ь. При дифференцировании q0 по Ь2 и приравнивании результата к нулю производится деление на sch^mb, т.е. утрачивается решение schmb = 0 при mb = оо. Между тем именно при этом значении mb функция q0 асимптотически стремится к предельному значению, которое может быть больше, равно или меньше теплового потока q, отводимого с основной поверхности площадью, равной площади поперечного сечения ребра. При he/mk<\ с увеличением b монотонно растет <7о (так что для любой высоты qo>q), приближаясь к предельному значению, зависящему только от he/mk. В этом случае применение ребра выгодно. Характер изменения q0 от mb (в безразмерном виде) изображен на рис. 3.10. При he/mk>\ q0 с увеличением b асимптотически уменьшается, так что для любой высоты ребра qo<q. В этом случае ребро изолирует основную^ поверхность и его применение невыгодно. При he/mk=\ значение q0 равно q при лю'бой высоте ребра, т. е. ребро не влияет на теплопередачу. Таким образом, условие выгодности применения ребра не зависит от высоты, а определяется только числом Bi=he8o/2k с толщиной в качестве характерного размера, причем в отличие от утверждения авторов значению doh2e/2hk=\ соответствует не максимальное значение передаваемого теплового потока, а неизменное (постоянное) значение qo, равное q. Предельное условие выгодности применения ребра (Bi = l) значительно проще получить непосредственно из условия q0/q=\, где q0 определяется уравнением C.11), a q=hedQe0L. (Прим. ред.) 126
Приравнивая ее нулю, найдем, что m(^thm6+1)=+(^+thm6); *Mhmft + m=^-+4W); mk2 m2k2 2hk = 1. Последнее равенство показывает, что тепловой поток через основание будет максимальным, когда безразмерный параметр 8oh2ej2kk равен единице. Для значений параметра, меньших единицы, ребро выгодно и позволяет увеличить тепловой поток от основной поверхности в окружающую среду. Если отношение больше единицы, тогда ребро оказывает изолирующее воздействие на передачу тепла, т. е. уменьшает тепловой поток. Когда коэффициенты теплоотдачи на торце he и на боковых поверхностях ребра h равны, d0h2e _d0h2 _ld0h ,- -. Если C.15) перегруппировать, получим: h=^- C.15а) и максимум соответствует случаю, когда коэффициент теплоотдачи на поверхности равен удвоенной внутренней тепловой проводимости ребра. Пример 3.2. Целесообразность продольного ребра прямоугольного профиля. Определить, выгодно ли применять продольное ребро прямоугольного профиля длиной 304,8 мм, высотой 50,8 мм и толщиной 3,2 мм, помещенное в кипящую воду при коэффициенте теплоотдачи /г= 14 200 Bt/i(m2«°C). Ребро изготовлено из стали с k= = 34,1 Вт/(м-°С). Температура ребра в основании 101,7°С, а вода кипит при 100°С. Решение. Температуры основания ребра и окружающей среды не оказывают влияния на вопрос о целесообразности применения ребра. Критерий выгодности определяется выражением C.15а): h = — Используя заданные значения k и д0, находим: « ¦ ' 2-34,1 h = д-Щ2 = 21 300 Вт/(м2' °С)- Значение h для кипящей воды равно 14 200 Вт/(м2«°С). Следовательно, использование ребра дает положительный эффект. С другой стороны, из уравнения C.15) d0h __ 0,0032-14 200 2k Щ1 = °,66<1 и применение ребра оказывается выгодным даже при таком высоком значении коэффициента теплоотдачи. Эффективность ребра получим из B.13): 2Л \1/2 2-14 200 11/2 = 511 м- 34,1-0,0032 J ¦ mb = 511-0,0508 = 26,01; thmb 26,01 mb 26,01 0,0384. Тепловой поток, отводимый ребром, составляет qo=2hbLQot\== 2* 14 200-0,0508Х Х0.3048-1,7-0,0384=28,8 Вт. 127
Если бы ребро отсутствовало, то основная поверхность, на которой оно устанавливается, отводила бы ^=/i60L9o=»14200-0,0032-0,3048-l,7=23,6 Вт. Очевидно, что, несмотря на низкую эффективность, ребро увеличивает тепловой поток. Однако сомнительно, чтобы столь незначительное увеличение теплового потока оправдывало затраты, связанные с изготовлением и установкой ребра на основной поверхности. x+dx ПРОДОЛЬНОЕ РЕБРО ТРАПЕЦИЕВИДНОГО ПРОФИЛЯ Дифференциальное уравнение для температурного напора Продольное ребро трапециевидного профиля показано на рис. 3.4. Учтем потери с торца ребра, удлиняя ребро на величину бе/2 в соответствии с методом Хар- пера — Брауна, так что приведенная высота ребра станет равной bc=b-\- + (бе/2). Начало координат в этом случае поместим на фиктивном торце ребра, а положительное направление координаты х выберем в направлении от торца к основанию ребра. Для единицы длины ребра функция площади поперечного сечения и ее производная, выраженная I *ш/2 Рис. 3.4. Обозначения и система координат для анализа продольного ребра трапециевидного профиля с учетом теплоотдачи с торца. / — толщина; 2 — высота; 3 — боковая поверхность; 4 — торец. через угол конусности %, имеют вид: М*) = 2/,(*) = «. +2 (x-^jigx; dh (х) dx = 2tgx. Если эти выражения подставить в обобщенное дифференциальное уравнение B.3) 4, то получим: [8, + 2(*--?-)tgx] d4 db 2/г -6=0. dx* ' ё "dx k cos xl Это уравнение можно свести к обобщенному уравнению Бесселя. После перегруппировки получим: d4 , 2 tg x db 2Я 6=0 dx2~* Ml— tgx) + 2xtgx dx &cosx[de(l—tgx) + 2*tgxj ° * Следуя далее методике, предложенной Харпером и Брауном, производят специальную замену независимой переменной х: Р- АК2 х + Ml-tgx) ]• C.16) 2tgx где fx — преобразованная независимая переменная, а постоянная К определяется из соотношения h ' k sinx* Г C.16а) 1 Харпер и Браун приняли, что площадь поверхности элемента ребра dx равна те dx, a dx /cos и. Эти соображения и приводят к появлению cosx в знаменателе последнего члена. 428
После этих преобразований и соответствующих подстановок получаем модифицированное уравнение Бесселя: ¦*'|rbsr-l* = 0. C-17) Решение C.17) относительно переменной ji имеет вид: e=c1/o(ii)+catfo(ii), C.18) где произвольные постоянные Ci и С2 вычисляются из граничных условий: тепловой поток с торца отсутствует: dB dx = 0; C.19а) х=о задана температура в основании ребра 6U=6„. C-196) г С Однако для того чтобы подставить граничные условия в общее решение дифференциального уравнения, их необходимо преобразовать к системе координат с независимой переменной \х. Дифференцируем C.16): 2\idii=4K2dx', овательно, Таким образом, dp _2К2 dx р ' dB dB dx dp. dx dp ' dB _ p dB dp 2K2 dx Последнее выражение показывает, что для всех конечных значений \х производная dQ/d\x обращается в нуль одновременно с dQ/dx. Следовательно, dQ/d\i=0 при х=0 и ^е = 2К[Ц^}\ C.20а) Для 6 = б0 при х — Ьс получим: Г = Ъ=2к[ье+Ц=&?]Г. C.206) Используем теперь общее решение уравнения, определяемое C.18), и преобразованные граничные условия C.20а) и C.206); получим: dB d\x = C1/1W-ClKlWU=0; следовательно, и аналогично е w,.=cj0 ^,)+сд, о*.-)=е.. 9—192 129
Приведенная система уравнений однозначно определяет значение произвольных постоянных в C.18). Решая систему, находим: р QpKl (p»g) 01 - /0 (p.Q) Кг М + h Ы К0 (р..) > ^о 90Л (р-е) 2 /.W/(iM + /iW^W и, наконец, частное решение получаем в виде в = 8. Кг Ы /. Ы + Л Ы К» (нО 'о К) ^i (f^e) + Л (P-e) К0 ([х0) C.21) Тепловой поток через основание ребра В стационарном случае полный тепловой поток через основание ребра должен быть равен тепловому потоку, рассеиваемому боковыми поверхностями ребра, т. е. К 2h[ 6 i Г 6 -^- C.22) J COS X * v ' о Используя известную связь dx и dp, получаем: dx=2^"dji. После подстановки в C.22) будем иметь: 4гЛ 9^ ¦ <3-23) Основное дифференциальное уравнение C.17) можно преобразовать к следующему виду: откуда видно, что й d2Q , d* d ( dB\ Используя это соотношение, можем выполнить интегрирование выражения C.23): 'dp. |i* Но V-o Учитывая, что db[d\i обращается в нуль при 1*> = р€, получаем: у080 г К, fcg) 7, (р,0) —./, (n,g) /С, (р.0) ] ^о *• COS X [_ /о (р-о) * I Ы + Л Ы *о Ы J ' учитывая, что ранее мы определили K2 = h[ksin>t, 130
Эффективность ребра Эффективность ребра находится как отношение действительного теплового потока, определяемого C.24), к тепловому потоку, отводимому идеально проводящим ребром, вся поверхность которого имеет температуру, равную температуре основания: 4 = <7о _ ?0 fro qid i2hbcb0/cos* 2K2bc 4441- C.25) 1 До К) J РАДИАЛЬНОЕ РЕБРО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ Точное решение Радиальное ребро прямоугольного профиля схематически показано на рис. 3.5. Дифференциальное уравнение теплопроводности B.33) и его общее решение B.34) для случая отсутствия теплоотдачи с торца ребра были получены в гл. 2. e=Ci/0(mr) +C2Ko(mr). Для точного решения, которое учитывает тепловой поток через торец ребра с помощью коэффициента теплоотдачи he, граничные условия имеют вид: при г=г0 е=в0; C.26а) при г=ге dr C.266) Комбинируя B.34) и C.266), получаем: Рис. 3.5. Радиальное ребро прямоугольного профиля при наличии теплоотдачи с торца. / — основная поверхность; 2 — торец. тСх1х (тге) - тС2Кг гш) = - -J- [С1/0 (тге) + СД0 (тг,)]. Решая это уравнение совместно с C.26а), вычисляем произвольные постоянные С\ и Сг и находим частное решение: А — А Г 7о (""") + ?#о (gg) 1 /о 97\ °""°° L /0(^o) + T/(o(mr0) J' ^2/) где __ (he/mk) /0 (mrg) + /t (mrg) » Кг (mre) — (he/mk) K0 (тге) ' Если коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен нулю, результат упрощается. При этом «,_ Л (т/у) 1 ~~ Ki (mre) и выражение C.27), как и следовало ожидать, превращается в B.36): д_а Г Кг (тге) /0 (тг) + 1г (тге) К0 (тг) ~| 0 [Кг {тге) /0 (тгв) + /(о (тг0) /, (тг,) J « Профили температурного напора, соответствующие упрощенному решению без учета теплоотдачи с торца B.36) и точному решению — 9* 131
уравнению C.27), приведены на рис. 3.6 для двух значений коэффициента теплоотдачи. Кривые построены для алюминиевого ребра [k= =202 Вт/(м-°С)] с размерами: толщина 1,6 мм, внутренний и внешний радиусы 25,4 и 50,8 мм соответственно. Рис. 3.6. Распределение температуры в радиальном ребре h=56jS прямоугольного профиля из алюминия толщиной 1,6 мм, внутренним радиусом 25,4 мм, наружным радиусом 50,8 мм, показывающее влияние тепловых потерь с торца. / — приближенное решение: 2 — точное решение [he = 56,8 Вт/(м2 • °С)]; 3 — приближенное решение: 4, 5 —точное решение [соответственно /г,, = 56,8 Вт/м2. °СI. 284 ^ *?=Ш 40 мм Расстояние от основания Можно видеть, что точное решение с учетом теплоотдачи с торца .приводит к понижению температуры в каждой точке ребра. Приближение Харпера — Брауна В рассматриваемом приближении для учета теплоотдачи с торца вводится поправка к внешнему радиусу ребра. Фиктивное приращение радиуса будем обозначать г'. Именно на этом приращении радиуса рассеивается избыточное тепло, в действительности отводимое с торца ребра г=--ге. Фиктивный (приведенный) внешний радиус становится равным rc=re-\-r'. Тепловой поток, отводимый с торца реального ребра (без увеличения высоты), равен: <7=/ге2я1Г<ДHе. Если все это тепло должно рассеяться с поверхности, заключенной между радиусами г=ге и г=гс, то q = 2hMr2c-r\)be. Приравнивая эти выражения, получаем: или 2ъкеГеЬХ = Ше(г2с-Г2е)Ъе г Д = г\ - г\ = (гс - ге) (гс + ге) = г' (гс + ге). Предполагаем далее, что гс и ге приблизительно равны. Если это не так, то тепловые потери с торца ребра играют важную роль, и данное приближение, так же как и все рассмотрение, не справедливо. Таким образом, rc+re=2re и последнее соотношение превращается в Г4бо=>г' (Гс + Ге) =Г' Bге) \ , ri до J r — —' 132
что полностью аналогично добавочной высоте ребра, полученной при анализе продольного ребра прямоугольного профиля. Приведенный внешний радиус ребра, таким образом, равен: гс = ге-\-г'=ге-\--< Выражение, описывающее профиль температурного напора в приближении Харпера — Брауна, совпадает с рассмотренным выше упрощенным случаем [уравнение B.36)], но с заменой ге на гс: А _ А Г Кг (тгс) Jo JJHf) + h(tnrc) K0 (mr) 1 /о 98> 0 — °о [Kl {тГс) /0 (тгь) + К0 (тг0) Л (тгс) ]' К ' } Тепловой поток через основание ребра Тепловой поток через основание ребра при точном учете теплоотдачи с торца получается точно так же, как и в упрощенном случае, но с использованием C.27): <70 — л>^гЛ ^ ^о0 /о (mro) + Y/(o (тГо) j^ = 2«гДА/пвв Г^/^0!""/1^ 1. C.29) Тепловой поток через основание ребра в приближении Харпера — Брауна имеет такой же вид, как B.37), но с заменой \ге на /с: ?.=а«гдые§ г7;^}*^ (з.зо) ^° • * ° [ /0 (We) ^i W + Л (mrc) Ко (гпг0)] но , _50_ __. I fr и уравнение C.30) может быть переписано соответствующим образом. Эффективность ребра Рассуждая так же, как в гл. 2, находим эффективность ребра в приближении Харпера — Брауна: 2о Л №/П - Р)] К, [рФ/A - Р)] - К, [Ф/A - Р)] /, [РФ/A - р)] } Zp J — ФA + Р) \7ЛрФ/A -р)] Ki [Ф/<1 -р)] + /i [Ф/A -р)] К0 [РФ/A -р)] f • C.31) Уравнение C.31) по форме совпадает с B.46), но здесь >=Ъ -fc-'/(?) Пример 3.3. Радиальное ребро с учетом теплоотдачи с торца. Радиальное ребро прямоугольного профиля наружным диаметром 254 мм, внутренним диаметром 101,6 мм, толщиной 9,5 мм, изготовленное из стали с & = 34,1 Вт/(м-°С), отводит тепло в окружающую среду с температурой 50°С. Температура ребра в основании 100РС, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Сравнить: а) температуры торца ребра, б) отводимые тепловые потоки, рассчитанные: 1) упрощенным методом без учета теплоотдачи с торца, 2) точно, с учетом теплоотдачи с торца, 3) в приближении Харпера —Брауна. Решение, а) Температура торца te, рассчитанная по упрощенному уравнению B.36) в примере 2.3, составляет 70°С. 133
Точное решение для температурного напора у торца [уравнение C.27)] имеет зид: ~[Агпге) -\-jK0(mre) *=**[? где здесь (mr9) + tKQ(mr0) _ (he/mk)I0(mre) + Ii(mre) Y — К№ге) — (he/mk)K0(mre)' 254 -1000 101,6 :2.1000 =0,127 м; = 0,0508 м; г0 0,0508 л ,ЛЛ д0= 9,5 mm = 9,5-10-3 м; 2А \i/2 2-50 34,1-9,5.Ю-3 1/2 = 17,5 м-1; /^ = 17,5-0,127 = 2,24; тг0 = 17,5-0,0508 = 0,892; 90 = 100 — 50 = 50°С; /l, 50 Вычисляем Y- тогда 9, = 50 0,0835-2,7071 + 1,9857 0,1025 — 0,0835-0,0851 - 2,7071 +23,32-0,0851 : 23,32, = 18,4°С. 1,2090 + 23,32-0,4925 Температура торца te = Qe+ts =118,4+50 = 68,4°С. Для расчета в нриближении Харпера — Брауна используем C.28). Предварительно вычисляем: тогда д0 0,0095 гс = ге + -у- = 0,127+-^2—= 0,132 м; тгс= 17,5-0,132 = 2,32, = ^о\Кг{тгсI0(тгс) +I1(mrc)K0(mrc)] е ~ Кг(тгсI0(тг0) + KoimrJI^mrc) _ 50@,0926.2,8720 + 2,1365-0,0773) 0,0926.1,2090 + 0,4925-2,1365 = Температура торца te=(9е+/8 = 18,4+50 = 68,4°С. 18,4°С. б) Тепловой поток, отводимый ребром без учета теплоотдачи с торца, рассчитан по B.37) в примере 2.3 и составляет 113,5 Вт. Точное решение для теплового 'потока, отводимого ребром, с учетом теплоотдачи с торца описывается уравнением C.29). При he=b0 Вт/(м2«°С) и у=23,32 * = 2nrMm% [1^+Т^(Й- Г 23,32-0,7269 — 0,4919 Х[ 1,2090+23,32-0,4925 = 2-3,14-0,0508-9,5-10-3-34, Ы7,5-50 X = 117,5 Вт. 134
Тепловой поток, отводимый ребром, в приближении Харпера — Брауна рассчитываем по C.30) при ге = гс = 0,132 и апгс = 2,32: q0 = 2Tzr0$0km$0 I, (тгс) К, (/иг0) — /С 1 (/игс) /, (тг0) I IQ{mr0)Kx{mrc) + I^mr^Koimro) = 2-3, И-0,0508-9,5-10-3-34,1-17,5.50 X X ]- 2,1365-0,7269 — 0,0926-0,4919 1 [1,2090-0,0926 + 2,1365-0,4925 J = 117'5 Вт" НЕОДНОРОДНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ Введение Литература, посвященная изучению стационарной теплопередачи ребер при неоднородном распределении коэффициентов теплоотдачи, немногочисленна. Тем не менее существует несколько весьма интересных работ. Продольное ребро прямоугольного профиля исследовалось Ханом и Лефковицем [2] и Ченом и Зысковским [3]. Радиальное ребро прямоугольного профиля исследовал Винд [4]. Эти статьи, а также библиография, приведенная в них, показывают, что для практических приложений предположение об однородности коэффициента теплоотдачи не реалистично. Более того, Винд утверждает, что использование метода конечных разностей совместно с общей программой для ЭВМ открывает широкие возможности в проектировании развитых поверхностей, поскольку позволяют учесть произвольное распределение коэффициентов теплоотдачи. Метод конечных разностей будет подробно рассмотрен в гл. 6. Продольное ребро прямоугольного профиля при неоднородном коэффициенте теплоотдачи На рис. 3.1 показано ребро, рассмотренное Ханом и Лефковицем. Общее дифференциальное уравнение теплопроводности для продольного ребра с коэффициентом теплоотдачи, который является функцией расстояния х от основания ребра, имеет вид: т 2M?LS = o. C.32) dx Хан и Лефковиц предположили, что зависимость h(x) может быть представлена в степенной форме A(*) = (T+l)Aa(-f)T' C.33) где ha — средний коэффициент теплоотдачи. Подставляя эту зависимость в C.32), получаем: Когда y^O» коэффициент теплоотдачи h(x) постоянен на всей поверхности ребра. Когда 7=1» коэффициент теплоотдачи линейно возрастает по высоте ребра от х=0 до х=Ь. Значения у^2 приводят к параболическим распределениям. Во всех случаях при у^\ коэффициент теплоотдачи в основании ребра обращается в нуль. 135
Для решения C.34) можно применить метод, изложенный в гл. 1, поскольку это уравнение имеет форму *{?&)—*=** dx где р = 09 / = т и а = (Т+1N-т^=(Т+1)Ь-т(т2). Общее решение, таким образом, имеет вид: е=^/а [с,/, (шх1/а) + cj_n (сох1/а)], C.35) где а: •Т/2 ~~Y + 2' ^ —y + 2' а ¦— 2 ' Y + 2' у~— ^+2 Если выполнить преобразование /а _ 2У\+ 1 h-т /2 (т+2) /Я. а = ю^/« = ?^+i ^-t^t+^/q. C 36) =K7+Tm^V'2; x=[^±|ff ГТ+2) и )/T=Q^+2>, C.37) где |1/(Т+2) то da dx Qr_, Y+2 */» 4 > ,. , C.38) |2Ky + 1 m ! Подставляя C.36) —C.38) в C.35) с учетом значений а, р, р/а, /2 и со, получаем: 8 = QMlm+2) [С,/,,,^, (и) +С2/_1/A+2) («)]• C.39) Выражение C.39) является преобразованным уравнением для температурного напора. Произвольные постоянные С\ и С2 определяем из граничных условий при и^О 6=90; C.40а) при а =% = Ц^тЬ ^ = 0. C.406) Подставляя значения Ci и С2 в C.39), получаем частное решение, характеризующее распределение температурного напора по высоте ребра: А_ 90r((Y+l)/(Y + 2)) i/(T+2) [, , v , /(т+1)/(т+2)/(д&) / //yv] C.41) Эффективность ребра1 определяется выражением ^ — kt0L (dB/dx) \x=0 /Q до\ 1 Согласно принятому определению эффективность ребра есть отношение действительно отдаваемого тепла к теплу, которое отдавалось бы в случае, когда все ребро имеет температуру основания при среднем коэффициенте теплоотдачи ha. 136
Почленно дифференцируя C.41) и вычисляя производную при u—Qr находим эффективность ребра: |==Г(ТГ + 2)т(Т+1) (mb) 2(Т + 1) 1/G+2) Ы. (T+D/(T+2) (Ч) (T+D/G+2) (Ч) И Г ((т + 1)/(Y + 2)) ГA/(т + 2)) C.43) где иъ определяется формулой C.406). Пример 3.4. Продольное ребро с неоднородным коэффициентом теплоотдачи на поверхности. Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 76,2 мм, толщиной 9,5 мм изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности &=34,1 Вт/(м«К). Сравнить эффективность ребра, если коэффициент теплоотдачи 1) постоянен и равен 50 Вт/(м2-°С) и 2) изменяется пропорционально четвертой степени расстояния от основания ребра, а именно h(x) = 44(х/6L. Решение. Эффективность продольного ребра прямоугольного профиля при постоянном коэффициенте теплоотдачи определяем, используя табл. 2.1, B.13) или кривую Л на рис. 2.6: 60=9,5 мм=9,5-Ю-3 м; j_ 1 2h \ 2 т = [ kon Г 2-50 12 ~~[ 34,1-9,5.Ю-3 J = 17>5 м *: тЬ- Ъ=Ъ,Ш2 м; = 17,5-0,0762 = 1,3375. Из табл. 2.1 при /п6 = 1,34 т) =0,651. Для случая, когда коэффициент теплоотдачи я = 44(х/6L, из C.33) находим, что Y = 4 и т=BЛа/,^боI/2, где /га = 50 Вт/(м2-°С). Эффективность ребра вычисляем по уравнению C.43): ,-[ (Y + 2)T(Y+1) mb2(T+D 1/A+2) '(Т+1)/(Т+2) (ч) ГГ((т+1)/(Т+2»1 [ ГA/(Т + 2)) J' -(T+D/(T+2)^ = (-т^гЧ = 17,5 м-1; 6 = 0,0762 м; /«6=1,3375, а аь определяется из соотно- где т шения C.406): Щ- 2*4+1 ^.2/4+1 4 + 2 Y + 2 Таким образом, эффективность ребра 1,3375=1,00. '"L A.34)" J A(l,00) _б 5 а.оо) ¦ 6 щ но Г D")в4* Г f1 ~) "= ! .2-0,94017 = 1,1282; Г(-~)==6Г И—^ = 6.0,92772 = 5,5662, что^позволяет рассчитать vj: 1 ~-/1,1282\ / 5 A,00) -| 6 1 / sO.OO) 6 J = 0,537 /j_(l,00) 1 6 /_5_A,00) 6 Модифицированные функции Бесселя / 5 A,00) и / 5 A,00) вычисляются с по- Т ~~ "б* 137
мощью разложения в ряд вида оо !п— ^ 22т+пт1Т(п+т.+ \) ' m=0 В нашем случае п = 5/6, —5/6 и х = 1,00. Используя первые три члена разложения в ряд функции / 5 A,00), получаем: IF /5 (i,oo)=—5 + ~тг +-29 : + • ~ 2~A)Г (^ 2~A)Г^ 2ТB)Г^ 0,561 , 0,1404 . 0,01755 Далее, следовательно, 0,9402 ' /17\ т~ /23 л /23\ 17 /17\ 17 / 11 \ / 11 \ 4-)=-Fr(-)=-Wr(-); Г (+) = 0,9402; (if) = "F г("Т") = A,833) @•9402•, = 1,728; г f'-ir) = f-?r) г (Цт) = B-833> A ¦ 728> = 4,896. да: ч \ч \*, /5 A,00) =0,5961+ 0,0814+ 0,0036+ .. .=0,6811. Т Аналогично вычисляем / 5 A,00), используя первые четыре члена степенного ря- б" /_L(i,Qo> = —j-1——+ z —— + 6 2 6A)г(—) 26A)гD 1 1 _ 19 + 31 "Г . . . ^ /13\ -4- /19 26B)Г -г- 26F)г' ч 6 ) * ^х (б J 1,781 0,4456 0,05568 0,00463 *5,5662 + 0,9277+ /13\ "| 7~19 г< — г Ы ¦(¦ Вычисляем значения гамма-функций: г("г)=-^г D~)=о-167) (°'92?7)=i'°81^ /19\ 13 /13 \ Т[—)== — Г ^—J = 0.833) A,081) = 1,982; / г5 A,00) =0,3200+ 0,4803+ 0,0515+ 0,0023 + . . .=0,8541. 138
Таким образом, эффективность ребра „ /0,6811\ ^ = °^537(o7854rJ = 0'429- Заметное уменьшение эффективности по отношению к случаю, когда коэффициент теплоотдачи h постоянен и равен 50 Вт/(м2-°С) (ц = 0,651), происходит вследствие того, что неоднородный коэффициент теплоотдачи обращается в нуль в основании ребра и близок к нулю в точках поверхности ребра, где 0 имеет максимальные значения. Чен и Зысковский, используя C.32), провели расчеты для экспоненциального изменения коэффициента теплоотдачи: A W = К[1_(a/c)A,.-,)j • C-44) Чен и Зысковский использовали также асимптотическое значение коэффициента теплоотдачи для бесконечно длинного ребра Л». Частное решение для температурного напора при изменении коэффициента теплоотдачи в соответствии с уравнением C.44) для нецелых п имеет вид: в = в.[СЛ(") + С1/.я(")Ь C.45) где п = ; и — п у ае %тЬ f —xcib Произвольные постоянные в C.45) выражаются через величины ф = л )/.?.; C.46а) <й=пУ~а C.466) в виде с -п1-пт-Уг-ат П47я> °'~~ /я(Ф)[-п/п(Ф)-ФЛ-я(Ф)]-/-п(Ф)[-л/я(Ф) + Ф/„-1(Ф)]' *°'*/а' Г »^№-^»-i (Ф) /о 47Л\ i_ in (Ф) [-«/-я (Ф) -*/,-„ (Ф)] -/-я (Ф) [~п/„ (Ф)+Ф/„-, (Ф)] • ^'°' Для целых п частное решение C.32) есть е=е0[с3/„(м)+с4уп(ы)]. C.48) Постоянные С3 и С4 определяются из соотношений С У1-п(Ф)-К»+1(Ф) п 49яч Ч~~ /«(Ф) [У»-, (Ф)-У»+1(Ф)]-У»(Ф) [/»-.(*)-/«+.(¦)] ' {*•* а) Г __ —Ai-iW + Jn+iffl /о 4Qfi4 °*— /Я (ФЧУв-.(Ф)-1ГЯ+.(ФЯ-^в(Ф)[^-.(Ф) -/«+!(*)] • ^ ' Два соотношения для эффективностей ребер находим по определению —kS„L (db/dx) \x=0 .g 5q. 280 f h (x) dx для нецелых п У 2 (mbJ [1 — (а/с) A — <?-c)J ^ [-n/_„ (Ф) - ФЛ-л (ФI l-nln (Ф) + Ф'»-1 (Ф)] ~ wi -[-In (Ф) + Vn - i (Ф) 1 \~nJ - n (Ф) - ФЛ - я (ФI у. ,or,Q4 x> /»(Ф) [-«/.„(¦)-¦/,-»(*)]- f (-й1а) -/-И(Ф) [-П/я (ф) + ф/„-1(ф)] 139
для целых п VI -X ''~~2тЬ[1 — (а/с)(\ — е~с)\ [Уд-» (Ф) -У/1+i «01 [Л-1 (Ф)-^я+1 (ФI - 1 . . - l^-i (Ф)-^+1 (ФI У/»-. (Ф) -Уп+1 (Ф)] XI /„(Ф)[ул-1(Ф)-уя+1(Ф)] - -Уй(Ф)[/я-,(Ф)-//1+1(Ф)] C.516) Винд использовал приведенные выше зависимости для частичной проверки машинного расчета в конечных разностях. Рассматривалась система, изображенная на рис. 3.1. В C.33) подставлялись значения у, равные 0, 1 и 2. При использовании C.44) были выбраны две пары значений: а=0,2, с=2,0 и а=0,4, с=4,0. Сравнение численного решения с результатами расчетов по уравнениям C.41) и C.48) для случая а=0,2 и с=2,0 показано на рис. 3.7 и 3.8 1,0| 0,9J 0,8 0,7 0,6 Wj 0,4| М/'о о - Л. Y ЭбМ 8ица Y=0 %Г^ 14 0,2 0,6 0,8 -f,CT 1,00 0,95 0,90 0S5 0,80 0,75 0,70 0^55 к t о0 ч ^ А Чена иЗысковского о 30М | ^Ь^ °^ ^^ООо аз 0,4 0,6 0,8 %0 Рис. 3.7. Сравнение результатов расчета на ЭВМ с аналитическим решением Хана и Лефковица. Рис. 3.8. Сравнение результатов машинного расчета с решением Чена — Зысковского. соответственно* Результаты численных расчетов на ЭВМ хорошо согласуются с результатами аналитических решений. Гарднер [5] указал, что для продольного ребра прямоугольного профиля, в случае, когда х отсчитывается от основания ребра, а зависимость коэффициента теплоотдачи от х определяется соотношением К (\+а)(х/Ь+с)а [A 4-с)а+2 — са+1\ C.52) дифференциальное уравнение теплопроводности приводится к уравнению Бесселя: j^-{(ffi6J[(i+^-^-]}^+a)ae=Q' C.53) где tn — {2halkb0) . Решение C.53) имеет вид: е = ео^УГ/*^ C.54) 140
C.55) C.56) где _ /1_„чГГ (х/Ь+сI ] . и = 2п{—) [ii+c)W-cW\mbi П=2Т-а> а индексы «О» и «е» соответствуют основанию и торцу ребра. Эффективность ребра определяется выражением - _ 2 A — /г) Г/Я^, (ц0> /, _„ (иг) — /t,я (ц0) /д.; (ttgI ' с7ч 1 «.![Ч(вв/^1"я»] I /«(«i)/i-flW-/-«W/«.iW J* l ' Радиальные ребра при неоднородном коэффициенте теплоотдачи Используя методы вычислений в конечных разностях совместно с обобщенной программой для решения стационарных и нестационарных задач теплопроводности на ЭВМ, Винд [4] получил профили температур для радиальных ребер при произвольном распределе- WKgfo нии коэффициента теплоотдачи. Были рассмотрены радиальные ребра прямоугольного 0,9 и треугольного профилей. Однако эту программу можно применить и для расчета радиальных ребер других форм, таких как параболическая, трапециевидная и гиперболическая. Результаты расчетов -показаны на рис. 3.9. Кривая А характеризует температурный 05 профиль прямоугольного ребра и идентична кривой, получающейся в результате решения B.36). Кривые В я С характеризуют температурные профили ребер с неоднородным коэффициентом теплоотдачи, зависимости которого от радиуса определяются соответственно выражениями: h(R)=2haR\ h(R)=3haR2 C.58) C.59) 0,4- 0,6 0,8 Hr-r0)/(re-r0) где Рис. 3.9, Профили температурного напора для радиального ребра при неоднородном коэффициенте теплоотдачи. Эти кривые построены с использованием среднего коэффициента теплоотдачи Аа, равного 57 Вт/(м2-°С). Для радиального ребра с наружным радиусом ге=50,8 мм, внутренним радиусом г0=25,4 мм и толщиной 3,2 мм коэффициент теплопроводности ребра во всех рассмотренных случаях принимался равным 34,1 Вт/(м-°С). Кривая D характеризует радиальное ребро треугольного профиля толщиной в основании 3,2 мм. 141
РЕБРА С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА Введение Снятие предположения об отсутствии тепловых источников внутри ребра приводит к неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка относительно температурного профиля. Минклер и Руло [6] рассмотрели влияние тепловых источников для продольных ребер прямоугольного и треугольного профилей с постоянным коэффициентом теплоотдачи при отсутствии тепловых потерь с торца. Мелезе и Уилкинс [7] исследовали продольные ребра произвольного профиля с переменными коэффициентами теплоотдачи и теплопроводности и внутренними источниками тепла. Рассматривались ребра прямоугольной, треугольной, трапециевидной форм и ребро оптимальной формы с некоторыми ограничениями. Кроме того, Мелезе и Уилкинс установили, что эффективность ребра с внутренними источниками тепла всегда меньше, чем соответствующая эффективность ребра без внутренних источников. Рассмотрим продольное ребро произвольного профиля. Пусть начало координат находится в основании ребра и высота ребра равна Ь. Профиль ребра ограничен двумя симметричными кривыми y=f2(x) и у——Ы#). Площадь поперечного сечения на единицу длины ребра есть A=fi(x)=2f2(x) и температурный напор в произвольной точке ребра равен Q=t—ts, где t — температура ребра и /s — температура окружающей среды. Дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра получается из стационарного теплового баланса для бесконечно малого элемента ребра высотой dx. Разность между тепловыми потоками, поступающими в элемент dx в сечении х и покидающим его в сечении x+dx путем теплопроводности, минус тепловой поток, отводимый через боковые поверхности элемента, 2h(t—ts)dx плюс тепловой поток, поступающий в элемент от внутренних источников тепла 2qif2(x)dx, равна нулю. В результате получаем обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности — 2M-\-2qJ2(x) = 0, C.60) где qi — мощность внутренних источников тепла, Вт/м3; dQ=dt. Продольное ребро прямоугольного профиля Для ребра прямоугольного профиля f2(x)=6ol2. В случае, когда коэффициент теплопроводности постоянен, C.60) принимает вид: &-^=~Ь <3-61> где m = Bh/kbQy. Соответствующее однородное уравнение второго порядка имеет общее решение Ьс = Сгетх-^С2е-тх. Частное решение неоднородного уравнения имеет вид: fi ^Л_ 2 ЗГ [*'¦«? 142
Общее решение C.61) представляет собой сумму этих решений: 0 = ве + 8р = С1в'" + С|в-я" + ф-, C.62) где произвольные постоянные С\ и С2 вычисляются из граничных условий в основании и у торца ребра, тепловые потери через который отсутствуют: при х = 0 —Мо1- при х = Ь db =<70; C.63а) х=о dx = 0. C.636) x=b С помощью этих граничных условий получаем частное решение C.61): °=-Мга-5Н+2#- C-64) BШ0J Решение C.64) удобно выразить через три безразмерных параметра, которые характеризуют продольное ребро прямоугольного профиля. Эффективность ребра по отношению к основной поверхности есть отношение теплового потока, передаваемого через основание ребра путем теплопроводности, к конвективному тепловому потоку, отводимому через ту же поверхность в отсутствие ребра. Таким образом, для единицы длины ребра м q0 /Q лг. Для того чтобы применение ребра было целесообразным, значение NR должно превосходить единицу. В действительности по экономическим соображениям NR должно быть значительно больше единицы. Если NR меньше единицы, ребро действует как теплоизолятор. Параметр внутреннего тепловыделения есть отношение теплового потока, выделяемого внутри ребра, к тепловому потоку, отводимому ребром, при условии, что температура всего ребра однородна и равна температуре в основании. Для обеих поверхностей ребра на единицу длины ы _д;д0Ь _?Л ПЫ\\ Параметр внутреннего тепловыделения связан с эффективностью ь ребра 7]. Умножив числитель и знаменатель C.66) на 2h f б dx, получим: о ь 2/i f 6 dx No—^ sfe—• C-67) 2h (* 0 dx о Первый сомножитель в C.67) есть отношение внутреннего тепловыделения к тепловому потоку, действительно отводимому ребром. Второй член есть эффективность ребра в отсутствие внутренних источников тепла. Если C.67) записать в виде NG = -n Ч^— C-68) 2/г Г 9 dx о 143
видно, что NG является мерой снижения эффективности ребра вследствие внутреннего тепловыделения. При NG—0 внутреннее тепловыделение отсутствует. При NG=l тепловой поток, генерируемый внутренними источниками тепла, в точности равен конвективному тепловому потоку, отводимому ребром. При JVG>1 тепловой поток направлен к основанию ребра. При этом, как следует из C.65), параметр NR становится отрицательным. Число Био представляет собой отношение теплоотдачи с поверхности к внутренней тепловой проводимости ребра. Обычно его выражают через полутолщину ребра Bi = 2k C.69) и часто используют как существенную характеристику ребра. Возвращаясь к C.64), замечаем, что член перед скобками можно привести к виду —3*Т = ^(^\_=NR(BiJ е., BШ0J Л5090 BfeJ а последний член записывается в виде 8<>iVG. Теперь C.64) может быть записано ]_ .2 /chmx Wmb ° '"/ ' "»J'G' 6=ejv. «Ks(: - sh mx ¦)+»л C.70) В основании ребра (при х = 0, в = б0) C.70) принимает вид: C.71) NR(BiJ =(l—NQ)thmb. je выражением C.71), и; Из рисунка видно, что при увеличении mb значение Л^(ЕйJ асимптота Кривые, описываемые выражением C.71), изображены на рис. 3.10. :\2" ¦0,8 0,7 0,6 0,5 ОЛ 073 0,2 0,1 Nr (BiO4 , I 1 ' 1 1 ~ = rf — и Г У •/ i/ g -^L =3 х Т / ! • Й *—j > >_ — **¦ • 5Эи- «е? /"в*" —= *(Г ! i чш~ п 1 U7 "о" щ 50 75 1.рп »;* =¦ . j mb Г 1 О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Рис. 3.10. Зависимость комплекса NR&\lJ2 от mb для различных значений параметра внутреннего тепловыделения Ne. 144
чески стремится к пределу. При NG = 0 значение N (BiJ приближается %0 0,Ь1 0,61 Йе S : гм1.о I С**^—0,25 J *С — | 10 20 30 *0 к 1, а для NG=l значение NR(B\f всегда равно нулю. Последнее заключение легко получить из C.71). Оно соответствует случаю, когда тепло, выделяемое в ребре, в точности равно теплу, которое оно отдает. На рис. 3.11 построено распределение относительного температурного напора 6/6о в медном ребре высотой 50,8 мм, толщиной 1,6 мм при /i=285 Вт/ (м2-°С). Этот график получен с помощью C.70) и показывает, что при увеличении внутреннего тепловыделения температура торца ребра существенно возрастает. Рисунок 3.10 является типичным расчетным графиком. Для его использования следует вначале аппроксимировать форму ребра и вычислить mb. Для заданного внутреннего тепловыделения вычисляется параметр NG. По значениям mb и NG по рис. 3.10 определяется значение NR(Bi). Число Bi подбирается таким, чтобы параметр NR соответствовал заданному критерию эффективности. Значение Bi является функцией толщины ребра. Поэтому существует практический минимум Bi и, следовательно, максимум NR. Рис. 3.11. Распределение температуры в медном продольном ребре прямоугольного профиля толщиной 1,6, высотой 50,8 мм, показывающее влияние внутреннего тепловыделения {h = =284 Вт/(м2-°С)]. Оптимизация Для данной площади профиля ребра можно найти соотношение между Ь и бо, при котором тепловой поток, передаваемый ребром, #о будет максимальным. Пусть р — параметр оптимизации, который может быть выражен через площадь профиля Ар—Ь6о. j_ j_ ___з_ 2 >=¦*=»(?)'-4?)'<ч ' Используя определения параметров NRy Bi, NG и р, введем в уравнение C.71) площадь профиля Ар: или Дифференцируя q0 по б0 и приравнивая результат нулю, получаем следующее трансцендентное относительно C уравнение: sh2p ¦Nn 2Р -T-NG 0^NG<~. C.72) Уравнение C.72) можно решать последовательно для различных значений NG. Результаты такого решения показаны на рис. 3.12, на ко- 10—192 145
3D 25\ 20 тором изображены расчетные кривые для оптимального продольного ребра прямоугольного профиля с однородными внутренними источниками тепла. Как видно из рис. 3.12, кривая (l—NG)l(l/3—NG) асимптотически стремится к предельному значению NG=l/3. Причина этого становится очевидной, если обратиться ik выражению C.72). sh2|3/|3 должен быть всегда положительным. Если i/Vg=1, это условие выполняется, однако при этом параметр NR будет отрицательным. Следовательно, значения l/Vg ограничены интервалом 0^Vg<1/3. Пример 3.5. Продольное ребро прямоугольного профиля с внутренними источниками тепла. Ребро, изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности Л=34,6 Вт/(м-°С) должно отводить в окружающую среду тепловой поток на единицу длины, равный 188 Вт/м. Температурный напор в основании ребра 41,6°С, коэффициент теплоотдачи 114 Вт/(м2-°С). В ребре действует внутренний источник тепла мощностью 40 Вт. Из соображений простоты изготовления минимальная толщина ребра составляет ЗД мм. Для того чтобы применение ребра было экономически оправдано, минимальное значение параметра NR должно быть равно 2,5. Определить оптимальные размеры ребра. Решение. Максимальную толщину ребра, соответствующую NH = 2,5, вычисляем по C.65): 188 = 0,0159 м. sin/7 lf> ч Nc"9iso I2h% ,.,J 1 / \\ 1 B=mb\ 0 0,1 0,2 0,3 0 1 Z I Рис. 3.12. Оптимизированные данные для продольных ребер прямоугольного профиля с равномерным внутренним тепловыделением. Qo hB0Nc 114-41,6.2,5 Минимальная толщина ребра по условию равна 3,2-10~3 м. Примем 60 = 4,75 мм = =4,75- Ю-3 м. Этому соответствует параметр NR>2,5: nr = m Qo _ 188 114-41,6-4,75-Ю =8,36. При 6о = 4,75-10-3 м m='B/i/^6oI/2=B-114/34,6-4,75-10-3)i/2 = 37,2 м-1. 1. Первое приближение. Примем 6 = 76,2 мм = 7,62-10~2 м. Тогда т6=37,2-7,62-10-2='2,83; # л=8,36; 1/9 fhdQy/2 ( 114.4,75- Ю-3 у/2 BiI/2 = (^Fj =("w ) =0'089' #яВ172 = 8,36 • 0,089=0,745. По рис. 3.10 при га6=2,83 и NRBil/2=0,745 находим Л^с=0,25. По рис. ЗЛ2 при m6 = 2,83 NG = 0,309, что не совпадает со значением Ng, найденным по рис. 3.10. Определим теперь NG по заданному значению мощности внутренних источников тепла: 40 qi — 4,75-10^3.7,62.Ю-2-0,3048 3,62-105.4,75.10 N —2Л. = 3,62.105 Вт/м3; = 0,181. 2-114.41,6 2. Второе приближение. Примем 6 = 57,2 мм=5,72-10-2 м: /7г6=37,2- 5,72-10-2='2,12. 146
По рис. ЗЛО при т6=2,12 и NRBill2=0J45 находим 7VG=0,23. По рис. 3.12 при т& = 2,12 NG = 0,235. Проверяем значение, полученное из рис. 3.10 по C.71): NRBi112 0,745 l~NG= thmb ^thXIT-OJ^; WG=0,233. Эти значения достаточно близки. Определим теперь Ng по заданному значению мощности источников тепла: 40 qi== 4,75.10-3.5,72.10-2.0,3048==4,83'1°5 Вт7м3>* аьЬ0 4,83.105.4,75.Ю-3 NG =-mt~ 2.114.41,6 = 0,242> 0,235. Это значение Ng близко к значению, полученному при оптимизации. Можно добиться более точного совпадения, немного уменьшив толщину ребра. 3. Третье приближение. Примем б0=4,57-10~3 м: NR — 114.41,6-4,57-Ю-3 — 8,69; »"-Й1е=(^1Г)в— Л^В11/2 = 8,69-0,0866 = 0,752; 2ft \i/2 / 2-114 \i/2 34,6.4,57-Ю-3 = 38 м-1. Пусть 6 = 57,2 мм = 5,72-10-2 м; тогда т& = 38-5,72-10-2=2,16. По рис. 3.12 при m&=2,16 А^=0,245, что совпадает со значениехМ, найденным по рис. 3.10. Определим теперь NG по заданному значению мощности внутренних источников тепла: 40 ^ = 4,57.10-3.5,72.10-2.0,3048==5,02,1°5 Вт/м3; qid0 5,02-105.4,57.Ю-3 л nj ^G— t2hQ0 2.114-41,6 —U'^4' Все три значения Ng согласуются между собой. Оптимальное ребро, удовлетворяющее заданным условиям, имеет толщину примерно 4,6, высоту 57,'2 мм. ЗАДАЧИ 3.1. Определить тепловой поток, отводимый трапециевидным ребром из алюминия [?=202 Вт/(м-°С), толщина в основании 12,7 мм, высота 50,8 мм, угол конусности 5°] в окружающую среду с температурой 28°С, если температура в основании ребра равна 85°С, а коэффициент теплоотдачи ft=1114 Вт/(м2-°С). 3.2. Для ребра из задачи 3.1 построить распределение температуры по высоте ребра и определить потери тепла с торца. 3.3. Получить уравнения для эффективности и распределения температурного напора по высоте продольного ребра прямоугольного профиля, если коэффициент теплоотдачи определяется соотношением C.33) при -у = 3. С помощью зависимости для профиля температурного напора по высоте ребра получить уравнение для отводимого теплового потока. 3.4. Радиальное ребро прямоугольного профиля толщиной 3,2 мм, наружным диаметром 140 мм, внутренним диаметром 50,8 мм, изготовленное из меди [k=, = 390 Вт/(м.°С)], отводит тепло в окружающую среду. Коэффициент теплоотдачи равен 142 Вт/(м2-°С). Построить профили температурного напора по высоте ребра с учетом и без учета теплоотдачи с торца. 3.5. Продольное ребро прямоугольного профиля толщиной и высотой 3,2 и 101,6 мм соответственно, изготовленное из меди [?=390 Вт/(м-°С)], отводит тепло в окружающую среду. Коэффициент теплоотдачи равен 142 Вт/(м2-°С). Построить профили температурного напора по высоте ребра с учетом и без учета теплоотдачи с торца. Ю* 147
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 3 1. Keller H. Н., Somers E. V. J. Heat Transfer, 81, 151, 1959. 2. Han L. S., Lefkowitz S. G. ASME Paper 60-WA-41, 1960. 3. Chen S. Y., Zyskowski G. L. ASME Paper 63-HT-12, 1963. 4. Vind Т. Н. Private communication, 1966. 5. Gardner K. A. General Discussion on Heat Transfer, Institute of Mechanical Engineers (London), 1951, p. 214. 6. Minkler W. S., Rouleau W. T. Nucl. Sci. Eng., 7, 400, 1960. 7. Melese G. В., Wilkins J. E., Jr., Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., vol. Ill, p. 272, 1966. 8. Harper D. R., Brown W. B. Mathematical Equations for Heat Conduction in the Fins of Air Cooled Engines, N. A. C. A., Rept 158, 1922. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ Введение При изложении материала гл. 3 было удобно характеризовать условия теплового взаимодействия развитых поверхностей с окружающей средой, задавая температуру последней и коэффициент теплоотдачи конвекцией. Развитые поверхности, используемые в системах сброса тепла космических кораблей, могут отводить энергию в окружающее пространство только путем излучения. Аналогично в топочных камерах парогенераторов, работающих на органическом топливе, подвод тепла к поверхностям нагрева осуществляется преимущественно излучением. Хотя зачастую излучение и конвекция действуют одновременно, анализ задач, в которых учитывается только теплообмен излучением, позволит более корректно описать характеристики систем, поведение которых частично либо полностью определяется излучением. Математический анализ может опираться на приведенные в гл. 2 допущения, при этом допущения 3 и 10 должны быть видоизменены. Согласно допущению 3 коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра — постоянный. В то же время очевидно, что в условиях космоса часть поверхности ребра может быть обращена в сторону стока тепла, а часть — в противоположную. Если отбросить указанное допущение, то анализ сведется только к рассмотрению переноса излучения между различными точками поверхности ребра и окружающим пространством. Отказ от допущения 3 снимает также допущение 10, согласно которому тепловой поток, отводимый от поверхности ребра, пропорционален разности температур Q=t—tSy поскольку в случае излучения тепловой поток пропорционален разности четвертых степеней температур. ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ Излучение в свободное пространство Бартес и Селлерс [1] исследовали излучение с поверхности прямоугольных ребер, соединяющих круглые трубы (рис. 4.1). Соответствующее дифференциальное уравнение записывалась для ненулевой температуры окружающей среды (несвободное пространство), учитывался также взаимный лучистый теплообмен (угловые коэффициенты) между ребрами и трубами. Значения этих угловых коэффициентов, обозначаемых нами через FA, рассчитаны Спэрроу и Эккертом [2], Крейтом [3] и другими. 148
Маккей и Левенталь [4] вывели основные соотношения для расчета параметров, влияющих на излучение пластины, равномерно нагреваемой с одного конца. Авторами рассматривалась задача излучения в свободное пространство. Кроме того, ими проанализированы также случаи подвода тепла к ребру от таких источников, как Солнце, Земля или другие тела, находящиеся в космосе. г 1 1' К/ I h г' 2 *i ! X *j J \JLx I ь I г' ' Ь'Ь+Ь г' Рис. 4.1. Схема продольного ребра- излучателя. я=0 х~Ь Рис. 4.2. Элементы продольного ребра- излучателя прямоугольного профиля и используемая система координат (обозначения см. на рис. 2.2). На рис. 4.2 указаны отдельные элементы рассматриваемых продольных ребер прямоугольного профиля и приведена используемая система координат. Ребро излучает в глубокий космос (Ts=0 К), к нему не поступает тепло от других тел, находящихся в космосе, а также от других ребер или каналов, образующих рассматриваемый радиатор. Тепло подводится равномерно к основанию ребра (х—0) и отводится с его поверхности излучением. В соответствии с принятыми на рис. 4.2 обозначениями разность тепловых потоков, поступающего теплопроводностью в элементарный объем высотой dx и покидающего его, составит: dq = kuuL-j-rdx, D.1) где Т—абсолютная температура в градусах Кельвина, a k — коэффициент теплопроводности материала ребра. Этот тепловой поток должен быть равен тепловому потоку, отводимому излучением с поверхности элемента dx: dq=2oeLT4x, D.2) где о — постоянная Стефана — Больцмана, а 8 — степень черноты поверхности. Из D.1) и D.2) следует, что d2T 2ае п dx2 kdn Т\ D.3) Соотношение D.3) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Оно описывает профиль температуры в ребре. Решение этого уравнения может быть получено последовательным интегрированием. 149
Пусть p = dT/dx, тогда d2T dp dp dT dp P- dx2 dx dT dx F dT ' Подставляя это соотношение в D.3), имеем: dp _ 2ge Ti p dT kd0 Разделяя переменные и интегрируя, получаем: 1 dT ^(iBrT' + CY, D.4) у dx [ Ш0 где С — постоянная интегрирования. Знак минус в D.4) объясняется тем, что градиент температуры во всех точках ребра отрицателен. Постоянная интегрирования определяется из граничного условия при х= =Ь, где dTldx=0, а Т=Те. При этом D.4) принимает следующий вид: dT _ p / as jb ,oe j,5 \ 2 dx \ 5kd0 5kdQ eJ • или i_ i- Переменные в D.5) могут быть разделены, и после соответствующих алгебраических преобразований получим: dT - = -2 т*1*[\-<ге/Т)*\Ч2 ~ V5^ J- b ~ЬЩ) ) dx- D.6) О Используя подстановку u^^J, D.7) имеем: Tedu 1 dT=—^k- D-8> Г^=(^J . D.9) И, наконец, пусть Z=T0lTe. Тогда при х=09 где Г=Г0, получим u=Z~5, а при х=Ь\ где 7=Гв, имеем и=\. Введя в D.6) эти обозначения и подставив в него D.7) — D.9), получим: и=1 1 Ь \ *-'\-r-'d° =*(jkYV* или И=г1 1 Ь 20seTr j и-'.* {l-u)-*-*du=(-2^y j^. D.10) 150
Интеграл, стоящий в левой части D.10), может быть рассчитан с помощью бета-функций: Г а-°-7A-а)-°'5^ = В(а, Ь)-Ви(а% 6), D.11) где В (а, 6) — полная, a Д,(а, b) —- неполная бета-функции: 1 В (a, b)^\ua-^\-u)b-*du= rr(g^(g ; D.12а) 0 Z Bu(a, 6)^ f ^"'(l -uf-^u, D.126) о где a=0,3, 6=0,5. Таким образом, профиль температуры в ребре полностью описывается формулой В@,3; 0,5)-5„@,3; 0,5) = bB0°^ V . D.13) Тепловой поток, отводимый ребром, находится из соотношения Подставляя в него градиент температуры при л:=0 (Т=Т0) [определенный из уравнения D.5)], имеем: J_ _L ^ = 2Ш.(^-)8(Г.-7"У. D.14) Эффективность ребра может быть определена так же, как и в случае отвода тепла конвекцией, т. е. как отношение действительно отводимого ребром теплового потока к тепловому потоку, который отвело бы такое же идеально проводящее ребро с однородной температурой, равной температуре в основании ребра. Тепловой поток, отводимый идеально проводящим ребром, <7ге*=2<т&?еГ4о. Тогда с учетом D.14) эффективность ребра может быть записана следующим образом: _ 2Ш0 (ав/бЫрI/2 (Т\ - Т^I'2 . Ч ~" 2а ЫлТ\ имея в виду, что Z=TJTet 2 A/Z3 — 1/Z8I/2 Ь B0aeT3e/kd0) 1/2 D.15) Параметр Z связывает температуры в основании (корне) и у торца ребра. Как следует из уравнения D.13), между Z и безразмерным параметром существует определенное соотношение. 151
Это соотношение может быть найдено с помощью гипергеометрической функции [5], которая в свою очередь может быть выражена через неполную бета-функцию. Соответствующий график, полученный из D.13), приведен на рис. 4.3. На рис. 4.4 представлена зависимость эффективности ребра от параметра Z, определенная из D.15), с учетом данных рис. 4.3. В отличие от случая отвода тепла конвекцией эффективность ребра, определяемая D.15), зависит не только от его геометрических размеров и теплофизических характеристик (параметр г|)), но и от температур на границах ребра (параметр Z). По этой причине при определении характеристик ребра приходится прибегать к методу последовательных приближений. 3,5 3,0 ¦о ^ 2,5 > 2,0 «О 1-1,5 II 1,0 0,5 0 1,0 1Л 1;8 Z=Tg/Te 2,2 1,0 0,9 0,8 0,7 0У6 0,5 0,*\ 0,3 0,2 0,1 иг Z=T0/Te %0 1,4 1,8 ?Л Рис. 4.3. Зависимость параметра хр от функции Z для продольного ребра прямоугольного профиля, излучающего в свободное пространство. Рис. 4.4. Зависимость эффективности ребра т] от, функции Z (продольное ребро прямоугольного сечения, излучающее в свободное пространство). Пример 4.1. Излучение в свободное пространство. Тепловой расчет ребра. Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 300 мм и толщиной 6,35 мм изготовлено из магния [/2=155 Вт/(м«°С)]. (Поверхность ребра матовая, ее степень черноты 8= =0,85. Температура в основании ребра 115ЯС C88 К). Требуется определить: 1) температуру торца ребра, 2) эффективность ребра и 3) тепловой поток, отводимый ребром. Решение. 1. Расчет температуры торца ребра. Параметр ур может быть рассчитан лишь частично: / 20ае7'3е V»5 л / i—srj =0>30( 20-5,7. 1Q-8.0,857^ 155.6,35.10-» = 3,04.10-4Г^2 Первое приближение. Примем Ге=255 К (—18°С). Тогда -ф=3,04-10-4B55K/2= = 1,239. При 7е=255 К (принятое значение) Z = T0/Te = 388/255= 1,52. Согласно рис. 4.3 при 4^=11,239 Z должно быть равно 1,08, т. е. не совпадает с 1,5B. Таким образом, необходимо задаться новым значением Те. Второе приближение. Примем Ге=328 К E5°С). Тогда г|)=3,0440-4C28K/2= = 1,795. При принятом значении Ге=328 К, Z=Т0/Те = 388/328 =1,19. Согласно рис. 4.3 при ф= 1,795 Z должно быть равно 1,185, что близко к 1,19. Таким образом, температуры на границах ребра равны 115°С C88 К) и 55°С C28 К). 2. Эффективность ребра. Ее значение можно получить непосредственно из рис. 4.4; При Z=l,19 г] = 0,653. 152
3. Расчет теплового потока, отводимого ребром. Рассчитаем тепловой поток, который отводило бы идеально проводящее ребро (с единицы длины): 4М = 2зе&Г% = 2-5,7-10-8-0,85-0,30-388* = 660 Вт/м. Действительный тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра, ?=n?fd=0,653•660=430 Вт/м. Пример 4.2. Излучение в свободное пространство. Конструктивный расчет ребра. Продольное ребро прямоугольного профиля имеет длину 1,5 м и толщину 3 мм. Ребро изготовлено из алюминия (?=202 Вт/(м-°С), 8=0,88). Необходимо отвести от ребра мощность 500 Вт при температуре в основании 147°С D20 К). Определить высоту ребра. Решение. Тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра, равен 500/1,5 = = 333 Вт/м. Рассчитаем частично параметр г|г. / 20оеТ3е \1/2 I 20-5,7- 10-s.0,88Г3г у/2 л п л ш ,/2 * = 6(—ЙГ ) = Ь[ 202.3.10-3 -) =1,28.10-3^3/2 Тепловой поток, который отвело бы с единицы длины идеально проводящее ребро, составляет: 9/d = 2a?&r%=2.5,7.10-8.0,88-420*^=3100 Ъ Вт/м, Эффективность ребра 333 0,107 Г1==ЗЮ0Ь~ Ь ' Первое приближение. Примем высоту ребра Ь равной 300 мм. Тогда х\=0,107/0,3=0,357. Согласно рис. 4.4 при г\ = 0,357 (принятое значение) 2=1,526; - Т° — 42° Те= 1,526~ 1,526 = 276 Ь; tj? = 1,28 -10-3 -0,3 - 2763/2 = 1,71. Согласно рис. 4.3 при г|э=1,71 Z = 1,165, т. е. не совпадает с принятым значением 1,526. Следует выбрать иное значение высоты ребра. Второе приближение. Примем высоту 6 = 250 мм, тогда ц = 0,107/0,25 = 0,428. Согласно рис. 4.4 при г| = 0,428 (принятое значение) Z= 1,407; 7е = 420/1,407 = 299 К. Величина я?> при 6 = 0,25 м и Ге = 299 К равна: a|>=l,28-10-3-0,25-2993/2 = l,64. Согласно рис. 4.3 при г|)=1,64 Z= 1,154, и снова не совпадает с принятым значением Z= 1,407, т. е. принятая высота ребра все еще слишком велика. Дальнейшие итерации дают высоту 6=130 мм, при которой эффективность г]=0,107/0,130=0,8122, а температура торца ребра Г14°С C87 К). Излучение в несвободное пространство Задача радиационного теплообмена продольных ребер прямоугольного профиля, отдающих тепло стоку, температура которого не равна и не близка к абсолютному нулю, с учетом обмена излучением с другими телами рассматривалась в работах Бартеса и Селлерса [1], Либлейна [6], Маккея и Левенталя [4]. Бартес и Селлерс, а также Либлейн учитывали влияние этих внешних факторов, вводя некоторую фиктивную температуру стока тепла. Маккей и Левенталь полагали, что совокупное действие этих факторов можно учесть постоянным коэффициентом, 153
который вводился в параметр, описывающий характеристики окружающей среды. Методика Маккея и Левенталя будет рассмотрена ниже. Обратимся к изображенному на рис. 4.2 продольному ребру прямоугольного профиля и рассмотрим теплообмен излучением между элементом поверхности ребра Ldx и окружающей средой. Результирующий тепловой поток будет записываться как сумма двух членов: K\T4Ldx и KiLdx. Постоянная К\ включает в себя все факторы, влияние которых на температуру ребра может быть учтено поправочным множителем. В случае отвода тепла с обеих сторон ребра К\=2ог. Постоянная К2 учитывает воздействие всех факторов, влияние которых не может быть отражено в виде поправочного множителя к температуре. К ним могут относиться падающее солнечное излучение или излучение земной поверхности, взаимный обмен излучением между ребром и другими элементами радиатора, а также температура окружающей среды. Результирующий тепловой поток, отводимый рассматриваемым элементом путем излучения, запишется как dq=(KiTb—K2)Ldx. D.16) В стационарных условиях эта величина равна разности тепловых потоков, поступающего в элемент dx и отводимого от него посредством теплопроводности: kbQL -g- dx = {КгГ - К2) Ldx, или d Т Кг гр± А2 /д 1 у\ dx2 —' kdQ ~ kdQ • V*'11' Соотношение D.17) представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее профиль температуры в ребре. Применяя уже использовавшуюся ранее при анализе излучения в свободное пространство методику, получим в результате однократного интегрирования dx у 5kdQ kd0 + CI/2, D.18) где С — постоянная интегрирования, а знак минус обусловлен тем, что градиент температуры в ребре повсюду отрицателен. Постоянная интегрирования может быть найдена из граничного условия при х=Ь, где dT/dx=0, а Т=Те: s> ^А 1 п~>5 I 5/\2 у Подставив ее в D.18), получим: [it^-^-^tiT-Te)}1 dx После алгебраических преобразований формула принимает следующий вид: dT dx ¦=-№№)-•№)*+ +(?)'-K?),+(f)+,-*frf- ^ 154
тогда Теперь введем новую переменную: (Т Л1/2 v=\-e-x) ; ¦f=l+^; D.20) D.21) dT=2Tev dv. D.22) Если D.20) — D.22) подставить в D.19), то после соответствующих алгебраических выкладок оказывается возможным разделение переменных dv 1 [A + Vy + A + vY + A + о2..2 + A + 0«) + 1 - 6Kt/Ki7%]1/2 b — }{iokdJ ax— %iojw,J 1/2 D.23) Граничные условия имеют вид: при х=0 a = u0=(Z— II/2; при x=b u=ue=i0. Переменой пределов интегрирования в левой части уравнения D.23) можно избавиться от знака минус в правой части. Интеграл в левой части можно рассчитывать графически, начертив зависимость 1,0 § 0,9j 5 0,7 ¦f %-oM ю I °>3! ЭКгМ^е W |N3,o\ k^2 R °\ i 0 0^N®4 4HJj3 v] V Ofi 0,8 1,8 Рис. 4.5. Кривые для графического интегрирования уравнения D.23) Рис. 4.6. Зависимость характеристического па- (продольное ребро прямоугольного раметра ребра от параметра Z (продольное профиля, излучающее в несвободное ребро прямоугольного профиля, излучающее пространство). в несвободное пространство). 155
величины, обратной знаменателю подынтегрального выражения, в функции переменной и, как показано на рис. 4.5. Площадь под каждой кривой численно равна параметру, стоящему в правой части уравнения. Заметим, что пределы интегрирования равны соответственно: vQ= = (Z—II'2 и vc—0. Предел v0 зависит от Z. Следовательно, зависимость КгТ* ¦)*" = /(*) ^ 1(Ш0 может быть рассчитана графически. Соответствующий график изображен на рис. 4.6. Однако он не удобен для практического использования, поскольку как величина, отложенная по оси ординат, так и параметр, определяющий семейство кривых, зависят от температуры торца ребра Те, обычно заранее неизвестной. Чтобы применять данные рис. 4.6 при расчетах ребер, ординату и параметр преобразуют к величинам, зависящим от температуры в основании Т0. Ордината преобразуется умножением на EZ3I/2 С = причем величина ? называется характеристическим параметром или профильным числом ребра 1. Параметр семейства кривых на рис. 4.6 пре- образуется умножением на 1,5 Щ аМ ¦ss4 «ал <s,-> «S'w/ z-r, ,1Т. пего 1,2 U 1,6 1,8 Рис. 4.7. Зависимость характеристического параметра ребра от параметра Z (продольное ребро прямоугольного профиля, излучающее в несвободное пространство). 0,2/Z4. При этохМ новая ременная принимает вид: К2 _ 0,2 /¦ ЬК2 \ КгТ0 ' L* \кгТ*е j • В результате преобразования получен график (рис. 4.7), удобный для конструкторского и поверочного тепловых расчетов ребер. Тепловой поток, излучаемый с поверхности ребра, равен тепловому потоку, подводимому к основанию: Производная от температуры определяется по D.19). Ее значение берется при х—0, где Т=То. Тогда передаваемый тепловой поток запишется как 2KJ*, V/2,„ <п/2/.,. , ™ , ^ ¦ г, , ' , ЪК2 V/2 -«.i(-^-)(Z-ir(r + 2' + ^ + Z+1-0|-I В результате перегруппировки членов в уравнении D.24) получим: D.24) qb LT ¦ = Ь (-ЩГ) (szO (Z X^ + 23 + Z2 + Z+l-5Z^^-) 1JХ 1/2 D.25) В отечественной литературе последний термин не употребляется. (Прим. ред.) 156
Заметим, что параметры b(K\T^j2kbnI/2 и К2/К\Т% те же, что используются на рис. 4.7. Действительно, величиной К2[К\Т^ можно задаться. Тогда при данном значении Z из рис. 4.7 можно найти характеристический .параметр ребра b(KiT30/2kd0I/2. Параметр qb/kboLTo, характеризующий теплопередачу, в свою очередь может быть представлен в функции характеристического параметра ребра, как это сделано на рис. 4.8. Эффективность ребра есть отношение теплового потока, действительно отводимого ребром, к тепловому потоку, который отвело бы та- 1,2 1,0 0г8 0,6 п и. 0,2 ць1щы0 у0 0,15^ 0,2(?^Ш °>25^Л^о,зо К 2 1^1 7"fl Ь{Ь Т03/2К1Г0H>5 1,0 и,у 0,7 0,6 0,5 ОН 0,3 0,2 0,1 "чЛ] Кг/Ki То Q ,15 Л20 8*0,25 *М0 ь{к^1гщ)°>5 О 0,2 Ofi 0,6 0 1,0 1,2 1/i 1,6 1,8 Рис. 4.8. Зависимость параметра теплоотдачи qb/k8oLTo от характеристического параметра ребра (продольное ребро прямоугольного профиля, излучающее в несвободное пространство). 0 № 0,8 1,2 1,6 Рис. 4.9. Зависимость эффективности ребра от характеристического параметра ребра (продольное ребро пямоуголь- ного профиля, излучающее в несвободное пространство). кое же идеально проводящее ребро с однородной температурой, равной температуре в основании ребра Г0 (при отсутствии поглощения тепла из окружающей среды, Х2=0). Тепловой поток, действительно отводимый ребром q, определяется уравнением D.25). При /Ci=2ae „ я 11 ~~ 2vebLT*0 ' Это выражение можно преобразовать с тем, чтобы выделить в нем параметры, отложенные по осям координат на рис. 4.8. Умножив числитель и знаменатель на bjkb^LT^ получим: Т)=- qb/B0LTQ gb/kd0LT0 2oeb2T\/kd0 D.26) [bBaeT\/kd0]1'2]* ' Можно видеть, что теперь в числителе выражения D.26) стоит ордината, а в знаменателе — удвоенный квадрат абсциссы из рис. 4.8. Зависимость эффективности ребра от соответствующих параметров представлена на рис. 4.9. Пример 4.3. Излучение в несвободное пространство. Тепловой расчет ребра. Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 305 мм и толщиной 6,35 мм изготовлено из магния [&=155 Вт/(м-°С)]. Поверхность ребра матовая, ее степень черноты 8=«0,85. Температура в основании ребра 115°С C88 К). Требуется определить: 1) тем- 157
пературу торца ребра, 2) эффективность ребра, 3) тепловой поток, отводимый ребром (за исключением условия излучения в несвободное пространство, формулировка задачи совпадает с примером 4.1). Решение. 1. Расчет температуры торца ребра. В первом варианте #2=0, т. е. /t2//iCir4o = 0. Параметр b{K\T\l2kboL*, где tfi = 2ae, равен /^7Лу/2„п . 2.5,7.10-8.0,85-3883 11/2 1 Л 518. 2.155-6,35-10- 3883 11/2 Из рис. 4.7 при 6(/Cir3o/2^6o)V2 = 0,518 и при KilK\T^ = ^ получаем Z= 1,185. Тогда темпера!ура торца ребра Te = T0/Z=388/1,185 = 328 К, т. е. оказывается такой же, как и в примере 4.1. 2. Эффективность ребра. Ее значение можно найти из рис. 4.9. При К2/К\Т40=0 и b(KiT30/2k6Q)l/2=0,bl8 т}=0,646. Эта цифра весьма близка к полученной ранее г) = 0,653. 3. Тепловой поток, отводимый ребром. Из рис. 4.8 при K2/KiT^o = 0 и ^ (^i^3o/2^0)~ = 0518 Тогда на единицу длины ребра 0,346Ыо7\ 0,346-155-6,35-10-3-388 д = - ^ = 440 Вт/м. Полученная цифра близка к рассчитанному ранее значению #=437 Вт/м. Пример 4.4. Излучение в несвободное пространство. Тепловой расчет при К2ФО. В том случае, если ребро получает энергию излучением из окружающей среды, то есть, когда #2=7^0, методика расчета температуры торца, эффективности ребра и отводимого ребром теплового потока остается идентичной описанной в примере 4.3. Пример 4.5. Излучение в несвободное пространство. Конструктивный расчет при К2ФО. Продольное ребро прямоугольного профиля имеет длину 1,5 м и толщину 3 мм. Ребро изготовлено из алюминия [?=202 Вт/(м-°С), 8 = 0,88] и расположено так, что постоянная /С2 оказывается равной 600 Вт/м2. Определить высоту ребра, если оно должно отвести мощность 650 Вт при температуре в основании 145°С D18 К). Решение. Кг __ 600 2-5,7.10-8-0,88-4184 "~ °'198- Можно частично рассчитать параметр qb/kd0LTQ: qb 6506 kd0LTQ 202.3.10-3-l,5-418 а ^акже параметр b (K1Ts0/2kdQ)l/2 (при /C1 = 2as): (KtT\y/2 1,76, 2Ы0 2.5,7.10-8.0,88-418П1/2у л _ 6 = 2,456. 2-202.3.Ю-3 Первое приближение. Выбор значения 6 производится с учетом данных рис. 4.8. При 6 = 0,25 м рассчитанная по формуле ордината равна 0,425, а абсцисса 0,612. Однако согласно рис. 4.8, ординате 0,425 должна соответствовать абсцисса 0,645. Следовательно, значение 6 = 0,25 мало, следует выбрать иную величину. Второе приближение. Возьмем 6 = 0,30 м. Ордината равна 1,7-0,3 = 0,51, а абсцисса 2,45-0,3=0,735. Согласно рис. 4.8 ординате 0,51 должна соответствовать абсцисса 0,730. Совпадение значений вполне приемлемое. Следовательно, высота ребра должна быть равна 300 мм. Заметим, что, используя это значение высоты ребра и величину 6(/(iPo/2&6oI/2 = 0,730, с помощью рис. 4.7 и 4.9 можно легко определить температуру торца ребра и его эффективность. 158
ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА ТРАПЕЦИЕВИДНОГО И ТРЕУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЕЙ С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ Излучение в свободное пространство На рис. 4.10 указаны отдельные элементы продольных ребер трапециевидного профиля и используемая при анализе система координат. Треугольный профиль можно получить, продолжив ребро трапециевидной формы. Особо отметим, >что начало координат расположено в плоскости торца, а положительное направление оси х взято в направлении основания ребра. Впервые ребра трапециевидного профиля были, по-видимому, исследованы Маккеем и Бача [7], причем ими рассматривался общий случай, включавший также ребра треугольного профиля, для которых толщина у вершины бе=0. Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение, описывающее распределение температуры в ребре, получено из теплового баланса элемента ребра высотой dx. Разница между тепловыми потоками, поступающим в элемент посредством теплопроводности и покидающим его аналогичным путем, равна: Рис. 4.10. Система координат для анализа продольного ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (ребро треугольного профиля представляет собой частный случай данной задачи при бе=0). dq—kL dx [«w-g-]**. D.27) Эта величина равна тепловому потоку, отводимому поверхностью ребра в окружающее пространство путем излучения, dq=(KiTb—K2)Ldx. D.28) Результирующее нелинейное дифференциальное уравнение запишется следующим образом 1: k dx «М-гг]-*.*4-*. D-29) Из геометрических соображений следует, что 8(*) = 8, + (8.-Л)-?=2А 2А ¦X D.30) где Л=Fо—бе)/26 — наклон поверхности ребра. Подставив D.30) в D.29), разделив на К\Т^е и проведя соответствующие алгебраические преобразования, получим: где z = TfTe и d Г 2Л / де . \ ?Л_у* _ Кг " dx [КгТ% \ 2А '7 dX J К*Т** D.31) 1 Как и в случае отвода тепла от поверхности ребра конвекцией, пренебрегаем ошибкой, связанной с использованием в уравнении dx вместо dx/cosk. 159
Пусть К _KiT\ 2Ak D.32a) D.326) Заметим, что dT/dx=Te dzjdx. Подставив D.32а) и D.326) в D.31), с учетом этого соотношения получим: d dx [-к«*+*) ?]-<• -жк- D.33) Теперь введем новую переменную w=Ks(Kb+x). D.34) Ее производная dwjdx=Kz связана с dzjdx следующим соотношением: (dz/dw)(dw/dx)=Kzdz/dw. Подставив в D.33), получим: dw \W dw J Z ^KtT\ ~U* Так как z = f(w), то его можно переписать следующим образом: Kz wf» (W) _ f> {W) _ [f (ю^+^^о. D.35) Дифференциальное уравнение D.35) описывает профиль температуры в ребре. Его решение может быть получено численным интегрированием. Соответствующие начальные значения приведены в табл. 4.1. Таблица 4.1 Начальные точки для численного интегрирования D.35) Параметр Трапециевидный профиль 5Л—конечная величина Тре>гольный профиль 5=0 w при х = 0 z = f(w) при х = 0 f' (w) при х = 0 fn (w) при х = 0 х = 0 w = we = KzKi из D.34) f(we) = 1, так как z = = Те/Те=\ fr (we)= 0, так как dzjdx = 0 х = 0 w = we=0 из D.34) и D.326) f(we) = 1, так как z = Te/Te = 1 из D.35) fn(we)=2 из D.35), используя правило Лопиталя В результате численного интегрирования D.35) получим набор значений z(w) и совокупность кривых z=f(w). На рис. 4.11 приведен ряд таких характерных кривых с /С2/Кл7\ и хв)е=КзКь взятыми в качестве параметров. Для трапециевидного профиля значение we—KsKk принято равным 0,02, для треугольного we, естественно, равно нулю. Попутно с расчетом f(w) на ЭВМ можно определить и другие, производные от w нее функции: f'(w)y f"(w) и f dw. Ниже будет показана целесооб- We разность подобной операции. 160
Из D.34) производная dwjdx=Kz. Разделяя переменные, получаем: Ь Wo /tg f dx = f dw, где верхний предел w0 определяется из уравнения D.34): ги0=Кз(Кь+Ь). Выполнив указанное в D.36) интегрирование, получим: w0 K3b=( dw. D.36) D.37) D.38) Используя D.32а) и определение Л и f(w0)=TolTe, получаем: ^-•^гея^}- D'39) где л —параметр, характеризующий степень сужения профиля ребра: Я — -г—. D.40) Предшествующий скобкам в D.39) безразмерный комплекс может быть назван характеристическим параметром трапециевидного и треугольного ребра: ^_ КгТ\Ь* D.41) 7 6 Комбинируя D.38), D.39) и D.41), получаем: 5 W0 е = №0)]3A-я)у dw. D-42) 2 Комбинация D.30), D.326), /j D.37), D.38) и D.40) в свою очередь дает: JL-=_i°._l _| L Г dw Рис. 4.11. Графики функции f\(w) для продольных X »е * We J " D.43) ребер трепециевидного и треугольного профилей. / — ребро треугольного профиля, а>е=К3К4«0; 2 — ребро трапециевидного профиля, аУе = /С3/D=0,02. Подставив D.43) в D.42), получим окончательное выражение для характеристического параметра ребра через величины, рассчитанные на ЭВМ: /W0 С = - do> га ше + f dw w„ D.44) 11—192 161
Тепловой поток, отводимый ребром, может быть записан как <7. = *80L-^ x=b или через преобразованную переменную w qti=hbQLTeKb[f'wo\. Эффективность ребра определяется соотношением Яо kb0TeK3 If'jw.)) Т) = Qid КгЬТ* D.45) D.46) Используя D.30), D.38), D.44) и D.46), получаем следующее окончательное выражение для эффективности ребра: /' (w0) I we + f dw D.47) Численное решение D.35) дает значения параметров, с помощью которых целесообразно построить расчетную диаграмму. Это вытекает из следующих соображений: 1. Значение we=KsKh используемое в качестве начальной точки при численных расчетах, характеризует степень сужения профиля ребра. 2. Численные решения, опирающиеся на фиксированное значение /C2//(i7\, дают при Z=TolTe=f(w0) значение наиболее полезного для расчетов параметра: 1,0 0,9 0,8] yi\ 0,6 0,5\ о,з 0,21 0 0,2 О/г 0,6 0,8 1,0 1,2 1Л 1,6 1,8 2,0 Рис. 4.12. Эффективность продольного ребра трапециевидного профиля с параметром А,=0,75 (отвод тепла излучением). 162 КГ / Теоретический, оптимум ^> ^ |Г] Кг/f <1Та* St . 8 В /ч г, а.--=—U, J D °0 к2 KiT\ Кг \ Этот параметр использовался на рис. 4.7— 4.9 для характеристики взаимодействия ребра прямоугольного профиля с окружающей средой. 3. При любом значении Z=f\(W0) И We=K$KA параметр К21К\Т\ описывающий взаимодействие с окружающей средой, задан, и параметр ребра и его эффективность могут быть рассчитаны с помощью D.44) и D.47) соответственно. 4. Для различных значений параметра, ха-
растеризующего взаимодействие с окружающей средой, могут быть получены расчетные диаграммы с эффективностью ребра в качестве абсциссы. Каждый набор таких кривых отвечает определенному значению Я—бе/бо. Подобного рода диаграммы представлены на рис. 4.12—4.15. Рисунок 4.12 построен для трапециевидного ребра с Я=0,75, рис. 4.13 и 4.14 —для аналогичных ребер с А,—0,50 и 0,25, а рис. 4.15 —для ребра треугольного профиля (А,=0,00). На графиках проведены линии, обозначенные как «теоретический оптимум». Они дают геометрическое место точек, соответствующих «идеальному» для данного типа ребра сочетанию параметров. Детальное описание этих кривых будет дано ниже в разделе «Оптимизация продольных ребер с отводом тепла излучением». Пример 4.6. Излучение в свободное и несвободное пространство. Тепловой расчет ребер при K2=f=Q- Продольное ребро трапециевидного профиля изготовлено из стали [k= =34,1 Вт/(м-°С)], покрытой ламповой сажей (е=0,95). Высота ребра 150 мм, толщина в основании 9,5 мм, у торца 4,75 мм, длина 1375 мм. Температура в основании ребра 170°С. Определить тепловой поток, который может быть отведен ребром: 1) в свободное пространство, 2) в несвободное среды 840 Вт/м2. Решение. /Г = 2ае==2.5,7 О 0,2 0,<+ 0,6 0,8 1,0 1,2 1,* 1,6 1,6 2,0 Рис. 4.13. Эффективность продольного ребра трапециевидного профиля с параметром Х=0,50 (отвод тепла излучением). 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,3 Zfi Рис. 4.14. Эффективность ребра трапециевидного профиля с параметром Я==0,25 ((отвод тепла излучением) . пространство, если ребро поглощает из окружающей а. 4,75 = 0,50; 5 = КгТ\Ь2 kd0 =* д0 9,50 ,Ю-8.0,95 = 1,082- Ю-7 Вт/(м2-К4); ^0 = 170 + 273 = 443 К; 1,082.1Q-7.443».0,152 34.3.9,5.10- ==0'655' 11" 163
1,0 0,9 0,8 OS 0,6 0,5 Л L 0,4 0,3 0,2 и \\ № v\ 0 0 ^> ,2 0, 7^ 4 0 Теоретический оптимум / ^^ч 6 0 ,8 1 0 1, 2 1,4 1,6 1,8 2,0 Рис. 4.15. Эффективность ребра треугольного профиля с отводом тепла излучением. 1. Отвод тепла в свободное пространство, #2=0. Поскольку Л=0,5, то расчет ведется по рис. 4.13. При ?=0,655 и /C2//Cir4o=0 <n=0,593. Тогда <7=/CiL6r*0^ = 1>082.10г-Ч ,375 X Х0,15-4434-0,593=510 Вт. 2. Отвод тепла в несвободное пространство, /С2= =840 Вт/м2: К2 ,840 КгТ^0 1,082.10-7-443*~ | =0,20. Согласно !j рис. [4.13 при ?= 0,655 и при K2/KJ\ = 0,20 т) = 0,467. Тогда q = KxLbT\i\ =1,082.10~7 X XI,375-0,15-443*.0,467 = = 401 Вт. ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА СПЕЦИАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ Ребро минимальной массы Как было показано Уилкинсом [8], ребро минимальной массы с отводом тепла излучением имеет переменный по длине градиент температуры. Указанное положение расходится с выводом гл. 2 относительно градиента температур в аналогичном ребре при отводе тепла конвекцией. Рассмотрим ребро произвольного профиля, отводящее тепло излучением в свободное пространство с Ts=0 К и не поглощающее энергии из окружающего пространства. Расположим начало координат в вершине ребра. Высота ребра Ь, контур профиля описывается функцией /2 (х). Тепловой поток, передаваемый вдоль ребра теплопроводностью, в любой точке х определится формулой «7 = 26/2 (•*)-?-. D-48) Тепловой поток, отводимый элементом dx излучением, равен: dq=2aeT*dx. D.49) Граничные условия для этих уравнений следующие: при х — 0 ^ = 0 при х = Ъ q = qQ при х = Ъ Т = Т0. Задача состоит в определении функций q(x), Т(х) и /г (л:), удовлетворяющих приведенным выше уравнениям и граничным условиям при заданном значении Ъ и отвечающих минимуму площади профильного сечения ребра Ар: Ap = 2$f2(x)dx. - о 164
"=(тг)'; •~(*Г- 7ч==7ч§а4/9; 8 2/3 i Пусть D.50) D.51) \ чо / Тогда D.52a) D.526) D.52в) dq = ^-q0v 3 do. D.52r) Решая D.49) относительно dx, интегрируя его в должных пределах и подставляя соответствующие выражения из D.52а) — D.52г), получаемз 0 где нижний предел интегрирования ие=(Те1Т0)9. Уравнение D.48) можно решить относительно Ы*)» используя D.49) и D.52а) —D.52г): _4_ _1_ >¦«»- "U^l* : D-54) отсюда ь 1 4. = 2 J f, (Л) Л* = -кб^. f (-?-)' Л. D.55) 0 Верхний предел «о=1, поскольку при х=о и=ыо=Gо/7о)в=1. Уравнение D.55) можно несколько преобразовать: 1 А„= Я' r-TJ^r J [2 -S— 1 + (-5— l)f] Л. D.56) а поскольку при х=0, и=ие, v—0, а при х=Ь, и=1, v= (#о/?оJ/3=1, то D.56) может быть преобразовано в неравенство так как 0^ие^1. Неравенство в D.57) может иметь место только в случае ие=0 и u=v. Тогда из D.54), используя D.50), получим: 165
а из D.53) с помощью D.51) q0 С ~~ ~~ 3 ЗаеТ\ J Я^: i/ du- Sq0T* D.59) ' 3oe7\ j " ~~ ~ 2аеГ% 0 0 Уравнения D.50), D.51), D.57) — D.59) теперь можно использовать для отыскания требуемых соотношений. Из D.57) следует: ЬЧЧ* Из D.59) при х = Ь, Т = Т0, получаем: А__ 3<7о 2**Т\ • Так как u = v, комбинация D.50) и D.51) дает: Используя D.61), из D.59) находим: х _ 3</р 2a S74, / Г \2 V 7", D.60) D.61) D.62) СЖ*Г- Из D.62) и D.63) следует, что И, наконец, с помощью D.58) и D.63) находим: Ц\ /ту _ 3q\ М*)= 2ЬеГ5„ /Л I г. 2feoe7„ ,7/2 D.63) D.64) D.65) Заметим, что из D.63) следует, что температура вершины ребра должна равняться нулю. Это положение является чисто теоретическим. Оно обусловлено допущением, что ребро излучает в окружающее пространство с нулевой температурой и совершенно не поглощает энергии из окружающей среды. Пример 4.7. Проектирование продольного ребра с отводом тепла излучением, обладающего минимальной массой. Окрашенное алюминиевое ребро имеет коэффициент теплопроводности ?=202 Вт/(м-сС) и степень черноты 8=0,88. Длина ребра 1,85 м. Требуется отвести излучением в свободное пространство тепловой поток 1 кВт при условии, что температура в основании ребра не должна превышать 553°К. Спроектировать теоретически оптимальное ребро. Решение. Тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра, q0= 1000/1,85=540 Вт/м. Согласно D.60) площадь профильного сечения ребра равна: д\ _ 5403 АР— ko*e*T9n 202.E,7-Ю-8J-0,882-5539 = 6,3.Ю-5 м2. Высоту ребра находим с помощью D.61): . Зд0 _ 3.540 2оеГ% 2-5,7. Ю-8-0,88-5534 =0,172 м. 166
Из D.65), положив х = Ъ, находим толщину ребра в основании Зд\ 3-5402 2Ш kz*T\ 202-5,7.10~8.О,88-5535 1,66-Ю-3 м= 1,66 мм. Ребро с постоянным градиентом температуры Маккей [9] указывает, что профиль температур, описываемый D.63), требует равенства нулю температуры вершины ребра, что не всегда осуществимо. Если же взять ребро с линейным распределением температуры , Т = Те+^-(Т,-Те), т. е. с постоянным ее градиентом dT т т 1 о 1 р dx D.66) D.67) то оно не будет соответствовать ребру минимальной массы, однако прирост массы по сравнению с ребром, профиль которого описывается D.63), будет незначительным. Кроме того, анализ не ограничивается случаями, когда поглощение излучения из окружающего пространства отсутствует. Пусть ребро имеет постоянный градиент температуры по высоте и произвольный профиль (рис. 4.16). Начало координат расположено в вершине ребра. Тепловой поток, проходящий через сечение х путем теплопроводности, записывается как qx = 2kf,(x)L-gr. Подставив это соотношение в D.67). получим: 2kf2(x)L(T0-Tff) т - > т /ах\ -с' Ь ' X \ X. \ -^? 4 Qx=- D.68) Рис. 4.16. Продольное ребро произвольного профиля с отводом тепла излучением (анализ случая постоянного градиента температуры). Тепловой поток, определяемый D.68), должен быть отведен в окружающее пространство излучением: §dq=^(K1T*-K2)Ldx. о о Воспользовавшись снова D.67), выразим q через температуру т ^Ц?^^. D.69) Приравняв D.68) и D.69), выполнив интегрирование и упростив полученное выражение, определим: ау,(х)G-.-7У) _ ЬКЛТь-Т>е) ЪКщ(Т-Те) (.ш Ь " 5(Т0-Те) <Г,-Тв) • К • > 167
Имея в виду, что z=TjTe, a Z=To/Te, перепишем D.70) таким образом, чтобы оно давало решение для профиля ребра: /aW WkZ3(Z—\J 2kT0(Z%—\J ' ^'IL) Из D.66) следует, что *=^=1+-f(-^-1)Ba!l+T'(Z)- D,72) Подставив это выражение в D.71), после упрощений получим: В основании ребра, где x = b, a z = TQ[Te = Z, D.73) сводится к более простому выражению /.(*>)=-?¦= ioJmz-V [Z'~ 1 -Ш{1~ 1)\ D74) На «холодном» конце ребра, при х=0 z=Te/Te=l. С помощью правила Лопиталя можно показать, что в этой точке f2(x)=0. Контур профильного сечения ребра описывается D.73) через температуры в основании и у торца, параметр влияния окружающей среды и некоторые характеристики самого ребра. Профиль ребра суживается от основания к вершине, толщина ребра при вершине равна нулю. Отношение температур в основании и у вершины ребра Z выбирается не вполне произвольно. Его предельное значение можно определить, рассмотрев часть ребра, непосредственно прилегающую к вершине, где х/Ь мало, и проанализировав поведение D.73) в этой области. Толщина ребра всегда положительна. Следовательно, член, .стоящий в скобках, тоже всегда положителен. Отсюда следует, что х 1 + 4-B-1) >i+5^[f.(Z-1)]- Член в левой части может быть разложен как бином. Поскольку х/Ь мало, то удовлетворительное приближение получается уже при рассмотрении двух первых членов разложения, т. е. l+5^(Z-l) + ...>l+5^[-f (Z-1) Отбрасывая общие члены, получаем неравенство 7* "^2 ^ 1 из которого видно, что Z = 7_„=№-)\ D.76) емин 168
• K2Lb. D.77) Приближенные предельные значения температуры вершины ребра определяются D.75) и D.76). Заметим, что в случае свободного пространства, когда /B = 0, Те также равна нулю, т. е. приближается к температуре пространства. Тепловой поток, отводимый ребром с постоян* ным градиентом температуры, определяется D.69). Интегрируя в пределах от Т€ до Г0 и подставляя Z=To/Tey получаем: ч~~~ 5 (Z— 1) Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро, составляет qu=K\LbT^ откуда эффективность ребра 73 = 5Z4 (Z — 1) XJ\' D*78^ При конструкторском и поверочном расчетах ребра используют характеристический параметр ребра ?. Его можно определить из D.74), которое может быть записано в виде * _ ( Ь*КгТ*0 \ \ZS-l-EK2ZVKJ\)(Z-l)] 0 ^ k Jl 5Z3(Z—IJ ' отсюда можно найти безразмерный параметр С: Ч' С = ЬгКгТ\ 5Z3 (Z — 1)? «. ~ Z«-l-E/C1ZV#Cir*,)(Z-l) tpKrf/KS,, 1,1 D.79) На рис. 4.17 приведен график зависимости эффективности ребра с постоянным градиентом температуры от параметра ?. Пунктирной линией отмечено приближенное предельное значение, определяемое D.75). 1,0\ 079 0,8 0,7 0,6 0,5| щ 0,3 0,2 0,1 иг \ s 1 пред ел 1 °>6о ж / ^0 /7^> <? ^-0,05 vro.io С 1,0 1,1 1,2 1,3 1Д 1,5 1,6 1,7 0 п,4 0 8 1,2 1,6 Рис- 4.18. Зависимость характеристического параметра продольного ребра Рис. 4.17. Зависимость эффективности про- с постоянным градиентом температуры дольного ребра с постоянньш градиентом с отводом тепла излучением от отноше- темнературы и отводом тепла излучением ния температур в основании и у вер- от параметра ребра. шины. 169
На рис. 4.18 параметр ? представлен в функции отношения температур в основании и у вершины ребра Z. Приведенные кривые соответствуют D.79). Каждая кривая на рис. 4.17 и 4.18 отвечает различным значениям параметра fa/KiT^o, характеризующего тепловое взаимодействие с окружающим пространством. Рисунки 4.17 и 4.18 содержат все необходимые данные для конструктивного или поверочного теплового расчета ребер с постоянным градиентом температуры. Ребра параболического профиля Котен и Арнес [10] провели исследование задачи излучения продольных ребер вогнутого и выпуклого параболических профилей. Площадь поперечного сечения на единицу длины таких ребер определяется соответственно следующими формулами: 0-хУ; <4-80а> ь=A--тJ- D-80б) Дифференциальное уравнение для относительной температуры у— =Г/Г0 получается из теплового баланса элемента ребра высотой dx. Разность тепловых потоков — поступающего в элемент теплопроводностью и покидающего его тем же путем, приравнивается к тепловому потоку, отводимому поверхностью ребра излучением. Для вогнутого параболического ребра это уравнение в безразмерном виде записывается следующим образом: A-^-^+2A-^)^-С(^-^-)=0. D.81а) Для выпуклого параболического ребра оно имеет вид: О-*J -^И '•{—r-^_c(|f-i^) = 0, D.816) 2 A-ХJ где X=x/b, a ?, Кг и /Сг уже были определены ранее. Котен и Арнес получили с по-мощью ЭВМ решения D.81а) и D.816) при следующих граничных условиях: при Х = 0 у=1; D.82а) dy dX при Х=\ f,(x) dy = 0. D.826) х=\ Ими были также получены решения для отводимого теплового потока и эффективности ребер параболического профиля. Ребра выпуклого и вогнутого параболических профилей наряду с ребрами других геометрий проанализированы в гл. 2 применительно к случаю отвода тепла конвекцией. Как отмечалось в гл. 2, ребра параболического профиля не удовлетворяют некоторым специальным требованиям. Их довольно трудно изготовить путем механической обработки поверхности. При тех же затратах можно получить ребро минимальной массы, профиль которого определяется D.65). 170
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОДОЛЬНЫХ РЕБЕР С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ Ребра прямоугольного профиля В работе Лю [11] получено соотношение для оптимальных размеров продольного ребра прямоугольного профиля с отводом тепла излучением в свободное пространство при отсутствии поглощения излучения из окружающей среды. Профиль температуры в таком ребре описывается с помощью бета-функций уравнением D.13): В @,3; 0,5) -Д/@,3; 0,5) = 6 ( 2QasT3e N 1/2 устанавливающим связь между бо и Те. Функция /(бо, Те) определяется следующим образом: /(80l Тв)=В @,3; 0,5)-Ви@,3; 0,5) - b (j®^-}1'2^. D.83) Задача оптимизации ребра состоит в том, чтобы найти экстремальные значения бо и Те, которые бы давали оптимальное значение q в соответствии с D.14): При этом /(бо, Те), как это требует D.83), должна быть равна нулю. Решение задачи получается с помощью множителя Лагранжа v: ?+-*%г^-о; DМа) &+»-*%*>--о- и «б. После того как значения бо, Те и v определены из D.83), D.84а) и D.846), приходим к следующему выражению: -^=0,425 [12 — G + G1/2(G+120I/2]0'2, D.85) где G_. 5Ы0 _ D86) Подстановка D.85) в D.83) приводит к трансцендентному уравнению относительно G, решение которого методом проб и ошибок дает значение G=l,381. Таким образом, оптимальным является профиль, для которого справедливо следующее соотношение между параметрами: _||_= 1,381 /^^^2,486-^-. D.87) Другие профили Продольное ребро с наклонной поверхностью имеет профиль, определяемый D.30): 8(x)-=8e + (8.-8.L- = 2A(-^-+V> 2Л 171
где Л=Fо—бе)/2й — наклон поверхности ребра. Наиболее общим является случай трапециевидного ребра, когда 0<Л<1. Ребра прямоугольного Fо = 6е) и треугольного (8е=0) профилей представляют собой частные случаи более общей задачи о ребре трапециевидного профиля. Вопрос оптимизации продольных ребер с наклонной боковой поверхностью рассматривался Бартесом и Селлерсом [1], а также Маккеем и Бача [7]. В обеих работах анализировался случай излучения в несвободное пространство 1. Бартес и Селлерс учитывали влияние воздействия окружающей среды, вводя некую фиктивную температуру стока. Маккей и Бача, рассматривая приведенное на рис. 4.10 ребро, учитывали влияние внешних факторов константами К\ и /Сг- Общий вид дифференциального уравнения оказался следующим: Анализ продольного ребра минимальной массы, имеющего наклонную боковую поверхность, начинается с рассмотрения отводимого им теплового потока и эффективности ребер. Отводимый поток определяется соотношением q = qldyi = K1LbT\ylf D.88) которое может быть несколько видоизменено и тогда примет вид: *=(-4^)№(*r.L)($.y D.89) Масса ребра трапециевидного профиля равна: W = TL D) (fi. + К) = Щ^ 0 + А). D-9°) где у — плотность материала ребра. Если Я=0, то ребро имеет треугольный профиль, если же Я=1, то профиль ребра прямоугольный. Уравнения D.89) и D.90) могут быть объединены, если исключить из них общий член bob. В итоге получим: ^Г 2WkT. ]р\ q—Ч*<1+*) \\ь2)' Подставляя в это соотношение выражение для b из D.88), получим: f*=tK*i|ef D.91) где к _ 2WkT\K\L2 А«— Y A + А) • Приняв, что Къ — ненулевая константа, проведем оптимизацию конструкции методом проб, стремясь получить экстремальное значение q. Экстремум q отвечает максимальному тепловому потоку, отводимому ребром. В этой точке dq=Q, если q — регулярная, непрерывная функция. Запишем D.91) в дифференциальной форме: 3q2dq=KbCKr\2d4+r\4Z). Поскольку dq=0t а Кьф0у то 3?ri2dri+rKd?=0 -?-=--Иг- D-92) 1 Оптимизация ребер треугольного профиля с излучением в свободное пространство и при отсутствии поглощения излучения из окружающей среды исследовалась в [12]. 172
Оптимизирующее соотношение имеет вид: 111 7) 1 __ __ Из приведенной формулы следует, что кривые ц в функции ?, представленные в логарифмических координатах, соответствуют оптимальным массовым характеристикам ребра в том случае, когда их наклон равен—1/3. Геометрические места этих точек указаны на рис. 4.12— 4.15. Они названы «теоретическими оптимумами», так как получены из условий достижения оптимальных массовых показателей, а не в результате оптимизации каких-либо экономических характеристик или технологии изготовления. В статье Бартеса и Селлерса получены следующие оптимальные размеры ребер прямоугольного профиля: 6 = 0,884-2^-; D.93) п2 5o=1-848*^V D-94) Площадь профильного сечения Ар= 1,635-^Ц-. D.95) Оптимизация продольного ребра совместно с сопряженными с ним элементами конструкции Проведенная выше оптимизация параметров ребра осуществлялась с учетом только их собственной массы; масса конструкции, с которой эти ребра связаны, в расчет не принимались. В работе Рейнольдса [13] отмечалось, что в типичном пластинчато- трубчатом космическом радиаторе, показанном на рис. 4.19, трубы присоединены к коллекторам, а длина коллекторов зависит от длины ребер. Зачастую масса труб, коллекторов, заключенной в них жидкости, а также их защитных оболочек оказывается такой, что целесообразно использовать более короткие и толстые ребра по сравнению с ребрами, оптимизированными без учета массы эле- рис 4 {д Типичный космический МенТОВ КОНСТРУКЦИИ. радиатор. ВтОрЫМ И, ВОЗМОЖНО, Наиболее ИН- /сребра; 2 — коллектор5 3 — труба. тересным аспектом такого исследования является разработка методик расчета и представление результатов анализа* в таком виде, что ими будет более удобно пользоваться при проведении конструктивных расчетов |разного типа ребер, нежели существующими методиками, поскольку последние ориентируются на применение какого-то определенного профиля ребра. Разработка таких более совершенных методик исключит необходимость проведения итераций в процессе расчетов, обусловленных использованием обычных кривых эффективности ребер 1. 1 Применение итераций иллюстрируется решением примера 4.2. 173
Размеры ребра Выше было показано, что распределение температуры в продольном ребре с наклонной боковой поверхностью.является функцией расстояния от основания ребра и поглощенного им потока падающего излучения. Распределение температуры находилось из дифференциального уравнения, которое было выведено при анализе теплового баланса элемента ребра высотой dx. Длина ребра принималась равной единице, как это было сделано в D.29): dx Чх)-%г\=КГ-К%. Рассмотрим рис. 4.10. При этом изменим положительное направление оси х на обратное. Начало координат расположим в основании ребра, тогда х—Ь будет соответствовать координате торца ребра. Площадь поперечного сечения ребра описывается следующим выражением: 8 W = 8, 1-W4" |, D.96) ь . где Л* — наклон поверхности ребра: Л*= °%75g =1 -Я. D.97) Если ребро прямоугольного профиля, Л*=0, треугольного Л*=1, у трапециевидных профилей 0<Л*<1. Уравнение D.29) удобнее анализировать, если оно приведено к безразмерному виду. Можно показать, что D.29) сводится к выражению М11 dX 1< А*Х) -% - С f - J±-) = 0, D.98) KJ\ )' где X=x/b; y=TjTu\ K\, K<i и Z, сохраняют свой прежний смысл. Частное решение D.98) определяется граничными условиями Л' = 0 у=.1-=1- D.99а) Х = Ь A-А*Х)-^==0. D.996) Тепловой поток на единицу длины, передаваемый через основание ребра теплопроводностью: 4'=-=?я-1зг1ш0' Dл00) а эффективность ребра определяется формулой 71 — 2аеЬТ\ — 2аеЬ2Т\ — К ' D.1U1) Параметры, относящиеся к оптимизированному продольному ребру с отводом тепла излучением, обозначаются символами со звездочкой. Наклон поверхности ребра определяется D.97). Высота и толщина ребра обозначены как Ь* и б* соответственно. Пусть Ь* — высота наиболее короткого ребра, способного отвести требуемый тепловой поток. Такое ребро будет либо бесконечно толстым, либо должно обладать бесконечной теплопроводностью. 174
Тепловой поток, отводимый единицей длины такого ребра: q\ = (Kj\-K2)b*. D.102) Максимальная плотность теплового потока определяется как q' = oeT\, D.103) из D.102) и D.103) получаем1: я\ V-*! D.104) Характерный размер 6* определяется как минимальная толщина ребра прямоугольного профиля бесконечной высоты, при которой может быть осуществлен отвод требуемого теплового потока. При б(дс)=бо и p=dTjdx D.29) принимает следующий вид: ndp a Кг ум -Кг PdT kb0 kd0 D.105) На достаточном удалении от основания ребра можно пренебречь теплопроводностью вдоль него, и тогда температура ребра определится из теплового баланса 2оеТь=К2. Следовательно, одно из граничных условий D.105) запишется как т г К2 W4 при х -» оо у- к,т\ D.106) Производя однократное интегрирование D.105), подставляя D.106) и определяя градиент температуры в основании, получаем: dx =т 2KiT*°f— [i- Ко ,5/4 KJ\' к2 КгТ* 1 К2 \1/4 КХТ\ (< .107) Тепловой поток, отводимый ребром прямоугольного профиля бесконечной высоты, запишется как kb, Л{ 2KJT\\ 1 Кг KJ\ 5 \К ^J J/ 1/2 D.108) Решая D.108) относительно толщины ребра и используя D.102), получаем: 5*=8 = 4kTtq' — - (К2'К,Т\) + — (К,/К,Т\) 5'4, D.109) Из D.100), D.101), D.104) и D.105) с помощью простых алгебраических преобразований получим следующие соотношения для любого ребра прямоугольного и трапециевидного профилей: ь __ \-кг/к,т*в Ь* i\ ' f\R 1 К,Т4 Кг \5/4 5 \К,Т* D.110) D.111) 1 При излучений с одной стороны ребра D.104) записывается как 6*- = q*0/(q'-K2). 175
\\b/ib* _yn При выбранных значениях ? D.110) и D.111) могут быть представлены графически в виде кривой, показанной на рис. 4.20. Одна кривая отвечает конкретному значению параметра К2/К\Т%, она определяет совокупность оптимизированных геометрических размеров ребра, которые могут обеспечить отвод заданного теплового потока. Конструктор может рассчитать при заданном К2/К\Т4о значения fr* и б*. После этого можно будет, выбрав высоту ребра, через отношение 6/6* с помощью кривой найти требуемое во/б* и рассчитать бо- Хотя применение ребер с наклонной поверхностью обеспечивает снижение их массы, наклон, который может быть практически достигнут, лимитирован. Он связан с технически достижимой минимальной толщиной торца ребра. Рейнольде [13] проанализировал этот вопрос и представил расчетные диаграммы, позволяющие определить относительную толщину торца ребра del б* независимо от его высоты и толщины в основании. Рис. 4.20. Кривая для нахождения оптимальных соотношений размеров ребра прямоугольного профиля (Л*=0) при отсутствии подвода тепла из окружающего пространства (K2lKiT40=: = 0). Оптимизация по массе Если определить №* как массу элементов конструкции, приходящуюся на единицу боковой поверхности ребра, то тогда масса холодильника-излучателя, приходящаяся на единицу длины ребра известной геометрии, выразится как D.112) wf=w*b+(8o+2de W, где у — плотность материала ребра. Введем понятие безразмерной массы " d*b*f ' D.113) Если принять, что элементы конструкции не отводят тепло, то при заданных условиях теплоотвода наименьшая масса системы будет достигнута при -минимальном значении Q. Из D.112) и D.113) следует, что D.114) Я=^1; D.115) "— 9 л* л* I а* т" Ь* ' где W* a*Y #=0 соответствует случаю пренебрежимо малой массы дополнительных элементов конструкции. Расчетные кривые Результаты расчетов Рейнольдса представлены на рис. 4.21,а — ж. Поскольку кривые зависимости b/b* от б0/6* имеют вид гипербол, асимптотически приближающихся к абсциссе и ординате, равным единице, то, изобразив зависимость F/Ь*—1) в функции от (бо/б*—1) в логарифмических координатах, можно спрямить кривые и облегчить 176
к. 1 1 н=о 1 *Ч0.2 кОЛ Х1,С <2,0 s>^o \ tiyfr^m ^ bib* 1,э| 1, 1,7 1,6 1,5 1,1 1,3 Щ 1,2 1,251,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 So/fr* b/fc* fl) 1,9 1,8 1,7 1,5 1,5 1,f 1,3 1,25 1,2' 1,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 3,0 Ь0/$* Ь/Ь^ 6) 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1Л 1,3 1,25| °'| ' "|—| | || | t-^J4^^ 0,1 1,2 bib* 1,9 1,8 ',7 1,6 1,5 'Л 1,3 1 94 1,60 1,2 \ \.\ч *к Х V V Кк /^ KZl><iTo=0,2 w-n ь. ч 0,2 J.'f V;7 WiA Vs $v2,0 NNN^3,0 s>O^0 440! 0,5 ¦\$Ш rH=0 3*0,2 xSJ40,^ /NVV' ( ,1,0 <& I K2/K1 To= ',0 V, 0 40 1 */4 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,25| 1,2 1,3 1,4 1,51,6 1,71,8 2,0 2,5 3,0 ^/fr* 3j rx 1 ч \ N ^ N V s / 1 Кг/^7^0,5 ч" =0 0 ' u7 ол \ кД7 N2^ 4 *2,0 S2 Й i ^ • N. ч X > 4, ч Kl/*1TJ=0 N/ =0 s|S. п ^ /-n К 1 й ^2 0 ш 1,251,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 &„/?* 1,9 1,8 1,7 1,6 г* 1,3 1,25| 1,2 * " ч ^4 N / ч ^ [KgKiTfclft H=0 Is*( ?,2 у NT ip,7 «Sao cS&* rvct 2,0 jj>?°A»| rs?^ fid 1,3 1,4 1,5.1,6 1,7 1,8 2,0 2,5 3,0 3,&0/6* b/b* B) 1,25 1,3 17* 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 fy/^* ж) , 1;3 V 1,5 1,6 1,71,8 Zfi 2,5 3,0 ft/** 12—192 Рис. 4.21. Диаграммы для расчета геометрических характеристик ребер минимальной массы (масса конструкции задается параметром Я). в —ребро прямоугольного профиля; б — ребро треугольного профиля; в—ж — ребра трапециевидного профиля [4, 13]. (/ — предел для ребра прямоугольного профиля). 177
тем самым интерполяцию значений. Этот прием использован при построении графиков 4.21,а — ж. На этих графиках приведены также кривые, соответствующие оптимальным массовым характеристикам радиатора, при различных значениях параметра Я. На рисунках, отвечающих ребрам с наклонной боковой поверхностью, кривые оптимальных массовых характеристик (минимум массы) пересекаются линиями постоянных значений 6е/Ь*. Из рисунков видно, что в области, где линии бе/б* не пересекают кривую оптимальных массовых характеристик для заданного значения Я, ребро с наклонной боковой поверхностью не может быть использовано. Подобная ситуация возникает в том случае, когда толщина ребра ограничивается технологическими возможностями, и необходимо перейти к ребру прямоугольного профиля. В этом случае оптимальные характеристики конструкции определяются пересечением соответствующей кривой бе/б* с предельной кривой, отвечающей ребру прямоугольного сечения, когда бо/б*=бе/б*. Пример 4.8. Оптимальная конструкция продольного ребра с отводом тепла излу-. чением с учетом массы связанных с ребром элементов конструкции. Рассмотрим трубчато-ребристую систему, расположенную между сечениями /-/' я 2-2' на рис. 4.1. Анализируются различные типы ребер, 'при этом задаются условия: Длина трубы 3,65 м Наружный диаметр трубы 25 мм Отводимый тепловой поток 7,15 кВт Поглощаемое солнечное излучение (верхняя поверхность ребра) 1100 Вт/м2 Поглощаемое излучение Земли (нижняя поверхность ребра) : 350 Вт/м2 Температура в основании ребра ....... 365°С F38 К) Степень черноты трубчато-ребристой конструкции . . . 0,85 Эффективный угловой коэффициент ребра1 ... 0,91 Эффективный угловой коэффициент трубы1 . . 0,86 Теплопроводность материала ребра ...... 276 Вт/(м-°С) Плотность материала ребра 2770 кг/м3 Масса коллекторов с находящейся в них жидкостью 18,5 кг/м 1 Угловые коэффициенты F учитывают взаимный обмел излучением. Спроектировать: 1) оптимальное ребро прямоугольного профиля; 2) оптимальное ребро треугольного профиля; 3) оптимальное ребро с толщиной торца 6е=0,45 мм; 4) оптимальное ребро высотой 6 = 100 мм и толщиной торца бе = 0,45 мм; 5) оптимальное ребро с толщиной торца бе=1,9 мм. Решение. Во всех случаях труба отводит следующий тепловой поток: ^ = (те^А5Г40=5,7.10-8-0,85я-25-10-3-3,65-6384==1,97 кВт. Как видно из рис. 4.1, ребра расположены по обе стороны трубы. Тепловой поток, который нужно отвести с единицы длины каждого ребра, <7*0=0,5 G150 — 1970) y-gg- -=710 Вт/м. Значение параметра Кг определяется падающим излучением К2 = 1100 + 350 = 1450 Вт/м2; К, = 2jeF4 = 2.5,7.10-8.0,85-0,91 = 8,8-10"8 Вт/(м2.К4);; i К2 1450 KJ\ 8,8.10-8.6384 = 0, Максимальный тепловой поток определяется D.103). Его нужно скорректировать с учетом углового коэффициента ?' = се^лГ*0 = 5,7.10-8.0,85.0,91.6384 =7300 Вт/м2. Г/8
Минимальная высота определяется из D.104): b*=2q'4-K* = 2.7300-1450 =0'054 м = 54мм. Из D.109) >* Й%)! = 4kT0q' |^g- - (K2jKJ\) + -J- (К,/*^M'4 J 7102 : E73— =0,00068 м = 0,68 мм. 4.276-638.7300 [0,2 — 0,1+ 0,8-0, lo/4] Масса конструкции, приходящаяся на единицу поверхности, Из D.115) 18,5 W*= з 65 =5»07 кг/м2- W* __ 5,07 Я= 5*y 6,8.10-4.2,77-103== 2'7* 1. Для оптимального прямоугольного ребра любой точке кривой /C2//Ci7,40 = 0,l на рис. 4.21,а может соответствовать работоспособная конструкция. Значению Я =2,7 соответствуют Ъ дп 35Г=1,36 и -рг = 2,02; соответственно оптимальные размеры ребра будут равны: 6= 1,366* = 1,36-54=73,5 мм; б0=2,026* = 2,02 -0,68 =1,37 мм. Масса, приходящаяся на каждое ребро: W=WfL=(W*b+&0by)L= [5,07 -73,5-10~3+ + 1,37-Ю-3-73,5-Ю-3-2,77-103]-3,65 = 2,37 кг. 2. Расчет оптимального треугольного ребра ведется по аналогичной методике, прю этом используется диаграмма, изображенная на рис. 4.21,6. В итоге получаем: Ь д0 -ь»-=1,34; ~г = 2,91. Соответственно оптимальные размеры ребра будут равны: 6 = 1,346* = 1,34-54 = 72,4 мм; 60=2,916* = 2,91-0,68 =1,98 мм. Масса, приходящаяся на каждое ребро треугольного профиля, W = WfL = \w*b + (-^ЦгМ Ьч 1 L = = 5,07-72,4.10-3 + ^— .10-3-72,4.10~3-2,77-103 -3,65 = 2,06 кг. Отметим снижение массы конструкции в целом по сравнению с прямоугольным ребром. 3. Ребро трапециевидного профиля с толщиной у торца 0,45 мм де 0,45 ¦ = 0,66. д* 0,68 С помощью диаграммы рис. 4.21,г, соответствующей /Ci//C2r4o=0,l, находим точку пересечения 6е/6*=0,66 с. #=2,7. Ей соответствуют: Ь/Ъ* = 1,31; 60/6* = 2,85; 12* [79
соответственно оптимальные размеры ребра будут равны: Ь= 1,31.54=70,8 мм; 60=2,85-0,68=1,94 мм. Масса, приходящаяся на каждое ребро, W=WfL Ьо + де L = 1,94 + 0,45 5,07-70,8. Ю-3 + тг .70,8.10-3.2,77.103 • 3,65 = 2,16 кг. 4. Ребро высотой 100 мм и толщиной у торца бв = 0,45 мм 6/6*= 100/54= 1,850. Используя диаграмму 4.21,г, находим точку пересечения 6/?*=1,85 и бе/б*=0,66. 1й соответствует 60/б* = 1,5, отсюда получаем: б0= 1,56* =1,5-0,68= 1,02 мм. Масса, приходящаяся на каждое ребро, W = WfL = r 1,02 + 0,45 1 = 5,07- 100Л0-3 + ——-J—- .100-Ю-3-2,77-103 -3,65 = 2,6 кг. 5. Ребро с толщиной торца б* =1,9 мм бе/б* = 1,9/0,68=2,80. Из рис. 4.21,г видно, что кривая бе/б* =2,80 пересекает предельную кривую, соответствующую ребру прямоугольного профиля при б0/б*, равном приблизительно 2,8, и не пересекается с кривой минимальной массы, соответствующей Я=2,7. Однако можно выбрать любую точку, лежащую ниже бе/б* = 2,8, и если обнаружится, что масса ребра уменьшается по мере перемещения точки к предельной кривой, то следует остановиться на прямоугольном ребре толщиной 1,9 мм. Сооответственно из рис. 4.21,г получаем, что при б0/б* = 2,8 b/b* = 1,22, и тогда 6=1,226*= 1,22-54 = 65,8 мм. Масса такого ребра №=Я7^=(№*6+б06у)?=^ кг. РАДИАЛЬНЫЕ РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ Радиальное ребро трапециевидного профиля Радиальное ребро трапециевидного профиля является общим случаем радиального ребра. Полутолщина (контур профиля) такого ребра: fAr) = ^t+^r(\-K), DЛ16) где Я=(ге—г) J (re—г0). Ребра прямоугольного (бе=бо) и треугольного Fе=0) профилей являются частными случаями ребра трапециевидного профиля. Принятые в анализе радиального ребра трапециевидного профиля обозначения и система координат показаны на рис. 4.22. Отсчет радиальной координаты г ведется от центра кривизны ребра, положительным считается направление от центра к периферии. Разность между тепловым потоком, поступающим путем теплопроводности к элементу rfr, и потоком, отводимым от него таким же образом, записывается как dq = k±{2*r[2U{r)\*Lyr. 180
Она приравнивается к тепловому потоку, отводимому с поверхности элемента dr излучением, dq=2nr(KiT^—K2)dr1 где /Ci=2ae, если излучение происходит с обеих сторон ребра. Таким образом, Ь-зр^ШгЯ^-КгГ-Г + К^О. D.117) Параметр, характеризующий наклон поверхности ребра, и отношение радиусов уже вводились в предшествующих разделах книги [уравнения D-40) и B-39)]: л = -т-; ге Если использовать эти параметры, то D.116) можно записать в несколько ином „ ,00 п v # ' Рис. 4.22. Система координат ВВДС: для анализа радиального ребра трапециевидного профиля. 8@ = 2/1(г) = ^?[~Я + -^-(Я-1)]. D.118) Тогда 2f',(r) = 8оР(Х-1) D.119) 0-р)/\, • Дифференцируя в D.117), получаем: rSoP Г 1 7Л_г, n-ld*T | I г5оР(А-1) , +r^[i-^ + i^-1)]}^-?7,4+^'-=0- Если ввести у = Т/Т0, и Ь = г/г0, то ^=г d^dl__l±^ d2T _T0 (d2y\ dr * dl dr~~ r0 dl; dr2 r\ Щ2)' Подставляя эти соотношения в D.119) и преобразуя его, приходим к следующему выражению: [±-Х + *A-1>]^+[1^+2(Я-1) р 1у *,7\/ и* rfi' D.120) где А*, характеристический параметр радиального ребра. 181
Профиль температуры в ребре описывается D.120). Оно нелинейное и должно решаться численным методом. В результате получим зависимость безразмерной температуры у от безразмерного радиуса ? при принятых значениях параметров Я, р, ? и /Сг/Т^Го4. Решение должно удовлетворять.условию dy/dl=dT/dr=0 при |=re/r0=l/p. Тепловой поток, отводимый ребром, может быть рассчитан с помощью закона Фурье, используя значения соответствующих величин в основании ребра: Через безразмерные параметры оно запишется следующим образом: ™?А ?=1 D.121 Эффективность вновь определяется как отношение теплового потока, действительно отводимого ребром, к тепловому потоку, который отвело бы такое же идеально проводящее ребро при отсутствии поглощения излучения из окружающего пространства: 7] = Я id —2Ш0Т0 (dy/dQ k=1 : „КгТ\(г%-г\) -2Ы0р2 (dy/dl) 1^д1 D 122) tfi7V2oO-P2) Численное решение [4.14] уравнения D.120) дает значения у и d#/dg в функции от g. Характерные зависимости такого рода приведены на рис. 4.23. Они получены в результате численного расчета ребра вну- 1,0 11 1,2 1,3 1Д 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Рис. 4.23. Температурные профили, полученные с помощью численного решения уравнения D.120) при ? = 0,0147 и р = 0,5. тренним диаметром 101,6 мм, наружным диаметром 203,2 мм и толщиной в основании 6,35 мм. Ребро изготовлено из металла с коэффициентом теплопроводности 106 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,9. Излучение осуществляется только с одной стороны ребра. Отметим, что на рис 4 23 приведены серии кривых для различных значений наклона поверхности Я и параметра K2lK\T\. Характеристический параметр I равнялся 0,0147. 182
Производная dy]d\ при g=l,0 всегда отрицательная. Эффективность ребра может быть рассчитана с помощью D.122) при конкретных значениях отношения радиусов, наклона, характеристического параметра ребра и параметра, характеризующего взаимодействие с окружающим пространством. К сожалению, большое число переменных приводит к тому, что для графического представления эффективности ребра требуется множество кривых. Часть из них приводится на рис. 4.24—4.35. В табл. 4.2 дается сводка характерных значений параметров X и К2/К\Т^о9 для которых построены эти кривые. Таблица 4.2 Данные по эффективности радиальных ребер № рисунка 4.24 4.25 4.26 4.27 1 х 1 1,00 | 1,00 1,00 0,75 Параметр № рисунка Параметр K*/KJ*o рисунка Параметр 0,00 0,20 0,40 0,00 4.28 4.29 4.30 4,31 0,75 0,75 0,50 0,50 0,20 0,40 0,00 0,20 4.32 4.33 4.34 1 4.35 0,50 0,00 0,00 ! 0,00 0,40 0,00 0,20 0,40 Пример 4.9. Излучение радиальных ребер. Тепловой расчет ребра. Температура в основании радиального ребра равна 170°С. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности 86 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,88. Внутренний диаметр ребра 100 мм, наружный 250 мм. Толщина ребра в основании 3,2 мм. Отвод тепла излучением происходит с одной стороны ребра. Ребро поглощает падающую на излучающую поверхность солнечную энергию, плотность теплового потока падающего излучения 1400 Вт/м2. Поглощательная способность материала поверхности в диапазоне длин волн солнечного излучения «=0,27. Определить тепловые потоки, отводимые радиальными ребрами: 1) прямоугольного профиля, 2) трапециевидного профиля с толщиной торца 1,6 мм и 3) треугольного профиля. Решение. Для заданных параметров ребра имеем: ^ =08=5,7-10-8-0,85 = 4,85-Ю-8 Вт/(м2-К4); /С2=1400-а= 1400-0,27 = 378 Вт/м2; Г0 =170+273 = 443 К. Параметр, характеризующий воздействие окружающей среды, *' 378 0,2. к,т\ Характеристический параметр 4,85•10 -8•443* KJ\r2Q_ 4,85 ¦ 10 ~8 • 4433 • E0 -10 -3J Ч и> ~~ Q? Q О 1П-3 =0,0384. Отношение радиусов 86-3,2.Ю-3 50 Р = :0.4. гс 125 Площадь теплоотводящей поверхности с одной стороны ребра S = 7z(r2e — г20)=*тA2,52 — 52)-Ю-4 = 4,12-Ю-2 м2. 1. Ребро прямоугольного профиля. X =1,0. Согласно рис. 4.25 при р = 0,4 и ?= = 0,0384 л = 0,68. Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро, qid ==/A5Г4о=4,85• 10"8 -4,12 -10-4434 = 77,2 Вт. Действительно отводимый тепловой поток q=<r\qid =0,68 • 77Д= 52,5 Вт. 183
0,25 0,30 0,35 0,W 0,<+5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,15 0,Ш Рис. 4.24. Эффективность радиального ребра прямоугольного профиля с отводом тепла излучением (Я=1,00; К2/KiTA0=0y0O). 0,25 0,30 0,35 0Л0 0Л5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,60 Рис. 4.25. Эффективность радиального ребра прямоугольного профиля с отводом тепла излучением (Я=1,0О; K2/KiT4o=Ot2Q)» 0,25 0,30 0,35 0j40 0^5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 184 Рис. 4.26. Эффективность радиального ребра прямоугольного профиля с отводом тепла излучением (X =1,00, К^КхТ^— =0,40).
0,25 0,30 0,35 0,W 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65, 0,70 0,75 0,80 Рис. 4.27. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением A=0,75, /C2/^Ci^4o=0,00). 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 Рис. 4.28. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (А,=0,75, /G/Ki7^0=0,20). 0,25 0,30 0,35 0,^0 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,10 0,15 0,80 Рис. 4.29. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (Л = 0,75, /C2/^i5r40=0,40). 185
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 Рис. 4.30. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (Х=0,50, /C2//Ci7,40=0,00). 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0f50 0,55 0,60 0765 0,10 0,75 0,80 Рис. 4.31. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (А=0,50, ^2//CijT40=0,20). Параметр реЬра nl^ I I I I I 1 I I L 1 1 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 Рис. 4.32. Эффективность радиального ребра трапециевидного профиля с отводом тепла излучением (Х = О,50, /C2//Gr4o = 0,40).
0,Z5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 Рис. 4.33. Эффективность радиального ребра треугольного профиля с отводом тепла излучением (^=0,00, К2/К\Т40=0,00). R25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,50 0,65 0,10 0,75 0,80 Рис. 4.34. Эффективность радиального ребра треугольного профиля с отводом тепла излучением (^=0,00, /C2//Ci2r40=0,20). Параметр реЬра 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 OfiO Рис. 4.35. Эффективность радиального ребра треугольного профиля с отводом тепла излучением (Я=0,00, K2/KiTA0=0A0). 187
2. Ребро трапециевидного профиля с 6е = 1,6 мм: Х= 1,6/3,2=0,5. Согласно рис. 4.31 при р=0,4 и ?=0,0384 t] = 0,67. Отводимый тепловой поток составляет: ^=T]^d=0,67-77,2 = 51,6 Вт. 3. Ребро треугольного профиля 6е=0, в данном случае Л=0. Согласно рис. 4.34 при р = 0,4 и ?=0,384 rj = 0,650. Тепловой поток, отводимый ребром, равен: q=r\qid = 0,65 -77,2=50,3 Вт. Пример 4.10. Ребро с отводом тепла излучением. Конструктивный расчет. Радиальное ребро прямоугольного профиля имеет толщину в основании 6,35 мм, а внутренний диаметр 100 мм. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности 86 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,85. Температура в основании ребра равна 170°С. Ребро должно отводить излучением тепловой поток 90 Вт. Излучение происходит с одной стороны ребра в свободное пространство, поглощение излучения из окружающей среды отсутствует. Определить требуемый наружный диаметр ребра. Решение. /A = зе = 5,7.Ю-8-0,85 = 4,85-10~8 Вт/(м2-К4); К2 = 0; Kz/K^o^O; TQ = 170 + 273 = 443 К; r KiT\r\ _4,85.10-8.443*.0,052 *>— kdQ 86.6,35-Ю-3 -и,и1У4, ¦ KfT\ = 4,85-10-8.4434= 1880 Вт/м2. Отношение радиусов неизвестно. Первое приближение. Пусть наружный диаметр равен 250 мм, тогда р = = 50/125 = 0,40. Согласно данным рис. 4.24 при ?=0,0194 и р=0,40 ц =0,92. Площадь поверхности ребра с одной стороны: 5=я[12,52—б2]-10-4=12-10-2 м2. Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро, ^ = ^7405= 1880-4,12. Ю-2 =77,5 Вт. Требуемая эффективность ребра Я 90 1 г, у\ = ='^ е"> 1.0, что невозможно. ЯЫ 77,5-^ Следовательно, диаметр ребра выбран неправильно, он должен быть больше 250 мм. Второе приближение. Примем наружный диаметр ребра равным 280 мм. Теперь р=50/140,0=0,357. Согласно рис. 4.24 при ?=0,0194 и р=0,357 т]=0,885. Площадь поверхности ребра с одной стороны: 5=я[14,02—52] -Ю-4=5,38-Ю-2 м2. Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро, qid = KJ\S = 18^0-5,38. 10~2 = 101,2 Вт. Требуемая эффективность ребра а 90 ^^=Ж2=0'89' Это значение близко к т] =0,885, полученному из рис. 4.24. Следовательно, наружный диаметр ребра равен 280 мм. ОПТИМИЗАЦИЯ МАССОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАДИАЛЬНЫХ РЕБЕР Масса элемента радиального ребра трапециевидного профиля, изображенного на рис. 4.22, равна: dWf=2nybrdr, D.123) 188
где Wf — масса ребра. Подставив в это соотношение D.118), получим: dWf= 27?ГУ [- Х-\-ЦХ- 1I dr, D.124) где %=г/г0. Имея в виду, что dr=r®dl, D.124) можно записать в интегральном виде: 1/р ^=2?У°Р f \-? Я + (Я-1)б|?Л. D.125) Взяв определенный интеграл, получим: ТУ Зр2 ^=^[1+ЯB-р-р2) + рA--2р)]; если обозначить то D.125) примет вид: ^ = -3^[1 + ЯB-Р-р2) + рA-2р)], Wf = ^0r2U DЛ26) Заметим, что в случае ребра треугольного профиля, когда Я=0, выражение для ?w сводится к (я/Зр2) A +р—2р2). В случае прямоугольного ребра, когда ^=1,0, ?w принимает вид (п/р2)/A-р2). Из D.126) и выражения для ? можно получить: Wf = Y/Cl^3°r4° (Ы. D.127) Дифференцируя D.127) по р, имеем: dwf 1КгТ\г*0 (r dKw r d^\ (A]9R\ Условие минимальной] массы записывается как dWffd9 — 09 и^тогда dXw dX^ ИЛИ ^=1. D.129) ЗАДАЧИ 4.1. Определить температуру в среднем (по высоте) сечении продольного ребра прямоугольного профиля толщиной 6 мм и высотой 200 мм. Длина ребра 450 мм. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности 42 Вт/(М'°С) и степенью черноты 0,82. Температура в основании ребра 200°С. 4.2. Для условий задачи 4.1 найти тепловой поток, отводимый ребром. Рассчитать, насколько нужно изменить: а) толщину ребра, б) высоту ребра, для того чтобы увеличить отводимый тепловой поток на 15%. 4.3. С одной стороны описанного в задаче 4.1 ребра на него падает излучение плотностью 600 Вт/м2 с длиной волны, на которой поглощательная способность поверхности равна 0,78. Определить в этих условиях температуру в среднем (по высоте) сечении ребра и отводимый им тепловой поток. 4.4. Спроектировать продольное ребро прямоугольного профиля толщиной в основании 6,5 и длиной 600 мм. Ребро должно отводить тепловой поток 500 Вт. Оно изготавливается из магния [/г =155 Вт/(м-°С)] и имеет покрытие, обеспечивающее степень 189
черноты поверхности 0,88. Температура в основании ребра 230°С, параметр, учитывающий влияние излучения дкружающей среды, равен 0,1. 4.5. Сравнить тепловые потоки, отводимые четырьмя продольными ребрами. Ребра, изготовленные из стали с теплопроводностью 31,2 Вт/(м-°С), имеют покрытие с е=0,875. Высота всех ребер одинаковая C00 мм), толщина в основании также одна и та же F,5 мм). Толщина ребер у торца различная: а) 4,8 мм, б) 3,2 мм, в) 1,6 мм, г) 0,0 мм. Температура в основании ребер — 60°С. 4.6. Продольное ребро трапециевидного профиля имеет те же размеры и характеристики, что и ребро «б» в задаче 4.5 F^=3,2 мм). Начертить график зависимости отводимого ребром теплового потока от параметра, характеризующего влияние излучения из окружающего пространства. Повторить расчет при высоте ребра 225 мм. 4.7. Ребро с теми же размерами и характеристиками, что и в задаче 4.5 (исключить из условия задачи требование изменения толщины ребра у торца), необходимо спроектировать так, чтобы в нем обеспечивался постоянный градиент температуры. Вычертить профиль ребра. 4.8. Ребро с теми же размерами и характеристиками, что и в задаче 4.6 (исключить из условия задачи требование изменения толщины ребра у торца), необходимо спроектировать так, чтобы масса его была минимальной. Вычертить профиль ребра. 4.9. Радиальное ребро прямоугольного профиля изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности 24,8 Вт/(м»°С). Ребро имеет покрытие со степенью черноты 0,92. Температура в основании ребра 230°С. Наружный диаметр ребра 450, внутренний 150 мм, толщина ребра 10 мм. Определить тепловой поток, отводимый ребром при отсутствии поглощения излучения из окружающего пространства. 4.10. Определить требуемое увеличение наружного диаметра ребра, если им требуется отвести тот же тепловой поток, что и в задаче 4.9, но параметр окружающей среды равен 0,2. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 4 1. Bartas J. G. J. Heat Transfer, 1960, 82, p. 73. 2. Спэрроу Е. М., Эккерт E. Р. Труды Am. общ-ва инж.-мех. — «Теплопередача», 1962, № 1, с. 17. 3. Kreith F. Radiation Heat Transfer, International Textbook Co., 1962. 4. Mackay D. В., Leventhal E. L. Fourth Natl. Heat Transfer Conf., paper 23, Buffalo, N. Y., 1960. 5. Abramowitz M., Stegun I. A. Natl. Bureau Std., Handbook of Mathematical Functions. Appl. Math. Ser. 55, 1964. 6. Lieblein S. NASA TN-D 196, 1959. 7. Mackay D. В., Bacha С P. ASD Tech. Rept 61—30, 1961. 8. Wilkins J. E., Jr., J. Soc. Ind. Appl. Math., 1960, 8, p. 630. 9. Mackay D. B. Fourth Natl. Heat Transfer Conf., paper 24. Buffalo, N. Y„ 1960. 10. Kotan K-, Arnas O. A. Eighth Natl. Heat Transfer Conf., paper 65-HT-42, Los Angeles, Calif., 1965. il. Liu С J. Aerospace ScL, 1960, 27, p. 871. 12. Nilson E. N., Curry R. J. J. Aerospace ScL; 1960, 27, p. 146. 13. Рейнольде Дж. X. Труды Ам. общ-ва инж.-мех. — «Теплопередача», 1963, .№ 3, с. 3. 14. Doyle T. Personal communication, 1966. ГЛАВА ПЯТАЯ ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ. МЕТОДЫ АНАЛОГИЙ. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗВИТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ Введение В настоящей главе рассматриваются некоторые дополнительные, но весьма полезные вопросы, связанные с расчетом и конструированием развитых поверхностей. Излагаемый здесь материал носит менее общий характер, чем в предшествующих главах, однако он позволяет быстрее находить решение ряда задач, связанных с применением развитых поверхностей. ,190
УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕБРА Радиальное ребро прямоугольного профиля Большое число модифицированных функций Бесселя, появляющееся в уравнении для эффективности радиального ребра прямоугольного профиля, делает расчет этой эффективности чрезвычайно трудоемким. Харпер и Браун [1] предложили метод, позволяющий обойти это обстоятельство, сведя определение эффективности радиального ребра к расчету эффективности продольного ребра прямоугольного профиля. Эта цель достигалась введением в расчетные формулы поправочного коэффициента. Эффективность радиального ребра ц описывается соотношением B.38), в котором вместо истинного радиуса торца ге стоит скорректированный по Харперу — Брауну радиус гс; г0 — как и ранее, радиус основания ребра. Входящий в формулу параметр т как обычно равен У^Л/йбо, где h — коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра; k — коэффициент теплопроводности материала ребра, а бо — толщина ребра в основании: 2г0 т{г\ -г\) /, (тгс) Кг (тг0) —/С, (тгс) /г (тг0) \ I /„ {тг0) К, (тгс) + /, (тгс) К„ (тгь) Отношение радиусов в данном случае определяется как р=Го1гс, а Ьс=гс—Го. Тогда — р ?ьс (г2 о): • 1 — р* ь\-?ъ\ _ A ч-р) ьа. A-р)» 1-р • Подставляя E.2а), E.26) и E.3) в E.1), получаем: 2р тьс A + р) /, (mbcRa) Кг (mbcRb) — /С, (rnbcRg) /, (mbcRb) h (mbcRb) Kt (mbcR^ + /, (mbcRa) K, (mbcR~b) где Ra E.1) E.2a> E.26) E.3) E.4) E.5a), Вспомним теперь, что эффективность продольного ребра угольного профиля описывается формулой C.14) E.56), прямо- Ч/ th mbc Видно, что в обоих случаях — и в E.4) и в C.14) —эффективность является функцией тЪс. Разница между ними может быть учтена в виде поправки Лт). В итоге эффективность радиального ребра определится соотношением или Ат]=т]Ь—т). E.6) 191;
Выбирая отдельные значения произведения mbc и отношения радиусов р, можно по формулам E.4) и C.14) рассчитать г\ и r\L и найти тем самым Аг). Зависимость Лг] от ць и р представлена на рис. 5.1, при этом ць в свою очередь является функцией mbc. Пример 5.1. Ребро прямоугольного профиля. Расчет эффективности радиального ребра через эффективность продольного ребра. Радиальное ребро прямоугольного профиля отдает тепло в окружающую среду конвекцией, коэффициент теплоотдачи равен 195 Вт/(м2-°С). Ребро выполнено из меди, коэффициент теплопроводности которой 390 Вт/(м-°С). Наружный диаметр ребра 100 мм, внутренний 50 мм, толщина 6,35 мм. 1) Рассчитать эффективность ребра с помощью поправки к эффективности 'продольного ребра аналогичного прямоугольного профиля. Решение. Решение с помощью поправки: .0,1 0,21 \А71 1,0 ^WO^ /ЩУх V/ Ук /А 095^ *%70 Ч№ уч),ьо I I дффектибность продольного pefipa л i 'i ' i lL р^о 1Ге 0,2 W 0,6 0,8 1,0 Рис. 5.1. Поправка Аг\ к эффективности продольного ребра прямоугольного профиля, позволяющая рассчитать эффективность радиального ребра того же профиля (ц = =y]Lu-At|). -у- = 3,175.10-3 м; rc = re + ~Y = E0 + 3,175). Ю-3 = 53,18-10~3 м; / 2// \1/2 г 2-195 11/2 т=[ж) =L390-6'35-10" J =12>5м~1' Ьс = гс — г0 = E3,18 — 25) • Ю-3 = 28,18- 10-» м; mbc= 12,5.28,18-10-3 = 0,352; Согласно C.14) 25 = 0,47. Ъ = Р— гс 53,18 th mbc th 0,352 0,338 тЬп 0,352 0,352 — °'961* Согласно рис. 5.1 при р = 0,47 и х\ь = 0,961 Дт1=0,017. Отсюда с помощью E.6) находим: ^=0,961—0,017=0,944. Продольное ребро трапециевидного профиля Упрощенный, хотя и менее точный, метод расчета эффективности трапециевидного ребра получают, определяя наклон поверхности ребра и сопоставляя эффективность этого трапециевидного ребра с эффективностью продольного ребра прямоугольного профиля. Средний наклон 192
поверхности трапециевидного ребра можно охарактеризовать отношением Я.-^. E.7) где бе — толщина ребра у торца; бт — средняя толщина ребра. При малых углах наклона поверхности sin x=tg ус. Определяемые C.20а) и C.206) граничные условия для преобразованной переменной \хе и \хо могут быть еще дополнительно преобразованы и представлены в виде функции отношения Хт. Допущение о малости угла наклона поверхности трапециевидного ребра согласуется с ранее сделанным в гл. 2 допущением о том, что высота ребра намного больше его толщины. Толщина ребра б в любой точке равна удвоенному значению профильной функции Ы*). Как показано на рис. 3.4, Решая это соотношение относительно tgx, получаем: д — де Ч*— 2(х-е,/2)- Тогда при х = 6/2 -(- 8е/2, когда толщина ребра равна ее среднему значению, 18 * ~ sin х = 2 т *?-?_ т = Al^l; E.8) Значение переменной |х у торца и в основании ребра рассчитывается с помощью E.7) и E.8). У торца ребра Имея в виду, что v Г h у/а Д — [ftsinxj ' получаем: ^(^M'T^^T- E9) Подставив E.7) и. E.8) в E.9), придем к следующему соотношению: „ _о Г hb V12 1 ЬЬе[\-(Ьт-Ье)/Ь] И/я _/2А\1/2/ Ь у/2 ^ L Ь$т~*е) \ \ 2Cm-Se) } [kdmj [l-lm) Л у (Ь\т[1 -(дт/Ь) A -U] >'/г _ mfc (, Г, Sm ,111/2 ,, Л В этой формуле m = BA/fe8^I/2. В основании ребра 13-192 196
Заметим, что на рис. 3.4 Ьс — Ь]-\-8е12. Тогда „ -2( h \l2\b I Sg 1 Mi-tg«) Подставив E.7) и E.8) в E.11), получим: E.11) ^— \ A[(»»-»«)/4 Г [ 2tgx j — -(?Г (,-^Г {2* [^'lo^r-ir =^-»<2-у • <5Л2> где снова m = Bft/?8mI/2. Допущение малости угла наклона поверхности ребра также означает, что отношение бт/Ь намного меньше единицы. Это говорит о том,„ что вторым членом, стоящим в квадратных скобках под радикалом в E.10), можно пренебречь. Тогда ъ=т^-0У,/а; E.13> *=-r^r-B-U,/a. E-И) Последние два выражения используются в упрощенном методе. Если эффективность продольного ребра прямоугольного профиля толщиной 6т известна, то параметр тЬс можно определить из соотношения C.14) th mbc У тЪс ' Если значение mbc известно, то при данном лт с помощью E.13) и E.14) можно определить эффективность трапециевидного ребра* используя формулу C.25) __ ЬЧ Г Кг (ag) /д (р.0) —Ix (jXg) Кг (ц.0) 1 • Ч 2К% [ /0 (ц0) /Сж Ы + Л Ы ^о U*o) J * Уравнение C.25) можно записать в более простом виде, положив ^0 _ тЪ (С) __ 7 л/2 /&sinxN_ 2K2bc 1-Лш lZ ^ ^ 2hbc } — rnb ( i/2 Г *(*,„-*.) 1_ B-Am)!/2 1_Лш ^ ^ [_ Шс6 _|~ ^ Тогда C.25) преобразуется в mbc L /о Ы /d Ы + Л Ы ^о W J " ( ' Поправку к эффективности прямоугольного ребра получают, вычитая его эффективность, рассчитанную по C.14), из эффективности трапециевидного ребра, вычисленной по E.15) при том же значении параметра mbc. Полученная таким способом поправка обычно положительна, поскольку у трапециевидного ребра больше металла сосредоточена вблизи основания. Зависимость поправки к эффективности прямоугольного ребра от параметра mbc представлена на рис. 5.2. 194
При использовании поправок в результирующее значение эффективности вносятся две ошибки. Первая обусловлена пренебрежением членом в скобках под радикалом в уравнении E.10). В итоге значение \хе оказывается завышенным. Вторая ошибка проистекает из-за замены mbc, используемого при расчете эффективности ребра трапециевидного профиля по E.15), на тЬ при определении \ie и ц0 по E.13) и E.14). Значение тЬ не равно mbc, хотя Ьс можно выразить через Ь и X: Ьс = Ь + ^-=Ь- к При расчетах поправок, приведенных на рис. 5.2, это обстоятельство учтено. 0,071 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 А7} ^У^т~ Хт=0,2 | / I W— 0,7 0,8 _0,9 м 0,3 1,2 1,6 Рис. 5.2. Поправка Лг) к эффективности продольного ребра прямоугольного профиля, позволяющая рассчитать эффективность продольного ребра трапециевидного профиля. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПОРА И ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ГРАФИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ Радиальное ребро прямоугольного профиля Как уже отмечалось в гл. 2, наличие в B.36) и B.37) восьми модифицированных функций Бесселя и повторное определение шести из них делает ручной расчет температурного напора 8=?—tSi где t — температура ребра, a ts — температура окружающей среды, а также теплового потока чрезвычайно трудоемким и продолжительным. Чэпмен [2] разработал графический метод решения, достаточно точный для инженерных целей и позволяющий обойти указанные выше сложности. Рассмотрим модификацию уравнения B.36), представляющую собой упрощенное решение задачи относительно температурного напора: 6 __ К, (тге) /0 (тг) + Л (тге) К0 (тг) 9о I* (тг0) Кг (тге) + 1Х (тге) К0 (тг0)' E.16) 2hr* У/2 Используем три безразмерных параметра Подставляя их в E.16), получаем: 8 _*,(Ф)М?Ф) + МФ)Х.(БФ) в» Л(рФ)^1(Ф)+Л(ФК.(рФ) E.17) Параметр >| можно сразу исключить, взяв r=ret при этом g=l и уравнение E.17) примет вид: _ *|(Ф)/о(Ф) + МФ)*.(Ф) /в(рФ)^1(Ф) + Л(Ф)/С.(рФ) i3* E.18) 195
Разделив E.17) на E.18), придем к следующему выражению: е, __ *,жмф) + мф)Х.(Ф) 8 ~" К,(Ф)/.(|Ф) + А1Ф)^оAФ) E.19) Видно, что E.18) и E.19) идентичны по написанию, разница состоит лишь в том, что в E.19) вместо е0 стоит 6, а % заменяет р. Определим f (у, Op) как fu ,,л- УМ] (Ф) + Я0(Ф)Л(Ф) 11Y» W — /о (Тф) /г, (ф) + к, (уФ) /, (Ф) * E.20) Тогда мы имеем два выражения для температурного напора: тМ(Т.*). E-21: где у принимает значение р, и ¦?=/(т. Ф). где у принимает значение 5 и где р<5< 1. E.22) 1,0 1 Q J,0 1 С и7и П /l 1),Ч- п о и, 6 оМ WW i Ц^^~*^ \ \ \ \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ М \ л' рЭТЯ ч\ >ч. \ ^ \ \ k \ \ > \ , V РЧ[ л /,' v. 7^7 \ | \ц^ ^с п?\ +н Ч \\ д> \ \ Н^М' S \ \ 1 о, 16 V , \ Л \ w \l \Ч ¦Л \\ V \ Л? Г \ 1 М \1 \ \ Г ^ Ml \'Ч \ \ v \ Ч XN-J vVH xKq -НЧ Со 7 | V \ \ \ \' \ N j \ V \ г4! \. >1Ту. >у s: ^jjf тре\ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0 2 3*5 10 20 '30 40 50 100 Рис. 5.3. Относительный температурный напор в радиальном ребре прямоугольного профиля. Вспомогательный график для расчета распределения температуры в ребре [2]. На рис. 5.3 представлена диаграмма для определения f(y, i|)). Ею можно воспользоваться для быстрого определения температурного напора, при этом последовательность расчета будет следующей: 1. Теплофизические свойства материала ребра, его размеры и геометрия, температура в основании известны; рассчитываем параметры р и "ф. 2. Приняв 7 равным р, с помощью рис. 5.3 находим f(y, «ф) = =f(p, \|)). Далее с помощью E.21) можно найти температурный напор у торца ребра. 196
3. Зная 0е, с помощью E.22) можно определить температурный напор на любом радиусе г между г0 и ге, найдя предварительно по рис. 5.3 соответствующее значение f(y} i|))=jf(g, <ф), где l=r/re. Аналогичную процедуру можно проделать применительно к тепловому потоку. Исходным является уравнение B.37) ?о: :2 5 ш Г IJjj^ 00 ° I /0 (тг0) Кг (mre) + lx (mre) К0 (тг0) Заметим, что тг0 = рф, тогда Л(Ф)/С1'(рФ)-^1(Ф)/д(рФ) 1 /о(р+)/С1(Ф)+/1(Ф)/С0(рФ) E.23) После приведения # к безразмерной форме соотношение примет вид: <7о=яA— р2)й60е0'ф2ё-(р, г|)). где g(p, i|)) определяется как g (Р. Ф) _ 2Р — Ф A — Р2) /i W /С! (РФ) — /Ct (Ф) /t (РФ) /о(рФЖ1<Ф) + МФ)*о(рФ) E.24) E.25) 0/1 0,2 0,3 0,4 0,5 7;0 3^5 20 30 40 50 100 Рис. 5.4. Вспомогательный график для расчета теплового потока в радиальном ребре прямоугольного сечения [2]. Функция g"(p, я|з) приведена на рис. 5.4. Аналогичные функции и графики получены Чэпменом для продольных ребер треугольного профиля. Пример 5.2. Радиальное ребро прямоугольного профиля. Графическое определение температурного напора я теплового потока. Радиальное ребро прямоугольного профиля отводит тепло в среду с температурой 40°С. Коэффициент теплоотдачи конвекцией между ребром и окружающей средой равен 290 Вт/(м2-°С). Температура в основании ребра 95°С. Ребро изготовлено из алюминия, имеющего коэффициент теплопроводности 202 Вт/(м-°С). Наружный диаметр ребра 100 мм, внутренний 50 мм, толщина ребра 3,2 мм. Определить с помощью функций Чэпмена: 1) температуру на среднем радиусе и 2) тепловой поток, отводимый ребром. 197
Решение. 1. Температура на среднем радиусе 25 Р="Т-^^п" = 0.5; rej ( 2h \ i/2_ г 2-290 1/2 = 29,9 м- 202-3,2-Ю-3 1|)==тГе = 29,9-50-10-3=1,5. Согласно рис. 5.3 при я|э = 1,5 и р=0,5 /(р, \|э) =0,72. Теперь с помощью E.21) рассчитываем 6е: в. = бо/(р, *) = (95—40) •0,72=39,6°С. Далее г _ 0,5 (ге-г0) + г0 _0,5 E0-25)+ 25 * /V, гР = 0,75. 50 Согласно рис. 5.3 при г|>=1,5 и g = 0,75 f(g, гр) =0,92. С помощью E.22) рассчитываем 0 на среднем радиусе: 9g ^.39,6 6= / С1Г~~0>92=4 ' Отсюда температура ребра на среднем радиусе приблизительно равна: /=/в+0=4О+43 = 8Э°С. 2. Тепловой поток, отводимый ребром. Отводимый ребром тепловой поток определяется с помощью рис. 5.4, согласно которому при г|)=1,5 и р=0,5 g(p, of) =0,80. Теперь можно рассчитать q по E.24): $ = яA—p2)^6000i|?2g(p, -ф) =лA—0,25) -202-3,2.10~3(95—40) -1,52-0,80 = 151 Вт. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СТАКАН Задача теплового расчета цилиндрической оболочки с крышкой (цилиндрического стакана) при отводе тепла конвекцией представляет собой интересный ч практически важный случай применения методов расчета развитых поверхностей, поскольку такую форму имеют тепло- отводящие корпуса некоторых типов транзисторов [3]. Тепло в таких х=0 п ТТТТТ^у) И И И И' Lx=t Равномерный подвод теплоты Рис. 5.5. Система координат для анализа цилиндрического стакана (корпус транзистора). р\ * 1 *4- j 4-^— i 1 j Я- } 1 ( [ж 2л ге . ^ н "с 1 i f \ н 1 i И, + ' f У транзисторах отводится главным образом по корпусу и лишь в незначительной мере по выводам. Отвод тепла через базу предотвращается малотеплопроводной изолирующей подкладкой, расположенной непосредственно под элементами спая. Виды корпуса транзистора сбоку и сверху показаны на рис. 5.5, там же приведена используемая система координат. Уравнения стационарного теплового баланса для изображенных на рис. 5.5 элементов 198
конструкции записываются следующим образом. Для боковой стенки корпуса *L_mf)=0; E.26) Для крышки корпуса В E.26) и E.27) через 6=/i—ts обозначен температурный напор, a m=(hjkbI12. Общие решения E.26) и E.27) записываются соответственно как B=Ciemx + C2e-mx; E.28) е=С3/о (тг) + С,Ко (тг), E.29) где произвольные постоянные С\—С4 определяются из граничных условий: dB 1(Г = 0 = ^. dr = 0; lr=o 6(х=0) = ее; 4М =^| . 4 ' е' dx \ dr \r=r \х=о I e В результате получаем следующие частные решения E.26) и E.27) соответственно: fu у\ — 9о {°h m* + ^ (т/У)/7о (mr^Ish m*> f5 <VYb 0 W Chm6 + [/a (mre)/I0 (mre)] sh mb * W-°^ e (r) = ,l%[{v(mr\//;(rg);i ¦ s, E.3i) v 7 ch mb + [/j (mre)//Q (mre)] sh mb y J где 0o — температурный напор при *=&. Действительный тепловой поток, отводимый боковой поверхностью корпуса, запишется как ь q = 2izreh[b(x)dx. о Подставляя в это соотношение Ь(х) из E.30) и интегрируя, получаем: _ 2тсге/г90 {sh mb + [Л (mre)//0 (mre)] [(ch mb) ~ 1]} .g ^\ Ч т {chmb + [1г (mre)/70 (mre)] sh mb} ' \ • / Если разделить действительно отводимый тепловой поток на тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее «ребро» (боковая стенка) qid=2nrebhQ0i то получим выражение для эффективности боковой стенки: _ {sh mb + [Л (mre)//0 (mre)] [(chmb) — 1]} ,r -, ls mb {ch m& + [f1 (mre)/I0 (mre)} sh mb} ' \o.oo) Аналогичным путем получается формула для эффективности крышки корпуса. Действительно отводимый крышкой тепловой поток равен: dB е dr 199
Подставляя в эту формулу производную, полученнузр из E-31), находим: 2'izkredQ0mI1 (тге) /о (nre) (ch mb + Ui (mre)/f0 (mre)} sh mb} * E.34) Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее радиальное ребро, Тогда эффективность крышки корпуса будет определяться следующим выражением: 2 [/, (mre)/I0(mre)} 'mre{chmb+ [/г (mre)//0 (mre)\ shmb}' E.35) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 pi 1 N тге=0,1 ^0,2 0/5 А* ль к0' 1 тге-- -1,0 mb J На рис. 5.6 и 5.7 представлены диаграммы для расчета эффективности боковой стенки и крышки корпуса в функции параметров mb и тге. 1,0 0,8 0,6 W 0,?, Г\ тге одЧ =го" %1 1,2 ^* f .0,5 mi? О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,1 1,4 1,6 0,4 0,8 1,2 1,6 Рис. 5.6. Эффективность цилиндрической Рис. 5.7. Эффективность круглой крышки стенки корпуса транзистора. корпуса транзистора. Пример 5.3. Цилиндрическая оболочка с крышкой. Отвод тепла от транзистора. Транзистор выделяет 400 мВт тепла. Диаметр корпуса 8,25 мм, высота 9,0 мм, материал корпуса — нержавеющая сталь, ?=19,2 Вт/(м-°С), толщина стенки 0,25 мм. Транзистор размещается в воздушном канале и обдувается воздухом со скоростью, обеспечивающей коэффициент теплоотдачи 28,3 Вт/(м2-°С). Температура окружающего воздуха 35°С. Какова будет температура металла в основании цилиндрической части корпуса? Решение. Площади теплоотдающих поверхностей: Крышка корпуса: 5=яг2е==л;-4,125М0-6 = 53,4-10-6 м2. Боковая стенка 5=2яге6=2я-4,125-10-3-9-10-3=2,34.10~4 м2. Параметр т: / h \1/2_Л 28»3 11/2 т==\Ж) ~ J 19,2.0,25-10-3 J =76,8 м- ; тге = 76,8-4,125- 10~3 = 0,317; т& = 76,8.9.10-3 = 0,692. Эффективность: Крышка: т]=0,727 из рис. 5.7. или E.35). 200
Боковая стенка: г|=0,83б из рис. 6.6 или E.33). Суммарная теплоотдающая поверхность, скорректированная на значение эффек« тивности, т15=0,727.53,4-10-в+0,835-2,34-10-4 = 2,34-10-4 м2. Температурный напор в основании корпуса 400-Ю-3 _?_.— . 61,9°С. *°~ Ят]5 28,3-2,34.10-* Температура в основании корпуса /0=e0-f4==35-f 61,9^97°С РЕБРО С НЕОДНОРОДНЫМ ПО ВЫСОТЕ ПОДВОДОМ ТЕПЛА Введение В гл. 1 было показано, что подвод тепла к продольному ребру прямоугольного профиля изменяется от торца к основанию. Эта неравномерность обусловлена прежде всего изменением местных температурных напоров 6=4—t и тепловых потоков от окружающей среды к ребру. В гл. 3 и 4 анализ проводился с учетом изменения местных коэффициентов теплоотдачи конвекцией и излучением и определялось их влияние на суммарный тепловой поток. В данном параграфе мы не касаемся ни одного из этих вопросов. х=о х2=о х3=о xt=o х„_7=0 х„=0 Рис. 5.8. Обозначение элементов и системы координат для анализа продольного вебпа прямоугольного профиля с постоянным в пределах отдельных участков, но различающимся между участками подводом тепла. Рассмотрим изображенный на рис. 5.8 элемент печатной схемы состоящий из пластмассовой подложки, выполненной заодно с панелью В различных местах по высоте подложки нанесены медные электрические сопротивления. Далее примем, что подложка может быть разделена на элементы одинаковой или неодинаковой высоты и что тепловыделение в этих элементах постоянно во времени и может также быть как одинаковым, так и неодинаковым. Поскольку высота элементов и теп- 201
ловыделение в них не изменяются по какому-либо определенному закону с высотой ребра, то их можно считать дискретными. Если тепло отводится конвекцией с определенным коэффициентом теплоотдачи, то можно себе представить ситуации, когда тепловой поток будет направлен либо к основанию ребра, либо к его торцу, или в обоих направлениях сразу. Ряд пластмасс, выбранных в качестве материала подложек для нанесения на них медных электрических схем по стоимостным соображениям или вследствие их малой массы, а также специальных технологических требований, связанных с прессовкой изделий, имеют низкую температуру размягчения. В таких случаях желательно определить, сможет ли тепло, выделяющееся в схеме на определенной высоте ребра, поднять температуру подложки выше температуры размягчения. Продольное ребро прямоугольного профиля с дискретным, неравномерным теплоподводом Этот тип ребра был проанализирован в работе Смита [4], причем анализ ограничивался случаем отсутствия конвективного теплообмена или теплообмена излучением с окружающей средой. На рис. 5.8 q'i представляет собой тепловой поток, поступающий в ребро и отнесенный к единице площади i-й поверхности с одной стороны ребра, на которой этот теплоподвод происходит. Поскольку к различным элементарным площадкам подводятся разные тепловые потоки, то в целом тепловая нагрузка ребра оказывается неравномерной. Дифференциальное уравнение для профиля температуры в пределах рассматриваемой f-й поверхности может быть получено из баланса энергии элемента dxi. Если принять тепловой поток стационарным и однонаправленным, то разность между потоками тепла, поступающими в элемент теплопроводностью и покидающими его тем же путем, запишется как — dq=kA-^dxt, где dq — отрицательное, так как было принято, что направленный к основанию результирующий тепловой поток убывает в направлении положительного х. Указанный тепловой поток можно приравнять к тепловому потоку, поступающему в ребро: ~~ kA ~d^ dxi= 2g'iL dXi' Площадь поперечного сечения ребра равна A=6oL. Тогда дифференциальное уравнение, описывающее профиль температуры в пределах i-я площадки, может быть представлено в следующем виде: dx2; kbn -0. E.36) Дважды интегрируя это уравнение, находим его общее решение: t+<Lg±+Ctxt+ct=o-\ Уравнение E.37) представляет собой общее решение E.36). Произвольные постоянные С\ и С2 определяются из граничных условий: при Xi=0 t=ii-\; E.38а) при Xi—bi t—ti. E.386) 202
Подставив E.38а) в E.37), получим: Подставив в E.37) это значение постоянной С2 и условие E.386) % получим соотношение для определения постоянной С\: r _ {tj — tj-i) q'jbj Таким образом, частное решение E.36) имеет вид: ' = ^-. + ТГ('«-'*-.) + 2^-F,--«,). E-39) Видно, что при Xi=Q U=ti-.i, а при Xi=bi t=U, как и должно быть. Видно также, что E.39) дает температуру в любой точке Xi i-u площадки, если только известны температуры ^-i и ti на ее границах. Температуры на концах ребра могут быть найдены из интегрального теплового баланса. В начале i-й площадки тепловой поток через подложку равен сумме тепловых потоков, подводимых ко всем площадкам, расположенным за рассматриваемым сечением: Поскольку A = bQL9 то это выражение можно записать в виде :1=оЫЕ^- E.40) "*1 \Х{ = Взяв производную от t в E.39), определив ее значение при л:г=0 и подставив его в E.40), получим: E'A или '«=',-. q'ib\i_2bi ;-$]?'A- E-41) Уравнение E.41) позволяет рассчитать по известной одной граничной температуре площадки — вторую. После того как с помощью E.41) определены граничные температуры, по E.39) рассчитывается профиль температуры в ребре. Если, кроме того, имеется отвод тепла конвекцией или излучением, то задача может решаться методом последовательных приближений. Сначала находим профиль температур для случая отсутствия теплоотдачи конвекцией или излучением. Потом ищется первое приближение (оценка) распределения температур и теплоподвода по площадкам с учетом конвекции или излучения. Затем расчеты повторяются, пока результаты последовательных приближений не дадут совпадающие значения. 203
Пример 5.4. Продольное ребро прямоугольного профиля с дискретным, неравномерным теплолодводом. Печатная схема с пластмассовой подложкой, аналогичная изображенной на рис. 5.8, установлена в закрытом корпусе. При работе цепи на отдельных площадках подложки наблюдается дискретное выделение тепла. Подложку изготовлена из пластмассы с допустимой рабочей температурой (температурой размягчения) 125°С и коэффициентом теплопроводности ? = 0,35 Вт/(м«°С). Длина подложки 75 мм, высота 125 мм, толщина 3 мм. Подложка разделена на пять неравных площадок. Значение теплоподвода к каждой из этих площадок приведено в следующей таблице. i 1 2 3 4 5 b,, мм 25 37,5 25 / 18,75 18,75 q'. (на каждую сторону), Вт/ма 6,2 4,65 4,65 3,85 3,1 Если поддерживать температуру шасси (основания ребра) равной 70°С, то: 1) будет ли при этом превышен допустимый максимум рабочей температуры подложки? 2) если будет, то в каком сечении? Решение. A. Максимальная рабочая температура. Прежде всего необходимо иайти температуры на концах площадок. Эта операция осуществляется с помощью E.41) путем последовательного перехода от площадки к площадке. Результаты расчетов яллюстрируются табл. 5.1. Заметим, что допустимый уровень температур оказывается превзойденным где-то в пределах третьей площадки. Таблица 5.1 i 1 2 3 4 5 V °с 70 93,6 117,3 126,2 129,5 Ь., мм 25 37,5 25 18,75 18,75 *'ibi> Вт/м 0,155 0,174 0,116 0,072 0,058 i'Pv мВт 3,88 6,52 2,90 1,35 1,09 и •г, -1* 3,7 6,2 2,8 1,3 1,0 Вт/м •о** СИ1 0,575 0,420 0,246 0,130 0,058 2Ь^ мм 50 75 50 37,5 37,5 •о** Ъ- 546 399 234 123 55 о V 27,3 29,9 11,7 4,6 2,1 *„ °с i 93,6 117,3 126,2 129,5 130,6 2Ь. Примечание. t. = t. , — r-~ q' ;b2; ¦+- ~- V Q';b;*> ZT~ == а о- о 10-3 : 950°C/Bt. 2. Координата сечения, в котором достигается максимально допустимая температура. Сечение, в котором температура подложки достигает 125°С, может быть найдена графически, построением профиля температур в ребре по точкам и определением координаты сечения, в котором профиль достигает 125°С. Расчеты соответствующих температур ведется по E.39). Результаты такого расчета приведены в табл. 5.2. Искомое сечение легко иайти непосредственно из E.39) < = U-.+ -fr (h -ti-,) + ¦Зщ- (Ь[-*,), если решить его относительно x-v: q'iX2i q'iXjbj W. ». bi 1 (/;-г,--,)+ (<-'«-,) =0, 204
Таблица 5.2 Расчет профиля температур в подложке на основе данных по температурам на границах площадок i 1 2 3 4 5 6j, ММ 25 37,5 25 18,75 18,75 q*i% Вт/м* 6,2 4,65 4,65 3,85 3,1 q'ilkbo» °С/м* 5900 4420 4420 3660 2940 — = 950 °С/Вт i 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 r/-i'°c 70 70 70 70 93,6 93,6 93,6 93,6 117,3 117,3 117,3 117,3 126,2 126,2 126,2 126,2 129,5 129,5 129,5 129,5 tv °с 93,6 93,6 93,6 93,6 117,3 117,3 117,3 117,3 126,2 126,2 126,2 126,2 129,5 129,5 129,5 129,5 130,6 130,6 130,6 130,6 v-^-, 23,6 23,6 23,6 23,6 23,7 23,7 23,7 23,7 8,9 8,9 8,9 8,9 3,3 3,3 3,3 3,3 1,1 1.1 1,1 1,1 X.t MM 5 10 15 20 7,5 15 22,5 30 5 10 15 20 3,75 7,50 11,25 15,00 3,75 7,50 11,25 15,00 xtlbt 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 0,2 0,4 0,6 0,8 о о ьГ 7 4,72 9,44 14,16 18,88 4,74 9,48 14,22 18,96 1,78 3,56 5,34 7,12 0,66 1,32 1,98 2,64 0,22 0,44 0,66 0,88 a 20 15 10 5 30,0 22,5 15,0 7,5 20 15 10 5 15,00 11,25 7,50 3,75 15,00 11,25 7,50 3,75 4*" L 100 150 150 100 225 337 337 225 100 150 150 100 56,3 84,4 84,4 56,3 56,3 84,4 84,4 56,3 i •US** 0,59 0,89 0,89 0,59 1,00 1,49 1,49 1,00 0,44 0,66 0,66 0,44 0,20 0,31 0,31 0,20 0,17 0,25 0,25 0,17 Г, eC 75,3 80,3 85,0 89,4 99,3 104,6 109,3 113,6 119,5 121,5 123,3 124,9 127,1 127,8 128,5 129,0 129,9 130,2 130,4 130,5 950-4,65»x2i— 950-0,155*;— 25.10-' xt> + A25 — 117,3) =0 4420x2r- — 503* f + 7,7 = 0, Jt<=0,0182 м. Таким образом, температура 125°C достигается в сечении х=25+37,5+18,2 = = 80,7 мм, т. е. на расстоянии 80,7 мм от основания ребра. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕБРА Продольное ребро прямоугольного профиля Дюсинбер [5.5] показал, что при значениях эффективности, больших 0,75, достаточно точное представление B.13) может быть получено из разложения th (mb) в бесконечный ряд: 205
Если пренебречь все^ми членами ряда, содержащими mb в степени больше 3, то выражение для эффективности запишется следующим образом: 1 . . mb— -о" (mbK _ th mb 3 v ' mb mb Умножив и разделив это выражение на l-f-1/3 (mbJ, получим: Ч = 1 *= -у • E.42) \+ — (mbJ l+-^-(mbJ Эта формула справедлива при mb<l,0, что соответствует т]>0,75. Другие профили Дюсинбер подобрал также аппроксимирующие функции к кривым Гарднера [6] для продольного ребра треугольного профиля, радиального ребра прямоугольного профиля и конического шипа. Для продольного ребра треугольного профиля Ч= i . E.43) l+~2-(m6J Для радиального ребра прямоугольного профиля ¦П = р-^ =. E.44) l + -g-(m6)*Kl/p Для конического шипа ^•1 + 0,15 И)" <55> ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ Введение В работе Крауса [7] предложена электротепловая аналогия для: развитых поверхностей. При этом специфически распределенный тепловой поток в ребре был заменен электрической цепью с аналогично распределенными параметрами. Эта цепь называется линией передачи. В стационарном режиме ребро может быть описано через полное сопротивление (импеданс) передающего конца. Под ним понимается сопротивление, которое «видит» воображаемый наблюдатель, находящийся в основании ребра. Характеристики ребра могут быть полностью описаны без использования понятия эффективности. Фактически с помощью модели линии передачи может быть разработан другой метод определения эффективности ребра. Уравнения линии передачи При анализе линия передачи может быть представлена как совокупность последовательно расположенных Т-образных участков с сосредоточенными параметрами, длина каждого такого участка dxl. Линия 1 Длина линии передачи является аналогом высоты ребра. 206
передачи в целом изображена на рис. 5.9,а, а ее единичный изолированный элемент показан на рис. 5.9,6. В стационарных условиях линия охарактеризуется двумя распределенными параметрами: сопротивлением Я в омах на единицу длины и проводимостью G в обратных омах, также на единицу длины. Согласно принятой в модели линии передачи терминологии сосредоточенные сопротивления и проводимости называются соответственно последовательно включенным полным сопротивлением и шунтирующей проводимостью. Физически их можно представить в виде металлических проводников с конечным электрическим сопротивлением и изоляторов между этими проводниками, также имеющих конечное сопротивление. Я—е Is г V 1 Ах J Z 1 fLLT J z L \_2_] k |~y | 1 J I b Ax ,| Ax Ax ^ "! i t | j i i i ^* i i * J Z_ L 2 JlLJUlL LLj i2 Г -• Ur iimHilfn" [Y 1 1 Y 1 I Y 1 vJ T T T 1 rr I a) Ax I i V 1 1 z 2 Y j L ¦*ё« Z 1 2 —*- i \ V+^Дх OX f 0 Рис. 5.9. <a — электрическая цепь, изображающая линию передачи. Потенциал приемного конца принят равным нулю. Приложенное напряжение к линии равно Vs, оно отличается от напряжения источника Е на падение напряжения на внутреннем сопротивлении; б — элемент линии передачи. Падение напряжения и ток на любом участке линии передачи, возникающие при подключении ее передающего конца к источнику напряжения, можно определить, рассмотрев элемент цепи, изображенный на рис. 5.9,6. Такой анализ приводит к телеграфным уравнениям, описывающим изменение напряжения и тока вследствие изменения расстояния вдоль линии передачи: dx' d4 - = ZYV; dx' =ZYIy E.46) E.47) где Z — последовательно включаемое полное сопротивление J?, а У — шунтирующая проводимость G. Отметим подобие уравнения E.46) и дифференциального уравнения теплопроводности для продольного ребра прямоугольного профиля B.7): —-m2e = 0. 207
Из сопоставления E.46) и B.7) видна аналогия между напряжением % линии передачи и температурным напором в ребре, в то же время параметр т2 является аналогом ZY. Решения E.46) и E.47) записываются соответственно как V^e^ + Cj—*; E.48) 1 = Сгеах + САе~ах, E.49) где а — согласно терминологии модели линии передачи константа распространения (а = |/^У). Константу распространения часто рассматривают как сумму констант ослабления и фазового сдвига. Применительно к аналогии между ребром и линией передачи сдвиг фаз, обычно используемый при анализе задач переменного тока, не имеет физического смысла. Поэтому константа распространения в нашем случае будет рассматриваться как характеристика ослабления линии. Произвольные постоянные в E.48) и E.49) рассчитываются из граничных условий на приемном конце линии. При х=0 напряжение и ток должны принять значения Vr и IR. Следовательно, при х=0 E.48) и E.49) сводятся к V* = Ci + C.; E.50) IR=C3 + C<. E.51) Из рис. 5.9,6 видно, что изменение напряжения в зависимости от расстояния вдоль линии передачи должно равняться падению напряжения на элементе dx: Изменение тока с расстоянием связано с его «утечками» через проводимость: Для того чтобы завершить операцию по определению констант, подставим E.48) и E.49) в соотношения E.52) и E.53), проведя предварительно необходимое дифференцирование: (аСхе*х - аС2е~ах) = Z (С3еах + С,е~ах); E.54) (аСгеах - аС,е~ах) = У (Cteax + С2е'ах). E.55) Если E.54) разделить на a, a E.55) на У, то придем к следующим соотношениям: Слеах - С2е~ах = 4 с*е** +-Т С*е~аХ; E-56) Cle«x + Cte-«x = -f C3ea*--f С^-«х. E.57) Учитывая, что Z/a = Z/(ZY)U2 = (Z/YI'2, а а/ У = (ZY)^2/Y = — (Z/YI12, и складывая уравнения E.56) и E.57), получаем: 2Cleax=2\fZjYCteax. Соответственно, вычитая E.57) из E.56), имеем: -2С2е~ах = 2 УЩ САе~*х> 208
откуда следует, что C2=_yz7FC4=-Z0C4; E.58) C1=KZ7?C3 = Z0C3, E.59) где через Z0 обозначено характеристическое полное сопротивление (импеданс) линии, Z0 = l/Z/y. Подставляя E.58) и E.59) в E.50) и E.51), приходим к следующим соотношениям: VR=ZoC3—Z*Ck\ E.60) /л=Сз+С4. E.61) Умножая E.61) на Zl0 и складывая произведение с E.60), получаем: vR + zjR vR iR С3= щ =_+_. E.62) Аналогичным образом, вычитая E.60) из E.61), получаем: С.—*^*—?-?• E-63) Уравнения E.62) и E.63) в сочетании с E.58) и E.59) дают: vR z0/^ Ui—" + "' _v^_ _v_p °2~~ 2 2 ' При возвращении к E.48) и E.49) видно, что частные решения телеграфных уравнений получаются следующими: у^+Ще-^-Ще—; E.64) Раскрыв скобки, выразим V и I через гиперболические функции (синус и косинус). При этом E.64) примет вид: I е*х е—ах \ + Zo!R ( 2 j =F* Ch aX + ZqIR Sh aX' ^5'66^ а уравнение E.65) , ~~ 2 * 2Z0 * +2Z/ "^T — *V 2 / + +lt [ 2^ J=//?chajc+ -f shajc. E.67) На передающем конце, где х=Ь, полное входное сопротивление определится следующей функцией (при разомкнутой линии, /я=0): 14—192 209
где Zs — полное сопротивление линии, «подсоединенное» к выходным клеммам генератора, т. е. при рассмотрении режимов работы генератора линия в целом может быть заменена этим полным входным сопротивлением. Это положено в основу конструирования эквивалентной электротепловой цепи. Электротепловая аналогия В предшествующем разделе была показана аналогия уравнений, вписывающих изменения напряжения в линии передачи и температурного напора в продольном ребре прямоугольного профиля. Рассмотрим теперь закон Фурье, записанный через конечные разности для элемента ребра единичной длины и высотой Ах: q=kK~. E.69) Уравнение, описывающее теплоотдачу конвекцией с поверхности элемента ребра единичной длины и высотой Ах, имеет вид: q=2hQAx. E.70) Уравнения E.69) и E.70) можно сравнить с формулами закона Ома для тока, проходящего через сопротивление и через проводимость I=YV. E.72) Сравнение показывает, что электрический ток / является аналогом теплового потока q при передаче тепла как теплопроводностью, так и конвекцией. В обоих случаях напряжение или потенциал У является аналогом температурного перепада At\ в случае теплопроводности или температурного напора 9 при конвективной теплоотдаче. И, наконец, термическое сопротивление единицы длины ребра в случае теплопроводности может рассматриваться в качестве аналога электрического сопротивления l~~ kd0> а термическая проводимость единицы длины ребра при конвективной теплоотдаче служит аналогом электрической проводимости, Вт/(м-°С), Yt=2h. Дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра может быть записано через термическое сопротивление и проводимость: -0—2,7,6 = 0. E.73) Уравнение E.73), описывающее распределение температурного напора в ребре, и E.46), описывающее распределение напряжения в линии передачи, идентичны по форме. Поэтому они будут иметь идентичные общие решения. Если граничные условия этих уравнений аналогичны, то указанные уравнения будут иметь идентичные частные решения. Поэтому при отсутствии теплоотдачи с торца (qR=0) температурный напор в любой точке ребра будет определяться формулой e=e*fihatx. E.74) 210
Тепловой поток в любой точке ребра запишется как E.75) а полное термическое сопротивление „передающего конца" будет иметь вид: 7 Zot st thatb E.76) В E.74) — E.76) at — коэффициент ослабления для ребра или же константа распространения в рассматриваемой стационарной задаче: Л/2 (W''=-S- 2Л \1/2 В случае ребра прямоугольного профиля 6о=6, a Zot — характеристическое полное сопротивление (импеданс) ребра — запишется следующим образом, м-°С/Вт: V — (Il\1/2 — ( 1 У/2 Yt) \2hkb) • Все вышесказанное может быть применено к конструкции в целом, состоящей из ребра и повторяющегося участка основной поверхности, на которой оно установлено. Эта конструкция изображена на рис. 5.10,а. Тепло передается от несущей пластины к окружающей среде *) Рис. 5.10. а — повторяющийся элемент сребренной стенки с ребром; б — электрический аналог ребра в виде линии передачи; в—аналог в виде полного сопротивления передающего конца линии передачи. конвекцией (т. е. через проводимость) hSb- Эквивалентная линия передачи (ребро) включена параллельно сопротивлению несущей пластины, обозначенному Zb=i?&=l/A5b (рис. 5.10,6). И, наконец, сама линия передачи может быть заменена полным сопротивлением передающего конца Zst (рис. 5.10,в). В простоте такого аналога легко можно убедиться. Он не требует расчетов эффективности или площади поверхности ребра. Расчеты температурного напора и теплового потока могут быть выполнены быстро и точно с помощью E.74) — E.76) и рис. 5.11, на котором представлена зависимость полного термического сопротивления пе- 14* 211
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 375 Произведение коэффициента ослабления на длину Jh ребра atb=^J—b Рис. 5.11. Полное сопротивление (импеданс) передающего конца (продольное ребро прямоугольного профиля). редающего конца от произведения коэффициента ослабления на длину ребра для различных значений характеристического термического сопротивления. Пример 5.5. Продольное ребро прямоугольного профиля. Расчет с помощью электротепловой аналогии. Продольное ребро прямоугольного профиля отводит тепло в окружающую среду, имеющую температуру 50°С. Коэффициент теплоотдачи равен 90 Вт/(хМ2-°С). Температура в основании ребра 130°С. Ребро изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности k=41,4 Вт/(м-°С). Высота ребра 76 мм, длина 300 мм, толщина 6,35 мм. Определить температуру торца ребра и тепловой поток через основание, пользуясь: 1) аналогией с линией передачи, 2) прямым методом, изложенным в гл. 2. 212
Решение. 1. Решение методом аналогии: 1 7 (-i-V/2 Lat - 1 2Ш0 2.90-41,4.6,35-Ю-3 -11/2 = 0,145 м.°С/Вт; / 2А V/2 Г 2.90 11/2 **=\Ж) "~|_41,4.б,з5.ю-3 J =26»2m1; а^=26,2.76.10-3 = 2,0. Согласно рис. 5.11 Zs*=0,495°C/Bt. Тогда при я=6 = 76 мм из E.74) получим: atx=atb=2,0\ ch а*6 = 3,7622; Bs ^130 — 50 bR= chatb 3,7622 = 21'3°С- Температура торца ребра ^я=ен+Гз = 21,3+50=71,3°С. Тепловой поток на единицу длины рассчитывается с помощью E.75). При х= = 6 = 76 мм shatb = 3,6269, 9Я 21,3 q= 7 sho^fr — q iir -3,6262 = 533 Вт/м. Тепловой поток в основании ребра qo=qL = 533 -0,3 =160 Вт. 2. Решение по методике гл. 2: т=(-т*—i =с^ = 26,2 м-1. / 2А \1/2 У вершины ребра Ь = 76 мм, тогда из B.9) 60ch/ws_ 60 тЬ = 26,2-76. Ю-3 = 2,0; ch mb = 3,7622; 130 — 50 3,7622 = 21,3°С. : Тепловой поток q0 определяется по B.11): ^0=^6oLme0thm6=41,4-6,35-10-3-0,3-2,62-80th 2,0= 165-0,964= 160 Вт. Значения 0 и q0y полученные двумя методами, совпадают. Определение эффективности ребра с помощью электротепловой аналогии Анализ ребра методами линии передачи не требует расчетов эффективности ребра. Однако, как уже отмечалось ранее, с помощью линии передачи в случае необходимости эффективность может быть найдена. Эффективность ребра определялась как отношение теплового потока, действительно отведенного ребром, к тепловому потоку, который отвело бы такое же идеально проводящее ребро с однородной температурой, равной температуре в основании ребра. В анализе с помощью линии передачи эффективность будет определяться как отношение действительной силы тока в передающей точке к силе тока в этой точке при нулевом полном сопротивлении (импедансе). Это определение относится к случаю линии передачи, образующей разомкнутый электрический контур, и к ребру, в котором отсутствует теплоотдача с торца (принятое допущение), хотя если исходить из приведенного выше определения эффективности, указанные ограничивающие допущения не 213
являются необходимыми. Следовательно, -весь ток, поступающий в линию передачи, стекает на землю, что приводит ,к очевидному заключению, что тепловой поток, подводимый к основанию ребра, равен тепловому потоку, отводимому с его поверхности. Рассмотрим ребро с нулевым полным термическим сопротвлением (Zt=0). Это условие аналогично линии передачи с нулевым электрическим сопротивлением (Z=0). В этом случае линия (может быть представлена набором элементарных проводимостей, включенных параллельно. Суммарная проводимость на единицу длины составит: Y=2hb, Температурный напор в любой точке ребра равен температурному напору в передающей точке. Отсюда тепловой поток в передающей точке равен: qs=YQs=2hbQs. Действительный тепловой поток, отводимый с поверхности ребра, определяется E.75), если в него подставить х=Ь: qs = y-7shatb. Согласно определению эффективность записывается следующим образом: Величина 6^ может быть найдена из E.74) при х = Ь: # ch a.tb ' Тогда E.77) принимает вид: sh atb _ th atb 71 — ZQt Bhb) ch *tb "*" Zot Bhb) С учетом того, что z -( х V/2 *•* \2hkd0 J и как следствие Z^^)={-^)XI\2h)b=(^-Y2b = atb, бра: E.78) получаем окончательное выражение, для эффективности ребра: th щЬ 73 = -щЬ~' ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ НА ОДИНОЧНЫХ ШИПАХ Хэли и Вествотер [8] использовали предложенную Уилкинсом [9] методику для оптимизации шипа, отводящего тепло к кипящей жидкости. Как показано в гл. 4, в процессе оптимизации определяются решения для q{x) и /,(#), а также функции профиля /г(*), удовлетворяющие уравнениям теплопроводности в шипе и теплоотдачи от него. В случае цилиндрического шипа радиусом г эти два уравнения записываются следующим образом: dq^k{t)^r2-~dx\ . E.79) dq = 2r,rh(t)dx. ? E.80) 214
В E.79) учитывается зависимость коэффициента теплопроводности -от температуры. В E.80) h(t)—заданная функция местной плотности теплового потока, отводимого ребром, от температурного напора; она имеет вид: h{t)=Kn{t-ts)n, E.81) где Кп — постоянная; п — для шипа может принимать любые значения, кроме—1/4 и —3/2*. Функции q(х), t(x) и f2(x) должны удовлетворять следующим граничным условиям в сечении х=0, т. е. у торца, и в сечении х=Ь — в основании ребра: при х = 0 # = 0; при x = b q = qQ; при x — b t = tQ. Кроме того, искомое функции должны обеспечивать минимизацию объема шипа: ь V=^r*dx. E.82) 6 Хэли и Вествотер использовали в своем анализе преобразования Уилкинса t u = U~l f k(t)h*(t)dt, E.83) где U0 определяется соотношением U Ub= ^k(t)ff(t)dt, E.84) для получения геометрических характеристик оптимального шипа: и •* = (-25&гI/3| Ht)h*(t)u-2!5(t)dt; E.85) (^I/3»,/5(^W, E-86) t / 2Л N лри этом q=q0u*l*D). E.87) Уравнениями E.85) — E.87) описываются форма шипа и значения местных тепловых потоков при любом наборе q0, t0, ts и функций k(i) и h(l). Решив E.85) и E.86) совместно с E.81), авторы [8] получили следующие соотношения для размеров оптимального шипа: ч 20 DА+ !)**</. Bл+ 3) »**»„(*,-*,)"»-> t — t. f X \5/Bn+3) 1/3 U -1. \ь 11/3 I X \(9rt+l)/Brt+3) E.88) E.89) H^t-^M (Я E-90) 1 Указанные ограничения введены из чисто математических, а не физических -соображений. 215
Из полученных формул видно, что линейный температурный профиль и параболическая форма оптимального шипа по Шмидту [10] реализуются лишь при постоянном коэффициенте теплоотдачи, т.е. при /1=1. Если на поверхности ребра одновременно существуют несколько режимов кипения, например пузырьковый и пленочный, то показатель степени п и константа Кп в E.81) не будут оставаться неизменными. Хэли и Вествотер использовали при расчетах ребер кривые кипения на изотермических поверхностях для воды, изопропилового спирта и фреона-113. Эти кривые представлены на рис. 5.12. Они построены на основании опытных данных Хэли [11] для фреона-113, Данскуса и Вествотера [12] и Брина и Вество- тера [13] для изопропилового спирта, а также Браунлича [14] для воды. С помощью кривых кипения определялось произведение h(t—/s), которое равно функции /*(/), используемой в E.83) и !E.84). Параметры оптимального шипа находились посредством численного расчета определенного интеграла E.84) по правилу Симпсона с одновременным интегрированием E.83) и E.85) методом Рунге — Кутта четвертого порядка. На рис. 5.13 приведена фотография, снятая во время работы оптимального шипа при максимальной нагрузке во фреоне-113. Она свидетельствует о целесообразности применения шипов для отвода тепла в кипящую жидкость. Подобный необычный профиль ребра оказался логически оправданным, что отчетливо выявилось при рассмотрении распределения плотности теплового потока по поверхности шипа. При конструировании шипа желательно свести к минимуму зоны, занятые малоинтенсивными режимами теплоотдачи при свободной конвекции и пленочном кипении, с тем чтобы на области пузырького и переходного режимов кипения приходилась максимальная доля теплоотдающей поверхности. Зона, занятая пленочным кипением, сводится к минимуму применением шипа с очень малым поперечным сечением в основании. Тем самым перепад температур в металле, необходимый для передачи тепла по ребру через зону пленочного кипения, срабатывается на очень коротком участке. В области переходного режима кипения, где начинается рост коэффициента теплоотдачи, диаметр шипа резко увеличивается. Рост диаметра снижает градиент температур в шипе на этом участке, тем самым высокоэффективные области пузырькового и переходного режимов кипения распространяются на поверхность сравнительно большой площади. И, наконец, по мере того как коэффициент теплоотдачи при меньших температурных напорах начинает падать, поперечное сечение шипа вновь уменьшается, сходясь у вершины в острие. Таким образом, оптимальное ребро передает тепло окружающей жидкости очень эффективно, используя обе ветви кривой кипения, прилегающие к точке первого критического теплового потока. 216 1 10 100 1000 ATx1,8?Q Рис. 5.12. Кривые кипения, использованные при расчетах характеристик ребер. Получены при кипении жидкостей на поверхности медных труб диаметром 6,35 мм при давлении 105 Па. А—В — область пузырькового кипения; D—E — область переходного режима кипения; С — точка коизиса пузырькового кипения; Е — область пленочного кипения [11—14]; / — вода; 2 — изопропиловый спирт; 3 — фреон-113.
Статья Хэли и Вествотера стимулировала появление большого числа работ, посвященных кипению на развитых поверхностях. Лэй и Сю [15] предложили простую модель для определения длины зоны пузырькового кипения на продольном ребре прямоугольного профиля и величины теплового потока в основании ребра. Были получены соответствующие расчетные формулы в зависимости от отношения коэффициента теплоотдачи при пузырьковом кипении к коэффициенту теплоотдачи конвекцией, а также от характеристик ребра. Расчетные значения качественно согласовывались с опытными данными. Рис. 5.13. Снимок процесса кипения на оптимальном шипе при максимальной тепловой нагрузке. Рабочая жидкость фреон-113; давление 105 Па; тепловой поток, отводимый ребром, 50 Вт; температурный напор в основании ребра 92°С. Местоположение основания ребра обозначено на фотографии вертикальной прямой [11]. В выполненном Лэем и Сю в [15], а в последующем Сю в [16] анализе предложено рассматривать ребро как совокупность нескольких участков. Для каждого участка характерен свой коэффициент теплоотдачи; тепловой поток, выходящий из одного участка, равен тепловому потоку, поступающему в смежный с ним участок. Хотя упомянутый анализ был выполнен для случая сосуществования на продольном ребре прямоугольного профиля двух участков: зоны конвективного теплообмена и зоны пузырькового кипения, он вполне может быть распространен и на другие случаи: на ребра иной формы и на случаи сосуществования других режимов теплоотдачи. Саймен-Тов [17] отметил, что изготовление ребер пикообразной формы, следующей из анализа Хэли и Вествотера [8] (кипение на таком ребре показано на рис. 5.13), сопряжено с большими технологическими трудностями и большой стоимостью. Такое ребро трудно прива- 217
ривать к основной поверхности, а наличие очень тонкой шейки в основании конструктивно может существенно ослабить ребро. Саймен-Тов предложил три формы ребер, которые сочетают в себе принцип выделения большей части поверхности под зону пузырькового кипения с относительной технической простотой в изготовлении и конструктивной прочностью. Одна из них представляла собой крестовидное продольное ребро, образованное двумя дополнительными продольными ребрами, укрепленными на базовом продольном ребре, в свою очередь соединявшимся с основной теплоотдающей поверхностью. Второй тип оребрения был выполнен в виде колец, прикрепленных к группе продольных ребер, выступающих из цилиндра. Если смотреть вдоль цилиндра, то кольцо имеет вид наружной оболочки, образующей оребренный кольцевой канал между ней и цилиндром. Третий тип ребер, предложенный Саймен-Товом, имел вид дисков, прикрепленных к цилиндрическим шипам. Такую конструкцию называют «кнопочной». Для каждого типа 'ребра Саймен-Тов провел решение соответствующих дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ, при этом им использовались те же самые допущения, которые повсеместно приняты в настоящей книге. Коэффициент теплоотдачи по поверхности ребра принят неравномерным. Было показано, что зона максимальной интенсивности теплоотдачи может перемещаться вдоль ребра в зависимости от температуры в основании. Саймен-Тов установил, что тепловой поток, отводимый оребренной поверхностью, может в 93 раза превысить тепловой поток» снимаемый с гладкой поверхности. Кэш, Клайн и Вествотер [18] отметили, что пикообразное ребро (по терминологии цитируемой статьи ребро «репообразной» формы) действительно трудно изготовить. С помощью расчетов на ЭВМ, используя метод Рунге — Кутта четвертого порядка, они показали, что замена оптимального «репообразного» ребра двумя сложенными конусами, прикрепленными к основной поверхности через узкую цилиндрическую шейку, оказывается вполне приемлемой. Как и ожидалось, двухконус- ная конструкция обеспечила больший отвод тепла на единицу объема по сравнению с цилиндрическим шипом. Эксперименты не только подтвердили эти выводы, но и показали, что рассчитанные на ЭВМ характеристики ребра являются заниженными и что в действительности характеристики подобных ребер заметно лучше. Саймен-Тов [17] пришел к выводу, что анализ одиночных ребер не отвечает реальным условиям работы оребренной поверхности и необходимо учитывать шаг ребер в системе. Клайн и Вествотер [19] исследовали влияние шага на теплоотдачу системы горизонтальных цилиндрических шипов к воде и фреону-113 при атмосферном давлении. В одном горизонтальном ряду устанавливалось до пяти параллельных шипов, а в одном вертикальном ряду — до трех. Были испытаны также системы с числом ребер до 10 (три горизонтальных ряда по три и четыре ребра). Клайн и Вествотер пришли к следующим довольно важным заключениям: 1. Шипы можно сдвигать достаточно близко друг к другу, прежде чем проявится какое-либо влияние шага на теплоотдачу. 2. Шаг в 8 мм в горизонтальном направлении достаточно велик для того, чтобы все шипы действовали независимо друг от друга даже в системах из девяти или десяти шипов. Этот вывод относится к шипам диаметром 6,35 мм, т. е. к случаю, когда зазор между шипами составляет около 1,6 мм. 218
3. Размер зазора в 1,6 мм близок к отрывному диаметру пузырей при пузырьковом кипении обычных жидкостей в большом объеме. 4. Если зазор между шипами равен нулю, то наличие застойного слоя пара под рядом ребер вызывает снижение отводимого теплового потока при работе во фреоне-113 на 31%. Такое же снижение теплового потока получается и при работе с водой, если воспрепятствовать отводу пара с боков сборки. 5. Колонка из трех соприкасающихся шипов отводит на 17% меньше тепла, чем три одиночных шипа. 6. Теплоотдача системы ребер, выполненных в виде параллельных вертикальных плоских пластин, не зависит от шага ребер, пока зазор между ними не уменьшится примерно до 0,8 мм. После этого теплоотдача снижается на 30%. 7. При распространении этих выводов на сброки из сотен шипов следует соблюдать осторожность. При образовании очень больших объемов пара могут проявиться новые эффекты. Рис. 5.14. Картина кипения на оребрениой трубе, отводящей 37,5 Вт/мм при |ДГ=67°С во фреон-113. (На трубе сосуществуют все три режима кипения.) Бондурант и Вествотер [20] применили метод Рунге — Кутта четвертого порядка к решению уравнений теплового баланса радиальных ребер прямоугольного профиля, при этом как теплопроводность материала ребра, так и коэффициент теплоотдачи между ребром и кипящей жидкостью считались зависящими от температуры. Данные по коэффициенту теплоотдачи были взяты из работы Хэли и Вествотера [8]. Задавался тепловой поток в основании ребра, и в результате итераций находился температурный напор в основании, при котором у торца ребра существовал пузырьковый режим кипения. После определения температурного напора в основании одиночного ребра находился суммарный тепловой поток,-отводимый оребренной трубой. Его рассчитывали умножением теплового потока, отводимого одиночным ребром, на число 219
ребер и прибавлением вклада поверхности трубы, свободной от ребер. Таким образом строилась кривая кипения для оребренной трубы в целом, т. е. зависимость отводимого трубой теплового потока от температурного напора в основании ребра. Шесть оребренных труб исследованы экспериментально с тем, чтобы проверить результаты численных расчетов и определить влияние ма- Рис. 5.15. Картина кипения на той же оребренной трубе, что на рис. 5.14, при АГ=115ЮС. В данном случае труба отводит всего лишь 8,5 Вт/мм; ее поверхность полностью занята пленочным кипением. лых зазоров между ребрами на отводимый тепловой поток. В результате получено хорошее совпадение данных расчета и эксперимента. Были сделаны фотоснимки некоторых характерных режимов. Они показаны на рис. 5.14—5.16. На рис. 5.14 изображена работа трубы с радиальными ребрами, отводящей 37,5 Вт/мм длины трубы, погруженной во фреон-113. Температурный напор в основании ребра равнялся 67°С. Из снимка видно, что на трубе могут устойчиво сосуществовать все три режима кипения. Хотя из-за интенсивной генерации пара трудно разглядеть стенку трубы, на ней происходит пленочное кипение, тогда как на поверхности ребер существуют переходный и пузырьковый режимы кипения. Интенсивное пузырьковое кипение наблюдается почти до самых торцов ребер. Бондурант и Вествотер отмечали, что при отсутствии ребер и том же температурном напоре на поверхности трубы пузырьковый режим кипения существовать не может и суммарный тепловой поток снижается в 46 раз. На рис. 5.15 показан фотоснимок той же трубы, работающей с нагрузкой 8,5 Вт/мм длины трубы во фреоне-113 при температурном напоре в основании ребра 115°С. На всей трубе имеет место пленочное кипение, область пузырькового кипения вытеснена с поверхности ребер из-за слишком высокого температурного напора в основании. В результате тепловой поток, отводимый трубой, существенно уменьшился. 220
На рис. 5.16 приведен снимок другой трубы, работающей в режиме пузырькового кипения во фреоне-113 при температурном напоре в основании ребра 12,8°С. Отводимый тепловой поток при этом составил 8,1 Вт/мм длины трубы. Бондурант и Вествотер пришли к заключению, что ребра можь сближать настолько, чтобы зазор между ними составлял примерно ^ЭВ^жВШГшШ ИИ ¦ :: ^^^Ш^^^^^^ш^^^^^^^^^^^^^^шШ!^^^шшШш Рис. 5.16. Сребренная труба, работающая в области пузырькового режима кипения фреона-113. Отводимый тепловой поток 8,1 Вт/мм при АГ=12,8°С. 1,6 мм. При зазоре 0,8 мм тепловой поток, отводимый оребренной трубой, снижается на 10%, при этом изменяется также режим течения пара. Зазор в 0,8 мм лежит в пределах диапазона отрывных диаметров пузырей при пузырьковом кипении. ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ Выражение для температурного напора в продольном ребре прямоугольного профиля может быть использовано для экспериментального определения коэффициента теплоотдачи при вынужденной конвекции. Общее решение для местного значения температурного напора имеет вид [см. B.8)]: Q=Ciemx + C2e-mx. Пусть отсчет координаты х ведется от основания ребра. Выберем два значения х, равные точно В и 2В единиц. Предположим, что измерены три температуры: в основании ребра, в сечении х=В и в сечении х=2В. Тогда из B.8) следует: Ь2В = С1е2тВ-\-С2е-2т3. E.91) 221
Определим R как отношение D 9о + 625 А = д • Подставив в него значения 6 из E.91), получим: 90 + 62Б Сг + С2 + С,е2тВ + С2е-2тВ h ~~ CiemB + C2e-mB Умножим числитель и знаменатель на (<етВ + е~тВ) и, произведя алгебраические преобразования, придем к следующим соотношениям: _ (етв + е^тВ) (Ci + c2 + Схе2тВ + С2е~2тВ) . (етВ + е-тВ) (СхетВ + С2е~тВ) _ (gWB + g-mB) (С, + С2 + С^2тБ + C2g~2mg) C1 + C1 + C1e2wfl + Cte-arfIfl или R=emB + e~mB =2 ch mB. Получаем простое соотношение между R и тВ, учитывающее известные размеры ребра, коэффициент теплопроводности и три измеренные температуры в выбранных точках ребра. Оно может быть решено относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи: (^ = (»Y^ = arcch*; E.92) и— kdo /arcch (/?/2) "9 ' ТЕРМОМЕТРИЧЕСКИЕ ГИЛЬЗЫ Для измерения температуры жидкости в трубе или сосуде термометрические гильзы или зонды часто пропускаются через отверстие в стенке и погружаются в жидкость. Гильза представляет собой трубку, заглушённую с одного конца и закрепленную в стенке с другого, следовательно, она может рассматриваться как полый цилиндрический шип с температурой в основании, равной температуре стенки сосуда (трубы). Термопара, находящаяся в гильзе и контактирующая с ее заглушённым концом, будет показывать температуру вершины ребра. Эта температура не равна температуре жидкости, т. е. результаты измерений будут содержать ошибку. Желательно, чтобы эта ошибка была мала и чтобы ее значение можно было рассчитать. Эта интересная задача была рассмотрена в ряде исследований. В качестве примера можно сослаться на работу Веста и Вествотера [21J. Они рассмотрели задачу с учетом излучения и получили следующую формулу: / / h~4-hn ch тхЪ ^ лл Т—Т = и -ь Г~Г' E-93) где hc и hR—коэффициенты теплоотдачи конвекцией и излучением соответственно. Уравнение E.93) может быть использовано для расчета температуры жидкости ts по известной температуре вершины te. Параметр гп\ определяется по следующей формуле: т1 = [(Лс + Лй)-^-]1/2. E.94) 222
Он имеет то же значение, что и обычный параметр т, когда излучением можно пренебречь. Коэффициент hR определяется по формуле Ь*="^У=°* «*e + t\) (te + Q, где значения температур должны браться в градусах Кельвина. Он никогда не равен нулю, но обычно мал по сравнению с hc. В уравнении E.93) hR принят постоянным, тогда как истинное значение hR будет меняться в зависимости от положения гильзы. Это значит, что E.93) дает приближенное решение основного дифференциального уравнения, описывающего тепловой баланс элемента длины гильзы. Точное аналитическое решение этого уравнения невозможно, однако решение, полученное численными методами [22], показывает, что значение ts—tey рассчитанное по E.93), редко отличается более чем на 1% от точного значения. Таким образом, использование постоянного значения hR вместо переменного вполне правомерно. Для измерений температуры желательно, чтобы гильза плохо проводила тепло. Идеальная гильза должна быть длинной и тонкой, изготовленной из материала с низким коэффициентом теплопроводности и должна иметь малое поперечное сечение. ЗАДАЧИ 5.1. Радиальное ребро прямоугольного профиля внутренним диаметром 50 мм, наружным 75 мм и толщиной 6,5 мм изготовлено из стали -с коэффициентом теплопроводности 36,5 Вт/(м-°С). Температура в основании ребра равна 95°С. Ребро отводит тепло конвекцией, температура окружающей среды равна 40°С, коэффициент теплоотдачи 60 Вт/(м2-°С). Определить температуру торца и отводимый ребром тепловой поток с помощью графиков Чэпмена; сравнить результат с решениями по B.36) и B.37). 5.2. Определить эффективность ребра, описанного в задаче 5.1. Использовать поправку для продольного ребра. Сравнить результат со значением, вычисленным по B.38). 5.3. Продольное ребро трапециевидного профиля имеет толщину в основании. 6,5 мм, а у торца 2,4 мм. Высота ребра 50 мм. Оно изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности 42 Вт/(м-°С). Какова эффективность ребра, если коэффициент теплоотдачи равен 68 Вт/(м2-°С)? 5.4. Использовать аналогию с линией передачи для определения теплового потока и температуры торца продольного ребра прямоугольного профиля. Размеры ребра: длина 150 мм, высота 75 мм, толщина 4,8 мм. Ребро изготовлено из меди, к = = 390 Вт/(м-|0С). Коэффициент теплоотдачи равен 250 Вт/(м2-°С). Температура в основании ребра 110°С, окружающей среды 60°С. Проверить результат аналитически. 5.5. Для описанного в задаче 5.4 ребра определить приближенное значение эффективности, используя приближенную формулу Дюсинбера. 5.6. Ребро, описанное в задаче 5.4, заменяется на треугольное. Геометрические размеры и теплофизические параметры остаются теми же. С помощью приближенной формулы Дюсинбера определить эффективность. Полученный результат проверить аналитически. 5.7. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности 5,4 Вт/(м-сС). Толщина ребра 1,6 мм, высота 150 мм. Теплоподвод к ребру осуществляется ступенчато на участках длиной по 30 мм; в пределах участка плотность подводимого теплового потока постоянна и равна 2000, 2800, 1500, 2300 и 700 Вт/м2, считая от основания ребра. Рассчитать профиль температур, если температура в основании равна 85°С. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 5 1. Harper D. R., Brown W. В. Mathematical Equations for Heat Conduction in Fins of Air Cooled Engines, NACA. Rept. 158, 1922.. 2. Chapman A. Heat Transfer, N. Y., The Macmillan Company, 1966. 3. Краус А. Д. Охлаждение электронного оборудования. Л., «Энергия», 1971. 4. Smith R. К. Personal communication, 1966. 5. Dusinberre G. M. Mech. Eng., 1956, 78, p. 570. 223
6. Gardner К. A. General Discussion on Heat Transfer, Inst, of Mech. Engrs. London, 1951, p. 214. 7. Kraus A. D. Extended Surfaces, Washington, D. C, Spartan Books, 1964, p. 156. 8. Haley K. W., Westwater J. W. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., Chicago, 1966, 3, p. 245. 9. Wilkins J. E. Proc. of Heat Transfer and Fluid Mech. Inst., Stanford Univ. Press, 1960, p. 229. 10. Schmidt E. Z. ver. deut. Ing., 1926, 70, S. 885, 947. 11. Naley K. W. Ph. D. thesis, Urbana, ill., University of Illinois, 1965. 12. Dunskus Т., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 1961, 57 C2), p. 173. 13. Breen B. P., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr., 1962, 58, p. 67. 14. Braunlich R. H. M. S. thesis, Cambridge, Mass., Massachusetts Institute of Technology, 1941. 15. Lai F. S., Hsu Y. Y. AIChE J., 1967, 13, № 4, p. 817. 16. Hsu Y. Y. Natl. Aeron. Space Admin., Tech. Note NASA-TNO-4797, 1968. 17. Siman-Tov M. Cehm. Eng. Progr. Symp. Ser., 1970, 66, p. 174. * 18. Кэш, Клайн, Вествотер. Труды Амер. общ-ва инж.-мех. Теплопередача, 1971, № 1, с. 20. 19. Klein G. J., Westwater J. W. AIChE J., 1971. 20. Bondurant D. L., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 1971. 21. West W. E., Westwater J. W. Ind. Eng. Chem., 1953, 45, p. 2152. 22. Kraemer H. F., Westwater J. W. Ind. Eng. Chem., 1954, 46, p. 2035. ГЛАВА ШЕСТАЯ МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА Введение В гл. 2, 3 и 4 приведены аналитические решения для температурных профилей, отводимых тепловых потоков и эффективности ребер различной геометрии, работающих в разных условиях. В процессе решения использовались все или большая часть допущений, перечисленных в гл. 2. Если же для нахождения решения нужно отказаться от нескольких допущений, то аналитические методы решения почти всегда оказываются непригодными. В этом случае достаточно точное решение можно получить с помощью метода конечных разностей. Настоящая глава посвящена описанию основ метода и его применения при анализе развитых поверхностей без перечисленных в гл. 2 упрощающих допущений. Приводится также общая программа расчета на ЭВМ стационарных задач теплопроводности, обеспечивающая быстрое решение задач теплообмена развитых поверхностей. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Основные принципы Рассмотрим уравнение Лапласа дН , дЧ дх2 т ду2 О, F.1) описывающее двумерную задачу стационарной теплопроводности. При определенных граничных условиях оно может быть решено аналитически. Полученное решение называется аналитическим решением. Решение с помощью конечных разностей является численным, оно дает значения температуры для некоторого набора (сетки) точек, носящих название узлов. Численные значения, полученные аналитически и с по- 224
мощью метода конечных разностей, могут быть согласованы с любой требуемой степенью точности. Рассмотрим сетку узловых точек. Если температура в каком-то выбранном узле равна tQ, то с помощью F.1) ее можно связать с температурой соседних узлов, определив вторые производные от температуры. На рис. 6.1 изображена произвольная зависимость t=f(x)y которая учитывает изменение t только вдоль одной координаты t=^fi\(x)i хотя из F.1) следует, что между t и у также будет иметь место функциональная связь, а именно t= =ш. Если у принять неизменной, то первая производная Ш[дх может быть аппроксимирована частным от деления приращения t на приращение х: Рис. 6.1. Расчет первых и вторых производных функции t—f(x). dt _ M2 + At, дх ~~ Ахг + Ах2 . *2 *0 I *0 М , *2 *1 F.2) Оценка второй производной получается из оценок первых производных в каждом из двух соседних слоев. Разность значений первых производных делится на расстояние между серединами соседних элементов Ах\ и &х2. Следовательно, дЧ At2/Ax2 — At,/Ax, дх2 ' 1 ¦ 1 — Ах2+— Ах, Если Ах, = Дх, = Дх, то дЧ _ (t2- t0)/Ax- (t9 - t,)/Ax _t, + t2-2t0 dx2 ~" Ax Ax2 Аналогичные выкладки для функции t — f2(y) дают: дЧ t, + ti-2t0 F.3) ду2 Ay2 В итоге F.1) может быть аппроксимировано выражением ^1 + ^2 2tp | ^3 + ^4 2*0 А Ах2 ¦ Ау2 ^' Если Ах=Ау, то мы придем к соотношению F.4) Уравнения узловых точекг Метод конечных разностей предполагает, что пластина может быть разделена на конечное число элементов, при этом каждая узловая точка будет располагаться внутри соответствующего элемента. Если выбрать число элементов достаточно большим с тем, чтобы Ах и Ау оказались достаточно малыми, то F.2) и F.3) обеспечат хорошее приближение к действительным значениям первой и второй производной. Уравнение F.4) можно представить в несколько иной записи: (U—U) V(t2-to) + {k—U) + (h—*o)=0. F.5) 15—192 225
Ах Ах 2Т>\ 5 2 •7 О и Ц *i А Ах J Д.х Дх Последнее уравнение связывает между собой температурные разйости. Поскольку кондуктивный тепловой поток также зависит от разности температур, то F.5) можно трактовать как сумму тепловых потоков, входящих в узел, имеющий температуру t0. Отсюда следует, что как F.4), так и F.5) можно получить из .первого закона Кирхгофа для электрического тока, записав для этого его тепловую аналогию. Формулировка такого закона будет следующей: алгебраическая сумма всех тепловых потоков в данной точке должна равняться нулю. Рассмотрим рис. 6.2, на котором изображен участок очень тонкой пластины квадратной формы, разделенный на девять элементов, внутри которых выделены девять узловых точек. Геометрия пластины выбрана такой, что тепло может передаваться теплопроводностью только в направлениях х и у. Запишем закон Кирхгофа для центральной узловой точки, обозначенной цифрой нуль. Тогда Если k — коэффициент теплопроводности, а б — толщина пластины, то Рис. 6.2. Сетка для решения задачи методом конечных разностей. -д?- Vi ~ 'J+TT V* ~" ^ + ~Ах~ "* ~ fo)i A^~(h ~ h) — V. При Ах=^Ауу разделив все члены уравнения на общие множители k и б, получим F.5) или F.4) fa—<o) + th—U) + (t3—to) + (h—t0)=0 ti + t2 + ts+k—M o=0. Если мы имеем задачу теплопроводности с внутренними источниками тепла, то вместо уравнения Лапласа используется уравнение Пуассона. Переход к конечным разностям осуществляется аналогичным описанному выше путем. Двумерное уравнение Пуассона имеет вид: дН i дЧ _t_gF_ дх2 "•" ду2 ' k 0, F.6) где q'— мощность внутренних источников тепла. Подставляя в F.6) F.3) и соответствующее ему выражение для производной по у, получаем: Ax2 'At/2 ~ k V' или, если снова Ах = Ау, t1+t> + t3 + ti-4t,+^V-=0. F.7) 226
Если считать тепловой поток, направленный к узловой точке, положительным, то из закона Кирхгофа можно получить следующее соотношение: тг е. - 'о)+4^ е. - и+т?- с - о + +-тг- & -'.)+q'8 (д*) (д#)=°- При Длг = Ду оно превращается в F.7) Из приведенных выкладок видно, что с помощью уравнения Пуассона и закона Кирхгофа получаются идентичные результаты. Возвратимся теперь к рис. 6.2. Можно записать соответствующие балансовые соотношения для узловой точки каждого из девяти элементов (толщиной б). Если температура на границе участка зафиксирована и равна /е, то из закона Кирхгофа следует: A) ф*- (tt -te)+^ ft - tt)+J*g- ft - o+ — Ay ' fe5Ax-ft-O = 0; F.8a) 1 Ay B) J^L(tt-te)+J^-(U-.t.)+^-{tt-Q + — Ax 4-^ft-g-O; F.86) C) 4^(we)+-^(w.)+-^,-g+ -2" A» +^ft-^) = 0; F.8c) D) ^ft-g+-^ft-g+-^-(^-^) + "о" A# 1 Ay E) «ASLft-y+^Lft-O+^L (/.-*,) + -я- Д* -9- Ay kd**(t*-Q = 0; F.8d) , ' Ay F) «^Л-у+«^(*.-о + ^.(*.-о + *9Д*-('.-'.) = 0; F.8в) — д* — д</ -^¦«.-0=0; 15*
G) (8) @) kbAy — Ax &-'.) + Шх 1 — Ay &-'«)- kbAy Ax e-o + Шх (*7-g = 0; kSAy ft-'*) Шх ('.-и- Ax e.-o + Шх ft-'.) Шх Ay (to При Дл;=Д«/ F.8a) —F.80 принимают вид: A) B) C) D) E) F) G) (8) @) *.-&t+VK + 2fe=0; '.-».НЧ+'. + 2*в = 0; '.-»4+'т+'. + »в=0; f,+ /,-«,:+4/,=0; '. + '.-«.+¦«« = 0; ft+/4-«T+4*,=o; -#.+<,+',+'.+*4=о. Их можно записать и в несколько ином виде: (о B) C) D) E) F) G) (8) (/С, + 3/С2) *, - /С А - /СЛ - /С А = /С А (Л'j -|- 3/Са) /2 — /С А — /С А — /С А = /С А (Л', + ЗК2) t3 - /С А - /С А - /СА = *А (/с,+зл'2) г4 - к а - /с А - /с А=к а (Ж, + 2/С.) *5 - /С А - Л'А = 2КА; B/С, + 2К2) te - /С А - /С A = 2/С А: B/С, + 2/С2) t, - К А - КА = 2/С А; B/С, + 2/С.) /8 - ДА - К А = 2/С А; 4/СА - /са - Д'А - *А - *А = о, F.8g) F.8ft) F.80 F.9а) F.9в) F.9с) F.9d) F.9*) F.9/) F.%) F.9ft) F.91) F.10а) F.106) F.10с) (блао F.10<?) F.10/) F.l0g) F. ЮЛ) F.10t) @) где /Ci=2; /C2=l. Из F.9а) — F.9i) следует, что составление уравнений узловых точек попросту заключается в записи соотношений между температурами узлов. Уравнения F.10а) —F.1 Of) несколько сложнее, поскольку они включают константы проводимости, обозначенные К\ и Кг. Однако и эта система довольно проста, поскольку /Ci и /Сг — целые числа. Уравнения узловых точек редко имеют столь простую форму. Например, положим, что на рис. 6.2 АхфАу. Тогда F.8) должны быть записаны следующим образом: A) K1(tl-Q + KAt1-h)+^(t1-t,) + KAt1-Q = 0; B) /с4 (/, - te)+/сг (t, - g+Kt (*, - h)+кг (h - *,)=0; C) /C4 (/, - te) + /C2 (t3 - Q + /C, A - tt) + /C3 (f, - tt) = 0; F.11a) F.11 e) F.11c) 228
D) KAt%-U+KMif^t,)+KA^-'Q+KAK-t.)=^ F.1 id) E) K4 (t5 - /Д+ К,[(*, - у -И*2 ft - *,) + K3 ft - /2) - 0; F.11 e) F) /c4 ft - a+ Kttft - у:+ к, ft - rj+/c, ft - у =[0; F.11/) G) K4ft-4) + ^(^-a+[^(^-y + ^(^-W = 0; F.11g) (8) КЖ - Or№('. - te)\+lKl(t& - t4) + /C;ft - у = 0; F.1 \h) @) K3 ft - /,)!+ /C. ft - О +[tf2 ft - О + tf2 ft - /3) =J0; F.110 где Д1— At/ • Д2 Ах ; Дз~ Аг/ ; А* AT"' Уравнения F.11а) — F.1 It) могут быть преобразованы и представлены в матричной форме, приведенной в табл. 6.1. Таблица содержит характеристический определитель матрицы размера пХп системы п уравнений узловых точек. Отметим наличие симметрии коэффициентов dij и oiji, где i— номер ряда, а / — номер столбца пХп матрицы. Здесь t=/=l, 2, 3, ..., п—2, п—1, п. Наличие симметрии является существенным требованием, оно позволяет проверить правильность записи уравнений узловых точек до начала численного решения задачи. Симметрия должна иметь место и в сопряженной матрице. Физически это означает, что тепловой поток, поступающий, скажем, из узла А в узел 5, должен быть алгебраически равен взятому со знаком минус тепловому потоку, поступающему из узла В в узел А. Константы проводимости В простом случае, изображенном на рис. 6.2, все тепло между узловыми точками передается теплопроводностью. Интенсивность этого процесса определяется константами проводимости К\ и Ко. в уравнениях F.10а) —F.10/) и константами Ки К2, Кз и К± — в F.11а) — F.1 It). Эти величины рассчитываются по формуле стационарной теплопроводности К=^, F.12) где А — площадь поперечного сечения, взятая по нормали к направлению распространения тепла; AL— расстояние между узлами. Другие виды теплообмена описываются эквивалентной проводимостью. Так, в случае конвекции K=hS, F.13) где 5 — площадь теплоотдающей поверхности. В случае теплообмена излучением K = oF4F,SG'\+7'*t)G'1+7'1). F.14) где Т\ и Т2 — абсолютные температуры источника и приемника излучения соответственно. Тепловой поток записывается через эффективную проводимость как q=KAT=KAt. Решение уравнений узловых точек Система уравнений узловых точек может быть решена различными способами. Среди них следует указать метод обращения матриц [1], понижение порядка определителей по правилу Крамера, схему Гаусса [2], схему Чолесского, метод итераций Гаусса — Зайделя и методы ре- 229
Матрица размера 9X9 системы девяти уравнений узловых Узловая точка 0 1 2 3 4 5 6 7 8 h 2К3 + 2К2 -К, -к» -Кг -к» и -Кг К1+2К,+К> -к, -к, Температура в узле U h -к, К2+2К3+К, -к, -к3 -к, Кг+2К3+К, -Кг -Кг и | -Кг | Kt+"K2+K, -к, 1 -Кг лаксаций [3—5]. Цифровая вычислительная машина является отличным инструментом для быстрого решения конечно-разностных задач. При расчетах и конструировании развитых поверхностей редко используется конечно-разностная сетка с числом узлов менее десяти. В этих условиях методы «ручного» счета требуют чрезмерно больших затрат времени. Поэтому в настоящей главе описывается и иллюстрируется на нескольких примерах обобщенная программа решения рассматриваемой конечноразностной задачи. ОБОБЩЕННАЯ ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [6] Принципы расчета Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений программа использует метод конечных разностей в сочетании с линеаризацией. Такая программа может быть применена при решении сложных, трехмерных задач теплопроводности. Записанная на языке ФОРТРАН-IV и пригодная для использования на любой подходящей (ЭВМ програимма приведена в приложении 1. Подготовка к вводу программы Ввод программы осуществляется с четырех обязательно участвующих карт и с дополнительных карт (их число выбирается по потребности), с помощью которых полностью описываются семь групп необходимой для решения задачи информации. Обязательные четыре карты необходимы для всех расчетов. В них содержится следующая информация. "Карта-заголовок. Эта карта необходима для каждого расчета, она может быть либо чистой, либо содержать любую информацию, иденти- 230"
Таблица 6.1 точек (симметрична относительно главной диагонали) Температура в узле 1 <» 1 ¦-*, 1 -к, \ к,+к2+к3+к. .и -к, -к3 Кг+К,+К3+К4 и -К3 -к, к,+к2+к,+к. и -к, -к2 *.+*,+*,+*« 0 Kite KJe Ktte Kite (Кг+KJte (*.+*«)'« (Кг+K^te (Кг+KJte фицирующую конкретную задачу. Она будет отпечатана в верхней части каждой страницы выводимой на печать информации рядом с номером страницы. Карта 1. Это карта-описание, она необходима для определения каждой задачи. Стоящие в ней числа представляют собой целые константы v, которые записываются без десятичной точки в конце. Для каждой характеристики задачи отводятся соответствующие столбцы карты согласно приведенной ниже таблице. № п/п. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 Номера столбцов карты 1 1—4 5—8 9—12 13—16 17—20 21—24 25—28 29—32 Содержащаяся информация Число рассматриваемых узловых точек Число фиксированных значений температуры Число регулируемых источников (стоков) тепла, т. е. источников, мощность которых зависит от температуры узловой точки Число нестандартных показателей степени Число узловых точек, получающих „вторичное" тепло Число кривых, описывающих зависящие от температуры коэффициенты Число узлов, регулирующих „быстрый" теплоподвод Число кривых зависимости подводимой мощности от температуры, не учитываемых в п. 3 Ребро, имеющее температуру в основании t0 и отводящее тепло в окружающую среду с температурой ts, будет иметь два фиксированных значения температуры (позиция 2 таблицы). Цифра 2 ставится в 8-м столбце карты. Позиция 3 определяет число источников тепла (нагревателей), мощность которых зависит от температуры узловой 1 На языке ФОРТРАН константой называют любое используемое в программе число как целое, так и вещественное (т. е. дробное с плавающей десятичной точкой). 231
точки. В большинстве практических задач с развитыми поверхностями число таких источников равно нулю, оно и заносится в столбец 12 карты. Позиция 4 фиксирует число участвующих в задаче способов передачи тепла, в которых тепловой потока связан с разностью температур нестандартной степенной зависимостью. Нестандартными считаются все показатели степени при разности температур 0 кроме 1,00, 1,25 или 4,00. Скажем, если коэффициент теплоотдачи описывается формулой h=haB, то тепловой поток определяется соотношением q=haSQ2, где 3 — площадь теплоотдающей поверхности. В этом случае показатель степени при 0 оказывается нестандартным, поскольку он не равен ни 1,00, ни 1,25, ни 4,00. Следовательно, мы имеем один нестандартный показатель степени, и это число заносится в столбец 16. Программа позволяет учитывать наличие регулируемых источников тепла, но не более чем в шести узлах. Тепловой поток, подводимый к узлу, зависит от значения температуры в этой же узловой точке и задается температурной кривой. Источник тепла, регулируемый по температуре в каком-либо узле, может быть приложен к совершенно другой узловой точке. Например, температура в узле 16 может определять интенсивность подвода тепла к узлу 23. Такое тепло носит название «вторичного». Позиция 5 таблицы фиксирует общее число узловых точек, получающих «вторичное» тепло. Заметим, что данный «вторичный» источник может передавать тепло только одному узлу. Если температура выбранного регулирующего узла опускается ниже какого-то заданного значения, то мощность каждого регулируемого источника перестает меняться, оставаясь постоянной на определенном заданном уровне. Этот тепловой поток называется «быстрым». Его назначение— осуществлять нагрев соответствующего узла настолько быстро, насколько это возможно. Позиция 7 таблицы фиксирует число узловых точек, регулирующих «быстрое» тепло, даже если, как это имеет место в случае «вторичных» источников, эти регулирующие узловые точки не совпадают с узлами, реально получающими тепло. Позиция 6 таблицы указывает число кривых, описывающих температурные зависимости для коэффициентов, входящих в уравнение теплопроводности. Может быть использовано до пяти таких кривых. Действительное число этих кривых записывается в столбце 24. Позиция 8 отражает наличие подвода тепла, зависящего от температуры, но не рассматриваемого в качестве регулируемого источника. Например, термоэлемент будет поглощать или выделять тепло Пельтье qp в соответствии с соотношением qv=aTI, где а — постоянная Зеебека, / — сила тока, а Т — абсолютная температура. Программа позволяет учитывать qp как функцию Т, причем эта функциональная связь включает в себя изменение произведения а/. Кривая qp=f(T) вводится в ЭВМ 7-м комплектом входных данных. В программу можно включить пять таких кривых ^/Р=н/(Г), их действительное число указывается в столбце 32 карты 1. Карта 2. Эта карта тоже обязательна для каждого варианта задачи. Она характеризует возможности программы (см. приведенную ниже таблицу). Стоящие в ней числа представляют собой целые константы и записываются без десятичной точки в конце. Программа может произвести расчет для 295 узлов с 50 фиксированными значениями температуры и 6 регулируемыми источниками тепла. В позиции 1 таблицы стоит число 300, записанное в столбцах 2, 3 и 4 232
карты 2. При этом для задания дополнительной информации могут быть использованы метки 301, 302, 303 и т. д. В позиции 2 таблицы стоит число 50, занимающее столбцы 7 и 8 карты 2. Возможность использования в расчетах шести регулируемых источников тепла (позиция 3 таблицы) отражена числом 6, стоящим в столбце 12 карты. № п/п. Номера столбцов карты 2 Содержащаяся информация 1—4 5—8 9—12 13—16 17—20 21—24 25—28 29—32 Максимальное число узловых точек Максимальное число фиксированных значений температуры Максимальное число регулируемых источников тепла Номер первого из вводимых комплектов входных данных Номер второго из вводимых комплектов входных данных Продолжается по мере необходимости, пока не будут учтены все вводимые комплекты входных данных Все входные данные можно объединить в следующие семь комплектов: Номер комплекта Содержащаяся информация Коэффициенты, зависящие от температуры Фиксированные значения температуры Ланные о регулируемых источниках тепла Уравнения узловых точек Нестандартные показатели степени Приближенные оценки температуры Зависящие от температуры теплоподводы, не учитываемые в качестве источников тепла Номера комплектов записываются в соответствующих столбцах карты 2. Рассмотрим, например, ребро с температурой в основании U, отдающее тепло окружающей среде с температурой is. Регулируемые источники тепла отсутствуют, коэффициенты не зависят от температуры и нет зависящих от температуры теплоподводов. Тогда в столбце 16 карты 2 будет записано число 2, в столбце 20 — число 4, а в столбце 24 — число 6. Заметим, что числа 1, 3, 5 и 7 не записываются на карте 2, поскольку соответствующие комплекты входных данных, как это видно из сопоставления условия задачи и таблицы — перечня комплектов, в рассматриваемом случае не используются. Карта 3. Эта карта определяет требуемую точность, т. е. допустимую разность значений последовательных итераций. Если ни одна из температур узловых точек не отличается от предыдущей более чем на указанное значение, то ЭВМ прекращает счет. Выводимые на печать значения температур узлов округлены до второго десятичного знака независимо от заданной действительной точности расчета. Однако для того, чтобы округленный второй десятичный знак был достоверным, заданная точность должна быть не хуже 0,005. Указанная цифра рекомендуется потому, что при меньшем значении возрастает время счета. К тому же большая точность расчета температуры, нежели 0,005, редко необходима. Соответственно на карте 3 в столбцах 5, б, 7 и 8 записана вещественная константа .005. Следует иметь в виду, что, задавая 233
требуемую точность 0,005, когда в действительности вполне достаточно 0,05, мы заставляем машину проделывать две-три дополнительные итерации, т. е. дополнительно затрачивать от 0,5 до 1 мин машинного времени. В любом случае задаваемые числа размещаются в столбцах от 1 до 8 и содержат десятичную точку, последняя цифра числа располагается в столбце 8. Программа обеспечивает автоматическое согласование демпфирования и сходимости. Коэффициент сходимости записывается в столбцах 9—16 карты 3. Наилучшие результаты получаются, если его значение лежит в пределах от 0,5 до 0,75 (например, 0,66667). Автоматическое демпфирование обеспечивается вводом демпфирующих множителей, записываемых в нулевом @) комплекте входных данных. При неудачном выборе (как в меньшую, так и в большую стороны) этих множителей машина будет считать слишком долго из-за плохой сходимости итераций. Заданный коэффициент сходимости автоматически обеспечивает критическую скорость демпфирования, т. е. после того как машина удостоверилась, что благодаря введенным демпфирующим; множителям сходимость расчета имеет место, она ускоряет ее в целях экономии машинного времени. И, наконец, на карту 3 в столбцы 17—24 заносится в виде целой константы без десятичной точки в конце еще одно число. Оно оканчивается в столбце 24. Это число задает максимальное число итераций, которые должны быть проделаны машиной. Задание этого максимального числа служит гарантией от ошибки, допущенной составителем программы, в результате которой машина могла бы завести себя в бесконечный циклический расчет. Если стоящее здесь число равно нулю (или если поле между столбцами 17 и 24 осталось незаполненным), то машина при условии корректности и справедливости входных данных будет продолжать итерации до тех пор, пока результаты расчета не удовлетворят критерию точности. Если задаваемое число отлично от нуля, то машина выполнит не более заданного число итераций. Если же при этом не будет достигнута требуемая точность расчета, то машина запишет результаты последней итерации и демпфирующие множители на ленте с тем, чтобы значения этих температур могли быть затем пробиты на картах. Это позволит использовать их в качестве исходных данных для продолжения расчета. Комплекты вводимых данных Семь комплектов входных данных вводятся в машину в порядке их нумерации. При этом непосредственно вслед за картой 3 вводятся лишь перечисленные в карте 2 комплекты, за исключением нулевого @) комплекта. Нулевой комплект входных данных. Этот комплект не перечислен в карте 2, он содержит значения демпфирующих множителей для всех узловых точек. Демпфирующий множитель записывается в виде вещественной константы с десятичной точкой, каждый множитель занимает поле из 8 столбцов карты, всего на одной карте может быть зафиксировано десять множителей. Запись продолжается до тех пор, пока не будут охвачены все узловые точки. Для обеспечения наилучшего счета значения демпфирующих множителей должны лежать в пределах от 0,5 до 0,9. Судя по имеющемуся 234
опыту, хорошие результаты дает множитель 0,8*. Столбцы 73—80 могут быть использованы в целях маркировки. Для того чтобы понять причины включения в программу демпфирующих множителей, следует сопоставить два выражения для радиационной проводимости: одно — в том виде, в каком оно вводится в машину, и другое — в используемой машиной форме. В машину вводится (в соответствии с 4-м комплектом входных данных) Л' = о5^?еХЮ8. Машина линеаризирует поток излучения где Ts и TR — значения абсолютной температуры, деленные на 100. Линеаризация ведет к изменению /С, поскольку новое соотношение записывается как qR=K?{Ts-TR). Теперь тепловой поток оказывается прямо пропорциональным разности температур. Собственно, поэтому он и называется линеаризованным: T*s ~ Т\ = {Т\ + Т\) (Ts + TR) (Ts - 7> Отсюда следует, что K'=K(rs+rR)(Ts+TR). К сожалению, машина в процессе счета очередной итерации не определяет К7 как произведение указанных сомножителей. В целях экономии машинного времени она выполняет операцию к, K(T*S-T*R) 1 S — * R используя уже рассчитанную в предыдущей итерации (и сохраненную в памяти) разность G\—Г4Л). Видно, что при очень малых разностях температур значение К! оказывается сильно завышенным, а подстановка столь большого значения К! в уравнение баланса тепла приводит к очень неприятным колебаниям температуры4. От этих колебаний избавляются с помощью демпфирующих множителей. Если обозначить их через р, то тогда действительное значение К! будет равно прежнему его значению (скажем, /С'о), умноженному на 8, т. е. Кг=$К'о. Раньше или позже (на практике довольно быстро) колебания температуры приобретают управляемый характер. Заметим, что карта 2 * Значение 0,8 — эмпирическое, оно выбирается, исходя из числа нелинейных членов во всех уравнениях узловых точек. Эти члены включают источники, учитывают теплообмен свободной конвекцией и излучением. Значение демпфирующего множителя обратно пропорционально числу нелинейных членов, и в случае преобладающего вклада излучения его можно положить скорее равным 0,5, нежели 0,8. Любое, но меньшее 0,99 значение этого множителя может быть выбрано для каждой узловой точки. Если используется 3-й комплект входных данных, то демпфирующие множители в. узлах с регулируемыми источниками тепла должны быть приняты очень малыми, около 0,01. 1 Непривычно сталкиваться с термином «колебания» при анализе стационарной задачи. В данном случае этот термин означает резкое изменение расчетных значений температуры от одной итерации к другой. 235
не содержит никаких упоминаний о нулевом комплекте входных данных. Этот комплект данных обеспечивает автоматизацию счета и должен быть введен до остальных комплектов. 1-й комплект входных» данных. Этот комплект содержит описание теплофизических свойств или параметров, изменяющихся вследствие изменения температуры. Программа записана таким образом, что машина может производить линейную интерполяцию между двумя точками * с целью определения надлежащего значения проводимости для данной итерации. Для этого кривая K=f(T) аппроксимируется восемью или меньшим числом линейных участков, т. е. результирующая линия опирается на девять или меньшее число точек кривой K=f(T). Если вообще есть необходимость в 1-м комплекте входных данных, то он должен содержать точно по две карты на каждую кривую К= =f(T). Поскольку программа может содержать пять таких кривых, то для ввода 1-го комплекта всего может использоваться до 10 карт. Числа на этих картах записываются в виде вещественных констант (с десятичной точкой), причем каждое число занимает восемь определенных столбцов согласно следующей таблице. № карты 2 2 2 2 [№ столбца 1—8 9—16 17—24 25—32 57—64 65—72 1—8 9—16 57—64 65—72 Содержащаяся информация Первое значение температуры Первое значение проводимости Второе значение температуры Второе значение проводимости Четвертое значение проводимости Пятое значение температуры Пятое значение проводимости Шестое значение температуры Девятое значение температуры Девятое значение проводимости Заметим, что на обеих картах столбцы 73—80 не используются для ввода данных. Следовательно, их можно использовать в целях маркировки. Рационально применять для маркировки карт этого комплекта обозначения 51С1, S1C2, ..., 51С10, записывая S в 74-м столбце, a G — в 78-м. Важно помнить, что если для описания температурной зависимости K=f(T) используются всего четыре значения температуры или меньше, то и в этом случае вторая карта должна быть включена в комплект, несмотря на то, что она остается пустой. 2-й комплект входных данных. При описании 2-й карты отмечалось, что в программе могут быть использованы до 50 источников или стоков тепла с постоянной температурой. Эти 50 значений температуры описываются во 2гм комплекте входных данных, по девять на карту. Запись производится в виде вещественных констант с десятичной запятой. На каждое число отводится поле из восьми столбцов, независимо от того, используются все они или нет. Для ввода этого комплекта требуется столько карт, сколько необходимо для задания всех значений постоянной температуры. Вновь 236
столбцы 73—80 могут быть использованы для маркировки. Пусть, например, ребро с температурой в основании 124,2°F* отводит тепло в окружающую среду с температурой 43°F. Тогда в столбцы 4, 5, 6, 8, 14 и 15 будут соответственно занесены цифры 1, 2, 4, 2, 4, 3, а в столбцах 7 и 16 будут стоять десятичные точки. Для задания этих двух Температур нужна всего одна карта. 3-й комплект входных данных. Этот комплект содержит описание регулируемых источников тепла. Он включает в себя точно пять карт, и если для описания источников требуется меньшее число карт, то оставшиеся незаполненными карты все же включаются в комплект. На 1-й карте зафиксированы номера узловых точек, регулирующих мощность рассматриваемых источников тепла. Запись производится в виде целых констант, каждая константа занимает четыре столбца, при этом в процессе записи следует руководствоваться следующей таблицей. № столбца Содержащаяся информация 1—4 5-8 9—12 13—16 17—20 21—24 Номер узла, Номер узла, Номер узла, Номер узла, Номер узла, Номер узла, регулирующего регулирующего регулирующего регулирующего регулирующего регулирующего первый источник второй источник третий источник четвертый источник пятый источник шестой источник Если используется менее шести регулируемых источников, то соответствующие столбцы на карте остаются незаполненными. Все числа на этой карге должны кончаться в крайнем правом столбце соответствующей группы, десятичная точка не пишется. Например, если первый источник регулируется узловой точкой 15, то в столбцах 3 и 4 записываются цифры 1 и 5. Карты со 2-й по 5-ю содержат описание температурных кривых регулируемых источников, каждая из которых аппроксимируется пятью точками (четырьмя прямолинейными отрезками). В программу можно вводить до шести таких регулируемых источников, каждый из которых может быть как первичным, так и вторичным. На рис. 6.3 приведена характерная пара температурных Кривых первичного № 1 и вторичного № 2 источников. Излом температурных кривых происходит при одной и той же температуре, но соответствующие значения теплоподводов разнятся. Запись на этих картах Рис 63. Характерные температурные осуществляется с помощью веще- кривые регулируемых источников. СТВеННЫХ КОНСТаНТ, ПрИ ЭТОМ СТОЛб- / — «быстрое» тепло. Первичный источник 1; _ 2 — «быстрое» тепло. Вторичный источник 1; ЦЫ -КарТЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В СООТВеТ- 3 - температура отсечки «быстрого» тепла, од- ствии со следующей таблицей. на и та же для первников° и вторичного ИСТ04" * Здесь и далее при анализе представленной в книге программы расчета и разборе конкретных решенных с ее помощью примеров во избежание ошибок преднамеренно оставлена британская система единиц. (Прим. пер.) 237
№ карты № столбца Содержащаяся информация 1—8 9—16 17—24 25—32 33—40 41—48 49-56 57—64 65—72 1—8 9—16 17—24 25—32 33—40 41—48 49—56 57—64 65—72 Первичный источник № 1, „быстрое" тепло, БТЕ/ч Температура отсечки „быстрого" тепла для первичного и вторичного источников № 1 Вторичный источник № 1, „быстрое" тепло, БТЕ/ч Первичный и вторичный источники № 1, первое значение температуры Первичный и вторичный источники № 1, второе значение температуры Первичный и вторичный источники № 1, третье значение температуры Первичный и вторичный источники № 1, четвертое значение температуры Первичный и вторичный источники № 1, пятое значение температуры Первичный источник № 1, первое значение теплового потока, БТЕ/ч Первичный источник № 1, второе значение теплового потока, БТЕ/ч Первичный источник № 1, третье значение теплового потока, БТЕ/ч Первичный источник № 1, четвертое значение теплового потока, БТЕ/ч Первичный источник № 1, пятое значение теплового потока, БТЕ/ч Вторичный источник № 1, первое значение теплового потока, БТЕ/ч Вторичный источник № 1, второе значение теплового потока, БТЕ/ч Вторичный источник № 1, третье значение теплового потока, БТЕ/ч Вторичный источник № 1, четвертое значение теплового потока, БТЕ/ч Вторичный источник № 1, пятое значение теплового потока, БТЕ/ч Карты 4 и 5 содержат аналогичную картам 2 и 3 информацию, ее расположение такое же, как и на этих картах. Разница состоит лишь в том, что эта информация относится к регулируемым источникам № 2. Однако столбцы 9—16 на 4-й карте должны оставаться незаполненными. 4-й комплект входных данных. Все уравнения узловых точек и значения межузловых проводимостей вводятся в машину с помощью 4-го комплекта. Для каждого узла требуется по крайней мере две карты. Необязательная маркировка этих карт может осуществляться записью цифры 4 для 4-го комплекта в столбце 73; столбцы 75, 76 и 77 используются для фиксации номера узла, а столбцы 79 и 80 — для записи номера карты. Например, если для описания узловой точки 14 требуются две карты, то метки этих карт будут иметь вид 4, 14, 1 и 4, 14, 2. Соответствующие цифры будут стоять последовательно в столбцах 73, 76, 77 и 80. Наличие этих меток не сказывается на расчетах. Нечетные карты используются для задания взаимодействующих узлов и описания способов этого взаимодействия. Четные карты используются для задания значений межузловой проводимости. С помощью каждой карты можно осуществить ввод девяти чисел, при этом на каждое число отводится поле из восьми столбцов карты независимо от того, все они используются или нет. Программа допускает, чтобы уравнение каждой узловой точки имело до 99 членов. Общее число карт в колоде, описывающих это уравнение, кратно девяти. Если, например, уравнение содержит 33 члена, то независимо от его типа для описания этого узла нужны восемь карт C3<9Х4=36). Четыре из этих карт имеют нечетную нумерацию (карты 1, 3, 5 и 7) и содержат перечень взаимодействующих узлов и описание способов их взаимодействия. Другие четыре карты имеют четные номера (карты 2, 4, 6 и 8), и в них приведены значения соответствующих проводимостей. Машине дается команда на поочередный опрос всех узлов, соединенных с рассматриваемой узловой точкой, с помощью числа, проставленного в столбцах 1 и 2 карты I колоды, описывающей уравнение этой узловой точки. Это число указывает максималь- 238
но возможное количество связей в опрашиваемой колоде. Так, при расчете 33-членного уравнения для некоторой узловой точки в столбцах 1 и 2 карты 1 соответствующей колоды будет стоять число 36. Если уравнение узловой точки содержит 91 член, то вместо 36 будет стоять 99. Каждый член уравнения узловой точки несет в себе тройную информацию. Прежде всего он указывает соответствующий узел, связанный тепловым взаимодействием с рассматриваемым узлом. Во-вторых, он фиксирует способ передачи тепла между этими узлами. Способ передачи тепла определяется показателем степени при разности температур At либо вытекает из известных специфических условий задачи. И, наконец, каждый член несет количественную информацию о величине соответствующего теплового потока. 4-й комплект входных данных включает в себя всю перечисленную выше информацию. Узлы, взаимодействующие с рассматриваемой точкой, а также способ передачи тепла задаются на нечетных картах колоды. Способ передачи тепла обозначается цифрой, стоящей в столбцах 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 и 72. Выбор этой цифры осуществляется в соответствии с табл. 6.2. Непосредственно перед числом, указываю- Таблица 6.2 Способы передачи тепла и соответствующие проводимости Способ передачи тепла Теплопроводность Свободная конвекция Излучение Вынужденная конвекция С потоком жидкости Нестандартный показатель степени То же То же То же Цифра- метка i 2 3 4 5 6 7 8 1 9 Уравнение теплового потока между узлами 1 и 2 д = Кг (<,-<,) ?=*,<*,-*,)••" я = КЛТ\-т\) r = (f°F + 460)/100 ?=¦*«&-*•) (tt и t;, — температуры жидкости в узлах) j q = Ki(tl-ti)Pi 1 Проводимость Кг = kA/LL K2 = K'2S K3=0t\7\3FAFeS K* = hS Kb = wfCf (wf — массовый расход жидкости, a Cf — ее удельная теплоемкость) j Z=6, 7, 8, 9 i pi — показатели степени, 1 все имеющие различные | значения 1 Ki=K'iSi щим способ передачи тепла, стоит число, фиксирующее номер узла, с которым осуществляется взаимодействие. Интенсивность передачи тепла задается коэффициентом при соответствующем члене уравнения узловой точки. Эти коэффициенты (или проводимости) записываются на тех же позициях, что и указанные выше числа, но только на соответствующих четных картах. Рассмотрим пример. Пусть первые пять членов уравнения узловой точки 13 записываются как 0ДЗ(Г1а-Г15) + 0,012(Г13-Г1вI-25 + 0.056(Гхз-Г104I-» + + 0,0015 G\, - Г J + 0,085 (Г„ -Т4) +..., 239
при этом известно, что первый член описывает перенос тепла теплопроводностью, а пятый — вынужденной конвекцией. Эти пять членов отражаются в колоде 4-го комплекта входных данных следующим образом. На карте 4 13 1 будут стоять числа 151 в столбцах 6, 7 и 8, 162 в столбцах 14, 15 и 16, 1046 в столбцах 21, 22, 23 и 24, 293 в столбцах 30, 31 и 32, 44 в столбцах 39 и 40, а на карте 4 13 2 записывается: .13 в столбцах 6, 7 и 8, .012 в столбцах 13, 14, 15 и 16, .056 в столбцах 21, 22, 23 и 24, .0015 в столбцах 28, 29, 30, 31 и 32, .085 в столбцах 37, 38, 39 и 40. Тепловые связи должны отражаться в обоих направлениях. Например, член 0,13(Тхз—Ti5) описывает перенос тепла теплопроводностью между узловыми точками 13 и 15, при этом проводимость равна 0,13. Поскольку мы имеем дело с теплопроводностью, то на надлежащих позициях нечетной и четной карт узловой точки 13 будут стоять 151 и 13. Идентичная информация, а именно числа 131 и 13, должна появиться на соответствующих местах нечетной и четной карт узловой точки 15. Единственным исключением из подобной дублированной записи тепловой связи является 5-й способ передачи тепла, т. е. передача тепла с потоком жидкости. В этом случае на картах отражается только связь рассматриваемого узла с источниками притекающей массы жидкости (с узлами вверх по потоку), связь со стоками массы (вниз по потоку) не записывается. Например, пусть 1 фунт/мин воздуха каким-то образом поступает из окружающей среды (скажем, в узловую точку 304), оттуда переносится в узел 87, а затем в узел 104. Последовательность прохождения узлов оказывается следующей: 304-87-104. Значение проводимости равно 0,24.60.1,0=14,4 BTE/D-°F). Узел 87 в этом случае считается связанным с узлом 304, и на надлежащей нечетной карте колоды узла 87 будет записано число 3045,при этом цифра 5 указывает на перенос тепла с потоком жидкости. На соответствующем месте надлежащей четной карты этой колоды будет стоять 14.4. Узел 87 считается совершенно не связанным с узлом 104. Однако в колоде, описывающей уравнение узловой точки 104, будут содержаться члены 875 и 14.4 на соответственных местах нечетной и четной карт. Заметим, что последние цифры всегда определяют способ передачи тепла. Отметим также, что способ передачи тепла всегда фиксируется на нечетных картах колоды. И, наконец, напомним, что соответствующие значения проводимостей задаются на четных картах. Эти значения всегда содержат десятичную точку и занимают поле из тех же самых восьми столбцов, что и соответствующие цифры, обозначающие взаимодействующий узел и способ передачи тепла на нечетной карте. Дополнительная информация для составления 4-го комплекта входных данных приведена в табл. 6.3. 5-й комплект входных данных. Нестандартные показатели степени предназначены для описания 6—9 способов передачи тепла. Этот комплект данных вводится одной картой. Запись осуществляется в виде вещественных констант с десятичной точкой, при этом на каждый пока- 240
Таблица 6.3 Дополнительная информация к 4-му комплекту входных данных Подвод тепла Отвод тепла Источники и стоки тепла с постоянной температурой Первичные источники тепла Вторичные источники тепла Коэффициенты, зависящие от температуры Считается, что к любой узловой точке тепло подводится от некоего фиктивного узла, обозначенного номером 999. Способ подвода тепла определяется конкретными обстоятельствами, но при расчетах на ЭВМ считается, что это- тепло подводится теплопроводностью. Следовательно, на карте взаимодействий узловых точек, т. е. на одной из нечетных карт, подвод тепла будет зафиксирован цифрами 9991, а подводимый тепловой поток в БТЕ/ч должен быть указан на том же поле соответствующей карты „проводимости", т. е. соответствующей четной карты Отвод тепла фиксируется в программе по той же методике, что и подвод. Отвод тепла представляет собой отрицательный теплоподвод, т. е. указанное на карте проводимости значение теплового потока будет отрицательным Программа может учесть наличие в любой узловой точке источника или стока тепла постоянной температуры с проводимостью между этими источниками и рассматриваемым узлом, равной К. Число такого рода источников постоянной температуры может достигать 50. Эти ! источники фиксируются как узловые точки с постоянной температурой и с номерами от 301 до 350. Первому из этих узлов присваивается номер 301, второму—302 и т. д. Обмен теплом может осуществляться любым из указанных в табл. 6.2 способов. Например, если тепло к стоку с постоянной температурой 301 подводится естественной конвекцией, то есть q — K&Tl>2hy то на карте взаимодействия должен стоять набор цифр 3012, а на соответствующей карте проводимости на том же поле будет приведено значение К. Если к стоку 302 тепло подводится вынужденной конвекцией, то на карте взаимодействия будет записан набор цифр 3U24. а значение К будет указано на том же поле соответствующей четной 1 карты Первичным источникам в 4-м комплекте входных данных присваиваются номера 351—356. Номера 351, 352, 353 даются источникам, регулируемым в соответствии с первой температурной кривой, а 354, 355 и 356—источникам, регулируемым в соответствии со второй температурной кривой. Считается, что подвод тепла осуществляется теплопроводностью. Следовательно, способ подвода тепла всегда фиксируется цифрой 1, и на надлежащих картах будет записано 3511, 3521, 3531, 3541, | 3551, 3561. Кроме того, на карте 2 записывается коэф- ! фициент, который задает масштаб к соответствующей температурной кривой. Так, коэффициент 0,5 дает ЭВМ команду взять половинный тепловой поток от задаваемого температурной кривой и подать его в рассматриваемую узловую точку Число вторичных источников указывается на карте 1, которая идет второй по счету во всей колоде входных данных С помощью чисел 1101—1105 производится выбор надлежащей кривой К = / (Т) из 1-го комплекта входных данных. Поскольку номера взаимодействующих узлов и способов передачи тепла не связаны с переменным коэффициентом проводимости, эти числа записываются на картах проводимостей только в виде вещественных констант с десятичной точкой 16—192 241
Продолжение табл. 6.3 Подвод тепла в зависимости от температуры Зависимость подводимого (отводимого) теплового потока от температуры задается пятью температурными кривыми, описываемыми 7-м комплектом входных данных. Обращение к этим кривым производится с помощью чисел 367—371. Эти „узлы" взаимодействуют (отводят или подводят тепло) с рассматриваемой узловой точкой теплопроводностью. Для задания масштаба к температурной кривой на карте проводимостей должен быть указан соответствующий коэффициент затель степени отводится поле из восьми столбцов в соответствии со следующей таблицей: № столбцов Содержащаяся информация 9—16 17—24 25—32 Первый нестандартный показатель степени Второй нестандартный показатель степени Третий нестандартный показатель степени Четвертый нестандартный показатель степени На карту должны быть занесены только значения действительно используемых нестандартных показателей степени. Оставшиеся места остаются незаполненными. Столбцы 73—80 могут быть использованы в целях маркировки. Все показатели степени должны содержать десятичную точку. 6-й комплект входных данных. Этот комплект содержит исходные оценки значений температуры во всех узловых точках. Эти оценки записываются на соответствующих полях, по восемь столбцов в каждом, запись осуществляется в виде вещественных констант с десятичной точкой. На каждую карту последовательно заносится по девять исходных значений температуры, пока, не будут перебраны все рассматриваемые точки. 7-й комплект входных данных. Этот комплект дает возможность учесть наличие зависящего от температуры подвода или отвода тепла. Он в известной мере аналогичен 3-му комплекту входных данных. Однако* в данном комплекте отсутствует «быстрое» тепло и температурная кривая может быть задана более точно, поскольку для ее описания используются девять температурных точек вместо пяти. Седьмой комплект включает в себя от двух до десяти карт. Запись осуществляется в виде вещественных констант с десятичной точкой на девяти полях, занимающих по восемь столбцов каждое. Вводимое число обязательно должно содержать десятичную точку и оканчиваться в крайнем правом столбце соответствующего поля. Запись будет следующей: № карты № столбцов Содержащаяся информация 1—8 9—16 Температурная кривая /, первое значение температуры Температурная кривая /, первое значение теплового потока 242
Продолжение № карты № столбцов Содержащаяся информация 17—24 25—32 65—72 1—8 9—16 57—64 65—72 Температурная кривая /, второе значение температуры Температурная кривая 7, второе значение теплового потока Температурная кривая У, пятое значение температуры Температурная кривая /, пятое значение теплового потока Температурная кривая 1, шестое значение температуры Температурная кривая /, девятое значение температуры Температурная кривая /, девятое значение теплового потока Колонки 73—80 могут использоваться в целях маркировки. Карты 3—10 содержат необходимую информацию о других температурных кривых. Запись осуществляется так же, как и на 1-й и 2-й картах. № карты 3—4 5—6 № температурной кривой 2 3 № карты 7—8 9—10 № температурной кривой 4 5 Для описания каждой температурной кривой нужны две карты. Если кривая может быть описана всего несколькими точками, то вторая карта все же должна включаться в комплект, даже если она окажется пустой. Уравнения узловых точек, описываемых 4-м комплектом входных данных, обращаются к надлежащим температурным кривым с помощью следующих записей на бланках взаимодействия: 3671, 3681, 3691,3701 и 3711. ts = 20°F Рис. 6.4. Модель продольного (ребра прямоугольного профиля с 40 узлами (пример 6.1). iQ~1ZQ°F 0,011У 0,025' 2. 35 36 0,0125' 37 жш W 0,025' \ 1,000 Применение методики иллюстрируется на примере расчета продольного ребра прямоугольного профиля. Пример 6.1. Рассчитать на ЭВМ профиль температур в продольном ребре, используя модель с 40 узловыми точками. Условия задачи:'Продольное ребро прямоугольного профиля отводит тепло в среду с температурой 20°F. Коэффициент теплоотдачи равен 10 БТЕ/(фут2-ч-°Р). Температура в основании ребра 120°F. Ребро изготовлено из нержавеющей стали с коэффициентом теплопроводности ?=9,7 БТЕ/(фут-ч-°Р). Высота ребра 1", толщина 1/8", длина 12". Решение. 1. Конфигурация ребра. Схема ребра изображена на рис. 6.4. Отметим, что узловые точки расположены с шагом 1/40 = 0,025", узел 1 отстоит от основания ребра на расстоянии 0,5^0,025=0,0125", а узел 40 находится на том же расстоянии от торца ребра. 1б* 243
2. Проводимости. Проводимость между узловыми точками определяется F.12): Для элементов сетки 2—3, 3—4, 4—5, .,., 37—38, 38—39, 39—40 А = -§-. 12 = 1,5 дюйм2 = —д-. 1,5 = 0,01041 фут2; AL = 0,025• -jj => 0,002083 фут A/12 — коэффициент пересчета из дюймов в футы) kA 9,7-0,01041 ^=-^=-i0^2683- = 48'5 БТЕДч.ор). Проводимость между основанием ребра и узлом 1 в два раза больше проводимости между внутренними узлами: kA ^_ 9,7-0,01041 К* = AL ~~ 0,5-0,002083 = 97 БТЕ/(Ч'°Р)- Эквивалентная проводимость для теплоотдачи конвекцией определяется F.13). Для всех узловых точек, кроме 40-й, с учетом наличия двух боковых поверхностей S== 2.0,025.^2". 1 =0,004167 фут2; K, = hS = 10-0,004167 = 0,04167 БТЕ/(ч-°F). Сороковая ячейка имеет две боковые теплоотдающие поверхности и торцевую. С учетом площади торца 1 1 5 = 0,004167 +-з-'72"*1 =0,014577 фут2; K^ = hS= 10.0,01-4577 = 0,14577 BTE/(q.#F). Заметим, что при решении задачи численным методом допущение об отсутствии тепловых потерь с торца не используется. Метод конечных разностей вообще позволяет решать задачи не используя большинства допущений, присущих точным аналитическим методам. В гл. 3 было показано, что для рассматриваемого ребра тепловые потери с торца могут быть учтены изменением граничного условия для дифференциального уравнения, описывающего температурный напор в ребре, или с помощью приближения Харпера — Брауна. Однако это обстоятельство не делает бесполезным решение задачи на ЭВМ с помощью метода конечных разностей. Действительно, в очень многих случаях отказаться от ограничивающих допущений можно, лишь прибегая к конечно- разностному методу решения. 3. Уравнения узловых точек. Уравнения узловых точек могут быть составлены, непосредственно по рис. 6.4 с использованием рассчитанных значений проводимости. Приведенная ниже табл. 6.4 представляет собой по существу рабочую схему, которая может быть использована в этих целях. Заметим, что в наборах цифр, стоящих в столбце, задающем взаимодействующие узлы, первые три цифры определяют номер узла, с которым осуществляется обмен теплом, а последняя характеризует способ этого теплообмена в соответствии с положениями табл. 6.2. 4. Подготовка к вводу данных в машину. Перфокарты набиваются согласно записям в кодирующем бланке (FORTRAN-H CODING FORM). Такой бланк применительно к рассматриваемой задаче воспроизводится на рис. 6.5, некоторые его детали будут рассмотрены более подробно. Карта-заголовок. Ей соответствует первая строка бланка, на которой записано «модель продольного ребра прямоугольного профиля с 40 узловыми точками» (FOiRTY NODE MODEL OF LONGITUDINAL FIN OF RECTANGULAR PROFILE). Карта lifiard 1). Этой карте соответствует запись на 2-й строке, бланка. Она указывает на то, что в рассматриваемой задаче учитываются 40 узловых точек и два фиксированных значения температуры, что отсутствуют источники'тепла, зависящие от температуры, « нестандартные показатели степени. Ни один из узлов не получает «вторичного тепла»; отсутствуют кривые, описывающие изменение коэффициентов или изменение температуры; ни одна узловая точка не регулирует «быстрое» тепло; отсутствуют кривые, задающие зависящий от температуры подвод тепла. Карта 2 {Card 2). Этой карте соответствует запись на третьей строке бланка. Она говорит о том, что программа в принципе может рассчитывать 295 узловых точек, учитывать 50 фиксированных значений температуры и наличие 6 регулируемых источников 1епла. Далее указывается, что в машину вводятся: 2-й комплект входных данных 244
Таблица 6.4 Уравнения узловых точек для модели продольного ребра прямоугольного профиля с 40 узлами Узловая течка 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Узел и способ взаимодействия ЗОН* ' 21 3024** 11 31 3024 21 41 3024 31 51 3024 41 61 3024 51 71 3024 61 81 3024 71 91 3024 81 101 3024 91 111 3024 101 121 3024 111 131 3024 121 141 3024 К 97- 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 1 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 Узловая 1 точка 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Узел и способ взаимодействия 131 151 3024 141 1 161 ! 3024 i 151 171 1 3024 161 181 3024 171 191 3024 181 201 3024 191 211 3024 201 221 3024 211 231 3024 221 ! 241 3024 231 251 3024 241 261 3024 251 271 3024 1 К 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 1 .04167 [ i 48.5 ! 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 Узловая 1 точка 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Узе я и способ взаимодействия 261 281 3024 271 291 3024 281 301 3024 291 311 3024 301 321 3024 311 331 30^4 321 341 3024 331 351 3024 341 361 3024 351 371 3024 361 381 3024 371 391 3024 381 401 3024 | 391 3024 | 1 К 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .04167 48.5 48.5 .14577 * Узловая точка 301—температура з основании ребра. ь* Узловая точка ЗЭ2 — температуоа окружающей среды. 245
COMMENTS |t->Q=th- 1 K- «c c< 1 to ы m m /,/. »/. 47, U M, W U II/, 89 Й9 /,M 44 V.4 № h b?3 й yy Ktf ¦ l/.V MV k'v № fC Ы» ,is' W fft № /.* к к* H b Ь ^ К Ш к Z 4! 9? S? *? fi? Z? ^ lot1 F Sz кг 92 « кг 22 гг кг ж т т а т \Р U {Ct \Z\r № \h 6 8 к 9 И * I?» j_2. j? j I iUj -Л »—i u~ о ос CX ос ^ о S1 cd1 г: S i-< CO UJ ее wi~ о =5 »—t Uu —7 ^ se ь-ч сз ^i t~ »—! CD ^ CD -J| ^ CD -J tu p=5 CD 5Г Ul P=J CD ^ >- h~ ог CD U. r- CO F=Jf=» ОС <=C C_3 CD CD CD CD CD CD CO CD <h I ad ^ CO о =* ar cc CO о h--. a!1 CO oo oo CO I ! CO [<t- ICO CO CD Ю CD CD to CO сгз — -u CO CO CO OO CO • 1 ! J I co oo~ 1 -1 • CO X- t— CO CO CO CO ; « UD CD О i CD —. ajl со со • oo CD — JJ со oo oo 1 j oo со CO I 1 00 со C© °o oo CO ,00 1 " oo oo со oo CO oo » oo oo -• cd! (— U|l CO col -J -u H i oo oc oo CO CO OO oo CO CD CO о CNO r- ^~T T-l •3- o- CO CD ю f*- !co 1ТГ- k- CD to CO r~ <J- c^- to V- -3- CD |UD ICO kf- Г" JOD «r- CNJ ¦3- -Э- СчЗ CD to T— fcO X- V- co CO <t- f- co xr- <!- CD 1ГЭ ОС o- Ю CO ¦3- r- co CJ- <J- CO CD to f4"* <^- ТГ- CO ёо] со! •^ ^ -*- •chl CO <s- <h j ! t- to ^r- <h CD ¦-r> со <1~ UD oo i4h ^s- CO CD CO T- t-O 1 to r-~ CO "-Ч- <h CD l-o CO <t- LO CO c,- "^ u-i <*- CO LT3 <»- -3- C<i та CO 4— 'O >- <