Развитые поверхности теплообмена. - Керн Д., Креус А.

Author: Керн Д. Креус А.

Tags: теплопроводность теплопередача тепловые двигатели в целом получение, распределение и использование пара паровые машины паровые котлы тепловые двигатели теплообмен

Year: 1997

Similar

Тепловая защита

Техническая термодинамика

Котельные установки и парогенераторы

Тепломассообмен. Учебное пособие для вузов

Text

6П2.2
К 36
УДК 536.24:621.1.016.4
EXTENDED SURFACE HEAT TRANSFER
DONALD Q. KERN, ALLAN D. KRAUS
MCGRAW-HILL BOOK COMPANY, NEW JORK
i
Керн Д. и Краус А.
К 36 Развитые поверхности теплообмена. Пер. с англ.
М., «Энергия», 1977.
464 с. с ил.
Книга является руководством по расчету и конструированию тепло-**
обменников различного назначения. Приведены многочисленные примеры,
иллюстрирующие предлагаемую методику расчета. Книга снабжена
большим количеством справочных таблиц и расчетных графиков. Важнейшие
случаи расчета наиболее типичных конструкций представлены в виде
программ для ЭВМ на языке ФОРТРАН.
Книга рассчитана на инженерно-технических работников различных
отраслей промышленности, занятых расчетом и конструированием
теплообменников она может быть полезна студентам и молодым специалистам,
желающим самостоятельно изучить этот вопрос.
„ 30302-552
К 05Ц0Ц-77 И77 6П"
© Перевод на русский язык, Издательство «Э н е р г и я», 1977».

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
За последние годы издано немало работ, посвященных изложению
вопросов теплообмена на развитых поверхностях, расчету и
конструированию теплообменников с такими поверхностями теплообмена,
гидродинамике течения в каналах сложного профиля.
Вопросам расчета теплообменников отводится место почти в
каждом учебнике по теплопередаче. Но потребность в литературе
подобного рода не уменьшается, а растет с каждым годом. Это связано
прежде всего с постоянным расширением сферы практического применения
подобного рода теплообменников, их внедрением в новые, быстро
развивающиеся области техники. К таким традиционным устройствам, как
экраны топок парогенераторов, воздухоподогреватели,
теплообменники газовых турбин и систем кондиционирования, радиаторы
автомобилей, где развитые поверхности применяются уже сравнительно давно,
в последнее время добавились плазменные и ядерные установки,
системы, утилизирующие солнечную энергию, различные элементы
электродных схем.
В связи с этим публикуемая книга американских ученых Д. Кра-
уса и А. Керна, исследования и публикации которых по теплообмену
на развитых поверхностях широко известны инженерам и
исследователя?^ вызовет прежде всего интерес у специалистов, работающих в
указанных областях техники. Вместе с тем она может оказаться полезной
и для лиц, только приступивших к изучению данной проблемы.
Кроме того, внимание читателей несомненно привлечет и
необычность построения книги. По замыслу авторов она может быть
использована читателями с различными уровнями подготовленности. Первая
часть — «Анализ развитых поверхностей теплообмена», имеющая
самостоятельное значение и завершенность, может служить учебным
пособием для студентов и молодых специалистов, а вторая часть —
«Расчет теплообменников» — практическим руководством и справочником
для инженеров-конструкторов, занимающихся расчетами и
разработкой теплообменной аппаратуры; большинство важнейших типовых
вариантов доведено до достаточно простых аналитических соотношений.
Но главным достоинством книги, выделяющим ее в ряду
литературы аналогичного характера, является подход к освещению проблемы,
т. е. ярко выраженная прикладная направленность. Авторами
осуществлена четкая классификация видов оребрений, приведены хорошо
отработанные типовые расчетные методики, позволяющие быстро и
эффективно производить расчет теплообменников, оптимизировать их
конструктивные характеристики и режимные параметры.
В книге представлены как точные, так и приближенные методы
расчета развитых поверхностей для стационарных и нестационарных
условий работы. В каждый раздел включены численные примеры
расчета описываемого вида поверхности, которые органически связаны с
з

текстом и позволяют читателю глубже понять излагаемый материал и
применить на практике описанные приемы и методы расчета.
Большой интерес представляют приводимые в книге программы
расчета процессов на развитых поверхностях на ЭВМ, записанные на
языке ФОРТРАН-IV. Они служат не только иллюстративным целям, но
и могут непосредственно быть применены для практических расчетов.
Использование в программах английских единиц измерения при
машинных расчетах не является серьезным препятствием для их
реализации
Перевод книги осуществлен с некоторыми небольшими
сокращениями, касающимися главным образом материалов, содержащих сведения
по американским стандартам и выпускаемым в соответствии с ними
изделиям. Исключены некоторые примеры из гл. 12 по компактным
теплообменникам, поскольку они известны советскому читателю по книге
В. М. Кэйса и А. Л. Лондона «Компактные теплообменники»
(«Энергия», i967), а также ряд примерных расчетов из глав 6 и 7.
Существенно сокращены приложения, главным образом за счет
исключения таблиц и графиков теплофизических свойств, которые часто
выпускаются нашими издательствами и имеются в распоряжении
специалистов.
При переводе был осуществлен пересчет всех величин из
английской системы единиц в систему СИ, исключение составляют материалы
глав 6 и 7, где оставлены английские меры, поскольку они заложены в
машинные программы.
Большую работу по пересчету единиц, перестройке графиков и
оформлению рукописи провели Д. В. Власов и И. В. Власов, а по
переводу текста задач глав 1—3 и 8—12 и пересчету данных,
приведенных в английской системе единиц, ов систему СИ — Е. В. Сидоров, за что
переводчики выражают им свою .признательность.
Переводчики считают своим долгом выразить благодарность канд.
техн. наук И. Н. Дулькину за большую кропотливую работу по
научному редактированию перевода.
Перевод глав 1—3 и 8—12 выполнил В. Я. Сидоров, а глав 4—7 —
Ю. А. Зейгарник.
Ю. Зейгарник
5. Сидоров

ОБОЗНАЧЕНИЯ
А— площадь поперечного сечения; для излучения — постоянная в законе Планка;
Ар — площадь профиля ребра;
а — альбедо, безразмерный; произвольный параметр в обобщенном уравнении
Бесселя; do, d\ и т. д. — коэффициенты в уравнениях; половина расстояния
между ребрами;
В — константы, определяемые по мере использования; расстояние между
перегородками;
Ь — расстояние между двумя вертикальными пластинами; постоянная в
обобщенном уравнении Бесселя; оптимальное расстояние между пластинами;
высота ребра;
Bi — число Био=й60/2&;
В г — число Бринкмана;
С — произвольная постоянная; С—электрическая емкость; С% — термическая
емкость; Сь С2 и т. д. — константы, определяемые по мере использования;
с — удельная теплоемкость; безразмерная постоянная; сР — удельная теплоемкость
при постоянном давлении;
d — диаметр цилиндрического шипа;
D — внутренний диаметр цилиндра;
Е — электродвижущая сила; Е0 — плотность потока излучения абсолютного
черного тела; ER — отраженное излучение; Es — солнечное излучение; Ет —
земное (излучение; Е\ — плотность потока излучения первого тела; Е2 —
плотность потока излучения второго тела; Еп — плотность потока излучения п-то
тела; ЕР, — отраженное излучение; Еьх —спектральная- плотность потока
излучения;
F — коэффициент, безразмерный; FA — угловой коэффициент, безразмерный; F а\2,
FА2\ — угловые коэффициенты между телами 1 и 2 B и 1) соответственно;
FT, FRy Fs, Fe — угловые коэффициенты для падающих на космический
корабль потоков земного излучения, солнечного излучения, отраженного
Землей, и прямого солнечного излучения; приведенная степень черноты.
Fo — число Фурье;
G — массовый расход;
g — ускорение свободного падения;
h — коэффициент теплоотдачи; tiam — коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по
среднеарифметическому температурному напору и внутренней поверхности
Si\ hi и 7*2 — коэффициенты теплоотдачи, вычисляемые по разности
температур на входе и Sf, hi — коэффициент теплоотдачи, вычисляемый по средне-
логарифмическому температурному напору и Si\ ha — средний коэффициент
теплоотдачи; he — коэффициент теплоотдачи на торце ребра; /i<x>—
асимптотический коэффициент теплоотдачи;
/—интенсивность излучения;
/п( ) и т. д. — модифицированная функция Беоселя 1-го рода п-то порядка;
i — мгновенный ток;
/п( ) и т. д. — функция Бесселя 1-го рода я-го порядка;
/ — показатель степени в обобщенном уравнении Бесселя;
Кп( ) и т. д.—модифицированная функция Бесселя 2-го рода я-го порядка;
5

К s — постоянная;
Ке — кинетическая энергия;
k — коэффициент теплопроводности;
L — длина; длина входного участка в круглой трубе; длина продольного ребра;
М — масса;
т — индекс суммирования; т\, т2— постоянные времени, определяемые по мере
использования; параметр ребра;
п — константа, указывающая порядок функции Бесселя; индекс суммирования;
число слоев насадки;
P(Fo)—ряд в задаче о теплопроводности пластины; периметр ребра;
р — показатель степени в обобщенном уравнении Бесселя;
Q — количество тепла Qi (Дж), внутреннее тепловыделение (Дж/м3);
q — тепловой поток; qc—конвективный тепловой поток; q\— внутренний
тепловой поток; qr — лучистый тепловой поток; ## — отраженный тепловой поток;
qi — тепловой поток земного излучения; q' — мощность внутренних
источников теплоты; qi2 — тепловой поток, передаваемый от тела 1 к телу 2; q2\—
тепловой поток, передаваемый от тела 2 к телу 1; q0 — тепловой поток через
основание ребра.
R — тепловое сопротивление; Re—радиус Земли; R' — электрическое
сопротивление на единицу длины; R — отношение Кошй;
г — радиус; гг-— внутренний радиус; г0 — внешний радиус; гь г2—
промежуточные радиусы; расстояние от Солнца; радиальная координата; радиус ребра;
г с — приведенный радиус ребра, ге — радиус торца ребра; г0 — радиус
основания ребра; г' — фиктивное приращение радиуса; S — площадь поверхности
теплообмена; «Si — площадь внутренней поверхности теплообмена трубы; для
излучения: Sh S2— площади поверхностей первого и второго тел; полная
поверхность теплообмена оребрения и основной поверхности;
s — переменная преобразования Лапласа; s0 — внешняя поверхность цилиндра на
единицу длины; Si — внутренняя поверхность цилиндра на единицу длины;
Т — абсолютная температура; равновесная температура поверхности космического
корабля; Г0 — определяющая температура; Т$ — температура окружающей
среды;
t — температура, температура ребра; tP — температура пластины; t8 —
температура окружающей среды; t\ — температура на входе; t2 — температура на
выходе; t\ — температура поверхности на выходе; te — температура торца
ребра; U — температура основания ребра;
t(x) —температура как функция х, определяемая по мере использования;
Д^ — температурный напор; изменение температуры жидкости или твердого тела;
U — коэффициент теплопередачи;
и — переменная, определяемая по мере использования;
V — объем; скорость; электрический потенциал;
v — переменная,определяемая по мере использования;
w — телесный угол; стерадиан; массовый расход;
Хс — критическое расстояние в пограничном слое;
X" — вторая производная;
х — линейная координата;
Ал: — линейный интервал;
У — электропроводность;
V — вторая производная;
Yn( ) и т. д. — функция Бесселя 2-го рода /i-го порядка;
у — линейная координата;
z — линейная координата;
а — температуропроводность; произвольный параметр в обобщенном уравнении
Бесселя; о/ — поглощательна.: способность, безразмерная; а\ — поглоща-
тельная способность Солнца; а'т—поглощателыная способность Земли; a'i—
поглощательная способность тела I; о/2 — поглощательная способность тела 2;
р — температурный коэффициент объемного расширения. Произвольный параметр
в обобщенном уравнении Бесселя, параметр оптимизации;
Г( )—гамма-функция;
6

б — толщина 'пограничного слоя; толщина ребра; бе — толщина ребра у торца;
бо — толщина ребра в основании;
е — степень черноты;
0 — полярный угол, рад; цилиндрическая координата, рад; 0е — температурный
напор у торца ребра; 0о — температурный напор в основании ребра; угол
конусности трапециевидного ребра; X — постоянная; для излучения — длина
волны; |х — вязкость; \iw — вязкость при температуре стенки;
вспомогательная переменная в уравнении C.16): \ке — значение у торца ребра; \х0 —
значение в основании ребра;
р — плотность; отношение радиусов; отношение радиуса основания ребра к
приведенному радиусу; р' — отражательная способность радиального ребра;
v — кинематическая вязкость; ц/у;
а — постоянная Стефана — Больцмана;
т — время; т/ — пропускательная способность; ts — касательное напряжение;
Г — дополнительная переменная, используемая для подстановок; Y' — переменная,
используемая в подстановках;
Ф — сферическая координата; параметр радиального ребра, определяемый
выражением C.31); комбинация членов в выражении C.46);
X — сферическая координата; отношение конвективного теплового потока к
полному;
со — постоянная в обобщенном уравнении Бесселя; ©ь со2,..., соп — толщина
разделительных пластин в насадке.
Индексы
а — среднее значение;
с — скорректированная величина;
е — торец ребра;
/ — жидкость;
i — номер элемента поверхности;
О — основание ребра;
R — излучение, приемный конец линии передачи;
s — окружающая среда, передающий конец линии передачи;
/ — термический;
* — оптимизированный параметр.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана с целью дать систематические сведения
по теории и применению развитых поверхностей теплообмена.
Совершенствование развитых поверхностей способствует прогрессу многих
областей техники, в которых процессы теплообмена играют основную
или вспомогательную роль. Среди них такие разнообразные области,
как космонавтика, авиация, кондиционирование воздуха, химическая
и нефтеперерабатывающая промышленность, производство ЭВМ, крио-
геника и холодильная техника, электроника, топливные элементы, печи,
газовые турбины, магнитогидродинамика, плазма, отопление, ядерная
и гелиоэнергетика и, наконец, генерирование электроэнергии
традиционными методами. В результате проведенной работы по отбору и
обобщению материалов здесь в единообразной форме представлен ряд
исследований, заимствованных из отраслевых периодических изданий,
малодоступных отчетов и препринтов научных симпозиумов. Некоторые
узкоотраслевые издания отсутствуют во многих библиотеках, а ряд
отчетов и препринтов до появления в учреждениях копировальной
техники не печатался.
При разработке методики изложения материала постоянно имелись
в виду два типа читателей с различными запросами. Прежде всего
авторы ориентировались на читателя, который будет использовать эту
книгу как учебное пособие по развитым поверхностям теплообмена.
Часть I — «Анализ развитых поверхностей теплообмена» авторы
задумали представить в форме, позволяющей читателю активно
овладеть теоретическими методами, приобрести опыт и уверенность при
самостоятельном решении задач, возникающих в практической
деятельности, но не рассмотренных в литературе.
Второй тип читателя — это инженер-практик, которому необходим
справочник по основным соотношениям, использованным при решении
задач в первой части книги. В то же время предполагалось, что такой
читатель заинтересован прежде всего в получении быстрых численных
ответов на задачи, подобные рассматриваемым в первой части, т. е.
для более или менее обычных геометрических форм развитых
поверхностей и параметров окружающей среды.
Теоретический материал, излагаемый в ч. I, иллюстрируется
численными примерами. Кроме того, для облегчения ручных расчетов
8

приведены многочисленные таблицы и графики, рассчитанные на ЭВМ.
В тех случаях, когда расчеты на ЭВМ являются неотъемлемой частью
процесса решения задачи, как в гл. 5—7, приводятся результаты
сравнения данных численных расчетов и ручных расчетов по различным
приближенным уравнениям, которые приходится использовать при
отсутствии ЭВМ.
В отличие от первой части книги, в которой в обобщенной форме
рассматривается теплообмен между единичным ребром и окружающей
его средой, в части II — «Расчет теплообменников» приводятся
соотношения для расчета теплопередачи между двумя потоками,
разделенными развитой поверхностью. Вторая часть знакомит читателя с
конструкциями выпускаемых промышленностью развитых поверхностей
теплообмена, а также с методами их расчета, основанными на
сочетании теоретического анализа и эмпирических соотношений.
В связи с тем что развитые поверхности широко распространены
в самых различных отраслях промышленности, при отборе материала
для расчетов в гл. 6—8 не было возможности включить примеры,
одинаково интересные широкому кругу читателей.
Уже в начале работы над планом книги стало очевидным, что она
легко может превратиться в энциклопедический труд, содержащий
сведения, накопленные авторами в процессе их инженерной
деятельности. Если бы авторы позволили случиться такому, то цель, ради
которой эта книга была написана, а именно подготовить труд, избавляющий
читателей от длительных поисков литературы и повторного вывода уже
опубликованных соотношений для расчета теплопередачи ребер, не
была бы достигнута.
Чтобы удержать объем книги в разумных пределах, пришлось
опустить ряд опубликованных аналитических работ других авторов,
а также ряд наших собственных еще не опубликованных работ. Вывод
некоторых аналитических соотношений не включен просто потому, что
пояснительный текст к ним занял бы слишком много места. Авторы
прекрасно сознают, что в книгу не включены такие вопросы, как
совместный конвективный тепло- и массообмен на ребрах, широко
распространенный в установках кондиционирования воздуха, радиа-
ционно-конвективный теплообмен на оребренных поверхностях в
камерах сгорания, расчет радиаторов орбитальных космических аппаратов
с изменением положения ребер относительно источника тепла и многие
другие. В некоторых случаях применяемые в промышленности методы
расчета настолько основательно оптимизированы и стандартизованы
на эмпирической основе, что никакая другая методика, кроме чисто
аналитической, если бы такая имелась, не заслуживает места. Если
работа какого-либо автора изложена слишком кратко или совсем
опущена, это не следует воспринимать как неуважение к нему, поскольку
нам пришлось иметь дело с чрезвычайно обширной литературой.
9

По собственному опыту мы знаем, что инженеры и ученые,
занятые в новых областях техники, получили образование и основные
навыки в самых различных учебных заведениях. Поэтому настоящая
книга написана с междисциплинарных позиций. Мы чувствовали, что
подготовлены для этого, поскольку имеем дипломы инженера-химика,
инженера-электрика и инженера-механика. Нам хотелось, чтобы
каждый читатель чувствовал себя «как дома» в любой части книги.
Поэтому наше изложение отдельных вопросов некоторым читателям
может показаться слишком элементарным. Предполагалось, что читатель
прослушал общий курс теплопередачи и имеет математическую
подготовку, позволяющую решать дифференциальные уравнения.
В написании данной книги авторам оказывали прямую и косвен*
ную помощь многие лица. Прежде всего мы выражаем признательность
Отделению аэронавтики фирмы Хонивел за поддержку, за разрешение
использовать вычислительные машины и за помощь в программном
обеспечении. Все машинные вычисления, приведенные в книге, были
выполнены на машинах типа «Хонивел Н-800». Мы также прекрасно
осознаем ту важную роль, какую для нас сыграла возможность
использовать результаты исследователей, чьи работы упоминаются
в тексте, и выражаем им признательность. Нам особенно хочется
отметить вклад в литературу о развитых поверхностях нашего давнего друга
Карла Гарднера, методы расчета которого значительно облегчили нашу
задачу.
Д. Керн
А. Краус
/

ЧАСТЬ I
АНАЛИЗ РАЗВИТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕПЛООБМЕНА
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ТЕПЛООБМЕН И НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
Развитые поверхности теплообмена
Вопросы интенсификации теплообмена актуальны для все
возрастающего числа технических дисциплин, в которых приходится иметь
дело с различными формами передачи энергии. Эти отрасли техники
выдвигают высокие требования к эффективным теплообменным
устройствам, касающиеся сокращения их массы, объема, снижения
стоимости или оптимизации формы. Теплообмен развитых поверхностей
представляет собой раздел теплопередачи, изучающий
высокоэффективные теплообменные устройства и их работу в различных условиях.
Q
СЫ5> С^=зр
з)
*)
. з)
и)
Рис. 1.1. Некоторые характерные примеры развитых поверхностей.
а — продольное ребро прямоугольного профиля; б — круглая труба с продольными ребрами
прямоугольного профиля; в — продольное ребро трапециевидного профиля; г — продольное ребро
параболического профиля; д — круглая труба с радиальными ребрами прямоугольного профиля; е —
круглая труба с радиальными ребрами трапециевидного профиля; ж — цилиндрический шип; з —
усеченный конический шип; и — параболический шип.
С типичными примерами высокоэффективных поверхностей
теплообмена можно встретиться в самолетах, космических кораблях и их
силовых установках, в химической промышленности, в холодильной
и криогенной технике, в электрических аппаратах и электронных
приборах, промышленных печах и теплообменниках, котлах-утилизаторах
и газотурбинных установках, твэлах ядерных реакторов, в устройствах
прямого преобразования энергии и т. п.

Для передачи тепла от источника к стоку в теплообменных
устройствах различного типа широко применяют такие простые формы
тел, как цилиндры, стержни, пластины. Рассеивающие или
поглощающие тепло поверхности этих тел называют первичными1. Если
первичная поверхность развивается посредством выступов, например
металлических полос или шипов на трубах (рис. 1.1), эта дополнительная
поверхность называется развитой. Иногда развитой поверхностью
называют первичную гладкую поверхность вместе с выступами. В этой
книге используется преимущественно последнее определение. Выступы,
применяемые для развития первичных поверхностей, называются
ребрами. Если ребра имеют коническую или цилиндрическую форму, они
называются соответственно шипами или штифтами2.
В последние годы авиационно-космическая промышленность,
энергомашиностроение, кондиционирование, криогенная техника
предъявляют два основных требования к элементам систем теплообмена —
компактность и малые гидравлические сопротивления. Несколько типов
компактных поверхностей теплообмена показано на рис. 1.2.
Компактность характеризуется поверхностью теплообмена в единице объема
теплообменника. Раньше компактными называли теплообменники,
содержащие более 245 м2/м3 [1]. В настоящее время имеются
компактные теплообменники, содержащие свыше 4100 м2/м3 F5—130 м2/м3
в обычных теплообменниках из труб наружным диаметром 15,9—
25,4 мм). Многие компактные теплообменники состоят из пластин или
труб — первичных поверхностей, разделенных пластинами, стержнями
или шипами, работающими как ребра. Из рис. 1.2,г видно, что
гофрированную полосу можно рассматривать как отдельное ребро с
высотой, равной половине расстояния между разделительными пластинами,
1 Часто употребляют также названия «основная» или «несущая» поверхность.
г 3 дальнейшем ребра обоих типов называются одним термином — «шипы».
П

Нагребаемая поверхность
п несущей стенки
Р
t
РеЬро
выступающими в роли первичных поверхностей. Таким образом,
компактные теплообменники представляют собой одну из форм развитых
поверхностей теплообмена.
Эффективность ребра
Легко показать, что если оребренная поверхность помещается
в среду с однородной температурой, поверхность ребра менее
эффективна в смысле теплоотдачи, чем основная (несущая ребра)
поверхность.
Рассмотрим пластину с продольным ребром прямоугольного
поперечного сечения (рис. 1.3). Пусть к внутренней поверхности пластины
подводится тепло от источника с
температурой t\ при однородном коэффициенте
теплоотдачи, а с внешней поверхности пластины и
поверхностей ребра тепло отводится к более
холодной окружающей среде с температурой
ts, причем коэффициент теплоотдачи одинаков
по всей поверхности теплоотвода. Поверхность
теплоотдачи пластины имеет некоторую
промежуточную температуру tPi а температурный
напор между ней и окружающей средой равен
tP—ts. Поверхность ребра имеет температуру
t, а температурный напор ребро —
окружающая среда равен /—ts. Тепловой поток,
подводимый к основанию ребра, передается по
ребру путем теплопроводности. Обычно
температура в основании ребра близка к tv. Тепло
может передаваться по ребру только в том
случае, если по его высоте существует градиент
температуры, т. е. если tp больше, чем t. При этом t—18 меньше, чем
/р—^s, и поверхность ребра менее эффективна, чем поверхность несущей
пластины. Температура поверхности ребра t изменяется по его высоте
от основания к торцу.
Таким образом, плотность локального теплового потока с
поверхности ребра всегда ниже, чем с основной поверхности. Под
эффективностью ребра понимается отношение теплового потока, действительно
отведенного ребром, к потоку, который отвело бы такое же идеально
проводящее (&=оо) ребро с однородной температурой, равной
температуре в основании. Это определение сохраняется на протяжении всей
книги. Для оценки работы ребра применяются также и другие
характеристики, такие как эффективность ребра по отношению к основной
поверхности с площадью, равной площади поперечного сечения ребра
в основании, средняя эффективность оребрения, термическое
сопротивление ребра. Эти характеристики рассматриваются в последующих
главах. Ребро данного размера, формы и материала обладает
различной эффективностью в зависимости от количества тепла, которое
поглощается (отводится) единицей поверхности1. Эффективность
продольного ребра прямоугольного поперечного сечения, показанного на
рис. 1.3, изменяется также с изменением теплопроводности, размеров
поперечного сечения и высоты. В первой части настоящей книги пред-
t
Окружающая
среда ts
Рис 1.3. К определению
эффективности ребра.
1 Точнее,- в зависимости от коэффициента теплоотдачи на поверхности ребра.
(Прим. ред.)
13

полагается, что контактное термическое сопротивление между ребром
и несущей поверхностью отсутствует. Подробнее контактные
сопротивления рассматриваются в гл. 11.
Виды теплообмена между оребренными
поверхностями и окружающей средой
При изучении теплопередачи развитых поверхностей в большинстве
случаев удобно раздельно рассматривать перенос тепла
теплопроводностью внутри ребра и теплообмен с окружающей средой на
поверхности. Обычно это конвективный или лучистый теплообмен либо оба
вида теплообмена, действующие совместно. Могут быть и другие
случаи. Например, если на полое ребро из материала с низким
коэффициентом теплопроводности с одной стороны падает лучистый тепловой
поток от источника с высокой температурой, при анализе необходимо
наряду с теплопроводностью учитывать внутренний лучистый
теплообмен.
За последний десяток лет опубликовано несколько превосходных
общих курсов теплопередачи, появились отличные монографии, в
которых подробно рассматриваются отдельные виды теплообмена. Поэтому
даже если не принимать во внимание, что выходят новые и
переиздаются существующие книги, можно полагать, что читатель обеспечен
обширным материалом по основным разделам теплопередачи.
Поскольку тематика этой книги была четко определена, авторы сочли
нецелесообразным рассматривать в ней элементарные понятия теплообмена.
Вместо этого в конце данной главы приводится список рекомендуемых
книг. Остальная часть главы посвящена краткому обзору тех аспектов
теплопередачи и математических методов, которые особенно полезны
при изучении теплообмена развитых поверхностей.
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Введение
Теплопередача — это явление энергопереноса, а
теплопроводность— один из ее видов, при котором перенос осуществляется путем
обмена кинетической энергией между молекулами. Следовательно,
теплопроводность представляет собой микрофизическое явление,
реализуемое только в физической среде. Перенос энергии в результате
упругих столкновений соседних молекул характерен как для тепло-,
так и для электропроводности. В последнем случае дополнительный
вклад в проводимость вносит упорядоченное движение свободных
электронов.
Перенос тепла теплопроводностью можно рассматривать также
макроскопически. Согласно закону, впервые предложенному Био [2],
но обычно приписываемому Фурье [3], тепловой поток прямо
пропорционален градиенту температуры и площади поперечного сечения,
нормального к направлению теплового потока. Таким образом, для
одномерного потока
где q — тепловой поток; А — площадь поперечного сечения потока; t —
температура; х — координата; -т~—градиент температуры. Знак минус
означает, что тепловой поток положителен, когда градиент температуры
14

отрицателен. Этого требует второй закон термодинамики, в
соответствии с которым тепло не может самопроизвольно передаваться от
низкого температурного уровня на более высокий. Подставив в
предыдущее соотношение константу пролорциональности, получим закон
Фурье:
dQ ил dt
4 dx dx '
(i.i)
где q — тепловой поток; Q — количество передаваемого тепла;
х — время. Уравнение A.1) служит также для определения
коэффициента теплопроводности:
dQ/dz
к= —
Adt/dx'
Дифференциальные уравнения теплопроводности
Уравнение теплопроводности может быть получено из
рассмотрения элементарного объема в изотропной стационарной среде.
Элементарный объем пред-
fy+o?</
I dx
ставляет собой куб
размерами dx, dy, dz (рис.
1.4), с коэффициентом
теплопроводности и
удельной
теплоемкостью, значения
которых есть функции как
положения, так и
температуры. В
направлении любой координаты
тепловой поток
описывается уравнением
A.1). Результирующий
тепловой поток,
поступающий в
элементарный объем в
направлении х, дается
выражением
Чх-
Цг
dqs тепло^ккумули,-
рованное 6 объеме
Цх+dx
dqi тепло, выделяемое
6 одьеме
х
Рис. 1.4. К выводу дифференциального уравнения
теплопр ов одности.
dt
dQx—dQx+dx=—k(xy yt z, t) —dydzdz —
ЩИ
дщ Г
dQx — dQx+dx=^
k{x% y, z, t)^r\dxdydzd%.
Аналогичные выражения можно- записать для направлений у и г:
dQy - dQy+dy = щ- ["* (х, у, г, t) ^LJ dx dy az dx;
dQ* -dQz+dz=-^- [k(x, у, z, /) Щ dxdydzdx.
Если в объеме происходит химическая или ядерная реакция или
протекает электрический ток, в уравнение необходимо ввести функцию
15

источников или скорость выделения тепла (т. е. количество тепла,
выделяющееся в единице объема в единицу времени). Если qi=dQi/dx
на единицу объема, то
dQi = qi dx dy dz dx,
где индексом i обозначается тепловыделение внутренних источников.
Если тепловой поток нестационарный, тепло будет накапливаться
в элементе. Согласно закону сохранения энергии количество
накопленного тепла должно быть равно увеличению или уменьшению
внутренней энергии в объеме. Обозначая накопленное тепло через Qs, имеем:
dQs = рс (х, у, г, t) ~^т- dx dy dz dx,
где р — плотность; с — удельная теплоемкость.
Исключая из предыдущих уравнений общие члены dx, dy, dz и dx,
получаем:
W [k{x> »• z^u] +W [*(*¦ »• г*')?f\+
Уравнение A.2) представляет собой общее уравнение
теплопроводности, и его решение дает температурное поле как функцию координат
х, у, z и т. Если коэффициент теплопроводности и удельная
теплоемкость не зависят от координат и температуры, уравнение A.2)
сводится к соотношению
ах2" ду2 't'dz2'f~ k ~~ a dz • ^ >
где а — коэффициент температуропроводности.
В общем случае он может быть функцией х, у, z и t, так что:
/ л\ k (Х. У, Z, t)
а (л, у, z, t) = ; — '
v ' ** ' ' рс (х, у, z, t)
или
— JL ¦
Если система не содержит ни источников, ни стоков тепла, то A.3)
приводится к уравнению Фурье:
дЧ i дЧ \дЧ 1 dt n 4v
Если система содержит источники и стоки тепла, но не зависит от
времени (стационарна), то уравнение A.3) приводится к уравнению
Пуассона:
^+1+5+1 = 0- 0-5)
Наконец, для системы, не зависящей от времени, при отсутствии
источников и стоков тепла A.3) переходит в уравнение Лапласа:
дЧ . дЧ <дЧ n n fiv
^+-§^+а?=0. A.6)
Уравнение Лапласа обычно записывается в виде
V2*=0,
16

где V — оператор:
В цилиндрических координатах, где г — радиус, 8 — угловая,
a z — осевая координаты, A.3) может быть записано в виде
_ / д л д 4- д \
дН , 1_ dt_j 1_ дН | дЧ | цл
' г дг ' г2 ля2 ¦ ^^2 ¦ ь
(V
дв2
dt_
A.7)
Существует пять методов решения задач теплопроводности:
аналитический, аналоговый, численный, графический и экспериментальный.
Четыре из них исходят непосредственно из A.3) или различных его
форм — уравнений A.4) — A.6). Экспериментальным методом
пользуются, когда остальные методы не дают результатов. Кроме того, его
применяют для определения теплофизических свойств, таких как
теплопроводность и удельная теплоемкость. При этом выбирают
конфигурацию системы, задают координаты и температуры, а получают
искомое значение теплофизического свойства. Можно также с помощью
термодатчиков измерять температурное поле в различных точках на
модели системы. В этом случае точность решения определяется
точностью измерительных приборов. Четыре других метода используются
в зависимости от специфических особенностей рассматриваемой задачи.
Аналитический метод
Аналитический метод состоит в математическом решении
дифференциальных уравнений теплопроводности. Обычно задачи
теплопроводности делят на два класса — стационарные и нестационарные (или
переходные).
Стационарные задачи могут быть- очень простыми. Например,
плоская одномерная задача теплопроводности описывается уравнением
A.6), имеющим в левой части лишь один член. Они могут быть и
довольно сложными, например полное уравнение Пуассона A.5).
Рассмотрим плоскую пластину с коэффициентом теплопроводности k,
поверхности которой Х\ и х2 поддерживаются соответственно при
температурах t\ и \t2. Требуется найти распределение температур в
пластине. Это — одномерная стационарная задача теплопроводности,
описываемая уравнением типа A.6) с единственным членом в левой части
' dx
2 = 0,
где х—координата, начало которой находится в некоторой точке вне
пластины. Двойное интегрирование дает:
dt
=с»
dx
t = Cxx + C2,
где постоянные интегрирования С\ и С2 вычис
условий t(x{) =i\ и t(x2) =t2. Таким образом
t = (t1~t2)
В цилиндрических координатах ан
сложнее, поскольку радиальная состав
2—192 /
/J
ся из граничных
A.8)
з'кдача несколько
авне'мя Лапласа

имеет два члена. Однако и эта задача решается весьма просто.
Рассмотрим толстостенную трубу, на внутренней и наружной поверхностях
которой (радиусами г\ и г2) поддерживаются температуры U и t2
соответственно. Основное уравнение задачи содержит первые два члена
уравнения A.7):
дг** г дг — U>
где г — радиальная координата с началом на оси трубы.
Двойное интегрирование дает:
t=Cllnr+C2,
где постоянные интегрирования вычисляются из граничных условий
i(r1)=/1 и t(r2)=t2. Таким образом,
t = Jip**inJL jLf A.9)
Рассмотрим снова плоскую пластину при условии, что в ней
имеется постоянный источник тепла мощностью q%> как, например, в
тепловыделяющих элементах ядерных реакторов. В этом случае необходимо
применять уравнение A.5), которое в одномерном варианте
записывается в виде
Ё!?.4- qi — п
dx2lr к —и-
Двойное интегрирование дает:
' + $-** 4-С.^С,.
где постоянные интегрирования вычисляются из граничных условий
t(x\) =t\ и t(x2) =t2. Таким образом,
* == х X I 2k~ *№ 2 X х) X \Х2 Ху) ХгХ2\ -\-
+ t>(x2~x1) + t2(x2-x1)}-?x\ A.10)
Анализ несколько усложняется при решении неодномерных задач.
Рассмотрим тонкую пластину, изображенную на рис. 1.5. Пусть на
, поверхностях пластины х—0, x=L и у=оо под-
f держивается постоянная одинаковая
температура t0, а на поверхности у=0 —
распределение температуры вцда t=t0(l-\-x/L). Рассма-
триваемая полуограниченная пластина пол-
r~tetrt ностью теплоизолирована. Стационарное
распределение температуры в пластине
описывается уравнением Лапласа. Поскольку
пластина тонкая, градиентом температуры в
направлении z можно пренебречь. Используя первые
два члена уравнения A.6) и обозначая Д*=
=t—10, получаем следующее исходное уравне-
5 ние задачи:
Рис. .1.5. Стационарная теп- . д*Ш) \ д* (Aft л
лопроводность тонкой ила- .Л '-\- й\ ' =и. A-П)
стины. 0Х °У
18
t=t04

Граничные условия имеют вид:
при х = 0, L At = to — t0 = 0
при у = оо M — t0 — ^0 = 0
при у = 0 .... . At = t(x) — t0 = At(x)
Уравнение A.11) решается методом разделения переменных.
Предполагается, что решение можно записать в виде произведения
(М)=Х(х) -Y(y). Используя двойные штрихи для обозначения вторых
производных, запишем d2(At)/dx2=X"Y и d2(At)/dy2=XY". Таким
образом, A.11) сводится к виду
yrr угг
4-=-V; <112>
Для того чтобы уравнение A.12) удовлетворялось при всех
значениях X и К, обе его части должны быть равны постоянной, например,
—X2. Таким образом, получаем два обыкновенных дифференциальных
уравнения
j2 Q2. _ _? Q2
•кг Л > ~y Л .
Запишем эти уравнения в виде
Х"+Я2Х=0; Y"—X2Y=0.
Они имеют следующие решения:
Х=С\ sm%x+C2COs'kx\ A.13а)
7 = С8^ + С4<гЧ A.136)
Таким образом, общее решение уравнения A.11) имеет вид:
М — ху = (С1 sin Хх + С2 cos Хх) (Съегу + С^е~Ху). A.1 Зв)
Для того чтобы при #=0 решение обращалось в нуль, первый член
выражения A.13а) при этом условии также должен обращаться в нуль.
Следовательно, Сг=0. По тем же соображениям условие Af=0 при
y=zoo требует, чтобы второй член уравнения A.136) также становился
равным нулю при */=оо, откуда С3=0. Таким образом, общее решение
сводится к зависимости
M = Ce~*ysin3Lx,
где С — произвольная постоянная, равная произведению С\ и С±,
Для выполнения граничного условия М=0 при x=L необходимо,
чтобы sinAZ=0 или X=mt/L, где п=1, 2, 3 ... Тогда общее решение
записывается в виде
—s
оо
Cne-n«y,Ls.n™c_
где каждому п соответствует свое значение С.
Для определения значений Сп при #=0 используем граничное
условие At=At {x), где
Щх) = ^СяЛп^
*=1
2* 19

и представляет собой разложение функции At(x) в ряд Фурье по
синусам. Следовательно,
L
Cn = -j- \ М (х) sin ?jZ- dx,
о
причем при M(x)=U(l+x/L)—t0=t0xfL это выражение принимает
вид:
L
. mix *
х sin —j- ax.
о
Интегрирование по частям приводит к выражению
С„ == т~4г(sinптс — /zrccosnTu), n = 1, 2, 3...,
и частное решение имеет вид:
f = *# + 2*,fj Г5)ПП"-^С05П «T^sin^x. A.14)
Я=1
Нестационарные задачи. Аналитические решения нестационарных
задач теплопроводности получают, решая A.3). При отсутствии
внутренних источников тепла оно сводится к A.4). Процедура
аналитического решения очень похожа на использованную при решении
двумерной стационарной задачи. Рассмотрим плоскую пластину,
неограниченную в направлениях у и z. Пусть координата х=0
соответствует одной поверхности пластины, a x=L — другой (т. е. толщина
пластины равна L). В начальный момент вся пластина имеет
однородную температуру to. Требуется определить распределение температуры
в пластине, после того как ее поверхности мгновенно охлаждаются
до /=0.
Следовательно, необходимо решить A.4) в одномерном
приближении:
дН 1 dt n 1С;ч
при следующих граничных условиях:
при х = 0 t = 0 для т> О
при х =L ? = 0 для х> 0
Начальные условия:
т=0 t = t0 для O^x^L.
Уравнение A.15) не сложнее, чем A.11), и также решается методом
разделения переменных. Пусть t=XT9 так что A.15) можно записать
в виде
X ~~ а г — к '
где X— постоянная разделения.
В результате получаем два обыкновенных дифференциальных
уравнения:
Г + сЛ2Г=0,
20

которые соответственно имеют решения:
Х= Ci sin Хх + C2 cos %x\
= Съе
Постоянные интегрирования теперь С4 = СхСз и С5 = С2С3 и
t(x, z) = e-al4(C,smXx+C5cosXx). A.16)
Поскольку при х—0 t(x, т)=0, очевидно, что Cs=0. Кроме того,
при x=L t(x, т)=0. Таким образом, либо С4, либо sin XL должны быть
равны 0. Если С4=0, получаем тривиальное решение, поэтому
выбираем sinAX=0 или Х=пл/Ь для м=1, 2, 3 . .. Уравнение A.16) при
этом запишется в виде
t(x,z) = e-a(n*IL)^Cnsm"?-x, /1=1,2,3...,
и для того чтобы удовлетворить граничным условиям, потребуем:
оо
/0 = JjCnsin^x.
п=\
Это выражение — разложение постоянной температуры to в ряд
Фурье, причем коэффициенты ряда определяются из соотношения
L
Сп = — [toSin^xdx. A-17)
о
Выполняя интегрирование в выражении A.17), получаем:
Сп = 2^- (cos ш- 1).
п tin v '
Частное решение уравнения A.15) имеет вид:
t(x^)=V4^e'a^IL)^sm^-x,n^\,3,5... (!.18a)
Рассмотрим теперь плоскую пластину, неограниченную в
направлениях у и z и имеющую в начальный момент однородную
температуру ti. Требуется найти распределение температур в пластине, после
того как ее поверхности (при х=0 и x=L) мгновенно нагреваются до
температуры t0. Эта задача описывается A.15) при следующих
граничных условиях:
при х = 0 t — t0 для х > 0
при x = L t = tQ для х> 0
при т = 0 t = ^ для 0 ^ х ^ L
Решение определяется выражением A.18а), соответствующим
образом измененным для того, чтобы учесть повышение температуры на
поверхностях пластины:
t (Х, Т) _ ;о = V 4 (г;-^ е- "»/L>2T sinЦ-х, п = 1.3,5... A.186)
/1=1
21

Олсон и Шульц [4]j вычислили сумму ряда A.186) для средней
плоскости пластины при x=L/2. Выраженная через число Фурье
Fo=4ax/L2, она оказалась равной
P(Fo) = ±^-L e-^'2)'Fosm^-. A.19а)
/2=1
Таким образом,
В [5—10] имеется множество графиков, позволяющих быстро
решать задачи, подобные рассмотренным, избегая трудоемкой процедуры
вычисления рядов типа A.18). Эти графики дают готовые решения, и
их не следует путать с процедурой графического решения, которая
будет рассмотрена ниже.
Численный метод
Численный метод решения задач теплопроводности основан на
использовании техники конечных разностей. Этим методом могут быть
решены как стационарные, так и нестационарные задачи, а также, что
наиболее важно, задачи, не имеющие аналитического решения.
Подробное обсуждение метода конечных разностей проводится в гл. 6 и 7, где
детально рассматриваются программы решения стационарных и
нестационарных задач для ЭВМ.
Аналоговый метод
Аналоговый метод основан на подобии двух форм уравнения
диффузии:
дх2 —^° дч и дх2 a dz '
где Е — напряжение; С— емкость йа единицу длины; R' —
сопротивление на единицу длины. Первое из этих уравнений описывает
распределение напряжения в линиях передач с распределенными параметрами
(сопротивлением и емкостью). Второе представляет собой одномерное
уравнение Фурье и следует непосредственно из A.4).
Электрическими и тепловыми аналогами являются: напряжение и
температура, ток и тепловой поток, электрическое время (с) и тепловое
время (ч). Эти величины используются для определения значений
термического сопротивления, °С/Вт,
*=?
и термической емкости, Дж/°С,
Ct=pVc.
Заметим, что произведение RCt на единицу длины является
аналогом величины, обратной коэффициенту температуропроводности:
Аналоговую схему стационарной задачи легко получить, если
разделить рассматриваемое тело на конечное число дискретных элементов
22

(узлов) и пренебречь термическими емкостями. По существу это
применение конечно-разностного метода, подробно описанного в гл. 6.
Затем рассчитываются термические сопротивления между узлами, как
в соответствующих задачах теории электрических цепей. Большинство
теорем и правил теории электрических цепей применимо и к задачам
теплопроводности. Аналоговым методом удобно решать не очень
трудоемкие задачи, решение которых на ЭВМ неоправданно.
Строзер [10]1 описывает решение стационарных уравнений
теплопроводности на аналоговых вычислительных машинах (АВМ).
Электрические моделирующие схемы, содержащие около сотни усилителей,
легко собираются и позволяют получать решение простым измерением
напряжений в соответствующих точках.
Рис. 1.6. Трехконтурная
электроаналоговая модель
пластины (ввиду симметрии
задачи емкость
центрального конденсатора
уменьшается вдвое, а изображенная
пунктиром часть схемы не
рассматривается).
Нестационарные задачи теплопроводности моделируются набором
дискретных 7?С-цепочек. На рис. 1.6 показана трехконтурная модель
для решения следующей задачи теплопроводности в плоской пластине.
В начальный момент пластина имеет однородную температуру t0, а
затем ее поверхности мгновенно нагревают до температуры t\.
Электрическим аналогом этой задачи является мгновенное подключение к цепи
источника напряжения с последующей зарядкой конденсаторов. Задачи
такого типа можно решать методами теории переходных процессов
в линейных электрических цепях или на АВМ [11]. АВМ имеет два
недостатка. Во-первых, в комплекте установки всегда имеется
ограниченное число усилителей, в связи с чем и число ^С-цепочек,
используемых для решения задачи, ограниченно. Кроме того, АВМ необходимо
градуировать относительно электрических параметров. При выборе
масштабных множителей для пересчета от часов к секундам и от
градусов температуры к вольтам необходимо следить за тем, чтобы ни
один из усилителей не работал в режиме перегрузки, т. е. не попал под
напряжение, превышающее максимально допустимое.
Для вычисления с помощью аналоговой схемы, показанной на
рис. 1.6, изменения температуры центра пластины во времени
применяют первый или второй законы Кирхгофа для токов в узлах или
напряжений в контурах. Применяя второй закон Кирхгофа к контуру,
содержащему электрические аналоги термического сопротивления и
емкости, получаем:
E^Ri + ^Udz,
где Е — напряжение; i — мгновенный ток.
Запишем соответствующие уравнения для двух соседних контуров
в интегральной форме, заменяя Е и / на М и q:
0==-(^Jdt)'7i+Bi?+^rIdx+^ldT)'72-
23
Г
2R
О
Яг
ZR
т1
I
--oS>-j

Определим преобразование Лапласа
оо
о
где 5 — переменная преобразования Лапласа.
Поскольку решение проводится для температурного напора Мг
а начальный температурный напор между поверхностью пластины и
жидкостью равен нулю, уравнения для контуров преобразуются к виду
-^=f« + 7frJ Q. (*) - Ш Q, (*);
Cts) ^ r> [Cts
Решив систему преобразованных уравнений для двух контуров
относительно Q2(s), получим:
^2 E) = Ct BR*s2 +5Rs/Ct + 2/C2t)'
Обратное преобразование дает выражение для мгновенного
теплового потока
At J e^^__em,
q* (T) = WCJ [ т2—т1
где
т т — ~5/С* ±y^/CtL-lW/C~t
Температуру центра пластины находим, интегрируя выражение для
мгновенного теплового потока:
t(±_,.)-t+ M (e—-e— - J-4-—I A-20)
Для более сложных задач вместо аналогового метода
предпочтительнее использовать численный расчет на ЭВМ. Это
продемонстрировано в гл. 7, которая содержит детальное описание обобщенной
программы решения задач нестационарной теплопроводности для
электронно-вычислительной машины.
Графический метод
Графический метод решения уравнения теплопроводности,
называемый иногда методом Шмидта [12], не требует сложных вычислений
и позволяет получить практические решения нестационарных задач
с различными граничными условиями. Однако он применим лишь для
тел простейших геометрических форм или простых составных тел,
таких как ряд параллельных плоских стенок.
Согласно методу Шмидта исследуемое тело разбивается на
отдельные слои небольшой толщины Ад:. Противоположные границы
каждого из слоев соединяются прямыми, совокупность которых
аппроксимирует профиль температуры в теле, причем чем меньше Ах,
тем ближе аппроксимирующая ломаная проходит к действительной
температурной кривой. Температура центра каждого слоя в
рассматриваемый момент считывается непосредственно с графика.
24

Интервал времени между последовательно наносимыми линейными
аппроксимациями профиля температуры зависит от выбранной
толщины слоя Ах и вычисляется по формуле
График каждого последующего температурного распределения
строят, соединяя точки пересечения границ слоев с графиком
предшествующего распределения температуры. Анализ показывает, что
температура центра любого слоя в конце рассматриваемого интервала
времени равна средней арифметической из температур центров двух
соседних слоев в конце временного интервала, предшествующего
рассматриваемому.
Пример 1.1. Сравнение различных методов решения нестационарной задачи
теплопроводности.
Плоская металлическая пластина толщиной 0,1525 м обладает следующими теп-
лофизическими свойствами: теплопроводность 33,4 Вт/(м-°С), удельная теплоемкость
846 Дж/(кг-°С) и плотность 7350 кг/м3. Первоначально пластина имела однородную
температуру 38°С, а при т=0 поверхности пластины мгновенно нагревают до 260°С.
Определить температуру центра пластины по прошествии 5 мин (т = 5 мин =
= 5/60 ч), используя аналитический метод с применением уравнения Фурье, численный
метод, аналоговый метод (схема с тремя ^С-цепочкахМи) и графический метод.
Решение, 1. Аналитический метод. Для рассматриваемой задачи применяем
решение уравнения Фурье, полученное Олсоном и Шульцем: A.19а) и A.196). Вычисляем
коэффициент температуропроводности а и число Фурье Fo:
а = ^=84о^=5>37'10м2/^0,0193м7ч;
4а, _ 4.0,0193.5/60
Fo=-_ 5-Tg5^ = 0,276.
Из A.19a) P(Fo) =0,6435; из A.196)
t Цг, -^Л = 260 + C8 — 260) 0,6435 = 117°С.
2. Численный метод. В основе метода — конечно-разностная аппроксимация
дифференциальных уравнений. Пластина делится на слои толщиной Д#=2,54 см. С
помощью программы для ЭВМ, подробно описанной в гл. 6, получаем, что температура
центра пластины через 5 мин составляет:
<(-г> ж)=118'5°с-
Разницу результатов численного и аналитического решений можно сократить,
применив Ах.
3. Аналоговый метод. Применяем трехконтурную аналоговую схему,
изображенную на рис. 1.6, и уравнение A.20). Поскольку пластина симметрична, рассматривается
только часть схемы, показанная сплошными линиями. Пластина делится на три слоя,
причехМ каждое R соответствует слою толщиной 2,54 см. Термическое сопротивление
участка одного слоя площадью 0,0929 м2 A фут2)
L 0,0254
R=II= 33,4.0,0929 = 0,00818»С/Вт.
Каждое значение емкости Ct соответствует слою толщиной 5,08 см, за
исключением центрального конденсатора, емкость которого ввиду симметрии схемы равна
~2-Ct. Термическая емкость слоя объемом 1/=0,0508-0,0929 = 0,00472 м3:
С,=р1/с=7350-0,00472-846=29 350 Дж/°С.
25

При вычисленных значениях R и Ct, М = 260 — 38 = 222°С и *=~Qfr ч по
уравнению A.20) находим:
'D- w)=iio°c-
Подобное же, но значительно более трудоемкое решение этой задачи с помощью
пятиконтурной аналоговой модели дает ответ, более близкий к 117°С —результату
расчета аналитическим методом.
4. Графический метод.
Для графического решения
пластина разбивается на 6 слоев
толщиной Ах=2,54 см каждый.
Тогда
Д*2 0,02542
Ат =
2а 2-0,0193
=0,0167 ч.
Границы слоев
Рис. 1.7. Решение уравнения теплопроводности
графическим методом (по Шмидту).
Следовательно, каждый
временной интервал равен
1 мин и кривые Шмидта
строятся для пяти интервалов.
Построение показано на рис. 1.7.
Температура центра пластины
по прошествии 5 мин
L 5
t
60
:137*С.
КОНВЕКЦИЯ
Введение
Конвекция — это перенос тепла движущейся жидкостью,
сопровождаемый перемешиванием ее объемов с различной температурой.
Жидкость, соприкасающаяся с горячей поверхностью, нагрета сильнее, чем
остальная масса. Если движение жидкости происходит только
вследствие возникающей при этом разницы плотностей и подъемных сил в поле
тяжести, такой процесс называют свободной или естественной
конвекцией. Если перемешивание осуществляется каким-либо другим
способом, то такой процесс называют вынужденной конвекцией, хотя в
некоторых случаях свободная и вынужденная конвекция вносят одинако-
вый вклад в результирую-
Ezz2zzgzzzzzzzzg2zzz3 щее движение жидкости.
В любом случае
конвекция представляет собой
явление переноса энергии
или массы, имеющее
преимущественно
макроскопический характер.
Можно спорить о том,
представляет ли собой
ХГГГ7
UZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZb
а)
*).
Рис. 1.8. Профили скорости при ламинарном (а) и
турбулентном ((б) течении.
конвекция отдельный в.ид теплообмена или это по существу явление
теплопроводности. Принято, однако, считать конвекцию особым видОхМ
теплообмена. Так это или не так, но при составлении уравнений баланса
энергии необходимо учитывать движение жидкости. Несомненно, в
настоящее время наибольший интерес в области конвективного
теплообмена представляет изучение механизма энергообмена между стенкой и
26

движущейся жидкостью, причем понимание этого механизма
невозможно без понимания как процессов теплопроводности, так и
характера движения жидкости.
Существуют два различных режима течения жидкости —
ламинарный и турбулентный (рис. 1.8). При ламинарном течении отдельные
линии тока упорядочены и параллельны, а компоненты скорости,
нормальные к основному потоку, отсутствуют. Распределение скоростей
по поперечному сечению ламинарного потока — параболическое,
скорость жидкости, соприкасающейся со стенкой, равна нулю. Передача
тепла в жидкости осущест^яетс^ теплопроводности.уЗгР-
^хре1шя7~1нте1Ш^
Турбулентное течение в отличие от ламинарного" неупорядочено.
Линии тока, если их вообще удается различить, хаотично
переплетаются. Скорость движения изотермического турбулентного потока
практически постоянна по поперечному сечению канала. К механизму
теплопроводности добавляется перенос энергии поперек основного
потока турбулентными вихрями.)
Коэффициент теплоотдачи
Конвективный тепловой поток от поверхности к движущейся
жидкости прямо пропорционален площади поверхности и разности
температур поверхности f и жидкости t". Следовательно,
Вводя коэффициент пропорциональности, получаем равенство
q=hS{f—t"), A.21а)
служащее определением коэффициента теплоотдачи А:
и— g/g__ —k(dt/dy) /i 9ix\
п — t' — t" V — t" ' U-^ioj
где координата у перпендикулярна к поверхности. Уравнение A.21а)
предложено Ньютоном. Согласно уравнению Ньютона коэффициент Ш
теплоотдачи h является функцией скорости потока, его конфигурации щ
(учитывающей и шероховатость поверхности) и некоторых теплофизик ^
ческих свойств жидкости.
Для любых условий коэффициент теплоотдачи не определен до
тех пор, пока не заданы площадь поверхности и разность температур
(температурный напор), к которым его
относят. Рассмотрим, например, движение
жидкости ло трубе внутренним диаметром
D и длиной L. Площадь внутренней
поверхности трубы Si=nDL. Это значение
целесообразно использовать в качестве
площади поверхности теплообмена, хотя труба
имеет и другую поверхность,
соответствующую наружному диаметру. Однако если
температура внутренней поверхности трубы
t'i изменяется по длине, то при одной и той продольная координата
же площади поверхности S< можно
определить несколько коэффициентов теплоотдачи Рис- L9- Профили температур
в зависимости от выбора сответствующей стенки и ™?ти по длине
разности температур. imm стенка. 2- жидкость.
27
)
<^
о
^
в
а.
OJ
с
К
1
t{
tf
'/
/
2
— Ь'г
—h
=^>

Рассмотрим рис. 1.9, на котором показаны профили температуры
внутренней стенки и жидкости по длине трубы. Можно ввести
несколько разностей температур, в частности разность температур на входе и
выходе, среднеарифметическую и среднелогарифмическую.
Разность температур на входе
где индекс 1 соответствует входу.
Среднеарифметическая разность температур
где индекс 2 соответствует выходу.
Среднелогарифмическая разность температур
«лог— In [(*',-*,)/(*',-*,)] •
Эта формула будет выведена в гл. 9.
Следовательно для одной и той же поверхности площадью
Si = jtDL можно определить три различных коэффициента теплоотдачи.
Это Аь определяемый по температурному напору на входе:
К
Я —
A.22)
Аа, определяемый по среднеарифметическому температурному напору:
и —._?_= 2Л A.23)
и hlt определяемый пэ среднелогарифмическэму температурному напору:
q q\bWx-tx)/(t\-U)] . (j 24)
hr
'SiM»
¦^К^-М-^-У]
Пограничный слой
Коэффициент теплоотдачи как при свободной, так и при
вынужденной конвекции связан с характеристиками пограничного слоя.
Рассмотрим вынужденное изотермическое течение жидкости вдоль плоской
пластины, как показано на рис. 1.10. Скорость жидкости,
непосредственно соприкасающейся с поверхностью, равна нулю. Как видно из
рисунка, в направлении,
перпендикулярном к пластине,
происходит непрерывное
изменение скорости от нуля на
поверхности до скорости
основного потока на некотором
небольшом расстоянии от нее б,
называемом толщиной
гидродинамического пограничного
слоя. Значение 6 можно опре-
Рис. 1.10. Профили скорости ори продольном Делить из УСЛОВИЯ, ЧТО СКО-
обтекании плоской пластины. рость жидкости на этом рас-
28
Переходная зона

стоянии от стенки достигает, скажем, 99% скорости основного потока,
хотя распространены и другие определения 1.
Вблизи пластины, вдоль параллельных ей плоскостей, действуют
касательные напряжения, пропорциональные градиенту скорости,
нормальному к поверхности — скорости сдвига. Пропорциональность
между касательным напряжением ts, скоростью V и расстоянием от
стенки у можно обратить в равенство, введя в качестве коэффициента
пропорциональности динамическую вязкость \х. Таким образом,
Это соотношение, впервые установленное Ньютоном, справедливо
для большой группы жидкостей, в которых касательные напряжения
пропорциональны скоростям сдвига. Такие жидкости называются
ньютоновскими. Жидкости, для которых зависимость A.25) не
выполняется, называются неньютоновскими.
Влияние вязкости существенно лишь в ламинарном пограничном
слое, где происходит резкое изменение скорости по нормали к
поверхности (-г— ф0\. Вне пограничного слоя внутреннее трение в
жидкости можно не учитывать и рассматривать течение невязкой
(идеальной) жидкости.
Возвращаясь к рис. 1.10, заметим, что толщина ламинарного
пограничного слоя нарастает от нуля у передней кромки пластины до
некоторого значения на расстоянии Хс от нее, называемом критическим.
При х>Хс течение теряет ламинарный характер и становится
неупорядоченным (линии тока хаотически переплетаются). Хс характеризует
начало турбулентного течения, точнее, начало зоны переходного
режима течения от ламинарного к развитому турбулентному. Опыты,
проведенные на жидкостях с различными вязкостями в широком
диапазоне изменения скоростей, показали, что безразмерный комплекс
вида XcVp/[i=XcV/v остается практически неизменным при изменении
вязкости и скорости. Этот комплекс называется критическим числом
Рейнольдса Rec и используется для определения режима течения
жидкости (ламинарный или турбулентный). Хотя на критическое число
Рейнольдса влияют шероховатость поверхности и условия у передней
кромки, обычно Rec= (З-т-5) • 105.
Для того чтобы определить, ламинарно течение или турбулентно
на некотором расстоянии х от передней кромки пластины, вычисляют
число Рейнольдса с характерным размером х и сравнивают его с Rec.
При Re<Rec режим течения ламинарный, при Re^Rec — переходный
или турбулентный. Из приведенного выражения для Rec и аналогичного
выражения для произвольного числа Re с характерным размером х
следует, что число Рейнольдса представляет собой отношение сил
инерции к силам вязкости.
Проведенный анализ обтекания плоской пластины применим и при
течении жидкости в трубе — для участка, на котором происходит
развитие пограничного слоя. Как видно из рис. 1.11, пограничный слой
симметричен относительно оси трубы на расстоянии Le от входного сечения.
1 В отечественной литературе толщиной динамического пограничного слоя
называют условную величину, равную расстоянию по нормали от стенки, на котором
продольная составляющая скорости с заданной точностью достигает своего предельного
значения вдали от стенки. (Прим. пер.)
29

^Гп!^рИ X=sL: погРаничный слой ламинарный, профиль скорости имеет
параболический вид по сечению трубы. Если же при S? течение
турбулентное, профиль скорости имеет вид, показанный на рис 1Д6
при x>Le профиль скорости не изменяется по длине трубы Такое
течение называется полностью развитым. Для полностью развитого те
чения критическое число Рейнольдса, у которого в качестве^хара™?оно
го размера используется внутренний диаметр трубы (ReJ^wX-
=DGI^), равно приблизительно 2100. р/ц
ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ2& Д°Сих пор мы Рассматривали
изотермическое течение жидкости. Конвективный
теплообмен — процесс столь сложный, что
общего подхода к решению любых задач не су-
is^zzszzzzzzzSSSSZQ, ществует
Точные решения уравнений пограничного
слоя довольно сложны, за исключением лишь
Рис. l.ll. Формирование по- самых простых случаев. Их применяют обычно
граничного слоя в круглой к задачам ламинарной конвекции, основные
трубе. характеристики которой хорошо известны, но
область практического использования
ограничена. Для решения задач как ламинарной, так и турбулентной конвекции
получили распространение методы приближенного интегрирования не
требующие детального описания физического механизма процессов Эти
методы привлекательны тем, что позволяют значительно расширить
круг задач, для которых может быть получено аналитическое решение
При анализе турбулентной конвекции широко используется аналогия
между переносом тепла, массы и количества движения, подтвержденная
^ольшим объемом достоверных опытных данных.
/ В тех случаях, когда математический анализ задачи неосуществим
ввиду большой ее сложности или недостаточного понимания физиче-
\ ского механизма явлений, мощным средством для получения обобщен-
, ных зависимостей служат методы анализа размерностей в сочетании
| с надежными опытными данными.
Коэффициент теплоотдачи при вынужденной
конвекции жидкости в трубах и каналах
и^™,аССМ0Т?ИМ ста1*ионаРное течение жидкости с постоянными
физическими свойствами р с, ц я k в трубе внутренним радиусом гДли-
?ЦЯС постоянной температурой стенки if. Введем полярные
координаты и обозначим полярный угол через 8. Полный тепловой поток
от трубы к жидкости составляет:
q = l\(k^\=rr^dx> A26)
0 0 *
где знак минус отсутствует, так как положительное направление
градиента температуры dt/dr выбирается в направлении г. Из A 24) и
A.гь) получаем выражение для коэффициента теплоотдачи А«, отнесен-
нГти^ТрРаетуНреМд1оГ-аМеТРУ ТРУбЫ ° И сРе^елогаРиФ"и^ской раз-
J J [k(dt/dr)]rssridBdx
и ° °
h> = ЬШ^ . A.27)
30

Умножив hi на D/k, получим безразмерный коэффициент
теплоотдачи— число Нуссельта:
L2«c
f [ [k(dt/dr)]r=r.dQdx
Nu = ° 6 h0 тжп . (l-?8>
?2тс (L/Z)) Млог \ /
Для вычисления Nu по этому уравнению необходимо определить
градиент температуры у стенки (dt/dr)r=r.. Температура жидкости t обычно
является функцией многих переменных, в частности:
* = /(-2Г' А/' Re' Рг' Вг)' (Ь29)
где Pr=c]x/k — число Прандтля, безразмерный комплекс, составленный
из теплофизических свойств жидкости и представляющий собой
отношение скоростей переноса количества движения и энергии; Re — число
Рейнольдса, параметр режима течения, определенный ранее; Вг — число
Бринкмана, являющееся мерой вязкого нагрева жидкости (обычно
пренебрежимо мало). Из A.28), учитывая A.29) и пренебрегая числом
Бринкмана, получаем следующие формы обобщенных зависимостей для
теплоотдачи при вынужденном стационарном течении в горизонтальных
трубах или каналах:
ламинарное течение
Nu^f(Re, Pr, 4"); 0-30)
турбулентное течение
Nu=f(Re, Pr). A.31)
Эти уравнения подтверждаются и анализом размерностей.
При выводе A.30) и A.31) физические свойства жидкостей
принимались постоянными. При больших температурных напорах между
стенкой и жидкостью это допущение может приводить к серьезным
ошибкам, так как \х и р могут сильно изменяться в зависимости от
температуры. Зидер и Тейт [13] предложили поправочный
коэффициент \i/\xw, учитывающий изменение вязкости, где \х — вязкость
жидкости при среднемассовои температуре, или средней температуре
жидкости (между температурами на входе и выходе из канала), а [iw—
вязкость жидкости при температуре стенки трубы. Коэффициент
теплоотдачи может быть получен из уравнений, содержащих число
Нуссельта Nu=hiD/k или в соответствии с рекомендациями Колберна [14] из
уравнений, содержащих число Стантона:
ef_ Nu _ hD/k h_
~ Re Pr (DG/p) (c^/k) — cG ¦
Уравнения, обычно используемые для обобщения данных о тепло-')
отдаче или для вычисления коэффициентов теплоотдачи, называют
иногда уравнениями типа Нуссельта или типа Колберна. Каждый из
этих типов может быть преобразован в другой. Следовательно,
единственной причиной выбора уравнения того или иного типа является
удобство его применения. Долгое время в литературе почти
отсутствовали данные об изменении теплопроводности газов с температурой,
особенно в высокотемпературной области. Уравнения типа Колберна
наиболее удобны для расчета теплоотдачи к газам, поскольку тепло-
31

проводность газа входит только в число Прандтля, сравнительно слабо
зависящее от температуры. Поэтому значения коэффициентов
теплоотдачи к газу можно вычислять с довольно высокой степенью точности
даже в тех случаях, когда известно лишь число Прандтля при
температуре, отличной от реального интервала ее изменения. С другой
стороны, теплофизические свойства капельных жидкостей удобно
представлять в графической форме и использовать эти графики при
вычислении коэффициентов теплоотдачи по уравнениям типа Нуссельта.
Например, зависимость комплекса &(c|i/&I/3 от jul хорошо описывает
свойства различных углеводородов.
Ниже приводятся уравнения обоих типов, обобщающие опытные
данные Зидера и Тейта для ламинарного и турбулентного режимов
течения жидкостей в трубах. Уравнения имеют достаточно высокую
точность для труб внутренним диаметром примерно до 80 мм при
температурных напорах между стенкой и жидкостью до 60°С.
Ламинарное течение (Re<2100)
Уравнение типа Нуссельта
".= '•»(" 5"ГГ(?Г. С32)
где коэффициент теплоотдачи h относят к среднеарифметическому
температурному напору; теплофизические свойства с, [х и k определяют
при среднеарифметической температуре жидкости (между
температурами на входе и выходе из канала), a \iw — при температуре стенки.
Уравнение типа Колберна
h /ср.\2/з /L\i/3 /> \-o>i4_ 1,86 п q.
Переходный режим течения (Re = 2100-МО4)
Согласно работе Хаузена [15] уравнение типа Нуссельта
«> :0,11бГ/^2/3_
k
u», '25К^)(?П'+(?Г} <1М>
а уравнение типа Колберна
(h/cG)(c^/kJ^^/^w)-0^ 0, П6 [(DG/m.J/3-125] (] «-.
Турбулентное течение (Re>104)
Уравнение типа Нуссельта
уравнение типа Колберна
h_ /qx_\2/3 / ^ \-0,14 0,023 , „
cG [k ) [v.w) —(DGM*-*- Kl01)
Уравнения A.32) — A.37) можно применять также для расчета
теплоотдачи в каналах некруглого поперечного сечения и в трубах
с внутренним оребрением. Необходимо лишь видоизменить
характерный размер D, входящий в число Рейнольдса. Применение этих
уравнений подробно рассматривается во второй части книги, посвященной
расчету теплообменников.
32

Коэффициенты теплоотдачи при вынужденной конвекции
в случае внешнего обтекания труб
Уравнения для теплоотдачи при вынужденном продольном или
поперечном обтекании труб можно получить с помощью анализа
размерностей. Как видно из рис. 1.1, наружная и внутренняя поверхности труб
могут быть развиты либо с помощью дополнительных ребер,
укрепляемых на стенке, либо путем экструзии (выдавливания) ребер из
материала самой трубы. В этой книге гладкие трубы рассматриваются
главным образом с точки зрения возможности их развития и создания
оребренных поверхностей различных геометрий, а также как эталон
для сравнения с оребренными трубами по эффективности и стоимости.
Свободная конвекция
При свободной или естественной конвекции характер движения
жидкости определяется только подъемными силами, зависящими
в свою очередь от плотности и сил тяжести. Кроме того, профили
скорости и температуры в жидкости тесно взаимосвязаны. Это резко
отличает рассматриваемый вид теплообмена от вынужденной конвекции,
когда режим течения определяется внешними силами, создаваемыми,
например, насосами или вентиляторами. В последнем случае
предварительно определяют профиль скорости, а затем используют его для
расчета профиля температуры. При вынужденной конвекции число
Нуссельта является функцией чисел Прандтля и Рейнольдса, а при
свободной конвекции — чисел Прандтля и Грасгофа. Число Грасгофа—
это безразмерный комплекс, представляющий собой отношение
подъемных сил к силам вязкости:
где р — температурный коэффициент объемного расширения; g —
локальное ускорение свободного падения. Обобщенное соотношение для
теплоотдачи при свободной конвекции имеет вид:
Nu^C.KGrHPrr^C, [(i^) (??.)]". A.38)
Уравнение A.38) справедливо для тел различных геометрических
форм при различных положениях в поле тяжести. Значения С\ и п
зависят от геометрии и характера течения. При свободной конвекции
произведение GrPr заменяет число Рейнольдса в качестве критерия
режима течения (ламинарного или турбулентного). Граница между
этими режимами лежит примерно при GrPr=109. При ламинарном
течении (GrPr=103-f-109) я=1/4, при турбулентном течении (GrPr=
=109^-1012) л=1/3.
Средний коэффициент теплоотдачи при свободной конвекции
между параллельными вертикальными пластинами можно определить из
рис. 1.12 по Эленбаасу [16];. Этот автор получил следующее
соотношение для оптимального расстояния между пластинами заданной длины
L, при котором они передают максимальный тепловой поток:
6-fGronrPi=50,
где в качестве характерного размера в число Грасгофа входит
расстояние между пластинами Ь. Все физические свойства жидкости за исклю-
3—192 33

чением р, определяются при температуре стенки, а р — при среднемас-
совой температуре жидкости.
Старнер и Мак-Манус [17] опубликовали данные по теплоотдаче
при свободной конвекции на продольных ребрах с различной
ориентацией.
Собел, Лэндис и Мюллер [18] исследовали теплоотдачу при
свободной конвекции воздуха в коротких прямых и ступенчатых верти-
10
1
0,1
ST
¦Т., ПС
гА/и=т
-
—
—
-
Л-
t
jji
[д.....
—L.
J.
JJJ
J
-J-
jL
r i
II
u
L
Iff ff
-J II I
i hiii
л
GvPry-
_L
J_
[X
Qljj
%o
10
100
w6
10*
105
Рис. 1.12. Теплоотдача при свободной конвекции между
вертикальными параллельными пластинами.
кальных каналах, образованных продольными ребрами,
расположенными коридорно или в шахматном порядке, при постоянном тепловом
потоке на стенке. Числа Нуссельта для прямых каналов хорошо
согласуются с зависимостью Эленбааса [16], но для очень коротких
ступенчатых каналов число Нуссельта значительно возрастает.
Коэффициент теплопередачи
При решении практических задач очень редко можно ограничиться
анализом лишь одного вида теплообмена. Как правило, общий
тепловой поток определяется двумя или несколькими его видами. Например,
в случае, когда две жидкости с температурами i\ и t2 разделены
плоской стенкой толщиной L, тепловой поток зависит от соответствующих
коэффициентов теплоотдачи h\ и h2 и теплопроводности стенки к, т. е.
определяется конвективной теплоотдачей и теплопроводностью. Если
температура стенки со стороны жидкости с температурой \U равна ?и
г со стороны жидкости с температурой t2 — соответственно f% то для
теплового потока через участок стенки площадью А можно записать
следующие три соотношения:
q = hxA{U-t\)\
Решая их относительно разностей температур, находим;
*» *l A hx>
f —f — -2-— •
t\
f* A h2 •
34

Сложив эти уравнения, получим:
или
где
{l/hl + L/k+l/h2) A С ~ О =U* «. " О.
^— i/^ + i/fc+i/л, A,39)
называется коэффициентом теплопередачи между двумя жидкостями,
разделенными плоской стенкой. Если стенка очень тонкая и обладает
высокой теплопроводностью, то членом L/k можно пренебречь, что
приводит к соотношению _: ^
U--
h.+ h,
Рассмотрим теперь более сложный случай. По трубе внутренним
и наружным радиусами т\ и г\ движется жидкость с температурой t\.
Коэффициент теплоотдачи от жидкости к внутренней стенке трубы Л*.
Снаружи труба покрыта теплоизоляцией внешним радиусом г0.
Коэффициент теплоотдачи от наружной поверхности изоляции к
окружающей среде (с температурой t2)h0. В этом случае коэффициент
теплопередачи между жидкостью в трубе и окружающей изоляцию средой
определяется соотношением
~~ s0 sQ In (rjrj) SplnCro/rt) 1 ' I' '
htSt "*~ 2nkp "*" 2nkm hQ
где kp и km — теплопроводность трубы и изоляции соответственно;
so — площадь наружной поверхности изоляции на единицу длины трубы.
Из A.40) можно найти тепловой поток на единицу длины,
передаваемый через трубу с изоляцией.
ИЗЛУЧЕНИЕ
Введение
Излучение — это явление переноса энергии, для осуществления
которого присутствие физической среды необязательно. Оно имеет
электромагнитную природу, причем в вакууме энергия излучения
распространяется со скоростью света.
Теоретическое решение задач лучистого теплообмена происходит
в общих чертах в такой последовательности:
1. Вводится понятие идеального излучателя с температурой Г«К,
излучающего во всем диапазоне длин волн в соответствии с законом
распределения Планка. Этот закон определяет спектральную
(монохроматическую) плотность потока энергии, излучаемой «идеальной»
поверхностью.
2. Посредством интегрирования кривой распределения Планка
находится плотность потока интегрального (полусферического) излучения
тела при температуре Ts.
3. Определяется лучистый теплообмен между двумя телами —
идеальными излучателями при полном взаимном облучении.
3* 35

4. Вносятся поправки, учитывающие, что одно или оба тела не
являются идеальными излучателями.
5. Вносятся поправки, учитывающие неполное взаимное облучение
тел.
Закон Планка
Зависимость спектральной (монохроматической) плотности потока
излучения идеального излучателя [ЕвХ от длины волны X была в конце
прошлого века предметом многочисленных исследований, как
экспериментальных, так и теоретических. Планк, создавая квантовую теорию,
постулировал следующий закон, описывающий распределение энергии
по спектру излучения, Вт/(м2-мкм):
¦¦ Е _ 3,740,-IPX- П41>
Этот закон показывает, что спектральная плотность потока
излучения сильно зависит как от длины волны, так и от абсолютной
температуры. Однако он не позволяет определить плотность полного
потока энергии, излучаемой телом при данной температуре. Ее
получают интегрированием A.41) по всем длинам волн.
Закон Стефана—Больцмана
Плотность полного (полусферического) потока излучения
идеального излучателя при определенной температуре, Вт/м2, можно получить,
проинтегрировав зависимость Планка по всем длинам волн
00 СО
Eb = $EbXdX=j 3,740-10- е1Х?_ч. A.42)
о о *
Произведем замену переменной z—A/X, где А = 14 387/7. Тогда
X=A/z и dX=—A dzlz2. После подстановки новой переменной
.„--3,740-10» J-yggnr
?».=-
О
Разложив l/(ez—1) в ряд, почленно проинтегрировав его и
подставив пределы, получим:
с. _3,74(Ы08 / 3! | 3! , 3! , 3! , \
** — —JP (Т"+^+^+4Г"Г--^-
Вычислив выражение в скобках, найдем:
F 3,740.10» ft Л0Ч
Учитывая, что Л = 14 387/7, получаем окончательно закон
Стефана — Больцмана:
Еъ=5,668- 1(Н74.
Постоянная, как правило, обозначается греческой буквой а и
называется постоянной Стефана—Больцмана. Следовательно,
Еъ=оТ\
где 0=5,668.10-* Вт/(м2-К4).
36

Закон Стефана—Больцмана определяет плотность полного потока
энергии, излучаемой идеальным радиатором, как функцию абсолютной
температуры. Полный поток излучения идеального радиатора
получают, умножая Еъ на площадь излучающей поверхности 5, Вт:
q=cST\
Закон смещения Вина
Из закона Планка можно получить важное соотношение между
длиной волны и температурой излучения. Введя новую переменную
х=А /К, где Л = 14 387 jT, подставим ее в A.41) и продифференцируем
это уравнение по длине волны:
dEbX __dEbl dx d j C,740.108/Л5)*5 \ ( A\_q
d j C,740.108/Л5)х5 ) I
"=1х \ e*f^\ I V
или
dl dx dX ~~dx I ex\—\ I \ *2
После дифференцирования и приведения подобных членов получим
5(ех— \)=хех
с / 14387 ДГ п 14 387 _14387/>Т
о (е —- I)— ~jf~e
Последнее уравнение можно преобразовать к виду
14387 +5e-H387/xr_5==0
Это уравнение удовлетворяется при
ЯГ=2897,6 мкм-К; A.43)
это и есть закон смещения Вина, позволяющий определять длину волны
максимума спектральной плотности потока излучения для любой
заданной температуры.
Излучение и поглощение, закон Кирхгофа
Характеристики излучения и поглощения тела можно
рассматривать независимо, но при определенных условиях их можно связать
между собой. Пусть на поверхность падает некоторое количество
энергии излучения Е. Эта энергия частччно поглощается, частично
отражается и частично пропускается поверхностью. Обозначим через а',
р' и т' соответственно доли поглощаемой, отражаемой и пропускаемой
поверхностью энергии от падающей на нее или поглощательную,
отражательную и пропускательную способности1.
Тогда для единичной падающей энергии
Назовем теперь идеальный излучатель «абсолютно черным телом»,
т. е. телом, которое поглощает все падающее на него излучение, ничего
не отражая и не пропуская. Понятие черного тела весьма полезно,
поскольку законы излучения таких тел просты, и многие реальные тела
можно приближенно считать черными. Этот термин связан с тем, что
1 Эти обозначения не следует путать с а и т без штрихов, которые
использовались ранее в этой главе.
37

поверхность, действительно поглощающая всю падающую на нее
энергию, кажется глазу черной. Некоторые поверхности поглощают почти
все падающее на них излучение, но все же не кажутся черными. Дело
в том, что они поглощают не все видимые лучи света (.например, свеже-
выпавший снег или окрашенные белой краской стены, имеющие погло-
щательную способность около 0,95).
На рис. 1.13 изображено небольшое нечерное тело, полностью
окруженное черной оболочкой. Пусть пропускательная способность малого
тела % равна нулю, т. е. оно непрозрачно. Следовательно,
¦a'+f/=l.
Для случая, представленного на рис. 1.13, излучение черного
тела Еъ падает на малое тело, и поток излучения, поглощаемый малым
телом, равен а\Еъ. Малое тело, однако, излучает поток энергии Еи
и результирующий тепловой поток между малым телом и окружающей
его черной оболочкой составляет:
q=a'iEb—Е\.
Если малое тело имеет ту же температуру, что и оболочка,
теплообмена излучением происходить не будет и результирующий тепловой
поток равен нулю (^=0). Следовательно,
a\Eh
= 0;
Eb = -
Аналогичное соотношение можно получить для произвольного
числа нечерных или серых тел в условиях теплового равновесия:
Е * - 2 ~^z n
A.44)
Это весьма общее соотношение известно также как закон
Кирхгофа.
Плотности тепловых потоков излучения всех черных тел при
одинаковой температуре равны. Если малое тело на рис. 1.13 — черное, то
a'i=:l и Е\ = Еь. Если предположить, что Е\ больше, чем ?0, то малое
тело будет охлаждаться вследствие переноса тепла к черной оболочке.
Однако перенос тепла от малого тела к более нагретой оболочке невоз-
«\ можен по второму закону термодинамики,
согласно которому тепло не может
самопроизвольно передаваться от более холодного источника
к более нагретому приемнику. Таким образом,
если малое тело — черное, то в условиях
теплового равновесия оно излучает тепловой поток
той же плотности, что и черная оболочка. На
% основании изложенного можно сделать
следующие выводы:
1. Согласно закону Кирхгофа в условиях
теплового равновесия отношение плотности инте-
'•••;;';:.•*¦*- трального излучения с поверхности к ее погло-
щательной способности одинаково для всех тел.
Рис 1.13. Малое тело, за- 2. Поскольку поглощательная способность
абсолютно 4рнуюЛЬЖ ПРИ любой температуре не превышает единицы,
лочку. плотность потока интегрального излучения по-
/-малое тело (нечерное); верхности черного тела максимальна (по срав-
2^очТГтТмпе1?тТр1я°т°' нению с любой другой поверхностью).
38

3. Черное тело можно считать как идеальным излучателем, так и
идеальным поглощателем энергии излучения.
Поскольку в действительности идеально излучающих и
поглощающих тел нет, понятие черного тела представляет собой идеализацию.
Разумеется, излучательные характеристики так называемых нечерных
тел могут значительно отличаться от их поглощательных
характеристик. Излучательные характеристики поверхности при определенной
температуре определяются ее излучательной способностью1,
представляющей собой отношение действительной плотности потока излучения
к плотности потока излучения поверхности черного тела при той же
температуре.
Таким образом,
Е=гЕъ.
Обратимся снова к рис. 1.13 и предположим, что малое тело не
черное. Энергия, излучаемая черной оболочкой, окружающей малое
тело, в единицу времени, равна Еъ. Энергия, поглощаемая малым телом,
Е\ = а'\Еъ,
а энергия, излучаемая малым телом, в соответствии с определением
степени черноты
Е\ = г\Еъ.
Результирующий тепловой поток между оболочкой и малым телом
q=a!\Eb—г\Еъ.
Когда малое тело и окружающая его поверхность имеют
одинаковую температуру и, следовательно, #=0,
af \Еъ=щЕъ,
откуда
a/i=i8i.
Таким образом, в условиях теплового равновесия поглощательная
способность поверхности равна ее степени черноты. Заметим, что два
тела находятся в тепловом равновесии, только если их температуры
равны.
Интенсивность излучения и закон косинусов Ламберта
На рис. 1.14 показана полусфера, помещенная над элементом
излучающей поверхности dS\. На полусферу падает все испускаемое
излучение, однако без геометрических
искажений излучение попадает только
в одну точку полусферы, находящуюся
непосредственно над элементом dS\. Из
точки на полусфере, смещенной на угол
Ф относительно нормали к dSu
излучающий элемент dSi будет иметь видимую
площадь, равную проекции dS\ cos ф.
Интенсивность излучения / в
некоторой точке пространства с поверхности^!
определяется как энергия, излучаемая
в единицу времени, отнесенная к единич-
ному телесному углу, построенному на
1 В отечественной литературе принят термин «степень черноты», который и будет
использоваться в дальнейшем. (Прим. ред.)
Рис. 1.14. К определению
интенсивности излучения.
39

элементарной площадке dS2 и к единице поверхности,
перпендикулярной направлению луча, соединяющего данную точку пространства с
источником излучения. Если поверхность dS2 лежит на полусфере и
смещена на угол Ф от нормали к dSu тепловой поток от dS\ к dS2
dq^ I cos Ф dSl yr=I cos Ф dSxdw. A.45)
Здесь dw = dS2/r2 есть телесный угол, опирающийся на dS2, под
которым dS2 видна из dS{. Обратим внимание, что dS\ cos Ф есть
проекция площади dS\, видимая из dS2. Таким образом, интенсивность
излучения определяется как
' ^ = dSг cos Фс1ьо ' t1-46)
Плотность полусферического потока излучения определяется
интегрированием по рассматриваемой поверхности. Следовательно, для
поверхности на рис. 1.14
?=Г Г/со*Ф</ФЛи>=Г C/cosOrfO у*. A.47)
W Ф S3 Ф
Поскольку
dw= (r sin Ф йф) (гЖр) I'г2=sin Ф dO d% A.48)
то
2тс тс/2
Е = j* dty f / cos Ф sin Ф а?Ф. A.49)
^ть тс/z
В результате двойного интегрирования получаем
2
? = 2%1 D-sin2 ф) |тс/2 = */, A.50)
т. е. плотность полусферического потока излучения в я раз больше
интенсивности излучения. Это находится в соответствии с законом
косинусов Ламберта, который гласит, что интенсивность излучения по
полусфере над излучающим элементом постоянна. Из этого следует,
что интенсивность излучения меняется обратно пропорционально
квадрату расстояния от источника.
Тепловой поток между идеальными излучателями
На рис. 1.15 изображены две поверхности S\ и 52, разделенные
непоглощающей средой, т. е. средой, не способной задерживать
излучение. Некоторые пары и газы, такие как водяной пар, двуокись
углерода, сернистый газ, способны значительно поглощать излучение.
Обозначим расстояние между элементарными площадками dS\ и dS2
через г. Лучистый поток от \dS\ к dS2 можно записать в виде
dqi2—Ii cos<bidSidwi2,
где dw\2 — телесный угол, под которым элементарная площадка dS2
видна из dSi. Он равен проекции площади, воспринимающей излучение
40

поверхности, деленной на квадрат расстояния между поверхностями
dwi2=dS2 cos Ф2[г2. Следовательно,
d ^^cosc^cosjEaofS^S, A51)
Поскольку /ь—-jEj/tc, A.51) может быть записано в виде
^м=д1<а1(сиф,У**'). 0.52)
где член в скобках определяет часть полной энергии, излучаемой dSu
которая попадает на dS2. Аналогично
^MgBg.dS.(Sg*ifflfgi).
Результирующий лучистый поток между dSj и dS2
р \ ( cos Фг cos Ф2 dS1 dS2
A.53)
или
cos Фх cos Ф2 dSjdSt
A.54)
Двойной интеграл в A.54) может быть записан в виде 5ц/\а12> где
/\ai2— геометрический параметр, называемый угловым коэффициентом
излучения поверхности S\ на S2.
Значение /^12 зависит от
конфигураций излучающей и
поглощающей поверхностей. Таким
образом, тепловой поток S\ к S2
можно записать в виде
qi2=(Ei-E2)SlFAl2. A.55)
Аналогично
q2l=(E2—El)S2FA2l. A.56)
Следовательно,
результирующий тепловой поток
q = SFA (Ex—E2) = SFA AE.
A.57)
Равенство
SiFa\2 = S2Fa21
A.58) Рис. 1.15. Поверхности, разделенные непо-
глощающей средой.
известно как теорема взаимности.
Определение угловых коэффициентов путем вычисления двойных
интегралов— трудоемкая процедура даже для самых простых
конфигураций. Но в литературе [19—21] имеются результаты множества расчетов
угловых коэффициентов для различных конфигураций, представляющих
практический интерес.
Тепловой поток между неидеальными излучателями
В предшествующем разделе рассматривался лучистый теплообмен
между двумя идеальными излучателями и было показано, что
передаваемый тепловой поток зависит от взаимного расположения поверхно-
41

стей. Для двух непрозрачных поверхностей при полном взаимном
облучении (FA=l) лучистый тепловой поток находится из соотношения
q=SFAAE=SAE. A.59)
Энергия излучения, испускаемого единицей поверхности 1 в единицу
времени, Е\=ъ\Еъ\. Эта энергия падает на поверхность 2, которая
частично ее поглощает (а'ге^ы) и частично отражает (р^е^ы).
Поскольку мы приняли, что обе поверхности непрозрачны, поверхность 2
не пропускает излучения. Отраженная поверхностью 2 часть излучения
вновь попадает на поверхность i, которая частично ее поглощает
(ot'ip^eifbi) и частично отражает (р^р^е^м). Этот процесс можно
продолжать до бесконечности.
Аналогично рассматривается и излучение с поверхности 2. Энергия,
излучаемая единицей поверхности 2 в единицу времени, ъъЕъч при
падении на поверхность 1 частично поглощается (а^егЯьг) и частично
отражается (р^ег^ьг). Отраженная часть вновь попадает на поверхность 2,
которая частично ее поглощает (а'гр^ег^&г) и частично переотражает
(р^р^бг-Еьг). Таким образом, полная энергия, передаваемая от
поверхности 1 к поверхности 2 в единицу времени, равна излучению г\ЕЪ\ и
82^62, которые поглощаются в конце концов поверхностью / после
последовательных отражений:
<7i2 = Si?i^i — S2a\e2Eb2 - Syy^Efr - S2a\s29'l9'2Eb2 —
— V'iP'sP'i8 Ai — W \?'\*2Еь* — •••
или
q12=SxsxEbl A - a'lP'2 - a'/sPx - а'гР'У - •••) —
~82в2ЕЬ2(а\ + а\9\9\^а\9У2 + а\9^+-''У 0-60)
Если разница температур обоих тел невелика и они излучают
приблизительно в одинаковом диапазоне длин волн или если поверхности
тел можно считать серыми, то
8l—а'ь 82=(Х2;
Р,1=1—<xri==l—ei; p72=l—^2=1—е2;
?i.=S.«Aiti - Mi - ?2) - Mi - О A - ••)•-
- Mi - ?Л1 - *2K - .-.] - s,«A.[«i +
+ «t(i ~ s>) A ~ **) + Mi - ^Jd - *2J+•••].
Суммируя ряд, при S1^=S2 получаем:
qlt = SF,(Ebl-EbJ, A.61)
где Fe = (l/s1-|- l/e2— 1)— приведенная степень черноты системы.
Результирующее уравнение теплообмена излучением
Исходя из закона Стефана — Больцмана и вводя «коэффициенты,
учитывающие взаимное расположение и неидеальность излучателей,
получаем следующее уравнение лучистого теплообмена:
q„ = SFAFs (Et-Et),
или '*'¦'"', \ О-62)
qi2 = oSFAFt(T\-T\).
42

Излучение в топках котлоагрегатов и технологических печей
Для удовлетворения непрерывно возрастающей потребности в
электроэнергии в топках котлоагрегатов тепловых электростанций
сжигаются громадные количества твердого, жидкого и газообразного топлива.
Схематический разрез такого котлоагрегата показан на рис. 1.16. Топки
современных котлоагрегатов экранированы трубами, в которых
происходит частичное превращение воды в пар. Термодинамическая
эффективность парогенераторов постоянно увеличивается с ростом
температуры горения в топочной камере. Однако практически не приходится
ограничивать, исходя из условий равновесия процессов и устойчивости
материалов к воздействию излучения и высокотемпературных топочных
газов. При использовании в качестве топлива угольной пыли, как в кот-
лоагрегате, изображенном на рис. 1.16, необходимо считаться также
с вредным воздействием на материалы расплавленной и твердой золы.
Выше уже упоминалось, что некоторые газообразные продукты горения
поглощают излучение. Тем не менее температуры в топочных камерах
столь высоки, что лучистый, а не конвективный теплообмен является
определяющим.
Развитые поверхности получили наиболее широкое распространение
не в топках, а в качестве конвективных поверхностей нагрева
экономайзеров и воздухоподогревателей паровых котлоагрегатов. При
проектировании топок современных крупных паровых котлоагрегатов,
рассчитанных на получение пара высоких 'параметров (давления и температуры),
сталкиваются с двумя материаловедческими проблемами. Во-первых,
при повышении температуры горения от 1300 до 1700°С стоимость футе-
ровочных материалов, которыми облицовывают топку, значительно
возрастает, поскольку приходится использовать огнеупоры с более высокой
температурой плавления. Во-вторых, температура поверхности
экранных труб не должна превышать предельно допустимой для труб из
углеродистой стали, равной приблизительно 730°С. При этой
температуре в углеродистой стали происходит фазовый переход. Если труба
работает при температуре, превышающей точку перехода, она
разрушается, причем разрушение ускоряется при многократных переходах
через эту точку во время пусков и остановов котлоагрегата.
Однако тот высокий уровень развития, которого достигли
современные крупные энергетические котлоагрегаты, стал возможным благодаря
тому, что превращение воды в пар в экранных трубах сопровождается
поглощением через стенку трубы огромного количества тепла, в то
время как температура самой стенки остается сравнительно низкой. Для
наилучшего использования этих чрезвычайно благоприятных свойств
экранных труб их устанавливают в топочной камере двумя способами.
По первому способу экран из плотно прилегающих друг к другу труб
размещается на некотором расстоянии от стен топочной камеры или
непосредственно возле стен, защищая футеровку от излучения факела.
По зторому способу экранные трубы по полупериметру заделывают
непосредственно в огнеупорный кирпич. При этом температуры как
футеровки, так и экранных труб остаются сравнительно низкими.
В обоих случаях излучение поглощает только половина поверхности
экранных труб, хотя частично энергия падающего излучения передается
к непоглощающей стороне 'путем теплопроводности. Если экранные
трубы не касаются стен топки, они поглощают падающее излучение от
факела, а также излучение, отраженное от кладки (футеровки) и
других труб. На рис. 1.17 представлена зависимость эффективного углового
коэффициента излучения от плоскости на один или два ряда экранных
43

Рис. 1.16. Парогенератор с пылеугольной топкой, оборудаванной радиадианными
экранами.
/ — подвод воздуха; 2 — воздухоподогреватель; 3 — экономайзер; 4 — пароперегреватель.
44

труб, параллельных плоскости (по Хоттелю [19]). Трубы расположены
в шахматном порядке в вершинах равносторонних треугольников. Эти
же графики справедливы и для коридорного расположения труб в
вершинах квадратов. При расчете угловых коэффициентов предполагалось,
что отражающая излучение огнеупорная кладка нетеплопроводна.
Применяют также ошипованные экранные трубы с шипами,
приваренными по полупериметру либо по всей наружной поверхности.
Трубы, ошипованные по полупериметру, заделывают в огнеупорный кирпич,
и они выполняют функции ребер, поддерживая температуру футеровки
достаточно низкой. Трубы, ошипованные по всей поверхности,
покрывают слоем огнеупора для защиты шипов, обращенных к факелу,
которые в свою очередь защищают футеровку от перегрева.
Отношения тага труЬ б ряду к наружному диаметру rripyfoi
Рис. 1.17. Теплообмен излучением между плоскостью и одним или несколькими рядами
труб, параллельными плоскости.
/ — футеровка; 2 — первый ряд; 3 — второй ряд; 4 — излучающая плоскость; 5—излучение
непосредственно на второй ряд; 6 — полное излучение на два ряда для двухрядного экрана; 7 — полное
излучение на один ряд для однорядного экрана; 8 — полное излучение на первый ряд для
двухрядного экрана; 9 — непосредственно на первый ряд; 10 — полное излучение на второй ряд для
двухрядного экрана.
Приведены значения для труб, расположенных но вершинам равносторонних треугольников; во
всех практических случаях их можно использовать и для труб, расположенных по вершинам квадратов.
45

Для поглощения излучения применяют ребра ряда специфических
форм. Хотя при кипении воды температура стенки гладкой трубы
остается достаточно низкой, существуют причины, препятствующие
использованию ребер в таких системах. Основания ребер значительно
холоднее, чем их вершины. Для того чтобы вершины ребер выдерживали
высокие техмпературы, их необходимо изготавливать из стали с
повышенным содержанием хрома, что увеличивает допустимые температуры
их эксплуатации. Для повышения допустимой температуры до 870—
925°С требуется сталь, содержащая 27% хрома. Для того чтобы
допустимая температура составляла около 1000°С, требуется нержавеющая
сталь с содержанием 18% хрома и 8% никеля. При этом не только
возрастает стоимость материала, но, что, пожалуй, самое существенное,
вследствие увеличения содержания хрома и никеля происходит
значительное уменьшение теплопроводности. В табл. 1.1 приведены данные
Таблица 1.1
Теплопроводности некоторых сталей, применяемых для изготовления
экранных труб парогенератора
Сфстав сплавов
0,Обо/о С
0,23о/о С
5о/0,С—0,50% Мо
12% Сг
Коэффициент
теплопроводности k, Вт/(м-°С)
55,4
43,3
36,4
27,7
Состав сплавов
17% Сг
27% Сг
18% Сг—8% Ni
25% Cr—20o/a Ni
Коэффициент
теплопроводности k, Вт/(м°С)
25,98
22,15
17,3,
15,б|/;
о теплопроводности высокотемпературных сплавов при средней
температуре трубы 315°С. При этом наружная поверхность трубы может быть
нагрета до 733°С и выше, поскольку средняя температура трубы
существенно зависит от температуры пара в ней. Допустимые температуры
поверхности труб из других сплавов увеличиваются до 1000°С (нижние
строки табл. 1.1).
Аналогичные проблемы возникают в топках и печах, применяемых
для осуществления технологических процессов. В топках, используемых
в химической промышленности или в установках для крекинга нефти,
нет необходимости поддерживать столь высокие температуры. С другой
стороны, нефть поглощает тепло значительно хуже, чем вода. Кроме
того, появление на трубе «горячих пятен» может приводить к
разложению нефти и частичному выпадению кокса, который скапливается в
местах расположения «горячих пятен» и постепенно закупоривает трубу.
Совместное действие теплового излучения и конвекции
На практике встречаются ситуации, когда лучистый и
конвективный теплообмен действуют одновременно. В этом случае оба эффекта
аддитивны. Соответственно плотности лучистого и конвективного
тепловых потоков запишем в виде
±-=aFAF,(T\-T\);
3c_=hc{Ti_Ti)t
где Т\—Гг — среднеарифметический температурный напор. ;
46

Коэффициент теплоотдачи излучением можно определить по
соотношению
а плотность полного теплового потока при совместном действии
конвекции и излучения
ir={hc + K){Ti-T2).
Доля тепла, передаваемого путем конвекции, составляет:
*= K+hr^ hc + aFAFB(T\ + T\)(T1+T2) • (L63)
Следует обратить внимание на зависимость -ф от hc. В области
свободной конвекции при /ic^5 Вт/(м2-°С) и высоких температурах
излучение играет важную роль.
ИЗЛУЧЕНИЕ В КОСМОСЕ
Источники энергии
Солнечное излучение. Средний поток солнечного излучения,
падающего на единицу площади поверхности, расположенной
нормально к направлению солнечных лучей в верхних слоях земной атмосферы,
или так называемая солнечная постоянная, равен приблизительно
1395 Вт/м2 [22, 23]. Это положение подтверждено Драмметером и
Хассом [24]. Они получили на 50-сантиметровой сфере значение
солнечной постоянной 1340—1450 Вт/м2. Таким образом, тело в верхних
слоях земной атмосферы будет поглощать 1395 Вт/м2 при условии, что
его поглощательная способность равна единице. Очевидно, что Солнце
излучает конечное количество энергии, и плотность лучистого потока,
соответствующего этой энергии, подчиняется закону обратных
квадратов
где г — расстояние.
Если исключить из рассмотрения атмосферу Земли толщиной
160 км и считать расстояние от центра Солнца до верхних слоев земной
атмосферы равным 150 млн. км, можно определить константу Ks:
/Cs=1395. A50-106J=:3,14-1019 Вт-км2/м2.
Следовательно, для всех г, км, больших радиуса Солнца
F91000 км),
с, 3,14-1019 0 , 2
Es = -^-pi , Вт/м2.
На рис. 1.18 изображена солнечная постоянная в функции
расстояния от Солнца.
Земное излучение. Кажущаяся наблюдателю из космоса
температура земной поверхности может быть рассчитана из рассмотрения
энергетического баланса солнечного излучения, падающего на Землю и
излучения Земли как диффузного черного тела. Если через а обозначить
земное альбедо, т. е. отношение отраженной части энергии излучения
47

к падающей, и через Re— радиус Земли, то излучение Солнца,
поглощаемое Землей, равно A—a)ttRe2Es. Излучение Земли происходит со
всей ее поверхности. Если считать Землю идеальной сферой,
энергетический баланс можно записать в виде
oD*R2e)T<e = (l-a)*R\ES9
откуда кажущаяся абсолютная температура Земли Те равна:
Используя значение а=0,35 [25, 26], получаем Ге=250 К=—23°С.
Температуре Те соответствует тепловой поток излучения Земли
плотностью
Ет = о7\ =
:221,4Вт/м2,
Это значение можно подтвердить различными расчетами. Если
смотреть на Землю из космоса, она представляет объект, состоящий
из собственно Земли и атмосферы. Поэтому при анализе теплового
5* юоао
83 1000
?
а:
QJ
100
X
S
Е
О
а.
10
t=—
г-
г 1
ь
г-
\-
\-
ь-
ь
h
1
•
Jii
il
_L
Ш
uj
Земля 150-10ькп Г
Г
<ES=1295 Вт/мг Г
J
_L
ill
il
JL
Ш
J
i
ill
il
Ю'1 1 10 Юг 10s
Солнечная постоянная Е$1х%16Вт/м2
10
Рис. 4.18. Солнечная постоянная как функция
расстояния от Солнца.
II2
II
t
1 kvl
/ Is
^c
^L
<xxvv
\A
В
Ж
vffi/,
////Z/
7ZZZ2Z
,
10 20 30
Длина 6олны,мкм
4Q
50
Рис. 1.19. Излучение Земли.
А — плотность интегрального потока излучения абсолютно черного тела при температуре 287 К
A4°С); В —вклад тропосферы при температуре 213 К (—60*0); С —вклад Земли при температуре
48

IX
3
50,8
8-
1—1 1
и
Li I
1
1/1
1 mi II
i
/
г
/
4 6 8 10
Длина волны, мкм
П П
Рис.
1.20 Спектр пропускания земной
атмосферы.
излучения такого объекта следует принимать во внимание вклад
каждого компонента. Температура поверхности собственно Земли меняется
от —40°С в полярных областях до +40°С на экваторе.
Усредненная по поверхности Земли температура лежит между
этими двумя предельными значениями. По Голдмену и Зингеру [27]
средняя температура поверхности Земли 14,5°С. Температура тропосферы —
верхней части атмосферы, лежащей непосредственно под стратосферой,
согласно опытным данным равна —56,5°С. Для того чтобы рассчитать
излучение Земли, воспользуемся приведенными на рис. 1.19 кривыми
излучения двух черных тел. Кривая А представляет плотность потока
излучения Земли при
температуре 14,5°С, кривая В — излу- W\
чение тропосферы при —56,5°С.
Тепловой поток,
излучаемый поверхностью Земли,
изменяется в зависимости от
пропускательной способности
атмосферы, поскольку, перед
тем как выйти в космос, он
проходит через толщу
атмосферы в 160 км. Чтобы найти
это изменение, используем
данные Гэбби, опубликованные
в [28] о зависимости
пропускательной способности
атмосферы от длины волны (рис. 1.20).
Для каждой длины волны
излучение черного тела при
14,5°С умножается на пропускательную способность (для той же длины
волны). Эта процедура приводит к спектру, соответствующему кривой С
на рис. 1.19, определяющей вклад Земли в тепловой поток, уходящий
в космос.
Вклад тропосферы пропорционален площади под кривой fi,
соответствующей излучению при —56,5°С. Полное излучение Земли и
атмосферы как единого целого находится суммированием площадей под
этими кривыми. Согласно расчетам оно составляет 217 Вт/м2. Это значение
подтверждено Драмметером и Хассом [24]. По их данным
действительное значение лежит между 144,5 и 323 Вт/м2. Разброс возникает
вследствие непостоянства пропускательной способности атмосферы,
которая сильно зависит от содержания водяного пара, облачности,
широты и времени года. Необходимо отметить, что данные Гэбби,
использованные здесь, основываются на предположении о количестве осадков
17 мм и атмосферной дымке такой концентрации, что пропускание
красных лучей с длиной волны 0,61 мкм составляет 60%.
Отраженное солнечное излучение. Солнечное излучение,
отражаемое планетой, Е , можно найти довольно просто, вычислив произведение
альбедо планеты и солнечной постоянной. Для Земли, где а=0,35 и
?s= 1395 Вт/м2, такое вычисление дает ?р = 0,35-1395 = 488 Вт/м2.
Согласно другому методу рассматриваются энергии, отраженные
тропосферой и земной поверхностью. При этом надо учитывать
пропускательную способность земной атмосферы и спектральные
характеристики солнечного излучения. Распределение падающей солнечной
энергии по длинам волн можно найти следующим образом. На рис. 1.21
4—192 4^

справа представлена зависимость спектральной плотности потока
солнечного излучения от длины волны при кажущейся температуре
поверхности Солнца около 6100°С. Полная энергия Е, излучаемая единицей
поверхности в единицу времени, определяется интегрированием по всем
длинам волн или по закону Стефана — Больцмана:
?з=(тГ4=7,9-107 Вт/м2.
Это значение, вычисленное для поверхности Солнца, интересно
сравнить с 1395 Вт/м2 — плотностью потока солнечного излучения на
внешней границе земной атмосферы.
ВтЦм2-мнм)
*3,15
Вт/(м2-мим)
%3,15*10Ч-
Вт/(м2-мкм)
693 ~~
2Г5
«5
600
ш
? !^
?§- 500;
«I
е1
S X
с г>
«о
21 зоо
|§ 200
* а:
* qj
5:
100
/
J
1
А
*-\
Ь^
1
-э»
Ear
5
<Ь
Ъ
2
1
630
561
504
?ti
378
315
Z5Z
189
126
63
I
-L
4-6 8 10 12
Длина Волны,мкм
П
Рис. 1.21. Спектральная (монохроматическая)
плотность потока излучения на поверхности
Солнца Естх и на границе земной атмосферы.
0 2 4 6
Алина Волны} мкм
Рис. 1.22. Спектральная
плотность потока
солнечного излучения на
границе земной атмосферы с
учетом двух проходов
лучистого потока через
нее.
Из условия сохранения энергии солнечного излучения можно
построить спектральную кривую, площадь под которой соответствует Е—
= 1395 Вт/м2. Для этого каждое значение кривой для 6100°С умножаем
на коэффициент 1395/7,9-107^1,75-10~5. В результате получаем кривую,
изображенную на рис. 1.21 слева.
Можно видеть, что вклад энергии излучения на длинах волн более
14 мкм пренебрежимо мал.
Теперь рассмотрим значение 1395 Вт/м2, характеризующее
лучистый поток, падающий на внешнюю границу земной атмосферы. Альбедо
атмосферы равно 0,35, следовательно, 0,35-1395=488 Вт/м2 отражается
50

непосредственно атмосферой. Остальная часть энергии A395—488=
=907 Вт/м2) проходит через толщу атмосферы и, достигая поверхности
Земли, отражается от нее с альбедо 0,0568 [29], а затем снова проходит
через атмосферу.
Кривая, показанная на рис. 1.22, соответствует произведению
квадрата пропускательной способности, построенной на рис. 1.20, и
энергии солнечного излучения, падающего на границу земной атмосферы
(левая кривая на рис. 1.21). Энергия, отраженная от поверхности
Земли, получается умножением площади под этой кривой на коэффициент
0,65, который выделяет часть падающей энергии, проходящую через
толщу земной атмосферы, и затем на коэффициент 0,0568, учитывающий
альбедо земной поверхности. Площадь под кривой на рис. 1.20
составляет 424,6 Вт/м2. Следовательно, к энергии, отраженной атмосферой*
нужно прибавить
0,65-0,0568-424,6=15,7 Вт/м2.
В результате полная солнечная энергия, отражаемая Землей и
атмосферой, составляет:
?н=424,6+15,7=440,3 Вт/м2.
Это значение хорошо согласуется с предельным значением
523,9 Вт/м2 по Драмметеру и Хассу и немного больше, чем значение,
рассчитанное в начале этого раздела в предположении, что полное
альбедо Земли и тропосферы равно 0,35. Как показано Крейтом [20],
в действительности альбедо изменяется. Важно, однако, что оба
расчетных значения хорошо совпадают с имеющимися в литературе.
Другие источники энергии. Все тела, находящиеся в космическом
пространстве, вносят свою долю в энергию излучения, падающую на
поверхность космического корабля. На достаточно больших
расстояниях от Земли значение плотности галактического лучистого потока
можно взять равным 7,14-Ю-4 Вт/м2 [30]. Это значение существенна
меньше плотности потоков солнечного и земного излучения.
Рассмотрим тело массой М. Пусть эта масса с относительной скоростью V
неупруго соударяется с космическим кораблем. Согласно закону
сохранения энергии кинетическая энергия тела непосредственно в момент
соударения должна превращаться в тепло. Кинетическая энергия тела
массой М равна:
EK = ±MV\
По закону сохранения энергии
Q = EK=±-AIV\
На рис. 1.23 изображена зависимость выделяемого тепла от
относительной скорости соударения для различных масс М. Следует полагать,,
что относительная скорость соударения достаточно велика, поскольку
корабли двигаются по орбите со скоростями, превышающими
24 000 км/ч. Однако нет точных данных о столкновениях с частицами,
масса которых отлична от микроскопической. При столкновении с любой
частицей, имеющей достаточно большую массу, выделяется
значительное количество тепла, что может привести к разрушению оболочки
корабля. Приток тепла к кораблю вследствие столкновения с частицами
пренебрежимо мал за исключением возможного столкновения с крупной
4* 51

10 з
igiol
cu
eta
10
I / I I
И
\_Ш
Ш
Ufl л
ЬУ
l|/ МЛ
^/-ж **/—— ^
1 / T7FF
Я!
jfl К
1/111
я
1 / 1
1 А К
РИ
Ш\ А \\\
1/1 III
1
ffl
1
10z
103 10*
Скорость *1,6км/ч
105
Рис. 1.23. Тепловыделения при столкновении с частицами
различной массы.
частицей. При этом происходит разрушение корабля и задача
снимается.
Голдмен и Зингер [27] рассмотрели приток энергии к космическому
кораблю с космическими лучами. В результате расчета они получили
очень небольшое значение (9,6- Ю-7 Вт/м2). Тепловой поток вследствие
выделения тепла внутри корабля q\ легко вычисляется и не требует
отдельного рассмотрения.
Тепловое равновесие космического корабля
Энергетический баланс космического корабля сферической формы
представляет собой равенство теплового потока, получаемого от
внешних источников, и потока, излучаемого кораблем, плюс часть, идущая
на его нагревание:
<7s + <7r + ^ + <7(=oeD^2)^ + P^f-, A.64)
где qs — поток солнечного излучения, поглощаемый кораблем, Вт; qT —
поток земного излучения, поглощаемый кораблем, Вт; qR — поток
солнечного излучения, отраженный поверхностью Земли и поглощаемый
кораблем, Вт; qi — тепловой поток, выделяемый внутри корабля, Вт;
с — удельная теплоемкость корабля, Дж/(кг-°С); г — радиус корабля,
м; V — эффективный объем материала корабля, м3; Г-—равновесная
температура корабля, К; р — плотность материала корабля, кг/м3; т —
время, с.
Уравнение A.64) записано для космического корабля на
околоземной орбите, диаметр которой мало отличается от диаметра Земли.
52

В этом случае собственным излучением Земли Ет и солнечным
излучением, отраженным земной поверхностью, ER пренебречь нельзя,
поскольку они вносят заметный вклад в энергобаланс.
Ограничим наше рассмотрение кораблем сферической формы
радиусом г и пренебрежем внутренним тепловыделением приборов и
оборудования (^г=0). Каждый из членов левой части уравнения A.64)
можно представить в форме
q=a'EApF, A.65)
где Ар — площадь проекции поверхности тела на плоскость,
перпендикулярную направлению распространения излучения; а' — поглощатель-
ная способность; F — угловой коэффициент. Следовательно,
qs = a'sEs(<Kr*)Fs; A.66а)
<7r = a'r?r(*r2)Fr; A.666)
qR = a'sER(>xr*)FR. A.66в)
Поглощательные способности в A.66а) и A.66в) равны, поскольку
в обоих случаях речь идет об энергии солнечного излучения. В
стационарном состоянии накопление энергии равно нулю и, следовательно,
равен нулю последний член уравнения A.64). С учетом A.66а) — A.66в)
из уравнения A.64) находим равновесную температуру корабля в
стационарном тепловом режиме:
^ Г 1 /а'<.?«/? a'TETFT a'EaFoW'2* , „„
Таким образом, согласно A.67) рдавновесная температура корабля
сферической формы не зависит от его размера, а является функцией
угловых коэффициентов, зависящих от орбиты корабля.
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ГАММА-ФУНКЦИИ
Уравнения Бесселя и бесселевы функции. Введение
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
fxJf+(.*2-n2)r/==--0. A.68)
dx2 ' dx
Это уравнение с переменными коэффициентами известно как
дифференциальное уравнение Бесселя для функций п-го порядка.
Поскольку это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка, оно должно
иметь два линейно независимых решения.
Общее решение для нецелых значений параметра п
y=CiJn(x)+C2J-n(x): A.69а)
Для целых п
y=CiJn(x)+C2Yn(x). A.696)
В уравнениях A.69а) и A.696) Ci и Cz — произвольные
постоянные; Jn(x)—функция Бесселя 1-го рода /г-го порядка от аргумента х

и Yn(x)—функция Бесселя 2-го рода я-го порядка от аргумента х.
j п (X) И J—n (х) — бесконечные ряды вида
00
Jfl ^ = U 22т+пт]- Г {т + п + 1)' A.70а)
оо
S/ \\ту2т-п
где Г(т+/г+1) и Г(т—д+1) —гамма-функции от аргументов т + п+\
и /п—/г+1 соответственно. Гамма-функции будут рассмотрены позже
в этой главе. Yn(x) также представляется бесконечным рядом, который
можно записать в общем виде:
Yn(x) =AJn(x) ^jy^+BJ^x). A.71a)
В зависимости от выбора констант А я В можно получить
различные формы записи Yn(x). Например, выражение
Y(x) = Jn(*)™™-J-n{*) AJ16)
называют формулой Вебера и обычно используют в задачах с целевым
значением параметра п. Для целых п функция Yn(x) есть предел
выражения A.716), когда п стремится к целому значению; следовательно,
Yn(x) можно представить в виде степенного ряда.
Рассмотрим уравнение, которое очень сходно с уравнением
Бесселя:
Уравнение A.72а) отличается от A.68) только знаком последнего
члена. Уравнение A.72а) называют модифицированным уравнением
Бесселя. Оно может быть приведено к форме
х% %+* ?+№ - п*)У = °- A-726)
Уравнения A.72а) и A.726) эквивалентны. Общее решение этих
уравнений формально записывается в следующем виде:
для нецелых п
y=CiJn (ix) +C2J-n (ix); A.73a)
для целых п
y=dJn (ix) + C2Yn (ix). A.736)
Любые решения A.72а) и A.726) представляют собой
действительные функции, так как в них не входит мнимая единица i= V—1.
Таким образом, модифицированная функция Бесселя 1-го рода л-го
порядка от аргумента х определяется рядом
00
m=0
54

/-.(*) = ««/_.(*) = V. 2>rn-nfZ"-n4-ir О46)
/j 22m"nm\T(m — n+ 1)'
m=0
Второе независимое решение модифицированного уравнения
Бесселя есть модифицированная функция Бесселя 2-го рода /г-го порядка от
аргумента х. Это решение обозначается Кп(х) и записывается в форме,
аналогичной Yri (х). Следовательно, для нецелых п
^п(х) = ^[1.я(х)-1я(х)]. A.75а)
Для целых п функция Кп{х) определяется как предел выражения
{1.75а), когда п стремится к целому значению:
Таким образом, решение уравнения A.72а) для целых п может
быть записано как
y=CJn (х) + С21-п (х); A.76а)
для нецелых п
y=CJn(x)+C2Kn(x). A.766)
Уравнения, представляющие функции Бесселя в виде бесконечных
рядов, кажутся весьма громоздкими, однако для них легко составить
программу численного расчета на ЭВМ. Наиболее распространенные
таблицы содержат значения функций Бесселя /<*(*), h(x), Yq(x), Y\(x),
Iq(x), h(x), Ka(x) и Ki(x), табулированные в интервале изменения
аргумента от 0,00 до 5,00 с шагом 0,01. При интерполяции значений
функций Бесселя 2-го рода [Y0(x), Yt(x), Ko(x), Ki(x)] с помощью таблиц
необходимо проявлять особую осторожность, когда аргумент принимает
значения, меньшие чем 0,50. Линейную интерполяцию можно проводить
для всех функций, когда значения аргумента превышают 0,50.
Обобщенная форма уравнения Бесселя
Бесселевы функции играют очень важную роль при решении
различных уравнений, возникающих в инженерных приложениях и в
особенности при анализе теплопередачи развитых поверхностей. Часто
бывает достаточно трудно предсказать заранее, являются ли функции
Бесселя решениями рассматриваемых уравнений. Следовательно,
желательно в общем случае исследовать возможность сведения заданных
линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициента-
!ми к уравнению Бесселя.
Возьмем, например, дифференциальное уравнение общего вида
zr[xPjPj+(axi+bxkyy=° >>k о-.77)
и попытаемся привести его к форме уравнения Бесселя
^+тг?+(т'-?На A-78)
55

Для того чтобы исследовать возможность такого перехода,
произведем следующие преобразования переменных:
X==U ; ¦ A.79)
где а и р — произвольные параметры, подлежащие определению.
Следовательно,
dx а—1. 1
da 1
A.80)
dx аа«-1 '
dy 0 3—1 . з dv
Используя A.80), получаем:
dx da dx \ r ' da / aua~l
xp?t~ (uap+*-a+l ^.+poa«^-V A.81)
Подставив производную по х из A.81), а также х и у из A.79)
в исходное уравнение A.77), после упрощения получим:
^ d2v , ар + 2{? — а + 1 <Ь i
+ Г р (ар +1 - а) +агаца/+201_а/,_2 + atbuak_ap+2a_2 I ( } g2a)
Уравнение A.82а) имеет в точности ?форму уравнения Бесселя:
Л ' ' * ' Л»' —?|о = 0, A.826)
da2 г и с?и
откуда видно, что для полной эквивалентности A.82а) и A.826)
необходимо выполнение следующих соотношений:
1. Коэффициент при (I /u)(dv/du) должен быть равен единице,
или
ар + 2р—а+1=1. A.83)
2. Показатель степени при и во втором члене в скобках должен
быть равен нулю, или
а/+2а—ар—2=0. A.84)
3. Показатель степени при и в третьем члене в скобках должен
быть равен —2, чтобы его можно было объединить с первым членом
в скобках:
ak—ар + 2а—2=—2. A.85)
Уравнения A.83) — A.85) позволяют вычислить значения
параметров а, р и k. Во-первых, из A.84)
a=2~l + i •¦• (Ь86)
56

Затем, подставив значение а в A.83), получим:
и, наконец, из A.85)
k=p—2. A.88)
Когда Дг=р—2, исходное уравнение может быть преобразовано
к форме уравнения Бесселя, где аир определяются выражениями
A.86) и A.87)*:
! (ар + р — а) + а2Ь
d2o j 1 cfa |
Из A.826)
_П2=-р(а/? + р —аL-а26,
Подставив а и р из A.86) и A.87), получим:
аа2+_К^ + Р-.а)+а^ 1 Q A89)
2—р+] v '
и, наконец,
со2 = аа2,
ИЛИ
со = а)/"а". A.91)
Общее решение A.826) для нецелых я можно записать в виде
v=CiJn (сом) + C2J-n (<ои); A.92а)
для целых п
v=dJn (сои) + C2Yn (®и). A.926)
Затем решаем A.826) относительно у к х. Согласно A.79)
1/а В В/о
Тогда для нецелых я
у = ^/« [С1/Я (с«х1/а) + С2/_ я (сох1/а)]; A.93а)
для целых п
y = x*l%CiJn(*xlla) + C2Yn{«>xxl«)]. A.936)
Пример 1.2. Решение уравнения Бесселя. Найти общее решение уравнения
d*y ( 6 \
Решение. Для этого уравнения
р=0, &=—6,
а=3, ?=—2,
Во-первых, проверим, удовлетворяется ли соотношение k=p—2:
Аг=—2=р—2=0—2=—2.
* Очевидно, что если в A.77) 6=0, выполнение условия k=p—2 несущественно.
57

Итак, k=p—2, и уравнение приводится к уравнению Бесселя. При этом
2 _ 2 _ 2
а===2 —/? + /~~2 —0+1~~ 3 ;
р 1-/7 _ 1-0 _ 1 ,
Р — 2 — p + j — 0+ 1 3 '
l/"(l--jpJ —4fr |A(i-.QJ-_4(-^6) K25 5_.
n— 2 —p + j — 2 — 0+1 ~ 3 " 3 '
— 2 _ 2^3".
со = а V a = ~o~ V 3 =—о—'
1
P _A_ 1
—-_2_--2".
3
Таким образом, решение (для нецелых п) имеет вид:
* = ^/а [С,/„(«х"-) + Сг/_п(<ох^)];
L з з
Гамма-функция
Гамма-функция по определению есть
T(n)=lxn-1e-xdx9 A.94)
о
где/г — произвольное положительное число, хотя и необязательно
целое. Эта функция играет важную роль, поскольку она является
обобщением факториала.
Гамма-функцию Г(/г+1) можно вычислить из определения A.94)
с помощью интегрирования по частям:
00
T(n + l)=:^xne-xdx,
где
Следовательно,
и = хп; dv = e~xdx;
du = nxn'1; v = — е~х.
Г udv = uv — Г v
du
или
'(п+1) = 1^е'хйх = — ^е'х\^~^—п^'1еш
*dx.
Первый член обращается в нуль при подстановке как нижнего, так
и верхнего пределов интегрирования; второй член дает:
00 00
_ l — nxn-le-xdx = n^xn-le-xdx=nY{n).
о о
58

Таким образом, получаем фундаментальное соотношение
Г(л + 1)=лГ(л). A.95)
Значение ГA) можно вычислить непосредственно из определения
гамма-функции A.94) следующим образом:
00 ОО
ГA)= [x?-le~*dx = ^j?e-*dx = — е'х\™=1.
о о
Затем согласно A.95)
ГB)=1ГA)=1-1=1=1!
ГC)=2ГB)=2-1ГA)=2-1-1=2-1=2!
ГD)=ЗГC)=3-2ГB)=3-2-1ГA)=3-2-1=3!
ГE)=4ГD)=4-ЗГC)=4-3-2ГB)=4-3-2-1=4!,
откуда можно вывести общее соотношение
Г(п+1)=п\ A.96)
Это очень важное соотношение между гамма-функцией и
факториалом п\
Разложение функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х=Ьу
как известно, записывается в виде
\_Л* — ьуг" F) , , (х-ь)Т(Ь)
-\ § -h.. • i й! '
где штрихи использованы для обозначения производных.
С точки зрения математического формализма и для придания
этому выражению полной симметрии первый член ряда Тейлора
записывают в виде
fib)
О! •
Это условное обозначение не имеет отношения к обычному
определению факториала:
п\=п(п— 1)(л+2)'(п—3) ... C) B) A).
С другой стороны, 0! можно определить, используя гамма-функцию
непосредственно из выражения A.96) при п=0:
0!=Г@+1)=ГA)=1.
Гамма-функцию можно определить и для нецелых значений
аргумента я. Действительно, легко видеть, что нет никаких оснований
считать значения аргумента п целыми. Гамма-функцию можно записать
в виде
ОО
T{x)=^tx~1e-tdt,
о
где переменная х теперь может принимать любые значения. Однако
в отношении простой связи между гамма-функцией и обычным
факториалом необходимо проявлять определенную осторожность. Обращаясь
вновь к A.95), для произвольного значения переменной х получим:
Г(*+1)=*Г(*),
59

откуда видно, что
Т(х)
._ Г (х + О
Таким образом, когда х стремится к нулю, значение Г (я)
становится неопределенным. Более тоге*, гамма-функция не определена в
точках х=—1, —2, —3 ..., поскольку
Г @) _ оо
Г(-1)=:
Г (-2) =
Г (—!)_ оо
г(_з)=?^=:5.
Формальное решение уравнения Бесселя и функция Бесселя 1-го рода
Рассмотрим A.68)
X
d2y
dx2
\-*ж+(х2-п2)у=0>
называемое уравнением Бесселя для функций порядка п.
Для того чтобы решить A.68), используем метод Фробениуса.
Предполагаем, что искомое решение можно записать в форме
степенного ряда по независимой переменной х. Пусть это разложение имеет
вид:
y=xPiao+aiX + a2x2+asx3+ ...). A97)
Первая и вторая производная у по х будут:
*=^-(ав + а1д: + а2д:2 + ...) + ^(а1 + 2а2х + За8х2 + ...);
dx
d2y
dx2
--р(р— 1)хр~2(ав + а1х-\-ажх* + а9хш+-') +
+ рхр-1(а1 + 2а2х + За3х2 + ...) + рхр-1(а1 + 2а2х + За3х2^-^) +
+ хрBа2 + 6а3х + ...).
Степенные ряды для искомой функции у и ее производных
подставляем в исходное уравнение A.68), умножая вторую производную
на л:2, первую производную на х9 а саму функцию на (х2—я2).
После подстановки исходное дифференциальное уравнение
содержит различные степени переменной х, которые приведены в следующей
таблице:
X2
х (dy/dx)
х2у
—п2у
хр
Р(р—1)а0
ра0
...
—п2а0
хр+1
р(р—\)ах
+2рах
ра>\ + а>\
—п2ах
хР+2
р(р—\)а2
+4ра2
+2а2
fa2 -f- 2а2
а0
—п2а2
хР+*
р(р—1)а3
+6/?а3
+6аш
раг + Ъа3
ах
—п2а3
хр+*
Р(Р—1)«л
+8ра±
+12*4
раА + \а±
а2
—пЧь
60

Теперь можно определить коэффициент при каждой степени х:
O=[p(p-l) + p-n>}a0x»+[p(p-l) + Zp+l-n°]a1xp+t +
+ {[p(p-l) + 5p + 4-n*\at + at}xO+* +
+ {[р(р-1) + 7р + Э-п*]а, + а1}хр+> +
+ {[P(P-l) + Vp+W-n*]a< + ai}x'>+* + ... A.98)
Уравнение A.98) справедливо, когда коэффициенты при всех
степенях х равны нулю. Возьмем коэффициент члена х?. Он определяется
выражением
[р (р—1) Ч-Р—«23 ао=0.
Предположим, что а0=^0. Следовательно,
р2-—р+р—п2=р2—л2=0,
откуда
р= ± п.
Пусть р = -\-п. Тогда можно найти коэффициент при хр+%:
[р(р-1) + Зр+1- 41^=0;
[п(п— 1L-3/1+ 1 — п*]а1 = 0;
A+2я)а, = 0;
а, = 0.
Далее определяем коэффициент при хр+2, причем снова считаем
р= + п:
[p(p-l) + 5p + 4-n*]at + at = 0;
[п(п- 1) + 5л + 4 — n*]at-\~a, = 0;
Dл + 4)а, + а4 = 0;
"«— 4(n+l) •
Аналогичным образом найдем коэффициенты при х*+3 и xp+i,
откуда получим:
а3=0
и
а4:
8л + 16 4 Bп + 4)
Следовательно, общее рекуррентное соотношение для
коэффициентов имеет вид:
«*=nrSrV- A">
т. е. каждый коэффициент аъ. пропорционален коэффициенту с
индексом k—2. Поскольку ai=0, очевидно, что все коэффициенты с
нечетным индексом исчезают. Это справедливо даже для особого случая п=
=—1/2, поскольку без ограничения общности aA можно считать
равным нулю.
Таким образом, с помощью рекуррентного соотношения A.99)
можно находить коэффициенты для любого индекса, выбирая первый
61

коэффициент и определяя все остальные через него. Пусть ао=ао.
Тогда
п —#о —«о —- аа
'2Bл + 2) 4 (п+1) 22.1!(л+1)'
а —а2 _ —^2 ^0 ^0
4 Bл+ 4) 8 (л+ 2) 8.22.1!(п+2)(п+1) 24-2! (/г + 2) (л + 1)
п —а* _ —^ _ ^?в
u« — 6 Bл + 6) 12 (л + 3) 2в-3! (л + 3) (л + 2) (л + 1)
Ш
(-1)*+Ч>
или, если & = 2т,
а* - 2* (Л/2) ! (я +Л/2)... (л + 2) (л + 1)'
<*гт = 22тт\{п + т)... (л°+ 2) (л + 1) ' A.100)
где т=1, 2, 3, 4 ...
Умножим числитель и знаменатель выражения A.100) на 2п
(целесообразность этого будет очевидна в дальнейшем). Тогда
(-1)'*2Х
**т — 22т2пт\(п + т)... (л + 2) (л + 1)#
A.101)
Кроме того, если числитель и знаменатель умножить на я!,
выражение (п+т) (п+т— 1) ... (п+3) (п+2) (п+1) будет представлять
собой факториал. Но п — не обязательно целое число, и,
следовательно, необходимо использовать обобщение п\, а именно, гамма-функцию.
Таким образом, числитель и знаменатель умножаются на
гамма-функцию Г(я+1), что дает
„ _ (—1)™2лГ(л+1)Оо
"гет — 2*m+nmi (Д + т) _ (п + 2) (п + 1) Г (л + 1)'
Подставив A.95) в A.102), получим:
___ (-1)"*2"Г(л+1Н0
и2т 2гт+"т\ Г (т + л + 1) '
где а0 можно принять равным
1
A.102)
2я Г (п + 1)
Такой выбор возможен, поскольку находится частное решение
уравнения Бесселя и Оо — произвольная постоянная.
Используя эти соотношения, находим агт\
/ \\т
0>2т = 2*т+пт\Т(п + т+\) ' A.103)
Таким образом, решение дифференциального уравнения имеет вид:
,. 1 х2 , х4
или
2Т(л+1) 2*+2Г(л + 2) ¦ 2*+* 2!Г (л + 3)
г2*+*2!Г(л + 3)* * -J
У— 2j 22™+"яг!Г(л + яг + 1) J»w U-^-t;
т.* О
Эта функция ранее была определена как функция Бесселя 1-го
рода /2-го порядка.
62

Если функция Jn(x), определяемая A.104), сходится для всех
значений х, она является единственным решением уравнения Бесселя. Для
определения области сходимости используем признак Коши, находя
отношение (/п+1)-то члена ряда к т-иу:
(_l)M+ixim+a+i/[2Mi+n+« (jn + 1I Г (п + т + 2)]
(—1)'"х«т+7[22от+лт! Г (л + т + 1)]
ИЛИ
^~~22{т+\)(п + т + \)'
В пределе, когда т стремится к бесконечности, R стремится к
нулю, ;и ряд A.104) сходится для всех значений х.
Формальное решение уравнения Бесселя и функция Бесселя 2-го рода
Уравнение A.68) является дифференциальным уравнением 2-го
порядка с двумя независимыми решениями. Поскольку первое решение
Jn(x) найдено, второе ищем, предполагая, что р=—/г, и проверяя,
является ли J-n(x) вторым решением. Подставляя р=—п в выражение
A.104), находим, что все разложения в ряд функции Бесселя 1-го рода
записываются в виде
00
S/ \\тхгт-п
2*».-«т!Г(|в_п + 1) ' (\ЛЩ
Рассмотрим подробнее выражение A.105). Очевидно, что для
нецелых п функция /_п (х) является решением дифференциального
уравнения. Когда п целое, значения Г(т—п+\) не определены, и A.105)
не является вторым решением. Более того, так как J-n(x) содержит
отрицательные степени х, в то время как Jn(x) не содержит их,
очевидно, что J-n(x) и Jn(x) >не могут быть пропорциональны.
Следовательно, если п не является целым числом, общее решение
имеет ©ид:
y=CJn (х) +C2J-n(x),
гще С\ и Сг — произвольные постоянные.
Однако когда п — целое, второе независимое решение уравнения
можно найти, полагая, что
y=f(x)Jn(x)=yix),
и определяя затем функцию f(x).
Начнем с нахождения второй производной у (х), снова обозначая
производные штрихами:
у' (x) = f(x)J'n(x) + f (x)J№(x);
y"(x)=fWJ"n(x)+2f'(x)J'n(x) + r(x)Jn(x)
Далее подставляем функцию и ее производные в исходное уравне.
ние A.68):
х1 [/ (х) J"n(x) + 2/< (x) J'n (х) + f" С*)У. (х)) +
+ х [f (х) J'n (х) + Г С*) Jn (х)) = 0.
ба
R=
m+l

Группируя члены, получаем:
[х% (х)] f" С*) + [2x4'п (х) + xJn (х)] f (х) +
+ [x*J"n (х) + хГп (х) + (х3 - л8) Jn (х)] f(x)=0. A.106)
Коэффициент при f(x) равен нулю, поскольку Jn{x) —решение
уравнения Бесселя /г-го порядка. Другими словами, если
Jn(x)—решение уравнения
*г1^+ХЖ+(х*-п*)у = 0,
ТО
хЧ"п(х) +xJ'n(x) + (x2—n2)Jn(x)=0.
В результате остаются только первые два члена A.106):
[x2Jn(x)]f"(x) +\[2хЧ'п(х) +xJn(x)]f'(x)=0. A.107)
Полученное уравнение можно решить путем разделения
переменных.
Запишем A.107) в виде
•*Ч, (х) -jL [f (x)] + \2x*f „ (х) + xJn (x)\ f (x) = 0.
Разделяем переменные
и интелрируем
lnf (x)+]2lnJn(x)+lnx=lnA,
где А —произвольная постоянная, откуда
Пх) = х[/п(х)Г
Следовательно,
где В — другая произвольная постоянная.
Выражение для второго независимого решения можно теперь
зависать в виде
y(x)=f(x)Jnix)
или
y = AJn(x)§ x[JdnX{x)]* +BJn(x). A.108)
Это уравнение, как и следовало ожидать, совпадает с A.71а).
Заметим, что при т==0 первый член ряда Jn(x) согласно уравнению A.70а)
содержит хп, который после возведения в квадрат и умножения на х
превращается в х2п+1. Таким образом, знаменатель подынтегрального
выражения в A.108) 'содержит х2п+1, .который в результате
интегрирования дает (—1/2п)х2п (при -пФО) или \пх (при я=0). В любом
случае при х=0 первый член ряда A.108) обращается ib бесконечность.
Следовательно, второе независимое решение, апределяемое A.108), не
пропорционально первому и является независимым. Это второе
независимое решение, жак уже отмечалась выше, есть функция беоселя 2-го
рода.
64

Формальное решение в модифицированных функциях Бесселя
1-го и 2-го рода
Решение уравнения A.68)
получено в виде функций Бесселя 1-го и 2-го рода. Однако уравнение
Бесселя может иметь вид A.72а):
х^+хЖ-^ + пг) = °-
Учитывая, что i = V—1 , преобразуем^ 1.72а) к виду A.726):
Решение этого уравнения известно:
для нецелых п
y=CiJn (ix) + C2J-n (ix);
для целых п
y=CiJn{ix) +C2Yn(ix),
где Jn(ix) —функция комплексной переменной,не равная Jn(x)
—функции действительной переменной. Решение A.72а) не совпадает с
(решением A.68). Необходимо представить Jn(ix) в виде функции
действительной переменной х. С этой целью в A.70а), представляющее собой
разложение /П'(*) в РЯД, подставим комплексную переменную ix:
т // \_11 (—l)m UxJm+n _Г1 Aг)ггщут+пх1т+п _
Jn\ix) — 2j 22m+nm\T(n + m+\) Jj ^2т+пт\Т (n + m+l)
m**0 m=aQ
oo
v-« рт1пх2т+п
' J^j 22m+n m\V(n + m+ 1)
m=0
Поскольку m может быть только целым числом (номер члена
ряда), ikm всегда равен единице, a in может быть вынесен из-под знака
суммирования; следовательно,
п
%2т-\-п
Jn\lx) l 2j 22™+"т!Г(я + т+1)
m«=0
После несложных алгебраических преобразований получим
разложение в ряд модифицированной функции Бесселя 1-го рода n-vo порядка
1п(х) в виде
ю-/.м=/.(*)=2] 2т:^+т+1). (Ы09)
Поскольку Jn(ix) —частное решение A.726), очевидно, что это
решение, умноженное на постоянную, также будет частным решением.
5—192 65

Таким образом, для нецелых п решение уравнения A.726) можно
записать в виде
y=CJn (х) + С21-п (х).
Как видно из A.109), для целых п функция J-n(x) не определена,
поскольку знаменатели первых п членов разложения обращаются в
бесконечность. В этом случае эти члены опускают, и разложение J-n(x)
начинается с номера т=п. Следовательно,
>-»(*)=2]
(—\)тх2
2*т-пт\Т(т—п + 1)
что совпадает с A.105). Определим W так, что h'=m—п. Тогда т=
=hf + n и
(__\}h'-\-nx2{h>+n)-n
h'=0
22 (h'+n)-n (Л, + пу щ, + n_^n+i)
h> 2h'-\-n
J-nW — \ l) 2j 22h'+"hlT(h' + n+l) '
/i'=0
/_„(*) = (—l)»/«.(x). A.110)
Из A.110) следует, что при целых п второе решение A.68)
пропорционально первому. Более того, когда п — целое,
J-n{ix) = {-\fJn{ixy,
i-nJ.n(ix) = (-iy[i-nJn(ix)];
i~tn \inJ.n (ix)\ = (-1)" [i~nJn (ix));
i-inl_n{x) = {-\fln{x);
I.n(x)=In(x). A.111)
Определим теперь второе линейно-независимое решение уравнения
A.72а). Его выражают через 1п(х) так же, как Yn(x) (выражали через
Jn(x). Снова предполагаем, что решение имеет вид
У=4{хIп(х)=у(х)
и получаем:
у (х) = А1п (х) j - ?щг+В1п (х), A.112)
где А и В—(произвольные постоянные. Уравнение A.112) определяет
модифицированную функцию Бесселя 2-го рода п-го порядка, которую»
как отмечалось ранее, в литературе обычно обозначают Кп{х).
Рекуррентные соотношения
Функции Бесселя определяют целый ряд соотношений. Эти
соотношения называются рекуррентными, или основными тождествами.
Некоторые из них приведены ниже без доказательства:
1. ^[Xn+1Jn+1{x))=Xn+'Jn(x).
66

2- ?-lx-njnH)=-x-Vn+1(x).
7. /я.,(л) = уУAМ-/(,+ 1D
*• ^W^^l^.W + ^-.W].
9. § xn+4n(x)dx = xn+1Jn+1(x) + C.
\Q.\x-nJn+l{x) dx=-x-nJn(x) + C.
1! • x ST Vn Ml = nJn (x) - xJn+, (л).
12. х5|[Кя(х)] = пГ„(х)-д;7„+1(л:).
13. x?¦ [Jn (x)] = - nJn (x) + */„_, (x).'
14. х^-^^Я^-п^М+^.Лх).
15. J-[^W1 = 4-Wn-г(x)-Yn+Ax)V
iS.^-Yll(x) = Yn+1(x) + Yll.l(x).
17.^[/,(x)] = -/,(x).
19. jx-"F„+1(A;)dx = —л-"Гя(;с) + С.
20. Jjc»y/I.1(^)^ = JCey«W + C.
21. ¦^¦Un(x)] = /n.1(x)~J^In(x).
23.|-[/„(x)] = ^-/„(.v)+/„+1W.
24. ^f-/„(*) = /,,-,(¦*)-'»+,(¦*)•
25-53Г ['.(*)] = /, (*)•

Пример 1.3. Применение рекуррентных соотношений: Дано: /оB,0) =0,2239,
Л B,0) =0,5767.
Найти: /4B,0).
Решение. Используем соотношение 6 для я=3
2/г
*п+1 (*) =—Jn (*) —In-г (*);
б
Палее, для л =2 и п = 1,
л (*> =4~[/z+i (x)] ""/i+i {х) = "т [4"/а м -^
(*)
— /,(*)-/.(*>
24 б 2
48
24
8
48 8
Теперь, поскольку /0 (x) и /j (x) для x — 2,0 заданы,
/48 8 \ / 24 \
/4 = B,0) = /-jr rj @,5767) + /1 —2TJ @,2239) = 0,0339.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определение
Гиперболический косинус и гиперболический синус можно
определить, используя возрастающие и убывающие экспоненциальные
функции:
ch„\; =
ех + е~х
shx =
ел— е~
A.113)
A.114)
По аналогии с обычной тригонометрической функцией tgx
определим гиперболический тангенс:
,, shx ех—ет
chx ex + е~х
A.115)
Три функции — гиперболический котангенс, гиперболический секанс
и гиперболический косеканс определяются соотношениями
cthx
schjc
cschx— . — - ¦ v .
Складывая A.113) и A.114), получаем:
e^^ohx+shx.
_ 1.
thx
1
chx
1
\
e* + e"x
е* — q-x »
2
?* + #~* '
_ 2
A.116)
A.117)
A.118)
A.119)
68

И аналогично, вычитая A.114) из A.113), находим:
e-*=:ch х—sh x. A.120)
Функции chx и shx — четные функции, т. е. f(x)—f(—х). Это легко
показать, непосредственно заменяя х на —х в выражении A.113):
и/ \ е"тХ + е-т('х) е~х + ех * /1101ч
ch(— х) = -^ = J-— = ch^:. A.121)
Как следствие обратной пропорциональности
В результате такой же замены х на —х находим, что shx —
нечетная функция [f(x)——f(—х)], поскольку
sh(-;c) = '-x-fl-*=-(?=^ = -ux. A.123)
Следовательно,
ch(-^)=iM^)-=-ihW==-ch^ AЛ24)
для th(—х) и cth (—х) справедливы зависимости
clh<—') = тмЬ)-=~--п^=-с*х- <1Л2в>
Квадратичные соотношения
Гиперболические функции не являются независимыми. Известны
три важных «соотношения, связывающие их квадраты, а именно:
ch2x—sh2*=l; A.127)
1—th2x=sich2A:; A.128)
eth2*—l=*csch2*. A.129)
Равенство A.127) проверяется непосредственно возведением в
квадрат выражения для chx [уравнение A.113)] и вычитанием квадрата
shx [уравнение A.114)]:
ch!
x-^x = ^±fLy^-fxy=
= Jr(e™ + 2 + e-2x — е2* + 2 — e'2x) =-\-D)=L
Если A-127) разделить на ch2x, получим:
ch2x sh2x : 1
ch2x ch2x ~~ch2;c '
1 — th2jc = sch2x.
И, наконец, аналогично, разделив A.127) на sh2A\ получим:
ch2* sh2x 1
sh2x sh2x sh2x >
cth2*—l=cs!ch2*.
69

Формулы суммы и разности
При рассмотрении двух аргументов х и у можно определить
ch (х + у) — ch х ch у -f- sh x sh у; A.130)
ch (x — у) = ch х ch г/ — sh x sh у; A.131)
sh (лг + У) = sh x ch у -f- ch x sh у; A.132)
sh(x—-y) = shxchy — chxsh у. A.133)
Выражения A.130) и A.131) выводятся непосредственно из
определения гиперболических косинуса и синуса. В частности,
chxchy + sh^shy = (^^)(^+?^) +
,/?*_?-* \ /еУ--е-У\__ех+У + ех'-У+ е~(х~У) + е~(х+У) ,
+ ^—2—Д—у— J 4 +
+ 4 = ^ = ch(x + y).
Аналогично
sh*ch;c + chxshy = (?^l) (?Цг^) +
/ех + е-х \ (ей — е-У\ ^+^ — е~(х~У) + ех~У — е~(х+У) ,
-^ 2—J ^ 2— J- 3 +
Н 2- ? = g = Мх + У).
Если в A.130) и A 132) х=у, то
ch2*=ch2x+sh2Jt; A.134)
sh2*=2sh*<ch*. A.135)
Используя эти (соотношения и A.127), находим:
di2*=2ch2*—1 A.136)
или
ch2x=2sh2x+l. A.137)
Решив A.136) и (Г.137) относительно ch2x и sh2*, получим:
ch2x=ch2x2+1; A.138)
sh2x = ch2x2". A.139)
Обратные гиперболические функции
Обозначения, используемые для обратных гиперболических
функций, подобны обозначениям обратных тригонометрических функций.
Так, например, sin-1 ху или aricsin х — это «угол, синус которого есть х»,
аналогично можно рассматривать ch-1 х или агюсЬх как значение
переменной, гиперболический косинус которого есть х. Если
y=ch~l х,
то
еУ + е-У
x = chy = —^ .
70

Последнее выражение можно записать в виде
еУ-2х + ±=0
или в виде квадратного уравнения
с корнями
еу = х±Ух? — 1.
Взяв натуральный логарифм, получим:
или
Аналогично
ch~1x = ln(x±Vx2- 1); х2>1. A.140)
sh-'x = ln(x + Vjc2+l) A-141)
th-^=4-ln(f=r); X*<L AЛ42>
Производные
Производные гиперболических функций легко получить
непосредственно из определения. Например, дифференцируя A.113), получаем:
=¦<**-=¦ P^)=^ = 3h., ¦ (,.143)
Аналогично из A.114)
=-**==-Рт^)-^-** (М44)
Дифференцируя A.115), получаем производную th^::
д? « _ d (ех — е~х\_ (ех + е-х)(ех — е-х) — (ех — е-х)(ех — е-х) _
dx mX~~dx [e* + e-x ) (ех + е~хJ
= {e* + e-xr=rtk=Sch2x- AЛ45>
Аналогично находим производные других гиперболических функций.
jLcth;t = — csch2;c; A.146)
/-sch = —schxthx; A-147)
cschx= — cschxcthx. A.148)
Теперь рассмотрим обратный гиперболический косинус:
, z/=jch_1 x\
x=,ch у,
71

тогда
dx ,
следовательно,
dy l _ l
или
-?-ch~lx = -7 1 , jc>1. A.149)
Подобным образом, если y=sh~l x, то
x=sh #;
тогда
W = Chy;
_^= 1 _ ^ \
dx chy Vsh2 y+l9
и, наконец,
^shjc=1^ * , A.150)
Аналогично находят производные остальных обратных
гиперболических функций:
^th-^=nL?.^<i; ОЛИ)
^cth-1^=nip, ^>1; A.152)
-^-sclr1;c = Г1 0<х<1; A.153)
^-csch^x 71 *=?0. A.154)
Интегрирование
Таблицу элементарных интегралов можно получить, проводя
интегрирование выражений с A.143) по A.148). Рассмотрим, например,
A.143):
-т—chx = sh.r,
dx
Uchx=\shxdx; \ A.155)
chx + c= Г shxdx. I
Двумя важными интегралами, которые не могут быть получены
обращением дифференцирования, являются:
ttiixdx = lnchx-\-C\ A.156)
Г cthxdx = lnshx-{-'C: A.157)
72

Соотношение A.156) доказывается следующим образом:
Доказательство соотношения . A.157) совершенно аналогично.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Книги, перечисленные ниже, делятся на две категории: книги,
посвященные общим вопросам теплопередачи и книги, в которых
рассматриваются специальные вопросы теории или применения
теплопередачи. В список включены книги на английском языке, опубликованные
за последние 10—15 лет, а также некоторые более ранние работы,
имеющие важное значение.
Рекомендуемая дополнительная литература
Общие вопросы
Bennett С. О., Myers J. E. Momentum, Heat and Mass Transfer. McGraw-Hill Book
Company, New York, 1962.
Boelter L. M. K., Cherry H., Johnson H. A., Martinelli R. С Heat Transfer Notes,
2d ed. McGraw-Hill Book Company, New York, 1964.
Brown A. I., Marco S. M. Introduction to Heat Transfer, 3d ed. McGraw-Hill Book
Company, New York, 1958.
Chapman A. J. Heat Transfer, 2d ed. The McMillan Company, New York, 1966.
Eckert E. R. G. Introduction to Heat and Mass Transfer, translated by J. F. Gross.
McGraw-Hill Book Company, New York, 1963.
Fishenden M., Saunders O. A. An Introduction to Heat Transfer. Oxford University
Press, New York, 1950.
Gebhart Benjamin. Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1961.
Giedt W. H. Principles of Engineering Heat Transfer. D. Van Nostrand Company,
Inc., Princeton, N. J., 1957.
Holman J. P. Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1963.
Hsu S. T. Engineering Heat Transfer. D. Van Nostrand Company, Inc., Princeton,
N. J., 1963.
Kaye J. M. Fluid Mechanics and Heat Transfer. Cambridge University Press, New
York, 1957.
Knudsen J. G., Katz D. L. Fluid Dynamics and Heat Transfer. McGraw-Hill Book
Company, New York, 1958.
Kreith F. Principles of Heat Transfer, 2d ed. International Textbook Company^
Scranton, Pa., 1965.
McAdams W. H. Heat Transmission, 3d ed., McGraw-Hill Book Company, New
York, 1954.
Rohsenow W. M., Choi H. Y. Heat, Mass and Momentum Transfer, Prentice-Hall,
Inc., Englewood, Cliffs, N. J., 1961.
Schenck H. Heat Transfer Engineering. Prentice — Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.,
1959.
Специальные вопросы
Bonilla С. R. Nuclear Engineering. McGraw-Hill Book Company, New York, 1957.
Carslaw H. S., Jaeger J. C. Conduction of Heat in Solids, 2d ed. Oxford
University Press, New York, 1959.
Dusinberre G. M. Heat Transfer Calculations by Finite Differences, 2d ed.
International Textbook Company, Scranton, Pa., 1961.
Fourier J. B. J. The Analytical Theory of Heat, translated by A. Freeman, Dover
Publications, Inc., New York, 1955.
Kern D. Q. Process Heat Transfer. McGraw-Hill Book Company, New York, 1950.
Kreith F. Radiation Heat Transfer. International Textbook Company, Scranton,
Pa., 1962.
Threlkeld J. L. Thermal Environmental Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N. J., 1962.
73

Thring M. W. The Science of Flames and Furnaces, 2d ed. John Wiley and Sons,
Inc., New York, 1962.
Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. Пер. с нем. М.,
Изд-во иностр. лит., 1958.
Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Карлсруэ, 1951, Пер. с нем. М, Изд-во
иностр. лит., 1956.
Кэйс В. М. Конвективный тепло- массообмен. Нью-Йорк, 1966, Пер. с англ. М.,
«Энергия», 1972.
Краус А. Д. Охлаждение электронного оборудования. Инглвуд Клиффс (Нью-
Джерси), 1965. Пер. с англ. М., «Энергия», 1971.
Сполдинг Д. Б. Конвективный массоперенос. Лондон, 1963. Пер. с англ., М.,
«Энергия», 1965.
Якоб М. Вопросы теплопередачи. Нью-Йорк, 1957, Пер. с англ. ИЛ, 1960.
Кэйс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. Нью-Йорк, 1964, Пер.
с англ. М., «Энергия», 1967.
Шнейдер П. Инженерные проблемы теплопроводности. Кембридж (Масс), 1955,
Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1960.
Тонг Л. Теплоотдача при кипении и двухфазное течение. Нью-Йорк, 1965. Пер.
с англ. М., «Мир», 1969.
Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. Новосибирск, «Наука» (СО),
1970.
Шак А. Промышленная теплопередача. Нью-Йорк, 1965, изд. 6-е. Пер. с нем. М.,
«Металлургия», 1961.
Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена. Нью-Йорк, 1959. Пер.
с англ. М., Госэнергоиздат, 1961.
ЗАДАЧИ
1.1. Определить потери тепла через одинарное оконное стекло толщиной 3 мм,
площадью поверхности 0,9 м2, если температура в помещении 20°С, а на улице —18!°С.
Коэффициент теплопроводности стекла 1,1 Вт/(м-0С), коэффициенты теплоотдачи от
воздуха в помещении к стеклу и от стекла к наружному воздуху равны соответственно
5,7 и 34,2 Вт/(м2-°С).
1.2. Адиабатически теплоизолированный бак диаметром 60 см и высотой 120 см
полностью заполнен водой с температурой 40°С. Определить время, необходимое для
нагревания воды до 65°С при использовании погружного кипятильника мощностью
500 Вт.
1.3. Для определения степени черноты поверхности сферы диаметром 7,6 см ее
подвешивают на тонкой нетеплопроводной нити в большой полностью откачанной
камере. Вычислить степень черноты поверхности, если сфера рассеивает 5 Вт, ее
температура равна 95°С, а температура поверхности камеры 10°С.
1.4. Три тонких листа полированного алюминия (8=0,035) очень больших
размеров установлены параллельно друг другу и полости между ними откачаны. Рассчитать
температуру внутреннего листа, если температуры внешних листов поддерживаются
равными 340 и 120°С.
1.5. Горизонтальный проводник диаметром 6,4 мм помещен в большую камеру,
заполненную воздухом с температурой 25°С. В камере поддерживается давление, при
котором коэффициент теплоотдачи свободной конвекцией можно достаточно точно
вычислять по формуле /г = 1,4(A//<i)°»25 Вт/(м2;оС), где At — разность температур
поверхности проводника и воздуха в камере. Рассчитать ток через проводник, если его
температура 80°С, степень черноты поверхности 0,75 и сопротивление 6,7 Ом/м.
1.6. Два потока жидкости с температурами 290 и 65°С разделены составной
стенкой из слоя стали толщиной 25 мм [6=42,5 Bt/(m-qC)] и слоя алюминиевого сплава
толщиной 50 мм [6=170 Вт/(м«°С)]. Коэффициент теплоотдачи от горячей жидкости
к стальной поверхности 11,5 Вт/(м2*°С), а от поверхности слоя из алюминиевого
сплава к холодной жидкости 28,5 Вт/(м2»9С). Определить плотность передаваемого
теплового потока и температуру на стыке между двумя слоями.
1.7. В трубу наружным диаметром 50 мм с толщиной стенки 0,8 мм, длиной 30 м
поступает 5,5 кг/мин насыщенного водяного пара под давлением 2,76 МПа B8кгс/см2).
Рассчитать толщину теплоизоляции трубы, необходимую для того, чтобы массовое
расходное паросодержание на выходе из трубы было равно 94%. Считать, что
температура окружающего воздуха равна 30°С, коэффициент теплоотдачи от пара к внутренней
стенке трубы и от наружной поверхности изоляции к воздуху соответственно 2300 и
28 Вт/(м2-°С), а коэффициент теплопроводности изоляции &=0,6 Вт/;(м-°С).
1.8. Железная пластина [?=60 Вт/(м-°С), р=7824 кг/м3, с=0,76 кДж/(кг-°С)]
толщиной 30 см равномерно нагрета до 650°€. Рассчитать температуру центра пла-
74

стины через 3 мин после того, как температура ее поверхностей мгновенно понижается
до 40°С.
1.9. Для вулканизации большого листа резины толщиной 25 мм его помещают
между нагретыми поверхностями пресса. Поскольку процесс вулканизации является
одной из операций автоматической производственной линии, необходимо знать время,,
требуемое для полной вулканизации резинового листа. Резиновый лист считается
полностью обработанным, когда температура в его средней плоскости достигает 120°С.
Резина обладает следующими теплофизическими свойствами: р=1200 кг/м3, с=
=2,02 кДж/(кг»°С), &=0,Т5 Вт/(м-°С). Определить время, требуемое для
вулканизации, если температура поверхностей пресса поддерживается равной 150°С и начальная
температура резинового листа 10аС
1.10. Объяснить, почему замерзает вода, оставленная в теплоизолированной
тарелке на ночь в пустыне при температуре 18°С.
1.11. Круглая труба покрыта цилиндрическим слоем теплоизоляции с
коэффициентом теплопроводности к. С увеличением толщины слоя термическое сопротивление
теплопроводности возрастает, но при этом увеличивается и площадь наружной поверхности
изоляций, что при постоянном коэффициенте теплоотдачи h на этой поверхности
уменьшает термическое сопротивление теплоотдачи. Получить выражение для внешнего
радиуса изоляции, при котором тепловой поток, передаваемый через нее, максимален.
1.12. По трубе наружным диаметром 50 мм с толщиной стенки 0,8 мм, длиной
3,7 м движется хладоагент со среднемассовой температурой —12°С и следующими
теплофизическими свойствами при этой температуре: & = 0,56 Вт/(м-°С), с =
=4,2 кДж/(кг-°С), iu.=4,3-10~4 кг/(м»с), р=1000 кг/м3. Труба окружена слоем
теплоизоляции с теплопроводностью &из=0,3 Вт/(хМ-°С). Коэффициент теплоотдачи
конвекцией и излучением от наружной поверхности изоляции к окружающему воздуху
с температурой 20°С равен 10 Вт/(м2-с). Определить толщину слоя изоляции,
необходимую для того, чтобы предотвратить обмерзание ее наружной поверхности, если
расход хладоагента составляет 30 л/мин, а температура точки росы равна 11 °С. При
расчете пренебречь поправочным коэффициентом (мУЦгсH'14 в A.32), A.34) или A.36).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 1
1. Kays W. M., London A. L. Trans. ASME, 72, 1076, 1950.
2. Biot J. В. Bibliotheque Britanique, 27, 310; Traite de Physique, 4, 669.
3. Fourier J. B. Theorie Analytique de la Chaleur, Paris, 1882.
4. Olson F. С W., Schultz O. T. Ind. Eng. Chem., 34, 874, 1942.
5. Heisler M. P. Trans. ASME, 69, 227, 1947.
6. Boelter L. M. K., Cherry H., Johnson H. A., Martinelli R. G. Heat Transfer
Notes, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.
7. Groeber H. Z. ver. Deut. Ing., 69, 705, 1925.
8. Schneider P. J. Temperature Response Charts, John Wiley and Sons, Inc., New
York, 1965.
9. Gurnie H. P., Lurie J. Ind. Eng. Chem., 15, 1170.
10. Strothcr F. P. Proc. Natl. Electron. Pack anil Prod. Conf., Long Beach. Calif..
1965, p. 52.
11. Tribus M. The Use of Analogs and Analog Computers in Heat Transfer.
Oklahoma State Univ. Publ. 100, 1958.
12. Schmidt E. Festschr. Siebzigsten Geburstag August Foeppls, 179, 1924.
13. Sieder E. N., Tate G. E. Ind. Eng. Chem., 28, 1428, 1935.
14. Colburn A. P. Trans. AIChE, 29, 174, 1933.
15. Hausen H. Z. VDI, Beih. Verfahrenstech., 4, 91, 1943.
16. Elenbaas W. Philips Res. Rep. 3, 1948, p. 453.
17. Starner K. E., McManus H. N., J. Heat Transfer, 84, 273, 1963.
18. Sobel N., Landis F., Mueller W. K. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf.r
v. 2, p. 121, 1966.
19. Hottel H. С Mech. Eng., 52, 699, 1930.
20. Kreith F. Radiation Heat Transfer, p. 201, International Textboek Company,
Scranton, Pa., 1962.
21. Stevenson J. A., Grafton J. С ASD Tech. Rep. Pt., I., p. 61, Dayton, Ohio,
Dec. 1961.
22. Johnson F. S. J. Meteorol., 11, 431, 1954.
75

23. Gast P. R. in J. A. van Allen r(ed.). Scientific Uses of Earth Satellites. The
University of Michigan Press, Ann. Arbor, 1956.
24. Drummeter L. F., Hass G. H. Infrared Information Symp., 4, 1, 116, 1959.
25. Fritz S. J. Meteorol., 6, 131, 1949.
26. Kuiper G. P. The Atmosphere or the Earth and Planets, The University of
Chicago Press, Chicago, 1952.
27. Goldman D. Т., Singer S. F. Univ. Maryland, Physics Dept. Rept. 46, 1956.
28. Locke A. J. Guidance, p. 185,. D. Van Nosirand Company, Inc., Princeton,
N. J., 1955. ..*-....
29. List R. Smithsonian Meteorological Tables, The Smithsonian Institution,
Washington, 1951.
30. Sandorff P. E., Prigge J. S., Jr. J. Astronautics, 3, 4 (Spring 1956).
ГЛАВАВТОРАЯ
РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА КОНВЕКЦИЕЙ
(АНАЛИЗ С УПРОЩАЮЩИМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ)
Основные допущения
В предыдущей главе рассмотрены развитые поверхности
различных тицов, в том числе несколько разновидностей основных
поверхностей и ребер. Полное представление о тепловых потоках, профилях
температуры, эффективности и оптимизации параметров ребер можно
получить в результате анализа ребер трех основных геометрических
форм — продольных, радиальных и шипов (рис. 1.1).
Ребра различной геометрии и теплопроводности по-разному
работают даже в одинаковых условиях при однородных источниках и
стоках тепла. Между тем температуры источников и стоков и
коэффициенты теплоотдачи между ними и ребром,могут изменяться по различным
законам. Поэтому при анализе ребер важную роль играют допущения,
позволяющие четко определить и ограничить задачу, а зачастую и
упростить ее решение. Анализ рассматриваемых здесь ребер трех
основных геометрических форм опирается на следующие допущения,
сформулированные Мэрреем [1] и Гарднером [2]:
1. Тепловой поток и распределение температуры в ребре постоянны
во времени.
2. Материал ребра однороден, коэффициент теплопроводности
одинаков во всех направлениях (изотропен) и постоянен.
3. Коэффициент теплоотдачи постоянен и однороден по всей
поверхности ребра.
4. Температура окружающей ребро среды однородна.
5. Толщина ребра мала по сравнению с его высотой, в связи с чем
температурными градиентами поперек ребра (по толщине) можно
пренебречь.
6. Температура в основании ребра однородна.
7. Контактное термическое сопротивление между ребром и
основной поверхностью отсутствует.
8. Источники и стоки тепла внутри ребра отсутствуют.
9. Тепловой поток через торцевую поверхность ребра
пренебрежимо мал по сравнению с тепловым потоком, отводимым с боковых
поверхностей.
10. Тепловой поток между ребром и окружающей средой пропор-
дионален температурному напору между ними.
76

ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА
Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности
Гарднер предложил рассматривать обобщенное ребро. Согласно его
методу дифференциальное уравнение, получаемое из теплового
баланса для элемента ребра, почленно сравнивается с обобщенным
уравнением Бесселя, предложенным Дугласом [3].
Рассмотрим продольное ребро произвольного профиля, показанное
на рис. 2.1, и предположим, что оно рассеивает тепло в окружающую
среду. Пусть х — продольная координата, отсчитываемая от вершины
ребра. Площадь поперечного сечения ребра A(x)=f\(x). Профиль ребра
Осиобиая пб$ерхншь
x-dx
\х
г-Щ
Х=Ь
а)
Х = 0
Рис. 2.1. Продольное ребро произвольного профиля,
а —система координат; б —профильное сечение ребра; в — поперечное сечение ребра.
ограничен двумя симметричными кривыми y=f2(x) и у=—h{x)- Тогда
площадь поперечного сечения на единицу длины ребра есть А(х) =
—fl(x)=2Lf2(x)==2f2(x). Обозначим через 9 —разность между
температурой произвольной точки на поверхности ребра и температурой
окружающей среды. Очевидно, 0 также является функцией расстояния от
основания ребра.
Дифференциальное уравнение теплопроводности, описывающее
распределение температуры вдоль ребра, получают из рассмотрения
стационарного теплового баланса для бесконечно малого элемента ребра
высотой dx, заключенного между плоскостями х и x+dxy
параллельными основанию, и кривьими ±f2(x), ограничивающими профиль ребра.
Для обобщенного ребра с температурой t и коэффициентом
теплопроводности k разность тепловых потоков, поступающего в элемент
через сечение x+dx и покидающего его через сечение х путем
теплопроводности, есть
dq — k
dx
шЩ
dx.
B.1)
Поскольку процесс стационарен, эта разность должна равняться
тепловому потоку, отводимому с боковых поверхностей элемента ребра.
Если тепло отводится в окружающую среду конвекцией я h—
коэффициент теплоотдачи, то
dq—2h(t—ts)dx.
B.2)
77

При этом предполагается, что высота элемента dx на произвольной
поверхности fz(x) такая же, как и на оси ребра1. Так как локальный
температурный напор между ребром и окружающей средой Q=ty—t8>
а температура окружающей среды ts по предположению постоянна, то
dQ—dt и B.1) и B.2) можно приравнять. В результате получаем
следующее дифференциальное уравнение теплопроводности для
обобщенного ребра:
dx = 2A6dx
или
M*)-S+*w'e
2/г
tfx2
dx dx
0 = 0.
B.3)
Заменив в B.3) функцию поперечного сечения для единицы длины
ребра /i(jc) функцией толщины (профиля) ребра 2L/2(*)=^2(*)>
получим:
^(Л)^+^^5--4в=о.
dx2
dx dx
B.4)
Обобщенная функция профиля /г(^) для продольных ребер
записывается в виде
ш=ШТ~2пт~п)>
B.5)
где бо — толщина ребра в основании. Частное решение B.4) получают
при следующих граничных условиях, используемых для определения
произвольных постоянных:
при х=Ь 9 = 6о; B.6а)
db
при х = 0 -т— = 0.
B.66)
Продольное ребро прямоугольного профиля
Для ребра прямоугольного профиля, показанного на рис. 2.2,
показатель степени п обобщенной функции профиля ребра B.5) равен 1/2.
Контур (функция) профиля такого ребра имеет вид:
/.(*)=-?-;
dh (*)
dx
= 0.
Рис. 2.2. Элементы продольного
ребра прямоугольного профиля и
используемая система координат.
1 — основная поверхность; 2 — боковая
поверхность; 3 — концевая поверхность;
4—торец ребра; 5 — высота ребра; 6—
толщина ё0; 7 — длина ребра.
з=Ь
я=0
1 Гарднер отмечает [2], что это справедливо для тонких ребер и шипов,
поскольку квадрат наклона боковых сторон ребра мал по сравнению с единицей.
78

Подставив эти соотношения в B.4), получим основное
дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра прямоугольного профиля
5~же-°- B-7>
Оно представляет собой обыкновенное дифференциальное
уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами, имеющее решение:
Q=Ciemx-\-C2e-mx, B.8)
где m=Bh/k8o)il2.
Вычисляя произвольные постоянные Ci и Сч с помощью граничных
условий B.6а) и B.66), получаем частное решение в виде зависимости
температурного напора Q—t—ts от продольной координаты х:
Тепловой поток, передаваемый через основание ребра, определяется:
«•=kAzr\ ¦ BЛ°)
Вычисляя из B.9) производную dQ/dx при х=Ь, подставляя
результат в зависимость B.10) и учитывая, что площадь поперечного сечения
ребра на единицу длины в основании Л=бо, получаем:
kdQmB0 sh mb
q* ~ ch~mb '
или
q0=k80mQo t h mb. B.11)
Эффективность ребра определяется как отношение теплового
потока, действительно передаваемого ребром, к тепловому потоку, который
передало бы такое же идеально проводящее ребро (k=<x>) с
однородной температурой, равной температуре в основании. Таким образом,
hP (* 0 (х) dx J 0 (x) dx
*= hPKb —eg-' <2Л2>
где P — периметр поперечного сечения ребра.
Для продольного ребра прямоугольного профиля действительный
тепловой поток определяется B.11). Поскольку L^>6o, тепловой поток,
который передало бы идеально проводящее ребро (&=оо) на единицу
длины, qid=2hbQo. Следовательно,
kd0mb0 th mb
71 ~~ 2ШГ0 •
Учитывая, что &6o/2/i=m~2, получаем окончательное выражение
для эффективности продольного ребра прямоугольного профиля:
th mb BЛЗ)
1 " mb '
На рис. 2.6 (кривая А) приведен график зависимости т] от mb,
рассчитанный по B.13), а также графики эффективностей других
продольных ребер, которые будут рассматриваться далее. Зависимость ц
от mb в табличной форме приведена в табл. 2.1.
79

Таблица 2.1
Эффективность продольных ребер и шипов
тЬ
0,00
0,01
0,38
0,39
0,83
0,94
0,95
1,33
1,34
1,78
1.87
3,99
4,22
Продольные
прямоугольные ребра,
цилиндрические и
прямоугольные
шипы
1,0000
1,0000
0,9545
0,9522
0,8199
0,7822
0,7787
0,6536
0,6505
0,5307
0,5099
0,2505
0,2369
Продольные
треугольные
ребра
1,0000
0,9999
0,9341
0,9309
0,7630
0,7203
0,7165
0,5875
0,5845
0,4743
0,4560
0,2344
0,2225
Продольные
параболические
вогнутые ребра
1,0000
0,9999
0,8865
0,8817
0,6807
0,6391
0,6355
0,5206
0,5181
0,4257
0,4106
. 0,2212
0,2105
Параболические
вогнутые
шипы
1,0000
1,0000
0,9698
0,9683
0,8811
0,8561
0,8538
0,7681
0,7659
0,6772
0,6607
0,4088
0,3920
Конические
шипы
1,0000
1,0000
0,9551
0,9529
0,8283
0,7941
0,7910
0,6802
0,6775
0,5729
0,5546
0,3085
0,2940
Примечание. Таблица дается с большими сокращениями по сравнению с оригиналом. В ней
помещены только те значения, которые необходимы для решения приводимых в книге примеров. {Прим. пер.)
Пример 2.1. Продольное ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм, высотой
101,6 мм, изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности 34,1 Вт/(м-°С),
отводит тепло в окружающую среду с температурой 50°С. Температура ребра в
основании 100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Определить эффективность
ребра, температуру торца и тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром.
Повторить расчет для коэффициента теплоотдачи 250 Вт/(м2«°С) при прочих равных
условиях.
Решение, il. Коэффициент теплоотдачи Л=50 Вт/(м2-°С). В основании ребра 00=
= 100—50=50°С; 60=9,5 мм=9,5-10-3 м.
/ 2h у/2 / 2.50 у/2
т=\Ж) V~34,1-9,5.10— J =17'5rl;
Ь = 101,6 мм = 0,1016 м;
mb= 17,5-0,1016= 1,78.
Из табл. 2.1 при тЬ=\,7& находим ^ = 0,531; по B.13)
th/иЬ thl,78__0,9447_
7,~ тЬ 1,78 " 1,78 ~0»531-
Аналогичный результат получаем по кривой А рис. 2.6: при т&=1,78 Т]=--0,531.
Температурный напор у торца ребра (при х=0) вычисляем по B.9)
д0сЬтх __ 50ch0 _ 50
Ье— Qhmb ^ chl,78 ",0493= lD'*°C-
Следовательно, температура торца ребра
/e = 9e+/s = 16,4+50 ==66,4°С.
Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, рассчитываем по B.11):
?o=?6ow9othm&=34,l-9,5-10-3-17,5-50-0,9447 = 270 Вт/м.
С другой стороны, <7о можно определить по тепловому потоку, передаваемому
идеально проводящим ребром, и эффективности:
<7о=Ш9оТ1=2-50-0,1016-50-0,531 =270 Вт/м.
80

2. Коэффициент теплоотдачи h=250 Вт/(м2-°С). Расчет проводим так же, как в
в предыдущем случае:
2/г У/2 / 2-250 \1/2
kbu
JQ j v 34,1-9,5. Ю-3
m&=39,3-0,1016=3,99.
Из табл. 2.1 при mb--=3,99 находим г]=0,2505; по B.13)
th mb th3,99 0,9993
tj = — -
= 39,3 м-1;
0,2505.
1,85°С,
тЬ 3,99 3,99
Температурный напор у торца ребра (при х=0) вычисляем по B.9):
60chwx _50ch0_ 50
6<?~~ chmb ch3,99 27,037
откуда температура торца
U=9*+** = 1,85+50=51,85°С.
Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, вычисляем по B.11):
q0=kdofnQ0 thmb=34,1-9,5-lO-39,3-50-0,9993=636 Вт/м;
с использованием эффективности
q<f=2hbQ0r\=2 -250 -0,1016 -50-0,2505=636 Вт/м.
Продольное ребро треугольного профиля
Для ребра треугольного профиля, показанного на рис. 2.3,
показатель степени обобщенной функции профиля [уравнение B.5)]
удовлетворяет этой геометрии, когда п=0. Контур (функция) профиля ребра
имеет вид:
f. (¦*) = ¦
2{b)>
df2(x)
dx
2b '
Подставляя эти соотношения в B.4),
получаем дифференциальное уравнение
теплопроводности для треугольного ребра:
х
dx2
dx
т2т-.
х=р
x=Q
где m = BhfkbQ)~ .
Общее решение B.14) определяется соотношением
6 = CJ0 Bт УЩ + С2К0 Bт уЪх).
Рис. 2.3. Продольное ребро
треугольного профиля.
B.15>
Для того чтобы температурный напор у вершины ребра (при х=0)
был конечным, произвольная постоянная Сч должна быть равна 0,
поскольку функция /Со@) в этой точке не ограничена. Следовательно,
Ь=^С110Bт\/Щу
где Ci вычисляется с помощью граничного условия B.6а). Таким
образом, частное решение B.14) имеет вид:
А_ %lJ2mVb~x)
/0 B/77.6)
6—192
B.16)
81

Тепловой поток через основание находим, используя B.16) с
учетом того, что для единицы длины ребра А=8о. Разложив функцию
Бесселя /оBт Ybx) в ряд, почленно продифференцировав его и подставив
производную при х=Ь в уравнение B.10), получим:
а = 2/*9q/i Bm6)
^° ml0 Bmb)
B.17)
Эффективность ребра есть отношение теплового потока,
определяемого B.17), к тепловому потоку на единицу длины, передаваемому
идеально проводящим ребром qi(i=2hbQo:
_ 2/г80/1 Bmb)/ml0 BтЬ) _ Л BтЬ)
2Ш0
mbl0 Bmb) '
B.18)
Зависимость ц от mb, рассчитанная по B.18), приведена на рис. 2.6
(кривая В). Соответствующая зависимость в табличной форме
приведена в табл. 2.1.
Продольное ребро вогнутого параболического профиля
Для ребра вогнутого параболического профиля, показанного на
рис. 2.4, показатель степени обобщенной функции профиля B.5)
удовлетворяет указанной геометрии, когда /г=оо. Контур (функция)
профиля записывается э виде
df2 (х)
dx
Подставляя эти соотношения в
B.4), получаем дифференциальное
уравнение теплопроводности для вогнутого
параболического ребра:
х=Ь
х*0
Рис. 2.4. Продольное ребро
вогнутого параболического профиля.
х :dx* ^ zxdx
j_
где m = Bh/kb0J.
¦ тгЬЧ = 0,
B.19)
В отличие от предыдущих соотношений B.19) представляет собой
не уравнение Бесселя, а уравнение Эйлера. Решение его получаем с
помощью замены переменной x=ev или v=\nx. Тогда
dx
dti dv
dv dx
1 d9
x dv
d4
dx2
d[(\/x) (dQ/dv)]_ 1 db , 1 d(d$/dv) _ 1 ^9, 1 d4
dx x2 dv ' x dx x2 dv
Подставив эти зависимости в B.19), получим:
2 / 1 d4 l dB \ . о / 1 db \ 2и2й Л
dv2
S2

Приводя подобные члены, находим:
i™4-?--m2&2e=o.
dvz ¦ dv
Это обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение
Возвращаясь к независимой переменной х, имеем:
6 = C1je|,1 + Ctx'\ B.20)
где
P1,Pi = -±±4r(l+4mV)> .
Общее решение можно записать в виде
-4-+ 4- <l+4m«&«J г
6=0^ н %—
' 1 •
х
Легко видеть, что при х—0 температурный напор 9=^—ts не
ограничен, если С2 не равна 0. Следовательно,
Так как температурный напор в основании ребра (х=Ь) задан,
частное решение имеет вид:
в = в.(ЧгУ\ B-21).
Продифференцировав B.21) по л: и подставив производную при х=
=Ъ в B.10), получим тепловой поток, передаваемый ребром. Учитывая,
что на единицу длины ребра Л=бо,
q.= kKl*Pl =Q&L[- 1 +У\ + BтЬ)% B.22)
Разделив B.22) на тепловой поток, передаваемый идеально
проводящим ребром qid=2hbQo, найдем эффективность ребра:
71 — Bb) BШ0)
Если числитель и знаменатель эт©го выражения умножить на
(_ J —у~\ _|_Bт6J), оно упрощается:
_ Г-1 + Vi + Bmb)*] [-1 -УТ+1Шу] _ 2 B23)
71— 2(ш^J [_! _^1 + B/776J] 1 + 1Л + B/яЬJ '
Зависимость ц от /ли, рассчитанная по B.23), представлена на
рис. 2.6 (кривая С) и табулирована (табл. 2.1).
6* 83

Продольное ребро выпуклого параболического профиля
Для ребра выпуклого параболического профиля, показанного на
рис. 2.5, найдем, что показатель степени обобщенной функции профиля
ребра B.5) удовлетворяет этой геометрии, когда n—l/З. Контур
(функция) профиля такого ребра имеет вид:
df2 (х) _ о0
dx
4 Vbx'
Подставляя эти соотношения в B.4),
получаем дифференциальное уравнение
теплопроводности для ребра выпуклого
параболического профиля:
х=
ух
dx2 ' 2 VX dx
.m2]/H = 0, B.24)
Рис. 2.5. Продольное ребро
выпуклого параболического профиля.
где m=Bh!k6o) .Почленное сравнение
с обобщенным уравнением Бесселя позволяет найти его общее решение:
1 г
Ъ = х4
' 4Л
С,/, 1^-тЬ*х* +С2/
4 г 4 4
— mbx
B.25)
Для вычисления произвольных постоянных в B.25) применяют
разложение функций 11 (и) я I 1 (и) в ряды, используя в качестве аргумента
4 t.4 4
&= — то х .
Тогда B.25) можно записать в виде
i = Qa
C1/J_H + C2/_1_(^)
з з
где
Q =
ч Amb
Граничные условия для переменной и
B.26)
d9_
da
Э0 при u = u0=:-j-tnb;
= 0 при и = 0.
B.27а)
B.276)
84

При^использовании граничного условия? B.276) каждый член рядов
для /, (и) и / 1 (и) умножают на и3 с последующим почленным
дифференцированием. Тогда при х = 0 член, содержащий (djdu)
иЧх{и)
становится неограниченным. Следовательно, постоянная Сг должна быть
равна нулю.
После определения с помощью граничного условия B.27а)
постоянной С2 частное решение уравнения B.26), выраженное через
переменную и, запишется в виде
Qu3 e0/ \_(и)
3
Qu* I j (uQ)
J_/ ,-(")
и \ з -
(«o)
и через переменную д;
X
6
1
¦)т
/
1
3
/
/
14-
\
f
iX
3
mb
4
3
i 3,
4 x4
/
/и*Л
B.28)
Как и следовало ожидать, при х=Ь B.28) дает 9=9о-
Почленно продифференцировав B.28), вычислив производную при
х—Ь и подставив ее в уравнение B.10), получим тепловой поток через
основание ребра (на единицу
длины):
4 х 1>°Г
-kbXm
1 2 {Т~тЬ
¦ mb
. B.29) 0,9
0,8
Эффективность ребра
определим, разделив B.29) на
тепловой поток, передаваемый 0,7
идеально проводящим ребром
qid=2hb%:
( 4 \ 0,6
mkd0Q0I 2 i-g-mb
7]
<7о
2Ш0
2Ш0/
___p(-3-wb)
J_ з ч y
0,5
0,4
p
л
\
'Э
^в
с
\
^mb
1
B.30) Рис. 2.6. Эффективность четырех продольных
ребер: прямоугольного (Л); выпуклого
параболического (D); треугольного (В) и вогнутого
параболического (С).
85

Зависимость г) от mb, вычисленная по B.30), построена на рис. 2.6
(кривая D) и представлена в табличной форме (табл. 2.1).
Продольное ребро формы, требующей минимальной затраты
материала
Все полученные соотношения для температурных напоров, тепловых
потоков через основания и эффективностей ребер являются
следствиями общего дифференциального уравнения теплопроводности B.4):
Часто ребра приходится изготавливать из дорогостоящих металлов
с высокой теплопроводностью и коррозионной стойкостью. И во
многих других случаях цена ребер связана с их массой. По той или иной
причине бывает желательно знать соотношение геометрических
размеров ребер, передающих заданный тепловой поток с наименьшими
затратами металла. Для этого необходимо найти контур (функцию) про-
ь
филя, при котором площадь профиля Ар=2 {f2(x)dx минимальна.
о
Рассмотрим продольное ребро с теплоизолированными боковыми
поверхностями, так что оно может проводить тепло только вдоль
продольной оси. Если площадь поперечного сечения ребра (от х=0 да
х=Ь) постоянна, эффективность передачи тепла каждой единицей
поперечного сечения ребра одинакова, поскольку тепловой поток q/A
постоянен по условию. Следовательно,
A-=JL=JL— —JL
Лг А% А.% Л
Однако если теплоизоляцию убрать, тепло будет отводиться с
боковых поверхностей ребра в более холодную окружающую среду.
Теперь тепловой поток в различных сечениях по высоте ребра не
остается постоянным. В самом деле, для того чтобы плотность теплового
потока была постоянной, а все сечение одинаково эффективно в передаче
тепла, оно должно уменьшаться как некоторая функция расстояния от
основания ребра, учитывающая изменение q/A, обусловленное отводом
тепла через боковые поверхности.
Рассмотрим тепловой поток в некоторой точке ребра произвольного
профиля:
ил db
где А — функция х.
Тогда
№ ц_
dx kA '
Для постоянной плотности теплового потока
db _г
1х~~~^1
постоянна и 6=CiX+C2, т. е. температурный напор вдоль ребра (или
распределение температуры в ребре) является линейной функцией.
86

Единственной формой продольного ребра, имеющего линейное
распределение температуры, является ребро вогнутого параболического
профиля, для которого температурный напор определяется выражением
б = в. (-?-)''при Р, = 1. B.31)
Таким образом, вогнутое параболическое ребро является ребром,
требующим наименьших затрат материала только при условии, что Pi=
=1. Заметим также, что в этом случае
1 ! 1
P1 = ~-^-+~Vrl-{-{2mbJ=\; l+Bm6J = 9; {mbJ = 2; mb = V2.
Вышеизложенное интуитивное заключение, высказанное впервые
Шмидтом [4], впоследствии было строго доказано Дафином [5]. Эппл
и Ханг [6] проводили оптимизацию оребренных поверхностей,
используя индивидуально оптимальные ребра (ребра с минимальной затратой
материала), ограниченной высоты. Задаваясь минимальным
расстоянием между ребрами, Эппл и Ханг вывели уравнение для определения
числа ребер, обеспечивающего наименьшую массу материала ребер при
заданном теплоотводе с оребренной поверхности. Хотя показано, что
общая масса ребер на таких поверхностях часто меньше, чем у
поверхностей с ребрами прямоугольного профиля, в некоторых случаях
справедливо обратное.
Влияние геометрии ребра на характеристики теплообменных
поверхностей исследовал также Хилдинг [7].
Пример 2.2. Продольные ребра прямоугольного, треугольного, вогнутого и
выпуклого параболических профилей толщиной в основании 9,5 мм, высотой 101,6 мм,
изготовленные из стали с коэффициентом теплопроводности ?=34,1 Вт/(м-°С), отводят
тепло в окружающую среду с температурой '50°С. Температура ребер в основании
100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Сравнить эффективности ребер, теп-
-ловые потоки, передаваемые на единицу длины, и температуры торцов (вершин) ребер.
Решение. Для всех ребер 00=d00—50=50РС; 60=9,5 мм=9,5-И0-3 м;
6=101,6 мм=0,1016 м.
1. Прямоугольный профиль (см. пример 2.1)
г) = 0,531; ?о —270 Вт/м; /е = 66,4°С.
2. Треугольный профиль
2/г У/2 / 2-50 у/2_
34,1.9,5.10-* ) ~1/'5 м 1;
mb= 17,5-0,1016= 1,78.
Эффективность ребра вычисляем по B.18):
7,B016) ЛC,56) ¦ 6,5515
ri — mbIQBmb) 1,78/0C,56) 1,78-7,7608 ~ и'4/4'
Расчет можно проверить по табл. 2.1 или по рис. 2.6 (кривая В): при
тЬ=Л,78 т} = 0,474.
Тепловой поток на единицу длины, отводимый ребром, рассчитываем по B.17):
2MJ1Bmb) __ 2-50.50-6,5515
?0== mIQBmb) ~ 17,5-7,7608 = 24° Вт/М>
или, используя эффективность,
?о=2Ш0т1=2.50-0,1016.50-0,474==240 Вт/м.
87

Температурный напор у торца ребра вычисляем по B.16):
b0I0BmVbx) 50/0@) 50-1 _ р 4сС
9*- 10BтЬ) "" 7,7608~,7608 " ' '
откуда температура торца
3. Вогнутый параболический профиль. Эффективность ребра определяем по B.23):
2 2
т)= •= -г. =0,426.
1 \ + V\ + BmbJ l + Kl+3,562
Расчет можно проверить по табл. 2.1 или по рис. 2.6 (кривая С): при mb — \J8
ц = 0,426.
Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, вычисляем по B.22):
kB°%° г 1 л_ 1^1 ./о «ли 34,1-9,5-Ш-'-бО ^
<7о = -~25" [— 1 + К 1 + Bгс&J] = 2-0,1016 f— J + + 3,562] =
= 216Вт/м.
Температура вершины ребра в соответствии с B.21) приближается к
температуре окружающей среды:
8е=90^Л = 50.0р^О,
так что
/е = 9е+^==0+50 = 50°С.
4. Выпуклый параболический профиль. Эффективность ребра вычисляем по B.30)::
/2
{irmb)
1_ ______
з ч
4
Так как 4/3 m6 = -jp-l,78 = 2,373, то
/ 2 B,373)
^=1778/-^ = °>503-
—Т B,373)
Это значение можно проверить по рис. 2.6 (кривая D) при m6=l,78, ri=0,503.
Тепловой поток на единицу длины, передаваемый ребром, определяем по B.29):
/ о [-7Г nib)
-о-\6 I 2,6060
q0 = k8QB0m 3—— -- = 34,b9,5.10-3.50.17,5 2-9l4'i =254 Вт/м.
1 * f-o-m6)
з v 3
Температура вершины ребра приближается к температуре окружающей среды
пропорционально (х/ЬH*26 в B.28). При х=0 (х/Ь)°>2*=;0. Следовательно, температура
вершины ребра /е=50°С.

Расчетные характеристики ребер четырех профилей сведены в следующую
таблицу:
Профиль ребра
Прямоугольный
Выпуклый
параболический
*)
0,531
0,503
<7о. Вт/м
270
254

Температура у
вершины, °С
66,4
50
Профиль ребра
Треугольный
Вогнутый
параболический
Ч
0,474
0,426
<?о. Вт/м
240
216

Температура у
вершины, °С
56,5
50
РАДИАЛЬНЫЕ РЕБРА
Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности
Рассмотрим радиальное ребро произвольного профиля, показанное
на рис. 2.7. Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности
можно вывести для любого радиального ребра с произвольным
контуром профиля, используя процедуру,
аналогичную применявшейся для
продольного ребра.
Профиль ограничен двумя
симметричными кривыми у=42{г) и у——Ыг)-
Разность тепловых потоков,
поступающих путем теплопроводности в
бесконечно малый элемент через поверхность
г и покидающим его через поверхность
r-\-dr тем же путем, равна:
*l = k±[Q*rJf.(r)?]dr.
Рис. 2.7. Радиальное ребро
произвольного профиля.
/ — основная поверхность.
Это выражение для не зависящей от времени (стационарной)
системы можно приравнять к тепловому потоку, покидающему элемент
путем конвекции:
dq=2hBnrdr)Q.
Уравнение теплового баланса имеет вид:
d г с , v db
4ък
dr
[".«#
dr — \%Шг dr
или
[MO*
d4
dr2
ja
+ Ur)% + r
,df2(r)
dr
db_
dr
= hbr.
После некоторых преобразований это уравнение приводится к
обобщенному дифференциальному уравнению теплопроводности для
радиальных ребер произвольного профиля:
L (г)
<М \h(r) db , rf/,(r) db fLa—0
dr2
dr
dr dr
B.32)
89

Радиальное ребро прямоугольного профиля
Для радиального ребра прямоугольного профиля, показанного на
рис. 2.8, контур (функция) профиля имеет вид:
МО=4
и ее производная равна нулю. Подставляя ^(г) и ее производную
в B.32), получаем:
d4
dr2
dr
B.33}
где m = Bhlk§0) . Уравнение B.33) — это модифицированное
дифференциальное уравнение Бесселя, и его общее решение определяется
соотношением
e=Ci/0 (тг) + С2Ко (тг). B.34)
Произвольные постоянные
вычисляются с помощью граничных условий:
при г=г0 9=0о; 'B.35а)
при г = ге *1 = 0. B.356)
*-! 1-
тт
L?
Rv J
—№
Подставив эти граничные условия
в B.34), получим два уравнения для
определения С\ и С2:
60 = С1/0(тг0) + СД0(тг0);
0 = СЛ(тгв)-СЛ1(тгв).
Рис. 2.8. Радиальное ребро
прямоугольного профиля.
/ — торец; 2 — основная поверхность.
Вычислив Ci и С2 и подставив их в B.34), получим зависимость
для распределения температурного напора по радиусу
q _ 60 \КЛ (тгР) /0 (тг) + Л (/wrg) #0 {тг)}
/0 (mr0) /d (даге) + Л (/яге) #0 (mr0)
B.36)
При г=го B.36), разумеется, дает 0=8о.
Тепловой поток через основание ребра определяется по общей
формуле i
Дифференцируя B.36), вычисляя производную при г=г0 и
подставляя результат в предыдущее соотношение, получаем:
0 • • ° L7o (w0) Кг (тге) + Л (тге) К0 (mr0)y v ;
1 Здесь знак «минус» использован потому, что с увеличением координаты градиент
температуры уменьшается. Обратите внимание на различие между этим
выражением я B.10).
90

Тепловой поток, передаваемый идеально проводящим ребром qid=
=2п (г2е—г2о)Або. Следовательно, эффективность ребра
2пгшЬшкт%,
Ix (mre) Кг (mr.) — К, (mre) /, (mre) 1
Учитывая, что /n2=2A/&6o, перепишем предыдущее соотношение
в виде
2г0 Г 1Х (тге) Кг {тг^—Кг \тге) Л (тге) 1 ((у ооч
4 т (г2е-г\) [ /0 (дат.) /Ct (mre) + Л (mre) *0 (mr.) J * У '° }
Эффективность ребра, записанная в форме B.38), не позволяет
провести сравнение с эффективностями радиальных ребер других
профилей. Для того чтобы это сделать, г\ следует выразить через отношение
радиусов
Р = 77 B.39)
и параметр
где Ар — площадь профильного сечения ребра (площадь профиля)
Ар=8о(ге—г0). B.41)
Выразим аргументы функций Бесселя в B.38) через площадь
профиля
1
1
тг. = г.(гв-г.J (^J- B-43)
Высота радиального ребра b равна разности радиусов у вершины
и в основании
b=re—г0.
Умножив числитель и знаменатель B.42) и B.43) на ге—г0,
получим:
— JL
тге = —— =т±г7 B-44)
тг> = Г^7- B-45)
Определим теперь две дополнительные функции радиуса:
R - 1 - *
*а~ 1 —r0/Ve 1 — р'
#& — Р^а = i _р •
Подставив их в B.44) и B.45), получим:
Ф рФ
91

Наконец, выразим член перед квадратными скобками в B.38) через
Ф и р. Тогда эффективность радиального ребра прямоугольного
профиля запишется в виде
¦»_ 2Р f Л[Ф/0"-р)]^1[рФ/0-р)]-^1[Ф/A-Р)]Л[рФ/0-Р)] \
71 — ФA+Р; \ /о [рФ/A — Р)] ^Ci [Ф/A — P)J + /1 [Ф/A — Р)] /Со [рФ/d — P)J Г
B.46)
Эффективности радиальных ребер прямоугольного профиля,
рассчитанные по B.46), приведены на рис. 2.10 для р=0,8 и р=0,4. Численные
значения эффективности ребра как функции параметра Ф и отношения
радиусов р часто представляются в виде таблиц.
Пример 2.3. Радиальное ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм,
наружным диаметром 254 мм, внутренним диаметром 101,6 мм, изготовленное из стали с
коэффициентом теплопроводности ?=34,1 Вт/(м'°С), отводит тепло в окружающую
среду с температурой 50°С. Температура ребра в основании 100°С, коэффициент
теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Определить: 1) эффективность ребра, 2) температуру торца,
3) тепловой поток, отводимый ребром.
Решение. Для рассматриваемого ребра
ге = 127 мм=0,127 м;
г0=50,8 мм = 0,0508 м;
г0 0,0508 '
д0 = 9,5 мм = 9,5-Ю-3 м;
2Я у/2 / 2.50 у/2
kdQ) [ 34,Ь9,5.10-3 ) -17'5м ,;
тге= 17,5-0,127=2,24;
mr0= 17,5.0,0508 = 0,892;
е0=100—50 = 50°С.
1. Эффективность ребра вычисляем по B.38):
2л„
т(г2е — г\)
Ii(mr^KAmrQ) — K1(mre)/1(mr0)
i^r^K^mre) + IArfire)Ko(fnr0)
2-0,0508 [1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919 ,
1 * 4,537.
[1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919 |
[1,2090.0,1025+ 1,9857-0,4925 J = °'5
17,5@,I272 — 0,05082) [1,2090-0,1025+ 1,9857-0,4925
Эффективность можно определить также с помощью рис. 2.10.
Л ля этого находим:
3/2 / 2А у/2 я/9 Г 2/* I1/2
Так как ге — г0 = 0,127 — 0,0508 = 0,0762 м, то
о/9Г 2-50 V/2
ф-°>07623/2 [34,1.9,5.10-3.07O62-] ==U34-
р = 0,4.
Из рис. 2.10 при Ф=1,34 и р=0,4 находим г| = 0,537.
2. Температурный напор у торца ребра вычисляем по B.36)
е _ ^о[Кг(тгеI0(тге) + 1Лтге)Кй(тге)} _
е КЛ^ге)/0(тг0) + К0(тг*IАтге)
___ 50[0,1025.2,7071 + 1,9857.0,0851]
0,1025-1,2090 + 0,4925-1,9857 = 2()е>С'
откуда температура торца ребра
U=Ве+4*=20+50 = 70°С.
92

3. Тепловой поток, отводимый ребром, вычисляем по B.37):
1\{тге)КАтг„) — Кг(тгеI\(mrQ) _
q0 - Znr0t0/zmV0 /o(mro)Ki(mre) + /.(тГеШтг»)
= 2-3,14.0,0508-9,5.10-3-34, Ы7,5.50 X
1,9857.0,7269 — 0,1025.0,4919
Х 1,2090-0,1025+ 1,9857-0,4925 — 113>5 Вт-
Радиальное ребро гиперболического профиля
Для радиального ребра гиперболического профиля, показанного на
рис. 2.9, функция профиля имеет вид:
/,@=1?-.
а ее производная
dh (г).
С,
dr
где С\ — постоянная. Подставляя функцию профиля в формулу для
площади поперечного сечения, находим, что
/1(г)=2B«г)/1(г) = 4^(^ =
= 4*С1Р
т. е. площадь поперечного сече
ния, нормального тепловому по- г
ни- * I —
току, постоянна. При г=г0, | д ~~7
f2(^o)=6o/2, и постоянная С
:=6оП)/2. Подставляя функцию
профиля с этим значением С\ в
уравнение B.32), после
некоторых преобразований получаем
дифференциальное уравнение
теплопроводности для
радиального ребра гиперболического Рис 29. Радиальное ребро гиперболическо-
профиля го профиля.
d29 m2
гЪо = 0,
B.47)
где снова т = BЛ/?80)" . Для простоты обозначим
Общее решение B.47) имеет вид:
з
| = г
К(-
Mr \+CJ ,
•Mr
B.48)
где произвольные постоянные Ci и Сг вычисляются из граничных
условий B.35а) и B.356).
95

Как и в случае продольного ребра выпуклого параболического
профиля, введем новую переменную
так что
u = -j- Mr
da
IF
-Mr
где
2 /Зи\3 3
Q:
3 \ з
2M
G помощью этого преобразования получаем:
б = &/
-Iм]
B.49)
Уравнение B.49) по форме идентично общему решению для
распределения температурного напора в продольном ребре выпуклого
параболического профиля. Однако преобразованные граничные условия
имеют вид:
при и = ий = -т-Mr* 6 = б0;
2-Mr*
2
при u = ue = -TMre -г- = 0.
da
B.50а)
B.506)
J- -L
Почленно продифференцировав произведения и I { (и) и и I { (и)
Т ~~ з"
в соответствии со вторым граничным условием и выразцв аргумент
через исходную переменную г, из B.506) получим первое уравнение для
вычисления произвольных постоянных:
0=/г,
—\ / —
CJ^MrJj+C,,^ T
.Mr
)]
Подставив граничное условие B.35а) в B.48), получим второе
уравнение для вычисления произвольных постоянных:
в,
=Vr[cj^
Mr.y+cj
.Mr-
94

Определив из этих уравнений произвольные постоянные С\ и С2
и подставив их в B.48), получим частное решение для температурного
напора в радиальном ребре гиперболического профиля:
х
ТМг» 1/1
е=е„
2 -г
~ГМг
х
-/ 2
-fV
D-
Mr-
Mr :
i^MrAiA
3 \ / 3 \
2 ..Чг1
3 ^02 М 2 l-T^'-
2 ..-тг
/А
-\ 3
з V
Мгп
B.51)
откуда очевидно, что при г=г0, 9=0о.
Тепловой поток через основание ребра определяется по формуле
<70 = -2тсг060Д>
°~°'v dr
в которой используется производная уравнения B.51), вычисленная
при г=г0. Для вычисления производной необходимо дифференцировать
произведения вида
1 3 ч 1 / 3
г21
1-Мг
3
Л иг2/ 1 1_|_уМг:
что значительно проще выполнить, перейдя к переменной и и используя
граничное условие в основании, заданное выражением B.50а),
Почленно продифференцировав зависимость B.51) с последующим
использованием выражения B.50а) и возвратившись к исходной переменной г,
приходим к выражению для теплового потока через основание ребра:
х
Ы-
'2\-ТМге*
_2
2 I ~3
q,=2Ttkrfi\MV7,X
з \ / „ з
/ , I -i- Mrn2 I -/
2 | 3" Ше I ' 2
2 -Х
\мг>
I 2\-fMre2\I ,
9 J.
i-^o2
2 i-g-^e2 Wrt
D^о2)
B.52)
Тепловой поток, передаваемый идеально проводящим ребром,
Эффективность ребра представляет собой^отношение выражения B.52)
к #^, или
2nkr060B0MrQ2 Ф __ 2г0Ф
:2я(г% —r»e)A8e — IS^V1
/•%)
B.53)
где г|} — комбинация модифицированных функций Бесселя в квадратных
скобках уравнения B.52). Заметим, что М исключено из уравнения
B.53) при помощи подстановки М2=т2/Го.
95

Эффективность ребра, записанная в форме B.53), не позволяет
провести сравнение с эффективностями радиальных ребер других
профилей. Для того чтобы провести такое сравнение, нужно выразить
эффективность через отношение радиусов р. Для этого определим прежде
всего площадь профиля ребра:
Г -, Г г,
е е
= 8.г.1п4- •
Лр= J2 [ft(r)] dr = f 2 (!?)dr = 8/0 In*- = 8,
Данное выражение может быть полезно для определения
эффективности, по B.53). Выразим для этого толщину ребра в основании 6о
через площадь профиля ребра Ар:
» _. ар
0 г0 In A/р) •
Тогда
JL JL
2Л \ 2 /2Лг01пA/р)\ 2
т
/2ft
— {kd0
kAp
i
М= gj =/ 2ft In A/р) \2
кЛр
'о
Члены B.53), не содержащие г|э, могут быть представлены в виде
2rft _ 2г(
V0
О
т(г\-г\) ± JL —
BА/МР) 2 [In A/р)] * (г, - г0) (ге + гв)
J_ -L
_ Чг0J(Ге-Г0J ;
Ф[1пA/Р)]2(г, + г0)
где, как и в случае радиального ребра прямоугольного профиля,
Предшествующую зависимость можно еще упростить, используя
отношение радиусов р:
JL JL J_ JL _L
2(r0J(rg-r0J _2(r0J(rgJ(l-r0/rgJ _
JL JL
Ф[1пA/р) 2](re + r0) Ф[1пA/р)] 2r,(l + r0/r,)
J_
1 r 4p(l—p) 12
ф L (i + pJin(i/p)
Обозначим теперь
3 3
Ra^±Mr2 ; Rb=*Mre* .
96

Выразим эти соотношения через Ф и р:
к.=4*.! =4
&т-г^
±-мА=±(^2
3 ШГе 3 [кАр
И*-г
1
1 ±
J~Ar
A-рJ
1 3
КГ'7^.К)
A-р)
Подставляя полученные соотношения в B.53), получаем
эффективность радиального ребра гиперболического профиля, выраженную
только через Ф и р:
Ч = ЧГ
4рA~Р)
A+рJ[1пA/р)]
I±(Rb)I_2_(Ra) - I 2 («(,)/ 2 («<,)
3 3 3 3
3 3 3 3
B.54)
Эффективности радиальных ребер гиперболического профиля при
р=0,8 и 0,4 построены на рис. 2.10. Эти эффективности можно сравнить
с соответствующими эффективностями радиальных ребер
прямоугольного профиля, также приведенных на этом рисунке. Как видно из
рисунка, эффективность ребер гиперболического профиля выше (при
одинаковых значениях Ф). Это
происходит потому, что при
равных площадях профилей и
высотах радиальное ребро
гиперболического* профиля
имеет большую площадь
поперечного сечения вблизи
основания.
1,0
0,9
Радиальное р^бро, требующее
минимальной затраты
материала ^7
Согласно Шмидту [8]
радиальное р'ебро, требующее 0,6
минимальной * затраты мате*
риала—• это такое ребро,
которое имеет линейный про- Ф5
филь температурного напора.
Для ребра, радиальная коор- q^
дината которого увеличивает- ; о
ся в направлении внешнего
диаметра, такое линейное
соотношение для температурного
напора может быть записано
в виде
л*
'
^
I
I
0\
V
i
Л
\ч
V
№,8
\ 1
i. <$
/
;
\р=и,ч
s^
\N
'f
sx
1 1
1 ]
k
Ф={Г^Щ
v№
7—192
Рис. 2.10. Сравнение эффективности
радиальных ребер прямоугольного и гиперболического
ft — Й (\ t=l»\ /о W\ профилей.
0 — °e I * 1 |. \&.ОЭ) / — гиперболический профиль: 2 — прямоугольный
V re rnj профиль.
97

Двойное дифференцирование дает:
dB _ -Л
dr
d2B
'r* — ra' dr2
= 0.
Подставив B.55) и его производные в обобщенное
дифференциальное уравнение теплопроводности для радиального ребра, получим:
7~(?^Г.) dr \Ге-Г.) к "•[ Г,-Г.)
или
sb.['.w+^]+4v(i
r*-—rt
= 0.
B.56)
Член в квадратных скобках уравнения B.56) можно представить
в форме
/.«+rf=jW.W].
= С, B.57)
Интегрируя B.56), получаем:
где С —произвольная постоянная, определяемая из граничного условия:
при r=rey f2(r)=f2(re)=0. Следовательно,
=-и*-
с=
W'e
'We — r*)~We — Г,)
Подставляя значение С в B.57), получаем функцию профиля ребра:
г,(гг-г2е)
—1—гШ = -т
ге — r0 R
Г* — Гг
Цгв
(г2-г\) 1
^У 2 2(,
после перегруппировки
1,6
0,8
**юОА
0,2 0,* ^^-~*Ъ
-
rejv
8 1,0
#•-4-®+^)-
0
-0,4
-1,8
-1,6
Рис. 2.11. Построение профиля
радиального ребра, требующего
наименьшей затраты материала.
98
кЩ_ 1
B.58)
График функции B.58)
приведен на рис. 2.11.
Пример 2.4. Стальное [Я=34,1 Вт/(м-К)]
радиальное ребро, требующее наименьшего
количества материала, с температурой
в основании 113°С, отводит тепло в
окружающую среду с температурой 46°С.
Коэффициент теплоотдачи равен 224,6 Вт/(м2-К).
Ребро имеет наружный диаметр 101,6 мм
и установлено на трубе с наружным
диаметром 50,8 мм. Определить толщину
ребра: 1—в основании, 2 —на расстояниях
6,4 мм и 12,7 мм от основания ребра иЗ-
у вершины.
Решение. 1. Толщину ребра в
основании вычисляем по уравнению,
полученному из "B.58):
2hr2e Г 1 fry
1 / г
++(*)

При /•<, = 0,0508 м имеем:
% 2.224,6-0,05082
34,1
=0,034
1
3 1^0,0508
2 10,0508) + " 6
1 /0,0508Y
3 ^0,0508^/
1 /0,0508'
2 10,0508 Г 6 I r
В основании г = 0,0254 м. Следовательно,
5 = 0,034
1_ /0t0254y 1_ /0,0254\ 1 /0,0508
а = о,оз4
3 ^0,0508^/ 2 ^0,0508
2. Толщина ребра на расстоянии 6,4 мм от основания, где
г=0,00635+0,0254=0,03175 м,
0,03175 \2 1 / 0,03175
2 I 0,0508
=0,00567 м = 5,67 мм.
1
[ 3 ( о',
0,0508
+ 6 [ 0,03175
0508
= 0,00287 м^г2,9 мм.
+
Толщина ребра на расстоянии 12,7 мм от основания, где г=0,0127+0,0254=
=0,0381,
¦ ЛЛ Г I /0,0381\2 1 /0,0381\ . 1 /0,0508\1 ЛЛЛ„Л
* = о>°34^г(оТо50§) -—((цш]+— (oro38TJ|=0'°0118
3. Толщина ребра у вершины, где г = 0,0508 м,
: 1,2 ММ.
5 = 0,034
т. е. у вершины ребро сужается в острие.
1 /0,0508\2 1_ /0,0508\ 1 0,
3 ^0,0508] 2'^0.,0508J+, 6 0,
0508\
0508
= 0 м,
ШИПЫ
Обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности
Наряду с обобщенной функцией профиля для продольных ребер
B.5) Гарднер [9] предложил аналогичную функцию для шипов:
/.m-tH-ST""**.
B.59)
При соответствующим образом выбранных значениях п выражение
B.59) можно использовать для цолучения обобщенного
дифференциального уравнения теплопроводности для
шипов.
На рис. 2.12 показан шип произвольного
профиля. Легко видеть, что площадь
поперечного сечения шипа, нормального к
направлению распространения теплового потока,
контур, ограничивающий профиль, и периметр
шипа являются некоторыми произвольными
функциями расстояния х от вершины шипа.
Дифференциальное уравнение
теплопроводности при температурном напоре -Q=t—ts для
шипов может быть получено так же, как и
для продольных и радиальных ребер на
основании рассмотрения теплового баланса для
элемента с площадью поперечного сечения
7*
х=Ь
х=0
Рис. 2.12. Шип
произвольного профиля.
99

fi(x). Разность тепловых потоков поступающего и покидающего
элемент dx путем теплопроводности должна быть равна тепловому потоку,,
отводимому поверхностью элемента шипа в окружающую среду:
При конвективном теплоотводе с постоянным коэффициентом
теплоотдачи
dq—hf3(x)Q dx,
где fs(x)—функция периметра Р(х), зависящая от расстояния х до
начала координат системы. Приравняв тепловые потоки вследствие
теплопроводности и конвекции
dB
к?г[шах
= hf,(x)b.
после преобразввания получим обобщенное дифференциальное
уравнение теплопроводности для шипов произвольного профиля:
1Лх)^+йШ.§-^ШЬ = 0. B.60)
Соотношение между f±(x) и /г(*) имеет вид:
М*)=*[М*)Р.
где h(x) определяется из B.59). Учитывая, что /3(х) =2я/2(х), B.60)
можно переписать в виде
v> wis 5-+^ i/. wi'^-r f • wе=°- <261>
Уравнение B.61) является дифференциальным уравнением второго
порядка с переменными коэффициентами за исключением того случая,
когда поперечное сечение «шипа, нормально^ к направлению теплового
потока, постоянно. Его можно решить с помощью почленного сравнения
с обобщенным уравнением Бесселя. Процедура решения полностью
идентична рассмотренной ранее для обобщенного продольного ребра.
Сравнение рисунков 2.1 и 2.12 показывает, что и граничные условия
одинаковы в обоих случаях. Следовательно, общее решение уравнения
B.61) будет иметь две произвольные постоянные, вычисляемые из
граничных условий B.6а) и B.66).
Цилиндрический шип
Для цилиндрического шипа, показанного на рис. 2ЛЗ,
И
В этом случае показатель степени в B.59) равен нулю, что
соответствует я=1/2. Заменив бо из B.59) на диаметр шипа и подставив
это значение /г(х) в B.61), получим дифференциальное уравнение теп-
100

лопроводности для цилиндрического шипа:
d2* -„2Й
dx2
m26 = 0,
B.62)
где m = Dh/kd)z .
Уравнение B.62) эквивалентно B.7). Общее решение, граничные
условия, частное решение, тепловой поток через основание и
эффективность ребра — те же, что и для продольного ребра прямоугольного
профиля. Разница заключается в том, что вместо толщины ребра бо
используется диаметр шипа d, а вместо параметра BА/&80) ~ —параметр
цилиндрического шипа т= Dh/kd) .
Это сравнение позволяет сразу записать выражения для
распределения температурного напора по высоте:
B0chmx
Ь-
B.63)
Для
шипа
ch mb '
теплового потока через основание
<7t = — kd2mb0 th mb
и для эффективности шипа
th mb
ч = -
mb
B.64)
B.65)
1
г х =
(—1
-ь
1—1
II АХ
b
Х~* '
•ai
f-Vl
sT?
'
а=0
Рис. 2.13. Цилиндрический
шип.
На рис. 2.18 (кривая А) представлена зависимость ц от mb,
построенная по уравнению B.65). На этом же рисунке построены
эффективности ряда шипов других профилей, которые будут рассмотрены
ниже. Зависимость ц от mb приведена также в табл. 2.1.
Прямоугольный шип
Для шипа с прямоугольным поперечным сечением, показанного на
рис. 2.14,
dfM = Q
fl(x) = a1a2;
dx
/,W = 2(ei + 4
Падставляя эти значения в B.60), получаем:
d4
dx*
m26 = 0,
B.66)
где
m
X-b
x^O
Рис. 2.14. Прямоугольный
шип.
101

Это — наиболее общее выражение для т, и все приведенные выше
выражения для параметра ребер и шипов постоянного поперечного
сечения являются частными случаями этой формулы. Для шипа
квадратного поперечного сечения (а=а1=а2) справедливо уравнение B.66) при
j_
m = Dhfka)\
Уравнение B.66) идентично с B.62); следовательно, распределение
температуры и эффективность шипа рассчитываются по B.63) и B.65)
при использовании соответствующих значений т. Тепловой поток через
основание прямоугольного шипа вычисляется по формуле
q0=kaia2mQo th mb.
Пример 2.5. Цилиндрический шип диаметром 9,5 мм и высотой 50,8 мм,
изготовленный из стали с коэффициентом теплопроводности &=34,1 Вт/(м-°С), отводит тепло
к окружающей среде с температурой 40,6°С. Температура шипа в основании 96,1°С,
коэффициент теплоотдачи от шипа к окружающей среде Л=56 Вт/(м2-°С).
Определить: 1) эффективность шипа, 2) температуру торца, 3) отводимый тепловой поток.
Повторить расчет для А=560 Вт/(м2-0С) при прочих равных условиях.
Решение. Коэффициент теплоотдачи Л=56 Вт/(м2-°С);
в0=96,1—40,6=55,5°С;
?/=9,5 мм=9,5-10-3 м;
4/г\1/2 / 4-56 у/2
m = (ldj =C4,1.9,5.10-^ = 26,2 м;
6=50,8 мм =0,0508 м;
mb=26,2 -0,0508 =1,33.
1. Эффективность ребра. По табл. 2.1 при mb=i,33 находим г) ==0,654. Проверяем
этот результат по кривой А рис. 2.18, а также по B.65):
th mb 0,8693
— =0,654.
'— mb 1,33
2. Температурный напор у торца вычисляем по B.63). При х — 0 имеем:
80chmx _ 55,5 ch 0 __ 55,5
Ве= cbmb — chl,33 ¦~2,0228==27,5°С'
откуда температура торца
fe=ee+f,=27,5+40,6=68,rC.
3. Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.64):
qQ = -^-kd2mQ0thmb = 0,785-34,1 (9,5.Ю-3J.26,2.55,5-0,8693 = 3,08 Вт.
4. Коэффициент теплоотдачи h = 560 Вт/(см2.°С):
4/i у/2 / 4-560
'" . т=(~М) = [ 34,Ь9,5.10-з ) =83 м-*;
" mb=83 -0,0508=4,22.
По табл. 2.1 при т6=4,22 находим г\=0,237. Этот же результат получаем по
{2.65):
th mb 0,9996
Из B.63) при х = 0 получаем:
i.r. 60chmx __55,5.ch0_ 55,5 .
Ве = ch mb ch4,22 34,024 = 1>63#С'
ш

откуда температура торца шипа
U=Qe+U =1,63+40,6=42,2°С.
Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.64):
<7о= "Г"kd2m%thmb= 0,785-34,1 (9,5-Ю-3J.83-55,5-0,9996 = 11,2 Вт.
Конический шип
Для конического шипа, показанного на рис. .2.15, функция профиля определяется
уравнением B:59), где п=—II. Следовательно,
&0 х
и
dx
2b *
Подставляя эти соотношения в B.61),
получаем дифференциальное уравнение
теплопроводности для конического шипа:
х
64
db
dx2
\-2хр~-М2хЪ = 0,
B.67)
x=b х=0
Рис. 2.15. Конический шип..
где М = Bт2ЬJ и т = BА/А8.J .
Общее решение B.67) имеет вид:
i_
б = х 2 \CJ, BЖ Ух) + С2Кг BМ Ух)], B.68)
где Ci и С2 — произвольные постоянные, которые вычисляют из
граничных условий B.6а) и B.66). Однако следует сразу обратить внимание
на то, что температурный напор при х=^0 будет конечным только в том
случае, если С2 равна нулю, поскольку функция К\BМУх)!Ух при
х=0 неограниченна 1. Следовательно, нужно вычислять только С\.
Вычисляя С\ при х—Ь и подставляя результат в B.68), получаем частное
решение — распределение температурного напора по длине шипа:
Ь \Т 1гBМУх)
х
1гBМУЬ)
B.69)
При х=Ь B.69) дает, разумеется, 9=0О.
Тепловой поток через основание конического шипа получаем,
дифференцируя B.69), вычисляя производную при х=Ь и подставляя
результат в B.10). Таким же способом вычисляют д0 и для обобщенного
шипа, показанного на рис. 2.12. Уравнение B.69) удобнее
дифференцировать, произведя замену переменной
и = 2МУ7,
Умножение каждого члена ряда для /г BМ Vх) на \/Ух показывает, что при #—
= 0 в произведении 1г BМ V x)jVx отсутствуют неограниченные члены.
юа

так что
dB da db __ 2M2 db
dx dx da и da'
причем dbjdu вычисляется при
u0 = 2MVb.
Таким образом, тепловой поток через-основание конического шипа,
выраженный через и, равен:
_ Ш\Ъ,М>Уъ Ши.) 1
Чш~ и\ L/1ЫJ,
а выраженный через х,
nkd\B0M Г /»BAf УЬ)
<Jo-
\%м Г /2(
BМУТ)
B.70)
Площадь поверхности конического шипа равна интегралу от
функции периметра, вычисленному в пределах от х=0 до х—b.
Следовательно,
* ъ
S = ^f,(x)dx = ^^f\xdx = ^-btb.
о о
Умножив поверхность шипа на температурный напор в основании,
получим тепловой поток, передаваемый идеально проводящим шипам:
?«=A(-f«.6)e..
Наконец, эффективность шипа (при Ж = т|/^26) равна:
go ^=пд\кВ0М12BМУЬ)/4Уы1BМУЬ) _ У212BУ2тЬ)
(fid ~~ («/2)А«вЬ8в ~~ (тЬIхBУ2тЬ)
B.71)
Зависимость г] от тб, рассчитанная по формуле B.71), построена
на рис. 2.18 (кривая В) и табулирована (табл. 2.1).
Шип вогнутого параболического профиля
Система координат, используемая для описания вогнутого
параболического шипа, показана на рис. 2.16. При этом показатель степени
функции профиля соответствует /г=оо. Функция профиля для такого
шипа записывается в виде
Ы*)=
Х=Ь
х=0
dx ~~ • Ьг '
Подставляя эти соотношения в уравнение
B.61), получаем:
Рис. 2.16. Шип вогнутого
параболического профиля.
104
X
ЧхТ~Ч~*Х dx
f+4xi^-Aiijrt = 0.
B.72)

где M = Y2mb и m=BA/?S0J . Поскольку уравнение B.72) лредставля-
ет собой уравнение Эйлера, частное решение находим так же, как и
при расчете продольного ребра вогнутого параболического профиля:
где Р1 = ~--|-+4-^9 + 4^2.
Шип, требующий минимальной затраты материала, соответствует
линейной зависимости в B.73), т. е.
р,=-4+4-(9+4Ж2J=1'
откуда 7И = 2. Выражая М через параметр шипа т, получаем:
2Л \т_ V2
Тепловой поток через основание находится по формуле
-k(±b\)M
Ч.'г—»\ 4 "•Jdx
x=b
Используя B.73), находим:
п — ^2oM-3+(9+WJ] 9 ?4v
Площадь поверхности шипа S определяем из соотношения
ь ь
S = j/3(x)rfx=JA(-fJ^ = -r7C^
о о
откуда можно вычислить тепловой поток, отводимый идеально
проводящим шипом, считая, что температура всего шипа постоянна и равна
температуре в основании Во.*
Эффективность вогнутого параболического шипа рассчитывается по
формуле
__ д0 _^Ы20Я190/46_ЗЫ0Я1
71 ~ q id hnd0m0/3 4hb2 '
которую можно привести к виду
TQ:
3
2т2Ь2
3
§-+-1- (9 + 4/И2)
После алгебраических преобразований получаем окончательную и
простейшую форму выражения для эффективности вогнутого
параболического шипа:
¦4 = -• B.75)
1 + |"
(i+4^2)
105

Зависимость т| от mb, построенная по B.75), приведена на рис. 2.18
^кривая С) и табулирована (табл. 2.1).
Шип выпуклого параболического профиля
Система координат, используемая при анализе шипа выпуклого
параболического профиля, показана на рис. 2.17. В это!М случае
показатель степени в функции профиля соответствует п=0. Функция профиля
для такого ребра имеет вид:
dh (*)
dx
к-
ХЛ 2
ъ
Подставляя эти соотношения -в B.61),
получаем:
d4 , dB
x=t>
Я=0
х%г+?-М'УЪ=0,
dx2 ' dx
B.76)
'Рис. 2.17. Шип выпукло- Г
то параболического профиля. где УИ = [!
2т2(ЬJ\2 и m = BhfkbQJ
Общее решение уравнения B.76) имеет вид:
в=с,/.
¦^-Мх* j+CtKj-^-Mx
B.77)
Можно сразу заметить, что температурный напор при х=0 имеет
конечное значение только в том случае, если С2 равна нулю, поскольку
функция Ко @) неограниченна. Тогда уравнение B.77) можно
переписать в виде
/ 4 4
b = cjA—Mx
Подставляя граничные условия для температурного напора в
основании шипа (8 = 0о при х=Ь), вычисляем С\ и получаем частное
решение
1 3'
B.78)
Л(_±К^ь4*4
Тепловой поток через основание шипа определяется достаточно
просто, если в B.78) произвести замену переменной
JL JL
и — -»-у2тЬ х ,
а производную от температуры подставить в B.10). Поскольку при х = Ь
и = и0 — -тГУ'2тЬ,
106

из B.78) и B.10) получаем:
Чо-
^kb\bJ
16т*Ь\ 3 d
\ Ъи
da [^o(w(
о)
U—Uq
Тепловой поток через основание, выраженный через и, равен:
и выраженный через заданные размеры шипа, запишется:
V2
ч*--
k%b\bjn
Il[—V2mb
I0[—V2mb
Площадь поверхности шипа вычисляется по формуле
ъ ь *
S = |/3(x)dx=j4(-fJ^
= —тов6.
B.79)
Тепловой поток, отводимый идеально проводящим шипом с
температурой, равной температуре в основании, находим из соотношения
?*=Asef=4*8.Mfl.
ЬО
Наконец, эффективность шипа дд
выпуклого параболического
профиля
чы
(V2/4)k7zd\mI1 (-о- V2mb
-у nd0bhB
Л
0/0 (-J- v^\
•j-VJmb
BV2/3)mb Io(jLVlmb
B.80)
0,8
0,1
0,6
0,5
Fr
^
л
rfl
л
Ч
ч
\
mm
График зависимости Г] ОТ mbf Рис. 2.18. Эффективность четырех шипов
построенный в соответствии с различной формы.
ФОРМУЛОЙ B.80), ПОИВедеН на С-вогнутого параболического; В - конического;
кр^ушу^их! v^,uu/' ПРГШСАСП па А — постоянного поперечного сечения; D — выпук-
рИС 2.18 (Кривая D). лого параболического.
Пример 2.6. Шипы цилиндрической, конической, выпуклой и вогнутой
параболической форм диаметром в основании 9,5 мм высотой 50,8 мм, изготовленные из стали
с коэффициентом теплопроводности & = 34,1 Вт/(м«°С), отводят тепло в окружающую
среду с температурой 40,6°С. Температура шипов в основании 96,1°С, коэффициент
теплоотдачи 56 Вт/(м2-°С). Сравнить эффективности шипов и отводимые Ихми
тепловые потоки.
Решение. Для всех шипов
е0 = 96,1— 40,6 = 55,5°С;
60=9,5 мм = 9,5-10-3 м;
6 = 50,8 мм = 0,0508 м.
107

1. Цилиндрический шип (см. пример 2.5): rj=0,654; ?0=3,08 Вт.
2. Конический шип:
/2И2 / 2-56 у/2
т = [1$Г) =[ 34,1.9,5-10— ) 8'6г"
тЬ= 18,6-0,0508 = 0,945.
Из B.71) находим эффективность шипа
У2!%BУ2тЬ)
71 ~ тЫхB V2mb) *
2 V2mb = 2 К2.0,945 = 2,68;
К2/2B,68)
7]~,945/1B,68)*
По таблицам численных значений бесселевых функций находим /о(х), имея в виду,
что !г(х)=*19(х)—B/x)Ii(x), получим:
2 2
/2 B,68) = /0 B,68) — §138 7* <2'68) = 3'7819 ~~~2~68 2'9621 = 1'5722-
Следовательно,
*ТA,5722)
71 — 0,945.2,9621~u,/y,i-
Этот результат можно проверить по табл. 2.1 и кривой В на рис. 2.18: при mb=
=0,945 г] = 0,793.
Тепловой поток, передаваемый коническим шипом, вычисляем по B.70):
при М = т V2b = 18,6 К2.0,0508 = 5,9; 2Л4 KF= 2-5,9 |ЛрЭД8 = 2,65,
2{2МУ"Щ 1 3,14.34,1.(9,5-Ю-3J.55,5-5,9[ /2B,65)
?0 =
*»fA
'¦B,65) 1
Г,B,65) ]•
4 Vb I lxBM Vb ) J 4-КО,0508
Вычисляем /2 B,65)
2
/2 B,65) = /0 B,65) —2~65 ll ^2,65) =3,6942—0,754.2,8829 = 1,5205;
/1,5205\
д0 = 3,53 B^8829) = 1 '8б Втч
3. Вогнутый параболический шип:
/ 2/1 \ 2
/77 = (-^~ =18,6 м-1; т6 = 18,6.0,0508==0,945.
Из B.75) находим эффективность
2
1 + |^1 + -§-(w&J 1 + У 1 + 4'(<V
¦ = 0,854.
945J
Результат можно проверить, используя табл. 2.1 или кривую С иа рис. 2.18.
В обоих случаях при mb=0,945 tj=0,854.
Тепловой поток, отводимый шипом, вычисляем по B.74):
^%80
.3+(9 + 4Л12) 2
86
где М = V2mb = V2 @,945) = 1,336.
Таким образом,
<7о =
3,14>34,Ь(9,5»10-3J.55,5
8-0,0508
{_3 + [9+ 4(иЗЗбJ]1^2} = 1,34 Вт.
108

4. Выпуклый параболический шип:
/ 2h \ 2
m==1\W) ==18>6 M_1» mb = 18,7-0,0508 = 0,945.
Эффективность шипа вычисляем по B.80):
3
2V~2mb
1(-j:V2mb)
[4- V2mb
Кг
¦)J
4 -_ 4 ^_
Поскольку -у" К 2 mb= -тт V 2 @,945) = 1,78, то
3 Г 1Х A,78) 1 /1,2922\
Этот результат можно проверить, используя кривую D на рис. 2.18 при т&=0,945,
чему соответствует ti=0,739.
Тепловой поток, отводимый шипом, находим по уравнению B.79):
V?
6гсо2090т
I1(-j-V2mb)
JQ(j-V2mb^
V^2~ Г / (i 78^ 1 1 2922
=— 3M.3,14.<9.5.10-V.55.5^^
Вт.
Расчетные характеристики шипов четырех форм в одинаковых внешних условиях
сведены в следующую таблицу:
Профиль шипа
Цилиндрический
Конический
•п
0,654
0,793
<7о» Вт J
3,08
1,86 !
j Профиль шипа
j Вогнутый параболический
j Выпуклый параболический
•П
0,854
0,739
*о. Вт
1,34
2,34
ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРОДОЛЬНЫХ РЕБЕР
Продольное ребро прямоугольного профиля
Оптимальная высота и толщина ребра соответствуют
максимальному количеству отводимого тепла. При этом и тепловой поток через
основание ребра максимален. Пусть рь — оптимизируемый параметр,
который можно определить через площадь профиля ребра, АР=ЬЫ:
1 1 3
$L — mb = b
2h
"N,w !
Р\ k
Выразим тепловой поток через основание (на единицу длины
ребра), определяемый B.11), через площадь профильного сечения и
толщину ребра:
_i_ JL JL
' 2/г \ 2 / 1 \ 2
«.=*М.(-й-)'»^(т
Продифференцировав эту зависимость и приравняв производную
по бо нулю, получим:
ЗРь sch2 pL==th pL.
109

Решая трансцендентное относительно (Зь уравнение методом проб
и ошибок, находим корень рь=1,4192. Используя это значение,
получаем соотношение для оптимальной толщины ребра
.-[тЗь&Г]*-*™
2hA2p\ з
B.81)
Оптимальная высота и толщина ребра связаны следующим образом:
Ь = 4-= 1,262
kAp \T
B.82)
Продольное ребро треугольного профиля
Тепловой поток через основание ребра определяется по B.17):
_ 2hB0I,Bmb)
q°~~ ml0Bmb) •
Характеристический параметр ребра
выразим через площадь профильного сечения Лр=6оЬ/2 и толщину
ребра в основании:
откуда толщина ребра
1 2
4ApBh/k)
Подставляя эти значения рт и бо в B.17), находим тепловой поток
через основание:
?0 = [4ЛрBй)г*]ЧРг3/г^-.
Дифференцируя qQ по (Зг и приравнивая результат нулю, получаем:
Л(рг)*2\?т) + "з р^— =7 * (рг)-
Решение методом проб и ошибок дает действительный корень Рт=
=2,6188, который определяет оптимальную толщину ребра в основании:
4ApBh/k)
2,6188
Оптимальная высота ребра
On
2 -1 2
2
N
1,328
Mil
_, 3
'•«[(tIj
B.83)
B.84>
по

Продольное ребро вогнутого параболического профиля
После оптимизации треугольного ребра перейдем к решению
соответствующей задачи для вогнутого параболического ребра. Начнем
с определения теплового потока на единицу длины, передаваемого через
основание ребра [уравнение B.22)]:
JL
<70=^{-1+[1+Bтй)г]2}.
Определим характеристический параметр ребра:
2 ,
5 = m6 =
Площадь профиля находим из соотношения
М
р~ з •
Выражая $р через площадь профиля и толщину ребра в основании,
получаем:
ft» = (**,)
откуда толщина ребра
ГзЛрB/г/й)Т1Т
Подставляя Рр и So в выражение для теплового потока, получаем:
&А„
[зл„A);_|ч Н-'+<¦+«
Дифференцирование q0 по |3р с последующим приравниванием
результата нулю приводит к соотношению
з Рр
[¦
1+A+4ру
+^_*
= 0.
A+4PVJ
После упрощения получаем зависимость ргр = 2, имеющую |положи-
тельный корень ^р-=]/г2. Тогда оптимальная толщина ребра в основании
составляет:
зл"~ .-..-.-'- , B85)
8.=|
а оптимальная высота
^]*-,.«.№)]4.
»=^
¦•Ч?)
B.86)
Сравнение продольных ребер
Сравним продольные ребра прямоугольного, треугольного и
вогнутого параболического профилей, чтобы определить, какой из них требу-
111

ет наименьшей площади профильного сечения для передачи заданного
теплового потока. Сравнение проводим посредством подстановки
оптимальной толщины ребра в выражение для теплового потока через
основание.
Тепловой поток через основание ребра прямоугольного профиля
может быть записан в виде
_L JL
<70 = k\mb, th mb = BhkJ 802 в0 th mb.
Учитывая, что для ребра оптимальной толщины mb= 1,4192,
получаем:
q
откуда
о = BЩ 2 [0.791 р^р) j 80 th 1,4192 = 1,26 (h2Apk) 3 60,
Л —_L /1L -2lY-^ (ЯЛг B 87)
Лр— h*k [1/26 %)— h*k [В0 ) ' (Z'Q/}
Аналогично тепловой поток через основание треугольного ребра
определяется из соотношения
_ mjxBmb) _(9hhAA« /tBmb)
q*~ ml0Bmb) —\АПЯ) °о °о /oBmb) '
Для ребра оптимальной толщины 2mfe = 2,6188 и
Я. = т? [ 1.328 i^lff К {ffgj = 1,422 №,*К
Наконец, для вогнутого параболического ребра тепловой поток
через основание составляет:
?. = 13r[-l+Vl+Bm&)'].
При т6 = |^2, используя B.85), получим:
{_1 + [1+B1/2J]Т} =
откуда
?8
1,651^^4
V *
_1_
= 1,442 (АМрАKвв;
Р~^\^Т* J ~~йй[тг) \ ( '
Уравнения B.87) — B.89) определяют площади профильного
сечения ребер прямоугольного, треугольного и вогнутого параболического
профилей соответственно. Площадь профильного сечения в каждом
случае является функцией куба отношения теплового потока через
основание к температурному напору. Можно видеть также, что площади
профилей обратно пропорциональны коэффициенту теплопроводности
материала ребра и квадрату коэффициента теплоотдачи к окружающей
среде.
112

Из приведенного рассмотрения можно сделать три важных вывода.
Первый состоит в том, что для одного и того же материала, при
одинаковых внешних условиях и одинаковых отношениях теплового потока
через основание к температурному напору в основании оптимальное
вогнутое параболическое ребро требует лишь около 65% материала,
необходимого для изготовления оптимального ребра прямоугольного
профиля. В этих же условиях ребро треугольного профиля требует
около 69% материала, необходимого для изготовления прямоугольного
ребра и примерно на 6% больше, чем вогнутое параболическое ребро.
Второй вывод касается выбора материала для рассматриваемых
профилей ребер. Приведенные выше соотношения показывают, что
площадь профиля обратно пропорциональна теплопроводности материала
ребра. Масса ребра пропорциональна площади профиля и плотности
используемого материала. Следовательно, масса прямо
пропорциональна плотности р и обратно пропорциональна коэффициенту
теплопроводности k.
Рассмотрим, например, три следующих материала:
Медь р = 8900 кг/м3, k = 389 Вт7 (м-°С)
Алюминий р=2705кг/м3, к = 202 Вт/(м-°С)
Сталь р=7250кг/м3, k = 43,2 Вт/(м-°С)
Для заданного теплового потока, температурного напора и
коэффициента теплоотдачи алюминиевое ребро требует только 2705-43,2/7250 X
X202—0,08, или 8% материала, необходимого для изготовления
стального ребра. При тех же условиях медное ребро требует 8900X
X 43,2/7250-389=0,137, или 13,7% материала, необходимого для
изготовления стального ребра, но в 8900-202/2705-389=1,71 раз, или на
71% больше материала, чем ребро из алюминия.
Наконец, из полученных соотношений следует, что площадь
профиля и объем ребра возрастают как куб теплового потока. Если требуется
увеличить тепловой поток вдвое, то можно либо использовать два
одинаковых ребра, либо изготовить ребро в 8 раз больше. С
конструкторской точки зрения очевидно, что гораздо выгоднее использовать
большое число ребер небольших размеров, чем меньшее число больших.
Пример 2.7. Оптимальные продольные ребра. Гладкую поверхность необходимо
развить продольными ребрами из алюминия с ?=202 Вт/(м-°С) и плотностью р =
=2705 кг/м3. Коэффициент теплоотдачи от ребер к окружающей среде /г =
=625 Вт/(м2-°С). Если максимальная допустимая масса ребер на 1 м длины равна
37,2 г, определить оптимальные размеры и эффективность продольных ребер следующих
профилей: 1) прямоугольного, 2) треугольного, 3) вогнутого параболического.
Решение. Максимально допустимая площадь профиля каждого ребра
W 0,0372 <
А^гГ^Г^тОо^1'375-10-5^
1. Прямоугольное ребро. Линейные размеры профильного сечения вычисляем по
B.81) и B.82):
2М2р\1/з
д0 = 0,791 —т— =0,791
2.625-A,375-Ю-5J ],/3
v ! =0,835- Ю-3 м = 0,835 мм.
202
, ар 1,375.Ю-5
о = -;—= q 835» 10~3 ~*>65-10 м = 16,5 мм
и0
Эффективность ребра рассчитываем по B.13):
th mb
8—192
113

где
/п==B/г/Ы0I/2 = B-625/202.0,835.Ю-3I/2 = 86 м-1.
Следовательно,
т& = 86.1,65.10-2 = 1,42;
th 1,42 0,8896 лпП09
2. Треугольное ребро. По B.83)
[2-625A,375» 10-5J]1/з_
202
По B.84)
I2h \i/3 Г2-625A,375.10-5J11/з
*0 = 1,328 (-^А^ =1,328 [ ^-202 LJ =
= 1,395-Ю-3 м= 1,395 мм.
2Ап
Ь = -
2-1,375.Ю-5
1,97-Ю-2 м = 19,7 мм.
1,395.10-'
Следовательно,
m = B/i/^0I/2 = B.625/202.1,395-10-3I/2 =66,6 м-1;
т6=66,6.1,97.10-2 = 1,311;
2т6= 2-1,311 =2,622.
По B.18)
1 Il{2mb)_ 1 2,8108
71 ^ mb I0Bmb) 1,311 3,6145 -и>оу^
3. Вогнутое параболическое ребро. По B.85) и B.86)
2/П1/3 . _А A,375. Ю-5J.2.625 р/3_
202
S0 = 1,651
^2pXJ e 1.661 [-
ЗЛр 3.1,375-Ю-5
ь=-^-=-
11/3
= 1,738.10-* м;
2,37.Ю-2 м = 23,7 мм.
и0 1,738-Ю-3
Следовательно,
m = Bh/kdQ)l/2 = B.625/202.1,738-10~3I/2 = 59,5 м~!;
mb = 59,5.2,37.10-2=l,41;
2тЬ = 2,82.
По B.23)
2 2
7) = Г7п= Г79 = 0,502.
J I +[\ + BmbJ]l/2 1+ fl + 2,822]1/2 '
Таким образом, при
продольных ребра имеют
Профиль ребра
Прямоугольный
Треугольный
Вогнутый параболический
рассматриваемых условиях тр
следующие характеристики:
Толщина, мм
0,835
1,395
1,738
Высота, мм
16,5
19,7
23,7
и оптимальных
Эффективность
0,627
0,593
0,502
Оптимальные размеры радиального ребра прямоугольного профиля
Уравнение B.58) определяет функцию профиля радиального ребра,
требующего минимальной затраты материала. Такое ребро обладает
определенными преимуществами, но поскольку его изготовление весьма
трудоемко, оно редко применялось на практике. Браун [9] провел
исследование радиального ребра прямоугольного профиля и разработал
114

графики для определения оптимальных размеров ребер в области,
важной для практического применения.
Тепловой поток, передаваемый радиальным ребром прямоугольного
профиля, показанным на рис. 2.8, определяется по B.37):
<70 = 2тсг080Ьг60
iiipire)Kl(mrQ) — К^тге^^тгр)
Используя т = Bй/&80) и объем ребра
запишем B.37) в виде
<7„ = 2ic?roej-
2W0
I1(Ze)K,(Z0)-K1(Ze)I1(Zo)
I0(Z0)K1(Ze)+I1(Ze)Kl
оB») J'
где
f?ff;
¦2Лг%A + У/яУ.П2
*а0 I
B.90)
B.91)
B.92а)
B.926)
Уравнение B.91) определяет тепловой поток как функцию толщины
ребра :бо. Приравнивая производную dqo/d8o нулю и сохраняя Л, k, 8o,
г0 и V постоянными, находим максимум отводимого теплового потока.
Дифференцируя B.91) по бо и приравнивая производную нулю,
получаем:
04-7 \Ь <z°)*' <z«>~*' <z*> 7' (Z"> 7*Ё°> *J (z^> + к° <z°> 7» <z*> I .1-
*^~** [/„(Z0)^I(Ze) + /C()(Z0)/1Be) /, (Z0) Д", (Ze) — JC, (Z0) /, (Ze) J "T"
+ ^(l +
Z2„l-'
Z2eit/-20ft
X
чу ([/„ (Z.) It, (Zt) + /, (Z„) Kq (Z.)] [/, (Ze) K, (Ze) + /, (Ze) Ко (Ze)]
A 1 [/. (Z.) JCt (Z.) + /, (Ze) /C0 (Z,)] [/, (Z„) /Cx (Ze) - tf, (Z0) /, (Ze)]
J = 0. B.93)
Оптимальные размеры радиального ребра прямоугольного профиля
получаются из решения B.91) и B.93). Результаты решения,
выраженные через безразмерные переменные
«-(*
v= -
йо
Шг0Ъ0
B.94а)
B.946)
B.94в)
представлены на рис. 2.19.
Пример 2.8. Оптимальное радиальное ребро прямоугольного профиля. Определить
толщину оптимального радиального ребра прямоугольного профиля наружным ма-
метром 101,6 мм, установленным на трубе диаметром 50,8 мм. Ребро, изготовленное из
8* 115

100
50
10
',
-?с*
рр^
! 14
и
I ] I
... .. :
мм
11 \(Я
^ \
-*•
Xs*
1 \ \ I
Vc
111
к<?- 1111
о
,
\х
. JF г г ¦
villi
m
\llii
0,01
0,05 0,1
q0/2xKro9o
0,5 1,0
Рис. 2.19. Оптимальные размеры радиального
ребра прямоугольного профиля.
стали с коэффициентом
теплопроводности &=34,1 Вт/(м-Х),
отводит 23,4 Вт к окружающей среде
с температурой 46,2°С.
Температура в основании ребра равна
113°С, коэффициент теплоотдачи
42 Вт/(м2-Ч:).
Решение. По B.94в) при 0О=
^ПЗ—46,2=66,8°С имеем:
<7о _
2я?г09в
2^4 ___
"-3,14.34,1.0,0254.66,8 ~"
= 0,0647.
По B.94а)
u = BhrQ/k)lf2 =
= B.42.0,0254/34,1I/2 = 0,25.
По рис. 2.19 при q0/2nkr0B0 =
==0,0647 и й=;Р»25 находим о =
= Го/д0 = 20, откуда
а°-|20
0,0254
= 20
: = 0,00127 м = 1,27 мм.
ОБЩИЕ (СПЛОШНЫЕ) РЕБРА
Развитые поверхности с периодической структурой изготавливают
КЗ единого металлического листа, пронизанного круглыми трубами
в определенном геометрическом порядке. Забронскии [10] Расс™^
эффективность общего ребра с размещением труб в центрах квадратов,
как показано на рис. 2.20. Решение Забронского точно Удовлетворяет
условию адиабатичности на внешней границе ребра, но лишь
приближенно условию изотермичности в основании. Спэрроу и Лин LUJ
разработали совершенно другой метод анализа, который позволяет получить
решение, точно удовлетворяющее изотермическому граничному условию
в основании ребра, и приближенно, но с любой степенью точ!аости
адиабатическому условию на внешней границе ребра. Спэрроу^и Лин
рассмотрели также общее ребро в виде правильного ™™^™*™;
Такое ребро образуется, когда трубы, пронизывающие металлический
лист расположены в вершинах равносторонних треугольников как по-
* г - казано на рис. 2.2I.
Приравнивая
разность тепловых потоков
(поступающего в
бесконечно малый элемент
ребра и покидающего его
путем теплопроводности к
конвективному тепловому
потоку, отводимому в
окружающую среду),
получаем следующее
уравнение теплового баланса
,^ л для оебер, изображенных
Рис. 2.20. Система координат (б) общего квадрат- А ^„%о<\ г* 9 91
ного ребра (а). на рис. 2.20 и 2.21.
116

т,
#(-?)-
1 дЧ
г дФ2
— 2А6г, B.95)
где Ф — окружная
координата в радианах.
Решение B.95)
должно удовлетворять
граничным условиям:
при r = rQ и Ф = 0 6 =
при г = г09я Ф = Ф0б =
B.96)
:)
?=Фп
Ф=0
Рис. 2.21. Система координат (б) общего
шестиугольного ребра (а).
где n=mjtl<Do (—4m) для квадратного ребра и n=Qm для
шестиугольного ребра. Кроме того, для любого г, при Ф=0 или Фо, дв/дФ=0,
а при r=s/cos<&, d0/cW=O, где через N обозначено направление по
нормали.
Используя приведенные выше условия, получим решение B.95)
в виде
¦==•..
Л> (mr)
/о К)
-^ Cmcosn<D
К я(т)-1 .(«*)%$$
т=0
B.97)
где /i = -tc/4 и ти/б для квадратного и шестиугольного ребер соответственно
и где m = {2h!kbQf .
Необходимые т констант Ст находятся из условия адиабатичности
при r==s/cos<J>, dQ/dN—0 на правой границе элемента в р отдельных
точках. Эта процедура дает р линейных неоднородных алгебраических
уравнений для р неизвестных Ст, а именно С0, Ci, ..., Ср_2, Cp_i. Эта
система уравнений, усеченная при т=р—1, может быть решена
численно, причем р должно быть взято достаточно большим, чтобы решение
соответствовало требуемой точности.
Эффективность г\=
=q/qid получается из чис- %щ
ленного решения для
температуры и удобно
выражается через фиктивный
внешний радиус г*е
радиального ребра, имеющего
такую же площадь
поверхности, как и
квадратное или шестиугольное
ребра. Фиктивный
внешний радиус является
функцией размера s. Как
ге, так и 5 показаны на
рис. 2.20 и 2.21; легко
видеть, что для квадратного
общего ребра
/ 2 ^\
G$ ~Гс)<ЩкЪй
Bi98a)
Рис. 2.22. Эффективность квадратных ребер.
/ — радиальное ребро прямоугольного профиля.
117

для шестиугольного ребра
г^е = {~~У s' B-98б)
Эффективности
квадратного и шестиугольного
общих ребер построены на
рис. 2.22 и 2.23
соответственно.
ЗАДАЧИ
2.1. Используя
зависимость B.5) при значении /2=
=—1, получить обобщенное
дифференциальное уравнение
для температурного напора и
его общее решение — профиль
температурного напора.
2.2. Записать функцию профиля и получить дифференциальное уравнение
температурного напора для радиального ребра треугольного профиля, Проанализировать
возможные решения полученного дифференциального уравнения.
2.3. Определить тепловой поток, передаваемый радиальным ребром
прямоугольного профиля из алюминия с & = 202 Вт/(м-К). Ребро укреплено на трубе с наружным
диаметром Z)H = 25 мм, толщина ребра 2,6 мм, отношение радиусов р = 0,5 и
коэффициент теплоотдачи равен 133 Вт/(м2»К). Температура основания ребра 185°С, а
окружающей среды 28°С.
2.4. Для ребра, описанного в задаче 2.3, построить график зависимости
температуры от расстояния до основания ребра и определить тепловой поток, передаваемый
внешней половиной ребра.
2.5. На трубе длиной 3,7 м необходимо установить 16 стальных (& = 40 Вт/(м-К)
продольных ребер общей массой, не превышающей 10,9 кг. Плотность стали р =
=7250 кг/м3. Определить оптимальные размеры ребер (а) прямоугольной, (б)
треугольной, (в) вогнутой параболической форм и (г) рассчитать эффективности этих
ребер, если известно, что /*=371 Вт/(м2«К).
2.6. Для ребер из задачи 2.5, построить зависимость отношения температурных
напоров 6/00 от высоты ребра.
2.7. Для продольного ребра прямоугольного профиля, изготовленного из меди
(& = 389 Вт/(м-К)) высотой 7,60 см, помещенного в среду с коэффициентом
теплоотдачи, равным 260 Вт/(м2«К) при температурном напоре в основании 68°С, построить
график зависимости (а) количества отдаваемого тепла и (б) эффективности ребра от
его толщины. При построении ограничиться ребрами толщиной не более 0,60 см.
2.8. Определить увеличение теплового потока (в процентах) от основной
поверхности с температурой, равной 104°С, при ее оребрении стерженьковыми стальными
ребрами высотой 19 мм н диаметром 6,3 мм, расположенными коридором на расстоянии
2,54 см друг от друга. Теплопроводность стали можно взять равной 34,6 Вт/(м«К).
Температура окружающей среды равна 80°С, а коэффициент теплоотдачи равен Л=
= 110 Вт/(м2.К). .
2.9. Продольное ребро треугольного профиля должно отводить 1160 Вт на 1 м
длины. Температурный напор в основании ребра 73°С, коэффициент теплоотдачи
78 Вт/(м2-К). Определить размеры ребра, если оно изготовлено из меди с k=
= 389 Вт/(м-К).
2.10. Шиловидное ребро выпуклого параболического профиля имеет следующие
характеристики:
Материал Алюминий
(?=202 Вт (м-К))
Высота 38,0 мм
Толщина основания 6,35 мм
Коэффициент теплоотдачи h • . 200 Вт (м2-К)
Температурный напор в основании 60°С
H-r0)T/2h/kt0
Рис. 2.23. Эффективность шестиугольных ребер.
/ — радиальное ребро прямоугольного профиля.
118

Необходимо уменьшить массу, используя шипы вогнутого параболического
профиля, имеющие те же физические характеристики и условия работы. Определить (а)
процентное изменение количества отдаваемого тепла при использовании вогнутого
параболического ребра и (б) коэффициент теплоотдачи, при котором тепловые потоки,
рассматриваемые обоими видами ребер, одинаковы; сравнить для последнего случая
эффективности ребер.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 2
1. Murray W. M. J. Appl. Mech., 5, А78, 1938.
2. Gardner К. A. Trans. ASME, 67, 621, 1945.
3. Mickley H. S., Sherwood Т. К., Reed С. Е. Applied Mathematics in Chemical
Engineering, p. 42, McGraw-Hill Book Company, New York, 1957.
4. Schmidt E. Die Warmeubertragung durch Rippen. Z. VDI, 70, 885—889, 947,
1926.
5. Duffin R. J. A Variotional Problem Relating to Cooling Fins. J. Math. Mech. 8,
47—56, 1959.
6. Appl F. C, Hung H. M. Symposium on Air-cooled Heat Exchangers, 7th National
Heat Transfer Conference, Cleveland, Ohio, 1964.
7. Hilding W. E. ASME paper 53—42, 1953.
8. Schmidt E. Z. ver. deut. Ing., 70, 885, 947, 1926.
9. Brown A. Intern. J. Heat Mass Transfer, 8, 655, 1965.
10. Zabronsky H. J. Appl. Mech., 22, 119, 1955.
11. Sparrow E. M., Lin S. H. Intern. J. Heat Mass Transfer, 7, 951, 1964.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА КОНВЕКЦИЕЙ
(ПРАКТИЧЕСКИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ)
Введение
В предшествующей главе рассмотрены ребра нескольких типов
в предположении, что теплоотдача с торца ребра отсутствует (9-е
допущение гл. 2). Однако в ряде случаев теплоотдачу с торца следует
учитывать для продольных и радиальных ребер прямоугольного и
трапециевидного профилей и цилиндрических шипов. В соответствии с 3-м
допущением гл. 2 коэффициент теплоотдачи постоянен и однороден по
всей поверхности ребра. Однако довольно часто и это допущение
несправедливо. В настоящей главе проводится анализ ребер различных
геометрических,.форм в условиях, когда упомянутые допущения
последовательно снимаются.
При отказе от допущения о теплоизоляции торца анализ
проводится двумя методами. Согласно первому методу теплоотдачу с торца
учитывают непосредственно в граничном условии у вершины ребра и
находят частное решение уравнения теплопроводности для ребра при
этом условии. По второму методу, называемому методом Харпера —
Брауна, на торце сохраняется граничное условие теплоизоляции, а
теплоотдачу с торца учитывают изменением высоты ребра (используется
так называемая приведенная или эффективная высота).
ПРОДОЛЬНОЕ РЕБРО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
Точное решение
На рис. 3.1 показана система координат, используемая при выводе
соотношений для температурного напора, теплового потока и
эффективности ребра с учетом теплоотдачи с торца ребра. Заметим, что начало
координат помещено в основании ребра и положительное направление
119

соответствует направлению от основания
к торцу ребра. Такая ориентация
противоположна использованной в гл. 2 при
анализе ребер с теплоизолированным
торцом. Это методическое различие
вводится для удобства вычислений и в тоже
время оно обеспечивает большую
универсальность и гибкость анализа ребер.
Уравнение теплового баланса,
использованное в гл. 2 при выводе
дифференциального уравнения
теплопроводности ребра, не зависит от теплового
потока с торца ребра. Не изменяется в этом
случае и общее решение. Однако
вследствие различия граничных условий для
теплового потока через торец ребра
теперь получается другое частное решение.
Обозначим коэффициент
теплоотдачи на торце ребра через he. Это позволяет
рассматривать различные коэффициенты
теплоотдачи на торце и на боковых поверхностях ребра, поскольку они
могут быть и не равны друг другу. Тепловой поток через торец ребра
равен /i^L6o6e.
Дифференциальное уравнение и общее решение для этого случая
идентичны полученным в упрощенном случае в гл. 2:
d4
х=0
Рис. 3.1. Обозначения и система
координат для анализа продолы
ного ребра прямоугольного
профиля с учетом теплоотдачи с
торца.
/ — основная поверхность; 2 — боковая
поверхность; 3 — концевая поверхность;
4 — торец ребра; L — длина ребра; Ь —
высота ребра; 60 — толщина ребра.
dx2
-m26 = 0;
C.1)
\ = CleTx + Cte'
C.2)
где т = Bй/&80J. Однако при учете теплового потока через торец ребра
граничные условия имеют вид:
и db he fi
C.3а)
Дифференцируя
в C.3а), получаем:
при х=0 8=90.
выражение C.2) по х
и подставляя
Cjne^ — Cjne"
* = —!?{Сге"
} + Сже'т).
C.36)
результат
C.4)
Подстановка C.36) в C.2) дает:
8o=Ci-rC2.
C.5)
Совместно решая C.4) и C.5), определяем постоянные
интегрирования Ci и С2 и получаем следующее частное решение:
0О (emb[{x/b)~2] + ае~тЬ {xjb))
а + е-2т~Ь
C.6)
где
а =
т + he/k
т — he/k
120

Частное решение для случая, когда тепловой поток через торец
ребра отсутствует, для конфигурации, изображенной на рис. 3.1,
имеет вид:
b0chm (b —х)
ch- mb
C.7)
90
Если коэффициент теплоотдачи на торце равен нулю, тепловой
поток через торец ребра отсутствует (а=1) и уравнение C.6) сводится
к C.7).
Выражение C.6) является точным решением, а C.7) соответствует
случаю, когда тепловой поток через торец предполагается
пренебрежимо малым. Различие между
двумя этими решениями про- 4. 100^
иллюстрировано на рис. 3.2.
Температурный напор в
произвольном сечении в
процентах от температурного
напора в основании ребра
1000/00 показан на рисунке
как функция х и а. Кривые
построены для медного
ребра [&=389 Вт/(м.°С)]
высотой 50,8 мм и толщиной
1,6 'ММ.
Значение т получено
при коэффициенте
теплоотдачи на боковых
поверхностях ребра, равном
143 Вт/(м2«°С), а значения
а — изменением
коэффициента теплоотдачи на торце
he. Кривая а=1
соответствует уравнению C.7).
13
О «SO
о
CS а:
Quo
о о
§ =* 80
СО СЭ
м
70
со t:
Ей
^р ей
60
50
а=
1,00
¦1,10
а=
,1,25
1,50
0 10 20 20 40
Расстояние от основания х9мм
$0
Рис. 3.2. Распределение температуры в
продольном медном ребре крямоугольного профиля
толщиной 1,6, высотой 50,8 мм, показывающее
влияние тепловых потерь с торца.
Приближение Харпера — Брауна
Анализ C.6) показывает, что часть тепла, поступающего в ребро
через его основание, должна отдаваться в окружающую среду через
торец. Температура торца ребра te отличается от
температуры окружающей среды.
Харпер и Браун предложили прием решения,
состоящий в увеличении высоты ребра на такую
величину, чтобы тепло, отдаваемое в реальном
ребре через торец, рассеивалось теперь на
дополнительной высоте ребра. Фиктивная добавка вы-
«=> соты ребра изображена на рис. 3.3. Если полную
н высоту ребра обозначить bc=b-\-b\ то можно
считать, что фиктивный торец при х=Ьс имеет
температуру окружающей среды t8, т. е.
температурный напор у вершины равен нулю. Это
позволяет использовать граничные условия,
соответствующие нулевому тепловому потоку через торец
при увеличенной (приведенной) высоте ребра Ьс.
121
II
с?
°3
1
L*L
-«5
'
1
А
1
-4Г
; |
Рис. 3.3. Система
координат для анализа
продольного ребра
прямоугольного профиля в
приближении Харпера —
Брауна.

Таким образом,
dx
=0:=mC1e с — тС2е с;
х=ье
л rrib„ _ — mft
Схе с = С2е с.
Тепловой поток, рассеиваемый с торца для реального ребра (беа
увеличения высоты) составляет1:
q=h8QL(te~ts)=hboLQe. C.8>
резке между х=Ъ и х=#с, то ^г
Если это тепло рассеивается боковыми поверхностями ребра на от-
= 0. Это в свою очередь требует».
\х=Ьс
чтобы Ь'—Ьс—Ъ имела такое значение, при котором весь тепловой поток,,
определяемый уравнением C.8), рассеивался бы боковыми
поверхностями ребра в интервале от х=Ь до х=Ьс или
hb0Lbe = kBL-{-2b0)b%9
и если L > 80,
h\IAe = 2hU>\.
Теперь вычисляем Ъ'\
приведенная высота ребра становится равной
Ье = Ь + Н = Ь + \. C.9>
Таким образом, Ьс равна начальной, нескорректированной высоте
ребра + половина толщины ребра. Действительно, получается так, как
будто торец ребра повернут, разделен на две части и каждая часть*
приставлена к своей грани, что и приводит к увеличению высоты ребра.
Для ребра, у которого тепловые потери с торца отсутствуют,
тепловой поток через основание можно найти из C.7) и закона Фурье,
рассмотренного в гл. 1. Используя эти выражения и заменяя Ь на Ьс,
получаем:.
qo=k8oLmQ0 th mbc.
Однако
i
т=Ы) ;
2А
8.
km2
и приведенная высота ребра
ъс=ь+^=ь+ h
km2 '
1 Здесь предполагается, что коэффициенты теплоотдачи на боковых поверхностях
и на торце ребра одинаковы и равны h (а не he).
122

Тепловой поток через основание ребра
Тепловой поток через основание ребра можно найти из закона
Фурье, используя производную от соответствующего температурного
напдра. Продифференцируем точное решение — уравнение C.6)
сМ _ d \ 80 (етЬ К*1Ь)-Ъ + *е~тЬ {х^) 1 Ъ0т (emb tW^^j - *е~тЬ {xfb))
dx dx \_ a-\-e—2mb- J cL + e— 2™ь
При х = 0 получаем формулу
dB _Ъ<>т(е-ЬпЬ— а)
dx a + e—^mb
Таким образом, точное решение для теплового потока через
основание ребра имеет вид:
п _ UK T dB I _ kd0Lm$0(a—e-bnb)
или в более удобной форме
kS0LmB0 [(he/mk) + th mb] /"Ч 1 1 \
?0~~ 1 + (he/mk) th mb • V6Al)
В рамках приближения Харпера — Брауна, как было показано,
qQ=nkdoLme0 th mbc;
это соотношение можно преобразовать к виду
Если учесть, что
q0 = k\Lmb0th(mb+JLy
h / ftS„ \
km
k B/г/Н0J
получим окончательное выражение в виде
q0 = k80LmbQ th
•*+№Jrl
C.12)
Эффективность ребра
Точное решение для теплового потока через основание определяется
C.10). Эффективность находится делением C.10) на уравнение
теплового потока, отводимого идеально проводящим ребром,
qid=Bbh+6dhe)LQo,
или
*ч =
Bbh + d0he)
{¦^Щ- <3-13»
Если потери через торец не учитываются, т. е. he=0, a=l, то
зависимость C.13) принимает вид:
kb0m Г \ — е-2тЬ \ th mb
^~~~ 2bh \ 1 + e~2mb )~ mb '
Это соотношение совпадает с эффективностью ребра, полученной
ъ упрощенном случае, которая определяется по B.13). Эффективность
123

ребра в приближении Харпера — Брауна полностью совпадает с B.13),
в котором действительная высота ребра Ьс заменена на приведенную:
,=^. C.14>
Пример 3.1. Продольное ребро с учетом тепловых потерь с торца. Продольное
ребро прямоугольного профиля толщиной 9,5 мм, высотой 101,6 мм, длиной 304,8 мм,
изготовленное из стали с коэффициентом теплопроводности 34,1 Вт/(м«°С), отводит
тепло в окружающую среду с температурой 50 С. Температура ребра в основании
100°С, коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-0С). Сравнить: а) эффективности ребра,
б) температуры торца, в) отводимый тепловой поток, 1) без учета теплоотдачи с
торца, 2) с точным учетом теплоотдачи с торца, 3) с учетом теплоотдачи с торца в
приближении Харпера — Брауна. Провести аналогичное сравнение для случая, когда
коэффициент теплоотдачи с торца равен 100 Вт/(м2-°С).
Решение.
е0=100—50=50°С;
6«=9,5 мм=9,5-10-3 м;
/ 2-50 \1/2
т = ( 34,1-9,5.10-^ J =17'5 м~*;
6 = 101,6 мм =0,1016 м;
т& = 17,5-0,1016= 1,78;
m + he/k _ 17,5 + 50/34,1
a — m — he/k 17,5 — 50/34,1 — Ы79.
а) Эффективность ребра без учета теплоотдачи с торца определена в примере 2.1
по B.13), кривой Л на рис. 2.6 и по табл. 2.1 При mb=\JS т]=0,531.
В соответствии с точным решением для эффективности с учетом теплоотдачи с
торца—уравнением C.13) при /*е=50 Вт/(м2-°С), а=1,179, т=17,5 м~* и /п6 = 1,78
имеем:
7| =
kd0m f g — e-2mb \ __ 34,1-9,5.10-».17,5
2bh + bQhe I a+,e'~2mb J ~ 2-0,1016-50+9,5.10"*.50X
/1,179—-0,0284 4
^[ 1,179 + 0,0284 ) =0»511-
В приближении Харпера—Брауна при mbc~ 1,87 по C.14) находим:
th тЪс th 1,87 0,9536
~~ =U,D1U.
Л на рис. 2.6.
^^~mbf~T^f ЬГ = 0'510
Тот же результат можно получить по табл. 2.1 и по кривой
Если коэффициент тплоотдачи с торца равен 100 Вт/(м2-°С), то
m + he/k _ 17,5 + 100/34,1
zm — he/k 17,5—100/34,1 — 1^УЙ»
по C.13) получаем:
Вйт ( а — е~2тЬ \ 34,Ь9,5.Ю-3-17,5
^о"
/ д-е-2тЬ \
\ * + e~2mb j
71— ЧЪкЛ-ЬЛ. „ , „-2mb )— 9.0 IOIfi.nO-4-Q Я. 10-*. 1 00 X
2Ьк + Ь^е I а + е-жь j— 2-0,1016-50+9,5.10-».100
/1,398 —0,0284 N
X (^1,398 + 0,0284 J =°,493.
б) Температура торца. Без учета теплоотдачи с торца температура торца
определена в прИхмере 2.1 по B.9) и составляет 66,4ГОС.
Точное решение с учетом теплоотдачи с торца — уравнение C.6) при х=Ь и he =
=50 Вт/(м2-°С) дает
9 (emb[(xlb)-2] + M-mbixlb^ 5Q (^l,78(l-2) + j 179tf—1.7IK
ft — ! '— = - ' - — 1 R oof
откуда
*e=6e+/*= 15,2+50=65,2°C.
124

В приближении Харпера— Брауна заменяем Ь на Ьс:
8 9 б-10~*3
Ьо = Ъ + "Г = °'1Ш6 + "J~2 = °'1064 м;
т&с = 17,5.0,1064== 1,87
и из C.7) при (х — Ьс) получаем:
9echmFc — х) __ 90ch@) 50-1
"« — chm6c chl,87 3,3212"
откуда
/e=0e+/e = 15+50=65°C.
15eC,
Если коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен 100 Вт/(м2-°С), а
коэффициент теплоотдачи на боковых поверхностях остается равным 50 Вт/(м2«°С), то в
соответствии с точным решением — уравнением C.6) при х=Ь имеем:
В (emb[(xJb)-2]+ ae-mbix/bU 5Q ( ,,78(, -2) . j Я98*-».")
е~ а+е-2тЬ ~ 1,398 + ^-3»5б —14,Z^,
откуда /e=ee+^=14,2-f50='64,2°C.
Следовательно, увеличение коэффициента теплоотдачи с торца приводит к
снижению его температуры.
в) Тепловой поток на единицу длины, отводимый ребром без учета теплоотдачи
с торца, определен в примере 2.1 и составляет 270 Вт/м. Поскольку длина ребра L =
=0,3048 м, полный тепловой поток, отводимый ребром,
^0—270-0,3048=82,3 Вт.
В соответствии с точным решением C.11) при /ге=50 Вт/(м2«°С)
тб «1,718;
Не _ 50
m/c ~ 17,5-34,1 =0*0835.
Тепловой поток, отводимый ребром,
kd0LmB0(he/mk-j-tb mb) __
йо =
1 + (he/mk) th mb
_ 34,Ь9,5-10-3-0,3048*17,5-50@,0835 + th 1,78)
"" 1 + 0,0835 th 1,78 =82,6 Вт.
Тепловой поток через торец ребра, составляющий около 0,3 Вт, пренебрежимо мал
по сравнению с 82,3 Вт, отводимыми через боковые поверхности.
В приближении Харпера — Брауна при Ь = ЬС и т&с=A,87 получим:
^o=^6oLmeothm6c = 34,b9,5-10-3-0,3048-17,5-50-th 1,87=82,6 Вт.
Бели коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен 100 Вт/(м2-°С), то тепловой
поток, отводимый ребром, в соответствии с точным решением C.11) несколько
изменится:
при
he _ 100
тк 7,5-34,1 ^О»167;
kbQLm4u{he/mk + th mb)
qo== 1 + (he/mk) th mb
_34,1.9>5-10-3-0,3048-17>5-50@,167 + thl,78)
1+0,167 th 1,78 -83,5 Вт.
125

Результаты расчетов сведены в следующую таблицу:
Вариант
Упрощенное решение (без учета теплоотдачи
с торца)
Точное решение (с учетом теплоотдачи с
торца):
he = 50 Вт/(м2.°С)
Ае = 100 Вт/(м2.°С)
Приближение Харпера — Брауна
Температура
торца, °С
66,4
65,2
64,2
65,0
<7о. Вт
82,3
82,6
83,5
82,6
•п
0,531
0,511
0,493
0,510
Критерий целесообразности применения продольного
ребра прямоугольного профиля
Рассмотрим еще раз действительный тепловой поток через
основание ребра, с учетом теплоотдачи с торца, определяемый выражением
C.11):
kd0Lm$0 [(he/mk) + th mb]
Уо— \ + (he/mk)thmb
Вид этого уравнения показывает, что когда все переменные, кроме
высоты ребра Ь, постоянны, максимальному тепловому потоку через
основание ребра соответствует некоторое определенное значение
высоты ребра1. Это максимальное или оптимальное значение высоты
ребра может быть получено из графика зависимости q0 от Ь путем
определения точки, где наклон кривой исчезает, т. е. оптимальная высота
соответствует обращению в 0 q0 как функции Ь. Ее можно найти,
дифференцируя C.11) и приравнивая результат нулю. Учитывая, что
-т— th ах = a sch2 ах,
выпишем производную
dq0 k$0LQ0m [(he/mk) th mb + 1] m sch2 mb kd0LQQm [(he/mk)+th mb] (he/mk) sch2 mb
db~~ [1 + (he/mk) th mb]2 [1 + (he/mk) thmb] ' •
1 Это совершенно неправильное утверждение является следствием некорректного
анализа зависимости q0 от высоты ребра Ь. При дифференцировании q0 по Ь2 и
приравнивании результата к нулю производится деление на sch^mb, т.е. утрачивается решение
schmb = 0 при mb = оо. Между тем именно при этом значении mb функция q0
асимптотически стремится к предельному значению, которое может быть больше, равно или
меньше теплового потока q, отводимого с основной поверхности площадью, равной
площади поперечного сечения ребра. При he/mk<\ с увеличением b монотонно растет
<7о (так что для любой высоты qo>q), приближаясь к предельному значению,
зависящему только от he/mk. В этом случае применение ребра выгодно. Характер
изменения q0 от mb (в безразмерном виде) изображен на рис. 3.10. При he/mk>\ q0 с
увеличением b асимптотически уменьшается, так что для любой высоты ребра qo<q.
В этом случае ребро изолирует основную^ поверхность и его применение невыгодно.
При he/mk=\ значение q0 равно q при лю'бой высоте ребра, т. е. ребро не влияет на
теплопередачу. Таким образом, условие выгодности применения ребра не зависит от
высоты, а определяется только числом Bi=he8o/2k с толщиной в качестве
характерного размера, причем в отличие от утверждения авторов значению doh2e/2hk=\
соответствует не максимальное значение передаваемого теплового потока, а неизменное
(постоянное) значение qo, равное q. Предельное условие выгодности применения ребра
(Bi = l) значительно проще получить непосредственно из условия q0/q=\, где q0
определяется уравнением C.11), a q=hedQe0L. (Прим. ред.)
126

Приравнивая ее нулю, найдем, что
m(^thm6+1)=+(^+thm6);
*Mhmft + m=^-+4W);
mk2
m2k2 2hk
= 1.
Последнее равенство показывает, что тепловой поток через
основание будет максимальным, когда безразмерный параметр 8oh2ej2kk
равен единице. Для значений параметра, меньших единицы, ребро
выгодно и позволяет увеличить тепловой поток от основной поверхности
в окружающую среду. Если отношение больше единицы, тогда ребро
оказывает изолирующее воздействие на передачу тепла, т. е.
уменьшает тепловой поток. Когда коэффициенты теплоотдачи на торце he и на
боковых поверхностях ребра h равны,
d0h2e _d0h2 _ld0h ,- -.
Если C.15) перегруппировать, получим:
h=^- C.15а)
и максимум соответствует случаю, когда коэффициент теплоотдачи
на поверхности равен удвоенной внутренней тепловой проводимости
ребра.
Пример 3.2. Целесообразность продольного ребра прямоугольного профиля.
Определить, выгодно ли применять продольное ребро прямоугольного профиля длиной
304,8 мм, высотой 50,8 мм и толщиной 3,2 мм, помещенное в кипящую воду при
коэффициенте теплоотдачи /г= 14 200 Bt/i(m2«°C). Ребро изготовлено из стали с k=
= 34,1 Вт/(м-°С). Температура ребра в основании 101,7°С, а вода кипит при 100°С.
Решение. Температуры основания ребра и окружающей среды не оказывают
влияния на вопрос о целесообразности применения ребра. Критерий выгодности
определяется выражением C.15а):
h = —
Используя заданные значения k и д0, находим:
« ¦ ' 2-34,1
h = д-Щ2 = 21 300 Вт/(м2' °С)-
Значение h для кипящей воды равно 14 200 Вт/(м2«°С). Следовательно,
использование ребра дает положительный эффект. С другой стороны, из уравнения C.15)
d0h __ 0,0032-14 200
2k
Щ1 = °,66<1
и применение ребра оказывается выгодным даже при таком высоком значении
коэффициента теплоотдачи. Эффективность ребра получим из B.13):
2Л \1/2
2-14 200 11/2
= 511 м-
34,1-0,0032 J ¦
mb = 511-0,0508 = 26,01;
thmb 26,01
mb 26,01
0,0384.
Тепловой поток, отводимый ребром, составляет qo=2hbLQot\== 2* 14 200-0,0508Х
Х0.3048-1,7-0,0384=28,8 Вт.
127

Если бы ребро отсутствовало, то основная поверхность, на которой оно
устанавливается, отводила бы ^=/i60L9o=»14200-0,0032-0,3048-l,7=23,6 Вт.
Очевидно, что, несмотря на низкую эффективность, ребро увеличивает тепловой
поток. Однако сомнительно, чтобы столь незначительное увеличение теплового потока
оправдывало затраты, связанные с изготовлением и установкой ребра на основной
поверхности.
x+dx
ПРОДОЛЬНОЕ РЕБРО ТРАПЕЦИЕВИДНОГО ПРОФИЛЯ
Дифференциальное уравнение для температурного напора
Продольное ребро трапециевидного профиля показано на рис. 3.4.
Учтем потери с торца ребра, удлиняя ребро на величину бе/2 в
соответствии с методом Хар-
пера — Брауна, так что
приведенная высота ребра
станет равной bc=b-\-
+ (бе/2). Начало
координат в этом случае
поместим на фиктивном торце
ребра, а положительное
направление координаты
х выберем в направлении
от торца к основанию
ребра. Для единицы длины
ребра функция площади
поперечного сечения и ее
производная, выраженная
I *ш/2
Рис. 3.4. Обозначения и система координат для
анализа продольного ребра трапециевидного
профиля с учетом теплоотдачи с торца.
/ — толщина; 2 — высота; 3 — боковая поверхность; 4 —
торец.
через угол конусности %, имеют вид:
М*) = 2/,(*) = «. +2 (x-^jigx;
dh (х)
dx
= 2tgx.
Если эти выражения подставить в обобщенное дифференциальное
уравнение B.3) 4, то получим:
[8, + 2(*--?-)tgx]
d4
db
2/г
-6=0.
dx* ' ё "dx k cos xl
Это уравнение можно свести к обобщенному уравнению Бесселя. После
перегруппировки получим:
d4 , 2 tg x db 2Я 6=0
dx2~* Ml— tgx) + 2xtgx dx &cosx[de(l—tgx) + 2*tgxj ° *
Следуя далее методике, предложенной Харпером и Брауном,
производят специальную замену независимой переменной х:
Р-
АК2
х +
Ml-tgx)
]•
C.16)
2tgx
где fx — преобразованная независимая переменная, а постоянная К
определяется из соотношения
h
' k sinx*
Г
C.16а)
1 Харпер и Браун приняли, что площадь поверхности элемента ребра dx равна
те dx, a dx /cos и. Эти соображения и приводят к появлению cosx в знаменателе
последнего члена.
428

После этих преобразований и соответствующих подстановок
получаем модифицированное уравнение Бесселя:
¦*'|rbsr-l* = 0. C-17)
Решение C.17) относительно переменной ji имеет вид:
e=c1/o(ii)+catfo(ii), C.18)
где произвольные постоянные Ci и С2 вычисляются из граничных
условий:
тепловой поток с торца отсутствует:
dB
dx
= 0; C.19а)
х=о
задана температура в основании ребра
6U=6„. C-196)
г С
Однако для того чтобы подставить граничные условия в общее
решение дифференциального уравнения, их необходимо преобразовать
к системе координат с независимой переменной \х. Дифференцируем
C.16):
2\idii=4K2dx',
овательно,
Таким образом,
dp _2К2
dx р '
dB dB dx
dp. dx dp '
dB _ p dB
dp 2K2 dx
Последнее выражение показывает, что для всех конечных
значений \х производная dQ/d\x обращается в нуль одновременно с dQ/dx.
Следовательно, dQ/d\i=0 при х=0 и
^е = 2К[Ц^}\ C.20а)
Для 6 = б0 при х — Ьс получим:
Г = Ъ=2к[ье+Ц=&?]Г. C.206)
Используем теперь общее решение уравнения, определяемое C.18),
и преобразованные граничные условия C.20а) и C.206); получим:
dB
d\x
= C1/1W-ClKlWU=0;
следовательно,
и аналогично
е w,.=cj0 ^,)+сд, о*.-)=е..
9—192 129

Приведенная система уравнений однозначно определяет значение
произвольных постоянных в C.18). Решая систему, находим:
р QpKl (p»g)
01 - /0 (p.Q) Кг М + h Ы К0 (р..) >
^о 90Л (р-е)
2 /.W/(iM + /iW^W
и, наконец, частное решение получаем в виде
в = 8.
Кг Ы /. Ы + Л Ы К» (нО
'о К) ^i (f^e) + Л (P-e) К0 ([х0)
C.21)
Тепловой поток через основание ребра
В стационарном случае полный тепловой поток через основание
ребра должен быть равен тепловому потоку, рассеиваемому боковыми
поверхностями ребра, т. е.
К
2h[ 6
i Г 6 -^- C.22)
J COS X * v '
о
Используя известную связь dx и dp, получаем:
dx=2^"dji.
После подстановки в C.22) будем иметь:
4гЛ 9^ ¦ <3-23)
Основное дифференциальное уравнение C.17) можно
преобразовать к следующему виду:
откуда видно, что
й d2Q , d* d ( dB\
Используя это соотношение, можем выполнить интегрирование
выражения C.23):
'dp. |i*
Но V-o
Учитывая, что db[d\i обращается в нуль при 1*> = р€, получаем:
у080 г К, fcg) 7, (р,0) —./, (n,g) /С, (р.0) ]
^о *• COS X [_ /о (р-о) * I Ы + Л Ы *о Ы J '
учитывая, что ранее мы определили K2 = h[ksin>t,
130

Эффективность ребра
Эффективность ребра находится как отношение действительного
теплового потока, определяемого C.24), к тепловому потоку,
отводимому идеально проводящим ребром, вся поверхность которого имеет
температуру, равную температуре основания:
4 =
<7о _
?0
fro
qid i2hbcb0/cos* 2K2bc
4441- C.25)
1 До К) J
РАДИАЛЬНОЕ РЕБРО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
Точное решение
Радиальное ребро прямоугольного профиля схематически показано
на рис. 3.5. Дифференциальное уравнение теплопроводности B.33) и
его общее решение B.34) для случая отсутствия теплоотдачи с торца
ребра были получены в гл. 2.
e=Ci/0(mr) +C2Ko(mr).
Для точного решения, которое учитывает
тепловой поток через торец ребра с помощью
коэффициента теплоотдачи he, граничные
условия имеют вид:
при г=г0
е=в0; C.26а)
при г=ге
dr
C.266)
Комбинируя B.34) и C.266), получаем:
Рис. 3.5. Радиальное
ребро прямоугольного
профиля при наличии
теплоотдачи с торца.
/ — основная поверхность;
2 — торец.
тСх1х (тге) - тС2Кг гш) = - -J- [С1/0 (тге) + СД0 (тг,)].
Решая это уравнение совместно с C.26а), вычисляем произвольные
постоянные С\ и Сг и находим частное решение:
А — А Г 7о (""") + ?#о (gg) 1 /о 97\
°""°° L /0(^o) + T/(o(mr0) J' ^2/)
где
__ (he/mk) /0 (mrg) + /t (mrg)
» Кг (mre) — (he/mk) K0 (тге) '
Если коэффициент теплоотдачи на торце ребра равен нулю,
результат упрощается. При этом
«,_ Л (т/у)
1 ~~ Ki (mre)
и выражение C.27), как и следовало ожидать, превращается в B.36):
д_а Г Кг (тге) /0 (тг) + 1г (тге) К0 (тг) ~|
0 [Кг {тге) /0 (тгв) + /(о (тг0) /, (тг,) J «
Профили температурного напора, соответствующие упрощенному
решению без учета теплоотдачи с торца B.36) и точному решению —
9* 131

уравнению C.27), приведены на рис. 3.6 для двух значений
коэффициента теплоотдачи. Кривые построены для алюминиевого ребра [k=
=202 Вт/(м-°С)] с размерами: толщина 1,6 мм, внутренний и внешний
радиусы 25,4 и 50,8 мм соответственно.
Рис. 3.6. Распределение
температуры в радиальном ребре
h=56jS прямоугольного профиля из
алюминия толщиной 1,6 мм,
внутренним радиусом 25,4 мм,
наружным радиусом 50,8 мм,
показывающее влияние
тепловых потерь с торца.
/ — приближенное решение: 2 —
точное решение [he = 56,8
Вт/(м2 • °С)]; 3 — приближенное
решение: 4, 5 —точное решение
[соответственно /г,, = 56,8
Вт/м2. °СI.
284
^ *?=Ш
40 мм
Расстояние от основания
Можно видеть, что точное решение с учетом теплоотдачи с торца
.приводит к понижению температуры в каждой точке ребра.
Приближение Харпера — Брауна
В рассматриваемом приближении для учета теплоотдачи с торца
вводится поправка к внешнему радиусу ребра. Фиктивное приращение
радиуса будем обозначать г'. Именно на этом приращении радиуса
рассеивается избыточное тепло, в действительности отводимое с торца
ребра г=--ге. Фиктивный (приведенный) внешний радиус становится равным
rc=re-\-r'. Тепловой поток, отводимый с торца реального ребра (без
увеличения высоты), равен:
<7=/ге2я1Г<ДHе.
Если все это тепло должно рассеяться с поверхности, заключенной
между радиусами г=ге и г=гс, то
q = 2hMr2c-r\)be.
Приравнивая эти выражения, получаем:
или
2ъкеГеЬХ = Ше(г2с-Г2е)Ъе
г Д = г\ - г\ = (гс - ге) (гс + ге) = г' (гс + ге).
Предполагаем далее, что гс и ге приблизительно равны. Если это не
так, то тепловые потери с торца ребра играют важную роль, и данное
приближение, так же как и все рассмотрение, не справедливо. Таким
образом, rc+re=2re и последнее соотношение превращается в
Г4бо=>г' (Гс + Ге) =Г' Bге) \
, ri до
J r — —'
132

что полностью аналогично добавочной высоте ребра, полученной при
анализе продольного ребра прямоугольного профиля. Приведенный
внешний радиус ребра, таким образом, равен:
гс = ге-\-г'=ге-\--<
Выражение, описывающее профиль температурного напора в
приближении Харпера — Брауна, совпадает с рассмотренным выше
упрощенным случаем [уравнение B.36)], но с заменой ге на гс:
А _ А Г Кг (тгс) Jo JJHf) + h(tnrc) K0 (mr) 1 /о 98>
0 — °о [Kl {тГс) /0 (тгь) + К0 (тг0) Л (тгс) ]' К ' }
Тепловой поток через основание ребра
Тепловой поток через основание ребра при точном учете
теплоотдачи с торца получается точно так же, как и в упрощенном случае, но
с использованием C.27):
<70 — л>^гЛ ^ ^о0 /о (mro) + Y/(o (тГо) j^
= 2«гДА/пвв Г^/^0!""/1^ 1. C.29)
Тепловой поток через основание ребра в приближении Харпера —
Брауна имеет такой же вид, как B.37), но с заменой \ге на /с:
?.=а«гдые§ г7;^}*^ (з.зо)
^° • * ° [ /0 (We) ^i W + Л (mrc) Ко (гпг0)]
но
, _50_ __. I fr
и уравнение C.30) может быть переписано соответствующим образом.
Эффективность ребра
Рассуждая так же, как в гл. 2, находим эффективность ребра в
приближении Харпера — Брауна:
2о
Л №/П - Р)] К, [рФ/A - Р)] - К, [Ф/A - Р)] /, [РФ/A - р)] }
Zp J
— ФA + Р) \7ЛрФ/A -р)] Ki [Ф/<1 -р)] + /i [Ф/A -р)] К0 [РФ/A -р)] f •
C.31)
Уравнение C.31) по форме совпадает с B.46), но здесь
>=Ъ -fc-'/(?)
Пример 3.3. Радиальное ребро с учетом теплоотдачи с торца. Радиальное ребро
прямоугольного профиля наружным диаметром 254 мм, внутренним диаметром 101,6 мм,
толщиной 9,5 мм, изготовленное из стали с & = 34,1 Вт/(м-°С), отводит тепло в
окружающую среду с температурой 50°С. Температура ребра в основании 100РС,
коэффициент теплоотдачи 50 Вт/(м2-°С). Сравнить: а) температуры торца ребра, б)
отводимые тепловые потоки, рассчитанные: 1) упрощенным методом без учета теплоотдачи
с торца, 2) точно, с учетом теплоотдачи с торца, 3) в приближении Харпера —Брауна.
Решение, а) Температура торца te, рассчитанная по упрощенному уравнению
B.36) в примере 2.3, составляет 70°С.
133

Точное решение для температурного напора у торца [уравнение C.27)] имеет зид:
~[Агпге) -\-jK0(mre)
*=**[?
где
здесь
(mr9) + tKQ(mr0)
_ (he/mk)I0(mre) + Ii(mre)
Y — К№ге) — (he/mk)K0(mre)'
254
-1000
101,6
:2.1000
=0,127 м;
= 0,0508 м;
г0 0,0508 л ,ЛЛ
д0= 9,5 mm = 9,5-10-3 м;
2А \i/2
2-50
34,1-9,5.Ю-3
1/2
= 17,5 м-1;
/^ = 17,5-0,127 = 2,24;
тг0 = 17,5-0,0508 = 0,892;
90 = 100 — 50 = 50°С;
/l, 50
Вычисляем Y-
тогда
9, = 50
0,0835-2,7071 + 1,9857
0,1025 — 0,0835-0,0851
- 2,7071 +23,32-0,0851
: 23,32,
= 18,4°С.
1,2090 + 23,32-0,4925
Температура торца
te = Qe+ts =118,4+50 = 68,4°С.
Для расчета в нриближении Харпера — Брауна используем C.28). Предварительно
вычисляем:
тогда
д0 0,0095
гс = ге + -у- = 0,127+-^2—= 0,132 м;
тгс= 17,5-0,132 = 2,32,
= ^о\Кг{тгсI0(тгс) +I1(mrc)K0(mrc)]
е ~ Кг(тгсI0(тг0) + KoimrJI^mrc)
_ 50@,0926.2,8720 + 2,1365-0,0773)
0,0926.1,2090 + 0,4925-2,1365 =
Температура торца
te=(9е+/8 = 18,4+50 = 68,4°С.
18,4°С.
б) Тепловой поток, отводимый ребром без учета теплоотдачи с торца, рассчитан
по B.37) в примере 2.3 и составляет 113,5 Вт.
Точное решение для теплового 'потока, отводимого ребром, с учетом теплоотдачи
с торца описывается уравнением C.29). При he=b0 Вт/(м2«°С) и у=23,32
* = 2nrMm% [1^+Т^(Й-
Г 23,32-0,7269 — 0,4919
Х[ 1,2090+23,32-0,4925
= 2-3,14-0,0508-9,5-10-3-34, Ы7,5-50 X
= 117,5 Вт.
134

Тепловой поток, отводимый ребром, в приближении Харпера — Брауна
рассчитываем по C.30) при ге = гс = 0,132 и апгс = 2,32:
q0 = 2Tzr0$0km$0
I, (тгс) К, (/иг0) — /С 1 (/игс) /, (тг0)
I IQ{mr0)Kx{mrc) + I^mr^Koimro)
= 2-3, И-0,0508-9,5-10-3-34,1-17,5.50 X
X
]-
2,1365-0,7269 — 0,0926-0,4919 1
[1,2090-0,0926 + 2,1365-0,4925 J = 117'5 Вт"
НЕОДНОРОДНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ
Введение
Литература, посвященная изучению стационарной теплопередачи
ребер при неоднородном распределении коэффициентов теплоотдачи,
немногочисленна. Тем не менее существует несколько весьма интересных
работ. Продольное ребро прямоугольного профиля исследовалось
Ханом и Лефковицем [2] и Ченом и Зысковским [3]. Радиальное
ребро прямоугольного профиля исследовал Винд [4]. Эти статьи, а также
библиография, приведенная в них, показывают, что для практических
приложений предположение об однородности коэффициента
теплоотдачи не реалистично.
Более того, Винд утверждает, что использование метода конечных
разностей совместно с общей программой для ЭВМ открывает широкие
возможности в проектировании развитых поверхностей, поскольку
позволяют учесть произвольное распределение коэффициентов
теплоотдачи. Метод конечных разностей будет подробно рассмотрен в гл. 6.
Продольное ребро прямоугольного профиля при неоднородном
коэффициенте теплоотдачи
На рис. 3.1 показано ребро, рассмотренное Ханом и Лефковицем.
Общее дифференциальное уравнение теплопроводности для
продольного ребра с коэффициентом теплоотдачи, который является функцией
расстояния х от основания ребра, имеет вид:
т 2M?LS = o. C.32)
dx
Хан и Лефковиц предположили, что зависимость h(x) может быть
представлена в степенной форме
A(*) = (T+l)Aa(-f)T' C.33)
где ha — средний коэффициент теплоотдачи.
Подставляя эту зависимость в C.32), получаем:
Когда y^O» коэффициент теплоотдачи h(x) постоянен на всей
поверхности ребра. Когда 7=1» коэффициент теплоотдачи линейно
возрастает по высоте ребра от х=0 до х=Ь. Значения у^2 приводят к
параболическим распределениям. Во всех случаях при у^\ коэффициент
теплоотдачи в основании ребра обращается в нуль.
135

Для решения C.34) можно применить метод, изложенный в гл. 1,
поскольку это уравнение имеет форму
*{?&)—*=**
dx
где
р = 09 / = т и а = (Т+1N-т^=(Т+1)Ь-т(т2).
Общее решение, таким образом, имеет вид:
е=^/а [с,/, (шх1/а) + cj_n (сох1/а)], C.35)
где
а:
•Т/2
~~Y + 2' ^ —y + 2' а ¦— 2 ' Y + 2' у~— ^+2
Если выполнить преобразование
/а _ 2У\+ 1 h-т /2 (т+2) /Я.
а = ю^/« = ?^+i ^-t^t+^/q. C 36)
=K7+Tm^V'2; x=[^±|ff ГТ+2) и )/T=Q^+2>,
C.37)
где
|1/(Т+2)
то
da
dx
Qr_, Y+2 */»
4
> ,. , C.38)
|2Ky + 1 m !
Подставляя C.36) —C.38) в C.35) с учетом значений а, р, р/а, /2
и со, получаем:
8 = QMlm+2) [С,/,,,^, (и) +С2/_1/A+2) («)]• C.39)
Выражение C.39) является преобразованным уравнением для
температурного напора. Произвольные постоянные С\ и С2 определяем из
граничных условий
при и^О 6=90; C.40а)
при а =% = Ц^тЬ ^ = 0. C.406)
Подставляя значения Ci и С2 в C.39), получаем частное решение,
характеризующее распределение температурного напора по высоте
ребра:
А_ 90r((Y+l)/(Y + 2)) i/(T+2) [, , v , /(т+1)/(т+2)/(д&) / //yv]
C.41)
Эффективность ребра1 определяется выражением
^ — kt0L (dB/dx) \x=0 /Q до\
1 Согласно принятому определению эффективность ребра есть отношение
действительно отдаваемого тепла к теплу, которое отдавалось бы в случае, когда все ребро
имеет температуру основания при среднем коэффициенте теплоотдачи ha.
136

Почленно дифференцируя C.41) и вычисляя производную при u—Qr
находим эффективность ребра:
|==Г(ТГ + 2)т(Т+1)
(mb)
2(Т + 1)
1/G+2)
Ы.
(T+D/(T+2)
(Ч)
(T+D/G+2)
(Ч)
И
Г ((т + 1)/(Y + 2))
ГA/(т + 2))
C.43)
где иъ определяется формулой C.406).
Пример 3.4. Продольное ребро с неоднородным коэффициентом теплоотдачи на
поверхности. Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 76,2 мм, толщиной
9,5 мм изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности &=34,1 Вт/(м«К).
Сравнить эффективность ребра, если коэффициент теплоотдачи 1) постоянен и равен
50 Вт/(м2-°С) и 2) изменяется пропорционально четвертой степени расстояния от
основания ребра, а именно h(x) = 44(х/6L.
Решение. Эффективность продольного ребра прямоугольного профиля при
постоянном коэффициенте теплоотдачи определяем, используя табл. 2.1, B.13) или кривую Л
на рис. 2.6:
60=9,5 мм=9,5-Ю-3 м;
j_ 1
2h \ 2
т = [
kon
Г 2-50 12
~~[ 34,1-9,5.Ю-3 J = 17>5 м *:
тЬ-
Ъ=Ъ,Ш2 м;
= 17,5-0,0762 = 1,3375.
Из табл. 2.1 при /п6 = 1,34 т) =0,651.
Для случая, когда коэффициент теплоотдачи я = 44(х/6L, из C.33) находим, что
Y = 4 и т=BЛа/,^боI/2, где /га = 50 Вт/(м2-°С). Эффективность ребра вычисляем по
уравнению C.43):
,-[
(Y + 2)T(Y+1)
mb2(T+D
1/A+2)
'(Т+1)/(Т+2)
(ч)
ГГ((т+1)/(Т+2»1
[ ГA/(Т + 2)) J'
-(T+D/(T+2)^
= (-т^гЧ = 17,5 м-1; 6 = 0,0762 м; /«6=1,3375, а аь определяется из соотно-
где т
шения C.406):
Щ-
2*4+1 ^.2/4+1
4 + 2
Y + 2
Таким образом, эффективность ребра
1,3375=1,00.
'"L A.34)" J
A(l,00)
_б
5 а.оо)
¦ 6
щ
но
Г D")в4* Г f1 ~) "= ! .2-0,94017 = 1,1282;
Г(-~)==6Г И—^ = 6.0,92772 = 5,5662,
что^позволяет рассчитать vj:
1
~-/1,1282\
/ 5 A,00) -|
6 1
/ sO.OO)
6 J
= 0,537
/j_(l,00) 1
6
/_5_A,00)
6
Модифицированные функции Бесселя / 5 A,00) и / 5 A,00) вычисляются с по-
Т ~~ "б*
137

мощью разложения в ряд вида
оо
!п— ^ 22т+пт1Т(п+т.+ \) '
m=0
В нашем случае п = 5/6, —5/6 и х = 1,00. Используя первые три члена
разложения в ряд функции / 5 A,00), получаем:
IF
/5 (i,oo)=—5 + ~тг +-29 : + •
~ 2~A)Г (^ 2~A)Г^ 2ТB)Г^
0,561 , 0,1404 . 0,01755
Далее,
следовательно,
0,9402 ' /17\ т~ /23 л
/23\ 17 /17\ 17 / 11 \ / 11 \
4-)=-Fr(-)=-Wr(-);
Г (+) = 0,9402;
(if) = "F г("Т") = A,833) @•9402•, = 1,728;
г f'-ir) = f-?r) г (Цт) = B-833> A ¦ 728> = 4,896.
да:
ч \ч \*,
/5 A,00) =0,5961+ 0,0814+ 0,0036+ .. .=0,6811.
Т
Аналогично вычисляем / 5 A,00), используя первые четыре члена степенного ря-
б"
/_L(i,Qo> = —j-1——+ z —— +
6 2 6A)г(—) 26A)гD
1 1 _
19 + 31 "Г . . .
^ /13\ -4- /19
26B)Г -г- 26F)г'
ч 6 ) * ^х (б J
1,781 0,4456 0,05568 0,00463
*5,5662 + 0,9277+ /13\ "| 7~19
г< — г Ы
¦(¦
Вычисляем значения гамма-функций:
г("г)=-^г D~)=о-167) (°'92?7)=i'°81^
/19\ 13 /13 \
Т[—)== — Г ^—J = 0.833) A,081) = 1,982;
/ г5 A,00) =0,3200+ 0,4803+ 0,0515+ 0,0023 + . . .=0,8541.
138

Таким образом, эффективность ребра
„ /0,6811\
^ = °^537(o7854rJ = 0'429-
Заметное уменьшение эффективности по отношению к случаю, когда коэффициент
теплоотдачи h постоянен и равен 50 Вт/(м2-°С) (ц = 0,651), происходит вследствие
того, что неоднородный коэффициент теплоотдачи обращается в нуль в основании
ребра и близок к нулю в точках поверхности ребра, где 0 имеет максимальные значения.
Чен и Зысковский, используя C.32), провели расчеты для
экспоненциального изменения коэффициента теплоотдачи:
A W = К[1_(a/c)A,.-,)j • C-44)
Чен и Зысковский использовали также асимптотическое значение
коэффициента теплоотдачи для бесконечно длинного ребра Л». Частное
решение для температурного напора при изменении коэффициента
теплоотдачи в соответствии с уравнением C.44) для нецелых п имеет вид:
в = в.[СЛ(") + С1/.я(")Ь C.45)
где п = ; и — п у ае
%тЬ f —xcib
Произвольные постоянные в C.45) выражаются через величины
ф = л )/.?.; C.46а)
<й=пУ~а C.466)
в виде
с -п1-пт-Уг-ат П47я>
°'~~ /я(Ф)[-п/п(Ф)-ФЛ-я(Ф)]-/-п(Ф)[-л/я(Ф) + Ф/„-1(Ф)]' *°'*/а'
Г »^№-^»-i (Ф) /о 47Л\
i_ in (Ф) [-«/-я (Ф) -*/,-„ (Ф)] -/-я (Ф) [~п/„ (Ф)+Ф/„-, (Ф)] • ^'°'
Для целых п частное решение C.32) есть
е=е0[с3/„(м)+с4уп(ы)]. C.48)
Постоянные С3 и С4 определяются из соотношений
С У1-п(Ф)-К»+1(Ф) п 49яч
Ч~~ /«(Ф) [У»-, (Ф)-У»+1(Ф)]-У»(Ф) [/»-.(*)-/«+.(¦)] ' {*•* а)
Г __ —Ai-iW + Jn+iffl /о 4Qfi4
°*— /Я (ФЧУв-.(Ф)-1ГЯ+.(ФЯ-^в(Ф)[^-.(Ф) -/«+!(*)] • ^ '
Два соотношения для эффективностей ребер находим по определению
—kS„L (db/dx) \x=0 .g 5q.
280 f h (x) dx
для нецелых п
У 2 (mbJ [1 — (а/с) A — <?-c)J ^
[-n/_„ (Ф) - ФЛ-л (ФI l-nln (Ф) + Ф'»-1 (Ф)] ~
wi -[-In (Ф) + Vn - i (Ф) 1 \~nJ - n (Ф) - ФЛ - я (ФI у. ,or,Q4
x> /»(Ф) [-«/.„(¦)-¦/,-»(*)]- f (-й1а)
-/-И(Ф) [-П/я (ф) + ф/„-1(ф)]
139

для целых п
VI
-X
''~~2тЬ[1 — (а/с)(\ — е~с)\
[Уд-» (Ф) -У/1+i «01 [Л-1 (Ф)-^я+1 (ФI - 1
. . - l^-i (Ф)-^+1 (ФI У/»-. (Ф) -Уп+1 (Ф)]
XI /„(Ф)[ул-1(Ф)-уя+1(Ф)] -
-Уй(Ф)[/я-,(Ф)-//1+1(Ф)]
C.516)
Винд использовал приведенные выше зависимости для частичной
проверки машинного расчета в конечных разностях. Рассматривалась
система, изображенная на рис. 3.1. В C.33) подставлялись значения у,
равные 0, 1 и 2. При использовании C.44) были выбраны две пары
значений: а=0,2, с=2,0 и а=0,4, с=4,0.
Сравнение численного решения с
результатами расчетов по
уравнениям C.41) и C.48) для случая а=0,2
и с=2,0 показано на рис. 3.7 и 3.8
1,0|
0,9J
0,8
0,7
0,6
Wj
0,4|
М/'о
о -
Л. Y
ЭбМ
8ица
Y=0
%Г^
14
0,2
0,6
0,8 -f,CT
1,00
0,95
0,90
0S5
0,80
0,75
0,70
0^55
к
t
о0
ч
^
А Чена иЗысковского
о 30М |
^Ь^
°^
^^ООо
аз
0,4
0,6
0,8
%0
Рис. 3.7. Сравнение результатов
расчета на ЭВМ с аналитическим
решением Хана и Лефковица.
Рис. 3.8. Сравнение результатов машинного
расчета с решением Чена — Зысковского.
соответственно* Результаты численных расчетов на ЭВМ хорошо
согласуются с результатами аналитических решений.
Гарднер [5] указал, что для продольного ребра прямоугольного
профиля, в случае, когда х отсчитывается от основания ребра, а
зависимость коэффициента теплоотдачи от х определяется соотношением
К
(\+а)(х/Ь+с)а
[A 4-с)а+2 — са+1\
C.52)
дифференциальное уравнение теплопроводности приводится к уравнению
Бесселя:
j^-{(ffi6J[(i+^-^-]}^+a)ae=Q'
C.53)
где tn — {2halkb0) .
Решение C.53) имеет вид:
е = ео^УГ/*^ C.54)
140

C.55)
C.56)
где
_ /1_„чГГ (х/Ь+сI ] .
и = 2п{—) [ii+c)W-cW\mbi
П=2Т-а>
а индексы «О» и «е» соответствуют основанию и торцу ребра.
Эффективность ребра определяется выражением
- _ 2 A — /г) Г/Я^, (ц0> /, _„ (иг) — /t,я (ц0) /д.; (ttgI ' с7ч
1 «.![Ч(вв/^1"я»] I /«(«i)/i-flW-/-«W/«.iW J* l '
Радиальные ребра при неоднородном коэффициенте теплоотдачи
Используя методы вычислений в конечных разностях совместно
с обобщенной программой для решения стационарных и
нестационарных задач теплопроводности на ЭВМ, Винд [4] получил профили
температур для радиальных ребер
при произвольном распределе- WKgfo
нии коэффициента
теплоотдачи. Были рассмотрены
радиальные ребра прямоугольного 0,9
и треугольного профилей.
Однако эту программу можно
применить и для расчета
радиальных ребер других форм,
таких как параболическая,
трапециевидная и
гиперболическая.
Результаты расчетов
-показаны на рис. 3.9. Кривая А
характеризует температурный 05
профиль прямоугольного ребра
и идентична кривой,
получающейся в результате решения
B.36). Кривые В я С
характеризуют температурные
профили ребер с неоднородным
коэффициентом теплоотдачи,
зависимости которого от радиуса
определяются соответственно
выражениями:
h(R)=2haR\
h(R)=3haR2
C.58)
C.59)
0,4- 0,6 0,8
Hr-r0)/(re-r0)
где
Рис. 3.9, Профили температурного напора для
радиального ребра при неоднородном
коэффициенте теплоотдачи.
Эти кривые построены с использованием среднего коэффициента
теплоотдачи Аа, равного 57 Вт/(м2-°С). Для радиального ребра с
наружным радиусом ге=50,8 мм, внутренним радиусом г0=25,4 мм и
толщиной 3,2 мм коэффициент теплопроводности ребра во всех
рассмотренных случаях принимался равным 34,1 Вт/(м-°С). Кривая D
характеризует радиальное ребро треугольного профиля толщиной
в основании 3,2 мм.
141

РЕБРА С ВНУТРЕННИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Введение
Снятие предположения об отсутствии тепловых источников внутри
ребра приводит к неоднородному дифференциальному уравнению
первого порядка относительно температурного профиля. Минклер и Руло
[6] рассмотрели влияние тепловых источников для продольных ребер
прямоугольного и треугольного профилей с постоянным коэффициентом
теплоотдачи при отсутствии тепловых потерь с торца. Мелезе и Уилкинс
[7] исследовали продольные ребра произвольного профиля с
переменными коэффициентами теплоотдачи и теплопроводности и внутренними
источниками тепла. Рассматривались ребра прямоугольной,
треугольной, трапециевидной форм и ребро оптимальной формы с некоторыми
ограничениями. Кроме того, Мелезе и Уилкинс установили, что
эффективность ребра с внутренними источниками тепла всегда меньше, чем
соответствующая эффективность ребра без внутренних источников.
Рассмотрим продольное ребро произвольного профиля. Пусть
начало координат находится в основании ребра и высота ребра равна Ь.
Профиль ребра ограничен двумя симметричными кривыми y=f2(x) и
у——Ы#). Площадь поперечного сечения на единицу длины ребра есть
A=fi(x)=2f2(x) и температурный напор в произвольной точке ребра
равен Q=t—ts, где t — температура ребра и /s — температура
окружающей среды. Дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра
получается из стационарного теплового баланса для бесконечно малого
элемента ребра высотой dx. Разность между тепловыми потоками,
поступающими в элемент dx в сечении х и покидающим его в сечении
x+dx путем теплопроводности,
минус тепловой поток, отводимый через боковые поверхности элемента,
2h(t—ts)dx плюс тепловой поток, поступающий в элемент от внутренних
источников тепла 2qif2(x)dx, равна нулю. В результате получаем
обобщенное дифференциальное уравнение теплопроводности
— 2M-\-2qJ2(x) = 0, C.60)
где qi — мощность внутренних источников тепла, Вт/м3; dQ=dt.
Продольное ребро прямоугольного профиля
Для ребра прямоугольного профиля f2(x)=6ol2. В случае, когда
коэффициент теплопроводности постоянен, C.60) принимает вид:
&-^=~Ь <3-61>
где m = Bh/kbQy. Соответствующее однородное уравнение второго
порядка имеет общее решение
Ьс = Сгетх-^С2е-тх.
Частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
fi ^Л_
2 ЗГ [*'¦«?
142

Общее решение C.61) представляет собой сумму этих решений:
0 = ве + 8р = С1в'" + С|в-я" + ф-, C.62)
где произвольные постоянные С\ и С2 вычисляются из граничных
условий в основании и у торца ребра, тепловые потери через который
отсутствуют:
при х = 0 —Мо1-
при х = Ь
db
=<70; C.63а)
х=о
dx
= 0. C.636)
x=b
С помощью этих граничных условий получаем частное решение C.61):
°=-Мга-5Н+2#- C-64)
BШ0J
Решение C.64) удобно выразить через три безразмерных
параметра, которые характеризуют продольное ребро прямоугольного профиля.
Эффективность ребра по отношению к основной поверхности есть
отношение теплового потока, передаваемого через основание ребра
путем теплопроводности, к конвективному тепловому потоку, отводимому
через ту же поверхность в отсутствие ребра. Таким образом, для
единицы длины ребра м q0 /Q лг.
Для того чтобы применение ребра было целесообразным, значение
NR должно превосходить единицу.
В действительности по экономическим соображениям NR должно
быть значительно больше единицы. Если NR меньше единицы, ребро
действует как теплоизолятор.
Параметр внутреннего тепловыделения есть отношение теплового
потока, выделяемого внутри ребра, к тепловому потоку, отводимому
ребром, при условии, что температура всего ребра однородна и равна
температуре в основании. Для обеих поверхностей ребра на единицу
длины ы _д;д0Ь _?Л ПЫ\\
Параметр внутреннего тепловыделения связан с эффективностью
ь
ребра 7]. Умножив числитель и знаменатель C.66) на 2h f б dx, получим:
о
ь
2/i f 6 dx
No—^ sfe—• C-67)
2h (* 0 dx
о
Первый сомножитель в C.67) есть отношение внутреннего
тепловыделения к тепловому потоку, действительно отводимому ребром.
Второй член есть эффективность ребра в отсутствие внутренних источников
тепла. Если C.67) записать в виде
NG = -n Ч^— C-68)
2/г Г 9 dx
о
143

видно, что NG является мерой снижения эффективности ребра
вследствие внутреннего тепловыделения. При NG—0 внутреннее
тепловыделение отсутствует. При NG=l тепловой поток, генерируемый внутренними
источниками тепла, в точности равен конвективному тепловому потоку,
отводимому ребром. При JVG>1 тепловой поток направлен к основанию
ребра. При этом, как следует из C.65), параметр NR становится
отрицательным.
Число Био представляет собой отношение теплоотдачи с
поверхности к внутренней тепловой проводимости ребра. Обычно его выражают
через полутолщину ребра
Bi =
2k
C.69)
и часто используют как существенную характеристику ребра.
Возвращаясь к C.64), замечаем, что член перед скобками можно привести
к виду
—3*Т = ^(^\_=NR(BiJ е.,
BШ0J Л5090 BfeJ
а последний член записывается в виде 8<>iVG. Теперь C.64) может быть
записано
]_
.2 /chmx
Wmb ° '"/ ' "»J'G'
6=ejv.
«Ks(:
- sh mx
¦)+»л
C.70)
В основании ребра (при х = 0, в = б0) C.70) принимает вид:
C.71)
NR(BiJ =(l—NQ)thmb.
je выражением C.71), и;
Из рисунка видно, что при увеличении mb значение Л^(ЕйJ асимптота
Кривые, описываемые выражением C.71), изображены на рис. 3.10.
:\2"
¦0,8
0,7
0,6
0,5
ОЛ
073
0,2
0,1
Nr
(BiO4
,
I
1
' 1
1
~
=
rf
—
и
Г У
•/
i/
g
-^L
=3
х Т
/ ! •
Й
*—j
>
>_
—
**¦
•
5Эи-
«е?
/"в*"
—=
*(Г
!
i
чш~
п
1 U7
"о"
щ
50
75
1.рп
»;*
=¦
. j
mb
Г 1
О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
Рис. 3.10. Зависимость комплекса NR&\lJ2 от mb для различных значений параметра
внутреннего тепловыделения Ne.
144

чески стремится к пределу. При NG = 0 значение N (BiJ приближается
%0
0,Ь1
0,61
Йе
S
: гм1.о I
С**^—0,25 J
*С — |
10 20 30 *0
к 1, а для NG=l значение NR(B\f всегда равно нулю. Последнее
заключение легко получить из C.71). Оно соответствует случаю, когда
тепло, выделяемое в ребре, в точности равно теплу, которое оно отдает.
На рис. 3.11 построено распределение
относительного температурного напора 6/6о в медном
ребре высотой 50,8 мм, толщиной 1,6 мм при
/i=285 Вт/ (м2-°С). Этот график получен с
помощью C.70) и показывает, что при
увеличении внутреннего тепловыделения температура
торца ребра существенно возрастает.
Рисунок 3.10 является типичным
расчетным графиком. Для его использования
следует вначале аппроксимировать форму ребра и
вычислить mb. Для заданного внутреннего
тепловыделения вычисляется параметр NG. По
значениям mb и NG по рис. 3.10 определяется
значение NR(Bi). Число Bi подбирается таким,
чтобы параметр NR соответствовал заданному
критерию эффективности. Значение Bi является функцией толщины
ребра. Поэтому существует практический минимум Bi и, следовательно,
максимум NR.
Рис. 3.11. Распределение
температуры в медном
продольном ребре
прямоугольного профиля толщиной 1,6,
высотой 50,8 мм,
показывающее влияние
внутреннего тепловыделения {h =
=284 Вт/(м2-°С)].
Оптимизация
Для данной площади профиля ребра можно найти соотношение
между Ь и бо, при котором тепловой поток, передаваемый ребром, #о
будет максимальным. Пусть р — параметр оптимизации, который может
быть выражен через площадь профиля Ар—Ь6о.
j_ j_ ___з_
2
>=¦*=»(?)'-4?)'<ч '
Используя определения параметров NRy Bi, NG и р, введем в
уравнение C.71) площадь профиля Ар:
или
Дифференцируя q0 по б0 и приравнивая результат нулю, получаем
следующее трансцендентное относительно C уравнение:
sh2p
¦Nn
2Р
-T-NG
0^NG<~.
C.72)
Уравнение C.72) можно решать последовательно для различных
значений NG. Результаты такого решения показаны на рис. 3.12, на ко-
10—192 145

3D
25\
20
тором изображены расчетные кривые для
оптимального продольного ребра
прямоугольного профиля с однородными
внутренними источниками тепла. Как видно
из рис. 3.12, кривая (l—NG)l(l/3—NG)
асимптотически стремится к предельному
значению NG=l/3. Причина этого
становится очевидной, если обратиться ik
выражению C.72). sh2|3/|3 должен быть
всегда положительным. Если i/Vg=1, это
условие выполняется, однако при этом
параметр NR будет отрицательным.
Следовательно, значения l/Vg ограничены
интервалом 0^Vg<1/3.
Пример 3.5. Продольное ребро
прямоугольного профиля с внутренними источниками тепла.
Ребро, изготовленное из стали с коэффициентом
теплопроводности Л=34,6 Вт/(м-°С) должно
отводить в окружающую среду тепловой поток на
единицу длины, равный 188 Вт/м. Температурный
напор в основании ребра 41,6°С, коэффициент
теплоотдачи 114 Вт/(м2-°С). В ребре действует
внутренний источник тепла мощностью 40 Вт. Из соображений простоты изготовления
минимальная толщина ребра составляет ЗД мм. Для того чтобы применение ребра
было экономически оправдано, минимальное значение параметра NR должно быть
равно 2,5. Определить оптимальные размеры ребра.
Решение. Максимальную толщину ребра, соответствующую NH = 2,5, вычисляем
по C.65):
188
= 0,0159 м.
sin/7 lf>
ч
Nc"9iso
I2h%
,.,J
1
/
\\
1
B=mb\
0 0,1 0,2 0,3 0 1 Z I
Рис. 3.12. Оптимизированные
данные для продольных ребер
прямоугольного профиля с
равномерным внутренним тепловыделением.
Qo
hB0Nc
114-41,6.2,5
Минимальная толщина ребра по условию равна 3,2-10~3 м. Примем 60 = 4,75 мм =
=4,75- Ю-3 м. Этому соответствует параметр NR>2,5:
nr = m
Qo _
188
114-41,6-4,75-Ю
=8,36.
При 6о = 4,75-10-3 м
m='B/i/^6oI/2=B-114/34,6-4,75-10-3)i/2 = 37,2 м-1.
1. Первое приближение. Примем 6 = 76,2 мм = 7,62-10~2 м. Тогда
т6=37,2-7,62-10-2='2,83; # л=8,36;
1/9 fhdQy/2 ( 114.4,75- Ю-3 у/2
BiI/2 = (^Fj =("w ) =0'089'
#яВ172 = 8,36 • 0,089=0,745.
По рис. 3.10 при га6=2,83 и NRBil/2=0,745 находим Л^с=0,25. По рис. ЗЛ2 при
m6 = 2,83 NG = 0,309, что не совпадает со значением Ng, найденным по рис. 3.10.
Определим теперь NG по заданному значению мощности внутренних источников тепла:
40
qi — 4,75-10^3.7,62.Ю-2-0,3048
3,62-105.4,75.10
N —2Л.
= 3,62.105 Вт/м3;
= 0,181.
2-114.41,6
2. Второе приближение. Примем 6 = 57,2 мм=5,72-10-2 м:
/7г6=37,2- 5,72-10-2='2,12.
146

По рис. ЗЛО при т6=2,12 и NRBill2=0J45 находим 7VG=0,23. По рис. 3.12 при
т& = 2,12 NG = 0,235.
Проверяем значение, полученное из рис. 3.10 по C.71):
NRBi112 0,745
l~NG= thmb ^thXIT-OJ^; WG=0,233.
Эти значения достаточно близки. Определим теперь Ng по заданному значению
мощности источников тепла:
40
qi== 4,75.10-3.5,72.10-2.0,3048==4,83'1°5 Вт7м3>*
аьЬ0 4,83.105.4,75.Ю-3
NG =-mt~ 2.114.41,6 = 0,242> 0,235.
Это значение Ng близко к значению, полученному при оптимизации. Можно
добиться более точного совпадения, немного уменьшив толщину ребра.
3. Третье приближение. Примем б0=4,57-10~3 м:
NR — 114.41,6-4,57-Ю-3 — 8,69;
»"-Й1е=(^1Г)в—
Л^В11/2 = 8,69-0,0866 = 0,752;
2ft \i/2 / 2-114 \i/2
34,6.4,57-Ю-3
= 38 м-1.
Пусть 6 = 57,2 мм = 5,72-10-2 м; тогда т& = 38-5,72-10-2=2,16.
По рис. 3.12 при m&=2,16 А^=0,245, что совпадает со значениехМ, найденным по
рис. 3.10. Определим теперь NG по заданному значению мощности внутренних
источников тепла:
40
^ = 4,57.10-3.5,72.10-2.0,3048==5,02,1°5 Вт/м3;
qid0 5,02-105.4,57.Ю-3 л nj
^G— t2hQ0 2.114-41,6 —U'^4'
Все три значения Ng согласуются между собой. Оптимальное ребро,
удовлетворяющее заданным условиям, имеет толщину примерно 4,6, высоту 57,'2 мм.
ЗАДАЧИ
3.1. Определить тепловой поток, отводимый трапециевидным ребром из алюминия
[?=202 Вт/(м-°С), толщина в основании 12,7 мм, высота 50,8 мм, угол конусности
5°] в окружающую среду с температурой 28°С, если температура в основании ребра
равна 85°С, а коэффициент теплоотдачи ft=1114 Вт/(м2-°С).
3.2. Для ребра из задачи 3.1 построить распределение температуры по высоте
ребра и определить потери тепла с торца.
3.3. Получить уравнения для эффективности и распределения температурного
напора по высоте продольного ребра прямоугольного профиля, если коэффициент
теплоотдачи определяется соотношением C.33) при -у = 3. С помощью зависимости для
профиля температурного напора по высоте ребра получить уравнение для отводимого
теплового потока.
3.4. Радиальное ребро прямоугольного профиля толщиной 3,2 мм, наружным
диаметром 140 мм, внутренним диаметром 50,8 мм, изготовленное из меди [k=,
= 390 Вт/(м.°С)], отводит тепло в окружающую среду. Коэффициент теплоотдачи
равен 142 Вт/(м2-°С). Построить профили температурного напора по высоте ребра
с учетом и без учета теплоотдачи с торца.
3.5. Продольное ребро прямоугольного профиля толщиной и высотой 3,2 и
101,6 мм соответственно, изготовленное из меди [?=390 Вт/(м-°С)], отводит тепло
в окружающую среду. Коэффициент теплоотдачи равен 142 Вт/(м2-°С). Построить
профили температурного напора по высоте ребра с учетом и без учета теплоотдачи
с торца.
Ю* 147

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 3
1. Keller H. Н., Somers E. V. J. Heat Transfer, 81, 151, 1959.
2. Han L. S., Lefkowitz S. G. ASME Paper 60-WA-41, 1960.
3. Chen S. Y., Zyskowski G. L. ASME Paper 63-HT-12, 1963.
4. Vind Т. Н. Private communication, 1966.
5. Gardner K. A. General Discussion on Heat Transfer, Institute of Mechanical
Engineers (London), 1951, p. 214.
6. Minkler W. S., Rouleau W. T. Nucl. Sci. Eng., 7, 400, 1960.
7. Melese G. В., Wilkins J. E., Jr., Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., vol. Ill,
p. 272, 1966.
8. Harper D. R., Brown W. B. Mathematical Equations for Heat Conduction in the
Fins of Air Cooled Engines, N. A. C. A., Rept 158, 1922.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Введение
При изложении материала гл. 3 было удобно характеризовать
условия теплового взаимодействия развитых поверхностей с
окружающей средой, задавая температуру последней и коэффициент
теплоотдачи конвекцией. Развитые поверхности, используемые в системах сброса
тепла космических кораблей, могут отводить энергию в окружающее
пространство только путем излучения. Аналогично в топочных камерах
парогенераторов, работающих на органическом топливе, подвод тепла
к поверхностям нагрева осуществляется преимущественно излучением.
Хотя зачастую излучение и конвекция действуют одновременно,
анализ задач, в которых учитывается только теплообмен излучением,
позволит более корректно описать характеристики систем, поведение
которых частично либо полностью определяется излучением.
Математический анализ может опираться на приведенные в гл. 2 допущения, при
этом допущения 3 и 10 должны быть видоизменены. Согласно
допущению 3 коэффициент теплоотдачи на поверхности ребра — постоянный.
В то же время очевидно, что в условиях космоса часть поверхности
ребра может быть обращена в сторону стока тепла, а часть — в
противоположную. Если отбросить указанное допущение, то анализ сведется
только к рассмотрению переноса излучения между различными точками
поверхности ребра и окружающим пространством. Отказ от
допущения 3 снимает также допущение 10, согласно которому тепловой поток,
отводимый от поверхности ребра, пропорционален разности температур
Q=t—tSy поскольку в случае излучения тепловой поток пропорционален
разности четвертых степеней температур.
ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
Излучение в свободное пространство
Бартес и Селлерс [1] исследовали излучение с поверхности
прямоугольных ребер, соединяющих круглые трубы (рис. 4.1).
Соответствующее дифференциальное уравнение записывалась для ненулевой
температуры окружающей среды (несвободное пространство), учитывался
также взаимный лучистый теплообмен (угловые коэффициенты) между
ребрами и трубами. Значения этих угловых коэффициентов,
обозначаемых нами через FA, рассчитаны Спэрроу и Эккертом [2], Крейтом [3]
и другими.
148

Маккей и Левенталь [4] вывели основные соотношения для
расчета параметров, влияющих на излучение пластины, равномерно
нагреваемой с одного конца. Авторами рассматривалась задача излучения
в свободное пространство. Кроме того, ими проанализированы также
случаи подвода тепла к ребру от таких источников, как Солнце, Земля
или другие тела, находящиеся в космосе.
г
1 1'
К/ I h
г' 2
*i !
X *j
J
\JLx I
ь I
г' '
Ь'Ь+Ь
г'
Рис. 4.1. Схема продольного ребра-
излучателя.
я=0
х~Ь
Рис. 4.2. Элементы продольного ребра-
излучателя прямоугольного профиля и
используемая система координат
(обозначения см. на рис. 2.2).
На рис. 4.2 указаны отдельные элементы рассматриваемых
продольных ребер прямоугольного профиля и приведена используемая система
координат. Ребро излучает в глубокий космос (Ts=0 К), к нему не
поступает тепло от других тел, находящихся в космосе, а также от других
ребер или каналов, образующих рассматриваемый радиатор. Тепло
подводится равномерно к основанию ребра (х—0) и отводится с его
поверхности излучением.
В соответствии с принятыми на рис. 4.2 обозначениями разность
тепловых потоков, поступающего теплопроводностью в элементарный
объем высотой dx и покидающего его, составит:
dq = kuuL-j-rdx,
D.1)
где Т—абсолютная температура в градусах Кельвина, a k —
коэффициент теплопроводности материала ребра. Этот тепловой поток должен
быть равен тепловому потоку, отводимому излучением с поверхности
элемента dx:
dq=2oeLT4x, D.2)
где о — постоянная Стефана — Больцмана, а 8 — степень черноты
поверхности. Из D.1) и D.2) следует, что
d2T
2ае п
dx2
kdn
Т\
D.3)
Соотношение D.3) представляет собой нелинейное
дифференциальное уравнение 2-го порядка. Оно описывает профиль температуры
в ребре. Решение этого уравнения может быть получено
последовательным интегрированием.
149

Пусть p = dT/dx, тогда
d2T dp dp dT dp
P-
dx2 dx dT dx F dT '
Подставляя это соотношение в D.3), имеем:
dp _ 2ge Ti
p dT kd0
Разделяя переменные и интегрируя, получаем:
1
dT ^(iBrT' + CY, D.4)
у dx [ Ш0
где С — постоянная интегрирования. Знак минус в D.4) объясняется
тем, что градиент температуры во всех точках ребра отрицателен.
Постоянная интегрирования определяется из граничного условия при х=
=Ь, где dTldx=0, а Т=Те. При этом D.4) принимает следующий вид:
dT _ p / as jb ,oe j,5 \ 2
dx \ 5kd0 5kdQ eJ •
или i_ i-
Переменные в D.5) могут быть разделены, и после
соответствующих алгебраических преобразований получим:
dT - = -2
т*1*[\-<ге/Т)*\Ч2 ~ V5^
J- b
~ЬЩ) ) dx- D.6)
О
Используя подстановку
u^^J, D.7)
имеем:
Tedu
1
dT=—^k- D-8>
Г^=(^J . D.9)
И, наконец, пусть Z=T0lTe. Тогда при х=09 где Г=Г0, получим
u=Z~5, а при х=Ь\ где 7=Гв, имеем и=\. Введя в D.6) эти
обозначения и подставив в него D.7) — D.9), получим:
и=1 1 Ь
\ *-'\-r-'d° =*(jkYV*
или
И=г1 1 Ь
20seTr
j и-'.* {l-u)-*-*du=(-2^y j^. D.10)
150

Интеграл, стоящий в левой части D.10), может быть рассчитан
с помощью бета-функций:
Г а-°-7A-а)-°'5^ = В(а, Ь)-Ви(а% 6), D.11)
где В (а, 6) — полная, a Д,(а, b) —- неполная бета-функции:
1
В (a, b)^\ua-^\-u)b-*du= rr(g^(g ; D.12а)
0
Z
Bu(a, 6)^ f ^"'(l -uf-^u, D.126)
о
где a=0,3, 6=0,5.
Таким образом, профиль температуры в ребре полностью
описывается формулой
В@,3; 0,5)-5„@,3; 0,5) = bB0°^ V . D.13)
Тепловой поток, отводимый ребром, находится из соотношения
Подставляя в него градиент температуры при л:=0 (Т=Т0)
[определенный из уравнения D.5)], имеем:
J_ _L
^ = 2Ш.(^-)8(Г.-7"У. D.14)
Эффективность ребра может быть определена так же, как и в
случае отвода тепла конвекцией, т. е. как отношение действительно
отводимого ребром теплового потока к тепловому потоку, который отвело бы
такое же идеально проводящее ребро с однородной температурой,
равной температуре в основании ребра. Тепловой поток, отводимый
идеально проводящим ребром, <7ге*=2<т&?еГ4о. Тогда с учетом D.14)
эффективность ребра может быть записана следующим образом:
_ 2Ш0 (ав/бЫрI/2 (Т\ - Т^I'2 .
Ч ~" 2а ЫлТ\
имея в виду, что Z=TJTet
2 A/Z3 — 1/Z8I/2
Ь B0aeT3e/kd0)
1/2
D.15)
Параметр Z связывает температуры в основании (корне) и у торца
ребра. Как следует из уравнения D.13), между Z и безразмерным
параметром
существует определенное соотношение.
151

Это соотношение может быть найдено с помощью
гипергеометрической функции [5], которая в свою очередь может быть выражена через
неполную бета-функцию. Соответствующий график, полученный из
D.13), приведен на рис. 4.3. На рис. 4.4 представлена зависимость
эффективности ребра от параметра Z, определенная из D.15), с учетом
данных рис. 4.3. В отличие от случая отвода тепла конвекцией
эффективность ребра, определяемая D.15), зависит не только от его
геометрических размеров и теплофизических характеристик (параметр г|)), но и
от температур на границах ребра (параметр Z). По этой причине при
определении характеристик ребра приходится прибегать к методу
последовательных приближений.
3,5
3,0
¦о
^ 2,5
> 2,0
«О
1-1,5
II
1,0
0,5
0
1,0
1Л 1;8
Z=Tg/Te
2,2
1,0
0,9
0,8
0,7
0У6
0,5
0,*\
0,3
0,2
0,1
иг
Z=T0/Te
%0
1,4
1,8
?Л
Рис. 4.3. Зависимость параметра хр
от функции Z для продольного ребра
прямоугольного профиля,
излучающего в свободное пространство.
Рис. 4.4. Зависимость
эффективности ребра т] от, функции Z
(продольное ребро прямоугольного
сечения, излучающее в свободное
пространство).
Пример 4.1. Излучение в свободное пространство. Тепловой расчет ребра.
Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 300 мм и толщиной 6,35 мм изготовлено
из магния [/2=155 Вт/(м«°С)]. (Поверхность ребра матовая, ее степень черноты 8=
=0,85. Температура в основании ребра 115ЯС C88 К). Требуется определить: 1)
температуру торца ребра, 2) эффективность ребра и 3) тепловой поток, отводимый ребром.
Решение. 1. Расчет температуры торца ребра. Параметр ур может быть рассчитан
лишь частично:
/ 20ае7'3е V»5 л /
i—srj =0>30(
20-5,7. 1Q-8.0,857^
155.6,35.10-»
= 3,04.10-4Г^2
Первое приближение. Примем Ге=255 К (—18°С). Тогда -ф=3,04-10-4B55K/2=
= 1,239. При 7е=255 К (принятое значение) Z = T0/Te = 388/255= 1,52. Согласно
рис. 4.3 при 4^=11,239 Z должно быть равно 1,08, т. е. не совпадает с 1,5B. Таким
образом, необходимо задаться новым значением Те.
Второе приближение. Примем Ге=328 К E5°С). Тогда г|)=3,0440-4C28K/2=
= 1,795. При принятом значении Ге=328 К, Z=Т0/Те = 388/328 =1,19. Согласно
рис. 4.3 при ф= 1,795 Z должно быть равно 1,185, что близко к 1,19. Таким образом,
температуры на границах ребра равны 115°С C88 К) и 55°С C28 К).
2. Эффективность ребра. Ее значение можно получить непосредственно из рис. 4.4;
При Z=l,19 г] = 0,653.
152

3. Расчет теплового потока, отводимого ребром. Рассчитаем тепловой поток,
который отводило бы идеально проводящее ребро (с единицы длины):
4М = 2зе&Г% = 2-5,7-10-8-0,85-0,30-388* = 660 Вт/м.
Действительный тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра,
?=n?fd=0,653•660=430 Вт/м.
Пример 4.2. Излучение в свободное пространство. Конструктивный расчет ребра.
Продольное ребро прямоугольного профиля имеет длину 1,5 м и толщину 3 мм. Ребро
изготовлено из алюминия (?=202 Вт/(м-°С), 8=0,88). Необходимо отвести от ребра
мощность 500 Вт при температуре в основании 147°С D20 К). Определить высоту
ребра.
Решение. Тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра, равен 500/1,5 =
= 333 Вт/м. Рассчитаем частично параметр г|г.
/ 20оеТ3е \1/2 I 20-5,7- 10-s.0,88Г3г у/2 л п л ш ,/2
* = 6(—ЙГ ) = Ь[ 202.3.10-3 -) =1,28.10-3^3/2
Тепловой поток, который отвело бы с единицы длины идеально проводящее ребро,
составляет:
9/d = 2a?&r%=2.5,7.10-8.0,88-420*^=3100 Ъ Вт/м,
Эффективность ребра
333 0,107
Г1==ЗЮ0Ь~ Ь '
Первое приближение. Примем высоту ребра Ь равной 300 мм. Тогда
х\=0,107/0,3=0,357.
Согласно рис. 4.4 при г\ = 0,357 (принятое значение)
2=1,526;
- Т° — 42°
Те= 1,526~ 1,526 = 276 Ь;
tj? = 1,28 -10-3 -0,3 - 2763/2 = 1,71.
Согласно рис. 4.3 при г|э=1,71 Z = 1,165, т. е. не совпадает с принятым значением
1,526. Следует выбрать иное значение высоты ребра.
Второе приближение. Примем высоту 6 = 250 мм, тогда
ц = 0,107/0,25 = 0,428.
Согласно рис. 4.4 при г| = 0,428 (принятое значение)
Z= 1,407;
7е = 420/1,407 = 299 К.
Величина я?> при 6 = 0,25 м и Ге = 299 К равна:
a|>=l,28-10-3-0,25-2993/2 = l,64.
Согласно рис. 4.3 при г|)=1,64 Z= 1,154, и снова не совпадает с принятым значением
Z= 1,407, т. е. принятая высота ребра все еще слишком велика. Дальнейшие
итерации дают высоту 6=130 мм, при которой эффективность г]=0,107/0,130=0,8122, а
температура торца ребра Г14°С C87 К).
Излучение в несвободное пространство
Задача радиационного теплообмена продольных ребер
прямоугольного профиля, отдающих тепло стоку, температура которого не равна и
не близка к абсолютному нулю, с учетом обмена излучением с другими
телами рассматривалась в работах Бартеса и Селлерса [1], Либлейна
[6], Маккея и Левенталя [4]. Бартес и Селлерс, а также Либлейн
учитывали влияние этих внешних факторов, вводя некоторую фиктивную
температуру стока тепла. Маккей и Левенталь полагали, что
совокупное действие этих факторов можно учесть постоянным коэффициентом,
153

который вводился в параметр, описывающий характеристики
окружающей среды. Методика Маккея и Левенталя будет рассмотрена ниже.
Обратимся к изображенному на рис. 4.2 продольному ребру
прямоугольного профиля и рассмотрим теплообмен излучением между
элементом поверхности ребра Ldx и окружающей средой. Результирующий
тепловой поток будет записываться как сумма двух членов: K\T4Ldx и
KiLdx. Постоянная К\ включает в себя все факторы, влияние которых
на температуру ребра может быть учтено поправочным множителем.
В случае отвода тепла с обеих сторон ребра К\=2ог. Постоянная К2
учитывает воздействие всех факторов, влияние которых не может быть
отражено в виде поправочного множителя к температуре. К ним могут
относиться падающее солнечное излучение или излучение земной
поверхности, взаимный обмен излучением между ребром и другими
элементами радиатора, а также температура окружающей среды.
Результирующий тепловой поток, отводимый рассматриваемым
элементом путем излучения, запишется как
dq=(KiTb—K2)Ldx. D.16)
В стационарных условиях эта величина равна разности тепловых
потоков, поступающего в элемент dx и отводимого от него посредством
теплопроводности:
kbQL -g- dx = {КгГ - К2) Ldx,
или
d Т Кг гр± А2 /д 1 у\
dx2 —' kdQ ~ kdQ • V*'11'
Соотношение D.17) представляет собой дифференциальное
уравнение, описывающее профиль температуры в ребре. Применяя уже
использовавшуюся ранее при анализе излучения в свободное
пространство методику, получим в результате однократного интегрирования
dx у 5kdQ kd0
+ CI/2, D.18)
где С — постоянная интегрирования, а знак минус обусловлен тем, что
градиент температуры в ребре повсюду отрицателен. Постоянная
интегрирования может быть найдена из граничного условия при х=Ь, где
dT/dx=0, а Т=Те:
s> ^А 1 п~>5 I 5/\2 у
Подставив ее в D.18), получим:
[it^-^-^tiT-Te)}1
dx
После алгебраических преобразований формула принимает следующий
вид:
dT
dx
¦=-№№)-•№)*+
+(?)'-K?),+(f)+,-*frf- ^
154

тогда
Теперь введем новую переменную:
(Т Л1/2
v=\-e-x) ;
¦f=l+^;
D.20)
D.21)
dT=2Tev dv. D.22)
Если D.20) — D.22) подставить в D.19), то после соответствующих
алгебраических выкладок оказывается возможным разделение
переменных
dv
1
[A + Vy + A + vY + A + о2..2 + A + 0«) + 1 - 6Kt/Ki7%]1/2
b
— }{iokdJ ax— %iojw,J
1/2
D.23)
Граничные условия имеют вид:
при х=0 a = u0=(Z— II/2;
при x=b u=ue=i0.
Переменой пределов интегрирования в левой части уравнения
D.23) можно избавиться от знака минус в правой части. Интеграл
в левой части можно рассчитывать графически, начертив зависимость
1,0
§ 0,9j
5 0,7
¦f
%-oM
ю
I °>3!
ЭКгМ^е
W
|N3,o\
k^2
R
°\
i
0 0^N®4
4HJj3
v]
V
Ofi
0,8
1,8
Рис. 4.5. Кривые для графического
интегрирования уравнения D.23) Рис. 4.6. Зависимость характеристического па-
(продольное ребро прямоугольного раметра ребра от параметра Z (продольное
профиля, излучающее в несвободное ребро прямоугольного профиля, излучающее
пространство). в несвободное пространство).
155

величины, обратной знаменателю подынтегрального выражения,
в функции переменной и, как показано на рис. 4.5. Площадь под каждой
кривой численно равна параметру, стоящему в правой части уравнения.
Заметим, что пределы интегрирования равны соответственно: vQ=
= (Z—II'2 и vc—0. Предел v0 зависит от Z. Следовательно,
зависимость
КгТ*
¦)*" = /(*)
^ 1(Ш0
может быть рассчитана графически. Соответствующий график
изображен на рис. 4.6. Однако он не удобен для практического использования,
поскольку как величина, отложенная по оси ординат, так и параметр,
определяющий семейство кривых, зависят от температуры торца ребра
Те, обычно заранее неизвестной. Чтобы применять данные рис. 4.6 при
расчетах ребер, ординату и параметр преобразуют к величинам,
зависящим от температуры в основании Т0. Ордината преобразуется
умножением на EZ3I/2
С =
причем величина ? называется характеристическим параметром или
профильным числом ребра 1. Параметр семейства кривых на рис. 4.6 пре-
образуется умножением на
1,5
Щ
аМ
¦ss4 «ал <s,-> «S'w/
z-r,
,1Т.

пего
1,2
U
1,6
1,8
Рис. 4.7. Зависимость характеристического
параметра ребра от параметра Z (продольное ребро
прямоугольного профиля, излучающее в
несвободное пространство).
0,2/Z4. При этохМ новая
ременная принимает вид:
К2 _ 0,2 /¦ ЬК2 \
КгТ0 ' L* \кгТ*е j •
В результате
преобразования получен график (рис.
4.7), удобный для
конструкторского и поверочного
тепловых расчетов ребер.
Тепловой поток,
излучаемый с поверхности ребра,
равен тепловому потоку,
подводимому к основанию:
Производная от температуры определяется по D.19). Ее значение
берется при х—0, где Т=То. Тогда передаваемый тепловой поток
запишется как
2KJ*, V/2,„ <п/2/.,. , ™ , ^ ¦ г, , ' , ЪК2 V/2
-«.i(-^-)(Z-ir(r + 2' + ^ + Z+1-0|-I
В результате перегруппировки членов в уравнении D.24) получим:
D.24)
qb
LT
¦ = Ь
(-ЩГ) (szO (Z
X^ + 23 + Z2 + Z+l-5Z^^-)
1JХ
1/2
D.25)
В отечественной литературе последний термин не употребляется. (Прим. ред.)
156

Заметим, что параметры b(K\T^j2kbnI/2 и К2/К\Т% те же, что
используются на рис. 4.7. Действительно, величиной К2[К\Т^ можно
задаться. Тогда при данном значении Z из рис. 4.7 можно найти
характеристический .параметр ребра b(KiT30/2kd0I/2. Параметр qb/kboLTo,
характеризующий теплопередачу, в свою очередь может быть
представлен в функции характеристического параметра ребра, как это сделано
на рис. 4.8.
Эффективность ребра есть отношение теплового потока,
действительно отводимого ребром, к тепловому потоку, который отвело бы та-
1,2
1,0
0г8
0,6
п и.
0,2
ць1щы0
у0
0,15^
0,2(?^Ш
°>25^Л^о,зо
К 2 1^1 7"fl
Ь{Ь Т03/2К1Г0H>5
1,0
и,у
0,7
0,6
0,5
ОН
0,3
0,2
0,1
"чЛ]
Кг/Ki То
Q
,15
Л20
8*0,25
*М0
ь{к^1гщ)°>5
О 0,2 Ofi 0,6 0 1,0 1,2 1/i 1,6 1,8
Рис. 4.8. Зависимость параметра
теплоотдачи qb/k8oLTo от характеристического
параметра ребра (продольное ребро
прямоугольного профиля, излучающее в
несвободное пространство).
0
№
0,8
1,2
1,6
Рис. 4.9. Зависимость эффективности
ребра от характеристического
параметра ребра (продольное ребро пямоуголь-
ного профиля, излучающее в
несвободное пространство).
кое же идеально проводящее ребро с однородной температурой, равной
температуре в основании ребра Г0 (при отсутствии поглощения тепла из
окружающей среды, Х2=0). Тепловой поток, действительно отводимый
ребром q, определяется уравнением D.25). При /Ci=2ae
„ я
11 ~~ 2vebLT*0 '
Это выражение можно преобразовать с тем, чтобы выделить в нем
параметры, отложенные по осям координат на рис. 4.8. Умножив
числитель и знаменатель на bjkb^LT^ получим:
Т)=-
qb/B0LTQ
gb/kd0LT0
2oeb2T\/kd0
D.26)
[bBaeT\/kd0]1'2]* '
Можно видеть, что теперь в числителе выражения D.26) стоит
ордината, а в знаменателе — удвоенный квадрат абсциссы из рис. 4.8.
Зависимость эффективности ребра от соответствующих параметров
представлена на рис. 4.9.
Пример 4.3. Излучение в несвободное пространство. Тепловой расчет ребра.
Продольное ребро прямоугольного профиля высотой 305 мм и толщиной 6,35 мм
изготовлено из магния [&=155 Вт/(м-°С)]. Поверхность ребра матовая, ее степень черноты
8=«0,85. Температура в основании ребра 115°С C88 К). Требуется определить: 1) тем-
157

пературу торца ребра, 2) эффективность ребра, 3) тепловой поток, отводимый ребром
(за исключением условия излучения в несвободное пространство, формулировка задачи
совпадает с примером 4.1).
Решение. 1. Расчет температуры торца ребра. В первом варианте #2=0, т. е.
/t2//iCir4o = 0. Параметр b{K\T\l2kboL*, где tfi = 2ae, равен
/^7Лу/2„п .
2.5,7.10-8.0,85-3883 11/2
1 Л 518.
2.155-6,35-10-
3883 11/2
Из рис. 4.7 при 6(/Cir3o/2^6o)V2 = 0,518 и при KilK\T^ = ^ получаем Z= 1,185.
Тогда темпера!ура торца ребра
Te = T0/Z=388/1,185 = 328 К,
т. е. оказывается такой же, как и в примере 4.1.
2. Эффективность ребра. Ее значение можно найти из рис. 4.9. При К2/К\Т40=0
и b(KiT30/2k6Q)l/2=0,bl8 т}=0,646. Эта цифра весьма близка к полученной ранее
г) = 0,653.
3. Тепловой поток, отводимый ребром. Из рис. 4.8 при K2/KiT^o = 0 и
^ (^i^3o/2^0)~ = 0518
Тогда на единицу длины ребра
0,346Ыо7\ 0,346-155-6,35-10-3-388
д = - ^ = 440 Вт/м.
Полученная цифра близка к рассчитанному ранее значению #=437 Вт/м.
Пример 4.4. Излучение в несвободное пространство. Тепловой расчет при К2ФО.
В том случае, если ребро получает энергию излучением из окружающей среды, то есть,
когда #2=7^0, методика расчета температуры торца, эффективности ребра и отводимого
ребром теплового потока остается идентичной описанной в примере 4.3.
Пример 4.5. Излучение в несвободное пространство. Конструктивный расчет при
К2ФО. Продольное ребро прямоугольного профиля имеет длину 1,5 м и толщину 3 мм.
Ребро изготовлено из алюминия [?=202 Вт/(м-°С), 8 = 0,88] и расположено так, что
постоянная /С2 оказывается равной 600 Вт/м2.
Определить высоту ребра, если оно должно отвести мощность 650 Вт при
температуре в основании 145°С D18 К).
Решение.
Кг __ 600
2-5,7.10-8-0,88-4184 "~ °'198-
Можно частично рассчитать параметр qb/kd0LTQ:
qb 6506
kd0LTQ 202.3.10-3-l,5-418
а ^акже параметр b (K1Ts0/2kdQ)l/2 (при /C1 = 2as):
(KtT\y/2
1,76,
2Ы0
2.5,7.10-8.0,88-418П1/2у л _
6 = 2,456.
2-202.3.Ю-3
Первое приближение. Выбор значения 6 производится с учетом данных рис. 4.8.
При 6 = 0,25 м рассчитанная по формуле ордината равна 0,425, а абсцисса 0,612.
Однако согласно рис. 4.8, ординате 0,425 должна соответствовать абсцисса 0,645.
Следовательно, значение 6 = 0,25 мало, следует выбрать иную величину.
Второе приближение. Возьмем 6 = 0,30 м. Ордината равна 1,7-0,3 = 0,51, а
абсцисса 2,45-0,3=0,735. Согласно рис. 4.8 ординате 0,51 должна соответствовать абсцисса
0,730. Совпадение значений вполне приемлемое. Следовательно, высота ребра должна
быть равна 300 мм. Заметим, что, используя это значение высоты ребра и величину
6(/(iPo/2&6oI/2 = 0,730, с помощью рис. 4.7 и 4.9 можно легко определить температуру
торца ребра и его эффективность.
158

ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА ТРАПЕЦИЕВИДНОГО И ТРЕУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЕЙ
С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Излучение в свободное пространство
На рис. 4.10 указаны отдельные элементы продольных ребер
трапециевидного профиля и используемая при анализе система координат.
Треугольный профиль можно получить, продолжив ребро
трапециевидной формы. Особо отметим, >что начало
координат расположено в плоскости
торца, а положительное направление оси х
взято в направлении основания ребра.
Впервые ребра трапециевидного
профиля были, по-видимому, исследованы
Маккеем и Бача [7], причем ими
рассматривался общий случай, включавший
также ребра треугольного профиля, для
которых толщина у вершины бе=0. Как и
в предыдущем случае, дифференциальное
уравнение, описывающее распределение
температуры в ребре, получено из
теплового баланса элемента ребра высотой dx.
Разница между тепловыми потоками,
поступающим в элемент посредством
теплопроводности и покидающим его
аналогичным путем, равна:
Рис. 4.10. Система координат для
анализа продольного ребра
трапециевидного профиля с отводом
тепла излучением (ребро
треугольного профиля представляет
собой частный случай данной
задачи при бе=0).
dq—kL
dx
[«w-g-]**.
D.27)
Эта величина равна тепловому потоку, отводимому поверхностью
ребра в окружающее пространство путем излучения,
dq=(KiTb—K2)Ldx.
D.28)
Результирующее нелинейное дифференциальное уравнение
запишется следующим образом 1:
k
dx
«М-гг]-*.*4-*.
D-29)
Из геометрических соображений следует, что
8(*) = 8, + (8.-Л)-?=2А
2А
¦X
D.30)
где Л=Fо—бе)/26 — наклон поверхности ребра.
Подставив D.30) в D.29), разделив на К\Т^е и проведя
соответствующие алгебраические преобразования, получим:
где z = TfTe
и d Г 2Л / де . \ ?Л_у* _ Кг
" dx [КгТ% \ 2А '7 dX J К*Т**
D.31)
1 Как и в случае отвода тепла от поверхности ребра конвекцией, пренебрегаем
ошибкой, связанной с использованием в уравнении dx вместо dx/cosk.
159

Пусть
К
_KiT\
2Ak
D.32a)
D.326)
Заметим, что dT/dx=Te dzjdx. Подставив D.32а) и D.326) в D.31),
с учетом этого соотношения получим:
d
dx
[-к«*+*) ?]-<• -жк-
D.33)
Теперь введем новую переменную
w=Ks(Kb+x). D.34)
Ее производная dwjdx=Kz связана с dzjdx следующим
соотношением: (dz/dw)(dw/dx)=Kzdz/dw. Подставив в D.33), получим:
dw \W dw J Z ^KtT\ ~U*
Так как z = f(w), то его можно переписать следующим образом:
Kz
wf» (W) _ f> {W) _ [f (ю^+^^о.
D.35)
Дифференциальное уравнение D.35) описывает профиль
температуры в ребре. Его решение может быть получено численным
интегрированием. Соответствующие начальные значения приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
Начальные точки для численного интегрирования D.35)
Параметр
Трапециевидный профиль
5Л—конечная величина
Тре>гольный профиль 5=0
w при х = 0
z = f(w) при х = 0
f' (w) при х = 0
fn (w) при х = 0
х = 0
w = we = KzKi из D.34)
f(we) = 1, так как z =
= Те/Те=\
fr (we)= 0, так как
dzjdx = 0
х = 0
w = we=0 из D.34) и D.326)
f(we) = 1, так как
z = Te/Te = 1
из D.35)
fn(we)=2 из D.35),
используя правило Лопиталя
В результате численного интегрирования D.35) получим набор
значений z(w) и совокупность кривых z=f(w). На рис. 4.11 приведен ряд
таких характерных кривых с /С2/Кл7\ и хв)е=КзКь взятыми в качестве
параметров. Для трапециевидного профиля значение we—KsKk принято
равным 0,02, для треугольного we, естественно, равно нулю. Попутно
с расчетом f(w) на ЭВМ можно определить и другие, производные от
w
нее функции: f'(w)y f"(w) и f dw. Ниже будет показана целесооб-
We
разность подобной операции.
160

Из D.34) производная dwjdx=Kz. Разделяя переменные, получаем:
Ь Wo
/tg f dx = f dw,
где верхний предел w0 определяется из уравнения D.34):
ги0=Кз(Кь+Ь).
Выполнив указанное в D.36) интегрирование, получим:
w0
K3b=( dw.
D.36)
D.37)
D.38)
Используя D.32а) и определение Л и f(w0)=TolTe, получаем:
^-•^гея^}- D'39)
где л —параметр, характеризующий степень сужения профиля ребра:
Я — -г—.
D.40)
Предшествующий скобкам в D.39) безразмерный комплекс может
быть назван характеристическим параметром трапециевидного и
треугольного ребра:
^_ КгТ\Ь*
D.41) 7
6
Комбинируя D.38), D.39)
и D.41), получаем: 5
W0
е = №0)]3A-я)у
dw.
D-42) 2
Комбинация D.30), D.326), /j
D.37), D.38) и D.40) в свою
очередь дает:
JL-=_i°._l _| L Г dw Рис. 4.11. Графики функции f\(w) для продольных
X »е * We J "
D.43)
ребер трепециевидного и треугольного профилей.
/ — ребро треугольного профиля, а>е=К3К4«0; 2 — ребро
трапециевидного профиля, аУе = /С3/D=0,02.
Подставив D.43) в D.42), получим окончательное выражение для
характеристического параметра ребра через величины, рассчитанные
на ЭВМ:
/W0
С = -
do>
га
ше + f dw
w„
D.44)
11—192
161

Тепловой поток, отводимый ребром, может быть записан как
<7. = *80L-^
x=b
или через преобразованную переменную w
qti=hbQLTeKb[f'wo\.
Эффективность ребра определяется соотношением
Яо kb0TeK3 If'jw.))
Т) =
Qid
КгЬТ*
D.45)
D.46)
Используя D.30), D.38), D.44) и D.46), получаем следующее
окончательное выражение для эффективности ребра:
/' (w0) I we + f dw
D.47)
Численное решение D.35) дает значения параметров, с помощью
которых целесообразно построить расчетную диаграмму. Это вытекает
из следующих соображений:
1. Значение we=KsKh используемое в качестве начальной точки при
численных расчетах, характеризует степень сужения профиля ребра.
2. Численные решения, опирающиеся на фиксированное значение
/C2//(i7\, дают при Z=TolTe=f(w0) значение наиболее полезного для
расчетов параметра:
1,0
0,9
0,8]
yi\
0,6
0,5\
о,з
0,21
0 0,2 О/г 0,6 0,8 1,0 1,2 1Л 1,6 1,8 2,0
Рис. 4.12. Эффективность продольного ребра
трапециевидного профиля с параметром А,=0,75 (отвод
тепла излучением).
162
КГ
/
Теоретический,
оптимум
^> ^
|Г]
Кг/f
<1Та*
St
. 8
В /ч г,
а.--=—U, J D
°0
к2
KiT\
Кг \
Этот параметр
использовался на рис. 4.7—
4.9 для характеристики
взаимодействия ребра
прямоугольного профиля
с окружающей средой.
3. При любом
значении Z=f\(W0) И We=K$KA
параметр К21К\Т\
описывающий
взаимодействие с окружающей
средой, задан, и параметр
ребра и его
эффективность могут быть
рассчитаны с помощью D.44) и
D.47) соответственно.
4. Для различных
значений параметра, ха-

растеризующего
взаимодействие с окружающей
средой, могут быть
получены расчетные
диаграммы с эффективностью
ребра в качестве абсциссы.
Каждый набор таких
кривых отвечает
определенному значению Я—бе/бо.
Подобного рода
диаграммы представлены на рис.
4.12—4.15. Рисунок 4.12
построен для
трапециевидного ребра с Я=0,75,
рис. 4.13 и 4.14 —для
аналогичных ребер с А,—0,50
и 0,25, а рис. 4.15 —для
ребра треугольного
профиля (А,=0,00). На
графиках проведены линии,
обозначенные как
«теоретический оптимум». Они
дают геометрическое
место точек,
соответствующих «идеальному» для
данного типа ребра
сочетанию параметров.
Детальное описание этих
кривых будет дано ниже
в разделе «Оптимизация
продольных ребер с
отводом тепла излучением».
Пример 4.6. Излучение в
свободное и несвободное
пространство. Тепловой расчет
ребер при K2=f=Q- Продольное
ребро трапециевидного профиля
изготовлено из стали [k=
=34,1 Вт/(м-°С)], покрытой
ламповой сажей (е=0,95).
Высота ребра 150 мм, толщина
в основании 9,5 мм, у торца
4,75 мм, длина 1375 мм.
Температура в основании ребра
170°С.
Определить тепловой
поток, который может быть
отведен ребром: 1) в свободное
пространство, 2) в несвободное
среды 840 Вт/м2.
Решение.
/Г = 2ае==2.5,7
О 0,2 0,<+ 0,6 0,8 1,0 1,2 1,* 1,6 1,6 2,0
Рис. 4.13. Эффективность продольного ребра
трапециевидного профиля с параметром Х=0,50 (отвод
тепла излучением).
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,3 Zfi
Рис. 4.14. Эффективность ребра трапециевидного
профиля с параметром Я==0,25 ((отвод тепла
излучением) .
пространство, если ребро поглощает из окружающей
а.
4,75
= 0,50;
5 =
КгТ\Ь2
kd0
=* д0 9,50
,Ю-8.0,95 = 1,082- Ю-7 Вт/(м2-К4);
^0 = 170 + 273 = 443 К;
1,082.1Q-7.443».0,152
34.3.9,5.10- ==0'655'
11"
163

1,0
0,9
0,8
OS
0,6
0,5
Л L
0,4
0,3
0,2
и
\\
№
v\
0 0
^>
,2 0,
7^
4 0
Теоретический
оптимум
/ ^^ч
6 0
,8 1
0 1,
2 1,4 1,6 1,8 2,0
Рис. 4.15. Эффективность ребра треугольного
профиля с отводом тепла излучением.
1. Отвод тепла в
свободное пространство, #2=0.
Поскольку Л=0,5, то расчет
ведется по рис. 4.13. При ?=0,655 и
/C2//Cir4o=0 <n=0,593. Тогда
<7=/CiL6r*0^ = 1>082.10г-Ч ,375 X
Х0,15-4434-0,593=510 Вт.
2. Отвод тепла в
несвободное пространство, /С2=
=840 Вт/м2:
К2
,840
КгТ^0 1,082.10-7-443*~
| =0,20.
Согласно !j рис. [4.13 при
?= 0,655 и при K2/KJ\ = 0,20
т) = 0,467. Тогда
q = KxLbT\i\ =1,082.10~7 X
XI,375-0,15-443*.0,467 =
= 401 Вт.
ПРОДОЛЬНЫЕ РЕБРА СПЕЦИАЛЬНОГО ПРОФИЛЯ С ОТВОДОМ ТЕПЛА
ИЗЛУЧЕНИЕМ
Ребро минимальной массы
Как было показано Уилкинсом [8], ребро минимальной массы с
отводом тепла излучением имеет переменный по длине градиент
температуры. Указанное положение расходится с выводом гл. 2 относительно
градиента температур в аналогичном ребре при отводе тепла
конвекцией. Рассмотрим ребро произвольного профиля, отводящее тепло
излучением в свободное пространство с Ts=0 К и не поглощающее
энергии из окружающего пространства. Расположим начало координат
в вершине ребра. Высота ребра Ь, контур профиля описывается
функцией /2 (х). Тепловой поток, передаваемый вдоль ребра
теплопроводностью, в любой точке х определится формулой
«7 = 26/2 (•*)-?-. D-48)
Тепловой поток, отводимый элементом dx излучением, равен:
dq=2aeT*dx. D.49)
Граничные условия для этих уравнений следующие:
при х — 0 ^ = 0
при х = Ъ q = qQ
при х = Ъ Т = Т0.
Задача состоит в определении функций q(x), Т(х) и /г (л:),
удовлетворяющих приведенным выше уравнениям и граничным условиям при
заданном значении Ъ и отвечающих минимуму площади профильного
сечения ребра Ар:
Ap = 2$f2(x)dx. -
о
164

"=(тг)';
•~(*Г-
7ч==7ч§а4/9;
8
2/3
i
Пусть
D.50)
D.51)
\ чо /
Тогда
D.52a)
D.526)
D.52в)
dq = ^-q0v 3 do. D.52r)
Решая D.49) относительно dx, интегрируя его в должных пределах
и подставляя соответствующие выражения из D.52а) — D.52г), получаемз
0
где нижний предел интегрирования ие=(Те1Т0)9.
Уравнение D.48) можно решить относительно Ы*)» используя
D.49) и D.52а) —D.52г):
_4_ _1_
>¦«»- "U^l* : D-54)
отсюда
ь 1
4. = 2 J f, (Л) Л* = -кб^. f (-?-)' Л. D.55)
0
Верхний предел «о=1, поскольку при х=о и=ыо=Gо/7о)в=1.
Уравнение D.55) можно несколько преобразовать:
1
А„=
Я'
r-TJ^r J [2 -S— 1 + (-5— l)f] Л. D.56)
а поскольку при х=0, и=ие, v—0, а при х=Ь, и=1, v= (#о/?оJ/3=1, то
D.56) может быть преобразовано в неравенство
так как 0^ие^1.
Неравенство в D.57) может иметь место только в случае ие=0 и
u=v. Тогда из D.54), используя D.50), получим:
165

а из D.53) с помощью D.51)
q0 С ~~ ~~ 3
ЗаеТ\ J
Я^:
i/ du-
Sq0T*
D.59)
' 3oe7\ j " ~~ ~ 2аеГ%
0 0
Уравнения D.50), D.51), D.57) — D.59) теперь можно
использовать для отыскания требуемых соотношений. Из D.57) следует:
ЬЧЧ*
Из D.59) при х = Ь, Т = Т0, получаем:
А__ 3<7о
2**Т\ •
Так как u = v, комбинация D.50) и D.51) дает:
Используя D.61), из D.59) находим:
х
_ 3</р
2a S74,
/ Г \2
V 7",
D.60)
D.61)
D.62)
СЖ*Г-
Из D.62) и D.63) следует, что
И, наконец, с помощью D.58) и D.63) находим:
Ц\ /ту _ 3q\
М*)=
2ЬеГ5„
/Л
I г.
2feoe7„
,7/2
D.63)
D.64)
D.65)
Заметим, что из D.63) следует, что температура вершины ребра
должна равняться нулю. Это положение является чисто теоретическим.
Оно обусловлено допущением, что ребро излучает в окружающее
пространство с нулевой температурой и совершенно не поглощает энергии
из окружающей среды.
Пример 4.7. Проектирование продольного ребра с отводом тепла излучением,
обладающего минимальной массой. Окрашенное алюминиевое ребро имеет коэффициент
теплопроводности ?=202 Вт/(м-сС) и степень черноты 8=0,88. Длина ребра 1,85 м.
Требуется отвести излучением в свободное пространство тепловой поток 1 кВт при
условии, что температура в основании ребра не должна превышать 553°К.
Спроектировать теоретически оптимальное ребро.
Решение.
Тепловой поток, отводимый с единицы длины ребра, q0= 1000/1,85=540 Вт/м.
Согласно D.60) площадь профильного сечения ребра равна:
д\ _ 5403
АР— ko*e*T9n
202.E,7-Ю-8J-0,882-5539
= 6,3.Ю-5 м2.
Высоту ребра находим с помощью D.61):
. Зд0 _ 3.540
2оеГ% 2-5,7. Ю-8-0,88-5534
=0,172 м.
166

Из D.65), положив х = Ъ, находим толщину ребра в основании
Зд\ 3-5402
2Ш
kz*T\ 202-5,7.10~8.О,88-5535
1,66-Ю-3 м= 1,66 мм.
Ребро с постоянным градиентом температуры
Маккей [9] указывает, что профиль температур, описываемый
D.63), требует равенства нулю температуры вершины ребра, что не
всегда осуществимо. Если же взять ребро с линейным распределением
температуры
, Т = Те+^-(Т,-Те),
т. е. с постоянным ее градиентом
dT
т т
1 о 1 р
dx
D.66)
D.67)
то оно не будет соответствовать ребру минимальной массы, однако
прирост массы по сравнению с ребром, профиль которого описывается
D.63), будет незначительным. Кроме того, анализ не ограничивается
случаями, когда поглощение излучения
из окружающего пространства
отсутствует.
Пусть ребро имеет постоянный
градиент температуры по высоте и
произвольный профиль (рис. 4.16). Начало
координат расположено в вершине ребра.
Тепловой поток, проходящий через
сечение х путем теплопроводности,
записывается как
qx = 2kf,(x)L-gr.
Подставив это соотношение в D.67).
получим:
2kf2(x)L(T0-Tff)
т
-
>
т
/ах\
-с' Ь
' X
\ X. \
-^? 4
Qx=-
D.68)
Рис. 4.16. Продольное ребро
произвольного профиля с отводом
тепла излучением (анализ случая
постоянного градиента
температуры).
Тепловой поток, определяемый D.68), должен быть отведен
в окружающее пространство излучением:
§dq=^(K1T*-K2)Ldx.
о о
Воспользовавшись снова D.67), выразим q через температуру
т
^Ц?^^.
D.69)
Приравняв D.68) и D.69), выполнив интегрирование и упростив
полученное выражение, определим:
ау,(х)G-.-7У) _ ЬКЛТь-Т>е) ЪКщ(Т-Те) (.ш
Ь " 5(Т0-Те) <Г,-Тв) • К • >
167

Имея в виду, что z=TjTe, a Z=To/Te, перепишем D.70) таким
образом, чтобы оно давало решение для профиля ребра:
/aW WkZ3(Z—\J 2kT0(Z%—\J ' ^'IL)
Из D.66) следует, что
*=^=1+-f(-^-1)Ba!l+T'(Z)- D,72)
Подставив это выражение в D.71), после упрощений получим:
В основании ребра, где x = b, a z = TQ[Te = Z, D.73) сводится к
более простому выражению
/.(*>)=-?¦= ioJmz-V [Z'~ 1 -Ш{1~ 1)\ D74)
На «холодном» конце ребра, при х=0 z=Te/Te=l. С помощью
правила Лопиталя можно показать, что в этой точке f2(x)=0. Контур
профильного сечения ребра описывается D.73) через температуры в
основании и у торца, параметр влияния окружающей среды и некоторые
характеристики самого ребра. Профиль ребра суживается от основания
к вершине, толщина ребра при вершине равна нулю. Отношение
температур в основании и у вершины ребра Z выбирается не вполне
произвольно. Его предельное значение можно определить, рассмотрев часть
ребра, непосредственно прилегающую к вершине, где х/Ь мало, и
проанализировав поведение D.73) в этой области. Толщина ребра всегда
положительна. Следовательно, член, .стоящий в скобках, тоже всегда
положителен. Отсюда следует, что
х
1 + 4-B-1)
>i+5^[f.(Z-1)]-
Член в левой части может быть разложен как бином. Поскольку
х/Ь мало, то удовлетворительное приближение получается уже при
рассмотрении двух первых членов разложения, т. е.
l+5^(Z-l) + ...>l+5^[-f (Z-1)
Отбрасывая общие члены, получаем неравенство
7* "^2 ^ 1
из которого видно, что
Z =
7_„=№-)\ D.76)
емин
168

• K2Lb.
D.77)
Приближенные предельные значения температуры вершины ребра
определяются D.75) и D.76). Заметим, что в случае свободного
пространства, когда /B = 0, Те также равна нулю, т. е. приближается к
температуре пространства. Тепловой поток, отводимый ребром с постоян*
ным градиентом температуры, определяется D.69). Интегрируя в
пределах от Т€ до Г0 и подставляя Z=To/Tey получаем:
ч~~~ 5 (Z— 1)
Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро,
составляет qu=K\LbT^ откуда эффективность ребра
73 = 5Z4 (Z — 1) XJ\' D*78^
При конструкторском и поверочном расчетах ребра используют
характеристический параметр ребра ?. Его можно определить из D.74),
которое может быть записано в виде
* _ ( Ь*КгТ*0 \ \ZS-l-EK2ZVKJ\)(Z-l)]
0 ^ k Jl 5Z3(Z—IJ '
отсюда можно найти безразмерный параметр С:
Ч'
С =
ЬгКгТ\
5Z3 (Z — 1)?
«. ~ Z«-l-E/C1ZV#Cir*,)(Z-l)
tpKrf/KS,,
1,1
D.79)
На рис. 4.17 приведен график
зависимости эффективности ребра с
постоянным градиентом температуры
от параметра ?. Пунктирной линией
отмечено приближенное предельное
значение, определяемое D.75).
1,0\
079
0,8
0,7
0,6
0,5|
щ
0,3
0,2
0,1
иг
\ s
1
пред
ел
1
°>6о
ж
/
^0
/7^> <?
^-0,05
vro.io
С
1,0 1,1 1,2 1,3 1Д 1,5 1,6 1,7
0 п,4 0 8 1,2 1,6 Рис- 4.18. Зависимость
характеристического параметра продольного ребра
Рис. 4.17. Зависимость эффективности про- с постоянным градиентом температуры
дольного ребра с постоянньш градиентом с отводом тепла излучением от отноше-
темнературы и отводом тепла излучением ния температур в основании и у вер-
от параметра ребра. шины.
169

На рис. 4.18 параметр ? представлен в функции отношения температур
в основании и у вершины ребра Z. Приведенные кривые соответствуют
D.79). Каждая кривая на рис. 4.17 и 4.18 отвечает различным
значениям параметра fa/KiT^o, характеризующего тепловое взаимодействие
с окружающим пространством. Рисунки 4.17 и 4.18 содержат все
необходимые данные для конструктивного или поверочного теплового
расчета ребер с постоянным градиентом температуры.
Ребра параболического профиля
Котен и Арнес [10] провели исследование задачи излучения
продольных ребер вогнутого и выпуклого параболических профилей.
Площадь поперечного сечения на единицу длины таких ребер определяется
соответственно следующими формулами:
0-хУ; <4-80а>
ь=A--тJ- D-80б)
Дифференциальное уравнение для относительной температуры у—
=Г/Г0 получается из теплового баланса элемента ребра высотой dx.
Разность тепловых потоков — поступающего в элемент
теплопроводностью и покидающего его тем же путем, приравнивается к тепловому
потоку, отводимому поверхностью ребра излучением. Для вогнутого
параболического ребра это уравнение в безразмерном виде записывается
следующим образом:
A-^-^+2A-^)^-С(^-^-)=0. D.81а)
Для выпуклого параболического ребра оно имеет вид:
О-*J -^И '•{—r-^_c(|f-i^) = 0, D.816)
2 A-ХJ
где X=x/b, a ?, Кг и /Сг уже были определены ранее.
Котен и Арнес получили с по-мощью ЭВМ решения D.81а) и
D.816) при следующих граничных условиях:
при Х = 0 у=1; D.82а)
dy
dX
при Х=\ f,(x) dy
= 0. D.826)
х=\
Ими были также получены решения для отводимого теплового потока
и эффективности ребер параболического профиля.
Ребра выпуклого и вогнутого параболических профилей наряду
с ребрами других геометрий проанализированы в гл. 2 применительно
к случаю отвода тепла конвекцией. Как отмечалось в гл. 2, ребра
параболического профиля не удовлетворяют некоторым специальным
требованиям. Их довольно трудно изготовить путем механической обработки
поверхности. При тех же затратах можно получить ребро минимальной
массы, профиль которого определяется D.65).
170

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОДОЛЬНЫХ РЕБЕР С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Ребра прямоугольного профиля
В работе Лю [11] получено соотношение для оптимальных
размеров продольного ребра прямоугольного профиля с отводом тепла
излучением в свободное пространство при отсутствии поглощения излучения
из окружающей среды. Профиль температуры в таком ребре
описывается с помощью бета-функций уравнением D.13):
В @,3; 0,5) -Д/@,3; 0,5) = 6 (
2QasT3e N 1/2
устанавливающим связь между бо и Те. Функция /(бо, Те) определяется
следующим образом:
/(80l Тв)=В @,3; 0,5)-Ви@,3; 0,5) - b (j®^-}1'2^. D.83)
Задача оптимизации ребра состоит в том, чтобы найти
экстремальные значения бо и Те, которые бы давали оптимальное значение q в
соответствии с D.14):
При этом /(бо, Те), как это требует D.83), должна быть равна
нулю. Решение задачи получается с помощью множителя Лагранжа v:
?+-*%г^-о; DМа)
&+»-*%*>--о- и «б.
После того как значения бо, Те и v определены из D.83), D.84а) и
D.846), приходим к следующему выражению:
-^=0,425 [12 — G + G1/2(G+120I/2]0'2, D.85)
где G_. 5Ы0 _ D86)
Подстановка D.85) в D.83) приводит к трансцендентному
уравнению относительно G, решение которого методом проб и ошибок дает
значение G=l,381. Таким образом, оптимальным является профиль, для
которого справедливо следующее соотношение между параметрами:
_||_= 1,381 /^^^2,486-^-. D.87)
Другие профили
Продольное ребро с наклонной поверхностью имеет профиль,
определяемый D.30):
8(x)-=8e + (8.-8.L- = 2A(-^-+V>
2Л
171

где Л=Fо—бе)/2й — наклон поверхности ребра. Наиболее общим
является случай трапециевидного ребра, когда 0<Л<1. Ребра
прямоугольного Fо = 6е) и треугольного (8е=0) профилей представляют собой
частные случаи более общей задачи о ребре трапециевидного профиля.
Вопрос оптимизации продольных ребер с наклонной боковой
поверхностью рассматривался Бартесом и Селлерсом [1], а также Маккеем
и Бача [7]. В обеих работах анализировался случай излучения в
несвободное пространство 1. Бартес и Селлерс учитывали влияние
воздействия окружающей среды, вводя некую фиктивную температуру стока.
Маккей и Бача, рассматривая приведенное на рис. 4.10 ребро,
учитывали влияние внешних факторов константами К\ и /Сг- Общий вид
дифференциального уравнения оказался следующим:
Анализ продольного ребра минимальной массы, имеющего
наклонную боковую поверхность, начинается с рассмотрения отводимого им
теплового потока и эффективности ребер. Отводимый поток
определяется соотношением
q = qldyi = K1LbT\ylf D.88)
которое может быть несколько видоизменено и тогда примет вид:
*=(-4^)№(*r.L)($.y D.89)
Масса ребра трапециевидного профиля равна:
W = TL D) (fi. + К) = Щ^ 0 + А). D-9°)
где у — плотность материала ребра.
Если Я=0, то ребро имеет треугольный профиль, если же Я=1, то
профиль ребра прямоугольный. Уравнения D.89) и D.90) могут быть
объединены, если исключить из них общий член bob. В итоге получим:
^Г 2WkT. ]р\
q—Ч*<1+*) \\ь2)'
Подставляя в это соотношение выражение для b из D.88), получим:
f*=tK*i|ef D.91)
где
к _ 2WkT\K\L2
А«— Y A + А) •
Приняв, что Къ — ненулевая константа, проведем оптимизацию
конструкции методом проб, стремясь получить экстремальное значение q.
Экстремум q отвечает максимальному тепловому потоку, отводимому
ребром. В этой точке dq=Q, если q — регулярная, непрерывная функция.
Запишем D.91) в дифференциальной форме:
3q2dq=KbCKr\2d4+r\4Z).
Поскольку dq=0t а Кьф0у то
3?ri2dri+rKd?=0
-?-=--Иг- D-92)
1 Оптимизация ребер треугольного профиля с излучением в свободное
пространство и при отсутствии поглощения излучения из окружающей среды исследовалась
в [12].
172

Оптимизирующее соотношение имеет вид:
111 7) 1
__ __
Из приведенной формулы следует, что кривые ц в функции ?,
представленные в логарифмических координатах, соответствуют
оптимальным массовым характеристикам ребра в том случае, когда их наклон
равен—1/3. Геометрические места этих точек указаны на рис. 4.12—
4.15. Они названы «теоретическими оптимумами», так как получены из
условий достижения оптимальных массовых показателей, а не в
результате оптимизации каких-либо экономических характеристик или
технологии изготовления.
В статье Бартеса и Селлерса получены следующие оптимальные
размеры ребер прямоугольного профиля:
6 = 0,884-2^-; D.93)
п2
5o=1-848*^V D-94)
Площадь профильного сечения
Ар= 1,635-^Ц-. D.95)
Оптимизация продольного ребра совместно с сопряженными с ним
элементами конструкции
Проведенная выше оптимизация параметров ребра осуществлялась
с учетом только их собственной массы; масса конструкции, с которой
эти ребра связаны, в расчет не принимались. В работе Рейнольдса [13]
отмечалось, что в типичном пластинчато-
трубчатом космическом радиаторе,
показанном на рис. 4.19, трубы присоединены
к коллекторам, а длина коллекторов
зависит от длины ребер. Зачастую масса
труб, коллекторов, заключенной в них
жидкости, а также их защитных
оболочек оказывается такой, что
целесообразно использовать более короткие и
толстые ребра по сравнению с ребрами,
оптимизированными без учета массы эле- рис 4 {д Типичный космический
МенТОВ КОНСТРУКЦИИ. радиатор.
ВтОрЫМ И, ВОЗМОЖНО, Наиболее ИН- /сребра; 2 — коллектор5 3 — труба.
тересным аспектом такого
исследования является разработка методик расчета и представление
результатов анализа* в таком виде, что ими будет более удобно пользоваться
при проведении конструктивных расчетов |разного типа ребер, нежели
существующими методиками, поскольку последние ориентируются на
применение какого-то определенного профиля ребра. Разработка таких
более совершенных методик исключит необходимость проведения
итераций в процессе расчетов, обусловленных использованием обычных
кривых эффективности ребер 1.
1 Применение итераций иллюстрируется решением примера 4.2.
173

Размеры ребра
Выше было показано, что распределение температуры в продольном
ребре с наклонной боковой поверхностью.является функцией расстояния
от основания ребра и поглощенного им потока падающего излучения.
Распределение температуры находилось из дифференциального
уравнения, которое было выведено при анализе теплового баланса элемента
ребра высотой dx. Длина ребра принималась равной единице, как это
было сделано в D.29):
dx
Чх)-%г\=КГ-К%.
Рассмотрим рис. 4.10. При этом изменим положительное
направление оси х на обратное. Начало координат расположим в основании
ребра, тогда х—Ь будет соответствовать координате торца ребра. Площадь
поперечного сечения ребра описывается следующим выражением:
8 W = 8,
1-W4" |, D.96)
ь .
где Л* — наклон поверхности ребра:
Л*= °%75g =1 -Я. D.97)
Если ребро прямоугольного профиля, Л*=0, треугольного Л*=1,
у трапециевидных профилей 0<Л*<1.
Уравнение D.29) удобнее анализировать, если оно приведено к
безразмерному виду. Можно показать, что D.29) сводится к выражению
М11
dX
1<
А*Х) -% - С f - J±-) = 0, D.98)
KJ\ )'
где X=x/b; y=TjTu\ K\, K<i и Z, сохраняют свой прежний смысл.
Частное решение D.98) определяется граничными условиями
Л' = 0 у=.1-=1- D.99а)
Х = Ь A-А*Х)-^==0. D.996)
Тепловой поток на единицу длины, передаваемый через основание
ребра теплопроводностью:
4'=-=?я-1зг1ш0' Dл00)
а эффективность ребра определяется формулой
71 — 2аеЬТ\ — 2аеЬ2Т\ — К ' D.1U1)
Параметры, относящиеся к оптимизированному продольному ребру
с отводом тепла излучением, обозначаются символами со звездочкой.
Наклон поверхности ребра определяется D.97). Высота и толщина
ребра обозначены как Ь* и б* соответственно. Пусть Ь* — высота наиболее
короткого ребра, способного отвести требуемый тепловой поток. Такое
ребро будет либо бесконечно толстым, либо должно обладать
бесконечной теплопроводностью.
174

Тепловой поток, отводимый единицей длины такого ребра:
q\ = (Kj\-K2)b*. D.102)
Максимальная плотность теплового потока определяется как
q' = oeT\, D.103)
из D.102) и D.103) получаем1:
я\
V-*!
D.104)
Характерный размер 6* определяется как минимальная толщина
ребра прямоугольного профиля бесконечной высоты, при которой может
быть осуществлен отвод требуемого теплового потока. При б(дс)=бо и
p=dTjdx D.29) принимает следующий вид:
ndp a Кг ум -Кг
PdT kb0 kd0
D.105)
На достаточном удалении от основания ребра можно пренебречь
теплопроводностью вдоль него, и тогда температура ребра определится
из теплового баланса
2оеТь=К2.
Следовательно, одно из граничных условий D.105) запишется как
т г К2 W4
при х -» оо
у-
к,т\
D.106)
Производя однократное интегрирование D.105), подставляя D.106)
и определяя градиент температуры в основании, получаем:
dx
=т 2KiT*°f— [i-
Ко ,5/4
KJ\'
к2
КгТ*
1
К2 \1/4
КХТ\
(<
.107)
Тепловой поток, отводимый ребром прямоугольного профиля
бесконечной высоты, запишется как
kb,
Л{
2KJT\\ 1
Кг
KJ\
5 \К
^J J/
1/2
D.108)
Решая D.108) относительно толщины ребра и используя D.102),
получаем:
5*=8 =
4kTtq'
— - (К2'К,Т\) + — (К,/К,Т\)
5'4,
D.109)
Из D.100), D.101), D.104) и D.105) с помощью простых
алгебраических преобразований получим следующие соотношения для любого
ребра прямоугольного и трапециевидного профилей:
ь __ \-кг/к,т*в
Ь* i\ '
f\R
1
К,Т4
Кг \5/4
5 \К,Т*
D.110)
D.111)
1 При излучений с одной стороны ребра D.104) записывается как 6*-
= q*0/(q'-K2).
175

\\b/ib*
_yn
При выбранных значениях ? D.110) и
D.111) могут быть представлены графически
в виде кривой, показанной на рис. 4.20. Одна
кривая отвечает конкретному значению
параметра К2/К\Т%, она определяет совокупность
оптимизированных геометрических размеров
ребра, которые могут обеспечить отвод
заданного теплового потока. Конструктор может
рассчитать при заданном К2/К\Т4о значения
fr* и б*. После этого можно будет, выбрав
высоту ребра, через отношение 6/6* с помощью
кривой найти требуемое во/б* и рассчитать бо-
Хотя применение ребер с наклонной
поверхностью обеспечивает снижение их массы,
наклон, который может быть практически
достигнут, лимитирован. Он связан с технически
достижимой минимальной толщиной торца
ребра.
Рейнольде [13] проанализировал этот вопрос и представил
расчетные диаграммы, позволяющие определить относительную толщину торца
ребра del б* независимо от его высоты и толщины в основании.
Рис. 4.20. Кривая для
нахождения оптимальных
соотношений размеров ребра
прямоугольного профиля
(Л*=0) при отсутствии
подвода тепла из
окружающего пространства (K2lKiT40=:
= 0).
Оптимизация по массе
Если определить №* как массу элементов конструкции,
приходящуюся на единицу боковой поверхности ребра, то тогда масса
холодильника-излучателя, приходящаяся на единицу длины ребра известной
геометрии, выразится как
D.112)
wf=w*b+(8o+2de W,
где у — плотность материала ребра.
Введем понятие безразмерной массы
" d*b*f '
D.113)
Если принять, что элементы конструкции не отводят тепло, то при
заданных условиях теплоотвода наименьшая масса системы будет
достигнута при -минимальном значении Q. Из D.112) и D.113) следует, что
D.114)
Я=^1; D.115)
"— 9 л* л* I а* т"
Ь* '
где
W*
a*Y
#=0 соответствует случаю пренебрежимо малой массы
дополнительных элементов конструкции.
Расчетные кривые
Результаты расчетов Рейнольдса представлены на рис. 4.21,а — ж.
Поскольку кривые зависимости b/b* от б0/6* имеют вид гипербол,
асимптотически приближающихся к абсциссе и ординате, равным
единице, то, изобразив зависимость F/Ь*—1) в функции от (бо/б*—1)
в логарифмических координатах, можно спрямить кривые и облегчить
176

к.
1 1
н=о 1
*Ч0.2
кОЛ
Х1,С
<2,0
s>^o
\
tiyfr^m
^
bib*
1,э|
1,
1,7
1,6
1,5
1,1
1,3
Щ
1,2
1,251,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 So/fr*
b/fc* fl)
1,9
1,8
1,7
1,5
1,5
1,f
1,3
1,25
1,2'
1,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 3,0 Ь0/$*
Ь/Ь^ 6)
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1Л
1,3
1,25| °'| ' "|—| | || | t-^J4^^ 0,1
1,2
bib*
1,9
1,8
',7
1,6
1,5
'Л
1,3
1 94
1,60
1,2
\
\.\ч
*к Х
V
V
Кк
/^
KZl><iTo=0,2
w-n
ь.
ч
0,2
J.'f
V;7
WiA
Vs
$v2,0
NNN^3,0
s>O^0
440!
0,5
¦\$Ш
rH=0
3*0,2
xSJ40,^
/NVV'
(
,1,0
<&
I K2/K1 To=
',0
V,
0
40
1
*/4
1,9
1,8
1,7
1,6
1,5
1,4
1,3
1,25|
1,2
1,3 1,4 1,51,6 1,71,8 2,0 2,5 3,0 ^/fr*
3j
rx
1 ч
\
N
^
N
V
s
/
1 Кг/^7^0,5
ч"
=0
0 '
u7
ол
\
кД7
N2^
4
*2,0
S2
Й
i ^
• N.
ч
X
>
4,
ч
Kl/*1TJ=0
N/
=0
s|S. п ^
/-n
К 1 й
^2
0
ш
1,251,3 1,4 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 &„/?*
1,9
1,8
1,7
1,6
г*
1,3
1,25|
1,2
* "
ч ^4
N
/
ч ^
[KgKiTfclft
H=0
Is*(
?,2
у
NT
ip,7
«Sao
cS&*
rvct
2,0
jj>?°A»|
rs?^
fid
1,3 1,4 1,5.1,6 1,7 1,8 2,0 2,5 3,0 3,&0/6*
b/b* B)
1,25 1,3 17* 1,5 1,6 1,71,8 2,0 2,5 fy/^*
ж)
, 1;3 V 1,5 1,6 1,71,8 Zfi 2,5 3,0 ft/**
12—192
Рис. 4.21. Диаграммы для расчета
геометрических характеристик ребер
минимальной массы (масса
конструкции задается параметром Я).
в —ребро прямоугольного профиля; б —
ребро треугольного профиля; в—ж — ребра
трапециевидного профиля [4, 13]. (/ —
предел для ребра прямоугольного профиля).
177

тем самым интерполяцию значений. Этот прием использован при
построении графиков 4.21,а — ж. На этих графиках приведены также
кривые, соответствующие оптимальным массовым характеристикам
радиатора, при различных значениях параметра Я. На рисунках, отвечающих
ребрам с наклонной боковой поверхностью, кривые оптимальных
массовых характеристик (минимум массы) пересекаются линиями
постоянных значений 6е/Ь*.
Из рисунков видно, что в области, где линии бе/б* не пересекают
кривую оптимальных массовых характеристик для заданного
значения Я, ребро с наклонной боковой поверхностью не может быть
использовано. Подобная ситуация возникает в том случае, когда толщина
ребра ограничивается технологическими возможностями, и необходимо
перейти к ребру прямоугольного профиля. В этом случае оптимальные
характеристики конструкции определяются пересечением
соответствующей кривой бе/б* с предельной кривой, отвечающей ребру
прямоугольного сечения, когда бо/б*=бе/б*.
Пример 4.8. Оптимальная конструкция продольного ребра с отводом тепла излу-.
чением с учетом массы связанных с ребром элементов конструкции.
Рассмотрим трубчато-ребристую систему, расположенную между сечениями /-/'
я 2-2' на рис. 4.1. Анализируются различные типы ребер, 'при этом задаются условия:
Длина трубы 3,65 м
Наружный диаметр трубы 25 мм
Отводимый тепловой поток 7,15 кВт
Поглощаемое солнечное излучение (верхняя
поверхность ребра) 1100 Вт/м2
Поглощаемое излучение Земли (нижняя
поверхность ребра) : 350 Вт/м2
Температура в основании ребра ....... 365°С F38 К)
Степень черноты трубчато-ребристой
конструкции . . . 0,85
Эффективный угловой коэффициент ребра1 ... 0,91
Эффективный угловой коэффициент трубы1 . . 0,86
Теплопроводность материала ребра ...... 276 Вт/(м-°С)
Плотность материала ребра 2770 кг/м3
Масса коллекторов с находящейся в них
жидкостью 18,5 кг/м
1 Угловые коэффициенты F учитывают взаимный обмел излучением.
Спроектировать: 1) оптимальное ребро прямоугольного профиля; 2) оптимальное
ребро треугольного профиля; 3) оптимальное ребро с толщиной торца 6е=0,45 мм;
4) оптимальное ребро высотой 6 = 100 мм и толщиной торца бе = 0,45 мм; 5)
оптимальное ребро с толщиной торца бе=1,9 мм.
Решение. Во всех случаях труба отводит следующий тепловой поток:
^ = (те^А5Г40=5,7.10-8-0,85я-25-10-3-3,65-6384==1,97 кВт.
Как видно из рис. 4.1, ребра расположены по обе стороны трубы. Тепловой
поток, который нужно отвести с единицы длины каждого ребра,
<7*0=0,5 G150 — 1970) y-gg- -=710 Вт/м.
Значение параметра Кг определяется падающим излучением
К2 = 1100 + 350 = 1450 Вт/м2;
К, = 2jeF4 = 2.5,7.10-8.0,85-0,91 = 8,8-10"8 Вт/(м2.К4);; i
К2 1450
KJ\ 8,8.10-8.6384
= 0,
Максимальный тепловой поток определяется D.103). Его нужно скорректировать
с учетом углового коэффициента
?' = се^лГ*0 = 5,7.10-8.0,85.0,91.6384 =7300 Вт/м2.
Г/8

Минимальная высота определяется из D.104):
b*=2q'4-K* = 2.7300-1450 =0'054 м = 54мм.
Из D.109)
>* Й%)! =
4kT0q' |^g- - (K2jKJ\) + -J- (К,/*^M'4 J
7102
: E73— =0,00068 м = 0,68 мм.
4.276-638.7300 [0,2 — 0,1+ 0,8-0, lo/4]
Масса конструкции, приходящаяся на единицу поверхности,
Из D.115)
18,5
W*= з 65 =5»07 кг/м2-
W* __ 5,07
Я= 5*y 6,8.10-4.2,77-103== 2'7*
1. Для оптимального прямоугольного ребра любой точке кривой /C2//Ci7,40 = 0,l на
рис. 4.21,а может соответствовать работоспособная конструкция. Значению Я =2,7
соответствуют
Ъ дп
35Г=1,36 и -рг = 2,02;
соответственно оптимальные размеры ребра будут равны:
6= 1,366* = 1,36-54=73,5 мм;
б0=2,026* = 2,02 -0,68 =1,37 мм.
Масса, приходящаяся на каждое ребро:
W=WfL=(W*b+&0by)L= [5,07 -73,5-10~3+
+ 1,37-Ю-3-73,5-Ю-3-2,77-103]-3,65 = 2,37 кг.
2. Расчет оптимального треугольного ребра ведется по аналогичной методике, прю
этом используется диаграмма, изображенная на рис. 4.21,6. В итоге получаем:
Ь д0
-ь»-=1,34; ~г = 2,91.
Соответственно оптимальные размеры ребра будут равны:
6 = 1,346* = 1,34-54 = 72,4 мм;
60=2,916* = 2,91-0,68 =1,98 мм.
Масса, приходящаяся на каждое ребро треугольного профиля,
W = WfL = \w*b + (-^ЦгМ Ьч 1 L =
= 5,07-72,4.10-3 + ^— .10-3-72,4.10~3-2,77-103 -3,65 = 2,06 кг.
Отметим снижение массы конструкции в целом по сравнению с прямоугольным
ребром.
3. Ребро трапециевидного профиля с толщиной у торца 0,45 мм
де 0,45
¦ = 0,66.
д* 0,68
С помощью диаграммы рис. 4.21,г, соответствующей /Ci//C2r4o=0,l, находим точку
пересечения 6е/6*=0,66 с. #=2,7. Ей соответствуют:
Ь/Ъ* = 1,31; 60/6* = 2,85;
12* [79

соответственно оптимальные размеры ребра будут равны:
Ь= 1,31.54=70,8 мм;
60=2,85-0,68=1,94 мм.
Масса, приходящаяся на каждое ребро,
W=WfL
Ьо + де
L =
1,94 + 0,45
5,07-70,8. Ю-3 + тг .70,8.10-3.2,77.103
• 3,65 = 2,16 кг.
4. Ребро высотой 100 мм и толщиной у торца бв = 0,45 мм
6/6*= 100/54= 1,850.
Используя диаграмму 4.21,г, находим точку пересечения 6/?*=1,85 и бе/б*=0,66.
1й соответствует
60/б* = 1,5,
отсюда получаем:
б0= 1,56* =1,5-0,68= 1,02 мм.
Масса, приходящаяся на каждое ребро,
W = WfL =
r 1,02 + 0,45 1
= 5,07- 100Л0-3 + ——-J—- .100-Ю-3-2,77-103 -3,65 = 2,6 кг.
5. Ребро с толщиной торца б* =1,9 мм
бе/б* = 1,9/0,68=2,80.
Из рис. 4.21,г видно, что кривая бе/б* =2,80 пересекает предельную кривую,
соответствующую ребру прямоугольного профиля при б0/б*, равном приблизительно 2,8,
и не пересекается с кривой минимальной массы, соответствующей Я=2,7. Однако
можно выбрать любую точку, лежащую ниже бе/б* = 2,8, и если обнаружится, что масса
ребра уменьшается по мере перемещения точки к предельной кривой, то следует
остановиться на прямоугольном ребре толщиной 1,9 мм. Сооответственно из рис. 4.21,г
получаем, что при б0/б* = 2,8 b/b* = 1,22, и тогда
6=1,226*= 1,22-54 = 65,8 мм.
Масса такого ребра
№=Я7^=(№*6+б06у)?=^ кг.
РАДИАЛЬНЫЕ РЕБРА С ОТВОДОМ ТЕПЛА ИЗЛУЧЕНИЕМ
Радиальное ребро трапециевидного профиля
Радиальное ребро трапециевидного профиля является общим
случаем радиального ребра. Полутолщина (контур профиля) такого ребра:
fAr) = ^t+^r(\-K), DЛ16)
где Я=(ге—г) J (re—г0). Ребра прямоугольного (бе=бо) и треугольного
Fе=0) профилей являются частными случаями ребра трапециевидного
профиля. Принятые в анализе радиального ребра трапециевидного
профиля обозначения и система координат показаны на рис. 4.22. Отсчет
радиальной координаты г ведется от центра кривизны ребра,
положительным считается направление от центра к периферии. Разность
между тепловым потоком, поступающим путем теплопроводности к
элементу rfr, и потоком, отводимым от него таким же образом,
записывается как
dq = k±{2*r[2U{r)\*Lyr.
180

Она приравнивается к тепловому потоку, отводимому с
поверхности элемента dr излучением,
dq=2nr(KiT^—K2)dr1
где /Ci=2ae, если излучение происходит с обеих сторон ребра. Таким
образом,
Ь-зр^ШгЯ^-КгГ-Г + К^О.
D.117)
Параметр, характеризующий наклон поверхности ребра, и
отношение радиусов уже вводились в предшествующих разделах книги
[уравнения D-40) и B-39)]:
л = -т-;
ге
Если использовать эти параметры, то
D.116) можно записать в несколько ином „ ,00 п
v # ' Рис. 4.22. Система координат
ВВДС: для анализа радиального
ребра трапециевидного профиля.
8@ = 2/1(г) = ^?[~Я + -^-(Я-1)]. D.118)
Тогда
2f',(r) =
8оР(Х-1)
D.119)
0-р)/\, •
Дифференцируя в D.117), получаем:
rSoP Г 1 7Л_г, n-ld*T | I г5оР(А-1) ,
+r^[i-^ + i^-1)]}^-?7,4+^'-=0-
Если ввести у = Т/Т0, и Ь = г/г0, то
^=г d^dl__l±^ d2T _T0 (d2y\
dr * dl dr~~ r0 dl; dr2 r\ Щ2)'
Подставляя эти соотношения в D.119) и преобразуя его, приходим
к следующему выражению:
[±-Х + *A-1>]^+[1^+2(Я-1)
р 1у *,7\/ и*
rfi'
D.120)
где
А*,
характеристический параметр радиального ребра.
181

Профиль температуры в ребре описывается D.120). Оно
нелинейное и должно решаться численным методом. В результате получим
зависимость безразмерной температуры у от безразмерного радиуса ?
при принятых значениях параметров Я, р, ? и /Сг/Т^Го4. Решение должно
удовлетворять.условию dy/dl=dT/dr=0 при |=re/r0=l/p. Тепловой
поток, отводимый ребром, может быть рассчитан с помощью закона
Фурье, используя значения соответствующих величин в основании
ребра:
Через безразмерные параметры оно запишется следующим образом:
™?А
?=1
D.121
Эффективность вновь определяется как отношение теплового
потока, действительно отводимого ребром, к тепловому потоку, который
отвело бы такое же идеально проводящее ребро при отсутствии
поглощения излучения из окружающего пространства:
7] =
Я id
—2Ш0Т0 (dy/dQ k=1
: „КгТ$г%-г$
-2Ы0р2 (dy/dl) 1^д1 D 122)
tfi7V2oO-P2)
Численное решение [4.14] уравнения D.120) дает значения у и
d#/dg в функции от g. Характерные зависимости такого рода приведены
на рис. 4.23. Они получены в результате численного расчета ребра вну-
1,0 11 1,2 1,3 1Д 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
Рис. 4.23. Температурные профили, полученные с помощью
численного решения уравнения D.120) при ? = 0,0147 и р = 0,5.
тренним диаметром 101,6 мм, наружным диаметром 203,2 мм и
толщиной в основании 6,35 мм. Ребро изготовлено из металла с
коэффициентом теплопроводности 106 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,9.
Излучение осуществляется только с одной стороны ребра. Отметим, что на
рис 4 23 приведены серии кривых для различных значений наклона
поверхности Я и параметра K2lK\T\. Характеристический параметр I
равнялся 0,0147.
182

Производная dy]d\ при g=l,0 всегда отрицательная.
Эффективность ребра может быть рассчитана с помощью D.122) при конкретных
значениях отношения радиусов, наклона, характеристического
параметра ребра и параметра, характеризующего взаимодействие с
окружающим пространством. К сожалению, большое число переменных приводит
к тому, что для графического представления эффективности ребра
требуется множество кривых. Часть из них приводится на рис. 4.24—4.35.
В табл. 4.2 дается сводка характерных значений параметров X и
К2/К\Т^о9 для которых построены эти кривые.
Таблица 4.2
Данные по эффективности радиальных ребер
№ рисунка
4.24
4.25
4.26
4.27
1
х 1
1,00 |
1,00
1,00
0,75
Параметр
№ рисунка
Параметр
K*/KJ*o
рисунка
Параметр
0,00
0,20
0,40
0,00
4.28
4.29
4.30
4,31
0,75
0,75
0,50
0,50
0,20
0,40
0,00
0,20
4.32
4.33
4.34
1 4.35
0,50
0,00
0,00 !
0,00
0,40
0,00
0,20
0,40
Пример 4.9. Излучение радиальных ребер. Тепловой расчет ребра. Температура
в основании радиального ребра равна 170°С. Ребро изготовлено из материала с
коэффициентом теплопроводности 86 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,88. Внутренний
диаметр ребра 100 мм, наружный 250 мм. Толщина ребра в основании 3,2 мм. Отвод тепла
излучением происходит с одной стороны ребра. Ребро поглощает падающую на
излучающую поверхность солнечную энергию, плотность теплового потока падающего
излучения 1400 Вт/м2. Поглощательная способность материала поверхности в диапазоне
длин волн солнечного излучения «=0,27.
Определить тепловые потоки, отводимые радиальными ребрами: 1)
прямоугольного профиля, 2) трапециевидного профиля с толщиной торца 1,6 мм и 3) треугольного
профиля.
Решение. Для заданных параметров ребра имеем:
^ =08=5,7-10-8-0,85 = 4,85-Ю-8 Вт/(м2-К4);
/С2=1400-а= 1400-0,27 = 378 Вт/м2;
Г0 =170+273 = 443 К.
Параметр, характеризующий воздействие окружающей среды,
*' 378 0,2.
к,т\
Характеристический параметр
4,85•10 -8•443*
KJ\r2Q_ 4,85 ¦ 10 ~8 • 4433 • E0 -10 -3J
Ч и> ~~ Q? Q О 1П-3 =0,0384.
Отношение радиусов
86-3,2.Ю-3
50
Р =
:0.4.
гс 125
Площадь теплоотводящей поверхности с одной стороны ребра
S = 7z(r2e — г20)=*тA2,52 — 52)-Ю-4 = 4,12-Ю-2 м2.
1. Ребро прямоугольного профиля. X =1,0. Согласно рис. 4.25 при р = 0,4 и ?=
= 0,0384 л = 0,68.
Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро,
qid ==/A5Г4о=4,85• 10"8 -4,12 -10-4434 = 77,2 Вт.
Действительно отводимый тепловой поток
q=<r\qid =0,68 • 77Д= 52,5 Вт.
183

0,25 0,30 0,35 0,W 0,<+5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,15 0,Ш
Рис. 4.24. Эффективность радиального ребра прямоугольного
профиля с отводом тепла излучением (Я=1,00; К2/KiTA0=0y0O).
0,25 0,30 0,35 0Л0 0Л5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,60
Рис. 4.25. Эффективность радиального ребра прямоугольного
профиля с отводом тепла излучением (Я=1,0О; K2/KiT4o=Ot2Q)»
0,25 0,30 0,35 0j40 0^5 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
184
Рис. 4.26. Эффективность радиального ребра прямоугольного
профиля с отводом тепла излучением (X =1,00, К^КхТ^—
=0,40).

0,25 0,30 0,35 0,W 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65, 0,70 0,75 0,80
Рис. 4.27. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением A=0,75, /C2/^Ci^4o=0,00).
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
Рис. 4.28. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением (А,=0,75, /G/Ki7^0=0,20).
0,25 0,30 0,35 0,^0 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,10 0,15 0,80
Рис. 4.29. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением (Л = 0,75, /C2/^i5r40=0,40).
185

0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
Рис. 4.30. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением (Х=0,50, /C2//Ci7,40=0,00).
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0f50 0,55 0,60 0765 0,10 0,75 0,80
Рис. 4.31. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением (А=0,50, ^2//CijT40=0,20).
Параметр реЬра
nl^ I I I I I 1 I I L 1 1
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
Рис. 4.32. Эффективность радиального ребра трапециевидного
профиля с отводом тепла излучением (Х = О,50, /C2//Gr4o = 0,40).

0,Z5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80
Рис. 4.33. Эффективность радиального ребра треугольного
профиля с отводом тепла излучением (^=0,00, К2/К\Т40=0,00).
R25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,50 0,65 0,10 0,75 0,80
Рис. 4.34. Эффективность радиального ребра треугольного
профиля с отводом тепла излучением (^=0,00, /C2//Ci2r40=0,20).
Параметр реЬра
0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 OfiO
Рис. 4.35. Эффективность радиального ребра треугольного
профиля с отводом тепла излучением (Я=0,00, K2/KiTA0=0A0).
187

2. Ребро трапециевидного профиля с 6е = 1,6 мм:
Х= 1,6/3,2=0,5.
Согласно рис. 4.31 при р=0,4 и ?=0,0384 t] = 0,67. Отводимый тепловой поток
составляет:
^=T]^d=0,67-77,2 = 51,6 Вт.
3. Ребро треугольного профиля 6е=0, в данном случае Л=0. Согласно рис. 4.34
при р = 0,4 и ?=0,384 rj = 0,650. Тепловой поток, отводимый ребром, равен:
q=r\qid = 0,65 -77,2=50,3 Вт.
Пример 4.10. Ребро с отводом тепла излучением. Конструктивный расчет.
Радиальное ребро прямоугольного профиля имеет толщину в основании 6,35 мм, а
внутренний диаметр 100 мм. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом
теплопроводности 86 Вт/(м-°С) и степенью черноты 0,85. Температура в основании ребра равна
170°С. Ребро должно отводить излучением тепловой поток 90 Вт. Излучение
происходит с одной стороны ребра в свободное пространство, поглощение излучения из
окружающей среды отсутствует.
Определить требуемый наружный диаметр ребра.
Решение.
/A = зе = 5,7.Ю-8-0,85 = 4,85-10~8 Вт/(м2-К4);
К2 = 0; Kz/K^o^O; TQ = 170 + 273 = 443 К;
r KiT\r\ _4,85.10-8.443*.0,052
*>— kdQ 86.6,35-Ю-3 -и,и1У4,
¦ KfT\ = 4,85-10-8.4434= 1880 Вт/м2.
Отношение радиусов неизвестно.
Первое приближение. Пусть наружный диаметр равен 250 мм, тогда р =
= 50/125 = 0,40. Согласно данным рис. 4.24 при ?=0,0194 и р=0,40 ц =0,92.
Площадь поверхности ребра с одной стороны:
5=я[12,52—б2]-10-4=12-10-2 м2.
Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро,
^ = ^7405= 1880-4,12. Ю-2 =77,5 Вт.
Требуемая эффективность ребра
Я 90 1 г,
у\ = ='^ е"> 1.0, что невозможно.
ЯЫ 77,5-^
Следовательно, диаметр ребра выбран неправильно, он должен быть больше
250 мм.
Второе приближение. Примем наружный диаметр ребра равным 280 мм.
Теперь р=50/140,0=0,357. Согласно рис. 4.24 при ?=0,0194 и р=0,357 т]=0,885.
Площадь поверхности ребра с одной стороны:
5=я[14,02—52] -Ю-4=5,38-Ю-2 м2.
Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее ребро,
qid = KJ\S = 18^0-5,38. 10~2 = 101,2 Вт.
Требуемая эффективность ребра
а 90
^^=Ж2=0'89'
Это значение близко к т] =0,885, полученному из рис. 4.24. Следовательно,
наружный диаметр ребра равен 280 мм.
ОПТИМИЗАЦИЯ МАССОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК РАДИАЛЬНЫХ РЕБЕР
Масса элемента радиального ребра трапециевидного профиля,
изображенного на рис. 4.22, равна:
dWf=2nybrdr, D.123)
188

где Wf — масса ребра. Подставив в это соотношение D.118), получим:
dWf= 27?ГУ [- Х-\-ЦХ- 1I dr, D.124)
где %=г/г0. Имея в виду, что dr=r®dl, D.124) можно записать в
интегральном виде:
1/р
^=2?У°Р f \-? Я + (Я-1)б|?Л. D.125)
Взяв определенный интеграл, получим:
ТУ
Зр2
^=^[1+ЯB-р-р2) + рA--2р)];
если обозначить
то D.125) примет вид:
^ = -3^[1 + ЯB-Р-р2) + рA-2р)],
Wf = ^0r2U DЛ26)
Заметим, что в случае ребра треугольного профиля, когда Я=0,
выражение для ?w сводится к (я/Зр2) A +р—2р2).
В случае прямоугольного ребра, когда ^=1,0, ?w принимает вид
(п/р2)/A-р2).
Из D.126) и выражения для ? можно получить:
Wf = Y/Cl^3°r4° (Ы. D.127)
Дифференцируя D.127) по р, имеем:
dwf 1КгТ\г*0 (r dKw r d^\ (A]9R\
Условие минимальной] массы записывается как dWffd9 — 09 и^тогда
dXw dX^
ИЛИ
^=1. D.129)
ЗАДАЧИ
4.1. Определить температуру в среднем (по высоте) сечении продольного ребра
прямоугольного профиля толщиной 6 мм и высотой 200 мм. Длина ребра 450 мм. Ребро
изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности 42 Вт/(М'°С) и степенью
черноты 0,82. Температура в основании ребра 200°С.
4.2. Для условий задачи 4.1 найти тепловой поток, отводимый ребром. Рассчитать,
насколько нужно изменить: а) толщину ребра, б) высоту ребра, для того чтобы
увеличить отводимый тепловой поток на 15%.
4.3. С одной стороны описанного в задаче 4.1 ребра на него падает излучение
плотностью 600 Вт/м2 с длиной волны, на которой поглощательная способность
поверхности равна 0,78. Определить в этих условиях температуру в среднем (по высоте)
сечении ребра и отводимый им тепловой поток.
4.4. Спроектировать продольное ребро прямоугольного профиля толщиной в
основании 6,5 и длиной 600 мм. Ребро должно отводить тепловой поток 500 Вт. Оно
изготавливается из магния [/г =155 Вт/(м-°С)] и имеет покрытие, обеспечивающее степень
189

черноты поверхности 0,88. Температура в основании ребра 230°С, параметр,
учитывающий влияние излучения дкружающей среды, равен 0,1.
4.5. Сравнить тепловые потоки, отводимые четырьмя продольными ребрами. Ребра,
изготовленные из стали с теплопроводностью 31,2 Вт/(м-°С), имеют покрытие
с е=0,875. Высота всех ребер одинаковая C00 мм), толщина в основании также одна
и та же F,5 мм). Толщина ребер у торца различная: а) 4,8 мм, б) 3,2 мм, в) 1,6 мм,
г) 0,0 мм.
Температура в основании ребер — 60°С.
4.6. Продольное ребро трапециевидного профиля имеет те же размеры и
характеристики, что и ребро «б» в задаче 4.5 F^=3,2 мм). Начертить график зависимости
отводимого ребром теплового потока от параметра, характеризующего влияние
излучения из окружающего пространства. Повторить расчет при высоте ребра 225 мм.
4.7. Ребро с теми же размерами и характеристиками, что и в задаче 4.5
(исключить из условия задачи требование изменения толщины ребра у торца), необходимо
спроектировать так, чтобы в нем обеспечивался постоянный градиент температуры.
Вычертить профиль ребра.
4.8. Ребро с теми же размерами и характеристиками, что и в задаче 4.6
(исключить из условия задачи требование изменения толщины ребра у торца), необходимо
спроектировать так, чтобы масса его была минимальной. Вычертить профиль ребра.
4.9. Радиальное ребро прямоугольного профиля изготовлено из стали с
коэффициентом теплопроводности 24,8 Вт/(м»°С). Ребро имеет покрытие со степенью черноты
0,92. Температура в основании ребра 230°С. Наружный диаметр ребра 450,
внутренний 150 мм, толщина ребра 10 мм. Определить тепловой поток, отводимый ребром при
отсутствии поглощения излучения из окружающего пространства.
4.10. Определить требуемое увеличение наружного диаметра ребра, если им
требуется отвести тот же тепловой поток, что и в задаче 4.9, но параметр окружающей
среды равен 0,2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 4
1. Bartas J. G. J. Heat Transfer, 1960, 82, p. 73.
2. Спэрроу Е. М., Эккерт E. Р. Труды Am. общ-ва инж.-мех. — «Теплопередача»,
1962, № 1, с. 17.
3. Kreith F. Radiation Heat Transfer, International Textbook Co., 1962.
4. Mackay D. В., Leventhal E. L. Fourth Natl. Heat Transfer Conf., paper 23,
Buffalo, N. Y., 1960.
5. Abramowitz M., Stegun I. A. Natl. Bureau Std., Handbook of Mathematical
Functions. Appl. Math. Ser. 55, 1964.
6. Lieblein S. NASA TN-D 196, 1959.
7. Mackay D. В., Bacha С P. ASD Tech. Rept 61—30, 1961.
8. Wilkins J. E., Jr., J. Soc. Ind. Appl. Math., 1960, 8, p. 630.
9. Mackay D. B. Fourth Natl. Heat Transfer Conf., paper 24. Buffalo, N. Y„ 1960.
10. Kotan K-, Arnas O. A. Eighth Natl. Heat Transfer Conf., paper 65-HT-42, Los
Angeles, Calif., 1965.
il. Liu С J. Aerospace ScL, 1960, 27, p. 871.
12. Nilson E. N., Curry R. J. J. Aerospace ScL; 1960, 27, p. 146.
13. Рейнольде Дж. X. Труды Ам. общ-ва инж.-мех. — «Теплопередача», 1963,
.№ 3, с. 3.
14. Doyle T. Personal communication, 1966.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ. МЕТОДЫ АНАЛОГИЙ.
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
РАЗВИТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Введение
В настоящей главе рассматриваются некоторые дополнительные,
но весьма полезные вопросы, связанные с расчетом и
конструированием развитых поверхностей. Излагаемый здесь материал носит менее
общий характер, чем в предшествующих главах, однако он позволяет
быстрее находить решение ряда задач, связанных с применением
развитых поверхностей.
,190

УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕБРА
Радиальное ребро прямоугольного профиля
Большое число модифицированных функций Бесселя,
появляющееся в уравнении для эффективности радиального ребра прямоугольного
профиля, делает расчет этой эффективности чрезвычайно трудоемким.
Харпер и Браун [1] предложили метод, позволяющий обойти это
обстоятельство, сведя определение эффективности радиального ребра
к расчету эффективности продольного ребра прямоугольного профиля.
Эта цель достигалась введением в расчетные формулы поправочного
коэффициента. Эффективность радиального ребра ц описывается
соотношением B.38), в котором вместо истинного радиуса торца ге стоит
скорректированный по Харперу — Брауну радиус гс; г0 — как и ранее,
радиус основания ребра. Входящий в формулу параметр т как обычно
равен У^Л/йбо, где h — коэффициент теплоотдачи на поверхности
ребра; k — коэффициент теплопроводности материала ребра, а бо —
толщина ребра в основании:
2г0
т{г\
-г\)
/, (тгс) Кг (тг0) —/С, (тгс) /г (тг0)
\
I /„ {тг0) К, (тгс) + /, (тгс) К„ (тгь)
Отношение радиусов в данном случае определяется как
р=Го1гс, а Ьс=гс—Го.
Тогда
— р
?ьс
(г2
о):
• 1 — р*
ь\-?ъ\ _ A ч-р) ьа.
A-р)» 1-р •
Подставляя E.2а), E.26) и E.3) в E.1), получаем:
2р
тьс A + р)
/, (mbcRa) Кг (mbcRb) — /С, (rnbcRg) /, (mbcRb)
h (mbcRb) Kt (mbcR^ + /, (mbcRa) K, (mbcR~b)
где
Ra
E.1)
E.2a>
E.26)
E.3)
E.4)
E.5a),
Вспомним теперь, что эффективность продольного ребра
угольного профиля описывается формулой C.14)
E.56),
прямо-
Ч/
th mbc
Видно, что в обоих случаях — и в E.4) и в C.14) —эффективность
является функцией тЪс. Разница между ними может быть учтена
в виде поправки Лт). В итоге эффективность радиального ребра
определится соотношением
или
Ат]=т]Ь—т). E.6)
191;

Выбирая отдельные значения
произведения mbc и отношения
радиусов р, можно по формулам
E.4) и C.14) рассчитать г\ и r\L
и найти тем самым Аг).
Зависимость Лг] от ць и р представлена
на рис. 5.1, при этом ць в свою
очередь является функцией mbc.
Пример 5.1. Ребро прямоугольного
профиля. Расчет эффективности
радиального ребра через эффективность
продольного ребра. Радиальное ребро
прямоугольного профиля отдает тепло в
окружающую среду конвекцией,
коэффициент теплоотдачи равен 195 Вт/(м2-°С).
Ребро выполнено из меди,
коэффициент теплопроводности которой
390 Вт/(м-°С). Наружный диаметр
ребра 100 мм, внутренний 50 мм, толщина 6,35 мм. 1) Рассчитать эффективность ребра
с помощью поправки к эффективности 'продольного ребра аналогичного
прямоугольного профиля.
Решение. Решение с помощью поправки:
.0,1
0,21
\А71 1,0
^WO^
/ЩУх
V/
Ук
/А
095^
*%70
Ч№
уч),ьо I I
дффектибность
продольного pefipa л
i 'i ' i lL
р^о
1Ге
0,2
W
0,6
0,8
1,0
Рис. 5.1. Поправка Аг\ к эффективности
продольного ребра прямоугольного
профиля, позволяющая рассчитать эффективность
радиального ребра того же профиля (ц =
=y]Lu-At|).
-у- = 3,175.10-3 м;
rc = re + ~Y = E0 + 3,175). Ю-3 = 53,18-10~3 м;
/ 2// \1/2 г 2-195 11/2
т=[ж) =L390-6'35-10" J =12>5м~1'
Ьс = гс — г0 = E3,18 — 25) • Ю-3 = 28,18- 10-» м;
mbc= 12,5.28,18-10-3 = 0,352;
Согласно C.14)
25
= 0,47.
Ъ =
Р— гс 53,18
th mbc th 0,352 0,338
тЬп
0,352 0,352 — °'961*
Согласно рис. 5.1 при р = 0,47 и х\ь = 0,961
Дт1=0,017.
Отсюда с помощью E.6) находим:
^=0,961—0,017=0,944.
Продольное ребро трапециевидного профиля
Упрощенный, хотя и менее точный, метод расчета эффективности
трапециевидного ребра получают, определяя наклон поверхности ребра
и сопоставляя эффективность этого трапециевидного ребра с
эффективностью продольного ребра прямоугольного профиля. Средний наклон
192

поверхности трапециевидного ребра можно охарактеризовать
отношением
Я.-^. E.7)
где бе — толщина ребра у торца; бт — средняя толщина ребра.
При малых углах наклона поверхности
sin x=tg ус.
Определяемые C.20а) и C.206) граничные условия для
преобразованной переменной \хе и \хо могут быть еще дополнительно
преобразованы и представлены в виде функции отношения Хт. Допущение о
малости угла наклона поверхности трапециевидного ребра согласуется с
ранее сделанным в гл. 2 допущением о том, что высота ребра намного
больше его толщины.
Толщина ребра б в любой точке равна удвоенному значению
профильной функции Ы*). Как показано на рис. 3.4,
Решая это соотношение относительно tgx, получаем:
д — де
Ч*— 2(х-е,/2)-
Тогда при х = 6/2 -(- 8е/2, когда толщина ребра равна ее среднему
значению,
18 * ~ sin х = 2 т *?-?_ т = Al^l; E.8)
Значение переменной |х у торца и в основании ребра
рассчитывается с помощью E.7) и E.8). У торца ребра
Имея в виду, что
v Г h у/а
Д — [ftsinxj '
получаем:
^(^M'T^^T- E9)
Подставив E.7) и. E.8) в E.9), придем к следующему
соотношению:
„ _о Г hb V12 1 ЬЬе[\-(Ьт-Ье)/Ь] И/я _/2А\1/2/ Ь у/2
^ L Ь$т~*е) \ \ 2Cm-Se) } [kdmj [l-lm) Л
у (Ь\т[1 -(дт/Ь) A -U] >'/г _ mfc (, Г, Sm ,111/2 ,, Л
В этой формуле m = BA/fe8^I/2. В основании ребра
13-192 196

Заметим, что на рис. 3.4 Ьс — Ь]-\-8е12. Тогда
„ -2( h \l2\b I Sg 1 Mi-tg«)
Подставив E.7) и E.8) в E.11), получим:
E.11)
^— \ A[(»»-»«)/4 Г [ 2tgx j —
-(?Г (,-^Г {2* [^'lo^r-ir =^-»<2-у • <5Л2>
где снова m = Bft/?8mI/2.
Допущение малости угла наклона поверхности ребра также
означает, что отношение бт/Ь намного меньше единицы. Это говорит о том,„
что вторым членом, стоящим в квадратных скобках под радикалом
в E.10), можно пренебречь. Тогда
ъ=т^-0У,/а; E.13>
*=-r^r-B-U,/a. E-И)
Последние два выражения используются в упрощенном методе.
Если эффективность продольного ребра прямоугольного профиля
толщиной 6т известна, то параметр тЬс можно определить из
соотношения C.14)
th mbc
У тЪс '
Если значение mbc известно, то при данном лт с помощью E.13)
и E.14) можно определить эффективность трапециевидного ребра*
используя формулу C.25)
__ ЬЧ Г Кг (ag) /д (р.0) —Ix (jXg) Кг (ц.0) 1
• Ч 2К% [ /0 (ц0) /Сж Ы + Л Ы ^о U*o) J *
Уравнение C.25) можно записать в более простом виде, положив
^0 _ тЪ (С) __ 7 л/2 /&sinxN_
2K2bc 1-Лш lZ ^ ^ 2hbc }
— rnb ( i/2 Г *(*,„-*.) 1_ B-Am)!/2
1_Лш ^ ^ [_ Шс6 _|~ ^
Тогда C.25) преобразуется в
mbc L /о Ы /d Ы + Л Ы ^о W J " ( '
Поправку к эффективности прямоугольного ребра получают,
вычитая его эффективность, рассчитанную по C.14), из эффективности
трапециевидного ребра, вычисленной по E.15) при том же значении
параметра mbc. Полученная таким способом поправка обычно
положительна, поскольку у трапециевидного ребра больше металла сосредоточена
вблизи основания. Зависимость поправки к эффективности
прямоугольного ребра от параметра mbc представлена на рис. 5.2.
194

При использовании поправок
в результирующее значение
эффективности вносятся две
ошибки. Первая обусловлена
пренебрежением членом в скобках под
радикалом в уравнении E.10).
В итоге значение \хе оказывается
завышенным. Вторая ошибка
проистекает из-за замены mbc,
используемого при расчете
эффективности ребра трапециевидного
профиля по E.15), на тЬ при
определении \ie и ц0 по E.13) и
E.14). Значение тЬ не равно mbc,
хотя Ьс можно выразить через
Ь и X:
Ьс = Ь + ^-=Ь-
к
При расчетах поправок,
приведенных на рис. 5.2, это
обстоятельство учтено.
0,071
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
А7}
^У^т~
Хт=0,2 |
/ I
W—
0,7
0,8
_0,9
м
0,3
1,2
1,6
Рис. 5.2. Поправка Лг) к эффективности
продольного ребра прямоугольного
профиля, позволяющая рассчитать эффективность
продольного ребра трапециевидного
профиля.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО НАПОРА И ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
ГРАФИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
Радиальное ребро прямоугольного профиля
Как уже отмечалось в гл. 2, наличие в B.36) и B.37) восьми
модифицированных функций Бесселя и повторное определение шести из
них делает ручной расчет температурного напора 8=?—tSi где t —
температура ребра, a ts — температура окружающей среды, а также
теплового потока чрезвычайно трудоемким и продолжительным. Чэпмен [2]
разработал графический метод решения, достаточно точный для
инженерных целей и позволяющий обойти указанные выше сложности.
Рассмотрим модификацию уравнения B.36), представляющую собой
упрощенное решение задачи относительно температурного напора:
6 __ К, (тге) /0 (тг) + Л (тге) К0 (тг)
9о I* (тг0) Кг (тге) + 1Х (тге) К0 (тг0)'
E.16)
2hr* У/2
Используем три безразмерных параметра
Подставляя их в E.16), получаем:
8 _*,(Ф)М?Ф) + МФ)Х.(БФ)
в» Л(рФ)^1(Ф)+Л(ФК.(рФ)
E.17)
Параметр >| можно сразу исключить, взяв r=ret при этом g=l и
уравнение E.17) примет вид:
_ *|(Ф)/о(Ф) + МФ)*.(Ф)
/в(рФ)^1(Ф) + Л(Ф)/С.(рФ)
i3*
E.18)
195

Разделив E.17) на E.18), придем к следующему выражению:
е, __ *,жмф) + мф)Х.(Ф)
8 ~" К,(Ф)/.(|Ф) + А1Ф)^оAФ)
E.19)
Видно, что E.18) и E.19) идентичны по написанию, разница
состоит лишь в том, что в E.19) вместо е0 стоит 6, а % заменяет р.
Определим f (у, Op) как
fu ,,л- УМ] (Ф) + Я0(Ф)Л(Ф)
11Y» W — /о (Тф) /г, (ф) + к, (уФ) /, (Ф) *
E.20)
Тогда мы имеем два выражения для температурного напора:
тМ(Т.*). E-21:
где у принимает значение р, и
¦?=/(т. Ф).
где у принимает значение 5 и где р<5< 1.
E.22)
1,0
1 Q
J,0
1 С
и7и
П /l
1),Ч-
п о
и, 6
оМ
WW
i
Ц^^~*^
\ \ \
\ \ \
1 \ \ \
1 \ \
М \ л'
рЭТЯ
ч\
>ч.
\ ^
\
\
k \
\ >
\ ,
V РЧ[
л /,' v.
7^7 \
| \ц^ ^с
п?\
+н Ч
\\
д>
\ \
Н^М'
S
\
\
1 о,
16
V
, \
Л
\
w \l
\Ч
¦Л
\\
V \
Л? Г
\ 1 М
\1 \
\ Г
^ Ml
\'Ч
\ \
v \ Ч
XN-J
vVH
xKq
-НЧ Со
7 |
V \
\ \
\' \
N
j \
V \
г4! \.
>1Ту. >у
s:
^jjf тре\
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1,0
2 3*5
10
20 '30 40 50
100
Рис. 5.3. Относительный температурный напор в радиальном ребре прямоугольного
профиля. Вспомогательный график для расчета распределения температуры в ребре [2].
На рис. 5.3 представлена диаграмма для определения f(y, i|)). Ею
можно воспользоваться для быстрого определения температурного
напора, при этом последовательность расчета будет следующей:
1. Теплофизические свойства материала ребра, его размеры и
геометрия, температура в основании известны; рассчитываем параметры
р и "ф.
2. Приняв 7 равным р, с помощью рис. 5.3 находим f(y, «ф) =
=f(p, \|)). Далее с помощью E.21) можно найти температурный напор
у торца ребра.
196

3. Зная 0е, с помощью E.22) можно определить температурный
напор на любом радиусе г между г0 и ге, найдя предварительно по рис. 5.3
соответствующее значение f(y} i|))=jf(g, <ф), где l=r/re. Аналогичную
процедуру можно проделать применительно к тепловому потоку.
Исходным является уравнение B.37)
?о:
:2 5 ш Г IJjj^
00 ° I /0 (тг0) Кг (mre) + lx (mre) К0 (тг0)
Заметим, что тг0 = рф, тогда
Л(Ф)/С1'(рФ)-^1(Ф)/д(рФ) 1
/о(р+)/С1(Ф)+/1(Ф)/С0(рФ)
E.23)
После приведения # к безразмерной форме соотношение примет
вид:
<7о=яA— р2)й60е0'ф2ё-(р, г|)).
где g(p, i|)) определяется как
g (Р. Ф)
_ 2Р
— Ф A — Р2)
/i W /С! (РФ) — /Ct (Ф) /t (РФ)
/о(рФЖ1<Ф) + МФ)*о(рФ)
E.24)
E.25)
0/1 0,2 0,3 0,4 0,5 7;0
3^5
20 30 40 50 100
Рис. 5.4. Вспомогательный график для расчета теплового потока в радиальном ребре
прямоугольного сечения [2].
Функция g"(p, я|з) приведена на рис. 5.4.
Аналогичные функции и графики получены Чэпменом для
продольных ребер треугольного профиля.
Пример 5.2. Радиальное ребро прямоугольного профиля. Графическое определение
температурного напора я теплового потока. Радиальное ребро прямоугольного профиля
отводит тепло в среду с температурой 40°С. Коэффициент теплоотдачи конвекцией
между ребром и окружающей средой равен 290 Вт/(м2-°С). Температура в основании
ребра 95°С. Ребро изготовлено из алюминия, имеющего коэффициент теплопроводности
202 Вт/(м-°С). Наружный диаметр ребра 100 мм, внутренний 50 мм, толщина ребра
3,2 мм. Определить с помощью функций Чэпмена: 1) температуру на среднем радиусе
и 2) тепловой поток, отводимый ребром.
197

Решение. 1. Температура на среднем радиусе
25
Р="Т-^^п" = 0.5;
rej
( 2h \ i/2_ г
2-290
1/2
= 29,9 м-
202-3,2-Ю-3
1|)==тГе = 29,9-50-10-3=1,5.
Согласно рис. 5.3 при я|э = 1,5 и р=0,5 /(р, \|э) =0,72.
Теперь с помощью E.21) рассчитываем 6е:
в. = бо/(р, *) = (95—40) •0,72=39,6°С.
Далее
г _ 0,5 (ге-г0) + г0 _0,5 E0-25)+ 25
* /V, гР
= 0,75.
50
Согласно рис. 5.3 при г|>=1,5 и g = 0,75 f(g, гр) =0,92.
С помощью E.22) рассчитываем 0 на среднем радиусе:
9g ^.39,6
6= / С1Г~~0>92=4 '
Отсюда температура ребра на среднем радиусе приблизительно равна:
/=/в+0=4О+43 = 8Э°С.
2. Тепловой поток, отводимый ребром.
Отводимый ребром тепловой поток определяется с помощью рис. 5.4, согласно
которому при г|)=1,5 и р=0,5 g(p, of) =0,80. Теперь можно рассчитать q по E.24):
$ = яA—p2)^6000i|?2g(p, -ф) =лA—0,25) -202-3,2.10~3(95—40) -1,52-0,80 = 151 Вт.
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СТАКАН
Задача теплового расчета цилиндрической оболочки с крышкой
(цилиндрического стакана) при отводе тепла конвекцией представляет
собой интересный ч практически важный случай применения методов
расчета развитых поверхностей, поскольку такую форму имеют тепло-
отводящие корпуса некоторых типов транзисторов [3]. Тепло в таких
х=0 п
ТТТТТ^у) И И И И' Lx=t
Равномерный подвод теплоты
Рис. 5.5. Система координат для анализа цилиндрического стакана (корпус
транзистора).
р\
* 1
*4-
j
4-^—
i
1 j
Я-
}
1
(
[ж
2л
ге .
^
н
"с
1
i
f
\
н
1
i И,
+
' f
У
транзисторах отводится главным образом по корпусу и лишь в
незначительной мере по выводам. Отвод тепла через базу предотвращается
малотеплопроводной изолирующей подкладкой, расположенной
непосредственно под элементами спая.
Виды корпуса транзистора сбоку и сверху показаны на рис. 5.5,
там же приведена используемая система координат. Уравнения
стационарного теплового баланса для изображенных на рис. 5.5 элементов
198

конструкции записываются следующим образом. Для боковой стенки
корпуса
*L_mf)=0; E.26)
Для крышки корпуса
В E.26) и E.27) через 6=/i—ts обозначен температурный напор,
a m=(hjkbI12. Общие решения E.26) и E.27) записываются
соответственно как
B=Ciemx + C2e-mx; E.28)
е=С3/о (тг) + С,Ко (тг), E.29)
где произвольные постоянные С\—С4 определяются из граничных
условий:
dB
1(Г = 0 = ^. dr
= 0;
lr=o
6(х=0) = ее; 4М =^| .
4 ' е' dx \ dr \r=r
\х=о I e
В результате получаем следующие частные решения E.26) и E.27)
соответственно:
fu у\ — 9о {°h m* + ^ (т/У)/7о (mr^Ish m*> f5 <VYb
0 W Chm6 + [/a (mre)/I0 (mre)] sh mb * W-°^
e (r) = ,l%[{v(mr\//;(rg);i ¦ s, E.3i)
v 7 ch mb + [/j (mre)//Q (mre)] sh mb y J
где 0o — температурный напор при *=&.
Действительный тепловой поток, отводимый боковой поверхностью
корпуса, запишется как
ь
q = 2izreh[b(x)dx.
о
Подставляя в это соотношение Ь(х) из E.30) и интегрируя,
получаем:
_ 2тсге/г90 {sh mb + [Л (mre)//0 (mre)] [(ch mb) ~ 1]} .g ^\
Ч т {chmb + [1г (mre)/70 (mre)] sh mb} ' \ • /
Если разделить действительно отводимый тепловой поток на
тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее «ребро»
(боковая стенка)
qid=2nrebhQ0i
то получим выражение для эффективности боковой стенки:
_ {sh mb + [Л (mre)//0 (mre)] [(chmb) — 1]} ,r -,
ls mb {ch m& + [f1 (mre)/I0 (mre)} sh mb} ' \o.oo)
Аналогичным путем получается формула для эффективности
крышки корпуса. Действительно отводимый крышкой тепловой поток равен:
dB
е dr
199

Подставляя в эту формулу производную, полученнузр из E-31),
находим:
2'izkredQ0mI1 (тге)
/о (nre) (ch mb + Ui (mre)/f0 (mre)} sh mb} *
E.34)
Тепловой поток, который отвело бы идеально проводящее
радиальное ребро,
Тогда эффективность крышки корпуса будет определяться
следующим выражением:
2 [/, (mre)/I0(mre)}
'mre{chmb+ [/г (mre)//0 (mre)\ shmb}'
E.35)
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
pi
1
N
тге=0,1
^0,2
0/5
А*
ль
к0'
1
тге--
-1,0
mb J
На рис. 5.6 и 5.7 представлены
диаграммы для расчета
эффективности боковой стенки и крышки
корпуса в функции параметров mb
и тге.
1,0
0,8
0,6
W
0,?,
Г\
тге
одЧ
=го"
%1
1,2
^*
f
.0,5
mi?
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,1 1,4 1,6
0,4
0,8
1,2
1,6
Рис. 5.6. Эффективность цилиндрической Рис. 5.7. Эффективность круглой крышки
стенки корпуса транзистора. корпуса транзистора.
Пример 5.3. Цилиндрическая оболочка с крышкой. Отвод тепла от транзистора.
Транзистор выделяет 400 мВт тепла. Диаметр корпуса 8,25 мм, высота 9,0 мм,
материал корпуса — нержавеющая сталь, ?=19,2 Вт/(м-°С), толщина стенки 0,25 мм.
Транзистор размещается в воздушном канале и обдувается воздухом со скоростью,
обеспечивающей коэффициент теплоотдачи 28,3 Вт/(м2-°С). Температура окружающего
воздуха 35°С. Какова будет температура металла в основании цилиндрической части
корпуса?
Решение. Площади теплоотдающих поверхностей:
Крышка корпуса: 5=яг2е==л;-4,125М0-6 = 53,4-10-6 м2.
Боковая стенка 5=2яге6=2я-4,125-10-3-9-10-3=2,34.10~4 м2.
Параметр т:
/ h \1/2_Л 28»3 11/2
т==\Ж) ~ J 19,2.0,25-10-3 J =76,8 м- ;
тге = 76,8-4,125- 10~3 = 0,317;
т& = 76,8.9.10-3 = 0,692.
Эффективность:
Крышка: т]=0,727 из рис. 5.7. или E.35).
200

Боковая стенка: г|=0,83б из рис. 6.6 или E.33).
Суммарная теплоотдающая поверхность, скорректированная на значение эффек«
тивности,
т15=0,727.53,4-10-в+0,835-2,34-10-4 = 2,34-10-4 м2.
Температурный напор в основании корпуса
400-Ю-3
_?_.— .
61,9°С.
*°~ Ят]5 28,3-2,34.10-*
Температура в основании корпуса
/0=e0-f4==35-f 61,9^97°С
РЕБРО С НЕОДНОРОДНЫМ ПО ВЫСОТЕ ПОДВОДОМ ТЕПЛА
Введение
В гл. 1 было показано, что подвод тепла к продольному ребру
прямоугольного профиля изменяется от торца к основанию. Эта
неравномерность обусловлена прежде всего изменением местных
температурных напоров 6=4—t и тепловых потоков от окружающей среды
к ребру. В гл. 3 и 4 анализ проводился с учетом изменения местных
коэффициентов теплоотдачи конвекцией и излучением и определялось
их влияние на суммарный тепловой поток. В данном параграфе мы не
касаемся ни одного из этих вопросов.
х=о х2=о х3=о xt=o
х„_7=0 х„=0
Рис. 5.8. Обозначение элементов и системы координат для анализа продольного вебпа
прямоугольного профиля с постоянным в пределах отдельных участков, но
различающимся между участками подводом тепла.
Рассмотрим изображенный на рис. 5.8 элемент печатной схемы
состоящий из пластмассовой подложки, выполненной заодно с панелью
В различных местах по высоте подложки нанесены медные
электрические сопротивления. Далее примем, что подложка может быть
разделена на элементы одинаковой или неодинаковой высоты и что
тепловыделение в этих элементах постоянно во времени и может также быть как
одинаковым, так и неодинаковым. Поскольку высота элементов и теп-
201

ловыделение в них не изменяются по какому-либо определенному
закону с высотой ребра, то их можно считать дискретными. Если тепло
отводится конвекцией с определенным коэффициентом теплоотдачи, то
можно себе представить ситуации, когда тепловой поток будет
направлен либо к основанию ребра, либо к его торцу, или в обоих
направлениях сразу. Ряд пластмасс, выбранных в качестве материала подложек
для нанесения на них медных электрических схем по стоимостным
соображениям или вследствие их малой массы, а также специальных
технологических требований, связанных с прессовкой изделий, имеют
низкую температуру размягчения. В таких случаях желательно
определить, сможет ли тепло, выделяющееся в схеме на определенной высоте
ребра, поднять температуру подложки выше температуры размягчения.
Продольное ребро прямоугольного профиля
с дискретным, неравномерным теплоподводом
Этот тип ребра был проанализирован в работе Смита [4], причем
анализ ограничивался случаем отсутствия конвективного теплообмена
или теплообмена излучением с окружающей средой. На рис. 5.8 q'i
представляет собой тепловой поток, поступающий в ребро и отнесенный
к единице площади i-й поверхности с одной стороны ребра, на которой
этот теплоподвод происходит. Поскольку к различным элементарным
площадкам подводятся разные тепловые потоки, то в целом тепловая
нагрузка ребра оказывается неравномерной. Дифференциальное
уравнение для профиля температуры в пределах рассматриваемой f-й
поверхности может быть получено из баланса энергии элемента dxi. Если
принять тепловой поток стационарным и однонаправленным, то
разность между потоками тепла, поступающими в элемент
теплопроводностью и покидающими его тем же путем, запишется как
— dq=kA-^dxt,
где dq — отрицательное, так как было принято, что направленный
к основанию результирующий тепловой поток убывает в направлении
положительного х. Указанный тепловой поток можно приравнять к
тепловому потоку, поступающему в ребро:
~~ kA ~d^ dxi= 2g'iL dXi'
Площадь поперечного сечения ребра равна A=6oL. Тогда
дифференциальное уравнение, описывающее профиль температуры в пределах
i-я площадки, может быть представлено в следующем виде:
dx2; kbn
-0. E.36)
Дважды интегрируя это уравнение, находим его общее решение:
t+<Lg±+Ctxt+ct=o-\
Уравнение E.37) представляет собой общее решение E.36).
Произвольные постоянные С\ и С2 определяются из граничных условий:
при Xi=0 t=ii-\; E.38а)
при Xi—bi t—ti. E.386)
202

Подставив E.38а) в E.37), получим:
Подставив в E.37) это значение постоянной С2 и условие E.386) %
получим соотношение для определения постоянной С\:
r _ {tj — tj-i) q'jbj
Таким образом, частное решение E.36) имеет вид:
' = ^-. + ТГ('«-'*-.) + 2^-F,--«,). E-39)
Видно, что при Xi=Q U=ti-.i, а при Xi=bi t=U, как и должно быть.
Видно также, что E.39) дает температуру в любой точке Xi i-u
площадки, если только известны температуры ^-i и ti на ее границах.
Температуры на концах ребра могут быть найдены из интегрального
теплового баланса. В начале i-й площадки тепловой поток через
подложку равен сумме тепловых потоков, подводимых ко всем площадкам,
расположенным за рассматриваемым сечением:
Поскольку A = bQL9 то это выражение можно записать в виде
:1=оЫЕ^- E.40)
"*1 \Х{ =
Взяв производную от t в E.39), определив ее значение при л:г=0
и подставив его в E.40), получим:
E'A
или
'«=',-.
q'ib\i_2bi
;-$]?'A- E-41)
Уравнение E.41) позволяет рассчитать по известной одной
граничной температуре площадки — вторую. После того как с помощью
E.41) определены граничные температуры, по E.39) рассчитывается
профиль температуры в ребре.
Если, кроме того, имеется отвод тепла конвекцией или излучением,
то задача может решаться методом последовательных приближений.
Сначала находим профиль температур для случая отсутствия
теплоотдачи конвекцией или излучением. Потом ищется первое приближение
(оценка) распределения температур и теплоподвода по площадкам
с учетом конвекции или излучения. Затем расчеты повторяются, пока
результаты последовательных приближений не дадут совпадающие
значения.
203

Пример 5.4. Продольное ребро прямоугольного профиля с дискретным,
неравномерным теплолодводом.
Печатная схема с пластмассовой подложкой, аналогичная изображенной на
рис. 5.8, установлена в закрытом корпусе. При работе цепи на отдельных площадках
подложки наблюдается дискретное выделение тепла. Подложку изготовлена из
пластмассы с допустимой рабочей температурой (температурой размягчения) 125°С и
коэффициентом теплопроводности ? = 0,35 Вт/(м«°С). Длина подложки 75 мм, высота
125 мм, толщина 3 мм. Подложка разделена на пять неравных площадок. Значение
теплоподвода к каждой из этих площадок приведено в следующей таблице.
i
1
2
3
4
5
b,, мм
25
37,5
25 /
18,75
18,75
q'. (на каждую сторону),
Вт/ма
6,2
4,65
4,65
3,85
3,1
Если поддерживать температуру шасси (основания ребра) равной 70°С, то: 1)
будет ли при этом превышен допустимый максимум рабочей температуры подложки?
2) если будет, то в каком сечении?
Решение. A. Максимальная рабочая температура. Прежде всего необходимо иайти
температуры на концах площадок. Эта операция осуществляется с помощью E.41)
путем последовательного перехода от площадки к площадке. Результаты расчетов
яллюстрируются табл. 5.1. Заметим, что допустимый уровень температур оказывается
превзойденным где-то в пределах третьей площадки.
Таблица 5.1
i
1
2
3
4
5
V
°с
70
93,6
117,3
126,2
129,5
Ь., мм
25
37,5
25
18,75
18,75
*'ibi>
Вт/м
0,155
0,174
0,116
0,072
0,058
i'Pv
мВт
3,88
6,52
2,90
1,35
1,09
и
•г,
-1*
3,7
6,2
2,8
1,3
1,0
Вт/м
•о**
СИ1
0,575
0,420
0,246
0,130
0,058
2Ь^ мм
50
75
50
37,5
37,5
•о**
Ъ-
546
399
234
123
55
о
V
27,3
29,9
11,7
4,6
2,1
*„ °с
i
93,6
117,3
126,2
129,5
130,6
2Ь.
Примечание. t. = t. , — r-~ q' ;b2; ¦+- ~- V Q';b;*> ZT~ == а о- о
10-3
: 950°C/Bt.
2. Координата сечения, в котором достигается максимально допустимая
температура. Сечение, в котором температура подложки достигает 125°С, может быть
найдена графически, построением профиля температур в ребре по точкам и определением
координаты сечения, в котором профиль достигает 125°С. Расчеты соответствующих
температур ведется по E.39). Результаты такого расчета приведены в табл. 5.2.
Искомое сечение легко иайти непосредственно из E.39)
< = U-.+ -fr (h -ti-,) + ¦Зщ- (Ь[-*,),
если решить его относительно x-v:
q'iX2i q'iXjbj
W.
».
bi
1 (/;-г,--,)+ (<-'«-,) =0,
204

Таблица 5.2
Расчет профиля температур в подложке на основе данных по температурам
на границах площадок
i
1
2
3
4
5
6j, ММ
25
37,5
25
18,75
18,75
q*i% Вт/м*
6,2
4,65
4,65
3,85
3,1
q'ilkbo» °С/м*
5900
4420
4420
3660
2940
— = 950 °С/Вт
i
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
r/-i'°c
70
70
70
70
93,6
93,6
93,6
93,6
117,3
117,3
117,3
117,3
126,2
126,2
126,2
126,2
129,5
129,5
129,5
129,5
tv °с
93,6
93,6
93,6
93,6
117,3
117,3
117,3
117,3
126,2
126,2
126,2
126,2
129,5
129,5
129,5
129,5
130,6
130,6
130,6
130,6
v-^-,
23,6
23,6
23,6
23,6
23,7
23,7
23,7
23,7
8,9
8,9
8,9
8,9
3,3
3,3
3,3
3,3
1,1
1.1
1,1
1,1
X.t MM
5
10
15
20
7,5
15
22,5
30
5
10
15
20
3,75
7,50
11,25
15,00
3,75
7,50
11,25
15,00
xtlbt
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
0,2
0,4
0,6
0,8
о
о
ьГ 7
4,72
9,44
14,16
18,88
4,74
9,48
14,22
18,96
1,78
3,56
5,34
7,12
0,66
1,32
1,98
2,64
0,22
0,44
0,66
0,88
a
20
15
10
5
30,0
22,5
15,0
7,5
20
15
10
5
15,00
11,25
7,50
3,75
15,00
11,25
7,50
3,75
4*"
L
100
150
150
100
225
337
337
225
100
150
150
100
56,3
84,4
84,4
56,3
56,3
84,4
84,4
56,3
i
•US**
0,59
0,89
0,89
0,59
1,00
1,49
1,49
1,00
0,44
0,66
0,66
0,44
0,20
0,31
0,31
0,20
0,17
0,25
0,25
0,17
Г, eC
75,3
80,3
85,0
89,4
99,3
104,6
109,3
113,6
119,5
121,5
123,3
124,9
127,1
127,8
128,5
129,0
129,9
130,2
130,4
130,5
950-4,65»x2i— 950-0,155*;— 25.10-' xt> + A25 — 117,3) =0
4420x2r- — 503* f + 7,7 = 0,
Jt<=0,0182 м.
Таким образом, температура 125°C достигается в сечении х=25+37,5+18,2 =
= 80,7 мм, т. е. на расстоянии 80,7 мм от основания ребра.
ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕБРА
Продольное ребро прямоугольного профиля
Дюсинбер [5.5] показал, что при значениях эффективности,
больших 0,75, достаточно точное представление B.13) может быть получено
из разложения th (mb) в бесконечный ряд:
205

Если пренебречь все^ми членами ряда, содержащими mb в степени
больше 3, то выражение для эффективности запишется следующим
образом:
1
. . mb— -о" (mbK
_ th mb 3 v
' mb mb
Умножив и разделив это выражение на l-f-1/3 (mbJ, получим:
Ч = 1 *= -у • E.42)
\+ — (mbJ l+-^-(mbJ
Эта формула справедлива при mb<l,0, что соответствует т]>0,75.
Другие профили
Дюсинбер подобрал также аппроксимирующие функции к кривым
Гарднера [6] для продольного ребра треугольного профиля,
радиального ребра прямоугольного профиля и конического шипа. Для
продольного ребра треугольного профиля
Ч= i . E.43)
l+~2-(m6J
Для радиального ребра прямоугольного профиля
¦П = р-^ =. E.44)
l + -g-(m6)*Kl/p
Для конического шипа
^•1 + 0,15 И)" <55>
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
Введение
В работе Крауса [7] предложена электротепловая аналогия для:
развитых поверхностей. При этом специфически распределенный
тепловой поток в ребре был заменен электрической цепью с аналогично
распределенными параметрами. Эта цепь называется линией передачи.
В стационарном режиме ребро может быть описано через полное
сопротивление (импеданс) передающего конца. Под ним понимается
сопротивление, которое «видит» воображаемый наблюдатель, находящийся
в основании ребра. Характеристики ребра могут быть полностью
описаны без использования понятия эффективности. Фактически с
помощью модели линии передачи может быть разработан другой метод
определения эффективности ребра.
Уравнения линии передачи
При анализе линия передачи может быть представлена как
совокупность последовательно расположенных Т-образных участков с
сосредоточенными параметрами, длина каждого такого участка dxl. Линия
1 Длина линии передачи является аналогом высоты ребра.
206

передачи в целом изображена на рис. 5.9,а, а ее единичный
изолированный элемент показан на рис. 5.9,6. В стационарных условиях линия
охарактеризуется двумя распределенными параметрами: сопротивлением
Я в омах на единицу длины и проводимостью G в обратных омах,
также на единицу длины. Согласно принятой в модели линии передачи
терминологии сосредоточенные сопротивления и проводимости
называются соответственно последовательно включенным полным
сопротивлением и шунтирующей проводимостью. Физически их можно представить
в виде металлических проводников с конечным электрическим
сопротивлением и изоляторов между этими проводниками, также имеющих
конечное сопротивление.
Я—е
Is
г
V
1
Ах
J Z 1
fLLT
J z L
\_2_]
k |~y |
1 J
I
b
Ax ,| Ax Ax ^
"! i t | j i i i ^* i i *
J Z_ L
2
JlLJUlL
LLj i2 Г
-•
Ur
iimHilfn"
[Y 1 1 Y 1 I Y 1 vJ
T T T 1
rr
I
a)
Ax
I
i
V
1
1
z
2
Y
j
L
¦*ё«
Z
1 2
—*-
i
\
V+^Дх
OX
f
0
Рис. 5.9.
<a — электрическая цепь, изображающая линию передачи. Потенциал приемного конца принят
равным нулю. Приложенное напряжение к линии равно Vs, оно отличается от напряжения источника
Е на падение напряжения на внутреннем сопротивлении; б — элемент линии передачи.
Падение напряжения и ток на любом участке линии передачи,
возникающие при подключении ее передающего конца к источнику
напряжения, можно определить, рассмотрев элемент цепи, изображенный на
рис. 5.9,6. Такой анализ приводит к телеграфным уравнениям,
описывающим изменение напряжения и тока вследствие изменения
расстояния вдоль линии передачи:
dx'
d4
- = ZYV;
dx'
=ZYIy
E.46)
E.47)
где Z — последовательно включаемое полное сопротивление J?, а У —
шунтирующая проводимость G. Отметим подобие уравнения E.46) и
дифференциального уравнения теплопроводности для продольного
ребра прямоугольного профиля B.7):
—-m2e = 0.
207

Из сопоставления E.46) и B.7) видна аналогия между
напряжением % линии передачи и температурным напором в ребре, в то же
время параметр т2 является аналогом ZY.
Решения E.46) и E.47) записываются соответственно как
V^e^ + Cj—*; E.48)
1 = Сгеах + САе~ах, E.49)
где а — согласно терминологии модели линии передачи константа
распространения (а = |/^У). Константу распространения часто
рассматривают как сумму констант ослабления и фазового сдвига.
Применительно к аналогии между ребром и линией передачи сдвиг фаз, обычно
используемый при анализе задач переменного тока, не имеет
физического смысла. Поэтому константа распространения в нашем случае
будет рассматриваться как характеристика ослабления линии.
Произвольные постоянные в E.48) и E.49) рассчитываются из
граничных условий на приемном конце линии. При х=0 напряжение и ток
должны принять значения Vr и IR. Следовательно, при х=0 E.48) и
E.49) сводятся к
V* = Ci + C.; E.50)
IR=C3 + C<. E.51)
Из рис. 5.9,6 видно, что изменение напряжения в зависимости от
расстояния вдоль линии передачи должно равняться падению
напряжения на элементе dx:
Изменение тока с расстоянием связано с его «утечками» через
проводимость:
Для того чтобы завершить операцию по определению констант,
подставим E.48) и E.49) в соотношения E.52) и E.53), проведя
предварительно необходимое дифференцирование:
(аСхе*х - аС2е~ах) = Z (С3еах + С,е~ах); E.54)
(аСгеах - аС,е~ах) = У (Cteax + С2е'ах). E.55)
Если E.54) разделить на a, a E.55) на У, то придем к следующим
соотношениям:
Слеах - С2е~ах = 4 с*е** +-Т С*е~аХ; E-56)
Cle«x + Cte-«x = -f C3ea*--f С^-«х. E.57)
Учитывая, что Z/a = Z/(ZY)U2 = (Z/YI'2, а а/ У = (ZY)^2/Y =
— (Z/YI12, и складывая уравнения E.56) и E.57), получаем:
2Cleax=2\fZjYCteax.
Соответственно, вычитая E.57) из E.56), имеем:
-2С2е~ах = 2 УЩ САе~*х>
208

откуда следует, что
C2=_yz7FC4=-Z0C4; E.58)
C1=KZ7?C3 = Z0C3, E.59)
где через Z0 обозначено характеристическое полное сопротивление
(импеданс) линии, Z0 = l/Z/y. Подставляя E.58) и E.59) в E.50) и E.51),
приходим к следующим соотношениям:
VR=ZoC3—Z*Ck\ E.60)
/л=Сз+С4. E.61)
Умножая E.61) на Zl0 и складывая произведение с E.60),
получаем:
vR + zjR vR iR
С3= щ =_+_. E.62)
Аналогичным образом, вычитая E.60) из E.61), получаем:
С.—*^*—?-?• E-63)
Уравнения E.62) и E.63) в сочетании с E.58) и E.59) дают:
vR z0/^
Ui—" + "'
_v^_ _v_p
°2~~ 2 2 '
При возвращении к E.48) и E.49) видно, что частные решения
телеграфных уравнений получаются следующими:
у^+Ще-^-Ще—; E.64)
Раскрыв скобки, выразим V и I через гиперболические функции
(синус и косинус). При этом E.64) примет вид:
I е*х е—ах \
+ Zo!R ( 2 j =F* Ch aX + ZqIR Sh aX' ^5'66^
а уравнение E.65)
, ~~ 2 * 2Z0 * +2Z/ "^T — *V 2 / +
+lt [ 2^ J=//?chajc+ -f shajc. E.67)
На передающем конце, где х=Ь, полное входное сопротивление
определится следующей функцией (при разомкнутой линии, /я=0):
14—192 209

где Zs — полное сопротивление линии, «подсоединенное» к выходным
клеммам генератора, т. е. при рассмотрении режимов работы
генератора линия в целом может быть заменена этим полным входным
сопротивлением. Это положено в основу конструирования эквивалентной
электротепловой цепи.
Электротепловая аналогия
В предшествующем разделе была показана аналогия уравнений,
вписывающих изменения напряжения в линии передачи и
температурного напора в продольном ребре прямоугольного профиля. Рассмотрим
теперь закон Фурье, записанный через конечные разности для элемента
ребра единичной длины и высотой Ах:
q=kK~. E.69)
Уравнение, описывающее теплоотдачу конвекцией с поверхности
элемента ребра единичной длины и высотой Ах, имеет вид:
q=2hQAx. E.70)
Уравнения E.69) и E.70) можно сравнить с формулами закона
Ома для тока, проходящего через сопротивление
и через проводимость
I=YV. E.72)
Сравнение показывает, что электрический ток / является аналогом
теплового потока q при передаче тепла как теплопроводностью, так и
конвекцией. В обоих случаях напряжение или потенциал У является
аналогом температурного перепада At\ в случае теплопроводности или
температурного напора 9 при конвективной теплоотдаче. И, наконец,
термическое сопротивление единицы длины ребра в случае
теплопроводности может рассматриваться в качестве аналога электрического
сопротивления
l~~ kd0>
а термическая проводимость единицы длины ребра при конвективной
теплоотдаче служит аналогом электрической проводимости, Вт/(м-°С),
Yt=2h.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для ребра может
быть записано через термическое сопротивление и проводимость:
-0—2,7,6 = 0. E.73)
Уравнение E.73), описывающее распределение температурного
напора в ребре, и E.46), описывающее распределение напряжения в
линии передачи, идентичны по форме. Поэтому они будут иметь
идентичные общие решения. Если граничные условия этих уравнений
аналогичны, то указанные уравнения будут иметь идентичные частные решения.
Поэтому при отсутствии теплоотдачи с торца (qR=0) температурный
напор в любой точке ребра будет определяться формулой
e=e*fihatx. E.74)
210

Тепловой поток в любой точке ребра запишется как
E.75)
а полное термическое сопротивление „передающего конца" будет иметь
вид:
7 Zot
st thatb
E.76)
В E.74) — E.76) at — коэффициент ослабления для ребра или же
константа распространения в рассматриваемой стационарной задаче:
Л/2
(W''=-S-
2Л \1/2
В случае ребра прямоугольного профиля 6о=6, a Zot —
характеристическое полное сопротивление (импеданс) ребра — запишется
следующим образом, м-°С/Вт:
V
— (Il\1/2 — ( 1 У/2
Yt) \2hkb) •
Все вышесказанное может быть применено к конструкции в целом,
состоящей из ребра и повторяющегося участка основной поверхности,
на которой оно установлено. Эта конструкция изображена на
рис. 5.10,а. Тепло передается от несущей пластины к окружающей среде
*)
Рис. 5.10.
а — повторяющийся элемент сребренной стенки с ребром; б — электрический аналог ребра в виде
линии передачи; в—аналог в виде полного сопротивления передающего конца линии передачи.
конвекцией (т. е. через проводимость) hSb- Эквивалентная линия
передачи (ребро) включена параллельно сопротивлению несущей пластины,
обозначенному Zb=i?&=l/A5b (рис. 5.10,6). И, наконец, сама линия
передачи может быть заменена полным сопротивлением передающего
конца Zst (рис. 5.10,в). В простоте такого аналога легко можно убедиться.
Он не требует расчетов эффективности или площади поверхности
ребра. Расчеты температурного напора и теплового потока могут быть
выполнены быстро и точно с помощью E.74) — E.76) и рис. 5.11, на
котором представлена зависимость полного термического сопротивления пе-
14* 211

О 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 375
Произведение коэффициента ослабления на длину
Jh
ребра atb=^J—b
Рис. 5.11. Полное сопротивление (импеданс) передающего конца (продольное ребро
прямоугольного профиля).
редающего конца от произведения коэффициента ослабления на длину
ребра для различных значений характеристического термического
сопротивления.
Пример 5.5. Продольное ребро прямоугольного профиля. Расчет с помощью
электротепловой аналогии.
Продольное ребро прямоугольного профиля отводит тепло в окружающую среду,
имеющую температуру 50°С. Коэффициент теплоотдачи равен 90 Вт/(хМ2-°С).
Температура в основании ребра 130°С. Ребро изготовлено из стали с коэффициентом
теплопроводности k=41,4 Вт/(м-°С). Высота ребра 76 мм, длина 300 мм, толщина 6,35 мм.
Определить температуру торца ребра и тепловой поток через основание, пользуясь:
1) аналогией с линией передачи, 2) прямым методом, изложенным в гл. 2.
212

Решение. 1. Решение методом аналогии:
1
7 (-i-V/2
Lat - 1 2Ш0
2.90-41,4.6,35-Ю-3
-11/2
= 0,145 м.°С/Вт;
/ 2А V/2 Г 2.90 11/2
**=\Ж) "~|_41,4.б,з5.ю-3 J =26»2m1;
а^=26,2.76.10-3 = 2,0.
Согласно рис. 5.11 Zs*=0,495°C/Bt.
Тогда при я=6 = 76 мм из E.74) получим:
atx=atb=2,0\ ch а*6 = 3,7622;
Bs ^130 — 50
bR= chatb 3,7622 = 21'3°С-
Температура торца ребра
^я=ен+Гз = 21,3+50=71,3°С.
Тепловой поток на единицу длины рассчитывается с помощью E.75). При х=
= 6 = 76 мм shatb = 3,6269,
9Я 21,3
q= 7 sho^fr — q iir -3,6262 = 533 Вт/м.
Тепловой поток в основании ребра qo=qL = 533 -0,3 =160 Вт.
2. Решение по методике гл. 2:
т=(-т*—i =с^ = 26,2 м-1.
/ 2А \1/2
У вершины ребра Ь = 76 мм, тогда из B.9)
60ch/ws_ 60
тЬ = 26,2-76. Ю-3 = 2,0; ch mb = 3,7622;
130 — 50
3,7622
= 21,3°С.
: Тепловой поток q0 определяется по B.11):
^0=^6oLme0thm6=41,4-6,35-10-3-0,3-2,62-80th 2,0= 165-0,964= 160 Вт.
Значения 0 и q0y полученные двумя методами, совпадают.
Определение эффективности ребра с помощью
электротепловой аналогии
Анализ ребра методами линии передачи не требует расчетов
эффективности ребра. Однако, как уже отмечалось ранее, с помощью
линии передачи в случае необходимости эффективность может быть
найдена.
Эффективность ребра определялась как отношение теплового
потока, действительно отведенного ребром, к тепловому потоку, который
отвело бы такое же идеально проводящее ребро с однородной
температурой, равной температуре в основании ребра. В анализе с помощью
линии передачи эффективность будет определяться как отношение
действительной силы тока в передающей точке к силе тока в этой точке
при нулевом полном сопротивлении (импедансе). Это определение
относится к случаю линии передачи, образующей разомкнутый
электрический контур, и к ребру, в котором отсутствует теплоотдача с торца
(принятое допущение), хотя если исходить из приведенного выше
определения эффективности, указанные ограничивающие допущения не
213

являются необходимыми. Следовательно, -весь ток, поступающий в
линию передачи, стекает на землю, что приводит ,к очевидному
заключению, что тепловой поток, подводимый к основанию ребра, равен
тепловому потоку, отводимому с его поверхности.
Рассмотрим ребро с нулевым полным термическим сопротвлением
(Zt=0). Это условие аналогично линии передачи с нулевым
электрическим сопротивлением (Z=0). В этом случае линия (может быть
представлена набором элементарных проводимостей, включенных
параллельно. Суммарная проводимость на единицу длины составит: Y=2hb,
Температурный напор в любой точке ребра равен температурному
напору в передающей точке. Отсюда тепловой поток в передающей точке
равен:
qs=YQs=2hbQs.
Действительный тепловой поток, отводимый с поверхности ребра,
определяется E.75), если в него подставить х=Ь:
qs = y-7shatb.
Согласно определению эффективность записывается следующим
образом:
Величина 6^ может быть найдена из E.74) при х = Ь:
# ch a.tb '
Тогда E.77) принимает вид:
sh atb _ th atb
71 — ZQt Bhb) ch *tb "*" Zot Bhb)
С учетом того, что
z -( х V/2
*•* \2hkd0 J
и как следствие
Z^^)={-^)XI\2h)b=(^-Y2b = atb,
бра:
E.78)
получаем окончательное выражение, для эффективности ребра:
th щЬ
73 = -щЬ~'
ТЕПЛООТДАЧА ПРИ КИПЕНИИ НА ОДИНОЧНЫХ ШИПАХ
Хэли и Вествотер [8] использовали предложенную Уилкинсом
[9] методику для оптимизации шипа, отводящего тепло к кипящей
жидкости. Как показано в гл. 4, в процессе оптимизации определяются
решения для q{x) и /,(#), а также функции профиля /г(*),
удовлетворяющие уравнениям теплопроводности в шипе и теплоотдачи от него.
В случае цилиндрического шипа радиусом г эти два уравнения
записываются следующим образом:
dq^k{t)^r2-~dx\ . E.79)
dq = 2r,rh(t)dx. ? E.80)
214

В E.79) учитывается зависимость коэффициента теплопроводности
-от температуры. В E.80) h(t)—заданная функция местной плотности
теплового потока, отводимого ребром, от температурного напора; она
имеет вид:
h{t)=Kn{t-ts)n, E.81)
где Кп — постоянная; п — для шипа может принимать любые значения,
кроме—1/4 и —3/2*.
Функции q(х), t(x) и f2(x) должны удовлетворять следующим
граничным условиям в сечении х=0, т. е. у торца, и в сечении х=Ь —
в основании ребра:
при х = 0 # = 0;
при x = b q = qQ;
при x — b t = tQ.
Кроме того, искомое функции должны обеспечивать минимизацию
объема шипа:
ь
V=^r*dx. E.82)
6
Хэли и Вествотер использовали в своем анализе преобразования
Уилкинса
t
u = U~l f k(t)h*(t)dt, E.83)
где U0 определяется соотношением
U
Ub= ^k(t)ff(t)dt, E.84)
для получения геометрических характеристик оптимального шипа:
и
•* = (-25&гI/3| Ht)h*(t)u-2!5(t)dt; E.85)
(^I/3»,/5(^W, E-86)
t
/ 2Л N
лри этом
q=q0u*l*D). E.87)
Уравнениями E.85) — E.87) описываются форма шипа и значения
местных тепловых потоков при любом наборе q0, t0, ts и функций k(i) и
h(l). Решив E.85) и E.86) совместно с E.81), авторы [8] получили
следующие соотношения для размеров оптимального шипа:
ч
20 DА+ !)**</.
Bл+ 3) »**»„(*,-*,)"»->
t — t. f X \5/Bn+3)
1/3
U -1. \ь
11/3 I X \(9rt+l)/Brt+3)
E.88)
E.89)
H^t-^M (Я E-90)
1 Указанные ограничения введены из чисто математических, а не физических
-соображений.
215

Из полученных формул видно, что линейный температурный
профиль и параболическая форма оптимального шипа по Шмидту [10]
реализуются лишь при постоянном коэффициенте теплоотдачи, т.е. при /1=1.
Если на поверхности ребра одновременно существуют несколько
режимов кипения, например пузырьковый и пленочный, то показатель
степени п и константа Кп в E.81) не будут оставаться неизменными.
Хэли и Вествотер использовали при
расчетах ребер кривые кипения на
изотермических поверхностях для
воды, изопропилового спирта и
фреона-113. Эти кривые
представлены на рис. 5.12. Они построены на
основании опытных данных Хэли
[11] для фреона-113, Данскуса и
Вествотера [12] и Брина и Вество-
тера [13] для изопропилового
спирта, а также Браунлича [14] для
воды. С помощью кривых кипения
определялось произведение h(t—/s),
которое равно функции /*(/),
используемой в E.83) и !E.84). Параметры
оптимального шипа находились
посредством численного расчета
определенного интеграла E.84) по
правилу Симпсона с одновременным
интегрированием E.83) и E.85)
методом Рунге — Кутта четвертого
порядка.
На рис. 5.13 приведена
фотография, снятая во время работы
оптимального шипа при максимальной нагрузке во фреоне-113. Она
свидетельствует о целесообразности применения шипов для отвода тепла
в кипящую жидкость. Подобный необычный профиль ребра оказался
логически оправданным, что отчетливо выявилось при рассмотрении
распределения плотности теплового потока по поверхности шипа. При
конструировании шипа желательно свести к минимуму зоны, занятые
малоинтенсивными режимами теплоотдачи при свободной конвекции и
пленочном кипении, с тем чтобы на области пузырького и переходного
режимов кипения приходилась максимальная доля теплоотдающей
поверхности. Зона, занятая пленочным кипением, сводится к минимуму
применением шипа с очень малым поперечным сечением в основании.
Тем самым перепад температур в металле, необходимый для передачи
тепла по ребру через зону пленочного кипения, срабатывается на очень
коротком участке. В области переходного режима кипения, где
начинается рост коэффициента теплоотдачи, диаметр шипа резко
увеличивается. Рост диаметра снижает градиент температур в шипе на этом
участке, тем самым высокоэффективные области пузырькового и
переходного режимов кипения распространяются на поверхность
сравнительно большой площади. И, наконец, по мере того как коэффициент
теплоотдачи при меньших температурных напорах начинает падать,
поперечное сечение шипа вновь уменьшается, сходясь у вершины в острие.
Таким образом, оптимальное ребро передает тепло окружающей
жидкости очень эффективно, используя обе ветви кривой кипения,
прилегающие к точке первого критического теплового потока.
216
1 10 100 1000
ATx1,8?Q
Рис. 5.12. Кривые кипения,
использованные при расчетах характеристик ребер.
Получены при кипении жидкостей на
поверхности медных труб диаметром
6,35 мм при давлении 105 Па.
А—В — область пузырькового кипения; D—E —
область переходного режима кипения; С —
точка коизиса пузырькового кипения; Е —
область пленочного кипения [11—14]; / — вода;
2 — изопропиловый спирт; 3 — фреон-113.

Статья Хэли и Вествотера стимулировала появление большого
числа работ, посвященных кипению на развитых поверхностях. Лэй и Сю
[15] предложили простую модель для определения длины зоны
пузырькового кипения на продольном ребре прямоугольного профиля и
величины теплового потока в основании ребра. Были получены
соответствующие расчетные формулы в зависимости от отношения коэффициента
теплоотдачи при пузырьковом кипении к коэффициенту теплоотдачи
конвекцией, а также от характеристик ребра. Расчетные значения
качественно согласовывались с опытными данными.
Рис. 5.13. Снимок процесса кипения на оптимальном шипе
при максимальной тепловой нагрузке. Рабочая жидкость
фреон-113; давление 105 Па; тепловой поток, отводимый
ребром, 50 Вт; температурный напор в основании ребра 92°С.
Местоположение основания ребра обозначено на фотографии
вертикальной прямой [11].
В выполненном Лэем и Сю в [15], а в последующем Сю в [16]
анализе предложено рассматривать ребро как совокупность нескольких
участков. Для каждого участка характерен свой коэффициент
теплоотдачи; тепловой поток, выходящий из одного участка, равен тепловому
потоку, поступающему в смежный с ним участок.
Хотя упомянутый анализ был выполнен для случая
сосуществования на продольном ребре прямоугольного профиля двух участков: зоны
конвективного теплообмена и зоны пузырькового кипения, он вполне
может быть распространен и на другие случаи: на ребра иной формы
и на случаи сосуществования других режимов теплоотдачи.
Саймен-Тов [17] отметил, что изготовление ребер пикообразной
формы, следующей из анализа Хэли и Вествотера [8] (кипение на
таком ребре показано на рис. 5.13), сопряжено с большими
технологическими трудностями и большой стоимостью. Такое ребро трудно прива-
217

ривать к основной поверхности, а наличие очень тонкой шейки в
основании конструктивно может существенно ослабить ребро.
Саймен-Тов предложил три формы ребер, которые сочетают в себе
принцип выделения большей части поверхности под зону пузырькового
кипения с относительной технической простотой в изготовлении и
конструктивной прочностью. Одна из них представляла собой крестовидное
продольное ребро, образованное двумя дополнительными продольными
ребрами, укрепленными на базовом продольном ребре, в свою очередь
соединявшимся с основной теплоотдающей поверхностью. Второй тип
оребрения был выполнен в виде колец, прикрепленных к группе
продольных ребер, выступающих из цилиндра. Если смотреть вдоль
цилиндра, то кольцо имеет вид наружной оболочки, образующей оребренный
кольцевой канал между ней и цилиндром. Третий тип ребер,
предложенный Саймен-Товом, имел вид дисков, прикрепленных к
цилиндрическим шипам. Такую конструкцию называют «кнопочной». Для
каждого типа 'ребра Саймен-Тов провел решение соответствующих
дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ, при этом им использовались
те же самые допущения, которые повсеместно приняты в настоящей
книге. Коэффициент теплоотдачи по поверхности ребра принят
неравномерным. Было показано, что зона максимальной интенсивности
теплоотдачи может перемещаться вдоль ребра в зависимости от температуры
в основании. Саймен-Тов установил, что тепловой поток, отводимый
оребренной поверхностью, может в 93 раза превысить тепловой поток»
снимаемый с гладкой поверхности.
Кэш, Клайн и Вествотер [18] отметили, что пикообразное ребро
(по терминологии цитируемой статьи ребро «репообразной» формы)
действительно трудно изготовить. С помощью расчетов на ЭВМ,
используя метод Рунге — Кутта четвертого порядка, они показали, что замена
оптимального «репообразного» ребра двумя сложенными конусами,
прикрепленными к основной поверхности через узкую цилиндрическую
шейку, оказывается вполне приемлемой. Как и ожидалось, двухконус-
ная конструкция обеспечила больший отвод тепла на единицу объема
по сравнению с цилиндрическим шипом. Эксперименты не только
подтвердили эти выводы, но и показали, что рассчитанные на ЭВМ
характеристики ребра являются заниженными и что в действительности
характеристики подобных ребер заметно лучше.
Саймен-Тов [17] пришел к выводу, что анализ одиночных ребер не
отвечает реальным условиям работы оребренной поверхности и
необходимо учитывать шаг ребер в системе. Клайн и Вествотер [19]
исследовали влияние шага на теплоотдачу системы горизонтальных
цилиндрических шипов к воде и фреону-113 при атмосферном давлении. В одном
горизонтальном ряду устанавливалось до пяти параллельных шипов,
а в одном вертикальном ряду — до трех. Были испытаны также системы
с числом ребер до 10 (три горизонтальных ряда по три и четыре
ребра).
Клайн и Вествотер пришли к следующим довольно важным
заключениям:
1. Шипы можно сдвигать достаточно близко друг к другу, прежде
чем проявится какое-либо влияние шага на теплоотдачу.
2. Шаг в 8 мм в горизонтальном направлении достаточно велик
для того, чтобы все шипы действовали независимо друг от друга даже
в системах из девяти или десяти шипов. Этот вывод относится к шипам
диаметром 6,35 мм, т. е. к случаю, когда зазор между шипами
составляет около 1,6 мм.
218

3. Размер зазора в 1,6 мм близок к отрывному диаметру пузырей
при пузырьковом кипении обычных жидкостей в большом объеме.
4. Если зазор между шипами равен нулю, то наличие застойного
слоя пара под рядом ребер вызывает снижение отводимого теплового
потока при работе во фреоне-113 на 31%. Такое же снижение теплового
потока получается и при работе с водой, если воспрепятствовать
отводу пара с боков сборки.
5. Колонка из трех соприкасающихся шипов отводит на 17%
меньше тепла, чем три одиночных шипа.
6. Теплоотдача системы ребер, выполненных в виде параллельных
вертикальных плоских пластин, не зависит от шага ребер, пока зазор
между ними не уменьшится примерно до 0,8 мм. После этого
теплоотдача снижается на 30%.
7. При распространении этих выводов на сброки из сотен шипов
следует соблюдать осторожность. При образовании очень больших
объемов пара могут проявиться новые эффекты.
Рис. 5.14. Картина кипения на оребрениой трубе, отводящей
37,5 Вт/мм при |ДГ=67°С во фреон-113. (На трубе
сосуществуют все три режима кипения.)
Бондурант и Вествотер [20] применили метод Рунге — Кутта
четвертого порядка к решению уравнений теплового баланса радиальных
ребер прямоугольного профиля, при этом как теплопроводность
материала ребра, так и коэффициент теплоотдачи между ребром и кипящей
жидкостью считались зависящими от температуры. Данные по
коэффициенту теплоотдачи были взяты из работы Хэли и Вествотера [8].
Задавался тепловой поток в основании ребра, и в результате итераций
находился температурный напор в основании, при котором у торца
ребра существовал пузырьковый режим кипения. После определения
температурного напора в основании одиночного ребра находился
суммарный тепловой поток,-отводимый оребренной трубой. Его рассчитывали
умножением теплового потока, отводимого одиночным ребром, на число
219

ребер и прибавлением вклада поверхности трубы, свободной от ребер.
Таким образом строилась кривая кипения для оребренной трубы в
целом, т. е. зависимость отводимого трубой теплового потока от
температурного напора в основании ребра.
Шесть оребренных труб исследованы экспериментально с тем,
чтобы проверить результаты численных расчетов и определить влияние ма-
Рис. 5.15. Картина кипения на той же оребренной трубе, что
на рис. 5.14, при АГ=115ЮС. В данном случае труба отводит
всего лишь 8,5 Вт/мм; ее поверхность полностью занята
пленочным кипением.
лых зазоров между ребрами на отводимый тепловой поток. В
результате получено хорошее совпадение данных расчета и эксперимента. Были
сделаны фотоснимки некоторых характерных режимов. Они показаны на
рис. 5.14—5.16. На рис. 5.14 изображена работа трубы с радиальными
ребрами, отводящей 37,5 Вт/мм длины трубы, погруженной во
фреон-113. Температурный напор в основании ребра равнялся 67°С. Из
снимка видно, что на трубе могут устойчиво сосуществовать все три
режима кипения. Хотя из-за интенсивной генерации пара трудно
разглядеть стенку трубы, на ней происходит пленочное кипение, тогда как
на поверхности ребер существуют переходный и пузырьковый режимы
кипения. Интенсивное пузырьковое кипение наблюдается почти до
самых торцов ребер. Бондурант и Вествотер отмечали, что при отсутствии
ребер и том же температурном напоре на поверхности трубы
пузырьковый режим кипения существовать не может и суммарный тепловой
поток снижается в 46 раз. На рис. 5.15 показан фотоснимок той же
трубы, работающей с нагрузкой 8,5 Вт/мм длины трубы во фреоне-113 при
температурном напоре в основании ребра 115°С. На всей трубе имеет
место пленочное кипение, область пузырькового кипения вытеснена
с поверхности ребер из-за слишком высокого температурного напора
в основании. В результате тепловой поток, отводимый трубой,
существенно уменьшился.
220

На рис. 5.16 приведен снимок другой трубы, работающей в режиме
пузырькового кипения во фреоне-113 при температурном напоре в
основании ребра 12,8°С. Отводимый тепловой поток при этом составил
8,1 Вт/мм длины трубы.
Бондурант и Вествотер пришли к заключению, что ребра можь
сближать настолько, чтобы зазор между ними составлял примерно
^ЭВ^жВШГшШ
ИИ
¦ ::
^^^Ш^^^^^^ш^^^^^^^^^^^^^^шШ!^^^шшШш
Рис. 5.16. Сребренная труба, работающая в области
пузырькового режима кипения фреона-113. Отводимый тепловой
поток 8,1 Вт/мм при АГ=12,8°С.
1,6 мм. При зазоре 0,8 мм тепловой поток, отводимый оребренной
трубой, снижается на 10%, при этом изменяется также режим течения
пара. Зазор в 0,8 мм лежит в пределах диапазона отрывных диаметров
пузырей при пузырьковом кипении.
ИЗМЕРЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛООТДАЧИ
Выражение для температурного напора в продольном ребре
прямоугольного профиля может быть использовано для экспериментального
определения коэффициента теплоотдачи при вынужденной конвекции.
Общее решение для местного значения температурного напора имеет
вид [см. B.8)]:
Q=Ciemx + C2e-mx.
Пусть отсчет координаты х ведется от основания ребра. Выберем
два значения х, равные точно В и 2В единиц. Предположим, что
измерены три температуры: в основании ребра, в сечении х=В и в сечении
х=2В. Тогда из B.8) следует:
Ь2В = С1е2тВ-\-С2е-2т3.
E.91)
221

Определим R как отношение
D 9о + 625
А = д •
Подставив в него значения 6 из E.91), получим:
90 + 62Б Сг + С2 + С,е2тВ + С2е-2тВ
h ~~ CiemB + C2e-mB
Умножим числитель и знаменатель на (<етВ + е~тВ) и, произведя
алгебраические преобразования, придем к следующим соотношениям:
_ (етв + е^тВ) (Ci + c2 + Схе2тВ + С2е~2тВ) .
(етВ + е-тВ) (СхетВ + С2е~тВ)
_ (gWB + g-mB) (С, + С2 + С^2тБ + C2g~2mg)
C1 + C1 + C1e2wfl + Cte-arfIfl
или
R=emB + e~mB =2 ch mB.
Получаем простое соотношение между R и тВ, учитывающее
известные размеры ребра, коэффициент теплопроводности и три измеренные
температуры в выбранных точках ребра. Оно может быть решено
относительно неизвестного коэффициента теплоотдачи:
(^ = (»Y^ = arcch*;
E.92)
и— kdo /arcch (/?/2) "9 '
ТЕРМОМЕТРИЧЕСКИЕ ГИЛЬЗЫ
Для измерения температуры жидкости в трубе или сосуде
термометрические гильзы или зонды часто пропускаются через отверстие
в стенке и погружаются в жидкость. Гильза представляет собой трубку,
заглушённую с одного конца и закрепленную в стенке с другого,
следовательно, она может рассматриваться как полый цилиндрический шип
с температурой в основании, равной температуре стенки сосуда
(трубы). Термопара, находящаяся в гильзе и контактирующая с ее
заглушённым концом, будет показывать температуру вершины ребра. Эта
температура не равна температуре жидкости, т. е. результаты
измерений будут содержать ошибку. Желательно, чтобы эта ошибка была
мала и чтобы ее значение можно было рассчитать.
Эта интересная задача была рассмотрена в ряде исследований.
В качестве примера можно сослаться на работу Веста и Вествотера
[21J. Они рассмотрели задачу с учетом излучения и получили
следующую формулу:
/ / h~4-hn ch тхЪ ^ лл
Т—Т = и -ь Г~Г' E-93)
где hc и hR—коэффициенты теплоотдачи конвекцией и излучением
соответственно. Уравнение E.93) может быть использовано для расчета
температуры жидкости ts по известной температуре вершины te.
Параметр гп\ определяется по следующей формуле:
т1 = [(Лс + Лй)-^-]1/2. E.94)
222

Он имеет то же значение, что и обычный параметр т, когда
излучением можно пренебречь. Коэффициент hR определяется по формуле
Ь*="^У=°* «*e + t\) (te + Q,
где значения температур должны браться в градусах Кельвина. Он
никогда не равен нулю, но обычно мал по сравнению с hc. В уравнении
E.93) hR принят постоянным, тогда как истинное значение hR будет
меняться в зависимости от положения гильзы. Это значит, что E.93)
дает приближенное решение основного дифференциального уравнения,
описывающего тепловой баланс элемента длины гильзы. Точное
аналитическое решение этого уравнения невозможно, однако решение,
полученное численными методами [22], показывает, что значение ts—tey
рассчитанное по E.93), редко отличается более чем на 1% от точного
значения. Таким образом, использование постоянного значения hR
вместо переменного вполне правомерно.
Для измерений температуры желательно, чтобы гильза плохо
проводила тепло. Идеальная гильза должна быть длинной и тонкой,
изготовленной из материала с низким коэффициентом теплопроводности и
должна иметь малое поперечное сечение.
ЗАДАЧИ
5.1. Радиальное ребро прямоугольного профиля внутренним диаметром 50 мм,
наружным 75 мм и толщиной 6,5 мм изготовлено из стали -с коэффициентом
теплопроводности 36,5 Вт/(м-°С). Температура в основании ребра равна 95°С. Ребро отводит
тепло конвекцией, температура окружающей среды равна 40°С, коэффициент
теплоотдачи 60 Вт/(м2-°С). Определить температуру торца и отводимый ребром тепловой
поток с помощью графиков Чэпмена; сравнить результат с решениями по B.36) и B.37).
5.2. Определить эффективность ребра, описанного в задаче 5.1. Использовать
поправку для продольного ребра. Сравнить результат со значением, вычисленным по
B.38).
5.3. Продольное ребро трапециевидного профиля имеет толщину в основании.
6,5 мм, а у торца 2,4 мм. Высота ребра 50 мм. Оно изготовлено из стали с
коэффициентом теплопроводности 42 Вт/(м-°С). Какова эффективность ребра, если
коэффициент теплоотдачи равен 68 Вт/(м2-°С)?
5.4. Использовать аналогию с линией передачи для определения теплового потока
и температуры торца продольного ребра прямоугольного профиля. Размеры ребра:
длина 150 мм, высота 75 мм, толщина 4,8 мм. Ребро изготовлено из меди, к =
= 390 Вт/(м-|0С). Коэффициент теплоотдачи равен 250 Вт/(м2-°С). Температура
в основании ребра 110°С, окружающей среды 60°С. Проверить результат аналитически.
5.5. Для описанного в задаче 5.4 ребра определить приближенное значение
эффективности, используя приближенную формулу Дюсинбера.
5.6. Ребро, описанное в задаче 5.4, заменяется на треугольное. Геометрические
размеры и теплофизические параметры остаются теми же. С помощью приближенной
формулы Дюсинбера определить эффективность. Полученный результат проверить
аналитически.
5.7. Ребро изготовлено из материала с коэффициентом теплопроводности
5,4 Вт/(м-сС). Толщина ребра 1,6 мм, высота 150 мм. Теплоподвод к ребру
осуществляется ступенчато на участках длиной по 30 мм; в пределах участка плотность
подводимого теплового потока постоянна и равна 2000, 2800, 1500, 2300 и 700 Вт/м2, считая
от основания ребра. Рассчитать профиль температур, если температура в основании
равна 85°С.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 5
1. Harper D. R., Brown W. В. Mathematical Equations for Heat Conduction in Fins
of Air Cooled Engines, NACA. Rept. 158, 1922..
2. Chapman A. Heat Transfer, N. Y., The Macmillan Company, 1966.
3. Краус А. Д. Охлаждение электронного оборудования. Л., «Энергия», 1971.
4. Smith R. К. Personal communication, 1966.
5. Dusinberre G. M. Mech. Eng., 1956, 78, p. 570.
223

6. Gardner К. A. General Discussion on Heat Transfer, Inst, of Mech. Engrs.
London, 1951, p. 214.
7. Kraus A. D. Extended Surfaces, Washington, D. C, Spartan Books, 1964, p. 156.
8. Haley K. W., Westwater J. W. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., Chicago,
1966, 3, p. 245.
9. Wilkins J. E. Proc. of Heat Transfer and Fluid Mech. Inst., Stanford Univ. Press,
1960, p. 229.
10. Schmidt E. Z. ver. deut. Ing., 1926, 70, S. 885, 947.
11. Naley K. W. Ph. D. thesis, Urbana, ill., University of Illinois, 1965.
12. Dunskus Т., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 1961, 57 C2),
p. 173.
13. Breen B. P., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr., 1962, 58, p. 67.
14. Braunlich R. H. M. S. thesis, Cambridge, Mass., Massachusetts Institute of
Technology, 1941.
15. Lai F. S., Hsu Y. Y. AIChE J., 1967, 13, № 4, p. 817.
16. Hsu Y. Y. Natl. Aeron. Space Admin., Tech. Note NASA-TNO-4797, 1968.
17. Siman-Tov M. Cehm. Eng. Progr. Symp. Ser., 1970, 66, p. 174.
* 18. Кэш, Клайн, Вествотер. Труды Амер. общ-ва инж.-мех. Теплопередача, 1971,
№ 1, с. 20.
19. Klein G. J., Westwater J. W. AIChE J., 1971.
20. Bondurant D. L., Westwater J. W. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 1971.
21. West W. E., Westwater J. W. Ind. Eng. Chem., 1953, 45, p. 2152.
22. Kraemer H. F., Westwater J. W. Ind. Eng. Chem., 1954, 46, p. 2035.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА
Введение
В гл. 2, 3 и 4 приведены аналитические решения для температурных
профилей, отводимых тепловых потоков и эффективности ребер
различной геометрии, работающих в разных условиях. В процессе решения
использовались все или большая часть допущений, перечисленных
в гл. 2. Если же для нахождения решения нужно отказаться от
нескольких допущений, то аналитические методы решения почти всегда
оказываются непригодными. В этом случае достаточно точное решение
можно получить с помощью метода конечных разностей.
Настоящая глава посвящена описанию основ метода и его
применения при анализе развитых поверхностей без перечисленных в гл. 2
упрощающих допущений. Приводится также общая программа расчета
на ЭВМ стационарных задач теплопроводности, обеспечивающая
быстрое решение задач теплообмена развитых поверхностей.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Основные принципы
Рассмотрим уравнение Лапласа
дН , дЧ
дх2 т ду2
О, F.1)
описывающее двумерную задачу стационарной теплопроводности. При
определенных граничных условиях оно может быть решено
аналитически. Полученное решение называется аналитическим решением.
Решение с помощью конечных разностей является численным, оно дает
значения температуры для некоторого набора (сетки) точек, носящих
название узлов. Численные значения, полученные аналитически и с по-
224

мощью метода конечных разностей, могут
быть согласованы с любой требуемой степенью
точности.
Рассмотрим сетку узловых точек. Если
температура в каком-то выбранном узле
равна tQ, то с помощью F.1) ее можно связать
с температурой соседних узлов, определив
вторые производные от температуры. На рис.
6.1 изображена произвольная зависимость
t=f(x)y которая учитывает изменение t только
вдоль одной координаты t=^fi\(x)i хотя из F.1)
следует, что между t и у также будет иметь
место функциональная связь, а именно t=
=ш.
Если у принять неизменной, то первая производная Ш[дх может
быть аппроксимирована частным от деления приращения t на
приращение х:
Рис. 6.1. Расчет первых и
вторых производных
функции t—f(x).
dt _ M2 + At,
дх ~~ Ахг + Ах2
. *2 *0 I *0 М , *2 *1
F.2)
Оценка второй производной получается из оценок первых
производных в каждом из двух соседних слоев. Разность значений первых
производных делится на расстояние между серединами соседних
элементов Ах\ и &х2. Следовательно,
дЧ At2/Ax2 — At,/Ax,
дх2 '
1 ¦ 1
— Ах2+— Ах,
Если Ах, = Дх, = Дх, то
дЧ _ (t2- t0)/Ax- (t9 - t,)/Ax _t, + t2-2t0
dx2 ~" Ax Ax2
Аналогичные выкладки для функции t — f2(y) дают:
дЧ t, + ti-2t0
F.3)
ду2
Ay2
В итоге F.1) может быть аппроксимировано выражением
^1 + ^2 2tp | ^3 + ^4 2*0 А
Ах2 ¦ Ау2 ^'
Если Ах=Ау, то мы придем к соотношению
F.4)
Уравнения узловых точекг
Метод конечных разностей предполагает, что пластина может быть
разделена на конечное число элементов, при этом каждая узловая
точка будет располагаться внутри соответствующего элемента. Если
выбрать число элементов достаточно большим с тем, чтобы Ах и Ау
оказались достаточно малыми, то F.2) и F.3) обеспечат хорошее
приближение к действительным значениям первой и второй производной.
Уравнение F.4) можно представить в несколько иной записи:
(U—U) V(t2-to) + {k—U) + (h—*o)=0. F.5)
15—192 225

Ах
Ах
2Т>\
5
2
•7
О
и
Ц
*i
А
Ах J Д.х
Дх
Последнее уравнение связывает между
собой температурные разйости. Поскольку
кондуктивный тепловой поток также
зависит от разности температур, то F.5) можно
трактовать как сумму тепловых потоков,
входящих в узел, имеющий температуру t0.
Отсюда следует, что как F.4), так и F.5)
можно получить из .первого закона
Кирхгофа для электрического тока, записав для
этого его тепловую аналогию.
Формулировка такого закона будет следующей:
алгебраическая сумма всех тепловых потоков
в данной точке должна равняться нулю.
Рассмотрим рис. 6.2, на котором
изображен участок очень тонкой пластины
квадратной формы, разделенный на девять
элементов, внутри которых выделены девять узловых точек. Геометрия
пластины выбрана такой, что тепло может передаваться
теплопроводностью только в направлениях х и у. Запишем закон Кирхгофа для
центральной узловой точки, обозначенной цифрой нуль.
Тогда
Если k — коэффициент теплопроводности, а б — толщина
пластины, то
Рис. 6.2. Сетка для решения
задачи методом конечных
разностей.
-д?- Vi ~ 'J+TT V* ~" ^ + ~Ах~ "* ~ fo)i A^~(h ~ h) — V.
При Ах=^Ауу разделив все члены уравнения на общие множители
k и б, получим F.5)
или F.4)
fa—<o) + th—U) + (t3—to) + (h—t0)=0
ti + t2 + ts+k—M o=0.
Если мы имеем задачу теплопроводности с внутренними
источниками тепла, то вместо уравнения Лапласа используется уравнение
Пуассона. Переход к конечным разностям осуществляется аналогичным
описанному выше путем. Двумерное уравнение Пуассона имеет вид:
дН i дЧ _t_gF_
дх2 "•" ду2 ' k
0,
F.6)
где q'— мощность внутренних источников тепла. Подставляя в F.6)
F.3) и соответствующее ему выражение для производной по у,
получаем:
Ax2 'At/2 ~ k V'
или, если снова Ах = Ау,
t1+t> + t3 + ti-4t,+^V-=0. F.7)
226

Если считать тепловой поток, направленный к узловой точке,
положительным, то из закона Кирхгофа можно получить следующее
соотношение:
тг е. - 'о)+4^ е. - и+т?- с - о +
+-тг- & -'.)+q'8 (д*) (д#)=°-
При Длг = Ду оно превращается в F.7)
Из приведенных выкладок видно, что с помощью уравнения
Пуассона и закона Кирхгофа получаются идентичные результаты.
Возвратимся теперь к рис. 6.2. Можно записать соответствующие
балансовые соотношения для узловой точки каждого из девяти
элементов (толщиной б). Если температура на границе участка
зафиксирована и равна /е, то из закона Кирхгофа следует:
A) ф*- (tt -te)+^ ft - tt)+J*g- ft - o+
— Ay
' fe5Ax-ft-O = 0; F.8a)
1 Ay
B) J^L(tt-te)+J^-(U-.t.)+^-{tt-Q +
— Ax
4-^ft-g-O; F.86)
C) 4^(we)+-^(w.)+-^,-g+
-2" A»
+^ft-^) = 0; F.8c)
D) ^ft-g+-^ft-g+-^-(^-^) +
"о" A#
1 Ay
E) «ASLft-y+^Lft-O+^L (/.-*,) +
-я- Д* -9- Ay
kd**(t*-Q = 0; F.8d)
, ' Ay
F) «^Л-у+«^(*.-о + ^.(*.-о +
*9Д*-('.-'.) = 0; F.8в)
— д* — д</
-^¦«.-0=0;
15*

G)
(8)
@)
kbAy
— Ax
&-'.) +
Шх
1
— Ay
&-'«)-
kbAy
Ax
e-o +
Шх
(*7-g = 0;
kSAy
ft-'*)
Шх
('.-и-
Ax
e.-o +
Шх
ft-'.)
Шх
Ay
(to
При Дл;=Д«/ F.8a) —F.80 принимают вид:
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
@)
*.-&t+VK + 2fe=0;
'.-».НЧ+'. + 2*в = 0;
'.-»4+'т+'. + »в=0;
f,+ /,-«,:+4/,=0;
'. + '.-«.+¦«« = 0;
ft+/4-«T+4*,=o;
-#.+<,+',+'.+*4=о.
Их можно записать и в несколько ином виде:
(о
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8)
(/С, + 3/С2) *, - /С А - /СЛ - /С А = /С А
(Л'j -|- 3/Са) /2 — /С А — /С А — /С А = /С А
(Л', + ЗК2) t3 - /С А - /С А - /СА = *А
(/с,+зл'2) г4 - к а - /с А - /с А=к а
(Ж, + 2/С.) *5 - /С А - Л'А = 2КА;
B/С, + 2К2) te - /С А - /С A = 2/С А:
B/С, + 2/С2) t, - К А - КА = 2/С А;
B/С, + 2/С.) /8 - ДА - К А = 2/С А;
4/СА - /са - Д'А - *А - *А = о,
F.8g)
F.8ft)
F.80
F.9а)
F.9в)
F.9с)
F.9d)
F.9*)
F.9/)
F.%)
F.9ft)
F.91)
F.10а)
F.106)
F.10с)
(блао
F.10<?)
F.10/)
F.l0g)
F. ЮЛ)
F.10t)
@)
где /Ci=2; /C2=l.
Из F.9а) — F.9i) следует, что составление уравнений узловых точек
попросту заключается в записи соотношений между температурами
узлов. Уравнения F.10а) —F.1 Of) несколько сложнее, поскольку они
включают константы проводимости, обозначенные К\ и Кг. Однако и
эта система довольно проста, поскольку /Ci и /Сг — целые числа.
Уравнения узловых точек редко имеют столь простую форму.
Например, положим, что на рис. 6.2 АхфАу. Тогда F.8) должны быть
записаны следующим образом:
A) K1(tl-Q + KAt1-h)+^(t1-t,) + KAt1-Q = 0;
B) /с4 (/, - te)+/сг (t, - g+Kt (*, - h)+кг (h - *,)=0;
C) /C4 (/, - te) + /C2 (t3 - Q + /C, A - tt) + /C3 (f, - tt) = 0;
F.11a)
F.11 e)
F.11c)
228

D) KAt%-U+KMif^t,)+KA^-'Q+KAK-t.)=^ F.1 id)
E) K4 (t5 - /Д+ К,[(*, - у -И*2 ft - *,) + K3 ft - /2) - 0; F.11 e)
F) /c4 ft - a+ Kttft - у:+ к, ft - rj+/c, ft - у =[0; F.11/)
G) K4ft-4) + ^(^-a+[^(^-y + ^(^-W = 0; F.11g)
(8) КЖ - Or№('. - te)\+lKl(t& - t4) + /C;ft - у = 0; F.1 \h)
@) K3 ft - /,)!+ /C. ft - О +[tf2 ft - О + tf2 ft - /3) =J0; F.110
где
Д1— At/ • Д2 Ах ; Дз~ Аг/ ; А* AT"'
Уравнения F.11а) — F.1 It) могут быть преобразованы и
представлены в матричной форме, приведенной в табл. 6.1. Таблица содержит
характеристический определитель матрицы размера пХп системы п
уравнений узловых точек. Отметим наличие симметрии коэффициентов
dij и oiji, где i— номер ряда, а / — номер столбца пХп матрицы. Здесь
t=/=l, 2, 3, ..., п—2, п—1, п. Наличие симметрии является
существенным требованием, оно позволяет проверить правильность записи
уравнений узловых точек до начала численного решения задачи. Симметрия
должна иметь место и в сопряженной матрице. Физически это означает,
что тепловой поток, поступающий, скажем, из узла А в узел 5, должен
быть алгебраически равен взятому со знаком минус тепловому потоку,
поступающему из узла В в узел А.
Константы проводимости
В простом случае, изображенном на рис. 6.2, все тепло между
узловыми точками передается теплопроводностью. Интенсивность этого
процесса определяется константами проводимости К\ и Ко. в уравнениях
F.10а) —F.10/) и константами Ки К2, Кз и К± — в F.11а) — F.1 It). Эти
величины рассчитываются по формуле стационарной теплопроводности
К=^, F.12)
где А — площадь поперечного сечения, взятая по нормали к
направлению распространения тепла; AL— расстояние между узлами.
Другие виды теплообмена описываются эквивалентной
проводимостью. Так, в случае конвекции
K=hS, F.13)
где 5 — площадь теплоотдающей поверхности. В случае теплообмена
излучением
K = oF4F,SG'\+7'*t)G'1+7'1). F.14)
где Т\ и Т2 — абсолютные температуры источника и приемника
излучения соответственно. Тепловой поток записывается через эффективную
проводимость как q=KAT=KAt.
Решение уравнений узловых точек
Система уравнений узловых точек может быть решена различными
способами. Среди них следует указать метод обращения матриц [1],
понижение порядка определителей по правилу Крамера, схему Гаусса
[2], схему Чолесского, метод итераций Гаусса — Зайделя и методы ре-
229

Матрица размера 9X9 системы девяти уравнений узловых
Узловая
точка
0
1
2
3
4
5
6
7
8
h
2К3 + 2К2
-К,
-к»
-Кг
-к»
и
-Кг
К1+2К,+К>
-к,
-к,
Температура в узле
U h
-к,
К2+2К3+К,
-к,
-к3
-к,
Кг+2К3+К,
-Кг
-Кг
и |
-Кг |
Kt+"K2+K,
-к, 1
-Кг
лаксаций [3—5]. Цифровая вычислительная машина является
отличным инструментом для быстрого решения конечно-разностных задач.
При расчетах и конструировании развитых поверхностей редко
используется конечно-разностная сетка с числом узлов менее десяти. В этих
условиях методы «ручного» счета требуют чрезмерно больших затрат
времени. Поэтому в настоящей главе описывается и иллюстрируется на
нескольких примерах обобщенная программа решения
рассматриваемой конечноразностной задачи.
ОБОБЩЕННАЯ ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [6]
Принципы расчета
Для решения системы нелинейных алгебраических уравнений
программа использует метод конечных разностей в сочетании с
линеаризацией. Такая программа может быть применена при решении сложных,
трехмерных задач теплопроводности. Записанная на языке ФОРТРАН-IV
и пригодная для использования на любой подходящей (ЭВМ програимма
приведена в приложении 1.
Подготовка к вводу программы
Ввод программы осуществляется с четырех обязательно
участвующих карт и с дополнительных карт (их число выбирается по
потребности), с помощью которых полностью описываются семь групп
необходимой для решения задачи информации. Обязательные четыре карты
необходимы для всех расчетов. В них содержится следующая
информация.
"Карта-заголовок. Эта карта необходима для каждого расчета, она
может быть либо чистой, либо содержать любую информацию, иденти-
230"

Таблица 6.1
точек (симметрична относительно главной диагонали)
Температура в узле
1 <»
1 ¦-*,
1 -к,
\ к,+к2+к3+к.
.и
-к,
-к3
Кг+К,+К3+К4
и
-К3
-к,
к,+к2+к,+к.
и
-к,
-к2
*.+*,+*,+*«
0
Kite
KJe
Ktte
Kite
(Кг+KJte
(*.+*«)'«
(Кг+K^te
(Кг+KJte
фицирующую конкретную задачу. Она будет отпечатана в верхней
части каждой страницы выводимой на печать информации рядом с
номером страницы.
Карта 1. Это карта-описание, она необходима для определения
каждой задачи. Стоящие в ней числа представляют собой целые
константы v, которые записываются без десятичной точки в конце. Для
каждой характеристики задачи отводятся соответствующие столбцы
карты согласно приведенной ниже таблице.
№ п/п.
1
2
3
4
5
6
7
8
1
Номера
столбцов карты 1
1—4
5—8
9—12
13—16
17—20
21—24
25—28
29—32
Содержащаяся информация
Число рассматриваемых узловых точек
Число фиксированных значений температуры
Число регулируемых источников (стоков) тепла, т. е.
источников, мощность которых зависит от температуры узловой
точки
Число нестандартных показателей степени
Число узловых точек, получающих „вторичное" тепло
Число кривых, описывающих зависящие от температуры
коэффициенты
Число узлов, регулирующих „быстрый" теплоподвод
Число кривых зависимости подводимой мощности от
температуры, не учитываемых в п. 3
Ребро, имеющее температуру в основании t0 и отводящее тепло
в окружающую среду с температурой ts, будет иметь два
фиксированных значения температуры (позиция 2 таблицы). Цифра 2 ставится
в 8-м столбце карты. Позиция 3 определяет число источников тепла
(нагревателей), мощность которых зависит от температуры узловой
1 На языке ФОРТРАН константой называют любое используемое в программе
число как целое, так и вещественное (т. е. дробное с плавающей десятичной точкой).
231

точки. В большинстве практических задач с развитыми поверхностями
число таких источников равно нулю, оно и заносится в столбец
12 карты.
Позиция 4 фиксирует число участвующих в задаче способов
передачи тепла, в которых тепловой потока связан с разностью температур
нестандартной степенной зависимостью. Нестандартными считаются
все показатели степени при разности температур 0 кроме 1,00, 1,25 или
4,00. Скажем, если коэффициент теплоотдачи описывается формулой
h=haB, то тепловой поток определяется соотношением q=haSQ2, где
3 — площадь теплоотдающей поверхности. В этом случае показатель
степени при 0 оказывается нестандартным, поскольку он не равен ни 1,00,
ни 1,25, ни 4,00. Следовательно, мы имеем один нестандартный
показатель степени, и это число заносится в столбец 16.
Программа позволяет учитывать наличие регулируемых источников
тепла, но не более чем в шести узлах. Тепловой поток, подводимый
к узлу, зависит от значения температуры в этой же узловой точке и
задается температурной кривой.
Источник тепла, регулируемый по температуре в каком-либо узле,
может быть приложен к совершенно другой узловой точке. Например,
температура в узле 16 может определять интенсивность подвода тепла
к узлу 23. Такое тепло носит название «вторичного». Позиция 5
таблицы фиксирует общее число узловых точек, получающих «вторичное»
тепло. Заметим, что данный «вторичный» источник может передавать
тепло только одному узлу.
Если температура выбранного регулирующего узла опускается
ниже какого-то заданного значения, то мощность каждого регулируемого
источника перестает меняться, оставаясь постоянной на определенном
заданном уровне. Этот тепловой поток называется «быстрым». Его
назначение— осуществлять нагрев соответствующего узла настолько
быстро, насколько это возможно. Позиция 7 таблицы фиксирует число
узловых точек, регулирующих «быстрое» тепло, даже если, как это
имеет место в случае «вторичных» источников, эти регулирующие
узловые точки не совпадают с узлами, реально получающими тепло.
Позиция 6 таблицы указывает число кривых, описывающих
температурные зависимости для коэффициентов, входящих в уравнение
теплопроводности. Может быть использовано до пяти таких кривых.
Действительное число этих кривых записывается в столбце 24.
Позиция 8 отражает наличие подвода тепла, зависящего от
температуры, но не рассматриваемого в качестве регулируемого источника.
Например, термоэлемент будет поглощать или выделять тепло Пельтье
qp в соответствии с соотношением qv=aTI, где а — постоянная Зеебека,
/ — сила тока, а Т — абсолютная температура. Программа позволяет
учитывать qp как функцию Т, причем эта функциональная связь
включает в себя изменение произведения а/. Кривая qp=f(T) вводится
в ЭВМ 7-м комплектом входных данных. В программу можно включить
пять таких кривых ^/Р=н/(Г), их действительное число указывается
в столбце 32 карты 1.
Карта 2. Эта карта тоже обязательна для каждого варианта задачи.
Она характеризует возможности программы (см. приведенную ниже
таблицу). Стоящие в ней числа представляют собой целые константы
и записываются без десятичной точки в конце.
Программа может произвести расчет для 295 узлов с 50
фиксированными значениями температуры и 6 регулируемыми источниками тепла.
В позиции 1 таблицы стоит число 300, записанное в столбцах 2, 3 и 4
232

карты 2. При этом для задания дополнительной информации могут быть
использованы метки 301, 302, 303 и т. д. В позиции 2 таблицы стоит
число 50, занимающее столбцы 7 и 8 карты 2. Возможность
использования в расчетах шести регулируемых источников тепла (позиция 3
таблицы) отражена числом 6, стоящим в столбце 12 карты.
№ п/п.
Номера
столбцов карты 2
Содержащаяся информация
1—4
5—8
9—12
13—16
17—20
21—24
25—28
29—32
Максимальное число узловых точек
Максимальное число фиксированных значений температуры
Максимальное число регулируемых источников тепла
Номер первого из вводимых комплектов входных данных
Номер второго из вводимых комплектов входных данных
Продолжается по мере необходимости, пока не будут учтены
все вводимые комплекты входных данных
Все входные данные можно объединить в следующие семь
комплектов:
Номер
комплекта
Содержащаяся информация
Коэффициенты, зависящие от температуры
Фиксированные значения температуры
Ланные о регулируемых источниках тепла
Уравнения узловых точек
Нестандартные показатели степени
Приближенные оценки температуры
Зависящие от температуры теплоподводы, не учитываемые в качестве
источников тепла
Номера комплектов записываются в соответствующих столбцах
карты 2. Рассмотрим, например, ребро с температурой в основании
U, отдающее тепло окружающей среде с температурой is. Регулируемые
источники тепла отсутствуют, коэффициенты не зависят от температуры
и нет зависящих от температуры теплоподводов. Тогда в столбце 16
карты 2 будет записано число 2, в столбце 20 — число 4, а в столбце
24 — число 6. Заметим, что числа 1, 3, 5 и 7 не записываются на карте 2,
поскольку соответствующие комплекты входных данных, как это видно
из сопоставления условия задачи и таблицы — перечня комплектов,
в рассматриваемом случае не используются.
Карта 3. Эта карта определяет требуемую точность, т. е. допустимую
разность значений последовательных итераций. Если ни одна из
температур узловых точек не отличается от предыдущей более чем на
указанное значение, то ЭВМ прекращает счет. Выводимые на печать
значения температур узлов округлены до второго десятичного знака
независимо от заданной действительной точности расчета. Однако для
того, чтобы округленный второй десятичный знак был достоверным,
заданная точность должна быть не хуже 0,005. Указанная цифра
рекомендуется потому, что при меньшем значении возрастает время счета.
К тому же большая точность расчета температуры, нежели 0,005,
редко необходима. Соответственно на карте 3 в столбцах 5, б, 7 и 8
записана вещественная константа .005. Следует иметь в виду, что, задавая
233

требуемую точность 0,005, когда в действительности вполне достаточно
0,05, мы заставляем машину проделывать две-три дополнительные
итерации, т. е. дополнительно затрачивать от 0,5 до 1 мин машинного
времени. В любом случае задаваемые числа размещаются в столбцах от
1 до 8 и содержат десятичную точку, последняя цифра числа
располагается в столбце 8.
Программа обеспечивает автоматическое согласование
демпфирования и сходимости. Коэффициент сходимости записывается в столбцах
9—16 карты 3. Наилучшие результаты получаются, если его значение
лежит в пределах от 0,5 до 0,75 (например, 0,66667).
Автоматическое демпфирование обеспечивается вводом
демпфирующих множителей, записываемых в нулевом @) комплекте входных
данных. При неудачном выборе (как в меньшую, так и в большую
стороны) этих множителей машина будет считать слишком долго из-за
плохой сходимости итераций.
Заданный коэффициент сходимости автоматически обеспечивает
критическую скорость демпфирования, т. е. после того как машина
удостоверилась, что благодаря введенным демпфирующим;
множителям сходимость расчета имеет место, она ускоряет ее в целях экономии
машинного времени.
И, наконец, на карту 3 в столбцы 17—24 заносится в виде целой
константы без десятичной точки в конце еще одно число. Оно
оканчивается в столбце 24. Это число задает максимальное число итераций,
которые должны быть проделаны машиной. Задание этого максимального
числа служит гарантией от ошибки, допущенной составителем
программы, в результате которой машина могла бы завести себя в бесконечный
циклический расчет.
Если стоящее здесь число равно нулю (или если поле между
столбцами 17 и 24 осталось незаполненным), то машина при условии
корректности и справедливости входных данных будет продолжать
итерации до тех пор, пока результаты расчета не удовлетворят критерию
точности. Если задаваемое число отлично от нуля, то машина
выполнит не более заданного число итераций. Если же при этом не будет
достигнута требуемая точность расчета, то машина запишет
результаты последней итерации и демпфирующие множители на ленте с тем,
чтобы значения этих температур могли быть затем пробиты на картах.
Это позволит использовать их в качестве исходных данных для
продолжения расчета.
Комплекты вводимых данных
Семь комплектов входных данных вводятся в машину в порядке
их нумерации. При этом непосредственно вслед за картой 3 вводятся
лишь перечисленные в карте 2 комплекты, за исключением нулевого @)
комплекта.
Нулевой комплект входных данных. Этот комплект не перечислен
в карте 2, он содержит значения демпфирующих множителей для всех
узловых точек. Демпфирующий множитель записывается в виде
вещественной константы с десятичной точкой, каждый множитель занимает
поле из 8 столбцов карты, всего на одной карте может быть
зафиксировано десять множителей. Запись продолжается до тех пор, пока
не будут охвачены все узловые точки.
Для обеспечения наилучшего счета значения демпфирующих
множителей должны лежать в пределах от 0,5 до 0,9. Судя по имеющемуся
234

опыту, хорошие результаты дает множитель 0,8*. Столбцы 73—80
могут быть использованы в целях маркировки.
Для того чтобы понять причины включения в программу
демпфирующих множителей, следует сопоставить два выражения для
радиационной проводимости: одно — в том виде, в каком оно вводится в
машину, и другое — в используемой машиной форме. В машину вводится
(в соответствии с 4-м комплектом входных данных)
Л' = о5^?еХЮ8.
Машина линеаризирует поток излучения
где Ts и TR — значения абсолютной температуры, деленные на 100.
Линеаризация ведет к изменению /С, поскольку новое соотношение
записывается как
qR=K?{Ts-TR).
Теперь тепловой поток оказывается прямо пропорциональным
разности температур. Собственно, поэтому он и называется
линеаризованным:
T*s ~ Т\ = {Т\ + Т\) (Ts + TR) (Ts - 7>
Отсюда следует, что
K'=K(rs+rR)(Ts+TR).
К сожалению, машина в процессе счета очередной итерации не
определяет К7 как произведение указанных сомножителей. В целях
экономии машинного времени она выполняет операцию
к, K(T*S-T*R)
1 S — * R
используя уже рассчитанную в предыдущей итерации (и сохраненную
в памяти) разность G\—Г4Л). Видно, что при очень малых разностях
температур значение К! оказывается сильно завышенным, а
подстановка столь большого значения К! в уравнение баланса тепла приводит
к очень неприятным колебаниям температуры4.
От этих колебаний избавляются с помощью демпфирующих
множителей. Если обозначить их через р, то тогда действительное значение
К! будет равно прежнему его значению (скажем, /С'о), умноженному
на 8, т. е.
Кг=$К'о.
Раньше или позже (на практике довольно быстро) колебания
температуры приобретают управляемый характер. Заметим, что карта 2
* Значение 0,8 — эмпирическое, оно выбирается, исходя из числа нелинейных
членов во всех уравнениях узловых точек. Эти члены включают источники, учитывают
теплообмен свободной конвекцией и излучением. Значение демпфирующего множителя
обратно пропорционально числу нелинейных членов, и в случае преобладающего вклада
излучения его можно положить скорее равным 0,5, нежели 0,8. Любое, но меньшее 0,99
значение этого множителя может быть выбрано для каждой узловой точки. Если
используется 3-й комплект входных данных, то демпфирующие множители в. узлах
с регулируемыми источниками тепла должны быть приняты очень малыми, около 0,01.
1 Непривычно сталкиваться с термином «колебания» при анализе стационарной
задачи. В данном случае этот термин означает резкое изменение расчетных значений
температуры от одной итерации к другой.
235

не содержит никаких упоминаний о нулевом комплекте входных
данных. Этот комплект данных обеспечивает автоматизацию счета и
должен быть введен до остальных комплектов.
1-й комплект входных» данных. Этот комплект содержит описание
теплофизических свойств или параметров, изменяющихся вследствие
изменения температуры. Программа записана таким образом, что
машина может производить линейную интерполяцию между двумя точками
* с целью определения надлежащего значения проводимости для данной
итерации. Для этого кривая K=f(T) аппроксимируется восемью или
меньшим числом линейных участков, т. е. результирующая линия
опирается на девять или меньшее число точек кривой K=f(T).
Если вообще есть необходимость в 1-м комплекте входных данных,
то он должен содержать точно по две карты на каждую кривую К=
=f(T). Поскольку программа может содержать пять таких кривых, то
для ввода 1-го комплекта всего может использоваться до 10 карт.
Числа на этих картах записываются в виде вещественных констант
(с десятичной точкой), причем каждое число занимает восемь
определенных столбцов согласно следующей таблице.
№ карты
2
2
2
2
[№ столбца
1—8
9—16
17—24
25—32
57—64
65—72
1—8
9—16
57—64
65—72
Содержащаяся информация
Первое значение температуры
Первое значение проводимости
Второе значение температуры
Второе значение проводимости
Четвертое значение проводимости
Пятое значение температуры
Пятое значение проводимости
Шестое значение температуры
Девятое значение температуры
Девятое значение проводимости
Заметим, что на обеих картах столбцы 73—80 не используются
для ввода данных. Следовательно, их можно использовать в целях
маркировки. Рационально применять для маркировки карт этого
комплекта обозначения 51С1, S1C2, ..., 51С10, записывая S в 74-м
столбце, a G — в 78-м. Важно помнить, что если для описания температурной
зависимости K=f(T) используются всего четыре значения температуры
или меньше, то и в этом случае вторая карта должна быть включена
в комплект, несмотря на то, что она остается пустой.
2-й комплект входных данных. При описании 2-й карты отмечалось,
что в программе могут быть использованы до 50 источников или стоков
тепла с постоянной температурой. Эти 50 значений температуры
описываются во 2гм комплекте входных данных, по девять на карту. Запись
производится в виде вещественных констант с десятичной запятой. На
каждое число отводится поле из восьми столбцов, независимо от того,
используются все они или нет.
Для ввода этого комплекта требуется столько карт, сколько
необходимо для задания всех значений постоянной температуры. Вновь
236

столбцы 73—80 могут быть использованы для маркировки. Пусть,
например, ребро с температурой в основании 124,2°F* отводит тепло
в окружающую среду с температурой 43°F. Тогда в столбцы 4, 5, 6, 8,
14 и 15 будут соответственно занесены цифры 1, 2, 4, 2, 4, 3, а в
столбцах 7 и 16 будут стоять десятичные точки. Для задания этих двух
Температур нужна всего одна карта.
3-й комплект входных данных. Этот комплект содержит описание
регулируемых источников тепла. Он включает в себя точно пять карт,
и если для описания источников требуется меньшее число карт, то
оставшиеся незаполненными карты все же включаются в комплект.
На 1-й карте зафиксированы номера узловых точек, регулирующих
мощность рассматриваемых источников тепла. Запись производится
в виде целых констант, каждая константа занимает четыре столбца, при
этом в процессе записи следует руководствоваться следующей
таблицей.
№ столбца
Содержащаяся информация
1—4
5-8
9—12
13—16
17—20
21—24
Номер узла,
Номер узла,
Номер узла,
Номер узла,
Номер узла,
Номер узла,
регулирующего
регулирующего
регулирующего
регулирующего
регулирующего
регулирующего
первый источник
второй источник
третий источник
четвертый источник
пятый источник
шестой источник
Если используется менее шести регулируемых источников, то
соответствующие столбцы на карте остаются незаполненными. Все числа
на этой карге должны кончаться в крайнем правом столбце
соответствующей группы, десятичная точка не пишется. Например, если первый
источник регулируется узловой точкой 15, то в столбцах 3 и 4
записываются цифры 1 и 5.
Карты со 2-й по 5-ю содержат описание температурных кривых
регулируемых источников, каждая из которых аппроксимируется пятью
точками (четырьмя
прямолинейными отрезками). В программу можно
вводить до шести таких
регулируемых источников, каждый из которых
может быть как первичным, так и
вторичным. На рис. 6.3 приведена
характерная пара температурных
Кривых первичного № 1 и вторичного
№ 2 источников. Излом
температурных кривых происходит при одной
и той же температуре, но
соответствующие значения теплоподводов
разнятся. Запись на этих картах Рис 63. Характерные температурные
осуществляется с помощью веще- кривые регулируемых источников.
СТВеННЫХ КОНСТаНТ, ПрИ ЭТОМ СТОЛб- / — «быстрое» тепло. Первичный источник 1;
_ 2 — «быстрое» тепло. Вторичный источник 1;
ЦЫ -КарТЫ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ В СООТВеТ- 3 - температура отсечки «быстрого» тепла, од-
ствии со следующей таблицей. на и та же для первников° и вторичного ИСТ04"
* Здесь и далее при анализе представленной в книге программы расчета и
разборе конкретных решенных с ее помощью примеров во избежание ошибок преднамеренно
оставлена британская система единиц. (Прим. пер.)
237

№
карты
№
столбца
Содержащаяся информация
1—8
9—16
17—24
25—32
33—40
41—48
49-56
57—64
65—72
1—8
9—16
17—24
25—32
33—40
41—48
49—56
57—64
65—72
Первичный источник № 1, „быстрое" тепло, БТЕ/ч
Температура отсечки „быстрого" тепла для первичного и вторичного
источников № 1
Вторичный источник № 1, „быстрое" тепло, БТЕ/ч
Первичный и вторичный источники № 1, первое значение температуры
Первичный и вторичный источники № 1, второе значение температуры
Первичный и вторичный источники № 1, третье значение температуры
Первичный и вторичный источники № 1, четвертое значение
температуры
Первичный и вторичный источники № 1, пятое значение температуры
Первичный источник № 1, первое значение теплового потока, БТЕ/ч
Первичный источник № 1, второе значение теплового потока, БТЕ/ч
Первичный источник № 1, третье значение теплового потока, БТЕ/ч
Первичный источник № 1, четвертое значение теплового потока, БТЕ/ч
Первичный источник № 1, пятое значение теплового потока, БТЕ/ч
Вторичный источник № 1, первое значение теплового потока, БТЕ/ч
Вторичный источник № 1, второе значение теплового потока, БТЕ/ч
Вторичный источник № 1, третье значение теплового потока, БТЕ/ч
Вторичный источник № 1, четвертое значение теплового потока,
БТЕ/ч
Вторичный источник № 1, пятое значение теплового потока, БТЕ/ч
Карты 4 и 5 содержат аналогичную картам 2 и 3 информацию, ее
расположение такое же, как и на этих картах. Разница состоит лишь
в том, что эта информация относится к регулируемым источникам № 2.
Однако столбцы 9—16 на 4-й карте должны оставаться незаполненными.
4-й комплект входных данных. Все уравнения узловых точек и
значения межузловых проводимостей вводятся в машину с помощью 4-го
комплекта. Для каждого узла требуется по крайней мере две карты.
Необязательная маркировка этих карт может осуществляться записью
цифры 4 для 4-го комплекта в столбце 73; столбцы 75, 76 и 77
используются для фиксации номера узла, а столбцы 79 и 80 — для записи
номера карты. Например, если для описания узловой точки 14
требуются две карты, то метки этих карт будут иметь вид 4, 14, 1 и 4, 14, 2.
Соответствующие цифры будут стоять последовательно в столбцах 73,
76, 77 и 80. Наличие этих меток не сказывается на расчетах.
Нечетные карты используются для задания взаимодействующих
узлов и описания способов этого взаимодействия. Четные карты
используются для задания значений межузловой проводимости. С помощью
каждой карты можно осуществить ввод девяти чисел, при этом на
каждое число отводится поле из восьми столбцов карты независимо от
того, все они используются или нет.
Программа допускает, чтобы уравнение каждой узловой точки
имело до 99 членов. Общее число карт в колоде, описывающих это
уравнение, кратно девяти. Если, например, уравнение содержит 33 члена, то
независимо от его типа для описания этого узла нужны восемь карт
C3<9Х4=36). Четыре из этих карт имеют нечетную нумерацию
(карты 1, 3, 5 и 7) и содержат перечень взаимодействующих узлов и
описание способов их взаимодействия. Другие четыре карты имеют четные
номера (карты 2, 4, 6 и 8), и в них приведены значения
соответствующих проводимостей. Машине дается команда на поочередный опрос
всех узлов, соединенных с рассматриваемой узловой точкой, с
помощью числа, проставленного в столбцах 1 и 2 карты I колоды,
описывающей уравнение этой узловой точки. Это число указывает максималь-
238

но возможное количество связей в опрашиваемой колоде. Так, при
расчете 33-членного уравнения для некоторой узловой точки в столбцах
1 и 2 карты 1 соответствующей колоды будет стоять число 36. Если
уравнение узловой точки содержит 91 член, то вместо 36 будет
стоять 99.
Каждый член уравнения узловой точки несет в себе тройную
информацию. Прежде всего он указывает соответствующий узел, связанный
тепловым взаимодействием с рассматриваемым узлом. Во-вторых, он
фиксирует способ передачи тепла между этими узлами. Способ
передачи тепла определяется показателем степени при разности температур
At либо вытекает из известных специфических условий задачи. И,
наконец, каждый член несет количественную информацию о величине
соответствующего теплового потока.
4-й комплект входных данных включает в себя всю перечисленную
выше информацию. Узлы, взаимодействующие с рассматриваемой
точкой, а также способ передачи тепла задаются на нечетных картах
колоды. Способ передачи тепла обозначается цифрой, стоящей в столбцах
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 и 72. Выбор этой цифры осуществляется
в соответствии с табл. 6.2. Непосредственно перед числом, указываю-
Таблица 6.2
Способы передачи тепла и соответствующие проводимости
Способ передачи тепла
Теплопроводность
Свободная конвекция
Излучение
Вынужденная конвекция
С потоком жидкости
Нестандартный
показатель степени
То же
То же
То же
Цифра-
метка
i
2
3
4
5
6
7
8
1 9
Уравнение теплового потока
между узлами 1 и 2
д = Кг (<,-<,)
?=*,<*,-*,)••"
я = КЛТ\-т\)
r = (f°F + 460)/100
?=¦*«&-*•)
(tt и t;, — температуры
жидкости в узлах)
j q = Ki(tl-ti)Pi
1
Проводимость
Кг = kA/LL
K2 = K'2S
K3=0t\7\3FAFeS
K* = hS
Kb = wfCf
(wf — массовый расход
жидкости, a Cf — ее
удельная теплоемкость)
j Z=6, 7, 8, 9
i pi — показатели степени,
1 все имеющие различные
| значения
1 Ki=K'iSi
щим способ передачи тепла, стоит число, фиксирующее номер узла,
с которым осуществляется взаимодействие. Интенсивность передачи
тепла задается коэффициентом при соответствующем члене уравнения
узловой точки. Эти коэффициенты (или проводимости) записываются
на тех же позициях, что и указанные выше числа, но только на
соответствующих четных картах.
Рассмотрим пример. Пусть первые пять членов уравнения узловой
точки 13 записываются как
0ДЗ(Г1а-Г15) + 0,012(Г13-Г1вI-25 + 0.056(Гхз-Г104I-» +
+ 0,0015 G\, - Г J + 0,085 (Г„ -Т4) +...,
239

при этом известно, что первый член описывает перенос тепла
теплопроводностью, а пятый — вынужденной конвекцией. Эти пять членов
отражаются в колоде 4-го комплекта входных данных следующим образом.
На карте 4 13 1 будут стоять числа
151 в столбцах 6, 7 и 8,
162 в столбцах 14, 15 и 16,
1046 в столбцах 21, 22, 23 и 24,
293 в столбцах 30, 31 и 32,
44 в столбцах 39 и 40,
а на карте 4 13 2 записывается:
.13 в столбцах 6, 7 и 8,
.012 в столбцах 13, 14, 15 и 16,
.056 в столбцах 21, 22, 23 и 24,
.0015 в столбцах 28, 29, 30, 31 и 32,
.085 в столбцах 37, 38, 39 и 40.
Тепловые связи должны отражаться в обоих направлениях.
Например, член 0,13(Тхз—Ti5) описывает перенос тепла теплопроводностью
между узловыми точками 13 и 15, при этом проводимость равна 0,13.
Поскольку мы имеем дело с теплопроводностью, то на надлежащих
позициях нечетной и четной карт узловой точки 13 будут стоять 151 и 13.
Идентичная информация, а именно числа 131 и 13, должна появиться
на соответствующих местах нечетной и четной карт узловой точки 15.
Единственным исключением из подобной дублированной записи
тепловой связи является 5-й способ передачи тепла, т. е. передача тепла
с потоком жидкости. В этом случае на картах отражается только связь
рассматриваемого узла с источниками притекающей массы жидкости
(с узлами вверх по потоку), связь со стоками массы (вниз по потоку) не
записывается. Например, пусть 1 фунт/мин воздуха каким-то образом
поступает из окружающей среды (скажем, в узловую точку 304),
оттуда переносится в узел 87, а затем в узел 104. Последовательность
прохождения узлов оказывается следующей: 304-87-104. Значение
проводимости равно 0,24.60.1,0=14,4 BTE/D-°F). Узел 87 в этом случае
считается связанным с узлом 304, и на надлежащей нечетной карте колоды
узла 87 будет записано число 3045,при этом цифра 5 указывает на
перенос тепла с потоком жидкости. На соответствующем месте
надлежащей четной карты этой колоды будет стоять 14.4. Узел 87 считается
совершенно не связанным с узлом 104. Однако в колоде, описывающей
уравнение узловой точки 104, будут содержаться члены 875 и 14.4 на
соответственных местах нечетной и четной карт.
Заметим, что последние цифры всегда определяют способ
передачи тепла. Отметим также, что способ передачи тепла всегда
фиксируется на нечетных картах колоды. И, наконец, напомним, что
соответствующие значения проводимостей задаются на четных картах. Эти
значения всегда содержат десятичную точку и занимают поле из тех же
самых восьми столбцов, что и соответствующие цифры, обозначающие
взаимодействующий узел и способ передачи тепла на нечетной карте.
Дополнительная информация для составления 4-го комплекта
входных данных приведена в табл. 6.3.
5-й комплект входных данных. Нестандартные показатели степени
предназначены для описания 6—9 способов передачи тепла. Этот
комплект данных вводится одной картой. Запись осуществляется в виде
вещественных констант с десятичной точкой, при этом на каждый пока-
240

Таблица 6.3
Дополнительная информация к 4-му комплекту входных данных
Подвод тепла
Отвод тепла
Источники и стоки тепла
с постоянной температурой
Первичные источники тепла
Вторичные источники тепла
Коэффициенты, зависящие
от температуры
Считается, что к любой узловой точке тепло
подводится от некоего фиктивного узла, обозначенного
номером 999. Способ подвода тепла определяется
конкретными обстоятельствами, но при расчетах на ЭВМ считается,
что это- тепло подводится теплопроводностью.
Следовательно, на карте взаимодействий узловых точек, т. е. на
одной из нечетных карт, подвод тепла будет
зафиксирован цифрами 9991, а подводимый тепловой поток в БТЕ/ч
должен быть указан на том же поле соответствующей
карты „проводимости", т. е. соответствующей четной
карты
Отвод тепла фиксируется в программе по той же
методике, что и подвод. Отвод тепла представляет собой
отрицательный теплоподвод, т. е. указанное на карте
проводимости значение теплового потока будет
отрицательным
Программа может учесть наличие в любой узловой
точке источника или стока тепла постоянной температуры
с проводимостью между этими источниками и
рассматриваемым узлом, равной К. Число такого рода
источников постоянной температуры может достигать 50. Эти
! источники фиксируются как узловые точки с постоянной
температурой и с номерами от 301 до 350. Первому из
этих узлов присваивается номер 301, второму—302 и т. д.
Обмен теплом может осуществляться любым из
указанных в табл. 6.2 способов. Например, если тепло к стоку
с постоянной температурой 301 подводится естественной
конвекцией, то есть q — K&Tl>2hy то на карте
взаимодействия должен стоять набор цифр 3012, а на
соответствующей карте проводимости на том же поле будет
приведено значение К. Если к стоку 302 тепло
подводится вынужденной конвекцией, то на карте
взаимодействия будет записан набор цифр 3U24. а значение К
будет указано на том же поле соответствующей четной
1 карты
Первичным источникам в 4-м комплекте входных
данных присваиваются номера 351—356. Номера 351, 352,
353 даются источникам, регулируемым в соответствии
с первой температурной кривой, а 354, 355 и
356—источникам, регулируемым в соответствии со второй
температурной кривой. Считается, что подвод тепла
осуществляется теплопроводностью. Следовательно, способ
подвода тепла всегда фиксируется цифрой 1, и на
надлежащих картах будет записано 3511, 3521, 3531, 3541,
| 3551, 3561. Кроме того, на карте 2 записывается коэф-
! фициент, который задает масштаб к соответствующей
температурной кривой. Так, коэффициент 0,5 дает ЭВМ
команду взять половинный тепловой поток от задаваемого
температурной кривой и подать его в рассматриваемую
узловую точку
Число вторичных источников указывается на карте 1,
которая идет второй по счету во всей колоде входных
данных
С помощью чисел 1101—1105 производится выбор
надлежащей кривой К = / (Т) из 1-го комплекта входных
данных. Поскольку номера взаимодействующих узлов
и способов передачи тепла не связаны с переменным
коэффициентом проводимости, эти числа записываются
на картах проводимостей только в виде вещественных
констант с десятичной точкой
16—192 241

Продолжение табл. 6.3
Подвод тепла в
зависимости от температуры
Зависимость подводимого (отводимого) теплового
потока от температуры задается пятью температурными
кривыми, описываемыми 7-м комплектом входных данных.
Обращение к этим кривым производится с помощью
чисел 367—371. Эти „узлы" взаимодействуют (отводят или
подводят тепло) с рассматриваемой узловой точкой
теплопроводностью. Для задания масштаба к
температурной кривой на карте проводимостей должен быть указан
соответствующий коэффициент
затель степени отводится поле из восьми столбцов в соответствии со
следующей таблицей:
№
столбцов
Содержащаяся информация
9—16
17—24
25—32
Первый нестандартный показатель степени
Второй нестандартный показатель степени
Третий нестандартный показатель степени
Четвертый нестандартный показатель степени
На карту должны быть занесены только значения действительно
используемых нестандартных показателей степени. Оставшиеся места
остаются незаполненными. Столбцы 73—80 могут быть использованы
в целях маркировки. Все показатели степени должны содержать
десятичную точку.
6-й комплект входных данных. Этот комплект содержит исходные
оценки значений температуры во всех узловых точках. Эти оценки
записываются на соответствующих полях, по восемь столбцов в каждом,
запись осуществляется в виде вещественных констант с десятичной
точкой. На каждую карту последовательно заносится по девять исходных
значений температуры, пока, не будут перебраны все рассматриваемые
точки.
7-й комплект входных данных. Этот комплект дает возможность
учесть наличие зависящего от температуры подвода или отвода тепла.
Он в известной мере аналогичен 3-му комплекту входных данных.
Однако* в данном комплекте отсутствует «быстрое» тепло и
температурная кривая может быть задана более точно, поскольку для ее описания
используются девять температурных точек вместо пяти. Седьмой
комплект включает в себя от двух до десяти карт. Запись осуществляется
в виде вещественных констант с десятичной точкой на девяти полях,
занимающих по восемь столбцов каждое. Вводимое число обязательно
должно содержать десятичную точку и оканчиваться в крайнем правом
столбце соответствующего поля. Запись будет следующей:
№
карты
№
столбцов
Содержащаяся информация
1—8
9—16
Температурная кривая /, первое значение температуры
Температурная кривая /, первое значение теплового потока
242

Продолжение
№
карты
№
столбцов
Содержащаяся информация
17—24
25—32
65—72
1—8
9—16
57—64
65—72
Температурная кривая /, второе значение температуры
Температурная кривая 7, второе значение теплового потока
Температурная кривая У, пятое значение температуры
Температурная кривая /, пятое значение теплового потока
Температурная кривая 1, шестое значение температуры
Температурная кривая /, девятое значение температуры
Температурная кривая /, девятое значение теплового потока
Колонки 73—80 могут использоваться в целях маркировки. Карты
3—10 содержат необходимую информацию о других температурных
кривых. Запись осуществляется так же, как и на 1-й и 2-й картах.
№ карты
3—4
5—6
№
температурной кривой
2
3
№ карты
7—8
9—10
№
температурной кривой
4
5
Для описания каждой температурной кривой нужны две карты.
Если кривая может быть описана всего несколькими точками, то вторая
карта все же должна включаться в комплект, даже если она окажется
пустой. Уравнения узловых точек, описываемых 4-м комплектом
входных данных, обращаются к надлежащим температурным кривым с
помощью следующих записей на бланках взаимодействия: 3671, 3681,
3691,3701 и 3711.
ts = 20°F
Рис. 6.4. Модель
продольного (ребра
прямоугольного
профиля с 40
узлами (пример 6.1). iQ~1ZQ°F
0,011У
0,025'
2.
35
36
0,0125'
37
жш
W
0,025'
\
1,000
Применение методики иллюстрируется на примере расчета
продольного ребра прямоугольного профиля.
Пример 6.1. Рассчитать на ЭВМ профиль температур в продольном ребре,
используя модель с 40 узловыми точками.
Условия задачи:'Продольное ребро прямоугольного профиля отводит тепло в
среду с температурой 20°F. Коэффициент теплоотдачи равен 10 БТЕ/(фут2-ч-°Р).
Температура в основании ребра 120°F. Ребро изготовлено из нержавеющей стали с
коэффициентом теплопроводности ?=9,7 БТЕ/(фут-ч-°Р). Высота ребра 1", толщина 1/8",
длина 12".
Решение. 1. Конфигурация ребра. Схема ребра изображена на рис. 6.4. Отметим,
что узловые точки расположены с шагом 1/40 = 0,025", узел 1 отстоит от основания
ребра на расстоянии 0,5^0,025=0,0125", а узел 40 находится на том же расстоянии от
торца ребра.
1б* 243

2. Проводимости. Проводимость между узловыми точками определяется F.12):
Для элементов сетки 2—3, 3—4, 4—5, .,., 37—38, 38—39, 39—40
А = -§-. 12 = 1,5 дюйм2 = —д-. 1,5 = 0,01041 фут2; AL = 0,025• -jj => 0,002083 фут
A/12 — коэффициент пересчета из дюймов в футы)
kA 9,7-0,01041
^=-^=-i0^2683- = 48'5 БТЕДч.ор).
Проводимость между основанием ребра и узлом 1 в два раза больше
проводимости между внутренними узлами:
kA ^_ 9,7-0,01041
К* = AL ~~ 0,5-0,002083 = 97 БТЕ/(Ч'°Р)-
Эквивалентная проводимость для теплоотдачи конвекцией определяется F.13).
Для всех узловых точек, кроме 40-й, с учетом наличия двух боковых поверхностей
S== 2.0,025.^2". 1 =0,004167 фут2;
K, = hS = 10-0,004167 = 0,04167 БТЕ/(ч-°F).
Сороковая ячейка имеет две боковые теплоотдающие поверхности и торцевую.
С учетом площади торца
1 1
5 = 0,004167 +-з-'72"*1 =0,014577 фут2;
K^ = hS= 10.0,01-4577 = 0,14577 BTE/(q.#F).
Заметим, что при решении задачи численным методом допущение об отсутствии
тепловых потерь с торца не используется. Метод конечных разностей вообще позволяет
решать задачи не используя большинства допущений, присущих точным аналитическим
методам. В гл. 3 было показано, что для рассматриваемого ребра тепловые потери
с торца могут быть учтены изменением граничного условия для дифференциального
уравнения, описывающего температурный напор в ребре, или с помощью приближения
Харпера — Брауна. Однако это обстоятельство не делает бесполезным решение задачи
на ЭВМ с помощью метода конечных разностей. Действительно, в очень многих
случаях отказаться от ограничивающих допущений можно, лишь прибегая к конечно-
разностному методу решения.
3. Уравнения узловых точек. Уравнения узловых точек могут быть составлены,
непосредственно по рис. 6.4 с использованием рассчитанных значений проводимости.
Приведенная ниже табл. 6.4 представляет собой по существу рабочую схему, которая
может быть использована в этих целях. Заметим, что в наборах цифр, стоящих
в столбце, задающем взаимодействующие узлы, первые три цифры определяют номер
узла, с которым осуществляется обмен теплом, а последняя характеризует способ этого
теплообмена в соответствии с положениями табл. 6.2.
4. Подготовка к вводу данных в машину. Перфокарты набиваются согласно
записям в кодирующем бланке (FORTRAN-H CODING FORM). Такой бланк применительно
к рассматриваемой задаче воспроизводится на рис. 6.5, некоторые его детали будут
рассмотрены более подробно.
Карта-заголовок. Ей соответствует первая строка бланка, на которой записано
«модель продольного ребра прямоугольного профиля с 40 узловыми точками» (FOiRTY
NODE MODEL OF LONGITUDINAL FIN OF RECTANGULAR PROFILE).
Карта lifiard 1). Этой карте соответствует запись на 2-й строке, бланка. Она
указывает на то, что в рассматриваемой задаче учитываются 40 узловых точек и два
фиксированных значения температуры, что отсутствуют источники'тепла, зависящие от
температуры, « нестандартные показатели степени. Ни один из узлов не получает
«вторичного тепла»; отсутствуют кривые, описывающие изменение коэффициентов или
изменение температуры; ни одна узловая точка не регулирует «быстрое» тепло;
отсутствуют кривые, задающие зависящий от температуры подвод тепла.
Карта 2 {Card 2). Этой карте соответствует запись на третьей строке бланка. Она
говорит о том, что программа в принципе может рассчитывать 295 узловых точек,
учитывать 50 фиксированных значений температуры и наличие 6 регулируемых источников
1епла. Далее указывается, что в машину вводятся: 2-й комплект входных данных
244

Таблица 6.4
Уравнения узловых точек для модели продольного ребра
прямоугольного профиля с 40 узлами

Узловая
течка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Узел и
способ
взаимодействия
ЗОН*
' 21
3024**
11
31
3024
21
41
3024
31
51
3024
41
61
3024
51
71
3024
61
81
3024
71
91
3024
81
101
3024
91
111
3024
101
121
3024
111
131
3024
121
141
3024
К
97-
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
1 .04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167

Узловая
1 точка
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Узел и
способ
взаимодействия
131
151
3024
141
1 161
! 3024
i 151
171
1 3024
161
181
3024
171
191
3024
181
201
3024
191
211
3024
201
221
3024
211
231
3024
221 !
241
3024
231
251
3024
241
261
3024
251
271
3024
1
К
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5 1
.04167 [
i
48.5 !
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167

Узловая
1 точка
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Узе я и
способ
взаимодействия
261
281
3024
271
291
3024
281
301
3024
291
311
3024
301
321
3024
311
331
30^4
321
341
3024
331
351
3024
341
361
3024
351
371
3024
361
381
3024
371
391
3024
381
401
3024 |
391
3024 |
1
К
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.04167
48.5
48.5
.14577
* Узловая точка 301—температура з основании ребра.
ь* Узловая точка ЗЭ2 — температуоа окружающей среды.
245

COMMENTS
|t->Q=th-
1 K-
«c c<
1 to
ы
m
m
/,/.
»/.
47,
U
M,
W
U
II/,
89
Й9
/,M
44
V.4
№
h
b?3
й
yy
Ktf
¦
l/.V
MV
k'v
№
fC
Ы»
,is'
W
fft
№
/.*
к
к*
H
b
Ь
^
К
Ш
к
Z 4!
9?
S?
*?
fi?
Z?
^
lot1
F
Sz
кг
92
«
кг
22
гг
кг
ж
т
т
а
т
\Р
U
{Ct
\Z\r
№
\h
6
8
к
9
И
*
I?»
j_2.
j?
j I
iUj
-Л
»—i
u~
о
ос
CX
ос
^
о
S1
cd1
г:
S
i-<
CO
UJ
ее
wi~
о
=5
»—t
Uu
—7
^
se
ь-ч
сз
^i
t~
»—!
CD
^
CD
-J|
^
CD
-J
tu
p=5
CD
5Г
Ul
P=J
CD
^
>-
h~
ог
CD
U.
r-
CO
F=Jf=»
ОС
<=C
C_3
CD
CD
CD
CD
CD
CD
CO
CD
<h
I
ad
^
CO
о
=*
ar
cc
CO
о
h--.
a!1
CO
oo
oo
CO
I
!
CO
[<t-
ICO
CO
CD
Ю
CD
CD
to
CO
сгз
—
-u
CO
CO
CO
OO
CO
•
1
!
J
I co
oo~
1 -1 •
CO
X-
t—
CO
CO
CO
CO
; «
UD
CD
О
i
CD
—.
ajl
со
со
•
oo
CD
—
JJ
со
oo
oo
1
j
oo
со
CO
I 1
00
со
C©
°o
oo
CO
,00
1 "
oo
oo
со
oo
CO
oo
»
oo
oo
-•
cd!
(—
U|l
CO
col
-J
-u
H
i
oo
oc
oo
CO
CO
OO
oo
CO
CD
CO
о
CNO
r-
^~T
T-l
•3-
o-
CO
CD
ю
f*-
!co
1ТГ-
k-
CD
to
CO
r~
<J-
c^-
to
V-
-3-
CD
|UD
ICO
kf-
Г"
JOD
«r-
CNJ
¦3-
-Э-
СчЗ
CD
to
T—
fcO
X-
V-
co
CO
<t-
f-
co
xr-
<!-
CD
1ГЭ
ОС
o-
Ю
CO
¦3-
r-
co
CJ-
<J-
CO
CD
to
f4"*
<^-
ТГ-
CO
ёо]
со!
•^
^
-*-
•chl
CO
<s-
<h
j
!
t-
to
^r-
<h
CD
¦-r>
со
<1~
UD
oo
i4h
^s-
CO
CD
CO
T-
t-O
1
to
r-~
CO
"-Ч-
<h
CD
l-o
CO
<t-
LO
CO
c,-
"^
u-i
<*-
CO
LT3
<»-
-3-
C<i
та
CO
4—
'O
>-
<*"
1
!
; i ,L„.
~
CO
CJ-
" 1
•Г-
to
X-
1-3-
CD
!LH>-
•
fco
,*•
ко
loc
!<*-
¦3-
CXi
CD
:-o
T-
c^
¦e-
io
CVO
CO
Cf
X
t~-
co
-c-
•4-
CD
1ГЭ
CO
<h
Ю
OO
<t-
T—
c—
CJ-
«3-
CO
CD
to
X-
OC
T-
co
CO1
t--
J-
r—
oo
^3-
r
1
I
__j .
Г—
со
"C—
<h
CD
u^,
CO
<i~
UD
со
<i-
co
CO
o^
V-
CD
<J-
CO
CO
<J-
"
1
1
1
o-
co
CD
so
«f-
©¦3
^_
t-
!
r4-
CD
^r-
-Cf-
4
1
CDJ
ЧГ-1
o-l
i ^U
1 [ i j
1 I
... [ I
T ! П
! 1
~1 Г i
_.J:_4-..|
1
j i
I
" ¦•¦{¦"¦""
r—
CO
T-
<t-
CD
lo
QO
•*•
U-5
QO
<b
^
CO
CD
to
r-
CD
V-
4-
oo
r-~
co
s—
-•^
CD
Ю
oo
•3-
U-j
Joe
<<-
-*-
CO
о
to
T—
r—
T~
v-
СГЗ
!
1
_LJ_
I
i
i
f
•c—
voj
rr-\
^l
о
,toj
co|
-*•[
LO
ooi
^ll
t— COtO-3-1^DCOC~-COODCD^
CO CO <5- ix~:, CtD Г-
<У> CD T— CO ^'^ o4- L>*3 x'o Г4- ¦"
-~- CO CO C<1 C4i CO CO CO СО С
246

1
г
ъ
4
л
ь
7
8
У
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2*
25
26
27
28
29
3D
STATEMENT
HUMBER
=V1
to
-
<t-
lo
*
4
*
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4]
S
?
en
4
b
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
г
8
г
8
2
8
2
8
2
Lsj
(Продолжение)
PAGE
JL
¦t-
0
1
1
1
4
5
6
7
8
9
0
i
n
3
't
«V
1
Ь
1
Л
1
г?
1
5
1
5
1
5
i
5
1
5
1
с
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Cft
О
счэ
to
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
?f
4
4
4
4j
*
1
8
1
8
1
8
1
8
1
a
1
8
1
8
1
8
2
8
2
8
2
8
2
8
2
8
2
8
2
8
ко
2
3
,
4
b
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
CO
1
b
1
5
1
5
1
Ь
1
J
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
51
t>
oo
СУЭ
.
.
.
C\3
и
(/
0
и
0
0
0
о
0
0
0
0
0
0
1
с\з
,7
4
6
4
3
4
6
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
з
4
3
4
3
A
<S3
LI
1
U
1
G
1
I)
1
0
1
и
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
CO
2
b
2
b
2
Ь
2
6
2
6
r»
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
0
2
0
2
6
2
6
2
?
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4

4
7
4
7
4
l7
to
CNJ
CO
CM
'-
t--
oo
--
OS
со
со
счз
со
to
со
со
LO
со
со
t--
to
ОО
со
оэ
со
сэ
?
CS3
to
•3-
<*-
СО
t°o
'ОЫСЭ
4JIO
со
Nieokhlfrj
"OJtOJiOJlrs
coTt~-
со|«
L
Sola;
oj'r-l'esa
cokneo
1
со
"-.о
•^-|*o|co|t^|oo|cx>
со со со col со со
с-
Г>-[с--
0F
1
COMMENTS
сокНсо
c^-jt—Jcr—
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
*
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
colc^-loo
с——Jc—|c—,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
г
г
г
2
2
2
2
2
2
г
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4
!5
[5
1
г\
1
2
1
2
1
2
Ч
2
1
2
Я
2
1
2
Ц
Ц
1|
г?
^
я
2
1
2
1
2
1
Ч
\1\
ill
К
•^

1
2
'6
4
л
b'
7
«
9
К.)
11
12
13
n
1S
16
11
18
19
20
21
22
п
24
25
26
27
28
23
дО
STMMEMT
HUMtitR
*-
со
to
<J-
lO
4
4
4
4
4
4
4
4
4
*
*
*
*
4
ll
UD
z
8
X
8
И
8
2
8
2
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
(
Продолжение)
PAGE
^
5
i
7
8
9
0
1
2
3
*
.
5
6
7
8
9
oo
1
5
1
Л
1
a
1
i
1
b
1
5
1
5
1
5
1
,5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
1
оз
о
~
esa
1
Ю
*
4
*
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
3
4
^P
*
8
?,
8
2
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
3
8
4
8
0
1
¦о
У
„
8
j,
9
,
0
-t
1
,
2
3
4
5
,
6
7
,
8
9
0
.
2
7
«
1
Ь
1
5
1
с
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
1
J
1
5
4
7
с-
oo
CD
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
CO
3
Ц
3
4
3
4
3
4
3
*
3
*
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
to
СЧ1
2
8
2
6
2
6
2
6
2
b
2
6
2
6
2
6
2
6
2
8
?
6
2
6
2
6
2
6
•*¦
4
7
¦
7
'/
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
4
7
счз
to
to
Csj
™
CV3
-
to
JO
¦•
cojt-o
to
to
CO
-
-¦
N5
~
OO
CO
-
CO
-
?
csjIeoj^Ro
-
-
cofe—"
-
...
-
bdjosic-э
<H<h|to
-
-
-
to
CN3
boW-lu-a
to
FTeojtrT
uo<o|io
-
-
<?}
to
to
to
trilto
to|to
to
S
«O
c—
J
0f
i.
COMMENTS
4
4
4
h
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
H
4
4
*
4
4
4
4
4
4
4
1
2
1
2
2
2
21
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
6
6
7
7
8
81
9
9
0
9
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
0
0
1
й
1\
Ц
1
2
1
2
1
2
ll
2
1
2
1
2
1
Z
1
2|
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2J

STATEMENT
NUMBER !
^
1
1
L
03
CO
^*-
Ю
1
1
1
T
CO
1
1
(/
»\
и
(ПродбЛЖВНиб)
PA6E-
О-
5
0
1
2
3
OO
CD
О
г
CNJ
со
1
1
1
<*>
1
II
I/
.9
N
J->
8
,9
и
1
?,
CO
f-
oo
o->
СЧЗ
CM
1
1
CNJ
1
0
9
9
8
CO
7
8
У
0
1
00
,
,
.
GN3
CO
CN3
OO
OO
oo
CD
OO
1
1
CO
1
(I
9
8
8
CO
fi
7
я
я
I/
csa
CO
,
CO
CO
co
Ю
CO
CO
to
co
1
1
CO
CO
1
0
5
8
55
CO
J
6
7
8
toKt-KoKO|c--|oo|03
1
1
1
0
9
8
*
5
6
7
ITS
to
CN3
to
colSr
и-э|ю
1
1
1
0
9
8
to
ю
3
*
5
6
co|t»»|o©|co
to|to|cri|to
.
,
5
1
1
ооТсоТЗГ
COjtOCO
1
0
9
8
2
3
4
5
#

(реально задаваемые фиксированные значения температур), 4-й комплект (уравнения
узловых точек) и 6-й комплект (исходные оценки температур узловых точек).
Коэффициенты, зависящие от температуры, регулируемые источники, нестандартные показатели:
степени и кривые зависящего от температуры подвода тепла отсутствуют.
Следовательно, в программе отсутствуют 1, 3, 5 и 7-й комплекты входных данных и требуется
осуществить обращение только ко 2, 4 и 6-му комплектам. Заметим, что в этой строчке
программы стоит число 300, а не 295. Следовательно, для записи фиксированных
значений температур можно использовать узлы с номерами, начиная с 301.
Карта 3. Этой карте соответствует запись на 4-й строке бланка. Заданная
точность расчета, т. е. степень совпадения результатов последовательных итераций,
составляет 0,005°F. Заметим, что перед десятичной точкой не нужно записывать нуль. На
бланке также указано значение коэффициента сходимости 0,66667. Отметим, что в
данном случае предусмотрено выполнение 12 итераций.
Нулевой комплект входных данных. Этот комплект данных обеспечивает
автоматизацию счета, и его не требуется упоминать на карте 2. Поскольку задача рассчитана
на использование 40 узло'В, нулевой комплект включает в себя пять карт. Им
соответствуют записи на 5, 6, 7, 8 и 9-й строках бланка (рис. 6.5).
2-й комплект входных данных. Ему соответствует строка 10 бланка (рис. 6.5).
Два вводимых фиксированных значения температуры — это 120°F — температура
в основании ребра (узловая точка 301) и 20°F — температура окружающей среды
(узловая точка 302). Отметим порядок ввода фиксированных температур (первой стоит
узловая точка 301) и наличие десятичной точки после записи целой части значения
температуры.
4-й комплект входных данных. Ему соответствуют все строки бланка, с 11-й по
30-ю, на 1-м листе бланка и все строки на '2-м и 3-м листах, помеченные индексом
Set4 D-й комплект). Эта часть записи на бланке непосредственно воспроизводит
содержимое табл. 6.4. Отметим отсутствие десятичных точек на картах взаимодействия
(карты с нечетной нумерацией) и, наоборот, их наличие на картах проводимостей,
имеющих четыре номера. Запись индексов соответственных взаимодействующих узлов
и проводимостей на одних и тех же восьмистолбцовых полях четной и нечетной карт.
6-й комплект входных данных. Ему соответствуют все строки бланка, помеченные
индексом Set6 F-й комплект), строки 1—5 на 4-м листе. В них перечислены исходные
оценки температур узловых точек. Хотя имеется аналитическое решение данной задачи,
оценка температур узлов сделана по упрощенной схеме. Температура рассматривамого
узла выбрана на 1°F ниже, чем предыдущего. Машина выполняет расчет при таком
задании начальных значений температуры столь же эффективно, как и при любом другом.
Отметим, что на одной карте записываются девять температур (запись производится
с десятичной точкой) и что для задания 40 начальных оценок температуры требуется
всего лишь пять карт D0<9Х5 = 45).
5. Набивка перфокарт. Осуществляется в соответствии с бланком программы
(рис. 6.5).
6. Контроль симметрии. Это первый шаг в проверке справедливости уравнений
узловых точек. Он позволяет определить, правильно ли составлен 4-й комплект входных
данных. Может оказаться весьма трудоемким, если при решении задачи используется
большое чиспо узловых точек. Контроль симметрии осуществляется с помощью
специально составляемой для этих целей программы1.
7. Расчет. Машина считывает вводимую информацию с колоды перфокарт,
набитой в соответствии с бланком (рис. 6.5), и производит расчеты. Результаты расчета
приведены в табл. 6.5. Машина выдает на печать введенные в нее данные, а также
результаты всех проведенных итераций. В табл. 6.5 приведены только результаты
первой и последней итераций.
8. Сравнение с аналитическим решением. Рассмотрим узловую точку 20,
расположенную на расстоянии 0,500—0,0125 = 0,48757/ от торца ребра. Из B.9) следует:
ch mx
9== G° chmb '
( 2/z \i/2 2-10 1/2
G0= 120 — 20= 100°F; m = -^ J — / ; . j \ =14,09 фут-1,
1 Программа контроля симметрии 4-го комплекта входных данных при переводе
книги опущена. При необходимости с ней можно ознакомиться в оригинале книги.
(Прим. пер.)
250

Таблица 6.5
Результаты расчетов
Модель продольного ребра прямоугольного профиля с 40 узлами
№ уз та
Новая температура
Старая — новая
№ узла
Новая температура
Старая — новая
№ узла
Новая температура
Старая—новая
№ узла
Новая температура
Старая —новая
№ узла
Новая температура
Старая —новая
№ >зла
Новая температура
Старая — новая
№ узла
Новая температура
Новая—старая
№ узла
Новая температура
Новая — старая
1
118,81
—,19
11
100,42
—8,58
21
87,46
-11,54 1
31
78,97
—10,03
1
118,76
—.00
11
98,28
— ,00
21
84,58
— ,00
31
76,46
-.00.
2
116,69
-1,31
12
98,90
—9,10
22
86,42
-11,58
32
78,34
—9,66
2
116,36
—.00 |
12
96,63
—,00
22
83,53
—.00
32
75,92
—,00
3
114,64
—2,36
13
97,43
—9,57
23
85,43
—11,57
33
77,75
—9,25
3
114,05
—,00
13
95,04
— ,00
23
82,53
—.00
33
75,44
-.00
4
112,65
—3,35
14
96,02
—9,98
24
84,47
—11,53
34
77,20
—8,80
4
111,81
—,00
14
93,52
—,00
24
81,59
—.00
34
1 75,00
-,оо
5
110,72
—4,28
15
94,65
—10,35
25
83,57
—11,43
35
76,68-
-8,32
5
109,66
—,00
15
92,06
—,00
25
80,71
—,00
35
74,60
—,00
6
108,86
—5,14
16
93,33
—10,67
26
82,70
—11,30
36
76,21
-7,79
6
107,58
—,00
16
j 90,67
—.00
26
79,87
—,00
36
74,26
-.00
7
107,06
—5,94
17
92,07
—10,93
27
81,87
-11,13
37
75,77
—7,23
7
105,57
—.00
17
89,33
—.00
27
79,09
—,00
37
73,96
—.00
8
105,32
—6,68
18
90,84
—11,16
28
81,00
—10,91
38
75,37
—6,63
8
103,64
—.00
18
88,06
—,00
28
78,36
—,00
38
73,71
-,00
9
103,63
—7,37
19 j
89,67
—11,33
29 1
80,34
—10,66
39
75,00
—6,00
9
101,79
—.00
19
86,84
—.00
29
77,67
—,оо
39
73,50
—,оо
10
102,00
—8,00
20
88,54
—11,46
30
79,63
—10,37
40
74,67
—5,33
10
100,00
—,00
20
85,68
—,00
30
77,04
— .00
40
73,34
—,00
251

здесь и далее 1/12 — множитель перевода дюймов в футы;
Ь = -у2-= 0,08333 фут; х= -^-- = 0,04062 фут;
/«6=14,09.0,08333 = 1,1741;
тх = 14,09-0,04062 = 0,5663.
В итоге
ch 0,5663 1,16469
100c?u^ = 100T772T9- = 65'72°F-
Тогда температура узловой точки 20 будет равна 65,72+20=85,72°F, что хорошо-
согласуется с рассчитанным ЭВМ значением 85,68°F (см. табл. 6.5).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В ПРОДОЛЬНОМ РЕБРЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ПРИ СНЯТИИ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ДОПУЩЕНИЙ
Введение
С помощью описанной выше обобщенной программы решения
стационарной задачи можно рассчитать распределения температур в
продольном ребре при снятии приведенных в гл. 2 ограничивающих
допущений. Ниже будут рассмотрены случаи: а) постоянного коэффициента
теплоотдачи на поверхности ребра; б) изменения коэффициента
теплоотдачи с расстоянием по экспоненте, причем дополнительно будут
учтены тепловые потери с торца ребра; в) переменной температуры
окружающей среды и г) отвода тепла с одной стороны ребра излучением и
вынужденной конвекцией, а с другой — турбулентной свободной
конвекцией 1.
Во всех рассматриваемых случаях проводимости и эквивалентные
проводимости обозначены согласно следующему правилу. Все
проводимости внутри ребра имеют двойной индекс Кг~л,и 'где ?=1, 2, 3, ...
..., п—1, п. Здесь п — общее число узловых точек. Все проводимости
между ребром и окружающей средой имеют двойной индекс Кг, s.
Пример 6.2. Расчет на ЭВМ методом конечных разностей профиля температур
в продольном ребре прямоугольного профиля при исключении некоторых
ограничивающих допущений.
Продольное ребро прямоугольного профиля имеет высоту 4", толщину 1/8" и
длину 1 фут A2"). Ребро изготовлено из стали с коэффициентом теплопроводности
/г = 20 БТЕ/(фут • 4-°F) и степенью черноты 8 = 0,90. Температура в основании ребра
равна 200°F.
Ребро отводит тепло в среду с температурой 100°F, коэффициент теплоотдачи
постоянен и равен 30 БТЕ/(фут2-ч-яР). С похмощью обобщенной программы рассчитать
профиль температур в ребре. В расчетах использовать 20-точечную модель.
1 В оригинале книги для иллюстрации действия обобщенной программы
рассчитаны следующие 15 задач: 1) постоянного /г; 2) линейно-изменяющегося/г, 3) Я,
возрастающего по параболе; 4) постоянного h с учетом потерь с торца; 5)
экспоненциального изменения h\ 6) экспоненциального изменения h с учетом потерь с торца; 7)
наличия сопротивления в месте соединения ребра с основной поверхностью; 8) подвода
тепла в основании ребра и в какой-либо промежуточной точке; 9) переменного
коэффициента теплопроводности; 10) переменной температуры окружающей среды; 11) излучения
в свободное пространство; 12) излучения в несвободное пространство; 13) отвода тепла
излучением и вынужденной конвекцией с одной стороны ребра и ламинарной
свободной конвекцией — с другой; 14) отвода тепла излучением и вынужденной конвекцией
с одной стороны ребра и турбулентной свободной конвекцией — с другой; 15) случай
составного ребра из двух различных материалов. В целях экономии места нами
оставлены указанные четыре задачи. (Прим. пер.)
252

Решение. На рис. 6.6 изображена используемая в расчетах 20-точечная модель.
Площадь поперечного сечения ребра
1 1
Л = dZ, = -g—f2--lf0 = 0f01041 фут2.
Площадь теплоотдающей поверхности с одной стороны ребра, приходящаяся на
каждую элементарную ячейку,
S =
1
bL =
1 1
= о"-4,0.-J2". 1,00 = 0,01667 фут2,
то же, но с двух сторон ребра:
5=0,03333 фут2. Площадь торца
ребра (ячейка 20)
S = ai = -g—-J2". 1,0 = 0,01041 фут2.
Значения эквивалентных
проводимо стей:
между основанием и узловой
точкой 1
<
J.
V"
1.
2.
з.
\
.17
.16
W
t
.W
0,2"
.20
-^1
Of
l_
СчЗ
Рис. 6.6. Модель продольного ребра
прямоугольного профиля с 20 узлами (пример
6.2).
кА
между соседними узлами
к -М-
A*-M — AL
Лг-0,01041
1 1 1
2 ' 20 '4'0' 12
?-0,01041
1 1
0'0' 12
1 OKh RTP/
— 1, Zdk, die,/
= 0,625?, БТЕ
,F).
между любой узловой точкой и окружающей средой
/С*,в=Л5=0,03'ЗЗЗА, BTE/D-°F);
между узловой точкой 20 и окружающей средой при учете торцевых потерь
K2Q,s=hS= @,03333 + 0,0104 l)/i=0,04374/i, БТЕ/(ч-Т).
Случай «а». Постоянный коэффициент теплоотдачи h.
h = 30 БТЕ/(фут2-ч-°Р), потери с торца не учитываются;
Ко, 1 = 1,25^=1,25-20 = 25,0 BTE/D-°F); Ki-i, i=0,625* = 0,625-20 = 12,5 BTE/D-°F);
/Cif 3 = 0,03333/1=0,03333-30=1,0 БТЕДч-Т).
Вводихмые в машину данные приведены в табл. П 2а Приложения. Она не требует
особых пояснений. Отметим лишь, что карта 2 указывает, что в расчетах используются
20 узловых точек и 2 постоянные температуры. Второй комплект входных данных
задает температуру в основании ребра 200°F и температуру окружающей среды A00°F).
Четвертый комплект входных данных задает 20 уравнений узловых точек, а 6-й
комплект входных данных — столько же начальных оценок температур в узлах. Видно,
что они отличаются друг от друга на 2°F.
Полученные в результате расчетов значения температур в узлах приведены
в табл. П 26 Приложения ((результаты последней итерации).
Случай «б». Изменение коэффициента теплоотдачи h по экспоненте с учетом
тепловых потерь с торца ребра. Значения эквивалентных проводимостей:
ha = 30 БТЕ/(фут2-ч.°Р); ? = 20 БТЕ/(фут-Ч'°Р);
Г 1-ае-с{х1Ъ)
h(x)=ha[ a/c){i-e-
с) J
= 0,4; с=4,0;
h(x) =33,267
1 — 0,4<?
|i
^0
1,25 ?=1,25-20 = 25,0 BTE/D-°F);
Ki-,j =0,625 ? = 0,625-20 = 12,5 BTE/D.°F);
253

Kits = 0,03333
•33,267 I 1—0,4^ V /J
= 1,1089
1 — 0,4г
BTE/D.°F);
K20,s = 0,04374-33, 267
= 1,45510
[,-,,<ГЙ].
BTE/D-°F).
Вводимые в машину данные представлены в табл. П-За.
Отличие от случая «а» (табл. П-2а) состоит лишь в том* что значения
коэффициентов проводимости к окружающей среде (коэффициенты, соответствующие членам
3024) оказываются переменными и, кроме того, в узле 20 учтены торцевые потери
в окружающую среду, что нашло свое отражение в значении коэффициента на карте
4—20—2, соответствующего члену 3024 на карте 4—20—1.
Полученные в результате расчетов значения температур в узлах приведены
в табл. П-Зб (результаты последней итерации).
Случай «в». Переменная температура окружающей среды.
Значения эквивалентных проводимостей:
Л=30 БТЕ/(фут2-ч-°Р);
?=20 БТЕДфут-ч-Т);
Ко, 1 = 1,25 ?=1,25-20 = 25,0 BTE/(q-°F);
Ki-i, i =0,625 & = 0,625-20 = 12,5 BTE/D-°F);
Кг, s = 0,03333 /1=0,03333-30 =1,0 BTE/D-°F).
Вводимые в машину данные представлены в табл. П-4а. Температура окружающей
среды линейно падает от 110°F в ячейке 1 до 91°F в ячейке 20. Это обусловливает
задание 20 различных значений температуры окружающей среды с помощью 20 узловых
точек, имеющих нумерацию от 302 до 321. Температура в основании равна 120°F.
Наличие 21 значения постоянной температуры зафиксировано на карте 1, сами значения
температур перечислены во 2-м комплекте входных данных. Необходимые изменения
претерпели и уравнения узловых точек, задаваемые 4-м комплектом входных данных.
Полученные в результате расчетов значения температур в узлах приведены
в табл. П-46 (результаты последней итерации).
Случай «г». Отвод тепла с одной стороны ребра излучением и вынужденной
конвекцией, с другой — турбулентной свободной конвекцией.
Значения эквивалентных проводимостей:
Вынужденная конвекция
h (х) = 2hc
Свободная конвекция
(*)•
h @=0,857
1+0,035^
Дг°
Степень черноты 8=0,90.
Со стороны ребра, отводящей тепло вынужденной конвекцией и излучением:
для конвекции
Si = — -0,03333 = 0,01667 фут2;
/га = 30 БТЕ/(фут2.ч.°Р);
KitS = h(x)Si = 2ha(^si== 2.зо.о,о1бб7 (х)=Т" БТЕ/(ч-ор>;
для излучения
S;= 0,01667 фут2;
F, = 1,0; Fe = e = 0,90;
254

Kits = ^FAF'sSr\08 = 0,1713-1,0-0,9-0,01667 = 0,0025695 БТЕ/(ч-в/?4).
Со стороны ребра, отводящей тепло свободной конвекцией,
Si = 0,01667 фут*.
Постоянная составляющая коэффициента теплоотдачи
/1=0,857Д*0'33.
Соответственно Ki, а=/г5г=0,857.0,01667=0,014283 БТЕДч-Т1'33).
Зависящий от температуры коэффициент проводимости
KitS = hSi = 0,857-0,035 f-^) -0,01667 = 0,000005*;
/CifS=_0,0005 БТЕ/(ч-°?*>3*) при —100°F;
Kit 3=0,001 BTE/D.°F1.33) npn200°F.
Коэффициент теплопроводности & = 20 БТЕ/(фут'Ч»°Р).
Соответственно
Ко, 1 = 1,25*=1,25 • 20=25,0 БТЕ/ (ч -°F);
Ki-i, i=0,625?==0,625-20==T2,5 BTE/D-°F).
Вводимые в машину данные представлены в табл. П-5а. Второй комплект входных
данных указывает на то, что температура в основании ребра равна 120°F (узел 301),
температура окружающей среды, в которую осуществляется сброс тепла излучением,
равна —20°F (узловая точка 302), расчетная постоянная температура окружающей
среды для определения теплового потока, отводимого вынужденной конвекцией, составляет
20°F (узловая точка 3023), а для случая свободной конвекции равна 40°F (узловая
точка 304). Отметим, что на карте 1 фиксируются четыре значения постоянной
температуры. В 4-м комплекте входных данных эти значения температур задаются вместе
со способом теплообмена. При отводе тепла излучением узловая точка 302 обозначается
как 3023, а узловая точка 303 как 3034, что означает отвод тепла вынужденной
конвекцией. Узловая точка 304 имеет два ввода: один ввод 3046 с постоянной
эквивалентной проводимостью 0,014283 и другой ввод 3046 с зависящей от температуры
эквивалентной проводимостью, которая задается набором цифр 1101. Этот набор указывает
на необходимость обращения к кривой зависимости проводимости от температуры,
содержащейся в 1-м комплекте входных данных.
Кроме того, программа содержит один нестандартный показатель степении 11,33.
Тепло, передаваемое свободной конвекцией, определяется формулой
Показатель степени 1,33 считается нестандартным, поскольку в качестве
стандартных приняты только 1,00, 1,25 и 4,00. Таким образом, узловая точка 3046 обращается
к нестандартному показателю степени 1,33, зафиксированному в 5-м комплекте входных
данных.
Полученные в результате расчетов значения температур в узлах приведены
в табл. П-56 (результаты последней итерации).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ДЛЯ РАДИАЛЬНОГО РЕБРА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ МЕТОДОМ
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ПРИ СНЯТИИ ОГРАНИЧИВАЮЩИХ ДОПУЩЕНИЙ
Введение
Описанную выше обобщенную нрограмму решения стационарной
задачи можно легко приспособить для расчета методом конечных
разностей распределения температур в радиальном ребре прямоугольного
профиля. Для того чтобы избежать неудобств, связанных с
применением в расчетах числа я, нами было использовано предложение Дюсин-
бера о проведении вычислений для сектора ребра в пределах угла
в 1/2 радиана.
В гл. 3 дается анализ работы радиальных ребер прямоугольного
профиля при постоянном и переменном значении коэффициента тепло-
255

отдачи конвекцией. Ниже в качестве
иллюстрации использования программы
будет рассмотрен случай постоянного h *.
Пример 6.3. Рассчитать распределение
температур в радиальном ребре прямоугольного
профиля. Внутренний диаметр ребра 12", наружный
4", толщина 1/8". Ребро изготовлено из стали
с коэффициентом теплопроводности k=
=20 BT.E/('4-4>yT-°F). Температура в основании
ребра 200°F. Ребро отводит тепло конвекцией
в окружающую среду, имеющую температуру
100°F; коэффициент теплоотдачи постоянен и
равен 30 БТЕ/(фут2'Ч'°Р). Расчет профиля
температур провести для 20-точечной модели.
Решение. Схема радиального ребра
прямоугольного профиля изображена на рис. 6.7.
Площадь поперечного сечения (сечение контакта) между соседними ячейками
определяется из следующего соотношения:
Рис. 6.7. Модель радиального
ребра прямоугольного профиля с
20 узлами (пример 6.3).
^1-м =si<2«)[-n'+('-1)^
* = 1, 2, 3..
Эта формула справедлива для всех ячеек, кроме ячейки, прилегающей к
основанию ребра. В последнем случае
2л
B
to) (-
1,01254
12 )
*о> Фут2.
Площадь теплоотдающей поверхности ячейки определяется формулой
s<=2(i)п{(тт+ шУ~[ш+а-о дг]1}. * = 1.2, з...
Площади сечений контакта и теплоотдающей поверхности ячеек (с учетом обеих
сторон ребра) приведены в табл. 6.6.
Таблица 6.6
Площади сечений контакта и теплоотдающей поверхности ячеек
для 20-точечной модели радиального ребра прямоугольного профиля
(рис. 6.7)
Узловая
точка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ai, г-1-ФУта
0,0008482
0,0009115
0,0009549
0,0009983
0,0010417
0,0010851
0,0011285
0,0011719
0,0012153
0,0012587
S'., фут2
0,0007118
0,0007465
0,0007812
0,0008160
0,0008507
0,0008854
0,0009201
0,0009549
0,0009896
0,0010243
Узловая
точка
11
12
13
14
15
16
17
18
19
! 20
Ai, /-1'Фуг8
0,0013021
0,0013455
0,0013889
0,0014323
0,0014757
0,0015191
0,0015625
0,0016059
0,0016493
0,0016927
S't, фут*
0,0010590
0,0010937
0,0011285
0,0011632
0,0011979
0,0012326
0,0012674
0,0013021
0,0013368
0,0013715
* В оригинале книги содержатся также решения следующих задач: 1) постоянный
коэффициент h с учетом потерь с торцов; 2) наличие термического сопротивления
в месте соединения ребра с основной поверхностью; 3) подвод тепла в основании ребра
и в какой-либо промежуточной точке; 4) излучение в свободное пространство с одной
стороны ребра; 5) излучение в несвободное пространство с одной стороны ребра.
(Прим. пер.)
256

Значения проводимостей:
проводимость между основанием ребра и узловой точкой 1
k A 20-0,0008482
К*л=~ь=-х 1 — = 8,1436 BTE/D.°F);
T*W1,0'T2"
проводимости между всеми остальными узлами
Ki-*.i= I —I L-T- = 4800i4/.li,f БТЕ/(ч.°Р);
6"'lj0"T2"
проводимость между ребром и окружающей средой (для всех узловых точек)
Ki,s=hSi = 30Su BTE/D.°F).
Вводимые в машину данные представлены в табл. П-ба. Карта 1 фиксирует
наличие 20 узловых точек и 2 постоянных температур. Второй комплект входных данных
указывает на то, что температура в основании ребра равна 200°F, а температура
окружающей среды 100°F; 4-й комплект входных данных содержит описание 20 уравнений
узловых точек, а б-й комплект — начальные оценки 20 температур узлов. Начальные
температуры узлов падают от основания к вершине с шагом в 2°F.
Результаты расчетов приведены в табл. П-бб (результаты последней итерации).
ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЕБРА. РАДИАЛЬНОЕ РЕБРО ТРЕУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
Дифференциальное уравнение теплопроводности
Радиальное ребро треугольного профиля показано на рис. 6.8.
Контур его профиля описывается функцией
мгНг 0-??.)• F-15)
Производная от нее имеет вид:
зьд=- '• , . (еле)
Подставляя F.15) и F.16) в обобщенное
дифференциальное уравнение B.32)
г , ч d29 , U if) dQ \df2(r) dB h fi n ^ . _ _
/2 (r)'7^+JlTL- ^+-U7TL-Tr Г 6 = °> Рис- 6'8- Реальное ребро
треугольного профиля.
получаем дифференциальное уравнение теплопроводности для
радиального ребра треугольного профиля:
(Ге ~ О 43-+ ('Г?=?ЕА -?~ *' ^е "OS- 0, F.17)
dr2 : [ г J dr
где m2=2h/k6().
Решение. Уравнение F.17) довольно громоздкое, и его можно
попытаться проинтегрировать либо с помощью рядов, либо численно.
Однако температурный профиль в ребре можно найти сравнительно просто
с помощью рассмотренной в данной главе программы для ЭВМ.
Поскольку обычно основной интерес представляет конструкторский расчет
ребра, то соответствующие кривые эффективности могут быть
получены с помощью весьма короткой серии расчетов.
На рис. 6.9 приведены результаты подобных расчетов для ребра
с отношением радиусов р=0,5. Представленные данные были получены
17—192 257

при различных значениях коэффициента теплоотдачи к поверхности
ребра с коэффициентом теплопроводности материала ребра (сталь)
й=34,7 Вт/(м-°С). Внутренний диаметр ребра был равен 50,8 мм,
наружный 101,6 мм, толщина ребра в основании 3,165 мм.
Действительное количество отведенного тепла можно определить
либо графическим интегрированием кривой (рис. 6.9), либо
суммированием произведений эквивалентной проводимости ячеек к окружающей
°С
8(
82
CD
С;
§ 71
>3
1 60
| 55
49
НЪ
38
Икл—
1 Ич
\±h=85Bm/(M2-°C)\
Ь-М5Вт/(м*
щ$
°Ч
о
Я170
255
3*0
Рис. 6.9. Профиль температур
в радиальном ребре
треугольного профиля (рис. 6.8) при
пяти различных значениях
коэффициента теплоотдачи h.
Коэффициент
теплопроводности материала ребра k=
=34,7 Вт/(м-°С).
t^
ti
Lf=t
^
Я
И
о»
п?
3
«г-
V
«ъ
^
а
^
1,0
0,9
0,8
0,7
и?ь
0,5
0,4
073
^
\
^
о-расчеты
на эвм
д-тОЧКЦ Ю
таблицы 1-1
NN
2\
X
Чо,
X Ч
О " I
0 0,5 1,0 1,5
0 0,2 0;* 0,6 0,8 1,0 1,2
r-r0
Гв-Г0
,0 2,5 3,0
Рис. 6.10. Сравнение эффективности
радиальных ребер прямоугольного и
треугольного профилей.
/ — ребро прямоугольного профиля; 2 — ребро
треугольного профиля.
среде на температурный напор k&?. Если известно теоретически
возможное количество отводимого тепла, то в этом случае можно
рассчитать эффективность ребра и представить ее в виде функции параметра
Ф [см. уравнение B.40)].
Эти расчеты были выполнены для того же ребра, для которого были
представлены температурные профили на рис. 6.9. Эти результаты
изображены на рис. 6.10. На этом же рисунке для сравнения представлены
также данные по эффективности радиального ребра прямоугольного
профиля.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 6
1. Hohn F. Elementary Matrix Algebra, N. Y., The MacMillan Company, 1958.
2. Salvadory M. G., Baron M. L. Numerical Methods in Engineering, N. Y., Engle-
wood Cliffs, Prentice-Hall, Inc., 1961.
3. Dusiberre G. M. Heat Transfer Calculations by Finite Differences, Scranton, Pa.>
International Textbook Company, 1961.
4. Southwell R. V. Relaxation Methods in Engineering Science, N. Y., Oxford
University Press, 1940.
5. Emmons H. W. Trans. ASME, 1943, 65, p. 607.
6. Vind Т. Н. Personal communication, 1970.
258

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА
Введение
Анализ развитых поверхностей различной геометрии был начат
в гл. 2 с рассмотрения ребер с отводом тепла конвекцией при наличии
упрощающих допущений. Были получены аналитические выражения для
температурного напора Q=t—tSi отводимого теплового потока и
эффективности ребра при указанных в гл. 2 десяти допущениях. Первое из
этих допущений гласило, что анализ ведется для стационарного случая,
когда тепловой поток в ребре и распределение температур в нем не
меняются во времени.
В гл. 3—6 был дан анализ развитых поверхностей различной
геометрии при снятии некоторых из указанных во 2-й главе допущений.
В гл. 6 было показано, что можно провести анализ развитых
поверхностей при снятии всех допущений, кроме одного — допущения о
стационарности процесса. Этот анализ осуществлялся методом конечных
разностей с помощью обобщенной программы для ЭВМ. В настоящей
главе отбрасывается последнее допущение.
Нестационарные задачи теплообмена развитых поверхностей
являются математически более сложными, нежели исследованные ранее
стационарные задачи. Все рассматриваемые в настоящей главе случаи,
начиная с задачи теплопроводности для радиального ребра
прямоугольного профиля, у которого мгновенно повышается температура в
основании (а температура окружающей среды постоянна и однородна), не
могут быть решены аналитически. Поэтому значительная часть
представленного в этой главе материала отведена методу конечных
разностей и описанию обобщенной программы решения нестационарных
задач.
РАДИАЛЬНОЕ РЕБРО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ
В работе Чэпмена [1] исследован нестационарный теплообмен
радиального ребра прямоугольного профиля при постоянной температуре
окружающей среды и при ступенчатом изменении температуры в
основании. Исследуемое ребро изображено на рис. 2.8. Анализ проведен при
сохранении девяти указанных в гл. 2 допущений, снято лишь условие
стационарности процесса. Последнее обстоятельство является главным
в анализе Чэпмена.
Тепловой баланс записывается для радиального элемента размером
dr. Разность между теплом, поступающим в элемент теплопроводностью
через сечение радиуса г, отводимым от него тем же путем через сечение
радиуса r+dr, и теплом, отданным в окружающее пространство с
поверхности ребра путем конвекции с постоянным коэффициентом
теплоотдачи й, равна количеству тепла, накопленного в элементе:
27cfeS0-A- fr-^\dr — 4vh(i--ts)rdr = 2vc4b%r -^-dr, G.1)
где с, k, у — удельная теплоемкость, коэффициент теплопроводности и
плотность материала ребра соответственно; t — температура ребра;
до — толщина ребра; т — время; ts — температура окружающей среды.
17* 259

Если температурный напор 8=^—4, то dQ=dt. В этом случае G.1)
может быть переписано следующим образом:
™ ¦ 1 *9 -т28=Д-^, G.2)
дг2 ' г дг a dz
где т=]/2Л/?80; a = k\c\ — коэффициент температуропроводности
материала.
Частное решение G.2) определяется граничными условиями в
основании и у торца ребра. В момент времени т=0 температура в основании
ребра ступенчато возрастает до t0. Таким образом, 0о=^о—К Индекс
«О» означает что рассматриваемый параметр взят в основании ребра.
При г=г0, т>0 6(го, т)=во. G.3а)
Приг=ге,т>0 d*lr?z) =0. G.36)
Начальное условие записывается следующим образом:
при r0^r^re, т=0
Э(г, 0)=0. G.4)
Решение G.2) находится путем суперпозиции стационарного и
нестационарного решений. Пусть
6(г, %)=u+v. G.5)
Стационарное решение и удовлетворяет обыкновенному
дифференциальному уравнению
d2u i 1 du 2 а пс\
с граничными условиями
г = г„ »(г,) = 1,
du I
1 ' е>
г = г0, и(г§) = вв; G.7а)
du ! =-0. G.76)
dr
Нестационарное решение v должно удовлетворять
дифференциальному уравнению в частных производных
d2v I 1 dv 2 dv ,п оч
-W+— nr~mv=-w <7-8>
с начальным условием
т=0, r0i^ir^re, v=—u G.9)
и граничными условиями
т>0, г=Го, v=0; G.10а)
г=г- -|г=а <7л0б>
Таким образом, решение уравнения G.2) находится в результате
решения двух более простых уравнений G.6) и G.8). При этом
начальное условие нестационарного решения равно взятому со знаком минус
стационарному решению.
Решением G.6) при граничных условиях G.7а) и G.76) является
B.36):
90 [К, (те) h (mr) + 1Х (тге) К0 (тг)] G U\
Кг (тге) /0 (тг0) + К0 (rnr0) I, (тге) • У*Л1>
260

Решение уравнения G.8)—обычное, оно представляется в виде
произведения двух функций. Для заданных граничных условий G.10а)
и G.106) это решение имеет вид:
v=1 е~ im'r'e+x'n) <aT/rv с" v> (хя у« (Я"Р) - Y> (*»*> '• <а«ри« G-12>
где g — относительный радиус г//у, р=/*0//у, Яп — м-й корень
трансцендентного уравнения
Уо (Лпр) /i (An) -/о (Япр) У1 (Хп) =0. G.13)
Значения произвольных постоянных Сп определяются из
начального условия— уравнения G.9). Таким образом,
~«=|;Сп[/.(Ял?)П(ЯлР)-Ув(Яп?)/.(Я„р)]. G.14)
Для определения Сп необходимо, чтобы члены в квадратных скобках
образовывали ортогональную систему на отрезке r0^r^re, коль скоро
Хп удовлетворяют уравнению G.13). Следовательно,
J * [/, (ХпЩ У0 (ЯяР) - У0 (Ял5) /0 (Яяр)] [J. (Ят6) У0 (Irf) - У, (Яш5O0 (ЯшР)] <? = 0
G.15)
при всех ХпфХт.
Если G.15) справедливо, то
1
"" J «6 [/. (*д9 Уо (ХяР) - Ко (ХяЮ /о (К?)} dl
Сп=-± . G.16)
J Б [/. (ЯяЭ У0 (Хлр) - ^0 (ХЯЭ /0 (АпР)]2«
р
Далее, используя G.11), G.12) и G.14), получаем выражение для
вронскиана, записанного через функции Бесселя:
JM)J\M-Y^x)J$x)=-^-; G.17а)
Л С*) *\ (*) - К (*) '\*=1Г. G.176)
Из граничных условий G.10а) и G.106) следует, что G.15)
удовлетворяется. Тогда G.16) для коэффициентов Сп принимает вид:
г _ В0пХ\/(т^е + Х$ п R.
U/l — [/.(М/ЛСХлР)]1-! • к '
Полное решение нестационарной задачи G.5) представляет собой
сумму уравнений G.11) и G.12)
О (г, %)=u+v,
где и описывается G.11); v—G.12); Сп—G.18); Хп — корни
уравнения G.13).
Расчеты с помощью полученного результирующего решения
трудноосуществимы. Представление решения в численном или графическом
виде также весьма сложно из-за большого числа содержащихся в нем
261

переменных. Чэпмен разработал приближенный графический метод
решения, в основе которого лежит определение следующих функций:
Ф,
Фп
1
п=\
•.=2
тге[К1 (тге) /0 (тг„) +1г (тге) /С0 iptrt) ] *
р Г /, (тге) К, (тг„) — Kj (mre) I, (тг0)
2 /we [ /С, (mre) /0 («/•„) + Л {mre) К0 (mr0)
Г 2/(inV»g + X»„) 1
L [Л(м/л(\#)]*-1 J'
G.19а)
G.196)
__ (m»r»e+X»n) (от/г«е)
00
л—1
5_L "I [^(А„?)/Л(А„?)]2-1 J;
2/(/иУ^ + Л2„) I п 9П,
[Л (М/Л (М]2 -1 .Г 1 '
G.21)
G.22)
••-В'-
Я=1
. {т*г*в+\*п) (at/ry
л=1
(^V2, + A2JL"
2/(яг2г2* + Л2»)
[/0(АЛр)/Л(Л„р)]2~1
G.23)
На рис. 7.1 приведена характерная зависимость безразмерного
параметра 6/во от безразмерного относительного радиуса г/ге. Из
рисунка видно, что среднее значение 8/Эо
лежит где-то в пределах р^г/ге^1.
На кривой e/Q0=f(r/reJ оно
находится исходя из следующих соотношений:
или
Г=/>
*'=1
,-Г^г|тМ«- G-24)
Квадрат относительного
радиуса 52
Рис. 7.1. Графическое построение рас- р
пределения температуры.
Их можно найти с помощью G.19) —G.23). При r=re rjre=\ и 6=
=9е. При г=г0 г/ге=р и 6/0о=во/6о=1. Кроме того, при г=ге dQ/dr=0.
На внутреннем радиусе
дВ
д (г/геу
1
дЬ
г=г0
2р д (г/ге)
= -^г(т2г2еФг + Ф6). G.25)
Таким образом, как показано на рис. 7.1, оказываются известными
значения 6/8о в основании и у вершины ребра, наклоны кривой в этих
точках и среднее значение ординаты кривой 8/во=/(г/гвJ. При наличии
этой информации можно приближенно задать всю кривую 6/0о, если
дополнительно иметь в виду, что площади заштрихованных площадок
на рис. 7.1 должны быть равны.
262

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Введение
В гл. 6 была описана методика решения с помощью конечных
разностей стационарных задач. Было показано, что сетка, образованная
квадратными элементами, может быть описана с помощью.девяти
уравнений узловых точек. Эти узловые точки находятся в центрах этих
девяти плоских элементарных ячеек (элементарных объемов, если
учитывается толщина). Считается, что тепловое взаимодействие между
узловыми точками соответствует взаимодействию между элементами. Было
также показано, что в стационарных условиях уравнения узловых
точек могут быть записаны с помощью тепловой аналогии закона
Кирхгофа для электрического тока и что эти уравнения узловых точек
вытекают также из стационарного теплового баланса рассматриваемой
узловой точки.
В нестационарной задаче тепловой поток между отдельными
точками изменяется не только с координатой, но и во времени. Однако и для
такой задачи можно записать
соответствующие уравнения узловых точек.
В этих уравнениях наряду с конечными
приращениями координаты и
температуры будут участвовать конечные
временные интервалы. Эти уравнения узловых
точек вытекают из условий теплового
баланса, учитывающего тепло,
поступающее в узел, покидающее его и
накапливающееся в нем.
°t*
•И
^
1
Уравнения узловых точек Рис. 7.2. Модель продольного
ребра прямоугольного профиля, раз-
Рассмотрим модель продольного реб- Деленного на пять элементарных^
ра ПРЯМОУГОЛЬНОГО Профиля, раЗДелеННО- /-основная поверхность.
го на пять ячеек (рис. 7.2). Разность
тепловых потоков, поступающих в каждую узловую точку и покидающих
ее, приравнивается к количеству тепла, накопленного в ней в единицу
времени (температура узловой точки по прошествии промежутка
времени Дт обозначена штрихом):
*.., С. - О - *,.. С - Q - К,., С - t.)=cfV ^д^-; G.26а)
*,.. С, - '.) - Я2.з (*, ~Q - *,,, (t, - ts) = ciV ^=^Ь G.266)
К. ,. (*, - U) ~ *з.* С. - Q - K3tS (tt -1.) =cYV
Ax
G.26b)
K^Ah-Q-^^-t^-K^ih-Q^c-iV^^-; G.26r)
K4,i(h-ti)-Kt,s(ti-Q = c'{V(-^=^-
G.26д)
263

Разрешая эти уравнения относительно температур в конце
временного интервала, получаем следующие соотношения:
''. ='»+-^ГI*... (*. - *,) - *»..С -О - *...«. - У!; G.27а)
''. = ',+-|г [*».. С, - О - *... 0. - '.) - *... С - У!? G-276)
''. = '.+-^Г I*... Л - О - *..« Л - *4) - K,,s (*. - te)]i G.27в)
t\ = ^+-?й-[Кг,<(*. - О - Л'...(*4 -g - /С4..&-*.)]. G.27г)
CYV
Дт
''.='.+-^г[К4..& - Q - К*.* ('« - Ql
G.27д)
причем V и /Сг являются функциями Ах. Для единицы длины ребра
можно записать:
У=6оЛх; G.28а)
т/ о °
до.' — ^"дГ;
Ki,$=2hAx, t=l, 2, 3, 4, 5.
G.286)
G.28в)
G.28г) *
Подставим G.28а) — G.28г) в уравнения G.27а) —G.27д) и
введем число Фурье Fo:
Fo =
&Дт <хДт
G.29)
'суДх2 Дх2 '
где а — коэффициент температуропроводности, а также параметр
F.m*
2/гДх2
А».
Тогда получим:
/\ = Fo [я. + *2 + FA - C + Fs-^j t,
f1 = Fo[f1 + /1 + FA-B + F.-^.)f1
fJ==Fop2 + ^ + fA-B + Fs-FL^jJ.
r4=Fo[^+^ + F^-B + ^-^-)^4];
*'.= Fo p4 + FA - (l + f,-^-)/,
G.30)
G.31a)
G.316)
G.31b)
G.31r)
G.31Д)
* Торцевые потери считаются пренебрежимо малыми.
264

Предотвращение колебаний температуры
при решении задачи
Уравнения G.31а) — G.31д) представляют собой уравнения
узловых точек. Однако их решение затрудняется тем обстоятельством, что
физически тепло не может само по себе передаваться от точки с более
низкой температурой к точке с более высокой температурой. Поэтому
последние члены в скобках в уравнениях G.31а) — G.31д) подвергнуты
специальному анализу. В результате установлено, что должны
выполняться неравенства
3 + Fs-
B + Fs-
1 4-F,-
-&)<*
-йг)<о
-±)<о.
Если исходить из наиболее трудного случая,
Fo < -
Соответственно выбранный временной интервал должен
удовлетворять неравенству
Ах2
Ах< [3*+B/гАх*/счд0)] • G*32)
Это соотношение говорит о том, что решение будет колеблющимся,
если только выбранный временной интервал Лт не удовлетворяет
неравенству G.32). Вид соотношения G.32) меняется в зависимости от кон-
кретного способа передачи тепла. Выбор надлежащего интервала
времени входит в обобщенную программу решения нестационарных задач,
детальному описанию которой посвящен следующий параграф.
ОБОБЩЕННАЯ ПРОГРАММА РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ [7.2]
Принцип расчета
Для решения сложных нелинейных задач теплопроводности
программа использует метод конечных разностей в сочетании с методикой
численного интегрирования Бэшфорда — Адамса. Записанная на языке
ФОРТРАН-IV и пригодная для использования на любой подходящей
ЭВМ программа расчетов нестационарной задачи приведена в П-7.
Подготовка к вводу программы
Форма записи входной информации по существу та же, что и в
описанной в гл. 6 программе решения стационарных задач. Многие
комплекты входных данных в этих программах взаимозаменяемы. Поэтому
в настоящей главе при описании обобщенной программы решения
нестационарных задач учитывается уже изложенный в гл. 6 материал и
анализируются лишь специфические и дополнительные стороны
программы.
Ввод программы осуществляется с четырех обязательно
участвующих карт и с дополнительных карт (их число выбирается по
потребности), с помощью которых полностью описываются 14 групп
необходимой для решения задачи информации. Обязательные четыре карты
265

необходимы для всех расчетов. В них содержится следующая
информация.
Карта-заголовок. Она описана в гл. 6.
Карта 1. Это карта-описание, она необходима для определения
каждой задачи. Стоящие в ней числа представляют собой целые
константы, которые записываются без десятичной точки в конце. Для каждой
характеристики задачи отводятся соответствующие столбцы карты
согласно приведенной ниже таблице.
№
п/п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
¦ 17
Номера
столбцов
карты 1
1—4
5—8
9—12
13—16
17—20
21—24
25—28
29—32
33—36
37—40
41—44
45—48
49—52
53—56
57—60
61—64
65—68
Содержащаяся информация
Число рассматриваемых узловых точек
Число фиксированных значений температуры
Число регулируемых, т. е. зависящих от температуры узловой точки
источников (стоков) тепла
Число кривых зависимости подводимого теплового потока от времени
Число зависящих от времени температурных кривых
Число значащих цифр или требуемая точность расчета1
Число узловых точек, по достижении которыми заданной
максимальной температуры расчет прекращается
Число узловых точек, по достижении которыми заданной минимальной
температуры расчет прекращается
Число узловых точек, в которых происходит фазовый переход
Число кривых зависимости коэффициентов от времени
Число нестандартных показателей степени
Число узловых точек, получающих „вторичное"
Число узловых точек, регулирующих „быстрый"
Число зависящих от температуры ^-кривых
Число кривых, описывающих зависящие от температуры
коэффициенты
Число зависящих от времени И?с-кривых
Число кривых зависимости подводимого теплового
ратуры, не учитываемой источниками тепла
тепло
теплоподвод
потока от темпе-
1 В столбце 24 должна сточть по крайней мере цифра 4. Она указывает, с какой точностью должны
совпадать рассчитанные и скорректированные значения скорости изменения температуры во времени на
каждом этапе расчета.
Карта 2. Эта карта также обязательна для каждого варианта
задачи. Она характеризует возможности программы (см. приводимую
ниже таблицу). Стоящие в ней числа представляют собой целые
константы и записываются без десятичной точки в конце. Как и в
программе стационарной задачи, первые три позиции заняты числами 300,
50 и 6.
Для задания дополнительной информации могут быть
использованы метки 301, 302, 303 и т. д.
п/п.
Номера
столбцов
карты 2
Содержащаяся информация
1—4
5—8
9—12
13—16
17—20
21—24
25—28
Максимальное число узловых точек
Максимальное число фиксированных значений температуры
Максимальное число регулируемых источников тепла
Номер первого из вводимых комплектов входных данных
Номер второго из вводимых комплектов входных данных
Продолжается по мере необходимости, пока не будет учтены все
вводимые комплекты входных данных вплоть до 14 комплекта
266

Карта 3. Эта карта определяет длительность характерных
временных интервалов. Программа позволяет регулировать временной интервал
с тем, чтобы обеспечить возможно быстрый счет без риска получения
осциллирующих решений, возникающих в результате расчета значений
температуры. Если принятый временной интервал окажется слишком
большим и приведет к появлению неустойчивости, то машина уменьшит
его вдвое. Если принятый временной интервал не вызывает осцилляции,
он может быть удвоен и оценка сходимости проверяется машиной
вновь. Таким образом, временной интервал, который должен быть
использован при осуществлении каждой итерации, проверяется
машиной и находится своего рода оптимум между быстротой счета и
опасностью возникновения неустойчивости решения. Однако имеется также
возможность использования в процессе последовательных итераций
одного и того же временного интервала.
Все числа на этой карте представлены в виде вещественных
констант с плавающей десятичной точкой, каждое число занимает поле из
восьми столбцов. Ввод чисел осуществляется согласно следующей
таблице.
№¦
п/п.
1
2
3
4
5
6
7
Is
1—8
9—16
17—24
25—32
33—40
41—48
| 49—56
Содержащаяся информация
Начальный временной интервал
Начальное время
Время, по достижении которого расчет должен быть прекращен
Максимальная температура узловых точек (см. столбцы 25—28
карты 1), по достижении которой расчет прекращается
Минимальная температура узловых точек (см. столбцы 29—32
карты 1), по достижении которой расчет прекращается
Промежуток времени между последовательной печатью
результатов расчета
Максимальное значение абсолютной ошибки
Поля карты 3, соответствующие пунктам 4 и 5 таблицы, могут
остаться незаполненными.
Комплекты входных данных
Непосредственно вслед за картой 3 в машину последовательно
вводятся в порядке их нумерации до 14 комплектов входных данных.
Очередность обращения к этим комплектам задается картой 2. Первые
семь комплектов входных данных идентичны используемым в
программе решения стационарных задач, за исключением нулевого комплектаf.
В следующей ниже таблице перечисляются эти семь первых
комплектов.
Программа расчета нестационарных задач может включать любые
отдельно взятые или все восемь дополнительных комплектов входных
данных.
1 Нулевой комплект входных данных, содержащий демпфирующие множителя, не
нужен в программе решения нестационарных задач. Время в этой программе выступает
в качестве независимой переменной. Все итерации проводятся по времени. Тепловые
потоки рассчитываются как функция времени, и большие колебания решения из-за
малых разностей температуры не возникают.
267

№
комплекта входных
данных
1
2
3
4
5
6
7
Назначение комплекта
Описание зависящих от температуры коэффициентов
Описание фиксированных температур
Описание регулируемых источников тепла
Описание уравнений узловых точек
Задание нестандартных показателей степени
Начальные значения температуры1
Описание зависящих от температуры источников тепла
1 В программе решения нестационарных задач не задаются оценки начальных значений температуры.
Приводимые в комплекте 5 значения являются действительными начальными значениями температуры узлов.
8-й комплект входных данных. Этот комплект описывает зависящие
от времени источники тепла. Кривые зависимости мощности этих
источников от времени задаются в виде вещественных констант с десятичной
точкой. Всего может быть задано пять таких кривых. Каждая кривая
может быть задана девятью точками, что требует использования двух
карт. Вторая карта должна обязательно включаться в комплект, даже
если она остается незаполненной. Эти кривые в 4-м комплекте входных
данных маркируются как узловые точки 3571, 3581, 3591, 3601 и 3611.
Запись на картах ведется согласно следующей таблице.
Щкарты
8-го
комплекта
2
2
2
2
№ столбцов
1—8
9—16
17—24
25—32
33—40
57—64
65—72
1—8
9—16
57—64 1
65—72
Содержащаяся информация
Первое значение времени
Первое значение теплового, потока, БТЕ/ч
Второе значение времени
Второе значение теплового потока, БТЕ/ч
Третье значение времени
Четвертое значение теплового потока, БТЕ/ч
Пятое значение времени
Пятое значение теплового потока, БТЕ/ч
Шестое значение времени
Девятое значение времени
Девятое значение теплового потока. БТЕ/ч
9-й комплект входных данных. Он описывает зависящие от времени
температуры источников. Значения зависящих от времени температур
вводятся в виде вещественных констант с десятичной точкой. Этот
комплект может описать до пяти температурных кривых в функции
времени. Эти кривые в 4-м комплекте входных данных фиксируются как
узловые точки 3621, 3631, 3641, 3651 и 3661. Кривые описываются на
соответствующих картах точно так же, как и мощность зависящих от времени
источников тепла, только вместо мощности в БТЕ/ч записываются
значения температуры.
10-й комплект входных данных. Задается произведение массы
ячейки на ее удельную теплоемкость. Оно задается в виде вещественной
константы с десятичной точкой. Значения Wc фиксируются для каждой
узловой точки, по девять значений на карту. На каждое Wc отведено
268

поле из восьми столбцов, независимо от того, оказывается оно
использованным или нет. Однако общее число карт в этом комплекте строго
не фиксируется, оно определяется общим числом задаваемых
значений Wc.
Нужно быть внимательным при задании малых значений Wc. Если
оно мало, то небольшие изменения количества подводимого тепла
вызовут очень большие изменения температуры. Для того чтобы
удовлетворить критерию точности, машина будет выбирать очень малые
приращения времени. Это обусловит чрезмерную продолжительность счета.
Поэтому рекомендуется тщательно прорабатывать вопрос о величине
Wc отдельных узлов. Узлы с малым Wc следует объединять с
соседними узлами или с окружающей средой. Эта проблема выступает на
первый план в тех случаях, когда слои газа (например, воздуха)
рассматриваются как узлы между твердыми элементами. В данном случае
большего успеха можно добиться, исходя из интуитивных соображений,
не дожидаясь результатов расчета. Температура слоев воздуха,
взаимодействие которых с другими элементами характеризуется умеренной
проводимостью, будет следовать за температурой этих элементов и не
сможет резко возрасти из-за малости Wc.
Другим моментом, требующим повышенного внимания, является
использование значений Wc, превышающих 1000. Числа больше
1000 используются в 10-м комплекте входных данных для вызова
данных, содержащихся в 14-м комплекте. Это положение относится в
равной мере и к значениям проводимости в 4-м комплекте входных данных,
однако в этом последнем случае проблема может быть устранена
использованием большего числа соединеий между узлами. Тогда общая
суммарная проводимость будет распределена между этими
соединениями. В случае больших значений Wc аналогичный подход невозможен.
Поэтому расчетчик должен так выбирать ячейки, чтобы ни одно из
произведений Wc не превышало 1000.
11-й комплект входных данных. Он описывает зависящие от
времени коэффициенты. Зависящие от времени проводимости задаются
в виде вещественных констант с десятичной точкой. Всего может быть
использовано до пяти таких кривых, причем на каждую кривую
приходится по 2 карты, независимо от того, используются они или нет.
Каждая кривая задается девятью точками, их расположение на картах
точно такое же, как и в 8-м комплекте входных данных, только вместо
мощности записаны значения проводимости.
Обращение к этим переменным проводимостям осуществляется* с
помощью чисел 1001., 1002., 1003. и т. д. Эти коэффициенты ставятся на
соответствующие места в четных картах 4-го комплекта.
12-й комплект входных данных. С его помощью задаются
зависящие от температуры Wc. Они описываются вещественными константами
с десятичной точкой. Всего может быть использовано до 5 таких
кривых, причем каждой кривой обязательно соответствуют две карты,
независимо от того, используются они полностью или нет. На картах
кривые задаются девятью точками, запись осуществляется точно так же,
как и в 8-м комплекте, только вместо мощности стоят значения Wc,
а вместо времени — температуры.
Обращение к этим кривым осуществляется с помощью чисел 1101.,
1102., 1103. и т. д. Эти коэффициенты стоят на соответствующих картах
в 10-м комплекте.
13-й комплект входных данных. С помощью этого комплекта
описывается наличие фазовых переходов. Данные записываются либо в виде
269

целой, либо вещественной константы. Этот комплект может
зафиксировать фазовый переход в трех узловых точках. Для описания нужны три
карты. В первой карте информация записывается с помощью целых
констант без десятичной точки.
№
п/п.
1
2
3
Номера столбцов
первой карты
13-го комплекта
1—4
5—8
9—12
Содержащаяся информация
Наименьший порядковый номер узловой точки, в которой
происходит фазовый переход
Второй по величине порядковый номер узловой точки, в
которой происходит фазовый переход
Наибольший порядковый номер узловоД точки, в которой
происходит фазовый переход
Информация, содержащаяся во второй и третьей картах,
записывается в виде вещественных констант с плавающей десятичной точкой.
№
п/п.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Номер
карты 13-го
комплекта
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
Номера
столбцов
1—8
9—16
17—24
25—32
33—40
41—48
49—56
57—64
65—72
1—8
9—16
17—24
Содержащаяся информация
Точка плавления или кипения для узла с наименьшим
порядковым номером
Скрытая теплота для узла с наименьшим порядковым
номером
Wc для узла с наименьшим порядковым номером (в
случае плавления берется теплоемкость твердой фазы,
а в случае кипения — жидкой)
Wc для узла с наименьшим порядковым номером (в
случае плавления берется теплоемкость жидкой фазы,
а в случае кипения — паровой)
Та же информация, что и в пп. 1—4, но для узла со
вторым по величине порядковым номером
Та же информация, что и в пп. 1—4, но для узла с
наибольшим порядковым номером
В комплект включаются все три карты, если даже последняя из
них совершенно не заполнена.
Следует заметить, что в расчетах может наблюдаться небольшая
неточность, поскольку машина считает, что фазовый переход
происходит в интервале температур в 1°F. Кроме того, программа допускает
лишь один вид фазового перехода. В одной и той же узловой точке не
могут иметь места переходы из твердого состояния в жидкое и из
жидкого в газообразное. Программа может учесть лишь один из них.
14-й комплект входных данных. Он описывает зависящие от
времени произведения Wc. Запись осуществляется в виде вещественных
констант с десятичной точкой. Всего может быть задано пять кривых,
каждая описывается двумя картами, независимо от того, используются они
полностью или нет. Задаются девять точек такой кривой, запись на
картах такая же, как и в 8-м комплекте, только вместо мощности стоят
значения Wc.
Обращение к этим кривым производится с помощью чисел 1001.,
1002., 1003. и т. д. Эти коэффициенты стоят на соответствующих
позициях в картах 10-го комплекта.
270

Таблица 7.1
Система чисел-меток для стационарной и нестационарной программ
Параметр
Числа-метки
в описанных
в гл. 6 и 7
программах

Возможный
вариант
Примечание
Число узловых точек
Возможная нумерация узловых
точек
Максимальное число узлов,
фиксируемое в 1-й строке
карты 2
Максимальное число
постоянных температур, фиксируемых
во 2-й строке карты 2
Возможная нумерация
фиксированных температур
Максимальное число
регулируемых источников,
фиксируемых в 3-й строке карты 2
Возможная нумерация
регулируемых источников
Зависящие от времени
источники тепла (8-й комплект
входных данных)
Зависящие от времени
.температурные кривые (9-й
комплект входных данных)
Зависящие от температуры
подводы тепла G-й комплект
входных данных)
Источники постоянной
мощности (минимальный номер
такого источника)
295
1—295
300
50
301—350
6
351—356
357—361
362—366
367—371
372
500
100
501—550
100
601—606
701—705
706—710
711—715
716
Зависит от типа и емкости
памяти машины. Пользователь
не имеет возможности изменить
это число
Программа ограничена
возможностью использования
только 50 постоянных температур.
Поэтому в возможных
предлагаемых вариантах программы
не могут использоваться узлы
551—599. Они являются
„запрещенными"
Могут быть использованы
только шесть регулируемых
источников
Не используется в
стационарной программе
Не используется в
стационарной программе
Для задания фиктивного узла,
выступающего в качестве
источника тепла, можно
использовать любое число,
превышающее указанное. Авторы
предпочитают применять 999. Оно
сильно отличается от других
используемых меток
Отметим, что числами 1001, 1002, 1003 ... в 10-м комплекте
задается обращение к 14-му комплекту, а числами 1101, 1102, 1103 ... —
обращение к 12-му комплекту.
Естественно, у читателя может возникнуть вопрос, почему для
задания числа узловых точек, количества фиксированных температур и
регулируемых источников как в стационарной, так и в нестационарной
программах были выбраны соответственно числа 300, 50 и 6. Выбор
этих чисел основывался на опыте авторов. Редко возникает потребность
в использовании большего числа соответствующих параметров.
Таблица 7.1 показывает, с помощью каких чисел-меток
производится вызов программой того или иного комплекта входных данных. В этой
271

же таблице в качестве примера показан один из возможных вариантов
изменения системы чисел-меток, если при составлении программы
возникнет потребность в задании большего максимального числа узловшх
точек, фиксированных температур и регулируемых источников, нежели
соответственно 300, 50 и 6. Комплекты входных данных могут
использоваться в любой последовательности, так как их точная очередность
фиксируется на карте 2.
Пример 7.1. Решение методом конечных разностей нестационарной задачи
теплопроводности для продольного ребра прямоугольного профиля.
Характеристики ребра:
Материал Сталь
Высота 4"
Толщина 0,125"
Длина 1 фут
Коэффициент теплоотдачи 30 БТЕ/(фут2-ч-°Р)
Коэффициент теплопроводности 20 БТЕ/(фут-ч-°Р)
Удельная теплоемкость 0,11 БТЕ/(фунт^°Р)
Плотность 475*"фунт/фут3
Начальная температура ребра 100°F
Температура окружающей среды 100°F
Используя модель с 10 ячейками, с помощью обобщенной программы решения
нестационарных задач определить прбфиль температуры в ребре через 1 мин после того,
как температура в основании ребра скачкообразно повышается до 200°F *.
лл
Рис. 7.3. Модель продольного ребра
прямоугольного профиля с десятью
ячейками.
Рис. 7.4. Неустановившееся
распределение температур в продольном
ребре прямоугольного профиля (рис.
7.3) при скачкообразном повышении
температуры в основании на 100°F
[Л = 30 БТЕ (фут2-ч-0Р); ? = 20 БТЕ
(фут-ч-Т)].
Температура в основании ребра ^F
\ Расстояние от основания
0 10 20 30 40 50 60 70
Время,С
Решение. Модель продольного ребра с 10 ячейками показана на рис. 7.3. Она
имеет следующие характеристики (используются те же обозначения, что и в гл. 6):
площадь поперечного сечения ребра А = д0Ь=0,01041 (фут2);
* В оригинале книги, кроме того, рассматриваются случаи: а) скачкообразного
изменения температуры окружающей среды и изменяющегося во времени подвода
тепла в основании ребра; б) излучения с поверхности ребра в свободное пространство при
переменном поглощении солнечного излучения для продольного ребра и аналогичные
задачи для радиального ребра. В переводе они опущены.
272

площадь теплоотдающей поверхности ячейки с одной стороны ребра
5 = 0,03333 фут2;
то же с двух сторон ребра 5=0,06667 фут2;
объем ячейки У=б05=0,000347 фут3;
«масса ячейки W=yV-=475•0,000347=0,16483 фунта.
Эквивалентные проводимости: между основанием и узловой точкой 1
кА 20-0,01041
*'.' = -дГ~ \_ 1 j—=12, БТЕ/(ч'#р);
Г'Т(Г4'0'ТГ
между всеми остальными узловыми точками
кА 2,0-0,01041
^-М=-дГ~1 р-^6,25 BTE/D-QF);
между ребром и окружающей средой (конвекция)
Ки 8=US=30-0,06667=2,0 BTE/D-°F).
Величина Wc=0,16483-0,11=0,01815 BTE/°F.
Вводимые в машину данные представлены в табл. П-8. Уравнения
узловых точек задаются 4-м комплектом входных данных, десять
начальных температур — 6-м комплектом. Значения Wc представлены
10-м комплектом входных данных. Температуры в основании ребра и
окружающей среды (узлы 301 и 302) равны соответственно 200 и 100,
они вводятся с одной карты, составляющей 2-й комплект входных
данных.'
Картой 3 вводятся следующие данные:
Начальный промежуток времени 0,0001 ч
Начальный момент времени 0 (нули не
вводятся)
Момент времени, по достижении которого
расчет прекращается 0,016667 ч
Временной интервал между выводами на
печать 0,001 ч
Максимальная абсолютная ошибка . . . . 0,01°F
Результаты расчета приведены на рис. 7.4,
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 7
1. Chapman A. J. Second Natl. Heat Transfer Conf. AIChE, paper 10, Chicago,
1958.
2. Vind Т. Н. Personal communication, 1970.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
ОРЕБРЕННЫЕ КАНАЛЫ
Введение
Интерес к разработке методов определения эффективности ореб-
ренных каналов в условиях конвективного теплообмена обусловлен
распространенностью теплообменников «труба в трубе», связанной с их
низкой стоимостью в расчете на единицу площади поверхности
теплообмена. Такой теплообменник состоит из двух концентрических труб с
продольными ребрами прямоугольного профиля только на наружной по-
18—192 273

верхности внутренней трубы. Как будет видно далее, в гл. 9, трубы
образуют оребренный кольцевой канал и теплопередача между
теплоносителями, движущимися по внутренней трубе и кольцевому
каналу, осуществляется через ребра и стенку внутренней трубы. Вполне
понятно, что если оребрить обе поверхности кольцевого канала
(внутреннюю и наружную трубы), внутренняя поверхность наружной трубы
будет оказывать влияние на результирующий теплоперенос. Тепловые
потери с наружной трубы в окружающую среду могут быть легко
сведены к минимуму путем применения изоляции.
Уравнения для эффективности ребер, полученные в [1],
использованы в [2] для расчета теплообмена шасси электронных приборов,
охлаждаемых посредством вынужденной конвекции, или
теплообменника с холодной пластиной. Такой теплообменник представляет собой
систему плоских прямоугольных (нерадиальных) ребер. Оптимизация
системы плоских прямоугольных ребер проведена в [3], а в [4]
исследована ее эффективность при неодинаковых тепловых потоках,
подводимых к противоположным сторонам.
Как показали Кэйс и Лондон [5], все возрастающее применение
компактных теплообменников способствовало повышению интереса
к определению эффективности ребер пластинчато-ребристых насадок
(пакетов). В качестве компонентов насадки Кэйс [6] рассмотрел двух-
и трехслойные конструкции, назвав их двойными и тройными
сандвичами, и разработал уравнения для расчета их эффективности в случае
равенства тепловых потоков, подводимых к обеим внешним пластинам.
В этой главе рассматривается общий случай п-слойного сандвича,
который ниже называется я-слойной насадкой, и излагаются методы
и порядок определения ее эффективности для случаев одно- и
двустороннего подвода тепла. При этом учитывается влияние отсутствия
перемешивания теплоносителя между слоями насадки, а для однослойной
насадки разработана методика оптимизации ребра. Рассматривается
также случай подвода к внешним пластинам неодинаковых тепловых
потоков.
В основу всех выводов, приводимых в этой главе, положены
допущения, перечисленные в гл. 2, и дополнительное допущение о том, что
температура пластин и ребер в точках пересечения одинакова.
АНАЛИЗ /г-СЛОЙНОЙ НАСАДКИ. ОДНОСТОРОННИЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Частные решения для температурного напора
На рис. 8.1 показана прямоугольная система координат (л:—у) для
анализа я-слойной насадки. Точки Х\, х% ..., хп на оси х, нормальной
к основной поверхности, представляют собой начала координат для
каждого слоя. Ось у направлена перпендикулярно оси х и,
следовательно, параллельна основной поверхности, а начало ее находится на оси
симметрии между двумя соседними ребрами.
Толщина ребер в направлении х и толщина разделительной
пластины (ребра) в направлении у обозначаются соответственно б и со
с соответствующими индексами. Высота ребер в направлении х
обозначается буквой Ъ с соответствующим индексом, высота в направлении у
обозначается буквой а. Температура теплоносителя обозначается
в каждом слое насадки tsU tS2, ..., 4п. В рассматриваемом случае эти
температуры приняты одинаковыми: ts\=tS2= ... =tsn=t\s. При этом
температурный напор во всех точках насадки.Q=t—tis, где t —
переменная температура ребра (и пластины), следовательно, dQ=dk.
274

w
к
-И
LS2
dx
У2^2
,4
х^Ь х^О
*>1
за
ч
Ж
-С5
К-1 -у
У 1=0 уг=0
Xz = bz . хг=0
. *i
Уп-1 <V»,
вп-1
Т*
О),
W,
К~
to"
эп
7|
/1
'1 «-''2 в>я-1 wn
Рис. 8.1. Схема n-слойной насадки с односторонним теплоподводом.
В каждом из ребер на рис. 8.1 можно выделить дифференциальный
элемент длины dx или dy. Составляя уравнение теплового баланса,
в котором приравнивается разность тепловых потоков, поступающих
в элемент и покидающих его посредством теплопроводности, к
тепловому потоку, отводимому от элемента путем конвекции, получаем 2я
дифференциальных уравнений для 6:
d4
dx\
d4
dy\
d2$
dx22
d4
-m2J = 0;
-m2J = 0;
dy22
d4
dx\
d2b
-m%6 = 0;
-m' 6 = 0;
dy\i
-my) = 0,
(8.1a)
(8.16)
(8.1b)
(8.1 г)
(8.1д)
(8.1e)
где
m
m*i = V TFT' i==U 2> 3""' n;
f=/Sr /=1,2,3,...,,-!
18*
275

Для 2п дифференциальных уравнений существует 2п общих
решений:
Ь(х2)=--А,ет*>Хй+Вге-т"х';
Ь(хп) = Апет*пХ"+Впе~т™х"-
Ъ(уп) = СпетУпУ» + Опе-т«"\
(8.2а)
(8.26)
(8.2в)
(8.2г)
(8.2д)
(8.2е)
где произвольные постоянные Д-, В*, Q, Dj(i=\, 2, 3, ..., п\ /=1, 2,
3, ..., я) получают из граничных условий.
Для определения 4/г произвольных постоянных и п неизвестных
температурных напоров 6ь 62, ..., Эп (при xi=x2= ... =хп=0)
используется 5я граничных условий — по два для каждой из координат
(х и у) каждого из п слоев насадки {An условий):
Ых1=о)=ь1=л1+в1;
¦«„,0,
d8 I
I f/i=0
Л/
= 0 = С,-Д;
6(х2 = 0) = е2 = Л2+Лг;
Ну, = аг) = Ъ> = С2ет^+Оге-тУ*а*.
dy
= 0 = С2-?>2;
</2=0
Ь(хп = 0) = Ъп = Ап+Вп;
Hxn = bn) = bn_1 = Anem™b»+Bne-m*»b";
Ъ(уп=ап) = Ъп = Спе «п "+Dne
dd
dy
-0 = C„~D„.
(8.3a)
(8.36)
(8.3в)
(8.3r)
(8.3д)
(8.3e)
(8.3ж)
(8.3з)
(8.3и)
(8.3к)
(8.3л)
(8.3м)
Кроме того, используется п уравнений теплового баланса для узлов
(точек пересечения ребер с разделительными пластинами). Для первого
узла
*.*ж
*!=0
Zb>klk
• +2m,A-ii
*а=6а ^i
.</i=tfi
или
4-B,^(^
3,wx
в^-6'
H
(СЛ^-Де-^^). (8.3н)
276

Поскольку было принято, что вся насадка изготовлена из одного и
того же материала, общий коэффициент теплопроводности k можно
сократить. Для второго узла
2 dx»
*2«0
3 ClX:
At-B
{Aiem^_Bte
¦ °1тХЪ (А о""хг~* R о ""ХЗ'
2 $2^*2
) +
2<й2ту2 ^Cemirh
д2тх2
D^«n.
(8.3о)
Наконец, для л-го узла
п dxn |*Л=о
о и d§
п dyn
У=ап
ИЛИ
В ы*тУп
{СпетУ»а»-Рпе-тУ*ап).
(8.3п)
Таким образом, для /г-слойной насадки можно составить 2п
дифференциальных уравнений, имеющих 2п общих решений с An
произвольными постоянными. Поскольку неизвестны также п температур в узлах,
общее число неизвестных равно 5/г. Для их определения используются
Ъп уравнений граничных условий. С помощью 2п из этих уравнений
можно исключить 2п неизвестных. Исключим, например, константы Cj
и Я, (/=1,2, 3,..., /г).
Из уравнений (8.3в), (8.3г), (8.3ж), (8.3з), (8.3л) и (8.3м)
видно, что
г =п !
°i ui— 2chmuja;
-, /=lf 2, 3,..., п.
(8.4)
После этого остается Зп уравнений с Ъп неизвестными, а именно
(8.3а), (8.36), (8.3д), (8.3е), (8.3и), (8.3к) и (8.3н), (8.3о) и (8.3п),
модицированные с помощью уравнения (8.4), так как если Cj=Dj, то
C/y^'-D^0
А-в,
, = CjBshmyjaj);
ЪьГПХг
A2-Bt=^(A3em^
,е хь )-f
bttnmytat
,«„
(8.5а)
(8.56)
A,-S„
~тъ—e»thnw»-
(8.5в)
Теперь с помощью i(8.3n), (8.3к) и (8.5в) можно определить
произвольные постоянные общего решения для температурного напора 0П
в я-слое насадки. Константы Ап и Вп находим, складывая уравнения
(8.5в) и (8.3п), а затем вычитая из второго первое. Учитывая, что
2хйптуп1Ьптхп> (8.5в) легко упростить:
*пШхп ~ дп VWfWn ~2$n/k ~~V дп '
277

Тогда
Bn^{\-Y^Xhmyna,
(8.6a)
(8.66)
Подставляя эти значения Ап и Вп в (8.3к), получаем зависимость
Эп от 0„_i:
+ A-/-fFthm'"e'')e~
mxnbn
+
или
где
= F 6
Fn =
(8.7)
(8.8)
ch /и^лЬл + V2(on/dn th /и„ляя sh ^Л6Л
Затем определяем произвольные постоянные Ап-\ и ?n-i и
температурный напор бп-ь Последовательность вычисления будет
продемонстрирована в этой главе для насадки с различным числом слоев п.
Важно отметить, что в качестве первого шага исключают произвольные
постоянные в общих решениях для 0 в направлении у. Затем, начиная
с последнего я-го слоя насадки, сокращают число произвольных
постоянных в направлении х и определяют неизвестные температуры
узлов (точек пересечения ребер с разделительными пластинами).
ОДНОСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ОДНОСТОРОННИЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Частное решение для температурного напора
Схема однослойной насадки показана на рис. 8.2. Система
координат остается той же, что и для я-слойной насадки (см. рис. 8.1). В
данном случае п=1 и в точке пересечения %\ и у\ имеется один
температурный напор 6ь Общими решениями диф-
Поберхность ференциальных уравнений для темпера-
оснобания П турного напора (8.1а) и (8.16) являются
уравнения (8.2а) и (8.26).
Заметим, что имеется Ъп или в
данном случае 5 неизвестных — четыре
произвольных постоянных А и В и Си D\ и
температурный напор Эь Их можно
определить, решив систему из пяти урав-
Уг^1 \\ 1 нений (8.3а), (8,36), (8.3в), (8.3г) и
(8.3и). Однако решения могут быть
получены и непосредственно из уравнений
(8.4), (8.6а), (8.66), (8.7) и (8.8), если
7П " принять я=1:
¦л
dx1
Ч
°U
x7f О
и1
(О,
о;--
'2ch ти1аг1
(8.9)
Рис. 8.2. Схема однослойной
насадки с односторонним теплопод-
водом.
278
4=.тA+К^ш^«4 (8Л0)

B^^ll-V^thm^; (8.11)
e=FA.1 (8-12)
где
Fi= 77 * • (8.13)
ch /w^^! + V 2<al/81 th туЛ sh mxlbl
Таким образом, частное решение для температурного напора
в однослойной насадке имеет вид:
в <*)=\ [(i + K2fth v.) «m^+11 - /2i?th «. a)e
-»K,xi
Учитывая, что 01=Fi9o> после преобразований получаем решение,
выраженное только через гиперболические функции:
6 (xt) = F$Q f ch m^A^ -f- ]/ -^ th m^,^ sh m^J. (8.14)
Аналогично
или
e(|,1) = Fiei 4^i- (8.15)
Заметим, что при ai=(o\=G (8.14) сводится к простому решению
уравнения B.9). В этом случае F\=\jQhmx\b\ и
Отвод тепла
Тепловой поток, отводимый ребром, ,может быть получен путем
интегрирования профиля температурного напора по его поверхности.
Этот тепловой поток не равен тепловому потоку, подводимому к
основанию ребра вдоль координаты х\, так как при #1=0 часть теплового
потока отводится в разделительную перегородку (вторичное ребро). Но
тепловой поток, поступающий в перегородку при r/i=ab равен тепловому
потоку, отводимому этим вторичным ребром. Таким образом, используя
(8.14), получаем тепловой поток, отводимый единицей длины ребра:
Ьг Ь
qxl=2h С b(x1)dx1=2hF1b0 ПсЬт^л:, +1/-^ th myia, $hmxix1)dx1 =
о •
=2-^ [shmxA+ |/^ thmyA(chm,A - 1)] ¦ (8.16)
В случае одностороннего теплоотвода с помощью (8.15) находим:
ах
ах \ cbmyly1dyl
qvl = h\ ЬШУг = 1*А ° chmyiai = ^thmlla1. (8.17)
о
279

С другой стороны, по закону Фурье, взятому без знака минус, так
как градиент температуры совпадает с отрицательным направлением
оси у, имеем:
, dQ \ shmyiax hFJ
qy*= ^ 1Гг I ,Л = ^рА"гУг -^j- =-^7 thm, A.
В последнем соотношении используется равенство
k(olmyl = km1 Yhlktol — hYk<s>1lh = hlmyi.
Эффективность ребер
Эффективность ребра определяется как отношение теплового
потока, действительно отводимого ребром, к тепловому потоку, который то
же ребро отвело бы в идеальном случае, если бы все оно имело
одинаковую температуру, равную температуре в основании. Таким образом,
Ч«:
(ZhFJJm^) [sh mxlbi+Vto1/dl th myiat {ьЩпххЬх—1)]
2кЬгВ0
=^7 [*ЪтхА + Yt; Лт^А(сЬтхА - 1)
(hFJJmyd th я^! У7! th /я^
'lyi'
ha^o
myia1
(8.18)
(8.19)
Заметим, что как и в случае уравнения (8.14), если ai=oi=0,
вторичное (наружное) ребро отсутствует. Следовательно, Л=1/с11/пХ1&ь
уравнение (8.18) упрощается и сводится к B.13), т. е.
4*1 =
thwx,bt
тХ1Ь1
Рис. 8.3. Схема оребренного кольцевого
канала с системой координат,
идентичной системе координат однослойной
насадки.
1,01
Щ
0,8
0,7
0,6\
0,5\
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Рис. 8.4. Эффективность ребра r]xi в
однослойной насадке с односторонним
подводом тепла в зависимости от тхХЪх и
ту\й\ при 6i = coi на рис. 8.3.
7-п^
0,2^
I
ту1а<\=0,4
0,6
о,ъ
0,0
IVyfCLi
= 1,5
^Щ
N
mxibi
Уравнения (8.18) и (8.19) применимы также к оребренному
кольцевому каналу, показанному на рис. 8.3; в графическом виде они
представлены соответственно на рис. 8.4 и 8.5 для случая 6i=ooi.
280

Пример 8.1. Расчет температурного
напора в оребренных кольцевых каналах.
Рассмотрим следующие кольцевые
каналы.
1. Внутренняя труба: dH=33,4 мм;
с?вн==26,6 мм; толщина стенки со0=3,4 мм;
наружная труба: Z)H=60,3 мм и DBH=
=62,5 мм; толщина стенки соi=3,9 мм.
2. Те же трубы, но наружная
поверхность внутренней трубы разбита 8
продольными ребрами прямоугольного профиля
толщиной 6i=0,79 мм. Ребра внешними
торцами очень близко подходят к стенке
наружной трубы, но не касаются ее.
3. Трубы и ребра кольцевого канала
имеют те же размеры, что и в случае 2, но
ребра доходят до стенки наружной трубы
и припаяны к ней. Коэффициент
теплоотдачи от поверхности ребер и труб к потоку
холодного воздуха, протекающему по
кольцевому каналу, //=28,5 Вт/(м2-°С). Трубы
и ребра изготовлены из стали, имеющей
коэффициент теплопроводности ?=43,2
Вт/(м-°С).
Сравните температурные напоры
стенка внутренней трубы — газ для трех
рассматриваемых случаев (для случаев 2 и 3
в основании ребер).
Решение. Высота ребра
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
чо,4
0,3
0,2
0,1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
Рис. 8.5. Эффективность ребра Y\y\ в
однослойной насадке с односторонним
подводом тепла в зависимости от тх1^
и my\ai для 6i = coi на рис. 8.3.
|>ч%1
40,8s
myia<\=1,5'
s\4/r?(/ia?=0,2
чло
J>,6
тХ1 ь1
"i— 2 ( BH—"h/ — 2
E2,5 — 33,4)^9,5 мм = 9,5.10-
m.
Площадь позерхности теплообмена на единицу длины трубы.
1. Гладкая внутренняя труба:
5о=я^н = 3,14-33,4.10-3=^0,105 м2/м.
2. Внутренняя труба с 8 продольными ребрами (N=8):
50 = ш*н—Щ =3,14-33,4-Ю-3—8-0,79-Ю-3 = 0,099 м2/м;
5^1=2№1=2-8-9,б-10-3=0,152 м2/м.
3. Внутренняя и наружная трубы, соединенные 8 продольными ребрами:
S0 = 0,099 м2/м;
S3C1=0,152 м2/м;
51/1 = я^вн—Щ = 3,14-52,5-Ю-3—8-0,79-10-3==0,159 м2/м.
Значения параметров тх\Ь\ и mv\a,\\
1. Для гладкой трубы эти параметры отсутствуют.
т,
Л = V Ж ** = V 43,2.0,79-Ю-з -9,5.10- = 0,388.
28,5
43,2-3,9.Ю-3 ul~ l3au
где
i i
= —•— C,14.52,5.10-3—8-0,79-Ю-8) =9,9-10-3
Следовательно,
wyla! = 13-9,9.10-3=0,129.
Эффективность ребер.
1. Для гладкой трубы отсутствует.
281

2. По B.13) или из табл. 2.1 при mx\bi=0,388 ты = 0,953.
3. По (8.13) и (8.18) или по рис. 8.4
/со, 1 f 0,0039
2ТГ = Г 2 0,00078 =3'14'
1
ch 0,388 + 3,14 th 0,129 sh 0,388
^ 1,07623 + 3,14 @,12828) @,39136) = 0>8Ю87;
*, = @,81087) p 0,388 + 3,14 th0,8129(ch 0,388-1)-| =
= @,81087) [-.0,39136 + 3,14^^28X1.07623-1) j^^
По (8.19) или рис. 8.5
Л Л1ЛО / th0,129 \ / 0,12828 \
73^ = 0,81087 [ 0>129 j =0,81087 ( g-fgg j = 0,806.
Полная поверхность теплообмена на 1 м длины канала:
1. 5 = S0 = 0,105 м2;
2. 5=5о+т|ж15х1=0,Ю54-@,953)@,152)=0,250 м2/м;
3. S = S0+^*i5*i+T|»i5tfi = 0,105+.@;879) @,152) + @,806) @,159) =0,378 м2/м.
При постоянном тепловом потоке на единицу длины трубы q и /г=28,б Вт/(м2/°С)
температурный напор 0О у основания пропорционален 1/S. Полагая для внутренней
трубы без ребер 0О= 1,000, получаем:
1. 0о = 0а = 1,000;
Ьь 0,105
2-ео = 1^о^ = 0'421;
9g _ 0,105
' К" 0,378 = 0>278-
Средневзвешенная эффективность однослойной
насадки
Общая эффективность ребер в насадке, называемая также
средневзвешенной эффективностью насадки, является характеристикой ее
полной поверхности теплообмена. В однослойной насадке полная
поверхность состоит из основной поверхности 5о и двух поверхностей ребер
5Х1 nSyi. Таким образом,
S=So+Sxl+Syl. (8.20)
Пусть средневзвешенная эффективность насадки, обозначенная как
r\w, относится к полной поверхности, так что она представляет
средневзвешенное из основной поверхности с эффективностью, равной
единице, и поверхностей ребер с соответствующими эффективностями г\х\
и цУ1. Тогда
T]|0S=1So + Т)х15зс1 +V\y\Sy\.
Подставляя в это выражение 50 из (8.20), получаем:
т)ад5=1 (S—Sxi—Sy\) +T]xi5xi + r]1/iS1/i.
282

Разделив все члены на 5 и
произведя перегруппировку, по- 1>°
лучим: 0;9|
0,8
^л^м»*
v^Jw
^Т^
ъ^
h
— ^- A — \х1) — -J-/1 — Т\у1).
(8-21) 0;В[
Если размеры насадки
заданы, то для облегчения конструк- 0,5|-
торского 'расчета удобно пред- I
ставить зависимость ее средне- Щ
взвешенной эффективности от ко- 0 3[
эффициента теплоотдачи графи- ; о 50 юо 150 Вт/(мг-к)
чески. Такой график,
изображенный на рис. 8.6, называют КРИВОЙ Рис- 8-6* Средневзвешенная эффективность
гпеянрвчвртттрннпй чгЬгЬртггитшплти 0ДН0Сл0ЙН0Й пластинчато-ребристой насад-
средневзвешеннои эффективности ки с односторонним теплоподводом и эф-
насадки. фективности составляющих ее ребер.
Оптимизация однослойной насадки
Для случая, изображенного на рис. 8.2, тепловой поток на единицу
длины основания ребра высотой Ь\ может быть получен с помощью
закона Фурье:
Это выражение определяет тепловой поток, отводимый тремя
ребрами: одним — высотой Ъ\ и двумя — высотой й\. Производную
температурного напора можно найти из (8.14):
25Г| L-6i ~ Fim*lb° (sh m*1&1 + rT? th my*a*ch m**67'
Если это соотношение подставить в (8.22), то с учетом (8.13),
определяющего Fu получим:
sh mxib1 + VB(a1/d1) th myia1 ch mxlb1
q0 = kb
jn-xA J-
ch mxlbx + V B(a1/d1) th myla1 sh m
nbi 1
(8.23)
Площадь профильного сечения ребра, расположенного вдоль
координаты Хи равна Ар=Ь\8и и если
ТО
Уравнение (8.23) можно представить в виде зависимости #о от
параметра $=mxib\:
1
-~/ sh$+kf chp
chp + fcp3 shp
(8.24)
283

где
C = \[Ap{2hfkf
V2vx th myiat
Д = j—
{АрУЩк)Т
(8.25a)
(8.256)
Тепловой поток через основание ребра максимален, когда
производная dqo/dfi равна нулю. Дифференцируя (8.24) и приравнивая
результат к нулю, получаем:
(р 3-K*f) + [Kf -P 3-^-Jth2p-
1 _L'
+rp 3;thp=o.
(8.26)
Уравнение (8.26) представляет собой уравнение оптимизации,
связывающее параметры E и К. Его решают методом последовательных
приближений, задаваясь различными
значениями р. Результаты решения
представлены на рис. 8.7 в виде зависимости C от К-
С помощью рис. 8.7 находятся
оптимальные размеры ребер в том случае, когда
задана площадь профильного сечения
(площадь профиля) оребрения (ребер и
разделительных пластин) Ар. Расчет
производится в следующей последовательности:
1. Задают площадь профиля Лр,
конструктивные и теплофизические
характеристики: а) коэффициент теплопроводности
материала оребрения k\ б) расстояние меж-
1,5
1,0
0,5
|у
^^/с|
0,5
1,0
1,5
Рис. 8.7. Зависимость парамет- ^ , х
ра оптимизации для насадки р ДУ ребрами (определяющее размер а{)\
от параметра К. в) толщину разделительной (наружной)
пластины coi; г) коэффициент теплоотдачи/г.
2. Определяют значение К:
К-
Bщ)
[ApBh/kJ}
2 3
\Ъту1а1Л
где
"»¦=/?•
3. Для этого значения /С, используя рис. 8.6, находят C.
4. Определяют оптимальную толщину ребра:
,..[.
Ар Bh/kJ
(8.27)
5. Определяют оптимальную высоту ребра:
V
284

Если конструктор хочет задать один из размеров ребра, например
высоту Ь\, расчет становится более трудоемким. В этом случае он
производится в следующей последовательности:
1. Принимают высоту ребра bh теплофизические и конструктивные
характеристики.
2. Задаются значением площади профиля Av.
3. Определяют значение К.
4. С помощью рис. 8.7 находят соответствующее значение р.
5. Определяют толщину ребра:
ц^[.
6. Находят высоту ребра:
7. Сравнивают полученное значение Ь\ с принятым вначале. Если
они не совпадают с заданной точностью, задаются новым значением Ар
и повторяют расчет с пункта 3 по пункт 6.
8. В результате последовательных приближений находят точные
значения Ар и 6\.
Пример 8.2. Оптимизация однослойной насадки. Односторонний подвод тепла.
Конвективный теплоотвод. Однослойная насадка пластинчато-ребристого
теплообменника длиной 0,3 м имеет 158 ребер на погонный метр, изготовленных из алЮхМиниевого
сплава. Снаружи каналы ограничены пластиной из того же материала толщиной 1,6 мм.
Коэффициент теплоотдачи следует принять равным 100 Вт/(м2»°С) (точное его
значение зависит от окончательных размеров насадки). Коэффициент теплопроводности
алюминиевого сплава равен 198 Вт/(м«°С), а плотность 2700 кг/м3. Считая, что масса
ребер составляет 0,89 кг на погонный метр длины теплообменника, определить высоту и
толщину оптимальных ребер.
Решение. Объем металла, приходящийся на все ребра,
Объем одного ребра
0,89
Т/==2700 = 3'3-10-4м3-
3,3-10-*
V1 = -L-T5g = 2,09. Ю-6 м3
Площадь профильного сечения ребра длиной 0,3 м
ЛР =2,09-10-б/0,3 = 6,97.Ю-6 м«.
Определим параметр ребра:
: V k<ux ' V
100
= 17,8 м-1.
198-1,6-Ю-3
Положим в качестве первого приближения Ьг ==2,54.10-* м. Тогда
^-г^--^54-10-4)^3^
a.^-^lY^ — 2,54.10-*) =3,04.10"» м;
myiai=il7,8-3,04.1О-3=0,0541;
thmyiai = 0,05405.
По (8.256) определим параметр К:
Vr2(o1thwyia1 _. у2.1,6-10-3.0,05405
285
is yrr~ I - fl 1 Pi\
(АрУШ/%I,г F,97.10-6|/2T"i007i98I/3 ~~ '

По рис. 8.7 при К==0,161 находим 0 = 1,18. Затем, используя (8.27), вычисляем
толщину ребра:
ApVWk У
_2_
^( 6,97» Ю-6 V2.100/198 \3 =
v Ms ;
3,26-10-*
Вычисленное значение 3,26 -10~4 недостаточно хорошо согласуется с принятым
значением 6i == 2,54• 10-*4 м. Однако расхождение не слишком велико и полученное
значение можно, округляя, принять, особенно если иметь в виду возможные изменения
коэффициента теплоотдачи до окончательного определения всех размеров. Принимая 6i =
= 3• Ю-4 м @,3 мм), находим высоту ребра:
Л 6 97« 10~6
d^J-a з.10-^~" = 2>32'10 м = 23,2 мм.
Тгким образом, при толщине ребер 0,3 мм канал имеет высоту 23,2 мм.
ОДНОСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ДВУСТОРОННИЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Одинаковые тепловые потоки
Если плотности теплового потока на обеих стенках оребренного
канала, показанного на рис. 8.2, равны и тепло отводится посредством
конвекции, то каждое ребро можно рассматривать как два сплошных
ребра, соединенных торцами. К основаниям этих ребер подводятся
одинаковые тепловые потоки от стенок канала. В этом случае тепловой
поток через середину ребра (по высоте) отсутствует и выражение для
эффективности ребер сводится к простой форме уравнения B.13)
_ thmxl(V2)
Различные тепловые потоки
(8.28)
Для случая неодинаковых плотностей теплового потока на стенках,
когда к противоположным основаниям подводятся различные тепловые
потоки, может быть использована схема, изображенная на рис. 8.8. На
этом рисунке показано одно ребро высотой Ъ. К основаниям ребра
подводятся неодинаковые тепловые потоки, которым соответствуют
температурные напоры 0о и 0ь. Дифференциальное уравнение
теплопроводности для одиночного ребра имеет вид:
^--[т8в = 0, (8.29)
где т = yr2h!k\. Общее решение этого уравнения дается соотношением
Ь=Аетх-}-Ве-тх, (8.30)
где произвольные постоянные А и В определяются из граничных условий
в(х=0) = 80; (8.31а)
е(х=б)=бй. (8.316)
286

Подставляя (8.31а) и (8.316) в уравнение (8.30), получаем:
Ъь = АетЬ+Ве-тЬ,
откуда
Л = 80A-Й);
где
2sh mb
(8.32)
Частное решение для температурного напора получают из общего
решения, используя приведенные выше значения А и В:
°tc
а
tf?
9 (*) =0о (ew*—2Q sh mx).
5,0
2;5
1,0
1,5
(8.33)
а=0
у/,
Х = Ь
Щ
0,5\
|я
WV °'6
vOvx^/ 9ь/9о=0,9
\j2
/s%?
9b/90-
^?6
i
2; О
1
1
|
j Wib
Рис. 8.8. Однослойная насадка
с двусторонним подводом
различных тепловых потоков.
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 %0
Рис. 8.9. Зависимость функции Q от параметра
mb и отношения температурных напоров 6ь/0о-
Для ускорения расчета Q(x) по (8.33) можно воспользоваться
рис. 8.9. Вычислив значения mb и отношение температурных напоров
9ь/6о, по графику на рис. 8.9 находим непосредственно значение
параметра Q.
Тепловые потоки, подводимые к ребру при х=0 и х=Ь и
отнесенные к единице длины ребра, определяются из соотношений
х=0
Яь = ЬЪ
dfi_
dx
x=b
(8.34)
(8.35)
В выражении (8.35) знак минус опущен, так как производная
dQ/dx отрицательна.
Дифференцируя (8.33) по х, вычисляя производные при х=0 и при
х=Ь и подставляя эти значения в уравнения (8.34) и (8.35), получаем:
. q0=kSQomBQ—1); (8.36)
qb=km0m (emb—2Q ch mb). (8.37)
287

Отношение подводимых к ребру тепловых потоков составляет:
qb emb — 2Q ch mb
J7~~ 22—1
С учетом (8.32), определяющего Й,
qb 9fr/'90chmfr — l
~ql ch mb — 96/80 *
(8.38)
V
%0
3,5
3,0
2; 5
2,0
1,5
1,0
0,5
D
Чь/Чо
L
/
|
\
У
*—
У
У
-—
/
\
A
-—
^
\
\
Я—
^
\
\
\
\
\
ч
vx
-Qbfitftp
-1,Ъ !
-1,6
-1,4
;2
1,0
L0,9
-0,8 i
r0,7
mb
I _1_ J
0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,4 3,6
Рис. 8.10. Зависимость отношения тепловых потоков
Qb/qo от параметра mb и отношения температурных
напоров 9ь/0о в однослойной насадке с
двусторонним теплоподводом.
Следует отметить, что тепловые потоки равны только в том случае,
если 0ь/0о=1. График уравнения (8.38) представлен на рис. 8.10.
ДВУХСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ОДНОСТОРОННИЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Температурный напор
Схема двухслойной насадки с односторонним подводом тепла
показана на рис. 8.11. Заметим, что она соответствует обобщенной схеме
(рис. 8.1) при /г=2.
Дифференциальными уравнениями, описывающими распределение
температурного напора, являются (8.1а)—i(8.1r), где
Г2/Г.
т,
т>
l/2/г . ,/2А .
/2h . л/ h
288

Общие решения системы (8.1а) — (8.1г) даются уравнениями
(8.2а) — (8.2г), содержащими Ъп или в рассматриваемом случае 10
неизвестных— 8 произвольных постоянных и два температурных напора
01 и 02 (рис. 8.11). Упомянутые 10 неизвестных вычисляются из 10
граничных условий — уравнений
(8.3а) —(8.3з), (8.3н) и у* Поверхность
(8.3п). Семь неизвестных %Г основания
определяют непосредственно А—Г"
из (8.4), (8.6а), (8.66), Я 7
(8.7) и (8.8):
9,
C^q=^i • (8.39\ У\
1 ' 2ch m!/1al ' ч 'у
Г
C, = Dt =
^у2'Н
^ = -T(l + |/§thm,2a2); ^ч
Bi = ~{\-yr^pthm„0a
2«2
*2
ssks-' <8-40> й«'
(8.42) Рис. 8.11. Схема двухслойной насадки с односто-
л п й . /о ^оч ронним теплЪподводом.
^2 = ^2^1» (8.43)
F2 = . . (8.44)
ch mx2b2 -[- у 2ю2/д2 th my2a2 sh mx2b2
После этого неизвестными остаются только Аи В\ и 0ь их
определяют с помощью (8.3а), (8.36) и (8.5а). Заметим, что в (8,5а)
d2*H*I д2 VWkS.
гЩс2___ Ь2 V2h/kb2 |/^2_.
2а. т.
°гтуг _ 2@! V2hjfm1 _ 2 ь/ со^
Кроме того, член в круглых скобках в уравнении (8.5а),
содержащий А2 и В2, определяют с использованием (8.41) и (8.42), в которые
подставляется значение 02 из (8.43):
А,ет^-
¦В^"':
:F8e, (shmxtbt-\-y^^ihmvtatchmxtb^. (8.45)
Решая систему (8.3а) и( 8.5а) с использованием уравнения (8.45),
получаем:
Л> = -т [l + F* Y~t; (sh m* A + Vt; xh my>a*ch m*A)+
+ 2 j/^th myla\, (8.46)
-2 j/|Mhm^a,]. (8.47)
19—192
289

Подставляя (8.46) и (8.47) в уравнение (8.3в), находим
соотношение между 0о и 0i:
или
*г=РгК (8.48)
где
1 ch тХ1Ьх + К\ sh mxlbl' \ • /
(8.50>
Частные решения (8.1а) — (8.1г) находим, подставляя полученные
произвольные постоянные в общие решения — уравнения (8.2а) — (8.2г).
Используются также уравнения (8.43) и (8.48), в которые входит
температурный напор
е0 (9i=Fi60; e2=F2ei=JF2/:'ieo).
8W=-^-[(l +KJeyXl+(l-K1)e-m"Xl]=FX(Chmxlx1+K1shmxlxiy,
(8.51)
(myi^ i —тилУЛ rh m и
• W=^[(l + /f th».,A) .--*¦+(! -|/f thm„A) «-"•"]=
= /\F2ee f chmX2x2 + |/~th m^2a2 sh т^2х2); (8.53)
6 № = W. { 2chmy2a2 J =F*FA chmy2a2 <8'54>
Для проверки решения положим a1=a2 = b2=0. Тогда из (8.44)
Ft=l, из (8.50) 7^ = 0, из (8.49)
1
1 сЬтх1Ьг '
Подставляя эти значения в (8.51), получаем:
т. е. B.9) для температурного напора в продольном ребре
прямоугольного профиля.
Эффективность ребра
Эффективность ребра находят как отношение действительно
отводимого теплового потока к тепловому потоку, отводимому в идеальном
290

случае, если бы температурный напор по всему ребру был бы равен Э0.
Таким образом,
Ьг
2hF1B0 \ (chm^jjCj + Кх shm^x^ dx1
1x1 2hbX
= l^lshmxA + K1(chmxlb1-'l)]; (8.55)
0
ft.
2hF1F2Q0 \ (ch mx2x2 + ]/co2/82 th tffy2a2 sh mx2x2) dx2
о
^Л
"m,,&.
[Лт,А + f/ ^ thm^aJchm^A — l)J ; (8.57)
a2
hF F 9 f* Т7 T7
V= ch^a^B.) j (ch/n,^)#a = ^-thmff2a2. (8.58)
0
Снова положим #1=02=62=0, так что /Ci = 0, /72=1 и Fi=
= \jQhmx\b\.
При этих значениях (8.55) приводится к виду
*xl mxlb1chmxlbl гпхлЬг '
т. е. к B.13) для эффективности ребра прямоугольного профиля.
Наконец, рассмотрим ребра во втором слое насадки,
расположенные вдоль координат х2 и у2. Тогда ai=6i==0, F2 определяется по (8.44),
а из (8.49) следует, что Fi—l.
При этом (8.57) приводится к виду
4« = s^Jr [shm^2 + У^^ту&№тх&— 1)\'
т. е. к (8.18)), в котором вместо Л, m^i&i и m^ai представлены F2,
mx2^2 и т^г. Кроме того, (8.58) приводится к соотношению
которое является формой (8.19). Из сказанного следует, что внешние
ребра двухслойной насадки ведут себя так, как если бы они были
в однослойной насадке, соединенной с другой однослойной насадкой.
Средневзвешенная эффективность двухслойной насадки цю
определяется тем же способом, что и для однослойной [см. вывод уравнения
(8.21)]:
XI Х2 U1 W2
¦ч. = 1 — ~5-A—О —-j-0 —"Чя) —-уA — v) — -§- — \i)-
(8.59)
19* 291

ДВУХСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ДВУСТОРОННИЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Задача о распределении температур в двухслойной насадке с
двусторонним подводом тепла сводится к соответствующей задаче для двух
прилегающих друг к другу однослойных насадок с односторонним
подводом тепла. Эффективность каждой из них определяется по (8.18) и
(8.19). Следует учитывать, что значение coi в этих уравнениях в
рассматриваемом случае равно половине толщины разделительной пластины.
ТРЕХСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ОДНОСТОРОННИЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Температурный напор
Схема трехслойной насадки с односторонним подводом тепла
показана на рис. 8.12. Заметим, что она соответствует обобщенной схеме
(рис. 8.1) при /г=3.
Распределение температуры описывается дифференциальными
уравнениями (8.1а) — (8.1е) при /г=3, решения которых — уравнения
(8.2а) — (8.2е)—содержат 5/г=5 -3=15 неизвестных: 12 произвольных
Поверхность
'основания
•hi
dxi
<5о
*t
S2
J?t= i>t
У1 = 0'
Х^О
dxz
Уг^Ч
Л
х
-в
щ
Axs
4х
xr^f
ж3=ь3
Х3-0
0>я
Рис. 8.12. Схема трехслойной насадки с односторонним теплоподводом.
постоянных и три температурных напора 6ь 02 и вз (см. рис. 8.13). Все
15 неизвестных находятся из 15 соотношений, описывающих граничные
условия [уравнения (8.3а) — (8.3п]). Девять неизвестных могут быть
найдены непосредственно с помощью уравнений (8.4), (8.6а), (8.76),
(8.7) и (8.8). Таким образом,
CX=DX:
2ch mylat'
(8.60)
Ct=Dt:
2ch my2a2 '
(8.6 )
Ct=Dt = ;
2ch ffiy3a3 '
292
(8.62)
(8.63)

B3 = ^(\-Y2fthmy3a3); (8.64)
*i = F.C (8-65)
где
F4 = 7 - . (8.66)
ch тхгЬъ + V 2co3/§3 th my3az sh тхгЪь
Неизвестные Л2, B2 и 02 определяют из уравнений (8.3д), (8.3е) и
(8.3о) так же, как и для двухслойной насадки. Таким образом, А2у В2
и 02 определяются уравнениями (8.46) — (8.48) при соответствующей
замене индексов. Следовательно,
л.=-тО;+*.); <867)
В2 = ^-(\-К2); (8.68)
bt = Ftbl9 (8.69)
где _
^ = F» K-f (Лт*А + Ут; ^тугаг chm,3&3) + 2 j/^-th ту2а2; (8.70)
F = ! (8.71)
2 ch/rcx2&2+ К2 $Ъ.тх2Ь2'
Остаются неизвестными только Аи В\ и Q\. Они могут быть
определены из (8.3а), (8.36) и (8.5а). Заметим, что в (8.5а)
М*г 82 УШ/Щ
* 1^*1 ^ |/А/ы
Мл ~~ at К2Ща7 ~~
Кроме того, член в скобках в (8.5а), содержащий А2 и B2i можно
вычислить с помощью (8.41) и (8.42), используя значение 02,
полученное из (8.43):
Л2Л2*' — В2<Гт*2*3 = FX (sh тхА + К2 ch тХ2Ьг). (8.72)
Решая систему (8.3а) и (8.5а) при исюльзэвании (8.72), получаем:
4 = -т+т- [F« У^^г^^А+^сЬт^ + г |/^thmfA];
Д = АA+К0; (8.73)
*.= ^-(l-*i). (8.74)
где ^
tf.W, /-|г[(8Ь^А + ^сЬт,А)]+2 }/r^thmfА. (8-75)
Подставляя (8.73) и (8.74) в уравнение (8.36), находим
соотношение между во и 0i:
^¦m+Ki)em-t"+(l-K1)e-m^=bt
293

или
0i (ch mx\bi+K\ sh mx\b{) =0O.
Наконец,
ei=Fi9o, (8.76)
где
Л = -т ? г? ь г—. (8-77)
1 ch %!&! + /Ci sh mxlbl v 7
Получив частные решения для температурного напора, приходим
к следующим выражениям:
9 (xi)=Fi'9o(ch rnx\X\ + K\ sh mx\X\); (8.78)
chin,.* у, /0 „^v
W^A-ж^г (8'79)
6 (х2) = F^.e, (ch mx2x2 + К, sh mX2x2); (8.80)
Чу^Р^А^Щ; (8.81)
6 (*,) = f,f/A (ch тхзх3 + у ^-3 th от^л sh т,3л:3 J; (8-82)
Эффективность ребер
Эффективность каждого из шести ребер в трехслойной насадке
с односторонним подводом тепла определяется из следующих
соотношений:
Ъ. = =гт" lsh «*A"+^.:(ch&n,A;- l)]; (8.84)
ъ=й?г*«.а; (8-85)
Я» = ^ [sh т,Л'+ tf 2 (ch т,Л - 1)]; (8.86)
V = ^-thm,A; (8.87)
^ = FS [sh«*A"+/"^iith^A(ch/n„&f- О]'» (8-88)
tj =^Z?thm„8a3. (8.89)
Средневзвешенная эффективность насадки рассчитывается по фор
муле
JC1 l/l JC2
-%-d - W-%-0 -чя)-%-0- W- <8-90>
294

ТРЕХСЛОЙНАЯ НАСАДКА. ДВУСТОРОННИЙ СИММЕТРИЧНЫЙ ПОДВОД ТЕПЛА
Температурный напор
При двустороннем симметричном подводе тепла трехслойную
насадку можно разделить пополам, как это показано на рис. 8.13.
Заметим, что начало координат для ребра, расположенного вдоль оси х2,
находится в центре насадки и что высота этого ребра равна &г/2.
Дифференциальными уравнениями, описывающими распределение
температурного напора, являются (8.1а) — (8.1в), а их общими
решениями—уравнения (8.2а)—<(8.2в). В последних уравнениях
тл
/2А . «/2А . -i/2/г
Шесть произвольных постоянных и неизвестная температура 9i на
рис. 8.13 могут быть определены из граничных условий, представленных
уравнениями (8.3а) — (8.3г), (8.3н) и
соотношений
А2—В 2=0;
(8.91)
(8.92)
Постоянные С и D\, A2 и В2
определяют из (8.3в), (8.3г), (8.91) и (8.92):
С, = Р,=
9,
2ch тухаг '
Аг=В,=
2ch -j mxtb2
(8.93)
(8.94)
Подставляя эти значения С„ D„ A2 и
В, в (8.3н), получаем:
_ 4-в,= _
</
1
V
'/
У
/ /
I
Поверхность
^основания
/о **, ^
/ *"
•
I 1
i
Х^ — Ол Х^~
**
=0Ч
\|
•ts2
I/1 /Х2,
У *
/
1
о"
0
и
I I * I
Al
во*'
J 2
1 **
2
Рис. 8.13. Схема трехслойной
насадки с симметричным
двусторонним тепло'подводом (показана
только левая часть насадки).
Из последнего соотношения и уравнения (8.3а) находим постоянные
Л и В,:
(8.95)
4 = -^ 0+к');
B^^-il-K'),
(8.96)
где
Ki = Y^ih^m^t + 2^^thmylal. (8.97)
Подставляя полученные значения А\ я В\ в (8.36), находим
соотношение между температурными напорами 0i и во:
в1=^в0,
295

где F' = -
ch mxlb1 + К1 sh тХ1Ьг'
Частные решения для температурного напора можно записать в виде
6 (xt) = F% (ch mxlxx + К' sh mxlxx)\ (8.98)
ch m»tw,
^ = F%Wi^T' (8-99)
0(jCj=f>e, ch7J:2X2 • (s.ioo)
ch -q" tnx2b2
Эффективность ребер
Следуя методике, использованной в предыдущих случаях, получаем
следующие выражения для эффективности:
^=ffr №mxA + K'(chmxA-\)]; (8.101)
^s=?^th-i-^A- (8-103)
Средневзвешенная эффективность трехслойной насадки с
двусторонним симметричным подводом тепла рассчитывается по формуле
Ч. = 1 ~% О -^)-%d -U- %-d-O- (8-104)
ПОПРАВКИ НА ОСЕВЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
В НЕПЕРЕМЕШИВАЮЩЕМСЯ ПОТОКЕ
Введение
Если жидкость движется по системе параллельных каналов
пластинчато-ребристой насадки, то применение выражений для
эффективности, полученных в этой главе, приводит к ошибкам. Условие
неперемешивания жидкости вызывает постепенное понижение температуры
жидкости в каналах, более удаленных от основной поверхности. Ниже
приводятся поправочные коэффициенты к теоретическим значениям
эффективности для насадок различных конфигураций.
ЧИСЛО ЕДИНИЦ ПЕРЕНОСА — ЭФФЕКТИВНОСТЬ (К. П. Д.) ТЕПЛООБМЕННИКА
На рис. 8.14 показан профиль температуры теплоносителя,
движущегося вдоль изотермической поверхности с температурой U.
Температура теплоносителя на входе t\, а на выходе ^. Тепловой поток,
передаваемый от поверхности к теплоносителю, определяется по уравнению
теплоотдачи
q=hSAtm, (8.105)
где Atm — среднелогарифмическая разность температур,
"—..И..5А-ЦГ (8Л06)
296

Тепловой поток, отводимый охлаждающей жидкостью, находится
из соотношения
q—wc(t2—U).
Приравнивая правые части (8.105)
имеем:
hS
[ln[
U — ti
_l =
и (8.107),
wc(t, — /,).
с учетом
(8.107)
(8.106)
i[('or-'i)/('o-'2)J Г
Сокращая на (t2 — ^), после перегруппировки получаем:
In
¦*, hS
NTU,
(8.108)
где NTU—hSjwc является мерой термического «размера» системы.
NTU представляет собой первые буквы английского словосочетания
number of transfer units (число единиц
переноса).
Решая уравнение (8.108) относительно
температуры теплоносителя на выходе,
получаем:
„NTU
(8.109)
Эта зависимость позволяет производить
вычисление температуры охлаждающей
жидкости на выходе для идеального случая
постоянной и однородной температуры
поверхности U. Под этой температурой в
пластинчато-ребристом теплообменнике
имеется в виду температура как основной
поверхности, так и оребрения.
Рис. 8.14. Профиль
температуры теплоносителя,
движущегося вдоль изотермической
поверхности с температурой t0.
Поправочные коэффициенты
При расчетах на ЭВМ обнаруживаются значительные колебания
выходной температуры теплоносителя между тремя каналами матрицы.
Разница более заметна при высоких значениях h и низких значениях
NTU. Например, при NTU=0,2 и /г=118,7 Вт/(м2.°С) температуры на
выходе из каналов равны 39,47; 38,37; 38,11°С. При равных массовых
расходах в каналах можно убедиться, что эффективность каждого
канала понижается с удалением от поверхности основания.
На рис. 8.15 представлены поправочные коэффициенты для
конкретной трехканальной насадки. Эти поправочные коэффициенты были
получены следующим методом:
1. Кривая общей взвешенной эффективности вычислялась из
(8.44) —(8.90). Эта кривая также показана на рис. 8.15.
2. Среднюю температуру теплоносителя на выходе из матрицы
получали, принимая ее средней арифметической величиной трех
вычисляемых значений температуры. Это допустимо, так как в каждом канале
протекает одинаковое количество теплоносителя.
3. Действительное повышение температуры холодного
теплоносителя получали путем вычитания температуры холодного теплоносителя на
входе в насадку из температуры на выходе из нее, вычисленной в п. 2.
Разность этих температур может быть обозначена At.
е-
297

4. Идеальное значение
температуры теплоносителя
на выходе находим из
формулы (8.109), а идеальное
повышение температуры
теплоносителя, обозначаемое
At id, находим путем
вычитания температуры
теплоносителя на входе в насадку из
идеальной температуры
теплоносителя на выходе.
5. Действительную
эффективность канала
получали исходя из определения
эффективности
7f =
я _
wcAt
Д/
Qid
wcAtid
Mid
(8.110)
6. Затем
поправочный
из уравнения
вычисляется
коэффициент
где тр
(8.110)
венно.
Дт|=т|*—т|, (8.111)
и г\ получают из
и (8.90) соответст-
Рис. 8 15. Взвешенная эффективность насадки и
поправочные коэффициенты для трехслойной
насадки с 394 ребрами на 1 пог. м при высоте ребра
12,7 мм, толщине 0,15 мм. Толщина
разделительной пластины 0,25 мм.
ЗАДАЧИ
8.1. Трехслойная насадка составлена из трех оребренных каналов
высотой 12,7 мм каждый. Толщина алюминиевых ребер 0,15 мм,
расстояние между центрами оснований 2,5 мм. Толщина разделительных
пластин равна 0,25 мм. Рассчитайте средневзвешенную эффективность
насадки при одностороннем подводе тепла и при коэффициенте
теплоотдачи, равном 90 Вт/(м2-°С).
8.2. Вычертить кривую зависимости взвешенной эффективности
насадки для двухслойной насадки, содержащей медные ребра [к=
=382 Вт/(м-°С)] высотой 9,5 и толщиной 0,2 мм каждое. Количество
ребер 312 на 1 м длины. Разделительные пластины также медные, их
толщина 0,2 мм. Подвод тепла с одной стороны.
8.3. Напишите соотношение для взвешенной эффективности
однослойной насадки с двусторонним подводом тепла. Насадка изготовлена
из алюминия и имеет ребра высотой 6,4 и толщиной 0,15 мм.
расположенные на расстоянии (между центрами) 1,6 мм. Ребра заключены
между пластинами толщиной 0,25 м-м.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 8
1. Kraus A. D. ASME Paper 60-HT-3, 1960.
2. Kraus A. D. Proc. Natl. Aeronaut. Electron. Con!., Dayton, Ohio, 1961, p. 381.
3. Kraus A. D. Proc. Natl. Aeronaut. Electron. Conf. Dayton, Ohio, 1962, p. 78.
4. Smith R. K. Personal communication, 1966.
5. Kays W. M., London A. L. Compact Heat Exchangers, 2d ed\, McGraw-Hill Book
Company, New York, 1964.
6. Kays W. M. J. Eng. Power, 82, 27, 1960.

ЧАСТЬ II
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННИКОВ С РАЗВИТЫМИ
ПОВЕРХНОСТЯМИ
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ТЕПЛООБМЕННИКИ ИЗ ТРУБ С ВЫСОКИМИ ПРОДОЛЬНЫМИ РЕБРАМИ
Введение
Как отмечалось в гл. 1, назначение развитой поверхности состоит
в том, чтобы интенсифицировать теплообмен между источниками и
стоками. В последующих главах при анализе теплообмена ребер под
стоком понимается среда, окружающая ребра. В условиях теплоотдачи
конвекцией исследование тепловых режимов ребер может быть
проведено столь же просто и в том случае, когда тепловой поток направлен
от окружающей среды к ребру. Такие характеристики, как
распределение температурного напора по высоте ребра, эффективность,
отводимый ребром тепловой поток, могут быть вычислены непосредственно по
заданным геометрическим размерам ребер и температуре окружающей
среды. В частности, температурный напор Q=t—ts определяется
температурами поверхности ребра t и окружающей среды ts.
Вместо рассмотрения источника тепла обычно задают значения
температуры и (или) теплового потока в основании ребра. При
отсутствии внутренних источников и аккумуляции тепла в ребре тепловой
поток, передаваемый через основание ребра, равен тепловому потоку,
отводимому с его поверхности. Такое приравнивание тепловых потоков,
подводимого и отводимого от аппарата или системы, составляет
основной принцип расчета теплообменника.
Название теплообменник часто употребляется для любого
аппарата, в котором процесс передачи тепла от горячей жидкости к холодной
рассматривается количественно. Обычно при этом подразумевается
аппарат, в котором осуществляется экономически целесообразная
передача тепла. В тех случаях, когда горячая жидкость охлаждается,
отдавая тепло таким теплоносителям, как охлаждающая вода или
атмосферный воздух, аппарат называют охладителем. Когда же холодная
жидкость получает тепло от другой среды, такой, как пар или
циркулирующий высокотемпературный теплоноситель, аппарат называют
нагревателем. В тех случаях, когда вследствие теплообмена с одним
теплоносителем другой меняет фазовое.состояние, аппарат называется
конденсатором, если второй теплоноситель переходит из парообразного
состояния в жидкое, и выпарным аппаратом, испарителем, парогенератором,
котлом-утилизатором, если теплоноситель переходит из жидкого
состояния в парообразное. Если не считать случая непосредственного
испарения хладагента внутри оребренного канала, поверхности ребер редко
299

использовались в качестве испаряющих поверхностей. Это объясняется
главным образом необходимостью избегать отложения загрязнений на
сребренных поверхностях. Трубы с наружным оребрением широко
используются для отвода тепла от нагретой среды, например для
охлаждения воздуха в помещениях посредством испарения хладагента.
В этой главе изложение методики расчета теплообменных
аппаратов с развитой поверхностью ведется на примере двухпоточных
теплообменников со стационарным режимом и конвективным теплообменом и
конденсаторов без внутренних источников и аккумуляции тепла.
Интерес представляет не только разность температур источника и стока, но
и характер ее изменения по поверхности теплообмена между входом и
выходом теплоносителей. Путем комбинации методов, рассматриваемых
в этой главе, и методов, описанных в иллюстративных примерах
предшествующих глав, можно решать разнообразные стационарные и
нестационарные задачи теплообмена при наличии и отсутствии внутренних
источников и аккумуляции тепла.
В данной и последующих главах рассматривается расчет четырех
типов теплообменных аппаратов с развитыми поверхностями
теплообмена, получивших широкое применение в промышленности. Это
теплообменник типа «труба в трубе» из труб с высокими продольными
ребрами, кожухотрубчатый теплообменник из труб с низкими
радиальными ребрами, охлаждаемый воздухом теплообменник из труб с высокими
радиальными ребрами и компактный теплообменник. При такой
классификации ребра, высота которых превышает 3,2 мм, считаются
высокими.
Основными различиями при расчетах разнообразных типов тепло-
обменных аппаратов с развитыми поверхностями являются следующие:
1) методы вычисления коэффициентов теплоотдачи с каждой стороны
теплопередающей поверхности и порядок их значений; порядок
значений меньшего из двух коэффициентов теплоотдачи позволяет
определить: а) обоснованно ли применение развитой поверхности и б)
наиболее приемлемый ее тип; 2) потери гидростатического давления на
обеспечение циркуляции теплоносителей и метод их вычисления; 3) режимы
течения горячей и холодной жидкостей, обеспечивающие наибольшую
возможную разность температур и метод ее расчета; 4) необходимость
учитывать отложения на поверхностях теплообмена в процессе работы
в форме дополнительных термических сопротивлений загрязнения. Эти
и аналогичные факторы, являющиеся составной частью метода
расчета, наглядно иллюстрируются на примере гладкотрубного
теплообменника типа «труба в трубе».
ГЛАДКОТРУБНЫЙ ТЕПЛООБМЕННИК «ТРУБА В ТРУБЕ»
Введение
Рассмотрим теплообменник типа «труба в трубе» с гладкими трубами, показанный
на рис. 9.1. Обычно он состоит из двух пар концентрически расположенных труб с
соединительным поворотным коленом и поворотным штуцером с сальниковыми уплотче-
Хз
_>Q. ,._Д
Рис. 9.1. Теплообменник
~f$p> ^ZZZZZZ^b* «труба в трубе» с глад-
ГЗЕ
кими трубами.
1 — калач; 2 — поворотный
I коллектор; 3 — уплотнение;
I 4 — тройник.
300

ниями. Сальниковые уплотнения и поворотные колена с наружным расположением
поворотного коллектора используются только в тех случаях, когда жидкость,
движущаяся в кольцевом канале, находится под небольшим давлением. Имеются лучшие и
сравнительно недорогие способы уплотнения при умеренных и высоких давлениях
потоков теплоносителей; они будут описаны при рассмотрении теплообменника «труба
в трубе» с оребренной внутренней трубой. Если тепловые расширения наружной и
внутренней труб одинаковы, можно обойтись и без сальников, а сами трубы
соединить сваркой для получения герметичной конструкции.
Две пары концентрически расположенных труб образуют U-образное поворотное
колено. Такая конструкция очень удобна для подвода и отвода потоков, кроме того,
U-образное колено обеспечивает возможность компенсации различного теплового
расширения наружной и внутренней труб. При U-образной конструкции имеется
возможность сосредоточить с одной стороны и близко друг к другу все входные и выходные
патрубки теплообменников, что особенно целесообразно и удобно в тех случаях, когда
для осуществления процесса приходится множество отдельных теплообменников
соединять в батареи (многосекционные теплообменники). Другим преимуществом является
то, что двухходовые (U-образные) секции теплообменников «труба в трубе»,
соединяемые в батареи, необязательно должны иметь одинаковую длину. Дополнительным
достоинством такого теплообменника является простота его разборки для осмотра и
чистки или для использования в другом технологическом процессе.
Коэффициенты теплоотдачи в трубах
и каналах
Вычисление коэффициентов теплоотдачи при вынужденной
конвекции в трубах и каналах рассматривалось в гл. 1.
Там приведены соотношения для расчета теплоотдачи при
ламинарном, переходном и турбулентном течениях жидкостей в форме
уравнений типа Нуссельта [A.32), A.34) и A.36)] и типа Колберна [A,33),
2,0
II
¦в*
0,8
ft 61
.0,01
0,1
1,0
10
100
1000
800
600
400
200
)
=ррп
!ГГ
| т
I ; |
i I •
! и
I •
II
L/D=
=3
-=ГТЩ
H-fj i—н—м-i--
ftrj h-j-p~r
; I! ; T I i i i
in;
' ii I
I II
Mil
hii
и
Lli-i.
I I I
Щ 58
О ill ч -
\ ^и
f-Ш
ГГР I
Hll
?Ш^ЧКЛ
•n t/Oli
U)f600
I I I
ppc
UJ
:EF4
Ш
I
Щ
Л!)
1 1 1
JIM i
1
HII
H
ГГП
Hi
Ш1
W 10z 105 лл 10+ 105 10s
Рис. 9.2. Теплоотдача при вынужденном движении жидкостей в трубах [1].
301

A.35) и A.37)] соответственно [2]. Три уравнения типа Нуссельта
представлены на рис. 9.2.
Уравнение A.36) получено в результате обработки опытных
данных для масел, керосина, бензина и воды. Для воды, имеющей высокие
удельную теплоемкость и теплопроводность, результаты несколько
отличаются по сравнению с другими жидкостями. В интервале чисел Рей-
нольдса 2-Ю3—105 обобщенная зависимость для теплоотдачи у воды
проходит ниже, чем для органических жидкостей.
3 500
3 000
0Л
0,6 0,8 1,0
*2,5Ч-10'2М
а)
2,0
Рис. 9.3. Теплоотдача при вынужденном движении воды в трубах. На нижнем
графике (б) приведено значение hi для трубы внутренним диаметром 15,75 мм. Для
определения теплоотдачи в трубах с другими диаметрами эти значения hi следует умножить
на поправочный коэффициент (а).
Поэтому при расчете теплоотдачи к воде предпочтительнее
использовать результаты весьма обстоятельной работы Игла, посвященной
исследованию теплообмена при вынужденном течении воды в трубах
и каналах. Эти данные в удобной для использования графической
форме обработаны Керном и представлены на рис. 9-3.
Пар как теплоноситель
Насыщенный пар несомненно является наиболее распространенным
греющим теплоносителем в различных установках. Коэффициенты
теплоотдачи при конденсации пара очень велики по сравнению с
коэффициентами теплоотдачи при любом рассмотренном до сих пор способе
передачи тепла. Поскольку термическое сопротивление конденсации
никогда не является определяющим, коэффициент теплоотдачи при
конденсации обычно не рассчитывают, а принимают некоторое среднее,
часто встречающееся его значение. В данной книге для всех процессов,
в которых используется пар, содержащий сравнительно небольшую
примесь воздуха, будет использоваться значение коэффициента тепло-
302

отдачи при конденсации, равное 8525 Вт/(м2-°С) независимо от
положения рассматриваемого участка канала. Таким образом, ft;=/i0=Aio=
=8525Вт/(м2.°С).
При нагревании выгоднее, чтобы пар проходил по трубам, а не
в межтрубном пространстве теплообменника. В этом случае, если
конденсат обладает коррозионными свойствами, его воздействию будут
подвергаться только внутренние стенки труб, в то время как при
движении пара в межтрубном пространстве агрессивному воздействию будут
подвергаться и трубы, и кожух. Когда пар течет по трубам однокорпус-
ного теплообменника, не следует применять более двух трубных ходов.
Поскольку пар является изотермически конденсирующейся жидкостью,
действительная разность температур At и среднелогарифмическая
разность температур At одинаковы. Если в качестве греющего
теплоносителя используется перегретый пар, то для упрощения расчетов во всех
случаях, за исключением пароохладителей, температурным интервалом
охлаждения пара обычно пренебрегают и считают, что все тепло
подводится при температуре насыщения, соответствующей рабочему
давлению.
Коэффициенты теплоотдачи в кольцевых
каналах
После небольшой модификации уравнения A.32) — A.37) могут
быть использованы для вычисления коэффициентов теплоотдачи к
жидкостям (в том числе воде), движущимся в кольцевых каналах
теплообменников «труба в трубе». Рассмотрим трубу внутренним диаметром
76,2 мм. Жидкость течет в ней со скоростью
1,83 м/с, так что поток турбулентный. Теперь
рассмотрим кольцевой канал, образованный
трубой того же диаметра и внутренней трубой
наружным диаметром 38,1 мм, в котором стой
же скоростью движется та же жидкость.
Неупорядоченность вынужденного турбулентного
течения ослабляется внутренней трубой.
Поэтому коэффициент теплоотдачи в кольцевом
канале для данной жидкости и скорости ниже,
чем в круглой трубе.
Диаметр D в A.32)—A.37) следует
заменить на эквивалентный диаметр Д>, равный
учетверенному гидравлическому радиусу гк-
За гидравлический радиус принимаем как
обычно отношение площади свободного
поперечного сечения к смоченному периметру кольцевого канала.
Предлагались и другие определения для ?>е. В данном случае они не
представляют особого интереса, так как коэффициенты теплоотдачи при
турбулентном течении жидкостей в кольцевых каналах слабо зависят
от эквивалетного диаметра; обычно они изменяются какО0,2. Для
расчета будет использоваться определение, данное выше. Применяя
обозначения, приведенные на рис. 9.4, получаем:
Рис. 9.4. Поперечное сечение
гладкотрубного
теплообменника «труба в трубе».
De = 4rft = 4 pup**] [i;i5i_r] = Ps_A,
(9.1)
303

Коэффициент теплопередачи. Определяющее
термическое сопротивление
Если теплообмен между жидкостью, движущейся в кольцевом
канале, и жидкостью во внутренней трубе, имеющей поверхность S,
происходит на расстоянии L, то передаваемый тепловой поток можно
определить с помощью интегральной модификации закона Фурье1
q=USAtt (9.2)
где U — коэффициент теплопередачи, обратный полному термическому
сопротивлению 2#, a Atf — средняя разность температур жидкостей,
которая изменяется от точки к точке на длин% L в зависимости от
относительного направления течения жидкостей. Поскольку внутренняя
труба имеет определенную толщину, площадь ее поверхности на
единицу длины по внешнему диаметру больше, чем по внутреннему. Если
йо — коэффициент теплоотдачи к данной жидкости в кольцевом канале,
hi — коэффициент теплоотдачи от жидкости к стенке во внутренней
трубе и если наружная поверхность внутренней трубы nD\L
используется в качестве определяющей (S), то полное термическое сопротивление
теплопередачи для незагрязненной трубы находится из уравнения
где D\ и D — наружный и внутренний диаметры внутренней трубы;
Гто — термическое сопротивление материала стенки внутренней трубы,
отнесенное к D\. Термическое сопротивление материала стенки
тепловому потоку, отнесенное к наружному диаметру трубы, находится
непосредственно из уравнения
r„=°iiaza, (9.4)
z,Km
где индекс т относится к стенке.
В том случае, когда отношение Z)/Z)i>0,75, значение rm0 может
быть вычислено с ошибкой менее 1%, если воспользоваться
среднеарифметическим диаметром:
г — L™ S _Dl-D 7zD1 _Dl(Dl—D) /qcv
Г™— km Scp— 2km n(D1 + D)/2 — km(Dl:+D) • ^°>
С учетом дополнительного сопротивления, возникающего в
результате загрязнения поверхности теплообмена, полное термическое
сопротивление загрязненной поверхности выражается уравнением
»*Ы^+Г*+Г~+Ч^)Н(#> (9-6)
где rdo и r&i — сопротивления слоев загрязнений на наружной и
внутренней поверхностях (внутренней трубы соответственно. Тогда (9.2)
принимает вид:
q=UnSAt. (9.7)
Если значения коэффициентов теплоотдачи существенно
отличаются друг от друга, меньший из них представляет определяющее
термическое сопротивление, от которого зависит выбор методики расчета.
1 В отечественной литературе называется уравнением теплопередачи. (Прим. ред.).
304

Потери давления в трубах и кольцевых каналах
Допустимая 'потеря давления для теплообменника — это часть
располагаемого статического давления, которая может быть затрачена на
обеспечение движения жидкости через теплообменник. Насос,
выбираемый для создания циркуляции жидкости, должен иметь
.необходимую подачу и создавать статическое давление, достаточное для
преодоления потерь на трение в соединительных трубах, фитингах,
регулирующих устройствах, теплообменнике и статического давления в
ресивере.
ьоощ
0,10 Щ
п п л I
Uy Ul f j |
2'
Щи
Rep^JDGpIji
ж
10°
W4
10ь
10е
Рис. 9.5. Гидравлическое сопротивление при вынужденном движении жидкостей в
трубах.
; — труба общего назначения; 2 — специальные трубы для теплообменников.
Задавшись некоторой допустимой потерей давления в
теплообменнике как части (циркуляционного контура, необходимо обеспечить ее
возможно более полное использование в пределах теплообменника.
В противном случае оставшаяся часть 'будет, скорее всего, потеряна.
Уравнение Фаннинга, записанное для условий изотермического нагрева
и охлаждения, выглядит следующим образом:
где dP/dL — градиент статического давления; Ф—поправочный
коэффициент, учитывающий изменение (вязкости, и равный (ii/iiwH,4 для
турбулентного течения и (fi/ix^H,25 для ламинарного. Если имеется п
теплообменников, соединенных последовательно, то полная длина труб
равна Ln. Следовательно, для труб
др _fG2PLn (99)
График зависимости коэффициентов трения от числа Re для
обычных и специальных труб, используемых в теплообменниках, приведен
на рис. 9.5. Для других значений шероховатости поверхности
рекомендуется воспользоваться соотношением Моуди [6]. В области
ламинарного течения на графике имеется только одна линия, так как
шероховатость поверхности здесь не играет существенной роли. Следует
обратить внимание на то, что на рис. 9,2 график зависимости фактора
теплоотдачи от числа Re в турбулентной области также представлен
одной кривой, поскольку влияние шероховатости на теплоотдачу
относительно невелико по сравнению с ее влиянием на трение.
20—192 305

При движении жидкостей в кольцевом канале диаметр трубы D,
входящий в число Рейнольдса [уравнение (9.1)], следует заменить на
De. Таким образом, для кольцевого канала
где снова ф=(|и,/|1и,H'14 для турбулентного течения и (\xliiwH,25 для
ламинарного. Потери давления, вычисленные о помощью (9.9) или
(9.10), не учитывают местных гидравлических сопротивлений на входе
и выходе жидкости из теплообменника. Для внутренних труб
последовательно соединенных двухходовых секций теплообменников «труба
в трубе» потери давления на входе и выходе АРе обычно пренебрежимо
малы, но для кольцевых каналов они могут быть значительными. Для
расчета достаточно принять их равными одному скоростному давлению
на двухходовую секцию, т. е. APei=pV2/2. Тогда для п секций АРе=
=npV2/2. Предположим, что в кольцевом канале течет вода с массовой
скоростью G=3,52-106 кг/(>м2«ч). Так как плотность воды равна
1000 кг/м3, то скорость движения
У = ^=Ш^Ш = °>976 м/с'
Тогда потеря давления в одной двухходовой секции «труба \в
трубе» составляет 1000-0,9762/2=477 Па D8,6 м;м вод. ст.).
Потери давления для пара
В тех случаях, когда в трубах двухходовых секций
теплообменника «труба в трубе» в качестве теплоносителя используется водяной
пар, допустимые потери давления должны быть очень (малы, меньше
7 кПа, особенно если конденсат возвращается в котел самотеком.
8 самотечных системах конденсат возвращается в 1КОтел вследствие
разницы статических давлений вертикальных столбов пара и
конденсата. Потери давления в_ теплообменнике, включая потери на входе и
выходе, можно считать равными половине потери давления для пара,
вычисленной обычным (способом по (9.9) для условий на входе в
теплообменник. Массовая скорость вычисляется по расходу пара на входе и
площади поперечного сечения первого хода (которая необязательно
равна площади поперечного сечения второго хода). В число
Рейнольдса входят массовая скорость и вязкость пара. Последнюю определяют
по таблицам. Плотность пара, входящая в (9.9), берется из таблиц
при давлении на входе.
Совершенно очевидно, что такой способ является приближенным.
Это связано с тем, 'что падение давления на единицу длины постепенно
понижается как квадрат массовой скорости, в то время как в
приближенном расчете оно принимается близким к среднему значению
между входом и выходом.
Среднелогарифмическая разность температур
Противоток. Теплообмен двух жидкостей в теплообменнике «труба
в трубе» может осуществляться в условиях противотока или прямотока,
как показано на рис. 9.6 и 9.7. Поскольку энтальпии обеих жидкостей
изменяются, относительное направление их движения оказывает
влияние на значение разности температур. Для каждой схемы течения двух

жидкостей, между которыми (происходит теплообмен, характерна своя
средняя разность температур. При анализе противоточной «схемы,
изображенной на рис. 9.6, приняты следующие допущения:
1. Коэффициент теплопередачи U постоянен по ©сей длине канала.
2. Массовый расход жидкости постоянен ('стационарное течение).
3. Удельная теплоемкость постоянна по ©сей длине канала.
4. Потери тепла пренебрежимо малы.
Рис. 9.6. Противоток.
Рис. 9.7. Прямоток.
5. В системе не происходит частичных фазовых переходов, т. е.
испарения или конденсации. Проводимый ниже анализ справедлив как
для систем с изменяющейся энтальпией, так и для систем с испарением
и конденсацией, когда процесс изотермичен по всей длине канала.
Запишем стационарное уравнение теплопередачи в
дифференциальной форме
dq=U{T-^t)s"dL, (9.11)
где s" — площадь поверхности трубы на единицу длины,
s"dL=ds. (9.12)
Уравнение дифференциального теплового баланса имеет вид:
dq=WCdT=wcdty (9.13)
где q представляет собой предел при изменении dq от 0 до q. В любой
точке трубы слева направо количество тепла, получаемого холодной
жидкостью, равно (количеству тепла, отдаваемого горячей жидкостью.
Составляя уравнение теплового баланса от L=0 до L—X, получаем:
WC(T—T2)=wo(t—tl)9 (9.14)
откуда
(9.15)
г=Л+&(<-',).
wcy
Подставляя это значение Т в (9.12), из уравнений (9.13) и (9.15)
находим:
dq = wcdt = U [Г.+ J^ (/-*,)_/
5" dL%
где i и L являются единственными переменными. Группируя члены
с / и L, получаем:
Г Us" dL_C
dt
(wc/WQti + iwc/WC — Vt '
20*
(9.16)
307

Интегрируя левую часть в пределах от 0 до L, а правую в
пределах от U до t2, после преобразований приходим к следующему
соотношению:
wc (wc/WC — l) ш T2 — tx- Фл§1
Обозначая разность температур на горячем конце At2=T\—h, а на
холодном «конце At\=T2—*ь получаем:
Если разность между температурными напорами на горячем и
холодном концах теплообменника д5?2—At\ записывается так, что она
является положительной, отношение этих напоров, взятых -в том же
порядке, численно больше единицы -и путаница, связанная с
появлением знака минус, исключается. Выражение в скобках (9.18)
называется среднелогарифмической разностью температур и обозначается Д^лог-
Уравнение (9.18) для противотока тогда можно записать в виде
q=USAt=USAtnoT;
\f—At — (?i — t*) — (T* — ti) — А/а —А^ /qiQ4
лог~ 1п[(Л-^2)/(Г2-^)] ln(Af2/A^)' ^ЛУ-'
Прямоток (параллельное течение). Обращаясь к случаю, когда обе
жидкости движутся в одном направлении (рис. 9.7), замечаем, что
основные уравнения теплообмена по существу не отличаются от
рассмотренных выше. Для стационарного течения
dq=U(T—t)s"dL.
В то же время
dq=WCdt=—wcdt,
так как наклон t направлен в (сторону увеличивающихся значений Т.
Составив тепловой баланс для участка между сечением X и левым
концом теплообменника, получим:
WC(T—T2)=wc(t2—t).
Рассматривая разность температур на горячем конце At2=T\—1\ как
большую разность температур при прямотоке, а М\=Т2—12 как
меньшую разность температур, получаем:
q = US ,(^ГЧТ/?2~^1 =US 1А!л7мЛ • (9-2°)
* 1п[G\—*,)/(Г2-- *2)] ln(A*2/*'i) v
Пример 9.1. Вычисление среднелогарифмической разности температур А^лог.
Горячая жидкость поступает в теплообменник «труба в трубе» с температурой
Г1 = 150°С и должна быть охлаждена до Тг=90°С с помощью холодной жидкости,
входящей в теплообменник при температуре /i = 35°C и нагреваемой до /2=65°С. Какие
преимущества имеет противоток по сравнению с прямотоком?
Решение. Для удобства полезно записать температуры в таком порядке, как
показано ниже, и иметь в виду, что среднелогарифмическая разность температур AtKOv
всегда несколько меньше среднеарифметической (Aurt-A/i)/2.
1. Противоток:
д^2=Г1—/2= 150—65=85;
А/1 = Г2—*!=90—35=55;
Д*2—A*i = 85—55=30;
М2 — Д*, __ 30
^лог— 1п(А/2/А^) In (85/55)
308
: 69°С.

2. Прямоток:
At2=Ti—ti = 150—35= 115;
A^ = r2—/2=90—65=25;
Д*8 — Д*, =.115 — 25 = 90;
90
Д^лог = / 115 ч = 59°С.
Таким образом, среднелогарифмическая разность температур А^лог для процесса
теплообмена в одинаковых температурных пределах при прямотоке ниже, чем при
противотоке.
Пример 9.2. Вычисление среднелогарифмической разности температуры А*лог при
равных температурах теплоносителя на выходе. Горячая жидкость входит в тепло-
обменный аппарат при Г1 = 150°С и должна быть охлаждена до Т2—90°С холодной
жидкостью, входящей при температуре /i = 35°C и нагреваемой до *2 = 90*С. Какие
преимущества имеет прямоток над противотоком?
1. Противоток:
At2 = Тх — t2 = 150 — 90 = 60;
At, = Т2 — tt = 90 — 35 = 55;
A*2 — Af, = 60 — 55 = 5;
5 =58°С.
In F0/55)
2. Прямоток:
д *,= Ti—/i = 150—35 =115;
Ml = T2 — t2 = 90 — 90 = 0;
A*2 — Д*1 = 115-^0 = 115;
д, __Ц5 оос
^лог- 1п (Ц5/0) -и <-•
При прямоточном течении наинизшая температура, теоретически
достигаемая горячей жидкостью, равна температуре холодной
жидкости на выходе h. Если бы такая температура могла быть достигнута,
Д/лог становилась бы равной нулю. Поскольку оз уравнении Фурье q=
=USM — тепловой поток и коэффициент теплопередачи q и U имеют
конечные значения, поверхность теплообмена S должна быть
бесконечно большой. Я'оно, что последнее невыполнимо.
Можно сделать общий ©ывод, что ib случае теплообмена между
потоками двух жидкостей, разделенных таплопередающей
поверхностью, наибольший возможный температурный напор обеспечивается
при противотоке, а наименьший — при прямотоке. С другой стороны,
если холодная жидкость — (высоковязкая и ее перекачивание
представляет большие трудности, прямоток обеспечивает условия для наиболее
быстрого повышения температуры и среднего коэффициента
теплопередачи. Таким образом, если нет необходимости, чтобы температуры двух
жидкостей на выходе очень сильно приближались одна к другой,
может оказаться выгодным применение прямотока.
Безразмерные соотношения
При расчете теплообменника и исследовании эффективности его
работы часто оказывается полезным использование трех безразмерных
температурных соотношений, определяемых следующим образом.
Отношение массовых расходных теплоемкостей теплоносителей
Я— TS~J* ¦ (9.21)
309

(9.22)
(9.23)
Средняя температура жидкости
Из всех допущений, принятых при выводе уравнения (9.19) для
среднелогарифмической разности температур, самым далеким от
действительности является допущение о постоянстве коэффициента
теплопередачи U. При теплообмене между двумя капельными жидкостями
вязкость горячей жидкости по мере ее движения по каналу и
охлаждения постепенно увеличивается. Вязкость холодной жидкости,
движущейся в противоположном направлении, напротив, с нагреванием
уменьшается. При заданных разностях температур на горячем конце
Тх—t2 и на холодном конце Т2—\ значения ho и hi(Si/S) изменяются па
длине трубы, в результате чего U на горячем конце значительно выше, чем
на холодном. Колберн [7] решил задачу для случая переменных
значений ?/, приняв допущение о линейном изменении U при изменении
температуры, и получил выражение для действительной разности
температур. Отношение А^лог при постоянном U и действительной разности
температур при переменном U использовалось затем для установления
коэффициента теплопередачи, который является действительно средним
коэффициентом, а не среднеарифметическим. Предположим, что:
1. Изменение U описывается выражением U=a'(\+b't).
2. Массовые расходы потоков постоянны.
3. Удельные теплоемкости теплоносителей постоянны.
4. Частичные фазовые превращения в потоках отсутствуют.
Для всей поверхности теплообмена
q=WC(Tl—T2)=wc{t2—t1). (9.24)
Так как
R=wclWC=(Ti—T2) I (tr-h)
или в обобщенной форме, как на рис. 9.7,
(Г-Г2)
тепловой баланс для элементарной площадки dS имеет вид:
dq=U(T—t) dS=wcdt, (9.25)
где U — среднее значение коэффициента теплопередачи в пределах
площадки. Тогда
dt _dS
U(T — t) wc '
Так как ?/ = a'(l+W). то
dt _dS
a'(\ + b't) (Г — t) wc •
Эффективность теплообменника
Произведение этих двух отношений
310

Из уравнения теплового баланса находим выражение для Т в
зависимости от t. Подставляя его в предыдущее соотношение, после
интегрирования получаем:
1 Гь, Tt — Rtt + (R-l)t
In
a'iR-l-b'T^+b'Rt,) ["' г,—/«, + (/?—1)*,
_1п-1^^Ь —. (9.26)
1 + brt1 ] wc x '
Используя индекс 1 для обозначения холодного конца
теплообменника, а индекс 2 — горячего, запишем:
U.ir=af(\+b%)\ U2=a'(l + b't2).
Как и прежде,
Ati=T2—U; At2=Ti—t2.
В результате преобразования уравнения (9.26) получаем:
'2~--ln?#=Jr. (9-27)
U1At2 — U2At1 U2Atx wc
Учитывая, что q=wc(tt — t1), из предыдущего соотношения нахо
дим:
q _ U\At2 — U2At1 ,g pox
5 ~ln(U1At2/U2At1)' K >
Это уравнение все еще не является удовлетворительным, так как
для получения Ui и U2 требуется двукратное вычисление обоих
коэффициентов теплоотдачи. Колберн в качестве единого коэффициента
теплопередачи выбрал Ux, при котором можно считать, что тепло по всей
поверхности передается при А/Лог. Тогда Ux определяется из уравнения
Я _ UtMt — UjMi _п At2 — At1 ,q 9Q4
S In (U^U/Ui&ti) x In (Afa/Afx) * K '
Подставляя в это уравнение Ux = ar (I-\-b'tc), получаем:
a'(\ + brt,)At2—af(\ + b't2)Atx
11 —g'(\ 1 Ht\ — l*№+b't№i\lW + b't№,\ .дот
Ux — a (l+bte)— (А^-А^)/[1п(Д/а/А^)] ' (y*dU)
Теперь значение Ux может быть определено, если известна средняя
температура холодного потока tc, при которой выбираются физические
свойства для вычисления hi и Ао и при которой существует значение
коэффициента теплопередачи, соответствующее Ux. Обозначим через Fc
безразмерное отношение tc—1\ к повышению температуры потока с
меньшим коэффициентом теплоотдачи (определяющим термическим
сопротивлением), т. е.
Fc=tfI1T- (9-31)
По определению положим
is *2 *\ ^2 ^i r At] Atc /Q 49\
Лс~ l/b' + U U, ' T— At2~~ Ath ^'°Z)
и, подставив эквивалентные соотношения
311

в уравнение (9.30), получим:
F A/Хс) + Гг/(г-1)]
гс— ln(Kc+l)/lnr
Кс
(9.33)
Зависимость Fc от г в соответствии с уравнением (9.33) графически
представлена на рис. 9.8, причем параметром графика служит
и,
Vr
где индексы с и h относятся к холодному и горячему концам
соответственно.
Безразмерная средняя (калориметрическая) температура Fc может
быть получена из графиков рис. 9.8, если предварительно вычислить
Кс по известным Uhi Uc и Atc/Ath для заданных условий процесса
теплообмена. Средняя температура горячей жидкости Тс находится из
соотношения
Te=T%+Fe(Ti-Tt), (9.34)
а холодной жидкости
/c=*i+Fc(*2-*i). (9.35)
Колберн предложил обобщенную зависимость для расчета значений
Кс в случае, когда определяющее термическое сопротивление
сосредоточено в потоке фракции нефти. График этой зависимости показан в
верхней части рис. 9.8. Соотношения подобного типа могут быть получены
для любого технологического процесса, где имеют дело с ограниченным
набором жидкостей. Для этого по теплофизическим свойствам
жидкостей вычисляют коэффициенты а' и Ь'. Такой метод позволяет избежать
необходимости вычисления 1)ь. и Uc. Если в аппарате осуществляется
теплообмен между двумя фракциями нефти, фракция, у которой значе-
к-70
¦S50
«О
g 30
I 20
5 ю
I
о,*
0,3
0,2
0,1
\\
^о
<
\5
1
^2>
N
ч
si
ж
sPfv
^^J
=й^
3,1 0,2 0,3 0,t 0,5 1,0 2,?
Fc
II о^
[lU2,0^
\W4r40
1
dydU
0j5^
ло;
8,0
А
LJ-i
^Г
-Н
1 1
JQ
Ч
о,в
0,7
0,6
0,5
о,ь
0,3
0,2
0,01 0,02 0,04 0,06 0,1
0,1
0,2
0,4 0,6 1,0
б 8 10
Рис. 9.8. Коэффициент Fc> определяющий среднюю (калориметрическую) температуру
потока.
312

яие Кс больше, имеет определяющее термическое сопротивление и
может быть непосредственно использована для нахождения Fc обоих
потоков с помощью графиков рис. 9.8. Таким образом, всякий раз, когда
имеется значительная разница между Uh и ?/с, среднелогарифмический
температурный напор AtaoT не является действительной разностью
температур для противотока. Однако среднелогарифмический
температурный напор может быть использован, если удастся найти
соответствующее значение ?/, способное компенсировать погрешность при
использовании Д^лог в (9.18).
Пример 9.3. Расчет средних температур теплоносителей.
Сырая нефть плотностью 20° API 1 охлаждается от 160 до 90°С, нагревая газолин
плотностью 60° API от 26 до 50°С в противоточном теплообменнике.
Большая температура
Меньшая температура
Разность температур потока на
входе и выходе
Межтрубное
пространство
(сырая нефть)
150
90
60
Трубки
(газолин)
50
26
24
Температурный напор
100
64
36
м2
At,
Afg-Af,
При каких температурах жидкостей следует вычислять U?
Решение. Сырая нефть: Тх—7*»150—90=60°С; /Сс=0,68 (по вставке на рис. 9.8).
Газолин: /2^i = 50—26=24°С; Кс^ОДО.
Большее значение Кс соответствует определяющему коэффициенту теплоотдачи,
который позволяет установить изменение U с изменением температуры. Тогда
А/,
Д*А
90 — 26
150 — 50 =°>64-
По рис. 9.8 находим Fc=0,425. Средняя температура нефти Т\=90+0,425 A50—
—90) = 115,5°С. Средняя температура газолина fc=26+0,425 E0—26) =36,2°С. Средние
же арифметические температуры теплоносителей равны соответственно 120 и 38ЬС.
Температура стенки трубы
Рассмотренные в гл. 1 уравнения конвективного теплообмена при
вынужденном изотермическом течении жидкостей с учетом
поправочного множителя в виде отношения вязкостей \il\iw применимы для
условий нагрева или охлаждения жидкостей. Вязкость жидкости в ядре
потока |л следует определять при средней калориметрической
температуре или при средней между температурами потока на входе и выходе,
если она незначительно отличается от средней калориметрической.
Вязкость жидкости \iw определяется при температуре стенки трубы.
Последняя вычисляется по средним калориметрическим температурам го-
1 Принятая в нефтяной промышленности США шкала плотности нефтепродуктов
в градусах API (Американского нефтяного института) соотносится с их относительной
плотностью (по воде) при температуре 60°F A5,56QC) следующим образом:
Плотность в градусах=
API
141,5
относит, плотность
при 60°F
131,5.
Опубликованы графики зависимости относительной плотности нефтяных смазочных
масел от температуры и плотности в градусах API. (Прим. ред).
313

рячего и холодного потоков, которые в свою очередь рассчитываются
по их температурам на входе и выходе. Когда внутри трубы движется
холодная жидкость
п At — Tc — tc _ twi — U /п оа\
где ri0 — величина, обратная коэффициенту теплоотдачи от жидкости
во внутренней трубе, отнесенная к наружной поверхности трубы; г0 —
величина, обратная коэффициенту теплоотдачи от наружной
поверхности трубы в кольцевой канал, a tw\ — темшература внутренней стенки
внутренней трубы. Тогда
*ч = *е+ 7. ¦ ?' +г (Гс - О; (9.37а)
rto r 'то т^ го
'<*. = Тс- г. +гГо ¦ г (Г,-*с). (9-376)
'to I 'mo i 'о
где two — температура наружной поверхности внутренней трубы.
Обычно rm0 мало по сравнению с определяющим термическим
сопротивлением и им можно пренебречь в знаменателях уравнений (9.37а) и
(9.376), т. е. tWi=^wQ:=tw
Загрязнение поверхности теплообмена
Когда теплообменник включается в эксплуатацию, поверхности
теплообмена, как правило, являются чистыми. При работе в энергетических
и химико-технологических системах способность передавать тепло у
аппаратов со временем постепенно ухудшается. Это происходит
вследствие отложения на поверхности теплообмена теплоизолирующих
веществ. В тех случаях, когда технологическая линия, в которой
осуществляется процесс, состоит из многих единиц оборудования,
протекание всего процесса может быть нарушено из-за того, что в каком-то
отдельном аппарате преждевременно снижается эффективность пеоеда-
чи тепла и тепловая нагрузка.
Ассоциация производителей трубчатых теплообменников (Tubular
Exchanger Manufacturers Association, сокращенно ТЕМА) разработала
стандарт [8], обобщающий опыт проектирования, не нашедший
отражения з «Руководстве Американского общества инженеров-механиков
(ASME) по эксплуатации необогреваемых сосудов давления».
Поскольку «Руководство ASME» в первую очередь касается техники
безопасности при эксплуатации сосудов, работающих под давлением, и средств
ее проверки в процессе изготовления, вклад ТЕМА в обеспечение
надежности при механическом изготовлении теплообменной аппаратуры
является существенным.
Кроме того, ТЕМА опубликовала таблицу значений факторов
загрязнения с целью помочь конструктору предусмотреть меры для
предотвращения преждевременного загрязнения отдельных аппаратов,
участвующих в процессе, в том числе некоторых типов теплообменного
оборудования. На основании сравнения уравнений (9.3) и (9.6) были
табулированы термические сопротивления, которые следует прибавлять
к сопротивлениям теплоотдачи для различных технологических
процессов, так чтобы рабочий период каждого был бы одинаков и
гарантировался некоторый желаемый срок непрерывной работы.
314

Указанные выше табличные данные были разработаны как
ориентировочное руководство для выравнивания общих количеств
загрязнений во всех загрязняющих потоках системы. Однако в них
отсутствуют— вероятно, умышленно — какие-либо сведения о длительности
желаемого срока непрерывной работы.
Таблицы факторов загрязнения, опубликованные ТЕМА, все
более широко употребляются при расчетах промышленных
теплообменников. Значения факторов загрязнения, по определению ТЕМА, не
зависят от времени. Они отсутствуют при включении аппарата в работу,
однако через некоторое время аппарат теряет часть своей способности
передавать тепло; это объясняют появлением загрязнений.
Руководство ТЕМА не описывает самого процесса загрязнения, а то, что
известен фактор загрязнения, не объясняет природы загрязнения.
Существенным является тот факт, что для аппарата, который не
укладывается в норму ТЕМА желаемого периода непрерывной работы,
необходимо решать проблему загрязнения. В рамках определения
фактора загрязнения единственным средством, позволяющим учесть
увеличение загрязнения, является использование больших значений факторов
загрязнения для повторных периодов эксплуатации.
Общая концепция фактора загрязнения несколько неопределенна.
К стационарным сопротивлениям теплоотдачи попросту прибавляются
нестационарные эффекты. Очень мало известно об аккумулирующей
способности загрязнения и методе ее учета. Разница между чистым и
загрязненным теплообменниками состоит в том, что в последнем случае
для преодоления термического сопротивления слоя загрязнений должна
быть использована недопустимо большая часть располагаемого
температурного напора между жидкостями. Таким образом, если в качестве
определяющей принимается наружная поверхность трубы 5, а Гао —
фактор загрязнения, то передаваемый тепловой поток вычисляется по
формуле
где Atdo — падение температуры в слое загрязнений. Разрешая это
соотношение относительно перепада температуры, получаем:
Д*л = '*(-?)• (9-38)
Как видно из (9.38), перепад температур зависит не только от
фактора загрязнения, но и от плотности теплового потока. Поэтому при
учете фактора загрязнения правильнее задавать его для конкретного
потока жидкости и наиболее употребительного интервала
температурных напоров. ТЕМА предприняла попытку табулировать температурные
напоры путем классификации факторов загрязнения в соответствии
с видами различных технологических процессов. Результат пока
неточен, так как существует очень много отличающихся друг от друга
процессов, где применяется теплообменная аппаратура.
На основе теоретических исследований [9—14] сделана попытка
заменить фактор загрязнения. В тех случаях, когда загрязнение играло
заметную роль в процессе работы, часто вводили завышенные значения
факторов загрязнения, что неблагоприятно снижало расчетные скорости
потока. Для того чтобы показать зависимость загрязнения от времени
по результатам предшествующих работ, выполненных не в ТЕМА,
термин «фактор загрязнения» заменим я% «сопротивление загрязнения».
315

Упрощение результатов, приведенных в таблицах ТЕМА и
цитируемых в литературных источниках для неоребренных труб и каналов,
возможно на основании следующих обобщений: 1) если некоторое
известное теплообменное оборудование проработало непрерывно в течение
двух лет в одинаковых условиях без заметного прогрессивного
снижения тепловой нагрузки, загрязнение можно не принимать во внимание.
Некоторое начальное падение тепловой нагрузки имеет место почти во
всех случаях. Значения сопротивления загрязнения A,76—8,8) •10т-5м2Х
Х°С/Вт являются признаком того, что загрязнение должно
учитываться при расчете. Например, в холодильной промышленности [15, 16]
приняты сопротивления загрязнений 8,8-10~5 м2«°С/Вт при конденсации
фреона охлаждающей водой в замкнутых циркуляционных системах и
(8,8—17,6)-Ю-5 м2-°С/Вт в открытых циркуляционных системах;
2) если теплообменный аппарат работал от одного до двух лет при
постепенном снижении тепловой нагрузки, некритичном, однако, для
течения процесса, и остановлен для чистки только потому, что
загрязнился связанный с ним теплообменник, то можно принять
сопротивление загрязнения 17,6-Ю-5 м2-°С/Вт;
3) если наиболее критичный теплообменный аппарат загрязнился
за 2 года непрерывной работы, сопротивление загрязнения составляет
не более чем 35,2-10~5 м2-°С/Вт;
4) если жидкость вызывает высокое загрязнение и обусловливает
необходимость использования расчетного значения сопротивления
загрязнения выше, чем 35,2• Ю-5 м2»°С/Вт, заслуживает рассмотрения
метод расчета, ориентированный на физическое подавление загрязнения
[13, 14].
Если на стенке трубы имеются загрязнения, значения ее
температур, определяемые уравнениями (9.37а) и (9.376), следует
видоизменить, включив в эти выражения сопротивление загрязнения. Когда
сопротивление загрязнения на внутренней стенке трубы rdi прибавляется
к сопротивлению теплоотдачи на ней г\, суммарное внутреннее
сопротивление составляет Ri=ri + rdi. Если это сопротивление отнести к
наружному диаметру трубы, получим Rio=(ri+rdi)dK/dBn' Когда
сопротивление загрязнения на наружной стороне трубы гао прибавляется
к сопротивлению теплоотдачи в кольцевой канал г0, полное внешнее
термическое Сопротивление составляет Яо=г0+гао. Тогда температуры
стечки определяются из соотношений
*mt=*c+ R. Л10 , р <Тс-*сУ, (9.39а)
*мо п^ 'то л^ ^о
*щ. = Гс- R. +Rr° +R (Тс - К)- (9-396)
^го ПГ 'то ПГ ^о
ТЕПЛООБМЕННИК «ТРУБА В ТРУБЕ» С ПРОДОЛЬНО ОРЕБРЕННОЙ
ВНУТРЕННЕЙ ТРУБОЙ
Введение
Теплообменники такого типа применяются в тех случаях, когда
полные термические сопротивления со стороны обоих теплоносителей
в соответствующем гладкотрубном теплообменнике существенно
различаются. Так как теплообменное оборудование оценивается обычно на
основе его характеристик в загрязненном состоянии, полное термическое
сопротивление представляет собой сумму сопротивления теплоотдачи
l/h и соответствующего сопротивления загрязнения rd. Преимущество
316

оребренного кольцевого канала состоит в том, что в нем можно
устранить влияние худшей теплоотдачи к одной из жидкостей путем
увеличения площади поверхности теплообмена, соприкасающейся с этой
жидкостью, по сравнению с другой. Даже если полные термические
сопротивления с обеих сторон теплопередающей поверхности малы, оребрение
внутренней трубы все же может оказаться целесообразным.
Обычно ребра имеют толщину около 0,9 мм. Стальное ребро с
теплопроводностью 45 Вт/(м-°С) и высотой 12,7 мм, обращенное в сторону
жидкости, полное термическое сопротивление со стороны которой
составляет 3,52-10 м2-°С/Вт [соответствующий коэффициент
теплоотдачи равен 284 Вт/(м2-°С)] имеет эффективность 0,60. Если полное
термическое сопротивление, составляет 1,76-10 м2-°С/Вт, эффективность
Рис. 9.9. Теплообменник «труба в трубе» с продольно оребренной
внутренней трубой.
я — сборка; б —- поворотная камера с внутренним поворотным калачом; в —
разрезное кольцо и детали фланцевого соединения.
падает до 0,45. Следовательно, применение высоких ребер имеет свои
ограничения, хотя изготовление ребер из металлов с более высокой
теплопроводностью расширяет диапазон их применения. Стоимость оребре-
ния незначительна по сравнению со стоимостью основной поверхности,
однако в' условиях, когда полное сопротивление ниже 3,52 -10-3 м2Х
Х°С/Вт, польза от применения ребер значительно уменьшается. Для
случая, когда полные сопротивления с обеих сторон очень велики,
развитие поверхности со стороны большего термического сопротивления
может существенно сократить продольные габариты теплообменника.
Итак, применяются внутренние трубы как с внутренним, так и
с наружным оребрением. Изготавливаются также внутренние трубы
с прерывистыми изогнутыми продольными ребрами, вызывающими
перемешивание потока в кольцевом канале. Однако в большинстве
случаев они дают небольшое увеличение коэффициента теплоотдачи при
значительном возрастании потерь давления в канале. В вязких
жидкостях влияние перемешивания перестает сказываться довольно быстро.
317

Разрез теплообменника «труба в трубе» с внутренней трубой,
имеющей продольные ребра, показан на рис. 9.9,а. Такой теплообменник
рассчитан на умеренные давления примерно 3,5 МПа во внутренней трубе
и кольцевом канале. Другие теплообменники такого типа применяются
для давлений во внутренней трубе около 35 МПа. На рис. 9.9,6 показан
узел поворота потока, состоящий из U-образного поворотного калача,
заключенного в поворотную камеру. Присоединяемая с помощью
болтов фланцевая крышка обеспечивает гораздо большую плотность
соединения по сравнению с сальниковыми уплотнениями. Конструкция
концевого фланцевого соединения показана на рис. 9.10,в. Деталь квадраг
ного сечения между фланцами наружной и внутренней труб
представляет собой часть разрезного кольца. После установки обеих половин
кольца внутренняя труба центруется относительно наружной путем
затягивания шпилек; одновременно с помощью кольцевой сальниковой
прокладки происходит герметизация кольцевого канала. Кроме того, как
показано справа на рис. 9.9,в, разрезное кольцо используется для
присоединения внутренней трубы к подводящей и отводящей линиям. Даже
в тех случаях, когда применение ребер не дает особых преимуществ,
этот метод уплотнения с успехом может использоваться для гладкотруб-
ных теплообменников «труба в трубе» высокого давления.
Расположение ребер на трубе теплообменника хорошо видно на
рис. 9.9. Они образуют множество радиальных каналов, каждый из
которых заключен между двумя соседними ребрами. Ребра могут быть
соединены с наружной поверхностью внутренней трубы с помощью
точечной сварки или с помощью других способов сварки или пайки.
Следует отметить, что контакт между ребрами и внутренней трубой должен
быть обеспечен по всей длине трубы, но совсем не обязательно, чтобы
площадь контакта имела большую ширину. Количество тепла,
передаваемого трубе теплопроводностью от контактной площадки,
эквивалентно количеству тепла, отбираемому двумя ребрами толщиной
обычно около 0,9 мм каждое. При другом методе крепления продольных ребер
на наружной поверхности трубы надрезаются канавки, в подготовленные
канавки вставляются металлические полоски, а надрезанный металл
зачеканивается обратно, обеспечивая образование плотного контакта
между ребрами и трубой.
Хотя применялось много различных вариантов теплообменника
«труба в трубе», в настоящее время их номенклатура свелась к
нескольким наиболее употребительным размерам. Это теплообменник
с кожуховой трубой внутренним диаметром ^3 дюйма (номинальный
внутренний диаметр Z)BH=3,068 дюйма=78 мм) и внутренней трубой
внутренним диаметром 1,5 дюйма (номинальный внутренний диаметр
dBH=l,61 дюйма=40,8 мм). Другой широко распространенный
теплообменник имеет четырехдюймовую кожуховую трубу (DBH=4,026 дюйма=
=102,4 мм) и двухдюймовую внутреннюю (<iBH=2,067 дюйма=52,5мм).
Ребра у меньшего аппарата имеют высоту 12,7 мм, а у большего 19 мм.
Вариантом теплообменника большего размера является аппарат с
наружной трубой диаметром Z)BH=102,4 мм и внутренней трубой
диаметром DBH=40,8 мм с ребрами высотой 25,4 мм. В каждом из этих
аппаратов по окружности внутренней трубы расположено 24 или 36 ребер.
Разница в стоимости этих теплообменников незначительна.
Определяющим фактором для применения оребрения из 24 или 36 ребер
является допустимая величина потерь давления; трубы с большим
числом ребер можно использовать только в том случае, если потери
давления не превосходят допустимых пределов. До последнего вре-
318

мени наиболее употребительная длина внутренней трубы составляла
6 м, но в настоящее время чаще всего используются трубы длиной 7,5 м
с некоторыми колебаниями в сторону увеличения или уменьшения по
желанию заказчика.
Внутреннее трубы изготавливаются из стали и различных сплавов
железа. Можно применять ребра из того же или иного металла,
обеспечивая совершенно ничтожное контактное сопротивление при условии,
если они хорошо привариваются или припаиваются к внутренней трубе.
В тех случаях, когда внутренняя труба должна противостоять
коррозионному действию протекающей по ней жидкости, ее изготавливают
из коррозионно-стойких материалов, ребра изготавливают из того же
материала или из материала с большей теплопроводностью при том
условии, что они могут быть соединены с трубой без контактного
термического сопротивления. Исключение представляет алюминий, трубы
из которого могут быть изготовлены путем экструзии (выдавливания)
сразу с цельными ребрами.
Внутренние трубы изготавливают со многими видами обычных
продольных ребер прямоугольного профиля. В некоторых случаях ребра
делают прерывистыми, с разрывами на таких расстояниях, которые дают
возможность жидкости, движущейся в межтрубном пространстве,
перемешиваться. Если во внутренней трубе течет пар, то из-за
сопротивления пленки конденсата может наблюдаться некоторая разница между
коэффициентами теплоотдачи в верхней и нижней частях труб. Ребра
другого вида имеют щели на поверхности или зубцы на торцах, что
улучшает перемешивание теплоносителя. Ребра третьего вида
приспособлены для разрушения пограничного слоя и турбулизапии течения,
что достигается путем поворота их на угол, обеспечивающий разрыв
пограничного слоя.
Эффективность оребренной стенки (взвешенная эффективность ребра)
В гл. 2 было получено выражение для эффективности продольных
ребер прямоугольного профиля [уравнение B.13)]. Значения
эффективности помещены во второй колонке табл. 2.1.
Наружная поверхность внутренней трубы состоит из поверхности
ребер и основной поверхности трубы. Поэтому анализ теплообмена
такой поверхности проводится методом, подобным определению
эффективности разветвленных ребер, разработанным в гл. 8. Коэффициенты
теплоотдачи на поверхности ребер и основной поверхности в общем
случае неодинаковы. Однако при обобщении опытных данных по
теплоотдаче [17] часто очень трудно получить достоверные сведения о том,
насколько они различаются, так как «высокое» ребро теплообменника
имеет относительно небольшие толщину и высоту по сравнению, скажем,
с размерами ребер экономайзерных труб или труб, работающих в
камерах сгорания. На таких ребрах могут быть установлены термопары
и получены опытные данные по коэффициентам теплоотдачи. Для ребер,
применяемых в теплообменниках «труба в трубе», опытные данные по
теплоотдаче обобщаются с использованием среднего для всей
поверхности коэффициента теплоотдачи и средневзвешенной эффективности
оребренной стенки, представляющей собой средневзвешенное из
эффективности ребра и эффективности основной поверхности, принимаемой
за единицу.
Коэффициенты теплоотдачи, соответствующие эффективности
оребренной стенки, принято обозначать ho. Таким образом, эффективность
319

оребренной стенки
W'f + s'
(9.40)
где s"f, s— площади поверхности ребра и основной поверхности на
единицу длины трубы. Кривые эффективности для нескольких наиболее
употребительных продольно оребренных внутренних труб
теплообменников представлены на рис. 9.10.
1,00
0,95
0,90
0,85
0/75
Щ
0,65
гР*^
I
I
•*
з-
\
\
\
¦2
\
\
L_
\
1-
\
1 \
1 I I N
1,0 2 3 Ц- 5 6 8 Ю 15 20 30 40 50 60 80100 150
5,68 Вт/(м2-°С)
Рис. 9.10. Средневзвешенная эффективность стальных
труб (Di=40,8 мм, А)—48,2 мм) с продольными
ребрами F = 12,7 мм, 6=0,89 мм).
1 — 24 ребра из адмиралтейского сплава; 2 — 24 ребра из стали;
3 — 36 ребер из стали.
Этот рисунок можно использовать для расчета r\w как при
незагрязненной поверхности (коэффициент теплоотдачи h0), так и с учетом
загрязнений. Для аппаратов, в которых учитывается загрязнение,
эффективность вычисляется с использованием характеристик
загрязненной поверхности. При этом значения на оси абсцисс включают как
термическое сопротивление теплоотдачи от наружной поверхности
внутренней трубы в кольцевой канал 1 /Ло, так и сопротивление слоя
загрязнений на этой поверхности г^о-
Коэффициенты теплоотдачи оребренной трубы в кольцевом канале
К внутренней трубе теплообменника можно приварить большое
число продольных ребер; чаще всего используют 24 и 36 ребер. Наличие
в канале множества ребер делает непригодным простые соотношения
для теплоотдачи и гидравлического сопротивления в гладкотрубном
теплообменнике «труба в трубе». Поэтому данные о теплоотдаче и
гидравлическом сопротивлении при течении в трубах не могут быть
использованы для течения в кольцевом канале путем простой замены вну-
320

треннего диаметра трубы D на эквивалентный диаметр Д>, равный
учетверенному гидравлическому радиусу. Однако этот же эквивалентный
диаметр сохраняется в качестве обобщающей переменной,
характеризующей каналы между ребрами в кольцевом пространстве. Для
получения обобщенного соотношения необходимо использовать опытные
данные о теплоотдаче оребренных труб в кольцевых каналах. Полученная
по такой методике обобщенная зависимость Де Лоренцо и Андерсона
[18] представлена на рис. 9.11. Можно заметить, что число ребер слабо
W1 юг ю3 W*
Рис. 9.11. Теплоотдача продольно оребренных труб в
межтрубный канал.
/ — 24 ребра; 2 — 36 ребер.
влияет на эту зависимость, поскольку оно учитывается при определении
De\ небольшие расхождения наблюдаются лишь при числах Рейнольдса,
меньших 2100.
Потери давления в кольцевом канале с внутренней оребренной трубой
Коэффициенты трения для кольцевого канала с продольными
ребрами на внутренней трубе, заимствованные из [19], показаны на
рис. 9.12. Для получения обобщенной зависимости на основе опытных
данных о гидравлическом сопротивлении при течении в оребренных
кольцевых каналах использован эквивалентный диаметр.
Действительная разность температур для теплообменников
«труба в трубе». Последовательно-параллельная схема
При противоточном движении двух потоков А^лог представляет
собой максимально достижимый температурный напор, обеспечивающий
передачу тепла. Часто в промышленных условиях для осуществления
единого технологического процесса может потребоваться несколько
теплообменников «труба в трубе». В этом случае может оказаться
желательным последовательное соединение таких аппаратов как со стороны
межтрубного пространства, так и со стороны внутренних труб
(рис. 9ЛЗ). При этом температурный напор остается равным Д^лог для
противотока. В некоторых случаях необходимо, чтобы в большой мае-
21-192 321

се одной жидкости происходили небольшие изменения температуры»
а в небольшом количестве другой — большие. Это может оказаться
неосуществимым при циркуляции большого объема жидкости через
требуемое количество секций и допустимой потере давления. В таких
случаях с помощью коллекторов организуется движение большого объема
жидкости по последовательно-параллельной схеме, показанной на
рис. 9.14. Жидкость, движущаяся по трубам, делится на два
параллельных потока между теплообменниками / и //. Жидкость в межтрубном
пространстве движется противотоком жидкости в трубах, и оба
теплообменника соединены по межтрубному пространству последовательно.
1,00
0,50
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,005
0,003
fr
—
I
-j-H-j ;
Re-De
6/j*
н
w1
10z
w3
10*
Рис. 9.12. Гидравлическое сопротивление канала между продольно оре-
бренной .внутренней трубой и гладкой наружной.
а
и
qJ
ш
^
Рис. 9.13. Последовательное соединение
двухходовых секций теплообменников
«труба в трубе».
Рис. 9.14.
Последовательно-параллельное соединение двухходовых секций
теплообменников «труба в трубе».
Рассмотрим два теплообменника, представленные на рис. 9.14. Обо-
значим промежуточную температуру жидкости в кольцевом
пространстве через) Г, а выходные температуры параллельных потоков через
*2 и *2 • Температуру жидкости после смешения этих потоков, которая
322

является выходной температурой процесса, обозначим fe. Для
теплообменника /, содержащего половину поверхности, имеем:
gI = WC(T-T^=^.MaxV (9.41)
(т—4) — а\—t.)
&*mi = - 2-LT—1 — • (9.42)
Подставляя последнее соотношение в (9.41), получаем:
?/5_ 7-гв 1п-Г_^
21ГС (г_ф — (Г, — /,) T% — tx
Положим, что
pi_ (Т-тг) _wc %
US Rl . T-tl
Аналогично для теплообменника II
<711 = ГС(Г1-Г) = ^^йогП; (9.44)
(г,-4г)-(г-м , 5
логП ln[(r1-.4I)/P,-«J]
ри^ г,-т _ wc . t/s я11 JWj r946v
*у /n_fl — 2^с"' SIFT- лп-1 г-'' *
Так как удельные теплоемкости Сие приняты постоянными, имеем:
*W=S' = ^. (9.47)
Используя методику, подобную принятой выше в этой главе для
определения Л^лог, получаем:
Из (9.47)
2R'=R=$r=±=l±-. (9.49)
Теперь положим, что W\ С, Т\ и Т'2 относятся к
последовательному потоку, будь то горячая или холодная жидкость, а малые буквы
со штрихами — к параллельному потоку:
US — 2# in
П^^У+М' <М0>
Записывая уравнение Фурье для полной разности температур в
обоих теплообменниках, получаем:
q—USM=USFTAtn0r=W/C/ (П—Г2), (9.51)
21* 323

где Ft — коэффициент, который характеризует отклонение
действительной разности температур, определяемой уравнением (9.51), от AtM0T для
противотока:
US _Т\ — Т\
WC
FtM»
(9.52)
И снова, используя соотношение 8= (/'г—Р-±) l'(T'i—i'i), выражая
(Т'\—^2) I {Т'ъ—t'i) через jR и е и заменяя два параллельных потока на
х параллельных потоков, получаем:
F —L Г(Д-*П _ Ш[A—е)/A—еД)]
, 1 Г (#-*)]
¦ х [ (/?--1) ]
In [(R — x)/J?(l — eR)l/x] +x/R
(9.53)
*,о
"
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
F
CD
сГ
eva
—?г
ос
!>
с
' С
^V
^
в
о с
э с
э и
Г *
->
с
¦г
ч
\
Л
» ¦*¦ \ SL • * \ °* \ ^ \ *° \ *° 1 3
СО оГ ¦- -«в ОО to <*- ССЗ \ С? \ СГ \ сГ \ О* J Ц
** 1 S \ 'f *? ^ Ч cs \ со \ со \ 4- 1 «.*
11 ill 1 \ \ \ ^X^XcrXcrjcT
-^_
т 1
L1
1
\
\
1
\
1
\
\
1
\\
V
\
V
An.
\
11
11
1
и
w
1
?|
0;1 0,2
0,3 0,^
0,5 0,6 0,7 0;8 0,9 1,0
й
^
Рис. 9.15. Поправочный коэффициент
к А^лог для последовательного
соединения двух двухходовых секций по
прямому потоку и параллельного —
по обратному.
%С,Тг tbW,C
Значения FT для х=2 и 3 представлены в графической форме на
рис. 9.15 и 9.16. Когда горячая жидкость движется по последовательной
схеме, обозначения совпадают с приведенными ранее при вычислениях
разности температур. Однако в том случае, когда по последовательной
схеме течет холодная жидкость Т\ и Т\ становятся входной и выходной
температурами холодного потока.
Пример 9.4. Вычисление действительной разности температур для
последовательно-параллельной схемы соединения противоточных теплообменников «труба в трубе».
Батарея теплообменников «труба в трубе» работает при последовательной схеме
соединения двухходовых секций по горячему потоку, температура которого падает от 150
до 95°С, и параллельной схеме из трех ветвей по холодному потоку, который
нагревается от 90 до 105°С. Какова действительная средняя разность температур между
теплоносителями?
324

Sn
Рис. 9.16. Поправочный коэффициент
к At лог для последовательного соеди-
1 нения трех двухходовых секций по
прямому потоку и параллельного —
по обратному.
щ7тг гьщ
Решение.
A/2=7W2 = 150—105 = 45°С;
Ati = T2—ti=95—90=5°С;
|Д/2-Л*1=45—5=40°С;
40
А^г = tln D5/5) ^ 18'2°С*
R =
150 — 95
105 — 90
= 3,67; е
105 — 90
150 — 90
Г0,^5; х = 3.
Из рис. 9.16 при Л=3,67 и е=0,25 находим Fr=0,875.
Согласно (9.51) A/=FTA^or=0,875-18,2=15,9°C.
Загрязнение поверхности ребра
Составляющие термического сопротивления в гладкотрубных
теплообменниках «труба в трубе» представлены в уравнении (9.6).
Загрязнение труб и каналов без ребер было рассмотрено выше^ Когда
наружная поверхность внутренней трубы оребрена, вопрос о
сопротивлении слоя загрязнений, отложившегося из протекающего по внутренней
трубе теплоносителя, следует рассмотреть особо. Для гладкой 38-мм
325

трубы отношение площадей наружной и внутренней поверхности
составляет 1,18:1,0. Плотности теплового потока приблизительно
одинаковы. Для внутренней трубы с 24 ребрами на наружной поверхности
отношение соответствующих площадей составляет 5,8:1, а для трубы с 36
ребрами — 8,0:1. Если фактор загрязнения, отнесенный к внутренней
поверхности внутренней трубы, /-^=1,76-Ю-4 м2-яС/Вт, то согласно
(9.6), в котором все сопротивления отнесены к полной наружной
поверхности, это значение следует заменить на 1,02-Ю-3 или на 1,41 X
Х10-* м2-°С/Вт соответственно. Согласно (9.39) термическое
сопротивление загрязнения имеет существенно различающиеся численные
значения в зависимости от того, отнесено ли оно к полной наружной
(оребренной) поверхности трубы или к гладкой внутренней.
С другой стороны, слой загрязнения является изолятором. Поэтому
нет смысла оребрять наружную поверхность внутренней трубы, если
основное термическое сопротивление сосредоточено на ее внутренней
поверхности, поскольку оно сводит к нулю роль ребер.
В промышленном ^еплообменном оборудовании применение ореб-
ренных поверхностеи~~6правданно, так как они недороги по сравнению
с основными поверхностями. Если теплоноситель значительно
загрязняет поверхность теплообмена, применение оребрения на участках с
низкой плотностью теплового потока q/S компенсирует большое
термическое сопротивление загрязнения.
Температура стенки трубы с высокими ребрами
Для вычисления коэффициента теплоотдачи и потери давления при
течении жидкостей в кольцевых каналах с помощью (9.12) и (9.13)
требуется знать отношение вязкостей в ядре потока и у стенки \i/\iw для
нагревания и охлаждения.
По уравнениям (9.37) и (9.39) можно вычислить температуру на
наружной и внутренней поверхностях гладкой трубы. Поскольку
термическое сопротивление самой стенки трубы обычно мало по сравнению
с сопротивлением теплоотдачи к жидкости в кольцевом канале получена
единая температура стенки трубы tw. Из рис. 6.4 и сопровождающего
этот рисунок текста, иллюстрирующих принцип использования метода
конечных разностей, видно, что не существует простого теоретического
метода определения средней температуры оребренной стенки,
состоящей из основной поверхности и ребер. Однако для проведения расчетов
с необходимой в инженерной практике точностью разработан
полуэмпирический метод [20].
Действительная разность температур At соответствует полному
термическому сопротивлению 2/?d=1/C/d в расчетном уравнении q/S=
=UDM. Сумма температурных разностей на каждом из отдельных
термических сопротивлений между жидкостью в кольцевом канале и
жидкостью во внутренней трубе должна быть равна действительной
разности температур между теплоносителями. При самых различных
тепловых потоках между теплоносителями существуют следующие
термические) сопротивления: I) сопротивление теплоотдачи на границе
жидкость — стенка в кольцевом канале, 2) сопротивление загрязнения
стенки со стороны кольцевого канала, 3) сопротивление ребра,
обусловленное отличием его эффективности от единицы, 4) сопротивление
металла трубы, 5) сопротивление загрязнения стенки с внутренней
стороны трубы, 6) сопротивление теплоотдачи на границе стенка — жидкость
во внутренней трубе.
326

Так как через отдельные термические сопротивления проходят
тепловые потоки различной плотности, разности температур на границах
находят путем умножения сопротивлений на тепловой поток,
отнесенный к площади полной наружной поверхности оребренной трубы,
включающей поверхности основной трубы и ребер. Температура стенки
трубы \tfW заключена между термическими сопротивлениями C) и D).
Найдя эту температуру, можно вычислить приведенный коэффициент
теплопередачи UfW. Хотя коэффициент теплопередачи UD
рассчитывается с использованием коэффициентов теплоотдачи, вычисленных при
средних калориметрических температурах теплоносителей Тс и 4, сумма
температурных перепадов на отдельных термических сопротивлениях
соответствует действительной разности температур At, а не Тс—/с.
Рис. 9.17. Термические
сопротивления (а) и
перепады температуры (б) для
загрязненной трубы с
продольными ребрами.
Термические сопротивления
отнесены к полной
наружной поверхности
теплообмена, включающей
поверхности ребер и несущей трубы.
Теплоотдача с торцов ребер
не учитывается.
1 — ребро; 2 — слой
загрязнений; 3 *-ч труба.
НМЛ
Значение температуры стенки определяется методом
последовательных приближений. Сначала задаемся значением tfW, что позволяет
вычислить поправочный коэффициент, учитывающий изменение вязкости
теплоносителя в кольцевом канале Фа=(|я/^/^H,14, и коэффициент
теплоотдачи, скорректированный для случаев нагрева или охлаждения.
Величина, обратная этому коэффициенту теплоотдачи,
представляет собой термическое сопротивление.
Если температура после этих трех сопротивлений соответствует
принятому значению tfW и если полное падение температуры на шести
сопротивлениях соответствует At, принятое значение Тс—tfw было
правильным. Если совпадения значений не получается, следует выбрать
новое значение tfW и повторить расчет. Различные термические
сопротивления и температуры на их границах для обсуждаемого случая
показаны на рис. 9.17. Термические сопротивления отнесены к полной
наружной поверхности теплообмена, включающей поверхности ребер и
несущей трубы. Теплоотдача с торцов ребер не учитывается. Хотя в
каталогах указывается полная наружная поверхность оребренной
внутренней трубы на единицу длины, часто в промежуточных расчетах при
вычислении термических сопротивлений между стенкой и жидкостью
в трубе удобно в качестве определяющей использовать наружную
поверхность внутренней трубы без ребер. Расчет ведем в следующем
порядке.
1. Принимаем температуру стенки tfW, т. е. задаемся разностью
температур жидкости в кольцевом канале и стенки. Если температура
327

теплоносителя выше температуры стенки, эта разность температур рав-
на 1 с~ fifw'
2. С помощью графиков рис. 9.2 находим Ы/Фр для теплоносителя,
движущегося по внутренней трубе и вычисляем поправочный множитель
(J)p=(lillifWH>u [вместо фр==(р,7м'»H,14]' Тогда коэффициент теплоотдачи
на внутренней стенке трубы А^=1(А.</Фр)фр, а термическое
сопротивление теплоотдачи ri=l/hi.
Пересчитав это значение к наружному диаметру гладкой трубы
(без ребер) Д>, получим:
, ri9*=*i(Do}Di). (9.54)
3. Фактор загрязнения на внутренней стенке трубы равен г<ц\
приведенный к наружному диаметру гладкой трубы, он составляет:
rdiv=rdi{DQlDi). (9.55)
4. Термическое сопротивление металла стенки трубы, отнесенное
к ее наружному диаметру, находим из (9.5):
_D9(D.-Di)
rmo — km{Do + Di) •
5. Складывая эти сопротивления, получаем *:
2#<о=г«о+Лио + гто. (9.56)
Относя 2/?го к площади полной наружной поверхности оребренной
трубы на единицу длины S", имеем:
2Rit a"=%Rio(s"litD0). (9.57)
6. С помощью графика рис. 9.12 находим ho/Фа для теплоносителя,
движущегося в кольцевом канале и вычисляем поправочный множитель:
Фа=(|л/|г/»H»14 [вместо <De=(ji/M0'14]-
Тогда для полной наружной поверхности оребренной трубы,
включая поверхности ребра и основную получаем:
Н*)ф-
И
1
7. Сложив термическое сопротивление теплоотдачи от жидкости
в кольцевом канале г0 с соответствующим сопротивлением загрязнения
г^о, получим значение полного термического сопротивления со стороны
кольцевого канала, относящееся к ребрам и основной поверхности:
r't = ^- = r,-\-rdv (9.58)
8. Эффективность ребра. Вычислим произведение тЬ по уравнению
B.13) для продольного ребра прямоугольного профиля или по
соответствующему уравнению (гл. 2) для ребер других профилей
JL
-t-jt) , где 5 —толщина ребра, Ь — высота ребра.
1 Ti и Tdi можно объединить, так как они относятся к одной и той же внутренней
поверхности центральной трубы. Однако они записываются раздельно, как и
соответствующие сопротивления для наружной стенки с тем, чтобы показать, что внутреннее
загрязнение оребренной трубы имеет большое значение, тогда как наружное
загрязнение относительно малосущественно.
328

По вычисленному значению mb из табл. 2.1 найдем эффективность
ребра г), а затем по уравнению (9.40)—средневзвешенную
эффективность оребренной стенки (ребра и основной поверхности) r\w. Это зна- .
чение для соответствующих труб можно определить непосредственно по
рис. 9.10. И, наконец, (вычислим приведенный коэффициент
теплоотдачи, отнесенный к полной наружной поверхности оребренной трубы с
учетом ее эффективности:
*fo4 = Af.4f=?L" ¦' <9'59>
9. Хотя этап 8 учитывает эффективность ребра, при вычислении
профиля температуры между теплоносителями с температурами Тс и tc
удобно выразить разность между обратными величинами
коэффициентов теплоотдачи й'0 и h'v, соответствующую отличию эффективности
ребра от единицы, в виде термического сопротивления /*/т, отнесенного
к полной наружной поверхности единицы длины оребренной трубы:
rfrn = rnfs = .J 4- (9.60)
10. Таким образом, расчетный коэффициент теплопередачи (с
учетом загрязнения) Ud, отнесенный к полной наружной поверхности трубы
(при значении Si?.*, S", полученном в п. 5), определяем из соотношения
' =г'оЛЩ,*>" (9.61)
UD o^
11. Рассчитаем теперь плотность теплового потока для
действительно используемой поверхности теплообмена. По известным q и At и
вычисленному коэффициенту теплопередачи находим S=q/UDAt. Если
вычисленное значение 5 соответствует площади поверхности теплообмена,
например, 2,5 двухходовых секций «труба в трубе» длиной по 7,6 м
каждая, соединенных последовательно, используем теплообменник из 3
таких секций и суммарную поверхность теплообмена этого трехсекцион-
ного аппарата применим в последующих расчетах.
12. Пересчитаем коэффициент теплопередачи Ud для
действительного значения S. Увеличение 5 проявится как увеличение термического
сопротивления загрязнения. Действительную плотность теплового
потока q/S вычислим по уравнению (9.7):
13. Теперь проверим действительную плотность теплового потока,
полученную в п. 12, используя значения индивидуальных термических
сопротивлений, и определим, равна ли сумма падений температуры на
эквивалентном сопротивлении теплоотдачи в кольцевом канале,
сопротивлении загрязнения на наружной стенке трубы и сопротивлении,
обусловленном отличием эффективности ребра от единицы, принятому в п. 1
значению Тс—tfW и равна ли сумма шести разностей температур
действительной разности температур At для выбранного блока
теплообменников «труба в трубе». Падения температур равны:
а) на сопротивлении теплоотдачи от жидкости в кольцевом канале
к стенке трубы
Atf:
;(-§-)'.; (9.62а)
329

б) на сопротивлении загрязнения со стороны кольцевого канала
д**=(-?)г*; (9-62б>
в) на сопротивлении, обусловленном отличием эффективности
ребра от единицы,
**'*.= DV"o«: (9-62в>
г) на сопротивлении металла стенки трубы (rm0 — сопротивление,
отнесенное к наружному диаметру трубы, a s" — полная наружная
поверхность трубы на единицу длины)
*'«.=
бы
! (-?>«...[&]; (9-62г)
д) на сопротивлении загрязнения с внутренней стороны трубы
*<«=D) ч •[;?]; <9-62*)
е) на сопротивлении теплоотдачи от стенки к жидкости внутри тру-
Ы,
' = (+Ь •[=?]¦ (9-62е)
Карьер и Андерсон [19] отметили, что г,—термическое
сопротивление ребра, обусловленное отличием его эффективности от единицы,
может быть представлено графически как характеристика ребра
данных размеров, изготовленного из определенного металла. Представив
сопротивление ребра или сопротивление оребренной поверхности
(средневзвешенное сопротивление ребра) в виде функции I/(I/Ы+гао),
можно брать его значения из графика и непосредственно прибавлять
к остальным сопротивлениям. Это несомненно гораздо удобнее и проще,
чем использовать значение эффективности ребра или средневзвешенной
эффективности оребренной поверхности, получаемое из выражения
1/A/Ло+Г(*о). Однако график сопротивления ребра не столь наглядно
свидетельствует о том, что данная комбинация трубы и ребра имеет,
например, средневзвешенную эффективность 95 или 98%. По-видимому,
по этой причине использование сопротивления ребра вместо
эффективности ребра или оребренной поверхности нашло мало сторонников.
Сопротивления ребра определяется из соотношения
rn =l 1 \{ 1-4
(ъ>ш \l/h0 + rd0){s/s" + fl
Следовательно,
JL^^J | , „ , , г s" 1 i 1 г s" 1
VD " ho ' Г(*° ' Т °Ч» * Г™ ' ^ [я?)о у ^ I tzD0 J *
Пример 9.5. Расчет теплообменника «труба в трубе» с продольными ребрами 1.
Необходимо охладить 8170 кг/ч B,27 кг/с) дистиллятного смазочного масла от
120 до 65°С, используя оборотную воду из градирни при допустимом интервале
измерения температур от 30 до 50°С. Допустимое падение давления для каждого потока
равно 70—140 кПа, а минимальные термические сопротивления загрязнения с каждой
стороны составляют по 3,5-2-Ю-4 м2-0С/Вт. Охлаждение масла проводится в
стандартных двухходовых секциях теплообменников «труба в трубе» с кожуховыми труба-
1 В данном и нескольких последующих примерах приводятся значения некоторых
величин (площадь проходного сечения, эквивалентный диаметр и др.), помещенных
в оригинале книги в таблицах и подписях к рисункам, которые при переводе были
опущены. Поскольку примеры носят иллюстративный характер, отсутствие этих таблиц
не мешает пониманию текста. (Прим. перев.).
330

ми диаметром 76,2 мм, внутренними трубами диаметром 38,1 мм с 24 ребрами высотой
12,7 мм и толщиной 0,89 мм. Длина сребренной части труб на одну секцию составляет
7,6 м. Сколько таких секций требуется для осуществления процесса? По какой схеме
они должны быть соединены?
Свойства. В задачах, для решения которых используются методы, описываемые
в этой главе, может встретиться большое разнообразие теплоносителей. Помещение
таблиц их теплофизических свойств потребовало бы непомерно увеличить объем
приложений по сравнению с остальным текстом. Предполагается, что читатель может
воспользоваться стандартными справочниками по теплофизическим свойствам. При
решении примеров, рассматриваемых в книге, авторы приводят необходимые данные о
физических свойствах теплоносителей.
Для решения рассматриваемого примера приводим следующие данные: удельная
теплоемкость масла при ГСр равна 2,18 кДж/(кг»°С), а при Тс составляет
2,17 кДж/(кг«°С). При температуре Те коэффициент теплопроводности k =
= 0,128 Вт/(м-сС). Вязкость масла \х при температурах 120 и 65°С составляет
соответственно 1,70-Ю-3 и 4,80-Ю-3 кг/(м-с), а плотность при температуре Тс: р = 820 кг/м3.
Решение. 1. Тепловой баланс: масло: ^=2,27-2,18A20—65) =272 кВт; вода: q==
=3,25.4,19E0—30) =272 кВт.
2. Температурный напор А/.
Для первого приближения принимаем схему чистого противотока. Если
допустимое падение давления ни в одном потоке не превышается, нет необходимости
прибегать к последовательно-параллельной схеме.
At2=Tl—^t2=l20—50=70°С; Atx=T2—/i=65—30=35°С; At2—Д/^70—35 = 35°С,
По формуле (9.19)
At = Дглог:
35
At2 — Atl _
In (Д^/ДО "" In G0/35)
= 50,5° С.
3. Средние калориметрические температуры Тс и tc:
Atc 35
-др=^- = 0,50; /Сс = 0,33; /^=0,43 (см. рис. 9.9);
Гс=65+ @,43) iA20—65) =90°С; 4=29+ @,43) E0—30) +37,8°С.
Теплопередача
Горячий теплоноситель — масло в кольцевом канале
Холодный теплоноситель — вода во внутренней
трубе
4'. Из рис. 9.Ю
?2 = 78 мм = 7,8-10-
?>0 = 48,2 = 4,82-10-
м;
Площадь профильного сечения ребра
высотой Ь = 12,7 мм, толщиной д=0,89 мм равна:
S = W = 12,7-0,89 =11,3 мм2
Число ребер п = 24
Площадь поперечного сечения
кольцевого канала
= 0,786/G,8- Ю-2J — D,82.1Q-2J —
— 24-1,13-10-5 = 2,68. Ю-3 м2
Смоченный периметр канала1
Р = к (D2 + D0) — п д + п2Ь =
= 3,14G,8 + 4,82) . Ю-2 —24.0,89.10-3 +
+24-2-12,7-Ю-3 = 0,985 м
4. Из рис. 9.10
?>; = 40,9 мм = 4,09-Ю-2 м
Площадь поперечного сечения трубы
яр= ^ = 0,786 D,09- Ю-2J =
= 1,32.Ю-3 м2
ззг>

Горячий теплоноситель — масло в кольцевом канале
Холодный теплоноситель — вода во внутренней
трубе
Эквивалентный'диаметр канала
An
De= -p- = 4.2,68.10-3/0>985 =
= 1,0-Ю-2 м = 10,9 мм
5'. Массовая скорость
Gfl = W/aa= 2,27/2,68-10-3 =
= 848 кг (м2-с)
6'. При температуре Гс = 88,6°С вязкость
масла
р, = 2,45-Ю-з кг/(м.с)
Число Рейнольдса
Refl = DeGa/p =1,09-10-2.848/2,45 X
X Ю-» = 3750
7'. По рис. 9.12 при Refl = 3750
. h0De(C}x N-i/3
;«- ь yk J
5. Массовая скорость
Gp = w/ap== 3,25/1,32.10 - 3 =
= 2460 кг/(м2-с)
Скорость воды V = Gn/p = 2460/1000 =
=2,46 м/с
6. При температуре tc = 38,6ФС
р, =0,72. Ю-3 кг/(м-с)
Число Рейнольдса
Re« = dmGp/^ = 4,09.10~2.2460/0,72Х
ХЮ-3= 1,4.105
Фд = 9,75
8'. При Гс = 88,64) & = 0,128 Вт/(м.°С),
С =2170 Дж/(кг.°С)
& (гц/Ф1/3 = 0,128 B170-2,45 X
ХЮ-3/0,128I/3 = 0,442 Вт/(м.°С)
9 'Фа ~"/HDe ^ A? J 1,08-Ю-2
= 400 Вт/(м2.вС)
9. При У = 2,46 м/с, *с = 38,6*С для
трубы внутренним диаметром 40,9 мм по
рис. 9.3 находим:
.А. =9900-0,82 = 8120 Вт/(м2.#С)
Фл
1 Теплоотдача с торцов ребер не учитывается (поверхность торцов не входит ни в выражение для
эффективности, ни в полную поверхность теплообмена).
Расчет //«>.
1. Задаемся Тс—tfw=30°C. Тогда */»= Тс—30=88,6—30=58,6°С.
2. При //W=58,6^C вязкость воды в трубе jli/w=4,8-10—4 кг/(м«с):
/ а \о,н /7,2.10-4\о,н
А, = Г^Л Фр = 8120-1,055 = 8560 Вт/(м2.вС);
>/ = J-= V8560 = 1.17-10г4 м2.°С/Вт.
По уравнению (9.54)
3. rd? =3,52-10-* м2.°С/Вт.
По уравнению (9.55)
r„,.=.r„, (^-) =3,52.10-«^;S'.10-') = *.»5.10-« и».«С/Вт.
232

4. По уравнению (9.5)
D0 (D0— Dj) 4,82» Ю-2 D,82—4,09). 1Q-2 г
Гто== bm(D0 +Z)/)e= 44,2 D,82+ 4,09). Ю-2 =0»893*10 м • С/Вт-
5. По уравнению (9.56)
2JRio=trl04Hrfdto+/'mo=^(l,384J4,15+0,893) 40-4=б,423-104 м2-°С/Вт.
Пересчитаем Si?го с D0 к полной наружной поверхности оребреннои трубы. Из
рис. 9.10 S"/7tDi = 5,76 и 5"/л;/)о=4,88. Наружная поверхность оребреннои части
внутренней трубы (на единицу длины) составляет 0,74 м2/м. Поверхностью неоребреннон
части внутренней трубы можно пренебречь. Согласно уравнению (9.57)
l^4S/, = S^>0 — = 6,423-10-*.4,88 = 3,14.Ю-3 м2-вС/Вт.
6. Вязкость масла в кольцевом канале при температуре //W=58,6°C составляет
|X/t*=5,5:10-3 кг/(м-с);
/ а \0.Н /2,45.10-3\0,Н
*--(&) -(в!5ЛВ=г) =0,89;
А0 = U?\ Ф0 = 400-0,89 = 356 Вт/(М«.ФС);
^=(-i:)=i=2'8I-10M2-ec/BT;
7. /a, = 3,52-10-* мг-°С/Вт.
По уравнению (9.58)
г'. = т|- = г, + гл = B8,1+3,Б2).10-« = 31,62.10-* ма.*С/Вт;
П р
А'о=1/3,162-Ю-3=316 Вт/(м2-°С).
8. Согласно рис. 9.10
г) «=0,66.
По уравнению (9.59)
1 3,162.10-3
r^"*Vb" 0,66 -4,79.10-з м2.оС/Вт,
9. По уравнению (9.60)
^Е, = г'о1,-^.==D.79-3,162).10-' = 1,63.10-'мг.'С/Вт.
10. Согласно уравнению (9.61)
Ж = -^ = г'оч+ !«*.*" = D,79 + 3,14). 10-з = 7,93.10-» м2*9С/Вт;
^==7,93.10-з-126Вт/(м2'°С)'
(у 2,72. Ю5
11в- ^дД*** 126-50,5 = 42>6 м*-
Необходимая длина трубы
S__42,6
/= ?ГГ q у4 = 57,6 м.
Число двухходовых секций «труба в трубе» равно:
57,6
2-7,6-
= 3,79.
Таким образом, используем 4 секции. Первоначально полагаем, что секции
соединены последовательно. Только если падение давления в одном или другом потоке
превысит максимально допустимое, необходимо будет рассмотреть
последовательно-параллельную схему.
233

12. Действительно используемая поверхность теплообмена
S=4-2-7,6-0,74=45 м2.
Коэффициент теплопередачи UD и плотность теплового потока q/S для
действительной поверхности теплообмена
а 2,72-105
1 а 2,72-105
2^ = ^ = 8,34.10-3 м2.°С/Вт; S=='~^B = 6040 вт/м2.
13. Перепады температуры:
а) на сопротивлении теплоотдачи в кольцевом канале
Atf = -|-г0 = 6040-2,81 -Ю-3 = 17°С;
б) на сопротивлении загрязнения в кольцевом канале
Atdo = -2rrdQ = 6040-3,52.10-* = 2°С;
в) на сопротивлении ребра
A^="f ^ = 6040-1,63. Ю-= 9оС;
7W/W=28°C;
г) на сопротивлении металлической стенки трубы (гтн отнесено к dn и S" —
полной поверхности со стороны оребрения на единицу длины трубы)
Мт9 = -|- гто —^- = 6040-0,893- Ю-4-4,88 = 2,64°С;
д) на сопротивлении загрязнения с внутренней стороны трубы
a S"
A^l = -rd?e 5^ = 6040-4,15-10-*.4,88= 12,2°С;
е) на сопротивлении теплоотдачи к жидкости в трубе
Ltt = -§- ri0 -^- = 6040-1,38-10-*.4,88 = 4,06°С;
А* = 46,9°С.
Таким образом, мы задались Тс—//» = 30°С, а получили 28°С; по исходным
данным А/=50,5°С, а в результате расчета получили Atf=46,9°C. Хотя эти цифры еще не
учитывают дополнительно термического сопротивления загрязнения, следует отметить,.
что сравнительно высокие значения сопротивлений загрязнения C,52-10-4 м2-°С/Вт),
принятые для обоих потоков, обеспечивают непрерывную работу теплообменников в
течение нескольких лет. При этом перепады температур на сопротивлениях загрязнения
составляют 2,12°С в кольцевом канале (со стороны оребрения) и 12,2°С внутри трубы.
Разница перепадов температуры ясно свидетельствует о важности правильного выбора
термического сопротивления загрязнения с внутренней стороны трубы. Теперь следует
уточнить термические сопротивления загрязнения с учетом того, что используются
4 двухходовых секции «труба в трубе» вместо требуемых по расчету 3,79.
Дополнительное сопротивление загрязнения определяется разностью между Si? = 7,93-Ю-3 м2-°С/Вт
(п. 10 расчета) для расчетной поверхности и 2/?=9,34-10_3 м2-°С/Вт для
действительной поверхности (п. 12 расчета). Тогда
2#доп= (8,34—7,93) • 10-3 = 4,1 • 10 м2 • °С/Вт,
где дополнительное сопротивление относится к полной наружной поверхности
сребренной трубы. Дополнительное сопротивление может быть отнесено к любому потоку или
разделено между ними произвольным образом. Если оно добавляется к сопротивлениям
со стороны потока воды, его следует разделить на отношение полной наружной
поверхности к внутренней поверхности трубы, которое в данном случае равно 5,76. Тогда
дополнительное сопротивление загрязнения на внутренней стороне трубы составит
334

4,Ы0-4/5,76=0,712'10-4 м2«°С/Вт. Если же его отнести к наружному диаметру
внутренней трубы, оно составит
4,82- Ю-2
0,712.10-* 409,10-2 = 0,84.10-* м2.°С/Вт.
откуда rdi0=4,15.10-4+0,84-10-4=5-10-4 м2-°С/Вт (п. 13,д). Тогда Л/« = 14,7°С я
Д/=49,4°С.
Таким образом, Тс—tfv> и М хорошо согласуются (в пределах точности
определения коэффициента теплоотдачи к потокам в кольцевом канале и внутри трубы) с
принятыми значениями tc—if«?=30°C и Л/Лог=50,5°С.
Потери давления
Горячий поток—масло в кольцевом канале
Холодный поток—вода во внутренней трубе
1'. Refl = 3750
Из рис. 9.12
/= 1,037-10-2;
Фа = 0,89;
р = 820 кг/м3
2. Потери давления на трение по
уравнению (9.10)
АР,
fG\Ln
2?ОеФа
_l,037*lQ-2-8482.7,6-2-4 _
2-820.1,09-Ю-2-0,89
= 28 500 кПа = 28,5 Па
Местные потери давления равны
одному скоростному давлению на секцию.
Следовательно, для четырех секций
<п=4)
1'. Rep =1,4-10*
Из рис. 9.5
/=2,39-Ю-2;
фр= 1,055 (п. 2);
р = 1000 кг/м3
2. Потери давления на трение по
уравнению (9.9)
fG*pLn
АЯР= 2PD^p ~
2,39.10-2.24602.7,6.2.4
= 4;
A/V
8482
:/i(pV2/2)=n-^=
: 27^20 = 1750 Па = *»75 кПа>'
SAP = АР0+ АРе = 28,5 + 1,75 =
= 30,25 кПа
~~ 2-1000.4,09-Ю-2-1,055
= 102 000 Па = 10-2 кПа
Местные потери давления равны одному
скоростному давлению на секцию.
Следовательно, для четырех секций (п = 4)
G2p 24602 =
Аре = п ~Щ = 42-1000
= 12 100 Па = 12,1 кПа;
АР = др/7 + АР^= 102+ 12,1 = 114,1 кПа.
Следовательно, можно применять схему
чистого противотока.
Если бы по условию примера 9.5 можно было использовать внутренние трубы
с 36 ребрами, то в рассмотренном случае потребовались бы 3 двухходовые секции,
соединенные последовательно. Для стальных аппаратов разница в стоимости секций
с внутренними трубами с 36 и 24 ребрами не превышает 5%.
Многопоточные теплообменники «труба в трубе»
с продольно оребренными трубами
Хотя для демонстрации метода расчета был использован
двухтрубный теплообменник «труба в трубе», оребренные трубы широко
применяются и в других теплообменных аппаратах. Самым близким по
конструкции к двухтрубному теплообменнику является многопоточный
теплообменник «труба в трубе» с продольно оребренными трубами,
доказанный на рис. 9.18.
335

Такие аппараты выпускаются с наружными трубами диаметром
от 100 до 200 мм. Типичный 100-миллиметровый теплообменник
содержит семь труб наружным диаметром 22 мм с 20 ребрами высотой па
5,5 мм, а 200-миллиметровый аппарат — девятнадцать труб диаметром
25 мм с 24 ребрами высотой 6,3 мм.
Рис. 9.18. Многопоточный теплообменник «труба в трубе» с продольно
оребренными трубами.
а — двухходовая секция; б — поворотная камера; в — фланцевое соединение
коллектора (с разрезным кольцом).
К двум другим распространенным типам таких теплообменников
относятся нагреватель с открытым торцом для резервуаров (рис. 9.19)
и последовательно соединяемый с резервуаром нагреватель,
изображенный на рис. 9.20. При использовании многопоточных теплообменников
с оребренными трубами по периметру труб через некоторые интервалы
привариваются кольца или пояса, как показано на рис. 9.19.
Кольца предотвращают касания и поломку ребер соседних труб
в результате вибрации теплообменника. Как теплообменники с откры-
Рис. 9.19. Погружной теплообменник —
подогреватель нефтепродуктов в (резервуарах.
Аппарат всасывающего типа с открытым торцом
и с продольно оребренными трубами.
336
Рис. 9.20. Теплообменник —
подогреватель нефтепродуктов.
Аппарат проточного типа с продольно
оребренными трубами.

ты!м торцом, так и последовательно соединенные теплообменники
широко используются в нефтяной промышленности для подогрева в
резервуарах нефтепродуктов, отличающихся большой вязкостью.
Последовательно подсоединяемый теплообменник, показанный на рис. 9.20,
используется также в качестве промежуточного холодильника газовых
компрессоров, для нагревания или охлаждения жидкостей при низких
коэффициентах теплоотдачи, а также загрязненных жидкостей. В этих
случаях они циркулируют в межтрубном пространстве вдоль оребрен-
ных труб. Способы установки нагревателей, работающих по принципу
непосредственного нагрева засасываемой из резервуара жидкости,
показаны на рис. 9.21. Кожух такого нагревателя с открытым торцом
вставляется непосредственно в резервуар. При хранении вязких жидко-
з_
1500мм
Рис. 9.21. Два метода установки теплообменников —
подогревателей нефтепродуктов.
стей зачастую выгоднее подогревать жидкость непосредственно в
момент отбора, чем поддерживать содержимое резервуара в нагретом
состоянии неделями только для обеспечения возможности ее
перекачивания. Независимо от того, какой тип подогревателя выбран,
всасывающий конец теплообменника, как это видно на рис. 9.21, должен быть
заглублен в резервуар не менее чем на 1,5 м. Основанием для такой
рекомендации служит опыт эксплуатации, который показывает, что
даже при относительно холодной погоде часть содержимого резервуара на
расстоянии более 0,3 im от стенки довольно хорошо изолирована от
влияния пониженной температуры прилегающим к стенке резервуара
полузатвердевшим слоем, обладающим низкой теплопроводностью. Это
особенно необходимо для обеспечения перекачивания тяжелых фракций
углеводородов.
Метод расчета многопоточных теплообменников «труба в трубе»
с продольно оребренными трубами почти такой же, как и двухтрубного
теплообменника этого типа. При вычислении средневзвешенной
эффективности оребренной поверхности с учетом теплоотдачи с торцов ребер
вместо уравнения B.13) следует использовать C.13). Однако если
отношение высоты ребра к его толщине примерно 15:1, как у ребер на
рис. 9.10, различие эффективностей с учетом и без учета теплоотдачи
с торца очень мало. Площадь проходного сечения для теплоносителя
в межтрубном пространстве вычисляют, вычитая из площади
поперечного сечения кожуха (по внутреннему диаметру) площади поперечного
сечения труб и профильные сечения ребер. Путем деления площади
проходного сечения на смоченный периметр всех труб, ребер и кожуха
находят гидравлический радиус канала rh и эквивалентный диаметр
22—192 337

De=4:rh. Затем, используя полученные эквивалентный диаметр и
массовую скорость, по рис. 9.11 и 9.12 находят коэффициент теплоотдачи
и потери давления в межтрубном пространстве. Таким же методом
рассчитываются нагреватели, засасывающие жидкость из резервуара,
если в качестве греющей среды используется пар, так что
температурный напор определяется, как для противотока. Если теплоноситель
в трубах неизотермичен, температурный напор следует вычислять
методами, которые будут рассмотрены в гл. 10. Другие многопоточные
теплообменники с трубами, несущими продольные ребра, используются
для регенерации тепла каталитически очищаемых газов на
нефтеперерабатывающих заводах и для генерации пара в различных системах
утилизации отбросного тепла. Трубы с продольными ребрами широко
используются для изготовления погружных змеевиков и в конвективных
секциях некоторых типов печей.
Промышленностью выпускаются продольно оребренные трубы из
различных металлов, отличающиеся числом, высотой и толщиной ребер.
Чтобы записать данные для расчета многопоточных теплообменников
в форме, используемой для двухтрубных теплообменников с продольно
оребренными трубами, потребовалось бы составление громоздких
таблиц ограниченного применения. Поэтому метод расчета будет
продемонстрирован на примере специфического теплообменника, который
должен передать( заданный тепловой поток. В качестве теплоносителя,
движущегося в межтрубном пространстве, используется газ для того,
чтобы показать, что конвективный теплообмен для газов и жидкостей
рассчитывается аналогично. Газ нагревается в результате конденсации
насыщенного пара, движущегося по трубам. Коэффициент теплоотдачи
при конденсации превышает 8525 Вт/(м2-°С). Потери давления в потоке
пара, протекающего по трубам и нагревающего газы при низких
давлениях (за исключением водорода и гелия), обычно пренебрежимо малы
в связи с низкой удельной теплоемкостью газов и соответственно
небольших требуемых расходов пара для нагрева.
!Пример 9.6. Расчет многопоточного теплообменника «труба в трубе» с продольно
оребренными трубами: 18 180 кг/час E,05 кг/с) кислорода при избыточном давлении
24,0 кПа и температуре 27°С необходимо нагреть до 116°С, используя
конденсирующийся пар [ui = 8550 Вт/(м2-°С)] при избыточном давлении 124 кПа. Максимально
допустимая потеря давления для потока кислорода 3,45 кПа. Оба теплоносителя можно
считать чистыми и условные сопротивления загрязнения с обеих сторон следует
принять равным 8,80-Ю-5 м2-°С/Вт.
Имеется в распоряжении теплообменник, аналогичный показанному на рис. 9.20,
с кожухом внутренним диаметром 480 мм, с одним ходом в межтрубном пространстве
и 2 ходами в трубах. Он содержит 70 стальных труб, каждая из которых оребрена
20 ребрами высотой 12,7 мм и толщиной 0,89 мм. Наружный диаметр труб 25,4 мм,
внутренний 19,8 мм, трубы расположены по углам равностороннего треугольника с
шагом 50,8 мм. Может ли такой теплообменник удовлетворить условиям задачи?
Решение.
Межтрубное пространство:
?>i = 0,49m;
число ходов — 1.
Внутритрубное пространство:
число труб — 70;
длина L = 4,9 m;
ZH=0,0254 м;
^ = 0,0199;
число ребер — 20; высота 6=0,0127 м;
толщина 6 = 0,00089 м;
число ходов равно 2.
1. Тепловой баланс. При избыточном давлении 24 кПа A26,6 кПа абс.) пар
конденсируется при 124°С, имея скрытую теплоту парообразования Я=2190 кДж/кг;
338

удельная теплоемкость кислорода при давлении 125,6 кПа и температуре 7ГС равна
0,944 кДж/(кг^С).
Кислород: ^=5,05-0,944 A16—26) =429 кВт.
Пар: ?=0,196-2190=429 кВт.
2. Температурный напор.
A/2=7Wa=124—26=98;
По уравнению (9.19)
Af 1=Г2—'/i = 124—116 = 8;
№2—Ah = 98—8=90.
&*лпг —
а;2 — а^ в
90
:36вС.
лог_- ln(A*2/A^) In (98/8)
3. Средние калориметрические температуры теплоносителей.
Так как газы и пары обладают малой вязкостью, в качестве средней
калориметрической можно использовать среднеарифметическую температуру
^=26+0,5A16—26) =71°С.
Теплопередача
Горячий теплоноситель-
пар в трубах
Холодный теплоноситель—кислород в межтрубном пространстве
9. hi =
= 8525 Вт/(м2.°С)
4\ as = ~ @,49J — 70 Г^- @,0254J + 20X0,0127 ХМХ
ХЮ-*1 =0,137 м2
Смоченный периметр Р = к. 0,49 + 70 [к X 0,0254 + 20 X
X B-0,0127 — 8,9-10-*)] = 41,4 м
Эквивалентный диаметр De — 4as/P = 4-0,137/41,4 =
= 0,0133 м
5'. Массовая скорость Gs = w/as — 5,05/0,137 =
= 36,9 кг/(м2-с)
6'. При *С = 71#С р. = 2,27-Ю-5 кг/(м-с)
Число Рейнольдса Res = DeGs/\>. = 0,0133-36,9/2,27.10 ~5=
= 21600
V. По рис. 9.11 jff = 50
8'. При * = 71вС ? = 0,0265 Вт/(м-вС);
с = 944 ДжДкг^С);
/т\1/3 /944-2,27.10-5\ 1/3
k W ==0'0265 ( 070265 ) =0'0247 Вт/(м.*С)
9'. Для газов и паров Ф5= 1
0.0,-..
ЖШЗз- = 93Вт/(м2.^С)
. k /cp.y/3 50-0,0247
10. Так как газы и пары сравнительно невязки и <|a/jx/w приближается к единице,
нет необходимости определять температуру стенки //«,:
г, =-г- = опоН-= 1,17-Ю-* м2.°С/Вт.
г'' - ^ 8525
По уравнению (9.54)
г** ^ ri (d~) = 1'17*10, *>28 = 1»5,10~* м2.^С/Вт.
^. = 8,8.10-5 м2.вС/Вт.
По уравнению (9.55)
'/di,o = rdi \Wr)= 8,8.10-6.1,28=1,13-10-* м2.еС/Вт.
22*
339

По уравнению (9.5)
D0(Do-Dj)__ 0,0254@,0254-0,0199) in-* м> Т/ТЬ
rmoZ=km(DQ +Di)~~ 45.@,0254 + 0,0199) -b'^'lu м • и/Вт.
По уравнению (9.56)
2Я|,0=г«о+/-*<о+Гто= 1,5-10-^ м2.°С/Вт.
Отнесем 2#г, о к полной наружной поверхности ребер и труб:
s"/=20-2•0,0127=0,508 м2/м;
5,,о=я-0,0254—20.8,9.10-4=:0,0618 м2/м;
s"=0,508+0,0618=0,5698^0,57 м2/м;
J^B °'57 -9 12-
«D^ 3,14-0,0199 — У'1А
s" __ 0,57
яЯ0 3,14-0,0254 — 7»12-
По уравнению (9.57)
2К
. s„=s#.0 Г^~1 = 3,3.10-*.7,12 = 2,35.10-« м2.°С/Вт;
4 = 93 Вт/(м2.вС);
г0 = -^=^- = 1,075-Ю-2 м2.°С/Вт;
rrf0=8,8.10-4 м*-0С/Вт;
/•'0=/-0+rdo=l,075.10-2+i8,8.10-4=l,n3.10-2 м2.°С/Вт;
h,*=ih~ 1,1бз.ю-2 -86 Вт/(м2-°с)-
Теплопроводность стали &т = 45 Вт/(м-вС);
/2Л'Л1/2 Г 2-86 11/2
m = l^7y ""[45.8,9.10-*] =65>5 м_1»
ю&=65,5-0,0127=0,83.
Согласно табл. 2.1 т]=0,82.
По уравнению (9.40)
^srrf + sr\ _ 0,82.0,508 + 0,0618
Ъ> = s'f + s 0,508 + 0,0618 =°>84.
Clo уравнению (9.59)
r'on = ^кг = -8ТОГ= 1,385.10- м'.-С/Вт.
Согласно уравнению (9.61)
S# = ц- = r'07) + SR/e sff = 1,385-10~2 + 2,35-10"»= 1,62.10~2 м2.°С/Вт;
t//>=l,62110-2=s61>7 Bt/(m2.°C).
Необходимая поверхность теплообмена в соответствии с уравнением (9.7)
ставляет:
д __ 429 000
Sz==UDU = 61,7-36 = 193 м •
Действительная рабочая поверхность теплообменника
5=70.4,9.0,57=196 м2.
340

Таким образом, поверхность теплообменника достаточна для обеспечения
нормальной работы при заданных условиях.
Потери давления
Горячий теплоноситель — пар в трубах
Холодный теплоноситель—кислород в межтрубном
пространстве
1. APf пренебрежимо мало
Потери давления ниже предельно
допустимых, а поверхность
теплообмена больше расчетной;
теплообменник полностью удовлетворяет
всем требованиям и пригоден для
заданных условий работы
1'. Re's = 21 600
Согласно рис. 9.12
/=7,2.10-з;
Ф,= 1,0;
R = 8310/28 = 297 Дж/(кг-°С);
V 125,6-Ю3
: 1,225 кг/м3
АР
9~- RT — 297B73+71)
По уравнению (9.10)
fG2sLn 7,2.Ю-3-36,92-4,9-1
2рД,Ф5 — 2.1,225-0,0133.1
= 1470 Па =1,47 кПа
Трубы с внутренними турбулизаторами и ребрами
Часто требуется, чтобы по трубам теплообменника циркулировала
более вязкая из двух обменивающихся теплом жидкостей. Такая
необходимость возникает тогда, когда более вязкая жидкость является и
более агрессивной. В этом случае необходимо, чтобы трубы и
коллекторы были изготовлены из коррозионно-стойких металлов или сплавов,
которые значительно дороже обычных углеродистых сталей. При
циркуляции агрессивной жидкости в межтрубном пространстве требуется,
чтобы из коррозионно-стойкого материала были изготовлены не только
трубы, но и относительно дорогой кожух.
Простым средством' повышения низкого коэффициента теплоотдачи
в трубах является применение турбулизаторов. В качестве турбулизато-
ра можно использовать различные детали, вставляемые в трубу для
улучшения перемешивания в потоке, например плоскую ленту или
пружинящую проволоку, скрученную в виде спирали, насадки из тонкой
металлической проволоки. Турбулизаторами могут служить даже
заглушённая труба или стержень, вставленные концентрически в основную
трубу теплообменника. Такие детали, в особенности ленты, на
поверхность которых наносят гофры, рифления, жалюзийные выступы —
непрерывные или 'прерывистые, иногда называют промоторами
турбулентности.
Если плоскую ленту обоими краями прикрепить к внутренней
поверхности трубы, получается ребро, которое увеличивает полную
поверхность теплообмена. Если скрученная в виде спирали лента или
проволочная спираль плотно прикрепляются по внешнему диаметру к
внутренней поверхности трубы, получается турбулизующее ребро, которое
выполняет роль и турбулизатора и дополнительной поверхности
теплообмена. В других типах труб внутренние спиральные выступы или
осевые рифления выдавливаются как единое целое из самой стенки трубы.
Не существует общих соотношений для определения коэффициента
теплоотдачи или коэффициента трения для многих предложенных
геометрий турбулизаторов. Все существующие к настоящему времени
соотношения получены экспериментальным путем на ограниченном диапа-
341

зоне геометрий, для одного диаметра трубы или при движении в трубах
газообразного теплоносителя. Одной из областей, представляющих
большой интерес, является нагрев вязких жидкостей, например мазута,
перед их распылением в форсунке. Течение такой жидкости обычно
бывает ламинарным; при этом следует иметь в виду, что одно и то же
число Рейнольдса для течения в трубе данного диаметра может быть
получено двумя различными путями: путем циркуляции больших
массовых расходов вязкой жидкости или небольших массовых расходов
невязкой жидкости. Процессы в пограничном слое уменьшают
эффективность турбулизаторов в потоках вязкой жидкости. В любом случае
турбулизатор может оказывать влияние на поток во всей трубе только
при условии, если он располагается по всей ее длине. Турбулентность,
созданная лишь около входа в трубу ламинарного потока жидкости,
обычно тут же и подавляется. Применительно к потокам жидкостей
в трубах турбулизаторы употребляются главным образом для
повышения эффективности теплообмена или для улучшения характеристик
существующего теплообменника. Они не оказываются полезными при
попытках компенсировать недостатки расчета нового оборудования,
когда эффективность может быть повышена более простым и надежным
путем использования гладких труб в результате варьирования
скоростью жидкости и диаметром труб. Трубы, снабженные ребрами-турбули-
заторами, часто не поддаются механической чистке, поэтому они
применяются только для сравнительно чистых жидкостей. Вставляемые
в трубы турбулизаторы уменьшают свободное сечение для прохода
жидкости и увеличивают смоченный периметр, благодаря чему
эквивалентный диаметр оказывается малым. Это влечет за собой значительное
увеличение потерь давления при относительно небольшом выигрыше
в результате увеличения коэффициента теплоотдачи. К этим
повышенным эксплуатационным расходам следует прибавить стоимость турбу-
лизатора или ребра-турбулизатора и стоимость их установки.
Хилдинг и Кугэн [20] провели исследование 10 конфигураций
внутренних ребер, используя в качестве теплоносителя воздух, нагреваемый
в трубе внутренним диаметром 14 и длиной 457 мм. Они измерили
коэффициенты трения при изотермических условиях и при нагревании.
Опытов при охлаждении проведено не было. Так как теплопередача
измерялась только при одном теплоносителе — воздухе и при одном
диаметре трубы, полученное соотношение имеет ограниченный характер.
Выводы работы [20], однако, характерны для относительно невязких
жидкостей. Авторы пришли к следующим заключениям.
1. Для каждого типа оребрения наблюдалось увеличение
коэффициента трения с увеличением теплового потока по сравнению с неореб-
ренной трубой в том же случае. Увеличение было особенно заметно при
Re > 5000.
2. Для каждого типа оребрения наблюдалось уменьшение
/-фактора Колберна по сравнению с неоребренной трубой для Re>5000. В
переходной и ламинарной областях справедливо обратное, т. е. /-фактор
в некоторых случаях для оребренной трубы больше, чем для
неоребренной. Этот эффект для ламинарного течения был рассмотрен в гл. 1.
Существенно более высокие местные коэффициенты теплоотдачи
наблюдаются возле входа в трубу до того момента, пока пограничный
слой вновь не восстановится по всему сечению трубы. В результате
этого повышается также коэффициент трения.
3. Параметр, характеризующий эффективность турбулизатора,
определялся как отношение /-фактора к коэффициенту трения. При высоких
342

числах Рейнольдса особенно в области турбулентного течения при Re>
>8000, этот параметр для труб с турбулизаторами был на 30—40%
ниже, чем для гладких труб.
Интересные исследования механизма течения в трубах с турбули-
затором в виде скрученных лент были представлены Смитбергом и Лэн-
дисом [21] для воды и воздуха и Гэмбиллом и др. [22] для воды
в критической области. Черчилль и Эванс [23] изучали влияние на
теплоотдачу установленных поперек потока турбулизирующих вставок
различных форм; их результаты согласуются с наблюдениями Хилдинга и
Кугэна. Следовательно, в тех случаях, когда потери давления не
играют решающей роли, трубы с внутренним оребрением и
турбулизаторами могут обеспечить повышенную передачу тепла на единицу длины
трубы.
ЗАДАЧИ
9.1. 9100 кг/ч газолина плотностью 57°С API охлаждается от 66 до
54°С керосином плотностью 42° API, который при этом нагревается от
21 до 38°С (свойства жидкости см.в справочниках). Допускаются потери
давления 69 кПа, а фактор загрязнения с каждой стороны равен 3,5X
X Ю м2«°С/Вт. Используя теплообменник «труба в трубе»,
изображенный на рис. 9.9, из стальных труб, кожуха внутренним диаметром
78 мм и центральной трубы внутренним диаметром 40,8 мм с 24
стальными ребрами, определить, сколько двухходовых секций следует взять
для удовлетворения условий задачи? Как их следует расположить?
9.2. 4200 кг/ч газойля 'плотностью 28° API используется для
предварительного подогрева 5160 кг/ч бутана A10° API) при повышенном
давлении от 127 до 204°С. Допускаются потери давления потока
газойля 69 кПа, а в потоке бутана оно не должно превосходить 35 кПа.
Факторы загрязнения с каждой из сторон равны 3,5«10-4 м2в°С/Вт.
Определяющее термическое сопротивление теплоотдачи находится со стороны
потока газойля, движущегося в кольцевом пространстве. В
распоряжении имеются стандартные двухходовые секции «труба в трубе»
6-метровой длины. Центральная труба оребрена 24 стальными ребрами (см.
рис. 9.9,а). Сколько потребуется таких секций и как их следует
расположить?
9.3. 19 000 кг/ч газойля B8° API) необходимо нагреть от 38 до 93°С
с помощью пара давлением 1380 кПа, протекающего по оребренным
внутренним трубам двухтрубного теплообменника, показанного на
рис. 9.9 с 24 ребрами из адмиралтейского металла. Допустимые потери
давления для газойля 69 кПа, для пара 13,8 кПа. Фактор загрязнения
со стороны газойля допускается равным 3,5-Ю-4 м2-°С/Вт, а со стороны
пара 8,8«10~5 м2-°С/Вт. Сколько таких секций следует использовать и
как они должны быть расположены?
9.4. 13 600 кг/ч дистиллята C5° API) следует охладить от 135 до
80°С охлаждающей водой с температурой 30°С, движущейся со
скоростью не менее 1,8 м/с. Для каждого из потоков загрязняющие факторы
равны 3,5-Ю-4 м2*°С/Вт, а потери давления не должны превышать
69 кПа. Сколько двухходовых секций теплообменника (того же типа,
что и в предыдущих задачах) следует использовать и по какой схеме
они должны быть расположены?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 9
1. Sieder E. N., Tate G. E. Ind. Eng. Chem., 28, 1429—1436, 1936.
2. Kern D. Q., Othmer D. F. Trans. AIChE, 39, 517—555, 1943.
343

3. Hausen H. Z. VDI-Z Beit. Verfahrenstech., 4, 91—98, 1943.
4. Eagle A., Ferguson R. M. Proc. Roy. Soc. (London), A127, 540, 1930.
5. Kern D. K. Process Heat Transfer, p. 835, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1950.
6. Moody F. J. Trans. ASME, 66, 671.
7. Colburn A, P. Ind. Eng. Chem., 35, 873—877, 1933.
8. Standards of the Tubular Exchangers Manufacturers Association, New York, 1st
ed., 1941, 5th ed. rev., 1970.
9. Kern D. Q., Seaton R. E. Brit. Chem. Eng., 4 E), 258, 1959.
10. Kern D. Q., Seaton R. E. Chem. Eng. Progr., 55 F), 71, 1959.
11. Kern D. Q., Seaton R. E. Chem. Eng., 66, 126—128, 1959.
12. Kern D. Q., Natl. Petrol. Refiners Assoc, NPRA Computer Conf., Houston, Tech.
Paper 60—24, 1960.
13. Kern D. Q. Proc. Third Intern. Heat Transfer Conf., Chicago. 1, 170—178, 1966.
14. Kern D. Q. Chem. Eng. Progr, 62 G), 51—56, 1966.
15. Carrier AIR Conditioning Co. Handbook of Air Conditioning System Design,
p. 5—32, McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.
16. Guide and Data Book, American Society of Heating, Ventilating and Air
Conditioning Engineers/New York, 1967.
17. Kern D. Q. Process Heat Transfer, p. 524, McGraw-Hill Book Company, New
York, 1950.
18. De Lorenzo В., Anderson E. D. Trans. ASME, 67, 697, 1945.
19. Carrier W. H., Anderson S. W. Trans. ASME, 50, ASME, 50, 117.
20. Hilding W. E., Coogan С H. Symp. Air-cooled Heat Exchangers, ASME,
1964, p. 57.
21. Smithberg E., Landis F. J. Heat Transfer, 86, 39, 1964.
22. Gambill W. R., Bundy R. D., Wansbourgh R. W. Chem. Eng. Progr. Symp.,
Ser. 32, 57, 127, 1961.
23. Churchill S. W., Evans L. B. Chem. Eng. Progr. Symp., Ser. 41, 59, 36, 1963.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
КОЖУХОТРУБЧАТЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ ИЗ ТРУБ
С РАДИАЛЬНЫМИ НИЗКИМИ РЕБРАМИ
Введение
Кожухотрубчатые теплообменники отличаются во многих
отношениях от теплообменников «труба в трубе». Многопоточному
теплообменнику «труба в трубе» соответствует противоточный кожухотрубчатыи
теплообменник цилиндрической формы с неподвижной трубной
решеткой и температурным компенсатором на кожухе (рис. 10.1). Перечень
основных деталей приведен к подписи к рисунку. Так как трубы
теплообменника не имеют продольных ребер, увеличивающих их жесткость^
для устранения гармонических колебаний труб используются
промежуточные опоры в виде сегментовидных 'перегородок, уменьшающих
свободную длину трубы, увеличивающих частоты собственных колебаний
и уменьшающих их амплитуды.
Рис. 10.1. Противоточный кожухотрубчатыи теплообменник с неподвижными
трубными решетками.
/ — кожух с присоединительными патрубками; 2 — трубы; 3 — линзовый компенсатор; 4 — сегменто-
видные перегородки; 5 — фиксаторы перегородок и стяжные болты; 6 — трубные решетки; 7 —
трубные коллекторы с патрубками; 8 — крышки коллекторов.
344

Благодаря сегментовидным перегородкам, показанным на рис. 10.2,
жидкость в межтрубном пространстве движется не только вдоль, но
и поперек трубного пучка. Сегментовидные перегородки
характеризуются отношением высоты отсеченного сегмента, или выреза, к
внутреннему диаметру кожуха. Например, перегородкой с 20%-ным вырезом
называют такую, высота отсеченного сегмента у которой составляет 1/5
внутреннего диаметра кожуха.
Рис. 10.2. Сегментовидные перегородки.
/ — кожух; 2 -ч уплотняющие прокладки; 3 — сверления.
Уплотняющие полосы уменьшают поток жидкости между
периферийными трубами и кожухом, в обход поверхности трубного пучка.
Различные уравнения теплоотдачи при вынужденном поперечном и
продольном обтекании трубных пучков показывают, как и в случае
течения в трубах, что с увеличением скорости коэффициент теплоотдачи
увеличивается, хотя и в меньшей степени. Изменение расстояния между
соседними перегородками, называемого шагом перегородок, и их более
частое расположение, чем это требуется для подавления вибрации труб,
позволяет изменять скорость жидкости в межтрубном пространстве.
Рис. 10.3. Кожухотрубчатый теплообменник с неподвижными трубными
решетками и двумя трубными ходами.
Часто соотношение количества горячего и холодного теплоносителей
таково, что при любой скорости, поддерживаемой в межтрубном
пространстве для одного теплоносителя, скорость другого теплоносителя
в трубах (см. рис. 10.1) оказывается недопустимо низкой. Скорость
течения через данное число одинаковых труб можно удвоить, как это
показано на рис. 10.3, разделив один из коллекторов пополам и
пропуская всю жидкость через половину труб в одном направлении и через
другую половину — в обратном (двухходовая схема). Подобным же
образом, разделив перегородками оба коллектора, можно добиться,
чтобы вся жидкость протекала через одну четвертую, одну шестую, одну
восьмую и т. д. общего числа труб (четырех-, шести-, восьмиходовые
345

теплообменники соответственно). Путем
изменения расстояния между перегородками со
стороны кожуха и числа ходов с трубной
стороны достигается большая гибкость в
характеристиках кожухотрубчатых аппаратов.
Кроме того, трубы вставляют в отверстия в
трубной решетке, снабженные кольцевыми
канавками, и развальцовывают с помощью
конической вращающейся вальцовки, в результате
чего получается исключительно прочное и
герметическое соединение, показанное на рис. 10.4.
Соединение может, сохраняя герметичность,
противостоять действию значительных
напряжений, вызываемых разностью термических
расширений труб и кожуха.
Если в месте соединения трубы с трубной
решеткой или в трубе образуется течь, труба обычно может быть легко
перевальцована, заглушена или без особых трудностей заменена.
Часто бывает желательным ослабить напряжения, возникающие
в результате различных термических расширений, и в то же время
Рис. 10.4. Гладкая труба,
завальцованная в трубную
решетку.
I — трубная решетка; 2 — стенка
трубы; 3 — кольцевые канавки.
Рис. 10.5. Теплообменник с плавающей головкой.
Рис. 10.6. Кожухотрубчатый теплообменник с U-образными трубами.
обеспечить возможность механической чистки наружной поверхности
труб с помощью щеток, пескоструйной или водоструйной. Эти операции
легко осуществить на теплообменнике с плавающей головкой,
показанном на рис. 10.5, у которого весь трубный пучок может быть вынут из
кожуха. Другой конструкцией, удовлетворяющей таким же требованиям,
является теплообменник с U-образными трубами, показанный на
рис. 10.6, к этой же категории относятся аппараты с продольно ореб-
ренными трубами, показанные на рис. 9.19 и 9.20.
Трубы и их расположение в трубчатых теплообменниках
Эволюция кожухотрубчатого теплообменника и вальцовочного
соединения труб с трубной решеткой требовала более строгих допусков
346

и повышения чистоты обработки наружной и внутренней поверхностей
труб по сравнению с трубами, соединяемыми с решетками на резьбе.
Это привело к необходимости производства нормального ряда
специальных гладких труб, обычно называемых трубами для теплообменников
или конденсаторов. Такие трубы отличаются от обычных повышенной
точностью размеров. Номинальный наружный диаметр трубы — это ее
действительный диаметр с отклонениями в пределах ±0,08 мм.
Толщина стенки задается калибром на проволоку и тонколистовой металл.
Гладкие трубы указанного назначения выпускаются в широком
диапазоне размеров с наружными диаметрами от 6,35 до 50,8 мм (от 1/4 до
2 дюймов), а из широко распространенных металлов даже еще больших
диаметров.
Рис. 10.7. Наиболее распространенные схемы размещения труб в трубном пучке
теплообменника.
а — по углам квадрата; б —по углам повернутого квадрата; в —по углам равностороннего
треугольника; г — по углам треугольника с потоком, параллельным его основанию; д — по углам
треугольника с потоком, параллельным его высоте; показаны направления чистки.
Цветные металлы нашли широкое применение во многих областях,
где необходимо противостоять коррозионному действию охлаждающей
воды. Их начали применять в судовых двигателях, охлаждаемых
морской водой, а затем распространили и на стационарные энергетические
установки. В настоящее время применяются различные методы
предварительной обработки и контроля охлаждающей воды,
предотвращающие коррозию и загрязнение поверхностей теплообмена.
В кожухотрубчатых теплообменниках чаще всего используются
бесшовные или сварные гладкие трубы с наружным диаметром 15,9; 19,0;
22,2 и 25,4 мм. Существуют стандарты ASTM на трубы, охватывающие
большую часть выпускаемой продукции. Во всех теплообменниках, за
исключением теплообменников с U-образными трубами, длина труб
равна 4,9—7,2 м. Трубы, предназначенные для теплообменников с
U-образными трубами, примерно в два раза длиннее труб других типов
теплообменников с выемными трубными пучками, хотя средняя длина
каждой ветви U-образной петли плюс половина поворотного колена
сравнимы с длинами труб, используемых в теплообменниках с плавающей
головкой. При использовании некоторых менее употребительных
металлов и сплавов предельно допустимая длина труб для теплообменников
с U-образными трубами составляет 13,7—15,2 м. Применение труб
большей длины из таких металлов может создать трудности при их
механической и термической обработке и транспортировке. Современный
процесс производства труб для теплообменников представляет, как
правило, комплекс высокоскоростных высокопроизводительных операций,
обеспечивающих получение труб приемлемой стоимости с
необходимыми допусками.
Расположение труб в теплообменнике вместе с трубными
решетками и перегородками показано на рис. 10.7. Трубы размещают по углам
квадрата, по углам повернутого квадрата или по углам прямоугольни-
347

ка. Все эти способы обеспечивают возможность наружной
механической чистки труб, если это необходимо. Трубы могут быть расположены
также по углам равностороннего треугольника (рис. 10.7,в и г). При
этом возможны два направления потока: вдоль высоты треугольника
и параллельно его основанию; последний случай менее распространен.
Первый же вариант используется для обеспечения удобного доступа при
механической чистке, хотя обычно для этих целей применяют пучки
с расположением труб по углам квадрата и прямоугольника.
Употребляются также другие схемы размещения труб (например, по углам
треугольников с углом при вершине 45° или по углам ромбов).
Благодаря различному расположению труб имеется возможность
в определенных пределах выбирать соотношения между коэффициентом
теплоотдачи и допустимыми потерями давления в межтрубном
пространстве. В некоторых случаях, например при работе с несжимаемыми
жидкостями при высоких давлениях, желательно поместить как можно
большую поверхность в кожух заданных размеров, тогда как потери
давления не имеют большого значения. В случае сжимаемых жидкостей,,
таких, как газы при умеренных давлениях, справедливо как раз
обратное. В большинстве теплообменников используется размещение труб по
углам квадрата, равностороннего треугольника с потоком,
направленным вдоль его высоты. При рассверливании трубных решеток для
свободного выхода оправки необходимо, чтобы расстояние между
центрами соседних отверстий по крайней мере в 1,25 раза превышало
наружный диаметр трубы. Это расстояние называется шагом труб. Размеры
входного патрубка соответствуют площади свободного сечения между
пучком и кожухом в двух направлениях, равной половине площади
поперечного сечения указанных патрубков.
Трубы с радиальными низкими ребрами. Средневзвешенная
эффективность
На рис. 10.8 показан образец трубы с радиальными низкими
ребрами, получивший наибольшее распространение. Создание и
совершенствование таких труб было обусловлено потребностями холодильной
техники, где они широко применяются в водоохлаждаемых
конденсаторах компрессорных холодильных установок. Часто ребра
изготавливают не радиальными, а спиральными, причем в зависимости от
металла и изготовителя спирали делают двух- или трехзаходными. Трубы
с низкими ребрами изготавливают посредством накатки
(выдавливания) из толстостенных труб-заготовок. При накатке с помощью трех
групп дисков образуются ребра как одно целое с основной трубой за
счет изменения внутреннего диаметра трубы, тогда как наружный
диаметр почти не изменяется. Таким образом исключаются термическое
сопротивление между ребрами и основной трубой и потери металла.
Наружный диаметр ребер примерно на 0,025 мм меньше
наружного диаметра труб^ из которых они выдавлены. Поэтому трубы с
низкими ребрами взаимозаменяемы с гладкими трубами и могут быть
использованы в кожухотрубчатых теплообменниках вместо
гладких труб.
Наиболее распространенные трубы имеют 748 ребер на погонный
метр и площадь наружной поверхности в 2,5 раза большую, чем у
гладких труб при том же наружном диаметре. В зависимости от
выбранного металла или сплава стоимость погонного метра оребренной трубы
48

в среднем в 1,25—1,5 раза выше стоимости погонного метра гладкой-
трубы. Трубы из некоторых металлов повышенной твердости, например
стальные, имеют 630 ребер на погонный метр при несколько меньшей
однородности ребер по высоте и толщине. Поверхность одного
погонного метра таких труб на 11,5% меньше поверхности труб с 748
ребрами на 1 м длины. Участки труб с низкими ребрами, которые
располагаются в отверстиях перегородок, могут быть оставлены неоребрен-
ными.
^L
Am
¦¦¦И!
iiiiiiiii
illliiill
ЖШШЖШ&
™к<*ж'к11шШ1111111
^жшштшштшшшш.
5)
Рис. 10.8.
a — труба с низкими радиальными ребрами и неоребренным
концом, подготовленным для ввальцовки в трубную решетку
Ребра получены путем выдавливания из стенки неоребренной
трубы без потерь металла. 748 ребер на 1 м длины трубы
высотой 1.6 мм накатаны в виде двухзаходной спирали; б —
наружный диаметр ребра на 0,025 мм меньше наружного диаметра
неоребренной трубы. Стенка основной трубы под ребрами
приблизительно на 0,4 мм тоньше, чем у неоребренной трубы.
Самыми ходовыми являются низкоребристые трубы с 748 ребрами;
на 1 м длины высотой 1,6 мм. Знакомясь с каталогами на
низкоребристые трубы, можно заметить, что размеры и число ребер выбираются
в результате компромисса между стремлением иметь максимальную,
площадь поверхности теплообмена и технологическими возможностями
процесса накатки без чрезмерного наклепа. Наклеп приводит к
повышенному износу инструмента и повреждению оребрения, что
необходимо учитывать при определении стоимости готовых труб,
удовлетворяющих техническим требованиям. Конечно, современные
технологические возможности позволяют изготовить высококачественные медные
трубы с 1000 ребрами на 1 м длины и выше. Однако при массовом
производстве изготовление таких труб обходится значительно дороже,,
чем труб с 748 ребрами на 1 м длины, поскольку требует
дополнительных операций (в частности, большего числа вращений трубы).
Размеры выпускаемых труб с 630 и 748 ребрами на 1 м длины приведены
в промышленных каталогах. Номинальный наружный диаметр труб
349*

с низкими ребрами соответствует начальному диаметру гладкой трубы,
из которой были образованы ребра. Труба, несущая ребра, называется
основной трубой. Толщина ее стенки на 0,7 мм меньше, чем у гладкой
трубы до накатки ребер. Так как при накатке ребер внутренний
диаметр трубы уменьшается, окончательный диаметр несущей трубы по
основаниям ребер на 2-1,6=3,2 мм меньше, чем наружный диаметр
гладкой трубы. Следовательно, внутренний диаметр оребренной трубы
на 3,2—2-0,7=1,8 мм меньше, чем внутренний диаметр гладкой трубы,
из которой она образована. Из полной наружной поверхности труб
с 630 и 748 низкими радиальными ребрами на 1 м длины 80%
составляет поверхность ребер и 20%—поверхность основной трубы, как и
у 38-миллиметровой трубы с 24 продольными ребрами высотой 12,7 мм.
^(^о+^7х5;68Вт/(м2. С)
Рис. 10.9.
Средневзвешенные эффективности оребренных труб с 748 радиальными низкими ребрами на
1 метр длины (высотой 1,6 мм).
1 — медь; 2 — алюминий; 5-—желтая латунь; 4 — адмиралтейский сплав; 5 — дуралюмин; 6 —
нержавеющая сталь; 7 — стальная труба, ребра из сплава 70% Си — 30% Ni; 8 — стальная труба,
ребра из сплава 90% Си — 10% Ni; 9 — никель.
На рис. 10.9 представлены средневзвешенные эффективности труб
с радиальными низкими ребрами, изготовленными из различных
металлов. Сравнение графика на рис. 10.9 с соответствующей
эффективностью продольно оребренных труб теплообменника «труба в трубе»,
приведенной на рис. 9.10, дает возможность определить области их
применения. Эффективность трубы с высокими продольными ребрами,
изготовленной даже из адмиралтейского сплава [&=110 Вт/(м-°С)],
составляет 90% при коэффициентах теплоотдачи выше 2850 Вт/(м2-°С).
Алюминиевая труба имеет такую же эффективность при коэффициенте
теплоотдачи 5100 Вт/(м2-°С), а медная —при 10 800 Вт/(м2-°С). Таким
образом, трубы с радиальными низкими ребрами, хотя и не имеют
столь развитой поверхности, как трубы с высокими продольными
ребрами, в диапазоне коэффициентов теплоотдачи от 1140 до 5700Вт/(м2Х
Х°С) безусловно выгоднее. Интересно сопоставить эти значения со
140—285 Вт/(м2-°С) —коэффициентами теплоотдачи, характерными
для теплообменника «труба в трубе» с продольно оребренной
внутренней трубой с ребрами высотой 12,7 мм и более.
350

Коэффициенты теплоотдачи в межтрубном пространстве
теплообменника при вынужденном обтекании труб с радиальными
низкими ребрами
Предварительное соотношение, полученное в процессе
осуществления обширной программы совместных исследований ASME и
Делаварского университета по теплообменным аппаратам, опубликовано Бел-
лом в 1960 г. [1]. Затем в 1963 г. были опубликованы окончательные
результаты работы Делаварского университета [2]. Хотя
экспериментальные исследования проводились с гладкими трубами и на
теплообменниках небольших размеров или только на отдельных узлах
теплообменников, это был несомненно наиболее продуманный и наилучшим
образом выполненный экспериментальный анализ вынужденной
конвекции в межтрубном пространстве. После небольших количественных
изменений [3, 4] он был непосредственно применен к теплообменникам
больших размеров.
Как и в более ранних соотношениях Тинкера [5, 6], в работах
Делаварского университета делается попытка оценить раздельно роль той
или иной характеристики межтрубного пространства, в частности
расстояния между перегородками, вырезов в перегородках, поперечного
течения в пучке, течения через окна в сегментных перегородках,
обводного течения между пучком и кожухом, утечек в зазорах между трубой
и стенкой отверстия в перегородке и числа уплотняющих элементов
(полос).
Окончательные графики и уравнения содержат много переменных,
которые в ранних соотношениях [7—9] из-за недостатка надежных
данных были объединены.
Соотношение Белла можно использовать для поверочного расчета
теплообменника как на ЭВМ, так и вручную. Однако из-за того, что
дополнительные переменные необходимо вычислять методом
последовательных приближений, процедура расчета является довольно
громоздкой для вычислений вручную за исключением тех случаев, когда
расчет ведется с помощью графиков.
Ниже рассмотрен метод вычисления коэффициентов теплоотдачи
при вынужденном поперечном обтекании труб, оребренных низкими
ребрами F30 и 748 ребер на 1 м длины), и гладких труб. Он содержит
ряд дополнений к процедуре Делаварского университета, сокращающих
время вычислений. Принято во внимание, что метод Делаварского
университета основан на ограниченном количестве опытных данных, тогда
как желательно иметь одно соотношение для расчета коэффициентов
теплоотдачи при вынужденном обтекании как низкоребристых, так и
гладких труб, которые обычно отличаются не больше чем на 25%.
Действительно, дешевле сразу же обеспечить достаточную площадь
поверхности теплообмена, чем компенсировать потом ее нехватку.
Соотношение Делаварского университета можно применять для
расчета теплообменников самых различных размеров. Однако большое
количество гладких и низкоребристых труб используется в
теплообменниках, изготовленных в соответствии со стандартами ТЕМА [10]
(класс R). Приведенные ниже кривые теплоотдачи основаны на
данных Делаварского университета, а зазоры между трубами и
отверстиями в перегородках и между перегородками и кожухом выбирались
исключительно по стандартам ТЕМА.
Аналогично минимальный шаг перегородок принят равным одной
пятой внутреннего диаметра кожуха @,2ds), а максимальный шаг —
351

равным ds. Согласно стандартам ТЕМА максимальные шаги
перегородок для труб наружным диаметром 19 мм из металлов с высокими и
низкими модулями упругости равны соответственно 762 и 660 мм. При
внутреннем диаметре кожуха, большем 762 и 660 мм, эти ограничения
следует выдерживать. Для труб наружным диаметром 25,4 мм
соответствующие максимальные шаги перегородок равны 940 и 810 мм.
Принято также, что на каждые 10 рядов труб используется одна
уплотняющая полоса.
Что касается выреза в перегородках, то наибольший интерес
представляют работы Лориша [11—13] по оптимизации этого параметра
на базе соотношения Делаварского университета. Лориш рассмотрел
теплообменники с вырезами в сегментовидных перегородках,
эквивалентными 10, 15, 20, 30 и 40% внутреннего диаметра кожуха при тече-
Рис. 10.10. /jf-фактор теплоотдачи для трубных пучков в межтрубном пространстве
теплообменников. (Одна уплотнительная полоса на 10 рядов труб. Зазоры между
пучком и кожухом — в соответствии со стандартами ТЕМА.)
нии различных газов, масла и воды в пучках с уплотняющими
полосами и без них, и показал, что максимальный коэффициент теплоотдачи
та единицу падения давления соответствует 20%-ному вырезу в
перегородках. Такой вырез он и рекомендовал применять во всех
теплообменниках. Лориш отметил также, что в работе [14] на основе более
ранних соотношений для теплоотдачи и гидравлического сопротивления
в пучках теплообменников оптимальным считался 25%-ный вырез в
перегородке.
На рис. 10.10 приведена зависимость /я-фактора теплоотдачи от
числа Рейнольдса для теплообменников с внутренним диаметром
кожуха 200 мм и более. В число Рейнольдса в соотношении Делаварского
университета входит массовая скорость, представляющая собой
среднее геометрическое из массовых скоростей поперечного обтекания труб
в центре кожуха и течения в окнах сегментных перегородок. Коэффи-
.352

циент теплоотдачи 1ц в межтрубном пространстве, как и в трубе,
может быть найден по ординате ]н с помощью соотношения
з / п. \°'14
*=/*?(т)8(?)
(ЮЛ)
Теперь следует обсудить вопрос об эквивалентном диаметре
кожуха De. Параметром для расчетных кривых является расстояние между
перегородками, или их шаг, выраженный в долях диаметра кожуха;
при этом принимают, что все перегородки имеют 20%-ные сегментные
вырезы. На основе этих данных было найдено соотношение между
скоростью потока, поперечно обтекающего трубный пучок, и скоростью
продольного течения через окна перегородок. По этому соотношению и
вычисленному значению массовой скорости поперечного течения легко
рассчитать среднегеометрическое из этой скорости и массовой скорости
потока в окнах перегородок.
Уже отмечалось, что экспериментальная работа Делаварского
университета проводилась на гладких трубах, однако совершенно
правомерно использовать рис.
10.10 и для труб с низкими
ребрами, основываясь на
наблюдении [15], что для
гладких или оребренных
труб с низкими ребрами
равные числа Рейнольдса дают
почти равные /я-факторы.
Из этого однако не следует,
что равные числа
Рейнольдса обеспечивают равные
коэффициенты теплоотдачи,
так как при одинаковых
номинальном диаметре и шаге
труб существует разница в
вычислении входящих в
число Рейнольдса определяющего размера De и массовой скорости Gc.
В качестве определяющего размера в выражениях для числа
Рейнольдса используется объемный эквивалентный диаметр de.
Объемный эквивалентный диаметр — это мера плотности, с которой
расположены трубы в пучке. Для гладких труб он вычисляется на основе
номинального наружного диаметра трубы. Для труб с низкими ребрами
значение d'e находится по таблицам, его можно определить так же, как
наружный диаметр основной трубы, несущей оребрение, плюс
приращение диаметра, которое произошло бы, если бы на поверхность основной
трубы был одет кольцевой цилиндр, объем которого эквивалентен
объему металла ребер. Пользуясь рис. 10.11, вычисляем объемный
эквивалентный диаметр de как учетверенный гидравлический радиус, а именно
Рис. 10.11. Эквивалентный диаметр при
различном расположении труб в пучке.
а — квадратное расположение; б — треугольное располо-
- свободная поверхностьХ4
е смоченный периметр
A0.2)
В случае квадратного и повернутого квадратного расположения
труб
где Рт — шаг труб.
23—192
4(Яу^-м*е*/4)
nD'
A0.3)
353

Для треугольного расположения труб
4
-2-Рг@,86Рг)--2-™С2/4
"Г"*''
A0.4)
Для гладких труб в качестве d'e используется номинальный
наружный диаметр трубы.
При размещении труб по углам квадрата и при квадратном
расположении объемный эквивалентный диаметр один и тот же. Едва
различимая разница появляется для течения в межтрубном пространстве
с перегородками при наличии различных утечек или при увеличении
числа поперечно обтекаемых трубных рядов. Поворот пучка труб по
отношению к потоку приводит к уменьшению числа поперечно
обтекаемых рядов и в то же время к некоторому повышению степени
турбулентности на ряд. Кривые на рис. 10.10 предназначены для обоих
типов квадратного расположения труб.
Для вычисления массовой скорости поперечного потока в
межтрубном пространстве за ширину площади поперечного сечения на рис. 10.10
принимается сумма зазоров между трубами для гипотетического
трубного ряда, обладающего максимальным свободным сечением с
диаметром, нормальным потоку. Длина площади поперечного сечения равна
расстоянию между перегородками В. В большинстве типов компоновок
пучков в действительности может и не быть ряда труб в центре кожуха,
но этим в, обобщенном соотношении пренебрегают; таким образом,
площадь поперечного сечения ас для кожухотрубчатого теплообменника
равна:
ае = Щ1, A0.5)
где Рт — шаг труб, мм; С"— расстояние между трубами с низкими
ребрами, мм; В — шаг перегородок, мм; ds — внутренний диаметр
кожуха, мм.
При использовании формулы 10.5 совместно с рис. 10.10 в значение
ас не следует вводить поправку на наличие обводного течения между
наружными трубами, ограничивающими пучок, и внутренней стенкой
кожуха, поскольку такая поправка в рис. 10.10 уже была внесена.
Вероятно простейший метод сравнения теплообменников с
гладкими и с низкоребристыми трубами может основываться на анализе их
работы при равных массовых скоростях поперечного потока, хотя
возникающие при этом потери давления близки, но неодинаковы.
Предположим, что массовая скорость со стороны кожуха для обоих типов
теплообменников равна 339 кг/(м2-с) и что в обоих использованы трубы
наружным диаметром 19 мм, расположенные по углам квадрата при
шаге 25,4 мм. Физические свойства теплоносителя (углеводорода)
определяются комплексом k (c\ifk) 3 = 0,26 Вт/ (м-°С) и вязкостью \х=
=4,96-Ю-4 кг/(м-с).
Положим, что в обоих теплообменниках перегородки имеют
20%-ные вырезы, а их шаг равен ds. Для теплообменника с гладкими
трубами коэффициент теплоотдачи в межтрубном пространстве,
отнесенный к наружной поверхности трубы, составляет 700 Вт(м2*°С).
Коэффициент теплоотдачи в межтрубном пространстве
теплообменника из труб с низкими ребрами, отнесенный к полной наружной
354

поверхности, состоящей из поверхностей ребер и основной трубы, равен
636 Вт/(м2-°С). При конструировании теплообменников, рассчитанных
на, одинаковые массовые скорости, можно ожидать, что разница в
значениях коэффициентов теплоотдачи в межтрубном пространстве для
труб с низкими ребрами и для гладких труб составит примерно 10 А.
Однако для того чтобы оценить истинное влияние оребрения на
тепловую нагрузку поверхности в межтрубном пространстве, нужно сравнить
число погонных метров труб обоих типов, имеющих требуемую
наружную поверхность, поскольку именно число погонных метров является
ориентировочным указателем стоимости. Например, трубы с низкими
ребрами в зависимости от металла стоят в 1,25—1,5 раза дороже
соответствующих гладких труб.
%00
и,У0
0?80
110
7*
LLP
<пт
г
Ilk
2
)' nIIII
J
JL
i
1 \
Vf'o + T'4o
101 W2 10s
*5,68Вт/(м2-°С)
10*
Рис. 10.12. Средневзвешенная эффективность оребрен-
ных труб с 433 низкими ребрами на 1 м длины трубы.
1 - 433 ребра из сплава 90% Си - 10% Ni; 2 - 433 медных ребра.
Таким образом, для рассматриваемой гладкой трубы наружным
диаметром 19,05 мм площадь наружной поверхности на единицу длины
составляет яД>=3,14-19,05- 1(Н=0,06 м2/м; при коэффициенте
теплоотдачи 700 Вт/(м2-°С) коэффициент теплоотдачи, отнесенный к единице
длины трубы, составляет 0,06-700=42 Вт/(м-°С).
Соответственно полная наружная поверхность трубы с низкими
ребрами наружным диаметром 19,05 мм равна 0,15 м2/пог. м. При
коэффициенте теплоотдачи, равном 636 Вт/(м*.°С), коэффициент
теплоотдачи, отнесенный к единице длины трубы, составляет 0,15-bdb—
=95,5 Вт/(м-°С). Хотя коэффициент теплоотдачи в межтрубном
пространстве, отнесенный к наружной поверхности, для труб с низкими
ребрами был приблизительно на 10% ниже, чем для гладких труб,
соответствующий коэффициент теплоотдачи, отнесенный к единице длины
сребренной трубы, более чем в 2 раза выше, чем у гладкой. Было
принято, что эффективность ребра близка к 100%.
На рис 10.10 при Res=500 проведена вертикальная линия,
обозначающая «предел низких ребер» (см. подраздел «Температура стенки
трубы с низкими радиальными ребрами»). Для применения в кожухо-
трубчатых теплообменниках при высоких коэффициентах теплоотдачи
в межтрубном пространстве разработана конструкция труб с низкими
ребрами, имеющими 638 ребер на 1 м длины и 748 ребер на 1 м длины.
23* 355

Для тех случаев когда коэффициент теплоотдачи в межтрубном
пространстве относительно низок, как например, в промежуточных
холодильниках воздушных и газовых компрессоров,
охладителях-конденсаторах, осушителях, используются трубы с низкими ребрами, имеющие
433 ребра 1 м длины. Высота ребер равна примерно 3,2 мм, а не 1,6 мм.
Стоимость единицы площади полной поверхности трубы с 433 ребрами
на 1 м длины значительно ниже, и при более низком коэффициенте
теплоотдачи эффективность оребренной поверхности все еще остается
высокой (обычно выше 90%), как это показано на рис. 10.12.
Поскольку ребра не выступают за пределы наружного диаметра гладких труб,
из которых они были сформированы, концы труб легко входят в
отверстия трубных решеток кожухотрубчатых теплообменников и готовы
к завальцовке. Чаще всего такие трубы изготавливаются из меди или
медно-никелевого сплава, состоящего из 90% меди и 10% никеля; они
широко применяются в газо- и воздухоохладителях, в которых по
трубам циркулирует обычная вода. Расчет таких труб производится теми
же методами, что и труб, имеющих 630 и 748 ребер на 1 м длины.
Гидравлическое сопротивление в межтрубном пространстве
теплообменника при вынужденном обтекании труб с радиальными
низкими ребрами
В работе Делаварского университета получены также весьма
полезные результаты для анализа и расчета потерь давления в
межтрубном пространстве теплообменников. Ранее использовавшиеся
соотношения давали обычно завышенные значения потерь давления (в пять
или даже десять раз).
Применение таких, соотношений нецелесообразно из следующих
соображений. Во-первых, при заданном допустимом перепаде давлений
невозможно обеспечить максимально возможные коэффициенты
теплоотдачи, а следовательно, и максимальную тепловую нагрузку
теплообменника. Во-вторых, невозможно правильно оптимизировать размеры
теплообменника (т. е. выбрать размеры, соответствующие минимуму
затрат), поскольку для этого необходимо располагать надежными
значениями мощности, затрачиваемой на прокачку теплоносителя.
В работе Делаварского университета раздельно учитывался вклад
в гидравлическое сопротивление потерь при поперечном обтекании
трубного пучка вследствие утечек через концевые перегородки, при течении
через окна перегородок, вследствие утечек через щели между трубами
и стенками отверстий в перегородках, через зазоры между трубным
пучком и кожухом, между перегородками и кожухом, при внезапных
расширениях и сужениях потока, а также концевых потерь. Поскольку
в работе Делаварского университета сравнивались теплообменники,
в которых можно было исключить различные утечки в перегородках,
были получены сравнительные данные по гидравлическому
сопротивлению чистых и загрязненных аппаратов.
Представленное на рис. 10.13 соотношение для потерь давления
основывается на данных для чистого теплообменника, когда в зазорах
между трубами и отверстиями в перегородках, а также между
кожухом и перегородками отсутствуют загрязняющие отложения. Большая
часть опытных данных получена для чистых теплообменников. При
загрязнениях потери давления несколько возрастают, хотя точно
неизвестно, насколько велико будет загрязнение к тому моменту, когда
тепловая нагрузка теплообменника упадет до своего минимально допус-
356

тимого уровня. Поправки, учитывающие влияние загрязнения на потери
давления, могут быть вычислены с помошью методов, изложенных
в Бюллетеле № 5 Делаварского университета. Однако при построении
рис. 10.13 были введены коэффициенты, которые ограничивают
возможные отклонения.
Параметром графиков на рис. 10.13 служит шаг перегородок,
выраженный в долях диаметра кожуха. Следует отметить, что параметр
изменяется также с изменением внутреннего диаметра кожуха,
отражая таким образом разницу в осевых утечках теплообменников с
различным числом труб.
10
')//*/
1
10
100
4V
*
Lz
!
I
Ггг
ш
Ml4
B=ds\
^jofc-
wb
_LLl
?jfp-^
= 0,2 ds
205mm
387 '
s-590Mt
inn _
e=-
-^
/
/
/
*6c
L—
\A
Ш
/IT]
JJbWLi
L_L±L
fffNf&ft
1 ITT
1 cIs=2G5mm\ I 1
LI 387 |-||
1Ш 59
Ш'Т'-». -
ITrf "—»
Г ГГ1 "~a* "•,
N
iui_
У
Й6
ЕНЭ
"j"H vLf
! nl
1 111
W67
f 4Л2 *"''"••
п4Р-Г
ми
i—1-Й-1
1
""¦*¦ !
л *Pu
33p
itr
1IJ i
|
ч tr
Irti
mi ми!
101
10z
706
10*
io5
*o6
Рис. 10.13. Коэффициенты трения в межтрубном пространстве для пучков с
перегородками, имеющими 20%-ные сегментные вырезы и одну уплотняющую полосу на
10 рядов труб.
При построении рис. 10.13 введена постоянная поправка,
учитывающая потери давления на входе и выходе и вследствие утечек в
перегородках. Уравнение для потерь давления нагреваемой или
охлаждаемой жидкости, включая потери на входе и выходе имеет вид:
fG\Ds(hb+\)
АР,
2рО,Ф5
A0.6)
где ht — число перегородок; кь + 1 — количество раз, которое поток
пересекает трубный пучок; / — коэффициент трения. При использовании
соответствующего эквивалентного диаметра De рис. 10.13 можно
применять для расчета гидравлического сопротивления при обтекании как
гладких, так и низкоребристых труб.
Действительная разность температур в теплообменнике 1—2. В ко-
жухотрубчатых теплообменниках с любой схемой течения, имеющих
один ход в межтрубном пространстве и четное число (два или более)
трубных ходов, температурный напор отличается как от
температурного напора при чистом противотоке (рис. 9.6), так и от
температурного напора при последовательно-параллельной схеме соединения чисто
противоточных теплообменников (рис. 9.16). Видно, однако, что для
каждой пары трубных ходов движение теплоносителя в одном ходе
параллельно, а в другом противоположно направлению течения жидкости
в межтрубном пространстве.
357

Рис. 10.14. Профили температур в теп
лообменнике 1—B.
Типичный график зависимости изменения температуры по длине
теплообменника, имеющего один ход в межтрубном пространстве и два
трубных хода, показан на рис. 10.14; на рисунке показано также рас-
\t T положение входных и выходных па-
rtf ТТГ L^-t^rttjr трубков для труб и межтрубного
f Hr ' \ А 1ч пространства. Относительно потока
жидкости в межтрубном
пространстве один трубный ход является
противоточным, а другой прямоточ-
*1 Д Г*~ оГГТ~Т ~~~1 | Г1^ ны!м. Как было показано в примере
¦^s-o —^ Н~- "^"S-s g ^ наибольш1ИЙ температурный
напор имеет место в противоточном и
наименьший — в прямоточном
теплообменниках. Теплообменник типа
1—2 представляет собой
комбинацию обоих, поэтому необходимо
получить новое уравнение для
расчета эффективной или
действительной разности температур At (вместо
А^лог для противотока).
Рассматриваемый здесь метод, являющийся
модификацией решения Ундервуда
[16], приводится в окончательной
форме, предложенной Нейглом [17]
и Боумэном, Мюллерам и
Нейглом [18]. По мере движения теплоносителя в межтрубном пространстве
от входа к выходу он несколько раз пересекает трубный лучок и
претерпевает одно из двух возможных изменений: 1) жидкость столь сильно
турбулизована, что она полностью перемешивается в любом сечении на
расстоянии X от входного патрубка, 2) турбулизация потока так мала,
что температура теплоносителя в межтрубном пространстве не
выравнивается по поперечному сечению теплообменника, т. е. она различна
возле труб каждого трубного хода. Турбулентный характер
поперечного обтекания трубного пучка и наличие перегородок позволяют,
по-видимому, исключить второй вариант и в качестве первого
допущения при выводе соотношения для действительного температурного
напора в теплообменнике 1—2 принять условие 1. Таким образом,
принимаются следующие допущения.
1. В любом поперечном сечении теплообменника температура
теплоносителя, движущегося в межтрубном пространстве, является
однородной (среднемассовой по сечению).
2. Площади поверхности теплообмена всех ходов равны.
3. Коэффициент теплопередачи постоянен.
4. Расходы обоих теплоносителей постоянны.
5. Удельная теплоемкость каждого теплоносителя постоянна.
6. Ни в одной части теплообменника не происходит фазовых
превращений (испарения или конденсации).
7. Тепловые потери пренебрежимо малы.
Полный тепловой баланс теплообменника записывается в виде
откуда
358
q=USAt=WC(Ti^-T2) =wc (*«—/i),
КкЙхг,,
ы=
TV
/*2 *\
A0.7)
A0.8)

Пусть на рис. 10.14 Т — это температура теплоносителя в
межтрубном пространстве теплообменника в любом поперечном сечении X
между Х==® и Х=Ь. Допустим, что t1 и tu представляют собой
температуры в первом и втором трубном ходах соответственно в том же
поперечном сечении, что и Т. Пусть s" — наружная поверхность труб
на единицу длины. На элементарной поверхности dS=s"dL
температура жидкости в кожухе изменяется на —dT. Следовательно,
х
~WCdT = U~(T — tl)^U^(r~tu)=Uds(r~^~^~); A0.9)
2 v ) I ~ 2 v V 2
CUdS Г dT
)WC "jr__(,i + /ii)/2-
A0.10)
В уравнении A0.10) Г, tl и t11 — зависимые переменные.
Производя соответствующие подстановки и вводя параметры
I Р_ Ту — Т2 _ WC H r_ t2 — tx -
X t2 — tx —wc и ?— тл-ь\ tr
Щ =T,J=ln2-(R+l--ir-^-. A0.11)
wc /действ VR2 + 1 2 - e(R + 1 + J/> + 1) V '
получаем:
Уравнение A0.11) позволяет определить действительный
температурный напор для прямоточно-противоточной схемы течения в
теплообменнике 1—2. Каков этот напор по сравнению с Ы лог для
противотока при тех же рабочих температурах? Для противотока из
уравнения (9.19) имеем:
us\ ^ t2 — t,
WC /против КЛ - '2) - (Т2 - t2)\/[ln G\ - t2)/(T2 - tj]
ЬA-_Щ=±*1а (Ю.12)
R-l
Отношение действительного температурного напора к Д^лог тогда
определяется поправочным коэффициентом:
A0.13)
F —
гт
(tz-tJ/iUS/wc)^^
(t2-t1)/(US/wc)
против
VR2+ 1 ln[(l—e)/(l-
(US
— (US/wc)^CTB ~~
Zfg»
(^_l)ln{[2 —s(i?+ 1 _|/^2+ l)]/[2—e(/? + l + КЯ*+1)]}
Уравнение Фурье для теплообменника 1—2 теперь можно
записать в виде
q = USM = USF1Atmyr. A0.14)
Если теплообменник имеет один ход в межтрубном пространстве
и четное число (четыре, шесть или восемь) трубных ходов, как
теплообменники 1—4, 1—6 или 1—8 соответственно, уравнение A0.10)
принимает следующую форму:
для теплообменника 1—4
С UdS _ Г
dT
T-itl + tu + tlll + tlv)/49
359

для теплообменника 1 — 6
= J т - (? + tu + tlu + tlv + tv + tvl)/6 ¦
г» UdS
\ WC
dT
Боумэн, Мюллер и Нейгл [18] установили, что значения FT для
теплообменников 1—2 и 1—8 даже в предельном случае отличаются
меньше чем на 2%. Такая же поправка применима к схеме течения,
Рис. 10.16. Два теплообменника 1—2,
соединенные последовательно.
показанной на рис. 10.15. В более
поздней работе [19], где
рассматривалось изменение эффективности
теплообменника е в зависимости от
двух других параметров *, показано,
что расхождение между эффектив-
ностями теплообменников 1—2 и
1—8 превышает 2%.
Если рабочим температурам
процесса соответствует значение Ft<
<0,75, применять теплообменник
1—2 не рекомендуется, так как все
принятые при выводе допущения являются спорными. Увеличить
значение FT можно путем последовательного соединения нескольких теп-
Рис. 10.15. Профили температур
В теплообменнике 1—2 с потоком
жидкости в межтрубном пространстве,
обратным по отношению к
показанному на рис. 10.14.
Ч\
Т^93°С
t2=7f°.
Т2=60°
Ь=27°С
V- ,г с t± -, ,„—„—-
и
а)
Рис. 10.17. Профили темш
а — теплообменни
h=7i°
Тг=60°
t^B7°
»ратур в Tei
к 2—4; б —тс
——— ~7
L
шюбменниках 1—2 i
шлообменник 1—2.
<!
\ 2—4.
ъ-зз'с
1 Метод е—NTU подробно рассматривается в гл. 12.
360

лообменников 1—2 как по трубам, так и по межтрубному пространству,
как это показано на рис. 10.16. Два теплообменника 1—2, соединенные
последовательно, становятся как бы единым прямоточно-противоточным
теплообменником 2—4. Сравнение прямоточной и противоточнои схем
для заданных рабочих температур приведено на рис. 10.17. При после-
Рис. 10.18. Поправочные коэффициенты к среднелогарифмическому температурному
напору в теплообменниках 1—2.
Рис. 10.19. Поправочные коэффициенты к среднелогарифмическому температурному
напору в теплообменниках 2—4.
довательнсм соединении трех таких теплообменников образуется
теплообменник 3—6. Поправочные коэффициенты FT для определения
действительного температурного напора в прямоточно-противоточных
теплообменниках 1—2, 2—4, 3—6 представлены на графиках рис. 10.18—
30.20 в зависимости от е до R.
361

Рис. 10.20. Поправочные коэффициенты к среднелогарифмическому температурному
напору в теплообменниках 3—6.
Загрязнение гладких и низкоребристых труб
В течение многих лет существовало опасение относительно
использования труб с низкими ребрами в условиях возможного загрязнения.
При этом хотя и признавали, что оребрение позволяет повысить низкую
плотность теплового потока в межтрубном пространстве, существовало
опасение, что ребра с течением времени будут забиваться разного рода
отложениями и станут бесполезными для процесса передачи тепла.
Однако в результате многочисленных исследований установлено, что
таких явлений не наблюдается [20]. В действительности оказалось, что
трубы с низкими ребрами обладают определенными неожиданными
свойствами, способствующими лучшему отслоению загрязняющих
отложений. При нормальной работе теплообменника в трубе возникают
флуктуации температуры, вызывающие продольные колебания трубы
наподобие движения мехов гармоники. Часто в результате таких
колебаний большие куски отложений отделялись от поверхности ребер,
тогда как в аналогичных условиях на поверхности гладких труб плотные
слои отложений цилиндрической формы осаждались и закреплялись.
Особенно наглядно это проявлялось на поверхностях теплообмена
конденсаторов дистилляционных колонн нефтеперегонных заводов.
Температура стенки трубы с радиальными низкими ребрами
При вычислении коэффициента теплоотдачи и потерь давления для
жидкостей в межтрубном пространстве кожухотрубчатых
теплообменников с трубами, имеющими низкие радиальные ребра, с
использованием рис. 10.10 и 10.13 приходится определять поправку, учитывающую
изменение вязкости с температурой при нагревании и охлаждении
ц/[х«7. Разности температур между торцами и основаниями ребер, так
же как между торцами низких ребер и основной поверхностью, малы по
сравнению с трубами с высокими ребрами для различных жидкостей,
обтекающих оребренную поверхность. Следовательно, для достижения
приемлемой точности нет необходимости решать уравнения (9.56) —
(9.64). Вполне достаточно воспользоваться уравнением (9.38) для глад-
362

кой трубы с действительным отношением полной наружной и
внутренней (поверхностей трубы с низкими радиальными ребрами.
Как упоминалось выше, на рис. 10.10 при Res=500 проведена
вертикальная линия, обозначающая «предел низких ребер». Когда низкое
значение числа Рейнольдса в межтрубном пространстве обусловлено
высокой массовой скоростью и большой вязкостью теплоносителя в
противоположность случаю с низкой массовой скоростью и малой
вязкостью, необходимо соблюдать некоторые меры предосторожности.
Поясним это на примере маслоохладителя, в котором масло движется
в межтрубном пространстве, а охлаждающая вода — по трубам. Часто
регулирование температуры охлаждающей воды отсутствует, так что,
особенно в зимнее время, она может снизиться намного ниже расчетной.
Это может привести к снижению температуры ребер ниже точки загус-
тевания (или точки текучести) масла. В результате поверхность ореб-
ренных труб может оказаться покрытой налипнувшей вязкой
изолирующей массой. Поэтому температура стенки оребренной трубы tfW должна
быть всегда выше температуры гладкой трубы при одинаковых
условиях и коэффициентах теплоотдачи. Это и имеет место вследствие
разницы отношений наружной поверхности к внутренней у труб с низкими
ребрами и гладких труб. Тем не менее трубы с низкими ребрами, обте»
каемые высоковязкими жидкостями, несколько больше подвержены
самоизолирующему эффекту. Поэтому необходимо контролировать
вязкость \iw, чтобы не допустить значительного снижения рабочих
температур воды по сравнению с расчетными.
Расчет кожухотрубчатых теплообменников
Различные методы расчета кожухотрубчатых теплообменников,
рассматриваемые в этом разделе, будут продемонстрированы на числовом
примере. Для одинаковых рабочих условий будут проведены расчеты
теплообменников с гладкими и низкоребристыми трубами и
сопоставлены их размеры. Поскольку число труб (при определенном их
расположении в пучке), которое может уместиться в кожухе заданного
размера, изменяется с изменением числа трубных ходов, рекомендуется
начинать тепловой расчет кожухотрубчатых теплообменников со
стороны труб. Для допустимых потерь давления 70—140 кПа
целесообразно задаться таким числом трубных ходов, при котором массовая
скорость теплоносителя в трубах составила бы 1000—2000 кг/(м2»с).
Пример 10.1. Расчет кожухотрубчатых теплообменников с гладкими трубами и
с трубами, оребренными радиальными низкими ребрами. 1174 600 кг/ч D8,5 кг/с) масла
с температурой 120°С плотностью 31° API (p=870 кг/м3 при 15,6°С) необходимо
охладить до 65'°С водой при расходе 249 000 кг/ч F9,3 кг/с) и изменении температуры от
30 до 50°С. Допустимые потери давления для каждого из потоков 83 кПа.
Термическое сопротивление слоя загрязнений со стороны масла 7-Ю-4 (м2«°С)/Вт, а со
стороны воды 1,76-Ю-4 (м2-°С)/Вт. Трубы наружным диаметром 19 мм длиной 4,9 м,
изготовленные из адмиралтейского сплава, расположены по углам квадратов с
шагом 25,4 мм.
Рассчитать кожухотрубчатый теплообменник для заданных рабочих условий, в
котором используются: а) гладкие трубы; б) трубы с радиальными низкими ребрами того
же номинального диаметра.
Решение. 1. Тепловой баланс.
Масло: ^ = 48,5-2180- A20—>65) =5 820 000 Вт=5820 кВт;
вода: ? =69,3-4186E0—30) =5 820 000 Вт = 5820 кВт.
2. Температурный напор М. В качестве первого приближения примем заданные
температуры для теплообменника 1—2, т. е. в соответствии с рис. 10.18 Ft>0,75.
A*2=7W2=>120—60=70; M1==7Wi=65—30=35; A/2-^i=70—35=35.
363

По уравнению (9.19)
Д'лсг =
М9
¦ м,
35
л =
In Ш2/М,)
1\—Т, 120-
1п G0/35)
- 65 55
*,
50-
50-
-30
30
20
20
- 50,6° С;
= 2,75;
: 0,222.
. Г, — tl 120 — 30 "90
Поправочный коэффициент для определения действительного температурного
напора в многоходовом теплообменнике определяется по рис. 10.18. При вычисленных
значениях R и е FT=0,92. Тогда согласно A0.14)
Дг = />Д/лог = 0,9,2.50,6==46,6°С.
3. Средние температуры теплоносителей Тс и tc.
По рис. 9.8 при Т\—Г2=65°С и плотности ЗГАР1 /Сс=0,31; при этом значении
и отношении Atc/At2=A<tl/At2~35/70=0,5 коэффициент Fc=0,415. Тогда
ГС = Г2+Fc(Tl-^T2) =65+0,415A20—65) = 87,8°С;
/C = ^+Fc(^2^i) =30+0,415E0—30) =38,3°С.
а) Теплообменник с гладкими трубами
Первое приближение. Примем значение коэффициента теплопередачи ?/# =
=370 Вт/(м2-°С). Тогда
q 5 820 000
/С,
5 =
UDAt
370-46,6
= 337 м2.
Наружная поверхность трубы диаметром 19,05 мм равна 0,06 м2/м.
Необходимое число таких труб длиной 4,9 м каждая составляет:
337 __
/V ^4,9-0,06 =1145-
Примем четырехходовую схему (по трубам). Ближайшая стандартная
компоновка соответствует размещению трубного пучка из 1144 труб диаметром 19,05 мм,
расположенных по углам квадратов с шагом 25,4 мм, в кожухе внутренним диаметром
ds=1066 мм. Тогда действительная поверхность теплообмена
5=1144-4,9-0,06=336 м2
и скорректированное значение коэффициента теплопередачи
о 5 820 000
UD =
SAt 36-46,6
= 371 Вт/(м2
Теплопередача
Горячий теплоноситель—масло в межтрубном
пространстве
Холодный теплоноситель—вода в трубах
4\ Площадь поперечного сечения потока ас
Принимаем 22 перегородки с 20 %-ным
вырезом B3 зазора для прохода
теплоносителя). Тогда шаг перегородок
В = 4,9/23 = 0,213 м = 0,2tfs
Для гладкотрубного пучка зазор между
соседними трубами
С = Рт — d = 25,4 — 19,05 = 6,35 мм
Тогда по уравнению A0.5)
dsc'B__ 1 ,066-6,35- 10-3-0,213_
ас = Рт ~~ 25,4-Ю-3
= 5,66-10-;
5' Массовая скорость
Gc = W/ac = 48,5/5,66-10-
м-5
856 кг/(м2.с)
4. Площадь проходного сечения трубы
a't= 1,95.10-* м2
Площадь поперечного сечения потока
на ход
144.1,95.10-*
at =
= 5.58.10-
Г. 5.?Массовая скорость
Gti=\w/at =J69,3/5,58.10-2 =
= 1240 кг/(м2-с)
Скорость воды в трубах
V = Gt/?== 1240/1000= 1,24 м/с
364

Горячий теплоноситель — масло в межтрубаом
пространстве
Холодный теплоноситель—вода в трубах
6'. При ГС = 87,8°С р,=7.10-* кг/(м-с)
Согласно рис. 10.10 эквивалентный
диаметр Д,= 2,4Ы0-2м
Число Рейнольдса
Re5 = DeGe/p =
2LЫ0-2-856
7-10-4
= 29 500
V. По рис. 10.10 при Re5 = 29500 и В
1
. ___ h0De /c\x
Jn- к [к
V-
= 57
При \х = 7 • 10 " 4 кг/ (м • с) п плотности
31° API
к (cp/kI1* =0,294 Вт/(м.°С)
По уравнению (ЮЛ) коэффициент
теплоотдачи
ha =
1н
к /fp.V/3
57Т ••
где
Следовательно,
Н0/Ф8 = 57.0,294/2,41 • 10~2 =
=-695 Вт/(м2.°С);
'• =^=6§5^ 1'44Л0 М2-°СВТ;
ri0 = 0,70-10-3 м2-°С/Вт;
R0?= 2,14-Ю-3 м2.°С/Вт
6. При гс = 38,30С
jx = 6,8.10-4Kr/(M.c);
D= 1,575.10-2 м.
Число Рейнольдса (только для
определения Apt)
DGt 1,575-Ю-2-1240
6,8-Ю-4
= 28 700
7. При скорости V = 1,24 м/с, средней
температуре /с=38,ЗвС и внутреннем
диаметре трубы [D = 1,575-10 ~2 м по
рис. 9.3^ находимГ
Л?=6030Вт/(м*.вС)
Термическим сопротивлением стенки
трубы пренебрегаем, поскольку оно мало
по сравнению с сопротивлением теплоот-
дачи^от масла к стенке:
г.= 1/^ = 1/6030== 1,66.10-* м2.°С/Вт
rdl= 1,76.10-* м2-вС/Вт;
^.|=3,42.10-4м2.°С/Вт;
^/о=^(^/5внут)=3,42.10-4.1,21 =
" =|4,14.10-4 (m2-gC)/Bt
8. Температуру стенки трубы в первом приближении вычисляем по (9.396):
#о \ ._ . . _ 2,14-Ю-3
R^fR-j Vc - *с) = 87'8 ™ ^+0,414I0-3 (87.8 -38,3) = 46,3*С.
При этой температуре масло имеет вязкость ]xw=l,l -10~ кг/(м«с). Тогда
поправочный коэффициент, учитывающий изменение вязкости при изменении температуры,
равен:
Ф* =
Pw
0,14
7.10-* \о,14
1,1. Ю-3
= 0,94.
Pw
При /W=46,3°C вязкость воды |iw=6,2.10~4 кг/(м-с). Соответствующий
поправочный коэффициент для воды
^о*14 _ /6,8-Ю-4 у).и
6,2-Ю-4
Уточненное значение коэффициента теплоотдачи от масла к стенке
h0 = №-\ ф3 = 695-0,94 = 653 Вт/(м*.фС).
365

Уточненное значение термического сопротивления теплоотдачи от масла к стенке
го = ^ = б5з^Ь53.10-м2.оС/Вт;
rdo=0,70.10-3 м2-°С/,Вт; #0=2,23-!10-3 м^С/Вт.
Термическое сопротивление со стороны труб /?<0=0,414'10_3 м2-°С/Вт.
Полное расчетное термическое сопротивление теплопередачи
2# = 2,644 • Ю-3 м2 -0С/Вт.
Принятое значение полного термического сопротивления теплопередачи \[UD —
= 1 /371=2,7-Ю-3 м2-°С/Вт. Избыточное термическое сопротивление загрязнения равно
+5,6-Ю-5 м2-°С/Вт.
Потери давления
Горячий теплоноситель — масло в межтрубном
прос гранстве
Холодный теплоноситель — вода в трубах
V. По рис. 10.13 при Res = 29500H
? = 0,2ds находим: / = 0,0858
Число раз, которое поток пересекает
трубный пучок, П'0 + 1 = 23
При Ф5= 0,94 и р = 820 кг/м8 по
уравнению A0.6) получаем:
fG%Ds(nb+\)
ДР* - 29De<i>s
_ 0,0858-8562.1,066.23 _
'".820-2,41. Ю-2-0,94
= 4,17-10* Па =41,7 кПа
1. По рис. 9.5 для трубы при Re* =
= 28 700 находим: / = 0,0288
При Ф^ = 1 и р = 1000 кг/м3 по
уравнению (9.9) получаем:
A/V
fG2tLn_ 0,0288-12402-4,9.4
:2р?Ф, 2-1000-1,575-Ю-2-1
= 2,76- Ю* Па = 27,6 кПа
Потери давления на поворотах принимаем
равными четырем скоростным давлениям на
ход:
7/грУ2 4-4-1000.1,242
= 1,23-10* Па = 12,3 кПа
Полные потери давления в трубах
&рт= APt+ АРГ = 27,6 + 12,3 = 39,9 кПа
б) Теплообменник с низкоребристыми трубами
Условия теплового баланса, действительный температурный напор и средние
температуры теплоносителей остаются теми же, что и для случая «а».
Первое приближение. Примем значение коэффициента теплопередачи UD =
= 312 Вт/(м2-°С). Принятое значение в расчете на единицу полной наружной
поверхности оребренной трубы с низкими ребрами меньше, чем для гладкой трубы. Это
является следствием того, что термические сопротивления с внутренней стороны трубы
должны будут умножаться на большие значения отношения площадей наружной и
внутренней поверхностей трубы, тогда как все остальные факторы, такие, как скорости и
сопротивления загрязнения, остаются теми же. Средневзвешенная эффективность
оребренной поверхности незначительно уменьшает эффективный коэффициент теплоотдачи
от потока в межтрубном пространстве к трубе:
5 820 000
UDM
312-46,6
: 400 М2.
Согласно данным каталога наружная поверхность оребренной трубы диаметром
19,05 мм равна 0,152 м2 длины.
Необходимое число таких труб длиной по 4,9 м каждая составляет:
400
N = 4,9-0,152 = 537'
366

Теплопередача
Горячий теплоноситель—масло в межтрубном
пространстве
Холодный теплоноситель—вода в тр>бах
4'. Принимаем 32 перегородки с 20%-ным
вырезом C3 зазора для прохода
теплоносителя). Тогда шаг перегородок
R il2
= 0,148 M = 0,2ds;
С =8,65. Ю-3 м.
Тогда по уравнению A0.5) площадь
поперечного сечения потока
dsC'B 0,736.8,65-Ю-3-0,148
ап =
гс— Рт
25,4-Ю-3
= 3,71.10-2 м2
5'. Массовая скорость
Gc = W/ac=48,5/3,7Ы0-2 = 1307 кг/(м2-с)
6'. Эквивалентный диаметр
Д, = 3,24.10-2 м
Число Рейнольде а
Re5 = DeGc/\x =
3,24. Ю-2-1307
7-Ю-4
= 60 400
Т. По рис. 10.10 при Re5 = 60400n
? = 0,2^
Аналогично расчету для гладких труб
А (см./*) = °>294 Вт/("••"С).
По уравнению (ЮЛ) коэффициент
теплоотдачи
1н
1/3
ф*
де Ф5= W^a-H'1*.
Следовательно,
99.0 294
V^s = 324.10~2^835 Вт/(м2.°С);
1
1
1,2-Ю-3 м2-°С/Вт;
К/Ф8 835'
г^0 = 0,7.10-3 м2-°С/Вт;
/?0 = 1,9- Ю-3 м2.°С/Вт
4. Площадь проходного сечения трубы
д', = 1,24.10-* м2.
Площадь [поперечного сечения потока
на ход
542.1,24-10-*
at = Чу = 3,36- Ю-2 м2
5. Массовая скорость
Gt = w/at = 69,3/3,36- Ю-2 =
= 2060 кг/(м2-с)
Скорость воды в трубах
V\= Gt/p = 2060/1000 = 2,06 м/с
6. Z> = 1,26. Ю-2 м
Число Рейнольде а
1,26-Ю-2-2060
Ret = DGt/p
6,8-10-*
38 200
7. По рис. 9.3 при V =2,06 м/с,
средней температуре tc = 38,3°С и
внутреннем диаметре D = 1,26-10 ~2 м
поправочный коэффициент на изменение диаметра
равен 1,04 и коэффициент теплоотдачи
hi = 8580-1,04 = 8930 Вт/(м2-еС);
rt = \/ht = 1,12-10-* м2-°С/Вт
rdi= 1,76-10-* (м2-°С)/Вт
^ = 2,88-10-* (м2-°С)/Вт
Пересчитывая Ri к наружному
диаметру, получаем:
Ri*=Rt (?"/****)=> 2,88-10-*. 3,84 =
= 1,105-Ю-3 м2-°С/Вт

Примем двухходовую схему по трубам. При этом число труб и площадь
поперечного сечения потока уменьшатся. Ближайшая стандартная компоновка соответствует
размещению 542 труб диаметром 19,06 мм по углам квадратов с шагом iPr=25,4 мм
в кожухе внутренним даметром d8=736 мм. Тогда действительная поверхность
теплообмена
5=542 -4,9 -0,152=403 м2.
Уточненное значение коэффициента теплопередачи
а 5 820 000
•403Жб-=310Вт/(м2-6С)-
8. Температуру стенки оребренной трубы в первом приближении вычисляем по
уравнению (9.396):
< tfw= Тс — у-щ^щ^^ (Тс — tc) = 87,8 — (it9+'l,105) 10~3 <87'8"~38'3) = 56»5°С-
При этой температуре вязкость масла р»=9,4-10-4 кг/(м-с).
Тогда поправочный коэффициент, учитывающий изменение вязкости при
изменении температуры, равен:
UD-~iSAt
[ а\0,14 / 7-Ю-4 \0.14
Поправочный коэффициент на изменение вязкости воды Ф« можно принять
равным единице.
Уточненное значение коэффициента теплоотдачи от масла к стенке
Ч*)
Ф5 = 835-0,96 = 800 Вт/(м2-°С).
Уточненное значение термического сопротивления теплоотдачи от масла к стенке
1 1
г0 = —= §55=1,25-Ю-3 м2.°С/Вт; rdi = 0,70-10-' м2вС/Вт;
Re=Jl,95-.10-» м2.#С/Вт; ^=щу3 = 513 |Вт/(м2.°С).
Согласно рис. 10.9 при 1/Ло=513 Вт/(м2-°С) средневзвешенная эффективность
оребренной стенки из латуни tj«=0,975. Тогда термическое сопротивление с оребренной
стороны с учетом поправки на эффективность ребра составляет:
Я0ч= 1,95-10-»/0,975 = 1,9-10~3 м2.вС/Вт.
Потери давления
Горячий теплоноситель — масло [в межтр^бном
пространстве
Холодный теплоноситель — вода в трубах
1'. По рис. 10.13 при Res = 60400 и Б =
== 0,2 ds находим: / = 0,0778
Число раз, которое поток пересекает
трубный пучок, щ + 1 = 33
При Ф3 = 0,96 и р = 820 кг/м8 [по
уравнению A0.6) получаем:
Ап №2cDs(nb+l) _
Л^~ ЩФ1
__ 0,0778-13072-0Г736.33 __
"" 2-820.3,24.10-2.0,96
= 6,32.10* Па =?63,2 кПа
1. По рис. 9.5 для трубы при RefJ=
= 38 200 находим: / = 0,0274
При Ф^ = 1 и р = 1000 кг/м8 по
уравнению (9.9) получаем:
fG2tLn _ 0,0274»20602-4,9-2
АР/
-1000.1,26.10~2.1
2рОФ,
= 4,48.10* Па = 44,8 кПа
Потери давления на поворотах
принимаем равными четырем скоростным
давлениям на ход:
4прУ2 ___ 4.2.1000-2,062|_
2 2 ~
АРГ-
= 1,7.10* Па=«17>Па
ПолныеТпотери давления в"трубах
S>T=bPt+ ДЯГ==44,8+ 17=61,8 кПа
368

Термическое сопротивление с внутренней стороны трубы Я*о=1»Ы0~ м2-°С/Вт.
Расчетное значение полного термического сопротивления теплопередачи 2/? =
= 3,0-Ю-3 м2.°С/Вт.
Принятое значение полного термического сопротивления теплопередачи \/UD =
= 1/310 = 3,22-Ю-3 м*.°С/Вт.
Избыточное сопротивление загрязнения = 2,2*10 ма-°С/Вт.
Цена кожухотрубчатого теплообменника с кожухом внутренним диаметром 736 мм
и трубами с низкими ребрами составляет около 60% цены соответствующего
теплообменника с кожухом диаметром 1066 мм и гладкими трубами. Таким образом,
применение теплообменника с оребренными трубами дает существенную экономию.
Хотя 1 м длины оребренной низкими ребрами трубы дороже гладкой в 1,25—
1,5 раза; экономия достигается за счет значительно меньшей потребной длины оребрен-
ных труб. Кроме того, применение сребренных труб приводит к уменьшению размеров
и толщин кожухов, трубных решеток, фланцев, головок, уменьшает необходимое число
просверливаемых отверстий, т. е. значительно снижает трудоемкость изготовления
теплообменника, а следовательно, позволяет получить существенную экономию.
Конденсация на трубах с радиальными низкими ребрами
Теоретические уравнения для расчета теплоотдачи при пленочной
конденсации насыщенных паров на горизонтальной гладкой трубе
разработаны Нуссельтом [21]. Для одиночной горизонтальной трубы
результаты расчетов по уравнениям Нуссельта хорошо согласуются
с опытными данными. Для пучков горизонтальных гладких труб
уравнения Нуссельта дают заниженные по сравнению с опытом
коэффициенты теплоотдачи. Тем не менее теория Нуссельта служит основным
инструментом расчета теплоотдачи при конденсации в течение уже
более чем 35 лет.
Обычно полагают, что Нуссельт исследовал только ламинарное
движение пленки конденсата при отсутствии касательного напряжения на
границе между паром и жидкостью. В действительности он изучал
также влияние касательных напряжений на поверхности пленки,
стекающей по вертикальной пластине, но эти исследования в течение долгих
лет оставались малоизвестными. В большинстве ранних
экспериментальных работ, подтвердивших теорию Нуссельта, исследовались
соотношения только между переменными для простейшей модели.
Способам повышения тепловой эффективности конденсаторов посредством
воздействия на другие переменные уделялось мэло внимания.
Главными среди этих способов являются турбулизация пленки конденсата и
создание касательных напряжений между паром и пленкой.
Сравнение интенсивности теплоотдачи при конденсации на гладких
трубах и трубах с радиальными низкими ребрами в межтрубном
пространстве крупных горизонтальных конденсаторов привело к
пересмотру теории конденсатора для случая пренебрежимо малых касательных
напряжений на границе раздела фаз. Во-первых, прежде отсутствовал
критерий отклонения от ламинарного режима течения пленки при
вертикальном стекании конденсата на нижележащую горизонтальную
трубу. Во-вторых, в ранних соотношениях не учитывалась средняя
теоретическая нагрузка трубы по конденсату в круглом пучке труб
горизонтального кожухотрубчатого конденсатора.
Появление труб с радиальными низкими ребрами в значительной
степени стимулировало развитие теории конденсатора. Как правило,
трубы с радиальными низкими ребрами имеют тот же наружный
диаметр (по вершинам ребер), что и обычные гладкие, используемые
в конденсаторах. Для гладких труб наружная поверхность на единицу
длины пропорциональна только наружному диаметру. Для труб с
низкими ребрами поверхность теплообмена и расход стекающего конден-
24—192 369

сата могут изменяться в широких пределах без существенного
изменения диаметра трубы или распределения потока пара, а просто путем
изменения числа и размеров ребер. Считается, что интенсивный сток
конденсата является основной причиной, обусловливающей необычно
высокие коэффициенты теплоотдачи при конденсации на
низкоребристых трубах.
Уравнение Нуссельта для коэффициента теплоотдачи при
конденсации на одиночной горизонтальной трубе при ламинарном движении
пленки конденсата имеет вид:
*.=°.»ЮГ- (|0Л5)
где индекс f относится к свойствам конденсата при температуре
пленки, средней между температурами пара tv и стенки трубы tw:
tt = -r(tv+tw)=-TQo + tfm) (Ю.16)
И /'¦¦> A i
Atf=tf—tw=tf—tfw. A0.17)
Уравнение A0.15) можно выразить также через нагрузку трубы
по конденсату:
Д-Г=1,5(-чНг
3/р fel \ w
Тогда средняя нагрузка на трубу в одном горизонтальном трубном
ряду определяется из соотношения
МкЫ ==1-5(-^-) • (Ю.18)
G' = lk' A0Л9)
где W — массовый расход конденсата; L — длина трубы; Nt — общее
число труб. Нуссельт, используя те же допущения, вывел уравнение для
расчета коэффициента теплоотдачи при конденсации для любого
горизонтального ряда в трубном пучке. Для р-то ряда труб сверху это
уравнение имеет вид:
Нр = н\р' ~{р-\)А\, A0.20)
где hi — значение коэффициента теплоотдачи при конденсации на
одиночной трубе. Нуссельт предполагал, что 1) сопротивление при
конденсации— это термическое сопротивление пленки конденсата, обратное
ее теплопроводности; 2) разность температур пара и стенки трубы
постоянна; 3) движение пЛенки конденсата — ламинарное; 4) конденсат
стекает с одной трубы на другую, расположенную ниже, в виде
непрерывной плоской струи, не оказывая возмущающего воздействия на
пленку конденсата на нижележащей трубе. Экспериментальные
исследования теплоотдачи при конденсации пара на пучках из 2—5; 6 и 20
рядов горизонтальных труб проведены соответственно Янгом и Волен-
бергом [22], Кацем и Гейстом [23] и Шортом и Брауном [24]. Данные
Шорта и Брауна подтвердили справедливость первых двух допущений
Нуссельта при обычных условиях работы конденсатора. Третье и
четвертое допущения применительно к многорядным пучкам
горизонтальных труб или в присутствии касательного напряжения на границе раз-
370

дела фаз приводят к существенному расхождению с опытными
данными. В действительности конденсат стекает с трубы не в виде сплошной
пленки, а отдельными каплями, или, при высоких нагрузках,
непрерывными струйками. В любом случае допущение о непрерывной
ламинарной пленке конденсата оказывается несправедливым.
На поверхности конденсатной пленки на нижних частях гладких
труб вследствие попеременного отрыва капель конденсата образуются
волны. Такие же волны образуются и на трубах, о которые ударяются
падающие капли. В тех местах, где непрерывно стекающие струйки,
попадают на нижележащую трубу, образуются как бы вздувшиеся
«вены», поскольку конденсат не перераспределяется так, чтобы толщина
пленки по длине трубы стала одинаковой, а стекает по окружности на
следующий ряд труб. При этом жидкость в «венах» локально может
обладать достаточно высокой степенью турбулентности.
Трубы с низкими ребрами имеют естественные точки стока на
обращенных вниз торцах ребер, распределенных по всей длине трубы. На
глаз видно, что на единицу длины трубы с низкими ребрами
образуется больше капель меньшего размера, чем на гладкой трубе. Чем
интенсивнее сток, тем тоньше пленка конденсата и тем меньше ее
термическое сопротивление отводу скрытой теплоты конденсации.
При более высоких нагрузках, когда конденсат стекает в виде
непрерывных струек, ребра препятствуют уменьшению толщины «вен»,
происходящему вследствие перераспределения конденсата по длине
трубы. Хотя высота ребер равна приблизительно 1,6 мм, средняя
толщина пленки конденсата при конденсации органической жидкости с
коэффициентом теплоотдачи 1140 Вт/(м2-°С) составляет примерно 0,15 мм
или только около одной десятой высоты ребра.
При исследовании теплоотдачи пучка из 20 рядов труб Шорт и
Браун нашли, что коэффициенты теплоотдачи в нескольких верхних и
нижних рядах превышали значения, вычисленные по Нуссельту только
для верхней трубы, для которой коэффициент теплоотдачи должен быть
самым высоким. В результате они пришли к заключению, что средняя
теплоотдача пучка значительно точнее рассчитывается по уравнению для
верхней трубы, чем по уравнению Нуссельта для пучка. Кац и Гейст
исследовали теплоотдачу при конденсации паров фреона-12, я-бутана,
ацетона и воды на шестирядном пучке труб с низкими ребрами.
Полученные ими средние коэффициенты теплоотдачи превышают значения,
рассчитанные по уравнению Нуссельта, для пучка на 121% при
конденсации водяного пара и до 153%—при конденсации паров ацетона.
Измеренные коэффициенты теплоотдачи при конденсации на нижних
трубах составили 86—100% коэффициента теплоотдачи для труб
верхнего ряда, хотя теоретически в соответствии с уравнением A0.20) они
не должны превышать 64% этого значения.
Все сказанное относится к одиночным пучкам из горизонтальных
труб. Для таких пучков существуют надежные опытные данные, с
которыми можно сравнить теоретические решения. Типичный же
конденсатор, выпускаемый промышленностью, состоит из нескольких трубных
пучков различной высоты, расположенных симметрично относительно
вертикальной оси аппарата. В соответствии с требованиями
механического расчета конденсатора для гашения колебаний труб в пучках
устанавливаются поперечные перегородки или опорные пластины.
Перегородки расположены так, что поток пара, поперечно обтекающий пучок,
движется под прямым углом к стекающему конденсату. Все это, как
и теоретическое снижение теплоотдачи труб в пучке по сравнению
24*
371

с верхним рядом, влияет на средний коэффициент теплоотдачи при
конденсации на трубном пучке.
Для пучков круглых гладких труб в работе [14] предложена
поправка, учитывающая, что режим течения конденсата отличается от
чисто ламинарного. Нагрузка трубы по конденсату определяется по ее
среднему значению при ламинарном течении. Для конденсатора
круглого поперечного сечения она определяется из соотношения
°" = ZS? A0.21)
вместо G'=W/LNt в соответствии с теорией Нуссельта. Из уравнения
A0.20) следует, что средний коэффициент теплоотдачи пучка из N
рядов труб равен:
A.=T = -F/7- <l0-22a>
Используя уравнения A0.21) и A0.22а), получаем показатель
степени (Л^4J/з=ЛA/б} определяющий порядок коэффициента теплоотдачи,
который можно ожидать в круглом горизонтальном конденсаторе
с гладкими трубами:
A0.226)
авнение
A0.
18)
К
может
= 1,5-
К =
быть
DG"/
" ,v1/6 *
переписано
,.' 2 -\ 1/3
> \ 1 /3
В
виде
A0.23)
Позднее на базе основной модели Нуссельта была предпринята
попытка теоретического решения основного уравнения Нуссельта для
средней нагрузки трубы в конденсаторе круглого сечения с расположением
труб по углам квадрата, повернутого квадрата и равностороннего
треугольника при обычном симметричном распределении вертикальных
пучков [25]. Начиная с A0.22а), показатель степени при N в правой части
уравнения, равный 1/4, заменялся на обобщенный показатель степени
1/х. В результате интегрирования местных коэффициентов теплоотдачи
для различных схем расположения труб sb пучке установлено, что
средний коэффициент теплоотдачи зависит от схемы расположения труб,
а величина х непостоянна даже для заданной схемы расположения
труб. Показатель степени х изменяется даже при изменении диаметра
кожуха. Установлено также, что несмотря на различные площади
поверхности на единицу длины гладкой и оребренной труб коэффициент
теплоотдачи для труб с низкими ребрами можно также рассчитывать
по A0.226). Правда, показатель степени может быть несколько
меньше 1/6.
Дент [26], используя интегральные уравнения Керна, обобщил
имевшиеся в литературе ранние опытные данные и более поздние
данные Кутателадзе [27] и подтвердил, что как в случае пренебрежимо
малого касательного напряжения на границе раздела фаз, так и в
присутствии касательного напряжения, интенсифицирующего теплоотдачу,
показатели степени получались меньше 1/6.
Тем временем были получены дополнительные данные для крупных
конденсаторов с гладкими и низкоребристыми трубами [28]. Для
гладких труб лучшие результаты получали, если принимали показатель сте-
372

пени равным 1/6, а длину трубы L. Для труб с низкими ребрами
использовали тот же показатель степени 1/6, но L заменяли на Lc — периметр
продольного сечения оребренной трубы. Соотношением между Lc и L
постоянно для всех оребренных труб, имеющих одинаковое число ребер
на единицу длины трубы и высоту ребра. В частности, для труб из
высокотеплопроводных металлов с 748 ребрами на 1 м длины высотой
около 1,6 мм это отношение равно 3,32, т. е.
LC=3,32L. A0.24)
Число это постоянно, поскольку наружная поверхность
теплообмена всех труб с 748 низкими ребрами на 1 м длины на 80% состоит из
поверхности ребер и на 20% из поверхности основной трубы. Тогда при
заданной нагрузке и неизменном показателе степени, равном 1/6, ко- .
эффициент теплоотдачи трубы с низкими ребрами в 3,321/3=1,5 раза
больше коэффициента теплоотдачи гладкой трубы того же
номинального диаметра. Этот удобный постоянный множитель может быть
использован для приближенных пересчетов коэффициентов теплоотдачи
гладких труб в коэффициенты теплоотдачи для труб с низкими ребрами при
прикидочных расчетах конденсаторов. В действительности общая длина
труб в конденсаторе с трубами, имеющими низкие ребра, значительно
меньше, чем в таком же конденсаторе с гладкими трубами; различной
будет и нагрузка труб по конденсату в аппаратах одинаковой мощности.
Авторы работы [29] изучали влияние на теплоотдачу создаваемого
паром касательного напряжения на границе раздела фаз в трубах
конденсаторов при полной и частичной конденсации и пришли к выводу,
что оно является самым существенным фактором.
Путем повышения касательного напряжения на границе раздела
фаз при конденсации на наружной поверхности горизонтальных труб,
где конденсат отводится почти с той же скоростью, с какой он
образуется, коэффициенты теплоотдачи могут быть увеличены примерно
в десять раз. Расчетами теплоотдачи при конденсации с учетом
касательного напряжения на границе раздела сейчас занимаются многие
специалисты, используя модифицированный метод Локкарта и Марти-
нелли [30], развитый применительно к вынужденному течению
двухфазных потоков в трубах.
Учитывая возможность существования семи режимов течения
двухфазного потока, полную или частичную конденсацию, изменение от
точки к точке скоростей и свойства пара и конденсата, трехмерное поле
скорости пара, обтекающего горизонтальные трубы, можно прийти к
заключению, что для создания надежного метода расчета теплоотдачи
при конденсации движущегося пара необходимы еще многочисленные
исследования. В настоящее время следует исходить из того, что если
число Рейнольдса потока пара на входе превышает 50 000, то на
некоторой части поверхности трубы возникают значительные касательные
напряжения на границе раздела фаз и рассмотренная выше методика
расчета теплоотдачи дает заниженные результаты.
Время от времени поднимается вопрос об эффективности труб с
низкими радиальными ребрами при конденсации в межтрубном
пространстве вертикальных конденсаторов. В этом вопросе нет общепринятого
мнения, так как согласно упрощенной теории Нуссельта коэффициент
теплоотдачи при конденсации на горизонтальной гладкой трубе
существенно выше, чем на вертикальной гладкой трубе. Почти все крупные
конденсаторы, в которых конденсация происходит на внешней стороне
труб, устанавливаются в горизонтальном положении.
373

Имеется несколько сообщений [31], которые указывают на то, что
не существует заметной разницы в коэффициентах теплоотдачи при
конденсации на трубах с низкими ребрами в горизонтальном и
вертикальном положениях. Это нетрудно понять, так как при вертикальной
установке труб с низкими ребрами поверхность ребер, составляющая около
80% площади всей поверхности теплообмена, оказывается в
горизонтальном положении; в то же время практически мало вероятно, чтобы
при стекании конденсат мог в значительной степени скапливаться на
трубе между ребрами.
Теория Нуссельта в ее различных вариантах разработана для
условий преобладающего влияния гравитационных сил. Если ее приложить
к условиям нулевой или близкой к нулю силы тяжести, то вследствие
действия инерционных сил возможны разрывы пленки конденсата.
Потери давления при конденсации на трубах с радиальными
низкими ребрами в межтрубнам пространстве конденсаторов
В соответствии с допущениями Нуссельта, которые приводят к
уравнениям A0.15), A0.18), A0.23), полагают, что коэффициент
теплоотдачи при конденсации в кожухотрубчатом теплообменнике с
перегородками не зависит от скорости движения пара через трубный пучок, а
зависит только от нагрузки — массы конденсата, образующего в единицу
времени на единице длины трубы. Обычно же для лучшего
распределения пара и создания значительного касательного напряжения на
границе раздела фаз стремятся обеспечить наибольшую возможную скорость
пара через пучок, какую позволяют иметь допустимые потери давления,
и соответствующим образом размещают перегородки (на постепенно
уменьшающихся расстояниях друг от друга к выходу). Однако
большинство конденсаторов имеет равномерно расположенные перегородки.
Пар
[
Вода
t
'ар
Вода
Ж
Т
Вода
й
Конденсат
Конденсат
I
Вбда
Рис. 10.21. Конденсатор с
разветвленной схемой течения
конденсирующейся среды.
Рис. 10.22. Конденсатор с
перекрестным движением теплоносителей.
При полной конденсации чистого пара он поступает в конденсатор
при температуре насыщения, а отводится из аппарата в виде жидкости.
Расчет гидравлического сопротивления, как и коэффициента
теплоотдачи, представляет задачу теории двухфазных течений.
Очевидно потери давления при конденсации движущегося пара
меньше, чем при течении газа, имеющего плотность пара на входе, и
больше, чем при течении жидкости с плотностью конденсата на выходе.
Принимая, что скорость пара изменяется линейно от входа до
выхода из канала и что площадь поверхности пленки конденсата равна
площади поверхности трубы, получаем, что потери давления при полной
конденсации пара должны быть равны одной трети потерь давления
потока пара, вычисленных при параметрах пара на входе. В
действительности они несколько выше вследствие шероховатости пленки кон-
374

денсата. При полной конденсации получаются вполне
удовлетворительные результаты, когда принимают, что потери давления равны половине
вычисленных для потока пара при параметрах на входе. При этом
учитываются и потери давления на входе и выходе.
Таким образом, потери давления при полной конденсации чистого
пара в межтрубном пространстве кожухотрубчатого конденсатора
определяются из соотношения
APs= fG\D<fDbe+l) , A0.25)
где р — плотность пара на входе.
В тех случаях, когда потери давления в межтрубном пространстве
конденсатора 1—2 превышают максимально допустимое значение, их
можно уменьшить, используя разветвленную схему движения потока
пара (рис. 10.21) или перекрестную схему (рис. 10.22). Трубы с низкими
ребрами часто наилучшим образом подходят для осуществления
конденсации паров, особенно при очень низких допустимых потерях
давления в межтрубном пространстве конденсатора. Большая площадь
поверхности теплообмена на единицу длины у оребренной трубы по
сравнению с гладкой приводит к тому, что конденсирующийся пар должен
пересекать меньшее число рядов труб. Больший эффективный зазор
между трубами с низкими ребрами того же наружного диаметра и с тем
же шагом, что и у гладкотрубного пучка, обеспечивает большую
площадь поперечного сечения, которая может быть использована для
обеспечения минимальных потерь давления в конденсаторе при заданной
тепловой мощности.
Пример 10.2. Расчет кожухотрубчатых конденсаторов с гладкими и нтаадребри-
стыми трубами. В кожухотрубчатом конденсаторе требуется конденсировать 12 кг/с
паров пропано-бутановой смеси. Пар с молекулярной массой 52 поступает в аппарат
под избыточным давлением 930 кПа при температуре 60°С и полностью конденсируется
при температуре 46°С (плотность конденсата при этой температуре р=545 кг/м3).
Предполагается, что скрытая теплота конденсации и энтальпия переохлаждения
конденсата сохраняют постоянные значения во всем диапазоне температур конденсации.
Теплота конденсации отводится охлаждающей водой, циркулирующей по трубам. Расход
воды 90 кг/с, температура на входе и выходе соответственно 30 и 41°С. Допустимые
потери давления в потоке пара 13,8 кПа, в потоке воды 69 кПа. Сопротивления
загрязнения с обеих сторон теплопередающей поверхности равны 1,76-Ю-4 м2-°С/Вт.
Физические свойства пара и конденсата — средние между свойствами бутана (молекулярная
масса 58) и пропана (молекулярная масса 44). В аппаратах применяются трубы
наружным диаметром 19,05 мм C/4 дюйма), длиной 4,9 м, изготовленные из
адмиралтейского сплава и расположенные по углам треугольников с шагом 23,8 мм.
Рассчитать кожухотрубчатые конденсаторы для заданных условий работы с глад-
котрубным пучком и с пучком сребренных труб (с радиальными низкими ребрами)
того же номинального диаметра.
Решение. 1. Тепловой баланс.
Пропано-бутановая смесь:
энтальпия поступающего пара 596 кДж/кг;
энтальпия отводимой жидкости 250 кДж/кг;
?= 12E96—250) =4150 кВт.
Вода:
^ = 90-4,186D1—30) =4150 кВт.
2. Температурный напор At.
В качестве первого приближения принимаем конденсатор типа 1—2, т. е. согласно
рис. 10.18, FT>0,75.
A/2 = 7W2==60—41 = 19°С;
Д*1=Г2—/i=46—30=16°C;
Afe-iA*! = 19—16 = 3°С.
375

Среднелогарифмическую разность температур вычисляем по уравнению (9.19):
M2 — Mj__ 3
Д'лог- щд^/д/,) ~ in A9/16) = 17.6#с-
Находим параметры R и е:
Т1—Т2_ 60 — 46 _14
"*2 —^ 41—30 11
f2 —*, _ 41—30 __11
7\ — /," 60 — 30 ~30
1,27:
: 0,367.
По рис. 10.18 находим поправочный множитель к температурному напору для
двухходового теплообменника (по трубам) FT=0,92. Действительный температурный
напор в конденсаторе вычисляем по уравнению A0Л4):
M=FT -А/лог^Оде- 17,6=16,2°С.
3. Средние температуры теплоносителей.
Поскольку диапазоны изменения температур невелики, в качестве средних
используем среднеарифметические температуры.
Для бутано-пропановой смеси
для воды
Тс = 0,5 F0+46) =53°С;
*С = 0,5D1+30)=35,5°С.
а) Гладкотрубный конденсатор
Задаемся [/D=680 Вт/(м*.'°С).
Тогда
q 4150-103
S^UDAt "" 680.16,2 ==377м2-
Наружная поверхность гладкой трубы диаметром 19,05 мм равна 0,06 м2/м-
Следовательно, необходимое число труб длиной по 4,9 м каждая составляет:
377
N = 4^0706" = 1286'
Примем четырехходовую схему (по трубам). Для этой схемы при расположении
труб наружным диаметром 19,05 мм по углам треугольника с шагом Ят=23,8 мм
ближайшая стандартная компоновка включает 1258 труб в кожухе внутренним
диаметром 990 мм. При этом действительная поверхность теплообмена пучка составляет:
S= 1258 -4,9 -0,06=369 м2.
а скорректированное значение коэффициента теплопередачи
а 4150-103
Теплопередача
Горячий теплоноситель — пар в межтрубном
пространстве
Холодный теплоноситель — вода в трубах
Примем, что в межтрубном
пространстве установлено 6 перегородок с 20%-ным
вырезом, т. е. имеется 7 каналов для
прохода пара. Тогда
4 9
5 = у = 0,7м = 0,706
С = 4,76 мм = = 4,76. Ю-3 м
376

Горячий теплоноситель — пар в межтрубном
пространстве
Холодный теплоноситель — вода в трубах
4'. Площадь поперечного сечения
потока согласно уравнению A0.5) равна
ас = dsCfB/PT = 0,99.4,76-10- *Х
Х0,7/23,8.10-* = 0,1387|м2
5'. Массовая^скорость
Gc = W/ac = 12/0,1387 =
-=86,5 кг/(м2.с)
6'|При ТС = 53'С ^ = 8.10-« кг/(м-с)
Эквивалентный диаметр канала Ье =
== 14мм = 1,4.10-2м
Число Рейнольдса
Re/= D*Gc/p.= 1,4.10-2-86,5/8Х
ХЮ-в=1,5Ы05
77. Расчет коэффициента теплоотдачи
при конденсации производится методом
последовательных приближений в п. 8
4. Площадь поперечного сечения потока
на одну трубу
a't = 1,95-10-* м2.
Площадь поперечного сечения потока
на один ход
1,95.10-*. 1258 л/м%во 9
at = — 5 = 0,0613 м2
5. Массовая скорость
Ot = w/at = 90/0,0613 = 1467 кг/(м2-с)
Скорость воды в трубах
V = G,/p = 1467/1000 = 1,467 м/с
6. При *c = 35,5eC yu = 7,2-10-* кг/(м.с)
Внутренний диаметр трубы D = 15,8 мм =
-=1,58-Ю-2 м
Число Рейнольдса
Re, = DGt/p = 1,58- Ю-2-1467/7,2 X
Х10-* = 3,22-10*
7. При V = 1,467 м/с и ^==35,5°С
коэффициент теплоотдачи при вынужденном
течении воды в трубе внутренним диаметром
15,8 мм находим из рис. 9.3:
Л,/ф, = 6650 Вт/(м2.0С);
при Ф, = 1
П •= 1/A/J= 1/6650 = 1,505- 10~4 м2.°С/Вт;
;rdi-= 1,760-10-* м2-°С/Вт;
/?/=3,265-10-* м2.°С/Вт
Относя термическое сопротивление к
наружной поверхности трубы, получаем:
R. —R.SjSi =3,265-10-*. 19,05/15,8 =
==-3,94.10-* м2.*С Вт
Переходим к расчету теплообмена в
межтрубном пространстве
8. Расчет методом последовательных приближений температуры стенки трубы и
коэффициента теплоотдачи при конденсации.
Зададимся коэффициентом теплоотдачи Л0=1140 Вт/(м2-°С).
1
1
¦= 8,77-Ю-4 м2-°С/Вт.
t ~ Т
lw — 1 с
Ro
г° — h0 1140
rd0= 1,76-10-* (м2.°С)/Вт;
R0 = 10,53-10-* (м2.°С)/Вт;
10,53- 10~4
#о + ^?о
(Tc-t€)^53-
' A0,53-10-4+3,94-Ю-4)
E3 — 35,5) = 40,2°С.
Средняя температура «пленки» //=0,5(tv+tw) =0,5E3+40,2) =46,6°С.
По справочникам находим ?/=0,132 Вт/(м«°С); р/ = 550 кг/м8; p,f = \fix
XI О-4 кг/(м-с).
По A0.21)
W 12
G"= —-^кг — . .—о,, =2,12.Ю-2 кг/(м-с);
' LN213 4,9-12582/3
Л0 = 1.б
(«"/wI/3
1,5-
[0,1323.5502.9.,81/(l,64.10-4JjI/3
f4.2,12.10-2/l,64.10-*]1/3
= 1180 Вт/(м2.вС).
377

Мы задавались коэффициентом теплоотдачи 1140 Вт/(м2-°С), а получили
1180 Вт/(м2-°С). Соответствие вполне удовлетворительное. Таким образом,
^^^-Шо- = 8^48-1()-4м2-ОС/Вт'
rd0=l,76-10-4 м2.°С/Вт;
Я0= 10,24-10~4 м2-°С/Вт;
Яг.0 = 3,94-10-4 м2-°С/Вт.
Полное расчетное термическое сопротивление теплопередачи
2#= 14,18-Ю-4 м2-°С/Вт.
Полное термическое сопротивление теплопередачи, которым мы задавались,.
1 /t/x» = 1 /695 = 14,40• Ю-4 м2-°С/Вт.
Избыточное сопротивление загрязнения, таким образом, равно -f0,22-10-4 м2-°С/Вт.
б) Конденсатор с низкоребристыми трубами
Тепловой баланс, действительный температурный напор и средние температуры
теплоносителей остаются теми же, что и для гладкотрубного конденсатора.
Потери давления
Горячий поток—пар в межтрубном пространстве
Холодный по юк—вода в трубах
1'. По рис. 10.13 при Re5=l,5M05H
В =^ 0Jds находим коэффициент трения:
/ = 0,173
Поток пересекает трубный пучок (п-ь-\-
+ 1) =6+ 1 =7 раз
Молекулярная масса пара М =52
Плотность пара на входе при давлении
930 кПа (изб.) = 1032 кПа (абс.) = 1,032Х
X 10е Па
__ Р*М 1,032-106-52
Р—831671абс 8316F0 + 273,16) ""
= 19,4 кг/м3,
де 8316 Дж/(°С-кмоль) —универсальная
азовая постоянная; 7"iagc—абсолютная
температура пара на входе
По уравнению A0.25)
}G\DS (nb + 1) _
1. По рис. 9.5 при Re^=3,23-104 находим
коэффициент трения:
/ = 0,0288
По (9.9) при Ф, == 1
fG2tLn_0,0288-14672-4,9-4 ___
АР
i ~2р?>Ф, 2-1000- 1,58-Ю-2.1
= 38 400 Па = 38,4 кПа
Потери давления на поворотах труб
равны четырем динамическим давлениям на ход:
АР
4яр17 2 __ 4 - 4.1000 ¦ 1,4672 __
LPs~- 2-2?De
0,173-86,52-0,99-7
= 2-2-19,4-1,4-10~2 =
= 8,25 кПа
: 8250 Па =
2 2
= 17 200 Па= 17,2 кПа
Суммарные потери давления
ДРГ= APt + АРГ= 38,4 + 17,2 = 55,6 кПа
Задаемся UD — 510 Вт/(м2-°С). Тогда
Я
4150.103
тг=502 м2.
^—UDAt 510-16,2
Наружная поверхность оребренной трубы диаметром 19,05 мм составляет
0,1514 м2/м.
Следовательно, необходимое число таких труб длиной по 4,9 м
iV:
502
4,9-0,1514
677.
378

Примем двухходовую схему j(no трубам). Согласно каталогу ближайшая
стандартная компоновка для двухходового теплообменника из 677 оребренных труб
диаметром 19,05 мм, расположенных по углам треугольника с шагом 23,8 мм,
соответствует размещению 692 труб в кожухе внутренним диаметром 736 мм. При этом
действительная поверхность теплообмена пучка составляет:
5=592-4,9-0,1514=513 м2,
а скорректированное значение коэффициента теплопередачи
q __ 4150-108
UD = -
SAt 513-16,2
:500 Вт/(м2.°С).
Теплопередача
Горячий поток — пар в межтрубном пространстве
Холодный поток — вода в трубах
4'. Примем, что в межтрубном
пространстве установлено 8 перегородок с
с 20%-ным вырезом, т. е. имеется 9
каналов для прохода пара. Тогда
4,9
В
¦ = 0,545 м = 0,744-
С =7,06 мм =
= 7,06, Ю-3 м
Согласно A0.5) площадь поперечного
сечения потока пара
ас =rdsC'B/PT =0,736.7,06- 1Q-3 X
Х0,545/23,8.10-3=0,119 м2
5/. Массовая скорость
Gc==W/ac = 12/0,119= 100,9 кг/(м2-с)
6'. При Гс = 53вС р.=8.10-6кг/(м.с)
Эквивалентный диаметр каната De —
= 20,3 мм-10-3 м
Число Рейнольде а
Res=De6s/p.=20,3-10-3.100,9/8X
Х10-6=2,56-Ю5
7f. Расчет коэффициента теплоотдачи
при конденсации производится методом
последовательных приближений в п. 8
4. Площадь поперечного сечения потока
на одну трубу
д', = 1,24.10-* м2
Площадь поперечного сечения потока на
один ход
1,24-10-*.692
at = — о = 0,0429 м2
5. Массовая скорость
Gt =w/at --90/0,0429 =2100 кг/(м2.с)
Скорость воды в трубах
V=G,/p = 2100/1000 =2,1 м/с
6. При /С=35,5°С р =7,2-Ю-4 кг/(м-с)
Внутренний диаметр трубы D = 12,6 мм =
= 12,6- Ю-3 м
Число Рейнольдса
Re, =DGt/ix = 12,6- Ю-3.2100/7,2 X
ХЮ-*=3,68.10*
7. При V = 2,1 м/с и *С = 35,5°С
коэффициент теплоотдачи при вынужденном
течении воды в трубе внутренним
диаметром 12,6 мм находим из рис. 9.3:
Л//Ф* =8800 Вт/(м2.°С)
По верхней части рис. 9.3 находим, что
поправка на изменение диаметра равна 1,04.
Поскольку ф^ = 1,
/г,-=8800.1,04 =9150 Вт/(м2.°С);
Г/ = 1/Аг = 1/9150 = 1,092. Ю-4 м2.°С/Вт;
г^ = 1,760-10-* м2-°С/Вт;
/?г =2,852-10-
••С/Вт
Относя термическое сопротивление к
полной наружной поверхности оребренной
трубы, получаем:
Rio = Ri (S"/Si) = 2,852.10-* X
X 3,84 = 10,95 X 10-
°С/Вт,
где (Srr/Si) =3,84 согласно каталогу.
Переходим к расчету теплообмена в
межтрубном пространстве
379

8. Расчет методом последовательных приближений температуры стенки
сребренной трубы и коэффициента теплоотдачи при конденсации (термическим сопротивлением
самой стенки пренебрегаем).
Зададимся коэффициентом теплоотдачи при конденсации Яо = 1600 Вт/(м2-°С).
Тогда термическое сопротивление
'3 =
"W^6'25-10^
rdo= 1,76-10-* м2.°С/Вт;
#0 = 8,01.10-* м2.фС/Вт.
Температура стенки
R0 ^ 8,0Ы0-4
tfw = Tc— RQ + Ri0 (Тс ~ fc) = 53 — (8,01 + 10,95) • Ю EЭ ~~ 35,5* = 45'6вС-
Средняя температура «пленки»
tf = 0,5(tv+tfw) =0,5E3+45,6) =49,3°С.
По справочникам находим &/ = 0,132 Вт/(м-°С); р/=545 кг/м3; |*/=1,5Х
Х10-4 кг/(м-с).
Согласно A0.24) периметр продольного сечения оребренной трубы (с 748 ребра-
ми/пог. м высотой 1,6 мм) Lc=3,32 L. Тогда в соответствии с уравнением A0.21)
нагрузка трубы по конденсату
LrN3
12
тгрг = 9,43-10-3 кг/(м.с),
3,32- 4,9- 6922/3 ' v "
По A0.23) вычисляем коэффициент теплоотдачи при конденсации:
(k2f?2fg/^2f)]/3 [0,1323.5452.9,81/A,5.10-4J]1/3
DG"/p./I/3': l~~ ' D.9,43-10-3/1,5-10-
h0 = 1,5 По—: = 1,5 РГ1 = 1585 Вт/(м2• °С),
Мы задавались коэффициентом теплоотдачи 1600 Вт/(м2«°С), а получили
1585 Вт/(м2-°С). Согласие вполне удовлетворительное, таким образом,
г0=1//г0=1 /1585=6,31 • Ю-4 м2-°С/Вт;
г* = 1,76.10-* м2-°С/Вт;
^0=8,07.Ю-4 м*.°С/Вт.
Согласно рис. 10.9 средневзвешенная эффективность оребренной трубы т]«, = 0,95.
Следовательно, внешнее термическое сопротивление с учетом эффективности составляет:
R^ = Rjyfo = 8,07.10-*/0,95 == 8,5- К)-4 м2- °С/Вт;
#io=10,95-10-4 м2-°С/Вт.
Полное расчетное термическое сопротивление теплопередачи
2Я= 19,45-10-* м*.°С/Вт.
Полное термическое сопротивление теплопередачи, которым мы задались,
07=5Ш=-20'0-10м2'°СВт-
Избыточное сопротивление загрязнения равно +0,55-10~4 м2-°С/Вт.
380

Потери давления
Горячий поток — пар в межтрубном
пространстве
X угодный поток — вода в трубах
1/. По рис. 10.13 при
Res = 2,56.105 и ?^0,7 ds
находим коэффициент трения:
/ = 0,245
Поток пересекает трубный пучок
(п6+1)=(8+1)=9 раз
Плотность пара на входе такая же, как
и для гладкотрубного пучка:
р = 19,4 кг/м3
По A0.25)
^s~ 2.2?De
0,245.100,92-0,736.9
~ 2-2.19,4-20,3.Ю- ~
= 10460 Па = 10,46 кПа
ьр* =-;
1. По рис. 9.5 при Re,=3,68-104
находим коэффициент трения: / = 0,0274
По (9.9) при Фt = 1
fG\Ln_ 0,0274.21002.4,9.2 _
:2pD<S>, 2.1000.12,6-10~31
= 47 000 = 47 кПа
Потери давления на поворотах равны
четырем динамическим давлениям на ходу:
4лрУ2_ 4.2.1000-2,1* I _
= 17 600 Па = 17,6 кПа
Суммарные потери давления
АЯГ = APt + ДЯГ = 47+17,6 = 64,6 кПа
Пссрожидкостная
смесь
Греюш,иИ
пар
ГЙ
Вторичнрий
j—*~пар
U
ъ
Жидкость
испарение
Кожухотрубчатые испарители из труб с радиальными низкими
ребрами
Трубчатые испарители, в которых жидкость кипит в межтрубном
пространстве, бывают двух типов — с естественной и вынужденной
циркуляцией теплоносителя. Контур с естественной циркуляцией показан на
рис. 10.23. Часто испаритель
представляет собой обычный кожухо-
трубчатый теплообменник 1—2
с перегородками, к которому с
одной стороны подводится
жидкость, а с другой отводится паро-
жидкостная смесь. Скорость
естественной циркуляции
определяется весом столба жидкости zu
равным потере напора в контуре z2
плюс вес столба ларожидкостной
смеси г3. Испарители
изготавливают также в виде котлов паро-
трубного типа с кипением
жидкости в большом объеме и
выделением пара непосредственно в
кожухе (рис. 10.24).
Контур с принудительной
циркуляцией, создаваемой
насосом, показан на рис. 10.25. В этом
случае в качестве испарителя
также может использоваться
обычный кожухотрубчатый
теплообменник 1—2 с близко
расположенными перегородками и
сравнительно высоким гидравличе- Рис. 10.24. Испаритель паротрубного типа.
381
Конденсат
2
Рис. 10.23. Испаритель с естественной
циркуляцией в замкнутом контуре.

ским сопротивлением. Применение принудительной циркуляции
особенно целесообразно в случае длительного периода нагрева жидкости
до температуры кипения, когда коэффициенты теплоотдачи ниже, чем
при кипении. Если в испарителе паротрубного типа можно
безболезненно выпарить все 100% подаваемой жидкости, то в испарителях
с принудительной циркуляцией это совершенно недопустимо, поскольку
при полном выпаривании жидкости на поверхность труб выпадают
содержащиеся в ней загрязнения. Поэтому в контуре с принудительной
циркуляцией необходимо обеспечить постоянное омывание поверхности
труб большим количеством циркулирующей жидкости.
Трубы с низкими ребрами успешно используются в аппаратах, где
в большом объеме происходит кипение углеводородов и водных
растворов. Мейерс и Кац обобщили
Парожидкостная \.
смесь гЛ—
Греющий,
х пар
т
Вторичный.
*~nctp
Конденсат
}
Жидкость
* на
испарение
Рис. 10.26. Испаритель с принудительной
циркуляцией в замкнутом контуре.
/ — испаритель; 2 — барабан.
опытные данные о теплоотдаче
при кипении различных
хладагентов на низкоребристых и гладких
трубах и показали, что при низких
температурных напорах между
стенкой трубы и кипящей
жидкостью тепловой поток,
передаваемый через единицу площади
оребренной поверхности,
несколько больше, чем для гладкой трубы
[32]. При более высоких
температурных напорах наблюдалось
некоторое снижение
коэффициента теплоотдачи, которое
объяснялось тем, что температура
основной трубы была заметно выше
температуры оребрения. Но если иметь в виду, что на трубах с
низкими ребрами, с большими наружными поверхностями могут
поддерживаться плотности тепловых потоков того же порядка, что и на гладких
трубах, ясно, что возможная экономия при использовании труб с
низкими ребрами является весьма значительной.
Испаритель, который обеспечивает необходимые потребности в
тепле для процесса дистилляции в виде скрытой теплоты испарения,
называют ребойлером. При проектировании и эксплуатации ребойлеров
часто приходится сталкиваться с серьезной проблемой загрязнения, так как
жидкость, поступающая в ребойлер, содержит высокие концентрации
загрязняющих примесей, которые приносятся \в аппарат с исходной
жидкостью, поступающей на дистилляцию. Вебер сообщил, что трубы с
низкими ребрами успешно работали в таких аппаратах в течение
длительного времени [33]. В результате этого опыта трубы с низкими ребрами
получили широкое распространение в различных системах,
предназначенных для дистилляции органических жидкостей и особенно
углеводородов.
Вычисление коэффициентов теплоотдачи для испарителей, в
которых жидкость кипит в большом объеме, производится по эмпирическим
зависимостям существенно усовершенствованным работами Мак-Нелли
[34], Гилмора [35], Палена и Таборека [36], Палена и Смолла [37].
Лимитирующим фактором при расчете была максимально допустимая
плотность теплового потока, при котором еще не возникает
возможности пережога или «обволакивания» поверхности труб паром,
препятствующим поступлению жидкости к поверхности. Для предотвращения воз-
382

никновения таких условий, соответствующих критической плотности
теплового потока и критическому температурному напору,
использовались поверхности больших, чем расчетные, размеров и низкие значения
температурного напора At. Имеются данные, что трубы с низкими
ребрами имеют такие же, если не лучшие, характеристики, препятствующие
«обволакиванию», что и гладкие трубы.
Может показаться, что в связи с более высокой температурой
основной поверхности трубы по сравнению с ребрами пар будет
образовываться преимущественно у основной поверхности и обволакивать
трубу. В действительности это условие не является определяющим.
Межреберная полость частично ограничивает образование пузырей на
основной поверхности, так что торцы ребер становятся важными
центрами зарождения пузырей. Этому способствует и компактность
поверхности с низкими ребрами, так как число конвективных токов на
единицу длины трубы с низкими ребрами значительно больше, чем у
гладких труб.
При расчете испарителей принимаются следующие значения плот-
кости тепловых потоков и коэффициентов теплоотдачи:
1. Максимально допустимая плотность теплового потока при кипе-
, нии органических жидкостей, отнесенная к наружной поверхности
трубы, в условиях принудительной циркуляции составляет F,3-^-9,5) X
ХЮ4 Вт/м2, а в условиях естественной циркуляции D,7^-7,9) • 104 Вт/м2.
Максимально допустимая плотность теплового потока при кипении
воды и водных растворов низкой концентрации составляет (9,5-^-12,6) X
ХЮ4Вт/м2.
2. Максимально допустимый коэффициент теплоотдачи при
вынужденной или естественной циркуляции органических теплоносителей
составляет 1700—2800 Вт/(м2-°С), а воды и водных растворов низкой
концентрации 5700-s-ll 400 Вт/(м2-°С).
Так как цель этих ограничений состоит в исключении
обволакивания труб паром, применение высоких температурных напоров At не
допускается. При максимальной плотности теплового потока любое
увеличение At должно компенсироваться соответствующим снижением
коэффициента теплопередачи UD. Только при низких значениях UD
можно использовать более высокие температурные напоры At
Долгое время вызывало сомнение интересное наблюдение Палена
и Таборека, что шаги труб в пучках, используемых в условиях
конвективного теплообмена, часто оказываются слишком малыми для
условий кипения и затрудняют свободный отвод пара от поверхности
теплообмена.
Коэффициенты теплоотдачи при кипении жидкости на трубах
с радиальными низкими ребрами в условиях принудительной
циркуляции в межтрубном пространстве испарителя
Методы расчета теплоотдачи при кипении органических
теплоносителей в межтрубном пространстве испарителей применимы и ко многим
другим задачам парообразования в химической и
нефтеперерабатывающей промышленности. В зоне подогрева жидкости до температуры
насыщения коэффициент теплоотдачи вычисляется с помощью рис. 10.10,
как и для любого однофазного теплоносителя в межтрубном
пространстве теплообменника. Коэффициент теплоотдачи при кипении
движущейся жидкости также можно определить по рис. 10.10, если
предположить, что до образования паровых пузырей тепло передается жидкости
38а

путем вынужденной конвекции и соответствующий коэффициент
теплоотдачи является определяющим. Кроме того, его можно рассчитать
поэтапно с помощью модифицированного метода Локкарта —
Мартинелли для двухфазного парожидкостного потока.
Последний метод следует применять с определенной осторожностью.
Установлено, что при /вынужденном двухфазном течении в
горизонтальных и вертикальных трубах на большей части трубы режимы течения
изменяются от пузырькового до туманообразного. Во многих случаях
некоторые из этих режимов сосуществуют на различных участках
трубы от входа до выхода. Если провести аналогию между кипением в
трубах и в межтрубном пространстве теплообменника, то следует отметить,
что перегородки трубного пучка действуют как сепаратор уносимых
капель и мешают упорядоченным переходам одного двухфазного
режима в другой.
В вертикальных или горизонтальных испарителях паротрубного
типа тепло, идущее на подогрев жидкости, и скрытая теплота
парообразования передаются потоку жидкости одновременно и через одну и ту
же поверхность в противоположность изотермическому испарителю
с зоной предварительного подогрева, где эти теплоты передаются на
различных участках. Однако коэффициент теплоотдачи при кипении
в таких испарителях вычисляется так же, как и в изотермическом
испарителе с зоной предварительного подогрева жидкости. Коэффициент
теплоотдачи для комбинированной передачи тепла подогрева и
парообразования вычисляется в предположении, что вся тепловая нагрузка
парообразования передается жидкости в виде тепла подогрева в
интервале температур кипения.
Потери давления и действительная разность температур
в испарителях с принудительной циркуляцией теплоносителя
Потери давления в зоне парообразования межтрубного
пространства испарителя вычисляют по A0.6), используя массовую скорость пара
на входе и среднюю между входом и выходом плотность пара. В
настоящее время, как уже отмечалось, предпочитают использовать метод
Локкарта — Мартинелли. Если вертикальный испаритель находится под
гидростатическим напором питательной жидкости, то перед зоной
парообразования существует зона подогрева. По мере подъема в испарителе
питательная жидкость перегревается, после чего начинается
парообразование. При дальнейшем движении парожидкостной смеси к выходу из
аппарата ее температура уменьшается. Размеры зон подогрева и
парообразования находят методом последовательных приближений.
Если греющая среда изотермична, за действительную разность
температур принимают среднелогарифмическую Д/ДОг. Потери давления
вычисляют так же, как и при изотермическом кипении, используя число
Рейнольдса, в котором все параметры, кроме плотности, берутся для
условий на входе, а плотность — средняя между входом и выходом.
Испарители с естественной циркуляцией
При выпаривании жидкости в большом объеме, например в паро-
трубном ребойлере, коэффициент теплоотдачи зависит от разности
температуры стенки трубы и температуры насыщения кипящей жидкости.
Для расчета теплоотдачи при пузырьковом режиме кипения в узком
384

интервале температурных напоров стенка — жидкость, превышающих
5°С, Пален и Смолл рекомендовали уравнение Мак-Нелли.
. ft.=o,225(-)-"(fA)"'(Ay». (ш,6,
Если испаритель работает в широком интервале температурных
напоров, то необходимо учитывать подвод тепла на нагрев жидкости и
использовать средневзвешенное значение между коэффициентами
теплоотдачи при нагреве и кипении жидкости. Коэффициент теплоотдачи
при нагреве жидкости рассчитывается по формулам для свободной
конвекции. Поэтому для расчета коэффициента теплоотдачи в испарителе
при температурных напорах, меньших 5°С, Пален и Смолл
рекомендовали следующее соотношение:
*'.=/i+о.5зщ ";Х -) • (ia27)
где ho — коэффициент теплоотдачи при кипении; А'о— коэффициент теп-
лоотдачи при кипении с учетом подогрева жидкости.
ЗАДАЧИ
10.1. 13,5 кг/с продукта перегонки нефти плотностью 977 кг/м3 при температуре
16°С необходимо охладить от 250 до 135°С с помощью 25 кг/с сырой нефти
(плотностью 865 кг/м3 при 16°С), нагреваемой от 65 до 130°С. Вязкость продукта перегонки
на входе и выходе составляет соответственно 2,5-Ю-3 и 22-Ю" кг/(м-с). Термические
сопротивления загрязнения с обеих сторон поверхности теплообмена равны
3,5• 10~4 м2-°С/Вт. Допустимые потери давления: в потоке продукта перегонки 34,5 кПа,
¦в потоке сырой нефти 103,5 кПа. Определить минимальные размеры теплообменника,
обеспечивающего выполнение этих условий, если в нем используются стальные трубы
наружным диаметром 19 мм, длиной 4,9 м с 748 радиальными низкими ребрами на
1 м длины (высота ребра 1,6 мм). Трубы расположены по углам 'треугольников с
шагом 25,4 мм.
10.2. 55 000 кг/ч A5,3 кг/с) анилина охлаждаются от 135 до 93°С путем
нагревания 49 500 кг/ч A3,75 кг/с) бензина от 38 до 93°С. При допустимых потерях
давления 69 кПа и термическом сопротивлении загрязнений 3,5-Ю-4 м2-°С/Вт с каждой
стороны определить наименьший размер теплообменника со стальными трубами Dn =
= 19 мм, имеющим низкие ребра. Длина труб 6 м, расположение — по углам квадрата
с шагом 25,4 мм.
10.3. 43 000 кг/ч A2 кг/с) абсорбционного масла плотностью 35° API охлаждаются
от 205 до 93°С, нагревая дистиллят этого масла той же плотности от 38 до 93°С.
Вязкость абсорбционного масла равна 2,6-Ю-3 кг/(м-с) при 38°С и 1,15-Ю-3 кг/(м-с)
при 93°С (для экстраполяции или интерполяции постройте график зависимости
вязкости от температуры на логарифмической бумаге). Для обоих потоков допускаются
потери давления до 68 кПа, сопротивление загрязнения на каждой стороне составляет
3,5-Ю-4 м2-°С/Вт.
Используя трубы с 748 ребрами на 1 м длины диаметром 25,4 мм и длиной 6 м,
расположенные по углам треугольников с шагом 31,7 мм, определить наименьший
размер теплообменника, удовлетворяющий указанным требованиям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 10
1. Bell К. J. Petrol. Chem. Eng., 32 (И), С26—36, 1960.
2. Bell К. J. Univ. Delaware Eng. Expt. Sta. Bull. 5, January, 1963.
3. Whitley D. L. Chem. Eng. Progr. 957 (9), 59, 1961.
4. Emerson W. H. Natl. Eng. Lab. Rept. 45, August 1962.
5. Tinker T. Inst. Mech. Engrs (London), Proc. Gen. Discussion Heat Transfer,
1952, p. 89—116.
6. Tinker T. Trans. ASME, 8, 36—52, 1958.
7. Williams R. В., Katz D. L. Trans. ASME, 74, 1307, 1952.
8. Donohue D. A. Ind. Eng. Chem., 41, 2499, 1949.
9. Kern D. Q. Process Heat Transfer, p. 826, McGraw-Hill Company, New York,
1950.
25—192
385

10. Standards of Tubular Exchanger Manufacturers Association, 5th ed., rev., New
York, 1970.
11. Lohrisch F. W. Hydrocarbon Process Petrol Refiner 42E), 177, 1963.
12. Ibid., 42 (9), 197—200, 1963.
13. Ibid., 43 F), 153—157, 1963.
14. Kern D. Q. Process Heat Transfer.
15. Kern D. K. Petrol. Refiner, 35 (8), 128—132, 1956.
16. Underwood A. J. V. J. Inst. Petrol. Technol. 20, 145, 1934.
17. Nagle W. M. Ind. Eng. Chem., 25, 604, 1933.
18. Bowman R. A., Mueller A. C, Nagle W. M. Trans. ASME, 62, 283, 1940.
19. Kraus A. D., Kern D. Q. The Effectivness of Heat Exchangers with One Shell
Pass and Even Numbers of Tube Passes, ASME Paper 65-HT-18.
20. Kern D. Q. Petrol. Refiner, 8, 128—132, 1956.
21. Nusselt W. Z. ver. Deut. Ing., 60, 541, 1916.
22. Young F. L., Wohlenberg W. J. Trans. ASME, 64, 787, 1942.
23. Katz D. L., Geist J. M. Trans. ASME, 70, 907, 1948.
24. Short B. E., Brown N. E. Inst. Mech. Engs. (London) and ASME Proc. Gen-
Discussion Heat Transfer, Sec. I, p. 27, 1951.
25. Kern D. Q. AIChE J., 4 B), 157, 1958.
26. Dent J. С Brit. Chem. Eng., 10 A1), 753, 1965.
27. Kutateladze S. S. Fundamentals of Heat Transfer, 2d ed., p. 330, Edward Arnold
Ltd., London, 1963.
28. Moore J. A. Personal communication, 1965.
29. Akers W. W., Deans H. A., Crosser O. K. Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 55 B9),
171 1959
30. Lochart R. W., Martinelli R. С Chem. Eng. Progr., 45A), 39, 1949.
31. Moore J. A. Personal communication, 1965.
32. Meyers J. E., Katz D. L. Refrig. Eng., 51, 335, 1965.
33. Webber W. O. Petrol. Refiner, 39 C), 183—187, 1960.
34. McNelly M. H. J. Imp. Coll. Chem. Eng. Soc, 7, 18, 1953.
35. Gilmour С. Н. Chem. Eng. Progr. Symp. Ser., 55 B9), 67, 1959.
36. Palen J. W., Taborek J. J. Chem. Eng. Progr., 58 G), 37, 1962.
37. Palen J. W., Small W. M. Hydrocarbon Process. Petrol. Refiner, 43 A), 199r
1964.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ТЕПЛООБМЕННИКИ ИЗ ТРУБ С ВЫСОКИМИ ПОПЕРЕЧНЫМИ РЕБРАМИ.
ОРЕБРЕННЫЙ ВОЗДУШНЫЙ ОХЛАДИТЕЛЬ. ВОЗДУХ И ДРУГИЕ ГАЗЫ
В КАНАЛАХ
Введение
Стандартные трубы, трубы специального назначения и литые
трубчатые секции с высокими поперечными ребрами на наружной
поверхности уже давно широко используются для нагрева, охлаждения и
осушки воздуха и других газов. Ребра на таких трубах обычно называют
поперечными, а не радиальными, так как они необязательно бывают
замкнутыми (круглыми), как подразумевает последний термин, а
имеют часто спиральную форму.
Оребренный воздушный охладитель представляет собой аппарат ху
в котором горячий технологический продукт (обычно капельная
жидкость) движется в трубе, а охлаждающий атмосферный воздух омывает
наружную развитую поверхность, причем дутьевой вентилятор либо
отсасывает нагретый воздух (рис. 11.1), либо нагнетает холодный
(рис. 11.2). Газы в отличие от жидкостей сжимаемы. Поэтому при их
продувке через теплообменную аппаратуру допустимы лишь очень ма~
1 Этот аппарат называют также воздухоохлаждаемым теплообменником.
Последнее определение не соответствует приведенному в гл. 9г где применяется термин
«охладитель».
386

лые перепады давления, иначе затраты на сжатие могут составить
существенную долю общих эксплуатационных расходов. Так как все газы,
кроме водорода и гелия, имеют низкую теплопроводность и допустимые
перепады давления малы, то и коэффициенты теплоотдачи на наружной
поверхности труб сравнительно низки — 30—140 Вт/(м2«°С) при
атмосферном давлении. В гл. 9 при рассмотрении труб с высокими
продольными ребрами отмечалось, что стальные ребра высотой 12,7 мм и тол-
llliMilllli,lilHllMiMllllllliMiHllHI IMIIffimt
ж
mm
ч
iiiiiiiiiiiiiiiiHHiiiiiiiiiiHferi
10 Mffl 9
Воздух
10
Ш 9 Ь
Рис. 11.1. Оребренный воздушный охладитель с принудительной циркуляцией воздуха
(вытяжной вентилятор).
/ — неподвижный коллектор; 2 — вентилятор; 3 — охладитель с высокими ребрами; 4 — выходной
патрубок; 5 — каналы с опорами для секций труб; 6 — опоры труб; 7 — плавающий коллектор; 8 —
опора теплообменника; 9 — двигатель; 10 —¦ редуктор; // — воздушный коллектор.
Рис. 11.2. Оребренный воздушный охладитель с принудительной циркуляцией воздуха
(нагнетательный вентилятор). (Обозначения см. рис. 11.1.)
щиной 0,89 мм выгодно применять лишь при коэффициентах
теплоотдачи к жидкости, меньших 280 Вт/(м2-°С). Теплопроводность алюминия
и меди значительно выше, чем стали [соответственно 200 и
380Е[т/(М'оС) по сравнению с 45 Вт/(м-°С)]. Поэтому тонкие высокие
Т5ебр? из алюминия или меди, применяемые в различной теплообменной
аппаратуре для нагрева или охлаждения воздуха и других газов при
давлениях, близких к атмосферному, обладают очень высокой
эффективностью.
25* 387

Допустимый перепад давления в оребренных воздушных
охладителях измеряется сотнями паскалей (десятками миллиметров водяного
столба). При таких перепадах воздух можно продуть (по перекрестной
схеме) через несколько рядов труб с высокими поперечными ребрами.
Эти трубы нашли широкое применение в таких разнообразных теплооб-
менных устройствах, как экономайзеры энергетических парогенераторов,,
змеевики воздушных кондиционеров, системы утилизации тепла
отходящих газов на газотурбинных установках и химических реакторах, газо-
охлаждаемые ядерные реакторы, батареи центрального отопления,
воздушные охладители и т. д.
В перечисленных устройствах, в том числе и высокотемпературных,
горячие газы омывают оребренную поверхность, а вода или пар
движутся в трубах. Элемент с развитой поверхностью обычно представляет
собой трубу из хромистой стали, на которую спирально навита и по
всей длине приварена электродуговой сваркой лента из того же
материала, что и труба. Для высокотемпературных установок применяются
оребрекные трубы из стали с повышенным содержанием хрома. Чем
выше и тслще ребра, тем меньше их максимальное количество, которое
можно приварить на единице длины трубы посредством электродуговой
сварки, поскольку в зазор между ребрами должен проходить сварочный
электрод. Поэтому трубы с тесно расположенными высокими ребрами,
предназначенные для высокотемпературных установок, изготавливаются
методом контактной сварки. Трубы с высокими ребрами производят
также методом выдавливания ребер непосредственно из стенки трубы, как
и трубы с низкими ребрами, рассмотренные в предыдущей главе. Одна-
, ко выдавливание высоких стальных ребер, которые могут работать при
повышенных температурах, сопряжено с трудностями, поскольку в
процессе выдавливания возникает наклеп. В тех случаях, когда ребра
соединены с трубой электродуговой или контактной сваркой, контактным
термическим сопротивлением на границе ребро — труба в расчетах
можно пренебрегать.
Трубы с высокими ребрами все шире применяются в таких
аппаратах, как воздушные охладители, в которых горячий теплоноситель течет
в трубе, а атмосферный воздух, служащий охлаждающей средой,
продувается: вентилятором над оребренной поверхностью. Расчет оребренных
воздушных охладителей будет рассмотрен в этой главе, но прежде всего
следует отметить то обстоятельство, что в области их производства
достигнуты большие успехи: разработаны методы изготовления труб с
высокими ребрами, обладающие рядом технических и экономических
преимуществ. Образцы таких труб, обычно применяемых в воздушных
охладителях, показаны на рис. 11.3. Элементы типа а можно получить,
пропуская трубы через отверстия, выштампованные или просверленные
в металлических листах, и затем слегка раздавая трубы гидравлически
для создания напряжения в местах контакта труб и ^листов, которое
обеспечивало бы плотное соединение. Трубы и листы могут быть и
спаяны. Если трубы расширены так, что в местах соприкосновения с
листами обеспечивается только посадка с натягом, при расчете следует
учитывать контактное сопротивление между трубой и ребрами. В тех
случаях, когда трубы и листы спаяны, контактным термическим
сопротивлением можно пренебречь.
Показанные на рис. 11.3,6 — д оребренные элементы изготовлены
путем навивки с натягом на трубу металлической ленты. При этом
лента не приваривается и не припаивается к трубе и контакт зависит
только от натяжения ленты при навивке. В элементе типа е сочетаются на-
388

вивка с натягом и пайка. Для соединения алюминиевых ребер со
стальной трубой обычный оловянно-свинцовый припой непригоден; в этом
случае используется цинковый припой.
Э элементах типа ж основная труба используется как вкладыш,
а высокие ребра изготавливают из алюминия, из которого, как и из
меди, можно выдавить ребра значительной высоты. В элементах типа г>
д и ж для изготовления ребер также применяется алюминий. Оребрен-
ные рболочки защищают такие трубы от атмосферных воздействий,
потому что воздушные охладители обычно устанавливаются вне
помещений.
mm
ж) ь) и)
Рис. 11.3. Различные типы труб с высокими ребрами.
а — круглые трубы и сплошные пластинчатые ребра; б —спиральные ребра, навитые с натягом;
в —спиральные ребра, навитые с натягом на накатанную поверхность; г —спиральные L-образ-
ные ребра, навитые с натягом; д — спиральные L-образные утопленные ребра, навитые с натягом;
г — спиральные ребра, навитые с натягом и припянные; ж — ребра, выдавленные из стенки
трубы и составляющие с ней единое целое; з,—трубы с канавками под основания ребер, ребра
навиты с натягом, после чего стенки канавок плотно осажены; и — эллиптические трубы с
прямоугольными ребрами; 1 — пластина; 2 —накатка; 3 — пайка; 4 — основная труба; 5 — вкладыш;
6 — канавки.
Элемент типа ж, который иногда называют муфтовым, имеет
контактное сопротивление между внутренней поверхностью цельной ореб-
ренной трубы — муфты и гладкой внутренней трубой — вкладышем.
Контактное сопротивление между трубой и ребром в элементе типа э
близко к сопротивлению для паяных ребер. В элементе типа и
используется оцинкованные эллиптические стальные трубы и прямоугольные
рёбра. Если концы труб имеют круглое сечение, они непосредственна
ввальцовываются в трубные решетки коллекторов.
389

Рассмотрим типичный пример применения оребренного воздушного
охладителя с горячей жидкостью в трубах. Во многих случаях трубы
из углеродистых сталей удовлетворяют требованиям коррозионной
стойкости к потоку (внутри труб. С точки зрения высокой теплопроводности
и стоимости для изготовления ребер, навиваемых с натягом на трубу,
вполне подходит алюминиевая лента. Однако коэффициент
термического расширения алюминия в два раза б>пльте) чрм у стали, и чем выше
рабочая температура жидкости внутри труб, тем больше ребро стре-
мится удлиниться от начального размера при комнатной температуре,
ослабляя контакт, достигнутый при навивке с натягом, вследствие чего
контактное сопротивление увеличивается.
В одном из вариантов элемента типа г — навиваемая лента имеет
не L, а V-образное основание, причем обеспечивается прессовая
посадка между соседними ребрами и между ребрами и основной трубой при
комнатной температуре. При нагревании в процессе работы основания
ребер расширяются одно относительно другого и прессовая посадка
ребер сохраняется.
Контактное термическое сопротивление
Процесс теплопередачи во многих случаях включает перенос тепла
через различные последовательно соединенные твердые тела, например,
металлы, причем они находятся только в механическом контакте. В
некоторых случаях контактное сопротивление между различными
соприкасающимися поверхностями незначительно по сравнению с термическим
сопротивлением самих материалов или сопротивлением теплоотдачи на
внешних поверхностях. Однако в тех случаях, когда нужно обеспечить
большие тепловые потоки,
контактное сопротивление может
оказаться значительным <и им
нельзя пренебрегать. Например,
даже при низком коэффициенте
теплоотдачи, но большом
температурном напоре можно получить
тепловой поток высокой
плотности qjS—kM.
Когда две так называемые
«плоские поверхности» плотно
прижаты друг к другу, контакт
между ними возникает только
в относительно небольшом
количестве дискретных точек.
Поэтому действительная поверхность контакта составляет только малую
часть всей поверхности даже в тех случаях, когда поверхности очень
гладкие и сжимающая сила велика. В увеличенном виде точки
действительного контакта и полости схематично показаны на рис. 11.4.
Принимается, что полости заполнены некоторой текучей средой, иногда
это может быть даже разреженный газ. Если коэффициенты
теплопроводности находящихся в контакте тел существенно выше, чем
теплопроводность среды, заполняющей полости, то основная часть тепла
будет проходить через точки контакта, как показано на рис. 11.4.
Тепло может передаваться от одной поверхности к другой
следующими способами: а) теплопроводностью через точки действительного
контакта; б) теплопроводностью через среду, заполняющую полости;
390
\\J\rrVtJi\
И I I I I I М
Ьгт4-гН
11111
1111
I т
If*
Рис. 11.4. Характерная зона контакта двух
тел.
/ — номинальная контактная поверхность.

в) путем конвекции в полостях; г) излучением между поверхностями, не
находящимися в непосредственном контакте. Уменьшение размеров
полостей ведет к снижению влияния конвекции. С уменьшением разности
температур поверхностей уменьшается доля тепла, передаваемого
излучением. Поэтому теплообмен между поверхностями происходит в
основном за счет теплопроводности через действительные точки контакта и
(или) через среду в полостях.
Таким образом, контактное термическое сопротивление
представляет собой результирующее из параллельных сопротивлений
действительных контактов и полостей. Обозначим это полное контактное
сопротивление через гс, сопротивление между твердыми телами в точках
контакта гт, сопротивление полостей тепловому потоку через rv. Тогда
соотношение для параллельных сопротивлений выразится в виде
7—7-+Т-. (ИЛ)
Задача определения контактного сопротивления сводится к
отдельной оценке сопротивлений в точках действительного контакта и в
полостях. При теоретическом анализе контактного сопротивления желательно-
связать его со свойствами материалов, находящихся в контакте.
Существует несколько подходов к решению этой задачи.
Одно довольно сложное решение уравнения теплопроводности было
предложено Феничем и Розенау [1]. Метод, предложенный Шлыковым
и Ганиным [2], заключается в нахождении значений rv и гт. Согласно
Шлыкову и Ганину термическое сопротивление полостей представляют
в виде сопротивления прослойки постоянной толщины yv. Эту толщину
можно рассматривать как высоту слоя жидкости с объемом, равным
объему всех полостей:
ъ=-г, О1-2)
где V — объем полости; 5 —площадь поверхности контакта, или
контактная площадь.
На практике удобно определять yv как сумму средних
шероховатостей одной и другой поверхностей, т. е.
^=yi+72, A1.3)
где yi и Y2 — средние высоты поверхностных шероховатостей двух
находящихся в контакте тел.
Сопротивление полостей выражается формулой
где kv — теплопроводность среды, заполняющей полости.
Хотя в A1.4) не учтено изменение yv с изменением контактного
давления между поверхностями, последнее не оказывает существенного
влияния на сопротивление. Сетинкейл и Фишенден [3] и Шлыков и
Ганин [4, 5] установили, что даже при значительных изменениях
контактного давления и чистоты обработки поверхностей соприкосновения
yv изменяется незначительно.
Определение контактного сопротивления гт основано на
допущении, что в месте контакта возникает дополнительное по сравнению с
однородным телом падение температуры из-за прерывания линий
теплового потока в местах разрыва контакта.
391

Термическое сопротивление отдельного круглого контактного
«пятна» было вычислено в соответствии с исследованиями Гребера и Эр-
ка [6]:
'', = ?: A1.5)
где Ri — радиус контактного пятна; km — теплопроводность тела,
которую согласно простейшей модели можно считать одинаковой для
обеих контактных поверхностей. Если в соприкосновении находятся
различные поверхности, km нужно заменить на эффективную теплопроводность
k'mj определяемую по формуле
Опыты показали, что размер контактного пятна одинаков для ряда
материалов, таких, как сталь, алюминий, никель, медь, графит и др.
Если предположить, что контактное пятно имеет форму круга, то
в соответствии с экспериментами Шевцовой [7] и Бешотена и Ван-
дер-Хелда [8], радиус контактного пятна колеблется в пределах 25—
30 мкм.
Размер контактного пятна мало изменяется при изменении
контактного давления. Результаты опытов показывают, что действительная
площадь контакта при повышении контактного давления увеличивается
в основном за счет возрастания числа точек контакта, а не за счет
сколько-нибудь заметного увеличения площади отдельных контактных
пятен. Сопротивление отдельного контактного пятна может быть
принято постоянным и находится из соотношения
где Ri=0y025 мм или другому значению, соответствующему площади
контактного пятна TiR2i. Поскольку расстояние между отдельными
контактными пятнами велико по сравнению с их диаметрами, то можно
считать, что все контактные пятна изолированы друг от друга.
Для того чтобы выразить контактное сопротивление одного пятна,
приходящееся на единицу полной поверхности S, умножим г* на
отношение поверхностей SjnR2i\
'•=%&)"¦ <"-8>
Тогда контактное сопротивление между двумя твердыми телами
можно записать в виде
'* = ¦%> О1-9)
где п — действительное число точек контакта на единицу полной
поверхности контакта. Эта величина может быть выражена также через
действительную площадь контакта и площадь отдельного контактного
пятна: ;
п = ^.- A1.10)
Если подставить значения rs и п в A1.9), получим выражение для
термического сопротивления между двумя твердыми телами:
nRjS A1.11)
' т — ль Q • \i l.l ij
392

Осталось показать, что действительная площадь контакта может
быть выражена через свойства материала и контактное давление.
Зависимость пластической деформации, возникающей в процессе
контакта, от контактного давления в первом приближении
определяется соотношением
c'GBSa=PcS, A1.12)
где ов — меньший из пределов прочности материалов двух находящихся
в контакте тел; Рс — контактное давление; с' — коэффициент, который,
как установлено, для большинства материалов равен 3. Для более
мягких материалов, легко деформируемых даже в холодном состоянии,
например для меди, он равняется 5.
Подставив отношение SjSa из A1.12) в уравнение A1.11), получим:
crnRtcB
*kmPc
Выразив в последнем соотношении km из A1.6), найдем:
г»=^(*йг)- A1ЛЗ>
Уравнение A1.13) связывает контактное сопротивление между
двумя твердыми телами с контактным давлением и свойствами
соприкасающихся тел.
Подставив зависимость A1.4) и A1.13) в A1.7), получим
выражение для полной проводимости контакта:
[ ку _[ 4/ ck1k2 /j j <д\
Гс 'ii + t2~rcrnRiaB(kl + k2)' K * '
Следует отметить, что 1/гс представляет собой проводимость на
единицу площади полной поверхности контакта. Увеличивая контактное
давление, мы тем самым увеличиваем и проводимость. Справедливость
и точность A1.14) были подтверждены Шлыковым и Ганиным для
различных металлов при заполнении полостей воздухом и гелием.
Контактное термическое сопротивление труб с высокими ребрами
Контактное 'сопротивление между трубами и механически
посаженными высокими ребрами различных типов, показанными на рис. 11.3,
было изучено Гарднером и Карнавосом [9]. В наиболее общем своем
значении термин «механическая посадка» подразумевает отсутствие
металлургической связи ib отличие от случаев, когда ребра выдавлены
из стенки трубы, (приварены или припаяны к трубе.
Механическая посадка обеспечивается путем создания контактного
давления посредством упругой деформации или навивкой с натягом
металлической ленты на трубу, как в случаях б—д на рис. 11.3, или
расширением трубы по отношению к оребрению, как в случае а, или же
путем комбинации сжатия трубы, несущей оребрение, относительно
центральной трубы-вкладыша, и деформации трубы-вкладыша, как
в случае ж.
Чтобы упростить анализ, примем, что ребро, изготовленное
навивкой ленты, представляет собой тонкий круглый диск, концентричный
наружному диаметру трубы, а не виток опирали (см. рис. 11 Да).
Радиальный зазор между трубой и ребром обозначим через g, толщину
ребра бо, диаметры ребра и трубы D0 и D соответственно, шаг ребер Р/,
393

V
J°-
1
w
L
a)\
W<
\
i
\
1
1
i
3
ynwt
1
1
4
f
15'
теплопроводность жидкости в зазоре kv.
Термическое сопротивление зазора rg
может быть выражено через площади
наружных поверхностей трубы и ребра
следующим образом:
g PfD + n(D\-D*)/2
7zDdn
ИЛИ
D\-D*
2Ш0
я*. J
A1.15)
A1.16)
Величина Р//ябо часто
незначительна по сравнению с (D20—D2) [2D&Q,
поэтому приближенная формула для rg
имеет вид:
2kr,Dda
A1.17)
Рис. 11.5. Обозначения для
анализа контактного или граничного
сопротивления у труб с высокими
ребрами.
а — труба с ребрами, навитыми с
натягом; б — труба с оребрением
муфтового типа.
Для того чтобы определить, когда 'будет возникать радиальный
зазор между навитым с (натягом ребром и трубой, а также его размер
необходимо учесть термические напряжения ib ребре и (в трубе.
Тимошенко и Гудье [10] получили зависимости радиального
смещения ребра щ и радиального напряжения а/ от температуры / и
радиуса г. Для тонкого кругового диска эти соотношения записываются
следующим образом:
иг
afEf
A + vf)af
D/2
D/2
rdr
C,
«»н
Vf A + Vf)l*
]¦
A1.18)
A1.19)
где Ef и af — 'соответственно модуль упругости и коэффициент
термического расширения материала ребра; v/—коэффициент Пуассона;
t0 — температура, три которой остаточные (напряжения в ребре
отсутствуют; С\ .и С2 — постоянные интегрирования.
Для данного случая за U может быть принята температура, при
которой была изготовлена оребренная труба, например комнатная
температура. В уравнениях A1.18) и A1.19) смещение щ будем считать
положительным, когда оно направлено радиально от центра трубы, а
напряжение Of — коада оно является сжимающим. Константы Сх и С2
могут быть определены из граничных условий для напряжения.
Радиальное напряжение равно атмосферно:му давлению на наружной
.поверхности, где r=Do/2. Используя A1.19), получаем:
А>/2
С 4С 4a.f r*
r=TVf— D20(l + vf) =~D\ ) {t-Qrdf,
A1.20)
D/2
где отношением атмосферного давления к Ef мы пренебрегли. У
основания ребра, где r=D/2, радиальное напряжение должно быть равно
394

контактному давлению Рс. В этом случае A1.19) приводится к ©иду
Сг
4С,
l_Vf D2(l + vf) — Ef '
Решив A1.20) и A1.21) относительно Сг и С2, получим:
A1.21)
С/2
, _ г о-у/
'2 L ?>2о —
2 ^о e,(l+vf)fl» °о/2
D/2
A1.23)
Чтобы найти радиальное смещение в основании ребра, подставим
значения Ci и С2 в уравнение A1.18) и решим его для основания
ребра, где r=D/2. В результате получим:
2
{^ + v')?+WP=5r J Q-Urdr]. A1.24)
Уже отмечалось, что при /=/0 существует смещение ребра
относительно трубы. Если контактное давление между ребром и трубой
в условиях изготовления, т. с. при t=U, обозначить через Рсо, то
начальное смещение и/о равно:
A1.25)
— D (°2o + °2
2 lZJA —Z>2
VfW
Изменение радиального смещения ведет к изменению зазора
между ребром и трубой. Если обозначить изменение зазора через Ащ, то
его можно записать в виде
AUf=Ufb—UfQ. A1.26)
Подставив значения щъ и щ0 из уравнений A1.24) и A1.25),
получим:
л D
Auf = -T
D\ — D2
•Vf) (PcgfPco) +дг=дг j ?-««fr • 01-27)
D/2 J
Интеграл в уравнении A1.27) может быть представлен в более
привычной форме с (помощью введения в уравнение эффективности
ребра:
71 = (/л-А-^) I ('-'«>r^ A!-28)
D/2
где ^— температура в основании ребра; ta — средняя температура
окружающей среды.
Записывая t—U как (t—ta) — {ta—U) и подставляя A1.28) в
уравнение A1.27), получаем:
Аи
1-
2
D\ + D*
(Рс-Рсо)
-*f(ta-t.)+*Mh-tj]. (H.29)
При повышении температуры сама труба также расширяется,
/поэтому следует учитывать и ее радиальное смещение. Для анализа сме-
395'

щения трубы может 'быть применен аналогичный метод; при этом
принимают, что контакт с ребром равномерен по поверхности трубы,
а давлением внутри трубы пренебрегают. Таким образом получено
следующее выражение, определяющее 'изменение радиального
смещения трубы:
где ш, Et и v*—соответственно коэффициент термического
расширения, модуль упругости и коэффициент Пуассона материала трубы;
xw — толщина стенки трубы; tw — температура стенки трубы.
Допущение о равномерном распределении контактного давления
по стенке трубы 'справедливо только в том случае, когда шаг ребер
определяется неравенством
JL
Pf<0A3[xw(D-xw)]2 .
Температуры основания ребра h и стенки трубы tw обычно
заранее неизвестны и должны быть вычислены по известным температурам
сред и термическим сопротивлениям. Полное термическое
сопротивление _/? может быть выражено уравнением
2Я=_Я*+г„ A1.31)
где 2/?*— полное сопротивление при отсутствии радиального зазора.
Тогда
ZR* = r-f + r'n + rm + r'lt, A1.32)
где г'о и г'го — соответственно наружное и внутреннее сопротивления на
границе стенка — жидкость, включая и сопротивления слоев
загрязнения; г'со — контактное сопротивление; гт0 — сопротивление металла
стенки; ц — эффективность ребра. Все эти величины отнесены к
полной наружной поверхности. Контактное сопротивление гс так тесно
связано с Го, что с помощью простых экспериментов не удается
определить их каждое в отдельности; г'с0 включено в A1.32) просто для
того, чтобы отметить то обстоятельство, что сопротивление зазора
отличается от действительного сопротивления поверхности раздела между
ребром и трубой на величину гс0. Тепловой поток через каждую часть
оребренной трубы постоянен и для последовательно соединенных
сопротивлений определяется из соотношений
_____ __ ___. {Um66)
Если приравнять первые два члена, разрешить полученное
соотношение относительно tw и из обеих частей вычесть to, получим
уравнение
'«-*. = <Тн -*.) - й?^г (П ~ta), A1.34)
в котором (tw—to) выражено через известные температуры и
сопротивления. Приравнивая первый и третий члены уравнения A1.33),
получим уравнение
1(*ь-*') = ш?$т;<Гн-*а). (П.35)
896

которое связывает (/&—ta) с известными температурами сред и
•сопротивлениями. Уравнения A1.34) и A1.35) моогут (быть в свою очередь
подставлены в A1.27) и A1.30), чтобы получить изменения
(радиального смещения (ребра и трубы:
Я
д«<=-г {«<[<?" ~ **> ~ {шртт;) <г* ~ '-)]-
Разность между Л«/ и Aut дает .радиальный зазор g\ Вычитая
уравнение A1.37) из A1.36), получаем:
g=-T{(*f ~ «*) (Th-ta) - |af (l - gggfcr-)~
-^(wV^jl^A-^ + J*^-^.)}. (П.38)
где м, — константа, которая зависит только от свойств ребра и трубы
я находится по формуле
Естественно, что отрицательные значения g не имеют физического
смысла и A1.38) (позволяет вычислить радиальный зазор только в
случае положительных значений g.
В соответствии с A1.38) для оребренной трубы с механической
посадкой ребер, если g положительно, то контактное давление Рс
'равно нулю и термическое сопротивление зазара может быть вычислено
путем (подстановки выражения для g в уравнение A1.17):
U = р{К-^(т»~О->^,- [«,(i -цйй;)-
-а'(йй^)](Г*-'4 AL40)
где
ГJ ГJ
P = %jf- • (IL4l)
Анализ уравнения A1.40) показывает, что для получения точного
значения rg необходимо решить громоздкое квадратное уравнение.
Предполагается, однако, что rg значительно меньше, чем 2/?*, и в связи
с этим -можно аппроксимировать l/(R* + rg) уравнением
1 f\~-IlA. (П.42)
397

Если это приближенное (соотношение подставить в уравнение
A1.4Q), получим приближенное выражение для rg:
_ Р {(«/ ~ *t) (Th- Ц - txPco- [of A - гуЗД*) == а, (rySR*)] Gj- Q} (um
Уравнение A1.40) может 'быть также использовано для
определения условий, при которых начинает образовываться зазор; в этом
случае g=0 и Рс=0, откуда в свою очередь следует, что rg=0 или
Уравнение A1.44) можно (рассматривать как ограничение на
условия работы оребренной трубы. Оно позволяет вычислить температуру
жидкости в трубе Th, при которой начинает образовываться зазор,
в зависимости от t0, Рсо, ta и сопротивлений. С помощью него можно
также получить температуру жидкости, омывающей ребра, в
зависимости от Th, U, Рсо и сопротивлений. Записанное в виде неравенства
(«f - **) (Тн - *.) > ?рс, + [»/ (l ~ mr)-*t щг] (Г* - О. A1 -45)
оно характеризует условия, ери которых существует радиальный зазор.
Гарднер и Картавое [11] детально рассмотрели также влияние
неидеальности модели, показанной на рис. 11.5, в частности влияние
неконцентричности зазора между навитым ленточным ребром и трубой и
между соприкасающимися поверхностями оребренной трубы-муфты как
возможного результата процесса выдавливания ребер.
ВОЗДУШНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОДУКТОВ
Введение
Экономическая эффективность замены водяного или
комбинированного (воздушно-водяного) охлаждения технологических ;и
энергетических установок на чисто воздушное заслуживает постоянного
внимания и переоценки. Воздушные охладители из оребренных труб были
показаны на рис. 11.1 и 11.2. Установлено, что даже на предприятиях,
расположенных у рек, озер, океанов или вблизи артезианских скважин»
воздушная система охлаждения технологических установок часто
оказывается дешевле и проще в эксплуатации, чем водяная или
комбинированная.
До применения воздушных охладителей выбор места для новой
теплосиловой или технологической установки был сопряжен с
многочисленными анализами (пригодности охлаждающей воды. Для уменьшения
расходов на трубопроводы и перекачивание первые технологические
установки на новом предприятии обычно располагают вблизи
источников охлаждающей воды. С ростом числа и размеров установок система
снабжения охлаждающей водой развивается, длина трубопроводов
возрастает, пока постепенно не появляется необходимость в строительстве
дополнительной системы водоснабжения. Создание такой системы
зачастую составляет наиболее значительную долю в общих затратах на
расширение предприятия.
По мере все более широкого применения оребренных воздушных
охладителей относительная стоимость воздушного охлаждения енижа-
39 8

ется. Воздух позволяет шире использовать трубы из углеродистой
стада и легких сплавов, не вызывает коррозии и загрязнения, не попадает
в охлаждаемую жидкость, т. е. устраняет проблемы, «связанные с
применением охлаждающей воды. Сравнительный экономический анализ,
который еще несколько лет назад отдавал предпочтение водяной и
Рис. 11.6. Трубная
секция.
1 — закрепленный конец;
2 — перегородки в пучках
труб; 3 — плавающий конец
(для расширения); 4 —
пробка против каждой
трубы; 5 — разделительная
перегородка между ходами;
5 — основная труба; 7 —
грубная решетка; 8 —
стальной коллектор; 9 — решетка
для пробок.
V
А-Л
5st?pZZZZZQ g4
_1»И
HEZZZZZH
комбинированной системам охлаждения, а не воздушной, ib настоящее
время во многих случаях дает прямо противоположный результат по
следующим причинам: во-первых, стали доступны крупные оребренные
воздушные охладители по низкой цене, во-вторых, накоплен большой
опыт эксплуатации таких охладителей в различных технологических
схемах. Применение воздушных охладителей позволяет также значи-
О о О О
° о о оо°
Рис. 11.7. Вентилятор с клиноременным приводом от электродвигателя.
/ — защитный кожух вентилятора; 2 — смазочный штуцер; 3 — съемный защитный кожух;
4—бетонная опора; 5 — натяжное устройство; 6 — клинрвидные ремни; 7 — самоустанавливающиеся
подшипники.
339

тельно снизить расход охлаждающей воды на существующих
установках с водяным охлаждением или уменьшить размеры новых установок
с комбинированной системой охлаждения.
Принимать решения о выборе системы охлаждения, которая
оптимизировала бы технологический процесс ib целом, по мере расширения
объема знаний по данному вопросу становится овсе труднее. Вместе
с тем оптимальные решения становятся более надежными. Еще авторы
ранних работ [12—43] пытались численными или аналитическими оде-
Рис. 11.8. Вентилятор с приводом от электродвигателя через шестеренчатый редуктор
и лопастями с переменным шагом.
7 —регулятор: 2 — защитный кожух вентилятора; 3 — внутренний регулирующий стержень; 4 —
регулировочная скоба и опорный подшипник; 5 —бетонная опора; 5 —червячный редуктор; 7 —
вертикальная муфта.
тодами оптимизировать затраты на охладитель и оборудование. Однако
в этих расчетах учитывались не все характерные переменные.
Основная трудность заключалась в отсутствии надежных данных о
зависимости стоимости от различных физических параметров.
После этих и некоторых последующих работ остался ряд важных
вопросов. Достигалась ли в действительности экономия, обусловившая
выбор той или иной системы охлаждения? Во многих ли случаях
пришлось существенно изменять принятое решение в результате опыта
эксплуатации системы охлаждения? Для одной установки такой
анализ проведен в работе [44]. Однако не. следует делать заключение,
что каждое из опубликованных ранее решений реализовано на
практике и после соответствующей корректировки признано верным.
Технические решения, продиктованные лишь низкими ценами на
оборудование, часто не учитывают опасности морального устаревания
технологического процесса. В действительности такие решения даже
способствуют ему. Обычно они сочетают низкие капитальные затраты
с высокими эксплуатационными расходами. Простым, но надежным
критерием сравнения .различных систем охлаждения является срок
окупаемости, т. е. время, необходимое для возмещения капитальных
затрат из полученной прибыли после покрытия эксплуатационных издер-
400

жек, налогов и отчислений на амортизацию. Бели капитальные затраты
окупаются за 2 или 3 года, то годовые эксплуатационные расходы,
по-видимому, малы по сравнению -с капиталовложениями в расчете на
год. Эксплуатационные расходы и отчисления на амортизацию
продолжаются и после того, как миновал срок окупаемости. Вполне
возможно, что через несколько лет эксплуатации появится новая технология
производства той же продукции с существенно более низкими
эксплуатационными расходами.
Рис. 11.9. Жалюзийное устройство.
/ — прокладка; 2 — латунная втулка; 3 — стальная лопасть.
Оребренный воздушный охладитель и оборудование
комбинированной (воздушно-водяной) системы охлаждения зачастую стоит дороже
оборудования водяной системы охлаждения, даже если известно, что
срок их окупаемости короче. Хотя прошло уже свыше 20 лет с тех пор,
как оребренные воздушные охладители доказали свою
исключительную ценность и безотказность в работе в районах, страдающих от
недостатка воды, на химических заводах в Европе и на газопроводах
в США, вопрос о применении воздушного охлаждения на многих
технологических и нефтеперерабатывающих предприятиях рассматривают
только тогда, когда ощущаются затруднения в обеспечении установок
охлаждающей водой. Такое положение вещей сохранилось до сих пор
потому, что воздушные системы охлаждения были сконструированы
гораздо позже водяных и методы экономических расчетов для них еще
недостаточно разработаны. Расчетные капитальные затраты для
системы воздушного охлаждения обычно завышались по сравнению с
затратами на градирни или другие обычные источники охлаждающей
воды. Поэтому 'многочисленнее возможности использования систем
воздушного охлаждения в различных технологических процессах остались
нереализованными.
Существенную часть стоимости охладителя составляет стоимость
трубного пучка. Даже небольшая экономия в затратах на трубы дает

изготовителю воздушного охладителя большую выгоду. В некоторых
случаях в охладителях 'могут применяться любые сребренные трубы.
Если же коэффициент теплоотдачи к потоку в трубе ниже, чем 60:—
80 Вт/(м2-°С), (применять сребренные трубы нет смысла и следует
использовать гладкотрубный пучок. Однако такие случаи сравнительно
редки.
Конструкция охладителя
Сребренный воздушный охладитель состоит из одного или
нескольких горизонтальных рядов труб, образующих секцию, через которую
снизу вверх принудительно продувается воздух. Вентилятор может
находиться над секцией, засасывая нагретый воздух (рис. 11.1), или
под секцией, нагнетая холодный воздух (рте. 11.2). В охладителе
с всасывающим вентилятором (рис. 11.1) вследствие высокой скорости
на выходе из вентилятора нагретый воздух выбрасывается на большую
высоту. Благодаря этому лишь сравнительно небольшое 'количество
нагретого воздуха снова попадает под секцию и засасывается- в
охладитель, уменьшая температурный напор между охлаждаемой
жидкостью и воздухом.
В охладителе с нагнетательным вентилятором воздух покидает
теплообменник с относительно небольшой скоростью недалеко от входа
в вентилятор, где всасываемый воздух имеет высокую скорость. В этом
случае значительно вероятнее, что выбрасываемый нагретый воздух
попадает на вход вентилятора, т. е. будет происходить рециркуляция.
В настоящее время, как и свыше 30 лет назад в градирнях с
принудительной тягой, предполагают применять охладители со всасывающими
вентиляторами. Отдельные узлы сребренного воздушного охладителя
показаны на рис. 11.6—11.9. Основными 'конструктивными элементами
являются двигатель, редуктор, вентилятор с опорой, антивибрационное
устройство (на рисунках не показано), кольцо Вентури, окружающее
лопасти вентилятора, диффузор (конфузор), пучок (секция) оребрен-
ных труб .и жалюзи над секцией, используемые в зимний период при
очень низких температурах воздуха.
Для увеличения жесткости и уменьшения вибраций в секции
обычно предусмотрен ряд поперечных опор и перегородок. На рис. 11.6
показан пучок с трубными ходами, расположенными рядом и друг над
другом. В зависимости от тре'буемото температурного напора может
использоваться та или иная ориентация трубных ходов. В охладителях
используются коллекторы с крышкой на фланцевом соединении или
цельносварные. Последние предпочитают использовать при высоких
давлениях охлаждаемой жидкости. Поскольку такие коллекторы
дешевле коллекторов с фланцами, их используют также при достаточно
чистых теплоносителях, не вызывающих коррозии труб. Когда поток
загрязнен или вызывает сильную коррозию, применяют коллектор
с фланцевым соединением с прямоугольной крышкой через прокладку.
Когда крышка приваривается <к коллектору, в нее против входа в
каждую трубу ввинчивается пробка из стали, латуни или другого
материала, через которую производится чистка трубы. Она позволяет также
заглушить или удалить вышедшую из строя трубу.
Обычно ширина секции равна 2,5 м, длина—2,5—5 м. В более
крупных охладителях длина труб достигает 7,5—-12,5 м при той же
ширине секции, причем для лучшего воздухораспределения используют
два вентилятора. Когда охлаждение жидкости происходит в большом
402

температурном интервале, желательно располагать две секции
(воздушного охладителя одна над другой. При этом допускается большая
разница в термическом удлинении труб и в то же время уменьшается
число двигателей, опор <и занимаемая установкой площадь.
Опорные конструкции для таких секций должны быть точно
рассчитаны и правильно сопряжены с остальной частью установки с тем,
чтобы уменьшить возможность возникновения вибрации, которая
представляет оласность для вентилятора, приводного механизма и опоры в
процессе работы установки. При возникновении (вибрации лучше всего
немедленно отключить установку, с этой целью иногда устанавливают
вибрационную блокировку. Кольцо Вентури служит, чтобы эффективно
направить «воздух в диффузор, где он расширяется и движется вверх.
Привод может быть четырех типов: один состоит из
электродвигателя и клиноременной передачи, показанной на рис. 11. 7, другой из
электродвигателя и шестеренчатого редуктора (рис. 11. 8). В третьем
типе привода используется двигатель внутреннего сгорания, а в
четвертом небольшая паровая турбина.
Ременная передача дешевле, чем шестеренчатый редуктор, однако
она требует особого внимания при установке вне помещений.
Из шестеренчатых редукторов чаще всего применяют редукторы
планетарного или червячного типов.
Вентиляторы обычно имеют четыре и более лопастей. По
нескольким причинам целесообразно применять лопасти с переменным углом
наклона. Одна из причин обусловлена изменением термодинамических
параметров воздуха, в частности плотности в зимние и летние -месяцы,
а следовательно, и изменением эффективности вентилятора с жесткими
лопастями. Другая причина связана с охлаждением высоковязких
жидкостей, когда в трубах могут образовываться пробки, препятствующие
циркуляции теплоносителя -и затрудняющие работу насосов. Наклон
лопастей вентилятора изменяют вручную или с помощью специального
механизма непосредственно в процессе работы (рис. 11. 8). Для
«предотвращения переохлаждения теплоносителя используют также двухско-
ростной электродвигатель или систему жалюзи, управляемую вручную
или автоматически с помощью регулятора тяги, как показано на
рис. 11.9.
РАСЧЕТ ОРЕБРЕННЫХ ВОЗДУШНЫХ ОХЛАДИТЕЛЕЙ
Введение
Расчет оребренных (воздушных охладителей только в некоторых
отношениях отличается от расчета теплообменников в гл. 9 и 10.
Основное различие относится к воздушной стороне и обусловлено
использованием в качестве охлаждающей среды воздуха вместо воды. Как уже
отмечалось, воздух обладает большой сжимаемостью, а вода
практически яесжимаема, поэтому для продувки воздуха через пучки оребренных
труб можно использовать только небольшие перепады давления, в
противном случае затраты на сжатие станут недопустимо большими.
Обычно допустимые потери давления на воздушной стороне составляют около
100—150 Па A0—15 мм вод. ст.). Как уже отмечалось, воздух
поперечно обтекает трубы в пучке, поэтому необходимо иметь данные о
коэффициентах теплоотдачи й гидравлического сопротивления при
поперечном обтекании. Как правило, температурный напор нельзя вычислить
26* 403,

-заранее, поскольку объем воздуха и, следовательно, повышение его
температуры зависят от падения давления воздушного потока и
площади поперечного сечения потока в охладителе.
Теплоотдача и потери давления в воздушном потоке
Данные о теплоотдаче и потерях давления представлены на
рис. 11. 10 и 11. 11 и применимы практически для любого числа ребер.
Средневзвешенная эффективность оребренной трубы муфтового типа
наружным диаметром 50,8 мм с 354 ребрами на 1 м длины .приведена
на рис. 11. 12. Существуют множество других типов труб и размеров
^cTm(lf)
%
0,012!
0,011
OfilO
от
0,00?|
0,006
0,005
€70№\
0,003
-5-
З*4
г*
Л
верхняя кривая | I |
для,2 и Ноже рядов |j]
s^
/
Вытяжной
бентилятор:
10 рядов идош
8
6
i
4
2рядаи5олее
-I l-i 1 Г
0,5
0,3
0,2
1
4 x10s
2 3
Рис. 11.11. Коэффициенты
гидравлического сопротивления f=2APp/4G2mN
для оребренных воздушных
охладителей.
6 7 В 9 10 11 1213 Н151517x103
Рис. 11.10. Теплоотдача в
оребренных воздушных охладителях при
различном числе рядов труб.
При применении вытяжного вентилятора
кривые /—5 соответственно для 2, 4, 6, 8
и 10 рядов и более; при применении
нагнетательного вентилятора для двух и
большего числа рядов использовать
кривую 5.
ребер и большое разнообразие
материалов, из которых они
изготавливаются. Они имеют, естественно,
другие характеристики. Кроме того,
много труб выпускаются в
соответствии с рис. 11.3,6, в, е> а также
с зубчатыми или разрезными
ребрами. Ребра таких типов для
оребренных воздушных охладителей
изготавливаются, как правило, по внутренним стандартам предприятий для
собственных нулфх и по этой причине в книге не рассматриваются.
Средневзвешенные эффективности оребренных труб других размеров,
изготовленных из различных материалов, можно вычислить, используя
-методы, изложенные в гл. 9 и 10.
В приводимых в этой главе соотношениях для расчета оребренных
воздушных охладителей используются различные эквивалентные
диаметры для теплообмена и потерь давления. В соотношении для расчета
теплоотдачи употребляют эквивалентный диаметр
Я =
2 (полная наружная поверхность)
тс (проекция периметра)
A1.46)
404

Число Рейнольдса определяется выражением DeGm/fx, где Gm —
массовая (скорость © узком сечении; /:—фактор теплоотдачи,
определяется выражением
\Г A1.47)
h /gfx\3
' cGm\k )
где Gm также относится к узкому сечению.
По данным изготовителей труб муфтового типа при температурах
центральной трубы до 200°С термическое контактное сопротивление
между оребренной оболочкой и трубой не превышает 1,2-10~4 м2'°С/Вт.
Контактные сопротивления для оребренных труб с навитыми ребрами
и муфтовых труб других типов можно рассчитать по формулам
Гарднера и Карнавоса [уравнение A1.43) и следующее]. Коэффициенты
Ш
ОД
0,8|
о;
0,5\
Ww !!===
1 i 1 i M 1 i
L ! ! IMil
г
¦г
! I
vj ¦
i
i
1/bo+7io
J
4 5 6 7 8 10
*5;ддВт/(мг-С)
20 30 40 50 60 80
Рис. 11.12. Средневзвешенные эффективности оребренных труб в воздушных
охладителях. (Труба /)Нар=25,4 мм; Z)pe6ep=50,8 мм; 6=0,48 мм; 354 ребра на 1 м длины).
/ — алюминий, ?-200 Вт/(м • °С); 2 — медь; Л-380 Вт/(м • °С).
теплоотдачи и шотери давления внутри труб -рассчитывают методами,
изложенными <в гл. 9 и 10. Для расчета (потерь давления в воздушном
потоке используется объемный диаметр, определяемый выражением
г^ 4 (полный свободный объем) ,-- 4«.
° g (общая поверхность) * \ • )
Число Рейнольдса Re=DrGm/^, где массовая скорость Gm
определяется в узком сечении пучка. Коэффициент трения рассчитывается по
формуле
f _ 2ДРР
A1.49)
где N — число рядов труб в пучке.
Поскольку термические сопротивления теплоотдачи с наружной и
внутренней сторон труб, контактное сопротивление и фактор
загрязнения внутри трубы относятся к различным поверхностям, их следует
привести к одной поверхности и сложить. Загрязнение с воздушной
стороны не учитывается, так как коэффициент теплоотдачи здесь низок
и термическое сопротивление теплоотдачи является определяющим.
Для труб «муфтового» типа все термические сопротивления обычно
относят к наружному диаметру трубы, несущей оребрение, DR. В этом
случае выражение для суммарного термического сопротивления, вклю-
405

чающее сопротивление загрязнения в трубе, но не учитывающее
сопротивление теплоотдачи к воздуху, имеет вид:
SRV
hi dx
-+я
Dc
di dr
DD
Dt
DQ
kL dLcp
kR dRcp
A1.50)
В A1.50) первый член учитывает сопротивление теплоотдачи в
трубе, второй—сопротивление загрязнения в трубе, третий — термическое
сопротивление стенки центральной трубы — вкладыша, четвертый —
контактное сопротивление и пятый— термическое сопротивление
стенки наружной трубы, несущей оребрение. Коэффициент теплоотдачи
в центральной трубе hi рассчитывают методами, изложенными в гл. 9
и 10. Сопротивлением загрязнения с воздушной стороны обычно
пренебрегают, поскольку оно мало по сравнению с сопротивлением
теплоотдачи к воздуху.
CfXf'tf
BTl8,X6r,X6"Cl
я'
2
3'
Действительная разность температур при поперечном
обтекании труб в пучке
Когда теплоноситель проходит через межтрубное пространство из
труб с высокими ребрами, помещенных в специальный канал, или
когда воздух омывает сребренные трубы воздухоохладителя, такую схему
течения называют перекрестноточной. Распределение температурного
напора при перекрестном движении теплоносителей показано на
рис. 11.13. Видно, что оно существенно отличается от распределения
температуры при противотоке, прямо-
или прямоточно-противоточном
течении, описанных в гл. 9 и 10.
Предположим, что перегородки,
указанные на рис. 11.13
вертикальными линиями, установлены
перпендикулярно трубам в направлении движения
потока газа для того, чтобы
предотвратить вибрацию труб и избежать
поперечного перемешивания газа (вдоль
труб). В точке А первого
горизонтального ряда труб и плоскости 1—V
разность входной температуры воздуха Тг
и входной температуры жидкости t\
максимальна. В плоскости 2—2Г (в
точке А') разность между входной
температурой газа и температурой
подогретой жидкости несколько меньше.
Аналогично для плоскости 3—5' (точки А")
температурный напор бдает еще
меньше. Следовательно, в первом ряду разность температур
изменяется по всей длине труб. При рассмотрении более высокого ряда
труб видим, что температура газа над первым горизонтальным рядом
труб изменяется вдоль длины труб, поскольку количество тепла,
переданного воздушному потоку, при прохождении через первый ряд
уменьшается с уменьшением температурного напора. Над вторым
горизонтальным рядом температурный напор также меняется от
точки к точке, но при этом температуры газа, выходящего из
этого ряда, значительно отличаются от соответствующих' температур
406
А"
3
Рис. 11.13. Схема распределения
температур при перекрестном токе в од-
ноходовом теплообменнике
(перемешивание по сечению в обоих
потоках не происходит).

после первого ряда труб. Такая картина распределения температурного
напора отличается от теплообменников, описанных.в гл. 10, в которых
считалось, что теплоноситель в межтрубном (пространстве
перемешивается и распределение температур однородно в любом поперечном
сечении трубного пучка и предполагалось, что все ряды труб,
составляющие каждый трубный ход, имеют одну и ту же температуру.
Рассмотрим теперь другой случай, когда перегородки в секции,
изображенной на рис. 11.13, убраны и трубы имеют небольшую длину,
так что газ, проходящий через ряд труб, можно считать хорошо
перемешанным. Такая модель существенно отличается от модели,
изложенной выше, и отличается также от модели теплообменника 1—2. В
модели теплообменника 1—2 однородное по поперечному сечению
распределение температуры изменяется по длине трубы. В рассматриваемом
случае распределение температуры газа в поперечном сечении
изменяется от ряда к ряду труб и легко видеть, что температурный напор
в значительной степени зависит от того, происходит ли перемешивание
одного, обоих потоков или отсутствует совсем.
Когда (газовый поток направлен под прямым углом к пучку,
образованному одним рядом одноходовых труб, обе среды можно считать
неперемешивающимися. Однако не всегда возможно определить точно,
в какой степени потоки перемешиваются. Определение степени
перемешивания в некоторой степени произвольно для пучков из труб
'большой и малой длины. Ниже рассматриваются четыре возможности
теоретического учета перемешивания, что позволяет оценить ошибку
расчета при учете лишь одного из них.
Проводимыи-^нализ дается в соответствии с работами Нуссельта
[45] и Смитам46П а графики, соответствующие окончательным
уравнениям, представлены в форме, предложенной Нейглом [47] и
Бауманом, Мюллером и Нейглом [48]. Некоторые другие схемы
рассматриваются в гл. 12. Рассматриваемый теоретический анализ исходит из
обычных допущений, за исключением специально оговоренных
предположений относительно перемешивания. Обозначим температуру
горячей среды через Г, холодной t, а индексами 1 и 2 соответственно вход
и выход. Удобно определить следующие параметры: /,
к Ti — T2 U — tx р К Т1—Тг , v At
А— тг — и ; Г, —*, ' А— е ^-г, ; W— Tl^t1 •
Из A0.12) для противотока находим:
(А *-1 - (*-g)/e
^против— 1П [A —е)/A —,Re)] In [(l_e)/(l —/С)] *
Для того чтобы по среднелогар'Ифмической разности температур
А^лог определить действительный температурный напор At, используем,
как и в гл. 10, поправочный коэффициент
F (')
(Г)ПРОТИВ
Тогда Д/^^гА/лог; (г) без индекса характеризует истинное значение
разности температур при перекрестном токе.
Обращаясь к рис. 11.13 и применяя уравнение теплового баланса,
в котором температурный напор при перекрестном токе обозначен
через 8, получаем:
USb^l\U{T-t)dxdy\ A1.51)
WC (Т1 — Т2) = wc (tt - Q; A1.52)
407

At
Г — (Tx-ti)-(Tt-tt)
1п[(Г,-у/G-г-^)]
?j^ = CAt, A1.53>
где
d=[l—(Д<с/.Д/л)]/1п(А/л/А/с)
является функцией только Atc/Ath. Пусть XY будет полная площадь
(поверхности трубы, омываемой воздухом, который поднимается ©верх
в направлении х, а жидкость © трубах движется слева направо в
направлении у.
Рассмотрим случай, когда каждый теплоноситель полностью
перемешан по поперечному сечению (на рис. 11.14,а приведены кривые,
соответствующие этому случа^), ^огда
U(T-t)dxdy = WCb-^-- .'«^„й
y-dy^dx^-^dx-^iy.
A1.54>
1,0
0,9
с 0,8
гг
0,7
0,6
1,0
0,3
/у 0,8
0,7
0,6
U0
0,9
FT0,8
0,7\
L 7*
\у
[ 2'
\
L
Si&
^
Uo
< \
Ч
Ь$
W*
йИ
Т1
ж
а)
\- Ъ"
-т~ У
П*
Д#
V
о\
оАс
»«у
[ \ \
0,2.
Т2
)h
•*~U
5)
sr^a
>
N
\
It
LU
4s
^
X
г
L
\\Ao,t
\о,
*v
'0,1
Ъ
.
ж
Sir
0,1 0,2 OJ О,* 0,5* 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 TZ \
г)
Рис. И. 14. Поправочные коэффициенты для температурного напора при перекрестно-
точном течении; по оси абсцисс — параметр е=(/2—U)I(T\—1\).
а — обе жидкости не перемешиваются; б — одна жидкость перемешивается, другая нет; в — обе
жидкости перемешиваются; г — двукратно перекрестный ток, жидкость в межтрубном пространстве
перемешивается, жидкость в трубах не перемешивается.
408

Если
,-_ х US , у US
Х ~~ X WC И У.. — Y wc •
ТО
T-t=-&=+?. A1.55)
Найдем решение, когда Т=Т\ при х'=0 и t=t\ при у'=0. Решение
выражается в виде двойного бесконечного ряда
г\и (i,f\v
т1 — и
U=l V=0
1 + SS[(~iy,+' iU+wr WW
A1.56)
Температуру Т2 получаем интегрированием как среднее значение Т
при х=Х, а у — пробегающим значения от 0 до У. Тогда WC{TX—Г2) =
=q; x=X; x'=K/(r); y=Y и у'=в/(г);
СО
u=0 и=0
со
SS {<-"- ^ЙгпгШ'ИТ ("•57,
Зависимость FT=(r) I (r)против от параметров 7? и е приведена на
;рис. 11.14,а. Соответствующие зависимости для других
распространенных случаев перекрестного тока (приведены на других графиках
рис. 11.14.
СРАВНЕНИЕ ВОЗДУШНОГО И ВОДЯНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
Сребренные воздушные охладители и градирни
Уже отмечалось, что при изменении на предприятии расположения
оборудования, расширении или модернизации производства воздушные
охладители обычно легко переместить из одного места в другое.
Конструкция охладителей позволяет осуществить такое перемещение с
минимальным демонтажем. Для установки же градирни требуется
большая площадь, создание на уровне земли бетонированного бассейна.
Градирни изготавливают из стойких ж «воздействию (влаги и насекомых-
вредителей ценных пород дерева, таких, как красное дерево, кипарис,
кедр, или пластмасс и собирают по месту установки. Поэтому крупные
градирни практически невозможно транспортировать без разборки. При
расширении производства значительно возрастает потребность оз
охлаждающей воде и может потребоваться строительство дополнительных
систем водоснабжения.
Отдельные секции градирен рассчитаны на охлаждение от 5,7 до
11,4 м3/мин воды. Если необходимы большие расходы, можно, убрав
некоторые детали, соединить несколько секций друг с другом.
Отдельные секции крупной градирни невозможно легко изъять из нее, тогда
как секции охладителя размером 2,4X9 м могут быть просто
демонтированы с помощью автокрана.
Правда, градирни обладают одним преимуществом по сравнению
с сребренными воздушными охладителями: они работают при
температуре мокрого термометра, которая в летнее время обычно на 5—8°С
ниже температуры сухого термометра за исключением случая 100%-ной
влажности воздуха, когда эти температуры равны.
Воду в градирне экономически выгодно охлаждать до
температуры, на 3—6° превышающей 5 %-ную летнюю температуру мокрого тер-
409

мометра, лод которой подразумевается такое значение температуры,
которое превышается в течение не более чем 5% полного (времени
работы градирни в летнее время в данном месте. В северной части США
5%-ная летняя температура равна 24°С, в южной части 27°С. Именно
поэтому при расчете конденсаторов и охладителей широко
используется значение температуры охлаждающей ©оды на входе, равное 30qC.
В воздушном охладителе тепло отводится путем конвекции при
температуре сухого термометра и значениях коэффициента
теплоотдачи, примерно в 4 раза меньших, чем в градирнях, где он существенно
повышается благодаря диффузии воды. Таким образом, при любой
температуре сухого термометра меньшей, чем температура насыщения,
в градирне получают охлаждающую воду с температурой более низкой,
чем температура окружающего воздуха. Эта вода затем направляется
в кожухотрубчатый охладитель или конденсатор. За расчетную
температуру сухого термометра для оребренных воздушных охладителей
в США принимают обычно 35°С. Если температура воздуха
превосходит -расчетную в течение коротких периодов, ее (можно понизить путем
впрыскивания в воздушный поток воды с помощью специальных
разбрызгивателей, устанавливаемых на воздушном охладителе. Для
кратковременного понижения температуры до 95% расчетной температуры
сухого термометра применять этот метод выгоднее, несмотря на
дополнительный расход воды, чем использовать более крупный воздушный
охладитель.
На основании проведенных авторами сравнительных экономических
расчетов установлено, что оптимальная температура, до которой
следует охлаждать теплоноситель с помощью воды из градирни с
температурой 30°С, составляет 38°С. Если градирня отсутствует, то
минимальная температура, до которой экономически целесообразно
охлаждать технологический продукт в оребренном . воздушном охладителе,
равна 52°-С (при температуре воздуха 35°С).
Комбинированная система охлаждения
В последнее время получает все большее распространение система
охлаждения, в которой оребренный воздушный охладитель
используется для отвода тепла от наиболее горячего теплоносителя (обычно при
температурах свыше 90°С), а окончательное охлаждение теплоносителя
до температуры, скажем, 40°С осуществляется с помощью охлаждающей
воды в кожухотрубчатом концевом охладителе. Поскольку с помощью
*'а2
6 1 I
410
Рис. 11.15. Комбинированная воздушно-водяная система
охлаждения.
1 — технологический теплоноситель; 2 — оребренный воздушный
охладитель; 3 — градирня, 4 — воздух при температуре мокрого
термометра Т; 5 — фиксированная температура теплоносителя на выходе из
кожухотрубчатого охладителя Г3; 6 — температура на входе в
кожухотрубчатый охладитель Г2; 7 —воздух при температуре сухого
термометра Tdv

охлаждающей воды из градирни при 30°С в концевом
охладителе отводится лишь небольшая часть полной тепловой нагрузки,
необходимый расход воды существенно снижается. Проведенные
исследования [49] показали, что оптимальные значения температуры
технологического теплоносителя на выходе из воздушного охладителя составляют
57—60°С при температуре окружающего воздуха 35°С. При выводе
уравнения, (позволяющего •получить этот оптимум, учитывалось, что
наибольшая экономия в схеме с одной градирней достигается вследствие
высокой стоимости нового источника охлаждающей воды.
Типичная схема комбинированной системы охлаждения показана
на рис. 11.15. Источник охлаждающей воды предполагается
неизменным, и в стоимости охлаждающей воды независимо от способа ее
получения учитывается только стоимость системы водоснабжения.
В воздушном охладителе экономически невыгодно охлаждать
технологический продукт до температуры, близкой к температуре воздуха.
Поэтому при выводе уравнения для оптимума затрат вместо средне-
логарифмического температурного напора используется
среднеарифметический. Кроме того, принимаются следующие допущения: 1) число
трубных рядов и скорость воздуха, поступающего в охладитель,
постоянны, 2) коэффициент теплопередачи постоянен при постоянной
скорости жидкости в трубах или пренебрежимо малом термическом
сопротивлении теплоотдачи от жидкости к трубе, 3) скорость воды
в концевом охладителе постоянна. Если же вода движется в
межтрубном пространстве -концевого охладителя, то вывод уравнения остается
справедливым лишь в ужом диапазоне размеров теплообменника.
В этом случае при решении задачи оптимизации методом
последовательных приближений численное значение отношения площади
поперечного сечения потока воды к площади поверхности теплообмена
изменяют до тех пор, пока оно не попадет в тот интервал, для которого
справедлив расчет. 'При этом с изменением размеров концевого
охладителя меняется и значение коэффициента теплопередачи.
1. Основные характеристики комбинированной системы
охлаждения (при использовании среднеарифметических температурных
напоров).
Уравнение стоимости
С = С А + CWSW + ?яЬ A1.58)
?w
где индексы а используются для воздуха и w для воды.
Общий тепловой баланс
q=WCp(Tl—Ts); A1.59)
q=qa+qw. A1.60)
Тепловой баланс сребренного воздушного охладителя
qa=WCp(Tl—T2)'1 A1.61)
qa=WaCd{Ta2—Tal). A1.62)
Уравнение теплопередачи воздушного охладителя
Ча = иф\(Гг-Та1 + (Тг-Тл1)\. A1.63)
Тепловой баланс водяного охладителя
qw=WC(T2—Г8); A1.64)
qw=Wwcw(Tw2—Twi). A1.65)
411

Уравнение теплопередачи водяного охладителя
qm = ^ [(Г, - TW2) + (Г, - ГШ1)].
A1.66)
Уравнение сплошности для воздуха
^a=papa5aVa.
Уравнение сплошности для воды
A1.67)
A1.68)
2. Условия оптимальности. Дифференцируем уравнение A1.58) по
температуре Т2:
dC
С а 1 С w. iS*™ dWm
= 0.
A1.69)
3. Вычисление dSa/dT2. Исключим qa из A1.61) и A1.62), а ga, ^а
и Та2 из A1.61), A1.63) и A1.67). Получающееся в результате
уравнение для Sa дифференцируем по Г2.
10 хЮ*
Полная поверхность(реЬ~ер и труЬ)
оре$ренного воздушного
охладителя уфутг
Рис. 11.16. Стоимость (в долларах)
воздушных охладителей из оребренных труб
муфтового типа с центральной стальной
трубой DH=25,4 мм и несущей трубой
с цельными алюминиевыми наружными
ребрами 2)н.р—57,2 мм.
^10*
\ 10
! 10
7
ас
1y/t
Г i
L2
ГЛ
i
I
1 !
1
1
2 5 5 7 10 20 30 JO^fO^
Поверхность кожухоь и
труд/поверхность кожух&7футг
Рис. 11.17. Стоимость кожухотрубча-
тых теплообменников.
/ — алюминий, латунь (?>н —19 мм, шаг
23,8 мм); 2 — углеродистая сталь.
4. Вычисление dSw/dT2. Исключим Тго2 из A1.64), A1.65) и A1.66)
и объединим с уравнением A1.68). Это 'выражение для Sw
дифференцируем по Т2.
5. Вычисление dWw/T2. Дифференцируя A1.68) и подставляв
вместо dSw/dT2 значение, полученное свыше, находим dWw/dT2.
6. Окончательно получаем:
2CaWCp(Tal-T1)
(Т,+Т2-2Та1)*
1
1
х[<
?а$сУаса
2
с.
2WCp(T,-Tan)
(Тг + Т3-2Тту
W
X
$1и?*У%В)схл
^)+%Ч^+^)Н <1L70>
412

Уравнение A1.70) было решено для нескольких конкретных случаев
применительно к промышленным системам, работающим на воздухе
с температурой сухого термометра 35°С и охлаждающей -воде с
температурой 30°С, при использовании данных о стоимости, приведенных на
рис. 11.16—11.18, и произвольных отношениях площади поперечного
сечения потока к площади поверхности теплообмена. Результаты
расчетов показаны на рис. 11.19. В тех случаях, когда желательно
охладить поток технологического продукта до 38°С (на выходе), его
оптимальная расчетная температура «а входе в водяной охладитель, как
отмечалось выше, составляет обычно примерно 60°С, если используется
доступный источник воды, так что стоимость складывается только из
>5* I •
-ч -о * г5 °
j-з * rj ? *>
try '-» ^ <g -»
*10*
150;
100
80
60
c> Si. J4 ca. *- <t»
5,2 ? !? *
^ SS: 5 Й 2
40\
301
0 5 10 15 20 25x103
Пропускная способность гра-
дирни.хЗ,785мЗ/№#
Рис. 11.18. Стоимость градирен.
(Интервал охлаждения воды 43—30°С; температура
мокрого термометра 24°С).
Рис. 11.19. График для расчета стоимости
систем охлаждения.'
/ — стоимость комбинированного воздушно-водяного
охлаждения; 2 — расчетная температура сухого
термометра; 3 — полная стоимость водяного
охлаждения; 4 — стоимость оребренного воздушного
охладителя; 5 — стоимость кожух отру бчатых
охладителей.
90 80 70 60 50 W
Температура горячего теплоносителя
расходов на перекачку и обслуживание. С учетом стоимости воды
оптимальная температура продукта на входе в водяной охладитель падает
до 52°С. Если стоимость воды возрастает из-за уменьшения срока
окупаемости или увеличения стоимости оборудования, то в соответствии
с A1.58) выгодно осуществлять большую часть охлаждения в
воздушном охладителе, (вследствие чего оптимальная температура продукта на
входе в .водяной охладитель будет падать.
При использовании A1.58) или другого аналитического критерия
оптимальности потенциальная экономия для ©новь проектируемых
воздушных или комбинированных систем охлаждения оказывается весьма
значительной. Единственным исключением являются установки, в
которых для охлаждения используется соленая морская вода. В этом
случае основные эксплуатационные расходы и затраты, связанные
с эрозией теплообменного оборудования, приходятся на
низкотемпературную водоохлаждаемую часть.
41Э

ТЕПЛООТДАЧА К ВОЗДУХУ И ГАЗАМ В КАНАЛАХ
Коэффициенты теплоотдачи при поперечном обтекании труб
с высокими ребрами в каналах
Большинство из имеющихся данных о теплообмене в каналах
установок промышленных масштабов были получены для воздуха или
дымовых газов.
Действительный характер распределения телловых потоков по
высоте (поперечного кольцевого ребра, по-видимому, отличается от
идеализированного, использованного при выводе уравнения для
эффективности ребра. При расположении труб по вершинам треугольников воздух
или другой газ натекает на передние части кольцевых ребер. Поэтому
действительное распределение коэффициента теплоотдачи по ребру
неравномерно, а в опытах измеряются обычно лишь средние значения /i/.
2000
1000
800
600
Ш
200
100
80
60
АО
30
h'tle
Icii]
к [к/
I |
м
I
-%
j
, j
¦ \ j I—(—'
| }
!
j J
I [
i! !
\\Л-у
_
п—'
I
I I
I
I !
I j
j
-L
L?
'"IT
II
V
M
I !
I i
TT
1 i i
! ^
il/1 i
ш
5
ЩУ\
nil
I j j 1
1
*1;П
V
0,1
3000 10* 2 3 4 G 8105 2 3 4-6 8 Юб
a) Res=DeGs/fi ^J Resrhbslp
Рис. 11.20. Теплоотдача и потери давления при поперечном
обтекании труб с высокими ребрами.
а — Джеймсон [49]; б — Гюнтер и Шоу [51].
Вследствие более высоких местных тепловых потоков на передних
частях ребер происходит передача тепла теплопроводностью по
окружности ребра, что не учитывалось при выводе основных соотношений.
Коэффициенты теплоотдачи для труб, оребренных разрезными,
звездообразными и другими аналогичного типа ребрами, обычно выше, чем
для труб с дисковым или спиральным оребрением. Это объясняется
тем, что газ легче проникает в зазоры между соседними разрезными
ребрами.
Поскольку газы широко применяются ib различных теплообменных
аппаратах с развитой поверхностью, для расчета теплоотдачи на таких
поверхностях удобно использовать /-фактор Колберна j=t(hfeG) X
X.{c\i/kJ13. Преимущества этой характеристики, особенно ;пр<и расчете
теплоотдачи газов, обсуждались в гл. 9. На рис. 11.20,а данные Джейм-
сона представлены в форме уравнения Зидера — Тейта в соответствии
с уравнением A1.47) при Ф=1. Эквивалентный диаметр в соотношении
Джеймсона определяется уравнением A1.46),.а массовая скорость, как
и (Прежде, вычисляется в узком сечении трубного пучка.
414

Потери давления при поперечном обтекании труб
с высокими ребрами в каналах
В отличие от коэффициента теплоотдачи 'потери давления сильно
зависят от продольного и поперечного шагов труб и их расположения
в лучке. Продольный и поперечный шаги труб в поперечно обтекаемых
пучках часто бывают неодинаковыми. Из ряда удачных соотношений
для гидравлического сопротивления при поперечном обтекании труб
в пучках здесь используется зависимость Гюнтера и Шоу [51],
удовлетворительно описывающая опытные данные для масел, воды и
воздуха. Хотя диапазон применимости этого соотношения не установлен,
для газов оно дает достаточно надежные значения. В качестве
характерного размера в числе Рейнольдса используется эквивалентный
объемный диаметр Dv, учитывающий шаг и расположение
последовательных рядов труб. Расчетное уравнение для потерь давления
содержит два безразмерных параметра, учитывающих конфигурацию пучка.
Эквивалентный объемный диаметр определяется A1.48).
За чистый свободный объем в данном случае вновь принимается
объем между вертикальными линиями, проведенными через центры
соседних рядов труб (вдоль потока) за вычетом объемов половин труб
и ребра в пределах этих линий. В качестве параметров, учитывающих
конфигурацию пучка, используются DV/ST и 5L/5T, где SL и ST —
'Продольный и поперечный шаги труб в пучке. Таким образом, уравнение
для расчета потерь давления имеет вид:
где Lp—длина /канала. Коэффициенты трения приведены на рис. 11.20,б.
Поверхности теплообмена, оребренные с обеих сторон
Другим типом поверхности теплообмена, на первый взгляд весьма
перспективным, является поверхность, оребренная с обеих сторон.
Представим себе, что металлическая стенка, разделяющая два
теплоносителя, с обеих сторон развита с помощью шипов, основания кото-
* рых примыкают друг к другу. Поверхность можно развивать до тех
пор, пока не начнут сказываться ограничения, обусловленные
минимально возможным шагом ребер. Оребрять поверхность с обеих сторон
имеет смысл только в том случае, если оба коэффициента теплоотдачи
низки. Однако в этих условиях для получения даже умеренного
коэффициента теплопередачи необходимы (ребра практически неприемлемой
высоты. Эффективность ребер и передаваемый тепловой поток
рассчитывают уже рассмотренными методами. Коэффициенты теплоотдачи
определяют обычно приближенно по данным для исследованных типов
оребрения.
ЗАДАЧИ
11.1. 22 000 кг/ч сырой нефти плотностью 46,5° API необходимо
охладить в оребренном охладителе от 150 до 60°С воздушным потоком
с расходом 150 000 кг/ч, температура которого повышается от 35 до
62°С на уровне моря. Максимально допустимые потери давления для
воздушного потока 194 Па, а для нефти 34 кПа. Термическое
сопротивление загрязнения со стороны нефти составляет 2,94- Ю-3 м2-°С/Вт.
415

Физические свойства нефти при Гср=106оС: удельная теплоемкость
С=2260 Дж/(кг-°С), (вязкость |я=8,9-10-4 кг/(м-с), коэффициент
теплопроводности &=1,42-10~2 Вт/(м-°С), плотность р—730 кг/м3.
Имеются стандартные секции размером 2,4X7,2 од и стандартные
трубы: трубы муфтового типа с медным вкладышем наружным
диаметром 25,4 мм; алюминиевые оребренные трубы с (Наружным диаметром
основной трубы 27,4 мм и наружным диаметром ребер 50,8 мм. Число
ребер — 354 на 1 м длины. Толщина ребер 0,48 мм. Полная наружная
поверхность 1,08 м2/м. Граничное термическое сопротивление между
муфтой и вкладышем 0,00012 м2-°С/Вт. Трубы .расположены по углам
треугольника с шагом 54,5 мм. Определить число и расположение труб.
11.2. 13 100 кг/ч C,64 кг/с) тяжелого углеводорода плотностью
9,2° API необходимо охладить от 360 до 232°С воздушным потоком,
расход которого составляет 222 000 кг/ч F1,7 кг/с), а температура
повышается от 35 до 55°С. Максимально допустимые потери давления
для (воздуха 194 Па A9 мм вод. ст.), для углеводорода 34,5 кПа.
Термическое сопротивление загрязнения со стороны углеводорода 8,8X
Х10~3 м2-°С/Вт. Физические свойства углеводорода ори ГСр=296°С:
С=2580 Дж/(кг.°С), ^=7,8-Ю-3 кг/Ы-с), ? = 0,985 Вт/(м-°С), р =
=820 кг/м3. Определить число и расположение труб. Размеры и тип
труб'.взять из примера 10.1.
11.3. В помещении для пропитки тканей размером 30X30X5,4 м
в связи с возможностью возникновения взрывоопасной и токсичной
концентрации выделений необходимо обеспечить восемь воздухосмен в час.
Для создания комфортных условий в помещении необходимо
поддерживать температуру на уровне 24°С, независимо от (влажности,
регулирование которой не предусматривается. Наинизшая температура \в
зимнее .время может быть принята^равной минус ГС. Ввод воздуха
осуществляется через канал 1,2X1,2 м, в котором устанавливается змееви-
ковый нагреватель, работающий на отработанном паре с температурой
180°С. В распоряжении имеются трубы длиной 1,2 м со спиральными
ребрами. Наружный диаметр труб 19 мм, высота латунных ребер 9 мм,
толщина 0,46 мм, количество ребер — 236 на погонный метр. Считать,
что трубы расположены по углам треугольников с шагом 44 мм.
Сколько потребуется труб? Какое статическое давление необходимо для
продувки воздуха через канал?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 11
1. Fenech H., Rohsenow W. M. J. Heat Transfer, 85, 15, 1963.
2. Shlykov Y. P., Ganin Y. E. Intern. J. Heat Mass Transfer, 7, 921, 1964.
3. Cetincale T. N., Fishenden M. Inst. Mech. Engrs. (London), Proc. Gen.
Discussion Heat Transfer, 1951, p. 271.
4. Шлыков Ю. П., Ганин Ю. Е. — «Теплоэнергетика», 1961, № 7, с. 73.
5. Шлыков Ю. П., Ганин Ю. Е. Контактный теплообмен. М.—Л., Госэнергоиз-
дат, 1963.
6. Гребер Г., Эрк С, Григулль У. Основы учения о теплообмене. М., Изд-во
иностр. лит., 1958.
7. Швецова Ю. Известия Акад. наук СССР, 1951.
8. Boeschoten F., van der Held E. F. M. Physica, 23, 1, 1957.
9. Gardner K. A., Carnavos Т. С J. Heat Transfer, 82, 279, 1960.
10. Timoshenko S. P., Goodier J. N. Theory of Elasticity, 2d ed., N. Y., McGraw-
Hill, 1951, p. 406.
11. Anderson R. J. Brit. Chem. Eng., 6, 46, 1961.
12. Collins G. R., Mathews R. T. Chem. Eng., 68, 139, 16, Mav 1960.
13. Cook E. M. Chem. Eng., 71, 137, May 25; 71, 131, July 6; 71, 97, Aug. 3, 1964.
14. Gardner K. A. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1961, p. 1.
15. Harris L. S. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1964, p. 142.
16. Kern D. Q. Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 55, 29, 1959.
416

17. Kern D. О., Seaton R. E. Chem. Eng. Progr., 55, 6, 69, 1959.
18. Kulkarni M. V., Young E. H. Chem. Eng. Progr., 62, 7, 69, 1966.
19. Lohrisch F. W. Hydrocarbon Process, 45, 6, 131, 137, 1966.
20. Mathews R. T. Ninth Natl. Heat Transfer Conf. AIGhe Preprint 9, 1967.
21. Mathews R. T. Chem. Eng. Progr., 55, 5, 66, 1959.
22. Murtha J. W., Friedman S. Y. Chem. Eng., 69, 2, 99, 1961.
23. Nakayama E. V. Petrol. Refiners, 38, 4, 109, 1959.
24. Nussbaum O. J. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1964, p. 152.
25. Perkins B. G. Petrol. Refiner, 38, 4, 99, 1959.
26. Richardson P. D.t Wallace J. P. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1964,
p. 126.
27. Rubin F. L. Chem. Eng., 68, 91, Oct. 31, 1960.
28. Schoonman W. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1964, p. 86.
29. Segal K. D. Petrol. Refiner, 38, 4, 106, 1959.
30. Smith E. C, Gunter A. Y., Victory S. P. Chem. Eng. Progr., 62, 7, 57, 1966.
31. Smith E. С Chem. Eng., 67, 145, Nov. 17, 1958.
32. Thomas J. W. Petrol. Refiner, 38, 4, 103, 1959.
33. Thomas J. W. Petrol. Chem. Eng., 36, 5, 25, 1964.
34. Tood J. F. Chem. Eng. Progr., 55, 6, 75, 1959.
35. Urech H. Petrol. Chem. Eng., 36, 3, 62, 1964.
36. Ward D. J., Young E. H. Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 55, 29, 37, 1959.
37. Weatherby J. J. Petrol. Refiner, 35, 4, 1956.
38. Williams C. L., Damron R. D. Hydrocarbon Process. Petrol. Refiner, 44, 2,
139, 1965.
39. Williams С L., Damron R. D. ASME Symp. Air-cooled Heat Exch., 1964,
p. 103.
40. Worsham H. N. Refrig. Eng., 32, 2, C-23, 1960.
41. Young E. H., Briggs D. E. Chem. Eng. Progr., Ш, 7, 71, 1968.
42. Young E. H., Katz D. L. Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 55, 29, 5, 1959.
43. Thomas J. W. Petrol. Chem. Eng., 36, 25, 1964.
44. Nusselt W. Tech. Mech. Thermodynam., 1, 417—422, 1930.
45. Smith D. M. Engineering, 138, 474—481, 606—607, 1934.
46. Nagle W. M. Ind. Eng. Chem., 25, 604, 1933.
47. Bowman R. A., Mueller A. C, Nagle W. M. Trans. ASME, 62, 283, 1940.
48. Kern D. Q., Seaton R. E. Chem. Eng. Progr., 55, 7, 69, 1959.
49. Jameson S. L. Trans. ASME, 67, 633—642, 1945.
50. Tate G. E., Cartinhour J. Trans. ASME, 67, 687—692, 1945.
51. Gunter A. Y., Shaw W. A. Trans. ASME, 67, 643, 1945.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
КОМПАКТНЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ
Введение
В космических летательных аппаратах, самолетах и ракетных
двигателях объем и масса используются особенно экономно. Поэтому
очень существенно, чтобы бортовая теплообменная аппаратура была
по возможности более легкой и компактной. В криогенных системах,
в которых осуществляется процесс теплообмена между жидкостями,
имеющими очень низкую температуру, например при ожижении
«постоянных» газов, также существует настоятельная необходимость
в том, чтобы теплообменная аппаратура была компактной. Только
таким способом можно свести к минимуму площадь наружных
поверхностей теплообменников, а следовательно, и теплопритоки в систему.
Это важно, поскольку при очень низких температурах отвод тепла
становится все сложнее и дороже. Кроме рассмотренных случаев
компактные теплообменники применяются и (во многих других областях
техники.
В обычных кожухотрубчатых теплообменниках с гладкими
трубами диаметром 15—25.мм, заключаемых <в цилиндрические жожухи,
поверхность теплообмена »в единице объема равна 65—130 м2/м3. Благо-
27—192 417

Рис. 12.1. Элементы пластинчато-ребристого
компактного теплообменника.
/ — пластины; 2 —боковые уплотнительные полосы; 3 —
гофрированные ребра, изготовленные штамповкой из
целого листа.
даря развитию новых способов штамповки и пайки площадь
поверхности компактных теплообменников достигает 4500 м2/м3 и продолжает
расти.
Компактные теплообменники отличаются большим разнообразием
внешних форм и еще большим геометрическим разнообразием
внутренних поверхностей, разделяющих потоки теплоносителей. При таком
разнообразии -не мо^кет не возникать некоторого дублирования
типоразмеров компактных теплообменников. Для того чтобы пояснить
терминологию, используемую
3 в этой главе, на рис. 12.1
показана одна из
разновидностей основного элемента
компактных
теплообменников, называемого насадкой.
Насадка состоит из двух
параллельных пластин и
металлических соединительных
полос, скрепленных с
пластинами. Такое
расположение пластин и
соединительных полое обеспечивает
создание каналов для потока
теплоносителей, а также
основной и развитой
(вторичной) поверхности. Ранее,,
в первой главе, отмечалось,
что если на равном
расстоянии от двух пластин
провести плоскость, то каждую
половину соединительных
металлических полос можно
рассматривать как
продольное ребро. В гл. 8 было
описано, как две или несколько
одинаковых насадок
соединялись посредством
разделительных пластин. Такая
конструкция была названа
пакетной или «саыдвичевой».
Тепло подводится к насадке
через одну или через обе
крайние пластины, а
отводится от разделительных
пластин и ребер к потоку, движущемуся через насадку, при постоянном
среднем значении коэффициента теплоотдачи. Поэтому при анализе
насадка рассматривается как оребренный канал, а не как теплобменник
«жидкость — жидкость». Использование пакетной конструкции особенно
целесообразно, когда коэффициент теплоотдачи к жидкости мал по
сравнению с количеством тепла, которое может быть подведено к пакету
посредством теплопроводности при данной площади поверхности
теплообмена, заключенной в наса[дке. Естественно, следует иметь в виду, что
по мере увеличения числа ребер в насадке ее гидравлический радиус
и коэффициент теплоотдачи к теплоносителю уменьшаются, в то время
как гидравлическое сопротивление существенно возрастает.
LA/WXAJ
Kwvwl
[//WAVVAJ
7
w
Рис.
Поток
12.2. Двухпоточный компактный
теплообменник (коллекторы сняты).
418

Теперь рассмотрим две насадки, расположенные так, что они
образуют теплообменник с перекрестным движением жидкостей,
показанный «а рис. 12.2. Жидкости поступают \в насадки через раздельные
коллекторы, расположенные под прямым углом друг к другу и
выходят с противоположных сторон также через отдельные коллекторы.
Расстояние между разделительными пластинами, а также тип и число
ребер в этих насадках могут быть различными. Они определяются
допустимыми потерями давления для каждого из потоков и
.результирующими коэффициентами теплоотдачи. Когда коэффициент теплоотдачи
для одного из потоков значительно выше, чем для другого, то соот-
Рис. 12.3. Некоторые элементы компактного теплообменника.
а ¦— круглые трубы и сплошные ребра; б — плоские трубы и сплошные ребра; в — труба и жалю-
зийные ребра; г, д, е — пластины и полосы; ж, з — штампованные пластинчатые ребра; и — плоская
труба с овалообразными турбулизирующими пережатиями; / — коллектор; 2 —труба; 3 —
обтекаемое воздухом сплошное ребро; 4 —жалюзийные ребра; 5 — турбулизирующие полоски; 6 —
боковые полосы; 7 — теплообменные ребра; 8 — разделительные пластины; 9 — гофрированные ребра^
10— полоса коллектора; 11— турбулизирующие пережатия; 12 — стержень жесткости.
27*
419

ветствующая этому потоку насадка может и не иметь развитой
поверхности. Очень часто совокупность отдельных насадок без коллекторов,.
составляющих теплообменник (рис. 12.2), также называют насадкой.
Показанный на рис. 12.2 теплообменник с насадкой из пластин и ребер
называется .пластинчато-ребристым теплообменником.
До сих пор рассматривались пластинчато-ребристые
теплообменники с двумя или несколькими потоками, которые .поступают в насадку
через отдельные коллекторы. Во многих случаях одним из
теплоносителей является воздух, используемый в качестве охлаждающей среды
в открытом цикле. Типичными примерами могут служить
рассмотренный в предыдущей главе оребренный воздушный охладитель, а также
радиаторы двигателей (внутреннего сгорания различных типов. В
качестве другого примера можно назвать компактный теплообменник
в виде вставленного в канал змеевика, как в установках
кондиционирования воздуха. Элементы некоторых типов компактных
теплообменников, выпускаемых промышленностью, показаны на рис. 12.3.
Классификация компактных теплообменников
Компактные теплообменники можно классифицировать по типам
основных компактных элементов, из которых они состоят. Компактные
элементы обычно делятся на четыре класса:
1) трубчатые поверхности, пучки из труб малого диаметра от 6,4
до 12,7 мм; такие трубы употребляются в тех случаях, когда не
требуется такой жесткости и обеспечения возможности чистки, как в
обычных кожухотрубчатых теплообменниках. Обычно толщина трубных
решеток сравнительно мала и при пайке .мягкими или твердыми припоями
обеспечивается надежное уплотнение;
2) поверхности, образованные сплошными пластинчатыми ребрами,
пронизанными поперечно обтекаемыми пучками труб. В отличие от
труб с низкими радиальными ребрами (гл. 10) гладкие трубы,
пропущенные в отверстия в пластинах, гидравлически раздаются в них,
образуя единую компактную поверхность, показанную на рис. 12.3,а.
При штамповке отверстий часто производят их отбортовку.
Образующиеся вокруг отверстий втулки (ножки) приводят к снижению
контактного термического сопротивления между пластинами и трубами,
а также служат дистанционными проставками между пластинами. Во
многих случаях производится пайка на твердом припое труб к
пластинам с отбортованными или неотбортованными отверстиями. Для
уменьшения гидравлического сопротивления насадки со стороны потока,
обтекающего трубы, последние иногда сплющивают и припаивают к
пластинам (о)бщим ребрам), как показано на рис. 12.3,6, в. Плоские трубы
изготавливают также подобно круглым сварным из металлических
листов, правда, значительно более тонких. Кроме того, эти листы
соединяют не сваркой, а пайкой мягким или твердым припоями;
3) пластинчато-ребристые поверхности-, они показаны на
рис. 12.3,г—и\
4) насадочные поверхности. Поверхности такого типа применяются
в качестве насадок вращающихся регенеративных теплообменников,
таких, как воздухоподогреватели различных топок, работающих на
ископаемом топливе, в которых воздух нагревается за счет тепла
уходящих газов. В этом случае используется свойство металла при
прохождении через него потока горячих отходящих газов поглощать тепло
при минимальных потерях на трение и отдавать его, также с минималь-
420

ными потерями на трение, холодному воздуху, когда ротор
поворачивается и принимает (положение, при котором через нагретую насадку
протекает холодный воздух.
Поверхности компактных теплообменников описываются в
соответствии с их геометрическими характеристиками, которые были
стандартизированы благодаря большой работе Кэйса и Лондона [1]. Эти
характеристики и зависимости между ними весьма существенны при
использовании основных данных о теплоотдаче и гидравлическом
сопротивлении для решения конкретных задач конструирования
компактных теплообменников. Они описаны и классифицированы Кэй-сом
и Лондоном. Физические параметры и размеры для наиболее
распространенных поверхностей компактных теплообменников приведены
в [1].
Рассмотрим теплообменник, составленный из П\ слоев пластинчато-
ребристой поверхности одного типа и п2 слоев второго типа, как
показано на рис. 12.2. Толщина разделительной пластины определяется
разностью давлений, приложенных с противоположных сторон обычно
с некоторым запасом. Используя индексы 1 и 2 'соответственно для
первой и второй поверхностей, находим, что общая высота
теплообменника выразится формулой
H=ni(bi + a)+n2(b2 + a), A2.1)
где Ь\ и b2—расстояния между разделительными пластинами
соответственно для поверхностей первого и второго типа. Если обозначить
ширину насадки через W, а глубину через Д то ее общий объем
V=WDH. A2.2)
На рис. 12.2 размер L\ соответствует глубине теплообменника,
L\=D, a L2 — ширине, L2=W. Из рис. 12.2 найдем также площади
фронтальных поверхностей:
An=HW; A2.3а)
Af2=HD. A2.36)
Если теплообменник полностью состоит из поверхности какого-то
одного типа A или 2), то общая площадь поверхности будет равна
произведению отношения полной поверхности к полному объему
Р, м2/м3, и полного объема теплообменника V. Однако в том случае,
когда теплообменник составлен из поверхностей двух разных типов,
необходимо ввести коэффициент а, равный отношению полной
поверхности одного типа к полному объему теплообменника. С помощью
простых пропорций получим:
Ъл A2.4а)
' Ьг + Ь2 + 2а *
A2.46)
2 b1+b2 + 2a^'
Тогда полные поверхности теплообмена выразятся формулами
Sx=xaxV; A2.5а)
52=a2V. A2.56)
Гидравлический радиус определяется из соотношения
Гн=-р-=% 02.6)
421

и в соответствии с определением пористости p = A/Af
pAfL
Поскольку V=AfL, коэффициент а для насадочной поверхности
находится по формуле
«=¦?=¦?• A2-7)
Параметр а для всех поверхностей, кроме насадочной,
определяется таким же путем:
А
'Подставляя значение А из A2.6), получаем:
Тогда площади поперечного сечения потоков будут равны:
А1=охАп; A2.9а)
Л2=а2Л/2. A2.96)
Для насадочных поверхностей площади поперечного сечения
потоков рассчитываются непосредственно по значению пористости р.
Характеристики теплообмена и гидравлического сопротивления
Данные о теплоотдаче © компактных теплообменниках обобщаются
для конкретных поверхностей ,в виде зависимостей типа Колберна,
рассмотренных в гл. 1. При этом строится график зависимости
характеризующего теплоотдачу /-фактора Колберна
/.-(и-)(*г <12-10)
от числа Рейнольдса, в котором в качестве характерного .размера
используется эквивалентный диаметр 4/v.
Re=«u2 = M. A2.11)
Комплекс hjcG в A2.10) —это число Стантона St, представляющее
собой отношение числа Нуссельта Nu к произведению чисел
Рейнольдса Re и Прандтля Рг:
cf__ Nu hDe/k __ h> (\o \o\
OL~~RePr (DeG/p)(cix/k) ~~Gc' \i?.i?)
Физические свойства теплоносителя в соотношениях A2.10) и
A2.11) определяются при средней температуре жидкости. Обозначив
температуру на входе через Гь а на выходе Т2, найдем среднюю
температуру горячей жидкости:
Г, = -^G\ + Г2). A2.13а)
1 Поскольку компактные теплообменники применяются главным образом для
осуществления теплообмена между газами, в A2.10) и A2.12) под удельной
теплоемкостью с имеется в виду ее значение при постоянном давлении.
422

Подобным же образом средняя температура холодной жидкости
будет равна:
'ь=4-в+о- A2ЛЗб>
В работе Кэйса и Лондона [1] потери давления Ар в компактном
теплообменнике вычислялись по уравнению
^=-S^r[A+^-"'»+2(^-1)+^v-A-''-'c')^]-
A2.14)
Данные о гидравлическом сопротивлении обобщаются для
конкретной поверхности и представляются обычно в виде функции числа Рей-
нольдса. Местные коэффициенты гидравлического сопротивления на
входе Кс и выходе Ке отличаются для каналов различных типов и
представляются обычно в зависимости от параметра а и числа Рейнольдса.
',6 0,8 1,0
Рис. 12.4. Коэффициенты потери
напора на входе в пластинчато-ребристую
насадку и на выходе из нее [1].
1,2
1,1
щ
ад
од
Щ
0,6
075\
т
0,3
щ
0,1
о
-0,1:
-Щ
-0,3
~Щ
-од
-0,7
-0,8'
pw<
е
^ ч
v^
^5<
Л&тя&рнщ
^ зоод
^-5000
^10000
^е = 100QQ
N> 5000
ч 3000
Re = 2000
Ламинарное!
б\
п 0,2 0,<f 0,6 0?8 1,0
Рис. 12.5. Коэффициенты потери напора
на входе в пакет с каналами
прямоугольного сечения и на выходе из него [1].
Можно отметить четыре члена в квадратных скобках в A-2.14). Эти
члены обозначают соответственно: потери на ©ходе или потери при
внезапном сужении, происходящие три резком изменении скорости от ее
значения в трубопроводе перед входом в теплообменник до начального
значения в теплообменнике; потери (или прирост) давления при
ускорении (замедлении) и расширении (сжатии) потока в процессе
движения ее по каналу; потери на трение; потери на выходе.
Кэйс и Лондон представили в рассмотренной выше форме данные,
характеризующие теплоотдачу и гидравлическое сопротивление для
120 видов .поверхностей. Коэффициенты потерь напора на входе и
выходе для пластинчато-ребристых пакетов и прямоугольных каналов
приведены на рис. 12.4 и 12.5.
423

Коэффициент теплопередачи
Коэффициент теплопередачи может быть отнесен к поверхности со
стороны холодного или горячего теплоносителя. При отсутствии
загрязнений соотношение для расчета этого коэффициента, отнесенного к
поверхности 'со стороны горячего теплоносителя, имеет вид:
Uh = ЩЖ + a/{Sw/Sh) kw + i/(Sc/Sh) тьА ' A2.15а)
где индекс w относится к значениям для стенки, разделяющей потоки,
за исключением r\w, означающего средневзвешенную эффективность
поверхности.
Коэффициент теплопередачи, отнесенный к поверхности со стороны
холодного теплоносителя, запишется как
Uc = l/(Sh/Sc) yiwh hh + a/(Sw/Sc) kw + l /riwchc - A2.156)
МЕТОД е — NTU
Введение
В гл. 10 был разработан метод, учитывающий особенности
различных схем течения, при которых осуществляется перенос тепла.
Действительный температурный напор в теплообменнике определяется
произведением среднелогарифмического температурного напора для
противотока А/лог и поправочного множителя Ft, учитывающего
отклонение схемы течения от противоточной.
В параметр FT «входят две безразмерные величины: эффективность
теплообменника е и отношение разностей температур R.
Действительный температурный напор At определялся из A0.14):
q = USAt = USFTAtmr.
Такая методика широко применялась для расчета
кожухотрубчатых теплообменников, у которых в кожухе каждого номинального
диаметра содержится определенное число труб с заданным шагом. При
увеличении числа трубных ходов количество труб дискретно
уменьшается. Более того, при расчете кожухотрубчатых теплообменников длина
труб редко выбирается в качестве переменной. Обычно она бывает
задана. Таким образом, проектирование сводится к выбору из
каталога труб с размерами, наиболее близкими к расчетным.
Расчет компактных теплообменников во многом отличается от
рассмотренного выше. Поверхность компактного теплообменника в
единице объема так велика, что не составляет труда увеличить длину или
ширину до желаемых значений или вы'брать оптимальное решение
относительно полного объема теплообменника, минимальной общей
потери давления для обоих теплоносителей или минимальной массы
теплообменника. Метод е—NTU основан на использовании трех
безразмерных параметров е, R и NTU, которые определяются следующим
образом.
Эффективность передачи тепла в теплообменнике или просто
эффективность теплообменника е определяется из соотношения
с_ ch(Tx — T2) »_ Cc(t2 — tt) A2.16)
Смин G\ — ^i) СмгаЛм *i)
424

где Ch=WC — произведение массового расхода W на теплоемкость С
горячего теплоносителя; Cc=wc — аналогичное значение для холодного
потока и СМИн — меньшее из значений Сн и Сс. г выражает
соотношение между фактически переданным количеством тепла и тем
максимально возможным количеством тепла, которое может быть передано
через бесконечно большую поверхность теплообмена.
Число единиц переноса теплоты NTU определяется формулой
NTU=7^-=^^\ A2.17)
где U — коэффициент теплопередачи; S — соответствующая ему
поверхность; М— действительный температурный напор.
Следовательно, число единиц переноса теплоты представляет собой
характеристику темплообменника, равную отношению разности
температур теплоносителя, пропорциональной переданному тепловому
потоку, к температурному напору между теплоносителями,
обеспечивающему передачу этого теплового потока.
Третий безразмерный параметр— отношение массовых расходных
теплоемкостей теплоносителей — определяется формулой
д^Смш^ A2.18)
«КГ"
* макс
В гл. 10 не ставилось требование, что»бы R было всегда меньше
единицы, как это следует из A2.18).
Существует соответствие между безразмерными параметрами
метода е—NTU и обычного метода с использованием уравнения
теплопередачи, рассмотренного в гл. 9—10.
Подставляя в уравнение теплового баланса
q=USAt=Ch(Tx—T2)
выражения для е, R и NTU, представленные формулами A2.16) —
A2.18), находим передаваемый тепловой поток, или тепловую
нагрузку теплообменника. При Сс=СМИн
q = Cc(ti-t1) = zCc^(T1-t1)=;eCM.H(T1-ti), A2.19а)
а при Ск=Сша1
q = CH(T1-T2) = eCh^{T1-tl) = eCMKi(Tl-ti). . A2.196)
Противоточные компактные теплообменники
Для противоточного теплообменника, показанного на рис. 9.6,
поправочный коэффициент к среднелогарифмическому температурному
нашору по определению равен 1 (Ft=1)- Приравнивая переданный
тепловой поток (в соответствии с уравнением теплопередачи) к
воспринятому холодным теплоносителем и полагая, что Сс=СМИн,
получаем:
«-те{тЯЕЗй8?8| И"--''>'
425

откуда
После преобразования с учетом A2.18) находим:
T,-tt
(NTU) (Я-1)
A2.20)
A2.21)
Прибавляя и вычитая в числителе A2.21) tu а в знаменателе Ti
и используя соотношение A2.18), будем иметь:
Т\ + и-*г-±к
T1 — t1 — (tt — t1) __ <NTU) («-1)
€7 •
.«, + 7-,-Г, T.-t.-R^-t,)
В результате преобразований с использованием A2.16) получим:
1 — (tj — *i)/G\ — <i) _ 1—e ._ .(NTU) (R-l)
1-?[(<* -<i)/(Ti -*i)l 1-Ле—
Решая это уравнение относительно е, находим:
S=-
Г, -U -l_Ree(NTU)(«-D
Так как /? всегда равно или меньше единицы,
__ и-и i-g(NTU)d-/?)
A2.22)
A2.23)
1,01
0,9
0,8!
0,7j
ад
0,5
0,4
0,3
0,2
Ге
Гол
«0,5
[ofi
о*Ч
1"±4^>
0Х.
1,0
0,9
оМ7
А/Т1/
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Рис. 12.6. Эффективность противоточного
теплообменника.
Если же принять, что С/1=СМИН, то получим тот же результат для е,
но в числителе будет стоять разность температур горячего потока:
Тг-Т% 1—g-(NTU)(l-l?)
¦77=7T-"i-^-(MTO)(i-i?)-
A2.24)
Если ?_^ уравнения A2.23) и A2.24) становятся неопределенными.
Тогда среднелогарифмическая разность температур M=Ti—i2=T2—t\
и уравнение теплового баланса можно записать в виде
US(Tx^t2)=Cc{t2-h)=Ch(Tx-T2),
426

Полагая Сс=СМиш имеем:
US
NTU = — = *2~^ —
-*,
Ti-U ~Tl-tl-(t2-^tl)
После алгебраических преобразований получим:
1 е
NTU =
откуда
(T1-t1)/(t?-t1) 1-е»
t2^-t1 _ NTU
A2.25)
7\ —*, NTU+ 1 •
Графики уравнений A2.23) — A2.25) представлены на рис. 12.6.
Прямоточно-противоточные и перекрестноточные
компактные теплообменники
В книге Кэйса и Лондона [1] представлен график для расчета
компактного теплообменника — одноходового по одному теплоносителю
и двухходового — по другому (один ход проти'воточный, а второй —
прямоточный). В этом случае схема распределения температур такая
же, как на рис. 10.14. Окончательное уравнение для прямоточно-про-
тивоточного компактного теплообменника этого типа с использованием
зависимости е—NTU записывается в виде
2 -.. A2.26)
1+Я + 0+Я2) cth
(NTU)A+/?2)
График уравнения A2.26) представлен на рис. 12.7.
t(x',y')
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,3
0,2
е
0,6"
-0,8-
~
R
0,1
0,2
0,3
0,5
0,7
0,9
нти
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 %0 %5
Рис. 12.7. Эффективность теплообменников с
одним ходом в кожухе и двумя трубными ходами.
Поток
Рис. 12.8. Система координат для
анализа перекрестного течения
двух теплоносителей.
В работе [2] было получено уравнение для эффективности прямо-
точно-противоточного компактного теплообменника одноходавого по
первому теплоносителю и с четным числом ходов по второму. В гл. 11
уже упоминалось, что <в литературе имеются решения с использованием
метода е—NTU для одно-, двух- и трехходовых перекрестноточных
теплообменников при перемешивании одного или обоих теплоносителей и
без перемешивания.
427

Значения эффективности для перекрестного тока, когда, оба
теплоносителя не перемешиваются, получены Нуссельтом" [3, 4], работа
которого была развита Смитом [б]. Мэсон [6] с помощью
преобразования Лалласа получил решение в «виде бесконечного ряда. Решение
Мэсона обладает лучшей сходимостью, чем решения, полученные
предыдущими исследователями, и гораздо удобнее для вычисления на
ЭВМ. Система координат, использованная Масоном, показана на
рис. 12.8. Обратите внимание на направление течения "обоих
теплоносителей и профили их температур. Пластина имеет размеры Xq и у0у
а направления координат обозначены как х! и у'.
Температуры холодного и горячего теплоносителей являются
функциями координат и могут быть представлены соответственно как
t(x',y')nT(x',y').
Тепловой баланс для любой точки в теплообменнике выражается
соотношением
dq=U{T—t)dx'dy'. A2.27)
Уравнения теплового баланса теплоносителей для элемента
пластины размерами х0 и у0 имеют вид:
dq^-^-^rdx'dy'; A2.28)
d^l^&W. A2.29)
Приравнивая правые части уравнений A2.27) и A2.28), а затем
A2.27) и A2.29), получаем:
ЙН7"-0 = --$•; <12-30>
Дифференцируя A2.30) и A2.31) соответственно по х; и у' и
складывая результаты, получаем:
Ux0 d(T-t),Uy0 d(T-t)_ d*(T-t) .
WC дх' ~ wc dyf dxfdyr ' u^oz/
Обозначив 8'=Г—/, x=x'/Xo, y=yl7#o и преобразовав A2.32)
к новым'Переменным, находим:
УхоУо дЪ' tUx0y0 дВ' ___ дЧ' n9oov
WC дх ~ wc ду дхду ' \it.oo)
При x.y. = S; Uxj/JWC = mUa; Ux0yJwc = NTUb; Ъ. = Ь(х, = 0>
у0 = 0) и 6 =--870о уравнение A2.33) принимает вид:
(NTU.)^+(NTUu)|-+^ = 0. ^ A2.34)
Если значения NTUa и NTUb постоянны, уравнение A2.34) может
быть решено с использованием преобразования Лапласа сначала
относительно х, а затем относительно у. Обозначим преобразования
Лапласа следующим образом:
#*[0(*э y)]=gx(r* у)\
&у[*(х> y)]=gy(x> s);
%х??у[Ъ(х, y)] = gxy(r9 s),
где г и 5 — переменные преобразования.
428

Производя почленное преобразование уравнения A2.34),
используя соотношения для преобразования производной, получаем:
для первого члена
*?х°?у
(NTUJ §] = (mUa)[rgxy(r, s)-g„@, s)];
для второго члена
\ = (mUb)[sgxy(r, s)-gx(r, 0)];
??xz?y
(NTU,,)|-
для третьего члена
*>&у i?k=г$ёх«{г> s) ~ rgx {г'0) ~s^@, s)+ь @,0)-
Суммируя приведенные выше выражения в соответствии с
уравнением A2.34) и используя условие 6@, 0)=Л, после преобразований
получаем:
[(NTUe)r + (NTU6)s + rs]gw(r, s) = (NTUa + s)gy@, s) +
+ QiTUb + r)gx(r, 0)-l. A2.35
Теплоносители входят в теплообменник при температурах Т\ и t\.
Граничные условия находятся из дифференциальных уравнений в
частных производных, записанных для обеих входных кромок
теплообменника:
(NTU/;) 6 (*, 0) = - А 6 (х, 0); A2.36)
(NTUaN(G, у)==-^-в@, у). A2.37)
Применяя преобразование Лапласа к уравнению A2.36), получаем:
(mUb)gx(r, 0)=-rgx(r, 0)+6@, 0).
При 0@, 0)=1
g«fr-»°>=r + NTUt • ^12'38)
Аналогичный результат получается и для A2.37):
gy@,s)= s+lMUa. A2.39)
Подставляя уравнения A2.38) и A2.39) в A2.35), находим, что
[(NTUa)r+'(NTUb)s + rs]g«y(r, s)=\. A2,40)
Решая это уравнение относительно gxy{r, s), получаем:
, ч_ 1
gxy\r> s) (NSUa)r+(NTU^)s + rs
а (г с)— l/WUa+s) no 41
gxyv* ч— (NTUbM/(NTUa + 5) + r • v*-*i
или
Обратное преобразование уравнения A2.41) относительно г дает:
,,<*, ,)=*.[•(* yyi = y^—^^''^^\ A2-42)
429

Подстановка в A2.42) переменной (s — NTUfl) вместо s соответ.
ствует умножению функции о (v, у) на в а . При этом уравнение
A2.42) преобразуется к виду
^у[ети^Ь(х, y)] = J_e-<™bns-^uo)]xls =
g(NTUb> * (NTUfl) (NTU6) */s
= S *
Показатель степени, содержащий s, может быть разложен в
бесконечный ряд. Тогда обратное почленное преобразование дает:
00
A2.43)
6 (х, У) = e"<NTUfl) * + (NTU&) * V Г (N.TUJ (NTUb)xy
'Полное количество тепла, переданное в теплообменнике,
представляет собой интеграл уравнения A2.43), выраженного через
безразмерные переменные 0(л:, y)=Q'(x, г/) /во; х=х,/х0 и у=у']у§\
1 1
q = USb0^Q(x,y)dxdy. A2.44)
о о
Вычисление интеграла в A2.44) хотя и трудоемко, но несложно.
Этот интеграл представляет собой отношение среднего температурного
напора к начальному и получается при использовании Q(x, у) из
A2.43):
11 00
Ф = j j 6 {х, у) dxdy = (NTUo)'(N1Ufc) ? f (NTUa) f (NTU6), 1A2.45)
0 0 /1=0
где
/B) = l-e-«2J|l A2.46)
4 m=0
причем переменная z может принимать значения NTUa и (или) NTU&.
Две эффективности могут быть определены из соотношений
в _ Тх-Т% _ Тг — Т%
т / '
1 ! Lx
A2.47а)
t% U A2.476)
где индекс 2 относится к средней температуре на выходе. Из A2.44),
A2.45), A2.47а) и A2.476) при NTUa=?/S/№C и NT\Jb^US/wc
получаем:
8o=NTU0<p; A2.48а)
8b=NTUbO. A2.486)
Используя R=CMimlCMaKC и NTU=t/S/CMmi, заменим уравнения
A2.48а) и A2.486) единым соотношение1М
V Г1 _ e-NTU у (NTU)m 1 / 1 _ e-« <NTU> У [^(NTU)]" 1
Я (NTU)
/2=0
т=0
т=0
A2.49)
430

Рис. 12.9. Эффективность перекрестноточного теплообменника
с двумя неперемешивающимися потоками.
которое при R=0 существенно упрощается:
8=1—e-NTU. A2.50)
Уравнения A2.49) и A2.60) в графическом виде представлены на
рис. 12.9.
РАСЧЕТ КОМПАКТНЫХ ТЕПЛООБМЕННИКОВ
Расчет двухпоточного компактного теплообменника
Конструкторский расчет двухпоточного компактного
теплообменника производится следующим образом1:
1. Составляют тепловой баланс.
2. Назначают о'бщий размер теплообменника (длину, ширину,
высоту) и выбирают типы поверхностей, которые предполагается
использовать. По геометрическим размерам этих поверхностей вычисляют
площади теплопередающеи поверхности, проходного сечения и другие
параметры.
3. Находят теплофизические свойства теплоносителей при их
средних температурах.
4. Вычисляют .коэффициенты теплоотдачи.
5. Вычисляют эффективности ребер и ©сей поверхности.
6. Определяют коэффициент теплопередачи, используя уравнение
A2.15а) или A2.156).
7. Находят R и NTU и вычисляют действительную эффективность
теплообменника. Сравнивают с требуемой эффективностью.
8. Вычисляют потери давления по уравнению A2.14).
1 В кожухотрубчатых теплообменниках, рассмотренных в гл. 10, результаты
расчета труб при заданном внутреннем диаметре кожуха изменяются в зависимости от
числа трубных ходов, поэтому имело смысл начинать расчет с внутренней стороны
труб. Для компактного теплообменника расчет можно начинать со стороны любого
теплоносителя.
431

МНОГОПОТОЧНЫЕ КОМПАКТНЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ
Введение
Многолоточные теплообменники используются для получения
криогенных температур в технологических процессах нефтехимической
промышленности и при разделении газовых смесей. Такие теплообменники
обычно состоят из-чередующихся слоев компактной теплообменной
поверхности. Каждый слой между разделительными пластинами
называется каналом.
В оболочку сравнительно небольшого объема заключена
поверхность теплообмена большой площади. Конструктивно просто и
экономично реализуется противоточная схема теплообмена между тремя и
большим числом теплоносителей в широких интервалах изменения
температур.
Конструктору при проектировании многопоточных компактных
теплообменников необходимо решить три задачи. Выбор теплоо'бменных
поверхностей производится на последнем этапе с помощью методов,
описанных в этом разделе. Две другие задачи — это определение числа
каналов для каждого из теплоносителей (распределение каналов) и
рациональная компоновка каналов в пакете. Как показано Фэном [8],
распределение каналов и их компоновка существенно влияют на
общую эффективность теплообменника.
Распределение каналов
Схема протшзоточного компактного теплообменника с N
теплоносителями показана на ,рис. 12.10,а. Более наглядно такой
теплообменник представлен на рис. 12.10,6. Заметим, что А — это горячий
теплоноситель с расходом WA и изменением температуры от ТА\ до ТА2-
Теплоноситель А движется по NA каналам и доли общего расхода
теплоносителя Л, используемые для нагрева теплоносителей В, С, D, ...
..., Р, Q, R, обозначены соответственно как WAb, W ас, Wad, • •., WAp,
WAq, War и т. д. Доли от общего числа каналов NA, через которые
осуществляется теплообмен с этими теплоносителями, будут
соответственно Nab, NAc, NAd, • • •, Nap, NAq, NAr и т. д. Каждый из
холодных теплоносителей В, С, D, ..., Р, Q, R, характеризуемый расходом W
и изменением температуры от t\ до t2 (wB, tB\, (в2, wc, ici, tc2 и т. д.),
движется через N каналов (NB, Nc, ND, ..., NP, NQy NR).
Если для нагрева каждого из обратных теплоносителей должен
быть использован минимальный расход теплоносителя Л, то
теплоноситель А необходимо охлаждать в максимально возможном
температурном интервале. Следовательно,
Was) мин
Яа
лв/мин CA(TM-tBX)
Яс
' ЛС/мин '
лсмш - CA(TM-tcx) '
A2.51)
<w*>.
1Q
AQ>™*- CA<TM-iQl) '
(WAR)mn= CA(TM-tRi) ¦
432

Полный минимальный расход теплоносителя А запишется как
(flMMHH=(№AB)Mra+i(l^
A2.62)
hi
Горячий,
конец
Холодный*
конец
^С2
w„
— we
W„c
-С W
¦* vvc
%a
^— Wj
—*•
—
N/ib
Afe
*«
«c
"лл
Ns
t61
ьт*
%J«i
Рис 12.10. Многопоточный компактный теплообменник [8].
а — расходы, число каналов и температуры полностью разделенного четырехпоточного
теплообменника; б — схема и разрез типичного элемента теплообменника с каналами для потока А; / —
распределитель; 2 — боковая полоса; 3 — гофрированный лист; 4 — разделительный лист; 5 —
эффективная длина; 6 — эффективная ширина; 7 — распределительная секция; 5 —участок
теплообмена; 0 — коллектор; /0 —патрубок.
Действительный расход теплоносителя А обозначим через Wa-
Максимальный расход теплоносителя А для нагрева каждого из
обратных остальных теплоносителей равен WA минус минимальный расход А
для нагрева обратных теплоносителей. Таким образом,
\™АВ /макс — ™ А \™ АС /мин "
' АС )маке=== •*л ' АВ /мин "
(Wad)
мин
' Л?>/мин"
' ;4Q/mhh \**лЯ/мнн'
... V"aq )мин \™ AR /мвн»
{ AQ /макс — **л (^лв)мин (^лс/мян (^л/)/мии
'л/? /макс === **л 'лЯ /мин \ ™ АС /мин ' ^ Л/> /мин •¦
мни»
• \*^л<?/мнн#
A2.53)
Первоначально можно считать, что число каналов, с помощью
которых дредполагается нагреть каждый из обратных теплоносителей,
28—192 433

пропорционально расходам:
мин
: l"'Лв)мИН [ W/ .
ЛВ/мин I ^
N.
{NAC)m = {WAC)u
^А
W,
\АО /мин — \**ЛО /'
'^Q/mhh
(^л/?)мин (^л/г)
ЛЯ'мин
N
-А
(^Лв)макс = (^в)
ЛВ /макс
^
^
^ ЛС /макс \*^ дс /макс ( урА I
A2.54)
v* ЛО /макс V" АО /
ЛB /макс
W*>
Л/? /макс "
лгл
Кроме того,
wt
A2.55)
(^л)мин=(^л)
1а\
Л/мин I Wa J
A2.56)
Приведенные 'выше уравнения дают верхний и нижний пределы
числа каналов, которые необходимы для нагревания каждого из
обратных теплоносителей. Число каналов, используемых в действительности,
должно лежать между этими пределами, что ведет к определенной
свободе выбора числа каналов. Обозначим этот диапазон через г|з:
\*л)\са)
WA
Яс
qQ
?*
ТА\ ~~ *51
¦tr
ТА\ — *Q1
•t*
ГЛ1~~'С1 IA\"~lQ\ JA\-~lRl
A2.57)
Пример 12.1. Распределение общего числа каналов многопоточного компактного
теплообменника. Противоточный компактный теплообменник предназначен для работы
с четырьмя теплоносителями, расходы, температуры на входе и выходе и удельные
теплоемкости которых даются ниже. Найти число каналов, по которому следует
пропускать каждый теплоноситель, если общее число каналов в теплообменнике равно 20,
а параметры теплоносителей приведены в помещенной ниже таблице.

Теплоноситель
А
В
С
D
Расход, кг/с
0,610
0,681
' 0,284
0,170
Температура, °С
Вход
49
21
—7
— 18
Выход J
—51
—62
—68
—73
Удельная
теплоемкость, Дж/(кг«°С) X
Х10»
2,73
1,77
2,20
3,05
434

Решение. 1. Тепловой баланс:
теплоноситель А
<7а=0,610-2,73.103[49—(—51)] = 166500 Вт;
теплоноситель В
<7в=0,681A,77.103)[21—(—62)] = 100000 Вт;
теплоноситель С
<7С=0,284 B,20-103) [—7—1(—68)] =38 000 Вт;
теплоноситель D
<7р=0,170 C,05- Ю3) [--18— (—73)]=28 500 Вт; <7a = ?b + <7c + ?d = 166 500 Вт.
2. Минимальные расходы [согласно уравнениям A2.51)]:
qB 100 000
(Wab)muh = Сл (ГЛ1 — *Б1) "730 [49 — (— 62)] = °'330 кг/с;
qc 38 000
0^лс)мин= CA(TAl—tcl) = 2730 [49 — (— 68)] =0>1194 КГ/'С'
qD 28 500
(^ad)mhh= Сл(ГЛ1—^D1) ==2730[49 —(—373)] = °»0856 кг/с»
(^л)мин= 0,5350 кг/с.
3. Минимальные расходы [согласно уравнениям A2.53)].
A^лв)макс = 1^А—(^Ас)мин—(^1>)мин==0,610—0,1194—0,0856 = 0,405 кг/с.
(^с)макс = ^-(^лв)мин-(^А1>)мин=0,610-0,330-0,0856 = 0,1944 кг/с.
(^А1))макс==^А-(^Ав)мИн~(^с)мин=О,610--О,330-О,1194=О,1606 КГС.
4. Минимальное число каналов [согласно уравнениям A2.54) при NA = 20]:
NA\ 20
(^ЛБ)мнн = (^Лб)мин \W2}= °'33° О^Ш" = 10'82'
(NA \ 20
iNA \ 20
(^d)mhh= (^Л1))мин ^ J = 0,0856 g-gjg- = 2,81;
(^л)Мин= 17,55.
В соответствии с A2.57)
t|)=^A—(iVA) „ин=20,00—17,55=2,45.
5. Максимальное число каналов [согласно уравнениям A2.55)]:
(#Ав)макс=(ЛГАв)мин+г|>= 10,82+2,45= 13,27;
(^лс)макс=(^Ас)минН-^ = 3,92+2,45 = 6,37;
(Л^А1>)макс=(^А1>)мин+г|5 = 2,81+2,45 = 5,26.
6. Выбор числа каналов: поскольку
10,82 <NAB < 13,27, выбираем NAB= 12;
3,92 <Л^лс< 6,37, выбираем NAC = 5;
2,81 <NAD< 5,26, выбираем A^D = 3.
^Л = 20.
Размещение каналов
Обратимся снова к рис. 12.10,а и будем считать, что в
теплообменнике протекают только три потока —Л, В я С. Пусть расходы,
температуры и удельные теплоемкости будут такими, что NАВ = N'АС = -^-Nл%
Одним из возможных расположений каналов могло бы быть
...САВАСАВАСАВАС...
28* 435

Горячий
конец,
Холодный
коней,
продольная
координата L
Рис. 12.11. Распределение температур
по длине трехпоточного
теплообменника с каналами прямого потока Л,
расположенными между каналами
обратных потоков В и С.
Такое расположение может быть
совершенно неудовлетворительным,
если один из обратных (нагреваемых)
теплоносителей значительно холоднее
другого. На рис. 12.11 показано
распределение температур
теплоносителей по длине такого теплообменника,
в котором wc значительно больше, чем
Wb, a tci существенно меньше, чем tm.
J* Заметим, что теплоноситель А нагре-
У вает теплоноситель С до такой
степени, что ТА2 становится меньше, чем tB\-
В таком теплообменнике на части
поверхности тепло в действительности
передается от обратного теплоносителя
В к теплоносителю А и часть NAB от
Lo до Lx теряется.
Почти столь же
неудовлетворительно и расположение
. ВСАВСАВСАВСА
В этом случае происходит передача тепла от теплоносителя В
к теплоносителю С, что нежелательно. Это считается внутренней
утечкой тепла.
Лучшим методом компоновки каналов является разделение
обратных потоков (холодных теплоносителей). При этом получается
простейшая из 'возможных конструкция коллектора, что удешевляет
изготовление и уменьшает потери давления. В результате достигается общая
высокая эффективность теплообменника.
Как повышается общая эффективность теплообмена при
целесообразном размещении каналов, можно продемонстрировать на
теплообменнике, рассмотренном в примере 12.1. Из условий симметрии
теплоноситель А должен двигаться по 19 или 21 каналу. Предположим, что
он движется по 19 жаналам. Таким образом, в этом теплообменнике
теплоносители Л, В, С и D движутся по 19, 12, 5 и 3 каналам
соответственно. Заметим, что ТlA\>iB\>tc\>tD\-
Таблица 12.1
Несколько схем возможного расположения каналов в примере 12.1
Случай
Расположение каналов
1
2
3
4
5
6
7
BABABABACACABADABABACACABACADABABABAB
BABABABABABACADACADACACADACABABABABAB
BABABABABABADADADACACACACACABABABABAB
BABABABABABABABABABABABACACACACACADADA
BABABABABABABABABABABABADADADACACACACAC
BABABABABABABABABABABABADADADAACACACACAC
BABABABABABABABABABABABAADADADACACACACAC
Из табл. 12.1 видно, что любые три канала могут быть
представлены в форме XAY, где X и У обозначают каналы 5, С или D. Имеется
шесть возможных комбинаций ВАВ, ВАС, BAD, CAC, САП и DAD.
436

В первых трех комбинациях самая низкая температура, которую может
достичь теплоноситель Л, ра'вна tB\. При схемах САС и CAD эта
температура равна tC\. Только в схеме DAD темлера'тура теплоносителя А
может приблизиться к tm. В та(бл. 12.2 рассмотрена каждая из схем
расположения каналов, перечисленных в табл. 12.1. Из таблицы
видно, что схема 2 лучше схемы 1, а схемы 3, 4 и 5 одинаково
эффективны и каждая из них лучше схемы 2. Схема 6 показывает, как влияет
размещение дополнительного двадцатого канала с теплоносителем А
между каналами с теплоносителями С и D. В схеме 7 дополнительный
канал с теплоносителем А помещен между каналами с
теплоносителями В и D. Схема 6 имеет небольшие преимущества по сравнению со
схемой 5, а схема 7 является наиболее выгодной из всех.
Таблица 12.2
Возможные комбинации одного горячего потока и трех холодных
в четырехпоточном теплообменнике из примера 12.1
Номер
схемы
ВАВ
Число комбинаций
ВАС
BAD
САС
CAD
DAD
Число канатов с теплоносителем А
в которых может быть достигнута
температура
В1
С\
D\
7
10
10
11
11
И
11
4
2
1
1
0
0
о
4
0
1
0
1
1
0
2
1
4
4
4
4
4
2
6
1
1
0
0
1
0
0
2
2
3
3
3
15
12
12
12
12
12
12
11
4
7
5
5
4
4
5
о
о
2
i
з
3
3
Табл. 12.2 также демонстрирует преимущество работы с
коэффициентом *ф, имеющим широкий диапазон значений. Значение г|><1 не
позволяет свободно размещать каналы без нарушения требуемого их
числа Nab, Nac и NAd.
КОМПАКТНЫЕ ТЕПЛООБМЕННИКИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ
В обычных рекуперативных теплообменниках, широко
используемых в промышленности, осуществляется стационарное движение
теплоносителей по отдельным каналам. При этом теплоносители не
смешиваются друг с другом, а тепло передается через разделяющую стенку.
За исключением пускового периода, когда аппарат выходит на
рабочий режим, аккумуляция тепла .в таких аппаратах отсутствует.
Напротив, в теплообменниках периодического действия или регенераторах
в течение одного периода через насадку, хорошо аккумулирующую
тепло, пропускается горячий теплоноситель. Тепло передается к
насадке через ее поверхность, служащую поверхностью теплообмена. Когда
температура насадки или теплоносителя на выходе достигнет
заданного значения, производится переключение потоков и через насадку
пропускается холодный теплоноситель. Накопленное в насадке тепло
через ту же поверхность отдается холодному теплоносителю, нагревая
его до тех пор, пока температура насадки или потока на выходе не
достигнет другого заданного значения. Если работа ведется по
существу со стационарными горячим и холодным потоками, подводимыми
437

к аппарату, то используются два параллельных поочередно
переключаемых регенератора. При этом температуры потоков на выходе
периодически изменяются.
Самые первые регенераторы применяли для предварительного
подогрева до высоких температур топочного воздуха с помощью тепла
уходящих газов в таких областях, как коксовое производство,
выплавка стали и стекловарение. Поскольку эти процессы проводятся при
температурах, превышающих рабочие температуры обычных металлов и
сплавав, регенераторы изготавливали и изготавливают в виде камер
из огнеупорного кирпича. Насадка из того же огнеупорного кирпича
имеет каналы, через которые попеременно пропускаются уходящие га-
Пото«,Смаис Сяв«/*х
Насадка б) \
J ' Смин/Ny
Рис. 12.12. К расчету компактного вращающегося регенератора.
а — насадка и потоки теплоносителей: б — схемы теплообменных элементов.
зы с температурой до 1600°С и топочный воздух. Если при
переключениях потоков не производится продувка насадки, то происходит
частичное смешение горячего и холодного теплоносителей. Однако когда
применяются два регенератора, серьезных проблем не возникает. Такие
теплоносители, как уходящие топочные газы и воздух, обычно
совместимы и их смешение не приводит к значительному снижению
термических характеристик процесса.
Сравнительно недавно спроектированы регенераторы для менее
жестких условий работы, где можно использовать преимущества
высокой температуропроводности металлов. Такие регенераторы могут быть
изготовлены с металлической насадкой в виде компактной теплоакку-
мулирующей поверхности. Кроме того, такие регенераторы могут быть
объединены в единую компактную вращающуюся насадку, как
показано на рис. 12.12,а. В этом случае потоки горячего и холодного
теплоносителей не переключаются и не прерываются. Вместо этого
цилиндрическая насадка, вращаясь, занимает положения, при которых одна
ее часть находится против горячих, а другая против холодных каналов,
через которые в насадку в осевом направлении поступают
теплоносители. Применяются также и другие схемы распределения потоков.
В простейшем случае половина насадки непрерывно вращается над
каналом, подводящим горячий теплоноситель, который протекает в
осевом направлении, а затем над каналом с холодным теплоносителем,
который, проходя через нагретую насадку, отбирает
аккумулированное тепло. Поверхности не всегда соответствуют определению, данному
в гл. 1, согласно которому развитая поверхность включает основную
поверхность и развивающие ее элементы, однако они удовлетворяют
условиям компактности.
Были затрачены большие усилия на разработку аналитических
решений для определения тепловых характеристик регенератора в усло-
438

виях различных начальных температур и распределений потока. Первые
шаги в этом направлении сделали Анцелиус [9], Хаузен [10, 11},
Нуссельт [12], Шмайлдер [13], Шуман [14] и Аккерман [15]. Позднее
в этом направлении вели исследования Коппэйж и Лондон [16] и Лам-
бертсон [17].
Работа Ламбертсона основана на применении численного
решения методом конечных разностей при следующих упрощающих долу-
щениях.
1. Теплопроводность насадки равна нулю в направлениях течения
теплоносителя и .вращения насадки и бесконечна в направлении,
перпендикулярном к потоку.
2. Удельная теплоемкость теплоносителей и материала насадки
постоянна (не зависит от температуры).
3. Не происходит смешения теплоносителей ни в результате
прямых утечек, ни в результате перетекания.
4. Коэффициенты теплоотдачи между теплоносителями и насадкой
постоянны по (всей ее длине.
5. Схема движения теплоносителей протшзоточная.
6. Температуры теплоносителей на входе однородны по
поперечному сечению и постоянны во времени.
7. Процесс стационарен, насадка вращается равномерно (с
постоянным периодом).
При этих допущениях типичный элемент периодического
теплообменника или регенератора (рис. 12.12,а) молено предста1вить
схематически в виде, показанном на рис. 12.12,6. Заметим, что каждый из
элементов на рис. 12.12,6 можно рассматривать как перекрестноточный
теплообменник с потоком теплоносителя и «потоком» металлической
насадки (обусловленным движением насадки при вращении ротора),
причем индекс г относится к вращающейся насадке, a Nx, Ny и Nr
обозначают число элементарных ячеек, на которые разделены потеки
теплоносителей и «поток» насадки в направлениях СМакс Смин или
вращения ротора соответственно.
Рассмотрим сначала поток теплоносителя с максимальной
теплоемкостью СМакс на рис. 12.12,6. Для простого перекрестного тока без
перемешивания в потоках теплоносителей при однородном
распределении температур на входе и средних температурах на выходе
Я = Смакс (ТХ1 ~ TXi) (-JL); A2.58)
д = Сг(Гг2-Тп)(-±у A2.59)
q = №xLT^(j±-y A2.60)
где для малых изменений температур можно использовать
среднеарифметический температурный напор
ЬТср=±[(ТХ1 + Тхг)-(Тп + Тгг)]. A2.61)
Температуры каждого из двух потоков на выходе могут быть
найдены из A2.58) — A2.61):
Txi=Txl-K1(Txl-Trl); A2.62а)
ТП = ТГ1-КЛТХ1-ТГ1). A2.626)
439

Подабным же образом могут быть получены выходные
температуры на стороне теплоносителя с меньшим значением теплоемкости СМиН:
* уъ * у\ AjV'ri * yx)f
КЛТп-Туг).
т =т
1 Г2 Л 1
A2.63а)
A2.636)
0,9
0,8
0,1
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
е
. L
*/Сг>/С
2>ts
1,25
\С7>/СмиН'~570у
з,
0ш
1,5
MUH^fl
"Щ\
3 4
8
Рис. 12.13. Эффективность теплообменника
периодического действия при противотоке (hS)'=
= 1,0, Смакс/^мин— 1»0.
Константы К\—Ка могут быть найдены из определения параметров
с помощью соответствующих алгебраических преобразований:
к,=
77Z ! л. Oil <»s»'
(Сг/Смш) Wx/Nr) ^ NTUo t1 + (hS)'] (Смин/Смакс)
2
*.=¦
'-мин
Cr Nx , 2Nx(hS)'(Cr/C
МИН/
Смакс Смин Wr + NTU0 [1 + (AS)'] '
К4 =
1 2Nr
1 + (Cr/CjmH) (JtyAT,) + NTU, [1 + (AS)']
2
l + (Cr/Cwm)(Ny/Nr) +
2Ng(Cr/CMm)
NTU, [1 + (AS)']
A2.64a)
A2.646)
A2.64b)
A2.64r)
где
(AS)' = g2i; NTU,--^
(AS)* ^v
l/(AS)c+(l/AS)ft
Метод конечных разностей позволяет определить значения Nx и Nv,
которые следует подставлять в уравнения A2.64а)—.A2.64с).
Машинное решение уравнений A2.62а), A2.626), A2.63а) и A2.636) дает
440

эффективность с точностью, зависящей только от значений Nx и Ny,
Характерный график зависимости эффективности от Сг/СмиН и NTUo
для постоянных Смин/Смакс и (hS)y/(hS)х предстаозлен на рис. 12.13.
ЗАДАЧИ
12.1. Рекуператор, спроектированный для экспериментальной газовой турбины,
которую предполагают использовать в качестве автомобильного двигателя, забирает
1,27 кг/с выхлопных газов при 590°С и 96 кПа (самое низкое принятое давление
окружающей среды). Тепло передается потоку сжатого воздуха с расходом 1,18 кг/с,
входящему в рекуператор при 300°С и 690 кПа.
Температура и свойства выхлопных газов требуют применения нержавеющей стали
[6=16,5 Вт/(м-°С)].
Рассчитайте противоточный рекуператор, пользуясь следующими данными:
Максимальные размеры 203X305X305 мм
Размеры ходов, не занятые потоком 203 мм
Толщина разделительных пластин 0,203 мм
Воздушная сторона Гладкое пластинчатое ребро, каналы
треугольной формы, число fребер
1300 на 1 м длины
Газовая сторойа . .'.... Пластинчатое ребро толщиной 3,2 мм
в виде двухслойного сандвича,
число ребер 800 на 1 м длины
При расчете принять, что выхлопные газы имеют те же теплофизические свойства,
что ч воздух, общие допустимые потери давления на газовой стороне 17 кПа, а на
воздушных 3,5 кПа.
Из термодинамических и экономических соображений эффективность рекуператора
газовой турбины должна составлять около 0,70—0,85. Считайте, что потери давления
со стороны газа и воздуха на входе и выходе (на трение, на поворот и вследствие
изменения скорости) малы по сравнению с сопротивлением насадки.
12.2. Используйте насадку теплообменника, рассчитанную в задаче 12.1. Полагая,
что схема течения перекрестноточная, определите эффективность теплообменника.
12.3. Охлаждающая пластина является составной частью насадки компактного
теплообменника, которая используется как шасси для электронного оборудования. Такая
конструкция нашла применение в аэрокосмической промышленности. Желательно
использовать поверхность с гладкими пластинчатыми ребрами в качестве шасси, на
котором будет смонтировано электронное оборудование.
Исходные данные для расчета:
Отводится тепла 400 Вт
Нагрузка 200 Вт (равномерно
распределены на каждую
сторону)
Допустимая температура шасси 125°С
Размер ходов 102X229X7,62 мм
Размер хода, занятого теплоносителем (максимальный) .... 229 мм
Охладитель Воздух
Расход (максимальный) 0,6 кг/мин
Температура на входе 71°С
Допустимая потеря давления 6 мм вод. ст.
Входное давление 101,5 кПа плюс потеря давления.
Рассчитайте охлаждающую пластину и вычислите расход воздуха для
температуры шасси 125°С, если температура воздуха на входе равна 38°С.
441

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ГЛ. 12
1. Кэйс В. М., Лондон А. Л. Компактные теплообменники. Пер. с англ. М.,
Энергия, 1967.
2. Kraus A. D., Kern D. Q. Eight Natl. Heat Transfer Conf., Los Angeles, ASME
Paper 65-HT-18, 1965.
3. Nusselt W. Z. ver. deut. Ing., 55, 2021, 1911.
4. Nusselt W. Tech. Mech. Thermodynam., 1, 417, 1930.
5. Smith D. M. Engineering, 138, 479, 606, 1934.
6. Mason J. L. Proc. Second. US Natl. Congr. Applied Mechanics, ASME, 801,
1955.
7. Berenson P. J. Personal communication, 1967.
8. Fan Y. N. Hydrocarbon Process, 45 A1), 211, 1966.
9. Anzelius A. Z. angew. Math. Mech., 6, 291, 1926.
10. Hausen H. Habitationsschrift, Technische Hochschule, Munchen, 1927.
11. Hausen H. VDI-Z, 73, 431, 1929.
12. Nusselt W. VDI-Z, 71, 85, 1927.
13. Schmeilder W. Z. angew. Math. Mech., 8, 385, 1928.
14. Schumann T. E. W. J. Franklin Inst., 208, 405, 1929.
15. Ackermann G. Z. angew. Math. Mech., 11, 192, 1931.
16. Coopage J. E., London A. L. Trans. ASME, 75, 779, 1953.
17. Lambertson T. J. Trans. ASME, 80, 586, 1957.

ПРИЛОЖЕНИЯ

т
Таблица П-1
Обобщенная программа решения стационарных задач
С TVSS2 *EV 3 MAR 1969 AUTOMATIC ADJUSTMENT OF EACH DAMPING VALIIP AFTFR STEP 2
С AND HANDLING OF TIME DEPENDENT FUNCTIONS AS CONSTANTS.
С THIS PROGRAM MILL HANDLE UP TO 295 NODF*
DIMENSION TCOE)t CONTMP(SO)* ITAGUOOW TCOFF(90). COEFMOO).
1 HB96)t AB96)* TOLDB95)« T0LDK295)* T0LD2B95). RFTA(?95>.
2 TITLEA6>* INPTAGA0)*EXD)* TMPHT(90)* TMPHTVE). N0C0NTC6».
3 HTR<42)t 8TUCRVE)* TMPCRVE). TIMCOE)
С
1000 READ E*500) TITLE
REWIND 16
REWIND 17
READ E*501) N*NCT*NOHTRS.NOEXP.N0CaSE*NTC0FF.NODCFH*NTMPNT
NP1 * N ¦ 1
READ E* 501) NONODS.NOCT.NOHTR.INPTAG
READ E*505) FRR* ALPHA* MNITS
MAXNIT a IABMMNITS)
NIT ¦ 0
REAO E*502) (BETA(I).1*1*N>
С
DO 15 IsltlO
INI s INPTAG(I)
IF (INI) 17.17.§
6 30 TO A.2*3.7.10.12.14.80S.809.810*811*810.810.810) • INI
1 NTCIN s 18*NTC0EF
E* 502) (TCOEF(K)* K«1*NTCIN)
E* 502) (CONTMP(K)* K«1*NCT)
E*
E*
501)
502)
1*N
» 0
NT. (ITAG(K).
E*502) (COEF(M)
R . 8 «710
(COEF(M) «
READ
GO TO 15
2 READ
GO TO 15
3 READ
READ
GO TO 15
7 00 8 L a
ITAG(IO)
READ E*504)
READ
IF (NT-9 ) fi .
710 DC 715 Ksl0.4T*9
ITAG (K*9) * 0
READ E*503) (ITAG(M)
715 READ E*502)
8 WRITE A6) ITAG. COEF
END FILE 16
REWIND 16
30 TO 15
10 READ
GO TO 15
12 READ
GO TO 15
14 <2 • 18#NTMPHT
READ E*502) (ТМРИТ(К). Ksl,K2)
GO TO 15
808 READ E*502) BTUCRV
GO TO 15
809 READ E*502) TMPCRV
GO TO 15
CIO WRITE F»533) INI
STOP
811 READ E*502) TIMCO
15 CONTINUE
17 CALL TVPAGE E»TITLE)
CALL TVSOUT(N* 1*TOLD*TOLD*TITLE)
NOCONT
(HTR(K)* Ksl.36)
K»l*9>
Melt 9)
M«K .ICE)
MsK .<E)
E* 502) EX
E*502) (TOLD(K). K*1*N)
20 IF (N0HTR5) 24.24.21
21 CALL TVSHTR (NOHTRS.HTR.CASBTU.NOCONT.TOLD.NODCFH)
24 DO 107 NOD «1*N
DO 25 Isl.NPl
25 A(I) • 0.
READ A6) ITAG* COEF
DO 100 IWD «1*99
IF (ITAG(IWD) .EO. 0) GO TO 105
NODEI * ITAG(TWD) / 10
444

MeTHI s MOO UTAG(IWD) • 16)
IF (NODEI-NONODS) 55,55,45
45 IF SNODEl - (NONODS*NOCT>) 60,60,46
46 IF (NODEI - <NONOOS*NOCT*NOHTR)) 49*49,47
47 NTTH s NODE! ~ С NONOOS * NOCT * NOHTR
IF (NTTH-3) 315*8151,326
©15 ACNPl) s A(NPl> « BTUCRV(NTTM5(*C0EF{IWD) HEATTIMF
GO TO 100
820 NTTH ¦ NTTH - 5
IF (NYTH-5) 825,825,830
B25 Tl ж TtfPCRV(NTTH) TEMPTIMF
GO 70 63
830 NTTH * NTTH - 5
IF С »JTTH - 5) 48,48,50
48 te'COEF s NTTH ¦ 1100
CALL TVFTMP (WCOEF, TOLD(NOD)• TMPHT)
T«PKT'V(NTTH) « WCOEF
GO TO 100
49 LOCK * 36 * (NOOEI - (NONODS+NOCT))
A(NPi) * AINPl) - HTR(LOCw) * COEF(IWD)
GO TO 100
50 ACNPl) a A {N513 • COEFUWD)
GO TO IOC
55 Tl * TOLD(NOOFl)
GO TO 65
60 NNODE s NOOEI - NONODS
65 T2 s TOLDCNOD)
WCCEF s COEFUWD)
IF (WCOEF .GT. 1C00. .AND. WCOFF .LT. 1100.) GO ТГ) 890
IF (WCOEF - 110П.) 73,73.70
70 ATEMP s (Tl*T?) / 2.
LC s WCOEF - 1099*99
CALL TVFTMP (WCOEF» ATEMP, TCOFF)
TCO(LC) s WCOFF
GO TO 73
850 LC s WCOEF - 999.99 COFFTlMF
WCOEF s TIMCO(LC)
73 GO TO (80,74,75,80,80,77,77,77,77) • METHI
74 TO s ABS U1-T2)
WCOEF s WCOEF * ((TD#*U25)/TD)
GO TO 80
75 T3 s (Tl+460.) / 100.
T4 » (T2*460.) / 100.
*'COEF s WCOEF # ((T3##4 - T4#*4) / (T1-T2))
GO TO 86
77 T3 s EX ( METHI-5)
TO * ABS CT1-T2)
WCOEF ¦ WCOEF * ((TD##T3>/TD)
80 IF(NOOEI - NONOOS) 85,85,90
85 A(NODEI) 8 A(NOOEI) ¦ WCOFF
GO TO 95
90 A(NP1) s A(NPl) - WC0EF*TS
95 A(N00) 8 A(N00) - WCOEF
100 CONTINUE
105 IF (NOD-NOCASF) 107.106,107
106 A(NP1) 8 A(NP1> - CASBTU
107 WRITE A7) U(K)»K*WNP1>
END FILE 17
REWIND 16
REWIND 17
CALL CHOST (M, NP1, H)
ERRTAG s 0.
NIT s NIT ¦ 1
IF (NIT .LT. 3) GO TO 120
CALL СВЕТА (\U ALPHA, BETA. TOLD, T0LD1, T0LD2, ERRI
120 DO 130 Isl,N
T0LD2U) * TOlDKI)
TOLD(I) 8 TOLD(I) ¦ BETAU) # ( H(I) -TOLD(I))
A(I) 8 TOLO(I) - T0L01CI)
130 IF (ABS(A(U) .GT. ERR) FRRTAG • 1.
445

Х35
140
145
150
155
160
175
180
CALL TVSOUT <N» 29 TOLD» A* TITLE)
IF (NOHTRS) 140*140*135
LOCH в 36 ¦ MOHTRS
CALL TVPAGE C*TITLE)
WRITE F*525) (HTR(K)» K«37*L0CH)
WRITE F*526) CASBTU
IF(NTCOEF) 150*150*145
CALL TVPAGE B*TITLE) .
WRITE F*528) (TCO (K)* K* l.NTCOEF)
IF (NTMPHT) 160*160*155
CALL TVPAGE B*TITLE)
WRITE F*529) (TMPHTV(K)* K«l*NTMPHT)
IF (NIT .GE. MAXNIT «AND,- MAXNIT .GT. 0)
IF (ERRTAG) 1000* 1000* 70
DO 180 Isl*N
IF (BETA(I) .I.T. .0001) BETA(I) s .0001
WRITE F*530) MAXNIT* (BFTA(I).Isl*N)
CO TO 1000
GO TO 175
500 FORMAT A6A5)
501 FORMAT A814)
502 FORMAT (9G8.0)
503 FORMAT (918)
504 FORMAT (I2*U*8I8)
505 FORMAT BG8.H* 18)
525 FORMAT(/12H HTRS BTU/HR
526 FORMAT A2H CASE BTU/HR
528 FORMAT (/12H TEMP COFFS
529 FORMAT ( /124 TFMP HEAT
530 FORMAT ( :0 OVER : 15* :
531 FORMAT (9F8.3)
532 FORMAT (9F8.4)
533 FORMAT С SET:
END
• 6G12.5)
• G12.5)
• 6G12.5)
• 6G12.5)
ITERATIONS J
//
BETAS: // (?0F**4)
15* : IS NOT ACCFPTABLE. FIX DFCK AND RPSUBMIT
SUBROUTINE C3FTA ( N* ALPHA* BETA* TN* TNMl. TNM2* FRR >
DIMENSION TNU1) • TNMK1) • TNM2 A) • BETA П)
DO 50 Isl«N
oAMMA s TMTM1 / iTNMKI)-TNM?(I»)
IF (GAMMA .GT. 5.) GO TO 10
IF ( ABStTMTMl) .LE-. ERR ) GO TO 50
IF (GAMMA .LT. -ALPHA) BFTA(I) = «BETA(I)«ALPHA/GAMMA
GO TO 50
10 IF (GAMMA .ST. 1.) GO TO 50
BETA(I) « BETA(I) / ALPHA
50 IF (BETA(I) .ST. 1.) BETA(I) s 1.
RETURN
END
SUBROUTINE CHOST (N*NPl*FL)
DIMENSION EL(NPl) • L0CSB96) • SAVED3660)
1
I
LOCS(l)
NMl « N
I • 6
10 I i I П
READ A7) (ELI(K)tKsbNPl)
IP1 > I + 1
IF ( I .EO. 1 ) GO TO 50
DO 45 Js2*I
LR s LOCSU-1)
IF ( EL(J-l) .EO. 0. ) GO TO 45
DO 40 JR«J*NP1
IF ( SAVE(LR) .EO. 0. ) GO TO 40
EL(JR) s EL(JR) * EL(J-1)#SAVE(LR)
40 LR с LR*1
45 CONTINUE
50 DO 60 KslPbNPl
IF (EL(K) .E>. 0.) GO TO б5
EL(K) • EL(IC) / EL(I)
60 CONTINUE
446

IF (I .FO» N) GO TO 80
LS * LOCSU)
00 72 К * IP1.NP1
SAVE(LS) « ELI(K)
72 LS s L.S ¦ 1
GO TO 10
¦>
80 REWIND 17
EL(N) « EL(NPl)
00 90 I«1»NM1
II « NPl - I
LR « LOCS(LF) ¦ I
EL(II-l) e SAVE(LR)
DO 90 К = II.N
LR s LOCS(LF) ¦ К - II
IF (SAVE(LR) '.E0. 0.) GO TO 90
EL(II-l) s EU(II-l) - SAVE(LR)*FL(K)
90 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE TVFTMP (COt T. TCOFF)
DIMENSION TfOEF(i)
NC в СО - 1099*9
NB 5 18#NC • 17
IF (T - TCOEF(NB)) 2.2.6
2 CO * TC0EF(N3+1)
GO TO 60
6 NE s NB ¦ 16.
DO 50 K=NBtNE«2
IF (T-TC0EF(O> 10t20.50
10 TC s TCOEFCK)
TCM2 9 TC0EF<K-2)
TCM1 з TCOEF(K-l)
TCPl 5 TC0EF(K*1)
CO * ((T-TCM?) /(TC-TCM2)) * (ТСР1-ТСМП ¦ TCM1
GO TO 60
20 CO * TCOEF {<*!)
GO TO 60
50 CONTINUE
CO s TC0EF(NE*1)
60 RETURN
END
SUBROUTINE TVS0UT(N»NA.T1.T2.TTTLE)
DIMENSION TUl) • T2(l) . IDA2) • TITLE(I)
CALL TVPAGE B.TITLE)
WRITE F.500)
NL s NA+2
DO 50 Isl.N.12
CALL TVPAGE (NL.TITLE)
IF (im-N) 5.5.10
5 N5=12
GO TO 15
10 N55N-I+1
15 DO 20 Ksl.NS
20 ID(<) » I+K-l
WRITE F.501) (ID(K). Ksi,N5)
Ni • I ¦ N5 • 1
IF (NA-1) 25.25.30
25 WRITE F.504) (T1U). Ks I.N1)
GO TO 50
30 WRITE F.502) (TKK). Ks I.N1)
WRITE F.503) (T2(K). Ks I.N1)
50 CONTINUE
RETURN
500 FORMAT AH2)
501 FORMAT (/10H NODE NO. ai2l9)
502 FORMAT A2H NFW TEMPS .12F9.2)

503 FORMAT A2H 4FW . OLD .12F9.2)
504 FORMAT A2H 3RIG TEMPS .12F9.2)
END
SUBROUTINE TVSHTR (N0HTRS.HTR.CASBTU.N0CONTtTnLD.NO0CFH>
OIMENSION HTR(l) . NOCONT(l) • TOLD(l)
CASBTU s 0»
00 25 K=1»N0HTRS
LOK » 36*<
IF (NOCONTU)) 24.24.43
43 LOKl s NOCONTCK)
IF (K-3) 45.45.50
45 L0K2 « 0
GO TO 55
50 L0K2 « 18
55 IF (NODCFH) 3,3.60
60 IF (TEMP-HTR(P)) 65.65.70
65 HTR(LOK) s HTR(L0K2*11
GO TO 25
70 NODCFH = 0
3 IF (TEMP - HTR(L0K2*4>) 5.5.15
5 HTR(LOK) s HTR(L0K2*9)
CASBTU s CAS9TU ¦ HTR(L0K2>14>
GO TO 25
15 DO 16 Kls5.8
L0K3 s L0K2*<1
IF (TEMP - HTR(L0K3)) 17.17.16
16 CONTINUE
HTR(LOK) s HTR(L0K2*13)
CASBTU ж CASBTU ¦ HTR(L0K?*l8)
GO TO 25
17 FRAC a (TEMP - HTR(L0K3-1>> / (HTR(L0<3) • HTR(L0K*-1>»
HTR(LOK) s DTR(L0K3*5> - HTR(L0K3*4>> # FRAC ¦ HTR<LnK3*4)
CASBTU ж CAS3TU ¦ (HTR (L0IC3 + 1O) - HTR(L0K3+9))*FRAC ¦ HTRU-ftK****
GO TO 25
24 HTR(LOK) « 0.
25 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE TVPAGE (NLtFNAME)
DIMENSION FNAME A6)
IF (NL) 10*10.20
10 NPAGE s 0
20 LINCNT z LINCNT ¦ NL
IF (LINCNT - 56) 40.40.30
30 NPAGE s NPAGP ¦ 1
WRITE F*50) FNAME.NPAGE
LINCNT s NL
40 RETURN
50 FORMAT AН1.?0Х«16А5.8Х,9НРДГ^ NO, .13/)
END
Ь
6
а блица П-2аТ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Случай „a
220 2
300 50
,005
,8
,8
,8
200,
21
12,5
11
12,5
21
12,5
". Продольное ребро
0 0
6 2
,66667
,8
,8
,8
100,
ЗОН
25,1
31
12,5
41
12,5
0
4
0
6
12
,8
,8
3024
1,
3024
1,
3024
1,
0
>
,8
прямоугольного профиля.
0
,8 ,8 ,8
,8 ,8 ,8
Постоянный h
,8
,8
.8
,8
Карта 1
Карта 2
Карта 3
Вх. компл,
Вх. компл.
Вх. компл,
Вх. компл,
4 1 1
4 I 2
4 2 1
4 2 2
4 3 1
4 3 2
448

Продолжение табл. П2се
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
31
12,5
41
12,5
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12,5
91
12,5
101
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
12,5
198,
180,
162,
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12,5
91
12,5
101
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
12,5
201
12,5
3024
1,
196,
178,
160,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
3024
1,
194, 192, 190, 188,
176, 174, 172, 170,
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
186, 184, 182, Вх.
168, 166, 164, Вх.
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
И
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2"
1
2
1
2
1
2
1
2:
1
2
1
2
1
2
компл.
компл. (
Таблица П-26 (результаты расчета)*
Случай „а". Продольное ребро прямоугольного профиля.
Постоянный h
№ узла
Новая температура, °F
Старая — новая
№ узла
Новая температура, °F
Старая — новая
1
186,0
—,00
11
105,15
-,00
2
164,87
—,00
12
103,90
— ,00
3
148,94
— ,00
13
102,96
-.00
4
136,42
—,00
14
102,26
— .00
5
127,85
—,00
15
101,74
— ,00
6
121,01
— ,00
16
101,35
—,00
7
115,85
— .00
17
101,08
—,00
8
111,96
—,00
Г8
100,89
— ,00
9
109,03
— ,00
19
100,77
—,00
10
106,82
—,00
20
100,71'
— .00
29—192
449-

Таблица П-За
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
И
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Случай
менение
20 2
300 50
,005
,8
,8
,8
200,
21
12,5
11
12,5
21
12,5
31
12,5
41
12,5
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12,5
91
12,5
101
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
12,5 1
198,
180,
162,
„б". Продольное ребро прямоугольного
h. Потери с торца
0 0
6 2
,66667
,8
,8
,8
100,
ЗОН
25,
31
12,5
41
12,5
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12,5
91
12,5
101
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
12,5
201
12,5
3024
44928
196,
178,
160,
0 0 0 0
4 6
12
,8 ,8 ,8 ,8
,8 ;8 ,8 ,8
3024
,70757
3024
,78031
3024
,83988
3024
,89972
3024
,92855
3024
,96124
3024
,98803
3024
1,00994
1,02786
3024
1,04254
3024
1,05456
3024
1,06441
3024
1,07248
3024
1,07909
3024
1,08450
3024
1,08894
3024
1,09253
3024
1,09550
3024
1,09794
194, 192, 190, 188,
176, 174, 172, 170,
профиля. Экспоненциальное
Карта 1
Карта 2
Карта 3
,8 ,8 ,8 Вх.
,8 ,8 ,8 Вх.
Вх.
Вх.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
186, 184, 182, Вх.
168, 166, 164, Вх,
Вх.
из-
компл. 0
компл. 0
компл. 0
компл. 2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
компл. 6
компл. 6
компл. 6
Таблица П-Зб (результаты расчета)
Случай „б«. Прэдолыюе ребро прямоугольного профиля.
Экспоненциальное изменение h. Потере с торца
№ узла
Новая температура, eF
Старая—новая
№ узла
Новая температура, °F
Старая —новая
1
187,51
-,оо
11
105,37
-,00
2
167,49
— ,00
12
104,02
— ,00
3
151,68
— ,00
13
103,01
— ,00
4
139,34
— ,00
14
102,26
—.00
5
129,83
—,00
15
101,71
—,00
6
122,53
-,00
16
101,31
—.00
7
116,98
— .00
17
101,02
[ —,00
8
112,76
— ,00
18
100,81
—,00
9
109,57
-,00
19
100,68
-.00
10
107,17
— ,00
20
100,61
— ,00
450

Таблица П-4
Случай „в". Продольное ребро прямоугольного профиля. Переменная температура
окружающей среды
2 20
3 300
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
21
50
,005
,8
,8
,8
120,
102,
93,
21
12,5
11
12,5
21
12,5
31
12,5
41
12,5
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12.5
91
12,5
Ю1
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
12,5
198,
180,
162,
Слу
0 0 0 0 0
6 2 4 6
,66667 12
,8 ,8
,8 ,8
,8
ПО, 109,
101, 100,
92, 91,
ЗОН 3024
25, 1,
31 3034
12,5 1,
41 3044
12,5 1,
51 3054
12,5 1,
61 3064
12,5 1,
71 3074
12,5 1,
81 3084
12,5 1,
91 3094
12,5 1,
101 3104
12,5 1,
111 3114
12,5 1,
121 3124
12,5 1,
131 3134
12,5 1,
141 3144
12,5 1,
151 3154
12,5 1,
161 3164
12,5 1,
171 3174
12,5 1,
181 3184
12,5 1,
191 3194
12,5 1,
201 3204
12,5 1,
3214
1,
196, 194,
178, 176,
161,
0
,8 ,8 ,8 ,8 ,8
,8 ,8 ,8 ,8 ,8
108, 107, 106, 105, 104,
99, 98, 97, 96, 95,
192, 190, 188, 186, 184,
174, 172, 170, 168, 166,
Кар-
га 1
Карта 2
Карта 3
,8 Вх.
,8 Вх.
Вх.
103, Вх.
94, Вх.
Вх.
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
182, Вх
164, Вх
Вх
компл. 0
компл. 0
компл. 0
компл. 2
компл. 2
компл. 2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
Н
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
• компл. 6
• компл. 6
. компл. 6
Таблица П-46 (результаты расчета)
чай „в". Продольное ребро прямоугольного
профиля.
Переменная температура окружающей среды
№ узла
Новая температура, °F
Старая—новая
№ >зла
Новая температура, °F
Старая —новая
1
118,17
—.00
"
100,73
—,00
2
115,17
—,00
12
99,69
-,00
3
112,67
—.00
13
98,71
—,00
4
110.54
— ,00
14
97,78
—,00
5
106,69
—,00
15
96,91
—,00
6
107,05
-,00
16
96,12
—,00
7
105,58
— ,00
17
95,42
—,00
8
104,24
—,00
18
94,83
—,00
9
102,99
—,00
19
94,39
—.00
10
101,83
—,00
20
94,14
-,00
29*
451

Таблица П-5а
1 Случай „г". Продольное ребро прямоугольного профиля. Излучение + вынужденная
конвекция и турбулентная свободная конвекция
2 20
3 300
4
5
€
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
4
50
,005
,8
,8
,8
— 100,
120,
21
12,5
11
12,5
21
12,5
31
12,5
41
12,5
51
12,5
61
12,5
71
12,5
81
12,5
91
12,5
101
12,5
111
12,5
121
12,5
131
12,5
141
12,5
151
12,5
161
12,5
171
12,5
181
12,5
191
0
6 1
,66667
,0005
0 10
2 45
12
,8
,8
200,
-20,
ЗОН
25,
31
3023
12,5 ,0025695
1,33
20,
3023
0025695
3023
12,5 ,0025695
41 3023
12,5 ,0025695
51 3023
12,5 ,0025695
61 3023
12,5,0025695
71 3023
12,5 ,0025695
81 3023
12,5 ,0025695
91 3023
12,5 ,0025695
101 3023
12,5 ,0025695
111 3023
12,5 ,0025695
121 3023
12,5 ,0025695
131 3023
12,5 ,0025695
141 3023
12,5 ,0025695
151 3023
12,5,0025695
161 3023
12,5 ,0025695
171 3023
12,5 ,0025695
181 3023
12,5 ,0025695
191 3023
12,5 ,0025695
201 3023
12,5 ,0025695
118,
100,
82,
116,
98,
80,
3034
,975
1И,
96,
,0001
,8 ,8
40,
3034 3046 3046
,025 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,075,014283 1101,
3034 3046 3046
,125 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,175 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,225 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,275,014283 1101,
3034 3046 3046
,325 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,375,014283 1101,
3034 3046 3046
,425 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,475 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,525 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,575 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,625,014283 1101,
3034 3046 3046
,675,014283 1101,
3034 3046 3046
,725 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,775 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,825 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,875 ,014283 1101,
3034 3046 3046
,925 ,014283 1101,
3046 3046
,014283 1101,
Карта 1
Карта 2
Карта 3
8 Вх. компл. 0
8 Вх. компл. 0
Вх. компл. 0
Вх. компл. 1—1А
Вх. компл. 1—1В
компл, 2
1 1
112,
94,
110,
92,
108, 106, 104,
90, 88, 86,
102,
84,
Вх
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
Вх
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
И
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
20
20
компл.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
Вх. компл. 6
Вх. компл. 6
Таблица П-56 (результаты расчета)
Случай »г" Продольное ребро прямоугольного профиля.
Излучение + вынужденная конвекция и турбулентная свободная конвекция
I . . i j j I i j I
№ узла
10
Новая температура, °F
Старая—новая
113,49
—,00
101,15
-,00
87,90
-,00
79,27
-.00
',93
,00
61,67
-,00
54,48
— .00
48,29 1 43,02 38,60
,00 1 —,00 1 —.00
№ узла
12
13
15
16
17
18
19
20
Новая температура, °F
Старая—новая
34,94
—f00
31,93
-,00
29,51
— ,00
27,57
— .00
26,04
—,00
24,87
—.00
23,99
—.00
23,37
-.00
22,96
—>00
22,76
-,00

Таблица П-ба
1 Радиальное
2 20 2
3 300 50
4 ,005
5 ,8
6 ,8
7 ,8
8 200,
9 21
10 4,3752
11 11
12 4,3752
13 21
14 4,5835
15 31
16 4,7918
17 41
18 5,0002
19 51
20 5,2085
21 61
22 5,4168
23 71
24 5,6251
25 81
26 5,8334
27 91
28 6,0418
29 101
30 6,2501
31 111
32 6,4584
33 121
34 6,6667
35 131
36 6,875
37 141
38 7,0834
39 151
40 7,2917
41 161
42 7,5
43 171
44 7,7083
45 181
46 7,9166
47 191
48 8,125
49 198,
50 180,
51 162,
ребро прямоугольного профиля. Постоянный h
0 0 0 0 0 0
6 2 4 6
,66667 12
,8
,8
100,
ЗОН
8,1436
31
4,5835
41
4,7918
51
5,0002
61
5,2085
71
5,4168
81
5,6251
91
5,8334
101
6,0418
111
6,2501
121
6,4584
131
6,6667
141
6,875
151
7,0834
161
7,2917
171
7,5
181
7,7083
191
7,9166
201
8,125
3024
,04115
196,
178,
161,
,8
3024
,02135
3024
0224
3024
,02344
3024
,02448
3024
,02552
3024
,02656
3024
,0276
3024
,02865
3024
,02969
3024
,03073
3024
,03177
3024
,03281
3024
,03386
3024
,0349
3024
,03594
3024
,03698
3024
,03802
3024
,03908
3024
,0401
194, 192, 190, 188, 186, 184,
176, 174, 172, 170, 168, 166,
Карта 1
Карта 2
Карта 3
,8 Вх. компл. 0
,8 Вх. компл. 0
Вх. компл. 0
Вх. компл. 2
4 1 1
4 1 2
4 2 1
4 2 2
4 3 1
4 3 2
4 4 1
4 4 2
4 5 1
4 5 2
4 6 1
4 6 2
4 7 1
4 7 2
4 8 1
4 8 2
4 9 1
4 9 2
4 10 1
4 10 2
4 11 1
4 И 2
4 12 1
4 12 2
4 13 1
4 13 2
4 14 1
4 14 2
4 15 1
4 15 2
4 16 1
4 16 2
4 17 1
4 17 2
4 18 1
4 18 2
4 19 1
4 19 2
4 20 1
4 20 2
182, Вх. компл. б
164, Вх. компл. 6
Таблица П-бб (результаты расчета)
Радиальное ребро прямоугольного профиля. Постоянный h
№ узла
Новая температура, °F
Старая—новая
№ >зла
Новая температура, °F
Старая—новая
1
195,85
-,00
11
150,00
—,00
2
188,59
-,00
12
147,81
-,00
3
182,10
—.00
13
145,92
— .00
4
176,29
—.00
14
144,32
-.00
5
171,09
—,00
15
142,98
—.00
6
166,46
-.00
16
141,89
-,00
7
162,32
— ,00
17
141,04
-,00
8
158,65
—,00
18
140,42
-,00
9
155,39
—,00
19
140,01
-,00
19
152,52
—,00
20
139,81
— .00
453

Таблица П-7
Обобщенная программа решения нестационарных задач
С TVTRAN RFV 2 MAR 1968
С THIS DECK WILL HANDLF UP TO 3C0 FQUATlONS
С
DIMENSION D(lfi03> • CONTMPE0) • N0C0NTF) • HTR<4?> • BTUrRV(9'5> 1
1 , TMPCRV(95) . TITLEA6) • TIMCOC95) . TIMWC<95)
2 . NOAMTSO) • EX D) . N0EuC) • Fun?) 1
3 . L0CSO01) • WCPC00) * TCOEF (90) . TWCP(90)
4 • ITAGF000) • COEF<6000* « TMPHT(90)
COMMON D • C3NTMP • NOCONT • HTR • BTUCRV • TMPCRV . 1
1 TITLE • NOAMTS f EX % NOEU , FU , 1
2 NODES • NOCt t NOHTRS * NQBTU • NOTMP • NSF • NODMaX • NOHMIN •
3 NEU • NOFXP . STOPT • ЧТПРМА . 1
4 STOPMI • DTO • TMPOUT t NOCASE • TMPHT • NTMPHj •
5 ITAG , COEF , NODCFH • TlMWC • NTIMWC , Т1МГО . KiTlMff) • 1
6 LOCS • ERR • WCP • TCOEF • TWCP • NTCOFF • NTWCP
DIMENSION WTAGJ9)
С
1 READE.2000) TITLE
CALL TVPAGE @.TITLE) 1
CALL TVTINP 1
PO e -DTO
IF (NODCFH) 7.4.3
3 IF (DB#N0DCFH*1) - HTRB)) 4*7.7
7 NODCFH s 0
4 IF (NEU) 35.35.5 1
5 DO 30 Isl.NE.J;
NWCP s NOEU(I) 1
IF ( D(NN) - (EUU4 -3)-.5)) 10.10.15
10 WCP(NWCP) 5 FU(I4-1) 1
GO TO 30
15 IF ( D(NN) - (EU(I4 -3)*«5)) 20.25*25
20 WCP(NWCP) s FU(l4-2> 1
GO TO 30
25 WCP(NWCP) s EU(I4) 1
30 continue
35 call tvde ( 1.nsf*d.i,nodfs.frr> i
NWCP = 0
40 IF (NOHTRS) 50.50.45 1
45 CALL TVHTR (CASBTU.NOHTRS.NOCONT.NODCFH^HTRtDl 1
Г 50 IF (NOBTU) 60.60.55 1
55 CALL TVFTIM (NOBTU, DB). BTUCRV) 1
60 IF (NOTMP) 66.66.65 1
65 call tvftim (notmp. d<2>. tmpcrv) 1
66 if (ntimwc) 68.68.67 1
67 call tvftim (ntimwc. d<2l timwcj i
68 if (ntimco) 70.70.69 1
69 CALL TVFTIM (NTlMCO. DB>* TlMCOJ 1
70 IF (NWCP) 7?«79.74
72 NWCP s .NWCP
GO TO 79
74 WCP(NWCP) s WCPNEW 1
NWCP = 5
79 DO 90 NO s i.NODES
D(N02 +2) s П.
CALL TVTRMS 1WCPVAL» NO) 1
90 D (N02*2) s DtN02*2) / WCPVAL 1
IF {N0CASE1 94.94.91
91 rw2*N0CA<;E+21 ж r>B*N0CAsE«-?) ¦ CAsBTU / WCP(NOCAftF) 1
94 IF (NODCFH) 92.93.93 1
92 NODCFH s 0
93 CALL TVDE ( ?.NSF,D.I.NODES.ERR) 1
GO TO A00.40.95) • I
95 WRITE F*200?)
STOP 1
С
100 IF (STOpT) 115.120.115 1
115 IF (DB) - STOPT) 120.140.140
120 IF (STOPMA) 125.130.125
125 IF ( DB*N004AX*1) - STOPMA) 130.140.140
130 IF ( STOPMI) 135.145.135
135 IF ( DB*N0D4IN*1) - STOPMI ) 137.137.145
137 IF ( DB*N0DVUN*2)) 140.145.145
140 DONE a l.
GO TO 155
145 IF ( PO ¦ DTO - 0B) ) 150.150,160
150 DONE s 0.
152 PO s PO ¦ DTO
IF ( PO ¦ DTO - DB) ) 152.152.155
454

155 CALL TVTOUT (CASBTU)
IF (DONE) 170,160*170
160 IN x 3
IF (NODCFH) 190,190.180
180 NN s 2*N0DCFH ¦ 1
TEMP = D(NN)
IF (TEMP - HTRB)) 184fl84tl82
182 D(l) a .000001
GO TO 188
184 PTEMP s TEMP + D(NN*1)*DA)
IF (PTEMP - 4TR{2)) 190*188.186
186 D(l) s ((HTR(?)-TEMP)/(PTEMP-TEMPi) * D(l)
188 IN s 4
GO TO 165
190 IF (NEU) 265*165*200
200 DT « -1.
DO 270 IsltNFU
14 = 4*1
NN = 2*N0EU(I) + 1
WTAG(I) = 1.
PTEMP s D(NN) ¦ D(NN+1)*D<1)
TEMPR = EU(I^ - 3)
IF ( D(NN) - ( TEMPR - .5)) 205» 270, 202
202 IF ( D(NN) - ( TEMPR ¦ .5)) 215» 270, 740
205 CTEMP s TEMP* - .5
IF ( PTEMP - CTEMP) 270,210*210
210 WTAG(I*3) = FU(I4 -2) ¦ EU<I4 -1)
GO TO 250
215 IF (DCNN+D) 220*270*230
220 CTEMP s TEMPR - .5
IF ( PTEMP - CTEMP) 225.225*270
225 WTAG(I*3> s EU(l4 -1)
GO TO 250
230 CTEMP = TEMPR ¦ .5
IF С PTEMP - CTEMP) 270.235*235
235 WTAG(I*3) = EU(I4 )
GO TO 250
240 CTEMP = TEMPR ¦ .5
IF ( PTEMP - CTFMP ) 245*245*270
245 WTAG(I*3) s rU(I4 -2) + EUfl4 1
250 WTAGCI) s 0.
IN = 4
WTAG U + 6) г ( (CTEMP - П (NN) ) / (PTFMP - D(NN)> ) * DM)
IF (DT) 260. 260» 255
255 IF ( DT - ,0000001 - WTAGd+fe)) 270*270.260
260 WCPNEW = WTASU+3)
DT = WTAGU + 6) * «0000001
NWCP = -NOEU(I) 1
D(l) = DT
270 CONTINUE
165 CALL TVDE (IN*NSF*D*I¦NODFS.FRR) f
GO TO 40
170 GO TO 1
2000 FORMAT A6A5)
2002 FORMAT B0И OVER 100 HALVES )
END
SUBROUTINE TVPAGE (NL*FNAME)
DIMENSION FNAME A6)
IF (NL) 10*10,20
10 NPAGE = 0
LINCNT s 75
20 LINCNT s LINCNT ¦ NL
IF (LINCNT - 56) 40,40,30
30 NPAGE = NPAGF ¦ 1
WRITE F,50) FNAME,NPAGE
LINCNT = NL
40 RETURN
50 FORMAT AH1*?0X.16A5.8X,9HPAGE NO. .13/)
END
SUBROUTINE TV/TINP 1
DIMENSION DA803) • C0NTMPE0) ..N0C0NTF) . HTRD?) . RTllfRV(95) 1
1 • TMPCRV(95) . TITLEA6> • TIMC0(95) . TIMWC(95)
2 • NOAMTSO) . EX D) • NOEUO) ._FU(T?) \
3 . LOCSC301) • tfCPC00) ¦ TCOEF (90) • TWCP(9o)
4 . ITAG46000) . C0FFFOO0) • TMPHT(90)
COMMON D * CONTMP . NOCONT . HTR • BTUCRV , TMPCRV » *
455

1 TITLE ¦ NOAMTS , EX , NOEU • FU •
2 NODES • NOCT t NOHTRS • NOBTU" • NOTMP . NSF . NODMAX • NftHMTN •
3 NEU , NOFXP , STOPT • *ТПРМА ,
4 STOPMI , ОТО , TMPOUT • NOCASE • TMPHT • NTMPHT ,
5 ITAG , COEF • NODCFH • TIMWC . NTIMWC • TTMCO • NTlMfn •
6 LOCS , ERR • *CP , TCOEF , TWCP . NTCOEF , NTWCP
DIMENSION I4PTAGA4) • INTAG<9) • C0IN(9)
READ E» 500) NODES, NOCT, NOHTRS, NOBTU, NnTMP. NSF,
INODMAX, NODMIN, NEU, NTlMrO, NOFXP,NOCASE, NODCFH, NTWCP. NTCOFF
2 t NTIMWC • NTMPHT
READ E* 500) NOAMTS,INPTAG
READ E. 501) D(l)* DB). STOPT, STOPMA, STOPMT. DTD • FRR
DO 15 Isl«14
IF (INPTAG(I)) 160*160*10
10 II s INPTAGjI)
GO TO B0,30,45,90,120,Un,155.60,75,85,100,110,135.15m . TT
20 <2 « 18#NTC0PF
READ E.501) (TCOEFU). Кз1»К2)
GO TO 15
30 READ Et 501) (CONTMPfK), KsLNOCT)
GO TO 15
45 READ E« 500) NOCONT
READ E» 501) (HTROO. Ksl,36>
GO TO 15
60 NOBIS = 18*N:)BTJ
READ E* 501) (RTUCRV(K), Ksl,N0Bl8l
GO TO 15
75 N0T18 s 18*N->TMP
READ E* 501) (TMPCRV(K), Ksl.NOTlBJ
50 TO 15
85 READ E*501) (WCP(K),<si,NOOFS)
GO TO 15
90 LOCS(l) s 1
LS s 1
DO 98 Ksl,NODFS
READ E*502) NT* INTAG
READ E*501) COIN
DO 92 <1 s 1.9
IF (INTAG(KI)) 98*98*91
91 ITAG (LS) = INTAGU1)
COEF (LS) = COIN (<1)
LS = LS*1
IF (LS ,LE. 6000) GO TO 92
WRITE F*505)
STOP
92 CONTINUE
IF (NT-9) 98*98.93
93 00 95 K2=10*4T,9
READ E*502) NG*INTAG
READ E*501) COIN
DO 95 Kl=l*9
IF (INTAG(KI)) 98.98*9*
94 ITAG(LS) = I4TAGU1)
LS s LS*1
IF (LS ,LE. 6000) GO TO 95
WRITE F*505)
STOP
95 CONTINUE
98 LOCSU+1) = L6
GO TO 15
100 <2 s 18*NTIMC0
READ E*501) (TIMCQ(K), <sl,K2)
GO TO 15
110 <2 = 18*NTWCP
READ E*501) (TWCP(K)t K=1.K2)
GO TO 15
120 READ E* 501) EX
GO TO 15
135 READ E* 500) NOEU
READ E* 501) EU
60 TO 15
140 READ E» 501) (DB*K*1), KeltNODES*
GO TO 15
150 K2 s 18*NTIM*C
READ E,501) (TIMWC(K), K=i,K2l
GO TO 15
155 <2 * 18#NTMP4T
READ E,501) (TMPHT(K) , Ksl,K2)
15 CONTINUE
456

160 RETURN
600 FORMAT A81 4)
5C1 FORMAT <9G8*n>
502 FORMAT A2.U.8181
*505 FORMAT { : OW*R 6330 INTERCONNECTIONS П
ENO
SUBROUTINE TVOF (IN*NSF*D*I.N.FRR)
DIMENSION 0A}
DT s D(l)
GO ТЭ A0*20.30.28) . IN
10 N2 s N*N
DTS s 0A)
DT s ABS(DU) )
D(l) = ОТ
N2M1 г N2-1
N2P4 г N2*4
N4P3 = N4*3
N4P4 s N4*4
ORIGDT г DT MOO
FJG ? l./10.**NSF
15 NPASS s 1 MOD
IHTAG 5 1
IBDTAG s 1
IDITAG s 1 MOO
IHCNT s 0
RETURNS
20 GO TO B5*70) • NPASS
25 I Я
RETURN
28 IBDTAG s 1 MOO
IHTAG г l MOD
IDITAG s 2 MOO
30 DO 32 Jsl»N2
N2P3PJ = N2P3 ¦ U
32 D(N2P3PJ) S *MJ*2)
D(N2P3) = DB) MOO
GO TO D0,50) • IHTAG
40 D© 42 J*1»N2M1 #2 ~\.
42 D(J*2> s- D(J*?> ¦ DT*D(J>3)
GO TO 60
50 DO 52 Jsl*N241*2
N4P4PJ s N4P4 ¦ U
bZ D(J*2) s D(J*2) ¦ DT#(L5*D(J*31~.5*D(N4P4PJH
60 DB) : 0B) ¦ ОТ
NPASS s 2
R€TURN
TO IHTAG = 2
IDTAG = 2
I s 2
D© 135 Jsl»N?Ml,2
N2P3PJ s N2P3 ¦ J
N2P4PJ = Ч2Р4 ¦ J
N4P4PJ s Ч4Р4 ¦ J
EXN4P3PJ) s KN2P3PJ) ¦ «^ftDTItfDCJ+a) + DCN2P4PJI»
IF (OTS) 135.135*81
81 GO TO (82.135) . IDITAG
82 ERROR s ABS (D(N4P3PJ) - D(J*21>
IF (ERR - ERRORS 85*133*120
85 Ip @(N4P3PJ1) 90*210.90
90 ERRORS s ABS (ERROR/D(N4P3PJ))
IF (FIG - ER50RSJ 210*133*110
110 IF (FIG - 20."ERRORS) 133*130*130
120 IF ( ERR - 20.*ERR0R) 133«l30»i30
130 ISTAG s 1
GO TO 135
133 IBOTAG s 1
135 CONTINUE
IF (DTS) 180.180*150
150 GO TO A60*15?) • IDITAG
152 DT s ORIGDT MOD
0A) s DT
GO TO 15 MOD
160 GO TO A-70*180) , IDTAG
170 GO TO A80*190) . IBDTAG
180 IBDTAG s 2
DO 182 Jsl«N?Ml*2
N2P4PJ s N2P4 ¦ J
MP4PJ s N4P4 ¦ J

182 D(N4P4PJ) в -HN2P4PJ)
GO TO 200
190 0A) a DTOT
200 DO 202 Jsl«N2ML«2
N4P3PJ s N4P3 ¦ J
202 0(J*2) s D(N4P3PJ)
NPASS s 1
IHCNT s 0
RETURN
210 IHTA3 в 1
DB) = 0B) • DT
0A) s DT
IBDTAG s 1
DO 212 Jsl.N?
N2P3PJ = N2P3 ¦ J
212 D(J*2) = D(N?P3PJ)
IHCNT = IHCNT ¦ 1
IF (IHCNT - 100) 40.40.215
215 I = 3
RETURN
END
SUBROUTINE TVHTR (CASBTU.NOHTRS.NOCONT.NOOCFHtHTR.0)
DIMENSION NOCONT(l)» HTRA). 0A)
CASBTJ s 0.
DO 25 Ksl.NOHTRS
LOK s 36*<
IF (NOCONT(O) 24.24.43
A3 IF (<)_ 45,45.50
45 L0K2 s 0
GO TO 55
50 L0K2 s 18
55 IF (NODCFH) 40.3.40
АО HTR(LOK) = HTR(L0K2*1)
CASBTU s CAS3TU ¦ HTR(L0<2+3)
GO TO 25
3 LOKl s 2*N0C0NT(K) ¦ 1
IF (TEMP - HTR(L0K2*4)) 5.5.15
5 HTR(LOK) = HTR(L0<2*9)
CASBTJ = CAS3TU ¦ HTR(lOK?+14)
GO TO 25
15 DO 16 Kl:5»8
LOO s L0<2 + <1
IF (TEMP - HTR(L0<3)) 17.17.16
16 CONTINUE
HTR(LOK) = HTR(L0K2+13)
CASBTJ = CAS4TU ¦ HTR(L0K?+18)
GO TO 25
17 FRAC г (TEMP - HTR(LOK3-l) ) / (HTR(L0<3) - HTR(LOK^-D)
HTR(LOK) = HTR(LOK3 + 5) - HTR(LO<3*4)) * FRAC ¦ HTR(tnK3+4>
CASBTJ = CAS5TU ¦ (HTR(LOK3+10) - HTR(L0K3+9))#FRAC ¦ HTR(in<3+9)
GO TO 25
24 HTR(LOK) = o.
25 CONTINUE
RETURN
END
SUBROUTINE TVFTIM (NOBT. T. BTUCRV)
DIMENSION BTUCRV(l)
DO 20 Ksl.N03T
LOK = 90*K
WT = T
LOC 8 18*< - 17
IF (BTUCRV(rDC) - T) 3.5.5
3 DO 15 Kls3.17.2
IF (BTUCRV(LOC) - WT) 15.5.10
15 CONTINUE
WT s WT - BTJCRV(LOC) ¦ BTUCRV(LOC-14)
GO TO 3
5 BTUCRV(LOK) * BTUCRV(L0C*1)
GO TO 20
10 BTUCRV(LOK) s ((WT - BTUCRV(L0C-2>> ./ (BTUCRV(LnC) - RTUCRVILOC-?)
1 )) #(BTUCRV(L0C+1) - BT"~nV(L0Ol) ) ¦ E7UCRV(LOC-1>
0 CONTINUE
RETURN
?ND
SUBROUTINE TVTRMS (WCPVAL. NO)
DIMENSION D11803) . CPNTMPC50) . N0C0NTF) • HTRD?) . BTtirRV(95»
458

X ¦ TMPCRV(95) • TITLEA6) • TIMCO(95) • TIMWC(95)
2 . NOAMTSO) . EX D) • N0EUC1 • FUA?)
3 • LOCSOOl) • WCPC00) • TCOEF (90) • TWCP(90)
4 * ITA6F000) « COFFF000) • TMPHT(90) '
COMMON D * CONTMP , NOCONT • HTR % BTUCRV , TMPCRV .
1 TITLE • NOAMTS . EX t NOEU . FU •
2 NODES , NOCT t NOHTRS , NOBTU , NOTMP , NSF , NOOMAX . NnnMIN
3 NEU • NOFXP % STOPT t STnPMA ,
4 STOPMI ¦ DTO • TMPOUT • NOCASE • TMPHT • NTMPHT •
5 ITAS • COEF * NODCFH . TIMWC • NTIMWC ¦ TTMCO • NTlMCO .
'6 LOCS . ERR • WCP , TCOEF . TWCP ¦ NTCOFF . NTWCP
NTN « L0CS(NI341) - LOCS(NO)
DO 175 Ul.NTN
LVAL s LOCS(МП) ¦ I - 1
IVAL s ITAG(UZAL)
METH1 s MOD (IVAL*10)
NOD s IVAL/10
DO 15 Ksl.3
IF(NOD - N0A4T5 U) ) 20.2ОИ5
15 NOD s NOD - M0AMT5U)
IF (N0D-5) 40.40,16
16 NOD s NOD - 5
IF (NOD - 5) 50.50.700
700 NOD s NOD - 5
IF (NDD-5) 705,705.17
705 Tl г 1100 ¦ MOD
CALL TVFTMP ГТ1, Tt TMPHT)
IF (TMPOUT) 45.45.710
710 CALL TVPAGE C2.TITLE)
WRITE F.506) T . Tl
GO TO 45
17 Tl = 1.
50 TO 45
20 GO TO B5.30.35 ) « К
25 Tl s DB*N0D +1)
GO TO 55
30 Tl = CONTMP(MOD)
GO TO 55
35 LOC = 36 ¦ NDD.
Tl г HTR(LOC)
GO TO 45
40 LOC : 90 ¦ N3D
Tl s BTUCRV(LOC)
45 T2 s o.
GO TO 90
50 LOC : 90 ¦ NDD
55 T2 = DB*N0 ¦ 1)
IF (METHI - 5) 65,90.95
65 GO TO (90.85.80.90).METHI
80 RTl s (Tl+460.) / 100,
RT2 = (T2*460.) / 100.
TERM = RT1**4 - RT2**4
GO TO 105
85 EP s 1.25
GO TO 100
90 TERM a Tl • T7
GO TO 105
95 MET = METHI - !
EP s EX(MET)
100 TERM s (ABS (Tl - T2)) **EP
IF (T1-T2) 102.105.105
102 Term s «term
105 CO s COEF(LVAL)
IF (CO - 1000.) 170.170»1TD
110 IF (CO - 1100.) 120.120.115
115 T s(Tl ¦ T2) / 2.
1101 UP IS F(TEMP)
CALL TVFTMP (C0.T»TC0?F)
IF (TMPOUT) 170.170,117
117 CALL TVPAGE (?.TITLE)
WRITE F.501) T , CO
GO TO 170
120 KTCO = CO - 909.9
1001 TO 1100 IS F(TIME)
CO = TIMCO UTCO)
170 IF (TMPOUT) 172.172.175
172 DB#N0*2) s *)<2#N0+2) ¦ CO#TERH
175 CONTINUE

WCPVAL s WCP(NO)
IF (WCPVAL - 1000.) 200.200.180
180 IF (WCPvAL - 1100.) 185.185.190
185 KTCO * WCPVAU - 909.9
1001 TO Ц00 IS F(TIMF>
WCPVAL s TIMdCUTCO)
GO TO 200
1101 UP IS F(TEMP)
190 CALL TVFTMP (WCPVAL. DB#N0*1). TWCP)
IF (TMPOUT) 200.200.195
195 CALL TVPAGE B.TITLE)
WRITE F.502) 0B*N0*1) • WCPVAL
200 RETURN 1
500 FORMAT (/ 154 TFMPERATURE = . G12.4. ШХ • 7HHFAT r • S12-AI
501 FORMAT (/ 154 TEMPERATURE s . G12.4» 10X • 7HC0FF s • 6>2..4l
502 FORMAT </ 154 TEMPERATURE = • G12.4. 10X . 7HWCP s , G1J*4>
END'
SUBROUTINE TVFTMP (CO. T. TCOFF} I
DIMENSION TCOEF(l) 1
NC s CO - 1099*9 l
IF (T - TCOEF(NB)) 2«2.6 1
2 CO s TC0EF(N*+1> 1
GO TO 60 I
6 NE s NB ¦ 16 \
NB s NB ¦ 2 1
DO 50 KsNB.NF.2 1
IF (T-TCOEFUM 10*20.50 1
10 TC s TCOEFU) V
TCM2 s TCOEFU-2) 1
TCMl з TCOEF(K-l) 1
TCP1 s TC3EFUM) Г
CO e ((T-TCM?) /(TC-TCM25) # (TCPl-TCMl) * TCMl 1
GO TO 60 V
20 CO = TCOEF (<*1) l
GO TO 60 1
50 CONTINUE I
CO s TC0EF(NE*1) 1
60 RETURN T
END 1
SUBROUTINE TVTOUT (CASBtU) 1
DIMENSION DUtfOSl f C0NTMPE0) • N0C0NTF) , HTRD2) • fiTlirftVt«3»5> 1
1 . TMPCRV(95) * TITLEA6) . T1MC0(95) • TXMWC(95)
2 . NOAMTSO) • PX D) • N0EU<3) * FUM?! »
3 . L0C5O011 • WCPC00) « TCOFF (90) • TWCP(90)
4 , ITAGC6000I • C0FFFO0O) . TMPHT(90)
COMMON D • CnNTMP . NOCONT ¦ HTR t BTUCRV . TMPCRV • t
1 TITLE ¦ NOAMTS ¦ EX . NOEU . FU . t
2 NODES « NOCt • NOHTRS • NOBTU * NOTMP • NSF • NODMAX • NDHMtN .
3 NEU • NOFXP • STOPT • ЯТПРМА . 1
4 STOPMI ¦ fiTO ¦ TMPOUT . NOCASE . TMPHT • NTMPHT .
5 ITAG • COE.P.» NODCFH • TlMWC . NTlMWC . TTMCO • NTlMrn . 1
6 LOCS « ERR » WCP , TCOEF . TWCP ¦ NTCOEF , NTWCP
DIMENSION 10A2)
CALL TVPAGE C.TITLE) V
TMIN a DB)*60,
WRITE F*500) DB) . TMTN . D(t$
DO 40 I«ltNODES.12
CALL TVPAGE D.TITLE) \
IF A*11 - NODES ) 5. 5»10
5 N5 a 12
GO TO 15
10 N5 s NODES - " T ¦ 1
15 DO 20 K*1.N5
20 ID(<) « !*<•}
N1 a 2*1 ¦ 1
N3 8 N1 ¦ 1
N4 s N2 ¦ 1
WRITE F»50i) (ID(<)• K*1.N5)
WRITE F.50?) (D(<). KSN1.N2.2)
40 WRITE F.504) (D(K). K*N3.N4.2)
DO 45 I»1.6 T
45 ID(I) 8 I i
IF (NOHTRS) 55.55.50 I
50 CALL TVPAGE D.TITLE)
WRITE F*505) CID(K). Kal.NOHTRS* l
KE < 36 4 NOHTRS '

Таблица П-8
1 ]
2
Продольное
основании
10
3 300
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
»
55
6С
2
50
,0001
200,
01815
01815
21
6,25
11
6,25
21
6,25
31
6,25
41
6,25
51
6,25
61
6,25
71
6,25
81
6,25
91
6,25
100,
100,
WRITE
WRITE
ребро прямоугольного проф
0 0
6 2
100,
,01815
ЗОН
12,5
31
6,25
41
6,25
51
6,25
61
6,25
71
6,25
81
6,25
91
6,25
101
6,25
3024
2,
100,
• л
F*5061
F.510)
0 4
10 4
,016667
,01815
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
3024
2,
100,
(HTR(<> ,
CASBTU
IF (NOBTU) 65*65«60
i CALL TVPAGE P
WRITE
F*507)
ItTITLE)
(ID(KU
0 0
6
0
,01815 ,(
100,
Кгч7*КЕ)
Ksl.NOBTU)
0 0
0 0 0 0 0 0
Карта 1
Карта 2
0 ,001 ,01 Карта 3
Компл. 2
11815 ,01815 ,01815 ,01815 ,01815 Компл. 10
Компл. 10
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
100, 100, 100, 100, 100,
<Е s 90 ¦ NO&TU
WRITE F*506) (BTUCRV(K)* Ks91*KE)
65 IF-(NOTMP) 75.75*70
70 CALL TVPAGE C*TITLE)
WRITE F*509) (ID(K)* Ksl.NOTMP)
ICE s 90 ¦ NOTMP
WRITE F*502) (TMPCRV(K)* KsQl,KE)
75 IF (NTIMWC) 85*85*80
80 CALL TVPAGE <*»TITLE)
WRITE F*511) (ID(K) *Kari*NTlMWC)
WRITE F*512) (TIMWC(K)* K=9l*KF)
85 IF (NTIMCO) 95*95*90
90 CALL TVPAGE U*TITLE)
WRITE F*513) (ID(K)»К»1«NTIMCO)
<E = 90 ¦ NTTMCO
WRITE F*514) (TIMCO(K). Ks<31*k*)
95 IF (NTMPHT ¦ NTCOEF ¦ NTWCP) 120»l20«tOO
100 TMPOUT = 1.
00 110 NOsl,MODFS
110 CALL TVTRMS (DUMMY*NO)
TMPOUT s 0*
120 RETURN
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
500 FORMAT (//84 TIME s , Gil.4* 6H HOURS • 8H
1 8H MINUTES* 9X, 13H DELTA TIME s * Gn.4 • 7H
П» • Gil.4»
HnUPS )
501 FORMAT
502. FORMAT
504 FORMAT
505 FORMAT
506 FORMAT
507 FORMAT
509 FORMAT
510 FORMAT
511 FORMAT
512 FORMAT
513 FORMAT
514 FORMAT
(/104 NODE NO.
A2H DEG. F
A2H OEG. / HR.
(/ 104 HTR. MO.
A2H 4TU / HR.
(/ 104 BTU NO.
(/ 10^ TMP. NO.
A2H CASE BTU/HR
( /104 WC NO.
A2H BTU / DEG F
( /104 COEF. NO.
A2H *TU/HR-DFG
,
•
•
•
•
•
•
•
»
1219 )
» 12F9.2)
» 12F9.2)
19 • 8112)
9G12.4)
19 • 8112)
19 • 8112)
. 9G12.4)
19 « 8112)
9G17T4)
19 * 8112)
9G17.4)
END
461

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 3
Обозначения 5
Предисловие 8
ЧАСТЬ I
АНАЛИЗ РАЗВИТЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕПЛООБМЕНА
Глава первая. Теплообмен и некоторые математические зависимости . 11
Глава вторая. Ребра с отводом тепла конвекцией (анализ с упрощающими
ограничениями) 76
Глава третья. Ребра с отводом тепла конвекцией (практические ограничения) 119
Глава четвертая. Ребра с отводом тепла излучением 148
Глава пятая. Приближенные методы. Методы аналогий. Экспериментальное
определение характеристик развитых поверхностей 190
Глава шестая. Метод конечных разностей. Стационарная задача . . . 224
Глава седьмая. Метод конечных разностей. Нестационарная задача . . 259
Глава восьмая. Оребренные каналы . 273
ЧАСТЬ II
РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННИКОВ С РАЗВИТЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
Глава девятая. Теплообменники из труб с высокими продольными ребрами 299
Глава десятая. Кожухотрубчатые теплообменники из труб с радиальными
низкими ребрами 344
Глава одиннадцатая. Теплообменники из труб с высокими поперечными
ребрами. Оребренный воздушный охладитель. Воздух и другие газы в
каналах 386
Глава двенадцатая. Компактные теплообменники 417
ПРИЛОЖЕНИЯ .443

Д. Керн, А. Краус
РАЗВИТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ТЕПЛООБМЕНА
Редактор И. Н. Дулькин
Редактор издательства М. И. Кузнецова
Переплет художника Е. В. Никитина
Художественный редактор Т. Н. Хромова
Технический редактор Г. Г. Самсонова
Корректор И. А. Володяева
ИБ № 1262
Сдано в набор 27/V 1977 г. Подписано к печати 27/X 1977 г.
Формат 70X100Vie Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 37,7 Уч.-изд. л. 38,26
Тираж 7000 экз. Зак. 192 Цена 3 р. 10 к.
Издательство «Энергия», Москва, М-114,
Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-114,
Шлюзовая наб., 10.