Text
                    BASIC HEAT
TRANSFER
Frank Kreith
Solar Energy Research Insiittv
University of Colorado
William Z. Black
Georgia Institute of Technology
Harper and Row, Publishers, Mew York
Cambridge, Hagerstown, Philadelphia,
San Francisco, London, Mexico City,
Sao Paulo, Sydney
1980


основы ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ Ф.Крейт, УБлэк Перевод с английского под редакцией д-ра техн. наук, профессора И. А. Анфимова Москва «Мир» 1983
ББК 31.31 К 79 УДК 536.2 Крейт Ф., Блэк У. Основы теплопередачи: Пер. с англ.—М.: Мир, 1983.— 2 с. ил. 512 с, ил. Вводный курс инженерной теплопередачи, написанный американскими авто- авторами. Излагаются основы стационарной и нестационарной теплопроводности, конвективного теплообмена и теплообмена излучением. Рассмотрены теплообмен при конденсации и кипении, теплопередача в теплообменниках и тепловых тру- трубах, а также массообмен. Авторы ориентируют читателя на использование вы- вычислительной техники. Для инженеров, а также студентов старших курсов инженерных специаль- специальностей вузов. 2303010000-305 К 041@1)-83 Редакция литературы по новой 1ехнике Copyright © 1980 by Frank Kreith and William Z. Black © Перевод на русский язык, «Мир», 1983
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ Процессы теплообмена и связанного с ним массообмена играют исключительно важную роль в природе и технике. От них зависит температурный режим окружающей среды и жилых помещений, они определяют протекание рабочего процесса в различных технологических установках и т. п. Неудивительно поэтому, что теория теплообмена интенсивно развивалась, осо- особенно в последние десятилетия в связи с потребностями тепло- теплоэнергетики, атомной энергетики, космонавтики и некоторых дру- других областей техники. По теплообмену имеется обширная литература, включающая многочисленные учебники, монографии и справочники. Несмотря на это, данная книга должна вызвать интерес советских чита- читателей. Во-первых, по характеру изложения эта книга простая и ясная. Ее чтение не требует глубоких специальных знаний. Она ориентирует читателя на самостоятельное проведение инженер- инженерных расчетов. Интересны примеры расчетов, носящие сугубо прикладной, иногда даже бытовой характер, на примере кото- которых автор показывает, как можно, делая типовые допущения, свести довольно сложные по своей начальной постановке задачи к простому решению. Во-вторых, книгу отличает наличие программ на языке Фор- Фортран. Это, безусловно, вполне современно. Сейчас инженеры не удовлетворяются только логарифмической линейкой или элек- электронным калькулятором, но и широко применяют ЭВМ, как пра- правило пользуясь сравнительно простыми алгоритмами и про- программами. Именно такие программы приводят авторы книги. В-третьих, рассмотрен довольно широкий круг вопросов, от традиционных для курсов теплопередачи (теплопроводность, конвекция, излучение) до новых (тепловые трубы, солнечные коллекторы), интерес к которым возрос в связи с топливно-энер- топливно-энергетическим кризисом. В Советском Союзе издано довольно много книг по теплопе- теплопередаче— как отечественных авторов, так и переводных. Список некоторых из них приведен в приложении. Но если читатель не- недостаточно знаком с теорией теплопередачи, а ему надо самому провести некоторые простейшие тепловые расчеты той или иной системы, то можно порекомендовать именно эту книгу. Полагаю,
6 Предисловие редактора русского издания что книга будет встречена с интересом также специалиста- специалистами-теплотехниками и всеми инженерами и научными работни- работниками, которым приходится иметь дело с процессами тепло- и массообмена. Перевод книги выполнен канд. техн. наук С. С. Ченцовым (гл. 1—3, приложение), канд. техн. наук В. И. Кабаковым (гл. 4, 5), д-ром техн. наук Б. А. Хрусталевым (гл. 6) и канд. техн. наук В. М. Жуковым (гл. 7, 8). Н. Л. Анфимов Литература ! 1. Авдуевский В. С. и др. Основы теплопередачи в авиационной и ракет- ракетно-космической технике.— М.: Машиностроение, 1975. 2. Ивановский М. Н. и др. Физические основы тепловых труб. — М.2 Атомиздат, 1978. 3. Исаченко В. П., Осипова В. А., Сукомел А. С. Теплопередача. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Энергоиздат, 1981. 4. Кошкин В. К., Калинин Э. К. Теплообменные аппараты и теплоноси- теплоносители.— М.: Машиностроение, 1971. 5. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. — 5-е изд., перераб. и доп.—М.: Атомиздат, 1979. 6. Лыков А. В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. 7. Лыков А. В. Тепломассообмен: Справочник.—М.: Энергия, 1971. 8. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. — 2-е изд. — М.: Энергия, 1977. 9. Теория тепломассообмена/Под ред. А. И. Леонтьева. — М.: Высшая школа, 1979. 10. Теплотехнический справочник: В 2-х томах/Под ред. В. Н. Юрьева и П. Д. Лебедева.— 2-е изд., перераб. — М.: Энергия, 1976.—Т. 2. 11. Юдаев Б. Н. Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1973.
ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга является начальным курсом инженерной теплопе- теплопередачи. Такой курс читается в течение одного семестра студен- студентам младших курсов или четверти семестра студентам стар- старших курсов любых инженерных специальностей. Предполага- Предполагается, что читатели знакомы с основами физики, термодинамики и теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также располагают некоторыми знаниями в области гидромеханики. Материал представлен в соответствии с классической линией изложения первоначального текста Крейта с акцентом на реше- решение инженерных задач и на использование вычислительных ма- машин. В ходе изложения особое внимание уделяется физическому пониманию процессов переноса тепла и способам применения необходимых предположений и упрощений в реальных задачах, позволяющим найти инженерное решение. В книге используется международная система единиц СИ. Задачи теплопроводности решаются как аналитическими, так и численными методами с привлечением численных методов ре- решения на ЭВМ. При анализе задач конвективного теплообмена для ламинарного и турбулентного режимов течения сначала представлены аналитические решения, а затем приведены эмпи- эмпирические формулы для тел различной формы, наиболее важных в инженерной практике. Число корреляционных соотношений сведено к минимуму, чтобы читателю было проще находить чис- численный ответ. Указаны способы правильного выбора определяю- определяющей температуры, которую нужно использовать в эмпирических формулах для каждой из наиболее важных геометрических кон- конфигураций. Для решения задач теплообмена излучением приме- применен метод тепловых цепей, который также был использован при совместном анализе всех процессов теплопередачи с единых методологических позиций. В главе, посвященной теплообменникам, представлены метод среднелогарифмйческого температурного напора и метод, осно- основанный на использовании понятия эффективности теплообмен* Ника, причем указаны преимущества и недостатки каждого из них. Кроме того, в отдельных разделах этой главы описаны современные теплообменные устройства: тепловые трубы, реге- регенеративные теплообменники с насадкой и солнечные коллекторы.
8 Предисловие Задачи в конце каждой\главы расположены в порядке возра- возрастания сложности. В первых нескольких задачах нужно про- провести расчет обычными методами; в остальных требуется сде- сделать инженерные предположения и проявить творческий подход к решению. В приложениях содержатся таблицы теплофизических ха- характеристик, которые помогают изложению материала и реше- решению помещенных в книге задач. Все приведенные в книге ответы на задачи были получены с помощью теплофизических свойств, указанных в этих таблицах. Однако, если нужна более полная информация о теплофизических свойствах, следует обратиться к соответствующим справочникам. Мы старались избежать перегрузки квдги специальными све- сведениями и представить материалы, полезные для многих сторон инженерной деятельности. Мы не претендуем на оригиналь- оригинальность, но надеемся, что наш стиль изложения поможет студен- студентам учиться, а преподавателям учить их. Фрэнк Крейт Уильям Блэк
ОБОЗНАЧЕНИЯ а — ускорение; а — скорость звука; А — площадь (поперечного сечения); As — площадь поверхности; с — удельная теплоемкость; с — скорость света; ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении; cv — удельная теплоемкость при постоянном объеме; С — теплоемкость; С. — коэффициент трения; С — мольная концентрация; Dh — эквивалентный (гидравлический) диаметр; D — диаметр; D — коэффициент диффузии; Е — энергия; Е — плотность потока собственного излучения излучающего тела или газа; Е — электрический потенциал; f — коэффициент трения; F — сила; -угловой коэффициент излучения от поверхности / к поверхно- поверхности 2; g — ускорение свободного падения; G = pF — плотность потока массы; G — плотность потока падающего излучения; h — постоянная Планка; hc — коэффициент конвективной теплоотдачи поверхности; i — удельная энтальпия; / — интенсивность излучения; / — сила электрического тока; / — параметр теплообмена; / — плотность потока эффективного излучения; k — постоянная Больцмана; k — коэффициент теплопроводности; I — длина; / — длина пути перемешивания Прандтля; L — линейный размер; гп — масса; т — массовый расход; Ш — молекулярный вес; М — число Маха; N — число молекул; N — поток массы; Р — периметр; р — давление; Я — тепловой поток;
10 Обозначения q" — плотность теплового потока; qG — интенсивность тепловыделения в единице объема; Q — количество тепла; Q = VA — объемный расход; г — радиус; г — коэффициент восстановления; R — коэффициент загрязнения; R — газовая постоянная; Ru — универсальная газовая постоянная; R — термическое сопротивление; 5 — формфактор теплопроводности; t — время; t — толщина; Т — температура; и — местная скорость вдоль поверхности; U — внутренняя энергия; U — суммарный коэффициент теплопередачи; v — местная скорость по нормали к поверхности; v — удельный объем; V — скорость; V — объем; х — координата, направленная обычно вдоль поверхности; X — мольная долевая концентрация; у — координата, направленная обычно по нормали к поверхности; z — координата; а — поглощательная способность; а — коэффициент температуропроводности; Р — термический коэффициент объемного расширения; V — отношение удельных теплоемкостей; 6 — толщина пленки; 6 — толщина динамического пограничного слоя; 6^ — толщина теплового пограничного слоя; Д — изменение, конечная разность; е — излучательная способность (степень черноты); е — коэффициент турбулентной диффузии; вн — коэффициент турбулентной температуропроводности; ем — коэффициент турбулентной вязкости; Т] — коэффициент динамической вязкости; т| — эффективность, к. п. д.; 8 — нормальный угол; G — разность температур, температурный напор; Я — длина волны; |i — коэффициент динамической вязкости; v — коэффициент кинематической вязкости; v — частота; | ~ безразмерная координата; л — безразмерный комплекс параметров; р — плотность; р — отражательная способность; а — постоянная Стефана — Больцмана; а — поверхностное натяжение; х — безразмерное время; т — пропускательная способность; т — напряжение трения; Ф — угловая координата; со — телесный угол; со — долевая массовая концентрация,
Глава 1 ПРИНЦИПЫ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ 1.1. ВВЕДЕНИЕ Если где-либо в пространстве возникла разность темпера- температур, энергия переносится из области высокой температуры в область низкой температуры. В соответствии с концепциями термодинамики энергия, перенесенная вследствие разности тем- температур, называется теплом. Хотя законы термодинамики отно- относятся к переносу энергии, они применимы лишь для систем, на- находящихся в равновесии. Поэтому с их помощью можно рассчи- рассчитать количество энергии, необходимое для перехода системы из одного равновесного состояния в другое, но нельзя определить, какое время займет этот переход. Теория теплопередачи допол- дополняет первый и второй законы классической термодинамики, предлагая методы, позволяющие найти скорости переноса энергии. Чтобы нагляднее показать различие в видах информации, полученных с помощью термодинамики и теплопередачи, рас- рассмотрим нагрев стального стержня в горячей воде. Законы тер- термодинамики, с одной стороны, позволяют рассчитать конечную температуру, после того как две системы достигнут равновесия, и количество энергии, перенесенное при переходе от начального равновесного состояния к конечному, но они не дают возмож- возможности определить скорость переноса тепла и температуру стержня по истечении заданного промежутка времени или най- найти, через какое время температура стержня достигнет задан- заданного значения. С другой стороны, теория теплопередачи позво- позволяет вычислить скорость переноса тепла от воды к стальному стержню, а затем на основании этой информации рассчитать, как изменяются по времени температуры стержня и воды. При полном анализе переноса тепла необходимо рассмотреть три различных механизма теплопередачи: теплопроводность, конвекцию и излучение. Для правильного выбора конструкции и анализа работы теплообменников и преобразователей энергии нужно знать особенности всех трех механизмов переноса тепла и их взаимодействия между собой. В этой главе мы рассмотрим основные принципы теории теплопередачи и некоторые простей- простейшие приложения. В следующих главах будет подробно описан каждый из видов теплопередачи. .
12 Глава 1 1.2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ (КОНДУКТИВНЫЙ ПЕРЕНОС ТЕПЛА) Теплопроводность является единственным видом теплопере- теплопередачи в непрозрачной твердой среде. Если в такой среде сущест- существует градиент температуры, тепло переносится из высокотемпе- высокотемпературной области в низкотемпературную. Скорость переноса Направление теплового потока ,dr yr *Jx-yS s>^- v + лг Направление теплового потока Т(х) >> + х > +х Рис. 1.1а. Схема, иллюстрирующая правило знаков для теплопроводности. тепла вследствие теплопроводности (кондуктивный тепловой поток qk) пропорциональна градиенту температуры dT/dx и площади поверхности Л, че- через которую идет поток теп- тепла (рис. 1.1а), или qk~A(dT/dx)9 A.1) где Т — температура, х— на- направление теплового потока. Действительная скорость пе- переноса тепла зависит от коэф- коэффициента теплопроводности k — теплофизической характе- характеристики среды. Следовательно, скорость переноса тепла мож- можно выразить количественно со- соотношением qk = -kA (dT/dx). A.2) Знак минус обусловлен вторым законом термодинамики, соглас- согласно которому тепло должно переноситься в направлении сниже- снижения температуры. Градиент dT/dx будет отрицательным, если температура снижается в направлении возрастания х (рис. 1.16). Если считать тепло, переносимое в направлении положительной оси х, положительной величиной, необходимо в правой части соотношения A.2) поставить знак минус. Рис. 1.16. Направление кондуктивно- го теплового потока. / — профиль температуры; 2—градиент температуры dT/dx,
Принципы теплопередачи 13 Соотношение A.2) называется законом теплопроводности Фурье1) и служит для определения коэффициента теплопровод- теплопроводности k. Если площадь выражена в квадратных метрах, темпе- температура— в Кельвинах, а тепловой поток — в ваттах, то k имеет размерность Вт/(м-К). Плоская стенка Простым примером использования закона Фурье является задача о теплопередаче через плоскую стенку (рис. 1.2). Если обе поверхности стенки имеют постоянные, но различные темпе- температуры, тепло будет переноситься только в одном направлении, по нормали к поверхностям стенки. Если коэффициент теплопроводно- теплопроводности яьляется постоянной величи- величиной, после интегрирования соотно- соотношения A.2) получаем /v/1 /*Т1 ?Т1 \ . . RA /Т» *р \ /1 О\ где L — толщина стенки, Тх — тем- температура левой поверхности (х=0), Т2 — температура правой поверхно- поверхности (х = L). -71 Рис. 1.2. Теплопроводность че- через плоскую стенку с постоян- постоянным коэффициентом теплопро- теплопроводности. Пример 1.1. Стеклянная витрина мага- магазина имеет площадь 12 м2 и толщину 1 см. Коэффициент теплопроводности стекла 0,8 Вт/(м-град). В холодный день темпе- температура внешней поверхности стекла со- составляет 272 К (— 1°СJ), а температура внутренней поверхности 276 К (+3°С). Найти: а) тепловой поток через стекло и б) температуру в сред- среднем сечении между внешней и внутренней поверхностями стекла Решение, а) Тепловой поток через стекло равен б) Температура в среднем сечении (Т при L/2) равна 274 К, среднему зна- значению между температурами внешней и внутренней поверхностей стекла» так как в стекле создается линейный профиль температуры. . Для многих материалов коэффициент теплопроводности не является постоянной величиной, а зависит от температуры. За* J) Фурье A768—1830 гг.) — французский математик, внесший существен* ный вклад в теорию теплопроводности [1]. 2) В закон Фурье можно подставлять температуры, выраженные в граду* сах Цельсия или Кельвина, поскольку, хотя шкалы .Цельсия и Кельвина от* личаются на 273°, величина разности температур одна и та же. Другими ело» вами, градиент температуры ГС/м равен градиенту температуры 1 К/м.
14 Глава 1 частую эту зависимость в определенных интервалах темпера- температуры можно аппроксимировать линейной функцией где ко — коэффициент теплопроводности при некоторой харак- характерной температуре, р — эмпирическая постоянная. В таких слу- случаях, как показано подробнее в гл. 2, интегрируя соотношение A.2), получаем йлй A.5) A-6) где km — значение k при средней температуре (Т\-\-Т2)/% Многослойная плоская стенка Если происходит кондуктивный перенос тепла через не- несколько стенок, находящихся в тепловом контакте друг с дру- Профйль /температуры Рис. 1.3. Одномерная теплопроводность через многослойную стенку и ее элек- электрический аналог. гом, что характерно, например, для многослойных стен боль- большинства зданий, анализ становится лишь немного сложнее. Од- Однако, как показано на рис. 1.3 для случая трехслойной стенки, градиенты температуры в различных слоях неодинаковы. Можно
Принципы теплопередачи 15 выразить тепловые потоки для каждого слоя и приравнять их друг другу: (Г3-Г4). A.7) Исключая в соотношениях A.7) промежуточные температуры Т2 и 73, получаем следующее выражение для теплового потока: „ Т1 — Т4 п оч Для многослойной стенки из Af слоев, находящихся в иде- идеальном тепловом контакте, тепловой поток выражается фор- формулой т т т т A.9) т,-т, Т\ ~~ где Ti — температура поверхности первого слоя, a T^+i — тем- температура поверхности N-ro слоя. Пример 1.2. Стенка печи (рис. 1.4) состоит из внутреннего слоя нержа- нержавеющей стали толщиной 1,2 см, покрытого внешним слоем асбестовой изо- изоляции толщиной 5 см. Температура внутренней поверхности нержавеющей Wf/ ш 2 ¦:".'.' ..:'?':'."'¦''•."•"* •:¦.''•!'.• к{Л Рис. 1.4. Схема стенки печи для примера 1.2. / — нержавеющая сталь; 2— асбест. стали равна 800 К, а температура наружной поверхности асбеста 350 К. Найти плотность теплового потока через стенку печи и температуру контакт- контактной поверхности стали и асбеста. Коэффициенты теплопроводности для ста- стали и асбеста равны соответственно 6i= 19 Вт/(м-град), ?2= 0,7 Вт/(м-град).
18 Глава 1 Решение. Тепловой поток равен а ЧЬ LxlkxA + L2/k2A • Плотность теплового потока составляет qk Тх - Т2 800 - 350 = 6245 Вт/м2. A Lxlkx + L2/k2 0,012/19 + 0,05/0,7 Температура на контактной поверхности Тх определяется из уравнения Отсюда находим Тх Яь (Lx \ ( 0,012 \ -^ XJ-) = 800 ~ 6245 (—Jq—) = 796 К. Следовательно, перепад температур на нержавеющей стали составляет всего лишь около 4 К, перепад температур на асбесте 446 К. Электрическая аналогия для теплопроводности В этом месте изложения целесообразно указать иной под- подход к анализу проблем теплопередачи, который можно приме- применить и в более сложных задачах и который будет использован в следующих главах. Этот новый подход, в котором применяются концепции теории электрических цепей, часто называют анало- аналогией между переносом тепла и электричества. Если считать, что тепловой поток аналогичен электрическому току, комплекс L/kA рассматривать как сопротивление, а разность температур как аналог разности потенциалов, то соотношение A.2) можно записать в форме, аналогичной закону Ома в электротехнике: qk = ATfRk> A.10) где АТ = (Т\ — Т2) — перепад температур (термический потен- потенциал), Rk = L/kA — термическое сопротивление. Обратная величина термического сопротивления называется тепловой проводимостью, а отношение &/L, тепловая проводимость на еди- единицу площади, — удельной тепловой проводимостью для кондук- тивного теплового потока. Аналогичным образом можно обоб- обобщить соотношение A.8) для теплового потока через трехслой- трехслойную стенку (рис. 1.3) в виде где АТ = Тх-Ть RA=(L/kA)Ai RB = (L/kA)B, Rc = (L/kA)c. Электротепловую аналогию можно использовать и для ре- решения более сложных задач.. Например, во многих случаях про- процесс теплопроводности протекает в материалах, расположенных
Принципы теплопередачи 17 параллельно. На рис. 1.5 показана плита, состоящая из двух материалов, расположенных параллельно и имеющих попереч- поперечные сечения А\ и А2\ справа на рисунке представлена соответ- соответствующая тепловая цепь. Чтобы решить эту задачу, отметим, что при заданном перепаде температур поперек плиты каждый слой составной конструкции можно рассматривать отдельно при условии, что для каждой из двух секций кондуктивный перенос тепла можно считать одномерным. Если разность температур между контактирующими материалами мала, тепловой поток г го к Рис. 1.5. Теплопроводность через составную стенку из двух параллельных секций. вдоль слоев будет намного больше теплового потока в попереч- поперечном направлении и задачу можно считать одномерной без сколь- сколько-нибудь серьезной потери точности. Поскольку тепловые потоки для различных материалов мож- можно рассматривать по отдельности, общий тепловой поток пред- представляет собой их арифметическую сумму: Отметим, что общая площадь, которую пересекает, тепловой по- поток, равна сумме двух отдельных площадей и что обратная ве- величина суммарного термического сопротивления равна сумме обратных величин отдельных термических сопротивлений. Как видно из рис. 1.5, тепловая цепь для этой задачи представляет собой параллельное соединение двух термических сопротивле- сопротивлений R\ И /?2- Более сложным примером использования понятия тепловых цепей является задача о передаче тепла через составную стен- стенку, которая должна представляться с помощью последователь- последовательно и параллельно соединенных термических сопротивлений
18 Глава 1 (рис. 1.6). Для этой системы термическое сопротивление сред- среднего слоя R2 (рис. 1.6) выражается формулой р В^С /1 iq\ A.14) а тепловой поток определяется следующим образом: ^J ft где N — число слоев, Rn — термическое сопротивление каждого слоя, АГполн — разность температур двух внешних поверхностей. Рис. 1.6. Тепловая цепь с параллельно и последовательно соединенными эле- элементами. При анализе данного примера с помощью метода тепловых цепей предполагалось, что поток тепла является одномерным. Если термические сопротивления RB и Re сильно отличаются друг от друга, могут проявиться существенные двумерные эф- эффекты. Такие двумерные задачи теплопроводности будут рас- рассмотрены в гл. 2. Контактное термическое сопротивление Если различные теплопроводящие слои находятся в контакте (рис. 1.4), на поверхности раздела твердых тел часто возникает термическое сопротивление. Это термическое сопротивление, ко- которое обычно называют контактным термическим сопротивле- сопротивлением, возникает, когда поверхности двух материалов недоста-
Принципы теплопередачи 19 точно плотно прижаты друг к другу и между ними остается тонкий слой жидкости или газа. Исследование сильно увели- увеличенной картины контакта между двумя твердыми поверхностями показывает, что материалы касаются друг друга только верши- вершинами профилей шероховатости поверхностей, а впадины кон- контактирующих поверхностей заполнены инородной средой, воз- возможно воздухом, жидкостью или вакуумом. Контактное термическое сопротивление зависит прежде всего от шероховатости поверхностей; давления, прижимаю- прижимающего две поверхности друг к другу; среды в районе контактной поверхности и температуры в зоне контакта. Механизм тепло- теплопередачи в районе контактирующих поверхностей довольно сло- сложен. В местах непосредственного контакта твердых поверхно- поверхностей осуществляется процесс теплопроводности, а перенос тепла через зазоры, заполненные жидкостью или газам, производится путем конвекции и излучения. Если плотность теплового потока через две контактирующие поверхности составляет q/A, а разность температур поперек заполненного жидкостью или газом зазора, который разделяет две твердые поверхности, равна ДГ*, то контактное термическое сопротивление Ri определяется выражением Считается, что две поверхности находятся в идеальном тепло- вом контакте, когда контактное термическое сопротивление стремится к нулю и на поверхности раздела нет перепада темпе- температур. При неидеальном тепловом контакте на поверхности раз- раздела существует перепад температур. В большинстве задач, приведенных в конце главы, не учи- учитывается термическое сопротивление на поверхности раздела, хотя оно всегда возникает при механическом соединении твер- твердых тел. Несмотря на это, всегда следует иметь в виду сущест- существование этого сопротивления и соответствующего перепада тем- температур поперек зоны контакта. Для сильно шероховатых по- поверхностей и при небольших стягивающих давлениях перепад температур поперек зоны контакта может быть значительным и его нужно учитывать. Проблема контактного термического сопротивления доста- достаточно сложна, и пока нет единой теории или серии эксперимен- экспериментальных данных, которые позволяли бы достаточно точно рас- рассчитывать это сопротивление в инженерных задачах. Более де- детальный анализ данной проблемы можно найти в работах [2,3]. Пример 1.3. Стена здания состоит из слоя обычного кирпича [Li=0,l м, & = 0,7 Вт/(м-град)] и слоя гипсовой штукатурки [L2 = 0,038 м, k = — 0,48 Вт/(м-град)]. Сравнить тепловые потоки через эту стену и через
20 Глава 1 такую же стену с термическим сопротивлением на поверхности раздела между кирпичом и штукатуркой, равным 0,1 град/Вт. Решение. Плотность теплового потока через идеализированную стену при разности температур 1 К равна 1 1 4 qk A (Ti - То) L2/k2 = 0,100/0,70 + 0,038/0,48 Поверхность раздела представляется третьим, последовательно соединенным термическим сопротивлением, после чего плотность теплового потока записы- записывается в виде аи 1 1 A (Tt - Го) 0,222 + 0,1 Коэффициент теплопроводности Коэффициент теплопроводности— это характеристика ма- материала, определенная соотношением A.2). Его нельзя рассчи- рассчитать теоретически (исключение составляют лишь газы при низ- низких температурах). Поэтому имеющиеся сведения о коэффи- коэффициентах теплопроводности различных материалов основаны на экспериментальных данных. В общем случае коэффициент теп- теплопроводности материала зависит от температуры, но во мно- многих практических задачах можно получить достаточно точные результаты, применяя постоянное значение k при средней темпе- температуре системы. В табл. 1.1 указаны типичные значения коэф- коэффициента теплопроводности для некоторых металлов, неметал- неметаллических твердых веществ, жидкостей и газов, чтобы проиллю- проиллюстрировать порядок величин kf ожидаемых на практике. Допол- Дополнительные данные представлены в приложениях IV—VII. Таблица 1.1 Коэффициенты теплопроводности некоторых металлов, неметаллических твердых веществ, жидкостей и газов Материал Медь Алюминий Углеродистая сталь Стекло Пластики Вода Коэффициент тепло- теплопроводности при 300 К, Вт/(м»град) 386 204 54 0,75 0,2-0,3 0,6 Материал Этиленгликоль Моторное масло Фреон (жидкий) Водород Воздух Коэффициент тепло- теплопроводности при 300 К, Вт/(м«град) 0,25 0Д5 0,07 0,18 0,026 Механизм теплопроводности в газах можно качественно объ- объяснить с помощью кинетической теории. Все молекулы газа на- находятся в хаотическом движении и обмениваются энергией и импульсом при столкновениях друг с другом. Чем выше темпе-
Принципы теплопередачи 21 ратура газа, тем больше кинетическая энергия молекул, поэтому молекула, движущаяся из высокотемпературной области в низ- низкотемпературную, переносит кинетическую энергию на молеку- молекулярном уровне в область низкой температуры. При столкновении с "молекулой, обладающей меньшей кинетической энергией, про- происходит передача энер- энергии, которая с макроско- макроскопической точки зрения и является переносом теп- тепла. Физический механизм 0,8 [0,7 Г 0,6 ; 0,5 }0,4 0,3 i 0,2 0,1 0 3 \ —-2 — 5 ¦ээг \i Не . ===== о2 — V2 6 250 350 450 550 650 Температура, К 750 850 теплопроводности в ка- капельных жидкостях каче- качественно аналогичен опи- описанному, но поскольку молекулы в жидкостях расположены ближе друг к другу и их силовые по- поля играют существенную роль при переносе энер- энергии путем соударений, картина явления еще сложнее, чем в газах. На рис. 1.7 показано изменение коэффициентов теплопроводности некото- некоторых газов с изменением температуры. Значения ко- коэффициента теплопровод- теплопроводности газов практически не зависят от давления, исключая условия, близ- близкие к критической точке. Согласно результатам упрощенного расчета, основанного на кинетической модели обмена, коэффициент теплопроводности газов пропорционален квадратному корню из абсолютной темпе- температуры. На рис. 1.7 также показаны в зависимости от температуры значения коэффициента теплопроводности для некоторых жид- жидкостей. Можно видеть, что коэффициенты теплопроводности жидкостей, за исключением воды, уменьшаются с ростом темпе- температуры, но это изменение столь мало, что в большинстве прак- практических задач коэффициент теплопроводности можно считать постоянным и равным значению, соответствующему некоторой средней температуре; давление практически не влияет на вели- величину k для жидкостей. На рис. 1.8 представлены зависимости коэффициента тепло- теплопроводности некоторых металлических и неметаллических Рис. 1.7. Изменение коэффициентов тепло- теплопроводности различных газов и жидкостей в зависимости от температуры. 1 — вода (на линии насыщения); 2—глицерин; 3—бензол; 4—легкое масло; 5— фреон-12; 6—воз- 6—воздух.
22 Глава 1 & твердых веществ. В твердых телах энергия переносится свобод- свободными электронами, а также при колебаниях кристаллической ре- решетки. В общем случае наиболее важную роль играет движение свободных электронов, а поскольку в хороших проводниках элек- электричества движется много свободных электронов, хорошие про- проводники электричества являются и хорошими проводниками тепла (на- (например, медь, серебро, алюминий). С другой сто- стороны, хорошие электро- электроизоляторы являются и хо- хорошими теплоизолятора- ми (например, стекло и пластмассы). Однако в лучших теплоизоляторах высокая эффективность теплоизоляции достига- достигается за счет пористой структуры, заполненной газом. В таких материа- материалах перенос тепла может осуществляться несколь- несколькими способами: путем теплопроводности через волокнистый или пори- пористый материал; путем теплопроводности и(или) конвекции через воздух в порах и путем радиа- радиационного теплообмена между элементами струк- 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 —- . - -—— — — — 1 -3  250 350 450 550 650 Температура, К 750 850 Рис. 1,8. Изменение коэффициентов тепло- теплопроводности некоторых металлов в зависи- зависимости от температуры. 1—-медь; 2 — алюминий; 3—углеродистая сталь; 4 — нержавеющая сталь 18-8. туры твердого материала, что особенно важно при высоких температурах или в условиях вакуума. Для использо- использования в криогенных установках при очень низких температурах, до 25 К, разработаны специальные типы материалов с повышен- повышенными теплоизоляционными свойствами. Такая суперизоляция состоит из ряда слоев хорошо отражающего материала, разде- разделенных вакуумированными промежутками, чтобы свести к ми- минимуму теплопроводность и конвекцию. Эффективный коэффи- коэффициент теплопроводности такой изоляции может достигать очень низких величин, порядка 0,02 Вт/(м-град). Более полные све- сведения о суперизоляции1) можно найти в работах [4, 5]. 1) В отечественной литературе применяется термин «сэкранно-вакуумная тепловая изоляция (ЭВТИ)», — Прим. пер*
Принципы теплопередачи 23 1.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН Если жидкость (или газ) вступает в контакт с поверхностью твердого тела, имеющей другую температуру, протекающий процесс обмена тепловой энергией называется конвективным теплообменом. Такой процесс часто встречается в жизни, но подробно описать его механизм довольно сложно. В этой ввод- вводной главе мы не будем пытаться охватить аналитические ме- методы, а постараемся привести основные соотношения, позволяю- позволяющие рассчитать конвективные тепловые потоки в тех подсисте- подсистемах, которые играют существенную роль в общих системах нагрева или охлаждения. Различают два вида конвекции: естественную, или свобод- свободную, конвекцию и вынужденную конвекцию. В конвекции пер- первого вида движущая сила обусловлена разностью плотностей жидкости, вызванной ее контактом с поверхностью, имеющей другую температуру, вследствие чего возникают подъемные (архимедовы) силы. Типичными примерами такой конвекции яв- являются теплоотдача от стен или крыши здания в безветренный день, конвекция в сосуде с жидкостью, в которую погружена нагревательная спираль, или теплоотдача от солнечного коллек- коллектора в безветренную погоду. Вынужденная конвекция происходит в условиях, когда под действием внешней движущей силы жидкость обтекает поверх- поверхность, имеющую более высокую или более низкую температуру, чем сама жидкость. Поскольку скорость жидкости при вынуж- вынужденной конвекции больше, чем* при свободной, в этом случае может быть передано больше тепла при заданном перепаде тем* ператур. Это возрастание теплового потока компенсируется ра^ ботой, затрачиваемой для приведения жидкости в движение. Но независимо от того, является ли конвекция свободной или вы- вынужденной, тепловой поток qc можно выразить с помощью за- закона Ньютона при охлаждении: qc=hcA{Ts-TUx), A.16) Таблица 1.2 Приближенные значения коэффициента конвективной теплоотдачи Вид конвекции и среда Свободная конвекция, воздух Свободная конвекция, вода Вынужденная конвекция, воздух Вынужденная конвекция, вода Кипящая вода Конденсирующийся водяной пар Вт/(м?трад) 5-25 20-100 10—200 50—10 000 3 000—100 000 5 000-100 000
24 Глава 1 где Re — удельная тепловая проводимость для конвекции или средний коэффициент конвективной теплоотдачи на поверхности раздела жидкости и твердого тела, Вт/(м2-град); Л —площадь поверхности, омываемой жидкостью, м2; Ts — температура по- поверхности, К; 77foo — температура невозмущенной жидкости вда- вдали от поверхности теплообмена, К. Соотношение AЛ6) служит только для определения Яс- Численное значение hc можно найти теоретически или экспериментально. Размерность hc в системе СИ — Вт/(м2-град). В табл. 1.2 указаны некоторые приближен- приближенные значения коэффициента конвективной теплоотдачи, вклю- включая случаи кипения и конденсации, которые обычно относятся к области конвекции1). Пример 1.4. Вода с температурой 300 К омывает одну сторону пластины с размерами 1X2 м, температура которой поддерживается равной 400 К. Рассчитать конвективный тепловой поток от пластины к воде, если коэффи- коэффициент конвективной теплоотдачи составляет 200 Вт/(м2-град). Решение. Вычисляя тепловой поток по формуле A.16), получаем , qc = НСА (Ts - Tft „) = 200 • 2 • D00 - 300) = 40 000 Вт. Методы расчета коэффициента теплоотдачи рассмотрены в гл. 4 и 5. Здесь мы просто опишем физический процесс и ука- укажем основные особенности конвективного переноса тепла к по- потоку жидкости. На рис. 1.9 показана нагретая плоская пластина, Поток жидкости У :\ и(у) 1 ' \т(у) дт \ жжшжжжжжж Конвективный I I тепловой 2/|Ов Ts поток qc Рис. 1.9. Профили скорости и температуры при вынужденной конвекции около нагретой пластины. охлаждаемая обтекающим ее воздушным потоком. Кроме того, показаны профили скорости и температуры. Прежде всего от- отметим, что из-за действия сил вязкости скорость и (у) умень- уменьшается по направлению к стенке. Поскольку скорость слоя жидкости, примыкающего к стенке, равна нулю, плотность 1) Процессы кипения и конденсации сопровождаются фазовыми превра- превращениями и имеют много специфических особенностей, вследствие чего как в отечественной, так и в зарубежной литературе они обычно рассматрива- рассматриваются как самостоятельные разделы теории теплообмена.—Прим. ред.
Принципы теплопередачи 25 теплового потока (тепловой поток на единицу площади1)) от стенки к этому слою жидкости определяется только теплопро- теплопроводностью дТ ,- tm „ ч A17) Щ- = а' к. ду Хотя при рассмотрении процесса с такой точки зрения предпо- предполагается, что передача тепла осуществляется теплопроводно- теплопроводностью, градиент температуры на стенке (дТ/ду)\у=о определя- определяется скоростью переноса тепла жидкостью от стен- стенки в основной поток. По- Поэтому градиент темпера- температуры на стенке зависит от поля течения, и чем выше скорость течения, тем больше и градиент температуры, и тепловой поток. В то же время су- существенную роль играет и коэффициент теплопро- теплопроводности жидкости. На- Например, величина kf для воды примерно на поря- порядок больше, чем для воз- воздуха; поэтому, как указа- Рис. 1.10. Профили скорости и температуры но в табл 1 2 коэсЬби- при свободной конвекции около нагретой ' ' ^^ пластины, отклоненной от горизонтали на циент конвективной теп- угол р г лоотдачи для воды боль- больше, чем воздуха. Аналогичные особенности имеет и свободная конвекция (рис. 1.10). Основное отличие заключается в том, что в усло- условиях вынужденной конвекции скорость при удалении от стенки приближается к скорости набегающего потока, обусловленной внешней силой, а в условиях свободной конвекции скорость при удалении от пластины сначала возрастает, а затем под дейст- действием вязкости довольно быстро снижается до нуля, в то время как разность плотностей изменяется медленнее. Однако в конце концов подъемная сила также уменьшается, по мере того как плотность жидкости приближается к плотности окружающей среды; это вызывает повышение скорости до некоторого макси- максимального значения, а затем ее падение до нуля на достаточно большом расстоянии от нагретой поверхности. Температурные поля при свободной и вынужденной конвекции аналогичны по *) В тексте одним штрихом обозначена величина, приходящаяся на еди- единицу длины, двумя штрихами —на единицу площади, тремя —на единицу объема.
26 Глава 1 форме, и в обоих случаях механизмом переноса тепла на по- поверхности раздела между жидкостью и твердым телом является теплопроводность. Проведенное обсуждение позволяет сделать вывод, что коэф- коэффициент конвективной теплоотдачи зависит от плотности, вяз- вязкости и скорости жидкости, а также от ее теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и удельной теплоем- теплоемкости). В то время как при вынужденной конвекции движение среды обычно создается насо- насосом или вентилятором и его скорость можно непосредст- непосредственно измерить, при свободной конвекции скорость зависит от перепада температур между стенкой и жидкостью, коэффи- коэффициента теплового расширения жидкости (который определя- определяет изменение плотности на единицу перепада температур) и силового поля, которое в си* стемах, расположенных на земле, обусловлено просто си* лой тяжести. Рис. 1.11. Тепловая цепь для тепло- теплопередачи через плоскую стенку при наличии конвекции на обеих поверх- поверхностях. Конвективный теплообмен также можно рассматривать в рамках концепции тепловых цепей. Исходя из соотношения A.16), определим термическое сопротивление для конвектив- конвективного переноса тепла формулой R0*=*l/heA, A.18) и это термическое сопротивление на поверхности раздела между жидкостью и твердым телом можно легко включить в тепловую цепь. Например, на рис. 1.11 показана схема теплопередачи от внутренней среды помещения с температурой Ti через стенку во внешнюю атмосферу с температурой То. Тепловой поток опре- определяется соотношением А2 "Г A3 где Rx = 1/Яс, Л #2 = L/kA, Я3 = 1/Яс, о А. Пример 1.5. Кирпичная стена толщиной 0,1 м [k = 0,7 Вт/(м-град)] обдувается холодным ветром с температурой 270 К при коэффициенте кон- конвективной теплоотдачи 40 Вт/(м2-град). С другой стороны стены находится неподвижный воздух с температурой 330 К при коэффициенте конвективной теплоотдачи 10 Вт/(м2-град). Рассчитать тепловой поток на единицу пло- площади (плотность теплового потока).
Принципы теплопередачи 27 Решение. По формулам A.19) вычисляем три термических сопротив- сопротивления: /?! = ^ = —— = 0,025 град/Вт, пСу0А 40-1 Яг =* -=-^— «= —~ « 0Д0 град/Вт. й A 101 вна Следовательно, плотность теплового потока равна ± _ 330-270 Л 0,025 + 0,143 + 0,10 1.4. РАДИАЦИОННЫЙ ТЕПЛООБМЕН В то время как теплопроводность и конвективный тепло- теплообмен могут осуществляться лишь в материальной среде, пере- перенос тепла излучением может происходить даже в абсолютном вакууме. При радиационном теплообмене энергия переносится в виде электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света. Существует много различных видов электро- электромагнитного излучения (например, рентгеновские лучи), но мы будем рассматривать лишь тепловое излучение, которое пере* носит энергию в виде тепла. Количество энергии, переносимое от поверхности в виде теп- теплового излучения, зависит от абсолютной температуры и свойств поверхности. Идеальный излучатель, или абсолютно черное тело1), испускает со своей поверхности радиационный тепловой поток qr, определяемый формулой qr = о АТ\ A.20) qr выражается в ваттах, если площадь поверхности А выражена в квадратных метрах, температура поверхности Г — в кель- винах, а размерный коэффициент су, называемый постоян- постоянной Стефана — Больцмана, в системе единиц СИ равен 5,67-Ю-8 Вт/(м2-град4). Соотношение A.20) показывает, что радиационный тепловой поток, испускаемый абсолютно черной поверхностью, пропор- пропорционален четвертой степени абсолютной температуры. Хотя ве- величина теплового потока излучения, испускаемого телом, не зависит от окружающих условий, для расчета результирующего переноса тепла излучением необходимо знать температуры по- поверхности двух или более тел, между которыми происходит ра- радиационный теплообмен. Если черное тело излучает в окружаю- окружающую его замкнутую полость с абсолютно черной поверхностью *) Более подробно физический смысл этих терминов будет рассмотрен в гл. 6.
28 Глава 1 (которая полностью поглощает все падающее на нее излучение), результирующий радиационный тепловой поток определяется соотношением q^aA^T'-Tt), A.21) где Т\ — температура черного тела в Кельвинах, а Т2 — темпе- температура поверхности полости в Кельвинах. Реальные тела не являются идеальными излучателями, они излучают тепло менее интенсивно, чем абсолютно черное тело. Если они при некоторой температуре испускают на каждой длине волны одинаковую долю излучения черного тела с той же температурой, они называются серыми телами. Радиацион- Радиационный тепловой поток от серого тела равен гвАТА. Результирую- Результирующий тепловой поток от серого тела с температурой Т\ к окру- окружающему его абсолютно черному телу с температурой Т2 вы- выражается формулой *, = <МЛ(Г}-73), A-22) где е — излучательная способность (степень черноты) серой по- поверхности, равная отношению потока излучения серой поверх- поверхности к потоку излучения идеального излучателя при той же са- самой температуре. Пример 1.6. Рассчитать радиационный тепловой поток, испускаемый в пространство верхней поверхностью горизонтальной квадратной плоской пла- пластины размерами 2 X 2 м с температурой 500 К и степенью черноты 0,6. Решение. По формуле A.20) вычислим радиационный тепловой поток от абсолютно черного тела с температурой 500 К qr = 5,67 • 10~8 • 4 • E00L = 14 180 Вт. Однако, поскольку степень черноты излучающей поверхности равна 0,6, действительный тепловой поток будет равен 0,6-14 180 = 8508 Вт. Если ни одно из двух тел не является идеальным излучате- излучателем и если тела занимают определенное геометрическое поло- положение друг относительно друга, результирующий радиационный тепловой поток между ними определяется выражением ЧГ = ^^2(Т\-Ц)9 A.23) где Si—2 — коэффициент в соотношении для радиационного теп- теплового потока от идеального излучателя, учитывающий степени черноты и относительное расположение реальных тел. Во многих инженерных задачах излучение действует наряду с другими видами теплопередачи. Зачастую можно упростить решение таких задач, используя термическое сопротивление для излучения Rr. Величина Rr определяется аналогично термиче- термическому сопротивлению для конвекции или теплопроводности.
Принципы теплопередачи 29 Если радиационный тепловой поток записать в виде *-^. A-24) то, используя соотношение A.23), можно получить следующую формулу для термического сопротивления: Кроме того, можно определить удельную тепловую проводи- проводимость для излучения hr г 1 *Si-2Gi-7i) К = YT^—т~^?—' A>26) где ТГ2 — подходящая характерная температура, выбор которой часто диктуется уравнением конвекции. Пример 1.7. Рассчитать удельную радиационную тепловую проводимость для небольшого сферического спая термопары, расположенного в большой абсолютно черной трубе, по которой продувается воздух. Температура тру- трубы 300 К, температура термопары 500 К, степень черноты термопары 0,3. Решение. Используя соотношения A.2) и A.26) в предположении, что характерной температурой является температура трубы 7V получаем = 5,67 • 1(Г8 • 0,3 E002 + 3003) (800) = 4,63 Вт/(м2 • град). 1.5. СЛОЖНЫЙ ТЕПЛООБМЕН На практике тепло обычно переносится ступенчатым образом через ряд различных последовательно соединенных элементов и зачастую два механизма теплопередачи действуют парал- параллельно. Примером такой ситуации является теплопередача от продуктов сгорания в камере ракетного двигателя через тонкую стенку к потоку охладителя в кольцевом канале с внешней сто- стороны стенки (рис. 1.12). Продукты сгорания содержат газы СО, СО2 и Н2О, которые испускают и поглощают излучение. Следовательно, в первом элементе системы тепло переносится от горячей газовой среды к внутренней поверхности стенки ракетного двигателя конвек- конвекцией и излучением, действующими параллельно. Суммарный тепловой поток q к поверхности стенки на некотором расстоянии от сопла определяется выражением Я = Чс + Чг = hcA (Tg - Tsg) + hrA (Tg - T8g), или </ = (M + M (Tg - Tsg) = --* J^?, A.27)
30 Глава 1 - где Tg — температура горячего газа, Tsg — температура внутрен- внутренней поверхности стенки, R\ = 1/{Нг + Яс)А — суммарное терми- термическое сопротивление первого элемента системы. В стационар- стационарных условиях кондуктивный тепловой поток через стенку (вто- (второй элемент системы) равен тепловому потоку, поступающему в стенку, и А Т Т а = аь = — (Т — Г)=-2? — A28) Li * Д2 где Tsc — температура поверхности стенки со стороны охлади- охладителя, R2— термическое сопротивление второго элемента систе- системы. После прохождения через стенку, в третьем элементе си- Т -^ Т -ш. Т R2 *3 Рис. 1.12. Теплопередача в ракетном двигателе, а—физическая схема; б—тепловая цепь. стемы, тепло передается охладителю конвекцией. Тепловой по- поток в этом последнем элементе выражается формулой п п h А (Т Т\ IT T\IT? (\ 9Q\ Ч — Чс — псЛ К1 sc — 1 с) — К1 sc — L сП^Ъу Vl .Zyj где Тс — температура охладителя, /?3 — термическое сопротив- сопротивление третьего элемента системы. Следует отметить, что через he обозначена в общем случае удельная конвективная тепловая проводимость, но численные значения этого коэффициента для первого и третьего элементов системы зависят от многих факто- факторов и, как правило, отличны друг от друга. Кроме того, площади поверхностей во всех трех элементах системы, по которой рас- распространяется тепловой поток, не одинаковы. Но поскольку стенка очень тонкая, изменение площади поверхности теплооб- теплообмена настолько мало, что в рассматриваемой системе им можно пренебречь.
Принципы теплопередачи 31 На практике часто известны лишь температуры горячего газа и охладителя. Если, приравнивая друг другу соотношения A.27), A.28) и A.29), исключить промежуточные температуры, получим следующее выражение для теплового потока: т — т Где Термические сопротивления всех трех последовательно сое- соединенных элементов, или ступеней, теплового потока опреде- определены соотношениями A.27), A.28) и A.29). В соотношении A.30) тепловой поток выражен через полный перепад температур и характеристики теплообмена каждого элемента на пути теплового потока. Исходя из этого соотноше- ния, можно количественно оценить важность каждого термиче- ского сопротивления на этом пути. Анализ порядка величины членов, входящих в знаменатель, часто помогает упростить за- задачу. При преобладающей величине одного из членов в ряде случаев остальными можно пренебречь. Упростив методы рас- расчета отдельных термических сопротивлений и коэффициентов тепловой проводимости, мы сможем применять такой прибли- приближенный подход во многих численных примерах. Однако в не- некоторых задачах, особенно в расчетах конструкции теплообмен- теплообменников, удобно упростить соотношение A.30), объединив все отдельные термические сопротивления, или коэффициенты тепло- тепловой проводимости, в один параметр, называемый суммарной удельной тепловой проводимостью, или суммарным коэффициен- коэффициентом пропускания тепла, или суммарным коэффицентом тепло- теплопередачи U. Применение суммарного коэффициента теплопере- теплопередачи позволяет упростить выкладки, при этом важно не забывать о сравнительной роли каждой составляющей коэффи- коэффициента U, Применяя в соотношении A.30) суммарный коэффициент Теплопередачи, получаем A.31) где Суммарный коэффициент теплопередачи U может относиться к любой выбранной площади поверхности. Следовательно, чтобы избежать недоразумений, нужно всегда определять площадь, со- соответствующую этому коэффициенту. Дополнительные сведения о суммарном коэффициенте теплопередачи U будут представ- представлены в последующих главах. В дальнейшем мы увидим, что суммарный коэффициент теп- теплопередачи удобно применить в задачах о тепловых системах,
32 Глава 1 состоящих из нескольких последовательно соединенных элемен- элементов. Анализ теплообмена на границах тела сложной формы и в задачах нестационарной теплопроводности можно упростить, применяя суммарный коэффициент удельной тепловой проводи- проводимости поверхности Я. Этот коэффициент, называемый также удельной тепловой проводимостью поверхности, учитывает кон- конвективный и радиационный теплообмен между поверхностью и средой и определяется выражением h = hc + hr. A.33) Удельная тепловая проводимость поверхности определяет сред- средний суммарный тепловой поток к единице площади твердой по- поверхности, омываемой жидкостью, при единичном температур- температурном перепаде. Ее размерность Вт/(м2*град). Пример 1.8. Температура стенки паропровода диаметром 0,5 м (в = 0,9) равна 500 К. Паропровод расположен в помещении с температурой воздуха 300 К, коэффициент конвективной теплоотдачи от его поверхности к окру- окружающему воздуху равен 20 Вт/(м2-град). Рассчитать суммарную удельную тепловую проводимость поверхности и тепловые потери на единицу длины паропровода. Решение. Эту задачу можно идеализировать, считая, что малый объект (паропровод) находится внутри большой абсолютно черной полости (поме- (помещение). В таком случае коэффициент теплоотдачи излучением равен Йг == ore (^ + 7|) (Т{ + Т2) — 13,9 Вт/(м2. град), суммарная удельная тепловая проводимость поверхности равна h -в hc + hr = 20 + 13,9 = 33,9 Вт/(м2 • град), а тепловые потери на единицу длины Aм) паропровода равны q = nDLh (ГПаропр — ^воздух) = я • 0,5 • 1.33,9 -200 = 10 650 Вт. Пример 1.9. Максимальная температура стенки авиационного теплооб- теплообменника (рис. 1.13) не должна превышать 800 К. Для условий, указанных ниже, определить максимально допустимое удельное термическое сопротивле- сопротивление на 1 м2 площади металлической стенки между горячим газом, с одной стороны, и холодным газом — с другой. Температура горячего газа Tg = 1300 К, удельная тепловая проводимость стенки со стороны горячего газа hi = 200 Вт/(м2-град). Удельная тепловая проводимость стенки со сто- стороны холодного газа Яс = 400 Вт/(м2-град), температура охлаждающего газа Тс = 300 К. Решение. В стационарных условиях плотность теплового потока q/A от газа к горячей поверхности стенки равна плотности теплового потока q/A от горячей поверхности стенки через стенку к холодному газу, или q Т -Т то-тс 1300-800 1300-300 А ~ J?i ~" Л, + Я, + «8 1/200 A/200) + R2 + A/400)' где Tsg — температура горячей поверхности стенки. Подставляя численные значения удельных термических сопротивлений и температуру, получаем 1300 — 800 1300 — 300 0,005 — R2 + 0,0075 '
Принципы теплопередачи 33 Отсюда находим /^2 = 0,0025 (м2-град/Вт). Если удельное термическое со- сопротивление будет больше 0,0025 (м2-град/Вт), температура внутренней по- поверхности стенки будет выше 800 К. а Металлическая стенка Горячий газ (Горячая поверхность) Охладитель (Холодная поверхность) Рис. 1.13. Физическая схема и тепловая цепь для примера 1.9. а —физическая схема; б—детализированная тепловая цепь; в — упрощенная тепловая цепь» 1.6. РАЗМЕРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ Размерной величиной называется любая измеряемая вели* чина. Например, пространство, занятое предметом, определяется размерной величиной, называемой объемом. Расстояние между двумя точками определяется размерной величиной, называемой длиной. В теории теплопередачи нам встречаются обычно сле- следующие размерные величины: длина, время, масса, сила, коли- количество тепла и температура. Прежде чем проводить численные расчеты, нужно выразить каждую размерную величину в определенных воспроизводимых единицах измерения. Единицы измерения — это произвольно вы- выбранные меры, которые позволяют определить количественно каждую размерную величину. Например, метр — единица из- измерения размерной величины длины. Применяются и другие 2 Зак 187
34 Глава 1 единицы, позволяющие измерить длину. Назовем некоторые из них: фут, ярд, миля, миллиметр, сантиметр, километр. В настоящее время в мире используется несколько различ- различных систем единиц измерения. В промышленности, науке и тех- технике быстро распространяется и становится общепринятой си- система СИ (международная система единиц). Система СИ была принята Международной организацией по стандартизации и ре- рекомендована многочисленным национальным организациям по стандартизации. Поэтому в нашей книге используется система единиц СИ. Таблица 1.3 Основные и производные единицы измерения в различных системах Размерная величина Длина Время Сила Масса Температура Количество тепла Система СИ М С Н кг К Дж мкс м с Н кг °С кал сгс см с дина г °С кал Техническая СССР М С КГ м-1 -кГ-с2 °С кал США фут с фунт силы фунт массы °F БТЕ В табл. 1.3 указаны основные единицы измерения системы СИ и других общеупотребляемых систем. 1.7. ТЕОРИЯ РАЗМЕРНОСТЕЙ Неудобства, возникающие при переходе от одной системы единиц к другой, часто можно избежать, используя безразмер- безразмерные параметры, величины которых одинаковы в любой системе единиц. Процесс определения соответствующих безразмерных параметров описывается с помощью теории размерностей. Эта теория не только позволяет найти безразмерные комбинации не- нескольких переменных, не зависящие от системы единиц, но и облегчает интерпретацию экспериментальных данных. Самый серьезный недостаток теории размерностей состоит в том, что она не дает сведений о природе явления. Чтобы при- применять теорию размерностей, нужно заранее знать, какие пере- переменные оказывают влияние на рассматриваемое явление, и успех или неудача зависят от правильности выбора этих переменных. Поэтому необходимо иметь хотя бы предварительную теорию или глубокое физическое понимание явления, чтобы применить теорию размерностей. Однако, если определяющие переменные
Принципы теплопередачи 35 известны, теорию размерностей можно применить в большинстве задач, используя методику, которую мы опишем ниже1). Основные размерные величины и формулы размерности Первый шаг состоит в выборе системы основных размерных величин. Выбрать основные размерные величины можно произ- произвольно, но через них должны выражаться формулы размерности всех определяющих переменных. В системе СИ основными раз- размерными величинами являются длина L, время 0, температура Т и масса М. Формула размерности физической величины вытекает из оп- определения или из физических законов. Например, формула раз- размерности длины стержня записывается по определению как [L]2). Средняя скорость частицы жидкости равна расстоянию, Таблица 1.4 Обозначения и размерности некоторых физических Физическая величина Длина Время Масса Сила Температура Тепловая энергия Скорость Ускорение Работа Давление Плотность Внутренняя энергия Энтальпия Удельная теплоемкость Динамическая вязкость Кинематическая вязкость Коэффициент теплопроводности Коэффициент температуропроводности Термическое сопротивление Термический коэффициент объемного расширения Поверхностное натяжение Трение на единицу площади Удельная тепловая проводимость Массовый расход величин Обозначение L, х t М F Т Q V а> S W р р и h с ц v =^м,/р k а R а X he m Размерность в системе MLQT L 0 М т MU/Q2 L/B i/e2 ML2/W M/WL M/L* LW L2/92 LWT M/LQ ьщ ML/WT L2/B №jML2 \/T M/W M/L92 . М/83Г M/e 1) Здесь мы не описываем алгебраическую теорию размерностей. Стро-- гое и содержательное изложение математических основ этой теории можно найти в гл. 3 и 4 работы [7]. 2) Квадратные скобки означают, что величина. и.ме.е/г формулу размерно-» сти, стоящую в скобках 2*
36 Глава 1 деленному на время, которое было затрачено на преодоление этого расстояния. Следовательно, формула размерности ско- скорости [L/0] или [L0-1] (т. е. длина, деленная на время). Ско- Скорость может быть выражена в метрах в секунду, футах в се- секунду или милях в час, поскольку все эти единицы измерения представляют собой длину, деленную на время. В табл. 1.4 пред- представлены обозначения и формулы размерности физических ве- величин, часто встречающихся в задачах теплопередачи. я-теорема Бэкингема Чтобы найти число независимых безразмерных комбинаций, необходимое для того, чтобы получить соотношение, описываю- описывающее физическое явление, можно использовать я-теорему Бэкин- Бэкингема1). Согласно этой теореме, число независимых безразмер- безразмерных комбинаций из физических переменных, существенных в рассматриваемой задаче, равно общему числу этих физических переменных п (например, плотность, вязкость, коэффициент теплоотдачи) за вычетом числа основных размерных величин т, необходимых для того, чтобы выразить формулы размерности п физических величин. Если обозначить эти комбинации (комп- (комплексы) через пи Яг, ..., то уравнение, выражающее связь ме- между переменными, имеет решение вида F(nlt л2, я3, ...) = 0. A.34) В задаче с пятью физическими величинами и тремя основными размерными величинами п — т = 2 и решение имеет вид F(nu я2) = 0, A.35) или f() A.36) Экспериментальные данные для такой задачи удобно предста- представить в виде зависимости щ от л2. Полученная эмпирическая кривая определяет функциональную связь щ и я2, которую нельзя найти на основании теории размерностей. Для явления, которое можно описать тремя безразмерными комплексами (т. е. если /г-— т = 3), уравнение A.34) прини- принимает вид /7(я1, я2, я3) = 0, A.37) или оно может быть переписано в виде Щ = / (яг. *з). A.38) 1) Согласно более строгому правилу, предложенному Ван-Дристом [6], я-теорема справедлива до тех пор, пока система уравнений, полученная пу- путем приравнивания нулю показателей степени при каждой основной размер- размерной величине, остается линейно независимой. Если одно из уравнений системы является линейной комбинацией одного или более других уравнений (т. е. если уравнения линейно зависимы), число безразмерных комплексов равно общему числу переменных п минус число независимых уравнений.
Принципы теплопередачи 37 В этом случае экспериментальные данные можно связать, по- построив зависимости К! от Я2 при различных значениях яз. Иногда можно скомбинировать один параметр из двух комплексов л и построить единую зависимость этого комбинированного пара- параметра от оставшегося комплекса, как это будет показано в гл.5. Определение безразмерных комплексов Опишем простой метод определения безразмерных комплек- комплексов, применяя его к задаче теплопроводности и к задаче тече- течения жидкости. Пример 1.10. Определить безразмерные параметры, связывающие макси- максимальную температуру Тт в пластине толщиной L с коэффициентом теплопро- теплопроводности 6, если в пластине происходит равномерное тепловыделение с объ- объемной скоростью qG , температура одной поверхности поддерживается по- постоянной и равной ft, а вторая поверхность теплоизолирована. Решение. Сначала запишем я в виде произведения переменных, каждая из которых возведена в неизвестную степень, а затем подставим формулы размерносш из табл. 1.4: Чтобы величина я была безразмерной, показатели степени при каждой основ- основной размерной величине по отдельности должны давать в сумме нуль. При- Приравнивая сумму показателей при каждой основной размерной величине нулю, получим следующую систему уравнений: а Ч- b — с = 0 для Г, с -f- е = 0 для М, — Ъс — Зе = 0 для 9, с + d — е = 0 для L Очевидно, что для каждого набора значений a, b, cy d и е, при котором удо- удовлетворяется эта система уравнений, величина я безразмерна. Имеется пять неизвестных и только четыре уравнения. Заметим, что условия для М и 9 приводят к одному и тому же уравнению, так что имеется не четыре, а только три независимых уравнения. Поэтому для каждого безразмерного комплекса можно произвольно выбирать значения двух показателей степени. Единственное ограничение при этом — каждое выбранное значение должно не зависеть от остальных. Указанное условие выполняется, если определитель, составленный из коэффициентов при оставшихся показателях, не равен нулю. Поскольку мы хотим в итоге найти Тт, примем показатель степени при этой переменной а равным 1. Поскольку мы хотим, чтобы величина q? была независимой переменной, мы не будем комбинировать ее с Тт и примем ее показатель степени е равным 0. В результате получим систему уравнений 1 + Ь — с « 0, с + 0 = 0, с + d - 0 = 0.
38 Глава 1 Решая эту систему, находим Ь = —1, с = О, d = 0, и, таким образом, пер- первым безразмерным критерием является отношение максимальной температуры к температуре поверхности щ — 7m/7Y Чтобы найти я2, примем а = 0, чтобы величина Тт выпала, а затем примем е = 1, чтобы независимая переменная qG входила в соотношение для я2 в первой степени. Решая систему уравнений при выбранных значениях а и е, получим с = —1, Ь = —1, d = 2, следовательно, Итак, решение рассматриваемой задачи можно выразить в общей функцио- функциональной форме A.36) ТГ" Анализ размерности не позволяет найти конкретную функциональную связь между Я! и Яг, но в гл. 2 будет показано, что эта связь имеет вид Пример 1.11. Найти безразмерные параметры, связывающие результаты измерения падения давления Ар в трубе диаметром D и длиной L, если в ней со средней скоростью V течет жидкость, вязкость которой ц, а плотность р. Решение. В задаче шесть переменных, но только три основные размерные величины, что приводит к трем независимым уравнениям. Следовательно, при определении каждого из безразмерных параметров я нужно выбрать три пе- переменные. В приведенной ниже таблице указаны переменные рассматриваемой задачи, их размерности и показатели степени. Переменная L Ар 9 D Размерность \М1Ш] ID [Ai/iei Показатель степени а Ь с d е 1 Запишем общее соотношение Для нахождения первого безразмерного комплекса примем а = 1, Ъ = О, с = 0, что дает следующую систему уравнений: e + / = 0 для L, е =5 0 для М, — е-~ f=sO для 9. Отсюда d = —1 и пдекса примем а — LID, Для определения второго безразмерного ком- 0^ Ь «я \% Решая полученную систему уравнений, на*
Принципы теплопередачи 39 ходим Л2 = Ap/pV2. Аналогичным образом, полагая е = 1, а = Ь = 0, на- находим третий безразмерный комплекс яз = |i./pVD. Чтобы связать экспери- экспериментальные данные, можно построить зависимости я2 от яз при различных значениях Я1. Однако в инженерной практике удобно использовать отношение Я2/Я1, называемое коэффициентом трения f. Более того, можно показать тео- теоретически, что f = На рис. 1.14 представлены экспериментальные данные, построенные в виде Зависимости Я2/Л1 от обратной величины яз. Как будет отмечено в гл. 4> \ V \ А V \ \ \ - г V \ \ \ к ч 2' ,v V 1 0 6 * s ¦ #^ _n.-i> 2 UUL SZ) 507 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Рис. 1Л4. Соотношение между коэффициентом трения f и числом РейнольДса Rez) для гладких труб и труб с искусственной шероховатостью. (Зависимость ig^Am) от1еA/яз) [8].) / — ламинарное течение; 2—турбулентное течение в гладких трубах. 6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0" 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5? 5,6 5,8 если 1/яз меньше примерно 2300, течение является ламинарным и f = Яг/Яг5525 *= 64яз. Однако при 1/яз > 2300 вид функциональной зависимости между / и яз изменяется, поскольку «ламинарный» режим течения переходит в «тур- «турбулентный». Разумеется, анализ размерности не позволяет предсказать это физическое явление. Кроме того, при турбулентном режиме течения на ве- величину f влияет не только яз, но и шероховатость поверхности. Об этом убе- убедительно свидетельствуют представленные На рис. 1.14 экспериментальные результаты для я2/я1 в зависимости от я^ при ламинарном и турбулентном режимах течения. Экспериментальные данные для турбулентного течения по- показывают отчетливо выраженную зависимость от отношения средней высоты элементов шероховатости поверхности к к диаметру трубы Ъ. Однако для гладких труб эмпирическое соотношение Яз/Я1 = f tt 0,046rtf - 0,046/Re^2 позволяет связать экспериментальные данные в широком диапазоне значений "з [8].
40 Глава 1 Литература 1. Fourier J. В., Theorie analytique de la chaleur, Paris, 1822. 2. Rohesenow W. M., Hartnett J. P., eds., Handbook o! Heat Transfer, Sec. 3 (by P. J. Schneider), McGraw, N. Y., 1973. 3. Veizirogen T. N., Correlation of Thermal Contact Conductance Experi- Experimental Results, Prog. Astron. Aero., 20, Academic Press, N. Y., 1967. 4. Vance R. W., Duke W. M., eds., Applied Cryogenic Engineering, Wiley, N. Y., 1962. 5. Barron R., Cryogenic Systems, McGraw, N. Y., 1967. 6. Van Driest E. R., On Dimensional Analysis and the Presentation of Data in Fluid Flow Problems, /. Appl. Mech., 13 A940). 7. Langhaar H. L., Dimensional Analysis and Theory of Models, Wiley, N. Y., 1951. 8. Nikuradse J., Gesetzmassigkeiten der turbulenten Stromung in glatten Rohren, VDI Forschungsheft, vol. 356, 1932; Stromungsgesetze in rauhen Roh- ren, VDI Forschungsheft, vol. 361, 1933.
ЗАДАЧИ Задачи в этой главе сгруппированы по тематике разделов, как указано в следующей таблице. Номера задач 1.1—1.18 1.19—1.25 1.31—1.34 1.35—1.37 1.38—1.41 Раздел 1.2 1.3 1.4 1.5 1.7 Тема Теплопроводность Конвективный теплооб- теплообмен Радиационный теплооб- теплообмен Сложный теплообмен Теория размерностей 1.1. Определить плотность теплового потока через кирпичную стену [k = я= 0,3 Вт/(м-град)], если одна ее поверхность имеет температуру 25°С, а другая — 10°С. Толщина стенки 10 см. 1.2. Стенка печи изготовлена из силикатного кирпича [Л = 1,1 Вт/м X Хград)], температура ее внутренней поверхности 450°С Толщина стенки 30 см, температура ее наружной поверхности 55°С. -Найти плотность тепло- теплового потока через стенку. 1.3. Плотность теплового потока через плоскую стенку составляет 1000 Вт/м2. Одна поверхность стенки имеет температуру 100°С. Коэффициент, теплопроводности стенки 28 Вт/(м-град), ее толщина 25 см. Найти темпе- температуру второй поверхности стенки. 1.4. Распределение температуры по толщине плоской стенки с коэффи- коэффициентом теплопроводности 2 Вт/(м-град) имеет вид Т(х) = 100+150*, где температура Т выражена в градусах Цельсия, а координата х — в метрах и измеряется от одной поверхности стенки. Найти плотность кондуктивного теплового потока через стенку. В каком направлении течет тепловой поток? В направлении возрастания х или в противоположном направлении? 1.5. Кондуктивный тепловой поток через пластину из плексигласа [k = = 0,195 Вт/(м-град)] толщиной 1 см равен 300 Вт. Площадь поверхности пластины 2 м2. Температура одной поверхности поддерживается равной 30°С. Найти температуру второй поверхности пластины и температуру ее среднего сечения. и 1.6. Термическое сопротивление стены жилого дома равно 9 град/Вт. Найти тепловой поток через стену площадью 30 м2, если перепад темпера- температур на стене составляет 30°С. 1.7. Для описания термического сопротивления изоляции часто приме- применяют коэффициент R = L/k, где L — толщина изоляции. Рассчитать коэффи- коэффициент R для 10-сантиметрового слоя следующих материалов: стекловолокна, штукатурки, фанеры и обычного кирпича. Использовать значения коэффи- коэффициента теплопроводности, приведенные в табл. П. IV. 3,
42 Глава 1 1.8. С точки зрения теплопередачи является ли нержавеющая сталь хо- хорошим материалом для кухонной посуды? Какие факторы, кроме теплопере- теплопередачи, должны учитываться при конструировании товаров широкого потреб- потребления типа кухонной посуды? 1.9. Несколько стержней диаметром 1 см и длиной 10 см теплоизолиро- теплоизолированы по боковой поверхности. С одной стороны концы стержней имеют тем- температуру 100°С, с другой 0°С, так что кондуктивный тепловой поток направ- направлен по оси. Найти значения теплового потока для стержней из меди (а), алю- алюминия (б), нержавеющей стали (в), асбеста (г), картона (д) и стекловолокна (е). Использовать коэффициенты теплопроводности, приведенные в прило- приложении n.iv. 1.10. Тонкий плоский нагреватель площадью 0,2 м2 с температурой 200°С помещен между двумя слоями теплоизоляции с коэффициентом теплопровод- теплопроводности к = 0,35 Вт/(м-град). Мощность нагревателя 1000 Вт. Рассчитать тол- толщину теплоизоляции, при которой температура ее внешней поверхности не превышает 50°С. 1.11. Изменение коэффициента теплопроводности материала в зависимо- зависимости от температуры описывается выражением к = 2,2 + 4-10~4 Г, где к вы- выражается в Вт/(м-град), а Т — в Кельвинах. Найти тепловой поток, если две тонкие пластины, разделенные слоем этого материала толщиной 40 см, имеют температуры 100 и 200°С. Площадь поперечного сечения материала 1,8 м2. 1.12. Проинтегрировать соотношение A.2) для случая плоской стенки, коэффициент теплопроводности которой линейно зависит от температуры, и проверить формулу A.6). 1.13. Найти плотность теплового потока через плоскую стенку, коэффи- коэффициент теплопроводности которой изменяется по квадратичному закону к =» = ko(l + ВТ + СТ2). Выразить полученный результат через kOy Bt С, темпе- температуры обеих поверхностей стенки Т\ и Т2 и толщину стенки L. Рассчитать плотность теплового потока через стенку при Т{ = 200°С, Т2 = 500°С, L = = 15 см, k0 = 15 Вт/(м-град), В = Ю-4 Кг1, С = 10"8 К~2. 1.14. Металлическую стенку рефрижератора нужно покрыть слоем пено* пластовой теплоизоляции с коэффициентом теплопроводности 0,03 Вт/(м X Хград). Температура внутри рефрижератора поддерживается равной —20°С. Его хладопроизводительность 2 кВт, а площадь поверхности стенок 100 м2. Найти минимальную толщину изоляции, при которой на внешней ее поверх- поверхности не происходит конденсации, если точка росы окружающего воздуха вне рефрижератора равна 15°С. 1.15. Предположим, что происходит одномерный кондуктивный перенос тепла через составную стенку, показанную на рисунке. /7 Г = 5004s К задаче 1.15. -Г=100°1 lj> И а) Составить тепловую цепь для этой стенки, используя общепринятые обозначения для всех сопротивлений и потенциалов. б) Найти тепловой поток через сгенку. в) Найти температуру левой поверхности материала D. если кА = = 75 Вт/(м-град), LA = 20 см, кв = 60 Вт/(м-град), LB = Lc = = 25. см, кс == 58 Вт/(м-град), LD = 40 см? кр = 20 Вт/(м-град), 44 = Ad = 2 м2, А$ = Aq,
Принципы теплопередачи 43 1.16. Стационарный профиль температуры в двухслойной стенке показан на рисунке. Какой материал имеет больший коэффициент теплопроводности? Обоснуйте свой ответ. Материал 2 ' т Материал 1 ——- К задаче 1.16. 1.17. Левая поверхность многослойной стенки, показанной на рисунке омывается водой с температурой 70°С. Коэффициент конвективной теплоот дачи на этой поверхности равен 60 Вт/(м2-град). Найти величину kx. Г=50°С- к = 200 Вт/ (м- град) 4- = 60Вт/(м2-град) Г„г70°С <—30 см- -25см->|<-15см ?=30Вт/(мтрад) К задаче 1.17. 1.18. На рисунке показан стационарный профиль температуры в трех- трехслойной стенке. Выбрать правильное неравенство из следующих: а) kA > > kB > kc\ б) kA > kc > kB\ в) kB > kA > kc\ г) kc> kA> kB\ Д) kc > > ka > kA. Т(хУ К задаче 1.18. 1.19. В безветренный день коэффициент конвективной теплоотдачи крыши Здания равен 6 Вт/(м2*град). Найти конвективный тепловой поток от крыши, если температура внутренней поверхности крыши 15°С, а температура окру- окружающего воздуха —5°С. Площадь поверхности крыши 400 м2. Рассчитать тепловой поток, если подул ветер и величина Re возросла до 85 Вт/(м2-град). 1.20. Найти конвективный тепловой поток от шарикоподшипника диа- диаметром 1 см, имеющего температуру 200°С, который погружен в масло с тем- температурой 100°С. Принять h = 1000 Вт/(м2-град). 1.21. Рассчитать конвективный тепловой поток от пластины с темпера- температурой 200°С к окружающему воздуху с температурой 30°С. Коэффициент конвективной теплоотдачи от пластины к воздуху 30 Вт/(м2-град), а пло- Щадь поверхности пластины 10 м2.
44 Глава 1 1.22. Электрический нагреватель мощностью 1000 Вт с площадью по- поверхности 0,1 м2 работает в среде с температурой 20°С. Рассчитать темпера- температуру поверхности нагревателя для следующих условий: з) нагреватель находится в воздухе, Яс = 30 Вт/(м2-град); б) нагреватель находится в спокойной воде, he = 500 Вт/(м2-град); в) нагреватель находится в перемешиваемой воде, Яс = 5000 Вт/(м2Х Хград). 1.23. Электрический нагреватель мощностью 100 Вт находится в воздухе с температурой 20°С, hc = 50 Вт/(м2-град). Какова должна быть минималь- минимальная площадь поверхности нагревателя, чтобы температура его поверхности не превышала 60°С? 1.24. Воздух с температурой 20°С омывает верхнюю поверхность гори- горизонтальной плиты из чистого железа толщиной 10 см. Коэффициент конвек- конвективной теплоотдачи 20 Вт/(м2-град), и к этой поверхности подводится внеш- внешний радиационный тепловой поток плотностью 350 Вт/м2. От нижней поверх- поверхности во внешнюю среду отводится тепловой поток плотностью 200 Вт/м2. Составить тепловую цепь для этой задачи и рассчитать установившиеся тем- температуры обеих поверхностей железной плиты. 1.25. Одна поверхность плоской пластины омывается жидкостью с тем- температурой 20°С. С этой стороны поверхность стенки покрыта слоем теплоизо- теплоизоляции толщиной 4 см с коэффициентом теплопроводности 0,5 Вт/(м-град). Температура поверхности под изоляцией поддерживается равной 500°С. Рас- Рассчитать коэффициент конвективной теплоотдачи на внешней поверхности изо- изоляции, при которой температура этой поверхности не будет превышать 50°С. Рассчитать плотность теплового потока через изоляцию. 1.26. Составная стенка, показанная на рисунке, состоит из двух различ- различных материалов. Одна поверхность стенки имеет постоянную температуру 20°С, а вторая омывается воздухом с температурой 150°С, 60 см 60 см 20° С < 60 см 56 Вт/См-град) *=52Вт/(мград) /Гс=5Вт/(м2.Град) К задаче 1.26. а) Составить тепловую цепь для этой задачи. б) Рассчитать все термические сопротивления. в) Определить тепловой поток через стенку на единицу ширины стенки. г) Рассчитать температуру поверхности стенки, омываемой воздухом. 1.27. Две металлические пластины плотно прижаты друг к другу шеро- шероховатыми поверхностями. Одна пластина толщиной 15 см имеет коэффициент теплопроводности ? = 45 Вт/(м-град), а вторая, толщиной 25 см, имеет ко- коэффициент теплопроводности k = 70 Вт/(м-град). Удельное контактное тер- термическое сопротивление между двумя пластинами 10~2 м2-град/Вт. Полный перепад температур между внешними поверхностями обеих пластин 400°С. а) Составить тепловую цепь системы. б) Определить плотность теплового потока через поверхность.
Принципы теплопередачи 45 в) Рассчитать перепад температур на поверхности раздела. г) Определить плотность теплового потока в предположении об отсут- отсутствии контактного термического сопротивления. 1.28. Небольшой транзистор выделяет мощность 250 мВт. Его нужно ох- охлаждать с помощью алюминиевого радиатора, имеющего общую площадь по- поверхности 10 см2. Температура воздуха, окружающего радиатор, 25°С, коэф- коэффициент конвективной теплоотдачи на поверхности ребер радиатора 12 Вт/(м2-град). Поскольку ребра радиатора из алюминия, их термическое сопротивление мало и можно считать, что они изотермичны по всей их по- поверхности. Найти установившуюся рабочую температуру транзистора. 1.29. В задаче 1.28 контактное термическое сопротивление между корпу- корпусом транзистора и радиатором равно 60 град/Вт. Составить тепловую цепь системы. Определить все термические сопротивления. Рассчитать рабочую температуру транзистора. Найти перепад температуры на контактном сопро- сопротивлении. Предложить пути устранения контактного сопротивления. 1.30. На рисунке показано поперечное сечение типичного потолка жилого дома. Составить тепловую цепь типичной секции потолка. Рассчитать плот- плотность теплового потока через потолок. Где уходит больше тепла — через пере- перемычки или через изоляцию? Задачу теплопроводности считать одномерной. Тсо= -10° С Л =20 Вт/(м2-град) 6 см -30 см Изоляция из рыхлого стекловолокна Перемычки изсосны 2 см Штукатурка К задаче 1.30. Гда=25С /Гс = 10Вт/(м2-град) 1.31. Абсолютно черное тело с площадью поверхности 0,1 м2 излучает в холодную окружающую среду, Найти радиационный тепловой поток от тела при температуре 27, 527 и 1027°С. 1.32. Нить электрической лампочки мощностью 100 Вт излучает как аб- абсолютно черное тело в вакууме. Диаметр нити 0,13 мм, ее длина 7 см. Пре- Пренебрегая кондуктивными потерями тепла из нити, рассчитать ее температуру. 1.33. Степень черноты серого тела с площадью поверхности 10 см2 равна 0,3. Найти радиационный тепловой поток при температуре 1000 К. 1.34. Серое тело с площадью поверхности 1 м2 и степенью черноты 0,5, имеющее температуру 700°С, находится в большой черной камере с темпера- температурой 100°С. Найти результирующий радиационный тепловой поток между серым телом и камерой. 1.35. Рассчитать суммарный коэффициент теплопередачи V для условий задачи 1.15. В качестве характерной площади принять AD. 1.36. Рассчитать суммарный коэффициент теплопередачи U для условий задачи 1.26. В качестве характерной площади принять суммарную площадь поперечного сечения стенки. 1.37. Рассчитать суммарный коэффициент теплопередачи U для условий задачи 1.30. В качестве характерной площади принять площадь поперечного сечения 1 м2. 1.38. Известно, что местная температура в ребре определяется следую- следующими физическими параметрами: коэффициентом конвективной теплоотдачи
46 Глава 1 между ребром и окружающей средой — Fic, коэффициентом теплопроводности материала ребра — k, характерным линейным размером ребра — L, темпера- температурой окружающей среды — Гоо, температурой основания ребра — Г&, коорди- координатой, измеряемой от основания ребра, —х. Используя я-теорему Бэкингема, показать, что распределение темпера- температуры в ребре можно описать с помощью следующих безразмерных парамет- параметров: безразмерной температуры [Т(х)—Тоо]1(Ть — Гоо), безразмерного тер- термического сопротивления HcL/k и безразмерной координаты x/L 1.39. Подставляя размерности для каждого физического параметра, при- приведенного в табл. П.Х. 1, показать, что каждый комплекс является безраз- безразмерной величиной. 1.40. Известно, что в задачах нестационарной теплопроводности распре- распределение местной температуры в твердом теле определяется следующими фи- физическими параметрами: плотностью твердого тела р, его удельной тепло- теплоемкостью ср, характерным размером L, коэффициентом теплопроводности ма- материала k, временем /, линейной координатой х. Применяя я-теорему Бэкингема, показать, что распределение безразмер- безразмерной температуры можно выразить с помощью безразмерных параметров x/L и числа Фурье kt/pcpL2. 1.41. Если нагретое тело поместить в поток более холодной жидкости, то с его поверхности будет отводиться тепло вследствие вынужденной конвек- конвекции. Процесс теплообмена в этих условиях определяется следующими физи- физическими параметрами: коэффициентом конвективной теплоотдачи hC) ха- характерным размером поверхности L, плотностью жидкости р, скоростью по- потока V, коэффициентом теплопроводности жидкости k, ее удельной теплоем- теплоемкостью Ср И ВЯЗКОСТЬЮ \1. Применяя я-теорему Бэкингема, показать, что процесс теплообмена опре- определяется следующими тремя безразмерными параметрами: числом Нуссельта HcL/k, числом Рейнольдса pVX/jx и числом Прандтля \x,cPlk.
Глава 2 СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 2.1. ВВЕДЕНИЕ Теплопроводностью (кондуктивным переносом тепла) назы- называется вид теплопередачи, при котором тепло распространяется из области высокой температуры в область низкой температуры вследствие прямого контакта между молекулами среды. Связь кондуктивного теплового потока с распределением температуры в среде определяется законом Фурье. Процесс теплопроводности может происходить в твердых ве- веществах, капельных жидкостях и газах. Однако в циркулирую- циркулирующих жидкостях и газах он обычно действует совместно с кон- конвекцией. Следовательно, «чистая» теплопроводность имеет место в основном в сплошных твердых телах, где движение материала ограничено. В этой главе будем считать, что теплопроводящей средой является твердое тело, хотя полученные закономерности применимы также к жидкостям и газам, конвективное движе- движение которых ограничено. При рассмотрении проблемы теплопроводности ее можно разделить на три основные части. Первая — задачи стационар- стационарной теплопроводности, в которых температура зависит только от одной пространственной координаты (разд. 2.3 — 2.6). Вто- Вторая— задачи стационарной теплопроводности, в которых тем- температура зависит от двух или трех пространственных координат (разд. 2.7). Третья — задачи нестационарной теплопроводности. Этой теме посвящена гл. 3. При изложении теории теплопередачи следует отметить важ- важность применения цифровых вычислительных машин и програм- программирования численных расчетов, поскольку часто встречаются за- задачи, которые оказываются слишком сложными или трудоем- трудоемкими для ручного счета. Чтобы найти решение в таких случаях, мы часто обращаемся к ЭВМ и ручным калькуляторам, инже- инженерным или программируемым. Чтобы показать типы программ, которые применяются для решения задач теплопроводности, в эту главу включены четыре программы численного расчета. Про- Программы написаны в общей форме, чтобы их можно было при- применять для решения широкого класса задач. В следующем разделе выводится общее уравнение теплопро- теплопроводности. Большая часть материала, представленного в этой главе, начинается с решения уравнения теплопроводности. Оно позволяет найти распределение температуры в твердом
48 Глава 2 после чего можно с помощью закона Фурье рассчитать кондук- тивный тепловой поток, 2.2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Уравнение теплопроводности является математическим выра- выражением закона сохранения энергии в твердом веществе. Оно выводится из рассмотрения баланса энергии для элементарного объема материала, в котором происходит кондуктивный перенос тепла. Предполагается, что в твердом теле переносом тепла кон- конвекцией и излучением можно пренебречь. Кондуктивный тепло- тепловой поток связан с распределением температуры в твердом теле законом Фурье (уравнение 1.2). При составлении баланса энергии учитывается возможное генерирование энергии внутри материала. Типичными приме- примерами генерирования энергии в твердом теле служат тепловыде- тепловыделение при химических реакциях, омический нагрев при пропу- пропускании электрического тока и тепловыделение вследствие ядер- ядерных реакций. Общее уравнение теплопроводности учитывает аккумулиро- аккумулирование энергии внутри материала. Согласно законам термоди- термодинамики, внутренняя энергия материала возрастает при повыше- повышении температуры. Следовательно, количество энергии, аккуму- аккумулированное в твердом теле, увеличивается, если температура повышается со временем, и уменьшается, если температура соот- соответственно снижается. Если температура материала остается постоянной, энергия не аккумулируется, и тогда мы говорим, что имеют место стационарные условия. Проблемы теплопередачи подразделяются на несколько ос- основных категорий в соответствии с тем, от каких переменных зависит температура. Если температура не зависит от времени, задачу называют стационарной, или установившейся. Если тем- температура зависит от времени, задачу называют нестационарной, или переходной. Кроме того, задачи классифицируются по числу пространственных координат, от которых зависит температура. Если температура зависит только от одной координаты, задачу называют одномерной. Если температура зависит от двух или трех пространственных координат, ее называют соответственно двумерной или трехмерной. Если температура зависит от вре- времени и координаты х в прямоугольной системе координат, т. е. T = T(x,t), то мы имеем дело с одномерной нестационарной задачей. Если Т= T(r,Q) в цилиндрической системе координат, то мы рассматриваем двумерную стационарную задачу. Прямоугольные координаты Чтобы упростить вывод уравнения теплопроводности, рас- рассмотрим одномерную прямоугольную систему координат (рис. 2.1) и предположим, что температура твердого тела зависит толькд
Стационарная теплопроводность 49 от координаты х и времени, т. е. Г= T(x,t). Кроме того, пред- предположим, что и коэффициент теплопроводности &, и плотность р, и удельная теплоемкость с твердого материала постоянны. Влияние переменности коэффициента теплопроводности k рас- рассмотрено в разд. 2.4. я(х) • q(x + hx) -л: *f«—Дх—*\ Рис. 2.1. Контрольный объем в прямоугольных координатах. Применим закон сохранения энергии к контрольному объему, показанному на рис. 2.1: Г Энергия, подводимая в конт-"| I рольный объем вследствие L теплопроводности г Энергия, отводимая из I контрольного объема I вследствие теплопровод- L ности ["Энергия, генерируемая"] I + I внутри контрольного = J L-объема J , ["Энергия, аккумулированная"] [.внутри контрольного объема]* B.1) Выражая два члена, обусловленные теплопроводностью, с по- помощью закона Фурье и обозначая через q'^' интенсивность внутреннего тепловыделения в единице объема, записываем ра- равенство B.1) в форме -kA^(xy дТ 9АЬхс^. B.2) Разделив на объем контрольного объема ААх и выполнив не- несложные преобразования, получаем дТ _ дТ Ь -рсж. B.3)
50 Глава 2 Если перейти к пределу при Дх-^0, первый член в левой части уравнения B.3) станет по определению второй производной температуры по х и уравнение примет вид k-^r + QG =РСЖ- <2'4) Уравнение B.4) не является общим уравнением теплопровод- теплопроводности, так как оно выведено в предположении об одномерном распределении температуры. Если теперь снять это ограниче- ограничение и считать, что температура зависит от всех трех линейных координат и времени, т. е. Т= T(x,y,z,t), в уравнение войдут члены, аналогичные первому члену в уравнении B.4), которые выражают кондуктивные тепловые потоки в направлениях у и г. В таком случае получаем трехмерную форму уравнения теп- теплопроводности Важно понимать физический смысл каждого члена, входя- входящего в уравнение B.5). Первые три члена в левой части урав- уравнения выражают результирующую скорость переноса тепла в контрольный объем вследствие теплопроводности (на единицу объема). Последний член в левой части — это скорость внутрен- внутреннего тепловыделения в единице объема. Правая часть уравне- уравнения B.5) выражает скорость изменения внутренней энергии ма- материала на единицу объема. Каждый из членов имеет размер- размерность энергии, отнесенной к единице времени и единице объема. В системе СИ каждый член имеет размерность [Вт/м3]. Уравнение B.5) часто применяется в форме д2т д2т д2т цш х дТ + + + B) где коэффициент температуропроводности а представляет собой следующую комбинацию теплофизических свойств материала: а = k/pc. B.7) Коэффициент температуропроводности имеет размерность м2/с. Численные значения коэффициента теплопроводности, плот- плотности, удельной теплоемкости и коэффициента температуропро- температуропроводности для различных материалов, применяющихся в инже- инженерной практике, приведены в приложениях. Нам редко приходится определять распределение темпера- температуры в твердом теле, решая общее уравнение теплопроводности B.6), что требует решения дифференциального уравнения в частных производных. В большинстве практических задач мож- можно сделать упрощающие предположения, которые позволяют ис- исключить тот или иной член из уравнения теплопроводности, что
Стационарная теплопроводность 51 часто дает возможность упростить задачу и отыскание решения. Рассмотрим несколько частных случаев уравнения теплопровод- теплопроводности, а соответствующие примеры будут представлены в по- последних разделах этой главы. Если температура материала не зависит от времени, задача становится стационарной и аккумулирования энергии в мате- материале не происходит. В таком случае уравнение стационарной трехмерной теплопроводности записывается в прямоугольных координатах следующим образом: д2т B-8) Если задача не только стационарная, но и не происходит тепловыделения внутри материала, то уравнение теплопровод- теплопроводности упрощается еще более и принимает вид Это уравнение, называемое уравнением Лапласа, встречается в различных областях науки. Если в установившихся условиях при отсутствии тепловыде- тепловыделения рассматривается одномерная задача, т. е. температура зависит только от координаты х, уравнение теплопроводности становится обыкновенным дифференциальным уравнением •S?—°- BЛ0> Безразмерная форма уравнения теплопроводности Уравнение теплопроводности, записанное в форме B.6), яв- является размерным. Часто удобнее переписать это уравнение таким образом, чтобы каждый член стал безразмерным. Выпол- Выполнив это, мы найдем безразмерные параметры, определяющие процесс теплопроводности. Приведем одномерное уравнение теплопроводности B.4) к безразмерному виду, вводя безразмер- безразмерную температуру 8 /Г B.11) безразмерную пространственную координату l = x/Lr B.12) и безразмерное время т = ///г. B.13) Величины 7V, Lr и tr — это характерные значения температуры, длины и времени соответственно. Выбор характерных значений произволен, хотя, когда задача полностью определена, нужно выбирать значения, имеющие физический смысл. Вместо отно- отношения температур обычно удобнее применять относительную
52 Глава 2 избыточную температуру; выбор безразмерных параметров из- изменяется от задачи к задаче. Безразмерные параметры часто вы- выбирают таким образом, чтобы их значения изменялись в удоб- удобных пределах, например от 0 до 1. За Lr обычно принимается максимальная координата х в системе, для которой находится распределение температуры. Подставив определенные таким образом безразмерные вели- величины температуры, линейной координаты и времени в уравнение B.4), получаем безразмерное уравнение теплопроводности Безразмерный параметр atr/L2r называется числом Фурье и обо- обозначается символом Fo: Fo = at r/L2r. B.15) Выбор характерных значений времени и длины, входящих в число Фурье, изменяется от задачи к задаче, но функциональ- функциональный вид соотношения между ними остается неизменным. Число Фурье всегда равно коэффициенту температуропроводности, ум- умноженному на время и деленному на квадрат характерной длины. Число Фурье представляет собой отношение скорости кон- дуктивного переноса тепла к скорости аккумулирования энергии в материале. Число Фурье является важным безразмерным кри- критерием в задачах нестационарной теплопроводности, и оно часто будет фигурировать в ходе дальнейшего изложения. Вторым безразмерным параметром в уравнении B.14) яв- является член, включающий тепловыделение. Будем применять безразмерный параметр тепловыделения <7с определяемый фор- формулой Чо = Чтг- BЛ6) Этот параметр представляет собой отношение количества тепла, генерируемого внутри тела за единицу времени, к коли- количеству тепла, перенесенного теплопроводностью через рассмат- рассматриваемый объем в единицу времени. Итак, одномерное уравнение теплопроводности записывается в безразмерной форме следующим образом: |т + **-КГ&- BЛ7) Пример 2.1. Найти упрощенную форму общего уравнения теплопровод- теплопроводности для установившегося одномерного кондуктивного переноса тепла в прямоугольном твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения. Решить полученное уравнение
Стационарная теплопроводность 53 теплопроводности и выразить распределение температуры в твердом теле и тепловой поток через постоянные интегрирования. Решение. Общее уравнение теплопроводности имеет вид д2Т дЧ ,д2Т\ ,// дТ Поскольку рассматривается одномерная стационарная задача, температура не зависит от времени и является функцией только одной из трех линейных ко- координат. Если предположить, что Т зависит только от х, то dT/dt=d2T/dy2= = д2Т/дг2 = 0. Кроме того, поскольку отсутствует внутреннее тепловыделе- тепловыделение, <7g/===0- Уравнение теплопроводности в упрощенной форме записывается следую- следующим образом: d2T/dx2 = 0. Интегрируя дважды это дифференциальное уравнение второго порядка, нахо- находим распределение температуры, выраженное через две постоянные интегри- интегрирования Ci и С2: Т = Схх + С2. Значения этих двух постоянных определяются для конкретной задачи из двух граничных условий. Кондуктивный тепловой поток через твердое тело в направлении х опре- определяется законом Фурье: 4 dx Отметим, что тепловой поток является однородным в соответствии с приме- примерами 1.1 и 1.2, т. е. в установившихся условиях он остается одинаковым во всех точках твердого тела. Цилиндрические координаты Уравнение теплопроводности в форме B.6) применимо толь- только для прямоугольной системы координат. Члены, выражающие тепловыделение и аккумулирование энергии, инвариантны отно- относительно системы координат, но члены, выражающие результи- результирующий кондуктивный тепловой поток, зависят от геометрии и, следовательно, от системы координат. Зависимость от принятой в задаче системы координат можно исключить, если выразить кондуктивные члены с помощью оператора Лапласа. Форма лапласиана различна для различных систем координат. В при- приложении I представлена форма лапласиана для прямоугольной, цилиндрической и сферической систем координат. С использова- использованием лапласиана уравнение теплопроводности записывается сле- следующим образом: Для общей нестационарной трехмерной задачи в цилиндри- цилиндрических координатах Т = Г (г, <J>, г, t). Цилиндрическая система
54 Глава 2 координат показана на рис. 2.2а. Если выражение для лап- лапласиана подставить в уравнение B.18), общее уравнение тепло- теплопроводности в цилиндрических координатах примет вид дт аг Если нестационарная температура в цилиндре изменяется в одном направлении, т. е. Т = T(r,t)9 то для этого частного случая уравнение теплопровод- dz ности упростится: 1 д ( дТ\ Яд 1 ЗТ Рис. 2.2а. Цилиндрическая система координат. B.20) Далее, если температура по- постоянна по времени и изме- изменяется только в радиальном на- направлении, уравнение тепло- теплопроводности сводится к сле- следующему: d( dT'' -"- = 0.B.21) Отметим, что температура, определяемая уравнением B.21), за- зависит теперь только от переменной г и это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением. Когда внутреннее тепловыделение отсутствует, а температура зависит только от радиуса, стационарное уравнение теплопро- теплопроводности в цилиндрических координатах принимает вид dT B.22) Пример 2.2. Выразить стационарное распределение температуры и тепло- тепловой поток для цилиндра длиной / через две постоянные интегрирования. Тем- Температура зависит только от радиуса, внутреннего тепловыделения в цилиндре не происходит. Решение. В условиях задачи применимо уравнение B.22) Чг После первого интегрирования по радиусу получаем г (dT/dr) = С{ cfT/dr и Ci/r. или В результате второго интегрирования находим Т = Ci In r + С2.
Стационарная теплопроводность 55 Постоянные интегрирования можно определить, как только будут заданы два граничных условия. Тепловой поток через поверхность цилиндра произволь- произвольного радиуса г выражается формулой qz==^kA^j-^-k Bnd) -^- = — 2лЫС1. Заметим, что в установившихся условиях тепловой поток через любую ци- цилиндрическую поверхность является постоянной величиной. Сферические координаты Для тела сферической формы, когда температура зависит от трех координат и времени, т. е. Т = Т(г, 8, ф, t), общее уравне- уравнение теплопроводности с учетом генерирования энергии записы- записывается в виде дТ 1 дТг r2 sin2 9 дФ2 Рис. 2.26. Сферическая система коорди- координат. + !LL?L B 23) Сферическая система коор- координат показана на рис. 2.26. Из уравнения B.23) мож- можно получить упрощенные уравнения для одномерной стационарной теплопроводности и одномерной нестационарной теплопроводности в сферических координатах. Эти упрощенные уравнения предлагается вывести в качестве упражнения. 2.3. ОДНОМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ Применим уравнение теплопроводности для решения задач, в которых температура зависит только от одной линейной коор- координаты. Примем, что в прямоугольной системе координат тем- температура будет зависеть только от х, а в цилиндрической и сфе- сферической системах координат — только от радиуса. Предпола- Предполагается, что коэффициент теплопроводности является постоянной величиной, а тепловыделение отсутствует. Применим общую методику решения, состоящую из двух этапов. На первом этапе из решения соответствующего упро- упрощенного уравнения теплопроводности находится распределение температуры. С этой целью отыскивается аналитическое реше- решение дифференциального уравнения второго порядка. После того
56 Глава 2 как решение дифференциального уравнения записано в общем виде, с помощью двух граничных условий определяются две постоянные интегрирования. На втором этапе с помощью закона Фурье вычисляется кондуктивный тепловой поток через твердое тело. Прямоугольные координаты Стационарное одномерное распределение температуры в пря- прямоугольной плоской стенке при отсутствии внутреннего тепло- тепловыделения описывается упрощен- упрощенным уравнением теплопроводности B.10) Решение этого дифференциального уравнения с использованием двух постоянных интегрирования Сх и Сг имеет вид (см. пример 2.1) Т (х) = Схх + С2. Значения этих постоянных мож- можно найти, если заданы два гранич- граничных условия. Предположим, что в качестве этих условий заданы тем- температуры на двух поверхностях стенки (рис. 2.3): Т@) = Тх и T(L)=T2. Применяя эти гранич- граничные условия, получаем следующее распределение безразмерной температуры стенки: Рис. 2.3. Одномерная задача теплопроводности в прямоуголь- прямоугольных координатах и граничные условия. Т(х)-Тх X B.24) Следовательно, температура изменяется линейно по х. Тепло- Тепловой поток через стенку определяется законом Фурье: п —- —. Ъ А = Ь А (О ОК\ Тепловой поток на единицу площади называется плотностью теп- теплового потока и обозначается q". Двойной штрих означает, что величина^ рассчитана на единицу площади. Для плоской стенки а" = — == k (Т, - т2) Л~ L Если записать соотношение B.25) в форме закона Ома: АГ AT B.26)
Стационарная теплопроводность 57 Материал 2 то термическое сопротивление плоской стенки, как отмечалось в гл. 1, выражается формулой r* = Ta- B.27) Кондуктивный тепловой поток через плоскую стенку обусловлен, перепадом температур поперек стенки, и его распространению противодействует термическое сопротивление, пропорциональное толщине стенки и обратно про- пропорциональное коэффициенту теп- теплопроводности стенки и площади ее поперечного сечения. Если кондуктивный перенос тепла осуществляется через со- составную (многослойную) плоскую стенку, распределение темпера- температуры и тепловой поток можно найти, предполагая, что тепло те- течет по эквивалентной тепловой цепи, представляющей сумму тер- термических сопротивлений, соответ- соответствующих отдельным слоям из различных материалов. В качестве примера тепловой цепи рассмотрим плоскую стенку (индекс 1), покрытую двумя слоями различных изоляционных материалов (индексы 2 и 3). Гео- Л пл „ метпия чалачи покяяяна ня Рис'2А Последовательная тепловая метрия задачи показана на цепь> прямоугольные координаты. рис. 2.4. Один и тот же тепловой поток проходит последовательно через каждое термическое сопротивление, и, следовательно, тепловая цепь состоит из последовательно соединенных тер- термических сопротивлений. Если известны свойства всех трех материалов, заданы геометрические характеристики и темпера- температуры на двух внешних поверхностях, тепловой поток можно найти с помощью соотношения, аналогичного закону Ома [см. выражение A.14)]: Rt АГп B.28) Поскольку тепловой поток через многослойную стенку известен, можно найти температуры на поверхностях раздела материалов, применяя закон Ома для каждого слоя. Например, температуру Тх на поверхности раздела материалов I и 2 можно рассчитать
58 Глава 2 по формуле B.29) Часто в многослойных стенках слои материалов располо- расположены так, что тепловой поток через них течет скорее парал- параллельно, чем последовательно. В таком случае в тепловую цепь включаются участки из параллельно соединенных термических сопротивлений. Типичный пример такой стенки показан на рис. 1.6. Тепловой поток определяется по формуле Отдельные термические сопротивления выражаются соотноше* нием . Промежуточные температуры типа Тх можно найти из уравне* ния B.29). Предполагается, что при параллельном соединении термиче* ских сопротивлений /?2 и /?3 тепловой поток остается одномер- одномерным; если же сопротивления R2 и /?3 заметно отличаются друг от друга, могут стать существенными двумерные эффекты (разд. 2.7). Цилиндрические координаты Из задач теплопроводности для тел цилиндрической формы чаще всего встречается задача о кондуктивном тепловом потоке через длинный полый цилиндр (рис. 2.5). Известно, что темпе- ратура внутренней поверхности цилиндра равна Г/, а темпера- температура наружной поверхности То. Стационарное распределение температуры в твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения опреде- определяется решением уравнения B.22) при двух граничных усло- условиях: Г(г,)== Ti\ T(ro)= То. Решение для местной температуры Т(г) имеет вид (см. пример 2.2) TM-^ + Vo-Td^fc. B.31) Выражение B.31) записывается в безразмерной форме следую- следующим образом: Т (г) - Т{ _ in (rln) То - Т i "In (ro/n) • Следовательно, температура изменяется в радиальном направ- направлении по логарифмическому закону. Поскольку распределение температуры известно, тепловой поток вдоль радиуса цилиндра можно найти с помощью закона
Стационарная теплопроводность 59 Фурье для цилиндрической системы координат, q = -kA(r)^- = -kBnrl)^, B.33) clt аг где / — длина цилиндра. Дифференцируя распределение температуры B.31) и под- подставляя полученный результат в соотношение B.33), получаем /71 гг B.34) ч~ 1п( Выражение B.34) записано в форме закона Ома, и знаме- знаменатель представляет собой термическое сопротивление полого цилиндра: 2nkl Принципы последователь- последовательного и параллельного соедине- Рис. 2.5. Одномерная задача теп- теплопроводности в цилиндрических координатах и граничные условия. Рис. 2,6/ Последовательная тепловая цепь, цилиндрические координаты. ния термических сопротивлений в цепь, справедливые для плоской стенки в прямоугольной системе координат, можно применить и для задачи о теплопроводности в полом цилиндре. Предполо- Предположим, например, что жидкость течет в трубе, покрытой тепло- теплоизоляционным материалом (рис. 2.6). Известно, что средняя температура жидкости равна Т\, а температура внешней поверх- поверхности изоляции Гг- Характеристики материала трубы обозна- обозначены индексом 1, а изоляции — индексом 2. Конвективное тер- термическое сопротивление жидкости определяется формулой
60 Глава 2 A.18). Конвективное термическое сопротивление жидкости нужно соединить последовательно с двумя кондуктивными тер- термическими сопротивлениями для двух твердых материалов, по- поскольку тепловой поток распространяется последовательно че- через каждый из этих материалов. Тепловой поток в этой задаче выражается соотношением *L) = huh Rt Лолн 1 , In (r2/r,) , In (г3/г2) B.36) Термическое сопротивление, входящее в соотношение B.36), является суммой всех термических сопротивлений между двумя известными температурами. Если известны температуры Тх и Т2, то полное сопротивление должно равняться сумме толь- только кондуктивных сопротивле- сопротивлений трубы и изоляции. Темпе- Температура Тх при известном теп- тепловом потоке находится из со- соотношения Воздух 4 = In (nlr{)l2nkxl In (г3/г2)/2яй2/" B.37) Воздух Пример 2.3. В алюминиевой тру- трубе \kp = 185 Вт/(м-град)] течет во- водяной пар при температуре Ts = = 110°С. Внутренний диаметр трубы 10 см, наружный диаметр 12 см. Тру- Труба расположена в помещении с тем- температурой 30°С, коэффициент конвек- конвективной теплоотдачи от трубы к воз- воздуху Нсо равен 15 Вт/(м2-град). Най- Найти тепловой поток на единицу дли- длины, если труба не теплоизолирована. Чтобы снизить тепловые потери от трубы, она была покрыта слоем изо-l ляции [kj = 0,2 Вт/(м-град)] толщиной 5 см. Найти тепловой поток на еди- единицу длины от теплоизолированной трубы. Предположить, что конвективное термическое сопротивление пара пренебрежимо мало. Решение. Для трубы без теплоизоляции наиболее существенными являют- являются кондуктивное термическое сопротивление самой трубы и конвективное тер- термическое сопротивление комнатного воздуха. Поскольку конвективным терми- термическим сопротивлением пара можно пренебречь, температура внутренней по- поверхности трубы равна температуре пара. Тепловой поток на единицу длины трубы в обозначениях, показанных на рисунке, выражается соотношением К примеру 2.3. т-т s о 110-30 In + \l2nr2hco In F/5)/2я • 185 + 1/2я • 0,06 . 15 80 1,57- 0,177 452 Вт/м.
Стационарная теплопроводность 61 Для трубы с теплоизоляцией нужно добавить термическое сопротивление изо- изоляции, и соотношение для теплового потока примет вид я т-т In (r2fr{) In (г8/га) . 2nkp 2nkJ 1 2nr3hco 110-30 In F/5) 2Я-185 In A1/6) 2л-0,2 2я-0,11 • 15 80 1,57-1<Г 0,482+ 0,096 = 138 Вт/.м. Использование теплоизоляции позволяет втрое снизить потери тепла паром. Отметим, что в обоих случаях можно пренебречь кондуктивным термиче- термическим сопротивлением алюминиевой трубы без сколько-нибудь заметного сни- снижения точности результатов расчета теплового потока. Сферические координаты Распределение температуры и тепловой поток для полого шара определяются таким же образом, как для полого ци- цилиндра и плоской стенки. Стационарное одномерное распределение температуры при отсутствии внутреннего тепловыделения определяет- определяется из решения упрощенного уравнения теплопроводно- теплопроводности, записанного в сфериче- сферических координатах. Это урав- уравнение имеет вид г2 dr dr d2(rT) dr2 = 0. Рис. 2,7. Одномерная задача теплопро- теплопроводности в сферических координатах и граничные условия. Предполагаем, что гранич- граничными условиями являются заданные температуры внут- внутренней и наружной поверх- поверхностей шара (рис. 2.7): T(n)=Ti\ Т(го)=То. В таком случае распределение темпера- температуры в полом шаре определяется соотношением т (г) - Tt _ To-Tt - то -v- B.38) Следовательно, температура полого шара изменяется в ради- радиальном направлении по гиперболическому закону.
62 Глава 2 Тепловой поток через стенку шара можно найти, применяя закон Фурье к соотношению B.38). В итоге получаем q = Ti -Jo—. B.39) Таким образом, термическое сопротивление стенки шара выра- выражается формулой % B-40) Суммарный коэффициент теплопередачи Как показано в гл. 1, если в задаче теплообмена участвует несколько термических сопротивлений, соединенных последова- последовательно, параллельно или комбинированно, удобно ввести сум- суммарный коэффициент теплопередачи, или суммарную удельную тепловую проводимость. Суммарный коэффициент теплопере- теплопередачи обозначается через U и определяется формулой q = UA(AT)nonH. B.41) Величина U играет ту же роль, что и коэффициент конвектив- конвективной теплоотдачи Л. И U, и h имеют размерность Вт/(м2-град). Если соотношение B.41) сравнить с равенством • <2-42> лн то видно, что U можно выразить через полное термическое со- сопротивление цепи: В качестве примера использования суммарного коэффициента теплопередачи рассмотрим трехслойную плоскую стенку, пока- показанную на рис. 2.4. Величина U в этой задаче находится по формуле В этом примере площади поперечного сечения всех трех мате- материалов одинаковы, поэтому нет сомнений, какую площадь нуж- нужно использовать в соотношении B.43). Однако если площади для каждого термического сопротивления различны, нужно быть последовательными при выборе площади, входящей в соотно- соотношение B.43). Случаю переменной площади соответствует задача о много- многослойной цилиндрической стенке с последовательным соедине- соединением термических сопротивлений. Величину UA для тепловой цепи (рис. 2.6) можно определить из формулы = UA (А7-)полн = info/r,) h6Bnrxl) 2л/М
Стационарная теплопроводность бЗ или UA=- In (Г2/Г1) In (Г3/Г2) 2fe/ Отметим, что произведение UA постоянно, но величина U зави- зависит от выбора соответствующей площади. Предположим, напри- например, что за характерную площадь мы приняли площадь вну- внутренней поверхности трубы At = 2nr\l. В таком случае величина U, рассчитанная по Л/, равна г г ! 1 Hln 1 | Й In (гз/г>) k2 Если величина U рассчитана по площади наружной поверхности трубы А о = 2яг3/, то 1 1п 1п o-VA WVo Несмотря на то что значения Ui и [/о различны, произведение LJA всегда постоянно: UtAi = UOAO. Пример 2.4, По пластмассовой тру- трубе [? = 0,5 Вт/(м-град)] течет жид- жидкость, причем коэффициент конвективной теплоотдачи равен 300 Вт/(м2«град). Средняя температура жидкости 100°С. Внутренний диаметр трубы 3 см, на- наружный 4 см. Рассчитать температуру наружной поверхности трубы, если тепловой поток на единицу длины трубы равен 500 Вт/м. Найти-также сум* марный коэффициент теплопередачи, рассчитанный по площади наружной по- поверхности трубы. Решение. Схема теплопередачи через трубу показана на рисунке. Теп* ловой поток определяется формулой К примеру 2.4. he Bnrxl) In (r2/n) Тепловой поток на единицу длины трубы составляет <¦-+¦ j In (r{jr2) * 2nkx 500 = . 100 — T2 1 300-2я-0,015 + Т2 = 36,5° С. In B/1,5) * 2зх • 0,5
64 Глава 2 Суммарный коэффициент теплопередачи, рассчитанный по Ло, выражается соотношением г, „ 1 | In(r2/rt) ' 4- + - hc2nrxl 2nkxl 1 2 0,02-10B/1,5) 1,5-300 0,5 -=62,69 Вт/(м2 • град). В качестве проверки величины U можно найти тепловой поток на единицу длины, применяя рассчитанное значение Uo, q' = U0A0 (Г, - Т2) = 62,69 . 2я • 0,02 A00 — 36,53) = 500 Вт/м. Жидкость Критическая толщина изоляции цилиндра Интересная ситуация возникает, когда цилиндр с низким термическим сопротивлением покрыт слоем изоляции, наружная поверхность которой омы- омывается жидкостью. Геомет- Геометрия задачи показана на рис. 2.8. Предположим, что тем- температура внутренней поверх- поверхности изоляции постоянна и равна Ti. Нужно определить влияние дополнительной теплоизоляции на тепловой поток от цилиндра. Неясно, приведет ли дополнительная изоляция к увеличению или уменьшению теплового по- потока. В установившихся ус- условиях кондуктивный тепло- тепловой поток через цилиндр и изоляцию должен равняться конвективному тепловому потоку на наружной поверхности (обозначения указаны на рис 2.8): Рис- 2.8. Критический радиус теплоизо- теплоизоляции трубы. При использовании дополнительной теплоизоляции величина Ао возрастает, но То снижается. Чтобы определить, какой эф- эффект преобладает, запишем тепловой поток в виде т.~т I о In (го/г.)/2як/ + \/hc2nrot Чтобы найти влияние изменения толщины теплоизоляции на тепловой поток, можно продифференцировать q по г0 и прирав*
Стационарная теплопроводность 65 нять результат нулю, определяя таким образом оптимум. В итоге получаем условие для оптимального теплового потока: 1. B.44) Безразмерный параметр hcro/ki называется числом Био. Он вы- выражает отношение кондуктивного термического сопротивления теплоизоляции к конвективному термическому сопротивлению жидкости. Число Био обозначается Bi, оно часто фигурирует в задачах смешанного (кондуктивного и конвективного) тепло- теплообмена. Итак, условие оптимального теплового потока через цилиндр выражается соотношением %l. B.45) Построив график зависимости теплового потока от наружного радиуса теплоизоляции гОу можно показать, что тепловой поток достигает максимума при Bi = 1. Если Bi < 1, дополнительная теплоизоляция приведет к снижению теплового потока. При числе Био, равном единице, значение наружного радиуса теплоизоляции называется критическим радиусом, поскольку тепловой поток от цилиндра максимален при условии kj hc Анализируя порядок величин ki и Йс, с которыми можно встре- встретиться в практических задачах, легко видеть, что критический радиус является величиной порядка нескольких миллиметров. Следовательно, нужно иметь в виду, что дополнительная тепло- теплоизоляция цилиндров малого диаметра (например, электрических выводов небольшого датчика) может на самом деле привести к интенсификации теплоотдачи от провода. С другой стороны, следует ожидать, что дополнительная теплоизоляция трубопро- трубопроводов и каналов большого диаметра всегда будет вызывать сни* жение теплового потока. Пример 2.5. Электрический провод диаметром 1 мм покрыт слоем пласт* массовой теплоизоляции [kt = 0,5 Вт/(м-град)] толщиной 2 мм. Провод рас- расположен в воздухе с температурой 25°С, Не = 10 Вт/(м2-град). Температура провода 100°С. Найти тепловой поток от единицы длины провода с изоляцией и без нее, предполагая, что наличие изоляции не влияет на температуру провода. Решение. Прежде всего вычислим число Био: 10 B+ 0,5) Ю-3 Поскольку число Био меньше единицы, теплоизоляция приведет к возраста- возрастанию теплового потока от провода. Тепловой поток на единицу длины провода 3 Зак 487
66 Глава с изоляцией находим следующим образом: 7. - Т 100 - 25 Ш(го//г) 1 " Ш B,5/0,5) , Zh 2 05 2nk1 Znrohc 2я • 0,5 2я B,5 • 10~3) • 10 Тепловой поток без теплоизоляции равен q' » Й, = А (Га - fj = 10 • 2я @,5-10~3) A00 - 25) = 2,36 Вт/м. Итак, применение теплоизоляции привело к возрастанию теплового потока от проволоки в 4,6 раза. 2.4. ВЛИЯНИЕ ПЕРЕМЕННОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Коэффициент теплопроводности большинства материалов не является постоянной величиной, а зависит от температуры. До сих пор мы предполагали, что величина коэффициента тепло- теплопроводности постоянна. Однако в этом разделе мы найдем влия- влияние переменности коэффициента теплопроводности на тепловой поток и распределение температуры для плоской стенки, по- полого цилиндра и полого шара. Если при выводе уравнения теплопроводности в прямоуголь- прямоугольной системе координат (разд. 2.2) предположить, что величина коэффициента теплопроводности переменна, то уравнение B.5) примет вид Для стационарного одномерного распределения температуры в прямоугольном твердом теле при отсутствии внутреннего тепло- тепловыделения уравнение B.47) упрощается и сводится к следую- следующему: 4D5] B-48) Прежде чем перейти к решению этого уравнения, следует знать закон изменения коэффициента теплопроводности от темпера- температуры k{T) в рассматриваемом диапазоне температур. Для мно- многих материалов можно получить достаточно точные результаты, предполагая, что существует линейная зависимость коэффи- коэффициента теплопроводности от температуры, *оA+рГ), B-49) где р — постоянная. Интегрируя уравнение B.48) по лс, получаем (Г)-S—С,. B.50)
Стационарная теплопроводность 67 В установившихся условиях через стенку течет постоянный тепловой поток. Применяя закон Фурье, находим <l" = -k(T)?. B.51) Сравнивая соотношения B.50) и B.51), видим, что Подставляя соотношение B.49) в уравнение B.50) и проводя интегрирование по х, получаем Значения двух постоянных интегрирования можно найти, задав два граничных условия. Предполагая, что температуры гранич- граничных поверхностей твердого тела известны (рис. 2.3), получаем граничные условия: Теперь можно определить значения постоянных С\ и С2: В таком случае распределение безразмерной температуры в стенке имеет вид 4 ?[?4ё?] B.52, Профиль температуры в плоской стенке с переменным коэф- коэффициентом теплопроводности нелинеен, но если коэффициент теплопроводности постоянен, т. е. р = 0, распределение B.52) сводится к линейному распределению B.24). Плотность теплового потока через стенку определяется со- соотношением которое можно переписать в форме я = ^о (^ 1 + Э —2—)—Г~- Величина в скобках —это значение коэффициента теплопровод- теплопроводности при средней температуре стенки:
68 Глава 2 Коэффициент теплопроводности при Тт равен Применяя km, получаем простое выражение для плотности те- теплового потока: Соотношение B.53) имеет особенно удобную для расчетов форму. Оно показывает, что плотность теплового потока через стенку, коэффициент теплопроводности которой линейно зависит от температуры, можно вычислить по формуле, полученной для случая постоянного коэффициента теплопроводности, если коэф- коэффициент теплопроводности принять равным значению при сред- средней температуре двух поверхностей стенки. Если коэффициент теплопроводности материала стенки ци- цилиндра или шара линейно зависит от температуры, можно ана- аналогичным образом найти профиль температуры и тепловой по- поток для этих тел. Подробный вывод мы оставляем для само- самостоятельных упражнений (задачи в конце главы). Тепловой поток через цилиндрическую стенку с линейно из- изменяющимся коэффициентом теплопроводности и заданными температурами граничных поверхностей определяется формулой 4 In (ro/ri)/2nkml ' а для стенки шара 4 (г0 ~ [ Р(+ )/] Теперь мы видим, что полученные ранее выражения для теплового потока через плоскую, цилиндрическую и шаровую стенки с постоянным коэффициентом теплопроводности приме- применимы и в случае переменного коэффициента теплопроводности, если в этих выражениях использовать значение коэффициента теплопроводности при средней температуре стенки. Если зависимость коэффициента теплопроводности от темпе- температуры нелинейна, можно показать, что тепловой поток можно представить с помощью закона Фурье, записанного в форме за- закона Ома: q = №/Rm, где Rm — среднее термическое сопротив- сопротивление твердого тела. Независимо от геометрии твердого тела среднее термическое сопротивление рассчитывается по сред- среднему коэффициенту теплопроводности тела, определенному со- соотношением
Стационарная теплопроводность 69 где Т\ и Т2 — температуры на граничных поверхностях твердого тела, т. е. AT = Т\ — Г2. В таком случае среднее термическое сопротивление для плоской стенки определяется по формуле для цилиндрической стенки — по формуле Rm = In (r и для стенки шара — по формуле Пример 2.6. Большая плоская стенка имеет толщину 0,35 м. Темпера- Температура одной поверхности 35°С, второй 115°С. Известны лишь два значения коэффициента теплопроводности материала стенки: k = 26 Вт/(м-град) при 0°С и k = 32 Вт/(м-град) при 100°С. Найти плотность теплового потока че- через стенку, предполагая, что коэффициент теплопроводности линейно зави- зависит от температуры. Решение. Средняя температура стенки равна Т{ + Т2 35+115 0 Тт= 2 в 2 = 75С Средний коэффициент теплопроводности можно найти с помощью линейной интерполяции между двумя заданными значениями: 32 — km _ 100 — 75 32 — 26 — 100 — 0 * Отсюда km = 30,5 Вт/(м-град). Плотность теплового потока через стенку на- находится следующим образом: 2.5. ОДНОМЕРНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ До сих пор мы не рассматривали задач теплопроводности с тепловыделением внутри материала. Подход к решению задач с внутренним тепловыделением аналогичен тому, который при- применялся в предыдущих разделах. Во-первых, из решения соот- соответствующей формы уравнения энергии определяем распреде- распределение температуры в материале. Решение зависит от двух по- постоянных интегрирования, которые нужно найти, задавая два граничных условия. Затем с помощью закона Фурье вычисляем плотность теплового потока через материал. Внутреннее тепловыделение может происходить при различ- различных явлениях. В твердом материале могут протекать химические реакции, как эндотермические, так и экзотермические. Экзотер- Экзотермические реакции протекают с выделением тепла, а эндотер- эндотермические— с поглощением тепла из материала, создавая отри- отрицательный источник тепла или тепловой сток. Электрический ток
70 Глава 2 вызывает омический нагрев проводника. Кроме того, тепловы- тепловыделение может происходить в радиоактивных материалах при ядерных реакциях внутри материала. Прямоугольные координаты В качестве примера задачи с внутренним тепловыделением рассмотрим плоскую стенку с равномерно распределенными по ее объему источниками тепла. Интенсивность тепловыделения в единице объема q'^ в нашем примере является постоянной величиной. Предположим, что одна поверхность пло- плоской стенки имеет темпера- температуру 7\, а вторая теплоизо- теплоизолирована. Геометрия и гра- граничные условия задачи по- показаны на рис. 2.9. Уравнение теплопровод- теплопроводности для рассматриваемой задачи имеет вид q"G = constant /с= constant /// nnRPnXHOCTb I поверхность d2T /// Рис» 2.9. Теплопроводность через пло- плоскую стенку при равномерном тепловы- тепловыделении. —0, B.54) поскольку предполагается, что распределение темпера- температуры является установив- установившимся и одномерным. Двукратно интегрируя уравнение B.54), находим распределение температуры в виде B.55) где постоянные интегрирования С\ и С2 определяются из гра- граничных условий. Первое граничное условие имеет простой вид: П0) = 7\. B.56) Второе граничное условие требует, чтобы поверхность х = L была теплоизолированной, или адиабатической. Поскольку к этой поверхности происходит только кондуктивный перенос теп- тепла, уравнение теплоизолированной поверхности записывается следующим образом: = 0, пли Я U-L й -JJ ¦?г =0. Таким образом, на теплоизолированной границе твердого мате- рияла градиент температуры равен нулю. Используя граничные
Стационарная теплопроводность 7\ условия B.56) и B.57) и соотношение B.55), находим распре- распределение температуры в твердом теле: Т(х)-Т{ q'?'x Распределение температуры по х подчиняется параболическому закону, причем максимум температуры достигается на теплоизо- теплоизолированной поверхности х = L. Условие максимума темпера- температуры dT/dx = 0 удовлетворяется на теплоизолированной по- поверхности при х = L. Следовательно, максимальная темпера- температура стенки определяется соотношением Это соотношение можно переписать в безразмерной форме, как показано в примере 1.10: Следует также отметить, что вся энергия, генерируемая внутри стенки, должна войти в кондуктивный тепловой поток, снимае- снимаемый с поверхности х = 0. Через противоположную поверхность тепло не может переноситься, поскольку она теплоизолирована; аккумулироваться в материале энергия тоже не может, по- поскольку предполагалось, что достигнуты установившиеся усло- условия. Следовательно, баланс энергии на поверхности х = 0 тре- требует, чтобы q |^0 = — q%'V, или ах #«¦() Дифференцируя соотношение B.58), можно показать, что это условие автоматически удовлетворяется. Задачи с неравномерным тепловыделением или с иными гра- граничными условиями можно решить методом, аналогичным опи- описанному выше. Цилиндрические координаты Типичной задачей теплопроводности в цилиндрических коор- координатах с внутренним тепловыделением является задача о про- проводе, по которому течет электрический ток (рис. 2.10). Сила тока /, электрическое сопротивление провода R. Задана темпе- температура поверхности проволоки 7V Интенсивность тепловыделе- тепловыделения в единице объема провода q'^' = I2R/V. Если сила тока и электрическое сопротивление постоянны, интенсивность внутрен* него тепловыделения также постоянна.
72 Глава 2 Одномерное стационарное уравнение теплопроводности с по- постоянной интенсивностью тепловыделения записывается в ци- цилиндрических координатах в виде B.21) B.59) Двукратно интегрируя уравнение B.59), находим распределение температуры в проволоке, выраженное через две произвольные постоянные Сх и С2: Т(г)=Сх\пг- С2. B.60) 4k Чтобы найти Ci и С2, нуж- нужно задать два граничных усло- условия. На первый взгляд мы имеем лишь одно граничное условие Известно также, что темпера- температура должна оставаться конеч- конечной во всех точках проволоки. Если попытаться рассчитать температуру на оси проволоки при г = 0 по формуле B.60), то получим бесконечное значе- значение, если сохранить в формуле член с In r. Чтобы избежать физически нереального значения температуры на оси проволоки, следует принять С\ = 0. Можно определить второе граничное условие и по-другому, если учесть, что на оси проволоки должно выполняться условие теплоизолированности dr |r=o Ось должна быть теплоизолированной, поскольку она является линией симметрии. Это условие приводит к тому же результату, что и раньше, С\ = 0. После того как из двух граничных условий найдены значения С\ и С2, распределение температуры в проволоке выражается соотношением Рис. 2.10. Теплопроводность в цилин- цилиндре при равномерном тепловыделе- тепловыделении. На оси проволоки достигается максимальная температура „Г"Л — ль i l о*
Стационарная теплопроводность 73 Пример 2.7. Найти максимальную силу тока, который можно пропускать по алюминиевой проволоке [k = 204 Вт/(м-град)] диаметром 1 мм, чтобы ее температура не превышала 200°С. Проволока подвешена в воздухе с тем- температурой 25°С, коэффициент конвективной теплоотдачи от проволоки к воз- воздуху равен 10 Вт/(м2-град). Электрическое сопротивление на единицу длины проволоки 0,037 Ом/м. Решение. Условия этого примера несколько видоизменены по сравнению с ситуацией, для которой выведено уравнение B.61). Здесь известна темпе- температура окружающего воздуха, а не температура поверхности проволоки. Сле- Следовательно, граничным условием является условие равенства кондуктивного теплового потока, подводимого к поверхности изнутри проволоки, конвектив- конвективному тепловому потоку, отводимому воздухом. Математически это граничное условие выражается следующим образом: B.62) Второе граничное условие, как и раньше, имеет вид dT dr — 0. B.63) Это граничное условие означает, что максимальная температура достигается на оси проволоки. Уравнение теплопроводности для этой задачи записывается в форме B.59), а решение при постоянной интенсивности внутреннего тепловыделе- тепловыделения выражается соотношением B.60). Применяя граничные условия B.62) и B.63), находим распределение температуры в проволоке: B.64) _ . п. 2k "~ 2rokJ Следовательно, максимальная температура проволоки равна 2hc \ 2k Член, определяющий внутреннее тепловыделение, выражается через силу тока и сопротивление на единицу длины соотношением q° V A и тогда г т . /2 200 = 25 + . ^,м 0,037 2A0~3/2I0 . ,м 0,037 Г1 + 2яA0~3/2I0 L 2-204 Отсюда находим силу тока / = 12,2 А. В ходе изложения принципов теплопроводности еще раз об- обратим внимание читателя на безразмерные комплексы, появив- появившиеся в этой главе. Уравнение B.64) записано в безразмерной форме. Следовательно, комплексы q'a'rjhjr^ и hcrojk тоже яв- являются безразмерными. Первый комплекс действительно являет- является безразмерным параметром тепловыделения, а произведение
74 Глава 2 обоих комплексов является также безразмерным параметром тепловыделения, впервые определенным соотношением B.16). Второй безразмерный комплекс представляет собой число Био, которое появляется в задачах смешанного (кондуктиэного и конвективного) теплообмена. Следует не только знать о существовании числа Био, но и понимать его влияние на теплообмен. Число Био является отно- отношением кондуктивного термического сопротивления твердого тела к конвективному термическому сопротивлению жидкости. Следовательно, физическими предельными значениями числа J3ho являются Bi-*0 при и или или оо. Bi —> ОО ПрИ Лконв' или ii,c- Когда число Био стремится к нулю, твердое тело практиче- практически изотермично и изменение температуры происходит в основ- основном в жидкости. При очень больших числах Био, наоборот, тер- термическое сопротивление твердого тела существенно больше тер- термического сопротивления жидкости, жидкость приблизительно изотермична, а изменение температуры происходит в основном в твердом теле. 2.6. ПЕРЕНОС ТЕПЛА В РЕБРАХ Кондуктивный тепловой поток через твердое вещество часто отводится от твердого тела посредством конвекции. Поскольку конвективный тепловой по* -Окружа- -Окружающая Периметр ток пропорционален площа* ди поверхности, интенсив* ность рассеяния тепла с по* верхности можно повысить, просто увеличивая эту по- поверхность. Это достигается при помощи ребер. На рис. 2.11 показано простое прямое ребро по- постоянного поперечного сече- сечения А. Тепло распространя- распространяется вдоль твердого мате- материала ребра посредством теплопроводности и отводит- отводится от его поверхности окружающей жидкостью посредством кон- конвекции. Температура окружающей среды Гоо, средний коэффи- коэффициент теплопередачи равен Яс, причем обе эти величины счи- считаются постоянными. Чтобы найти распределение температуры в ребре, а затем тепловой поток от его поверхности, необходимо сначала 9 Рис. 2.11. Ребро постоянного поперечно- поперечного сечения.
Стационарная теплопроводность 75 вить тепловой баланс для элементарного объема ребра. Мы не можем использовать уравнение теплопроводности, выведенное в разд. 2.2, так как оно учитывает только теплопроводность и не учитывает конвективный перенос тепла от поверхности тела. В установившихся условиях кондуктивный тепловой по- поток, подведенный к элементарному объему ребра в сечении х (рис. 2.11), равен сумме кондуктивного теплового потока, отво- отводимого из объема в сечении х + Дя, и конвективного теплового потока, отводимого с поверхности элементарного объема: Qx = qx+Ax + Яс Выражая два кондуктивных члена с помощью заксша Фурье, а конвективный член с помощью закона охлаж- охлаждения Ньютона, получаем где Р —периметр ребра. Разделив все члены на Ах и перейдя к пределу при Ajc->0, получаем дифференциальное уравнение второго порядка относительно температуры: S%-roo] = 0. B.65) Уравнение B.65) можно привести к безразмерному виду, вводя безразмерную температуру Q(x) = [T(x)— Too]/(Tb — Too) и без- безразмерную линейную координату ? = x/L, где Ть — температура основания ребра (х = 0). В новых переменных уравнение B.65) записывается следующим образом: -а B.66, Безразмерный комплекс (HcPL2/kA) можно упростить, приведя его к форме, напоминающей число Био. Произведение пери* метра на длину равно общей площади поверхности ребра, As = PL. В таком случае где Л —площадь поперечного сечения ребра. Комплекс, выра- выраженный формулой B.67), имеет размерность длины, и, следова* тельно, его можно рассматривать как характерный линейный размер ребра / = PL2/А. Теперь можно выразить безразмерный комплекс, входящий в уравнение B.66), в виде hcPL2 _ hcl f0 ft5n аналогичном числу Био, применявшемуся при решении преды* дущих задач сложного (кондуктивного и конвективного) тепло* обмена. Следовательно, число Био для ребра имеет вид B-69)
76 Глава 2 Можно было ожидать появления в какой-либо форме числа Био в задаче о переносе тепла в ребре, поскольку в этой задаче со- совместно действуют теплопроводность и конвекция. Безразмерное уравнение переноса тепла в ребре B.66) мож- можно теперь записать, используя число Био: |g--(Bi)8 = 0. B.70) Решение уравнения B.70) выражается соотношением + C2e<Bi>1/2 *. B.71) Значения двух постоянных интегрирования можно опреде- определить, как только будут заданы два граничных условия. Чаще всего известна температура основания ребра Ть\ запишем это в виде граничного условия: Т@) = Ть. B.72) Это соотношение будет служить первым граничным условием. Возможны несколько вариантов второго граничного условия. Рассмотрим три наиболее часто встречающихся граничных условия. Случай I. Очень длинное ребро, такое, что температура на его торце равна температуре окружающей среды: Т (/,-00) = ^, B.73) или 9A) = 0. Случай II. Ребро с теплоизолированным торцом при x=L: или ir Случай III. Ребро с конвективным отводом тепла от поверх- поверхности торца. В этом случае граничное условие имеет вид k\ TJ, B.75) или Используя граничное условие B.72) и одно из трех граничных условий B.73) —B.75), мы получим три различных распределе- распределения температуры в ребре постоянного поперечного сечения. Если распределение температуры в ребре известно, можно найти суммарный тепловой поток, отводящийся от ребра. Про-
Стационарная теплопроводность 77 ще всего найти этот тепловой поток, рассчитав кондуктивный тепловой поток через основание ребра: IL* BJ6) Теперь определим распределение температуры в ребре и тепло- тепловой поток, отводящийся от ребра, при задании каждого из трех граничных условий. Случай I. Для ребра бесконечной длины распределение тем- температуры определяется выражением 9 (I) = Т® -/" = e-VSTt». * Ь — 1 оо Но длина ребра является неопределенной, поэтому удобнее найти распределение температуры по х: Q (*) = 'т. _ т— = e v * • (*•'') J D -1 oo Тепловой поток выражается формулой ^реб— \ исгк/± \1 ь 1 qq) — /VD1 ^ К1 b l <x>)% \4-1O) Случай II. Для ребра с теплоизолированным торцом распре- распределение температуры имеет вид Ть - г» ch i а тепловой поток от ребра определяется соотношением <7реб= (BiI'2 ^ (Ть - Г..) th (BiI/2. B.80) Случай ПК Для ребра с конвективной теплоотдачей на по- поверхности торца распределение температуры выражается фор- формулой Q/gv_ Г F) — Poo _ ch [(BiI/2 (I — ?)] + (BiI/2 (Л/PL) sh [(BiI/2 A — ?)] Ть — Т^ ~~~ ch(Bi)l/2 + (BiI/2(,4/PL)sh(BiI/2 B.81) а тепловой поток определяется следующим образом: _ /Ши/2 М /г _ т ^MBQ^+CBQ^WPDchCBi)/2 , . , _ (Bi) — (Гь - roo)ch(Bi)l/2+(BiI/2^//>L)sh(B.I/2. B.82) Пример 2.8. Ребро из нержавеющей стали fife = 20 Вт/(м-град)] с круг- круглым поперечным сечением имеет диаметр 2 см и длину 10 см. Ребро установ- установлено на стенке, температура которой 300°С. Температура окружающей среды 50°С, коэффициент конвективной теплоотдачи 10 Вт/(м2-град). Торец ребра теплоизолирован. Найти: а) тепловой поток от поверхности ребра; б) темпе- температуру торца ребра; в) тепловой поток от поверхности, занятой основанием
78 Глава 2 ребра, если бы это ребро отсутствовало; г) тепловой поток, отдаваемый этим же ребром, если нержавеющую сталь заменить гипотетическим материалом с бесконечно большим коэффициентом теплопроводности. Решение. Распределение температуры в ребре и тепловой поток от его поверхности выражаются соответственно формулами B.79) и B.80). Прежде всего рассчитаем характеристики ребра: А = я/?2 = я @,01J = я • 10~4 м2, 10-я-0,02'@,1J 20-я-10 20-я-10 0,06283 Вт/град. 0,1 а) Тепловой поток равен <7реб = (BiI/2-^- (Tb - Т„) th (BiI/2= 1,0 • 0,06283 C00—50) th (l,0)=l 1,96 Вт. б) Температура торца ребра равна температуре при | = 1 е A) = ch° 1 L_ - o,648, ch(BiI/2 ch A,0) 1,543 Г (L) = Гоо + 0,648 (Tb — Too) = 50 + 0,648 C00 — 50) = 212°C. в) Если предположить, что коэффициент конвективной теплоотдачи от поверхности стенки такой же, как от поверхности ребра, то тепловой поток от стенки без ребра определяется следующим образом: q s. hcA (Tb - Гоо) = 10 • я • 10~4 C00 - 50) = 0,785 Вт. Применение ребра позволяет усилить теплоотдачу от поверхности, занятой основанием ребра, в 11,96/0,785 = 15,2 раза. г) Если коэффициент теплопроводности очень велик, число Био стре- стремится к нулю. Кондуктивное термическое сопротивление ребра будет равно нулю, и вся поверхность ребра будет иметь постоянную температуру, равную температуре его основания. Тепловой поток от такого идеального ребра qaA равен дял = hcAs (Tb - Г,») — Юя • 0,02 • 0,1 C00 - 50) = 15,71 Вт. Этот идеальный тепловой поток является максимально возможным потоком, который отводится от ребра заданной формы. Ребро из нержавеющей стали отдает тепло на A5,71—11,96)/15,71 =24% слабее, чем идеальное ребро. Коэффициент эффективности ребра Описанный выше метод расчета распределения температуры в ребре и теплового потока от ребра применим только для ребра постоянного поперечного сечения. Если ребро суживается к концу, площадь поперечного сечения переменна и распределе- распределение температуры определяется более сложным соотношением. Распределение температуры и тепловой поток в случае трапе- трапециевидного ребра выражаются через функции Бесселя. Полный анализ этой задачи можно найти в работах [1,2]. Удобным параметром для расчета теплового потока от ребра является коэффициент эффективности ребра. Коэффициент эф-
Стационарная теплопроводность 79 фективности ребра определяется как отношение теплового по- потока от ребра к тепловому потоку от идеального ребра: B.83) ^реальн ^идеальн Идеальное ребро рассеивает максимальное количество тепла при заданных форме ребра и температуре его основания. Иде- Идеальное ребро имеет бесконечно большой коэффициент тепло- теплопроводности, и, следовательно, температура его поверхности по Окружающая среда Периметр Р лПлощадь сечения А 20 Рис. 2.12. Коэффициент эффективности ребра постоянного поперечного сече- сечения с теплоизолированным торцом. всей длине постоянна и равна температуре основания. Реаль- Реальное и идеальное ребра имеют одинаковую форму и одинаковую температуру основания. Тепловой поток от идеального ребра <7иДеальн = hcAs{Tb — Гоо), где As — площадь поверхности ребра, омываемой жидкостью с температурой 7'«>. Тепловой поток от реального ребра выражается соотноше- соотношением Яреальп = ^Л(Ть-Тж). B.84) Теперь можно найти конкретные выражения для коэффициента эффективности ребра. Например, коэффициент эффективности ребра с постоянным поперечным сечением и теплоизолирован- теплоизолированным торцом определяется следующим образом: Уреальн <7идеальн ИЛИ Т]=- (В!I'2 hcPL (Tb - th (Bi). B.85) График зависимости B.85) представлен на рис. 2.12. Видно, что коэффициент эффективности быстро снижается с ростом числа
80 Глава 2 Окружающая среда К. Био. Ребро с большим числом Био рассеивает тепло хуже, чем ребро с меньшим числом Био. Если коэффициент эффективности ребра мал, то может возникнуть ситуация, когда поверхность без ребра отдает тепло интенсивнее, чем поверхность с ребром. Этого следовало ожидать. Число Био выражает отношение кон- дуктивного термического сопротивления к конвективному тер- термическому сопротивлению. При большом числе Био кондуктив- ное термическое сопротивление велико по сравнению с конвек- конвективным, и поэтому температура существенно падает вдоль рёб- рёбра. Если число Био велико, площадь, которая могла бы эффективно отдавать тепло по- посредством конвекции, занята ребром с низкой теплопровод- теплопроводностью, и в итоге наличие реб- ребра вызывает снижение тепло- теплоотдачи от стенки. Для ребер нужно выбирать высокотеплопроводные мате- материалы: следовательно, метал- металлические ребра предпочтитель- предпочтительнее ребер из теплоизоляцион- теплоизоляционных материалов. Если коэффи- 1,0 0;8 0,6 0,4 0,2 10 Рис. 2.13. Коэффициент эффективно- эффективности ребра треугольного профиля. циент конвективной теплоот- теплоотдачи велик, число Био возрас* тает и ребра не столь эффек- эффективно усиливают теплоотдачу. Если в среде происходит фазо- фазовый переход в результате кипения или конденсации, коэффи- коэффициент теплоотдачи становится очень большим, как показывают данные, приведенные в табл. 1.2. Следовательно, при фазовом переходе в окружающей среде действительно возможна ситуа- ситуация, когда ребро будет снижать теплоотдачу от плоской стенки. На рис. 2.12 представлены значения коэффициента эффек- эффективности ребра постоянного поперечного сечения, когда его то- торец теплоизолирован. Представленную зависимость в несколько модифицированном виде можно применять для ребра с тепло- теплоотдачей на торцевой поверхности. Тепловой поток от торцевой поверхности можно компенсировать, фиктивно удлиняя ребро. Величина приращения длины ребра должна выбираться таким образом, чтобы тепловой поток от торца был равен тепловому потоку с дополнительной поверхности ребра при теплоизолиро- теплоизолированном торце. В монографии Якоба [3] рекомендуется выбирать дополни- дополнительную длину, равную отношению площади поперечного сече- сечения ребра к его периметру. В таком случае скорректированная
Стационарная теплопроводность 81 длина ребра Lc, необходимая для удовлетворения граничного условия теплоизолированного торца, равна Lc = L + А/Р. По- Погрешность такого приближенного подхода, связанного с удли- удлинением ребра для компенсации теплоотдачи с его торца, меньше 1%, если (hct/kI^2 < 1/4, где / — толщина ребра. На рис. 2.13 и 2.14 представлены значения коэффициента эффективности для некоторых других типов ребер. Дополни- Дополнительные сведения о коэффициенте эффективности ребра приво- приводятся в работе [4]. Рис. 2.14. Коэффициент эффективности кольцевого ребра прямоугольного про- профиля. Пример 2.9. Найти тепловой поток от прямоугольного ребра, показанного на рисунке. Торец ребра не теплоизолирован, коэффициент теплопроводности материала ребра 150 Вт/(м-град). Температура основания ребра 100°С, тем- температура окружающей среды 20°С, коэффициент конвективной теплоотдачи от ребра к окружающей среде 30 Вт/(м2трад), К примеру 2.9.
82 Глава 2 Решение. Определим скорректированную длину ребра, учитывающую теп- теплоотдачу с его торца: Lc = L + -i = 20 + -^- = 20,95 см. Число Био, рассчитанное по этой скорректированной длине ребра, равно hcPl\ 30 • 0,84. @,2095J М-ТГ- 150-0,008 а площадь поверхности ребра длиной Lc составляет As » LCP =» 0,2095 .0,84 = 0,176 м2. Коэффициент эффективности ребра (рис. 2.12) х\ = 0,775. Теперь находим тепловой поток: q = x\RcAs (Tb - rj == 0,775 • 30 • 0,176 A00 - 20) = 327 Вт. Пример 2.10. На медном трубопроводе, по которому течет жидкость, ус- установлено алюминиевое [/г = 200 Вт/(м-град)] кольцевое ребро. Наружный диаметр трубопровода 8 см, температура жидкости 250°С, толщина ребра 0,5 см, его внешний диаметр 16 см. Температура окружающей среды 70°С, коэффициент конвективной теплоотдачи 60 Вт/(м2-град). Найти тепловой по- поток от ребра. Окружающая среда т I x4f К примеру 2.10. Решение. Скорректированная длина ребра, учитывающая теплоотдачу с его торца (рис. 2.14), равна Lc = L + i = (.8-4) + -^- = 4,25 см. Площадь поперечного сечения равна Ар = Lct = 4,25 • 0,5 = 2,125 см2, L3/2 (±\Ч> _ @>0425K/2 / 60 уП _ с \kAp) \ 200- 2,125 .10-V
Стационарная теплопроводность 83 Коэффициент эффективности ребра определяем с помощью рис. 2.14: ц = = 0,89, а тепловой поток от ребра рассчитываем следующим образом: Я = r\hcAs (Tb - Гто) = 4hc2n (г|с - г?) (Tb - Т^) = = 0,89 • 60 • 2 • я @.08252 — 0,042) B50 — 70) = 314 Вт. Предполагается, что температура основания ребра равна температуре жид- жидкости внутри трубопровода, так как перепад температур на медной стенке будет мал. 2.7. НЕОДНОМЕРНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ До сих пор мы предполагали, что температура в твердом теле зависит только от одной пространственной координаты; т. е. мы рассматривали одномерный процесс теплопроводности. Однако теперь необходимо познакомиться с методами расчета теплового потока и распределения температуры, которые могут использоваться, когда температура зависит от двух или трех пространственных координат. Решать двумерную или трехмер- трехмерную задачу теплопроводности значительно сложнее, чем одно- одномерную, и поэтому мы будем применять приближенные методы и непрямой метод расчета — метод электротепловой аналогии. Ввиду сложности и трудоемкости решения двумерной или трехмерной задачи теплопроводности желательно решать по- подобные задачи численным методом с использованием ЭВМ. По- Поэтому в данный раздел мы включили две программы численного расчета, написанные на алгоритмическом языке Фортран IV. Мы выбрали в качестве примера программы довольно простого типа, поэтому читатель может без особых затруднений просле- проследить за ходом составления этих программ. Для задач, приве- приведенных в конце главы, предлагаются более сложные программы. Аналитические методы Если требуется найти распределение температуры в твердом теле в случае, когда температура зависит от двух или трех пространственных координат, самый очевидный подход — попы- попытаться получить точное решение основного уравнения. Уравне- Уравнение стационарной теплопроводности в твердом теле с постоян- постоянным коэффициентом теплопроводности при отсутствии внутрен- внутреннего тепловыделения выведено в разд. 2.2 и имеет вид Это уравнение Лапласа. Формы уравнения Лапласа в различ- различных системах координат представлены в приложении I. Уравнение Лапласа является линейным дифференциальным уравнением в частных производных. Известно несколько стан- стандартных методов его решения. Один из них, метод разделения
84 Глава переменных, особенно полезен для решения задач теплообмена. Мы не будем его здесь рассматривать; подробное описание этого и других методов решения уравнения Лапласа можно найти в работах [5—7]. После того как тем или иным методом распределение темпе- температуры найдено, тепловой поток определяется с помощью закона Фурье. В двух- и трехмерных си- системах этот закон удобнее всего выразить в векторной форме: B.86) •¦ constant Рис. 2.15. Векторы плотности теп- теплового потока (обозначены чер- чертой сверху) и их геометрическая связь с изотермами. где VT — градиент температуры (скалярной величины). В прило- приложении I приведены формы запи- записи градиента в прямоугольной, цилиндрической и сферической системах координат. Градиент скалярной величи- величины, такой, как температура, яв- является вектором, т. е., согласно векторной записи закона Фурье B.86), плотность теплового пото- потока q" — это вектор. Обычно мы не рассматриваем плотность теп- теплового потока как вектор, по- поскольку она имеет размерность мощности на единицу площади, а ни одна из этих величин не яв- является вектором. Однако удобно вообразить, что тепло «течет» в некотором направлении; по- этому величину q" часто называют вектором плотности тепло- вого потока. Вектор плотности теплового потока обладает важным гео- геометрическим свойством, присущим градиентам: он направлен по нормали к изотерме, линии постоянной температуры, во всех точках твердого тела. Для иллюстрации этого свойства на рис. 2.15 показаны несколько изотерм и типичных векторов плотности теплового потока в точках А, В я С твердого тела. Длина каждого из трех векторов плотности теплового потока пропорциональна местному градиенту температуры. Это зна- значит, что в области тесного расположения изотерм градиент ве- велик и плотность теплового потока также велика. В области, где расстояние между изотермами больше, плотность теплового по- потока соответственно меньше. На рис. 2.15 плотность теплового потока в точке А больше, чем в точке В, где градиент темпера- температуры меньше.
Стационарная теплопроводность 85 Поскольку мы считаем плотность теплового потока вектор- векторной величиной, она должна обладать всеми свойствами векто- векторов. Следовательно, можно разложить вектор плотности тепло- теплового потока на составляющие в направлении осей координат. Выражения для этих составляющих вектора можно найти, ис- исходя из формы градиента. В прямоугольной системе координат вектор плотности теплового потока выражается следующим об- образом: I+J + Следовательно, плотность теплового потока в направлении х равна «;--*?• Аналогичными соотношениями описываются составляющие век- вектора плотности теплового потока в направлениях у и г. Тепловой поток в направлении х через плоскую поверхность Р, лежащую в плоскости (yf z), равен $ Ар Индекс Р означает, что в каждой точке поверхности нужно найти производную температуры, а затем уже проводить инте- интегрирование по поверхности. Графический метод Часто невозможно получить точные аналитические решения уравнения теплопроводности для двумерных или трехмерных за- задач. В случаях когда решение задачи аналитическими методами найти трудно, можно использовать приближенные методы. Из них сравнительно простым является графический метод, кото- который позволяет определить тепловой поток с поразительной точ- точностью. Графический метод основан на геометрическом представле- представлении векторной формы закона Фурье, согласно которому изо- изотермы и линии постоянной плотности теплового потока (^'-ли- (^'-линии) должны пересекаться только под прямым углом. Следова- Следовательно, можно нанести изотермы и линии постоянной плотности теплового потока и корректировать их, пока не будет удовлетво- удовлетворяться условие их взаимной перпендикулярности. Точность изображенного распределения температуры будет непосредственно определяться точностью нанесения линий. При небольшом опыте можно довольно быстро получать достаточно точные результаты.
86 Глава 2 При использовании графического метода нужно проделать следующие операции: Операция 1. Начертить точную масштабную модель тела, для которого нужно найти распределение температуры и тепловой поток. Операция 2, Нанести на модели линии постоянной плотности теплового потока (^-линии) и изотермы. Во всех точках пере- пересечения /'-линий и изотерм касательные к этим кривым долж- должны быть взаимно перпендикулярны. Диагонали криволинейных четырехугольников должны быть взаимно перпендикулярными и делить друг друга пополам. Следует помнить, что соседние изотермы и /'-линии не могут пересекаться. Изотермы перпен- перпендикулярны адиабатическим границам, поскольку каждая адиа- адиабатическая граница является линией постоянного теплового по- потока (/' = 0). Кроме того, адиабатическими границами явля- являются линии симметрии. Операция 3. Корректировать изотермы и /'-линии до тех пор, пока не будут удовлетворяться условия операции 2. Когда вы сами будете удовлетворены точностью вашего ри- рисунка, можно считать, что распределение температуры полу- получено, после чего плотность теплового потока вычисляется, как обычно, с помощью закона Фурье. Чтобы проиллюстрировать графический метод решения, рассмотрим задачу определения теплового потока через несущую двутавровую балку в стенке печи. С двух сторон балка окружена изоляцией, расположенной в стенке печи (рис. 2.16, а). Температура поверхности балки, обращенной внутрь печи, равна Ти а температура наружной по- поверхности балки 7Y Коэффициент теплопроводности материала балки равен k. Средняя линия балки является линией симметрии и, следо- следовательно, адиабатической границей. На рис. 2.16,6 показаны линии постоянной плотности теплового потока и изотермы на масштабном чертеже балки. Тепло течет по четырем каналам, ограниченным с каждой стороны /'-линиями. Следовательно, суммарный тепловой по- поток через половину балки равен <7сум — II 4i* На вставке показана типичная криволинейная четырехугольная ячейка, тепловой поток через которую равен q?>. Применяя закон Фурье для одиночной криволинейной ячейки на единицу длины балки по нормали к чертежу, получаем Tt. B.88)
Стационарная теплопроводность 87 Если каждую криволинейную ячейку нарисовать таким обра- образом, чтобы выполнялось условие Дл: = Ауу то перепад темпера- температур между каждыми соседними изотермами будет одинаков. В таком случае перепад температур между двумя соседними Линии постоянных значений Я" ^Теплоизо- ^Теплоизолированная поверхность Изотермы Рис. 2.16. Применение графического метода для двутавровой балки, а-—физическая модель; б—масштабный чертеж балки и схема линий постоянных значе- значений плотности теплового потока q" и изотерм. изотермами можно выразить через полный температурный на- напор поперек всей поверхности и число равных температурных промежутков между изотермами М: Т т (А-Ополн ¦* 1 — Т2 /о ОГк\ Тм-Т,=—ш— = ___. B.89) Если <7"-линии делят тепловой поток на Af равных частей, тепловые потоки по всем каналам, образованным (/"-линиями, одинаковы, и суммарный тепловой поток через балку равен B.90)
88 Глава 2 Подставляя соотношения B.88) и B.89) в равенство B.90), находим суммарный тепловой поток для «квадратной» сетки, т. е. для случая Ал: = Ау 7 сум B.91) Итак, можно найти тепловой поток, начертив сетку криволи- криволинейных ячеек, а затем подсчитав число равных промежутков температуры М и равных промежутков плотности теплового потока N. Пример 2.11. Найти тепловой поток через балку (рис. 2.16) при 7\ = = 500°С, Т2 = 200°С и k = 70 Вт/(м-град). Решение. В этом примере М = 13, N ш* 4, (ДГ)П0Лн = 300°С. Тепловой поток на единицу длины балки определяется соотношением B.91) q' = 2 [jL k (АПполн] - 12,923 Вт/м. Коэффициент 2 вводится потому, что число N соответствует только половине балки. Формфактор теплопроводности S для тел различной формы. q'^kS^-To) ?11 — 14] Таблица 2.1 Форма тела Обозначения Формфактор теплопроводности S Труба, эксцентрично расположенная в круглой изоляции длиной L Труба в квадратной изоляции длиной L arch Ьг,2-е2\ 2гоГ\ ) Щ0,54а/Г1) Прямоугольный канал в изоляции т равномерной толщины; уо площадь поверхности канала Ах, площадь наружной поверхности изоляции Аг t i 7 А \*~ а / / 1 t t / если а,Ь,с> - если а,Ьгс<-
Стационарная теплопроводность 89 Форма тела Обозначения Формф актор теплопроводности 5 Тонкая прямоугольная пластина длиной!, в полуограниченной среде (z«0) lira Горизонтальная труба длиной L в полуограниченной среде 2irL arch (г/г,) B>2ri) Сфера в полуограниченной среде Две параллельные трубы длиной L в неограниченной среде Тонкий горизонтальный диск в полуограниченной среде 1 —L, (z->oo) arch I 2/y0 ) r, (z-0) 8r, Вертикальный цилиндр длиной L в полуограниченной среде L L к 1 -*|2r.U- lnBL/r,) Полусфера, заглубленная в полуограниченную среду
96 Глава 2 Отношение N/M, входящее в выражение B.91), называется формфактором теплопроводности S = N/M1), так что тепловой поток можно выразить через S q' = kS (ЛГ)ПОЛН. B.92) В табл. 2.1 указаны значения формфактора теплопроводности для некоторых тел различной формы. Известны значения формфактора теплопроводности для неко- некоторых тел простой формы. Например, если преобразовать вы- выражение B.26) к виду соотношения B.92), то формфактор теплопроводности для плоской стенки равен A/L. Для полого цилиндра длиной / формфактор теплопроводности равен 2зг//1п (го/ri). Отметим, что формфактор имеет размерность длины. Метод электротепловой аналогии Установившийся электрический потенциал Е в материале с постоянным удельным сопротивлением без внутренних источни- источников потенциала определяется уравнением Лапласа, тем же урав- уравнением, которому подчиняется распределение температуры в твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами без внутренних источников тепла. Аналогичны и соотношения для скорости переноса тепла (закон Фурье) и для скорости пере- переноса заряда (закон Ома), как показано в приведенной ниже таблице. Поскольку процессы переноса тепла и заряда описы- описываются аналогичными уравнениями, говорят, что имеет место аналогия между этими процессами. Аналогия уравнений переноса электричества и тепла Тепло Закон сохранения у2?г=0 у2Г = 0 Скорость переноса / * ^- ц * -=— Безразмерный потенциал в электрической системе аналоги* Чен безразмерной температуре в тепловой системе. В наших интересах использовать эту аналогию, так как напряжение легче измерять, чем температуру. Определяя положение линий по- постоянного потенциала, можно найти положение изотерм. Аналогия используется следующим образом. Из электропро* водной бумаги, имеющейся в продаже, вырезают масштабную 1) Данное выражение для формфактора характеризует тепловой поток на единицу длины балки. В общем случае полного потока тепла через тело формфактор имеет размерность длины. — Прим. ред.
Стационарная теплопроводность 91 модель исследуемого тела и к бумаге подключают электриче- электрическую батарею для создания электродвижущего потенциала на модели. Электрические граничные условия на бумаге должны быть аналогичны соответствующим тепловым граничным усло- условиям. Изотермическая граница соответствует на модели гранич- граничному условию в виде постоянного потенциала. Это легко осу- осуществить, если покрыть границу краской, имеющей высокую электропроводность, и подключить ее к батарее. Условие тепло- изолированности границы можно смоделировать в электриче- электрической системе путем электрической изоляции границы, для чего служит просто край бумаги. Определив с помощью пробника, соединенного с вольтмет- вольтметром, положение линий постоянного потенциала, можно отклю- отключить граничные условия и найти положение ортогональных ли- линий— линий постоянной силы тока. Эти линии соответствуют линиям постоянной плотности теплового потока. Применяя опи- описанный метод, можно точно построить всю совокупность криво- криволинейных четырехугольных ячеек на поверхности модели и опре- определить величину формфактора теплопроводности точнее, чем с помощью графического метода. Преимущество метода электротепловой аналогии заклю- заключается в том, что он позволяет найти положение изотерм и линий постоянной плотности теплового потока без помощи метода проб и ошибок, как в графическом методе, но его недостатком яв- является применение специального оборудования. Для графиче- графического же метода требуются лишь карандаш, бумага и терпение. Однако практически применимость обоих методов ограничена двумерными задачами с простыми граничными условиями, та- такими, как изотермические и теплоизолированные границы. Бо- Более подробное описание метода электротепловой аналогии мож- можно найти в работах [8, 9]. Численные методы Численные методы являются мощным и гибким средством решения задач стационарной теплопроводности. Их можно успешно применять для решения задач, которые трудно решить другими методами. Например, с помощью численных методов можно решать задачи с излучением на границах или с внутрен- внутренним тепловыделением. Графический метод и метод электро- электротепловой аналогии неэффективны для решения задач этих двух типов. При использовании численного метода конечных разностей твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Для каждого узла записывают баланс энергии, получая в итоге алге- алгебраическое уравнение для температуры в каждом узле. Отдель- Отдельные уравнения записывают для каждого узла, расположенного
92 Глава 2 на границе твердого тела. В результате применения метода конечных разностей получают п алгебраических уравнений для п узлов в твердом теле. Эти п алгебраических уравнений заме- заменяют одно уравнение в частных производных с соответствую- соответствующими граничными условиями. Если узлов в твердом теле сравнительно мало, можно решить полученную систему алгебраических уравнений стандартными математическими методами. При возрастании числа узлов для Рис. 2.17. Расположение узлов внутри двумерного твердого тела; толщина тела d, коэффициент теплопроводности k. получения точного решения требуется слишком много времени. В этом случае полезно применить приближенные методы реше- решения. Одним из них является метод релаксации, который мы рас- рассмотрим прежде всего. Когда уравнений становится много, необходимо использовать программируемые калькуляторы и ЭВМ. В этот раздел вклю- включены две программы численного расчета, чтобы показать, какие типы двумерных задач теплопроводности лучше всего решать численными методами на цифровых вычислительных машинах. Чтобы проиллюстрировать метод конечных разностей, рас- рассмотрим двумерную задачу теплопроводности. Во-первых, раз- разделим твердое тело на равные элементарные прямоугольники. Представим, что масса каждого элементарного прямоугольника сосредоточена в его центре, называемом узлом. На рис. 2.17 показана внутренняя область типичного двумерного твердого
Стационарная теплопроводность 93 тела. Каждый элементарный прямоугольник имеет длину Ах в направлении х и длину Д# в направлении у. Узел, обозначен- обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами. Пред- Представим, что каждый узел связан с соседними узлами тонкими теплопроводными стержнями. Тепло может передаваться только по этим воображаемым стержням. Другими словами, кондук- тивный перенос тепла между узлами 0 и 1, который в действи- действительности происходит в непрерывном материале через поверх- поверхность раздела высотой Ду, мысленно заменяется переносом теп- тепла через воображаемый стержень, соединяющий узлы 0 и 1. В установившихся условиях баланс энергии для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения записывается в форме Е^о = О. B-93) Затем, применяя закон Фурье для каждого члена, выражаем это уравнение через температуры в узлах. Например, первый член принимает вид Та-То где градиент температуры определяется посередине между двумя узлами, a d — толщина двумерного тела по нормали к плоскости чертежа. Аналогичные выражения можно записать для остальных трех членов: * kAxd qA+t~kbxd—^—. Если ячейки сетки имеют квадратную форму, то Ах = Ау> и каждое из уравнений для теплового потока становится неза- независимым от формы тела. Однако погрешность замены градиента температуры конечной разностью двух температур зависит от размера каждой ячейки. Чем меньше ячейка, тем точнее аппрок- аппроксимируется градиент температуры. Подставляя четыре конечно-разностных соотношения в урав- уравнение B.93), можно видеть, что для сетки с квадратными ячей- ячейками при постоянном коэффициенте теплопроводности баланс энергии для узла 0 сводится просто к соотношению между тем- температурой в этом узле и температурами в четырех соседних узлах: Тх + Т2 + Т3 + Т4 - 4Г0 = 0. B.94) Соотношение вида B.94) применимо ко всем внутренним узлам, т. е. ко всем узлам, не лежащим на границе твердого
94 Глава 2 Окружающая среда тела и окруженным со всем сторон равноотстоящими квадрат- квадратными ячейками сетки. Иначе выражается баланс энергии для узлов, расположен- расположенных на границе твердого тела. Рассмотрим, например, узел О, расположенный на границе твердого тела, которая находится в контакте с окружающей средой. Температура среды равна Гоо, коэффициент конвектив- конвективной теплоотдачи от окру- окружающей среды к твердо- твердому телу равен Яс. Соот- Соответствующая схема пред- представлена на рис. 2.18. Каждый граничный узел расположен в центре со- соответствующего элемен- элементарного прямоугольника. Отметим, что масса, со- соответствующая каждому граничному узлу, равна половине массы, соответ- соответствующей каждому вну- внутреннему узлу. Узел 0, расположен- расположенный на границе, может обмениваться кондуктив- ным потоком тепла с тре- тремя соседними узлами в твердом теле и, кроме того, конвективным теп- тепловым потоком с окру- окружающей средой. Следовательно, баланс энергии для узла 0 за- записывается следующим образом: Рис. 2.18. Расположение узлов в двумерном твердом теле, омываемом жидкостью; тол- толщина тела d> коэффициент теплопроводно- теплопроводности ?. Первые три члена выражают кондуктивный тепловой поток в твердом теле, а последний — конвективный тепловой поток к узлу 0 от окружающей среды, параметры которой обозначены индексом оо. Подставляя конечно-разностные аппроксимации закона Фурье для первых трех членов и закона Ньютона для последнего члена, получаем ~2~ Дй ' ~2~ Ди *"" Дл: B.95) Соотношение B.95) можно упростить, если выбрать сетку с квадратными ячейками, Ах = Ау. В этом случае оно сводится
Стационарная теплопроводность 95 к виду \(Т2 + Т3) То = 0. B.96) Температуры в граничных узлах зависят от температур в со- соседних узлах и от параметра hckx/k. Этот безразмерный комп- комплекс имеет форму числа Био. Применение конечно-разностного метода иллюстрируется на следующем примере. Пример 2.12. Определить стационарное распределение температуры и теп- тепловые потоки от всех четырех поверхностей двумерного твердого тела, пока- показанного на рисунке. Две поверхности изотермичны, третья теплоизолирована, а на четвертой происходит конвективный теплообмен. Поверхность В Поверхность А | Лс=5ОВт/(м2.град) 7!=50°С 20 см А:=1 Вт/(м-град) «7с=0 Толщина d L ^лтеплоизолиро I ^лтеплоизолиро- I 20 см .Поверхность/) 7J °C Ay 2 Ay L О 5 К примеру 2.12. Решение. Сначала нанесем на тело сетку с квадратными ячейками, как показано на рисунке. Пронумеруем узлы цифрами от 1 до 9. Основная ячей- ячейка сетки представляет собой квадрат со стороной Ах = Ау = 10 см. Неиз- Неизвестны температуры только в трех узлах: 4, 5 и 6. Узел 5 является внутрен- внутренним, так что применимо соотношение B.94): Узел 4 лежит на границе, на которой осуществляется конвективный перенос тепла, поэтому применимо соотношение B.96) Y Gi + Т7) + Т5 + (В1) Т„ - B + BI) Г4 -0,
96 Глава 2 где hcAx 50-0,10 . Узел 6 расположен на теплоизолированной границе, и для него баланс энер- энергии записывается следующим образом: или j (Г. + Г9) + Г5 - 2Гб = 0. Температуры в остальных шести узлах известны, так что для них записывать баланс энергии не нужно. В этих шести узлах достигаются следующие тем- температуры: Т{ = Т2 = Ть = 200°С, Т7 = Т8 = Т9 = 100°С. Подставляя эти значения в уравнения энергии для узлов 4—6, получаем 400 + Г5 - 7Г4 = 0 (узел 4), 300 + ТА + Гб — 4Г5 = 0 (узел 5), 150 + Гб —2Гв = 0 (узел 6). Температуры Г4 Т5 и Г6 можно найти, решая эту систему трех уравнений. В результате получаем Г4 = 75,5°С, Тъ = 128,7°С, Т6 = 139,4°С. Чтобы определить тепловые потоки на единицу толщины для каждой по- поверхности, используем конечно-разностную форму закона Фурье для кондук- тивного теплового потока и закона Ньютона — для конвективного. На поверхности Л теп |овой поток на единицу толщины, направленный в твердое тело, равен я а - К ьу [Тоо7Тх + (г~ - т<) + Тоо7Т?]в 27>5 Вт/М- Следовательно, с поверхности А твердого тела отводится конвективный теп- тепловой поток 627,5 Вт/м. Знак минус показывает, что тепловой поток отдается твердым телом. На поверхности В тепловой поток на единицу толщины, направленный в твердое тело, равен 7 + ? + <7з->б + <7'->оо = ^ 7 2 ^д^~)+ с~2 ^i-^)8* 538>8 Поверхность С теплоизолирована, поэтому <7С = 0. На поверхности D f (T7 - Г^) = 88,8 Вт/м. Чтобы проверить полученные значения теплового потока, используем извест- известное требование, чтобы в установившихся условиях суммарный тепловой по- поток в твердое тело был равен нулю: <4м = Яа + Яв + Яс + Яо^- 627,5 + 538,8 + 0 + 88,8 «* 0,1 Вт/м. Величина результирующего теплового потока в твердое тело показывает уро* вень точности решения данной задачи методом конечных разностей.
Стационарная теплопроводность 97 Метод релаксации В примере 2.12 твердое тело делилось на элементарные ячейки с помощью сетки, в трех узлах которой температура была неизвестна. Получалась система трех алгебраических урав- уравнений с тремя неизвестными. Если бы требовалось повысить точ- точность решения, применяя более частую сетку, появилось бы больше узлов с неизвестными температурами и надо было бы решать дополнительные уравнения для их определения. В об- общем случае каждый узел с неизвестной температурой приводит к появлению одного алгебраического уравнения, которое нужно решать совместно с уравнениями для остальных узлов. Когда число узлов сравнительно мало, как это было в при- примере 2.12, решение системы уравнений находится без особого труда. Однако, когда уравнений становится много, приходится решать систему уравнений приближенным методом. При реше- решении задач теплопередачи иногда применяют метод релаксации. Хотя этот метод редко используют для решения практических задач, он является хорошим педагогическим приемом, позво- позволяющим показать, как можно решить простые задачи числен- численными методами. Кроме того, принципиальная схема применения метода релаксации поможет нам понять чаще используемые на практике численные методы, которые будут описаны ниже в этой главе. Цель метода релаксации —определить температуры в каж- каждом узле твердого тела таким образом, чтобы приближенно удовлетворялись уравнения энергии в узлах. Вместо того чтобы полагать правые части уравнений энергии, например B.94) и B.96), равными нулю, их можно принять равными некоторой величине, называемой остаточным членом. Затем следует систе- систематически изменять температуры до тех пор, пока остаточный член не станет достаточно малым. Величина остаточного члена характеризует степень точности определения температур во всех узлах. Если остаточные члены в уравнениях энергии для всех узлов становятся равными нулю, температуры в узлах являются точными решениями системы уравнений энергии. Чтобы показать, как пользоваться методом релаксации, при- применим его к системе трех уравнений, полученных в примере 2.12. Три уравнения энергии в этом примере имеют вид 150 + Г5 —2Г6 = /?6. Правые части этих уравнений заменены остаточными членами Ri, где индекс — это номер соответствующего узла. Наша задача состоит в нахождении таких значений Г4, Г5 и Гб, чтобы вели- величины остаточных членов были достаточно малыми. Величины 4 Зак. 487
§8 Глава 2 остаточных членов будут определять точность приближения температуры. Отметим, например, что при ошибке Г4 в один градус остаточный член будет равен семи градусам. Остаточные члены имеют размерность температуры. После того как полу- получены уравнения энергии для всех узлов, применяем метод ре- релаксации, выполняя последовательно действия в соответствии со следующими четырьмя операциями. Операция 1. Сначала нужно задать приближенные значения всех неизвестных температур в узлах. Мы должны использовать наши знания теории теплопередачи, чтобы задать температуры как можно точнее. Предельные значения температур в рассма- рассматриваемой задаче — это 50°С (температура окружающей среды) и 200°С (температура верхней поверхности твердого тела). Сле- Следовательно, ожидаемые температуры в установившихся усло- условиях должны быть заключены между этими значениями. Можно ожидать, что самой низкой из трех температур будет Г4, а са- самой высокой — Г6, поскольку узел 6 находится на теплоизолиро- теплоизолированной границе. В качестве начального приближения зададим следующие значения температур: Г4 = 80°С, Г5=100°С, Гб = = 150°С. Операция 2. Следующая операция состоит в подстановке на- начальных температур в приближенные уравнения энергии для уз- узлов и вычислении остаточных членов. В нашем примере R* = = — 60°С, /?5=130°С, /?6 = —50°С. Поскольку остаточные чле- члены не равны нулю, следует продолжать изменять температуры, стремясь свести остаточные члены к нулю. Операция 3. Чтобы уменьшить остаточные члены, изменим температуру, соответствующую наибольшему по абсолютной величине остаточному члену, стремясь свести величину этого остаточного члена к нулю. Часто можно ускорить сходимость к истинным значениям температур, если изменить температуру в рассматриваемом узле таким образом, чтобы остаточный член был равен не нулю, а некоторой малой величине, противополож- противоположной по знаку остаточному члену до изменения температуры. Та- Такой процесс называется избыточной релаксацией. В нашем примере наибольший остаточный член соответ- соответствует узлу 5. Из разностного уравнения баланса энергии для узла 5 следует, что, если увеличить Г5 на 35°С, значение R5 уменьшится на 140°С и станет равным сравнительно небольшой величине противоположного знака. Заметим, что при изменении Тъ изменятся также 7?4 и R&. Итак, получаем новые значения (второе приближение) трех температур и соответствующих оста- остаточных членов: Г4 = 80°С, /?4 = -25°С, Г5=135°С, /?5 = -Ю°С, Г6=150°С, Яб=-15°С.
Стационарная теплопроводность 99 Операция 4. Следующая операция процесса релаксации со- состоит в повторении действий предыдущей операции, пока не бу- будет достигнута требуемая точность. Теперь наибольшим явля- является остаточный член #4, поэтому изменяем Г4 таким образом, чтобы член /?4 стал равным малой положительной величине. Например, уменьшаем Г4 на 4°С. Получаем новые значения (третье приближение) температур и остаточных членов: Г4 = 76°С, /?4==3°С, Г5=135°С, Я5-=-14°С, , #6=- 15°С. Повторяем эту операцию дважды, изменяя сначала Гб, а затем 7V Уменьшая Гб на 10°С, получим Г4 = 76°С, /?4 = 3°С, Г5==135°С, /?5 = -24°С, 76=140°С, /?6 = 5°С. Уменьшая Т$ на 7°С, получим Г5=128°С, /?5 = 4°С, Г6=140°С, RQ=-2°C. После четырех операций релаксации все температуры отклоня- отклоняются от точных значений, найденных в примере 2.12, не более чем на ГС. Результаты действий при предыдущих операциях лучше всего свести в таблицу типа табл. 2.2. Систематизируя операции релаксации и регистрируя получаемые результаты в таблице, можно свести к минимуму выполняемую работу. Таблица 2.2 Сводка значений температур и остаточных членов для примера 2.12 Операция Начальная оценка Начальные остаточные члены Увеличение Ть на 35 Новые остаточные члены Уменьшение П на 4 Новые остаточные члены Уменьшение Те на 10 Новые остаточные члены Уменьшение Т$ на 7 Новые остаточные члены т< 80 80 76 76 76 -60 -25 3 3 —4 100 135 135 135 128 130 -10 -14 -24 4 150 150 150 140 140 #6 -50 -15 -15 5 —2
100 Глава 2 Метод конечных разностей с использованием релаксации можно распространить на случай цилиндрических координат; соответствующие разностные уравнения приведены в работе "[5]. Таблица 2.3 Разностные уравнения баланса энергии для граничных узлов двумерных тел; сетка с квадратными ячейками (^x = Ку) Рассматриваемый случай Схема Разностное уравнение Плоская поверхность, изотермическая граница Плоская поверхность, теплоизолированная граница Плоская поверхность, омываемая жидкостью Внешний угол, обе поверхности теплоизолировании Внешний угол, обе поверхности омываются жидкостью --¦ Окружающая ~2~ Окружающая . среда" \ 1 * q"— плотность теплового потока на поверхности) -B+В1OЪ=Л0 -A+Bi)ro-J?o
Стационарная теплопроводность 101 Внутренний угол, обе поверхности теплоизолированы Внутренний угол, обе поверхности омываются жидкостью Окружающая/ среда/ Если в твердом теле происходит внутреннее тепловыделение, метод релаксации применим без каких-либо усложнений. Пред- Предположим, что в некотором внутреннем узле 0 интенсивность тепловыделения на единицу объема составляет q^. Баланс энергии для этого узла в двумерном теле, окруженного четырьмя соседними узлами (рис. 2Л7), записывается в виде Заменяя каждый член, выражающий составляющую теплового потока, конечно-разностной аппроксимацией закона Фурье, по- получаем kAyd Ал: Ayd ^ 0. B.97) Если сетка с квадратными ячейками, уравнение B.97) сводится к следующему: т -4-Г JL.T 4-Г —47 4- агп = Q A ОЯТ Если узел находится на границе твердого тела, форма раз- разностного, уравнения баланса энергии зависит от типа гранич- граничного условия на поверхности. Например, такое уравнение ба- баланса энергии для узла, расположенного на плоской поверхно- поверхности, омываемой жидкостью, имеет вид B.96). В табл. 2.3 ука^ заны разностные уравнения баланса энергии при других гранич- граничных условиях. В каждом случае разностное уравнение баланса энергий записано для узла 0, ' -. .¦ _ .
102 Глава 2 До сих пор мы рассматривали задачи, в которых температура зависела только от двух линейных координат. Однако методы, разработанные для двумерных задач, можно легко распростра- распространить и на трехмерные задачи. Например, если рассмотреть ти- типичный узел 0 в твердом теле с постоянными теплофизическими Рис. 2.19. Расположение узлов внутри трехмерного твердого тела. свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения, кото- который окружен шестью узлами (рис. 2.19), то баланс энергии для узла 0 записывается в виде <7i»o + Я2+0 + ?з-»о + ?4-*о + <75->о + «Wo — 0. B.99) Уравнение B.99) можно записать через температуры в каждом узле, применяя для каждой составляющей теплового потока за- закон Фурье: = 0. B.100) Если сетка состоит из кубических ячеек, т. е. Ал; = Ау = Дг, уравнение B.100) можно упростить, получая в итоге Tx + T2 + Tz + TA + Ts + Tt-bT0 = 0. B.101) Следовательно, разностное уравнение баланса энергии для узла в трехмерной задаче при отсутствии тепловыделения, если узел находится внутри твердого тела и каждый из узлов расположен в центре кубической ячейки, означает просто, что сумма темпе- температур всех окружающих узлов равна ушестеренной температуре
Стационарная теплопроводность 103 центрального узла. Уравнение B.101) подобно по форме ба- балансу энергии для узла в двумерной задаче B.94). Если в трехмерном теле имеются внутренние источники энер- энергии с интенсивностью тепловыделения в единице объема q^', разностное уравнение баланса энергии для внутреннего узла имеет вид T{ + T2 + TZ + TA + T5 + TQ-6Г0 + Чо \ = 0. B.102) Приведенные в табл. 2.3 разностные уравнения баланса энер- энергии для узла, расположенного на границе двумерного тела, можно обобщить на случай трехмерных задач. Предлагается вывести эти уравнения в качестве упражнения. Матричный метод Методом релаксации удобно решать задачи теплообмен^ когда число разностных уравнений баланса энергии сравни- сравнительно невелико. Однако он неудобен для численных расчетов на ЭВМ, поскольку необходимо выбирать уравнение с наиболь- наибольшим остаточным членом. ЭВМ работает последовательно, й трудно добиться, чтобы процесс выбора максимального значен ния из некоторого ряда проходил достаточно эффективно. При решении задачи на ЭВМ вместо метода релаксации применя- применяются другие методы. Если для повышения точности или при больших размерах тела требуется решить систему большого числа разностных уравнений, желательно применять ЭВМ. При расчете на ЭВМ распределения температуры в двумерном или трехмерном твер- твердом теле удобно использовать метод обращения матрицы. Это? метод основан на представлении системы уравнений баланса энергии для узлов в форме матрицы. Например, если мы пред^ ставили твердое тело в виде совокупности п узлов, система раз* ностных уравнений баланса энергии может быть записана в виде B.103) + ... + аппТп = Ьп, где ац и bi — известные постоянные, а Г/ — неизвестные темпе- температуры. Используя матричные обозначения, систему уравнений B.103) можно записать в сжатом виде: АТ = В, B.104)
104 Глава 2 где А — квадратная матрица коэффициентов (# форму ап п ' °22 '" > имеющая B.105а) а Т и В — столбцовые матрицы, состоящие из п элементов каж- каждая: ¦ в- B.1056) Чтобы вычислить неизвестные температуры, нужно найти обра- обращенную матрицу А, после чего температура определяется из уравнения Т = А~1В. B.106) Если элементы обращенной матрицы записать в виде С2п B.107) то неизвестные температуры в узлах определяются уравнениями B.108) +cnnbn = Поскольку все величины bi известны, задача вычисления темпе- температур сводится к определению обращенной матрицы А. Обра- Обращенную матрицу можно найти с помощью стандартных матема- математических методов [6], если число узлов не слишком велико. При большом числе узлов элементы обращенной матрицы можно быстро рассчитать на ЭВМ с помощью подпрограмм из библио- библиотеки стандартных программ. Методика численного расчета ил- иллюстрируется на следующем примере. Пример 2.13. Найти стационарное распределение температуры в двумер- двумерном твердом теле, показанном на рисунке а. Использовать сетку с квадрат- квадратными ячейками Д* = Ау = 5 см. Две границы изотермичны, третья теплоизо*
Стационарная теплопроводность 105 лирована, а на четвертой происходит конвективный теплообмен. Сравнить ре- результаты расчета с решением примера 2.12. Г=200°С Окружающая среда Лс=50Вт/(м2-К) Т=50°С V/ у. Поверхность ^теплоизоли- у рована К примеру 2.13(а). Решение. На теле строится сетка с квадратными ячейками, как показано на рисунке б. Все узлы с неизвестными температурами пронумерованы. Тем- Температуры в узлах верхней и нижней поверхностей известны, нужно найти температуры в 15 узлах. Для решения системы 15 уравнений методом релак- релаксации требуется много времени, поэтому разумной альтернативой является проведение численного расчета на ЭВМ с использованием подпрограммы об- обращения матрицы. -t—-1— kjl-U- 1—L o i < о I с О 1 < -±4_jl5 К примеру 2.13F). Прежде всего нужно найти значения элементов матриц А и В, входящих в уравнение B.103). Все разностные уравнения баланса энергии для вну- внутренних узлов имеют вид B.94). Разностные уравнения для граничных уз- узлов можно выписать из табл. 2.3. В эти уравнения входят следующие по- постоянные параметры: Bi = ПЛх/k = 50-0,05/1 = 2,5; (В1)Гоо = 2,5-50 = = 125°С; 2 + Bi = 4,5. Система 15 разностных уравнений баланса энергии в матричной форме B.103) записывается следующим образом: узел 1: — 4.571, + Т2 + 0,5Гб = —225, узел 2: Тх — 4Т2 + Тг + Т7 = —200, узел 3: Т2 — 4Г3 + Г4 + Г8 = —200, узел 4: Г3 — 4Г4 + Т5 + Т9 = —200, узел 5: ТА — 2Т5 + 0,5Гш = —100, узел 6: 0,57, — 4,5Г6 + Т7 + 0,5Гп = —125, узел 7: Т2 + Т6 - 4Т7 + ТЬ + Т12 = 0,
106 Глава 2 узел 8: Г3 + Т7 - 4Т8 + Г9 + Г13 = О, узел 9: Т4 + Т% — 4Г9 + Г10 + Г14 = О, узел 10: 0,5Г5 + Т9 — 2Т]0 + 0,5Г15 = О, узел 11: 0,5Гб — 4,5ГП + Г12 = —175, узел 12: Т7 + Ти — 4712 + Ji8 = —100, узел 13: Гв + Тп — 4Г18 + Гн = —100, узел 14: Т9 + Г18 - 4Г14 + Г1Б = —100, у?ёл 15: 0,5710 + Ти — 2715 = —50. Теперь можно найти элементы матриц А и В, анализируя коэффициенты этих 15 уравнений. Постоянные в правых частях уравнений являются элементами столбцевой матрицы В. Многие элементы матрицы А равны нулю, а ненуле- ненулевые элементы группируются около главной диагонали. Следующей операцией является обращение матрицы А. Элементами об- обращенной матрицы являются величины сц [см. уравнение B.107)]. Обраще- Обращение матрицы такого размера вручную потребует много времени. К счастью, имеются стандартные библиотечные подпрограммы, которые можно приме- применить в короткой программе численного расчета 15 неизвестных температур. Ниже мы приводим пример программы численного расчета температур в узлах, написанной на алгоритмическом языке Фортран. Она написана в об- общей форме, чтобы заинтересованный пользователь мог скопировать ее и при- применить для решения своей конкретной задачи, которая может отличаться от задачи, рассмотренной здесь в качестве примера. Входной информацией яв- являются N — число узлов с неизвестными температурами, N2 элементов мат- матрицы А и N элементов матрицы В. В примере программы используется подпрограмма обращения матрицы MATINV. Эта подпрограмма представлена в приложении XI. Имеются и дру- другие подпрограммы обращения матрицы. Пользователю нужно проверить, нет ли в его вычислительном центре соответствующей подпрограммы, чтобы не снимать копию с подпрограммы MATINV. Основная программа имеет следующий текст; Текст программы численного решения примера 2.13 PIMENSIONAE0.50),BE0),CE0,5Q),T(SO) READ , N READ . ((A(I,J),J«1,N),H1.N),(B(I),I = 1,N) CALL MATINV (A.N.O) DO 20 1 = 1,N DO10J*1,N 10 SUM»SUM+C(I,J)*B(J) 20 T(I)»SUM WRJTEF,40) WRITE F,50) (I,T(I), 1-1.N) STOP 40 FORMAT AH /••• STEADY TEMPERATURE DISTRIBUTION IN DEGREES',/, 1'CELSIUS DETERMINED BY-A MATRIX INVERSION TECHNIQUE ***',//) 60 FORMAT D('T(',I2/) • ',F8.2,2X)) END Ниже представлена входная информация программы. Первая строка со* держит единственное значение N — число узлов в данной конкретной за- задаче. В следующих N строках указаны значения элементов ац матрицы А. Каждая из 15 строк содержит 15 значений, каждой строке соответствует фик- фиксированная величина индекса и Последние две строки содержат 15 значений элементов bi столбцевой матрицы В.
Стационарная теплопроводность 107 Входная информация программы для примера 2.1$ -4.5, 1., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., -2., 0., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 0., -4.5, 1., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 0., 0,1,0., 0., 0., 1 , -4,1., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., -4., 1., О , 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0„ 1., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0 , 0., 0., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 1., -2., 0., 0., 0., О , 0.5, О., 0., 0., 0., 0., 0.5, 0., 0., О , 0., -4.5, 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 1., 0., О , 0., 1., -4., 1., O.f 0., 0., 0., 0., 0., 0., О., 0., 1., 0., 0., 0., 1., -4., 1., 0., 0., 0., 0., 0., 0., О., 0., 0., 0.5, 0., 0., 0., 1., -2., -225., -200., -200., -200., -100., -125., 0., О, 0., 0., -175., -100., -100., -100., -50. Приведем выходную информацию программы: Выходная информация программы для примера 2.13 *** Стационарное распределение температуры в градусах Цельсия, рассчитанное методом обращения матрицы ••• ТA)« 88.57 ТB) = 138.91 ТC)=158.56 ТD)-166.30 ТE)« 168.38 ТF)= 69,30 ТG)-108.51 Т(8)« 129.01 Т(9)-138.23 ТA0)-> 140.91 ТA1)= 68.11 ТA2)» 96.83 ТA3)-110.69 ТA4)»116,91 ТA5)»118.68 Рассмотренный пример аналогичен примеру 2.12, за исключением лишь того, что использована более частая сетка. В табл. 2.4 сравниваются результаты расчета для эквивалентных узлов, что позволяет выявить влияние размера ячейки сетки на значения местной температуры. Таблица 2.4 Сравнение результатов численного расчета температуры, полученных при использовании редкой и частой сеток Температура, сетка 10X10 см (пример 2.12) Г4 = 75,5°С Г5=128,7°С Гб = 139,4°С Температура, сетка 5X5 см (пример 2.13) Т6 = 69,3°С Г8 =» 129,0°С Г10 = 140,9°С Программа для примера 2.13 носит общий характер. Ее можно в точности скопировать и применять для решения целого ряда различных задач стационарной теплопроводности. Она
108 Глава 2 позволяет найти распределения температуры в одномерных, дву- двумерных и трехмерных телах при наличии внутреннего тепловы- тепловыделения и при самых различных граничных условиях. Пользова- Пользователю нужно сначала вывести все разностные уравнения баланса энергии и найти элементы матриц А и В. Эти элементы и число узлов N следует упорядочить в виде входной информации точно так, как в примере программы. При числе узлов больше 50 программу обращения матрицы не следует применять. В этом случае для решения системы уравнений используются более сложные математические методы, например метод Чолески [10]. Метод Чолески требует меньше машинного времени, чем программа MATINV, поскольку он ис- исключает из рассмотрения нулевые элементы матрицы и поэтому сводит к минимуму необходимый объем памяти. Чтобы облегчить пользование программой, в приведенной ниже таблице перечисляются принятые в программе обозначе- обозначения, их определения и типичные единицы измерения. Обозначения, принятые в программе численного решения примера 2.13 Обозначение A (I, J) ВA) С (I, J) N ТA) Определение Элемент квадратной матрицы А, см. B.105а) Элемент столбцевой матрицы В, см. B 1056) Элемент квадратной матрицы С = А-1, см. B.107) Число, равное числу узлов Элемент столбцевой матрицы Т, 'см. B.1056) Единицы измерения о 1 III Итерационный метод Для численного решения задач на ЭВМ очень удобен итера- итерационный метод, основанный на непосредственном определении температуры в каждом узле из разностного уравнения баланса энергии для этого узла. Например, если мы рассматриваем урав- уравнение баланса энергии для внутреннего узла двумерного твер- твердого тела, то получаем уравнение B.94): Разрешая это уравнение относительно температуры в узле 0, по- получаем П =4 (Г,+ 7-2 + 7-3 + 7-4). Это соотношение типично для внутреннего узла в твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения, если применяется сетка с квадрат-
Стационарная теплопроводность 109 ными ячейками. Аналогичное соотношение получается для тем- температуры в узле, расположенном на границе тела. Например, если узел 0 находится на границе, где происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температуру То можно найти из уравнения B.96): т _ 0,5 (Т2 + Г3) + Л + Bi т„ l°~~ 2 + Bi Соответствующие выражения для других граничных условий можно легко получить из уравнений, приведенных в табл. 2.3. Итак, температуру в каждом узле можно выразить через температуры в соседних узлах. Число полученных соотношений равно числу узлов с неизвестными температурами. При использовании итерационного метода последовательно выполняются следующие четыре операции. Операция 1. Выводят разностные уравнения, записав баланс энергии для каждого узла с неизвестной температурой. Из каж- каждого уравнения выражают в явном виде температуру узла, для которого составлялся баланс энергии. Уравнения для всех вну- внутренних узлов одинаковы по форме. Уравнения для граничных узлов будут различными в зависимости от типа граничных усло- условий в конкретной задаче. Данные табл. 2.3 помогут определить уравнения для граничных узлов. Операция 2. Задают ряд значений температур во всех узлах. Если задача будет решаться вручную, разумная начальная оценка всех температур позволит снизить затраты времени на вычисление истинных значений температуры в каждом узле. Если проводится численный расчет на ЭВМ, удобно принять все начальные температуры равными нулю. Операция 3. Вычисляют новые значения температур, исполь- используя уравнения, полученные при операции 1. Как только полу- получено новое значение какой-либо температуры, немедленно за- заменяют ее старое значение новым, так что новые значения тем- температур в узлах все время вычисляют с использованием самого последнего приближения для остальных температур. Это позво- позволяет уменьшить время сходимости решения к конечным стацио- стационарным значениям температур. Этот частный вид итерационного метода часто называют методом Гаусса — Зайделя. Операция 4. Повторяют операцию 3 до тех пор, пока раз- разность между новым и предыдущим приближениями для всех температур не станет меньше заданной величины. Применение итерационного метода иллюстрируется на сле- следующих двух примерах. Первая задача (система всего лишь из трех уравнений) решается вручную. Во второй фигурирует 15 уравнений, и такую задачу нужно решать на ЭВМ. Выше обе задачи были решены другими методами, поэтому можно прове- проверить точность итерационного метода.
ПО Глава 2 Пример 2.14. Найти температуры в узлах 4, 5 и б для примера 2.12, при- применяя итерационный метод. Сравнить результаты расчета с точными зна- значениями для примера 2.12 и с данными, полученными методом обращения матрицы (табл. 2.4). Решение. В примере 2.12 нужно было определить температуры в узлах 4, 5 и 6. Уравнения баланса энергии для этих трех узлов имеют вид Чу о И и. «у уаьнепии идлдпса узел 4: 400 + Тъ — 7Г4 = 0, узел 5: 300 + Т, + Т6 — 4Г5 = узел 6: 150 + Г5 — 2Г6 = 0. 0, Теперь выполним четыре операции, описанные выше при рассмотрении итера- итерационного метода. Операция 1. Выразим в явном виде температуру в каждом узле: узел 4: Г4 = 400/7 + Г5/7, узел 5: Тъ = 300/4 + Г4/4 + Г6/4, узел 6: Т6*= 150/2 + Т5/2. Операция 2. Зададим начальные значения температур в узлах. Разумной оценкой для начальных значений этих трех температур будут значения Г4 = = 80°С, Ть = 100°С, Т6 = 150°С. Это те же начальные значения, которые были использованы при решении системы трех уравнений методом релакса- релаксации. Операция 3. Вычислим новые значения температур, используя уравнения, полученные в ходе выполнения операции 1. Как только будет получено новое значение температуры, сразу используем его при последующих операциях: Т4 = 400/7 + 100/7 = 71,43°С, Т5 = 300/4 + 71,43/4 + 150/4 = 130,36°С, Г6 == 150/2 + 130,36/2 = 140,18°С. Операция 4. Повторяем операцию 3 до тех пор, пока значения темпера- температур, полученные при двух последовательных приближениях, не будут схо- сходиться с заданной степенью точности. Предполагая, что температуры, полу- полученные при двух последовательных приближениях, не должны отличаться бо- более чем на 0, ГС, повторяем операцию 3. Ниже приведена таблица, в которой собраны результаты расчетов. 100 130,36 128,99 128,77 128,73 150 140,18 139,50 139,39 139,37 Номер итерации Т4, °С Г5, °С Т6, °С Начальное приближение 80 1 71,43 2 75,77 3 75,57 4 75,54 После четвертой итерации все температуры отличаются не более чем на 0,ГС от соответствующих значений после третьей итерации, поэтому итерационный процесс на этом останавливается. С точностью 0,ГС полученные значения согласуются с результатами точного решения той же самой системы уравне- уравнений (пример 2.12). Следует также отметить, что при тех же начальных зна- значениях температур результаты расчета методом релаксации для этого кон- конкретного примера после четырех приближений отличаются от точного реше- решения на величину порядка ГС. Результаты расчета методом релаксации пред- представлены в табл. 2.2. Значения температур в трех узлах, полученные путем
Стационарная теплопроводность 111 точного решения разностной системы уравнений, решения методом релаксации D приближения) и решения итерационным методом D приближения) отли- отличаются друг от друга менее чем на 1°С. Пример 2.15. Определить итерационным методом значения температур в 15 узлах для примера 2.13. Сравнить полученные результаты с результа- результатами решения методом обращения матрицы. Решение. Решение системы 15 уравнений вручную итерационным мето- методом требует много времени, поэтому следует решать задачу на ЭВМ. При ис- использовании итерационного метода выполняются 4 операции. Операция 1. Простым преобразованием разностных уравнений для всех узлов в примере 2.13 получаем требуемую систему 15 уравнений: Тх = 50-г-0,222Г2+ 0,111^6, ' Т2 = 50 + 0,25 (Т, + Гз + Т7), Г4 = 50 + 0,25 (Г3 + Тъ + Г9), Тъ = 50 + 0,5 Г4 + 0,25Г10, Т6 = 27,778 + 0,1117\ + 0,222Г7 + 0,111 Гц, Т7 = 0,25 (Г2 + Т6 + Т8 + Т12), Т8 = 0,25 (Г3 + Т7 + Т9 + Г13), Г10 = 0,25Г5 + 0,5Г9 + 0,25Г15, Тп = 38,889 + 0,1117б + 0,2227112, Г13 = 25 + 0,25 (Г8 + Г12 + 7\4), Т15 = 25 + 0,25710 + 0,5Г14. Эти уравнения составляют часть приведенной ниже программы численного расчета между пунктами 21 и 22. Операция 2. Все начальные температуры принимаем равными нулю. Это начальное приближение далеко от ожидаемых значений температуры при за- заданных граничных условиях. Несомненно, что использование такого прибли- приближения приведет к излишним затратам времени при получении решения. Од- Однако нулевую величину удобно вставлять в программу, а излишние затраты времени не имеют особого значения, когда расчет проводится на ЭВМ. Все начальные температуры полагаются равными нулю (см. пункт 15 про- программы). Операция 3. Проведя вычисления, указанные между пунктами 21 и 22 программы, находим новые значения температур в 15 узлах. Операция 4. Новое значение температуры в каждом узле сравнивается со старым, и, если их разность меньше допустимого отклонения, заданного во входной информации, итерационный процесс заканчивается и значения темпе- температур выводятся на печать. Текущие значения температур запоминаются в строке ТA), а значения температур на предыдущей итерации запоминаются в строке ТТA). Проверка величины отклонения осуществляется в логическом пункте IF.
112 Глава 2 Ниже приведен текст программы. Тенет программы численного решения примера 2.15 DIMENSION ТA00),ТТA00) READ , N.TOLER WRITE F,10) 10 FORMAT AH ,ЗХ;*** STEADY TEMPERATURE DISTRIBUTION IN',/, 1'DEGREES CELSIUS DETERMINED BY AN ITERATION TECHNIQUE **¦',//) DO20l = 1,N 15 T(l) = 0.0 20 TT(I) = T(I) DO 70 1 = 1,50 21 TA) = 50.0+ 0.222*TB) +0.111*TF) T{2) - 50.0 + 0 250»(TA)+TC) + TG)) TC) - 50.0 + 0.250»(TB) + TD) + T(8)) TD) - 50.0 + 0.250«(TC) + TE) + T(9)) TE) - 50.0 + 0.500*TD) + 0 250*TA0) TF) - 27.778 + 0.111 »TA) + 0.222»TG) + 0.111 «TCI1) TG) - 0.250»(TB) + TF) + T(8) + TA2)) T(8) - 0.250*(TC) + TG) + T(9) + TA3)) T(9) - 0.250*(TD) + T(8)+TA0)+TA4)) TA0) - 0 250*TE) + 0.500*T(9) + 0.250*TA5) TA1) - 38.889 + 0.111 *TF) + 0.222*TA2) TA2) = 25.0 + 0.250*(TG) + TA1) + TA3)) TA3) - 25.0 + 0.250*(T(8) + TA2) + TA4)) TA4) - 25.0 + 0 250»(T(9) + T( 13) + TA5)) 22 TA5) = 25.0 + 0.250*TA0) + 0.500*TA4) DO30J = 1,N IF (ABS(TT(J)-T(J)).GT. TOLER) GO TO 50 30 CONTINUE WRITE F,40) (K.T(K).K-1,N) 40 FORMAT AH ,T(M2,') = ',F,8.2) STOP 50 DO60J-1.N 60 TT(J)=»T(J) 70 CONTINUE WRITE F,80) TOLER 80 FORMAT AH1 /TEMPERATURES DO NOT CONVERGE TO WITHIN' «F6.3,/, 1'DEGREES IN 50 ITERATION STEPS') STOP END Входная информация программы состоит из двух чисел, расположенных в одной строке в следующем порядке: N — число узлов, TOLER — допусти- допустимое отклонение (°С) между значениями на двух последовательных итера- итерациях. Если разность температур, полученных на двух последовательных ите- итерациях, в каждом узле меньше TOLER, итерационный процесс заканчивается и значения температур выводятся на печать. Таким образом, входная инфор- информация для данной программы имеет следующий вид: Входная информация программы для примера 2.15 15,0.1
Стационарная теплопроводность 113 Ниже представлена выходная информация программы численного решения примера 2.15. Выходная информация программы для примера 2.15 *** Стационарное распределение температуры в градусах Цельсия, расчитанное итерационным методом*** ТA) = ТB) = ТC) = Т<4) = ТE)« ТF)= ТG)- Т(8)- 88.48 138.78 158.41 166.16 168.25 69.19 108.36 128.84 Т(9) = Т(Ю)= ТA1)- ТA2)= ТA3)~ ТA4)= ТA5)= 138.12 140.76 68.04 96.73 110.59 116.82 118.60 Программа численного решения примера 2.15 написана в общей форме, так что ее можно скопировать и применить для решения самых разнообразных задач стационарной теплопро- теплопроводности. В качестве входной информации пользователю тре- требуется задать лишь два числа. Одно из них — число узлов N, в которых неизвестна температура, а второе — допустимое от- отклонение TOLER результатов расчета. Ввиду ограничения по емкости оперативной памяти про- программа позволяет вести расчет для 100 узлов, хотя пункт DIMENSION можно изменить и занять программой больший объем оперативной памяти. Если после выполнения 50 итераций не достигается сходимости решения, на печать выводится сооб- сообщение об отсутствии сходимости. В случае если программа применяется для другой задачи, нужно вывести новые разностные уравнения и из них выразить в явном виде температуры в отдельных узлах. Эти N уравнений должны быть введены в программу между пунктами 21 и 22. Литература 1. Schneider P. J., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley, Mass., 1955. [Имеется перевод: Шнейдер П., Инженерные проблемы теплопроводности.— М.: ИЛ., 1970.] 2. Kern D. Q., Kraus A. D., Extended Surface Heat Transfer, McGraw, N. Y., 1972. [Имеется перевод: Керн Д., Краус А., Развитые поверхности теплообмена — М : Энергия, 1977]. 3. Jakob М., Heat Transfer, I, Wiley, N. Y., 1949. [Имеется перевод изда- издания 1957 г.: Якоб М., Вопросы теплопередачи. — М.: ИЛ., I960.] 4. Gardner К. A., Efficiency of Extended Surfaces, Trans. ASME, 67, p. 621 A945). 5. Arpaci V., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley, Mass., 1966. 6. Ozisik M. N., Boundary Value Problems of Heat Conduction, Intext Publishers Group, N. Y., 1968. 7. Myers G. E., Analytical Methods in Conduction Heat Transfer, McGraw, N. Y., 1971. 8. Kazan C. F., An Electrical Geometrical Analogue for Complex Heat Flow, Trans. ASME, 67, p. 113 A945).
114 Глава 2 9. Kazan С. F., Heat Transfer Temperature Patterns of a Multicomponent Structure by Comparative Methods, Trans. ASME, 71, p. 9 A949). 10. James M. L., Smith G. M., Wolford J. C, Applied Numerical Methods for Digital Computation with FORTRAN and CSMP, 2nd ed., Crowell, N. Y., 1977. 11. Holman J. P., Heat Transfer, 4th ed., McGraw, N. Y., 1976, p. 66. 12. Kreith F., Principles of Heat Transfer, 3rd ed., Intext Publishers Group, N. Y., 1973, p. 93. 13. Rohsenow W. M, Hartnett J. P., eds., Handbook of Heat Transfer, McGraw, N. Y., 1973, ch. 5, p. 3. 14. Welty J. R., Engineering Heat Transfer, Wiley, N. Y., 1974, p. 98.
ЗАДАЧИ Задачи в этой главе сгруппированы по тематике разделов, как указано в таблице. В четырех задачах B.70—2.73) требуется получить численное ре- решение на ЭВМ, причем нет необходимости составлять новые программы, так как все нужные программы представлены при рассмотрении примеров в этой главе. Номера задач 2.1-2.23 2.24—2.27 2.28-2.34 2.35—2.46 2.47—2.48 2.49-2.58 2.59 -2.73 Раздел 2.1—2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.7 2.7 Тема Одномерная стационарная теплопроводность при отсутствии внутреннего тепловыделения Влияние переменного коэффициента теплопро- теплопроводности Одномерная стационарная теплопроводность при наличии внутреннего тепловыделения Перенос тепла в ребрах Двух- и трехмерная стационарная теплопровод- теплопроводность, аналитические методы Двух- и трехмерная стационарная теплопровод- теплопроводность, графические методы Двух- и трехмерная стационарная теплопровод- теплопроводность, численные методы 2.1. Рассчитать плотность теплового потока через плоскую кирпичную стенку [k = 0,65 Вт/(м-град)] толщиной 15 см, если температура ее наруж- наружной поверхности 35°С, а температура внутренней поверхности 25°С. Вычис- Вычислить термическое сопротивление на единицу площади поверхности стенки. Найти температуру в среднем сечении стенки. 2.2. Плотность теплового потока через алюминиевую пластину толщиной 10 см равна 5-Ю4 Вт/м2. Температура одной поверхности пластины 150°С. Найти температуру второй поверхности пластины. 2.3. Алюминиевая пластина, рассматриваемая в задаче 2.2, заменена пла- пластиной из нержавеющей стали 304 той же толщины. Плотность теплового по- потока и температура одной поверхности такие же, как и в задаче 2.2. Найти температуру второй поверхности. Сравнить это значение с температурой, по- полученной в задаче 2.2. Объяснить причину различия между двумя значениями температуры. 2.4. Площадь поверхности стены здания 500 м2, коэффициент теплопро- теплопроводности 0,7 Вт/(м-град), толщина стены 20 см. Зимой температура наруж- наружной поверхности стены 0°С, температура внутренней поверхности 20°С. Найти мощность отопительной системы (в ваттах), способной возместить потери тепла через стену. Рассчитать тепловой поток через стену. 2.5. Лист оконного стекла имеет толщину 4 мм и площадь поверхности 2 м2. Найти тепловой поток через стекло, если температура одной поверхно- поверхности 0°Q а другой 20°С. Рассчитать плотность теплового потока через стекло.
116 Глава 2 2.6. Сравнить значения плотности теплового потока, полученные в зада- задачах 2.4 и 2.5. Куда больше уходит тепла при одинаковом перепаде темпера- температур? Через стену или стекло? Предложить способы снижения потери тепла через стекло. 2.7. Цилиндр диаметром 20 см и длиной 50 см теплоизолирован по пери- периметру. Температура одного торца цилиндра 300°С, а температура в попереч- поперечном сечении на расстоянии 25 см от этого торца 100°С. Коэффициент тепло- теплопроводности 2 Вт/(м-град). Найти тепловой поток вдоль оси цилиндра й рассчитать температуру второго торца цилиндра. 2.8. По длинной алюминиевой проволоке диаметром 1 см течет электриче- электрический ток силой 1000 А. Проволока покрыта слоем резиновой изоляции тол- толщиной 3 мм [? = 0,15 Вт/(м-град)]. Температура наружной поверхности изоляции 30°С. Найти температуру внутренней поверхности изоляции. Оми- Омическое сопротивление проволоки на единицу длины 3,7-10~4 Ом/м. 2.9. Паропровод с наружной температурой 120°С и наружным диаметром 10 см покрыт слоем асбеста толщиной 5 см [& = 0,15 Вт/(м-град)]. Рассчи- Рассчитать тепловой поток от паропровода на единицу его длины, если температура наружной поверхности изоляции 35°С. Найти термическое сопротивление изо- изоляции на единицу длины паропровода. 2.10. По круглому каналу выводятся из печи газообразные продукты сго- сгорания. Диаметр канала 0,5 м, температура стенки 500°С. Найти толщину изо- изоляции [& = 0,2 Вт/(м-град)], обеспечивающую снижение температуры на- наружной поверхности до такой величины, чтобы человек, коснувшийся ее, не обжегся. Удельная теплоемкость газа 1000 Дж/(кг-град), расход 1 кг/с, па- падение температуры на длине канала 40 м составляет 10°С. Предположить, что термическое сопротивление стенки канала мало по сравнению с термиче- термическим сопротивлением изоляции и что максимальная температура, не вызываю- вызывающая ожога, равна 65°С. 2.11. Найти термическое сопротивление и тепловой поток через стенку по- полого шара внутренним диаметром 5 см, наружным диаметром 10 см и коэф- коэффициентом теплопроводности 20 Вт/(м-град). Температуры внутренней и на- наружной поверхностей равны соответственно 100 и 50°С. 2.12. Стенка большой печи толщиной 1,5 см изготовлена из чугуна. Тем- Температура горячего газа 1100°С, коэффициент конвективной теплоотдачи на внутренней поверхности стенки 250 Вт/(м2-град). Наружная поверхность печи окружена воздухом [Яс = 20 Вт/(м2-град)] с температурой 30°С. Нарисовать тепловую цепь и указать все сопротивления. Рассчитать значения всех тер- термических сопротивлений на единицу площади. Найти плотность теплового потока через стенку печи. Рассчитать температуры внутренней и наружной поверхностей стенки. 2.13. Найти толщину изоляции [& = 0,5 Вт/(м-град)], которую нужно нанести на стенку печи (задача 2.12), чтобы снизить тепловой поток вдвое. Предположить, что изоляция не повлияет на коэффициент теплоотдачи на наружной поверхности. Рассчитать температуры обеих поверхностей изоля- изоляции. 2.14. Пенопластовая камера для льда имеет форму полого цилиндра с внутренним диаметром 0,5 м, наружным диаметром 0,6 м и длиной 1 м. Ка- Камера полностью заполнена льдом с температурой 0°С. Температура наруж- наружного воздуха 30°С, коэффициент конвективной теплоотдачи между воздухом и пенопластом йс = 10 Вт/(м2-град). Найти время, за которое лед полностью растает, и температуру наружной поверхности пенопласта. Рассчитать терми- термическое сопротивление пенопласта и воздуха. Пренебречь подводом тепла с концов камеры. Скрытая теплота плавления льда 3,35-105 Дж/кг. 2.15. Изготовлено две модели подогревателя воды. Обе модели имеют форму цилиндра с двойными металлическими стенками. В более дешевой мо- модели нет изоляции между стенками, а коэффициент конвективной теплоотдачи между стенками на обеих поверхностях равен 20 Вт/(м2-град). В более до- дорогой модели зазор между стенками заполнен стекловолокном [k = = 0,05 Вт/(м-град)]. У обеих моделей внутренний диаметр стенки 0,G м, на-
Стационарная теплопроводность 117 ружный диаметр 0,7 м, высота 3 м. Температура внутренней стенки 60°С, а температура воздуха, омывающего наружную поверхность подогревателя, равна 25°С при hc = 15 Вт/(м2-град). Предполагая, что происходит одно- одномерный перенос тепла в радиальном направлении, и пренебрегая термическим сопротивлением металлических стенок, найти требуемый стационарный под- подвод мощности для обеих моделей, если из подогревателя вода не отводится. Найти в процентах экономию энергии, которую дает более дорогая модель. 2.16. Температура поверхности длинного цилиндрического стержня диа- диаметром 4 см равна 200°С. Стержень покрыт изоляцией двоякого типа, как по- показано на рисунке. Поверхность раздела двух материалов идеально теплоизо- теплоизолирована. Толщина обоих материалов 5 см, kA = 5 Вт/(м-град), kB = = 10 Вт/(м-град). Наружная поверхность изоляторов омывается воздухом с температурой 20°С и hc = 15 Вт/(м2-град). Рассматривая только стацио- стационарный перенос тепла в радиальном направлении, а) нарисовать тепловую цепь и указать все сопротивления, б) найти суммарный тепловой поток на единицу длины стержня, в) найти температуру наружной поверхности обоих изоляторов. К задаче 2.16. 2.17. Для составной стенки, показанной на рисунке, найти коэффициент теплопроводности kx. Определить, кроме того, температуры поверхностей раз- раздела Тх и Ту, _ 6=5 Вт/(м-град) Окружающая среда / hc= 20 Вт/(м2-град) / *=15 Вт/(м-град) Г700°С :г=5оо°с- -10 см- 6 см- К задаче 2.17. 2.18. Воздух, имеющий температуру, 120°С, омывает большую горизон- горизонтальную пластину из нержавеющей стали толщиной 5 см, температура верх- верхней поверхности которой поддерживается равной 250°С. Коэффициент кон- конвективной теплоотдачи равен 30 Вт/(м2-град). Верхняя поверхность теряет излучением в воздух 700 Вт/м2. Найти установившуюся температуру нижней поверхности пластины.
118 Глава 2 2.19. Хоккейная площадка спортивного сооружения имеет площадь 1600 м2. Чтобы лед сохранялся, сквозь него по змеевику циркулирует хладо- агент, как показано на рисунке. На лед с зазором 1,5 см кладется пол баскет* больной площадки. Эффективный коэффициент конвективной теплоотдачи Зсм 1,5 см т- to I 9 Излучение ламп Г-Л; Дерево WWW о WWi Воздух О лел| Змеевик Теплоизолированная поверхность К задаче 2.19. в воздушном зазоре равен 5 Вт/(м2-град). Поверхность пола находится в контакте с воздухом, имеющим температуру 25°С; коэффициент конвектив- конвективной теплоотдачи 3 Вт/(м2-град). Результирующий радиационный теплозой по- поток от освещения равен 250 Вт/м2. Коэффициент теплопроводности дерева 0,2 Вт/(м-град), льда —2,6 Вт/(м-град). Предполагается, что нижняя по- поверхность льда теплоизолирована. Если пол баскетбольной площадки остает- остается на льду 24 ч, рассчитать минимальное количество энергии, которое нужно отвести ото льда, чтобы предотвратить его таяние. Вычислить стоимость работы холодильной установки, предполагая, что к. п. д. ее равен 0,5, а стои- стоимость электроэнергии 4 коп/(кВт-ч). 2.20. Большая плоская стенка омывается жидкостью с температурой 200°С. Стенка покрыта слоем изоляции [k = 0,5 Вт/(м-град)] толщиной 5 см. Температура поверхности раздела между изоляцией и стенкой 100°С. Найти величину коэффициента конвективной теплоотдачи, которую необхо- необходимо поддерживать на наружной поверхности изоляции, чтобы ее темпера- температура не превышала 150°С. 2.21. Резервуар состоит из центральной цилиндрической секции и двух торцевых полусферических секций. В резервуаре находится горячая жид- жидкость, поддерживающая температуру внутренней поверхности стенки на уро- уровне 350°С. Резервуар изготовлен из нержавеющей стали и имеет постоянную толщину стенки 2,5 см. Наружный диаметр цилиндрической секции 2 м, дли- длина ее 2 м. Температура атмосферного воздуха, окружающего резервуар, 25°С. Коэффициент конвективной теплоотдачи от резервуара к воздуху 7 Вт/(м2Х Хград). Найти количество тепла, которое нужно подводить к жидкости в ре- резервуаре, чтобы поддерживать ее температуру постоянной. Считать, что происходит только радиальный перенос тепла через стенку резервуара. 2.22. Медный провод диаметром 2 мм, покрытый слоем изоляции толщи- толщиной 1 мм [^ = 0,18 Вт/(м-град)], при использовании в лабораторном при- приборе перегревается. Коэффициент теплоотдачи от изоляции к воздуху равен 34 Вт/(м2-град). Приведет ли утолщение изоляции к повышению теплоот- теплоотдачи от проволоки? Если приведет, то какого максимального повышения теп- лоотвода (в %) можно добиться путем утолщения изоляции? Найти крити* ческую толщину изоляции, при которой достигается максимальный теплоот- вод от провода. 2.23. Используя методику расчета критической толщины изоляции для цилиндра, описанную в разд. 2.3, показать, что критическая толщина изоля- изоляции для шара определяется соотношением Bi == #сго/6из = 2,0 или гкрИт =* = 2&из/Йс 2.24. Найти выражения для распределения температуры и плотности теп- теплового потока через плоскую стенку, имеющую переменный коэффициент теп-
Стационарная теплопроводность 119 лопроводности k(T) = ko(\ + ЬТ + сТ2). Толщина стенки L, граничные усло- условия Т@) = Т\ и T(L) = Т2. Коэффициенты b и с постоянны. 2.25. Найти выражение для стационарного распределения температуры в длинном полом цилиндре при заданных температурах поверхностей, если ко-, эффициент теплопроводности цилиндра линейно зависит от температуры, ЦТ) =*оA + РП. 2.26. На рисунке показано стационарное распределение температуры в составной стенке из четырех пластин. Перечислить коэффициенты теплопро- теплопроводности пластин в порядке возрастания. Обосновать свой ответ. К задаче 2.26. 2.27. На рисунке показано стационарное распределение температуры в плоской стенке. Возрастает или снижается коэффициент теплопроводности материала при увеличении температуры? Обосновать свой ответ. К задаче 2.27. 2.28. Ток силой 200 А пропускается через проволоку из нержавеющей стали диаметром 2 мм и длиной 1 м. Электрическое сопротивление прово- проволоки 0,125 Ом, коэффициент теплопроводности 17 Вт/(м-град). Температура поверхности проволоки 150°С. а) Найти определяющее уравнение для стационарного распределения тем- температуры Т(г) в проволоке. б) Найти граничные условия. в) Решить дифференциальное уравнение. г) Рассчитать температуру на оси проволоки. д) Предположить, что проволока покрыта слоем изоляции [k = = 0,15 Вт/(м-град)] и что коэффициент конвективной теплоотдачи на поверхности изоляций равен 60 Вт/(м2-град). Как надо изменить силу тока (увеличить или уменьшить), чтобы температура поверхно- поверхности проволоки осталась постоянной и равной 150°С? 2.29. Показать, что стационарное распределение температуры в полом ци- цилиндре с постоянными теплофизическими свойствами при равномерном вну- внутреннем тепловыделении в единице объема интенсивностью qG описывается выражением * V / ~~" *¦ О 4J и j | 1 I ь Граничные условия суть: Г{/-()= Ti и Г(го)== То
120 Глава 2 2.30. Стенка, показанная на рисунке, имеет постоянный коэффициент теп- теплопроводности. Поверхность х = 0 теплоизолирована, а поверхность х = L омывается жидкостью, которая обеспечивает постоянную температуру Т\. В стенке равномерно распределены источники тепла с интенсивностью вну- внутреннего тепловыделения в единице объема qfQ . Найти максимальную ин- интенсивность тепловыделения в единице объема стенки, при которой темпера- температура Т\ не превышает 120°С, если L = 0,1 м, ?=15 Вт/(м-град). Рассчи- Рассчитать температуру теплоизолированной поверхности стенки. A:*=constant q'^~ constant Лс=15Вт/(м2-град) 7\=80°С i К задаче 2.30. 2.31. Плоская стенка толщиной L имеет постоянный коэффициент тепло- теплопроводности k. Температуры поверхностей Г@) = Th T(L) = T2. Интенсив- Интенсивность внутреннего тепловыделения в единице объема стенки изменяется по закону qfQ = Вх2. Выразить через &, В, Гь Т2 и L следующие величины: а) стационарное распределение температуры Т(х)у б) координату плоскости максимальной температуры, в) плотность теплового потока на поверхности х = L 2.32. Одна поверхность (х = 0) плоской стенки толщиной 1 м теплоизо- теплоизолирована, а температура другой поверхности (х = L) постоянна и равна 350°С. Коэффициент теплопроводности стенки 25 Вт/(м-град), интенсивность равномерного внутреннего тепловыделения в единице объема стенки 500 Вт/м3. Найти безразмерное выражение для распределения температуры стенки. Оп- Определить максимальную температуру и координату плоскости, где достигает- достигается максимальная температура. 2.33. Длинный сплошной цилиндр радиусом го имеет постоянный коэф- коэффициент теплопроводности k. Интенсивность внутреннего тепловыделения в единице объема цилиндра qQ = Ar\ поверхность цилиндра имеет постоян- постоянную температуру 7Y Найти стационарное распределение температуры в ци- цилиндре, выраженное через k, r0, Т\ и Л. 2.34. По длинному полому цилиндру длиной L пропускается в осевом направлении ток постоянной силы /. Внутренняя поверхность цилиндра (г = = п) теплоизолирована, температура наружной поверхности (г = го) под- поддерживается равной То. Электрическое сопротивление цилиндра R. Найти выражение для стационарного распределения температуры в цилиндре. Ответ можно выразить через /, i?, k, Lt Гц го и То. 2.35. На печь поставили кастрюлю из нержавеющей стали диаметром 30 см с толщиной стенки 2 мм. В кастрюле кипятят воду, расстояние между водой и краем кастрюли 15 см. Коэффициент конвективной теплоотдачи от кастрюли к воздуху 300 Вт/(м2-град). Средняя температура воздуха внутри и снаружи кастрюли 50°С. Рассчитать температуру края кастрюли. • 2.36. Ребро круглого сечения .диаметром d и длиной L омывается жид- жидкостью с температурой Too. Коэффициент конвективной теплоотдачи от по- поверхности ребра к жидкости Яс, а коэффициент теплопроводности ребра k. Построить графически зависимость безразмерной температуры 0 = (Т — — Тоо)/(Ть — Too) от безразмерной координаты вдоль оси ребра g = x/L при трех значениях числа Био: Bi = hcPL2/kA = 0,1, 1, 10, предполагая, что по- поверхность торца теплоизолирована.
Стационарная теплопроводность 121 2.37. Алюминиевое ребро треугольного профиля установлено на поверх- поверхности с температурой 200°С. Длина ребра 10 см, толщина основания 4 см, температура окружающей среды 100°С, коэффициент конвективной теплоот- теплоотдачи 35 Вт/(м2-град). Найти тепловой поток, отводимый от единицы ширины ребра. 2.38. Ребро из нержавеющей стали толщиной 5 мм, наружным диамет- диаметром 3 см охватывает трубу внешним диаметром 1 см. Температура окружаю- окружающей среды 50°С, коэффициент конвективной теплоотдачи 40 Вт/(м2-град). Температура стенки трубы 150°С. Рассчитать тепловой поток от ребра. 2.39. Медное ребро круглого сечения площадью 0,25 см2, длиной 2,5 см установлено на стенке с температурой 175°С. Температура окружающей сре- среды 20°С, hc = 35 Вт/(м2-град). Рассчитать тепловой поток и температуру торца ребра для двух случаев: а) торец теплоизолирован и б) на поверхно- поверхности торца происходит конвективная теплоотдача. 2.40. Две очень длинные алюминиевые проволоки нужно спаять друг с другом. Проволоки находятся в воздухе [Яс = 20 Вт/(м2-град)] с темпе- температурой 25°С. Температура плавления припоя 250°С. Определить количество тепла, которое необходимо подвести к торцу проволок при стационарном рас- распределении температуры в проволоке. 2.41. Сплошной стержень круглого сечения диаметром D, длиной 2L с ко- коэффициентом теплопроводности k соединяет две стенки, имеющие одинако- одинаковую температуру Ть. Температура окружающего воздуха Гоо, коэффициент конвективной теплоотдачи hc. Найти выражения для стационарного распре- распределения безразмерной температуры в стержне и суммарного теплового по- потока от стержня. Ответ можно выразить через L, D, Яс, Т<х> и 7V 2.42. Требуется провести точные измерения плотности теплового потока от исследуемого образца. Образец нагревается до 300°С, а его температура измеряется термопарой с двумя термоэлектродами диаметром 1 мм и коэф- коэффициентом теплопроводности 75 Вт/(м-град). Температура окружающего воз- воздуха 20°С, коэффициент конвективной теплоотдачи от термоэлектродов к возду- воздуху 25 Вт/(м2-град). Найти возможную ошибку измерения плотности теплового потока от образца, обусловленную теплопроводностью термоэлектродов. 2.43. Одноцилиндровый двигатель косилки с воздушным охлаждением работает в стационарных условиях. Температура цилиндра не должна пре- превышать 300°С. Для охлаждения цилиндра предусмотрены чугунные кольце- кольцевые ребра. Внешний диаметр цилиндра двигателя у основания ребра 0,3 м. Предполагая, что двигатель работает в воздухе с температурой 30°С, а ко- коэффициент теплоотдачи на боковых поверхностях и торце ребра 12 Вт/(м2Х X град), рассчитать тепловой поток от одного ребра. Определить число ребер, необходимое для охлаждения двигателя мощностью 3 кВт до заданной тем- температуры, если к. п. д. двигателя 30%, а ребрами отводится 50% всего тепла, выделяемого двигателем. 2.44. Один конец стальной [? = 55 Вт/(м-град)] кочерги круглого сече- сечения находится в пламени. Диаметр кочерги 1 см, длина от конца кочерги до рукоятки 0,6 м. Температура конца кочерги, находящегося в пламени, 350°С; температура воздуха, окружающего кочергу, 80°С [hc = 25 Вт/(м2-град)]. Рассчитать температуру рукоятки кочерги. 2.45. В ребре постоянного сечения площадью Л, периметром Р и длиной L интенсивность равномерного тепловыделения на единицу объема составляет qQ . Ребро окружает среда с постоянной температурой Тж и. постоянным коэффициентом теплоотдачи Яс. Показать, что распределение безразмерной температуры в ребре определяется выражением rrr где 9 A) = (Г (|) - Т^Ть - Т^), Qa = qQ A/hcP (Tb - Г^-безразмерная интенсивность внутреннего тепловыделения, Bi <= ftcPL2/kA. Граничные
122 Глава 2 условия: 9@)= 1; (d9/dg) | ^=1 =0 (теплоизолированный торец). Показать, что при отсутствии внутреннего тепловыделения (QG = 0) распределение тем- температуры сводится к полученному в разд. 2.6 распределению для ребра с теплоизолированным торцом. 2.46. Паяльник имеет мощность 50 Бт. Нагревательный элемент паяль- паяльника показан на схеме. Его длина примерно 10 см, он имеет квадратное се- сечение 3X3 мм и его коэффициент теплопроводности 55 Вт/(м-град). Темпе- Температура окружающего воздуха 25°С, Яс = 15 Вт/(м2-град). Температура осно- основания нагревательного элемента 400°С. Рассчитать температуру конца паяль- паяльника в стационарных условиях. Учтено ли в ваших расчетах, что паяльник не используется непрерывно? Применить распределение температуры, найден- найденное в задаче 2.45. К задаче 2.46. 2.47. Распределение температуры в твердом теле [/> = 2,5 Вт/(м-град)] описывается законом Т(х, у) = ах2 + by2 -f ex + dy где температура выра- выражена в Кельвинах, а х и у — сантиметрах; значения коэффициентов: а = = 2,0 К/см2, 6=1,5 К/см2, с =1,0 К/см, d = 300 К. Найти направление и величину вектора плотности теплового потока в точках @,0), A 1) и C, 0). 2.48. Для распределения температуры, указанного в задаче 2.47, найти тепловой поток на единицу толщины вдоль поверхностей х = 0 от у = 0 до у = 3 см и у = 0 от х = 0 до х = 5 см. 2.49. Два паропровода находятся в контакте, как показано на рисунке, и окружены асбестовой изоляцией для снижения потерь тепла. Внутренний диаметр паропроводов 10 см, наружный диаметр изоляции 30 см. По паро- паропроводам течет пар с температурой 150°С и расходом 0,08 кг/с; средняя тем- температура наружной поверхности изоляции 35°С. Рассчитать тепловой поток через изоляцию на единицу длины паропровода. Найти формфактор тепло- теплопроводности изоляции. Определить длину паропровода, на которой темпера- температура пара снизится на 5°С. Г=35°С Г=150°С К задаче 2.49. 2.50. Трубопроводы горячей воды расположены в бетонной плите [k = 1,5 Вт/(м-град)] с шагом 0,5 м, как показано на рисунке; температура
Стационарная теплопроводность 123 наружной поверхности бетона 30°С, средняя температура воды 90°С. Рассчи- Рассчитать тепловой поток на единицу длины каждого трубопровода. 30°С 0,5 м -0,5 м К задаче 2.50, 30° С 2.51. Температура внутренней поверхности высокой дымовой трубы, пока- показанной на рисунке, 170°С, температура наружной поверхности 50°С. Рассчи- Рассчитать тепловой поток на единицу высоты трубы, если k = 2,0 Вт/(м-град). 50°С 1,5 м К задаче 2.51. 2.52. Температура одной поверхности длинного стального [?=43 Вт/(м X Хград)] уголка, показанного на рисунке, равна 100°С, температура другой по- поверхности поддерживается равной 200°С. Рассчитать тепловой поток между двумя поверхностями на единицу длины. i 20 см 100°С см -20см- 200°С К задаче 2.52. 2.53. Температура стенки канала квадратного сечения, по которому те- течет горячий газ, равна 300°С. Канал проходит внутри длинной асбестовой трубы [k = 0,25 Вт/(м-град)], как показано на рисунке. Температура наруж- наружной поверхности асбеста 45°С. Рассчитать тепловой поток от газа на единицу длины канала.
124 Глава 2 К задаче- 2 53. 2.54. Радиоактивные отходы помещены в сферический контейнер диамет- диаметром 1 м и захоронены в землю на глубину 25 м, где коэффициент теплопро- теплопроводности почвы 2,0 Вт/(м-град). Поверхность земли имеет постоянную тем- температуру 15°С. Отходы генерируют тепло с мощностью 1000 Вт. Какую тем- температуру должен выдерживать контейнер? 2.55. По подземному трубопроводу перекачивается нефть со средней тем- температурой 15°С. Трубопровод с наружным диаметром 0,5 м и внутренним диаметром 0,45 м находится на глубине 5 м, температура поверхности земли 5°С. Рассчитать стационарный тепловой поток от нефти на единицу длины трубопровода. На какое расстояние можно перекачать нефть, пока ее сред- средняя температура не упадет до 12°С, если удельная теплоемкость нефти 2000 Дж/(кг-град), а расход 50 кг/с? Коэффициент теплопроводности почвы 1,0 Вт/(м-град). 2.56. Подземный силовой электрический кабель диаметром 10 см прохо- проходит на глубине 1,5 м. Коэффициент теплопроводности почвы 1,5 Вт/(м-град), а температура поверхности земли 20°С. Электрическое сопротивление кабеля на единицу длины 10~4 Ом/м. Рассчитать максимально допустимую силу тока в кабеле, если температура изоляции провода не должна превышать 120сС. 2.57. Небольшая электрическая печь имеет форму параллелепипеда. Стен- Стенка печи изготовлена из асбеста толщиной 10 см. Внутренний объем печи вы- выполнен в форме куба со стороной 0,5 м. Найти мощность печи в стационар- стационарном режиме работы, если температура внутренней поверхности асбеста 220°С, а температура наружной поверхности 45°С. 2.58. Ось подземного нефтепровода находится на глубине 6 м. Наруж- Наружный диаметр металлической трубы 1 м, внутренний диаметр 0,95 м. Коэффи- Коэффициент теплопроводности почвы 1,5 Вт/(м-град), температура поверхности земли —20°С. Найти требуемый подвод тепла на единицу длины нефтепро- нефтепровода для поддержания средней температуры нефти на уровне 20°С, если рас- расход нефти 900 кг/с. 2.59. Температура основания ребра, показанного на рисунке, 200°С. На торце ребра расположен источник энергии, создающий плотность теплового Площадь торца 0,1 м2 а"= 5 кВт/м2 2 О 3 4 О О rr I-, // \ [*¦ 5 см-»-| : = 5Вт/(м-град) Теплоизолировано задаче 2.59.
Стационарная теплопроводность 125 потока 5000 Вт/м2. Наружная поверхность ребра теплоизолирована. С по- помощью метода релаксации рассчитать температуры в узлах 1—5. 2.60. Предполагая, что температуры в узлах 1—8, указанных на ри- рисунке, равны 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56 и 57°С, рассчитать остаточные члены в узлах 1, 2, 4 и 5 Численные значения параметров, указанных на рисунке: hex = 5 Вт/(м2-град), Яс2 = 10 Вт/(м2-град), Т* = 40рС, L = 5 см, ? = = 20 Вт/(м-град). Изменяя температуру в узле с наибольшим остаточным членом, определить температуру в этом узле, при которой остаточный член равен нулю. К задаче 2.60. 2.61. На рисунке показана твердая стенка, имеющая коэффициент тепло- теплопроводности k, которая помещена в среду с температурой Too. Вывести раз- разностные уравнения баланса энергии для узлов 1, 2 и 3, выраженные через температуры в узлах 4—9 и Bi = hcLjk. Окружающая среда К задаче 2.61. 2.62. Проверить все разностные уравнения баланса энергии, приведенные в табл. 2.3. 2.63. Решить систему пяти уравнений методом релаксации. Значения всех неизвестных находятся в диапазоне от 0 до 10. х + Ьу — Зг = 22, 6у — 2z + и = 35, 2z — bw — 14м = — 9, 3* —4z + 3o> = —11, 2х + bw — 20« = %
126 Глава 2 2.64. Рассчитать стационарные температуры в узлах 1—4 двумерного тела, показанного на рисунке. Температуры поверхностей приведены на ри- рисунке, коэффициент теплопроводности материала 2 Вт/(м-град). Вычислить температуры для двух случаев: а) внутреннее тепловыделение отсутствует; б) интенсивность внутреннего тепловыделения на единицу объема тела равна 1000 Вт/м3. 100°О> —+"--+——+— -200eC N300eC К задаче 2.64. 2.65. Решить задачу 2.64 итерационным методом. 2.66. Рассчитать температуры в девяти узлах тела, показанного на ри- рисунке, методом релаксации; коэффициент теплопроводности материала 30 Вт/(м-град). Лс= 20Вт/(м2-град) т = 50°С „Теплоизо- лировано К задаче 2.66. 2.67. Решить задачу 2.66 итерационным методом. 2.68. Сосуд Дьюара прямоугольного сечения для жидкого азота поддер- поддерживается двумя подставками из нержавеющей стали, как показано на ри- рисунке (а). Подставки фиксируют промежуток между внутренней и наружной стенками сосуда. Из этого промежутка выкачан воздух, и он заполнен тепло- теплоизоляционным материалом. Найти скорость выкипания жидкого азота вслед-
Стационарная теплопроводность 127 ствие подвода тепла по подставкам с помощью двух методов: а) метода ре- релаксации для решения разностных уравнений энергии; б) графического ме- метода. Эскиз элемента подставки приведен на рисунке (б). Жидкий азот -196°С Объем 0,3 м3 р = 807,5 кг/м3 Л -2-105Дж/кг /8 Изоляция Длина 70 см/Нержавеющая сталь 20°С К задаче 2.68(а). U 15см >l К задаче 2.68F). 15 см 2.69. Две смежные поверхности длинного прямоугольного стержня, сече- сечение которого показано на рисунке, имеют постоянную температуру, а на остальных двух поверхностях происходит конвективный теплообмен. Числен- Численные значения параметров: к = 30 Вт/(м-град), hc\ = 50 Вт/(м2-град), Йс2 = = 70 Вт/(м2-град), Too = 100°С. Применяя разбивку по узлам, показанную на рисунке, рассчитать методом релаксации стационарные температуры в 15 узлах. 10 см- 150°С К задаче 2.69. 2.70. Применить в задаче 2.69 метод обращения матрицы. Вывести урав- уравнения баланса энергии для каждого узла и определить элементы матриц А и В. Использовать программу численного решения примера 2.13. Сравнить от* вет с результатами предыдущего решения задачи 2.69.
128 Глава 2 2.71. Решить задачу 2.69 итерационным методом. Модифицировать про- грамму численного решения примера 2.15 и применить ее для вычисления тем- температур в 15 узлах Сравнить ответы с результатами решения задач 2.69 и 2.70. 2.72. На рисунке показано сечение длинного стального канала [k = = 45 Вт/(м-град)]. Температура верхней теплоизолированной поверхности 100°С, нижней 300°С. Одна боковая поверхность омывается воздухом с тем- температурой 40°С [Не = 100 Вт/(м2-град)], а вторая теплоизолирована. Вну- Внутренняя часть канала омывается жидкостью с температурой 200°С [hc = = 25 Вт/(м2-град)]. Найти стационарные температуры в 20 узлах методом обращения матрицы, используя программу численного решения примера 2.13. 100Вт/(м2трад) 0,6 м- 1 1 1 г till —I. + 4. 4. 4. (___ О i ( /IOO°C о I о ! о 16 I 17 I 18 I '10 I о i с 12 I 13 j j о <\ 5 I 6 —г +— ^Теплойзо- ^Теплойзонировано 300°C hc= 25Вт/(м2-град) 300°С ?l200oC К задаче 2.72. 2.73. Решить задачу 2.72 итерационным методом; применяя программу численного решения примера 2.15.
Глава 3 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ 3.1. ВВЕДЕНИЕ В гл. 2 мы рассматривали лишь стационарный теплообмен. Поскольку в большинстве инженерных задач происходит изме- изменение характеристик по времени, необходимо рассмотреть ме- методы расчета температур и тепловых потоков для физических систем, которые находятся в нестационарных, или переходных, условиях. Мы назовем задачу о теплообмене нестационарной, если тем- температурное поле в рассматриваемой системе изменяется по вре- времени. Нестационарный теплообмен встречается во многих прак- практических ситуациях. Например, при различных процессах обра- обработки требуется, чтобы продукт нагревался или охлаждался во время его производства. Топки и печи работают циклично, и при этом происходят нестационарные изменения температуры их со- содержимого и стенок печи. Здания претерпевают суточные и се- сезонные изменения температуры. Металлы часто нагревают и охлаждают, чтобы получить требуемые физические свойства, В двигателях происходят переходные процессы при запуске, а также более быстрые периодические нестационарные процессы на каждой части термодинамического цикла. В общем случае нестационарную задачу решать труднее, чем стационарную. В следующем разделе будут выведены со- соотношения для систем с пренебрежимо малым изменением тем- температуры по пространству, когда основное уравнение теплопро- теплопроводности сводится к обыкновенному дифференциальному урав- уравнению. В последующих разделах мы будем решать более сложные задачи. Мы рассмотрим аналитические решения и чис- численные методы, которые могут быть использованы для расчета тепловых потоков в твердых телах при изменении температуры как по времени, так и по пространству. 3.2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОМ ВНУТРЕННЕМ ТЕРМИЧЕСКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ Чтобы найти нестационарное распределение температуры и в итоге тепловой поток, необходимо решить общее уравнение теплопроводности, в которое на первых порах входит член, б Зак. 487
130 Глава 3 учитывающий аккумулирование тепла. Уравнение теплопровод- теплопроводности, которое требуется решить, имеет следующий вид: Л + ^-ТТ' <3-» Это дифференциальное уравнение в частных производных, и для нахождения его общего решения требуются сложные математи- математические методы. Опубликовано несколько содержательных моно- монографий [1—4], в которых можно найти решения уравнения C.1) для ряда конкретных случаев. Один из способов упрощения подхода к решению нестацио- нестационарных задач теплопроводности состоит в том, чтобы рассмо- рассмотреть класс задач,_в которых поле температур в твердом теле изменяется по времени, но в любой момент времени не изме- изменяется по пространству. Это означает, что температура во всех точках твердого тела равномерно изменяется по времени. Если предположить, что энергия передается от твердого тела к жидкости путем конвекции, то условие равномерного измене- изменения температуры в твердом теле будет удовлетворяться в том случае, если сопротивление теплопроводности будет намного меньше сопротивления конвекции на поверхности. Системы, удовлетворяющие этому условию, называются системами с пре- пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением, хотя некоторые авторы называют их системами с сосредоточен- сосредоточенной теплоемкостью. Если тело имеет пренебрежимо малое внутреннее термиче- термическое сопротивление, то градиенты температуры внутри тела существенно меньше, чем в окружающей среде. Чтобы опреде- определить, имеет ли тело, окруженное жидкостью, пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление, следует прежде всего сравнить величины этих двух соответствующих термиче- термических сопротивлений. Это можно сделать, определив число Био, которое является безразмерным параметром — отношением кон- дуктивного термического сопротивления к конвективному тер- термическому сопротивлению. Следовательно, если Bi==M-<l,0, C.2) то внутреннее термическое сопротивление действительно мало по сравнению с внешним, или конвективным, термическим со- сопротивлением. Величина L в соотношении C.2) — это характер- характерный линейный размер твердого тела. В дальнейшем мы убе- убедимся, что при решении задач теплопередачи характерный линейный размер будет различным для тел различной геоме* трии. Для тел неправильной формы характерный линейный раз* мер часто определяется как отношение объема к площади по* верхности. Если число Био существенно меньше единицы, можно
Нестационарная теплопроводность 131 труда получить соотношения для нестационарной темпера- температуры тела и теплового потока от поверхности твердого тела к жидкости. Рассмотрим тело произвольной формы (рис. 3.1). Из баланса энергии для твердого тела следует, что уменьшение энергии, аккумулированной в твердом теле, должно быть равно тепловому потоку, отводимому от поверхности конвекцией: - pVc ^ж1=К*А* fr w -т^ <3-3> Здесь р —плотность твердого тела, V — его объем, с — удельная теплоемкость материала, As — площадь поверхности тела. Урав- Уравнение C.3) представляет _ dT__ СОбоЙ Обыкновенное ДИффе- Окружающая *= ~Р 57 ~Лс * в ренциальное уравнение, среда причем единственной неза- независимой переменной явля- является время. Решение для мгновенной температуры T(t) будет определять тем- температуру во всех точках те- тела, включая его поверх- поверхность, поскольку мы предпо- предположили, что внутреннее Рис- зл-- Баланс энергии для твердого трпмичргкор гпппотияпение тела с пРенебРежимо малым внутренним термическое сопротивление термическим сопротивлением. пренебрежимо мало. Уравнение C.3) можно несколько упростить, введя новую искомую функцию 9(/) = Г (/)-7^. C.4) Чтобы решить уравнение C.3), нужно задать температуру тела в некоторый момент времени. Если предположить, что в на- начальный момент времени t = 0 температура тела известна и равна Го, то начальное условие для уравнения C.3) имеет вид 0О = ГО — Т„ при / = 0. C.5) Решение уравнения C.3) при начальном условии C.5) выра- выражается формулой Q @ o~~(hcAsl&Vc) t (rx a\ Формула C.6) записана в безразмерном виде и, следовательно, параметр HcAst/pVc должен быть безразмерным. Этот параметр является в действительности произведением двух безразмерных критериев, уже использованных нами. Один из них — это число Био C.2), а второй — число Фурье BЛ5). Произведение чисел Био и Фурье равно 5*
132 Глава 3 Характерный линейный размер L для рассматриваемого нами тела произвольной геометрии определяется как отношение объ- объема твердого тела к площади его поверхности Число Фурье не участвовало в рассмотренных ранее задачах стационарной теплопроводности. Оно является важным безраз- безразмерным параметром для задач нестационарной теплопроводно- теплопроводности. Если ввести числа Био и Фурье, то формула C.6) прини- принимает вид В (О f е, 'о C.8) Следует помнить, что она позволяет точно определить изменение температуры твердого тела по времени лишь при условии пре- пренебрежимо малого внутреннего термического сопротивления. Первым шагом при решении любой нестационарной задачи яв- является определение числа Био. Известно, что если Bi<0,l, то ошибка в значениях температуры, рассчитанных по формуле C.8), не превышает 5%. При меньших значениях Bi точность повышается. Если число Био больше 0,1, то следует примириться с большими ошибками или решать задачу другим методом. Ме- Методы, учитывающие пространственное изменение температуры в твердом теле, будут описаны в следующих разделах. После того как изменение температуры твердого тела по времени определено, можно рассчитать суммарную теплоот- теплоотдачу и мгновенный тепловой поток от поверхности твердого тела, определив количество тепла, отводимое от поверхности. Вели- Величина мгновенного теплового потока в момент времени t равна Подставляя сюда значение мгновенной температуры из C.8), можно выразить в безразмерной форме величину мгновенного теплового потока от твердого тела с пренебрежимо малым вну- внутренним термическим сопротивлением: hcAs (To — C.9) Суммарное количество тепла, отданное твердым телом в пе- период от 1 = 0 до произвольного момента времени /, можно найти, интегрируя соотношение C.9) в этом интервале времени. В результате получаем Q@ = или в безразмерном виде Q@ ^м rmpni I C10) hcAs (Го — Гоо) / Bi Fo *
Нестационарная теплопроводность 133 Здесь q(t) — мгновенный тепловой поток от твердого тела, который обычно выражается в ваттах; Q(t)— полное количество тепла, отданное телом, которое выражается в ватт-секундах, или джоулях. Соотношения для q(t) и Q(t) являются точными лишь для систем с пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением, т. е. при Bi <С 1,0. а. Тепловая система 6. Электрическая система Физическая схема: T{t\ Окружающая среда r-r4 *с ?>т- \Х Ч /ТвердоеХ \ ( тело \ I УА) Е± Уравнение сохранения: Начальное условие: 0@)= 7*0-7^ = 00 Решение для потенциала: Рис. 3.2. Аналогия между нестационарными процес- процессами переноса тепла и электричества. Соотношения для изменения температуры по времени и теп- теплового потока в случае пренебрежимо малого внутреннего тер- термического сопротивления применимы и для другого важного класса задач. Если твердый материал заменить жидкостью, ко- которая непрерывно перемешивается, так что в любой момент вре- времени в жидкости отсутствуют перепады температуры, жидкость будет иметь очень малое внутреннее термическое сопротивление по сравнению с внешним конвективным термическим сопротив- сопротивлением. Для такой хорошо перемешанной жидкости, как ее на- называют, применимо соотношение C.8), определяющее мгновен- мгновенную температуру жидкости; мгновенный тепловой поток опре- определяется формулой C.9), а суммарные потери тепла — соотно- соотношением C.10). В разд. 2.7 отмечалась аналогия между потоком тепла и электрическим током для установившейся системы. Такая же аналогия существует и для нестационарного потока теп- тепла от тела с пренебрежимо малым внутренним термическим
134 Глава 3 сопротивлением. Две такие аналогичные системы проиллюстри- проиллюстрированы на рис. 3.2, где выписаны аналогичные друг другу урав- уравнения сохранения и решения для температуры в тепловой си- системе и для электрического потенциала в электрической системе. Если сравнить уравнения сохранения для обеих систем (рис. 3.2), то можно видеть, что термическое сопротивление конвективного слоя равно i/HcAs. Кроме того, теплоемкость твердого тела Ct = pVc. Теплоемкость пропорциональна про- произведению массы на удельную теплоемкость твердого мате- материала. Следовательно, тело из материала с большей удельной теплоемкостью будет медленнее реагировать на внешнее изме- изменение температуры, чем тело той же массы из материала с более низкой удельной теплоемкостью. Об объекте с более медленной реакцией на изменение температуры говорят, что он имеет боль- большую теплоемкость. Пример 3.1. Шарикоподшипники из хромистой стали [k = 50 Вт/(м X Хград), а= 1,3-10 м2/с] подвергаются термической обработке. Они нагре- нагреваются до температуры 650°С, а затем резко охлаждаются в ванне с маслом, имеющим температуру 55°С. Диаметр шарикоподшипника 4,0 см. Коэффи- Коэффициент теплоотдачи от шарикоподшипника к маслу 300 Вт/(м2-град). Опреде- Определить: а) сколько времени подшипники должны оставаться в масле, пока их температура не снизится до 200°С; б) общее количество тепла, отданное каждым подшипником за это время; в) значения мгновенного теплового по- потока от подшипников в моменты времени, когда они погружаются в масло и когда их температура достигает 200°С. Решение. Чтобы определить, выполняется ли для подшипников условие пренебрежимо малого внутреннего термического сопротивления, проверим сначала величину числа Био: ш_ hcL __ hc(V/As) _ hc(r/3) __ 300@,02/3) Поскольку число Био меньше 0,1, применимы соотношения, полученные в этом разделе, и погрешность результатов расчета будет невелика. Можно выразить число Фурье через искомое время: F - at — at — 1»3-1(Г5 L2 ~" (г/3J "" @,02/3J ' а) Время, необходимое для снижения температуры шарикоподшипников до 200°С, определяется с помощью формулы C.8): 200 - 55 _ 650 — 55 @,04) @,2930 Отсюда t = 120,5 с, что соответствует числу Фурье 35,31. б) Общее количество тепла, отданное каждым подшипником в течение первых 120,5 с, равно Q = hcAs (Го - Г,) [1 - е~т Fo] -gj^- = = 300 • Ы @.02J F50 - 55) [l - е~<°.°№0] ]2^ = 5,79 ¦ 104 Дж.
Нестационарная теплопроводность 135 в) Мгновенный тепловой поток при t = О (или Fo = 0) составляет q = hcAs (Го - Гоо) = 300 • 4л; @,02J F50 - 55) = 897 Вт, а при / = 120,5 с (Fo = 35,31) мгновенный тепловой поток равен q = hcAs (Го - Т^) e~Bi Fo = 300. An @,02J F50 - 55) 218 Вт. 3.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОМ ТВЕРДОМ ТЕЛЕ Полубесконечным твердым телом можно считать большое тело с одной плоской поверхностью. Хорошим примером полу- полубесконечного тела является земля. Если температура поверхно- поверхности земли изменяется, тепло отводится в землю, и поскольку ее размеры можно считать бес- бесконечными, температура зави- зависит от расстояния от поверхно- поверхности земли х и от времени t, т. е. в математической форме T=T(xf t). Основное уравне- уравнение B.6) для случая нестацио- нестационарной теплопроводности в полубесконечном твердом теле упрощается и принимает вид где координата х измеряется от поверхности (рис. 3.3). Прежде чем перейти к ре- решению уравнения C.11), сле- следует задать одно начальное и два граничных условия. На- Начальное условие записывается следующим образом: Пу П\ Т (Ч 1 9^ Рис. 3.3. Полубесконечное твердое тело. Это означает, что в начальный момент времени t = 0 все полу* бесконечное твердое тело имеет постоянную температуру Го,. Одно из граничных условий требует, чтобы температура ма- материала на бесконечно большом расстоянии от поверхности оставалась постоянной по времени: T(oo,t) = TQ. C.13) Теперь, задавая различные варианты второго граничного усло- условия, можно найти соответствующие решения. Рассмотрим два возможных случая. Случай К Изотермическое граничное условие
136 Глава 3 Одно из возможных грацичных условий, которое физически сравнительно легко осуществить, состоит в том, чтобы внезапно изменить температуру поверхности (х = 0) до величины fs и поддерживать ее постоянной. Изотермическое граничное усло- условие можно выразить математически следующим соотношением: Г @,0 = Г.. C.14) Решение уравнения C.11) при двух граничных условиях C.13) и C.14) и начальном условии C.12) выражается соотношением Т(х t)-Ts _ f C.15) Способ получения этого решения приведен в работе [5]1). Функция ошибок Гаусса erf часто встречается в инженерной практике: v 0 Значения функции ошибок Гаусса затабулиррваны в приложе- приложении III и представлены графически на рис. 3.4. 1 г ^'0,6- Рис. 3,4. Распределение температуры в полубесконечном твердом теле при внезапном изменении температуры пове^хноей. Плотность ^кондуктивного теплового потока, поступающего в полубесконечное твердое тело, можно найти, применяя закон 1) Многочисленные аналитические решения дифференциального уравнения теплопроводности для тел различной формы при разнообразных граничных условиях приведены в монографиях А. В. Лыкова: Теплопроводность и диф- диффузия.— М.: Гостехиздат, 1941; Теплопроводность нестационарных процес- процессов.— М. — Л.: Госэнергоиздат, 1948; Теория теплопроводности. — М.: Выс- Высшая школа, 1967. Там же широко представлены вспомогательные графики и диаграммы, — Прим. ред.
Нестационарная теплопроводность 137 Фурье на поверхности: = _k(TQ-Ts)-?-\eri(-±=)]\ , с-о дх L \2<s/at /Л*=о или ?//@=-^^^1. C.16) Общее количество тепла, поступающее в тело вследствие тепло- теплопроводности за период времени от t = 0 до t = /, составляет •Л, Л/ ТГГГ J или (ЗЛ7) Случай II. Конвективное граничное условие Вместо изменения температуры поверхности полубесконеч- полубесконечного тела можно принять условие воздействия на поверхность жидкости с температурой Too при среднем значении коэффици- коэффициента конвективной теплоотдачи Ис. Тепло, поступающее к по- поверхности тела от жидкости вследствие конвекции, распростра- распространяется в нем посредством теплопроводности. Граничное условие для задачи такого типа имеет вид Ac[71oo-r@,0I = -^(|j)L0. C.18) Решение уравнения C.11) при начальном условии C.12) и двух граничных условиях C.13) и C.18) определяется соотношением [5] Т ? - ГрГ° = 1 - erf g - {exp [Bi + л] [ 1 - erf (s + Vq)l). C.19) где | = V*74a/ = Fo-J/2/2; Fo = at/x2; Bi = hcx/k; ц = hlat/k2 = Bi2 Fo. Итак, распределение безразмерной температуры в полубес- полубесконечном твердом теле с постоянной начальной температурой, на поверхность которого начиная с момента t = 0 воздействует жидкость с температурой Гоо, является функцией только чисел Био и Фурье. Для наглядности на рис. 3.5 представлены резуль- результаты расчета по формуле C.19). Соотношения для распределения температуры и теплового потока, полученные в этом разделе, справедливы только для полубесконечного тела. В этой связи возникает логичный вопрос: насколько велики должны быть размеры твердого тела, чтобы его можно было считать полубесконечным? Разумеется, если значения времени, при которых требуется найти решение, так
138 Глава 3 малы или коэффициент теплопроводности так низок, что тем- температура на рассматриваемой глубине твердого тела конечных размеров не изменяется по сравнению с начальным значением, такое тело тоже можно считать полубесконечным. Согласно Рис. 3.5. Распределение температуры в полубесконечном твердом теле, на поверхности которого происходит конвективная теплоотдача к внешней среде, имеющей температуру Too. Крейту [6], большую пластину толщиной L можно считать па* лубесконечной, если выполняется условие Fo = -~-<l,0. C,20) Следовательно, распределение температуры в пластине конечной толщины, удовлетворяющей условию C.20), будет описываться соотношением C.15) или C.19) в зависимости от граничного условия (случай I или случай II соответственно). Пример 3.2. Большой плоский нагреватель с температурой поверхности 100°С положен на землю (& — 2,0 Вт/(м-град), а = 5-10-7 м2/с). Почва вначале имела постоянную температуру 15°С. Найти температуру на глубине 5 см под нагревателем через 2 ч его работы. Определить общее количество тепла на единицу площади, отведенное в почву за первые 2 ч. Решение. Земля является полубесконечным телом, а нагреватель нахо- находится в непосредственном контакте с землей. Следовательно, граничное усло- условие соответствует случаю I, и распределение температуры определяется соот- соотношением C.15) ~ erf 0.417, 7200 Т (*, t) — 100 15— 100 = erf 0,417 = 0,445, или T(xt t) =62,2°C.
Нестационарная теплопроводность 139 Общее количество тепла на единицу площади, отведенное в течение 2 ч, рас- рассчитывается по формуле C.17): Q" @ « 2k (Г, - Го) д/— = 2 B,0) A00 - 15) a/ J^-a - V яа V лE-10 ') =з 2,3 • 107 Вт • с/м2 =* 6,39 кВт • ч/м2- Пример 3.3. Большая стальная пластина имеет вначале постоянную тем- температуру 300°С. Пластину нужно охладить воздухом с температурой 50°С, омывающим одну ее сторону. Толщина пластины 10 см, коэффициент темпе- температуропроводности 10~5 м2/с, коэффициент теплопроводности 40 Вт/(м-град), коэффициент конвективной теплоотдачи от пластины к воздуху 400 Вт/(м2Х Хград). Сколько времени нужно пропускать воздух над поверхностью пла- пластины, чтобы температура ее поверхности понизилась до 200°С? Каковы тем- температуры на расстоянии 1 и 10 см от поверхности в момент времени, когда температура поверхности достигнет 200°С? Решение. Сначала проверим величину числа Био, чтобы установить, вы- выполняется ли условие пренебрежимо малого внутреннего термического сопро- сопротивления системы: Ei=M, = 400@,1) =1Д Ei= = Система имеет существенное внутреннее термическое сопротивление, так что нельзя применять соотношения, полученные в разд. 3.2. Затем проверим величину числа Фурье, чтобы установить, можно ли счи- считать пластину полубесконечным телом *°~ L2 ОД2 -10 U Следовательно, согласно условию C.20), пластину можно Считать полубеско* нечной в течение промежутка времени, не превышающего 1000 с A6,67мин). Чтобы найти время, за которое температура поверхности снизится до 200°С, можно либо провести расчет по формуле C.19), либо использовать данные рис. 3.5. Применяя данные рис. 3.5, замечаем, что поверхность пла- пластины, х = 0, соответствует абсциссе х/2 л/аГ = 0, а безразмерная температура поверхности в неизвестный момент времени равна Г @,/)-Го __ 200-300 0 T^-Tq "" 50-300 ' Снимая данные с рис. 3.5, находим ИЛИ t Поскольку температура поверхности снижается до 200°С за время, меньшее 1000 с, пластину действительно можно считать полубесконечным твердым те- телом.
140 Глава 3 Чтобы определить местные температуры в сечениях х = 1 см и х = = 10 см в момент времени 250 с, проведем расчеты в соответствии со сле- следующей таблицей: Координата xIIocm х/2\Я 0,1 1,0 0,50 0,5Q 0,325 0,039 T(x,t) 219°C 290°C В течение первых 250 с температура в сечении х = 10 см снизилась всего на 10°С, т. е. сравнительно на небольшую величину, что подтверждает пра- правильность использования соотношений для полубесконечного тела в случае пластины конечной толщины. 3.4. ДИАГРАММЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Решение одномерных задач Для тел простой геометрии, часто встречающихся в инженер- инженерной практике, были получены аналитические решения нестацио- нестационарного уравнения теплопроводности. Наибольшее практическое значение имеют тела трех видов: 1. Бесконечная пластина шириной 2L, для которой Т = = Т(х, t)f где координата х отсчитывается от средней плоско- плоскости пластины. 2. Бесконечно длинный сплошной цилиндр радиусом го, для которого Т =T{r,t). 3. Сплошной шар радиусом го, для которого Т = T(r, t). Гра- Граничные условия для всех трех тел аналогичны. Первое — это условие теплоизолированности в средней плоскости пластины, на оси цилиндра и в центре шара. Второе граничное условие требует, чтобы тепловой поток с внешней поверхности твердого тела отводился жидкостью с тем- температурой Гоо при коэффициенте теплоотдачи Яс. Это граничное условие выражается математически следующим образом: hc(Ts-TJ k%[, где индекс s относится к параметрам на поверхности твердого тела, а п — координата по нормали к поверхности тела. Можно принять и другое граничное условие, если рассмо- рассмотреть предельный случай бесконечно большого коэффициента конвективной теплоотдачи. При Нс-^<х> термическое сопротив- сопротивление конвективного слоя пренебрежимо мало и температура поверхности тела равна температуре жидкости. Следовательно,
Сводка безразмерных параметров, необходимых при использовании расчетных данных (рис. 3.6 — 3.8) Таблица 3.1 Форма тела Обозначения Безразмерная линейная координата Число Био Число Фурье Безразмерная температура в сред- среднем сечении (на оси, в центре) 9@, О/во Безразмерная местная температура 9(х, 0/9@, 0 или 9(г, 0/9@,0 Безразмерный теплоотвод Q @ Q' @ Q" @ Qo Qo Qo Бесконечная пластина толщиной 2L Окружающая среда 1 Окружающая среда X т hcL к at L2 Рис. 3.6а Рис. 3.66 Рис. З.бв ао~рсцто-т„) Бесконечно длинный цилиндр радиусом г« Окружающая среда г Го hcr0 к at Л Рис. 3.7а Рис. 3.76 Рис. 3.7в QQ «a pcnrl (Tq — Гто) Шар радиусом п Окружающая среда г hcro к at Т Рис. 3.8а Рис. 3.86 Рис. 3.8в Q — С4 ЯГ3 (Г о л оо/
142 Глава 3 ГО = 8 ^2 rf Hi II II II / J / 1 I ШЪИ'М VMM ti't.vr* i V.V.f/. 1 НИИ tllMMf ИН.'ГЛ! fflflfi i firm IJtrffl пиши/ rffluT Hnwl и № Rffffl нШ Htnf 1 i ш Ш: НтН- - 1 - / It ft *t 1 1 j 3" с ^e У z Z2 T 9 T С % or II 7 ' < // // -f 1 II ft r // /у ' / / / / /у ' / ?-f ft y> / 1 / / // / / у -Л щ у-, if ' ^^ t f /to ^ f // ' У i ¦ f 1 j 7* // у * iff'1' %?? * ' J  r> - ^<. . p.2 1-е ?; = . z g z .^ ¦^"_ / —p г— *^\ {*+ \^* —-p _^ У у ^^.¦И*" | i a / у У у ¦' "^^У.. - ¦ = ¦: !is life — ¦и: Г ^» ее: / —-; \-^ р- У у1 у \ ¦ ' у У У^~ ^-¦"** § я I 03 о о S я а I со ев о" оЧГо- о" сГ
Нестационарная теплопроводность 143 хотя представленные ниже результаты получены в предположе- предположении о наличии конвективного переноса тепла с поверхности тела, можно получить решение для изотермического граничного условия, рассмотрев предельный случай hc—> оо или Bi->oo. 1 0,9 1" ^ -0,6 аз 0,2 0,1 о 0,01 Г" °4- 0,5.. 0,6.. 0/7 0,8 „ °49'' 1 / / / / — - ¦ .- - ¦ -*' / t / / / ' у ж Him к I ОД 1,0 10 100 Рис. 3.66. Безразмерная местная температура бесконечной пластины шириной 2L в зависимости от температуры в среднем ее сечении. 1 0,9 0,8 0,7 0,3 0,2 к — а. 7 11 / / / ¦<^: Y/ \\/, \\i 1 n ' / / у 'У i i i / I 1 111 If 1 / 1 1 ) V / * / / <^ * I I 1 / ' i j / f. ?< i j j ) t T~ j '' \ f f 1 j ( f / I 1 7 10 10 ' 10 (BiJ(Fo) Ю l hUt кг 10 Рис. З.бв. Безразмерный теплоотвод от одной поверхности бесконечной пла- пластины шириной 2L. Начальное условие одинаково для всех трех тел. В момент времени t = 0 твердое тело имеет постоянную температуру Го. 3 этот момент времени внешняя поверхность твердого тела по- погружается в жидкость с температурой Too и начинается процесс нестационарного теплообмена. Решения для распределения температуры и теплового потока для трех рассматриваемых конфигураций обычно представляю?
144 Глава 3 rt I f 4 № in ii in in in in in № № Ш IT - -1 \— s - 2 Mlflfl I U lit I ill 111 шШ HI1 ¦II flff ffi ¦ Iff ШГМ llflfJ/J IliffirWi ШШ1 тш щи. Witt Штп Ш Wv- WWIM ¦wniik unit/ il'Mi7i ниш 1ШШ ПШЙ пиши ЧШАГ/, mil/мм tHJtW Ш 1 h-H' // у ' / /1 Mi ЙШ r H * t ft —f- /j // / / fj If I 1 , f ( 1 i f i JJ 11 I I 1 J ' j / i II j/ '/j ? / 'Ф / / t ' / / ' {/'/ // у У Уу* ' УУУ ^Уу'' II 1 1 / ч ' 1 *\ / 1 J 1 / / / / / / J J / J / / / if ' f // // i/ У . У У у^' ' *?у г/ / / ^ / <f у у У У У У ' У**У** ¦ -1 ; / ' г 2 У t- \ 7 у / с / о? у* J d. с? ~7 /* ( > N y. у / / / •/*- у У 5^ у J / у у У у у У Лъ* у ?? / у у "^с у уг * У у У ' ' У^ .' у у у / 'V ' \ ГУ Fa. >\ *' У У* - ^^ у у У t <• » н ' , А?" ^ 3 ^^. «: i- * - ?и * Г - 7 j I . ~.л 7 ^ г ^- ' г >* =i У- л "^* у W у у У\ '— у *•* \у \-^ —¦' lllJi у у у у* у у у —¦ у у у у у ^у у —-_, у ^у у^ ^у 8 1 о" о'о" о" о* о оо о о 8888 8 8 о<э<э<э а о 8 СЗ ч о я 1 о I о 8 2 cd I СО i Си
Нестационарная теплопроводность 145 в графической форме с использованием безразмерных перемен- переменных. Мы убедились, что определяющими параметрами в зада- задачах нестационарной теплопроводности с конвективным гранич- граничным условием являются числа Био и Фурье. Три рассматривае- Рис. 3.76. Безразмерная местная температура бесконечно длинного цилиндра радиусом г0 в зависимости от температуры на его оси. 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 7/, /У L // /// / 1 10 102 103 104 Рис. 3.7в. Безразмерный теплоотвод от бесконечно длинного цилиндра радиу- радиусом Го. мых нами случая не служат исключением. Значения местной температуры зависят от безразмерной линейной координаты внутри тела, числа Био и числа Фурье. Сводка выражений для всех безразмерных параметров представлена в табл. 3.1. Значения безразмерной температуры представлены графи- графически на рис. 3.6а, 3.66; 3.7а, 3.76 и 3.8а, 3.86. На рис. 3.6 при- приведены значения для бесконечной пластины шириной 2L, на рис. 3.7 — для бесконечно длинного цилиндра, на рис. 3.8 —для
146 Глава 3 Illl 1 1 jO 1,5-; 7 Ш MfUftt ШмшШ iiSintt i ШШ Пя/тгм If н ft Vnfl ft i If Witt} ttthffluJi WfNjtf Wjjht Иг7 / Ууу,' J ^ У/ ' ES 7_ а! 1 т. ~7 ц ? Z г ? i / / ¦А t? < /у л/ ^ У у 1 1 f I I j I I ,111 Jfi/JV W>9'/.'A /И 2 7~7 i^> ^ у?т :?' If/ ' / / j t / / ' t /yy ; '" У У " у j, * + f f / v / / '/ /// '' /// ' ' /"ууУ .' ' У* • ' p »- ^5 ^ ^- ^ 2_ 7~~7 *~ У. z-z у r. V / ^1 Us у у У у * гу~^ ': У ^f 1 ' / / ,. у у t *, у s' = = = = /> ^у^:Х ¦¦; - •> ~* У — -и ^ К *** 2! > у .^¦= *?- у —L -^ у у У* yS у* С—? у +*-~~ j- —¦ ¦— у <-г—— ^— << i j у «о CS о сч 90110 130 170 о с-» о «о ? 20 25 30 иусом г 1015 а vo о. 3 4 фа в це со ?» °^ Л О. <N С - г з 1 СО «л cd ) ( Без] Г- «/I^f ГЛ CM г— Г» fnrt П M —* Г- »^Tt f> CN —«W' , , о ооо о- о о goo о о. gogo о § g о" оо о о о ^ (; 'о)е^
Нестационарная теплопроводность 147 шара. На рисунках 3.6а, 3.7а и 3.8а представлены серии кривых, выражающих безразмерную температуру на оси тела: 6 @, t) = т (О, t) - т^ е0 т0 - т^ * C.21) Чтобы найти местную температуру вне осевой линии, нужно использовать результаты, приведенные на рис. 3.66, 3.76 и 3.86. 1 0,9 ггя 0,8 *f 0,7 С 0,6 S 0,5 II 0,4 В 0,3 * п? 0,2 0,1 0 0 0 / I5- 0,6. 0,7. -0 -0 - Г' = 0,2 ТШ1—Т / у J / / / /  '  ' / , У У/ 1 у ш 1 111 ¦J [¦ 111 к 0,01 0,1 10 100 вг Рис. 3.86. Безразмернал местная температура шара радиусом гов зависимости от температуры в центре шара. 1 0,9 0,8 - 0,7 0,6 i|<S 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 / ? у || % т г 1 j 7 ) /f' А'* it ! ш i 7 / 7 / / ! ( m 1 II > f t J f 11 п 1 1 I T /\, ?'¦' 7 / ^ / / / / i 1 i 1 I / < V // / 1 I / / : <* 1 i f / I 1 1 / 1 f- у У ' i 1 \t ,.' hcr0 к Illllll О ю-5 ю-4 (BiJ(Fo) = 1 Ic2oct 10 102 Ю3 104 Рис. 3.8в. Безразмерный теплоотвод от шара радиусом r0. Представленные на указанных рисунках серии кривых выра- выражают зависимость местной температуры от температуры на оси тела; отношение этих величин для бесконечной пластины выра- выражается формулой Т (х, t) - То e @, t) т (o, /) -: C.22)
148 Глава 3 Аналогичные выражения получаются для бесконечного цилиндра и шара. Чтобы найти значение местной температуры, следует использовать произведение соотношений C.21) и C.22): Т (*, 0 - т„ __ 9 @, t) е (л:, О т0 -т^ dQ e (о, t)' Как только найдено распределение температуры, можно рас- рассчитать тепловой поток от поверхности твердого тела, применяя закон Фурье на поверхности раздела тела и среды. Значения безразмерного теплоотвода от поверхности представлены гра- графически на рис. З.бв для бесконечной пластины, на рис. 3.7в — для бесконечно длинного цилиндра и на рис. 3.8в — для шара. Каждое значение Q(t) представляет собой общее количество тепла, отводимое от поверхности к греде за период времени от t = 0 до t = t. Нормирующая величина Qo — это начальная энергия твердого тела в момент времени t = 0, если нулевая энергия соответствует температуре Too. В табл. 3.1 для удобства приведены значения Qo для трех рассматриваемых форм тела. Поскольку объем пластины бесконечен, безразмерный теплоот- вод для этой конфигурации выражен на единицу площади по- поверхности и обозначен Q"(O/Qo- Объем бесконечно длинного цилиндра также бесконечен, поэтому относительный теплоотвод Q' @/Q6 выражен на единицу длины цилиндра. Объем шара конечен, и для этого тела относительный теплоотвод равен про- просто Q(t)/Qo. Если величина Q(t) положительна, тело отдает тепло в окружающую среду, т. е. тело охлаждается. Если вели- величина Q(t) отрицательна, тело нагревается окружающей средой. Представленные диаграммы позволяют решить два общих класса нестационарных задач. К первому классу относятся за- задачи определения местной температуры, если задано время. Ко второму классу относятся задачи определения времени, по исте- истечении которого местная температура принимает заданное зна- значение. Задачи первого класса можно решить непосредственно с помощью диаграмм. Задачи второго класса иногда решают ме- методом проб и ошибок. Приведем примеры решения задач обоих классов. Пример 3.4. Длинный чугунный [k = 70 Вт/(м-град), а=*210-р ь2/с) цилиндр диаметром 20 см имеет вначале постоянную температуру 400°С. На- Наружная поверхность цилиндра охлаждается воздухом с температурой 50°С при коэффициенте конвективной теплоотдачи 420 Вт/(м2-град). Найти тем- температуру поверхности и температуру на оси цилиндра после его охлаждения воздухом в течение 20 мин. Рассчитать общее количество тепла, отданное единицей длины цилиндра за 20 мин. Решение. Найдем число Био, чтобы проверить, имеет ли система прене- пренебрежимо малое внутреннее термическое сопротивление: Отсюда следует, что в рассматриваемом теле должны существовать большие
Нестационарная теплопроводность 149 температурные градиенты, поэтому необходимо применить решение в виде диаграмм. Рассчитаем необходимые параметры, указанные в табл. 3.1: hlat D20J B • 1<Г5) B0 • 60) (Bi)* (Fo) ¦—|s— щг 0,86, 90 = Го - Т„ = 400 - 50 = 350°С, Qf0 = рскг* (Го - Гте) = -t-nrl (Г0-Гоо)=-^г-5 л @,1J C50)=3,85 • 107 Дж/м. (X a* 1U С помощью диаграммы 3.7а находим значение безразмерной температуры на оси цилиндра при Fo = 2,4, Bi-1 = 1,66: 6@,0 по, Q-Гоо nnQ или Т @, *) = 0,09 (Го - Гто) + Гоо = 81,5°С. По диаграмме 3.76 найдем отношение температуры поверхности (г/г0 = 1,0) к температуре на оси цилиндра: иг., о L 075 6@,0 так что температура поверхности равна . = 0.75 • 0,09 = 0,0675, U (и, t) или Т (го, 0 « 0,0675.350 + 50 = 73,6°С. Количество тепла, отданного поверхностью, можно найти с помощью диа- диаграммы 3.7в: 'j0,88, или Q'(t) = 0,88-3,85-107 = 3,39-107 Вт-с/м = 9,41 кВт • ч/м. Пример 3.5. Большая плита из нержавеющей стали (к = 30 Вт/(м-град), а = 1,5-10 м2/с) толщиной 30 см выходит из прокатного стана, имея по- постоянную температуру 800°С. Плита охлаждается с обеих сторон высокоско- высокоскоростными воздушными струями. Температура воздуха 30°С, коэффициент кон- конвективной теплоотдачи от поверхности плиты к воздуху 500 Вт/(м2-град). На поверхность плиты нужно положить слой пластиковой теплоизоляции, но тем- температура поверхности стальной плиты при этом не должна превышать 200°С. Определить минимальное время, в течение которого нужно обдувать плиту, чтобьд можно было положить слой теплоизоляции. Решение. Находим число Био (табл. 3.1) V, 500-0,15 ш ш-~-—зо— Следовательно, необходимо применить решение в виде диаграмм. Нельзя не- непосредственно использовать диаграмму на рис. 3.6а, поскольку на ней приво- приводятся температура в среднем сечении и время, а обе эти величины неиз- неизвестны. Сначала нужно с помощью рис. 3.66 найти температуру в среднем сечении плиты: 6(L, t) _ 200-30 _ 170 _ е (о, t) ~ т (о, /) - зо ~~ т (о, *) - зо ~~ • ¦ или Т @, 0 « 444,6°С.
150 Глава 3 Безразмерная температура в среднем сечении плиты равна 9 @, 0 444,6 - 30 800 - 30 s 0,538. Теперь по диаграмме на рис. 3.6а находим, что при Bi~1 = 0,4 и безразмер- безразмерной температуре в среднем сечении 0,538 число Фурье Fo = at/L2 == 0,60, или t = 900c = 15 мин. Решение двумерных и трехмерных задач Диаграммы для одномерных нестационарных задач можно применить к решению двумерных и трехмерных задач, используя произведения значений, снятых с диаграмм для одномерной за- задачи (рис. 3.6—3.8). Решения двумерных и трехмерных задач с помощью диаграмм для одно- одномерной задачи можно найти на том основании, что решение диф- дифференциального уравнения в част- частных производных можно предста- представить в виде произведения реше- решений двух или трех обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательство этого положения можно найти в работе [3] (разд. 5.2). Метод представления решения в виде произведения лучше все- всего проиллюстрировать на при- примере. Предположим, что нужно Рис. 3.9. Цилиндр конечной длины. найти нестационарную температуру в точке Р цилиндра конеч- конечной длины (рис. 3.9). Положение точки Р определяется двумя координатами (х, г), где х — координата вдоль оси, измеряемая от среднего сечения цилиндра, а г — радиальная координата. Начальное и граничные условия такие же, как при решении одномерной нестационарной задачи. Вначале цилиндр имеет по- постоянную температуру Го. В момент времени t=0 вся поверх- поверхность цилиндра вступает в контакт со средой, имеющей постоян- постоянную температуру Г<х>, при постоянном коэффициенте конвектив- конвективной теплоотдачи поверхности тела к среде Яс. На рис. 3.76 представлено распределение температуры по радиусу бесконечно длинного цилиндра. Для цилиндра конечной длины распределение температуры по г и х выражается произ- произведением решений для бесконечно длинного цилиндра и беско- бесконечной пластины: где С (г) и Р(х) — распределения безразмерной температуры для бесконечно длинного цилиндра и бесконечной пластины соот-
Нестационарная теплопроводность 151 Таблица 3.2 Решения двумерных задач нестационарной теплопроводности в виде произведения решений одномерных задач Форма тела Обозначения Безразмерная температура в точке Р Полубесконечная пластина Бесконечно длинный прямоугольный брус Окружающая к: Окружающая ^ среда Окружающая среда Четверть бесконечного . тела Окружающая к, а Окружающая Полубесконечный среда цилиндр hc, Х Окружающая/ среда / Цилиндр конечной длины -оГ *Р(х)С(г) ветственно: C(r)=B(r, t)/Qo\ P(x) = Q(x, t)/Qo. Распределение С (г) находится по данным рис. 3.7а и 3.76, а распределение Р(х) — по данным рис. 3.6а и 3.66. Решения для других двумерных и трехмерных тел можно получить методом, аналогичным примененному для цилиндра
152 Глава 3 Таблица 3.3 Решения трехмерных задач нестационарной теплопроводности в виде произведения решений одномерных задач Форма тела Обозначения Безразмерная температура в точкеР Полубесконечный прямоугольный бруо - Окружающая среда ^ *?Ч Параллелеп^ед Окружающая среда Четверть бесконечной пластины Окружающая .4 'х Ьдна восьмая сР?да бесконечного h тела конечной длины. Решение трехмерной задачи является произве- произведением трех решений одномерной задачи, а двумерную задачу можно решить, используя произведение двух решений одномер- одномерной задачи. В табл. 3.2 представлена сводка всех двумерных конфигура- конфигураций, для которых получены решения в виде диаграмм. В табл. 3.3 представлены трехмерные конфигурации. В обеих таблицах использованы следующие обозначения:
Нестационарная теплопроводность 153 S(x)= Q{x, t)/% — решение для полубесконечного твердого тела (рис. 3.4 или 3.5); Р(х) = Q(x, t)/Qo — решение для бесконечной пластины, (рис. 3.6а и 3.66); Р(г) = в(г, t)/Qo — решение для цилиндра бесконечной дли- длины (рис. 3.7а и 3.76). Применяя решения одномерных задач для двумерных и трех- трехмерных тел, можно решить много задач нестационарной тепло- теплопроводности. Пример 3.6. Цилиндр диаметром 10 см и длиной 16 см (k = 0,5 Вт/(м X X град) и а = 5-Ю*-7 м2/с) имеет вначале постоянную температуру 20°С. Его помещают в печь с температурой воздуха 500°С и Нс — 30 Вт/(м2-град). Найти минимальную и максимальную температуры в цилиндре после 30-ми- 30-минутной выдержки его в печи. Решение. Число Био, рассчитанное по радиусу цилиндра, равно Следовательно, задачу нельзя решить упрощенным методом в предположе- предположении о пренебрежимо малом внутреннем термическом сопротивлении, и тре- требуется применить решение в виде диаграмм. Данные, приведенные в табл. 3.2, показывают, что распределение темпе- температуры в цилиндре конечной длины можно найти как произведение решений для бесконечной пластины и цилиндра бесконечной длины. В любой момент времени минимальная температура достигается в точке х = 0, г = 0, а мак- максимальная — на окружностях х = ±L, г = г0. Сводка результатов расчета представлена в следующих таблицах. Бесконечная пластина Fo-g E-1(Г7I8ОО M),14 FoV Ei0~7I800 @,05J =0,36 Kb (Рис. 3.6а) 0,90 (Рис. 3.6а, 3,66) Бесконечно длинный цилиндр Vo с@)=М (Рис. 3.7а) 0.47 (Рис. 3.7а, 3.76) . 0,47 -0,33 «0,155 Минимальная температура цилиндра равна QjSSL = р @) С @) « 0,90 • 0,47 = 0,423, "о ^мин = 0,423 B0 - 500) + 500 — 297°С.
154 Глава 3 Максимальная температура цилиндра равна Омакс P(L)C (rо) = 0,243 -0,155 = 0,0377, Гмакс = 0,0377 B0 - 500) + 500 = 482°С. 3.5. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Явный метод Методика численного решения задач нестационарной тепло- теплопроводности аналогична описанной в разд. 2.7 методике решения задач стационарной теплопроводности. Вначале твердое тело делят на ряд ячеек. В центре каждой ячейки помещают вообра- воображаемый узел. Записывая ба- баланс энергии для каждого узла, получают алгебраиче- алгебраическое уравнение, выражаю- выражающее температуру в рассма- рассматриваемом узле через темпе- температуры в соседних узлах, геометрические характери- характеристики и теплофизические свойства материала. При ре- решении нестационарных за- задач для каждого узла нужно дополнительно учесть акку- аккумулирование энергии в мате- материале. Эта аккумулированная энергия представляет собой воз- возрастание внутренней энергии в узле, которое определяется тер- термодинамической характеристикой материала, называемой удель- удельной теплоемкостью с. Рассмотрим сначала одномерную задачу для внутреннего узла (рис. ЗЛО). В дальнейшем можно обобщить этот анализ для двумерных и трехмерных задач. Закон сохранения энергии для узла 0, расположенного между узлами 1 и 2, при отсутствии внутреннего тепловыделения можно выразить в виде Твердое тело Свойства к,р? с Рис. ЗЛО. Расположение узлов внутри твердого тела (одномерная задача). Скорость изменения внутренней \ энергии в узле 0 по времени / C.23) Соотношение C.23) аналогично соотношению B.93) с той лишь разницей, что в нестационарной задаче учитывается скорость изменения внутренней энергии. В стационарной задаче изме- изменение внутренней энергии равно нулю.
Нестационарная теплопроводность 155 Используя принятые обозначения, перепишем соотношение (ЗЩ в виде flWo + ?2->oeir. C*24) где Uq — внутренняя энергия в узле 0. Кондуктивные члены в соотношении C.24) можно выразить с помощью конечно-разностной формы закона Фурье: rpt *pt кЛ * ° C-25> Верхний индекс / в этих членах означает, что температуры должны рассчитываться в момент времени /. Нижние индексы отражают положение узлов. Следовательно, они определяют изменение температуры по пространству, или по х, а верхние индексы — изменение температуры по времени. Изменение внутренней энергии в узле 0 в предположении, что плотность и удельная теплоемкость материала постоянны, выражается соотношением i^L „ mc ?l = рЛ Axe I±lflk. (з.26) Подставляя соотношения C.25) и C.26) в уравнение C.24), по- получаем уравнение энергии для узла 0: Разрешая это уравнение относительно Го+Л', получаем = Fo (fi + Tl) + [1 - 2Fo] To, C.27) где число Фурье определяется в виде Fo = a(At)/(hxJ. Выра- Выражение C.27) показывает, что температуру в момент времени t-\-At в произвольном внутреннем узле 0 можно рассчитать, зная текущие температуры в момент времени t в узле 0 и сосед- соседних узлах. Для всех внутренних узлов можно записать уравне- уравнения, аналогичные C.27), получая в итоге систему алгебраиче- алгебраических уравнений для температур в п соседних узлах. Каждое из этих уравнений энергии в явном виде определяет температуру рассматриваемого узла в будущий момент времени; поэтому такой способ численного решения называется явным методом. Кроме того, этот метод называется методом с использованием
156 Глава 3 правых производных, поскольку производная по времени аппрок- аппроксимируется разностью, направленной вперед по времени: dt Если узел расположен на границе твердого тела, то для него необходимо вывести специальное уравнение энергии. Форма уравнения энергии зависит от граничного условия на поверхно- поверхности. Одним из наиболее часто встречающихся условий является наличие конвективной тепло- теплоотдачи поверхности. Снова рассмотрим одномерную зада- чу, причем узел 0 расположен на поверхности (рис. 3.11). Уравнение энергии для узла О имеет вид Окружающая среда или kA- 1""" ° A* dUQ dt + hcA (Tl - Tl) = Рис. 3.11. Расположение узлов для поверхности твердого тела, находя- находящейся в контакте с внешней средой (одномерная задача). рльхс г?+Л'-;г$ C.28) Отметим, что узлу, лежащему на поверхности, соответствует объем (Дл:)Л/2, поскольку ширина ячейки в этом случае со- составляет половину ширины ячейки внутреннего узла. Всем вну- внутренним узлам соответствует ячейка шириной Да:, в то время как граничным узлам — ячейка шириной Д#/2. Разрешая уравнение C.28) относительно температуры в гра- граничном узле в момент времени t + Д*, получаем 2Fo [T{ + Bi TL] + [l- 2Fo - 2Fo Bi] Tl C.29) где Fo = а (ДО/(Да:J, Bi = Ec(&x)/k. Если узлы расположены близко друг к другу, масса, соответствующая граничному узлу, мала и можно пренебречь энергией, аккумулирующейся в гра- граничном узле; другими словами, можно пренебречь теплоемко- теплоемкостью граничного узла. В случае пренебрежимо малой теплоем- теплоемкости Го+Л* = То и соотношение C.29) сводится к следующему: t т\ + Bi TJ, Т«= 1 + Bi ' Если теплоемкостью граничного узла нельзя пренебречь и для расчета изменения температуры поверхности применяется соот-
Нестационарная теплопроводность 157 ношение C.29), то для нахождения температуры поверхности в момент времени / + А/ необходимо знать текущие значения температуры на поверхности твердого тела и в первом узле от поверхности. Если можно пренебречь теплоемкостью поверх- поверхности и применить соотношение C.30), то достаточно знать текущие значения температуры Т\ и Too, чтобы найти текущее значение температуры поверхности Го. Чтобы решить задачу нестационарной теплопроводности чис- численным методом, необходимо знать начальное распределение температуры в твердом теле. Обычно в качестве начального условия задают начальные температуры в твердом теле. Часто тело вначале изотермично, а это условие легко учесть, приняв начальные температуры во всех узлах равными известной на- начальной температуре тела. Затем начинают численное решение, вычисляя температуры в момент времени At с помощью соотно- соотношения C.27) для всех внутренних узлов и соотношения C.29) для граничных узлов, если на поверхности происходит конвек- конвективная теплоотдача к окружающей среде, имеющей темпера- температуру Г». После расчета всех температур в момент времени At процесс повторяют и рассчитывают распределение температуры в момент времени 2А/. Эту процедуру повторяют до тех пор, пока не будет достигнут момент времени, для которого тре- требуется знать распределение температуры. До сих пор мы считали, что выбор расстояния между узлами Д* и временного интервала At является произвольным. Однако при некоторых значениях Ах и At можно получить результаты, противоречащие основным законам термодинамики. Предполо- Предположим, например, что в некоторый момент времени температуры в трех соседних узлах (рис. 3.10) равны Т\ = 100°С, Т2= 100°С, Го = 50°С. Мы хотим рассчитать температуру в узле 0 в сле- следующий момент времени с помощью соотношения C.27). Кроме того, предположим, что при заданном коэффициенте температу- температуропроводности материала мы выбрали Да: и At таким образом, чтобы число Фурье было равно единице Fo = aAt/(AxJ = 1,0. Подставляя это значение числа Фурье в соотношение C.27), на- находим температуру в узле 0 в следующий момент времени: Г?+ Г2 —Го, или Г$+А' = 100 + 100 - 50 = 150°С. Однако мы знаем, что температура в узле 0 не может стать выше 100°С, поскольку тепло подводится к нему из областей с температурой 100°С. Тот факт, что, согласно численным расче- расчетам, температура в узле 0 превышает 100°С, противоречит вто- второму началу термодинамики. Если бы мы подставили другие значения числа Фурье, чтобы определить его влияние на буду- будущую температуру в узле 0, то мы бы нашли, что результаты
Таблица 3.4 Явные разностные уравнения баланса энергии и критерии устойчивости для некоторых задач Рассматриваемый случай Схема Одномерная задача, внутренний узел Двумерная задача, внутренний узел, квадратная ячейка Трехмерная задача, внутренний узел, кубическая ячейка Одномерная задача, граничный узел, конвекция на границе Разностное уравнение Критерий устойчивости О) Г/+ Г5*+ Tj) Fo < i +[l-<KFo)]r0* Окружающая среда
Двумерная задача, граничный узел, конвенция на границе Двумерная задача, внешний угол, граничный узел, конвекция на границе Двумерная задача, внутренний угол, граничный узел, конвекция на границе r1'+ Ц- + Ц- Ц- + Ц +[l-4(Fo)-2(Fo)Oi)]r0' Fo<2+BQ< I дх Окружающая — среда +[l-4(Fo)-4(FoXBi)]ro' Ц- + +[l-4(Fo)-!(Fo)(Bi)]7o* FoC+B0 < I Окружающая
160 Глава 3 расчета по формуле C.27) не будут противоречить второму на- началу термодинамики в том случае, если Fo < 0,5, l-2Fo>0. Это ограничение на величину числа Фурье часто рассматри- рассматривается в качестве критерия устойчивости. Если число Фурье больше 0,5, то говорят, что решение для температуры не- неустойчиво. Отметим, что критерий устойчивости удовлетворя- удовлетворяется, если коэффициент при То в соотношении C.27) положите- положителен. Это условие является общим, и его можно доказать мате- математически [7]. Критерий устойчивости для граничных узлов отличается от критерия устойчивости для внутренних узлов. Если мы хотим найти критерий устойчивости для граничного узла, в котором происходит конвективная теплоотдача к окружающей среде, мы можем потребовать, чтобы коэффициент при То в соотношении C.29) был положительным: l-2Fo —2FoBi>0, или Fo(l + Bi)<0,5. C.32) В конкретной задаче теплопроводности разностные уравне- уравнения баланса энергии как для внутренних, так и для граничных узлов должны быть устойчивыми. Например, если мы выберем значение Fo = 0,25, чтобы, согласно критерию C.31), темпера- температуры во внутренних узлах были устойчивыми, для устойчивости решения в граничном узле необходимо выполнить условие Bi <: 1,0 согласно критерию C.32). Если число Фурье принять равным 0,5, то критерий устойчивости для граничного узла удовлетворить невозможно, поскольку, согласно соотношению C.32), требуется, чтобы число Био было отрицательным. Уравнения баланса энергии для внутренних узлов в двумер- двумерных и трехмерных задачах можно вывести без труда с помощью метода, аналогичного методу, используемому при выводе соот- соотношения C.27). Можно также вывести уравнения баланса энер- энергии для граничных узлов в двумерных и трехмерных задачах при различных граничных условиях. В табл. 3.4 представлена сводка уравнений баланса энергии для внутренних и граничных узлов. Для каждого уравнения приведен критерий устойчивости. Этот критерий должен удов- удовлетворяться для каждого уравнения, чтобы результаты расчета температуры были устойчивыми. Каждое уравнение записано для рассматриваемого узла 0, а нумерация остальных узлов по* казана на специальных рисунках в таблице.
Нестационарная теплопроводность 161 Пример 3.7. Большая толстая плита [k = 40 Вт/(м-град), а = 3 X X Ю" м2/с] имеет постоянную температуру 200°С. Поверхность плиты вне- внезапно погружается в жидкость с температурой 100сС, коэффициент конвек- конвективной теплоотдачи к жидкости от поверхности плиты 500 Вт/(м2-град). Най- Найти изменение температуры плиты в течение первой минуты после погружения в жидкость. Окружающая среда К примеру 3.7. Решение. Плита разделяется на слои с узлами, как показано на рисунке, и нумерация узлов начинается от поверхности. Если учесть теплоемкость гра- граничного узла, то температура T(t + At) в граничном узле определяется со- соотношением C.29): — 2Fo [Tf2 + Bi - 2Fo - 2Fo Bi ] T\. Все остальные узлы являются внутренними, и поэтому для произвольного узла, обозначенного индексом i, применимо соотношение C.27): ¦ Fo [r^t + T*i+l] + [1 - 2Fo] T\. Критерий устойчивости для граничного узла -Bi)<0,5, Fo<0,5. Выберем удовлетворяющие этим критериям значения Fo *= <Ш/(Д#J а* *= 0,25 и Bi = fickx/k = 0,5. Поскольку число Бйо выбрано, известна вели* чина шага по пространству а для внутренних узлов k 2hc 40 2-500 ^0,04 ms4 см. Шаг по времени ограничивается выбранной величиной числа Фурье: А/: (А*J 4а @,04J 4 C • 10Г 13,33 е. Выбор чисел Био и Фурье осуществлен произвольно, но с учетом критериев устойчивости. Можно применить другой подход к решению задачи. Можно сначала выбрать величины А* и А?, а затем вычислить значения Fo и Bi. Если найденные значения Fo и Bi не удовлетворяют критериям устойчивости, ве* личины Ал; и Д? изменяют таким образом, чтобы эти критерии удовлетворя* лись. Теперь проведем расчет температур в узлах, отстоящих друг от друга на 4 см в последовательные моменты времени с интервалом 13,33 с. Темпера- Температуры в промежуточных точках или в промежуточные моменты времени можно 6 Зак* 487
162 Глава 3 найти путем интерполяции. Температуры во всех внутренних узлах рассчиты- рассчитываем' по формуле Г<+д* = 0,25 (Г{_, + Г{ а температуру в граничном узле — по формуле 0,5 {т{ + 0, Результаты расчета температур представлены в таблице. Время, с 0 13,33 26,67 40,00 53,33 56,67 Узел1, *~0 200 175 168,8 164,1 160,6 157,8 Узел 2, х*4см 200 200 193,9 189,1 185,2 181,9 Температура, УзелЗ, х«8см 200 200 200 198,5 196,5 194,5 ?С Узел 4 *«12см ^ 200 •200 200 200 199,6 198,9 Узел 5, х«16см 200 200 200 200 200 199,9 Пример 3.7 можно решить аналитически, решение выражается соотно- соотношением C.19). Для проверки точности численного решения в приведенной ниже таблице результаты расчета температур по формуле C.19) сравнивают- сравниваются с численным решением в момент времени t = 66,67 с. Значения температуры (°С) в момент времени f=66,67 с для примера 3.7 Узел 1 2 3 4 § X СМ •о 4 8 12 16 Численное решение 157,8 181,9 194,5 198,9 199,9 Точное решение 158,7 182,2 . 194,2 198,6 199,8 Графическая интерпретация численного метода Можйо получить довольно простое графическое решение за* Дач нестационарной теплопроводности, если выбрать величину числа Фурье 0,5. При Fo *= 0,5 разностное уравнение для вну- внутреннего узла( 3.27) упрощается и принимает вид ^= 0,5G1 + 71) C,33) Это соотношение показывает, что будущая температура во внут- внутреннем узле равна среднеарифметическому значению текущих температур в двух соседних узлах. На рис. 3.12 иллюстрируется
Нестационарная теплопроводность 163 процесс графического определения будущей температуры во внутреннем узле с помощью соотношения C.33). Температуру в узле 0 в момент времени i-\- At находим, соединяя точки Т\ и Т\ прямой линией. Описанное графическое построение поля температур назы- называется методом Биндера — Шмидта. Недостатком этого метода является то, что могут получаться одни и те же значения температур в узлах для двух последовательных моментов вре- времени. Такая физически неправильная картина обусловлена не- необходимостью выбора числа Фурье, точно равного критерию Рис. 3.12. Определение будущей температуры во внутреннем узле методом Биндера — Шмидта. устойчивости Fo =5 0,5. Были предложены модификации графи- графического метода Биндера — Шмидта, в которых использовались значения числа Фурье, отличные от 0,5 [8]. В этих усовершен- усовершенствованных методах применяется более сложное геометрическое построение, но они приводят к более точным результатам ра- расчета изменения температуры по времени. J Метод Биндера — Шмидта применяется только для одномер- одномерных задач. Он позволяет получить решение для составных сте- стенок и при наличии конвективного теплообмена на поверхности твердого тела. Более подробно этот способ решения описан в работе [9]. Хотя применимость и точность графического метода ограничены, он прост и позволяет визуально следить за измене- изменением распределения температуры по времени. Рассмотрим при- пример использования этого метода. Пример 3.8. Большая плита толщиной 30 см имеет коэффициент темпера- температуропроводности 5-Ю м2/с Вначале плита имеет постоянную температуру 0°С. Обе поверхности плиты внезапно вступают в тепловой контакт с твер- твердым телом, имеющим температуру 500°С. Найти изменение распределения температуры плиты по времени в течение первых 100 с контакта с нагретым твердым телом. 6*
164 Глава 3 Решение. Нарисуем сечение плиты в масштабе и разделим его на шесть равных частей. В результате получим семь узлов, отстоящих друг от друга на 5 см. По оси ординат отложим температуру от начального значения 0°С до максимальной величины 500°С, как показано на рисунке. Узел 7 V О 5 10. 15 20 25 30 К примеру 3.8. Величина шага по времени определяется выбором числа Фурье: или (Ал:J = @,05J 2а 2E-Ю-5) :25 С. Теперь последовательно применяем метод Биндера — Шмидта, как показано на рисунке, определяя графически температуру в каждом узле. Символом Т\ обозначена температура в узле 3 в момент времени 2At = 50 с. По ис- истечении 100 с температуры в узлах 1—4 принимают следующие значения: Г, = 500°С, Г2 = 312°С, Г3 = 218°С, Г4 = 125°С. Неявный метод Основной недостаток явного численного метода состоит в том, что разностное уравнение баланса энергии для каждого узла должно удовлетворять критерию устойчивости. Чтобы удовле- удовлетворить этому критерию, часто приходится выбирать очень ма- дый шаг по времени, а это приводят к возрастанию объема рад*
Нестационарная теплопроводность 165 четов. В настоящем разделе описан несколько иной численный метод, который устойчив при любых значениях чисел Био и Фурье. Рассмотрим внутренний узел в двумерном теле (рис. ЗЛО). Явнойч формой разностного уравнения баланса энергии для этого случая является соотношение C.27). Если уравнение ба- баланса энергии, на основании которого получено соотношение C.27), модифицировать и выразить через температуры в мо- момент времени t + А/, то получим это уравнение для узла О в виде Tt+At Tt+At Преобразуя полученное уравнение и применяя число Фурье, находим [1 + 2Fo] Tl+At - Fo (T{+At + Tl+At) - ТЪ = 0, C.34) где, как обычно, Fo = а (А/)/(Ал;J. Если разностное уравнение баланса энергии записать в этой форме, то можно видеть, что температура T(t-j-At) во внутреннем узле зависит от темпера- температур в момент времени t + At в соседних узлах, каждая из ко- которых неизвестна. Следовательно, нужно записать разностные уравнения баланса энергии для всех узлов и решить их одновре- одновременно, получая в результате распределение температуры в твер- твердом теле. Этот метод решения называют неявным методом в от- отличие от явного метода, при использовании которого можно, ре- решая по отдельности разностные уравнения баланса энергии для каждого узла, найти в явном виде местную температуру. Этот метод называют также методом с использованием левых произ- производных, поскольку производная по времени аппроксимируется разностью, направленной назад по времени. Неявный численный метод устойчив при всех величинах ша- шагов по пространству и времени. Однако чем мельче шаги, тем точнее значения температур, поскольку уменьшаются ошибки аппроксимации производных конечными разностями. Существенное преимущество неявного метода — отсутствие критерия устойчивости; его недостаток — необходимость реше- решения системы алгебраических уравнений. При большом числе уравнений полезно применить в расчетах на ЭВМ методы ре- релаксации или методы обращения матрицы. Мы рассмотрели здесь явный и неявный разностные методы. В работах [10, 11] применяется конечная разность, представ- представляющая собой среднеарифметическое значение левой и правой разностей. Еще более общий метод получается при аппрокси- аппроксимации производной температуры по времени средневзвешен- средневзвешенным значащем левой ш правой разностей [11]. В работад
166 Глава 3 5 г + ь- i + СI I Ь7 I I
Нестационарная теплопроводность 16? г т I i | О i? I о II ^ I > 1-Г 1 Sh + 11 = H
168 Глава 3 [12—14] применяются «шахматные» методы («Hopscotch me- methods»), являющиеся комбинацией явного и неявного методов. «Неявные» уравнения баланса энергии для граничных узлов выводятся аналогично «явным» с той лишь разницей, что теку- текущее значение температуры в узле заменяется значением в момент времени t-\-At. Рассмотрим, например, граничный узел О, расположенный на поверхности одномерного твердого тела, на которой происходит конвективный теплообмен с жидкостью, имеющей температуру Гоо. Коэффициент конвективной теплоот- теплоотдачи равен Яс, геометрия задачи показана на рис. 3.11. Баланс энергии для граничного узла записывается следующим обра- образом: Tt+At Tt+At М C.35) Сравнивая соотношения C.28) и C.35), можно видеть различие между уравнениями баланса энергии, используемыми в явной и неявной схемах. Преобразуя соотношение C.35), получаем [1 + 2Fo A + Bi)] Го+А* - 2Fo [т{+А* + Bi f+At] - Т\ = 0. C.36) Можно вывести разностные уравнения баланса энергии для граничных узлов с другими граничными условиями для тел другой формы. Сводка этих уравнений представлена в табл. 3.5. После того как записаны и преобразованы уравнения ба- баланса энергии для всех узлов, нужно решить систему п уравне- уравнений для п узлов и найти температуры во всех узлах. Методика решения показана на следующих двух примерах. Оба примера решены с помощью программы численного расчета, использую- использующей метод обращения матрицы. В примере 3.9 рассматривается одномерная задача, в примере 3.10 —двумерная. Как и прежде, программа численного расчета написана в общей форме, чтобы ее можно было применить для решения неявным методом широ- широкого класса задач. Мы приводим в этой главе несколько программ. Мы наме- намеренно приводим довольно простые программы, но при этом чи- читателю, прежде чем пользоваться программой, необходимо са- самому вывести систему уравнений баланса энергии. Это позво- позволит ему познакомиться с современными численными методами и счетными машинами, не теряя навыков расчета теплообмена. С более современными программами решения задач теплооб- теплообмена читатель может познакомиться в работах [15, 16]. Заслуживает упоминания не использованный нами метод ко- конечных элементов. Этот метод является очень гибким и мощным численным методом и имеет ряд преимуществ перед конечно-
Нестационарная теплопроводность 169 разностными методами, употребленными при решении приведен- приведенных выше примеров. Методом конечных элементов можно составить весьма об- общую программу численного решения, применимую для очень широкого класса задач теплообмена. Практически невозможно создать общую программу решения конечно-разностным мето- методом, позволяющую решить тот же самый класс задач. Границы неправильной формы и смешанные граничные условия не пред- представляют особых трудностей при решении задачи методом ко- конечных элементов. Этому методу посвящено несколько содержа- содержательных монографий [17—20]. Пример 3.9. Решить пример 3.7 неявным численным методом. Плита имеет следующие теплофизические характеристики: k = 40 Вт/(м-град), а = = 3-10-5 м2/с, Яс = 500 Вт/(м2трад), Гто = 100°С, То = 200°С. Геометри- Геометрические характеристики задачи показаны на рисунке, Окружающая среда К, rm К примеру 3.9 Решение. Делим плиту на слои равной толщины и в середине каждого слоя располагаем узел, как и при использовании явного метода. Для гра- граничного узла 1 неявная форма разностного уравнения баланса энергии имеет вид C.36) + 2Fo A + Bi)] - 2Fo Bi - т\ 0. Неявная форма уравнения баланса энергии для произвольного внутреннего узла / выражается в виде соотношения C.34) J(^^ ^)-^ = 0 (/ = 2, 3, ...). Будем решать систему алгебраических уравнений методом обращения мат- матрицы, поэтому запишем все разностные уравнения баланса энергии в мат- матричной форме: Уравнение баланса энергии для граничного узла в матричной форме имеет вид + 2Fo A + Bi)] T\+At - 2Fo [утренних уз ом: - Fo T\tff + [1 + 2Fo] 2Fo Bi а для всех внутренних узлов уравнения баланса энергии записываются сле- следующим образом: - Fo т\.
170 Глава 3 Если выбрать значения шагов по пространству и времени Д* = 0,04 м, Д/ =» *= 13,333 с, то Fo = а(Д/)/(Д*J *= 0,25, Bi = hc(&x)/k = 0,5. Ограничим Текст программы численного решения примера 3.9 DIMENSION ТE0),АE0,50),ВE0),СE0,50) READ , N,NTIME,DELX,DELT JO READ , ((A(I,J).J»1,N),I-1,N) WRITE F,10) DELX.DELT.TO 10 FORMATAH ,'•¦• TRANSIENT TEMPERATURE DISTRIBUTION IN DEGREES' ,/ty 1 'CELSIUS DETERMINED BY AN IMPLICIT NUMERICAL TECHNIQUE ••¦',/, 2 'NODE SPACING -' ,F8.4,# METERS' ,/,'TIME INTERVAL-' ,F8.3, 3 ' SECONDS'./.'ORIGINAL TEMPERATURE*',F8.2,< DEG.REES C) CALL MATINV (A.N.C) DO15I = 1,N 15 T(I)=TO DO80JJ~1,NTIME 30 BA)*=25.0 + TA) BA0) = 50.0+TA0) KK-N-1 DO30l = 2,KK 30 B(!)»T(I) DO50l«1,N SUM-0.0 DO40J«1,N 40 SUM = SUM + C(I,J)*B(J) 50 T(I)=SUM TIME«AJ*DELT WRITE F,70) TIME, (I,T(I),I-1 ,N) 70 FORMAT (/.25X.TIME IS-f,F10.3/ $ECS',/,4CT(M2, 80 CONTINUE STOP END область решения 10 узлами. В таком случае используем 10 разностныл урав- уравнений баланса энергии: узел 1: {? i узел 2: -0,25Г{+д' + 1,5Г?+Д* - 0,25Г?+д' % узел 3: -0,25Г?+А* + 1,5Г^+А/ - 0,25Г*4+Л/ = Т% узел 4: -0,257^+Л< + 1,5Г$+Д' - 0,25Г?+д' — Т% узел 5: -0,25Г<+А? + 1,5Г^+АГ - 0,25Г?+А' - Т% узел 6: -0,25Г?+ *' + 1,5Г|+ дг - 0,25Г?+Д' - Г|, узел 7: -0,25Г?+^ + I,5jj+Af - 0,25Г?+ *' = Т\% узел 8; -0,25Г?+А< + 1,5Г|+Л^ - 0,25Г?+ д/ = Т%, узел 9: -0,257^+А' + узел 10: -0,257^+А' +
Нестациднарная теплопроводность 1?1 В эти 10 уравнений входят значения температуры в 11 узлах. Температуру в 11-м узле можно найти из граничного условия, требующего, чтобы она оставалась равной начальной температуре 200вС, пока время, в течение ко- которого отыскивается решение, не слишком велико. Отметим, что на осно- основании полученного ранее решения примера 3.7 температура в узле 5 практи- практически не изменяется в течение первой минуты. Поэтому, приняв температуру в узле 11 равной Го, мы не получим сколько-нибудь существенных ошибок. Итак, уравнение энергии для узла 10 принимает вид - 0,25Г?+д' + 1,5Г(+Л* *- 50 + Т\о. Обращение матрицы проводится с помощью подпрограммы MATINV. Эта подпрограмма использовалась при решении примера 2.13, и ее текст представ- представлен в приложении П.Х1. Входной информацией для подпрограммы MATINV являются элементы матрицы А и число уравнений энергии N. В качестве вы- выходной информации эта подпрограмма выдает элементы обращенной матрицы С. Текст программы численного расчета приведен на стр. 170. В следующей таблице представлены входная информация программы и соответствующие обозначения на алгоритмическом языке Фортран. Обозначения входной информации для примера 3.9 Обозначение N NTIME DELX DELT ТО A(I, J) Определение Число узлов Число шагов по времени Шаг по пространству Шаг по времени Начальная температура в Элементы аи матрицы 2, ..., N; /-1, 2, ... узле А (/ = 1, , п) Единицы измерения _ — М С °С — Первые пять величин нужно расположить в одну строку. Следующие N Строк содержат элементы матрицы А. Каждая строка содержит N величин. Эти величины ац являются коэффициентами разностных уравнений баланса энергии, приведенных выше. Матрица называется тридиагональной, поскольку все ее элементы равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали и с двух сторон по соседству с ней. Входная информация программы и результаты расчета записываются еле* дующим образом: Входная информация программы для примера 3.9 10,5,0.04,13.3333,200. 1.75, -0.5, О., О., 0., 0., 0., О., О., О., -0.25,1.5, -0.25, О., 0., 0., 0., 0., 0„ О* О., -0.25,1.5, -0.25, 0., О., 0., 0., 0., 0.* О., 0., -0.25,1.5, -0.25, 0., 0., 0., 0., 0.» О., О., 0., -0.25,1.5, -0.25, 0., 0., О., 0.» О., 0., 0., 0., -0.25,1.5, -0.25, 0., 0., 0.* О.. О., 0., О., О., -0.25, 1.5, -0.25, 0., 0.*. О., 0., 0., 0., О., 0., -0.25,1.5, -0.25. 0., О., 0., О., О.. О., 0., 0., -0.25,1.J5, -0.25» О., О., О., 0., 0.. а, О., 0., -0.25,1.5
172 Глава 3 Выходная информация программы для примера 3.9 *¦*Нестационарное распределение температуры в градусах .Цельсия, рассчитанное неявным численным методом *** Шаг по пространству=0,0400 м Шаг по времени =13,333 с Начальная температура 200,00° О * ТA) = 184.98 ТE)« 199.99 Т(9) = 200.00 ТA)« 175.40 ТE)« 199.94, Т(9)=200.00 ТA)« 168.90 Т(б)-199.85 Т(9)« 200.00 ТA)~ 164.21 ТE)« 199.69 Т(9)-200.00 ТA) = 160.62 ТE)~ 199.46 Т(9)- 200.00 t=13,3330 ТB) = 197.42 Т(ё)=200.00 ТA0)« 200.00 ТC)«199.56 ТG)« 200.00 *=26,667о ТB)~ 193.96 ТF)« 199.99 Т(Ю)« 200.00 ТC)« 198.65 ТG)« 200.00 t=40,000c ТB)« 190.35 ТF)» 199.97 ТA0)« 200.00 ТC) = 197.38 ТG) = 199.99 t= 53,333с ТB)=» 186.92 ТF) = 199.92 ТA0) = 200.00 ТC) = 195.88 ТG)« 199.98 ^«66,6^70 ТB)« 183.75 ТF)« 199.85 ТA0)«200.00 ТC)« 194.24 ТG)« 199.96 ТD)« 199.92 Т(8)«200.00 ТD)« 199.71 Т(8)»200.00 ТD)« 199.35 Т(8)-200.00 ТD) = 198.83 Т(8)-200.00 ТD)» 198.17 Т(8)* 199.99 Для проверки точности результатов численного расчета неявным мето- методом в следующей таблице проводится сравнение полученных при численном расчете значений температур с данными точного решения C.19) в момент времени t =»= 66,67 с. Сравнение результатов численного расчета неявным методом с точным решением примера 3.9 Узел 1 2 3 4 5 Температура, °С, при *=66,67 с Точное решение 158,7 182,2 194,2 198,6 199,6 Численное решение неявным методом 160,6 183,8 194,2 198,2 199,5 Пример 3.10. Нужно нагреть длинный брус прямоугольного сечения. Из-за недостатка места тепло можно подвести только с одной поверхности бруса. Нагреватель прижимается к одной стороне бруса и работает до тех пор, пока температура противоположной стороны не достигнет требуемого минималь- минимального значения.
Нестационарная теплопроводность 178 Окружающая среда —I +— Нагреватель, Температура Ts- о 4 H j О з --+ 1 О 2 I— L j_j 1 I .6 20 см Окружающая среда Окружающая среда К примеру ЗЛО. Первоначально брус имеет постоянную температуру 50°С. Коэффициент температуропроводности материала бруса равен 2,5-10 м2/с, коэффициент теплопроводности 25 Вт/(м-град). Остальные три поверхности окружены воз- воздухом с температурой 30°С, а коэффициент конвективной теплоотдачи на всех трех поверхностях постоянен и равен 75 Вт/(м2-град). Температура по- поверхности нагревателя Ts = 300°С, и он находится в хорошем тепловом кон- контакте с длинной стороной бруса, как показано на рисунке. Какое время дол- должен работать нагреватель, чтобы минимальная температура на противопо- противоположной стороне бруса составила 120сС? Решение. Разделим прямоугольное сечение бруса на квадратные ячейки со стороной Ах = 0,05 м и обозначим узлы с неизвестными температурами индексами от 1 до 10. В табл. 3.5 приведена неявная форма разностного уравнения энергии для любого узла. Для всех внутренних узлов + 4Fo] Т\+д' - Fo Ts) - Г{ - 0 (/ - 2, 3, 4) Уравнения энергии для граничных узлов, не расположенных в углах тела, за- записываются следующим образом: узел 1: [1 + 2Fo B + Bi)] [Tt+Ai T узел 5: [1 + 2Fo B + Bi)] узлы 7-9: [1 + 2Fo B + Bi)] [ ¦pt+M yt + T'fti* + Bi - T\ 0 (/ -7, 8, 9).
174 Уравнения энергии для граничных узлов, находящихся в углах тела, записы- записываются следующим образом: узел 6: [1 + 4Fo (I + Bi)] t+M Tt+At узел 10: [ 1 + 4Fo A + Bi)] 7^A*- Tt+At 1 [ Выберем шаг по времени Д* = 30 с; в таком случае о(AQ B,5-Ю-5K0 Fo = lEF (о^р : °'30' Е[_ hc(Ax) = 75» 0,05 _015< Подставляя значения Bi, Fo, Ts и Г» в уравнения баланса энергии, получаем 10 уравнений в матричной форме АТ = В узел 1: 2,29Г{+А* - О,6Г?+А* - 0,ЗГ?+А'= 92,7 + Г{, узел 2: -0,ЗГ{+А' + 2,2Г2+Л* - 0,ЗГ|+А* - 0,ЗГ?+А' = 90 + Т% узел 3: ~0,ЗГ?+Л' + 2,2f^+At -0,ЗГ^+А^ — 0,ЗГ|+л^ = 90 + Т% узел 4: -0,ЗГ?+А' + 2,ZT\+At - 0,ЗГ^+А^ -0,ЗГ?+А' = 90 + Т% узел 5: -0,6Г^+А' + 2,29Г^+А/ - 0,ЗГ[+А^ = 92,7 + Г|, узел 6: -0,6Г[+Af + 2,38r|+Af - О,6Г?+А* = 5,4 + T\t узел 7: -0,6Г?+А* - 0^+А* + 2,29Г?+А* - 0эЗГ|+АГ = 2,7 + Т*ь узел 8: -0,6Г?+А' - 0,3^+At + 2,29Г?+А' - 0,ЗГ^+А' = 2,7 + г|, узел 9: —0,6Г^+А* — 0,з|+Л* +2,29f^+Af - Q,3T\?At = 2,7 + г? узел 10: -0,6Г|+А* - 0,6$+А* +2,387^ = 5,4 + Г^ Коэффициенты этих 10 уравнений являются элементами квадратной мат- матрицы А, служащими входной информацией программы численного расчета. Элементы столбцевой матрицы В вычисляются самой программой. Программа численного расчета аналогична программе, использованной при решении примера 3.9, и отличается лишь элементами матрицы В. Зна- Значения этих N элементов вычисляются в программе, написанной на языке Фортран, между операторами 20 и 30. Это единственное отличие между дан- данной программой и программой, использованной при решении примера 3.9. Ниже приводится текст программы численного расчета.
Нестационарная теплопроводность 175 Тенет программы численного решения примера 3.10 DIMENSION ТE0),АE0,50).ВE0),СE0,50) READ , N.NTIME.DELX.DELT.TO READ , ((A(l,J),J -1 ,N),I -1 ,N) WRITE F,10) DELX.DELT.TO 10 FORMATAH ,'*•• TRANSIENT TEMPERATURE DISTRIBUTION IN DEGREES',/. 1 'CELSIUS DETERMINED BY AN IMPLICIT NUMERICAL TECHNIQUE *•*',/ /, 2 'NODE SPACING -'.F8.4,1 METERS'./.TIME INTERVAL«\F8.3, 3 ' SECONDS'./.'ORIGINAL TEMPERATURE - ^8.2/ DEGREES C) CALL MATINV (A,N,C) DO15I-1.N 15 T(I)-TO DO80JJ-1.NTIME 20 BA)-92.7 + TA) BE)-92.7 + TE) BF)«5.4+TF) BA0)-5.4 + TA0) DO 22 1*2,4 22 B(l)«90.0+T(l> DO 30 1-7,9 30 B(l)-2.7+T(l) DO50I-1.N SUM-0.0 DO40J-1.N 40 SUM«SUM + C(I,J)*B(J) 50 T(I)-SUM AJ-JJ TIME-AJ*DELT WRITE F,70) TIME, (I,T(I),I = 1 ,N) 70 FORMAT (/,25X,TIME IS-\F10.3, 1 ')-'.F8.2.2X)) 80 CONTINUE STOP END Число узлов N = 10, число шагов по времени NTIME = 5, шаг по про- пространству DELX = 0,05 м, шаг по времени DELT = 30,0 с, начальная тем- температура ТО = 50,0°С. Входная информация программы и ее формат остают- остаются такими же, как в примере 3.9. Входная информация программы имеет вид Входная информация программы для примера 3.10 10,5,0.05,30.0.50.0 2.29, -0.6, О., 0., 0., -0.3, 0., 0., 0., 0., -0.3, 2.2, -0.3,0., 0., 0., -0.3, 6., 0., 0., 0., -0.3, 2.2,,-0.3, 0., 0., 0., -0.3, 0., О.. О., 0., -0.3, 2.2, -0.3. 0., 0., 0., -0.3, 0., 0.. 0.. 0.. -0.6, 2.29, 0., 0., 0., О.. -0.3, -0.6, 0., 0., 0., О., 2.38, -0.6, 0., 0., О., , О., -0.6, 0., 0., 0..-0.3, 2.29. -0.3, 0.,0., \ О., О., -0,6, 0., О., 0., -0.3, 2.29, -0.3, О., О., 0., 0., -0.6, О., 0., 0., -0.3, 2.29, -0.3, О., 0., 0., О.( -0.6, 0., О., 0., -0.6. 2.36
176 Глава 3 Выходная информация программы представлена ниже. Выходная информация программы для примера 3.10 **• Нестационарное распределение температуры в градусах Цельсия, расчитанное неявным численным методом *•* Шаг по пространству-0,0500 м Шаг по времени - 30,000 с Начальная температура-50,00°С ТE)-96.81 T(9)-66.23 TA)-128.89 ТE)=128.89 Т(9)-87.84 ТA)-152.09 ТE)-162.09 Т(9)-109.36 ТA)-169.55 ТE)« 169.55 Т(9)-128.69 ТA)-183.04 ТE)-183.04 Т(9)-145.22 ТF): ТОО)' и 7X2)' ТF)» ТОО)' /' ТB). ТF)« ТA0)« /- ТB)- ТF)« ТA0) = /« ТB)« ТF). ТA0)- -30,000с = 99.48 -64.38 »64.38 -60,000с = 134.08 ¦83.96 • 83.96 •90,000с ¦ 159.44 •103.46 И 03.46 • 120,000с «178.67 -120.92 И 20.92 '150,000 с • 193.60 '135.83 '135.83 ТC) - 99.84 ТD) - 99.48 ТG)-66.23 Т(8)«66.52 ТC)«134.94 ТD)«134.08 ТG)- 87.84 Т(8) = 88.60 ТC)-160.82 ТD)« 159.44 ТG)-109.36 Т(8)-110.66 ТC)-180.53 ТD)-178.67 ТG)«128.69 Т(8)-130.52 ТC)- 195.89 ТD)« 193.60 ТG)-145.22 Т(8)-147.55 Самые низкие температуры в сечении достигаются в углах (узлы 6 и 10), которые дальше всех отстоят от источника тепла и имеют наибольшую (относительно объема ячейки) поверхность, омываемую холодным возду- воздухом. На рисунке показаны температурные зависимости в зонах наиболее бы- быстрого (узел 3) и Наиболее медленного (узлы 6 и 10) нагрева. Согласно пред- представленным на рисунке данным, минимальная по сечению температура достиг- достигнет 120°С примерно через 2 мин. 2001- 150 100 50 УзелЗ Узлы 6 и 10 О 30 60 90 120 15Q Время, о
Нестационарная теплопроводность 177 Литература 1. Carslaw H. S., Jaeger J. С, Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Oxford University Press, N. Y., 1959. [Имеется перевод: Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. — М.: Наука, 1964.] 2. Eckert E. R. G., Drake R. M., Jr., Analysis of Heat and Mass Transfer, McGraw, N. Y., 1972. [Имеется перевод первого издания: Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М., Теория тепло- и массообмена. — М.: Госэнергоиздат, 1961.] 3. Arpaci V., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley, Mass., 1966. 4. Ozisik M. N., Boundary Value Problems of Heat Conduction, Intext Publishers Group, N. Y., 1968. 5. Schneider P. J., Conduction Heat Transfer, Addison-Wesley, Mass., 1955. [Имеется перевод: Шнейдер П., Инженерные проблемы теплопроводности.— М.: ИЛ., 1960.1 6. Kreith P., Principles of Heat Transfer, 3rd ed., Crowell, N. Y., 1973. 7. Richtmyer R. D., Difference Methods for Initial-Value Problems, Wiley, N. Y., 1957. 8. Paul В., Generalization of the Schmidt Graphical Method for Transient Heat Conduction, ARS. /., 32, p. 1098 A962). [Имеется перевод: Паул, Об- Обобщение графического метода Шмидта для расчета нестационарной тепло- теплопроводности.— Ракетная техника, 1962, № 7, с. 124.] 9. Jakob M., Heat Transfer, vol. 2, Wiley, N. Y., 1949. [Имеется перевод издания 1957 г.: Якоб М., Вопросы теплопередачи.— М.: ИЛ., I960.] 10. Crank J., The Mathematics of Diffusion, 2nd ed., Oxford University Press, N. Y., 1975. 11. Richtmyer R. D., Morton K. W., Difference Methods for Initial Value Problems, Wiley, N. Y., 1967. [Имеется перевод: Рихтмайер Р. Д., Mop- тон К. У., Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.] 12. Gourlay A. R., McGuire G. R., General Hopscotch Algorithm for the Numerical Solution of Partial Differential Equations, /. Inst. Math, and its Applications, 7, 216 A971). 13. Gourlay A. R., Hopscotch: A Fast Second-Order Partial Differential Equation Solver, /. Inst. Math, and its Applications, 6, p. 375 A970). 14. Gourlay A. R., Some Recent Methods for the Numerical Solution of Time-dependent Partial Differential Equations, Proc. Roy. Soc. London, 323, p. 219 A971). 15. Adams J. A., Rogers D. F., Computer-aided Heat Transfer Analysis, McGraw, N. Y, 1973. 16. Schenck H., Jr., Fortran Methods in Heat Flow, The Ronald Press Co., N. Y., 1963. 17. Segerlind L. J., Applied Finite Element Analysis, Wiley, N. Y., 1976. [Имеется перевод: Сегерлинд Л. Д., Применение метода конечных элемен- элементов.—М.: Мир, 1979.] 18. Huebner К. N., A Finite Element Method for Engineers, Wiley, N. Y., 1975. 19. Myers G. E., Analytical Methods in Conduction Heat Transfer, McGraw, N. Y., 1971. 20. Zeinkiewicz О. С, The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw, N. Y., 1971. [Имеется перевод: Зенкевич О., Метод конечных эле- элементов в технике. — М.: Мир, 1975.]
ЗАДАЧИ Задачи к этой главе сгруппированы по тематике разделов, как указано в таблице. Для четырех задач, 3.27, 3.29, 3.30 и 3.38, требуется найти чис* ленные решения с помощью ЭВМ. Составления специальных программ не требуется. Все программы, необходимые для решения задач, приведены в этой главе при рассмотрении примеров. Номера задач 3.1-3.7 3.8-3.11 3.12—3.25 3.26—3.38 Раздел 3.2 3.3 3.4 3.5 Тема Нестационарная теплопроводность тела с пренебрежимо малым внутренним тер- термическим сопротивлением Нестационарная теплопроводность в полу- полубесконечном твердом теле Нестационарная теплопроводность, реше- решения в виде диаграмм Нестационарная теплопроводность, числен- численные решения 3.1. Колба медицинского термометра имеет диаметр 7 мм и длину 10 мм. Термометр вынимают из спиртового раствора и помещают в рот пациента. Вследствие испарения спиртового раствора начальная температура термо- термометра 18°С. Найти минимальное время, по истечении которого медсестра дол- должна вынуть термометр, причем показание термометра не должно отличаться от истинной температуры более чем на 0,5°С. Теплофизические свойства кол- колбы термометра можно приближенно принять равными средним значениям ме- между свойствами ртути и стекла. Найти требуемое время при трех значениях среднего коэффициента конвективной теплоотдачи к колбе термометра: hc = в 10, 50 и 100 Вт/(м2-град). 3.2. Небольшой медный наконечник после отливки вынимают из формы при температуре 650°С и охлаждают в баке с жидкостью [Яс = 790 Вт/(м2 X Хград), Too = 75°C]. Объем наконечника 1,75 см3, площадь его поверхности 3,5 см2. Сколько времени должен оставаться в жидкости наконечник, чтобы его температура снизилась до 100°С? 3.3. При движении по сборочному конвейеру нужно нагревать цилиндри- цилиндрические алюминиевые детали диаметром 1,5 мм и длиной 10 мм. Перед вхо- входом в нагревательную секцию конвейера [Яс = 100 Вт/(м2-град), Гто = = 300°С] алюминиевые детали имеют постоянную температуру 30°С. Сколь- Сколько времени должна оставаться в нагревательной секции каждая деталь, что- чтобы выйти из нее с температурой 200°С? Найти мсщность нагревательного эле- элемента этой секции, предполагая, что только 30% тепла идет на нагрев дета- деталей, а производительность конвейера составляет 10 тыс. деталей в час. 3.4. Кубик алюминия со стороной 1 см нужно нагреть в открытом пла- мени от 50 до 300°С. Сколько времени нужно держать кубик в пламени, если
Нестационарная теплопроводность 179 температура пламени 800°С, а коэффициент конвективной теплоотдачи от пламени к алюминию 190 Вт/(м2*град)? 3.5. Показать, что нестационарная температура твердого тела с прене- пренебрежимо малым внутренним термическим сопротивлением в условиях конвек- конвективного теплообмена на поверхности (hCi Too) при постоянной интенсивности тепловыделения на единицу объема qfQ определяется формулой Г @ - Г» = в (t) = 42- [1 - e~Bi Fol hcAs Начальное условие: 0 @) = 0, т. е. вначале температура твердого тела равна температуре окружающей среды. 3.6. Предположим, что нужно нагреть кусок алюминиевой проволоки, пропуская по ней электрический ток. Диаметр проволоки 1 мм, длина 10 см, электрическое сопротивление 0,2 Ом. Какова будет температура проволоки, если по ней пропускать в течение 1 мин постоянный ток силой 1 А и если ее начальная температура была 25°С? Предположить, что проволока нахо- находится в воздухе с температурой 25°С и пс = 20 Вт/(м2-град). Использовать решение задачи 3.5. 3.7. Электродетонатор имеет форму цилиндра диаметром 0,1 мм и дли- длиной 5 мм. Он находится в воздухе [Гоо = 30°С, Яс = 10 Вт/(м2-град)]. Теп- лофизические свойства детонатора: k = 20 Вт/(м-град), а = 5-10~5 м2/с, электрическое сопротивление 0,2 Ом, температура плавления материала дето- детонатора 900°С. Пренебрегая излучением и утечками тепла в крепления на кон- концах детонатора, определить время, по истечении которого детонатор взорвет- взорвется, если по нему пропускать постоянный ток силой 3 А. Использовать реше- решение задачи 3.5. 3.8. Поверхность толстой плиты [а = 2-10~6 м2/с, & = 10 Вт/(м-град)], имеющей начальную температуру 50°С, внезапно нагревается до 80°С. Найти: а) время, за которое температура на расстоянии 3 см от поверхности достиг- достигнет 65°С; б) количество тепла, которое нужно подвести на 1 м2 поверхности плиты, чтобы достичь этой температуры. 3.9. Решить задачу 3.8а, предполагая, что нагреватель заменен газом с температурой 80°С, а коэффициент конвективной теплоотдачи от газа к плите 120 Вт/(м2-град). 3.10. Предложен метод измерения коэффициента температуропроводности почвы с помощью термопары, погруженной в землю на известную глубину. На поверхности земли в хорошем тепловом контакте с ней размещен нагре- нагреватель с температурой 90°С, и после 15 мин нагрева термопара зарегистри- зарегистрировала температуру 27°С. Начальная температура почвы 22°С, термопара по- погружена на глубину 6 см. Найти коэффициент температуропроводности почвы. 3.11. Большая плита из мягкой стали толщиной 0,25 м имеет начальную температуру 45°С Одна ее поверхность начинает омываться воздухом с тем- температурой 200°С и he = 210 Вт/(м2-град). Найти температуру поверхности и температуру на расстоянии 2 см от нее после 3 мин воздействия горячего воздуха. 3.12. Найти температуру на глубине 3 см от поверхности эбонитового ша- шарика диаметром 10 см через 10 ч после того, как он был погружен в ванну с маслом, имеющим температуру 100°С. Перед погружением в масло шарик имел постоянную температуру 200°С, а коэффициент теплоотдачи от масла к шарику 1,5 Вт/(м2-град). Найти количество тепла, отданное шариком в те- течение 10 ч. 3.13. Начальная температура хлорвинилового шарика \k = 0,15 Вт/(м X Хград), а = 8-Ю-8 м2/с] диаметром 5 см равна 90сС. Он погружается в бак с водой, имеющей температуру 20°С. Коэффициент теплоотдачи от шарика к воде 20 Вт/(м2-град). Найти время пребывания шарика в воде, по истечении
180 Глава 3 которого температура в его центре достигает 40°С. Найти температуру по- поверхности шарика по истечении этого периода времени. 3.14. Длинные металлические стержни [k = 45 Вт/(м град), <х = 2 X X 10 м2/с] диаметром 0,5 м помещены в печь для термической обработки. Температура в печи 600°С, начальная температура стержней 60°С. Сколько времени стержни должны оставаться в печи, чтобы их минимальная темпера- температура достигла 400°С? Какова температура их поверхности в этот момент вре- времени? Принять, что коэффициент конвективной теплоотдачи 120 Вт/(м2«град). 3.15. Стенка толщиной 0,2 м изготовлена из огнеупорного материала [? = 6 Вт/(м-град), а — 8-10 м2/с]. Этот материал не воспламеняется, пока его температура ниже 650°С. При испытаниях стенку помещают в пла- пламени, охватывающем обе ее поверхности. Средняя температура пламени 875°С, начальная температура стенки 30°С. Определить минимальный и мак- максимальный промежутки времени, в течение которых стенка может пробыть в огне до воспламенения, предполагая, что коэффициент конвективной тепло- теплоотдачи от пламени к стенке составляет от 100 до 250 Вт/(м2 град). Найти значения температуры в среднем сечении стенки в эти моменты времени. 3.16. Телефонные столбы пропитывают смолистым составом, чтобы пре- предотвратить их гниение и порчу насекомыми. Пропитка дерева происходит при повышенных температурах и давлениях. Столб диаметром 0,3 м, имеющий на- начальную температуру 20°С, помещают в печь под давлением и вынимают из печи, когда он просмолится на глубину ~10 см. Установлено, что при этом температура на глубине 10 см составляет М0°С. Найти время выдерживания столба в печи, если температура в ней 350°С, hc = 145 Вт/(м2-град). Тепло- физические свойства дерева: k = 0,2 Вт/(м-град), а= 1,1-10—7 м2/с. 3.17. Апельсины могут в течение короткого времени без ущерба выдер- выдержать отрицательные температуры. Предположим, что апельсин диаметром 0,1 м [р = 940 кг/м3, с = 3,8-103 Дж/(кг-град), k = 0,47 ВтДмтрад)] имеет начальную температуру 5°С. Температура воздуха внезапно падает до —5°С. За какое время температура поверхности апельсина достигнет 0°С, если he = 10 Вт/(м2-град)? 3.18. Найти температуру в центре яйца, вынутого из холодильника (Т = 5°С) и опущенного на 3 мин в кипящую воду [hc = 3000 Вт/(м2„ град)! Считать, что яйцо имеет сферическую форму, его диаметр 3,6 см, а теплофизи- ческие свойства следующие: р= 1080 кг/м3, с = 4,0-103 Дж/(кг-град), k == = 0,75 Вт/(м-град). Найти количество энергии, необходимое для нагрева яйца. 3.19. Нагреватели с температурой 250°С смонтированы в прямом тепло- тепловом контакте с двумя сторонами стенки из обычного строительного кирпича толщиной 0,25 м. Стенку, имеющую начальную температуру 10°С. нужно на- нагревать до достижения температуры в среднем сечении 140°С. Сколько вре- времени должны работать нагреватели? 3.20. Сырой материал перед применением на сборочном конвейере нужно предварительно нагреть до минимальной температуры 200°С. Материал имеет следующие теплофизические свойства: р = 4000 кг/м3, ?==2,0 Вт/(м-град), ос = 8-10" м2/с. Материал нагревают на ленте конвейера, которая движется через открытую печь с температурой 700°С и коэффициентом конвективной теплоотдачи от горячего воздуха к материалу 450 Вт/(м2-град). Сырой ма- материал продается в виде гранул двух размеров: диаметром 8 и 4 см. На- Начальная температура материала на входе в печь 30°С. Сколько времени зай- займет предварительный нагрев гранул обоих размеров? С точки зрения наи- наименьших затрат тепловой энергии какие нужно покупать гранулы: меньшего или большего размера? Длина ленты транспортера 8 м, ширина 1 м, на 1 м2 ленты помещается 100 больших гранул или 400 маленьких. Найти массовую производительность конвейера для гранул обоих размеров, если скорость дви- движения ленты регулируется таким образом, чтобы обеспечить требуемую ми- минимальную температуру тех и других шариков. 3.21. Бетонный цилиндр диаметром 10 см и длиной 25 см имеет началь- начальную температуру 90сС. Он охлаждается в воздухе при температуре 10°С. За
Нестационарная теплопроводность 181 какое время температура в его центре достигнет 30°С, если коэффициент кон- конвективной теплоотдачи от бетона к воздуху 18 Вт/(м2-град)? 3.22. Вы хотите зажарить кусок мяса, скатанный в виде короткого ци- цилиндра диаметром 15 см и длиной 20 см. Теплофизические свойства говя- говядины: р = 960 кг/м3, k = 0,9 Вт/(м-град), с = 5-Ю3 Дж/(кг-град). Сколько времени нужно жарить мясо, чтобы прожарить его середину, предполагая, что говядина прожаривается при 75°С? Мясо, взятое из холодильника, имеет тем- температуру 10°С. Духовка предварительно прогрета до 160°С, а коэффициент конвективной теплоотдачи от горячего воздуха к мясу 30 Вт/(м2-град). На сколько уменьшится время жарки, если мясо предварительно прогрето до 25°С? 3.23. Брикет размерами 20 X 30 X 50 см, имеющий после нагрева по- постоянную температуру 120°С, вынимают из печи и оставляют на воздухе с температурой 30°С. Теплофизические свойства материала брикета: k = = 2,5 Вт/(м-град), р = 2,8-103 кг/м3, с = 800 Дж/(кгтрад). Коэффициент конвективной теплоотдачи от брикета к воздуху равен 75 Вт/(м2-град). Най- Найти температуру в центре брикета через 1 ч после выемки из печи. 3.24. Короткий алюминиевый цилиндр диаметром 0,6 м и длиной 0,6 м имеет начальную температуру 200°С. Его внезапно помещают в среду с тем- температурой 70°С и hc = 85 Вт/(м2-град). Рассчитать температуру в точках цилиндра, расположенных по окружности радиусом 10 см на расстоянии 10 см от его торца, через 1 ч после начала охлаждения. 3.25. В магазине продается мороженое. Его начальная температура —10°С. Температура окружающего воздуха 25°С, Яс = 25 Вт/(м2-град). Раз- Размеры упаковки 10 X 15X20 см; теплофизические свойства мороженого: k = = 0,76 Вт/(м-град), с = 5-Ю3 Дж/(кг-град), р = 845 кг/м3. За какое время мороженое, вынутое из морозильника магазина, растает (температура плав- плавления мороженого ~0°С). Если мороженое сразу завернуть в пакет, чтобы уменьшить приток тепла, коэффициент конвективной теплоотдачи снижается до 5 Вт/(м2-град). Рассчитать время таяния в этом случае. 3.26. Для условий задачи 2.66 найти нестационарные температуры в 9 узлах, если вначале тело имеет постоянную температуру 20°С, а начиная с момента времени / =* 0 действуют граничные условия, указанные на ри- рисунке к задаче 2.66. Коэффициент температуропроводности твердого тела 1,2 -10—6 м2/с. Применить явный численный метод. 3.27. Решить задачу 3.26 неявным численным методом. Модифицировать программу численного решения примера 3.9 и применить ее для расчета не- нестационарных температур в 9 узлах. 3.28. Для условий задачи 2.69 найти нестационарные температуры в ^уз- ^узлах, если вначале твердое тело имеет постоянную температуру 250°С, а на- . чиная с момента времени t = 0 действуют граничные условия, указанные на рисунке к задаче 2.69. Коэффициент температуропроводности твердого тела 8-10—6 м2/с. Применить явный численный метод. 3.29. Решить задачу 3.28 неявным численным методом. Модифицировать программу численного решения примера 3.9 и применить ее для расчета не- нестационарных температур в 15 узлах. 3.30. Для условий задачи 2.72 найти нестационарные температуры в 20 уз- узлах, если вначале твердое тело имеет постоянную температуру 25°С, а начи- начиная с момента времени t = 0 действуют граничные условия, указанные на рисунке к задаче 2.72. Коэффициент температуропроводности твердого тела 2-10~в м2/с. Использовать неявный численный метод. Модифицировать про- программу численного решения примера 3.9 и применить ее для расчета неста- нестационарных температур в 20 узлах. 3.31. Проверить все уравнения энергии для узлов и критерии устойчиво- устойчивости, представленные в табл. 3.4. 3.32. На рисунке показано поперечное сечение длинного прямоугольного стержня [k = 20 Вт/(м-град), а = 3-10~5 м2/с], имеющего вначале постоян- постоянную температуру 160°С. Внезапно температура двух поверхностей снижается До 100°С, а остальные две поверхности становятся теплоизолированными.
182 Глава 3 Найти нестационарные температуры в 6 узлах, показанных на рисунке, с по- помощью явного численного метода. К задаче 3.32, 3.33. Проверить «неявные» разностные уравнения баланса энергии, приве- приведенные в табл. 3.5. 3.34. Решить задачу 3.8, а графическим методом Биндера — Шмидта. Сравнить ответ с полученным ранее решением задачи 3.8. 3.35. Два больших листа фанеры (а=1,Ы0-7 м2/с) толщиной 2 см нужно склеить термоклеем. Начальная температура обоих листов фанеры 20°С, и их нужно сжимать друг с другом, пока температура клея не достиг- достигнет 50рС. Два нагревателя с температурой 120°С расположены в прямом теп- тепловом контакте с обеими сторонами фанеры. Пренебрегая термическим сопро- сопротивлением клея, рассчитать время нагрева, чтобы температура клея достигла 50°С. Применить метод Биндера — Шмидта. 3.36. Длинный цилиндр из нержавеющей стали диаметром 20 см, имею- имеющий вначале температуру 20°С, теплоизолирован по периферии. Торец ци- цилиндра находится в прямом тепловом контакте с нагревателем, имеющим температуру 180°С. Найти температуры в плоскостях, расположенных на рас- расстояниях 1, 2 и 3 см от торца цилиндра, через 1, 2 и 3 мин после начала нагрева. Применить метод Биндера — Шмидта. 3.37. Решить задачу 3.36 явным численным методом. 3.38. Решить задачу 3.36 неявным численным методом. Модифицировать программу численного решения примера 3.9 и применить ее для расчета не* стационарных температур в цилиндре.
Глава 4 КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН 4.1. ВВЕДЕНИЕ Прежде чем приступить к расчету коэффициента теплеют* дачи, несколько подробнее рассмотрим процесс конвективного переноса и установим связь между конвективным теплообменом и движением жидкости. На рис. 4.1 показана обогреваемая пло- плоская пластина, охлаждаемая обтекающим ее потоком воздуха. Поток жидкости Т(у) Тепловой поток Рис. 4.1. Распределение скоростей и температур при вынужденной конвекции около нагретой пластины. Прежде всего отметим, что в направлении к поверхности пла- пластины скорость воздуха уменьшается под действием сил вяз- вязкости. Так как скорость слоя жидкости, примыкающего к стен- стенке, равна нулю, то теплоотдача от поверхности к этому слою должна осуществляться только теплопроводностью: дТ hATTJ D.1) „ft 'f ду 0-0 Хотя с этой точки зрения основным процессом переноса тепла и является теплопроводность, но сам градиент температуры на поверхности (дТ/ду)\у=о определяется интенсивностью пере- передачи энергии от стенки в основной поток более удаленными от стенки слоями жидкости. Следовательно, градиент темпера- температуры на стенке зависит от поля течения, и при более высоких скоростях достигаются более высокие градиенты температуры и более высокие тепловые потоки. В то же время важную роль играет коэффициент теплопроводности жидкости. Например,
184 Глава 4 значение kf для воды на порядок превышает его значение для воздуха; именно поэтому приведенное в табл. 1.2 значение коэф- коэффициента конвективной теплоотдачи для воды больше, чем для воздуха. Как следует из рис. 4.2, весьма близкая картина наблюдает- наблюдается и при свободной конвекции. Принципиальное отличие состоит в том, что если при вынужденной конвекции скорость обуслов- обусловлена действием внешних сил и приближается к своему значению в набегающем потоке, то при свободной конвекции с увеличением расстоя- расстояния от пластины она вна- вначале возрастает вследст- вследствие довольно быстрого уменьшения действия вяз- вязкости и более медленного снижения разности плот- плотностей. Однако в конце концов по мере прибли- приближения плотности к значе- значению в окружающей жид- жидкости подъемная сила по- понижается. Это приводит к тому, что скорость снача- сначала достигает максимума, а затем по мере удаления от обогреваемой поверх- поверхности приближается к ну- нулю. Профили температур при свободной и вынужденной конвек- конвекции имеют аналогичную форму, и в обоих случаях механизмом теплоотдачи на поверхности раздела жидкости и твердого тела является теплопроводность. Согласно приведенным рассуждениям, коэффициент конвек- конвективной теплоотдачи должен зависеть от плотности, вязкости и скорости жидкости, а также от ее теплофизических свойств (коэффициента теплопроводности и удельной теплоемкости). Если при вынужденной конвекции скорость в системе обычно создается насосом или вентилятором и может быть определена непосредственно, то при свободной конвекции она зависит от разности температур поверхности и жидкости, коэффициента теплового расширения жидкости (который определяет измене- изменение плотности на единицу разности температур) и силового поля, которое для находящихся на земле систем определяется просто силой тяжести. Для понимания роли различных параметров при вынужден- вынужденной конвекции рассмотрим подробнее поле скоростей. На рис. 4.3 доказаны распределения скоростей на различных расстояниях 8 Рис. 4.2. Распределение скоростей и темпе- температур при свободной конвекции около на- нагретой пластины, наклоненной под углом р к горизонтали.
Конвективный теплообмен 185 от передней кромки пластины. Сразу за этой кромкой разви- развивается область течения, в которой силы вязкости вызывают тор- торможение потока. Эти силы зависят от касательного напряже- напряжения т. В случае обтекания плоской пластины это напряжение можно определить через скорость жидкости, параллельную пла- пластине, в виде где du/dy — градиент скорости, а коэффициент пропорциональ- пропорциональности \i называют коэффициентом динамической вязкости. Если \* Ламинарный режим Переходный Jрежим^ Турбулентный режим ггп: Ламинарный подслой Рис. 4.3. Ламинарный, переходный и турбулентный режимы течения в погра- пограничном слое при обтекании плоской пластины. касательное напряжение выражено в Н/м2, а градиент скорости в с-1, то размерностью \х является Н-с/м2. Область течения около пластины, в которой скорость жид- жидкости замедляется под действием сил вязкости, называют погра- пограничным слоем. Расстояние от пластины, на котором скорость до- достигает значения, равного 99% скорости невозмущенного по- потока, условно принято считать толщиной пограничного слоя, а область, более удаленную от пластины, называют невозмущен- невозмущенным, или потенциальным, потоком. Вначале течение в пограничном слое является полностью ла- минарным. Толщина пограничного слоя возрастает с увеличе- увеличением расстояния от передней кромки, и на некотором крити- критическом расстоянии хс влияние инерционных сил становится су- существенно большим по сравнению с влиянием вязкого демпфи- демпфирования, и в результате в потоке начинают возрастать слабые возмущения. Так как они становятся все более интенсивными, то нарушается упорядоченность вязкого течения и происходит пе- переход от ламинарного течения к турбулентному. В области
186 Глава 4 турбулентного течения линии тока пересекаются макроскопиче- скими порциями жидкости. В результате происходит интенсив- интенсивный перенос как тепловой энергии, так и количества движения. В курсах по гидродинамике (например, [1]) указывается пара- параметр, который количественно связывает силы вязкости и инер- инерции и значение которого определяет переход от ламинарного течения к турбулентному. Это — безразмерное число Рейнольд- са Re*, определяемое по формуле Re, = bf. D.3) где Voo — скорость набегающего потока, х — расстояние от передней кромки, Vf = [if/pf — коэффициент кинематической вяз- вязкости жидкости. Критическое значение Re* , при котором проис- происходит переход от ламинарного течения к турбулентному, зави- зависит от шероховатости поверхности и интенсивности турбулент- турбулентных пульсаций, или степени турбулентности, в основном потоке. Если в потоке имеются значительные возмущения, то переход начинается при Re* = 105, но в их отсутствие переход может затянуться до Re* = 2-105. Переходный режим существует до значения числа Рейнольдса, примерно вдвое превышающего его значение в начале перехода; но при большем значении числа Рейнольдса течение в пограничном слое турбулентное. Приблизительные формы профилей скоростей при ламинар- ламинарном и турбулентном режимах течения показаны на рис. 4.3. При ламинарном режиме течения профиль скорости в погра- пограничном слое близок к параболическому. При турбулентном ре- режиме течения существует очень тонкий слой около поверхности, называемый ламинарным подслоем, в котором профиль ско- скорости почти линейный. Вне этого подслоя профиль скорости яв- является более наполненным по сравнению с профилем в лами- ламинарном пограничном слое. Из других типов течений наибольший интерес представляет течение в трубе или канале. Это течение может быть ламинар- ламинарным или турбулентным в зависимости от числа Рейнольдса, формула для расчета которого в данном случае имеет вид где Vm — средняя скорость, D — внутренний диаметр. По дости- достижении ReD = 2300 начинается переход от ламинарного течения к турбулентному, обычно заканчивающийся при ReD«6000. Действительные значения ReD зависят от шероховатости стенок трубы и степени турбулентности. На рис. 4.4 показаны профили скорости при ламинарном и турбулентном режимах течения. За входным сечением на вну- внутренней поверхности трубы развивается пограничный слой, ко*
Конвективный теплообмен 187 торый по мере удаления от входа все более заполняет площадь поперечного сечения. В случае ламинарного течения профиль скорости становится параболическим, причем средняя скорость составляет 1/2 своего значения на оси трубы. При турбулент- турбулентном течении профиль становится более наполненным и средняя скорость составляет ~83% от значения на оси трубы. шшшжшяш б Рис. 4.4. Профили скоростей при ламинарйом (а) и турбулентном (б) тече- течениях в трубе. Иногда оказывается более удобным относить число Рей- нольдса Re к плотности потока массы G, определяемому по еле* дующей формуле: G V Ж/Л D.4) где th — массовый расход жидкости, Ас — площадь поперечного сечения, Vm — средняя скорость жидкости. Уравнение D.4) можно также использовать для определения средней скорости. Легко показать, что число Рейнольдса для канала диаметром D может быть записано в виде ReD = GDJ\i. D.5) Если поперечное сечение канала не круглое, то вместо диа- диаметра трубы D используется эквивалентный (гидравлический) диаметр, определяемый по формуле ?ч л ( Площадь поперечного сечения \ н \ Смоченный периметр / Например, при течении в кольцевом канале, образованном тру- трубой с наружным диаметром Do и большей трубой с внутренним диаметром D/, эквивалентный диаметр равен Если поперечное сечение канала является прямоугольным и имеет ширину w и высоту h, то wh I» ( wh При h<w,DH ~ 2Л,
188 Глава 4 Коэффициент конвективной теплоотдачи изменяется с рас- расстоянием от передней кромки плоской пластины или от входа в трубу или в канал; параметром, отражающим это изменение, является местный коэффициент теплоотдачи hex, где х— рас- расстояние от передней кромки пластины или от входа в трубу. Если необходимо рассчитать общую теплоотдачу от ^ластины, то следует знать средний коэффициент теплоотдачи Не Между hex и Нс существует следующая зависимость: **™Т ] h°*dx* <4'7) Другие параметры также зависят от расстояния от передней кромки пластины или от входа в трубу. Местный коэффициент сопротивления трения определяется как D-8) Средний коэффициент сопротивления трения для пластины дли- длиной L равен L { J Cfxdx. D.9) 0 Коэффициент трения является безразмерной величиной, харак- характеризующей касательное напряжение или силу сопротивления на границе с твердым телом. 4.2. УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ, КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ При классическом подходе к конвективному переносу сле- следует вывести дифференциальные уравнения сохранения коли- количества движения и баланса энергии в пограничном слое и ре- решить их относительно градиента температуры в жидкости на границе раздела со стенкой, с тем чтобы затем получить коэф- коэффициент конвективной теплоотдачи. Несколько более простым, но практически более полезным является подход, при котором вместо дифференциальных уравнений получают интегральные уравнения и для определения коэффициента теплоотдачи ис- используют приближенный анализ. В данном разделе будут вы- выведены дифференциальные уравнения, описывающие течение жидкости вдоль плоской пластины, что позволит продемонстри- продемонстрировать аналогию между переносом тепла и переносом количе- количества движения^ а также ввести число Прандтля (Рг), которое
Конвективный теплообмен 189 связывает два этих процесса. Затем будут выведены интеграль- интегральные уравнения для случая обтекания плоской пластины и полу- получено их решение, что позволит продемонстрировать аналитиче- аналитический подход, который можно также использовать для определе- определения коэффициентов теплоотдачи в турбулентном потоке. Рассмотрим элементарный объем внутри пограничного слоя (рис. 4.5) и предположим, что течение является стационарным, dx v^2^%2%^^ pdy км* -НЙ Рис. 4.5. Элементарный объем в пограничном слое, рассматриваемый при вы- выводе уравнений сохранения массы и количества движения. а жидкость — несжимаемой. Тогда массовые расходы на входе и выходе из элементарного объема в направлении х будут соот- соответственно равны pudy и Результирующий массовый расход в элемент в направлении х составит ди p Аналогично результирующий массовый расход в элемент в на- направлении у составит -p—dydx. Так как результирующий массовый расход из элементарного объема должен быть равен нулю, то получаем ди , d
190 Глава 4 откуда следует, что при двумерном установившемся течении из условия сохранения массы f + f-0. D.10, Уравнение сохранения количества движения для элемен- элементарного объема получаем с помощью второго закона Ньютона. Предполагая, что жидкость ньютоновская и что в направлении оси у градиенты давления отсутствуют, а силы вязкости пре- пренебрежимо малы, получаем, что в направлении оси х левую и правую вертикальные поверхности элементарного объема (рис. 4.5) пересекают потоки количества движения pu2dy и p[u-\-(du/dx)dx]2dy. Следует отметить, что поток жидкости че- через горизонтальные поверхности также сказывается на балансе количества движения в направлении оси х. При этом в направ- направлении оси х нижнюю поверхность пересекает поток количества движения puvdxy а верхнюю поверхность, также имеющую еди* яичную ширину, Касательное напряжение на нижней поверхности составит —\k{du/dy)dXy а на верхней поверхности — ~W Таким образом, результирующее касательное напряжение в на- направлении х оказывается равным \xdx(d2u/dy2)dy. Сила давления на левую поверхность составляет pdyy а на правую — [р + (др/дх) dx] dy. Следовательно, результирующая сила давления в направлении течения равна —(др/дх)dxdy. Приравнивая сумму рассмотренных сил изменению количества движения на выходе из элементарного объема в направлении х, получаем dv _ j_ jmm , _. ди j_ , _ dv ди - - dp Если пренебречь производными второго порядка и использовать уравнение неразрывности, то уравнение сохранения количества движения можно упростить: ди . ди \ д2и др ,л 11Ч Выведем уравнение сохранения энергии при допущении о не- независимости всех физических свойств от температуры и о доста- достаточно малой скорости потока, что позволяет пренебречь работой
Конвективный теплообмен 191 сил трения. На рис. 4.6 показаны потоки энергии, поступающие и выходящие из элементарного объема благодаря теплопровод- теплопроводности и конвективному переносу. В дополнение к членам, свя- связанным с теплопроводностью и использованным ранее в гл. 2 [уравнение B.5)], имеются четыре конвективных члена. Для pcpuTdy Эх2 Рис. 4.6. Элементарный объем в пограничном слое, рассматриваемый при вы- выводе уравнения сохранения энергии. баланса энергии необходимо, чтобы сумма всех членов, связан- связанных с теплопроводностью и конвекцией, была равна нулю. При этом получаем Используя уравнение неразрывности и пренебрегая членами вто- второго порядка, как и при выводе уравнения сохранения количе- количества движения, получаем следующее уравнение сохранения энергии: и дТ дх При нормальных условиях член, учитывающий теплопроводность в направлении г, мал по сравнению с другими членами. Следо- Следовательно, первым членом в скобках в правой части уравнения можно пренебречь. Кроме того, в уравнении количества движе- движения обычно малым по сравнению с другими членами оказывает- оказывается член, учитывающий градиент давления, и им также можно
1§2 Глава 4 пренебречь. Теперь становится очевидной аналогия между урав- уравнениями сохранения количества движения и энергии: ди , ди (д2и \ /л 1О\ и -з—h v -т— = v (-г-т ), D.13) дх 1 ду \ду2 J9 х } дТ . дТ В приведенных уравнениях v = |л/р — коэффициент кинемати- кинематической вязкости, который часто называют коэффициентом пере- переноса количества движения, a v/a — (\x/p)/(k/pcp)=Pr— число Прандтля. Если v = а, то Рг = 1, и тогда уравнения количества движения и энергии идентичны. При этом идентичными ока- оказываются и безразмерные решения для и (у) и Т(у). Отсюда видно, что число Прандтля Рг, которое представляет собой от- отношение физических свойств жидкости, определяет соотношение между распределением скоростей и температур. Число Прандт- Прандтля изменяется от низких значений порядка 0,004 для жидкого металла до высоких значений порядка 4000 для очень вязкого масла. 4.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ И ЭНЕРГИИ ДЛЯ ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ Приводимый ниже интегральный подход позволяет изба- избавиться от проблем, возникающих при решении дифференциаль- дифференциальных уравнений пограничного слоя в частных производных. Рас- Рассмотрим элементарный объем, который начинается на стенке и простирается в направлений оси у, выходя за пределы погра- пограничного слоя (рис. 4.7). Причем он имеет толщину dx в направ- направлении оси х и единичную ширину в направлении оси г. Для получения зависимостей для результирующего количества дви- движения и результирующего количества энергии, вносимых в объем, поступим таким же образом, как и при выводе уравнений по- пограничного слоя в предыдущем разделе. Через поверхность АВ (рис. 4.7) передается поток количе- количества движения б ^ ри2 dy. Аналогично через поверхность CD передается поток количества движения б б
Конвективный теплообмен 193 Однако жидкость поступает в элементарный объем также через б поверхность BD с расходом (d/dx) [pudydx. Эта величина яв- о ляется разностью между расходом, вытекающим через поверх- поверхность CD, и расходом, втекающим через поверхность АВ. Так как жидкость, поступающая в объем через поверхность BD, имеет составляющую скорости в направлении оси х, равную скорости внешнего потока У<х>, то через эту верхнюю поверхность в элементарный объем в направлении х поступит поток коли- количества движения а Суммируя все составляющие потока количества движе- движения вдоль оси ху получаем dx J Рис. 4.7. Элементарный объем в лами- нарном пограничном слое, рассматривае- и) dtl мый ПРИ выв°Де интегральных уравне- ' v% ний сохранения. На поверхности BD касательное напряжение отсутствует, так как эта поверхность находится вне пограничного слоя, и du/dy = 0. Однако существует касательная сила трения тю, действующая на поверхности раздела жидкости и твердой стен- стенки, а также имеются силы давления, действующие на поверх- поверхности АВ и CD. Записывая все силы, действующие на элемен- элементарный объем, и суммируя их, получаем соотношение -Twdx = -6-%Ldx--%wdx. D.15) При обтекании плоской пластины градиентом давления в на* правлении оси х можно пренебречь, и тогда уравнение коли- количества движения можно переписать в следующем виде: Tw. D.16) Интегральное уравнение энергии можно получить аналогич- аналогичным способом. Однако в этом случае при выводе должен 7 Зак. 487
194 Глава 4 использоваться элементарный объем, выходящий за пределы как теплового, так и динамического пограничного слоев (рис. 4.8). В соответствии с первым законом fepMOAHHaMiiKH энергию еле-, дует рассматривать 8 виде внутренней энергии (энтальпии), кинетической энергии й теплоты, а также работы сил трения. При низких скоростях члены, учитывающие кинетическую энер- энергию и работу сил трения, малы по сравнению с другими чле- членами, и ими можно пренебречь. Тогда увеличение энтальпии Динамический пограничный слой 6 Тепловой пограничный слой St Рис. 4.8. Элементарный объем в динамическом и температурном пограничных слоях, элементарного объема за счет втекания жидкости через поверх- поверхность А В будет составлять Уз ^ cppuTdy, о а ее снижение за счет вытекания жидкости через поверхность CD J -jz\ cppuTdydx. о о Увеличение энтальпии элементарного объема за счет втекания жидкости через верхнюю поверхность равно И наконец, теплота, подводимая вследствие теплопроводности через поверхность раздела жидкости и твердой стенки, составит ду
Конвективный теплообмен 195 Суммируя все эти величины, получаем интегральное уравнение сохранения энергии в виде =0,DЛ7) 0 0 Следует отметить, что за пределами теплового пограничного слоя температура равна температуре невозмущенного потока Г*,, и поэтому интегрирование следует проводить только до у = 6*. Уравнение D.17) при этом упрощается и принимает вид D.18) Это уравнение обычно известно как интегральное уравнение энергии для ламинарного пограничного слоя при низких скоро- скоростях течения. 4.4. РАСЧЕТ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ И ТРЕНИЯ В ЛАМИНАРНОМ ПОТОКЕ Первым шагом в приближенном интегральном методе ра- расчета является представление распределений скоростей и темпе- температур в виде степенных рядов — полиномов. При выборе коэф- коэффициентов этих рядов должны удовлетворяться граничные усло- условия. Предположим, что распределение скоростей описывается степенным рядом из четырех членов: и (у) = а + by + су2 + dy\ D.19) Выбор коэффициентов проводим с использованием следующих граничных условий: при у = 0: и = 0 и поэтому а = 0, w = y = 0, и поэтому из уравнения D.11) получаем д2и/ду2 = 0, при у и б: и в= 1/оо и ди/ду = 0. Эти граничные условия позволяют получить четыре уравнения для расчета четырех неизвестных коэффициентов в зависимости от скорости невозмущенного потока и толщины пограничного слоя. Легко показать (см. задачу 4.14), что этим граничным условиям удовлетворяют коэффициенты Подставляя их в уравнение D.19) и приводя его к безразмер- безразмерному виду путем деления на скорость невозмущенного потока
196 Глава 4 получаем При подстановке выражения D.20) для распределения скоро- скоростей в интегральное уравнение количества движения [уравнение D.16)] получаем Касательное напряжение на стенке тт можно найти, определяя градиент скорости из уравнения D.20) при у = 0 (см. задачу 4.14). После подстановки xw в уравнение D.21) и интегрирова- интегрирования последнего получаем Преобразуя уравнение D.22) и интегрируя полученное уравне- уравнение, находим зависимость толщины пограничного слоя от вяз- вязкости, расстояния от передней кромки и скорости невозмущен- невозмущенного потока в виде б2 _ 140ул; . с D 2Ч\ Так как на передней кромке (т. е. при х = 0) 6 = 0, то коэф- коэффициент С в этой зависимости должен быть равен 0, и тогда e9 280vx б 4,64 Чтобы определить коэффициент трения, подставим выраже- выражение D.20) в уравнение D.21): du з vo _ ,0"^ 2 б • Подставляя сюда б из выражения D.24), получаем *» 9,28 х и тогда коэффициент трения CfX будет равен п %wx 0,647 D.5
Конвективный теплообмен 197 Пример 4.1. Определить ламинарное касательное напряжение на расстоя- расстоянии 0,2 м от передней кромки плоской пластины в потоке воды, имеющем температуру 293 К и скорость 1 м/с. Решение. Для воды при 293 К ц 993. 10"° и так как течение ламинарное, то rw = ~~ 993 • Ю-6 М B ¦ 10*I'2 = 0,718 Н/м2. Обратимся теперь к уравнению энергии и допустим, что распределение температур в пограничном слое имеет такой же вид, как и распределение скоростей: Т (//)== е + fy + gy2 + hy3. D.26) Граничные условия для поля температур таковы, что при у = 0 7 = Ts, а при у = St (толщина теплового пограничного слоя) Т = Too и dT/dy = 0. Кроме того, как следует из уравне- уравнения D.13), d2T/dy2 = 0 при # = 0, так как на поверхности раз- раздела и = у = 0. При этих условиях константы равны (см. за- задачу 4.15) Зт т i оо л S. * оо """" S> 2 ~б7' ~~ ' 262 " Если для удобства переменную в уравнении энергии выбрать в виде разности между температурами жидкости и стенки, то тогда выражение для безразмерной температуры можно запи- записать в виде t-ts _ з у \ ( у Определив Т—Ts и и соответственно из выражений D.27) и D.20), можно переписать интеграл в уравнении D.18) в виде G\. - Т) и dg = \ [(Тп - Т.) - (Т - Ts)] udy = о Произведя перемножение иод знаком интеграла, получаем вы- выражение
198 Глава 4 которое после интегрирования принимает вид V оо 2 s) V оо ^ 4 6 4 6 -f 20 б 8 б3 "^ 20 б3 28 б3 )' Если ввести обозначение ? = б*/б, то последнее выражение за- запишется в виде Для жидкостей, у которых Pr ^ 1, оказывается, что ?^1, и тогда вторым членом в скобках по сравнению с первым членом можно пренебречь 1). Подставляя это приближенное выраже- выражение для интеграла в уравнение D.18), получаем VJ?b Из уравнения D.24) получаем дд что дает fe ~ 10,75 v • или б^ = 0,9766 Рг/3. D.28) За исключением числового значения константы @,976 по сравне- сравнению с 1,0), этот результат полностью совпадает с точным реше- решением Польгаузена [2]. Из уравнений D.1) и D.27) величина конвективного тепло- теплового потока от пластины, приходящегося на единицу ее пло- площади, равна А Т ду 3 k 3 kf (т т\ Подставляя сюда значения б и б* из выражений D.24) и D.28), получаем а 3 k Pr1/3Re1/2 k и локальное число Нуссельта = л (Г.-г.) Т '> Это допущение несправедливо для жидких металлов, у которых Рг < 1.
Конвективный теплообмен 19§ Эта формула очень хорошо согласуется с точным решением, по- полученным в работе [2]. Приведенный пример иллюстрирует эффективность прибли- приближенного метода расчета пограничного слоя. Если исходить из физического смысла протекающих процессов и следовать ин- интуиции, то с помощью этого метода можно получить вполне удовлетворительные результаты, минуя математические трудно- трудности, возникающие при решении точных уравнений пограничного слоя. Приближенный метод применялся для решения многих задач, и результаты этих решений описаны в литературе. 4.5. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ ТЕПЛООБМЕНОМ И ПЕРЕНОСОМ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ В большинстве практических задач течение в пограничном слое бывает турбулентным, а не ламинарным. Качественно ме- механизм переноса в турбулентном потоке можно представить себе как усиление молекулярного переноса в ламинарном потоке, В установившемся ламинарном потоке частицы жидкости сле- следуют по вполне определенным линиям тока. Перенос тепла и количества движения поперек линий тока происходит только посредством молекулярной диффузии, поперечные же потоки столь малы, что при введении в некоторой точке окрашенной жидкости она следует строго по линиям тока без заметной диф- диффузии. Но в турбулентном потоке такая окрашенная жидкость уже на небольшом расстоянии ниже по потоку от места впры- впрыскивания распространяется на значительную площадь. Меха- Механизм перемешивания связан с быстро пульсирующими молями, которые неупорядоченно переносят частицы жидкости. Группы частиц (моли) сталкиваются друг с другом в этих беспорядоч- беспорядочных поперечных перемещениях, обеспечивая эффективное пере- перемешивание жидкости. Так как это перемешивание при турбу- турбулентном течении происходит на макроскопическом уровне груп- группами частиц, движущимися в жидкости зигзагообразно, то механизм поперечного переноса оказывается во много раз эффек- эффективнее, чем при ламинарном течении. В результате потоки тепла и количества движения при турбулентном течении, а также значения соответствующих коэффициентов трения и теплоотдачи оказываются во много раз большими, чем при ламинарном те- течении. Если производится осреднение параметров турбулентного по- потока в некоторой точке за некоторый промежуток времени, до- достаточно продолжительный по сравнению с периодом одиночной пульсации, то значительный интерес представляет случай, когда осредненные йо времени физические свойства и скорость жид* кости постоянны, если само осредненное течение является
200 Глава 4 установившимся. При этом каждое из физических свойств и ско- скорость жидкости в турбулентном потоке можно выразить в виде суммы не изменяющегося во времени среднего значения и пуль- сационной составляющей, являющейся функцией времени. Для упрощения задачи рассмотрим двумерный поток (рис. 4.9), в ко- котором средняя скорость параллельна направлению оси я. Мгно- венные значения составляю- \dyy\ щих скорости и и v можно' ^ -/у- выразить в следующем виде: 1 L_ Рис. 4.9. Длина смешения при переносе количества движения. v = v', D.31) где черта сверху означает величину, осредненную во времени, а штрих означает мгновенное отклонение от этой средней величины. Со- Согласно модели, используе- используемой для описания потока, е* Рис. 4.10. Изменение во времени мгно- мгновенной скорости. где 8* — интервал времени, достаточно продолжитель- продолжительный по сравнению с перио- периодом пульсаций. На рис. 4.10 показано качественно изме- изменение и к и' во времени. Из уравнения D.32) или из рассмотрения рис. 4.10 сле- следует, что осреднение состав- составляющей по времени и' дает нуль (т. е. и! = 0). Аналогично мож- можно показать, что осредненные по времени v1 и (pv)' также рав- равны нулю. Пульсационные составляющие скорости непрерывно перено- переносят массу, а следовательно, и количество движения через по- поверхность, перпендикулярную оси у. Мгновенная скорость пере- переноса продольной составляющей количества движения в направ- направлении оси у на единицу площади составляет где знак минус, как будет показано ниже, учитывает статисти- статистическую корреляцию (взаимосвязь) между и! и г/. Осреднение во времени переноса количества движения по оси х приводит к кажущемуся напряжению турбулентного тре-
Конвективный теплообмен 201 ния %и которое определяется выражением rt = - -Jr \ (pv)' (п + и') dQ: D.33) о Разделяя эту величину на два члена и осредняя первый из них, получаем ¦grj (pv)'udQ = 0, о поскольку и — величина постоянная, а осреднение (pv)' дает нуль. Интегрирование второго члена уравнения D.33) приво- приводит к е* = - "г S о или при постоянном значении р ??)9 D.35) где v'u! — осреднение по времени произведения и' и v'. Нетрудно показать, что такие осреднения смешанных произ- произведений пульсаций скоростей, как v'u\ отличны от нуля. Из рис. 4.9 видно, что частицы, перемещающиеся вверх (?/>0), переходят в слой жидкости, средняя скорость которой п выше, чем в слое, из которого они поступили. В предположении, что частицы жидкости в среднем сохраняют свою первоначальную скорость п во время этого перемещения, получаем, что они должны замедлять другие частицы жидкости после перехода в новое положение. Это приводит к появлению отрицательной составляющей и'. И наоборот, если v' является отрицательной, то на новом месте и' будет положительной. В среднем положи- положительная v' связана с отрицательной и', и наоборот. Следова- Следовательно, осредненная величина u'v' оказывается в целом нерав- неравной нулю и притом отрицательной. В результате турбулентное касательное напряжение, определяемое по уравнению D.35), положительно и имеет тот же знак, что и соответствующее ла- ламинарное напряжение: du du x^9V Следует при этом иметь в виду, что ламинарное касательное напряжение является действительным напряжением, в то время как кажущееся турбулентное касательное напряжение является
202 Глава 4 просто понятием, вводимым для объяснения переноса количе- количества движения турбулентными пульсациями. Эта величина по- позволяет выражать общее касательное напряжение в турбулент- турбулентном потоке в следующем виде: Сила вязкого сопротивления , /гт А /л ос\ Т = ^ - (- (Поток турбулентного D.36) Площадь количества движения). Чтобы связать поток количества движения, переносимого турбулентностью, с осредненным градиентом скорости du/dy, примем, что пульсации макрочастиц жидкости в турбулентном потоке в среднем аналогичны движению молекул в газе [т. е. они переносятся в среднем на расстояние /, перпендикулярное п (рис. 4.9), прежде чем потерять скорость в другой плоскости у]. Расстояние / известно как длина пути перемешивания Прандтля и качественно соответствует средней длине свобод- свободного пробега молекул газа. Предполагая, что при поперечных перемещениях сохраняются как сами частицы жидкости, так и их физические свойства и что возникновение турбулентных пуль- пульсаций обусловлено в основном различием значений осредненных физических свойств в плоскостях у, отстоящих друг от друга на расстояние I, получаем, что при движении частицы от слоя у к слою у + 1 «'-*-§• D.37) При такой модели турбулентное касательное напряжение п имеет вид, аналогичный виду ламинарного касательного напря- напряжения: T/ = «pPy-pBM^-t D.38) где гм — коэффициент турбулентной вязкости, или коэффициент турбулентного переноса количества движения. Формально коэф- коэффициент турбулентной вязкости ем аналогичен коэффициенту кинематической вязкости v; но если v является физическим свойством, то ЕМ зависит от гидродинамических условий. Объ- единяя уравнения D.37) и D.38), получаем, что eM = — v'U и тогда уравнение D.36) дает общее напряжение трения в виде T = p(v + eA1)^. D.39) В турбулентном потоке ем оказывается намного больше v, и, следовательно, членом с кинематической вязкостью можно пре- пренебречь. Перенос тепловой энергии в турбулентном потоке можно представить аналогичным образом. Будем рассматривать дву-
Конвективный теплообмен 203 мерное осредненное распределение температур (рис. 4.11). Пуль- сационные составляющие скорости непрерывно переносят ча- частицы жидкости и запасенную в них энергию через плоскость, перпендикулярную оси у. Плотность потока энергии в данный момент времени и в произвольном положении вдоль оси у со- составляет (pv')(cpT), D.40) где Т = Т + Г'. Путем рассуждений, аналогичных тем, что при- привели к уравнению D.35), получаем осредненное количество Рис. 4.11. Длина смешения при переносе энергии. энергии, переносимое пульсациями и называемое турбулентным тепловым потоком qt\ qt^A9cpVf\ D.41) Используя введенное Прандтлем понятие пути перемешивания, можно получить следующую зависимость между пульсациями температуры и осредненным температурным градиентом: «•""¦?¦ D.42) Физический смысл этой зависимости состоит в том, что при перемещении частицы жидкости из одного слоя у в другой, рас- расположенный выше или ниже первого на расстояние /, резуль* тирующие пульсации температуры вызываются в основном раз- различием между осредненными температурами в этих слоях. Пред- Предполагая, что механизмы переноса температуры (или энергии) и скорости аналогичны, получаем, что длины пути перемешива- перемешивания в уравнениях D.37) и D.42) одинаковы. Но произведение vfTr в среднем оказывается положительной величиной, так как положительному значению v' соответствует положительное зна- значение Т\ и наоборот.
204 Глава 4 При подстановке уравнения D.42) в уравнение D.41) полу- получаем плотность теплового потока, переносимого турбулентностью -5- = cpPVT' = - cp9Vl -g-, D.43) где знак минус является следствием второго закона термодина- термодинамики (гл. 1). Чтобы выразить плотность турбулентного тепло- теплового потока в форме, аналогичной уравнению теплопроводности Фурье, будем определять величину е#, называемую коэффициен- коэффициентом турбулентного переноса температуры, или коэффициентам турбулентной температуропроводности по_у равнению sH = v'l. Подставляя гн в уравнение D.43) вместо v'l, получаем А^-^р^ — . D.44) Общий поток тепла, который переносится через единицу пло- площади поверхности, перпендикулярной направлению средней ско- скорости потока, можно записать в виде jj_ Молекулярная теплопроводность , Турбулентный теплоперенос "X Площадь ' Площадь или с помощью обозначений ¦J—-^(о + вя)-^-. D.45) где а = k/Cpp — коэффициент молекулярной температуропро- температуропроводности. Вклад в теплоперенос молекулярной теплопроводности пропорционален ос, а турбулентная составляющая пропорцио- пропорциональна гн. Для всех жидкостей, за исключением жидких метал- металлов, гн в турбулентном потоке намного больше а. Отношение молекулярной кинематической вязкости к молекулярной темпе- температуропроводности v/a, как отмечалось ранее, называется чис- числом Прандтля. Аналогично отношение турбулентной вязкости к турбулентной температуропроводности гм/гн можно рассма- рассматривать как турбулентное число Прандтля Рг*. Согласно тео- теории длины__пути перемешивания Прандтля, Рг/=1, так как ел* = ея = <//. Хотя такое описание турбулентного движения является весь- весьма упрощенным, из экспериментальных результатов следует, что, по крайней мере качественно, этот подход верен. Нагревая ртуть при ее турбулентном течении в трубе, можно получить значения Рг* от 1,0 до 1,6 [3]. Для газов Рг* составляет ~0,7 и существенно не зависит от значения ламинарного числа Прандтля, а также от типа эксперимента. В предположении, что Рг/=1, объединяя уравнения D.38) и D.44), можно устано-
Конвективный теплообмен 205 вить следующую зависимость между плотностью турбулентного теплового потока и турбулентным напряжением трения х —war- <4-46> Эта зависимость впервые была предложена в 1874 г. англий- английским ученым О. Рейнольдсом и называется аналогией Рейнольд- са. Для турбулентного течения она вполне удовлетворительно описывает экспериментальные результаты и может применяться как к турбулентным пограничным слоям, так и к турбулентному течению в трубах или каналах. Однако аналогия Рейнольдса не подходит для ламинарного подслоя. Так как этот слой ока- оказывает значительное термическое сопротивление тепловому по- потоку, то уравнение D.46) в целом не пригодно для получения количественных результатов. Лишь для жидкостей, у которых число Прандтля равно единице, его можно использовать непо- непосредственно для расчета плотности теплового потока. Именно этот случай будет рассмотрен в следующем разделе. 4.6. АНАЛОГИЯ РЕЙНОЛЬДСА ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ ОБТЕКАНИИ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ Прежде чем установить связь между теплопереносом и по- поверхностным трением при обтекании плоской пластины, напом- напомним, что ламинарное касательное напряжение т определяется формулой da а плотность теплового потока через любую поверхность, пер- перпендикулярную оси у, — формулой А ~ dy ' Объединяя две эти формулы, получаем Из сопоставления уравнений D.46) и D.47) следует, что при cp = k/\x (т. е. при Рг = 1) как в ламинарном, так и в турбу- турбулентном пограничном слое применимо одно и то же уравнение для расчета плотности теплового потока. Для определения теплового потока от плоской пластины к обтекающему ее турбулентному потоку при Рг = 1 заменим k/\i на ср и разделим переменные в уравнении D.47). Предпо- Предполагая, что q и т являются постоянными, получаем dT, D.48)
206 Глава 4 где индекс s указывает на то, что как q> так и т берутся на по- поверхности пластины. Интегрируя уравнение D.48) от и = 0 при Т = Ts до и = Foo при Т = Гоо, получаем Й--<7.-Г->. D-49) Но так как по определению локальные коэффициенты тепло- теплоотдачи и трения соответственно равны то уравнение D.49) можно переписать в виде нс* д Nu* ^ cfx Уравнение D.50) справедливо для газов, в которых число Прандтля близко к единице. Это уравнение можно также при- применять для жидкостей, у которых число Рг имеет значения от 0,6 до ~50, если только это уравнение модифицировать в соот- соответствии с экспериментальными результатами и рассматривать в виде J^ -^. D.51) Здесь индекс х означает расстояние от передней кромки пла- пластины. Чтобы на практике применять аналогию между переносом тепла и переносом количества движения, необходимо знать коэффициент трения С^. При турбулентном обтекании плоской пластины эмпирическая зависимость для локального коэффи- коэффициента трения Cfx = 0,0576 (—У'15 D.52) хорошо согласуется с экспериментальными данными при Re « = 5-105ч- 107, если только нет отрыва пограничного слоя. Если предположить, что турбулентный пограничный слой начинается на передней кромке пластины, то путем интегрирования уравне- уравнения D.52) можно получить следующее выражение для среднего коэффициента трения при обтекании плоской пластины дли* ной L: Cf - -г $ с>*dx e °'072 (^Ф) 1/5 ¦ D-бз) о Однако з действительности на расстояниях от х — 0 до х = хс турбулентному пограничному слою предшествует лами- ламинарный пограничный слой. Так как локальное сопротивление
Конвективный теплообмен 207 трения в ламинарном пограничном слое меньше, чем в турбу- турбулентном при том же Re, то среднее сопротивление трения, рас- рассчитываемое по формуле D.53) без поправки, учитывающей ла- ламинарный пограничный слой, оказывается завышенным. Дей- Действительное сопротивление можно рассчитать достаточно точно, если предположить, что за точкой перехода турбулентный погра- пограничный слой ведет себя так же, как если бы он начинался на передней кромке. Прибавляя сопротивление ламинарного пограничного слоя между х==*0их==хск сопротивлению турбулентного погранич- пограничного слоя между х = хс и х = L, получаем [0,072Re?-I/5L - 0,072Re ~115хс + 1,33 ReJ1/2*c] Cf=— jf c- . Для критического значения Re*c = 5-Ю5 Cf = 0,072 (ReZ * - ^f^. D.54) Подставляя выражение для CfX [уравнение D.52)] в урав- уравнение D.51), получаем, что локальное число Нуссельта при произвольном значении х> превышающем хс, равно Шх = ^f- = 0,0288Рг1/3 (^f^H'8. D.55) Можно видеть, что при конвективном теплообмене в турбулент- турбулентном пограничном слое локальный коэффициент теплоотдачи уменьшается с увеличением расстояния х следующим образом: ftc*e© 1/х0'2. Из уравнения D.55) следует, что по сравнению с ламинарным течением, при котором hcx ®о 1/л:1/2, коэффициент теплоотдачи при турбулентном течении уменьшается с увеличе- увеличением х менее интенсивно и что при данном числе Рейнольдса этот коэффициент оказывается намного больше своего значения для ламинарного течения. Средний коэффициент теплоотдачи при турбулентном обте- обтекании плоской поверхности длиной L в первом приближении может быть рассчитан путем интегрирования уравнения D.55) от х в 0 до х = L: В безразмерном виде получаем Шь = -^ = 0,036Pr ^Ref. D.56) В уравнении D.56) не учитывается ламинарный пограничный слой, и поэтому оно справедливо только при L » хс. Ламинар- Ламинарный пограничный слой можно учесть, если при определении кем
208 Глава 4 выполнять интегрирование уравнения D.30) от х = 0 до х = хс и уравнения D.55) от х = хс до x = L. Тогда при Rec = 5-105 получаем "NUL = СОЗбРг1'3 (Re0/ - 23200). D.57) Пример 4.2. Картер автомобильного двигателя имеет следующие разме- размеры: длина 0,6 м, ширина 0,2 м и высота 0,1 м. Считая температуру поверх- поверхности картера равной 350 К, оценить тепловой поток от картера к атмосфер- атмосферному воздуху, имеющему температуру 276 К, при скорости движения автомо- автомобиля 30 м/с. Предположить, что вибрация двигателя и шасси автомобиля вызывает переход ламинарного течения к турбулентному очень близко к пе- передней кромке, в результате чего можно считать для практических целей, что на всей поверхности картера пограничный слой турбулентный. Радиацион- Радиационным теплопереносом пренебречь, а для передних и задних поверхностей кар- картера принять такой же средний коэффициент конвективной теплоотдачи, как для дна и его боковых поверхностей. Решение. С использованием физических свойств воздуха при 313 К (табл. П. VI. 1) получаем число Рейнольдса L \i 19,123-10 Среднее число Nul получаем из уравнения D.56): NuL = 0,036Pr1/3Re?8 = 0,036 • 0,711/3 (l,03 • 106H'8 = 2075. При этом средний коэффициент теплоотдачи будет равен Шгк 2075-0,0265 hc = —^- = ^ =91,6 Вт/(м2 • град). Площадь поверхности, на которой происходит теплоотдача, составляет 0,28 м2, и, следовательно, потери тепла картером составят q = hcA (Ts - Tj) = 91,6 • 0,28 C50 - 276) = 1898 Вт. 4.7. ВЫНУЖДЕННАЯ КОНВЕКЦИЯ ПРИ ЛАМИНАРНОМ ТЕЧЕНИИ В ТРУБЕ Коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении в трубе будем определять для полностью развитого течения и постоян- постоянного теплового потока на стенке. Для вывода уравнения сохра- сохранения энергии в данном случае рассмотрим небольшой цилин- цилиндрический элементарный объем, имеющий длину dx, внутренний радиус г и наружный радиус г + dr (рис. 4.12). Тепло входит в объем и выходит из него в радиальном направлении в резуль- результате теплопроводности, в то время как конвективный перенос энергии происходит в осевом направлении. Тепловой поток, вхо- входящий в элементарный объем вследствие теплопроводности, равен qr = — k2nr dx -j^r.
Конвективный теплообмен 209 %+dr Результирующий тепловой поток, выходящий из элементарного объема вследствие теплопроводности, равен E3JL Иг — дг аг~~ Скорость движения через элементарный объем в осевом на- направлении постоянна, но при этом в нем происходит изменение температуры. В результате конвективного переноса в элемен- элементарный объем входит тепло- тепловой поток qx = 2nrdrpucpT, а выходит из него тепловой по- поток 2лг dr риСр \ Т + -gj dx\. Приравнивая результирующие тепловые потоки, обусловлен- обусловленные теплопроводностью и кон- конвекцией при установившихся условиях, получаем уравнение энергии для ламинарного тече* идя в трубе: 1 д / дТ \ _ рср дТ uf дг \ дг ) k дх ' ^ ' При постоянной плотности теплового потока на стенке q"s и постоянных физических свойствах жидкости ее температура при любом значении г должна линейно возрастать в направлении течения, так что величина dT/dx будет постоянной. Другие усло- условия для такой системы следующие: при г = 0 (ось трубы) дТ /дг = 0, а при r — rs Т = Ts. Кроме того, при г = rs тепловой поток связан с градиентом температуры следующей зависи- зависимостью: «:--*(?)„• При допущении о постоянстве (dT/dx) дифференциальное уравнение в частных производных D.58) превращается в обык- обыкновенное дифференциальное уравнение, в котором скорость на любом радиальном расстоянии г является функцией скорости на оси трубы Имакс- При полностью развитом ламинарном течении распределение скоростей в трубе является параболическим и может быть записано в безразмерном виде в зависимости от ра- радиального расстояния следующим образом: Рис. 4.12. Элементарный объем при ламинарном течении в трубе.
210 Глава 4 где rs — радиус трубы. После подстановки распределения ско- скоростей D.59) в уравнение D.58) и некоторых преобразований получаем выражение д ( дТ\ 1 дТ г, /г VI ,л СЛ\ ) "[1 () ]г D.60) интегрирование которого дает /г2 г4 \ „ /л ^ С)Cl> ( После второго интегрирования получаем распределение темпе- температур по радиусу в виде Константы С\ и С2 определяем с помощью следующих гранич- граничных условий. Так как дТ/дг = 0 при г = 0, то С\ = 0. А по* скольку при г = rs T = TSt то ** ~ о" 1Г"макс vТ ~ ITJ + Сз D-63) «макс D.64) Подстановка Ci и С2 в уравнение D.62) дает следующее распре- распределение температур: Обозначая Г (г)—Ts через 6, получаем профиль температур в безразмерном виде: где ••—•(^) Теперь можно получить коэффициент теплоотдачи, определив градиент температуры при г = rs. Используя определение коэф- коэффициента теплоотдачи и подставляя градиент температуры на стенке, получаем )(??)—? <4-68> ИЛИ Л=^". D-70)
Конвективный теплообмен Таблица 4.1 Теплоотдача и потери на трение при полностью развитом ламинарном течении ньютоновских жидкостей в каналах различной формыа) [8; см. также 6 и 7] Форма поперечного сечения канала <L/Dh>100) Г -а i 60е la Л W.VJ ?_Л 2а 2 1 п 7Ь i 2а О •ПН 2а О »c=zig-t _,«,,. ь п 0 Теплоизолировано 3,014 3,111 3,608 4,002 4,123 4,364 5,099 5,331 6,490 8,235 5,385 N11*2 1,474 1,892 3,091 3,862 3,017 4,364 4,35е) 2,930 2,904 8,235 Nur 2,39е 2,47 2,976 3,34В> 3,391 3,657 3,66 4,439 5,597 7,541 4,861 /Re 12,630 13,333 14,227 15,054 15,548 16,000 18,700 18,233 20,585 24,000 24,000 iJHx/ff 0,269 0,263 0,286 0,299 0,299 0,307 0,307 0,329 0,353 0,386 0,253 МиЯ1 Nur 1,26 Г,26 1,21 1,20 1,22 1,19 1,39 1,20 1,16 1,09 1,11 a)Индекс Н\ означает постоянную плотность теплового потока вдоль канала при постоянной температуре стенок в каждом попе* речном сечении; индекс Я2 означает постоянную плотность тепло* вого потока на стенке как по ее периметру, так и вдоль канала; индекс 7 означает постоянную температуру стенок канала. б) Эта величина представляет собой то же, что и Nu#iPr~ при Рг«0,7. в) Значения, полученные путем интерполяции
212 Глава 4 Последнюю зависимость можно переписать с помощью обычного числа Нуссельта: N*d-¦?—f D.71) Здесь число Нуссельта определяется по разности температур на оси трубы и на ее поверхности, т. е. при rs = D/2. С прак- практической точки зрения обычно удобнее. относить число Нус- Нуссельта к разности между среднемассовой температурой жид- жидкости и температурой на поверхности стенки. Среднемассовую температуру жидкости обычно называют температурой смеше- смешения (см. задачу 4.32) и получают путем сбора жидкости, исте- истекающей из канала в специальный сосуд, и ее полного переме- перемешивания. Естественно, что на входе в трубу температура по- постоянная, и поэтому среднемассовая температура и температура на оси трубы идентичны. Если число Нуссельта и коэффициент теплоотдачи определяются по разности температур между среднемассовой температурой жидкости и температурой поверх- поверхности стенки, то можно получить следующее значение этого числа [6]: NuD = 4,36. D.72) Следует отметить, что значение числа Нуссельта при полностью развитом ламинарном течении не зависит от числа Рейнольдса, так как в этом случае толщина пограничного слоя просто равна радиусу трубы. Однако на начальном участке трубы значение числа Нуссельта будет больше, чем при полностью развитом течении. В гл. 5 будут представлены эмпирические уравнения для расчета числа Нуссельта на начальном участке трубы. В табл. 4.1 приведены значения числа Нуссельта для полностью развитого течения в каналах с различной формой поперечного сечения. Пример 4.3. Рассчитать коэффициент теплоотдачи при полностью разви- развитом ламинарном течении глицерина, имеющем среднемассовую температуру 293 К, в канале сечением 0,5 X 0,5 м при температуре его стенок 400 К и скорости потока 0,1 м/с. Решение» Из уравнения D.6) определяем эквивалентный диаметр Из табл. 4Л для квадратного сечения при постоянной температуре стенок имеем Nun =2,976-%^- DH Ь Этот результат хорошо согласуется со значением числа Нуссельта, определен- определенным по формуле D.71). Из табл. П. V. 3 при 293 К имеем к — 0,285 Вт/(м. град).
Конвективный теплообмен 213 Подставляя это значение в выражение для Nu^ и разрешая последнее от- относительно коэффициента теплоотдачи, получаем 2,976 • 0,285 0,5 « 1,70 Вт/(м2-град). 4.8. АНАЛОГИЯ РЕЙНОЛЬДСА ДЛЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕЧЕНИЯ В ТРУБЕ Допущения, которые необходимо принять для получения про- простой аналогии, справедливы лишь для жидкостей, у которых число Прандтля равно единице. Но общую взаимосвязь между теплообменом и трением в жидкости при ее турбулентном тече- течении в каналах можно продемонстрировать без дополнительных математических выкладок. Результаты такого простого анализа можно распространить и на другие жидкости с помощью эмпи- эмпирических поправочных коэффициентов, как это будет показано в гл. 5. Связь между плотностью теплового потока и градиентом температуры следует из ранее полученного уравнения: T- D>45) Аналогично для определения касательного напряжения, обуслов- обусловленного совместным действием сил вязкости и турбулентного переноса количества движения, можно использовать уравнение Согласно аналогии Рейнольдса, перенос тепла и количества дви- движения в турбулентном потоке происходит подобным образом. Следовательно, аналогично должны изменяться величины q и т с изменением расстояния от поверхности у. Для полностью раз- развитого турбулентного течения в трубе локальное касательное напряжение линейно уменьшается с увеличением радиального расстояния г. Следовательно, можно записать i-i-1-JL D,73) Зй* <4-74> где индекс 5 обозначает условия на внутренней поверхности трубы. Подстановка выражений D.73) и D.74) соответственно в D.39) и D.45) дает *('-*)-({¦+««)¦?¦
214 Глава 4 Если гн = ем, то выражения в скобках в правых частях урав- уравнений D.75) и D.76) равны при условии, что молекулярная ки- кинематическая вязкость |х/р равна молекулярной температуро- температуропроводности k/pCp, т. е. при условии, что число Прандтля равно единице. Делением уравнения D.76) на D.75) получаем . D.77) Проинтегрируем уравнение D.77) от стенки, где и = О и Т = 7V до оси потока, где и = Vm и Т = Ть. Путем интегрирования по- получаем зависимость ? D.78) которую можно переписать в виде 1 h . D.79) так как коэффициент Яс по определению равен qs/As{Ts — Tb). Умножая числитель и знаменатель в правой части уравнения D.79) на DHiik и производя перестановку, получаем где St — «*«ело Стантона. Чтобы привести левую часть уравнения D.79) к более удоб- цому виду, рассмотрим баланс сил, действующих на цилиндри- цилиндрический объем жидкости (рис. 4.13). Разность давлений р\ — р2 О {)-• Рис. 4.13. Обозначения, используемые при рассмотрении баланса сил, дей- действующих на элемент жидкости в трубе. создает силу (p\ — p2)nD2/4, которая в стационарном случае компенсируется трением на стенках: D.81) Находим из этой зависимости выражение для касательного на- напряжения на стенке: т J?jj-g2i?. D.82)
Конвективный теплообмен 215 Выражая падение давлением через коэффициент трения /, по- получаем L pFi fV1 <483) Подставляя это выражение для р\ — р% в уравнение D.82), имеем r.-f^S. D.84) И наконец, подставляя это xs в уравнение D.79), получаем уравнение St^-p7^7=?' D.85) известное как аналогия Рейнольдса для течения в трубе1). Ра- Расчеты по этому уравнению хорошо согласуются с эксперимен- экспериментальными данными по теплоотдаче к газам в случае, когда число Прандтля близко к единице. Согласно экспериментальным результатам, при течении жид- жидкостей в гладких трубах в интервале чисел Рейнольдса от 10 000 до 120 000 коэффициент трения определяется эмпириче* ской зависимостью С помощью этой зависимости можно переписать уравнение D.85) в следующем виде: St = -—^ = 0,023 Re*0'2. D.86) Поскольку число Прандтля считается равным единице, Ш = 0,023 Re0/, D.87) или Ас = 0,023 vSfD"'^ (—) . D.88) Можно видеть, что при полностью развитом турбулентном течении в трубе коэффициент конвективной теплоотдачи прямо пропорционален скорости в степени 0,8 и обратно пропорциона- пропорционален диаметру трубы в степени 0,2. При заданном расходе увеличение диаметра трубы приводит к снижению скорости, вследствие чего Нс снижается пропорционально 1/D1»8. Поэтому использование труб малого диаметра и высоких скоростей при- приводит к более высоким коэффициентам теплоотдачи, но при !> Аналогия Рейнольдса может быть распространена и на массообмен. Аналогия между переносом массы, тепла и количества движения рассматри- рассматривается в гл. §,
216 Глава 4 этом возрастают затраты энергии на преодоление сапротивле- ния трения. Поэтому при разработке теплообменного оборудо- оборудования необходимо соблюдать баланс между выигрышем в коэф- коэффициенте теплоотдачи, достигаемым за счет использования ка- каналов с меньшей площадью поперечного сечения, и соответ- соответствующим увеличением требований к насосному оборудованию. Литература 1. Schlichting H., Boundary Layer Theory, 6th ed., N. Y., McGraw, 1968. [Имеется перевод с немецкого издания: Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1974.] 2. Pohlhausen Е., Der Warmeaustausch zwischen festen Korpern und Flus- sigkeiten mit kleiner Reibung und kleiner Warmeleitung, ZAMMt 1, p. 115 A921). 3. Isakoff S. E., Drew Т. В., Heat and Momentum Transfer in Turbulent Flow of Mercury, Inst. Mech. Eng. and ASME, Proc. General on Heat Transfer, p. 405, 1951. 4. Forstall W., Jr., Shapiro A. H., Momentum and Mass Transfer in Co- Coaxial Jets, /. Appl Mech.t 17, p. 399 A950). 5. Colburn A. P., A Method of Correlating Forced Convection Heat Trans- Transfer Data and a Comparison with Fluid Friction, Trans. AlChE, 29, p. 174 A933). 6. Shah R. K., Laminar Flow Friction and Forced Convection Heat Trans- Transfer in Ducts of Arbitrary Geometry., Int. J. Heat Mass Transfer, 18, p. 849 A975). 7. Shah R. K-, London A. L., Thermal Boundary Conditions and Some Solutions for Laminar Duct Flow Forced Convection, /. Heat Transfer, 96, p. 159 A974). [Имеется перевод: Шах, Лондон, Тепловые граничные условия и некоторые решения для ламинарной вынужденной конвекции в каналах. — Труды Амер. об-ва инж.-мех., сер. С. Теплопередача, 1974, № 2, с. 45.] 8. Shah R. К., London A. L., Laminar Flow Forced Convection in Ducts, Academic Press, N. Y., 1978.
ЗАДАЧИ Задачи в данной главе сгруппированы по тематике разделов, как указа- указано в таблице. Номера задач 4.1—4.13 4.14-4.17 4.18-4.25 4.25—4.31 4.32—4.44 Разделы 4.1 и 4.2 4.3 4.4 и 4.5 4.6 4.7 и 4.8 Тема Ламинарное обтекание плоской пла- пластины Интегральные уравнения для лами- ламинарного течения Ламинарное и турбулентное обтека- обтекание плоской пластины Аналогия Рейнольдса Ламинарное и турбулентное течение в трубе 4.1. Жидкость с температурой 40°С течет в круглой трубе диаметром 15 см. Средняя скорость жидкости 2 м/с. Рассчитать число Рейнольдса, если жидкость представляет собой: а) воздух, б) СО2, в) воду, г) моторное масло. Использовать физические свойства, приведенные в приложениях. 4.2. При тех же условиях, что и в задаче 4.1, определить, каким является течение в каждом случае: ламинарным, переходным или турбулентным? 4.3. Принять, что изменение скорости в поперечном сечении круглой тру- трубы является параболическим и описывается зависимостью ¦[-(тЛ- где Умакс = 30 м/с (максимальная скорость, или скорость на оси трубы), R = 20 см (внутренний радиус трубы). Путем интегрирования профиля ско- скоростей по площади поперечного сечения трубы определить среднюю скорость жидкости. 4.4. Воздух при 20°С обтекает плоскую пластину при скорости невозму- невозмущенного потока 10 м/с. Определить расстояние от передней кромки пластины, на котором: а) начинается переходный режим течения; б) начинается турбу- турбулентное течение. Принять, что критическое число Рейнольдса Rec, при котором начинается переходное течение, составляет 2-IQ5, а для полностью развитого турбулент- турбулентного течения оно равно 5-Ю5. 4.5. Решить задачу 4.4 в случае, когда жидкость представляет собой: а) воду, б) ртуть. 4.6. Жидкость при температуре 40°С течет по трубе диаметром 7 .см. Рас- Рассчитать среднюю скорость жидкости, необходимую для возникновения пере* ходного и турбулентного режимов течения. Принять в качестве жидкости: а) воздух, б) воду, в) моторное масло-
218 Глава 4 4.7. Воздух при температуре 20°С движется по трубе внутренним диа- диаметром 15 см. Массовый расход воздуха 1,05-10~3 кг/с. Определить значение числа Рейнольдса воздуха. 4.8. Принять, что профиль температур воздуха около поверхности изо- изотермической плоской пластины описывается уравнением см). где Ts — температура пластины, Too — температура воздуха в невозмущенном потоке, у — расстояние по нормали от поверхности пластины, см. Рассчитать коэффициент конвективной теплоотдачи от пластины и общее количество отдаваемого пластиной тепла при площади ее поверхности 2 м2 и Ts = 100°C, Too = 0°С. 4.9. Вода при 60°С течет по каналу прямоугольного сечения 10 X 15 см со средней скоростью 8 м/с. Рассчитать значение числа Рейнольдса воды. 4.10. Профиль скорости при обтекании воздухом, имеющим температуру 60°, поверхности квадратной пластины площадью 1,8 м2 описывается форму- формулой где у — расстояние от поверхности пластины, измеренное в сантиметрах. Оце- Оценить толщину пограничного слоя в потоке воздуха. 4.11. Для условий задачи 4.10 рассчитать касательное напряжение на пластине при ее обтекании воздухом при V<x> = 3 м/с. Определить также общую силу сопротивления пластины. 4.12. Изменение локального коэффициента теплоотдачи с расстоянием х> отсчитываемым от передней кромки плоской пластины, описывается следую* щей безразмерной зависимостью: Найти выражение для среднего коэффициента теплоотдачи Я при длине пла- пластины в направлении течения, равной L. Принять физические свойства жид- жидкости постоянными. 4.13. Локальный коэффициент теплоотдачи при турбулентном обтекании плоской пластины определяется выражением Кхх ~- = 0,0288 где х отсчитывается от передней кромки пластины. Предполагая, что турбу- турбулентное течение начинается на передней кромке и физические свойства по* тока постоянны, найти выражение для среднего коэффициента теплоотдачи от пластины длиной L в направлении течения. 4Л4. Профиль скорости в пограничном слое при обтекании плоской пла- пластины принят в виде и =*= а + by + су2 + dyzt где у — координата, отсчитываемая перпендикулярно пластине. Использовать соответствующие граничные условия, найти коэффициенты а, Ь, с и d и по* казать, что профиль безразмерной скорости описывается зависимостью и г у
Конвективный теплообмен 219 С использованием этого профиля скорости определить расчетную зависимость касательного напряжения на стенке от б. 4.15. Профиль температуры внутри пограничного слоя около плоской пла- пластины можно представить в виде Т = е + fy + gy> + hy\ где у — координата, отсчитываемая перпендикулярно пластине. Использовать соответствующие граничные условия и показать, что уравнение для профиля температур при этом будет следующим: T~TS 3 у I fy \з 2~ 6*~2Лб77 ' 4.16. Предполагая, что профиль скорости при обтекании жидкостью пло- плоской пластины является линейным а) использовать соответствующие граничные условия и выразить и в за- зависимости от б и V<x>\ б) подставить выражение для профиля скорости в интегральное уравне- уравнение количества движения D.16) и найти выражение для локальной толщины пограничного слоя б(*); в) сравнить найденное для б (я) выражение с выражением D.25), кото- которое получено аналогичным образом, но для более сложного профиля скорости, описываемого уравнением третьей степени; г) с использованием найденного для б (я) выражения найти зависимость для Cfx и сравнить ее с полученной ранее в примере 4.1. 4.17. Принимая линейный профиль температуры в жидкости, обтекающей плоскую пластину, а) использовать соответствующие граничные условия и найти зависи- зависимость Т от би Ts и 7V, б) принять, что профиль скорости также линейный (см. задачу 4.16), подставить его выражение в интегральное уравнение энергии D.18) и найти зависимость б/б/ от числа Прандтля; в) сравнить найденный для б/б/ результат с уравнением D.28), получен- полученным с использованием более сложных профилей скорости и температуры, описываемых уравнениями третьей степени; г) с использованием полученной для б/б* зависимости найти выражение для Nil* и сравнить результат с уравнением D.30). 4.18. Температура квадратной плоской пластины длиной 35 см поддержи- поддерживается равной 120°С. Воздух при температуре 20°С обтекает пластину со скоростью 22 м/с. Рассчитать тепловой поток от пластины. 4.19. Прямоугольная пластина имеет длину в направлении потока 120 см и ширину 200 см. Температура пластины поддерживается равной 80°С при обтекании ее азотом, имеющим скорость 2,5 м/с и температуру 0°С. Опреде- Определить: а) средний коэффициент трения; б) силу вязкого сопротивления пла- пластины; в) средний коэффициент конвективной теплоотдачи; г) общий тепло- тепловой поток от пластины. 4.20. Воздух при атмосферном давлении обтекает плоскую пластину дли- длиной 3 м и шириной 5 м. Температуры воздуха и пластины 15 и 65°С, а ско- скорость воздуха 35 м/с. Рассчитать на задней кромке пластины (т.е. при х = 3 м): а) локальный коэффициент трения, б) локальный коэффициент теплоотдачи. 4.21. Для условий задачи 4.20 рассчитать те же величины для того сече- сечения пластины, где течение становится турбулентным. Принять Rec==5-105.
220 Глава 4 4.22. Вода обтекает квадратную пластину со стороной 2 м. Температура воды составляет 90йС, а ее скорость 10 м/с. Пластина имеет постоянную тем- температуру 30°С. Определить силу сопротивления пластины и теплоотдачу от ее поверхности. 4.23. Мощность плоского электрического нагревателя 400 Вт. Нагреватель' охлаждается воздухом, имеющим температуру 30°С и движущимся парал- параллельно поверхности со скоростью 28 м/с. Размер нагревателя в направлении течения 75 см, а поперек течения 125 см. Определить температуру нагрева- нагревателя. С целью упрощения расчетов физические свойства воздуха брать при температуре окружающей среды. 4.24. Принять, что турбулентное течение начинается у передней кромки плоской пластины. С использованием выражения для локального коэффициен- коэффициента трения D.52) показать, что средний коэффициент трения на пластине дли- длиной L определяется уравнением D.53). ч 4.25. Проверить, справедливо ли выражение D.57) для расчета среднего числа Нуссельта при обтекании плоской пластины длиной L? Для локального числа Нуссельта использовать формулу D.30) при ламинарном режиме те- течения и формулу D.55) при турбулентном режиме. Критическое значение числа Рейнольдса принять равным 5-Ю5. 4.26. Коэффициент трения при обтекании обогреваемой поверхности воз- воздухом, имеющим среднюю температуру 40°С и скорость 20 м/с, составляет 0,075. Определить средний коэффициент конвективной теплоотдачи от поверх- поверхности. 4.27. Число Стантона St определяется по формуле St = Nu/Re Рг. Вы- Выразить St через свойства Жидкости, коэффициент теплоотдачи и скорость жидкости. ¦ 4.28. Тело с площадью поверхности 0,55 м2 нагрето до 110°С. Его обте- обтекает вода с температурой 10°С и скоростью 5 м/с. Сила сопротивления тела составляет 4,0 Н. Рассчшать тепловой поток от тела. 4.29. Плоский электрический нагреватель с площадью поверхности 0,1 м2 имеет поддерживаемую постоянной температуру поверхности 80°С. Нагрева- Нагреватель обогревает газ СОг, имеющий исходную* температуру 10°С и обтекающий поверхность нагревателя со скоростью 20 м/с. При силе сопротивления нагре- нагревателя 0,2 Н рассчитать мощность нагревателя в ваттах. 4.30. Измерения на теле,' помещенном' в аэродинамической трубе, пока- показали, что сила сопротивления трения, приложенная к телу, составляет 100 Н. Площадь поверхности тела 0,8 м2, а его температура 200°С. Температура на- набегающего воздуха 30°С, а его скорость 35" м/с. Вычислить средний коэффи- коэффициент теплоотдачи и общее количество тепла, отдаваемого телом. 4.3Г. Блок с электронным "оборудованием "для измерения физических свойств-воды погружен позади судна. При скорости судна 24 м/с натяжение кабеля, удерживающего блок, составляет 370 Н. Блок с измерительной аппа- аппаратурой имеет площадь поверхности 3 м2 и потребляет мощность 8500 Вт. Вычислить температуру поверхности блока, если. температура окружающей его воды равна 15^/' - "' 4.32. Температуру смешения, или среднюю температуру, жидкости-движу- жидкости-движущейся по трубе, определяют гипотетически путем' сбора жидкости из трубы и адиабатического ее 'перемещивднйя до достижения постоянной температуры. ' .а) Показать, что средняя температура'жидкости при ее течении со ско- скоростью^ (О -в трубе с внутренним ра'диусом rw равна ; ; - - 9(r)Cp(r)u(r)T(r)rdr г-0 - - • - r - • ' \ 9(r)cp(r)u(r)rdr
Конвективный теплообмен 221 б) Показать, что при постоянных физических свойствах жидкости это выражение можно упростить и свести к виду rw jj u(r)T(r)rdr r=0 r dr [ u(r) io в) Показать, что для течения с постоянным профилем скоростей (и = const) зависимость для Тт может быть упрощена до выражения rw r Tm = ^- [ T(r)rdr, в котором А — площадь поперечного сечения трубы. 4.33. Рассчитать среднюю температуру жидкости, имеющей постоянные "физические свойства и движущейся по трубе диаметром 6 см; при изменении ее температуры по радиусу по закону Т — 50 _ (г_у . 100 V 3 ) ' ' где Г — в градусах Цельсия, а г — в сантиметрах. Принять равномерный профиль скоростей и использовать результаты, приведенные в задаче 4.32. 4.34. В трубе диаметром 1 см имеет место полностью развитое ламинар- ламинарное течение насыщенной жидкости — фреона-12. Изотермическая стенка трубы имеет температуру 0°С. Средняя температура фреона 20°С. Определить теп- теплоотдачу от фреона в случае, когда длина трубы 1,7 м. 4.35. Моторное масло со средней температурой 100°С удаляется из дви- двигателя через трубку диаметром 5 мм, температура стенок которой 40°С. Для полностью развитого ламинарного течения рассчитать коэффициент конвек- конвективной теплоотдачи масла и тепловой поток от масла на 1 м длины трубы. 4.36. Двуокись углерода движется по каналу с треугольным поперечным сечением. Изотермическая стенка канала имеет температуру 20°С, а средняя температура СО2 равна 120°С. Длина каждой стороны канала 1,2 см. Рас- Рассчитать тепловой поток на единицу длины канала в осевом направлении для случая полностью развитого ламинарного течения. 4.37. Вода течет по прямоугольному каналу сечением 10X4 мм. Сред- Средняя температура воды 10°С, течение является ламинарным и полностью раз- развитым. Рассчитать коэффициент конвективной теплоотдачи воды в случаях: а) постоянной температуры стенок канала; б) постоянной плотности тепло- теплового потока в направлении течения и постоянной температуры стенок канала в заданном поперечном сечении; в) постоянной плотности теплового потока по всей поверхности канала. 4.38. Азот со средней температурой 40°С при атмосферном давлении дви- движется в гладкой трубе внутренним диаметром 15 см и длиной 20 м. Массо- Массовый расход N2 составляет 120 г/с. Температура поверхности трубы поддержи- поддерживается постоянной и равной 100°С. Определить: а) коэффициент поверхност- поверхностного трения; б) перепад давлений на всей длине трубы; в) коэффициент кон- конвективной теплоотдачи к азоту; г) тепловой поток к N2 от поверхности стенок трубы. 4.39. Коэффициент трения при течении в круглой трубе водяного пара, поступающего в нее при атмосферном давлении, составляет 0,02. Диаметр
222 Глава 4 трубы 18 см, а ее длина 40 см. Средняя температура пара 200°С, а темпера- температура изотермической стенки трубы 154°С. Определить тепловой поток к трубе. Рассчитать давление на выходе из трубы. 4.40. Труба в химико-технологической установке используется для транс- транспортировки скипидара с массовым расходом 23 кг/с. Труба имеет длину 10 м и внутренний диаметр 13 см. Средняя температура скипидара в трубе 80°С, а его температура на входе в трубу 100°С. Если температура поверхности трубы поддерживается постоянной и равной 30°С, то какой тепловой поток передается от скипидара и какова его температура на выходе из трубы? 4.41. Водород при атмосферном давлении и числе Рейнольдса 1,7-10* дви- движется по гладкой трубе диаметром 1,5 см и длиной 1 м. Температура водо- водорода на входе 20°С, а температура стенок трубы поддерживается равной 40°С. Рассчитать тепловой поток от стенок и определить температуру водо- водорода на выходе из трубы. 4.42. Заводской паропровод имеет внутренний диаметр 6 см и длину 100 м. Падение давления на длине трубы 100 м составляет 6 кН/м2. Скорость водяного пара 24 м/с. Средняя температура пара 140°С, температура трубы 70°С. Определить тепловой поток от пара. 4.43. Жидкий фреон-12 движется по гладкой трубе диаметром 1,3 см. Скорость фреона 2,9 м/с, его среднемассовая температура — 10°С. Рассчитать тепловой поток к фреону на единице длины трубы при условии, что темпе- температура последней составляет +10°С. 4.44. Этиленгликоль на выходе из химико-технологической установки имеет температуру 45°С и поступает в гладкую трубу диаметром 4 см со скоростью 15 м/с. Труба имеет постоянную температуру 20°С. Рассчитать, на какой дли- длине трубы температура жидкости понизится до 35°С.
Глава & ИНЖЕНЕРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА 5.1. ВВЕДЕНИЕ Как показано в гл. 4, величину коэффициента теплоотдачи можно определить из теоретического рассмотрения процесса конвективного теплообмена. Однако теоретические решения воз- возможны лишь для систем достаточно простой геометрии. В инже- инженерной практике коэффициенты теплоотдачи в реальных систе- системах вычисляют по эмпирическим формулам, полученным путем совместного использования теории размерностей и эксперимен- экспериментальных данных. 5.2. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ КОМПЛЕКСЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ОБОБЩЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО КОНВЕКТИВНОМУ ТЕПЛООБМЕНУ В общем случае выбор физических параметров, необходимых для решения данной задачи по конвективному теплообмену, тре- требует определенного предварительного рассмотрения физического смысла процесса. Но после того, как такие параметры установ- установлены, теория размерностей позволяет связать их в несколько безразмерных комплексов, точная функциональная зависимость между которыми может быть определена из эксперимента. Что- Чтобы проиллюстрировать такой подход, найдем безразмерные комплексы, определяющие число Нуссельта при вынужденном течении в длинной гладкой трубе. Зависимой переменной в рассматриваемом случае является коэффициент конвективной теплоотдачи hc. Для несжимаемого низкоскоростного течения независимыми переменными, опреде- определяющими коэффициент теплоотдачи, являются скорость жидко- жидкости У, линейный размер (т. е. диаметр трубы D) и такие физи- физические свойства жидкости, как коэффициент теплопроводности ky коэффициент динамической вязкости ji, удельная теплоем- теплоемкость ср и плотность р. Независимые размерные величины, используемые в теории размерностей — масса М, длина L, время 8 и температура Т. Переменные, их обозначения и формулы размерности приве- приведены в табл. 5.1. Итак, имеется семь физических величин и четыре основные размерности. Можно ожидать, что для обобщения эксперимен- экспериментальных данных потребуются три безразмерных комплекса. Для
224 Глава 5 Таблица 5.1 Переменные для конвективного теплообмена в трубе Переменная Диаметр трубы Коэффициент теплопроводности жидкости Скорость жидкости Плотность жидкости Коэффициент динамической вязкости жидкости Удельная теплоемкость при постоянном давле- давлении Коэффициент теплоотдачи Обозначение D k V Р ср Формула размерности [Ц [ML/&T] [L/8] [M/L3] [М/Щ [L4WT] [м/езг] ( ' / нахождения этих комплексов запишем их в виде произведения всех переменных с неизвестными показателями степени и обо- обозначим через я: . n = DakbVcpd»ecffi. E.1) Подставим сюда формулы размерности из табл. 5.1: я=[?] [-p^rj [T] IttJ LttJ LwJ Ыг\ • E-2) Чтобы величина я была безразмерной, сумма показателей сте- степени каждой основной размерности должна равняться нулю. Проведя соответствующее суммирование, получаем следующую систему уравнений: b + d + e + g = 0 для М, a + b + c-3d — e_+2f = 0 для L, — 3b-c-e — 2f-3g = 0 для 9, / — ft —/ —ff = 0 для Т. Так как имеется семь неизвестных и всего четыре уравнения, то три показателя степени можно выбрать произвольно для каждого безразмерного комплекса. Единственное ограничение при этом состоит в том, что каждый из произвольно выбранных показателей степени не будет зависеть от других показателей. Это требование выполняется, если определитель, образованный коэффициентами оставшихся членов, не равен нулю. Так как коэффициент конвективной теплоотдачи является зависимой переменной, которую мы хотим в конечном итоге определить, примем показатель степени g в первом безразмер- безразмерном комплексе щ равным единице. Для упрощения математи- математических выкладок произвольно примем с = d = 0. Это означает, что. в первом безразмерном комплексе скорость и плотность' бу- будут отсутствовать.
Формулы для расчета конвективного теплообмена 225 Решая систему уравнений E.3), получаем а = 1, 6 = —1 и e = f — Q. При этом первый безразмерный комплекс будет иметь вид и это не что иное, как описанное в гл. 4 число Нуссельта Nii?>. Чтобы избежать появления зависимой переменной hc во вто- втором безразмерном комплексе, примем g = 0. Пусть также а = 1 и / = 0. Решая систему уравнений, получаем второй комплекс ^ E.5) представляющий собой число Рейнольдса Re/), в котором в ка- качестве линейного размера взят диаметр трубы. Пусть в третьем безразмерном комплексе будет присутство- присутствовать удельная теплоемкость, отсутствовавшая в двух предыду- предыдущих комплексах, причем примем /= 1. Пусть в Яз не входят коэффициент теплоотдачи и диаметр трубы, т. е. а = g = 0. Тогда третий безразмерный комплекс будет иметь вид Щ=^-> E.6) а это не что иное, как описанное в гл. 4 число Прандтля Рг. Итак, коэффициент теплоотдачи в щ может быть функциональ- функционально связан с безразмерными комплексами яг и яз зависимостью вида f Pr). E.7) Хотя теория размерностей не позволяет установить функцио- функциональную зависимость, она дает возможность уменьшить число переменных с семи до трех и обеспечивает основу для проведе- проведения экспериментов с целью нахождения связи между тремя комплексами в уравнении E.7). Корреляция экспериментальных данных Из уравнения E.7) следует, что безразмерный коэффициент теплоотдачи, или число Нуссельта, зависит от чисел Рейнольд- Рейнольдса и Прандтля. Удобной и сравнительно простой зависимостью для обобщения экспериментальных данных является следую- следующее уравнение: Nu^=CRewPrrt, E.8) где С, m и п — константы, которые необходимо определить эк- экспериментально. Для получения значений этих констант удобно отложить эк- экспериментальные результаты для данной жидкости на графиках. 8 Зак. 487
226 Глава б Сначала устанавливается зависимость между числами Нус- сельта и Рейнольдса, т. е. значение показателя степени т. Это легко сделать при помощи логарифмических координат, когда данные получены для одной жидкости и температура относи- относительно неизменна, т. е. когда отсутствует влияние числа Прандт- ля. Определив показатель т, можно отложить данные для не- нескольких жидкостей на графике зависимости lg(Nu?>/Rew) от ю4 103 ж < V Ца г" а?1 о о ?, од 10» Рис. 6.1. Экспериментальные данные по конвективному теплообмену при те- течении в трубе. lgPr и найти значение показателя степени п. Затем при из- известном п можно отложить данные для многих жидкостей на графике зависимости lg(Nuzj/Prn) от lg Re и уточнить значение показателя т, а также определить значение константы С. При- Пример такого обобщения результатов приведен на рис. 5.1 для турбулентного вынужденного течения в гладких трубах. Полу- Получаемые таким образом соотношения обычно описывают экспе- экспериментальные данные с точностью ±25%. 5.3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ В ТРУБАХ И КАНАЛАХ В практических задачах обычно требуется определять изме- изменение температуры при течении жидкости в канале с заданной скоростью при заданных температурах жидкости на входе и стенке канала. Для течения в трубе длиной L и при температуре
Формулы для расчета конвективного теплообмена 227 стенки Ts тепловой поток к жидкости можно записать в виде Чс==срРУср- E.9) 4 ' Фь* — ¦ где Ть2 и Тьх являются средними по сечению температурами, или температурами смешения, соответственно на выходе и вхо- входе. Если использовать коэффициент теплоотдачи, то тепловой поток на элементарной длине dx (рис. 5.2) будет связан с из- изменением среднемассовой температуры, а также с разностью я Направлениеи^ течения Рис. 5.2. Схема теплового баланса при течении в трубе. температур стенки Ts(x) и среднемассовой температуры жидко- жидкости Ть(х) на этой длине, следующей зависимостью: dqc = thcp dT = hc (nD) dx {Ts - Tb). E.10) Тогда средний коэффициент теплоотдачи при течении жидкости в канале можно представить в виде где А — общая площадь поверхности контакта жидкости с теп- лопередающей поверхностью. Вполне очевидно, что как TSf так и Ть может изменяться по длине трубы, и поэтому для практи- практического использования уравнения E.11) необходимо разрабо- разработать удобный процесс осреднения температуры. В данной главе основное внимание уделяется вопросу определения значения коэффициента теплоотдачи, а вопрос об осреднении температуры в различных практических приложениях будет рассмотрен в гл. 7. Турбулентное течение в трубах и каналах Экспериментальные данные при турбулентном течении в длинной трубе жидкостей, имеющих число Прандтля от 0,5 до 100, обобщаются зависимостью [1] NuD = 0,023 Rei)8Pr0'33. - - E.12) В этой формуле все физические свойства жидкости следует брать при так называемой определяющей температуре ff, яв- являющейся среднеарифметической величиной для температуры
228 Глава 5 стенки и среднемассовой температуры жидкости, lf = - -, (оЛо) где Ть, ср является в свою очередь среднеарифметической вели- величиной для температуры жидкости на входе и выходе: гр * &> вх "Г *»> вых * Ы ср — о Причиной использования средней температуры является изме- изменение физических свойств жидкости в результате теплообмена. Другой метод учета такого изменения физических свойств пред- предложен в работе [2], где рекомендована следующая формула для оценки числа Нуссельта при вынужденном течении жидкости в длинном канале: Шо = 0,027 ReW-33(^Y-14, E.14) где |i& — коэффициент динамической вязкости при среднемассо- среднемассовой температуре Га, ср: Ть, ср = (Ть, вх + ТЪу вых)/2, [is — коэффициент динамической вязкости при температуре Ts. Все другие физические свойства жидкости следует определить ПрИ ТЪ, ср. Уравнения E.12) и E.14) применимы к полностью разви- развитому турбулентному течению в трубах. Их можно также при- применять к полностью развитым течениям в каналах с другой формой поперечного сечения, но тогда необходимо использовать эквивалентный диаметр (гл. 4). Пример 6.1. Поток воздуха с давлением 2 атм и температурой 490 К дви- движется в трубе с внутренним диаметром 2 см со скоростью 10 м/с. Рассчи- тать коэффициент теплоотдачи, когда температура трубы равна 510 К, и оп- определить тепловой поток, передаваемый воздуху на единице длины трубы, если плотность теплового потока поддерживается постоянной. Решение. Из табл. П.VI. 1 теплофизические свойства воздуха при среднем значении температуры между температурой стенки и среднемассовой темпе- температурой жидкости E00 К) следующие: \i = 29,37- 10~б Н-с/м2, k =, = 0,0386 Вт/м-град, ср = 1038 Дж/кгтрад, р = 0,689-2 = 1,378 кг/м3, Рг =¦ = 0,71. Число Рейнольдса Rep составляет о» 1,378-10.0,02 ReD ~ 29,37-Ю-6 Следовательно, течение турбулентное и коэффициент теплоотдачи определяет- определяется по формуле E.12): 4 = @,0386/0,02) 0,023 (9384H'8 @,71 H-33 = 59,7 Вт/(м2 - град). Если плотность теплового потока поддерживается постоянной, разность тем- температур Ts — Ть будет неизменной, но среди ем ассовая температура будет воз-
Формулы для расчета конвективного теплообмена 229 растать. Если пренебречь изменением коэффициента теплоотдачи, связанным с изменениями физических свойств жидкости, то тепловой поток, передавае- передаваемый жидкости на одном метре длины трубы, составит q' = hc7iD (Ts — Tb) = 59,7 . n • 0,02 • 20 = 75,0 Вт/м. Однако во многих практических задачах трубы и каналы недостаточно длинные, чтобы достигалось полностью развитое течение. В работе [3] рекомендована формула, которая содер- содержит поправочный коэффициент, учитывающий наличие вход- входного, или начального, участка Мщ>я - 0,036 Re^Pr0'33 (%¦)"" <5' 15> (справедливая при 10 < L/DH < 400), где l — длина трубы, Dh — эквивалентный диаметр канала. Фи- Физические свойства в приведенных выше уравнениях следует брать при определяющей температуре, рассчитываемой в фор- формуле E.13). Ламинарное течение в трубах и каналах Коэффициент теплоотдачи при ламинарном течении в трубах и каналах при (ReDPrD/L) > 10 может быть определен по эмпирической формуле, предложенной в работе [2]: , E.16) в которой все физические свойства берутся при среднемассо- вой температуре Г&, а для учета влияния изменения температуры на вязкость вводится эмпи- :: рический поправочный коэф- коэффициент (lXb/[lsH>U. В ЖИД- ЖИДКОСТЯХ с увеличением темпе- температуры вязкость понижает- понижается, а в газах повышается. При нагреве жидкость, на- находящаяся ОКОЛО стенки, рис g3 профили скорости при лами* Имеет меньшую ВЯЗКОСТЬ, Нарном течении жидкости с нагревом,» чем жидкость в центре. Сле- охлаждением. ДОВатеЛЬНО СКОРОСТЬ НаГре- / — нагревание жидкости или охлаждение газа; диосиыюпи, слири^ю n«xFv 2—изотермическое течение (параболический ТОЙ ЖИДКОСТИ будет ООЛЬШе, профиль); 3—нагревание газа или охлаждение чем ненагретой, при тех же жидкости. средних скорости и темпе- температуре. При охлаждении жидкости искажение параболического профиля скорости происходит в противоположном направлении (рис. 5.3). В газах наблюдается картина, обратная той, которая наблюдается в жидкости, что связано с увеличением их вязко- вязкости при повышении' температуры; возможно дополнительное
230 Глава 5 искажение профиля скорости, связанное с изменением плот- плотности. Пример 5.2. Вода движется в капиллярной трубке с внутренним диамет- диаметром 2,54-10~3 м и длиной 0,3 м со скоростью 0,2 м/с; температура воды на входе 333 К. Считая, что температура трубки поддерживается постоянной и равной 353 К, рассчитать температуру воды на выходе. Решение. Теплофизические свойства воды при ЗЗЗК, согласно табл. FLV. 1, следующие р = 983 кг/м3, ср = 4181 Дж/(кг-град), ц = 4,72-10 Н-с/м2, k = 0,658 Вт/(м-град), Рг = 3,0. Чтобы удостовериться, что течение ламинарное, определим число Рей- нольдса Re/? при температуре жидкости на входе: Re -?VD ,983-0,2-0,00254 KeD~ ц - 4,72 • Ю-4 ~1U0Bl Следовательно, течение ламинарное, и поскольку то для расчета коэффициента теплоотдачи можно воспользоваться формулой E.16). Так как средняя среднемассовая температура жидкости неизвестна, то вначале возьмем все физические свойства при среднемассовой температуре жидкости на входе Ть, и затем определим среднемассовую температуру на выходе и вновь повторим все операции для получения более точного значе- значения. Обозначая условия на входе и выходе соответственно индексами 1 и 2, запишем уравнение баланса энергии q = hcnDL (js- Tbl + Tb2 ) = mcp (Tb2 - Tbl). (a) Из табл. П.V.I имеем при температуре стенки 353 К м« — 3,52-10~4 Н-с/м2. Среднее число Нуссельта рассчитываем по формуле E.16) f и, следовательно, кШп 0,658.5,74 Массовый расход равен р igl V^ m ¦«(°-°40254J (°'2) = 0.996 • Ю-' кг/с. Подставляя рассчитанные значения hc и m в уравнение (а) с учетом того, что Tbl = 333 К и Т8 = 353 К, имеем 1487 • я. 0,00254 • 0,3. ГзбЗ - 333 + Ть* \ « 0,996. Ю-3.4181 (ТЬ2 - 333)# (б) Решая это уравнение, получаем Повторный расчет проводим, беря физические свойства жидкости при но* вой средней среднемассовой температуре: fb_ 345^333^339 К.
Формулы для расчета конвективного теплообмена 231 Из табл. П.У. 1 при этой температуре имеем: р = 980 кг/м3, ср = = 4185 Дж/(кгтрад), р, = 4,36-10~4 Н-с/м2, 6 = 0,662 Вт/(мтрад), Рг = = 2,78. Рассчитывая вновь Re^ при новых значениях физических свойств, полу- получаем Re __ рКД_ 980-0,2-2,54-10-' KeD~~~ir 4,36-10-4 Теперь при этом значении ReD рассчитываем коэффициент теплоотдачи. При второй итерации получаем ReDPr (D/L = 25,9, NuD = 5,61 и hc = = 1490 Вт/(м2 • град). Подставляя новое значение Нс в уравнение (б), полу- получаем Тьг = 345 К. Последующие итерации в данном примере не приведут к существенному изменению результатов, что связано с малой разностью сред- немассовой температуры жидкости и температуры стенки. Когда эта раз- разность температур велика, может понадобиться вторая итерация. Формулу E.16) нельзя использовать для длинных труб, так как она может привести к нулевому значению коэффициента теплоотдачи. Для обычных жидкостей и газов при L/D < < 0,0048 ReD в трубах и при L/DH < 0,0021 ReDff в каналах с прямоугольным поперечным сечением в условиях постоянной температуры стенки или постоянного теплового потока более подходит следующая формула, рекомендованная в работе [5]: \п\ р тггхгр Хъч>- E.17) | 1 [2654/Pr0'167 (RePr ZtyL0'5)] J V ' 4L | 1 - [2,654/Pr0'167 (ReD//Pr Zty Для очень длинных каналов значение числа Нуссельта следует брать из табл. 4.1. Осреднение вычисляемого по формулам E.16) или E.17) числа Нуссельта по длине трубы производится следующим образом: l где индекс х характеризует расстояние от входа. Такое число Нуссельта часто называют среднелогарифмическим, так как его можно непосредственно использовать в формулах, применяемых при проектировании теплообменников, которые рассматриваются * в гл. 7. Жидкие металлы Приведенные выше формулы для расчета коэффициентов теплоотдачи при ламинарном и турбулентном течении приме- применимы к жидкостям, у которых число Прандтля больше 0,5. Только жидкие металлы имеют числа Прандтля, существенно меньшие 0,5. Это обусловлено их высокими коэффициентами теплопроводности. Жидкие металлы отводят значительно боль- большие тепловые потоки, чем другие жидкости или газы, и поэтому
232 Глава 5 их широко применяют в ядерных реакторах, в активной зоне которых развиваются чрезвычайно высокие тепловые потоки. Работать с жидкими металлами трудно, поскольку многие из них являются коррозионно-активными, а при их непосредствен- непосредственном контакте с водой или воздухом происходят интенсивные хи- химические реакции. Несмотря на эти недостатки, жидкие металлы применяются в теплонапряженных системах. Эмпирические фор- формулы для определения числа Нуссельта для жидких металлов собраны в работах [6, 7]. Установлено, что при теплоотдаче к жидким металлам число Нуссельта зависит от произведения чисел Рейнольдса и Прандтля, называемого числом Пекле Ре. При полностью развитом турбулентном течении в трубах и по- постоянной плотности теплового потока экспериментальные дан- данные обобщаются соотношением [6] Шв = 0,625 Ре0'4, E.19) если все физические свойства определяются при средней средне- массовой температуре жидкости. Соотношение E.19) справед- справедливо при 100 < Ре < 10 000 и отношениях длины к диаметру, больших 60. Для случая постоянной температуры стенок в ра- работе [8] рекомендуется соотношение NUD = 5,0 + 0,025 Ре0'8, E.20) справедливое при Ре > 100, отношениях длины к диаметру, больших 60, если все физические свойства определяются при средней среднемассовой температуре жидкости. В проблеме теплопередачи к жидким металлам существует еще много нере- нерешенных вопросов. Более подробная информация об этом содер- содержится в работах [6, 7]. Пример 5.3. В ядерном реакторе по трубе внутренним диаметром 5 см движется жидкий металл с расходом 3 кг/с. Температура жидкого металла 473 К, а температура стенок обогревающей его трубы на 30 К выше. Опре- Определить длину трубы, требуемую для повышения среднемассовой температуры жидкого металла на 1 К, используя следующие физические свойства: р = = 7,7-103 кг/м2, v = 8,0-10"8 м2/с, ср = 130 Дж/(кг-град), k = 12 Вт/ /(м-град), Рг = 0,011. Решение. Для увеличения температуры на 1 К требуется тепловой поток q = тсрЬТ = 3,0 • 130 • 1 = 390 Вт. Число Рейнольдса равно ре ™° - 3'0'05 -121 10» Коэффициент конвективной теплоотдачи рассчитываем по формуле E.19): hc = 40'625 (Re^Prf4- 0,625 A,24 • 105 • 0,011H'4 * 2692 Вт/(м2 • град).
Формулы бля расчета конвективного теплообмена 233 Площадь поверхности составляет А = nDL : 390 = 0,00483 м2. hc{Ts-Tb) 2692-30 Длина трубы, требуемая для увеличения температуры на 1 К, равна Л 0,00483 л; • 0,05 : 0,0307 м. Вынужденная конвекция при переходном режиме течения Механизм теплообмена при переходном режиме течения жидкости B000 < Re^ < 6000) существенно изменяется от си- системы к системе. В этой области течение может быть неустойчи- неустойчивым, возможны пульсации перепада давления и характеристик од 0,07 0,05 * 0,04 сГ—^ 0,03 ^ 0,02 ^Г^ 0,01 , ^ 0,007 *? 0,005 "Т^ 0,004 И? * 0,003 ^—' 0,002 0,001 ч, Ч s, — — Ч ч > 40( hi у ) л >H = 50- 00 -/- ^: II! ч. "Ч„ 4 4, \ s ч / / J ¦ * - 102 103 104 ю5 106 Рис. 5.4. Число Нуссельта в зависимости от числа Рейнольдса в переходном режиме течения. теплообмена. Существует большая неопределенность в основных данных по теплоотдаче и потерям на трение, и конструкторам рекомендуется так проектировать оборудование, чтобы его ра- работа никоим образом не проходила в переходном режиме. Для оценки числа Нуссельта в переходном режиме можно использо- использовать кривые рис. 5.4, однако действительные характеристики мо- могут существенно отличаться от полученных с помощью этих >кривых [5]. 5.4. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В УСЛОВИЯХ ВЫНУЖДЕННОЙ КОНВЕКЦИИ ПРИ ВНЕШНЕМ ОБТЕКАНИИ Уметь рассчитывать конвективный тепловой поток нужно не только при течениях в каналах, но и при обтекании плоских пластин, цилиндров, сфер и пучков труб, что важно для многие инженерных приложений.
234 Глава 5 Плоская пластина Теплообмен при обтекании плоской пластины рассматри- рассматривался в гл. 4, где было показано, что для данной жидкости среднее число Нуссельта прежде всего зависит от числа Рей- нольдса, вычисленного по скорости невозмущенного течения и длине пластины в направлении потока. В некоторых случаях бывает необходимо знать местный коэффициент теплоотдачи, и тогда характерным размером, используемым в числах Нуссельта и Рейнольдса, будет расстояние от передней кромки. В инже- инженерных расчетах локальное число Нуссельта при ламинарном обтекании плоской пластины (Re*<5«105) определяют по фор- формуле Nu* = -^f? = 0,332 RefPr1/3, E.21) тогда как среднее число Нуссельта определяют по формуле Шь = -*?¦ = 0,664 Re[/2Pr1/3. E.22) Средний коэффициент теплоотдачи в формуле E.22) получают интегрированием Lt hc=]:\hcxdx. E.23) о При турбулентном обтекании (Rei>5*105) на части пла- пластины, непосредственно следующей за передней кромкой, тече- течение ламинарное, и лишь далее оно становится турбулентным. Локальное значение числа Нуссельта при любом х за местом смены режима течения, т. е. при х > хс, определяется по фор- формуле Nu*=^f =0,0288 в то время как среднее его значение, если переход происходит при Re* = 5-105, равно Ь^ о,О36 Рг1/3 (Re?8 - 23 200). E.25) Одиночный цилиндр и сфера Принципиальное отличие отбекания цилиндра или сферы от обтекания плоской пластины состоит в том, что при этом может происходить не только переход от ламинарного течения к тур- турбулентному в пограничном слое, но и отрыв самого погранич- пограничного слоя от поверхности раздела жидкости и тела в кормовой его части. Причиной отрыва является возрастание давления §
Формулы для расчета конвективного теплообмена 235 направлении течения, что и приводит к образованию области отрывного течения за телом в случае, когда скорость невозму- невозмущенного потока достаточно велика. Образование такой области при обтекании цилиндра схематически показано на рис. 5.5, а ¦~+ Граница *j пограничного слоя течение Рис. 5.5. Схема развития отрывного течения. ее снимок приведен на рис. 5.6. Вполне очевидно, что в области, где пограничный слой оторван от поверхности, будут совер- совершенно другие значения числа Нуссельта, чем в области, где он примыкает к поверхности. Это подтверждают данные, получен- полученные при числах Рейнольдса в невозмущенном потоке 70 000 < < Re < 220 000 (рис. 5.7). На рис. 5.7 приведены значения Рис. 5.6. Область отрыва за одиночным цилиндром. локального числа Nue = hc, eD/k в зависимости от углового рас- расстояния 8 от критической точки. Можно видеть, что сначала, как и при ламинарном обтекании пластины, локальное число Нуссельта понижается по мере удаления от передней образую- образующей цилиндра, но затем оно резко возрастает при переходе те- течения от ламинарного к турбулентному и снова понижается в области турбулентного пограничного слоя. Однако в задней части цилиндра в области отрывного течения число Нуссельта
236 Глава б 800 вновь возрастает. При двух самых низких значениях числа Рей- Рейнольдса G0 000 и 100 000) отрыв происходит до начала перехода от ламинарного режима течения в пограничном слое к турбу- турбулентному. При этом, как следует из работы [9], минимальное значение коэффициента теплоотда- теплоотдачи достигается примерно в точке отрыва. В обычной инженер- инженерной практике не обяза- обязательно рассчитывать ло- локальные значения числа Нуссельта, а достаточно знать среднее значение коэффициента теплоотда- теплоотда