РАССЛОЕННЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Сборник переводов
Под редакцией
в. г. Болтянского,
Е. Б. ДЫНКИНА,
М. М. ПОСТНИКОВА
Издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва — 1958

АННОТАЦИЯ
Теория расслоенных пространств представляет собой одну
из бурно развивающихся областей алгебраической тополо-
топологии — важного раздела современной математической науки.
Эта теория уже теперь находит многочисленные применения
в таких областях математики, как теория функций многих
комплексных переменных, алгебраическая геометрия, вариа-
вариационное исчисление в целом, теория дифференцируемых
многообразий и др.
Сборник «Расслоенные пространства и их приложения»
составлен из переводов работ иностранных ученых (А. Бореля,
А. Картана, Ж--П. Серра н др.), вводящих читателя в круг
•основных понятий и методов этого раздела науки, и призван
заменить отсутствующие пока монографии.
Книга может быть полезна как студентам и аспирантам-
математикам, так и научным работиикам, желающим познако-
.миться с современным состоянием топологии.
Редакция литературу по математическим наукам
Заведующий редакцией профессор А. Г. КУРОШ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
За последнее десятилетие в топологии были созданы новые мощные
методы, позволившие преодолеть трудности, ранее казавшиеся непреодоли-
непреодолимыми, и значительно расширившие область приложений топологии к
другим отделам математики. Основы этих новых методов были заложены
в работах Лерэ, опубликованных в 1945—1947 гг. Важнейшей заслугой
Лерэ было создание принципиально нового алгебраического аппарата
(спектральные последовательности), а также новой теории гомологии
(основанной на понятиях перекрытия и пучка). Большую роль в дальней-
дальнейшем развитии и распространении.идей Лерэ сыграл семинар А. Картана,
возникший в 1949 г. и объединивший ряд выдающихся молодых матема-
математиков Франции (Серр, А. Борель и др.).
Серр в своей диссертации показал, что теорию спектральных после-
последовательностей можно применить к решению важнейших проблем гомо-
гомотопической топологии и вариационного исчисления в целом. Особого
упоминания заслуживают результаты Серра о гомотопических группах
сфер. Эта диссертация до сих пор не утратила своей актуальности; ее
переводом и открывается настоящий сборник [I]*. Значительный интерес
представляет также вторая из включенных в настоящий сборник работ
Серра [III], в которой рассматривается спектральная последовательность
относительного расслоенного пространства. С помощью этого понятия
доказываются весьма далеко идущие обобщения классических теорем
Гуревича и Дж. Г. К. Уайтхеда, позволившие автору получить ряд инте-
интересных результатов о гомотопических группах сфер и групп Ли.
Все использованные Серром спектральные последовательности по-
построены с помощью фильтрации групп цепей, естественно возника-
возникающей при рассмотрении расслоенного пространства. Принципиально
иная фильтрация групп цепей возникает в некоторых задачах вариацион-
вариационного исчисления в целом; она подробно изучена в работе Дюэвеля [45]**, не
включенной в настоящий сборник только из-за нежелания чрезмерно увели-
увеличить объем издания. Некоторое знакомство с этой фильтрацией и воз-
возможностями ее применения читатель может получить из вошедшей в
сборник небольшой работы Ботта [II].
В теории расслоенных пространств особое место занимают так назы-
называемые главные расслоенные пространства — пространства, в которых
каждый слой может быть отождествлен с некоторой топологической
группой. В общую теорию главных расслоенных пространств естественно
включается, в частности, исследование топологии однородных многооб-
многообразий. Теория главных расслоенных пространств представлена в настоя-
настоящем сборнике фундаментальным мемуаром А. Бореля [IV] и примыка-
примыкающими к нему работой Бореля и Серра [V] и первой главой [VI] из работы
Бореля [19].
* Римские цифры в квадратных скобках обозначают номера статей, включен-
включенных в сборник, по оглавлению.
** Арабские цифры в квадратных скобках относятся к списку литературы, поме-
помещенному в конце книги; этот список содержит литературные источники, указанные в
оригинальных статьях, а также некоторую дополнительную литературу.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
В мемуаре А. Бореля, помимо новых результатов, содержится также
систематическое изложение и дальнейшее развитие результатов его пред-
предшественников (Ж- Лерэ, Ж- Косул, А. Картан и др.). Одним из централь-
центральных результатов мемуара является общая алгебраическая теорема о
спектральных последовательностях (так называемая теорема трансгрес-
трансгрессии), широко применяемая в различных разделах теории расслоенных
пространств.
На основе результатов мемуара [IV] о когомологиях классифициру-
классифицирующих пространств в работе [V] вычисляются приведенные степени Стин-
рода в классических группах и в их классифицирующих пространствах.
Результаты вычисления применяются затем к решению ряда разнообраз-
разнообразных задач, как например к задачам о существовании квазикомплексных
строений на сферах, о существовании действительных алгебр конечного
ранга без делителей нуля, о существовании сечений (секущих поверхностей)
некоторых классических расслоений и т. п.
Некоторого видоизменения метода требует вычисление квадратов
Стинрода в ортогональных группах и в их классифицирующих простран-
пространствах. Это делается во включенной в сборник первой главе [VI] работы
Бореля [19].
Несколько особняком стоит работа Тома [VII], посвященная теории
гладких многообразий. В то время как в указанных выше работах основ-
основную роль играло понятие спектральной последовательности, в работе
Тома зто понятие встречается лишь эпизодически, хотя автор системати-
систематически использует результаты, доказанные в других работах с помощью
спектральных последовательностей. В этой работе Том впервые получает
нетривиальные результаты о реализуемости циклов в гладких многооб-
многообразиях в виде подмногообразий или непрерывных образов многообразий.
Серьезных успехов Том добился также в задаче вычисления групп внут-
внутренних гомологии, которая впервые была поставлена и значительно про-
продвинута в работах В. А. Рохлина [121, 122, 123].
Таким образом, как нам кажется, сборник в достаточной степени отра-
отражает тот вклад в математику, который связан с появлением понятия
спектральной последовательности.
За последнее время выяснилось большое значение другого введенного
Лерэ понятия — понятия пучка, причем не столько для топологии, сколько
для теории функций многих комплексных переменных и алгебраической
геометрии. В сборник включены обзорные доклады А. Картана и Серра
[VIII, IX], посвященные применениям теории пучков в теории функций
многих комплексных переменных, и большая работа Серра [X], систе-
систематически излагающая аппарат теории пучков в связи с задачами алгебраи-
алгебраической геометрии. Читатель, изучивший зту статью, окажется достаточно
подготовленным для чтения других работ, посвященных применениям
теории пучков к алгебраической геометрии. Из работ, относящихся к
этому же кругу вопросов и не вошедших в сборник, следует в первую
очередь отметить работы Кодаиры, Серра, Спенсера и Хирцебруха по
обобщениям теоремы Римана — Роха (см., например, работы [135] и [171],
где указана также дальнейшая литература по этому вопросу).
С развитием теории расслоенных пространств связан значительный
прогресс в современной дифференциальной геометрии. Читателю, интере-
интересующемуся этим, не отраженным в сборнике кругом вопросов, можно
рекомендовать недавно вышедшую монографию Лихнеровича [88].
Статьи сборника снабжены примечаниями редакторов, в которых
главным образом формулируются (и, как правило, доказываются) резуль-
результаты не вошедших в сборник работ, необходимые для понимания основ-
основного текста. Некоторые примечания знакомят с новейшим развитием
рассматриваемых в статьях вопросов.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ
В примечаниях, в частности, изложены: основные понятия теории
гомологии, понятие спектральной последовательности накрытия, теорема
Кюннета и формула универсальных коэффициентов, теорема Фрейденталя
о надстройке, вычисление группы щ(83), результаты Серра [134] о кого-
мологиях по модулю 2 пространств К (П, п), общее понятие когомотопи-
ческих групп и новые результаты А. Бореля и Ботта о гомологиях фактор-
пространств компактных групп по подгруппам максимального ранга.
Редакторы выражают благодарность проф. А. Борелю за присланные
им дополнения и исправления к его работам; эти дополнения и исправ-
исправления внесены в текст переводов.
Переводы работ [И, III, V—X] редактировались М.М. Постниковым,
перевод работы [I] — В. Г. Болтянским и перевод работы [IV] —
Е. Б. Дынкиным.
В. Г. Бомпянскийт
Е. Б. Дынкин,
М. М. Постников.

I. СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ*
ЖАН-ПЬЕР СЕРР
Введение
Основная цель этого мемуара — изучение пространства Q петель на
заданном пространстве X. Интерес этого изучения двоякий: с одной стороны,
Морс [98] доказал, что если X — некоторое риманово пространство, то
гомологические свойства пространства Q тесно связаны со свойствами гео-
геодезических линий в X; с другой стороны, следуя ГУревичу [39], можно дать
с помощью Q рекуррентное определение гомотопических групп пространства
X, и, следовательно, получение всякого результата о группах гомологии
пространства Q влечет за собой углубление наших знаний о гомотопических
группах пространства X.
Однако прямое изучение гомологии пространства Q оказывается затруд-
затруднительным и было проведено в достаточной степени лишь в случае, когда
X представляет собой сферу. Мы применяем здесь непрямой метод, подска-
подсказываемый соотношением щ (Q) = ni+1 (X), которое получается при рассмот-
рассмотрении пространства Q как слоя некоторого стягиваемого расслоенного прост-
пространства Е, имеющего своей базой заданное пространство X. Применяя в этом
случае к Е теорию гомологии расслоенных пространств, развитую Лерэ,
мы получаем соотношения, тесно связывающие гомологии пространств Q и X,—
соотношения, которые с успехом можно применить к двум указанным
выше проблемам.
Так как используемая здесь теория гомологии является теорией сингуляр-
сингулярной, (только такая теория пригодна для решения гомотопических проблем),
то нам пришлось доказывать применимость теории Лерэ в этом случае,
полностью переработав ее топологическую часть. Поэтому наше изложе-
изложение не требует предварительного чтения мемуара Лерэ.
Содержание глав следующее.
Гл. I содержит необходимые предварительные понятия, в основном
понятие спектральной последовательности [73,80] дифференциальных
градуированных групп. Здесь же находится «абстрактное» изложение транс-
трансгрессии и надстройки; первое из этих понятий было впервые введено Чженем,
Хиршем, Косулом (для некоторых расслоенных пространств), второе — Эй-
ленбергом и МаклеЙном (в случае комплексов К (П, q)). Здесь же приведен
краткий очерк принадлежащей Картану и Лерэ теории накрывающих про-
пространств (в частном случае Универсальных накрытий).
В гл. П устанавливаются свойства спектральной последовательности
(сингулярных) гомологии расслоенных пространств. Прежде всего прихо-
приходится выбрать новое определение сингулярных гомологии, использующее
ку6ы вместо симплексов, — это делается в п. 1. Существенным моментом
(после определения фильтрации) является доказательство того, что член
Ех спектральной последовательности изоморфен группе цепей базы с коэф-
коэффициентами в группе гомологии слоя. Проведение этого доказательства
требует некоторых построений с сингулярными кубами, всегда возможных,
если пространство удовлетворяет теореме о накрывающей гомотопии для
полиэдров. Это последнее свойство и принимается здесь в качестве определения
расслоенных пространств.
* S e r r e J.-P., Homologie singuliere des espaces fibres. Applications, Ann. Math.,
54 A951), 425—505.

10 Ж.-П. СЕРР
В гл. III указаны первые приложения полученных теорем к различным
частным случаям. Особо отметим предложение 5, являющееся ключом к
большинству дальнейших интересных результатов, так же как и предложе-
предложение 3. Другие результаты (рассматриваемые в рамках теории Чеха) принад-
принадлежат Лерэ [84].
Гл. IV, посвященная пространствам петель, имеет двоякую цель. С одной
стороны, эта глава содержит общие, интересные сами по себе результаты (тако-
(таковы, например, теорема Хопфа, гомотопическая простота во всех размерностях
и т. д.), которые применяются в п. 7 и 8 к проблемам изучения геодезических,
а с другой стороны, она подготовляет путь к изучению гомотопических
групп, рассматриваемых в следующей главе. Среди результатов первого
типа отметим очень простое доказательство того факта, что на всяком связном
компактном римановом многообразии существует бесконечно много геодези-
геодезических, соединяющих две данные различные точки (результат, который
был известен только в случае сфер).
В гл. V Указан метод, позволяющий в какой-то мере вычислять гомотопи-
гомотопические группы пространства, группы гомологии которого известны. Отсюда
легко выводится, что гомотопические группы тогда и только тогда имеют
конечное число образующих, когда это же обстоятельство имеет место для
групп гомологии (по крайней мере, если пространство односвязно). Мы
пытались также подойти к проблеме вычисления гомотопических групп
сфер: здесь удобно различать (по трудности в выполнении вычислений)
случаи, когда коэффициенты берутся в полях различной характеристики.
Случай характеристики нуль может быть исследован полностью; при этом
оказывается, что все группы я?8п) конечны, за исключением групп nn(Sn)
и ^4n_! (S2re) (л произвольно). Напротив, при произвольной характеристике
р мы ограничились нахождением первой гомотопической группы сферы Sn
(после л-й), порядок которой делится на р: это — группа ^n + 2p_3(Sn)
(по крайней мере, если п нечетно).
В гл. VI очень кратко указано, каким образом предыдущий метод, при-
применяемы^ однако, в обратном смысле, позволяет быстро получить ряд
результатов о группах Эйленберга—Маклейна; некоторые из этих результатов
известны, но доказывались ранее очень сложно.
Основные результаты этого мемуара были резюмированы в трех замет-
заметках, появившихся в Comptes Rendus [131].
Я не мог бы закончить этого введения, не выразив г. А. Картану всей
моей признательности за помощь, которую он постоянно оказывал мне в
моей работе как посредством семинара, руководимого им в течение трех
лет, так и личными беседами — полезными и многочисленными. Именно
благодаря его помощи (и помощи Ж- Л. Косула, которому я также выражаю
здесь мою благодарность) я смог перевести теорию Лерэ на язык сингуляр-
сингулярных гомологии, а также провести на прочной основе вычисления, которые
до тех пор были делом чистой удачи. Помимо этого особенно важного вклада,
я обязан ему многочисленными улучшениями в отношении результатов,
изложения и редакции.
Мне бы хотелось также поблагодарить гг. А. Бореля, Н. Бурбаки,
С. Эйленберга, Ж- Лерэ за оказанную мне помощь, одобрения и советы, раз-
различные по своему характеру, но одинаково ценные. Я благодарю также
г. А. Данжуа, возглавлявшего жюри, в которое я представил эту диссертацию.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 11
, Глава I
' ПОНЯТИЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Спектральная последовательность дифференциальной группы
с возрастающей фильтрацией
Определение. Пусть (A, d) — дифференциальная группа*, т. е. абелева
группа А, снабженная эндоморфизмом** d, квадрат которого равен нулю.
Говорят, что семейство подгрупп (Ар) (р — целое число, положительное
или отрицательное) определяет на А возрастающую фильтрацию, если
выполнены следующие условия:
U Ар = А; Ар С Ар+1; d( А») С Ар.
р
Удобно дополнить определение подгрупп Ар, положив А-°° = 0 и А+°° = А.
Пусть хе А; обозначим через w(x) нижнюю грань таких целых чисел р,
что х е Ар. Отображение х -*¦ и>(х) обладает, очевидно, следующими свой-
свойствами:
w(a—b) =s= max (w(a), w(b)); w(da) «s w(a). ( *)
Обратно, если на А задана функция w(x) с целочисленными значениями
(включая — оо), которая обладает двумя указанными свойствами, то она
определяет на А возрастающую фильтрацию***.
Обозначения (г — целое положительное число****):
СР — множество тех элементов группы Ар, границы***** которых лежат
в А*-г;
ВР — множество тех элементов группы Ар, которые являются грани-
границами элементов из Ар+Г;
С?, — множество тех элементов группы Ар, которые являются циклами;
В?> — множество тех элементов группы Ар, которые являются грани-
границами******.
Все эти множества являются подгруппами группы Ар, удовлетворяю-
* Понятие дифференциальной группы является одним из исходных понятий теории
гомологии, которую автор предполагает известной. В дальнейшем, в связи с встречающи-
встречающимися понятиями теории гомологии, мы будем давать подстрочные примечания.
— Прим. ред.
** Эндоморфизм d называется в дальнейшем дифференциалом. — Прим. ред.
*** А* следует определить как множество таких элементов а, для которых w(a)*s p.
При этом к соотношениям (*), указанным в тексте, следует добавить условие iv@) = — оо
(иначе подгруппы Ар будут определены не для всех целых значений р). — Прим. ред.
*••• Вопреки этому утверждению ниже будут использованы также случаи г=0 и
г= — 1. — Прим. ред.
***** В дифференциальной группе (A, d) элементы подгруппы d(A) называются гра-
границами (элемент da называется границей элемента а), а элементы подгруппы ?Г1@) назы-
называются циклами (иначе говоря, циклами являются элементы, границы которых равны
нулю). Произвольные элементы дифференциальной группы (не обязательно являющиеся
циклами или границами) называются также цепями. — Прим. ред.
****** Таким образом,
. «С? = А* П <Г1 (A'~r). Bl = АР Л d(A*+r),
Clo = А* П d-^O). BL= А* П d(A).
Заметим, что из включения d(Ap) С А* вытекает А* С й~г(Ар), и потому
С» = Ар П «ИА*). В? = А* П d(A*) = d(Ap).
— Прим. ред.

12 Ж.-П. СЕРР
щими следующим соотношениям включения*:
Отметим еще, что d(C?+r) = В? **.
Определение групп Ef.
Положим Щ = Cj?/(C?* + В?_,).
Дифференциал d отображает С? в С?~г, а (С^\ + В?_!) — в
Следовательно, он определяет после перехода к факторгруппам гомомор-
гомоморфизм
d*: Щ
Ядро гомоморфизма df равно (CJ?+1 + С?3)/(С?3 + B?-i)****«
Образ гомоморфизма d?+r равен (С?3 + B?)l(C*z{ + B?-i)-
Из сопоставления этих двух результатов вытекает, что dfodf+r = 0;
кроме того, факторгруппа ядра гомоморфизма d? по образу гомоморфизма
* Из включений Ар С Ap+1, d(A) С d~l@) находим
d(A*) С d(A*+l) С ... С d(A'+r-1) С d(A*+r) С ... С а(А) С
С d"l@) С ... С d-l(A*-r) С d-^A*-'*1) С ... a d-l(A*~l) С d-1(Aj)).
Взяв пересечения всех частей этих включений с подгруппой Ар, получим указанную в
тексте цепочку включений. — Прим. ред.
** Имеют место соотношения
d о d-i( A') = d( А) П А*, <Г1 о d( А*1) = d-ЧО) + A*, d~l о d~i( А") = А (* )
(знак о обозначает композицию операций, а знак плюс — групповую сумму), первое
из которых н дает указанное в тексте равенство:
+Г П d->(A*)) = d(AP+r) П d
П d(A) ПА'= d(A*+r) RAJ= Bpr.
Докажем соотношения ( *). Очевидны включения dod~l(Ap) С d(A), dod~l(Ap)CZApr
так что d о d~l(Ap) С d(A) (~| А". Обратно, если а € d(A) n Ap, то а е А" и существует
такой элемент Ь е А, что a = d&. Следовательно, b e d~l(Ap) и a = dft e d о d~l(-Ap)>
т. e d( А) П-А* С d о d~l( Ap). Этим доказано первое соотношение (*). Далее, если
а е d~l о d(A*), то da e d(Av), т. е. существует такой элемент b e Ар, что da = d&. Следо-
Следовательно, d(a — b) = 0, или a — бе d~l@), и потому a = (а — b) + b e d~l@) + А". Таким
образом, drl о d(A*) С d~l@) + А*. Обратно, если а = z + 6, где z e d~l@). й е А', то
da = d& e d(Ap), и потому a ed~1 od(Ap). Это дает обратное включение d~1od(Ap)
3 d~l@) + Ар. Наконец, третье соотношение (*) вытекает из равенства dod(A)
— Прим. ред.
*** Из соотношений d(c^r) = B?> d(B?) = 0 получаем
— Прим. ред.
**•* Указанные в тексте ядро и образ вычисляются с помощью формул, приведенных
в примечаниях****** на стр. 11 и** на этой странице, на основе следующего общего алгеб-
алгебраического предложения. I
Пусть d— эндоморфизм абелевой группы А, а G1, Ga, Нг, Н2—такие ее подгруппы,
что d(Gi) С Ga, d(Hj) С Нг, Hj С Gb Я2 С Ga.. ТоГда, после перехода к факторгруппам,
мы получим гомоморфизм
GjHt > GJH%.
Ядро и образ этого гомоморфизма соответственно равны
[d-HHJ П GJ/И» и [ад + HJ/И,.
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 13
dP+r д
(С?+1 + ОД)/(В? + ОД) ~ С?+1/[С?+1 П (ОД + В?)) =
(я« обозначает изоморфизм).
Интерпретация предыдущих результатов: спектральная последователь-
последовательность'.
Положим Ег=]? ЕР (всюду в дальнейшем знак убудет означать прямую
V
сумму); группы Ер определяют в Ег градуировку*: элементы группы ЕР
называются элементами, имеющими фильтрующую степень р; отображения
dp определяют в ЕТ однородный дифференциал йт степени —г относительно
фильтрующей степени. Последовательность дифференциальных градуиро-
градуированных групп (ЕР), г = 0,1,... называется спектральной последователь-
последовательностью, связанной с дифференциальной группой А, снабженной фильтра-
фильтрацией.
Как мы видели, группа гомологии** группы ЕР для дифференциала dr,
вычисленная в ЕР, изоморфна ЕР+1. Таким образом,
ЩЕ0) = Ev H(EJ = Ег, .... ЩЕГ) = Е^, ....
Член Ео.
Имеем*** Е# = Ар/Ар~1. Следовательно, Ео есть прямая сумма после-
последовательных факторгрупп ApjAv~1; эту прямую сумму называют градуиро-
градуированной группой, ассоциированной с группой А, имеющей фильтрацию.
Дифференциал 40 отображает Eg в себя; он получается из дифференциала
d группы А при помощи факторизации (зто возможно, так как подгруппы
Ар и Ар~х допустимы относительно дифференциала d).
Член Ег.
Согласно сказанному выше имеем Ер = H(ApjAp~1).
Дифференциал dr отображает Е\ в Ер~г; он совпадает с граничным
гомоморфизмом****
3 :
точной гомологической последовательности «тройки» (Ар, Л", Ар~3).
Член Еоо.
По аналогии с определением групп ЕР определим член Е» = 2
(предельная группа спектральной последовательности), положив
Интерес этого определения заключается в том, что, с одной стороны, можно
рассматривать член Еоо как предел членов Ег (мы уточним зто в следую-
следующем пункте), а с другой стороны, член Ете тесно связан с группой Н(А).
Таким образом, получается нечто вроде «моста» между (ЕР) и Н(А).
Для уточнения этой последней мысли обозначим через Dp образ группы
Н(АР) в ЩА), получаемый при отображении вложения группы Ар
* См. примечание 1 в конце статьи. — Прим. ред.
** См. примечание 2 в конце статьи. — Прим. ред.
*** Е? -
(см. примечание****** на стр. 11; ср. также примечание**** на стр. 11). •¦— Пром. ред.
*••• См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.

14 - Ж.-П. CEPP
в А. Имеем*
Dp ^'CL/BL.
Отсюда следует, что Dp\Dp~r = С^ЦС^1 + ??,) = ??>. Иначе говоря, если
рассматривать в Н(А) фильтрацию, определенную группами Dp, то ?«,
есть не что иное, как градуированная группа, ассоциированная с группой
Н(А), имеющей фильтрацию.
Отметим, однако, что соотношение П Dp = О не всегда выполняется, даже
р
если П Ар = 0; в следующем пункте мы дадим достаточное условие для
р
выполнения этого соотношения.
Замечание. Предшествующие определения представляют собой лишь
переложение на язык, удобный для теории гомологии, понятий, введенных
Лерз [83] и Косулом [74]. К тому же результаты этого пункта можно получить,
исходя из результатов Лерз, простым изменением обозначений: достаточно
заменить р на —р.
Эта теория в значительной степени распространяется и на «аксиомати-
«аксиоматическую теорию гомологии». См. об этом сообщение С. Эйленберга ([60], Сооб-
Сообщение VIII).
2. Случай градуированной группы
Начиная с этого момента, мы будем предполагать, что группа А градуиро-
градуирована, т. е. представлена в виде прямой суммы подгрупп М (п — целое число,
положительное или отрицательное); кроме того, будем предполагать, что
дифференциал d имеет степень —1 по отношению к этой градуировке (иначе
говоря, d(nA) С П~1Л) и что фильтрация совместима с градуировкой, т. е.
что каждая подгруппа Ар однородна**. Мы положим Ар'q — p+q А П Ар; через
Нп(А) будем обозначать п-ю группу гомологии группы А.
Градуировка членов спектральной последовательности:
Существование градуировки в А позволяет определить градуировки
в различных группах, введенных в предыдущем пункте. Через С?'9, BP<q,
С&Л /?&а, Dp'q мы будем обозначать подгруппы групп СР,..., Dp, образо-
образованные однородными элементами степени p + q. Каждая из групп С?,..., D
является прямой суммой*** групп Cf<q,..., Dp'q для — со < q < -f со.
Положим также Epq = С?'9/(C?i'9+1 + B?_f) @ =s= r «s + со). Группы
EP>q градуируют**** группу Ер. Таким образом, член Ег спектральной
* Циклы, принадлежащие подгруппе Ар, содержатся в Ар П ^-1@), а гомологич-
гомологичные им циклы образуют подгруппу Ар Г) d~\0) + d(A). Таким образом,
D" = (А» П d~\0) + d(A))ld(A) <* (A* n й~ЩI(Ар Г) d{A)) = cLltfL;
далее,
P/P1 f« (Ар П d-ЧО) + d(A))/(A*-1 п й~Щ + d(A)) f«
(А* П d-\O))l(A* П d~\0) П (А* П d~\0) + d(A))) =
П d-HO^KA*-1 П d~\0) + А*П d(A)) = C»J{C^ + B*,) =E^.
— Прим. ред.
*• См. примечание 1 в конце статьи — Прим. ред.
*** Иначе говоря, подгруппы С*, Bf, ct>, fi§o группы А, а также подгруппы Dp
группы ЩА) однородны. Это вытекает из предложений, сформулированных в примечании
1в конце статьи (см. также примечание****** на стр. 11 в примечание 2 в конце
статьи). — Прим. ред.
••** Точнее говоря, группы ?*'q не градуируют группу В? (ибо они не являются
подгруппами группы Е^), ио позволяют ввести в Е% естественную градуировку: ?* F&
f& ^q ?*''. Здесь и в дальнейшем автор отождествляет между собой естественно изоморф-
изоморфные группы; о понятии естественного изоморфизма (относящегося к теории категорий и
функторов) см. [145]. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 15
последовательности дважды градуирован* группами Epq; число р называ-
называется фильтрующей степенью, q — дополнительной степенью. Удобно также
ввести полную степень р + Я (она соответствует степени, имеющейся в
группе А). Дифференциалы dr имеют следующие степенные свойства:
dr уменьшает фильтрующую степень на г единиц,
dr уменьшает полную степень на 1 единицу,
dr увеличивает дополнительную степень на г — 1 единиц**.
Дополнительное предположение.
Всюду в дальнейшем мы будем считать выполненным следующее усло-
условие:
(Ф)— Еслих^О—однородный элемент группы Л,то***0=ё w(x)asdegx.
Иными словами, фильтрация и степень полохсшпельны и фильтрация не
превосходит степени. Другая формулировка****: Лп>0 =Ми Ар>9 = 0, если
Р<0.
Следствия условия (Ф).
Прежде всего имеем***** Е^>9 = 0, если р или <7<0. Отсюда следует, что
Epq = 0 для р или q < О, каким бы ни было г. Это же верно и для Еет, что
в силу соотношений****** D~1>n+1 = 0 и D">° = Нп(А) вытекает из равенства
?&« = Dp'9/Dp~1-q+1. Таким образом, получаем возрастающую последова-
последовательность подгрупп группы Н(А)
О = D~ln+1 С D°-n С... С D"-1 С Dn0 = Нп(А).
В частности, мы видим, что П^р = 0.
р
Предложение 1. Если условие (Ф) выполнено, то
Е?-« = Е?+\ == Е*'+\ = ... = ?&« для r> max (p,q +1).
При г > р все элементы группы Ерq будут циклами относительно диф-
дифференциала dr, ибо dr уменьшает фильтрующую степень на г единиц, а
Ер * = 0 для s < 0. Точно так же, при г — 1 > q никакой отличный от нуля
элемент группы Ерй не является границей относительно дифференциала dr,
ибо dr увеличивает дополнительную степень на г— 1 единиц. Отсюда сле-
следует, что ??¦« = Е?+1=... .
• То есть Ег яа ^ Ef q. — Прим. ред.
р. 9
** См. примечание 4 в конце статьи. — Пром. ред.
••• Через deg х обозначается степень (полная) однородного элемента х. — Прим. ред.
•••• Действительно, условие Ап-"—пА означает, что "А Г) Ап — пА,т. е. AnZ)nA,
нлн deg х ё= w(x). Условие же ,,Ap-q=0, если р<0" означает, что w(x) г» 0.
— Прим. ред.
••••• Прн р< 0 нмеем ду, ч = о, а потому С»'« = 0н Е% •« = 0. При q < 0 полу-
получаем в силу гипотезы (Ф) Др. 9 = ДР—l. e+i(= дР+з. о) н потому
??'9 = Ср0' 9/(с^1>9+1 + В^) = Ap>9/(AMl 9+1 + B^i4) = 0.
Далее,
??;« = (d^1 @) n fif' 'O/dlCJS,) П ??'9) = 0,
если ?P.« = 0. — Пром. ред.
****** В силу определения групп Dp (см. примечание* на стр. 14) имеем
DP- 8 = ((А» П d-ЦО) + d(A)) П P+«A)/(d(A) П Р+ЦА)),
откуда D-1- "+1 = 0 н Dn- ° = ((А" П й'Щ + d(A)) П nA)j(d{A) П "А) =
= ((d-Щ + d(A))f\ »A)l(d{A) П пА) = (d-»@) П "A)/(d(A) П ЯА) = Н„{А).
— Прим. ред.

16 Ж.-П. CEPP
Остается показать, что эти группы изоморфны Е%?. Для этого достаточно
заметить, что,для достаточно больших г имеем*"
T OO 9 T OO *
Итак, мы видим, в каком смысле можно говорить, что группа Ею является
пределом групп Ег: для заданной полной степени п существует такое (доста-
(достаточно большое) число г, для которого группы, образованные членами полной
степени п в Ег и в Еоо, изоморфны.
Дифференциальная группа R.
Положим R = A0, Rq = Л0-9. Тогда R есть допустимая градуированная
подгруппа** группы Л. Имеем*** EJ-9 = Hq(R). С' другой стороны, все
элементы группы Epq (r э= 1) являются циклами относительно дифференциала
dr, ибо dr уменьшает фильтрующую степень, а рассматриваемые элементы
имеют минимальную фильтрующую степень. Отсюда получаем последова-
последовательность эпиморфизмов****
Hq{R) = E?<q ¦+ Е\а -*....
Кроме того, согласно предложению 1, эти эпиморфизмы становятся
изоморфизмами при г > q + 1. Таким образом, группа Е™ = Е^г совпа-
совпадает с некоторой факторгруппой группы H9(R) (это устанавливается и непо-
непосредственно***** из выражения этих групп через Ср9 и Вр9). Но, с другой
стороны, Е%? = D0'* с Hq(A). Поэтому мы можем написать последователь-
последовательность гомоморфизмов
из которых первый является эпиморфизмом, а второй — мономорфизмом.
Композиция их представляет собой не что иное, как гомоморфизм группы
Hq(R) в Hq(A), индуцированный вложением R -* А.
* При г~>р получаем
с?-9 = с? п p+qa = а* п <г1(лр-г) n p+qa = ар>« п d
далее, в силу гипотезы (Ф), при ^«еО имеем Др'9= дР+з-о и ПОТОМу при
получаем
B?'q=B?np*qA=Apnd(Ap+r) r\P+qA =Ap-qnd(Ap+r) = Ар>9 П
= Ap'q n d(Ap+9+1>0) = Ap'q П d(p+e+1^) = Ap'q П
— Ярил«. ред.
•• Группа R допустима: d(R) cR, н однородна (а потому градуирована):
r = 2r пча = 21 a° nqA = 21 л0>9 = 2 Rq-
n , 9 9 9 9
Ярил. ред.
?0.9 = C0.9/c~1.9+l + ВОЛ = С0.9/В0,« = д0,9 р ?(
= (Я, П d-\O))l(Rq П Й(Л)) = H«W- — Пром.- ред.
**** Мы будем пользоваться в переводе следующей терминологией. Пусть /: А -> В
— гомоморфное отображение. Отображение / называется:
эпиморфизмом, если {(А) = В (сгомоморфное отображение на всю группу»),
мономорфизмом, если f^O) = 0 (сизоморфиое отображение иа некоторую под-
подгруппу»), _
изоморфизмом, если одновременно f(A) = В, /-1@) =* 0 (снзоморфное отображение
на всю группу»), — Прим. ред.
***** Имеем С?'9 = C<|i9 = A°'q П tf~4°)- Отсюда легко следует, что группа" Е%? =
= С™1В™ является факторгруппой группы Е?'9 = C?l9/B?'9 (ибо fig'9 С BSi9).
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 17
Дифференциальная группа S.
Положим Ef>0 = Sp hS = ?Sp. Группа S совпадает с подгруппой
р
группы Е1? образованной элементами дополнительной степени 0. Так как
дифференциал dx не меняет дополнительную степень, то отсюда следует, что
подгруппа S допустима относительно dx и представляет собой дифферен-
дифференциальную градуированную группу.
Имеем HP(S) = ЕРЛ; с другой стороны, никакой отличный от нуля
элемент группы Ер° не является границей относительно dr (r з= 2), ибо
dr увеличивает дополнительную степень, а рассматриваемые элементы
имеют минимальную дополнительную степень. Отсюда получаем последова-
последовательность мономорфизмов
...->??.«-> ?|•• = HP(S).
Кроме того, при достаточно большом г эти мономорфизмы являются
изоморфизмами. Точнее, ЕЗД = Е{^° (предложение 1); но Е%? = Dp>0IDp~1'1 =
= HP(A)/Dp~1>1. Поэтому мы можем написать последовательность гомомор-
физмов
H
из которых первый является эпиморфизмом, а второй — мономорфизмом.
Дадим интерпретацию композиции этих двух гомоморфизмов. Для этого
напомним, что Е\Л = Cf°/(C$-U + B{J>°). Так как С?>0 =М, то имеем естествен-
естественный гомоморфизм* п: А -»S, который коммутирует с границей и определяет
гомоморфизм я* : НР{А) -*• HP(S). Гомоморфизм я* и есть композиция двух
указанных выше гомоморфизмов.
Отсюда вытекает, в частности, что образ гомоморфизма я* совпадает с
E?j°, а его ядро — с йр~1Л.
Замечание. Во всех известных до настоящего времени приложениях
спектральных последовательностей группа А с фильтрацией является гра-
градуированной. Напротив, условие (Ф), вообще говоря, выполняется только
в приложениях, связанных в той или иной степени с теорией расслоенных
пространств (например, кроме этой последней теории — ей посвящена сле-
следующая глава, — см. теорию групп с операторами, а также теорию расши-
расширений дискретных групп). Наиболее важным случаем, в котором это условие
не выполняется, является теория Морса.
В случае расслоенного пространства Е со слоем F и базой В группа А
представляет собой группу цепей** пространства Е, группа R — группу
цепей слоя F, а группа S — группу цепей базы В. Кроме того, естественные
гомоморфизмы #->Л->5 суть' гомоморфизмы, индуцируемые непрерыв-
непрерывными отображениями F -ХЕ-> В.
• 3. Трансгрессия и надстройка
Группа A/R.
Рассмотрим снова естественный гомоморфизм
л : А™ = С™ -+ С?°/(С?-Ы + ЩЛ) = Sp.
• Имеем d(AP>o) = d(PA) С Р-1Д С АР, так что Арл c-dri(AP~1) и потому
Срл= Арл п (ГЦ АР-1) = Арл= РА. Таким образом, ?^°= Sp есть некоторая фак-
факторгруппа группы РА, и определено естественное гомоморфное отображение п^: РА -*¦ Sp.
После перехода к прямой сумме получаем однородный гомоморфизм п: А -> S- В каждой
из градуированных групп А = ?пА, S = ^Sn действует однородный дифференциал сте-
п п
пени —1 :. d: A -> A, d1: S-*¦ S, причём гомоморфизм п «коммутирует» с дифференциа-
дифференциалами (di о п = п о d), т. е. является допустимым. Следовательно, п индуцирует одно»
родный гомоморфизм я»: Н(А) -*¦ H(S). — Прим. ред.
** См. примечание 5 в конце статьи, г— Прим. ред.
2 Расслоенные пространства

18 ' Ж.-П. СЕРР
Если р з» 1, то это отображение переводит* группу Rp = А0>р в С%~1Л и опре-
определяет, следовательно, после факторизации гомоморфизм
я': ЛР-°/А°'р->5р.
Кроме того, если р s= 2, то гомоморфизм п' коммутирует с границей** и
потому определяет гомоморфизм
Далее***, Hp{AjR) = СР'«/(С°-Р + В?-°) и HP(S) = (^«/(СГ1'1 + Щл). Отсюда
следует, что ядро гомоморфизма**** п'т совпадает с образом естественного
отображения***** С%2\л-+ HP(A/R), а образ гомоморфизма п'# совпадаете
с^кс™ п (сгы + в?0)) = c™/(c$z{* + вр-°) = щ*.
Все это можно резюмировать, сказав, что последовательность
-> HP(A/R) -> ?5-о -* 0
• Это утверждение ошибочно. Должно быть: при р з= 1 имеет место включение
А°'р С С^1'1 С Со'1 + ?о'°5 следовательно, после факторизации получаем гомомор-
гомоморфизм
я': ЛР'°М°'Р -* СР1-°1(СРО-1Л+ BPO'°)=SP .
— Прим. ред.
•• Легко видеть, что d(AV>o) С А**-1>о, й(А«'Р) С Ао»р-1, благодаря чему мы полу-
получаем после перехода к факторгруппам гомоморфизм
d': ДР.о/до.Р -> др-1,о/до,р-1.
Этот гомоморфизм определяет в группе
'Z pA/Rp = 2 АРА/А**
Р Р
однородный дифференциал (степени —1) Обозначим этот дифференциал снова через й';
тогда имеет место соотношение тс' о d' = dx о ж', где dx — дифференциал в группе S; это
соотношение («перестановочность гомоморфизма л' с границей») вытекает из того, что
оба гомоморфизма d', dx определяются по представителям, исходя из дифференциала d
группы А. Условие рз>2 необходимо потому, что гомоморфизм л' определен лишь при
р > 1 н, следовательно, композиция ж' о d' определена при р з= 2. — Прим. ред.
••• Применяя алгебраическое предложение, приведенное в примечании**** на стр.
12, находим, что ядро гомоморфизма d': AVtOlA.°'v -*¦ Av~i<oJA°'p~1 имеет вид
) n ар>°Iа°-р = с^1ао-р,
а образ гомоморфизма d': ДР+1.о/до,р+1 _>. др,о/до,р имеет внд
(d(Av+M) + A°<p)lA°>p= (#• +
Взяв факторгруппу этого ядра по образу, найдем
Группа же Hp(S) совпадает, по определению, с группой
Ер-° = d'0/(C?-la+ B?'°).
— Прим. ред.
•••• Для нахождения ядра и образа гомоморфизма п'„ удобно пользоваться (помимо
алгебраического предложения из примечания**** на стр. 12) следующей интерпретацией
этого гомоморфизма. Легко проверяемые при р > 2 включения Ср'° С Сг'° н Со'Р +
+ Вр'° С Ср~1>г + Вр'° позволяют определить естественный гомоморфизм
который н совпадает с п'л при указанной интерпретации групп HP(A/R) н Hp(S).
— Прим. ред.
**••• Имеется в виду гомоморфизм, являющийся композицией двух следующих отоб-
отображений: гомоморфизма вложения CpZ\a С Ср'° и естественного гомоморфизма
Ср» -> СР.'О/(СО°'Р + В?>в) - Нр(А/Я). - Прш,. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
19
точная* и что композиция гомоморфизмов HP(A/R)
совпадает с я'т.
Диаграмма.
Рассмотрим нижеследующую диаграмму (I):
О
Е\л = HP(S)
(I)
О — ^?&°
О
0
0
Столбцы и строки диаграммы (I) представляют собой точные последо-
последовательности**; кроме того, эта диаграмма коммутативна***, так как все отоб-
отображения, которые в ней фигурируют, определяются либо при помощи соот-
соотношений включения в А, либо при помощи факторизации с помощью диф-
дифференциала d группы А. Наконец отображения А и ц, отмеченные на диа-
диаграмме, мономорфны.
Трансгрессия.
Рассмотрим два гомоморфизма
р =*¦- HP(S) (р з= 2).
Обозначим ядра гомоморфизмов 3 и л* соответственно через L и М, а образы
этих гомоморфизмов — через V и М'.
Пусть х е М'; выберем такой элемент у, что я/(у) = х, и рассмотрим
3(у). Этот элемент принадлежит группе H^^R) и описывает, если у ме-
меняется, некоторый смежный класс по подгруппе 3(М). При факторизации
получаем естественный гомоморфизм, называемый трансгрессией,
Элементы подгруппы М' называются трансгрессивными элементами группы
HP(S); цикл из S, класс гомологии которого трансгрессивен, называется
трансгрессивным циклом.
Переводя определение подгруппы М' на язык цепей, находим, что для
трансгресси"вности цикла xeSp необходимо и достаточно существование
элемента ае А, удовлетворяющего соотношениям**** л(а) = х, daeRp_v
* См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.
** Точность верхней строки непосредственно вытекает нз определения групп С^о'1,
С^1\Л,Вр'Е^г(см. формулы в примечании****** на стр. 11). Вторая строка представляет собой
отрезок точной гомологической последовательности пары групп (A, R) (см. примечание
Зв конце статьи; дифференциал d, действующий в группе А, имеет степень s =—1). Точность
третьей строки, так же как и столбцов первого, третьего и четвертого, фактически была
установлена выше при рассмотрении дифференциальных групп R и S (стр. 16, 17;
см. также формулы для ядра и образа гомоморфизма й„ на стр. 12). Наконец, точность
второго столбца была установлена на странице 18. — Прим. ред.
**• Это означает, что если мы перейдем от одной группы, участвующей в диаграмме,
к другой, двигаясь (в направлениях, указанных стрелками) по двум различным путям,
то композиции гомоморфизмов, соответствующих проходимым стрелкам, для обоих путей
одинаковы. — Прим. ред.
**** Если цикл х € Sp трансгрессивен, то существует такой цикл у € Ар>'/А0'Р, что
разность я'(у) — х гомологична нулю: я'(у) — х = d^u), utSp+1. Взяв элемент
2* - 5/0

20 Ж-П..СЕРР
Предложение 2. Группы М' и Нр_^)/д(М) естественно изоморфны
группам Е^° и Е^р~г. При этих изоморфизмах трансгрессия Т: М' -+
-*- Hp-i(R)ld(M) переходит в дифференциал dp : Ер° -+ Е^р-\
Этот результат сразу следует* из диаграммы (I).
Надстройка.
Вполне аналогичным способом мы можем определить гомоморфизм
подгруппы L' с Hp-^R) в Hp(S)/n'm(L). Этот гомоморфизм мы будем назы-
называть надстройкой и обозначать через ?; заметим, что он повышает степени
на единицу.
Наиболее важным для дальнейшего является случай, когда НР(А) =
— Нр_г(А) = 0. В этом случае** имеем L' = H^^R), л'*(Ь) = 0, а надстройка
представляет собой гомоморфизм группы H^^R) в HP(S), равный я* о б.
При этом диаграмма (I) превращается в следующую коммутативную диаг-
диаграмму:
*** \^ Т' со
В этой диаграмме dv есть изоморфизм***, Е%Л -> Hp(S) — мономорфизм,
имеющий тот же образ, что и 2, а отображение Яр_х(/?) -> Е^р~г является
эпиморфизмом и имеет то же ядро, что и 2.
Замечание. Как было указано во введении, понятия трансгрессии
и надстройки были введены соответственно (в частных проблемах) Чженем —
Хиршем — Косулом и Эйленбергом — Маклейном. Предложение 2 принад-
принадлежит Косулу ([74], две последние строки).
v € Ар+1.о/До,р+1, удовлетворяющий условию п' (v) = и, иайдем (см примечание** на стр.
18): ж'(у) — х = diojr'(v) = 7i'od'(v) или л'(у — d'(v)) = x. Если теперь а — такой эле-
элемент группы АР>о, который при естественном гомоморфизме ДР.о_> др,о/до.р переходит
в цикл у — d'{v), то, как легко видеть, я(а) = х и da € А°>р~1 = i?j,_i. Таким образом,
сформулированное условие необходимо; достаточность очевидна. — Прим. ред.
* Приведем доказательство. Гомоморфизмы, помеченные на диаграмме цифрами
1, 2, 3, 4, обозначим через flt /,, /3, /4. Мы имеем п'ч = pofc так как, кроме того, /а есть
эпиморфизм, а fi— мономорфизм, то М =' я' (H_(A/i?))= р(Ёр'°), и р есть изоморфизм
групп ?р'° и М'. Далее, покажем, что группа Ер 1 изоморфна Нр-^К)/д(М). Для этого
достаточно установить, что ядро N эпиморфизма /4 совпадает с д(М). Действительно, если
х е 9(М), то существует такой элемент уъМ С HAAjR), что х = Э(у). Следовательно,
в силу коммутативности диаграммы, /4(х) = /«оЭОО = av°fi(y) =<W) = °- Таким об-
образом, х е N, т. е. 9(М) С N. Обратно, если х € N, то /4(х) = Ъ, и в силу точности существует
такой элемент и е BpI^T1» что /»(") = х- Так как <* есть эпиморфизм, то существует эле-
элемент v e CpZj'1, удовлетворяющий условию d(v) = «. Наконец положим у = /,(v). Тогда
в силу точности имеем я' (у) = /u°/i(y) = ft°fi°ft(v) = 0, т. е. у е М. Кроме того, х =ч
= /,od(v) = 9o/,(v) = a(y)ea(M). Таким образом, NC9(M)- Итак, N = Э(М), т. е.
эпиморфизм /4 определяет естественный изоморфизм /4 групп Hj,_i(i?)/9(M) и Е$'р~1.
Наконец, если z € М', то T(z) есть элемент группы HJ,_1(i?)/9(M), определяемый предста-
представителем 9(у), где у е НР(А/Я) удовлетворяет условию п'ч (у) = г. Следовательно, Jt°T(z) —
= /4°9(у) = dpo]x (у) = йрор-1оп,'л (у) = d^o^-^z). Полученное соотношение /4оТ =
= dpo/«-1 н означает, что прн естественных изоморфизмах ft: Hp-^(R)ld{M) -> Ё$>'Р~К
/Г1: М' -> Ер'° трансгрессия Тпереходит в дифференциал dp : Ер'° -*¦ j^'". — Прим. ред.
•• В точной последовательности 0 -*• А—^—>-В->0, в которой две крайние группы
тривиальны, отображение / является изоморфизмом. Из этого простого (но часто применяе-
применяемого) замечания вытекает (см. вторую строку диаграммы I), что 9 есть изоморфизм групп
Hp(AlR) и Hp-^iR). Следовательно, V — HV_X{R), L = 0. — Прим. ред.
••• Из первого и четвертого столбцов диаграммы (I) вытекает (в силу предположения
Нр(А) = Нр^{А) = 0) тривиальность групп ?§э° и E%?~\ Поэтому (см. предыдущее
примечание) dp есть изоморфизм групп Ер'° и Ер'р~г- — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 21
4. Точная последовательность
Предположения.
Пусть /, /, г — три натуральных числа, i < /.
Предположим, что для всякого п, удовлетворяющего неравенствам f=sл=?/,
выполнено условие: Еря = 0 для всякой пары (р, q), у которой р + q = л,
за исключением двух каких-нибудь пар (ап, Ь„) и (cn) dn). Для уменьшения
числа индексов условимся через пЕ'а (соответственно п?«) обозначать член
ЕРЛ, соответствующий значениям р = a^ q = Ьп (соответственно р = сп,
q = dn). Тогда в Ег содержатся только два члена полной степени п, которые
могут быть отличны от нуля: пЕ'г и пЕ"г. Мы будем предполагать, что ап < сп.
Наконец мы делаем два следующих предположения*:
i «s п =ss /;
cr —
Ef'q =
o,
o,
если
если
P-\
PJ
Vq = n —
\-q = n +
1,
1,
p>
an
—
+
r
r
и
и
Предложение 3. Ярц сделанных предположениях имеем точную
последовательность
• 'Б; -* Я3( Л) -*'?;-* *-i?; _>..._> *?; -> tf.(Л) -+ *?;.
Доказательство. Рассмотрим сначала возрастающую последова-
последовательность подгрупп группы Нп(А), образованную группами** йРЛ (p+q = п).
Мы знаем, что йРл1йр-1л+1 = Eh9. Предположим, что i =s n *s /; тогда,
если рфап и рфсю то по предположению имеем ??>в = 0, откуда***
Щ? — 0- Получаем, следовательно, точную последовательность****
Найдем п?^,; для этого заметим, что дифференциал da равен нулю на
"Eg (s s= г), ибо он отображает эту группу в группу Е%Л, где р = а„ — s,
<7=йи + $— 1, а последняя группа, согласно сделанным предположениям,
тривиальна*****. Отсюда следует, что "Е^, получается изпЕг факторизацией
по подгруппе******, образованной элементами, которые являются границами
относительно дифференциалов da. Точно так же никакой отличный от нуля
элемент группы пЕ"а не является границей относительно ds (s з= г), и потому
"Е^, есть подгруппа******* группы ПЕ1, образованная элементами, которые
• См. примечание 6 в конце статьи. — Прим. ред.
** См. стр. 15. — Прим. ред.
•*• См. конец примечания***** на стр. 15. — Прим. ред.
•••• Из упомянутых выше фактов следует, что последовательность групп Dp'n~p
имеет прн i «s п =s / вид
О = ... = О С D°- ь- = ... = X)<v-V*.+i c Dc*. d, = = Dn,o = нп(д)(
н потому п?^, = D°»' ь" С Нп{А), пЕ"оо ~ Dc" ^/D6»' d"+1 = Нп (А)/п?«- Отсюда и
получаем написанную точную последовательность. — Прим. ред.
***** Согласно сделанным предположениям, ' группа E?"~s' bn+s~1 прн s s= r триви-
тривиальна. Отсюда вытекает (см. конец примечания***** на стр. 15), что н группа ?f"~e> ь"+в~1
при s s= г тривиальна. — Прим. ред.
****** Все элемевты группы пЕ'а (s s= r) являются циклами относительно дифферен-
дифференциала da и потому nE's+1 получается из nE's факторизацией по некоторой подгруппе
(а именно, подгруппе, образованной элементами, которые нвлнются границами относи-
относительно дифференциала ds). Таким образом, получаем последовательность эпиморфизмов
lip'
+1
показывающую, что "Е^п&лучается нзп?^с помощью ряда последовательных факториза-
факторизации, которые можно заменить одной факторизацией. — Прим. ред.
******* Так как подгруппа nE"s |~| ds(?g) тривиальна, то пЕ"а+1 совпадает с подгруппой
тех элементов группы пЕ\, которые являются циклами относительно дифференциала йв.

22 Ж.-П. cepp
являются циклами относительно дифференциалов ds. Следовательно, можно
написать точную последовательность*
Найдем ядро первого гомоморфизма. Мы видели, что этим ядром явля-
является подгруппа, состоящая из элементов, которые являются границами
относительно одного из дифференциалов ds(s з= г). Предположим, что
i «s n =s /— 1; тогда в Е8 имеются только два члена полной степени п + \,
которые могут быть отличны от нуля: n+1E't и n+1E"s. Кроме того, мы уже
видели, что все элементы группы п+1Е'а являются dg-циклами. Отсюда**
следует, что существует самое большее один ненулевой дифференциал***
da, а именно тот, который отображает n+1E"s в пЕ'а и, следовательно, соот-
соответствует значению s = сп+1 — а„. Таким образом, имеем точную последо-
последовательность****
п^е; -> «е; -> нп (A) (i-sn-s/-i).
Так же устанавливается точная последовательность
Отсюда получаем последовательность мономорфизмов
"с" "с" "с'
too > • • • *" tLr+1 *¦ tr,
показывающую, что п?оо можно рассматривать как подгруппу группы "??. — Прим. ред.
* Так как "??» получается из пЕ'г факторизацией1, то имеем естественный эпиморфизм
пЕ'г -> пЕ'оо, который в композиции с вложением пЕ'оо С. Нп(А) дает гомоморфизм
пЕ'Т -> Нп(А). Образ этого гомоморфизма равен пЕ'оо. Далее, естественный гомоморфизм
Нп(А)-+ Нп(А)/п?то =п?со в композиции с вложением пЕ"оо С пЕ"г дает гомоморфизм
Нп(А) -*¦ nEZ, ядро которого равно п?оо- Таким образом, написанная последовательность
точная. — Прим. ред.
** И нз того обстоятельства, что никакой отличный от нуля элемент группы пЕ
не является границей относительно дифференциала ds. — Прим. ред.
*** Среди дифференциалов da : ??'в -*- E^~s>q+S~1 , где р + q = п + 1, i^n«s/—1.
— Прим. ред.
*¦*• Предположим, что число s удовлетворяет условиям s&r, s Ф сп+1 — ап. Тогда
ds(n+1??) = 0, т. е. все элементы группы п+1Щ являются циклами. Так как, кроме того,
в этой группе нет отличных от нуля границ (относительно дифференциала ds), то полу-
получаем естественный изоморфизм e? : n+1?g -> n+1E"s+,. Аналогично находится (при тех же
условиях) естественный изоморфизм е'&:пЕ'в-^>-пЕв+1.
При выполненни условий а = Сп+1—пп ?=¦ г имеем естественный эпиморфизм
/„•: nE'a--*-nE'o.+1=nE'Jdo(n+1E"o.). Ядро этого эпиморфизма, очевидно, равно й„(п+1?У-
Таким образом, прн г == а имеем последовательность эпиморфизмов
(q достаточно велико). Поэтому ядро сквозного гомоморфизма ПЕ'Т -> ПЕ'ОО (илн, что то
же самое, ядро гомоморфизма ПЕ'Т-*- НП(А), указанного в примечании* на этой стра-
странице), равно
(ф-1 о (?;+1)-iо ... о (е'^)-1 о
Следовательно, это ядро совпадает с образом гомоморфизма п+1Е?-> ПЕ'Т, являющегося
композицией следующих гомоморфизмов:
(этот гомоморфизм можно условно обозначить через dg). Итак, имеем точную последова-
последовательность
П+1Е"Т -* ПЕ'Г -> Нп(A) (i «s n =s / — 1), (*)
указанную автором (еще раз отметнм, что гомоморфизм П+1Е"Т -*¦ ПЕ'Т в этой последователь-
последовательности «совпадает» с d^, а не с dr\ этот же гомоморфизм применяется и в следующей точ-
точной последовательности, указанной автором; убедиться в ее точности предоставляем
читателю).
Мы рассмотрели случай г^сг. При г > а последовательность (*) остается точной,
так как и образ первого гомоморфизма, и ядро второго тривиальны. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 23
Комбинируя различные точные последовательности, которые мы получили,
находим искомый результат.
Следствие. Предположим, что для всякого пз»0 имеем Е%Л = 0
при p + q = nup9^an- Предположим, кроме того, что ап < ап-х + г для
всех п з= 0. Тогда для всякого п з& 0 имеем Нп(А) = ЕаТп< Ъп.
Достаточно положить сп = ап+ 1, йп — Ъп—\, i = 0, / = + °° и при-
применить доказанное предложение*.
Замечание. Предложение 3 обычно используется для получения
точной последовательности с помощью спектральной последовательности.
Примеры этому имеются в гл. III.
5. Спектральная последовательность. Случай убывающей фильтрации**
Это — классический случай, относительно которого мы отсылаем чита-
читателя к работам [74] или [83]. Резюмируем кратко основные факты.
Дифференциальная градуированная группа с убывающей фильтрацией.
Пусть (А*, й) — градуированная группа, снабженная дифференциалом
d степени + 1. Говорят, что подгруппы А*р (р — произвольное целое число)
определяют на А* убывающую фильтрацию, если выполнены следующие
условия:
1. ПР А*р = 0, А*р+1 С Д*р, d(A*p) С Д*р,
2. Каждая подгруппа А*р является прямой суммой своих однородных
компонент***.
3. Если х # 0 — однородный элемент, то 0 < w(x) =s deg x. (Через w(x)
обозначается верхняя грань таких целых чисел р, что х е А*р.) Из условия 3
следует****, что А*0 = А*.
Спектральная последовательность.
Определим, как в п. 2, группы***** A*™, C}p-q, C^-q, B*r™, B*?«,
D*p<q, Elp'9. Например, группа С*р>9 состоит из тех однородных элементов
х е А*р степени р + q, для которых dx e А*р+Г. Имеем:
Е?Л = С*РЛ1(С?1г'м + B*rRf) (г = 0, 1, ... , оо);
?*Р>« = ?)*р.«/?)*р+ 1.8-1.
0 = D*n+1> -1 С D*n'° С ... С D*1'71-1 С Z)*0>n = Нп(А*).
Дифференциал dr, получаемый, как в п. 1, при факторизации, отображает
группу Е*РЛ в E*p+r'q~r+1; его степенные свойства противоположны тем,
* При этом мы будем иметь пЕ'г= ??"' (где Ьп= п— ап), пЕ"г=0. Таким образом,
в точной последовательности предложения 3 каждый третий член тривиален, и потому
оставшиеся члены попарно изоморфны. — Прим. ред.
** Этот случай применяется при рассмотрении когомологий (см. примечание 7 в
конце статьи), что и отмечено у автора в заглавии; при переводе заглавие этого пункта изме-
изменено. — Прим. ред.
**• То есть каждая подгруппа Л*р однородна. — Прим. ред.
•**• Это утверждение нечетко: для справедливости соотношения Л*° = А* нужно
еще потребовать, чтобы функция w(x) была определена для каждого однородного эле-
элемента, т. е. чтобы было выполнено равенство UpA*P= А*. — Прим. ред.
*•••• ,д*1'>«= А*р Пр+в А»;
С*р.« = Д*р.« П d-\A»P+r); В*р>« = А*р-« П d(A*v-*);
C*JP,i = А*р.« П d.-\0); В*,р.« = А*р>« П d(A);
группа ?>*Р'« определяется как совокупность всех тех классов гомологии Х?Н(А*),
которые имеют представителей в группе А*р>«. Группа ?*р.0 определена в тексте. Отме-
Отметим, что при q < 0 группа А*р.« тривиальна. — Прим. ред.

24 Ж.-п. серр
которые даны в п. 2. Имеем далее, Н(Е*) = ?*+1. Последовательность групп
(??) называется спектральной последовательностью гомологии группы А*.
Дифференциальные группы R* и S*.
Положим R* = А*/А*\ S* = Щ»-0, S* = 2 S;. Результаты пп. 2 и
р
3 переносятся тогда без труда: имеем допустимые естественные гомоморфизмы
S*^>-A*-+R*, которые в свою вчередь индуцируют гомоморфизмы*
HP(S*) -* Н»(А*) ->¦ H»(R*); трансгрессия** dp : Е*0^1 ->¦ ?Р».° отобра-
отображает некоторую подгруппу группы Я"-^/?*) в факторгруппу группы HP(S*)
для /? з» 2; она также может быть получена при помощи факторизации из
гомоморфизмов
для того чтобы цикл х G R* размерности р — 1 был трансгрессивным (т. е.
для того, чтобы его класс гомологии принадлежал группе*** Ер0'"), необхо-
необходимо и достаточно существование элемента а е А*, переходящего в х при
гомоморфизме А* -*¦ R* и удовлетворяющего соотношению da e SJ.
* Никакой элемент группы ?*о,а, г&.1, не является границей для дифференциала
dr. Поэтому имеем последовательность мономорфизмов
Получаем гомоморфизмы Н%А*) -> ?2oO,e-> H<i(R*), из которых первый является эпи-
эпиморфизмом, а второй — мономорфизмом. Композиция их представляет собой гомоморфизм
НЦА*) -*¦ НЦЙ*), индуцированный естественным отображением А* -»¦ А*/А*1 = R*.
Далее, имеем последовательность эпиморфизмов
() ? з г ^ С Нр( А*)
ибо при г г» 2 все элементы группы ?*р>0 являются циклами относительно дифференциала
dr). Получаем гомоморфизмы Hp(S*)-»-?to'0-»-Hp(a*), первый из которых является
эпиморфизмом, а второй — мономорфизмом. Композиция п*: HP(S*)-+Н*>(А*) этих
гомоморфизмов может быть описана следующим образом. Легко видеть, что СоР+1>—1 +
+ Bjp'° = 0, и потому Е\РЛ f«clP>0 С А*р>0. Это дает мономорфизм S*^> А*, который
и индуцирует указанный выше гомоморфизм Hp(S*) -»¦ НЦА"). — Прим. ред.
•* Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму, в которой строки и столбцы
представляют собой точные последовательности, а отображения Л и ц эпиморфны:
Нр(А») < НР(Ат1) -Д- НР-ЦЯ*) <— НР-ЦА*)
!
р*о,Р-1 ^ л
(I*)
0 №(S*) 0 0 0
Верхняя строка представляет собой. гомологическую последовательность тройки
(¦A*1, A*, R*); д—ее граничный оператор; заметим, что граничный оператор d имеет степень
+ 1, в связи с чем индексы пишутся сверху.
Обозначим через М образ гомоморфизма uo^:№>(S*) -»¦ НЦА*1), а через М' —
ядро гомоморфизма я*. Тогда, если х е д-^М) С Нр-ЦН*), то существует элемент
у € Hp{S*), удовлетворяющий условию я*(у) = Ь\х), причем у определен с точностью до
слагаемого, принадлежащего подгруппе М'. Таким -образом, определяется гомоморфизм
Т: д~г(М) -*¦ HP(S*)/M', называемый трансгрессией. Из рассмотрения диаграммы (I*)
вытекает следующее предложение:
Группы д-х{М) и HP(S*)/M' естественно изоморфны группам е?°'р"~1 и.Е%р'°.При.
этих естественных изоморфизмах трансгрессияТпереходит в дифференциал йр: Ер0'1*-*-
-*Я;р.о. _ Прим. ред.
*** Точнее, группе й—1(Л1), определенной в предыдущем примечании. — Прим. ред-

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 25
Пример.
Пусть А — дифференциальная градуированная группа с возрастающей
фильтрацией, удовлетворяющая условию (Ф). Положим* М* = Нот (М, G),
где G — произвольная абелева группа. Группа А* = ?ПА* градуирована
• п
(при помощи групп ПА*) и может быть снабжена дифференциалом й, получа-
получающимся из дифференциала группы А.
Если через Ар обозначаются подгруппы, определяющие фильтрацию в
А, то А*р определим как аннулятор группы Ар~г. Свойства 1, 2, 3 легко
проверяются**.
Мультипликативное строение.
Предположим, что в группе А* определено умножение, превращающее
ее в кольцо со следующими свойствами: .
(a) Если х и у — однородные элементы степеней р и q, то х«у есть
однородный элемент степени р + q, причем d(x • у) = dx • у + (— 1)р* • dy (в
этом случае говорят, что d есть антидифференцирование в А*).
(b) А*'- А*-с A*i+j.
Тогда непосредственно видно, что в группах Е* можно определить***
такое>)умножение, что E^q-E*p>'q/аЕ*р+р'-9+я', причем дифференциалы dr
будут в Е* антидифференцированиями (для полной степени).
Если кольцо А* ассоциативно (соответственно обладает единичным
элементом), то зто же верно и для Е*.
Точная последовательность.
Результаты п. 4 также переносятся безвсяких затруднений. Предполо-
Предположения, которые следует сделать, остаются теми же самыми с заменой групп
ЕРЛ группами Е*р'9. Мы продолжаем обозначать через пЕ*' (соответственно
пЕ*") член Е*м, соответствующий значениям р = ап, q = bn (соответственно
р = сп, q = dn). Тогда получаем* **•
• См. примечание 7 в конце статьи. — Прим. ред.
*• См. примечание 8 в конце статьи. — Прим. ред.
*•• Если х е С*м, у € Ctm'n, то х.у С А*м. A*m'n с А*р+т- q+n; кроме того,
«tee A*p+r, dy 6 А*™+«, и потому й{х-у) = dx-y + (— 1)р+в х . dy € А*р+Г ¦ А*т +
+ А*р • A'm+S С А*т+Р+', где г = min (r, s). Таким образом, х-у с A*p+tn'e+n П
П <T1(A*m+p+t), или С?м • С*-" с Срт> «+п.
Пусть теперь g: C*rv'q ^ E*rp'q, g' :C*rp>>ql ^ Е}™ ,g"':C*rp+p>'q+q' ^ E*p^q/ -
естественные гомоморфизмы. Выберем произвольно элементы xeC*p'q, yeC*p'>e'. Тогда
х-убС*р'в#С*р/'в' cCrp+p>e+e'. Это дает возможность определить в Е* умножение:
&(Х)'&(У) — &"(Х'У)- Для доказательства корректности этого определения следует
установить, что из условия g(x) = g(x') следует равенство |"(х• у) = g"(x'-у) (ианалогич-
(ианалогично для замены элемента у). Мы имеем х — х' eC*-i1>q + B*-?i9, откуда (учитывая
формулу da-b = d(a-b)±a-db) получаем
уу f^ $y rn + (ti)c!p''q С
с c?pi р'^-в+в'-1 + d(c;fr+i'e+r-2 .c;p'-e') + c;v+1>e+r~2-d(c;p'>e') с
_ r*p+p'+l, g+8'—1 , n*P+P', fl+fl' i /-.*P-r+l, g+r-2 /-,*p'+r,g'-r+l
Так как последняя подгруппа является ядром гомоморфизма g", то g"{x-y) — g"{x'-y) = 0.
— Прим. ред.
**•• При сделанных предположениях существует лишь один дифференциал de: E*p>9-»-
-*¦ Etp+"'q~s+1 (где р + q = n, i =s n < /), который может быть отличен от нуля, а именно
дифференциал da- ¦ п??'-*-п+1?*", <г = сп+1 — ап. При ss»r и s^tr имеются естествен-

26 Ж.-П. СЕРР
Предложение 3'. При указанных условиях имеем точную последо-
последовательность:
*е* • ч- w (л*) *- '"?;* ч- '-*?;' ч-... ч- *?; • ч- н*( а«) ч- *?•".
6. Спектральная последовательность, связанная с универсальным
накрытием пространства
Пусть X — линейно связное, локально линейно связное и локально
односвязное пространство*; определим обычным образом (см., например,
[107], § 50) его универсальное накрытие Т. Мы напомним несколько соотно-
соотношений (принадлежащих Лерэ и Картану [54, 60, 64]), существующих
между гомологиями пространств X и Г и гомологиями фундаментальной
группы П пространства X.
Определение универсального накрытия. Напомним кратко это определе-
определение: пусть е 6 X — фиксированная точка и Г — множество гомотопических
классов путей, выходящих из е. Пусть q е Г и h — путь класса q; пусть
U — окрестность конца Ь пути Л; обозначим через Vv множество классов
тех путей, которые получаются из Л умножением (справа) на путь, исхо-
исходящий из Ь и содержащийся в U; множества Vv образуют по определению
фундаментальную систему окрестностей точки q e Т. Легко проверяется,
что множество Т, снабженное этой топологией, линейно связно, локально
линейно связно, локально односвязно и односвязно. Если каждой точке
q б Г поставим в соответствие общий конец Ь путей класса q, то получим
таким образом непрерывное отображение р:Т -* X, называемое проекцией
пространства Т на X. Эта проекция является локальным гомеоморфизмом
и определяет, как известно, изоморфизм гомотопической группы** nt(T) на
гомотопическую группу щ(Х) (i = 2, 3, ... ).
Операторы, определенные группой П в Т.
Будем рассматривать П' как группу классов петель в точке е; тогда
группа П естественно действует в Г; всякий отличный от единицы элемент
группы П определяет гомеоморфное отображение пространства Г на себя***,
ные изоморфизмы (ср. примечание**** на стр. 22) e's:"??'"* n?*+i, el: n+1E*" -*-n+1Ej'\
Если выполнено условие г =s а, то можно написать последовательность гомоморфизмов
композиция которых и представляет собой гомоморфизм п+1?*" -<-"?*', i ==s n < /,
участвующий в точной последовательности предложения 3'. При г > а этот гомоморфизм
тривиален. — Прим. ред.
, * Пространство называется линейно связным, если любые две его точки могут быть
соединены в нем путем. Пространство локально линейно связно, если, каковы бы ни были
точка х и ее окрестность U, существует такая окрестность V С U точки х, что любые
две точки окрестности V соединимы в U путем. Наконец, пространство локально односвязно,
если, каковы бы нн были точка х и ее окрестность U, существует такая окрестность V С О
точки х, что любой замкнутый путь, расположенный в V, может быть внутри окрестности
U стянут в точку. — Прим. ред.
*• О гомотопических группах (и фундаментальной группе) см. [143], § 15 или [10].
— Прим. ред.
*** Пусть аеЯ, </бГ, а^иЛ — пути, принадлежащие классам к н q соответственно.
Тогда путь х начинается и кончается в точке е, а путь ft начинается в точке е, так что
определен путь xft («произведенне> путей % н Л). Гомотопический класс пути %h однозначно
определяется классами и и q, и, следовательно, мы можем обозначить класс пути ^Л через
а(</). Получаемое таким образом отображение а: Т -> Г гомеоморфно и удовлетворяет,
очевидно, условию р(а (q)) = p(q). Отображение П хТ -> Т, определяемое соответствием
(a, q) -> «(</), задает Я как группу преобразований пространства Т. (При обычном умноже-
умножении в группе Я она оказывается группой левых преобразований пространства Т, прн
обратном же определении произведения, которое автор принимает в гл. IV, группа Я
действует в Г справа.) — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 27
не имеющее неподвижных, точек. Отсюда следует, что группа П действует
в. сингулярном комплексе* пространства Г и, следовательно, в сингулярных
группах гомологии и когомологий пространства Г. Далее, всякий сингулярный
симплекс пространства X является образом при проекции р некоторого
сингулярного симплекса пространства Г, который определен с точностью
до операции группы П. Иначе говоря (см. обозначения сборника [60]):
Сингулярный комплекс К(Т) пространства Т является П-свободным**, а
комплекс К(Т)п изоморфен К(Х). (Напомним, что К(Т)п по определению
получается из К(Т) при факторизации с помощью соотношения эквивалент-
эквивалентности, определяемого в нем группой П.)
Спектральная последовательность.
Сказанное выше позволяет применить результаты работы [60], Сообще-
Сообщение XII. Таким образом получаем
Предложение 4. Пусть X — линейно связное, локально линейно
связное и локально односвязное пространство, П = ^(Х), Г — универсальное
накрывающее пространство для X, G — абелева группа. Существует спектраль-
спектральная последовательность гомологии (Ег), для которой Щл = НР(П, Hq (Т, G)),
а предельная группа изоморфна градуированной группе, ассоциированной
с группой ЩХ, G), снабженной надлежащей фильтрацией***:
Аналогичная последовательность существует для когомологий.
(Яр(Я, Hq(T, G)) означает р-ю группу гомологии группы П в смысле
Хопфа—ЭЙленберга—Маклейна—Экмана со значениями в q-й группе
сингулярных гомологии Hq(T, G), в которой, как указано выше, естественно
действует группа П.)
Следствие 1. Если П представляет собой группу Z целых чисел
и если она тривиально действует в группе Нг(Т, к) для всех i (к — некоторое
поле), то группа Я,-(Х, к) изоморфна прямой сумме групп Ht(T, к) и Я{_х(Т, к).
Если П — Z тривиально действует в абелевоЙ группе G, то известно,
что Н^П, G) = Н^П, G) = G и Нг(П, G) = 0 для i s= 2 (эти группы, со-
согласно теореме Гуревича [39], изоморфны группам гомологии окружности****).
В члене ?2 спектральной последовательности, указанной в предложении
4, фильтрующая степень р может принимать только значения 0 и 1, откуда
следует, что дифференциалы йг, da,... равны нулю, ибо они понижают эту
степень соответственно на 2, 3, ... единицы. Таким образом, член Е^ изо-
изоморфен ?2 и допускает (для полной степени i) только два члена:
Н0(П, Ht(T, k)) = Нг{Т, к), и Нг{П, Н^Т, к)) = Н{_г(Т, к).
Так как коэффициенты образуют поле, то группа Я; (X, к) изоморфна (изо-
(изоморфизм не является естественным) своей ассоциированной градуированной
группе*****, откуда и следует сформулированный результат.
Следствие 2. Предположим, что П — группа конечного порядка,
тривиально действующая в группе Ht(T, k) для всех i (к — некоторое поле,
характеристика которого не является делителем порядка группы П). Тогда
Н((Х, к) = Нг(Т, к).
* См. примечание 9 в конце статьи. — Прим. ред.
•• См. примечание 10 в конце статьи. — Прим. ред.
••• См. примечание 11 в конце статьи. — Прим. ред.
**•• Пусть X — окружность, Т — ее универсальная накрывающая. Тогда сингуляр-
сингулярный комплекс К(Т) янляется свободным ациклическим Я-комплексом (так как группа
П = щ(Х) коммутативна, то можно не различать ее левые и правые действия). Следо-
вательяо, Hg(G®K(T))= Нд(П, G). Так как группа Я тривиально действует в G, то
0®К(Т) = G®K(T)n = G®K(X). Таким образом, Н„{П, О) = Н„(О® К(Х)) =
Л Z Z Z
= HJX, G). Отсюда и следует сформулированный результат. — Прим. ред.
***** Ибо обе группы являются векторными пространствами (над к) одной и той же
размерности. — Прим. ред.

28 Ж.-п. cepp
Имеем Н0(П, Н((Т, к)) = Нг(Т, к) и Н^П, Н{(Т, к)) = 0, если />О
(это — хорошо известное следствие «японского гомоморфизма»). Далее при-
применяем следствие из предложения 3*.
Замечание. Здесь приведены только два очень элементарных ре-
результата, которые будут применяться в дальнейшем. Они являются весьма
частными случаями более общих результатов, относительно которых мы
отсылаем читателя к работам [60], Сообщения XI, XII, XIII.
Глава II
сингулярные гомологии и когомологии
РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
1. Сингулярные кубические гомологии
Классическая сингулярная теория** (Эйленберг [188]) использует симп-
симплексы; в этой- главе нам понадобится эквивалентное определение, но исполь-
использующее кубы (очевидно, что зти последние более удобны, чем симплексы,
для изучения прямых произведений и тем более для изучения их обобще-
обобщений — расслоенных пространств).
Перейдем к обзору различных определений и обозначений кубической
теории.
Сингулярные кубы.
Пусть / — сегмент [0, 1], X — топологическое пространство. Тогда
n-мерным сингулярным кубом пространства X называется любое непре-
непрерывное отображение и :/"-»• X, или, что то же самое, непрерывная
функция и(хг,..., х„) @<Xj =s 1) со значениями в X. В частности, куб
размерности 0 есть точка пространства X, ку6 размерности 1 — путь в X.
Ку6 и размерности п называется вырожденным, если его значение не
зависит от хп, т. е. если и (х1,..., хп) — и (Xj,..., х„_1( уп), каковы бы ни были
значения хг>..., xn_j, xn, уп. Например, куб размерности 0 никогда не явля-
является вырожденным; ку6 размерности 1 вырожден в том и только в том случае,
когда он отображает весь сегмент / в одну точку.
Через Qn(X) будем обозначать свободную абелеву группу, допускающую
в качестве базы множество всех л-мерных сингулярных кубов пространства
X, через Dn(X)—подгруппу группы Qn(X), порожденную вырожденными
кубами, через Q(X) (соответственно ЩХ)) — прямую сумму групп Qn(X)
(соответственно Dn(X)).
Граничный оператор.
Пусть и — сингулярный куб размерности п; мы хотим определить некото-
некоторые грани куба и.
Пусть Н — подмножество множества {1,..., п}, содержащее р элементов,
и пусть q = п — р; пусть К — множество, дополнительное для Н, a q>K —
монотонно возрастающее отображение множества К на множество {!,..., я}-
* Аналогичное утверждение верно и для когомологии. Можно доказать также
более общее предложение (Экман [193]; мы ограничиваемся случаем когомологии): если
группа П конечна, то НЦХ, к) ** НЦТ, к)п для любого поля к, характеристика которого
не является делителем порядка группы П. (Достаточно повторить рассуждения автора,
перейдя к когомологиям и воспользовавшись предложением 3 и формулой A) из приме-
примечания 10 в конце статьи.) — Прим. ред.
** См. примечание 9 в конце статьи. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 29
Если е = 0 или 1, то мы определим ^-мерный сингулярный куб Яды, положив
(*к ") (*i, • • • , Xq) = U(yv ... , уп),
где значения уг определяются условиями*:
если i е Н, то у, = е; если i e К, то у4 = хгк^).
Если множество Я состоит из единственного элемента i, то вместо Я^ ы пишем
Ц и. Таким образом,
W ") («1 *n-l) = « (*i Xi-i, О, Х4 , . . . , Xn_!),
(Я? Ы) (Хх, . . . , Xn_J = Ы (Xj, . . . , Х{_г, \, Xif ... , Хп_^.
Далее, границей n-мерного куба и назовем элемент группы Qn-1 (X), опреде-
определенный равенством
Очевидная формула
показывает, что ddu = 0. Кроме того, d отображает Dn(X) в /)„_! (X), так
как, если и — вырожденный куб, то куб Я- и также вырожден при i =^ п — 1,
а Я?ы = Ц,и. Отсюда вытекает, что D(X) является допустимой подгруппой
дифференциальной группы Q(X).
Группы кубических гомологии и когомологий.
Определение. Градуированная дифференциальная группа С(Х) =
= Q(X)/D(X) называется группой сингулярных кубических цепей прост-
пространства X. Ее группы гомологии и когомологий** с коэффициентами в абеле-
вой группе G называются группами кубических гомологии и когомологий
пространства X с коэффициентами в G.
Будем обозначать через С„(Х) группу Qn(X)/Z>n(X); тогда*** С(Х) =
= _2 О,(Х). Абелева группа С(Х) допускает базу, элементы которой взаимно
п
однозначно соответствуют невырожденным л-мерным кУбам пространства
X; эта группа свободна, что позволяет применить к ней классические теоремы
универсальных коэффициентов****.
Мы будем обозначать через Cn(X, G) группу Cn(X) <g) G, т. е. группу п-
мерных***** сингулярных кубических цепей с коэффициентами в G; соответ-
соответствующую группу гомологии будем обозначать через Нп(Х, G).
Через QXXfG) будем обозначать группу Hom(Cn(X), G), т. е. группу
n-мерных кубических коцепей со значениями в G. Каждая такая коцепь
может быть отождествлена с функцией, определенной на n-мерных кубах
пространства X, равной нулю на вырожденных кубах, и имеющей значения
в G. Кограничный оператор будет обозначаться через й; группы когомоло-
когомологий — через Я*>(Х, G).
* Иначе говоря,
№")(*!. • • • - Ха) = Ц...,Х1,...,Х2 Xq, . . .),
где координаты х1г х2, ... , х„ стоят на местах, номера которых принадлежат множеству
К, а на остальных р местах (отмеченных многоточием) стоят е. — Прим. ред.
** См. примечания 2 и 7 в конце статьи. — Прим. ред.
•** Группы С(Х) и ]?сп(Х) не совпадают, но естественно изоморфны (ср. примечание
п
1 в конце статьи). — Прим. ред.
*•*• См. примечание 1 на стр. 159. — Прим. ред.
•**•• Элементы группы Cn(X,G) называются цепями размерности п или степени я;
оба термина (размерность и степень) применяются также и для коцепей. — Прим. ред.

30 . Ж.-П. СЕРР
Умножение коцепей.
Предположим, что G есть кольцо, и пусть /, g — две коцепи пространства
X со значениями в G, имеющие степени р и q соответственно. Пусть u — куб
размерности р + q пространства X; определим (р + ?)-мернУю коцепь / • g,
положив
где Н пробегает множество всех подмножеств множества {1,..., р + q},
состоящих из р элементов, К есть дополнение множества Н, a qhk = (—1)",
причем v — число таких пар (г, /), что i е Н, j е К, i > /.
Легко проверяется обычная формула для кограницы
Если обе функции /, g обращаются в нуль на вырожденных кубах, то это
же имеет место и для / • g. Действительно, если а — вырожденный куб, то
хотя бы один иэ кубов A'k и, AJf и вырожден.
Если кольцо G имеет единицу, то кольцо коцепей также имеет единицу*
(в силу того, что все нульмерные кубы не вырождены); если кольцо G ассо-
ассоциативно, то ассоциативно и кольцо коцепей.
Все зто позволяет определить кольцо когомологий**
Я*(Х, G)= ? Нп(Х, G).
п
Локальные коэффициенты.
Пусть (Gx) — локальное семейство на X в смысле Стинрода*** [140].
Напомним, что если h — путь в пространстве X, имеющий начало а и конец
Ъ, то ему сопоставляется некоторый изоморфизм 7\"группы Ga на Gb. Кроме
того, изоморфизм Th зависит только от гомотопического класса пути h и
удовлетворяет очевидному условию транзитивности. Если пространство X
линейно связно, то все группы Gx изоморфны между собой, и локальное
семейство полностью определяется заданием одной из этих групп, скажем
Ga, и автоморфизмов, которые определяются в 6а фундаментальной группой
пространства X в точке а.
Кубические цепи на X со значениями в локальном семействе (Gx) пред-
представляют собой формальные линейные комбинации кубов и пространства
X, причем коэффициент, с которым берется куб и, принадлежит группе
Gx, где х — «первая вершина» куба и, т. е. точка х = и @,..., 0).
Граница цепи g • и определяется формулой
d(g •.«) = Jj (-О1 (Tu,t,o (g) ' #u - Tu>i>1 (g) - X\u),
где Tuii c — изоморфизм, соответствующий пути t »¦ и @, ... , te, 0, ..., 0),
в котором te стоит на i-m месте. Заметим, что Ти { 0(g) — g.
По двойственности определяются коцепи и кограница****. Произведение
• А именно, коцепь, принимающую значение 1 на каждом нульмерном сингулярном
кубе. — Прим. ред.
*• Умножение в этом кольце обычно называют умножением Колмогорова—Алек-
сандера. — Прим. ред.
*** Полное определение (с доказательствами свойств) локальных семейств читатель
может найти, например, в [117]. — Прим. ред.
п+1
2
где и — произвольный (п + 1)-мерный куб, а / — коцепь размерности п. — Прим. ред.

сингулярные гомологии расслоенных пространств 31
коцепей выражается формулой
(/ • g) («) = J" Ян, к № «) • Чя g№ и),
гДе ти,н представляет собой изоморфизм групп коэффициентов, соответству-
соответствующий'следующему пути Хи,н пространства X:
Zu,h@ = "(*i *Р+д)> причем* х{ = 0, если ieK;
xt == f, если i 6 Я.
Сравнение с классической сингулярной теорией.
Пусть Ln — единичный n-мерный симплекс, т. е. подмножество куба
Jn+1, состоящее из точек (у0,. . ., уп), удовлетворяющих условиям
п
О =S У{ =S 1, ^У1= 1- ФорМУЛЫ
у0 = 1 - xv
Vi = *i(l - xs),
Уп-1 = Х1 Х2 • • • *n-lO - *п),
Уп = *1 *2 • • • *п-1 хп
определяют отображение вп куба /" на симплекс Ln. Семейство отображений
вп позволяет определить гомоморфизм в группы сингулярных цепей (в
обычном смысле) в группу сингулярных кубических цепей. Легкие вычис-
вычисления показывают, что гомоморфизм в коммутирует страницей, а сопряжен-
сопряженный ему гомоморфизм является мультипликативным по отношению к произ-
произведениям коцепей**. Поэтому он определяет гомоморфизм классических
сингулярных групп гомологии в группы кубических гомологии, а также
мультипликативный гомоморфизм групп кубических когомологий в класси-
классические сингулярные группы когомологий. Можно доказать, что эти гомо-
гомоморфизмы являются в действительности изоморфизмами; мы не будем здесь
этого делать, отсылая читателя к подготовляемой для печати статье Эйлен-
берга;—Маклейна***.
Из этого вытекает, что к кубическим гомологиям можно применять все
известные результаты о сингулярных гомологиях. Отметим, в частности, что
если G— коммутативное кольцо и fuHp(X, G), gs.Hq{X, G), то / • g =
= (—l)pe g • / (косая коммутативность произведения).
В дальнейшем мы будем говорить «сингулярные гомологии» и «сингуляр-
«сингулярные когомологий» вместо «кубические гомологии» и «кубические когомологий».
2. Расслоенные пространства. Определение и простейшие свойства
Для установления свойств .спектральной последовательности гомологии
расслоенного пространства (что является целью этой главы) мы будем поль-
пользоваться только теоремой о накрывающей гомотопии для полиэдров. Мы
примем ее как определение:
* Должно быть: xt— 0, если f е К; *<= 1 — t, если / е Н (ибо путь должен начи-
начинаться в первой вершине куба Х^а и кончаться в точке и@ 0)). — Прим. ред.
** Если q>: Ln -*¦ X есть n-мерный сингулярный симплекс пространства X, то и =
= б„ о <р есть л-мерный сингулярный куб и можно положить и = в(ч>). Это дает гомомор*
физм в группы классических сингулярных цепей в группу кубических цепей, причем
в о d = dob (через d обозначен граничный оператор, н для классических, и для куби-
кубических сингулярных цепей). Если, далее, /: Сп(Х) -»¦ G — кубическая коцепь размерности
n,rofod есть классическая сингулярная коцепь. Это дает сопряженный гомоморфизм
/ -»¦ / о в. — Прим. ред. -
•*• Эквивалентность классической и кубической теорий вытекает из теории пере-
перекрытий Лерэ [118]; автор ссылается иа статью [91], в которой эта эквивалентность установ-
установлена другим путем. — Прим. ред.

32 Ж.-П. СЕРР
Определение. Расслоенным пространством мы будем называть
тройку (Е, р, В), где Ей В — топологические пространства, ар — непрерыв-
непрерывное отображение пространства Е на В, удовлетворяющее следующему усло-
условию*:
(R) Каковы бы ни были непрерывные отображения / : Рх /-> В, g:P-*¦ Е
(где Р — конечный полиэдр, а I — сегмент [0,1]), связанные соотношением
pog(x) = f(x, 0) для всех хеР, существует такое непрерывное отображе-
отображение h: Р х /^?, что р ° Л = / и h(x, 0) = g(x) для всех хеР.
Примеры. 1. Локально тривиальные расслоенные пространства** (косые
произведения) обладают свойством (R). См., например, [59], Сообщение VIII.
2. То же справедливо для косых произведений в смысле ГУревича—
Стинрода. с\
3. Главные расслоенные пространства (в смысле [59], Сообщение VII),
структурная группа которых принадлежит классу GLG (в смысле Глисона),
обладают свойством (/?J.
4. В гл. IV мы увидим, что пространства путей обладают свойством
(R), хотя они не входят ни в одну-из предыдущих категорий.
Замечание. Так как В не предполагается Tj-пространством, то
множества p~\b), be В, могут не быть замкнутыми. С другой стороны,
топология пространства В может не совпадать с топологией пространства
разбиения, определяемого в Е отображением р.
Предложение 1. Пусть (Е, р,Г В) — расслоенное пространство, А
и X — конечные стягиваемые*** полиэдры, А с X. Предположим, что заданы
непрерывные отображения f: X -> В, g : А -> Е, удовлетворяющие для
всех х е А соотношению p°g(x) = /(x). Тогда существует такое непрерывное
отображение h : X -*• Е, продолжающее**** g, что р ° h = /.
Сформулируем сначала две леммы, первая из которых хорошо известна,
а вторая легко доказывается индукцией по п (случай п = 1 представляет
собой лишь иную формулировку условия (R)).
Лемма 1. Стягиваемый полиэдр является ретрактом***** всякого нор-
нормального пространства, которое его содержит.
. Л е м м а 2. Предположим, что Х=Дх /п, причем полиэдр А вложен
в X при помощи отображения а -*• (a,s) (s— фиксированная точка куба /п).
В этих условиях предложение 1 справедливо.
Докажем теперь предложение 1. Пусть Y — пространство, получа-
получающееся из X отождествлением множества А в одну точку у; вложим простран-
пространство Y в ку6 Р, где п — надлежаще выбранное целое число (это возможно,
* Для справедливости условия (R) в такой формулировке достаточно потребовать,
чтобы оно было выполнено лишь для случая, когда полиэдр Р является л-мерным кубом
(л = 0, 1,2,...). — Прим. ред.
** Тройка (Е,р, В) называется локально тривиальным расслоенным пространством,
если для каждой точки ft € В существуют такая окрестность U и такой гомеоморфизм
Ч>: С/хр F) -*• р-1 (U), что р у (а, х) = а, а б U,. х е р F).
Согласно установившейся теперь терминологии, локально тривиальные расслоенные
пространства не принято называть косыми произведениями. Косое произведение включает
в свое определение структурную группу (см. [143]). — Прим. ред.
1 Это — результат одной теоремы Бореля [12] и теоремы автора [129}.
••• Пространство Y называется стягиваемым, если его можно продеформировать
по себе в точку, т, е. если существует такое отображение /: У х / -»¦ Y, что /(у, О) = у
и /(У. 0 = У« € У Для любой точки у е Y (точка ув фиксирована).' — Прим. ред.
•••• То есть отображение ft совпадает иа А с g. — Прим. ред.
***** Подпространство А' называется ретрактом содержащего его пространства X,
если существует отображение f:X-*A (называемое ретракцией), тождественное на А
(т. е. f(x) = х при х е А). Для случая, когда нормальное пространство X, содержащее
стягиваемый полиэдр А, является кубом, лемма 1 легко следует из теоремы о накрыва-
накрывающей гомотопии (для прямого произведения); общий случай сводится к этому частному
случаю с помощью теоремы продолжения Урысона ([169J, стр. 134, X). — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 33
так как пространство Y имеет конечную размерность*); точка у перейдет
при этом вложении в некоторую точку s e /п. Обозначим через / отождествля-
отождествляющее отображение X -> Y с /п, а через г — ретракцию X -»¦ А (су-
(существующую согласно лемме 1).
Отображение х -»¦ (г (х), / (х)) вкладывает X гомеоморфно в А х 1п, при-
причем при этом вложении точка а е Л переходит в точку (a, s).
С другой стороны, X есть ретракт произведения Ах Г1 (лемма 1); это
позволяет продолжить отображение / : X -> В в отображение f':A х 1п -»¦ В.
Применяя теперь лемму 2, получим такое отображение Л' : А х /"->?, про-
продолжающее g, что роЛ' = /'. Остается принять за Л отображение Л', рассма-
рассматриваемое только на X.
Замечание. Обратно, легко доказать, что из свойства, указанного
в предложении 1, вытекает** свойство (R). Однако, этот факт в дальнейшем
использоваться не будет.
Приложение. Пусть F — слой пространства Е, т. е. множество
вида р~Щ), be В. Хорошо известное рассуждение***, использующее пред-
предложение 1, показывает, что проекция р определяет изоморфизм группы
щ (Е, F) на щ (В) для всех L Таким образом, получаем точную гомотопичес-
гомотопическую последовательность
> щ(Е) -*
3. Локальное семейство, образованное гомологиями слоя
Пусть хе Е и b = р(х) е В; мы будем обозначать через Fanofl, проходя-
проходящий через точку х; иначе говоря, F=p~x(b).
Начиная с этого места и вплоть до конца статьи мы будем предполагать,
что пространства В и F линейно связны. Отсюда сразу следует (с помощью
свойства (R)), что пространство Е линейно связно, так же как и другие слои.
Наши предположения позволяют, не меняя групп гомологии прост-
пространств F, Е, В и пары (Е; F), ограничиться рассмотрением только таких
сингулярных кубов, у которых все вершины находятся в точке х (или Ь).
Это вытекает****, например, из изоморфизма между кубической теорией и
обычной сингулярной теорией. Поэтому всюду в дальнейшем при рассмот-
рассмотрении сингулярных кубов пространства Е (соответственно В) будет под-
подразумеваться, что все их вершины находятся в точке х (соответственно Ь).
Установим теперь, каким образом группа щ{В) действует в группах гомо-
гомологии слоя F. Для этого введем следующее понятие.
Определение. Пусть (Е, р, В) — расслоенное пространство, v —
петля в пространстве В, концы которой находятся в точке Ь. Ото-
Отображение С, которое каждому п-мерному сингулярному кубу и слоя F
ставит в соответствие (п + 1)-мерный сингулярный куб С(и) пространства
Е, называется подчиненной конструкцией для v, если выполнены следующие
условия:
1. Л1С(и) = и.
2. (роС(и)) (t, /„..., /n) = v(/).
3. C(A|u) = A?+1C(u) (e = 0, 1).
4. Если куб и вырожден, то куб С (и) также вырожден.
Пусть Sc — эндоморфизм группы кубических цепей слоя F, определенный
* Теорема вложения Понтрягина—Небелинга (см. [113], стр. 41). — Прим. ред.
** Ср. примечание* на стр. 32. — Прим. ред.
*** См. [143], стр. 109—ПО; там же (стр. 92—93) определена гомотопическая после-
последовательность пары пространств и доказана ее точность. — Прим. ред.
**** См. примечание 12 в конце статьи. — Прим. ред.
3 Расслоенные пространства

34 Ж.-П. CEPP
равенством (Scu) (tv ... , tn) = C(u) A, tv ... , /„) (это определение кор-
корректно в силу условия 4).
Условие 3 показывает, что Sc(Afu) = kl(Scu), откуда получаем (индук-
(индукцией по числу элементов множества H):Sc(X'Hu) =XeH(Scu). В частности,гомо-
частности,гомоморфизм Sc коммутирует с границей, т. е. является допустимым эндоморфиз-
эндоморфизмом.
Лемма 3. Для всякой петли v существует по крайней мере одна под-
подчиненная конструкция. Кроме того, если vx и v2 — две петли, принадлежа-
принадлежащие одному и тому же гомотопическому классу, и если СхиС2 — подчиненные
конструкции для петель vx и v2 соответственно, то гомоморфизмы SCl и
Sc гомотопичесщ эквивалентны.
(Доказательство будет дано в п. 13.)
Пусть v — петля в В, принадлежащая гомотопическому классу а е "h(B),
С — подчиненная конструкция для v, a Sc — соответствующий допустимый
эндоморфизм. Эндоморфизм Sc определяет эндоморфизм групп гомологии
пространства F, который зависит, в силу леммы 3, только от а. Мы будем
обозначать его через Та.
Предложение 2. Отображение а -> Та является представлением
группы jrx(B) в группе автоморфизмов группы H(F).
(Напомним, что групповая операция в ях(В) получается при переходе
к классам эквивалентности, исходя из операции композиции петель*, кото-
которую мы обозначаем символом * и определение которой имеется в гл. IV,
п. 1.)
Достаточно доказать, что Те = 1 и Та°Тр = Та*р. Для доказательства
соотношения Те = 1 рассмотрим конструкцию
(Си) (t, tv..., tn) = u(tv ..., tn),
которая, очевидно, подчинена единичной петле / -> Ь. Мы имеем Sc(u) — и
для всех и, откуда Т„= 1.
Для доказательства соотношения Та°Тр — Та*р выберем петли
v е «, v' е Р; тогда v * v' е а * /J. Пусть С и С — подчиненные конструкции
для петель v и v' соответственно. Определим конструкцию С" формулой
(Си) Bt, tn..., tn), если t*z±,
(Си) (t, tx tn) -
(C(Sc,u)) Bt~ l,tv..., tn), если t^±-
Конструкция С" подчинена петле v" = v*v'. Кроме того,
(Sc»u) (tx tn) = (C(Sc,u)) (I, tx,..., tn) = (ScoSc,u) (tx tn).
Таким образом, Sc,, = ScoSc, и Та°Тр = Та*р, и теорема доказана.
Итак, мы доказали, что группа пх(В) естественным образом действует
в группе H(F); можно точно так же рассмотреть ее действия в группе го-
гомологии H(F, G) и кольце когомологий H*(F, G) слоя F. Следовательно,
H(F, G) и H*(F, G) образуют локальные семейства на В.
Предложение 3. Пусть Е — пространство косого произведения,
структурная группа которого линейно связна. Тогда пх(В) тривиально
действует в H(F, G) и H*(F, G).
Пусть v — петля пространства В; мы определим такую подчиненную
конструкцию С для v, что Scu = и для всех и. Этим предложение будет дока-
доказано.
Пусть Г — пространство, получаемое из сегмента / отождествлением
* Автор применяет определение композиции петель, отличающееся порядком от
обычно применяемого умножения путей. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 35'
точек 0 и 1; петля v определяет отображение v':T->?. Обозначим через
Е' косое произведение со слоем F и базой Т, индуцированное отображением
v' (см. [59], Сообщения VII и VIII); имеем коммутативную диаграмму:
Е
р|
Т -?-->?
Так как группа G линейно связна, то косое произведение Е' тривиально*,
т. е. эквивалентно произведению Т х F. Если теперь и есть ку6 слоя F,
то можно определить в?' = Тх F ку6 / х и, являющийся прямым произве-
произведением отображений / -> Г и u: /n-> F. Положив С(и) = h°(I x ы), мы
получим конструкцию, для которой Scu = и.
Замечание. Методом, аналогичным вышеизложенному, можно дока-
доказать (без предположения связности**), что группы гомологии и когомологий
слоя F расслоенного пространства (Е, р, В) образуют локальное семейство на В.
4. Фильтрация сингулярного комплекса пространства Е
(Напомним, что пространства F и В линейно связны и что всякий син-
сингулярный куб в Е или В имеет по предположению все свои вершины в точ-
точках х или Ь.)
Мы определим теперь фильтрацию сингулярного кубического комплекса
А = С(Е) пространства Е (согласно предыдущему, этот комплекс образован
кубами, имеющими все вершины в точке х). Мы получим, таким образом,
спектральную последовательность (Ег), у которой вычислим второй член
в терминах гомологии пространств В и F (см. теорему 2); член Ете этой
спектральной последовательности представляет собой градуированную груп-
группу, ассоциированную с группой Н(Е), имеющей фильтрацию.
Определение фильтрации.
Для определения фильтрации в группе А = С(Е) достаточно задать
фильтрацию . ..Трс Тр+1 с ... группы Q(E) и рассмотреть образы*** Ар
подгрупп Тр в А.
Мы определим группу Tp>q с Qp+q(E) следующим образом: Тр>« порож-
порождается теми (р + ^-мерными кубами и пространства Е, проекция рои
которых на В не зависит от q последних координат. Следовательно, каждый
такой ку6 и характеризуется тем, что точка p{u(tl7...,/p+g)) не зависит от
координат tp+1,..., tp+Q,
Положим
ТР — "V TP.Q
в
Фильтрация, определенная подгруппами Тр, удовлетворяет, очевидно, ус-
условию
О =s= w(x) =s= deg х, (ф)
если элемент х Ф 0 однороден.
Далее, есди и е 7?, то \\ и е V для любого i, а для i*sp имеем более сильное
включение Ц и е Г15. Отсюда вытекает, что подгруппы Тр стабильны отно-
относительно граничного оператора, и, следовательно, группы Ар удовлетворяют
всем условиям, наложенным на фильтрацию в пп. 1 и 2 гл. I.
* В силу линейной связности группы О главное косое произведение Е', ассоцииро-
ассоциированное с Е', обладает секущей поверхностью и потому тривиально; следовательно, и произг
ведение Е' тривиально (см. [143], стр. 46). — Прим. ред.
** Пространства В. — Прим. ред.
*** При естественном отображении Q(E)-+ Q(E)JD(E) = C(E) = А- — Прим. ред.
3* - 5/6

36 Ж.-П. СЕРР
Изучение члена Ео.
Напомним, что имеют место соотношения Е% = A^jA1^1, Ео = ? Е%, при-
р
чем каждая группа Е% снабжена дифференциалом d0, получающимся при
факторизации из дифференциала, имеющегося в Ар. Следовательно, в рас-
рассматриваемом случае группа Eg изоморфна группе, которая образована линей-
линейными комбинациями кубов фильтрации «s р, рассматриваемыми по модулю
линейных комбинаций вырожденных кубов и кубов фильтрации =s= р — 1.
Если и — такой ку?>, что w (и) =s= p, то
2(-1У(Цй-Х\и) в Eg,
поскольку Ц и е Т**1 при i «s р.
Определим теперь две операции В и F над кубами и е Тр>3, причем Вц
будет р-мерным кубом пространства В, a Fu будет ^-мерным кубом слоя F.
Именно, положим
Ви (tv ..., tp) = p°u(tv ..., tp, yv ... , yq) (y4 произвольны),
Fu (/x g = и @, ... , 0, tx tq).
(Для заданного куба и имеется столько кубов Fu, Ви, сколько существует
целых чисел р, удовлетворяющих условию w(u) «е р < deg и; строго говоря,
следовало бы писать символы В и F с индексом р; как правило, мы не будем
этого делать, так как никакого недоразумения в результате этого сокраще-
сокращения обозначений не произойдет.)
Основные свойства кУбов Ви и Fu:
1. Если w(u) «s р — 1, то ку6 Ви вырожден.
2. Если куб и вырожден и q > 0, то куб Fu вырожден; если ку6 и
вырожден и q — 0, то ку6 Ви вырожден.
3. При i > р, е = 0, 1 имеем* ВЦ и = Ви, FX\ и = А?_р Fu.
Введем теперь комплекс Jp = Ср (В) ® C(F), в котором действует диф-
дифференциал dF, определенный равенством
dF(b (g) /) = (- 1)р Ь <g> d/.
Определим гомоморфизм ср : Е% -»- ур, положив
у (u) =B« ® Fu. A)
Это определение совместимо с факторизацией**, которую необходимо произ-
произвести для получения группы Ер, в силу свойств 1 и 2 операций В и F. Далее,
свойство 3 показывает, что dFo^ = <p°d0, т. е. что q> есть допустимый гомо-
гомоморфизм.
5. Вычисление члена ?х
Это вычисление будет проведено на основе следующего предложения.
Предложение 4. Допустимый гомоморфизм <р:Е%-»-ур, опреде-
определенный формулой A), является гомотопической эквивалентностью.
Мы построим такой допустимый гомоморфизм у>: JP->E%, что <роу>= \t a
эндоморфизм у>°(р = h группы Eg гомотбпически эквивалентен тождествен-
тождественному. Этим сформулированное предложение будет, очевидно, доказано.
* Число р фиксировано (т. е. одинаково в обеих частях каждого из двух написан-
написанных соотношений). — Прим. ред.
** Группа Е^ может быть получена факторизацией группы ТР по подгруппе N =
— tp—l + D(E) П ТР, порожденной кубами фильтрации <ри вырожденными кубамн.
Для каждого куба и 6 N по крайней мере один из кубов Ви, Fu вырожден (свойства 1
и 2). Поэтому при отображении q>: ТР-+ Qp(B)(g) Q(F) подгруппа N отображается в
ядро естественного гомоморфизма QP(B) ® Q(F) -> Ср\в) ® C(F). Таким образом, при
факторизации получаем гомоморфизм у: ?Р^-СР(В) ®C(F). — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 37
Построение гомоморфизма гр.
Лемма 4. Всякой паре кубов (и, v), где и есть р-мерный куб пространства
В, av есть q-мерный куб пространства F, можно поставить в соответствие
(Р + яУмерный куб w = K(u, v) пространства Е, имеющий фильтрацию
«=s p и удовлетворяющий следующим условиям:
2. Для всякого i «s q имеем К(и, Х\ v) = Af+P К (u, v) (e = 0,1).
3. Если куб v вырожден, то куб К(и, v) также вырожден.
(Доказательство будет дано в п. 11.)
Положим у>(и (g) v) = K{u, v), причем последний ку6 будем рассматривать
как элемент группы Eg. Это определение совместимо с факторизацией*,
определяющей группу Jv, ибо если ку6 и вырожден, то куб К(и, v) имеет
фильтрацию «sp — 1, согласно условию 1,а если куб v вырожден, то ку6
К(и, v) также вырожден, согласно условию 3.
Свойство 2 показывает, что гомоморфизм у коммутирует с границей**,
а свойство 1 дает соотношение ср°гр= 1; таким образом, остается лишь
доказать, что эндоморфизм h = гроср гомотопически эквивалентен тождествен-
тождественному.
Лемма 5. Всякому кубу и пространства Е, имеющему фильтрацию
«=s р и размерность п = р -f q, можно поставить в соответствие куб Su
пространства Е, имеющий фильтрацию «= р и размерность п + 1 и удов-
удовлетворяющий следующим условиям:
1. BSu= Bu.
2. Su @, ... , 0, /, хх,... , ха) = и@, ... , 0, х v... , ха).
3. Я»+1 Su = u; Ц+1 Su = K(Bu, Fu).
4. Для всякого i > р имеем 5Д| ы = Я[+1 S и (е = 0, 1).
5. Если куб и вырожден и q > 0, то куб Su также вырожден.
(Доказательство будет дано в п. 12.)
Для ueEg положим A(u) = (—l)p Su. Это определение совместимо
с факторизацией, определяющей группу Eg, ибо:
если w(u) «s р—\, то w( Su) =s p — 1 (свойство 1),
если куб и вырожден и q > 0, то куб Su вырожден (свойство 5),
если куб ы вырожден и q = 0, то w(Su) =s p — 1 (свойство 1).
Вычислим теперь цепь*** doku + kd0 и:
" d^ku = jS, (—1) (/^ou — A^otzji,
i-p+l
1 u — SX\u) =
i-p+l
n+1
i-p+2
согласно свойству 4. Таким образом,
do/cu + kdou = (— lJp+1(^+i Su — Ц+1 Su) = /C(Bu, Fu) — и = Л(и) — ы,
т. е. эндоморфизм Л гомотопически эквивалентен тождественному; этим
доказательство предложения 4 завершено.
• Имеется в виду естественный гомоморфизм Qp(B) ® Q(F) ->¦ Ср(В) ® C(F) (ср.
предыдущее примечание). — Прим. ред.
•* То есть y>odF= d9oy,. — Прим. ред.
*** Куб н имеет размерность п и фильтрацию =г р. — Прим. ред.

38 Ж.-П. СЕРР
Пусть теперь G — абелева группа; определим фильтрацию группы
A (g) G цепей пространства Е с коэффициентами в G при помощи подгрупп
Ар (g) G. Член Eg этой новой фильтрации получается при помощи тензорного
произведения группы G и члена Eg, связанного с фильтрацией группы А
(это вытекает из того, что группы Ар являются прямыми факторами в А).
Предложение 4 показывает, что член Eg, получаемый таким образом, гомо-
топически эквивалентен тензорному произведению CJB) (Я) C(F) (g) G =
=Cp(fi)(g)C(F, G).
Так как СР(Б) есть свободная абелева группа, то группы гомологии
комплекса СР(В) (g) C(F,G) естественно изоморфны группам* СР(В) (g) Hq(F, G).
Таким образом, мы получаем следующее предложение:
Теорема 1. Гомоморфизм <р, определенный формулой A), индуцирует
изоморфизм члена ЕРЛ спектральной последовательности, связанной с филь-
фильтрацией комплекса С(Е, G), на группу СР(В) (g) Hq(F, G), т. е. на группу
р-мерных сингулярных цепей пространства В с коэффициентами в q-й группе
сингулярных гомологии слоя F со значениями в G.
Это утверждение можно кратко выразить следующей формулой:
Et = C(B, H(F, G)). B)
Замечание. Теорема 1 показывает смысл степеней, которыми снаб-
снабжены члены спектральной последовательности: фильтрующая степень есть
степень по отношению к базе, дополнительная — степень по отношению
к слою, полная же степень соответствует степени (размерности) в Е.
6. 'Вычисление члена Ег
Мы видели, что член Ех изоморфен тензорному произведению
С(В) (g)#(F, G); определим, как преобразуется дифференциал йх при этом
изоморфизме. Это позволит нам вычислить член Ег = Н(Е^).
Пусть х = b (g) h e СР(В) (g) tiq(F, G). Мы можем ограничиться рассмот-
рассмотрением случая, когда b есть р-мерный куб базы В.
Пусть у — элемент группы СР(В) (g) Cq(F, G), являющийся циклом
класса гомологии х. Для вычисления элемента dtx мы поступим следующим
образом**: рассмотрим элемент у>(у) е Е%Л и выберем элемент г е Ар, дающий
у>(у) при факторизации по Л*. Элементах будет тогда циклом, принадле-
принадлежащим подгруппе Л". Мы возьмем его образ при гомоморфизме (р. Класс
гомологии полученного таким образом цикла / е Ср_х(В) (g) Cq(F, G) будет
равен dtx e Cp_j.(B) (g) Hq(F, G).
(Прежде чем переходить к деталям вычисления, заметим, что нам будет
необходимо использование гомоморфизмов <р, у>, В, F, К для двух различных
значений р; поэтому во избежание недоразумений мы введем верхний индекс
р и будем писать В"и, Кр(и, v) и т. д.)
Запишем сначала цикл т класса гомологии h в виде т = ]?ga ua, где
ga e G, а «а—кубы слоя F. Тогда можно положить у = b (g) m = ? ia b (g) ua,
a
откуда
KP(k> «a)-
a
Имеем
p (f>, ua) - Ц Kp(b, ua)].
Z2
a i-1
* Дифференциал (— l)Pd определяет в C(F, О) те же группы гомологии, что и диффе-
дифференциал й. — Прим. ред.
** Правильность интерпретации, изложенной в этом абзаце, вытекает из того, что
дифференциал dt совпадает с граничным гомоморфизмом точной гомологической после-
последовательности тройки (АР—2, А?—1, АР); см. стр. 13. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 39
Мы можем разбить эту сумму на две: 2 + 2 • ^° если ' > Р> т0
Ц КР(Ь, иа) = КР(Ь, Я|_р иа) (в = 0, 1). Так как т — цикл, то выражение
2 2 &»(— ОЧ*? "а — Ц "о) представляет собой линейную комбинацию
а г-1
вырожденных кубов слоя F. Следовательно, это же обстоятельство имеет
место и для частичной суммы ^ , т. е. эта сумма, рассматриваемая в группе
С(Е), равна нулю. Таким образом, можно написать
dz = Z2 (-О4Sa [Я? Кр( Ь, и,) - Ц Kp(b,ul)].
a i-1
Совершенно ясно, что каждый из членов предыдущей суммы имеет филь-
фильтрацию <р-1; это позволяет при вычислении элемента (pv~1(dz) применять
оператор у^ отдельно к каждому члену этой суммы. Так как <^р~1 (и) =
= В15 и (g) F" и для всякого куба фильтрации =s= p — 1, то нужно рас-
рассмотреть следующие кубы:
&, ua) и F^ Я? /<"(&, ue) (i ^ р).
Первый из этих кУбов, очевидно, равен Ц Ь; второй определяется формулой
Ц КР(Ь, иа)) (хх xq) = Крф, «а)@, ¦.., 0, в, 0, ..., 0, xv ..., xq),
где е стоит на ни месте.
Для интерпретации этой формулы введем (для каждого Ь, каждого
i «г р, г = 0, 1) конструкцию и ->• С(и), определенную формулой
C(u)(t, xt xq) = Kp(b, u)@, ..., 0, t e, 0 0,xv..., xq).
Легко проверяется, что это построение дает подчиненную конструкцию для
петли v(f) = b@ 0, te, 0, ... , 0), где te стоит на i-м месте. Если мы
обозначим эндоморфизм группы C(F), связанный с этой конструкцией,
через Sc> ь> i( e, то найдем
Sc, ь,г, * «a = F*-1 4 Kp{b, ua),
что позволяет написать
¦ ' = 2 2 (-О4 ga[W b) (8) SCt br iiOua- (AJb) (g) Sc, b> {i 1 ua].
a i-1
Обошачим через Ть> i( J автоморфизм группы Hq(F, G), определенный эндо-
эндоморфизмом Scbie; 'согласно лемме 3 этот гомоморфизм зависит только от
гомотопического класса петли v(/) = b@, ... ,0, te, 0 ,... , 0)., Таким обра-
образом, имеем по определению
^\|.оЛ-А^(8)Гм>1Л). C)
Если локальное семейство, образованное в В группой #9(F, G), триви-
тривиально, то написанная формула сводится к следующей:
dx х = (db) (8) Л. . C')
В общем случае она может быть интерпретирована следующим образом:
Предложение 5. Естественный, изоморфизм группы ЕРЛ на группу
)8^('7) G)> индуцированный гомоморфизмом <р, переводит дифференциал

40 Ж.-П. CEPP
dx в обычный граничный оператор* в группе CJB) в смысле локальных коэф-
коэффициентов, которые образованы группой Hq(F, G).
Отсюда мы сразу же получаем возможность вычислить группу Е?>3, так
как она совпадает с вычисленной в Ер>3 группой гомологии группы Elt снаб-
снабженной дифференциалом а\.
Теорема 2. Пусть (Е, р, В) — расслоенное пространство с линейно
связными слоем F и базой В, G — абелева группа, а (Ег) — спектральная
последовательность, связанная с комплексом С(Е, G), имеющим фильтрацию.
Член Eg'3 этой последовательности естественно изоморфен группе
Нр(В, Hq{F, G)), т. е. р-й группе сингулярных гомологии пространства В
со значениями в локальном семействе, образованном группой Hq(F, G).
Более краткая запись:
Е2 = ЩВ, H(F, G)). D)
Замечание. Предыдущая теорема является переложением (для син-
сингулярной теории) результата, анонсированного Лерэ в [84], п. Ъ,Ь (для теории
Чеха с компактными носителями). Аналогичный результат можно найти
(в форме, пригодной для всякой теории гомологии) в [60], Сообщение IX.
Предположения, сделанные о рассматриваемых расслоенных пространствах
в этих трех случаях, не являются в точности одними и теми же.
С другой стороны отметим, что теорему 2 можно установить, не пред-
предполагая пространства В и F связными. Мы не будем здесь этого делать,
поскольку нам наиболее удобно рассматривать только кубы, все вершины
которых находятся в одной точке: это позволит, как мы увидим, получить
ряд сведений о гомологиях пространства F, пространства Е mod F, а также
о гомотопических группах пространств Е, F, В.
7. Свойства спектральной последовательности гомологии
Начнем с рассмотрения дифференциальных групп R и S, определенных
в общем случае в п. 2 гл. I. Дифференциальная группа R образована, по
определению, элементами фильтрации нуль. Но для того, чтобы ку6 и удов-
удовлетворял условию w(u) = 0, необходимо и достаточно, чтобы его проекция
сводилась к одной точке. Так как все вершины кубов находятся в точке х,
то последнее условие означает, что рассматриваемый ку6 находится в слое
F, проходящем через точку х. Таким образом, группа Ra изоморфна группе
Cq(F, G).
Дифференциальная группа S = 21sp является прямой суммой групп Е?>0.
Но, согласно теореме 1, группа Щ>° изоморфна группе** СР(В) (g) H0(F, G) =
= СР(В, G). Следовательно, группа S изоморфна группе цепей базы. Кроме
того, согласно предложению 5, дифференциал йг, действующий в группе S,
соответствует обычному дифференциалу*** группы С(В, G). Наконец, гомо-
* Иначе говоря, диаграмма
Е?'9— -> Ср (В) ® Hq(F, G)
?i ,9 -**-»¦ Cp_i(B) ® Hq(F, G)
коммутативна (здесь р» — изоморфизм, индуцированный гомоморфизмом q>, a d — гра-
граничный оператор в смысле локальных коэффициентов HQ(F, G)). — Прим. ред.
** Ср (В) ® Ня (F, G) = Ср (В) ® G = Ср (В, G). — Прим. ред.
*** Так как слой F линейно связен, то локальное семейство, определенное в В груп-
группой H0(F, G), тривиально. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 41
морфизм п: А -> S совпадает* с гомоморфизмом, который^ индуцирован
проекцией р : Е -> В.
Можно, далее, применить результаты пп. 2 и 3 гл. I. Таким образом,
получаем гомоморфизмы
Hi{F,G)-+E<?-*Hi{E,G),
Hi(E,G)-+Ei(?-+Hi(B,G),
причем в каждой строке первое отображение эпиморфно, а второе — моно-
морфно. Их композиции определяются непрерывными отображениями
F -> Е -> В.
Группа Е%? = Е&2 получается факторизацией группы H^F, G) по под-
подгруппе элементов, которые являются границами для последовательных
дифференциалов dr(rsa= 1).
Группа Е]? = Е\$г представляет собой подгруппу группы Ht (В, G),
образованную элементами, которые являются циклами для дифференциалов
Трансгрессия.
Согласно предложению 2 гл. I, трансгрессия имеет два эквивалентных
определения:
(a) Она совпадает с дифференциалом dn: Е^°-* Е^п~г. Если п =з= 2,
то этот дифференциал отображает некоторую подгруппу группы Нп(В, G) в
некоторую факторгруппу группы Hn—\{F, G).
(b) Рассматривают гомоморфизмы
"«-1 (F, G) ^- Hn(E mod F, G) -^ Hn(B, G)
и определяют трансгрессию с помощью факторизации, как это было объяс-
объяснено в п. 3 гл. I.
Второе определение показывает, в частности, что ??>0 есть образ группы
Нп(Е mod F, G) в Нп(В, G), получаемый при проектировании. Иначе говоря,
цикл х базы В является трансгрессивным (т. е. принадлежит области опре-
определения трансгрессии) тогда и только тогда, когда существует такая цепь
у пространства Е, которая переходит в х при проекции Е-+Ви граница
dy которой является цепью слоя F.
Можно также переписать диаграмму (I) гл. I, заменив в ней A, R, S
соответственно через Е, F, В. Мы ограничимся тем, что приведем следующую
диаграмму
Нп (В, G) ^- Hn (E mod F, G) -2U Яn_1(F, G) (I)
I Т t
:rn(B) (g) G -i лп(Е mod F) <g) G
(Заметим, что отображение Wn_1(F, G) > Е%п~г эпиморфно, а отображение
E%° >¦ Hn{B, G) мономорфно.)
Эта диаграмма коммутативна, ибо, с одной стороны, поддиаграмма,
образованная двумя верхними строками, является частью диаграммы (I)
гл. I и потому коммутативна, а с другой стороны, поддиаграмма, образован-
образованная двумя нижними строками, как известно, также коммутативна.
* Точнее говоря, композиция гомоморфизмов я: Ср (Е, G) = ЛР>» -> Е2'° и
у* : fif»0 -> СР (В) ® Н* (F, G) = Ср (В, G) (где <р* — изоморфизм, индуцированный
гомоморфизмом <р: Щ1" -> СР(В) ® C9(F, G)) представляет собой гомоморфизм
Ср(Е, G) -+ СР(В, G), индуцированный проекцией р: ?->- В. — Прим. ред.

42 Ж--п. cepp
Так как отображение лп(Е mod F)->jrn(?) изоморфно*, то ясно, что
цбраз группы лп(В) (g) G в Hn(B,G) содержится в** ??'°. Иначе говоря:
Всякий сферический*** класс гомологии пространства В трансгресси-
трансгрессивен.
Особенно простым является случай, когда отображения Щл -> Нп(В, G)
и ?S.¦n~¦fr-Яn_1(F, G) изоморфны. Диаграмма (I) ^в этом случае упро-
упрощается:
,G) n^(,)
] ] (I')
****
Надстройка.
В общем случае определение надстройки аналогично тому, которое
выше было дано для трансгрессии (см. п. 3 гл. I). В частном случае, когда
Hn_^E, G) = Нп(Е, G) = 0, отображение 9 : Нп(Е mod F, G) -> ЯП_Х(Р, G)
изоморфно, и надстройка 2 определяется равенством
z = р* о а-1.
Диаграмма (I) переходит в этом случае в диаграмму
/ \
Hn{B,G) +*-
BJ этой диаграмме dn — изоморфизм; отображение Щ>0 -> Нп {В, G)] моно-
морфно и имеет тот же образ, что и Е, а отображение Hn_1(F,G)->-E^r-~1
эпиморфно и имеет то же ядро, что и S.
8. Спектральная последовательность когомологий
Пусть А* — группа кубических коцепей пространства Е со значениями
в^абелевой группе G. Определим в А* убывающую фильтрацию с помощью
приема, указанного в примере п. 5 гл. I: через А*р обозначим подгруппу
группы А*, образованную коцепями, равными нулю на кубах фильтрации
«?р— 1.
Как мы уже отмечали, группы Ар являются в А прямыми факторами;
отсюда следует, что член ?Jp>e, связанный с фильтрацией группы А*, изомор-
изоморфен***** группе Нот (ЕРЛ, G), где Ep'q — соответствующий член спектраль-
спектральной последовательности гомологии. Таким образом, элементы группы ?JP>9
можно отождествить с функциями, определенными на (р + д}-мерных кубах
фильтрации «s р пространства Е, имеющими значения в G и равными
нулю на вырожденных кубах и на кубах фильтрации «sp — 1.
* См. [143]. — Прим. ред.
** Точнее, в р(Е%'0). — Прим. ред.
*** Сферическими называются классы гомологии, принадлежащие образу группы
п(В) ® О при гомоморфизме яи(В) ® G-* Нп(В, G). Доказанное предложение можно
также непосредственно получить из теоремы о накрывающей гомотопии (см. определение
расслоенного пространства иа стр. 32). — Прим. ред.
**** Гомоморфизм Э, указанный на диаграмме (I'), равен Л®1, где Л — граничный
гомоморфизм гомотопической последовательности расслоенного пространства (Е, р, В);
см. [143]. — Прим. ред.
***** Из формул, приведенных в примечании*** на стр. 13, легко получить изоморфизм
EJP.9 Ы А*Р.9/А*Р + 1. 9-1.
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 43
Введем группу* J* = СР(В, C\F, G)) = Нот (JP> G); положим J* = ^у;;
Т1
огда гомоморфизмы <р и у>, введенные в пп. 4 и 5, определяют сопряженные
омоморфизмы** (р*: J$ -> ?*,, у>*: Е*й -*¦ J*. Так как у»у= 1, а ^> о <р = ft —
омоморфизм, гомотопически эквивалентный тождественному, то у*о<р* = 1,
i гомоморфизм у* о у>* = ft* гомотопически эквивалентен тождественному.
Таким образом, EJ и У* гомотопически эквивалентны***. В частности,
'омоморфизмы q>* и гр* определяют после факторизации взаимно обратные
изоморфизмы их групп гомологии, откуда следует, что группа ElVA естествен-
естественно изоморфна**** группе СР(В, H%F, G)).
Рассуждение, аналогичное приведенному в п. 6, показывает, что изо-
изоморфизм у>* переводит дифференциал йг в кограничный оператор, который
действует в группе коцепей пространства В со значениями в локальном
семействе, образованном группой Hq(F, G). Таким образом, получаем
Предложение 6. Член Е^л спектральной последовательности
когомологий расслоенного пространства (Е, р, В) естественно изоморфен
НР(В, Hl(F, G)), т. е. р-й группе когомологий пространства В со значениями
в локальном семействе, определенном в В группой H\F, G).
Этот результат сам по себе не представляет большого интереса, будучи
просто «двойственным» результату, уже полученному для гомологии. Наи-
Наиболее интересно знать мультипликативные свойства последовательности
(Е*); их мы и собираемся изучить теперь.
Для этого предположим, что G есть коммутативное ассоциативное кольцо
с единицей (случай, когда заданы две системы коэффициентов, образующие
пару со значениями в третьей, трактуется аналогично). Тогда группу А*
коцепей пространства Е можно рассматривать как ассоциативное кольцо
с единицей (см. п. 1). Ясно, что условие А*р • А*а с A*p+q выполнено*****,
• j*^O> (В, С* (F, О)) = Нот (Ср(В), С* (F, G)) = Нот (Ср (В). Нот (С (F), G)) =
= Нот (Ср (В) ® С (F), G) = Нот (Jp. О)- — Прим. ред.
*• То есть <р* = Нот (у, 1), у>* = Нот(у>, 1). — Прим. ред.
••• В группе J* действует дифференциал й.%, сопряженный рассмотренному на стр.
36 гомоморфизму djr- Доказанное там равенство dT°<p— <p°d0 дает (см. примечание 7
в конце статьи) соотношение y*od*=dgo9,*, которое показывает, что у* есть допустимый
гомоморфизм. — Прим. ред.
**** Без труда устанавливается, что для любых гомоморфизмов А > А', В > В'
имеет место коммутативная диаграмма
Нот (А' ® В', G) Нот (« ®^,1) > Нот (Д ^ в G)
Нот (А', Нот (В', G)) Homfe.Homfl.l))^ Нот (д
(вертикальные стрелки означают изоморфизмы). Отсюда следует, что дифференциал dj-
эквивалеитев эндоморфизму ((—1I", <**)группы Horn(CP(B),C*(F, G)), где d*— дифферен-
дифференциал группы C*(F, О). Таким образом, ядро дифференциала d*F равно Нот(Ср(В), Z*(F, G)),
а образ — Нот (СР(В), B*(F, G)), где Z* и В* — соответственно подгруппы циклов и гомо-
гомологичных нулю циклов. Следовательно,
ia) Ра Horn (Cp(B), Z»(F, G))/Hom (CP(B), B*(F, G)) Pi
pa Horn (CP(B), H»(F, O)) = CP{B, H*(F, G)).
— Прим. ред.
***** Пусть /e A*p>i,g e А*Р'-а', аи — произвольный куб размерности р+ р' + q + q
и фильтрации ¦«= р+ р'— 1. Тогда куб и не зависит от д+ q' + 1 последних координат.
Поэтому для любого подмножества Нс{1, 2, ..'., р + р + q + q'}, состоящего из р + q
элементов, имеет место альтернатива: либо куб Xfcu (где К — дополнение подмножества
Н) не зависит от q + 1 последних координат, либо куб Я^и ие зависит от q' + 1 послед-
последних координат. Иначе говоря, либо куб №ки имеет фильтрацию < р, либо куб Щ^и имеет
фильтрацию < р'. В обоих случаях произведение /(A^u)-g(AJjU) равно нулю. Таким
образом, /.ge А*Р+Р/.9+в'. — Прим. ред.

44 Ж.-П. СЕРР
так что мы можем применить результаты п. 5 гл. I и считать члены (?*)
(г = 0, 1, ..., оо) кольцами, в которых дифференциалы йг будут антидиффе-
антидифференцированиями* .
Так как H*(F, G) определяет локальное семейство колец** в прост-
пространстве В, то можно ввести в группе H(J*) = С*(В, H*(F, G)) произве-
произведение типа произведения Колмогорова—Александера в В со значениями в
локальном семействе H*(F, G); мы будем обозначать это произведение
через V. Исходя из этого произведения, можно определить другое по фор-
формуле
7-7= (- 1)р'а7vg, где 7е Р(В, H\F,G)), ge W(B, H*(F, G)). E)
Для пояснения этого определения выберем коциклы /, g 6 J*, принад-
принадлежащие классам / и g. Как и всякий элемент группы J*, коцикл / может
быть отождествлен с функцией /(v, w) двух кубов v e СР(В), w e Cq(F), обра-
обращающейся в нуль, если один из них вырожден; аналогично трактуется g.
Имея коциклы / и g, определим элемент к е J* формулой
к{у, »)=(- 1Г9 ? вь,м Qn,p /№ v, Х% w) ¦ g№ v, Нь V» w). F)
где L пробегает все р-элементные подмножества множества {1, ... , р + р'},
N—все ^-элементные подмножества { 1, ... , q + q'}, P = С N, М = С L***,
символы qLi м, Л% и т. д. имеют тот же смысл, что и в п. 1, a /j.vL есть допусти-
допустимый эндоморфизм группы цепей пространства F, который' после перехода
к когомологиям определяет автоморфизм группы H*(F), соответству-
соответствующий петле Xv,l пространства В (см. обозначения в п. 1).
Из определения произведения коцепей в F и в В непосредственно сле-
следует****, что к есть коцикл комплекса J*, принадлежащий классу когомоло-
гий
Г- ge C*+*'(B, H*+*(F, G)).
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 6. Гомоморфизмы у>* а у* определяют мультипликативные
изоморфизмы колец Е\ и С*(В, H*(F, G)) (последнее из которых снабжено
только что определенным произведением).
Мы уже знаем, что ср* и у* определяют, после перехода к классам кого-
мологий, взаимно обратные (аддитивные) изоморфизмы; следовательно, дос-
достаточно показать, что для любых элементов***** / и g кольца J* элемент
k = v>*(?>*(/) • q>*(g)) имеет вид F).
Убедимся в этом. Имеем
k(v, w) = (<p*(f) • <?*(g)) (K(v, w)) = 2 Qh,k<P*<J) (^Kiy, w)) • 9*(g) (ДяK(v, w))t
н
* Относительно полной степени. — Прим. ред.
** Ср. стр. 33. — Пром. ред.
*** Символ С означает дополнение; например, М= С L— {1, 2, ... , p+p'J\L.
— Прим. ред.
**** При фиксированном V функция )(V, w') куба w' есть коцикл класса когомологнй
/(v') e Hi(F, О); аналогично, при фиксированном v" функция g(v", w") куба w" есть коцикл
класса когомологий g(v") e №(F, G). Следовательно, при фиксированном v функция
(q + q')-мерного куба w является коциклом класса когомологий ){к% v)~Xv,L g(Ai, v),
а потому функция k(v, w) определяет элемент (— l)Pa/Vg = 7 * g 6 CV+V'(B, Hq+q'(F, G)).
— Прим.ред.
¦••¦¦ Автор предполагает здесь, что /е (У(В, C«(F, O)),g eC^B, CZ'(F, G)). В соответ-
соответствии с этим в проводимых далее вычислениях предполагается, что v есть (р +р')-мерный
куб базы, a w есть (q + ^')-мерный куб слоя. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 45
где Я пробегает все (р + ^-элементные подмножества множества {1, ... ,
р + р' + q + q'}, а К = С Я. Но если пересечение ЯП {!>••• > Р + Р'} содер-
содержит более р элементов, то куб Д^ ^(v> w) имеет фильтрацию < р' и
^* (g) № K(v, м>)) = 0; точно так же, если пересечение Я П {1, ... , р + р'}
содержит менее р элементов, то куб Д& K(v, w) имеет фильтрацию < р,
и 9Р*(/) (^к ^(v» w)) — 0- Следовательно, можно ограничиться рассмотрением
таких подмножеств Я, которые с множеством {1 ,... , р + р'} имеют ровно
р общих элементов. Такие подмножества Я взаимно однозначно соответствуют
парам (L, N), где L с {1, .. ., р + р'}, N с {1, ... ,Ч + Я'} суть множества,
содержащие соответственно р и q элементов. Обозначим дополнения мно-
множеств L и N соответственно через МиР. Если а есть (р + р' + q + <7') -мерный
куб пространства Е, имеющий фильтрацию =е р -f- p', то*
^fa, f ЛЬ и = А^ ^ и,
где Д^х, обозначает операцию, заключающуюся в замене переменных, ин-
индексы которых принадлежат М и L, значениями 0 и 1 соответственно.
С помощью этих формул получаем**
/c(v, w) = g QH,Kf(B Afc K(v, w), F X»K K(v, w)) ¦ g(B Xh K(v, w), F X^ K(v, w)) =
= 2 6н,к /(Я4, v, 4 w) • g(XI v, X%)L K(v, ХЪ w)).
L N
N
Из сравнения этой формулы с F) ясно, что остается установить лишь
два следующих факта:
(a) Qh,k = (—l)vqQl,mQn,p'> это легко получить из определения чисел
q подсчетом числа инверсий.
(b) Эндоморфизм s ->¦ X^L K(y, s) цепей слоя F соответствует подчинен-
подчиненной конструкции С для петли'я u> L пространства В. Для того, чтобы убедиться
в этом, достаточно определить конструкцию С формулой (ср. п. 6)
C(s)(t, xv ... , xq.) = K(v, s)(ylt ..., yp+p,, x» .... xqr),
где y{ = 0, если i e M, и y4 = t, если i e L.
Таким образом, лемма 6 доказана.
Теорема 3. Пусть (Е, р, В) — расслоенное пространство с линейно
связными слоем F и базой В. Пусть G—коммутативное ассоциативное кольцо
с единицей, и пусть (Е*) — спектральная последовательность, связанная с
фильтрацией, группы С*(Е, G). Члены Е* (г з= 2) являются ассоциатив-
ассоциативными кольцами с единичным элементом, удовлетворяющими закону косой
коммутативности относительно полной степени, причем дифференциалы
dr являются в этих кольцах антидифференцированиями.
Кроме того, произведение двух элементов f е Е1РЛ, g e E\^'q' отли-
отличается множителем (— \)v'q от их произведения как классов когомологий
базы В со значениями в локальном семействе, определенном кольцом H*(F, G)
(произведение У).
В силу леммы б***, нам остается доказать только косую коммутативность
(причем достаточно сделать это для Е%). Так как H*(F, G) — косокоммута-
• Применяя (как в п. 7) верхние индексы у операторов В и F, можно следующим
образом уточнить эти формулы:
ВР At и = Х% Вр+Р' и, В? %гя и = А Вр+Р' и,
F*> А и = fr F*** и, F* & и = X%)L & и.
— Прим. ред.
** См. условие 2 леммы 4. — Прим. ред.
*** См. также п. 5 гл. I, — Прим. ред.

46 . Ж.-П. CEPP
тивное кольцо, то кольцо Е?, снабженное произведением V, удовлетворяет
закону*
/ Vg = (_1)»р'+<и' (g у /), если / е E\p>q, q е ??'¦«'.
Так как, далее, /-g = (-!)*"« (/Vg) и g-/= (—0Ра'(gV/), то
f-g = (-1у*+«+**+*г(е • /) = (-l)nn'g • /
(п= p + q, ri = p' + q'),
и теорема доказана.
Замечание* Эта теорема является повторением (для сингулярной
теории) результата, анонсированного Лерэ ([84], п. 6, Г).
9. Свойства спектральной последовательности когомологий
Эти свойства двойственны соответствующим свойствам гомологии, и
мы ограничимся кратким их перечислением.
а. Когомологий слоя.
Имеем Е{ъ>« = С°(В, Hq(F, G)) = Hq(F, G).
Так как элементы группы E*°'q (r ss 1) имеют минимальную фильтру-
фильтрующую степень, то никакой из них, кроме нуля, не является кограницей
для йг. Таким образом, получаем последовательность мономорфизмов
НЧ( F G\ Р*о,ч <_ р*о,а - ч_ р*о,а р*о,« р*о,ч
П \Г, U) — П,-у •*- С2 •*- . . . ¦*- Сд+2 — С9+3 — • • • — Соо •
Кольцо** E?>'q может быть отождествлено с факторкольцом кольца Н\Е, G)=
= D*°'q по идеалу D*1'9'1; далее, композиция гомоморфизмов
H<(F, G) *- Е?* +¦ НЦЕ, G)
совпадает с гомоморфизмом, индуцированным вложением F -*¦ Е.
Заметим еще, что ?JOi? = H°(B, Hq(F, G)) отождествляется с под-
кольцом кольца*** Hq(F, G), образованным элементами****, которые не меня-
меняются при преобразованиях. Та, а е (В)
Ъ. Когомологий базы.
Имеем Е\™ = Н*>(В, H°(F, G)) = №>(В, G).
Так как элементы группы Е*р>0 имеют минимальную дополнительную
степень, то все они являются коциклами относительно dr (r &= 2), откуда
получаем последовательность эпиморфизмов
Кольцо***** Е^'° отождествляется с подкольцом D*p>° кольца HP(E,G);
далее, композиция гомоморфизмов
НЦВ, G) -* Е*?° -у Нр{Е, G)
совпадает с гомоморфизмом, индуцированным проекцией р:Е^-В.
* Знак (— 1)рр' получается в силу свойства косой коммутативности произведения
Колмогорова—Александера [ибо / € №(В, №(F, G)) есть р-мерный класс когомологий
по области коэффициентов Hi(F, G), a g есть р'-мерный класс когомологий по области
коэффициентов H<T(F, G)]; знак\— 1)W получается в силу косой коммутативности области
коэффициентов H*(F, G). — Прим. ред.
•• Группа Е%оО<я не является, конечно, кольцом. По-видимому, автор имеет в виду,
что кольцо EJg может быть отождествлено с факторкольцом кольца Н*(Е, G) = Ь**
по идеалу D*1. — Пром. ред.
•*• Ср. предыдущее примечание. — Прим. ред.
•••• Из формулы кограницы с локальвыми коэффициентами (стр. 30) легко получаем,
что остальные элементы группы С{В, Hi(F,G)) = H4(F,G) не янляются коциклами.
— Прим.ред.
••••• Qj_ примечание** на этой странице. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 47
с. Трансгрессия.
Она отображает некоторую подгруппу группы Нп~г(Р, G) в фактор-
руппу группы Нп(В, G) (п з= 2). Она может быть определена либо как
дефференциал йп: Е^0'*1 ->-Е^п>0, либо с помощью факторизации, исходя
*з двух естественных гомоморфизмов
Hn~\F,r_G) -^-> Нп(Е mod F, G) +-?¦ Нп(В, G).
Помимо свойств, двойственных тем, которые мы имели для гомологии,
отметим следующее: Трансгрессия (а также надстройка) перестановочна с
операциями Sql Стинрода*.*
Это вытекает (с помощью формального рассуждения) из коммутатив-
коммутативности диаграммы
Hn~\F, G) -+ Нп(Е mod F, G) *- Нп(В, G)
Hnvi~\F, G) ¦* Hn+i(Emod F, G) *- Hn+i(B, G)
(G — группа вычетов по модулю 2). В частности, квадрат трансгрессивного
элемента группы H*(F) является трансгрессивным элементом (для когомо-
когомологий по модулю 2). (Ясно, что аналогичные результаты справедливы для
«приведенных степеней» Стинрода*.)
10. Преобразование второго члена спектральных последовательностей
гомологии и когомологий
В этом пункте мы будем предполагать, что локальные семейства, обра-
образованные в В группами гомологии и когомологий слоя F, тривиальны. Как
выяснится в дальнейшем, этому предположению удовлетворяют многие
наиболее важные для приложений случаи.
В сформулированном предположении мы покажем, каким образом
можно в некоторых случаях заменить найденные выражения для Е\л и
Еул выражениями, значительно более удобными.
а. Случай гомологии. ,
Предположим, что G есть кольцо главных идеалов (например, кольцо
Z целых чисел или поле). Абелева группа С(Е, G) может быть в этом случае
снабжена строением унитарного G-модуля**, так же как и группы Epq, DM
и т. д. В частности, формула Щ'я = Нр(В, Hq(F, G)) выражает изоморфизм
G-модулей. Применяя формулу универсальных коэффициентов, находим***
Еф = Нр (В, G) <g> Hq (F, G) + Tor (H^ (B, G), Hq (F, G)),
где тензорное произведение берется над кольцом G, а Тог означает произ-
произведение кручения Картана—Эйленберга [67].
Так как Tor (L, М) = 0, если L или М не имеет кручения, то получаем
Предложение 7. Если Яр_х(В, G) или Hq(F, G) не имеет кру-
кручения, то Щл = Нр(В, G) (g) Hq(F, G), где тензорное произведение берется
над кольцом G.
(Заметим, что это условие всегда выполнено, если G есть поле.)
* О стинродовских квадратах и приведенных степенях см. стр. 256 и следующие.
— Прим. ред.
*• G-модуль называется унитарным, если единица кольца G определяет тождест-
тождественный автоморфизм этого модуля. — Прим. ред.
•** См. примечание 1 на стр. 159. — Пром. ред.

48 Ж.-П. СЕРР
b. Случай когомологий.
Предположим опять, что G — кольцо главных идеалов, а М — унитар-
унитарный G-модуль. Имеем естественный гомоморфизм
определяемый следующим образом:
Пусть h (g) т е НР(В, G) (g) М, и пусть х(ц) — коцикл класса h. Отобра-
Отображение и;-»¦ х(и) • т является коциклом в В со значениями в М, принадле-
принадлежащим, по определению, классу i(h (g) т).
Если N —^Mq — градуированная алгебра, то аналогично определяется
гомоморфизм*
i: Н*(В, G) <g) N -
Снабдим первый член строением тензорного произведения алгебр** Н*(В, G)
и N, а второй — строением алгебры, определенной с помощью произведения
Колмогорова—Александера в В со значениями в алгебре N (произведение V,
рассмотренное в п. 8); тогда гомоморфизм i мультипликативен. Это положение
вещей сохранится, если мы изменим знаки в обоих членах на основе фор-
формулы E), что приводит к введению в первом члене строения левого] тензор-
тензорного произведения алгебр Н* (В, G) и N.
Дадим теперь два условия, достаточных для того, чтобы отображение
i было изоморфизмом.
х. М есть свободный модуль конечного типа***.
Так как оба члена аддитивно зависят от М, то достаточно проверить
наше утверждение для М = G; в этом случае результат очевиден.
/3. Модули Нр_г(В, G) и НР(В, G) свободны, и НР(В, G) имеет
конечный тип.
Так как модуль Н^^В, G) свободен, то можно отождествить НР(В, G)
с модулем Нот (HP(B,G),G), а модуль Нр(В,М) — с Hom(Hp(B,G),M),
* В силу аддитивности тензорного произведения имеем естественный изоморфизм
(модулей)
Н*(В, G) ® N Л! ^ HP(B,'G) ® Mq.
p,f
- Прим. ред.
** Пусть А=^Ар и В=^ВР — градуированные G-алгебры, удовлетворяющие
соотношениям Av • Ар> С Ap+p>, Вр • Вр> С Вр+Р> (р,р' = 0,1,., .). Их тензорным произ-
произведением А® В (над кольцом G) называется алгебра, аддитивный модуль которой равен
А ® В (тензорное произведение аддитивных модулей алгебр А, В), а градуировка и
умножение задаются формулами:
deg (a ® b) = deg a + deg & (а и & — однородные элементы),
(а ® Ь) • (а' ® &') = аа' ® ЬЬ'.
Для алгебры А® В выполнено соотношение
(А ® В)р • (А ® В)р» а (А® В)р+Р'.
Если алгебры А, В коммутативны, то их тензорное произведение А ® В также явля-
является коммутативной алгеброй. Для косокоммутативных алгебр аналогичное утверждение,
вообще говоря, неверно. В связи с этим вводится левое тензорное произведение алгебр.
Аддитивный модуль и градуировка определяются в левом тензорном произведении так
же, как и выше, а умножение задается формулой
(а ® Ь) • (а' ® Ъ') = (—l)deg a
(а, а', Ь, Ь' — однородные элементы). Легко проверить, что левое тензорное произведение
косокоммутативных алгебр косокоммутативно. — Прим. ред.
¦** То есть свободный G-модуль с конечным числом образующих. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 49
используя формулу универсальных коэффициентов для когомологий. Гомо-
Гомоморфизм i превращается тогда в естественный гомоморфизм
t': Нот (НР(В, G), G) <g) М -* Нот (Нр(В, G), М).
Так как НР(В, G) — свободный модуль конечного типа, то можно пред-
предположить (в силу аддитивности операций (g) и Нот), что этот модуль изомор-
изоморфен G, а в этом случае результат очевиден.
Применим сказанное выше к случаю, когда Мч — H\F, G). Получим
Предложение 8. Пусть G — кольцо главных идеалов; для того
чтобы алгебра Е\ (второй член спектральной последовательности когомо-
когомологий расслоенного пространства Е) была изоморфна левому тензорному
произведению (над G) H*(B, G) (g) H*(F, G), достаточно выполнение одно-
одного из следующих двух условий:
х. Hq(F, G) является свободным G-модулем конечного типа для всех
/S. HJB, G) является свободным G-модулем конечного типа для всех
рз*0.
(Напомним, что этот результат применим только в том случае, когда
локальное семейство, образованное в В группами Hq(F, G), тривиально для
всех q ss> 0.)
Если G — поле, то условия <х и /S можно перефразировать:
я. Пространство H\F, G) имеет конечную размерность над G для
всех <7 ss 0.
/S. Пространство НР(В, G) имеет конечную размерность над G для всех
рз=0.
Замечание. Имеется важное различие с теорией Лерэ: в этой пос-
последней, если коэффициенты берутся в поле, а локальное семейство
когомологий слоя тривиально в базе, то член Е| всегда изоморфен тензор-
тензорному произведению Н*(В) (g) H*(F). Это происходит потому, что Лерэ
использует когомологий с компактными носителями.
11. Доказательство леммы 4
Остальная часть главы посвящена доказательству лемм 3, 4, 5. Начнем
с леммы 4.
Доказательство ведется индукцией* по целому числу q.
Первая часть: q = 0.
Ку6 v сводится в этом случае к точке х, и проблема заключается в сле-
следующем: для заданного отображения и: /р-> В, переводящего все вершины
куба Р в точку Ь, найти отображение w : lv -*¦ Е, переводящее" все вершины
куба Р в точку х и удовлетворяющее соотношению pow = и.
Положим X = Р и А = $»} (со всюду в дальнейшем обозначает точку
@,0,.. .,0)). Применяя предложение 1 к паре (X, А), находим такое ото-
отображение w' : /р->- Е, что p°w' = и и w'(co) = х. Пусть sa — различные
вершины куба Р; положим /а = w'(sa). Тогда fae F, и так как слой F
линейно связен, то существуют такие отображения ga: / -*¦ F, что ga@) = /a и
ga(l) = х. Мы используем эти пути для деформации куба м>' в ку6 w с той
же проекцией и такой, что все его вершины находятся в точке х.
Для этого положим X = Р х /, А =* /р х {0} U {sa} x /. Очевидно, что
А — стягиваемый полиэдр. В обозначениях предложения 1" мы определим
• При фиксированном р з* 0. — Прим. ред.
Расслоенные пространства

50 Ж--п. cepp
отображение f:PxI-+B формулой f(xu:.., xp, t) = и(х1г..., xp) и ото-
отображение g: A ->¦ E соотношениями
g(xu,..,xp,0) = w'iXi xp) на P x {0},
g(Sa, 0 = go @ на {sa} x /.
Применяя теперь предложение 1, найдем отображение Л : Р х / ->¦ Е,
продолжающее g и удовлетворяющее соотношению pofi — f. Ку6 w: Р ->¦ E,
определенный равенством н>(х) = Л(х; 1), является искомым.
Вторая часть: переход от q — 1 к q.
Предположим, что qs* 1 и что для всех q' < q построение функции К(и, v),
удовлетворяющей условиям 1, 2, 3, проведено; речь идет о построении куба
К в случае, когда ку6 v имеет размерность q.
Первый случай: куб v вырожден.
Итак, ку6 v не зависит от своей последней переменной; пусть v' — ку6
размерности q —1, определенный равенством v'(xlt..., x^J = v(x1(..., xq).
Заметим, что v' = Х\ v = Х\ v. Определим ку6 К(и, v) формулой
K(ui v) (xv • • •. хп) = К(и, v') (х1( ..., xn-1).
По самому определению куб К(и, v) вырожден; остается доказать, что выпол-
выполнены условия 1 и 2:
ВК(и, v) (хх хр) «= р° К(и, v) (хх,..., хр, ух уа) =
= роК(и, v') (хх хр, ух yq_^ = и(ха,..., хр);
FK(u, v) (х1г..., ха) = K(u, v) @,..., 0, хг,..., ха) =
= К(и, v') @ 0, хи ..., xg_j) = v'(xa xg_j) = v(x1?..., xg).
Таким образом, условие 1 выполнено.
При вычислении куба Д|+р К (и, v) будем различать два случая.
Пусть i = q, тогда
Ц+р К(и, v) (х1(..., х^О = К(и, v) (xlf..., xn_!, e) =
= К(и, v') (xa xn_!) = K(u, Я| v) (xv ..., x^J (ибо v' = Яа v).
Пусть i < q, тогда
¦^i+p ^(u> v) (xli • • • » xn^l) = K(U> v) (xl> • • • i xi+p-li e» xi+p} • • • ) xn—l) =
= K(ll, V') (Xlf . . . , Х?+р_1( e, Xi+p, . . . , X^.j) =
= Д|+р K(u, V) (x» ..., xn_2) = K(u, Xf v') (x1(..., xn-8);
с другой стороны, ку6 А| v вырожден, так как i < q, и мы имеем
, Af v) (хх х^О = K(u, Я| v) (xv ..., х„^2, е) =
= K-i K(u, X\ v) (xx x^j) = K(u, K-v-i X\ v) (xx
Далее, ^-^-i A| v = Д$_х ^ v = Л| Aj v = Ц v', откуда вытекает справед-
справедливость свойства 2.
Второй случай: куб v не вырожден.
Мы сформулируем задачу построения куба w = К(и, v) как задачу
построения накрывающего отображения, которую мы и решим с помощью
предложения 1:
Положим X = Р х Iq, А = {со} х Iq\JP X D(/«), где D(/«) — граница
куба /а. Множество А стягиваемо, ибо оно легко ретрагируется на
{го} X /а U И X D(/«) = {го} х /«

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 51
Определим теперь отображение /: X -*¦ В, положив
f(xl7 ...,хр, у1(-..., yg) = u(xv ..., хр);
отображение g : A -*¦ Е определим следующим образом:
g@,..., 0, уг уя) = viyx yq) на {to} x /а,
g(x1(..., Хр, уг у{_ье, уи..., Уд-т)=К(и, Х\ v)(xa хр, уг ye_i) на
Допустим на время, что определенное таким образом отображение g^H
но; тогда можно применить предложение 1, из которого вытекает существо-
существование отображения w : X ->¦ Е, продолжающего g и удовлетворяющего соот-
соотношению p°w = f. Ясно, что w есть ку6, удовлетворяющий условиям 1 и
2; кроме того, так как qs* 1, то все вершины куба Р x Iй содержатся в
множестве Р х Д/5) и потому отображаются в точку х (ибо К(и, X*v)
есть ку6, все вершины которого находятся, согласно предположению индук-
индукции, в точке х).
Нам остается лишь доказать, что отображение g непрерывно, т. е. что
различные определения отображения g, данные для некоторых граней куба
Р х Iй, совместимы на пересечениях этих граней друг с другом.
Совместимость на ({со} х /а) П Up x Д/а)).
Рассмотрим точку @,. ..," О, ylt..., у?_а, е, уг,..., уя_^). Два определе-
определения отображения g в этой точке имеют следующий вид:
v(yi,.. v Уг-i, е, у4 уд_0 = XI v{yx ya_i)
и
К(и, Ц v) @,.... О, ух Уд-О = FK(u, X\ v) (у} у^.
Но, согласно предположению индукции, имеем Х\ v = FK(u, X\ v).
Совместимость на Р х D^I9).
Рассмотрим точку (х1(..., хр, уг,..., е,... , е', ..., ув_а), где е стоит на
г-м месте, а е'—на Г-м месте (i < V). Два определения отображения g в этой
точке имеют следующий вид:
К(и, b\_v v) (xlt..., хр| ylf..., е' yg_2) = Л|;_х К(иЛ'_р v) (х1г..., уд_2);
К(и, Д? _р v) (ха Хр, у1(..., е,..., ye_ij) = Х\ К(и, Х(,_р v) (xv ..., ув_2).
Но, согласно предположению индукции, имеем
?_р v) = К(и, ^Lp_j Д|_„ v)
Д| /С(и, ^ v) = К(и, XUP X(,_p v).
Совпадение двух определений отображения g вытекает из равенства
i'-p—1 М-р — Ai—p Ai'— р-
Таким образом, лемма 4 полностью доказана.
12. Доказательство леммы 5
Это доказательство вполне аналогично доказательству леммы 4, и мы
наметим его лишь в общих чертах.
Будем проводить индукцию по целому числу q.
Первая часть: q = 0.
Положим X = Р'• х / и А = (Р х {0}) U (Р х {1}) U (И х I). Ясно,
что множество А стягиваемо.
4* - 5/6

52 ж.-п. cepp
Определим теперь отображение f-.X^-B формулой f(x;f) — р о ц(х),
х е Р, и отображение g : А -*¦ Е соотношениями*:
g(x, 0) = u(x) на /*х{0};
g(x, l) = K(Bu, Fu)(x) на /* х {1};
g(w, /) = х на {го} X /.
Эти отображения совместимы и определяют, следовательно, непрерывное
отображение g. Используя предложение 1, мы получаем отображение
h: Рх /-»¦?, продолжающее g и удовлетворяющее соотношению р о h = f.
Мы положим Su = h.
Вторая часть: переход от q — 1 к q.
Первый, случай: куб и вырожден.
Пусть и' = Д» и = А* и. Положим Su(xv ..., хп+1) = Su'(xv ..., xj.
Легко проверить, что, в силу предположения индукции, полученный куб
обладает всеми требуемыми свойствами.
Второй случай: куб и не вырожден.
Положим X = 1Р х / X Jq и
А = (Р х{0} х /«) и (/р х {1} х /«) U (/р х / х D(/<0) U (И х / х /«).
Ясно, что множество А стягиваемо. Определим, далее, отображение f:X-+ В
формулой /(х; / ; у)= Ви(х) и отображение g : А -+ Е соотношениями:
g(x; 0; у) = и(х; у) на Р х {0} х 1%
g(x; 1; у) = К(В«, F«)(x; у) на Р X {1} X /«,
g(x; /; ylt..., у{_ь е,..., ув_0 = S^+i u(x; f; у„ ..., у^-Она Р х I X /)(/<0,
g(co; f; у) = и(со; у) = Fu(y) на {со} х / х I4.
Из предположения индукции следует совместимость этих различных
определений, что позволяет применить предложение 1 и получить отобра-
отображение h: X -+Е, продолжающее g и удовлетворяющее соотношению p°h =¦/.
Положив Su = h, мы получаем ку6, который обладает, очевидно, всеми
требуемыми свойствами.
13. Доказательство леммы 3
Пусть v — петля в пространстве В; положим С(и) = К(у, и), где К —
отображение, существование которого установлено в лемме 4.
Свойство 1 операции К означает, что С удовлетворяет свойствам 1 и
2 подчиненной конструкции для v; свойства 2 и 3 операции К означают соот-
соответственно, что С удовлетворяет свойствам 3 и 4 конструкции. Таким образом,
существование хотя бы одной конструкции установлено.
Для доказательства второй части леммы 3 мы воспользуемся следующей
леммой:
Лемма 7. Пустьh: I2 -*¦ В—такой двумерный куб базы В, что Л@, t')=
= h{\, t') = b для всех t' e /. Положим vx(f) = h(t, 0), v2@ = h(t, 1), так что
vx и vz суть гомотопные между собой петли пространства В. Пусть Сг и С2 —
две подчиненные конструкции для петель vx и v2 соответственно. Тогда
для всякого п-мерного куба и слоя F существует (л + 2)-мерный%куб Ни про-
пространства Е, имеющий фильтрацию «2ц удовлетворяющий условиям:
* В первых двух из этих соотношений х обозначает переменную точку куба 1Р,
а в третьем — фиксированную в слое F точку. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 53
, 2. Д$ Hu(t, ух,..., у„) = u(yv ..., уп).
3. Х% Ни = Схц; Х\ Ни = С2и.
4. НХ\ и = А?+2 Яи (е = 0,1; 1 =s i =s п).
5. Если куб и вырожден, то куб Ни также вырожден.
• Предположим на время, что эта лемма доказана, и рассмотрим эндо-
эндоморфизмы SCl = Su Sc, = S2, определенные конструкциями Сг и С8, как ука-
указано в п. 3. Пусть к(и) — эндоморфизм степени +1 цепей слоя F, опреде-
определенный соотношением k(u)(t, xlt ... , xj = ЯиA ,t,xv ... , хп). Вычислив
выражение dku + kdu, найдем dku + kdu = Бги — SjU; таким образом,
Sj и S2 гомотопически эквивалентны.
Итак, остается лишь дать
Доказательство леммы 7.
Это доказательство вполне аналогично доказательству леммы 4, и мы
наметим его лишь в общих чертах.
Проведем индукцию по целому числу п.
Первая часть: п = 0.
В этом случае куб и сводится к точке х. Ку6 Ни будет двумерным кубом
пространства Е.
Положим X = /*, А = (/ х {0}) U (/ х {1}) U ({0} х /); множество А
стягиваемо.
Определим отображение / : X -*¦ В формулой / = й.
Определим отображение g : А -*- Е следующим образом:
g(t, 0) = С1Ц@ на / х {0},
g(t, 1) = C8u@ на / х {1},
g(O,-f) = x на {0} х /.
Применив предложение 1, получим отображение w:X-*E, продолжа-
продолжающее g и удовлетворяющее соотношению pow = f; положим Hu=w.
Вторая часть: переход от п — 1 к п.
Первый случай: куб и вырожден.
Положим
Hu(t, f,xx,..., хп) = #u'(/, f, хъ ..., *„_!>,
где и' = Л? о = Х% и; легко проверить, что в силу предположений индукции
ку6 Ни, построенный таким образом, обладает всеми требуемыми свойствами.
Второй случай: куб и не вырожден.
Положим Х=/!х/*и
А = (/ х {0} х /n) U(/х {1} х /n) U ({0} х / х P)D(I х / х D(/n)).
¦Ясно, что множество А стягиваемо.
Определим отображение f:X-* В формулой f(t, f,xlt..., хп) = h(t, f)
и отображение g : A -*¦ Е — соотношениями:
g(t, 0, xlf ... , xn)= dtft, хъ ... , хп) на / х {0} х 1п,
g(t, I, xlf ... , xn) = Czu(t, хъ ... , xn) на / x {1} x /n,
g@, t, xlf... , xn)= u(xl7 ... ,xn) на {0} x / x In,
g(t, f,xu ... , Xi_lt s, ... , xn_0 = H A? u(t, Г,хъ ... , xn_x) на / x / xD(/n).

54 ж.-п. серр
Из предположения индукции вытекает, что эти различные определения
совместимы, а это позволяет применить предложение 1 и получить отображе-
отображение] w : X -* Е, продолжающее g и удовлетворяющее coot ношению р ° w = /.
Положив Hu = w, мы получим ку6, обладающий всеми требуемыми свой-
свойствами.
Лемма 3 полностью доказана.
Важное замечание.
В случае локально тривиальных расслоенных пространств можно дать
значительно более краткие доказательства лемм 3, 4, 5, 7. Именно, пусть
ц : Р -* В — сингулярный ку6 базы В; рассмотрим расслоенное простран-
пространство Е', являющееся прообразом* пространства Е при отображении и (см.
[59], Сообщения VII и VIII). Теперь достаточно провести в пространстве
Е' все построения, указанные в рассматриваемых леммах, что очень легко
сделать, так как, согласно теореме Фельдбау, Е' есть прямое произведение
Р х F.
Глава III
ПРИЛОЖЕНИЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В этой главе собраны некоторые простые приложения спектральной
последовательности расслоенных пространств. Приводимые здесь резуль-
результаты в большинстве своем известны, но при других предположениях и не
для пространств петель. Поэтому все доказательства приводятся.
Обозначения.
Всюду в дальнейшем (Е, р, В) обозначает расслоенное пространство
(в смысле п. 2 гл. 11) с линейно связными слоем F и базой В. Члены спектраль-
спектральной последовательности когомологий пространства ? будут обозначаться
через Ер9 (вместо Е*р>а) поскольку никакой опасности смешения с гомо-
логиями не будет; это соглашение будет также сохраняться и в следующих
главах.
1. Первое приложение
Предложение 1. Пусть А — кольцо главных идеалов; предположим,
что локальное семейство, образованное модулями H^F, А) в пространстве
В, тривиально для всех i. Тогда, если два из трех пространств Е, F, В обладают
тем свойством, что их модули гомологии со значениями в А являются
А-модулями конечного типа во всех размерностях, то и третье пространство
также обладает этим свойством.
(Напомним, что А-модуль называется модулем конечного типа, если
он порожден конечным числом элементов.).
(а) Предположим сначала, что двумя пространствами, о которых идет
речь, являются В a F. Тогда каждый модуль Е%л = Hv(B, Hq(F, А)) явля-
является модулем конечного типа, согласно формуле универсальных коэффициен-
коэффициентов (п. 10 гл. 11). Так как член Е3 изоморфен модулю гомологии модуля ?2,
снабженного дифференциалом d2, то Ef>e также является модулем конечного
типа; это же справедливо для Е\я и т. д. Отсюда следует, что градуирован-
• То есть индуцированным косым произведением (см. [143]). — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 55
ный модуль ? Е™, ассоциированный с Нп(Е, А), является модулем
p+q-n
конечного типа; следовательно*, это же заключение верно и для Нп{Е, А).
(b) Предположим, что двумя пространствами, о которых идет речь,
являются ? и В. Мы докажем (индукцией по i, начиная ci = 0), что H^F, A)
есть А-модуль конечного типа. Предположим, чтоH?F, А) ==?§•* не являет-
является модулем конечного типа; тогда Е§>* также не будет модулем конечного
типа. Действительно, модуль ?§>* изоморфен фактормодулю** модуля Ejj-'
по образу дифференциала d2 :Е|>1-1-*Е§-\ а этот образ есть модуль конеч-
конечного типа, поскольку Е\л~1 = Я2(В, H^F, А)) является модулем конеч-
конечного типа в силу предположения индукции***. С помощью такого же рассу-
рассуждения мы докажем, что все модули Е%'г, ..., Е$л, ... не являются модулями
конечного типа. Но это абсурдно, ибо при достаточно большом г модуль
Е°/ изоморфен подмодулю**** градуированного модуля, ассоциированного с
Нг(Е, А), и, следовательно, должен быть модулем конечного типа, согласно
условиям, наложенным на Е.
(c) Предположим, наконец, что двумя пространствами, о которых идет
речь, являются Е и F. Мы докажем (индукцией по i, начиная с i = 0), что
Нг(В, А) есть А-модуль конечного типа. Предположим, что Нг(В, А) = Еу°
не является модулем конечного типа; тогда зто же имеет место и для Е3*'0»
ибо этот модуль изоморфен ядру***** дифференциала d2: Е|'°-»• ??~2'S а мо-
модуль ?j-2> * изоморфен Нг_^В, H^F, А)) и потому является модулем
конечного типа, согласно предположению индукции. С помощью такого же
рассуждения мы докажем, что Eji0, ..., ?j.>0, ... не являются модулями
конечного типа. Но это абсурдно, ибо при достаточно большом г модуль
Ei'° изоморфен подмодулю****** градуированного модуля,ассоциированного с
Нг(Е, А), и, следовательно, должен быть модулем конечного типа, со-
согласно условиям, наложенным на Е.
Замечание. Предположим, что А — поле, и обозначим через bit Д, е4
размерности векторных пространств (над А) Я4(В, A), H^F, А) и Н{(Е, А)
соответственно. Часть (а) предыдущего доказательства показывает, что имеет
место неравенство*******
p+g-n
В [84], кроме этого неравенства, имеются неравенства, соответствующие
случаям (Ь) и (с).
• Так как в последовательности
0 = D-i.n+i с Do>" а... С D"-1 С D".o = Нп(Е, А) (*)
(см. п. 2 гл. I) все последовательные фактормодули
рл
имеют конечный тип, то и все члены последовательности (*) (и, в частности, модуль
Нп(Е, А)) имеют конечный тип. — Прим. ред.
** Все элементы модуля ?§'* являются циклами относительно дифференциала
</а. — Прим. ред.
*** И в силу формулы универсальных коэффициентов (п. 10 гл. II). — Прим. ред.
*••* ЕМ & ?)o,i с Hi(E, A). — Прим. ред.
***** Никакой отличный от Нуля элемент модуля Е\'° не является границей относительно
дифференциала dr — Прим. ред.
****** fibg^Dt.o/Di-1,1 = ЩЕ, A)/D»-i. 1. — Прим. ред.
******* Обозначяв через 6(М) размерность векторного пространства М над полем А,
получим (см. примечание* на этой странице)
<5(Hn(?, A)) = 3(D».o) = 2 *№)¦«
p+q-n
«s J?3(Ef'3)= ? d{Hp(B,A)®Hq(F,A)) =
p+g-n P+Q-n
= 2 K»p(B, A)) • d(Hq(F, A)) = ^ h-tq-
— Прим. ред. p+q-n p+q-n .:

56 Ж-П. СЕРР
2. Характеристика Эйлера—Пуанкаре расслоенных пространств
Пусть к — поле, а еь Ьи /( — размерности векторных'^-пространств
Нг(Е, к), Hi(B, к), Hi(F, к). Если эти размерности конечны для всех
i и равны нулю для достаточно больших i, то можно определить характерис-
характеристики Эйлера—Пуанкаре пространств Е, В, F (которые мы будем обозначать
через %{Е), %(&), x(F)) при помощи обычных формул
Тогда имеем (см. [84], следствие 9Л)
П р е д л о ж-е н и е 2. Пусть к — поле; предположим, что
(a) локальное семейство, образованное группами H{(F, k) в прост-
пространстве В, тривиально для всех i г* О,
(b) числа Ь{, Д конечны для всех i и равны нулю для достаточно больших i.
При этих условиях характеристики Эйлера—Пуанкаре* пространств
Е, В, F связаны соотношением %{Ё) = %{В) • %(F).
Мы можем определить характеристики Эйлера—Пуанкаре различных
членов Eit ... , Еоо спектральной последовательности, поскольку они явля-
являются градуированными (в смысле полной степени) векторными пространствами
конечной размерности (ибо Ег — Н(В, к) 0 H(F, к) имеет конечную раз-
размерность).
Из условия (Ь) вытекает, что дифференциалы dr равны нулю** для
достаточно больших г, так что Ег = Ето для достаточно больших г. Таким
образом, получаем*** %{Е) = *(?«>) = х(Ег), где г достаточно велико.
С другой стороны****, Z(?a) = *(Я(В, k)®H(F, к)) = Z(B) -Z(F).
Наконец, так как Е^ является векторным пространством гомологии
пространства Е„ снабженного дифференциалом степени —1 (относительно
полной степени), то классическое рассуждение***** показывает, что z(?r+i) =
= Х(ЕГ). Таким образом, %{В) ¦ X(F) = %(Е^ = ^(Е3) = ... = Х(ЕГ) =...=
= х(Есо) = Х(Е)> и теорема доказана.
Замечание. Если В — конечный полиэдр, то условие (а) излишне.
Действительно, как и прежде, имеем %{Е) = х{Е$); но Ег = ЩВ, H(F, к)) —
группа ' гомологии группы Е[ = С'(В, к) 0 H(F, к), где С'(В, к)
обозначает векторное пространство симплициальных цепей базы В с коэффи-
коэффициентами в к. Согласно сделанным гипотезам, пространство С'(В, к) имеет
конечную размерность, и %{Е^ = %(?{) = х(С'(В, к)) • %{F) = #(В) • %{F),
что доказывает сформулированный результат.
Автору неизвестно, является ли в общем случае условие (а) излишним
или нет.
* Согласно предложению 1, все пространства Н\{Е, к) имеют (над к) конечную раз-
размерность. Из неравенства en «s JP bp • /g вытекает теперь, что ei =0 при достаточно боль-
p+g-n
ших /. Таким образом, имеет смысл говорить о характеристике Эйлера—Пуанкаре прост-
пространства Е. — Прим. оед.
•• Дифференциал dr отображает член ?J?>e в Ef-•"> a+»wi1 ио при достаточно
большом г (и любых р, q) пространство Hg+r_!(F, к), а следовательно, и Щ— г<я.+г—1^
f« Hplr(B. к) ® He+r_x(F, к) тривиально» — Прим. ред.
••• Равенство *(Е) == z(?oo) вытекает из соотношения д(Нп{Е, к)) = 2
приведенного в примечании******* иа стр. 55. — Прим. ред. р+в-п
X(F) B4) B1 M
n p+a-n n p+a-n
= ^(—1)» V в(?Р'«) = x(Et). — Прим. ред.
П P+Q-n
*•••• См., например, [113]. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 57
3. Расслоения эвклидовых пространств
Предложение 3. Пусть к — поле; предположим, что локальное
семейство, образованное в В группами H^F, k), тривиально для всех i з= 0.
Предположим, кроме того, что Ht(B, k) = 0 для i > р и что Щ/7, к) = 0
для i > q. Тогда Нг(Е, к) = 0 для i>p + q, а пространство Hp+q(E, к) изо-
изоморфно тензорному произведению (над к) НР(В, k)®Hq(F, к).
(Qm. [84], п. 9, а также [22].)
Согласно предложению 7 гл. II, член Etf изоморфен тензорному произ-
произведению (над к) Нг(В, k)(g>Hj(F, к). Отсюда следует, что??>3'=0, если
i > р или / > q (г = 2,3, ... , оо). В частности, все члены пространства Ете,
у которых полная степень строго больше р + q, тривиальны, что доказывает
первую часть предложения.
Остается показать, что пространство Hp+q(E, к) изоморфно
НР(В, к) 0 Hq(F, к). Для этого заметим, что элементы члена Ера (г г* 2)
обладают следующими двумя свойствами:
a) Всякий элемент из Ера является циклом относительно дифференциала
й„ так как этот элемент имеет максимальную дополнительную, степень, а
дифференциал dr увеличивает дополнительную степень.
b) Никакой отличный от нуля элемент из Ерй не является границей
относительно дифференциала dr, так как этот элемент имеет максимальную
фильтрующую степень, а дифференциал dr уменьшает фильтрующую степень.
Из этих двух свойств вытекает, что Е%Л = Е$Л =... = Е™.
Так как мы уже видели, что все остальные члены из Е^, имеющие полную
степень р + q, тривиальны, то отсюда следуют равенства
Яр+д(?, к} = Е%? = El* = Нр(В, к) (g) Hq(F, к),
и теорема доказана.
Следствие. Пусть к — поле; предположим, что локальное семейство,
образованное в В группами Ht(F, k), тривиально для всех />0u что Н{(Е, к) =
= 0 для всех i > 0. Тогда* справедливо по крайней мере одно из следующих
трех утверждений:
(а) Нг(В; к) = Я{(F, к) = 0 для всех i>0;
(Р)Нг(В, к)^0 для бесконечного числа значений i;
(у) Hi(F, k)^?0 для бесконечного числа значений i.
Это утверждение непосредственно следует из доказанного выше пред-
предложения и того факта, что тензорное произведение векторных пространств
равно нулю только в том случае, когда хотя бы одно из этих пространств
равно нулю.
Предложение 4. Предположим, что эвклидово пространство Е = #п
является локально тривиальным расслоенным пространством со связным
слоем F и базой В. Тогда F и В ацикличны: Нг(В, Z) — Ht(F, Z) = 0
для всех i > 0 (Z — кольцо целых чисел).
Так как расслоение локально тривиально, то F и В локально стягиваемы
и имеют размерность =е п. Отсюда следует, что группы fi^F, Z) и Ht(B,Z)
тривиальны при i> п (см., например, [58], Сообщение XVI, п. 7). Так как
слой F линейно связен, то из точности гомотопической последовательности**
• Случаи (?) и (у) могут иметь место одновременно. — Прим. ред.
** Гомотопическая последовательность косого произведения имеет вид
я„(В)
Если слой F лииейио связен, то последний гомоморфизм :%(?) -> %(В) этой последователь-
последовательности является эпиморфизмом. Отсюда (в силу тривиальности группы лг{Е)) вытекает
соотношение я^В) = 0. — Прим. ред.

58 Ж.-П. cepp
вытекает, что щ(В) = 0, и потому локальное семейство групп Ht(F, к)
(где к — некоторое поле) тривиально в В. Следовательно, можно применить
предыдущее следствие; так как случаи (/?) и (у), согласно предыдущему,
исключены, то имеем Н{(В, к) —.//,(F, к) = 0 для любого поля к и всех
i > 0. -Для завершения доказательства теперь остается установить следу-
следующую лемму.
Лемма. Пусть Y— такое топологическое пространство, что Нг(У, Л)=0
для любого поля к и всех целых чисел i, удовлетворяющих условию 0 < i =e q.
Тогда Нг(у, Z) = 0, для всех целых чисел i, удовлетворяющих условию 0 < i =e
*sq — 1.
Согласно формуле универсальных коэффициентов, имеем
Ht(Y, к) = Я,.(У, Z) ® к + Тог (Я4_!(У, Z), к),
где знак + обозначает прямую сумму, а операции ® и Тог построены отно-
относительно кольца главных идеалов Z (см. [67]). Обозначим через М какую-
либо из групп Н{(У, Z), 0 < / «s q — 1. Из предыдущей формулы вытекает,
что для произвольного поля к имеем
М ® к = Тог (М, к) = 0.
Я утверждаю, что отсюда вытекает соотношение М — 0.
Действительно, пусть сначала Л = Q есть поле рациональных чисел;
соотношение М ®Q = 0 означает, что М есть периодическая группа*. Поло-
Положим теперь к = Fp (поле порядка р); соотношение Тог (М, Fp) = 0 озна-
означает, что из р • х = 0, х € Л1, вытекает х = 0. Так как это обстоятельство
имеет место для всех р, то периодическая группа М тривиальна, чем и завер-
завершается доказательство**.
Следствие. Предположим, что при выполнении условий предложения 4
В есть локально конечный полиэдр. Тогда расслоение пространства Е = R"
тривиально, т. е. Е = В х F.
Так как В — локально конечный односвязный и ацикличный полиэдр,
то он стягиваем. Поэтому сформулированное следствие вытекает из класси-
классической теоремы Фельдбау***.
Замечания. 1. Можно доказать, что утверждение предыдущего след-
следствия остается в силе, если предположение «В есть локально конечный
полиэдр» заменить следующим: «F есть локально конечный полиэдр». Ка-
Кажется вероятным, что в действительности ограничительные условия на В
или F могут быть полностью опущены; без сомнения, не существует других
расслоений пространства /?" со связными слоями, кроме прямых разложений
/?« = /?" х Rq (р + q = п) , но это, по-видимому, трудно установить8.
2. Используя теорию Чеха и методы, аналогичные методам Хирша,
Шапиро получил предложение 4 и показал, как можно вывести из него сле-
следующий результат, предположенный Монтгомери и Самельсоном: простран-
пространство R" не может быть расслоено на компактные стягиваемые слои, не сводя-
сводящиеся к точке [181]. Основываясь на теории Лерэ(для когомологий с компакт-
компактными носителями), Борель и автор [22] независимо получили тот же резуль-
результат; их методом доказано, кроме того, что не существует расслоения прост-
пространства R" на связные слои с компактной базой, не сводящейся к точке [14].
• То есть, группа, ие содержащая элементов бесконечного порядка. — Прим. ред.
** Доказательства использованных автором свойств операций ® и Тог читатель
может иайти в [145]. — Прим. ред.
*** Если база косого произведения является стягиваемым пространством, то произ-
произведение эквивалентно прямому (см. [143]). — Прим. ред.
8 Подробнее об этом вопросе см. статью Юнга [201].

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 59
4. Точная последовательность
Предложение 5. Пусть А — кольцо главных идеалов; предположим,
что локальное семейство, образованное в В группами H^F, А), тривиально
для всех i ё* 0; Предположим далее, что #,(В, А) = 0 для 0<i<p и что
H{(F, А) = 0 для- О < i < q. При этих условиях имеем точную последова-
последовательность
«P+,_1(F, A) - HP+9_X(E, A) - H^^B, A) -
- Hp+q_u(F, A) - ... - HS(B, А) -* H^F, A) -
-> ЯЛЕ, A) -v ЯХ(В, А) -> 0.
Согласно формуле универсальных коэффициентов,
?*¦' =Я?(В, A)(g)«,(F, А) + Тог'М.ЛВ, А), tf,(F, А)),
где операции 0 и Тог построены относительно кольца главных идеалов А.
Отсюда следует, что ?|>} = 0, если i^O,/^0 и i + /«ер + ^-^ 1. Для
данной полной степени п член ?2 содержит только два члена, которые могут
быть отличными от нуля: ЩЛ = Нп(В, А) и E%n = Hn(F, А) (при
O^n^p+q— 1). Кроме того, условия п. 4 гл. I, очевидно, выполнены,
и можно применить доказанное там предложение 3, которое и дает искомый
результат*.
Заметим, что гомоморфизм Нп(В, А)-+ Wn_i(F, А) @>&п*?р + q — \)
представляет собой не что иное, как трансгрессию** dn.
Замечания. 1. Двойственная точная последовательность существует
для когомологий (см. предложение З1 гл. I).
2. Гомоморфизмы
n{(F) -v H^F, г),1я{(Е)-»Н{(Е, Z), яг(В) -* Ht(B, Z)
определяют совместимый гомоморфизм*** точной последовательности гомо-
топий в точную последовательность предложения 5 (для кольца целых
чисел A =Z); это непосредственно следует из коммутативности диаграммы
(Г) п. 7 гл. II.
Следствие 1. В условиях предыдущего предложения естественное
* Эпиморфность отображения Н^Е, А)-*Н1(В, А) вытекает из точности последо-
последовательности (см. стр. 21)
0-*пЕ'оо^Нп(А)^пЕ1о-»0
(при п = 0) и из того факта, что ?„" = Eg'° (впрочем, эпиморфность этого отображения
может быть доказана и непосредственно). — Прим. ред.
** При 2=sr=3/i—1 «s р + q—1J гомоморфизм dr : ??• °-* ?™~г> r-1 тривиален
(ибо г—1 &• 1, п — г&>1, и потому группа Е"~г>г~1 тривиальна); следовательно, при
этих условиях все элементы группы ??'° являются циклами относительно дифференциала
dr. Кроме того, никакой отличный от нуля элемент группы ??'° ие является при т > 2
границей относительно дифференциала йг (ибо dr увеличивает дополнительную степень
на г— 1, а элементы группы Ё?'° имеют минимальную дополнительную степень). Таким
образом, при 2 «s n «s р + q имеем Eg'0 = Е*'0 = ... = в?'°. Аналогично, ?§'" =
= ?§¦" = . .. = Еп'+г при 2=3/i=sp+ q— 2. Таким образом, гомоморфизм Нп(В, А)-*
-*¦ Hn-i(F> А), т. е. гомоморфизм Ej'0-»- Eg'™ является (см. примечание**** на стр. 22)
композицией гомоморфизмов
? p + ?— 1),
где а. и р суть изоморфизмы. Это и означает, что гомоморфизм Нп(В, А) -*• Hn^F, A)
представляет собой трансгрессию. — Прим. ред.
*** То есть такой гомоморфизм, при котором соответствующая диаграмма (строками
которой являются указанные точные последовательности) коммутативна. — Прим. ред.

60 Ж.-П. СЕРР
отображение р+: Н{(Е mod F, А) -» Ht(B, А) этшорфно для 2 «s i«s p + q
и изоморфно для 2«ei=^p + #— 1.
Образ гомоморфизма Wf(? mod F, А) -> Я4(В, А) равен Е\Л (п. 7 гл. 11),
но дифференциал dr равен нулю на ?j-°, если 2«er<i«ep + ^, поскольку
он отображает этот модуль в Ё$~Т'Т~г, который тривиален. Отсюда следует,
что
Н{(В, А) = Еу° = ?|'° = ... = ?}•« B «s i =s p + q),
чем и доказана первая часть следствия.
Для доказательства второй части рассмотрим диаграмму (где 2 =^ i ====
+ 1)
, А)-*//<(?> А)-+Н{{Е mod F, А)-*//^/?, А)-//,_!(?, А)
Ф Ф Ф • Ф Ф
Ht(F, А)-*//,(?, А)->Я,(В, А) >Wf_x(F, А)-*Я^(?, А)
где вертикальные стрелки означают тождественные отображения, за исклю-
исключением третьей, которая означает гомоморфизм р+. Эта диаграмма коммута-
коммутативна (согласно п. 7 гл. 11), а обе ее строки представляют собой точные пос-
последовательности. Из «леммы о пяти гомоморфизмах»* вытекает теперь, что
р* есть изоморфизм, чем и завершается доказательство следствия.
Следствие 2. Предположим, что Н((Е, А) = 0 для всех i > 0 и
Hi(B, А) = 0 для 0 < К р. Тогда надстройка 2 отображает H{(F, А) на всю
группу Hi+1(B, А) для 0 < i «е 2 р — 2; при 0 < i < 2 р — 2 она является
изоморфизмом. В частности, H^F, А) = 0 при 0 < i < р — 1.
Применяя предложение 5 в случае q = 1, находим прежде всего, что**
Яг(?, А) = 0 для 0 < i < q — 1. Применение предыдущего следствия
(при q = p— 1) дает теперь искомый результат (с учетом того факта, что
2=р+оЭ~1, где d:Hi+i(E mod F, A)-+Hi(F, А) — граничный гомомор-
гомоморфизм)***.
Следствие 3. Предположим, что Ht(B,A) = 0 для всех i > 0. Тогда
естественное отображение H{(F, A)-+H{(E, А) является изоморфизмом для
всех i 5» 0.
Применяем предложение 5 при р = оо, q = l.
Следствие 4. Предположим, что H{(F, А) = 0 для всех i > 0. Тогда
проекция р:Е-> В определяет изоморфизм группы Н{(Е, А) на Н{(В, А)
для всех i ^ 0.
Применяем предложение 5 при р— 1, 0= оо.
Замечание. Этот последний результат может рассматриваться как
аналог (в сингулярной теории) хорошо известной теоремы Виеториса для
* Эта лемма формулируется следующим образом. Если в коммутативной диаграмме
А-+ В-+С-+ D-+ Е
\ \ \ \
строки представляют собой точные последовательности, а отображения а, Ь, d, e изо-
изоморфны, то С также есть изоморфизм (можно потребовать несколько меньше: достаточно,
чтобы отображение а было эпнморфно, отображение е мономорфио, а отображения Ь и
d изоморфны). Доказательство см. в [145]. — Пром. ред.
** Из точности гомологической последовательности
Hi+1(E, А) > Hi+1(E mod F, A) -^—> Hi{F, A) > ЩЕ, А)
и тривиальности групп Нп(Е, А) прн п > 0 вытекает, что при i > 0 граничный гомоморфизм
9: Hi+1(? mod F, A) -> Hi{F, A)
является изоморфизмом. — Прим. ред. •
*** См. предыдущее премечаиие. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 61
гомологии (или когомологии) Чеха; впрочем, эта теорема Виеториса может
быть доказана с помощью теории Лерэ—таким же способом, который применен
5. Точная последовательность Гиэииа
Предложение 6. Пусть Е — расслоенное пространство с линейно
связной базой В, слой F которого имеет те же когомологии с коэффициентами
в коммутативном кольце А с единицей, что и сфера Sk, к з= 1. Предположим,
что локальное семейство, образованное в В модулями Hk(F, А), тривиально.
Тогда имеем точную последовательность
. .. -> Н\В, А) -» Н\Е, А) -> Н{~\В, А) -*-* Hi+1(B, A) ->...,
где h(x) — x-Q = Q'X для всех хеН1~Н(В, А), причем Q — вполне опреде-
определенный элемент группы Нк+ЧВ, А), удовлетворяющий, если к четно, условию
2Q = 0.
(Этот результат по существу принадлежит Гизину [36]; форма, в которой
он здесь приведен, принадлежит Тому [146] и Спанье—Чженю [139]. После-
Последующее доказательство принадлежит Лерэ [84], п. 11.)
Рассмотрим член Е2 спектральной последовательности когомологии рас-
расслоенного пространства ?. Имеем
?2 = Н*{В, H*(F, А)) = Н*{В, H°(F, А)) + Н*{В, Hk(F, A)).
Следовательно, гомоморфизм алгебр Н*(В, A)(g>H*(F, А)-+Н*(В, H*(F, A))
является изоморфизмом* (тензорное произведение берется над А).
Отсюда следует, что для данной полной степени i член ?2 содержит
только два члена, которые могут быть отличны от нуля:
ЕЪ'° = Нг(В, А) и ?,-*•* = Hl-h(B, A)®Hk(F, A).
Применяя предложение 3' гл. I, получаем точную последовательность**
"...-» Н\В, А) -> Н1(Е, А) -* Нг~*(В, A) (g) Hh(E, A) ^±-x-> Hi+\B, А) -*
Для получения точной последовательности, указанной в формули-
формулировке теоремы, остается лишь выбрать изоморфизм g : Я*~"(В, А) -*¦
-* Нг-\В, A)®Hk(F, А) и положить h = dk+1og. Пусть s — образующий
элемент модуля # (Z7, А); положим
g(x) = (— l)deg*x0s для всех хеН*(В, А).
Положим, далее***, Q = dk+1(l <g>s)eHh+1(B, A).
4 См. [111, теорема 5-а.
* См. предложение 8 гл. II (условие а). — Прим. ред.
** При г> 1 гомоморфизм dr: Ер°-+ Е1Г+Г'~Г+1 тривиален (ибо — г+ 1 < 0), т. е.
все элементы модуля Егг'° являются циклами относительно дифференциала dr. Кроме того,
при 2 < г =s к никакой отличный от нуля элемент модуля Е1Л не является границей
относительно дифференциала dr(n6o модуль EJ~~r>r~'1, отображающийся в Ехг'°, тривиален).
Таким образом, ?2'° = ?|'° = ... = Ek'+i- Аналогично, Еъ~к'к = Ё^~к'к = .. .= fij^i'*-
Следовательно, гомоморфизм Н1->ЧВ, А) ® Hk(F, А) -> Н1+ЦВ, А) в написанной точной
последовательности (т. е. гомоморфизм Elf*'k -+E\+%'°) является (см. примечание**** на
стр. 22) композицией гомоморфизмов
*
где и и р — изоморфизмы. — Прим. ред.
*** Через 1 обозначен образующий элемент модуля Н°(В, А). — Прим. ред.

62 ж.-п. серр
Имеем*
h(x) = dk+1((-})**'x <g>s) = (-l)deg*dfc+1(*).5 + (-1
Так как** dfc+i(x) = 0, то отсюда получаем h(x) = x-Q. Для доказатель-
доказательства соотношения Л(х) = Q • х достаточно усмотреть, что 2 ? = 0, если к
четно (в силу закона косой коммутативности в Н*(В, А)). Мы имеем***
2s. dh+1(s) =[2J? <g> s;
но s2 == 0, откуда 2 ? = 0, и теорема доказана.
Замечания. 1. Двойственная точная последовательность существует
для гомологии; доказательство то же самое.
2. В заметке Тома [146] имеется результат более полный в том смысле,
что он остается справедливым даже тогда, когда локальное семейство, обра-
образованное группами Hk(F, А), нетривиально (расслоенное пространство
«не ориентируемо»), и даже при к = 0. Можно было бы распространить
наш метод так, чтобы был охвачен «не ориентируемый» случай, но случай
к = 0, по-видимому, не может быть получен этим способом.
6. Точная последовательность Вана
Предложение 7. Пусть Е — расслоенное пространство с линейно
связным слоем F и с базой В, имеющей то же кольцо когомологий с коэффи-
коэффициентами в кольце главных идеалов А, что и сфера Sk, к 5» 2; предположим,
кроме того, что база В односвязна. При этих условиях имеем точную после-
последовательность
... ^ Н\Е, А) -> H\F, A) _?_ W-^iF, A) -> Hi+1(E, A)-*...,
где гомоморфизм в является дифференцированием для нечетного к и анти-
антидифференцированием для четного к. t
(Этот результат принадлежит, по существу, Вану [30]; тот факт, что в
является дифференцированием (соответственно антидифференцированием)
при нечетном (соответственно при четном) к, был указан Лерэ [84]. После-
Последующее доказательство принадлежит Лерз.)
Рассмотрим спектральное кольцо когомологий расслоенного простран-
пространства Е. Применяя предложение 8 гл. II, мы видим, что член ?2 изоморфен
тензорному произведению****
Я*(В, A) <g> H*(F, A) = Я*(Sfc, A) ® H*(F, A).
Отсюда следует, что ?2 содержит (для данной полной степени) только два
члена, которые могут Ьыть отличны от нуля, и, применяя предложение 3'
гл. I, мы получаем точную последовательность*****
... ^ Н\Е, А) -> W{F, A) ^ Hk(B, A) (g) tf^+V'.M» Hi+\E, A) - ... .
• Элементы x = x®1,s = 1®sh x® sпринадлежат модулю Н*(В, А)®H*(F., A) =
= Еа = Efc+1 н потому выражения dfc+1(x®s), dk+1(x), rffc+1(s) имеют смысл. Далее, со-
согласно закону умножения в левом тензорном произведении, мы имеем (x®s) =
=(х® 1) • A ® S) = х • s. Так как <fe+1 есть аитидиффереицированиев Еь+1, то отсюда и
получаем нужную формулу. — Прим. ред. ^
*• Так как х е Ej?ft, где n=degx, то dft+1 (x) € E"+i+1> ~k = 0 прн к &. 1.
— Прим. ред.
••• При четном к. — Прим. ред.
•**• Следует применить формулу универсальных коэффициентов для когомологий..
— Прим. ред.
***** При l=sr=sfc — 1 гомоморфизм dr: E$'1 -*¦ е?'1~г+1 тривиален (в силу тривиаль-
тривиальности модуля ?Jj>*-"r+1, и потому все элементы модуля Ег'1 являются циклами относительно
дифференциала йТ. Кроме того, при г з= 2 никакой отличный от нуля элемент модуля
Ег'1 не является границей относительно дифференциала dr. Таким образом, E|S'l = ?!'r =

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 63
Для получения точной последовательности, указанной в формулировке
теоремы, остается лишь выбрать изоморфизм
g : //*-*+i(F, А) -> Нк(В, A) <g> Я(-"+1(^, А)
и положить
Пусть 5 — образующий элемент модуля Н\В, А); положим g (х) = s ® х.
Тогда по определению имеем dk(x) = s®0(x), xeH*(F, A).
Вычислимdk{xy): с одной стороны, имеем dk(xy) = s(g)d(xy), а с другой
стороны*,
= 5 <g) @ (X) - у) + (-1)<"+1> *** S <g> (х • в (у)).
Сравнивая, получаем
в (ху) = в(х)-у + (- l)<fe+1>de^ х - в (у),
а это и означает, что 0 есть дифференцирование при нечетном к и антидиффе-
антидифференцирование при к четном.
Замечание. Для гомологии имеем двойственную точную последова-
последовательность
¦,.. *- Н((Е, А) - H((F, A) *- W(_fe+1(F, A) *- Hi+1(E, A) *- ... .
7. Теорема Лерэ—Хирша
Пусть Е — пространство, F — его подпространство, к — некоторое поле.
Условия: «отображение Hf(F, к) -> ЯДЕ, к) мономорфно» и «отображение
Н\Е, к) ->• H*(F, к) эпиморфно», эквивалентны, как непосредственно следует
из двойственности между гомологиями и когомологиями**. Если эти условия
выполнены для всех i > 0, то говорят, что подпространство F «вполне него-
негомологично нулю» в Е (относительно поля к).
Имея это определение, сформулируем
= ...= EF. Аналогично, Е%'{~к+1 = $'г~к+1= ... =?fe>i~fe+1. Следовательно, гомо-
гомоморфизм W{F, A)-^Hh(B, A) ® Н*г-*+ЦР, А) в написанной точной последовательности
(т. е. гомоморфизм fig'*-»-?^'l~fe+1) является (см. примечание**** иа стр. 22) композицией
гомоморфизмов
Е%' >• Eh' > Eh >¦ t.% ,
где а и /3 — изоморфизмы. — Прим. ред.
* Имеем (s ® в (х)) • у = (s ® в (х)) A ® у) = s ® (в (х) .у), х • (s ® в (у)) =
= A ® х) • (s ® в (у)) = (—l)degs:- deg«s® (х^в (у)) (действия производятся в левом
тензорном произведении Н*(В, А) ® H*(F, А)). — Прим. ред.
** Из точной последовательности гомологии
... -> H[(F, к) -^->- Hi(E,k)-i±-* Hi(EmouF,k)-+ ...
получаем двойственную последовательность^
...-«- Нот (Hi (F, к), к) «-^- Нот (НЦЕ, к), к) *^— Нот (ЩЕ mod F, к), к) ¦
которая совпадает с последовательностью когомологий
) +?— Ш(Е,к) -Л—НЦЕ mod F,k) ¦«-... .
Из мономорфности отображения i» вытекает эпиморфиость отображения i*, и обратно
(ибо к — поле). — Прим. ред.

64 Ж.-П. СЕРР
Предложение 8. Пусть Е — расслоенное пространство с линейно
связными слоем F и базой В, а к — поле. Предположим, что выполнены
условия:
{ъ\ слой F вполне негрмолошчен нулю в Е относительно к;
(Ь) пространства Hl(F, к) и Н1(В, к) имеют конечную размерность
над к для всех i з= 0.
При этих условиях градуированная алгебра, ассоциированная с Н*(Е, к),
изоморфна тензорному произведению* Н*(В, к) (g) H*(F, к) (см. [84], теорема
7.3).
Прежде всего, из (а) следует, что- локальное семейство, образованное в
В группами Hl(F, к), тривиально для всех i з= 0. Действительно, известно
(гл. II, п. 9,а), что все элементы, принадлежащие образу алгебры Н*(Е, к)
в H*(F, к) при гомоморфизме, порожденном вложением F -*• Е, остаются
инвариантными при преобразованиях Т„ аещ{В); поэтому, согласно
предположению (а), все элементы группы Hl(F, к) инвариантны относительно
преобразований группы щ(В), а это и означает, что локальное семейство
тривиально.
Далее, из условия (Ь) и предложения 8 гл. II следует, что член Е2 спек-
спектральной последовательности когомологий пространства Е изоморфен (как
алгебра) левому тензорному произведению (над к) Н*(В, к) (g) H*(F, к). Так
как образ алгебры Н*(Ё;к) в H*(F, к) сострит из тех элементов алгебры
H*(F, к), которые являются циклами относительно всех дифференциалов
dr, то предположение (а) говорит нам, что dr — 0 на H*(F, к) для всех г. Но
так как дифференциал dr обращается в нуль на элементах алгебры Н*(В, к)
и является антидифференцированием, то он обращается в нуль на всей
алгебре Н*(В, к) (g) H*(F, к), и мы имеем Е2 = Еа = ... = Е^, что и дока-
доказывает теорему.
Вообще говоря, алгебра Н*(Е, к) не изоморфнаалгебреЯ*(?, к) (g) H*(F, к).
Действительно, имеет место
Предложение 9. Для того чтобы в условиях предложения 8 су-
существовал изоморфизм алгебр Н*(В, к) (g) H*(F, к) ->¦ Н*(Е, к), дающий при
переходе к градуированным ассоциированным алгебрам** изоморфизм*** члена
Е2 на ?«,(„ необходимо и достаточно существование такого гомоморфизма
алгебр q*:H*(F, k)-+H*(E, k), который в композиции с естественным гомо-
гомоморфизмом i*:H*{E, k)^-H*(F, k) дает тождественный автоморфизм ал-
алгебры H*(F, k).
Необходимость очевидна.
Для доказательства достаточности рассмотрим отображение р*: Н*(В, к)-*
-»¦ Н*(Е, к), индуцированное проекцией р:?->В. Оно позволяет определить
гомоморфизм алгебр****
p*®q*: Н*{В, к) <g> H*{F, к) - Н*(Е, к).
* То есть EocsPaH*(B,k)^)H*(F,K). — Прим. ред.
** Сделаем некоторые замечания по поводу формулировки этой теоремы. Фильтрация
алгебры Н*(В, k)®H*(F, к) определяется подалгебрами М*Р =(^Нп(В,к)) ® H*(F, к).
п>р
Ассоциированная алгебра вновь совпадает с Н*(В, к) ® H*(F, к) — Et. В алгебре Н*(Е, к)
фильтрация определяется подалгебрами D*P — ^ D*p>4; ассоциированная алгебра нзо-
ч
морфна члену Еоо. — Пром. ред.
••• Следует добавить: тождественный. — Пром. ред.
*••• Пусть А, В, С — градуированные косокоммутативные алгебры, а /: А-+С,
g:B-+C — их однородные гомоморфизмы. Соотношение h(a® Ь) — /(в) • g(ft), в е А,
Ь е В, определяет, как нетрудно проверить, гомоморфизм h левого тензорного произведения
А ® В в С; этот гомоморфизм обозначается через / ®
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 65
Далее, если мы в Н*(Е, к) введем фильтрацию с помощью групп DM, а в
Н*(В, к) 0 H*(F, к) — с помощью фильтрующей степени, то гомоморфизм
Р* 0 Я* будет, очевидно, совместим с этими фильтрациями. Таким образом,
можно определить соответствующий гомоморфизм р* ® q* градуированных
ассоциированных алгебр, который отображает* Н*{В, к) 0 H*(F, к) в
Н*(В, к) 0 H*(F, к). Согласно свойствам гомоморфизма р* (соответственно д*),
этот гомоморфизм будет тождественным на Н*(В, к) (соответственно H*(F, к),
а так как он является гомоморфизмом алгебр, то он будет тождественным
повсюду. Итак, мы доказали, что p*(&q* есть изоморфизм. С помощью клас-
классического рассуждения отсюда находим (см.,например**, [83], предложение
6.2), что р* 0^* также является изоморфизмом, чем и доказано предложение.
Следствие 1. Предположим, что в условиях предложения 8 алгебра
Н* (F, к) порождается однородными элементами /а степени па, удовлет-
удовлетворяющими только соотношениям
Тогда алгебра Н* (Е, к) изоморфна тензорному произведению
H*(B,k)®H*(F,k).
Достаточно построить отображение q*, удовлетворяющее условиям
предложения 9; для этого выберем такие элементы са б Н*(Е, к), что i*(ca) = fa.
Отображение fa-*-ca единственным способом продолжается в гомоморфизм
алгебр q* : H*(F, к) -> Н*(Е, к), который, очевидно, удовлетворяет предписан-
предписанным условиям.
Замечание. Этим способом можно передоказать классическую
теорему Самельсона о негомологичных нулю подгруппах группы Ли. Однако,
так как мы не предполагали, что числа па нечетны, наш результат применим
также к случаю, когда F является пространством петель (см. гл. IV).
Следствие 2. Пусть В и F — два линейно связных пространства;
предположим, что Н{(В,к) tuuiH^F, к) являются пространствами конечной
размерности для всех is»0. Обозначим через р и q естественные проекции
произведения E=BxFmBuF соответственно, а через р* и q* — опреде-
определенные ими гомоморфизмы алгебр Н*(В, к) и H*(F, к) в Н*(Е, к). При этих
условиях гомоморфизм р* 0 q* является изоморфизмом алгебры
Н*(В, к) 0 H*(F, к) на Н*{Е, к).
Применяем предложение 9 к пространству Е, рассматриваемому как
расслоенное пространство с базой В и слоем F.
Замечание, ЕСЛИ отбросить в предыдущей формулировке предпо-
предположение о конечности размерности, то можно легко доказать, что Н*(Е, к) =
= Нот (Н(В, к), H*(F, к)); впрочем, эта формула является частным слу-
случаем общей теоремы Эйленберга — Зильбера (неопубликованной). Остальные
результаты этого пункта допускают аналогичные обобщения.
Глава IV
ПРОСТРАНСТВА ПЕТЕЛЬ
1. Пространства петель
Пусть X — топологическое пространство (не обязательно хаусдорфово);
через / обозначим сегмент [0,1]. Мы будем говорить что непрерывное ото-
отображение /:/-*- X является петлей в точке хеХ, если /@) = /A) = х. Мы
• Гомоморфизм р* ® q* отображает Et в ?„; но, в силу предложения 8, имеем
= Et. — Прим. ред.
** См. примечание 13 в конце статьи. — Прим. ред.
Расслоенные пространства

66 Ж.-П. СЕРР
снабдим множество Qx петель в точке х топологией компактной сходимости*
(«компактно-открытой топологией» в американской терминологии). Эта топо-
топология изучается, например, у Бурбаки ([28], X, § 2) в предположении, что
пространство, в котором функции принимают свои значения (в данном слу-
случае X), хаусдорфово. Но в действительности почти все свойства, доказанные
у Бурбаки, не зависят от этого предположения. В частности, справедлив
следующий результат**.
Пусть g — отображение топологического пространства Y в Qx; оно
определяет отображение G:IxY^-X no формуле G(t, y) = g(y)(t). Для
того чтобы отображение g было непрерывно (пространство Qx снабжено
топологией, компактной сходимости), необходимо и достаточно, чтобы
непрерывным было отображение G.
Закон композиции в пространстве петель.
Этот закон ставит в соответствие двум петлям /, g e Qx третью петлю,
обозначаемую через / * g и определяемую формулой
(gBQ, • если t*sL
I fBt-\), если t^j-
Мы будем обозначать через ех (или через е, если не может возникнуть недо-
недоразумения) петлю, сводящуюся к точке х: ex(t) = х для всех t e /.
Известно, что этот закон композиции не ассоциативен и не имеет ней-
нейтрального элемента, но обладает этими свойствами «с точностью до гомо-
топии». Для уточнения сказанного введем следующее понятие.
Определение. Пусть G — топологическое пространство, снаб-
снабженное законом композиции, обозначаемым через V . Пара (G, V) называется
Н-пространством, если выполнены следующие условия:
(I) Отображение (x,y)->-xVy пространства G x G в G непрерывно.
(II) Существует такой элемент e&G, удовлетворяющий соотношению
е We = е, что отображения х -> х V е и x->eVx гомотопны тождественному
отображению пространства G.
Например, всякая топологическая группа является Я-пространством.
Предложение 1. Пусть X — топологическое пространство, х —
его точка. Пространство Qx петель в точке х, снабженное топологией ком-
компактной сходимости и законом композиции * , является Н-пространством.
Для проверки условия (I) достаточно доказать, что отображение прост-
пространства Qx х Qx x / в X, определенное соответствием
gB0, ф
1
/B*-1), если/з*1,
непрерывно. Но это непосредственно следует из непрерывности отображе-
ний*** (g,0+gBQ (*=4) и <j,t) + fBt- I) (fs.1).
* См. примечание 14 в конце статьи. — Прим. ред.
** См. примечание 15 в конце статьи. — Прим. ред.
*•• Докажем непрерывность отображения %, определяемого соответствием (g,t) ->
->gB(), ( =s о (непрерывность отображения (f,t)->-fBt—1) доказывается аналогично).
г п
Обозначим через /'отрезок 10, ^у а через tp—отображение Qx x I'~>QXX I, определяемое
формулой q> (g, t) = (g, 2f). Обозначим, далее, через F отображение Охх I -*¦ X, определен-
определенное формулой F(g,t) =g@- Тогда х ='F°<p, и достаточно доказать непрерывность каждого
нз отображений у, F. Но непрерывность отображения tp очевидна, а непрерывность ото-
отображения F вытекает (с помощью доказанного выше предложения) нз Непрерывности
тождественного отображения QX->QX. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 67
Для проверки условия (II) примем за е петлю, сводящуюся к точке х.
Ясно, что е * е = е.
С другой стороны, пусть f?Qx; определим семейство петель /в,
О =е 0 =е 1, формулами
fe @ = х, . если
Имеем /вО)^/в@) = х для всех 0; следовательно, /е также есть петля.
Далее, /0@ =/@» h=f*e и> если /=е . то fe = e Для всех 0. Таким
образом, для доказательства того, что отображение f-+f*e гомотопно тож-
тождественному, причем гомотопия оставляет неподвижной петлю е, остается
установить, что отображение (/, 0)->/в пространства Qx x I в Qx непрерывно.
Другими словами, достаточно установить, что отображение q>:Qxx I х I -> X;
определенное формулой <p(f, 0,0 = /е@> непрерывно.
Пусть Q: I х I-*¦ I — отображение, определенное соотношениями
10, если t^^>
2,-в . О
-Т-1Г, если ^2'
Очевидно, что Q непрерывно. Обозначим, далее, через A, Q) отображение
пространства Qxx I x I в Qxx I, являющееся прямым произведением ото-
отображения Q и тождественного отображения пространства Qx на себя; через
F обозначим естественное отображение Qx x I-+X, определенное формулой
F(f.4) = f(f). Отображение F непрерывно по определению топологии
компактной сходимости.
Так как q>= Fo(i, Q), то отображение q> непрерывно, чем и завершается
доказательство того факта, что отображение f-+f*e гомотопно тождествен-
тождественному. Для отображения f-*e*f доказательство вполне аналогично.
2. Теорема Хопфа
В этом и следующем параграфах мы дадим несколько свойств //-прост-
//-пространств, которые хорошо известны в случае топологических групп, но будут
нами применяться к пространствам петель.
Обратимся прежде всего к теореме Хопфа.
Пусть А — градуированная алгебра, удовлетворяющая обычному
закону косой коммутативности: ху = (— 1)отух, если х и у — однородные
элементы степеней р и q соответственно. Предположим, кроме того, что
элементы алгебры Л, имеющие степень 0, являются скалярными кратными
единичного элемента, обозначаемого через 1. Такая алгебра (над основным
полем произвольной характеристики) будет называться канонической.
Если А и В — две канонические алгебры, то алгебра Л 0 В, снабженная
структурой левого тензорного произведения, также является канонической.
В этой алгебре мы будем обозначать через NА (соответственно N3) идеал,
порожденный элементами вида а 0 1 (соответственно 1 0 Ь), где ае А —,
элемент строго положительной степени (соответственно be В — элемент строго
положительной степени). Факторалгебра (А 0 B)/NA изоморфна, как легко
видеть, алгебре В; точно так же, алгебра (А 0 B)/Ns изоморфна А. Если, в
частности, А = В, то мы получаем, таким образом, два эпиморфных отоб->
5* - 5

68 Ж.-П. СЕРР
ражения алгебры А ® А на А, которые мы обозначим соответственно через*
р и q. Следовательно, мы можем написать
x=q(x)<g)l + ... +
где невыписанные члены являются тензорными произведениями двух эле-
элементов алгебры А, имеющих строго положительную степень.
Гомоморфизм алгебр г: Л->¦ .А ® Л называется Н-гомоморфизмом, если
композиции р°г и q°r являются автоморфизмами** алгебры А. Суще-
Существование Н-гомоморфизма позволяет применить к алгебре А классические
рассуждения Хопфа. Мы не повторяем их, отсылая читателя к изложению,
данному Лерэ ([79], п. 24). Напомним только получаемый таким образом
результат.
Теорема Хопф а***. Пусть В — минимальная система однородных
образующих.алгебры A, a S(B) — алгебра, порожденная элементами сис-
системы В, подчиненными только соотношениям косой коммутативности.
Элементы алгебры S(B) можно назвать косокоммутативными многочленами
от элементов системы В; можно говорить и о производной такого много-
многочлена относительно элемента be В. Алгебра А изоморфна факторалгебре
алгебры S(B) no однородному идеалу N, обладающему следующим свойством:
Пусть Р 6 N и пусть b — элемент системы В, имеющий максималь-
максимальную степень среди всех элементов, входящих в Р; тогда P&6 7V.
Если основное поле имеет характеристику нуль, то отсюда вытекает,
что N = 0, и, следовательно; А = S(B). Сгруппировав в этом случае элементы
системы В, имеющие четную степень, и элементы, имеющие нечетную степень,
мы видим, что алгебра А изоморфна тензорному произведению внешней алгеб-
алгебры****, порожденной элементами нечетной степени, и алгебры многочленов,
порожденной элементами четной степени.
Следующее предложение позволит применить эти результаты к //-про-
//-пространствам (в частности, к пространствам петель).
Предложение 2. Пусть-О — линейно связное Н-пространство, а
к — некоторое поле. Предположим, что пространства Н1(С к) имеют
конечную размерность над к для всех i э= 0. Тогда алгебра Н*(д, к) (алгебра
когомологий пространства G с коэффициентами в к) обладает Н-гомомор-
Н-гомоморфизмом.
Пусть А = Н*{0, к); так как пространство G линейно связно, то А —
* Гомоморфизмы р и q определяются соотношениями:
у, если х= 1,
х, если у = 1,
{,если degy>0.
— Прим. ред.
** Имеются в виду автоморфизмы градуированной алгебры А, т. е. однородные
гомоморфизмы степени нуль. — Прим. ред.
••• См. примечание 16 в конце статьи. — Прим. ред.
•••• Внешней алгеброй (говорят также: алгеброй Гроссмана, или свободной антикомму-
антикоммутативной алгеброй) называется ассоциативная алгебра, в которой существует система
образующих {Ьа}, удовлетворяющих соотношениям антикоммутативности babp=—bpba
и ие связанных никакими другими условиями. Отметим, что кнадрат любой образующей
равен нулю. Таким образом, элементы внешней алгебры являются суммами одночленов,
каждый из которых имеет вид bat • Ьаг -... • bar, где Ьа^, Ьаг,..., bar—различные обра-
образующие элементы. Отсюда следует, что если внешняя алгебра имеет конечную систему
образующих, то и ее аддитивный модуль имеет конечную систему образующих.
Заменяя условие антикоммутативности условием коммутативности babp = bpba, мы
получаем понятие свободной коммутативной алгебры или алгебры многочленов. Аддитивный
модуль нетривиальной алгебры многочленов всегда имеет бесконечную систему образую-
образующих (причем, если алгебра градуирована, то в ней имеются элементы сколь угодно высокой
степени). — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 69
каноническая алгебра. Кроме того, согласно следствию 2 из предложения
9 гл. III, имеем H*(G x G, к) = А® А. Если yeG — какая-либо точка
пространства О, то отображение Р :G^-G x G, определенное соотношением
Р(х) = (у, х), индуцирует гомоморфизм алгебры H*(G x G, k)= A (g) А в
алгебру H*(G, к)—А, который представляет собой* не что иное, как
гомоморфизм р. Точно так же, отображение Q, определенное формулой
Q(x) — (х, у), индуцирует гомоморфизм q.
Используем теперь закон умножения в G и определим непрерывное
отображение R : G x G-*-G, положив /?(х, у) = х У у. Это отображение инду-
индуцирует гомоморфизм г : А -*¦ A (g) А; я утверждаю, что г есть Н-гомоморфизм
(этим и будет завершено доказательство предложения).
Действительно, рассмотрим гомоморфизм q°r. Он определен непрерыв-
непрерывным отображением R°Q: G-*G. Но для определения отображения Q мы
можем принять за у произвольную точку пространства G; мы положим
у = е. Тогда
R
Так как отображение x-*-xVe гомотопно тождественному, то отсюда выте-
вытекает, что q°r= 1; точно так же устанавливается, что р°г= 1, чем и завер-
завершается доказательство.
Следствие. Добавим к условиям предложения 2 предположение о
том, что поле к имеет характеристику нуль. Тогда алгебра H*(G, k) изо-
изоморфна тензорному произведению S(xh) (g) А(уг), где через S(xh) обозна-
обозначена алгебра многочленов, порожденная элементами хк четной степени пк,
а через A(yt) — внешняя алгебра, порожденная элементами уг нечетной
степени тг. Кроме того, имеется лишь конечное число элементов xk и уь
степени которых меньше данного целого числа.
Нам остается доказать только последнее утверждение; оно вытекает,
очевидно, из того факта, что Я*(б, к) имеет конечную размерность для
всех i з= 0.
Замечание. Если G — группа Ли, то ее алгебра когомологий явля-
является нулевой для достаточно больших размерностей и потому она не может
содержать алгебры многочленов. Следовательно, она является внешней
алгеброй (если поле к имеет характеристику нуль) в соответствии с класси-
классической теоремой Хопфа.
Напротив, если G — пространство петель, то не сохраняется причин,
приводящих к этому положению вещей, — скорее даже наоборот (см. предло-
предложение 11). Например, в п. 9 мы увидим, что если G есть пространство петель
на сфере Sn, то при нечетном п имеем H*(G) = S(x), где х имеет степень
л — 1; если же л четно, то H*(G) = S(x) (g) А(у), где х имеет степень 2п — 2,
ay — степень л — 1.
* Действительно, обозначим гомоморфизм A(Q A-+ А, индуцированный отобра-
отображением Р, через р; сохраним, кроме того, обозначения следствия 2 из предложения 9
гл.Ш.Так как^оЯ — тождественный гомеоморфизм пространстваQ, ар°Ротображает все
пространство G в одну точку, то p°q* = 1, и р°р* переводит единичный элемент в себя,
а элементы положительной степени — в нуль. Кроме того, гомоморфизмы q* и р* алгебры
А в А(%)А удовлетворяют соотношениям q*(x) = 1 ® х, р*(х) = х® 1(ибо (р* ® q*)(x ® y) =
= р*(х) • q*(y), см. примечание**** на стр. 64). Поэтому для любых однородных
элементов х, у алгебры А имеем р(х<&у) = р((Х® 1) • A ® у)) = р(р*(х) • ?*(у)) =
= ((Р°Р*)(*)) • ((Р°?*)(У)) = ((Р°Р*)(Х)) • У- Таким образом,
[
[
у при х= 1,
0 при deg х > 0.
Это и означает, что р совпадает с гомоморфизмом р, определенным в этой главе.
— Прим. ред.

70 Ж.-П. СЕРР
3. Простота Я-пространств
Пусть G — связная группа Ли, Т — ее универсальное накрывающее
пространство; как известно, Т может быть снабжено строением такой группы
Ли, что проекция р: T^-G будет гомоморфизмом; ядро гомоморфизма р является
дискретной подгруппой, содержащейся в центре группы Т и изоморфной
группе %(G). Автоморфизмы пространства Т, определенные элементами
группы пх{0), являются просто трансляциями с помощью элементов этой
дискретной подгруппы. Так как всякая трансляция гомотопна тождествен-
тождественному отображению (ибо группа G связна), то ясно, что автоморфизмы, опре-
определенные в Т элементами группы пг{0), гомотопны тождественному.
Мы покажем теперь, что это доказательство может быть распространено
с небольшими усложнениями на случай произвольных //-пространств. Полу-
Получаемый таким образом результат будет существенно использован в следу-
следующей главе (в частном случае, когда G есть пространство петель).
Итак, пусть G — некоторое //-пространство, Умножение в котором'
обозначается символом V; предположим еще, что пространство G линейно
связно, локально линейно связно и локально односвязно; тогда определено
его Универсальное накрывающее пространство* Т, как это было Указано
в п. 6 гл. I (в качестве начальной точки выберем идемпотенту е, введенную
в условии (И) для//-пространств). С другой стороны, пусть Е — пространство
путей, исходящих из точки е в G; пространство Е снабдим топологией ком-
компактной сходимости. Если мы поставим в соответствие каждому пути q б Е его
класс гомотопий, то' определится отображение о:Е->Т. Это отображение
позволяет отождествить Т с факторпространством пространства Е (ибо
G локально односвязно).
Можно снабдить Е законом композиции, также обозначаемым символом
V, который определяется формулой (/Vg)(f) = f(t)Vg(t), te I, /,ge?. Эта
операция законна,чибо еУе — е.
Непосредственно видно, что отображение (/, g) -»- / Vg пространства Е х Е
в Е непрерывно, к если f гомотопно /, a g' гомотопно g, то /' Vg' гомотопно
/ Vg. Это позволяет определить закон композиции V в Г (с помощью факто-
факторизации).
Пусть теперь и — петля в G. Мы определим такую деформацию простран-
пространства Е, которая соединяет тождественное отображение / -»¦ / с отображением
* Дальнейшие рассуждения имеют Ъвоей целью доказательство предложения 3
(стр. 72). Приведем здесь более* простое доказательство этого предложения.
Так как отображение х-> х V е гомотопно тождественному, то существует такое непре-
непрерывное отображение F: G X I -*¦ G, что выполнены соотношения:
Пусть а — произвольный элемент группы n^G), аи — петля (в точке ё), принадлежащая
классу а. Положим
F(x, 3t) прн 0 =s «=s 4"'
2
Ht (x) =
xVuCt—1) при -^-
F(x, 3 — 3t) прн |
—
Эти формулы определяют деформацию Ht--G-+G, причем Но н Нг суть тождественные
отображения. В силу известных свойств накрывающего пространства, существует такая
деформация Ht: Т ->¦ Т, накрывающая Ht (т. е. удовлетворяющая соотношению p°Ht =
— Ht°p, где р — накрывающее отображение), что Но есть тождественное отображение.
Так как р°Нх = р, то H-i есть некоторое скольжение (см. примечание*** на стр. 26).
Далее, точка е описывает при деформации Ht петлю, которая, как легко видеть, гомотопна
петле eVu, а следовательно, и петле и (ибо отображение x-+eVx гомотопно тожде-
тождественному). Поэтому скольжение Н1 совпадает с Та. Итак, произвольное скольжение Та
гомотопно тождественному отображению Но пространства Т. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 71
/-»- и * / (здесь и * / обозначает композицию двух путей ц и / — композицию,
которая определяется формулами, приведенными в п. 1). Кроме того, эта
деформация должна быть такова, чтобы она позволила определить (с помощью
факторизации) деформацию пространства Т.
Прежде всего введем обозначения для деформаций пространства G,
которые соединяют отображение х^хс отображениями x-+xVe и х-+еУх.
Пусть Fe(x) — такая непрерывная функция переменных 06 / и xeG, что
F0(x) = х, Fx(x) = x V е для всех х е G и Fe(e) = е, в el.
Пусть Ge(x) — такая непрерывная функция переменных 0 е / и хеG, что
G0(x) = x, G1(x)=eVx для всех xeG и Ge(e) = e, 06/.
Рассмотрим теперь четыре следующие деформации, которые элементу
feE ставят в соответствие семейство /в элементов пространства Е@е/):
1-я деформация: /e(f) = Ge(f(t)) позволяет перейти от / к е V /.
2-я деформация: f$) = u(dt)Wf(t) позволяет перейти от eVf к uVf.
uBt) V е, если t =s= |-»
3-я деформация:
в
u@) V /Bf- 0), если ? «г f *= б,
"@V/@, если* з=0,
позволяет перейти от и V / к V (/).
I ie(@), ^i-,
4-я деформация: /в@ ={ ,
lGi-«(/B*-l)), если f3»-i-,
Ьозволяет перейти от V(/) к u*f. (Через V(/) обозначен следующий
путь:.
uBt)Ve, если f=s=4"'
?
eVfBt— 1), если fs=y •
Остается теперь лишь проверить корректность некоторых элементов построе-
построения.
a) Пути f^t) начинаются в точке е.
1-й случай: /e@) = Ge(/@)) = ОДе) = е.
2-й случай: /в@) = и@) V /@) =eVe = e.
3-й случай: /e@) = u@)Ve=eVe=e.
4-й случай: /e@)= F1_9(u@))= Fi-e(e)= e.
b) Непрерывность отображений (/, 0)->-/е пространства Е х I в Е.
Следует возвратиться к проверке непрерывности отображения простран-
пространства Е х / х / в G, что не представляет трудностей.
c) Конец пути /в зависит только от конца пути f и выбранной петли и.
1-й случай: /e(l) = Ge(/A)).
2-й случай: /e(l)= u@)V/(l).
3-й случай: /e(l)= u(l) V/(l)=
4-й случай:
Эти три проверки позволяют определить деформации /в в пространстве
Т (с помощью факторизации); таким образом, получаем деформацию простран-
пространства Т, соединяющую автоморфизм /-> и */ с тождественным. Иначе говоря,
справедливо

72 Ж.-п. серр
Предложение 3. Пусть G — некоторое линейно связное, локально
линейно связное и локально односвязное Н-пространство. Элементы группы
nx(G) определяют автоморфизмы универсального накрывающего простран-
пространства Т (над пространством О), гомотопные тождественному.
Следствие. Группа щ.(р) тривиально действует в группах гомоло-
гомологии, группах когомологий и в гомотопических группах пространства Т.
В частности, ясно, что пространство G гомотопически просто во всех
размерностях, что, впрочем, легко доказать и непосредственно*.
4. Расслоения пространств путей
Пусть X — линейно связное пространство, Аи В — два его подпростран-
подпространства. Через ?А;В мы будем обозначать пространство таких путей, располо-
расположенных в X, начальные точки которых принадлежат подпространству А,
а конечные — подпространству В. Иначе говоря, ЕАз есть множество не-
непрерывных отображений /:/->Х, удовлетворяющих условиям: /@)еД
/A)еВ. Мы снабдим множество ЕАв топологией компактной сходимости.
Заметим, что пространства ЕА>В и ?^А гомеоморфны между собой.
Если подпространство А сводится к точке х, то будем писать ЕхВ вместо
Е{х},в. Аналогично определяются Елх и EXiV (х,уеХ). Заметим,'что Е^
есть не что иное, как пространство &'х петель в точке х, введенное в п. 1.
Определим отображение Ра,в:^а,в~*' А х В формулой
J*3U(/)=(/@), /@). если f?EA>B.
Это отображение непрерывно; оно отображает ЕАВ на все произведение
Ах В, ибо пространство X линейно связно.
Предложение 4. Тройка {ЕАВ, рА>в, Ах В) является расслоен-
расслоенным пространством в смысле гл. II (т. е. удовлетворяет теореме о накры-
накрывающей гомотопии для полиэдров).
(Мы докажем, что в действительности она удовлетворяет теореме о накры-
накрывающей гомотопии для всех пространств.) v
Пусть Р — топологическое пространство, (/, f) — непрерывное ото-
отображение произведения /х Р в А х В; пусть, далее, g:P^*EAB — такое
непрерывное отображение, что рА,в°ё(У)= (/@, у), ДО, у)) для всех уеР.
Задание отображения g эквивалентно заданию такого отображения G: IxP -»-
-> X, что G@, у) = ДО, у) и G(l, y)= ДО,у) для у еР.
Мы должны найти такое непрерывное отображение h: I хР-*ЕАВ,
что Л@, y) = g(y) и pAiB°h = (/, f). Эта задача сводится к нахождению
непрерывного отображения Н: I x I x Р-*Х, удовлетворяющего условиям
//(О, t, у) = (%t, у), H{t, 0, у) = f{t,y), H{t, l,y) = f(t, у). Обозначим через R
следующее подмножество произведения I х I х Р:
/? = ({0}x/xP)U(/x {0} х P)U (/ х {1} х Р);
тогда ясно, что речь идет о продолжении заданного на R непрерывного ото-
отображения на все произведение I x I x Р. Но это, очевидно, возможно, ибо
множество ({0} х/) U (/X {0}) U (/х {1}) является ретрактом произ-
произведения / х /. Этим завершается доказательство.
* Пусть а. е nx(G) и и — петля' (в точке е), принадлежащая классу а. Пусть, далее,
<р — элемент гомотопической группы nn(G), а /: 1п ->- G — сфероид класса q> (отображение
/ переводит всю границу куба Iя в точку е). Определим отображение F: /п X I-*- О,
положив F(x, f) = /(х) V u(t) (xe/n, te/). Отображение F, рассматриваемое на грани /п X 0
куба /п х /, определяет сфероид, гомотопный /, а на остальной части границы куба
/ПХ / оно определяет сфероид, принадлежащий классу а# <р, где а# — автоморфизм груп-
группы 7in(G), определяемый элементом a.tnx(G) (см. [143]). Так как отображение F
определено на всем кубе /п х /, то q> = а# <р, т. е. а# = 1. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 73
Предложение 5. Если подпространство А стягиваемо вХв одну точку
х, то пространство ЕА>В имеет тот же гомотопический тип*, что и произ-
произведение АхЕхВ. '
(Ср. [49], '22, п. 8.)
Сделанное предположение означает, что существует такое непрерывное
отображение D: Ax I-+X, что D(a,0)=a и D(a,l) — x для всехаеА
Мы будем обозначать через /а отображение t -»Да, t), a через fe1 ^— ото-
отображение t -* D(a, I — t).
Пусть <р — отображение произведения А х ЕхВ в ЕАВ, которое паре
(а, /) ставит в соответствие путь g = / * /„ (в е А / е E*,B)-
Пусть, далее, у — отображение пространства ЕА<В в Ах ЕхВ, которое
пути g ставит в соответствие пару (a, g*/irx) , где a^=g@)eA.
Тогда имеем
(<Р°w)(g) = g * fr1 * fa, если g e ?A,B,
(v>°<P)(a, f) = (a,f*h* fr1), если аeA, feEXiB.
Для каждой точки уеХ обозначим через еу путь; сводящийся к точке у.
Для доказательства того, что отображения <р°гр и уоф гомотопны тождест-
тождественному, продеформируем пути fc1*/,, и /а * fc1 соответственно в еа и ех.
В результате получим, что отображения q>o%p и y°q> соответственно гомо-
гомотопны отображениям g->g*ea (где a = g@)) и (a, /) -* (а, / * ех). Эти ото-
отображения, очевидно, гомотопны тождественному,' и предложение доказано.
Следствие 1. Если подпространства А и В стягиваемы в точки х
и у, то пространство ЕАв имеет тот же гомотопический тип, что и произ-
произведение Ах В х Е^у.
Следствие 2. Если x,y,z,t — какие-либо точки пространства
X, то пространства E^yUE^t имеют один и тот же гомотопический тип**.
Действительно, так как пространство X линейно связно, то можно
прод сформировать точки ги/в точки х и у, а затем применить следствие 1.
Из следствия 2 мы заключаем, что гомологические и гомотопические
группы различных пространств Е^у изоморфны. В частности, они изоморфны
соответствующим группам пространства петель на X, взятых в некоторой
точке пространства X. Мы обозначим это пространство петель через Q. За-
Заметим, что пространство Q тогда и только тогда линейно связно, когда
пространство X односвязно.
Применим теперь результаты гл. II к расслоению, фигурирующему в
предложении 4. Получим
Предложение 6. Пусть X — линейно связное односвязное простран-
пространство, Q — пространство петель на X; далее, пусть Аи В — два подпростран-
подпространства пространства X, a EAiB — пространство тех путей в X, начальные
точки которых принадлежат подпространству А, а конечные — подпростран-
подпространству В. Тогда существует такая спектральная последовательность,
что E%'q — НР(А х В, Hq(O)), а предельная группа Е^ изоморфна градуиро-
градуированной группе, ассоциированной с группой Н(ЕАВ), снабженной надлежащей
фильтрацией.
(Двойственная спектральная последовательность существует для когомо-
логий.)
¦ * Пространства X и Y называются имеющими один и тот же гомотопический тип,
если существуют такие непрерывные отображения /: X -*Y, g:Y-> X (называемые взаи-
взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями), что отображения go/ и /og гомо-
гомотопны тождественным отображениям соответственно пространств X к Y. — Прим. ред.
** В ряде наиболее существенных случаев эти пространства не только имеют одни
и тот же гомотопический тип, но также и гомеоморфны. Расслоение, указанное в пред-
предложении 4 (см. выше), в ряде случаев оказывается косым произведением (см. [9]).
— Прим. ред.

74 Ж.-П. СЕРР
5. Расслоенное пространство путей с фиксированным началом
В этом пункте мы изучим более подробно расслоенное пространство
ЕхХ путей, начинающихся в фиксированной точке хеX и кончающихся
в произвольной точке у пространства X. Согласно предложению 4, базой
этого расслоенного пространства служит пространство X, а слоем — простран-
пространство Q (пространство петель в точке х).
Предложение 7. Пространство ЕхХ стягиваемо.
Для всякой пары @, /)е / х ЕхХ положим f^t)=f(et). Ясно, что
/„ есть путь пространства X, начинающийся в точке х при любом в; далее,
отображение @, /)-*/„, очевидно, непрерывно. Наконец /0(f) = x и
ft(t) = f(t) для всех t е / , чем предложение доказано.
То же рассуждение дает следующий более общий результат.
Предложение Т. Всякое подпространство А пространства X
является деформационным ретрактом пространства ЕАХ.
Роль пространства ЕхХ.
Мы можем рассматривать пространство Q как слой гомологически триви-
тривиального пространства, базой которого является X. Применяя спектральную
последовательность этого расслоения, мы сможем определить (в какой-то
мере) группы гомологии пространства Q по группам гомологии пространства
X.
Подобная ситуация встречается также в теории главных расслоенных
пространств, «универсальных» для группы Ли. Напомним, что главное рас-
расслоенное пространство над группой Ли называется Универсальным (для
некоторой размерности), если все его группы гомологии тривиальны (вплоть
до этой размерности). Такие пространства существуют для каждой группы
Ли в каждой размерности, и их изучение является необходимым введением
в изучение других главных расслоенных пространств (ср. [59], а также
готовящийся к выпуску мемуар Бореля*).
Заметим, однако, что здесь база расслоенного пространства «известна»,
а слой является пространством, сведения о котором мы ищем; в обычной
теории универсальных пространств над группой Ли положение скорее обрат-
обратное.
Надстройка в пространстве ЕхХ.
Так как пространство ЕхХ стягиваемо, то Нг{ ЕхХ)= О для всех i>0
и для всякой группы коэффициентов; поэтому надстройка ?: #{(??)-> Hi+1(X)
определена для всех i > 0. Напомним, что
где р* означает естественную проекцию Hi+1(ExX mod Q)->Hi+1(X), a 3 —
граничный оператор Н{+1(ЕхХ mod i2)-»Н{ф).
Мы дадим теперь более'конкретное описание надстройки.
Пусть С(Е) и С(Х) — сингулярные кубические комплексы пространств
ЕхХ и X соответственно. Так как пространство ЕхХстягиваемо,то существует
такой оператор к, определенный в С(Е) и увеличивающий степени на еди-
единицу, что**
kdx + dkx = х для всех элементов х размерности / > 0.
* См. [IV]. — Прим. ред.
** Пусть /fl — деформация тождественного отображения ^-.Е-ъ-Е в отображение
/а, переводящее все пространство Е в одну точку. Тогда оператор к может быть определен
формулой ky(tlt . . . , tn+i) = hi(y(t2, ¦ . ¦ , tn+i)), где у — произвольный п-мерный сингуляр-
сингулярный куб пространства Е. Если деформацию fg определить так, как это было указано в
доказательстве предложения 7, то мы придем к приведенной ниже формуле A).
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 75
Обозначим через s оператор рок, отображающий сингулярный комплекс
С(Р) пространства Q в комплекс С(Х). Оператор s увеличивает степени на
одну единицу, и мы имеем: dsx + sdx — dpkx + pkdx = p(dkx + kdx) = px = 0,
если элемент х имеет строго положительную степень (рх = 0, так как вырож-
вырожденные кубы отождествляются с нулем).
Таким образом, ясно, что оператор s антиломмутирует с границей
и определяет гомоморфизм группы Ht(i2) в Hi+1(X) (i >0), который и
представляет собой не что иное, как надстройку (согласно определению
этой последней*).
Дадим теперь описание оператора к. Пусть y(tlt ... ,tn) — сингулярный
куб размерности п со значениями в пространстве Ех>х- Определим ку6 ку
формулой
(*K'... , tn+1)) @=
Соотношение dk +kd= 1 проверяется без труда; для получения гомомор-
гомоморфизма s достаточно теперь положить в предыдущей формуле t = 1:
,... ,tn+1)=(y(t2,... ,*n+i))(*i). О)
(Заметим, что операторы к и s переводят вырожденные кубы в вырожденные,
что позволяет считать эти операторы действующими в сингулярных ком-
комплексах С(Е) и С(й).)
Окончательно имеем
Предложение 8. Отображение s, определенное формулой A),
является гомоморфизмом степени + 1 группы C(J2) в С(Х) и удовлетворяет
соотношению sdx + dsx = 0 при deg x > 0. Это отображение порождает
гомоморфизм #;(??)->¦ #г+1(Х), /> 0, который совпадает с определенной в
п. 1 гл. II надстройкой.
За м е ч а н и е. Данное нами определение надстройки оказалось осо-
особенно простым благодаря тому, что мы аннулировали кубы пространства X,
имеющие положительную размерность и сводящиеся к одной точке (что
вытекало из общих соглашений относительно вырожденных кубов). В класси-
классической сингулярной теории, в которой рассматриваются симплексы без всякой
«нормализации» этого рода, было необходимо принять за sy (где у — симплекс
пространства Q) разность между (п + 1)-мерным симплексом пространства
X, который очевидным образом определяется симплексом у (симплекс у
имеет размерность п) и (п + 1 )-мерным симплексом, сводящимся к одной
точке. Этим объясняется формула, примененная Эйленбергом—Маклейном
[92] для определения надстройки (см. гл. VI).
6. Некоторые общие предложения о гомологиях пространств петель
Сохраним обозначения и предположения двух предыдущих пунктов.
Кроме того, предположим, что изучаемое пространство X односвязно. Отсюда,
очевидно, следует, что локальное семейство, образованное в X группами
Н(Р), тривиально. Если А и В — два связных подпространства простран-
пространства X, то локальное семейство, образованное в Ах В группами Н(О),
является ограничением локального семейства, определенного на ХхХ, и,
следовательно, тривиально.
Предложение 9. Пусть G — кольцо главных идеалов; предположим,
что Н{(Х, G) являются G-модулями конечного типа для всех i з= 0. Тогда
Н{(Р, G) суть G-модули конечного типа для всех /з=0.
* Если х — цикл пространства Q, размерность которого > 0, то их = 0, и потому
формула kdx + dkx = х показывает, что d(kx) = х, т. е. что кх есть цикл пространства
Emodii, а соответствие х-> кх дает после перехода к классам гомологии обращение д~х
граничного гомоморфизма. Таким образом, соответствие х-> р°кх определяет гомомор-
гомоморфизм р„о9~1 = 2. — Прим. ред.

76 Ж.-П. СЕРР
Имеем Н^ЕХх) = G, Нг(ЕхХ) = 0, если i>0 (ибо пространство ЕхХ
стягиваемо); таким образом, модули гомологии пространства Ех>х имеют
конечный тип. Таким образом, наше утверждение немедленно следует из.
предложения 1 гл. III.
Следствие. Сохраним те же предположения и допустим, кроме
того, что А и В — два таких подпространства пространства X, для кото-
которых Н((А, G) и Ht(B, G) являются модулями конечного типа для всех i з= 0.
Тогда модули Н{(ЕАВ, 6) имеют конечный тип для всех i e» 0.
Так как Н0(А) и Hj^B) являются модулями конечного типа, то подпро-
подпространства А к В имеют конечное число компонент линейной связности,
которые мы обозначим через Ah, By Так как Н1(ЕАВ)='У H{(EAt В)),
то ясно, что можно ограничиться случаем, когда подпространства А и В
линейно связны.
В этом последнем случае применяем предложение 1 гл. III к расслоен-
расслоенному пространству ЕА>В со слоем Q и базой АхВ.
Замечания. 1.' Предложение 9 применимо, в частности, ко всякому
конечному односвязному полиэдру.
2. Предложение 1 гл. III показывает, что, обратно, если модули Н{(Щ
имеют конечный тип для всех i з= 0, то это же справедливо и для Н{(Х).
Предложение 10. Пусть G — кольцо главных идеалов; предполо-
предположим, что Н((Х, G) = 0 для 0 < i < р. Тогда надстройка
является эпиморфизмом при 0 < i =s= 2p—2 и изоморфизмом при 0<i < 2р — 2.
В частности, Нг(?), G) = 0 при 0 < i < р — 1.
Это — лишь иная форма следствия 2 из предложения 5 гл. III.
Предложение 11. Пусть к — некоторое поле; предположим, что
Н((Х, к) — 0 для i > п (п — фиксированное целое число, большее единицы)
и что Нп(Х, к) 9^ 0. Тогда для каждого целого числа i з= 0 существует такое
целое число j, 0</<л, что Hi+i(Q,k)^0.
Будем рассуждать от противного; пусть i — целое число, для которого
утверждение теоремы не выполняется. Заменяя, если нужно, число i мень-
меньшим, всегда можно считать, что Н{ (Д k) ^ 0. Таким образом, имеем
е»/ = нп (х, ^ (Я к)) = нп (х, к) ® я,, (п, к) ф о.:
Я Утверждаю, что элементы модуля Е?>* являются циклами относительно
дифференциала dr при любом г з= 2. Так как dr отображает модуль Е?л в
?n-r, t+r^ то ясно> что можно ограничиться дифференциалами dr при
2=sr=sn. Но именно для этих значений п член ??~r- i+r-i = Hn_r(X, к) (g)
® Н1+г_г{О, к) тривиален, согласно выбору числа i. Следовательно, то
же справедливо и для члена Е?~г> 1+г~1, что и доказывает наше утверждение.
С другой стороны, элементы модуля ??¦* не могут быть границами отно-
относительно дифференциала dr, ибо этот дифференциал уменьшает фильтру-
фильтрующую степень, а эта фильтрующая степень имеет свое максимальное значение
п. Отсюда следует, что
однако это соотношение абсурдно, ибо пространство ЕхХ стягиваемо, и
потому все его группы гомологии строго положительной размерности триви-
тривиальны.
Следствие. При выполнении предыдущих условий существует бес-
бесконечное множество таких значений i, что Нг(?), к) ф 0.
Заметим, что это заключение непосредственно вытекает также из след-
следствия к предложению 3 гл. III.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 77
7. Приложения к вариационному исчислению (теория Морса)
Пусть X — связное бесконечно дифференцируемое риманово простран-
пространство. Если а и Ь<— две точки пространства X, то через d (a, b) обозначим
нижнюю грань длин (в смысле заданной римановой метрики) дифференци-
дифференцируемых дуг, соединяющих точки а и Ь; функция d (a, b) является расстоя-
расстоянием в X, и это расстояние совместимо с имеющейся в X топологией. Хопф
и Ринов доказали [120], что в пространстве X, снабженном этой метрикой,
следующие два условия оказываются эквивалентными5:
(I) Пространство X полно.
(II) Всякое ограниченное подмножество пространства X компактно в X.
Риманово пространство, удовлетворяющее этим условиям, будет назы-
называться полным («нормальным» по терминологии Э. Картана).
Пусть X — полное связное риманово пространство, а и b — две его
различные точки (впрочем, это ограничение не является существенным).
Морс доказал [98, 99], что существуют тесные связи между гомологическими
свойствами пространства ЕщЬ и свойствами геодезических, соединяющих
точки а и b (число таких геодезических, число фокальных точек на «невырож-
«невырожденной» геодезической). В частности, справедлив следующий результат:
Предложение 12 (Морс). Пусть X — полное связное риманово
пространство, а и b — две его различные точки, а Еа>ь — пространство
путей, проходящих в X и соединяющих точки а и Ь; пусть, далее, к — неко-
некоторое поле. Если Нг(ЕаЬ, k)^0 для бесконечного множества значений
индекса i, то в X существует бесконечно много геодезических, соединяющих
точки а и Ь.
(Доказательство этого предложения имеется в цитированной выше
книге Зейферта и Трельфалля [49],§ 19, теорема III, для случая гомологии
по модулю 2; их доказательство применимо и в случае произвольного поля
к без каких бы то ни было изменений.)
Результаты предыдущего пункта в соединении с предложением 12 дают
нам возможность доказать
Предложение 13. Пусть X — полное связное риманово простран-
пространство, для которого Н% (X,ZL^0 no крайней мере для одного целого i Ф 0.
Если а и b — две различные точки пространства, X, то в X существует
бесконечно много геодезических, соединяющих точки а и Ь.
(В этой формулировке Z означает, как обычно, аддитивную группу
целых чисел.)
Пусть Т — универсальное накрывающее пространство для X; тогда в
Т можно ввести такую риманову метрику, что естественная проекция Т -> X
будет локальным изоморфизмом; отсюда следует, что пространство Т, снаб-
снабженное этой метрикой, будет связным и полным. Если а1 — некоторая точка
пространства Т, проектирующаяся в точку а, а {Ь[) — множество всех точек
пространства Т, проектирующихся в Ь, то существует взаимно однозначное
соответствие (определенное проекцией Т -> X) между геодезическими про-
пространства Т, соединяющими точку d с одной из точек Ь\, и геодезическими
пространства X, соединяющими точки а и Ь. Будем различать два случая:
а) Группа г*1 (X) имеет бесконечно много элементов (пример: простран-
пространство X представляет собой тор*).
6 Хопф и Ринов доказали этот результат только в случае, когда риманово простран-
пространство X имеет размерность 2 и когда оно снабжено строением действительного аналити-
аналитического многообразия; однако их доказательство проходит без изменения в интересую-
интересующем нас случае.
* То есть гомеоморфно топологическому произведению нескольких окружностей.
— Прим. ред.

78 Ж.-П. CEPP
В этом случае имеется бесконечное множество точек Ь[; так как во
всяком полном связном римановом пространстве существует по крайней
мере одна геодезическая, соединяющая две произвольные точки [120], то
мы заключаем отсюда, что для всякого i существует в Т по крайней мере
одна геодезическая, соединяющая точки а' и Ь\. Это дает (с помощью проек-
проектирования) бесконечное множество* геодезических, соединяющих точки а
и Ь.
/3) Группа щ(Х) конечна.
В этом случае нам нужно показать, что в Т существует бесконечно
много геодезических, соединяющих две данные различные точки. Я утверждаю
прежде всего, что #{(Т, Z)^0 по крайней мере для одного i > 0. Действи-
Действительно, в противном случае пространство Т было бы ациклично и обладало
бы конечной группой операторов без неподвижных точек, что, как извест-
известно, невозможно** (см., например, [60], Сообщение XII).
Согласно лемме, приведенной в п. 3 гл. III, существуют такое поле к
и такое целое число i >0, что Н{(Т, к)^0. Так как пространство Т одно-
связно, то /з= 2. Применяя теперь следствие из предложения 11, мы видим,
что существует бесконечное множество таких значений /, для которых
H{(i2, к) =? 0, где ?? — пространство петель в Т.
Пусть теперь х и у — две различные точки пространства Т. Согласно
следствию 2 из предложения 5, пространства Еху и О имеют один и тот же
гомотопический тип. Следовательно, они имеют одни и те же группы гомо-
гомологии. Предложение 12 показывает теперь, что в Т существует бесконечно
много геодезических, соединяющих точки х и у, чем и завершается доказа-
доказательство.
Заметим, что зтот результат применим ко всякому связному компакт-
компактному риманову пространству. .. ¦
Замечание. Было бы весьма желательно применить методы, анало-
аналогичные методам этой главы, к пространству замкнутых путей пространства
X, которое тесно связано с замкнутыми геодезическими в X (см. [98], гл.
VIII). Известно, что это пространство было определено Морсом (цит. работа)
как предел последовательных «циклических» произведений пространства
X на себя, а не как пространство отображений; зто, конечно, усложняет
его изучение:
Было бы также интересно применить результаты этого пункта к теории
категорий в смысле Люстерника—Шнирельмана. Довольно естественно исполь-
использовать для этого понятие длины, принадлежащее Фролову и Эльсгольцу;
я напомню здесь определение этого понятия:
Пусть Q — связное пространство, Н*(Р, к) — кольцо сингулярных ко-
гомологий пространства й с коэффициентами в поле к. Тогда к-длиной
пространства i3 называют верхнюю грань таких целых чисел п, что существу-
существуют элементы х1; ... , хп_± е Я*(Д к), имеющие положительные размерности
и дающие в произведении элемент, отличный от нуля.
Мы ограничимся указанием следующего результата:
ПредложениеН, Пусть X — линейно связное односвязное простран-
пространство, a Q — пространство петель в X. Если к — произвольное поле, то для
того, чтобы к-длияа пространства & была бесконечной, необходимо и доста-
достаточно существование бесконечного множества таких значений i, для которых
H(Qk)^0
Необходимость очевидна. Для установления достаточности применим
* Полученные для двух различных значений i геодезические не могут дать при
проектировании одну и ту же крнвую> так как нх проекции образуют замкнутый путь,,
негомотопный нулю. — Прим. ред.
** См. примечание 17 в конце статьи. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 79
результаты п. 2 (теорема Хопфа). Пусть В — минимальная система однород-
однородных образующих алгебры H*(Q, к). Будем различать два случая:
а) В имеет бесконечно много элементов.
В этом случае, согласно теореме Хопфа, произведение произвольного
числа этих элементов отлично от нуля*, и /с-длина пространства Q бесконечна.
/?) В имеет конечное число элементов.
Пусть в этом случае q — верхняя грань степеней элементов, принадле-
принадлежащих системе В. Если бы /с-длина пространства О имела конечное значение
п, то мы имели бы Hl{Q, к) = 0 при i > q(n — 1) и, следовательно, #*(Д к)—О
для тех же значений i; это, однако, противоречит сделанным предположе-
предположениям.
Следствие. Пусть X — компактное связное односвязное риманово
пространство, не сводящееся к одной точке, а О — пространство петель
в X. Тогда** k-длина пространства Q бесконечна для любого поля к.
8. Приложение к вариационному исчислению: геодезические,
трансверсальные к двум подмногообразиям
Пусть X — компактное риманово пространство, Аи В — два его подмно-
подмногообразия. Морс доказал, что если Н{(ЕАВ, к) =? 0 для бесконечного мно-
множества значений i (где к — некоторое поле), то в X существует бесконечно
много геодезических, которые начинаются на А, кончаются на В и транс-
версальны к подмногообразиям А а В. Мы дадим в этом пункте условия,
достаточные для этого.
Пространство ЕхВ.
Начнем с изучения случая, когда подмногообразие А сводится к точке
х. Для этого рассмотрим пространство Ехв; известно (предложение 7'),
что это пространство может быть деформацией переведено в В и потому
имеет те же группы гомологии и когомологий, что и В. Далее, если / е Ехв,
то обозначим через р (/) точку / @) е X. Отображение р непрерывно; легко
видеть (ср. п. 4), что тройка (Ехв, Р> X) является расслоенным простран-
пространством; ясно, что слоями этого расслоенного пространства являются различ-
различные пространства ЕхВ, хеХ. Таким образом, мы получаем расслоенное
пространство, гомологически эквивалентное подмногообразию В; слоем этого
расслоенного пространства является пространство E^s, а базой — простран-
пространство X. Это пространство обобщает пространство, изученное в п. 5 (соответ-
(соответствующее случаю, когда В сводится к одной точке).
Предложение 15. Пусть X — линейно связное односвязное про-
пространство, В — его подпространство и х&Х. Предположим, что
(a) Нп(Х, к) 9^ 0 и Нг(Х, к) = 0, если i > л (л — некоторое целое число,
большее единицы);
(b) Н-(В, к) = 0, если i э= п
(к—некоторое поле). Тогда существует бесконечное множество таких
значений i, что Нг(ЕхВ, к)^0.
1?УДем рассуждать от противного; пусть m — наибольшее целое число,
для которого Нт(ЕхВ, к)^0; согласно предложению 3 гл. III, имеем
Нт+'п(Ех,в, к) = Нп(Х, к) <g> Ят(?ж>в, к) ф 0,
что абсурдно, ибо Нт+п(Ех>в, к) = Нт+п(В, к) = 0.
* Если х19 . . . , хп — элементы системы В, расположенные в порядке убывания сте-
степеней, то элементы рх = хх ¦ . . . • хп, р2 = х2 • . . . • Хп, р3 = х3 • .. . • хп, . . . , Рп = хП1
рассматриваемые как элементы алгебры S(B), связаны соотношениями ^ = р*+1 (i = 1,
. . . , п — 1). Так как рп = xn$ N, то pn_!$N; отсюда следует, что pn_2$N и т. д. и, наконец,
PiiN. Таким образом, элемент хг • . . . ¦ хп алгебры H*(Q, к) отличен от нуля. — Прим. ред.
** См. следствие из предложения 11. — Прим. ред.

80 Ж.-П. CEPP
Приложение к геодезическим.
Предложение 16. Пусть X — компактное связное и односвязное
риманово пространство и пусть Аи В — два его замкнутые непересекающиеся
подмногообразия; предположим, кроме того, что подмногообразие А стяги-
стягиваемо в точку хеХ. Тогда в X существует бесконечно много геодезических,
трансверсальных к подмногообразиям А и В.
Пусть к — некоторое поле, an — размерность пространства X; так как
X компактно и односвязно, то п =э=2. Отсюда следует, что пара (Х,В) удовлет-
удовлетворяет всем условиям предложения 15. Таким образом, существует беско-
бесконечно много таких значений i, что
Но согласно предложению 5 п. 4, пространство ЕАВ имеет тот же гомотопи-
гомотопический тип, что и произведение АхЕ^в; отсюда вытекает, чтоН{(ЕАВ, к)^0
для бесконечного множества значений /, чем и завершается доказательство.
Замечание. Доказательство результатов, использованных в этом
пункте, имеется в книге Зейферта и Трельфалля [49], § 22, п. 7.
9. Гомологии и когомологии пространства петель на сфере
Примем за пространство X сферу Sn (пз=2) и изучим пространство Q
петель в точке х е Sn. Пусть Е — пространство путей в Sn, начинающихся
в точке х; мы знаем, что Е есть стягиваемое расслоенное пространство со
слоем Q и базой Sn. Следовательно, к нему можно применить точную по-
последовательность Вана (п. 6 гл. III)
Так как пространство Е стягиваемо, то Нг(Е) = 0 при />0; отсюда полу-
получаем
Hi(Q) = Hi.n+1(O) при />0.
Так как Но (Q)=Z и Нг (О) = 0, если / < 0, то мы получаем
Предложение 17. Группы гомологии пространства О петель в
Sn имеют следующий вид:
НЛ (О) = Z, ест i = 0 mod (л - 1),
Ht (О) = 0, если i ф 0 mod (л - 1).
(Этот результат по существу принадлежит Морсу [98].)
Мы изучим теперь мультипликативное строение кольца когомологии
пространства Q с целочисленными коэффициентами; это строение будет
играть важную роль в гл. V.
Для этого напишем точную последовательность Вана для когомологии;
мы получим тогда результат, аналогичный приведенному выше, но со следу-
следующим дополнением: изоморфизм в:Н%О) -> Hi~n+1(Q), определенный точной
последовательностью Вана, является дифференцированием при нечетном
п и антидифференцированием при п четном (гл. III, предложение 7).
Определим семейство {ер} элементов алгебры H*(Q) следующим обра-
образом: eo=l, 0ep=ep_iO>s= 1).
Ясно, что зти соотношения определяют однозначно элементы ер индук-
индукцией по р и что элемент ер образует базу группы Я^"-1'^). Таким образом,
для знания мультипликативного строения алгебры H*{Q) достаточно вычислить
произведение ep-eqeHiP+4> (п-*>(п); это вычисление проводится в сле-
следующем предложении.
Предложение 18. Сохраним предположения и обозначения, вве-
введенные в предложении 17; пусть {ер}(р=О, 1, ...) — база алгебры H*(Q),

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХПРОСТРАНСТВ 81
определенная как было указано выше. Элементы ер имеют размерности
р(п — 1) и удовлетворяют закону умножения
где коэффициенты cpq даются формулами:
¦ ^ 7" д' , если п нечетно,
О, если п четно, а числа р и q нечетны,
\<р + д)/21! , .
[р/211 [q/211 ' если п четно и хотя бы одно ш чисел р, q четно.
(Символ [х] означает целую часть числа х.)
Вычислим элемент у = 0 (е • eq). Так как 0 есть дифференцирование
(если п нечетно) или антидифференцирование (если п четно), то во всех
случаях
у = вер • eq + (- I)*"-1' ер • веч = erX -e
Но, с другой стороны, ер ¦ eq = cpq ep+q, откуда у = cMep+q_v Сравнивая
найденные для у значения, получаем
Ясно, что это соотношение определяет коэффициенты cpq индукцией по
р + q, начиная со значения со>о= 1. Поэтому достаточно проверить, что
выражения, которые мы привели в формулировке предложения 18, удовлет-
удовлетворяют предыдущему соотношению; эта проверка легко выполняется на
основе известных свойств биномиальных коэффициентов.
Следствие 1. Если п нечетно, то (ег)р = р\ер. Если п четно, то
foJ = 0, (ег)р = р\ е2р, ег • егр = eSp ¦ ег = е2р+1.
(Заметим, что этих формул достаточно для построения таблицы умно-
умножения элементов {ер}.)
Следствие 2. Обозначим через Qn пространство петель на сфере
Sn. При четном п алгебра H*(Qn) изоморфна тензорному произведению
алгебр Н*(Ъп_х) и H*(Qsn^).
Это непосредственно следует* из предложения 18.
Следствие 3. Пусть К — поле характеристики нуль. Тогда, если
л нечетно, то алгебра Н*(пп, К) изоморфна алгебре многочленов с одной
образующей степени п— 1; если п четно, то алгебра Н*(Оп, К) изоморфна
тензорному произведению внешней алгебры, порожденной элементом степени
п—1, ц алгебры многочленов, порожденной элементом степени 2(п—1).
Это сразу вытекает** из следствия 1.
* Обозначим введенные выше образующие алгебры H*(Qn) через е0, «i, е2, ..., а
аналогичные образующие алгебры H*(Qin^j) — через г0, Ilt ~ег, .... Алгебра H*(Sn_l)
имеет единственный отличный от единицы элемент, который мы обозначим через S. Тогда
элементы 1 ® ?i и s&Ii, i — 0, 1, 2, ..., составляют систему образующих алгебры
W*(Sn_i) ® W*(O2n_l). Соответствия
1 <g> ёх -> еф s (g) li -» eli+1
позволяют определить (по аддитивности) отображение H*(Sn_1) ® //"(fl^-.,) -> H*(Qn).
Легко нроверить, что это отображение сохраняет размерности (т. е. однородно) и является
гомоморфизмом алгебр. — Прим. ред.
** Так как группы Hi(Q, Z) не имеют кручения, то векторное пространство Hl{ii, k)
над полем к имеет те же образующие ей что и алгебра Н1(О, Z). — Прим. ред.
6 Расслоенные пространства

82 Ж-П. СЕРР
Возьмем теперь в качестве группы коэффициентов поле К характе-
характеристики р и обозначим через /{ элементы е^у, i = 0,1,.... Из предложения
18 легко выводится*, что (Д)р = 0 и что элементы /J1-••/{}» @«sa{<p)
образуют базу аддитивного модуля алгебры Н*(О, К) (см. [43]). Отсюда
получаем
Следствие 4. Пусть К — поле характеристики р; если п нечетно,
то алгебра Н*(Оп, К) изоморфна алгебре многочленов с бесконечно многими обра-
образующими fi(i = 0, 1,...), рассматриваемой по модулю идеала, порожденного
элементами (fif. Элемент Д имеет степень р\п — 1).
Отсюда следует, что если р = 2, то Н*(Оп, К) есть внешняя алгебра,
порожденная элементами степени 2*(п — 1) (п может быть четным или не-
нечетным).
Замечание. Следствия 3 и 4 справедливы без всяких изменений
для пространства петель односвязного пространства X, имеющего те же
когомологии (со значениями в К), что и Sn**.
Глава V
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1. Общий метод
Пусть X — линейно связное пространство, гомологии которого изве-
известны; мы хотим определить, по крайней мере частично, гомотопические
группы пространства X.
Для этого следующим образом определим последовательность пространств
(Хп, Тп):
Хо = X;
7\ — универсальное накрывающее пространство для Хо;
Хг — пространство петель в 7\;
Т2 — универсальное накрывающее пространство для Хх;
Х2 — пространство петель в Т2, и т. д.
Лемма 1. Гомотопические группы пространств Хп даются следующими
формулами:
яРо(Х„) = 0, Я1(Х„) = лп+1(Х), ... , Я1(Х„) = ni+u(X).
Эти формулы верны при п = 0. Будем проводить индукцию: предполо-
предположим их верными для значения п — 1. Так как Тп есть универсальное накры-
накрывающее пространство для Х^^ то***
Но с другой стороны, если А — линейно связное и односвязное простран-
пространство, а В— пространство петель в Л, то щ(В)= ^i+i(^); это вытекает из
определения гомотопических групп, данного Гуревичем [39], или, если угодно,
* Следует учесть, что при М < pi+i — р' число -^ м\ не делится на р, а при
М = pi+i — р* это число делится на р. — Прим. ред.
** Ибо только эти свойства сферы Sn и были использованы при доказательстве.
— Прим. ред.
***• Если Т — накрывающее пространство линейно связного пространства X, а р <—
накрывающее отображение, то при i > 2 отображение р,; яг(Т) -> щ(Х) изоморфна
Это непосредственно нытекает из теоремы о накрывающей гомотопии и того факта, что при
i > 2 граница куба 7» связна. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 83
.из рассмотрения точной гомотопической последовательности, примененной
к расслоенному пространству путей в А с фиксированным началом*.
Применяя это утверждение к пространствам А = Tnt В = Х„, полу-
получаем искомый результат.
Следствие. Если п> 1, то** Нг(Хп, Z) = яп+1(Х).
Таким образом, если бы мы могли вычислить группы гомологии про-
пространств Хп и Тп с целочисленными коэффициентами, то мы нашли бы гомог
топические группы пространства X. В действительности методы, имеющиеся
в нашем распоряжении, слишком слабы для выполнения подобной прог-
программы. Однако, используя результаты гл. IV, мы сможем установить тесные
связи между группами Н(Тп) и Н(Хп), а используя спектральную после-
последовательность накрытия (п. 6 гл. I), мы получим также соотношения между
группами Н(Тп+1) и Н(Хп). Изучение этой последней спектральной после-
последовательности значительно упрощается благодаря тому, что фундаментальная
группа пространства Хп (т. е. группа яп+1(Х)) тривиально действует в груп*
пах гомологии и когомологий пространства Гп+1 при п г» 1; действительно,
Хп есть в этом случае //-пространство (гл. IV, предложение 1), а всякое
//-пространство обладает упомянутым свойством (гл. IV, следствие из предло-
предложения 3).
Условия применимости.
Предыдущий метод применим не ко всем линейно связным простран-
пространствам. Действительно, для возможности применения универсального накры-
накрытия для пространства Хп мы должны находиться в условиях применимости
результатов п. 6 гл. I, т. е. должны потребовать локальную линейную связ-
связность и Локальную односвязность6 пространства X.
Мы'теперь укажем одно свойство пространства X, обеспечивающее
выполнение предыдущих условий:
Определение. Будем говорить, что X есть пространство типа
(ULC), если существуют такая окрестность U диагонали произведения
ХхХ и такое непрерывное отображение F:Ux I-+X, что
(a) F(x, x,rt) = х при хьХ, t€l;
(b) F(x, у, 0) - х, F(x, у, 1) = у при (х, у) б U.
Пример* Всякий абсолютный окрестностный ретракт*** (и, в частности,
всякий полиэдр) является пространством типа (ULC).
* Эта гомотопическая последовательность имеет вид
2-* щ(В) -> щ(Е)
где Е — пространство путей с фиксированным началом в А; так как пространство Е гомо-
топически тривиально, то при f > 1 имеем изоморфизм щ+1 (А) рц щ (В). — Прим. ред.
** Во всяком линейно связном пространстве X группа Ht(X, Z) получается комму-
коммутированием группы 7ii(X); поэтому, если группа щ(Х) коммутативна, то НХ(Х, Z) рц п^ЦХ).
— Прим. ред.
* Можно, однако, избавиться от этого условия; для этого следует отказаться от исполь-
использования пространств Хп и Тп и ограничиться рассмотрением их „сингулярных комплек-
комплексов". При этом нужно пересмотреть гл. II и IV, для того чтобы привести их в соответствие
с этой точкой зреийя, что не представляет существенных затруднений. Можно также уста-
установить предложении 1 и 2, приведенные в п. 2, во всей общности, как это было анонси-
анонсировано в работе [131].
*** Пространство X называется абсолютным окрестностным ретрактом, если оно обла-
обладает следующим свойством: каково' бы ни было нормальное пространство У, содержащее
подмножество X', гомеоморфное X, существуют такое открытое множество t/эХ'прост-
t/эХ'пространства Y и такое непрерывное отображение /: U-+ Y, что /(х) = х при хеХ'. Из леммы
Урысоиа {[169], стр. 133—134) и теоремы вложения ([113], стр. 30) вытекает, что всякий
полиэдр является абсолютным окрестностным ретрактом. — Прим. ред.
6* - 5/15

84 . Ж.-п. серр
Если X есть пространство типа (ULC), то, как легко видеть, к этому же,
типу принадлежат* пространство петель в X и универсальное накры-
накрывающее пространство для X. Отсюда следует, что пространства Хп и Т„,
связанные с X, принадлежат типу (ULC) и, тем более**, локально линейно
связны и локально односвязны7.
В последующей части этой главы мы ограничимся изучением гомотопий
пространств типа (ULC).
2. Первые результаты
Предложение 1. Пусть X — такое пространство типа (ULC),
что яго(Х) = щ(Х) = 0; предположим, кроме того, что группы Нг(Х, Z)
имеют конечный тип для всех i э» 0. Тогда группы щ(Х) имеют конечный
тип для всех i з» 0.
Достаточно, очевидно, показать, что группы гомологии пространств Хп
и Тп имеют конечный тип во всех размерностях.
Это верно, согласно предположению, для пространства Хо = X, а сле-
следовательно, и для пространства Тг — Хо; зто также верно для пространства
Xv так как X, есть пространство петель в Тг (применяем предложение 9 гл.
IV при G = Z).
Будем теперь проводить индукцию по п; предположим утверждение
справедливым для значения п — 1, где п г» 2.
Покажем, что Нг(Тп, Z) есть группа конечного типа для всех is=0.
Пусть # = пп{Х)—фундаментальная группа пространства Хп_х; группа П
абелева и имеет конечный тип, так как она совпадает с /f1(Xn_1, Z); согласно
сказанному в п. 1, эта группа тривиально действует в группах гомологии
пространства Т„. Рассмотрим спектральную последовательность, связанную
с накрытием Тп -> Х^; согласно предложению 4 гл. I, член Е%л этой
спектральной последовательности изоморфен группе НР(П, Hq(Tn, Z)), а
член Есо есть градуированная группа, ассоциированная с Н(ХП_Ъ Z).
Так как П тривиально действует в группе Hq(Tn, Z), то
Е™ = Нр(П, Z) ® НЧ(ТП, Z) + Тог (ЯР_Х(Я, Z), Hq(Tn, Z)).
Следовательно, можно повторить рассуждение предложения 1 гл. III, часть
(Ь): так как группы П и H^X^x, Z) имеют конечный тип, то отсюда следует,
что Ht(Tn, Z) есть группа конечного типа для любого i.
Цитированное выше предложение 9 гл. IV показывает теперь, что
Hi(Xn, Z) есть группа конечного типа для любого i, чем и завершается
доказательство.
Варианты. Несколько усложняя доказательство, можно ограничиться
предположением, что группы Нг(Х, Z) имеют конечный тип при i<n(n^ 2);
тогда оказывается, что при i < n группы яг(Х) имеют конечный тип, а при
/ = п ядро гомоморфизма nn(X) -> Hn(X, Z) имеет конечный тип, так
же как и факторгруппа группы Hn(X, Z) по образу этого гомоморфизма.
Можно также заменить предположение „пространство X односвязно"
следующим: ..пространство X гомотопически просто во всех размерностях".
Так как мы не б,удем применять эти результаты, то оставляем проверку их
читателю.
* См, примечание 18 в конце статьи. — Прим. ред.
** См. примечание 19 в конце статьи. — Прим. ред.
7 Заметим, что в этом случае Хп гомеоморфио пространству несущественных отобра-
отображений сферы Sn в X, переводящих фиксированную точку сферы Sn в фиксированную
точку пространства X.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 85
Напомним следующий хорошо известный результат: Если X — конеч-
конечный полиэдр, то группа щ(Х) не более чем счетна (это сразу следует из
теоремы о симплициальной аппроксимации, см. [39]).
Предложение 2. Пусть X — такое пространство типа (ULC),
что яо(Х) = я^(Х) = 0 и группы Ht(X, Z) имеют конечный тип для всех L
Предположим далее, что Нг(Х, к) = О при О < i < п, где к — некоторое
поле. Тогда щ(Х) <g>* = 0 при О < i < п и жп(Х) <g>& = Я„(Х, к).
Докажем сначала следующий результат;
Лемма 2. При сделанных предположениях имеем (если j « п — \)
0' euui + j<nui>0,
Нп(Х, к), если i + j= п.
Hi{
Проведем индукцию по /'. При / = 0 лемма, очевидно, справедлива;
предположим ее справедливой для значения /— 1 A =>«/«йл— 1).
Рассмотрим сначала универсальное накрывающее пространство Т,- для
пространства Х^. Пусть П — фундаментальная группа пространства
ХЬ1; имеем П <g) к = Я/Х,^) ®к= Нг{Х^ъ к) = 0. Так как, согласно
предложению 1, группа it имеет конечный тип, то П есть конечная группа,
порядок которой взаимно прост с характеристикой поля к. Применяя теперь
следствие 2 из предложения 4 гл. I, мы находим, что ЩТ,-, к) = Я4(Х3-_Х, к)
для всех i -з* 0.
Применяя предложение 10 гл. IV к пространству Г3 и его пространству
петель X,-, получим искомый результат*.
Применяя доказанную лемму, можем написать
щ(Х) 0 к = Нг(Хг_д ®* = Нг{Х^ к),
откуда
f 0, если i < п,
\Нп(Х,к), если i=n,
что и доказывает теорему.
Замечания. 1. Из приведенного доказательства и диаграммы (П
п. 7 гл. II следует, что изоморфизм между группами wn(X)(g>/r и Я„(Х, к)
определяется естественным гомоморфизмом пп(Х) -* НП(Х).
2. Если мы заменим в формулировке предложения 2 поле к кольцом
Z целых чисел, то получим классическую теорему Гуревича [39]; приведенное
доказательство применимо и в этом случае; оно даже несколько упрощается
благодаря тому, что соответствующая этому случаю группа Л тривиальна.
3. Несколько усложняя доказательство, можно установить следующее
предложение: если к — поле характеристики р, то р-примарные компо-
компоненты групп яг„(Х) и ЯП(Х) изоморфны. (Напомним, что р-примарной ком-
компонентой абелевой группы А называется подгруппа группы А, образованная
элементами, порядки которых являются степенями числа р.)
3. Конечность гомотопических групп нечетномерных сфер
Лемма 3. Пусть X — такое пространство, что я^Х) = ^(Х) = 0
и что алгебра когомологий пространства X с коэффициентами в поле
К изоморфна алгебре многочленов К[и], порожденной одним элементом и
четной степени п (n s& 2). При этих условиях алгебра когомологий H*(Q, К)
пространства Q петель в X изоморфна внешней алгебре, порожденной одним
элементом v степени п— 1.
* В формулировке предложения 10 гл. IV следует положить р = п — / + 1. Тогда
надстройка 2: Я4(Х3-, k) -+ Hi+1(Tj, к) будет изоморфизмом при 0 < i < 2л — 2/, т. е.
(в силу соотношения /«en — 1) при выполнении условий i > 0, i + j =s п. — Прим. ред.

86 Ж.-П. CEPP
(Иначе говоря, Ha(Q, К) = Hn~\Q, К) = К и H\Q, К)= О, если
Согласно предложению 10 гл. IV, группа H\Q, К) изоморфна группе
Hi+\X, К) при i<2n — 2. Отсюда вытекает, . что* H\Q, К) = 0 при
С другой стороны, рассмотрим спектральную последовательность кого-
мологий п. 5 гл. IV. В силу сделанных предположений можно применить
предложение 8 гл. II, которое показывает, что член Ег изоморфен левому
тензорному произведению алгебр #*(Х, K)<&H*(Q, К). Отождествим алгебры
Я*(Х, К) и H*(Q, К) с подалгебрами Я*(Х, /С) <g> 1 и 1 <g) H*(Q, К) этого
тензорного произведения. Наконец заметим, что среди дифференциалов dT
могут быть отличными от нуля только те, которые соответствуют значениям
г = п, 2п, Зп,... и т. д.
Согласно уже цитированному предложению 10 гл. IV, группа" #"""*(?, К)
представляет собой множество кратных элемента v, удовлетворяющего
соотношению
dnv =
Обозначим через U множество тех элементов члена Еп, дополнительные
степени которых не превосходят п— 1. Элементы ик и uft®v образуют одно-
однородную базу** множества U; при этом выполяются соотношения***
• dn(uh) = O, dn(u*(g>v) = uft+1 (к = 0,1...)-
Отсюда следует, что все коциклы; входящие в U, являются кограницами
(кроме единичного элемента 1), и потому образ Vr множества U в последу-
последующих членах Ег равен нулю в размерностях > 0.
Покажем теперь, что в Н*(&, К) не существует отличных от нуля эле-
элементов степени s= h (чем и будет завершено доказательство). Проведем
рассуждение „от противного"; пусть w^O — однородный элемент алгебры
H*(Q, К), имеющий степень ss n; мы можем, кроме того, предположить, что
w имеет наименьшую степень среди элементов, обладающих аналогичными
свойствами. Изучим образы элемента w при последовательных дифференци-
дифференцированиях. Согласно последнему предположению об элементе w, элемент drw при-
принадлежит**** множеству UT и потому равен нулю при г > п. Это показывает,
что нужно рассмотреть лишь дифференциал dn. Имеем dnw = ц®м>', где
w' e H*(Q, К) и deg W = deg w — п+ 1. Следовательно, w' = kv, к е К и
dnw = ки®v. Отсюда, в силу соотношения dn(u®v) = ц29^0, получаем
к = 0, т. е. dnw = 0. Таким образом, все дифференциалы переводят элемент
w в нуль, и, следовательно, w определяет некоторый ненулевой элемент*****
группы Еоо. Но это абсурдно, ибо член ?те равен нулю во всех размерностях
0
* Отсюда вытекает также, что Нп—1(Ш, К) Fd К- — Пром. ред.
** Так как при 0<г<л дифференциал dr тривиален, то En= Et a= Н*(Х, К) ®
® H*(Q, К). — Прим. ред.
*** Элемент Ф = а* ® 1 имеет дополнительную степень, равную нулю, а так как
дифференциал dn при п>2 уменьшает дополнительную степень, то dn(aft) = 0- Далее,
; <*n(uft ® ") = dn({u*;® !)•{! ® v)) = dn(ub.v) = dn(u*).v + <— !)»*uk-dv = u*+i.
— Прим. ред.
**** Допустим противное: dTwi Ur, т.е. дополнительная степень элемента drw больше
п — 1. Так как алгебра Et имеет систему образующих, у которых либо фильтрующая,
либо дополнительная степень равна нулю, то это же справедливо и для Ег (ибо К — поле).
Следовательно, из того, что существует элемент drw дополнительной степени * л, вытекает
существование в Ег элемента фильтрующей степени нуль и дополнительной степени в» п.
Но это противоречит „минимальности" элемента w. — Прим. ред.
***** Так как элементы алгебры H*(Q, К) имеют минимальную фильтрующую степень,
то ни один из них, кроме нулевого, не является границей для последовательных дифферен-
циалов dr(r в» 2). — Пром. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 87
Этим доказательство леммы завершено.
Замечание. Эту лемму можно рассматривать как (частичное) обра-
обращение одной теоремы Бореля [14], которая утверждает, что если алгебра
когомологий пространства Q является внешней алгеброй, то алгебра кого-
мологий пространства X является алгеброй многочленов. Заметим, что эти
два результата справедливы без всяких дополнительных предположений об
основном поле, тогда как, „наоборот", если предположить, что алгебра
когомологий пространства X есть внешняя алгебра с одной образующей,
то алгебра когомологий пространства Q является алгеброй многочленов
лишь в том случае, когда характеристика поля К равна нулю (см. гл. IV,
следствие 3 из предложения 18).
Пусть Sn — нечетномерная сфера (п з» 3); определим пространства Хт
и Тт указанным в п. 1 способом. Мы построим алгебры Н*(Хт, К) и Н*(Тт, К),
где К — поле характеристики нуль.
Так как 7\ = X, то Хх есть пространство петель в Sn и, согласно след-
следствию 3 из предложения 18 гл. IV, алгебра Н*{ХЪ К) изоморфна алгебре
многочленов с одной образующей степени л— 1. Так как Тг = Хи то отсюда
следует, что алгебра H*(Xit К) изоморфна внешней алгебре, порожденной
одним элементом степени л — 2 (лемма 3). Это означает, что H*(XS, К) =
= Н* (Sn_2> К). Используя вновь следствие 3 из предложения 18 гл. IV,
находим, что алгебра Н*(Х3, К) изоморфна алгебре многочленов, порожден-
порожденной одним элементом степени л — 3. (Ссылка на это, следствие законна, ибо
его доказательство опиралось только на точную последовательность Вана,
которая имеет место при чисто гомологических предположениях*.) Наше
вычисление можно продолжать шаг за шагом, и мы будем получать пооче-
поочередно то алгебру многочленов, то внешнюю алгебру. В частности, Н*(Xn_x, К)
есть внешняя алгебра, порожденная одним элементом степени 1.
Пусть Тп — универсальное накрывающее пространство для Хп_г. Так
как ^(Хп-о) = nn(Sn) = Z, то к этому накрытию можно применить след-
следствие 1 из предложения 4 гл. I, и мы найдем, что //'(Т^ К) = О при i > 0.
Отсюда следует, что Ht(Tn, К) = 0 при i > 0, и потому (предложение 2)
Я(Г)<8>К = 0 для всех и Так как ^(Тп)ь= »ч+я_^8я)(iэ*2), то
К = 0 при i > П.
Это соотношение показывает, что группа ^(Sj является периодической
(i > л); так как эта группа имеет конечный тип (предложение 1), то, следо-
следовательно, она является конечной группой. Итак, мы доказали
Предложение 3, При нечетном л группы w{(Sn) конечны.
Замечание. Можно аналогичным образом изучить гомотопические
группы четномерных сфер. Так как эти вычисления оказываются значительно
более сложными, то мы предпочли следовать непрямому методу, изложен-
изложенному в п. 6.
4. Вспомогательные вычисления
Во всем этом пункте X означает линейно связное односвязное простран-
пространство, a Q — пространство петель в X. Через Ег будет обозначаться спек-
спектральная последовательность когомологий пространства путей с фиксиро-
фиксированным началом в X (см. п. 5 гл. IV), причем коэффициенты будут выбираться
в поле К характеристики р. Мы будем писать Н*(Х) и Н*Ш) вместо Н*(Х, К)
и H*(Q, К).
Приняв эти соглашения, приведем прежде всего лемму, являющуюся
небольшим видоизменением следствия 4 из предложения 18 гл. IV.
* См. замечание на стр. 82. — Прим. ред.

88 Ж--п. серр
Лемма 4. Предположим, что Н\Х) = //'(S,) при / «s p(q — 1) + 1
(где q г» 3 — нечетное число). Тогда* подпространство пространства H*(Q),
образованное элементами степени «?р(<7— 1), допускает однородную базу,
состоящую из элементов
{1,У,уа, ... ,yp-\z}, где degy = g- 1, deg z = p(q -l),yp = 0.
В размерностях, не превосходящих p(q — 1) + 1, имеем Е2 = #*(Х) ®
<3> H*(Q). Отсюда следует, что всякий однородный элемент полной степени
«р(? — 1) + 1, принадлежащий члену ?2, содержится либо в Н*(&), либо
в х 0 H*(Q), где х — ненулевой элемент группы Н^Х). Так как дифферен-
дифференциалы dr увеличивают полную степень на одну единицу, а фильтрующую
степень на г единиц, то ясно, что для элементов полной степени «= p(q—1)
единственным дифференциалом, который следует рассмотреть, является dq.
Так как предельная группа Е^ должна быть тривиальна во всех строго
положительных размерностях, то мы заключаем отсюда, что дифференциал
(L определяет изоморфизм** в группы H%Q) на Н*~Я+1(О) при 0<i=^p(q—1).
Далее, так как q нечетно, то этот изоморфизм является дифференцированием***.
Из первого свойства изоморфизма в выводим****, что (при i*&p{q—1))
НЩ = 0, если i ф 0 mod (q — 1) и H%Q) = К, если fa о mod (q— 1). Обо-
Обозначим через у ненулевой элемент группы Ня~г (Q), а через г — ненулевой
элемент***** группы Н***-1^). Из второго свойства****** изоморфизма в
выводим, что 0(у3') = / • у3 • ву, откуда у3' Ф 0 при / < р и ур = 0. Этим и
завершается доказательство.
Лемма 5. Предположим, что подпространство пространства #*(Х),
образованное элементами степени «s mp (где т=г*2 — четное число), допу-
допускает базу, состоящую из однородных элементов*******
{1,у,у2, ... , Г, 2},
где deg y=m, deg z=pm и ур=0. Тогда подпространство пространства
Н*@),образованное элементами степени «mp—2, допускает базу, состоящую
из однородных элементов {1, v, t}, где deg v = m— 1 и deg t = mp — 2.
В размерностях «^ mp имеем******** Е2 =. H*(X) ® H*(Q); с другой
стороны, согласно********* предложению 10 "гл. IV, H\Q) = 0 при 0 < i <
< т — 1, а группа Hm~\Q) порождается одним элементом v, удовлетворя-
удовлетворяющим соотношению dm v = у.
Отсюда следует, что элементы члена Ет, имеющие дополнительную
степень <т— 1 и полную степень *&тр— 1, образуют подпространство
U пространства Ет, допустимое относительно дифференциала dm и допу-
допускающее следующую однородную базу:
* {1,У,У\ ••• ,УР~\ v,y®v,y2®v, ... .y^Ov}.
Дифференциал dm дается на этом подпространстве формулами**********
dm у* = 0 для всех k, dm(yk ® v) = y*+1.
•* Утверждение этой леммы справедливо лишь в несколько ослабленной форме:
элемент, z, входящий в указываемую ниже базу, может оказаться равным нулю (см-
следующие сноски). — Прим. ред.
** См. примечание 20 в конце статьи. — Прим. ред.
*** См. примечание 21 в конце статьи. — Прим. ред.
**** См. примечание 22 в конце статьи. — Прим. ред.
***** Если таковой существует. — Прим. ред.
****** То есть из того, что в является дифференцированием. — Прим. ред.
******* Лемма остается справедливой и при z = 0. — Прим. ред.
******** См. п. 10 гл. I (случай когомологий, условие а). — Прим. ред.
********* Проще воспользоваться непосредственно предложением 3' гл. I (см. примеча-
примечание**** на стр. 25). — Прим. ред.
********** См. примечание*** на стр. 86. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 89
Отсюда следует, что все коциклы подпространства U являются когра-
кограницами, за исключением линейных комбинаций элементов 1 и yp~10v (ибо
у» = 0). Кроме того, эти элементы являются коциклами для дифференциалов
dr(r > т) в силу того, что их дополнительные степени равны 0 или ш— 1.
Теперь мы можем доказать, как в лемме 3, что* H\Q) = 0 при
т— 1 < i < тр—2. Напротив, в размерности тр— 2 должен существовать
такой элемент t, что
<W-o t = у* ® v,
ибо в противном случае элемент ур-1® v определял бы ненулевой элемент**
члена ?«>, что невозможно. Наконец, всякий элемент группы Я14""^)
является скалярным кратным элемента t, ибо всякий другой элемент был
бы. коциклом*** для всех дифференциалов dr и, следовательно, определял
бы ненулевой элемент члена Ете. Таким образом, лемма доказана.
5. Первая гомотопическая группа нечетномерной сферы,
нетривиальная по модулю р
В этом пункте через X будет обозначаться сфера нечетной размерности
2л + 1 («гг= 1), а через Хг — пространство, определенное с помощью X,
как это было указано в п. 1. Далее, через Н*(Хг) мы будем обозначать алгебру
когомологий пространства Xt с коэффициентами в некотором поле характе-
характеристики р. Мы вычислим первые группы когомологий пространств Х4.
Лемма 6. Алгебры когомологий W*(X2i_x) и H*(X2i), l«=i«en, допу-
допускают следующие однородные базы****.
2i_J:' база {1,х, х2, ... ,xv~\y) (в размерностях «=рBл — 2г +2)),
где deg х = 2л — 2* + 2, deg у = рBп - 21 + 2), xv = 0.
база 0> v> 0 (в размерностях =?рBл — 2i+ 2) — 2),
где deg v=2n — 2i+ I, deg f = pBn — 2i + 2) — 2.
При i = 1 лемма непосредственно следует из лемм 4 и 5. Начиная с
этого значения i, проведем индукцию (при 2 «? ;' «= п).
Прежде всего мы должны определить алгебру /f*(X2i_1) до размер-
размерности р Bп — 2i + 2); я Утверждаю, что мы можем применить лемму 4,
положив X = X2i_2, ? = Хи-х, q = 2п — 2i + 3. Действительно, согласно
* Допустим противное и обозначим через w ненулевой элемент модуля Н*(О),
имеющий степень > т— 1, но •< тр — 2; предположим при этом, что w имеет наимень-
наименьшую степень среди элементов, обладающих аналогичными свойствами. Тогда при г > т
имеем йТ и>=0(ибо drW принадлежит образу Ur множества U в члене Ет, а при r~>m миожество
UT ие содержит членов полной степени > 0 и «5 тр — 2). Далее, dmu> = у ® W, где
w'eH*(Q) и degW = degw — ffl+ 1 s> 1; следовательно, либо w' = 0, либо w' = av, где
aefc. Но если w = av, где a ^ 0, то при р = 2 имеем degw = deg w + m — 1 ¦ = degv +
+ m — 1 = 2m — 2 = mp — 2, что противоречит предположению; при р > 2 имеем
0 = dmo dmH> ^ dm (у (S> W) = dm (y&av) = ay%, откуда а — О (ибо у2 ^ 0). Итак,
йп№ = 0. Отсюда следует, что элемент w, ивляющийся коциклом для всех дифференциалов
dT и не являющийся кограницей (ибо ои имеет минимальную фильтрующую степень),
определяет ненулевой элемент модуля E^, что невозможно. Итак, Я'(Д) = 0 при /П — 1 <
< i < тр — 2. — Прим. ред.
** ЭлементуР ® v (вернее, его образ в члене ?w(p—i), m—i является коциклом отно-
относительно всех дифференциалов dr(r в» 2). Кроме того, он ие является кограницей (отно-
(относительно dr) при г^ /п(р—1), ибо член ?»»(l»—D—л т+л-г, который дифференциаломdr пере-
переводится в fiw(i>—1).»»—1, тривиален при г ?=т(р— 1). Действительно, при 2 <г< /л(р— 1),
т. е. при т<.т+ г— 2 < тр — 2, модуль Нт+1^-ЦО), а потому, и член EyG»—D—r> m+r^-g=
= Я»"(р-1>-г (X) ® Hm+r-z {Q) тривиальны. — Прим. ред.
*** Точнее, всякий другой элемент либо сам является коциклом, либо некоторая его
линейная комбинация с элементом t определяет коцикл. — Прим. ред.
**** Элемент у может оказаться равным нулю (см. примечание* на стр. 88).
— Прим ред.

90 Ж.-п. серр
предположению : индукции, имеем Н*(Хй_г) = H*(Sq) в размерностях
«г рBп — 2i + 4) — 3, и нам остается лишь убедиться, что
рBп - 2i + 4) - 3 =*p{q - 1) + 1;
но это неравенство переписывается в виде рBп — 2/ + 4) — Зз» рBп — 2i +
+ 2) + 1 или 2р =» 4, что действительно выполняется.
После этого определение алгебры //*(ХЙ) непосредственно проводится
на основе леммы 5.
Докажем теперь
Предложение 4. Обозначим черезFpконечное поле, содержаще р эле-
элементов, где р — простое число. Если тз»3 — нечетное число, то
Г ^(Sm)<8>^P = 0 npam<i<m + 2p
Fp = Fp при i = m + 2p - 3.
Положим т = 2п + \ для согласования с обозначениями этого пункта.
Согласно лемме 6, пространство Х2П, определенное исходя из пространства
X = SJn+1, как указано в п. 1, имеет следующие группы когомологий с
коэффициентами в поле Fp:
Н°(Хгп) =
) = 0 при V<i<2p-2.
Фундаментальная группа пространства Хгп равна ^2n+i(S2n+i) = Z, а
универсальным накрывающим пространством для Хгп является Ttn+1;
кроме того, группа Z тривиально действует в группах гомологии и кого-
когомологий пространства Т2п+1(см. п. 1). Применяя теперь следствие 1 из
предложения 4 гл. I, мы" найдем, что
= Н**-\Тгп+1) = Fp и Я{(Г2п+1) = 0 при 0 < i < 2р - 2.
Применяя предложение 2 к пространству Ttn+1, получаем:
Fp = 0 при i < 2р - 2 и я2р_2(Г8п+1) ® Fp = Fp.
Так как л{(Т2п+1) = я;((Х2п) = jri+2n(S2n+1) при г>2, то предложение
доказано.
Пример. tti(S3)®Fp= 0 при 3 < i < 2р; это означает, что группа яг4(83)
является конечной группой, порядок которой не делится на р. Кроме того,
ntp(Sa)®Fp = Fp, т.е. группа лг^8а) является прямой суммой конечной
группы, порядок которой не делится на р, и циклической группы порядка
р*(Л&» 1). Отметим, что методы, которым мы следовали, не дают никаких
сведений о целом числе к; для получения таких сведений нужно было бы
проводить вычисления с целочисленными коэффициентами, что несравненно
сложнее, чем вычисления с коэффициентами в поле (мы могли провести их
только для малых значений i).
Заметим, что n?S9)<8}F9 = F3; ранее было известно, что n^S3) <g)F3 # 0
— результат, полученный Стинродом (не опубликован).
Возможные расширения предыдущих результатов. Мы получили резуль-
результаты о первых гомотопических группах сферы SOT (где т > 3 — нечетное
число), начиная с m-й; в эти результаты входит заданное простое число.
Можно распространить наш метод несколько дальше и получить сведения
о последующих группах. Однако вычисления усложняются с такой быстро-
быстротой, что нечего и думать об использовании их здесь.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 91
6. Многообразия Штифеля и четномерные сферы
Пусть W2m_i — многообразие единичных векторов, касательных к
сфере Sm (где т &* 2 — четное число); это многообразие было изучено Шти-
фелем, который, в частности, вычислил его группы гомологии*:
остальные группы гомологии тривиальны.
Это многообразие допускает очевидное расслоение** со слоем Sm_x и
базой Sm (с помощью этого факта можно, применяя спектральную последо-
последовательность, легко вычислить группы гомологии многообразия W^-j).
Из этого расслоения вытекает следующая точная последовательность:
... -*¦ Jii(W2n!_1) -*¦ Jii(Sm) -*¦ jri_i(Sm_1) -*¦ ^i—i(W2tn—1) -*¦•••,
часто используемая для получения сведений о гомотопических группах
многообразия Wjjm.j. Здесь же, напротив, она позволяет нам изучить группы
«АД
Для этого заметим, что многообразие Vf2m-i имеет те же гомологии,
что и сфера S2m_1, за исключением лишь группы Z/B). Теперь возможно
доказать следующее предложение:
Лемма 7. Гомотопические группы щ(^12т-.^(где т =» 2— четное число)
конечны для всех i, за исключением группы щт-х (У?ът-л)> представляющей
собой прямую сумму группы Z и конечной группы, порядок, которой является
степенью двойки. Кроме того, для всякого простого числа рф2имеем
Fp = О при О =s i < 2m - 1 и 2т - 1< t < 2m + 2p - 4,
®FP=FP при i = 2m+2p - 4.
Если m = 2, то универсальным накрывающим пространством для W3
является*** сфера S3, и лемма является частным случаем предложений
3 и 4. Следовательно, можно предполагать, что m э= 4; в этом случае много-
многообразие W^-i 0ДН0СВЯЗН0.
Прежде всего, применяя предложение 2, имеем
Щ (W2m_!) ® К = О (I < 2т - 1) и Jl2m_1(W2^1) ® К = К
для всякого поля К характеристики -ф 2. Заметим, что, согласно предложе-
предложению 1,| гомотопические группы пространства W^,,-! имеют конечный тип;
следовательно, при i < 2m — 1 3ii(W2m-1) есть конечная группа, порядок
которой является степенью двойки, а при i = 2т — 1 зта группа является
прямой суммой группы Z и конечной группы, порядок которой является
степенью двойки.
Остается теперь лишь заметить, что в рассуждениях, проведенных
при доказательстве предложения 3 (соответственно предложения 4), были
использованы только гомологии сферы S^m^ с коэффициентами в поле К
характеристики 0 (соответственно р). Следовательно, при рф2 они приме
нимы без изменений к многообразию ^ш-х.
* Вычисление групп Hiiy/^m-.j) при 0 =s i =s m — 1 можно найти в [10]. Из
приведенных там результатов следует также, что многообразие W2m_i ориентируемо
(при т > 2 группа я1(Шат_1) тривиальна, а при т ¦= 2 многообразие W3 гомеоморфно
трехмерному проективному пространству и потому ориентируемо). Применяя закон
двойственности Пуанкаре, находим остальные группы гомологии. — Прим. ред.
** Расслаивающее отображение р: Wjm-x ->• Sm ставит в соответствие каждому
единичному вектору, касательному к Sm, его точку касания. — Прим. ред.
*** См. примечание* на этой странице. — Прим. ред.

92 Ж.-п. серр
Следствие 1. При i <2т — I, i = 2т и i — 2т + \ порядок группы
m-x) является степенью двойки*.
Следствие 2. Группы щ(йт)приi>mu четномтявляются конечными
группами, за исключением группы nZm-i(Sm), кото рая является прямой Суммой
группы Z и конечной группы.
Это непосредственно следует** из леммы 7, предложения 3 и точной
гомотопической последовательности расслоенного пространства W2m_x.
Следствие 3. Если 2т — 1 < i < 2т + 2р — 4, то р-примарные ком-*
поненты конечных групп ^(Sm) и 3n-i(Sm-J (m четно) изоморфны между
собой (р — простое число).
При р = 2 нечего доказывать. Предположим поэтому, что р Ф 2, Выпи-
Выпишем точную гомотопическую последовательность расслоенного простран-
пространства W2m_x:
Если i удовлетворяет указанному неравенству, то все выписанные группы
конечны, за исключением случая i = 2т; в этом случае последняя группа
является прямой суммой группы Z и 2-примарной группы (т. е. группы,
порядок которой является степенью двойки). Отсюда следует, что р-при-
р-примарные компоненты этих четырех групп также образуют точную последова-
последовательность***, а так как, согласно лемме 7, два крайних члена этой последова-
последовательности тривиальны, то наш результат установлен.
Замечание. Этот результат может рассматриваться как дополнение (по
модулю р) к теореме Фрейденталя, которая дает изоморфизм между груп-
группами ^^(Sm-x) и ^(Sm) при К 2т — 2. Заметим, однако, следующее:
(а) результат Фрейденталя не предполагает четности числа т; (Ь) мы не
знаем, определяется ли установленный изоморфизм с помощью надстройки
(хотя это и довольно вероятно).
Следствие 4. Если т^&А— четное число,тор-примарнаякомпонента
группы m(Sm) тривиальна при i < т -+- 2р — 3, а р-примарная компонента
группы nm+2p-3(Sm) является циклической группой порядка р\ где
к э= 1.
Если 1 < 2ш — 1, то этот результат вытекает из теоремы Фрейденталя
о надстройке и предложения 4. При i > 2т— 1 «это следует из указанного
выше следствия 3 и предложения 4.
Для удобства читателя мы дадим сводку полученных в этой главе
результатов о группах m(Sn).
* Ибо при i = 2т или i = 1т + 1 неравенства 2т — 1 < i < 2т + 2р — 4 справед-
справедливы для всех простых чисел р > 2. — Прим. ред.
** Нужно к точной последовательности
применить следующее легко доказываемое предложение: если в точной последователь-
последовательности, содержащей четыре члена, два крайних члена являются конечными группами, то
средние члены являются группами одного и того же ранга (см. примечание** на стр. 20).
— Прим. ред.
*** Если ... -»¦ А—?-»• В—^-> С ->-... — точная последовательность конеч-
конечных групп, то их р-примариые компоненты также образуют точную последователь-
последовательность. Действительно, обозначим эти р-примарные компоненты соответственно через
. . . Ар, Вр, Ср,.... Тогда, как легло видеть, имеют место соотношения: <р(Ар) С
С Вр, у> (Вр) с Ср, .... Обозначим гомоморфизмы <р, у>, . . ., рассматриваемые на
Ар, Вр соответственно через q>v, y>p Тогда
ф\0) = ВРП у-ЧО) = Вр П tp(A) = <рр{Ар),
чем и доказана точность последовательности
> Ар-^^ Вр-^^Ср-^ ... .
— Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 93
Предложение 5. При i>n группы яч(вп) конечны, за единственным
исключением группы ^2n-i(Sn) при четном п, которая является прямой
суммой группы Z и конечной группы. Далее, если п s& 3, а р — простое число,
то р-примарная компонента группы ^i(Sn) тривиальна при i < п + 2р — 3
и является циклической группой порядка р* (к &= 1) при i — n + 2p — 3.
Глава VI
ГРУППЫ ЭЙЛЕНБЕРГА—МАКЛЕЙНА
1. Введение
Пусть X — такое топологическое пространство, что я4(Х) = 0 для
(q — целое число &= 1). Положим П = nq(X),
Эйленберг и Маклейн доказали [89], что гомологии и когомологии такого
пространства зависят только от числа q и группы П. Более точно, для каждой
пары (JI,q), где П—абелева группа, a q &= 2, можно построить полусимпли-
циальный комплекс* ЩП,ц), который оказывается гомотопически эквива-
эквивалентным сингулярному комплексу пространства X [90]. В частности, для
любой абелевой группы G имеем
Нг(Х, G) = Нг(К(П, q), G), H%X, G) = Н\К(П, q), G), i > 0.
Для простоты будем в дальнейшем писать Я4(Я; q, G) вместо Нг(К(П, q), G);
аналогично определяется Н1(П; q, G).
Изучение комплекса К(П, q) и его групп гомологии Н^П; q, G) (так
называемых „групп Эйленберга—Маклейна") было предпринято с чисто
алгебраической целью Эйленбергом и Маклейном [92, 93]. Мы укажем далее
топологический метод (использующий пространства петель), который поз-
позволит быстро получить некоторые результаты об этих группах. Так как
близкий к нашему, но чисто алгебраический метод был с успехом исполь-
использован А. Картаном [63], который нашел совершенно механический способ
вычисления всех групп Эйленберга—Маклейна (при q &= 2), то мы не будем
приводить здесь систематического изучения этих групп нашим методом,
а ограничимся доказательством фактов, выводимых из вычислений, прове-
проведенных в предыдущих главах.
2. Общие результаты
Пусть П—абелева группа, q — целое число э= 1, a Y — такое топологи-
топологическое пространство, что
щ<У) = 0 (i^q+ I), nq+1(Y) = П.
Существование такого пространства следует из более общей теоремы, при-
принадлежащей Дж. Г. К. Уайтхеду [157]; она утверждает, что всегда существует
пространство, имеющее заданные гомотопические группы.
Пусть X — пространство петель в Y. Имеем
я4(Х) = 0 (i^q) и
Отсюда следует, что
нг(х,с) = нг(П,д,о) и нг(?,о)
для любой абелевой группы коэффициентов G,
* О полусимплициальных комплексах см. [117], стр. 43 и далее; там же (стр. 55—60)
приведено построение комплекса К(П,д). — Прим. ред. . ¦ - '

94 ' Ж.-П. CEPP
Таким образом, можно1 применить спектральную последовательность
пространств петель (п. 5 гл. IV), и мы получаем
Предложение 1. Существует спектральная последовательность гомо-
гомологии, член Е%* которой изоморфен группе НГ(П; q + \, Hs(II;q, G)), а член
Еоо тривиален во всех положительных размерностях.
(Двойственная последовательность существует для когомологий.)
Этот результат позволяет изучать группы Эйленберга—Маклейна ин-
индукцией no q, начиная с группы Нг G7; 1, G), предполагаемой известной
(эта группа действительно может быть вычислена другими методами — во
всяком случае, если группа 77 абелева).
Наиболее простым применением зтого метода является, без сомнения,
вычисление алгебры когомологий H*(Z; 2, Z): так как группы когомологий
H\Z; 1, Z) тривиальны* при />2и равны Z при i — 0,1, то, как легко
видеть**, H*{Z; 2,Z) есть алгебра многочленов с одной образующей степени 2.
Впрочем, этот метод по существу не отличается от классического метода,
использующего комплексное проективное пространство.
Следствие 1. Если 77 есть группа конечного типа, то это же верно и
для группы Hi(II; q, Z) для любых i и q.
При q = 1 это — классический результат (достаточно проверить этот
факт для групп П = Z и П = Z/(m)***). Начиная с зтого значения, проводим
индукцию по q, используя предложение 1 гл. III.
Следствие 2. Если группа П конечна, а к—такое поле, что 77® к = О,
то Я4G7; q, к) = 0 для всех q и всех i > О, В частности****, группы Нг(П; q, Z)
конечны, если группа 77 конечна u i>0.
При 0 = 1 это — классический результат***** (он может рассматриваться
как естественное обобщение теоремы Машке). Начиная с этого значения,
проводим индукцию по q, используя предложение 10 гл. IV.
Как и во всяком расслоенном пространстве с тривиальными гомологи-г
ями, можно определить надстройку 2: Я4G7; q, G) -*¦ Я4+1 G7- q + 1, G).
Используя формулу, аналогичную приведенной в п. 5 гл. IV (но применя-
применяемую для симплексов, а не для кубов), можно показать, что эта надстройка
совпадает с той, которая была введена Эйленбергом—Маклейном [92]. Заме-
Замечая, что Я4G7; q, G) = 0 при 0 < i < q, применим предложение 10 гл. IV,
и мы получим
Предложение 2. (Теорема о надстройке Эйленберга—Маклейна.) Над-
Надстройка 2: Нг(П; q, Z) -> Я4+1 G7; q + 1, Z) является эпиморфизмом при
0 < i' ^ 2q и изоморфизмом при 0 < i < 2q — 1.
3. Теорема Хопфа
Сохраним обозначения предыдущего пункта. Мы видели, что группы
гомологии и когомологий комплекса /СG7, q) являются группами гомологии
и когомологий пространства X петель в некотором пространстве Y. Но
* Легко видеть, что комплекс K(Z, 1) (вернее, соответствующий полиэдр) представляет
собой окружность. — Пром. ред.
** См. примечание 23 в конце статьи. — Прим. ред.
*** При а = 1, П = Z это вытекает из того, что K(Z, 1) есть окружность. Пусть q = 1,
Л = Zf(m). Тогда Г асферично и потому ациклично (в силу теоремы Гуревича; см. [10])
во всех положительных размерностях. Из предложения 4 гл. I вытекает теперь,
что Hi(K(II, 1), Z) есть группа конечного типа. Наконец, если П — Пх + nt, то КШ, 1) =
= К(ПХ, 1) х К(Пг, 1). Таким образом, для прямой суммы П конечного числа групп
вида Z и Z/(m) (т. е. для любой группы конечного типа) группы Hi(IJ, I, Z) имеют конеч-
конечный тип. — Прим. ред. .
**** Для получения этого частного случая следует принить за к поле рациональных
чисел. — Прим. ред.
***** Как и в примечании*** на этой странице, следует рассмотреть спектральную последова-
последовательность накрытия и применить следствие 2 из предложения 4 гл. I. — Прим. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 95
всякое пространство петель является Я-пространством (предложение 1 гл.
IV), и потому его алгебра когомологий обладает Я-гомоморфизмом, если она
имеет конечный тип во всех размерностях (там же, предложение 2); следо-
следовательно, эта алгебра удовлетворяет теореме Хопфа. Мы получаем
Предложение 3. Пусть П—> абемва группа конечного типа, q — целое
шило > 1, а к — некоторое поле. Алгебра когомологий Н*(П; q, к) удовлетво-
удовлетворяет теореме Хопфа (в формулировке, приведенной в п. 2 гл. IV).
(В частности, если поле к имеет характеристику нуль, то рассматриваемая
алгебра является тензорным произведением внешней алгебры, порожденной
элементами нечетной степени, и алгебры многочленов, порожденной элемен-
элементами четной степени.)
Заметим, что предыдущий результат применим, в частности, при q = 1.
Дадим в качестве примера вычисление алгебры H*(Z; q, К), где К — поле
характеристики нуль.
Предложение 4. Если К — поле характеристика нуль, то алгебра кого-
когомологий H*(Z; q, К), где q четно (соответственно нечетно), является алгеб-
алгеброй многочленов (соответственно внешней алгеброй), порожденной одним
элементом степени q.
Это предложение верно при q = 1 (оно сводится к определению кого-
когомологий окружности). Следовательно, оно может быть доказано индукцией
по q, если мы докажем следующие две леммы.
Лемма 1. Пусть X— такое пространство, что яо(Х) = лх(Х) = О,
Y — пространство петель в X, а К — некоторое поле. Предположим, что
H*(Y, К) изоморфна внешней алгебре, порожденной одним элементом сте-
степени q (q нечетно). Тогда Я*(Х, К) изоморфна алгебре многочленов, поро-
порожденной одним элементом степени q + 1.
Лемма 2. Пусть X — такое пространство, что ло(Х) = пх(Х) =¦• О,
У — пространство петель в X, а К — некоторое поле характеристики нуль.
Предположим, что Н*(У, К) изоморфна алгебре многочленов, порожденной
одним элементом степени q (q четно). Тогда Я*(Х, К) изоморфна внешней
алгебре, порожденной одним элементом степени q + 1.
Доказательство леммы 1. Так как слой имеет те же когомологии,
что и сфера, то можно применить точную последовательность Гизина (предло-
(предложение 6 гл. III). Таким образом, имеем точную последовательность
//«(?, K)-*Hl-%X, K)-±-+Hi+1(X,K)-+Hi+1(E, К),
где гомоморфизм ft представляет собой умножение на некоторый элемент
0еЯа+1(Х, К). Так как Я*(?, К) = 0, если i > О, то Л есть изоморфизм,
откуда сразу следует справедливость леммы.
(Заметим, что этот результат является частным случаем уже цитирован-
цитированной теоремы Бореля.)
Доказательство леммы 2. Пусть Ет — спектральная последователь-
последовательность расслоенного пространства путей в X с фиксированным началом. Имеем:
Е8 = Я*(Х)®Я*(К). Согласно предложению 10 гл. IV, Я*(Х, К)= 0 для
0< i<q+ 1, а Я«+1(Х, К) допускает в качестве базы такой элемент и,
что dq+1v = и, где v есть элемент базы модуля ИЩУ, К).
Обозначим через U подпространство пространства* Eq+1 = E2, обра-
образованное элементами фильтрующей степени «s q -\- 1. Пространство U допу-
допускает в качестве однородной базы элементы Vй и и 0 v* (к = 0,1,...), а диффе-
дифференциал dq+1 дается в нем формулами**
* Дифференциалы dT тривиальны при 2 «s r < q, ибо они изменяют дополнительную
степень на г — 1 единиц, а алгебра H*(Y, К) отлична от нуля лишь в размерностях, крат-
кратных q. Поэтому ?,= ... = Eq+1. — Пром. ред.
** dq+1(u ® v*) = yij dq+1[dq+1(vb+i)] - 0. - Прим. ред.

96 Ж.-П. СЕРР
Так как поле К имеет характеристику нуль, то из этих формул следует, что
всякий коцикл положительной размерности пространства U является когра-
кограницей, и, следовательно, естественный образ UT пространства U в членах
Er(r > q + 1) тривиален во всех положительных размерностях.
Докажем теперь, что Я*(Х, К) = 0 при i >q -f 1, чем и будет завер-
завершено доказательство. Будем рассуждать от противного. Пусть w e Н%Х, К),
w ф 0, i === q -f- 2; можно, кроме того, предполагать, что w имеет минимальную
степень среди всех элементов, обладающих этими свойствами. Так как
элемент w имеет дополнительную степень, равную нулю, то он является
коциклом относительно всех дифференциалов dr. Кроме того, я утверждаю,
что он не является кограницей. Действительно, прежде всего он не является
кограницей относительно дифференциала dq+1, ибо он мог бы быть когра-
кограницей только элемента и ® v\ который, как мы видели, является коциклом;
с другой стороны, элемент w не является кограницей для dr (г > q + 1),
ибо* он мог бы быть кограницей только некоторого элемента подпространства
Ur, которое, как мы видели, тривиально во всех положительных размер-
размерностях. Отсюда следует, что w определяет ненулевой элемент члена ?«>, что
абсурдно.
ДОБАВЛЕ НИ Е
О ГОМОЛОГИЯX НЕКОТОРЫХ НАКРЫТИЙ
В п. 6 гл. I мы напомнили без доказательства один обший результат о
гомологиях накрытий (предложение 4). Так как впоследствии мы исполь-
использовали только очень частные случаи этого общего результата (по существу
только два следствия указанного предложения), то, может быть, читателю
будет удобно найти здесь прямые и элементарные доказательства этих ча-
частных случаев.
Пусть П — группа, действующая без неподвижных точек в пространстве
Т, и пусть X = Т/П; следовательно, Т есть накрытие пространства X в
смысле Галуа; проекция Т -*¦ X будет обозначаться через р. Относительно
П, Т, X мы сделаем два следующих предположения (которые выполняются
в более частных условиях п. 6 гл. I):
1. Для всякого сингулярного симплекса s пространства X существует
такой сингулярный симплекс s' пространства Т, что s — p°s'.
2. Если два сингулярных симплекса s', s" пространства Т таковы, что
pos' = p°s", то существует такой элемент а&П, что a(s') = s".
Напомним, кроме того, некоторые определения, относящиеся к абелевым
группам с операторами.
Если А — абелева группа, в которой действует (для определенности,
слева) группа П, то через Ап обозначается подгруппа группы А, образованная
такими элементами а е Д что о{а) = а для всех элементов <ге П, а через Ап —
факторгруппа группы А по подгруппе, порожденной элементами а — о(а),
где а пробегает А, а о пробегает П.
Группа А с операторами называется /7-свободной, если существует
такое семейство {а} («е /) элементов группы А, что элементы ^(а,) (оеП, iel)
образуют базу абелевой группы А.
Напомнив эти определения, рассмотрим сингулярные комплексы К(Т)
и К(Х) пространств Т и X соответственно. Группа П есть группа автомор-
автоморфизмов комплекса К(Т), а комплекс К(Т) является П-свободным, ибо группа
П действует в Т без неподвижных точек. Отображение р: Т-* X определяет
гомоморфизм К(Т) -* К(Х), который после факторизации в свою очередь
определяет гомоморфизм К(Т)п -* К(Х). Из условия 1 вытекает, что это
* Ср. примечание**** на стр. 86. — Прам. ред.

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 97
последнее отображение эпиморфно, а из условия 2 — что оно мономорфно*
Итак, возможно отождествить К(Т)п с К(Х).
Таким образом, мы приходим к рассмотрению следующей чийто алгебраи-
алгебраической ситуации: имеется комплекс С (К(Т) в предыдущих рассмотрениях),
в котором действует группа П; комплекс С является IP- свободным; ищутся
соотношения, которые существуют между группами гомологии комплексов
С и Сп. Укажем эти соотношения в некоторых частных случаях.
Предложение 1. Предположим, что TL=Z есть аддитивная группа це-
целых чисел, и пусть G — абелева группа. Тогда имеем точну юпоследовательность
О -> Нг(С, G)n^ Нг(Сп, G) -> Я4_Х(С, О)П -> 0.
(В частности, возвращаясь к топологическому случаю и предполагая, кроме
того, что группа Я тривиально действует в Нг(Т, G) для всех i, находим
точную последовательность 0 -> Нг(Т, G)-*- Ht(X, G)->- H^^T, G)~> 0, т. е.
получаем результат, содержащий следствие 1 из предложения 4 гл I.)
Доказательство. Пусть а— образующая группы Я. Рассмотрим
последовательность
0-+С—Ь^с -*Сп + 0,
где С-у С есть эндоморфизм 1 — о, а С-*Сп — естественное отображение.
Я утверждаю, что эта последовательность точная. Нужно установить две
вещи:
a) Отображение 1 — а мономорфно. Действительно, если с = а(с), се С,
то сеСп. Но так как комплексе является Я-свободным, а группа Я содер-
содержит бесконечно много элементов, то Сп = 0.
b) Всякий элемент вида с — ап(с) (neZ) может быть представлен в форме
с' — о(С). Это следует из тождеств
1 — ап = A — а) A + о + о2 + . . . + с"-1), если л э= 1;
1 — о-п = A — а-1)A + о-1 + о-2 + . .. + т-"), если п>0.
Умножим почленно нашу точную последовательность тензорно на абелеву
группу G; так как комплекс С является Я-свободным, то С и Сп будут свобод-
свободными абелевыми группами, и вновь полученная последовательность будет
точной:
После перехода к гомологиям мы получаем точную последовательность
лдС, Сг) •—*¦ Hi(L, и) -> лдСп, Сг) -> п4_х(С, Cf) * rii_j(C, (/),
которая и дает искомую точную последовательность
О -> Н{(С, G)n ^ Й4(СП, G) -> Я^^С, G)n ^ 0.
Предложение 2. Предположим, что Я есть конечная группа порядка
п и что G — абелева группа, в которой уравнение пх= у имеет для каждого
у одно и только одно решение. Тогда Нг{Сп, G) = Нг(С, G)n.
(В частности, возвращаясь к топологическому случаю и предполагая,
кроме того, что группа Я тривиально действуете Щ Т, G), находим: Н{(Т,О) =
= Нг(Х, G), т. е. получаем результат, который содержит следствие 2 из
предложения 4 гл. I.)
Доказательство- Обозначим через 1/п автоморфизм группы G, ко-
который переводит каждый элемент у в такой элемент х, что пх= у; этот
автоморфизм распространяется на C<S>G. Это позволяет определить эндо-
эндоморфизм Р группы C®G формулой
<г ел
7 Расслоенные пространства

Ж.-П. CEPP
Непосредственно проверяется, что Ра = аР = Р для всякого элемента аеП
и что Р2 = Р; очевидно, что все элементы вида с — о(с), аеП, переводятся
в нуль эндоморфизмом Р. Обратно, если Р(с) = 0, то
откуда следует, что ядро эндоморфизма Р совпадает с подгруппой группы
С (g) G, порожденной элементами с— о(с). Отсюда следует, что группа (С ® G)n,
изоморфная группе Сп <S>G, отождествляется с факторгруппой группы
С ® G по ядру эндоморфизма Р. Переходя к гомологиям, получаем, что группа
Н{(Сп, G) отождествляется с факторгруппой группы Нг(С, G) по ядру эндо-
эндоморфизма, определяемого эндоморфизмом Р, т. е. согласно указанной выше
формуле отождествляется с Нг(С, Ь)п.
Дадим, наконец (для краткости — только в топологической форме),
результат, использованный, по существу, в доказательстве леммы 7 гл. V.
Предложение 3. Предположим, что II=Z+N, где N—конечная группа
порядка п, и пусть G — абелева группа, в которой уравнение пх— у имеет
для каждого у одно и только одно решение. Предположим, кроме того, что
группа П тривиально действует в Н{(Т, G) для всех i. Тогда имеем точную
последовательность
О -> Ht(T, G) -+ ЩХ, G) -> Н^Т, G) -> 0.
(В применении к указанной лемме N есть абелева группа, порядок которой
является степенью двойки, a G — поле характеристики ^ 2.)
Доказательство. Пусть Y = T/N; согласно доказанному выше пред-
предложению 2, проекция Г -> Y определяет изоморфизм группы Ht(T, G)
на Hi(Y, G). С другой стороны, группа П/N = Z действует без неподвижных
точек в Y и Y/Z = X. Так как группа П тривиально действует в Нг(Т, G),
то группа П/N тривиально действует в Я{(К, G), и, применяя доказанное
выше предложение 1, мы получаем искомую точную последовательность.
ПРИМЕЧАНИЯ. РЕДАКТОРА
1 (к стр. 13). Говорят, что абелева группа М градуирована (или снабжена градуиров-
градуировкой), если в ней выделены подгруппы Мр, — °°<р<+ °°, в прямую сумму которых
разлагается группа М:
Подгруппы Мр называются однородными составляющими градуированной группы
М. Отличные от нуля элементы однородной составляющей Мр называются однородными
элементами степени р. Степень однородного элемента тьМ обозначается через deg т.
Гомоморфизм / градуированной группы М = ^?МР в градуированную группу JV =
=^JVp называется однородным (относительно градуировки), если существует такое целое
р
число s (называемое степенью гомоморфизма /), что /(Мр) cJVp+s для всех р.
Подгруппа Р градуированной группы М = ?Мр называется однородной, если она
разлагается в прямую сумму своих пересечений с однородными составляющими, т. е.
Р = ЦРр. где Рр = Р П Мр.
v
Гомоморфизм / дифференциальной группы (М, dM) в дифференциальную группу
(N, dN) называется допустимым, если dj?of = /odM. Подгруппа Р дифференциальной
группы (М, d) называется допустимой, если d{P) С Р.
Градуированная группа, снабженная однородным дифференциалом, называется
градуированной дифференциальной группой, нли комплексом. В этом случае допустимыми
называются только такие подгруппы н гомоморфизмы, которые одновременно являются
однородными относительно градуировки и допустимыми относительно дифференциала.
Объединение и пересечение однородных (допустимых) подгрупп являются одно-
однородными (допустимыми) подгруппами. Обр«з и прообраз однородной (допустимой) под-

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 99
группы при однородном (допустимом) гомоморфизме являются однородными (допусти-
(допустимыми) подгруппами.
Однородная (допустимая) подгруппа градуированной (дифференциальной) группы
сама является градуированной (дифференциальной) группой. Факторгруппа дифферен-
дифференциальной группы по ее допустимой подгруппе является дифференциальной группой
(дифференциал в ней определяется из первоначального дифференциала с помощью факто-
факторизации, т. е. с помощью перехода к факторгруппам). Пусть, наконец, N = ^Np— одно-
р
родная подгруппа градуированной группы М = ^ Мр, обозначая через {MjN)v образ
р
группы Мр при естественном гомоморфизме М-> M/N, мы получим M/N = ^ (M/N)p, так
v
что M/N станонится градуированной группой. Отметим, что (M/N)p = (Мр, N)/N pa
яй Mp/Mpf\N = Mp/Np. Если N, P, Q — такие однородные подгруппы градуированной
группы М, что JVCPCQ, то P/N есть однородная подгруппа группы Q/N.
Аналогичные результаты справедливы и для дважды градуированных групп, т. е.
для групп, представленных в виде двойной прямой суммы:
РА
Отметим, что все конструкции этого примечания, а также примечаний 2, 3, 5, 7
сохраняются и для модулей (т. е. абелевых групп с некоторым кольцом в качестве области
операторов). В этом случае рассматриваемые гомоморфизмы должны быть операторными.
2 (к стр. 13). Пусть (М, d) — дифференциальная группа. Обозначим через Z{M)
ядро эндоморфизма й, а через В{Щ— его образ. В силу соотношения <fod = 0 мы имеем
в\Щ cZ(M). Факторгруппа
ЩМ) = Z(M)/B(M)
(т. е. факторгруппа подгруппы циклов по подгруппе границ) называется группой гомо-
гомологии дифференциальной группы (М, d). Элементы группы гомологии вазываются клас-
классами гомологии. Циклы, принадлежащие одному и тому же классу гомологии, называются
гомологичными между собой (в частности, границы называют также циклами, гомоло~
гичными нулю).
Если М — градуированная дифференциальная группа, то подгруппы Z(M) и В(М) до-
допустимы: Z(M) =^Zp{M),B(M) = 2 Вр(М). Следовательно, группа Н(М) градуирована
р р
(см. предыдущее примечание):
физмов
/1 /1
(*)
причем образ первого из них равен ВР(М), а ядро второго равно ZV(M). Таким образом,
группаНР(М)может быть непосредственно вычислена из рассмотрения гомоморфизмов(*),
в связи с чем эту группу называют также группой гомологии группы М, вычисленной в
подгруппе Мр.
Если / — допустимый гомоморфизм дифференциальной группы (М, им) в диффе-
дифференциальную группу (N, djv)> то имеют место легко проверяемые соотношения
f(Z(M)) С Z(N), f(B(M)) С B(N).
Таким образом, гомоморфизм / определяет, после перехода к факторгруппам, гомомор-
гомоморфизм групп гомологии
H(M)->H(N);
этот гомоморфизм обозначается через /* и называется индуцированным гомоморфизмом.
В случае градуированных дифференциальных групп гомоморфизм /»: H(M)->H(N),
индуцированный допустимым гомоморфизмом f:M-+N, является однородным (и имеет
ту же степень, что н гомоморфизм f).
Отметим еще важное для дальнейшего понятие гомотопии допустимых гомомор-
гомоморфизмов. Пусть (М, dM) и (N, dN) — две дифференциальные группы, а
/: M~*N и g: M-> N
— их допустимые гомоморфизмы. Эти гомоморфизмы называются гомотопными между
собой, если существует такой гомоморфизм D: М-»- N (не предполагаемый допустимым),
7* - 5/13

100 Ж.-П. СЕРР
что выполняется соотношение
/ — g — D°dx + dN°D.
Гомоморфизм D называется гомотетией, связывающей гомоморфизмы f и g. (В случае
градуированных дифференциальных групп гомоморфизм D предполагается однород-
однородным). Если гомоморфизмы fug гомотопны между собой, то индуцированные ими
гомоморфизмы групп гомологии совпадают: /, = g*. Действительно, если z — произ-
произвольный цикл группы М, TQf(z) — g(z) = (dN°D)(z)eB(N), т. е. циклы/B) и g(z) гомо-
гомологичны между собой.
Допустимый гомоморфизм <р: М -* N называется гомотопической эквивалентностью,
если существует такой допустимый гомоморфизм у: N -> М, что эндоморфизмы yi о <р
и (p°ip гомотопны тождественным автоморфизмам соответственно групп М и N:
При этих условиях группы М и N называются гомотопными. Отображение у> также,
очевидно, является гомотопической эквивалентностью; гомотопические эквивалентности
<р и у> называются взаимно обратными. Так как тождественный автоморфизм индуцирует
тождественный же автоморфизм группы гомологии, то у* ° 93* — 1> <Р*°У* = '> т- е-
взаимно обратные гомотопические эквивалентности индуцируют взаимно обратные изо-
изоморфизмы групп гомологии.
3 (к стр. 13). Пусть N — подгруппа абелевой группы М, i — отображение вложения
(т. е. отображение i(a) = а, ае.М), а / — естественный гомоморфизм /: М-> M/N. Тогда
последовательность
0 -»¦ N —-> М -2-> M/N -+ 0
групп и гомоморфизмов точна, т. е. образ каждого гомоморфизма, кроме последнего,
совпадает с ядром следующего за ним гомоморфизма.
Предположим теперь, что М является дифференциальной группой, a JV — ее до-
допустимая подгруппа; тогда N и M/N также являются дифференциальными группами
(см. примечания 1,2 на стр. 98,99). Дифференциалы во всех рассматриваемых группах будем
обозначать через d. С помощью этих дифференциалов определяются группы гомологии
Н(Щ, H(N), ЩМ/N). Гомоморфизмы i, / допустимы (т. е. перестановочны с дифференциа-
дифференциалами: i о а = d о i, j°d— d о /), так что они определяют индуцированные гомомор-
гомоморфизмы:
/*: H(N) -* ЩМ), /« : ЩМ) -+ ЩМ/N).
Далее, если zzM/N есть цикл, то множество t~1odoj~1(z) C.N состоит, из циклов,
которые все гомологичны между собой (в дифференциальной группе N). Обозначим класс
гомологии этих циклов через 8(z). Если z и г' — гомологичные циклы группы M/N,
то 8(z) = 9(z'), так что после перехода к факторгруппам мы получаем гомоморфизм
d:H(M/N)-*H(N),
называемый граничным.
Получающаяся таким образом последовательность
... — -*¦ ЩЫ) -ii~>- ЩМ) —-> ЩМ/N) — ¦> H(N) -^> ЩМ) -^—»- ЩМ/N) — ¦*¦...
периодически повторяющихся групп и гомоморфизмов точна (доказательство точности
предоставляем читателю); она называется гомологической последовательностью пары
групп (М, N).
Пусть теперь М — дифференциальная группа, а N и Р — такие ее допустимые
подгруппы, что N Z) Р. Тогда MJP, N/P и M/N суть дифференциальные группы, причем
N/P С М/Р, а факторгруппа (M/P)/(N/P) изоморфна (как дифференциальная группа)
группе M/N. Следовательно, гомологическая последовательность пары ' групп
(М/Р, N/P) принимает вид
... — -*¦ H(N/P) —+ ЩМ/Р) —-> ЩМ/N) -?-*¦ H(N/P) —->
Эта точная последовательность называется гомологической последовательностью тройки
(М, N.. Р).
Нетрудно видеть, что граничный гомоморфизм
Э : ЩАР/АР'1)
гомологической последовательности тройки групп (ДР, ДР, АР~*) совпадает с диффе-
дифференциалом dx.
Рассмотрим еще важный для дальнейшего случай градуированных дифференциаль-
дифференциальных групп. Пусть N — допустимая подгруппа градуированной дифференциальной группы
М, дифференциал которой имеет степень s. Тогда в точной гомологической последователь-
последовательности пары групп (М, N) все группы градуированы, а гомоморфизмы однородны, причем

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
101
гомоморфизмы it, jt имеют степень нуль, а гомоморфизм 9 — степень s. Поэтому, выпи-
сывая из каждой группы гомологии лишь одну однородную составляющую, мы можем
записать точную гомологическую последовательность пары групп (М, N) так:
Аналогично записывается гомологическая последовательность тройки групп.
4 (к стр. 15). Эти свойства дифференциалов dr можно, следуя Е.Б. Дынкину.изобразить
графически в виде следующих таблиц. Гомоморфизм dr, как видно нз этих таблиц, изобра-
изображается параллельным переносом таблицы а) на т единиц вниз и на т—1 единиц вправо
•
еГ
•
*
еГ
\
4-'
•
•
еГ
Е?
...
...
• • •
. . >
|
\
?;->
Ег'<
Е°г*
¦ ¦ •
• ¦ •
...
\
\
\
1
1
.
\
л
\
\
\
\
Si
\
а) Градуировка члена ?Р
в) Действие дифференциала dr
(«ход коня»). (Здесь указаны только члены, соответствующие неотрицательным значениям
р, q\ при выполнении указываемого в тексте условия (Ф) остальные члены равны нулю.)
5 (к стр. 17). Цепи определяются с помощью тензорного произведения. Пусть А —
произвольное кольцо, М—правый, а N—левый Д-модули, т. е. такие абелевы группы,
для которых А является областью (правых, соответственно левых) операторов. Тензор-
Тензорное произведение М ® а N (индекс А обычно опускается) модулей М и N над кольцом А
определяется как абелева группа, порожденная формальными символами вида т^п
(где mzM, леЛ/), для которых выполнены следующие соотношения:
т<8п + т'<8п = (т + т') ® п,
m®n + m®n' = m®(n + л'),
та® п = m® an
ши \&г и == in v&j ип
(т, т' € М; п, п' е N; а € А).
Если А = Z — кольцо целых чисел, а умножение на целые числа понимается в обычном
смысле, то мы получаем тензорное произведение над кольцом Z, т. е. тензорное произ-
произведение обычных (не операторных) абелевых групп. Если N—левый Л-модуль, а М—
произвольная абелева группа, то М ®z N можно определить как (левый) Л-модуль,
полагая а(т ® п) — т^ап. Если кольцо Л коммутативно, то группу М ® N можно
определить как Л-модуль, полагая а(т ® п) = т ®ап.
• Если /: М-»- М' и g: N-* N' — произвольные гомоморфизмы (Л-модулей), то соот-
соответствие
т ® п -»¦ f(m) ® g(ri), me M, n e N,
как нетрудно видеть, однозначно определяет некоторый гомоморфизм М ® N -> М'® N';
этот гомоморфизм обозначается через / ® g и называется тензорным произведением гомо-
гомоморфизмов / н g. Важным свойством тензорного произведения является следующее: для
любых гомоморфизмов
имеет место соотношение (/'°/)®(g'°g) = (/'®g') ° (/®g)- Другим важным свойством
тензорного произведения является его аддитивность: если М = ^Мр, N = ^Nq,TO
р q
имеет место естественный изоморфизм М® ЛАрй ^(Мр® Nq). Этн свойства доказы-
ваются непосредственно; другие важные свойства сформулированы на стр. 128 настоя-
настоящего сборника.
Пусть теперь (М, d) — дифференциальная градуированная группа (т. е. комплекс),
a G — произвольная абелева группа; обозначим через 1 тождественный автоморфизм
группы G. Тогда (М ® G, d ® 1) — также комплекс, ибо (d ® 1) о (d ® 1) = (d о d) ® 1.
Цепн, циклы, границы, гомологии этого комплекса называются соответственно цепями,

102
Ж--П. СЕРР
циклами, границами, гомологиями комплекса М по области коэффициентов G. Группы го-
гомологии обозначаются через Н(М, О), НР(М, G):
ЩМ, G) = ЩМ ® G), HP(M, G)=HV(M<&G).
Если N — подгруппа группы М, то, вообще говоря, группа N ® G не изоморфна
никакой подгруппе группы M&G. Однако в том случае, когда N есть прямое слагаемое
в М, из аддитивности тензорного произведении вытекает, что отображение i® 1 группы
N<g)G в M&G (где i:N-+M — отображение вложения) моиоморфио, т. е. N ® G
можно рассматривать как подгруппу группы М ® G.
Таким образом, если N — допустимая подгруппа дифференциальной группы М,
являющаяся в М прямым слагаемым, то группу N ® G можно рассматривать как допус-
допустимую подгруппу группы M&G, и мы получаем точную гомологическую последова-
последовательность пары групп (М, N):
¦ ЩМ/N, G) — ¦> H(N, в) —-> ЩМ, G) —-> ....
—-> ЩМ, G) —
Если М является градуироваииой дифференциальной группой, а дифференциал d имеет
степень s. то гомологическая последовательность может быть записана следующим
образом:
—
НР(М, G)—+HP(M/N,
HP+S(N, G) -*=-> HP+S(M, G)
—
(где N — по-прежнему допустимая подгруппа, являющаяся в М прямым слагаемым).
Аналогичные последовательности могут быть написаны для тройки групп.
В случаях, когда группу M&G можно определить как модуль (см. выше), мы
получаем не группу, а модуль гомологии Н(М, G).
Заметим, что автор пишет ие о группе цепей дифференциальной группы, а о группе
цепей топологического пространства; об этом см. примечание 9 на стр. 104 и п. 1 гл. 11.
У—
i—
Ш
•.
0
0
ш
ш
т.
щ
Ш
т
Щ
* в
0
0
т
ж
ш
1
ш
*•.
О
0
щ
т
т
ж
т
Ш
Ш
Ш
••.
0
0
ш
ж
ж
ш
ш
щ
ш
т
ш
• ¦ .
0
¦-.
ш.
т.
ш
ш
т
Щ
Ш
1
•#
0
•
Ш
т
Щ
Ш
i
, •
ш
т
ш.
щ
•
О
•
ш
т
Ш
ш
щ
i
О
*
•
ш
ш
щ
Щ
щ
щ
ш
ш
щ
•
О
* .
ш
т
т
%
i
щ
т.
W
Ш
ш
'%>
X
т
т
Ш
ш
ш
ш
щ
0
щ
ш
щ
ш
щ
й
щ
ш
0
ш
ш
ш
ш
ш
ш
ш
%
ш
ш
i
О
о
'•
ш
ш
щ
ш
ш
ш
i
ш
0
о
ш
ж
ш
ш
ш
щ
щ
ш
ж
ш
щ
ш
1
О
ш
ш
W
щ
ж
ш
щ
т
ш
щ
ш
т.
ш
щ
щ
ш
ш
ш
т
'<%
ап
\

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ ЮЗ
6 (к стр. 21). Для удобства запоминания и применения всех сделанных предположений
дадим их истолкование с помощью таблиц Ё. Б. Дынкина (см. примечание 4 на стр. 101).
На таблице стр. 102, изображающей двойную градуировку члена Ег (изображен
случай г = 3: см. стрелку, обозначающую дифференциал dr), не заштрихована часть,
соответствующая членам E?'q, i =s p + q =s /. В каждом диагональном ряду (перпен-
(перпендикулярном биссектрисе изображенного квадранта) имеется не более двух нетривиаль-
нетривиальных членов. Расположение нетривиальных членов в ряду р + q = п, п = i, ...,/, накла-
накладывает ограничение на расположение нетривиальных членов в рядах р+ q— п—1 и
р + q = п + 1 (нетривиальные члены в этих рядах могут находиться лишь на местах,
отмеченных многоточием).
7 (к стр. 25). Через Нот (М, G) обозначается группа гомоморфизмов абелевой группы
М в абелеву группу G (в случае модулей с кольцом операторов А рассматривается
группа Нот а(М, G) операторных гомоморфизмов). Пусть /: М -> М' и g: G' -»- G
— произвольные гомоморфизмы. Каждому гомоморфизму а: М' -> G' мы можем сопо-
сопоставить гомоморфизм g о а о / группы М в G. Это соответствие а -*¦ g о а ° / определяет
отображение (очевидно, гомоморфное) группы Нот (М', С) в Нот (М, G); оно обозна-
обозначается через Нот (/, g). Без труда проверяется, что для произвольных гомоморфизмов
f ff Q* О
М —*¦ М' —> М" и G" —*¦ С —> G имеет место соотношение
Нот (/, g) о Нот (/', g') = Нот (/' о /, g о g').
Рассмотрим теперь случай градуированной группы М = ^ Мр. В этом случае через
р
Horn (M, G) обозначается совокупность всех гомоморфизмов л: М -*¦ G, отличных от нуля
лишь на конечном числе однородных составляющих. Очевидно, что эта группа градуи-
градуирована: Horn (M, G) = 2 Нот (Мр, G). Если /: М -*¦ М' — однородный гомоморфизм
степени s, a g:G'->G — произвольный гомоморфизм, то гомоморфизм Hom(/, g) отобра-
отображает группу Нот (М% G') в Нот(М, G) и является, как легко видеть, однородным гомо-
гомоморфизмом степени —s. Если теперь (М, d) — градуированная дифференциальная группа,
то группа (Horn (M, G), Нот (/, 1)) также будет градуированной дифференциальной,
причем степень дифференциала Нот (/, 1) отличается знаком от степени дифференциала й.
Цепи, циклы, границы, гомологии этой дифференциальной группы называются соответст-
соответственно коцепями, коциклами, кограницами, когомологиями комплекса М со значениями
в группе G. Группы когомологий обозначаются через Н*(М, G), HP(M, G):
Н*(М, G) = Я(Нот (М, G)), №>(M, G) = Яр(Нот (М, G)).
Отметим.что если М есть (левый) А -модуль, a G—абелева группа, то группа Homz(M, G)
может быть определена как (правый) Л-модуль, если для любого гомоморфизма /: М -*¦ G
положить fa = / о /„, где 1а — эндоморфизм умножения на элемент а. В соответствии
с этим получаем не группу, а модуль когомологий.
Если N — подгруппа группы М, a i: JV-> M — отображение вложения, то отоб-
отображение
Нот (|, 1) : Нот(М, G)-> Horn (N, G)
не является, вообще говоря, эпиморфным (т. е. ие всякий гомоморфизм а: N-+ G можно
продолжить на всю группу М). Однако в случае, когда N есть прямое слагаемое в М,
отображение Horn (i, 1) эпнморфно.
Таким образом, если N — допустимая подгруппа дифференциальной группы М,
являющаяся в М прямым слагаемым, то дифференциальную группу Horn (N, G) можно
рассматривать как факторгруппу дифференциальной группы Horn (Af, G), причем рас-
рассмотренный выше эпиморфизм Нот(/, 1) является допустимым. Ядро Q = Horn (M/N, G)
этого эпиморфизма является допустимой подгруппой группы Horn (M, G), и мы получаем
точную последовательность дифференциальных групп и их допустимых гомоморфизмов
0 —+ Horn (M/JV, G) -> Нот (М, G) -> Нот (N, G) -> 0.
Соответствующая гомологическая последовательность называется когомологической пос-
последовательностью пары групп (М, N):
... — -»• H*(M/N, G) -¦*¦ Н*(М, -О) -¦*¦ H*(N, G) --»• H*(M/N, G) — ->• ....
Если М является градуированной дифференциальной группой, а дифференциал й имеет
степень s, то дифференциал Нот (й, 1) имеет степень —s, и когомологическая последо-
последовательность может быть записана в виде
...—¦*¦ № (M/N, G) 3^> HP (M, G) --»• HP (N, G) ^~> Hp-* (M/N, G) *—*¦ ...
(где N — по-прежнему допустимая подгруппа, являющаяся в М прямым слагаемым).
Аналогичные последовательности могут быть иапнсаны для тройки групп.

104 Ж.-П CEPP
Если (М, rfjf) и (N, йу) — дифференциальные группы, а /: М -*¦ N — допустимый
гомоморфизм, то гомоморфизм
Нот (/, 1): Нот (JV, С) -> Нот (М, О)
также допустим; ои индуцирует гомоморфизм групп когомологнй
/*: H*(N, 0)->Н*(М, О).
Заметим, наконец, что если / и g — гомотопные между собой гомоморфизмы группы
М в N, то гомоморфизмы Нот (/, 1) и H(g, 1) группы Нот (N, G) в Нот (М, G) также
гомотопны между собой (если гомотопия гомоморфизмов fug осуществляется гомомор-
гомоморфизмом D, то следует рассмотреть гомоморфизм D* — Horn (D, 1)).
8 (к стр. 25). В связи с этим примером заметим следующее. Пусть (A, d) — дифферен-
дифференциальная группа с возрастающей фильтрацией. Тогда, согласно сказанному в п. 1, опре-
определена спектральная последовательность гомологии группы (A, d). Если G — произволь-
произвольная абелева группа, то (А ® О, й ® 1) — также дифференциальная группа с возрастающей
фильтрацией; ее спектральную последовательность мы будем называть спектральной
последовательностью гомологии группы (A, d) по области коэффициентов О. Наконец,
(Horn (A, G), Нот (d, 1)) является дифференциальной группой с убывающей фильтрацией;
ее спектральную последовательность мы будем называть спектральной последователь-
последовательностью когомологий группы (A, d) по области коэффициентов О.
Аналогичная терминология применима и к градуированным дифференциальным
группам; в приведенном примере автор как раз и рассматривает спектральную последо-
последовательность когомологий градуироваииой дифференциальной группы.
9 (к стр. 27). Напоминаем классическое построение сингулярной теории гомологии.
Множество Лп точек (л + 1)-мериого координатного пространства (Хо, хг, . .., Хп), удов-
удовлетворяющих соотношениям
Хо + Xj + х, + ... + Хп = 1, Xi а- 0 (i = 0,1, .... л),
называется единичным п-мерным, симплексом. Симплекс является замкнутым ограничен-
ограниченным выпуклым множеством. Точка а\ = @, ..., 1, .. ., 0) (единица стоит иа i-u месте)
принадлежит симплексу Лп и называется его i-й вершиной.
Для каждого целого числа к, удовлетворяющего соотношению 0<t«n, мы опре-
определим некоторое линейное (и даже изометричиое) отображение Aft: Лп_г -> Лп. Именно,
для каждой вершины щ симплекса ЛП-\ положим
при i<fc,
при is» Л:
и распространим затем отображение Aft по линейности на весь симплекс Лп_х. Без труда
проверяется соотношение
k-i ° h = fa ° k (d<l<n) (*)
(в обеих частях равенства стоят отображения симплекса Лп—» в Лп).
Пусть теперь X — топологическое пространство. Всякое непрерывное отображение
и: Лп-± X называется л -мерным сингулярным симплексом пространства X. Для каждого
к, 0 =s Ac =s n, отображение и о Aft : An—i ->¦ X является (л—1)-мериым сингулярным
симплексом пространства X; этот симплекс называется к-й гранью симплекса и и обоз-
обозначается также через А^и.
Свободная абелева группа, порожденная всеми сингулярными симплексами прост-
пространства X, называется сингулярным комплексом пространства X и обозначается через
К(Х). Группа К(Х) градуирована: К(Х) = 2 КР(Х), где КР(Х) порождается р-мериыми
р
симплексами. Элементы группы К(Х) называются сингулярными цепями пространства
X, элементы группы КР(Х) — р-мернымн сингулярными цепями. Соотношение
(ц — сингулярный симплекс), распространенное, по аддитивности на все сингулярные
цепи, определяет однородный эндоморфизм d градуироваииой группы К(Х), причем из
(* Непосредственно следует соотношение й°й=О. Таким образом, К(Х) является гра-
градуироваииой дифференциальной группой, что позволяет построить теорию гомологии
(см. примечания 2, 5 и 7 на стр. 99,101 и 103). Обозначения Нр(К(Х)), HP(K(X),G),
Нр(К(Х), G) сокращаются соответственно до НР(Х), НР(Х, G), ЙЦХ, G). Эти группы
называются сингулярными группами гомологии и когомологий пространства X.
Пусть А — подпространство пространства X. Тогда К(А) есть допустимая подгруппа
группы К(Х). Для групп ЩК(Х)/К(А)), ЩК(Х)/К(А), G), H*(K(X)/K(A), G) применя-
применяются обозначения Н{Х mod А), ЩХ mod A, G), Н*(Хтой А, О); эти группы называются

сингулярные гомологии расслоенных пространств 105
относительными группами гомологии и когомологий. Рассмотрение пары групп
(К(Х), К(А)) позволяет написать точную гомологическую последовательность (дифферен-
(дифференциал й имеет степень —1)
НР(Х) —-> НР(Х mod А) —•> Нр^А) —
Гомологическая последовательность с коэффициентами в группе G аналогична. Кого-
Когомологическая последовательность имеет вид
...<- Нр(Х, G) «•— Ht>(X mod A, G) *¦— Нр-ЦА, G) «¦— Нр-ЦХ, G) «-
Если /: Х-> Y — непрерывное отображение, то соотношение f(u) = / о и (где и
— сингулярный симплекс пространства X) позволяет поставить в соответствие каждому
сингулярному симплексу и пространства X сингулярный симплекс /(Ц) пространства У.
Этим определяется гомоморфизм К(Х) -*- К(У), обозначаемый также через /, и с его по-
помощью — гомоморфизмы
/, : ЩХ) -> ЩУ), U- ЩХ, G) -> H(Y, G), /*: H*(Y, G) -> H*(X, G).
Эти индуцированные гомоморфизмы и имеет в виду автор, когда он говорит, что группа
П действует в сингулярных группах гомологии и когомологий пространства Т.
Отметим еще, что для гомотопных между собой отображений / и g пространства X
в У соответствующие гомоморфизмы /: К(Х) -s- K(Y), g: K(X) -> K(Y) также гомотопны
между собой.
Ниже (гл. И) автор рассматривает другое (эквииалентное) определение сингулярных
гомологии.
10 (к стр. 27). Укажем понятия Л-комплекса и П-свободного П-комплекса.
Пусть П—произвольная мультипликативная группа (все построения проходят также
для ассоциативной полугруппы с единицей). Через Z(IT) обозначим ее групповое кольцо,
т. е. совокупность всех формальных линейных комбинаций п1л1 + • • • + n«as элементов
ai группы П с целочисленными коэффициентами пц сложение в кольце Z(IT) определяется
обычным образом («приведение подобных членов»), а умножение — по правилу умножения
многочленов. Единицу группы П (и кольца Z(/7)) обозначаем через 1, нуль кольца ЦП)
(т. е. тривиальную линейную комбинацию) — через 0.
Аддитивная группа М называется левым П-модулем, если кольцо Z(IT) задано как
кольцо левых операторов группы М, причем единица кольца Z(II) определяет тожде-
ствевный автоморфизм группы М; правые Л-модули определяются аналогично. Опера-
Операторные гомоморфизмы /7-модулей называются также /7-гомоморфизмами. Любая абелева
группа G может быть задана как (левый) 77-модуль с помощью соотношений
ecg=g, «en,gzG;
в этом случае говорят, что группа П тривиально действует в модуле G.
Градуированная дифференциальная группа (М, d) называется (левым) Л-комплек-
сом, если выполнены условия: 1) М есть (левый) 77-модуль, 2) «/есть /7-эндоморфизм,
3) степень дифференциала й равна—1, 4) при отрицательных р однородные составляющие
Мр тривиальны.
Л-комплекс М называется свободным, если все однородные составляющие Мр явля-
являются свободными П-модулями (т. е. каждая из'них изоморфна прямой сумме некоторого
числа экземпляров аддитивного модуля кольца Z(II). /7-комплекс М называется ацик-
ациклическим, если существует такой 77-гомоморфизм е : Мо -s- Z, где Z — аддитивная группа
целых чисел, в которой П действует тривиально, что последовательность
точна. Это требование эквивалентно условиям: НР(М) =0 при р > 0 и Н^М) = Z.
Пусть М — произвольный (левый) Л-модуль, а N — его подмодуль, порожденный
элементами вида т — am, где теМ, аеЛ. Фактормодуль M/N обозначается через Мц.
Если М есть Л-комплекс, то М — допустимый подмодуль, и потому Мп также есть П-
комплекс (в котором группа Л действует тривиально). Теперь без труда проверяется
утверждение автора о том, что сингулярный комплекс К(Т) являетси Л-свободным, а
комплекс К(Т)п изоморфен К(Х).
Укажем еще два важных предложения о свободных ациклических Л-комплексах.
Предложение 1. Для всякой мультипликативной группы существуют свободные
ациклические П-комплексы.
Для построения примера такого комплекса обозначим через СЧ(П) свободный левый
Л-модуль, порожденный формальными символами [хи х2,..., хд], где х, е Л, i = 1,... ,q.
В частности, Л-модуль С0(П) порожден единственным символом [ ] и потому изоморфен

106 Ж--П. СЕРР
аддитивному модулю кольца Z(IT). При q < 0 модули С?(/7) тривиальны. В модуле
С(П) — ^CqlJI) определим эндоморфизм d, положив
ч
Легкие вычисления показывают, что П-эндоморфизм d удовлетворяет соотношению
d о d = 0, и, следовательно, С(Л) есть Л-комплекс (очевидно, свободный). Докажем его
ацикличность. Гомоморфизм е: Afo->Z определим соотношением еA ]) = 1. Далее, опре-
определим гомоморфизм D : (М + Z) -> М, положив
D(x[xlf ..., х3]) = [х, х1г ..., Xg], q s* 0, D(l) == [ ]
(гомоморфизм D не является, вообще говоря, Л-гомоморфизмом). Нетрудно проверить
соотношения
{d°D + Dod)(c) = с при с € Св(Я), q > 0;
(d°D + Doe)(c) = с при с е С„(Л).
Отсюда непосредственно следует, что всякий цикл с € Сд(Д) при g > 0 гомологичен
нулю, т. е. Н9(С(Щ) = 0; точно так же при с € СОG7) соотношение ее = 0 эквивалентно
утверждению, что с есть граница, т. е. что Н0(С(П)) = Z.
Комплекс С(П) называется комплексом группы П.
Предложение 2. Любые два свободных ациклических П-комплекса С и С гомо-
гомотопны, т. е. существуют П-гомоморфизмы <р: С -> С' и у. С -> С, являющиеся взаимно
обратными гомотопическими эквивалентностями.
Обозначим через е и е' существующие для комплексов С и С отображения C0-*Z
и С'о-> Z. Так как отображение в': С'о -*¦ Z эпиморфно (в силу ацикличности комплекса
С, см. (*)), а Я-модуль Со свободен, то существует такое отображение <р„: С,,-+С& что
е' о у, = е (отображение щ достаточно определить на свободных образующих модуля
С„). Далее, так как е'о<р0о3@^ = е о rffCi) = 0, то <poad(C^ С Ker e' = d'(C'j) (последнее
равенство следует из ацикличности комплексаС, см. (*)). Из включения<ро°d(CJ (Zd'(Ci)
вытекает существование такого отображения <р1: С1^>С1, что q>0 о d = rf' о ^ (на Cj).
Продолжая построение, мы получим последовательность таких /7-гомоморфизмов
Vk '¦ Cft -> Си, что на Cft имеет место соотношение q>k—i ° d = d' о у^. Это дает допустимый
гомоморфизм у: С -> С', удовлетворяющий иа Со соотношению е' о у = е. Аналогично
строится допустимый гомоморфизм у>: С -> С, удовлетворяющий на Ci соотношению
е о у> = е'.
Покажем, что <р и у> являются взаимно обратными гомотопическими эквивалент-
эквивалентностями. Эндоморфизм х — у> °<р модуля С является допустимым и удовлетворяет
соотношению е о х= е. Мы покажем, что при этих условиях эндоморфизм % гомотопен
тождественному автоморфизму 1. Имеем е о (% — 1)(С„) = (е ° % — е)(С0) = 0. т- е.
(X — 1)(С0) <- Кег е = d(Ci). Отсюда следует существование такого Л-гомоморфизма
Do: Со -+ d, что х — 1 = d о Do на С„. Далее, d о (z — 1 — ?>„ о d)(d) = (z о rf —
—d — d°D0° QiCJ = (* — 1 — d о Do)(dC0 = 0, т. e. (Z — 1 - Д, о d)(C,)eKer d=d(Cg).
Итак,существует такой /7-гомоморфизм Dt: Cj^-уС^ что х— 1 —Do о d= doDt на С,.
Продолжая построение, мы получим последовательность таких Л-гомоморфизмов
Dk :Cfc-> Cft+1, что z — 1 — Dk-i о d = d о Dh па Сн- Этр дает Л-эндоморфизм D модуля
С, удовлетворяющий соотношению х — 1 — D ° d = d о 'D, чем гомотопность гомомор-
гомоморфизмов % и 1 доказана. (Аналогично рассматривается эндоморфизм %' = у ° V модуля С.)
Перейдем к рассмотрению гомологии П-комплексов и, в частности, гомологии
и когомологий мультипликативных групп. Пусть М=^МР и iV =^Nq — соответственно
правый и левый Я-комплексы с дифференциалами du^d^. Введем в их тензорном произ-
произведении М ® N = 2 Мр ® Nq градуировку, считая л-й однородной составляющей
(Af ® N)n подгруппу ^Мр ® iVg, и дифференциал d = dM ® iV, полагая
Р+«-п
d(m ® п) = dM т ® п + (—1)р т
при т®п? Мр ® Ng. Получаемый таким образом комплекс М ® iV называется тензор-
тензорным произведением комплексов М и N.
Если /: М-> ЛГ и g: iV-> iV' — допустимые гомоморфизмы степени нуль, то / ®g:
: М ® iV-э- М' ® iV' также, очевидно, является допустимым гомоморфизмом степени нуль.
Далее, если flt f2 : M -> М' — гомотопные между собой гомоморфизмы и таковы же гомо-
гомоморфизмы g1( g2 : N -> iV', то гомоморфизмы /t ® gi и ft ® it гомотопны между собой
(для определения связывающей их гомотопии D следует положить
D(m ® п) = F{m) ®gl(n) + (-1)р/2(/п) ® О(п)

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 107
при га®пб Мр ® Nq, где F — гомотопия, связывающая гомоморфизмы /х и /,, a G —
гомотопия, связывающая gt и gj). Отсюда, в частности, вытекает, что тензорное произ-
произведение двух гомотопических эквивалентностей является гомотопической эквивалент-
эквивалентностью. Таким образом, если комплексы М и М' гомотопны и таковы же комплексы N и
N', то комплексы М ® N и М' ® N' также гомотопны между собой.
Если комплекс iV совпадает с некоторым модулем G, т. е. No = G и Nq = 0 при q > 0,
то мы получаем комплекс М ® G, рассмотренный выше, в примечании 5.
Пусть теперь М— произвольный правый Я-комплекс, С — свободный ациклический
левый Я-комплекс, а М ® С — их тензорное произведение (над кольцом 2(Я)). Из пред-
п
ложения 2 примечания 5 следует, что с точностью до гомотопности комплекс М ® С не
п
зависит от выбора свободного ациклического комплекса С. Поэтому группы гомологии
комплекса М ® С однозначно определяются комплексом М.
п
В случае, когда комплекс М совпадает с некоторым (правым) Я-модулем G, т. е.
Мо = G и Мр = 0 при р > 0, группы гомологии комплекса М ® С = G &) С называются
я я
группами гомологии группы Я над П-модулем G. Обозначения:
H(G ® С) = Н(Я, О), HP(G ® С) = НР(Л, G).
п п
Группы когомологий группы Я над Я-модулем G определяются с помощью операции Нот:
Я*G7, G) = Н(Нотп(С, G)), НЦП, G) = №>(Нотя(С, G)).
Заметим, что однородные коцепи / е Нотп(Ср, G) степени р можно очевидным образом
рассматривать как функции /(<хх Ор) со значениями в G, где <х$ е П. При этом кограница
определяется формулой
р
(Э/) (<*!, • • - , ар+1) =а1/(а2, .. • , о^,+1) + ^ (—1)» / (alt ... , ai ai+i, - • • , Op+i) +
i-l
+ (~1)р+1 /(a,, .-.,«,+,)¦
Полезно иметь в вяду, что из определения следует
Я"(Я, G) =Gn,
где G^7 — подгруппа Я-модуля G, состоящая из инвариантных относительно Я элементов.
В дальнейшем понадобится
Предложение 3. Если группа П конечна и в П-модуле G возможно однозначное
деление на т, где т — порядок группы Я, то НЦП, G) = 0 для любого р > 0.
Для доказательства определим при любом р>0 отображение D: Нотя(Ср, в)-*¦
-*¦ Hom/7(Cp_1, G), положив
- 2 г' /("> «1. • • • > *p-i)-
т ея
Легко проверить, что 9 о D + Do 8=1, откуда и вытекает справедливость предложения 3.
11 (к стр. 27). Проведем построение указанной спектральной последовательности.
Пусть К(Т) = М — сингулярный комплекс пространства Т, в котором справа дейст-
действует группа П (см. примечание*** на стр. 26), а С — левый свободный ациклический
Л-комплекс. Тогда А= МфС — градуированная дифференциальная группа. Введем в
п
этой группе возрастающую фильтрацию, положив
_ : ® Ck, АР = 2i АРЛ
<q n i
(p — фильтрующая степень, р + q — полная степень). Эта фильтрация совместима с
градуировкой и дифференциалом; условие (Ф) для нее выполнено (стр. 15).

108 Ж.-П. CEPP
Вычислим второй член получающейся спектральной последовательности. Член
?о'3 = Ap'4/Ap~1' p+1 изоморфен, очевидно, группе Мв® Ср, а дифференциал do:Eo'q-^Eo'q~l
совпадает с йм®1с> ибо он получается при факторизации из дифференциала й, действую-
п
щего в М ® С. Так как комплекс С Я-свободен, то Н(Е$) = ЩМ&Ср) — ЩМ)<%>СР,
т. е. ?f'e = Hq{M) ® Ср. Дифференциал ^ получаетси с помощью факторизации из d,
и потому dx(h&c) = (-—1)9 (Л® dec), где ft еНЛМ), с е С. Отсюда следует, что ?|'3 =
л л
= Hp(Hq(M) ® С) = ЯР(Я, Wg(Af)) = HMI, Hq(T)) (группа гомологии группы Я со
значениями в группе Hq(T), в которой 27 действует справа; см. предыдущее примечание).
Если в качестве М вместо К(Т) взять Я-комплекс K(T)<g>G, где G — иекотораи
абелева группа, то совершенно аналогично получим Е\л = Hv(Hq(M) ® С) =
HmH{M)) #(i7 я(г G))
q{)) p(, д(, ))
Для доказательства предложения 4 остается изучить предельную группу построен-
построенной спектральной последовательности. Мы зваем (см. конец п .1), что эта предельная
группа будет градуированной группой, ассоциированной с группой Н(А), если в этой
последней группе введена надлежащей фильтрация. Поэтому иам достаточно установить,
что группа Н(А) изоморфна Н(Х, G).
Пусть Z — аддитивная группа целых чисел, в которой тривиально действует группа
У1
П. Положим В = М ® Z и введем в этой группе градуировку В = ^Мр ® Z и дифферен
я р и
циал <fg =du ® lz- В группе А рассмотрим прежнюю градунровку и прежний дифферен-
п
циал d = <f а- Введем, далее, в группах А и В фильтрации, положив
t Ар == _2 М ft ® С>
ft<p п
(таким образом, в группе .А введена фильтрация, отличная от рассматривавшейся ранее).
Эти фильтрации совместимы с градуировками и дифференциалами. Определим Я-гомомор-
физм "ё : С -*¦ Z, положив 1 — е на Со и ~е = 0 на Cq при q > 0. Тогда /? = 1м®ё есть
Я-гомоморфизм группы А в В. Легко видеть, что этот гомоморфизм допустим, благодаря
чему возникает индуцированный гомоморфизм /?„: Н(А)->Н{В). Покажем, что он ивляет-
ся изоморфизмом.
Так как гомоморфизм /? совместим с введенными фильтрациями, то {S{Ap)(ZBp,
p_1)CBp_i, благодаря чему возникает допустимый гомоморфизм АР1Ар_1-*- Вр/Вр_1г
т. е. гомоморфизм Mpfe>C-^-Mp(g)Z, равный, очевидно, 1 ® 1. Соответствующий гомо-
п п я
морфизм групп гомологии Н(МР ® С) -*¦ Н(МР ® Z) явлиется изоморфизмом. Действи-
п п
тельно, так как Мр = Кр(Т) ® G, где КР(Т) есть Л-свободный комплекс, то в силу
свойства аддитивности тензорного произведении иам нужно лишь доказать,
что гомоморфизм 1 ® ~в: (Z(II) <g> G) <&С -*¦ (Z(i7) ® G) ® Z порождает изоморфизм групп
п п п
гомологии. Мы имеем (Z(II) ®Q)®C>*d (Z(II) ®C)®G>biC®G, (Z(fl) ®G) ®Z <ъ>
п п П
^ (Z(II) ®Z)®G<^«Z®G«aiG; так как комплексе свободен и ацикличен, то Яр(С®0) =0
я
при р > 0 (в силу формулы универсальных коэффициентов) и #0(C®G) = Z^>G = G.
Граничный гомоморфизм группы (Z(#)®G)®Z ^ G тривиален, благодаря чему H0(G) = G
я
и HV(G) = 0 при р > 0. Отсюда и вытекает, что отображение Н(МР ® С) -> Н(МР ® Z)
я я
изоморфно.
Из рассмотрения точных последовательностей
0 -> Ap+q/Ap -> Ap+q+1/Ap -> i4p+3+1/i4p+g -> 0,
0 -> Bp+q/Bp -> Bp+q+1/Bp -> Bp+q+1/Bp+q -> 0
мы получаем с помощью допустимого гомоморфизма |в диаграмму (очевидно, коммутатив-
коммутативную)
H(Ap+q+1/Ap+q) -» H(Ap+q/Ap) -> W(i4p+g+1/i4p) -> ^(i4p+3+1/i4p+g) -> H(Ap+q/Ap)
/5*| И ^*| /»•[ /»*}
H(BP+q+1/Bp+a) -^ H(Bp+q/Bp) -± H(Bp+q+1/Bp) -* H(Bp+q+1/Bp+q) -> H(Bp+q/Bp)
Здесь строки представляют собой точные гомологические последовательности соответст-
соответственно троек групп (i4p+g+1, Ap+q, Ap), (Bp+q+1, Bp+q, Bv). Из этой диаграммы вытекает,

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 109
что если при s<; отображение ?*: H(Ar+s/AT) -> H(BT+S/Br) изоморфно, то это же верно
и для s = q + 1 (лемма о пяти изоморфизмах, см. примечание * на стр. 60). Но для
5 = 0, как мы видели выше, (}т есть изоморфизм; следовательно, при любых р, q отобра-
отображение |8»: H(Ap+q/Ap) -*¦ H(Bp+q/Bq) изоморфно (это было доказано по индукции
для 9>0; для q=0 утверждение очевидно).
Заметим, что наше утверждение было доказано для всех р, в частности и для отри-
отрицательных. При р= —1 получаем (заменяя q — 1 через q), что Bt: H(Aq) -> H(Bq)
есть изоморфизм. Так как группы Л и В градуированы, то /?,: Hn(Aq) -s- Hn(Bq) есть
изоморфизм. Но при больших q (при q > п + 1) имеем Hn(Aq) = Hn(A), Hn(Bq) =
— Нп(В) (ибо фильтрация не превосходит полной степени). Таким образом, отображение
fi* '¦ Нп(А)-+ Нп(В) изоморфно, т. е. группы Н{А) и Н(В) изоморфны между собой.
Остается заметить, что Н(В) = Щ(К(Т) ® G) ® Z) = Щ(К(Т) ® Z) ® (?) =
п п
— Н(К(Т) ® Z, G) — Н(К(Х), G) = H(X,G); действительно, образование тензорного
п
произведения K{T)^Z равносильно отождествлению всех элементов, переходящих друг
п
в друга при преобразованиях группы Я, т. е. К(Т) & Z = К(Х) (ибо комплекс К{Т)
п
/7-свободен).
Итак, Н(А) ^ Н(Х, G), чем построение искомой спектральной последовательности и
завершается.
Замечание. Все выводы остаются в силе, если Т -> X — такое накрытие, для кото-
которого комплекс К(Т) Я-свободеи, где П — подгруппа фундаментальной группы щ(Х),
соответствующая рассматриваемому накрытию. Это будет в том случае, когда группа П
действует в Т без неподвижных точек, т. е. в случае регулярного накрытия (подгруппа
П будет в этом случае нормальным делителем группы щ(Х)).
12 (к стр. 33). Прямое доказательство сформулированного утверждения нетрудно
получить следующим образом. Нужно каждому п-мер ному кубу и пространства В поста-
поставить в соответствие (л + 1)-мерный куб Du, причем так, чтобы были выполнены следую-
следующие условия:
1. XiDu = и.
2. При п = 0 имеем А} и = Ь.
3. DK\(u) = Ц+г Du.
4. Если куб и вырожден, то куб Du также вырожден.
5. Если все вершины куба и находятся в точке Ь, то куб Du не зависит от первой
координаты (и потому )\Du = A? Du — и).
Построение такой системы кубов проводится индуктивно по п. Для нульмерного куба
V е В за куб DV можно принять любой путь, начинающийся в точке V и кончающийся
в Ь (точке Ь е В должен быть поставлен в соответствие единичный путь Db: I -> Ь — см.
условие 5). Предположим, что кубы Du построены уже для всех кубов размерности < л,
и пусть и — куб размерности п. Если куб и вырожден, то куб Du также Должен быть
вырожденным, и потому он полностью определяется своей гранью AJ+1 Du = ?>(А° и),
которая нам уже известна; если же куб и не вырожден, то за Du можно принять любой
куб, удовлетворяющий условиям 1—5; существование таких сингулярных кубов легко
вытекает из того, что множество (/" х 0) U (/" X /) (где 1П — граница куба /™) является
ретрактом куба /п х /. Таким образом, система кубов Du построена.
Обозначим теперь через С'(В) подгруппу группы кубических цепей С(В), порож-
порожденную кубами, все вершины которых находятся в точке Ь. Мономорфиое отображение
(вложение) С'(В) -> С(В) обозначим через к, отображение С(В) -> С(В), определенное
соответствием ц-s- Du, обозначим через D; наконец, отображение С(В) ->'С'(В), определен-
определенное соответствием и -> А}?)ц, обозначим через /j.. Легко вытекающая из свойств 1 и 3 формула
dDu — — и + А}?)ц — D(du) показывает, что эндоморфизм 1 — %.°/j,+ (d°D+D°d)
группы С(В) тривиален (через 1 обозначен тождественный автоморфизм). Таким обра-
образом, эндоморфизм А о /j, группы С(В) порождает (так же, как и автоморфизм 1) тождествен-
тождественный автоморфизм группы Н(С(В)) = ЩВ). Далее, очевидное равенство ц о К = 1 (см.
свойство 5) показывает, что эндоморфизм /i° А группы С'(В) порождает тождественный
автоморфизм группы Н(С'(В)) = Н'(В). Следовательно, гомоморфизмы А, /г индуцируют
взаимно обратные изоморфизмы групп Н(В) и Н'(В). Таким образом, вместо группы
гомологии Н(В) линейно связного пространства В мы можем рассматривать изоморфную
ей группу Н'(В), т. е. можем ограничиться рассмотрением только тех сингулярных кубов,
все вершины которых находятся в одной и той же точке Ь.
13 (к стр. 65). Приведем предложение, на которое ссылается автор. Пусть А и А'
— градуированные алгебры с убывающей фильтрацией; фильтрацию будем обозначать
знаком w, а размерности (степени) однородных элементов —' знаком deg. Предположим,
что в алгебре А' фильтрапия не превосходит размерности (т. е. ш(х') =ss deg x' для любого
однородно.го элемента х'еА'). Наконец, предположим, что А — гомоморфизм алгебры
А в алгебру А', удовлетворяющий следующим условиям:
1. А есть однородный гомоморфизм степени 0 (т. е. сохраняет размерности однород-
однородных элементов).

110 Ж.-П. СЕРР
2. К не понижает фильтрации. _ _
3. к индуцирует изоморфизм ассоциированных алгебр А и А'.
При этих условиях К есть сохраняющий фильтрацию (и размерность) изоморфизм
алгебры А на алгебру А'.
Покажем прежде всего, что гомоморфизм Л сохраняет фильтрацию. Допустим, что
существует элемент аеЛ, для которого п(Щ > w(a). Тогда, положив р = w(a), мы най-
найдем, что а определяет ненулевой элемент алгебры АР/АР+1, а Ца) определяет нулевой
элемент алгебры А'Р/А'Р+1. Но это противоречит условию 3. Таким образом, w(a) = w()a)
для любого элемента а€А (см. условие 2).
Покажем, что отображение К моиоморфно. Пусть К(а) = 0, аеА. Тогда w(M) = + °°,
и в силу доказанного выше имеем w(a) = + °°, т. е. а = 0.
Покажем, наконец, что отображение К эпиморфно. Пусть а'р — однородный элемент
алгебры А', имеющий размерность q и фильтрацию р(р =s q). Из условия 3 вытекает, что
в АР существует элемент ар, удовлетворяющий условию
К%) = <*',— a'p+i, а'р+1еА'р+1;
при этом в силу условия 1 мы можем предполагать, что элементы av и a'p+i однородны
и имеют размерность q. Аналогично,
a'p+i — a'r+i> °р+1 € А"+1> ar+i € А'р+2
(все элементы имеют размерность q). Продолжая построение, мы получим, наконец, А(дд) =
= a'q + a'q+1; но так как deg (a'q+j) = q, a w(aq+J) = q + 1, то a'q+1 = 0 (ибо в алгебре А'
фильтрация не превосходит размерности), т. е.
Кад) = aq.
Сопоставляя все полученные равенства, находим
4% + ар+1 + ... + а„) = а'р.
14 (к стр. 66). Пусть F — замкнутое подмножество отрезка [0,1], a U — открытое
подмножество пространства X. Через O(F, U) обозначим множество таких петель /: /-* X,
для которых j(F)cU. Непустые подмножества вида O(F, U)(Ziix и их конечные пересечения
составляют, очевидно, покрытие множества Qx, содержащее вместе с каждыми двумя
множествами их пересечение. Приняв его за определяющую систему окрестностей, мы
получаем в ?2Х некоторую топологию, которая и называется топологией компактной
сходимости.
15 (к стр. 66). Доказательство. Допустим, что отображение G непрерывно, и пусть
g(y) €0(F,LO,yeK. Тогда g(y)(t) € Uпри (eF, т. е. G(Fxy) dU, или FxyeG-^U). Так как
множество G~\U) открыто (в силу непрерывности отображения G), то для каждой точки
t€F существуют такие окрестности Л{1) и V{t) соответственно точек t и у, что A(t) x V(f)C
С G~1(U). В силу компактности множества F, можно выбрать из множества {A(t)}
конечное число таких окрестностей Л (^), ..., A(tr), в объединении которых содержится
множество F. Положим V(y) = V((x)n • - • П V(fr). Тогда g(V(y)) с O(F, U). Действительно,
выберем произвольные точки у' е V(y), tzF; тогда найдется такое i, I =s i =s r, что t e Afc),
и потому g(y)(t)=G(t,y')€G(A(tdxV(y))<zG(A(U)xV(U))<zU, т.е. g(y') eO{F,U). Итак,
множество g-1(O(F, U)) вместе с каждой точкой у содержит.и некоторую ее окрестность
V{y), т. е. g~1{O(F,U)) есть открытое множество. Отсюда следует, что для любого открытого
множества OCiix полный прообраз g~1{0) также является открытым множеством, т. е.
отображение g непрерывно.
Обратно, допустим, что отображение g непрерывно, и пусть (t, у) € G~\U), где U —
открытое множество пространства X. Тогда g(y) (t) = G(t,y) e U, и так как g(y) есть непре-
непрерывное отображение отрезка / в X, то существует такая окрестность A(t) точки t в /(
что g(y)(A{t))C U. Таким образом, g(y) e O(A(t),U). В силу непрерывности отображения g,
существует такая окрестность V(yJ точки у в Y, что g( V(y)) С O(A(t), U). Это означает,
чтоприу'еУХу), Г^Щ) имеемg(y') (Г) € U, т. е. G(t', у')Ш; иначе говоря, A(t)x V(y)CG~\U).
Таким образом, вместе с каждой точкой (t, у) множество G~1(U) содержит и некоторую
окрестность A{t) x V(y) этой точки, т. е. множество G~1(U) открыто. Этим доказана неп-
непрерывность отображения G.
16 (к стр. 68). Доказательство. Отметим прежде всего, что минимальные системы
образующих канонической алгебры А существуют. Для построения такой системы обра-
образующих достаточно в векторном пространстве А (над основным полем к), являющимся
аддитивным модулем алгебры А, выбрать произвольный базис, состоящий из однородных
элементов, а затем выбрасывать из него элементы, выражающиеся через произведения
степеней остальных элементов базиса. Заметим, что для любого элемента а канонической
алгебры мы полагаем а0 = 1, благодаря чему в минимальную систему образующих эле-
элементы нулевой степени не входят.
Итак, пусть В — минимальная система однородных образующих алгебры А. Пусть,,

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 111
далее, В' — множество, находящееся во взаимно однозначном соответствии q>: В' -*¦ В
с системой В. Каждому элементу Ь'еВ' мы припишем ту же степень, что и элементу q>(b')s.B.
Пусть, наконец, S(B') — свободная косокоммутативная алгебра, образующими которой
служат элементы множества В'. Элементами алгебры S(B') являются косокоммутатшные
многочлены от символов, входящих в В', т. е. линейные комбинации (над полем к) одно-
одночленов вида Ь'х • &2¦• ¦ ¦ ¦ • Ь?, где Ь{, Ь'г b'k e В' (элемент 1 также рассматривается
как одночлен); никакими соотношениями, кроме условий косой коммутативности b[' b'2 =
= (—l)PiP*bj'bi (где р1 — degftj, р2 = degftj), символы Ь' е В' не связаны. Соответствие
<рф[ • Ь'2 • . ¦ . • Ьк) = <р (ft!) • g> (ftj)- . . . • <pjpk) определяет гомоморфизм <р : S(B') -> A.
Отображение q>, очевидно, эпиморфно. Пусть N — ядро этого эпиморфизма. Тогда А ^>
?у S(B')/N, и нам остается выяснить строение идеала N.
Определим в алгебре S(B') дифференцирования. Пусть V € В', а / е S(B') — произ-
произвольный одночлен. В силу свойства косой коммутативности мы можем этот одночлен
представить в виде / = ф')™ • Ь{ • Ь'г • . . . • Ы, где е= ± 1, п &= О— целое число,
а Ь[, Ь'г,. . ¦ , frft — отличные от ft' элементы множества В'. Положим
(если п = 0, то полагаем -^ = 0). По линейности дифференцирование ^ распростра-
распространяется и на многочлены, т. е. на любые элементы алгебры S(B').
Пусть теперь / — произвольный элемент идеала N, Ь' — один нз элементов наивыс-
наивысшей степени, входящий в /, a b'lt . . . , bi — остальные элементы системы В', входящие
в различные члены косокоммутативного многочлена /. Мы должны доказать, что^ е N.
Пусть f(x, x-i Xk) — такой многочлен от переменных х, xlt .. . , х&, что если в каждом
его члене расположить переменные в порядке х, хг, ..., хъ, а затем подставить вместо
х, хи .. . , Xk значения Ь', Ь{, . . . , b'k, то мы получим элемент /. Через /' (х, хъ ..., Хъ)
обозначим производную многочлена f(x, хг, .. ., Xh) по х. Тогда если в f'(x, Хг хъ)
расположить переменные в порядке х, х1з ¦ ¦., хь, а затем подставить вместо них значения
Ь', Ь{, ... , Ьк, то мы получим элемент ^р-. Согласно формуле Тейлора, имеем
f(x' + х", хи ..., хк) = }(х', хи ..., xk) + x"f(x', хи ..., xk)+ ....
где многоточием обозначены члены, содержащие множителем (х"J. Расположим в обеих час-
частях формулы Тейлора переменные в следующем порядке: х', х", х1(. . . , Xfc. Тогда эта формула
остается справедливой при подстановке вместо х', х", xlt ..., Xk любых элементов алгебры
А, удовлетворяющих единственному условию х'х" = х"х'.
Обозначим через U идеал алгебры А, порожденный всеми элементами системы В,
кроме элемента b = q>(b'), и всеми элементами степени > deg b, а через U* — идеал алгебры
А ® А, равный U ® А (точнее, равный (i® l)(l/® А), где t:\j-*- А — гомоморфизм
вложения). Идеал U содержит все элементы bi= <р (Ы), 1=1 к, и все элементы ft,
удовлетворяющие условию 0 < deg Л < deg b (ибо такие элементы Л выражаются только
через те элементы системы В, которые имеют степень, меньшую чем deg b, т. е. через эле-
элементы, отличные от Ь). Элемент b в идеал U ие входит, и, как легко видеть, из соотно-
соотношения b ® а = 0 (mod U*) следует, что а = 0. Так как q q r -^автоморфизм алгебры А,
то й о г) ® 1 есть автоморфизм алгебры А ® А, и потому U =± ((q о г) ® Щи*) есть
идеал алгебры А ® А. Из соотношения ((?°r)(b))® а = 0 (mod U) следует, что а = 0.
Идеалу U принадлежат все элементы ((q°r)(bi)) ® 1, i = 1, ... , к, И все элементы вида
ft ® к, где 0 < deg ft < deg b (напомним, что автоморфизм q ° r сохраняет размерности).
Из соотношения х = ?(х)® 1 + . .. + 1 ® р(х) теперь непосредственно следует
(в силу соотношений deg bi =s deg b, i — \, . .., к), что
r(bi) = ((for) (bi)) ® 1 + ... + 1 ® ((рог) (bi)) == 1 ® ((per) (bi)) (mod U),
r(b) = ((qor) (b)) ® 1 + ... + 1 ® ((рог) (ft)) = ((qor) (ft)) ® 1 + 1 ® ((p°r) (ft)) (mod U).
Так как f(b', b[, ..., b'k) € N, то /(ft, ft1; .. ., ftfe) = 0, и мы имеем 0 = r(/(ft, bu ..., bk))=
= f(rb, rbu ..., rbk) = /A ® ((p о г) (ft)) + ((q о r) (ft)) ® 1, 1 ® ((p о г) (bj), ...,
1®((P°'') (ftft)))(mod U). Применим теперь формулу Тейлора (см. выше), положив в ней
х' = 1 ® ((р°г) (ft)), x" = ((qor) (ft)) ® 1, х{ = 1 ® ((рог) (bi)), i = 1,..., к;
возможность применения формулы Тейлора вытекает из соотношений х' • х" — х" • х' =
*= ((Р о r)(^))®((9 ° r)(b)), следующих из закона умножения в левом тензорном произ-
произведении (напомним, что гомоморфизмы porn qor сохраняют размерности, благодаря
чему deg ((p о r)(b)) = deg ((q о г) (ft)). ?ак мы только что видели, левая часть формулы
Тейлора является элементом идеала U- Первый член правой части равен нулю:
/(x',x1,...,xft)=/(l ®(por)(ft)), 1 ®((por)(ft1)),..., 1 ® ((por)(bk)))= A® (P°r))/(ft,&!,..., &fe)=0.
Наконец, члены, отмеченные многоточием, также принадлежат идеалу V, ибо deg (x"J =
= 2 degx" = 2 deg ((qor)(b)) ® 1 = 2 deg (q o r)(b) = 2 deg ft > deg ft. Таким образом,

112 Ж.-П. CEPP
формула Тейлора дает _
x"f'(xl, xlt ..., хк) = 0 (mod U),
т. е.
(((Я°г) (»)) ® 1) • /'A ® ((Р°П (»)). 1 ® ((Р°П (»i)). • • •» 1 ® ((Р^) (&л))) s 0 (mod tf),
откуда _
((qor) (ft)) ® ((por)/'(ft, »„..., ftft)) - 0 (mod U).
Как мы уже знаем, отсюда следует что (pt>r)/'(ft, blt . . . , ftfe) = 0, т. е. /'(ft, ftj ft^) => О,
а это означает справедливость соотношения /(&', &J, ..., &ь) б N, что н доказывает
теорему. Другое доказательство см. [IV], § 6, стр. 183, 184.
17 (к стр. 78). Доказательство. Допустим, что ацикличное многообразие Т
обладает конечной нетривиальной группой Поператоров без неподвижных точек. Мы можем
предполагать, что П есть циклическая группа конечного порядка (ибо во всякой группе
существуют циклические подгруппы). Пусть Y — пространство, получающееся из
Т отождествлением точек, переходящих друг в друга при преобразованиях группы П.
Тогда Y есть многообразие, и его группы гомологии, начиная с некоторой размерности,
тривиальны. С другой стороны, сингулярный комплекс S(T) пространства Т является
свободным ациклическим Л-комплексом, и потому
Hn(n,Z)= Hn(Z ® S(T)) = Hn(Z ® S(T)n) = Hn(Z ® S(Y)) = Hn(Y, Z)
n
(см. примечание 10 на стр. 105; через Z обозначена свободная циклическая группа, в которой
группа П действует тривиально). Таким образом, из наших предположений вытекает,
что группа НП(П, Z) при всех достаточно больших л тривиальна. Покажем, однако,
что это не так.
Обозначим через о порядок циклической группы П, а через а — ее образующую.
Групповое кольцо Z(u) имеет своими элементами многочлены степени <л — 1 от «;
эти многочлены складываются н умножаются по обычным правилам с учетом определяю-
определяющего соотношения ар = 1. Обозначим, далее, через Р(х) — ^ Рп(х) кольцо многочленов
с целочисленными коэффициентами от символа х, градуированное по степеням много-
многочленов. Тогда С = Z(d) ®P(x) «а> 2 Z(П) ®Р„(х) есть градуированный модуль. Опре-
Определив действия группы П в С формулой «E®/)= (*Р) ® / (PzZ(II), /€P(x)), мы
z z
превращаем С в градуированный Л-модуль. Наконец, формулы
® ) /( + + ) ® , (P ® ) 00) ®
Z Z Z Z
определяют в С днфференпнал (соотношение <f о d == 0 вытекает из равенства «р = 1).
Без труда проверяется, что комплекс С свободен и ацикличен. Следовательно,
НП(П, Z) = Hn(Z ® С) = Hn (Z ® Р(х)) = Нп(Р(х)),
причем дифференциал в модуле Р(х) определяется, согласно сказанному выше, формулами
= 0
(ибо 1 ® A + в + • - • + ар—Ц = р, 1 ® A — в) = 0, где через 1 обозначен образующий
п п
элемент группы Z). Отсюда непосредственно следует, что
| Z при л = О,
#„(#, Z) = Нп(Р(х)) при ^ I Япрн нечетном л,
{ О при четном л з= 2.
В частности, мы замечаем, что существуют сколь угодно большие значения л, для которых
группа Нп (П, Z) нетривиальна.
Заметим еще, что аналогичным образом можно вычислить группы НП(П, Z) в случае,
когда П = Z — свободная циклическая группа:
Н (П 7\^ I Z при л= 0 и л= I,
( 0 при л > 1.
См. также примечание **** на стр. 27.
18 (к стр. 84). Пусть Q — пространство петель линейно связного пространства X
типа (ULC). Обозначим через V подмножество пространства Q x Q, состоящее из всех
таких пар (/, g), что (/((), g(f)) e U для всех ( б /. Множество V открыто в ii x Q. Определим
отображение Ф: V х /->Й, положив
(<Hf> g, г)) @ = /4/@, g@, r), U, g) ev.re I.
Отображение Ф показывает, что Q есть пространство типа (ULC).

СИНГУЛЯРНЫЕ ГОМОЛОГИИ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 113
Пусть теперь Т — универсальное накрывающее пространство для X, а р — накрытие.
Отображение (?, i?) ->- (р(?), p(i?)) произведения Т X Т на X х X обозначим через р и
положим W* =p~1(U). Так как пространство X линейно связно, то диагональ произ-
произведения Т х Т линейно связна. Обозначим через W компоненту линейной связности
множества W*, содержащую эту диагональ. Так как множество U линейно связно (см.
(а), (Ь)), то p(W) = U, и потому отображение р: W-»- U является накрытием. Если (I, rj)
— фиксированная точка множества W, то при 0 «s / =s 1 точка F(p(?), p(rj), f) пробегает
некоторый путь (в пространстве X), начинающийся в точке F(p(f), p(i?), 0) = р(|). Накры-
Накрывающий путь (в Г), начинающийся в точке |, обозначим через W (f, r), f), 0 =s t «s 1. Тогда
рЩ, г,, 0 = F(p(f), р(Ч), 0 и У(?, т?, 0) = I.
Отсюда следует (в силу непрерывности отображения F и локальной гомеоморфности
отображений р, р), что отображение W: W X / -> Г непрерывно. Соотношение Sfl, f, /) = |
очевидно, соотношение y(f, ?;, 0) = | было указано выше; покажем справедливость
соотношения W(?, ij, 1) = »;. Для этого соединим точки S я ij путем /(() в W и рассмотрим
путь W(S, /(«), 1) в Т. Мы имеем
р9"(?, №, 1) = ^(р(^). рЯО, 1) = Р/(9,
и, кроме того, ^./(О), 1) =?r(f, f, 1) = f = /@). Итак, пути ^(f, /(«), 1) и /(<) начинаются
в одной и той же точке и накрывают один и тот же путь, так что W(?, /(<), 1) = f(f). При
f = 1 это дает W(S, i}, 1) = г). Итак, Г есть пространство типа (t/LC).
19 (к стр. 84). Покажем, что всикое пространство X типа (ULC) локально линейно
связно и локально односвязно. Пусть V — окрестность точки а 6 X. Для каждого t € I
существуют такие окрестности W(t) точки а и O(t) точки (, что W(f) x W(t)(ZU и F(x, у, т)е V
при х, у 6 W (<), т 6 O(f). В силу компактности отрезка / существует конечное число
значений 1Х fc, для которых O(/)l U- • • U О«ц) = /. Положим W = W(tt) П • • П W('fe)-
Тогда при х, у 6 И', f 6 / имеем F(x, у, t) 6 V. Формула со(х, () = F(x,a,f) определяет такое
отображение со: W х I ^> V, что со(а, t) = а, со(х, 0) = х и а>(х, 1) = а. Таким образом,
пространство X локально стягиваемо, а потому локально линейно связно и локально
односвязно.
20 (к стр. 88). Так как ?? = Я*(Х)®Я*(О), то при i «s p(q— 1) + 1 (и подавно,
при i + /as p(q — 1) + 1) член fij-J может быть отличен от нуля лишь при i = 0 или i =q.
Далее, гомоморфизмы
тривиальны при г = 2, 3, . . . , q — 1, и потому
?0,3 е.0,3 uOi' и' /ПЧ
Аналогично,
Е$ = ?gix = . .. = Ef5 = Н9 (X) ® Hj (Q) = х ®
ПрН / -f / as p@ — 1) и Г Э= ^ + 1 ГОМОМОрфИЗМЫ
тривиальны, и потому (при этих значениях i, /)
Так как при 0 < / + / «a p{q — 1) член ?^ = ?«+1 тривиален, то (при этих значениях
i, /) все элементы группы Е\'\ являющиеся циклами относительно дифференциала dq, будут
границами относительно этого дифференциала. Таким образом, при 0 =« / == p(q — 1) — 1
последовательность
точна, а при / = p(q — 1) она точна во втором члене. Так как первый член этой последо-
последовательности всегда тривиален, а последний тривиален при / =s p{ q— 1) — I, то отоб-
отображение
dq: E\'j -> Е1'^+1 (*)
изоморфно при 0 < / «« p(q—1) — 1 и мономорфно при / = p(q—1). Так как
S Расслоенные пространства

114 Ж.-П. CEPP
?§''=! H'(fi), Eq']~q+1 = x® H1~q+1(Q), то гомоморфизм (*) может быть описан соотно-
соотношением
dq(v) = * ® 4v), V 6 Я1 (fi), (**)
где в — некоторый гомоморфизм группы Н\О) в H1~q+1(Q). В силу сказанного выше,
отображение в изоморфно при 0</ =s p(q — 1) — 1 и мономорфно при / = p(q — 1).
21 (к стр. 88). Согласно определению гомоморфизма в (соотношение (**) в преды-
предыдущем примечании) и закону умножения в левом тензорном произведении,'имеем:
tfv) = «*«0 ® *ч) = «40 ® S) • О ® 1?)] =
0 ® ч> + (—i)degf О ® D • 4»0 ® ч) -
A ® ,) + (-i)ieg е A
—l)deg« + « deg «
V + г
22 (к стр. 88). Из того факта, что отображение в изоморфно при 0 < / =s p(q — 1) —1
и мономорфно при /= p(q— 1), вытекают соотношения [при / < p(q— 1)]
{О, если 1'фО (mod q— 1),
К, если i = 0 (mod q—1).
Что же касается К-модуля Нр ^(Q), то можно лишь утверждать, что ои либо изоморфен
К, либо тривиален.
23 (к стр. 94). Так как группы H](Z, I, Z) свободны, то на основании формулы уни-
универсальных коэффициентов мы получаем
Ег = H*(Z; 2, Z) ® H*(Z; I, Z).
При / > 1 член Е^ (а значит, и ?{.'' при г ?= 2) тривиален.
Следовательно, все дифференциалы d8> d4> ... тривиальны, и потому член?8 = ?00
тривиален во всех положительных размерностях. Отсюда следует, что отображение
dt: Ejj'1"*" ?г+2'° эпиморфно при всех rs> — 1 (ибо все элементы группы EJj+2>0 являются
циклами и потому должны быть границами) и мономорфно при г ?= 0 (ибо никакой отлич-
отличный от нуля элемент группы Ejj'1 не является границей). Таким образом, Е\'° —
— №-{2; 2, Z) — 0 и, кроме того, при любом г э» 0 группы EJJ'1 = Hr(Z; 2, Z) и ?2+2'0 =
= Hr+s(Z;2, Z) изоморфны между собой (изоморфизм устанавливается дифференциалом
dj). Итак, при /= 0,1 имеем
Z при четном /,
0
при нечетном I.
Обозначим образующий элемент группы Я2 (Z; 2, Z) через а^, а образующие элементы
групп H°(Z; 1, Z) и Я1 (Z; 1, Z) соответственно через е0 и ev Тогда элементы сад ® е0)
asft®ei (fc= 0, 1, 2, . . .) составляют систему образующих алгебры Et. Из сказанного
выше вытекает, что ^@^®^)= ± ajft+a®^. или иначе
«0 = <*8((«2й ® е0) • (оо ® вО) = (сад ® «о) ' <**(«в ® «О =
= ± (<4fe ® е0 ¦ («2 • «о) = ± (<4fe • а») ® е0 = ± arfi+a ® «о-
Таким образом, од • etj = ± од+g, т. е. H*(Z; 2,2) есть алгебра многочленов с образую-
образующей а2 степени 2.

II. МНОГООБРАЗИЯ, НА КОТОРЫХ ВСЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
ЗАМКНУТЫ*
РАУЛЬ БОТТ
1. Введение
Замкнутой геодезической g длины w > 0 на римановом многообразии
М называется такое отображение g : R -> М действительной прямой [— оо <
< х < °о] в многообразие М, что: (а) функция g(x) удовлетворяет дифферен-
дифференциальным уравнениям геодезических [98] для всех х, где х — дли-
длина дуги от точки g@) до точки g(x); (b) функция g(x) периодична и ее наи-
наименьший период равен w. Геодезическая g называется простой, если дуга
g(x) @ < х =s w) проста.
Мы будем говорить, что геодезические многообразия М просты и замкнуты
в точке ре М, если все геодезические, исходящие из точки р, замкнуты, просты
и имеют одну и ту же длину w.
Для любого многообразия М, все геодезические которого просты и зам-
замкнуты в точке р, следующим образом определим некоторое число X, назы-
называемое индексом многообразия М. Пусть g(x) — произвольная геодезическая,
начинающаяся в точке р. Индекс X равен числу точек (сосчитанных с их
кратностями), сопряженных с точкой р на геодезической дуге g(x) @ < х <
< w).
Результаты этой работы можно резюмировать в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть все геодезические многообразия М просты и замкнуты,
и пусть dim M э= 2. Если X = 0, то фундаментальная группа многообразия
М является группой второго порядка, а универсальное накрывающее много-
многообразие М многообразия М — гомологической сферой.
Если X > 0, то многообразие М односвязно и его целочисленное кольцо
когомологий является срезанным кольцом многочленов, порожденным одним
элементом в размерности X -\- 1.
Срезанным кольцом многочленов называется кольцо, получающееся
из кольца Z(x) многочленов с целочисленными коэффициентами наложением
единственного соотношения хп = 0.
Ограничения, наложенные на кольцо Н(М) в силу этой теоремы, очень
сильны. Например, число А + 1 должно делить dimM; если число X -j- 1
нечетно, то X + 1 = dim М**; многочлен Пуанкаре многообразия М над
произвольным полем К имеет вид P(t) = 1 + tx+1 -j- f2(*+J) -j- ... -j- f*(*+D#
Значительно более сильные ограничения для срезанного кольца многочленов,
являющегося "кольцом когомологий некоторого комплекса, получены недавно
Адемом [2]. Например, из его результатов следует, что если 02^О, то dime
является степенью двойки, и если dim в э= 8, то в3 = о***.
* Bott R., On manifolds all of whose geodesies are closed, Ann. Math 60 f 19541
375—382.
** Действительно, если dim 9 нечетно, то в2 = 0. — Прим. ред.
*** Так как 2?а -1з1 mod 2 для любого р > 0 и любого а < 2р — 1, то из соот-
соотношений Адема—У (см. примечание 2 на стр. 349) следует, что
% Sqc
с-1
(в соотношении Адема—У полагаем 6 = 2Р и учитываем, что Sf = 1). Из этой| формулы
8* - 5/0 s

116 Р. БОТТ
Единственными известными односвязными многообразиями, кольца»кого-
мологий которых имеют рассматриваемый тип, являются:
A. Сферы S" (п э= 2).
B. Комплексные проективные пространства Zn (п э= 1).
C. Кватернионные проективные пространства Qn (л э= 1).
D. Проективная плоскость С2 над числами Кэли.
Все эти пространства являются неприводимыми симметрическими
пространствами первого ранга в смысле Картана [69]. Из картановской клас-
классификации симметрических пространств следует, что из симметрических
пространств неприводимыми пространствами первого ранга являются только
те пространства, геодезические которых просты и замкнуты в некоторой
точке. Таким образом, результаты, полученные Картаном при сильном
дополнительном предположении симметричности многообразия М, сущест-
существенно точнее нашей теоремы.
Вообще говоря, многообразие рассматриваемого нами типа может и
не быть симметрическим. Например, геодезические любой гладкой поверх-
поверхности вращения, пересекающей ось, просты и замкнуты в точках пересе-
пересечения.
Отметим, что условие, чтобы все геодезические многообразия М в точке
р были не только замкнуты, но и имели одну и ту же длину w, весьма сущест-
существенно. Например, в некоторых линзовых пространствах все геодезические
замкнуты, но, как легко видеть, одни из них длиннее других. Условие, что
замкнутые геодезические являются простыми кривыми, существенно исполь-
используется в наших рассуждениях. Однако автору не известно ни одного много-
многообразия, на котором бы все геодезические в некоторой точке р были замкну-
замкнутыми, но не простыми линиями. Не кажется неправдоподобным, что если
все геодезические многообразия М (dim M э= 2) замкнуты (и не подчинены
никаким другим ограничениям), то они просты и замкнуты на универсаль-
универсальном накрывающем многообразии М.
Доказательство нашей теоремы использует теорию Морса и спектраль-
спектральные последовательности Лерэ. Предполагается, что читатель знаком с обе-
обеими этими теориями, в частности с работами Морса [98], Зейферта—Трель-
фалля[49]и Серра [I]. В основе доказательства лежит вычисление групп
гомологии пространства петель Q многообразия М. Используя невырож-
невырожденную теорию Морса, изложенную в [98], мы вычисляем член E\<q спек-
спектральной последовательности Ег, предельная группа Е^ которой является
градуированной группой, присоединенной к группе H(Q). Затем показы-
показывается, что группа Ep'q изоморфна группе Е™ и что H^Q) = J? E™.
p+q-S
Оба эти утверждения основываются, главным образом, на „размерностных
соображениях", т. е. на том, что нетривиальные группы Е\Л встречаются
так редко, что большинство дифференциалов dr должно быть равно нулю.
Наконец, зная группу H(Q), мы вычисляем группу Н(М), используя спект-
спектральную последовательность расслоенного по Серру пространства ? путей
на многообразии М (в этом расслоении любому пути отвечает его конец).
легко следует по индукции, что любая операция Sq* является суммой итераций операций
С другой стороны, в (срезанном) кольце многочленов от 9 степень любого отличного
от нуля элемента делится на dim 9. Следовательно, если dim 9 делится на нечетный множи-
множитель, то SqV 9 = 0 (ибо dim (Sq& 9) = 2*> + dim в), и поэтому Sqi 9 = 0 для любого i.
В частности, для i — dim в получаем в* = Squim 0=0. Таким образом, если в* Ф 0,
то dim 9 = 2ft. Отсюда, согласно свойству 7.5, стр. 257, операций ф*, следует, что 9я —
— (jyfc—l щ (mod3). С другой стороны, из формул Адема для приведенных степеней (см.
цитированное примечание) вытекает, что 'pf = ±V?P% ~Г- Следовательно, 9я Ф 0
только тогда, когда <р| —1 (9) фО, т. е. когда dim <P% —1 (9) = 3«2ft — 4 делится на
2к. Таким образом, если 9s ф 0, то к«« 2. — Прим. ред.

МНОГООБРАЗИЯ. НА КОТОРЫХ ВСЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАМКНУТЫ 117
Существенно более прямой метод для решения рассматриваемой задачи
был независимо предложен Самельсоном. Построив с помощью геодези-
геодезических в точке р некоторое отображение проективного пространства Рп
на многообразие М, он показал, что кольцо когомологий по модулю 2 много-
многообразия М всегда является срезанным кольцом многочленов.
Мы будем пользоваться следующими обозначениями и терминологией.
Под многообразием мы будем всегда понимать риманово многообразие класса
С3. Через М мы будем всегда обозначать многообразие, все геодезические
которого просты и замкнуты в точке реМ, а через w — общую длину этих
геодезических. Как доказали Хопф, Ринов и Мейерс, риманово многообразие
полно, если все геодезические, исходящие из некоторой точки, неограниченно
продолжаемы [120], [96]. Следовательно, справедливо
Предложение. Многообразие М полно и компактно.
2. Редукция к невырожденному случаю
Пусть Sm—сфера единичных касательных векторов к многообразию М
в точке р. Рассмотрим геодезическую, проходящую через точку р в направ-
направлении вектора yeSm. Точку этой геодезической, находящуюся от точки р
на расстоянии x&R, будем обозначать через g(x, у). Через d(p, q) мы будем
обозначать расстояние между точками р и q многообразия М. Пусть q > О
— такое малое число, что любые точки р и q, для которых d(p, q) < q, могут
быть соединены единственной геодезической длины < q.
Л е м м а 2.1. Точка р многообразия М имеет окрестность U, обладающую
следующим свойством: для любой отличной от р точки q eU размерность
подпространства, натянутого на векторы, касающиеся в точке р геодези-
геодезических, соединяющих точки р и q, равна единице.
Доказательство. Пусть U' — множество таких точек q, что d(p, q) < q.
Для любой отличной от р точки q e U' обозначим через g§ единственную
геодезическую дугу, соединяющую точки р и q. Длина этой геодезической
равна d(p, q) — d. Пусть yq — ее начальный вектор.
Пусть теперь g — произвольная геодезическая, соединяющая точки
р и q, начальный вектор которой линейно независим от вектора yq. Так как
функция g(x) периодична, то существует дуга геодезической g, соединяю-
соединяющая точки р и q, длина которой меньше w. Пусть g — кратчайшая из всех
таких дуг. Ввиду единственности дуги gg длина дуги g должна быть больше q.
С другой стороны, длина дуги g меньше w — q, так как в противном слу-
случае замкнутая геодезическая длины w, которой принадлежит дуга g, имела
бы общую часть с геодезической gg. Таким образом, если точка q е V не обла-
обладает свойством, указанным в лемме 2.1, то существуют геодезические, соеди-
соединяющие точки р и q, длины которых больше q и меньше w — q. Пусть / —
интервал q *s x «s w — q. Определим отображение Fz/xS™ -»¦ М, поло-
положив
F(x, У) = g(x, У)> х е /, у € Sm.
Это отображение непрерывно. Далее, точка р не принадлежит его области
значений, так как в противном случае существовали бы—вопреки предполо-
предположению о простоте геодезических—замкнутые геодезические, проходящие через
точку р, длины меньшей w. Ввиду компактности произведения / х Sm отсюда
следует, что точка р обладает окрестностью U", не пересекающейся с областью
значений отображения F. Очевидно, что окрестность U = U' П U" Удовле-
Удовлетворяет условиям леммы.
Следствие. Для отличной от р точки q 6 U любая геодезическая,
соединяющая точки ри q, принадлежит одному из двух семейств {g2n}, пэ=0,
ц {g2"}, пэ=1. Начальные векторы геодезических различных семейств

118 Р. БОТТ
противоположны. Длина геодезической g2" равна nw + d, где d = d(p, q),
а длина геодезической g2" равна nw — d.
Доказательство. Геодезическая g2n получается при п-кратном обходе
замкнутой геодезической в направлении дуги gg (см. доказательство леммы
2.1), а геодезическая g2n-1 — при п-кратном обходе в противоположном
направлении.
Векторным полем »?(х) вдоль геодезической g(x) (здесь, как и выше, х—длина
дуги, отсчитываемая от точки g(O)=p) мы будем называть функцию, относящую
каждому действительному числу х некоторый вектор, касательный к много-
многообразию М в точке g(x). Если g(x) = g(x'), то, вообще говоря, векторы rf(x)
и г)(х') могут не совпадать. Векторное поле вдоль геодезической g, удовлет-
удовлетворяющее уравнениям Якоби, соответствующим g, и равное нулю, когда
х = 0, называется у-полем вдоль геодезической g ([98], стр. 9). Для любого
числа х обозначим через V(x) подпространство касательного к многообразию
М в точке g(x) пространства, порожденное векторами всевозможных у-полей
вдоль геодезической g. Пусть Ад(х) = т — dim V(x) (m = dim M — 1).
Тогда 4,(х)=з=0 и zlg(x)^0 только в изолированных точках. Точка х„е/?
называется сопряженной с точкой х = 0 на дуге g(x) @ «s x «г х0), если
Лд(хо) Ф 0. Число Ад(х0) называется индексом, или весом точки Xq, сопря-
сопряженной с точкой х = 0 на дуге g(x) (см. [98], гл. III). Индекс геодезической
flyrag(x) @ =^ х =s= Хо) равен (по теореме 6.2 Морса в [98], гл. III) сумме весов
всех точек интервала 0 < х < Xq, сопряженных с точкой х = 0. Этот индекс
обозначается через A(g). Дуга g(x) @ ¦« х =s= Хо) называется невырожденной,
если Ад(х0) = 0.
Предложение 2.1. Все указанные в следствии к лемме 2.1 геодезические,
соединяющие точки р и q, не вырождены. Индексы этих геодезических опре-
определяются формулами
=
) =
лЯ-
nX-\
h run,
-(n-
\)m,
n
n
1.
Доказательство этого предложения основано на следующей лемме.
Лемма 2.2. Любое J-поле вдоль геодезической g многообразия М, исходя-
исходящей из точки р, имеет период w.
Доказательство. Пусть у0 6 Sm — начальный вектор геодезической g
и «(<) — произвольная регулярная кривая на сфере Sm, для которой «@) =у0.
Согласно принципу Якоби ([98], стр. 10), производные [(dldt)g(x;x(t)]t_0
образуют у-поле вдоль геодезической g. Кроме того, любое у-поле вдоль g
можно получить таким способом, выбирая соответственно кривую a(f) на
сфере Sm. Так как функция^(х, у) имеет по х период iv, то, следовательно,
тот же период будет иметь и любое у-поле.
Доказательство предложения 2.1. По определению числа qлю-
qлюбая геодезическая многообразия М, длина которой меньше q, не вырождена и
индекс ее равен нулю. В частности, этим свойством обладает геодезическая g".
С другой стороны, геодезическая g2™ является отрезком неограниченного
продолжения g геодезической gj, соответствующим интервалу 0«sx =s nw + d.
Следовательно, Ад(х) = 0, если 0 < х =е d, и потому, согласно лемме 2.2,
Ад(х) = 0, если nw < x =s nw + d, каково бы ни было п. Таким образом,
геодезическая g2n не вырождена для любого пэ=0. Далее, так как Ад@) = т,
то AJnw) — т. Следовательно, Hg*1) = пХ + пт, если А — индекс дуги
g(x) @ «s х < iv).
nycrbg(x) = g(— х). Тогда геодезическая g2" является отрезком геоде-
геодезической g, соответствующим интервалу 0 «s x =e nw — d. Оказывается, что
Ад(х) = 0, если iv — d =*s x < iv (и, следовательно, ввиду периодичности,
если nw — d =е х < nw). Действительно, пусть Ад\х) ^ 0 для некоторого
числа Хо из указанного интервала. Это означает (так как Ag{w) =m), что

МНОГООБРАЗИЯ, НА КОТОРЫХ ВСЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАМКНУТЫ 119
вдоль дуги iv — d s= х =s iv геодезической g(x) существует векторное поле,
удовлетворяющее уравнениям Якоби и равное нулю по крайней мере в
Двух точках. Однако зто невозможно, потому что длина рассматриваемой
дуги меньше q. Таким образом, для любого п э= 1 геодезическая g2n-1
не вырождена. Для вычисления ее индекса достаточно воспользоваться
очевидным соотношением А?х) = Лд(— х).
3. Вычисление группы EfQ (Q)
Пусть q — произвольная отличная от р фиксированная точка окрестности
U, a Q — пространство всех путей многообразия М, начинающихся в точке
р и оканчивающихся в точке q, с той же топологией, что и в [49], стр. 57.
Длина У(т) пути те Q является непрерывной функцией на Q. Путь т назы-
называется критической точкой функции J, если ему соответствует некоторая
геодезическая g, соединяющая точки р и q. Путь т называется невырожден-
невырожденным, если геодезическая g не вырождена; индекс геодезической g называется
индексом пути т.
Пусть Q(a) — подмножество пространства Q, определенное неравенством
_/(т)«й. Следующее предложение является основным результатом теории
Морса ([98], стр. 229).
Предложение 3.1 (Морс). Пусть функция J в множестве {r\b^J(r)^a}
имеет только одну критическую точку т0, причем эта точка не вырождена,
имеет индекс Я и J(r0) = с, а > с > Ь. Тогда
Hk(Q(a), Q(b)) м Hh.x(p).
(Коэффициенты везде предполагаются целыми числами; р обозначает тополо-
топологическое пространство, состоящее из одной точки.)
Пусть Q*n = Q(nw + d), n s= 0; пы~г = Q(nw — d), иэ=1; ГГ1 = 0,
где d — d(p, q) + е, 0 < e < iv — 2d. Тогда из предложений 2.1 и 3.1
следует, что
H.(Q*", ?*»-*) м Я8_(пЯ+пт)(р), п з* 0,
H3(Q*"-\ Q*") м ЯМпХ+(я_1)ж)(р), п ;*. 1.
Группы сингулярных цепей 0@"), п э=—1, определяют некоторую
фильтрацию (см. [ I]) группы сингулярных цепей ,C(Q). Рассмотрим соответ-
соответствующую спектральную последовательность Ej?>9. Первые члены Е%Л этой
последовательности изоморфны, очевидно, вычисленным выше группам
H(Qv Q»i)
4. От Е^О) к H(Q)
В дальнейшем будем предполагать, что т э= 2, т. е. что dim M>3.
Тогда группы Щ'9 тривиальны для всех пар (р, q), за исключением пар,
удовлетворяющих соотношению
р + q = -|-(А + гп), р^Ои четно,
или соотношению
т> р *" 1 и нечетно'
когда EfQ ?« Z (группа целых чисел). Другими словами, в плоскости с коор-
координатами р и q точки, соответствующие нетривиальным группам Efq, распо-

120 Р. БОТТ
ложены на двух параллельных линиях Lx и L2:
Х+т — 2-
m — 2 n /т — А
)Р(
Так как A э= 0, т э= 2, то наклон этих линий положителен. Пусть Тг(гэ= 1)
— перенос (р, q) —> (р — г, q + г — 1).
Лемма 4.1. За исключением двух случаев А= 1, г= 1 u A = 0, m = 2,
г = 2, пересечение T^LX U As) П (^i U La) пусто (г = 1, 2, 3,...).
Доказательство. Если Х^т, то, очевидно, рассматриваемое пересе-
пересечение пусто, когда Tr(L2) П ^i = 0- Так как L2 и Lx параллельны, то это
последнее пересечение либо пусто, либо совпадает с Lv Последний случай
возможен только тогда, когда точка (г, — (г—1)) принадлежит прямой
L2, т. е. когда
Это равенство равносильно тому, что г(т -\- А) = 2 + т — А. Но если
т э= 2 и А э= 0, то 2(т + А) э= 2 + т + 2А s= 12 + пг — А|. Следовательно,
|г|«2, откуда получаем два возможных целочисленных решения: г — 1,
А=1 иА=О, т = 2, г = 2. Если Д&=т+ 1, то рассматриваемое пересе-
пересечение пусто, когда Tr(Lj) П А = 0 и» следовательно, когда точка (— г, г — 1)
принадлежит^прямой L2. Таким образом, задача сводится к отысканию цело-
целочисленных отрицательных решений того же уравнения
1г(т + А) = 2 + т — А.
Однако, как было показано, г = 1, г = 2 являются единственными цело-
целочисленными решениями этого уравнения.
Следствие. ЕслиХф 1, то Е™ f* Eg«. Если А = 1, то Е^9 р« Е^«.
Доказательство. В спектральной последовательности {Е^9}диффе-
{Е^9}дифференциал dr отображает группу Ef'q в группу Е^г(р>9). Следовательно, при
А ^ 1 все дифференциалы групп Ег тривиальны, а при А = 1 только диффе-
дифференциал rfj может быть отличным от нуля. (В случае г = 2, m = 2, А = О
дифференциал rf2 тривиален, так как Е§>° = 0 для нечетных р.)
Предложение 4.1. Ef>9 ру Е^,9, если даже А = 1.
Доказательство этого предложения будет изложено в следующем пункте.
Предложение 4.2. HS(Q) pa ]? Е^«.
p+q-s
Доказательство. Напомним, что группа Е^= У} Е^,9 является гра-
Р+9-8
дуированной группой, присоединенной к группе HS(Q). В нашем случае
группа Е|о либо тривиальна, либо изоморфна одной из групп Z, Z + Z.
Так как любое расширение* группы Z посредством группы Z изоморфно
прямой сумме Z + Z, то, следовательно, группу Е^ можно отождествить
с группой Hs.
Из результатов п. 3 и предложений 4.1 и 4.2 немедленно вытекает сле-
следующая
Теорема 4.1. Пусть М, Q, А те же, что и выше.
1. Если А > 0, то HS(Q) & Z при 5 = (А + т) п (л э= 0) и при
s = (А + т)п — т (пэ=1). Для остальных значений s группа HJ^Q) три-
тривиальна.
2. Если А = 0, то Hmn{Q) я* Z + Z (пз* 0); для остальных значений s
группа HJ^Q) тривиальна.
Следствие. При А>0 многообразиеМодносвязно. При Л—0 фундамен-
* Являющееся абелевой группой. — Прим. ред.

МНОГООБРАЗИЯ, НА КОТОРЫХ ВСЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАМКНУТЫ 121
тальная группа многообразия М является группой второго порядка. В этом
случае единственными нетривиальными группами гомологии пространства
петель $ универсального накрывающего М многообразия М являются
группы*
Геодезическш многообразия М просты и замкнуты в некоторой точке р б М,
и индекс многообразия М равен т.
Доказательство. Компоненты линейной связности пространства Q
взаимно однозначно соответствуют элементам фундаментальной группы
многообразия М. Если А > О, то H^Q) m Z, так что многообразие М одно-
связно. Если А = О, то H^Q) fh Z + Z, и, следовательно, фундаментальная
группа многообразия М является группой второго порядка. Пусть Q — со-
содержащая геодезическую g° компонента пространства Q, a Q" — другая
компонента этого пространства. Так как компоненты Q и Q" имеют один и
тот же гомотопический тип, то их группы гомологии являются „половина-
„половинами" групп гомологии пространства Q. Но пространство Q совпадает с про-
пространством петель многообразия М. Тем самым формула для H(Q) доказана.
Для доказательства последнего утверждения достаточно заметить, что все
геодезические некоторого конечного накрытия многообразия М просты и
замкнуты в точке р, если все геодезические многообразия М просты и зам-
кнуты в соответствующей точке. Наконец, согласно теореме 4.1, индекс А
любого многообразия М, зависящий по определению от выбранной точки,
на самом деле является топологическим инвариантом многообразия М и
для односвязного многообразия М совпадает с размерностью первой нетри-
нетривиальной группы гомологии пространства Q (отличной от H0(Q)).
5. Случай А= 1. Доказательство предложения 4.1
Пусть ? — пространство путей многообразия М, начинающихся в точке
р, а / : ? -> М—проекция Серра [ I], отображающая любой путь в его кон-
цевую точку. Спектральную последовательность когомологий, определенную
отображением /, мы будем обозначать через {?r'q}. Как и выше, коэффициенты
предполагаются целыми числами. Напомним, что для односвязного много-
многообразия М группа ?\л изоморфна группе НР(М; H\Q)). Кроме того, ?™ = О,
если хотя бы одно из чисел p,q отлично от нуля, a 6%g pa Z.
Предположим, что А = 1. Через {??¦*} мы обозначаем теперь спектраль-
спектральную последовательность когомологий пространетва Q. Дифференциалы dr
в этом случае также тривиальны, если г э= 1, и лишь дифференциал
dj: Ef9 -> Ef+1>9 может быть отличен от нуля. Кроме того, если
q = -Щ-р, ргэ=О и четно, т = т — 1
или _ _
q = -у р — -у» рз=1 и нечетно,
то EfiQ ?« Z, тогда как при остальных значениях р и q группа Ef>q тривиальна.
Следовательно, дифференциал йг может быть отличен от нуля только ^ia
группе Ef1'тп, п з= 0, когда значения его принадлежат группе Е|п+1> тп;
при этом, если он отличен от нуля, то обязательно является моно-
мономорфизмом. В последнем случае группа Е|">г"п, а следовательно, и группа
Е™'Шп, тривиальна. Отсюда вытекает, что дифференциал, d1 равен нулю
* Так как группы когомологий пространства петель сферы определяются теми же
формулами, то, следовательно, многообразие М является гомологической сферой.
— Прим. ред.

122 Р. БОТТ
на группе EJ-°, так как группа H°(Q) нетривиальна. Таким образом, H0(Q)
и, следовательно, многообразие М односвязно.
Пусть п0 > 0 — наименьшее п, для которого дифференциал dx отличен
от нуля на группе Efn> тп. Тогда Е!По> •""• гы Ej*}*тп' = 0. Строение
группы Е^ можно теперь описать следующим образом. Пусть а =
= B + тЩпа— 1)+1 и /9 = B+т) п0 + 1. Группа Е^ тривиальна или изо-
изоморфна группе Z, если s < /9, причем ?%, яа Z и Е^ = 0, если а < s < /?;
для остальных значений s группа Е^ конечна. Группа HS(Q) обладает,
очевидно, теми же свойствами. В частности, за нетривиальной группой
Ha(Q) яа Z следует /?—1—х = т тривиальных групп H%Q), причем сле-
следующая за ними группа H?(Q) конечна. Согласно теореме об универсальных
коэффициентах*, отсюда следует, что группы &%л (x<q <<x + т) тривиаль-
тривиальны, а группа ?п2'а+т конечна.
Многообразие М односвязно, и размерность его равна т + 1. Следо-
Следовательно, Нт+1(М) ы Z и потому ?f+b a pa Z. При переходе к <5™+1> "
эта группа должна исчезнуть; но это невозможно, потому что среди групп
б%л,а < q «sa + m нет бесконечных групп. Это противоречие доказывает,
что дифференциал &г тривиален на группе Ех и в том случае, когда Я = 1.
6. От H(Q) к Я(М)
Ввиду теоремы 4.1 и ее следствия достаточно рассмотреть случай А > 0.
Рассмотрим опять спектральную последовательность {?г}. Так как для
любого q s» 0 группа H%Q) свободна, то <а%4 «* ЯР(МH Я^ГЗ). Вспомним
теперь, что H\Q) = 0, если 0<s — Д+ти«^Д. Следовательно, A =s= m
(в противном случае с^+1>0 Ф 0**) и E?>я «« <5J+i***. Кроме того, диффе-
дифференциал rfx+1 : ^'+! —> ?%+А+1'° является изоморфизмом, если
0=sp< т****. Пусть ^ — образующая группы H\Q) pa Z, а 0 6t5J;ti'0 f«
* См., например, стр. 160. — Прим. ред.
** Пусть 0<s<Ah р — произвольно. Тогда <sj?'s = 0 и потому <3?'8 = 0 для
любого г э. 2. С другой стороны, dr: ?™~~г+1' т~г -*¦ ?™+1> °. Следовательно, для
г—1 <А группа <3™+1>° не содержит отличных от нуля кограниц н потому <2™+1>0 рх
ри <ЗУ+11>0. Таким образом, если А>т, то <2™+1>0 f=s <S?J}+1'0. что невозможно, ибо
<ЯГ1>0 л* Z, a <CtV° л* <SS,+1>0 = 0. - Ярш«. ред.
*** Так как <5г'3 = 0, если 0 < s < А (см. предыдущее примечание), то дифферен-
дифференциал dr:??>K^- <Й?+г'л''~г+1для r< A+ 1 тривиален. Кроме того, так как йг:<5г~г>Я+г~1-»-
-*¦ <3?'Я, то дли г < А + 1, т.е. для А + г — 1 <2 A «sA + "«. группа <5?'я не содержит от-
отличных от нули кограниц (ибо <Sr's = 0, когда А < s <А + т). Следовательно, <2г'я рз
pa <3r+i- — Прим. ред.
**** Если А + 1 <г<А + »п+1, то <Sr+>i+1~r'r~1 = O, ибо <S?'S = 0, когда А<
< s < А + т. Если гэ.А + т+1 ир<т, то <5?+я+1~г> ^х = о, ибо р + А + 1 — г ¦«
«s р — т<О. Если р — т, то <Зг+я+1> °=<О, ибо р+А+1>т+1- Следовательно,
если г > А + 1 и 0 =s p =s т, то дифференциал dr: <3?+*+1~г> r-1 -> <Sr +>i+1> ° тривиален.
Отсюда вытекает, что &1Х\+1>0рз <3«я+1> ° = О. С другой стороны, <5$+я+1>в =
= <S?Ji+1>o/dx+i(<sM)- Таким образом, dx+i^i) = <ЗП1+1>О, т. е. отображение
<*я+1 : ?%'А-+ Slti+1'° эпиморфно.
Далее, если г>А+1, то <3г+г'я г+1 = 0 и,следовательно,дифференциал ^г:<5г'Я~*"
-»- ,5^+г>я~г+1 тривиален. Кроме того, если A + l<r<m+l, то <5?~г>я+г~1 = О, ибо
?р8 = о, когда А < s < А + т. Если жегэ.т+1, то ??~r' x+r-x = о, потому что
р—г< р — т—1 < 0. Таким образом, если r> A+1, то дифференциал dr :<Sr~r'*'+r~1~>"
-> <3?'Я триниален. 'Сопоставляя оба утверждения, получаем, что ??'х tt ??+\. Следова-
Следовательно, <з?+2 f« <2тоЯ = 0. С другой стороны, так как дифференциал d^+a -&глк~г' гг"~г ~*
-*¦ &х'Л тривиален, то ?х'Л = Ker d^+i П &х'Л- Таким образом, Ker dx+1 П <sf!'+i = О,
т. е. отображение dx+i :<S?'+i-> <S?+i+1>0 мономорфно. — Ярил. ред.

МНОГООБРАЗИЯ. НА КОТОРЫХ ВСЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЗАМКНУТЫ 123
«* Н1+1(М)—ее образ при отображении dx+1. Естественное отображение
Н(М) -*¦ H(M)(g)q> позволяет отождествить группу ?%'+\ с группой HV{M).
При этом отождествлении дифференциал dx+1 переходит в умножение на
элемент 0. Следовательно, гомоморфизм Hk(M) ?Mi._>. #fc+tt.+i) является
изоморфизмом для О «= к =s m. Так как Нт+1(М) = Z и Нк(М) = О
для к > т, то Н(М) является срезанным кольцом многочленов. Тем самым
сформулированная во введении теорема доказана в случае т > 1. Случай,
когда многообразие М двумерно, содержится в следующем предложении,
которое мы докажем совершенно независимо от предыдущего.
Предложение. Пусть dim М>2. Тогда либо многообразие М одно-
связно, либо группа пг(М) является группой второго порядка.
Доказательство. В любом нетривиальном гомотопическом классе
Л е пх{М, р) существует геодезическая дуга g', начинающаяся и оканчива-
оканчивающаяся в точке р. Так как в точке/? все геодезические замкнуты, то g' зам-
замкнута и, следовательно, g' ~ ng, где g — некоторая замкнутая геодезическая
длины iv. Но так как dim M s= 2, то геодезическую g можно продеформиро-
вать в любую другую замкнутую геодезическую g" длины ш и, в частности,
в геодезическую g~\ Следовательно, гомотопический класс геодезической g
совпадает с Л и Л2 = 0.

III. ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП*
Ж АН-ПЬЕР СЕРР
Введение
Напомним классическую теорему Гуревича: Пусть X — такое про-
пространств, чтощ(Х) = 0 для i < п; тогда Ht(X) = 0 для 0 < i < n а группа
jin(X) изоморфна группе Нп(Х).
В нашей предыдущей работе [I] были указаны некоторые обобщения
этой теоремы, которые могут быть сформулированы следующим образом:
если не требовать, чтобы группы лг(Х) были равны 0 при i < n, и предпола-
предполагать только, что зти группы являются группами конечного типа (или конеч-
конечными группами), то для 0 < i < n группы Нг(Х) также будут группами
конечного типа (соответственно конечными группами), а группы лп(Х) и
Нп(Х) будут изоморфны „с точностью до" групп конечного типа (соответ-
(соответственно конечных групп).
Здесь мы возвращаемся к этой теореме и показываем, что естественной
рамкой таких обобщений является понятие класса абелевых групп.
Классом ё, по определению, называется собрание абелевых групп,
удовлетворяющее некоторым простым алгебраическим условиям. Эти усло-
условия по существу означают, что класс ё устойчив по отношению к элемен-
элементарным алгебраическим операциям, а именно по отношению к операциям
перехода к подгруппе и факторгруппе и к операции расширения групп.
Задание некоторого класса ё позволяет ввести ,,6-понятия", в которых
„пренебрегают" группами, принадлежащими классу ё (например, 6-моно-
морфизм есть гомоморфизм, ядро которого принадлежит классу &). Изучению
классов посвящена гл. I. В этой главе особое внимание уделено некоторым
дополнительным аксиомам, необходимым для дальнейших приложений.
На языке 6-теории наше обобщение теоремы Гуревича формулируется
следующим образом (гл. III, теорема 1):
Если я:0(Х) = тг1(Х) = 0 и группы щ(Х) принадлежат классу ё для
i < п, то группы Н^Х) принадлежат классу ё для 0 < i < n и гомоморфизм
лп(Х) —> Нп(Х) является ^.-изоморфизмом.
В случае, когда б является классом тривиальных групп (т. е. групп,
состоящих из одного элемента), зта теорема переходит в классическую
теорему Гуревича.
Аналогично обобщается и теорема Гуревича для относительных групп
(однако в этом случае класс [б должен удовлетворять некоторым
дополнительным условиям). Из этой теоремы выводится Соответствующее
обобщение теоремы Уайтхеда (гл. III, теорема 3). Здесь я ограничусь фор-
формулировкой ее частного случая.
Пусть А и В— линейно связные односвязные пространства, J : А-*- В—
непрерывное отображение, которое отображает группу л2(А) на группу
л2(В). Тогда равносильны следующие два свойства:
(a) для всех i отображение Д,: Ht(A) -»• Ht(B) является ё-изомор-
физмом;
(b) для всех i отображение /0 : яг (А) -»• зг4 (В) является ё-изомор-
физмом.
* S е г г е J.-P., Groupes d'homotopie et classes de groupes abeliens, Ann. Math., 58
A953), 258—294.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 125
Эти теоремы доказываются следующим образом: сначала устанавли-
устанавливаются (гл. II) некоторые вспомогательные результаты о расслоенных про-
пространствах, затем из них методом, изложенным в заметках [65], или мето-
методом, изложенным в гл. V статьи [I], выводится теорема Гуревича. Теорема
ГУревича для относительных групп (и вытекающая из нее теорема Уайтхеда)
приводится к теореме Гуревича для абсолютных групп с помощью надле-
надлежащим образом выбранных пространств петель.
Перечисленные общие результаты изложены в гл. I, II и III, в то время
как гл. IV и V посвящены приложениям. В этих приложениях важную роль
играет цитированная выше теорема Уайтхеда, особенно в случае, когда б
является классом конечных групп, порядки которых делятся только на
заданные простые числа. Тем самым гомотопические группы изучаются с
локальной (в арифметическом смысле!) точки зрения. Приведем, например,
предложение 3 гл. IV:
Для четного п группа 7Ei(Sn) ё-изоморфна прямой сумме групп ^^„-i)
и Tii-^Sn-j), где & — класс конечных групп, порядка которых являются
степенями двойка.
Гл. IV содержит и другие результаты этого рода, относящиеся к над-
надстройке Фрейденталя и к вычислению р-компонент групп 7ii(Sn).
Гл. V посвящена сравнению пространств (в частности, групп Ли) со
сферами. Именно, для данной группы Ли G мы вводим понятие о простых
числах, регулярных для этой группы. Грубо говоря, число р называется
регулярным для группы G, если эта группа „относительно р" эквивалентна
произведению сфер. Для простой классической (компактной и односвязной)
группы Ли G определены все простые числа р, регулярные для G. Если группа
имеет размерность п и ранг /, то простое число р регулярно тогда и только
тогда, когда оно больше числа njl— 1.
Глава I
ПОНЯТИЕ КЛАССА
Обозначения
Пусть А, В — две абелевы группы и / : А -*¦ В — некоторый гомомор-
гомоморфизм. Через Im / мы будем обозначать образ гомоморфизма /, через Кег / —
его ядро и через Coker / — его коядро (т. е. факторгруппу В/ Im /). Заметим,
что последовательность
точна.
1. Определение классов
Непустое собрание @. абелевых групп называется классом, если оно
удовлетворяет следующей аксиоме:
(I) Если в некоторой точной последовательности L -»• М -»• N группы
L и N принадлежат й, то и' группа М принадлежит й.
Эту аксиому можно сформулировать в несколько иной форме:
Предложение 1. Для того чтобы выполнялась аксиома (I), необходимы
и достаточны следующие три условия:
(a) Любая тривиальная группа принадлежит &.
(b) Любая группа, изоморфная подгруппе или факторгруппе группы
из &, принадлежит &.

126 Ж.-П. СЕРР
(с) Любое расширение группы из ё с помощью группы из б принадле-
принадлежит б.
Необходимость. Так как б непусто, то существует группа М е б; для
любой тривиальной группы А последовательность М --> А -> М точна;
согласно аксиоме (I), Леб, и условие (а) доказано. Условие (с) есть частный
случай аксиомы (I). Свойство (Ь) также является частным случаем аксиомы
(I) в силу уже доказанного свойства (а).
Достаточность. Пусть L —-»• М -2->- N — точная последовательность,
в которой Lee, Nee. Группа М является расширением группы Im/ с помощью
группы Img. Так как группа Im/ изоморфна факторгруппе группы L, то
вследствие (b)Im/её. Аналогично, Imgeб. Отсюда, согласно (с), следует,
что М 6 б. Тем самым аксиома (I) доказана. Так как ё в силу (а) не пусто,
то ё действительно является классом.
Замечания. 1. Мы дадим примеры классов в пп. 6 и 7; здесь мы отметим
лишь класс тривиальных групп и класс всех групп.
2. Из (Ь) следует, что любая группа, изоморфная группе изё, принадлежит
ё. Это показывает, что ё не является „множеством", и поэтому отношение
А б ё не обладает всеми свойствами отношения принадлежности. Например,
лишено смысла выражение П А.
2. б-понятия
В дальнейшем мы будем в некотором смысле пренебрегать группами
какого-либо данного класса ё. С этой целью введем следующие опреде-
определения.
Группа А называется ё-тривиальной, если А её.
Гомоморфизм /: А -> В называется ё-мономорфным, если Кег /её;
он называется ё-эпиморфным, если Coker fee.
Гомоморфизм, одновременно б-мономорфный и б-эпиморфный, назы-
называется ё-изоморфизмом.
Группы А и В называются ё-изоморфными, если существуют группа
L и два б-изоморфизма f : L -*¦ А и g : L -*¦ В. Это понятие транзитивно.
Действительно, пусть h : М -+ В и к : М -»• С — два б-изоморфизма. Обоз-
Обозначив через N подгруппу прямой суммы L + М, образованную такими эле-
элементами (/, т), что g(l) = h(m), и полагая г{1, т) = /(/), s(l, т) = к(т),
мы получим б-изоморфизмы г : N -»• A, s : N -»• С.
Введенные понятия обладают такими же формальными свойствами,
как и классические понятия, к которым они сводятся, когда класс б состоит
из тривиальных групп. Например, пусть А —-»• В -^-э-С—некоторые гомомор-
гомоморфизмы. Без труда проверяются следующие утверждения.
2.1. Если fug б-мономорфны, то gof также й-мономорфно.
2.2. Если fug ё-эпиморфны, то gof также ё-эпиморфно.
2.3. Если go/ ё-мвноморфно, то f также ё-мономорфно.
2.4. Если g°/ ё-эпиморфно, то g также ё-эпиморфно.
2.5. Если go/ ё-мономорфно, a f ё-эпиморфно, то g ё-мономорфно.
2.6. Если go/ ё-эпиморфно, ag ё-мономорфно, то f ё-эпиморфно*.
Равным образом проверяется справедливость для б-понятий „леммы
о пяти гомоморфизмах": пусть даны две точные пятичленные последователь-
последовательности групп и пять гомоморфизмов групп первой последовательности в соот-
соответствующие группы второй, удовлетворяющие необходимым условиям
* Все эти свойства непосредственно вытекают из точности следующей последо-
последовательности, связывающей ядра и коядра:
О-* Кег/->- Кег (go/) -> Кегg-+ Coker /-> Coker (go/) -> Cokerg^ 0.
— Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 127
коммутативности; тогда если четыре „крайних" гомоморфизма являются
g-изоморфизмами, то и средний гомоморфизм будет g-изоморфизмом.
Можно указать много других результатовтакого рода1. Отметим только
следующее предложение, которое нам в дальнейшем будет полезно:
Предложение 2. Пустьё—некоторый класс, Аг—>Д2^>Л8—*А^*- Аъ
— произвольная точная последовательность, к: А2 -»• Аг и к': Аъ -+ Л4
— такие гомоморфизмы, что составные отображения р.хокир4°/с' явля-
являются ^.-автоморфизмами групп А2 и А5 соответственно. Тогда гомоморфизм
(ра, к') прямой суммы А3 + Аь в группу Л4, совпадающий на первом слагае-
слагаемом с р3, а на втором с к', является ^.-изоморфизмом.
(Здесь термин ,.6-автоморфизм" обозначает эндоморфизм, являющийся
6-изоморфизмом.)
Изложим для примера доказательство этого предложения.
Из 2.4 следует, что рх и р4 являются g-эпиморфизмами; кроме того,
из точности данной последовательности следует, что ядро Кег р8 изоморфно
коядру Coker plf так что отображение р8 g-мономорфно. Пустьё — ядро гомо-
гомоморфизма (р., к') и (а3, а6) е N; тогда р3(а3) + к'(а5) = 0, откуда Pi°k'(a5) =
= 0 и а6е Кег(р4о/с'). Если а5 = 0, то а3 е Кегр3. Таким образом, последо-
последовательность Кег р8 -> N -+ Кег (р4°/с') точна. Так как крайние группы этой
последовательности принадлежат g, то и Nee. Итак, отображение (р3,к')
является g-мономорфизмом.
Обозначив через q составное отображение Ai2^^ Аъ -+ Coker (p4o к'),
рассмотрим последовательность А3 + Аь ^^-» Д4 —Ч—+ Coker (p4o/c').
Композиция этих двух гомоморфизмов тривиальна. Наоборот, если q (a4) =
= 0, то существует такой элемент х5еА5, что р4°/с' (х6) = рЛаД т- е. что
Pi (й4 — к' (х6)) = 0. Следовательно, существует такой элемент х3 е А3, что
а4 — к'(хь) = Рз(х8). Таким образом, a4elm(p3, к'), так что указанная выше
последовательность точна. Поскольку, по предположению, Coker (p4°/c')eg,
то (р3, к') является ё-эпиморфизмом. Предложение доказано.
3. Периодическое произведение
Картан и Эйленберг ввели в [68] новое понятие — периодическое про-
произведение двух абелевых групп (и даже любых модулей). Их книга еще
не вышла, поэтому мы напомним определение и основные свойства этой опе-
операции*.
Пусть А и В — две абелевы группы. Представим В в виде В = LjR,
где группа L свободна. Пусть С — ядро гомоморфизма A (g) R -> A (g) L.
Оказывается, что С зависит только от А и В. Группа С называется периоди-
периодическим произведением групп А и В и обозначается через Тог (А, В) или
А * В. Периодическое произведение является ковариантным функтором**
групп А и В, обладающим следующими свойствами:
1 Определим еще два других g-поиятия: ^-равенство и й-гомоморфизм.
(a) Две подгруппы А к В одной и той же группы С называются @-равными, если
гомоморфизмы АПВ-э-Л и ЛЛВ-э-В являются g-изоморфизмами. С помощью <0-
равенств определяется понятие @-точной последовательности и т. п.
(b) й-гомоморфизм группы А в группу В определяется подгруппой F прямого
произведения А X В (его графиком), проекция которой в А g-равна А и для которой
F П ({0} X В) 6 <§***.
* В настоящее время эта книга уже вышла из печати. Ее русский перевод вскоре
будет опубликован Издатинлитом. — Прим. ред.
** То есть любые гомоморфизмы /: А -> A', g : В ->- В' определяют некоторый
гомоморфизм/*g: А*В-> А'*В', причем 1^* 1в = 1а*в H(/»/')*feog/) = (/*g')o(/'*g')-
О функторах см. [91] и [145]. — Прим. ред.
. *** Подчеркнем, что g-гомоморфизм ие является, вообще говоря, однозначным отоб-
отображением, определенным на всей группе А. — Прим. ред.

128 Ж.-П. СЕРР
3.1. А * В Л5 В* А.
3.2. Пусть 0->L->M-^-7V->0 — произвольная точная последова-
последовательность и А — некоторая группа; тогда последовательность 0 -»• А * L ->
-+A*M-+A*N^-A(i?)L-+A(i?)M-+A(i?)N^-b также точна.
3.3. Функтор А * В перестановочен с операцией взятия прямой суммы
(конечной или бесконечной) и с операцией индуктивного предела*.
3.4. Произведение Л * В зависит только от максимальных периоди-
периодических подгрупп групп А и В (что оправдывает терминологию).
Свойства 3.3 и 3.4 показывают, что для вычисления произведения
А * В в случае, когда А и В — группы конечного типа, достаточно знать
произведения А * Zn, где Zn — циклическая группа порядка п. С другой
стороны, из данного выше определения немедленно следует, что
3.5. A*Znm пА, где пА — подгруппа таких элементов а б А, что па =0.
Периодическое произведение существенным образом используется в
формуле Кюннета:
3.6. Пусть К и L — два градуированных комплекса и К 0 L — их тен-
тензорное произведение (определенное как градуированный комплекс**). Пред-
Предположим, что хотя бы один из комплексов К и L является комплексом без
кручения. Тогда группы гомологии комплексов К, L и К 0 L связаны сле-
следующей точной последовательностью:
0 —> У Нг{К) ф H,(L) —* Нп{К <g> L) —-> У. Hi(K) * HAL) —^ 0.
i+T-n i+j-n—1
3.7. Если подгруппы циклов комплексов К и L обладают дополнениями***
(в комплексах К и L соответственно), то эта точная последовательность сво-
сводится к прямой сумме****.
Наиболее важные частные случаи свойств 3.6 и 3.7 следующие:
(а) комплексы К и L свободны (этот случай в топологии встречается при вычис-
леннии групп гомологии прямого произведения по группам гомологии со-
сомножителей*****); (Ь) комплекс К свободен и граничный оператор компле-
комплекса L тривиален (в этом случае формула 3.6 называется „формулой универ-
универсальных коэффициентов" и используется в топологии при вычислении групп
гомологии пространства над произвольной группой коэффициентов с по-
помощью целочисленных групп гомологии. Свойства 3.1, ..., 3.7 являются
весьма частными случаями свойств, доказанных в упомянутой выше книге
[68]. Отметим, например, что эти свойства без всяких изменений справедливы
для любых модулей над кольцами главных идеалов******. Мы ограничились
случаем кольца целых чисел, так как этого достаточно для дальнейшего.
4. Две аксиомы для классов
Вернемся к свойствам классов. В следующей главе (посвященной рас-
расслоенным пространствам) нам придется предположить, что рассматривае-
рассматриваемые классы & удовлетворяют одной из следующих двух аксиом:
(ИА) Если Аеё а Веё, то А 0 Веё и А* В её.
A1В) Если А ей, то А ф В её для любой группы В.
Из аксиомы (Ив) следует аксиома (Нд). Действительно, справедливо
* Определение индуктивного предела (т. е. предела прямого спектра) см., например,
в примечании на стр. 353. — Прим. ред.
** См. примечание 1 на стр. 98. — Прим. ред.
*** То есть выделяются прямыми слагаемыми. — Прим. ред.
**** См. примечание 1 в конце статьи. — Прим. ред.
***** Можно доказать, что сингулярный комплекс топологического произведения
двух пространств гомотопически эквивалентен тензорному произведению сингулярных
комплексов сомножителей (Эйленберг — Зильбер). — Прим. ред.
****** в частности, для модулей над полями, т. е. для линейных пространств; в этом
случае операция Тог тривиальна. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 129
Предложение 3. АксиомаA1В)равносильна любой из следующих двух
аксиом:
(Нв)'. Если А её, то А® В её и А* Веё для любой группы В.
(Пв)". Для любой группы Аеё все прямые суммы (конечные или
бесконечные) групп, изоморфных группе А, принадлежат классу ё.
Из (Пв) следует (Нв)", так как (Пв)" равносильно тому, что A (g) L е ё
для любой свободной группы L и для любой группы Аеё.
Из (Пв)" следует (Пв)'. Действительно, пусть В — произвольная
группа и пусть А — группа класса ё. Положим В = LIR, где L (следователь-
(следовательно, и R) — свободная группа. Согласно A1В)", имеем Л (g) Lee и A(g)R её.
Так как произведение A (g) В изоморфно некоторой факторгруппе произ-
произведения A (g) L и так как произведение А * В изоморфно некоторой подгруппе
произведения A(g)R, то А® Веё и А* Веё.
(Пв) следует из (Пв)' тривиально.
Следствие. Пусть & — произвольный класс, удовлетворяющий аксиоме
(Пв). Если группы А и В й-изоморфны соответственно группам А' и В', то
произведения А ® В и А* В ё-изоморфны соответственно произведениям
A' (g) В' и А' * В'.
Достаточно доказать это следствие для случая, когда В = В'. Кроме
того, согласно определению б-изоморфизма, можно считать, что сущест-
существует такое отображение f:A-+A', что Ker fee и Coker fee. Разлагая
отображение / на два отображения А -* Im/-> А', мы видим, что доста-
достаточно ограничиться только двумя частными случаями, когда Кег / = О
или Coker / = 0. В первом случае (второй случай совершенно анало-
аналогичен первому) точна последовательность 0 -* А -*-»¦ А' -*¦ А" -*¦ 0,
где А" е ё. Применяя 3.2, получим точную последовательность
0-+А*В-+А'*В-+А"*В -* Л (g) В -* A' (g> В -* A" <g> В -* 0.
Согласно (Ид)", имеем А" * Веё и А" ф Веё, откуда следует, что
отображения А* В -*¦ А' * В и A ф В ->• A' ф В являются б-изомор-
физмами. Следствие доказано.
Предложение 4. Пусть й — произвольный класс, удовлетворяющий
аксиоме A1В), X — некоторое топологическое пространство и G—локальное
семейство* над X (в смысле Стинрода), образованное абелевыми груп-
группами, изоморфными одной и той же группе Gee. Тогда Нг(Х, Q) е ё для
всех i э= 0.
Пусть S(X) — сингулярный комплекс пространства X. Группы Н4(Х, G)
являются группами гомологии комплекса S(X) <Э G, снабженного соот-
соответствующим граничным оператором. Поскольку Gee, то, согласно (Пв),
S(X) <S> G е ё и, следовательно, #4(Х, й)её для всех / э= 0.
Замечание. Существуют классы, не удовлетворяющие аксиоме A1В);
примеры таких классов будут указаны в п. б. С другой стороны, автору
неизвестны классы, не удовлетворяющие аксиоме (Па)-
5. Еще одна аксиома
Пусть П— некоторая группа (не обязательно коммутативная) и L —
произвольная абелева группа, для которой П является группой правых опе-
операторов. Тогда определены классическим образом (см. [89] и [176]**) группы
гомологии Н^П, L) группы П над группой L. В частном случае, когда груп-
группой L является аддитивная группа Z целых чисел, в которой группа опера-
операторов П действует тривиально, мы получаем группы Нг(П, Z), называемые
группами гомологии группы П и обозначаемые просто через Нг(П).
* См., например, [117]. — Прим. ред.
** См. примечание 10 на стр. 105. — Прим. ред.
9 Расслоенные пространства

130 Ж.П. CEPP
По определению группы Нг(П) являются группами гомологии построен-
построенного в [89] неоднородного комплекса* группы П. Напомним некоторые свой-
свойства этих групп.
5.1. Если группа Я является индуктивным пределом групп Па, то для
всех i группа Нг (П) также будет индуктивным пределом групп Я4(Я„)
(действительно, неоднородный комплекс группы П является индуктивным
пределом неоднородных комплексов групп Па).
5.2. H2i(Zn) = 0, если i > 0; H9i+1(Zn) = Zn, если i з* 0**.
5.3. #o(Z) = HX{Z) = Z, H{(Z) = 0, если i > 1**.
5.4. Для двух произвольных групп S и Т
Hn(S х Т) ъ У ГЯ€E) <g>
i+7-n '
(Действительно, пусть Kg и Кт — неоднородные комплексы групп S и Т
соответственно. Из теории свободных ациклических комплексов немедленно
следует, что Hn(S xT)w HJKS (g) KT) для 'всех п, после чего остается
применить формулу Кюннета.)
Свойства 5.2, 5.3, 5.4 позволяют, очевидно, вычислить группы Н^П)
для любой абелевой группы П конечного типа.
Сформулируем теперь еще одну новую аксиому (необходимую для
изучения гомотопических групп):
A11) Из А е & следует, что Н{(А) е & для любого i > 0.
Замечание. Автору неизвестно, существуют ли классы, не удовле-
удовлетворяющие аксиоме (III).
б. Примеры классов, удовлетворяющих аксиомам (НА) и (III)
(В каждом из рассматриваемых ниже примеров проверка аксиомы (I)
предоставляется читателю.)
6.1. Группы конечного типа. Пусть элементы аг порождают группу
А и элементы Ъ^ порождают группу В; тогда элементы щ (g) fy порождают
тензорное произведение А (?) В, которое является поэтому группой конеч-
конечного типа. Положим теперь B—LjR, где L—свободная группа с базисом fy.
Так как L является группой конечного типа, то R — также группа конеч-
конечного типа. Поскольку, согласно определению, периодическое произведение
А * В изоморфно некоторой подгруппе тензорного произведения А 0 R,
то группа А* В будет группой конечного типа. Тем самым аксиома A1^)
для групп конечного типа доказана. Для доказательства аксиомы (III)
достаточно, согласно предложению 5.4, проверить ее для А = Z и для
А — Zn; но для этих групп она следует из 5.2 и 5.3.
6.2. Группы, мощность которых не превосходит данного бесконечного
кардинального числа Йо.
Поскольку любой элемент тензорного произведения А® В записы-
записывается в виде _2 (кФ^ь гДе Qi € -Л и Ьге В, то мощность группы А® В
не превосходит К„2.
Пусть теперь L — свободная группа, образующими которой являются'
элементы группы В. Тогда В — LJR и мощность группы L (следовательно,
и группы R) не превосходит Ка. Поскольку периодическое произведение
А * В изоморфно некоторой подгруппе тензорного произведения A <g> /?,
то его мощность также не превосходит Кв. Тем самым аксиома (ПА) про-
проверена.
* Имеется в виду комплекс Z ® С, где С — свободный ациклический Я-комплекс;
я
см. примечание 10 на стр. 105. — Прим. ред.
** См. примечание 17 на стр. 112. — Прим. ред.
2 Напомним, что множество всех конечных подмножеств бесконечного множества
Е равномощно с Е.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 131
Пусть Ка — неоднородный комплекс группы А. Согласно определению,
этот комплекс имеет базис, мощность которого не превосходит Ка. Следо-
Следовательно, мощности его групп гомологии также не превосходят Ка. Акси-
Аксиома (III) проверена.
6.3. Конечные группы. Аксиома (ПА) следует непосредственно из 3.3,
3.4, 3.5. Аксиома (III) следует из 5.2 и 5.4.
6.4. Конечные группы, порядок которых делится только на данные прос-
простые числа.
Доказательство то же, что и для 6.3.
6.5. Группы, удовлетворяющие условию обрыва убывающих цепочек под-
подгрупп. Известно, что эти группы являются конечными прямыми суммами
конечных групп и групп типа Up (см. [27]*; группы типа Up иногда называют
группами типа (р°°)). С другой стороны, очевидно, что Up(g)A = Up*A — 0
для любой периодической группы А. Аксиома (ПА) следует отсюда
непосредственно.
По определению, группа Up является индуктивным пределом групп
Zpk. Следовательно, в силу 5.1, получаем, что Нг(ир) — 0 для четных i > О
и Hi(Up) = Up для нечетных i. Аксиома (III) следует теперь из 5.4.
7. Примеры классов, удовлетворяющих аксиомам (Пв) и (III)
Введем сначала новую аксиому:
(IV) Прямая сумма {конечная или бесконечная) любых групп класса &
принадлежит классу &.
Эта аксиома эквивалентна, очевидно, следующей аксиоме:
(IV)' Индуктивный предел любых групп класса & принадлежит классу й.
Предложение 5. Из аксиомы (IV) следуют аксиомы (Пв) и (III).
Из аксиомы (IV) тривиальным образом следует аксиома (Пв)". а потому
и аксиома (Пв)- Докажем, что из нее следует аксиома (III). Пусть Л € б.
Так как группа А является индуктивным пределом своих подгрупп конеч-
конечного типа Аа, то, согласно 5.1, группа Нг(А) будет индуктивным пределом
групп Нг(Аа). Следовательно, в силу (IV)', достаточно доказать, что если А
является группой конечного типа, принадлежащей классу Q., то и группа
Нг(А) принадлежит классу &. Но это утверждение является простым след-
следствием аксиомы (I), так как, согласно 5.2, 5.3 и 5.4, группа Нг(А) изо-
изоморфна для всех г>0 некоторой факторгруппе группы** А\ где / — доста-
достаточно большое число.
Дадим теперь примеры классов.
7.0. Тривиальные группы.
7.1. Периодические группы9.
Аксиома (IV), очевидно, удовлетворяется.
7.2. Периодические группы, р-компоненты которых тривиальны для
данного множества простых чисел р.
Аксиома (IV), очевидно, удовлетворяется.
7.3. Группы А, для которых существует такое целое число КфО, что
Ка = 0 для любого а е А.
* См. также [78]. — Прим. ред.
** Через Ai автор обозначает прямую сумму / экземпляров группы А- — Прим. ред.
* Напомним [27], что абелева группа называется периодической группой, если для
любого х € А существует такое целое число пфО, что пх = 0. Для простого числа
р подгруппа группы А, состоящая из всех элементов х€ А, для которых существует такое
целое число к г* 0, что р*х = 0, называется р-компонентой (нли примарной no p ком-
компонентой). Любая периодическая группа является прямой суммой своих р-компонеит
(при р, пробегающем все простые числа). Группа А называется р-группой (для данного
простого р), если она сводится к своей р-компоненте. Группа А конечного типа
будет р-группой в том и только в том случае, когда она конечна и ее порядок является
степенью числа р.
9» - 5

132 Ж--п. серр
Аксиома (Пв) следует из того, что KB°i^bi) = 2(K(k)<8) bt = 0. Для
доказательства аксиомы (III) достаточнв показать, что Кх — 0 для любого
хе//4(Л), i >0. Поскольку А является индуктивным пределом своих под-
подгрупп конечного типа, достаточно рассмотреть случай группы конечного
типа, а для этого случая наше утверждение следует из сказанного в конце
доказательства предложения 5.
Замечание. Класс 7.3 не удовлетворяет аксиоме (IV); зто показывает,
что аксиома (IV) не следует из аксиом (I), (Пв) и (III). Заметим, что можно
найти все классы, удовлетворяющие аксиоме (IV). За исключением класса,
образованного всеми группами, аксиоме (IV) удовлетворяют только классы
типа 7.2 (класс 7.1 соответствует пустому множеству простых чисел, а класс
7.0 соответствует множеству всех простых чисел).
Глава II
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Относительные расслоенные пространства
Пусть (?, р, В) — расслоенное пространство в смысле [I], (другими
словами, проекция р: Е -*¦ В удовлетворяет для полиэдров теореме о
накрывающей гомотопии), В' — подпространство пространства В и
Е' = р~х (В'). Мы будем называть пару (?, Е') относительным расслоенным
пространством с базой (В, В') и тем же слоем F, что и у Е.
Свойства относительных расслоенных пространств вполне аналогичны
свойствам абсолютных расслоенных пространств. Например, если В' Ф 0,
то справедливо
Предложение 1. Для всех i э= 0 отображение р определяет изоморфное
отображение группы щ{Е, Е') на группу щ{В, В').
Пусть be В' и F — р~г (Ь). Рассмотрим коммутативную диаграмму
щ{Е',Р) -* щ(Е,П -* *|(Е,Е0 -> Ъ-АЕ', П -* ^i-i(E,F)
I I I 1 1
щ{В\ Ь) -> щ{В, Ь) -> щ(В, В') -> я^В', Ь) -> щ.^В, Ь)
Обе строки диаграммы являются точными последовательностями, а
4 „вертикальных" крайних гомоморфизма являются, как мы знаем, изо-
изоморфизмами. Из леммы о пяти гомоморфизмах следует тогда, что средний
вертикальный гомоморфизм также является изоморфизмом.
2. Спектральная последовательность гомологии относительного
расслоенного пространства
Сохраним обозначения предыдущего пункта. Кроме того, предположим,
что В, В' и F линейно связны и что В' Ф 0 (случай В' = 0 разобран в [ I],
гл. II). Выберем точки be В' и хе?' так, чтобы р(х) = Ь. Будем рассматривать
только такие сингулярные кубы, вершины которых находятся в точке х (или Ь).
Ввиду предположенной выше линейной связности базы и слоя зто ограни-
ограничение не влияет на группы гомологии.
Пусть С(?) и С(?') — сингулярные кубические комплексы пространств
Е и ?' соответственно. Группы гомологии факторкомплекса С(?)/С(?') суть,
по определению, группы гомологии пары (Е, ?'). Фильтрация в комплексе
С(?), определенная в [I], гл. II, п. 4, порождает некоторые фильтрации в

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 133
комплексах С(?') и С(?)/С(?'). Эти фильтрации определяют три спектральные
последовательности, которые мы будем обозначать через ??>в, '??>9 и "?{?•«
(г = 0,1,..., ©о). Первые две спектральные последовательности отнесены со-
соответственно к расслоенным пространствам ? и ?'; третью последователь-
последовательность мы будем называть последовательностью, отнесенной к относитель-
относительному расслоенному пространству (?, ?').
Положим, как обычно, Е? = ? ??-9, '?? = 2 'Е?'й и "Е? = 2 "Е?Л
9 9 9
и рассмотрим диаграмму
1 ~~ i "^ f ~* Т ~^ !
0 —> СР(В') ® C(F) —> СР(В) ® C(F) —> Ср(В, В') ® C(F) —> 0
Очевидно, что строки этой диаграммы являются точными последова-
последовательностями; гомоморфизм <р : ??-> СР(В) 0 C(F) определен в [I], гл. II,
п. 4, другие вертикальные гомоморфизмы порождены гомоморфизмом q>.
Переходя к группам гомологии, получаем диаграмму
0 ^ 'Е\ > ?? > "?? > 0
I -I -I -I I
0 —> Ср(В') ® Я(?) —у СР(В) ® Я(?) —>- СР(В, В') ® H(F) —>¦ 0
Вертикальные гомоморфизмы этой диаграммы являются изоморфизмами,
так как в первой диаграмме отображения <р, <р' и <р" были гомотопическими
эквивалентностями (см. [I], гл. П> п. 5).
Так как горизонтальные гомоморфизмы сохраняют фильтрацию, то
они перестановочны с дифференциалом йг. На группе Е\ f« CP(B) (g) H(F)
дифференциал йг был описан в [I], гл. II, п. 6. Из этого описания следует,
что изоморфизм q>" преобразует дифференциал d\ в естественный дифферен-
дифференциал группы цепей CJB, В') пары (В, В') над локальным семейством, со-
состоящим из групп Н(Р). Отсюда, ввиду того, что ?g = Я(?х), получаем
Предложение 2. Пусть (?, ?') — относительное расслоенное простран-
пространство с базой (В, В') и слоем F, причем В, В' и F линейно связны. Тогда член
"?f>9 спектральной последовательности гомологии, отнесенной к простран-
пространству (?, ?'), естественно изоморфен р-мерной группе сингулярных гомологии
НР(В, В'; Hq(F)) пары (В, В') над локальным семейством, образованном
группами Hq{F) на В.
(Если вместо группы С(?)/С(?') профильтровать группу С(?)/С(?') ® G,
где G — произвольная группа коэффициентов, то получим изоморфизм
"??•« ^ НР(В, В'; Hq(F, G)) (ср; [I], гл. II, теорема 2).
Из предыдущего предложения следует, что спектральная последова-
последовательность, отнесенная к относительному расслоенному пространству (?, ?'),
имеет все формальные свойства спектральной последовательности абсолют-
абсолютного расслоенного пространства. Ее член ?<„ является градуированной
группой, присоединенной к группе ЩЕ, ?') с фильтрацией. Кроме того, рас-
рассматривая гомоморфизм р* : Нг(Е, ?') ->¦ Нг(В, В'), получаем, как и в
случае абсолютного расслоенного пространства, что Кег р* обладает нор-
нормальным рядом, последовательными факторами которого являются группы
"??;" (т + л = i, п> 0). Далее, 1т р* = "&? С Нг(В, В') является
пересечением ядер дифференциалов d"r : "Е\Л ->¦ "Е\гг> г~1, г г» 2. В
частности, Coker p* обладает нормальным рядом, последовательные факторы
которого изоморфны подгруппам групп "?jrr> г~1 (г = 2, 3, ..., i).

134 Ж. п. серр
(Так же как в [I], эти свойства являются простыми следствиями пред-
предложения 2 и общей теории спектральных последовательностей, развитой в
[I], гл. I.)
Отметим, однако, одно отличие от случая абсолютного расслоенного
пространства: ??•' = 0 для г>2и всех 0э= 0, так как Н^В, В') =0, потому
что В'Ф%.
3. Спектральная последовательность когомологий относительного
расслоенного пространства
Мы не будем излагать результаты, которые являются простым пере-
переложением результатов п. 2, и ограничимся только описанием свойств произ-
произведения Колмогорова—Александера.
Известно, что произведение Колмогорова — Александера элементов
/еС"(Е, Е') и gzC1^) является элементом /•geC'+'^E, Е'), причем имеет
место обычная формула дифференцирования
Кроме того, ясно, что произведение Колмогорова — Александера согла-
согласовано с фильтрациями и определяет, следовательно, билинейные отображе-
отображения
"Ep'q X Ep>>q' -*¦ "Ev+V''9+9'
удовлетворяющие формуле
йГг{х • у) - (d"x) • у + (-!)«•+«х • (dry),
где х • у — образ пары (х, у).
Для г = 2 произведение х • у получается из произведения Колмогоро-
Колмогорова — Александера элементов хеНр(В, В'; H%F)) и уеНр\В, #9'(F)) после
умножения его на (— 1)р'9. Этот факт доказывается так же, как и теорема
3 в [I], гл. II.
4. Основные теоремы
Сохраним предположения и обозначения, введенные в предыдущих
пунктах. Таким образом, л^В) = л^В') = n^F) = 0 и В' Ф 0. Кроме
того, предположим, что локальное семейство над В, образованное группами
#i(F), тривиально для всех i. Из этого предположения, предложения 2 и
формулы универсальных коэффициентов следует, что
"?}?¦«« НР(В, В') 0Hq(F) + Н^(В, В') * Hq(F). D.1)
Теорема 1.А. Пусть & — произвольный класс абелевых групп, удовлет-
удовлетворяющий аксиоме (П^). Предположим, что Н^В, В') = 0, Ht(B, В')её
для 0 «? i < р и Hj(F) 6 & для 0 < / < q (p u q — данные целые числа).
Тогда проекция р* : Ht(E, E')-> Н-^В, В') является ^.-мономорфизмом для
г «г г и й-эпиморфизмом для i «г г -f 1, где г — min (p, q + 1).
Теорема 1. В. Пусть й — произвольный класс абелевых групп, удовлет-
удовлетворяющий аксиоме (Пв). Предположим, что ЩВ, В') eg для 0 *s г < р
и Hj(F) е & для 0</<9 (рц q — данные целые числа). Тогда проекция
р* : Нг(Е, Е')-> Hi(B, В') является й-мономорфизмом для i^r и ё-эпимор-
физмом для i «г г + 1, где г = р -\- q — 1.
Будем доказывать обе теоремы одновременно.
(а) Согласно сказанному в п. 2, для доказательства включения Ker p* e &
при i «s г достаточно показать, что "?^n e & при т + п^г ип>0, и тем
более достаточно показать, что "Е^>п е & при т + п^г ип>0.
В условиях теоремы 1.А г — min {р, q + 1), а так как m + п "^ г, то

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 135
или т = 0, 1 и тогда Нт(В, В') = Hm_j(B, В') = О, или 1 < т < р
и тогда 0 < п < q, так что Нт(В, В') е б, Нт_х(В, В') е б, Hn(F) e ё.
В обоих случаях из формулы D.1) и аксиомы (ПА) следует, что "Е?'п e 6.
В условиях теоремы 1.В г — р + q—1 и, следовательно, или т<.р
и поэтому Нт(В, В') е б, Ят_! (В, В') е ё, или 0 < п < ? и поэтому //n(F)e б.
В обоих случаях из формулы D.1) и аксиомы (Пв) следует, что "E^>ne б.
(b) Согласно сказанному в п. 2, Coker р* обладает нормальным рядом,
факторы которого изоморфны подгруппам групп "??"*• s~1 (s = 2, 3,... , i).
Следовательно, достаточно доказать, что "Ej~8> e~1 e б, когда 2=ss^i и
i =ss г + 1, но это уже было доказано в (а). Тем самым теорема доказана.
Замечание. В случае когда б является классом тривиальных групп,
а В' состоит из одной точки, доказанные теоремы сводятся к известному
результату (ср. [I], стр. 59, 60):
Если Hi(F) = 0 для 0 < i < q и Я4(В) ==0 для 0 < f < p, то проек-
проекция р* : Ht(E, F) -*• Hi(B) является мономорфизмом для 0 ^ i < р + ? — 1
ц эпиморфизмом для 0 < i «s /? + Я-
5. Приложения
В этом пункте Е обозначает расслоенное пространство с базой В и слоем
F; В и F предполагаются линейно связными, а В — односвязным.
Предложение 3. А. Пусть §. — произвольный класс, удовлетворяющий
аксиоме (ИА). Предположим, что Я4(?) б & для всех i>0u Я(В)б
для 0 < i < р. Тогда HX(F) е & для 0 < i < р — 1, а группа
ё-изоморфна группе HJB).
Предложение З.В. Пусть &—произвольный класс, удовлетворяющий
аксиоме A1В). Предположим, что выполнены все условия предыдущего предло-
предложения. Тогда группа Ht(F) ё-изоморфна группе Hi+1(B) для 0 < i <
<2р — 2.
Оба предложения доказываются индукцией по р. Случай р = 1 три-
тривиален. По предположению индукции, H4(F) е ё для 0 < i < р — 2, а группа
Hp_js(F) ^-изоморфна группе Н^^В) и, следовательно, также при-
принадлежит ё. Применяя теперь теорему 1.А (соответственно теорему 1.В)
к случаю, когда q = р — 1 и В' состоит из одной точки, получаем, что группа
Hi(E, F) б-изоморфна группе Я4(В) для i = р (соответственно для
0 < i «s 2 р — 2). Из точности последовательности гомологии пары (Е, F}
и из условий, наложенных на ?, следует теперь, что при i > 1 группа H{_i(F)
g-изоморфна группе Я4(?, F). Тем самым оба предложения доказаны.
Введем теперь еще одно определение.
Пространство X называется ё-ацикличным*, если Я4(Х) е ё для всех
i>0.
Предложение 4.А. Пусть ё — некоторый класс, удовлетворяющий
аксиоме A\А). Если из трех пространств Е, В, F два ё-ацикличны, то и
третье пространство также ё-ациклично.
Пусть g-ацикличны пространства В и F. Тогда из формулы универ-
универсальных коэффициентов следует, что Etf е ё для i + / > 0, откуда ?j^ e б.
Таким образом, градуированная группа, присоединенная к группе Нп(Е),
принадлежит классу ё для всех п > 0. Следовательно, группа Нп(Е) также
принадлежит классу ё.
Если б-ацикличны пространства ? и В, то для доказательства б-ацик-
личности слоя F достаточно применить предложение З.А при р = <=°.
Пусть б-ацикличны пространства ? и F. Покажем индукцией по п,
что Нп(В) е б. Случай п — 1 тривиален. В случае п > 1 из предложения
4 Заметим, что аксиома (Па) эквивалентна следующему утверждению: прямое
произведение двух связных g-ацикличных пространств g-ациклично.

136 Ж.-П. СЕРР
З.А и предположения индукции следует, что группа /fr^1(F) ^-изоморфна
группе Нп(В), а так как #n_i(F) € б, то и #„(В) 6 й.
Замечание. В случае когда й является классом групп конечного типа
(см. гл. 1,6.1), мы получаем предложение 1 гл. III статьи [I] при дополнитель-
дополнительном условии яг(В) = 0. Это дополнительное условие послужило лишь для
упрощения доказательства. В действительности предложение 4.А легко
доказать при единственном условии, что локальное семейство на В, образо-
образованное группами Hi(F), тривиально для всех L Это уточнение предостав-
предоставляется читателю.
Предложение 5. В. Пусть &—произвольный, класс, удовлетворяющий
аксиоме (Ив)- Предположим, что Нг(В)€ё для всех i > 0. Тогда для всех
i ss о гомоморфизм H^F) -*• Нг(Е) является ^-изоморфизмом.
Достаточно показать, что Н{(Е, F) е & для всех i г» 0. Это следует из
теоремы 1. В при В', состоящем из одной точки, р — <» и q — 1.
Предложение 6. В. Пусть й — произвольный класс, удовлетворяющий
аксиоме (Ив)- Предположим, что /f4(FN & для всех i > 0. Тогда для всех
i S* 0 гомоморфизм Н^Е) -> #{(В) является ^-изоморфизмом.
Достаточно показать, что гомоморфизм Н^Е, F) -*¦ Н^В, В') явля-
является б-изоморфизмом при В', состоящем из одной точки. Но зто следует
из теоремы 1.В при р — \ и q = е».
Замечания. 1. Предложение 5. В есть „теорема Фельдбау по модулю
&", а предложение 6.В — „теорема Виеториса по модулю &".
2. Предложения 5. В и 6. В перестают быть справедливыми в том случае,
когда класс & удовлетворяет только аксиоме (ПА); чтобы зто обнаружить,
достаточно рассмотреть прямое произведение ? — В х F.
6. Пространства петель и группы Эйленберга—Маклейна
Пусть X — пространство, для которого я^Х) = яг(Х) — 0 и Q —
его пространство петель. Известно (см. [ I], гл. IV), что существует стягиваемое
расслоенное пространство со слоем Q и базой X. К этому пространству
применимы результаты предыдущего пункта. В частности, справедливо
Предложение 7. А. Пусть & — произвольный класс, удовлетворяющий
аксиоме (ПА). Тогда равносильны следующие два свойства:
(a) Пространство X ё-ациклично.
(b) Пространство Q й-аииклично.
ПустьП — произвольнаяабелева группа, ап& 1 — целое число. Будем
обозначать через Н^П; п) группы гомологии комплекса К(П, п) Эйленбер-
Эйленберга — Маклейна (определение этого.комплекса см. в [89]). Группы НХ(П,\)
суть не что иное, как группы гомологии группы П, свойства которых мы
напоминали в п. 5 гл. I.
Известно (см. [I], стр. 93), что для любой пары (Я, п) существует такое
пространство X, что щ(Х) = 0 при i\ф п и лп(Х) = П. Это пространство
называется пространством К(П, п); название оправдывается тем, что
Нг(К (П, n)) = Hi(n, n) для Всех i (см. [89]).
Предложение 8. Пусть й — произвольный класс, удовлетворяющий
аксиомам (\\А) и (III). Если Пеё, то Нг(П, п) е & для i^lunssl.
(Другими словами, если П 6 &, то пространство К(П, п) б-ациклично.)
Случай п = 1 есть не что иное, как аксиома (III). Рассуждая, по индук-
индукции, предположим, что п>2 и что предложение справедливо для п— 1.
Пусть X — некоторое пространство К(П, п). Так как пространство Q
петель пространства X является пространством К(П, п — 1), то, по пред-
предположению индукции, Нг(И) 6 & для всех i > 0. Поэтому (предложение
7.А) Нг(Х) е & для всех i > 0.
Замечание. Это предложение было известно для классов6.1,6.3,6.4
гл. I (см. [I], гл. VI).

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 137
Глава III
ТЕОРЕМЫ ГУРЕВИЧА И ДЖ. Г. К. УАЙТХЕДА
1. Теорема Гуревича
Теорема 1. Пусть ё—произвольный класс, удовлетворяющий аксиомам
Нл) и (III), а X — такое пространство, что щ?Х) = ^(Х) = 0 и щ(Х) е ё
i < п, где п — данное целое число. Тогда Я»(Х) е ё для 0 < i < n и
гомоморфизм лп(Х) -> Нп(Х) является ё-изоморфизмом.
Когда & является классом тривиальных групп, эта теорема переходит
в классическую теорему Гуревича.
Мы дадим два доказательства теоремы. Первое доказательство будет
проведено методом, введенным в [I], гл. V, второе — методом, введенным
в [65].
Первое доказательство. (Это доказательство проходит только
тогда, когда X является пространством типа (ULC) в смысле [I], стр. 83.)
Будем доказывать теорему индукцией по п. Случай п = 1 тривиален.
Из предположения индукции следует, что Ht(X) е & для 0 < i < n, так
что остается изучить гомоморфизм лп(Х) -> Нп(Х).
Пусть Q — пространство петель пространства X, Т — универсальное
накрывающее пространство пространства Q (оно существует, так как
X — пространство типа (ULC)). Тогда ло(Т) = л^Т) — О и щ{Т) = лг+1(Х)
для i э= 2. Применяя предположение индукции к пространству Т, полу-
получаем, что Нг(Т) е ё для 0 < i < п — 1 и что гомоморфизм ^n-1(T) -> Wn_i(T)
является 6-изоморфизмом.
- Рассмотрим теперь накрытие Т -> Q и построим его спектральную
последовательность Картана — Лерэ5. Член ?f>9 этой последовательности
изоморфен группе Н^п^ {Q), Hq(T)), а ее предельная группа ?те является
градуированной группой, присоединенной к группе H{Q) с фильтрацией.
Пусть П = n-^Q) = л^Х). Согласно предположению, П е ё, так что
в силу аксиомы (III) Hi(Q)€e. С другой стороны, группа П тривиально
действует на группах #4(Т)([1], стр. 72), что позволяет применить к группе
Н^П, Hq (T)) формулу универсальных коэффициентов, согласно которой
Нр(П, Hq(T)) « НР(П) ® Hq(T) + НР^(П) * Hq(T).
Согласно аксиоме (ПА), из этой формулы следует, что ?|>9еб для
pssO, 0<q <n — 1 и для q = 0, р > 0. Следовательно, ?f>9 e ё для
0< р + q < п — 1 и для р + q = n — 1, р>0. Таким образом, в пол-
полной размерности п — 1 единственным членом, который, быть может, не при-
принадлежит классу ё, является группа Eg-" я« Н0(П, ЯП_!(Г)) = Н^Т).
Ясно, что никакой отличный от нуля элемент этой группы не является
границей относительно дифференциалов dr. Кроме того, дифферен-
дифференциалы dr отображают группу Eg1" в группы, принадлежащие классу ё.
Следовательно, гомоморфизм НП^{Т) -> Нп-г(п) является б-изоморфизмом.
Аналогично получается, что Нг(п)её для 0<i<n—1. Наконец, из
того обстоятельства, что отображение щ(Т) -*¦ n^Q) является изоморфизмом
8 Эта последовательность вкратце изучена в [68]. Читатель может познакомиться
с этой последовательностью также по статье Хохшнльда и автора [136], где установлены
свойства двойственной спектральной последовательности когомологий. Впрочем,
спектральную последовательность Картаиа—Лерэ можно получить методом статьи
[65], рассмотрев расслоенное пространство Q' со слоем Т, базой K(n-i(Q),\) и имеющее
тот же гомотопический тип, что и пространство Q. Смотри также [IV], где последователь-
последовательность Картаиа—Лерэ обобщена на любые главные расслоенные пространства, облада-
обладающие, вообще говоря, недискретной стр.уктуриой группой*.
* См. также примечание 11 на стр. 107. — Прим. ред.

138 Ж.-п. серр
для i г» 2 и g-изоморфизмом для i — 1, следует g-изоморфность отобра-
отображения :*n-i(?) -* Hn_t(Q).
Пусть теперь ? — расслоенное пространство путей пространства X с
фиксированным началом х е X. Пара (Е, Q) является тогда относитель-
относительным расслоенным пространством со слоем Q и базой (X, х). Применяя к
нему теорему 1.А при р=п, q = n— 1, получим, что отображение Нп(Е, Q) ->
-> Нп(Х) 'является g-изоморфизмом. Рассмотрим следующую коммутатив-
коммутативную диаграмму:
^n-i(G) - яп(Е, Q) - пп(Х)
I II-
Hn_l(Q)+-Hn(E,Q)-+Hn(X)
В этой диаграмме все горизонтальные стрелки обозначают g-изомор-
физмы. Кроме того, нам известно, что гомоморфизм nn_x{Q) -> Нп-1ф)
также является б-изоморфизмом. Следовательно, остальные вертикаль-
вертикальные стрелки, в частности пп{Х) -»• Нп(Х), обозначают также б-изомор-
физмы. Тем самым теорема доказана.
2. Теорема Гуревича. Второе доказательство
Напомним сначала метод вычисления гомотопических групп, предло-
предложенный Картаном и автором [65] и, независимо, Дж. Уайтхедом в.
Любому пространству X сопоставляется последовательность пространств
(X, п) (п = 1, 2, ..., (X, 1) = X) и непрерывных отображений /п: (X, п + 1) ->
-> (X, п), удовлетворяющих следующим условиям:
(I) Тройка (X, п + 1), /П,(Х, п) является расслоенным пространством,
слоем которого служит пространство К(яп(Х), п — 1).
(II) Существует расслоенное пространство Хп со слоем (X, п + 1) и
базой /<(лгп (X), п), имеющее тот же гомотопический тип, что и пространство
(X, п).
Кроме того, щ(Х, п) — 0 для г<п и отображение U°h°- • -°/n-i
определяет для i з= п изоморфное отображение группы щ{Х, п) на группу
)
(Пространство (X, п) определяется индукцией по п. Погружая уже
построенное пространство (X, п) в пространство /<(я:п(Х), п), полученное
из пространства (X, п) присоединением к нему некоторых клеток, опреде-
определяют пространство (X, п + 1) как пространство путей в K(vtn (X), n) с фик-
фиксированным началом и концами, принадлежащими пространству(Х, п). Прост-
Пространство Х„ определяется как пространство таких путей в К{пп (X), п),
начала которых произвольны, а концы принадлежат пространству (X, л).
Расслоения (I) и (II) являются стандартными расслоениями пространств
путей*.)
Из гомотопических свойств пространства (X, п) и классической теоремы
Гуревича (которую мы предполагаем известной) следует, что
Таким образом, гомотопические группы пространства X изоморфны
группам гомологии пространств (X, п), что позволяет использовать прост-
пространства (X, п) для вычисления групп лп(Х).
После этих предварительных замечаний вернемся к доказательству
теоремы 1. Это доказательство, так же как и первое, проводится индукцией
по п и сводится к доказательству того, что отображение пп(Х) -»¦ Нп(Х)
6 См. [1631.
* См. примечание 2 в конце статьи. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 139
есть б-изоморфизм. Рассмотрим введенные выше пространства (X, /). Так
как ^(Х) = 0, то можно положить, что (X, 2) = X. Кроме того, я{(Х, /) е &
для i < п, так что Ht(X, /) e & для 0 < i < п. Докажем лемму.
Лемма 1. Для j<n проекция (Д)*: Ht(X, /+ 1) -* Нг(Х, /) является
ё-мономорфизмом при i =s n и ^-эпиморфизмом при i^n-f I.7
Применим теорему 1.А гл. II при р = п, q = °© к пространствам Е =
= (X, / +1), F = К(щ (X), / — 1), В = (X, /) и к пространству В',
состоящему из одной точки. Условия этой теоремы выполнены потому, что
я}(Х)её при /<п и, следовательно (гл. II, предложение 8), //4(F) e ё
для всех i > 0. Таким образом, гомоморфизм Н{{Е, F) -»¦ Я{(В, В') является
g-мономорфизмом для i =s= п и g-эпиморфизмом для !«л+ 1. Это дока-
доказывает лемму, потому что из точности последовательности гомологии пары
(Е, F) следует, что для всех i > 0 гомоморфизм Ht(E) -»¦ Я{(?, F) является
^-изоморфизмом.
Рассмотрим теперь следующую коммутативную диаграмму:
nn(X,n)-+Hn(X,n)
I
лп(Х)—+
В этой диаграмме гомоморфизмы пп(Х, п) -> ЯП(Х, п) и я;п(Х, п) ->
-> я;п(Х) являются изоморфизмами, а гомоморфизм ЯП(Х, п) -> Нп(Х),
согласно предыдущей лемме, — g-изоморфизмом. Следовательно, гомомор-
гомоморфизм vin(X) -> Нп(Х) также является g-гизоморфизмом. Теорема доказана.
Следствие 1. Если п^Х) = ^(Х) = 0 и Нг(Х)?ёдля0< i< n, то
щ(Х)eg для г < п.
Для класса конечных групп и класса групп конечного типа этот резуль-
результат доказан в [I], гл. V, при дополнительном предположении, что X является
пространством типа (ULC). Для класса конечных групп, порядки которых
взаимно просты с данным простым числом р, полученная здесь теорема
существенно точнее результата, доказанного в [I], стр. 85, и утверждаю-
утверждающего только то, что гомоморфизм nn(X)<g)Zp^Hn(X)<g)Zp является изо-
изоморфизмом, если ЯП(Х)—группа конечного типа.
Отметим интересный частный случай следствия 1.
Следствие 2. Связное односвязное й-ацикличное пространство X ©-асфе-
©-асферично, т. е. ^i(X) e & для всех i.
З 1 С
, i()
Замечания. 1. Согласно лемме 1, гомоморфизм Нп+1(Х, п)->- ЯП+1(Х)
является g-эпиморфизмом. С другой стороны, известно, что при п з= 2
(случай п = 1 тривиален) НЛ+1(П; п) = 0 для любой группы П. Отсюда
легко следует, что гомоморфизм лп+1 (X, п) -* Нп+1 (X, п) является
эпиморфизмом (см., например, [161]*). Сопоставляя эти два утверждения,
получаем, что
Гомоморфизм я:п+1(Х) -> ЯП+1(Х) является &-эпиморфизмом.
2. Можно было бы думать, что теорема 1 остается справедливой и для
неодносвязных пространств X с абелевой группой я^Х), принадлежащей
классу &. Однако это не так, как показывает пример класса групп конеч-
конечного типа. Тем не менее, если пространство X обладает универсальным
накрывающим пространством X, а группа я^Х) абелева, принадлежит
классу g и тривиально действует на группах Я4(Х) (так будет, например,
7 Если класс & удовлетворяет аксиоме (Ив), то проекция (/,)„: H{(Xt / + 1) -> Hi(XJ)
есть g-изоморфизм для / < п, ia= 0**.
* См. также работу Л. С. Понтрягина [114]. — Прим. ред.
** Для доказательства достаточно вместо теоремы 1.А воспользоваться теоремой
1.В. — Прим. ред.

140 Ж.-П. СЕРР
тогда, когда X есть /f-пространство в смысле [I], гл. IV), то теорема 1 остае-
остается справедливой для пространства X. Для доказательства нужно сначала
применить теорему 1 к пространству X, а затем рассмотреть спектральную
последовательность Картана — Лерэ накрытия X -> X аналогично тому,
как это было сделано при доказательстве в п. 1.
3. Как уже было замечено, второе доказательство использует класси-
классическую теорему Гуревича. Напротив, в первом доказательстве эта теорема
не используется и, следовательно, заново доказывается. В условиях класси-
классической теоремы Гуревича доказательство упрощается, потому что в этом
случае Т = Q. В частности, не нужно предполагать, что пространство X
является пространством типа (ULC). Заметим, что так получающееся дока-
доказательство теоремы Гуревича имеет перед классическими доказательствами
то техническое преимущество, что оно не использует никаких „аддиционных
лемм"; достаточно знать тот элементарный факт, что прокоммутированная
группа я^Х) изоморфна группе Н^Х)
3. Теорема Гуревича для относительных групп
Теорема 2. Пусть & — произвольный класс, удовлетворяющий аксиомам
(Пв) и (III), а А и В — такие линейно связные и односвязные пространства,
что Ас В. Предположим, что естественный гомоморфизм щ(А) -> щ(В)
является эпиморфизмом. Тогда, если щ(В, А) её для i < п, где п — данное
целое число, то Нг(В, А) её для 0 < i < n и гомоморфизм яп(В, А)-*-
-*¦ Нп(В, А) является ё-изоморфизмом.
Будем предполагать, что А Ф 0, так как случай А = 0 разобран в
теореме 1. Доказательство проведем индукцией по п, учитывая, что случай
п — 1 тривиален. Как и в предыдущей теореме, достаточно доказать, что
гомоморфизм лп(В, Л)-> Нп(В, А) является ё-изоморфизмом.
Пусть b — произвольная точка пространства В, Т — пространство
путей пространства В, начала которых совпадают с точкой Ъ, а концы произ-
произвольны, У — подпространство пространства Т, состоящее из путей, концы
которых принадлежат А. Проекция р:Т-+ В, которая каждому пути
относит его конец, определяет пару (Г, У) как относительное расслоенное
пространство с базой (В, А) и слоем QB, являющимся пространством петель
пространства В. Согласно предложению 1 гл. II, для всех i имеет место
изоморфизм щ(Т, Y) & щ(В, А). Так как пространство Т стягиваемо по
себе в точку, то отсюда следует, что щ{В, A) f*s щ-^(У)\ впрочем, это
очевидно и непосредственно. Из точности последовательности
п^А) -> п?В) -> л^В, А) -> щ(А) -> пг(В, А) -> 0 .
и условия теоремы следует, что пг(В, А) — п?В, А) = 0, откуда л^У) =
= пх(у)~ 0. Поскольку Я{(У)бёдля i < п— 1, то к пространству У при-
применима теорема 1. Следовательно, гомоморфизм лп^(У) -> H^jfY)
является g-изоморфизмом.
С другой стороны, относительное расслоенное пространство (Г, Y) удов-
удовлетворяет условиям теоремы 1.Вгл. Иср=ли?=1 (слой QB связен,
так как пространство В односвязно). Таким образом, гомоморфизм
Нп(Т, Y) -*¦ Нп(В, А) является g-изоморфизмом. Рассмотрим теперь сле-
следующую коммутативную диаграмму:
Яп-М-ЯпУМ+^В, А)
III
В этой диаграмме все горизонтальные стрелки изображают ё-изоморфизмы;

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 141
кроме того, как только что было доказано, гомоморфизм nn^{Y) —> Нп_г (Y)
является б-изоморфизмом. Следовательно, остальные вертикальные стрелки,
в частности лп(В, А) -> Нп(В, А), являются g-изоморфизмами. Теорема
доказана.
Следствие. Если Н{(В, Л)еб для 0<j<n, то л^В, A)eg для i<n.
Замечания. 1. Теорема 2 неверна, если класс & удовлетворяет только
аксиоме A1А)8. Это различие между условиями теорем 1 и 2 не имеет однако
существенного практического значения, потому что в приложениях этих
теорем все рассматриваемые гомотопические и гомологические группы
имеют, как правило, конечный тип. С другой стороны, рассмотрим класс
Ф групп, подгруппы конечного типа которых принадлежат данному классу &.
Ясно, что Ф удовлетворяет аксиоме (IV) гл. I и, следовательно, аксиомам
(Пв) и (III). Поэтому для класса Ф справедлива теорема 2. Кроме того,
ф п (ji = gp|<^, где (JI — класс групп конечного типа. Отсюда следует, что
теорема 2 справедлива без всяких ограничений на класс ё, если только для
всех i группы Нг(А) и Нг{В) имеют конечный тип. Разумеется, что зто заме-
замечание относится и к теореме 1.
2. Согласно замечанию 1 п. 2, гомоморфизм nJY) -> Hn(Y) является
б-эпиморфизмом. По теореме 1.В гл. II, отображение Нп+1(Т, Y) -> Нп+1(В, А)
также является g-зпиморфизмом. Сопоставляя эти два утверждения,
получаем:
Гомоморфизм лп+1(В, А) -> Нп+1(В, А) есть ^.-эпиморфизм.
3. Для того чтобы упростить доказательство, мы наложили в теореме 2
на пространства А и В довольно сильные ограничения. Как мы далее
увидим, эти требования выполнены в наиболее интересных случаях. Тем не
менее, было бы не бесполезно избавиться от предположения, что отображе-
отображение л2(А) -»¦ л2(В) является эпиморфизмом. Этого можно добиться, если
предположить, что пространство У обладает универсальным накрывающим
пространством У и применить соображения, изложенные в замечании 2 п. 2.
Эти соображения применимы, потому что, как можно показать, группа лг(У)
тривиально действует на группах гомологии пространств У и У (нужно с
помощью умножения петель определить непрерывное отображение
QB х У -> У и рассуждать далее, как в [ I], гл. IV, п. 3). Впрочем, мы
этим обобщением пользоваться не будем.
4. Теорема Дж. Г. К. Уайтхеда
Теорема 3. Пусть й—произвольный класс, удовлетворяющий аксиомам
и (III). Пусть А и В—линейно связные односвязные пространства и
->¦ В — t непрерывное отображение, порождающее эпиморфное отобра-
отображение щ(А)'-*лг(В). Пусть, наконец, п — целое число, большее нуля.
Тогда равносильны следующие два свойства:
(a) Отображение /* : Я{(А) -> Н^В) является ^.-мономорфизмом для
i < п и ^.-эпиморфизмом для i «s п.
(b) Отображение /0 : щ( А) -> лг(В) является ^.-мономорфизмом для i < п
и ^.-эпиморфизмом для i =s n.
(В случае когда & является классом тривиальных групп, эта теорема
сводится к несколько видоизмененной теореме Дж. Г. К. Уайтхеда [158];
заметим, что наше доказательство в точности следует доказательству Уайт-
Уайтхеда.)
8 Для доказательства достаточно взять В = X х Y, А = X X {у} (у е У), где
пространство Y ациклично, а пространство X выбрано надлежащим образом. Более
того, можно показать, что теорема 2 (соответственно теорема 1) верна для данного класса
й тогда и только тогда, когда ои удовлетворяет аксиомам A1в) и (III) (соответственно
аксиомам (Па) и (III)).

142 Ж.-П. cepp
Введем „цилиндр отображения" Bf отображения / (определение этого
понятия см., например, в [158]*). Известно, что пространства Аи В естествен-
естественным образом вложены в Bf, причем В является деформационным ретрактом
цилиндра Bf. Кроме того, отображение / можно представить в виде компо-
композиции двух отображений:
из которых первое является вложением, а второе—естественной ретракцией.
Гомологические (соответственно гомотопические) группы пространств
Bf и В изоморфны, так что свойства (а) и (Ь) равносильны следующим:
(а)' Отображение Нг(А) -> Н^ВГ) является ё-мономорфизмом для
i < п и ё-эпиморфизмом для i «= п.
(Ь)' Отображение щ(А)-*щ(В}) является ё-мономорфизмом для i<n
и ё-эпиморфизмом для i «s n.
Из точности гомологической и гомотопической последовательностей
пары (Bf, А) следует, что свойства (а)' и (Ь)' в свою очередь эквивалентны
следующим свойствам:
(а)" НЩ, А) её для iг *= п.
(Ь)" я,(В„ А) её для1*? п.
Так как, согласно теореме 2, свойства (а)" и (Ь)" равносильны, то наша
теорема доказана.
5. Об условиях теоремы Дж. Г. К. Уайтхеда
Пусть, как и в предыдущем пункте, Л и В — линейно связные, одно-
связные пространства и /: Л -> В — непрерывное отображение, порожда-
порождающее эпиморфное отображение я2(А)-+щ(В). Предположим, кроме того,
что в любой размерности группы гомологии пространств Л и В являются
группами конечного типа. Тогда, в силу теоремы 1, гомотопические группы
этих пространств также будут группами конечного типа.
Предложение 1. Пусть ё—класс конечных групп, Ф—класс периоди-
периодических групп, к—поле характеристики 0. Тогда равносильны следующие усло-
условия:
A) Отображение /* : Я4(Л)-> Н{(В) является ё-мономорфизмом для
i < п и ё-эпиморфизмом для i *s n.
B) Отображение /* : Я4(Л)-> Ht(B) является Ф-мономорфизмом для
i<na Ф-эпиморфизмом для i «= п.
C) Отображение /* : Нг{ А, к) -* Н{(В, к) является мономорфизмом для
i < п и эпиморфизмом для i *s n.
D) Отображение /* : Н\В, к) -* Н1(А, к) является эпиморфизмом для
i < п и мономорфизмом для i «s п.
Пусть (JI — класс групп конечного типа. Так как Ф П (Ъ = &
1) B) Р
J р П Ъ 7
то ясно, что условия A) и B) равносильны. Равносильность условий C)
и D) следует из того, что группа Н\А, к) (соответственно группы Н\В, к))
двойственна векторному (над полем к) пространству Н{(А, к) (соответ-
(соответственно Н{(В, к)). Равносильность условий B) и C) следует из формулы
Я4(Л, к) ра Нг(А) 0 к (тензорное произведение берется над Z).
Примечания. 1. Поскольку классФ удовлетворяет аксиомам A1В) и
(III), можно применить к отображению /: Л ->¦ В теорему Дж. Г. К.
Уайтхеда.
2. Изложенное доказательство показывает, что условия B), C), D)
равносильны даже тогда, когда рассматриваемые группы гомологии не
являются группами конечного типа.
* См. также [117], стр. 13. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 143
Предложение 2. Пусть & — класс конечных групп, порядка которых
взаимно просты с р (р—данное простое число), Ф — класс периодических
групп, р-компоненты которых тривиальны, к — поле характеристики р.
Тогда равносильны следующие условия:
A) Отображение /* : Нг(А) -*¦ Нг(В) является й-мономорфизмом для
i < п и ^.-эпиморфизмом для i <ss n.
B) Отображение /*: Нг(А) -*¦ Нг(В) является Ф-мономорфизмом для
i<n и Ф-эпиморфизмом для i *? п.
C) Отображение /„ :Н{(А,к) -*¦ Ht(B,k) является мономорфизмом
для i <п и эпиморфизмом для / «s п.
D) Отображение /* : Н\В, к) -*¦ И\А, к) является эпиморфизмом для
г <' п и мономорфизмом для i =s п.
Равносильность условий A) и B) и условий C) и D) доказывается так
же, как и в предложении 1. Для доказательства равносильности условий
(\\ и C) рассмотрим цилиндр Bf отображения f:A->B. Условия A) и
C) равносильны соответственно следующим условиям:
A)' Hx(Bt, А) её для i < п.
C)' Нг(В,, А; к) = 0 для i *s n.
Равносильность же условий A)' и C)' следует из формулы
Нг(В„ А; к) ~ Нг(В„ А)®к + Н^В,, А)*к
и из того, что группа Н{(В{, А) является группой конечного типа.
Примечания. 1. Легко доказать предложение 2 и без рассмотрения
цилиндра отображения.
2. Предложения 1 и 2 позволяют во многих интересных случаях заме-
заменить вычисления „по модулю &" вычислениями над некоторым полем.
Глава IV
ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ СФЕР
1. Некоторые эндоморфизмы
Пусть Sn — сфера размерности п. Через q>^n (или просто через <pq) мы
будем обозначать эндоморфизм группы ni(Sn), индуцированный отображением
h : SB -»• Sn степени q ф 0. Этот эндоморфизм можно определить следу-
следующей формулой:
() {i)^Д A.1)
где in — тождественное отображение сферы Sn на себя.
Очевидно, что
Наконец, известно9, что
<Р%п(а) = q(a), когда л = 1, 3, 7 или когда i < 2л — 1. A.3)
» См. [191]*.
* Свойство A.3) немедленно вытекает из формулы A.1) ввиду того, что в указанных
в A.3) случаях имеет место „левый дистрибутивный закон":
Этот закон для i < 2л — 1 следует из предложений 23.8, стр. 148—149, н 21.4, стр. 137,
книги [143], а для л=1,3, 7 из леммы 16.7, стр. 107, той же книги (потому что сферы
S1 и S* являются топологическими группами, а сфера S' топологической, лупой, т. е.
неассоциатнвной группой). — Прим. ред.

144 Ж.-П. СЕРР
Другие свойства эндоморфизмов <pq будут указаны в п. 1 гл. V. В этой
главе мы будем пользоваться только следующим результатом:
Предложение 1. Пусть q — целое число, отличное от нуля, и&—класс
конечных групп, порядки которых являются делителями степеней числа q.
Тогда эндоморфизм <р\'п является ^-автоморфизмом группы тг4(8„).
Для п s» 3 предложение немедленно следует из теоремы Дж. Г. К.
Уайтхеда (гл. III, теорема 3). Эта теорема применима, так как группы гомо-
гомологии сферы Sn имеют конечный тип (см. гл. III, п. 3, замечание 3, а также
гл. III, п. 5). Кроме того, <pq(x) = q<z для п = 1 и <pq(x) = q2x для л = 2,
i э= 3*. Тем самым предложение доказано для всех п.
Следствие. Для любого простого р, не делящего числа q, отобра-
отображение <pq, рассматриваемое на р-компоненте группы щ($„), является авто-
автоморфизмом.
2. Многообразие векторов, касающихся четномерной сферы
Пусть W2n_x — многообразие единичных векторов, касающихся сферы
Sn, где п — четное число. Известно, что единственными нетривиальными
группами гомологии многообразия W2n_x являются группы
= Z, #„-№„_!) = Z2) W2n_1(W2n_1) = Z**.
Мы уже пользовались этим многообразием в [I] для изучения групп
7Ti(Sn). Здесь мы дополним полученные там результаты.
Предложение 2. Пусть & —класс конечных 2-групп. Оказывается, что
существует такое отображение f : S2n_x -»• Wgn_i, что для всех i гомоморфизм
/0 : ?ii(S2n_1) -> ?ii(W2n_1) является ё-изоморфизмом.
Известно, что универсальным накрывающим пространством многообра-
многообразия W3 является сфера Ss. Поэтому для п = 3 предложение верно. Пусть
п з= 4. Согласно теореме Дж. Г. К. Уайтхеда, достаточно найти отобра-
отображение / : S2n_x -»¦ W2n_b для которого гомоморфизм /* : Hqn-i(SSn-i) -»¦
^-/ir2n_1(W2n_1) является 6-изоморфизмом. Для этого достаточно найти в группе
n2n-1(W2n-1) такой элемент, что его образ в группе /ir2n_i(W2n_1) порождает
подгруппу, индекс которой есть степень числа 2. Элемент же, обладающий
этим свойством, существует, согласно теореме Гуревича (гл. III, теорема 1).
Предложение доказано.
Замечание. Пусть g : W2n_x -> San_x — произвольное отображение,
брауэровская степень которого равна 1. Согласно теореме Дж. Г. К. Уайт-
Уайтхеда, гомоморфизм g0 : ^(Wgjj.,) -»• щ($гп-г) Для всех ' также является
6-изоморфизмом.
Следствие. Для простого числа рф1 примарные по р компоненты
групп jri(W2n_1) и ^(S^) изоморфны.
Напомним теперь без доказательства следующий известный результат10.
Лемма 1. Пусть W — расслоенное пространство с базой%пислоемР.
Пусть d : 7Ti(Sn) -»¦ щ_^(Р) — граничный гомоморфизм точной гомотопи-
гомотопической последовательности пространства^'. Положим у = d(/nN 7rn_x(F) и
* Как известно (см., например, [ПО]), любой элемент а 6 jit(S2) имеет вид
у°Р, где /3 6 jii(S3), а у — элемент группы ji3(Sa), инвариант Хопфа которого равен еди-
единице. С другой стороны, легко видеть (непосредственно из определения инварианта Хопфа
как коэффициента зацепления; см. [10]), что (<7i2)°>'= <?V- Поэтому
— Прим. ред.
** См. стр. 91 этого сборника. — Прим. ред.
10 См. [194].

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 145
обозначим через Е надстройку в смысле Фрейденталя. Тогда в группе
для всех а б ^(S,^) имеем dE(x) = у°х.
Применим эту лемму к пространству Wg,,^, расслоенному на слои
F = Sn_! с базой Sn. Класс у здесь равен*" 2in_x 6 л^Ь^). Следова-
Следовательно, используя обозначения п. 1, имеем, согласно лемме, dE = срг.
Но мы знаем (предложение 1), что для класса <§ конечных 2-групп отобра-
отображение 9?2 является (^-автоморфизмом группы щ~\ (Sn_x). Применяя к точной
последовательности
предложение 2 гл. I, получаем
Предложение 3. Пусть & — класс конечных 2-групп, an — четное
число. Пусть к : л1^2п-1) + ^-^„-х) -^(S,,) — гомоморфизм, который на
первом прямом слагаемом совпадает с проекцией ?ii(W2n_1) -»¦ 7ii(Sn), а на
втором прямом слагаемом — с надстройкой Фрейденталя. Тогда для всех
i з= 0 гомоморфизм к является ^-изоморфизмом.
Из предложений 2 и 3 вытекает
Следствие 1. При четном п группа лг(&п) ё-изоморфна прямой
сумме групп щ-tfn-i) u »i(S»_i).
Это следствие будет в дальнейшем уточнено (предложение 5, следствие 2).
Отметим его важный частный случай:
Следствие 2. Примарная no pкомпонента группы7ii(Sn)(p— простое
число, отличное от 2, п — четное) изоморфна прямой сумме примарных по
р компонент групп 7ii_1(Sn_1) и 7ii(S2n_1).
3. Итерированная надстройка
Пусть Qn — пространство петель сферы Sn. Отождествим сферу Sn_x
с экватором сферы Sn. Тогда каждая точка Sn_x определит некоторую спе-
специальную петлю**. Тем самым сфера Sn_x окажется вложенной в простран-
пространство Qn. Известно (Питчер11, Дж. Уайтхед [164]), что соответствующий
этому вложению гомоморфизм Е : лг_г{%п^ -»¦ л{-г{йп) = лг{%п) совпа-
совпадает с надстройкой Фрейденталя***. Применяя к паре (Qn, Sn-{) теорему
Гуревича об относительных группах, мы получим „легкую часть" теоремы
Фрейденталя****. Мы не будем больше останавливаться на этом вопросе,
отсылая читателя за подробностями к статье [164].
Предложение 4. Пусть п — нечетное число, р — простое число, 6 —
класс конечных групп, порядок которых взаимно прост с р, и г — р(п -f- 1) — 3.
Итерированная надстройка Е2: ^(Sn) -> ?ri+2(Sn+2) является @.-мономор-
физмом для i < г и ^.-эпиморфизмом для i =s r.
Пусть Qn+2 — пространство петель сферы Sn+2, a T— пространст-
пространство петель пространства Qn+2. Вложение сферы Sn+1 в пространство йп+2 опре-
определяет вложение йп+1 -»• Т и, следовательно, вложение Sn -»• Qn+1 -*¦ Т.
Отождествим группу лг (Т) с группой л1+2 (Sn+2). Тогда вложение
Sn -*¦ Т определит гомоморфизм ^(Sn) -»• 7ii+2(Sn+2), совпадающий, оче-
очевидно, с итерированной надстройкой Е2. Следовательно, ввиду предло-
предложения 2 гл. III и теоремы Дж. Г. К. Уайтхеда для доказательства пред-
предложения 4 достаточно показать, что гомоморфизм Н\Т, к) -*¦ Нг($п, к)
является эпиморфизмом для (<г и мономорфизмом для i < г (здесь к —
* Для доказательства достаточно рассмотреть точную гомотопическую последо-
последовательность расслоения (W2n_x S-_u Sn) и воспользоваться тем, что Jin_1(W2n_1) ы
ы H^Vtn.J ъ Z,. — Прим. ред.
** См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.
11 См. [106].
*** См. примечание 4 в конце статьи. — Прим. ред.
**** См. примечание 5 в конце статьи. — Прим. ред.
10 Расслоенные пространства

146 • Ж.-П. CEPP
некоторое поле характеристики р). Но очевидно, что этот гомоморфизм
является изоморфизмом для / = п (это равносильно тому, что Е2 для i = п
является изоморфизмом). С другой стороны, W(T, к) = 0 для 0< i < п
и для n < i «з г ([ I], гл. V, лемма 6). Предложение тем самым доказано.
Следствие. При нечетномпз= 3,простомр и i < п+4р—6 изоморфны
р-компоненты групп 7r4(Sn) и щ_п+^&3).
Докажем это следствие индукцией по п, начиная с п=3, Согласно
предложению 4, достаточно проверить, что р(п—1) — 3 s» n -f- Ар — 8,
т. е. что (р — 1) (п — 5) з= 0. Последнее же неравенство справедливо при
пг» 5.
Замечание. Данное выше доказательство предложения 4 справедливо
только при п з= 3, так как только при этом предположении выполнены
предварительные условия теоремы Дж. Г. К. Уайтхеда. Однако очевидно,
что предложение 4 имеет место и для п = 1, так как р-компонента группы
7r?(S3) тривиальна при i < 2р (см. [I], стр. 90; см. также предложение 7).
4. Гомотопические группы четномерных сфер
Мы будем пользоваться следующей леммой:
Лемма 2. Гомоморфизм
с точностью до знака совпадает с инвариантом Хопфа.
(Доказательство этой леммы будет изложено в п. 7.)
Пусть и : S^^ -*¦ Sn (n—четное) — отображение с инвариантом Хопфа,
равным q (q ^ 0), a v : Й2П_! -> Qn — соответствующее отображение прост-
пространств петель. Определим действие отображения v на алгебры цело-
целочисленных когомологий H*(Qn) и Я*(йап_!). Известно ([I], стр. 80, 81),
что алгебра Я* (Qn) имеет базу {е{}, для которой dim ег ¦=¦ i{n — 1), / =
= 0, 1, ..., причем
е0 = 1, (*хJ = 0, (e2f = р \е2р, ег • е2р = е2р ¦ е1 = е2Р+1.
Аналогично, алгебра Я*(й2п_г) имеет базу { вп }, для которой dim e[ =
— iBn — 2), / = 0, 1, ..., причем е^ = 1, (e'jf = pi e'p.
Пусть v* : Н*(пп) -»• Я* (i32n_j) — индуцированный отображением
v гомоморфизм алгебр когомологий. Из леммы 2 вытекает, что* v* (ea) =
= ± Я ei- Изменив в случае необходимости знак у е[, можно, следовательно,
считать, что v*(ez) =¦ qe{. Таким образом,
Р! v* (e2P) = v* ((e2)P) = q^f = q*p! ev,
откуда
v*(eZP) = <lpeP.
Очевидно, что V* (eip+1) = 0**. Тем самым гомоморфизм v* полностью
описан.
Пусть теперь /: Sn_x -»• Qn — отображение, определяющее надстройку.
¦ Необходимо воспользоваться коммутативностью диаграммы
(8») »
— Прим. ред.
** Действительно, размерность элемента е8р+1 нечетна, тогда как все .элементы
алгебры H*(Otn_j) имеют четные размерности. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 147
Легко. видеть, что элемент е" = /* (ег) порождает циклическую группу
Отображения / и v с помощью умножения, определенного в пространстве
Qn, порождают отображение
Алгебра когомологий H*(Sn_1 X Qon-i) естественно изоморфна тен-
тензорному произведению H*(Sn_1) 0 Я*A22п_1). (Это следует иэ теоремы
Эйленберга — Зильбера о гомологиях прямого произведения, а также может
быть доказано при помощи рассуждений, аналогичных изложенным в [I],
стр. 65.) Теперь можно легко вычислить гомоморфизм (/ • v)*:
(/' v)* (*2Р+1) = (/ • v)* fc) • (/ • v)* (е2р) = (е" <g> 1) • № • 1 <g>е'р) = q*S' <g>ep.
Из этих формул следует, что во всех размерностях отображение (/ • v)*
мономорфно, а его коядро является конечной группой, порядок которой есть
степень числа q. По соображениям двойственности, такое же свойство имеет
место и для гомологии. Другими словами, если & — класс конечных групп,
порядки которых являются делителями степеней числа q, то для всех i отоб-
отображения .(/ • v)* : ^i(Sn_! X Qzn-x) -> Нг(Ип) является ё-изоморфиз-
мом.
Согласно теореме Дж. Г. К. Уайтхеда, то же самое имеет место и для
отображения
(/ • vH: ^(S,,-! x Q2H_J -*
Но группа ^(Sn.i х i22n-i) изоморфна группе Tr^S,,^) + ni(Q2n_1), т. е.
группе щ($п-!) + Щ+1(%п-1)- Кроме того, группа ^(?2,,) изоморфна группе
ni+1(Sn). Следовательно, гомоморфизм (/ • vH порождает гомоморфизм
Из самого определения гомоморфизма у>„ следует, что он совпадает
на первом прямом слагаемом с надстройкой Е, а на втором прямом слагае-
слагаемом— с гомоморфизмом а-* и о а. Таким образом, получаем (после замены
/ на /— 1)
Предложение 5. Пусть и : S2n_x -»¦ Sn— отображение с инвариантом
Хопфа, равным q (q ^ 0, п — четное), а й—класс конечных групп, порядка
которых являются делителями степеней числа q. Пусть у>„ — гомоморф-
гомоморфное отображение прямой суммы n^S^-j) + wi(S2n_1) в группу 71г($п),
совпадающее на первом прямом слагаемом с надстройкой, а на втором — с
отображением ос-> ц°а. Для всех i =» 0 гомоморфизм у>и является
ё-изоморфизмом.
Замечание. Изложенное доказательство предложения 5 справедливо
только при п S* 4, так как только при этом предположении выполнены
условия теоремы Дж. Г. К. Уайтхеда. Тем не менее очевидно, что предло-
предложение 5 имеет место и для п = 2*.
Если q = 1, то указанный в предложении 5 класс & состоит только из
тривиальных групп. Итак, имеем
Следствие 1. Для элемента и 6 ?i2n_1(Sn) с инвариантом Хопфа, равным
1 (в случае, когда такой элемент существует), гомоморфизм %ри является изо-
изоморфным отображением прямой суммы wi_1(Sn_1) + ^(S^-j) на группу
* Именно, при п—1 предложение 5 переходит в следующий известный результат:
отображение cc->Uocc группы л{(8») в группу jii(Sj) является g-изоморфизмом. Если
q = 1, то это отображение будет изоморфизмом (см. примечание иа стр. 144). — Прим. ред:
10* - 5/6

148 Ж.-П. CEPP
(В частности, надстройка Ет^^^^л^п) является мономорфизмом.)
Полезно сравнить следствие 1 с классическим результатом Гуреви-
ча — Стинрода*.
Следствие 2. Пусть п четно, i произвольно аи — класс конечных
2-групп. Тогда группа 7r4(Sn) ё-изоморфна прямой сумме тг^^^) +
+ Щ^ап-г) (первое слагаемое отображается с помощью надстройки, а
второе — с помощью отображения, определяемого произвольным элементом
и е ttgn-i(Sn) с инвариантом Хопфа, равным 2).
Этот результат уточняет предложение, полученное нами в п. 2. Докажем
теперь
Предложение 6. Пусть п нечетно, a i произвольно. Тогда индекс
подгруппы Е\щ (Sn)) в группе E(ni+l (Sn+1)) является степенью двойки.
Пусть <§ — класс конечных 2-групп. Нужно доказать, что факторгруппа
группы E(ni+1 (Sn+1)j) по подгруппе Е\щ (Sn)) принадлежит классу ig.
Согласно следствию 2 предложения 5, группа 7ri+1(Sn+1) 6-изоморфна
прямой сумме 7Ti(Sn) + 7ri+1(S2n+1). Следовательно, для доказательства
предложения достаточно найти такой элемент и е rc2n+1(Sn+1) с инвари-
инвариантом Хопфа, равным 2, что Е(и°х) = 0 для всех а. Этим условиям, оче-
очевидно, удовлетворяет произведение Уайтхеда** и = [in+i, fn+i] (in+i —
тождественное отображение сферы Sn+1 на себя), так как для произведений
Уайтхеда надстройка всегда равна нулю ([162], З.бб).
Следствие. При нечетном п и простом р~ф2 совпадают р-компо-
ненты групп E(ni+1 (Sft+1)) u. Е%тц (Sn)).
Примечание. Другие результаты о надстройке содержатся в за-
заметке [133]. Эти результаты будут нами, изложены в последующей статье.
5. Трехмерная сфера
Применяя к сфере S3 метод, изложенный в заметке [65] (см. гл. III, п. 2),
построим пространство (S3, 4) = Y и непрерывное отображение <р : Y -*¦ Ss,
удовлетворяющие следующим условиям:
5.1. я4(К) = 0 для /<4.
5.2. Гомоморфизм у0 : я4(К) -> тг{(83) является для i =» 4 изоморфиз-
изоморфизмом.
5.3. Тройка (К, q>, S3) есть расслоенное пространство, слоем которого
является пространство K(Z, 2).
Вычислим группы гомологии пространства Y (см. [65], И, предло-
предложение 5).
Лемма 3. Пространство Y имеет следующие группы гомологии'. Я4(К) =
= 0 для нечетного i, H2n ~ Zn.
(Таким образом, первые группы гомологии имеют вид Z, О, О, О, Z2,
О, Zs, О, Z4, 0, ... .)
Так как базой расслоенного пространства (К, <р, S3) является сфера,
то можно построить точную последовательность Вана (для групп когомо-
логий)
H\Z; 2) -±-* Нг~%г; 2)
Известно, что оператор # является дифференцированием алгебры H*(Z; 2).***
С другой стороны****, эта алгебра является алгеброй многочленов от одной
¦ По-видимому, автор имеет в виду формулы G) и (8) книги [143], стр. 136.
— Прим. ред.
** См. примечание 6 в конце статьи. — Прим. ред.
*** См. этот сборник, стр. 62. — Прим. ред.
**** Потому что в качестве пространства K(Z, 2) можно взять бесконечномерное
•комплексное проективное пространство. — Пром. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 149
двумерной переменной и. Полагая в указанной точной последовательности
1 = 2 и замечая, что, согласно 5.1, H%Y) = 0 для 0 < i < 4, получаем
соотношение Ци) = + 1. Таким образом, изменяя в случае необходимости
знак у ц, можно считать, что Ци) — 1. Следовательно, 0(цп) = пип~\
что полностью определяет оператор #, а также группы #*(К). Именно,
H\Y) = 0 при четном / > 0, Я2п+1 (Y) = Zn. Указанные выше группы
гомологии пространства Y немедленно получаются отсюда по соображениям
двойственности.
Пусть р — простое число, а ё — класс конечных групп, порядок кото-
которых взаимно прост с р. Тогда Ht(Y) e ё для 0 < i < 2р, так что к прост-
пространству Y применима теорема Гуревича. В силу 5.2, отсюда получаем
Предложение 7. Примарная no p компонента группы л{($я) при
i < 2р тривиальна, а при i = 2р является группой Zp.
Оказывается, что из леммы 3 можно извлечь существенно более точ-
точное утверждение. С зтой целью рассмотрим пространство Sn | q, получаю-
получающееся приклеиванием к сфере Sn шара Еп+1 посредством отображения
степени q границы шара на сферу (мы предполагаем, что q Ф 0). Пусть Т—
произвольное пространство, х б лп{Т) — такой элемент, что ^х = 0, и
/: Sn -»¦ Т — некоторый представитель элемента х. Очевидно, что при этих
условиях отображение f можно продолжить до отображения f прост-
пространства Sn j q в пространство Т. В частности, полагая Т = Y, п = 2р (р —
простое), q — р и выбирая в качестве х образующую р-компоненты группы
л2р(У) (эта компонента, как мы видели, равна Zp ), получаем отображение
X:&№\P-+Y.
Предложение 8. Для i «s 4р—1 отображение <р°%\ $2р\р-+ Ssопре-
Ssопределяет гомоморфное отображение группы тг4(82р | р) на р-компоненту
группы щ($3). Для i «з 4 р — 2 этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Заметим сначала, что для i > 0 все. группы Нг($2р \ р) тривиальны,
за исключением группы H2JS2P | р) яа Zp. Поэтому, согласно теореме Гуре-
Гуревича, группы ^(Sgp | р) для всех / являются (конечными) р-группами.
Следовательно, образ группы ^(Sgp | р) содержится в р-компоненте группы
7ii(S3). Таким образом, для доказательства предложения достаточно пока-
показать, что гомоморфизм 7Г4(82? | р) -*¦ я((83) является 6-мономорфизмом
при 3 < / ^ 4р — 2 и (g-эпиморфизмом при 3 < / ^ 4 р — 1, где ё, — как
и выше, — класс конечных групп, порядки которых взаимно просты ср.Со-
ср.Согласно 5.2, для этого в свою очередь достаточно доказать, что отображение
Хо '• л№гр I Р) ~* Щ(У) является ё-мономорфизмом при i as 4p — 2 и ё-
эпиморфизмом при / as 4р — 1, а это непосредственно вытекает из теоремы
Дж. Г. К. Уайтхеда и из леммы 3. Предложение 8 тем самым доказано.
В связи с предложением 8 возникает вопрос о строении групп ^(Sn | q).
Частичный ответ на этот вопрос дает
Предложение 9. Для i as 2n—2 точна следующая последовательность:
0 -* я,(8п) ® Zq -> ^(Sn | q) - щ_^%п) * Zq -> 0.
Для упрощения формул обозначим пространство Sn I q через X. По
определению Sn с X, так что определена точная гомотопическая последо-
последовательность пары (X, Sn). Пусть g —- произвольное отображение шара
Еп+1 на пространство X, имеющее на сфере Sn степень q. Рассмотрим
коммутативную диаграмму
.._ -яг(Х, Sn)
•I -I. •!
_- /с с Ч " _ /o \ /го\^ /о \
Щ+№> »|J *" Л1\Ъп) Л№> »J *¦ Л1-1\\)
(Через Л обозначено отображение g, рассматриваемое на сфере Sn).

150 Ж.-П. cepp
Из одной теоремы Дж. Г. К. Уайтхеда, обобщенной на высшие размер-
размерности Блейкерсом — Масси и Хилтоном [170]*, следует, что отображение
8 : Щ+г(Е, Sn) -»¦ jri+1(X, Sn) является изоморфизмом для i «s 2n — 2.
С другой стороны, гомоморфизм Л: ^(S,,) -*• jr4(Sn) есть не что иное, как
гомоморфизм q>q из п. 1 и, следовательно, при i <'2п — 2 мы можем заме-
заменить точную гомотопическую последовательность пары (X, Sn) следующей
точной последовательностью**:
Так как отображение ^g : »i(Sn) -*• ^(Sn) для г<2п—2 совпадает с ото-
отображением ос -»• q%, то его ядро и коядро изоморфны соответственно груп-
группам 7it(Sn)*Zg и 7r4(Sn) <g) Ze. Следовательно, рассматриваемая точная
последовательность порождает последовательность, указанную в форму-
формулировке предложения 9.
Замечание. Предложение 9 является аналогом «формулы универсаль-
универсальных коэффициентов» для групп гомологии. Не следует, однако, думать,
что группа jTi(Sn | q) всегда изоморфна прямой сумме групп 7ii(Sn) 0 Zq
и 7ii-i(Sn) * Zq. Можно показать, что зто неверно при п — 4, q = 2, / = 6.
6. Гомотопические группы сфер
Объединяя утверждения предложений 4, 5, 7, 8, 9, можно существенно
уточнить результаты работы [I] о р-компонентах групп 7i{(Sn). Начнем с
р = 2.
Предложение 10. Группы 7rn+i(Sn) ц 7rn+2(Sn) (n з= 3) изоморфны
группе Z2. Группа tc^S,) содержит 12 элементов.
Из предложения 7 следует, что 7i4(Ss) = Z2. To, что 7rn+i(Sn) = Z2
при п » 3, можно получить отсюда с помощью теоремы Фрейденталя о над-
надстройке***. Полагая в предложении 9 п = 4, q = 2, i = 5, получим, что
7i6(S4|2) = Z2, откуда (предложение 8) следует, что 2-компонента группы
7i6(S3) равна Z2. Так как при р ^ 2 все р-компоненты группы 7i6(Ss) триви-
тривиальны (предложение 7), то jt5(S3) = Z2. Отсюда, применяя теорему Фрей-
Фрейденталя, получаем, как и выше, что 7rn+2(Sn) = Za. Применяя теперь предло-
предложение 9 к случаю п = 4, q = 2, / = 6, получим точную последовательность
0 -»• Z8 -* 7re(S412) -> Z2 ¦•-> 0, которая показывает, что группа jre(S4 [ 2)
состоит из 4 элементов. Следовательно, 2-компонента группы щ (S8) состоит
также из 4 элементов (предложение 8). Так как 3-компонента группы лвE3)
равна Z3 и так как при р > 3 все р-компоненты этой группы тривиальны
(предложение 7), то группа лв (S3) содержит 12 элементов.
Замечания. 1.Изложенный метод дает, кроме того,способ построения
нетривиальных элементов групп ян(8,) для i=5, 6. Например, из приведен-
приведенного выше доказательства следует, что нетривиальный элемент группы
7ii(Ss) является образом нетривиального элемента группы 7r5(S4|2), а так
как этот последний, согласно предложению 9, получается композицией
отображений S6 -»¦ S4 -»¦ S4|2, то нетривиальный элемент группы n5(S3)
имеет вид S6-*-S4-*S3. Это — известный результат Понтрягина и Дж.
Уайтхеда. Аналогично можно показать, что отображение Se -*¦ S5 -»• S4 -»¦ Ss
(где каждое частичное отображение существенно) представляет нетри-
нетривиальный элемент группы jre(Ss)****. Это — известный результат Хилтона
([170], следствие 4.10).
• См. примечание 7 в конце статьи. — Прим. ред.
** Следует иметь Гв виду, что для всех /отображение яч+1(?, Sn)-?->¦ щ(Ьп) является
изоморфизмом. — Прим. ред.
*** См. примечание 5 в конце статьи. — Прим. ред.
**** О группе jre(Ss) см. также этот сборник, стр. 279, 280. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 151
2. Можно применить предыдущий метод также и для оценки сверху
2-компоненты группы л^&3) (согласно следствию из предложения 11, и
й (S)) Д 8
р ^3) ( р ,
всей группы 7i7(S8)). Для этого достаточно применить предложение 8 и тео-
теорему 6.4 из [170].
3. Предыдущим методом мне не удалось показать, что группа ne(S3)
является циклической*. Во всяком случае, цикличность группы л6 (S,) равно-
равносильна тому, что группа 7ie(S4 | 2) изоморфна группе Z4, а не группе Z2 + Z2.
Эта равносильность, указанная мне Хилтоном, и явилась толчком для создания
излагаемого здесь метода.
Обратимся теперь к случаю р ^ 2.
Предложение 11. Пусть п — нечетное число, п&>3, и р — простое
число, не равное 2. Тогда р-компонента группы ni(Sn) тривиальна для
i < п + 2р — 3, изоморфна группе Zp для i = n-\-2p — 3 и тривиальна
для п-\-2р — 3 < i < п 4- 4р — 6, Кроме того, р-компоненты групп
^p-s(S3) и я*г-№з) изоморфны группе Zp.
Согласно предложению 7 и следствию из предложения 4, р-компонента
группы 7Ti(Sn) тривиальна для i < п -)- 2р — 3 и изоморфна группе Zp
для i = п + 2р — 3. Применим теперь предложение 9 к случаю п = 2р,
q = p, i as 4p — 3. Так как щ($п) = Щ+ii^n+i) (поскольку i «s 2п — 3),
то р-компоненты всех встречающихся в этом предложении гомотопических
групп сфер нам Известны. Следовательно, щ($гр\р) — О для 2р<г<4р—3
И *4p-3(S2p | Р) = Zp.
Применяя теорему 8, получим, что р-компонента группы 7ii(S8) три-
тривиальна при 2р < i < 4р — 3, а р-компонента группы T^p-gfSj) равна
Zp. Следствие из теоремы 4 доказывает также, что р-компонента группы
jn(Sn) тривиальна для п + 2р — 3 < i < п + 4р — 6, а * р-компонента
группы jrn+4p-e(Sn) тривиальна или является группой Zp. Из предложения
9 следует, что щр-^2р | р) = Zp, откуда (предложение 8) вытекает, что
р-компонента группы т^р-г^з) является группой Zp.
Следствие. Группы nfoa) и n^S3) являются 2-группами. Группа
) является прямой суммой группы Z3 и некоторой 2-группы, а группа
) — прямой суммой группы Zl6 и некоторой 2-группы.
Замечания. 1. В ходе доказательства было установлено, что р-компо-
р-компонента группы jrn+4p_e(Sn) тривиальна или является группой Zp при нечетном
п з= 5 и простом рф2. На самом же деле эта р-компонента тривиальна,
что можно показать с помощью приведенных степеней Стинрода.
2. Образующая р-компоненты группы 7г4р_з(88) получается композицией
отображений S4p_s -»• S2P -> S3 (каждое частичное отображение имеет
порядок р). Это можно показать так же, как в случае р = 2.
3. Можно показать, что при р Ф 2 р-компонента группы w4irn(Ss)
тривиальна. Действительно, из предложения 8 и доказательства предло-
предложения 9 следует, что любой элемент этой компоненты может быть пред-
представлен в виде S4p_! -»• S2p -+ S3, где отображение S^p -»• S, имеет
порядок р. Но надстройка такого элемента имеет вид S4p -»• S2P+1 -*¦ S4,
а так как р-компонента группы nip(S2P+l) тривиальна (предложение 11),
то эта надстройка равна нулю. Следовательно, рассматриваемый элемент
также равен нулю, потому что надстройка Е: n{(Sa) -*¦ ?ri+1(S4) является
мономорфизмом.
4. Читатель может самостоятельно вычислить р-компоненты групп
7ii(Sn) для четного п и i < п + Ар — 6, сопоставляя предложение 11 с
следствием из предложения 3.
Примечание. Вышеизложенные результаты были первоначально полу-
получены А. Картаном, который пользовался методом, в основном эквивалентным
* См. стр. 279, 280. — Прим. ред.

152 Ж.-п. cepp
методу заметки [65], а также некоторыми формулами для групп Эйленбер-
га — Маклейна. Эти результаты были анонсированы в [65] с некоторыми ого-
оговорками относительно точности вычислений. Данное здесь доказательство
было найдено независимо Муром (вместе с другими интересными резуль-
результатами, которые здесь не рассматриваются).
7. Доказательство леммы 2
Пусть / — произвольное непрерывное отображение сферы S2n_! в сферу
Sn четной размерности п, а /': S2n_2 -> Qn — соответствующее отобра-
отображение сферы S2n_2 в пространство петель Q. Пусть D — цилиндр отображе-
отображения /. Как известно, S2n_! С D и D стягивается на Sn. Обозначим через
v (соответственно w) образующую группы целочисленных когомологий
Я"(?>, S2n_j) (соответственно H*\D, %гп-^). Согласно Стинроду12, инва-
инвариант Хопфа отображения / есть такое целое число т, что v2 = mw.
Пусть, с другой стороны, т' — степень отображения
/¦ : ^insi^n-z) *¦ ^2n
Степень отображения /'* : Я2"^,,) -* Я 2n2(S2n_2) также равна т'.
Для доказательства леммы 2 нужно показать, что т = ± т'.
Пусть Е — пространство путей цилиндра D с фиксированным началом,
Q'n — пространство петель цилиндра D (стягивающееся на пп), а Е' —
подпространство пространства Е, состоящее из тех путей, концы которых
принадлежат сфере S2n_x. Пара (Е, Е') является относительным расслоен-
расслоенным пространством, базой которого служит пара (D, S2n_!), а слоем—простран-
слоем—пространство п„. Вычислим двумя различными способами группу Я2" (Е, Е').
(a) Так как Н\Е) = 0 для i > 0, то H*"(E, E') rj H^-^E'). С другой
стороны, пространство Е' расслоено на слои Q^ и имеет базой сферу %n-v
„Характеристический класс" этого расслоения является поэтому элементом
группы л2п-2(Оп). Отождествив последнюю группу с группой я2п_2(?„),
замечаем, что этот характеристический класс совпадает с классом отобра-
отображения /'. Отсюда, рассматривая точную последовательность Вана простран-
пространства Е', находим, что
Я2»-1(Е') w Zm..
Следовательно,
Н*п-2{Е> Е>) и Zw%
(b) Пусть (Ег) — спектральная последовательность когомологий отно-
относительного расслоенного пространства (Е, Е'). Как мы знаем, Е§>9 =
=HP(D, 82П_1)®Я« (Qn). Следовательно, группа Е%л тривиальна, если рфп, 2п
и q^O mod (п — 1). Поэтому единственным дифференциалом dr, который
может быть отличен от нуля, является дифференциал dn. В частности,
Е™ = Efq. Пусть и — образующая группы Я" (Qn). Группа Е^" =
= Eg1" является свободной группой с образущей v 0 и, а группа Е2^1'0 =
_ ?;гп,о — свободной группой с образующей w 0 \. Следовательно, dn(v &u) =
= m"iv0 1, где т" — некоторое целое число. Отсюда немедленно следует,
что Н*п(Е, Е') = Zm,,.
Сравнивая (а) и (Ь), видим, что для доказательства леммы достаточно
установить равенство т" = + т. Однако это равенство очевидно. Дей-
Действительно, в гк 3 гл. II мы видели, что произведение Колмогорова — Алек-
сандера определяет спаривание спектральных последовательностей простран-
пространства Е и пары (Е, Е') в спектральной последовательности пары (Е, Е').
" См. [141]*.
* А также [10]. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 153
Относительно этого спаривания дифференциалы dr являются антидифферен-
антидифференцированиями. Очевидно, что рассмотренный выше элемент v®u является
произведением Колмогорова — Александера (относительно указанного
спаривания) элементов v 0 1 и 1 0 и. Из того, что в спектральной последо-
последовательности пространства Е имеет место соотношение dnA0u)= ±v®l,
следует формула
rf»((v<8)l)(l(8)a)) = (v(8)l).rfn(I®a)=±(v(g)l)(v(8)l)=±mw(8)I.
Сравнивая эту формулу с (Ь), получаем, что т" = ±т. Лемма доказана.
Глава V
ДОПОЛНЕНИЯ
1. Вспомогательные результаты
Возвратимся к изучению определенных в п. 1 гл. IV эндоморфизмов
<Р)[П группы щ{%п).
Предложение 1. Если п — нечетное число, то <pq°q>2 = q<p2.
Для доказательства мы воспользуемся следующей леммой.
Лемма 1. Для нечетного п существует отображение прямого произ-
произведения Snx ... xSn в сферу Sn, имеющее тип B,..., 2)*.
Как заметил Хопф, существует отображение** (х, у) -*¦ х • у прямого
произведения Sn x Sn в сферу Sn, имеющее тип B,1); иначе говоря, для всех
х отображение у -*¦ х • у имеет степень 1, а отображение х -> х • у для
всех у имеет степень 2. Непосредственным следствием этого факта является
то, что отображение (х1( ... , хд) -> хг (х2 •(... хд) ...) прямого произ-
произведения Sn х ... х Sn в сферу Sn имеет тип B,2,..., 2,1). Компонуя это отоб-
отображение с отображением Snx ... xSn-> Snx ... xSn, имеющим степень 2 на
последней сфере и степень 1 на всех остальных, получим отображение тре-
требуемого типа.
Вернемся к доказательству предложения 1. Пусть т — некоторое ото-
отображение типа B, ..., 2) произведения (Sn)q в сферу Sn, a — диагональное
отображение Sn -+ (Sn)q, определенное посредством формулы а(х) —
— (х, ..., х), и е = тоог. Отображение g:Sn-»-Sn имеет степень 2q, так
что гомоморфизм q0 : я4(8п) -*¦ ^(Sn) совпадает с гомоморфизмом q>2q.
Отождествляя группу ^(Sn х... х Sn) с прямой суммой ^i(Sn)-|-... + ^(SJ,
получим, что <то(а) == (а, ..., а) для любого а е ni(Sn). С другой стороны,
поскольку отображение т имеет тип B,..., 2), то т0 @,... ,0, а, 0,... ,0) = 9>2(а)-
Отсюда следует, что
Q0(x) = т0оог0(а) = то(а, ... , а) = (р2(а) + ... + tp2(x)
Сравнивая эту формулу с полученным выше результатом, видим,
что 9>2q = Q 4>г- Наше предложение следует теперь из формулы A.2) гл. IV.
Замечание. Если п таково, что существует отображение SnxSn-»-Sn
типа A,1), то изложенные рассуждения приводят к классическому соотно-
соотношению q>q = q.
Следствие 1. Для нечетного п и простого р, отличного от 2, отобра-
отображение <pq совпадает на р-компоненте группы ^t(Sn) с умножением на q.
Действительно, (<pq — q)° ц>2 = 0, а отображение tp2 на р-компоненте
* Говорят, что отображение (Sn)9->- Sn имеет тип (ах, ..., aq), если его степень на
1-м множителе произведения (Sn)« равна числу fli (/ = 1, - - -, q). — Прим. ред.
** Это отображение определяется следующим образом: точка х • у получается из.
точки х симметрией относительно плоскости, проходящей через центр О сферы Sn перпен-
перпендикулярно радиусу Оу. — Прим. ред.

154 Ж.-п. серр
группы ^(Sn) является при рФ2 автоморфизмом (гл. IV, следствие из пред-
предложения 1). Следовательно, q>q — q = 0.
Следствие 2. Пусть х е 7i{(Sn) — такой элемент, что qx=0(n нечетно).
Тогда Ф2A(х) = 0 и-при нечетном q также q>q(x) = 0.
Имеем 9»23(х) — <79»2(х) = Ч>я(Ях) = 0, что доказывает первую часть
следствия. Если q нечетно, то х содержится в прямой сумме р-компонент
групп ^i(Sn), а так как рФ2, то, согласно следствию 1, имеем fq(x)=qx—0.
Следствие 3. Для нечетного п и простого р отображение ур, рассмат-
рассматриваемое на р-компоненте группы щ (Sn), при i > п является нильпотент-
ным эндоморфизмом.
Это заключение вытекает из следствия 2.
Замечание. Мне неизвестно, будет ли в условиях следствия 2 всегда
q>q(x) = 0. Интересно, что при четном п это неверно. Например, если х имеет
вид S8 -»¦ S7 -*¦ S4, где отображение S8 -»• S7 существенно, a S7 ->• S4
определяет расслоение Хопфа, то 2х = 0, тогда как <рг(х) Ф О18. Вообще,
было бы весьма интересно выяснить, какие из предыдущих результатов
сохраняются при четном п. Например, из следствия 2 предложения 5
гл. IV (примененного KU—[in, in]) легко находим, что следствие 3 справедливо
и для четного п, если только р Ф 2. Однако для р = 2 это рассуждение
неприменимо.
2. Отображения полиэдров в нечетномерную сферу
Предложение 2. Пусть К — некоторый\конечный полиэдр, п—нечет-
п—нечетное число, ах — произвольный элемент группы Нп (К, Z). Существуют такое
целое число N Ф 0 и. такое отображение f: К -*¦ Sn, что f* (и) = Nx,
где и — фундаментальный класс группы Нп (Sn, Z).
Пусть Kq — остов размерности q полиэдра К. Согласно известной теореме
Хопфа, существует такое отображение fn : Кп+г -»• Sn, что /* (и) = х
(мы отождествляем группы Нп(К) и Hn(Kn+j).
Если i > п, то группа щ (Sn) конечна. Пусть rt — число ее элементов
и Si '¦ Sn -»• Sn — некоторое отображение степени 2 г{. Каков бы ни был
элемент а?я4(8п), согласно следствию 2 теоремы 1, имеем g4o а = 0.
Исходя из построенного выше отображения /„: Кп+г -»• Sn, по индук-
индукции построим для любого i s= п отображение Д : Ki+1 -¦ Sn, совпадающее
на Ki с отображением gtofi^v Пусть для некоторого i > п уже построено
отображение Д_а. Это отображение, рассматриваемое на границе произ-
произвольного (i + 1)-мерного симплекса .е комплекса К, определяет некото-
некоторый элемент ае группы щ(8п), а отображение & вД_х опр д ляет элемент
gi°ae. Согласно сказанному, элемент gi°ae равен нулю, так что отобра-
отображение gio/i-j можно продолжить на симплекс е. Следовательно, отобра-
отображение gibfi^ можно продолжить и на весь (i + 1)-мерный остов Ki+1
комплекса К (поскольку симплекс е произволен). В результате продолжения
мы получим искомое отображение Д.
Положим теперь / = fm_v где т — размерность К. Оказывается, что
отображение / удовлетворяет условиям предложения 2. Действительно,
/?(«) = /i-i°g*(«) = 2rf /JL^a) и, следовательно, f*(u) = Nx, где
m—n—1 i-m—1
N = 2 П rt.
i-n+l
u Можно показать, что <р,(х) является надстройкой над отображением S7 ->• S« ->• S,,
где S7-*JSt существенно, а Se-vSs есть отображение Блейкерса—Массн*. То, что надстройка '
над этим отображением отлична от нуля, следует, например, нз [170], § 4.
* Отображением Блейкерса—Массы называется отображение, класс которого явля-
является образующим элементом циклической группы %(S3). Об этом отображении см. стр.
274 этого сборника. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ.ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕБЫХ ГРУПП 155
Следствие. Пусть К — произвольный конечный полиэдр, к — поле харак-
характеристики О и п — нечетное число. Для любого элемента хеНп(К, к) сущест-
существует такое отображение f: К -*¦ Sn и такой элемент и е Hn(Sn, k), что
/* (ц) = х.
Предположим, что dim К «= п -\- 2р — 3, где р — простое число. Тогда,
согласно предложению 11 гл. IV, числа rjn-fl^i^m — 1) взаимно
просты с р, так что число N не делится на р. Таким образом, предыдущее
следствие справедливо и тогда, когда характеристика поля к равна р, если
только dim К «= п + 2р — 3.
Полученные результаты можно обобщить в различных направлениях.
Отметим, например, следующее предложение (справедливое для четного
и нечетного п).
Предложение 2'. Предположим, что dim К «s 2 п—2ц обозначим через
ё класс конечных групп. Тогда гомоморфизм пп(К) -*¦ Нп(К, Z) является
^-изоморфизмом.
Это предложение немедленно доказывается с помощью спектральной
последовательности когомотопийи полиэдра К. Мы не будем его доказывать,
так как весьма правдоподобно, что само предложение 2 справедливо и для
четного п, если только квадрат элемента и имеет в группе Н2п(К, Z) конеч-
конечный порядок*.
3. Группы Ли и произведения сфер
В оставшейся части этой главы буква G будет обозначать полупростую
компактную связную группу Ли. Согласно классическому результату Хопфа**,
алгебра когомологий H*(G, k) над полем А: характеристики 0 является внешней
алгеброй, порожденной элементами xv ..., хг нечетных размерностей nv..., щ.
Целое число / является рангом группы G, а п± + п2 + ... + пх = п —
ее размерностью.
Пусть X — прямое произведение сфер размерностей п1г ... , щ. Теорема
Хопфа, о которой мы говорили, равносильна тому, что H*(G, к) & Н*(Х, к).
Мы уточним эту теорему.
Предложение 3. При высказанных предположениях существует такое
непрерывное отображение f : G -*¦ X, что для всех i гомоморфизм /* является
изоморфным отображением группы Н\Х, к) на группу Hl(G, к).
Для любого i, 1 < / < /, выберем такое отображение Д : G -*¦ Sni -и такой
элемент щ б Hni(Sni, к), что 1*(щ) = Х|. Этот выбор возможен в силу
следствия из предложения 2. Пусть / : G -»• X = П Sni — произведение
отображений Д. Ясно, что /* является изоморфным отображением алгебры
Н*(Х, к) на H*(G,k).
Следствие 1. Пусть 6 — класс конечных групп. Любое отображение
)i: G -*¦ X, удовлетворяющее условиям предложения 3, определяет для всех
i э= 0 й-цзоморфизм группы щ((У) на группу щ(Х).
Пусть G — универсальная накрывающая группа группы G. Это — полу-
простая компактная группа и H*(G, k) ю H*(G, к). Поэтому следствие
достаточно доказать для односвязной группы G. Но»в этом случае оно выте-
вытекает из теоремы Дж. Уайтхеда и предложения 1 гл. III.
14 Обо всем, что касается когомотопических групп Л"-(Ю и спектральной последо-
последовательности, соответствующей фильтрации комплекса К на остовы Kq, мы отсылаем чита-
читателя к статье [138]***.."
* Для четного п доказательство предложения 2 не годится только потому, что группа
язп_i(Sn) в этом случае бесконечна. Следовательно, предложение 2 имеет место и для
четного п, если только т =е In. — Прим. ред.
** См., например, [I]. — Прим. ред.
*¦¦ См. также примечание 4 на стр. 350. — Прим. ред.

156 Ж.-П. CEPP
Следствие 2. Для любого q s= О ранг группы nq(G) равен количеству
чисел i, для которых щ = q. В частности, при q четном группа rcg(G) конечна.
Ввиду следствия 1 достаточно доказать это утверждение для произве-
произведения X (вместо группы G). Но л^Х) = aq(Sni) + ... + **3(Sn(), а группы
^(Sn) при п нечетном и i > n конечны.
Замечание. Предыдущее следствие обобщается на любое пространство
G, для которого алгебра H*(G, k) является тензорным произведением
внешней алгебры и некоторой алгебры многочленов. Это доказывается
немедленно, используя метод заметки [65], I, а также предложение 4 из
[I], гл. IV; ср. [I], гл. II, предложение 3.
4. Простые регулярные числа данной группы Ли
Сохраним обозначения и предположения предыдущего пункта. Про-
Продолжим сравнение группы Ли G с произведением сфер X.
Определение. Простое число р называется регулярным для группы G,
если существует отображение f: X ->• G, для которого гомоморфизм
/* является при всех i s» О изоморфным отображением zpj ппы Нг(Х, Zp)
на группу H^G, Zp).15
Отображение, удовлетворяющее этому условию, называется р-эквива-
лентностью.
Если у группы G имеется р-кручение (т. е. коэффициент кручения, деля-
делящийся на р), то число р нерегулярно для группы G, потому что в этом слу-
случае размерность алгебры Я*(б, Zp) над полем Zp строго больше размер-
размерности алгебры Н *(Х, Zp). Обратное, вообще говоря, неверно, как мы уви-
увидим на примерах в п. 5.
В этом и в следующем пунктах определены в той мере, в какой зто воз-
возможно, простые числа, регулярные для данной группы Ли. Следующее
предложение сводит этот вопрос к случаю односвязных групп.
П р е д л о ж е н и е 4. Пусть G — группа, накрывающая группу G, и Н—ядро
проекции q:G->G. Простое числотогда и только тогда регулярно для
группы G, когда оно регулярно для G и не делит порядок группы Н. _
(Напомним, что Н является конечной подгруппой центра группы G.)
Пусть число р регулярно для группы G. Тогда группа G не имеет
р-кручения, и так как группа Н является факторгруппой группы Ht(G), то
р не делит порядка группы Н. Следовательно, согласно элементарной тео-
теореме теории накрытий*, гомоморфизм q* : H^G, Zp) -*¦ Нг(в, Zp) является
для всех i s= 0 изоморфизмом. Пусть f : X-*-G — некоторая р-эквивалент-
ность. Так как яг(Х) = 0, то существует отображение ]: X-+G, накрыва-
накрывающее отображение /. В соответствии со сказанным выше относительно гомо-
гомоморфизма q* отображение / также будет р-эквивалентностью.
Обратно, если существует р-эквивалентность /: X -*¦ G и если р
не делит порядка группы Н, то отображение / = q°] : X->G является
р-эквивалентностью, так что число, р регулярно для группы G.
Следующее предложение объясняет, почему интересно понятие регуляр-
регулярного простого числа.
Предложение 5! Пусть & — класс конечных групп, порядки которых
взаимно просты с простым числом р, регулярным для группы G. Тогда для
всех q г» 0 группа nq{G) б-изоморфна прямой сумме групп nq(Sni), где
1 =s i =? I.
В соответствии с предложением 4 можно ограничиться случаем, когда
18 Было бы интересно узнать, следует ли из регулярности числа р существование
р-эквивалентности g : G -*¦ X. Вообще, можно ли для пространств построить теорию „гомо-
„гомотопических g-типов"?
* См. примечание иа стр. 70 и предложение 3 иа стр. 72. — Прим. ред.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 157
= 0. Пусть / : X -*¦ G — некоторая р-эквивалентность. Так как
^() = 0 и ^(G) = n2(G) = О16, то можно применить теорему Дж. Г. К.
Уайтхеда. В силу этой теоремы, гомоморфизм /0 : я3(Х) -*¦ rc3(G) является
для всех q э= 0 6-изоморфизмом. Остается вспомнить, что
Следствие. Если число р регулярно для группы G, то р-компонента
группы nq(G) изоморфна прямой сумме р-компонент групп rc3(Sni),
1 <ss i =s= I.
Покажем теперь, что все достаточно большие простые числа регулярны
для группы G. Точнее, справедливо
Предложение 6. Пусть группа G не имеет р-кручения и пусть
щ^2р— 1, 1 « z « /. Тогда простое число р регулярно для группы G.
Поскольку группа G не имеет р-кручения, то порядок группы sr,(G)
не делится на р. Поэтому в соответствии с предложением 4 группу G можно
считать олносвязной.
С другой стороны, согласно [IV], § 20, замечание 1, алгебра #*(G, Zp) =
= Я* (G) 0 Zp (относительно умножения Понтрягина) является внешней
алгеброй, порожденной элементами zlf ..., гг размерностей соответственно
nv ..., л,. Путь Ik — подалгебра алгебры H*(G)(g)Zp, порожденная
элементами, размерности которых меньше или равны к. Аналогично, пусть
Xfe= П Sn;. Тогда H*(Xk)®ZpfvIk.
щ^к
Мы построим отображения fk : Xk -*¦ G, удовлетворяющие условию
(a) Образ гомоморфизма (/&)*:Я*(XfeHZp -*¦ H*(G)(g)Zp совпадаете Ik.
Ясно, что из (а) вытекает
(b) Отображение (/fe)* мономорфно.
Таким образом, отображение / = /п, является р-эквивалентностью,
существование которой доказывает регулярность числа р.
Все сводится, следовательно, к построению отображений fk. Мы построим
их индукцией по к. Поскольку Xk = Xfe_1( если к не равно никакому из
чисел щ, то достаточно разобрать случай, когда к равно одному из щ. Если
т — количество чисел i, для которых щ = к, то
Хк = Хк_г X (Sfe)! X (SfeJ X ... X (Sfe)m.
Пусть G' — цилиндр отображения /й_х: Хй_х -»¦ G. Поскольку отобра-
¦ жение /й_х удовлетворяет условию (а), то H4(G', Х^^; Zp) = 0 для
i < к. Применяя теорему Гуревича об относительных группах (это законно,
так как ^(G) = ^2(G) = 0) для класса & конечных групп, порядки которых
взаимно просты с р, получаем, что гомоморфизм nk{G', Xfe_,) -»¦ Hk(G', Хй_х)
является ё-изоморфизмом. Следовательно, гомоморфизм п^ф', -Xfe-i) ® Zp -»¦
-^ Hk(G', Xfe_x) (g) Z является изоморфизмом. Из того, что W^.^G', Xk^) e б,
следует, что Hfe(G', X*^) ® Zp = Hh(G', Xfe_i; Zp). С другой
стороны, так как к равно одному из чисел щ, то к =« 2р—1. Следо-
Следовательно, согласно предложению 11 гл. IV, группы ^(Х^) и п^х(Хк^
принадлежат классу б. Отсюда, рассматривая точную гомотопическую пос-
последовательность, получаем, что отображение лк(в) <S)ZV^- nk(G', Xfe_i)®Zp
изоморфно. Рассмотрим теперь следующую коммутативную диаграмму, в
которой нижняя строка является точной последовательностью:
Zv —* nk{G', Xk^) ® Zp
У У
Zp —* Hk(G) ® Zp —* Hk(G', Х^) ® Zp
11 Тот факт, что для любой группы Ли щ{О) = 0, доказав Э. Картаном; см. [71]*.
* Равенство n2(G) = 0 можно получить с помощью теоремы Гуревича из известных
результатов (см., например, [41]) относительно групп гомологии групп Ли. — Прим. ред.

158 Ж.-П. СЕРР
Из этой диаграммы и свойства (Ь) следует, что гомоморфизм nk(G)<^)Z^ *
-*f/ft(GHZp является мономорфизмом, а его обраэ2"Л дополняет в #ft(GHZp
образ модуля Wft(Xft_!) <S)ZP- Согласно свойству (а), этот последний
образ есть не что иное, как пересечение /ft_j П (Hn(G) <S> zv)- Размерность
модуля Eh равна, следовательно, т, и подалгебра алгебры Hj.(G) 0 Zp,
порожденная подалгеброй lh_x и элементами у1; ..., ут, образующими
базу модуля 2к, совпадает с подалгеброй Ik.
Пусть gt: Sk -* G — представители элементов уь 1 =s i =s= т. Определим
отображение fk : Xk -*¦ G, положив
fk(a, Ъ1У\.. :, bm) = /fe-!(a) -g^fti) ... gm{bm), a e Xfe_1; bt €
(напомним, Xfe = Xfe_! x (Sh)± х ... X (Sfe)m). Умножение, употребленное
в правой части этой формулы, есть просто умножение в группе G. По опреде-
определению умножения Понтрягина, образ гомоморфизма (fk)* является подалгеб-
подалгеброй алгебры #*(G)(g)Zp, порожденной образом гомоморфизма (fk-i)*
и образами гомоморфизмов (gt)*. Согласно сказанному выше, это означает,
что образ гомоморфизма (/fe)* совпадает с подалгеброй Ik. Таким образом,
отображение fk удовлетворяет условию (а), что завершает доказательство.
Замечания. 1. Укажем вкратце иное доказательство предыдущего
предложения, использующее результаты п. 2. Пусть Y — остов размерности
щ + 1 группы G (предполагаемой триангулированной). Построим такое
отображение h:Y ->• X, что гомоморфизм h*: Hi(YHZp -»• Hi(X)(g)Zp
является для i === л, изоморфизмом. Это возможно, потому что л, + 1 "^ 2р.
Так как лг(У) = лг(в) для i «s л,, то отображение Л дает достаточно данных
о группе щ (G) для того, чтобы можно было быть уверенным в существова-
существовании элементов gt e nni(G), образы которых в алгебре H*(G) <g)Zp составляют
систему образующих этой алгебры. Отображение / определяется тогда как
произведение (в смысле умножения в группе G) отображений gt.
2. Пусть группа G является простой группой размерности л и ранга
I. Тогда числа щ удовлетворяют известным свойствам симметрии11: п1 +
+ щ = Tig -f "i-i = • • • = 2л//. Так как пг = 3, то отсюда следует, что усло-
условие л, «as 2р — 1 равносильно неравенству р s* n/l — 1.
5. Классические группы
Напомним, что любая простая группа принадлежит одному из типов .
Аь В,, Сь Dh G2, F4> Еа, Еь Es. Первые четыре типа называются класси-
классическими, последние пять — исключительными. В следующей таблице для
каждого типа указана размерность л, число п/1 — 1 и (для классических
типов) указаны односвязные группы данных типов.
At(SU(/ + l)) n = l(l + 2) n/l— 1 = 1+ 1
В, (Spin B/ + 1)) п = /B/ +1) n/l - 1 = 21
Ct (Sp(/)) n = /B/ +1) П/1 - 1 = 21
Dx (Spin B/)) л = / B1 - 1) n/l - 1 = 21 - 2
G2 л = 14 n/l - 1 = 6
F4 n= 52 n/l- 1 =.12
?6 л = 78 n/l- 1 = 12
?7 n = 133 n/l - 1 = 18
?8 n = 248 n/l- 1 = 30
Оказывается, что для классических групп можно доказать обращение
предложения 6:
17 Об этой симметрии см. [72].

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 159
Предложение 7. Простое, число р тогда и только тогда регулярно для
простой компактной классической связной и односвязной группы G размер-г
тети п и ранга I, когда рз= njl — 1.
Достаточность. В силу предложения 6 и следующего за ним замечания
2, достаточно показать, что группа G не имеет р-кручения, если p^njl— 1.
Но это немедленно следует из формул Эресмана — Бореля18, опреде-
определяющих кручение классических групп.-
Необходимость. Нужно показать, что простое число р < njl — 1 нерегу-
нерегулярно для G.
(a) Группа SU(/+ 1).
Нужно показать, что любое число р =s l нерегулярно. Но, как следует
из работы [V], операция Стинрода St f^-2 для р «s / отображает обра-
образующую группы H\G) 0 Zp в отличный от нуля элемент. Так как опера-
операция Стинрода перестановочна с /* и так как в алгебре Н*(Х) <g)Zp она три-
тривиальна, то, следовательно, число р нерегулярно для G.
(b) Группа Sp (О-
Случай р 9^ 2 вполне аналогичен предыдущему. Таким образом, остает-
остается показать, что числа 2 нерегулярно для группы Sp @, если I э= 2. Со-
Согласно следствию из предложения 5, для этого достаточно доказать, что
2-компоненты групп ^6(Sp(Z)) и ^6(S8) не изоморфны, причем этот факт доста-
достаточно проверить для 1 = 2. Но Sp B)/Ss = S7, так что имеет место точная
последовательность n-i(S7) -*¦ щ(%) -»¦ rc6(SpB)) -> 0. Поэтому достаточно
доказать, что 2-компонента характеристического класса у е ^6(SS) расслоения
SpB)/S3 = S7 отлична от нуля. Но это действительно так, потому что эле-
элемент у есть не что иное, как элемент Блейкерса — Масси*.
(c) Группы Spin B1) и Spin B1 + 1).'
Случай р9^2 рассматривается так же, как и для группы SU(/+ 1).
Следовательно, остается показать, что число 2 нерегулярно Для группы
Spin (п), когда п э= 5. Для п = 5 этот факт следует из того, что Spin E) =
= Sp B); для п = 6 — из того, что Spin F) =i SU D); для п э= 7 — из того,
что Spin (л) имеет 2-кручение (Борель, [15]).
Замечания. 1. Предыдущее предложение справедливо и для неодносвяз-
ных групп, за единственным исключением группы SO C).
2. Весьма интересно выяснить, распространяется ли предложение'7
на исключительные группы. По-видимому, легче всего изучить группу G2.
Легко доказывается, что числа 2 и 5 нерегулярны для G2 (потому что G2
имеет 2-кручение и' операция Stf нетривиальна на Я3^) <g) Z5) и что любое
простое число з*« 7 регулярно (предложение 6). Таким образом, для доказа-
доказательства предложения 7 в этом случае остается показать, что число 3 нерегу-
нерегулярно. Заметим, что это равносильно тривиальности 3-компоненты группы
%o(G2).
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
1 (к стр. 128). Ввиду большого значения формул Кюннета приведем здесь их крат-
краткое доказательство (принадлежащее А. С. Шварцу). Для простоты мы будем предполагать,
что комплекс К не имеет кручения, а группа циклов комплекса L выделяется прямым
слагаемым, т. е. для любого п
Ln=*Zn+ Wn.
Пусть В— 2 &п — группа границ комплекса L и пусть Cn= Bn+ Wn, C= ]?сп-
Очевидно, что С является подкомплексом комплекса L. Группа В, рассматриваемая как
18 См. [15].
* См. этот сборник, стр. 274. — Прим. ред.

160 Ж.-П. CEPP
комплекс с тривиальным дифференциалом, является подкомплексом комплекса С, и соот-
соответствующий факторкомплекс изоморфен группе W=^Wn, рассматриваемой как комплекс
с тривиальным дифференциалом. Таким образом, имеет место точная последовательиость
комплексов
0-у.В->С->- 1У-у0. A)
Так как комплекс К не имеет кручения, то, согласно 3.4, K*W= 0. Следовательно,
согласно 3.2, имеет место точная последовательность
Рассмотрим соответствующую точную последовательность групп гомологии (см. при-
примечание 5 на стр. 101)
Так как граничный оператор комплекса L изоморфно отображает группу Wn на группу
Вп-1, то отображение Я„(К® W) -*¦ #n-i(K®M0 изоморфно и, следовательно,
Н«(К ® Q = 0.
Рассмотрим теперь точную последовательиость
Из точности соответствующей последовательности групп гомологии и из доказанного
равенства Hn(K&Q= 0 следует, что
п( ® L) ~ Hn(K ® H(L)). B)
Далее очевидно, что
? C)
Следовательно, остается вычислить группу Hi(K®G), где G = <Hj{L).
Если G— Z, то K&Z я%< К и, следовательно, Н;(К® G) я%< ЩК) ® G. Отсюда
немедленно вытекает, что для свободной группы G
Hi(K ® G) ~ Hi(K) ® G. D)
Пусть теперь группа G произвольна. Представим ее как факторгруппу свободной
группы F:
0->#->¦ F-^G-уО.
Следовательно (см. выше соответствующие рассуждения для последовательности A)),
имеет место точная последовательиость
->-K® F-vK®G->-0.
Соответствующую точную последовательиость групп гомологии можно, учитывая D),
написать в следующем виде:
... -у Нп(К) ® R ^-> Нп(К) ® F -у Н„(
Следовательно, имеет место точная последовательиость
0 ->¦ Coker dn -> Нп(К ® G) ->• Кег йп-г -> 0.
Но Coker dn «* Нп(К) ® G и Кег dn-1 = Hn^K) * G. Таким образом, получаем
0 -> Нп(К) ® G ^- Hn(K ® G) -V Н„_!(К) * G -> 0. E)
Сопоставляя B), C) и E), получаем утверждение 3.6. Его уточнение 3.7 вытекает из изло-
изложенного непосредственно.
Заметим еще, что формула E) есть не что иное, как формула универсальных коэффи-
коэффициентов (напомним, что по определению
Нп(К, G)=Hn(K®G)).
Изложенные результаты (с очевидными изменениями в индексах) имеют место и
тогда, когда степень дифференциала в комплексах К и L отлична от —1. Например, если
степень дифференциала в К равна +1, то для любой группы G имеет место точная после-
последовательность
0 ^ Нп(К) ® G ^ Hn(K ® G) -+ Нп+1(К) * G -* 0,
аналогичная последовательности E). Применяя это утверждение к комплексу Hom(K, Z),
где К — некоторый комплекс с дифференциалом степени —1, и учитывая, что при свобод-
свободном комплексе К и конечном числе образующих комплекса К или группы G имеет
место соотношение
Hom(K, Z)<&G?a Hom(K, G),

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И КЛАССЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 161
мы получаем следующую формулу универсальных коэффициентов для групп когомологий:
Если комплекс К свободен и число образующих комплекса К или группы G конечно, то
имеет место точная последовательность
О-^ Нп(К) ® О-> Нп(К, G) -+ Яп+1(/<) *О->0;
если число образующих комплекса К конечно, то эта точная последовательность сводится
к прямой сумме.
Для групп когомологий имеет место также следующая формула универсальных
коэффициентов
О -> Ext (Hn_i(K), G) -> Нп(К, G) -+ Нот (Я„(К), G) -> 0, F)
где операция Ext определяется следующим образом. Пусть А а В — произвольные
группы и пусть А — F/R, где F — свободная группа. Тогда Ext (А,В) есть коядро
естественного гомоморфизма Нот (F, В) -> Нот (R, В). Свойства операции Ext аналогич-
аналогичны перечисленным выше свойствам операции Тог. В частности, для любой группы А
Ext (Zn, A) = АП!
где Ап = А/пА.
Доказательство формулы F) полностью аналогично доказательству формулы E).
2 (к стр. 138). Проекция /п расслоения A) определяется как отображение, относящее
любому пути его конец, а проекция расслоения (II) — как отображение, относящее
любому пути его начало. Очевидно, что слои и базы расслоений совпадают с указанными
в (I) и (II). Пространство (X, л) естественно вкладывается в пространтсво Хп (любая
точка пространства (X, л) отождествляется с единичным путем в этой точке). Очевидно,
что пространство (X, л) после этого вложения будет деформационным ретрактом прост-
пространства Хп и, следовательно (см., например, [117], предложение 1.2, стр. 13), будет иметь
тот же гомотопический тип (соответствующая деформация gT, 0 ^ т =s 1, определяется
формулой (gx u)(t) = u(t + ' — ? Qi и € X'n, 0 ¦« I =s 1).
Рассмотрим, далее, гомотопическую последовательность расслоения ((X, л + 1), /„,
Х,л))
)> п—1)) -> щ(Х, л + 1)-!*-+ щ (X, л) — -> щ-х (К (лп (X), я—1 ))-*....
Если iVn-1, л, то, поскольку т(К{пп(Х),п—\))=щ-1(К(пп(Х),п—\)) = О, из точ-
точности этой последовательности следует, что отображение /„: щ(Х, л + 1) -»¦ щ(Х, л)
является изоморфизмом. Таким образом, для Г г» п + 1 отображение /г о/, о.. . о/п
определяет изоморфное отображение группы щ(Х, л + 1) на группу 3ii(X). Кроме того,
jii(X, «+ 1) = 0, если i < л— 1. Следовательно, для доказательства того, что построен-
построенное пространство (X, п + 1) обладает всеми требуемыми свойствами, остается установить
соотношение лг(Х, л + 1) = 0 для 1= л— 1, л. С этой целью рассмотрим отображение
9: яп(Х, л) ->¦ пп-t (К (яп(Х), л—1)). Очевидно, что это отображение является ком-
композицией естественных изоморфизмов
лп(Х, л) ->- л„ (К(Мх), л)) -> :*„_! (К(лп(Х), л—1))
и, следовательно, изоморфно. Таким образом, для ? = л Im/n= 0, а так как Кег/п= О
(ибояп(К{яп(Х), п— 1)) = 0), то и пп(Х, п + У) = 0. Аналогично, для г=« — 1 Кег/п =
= 0, а так как nn-i(X, л) = 0, то и jtn-i(X,'n + 1) = 0.
3 (к стр. 145). Специальная петля, соответствующая точке х е Sn_v определяется
как малая окружность сферы #Sn, ортогональная экватору. Sn_x и проходящая через
точку х и начальную точку всех рассматриваемых петель (предполагается, что последняя
лежит на экваторе). Параметр t е[—1, + 1] иа специальных петлях задается так, чтобы
при t ss= 0 точки всех специальных петель принадлежали одной полусфере сферы Sn, a
при t =s 0 — другой.
4 (к стр. 145). Изоморфизм Гуревича г/: щ_1 (Qn) f» m(Sn) определяется следующим
образом: 7](а), где абзц_1(й„), есть класс отображения /': Еиг х [— 1, + 1] ->¦ Sn,
определенного формулой
/'(х, 0 = / (х) @, х е fii-i, — 1 =s t =s + 1,
где /: ?i_x ->¦ Qn — произвольное отображение класса а. Следовательно, для любого
a i. ni^ii&n^j) элемент Е(а) е jii(Sn) есть класс отображения g: ?i_j x [— 1, +1]->- Sn>
определенного формулой
g(X, t) = ^@, X € Ei-г, -UU1,
где q>x— специальная петля, соответствующая точке /(х) € Sn-i (здесь /: Si_x->- Sn_!— про-
произвольное отображение класса а). Таким образом, при < а» 0 точка g(x, t) принадле-
принадлежит одной полусфере сферы Sn, а при Ы0 — другой. Кроме того, g(x, 0) = /(х). Так
11 Расслоенные пространства

162 Ж-П. СЕРР
как этими условиями как раз и определяется надстройка Фрейденталя, то действительно
Е(я) является надстройкой класса а.
5 (к стр. 145). Как известно (см. стр. 80), Hq(Qn) = 0, если q < л—1
и Hn_-i(?!n) ** Z. Внимательное рассмотрение доказательства Серра показывает, что пос-
последний изоморфизм является иа самом деле естественным отображением Hn_1(Sn_1) -»
-*¦ Яп_1(йп), индуцированным описанным выше вложением Sn-! -> Qn. Отсюда с по-
помощью точной последовательности гомологии пары (Оп, Sn_x) немедленно получаем,
что Яд(й„, Sn.J = 0, если g =s л— 1. Кроме того (см. там же), Яд(йп) = 0,
если л — 1<0<2л — 2 и Я271_а(йп) *vZ. Отсюда немедленно следует (так как
Wg(Sn^i) = 0. если ? > л — 1), что Hq(Qn, Sn_i) = 0, если л — 1 < 0 < 2л — 2и
Нвп-гФп, Sn-i) ^Z. Следовательно, согласно теореме Гуревича, nq(Qn, Sn-J = 0, если
q < 2л — 2 и я,п_,(йП1 Sn-J »w Z. Отсюда, в силу точности гомотопической последова-
последовательности, получаем, что для q < 2л—3 естественное отображение яа(8п_1) -*¦ nq(On)
является изоморфизмом, а для q = 2л — 3 — эпиморфизмом. Таким образом, имея в
виду указанную выше связь между этим естественным отображением и гомоморфизмом
Фрейденталя Е, получаем предложение:
Для i < 2л — 2 надстройка Е: ni-i(Sn-i) -»¦ »i(Sn) является изоморфизмом, а
для 1 = 2л — 2 — эпиморфизмом.
Это предложение и известно как «легкая часть» теоремы Фрейденталя.
6 (к стр. 148). Произведение Уаитхеда [/, g]: Sn+m-i -*¦ X двух отображений
/: (Еп, Sn_!) -> (X, х„) и g: (Em, Sm_!) ->• (X, х,,) определяется формулой
( /(х), если х е ?п, У е Sm_!,
2(у),если xeSn_lf у е ?m,
где сфера Sn+m-j рассматривается как граница Еп X Sn_i U Sm_1 x Ят произведе-
произведения Еп х ?т клеток Еп и ?т. Это умножение отображений определяет, очевидно,
умножение соответствующих элементов гомотопических групп. С операцией о умножение
Уаитхеда связано следующей очевидной формулой:
У ° К /3] = [у о а, у о /3], а е лр (Sr), /3 € яд (Sr), у е лг (X).
Тот факт, что ?[а, /?] = 0 для любых а, /?, можно без большого труда вывести из данного
в примечании 4 описания гомоморфизма Я.
7 (к стр. 150). По-видимому, автор имеет в виду следующие две теоремы:
(I) Пусть топологическое пространство У получено из линейно связного хаусдорфова
пространства X приклеиванием (п + \)-мерного шара En+i посредством некоторого отобра-
отображения ft: Sn-> X границы Sn шара Еп+1 в пространство X. Тогда для г^2п—1
гомоморфизм g0: 7ir(En+1, Sn) -> яг(У, X), индуцированный естественным отображением
g: (?n+i> Sn) ->• (У, X) (гомеоморфным на внутренности шара Еп+1 и совпадающем с я
на его границе Sn)> является мономорфизмом.
(II) Если, кроме того, л{(Х) = 0 для i = 1, . . . , л— 1, то для тех же значений г
гомоморфизм g0 является эпиморфизмом.
Для доказательства теоремы (I) рассмотрим некоторую (л + 1)-мерную сферу
Sn+1 с отмеченной точкой х0. Пусть <р: (У, X) -*¦ (&п+1, х„) гомеоморф но отображает внут-
внутренность шара ?п+1 (т. е. дополнение У\Х) иа Sn+1\x0. Легко видеть, что индуцированный
отображением А = q> о g гомоморфизм Ао: яг(Еп+1, Sn) -> nv(Sn+1) является компози-
композицией граничного гомоморфизма d: яг(?п+1, Sn) -»• rar_1(Sn) и гомоморфизма Фрейденталя
?: jir-i(Sn) -» nr(Sn+]). Но для всех г гомоморфизм й. является изоморфизмом (ибо
щ{Еп+$ = 0 для всех г)- Следовательно, для г < 2л — 1 отображение Яо = % ° & изоморф-
изоморфно (ибо для г=«г2л— 1 отображение Е изоморфно; см. примечание 5). Теорема (I) следует
отсюда непосредственно.
Доказательство теоремы (II) см. в работе [159], стр. 14.

IV. О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
И ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ*
АРМАН БОРЕЛЬ
Введение
Изучение топологии компактных групп Ли и, вообще, топологии одно-
однородных пространств компактных групп Ли, начатое Э. Картаном [70] и
продолженное Эресманом [195—198], Понтрягиным [108], Хопфом [125, 175],
Самельсоном [124, 125], стало в последние годы предметом многих работ,
принадлежащих, с одной стороны, Лерэ [85], а с другой — Косулу [74, 75],
А. Картану [56], Шевалле, А. Вейлю. Эти работы (если не считать мемуаров
Эресмана) посвящены почти исключительно гомологиям и когомологиям с
вещественными коэффициентами. Что же касается Эресмана, то предметом
его работ в сущности является не изучение однородных пространств: он
исследует клеточные разбиения, конструкция которых основана на прямом
геометрическом определении рассматриваемых многообразий. То обстоя-
обстоятельство, что эти многообразия являются в другой связи факторпростран-
ствами компактных групп Ли, не играет почти никакой роли.
Совершенно иной является чисто алгебраическая точка зрения Косула
[74], рассматривающего гомологии и когомологии алгебры Ли над полем
характеристики 0. В случае вещественных коэффициентов результаты полу-
получают топологическую интерпретацию с- помощью теорем Э. Картава и де
Рама, которые, как известно, и привели к этому алгебраическому формализму.
Работа Косула показывает, насколько полезно понятие трансгрессии [ср. § 5],
которое непосредственно возникло из приведенного характеристического
изоморфизма Хирша2 и было введено в одном частном случае Чженем ([177],
теорема 8). Начиная с А. Вейля трансгрессию стали рассматривать не только
в однородных пространствах, но и в дифференцируемых главных расслоен-
расслоенных пространствах; как показал А. Картан [56], ее изучение сводится в
конечном счете к изучению трансгрессии в дифференциальной алгебре с
тривиальными когомологиями, которая играет роль алгебры внешных диф-
дифференциальных форм на пространстве, универсальном (§ 18) для всех раз-
размерностей. Полученные на этом пути результаты, принадлежащие Картану,
Шевалле, Косулу, Вейлю (частично совместные), резюмированы в [561 и
[75].
Работы Лерэ также касаются вещественных когомологии однородных
пространств, но основываются на других идеях. Как и работы Хопфа и
Самельсона, они используют методы алгебраической топологии. Дифферен-
Дифференцируемая структура и инфинитезимальная теория, лежащие в основе работ
[56], [74], [75], здесь почти не играют роли. Лерэ пользуется главным образом
своей гомологической теорией расслоенных пространств [84], которая являет-
является частным случаем гомологической теории непрерывных отображений [83].
Предметом настоящей работы является изучение когомологии главных
расслоенных пространств и однородных пространств по отношению к раз-
различным областям коэффициентов. Мы постоянно используем здесь теорию
Лерэ, что вполне допустимо, так как эта теория годится для любых коэффи-
* В о г е 1 A., Stir la cohomologie des espaces fibres principal» et des espaces homogenes
de groupes de Lie compacts, Ann. Math., 57 A953), 115—207.
8 Cm. [172].
11*

164 А. БОРЕЛЬ
циентов. Следуя работам Картана — Шевалле — Косула — Вейля, мы выдви-
выдвигаем на первый план трансгрессию, универсальные пространства и их базы —
классифицирующие пространства. Основную роль здесь играет существо-
существование универсальных пространств для компактных групп Ли в произволь-
произвольных размерностях. Именно этот факт, а также теорема Хопфа составляют
вместе с общей теорией Лерэ ту основу, которая позволяет нам получать
результаты о главных расслоенных пространствах и однородных простран-
пространствах. *
Изложим вкратце содержание отдельных глав.
Гл. I посвящена в основном напоминанию понятий и теорем, исполь-
используемых в дальнейшем, в частности теории Лерэ. Желая сделать эту работу,
насколько это возможно, независимой от других работ, мы повторили все
те определения, за которыми читатель должен был бы обращаться к ориги-
оригинальным мемуарам. Таким образом, чтение нашей работы не предполагает
обязательного чтения других работ, если читатель согласится принять на
веру теоремы, приведенные без доказательств в четырех первых параграфах.
В § 5 даются различные определения трансгрессии в расслоенном простран-
пространстве. Наиболее важно последнее из них, непосредственно выражающееся
в терминах спектральной последовательности расслоенного пространства.
Классические формулировки теоремы Хопфа [74], [175]3 предполагают
характеристику основного поля равной нулю, но сам Хопф подчеркивал,
что его доказательство дает некоторые сведения и о гомологиях по модулю
р. В § 6 гл. II определяется структура алгебры Хопфа (т. е. алгебры, удовле-
удовлетворяющей условиям Хопфа) над полем произвольной характеристики р.
Полученный результат можно выразить так: алгебра Хопфа всегда изо-
изоморфна левому тензорному произведению алгебр Хопфа с одной образующей
(если основное поле совершенно); таким образом, § 6 является чисто алгеб-
алгебраическим и, не считая некоторых определений, напоминаемых в § 1 (А),
(Е), не зависит от гл. I. В § 7 из теоремы Хопфа выводятся некоторые топо-
топологические следствия.
Гл. III посвящена изучению когомологий вещественных, комплексных
и кватернионных многообразий Штифеля. Цель изучения состоит в том,
чтобы получить сведения, которые позволят применить к частным случаям
общие теоремы следующих глав.
В гл. IV мы доказываем центральную теорему настоящей работы (теорема
13.1). Эта теорема, которая используется нами только в топологических
вопросах, представляет собой алгебраическую теорему о спектральных после-
последовательностях, обладающих некоторыми формальными свойствами спек-
спектральных последовательностей расслоенных пространств. Таким образом,
эта глава является чисто алгебраической.
В начале гл. V вводится понятие универсального пространства Е(п, G),
-или, проще, EG, для компактной группы Ли G и числа п (это — компактное
главное расслоенное пространство со слоем G, связное и локально связное,
когомологий которого тривиальны до размерности п), а также понятие клас-
классифицирующего пространства В(п, G) или BG ~ EJG для G и п. В § 19
содержатся приложения теоремы 13.1; основной результат следующий: если
алгебра когомологий H(G, Kp) компактной связной группы Ли с коэффициен-
коэффициентами в поле характеристики р есть внешняя алгебра с образующими, име-
имеющими нечетные степени, то она обладает системой ..универсально транс-
трансгрессивных" образующих (т.е. трансгрессивных в Ео и во всех локально связ-
связных компактных главных расслоенных пространствах со слоем G); кроме
того, алгебра когомологий H(BG, Kp) пространства BG является (до размер-
размерности п) алгеброй полиномов, система образующих которой есть образ
См. также [79], п. 24.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 165
при трансгрессии минимальной системы универсально трансгрессивных обра-
образующих алгебры H(G, Кр).
В § 20 мы прежде всего показываем, что универсально трансгрессивный
элемент алгебры H(G, Kp) является примитивным, после чего результаты
§ 19 позволяют обобщить основные теоремы диссертации Самельсона [124].
Если U — замкнутая подгруппа G, то существует естественный гомоморфизм
q*(U, G) : H(BG, M) -> Н(Ви, М) (М — произвольное кольцо коэффициен-
коэффициентов), очень важный для дальнейшего; этот гомоморфизм определен в § 21,
где установлена его связь с гомоморфизмом i* : H(G, M) -> H(U, М),
который индуцируется вложением. В § 22 вводятся некоторые спектральные
последовательности, связанные с главными расслоенными пространствами
и с однородными пространствами-, причем используются классифицирующие
пространства. В частности, неоднократно будет использоваться спектраль-
спектральная последовательность, ведущая от H(BG, H(G/U, M)) к H(BUt M) (теорема
22.2). Наконец в § 23 изучаются классифицирующие пространства для орто-
ортогональных унимодулярных групп, или, что то же самое, пространства Грас-
смана ориентированных подпространств; в случае когомологий по модулю
2 мы получаем новое доказательство теоремы Понтрягина.
Гл. VI посвящена когомологиям с вещественными коэффициентами. Мы
обобщаем сначала теорему Шевалле о когомологиях главных дифференци-
дифференцируемых расслоенных пространств на локально связные компактные рас-
расслоенные пространства. После этого выводится общая теорема А. Картана,
которая утверждает, что алгебра когомологий однородного пространства
G/U над полем вещественных чисел есть алгебра когомологий алгебры
H(BUt R) (g) H(G, R) относительно дифференциала, надлежащим образом
определяемого трансгрессией в EG и отображением Q*(U, G). Опираясь на
теорему Картана, можно было бы с помощью алгебраических рассуждений
вычислить когомологий пространства GJU, когда rangG = rang U (и, в част-
частности, вывести формулу Хирша). Однако мы предпочли рассмотреть этот
вопрос независимо, опираясь на две теоремы гл. V и на лемму, которая
утверждает, что нечетномерные числа Бетти пространства G/T (Т — мак-
максимальный тор в G) равны нулю. В § 27 вводится алгебра многочленов, инва-
инвариантных относительно группы Г. Вейля группы G, и доказывается, что ее
можно отождествить с алгеброй H(BG, R). Эта глава кончается некоторыми
замечаниями о гомоморфизме q*(U, G), отчасти верными и для произвольных
коэффициентов.
В гл. VII изучаются когомологий однородных пространств по модулю
рис целыми коэффициентами. Результаты далеки от той законченности,
какой обладают результаты для вещественных коэффициентов. Мы исследуем
главным образом случай равных рангов и даем достаточные условия для
того, чтобы можно было свести задачу к рассмотрению инвариантов группы
Г. Вейля, что часто позволяет сделать вычисление эффективным. В качестве
приложения изучаются когомологий некоторых классических однородных
пространств: U(n)/U(n1) х ... х V(nk), (п1+ ... + nk = n), SOBn)/U(n),
UBn)/Sp(n), U(n)/SO(n). Заметим, что многие теоремы этой главы примут
более удовлетворительную форму, если доказать, что алгебра H(GjT, Z)
(Т—максимальный тор в G) не имеет кручения*. В § 29 мы проверяем этот
факт для случая, когда G есть произведение простых групп, изоморфных
классическим группам или группам G2, F4, но нам не известно, верно ли это
в случае G = Е6, Е7) Еа.
Основные результаты этой работы были анонсированы в [14, 16, 17].
В следующем мемуаре мы докажем теоремы, сформулированные в [15] и не
фигурирующие в гл. III, изучим когомологий по модулю 2 некоторых одно-
* В настоящее время это доказано двумя различными методами (см. примечание 2
в конце статьи). — Прим. ред.

166 А. БОРЕЛЬ
родных пространств ортогональных групп (пространств, которые изучаются
в [196]) и вычислим стинродовские квадраты Sq* для многообразий Грассмана
и Штифеля*. Другая работа, которая.будет написана совместно с Серром,
посвящается обоснованию результатов [23]**.
Заканчивая это введение, я считаю необходимым поблагодарить г. Ж- Лерэ,
который сообщил мне доказательства результатов, анонсированных в Comptes
Rendus. Я обязан ему также значительными улучшениями в изложении
материала гл. IV. Я благодарю также г. А. Картана, который любезно держал
меня в курсе исследований, проводимых им с Шевалле, Косулом, Вейлем.
Его замечания в большой степени способствовали моему пониманию тополо-
топологического смысла алгебраических методов, развитых этими авторами. С
другой стороны, я извлек большую пользу из его семинара по алгебраи-
алгебраической топологии. Равным образом я признателен Ж.-П. Серру, многочис-
многочисленные советы которого очень помогли мне при выполнении этой работы.
Глава I
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
§ 1. Алгебраические понятия
(А). Мы будем обозначать всегда через А кольцо, изоморфное либо
кольцу Z целых чисел, либо полю Кр характеристики р(р—нуль или простое
числоL. Все Д-модули, которые рассматриваются в дальнейшем, предпола-
предполагаются унитарными***. Говорят, что Д-модуль Е не имеет кручения, если из
ах = 0(ае А, хеЕ) вытекает, что а = 0 или х = 0. Конечно, кручение может
иметь место только в случае Д = Z. Если Е — абелева группа, то через
Tor E будет обозначаться подгруппа всех элементов Е, имеющих конечный
порядок. Будем говорить, что Е не имеет /r-кручения, если Tor E не содержит
отличного от нуля элемента, порядок которого делится на к. В частности, в
Е всегда отсутствует О-кручение.
Д-модуль Е градуирован, если он разлагается в прямую сумму своих
подмодулей Е*. Элемент m* e Е* называется однородным элементом степени /.
Модуль Е биградуирован, если он разлагается в прямую сумму подмодулей
Ei>J". Элемент mi>j e Ew называется биоднородным элементом степени (i, /).
Если Е является Д-алгеброй****, то требуется еще, чтобы
Е*-Е} a Ei+J"
или
?ij,p,lC?i«,it! A.1)
соответственно.
* См. [191. — Прим. ред.
** См. [V]. — Пром. ред.
4 Все теоремы этой главы верны и тогда, когда Л есть произвольное кольцо главных
идеалов, ио нам будут нужны только перечисленные случаи.
*** А-модуль Е называется унитарным, если А — кольцо с единицей, причем
1 • х= х для всех х € Е. — Прим. ред.
**** А-модуль Е, в котором введено ассоциативное умножение элементов, называется
А-алгеброй, если
*К ух + а2 у2) = а^хут) + а2(ху2) (х, уи уа е ?, аг а2 е А),
К Ух + аг у2)х = а1{у1 х) + а2(у2 х).
— Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 167
Градуированная алгебра называется антикоммутативной, если т*т? =
= (— IL' т?т\ Обозначим через д Р внешнюю алгебру свободного Л-модуля
Р*. Если Л-модуль Р градуирован, то алгебра д Р градуируется очевидным
образом. Если А —- Z или Л = KJ(p Ф- 2), то алгебра д Р является анти-
коммутативной только в том случае, когда Д-модуль Р градуирован с по-
помощью нечетных степеней.
Дифференциальной Л-алгеброй (?, d, ш) называется алгебра, в которой
заданы Д-линейный оператор d и автоморфизм со, удовлетворяющие условиям
d-d = O; da> + cod = 0; d(x-y) = dx-y +a>(x)-dy. A.2)
Элементы ядра C(?) оператора d называются коциклами, элементы образа
D(E) — кограницами, факторалгебра Н(Е) = C(?)/Z)(?) называется алгеб-
алгеброй когомологий алгебры ?. Если алгебра ? градуирована, то предпола-
предполагается еще, что d{Ei)C.Ei+r (число г, не зависящее от i, называется степенью
d). В этом случае алгебра ЩЕ) также градуирована.
Алгебру (?, d, ш) будем называть канонической, если она градуирована,
оператор d имеет степень 1 и со(т1) = ( — 1)*т* (т* е ?*).
(В). Алгебра с фильтрацией. Фильтрация в Л-алгебре Е определяется
последовательностью ее подмодулей Sp, удовлетворяющих условиям
[JSP = E. A.3)
p
Формула/(x) = max p определяет функцию на алгебре Е, значениями
которой являются целые числа или оо. Эта функция удовлетворяет условиям
/(х + у) з* min (/(х), /(у)), f(ax) ^ /(х),
/(х • у) > /(х) + f(y), /@) = + со (а е А; х, у е Е). A.4)
Обратно, всякая функция, удовлетворяющая этим условиям, определит
фильтрацию, если положить х е Sp при /(х) s» p.
Будем говорить, что фильтрация ограничена сверху (снизу), если су-
существует такое к, что Sh = 0 (соответственно, если Sh = ?). В этом случае
функция / ограничена сверху (снизу) числом к на элементах, отличных от 0.
С каждой обладающей фильтрацией алгеброй Е связана некоторая
градуированная алгебра G(?). Как модуль, это есть_прямая сумма модулей
Sp/Sp+1; произведением элементов sp e Sp/Sp+1 и se e SqjSq+1 называется
смежный класс из Sp+a/Sp+e+1, содержащий произведение spsq двух пред-
представителей из sp и s« в Sp и Sq соответственно. Это определение корректно в
силу A.3).
Если фильтрация ограничена сверху и снизу, то G(?) является прямой
суммой последовательных факторов конечного нормального ряда подмодулей
?. Частные случаи:
1) А = К, G(?) является тогда векторным пространством, изоморфным
пространству ? и градуированным конечным числом степеней.
2) Л = Z, Е — Z. G(?) есть прямая сумма конечного числа циклических
групп различных конечных порядков pt и группы Z.
3) А = Z, E — Z +... + Z (к раз). G(?) — прямая сумма конечной
группы и к групп Z.
4) Л = Z, Е — конечная группа порядка п. G(?) — прямая сумма т
конечных групп порядков п1(..., пт, где n1...nm== п.
* Д-модуль Р называется свободным, если в нем существует система элементов
{ха} (а пробегает произвольное множество Г) такая, что всякий элемент х е Р однозначно
п
представляется в виде х= ^} па.к xat (uat ? А). Внешняя алгебра Л Р есть А-алгебра с
ft-i
образующими {ха} и определяющими соотношениями хахр-\-хрХа = 0. — Прим- ред.

168 А. БОРЦЛЬ
Если Е — дифференциальная алгебра с фильтрацией, то предпола-
предполагается еще, что /(о>(х)) == /(х). Положим Ср = Sp f] C(?), Dp =¦- Sp f] D(E).
Подмодули Jp, канонические образы Cp в Н(Е), определяют фильтрацию в
Н(Е). Для этой фильтрации
О(Я(Я)) = 21 JP!JP+1 = 2 CpICp+1 + Dp. A.5)
Заметим еще, что если G(fi) не имеет кручения (Е — произвольный
модуль). \о и Е не имеет кручения.
(С). Спектральная последовательность. Всякой дифференциальной алгебре
с фильтрацией можно сопоставить последовательность дифференциальных
градуированных алгебр — спектральную последовательность, которую мы
обозначим через (Нг). Напомним вкратце ее определение и некоторые свой-
свойства, отсылая за деталями к [83]*. Положим
СР = {х, х е Sp dx e Sp+r}, D? = dC?~r,
Hr = 2H*. A.6)
p
Определим в Нг произведение и автоморфизм со с помощью перехода к фактор-
пространствам. Отправляясь от гомоморфизма пар
(Гр ГР+1 1 ПР \_!L^>(rp+r ПР+г\ * .... /pp+r fp+r+l | ПР+П (\ 7\
(через i обозначено вложение) и переходя к факторпространствам, определим
линейный оператор d*:H*-+ /7?+r. Отсюда получается линейный опера-
оператор dr в алгебре Нг, увеличивающий степень на 1 и имеющий нулевой квадрат.
Доказывается, что Нг есть градуированная дифференциальная алгебра и
что Нг+1 — ее алгебра когомологий. Положим также //„, = G(H(E)), Я_то=
= G(E).
Обозначим через «J+i гомоморфизм подалгебры коциклов алгебры Нг
на Нг+1 и положим «s = к^г1.. .xrr+1 (s > г). Гомоморфизм х\ отображает
на На множество всех тех элементов из Нг, которые являются „коциклами
для операторов dr, dr+1, ..., d^', т. е. удовлетворяют условию dhxlh = 0
для г *sk<is.
Нас будет интересовать только тот случай, когда алгебра с фильтрацией
(?, d, со) градуирована подмодулями пЕ и является канонической, причем
каждый модуль Sp является прямой суммой своих пересечений с модулями
пЕ. Эта новая градуировка переносится на алгебры Нг, Положим
Dpq=DPf)p+qE, ур'9 = урПр+аЯ(Е). 0-8)
Тогда Нг будет биградуирована подмодулями
щ,ч = Cf'qjCfll «-1 + ЛрД, A.9)
а /7оо — подмодулями
Если, кроме того,
0^/(х)^/ A.10)
для х е {Е, х 9^ 0, то
Н™=Щ?1=...=Н™ A.11)
для г > р + q + 1, что позволяет рассматривать Ято = G(H(E)) как предел
Яг при г ->• оо.
Будем называть канонической спектральной последовательностью после-
последовательность (Яг) дифференциальных градуированных алгебр Нг (г — произ-
* См. также [ I], гл. I. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 169
вольное целое число или, в известных случаях, г з= г0), обладающую следу-
следующими свойствами: Нт — дифференциальная алгебра, биградуированная
степенями р, q s= 0, каноническая и антикоммутативная по отношению к
полной степени п = р + q; оператор dr увеличивает степень р на г единиц
и уменьшает степень q на г — 1 единиц; Нг+1 — алгебра когомологий алгебры
Нг.
(D). Гомоморфизмы. Пусть ЕиЕ'— две алгебры над Аи Я—гомоморфизм
Е в Е'. Если алгебры ЕиЕ' градуированы, то потребуем, чтобы Д(?4) с Eri;
если они дифференциальные, — чтобы d'X=Xd, ш'Х = Хш\ если они с
фильтрацией, — чтобы A(SP) с S'p. При выполнении этих условий гомомор-
гомоморфизм А индуцирует гомоморфизм спектральных последовательностей (Нг)
и (HI), т. е. набор гомоморфизмов А : Нг -> HI для всех г, обладающий свой-
свойством
;(*?+1Л) = к?+1(Д(Л)), A.12)
где dji = 0. Гомоморфизм А индуцирует также гомоморфизм А : Я(?) -> Н(Е'),
для которого А(ур) с J'p. Следовательно, А индуцирует гомоморфизм #«,
в /У^,. Если А является изоморфизмом Нг на #г, то и при s^r он является
изоморфизмом На на #s- Если при этом ЕиЕ' градуированы и выполнено
условие A.10), то А есть изоморфизм Н{Е) на Н{Е'), сохраняющий филь-
фильтрацию. Действительно, из сделанных предположений вытекает, что А яв-
является изоморфизмом G(H(E)) — Нов = Нт Нт на G(H(E')) = lim H'r. На
элементах, имеющих фиксированную полную степень п, фильтрация ограни-
ограничена сверху, и потому применимо рассуждение предложения 6.2 из [83]*.
(Е). Тензорное произведение**. Обозначим через Е® F тензорное произ-
произведение Л-модулей Е и F над кольцом А ([27], III, § 1). Если Е и F градуиро-
градуированы, то Модуль Е 0 F биградуирован подмодулями Ег 0 FK Введем также
полную степень i + /. Пусть Е и F — градуированные алгебры. Определив
умножение в Е 0 F формулой
{4®Г)№\®У)\= (~ 0i3'(x -хК®У{'У)> 0-13)
мы превратим модуль ?®F в биградуированную алгебру. Это произве-
произведение алгебр следовало бы, по существу, называть левым тензорным произ-
произведением в отличие от обычного тензорного произведения алгебр ([27], III,
§ 3). Но мы будем рассматривать только произведение, операция в котором
определена формулой A.13), и потому слово „левое" опускаем. Если А-
модули Е и F антикоммутативны, то алгебра Е 0 F антикоммутативна по
отношению к полной степени. Пусть Е и F—канонические алгебры. Вводя
в Е (g) F дифференциал d и автоморфизм ш формулами
= dx*> <g) у + (- 1 у хр <g)dy,
, A.14)
мы превращаем эту алгебру в каноническую дифференциальную алгебру по
отношению к полной степени. Отображения x^y-^dx^y и x<giy->xCdy
линейны и имеют нулевой квадрат. Назовем их частными дифференциалами
по отношению к алгебрам Е и F.
* Достаточно показать, что всякий однородный элемент у из Н(Е') имеет прообраз
в Н(Е). Пусть степень у равна п и пусть у € J'P. Поскольку Л индуцирует изоморфизм
G(H(E)) на G(H(E')), можно построить последовательности элементов степени п : ур+1,
• - - . Уп+i (Уь. ej'*) ихр, хр+1, ... , хп (хп € Jh) такие, что кхр= у + ур+1> кхр+1 = ур+1 +
+УР+г, Ьхп=уп + уп+1. В силу условия A.10), уп+1 = 0 и Я(хр — хр+1 + хр+2—
—¦.. ±хп) = у- — Прим. ред.
** См. [118], пп. 5.12, 5.13,и примечание** на стр.48. — Прим. ред.

170 А. БОРЕЛЬ
§ 2. Расслоенные пространства
Мы будем называть расслоенным пространством систему (Е, В, F, р),
состоящую из двух пространств Е, В и открытого отображения (проекции)
р пространства Е на В. При этом требуется, чтобы для каждой точки b e В
существовали окрестность Vb и гомеоморфизм ?ь множества p~\Vb)aa Vbx F,
удовлетворяющие условию
?ьр-1(х) = * х F (xeVb). B.1)
Как известно, расслоение называют тривиальным, если существует
гомеоморфизм пространства Е на BxF, удовлетворяющий условию B.1)
для всякого хе В. Налагаемое же нами условие есть условие локальной три-
тривиальности. Правда, для вывода теоремы 4.1 нужно потребовать от локальной
тривиальности некоторой равномерности. Поэтому предполагают, что су-
существует окрестность V диагонали в ВхВ такая, что расслоенное прост-
пространство тривиально над U с В всякий раз, когда U x U С V. Но это свой-
свойство вытекает из локальной тривиальности, если В компактно или метри-
зуемо. Так как этих двух частных случаев вполне достаточно для настоящей
работы, то мы не ввели в определение дополнительного условия.
Говорят, что компактная группа G действует справа на пространстве
Е, если существует непрерывное отображение ft:?xG->?, удовлетворя-
удовлетворяющее условиям
х-е=х; (x-g)-g' = x-(gg') (хе?; g, g'eG; e—единица G) B.2)
(мы обозначаем ft(x, g) = x • g). Аналогичное определение дается для группы,
действующей слева. Предположим, кроме того, что
x-g^x (хеЕ), B.3)
если g =? е. В этом случае группа G определяет разложение пространства Е
на замкнутые подпространства, гомеоморфные G, — траектории точек Е.
Пусть р — проекция Е на пространство траекторий В = E/G. Система
(?, В, G, р) называется главным расслоенньил пространством (компактной)
группы G. Требовать локальной тривиальности для применения теории
Лерэ не нужно, но эта тонкость совершенно не важна для настоящей работы.
Действительно, группа G у нас всегда будет группой Ли, а пространство
Е — локально компактным и, следовательно, вполне регулярным*, и локаль-
локальная тривиальность обеспечивается теоремой Глисона [37]. Локальная три-
тривиальность понимается здесь в смысле главных расслоенных пространств.
Это значит, что для всякой точки be В существуют окрестность Ub и гомео-
гомеоморфизм Сь множества p~\Ub) на UbxG, удовлетворяющие условию B.1)
и такие, что
?ь(*-?) = Сь(*)-? (*etfb), B-4)
(подразумевается, что G действует в Ub x G по формуле (х, g)-g' =(x, gg')).
Пусть F — пространство, на котором группа G действует слева, и
(Е, В, G, р) — главное расслоенное пространство. Обозначим через (Е, F)G
введенное Эресманом факторпространство пространства ExF по отно-
отношению эквивалентности (х ¦ g, g • /) pa (x, /). Отображение (х, /) -»¦ р(х)
пространства ExF на пространство В переносится на факторпространство
и превращает X = (?, F)G в расслоенное пространство (X, В, F, р) со струк-
структурной группой G (локально тривиальное одновременно с Е). Рассмотрим
два частных случая этого понятия.
(а). Само F есть главное расслоенное пространство (?', В', G, р'), и G
действует на нем слева по формуле х' —>¦ g • х'. Отношение эквивалент-
* Определение вполне регулярных пространств, так же как и другие основные
понятия теоретико-множественной топологии, можно найти, например, в книгах
[169, 3, 107]. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 171
ности имеет вид (х, х') ^ (х • g, g 1 • х'). Пространство (Е, ?% допускает
два расслоения: (X, В, ?', р) и (X, В', Е, р'). Пусть ix — вложение ?' в
X, составленное из отображения е' -> (х, е') пространства Е' в fix E'
и из проекции последнего на X. Тогда, очевидно, имеет место коммутативная
диаграмма
A/-
В'
(Ь). Группа G транзитивно действует на пространстве F. Тогда F отож-
отождествляется с пространством G/U левых классов смежности G по замкнутой
подгруппе U, на котором G действует посредством левых сдвигов. В этом
случае пространство (Е, F)G = (?, G/U)G канонически отождествляется с
факторпространством пространства Е по отношению эквивалентности, кото-
которое в нем определяет группа U. Получается расслоенное пространство
(E/U, В, G/U, р). Если, кроме того, U является нормальным делителем в
G, то G/U очевидным образом действует справа на пространстве E/U, которое
становится главным расслоенным пространством группы GiU.
Мы не будем повторять хорошо известных определений гомоморфизмов
расслоенных пространств, главных расслоенных пространств и расслоенных
пространств с данной структурной группой (см., например, [59], Сообщение
VI)*. Напомним лишь определение индуцированного расслоенного простран-
пространства (ср. индуцированное косое произведение в [143], § 10). Пусть (?', В', F', р')
— расслоенное пространство и f: B-+ В' — непрерывное отображение.
Обозначим через Е подпространство пространства В х ?', образованное
такими точками (Ь, е'), что f(b) = р'(е'). Определим отображения р : Е-> В
и /:?->?' формулами р((Ь, е')) = b, f((b, е')) = е'. Отображение р пре-
превращает Е в расслоенное пространство (Е, В, F', р) (локально тривиальное
одновременно с ?'). Оно называется индуцированным расслоенным простран-
пространством. Очевидно, диаграмма
B.6)
коммутативна, т. е. / является гомоморфизмом пространства (Е, В, F', р)
в пространство (?', В', F', р'). Если пространство ?' локально тривиально,
то эта диаграмма определяет (Е, В, F',p) с точностью до изоморфизма. Если
пространство ?' главное, то ? тоже является главным пространством. (Обо
всех понятиях, которые упоминаются в этом параграфе, см. [59], Сообщения
VI, VII, а также [143].)
§ 3. Теория Лерэ. Когомологии компактных пространств
Из гомологической теории, развитой Лерэ, мы используем в настоящей
работе только теорему существования спектральной последовательности
расслоенного пространства и свойства этой последовательности, резюми-
* Непрерывное отображение Я:?->?' называется гомоморфизмом (Е, В, F, р) в
(?', В', F',f), если из рх =ру (х, у € Е) следуетр'Лх=р'Яу. Когда оба расслоенных прост-
пространства являются главными с одной и той же группой G (т. е. F=F'= G), отображение
Я: Е->- Е' называется гомоморфизмом, если A,(xg) = (Ax)g (x e E, xeG). По поводу гомо-
гомоморфизмов расслоенных пространств со структурной группой G см. [143], 2.5.
— Прим. ред.

172 А. БОРЕЛЬ
рованные в начале § 4. Для выражения этих фактов достаточно классических
понятий и тех понятий, которые были введены в § 1 и 2. Но метод, которым
Лерэ строит свою спектральную последовательность, будет использован
нами в § 5 и 24. Поэтому нам придется изложить ряд других вопросов теории
Лерэ. В § 5 и 24 речь будет идти о компактных пространствах. Поэтому в
настоящем параграфе мы для краткости будем рассматривать только ком-
компактные пространства. Обращаем внимание читателя на то, что некоторые
из нижеследующих определений годятся только для компактных пространств.
Работа [83] начинается с развития аксиоматической теории когомологий
Александера—Спанье6 с компактными носителями. В основу теории поло-
положено понятие кольца. Мы же отправляемся от алгебр над кольцом А, что
выгодно для некоторых приложений. Доказательства работы [83] перено-
переносятся на этот случай без труда. Впрочем, детальное изложение теории, сде-
сделанное с этой точки'зрения, можно найти в [18]*, куда мы также отсылаем
читателя за некоторыми предложениями, которых нет в [83] и [84].
А-комплексом К. на компактном пространстве X называется А-модуль,
с каждым элементом к которого связан носитель к — замкнутое множество
S(k) С X, причем выполнены условия:
S(k + k')aS(k)\JS(k'); S(ak)aS(k); C.1)
S(k) = 0 эквивалентно к = 0. C.2)
Если К — дифференциальная Л-алгебра, то предполагается еще, что
S(k-k') с S(k) n S(k'), S(dk) С S(k), S(«(fc)) = S(k). C.3)
Если модуль К градуирован, то предполагается, что S(k) есть объединение
носителей однородных компонент к. Говорят, что комплекс не имеет кру-
кручения, если S(ak) — S(k) (ae A, /се К). Из C.1) и C.2) видно, что такой ком-
комплекс не имеет кручения и как Л-модуль.
Пусть /:Х~*К —непрерывное отображение. Если К—комплексна
X, то, сопоставляя каждому /сеК носитель f(S(k)), получим комплекс /(К)
или /К на Y. Если L — комплекс на У, то формулой S'(k) = f~x(S(k)) можно
ввести новые носители на X. Факторалгебра L по множеству элементов,
новые носители которых пусты, есть комплекс на X, обозначаемый через
f~\L). Если, в частности, / есть вложение подпространства ХСК, то i~\L)
называется сечением комплекса L подпространством X. Обозначим его через
XL (через Хк будет обозначаться образ k€L в XL). Очевидно, имеют место
следующие изоморфизмы алгебр:
yL. C.4)
Заметим еще, что если L не имеет кручения, то XL тоже не имеет круче-
кручения.
Пусть К а К' — два Л-комплекса на X. Отнесем каждому heK<S>K'
носитель S (Л) по следующему правилу: х е S (Л), если образ Л в хК ® хК'
при гомоморфизме тензорного произведения, определяемом гомоморфиз-
гомоморфизмами К -> хК и К' -> хК', отличен от нуля. Фактормодуль К (?> К' по эле-
элементам с пустым носителем есть Л-комплекс на X. Он называется пере-
пересечением К и К' а обозначается через К ° К'.
Комплекс К называется тонким, если для всякого открытого конеч-
конечного покрытия Vlt ..., Vn пространства X существуют линейные операторы
5 Следуя Картану [60], мы называем так когомологий, изучаемые в [137], в которых
р-коцепи суть функции от р + 1 точки пространства. Компактность носителей означает,
что рассматриваются только функции, обращающиеся в нуль, когда точки-аргумеиты
находятся достаточно близко одна к другой и вне некоторого компакта, зависящего от
рассматриваемой функции.
* См. также [118]. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 173
rlf ..., гп, действующие в К и такие, что
8(п(к)) С У, П S(k); (гг + ... + гп)(к) = к. C.5)
Алгебра К называется А-перекрытием, если она не имеет кручения,
канонически градуирована неотрицательными степенями, содержит единицу
и, носитель которой есть все X, и если Н°(хК) ^ А, Н\хК) = О (/ > 0)
для всякого х е X.
Имеет место теорема единственности, утверждающая, что алгебры
когомологий двух тонких Л-перекрытий канонически изоморфны ([18],
Сообщение III). Обозначим через Н(Х, А) полученную таким образом
алгебру когомологий. Это — алгебра когомологий Але'ксандера — Спанье
пространства X со значениями в А, так как коцепи Александера — Спанье
со значениями в А, снабженные подходящими носителями, образуют тон-
тонкое А-перекрытие ([83], п. 16; [18], Сообщение II). В работе [83] теорема
единственности сформулирована и доказана для когомологий с коэффици-
коэффициентами в пучке ([83], п. 41; [18], Сообщение V, п. 5). Так как понятие пучка
коэффициентов будет играть у нас весьма малую роль, то мы, не давая пол-
полного определения пучка*, ограничимся некоторыми замечаниями, направ-
направленными в основном на то, чтобы определить когомологий по отношению к
постоянному или локально постоянному пучку с помощью более обычных
понятий. Пучок В на пространстве X определяется заданием некоторого
закона, относящего, каждому замкнутому подмножеству FcX модуль
B(F); при этом должны удовлетворяться некоторые условия ([83], п. 23;
[18], Сообщение V). Комплексу К и пучку В можно сопоставить комплекс
К о В — их пересечение. Он состоит, грубо говоря, из конечных линейных
комбинаций элементов К с коэффициентами из В, причем коэффициент при
к берется из В (S (к)). В частности, если В есть ..постоянный пучок, изоморф-
изоморфный А-модулю М", и если комплекс К тонок, то К ° В ^ К ® М, а если
К есть тонкое А-перекрытие, то модуль Н(К о В) = Н(К ® М) канонически
изоморфен модулю когомологий Александера — Спанье со значениями в
М ([18], Сообщение IV, п. 1). Если М — коммутативная алгебра, то Н (К ° В)
является антикоммутативной алгеброй.
Понятие локально постоянного пучка обобщает понятие семейства
локальных коэффициентов в смысле Стинрода и сводится к последнему,
когда пространство X линейно связно и локально линейно связно ([83],
п. 69—73). В локально постоянном пучке, локально изоморфном А-модулю
М, существует максимальный постоянный подпучок В_, изоморфный под-
подмодулю М С М (в случае локальных коэффициентов М(х) — это множество
всех тех элементов М (х), на которых фундаментальная группа пространства
X действует тривиально). Доказывается, что если X — связный локально
связный компакт, а К тонкое А-перекрытие, то Н°(К ° В)^М ([18],
Сообщение VII, Добавление), что, впрочем, хорошо известно в случае локаль-
локальных коэффициентов. (Изоморфизм Н° (К ° В) на А/ индуцируется сече-
сечением комплекса К ° В точкой х е X, т. е. гомоморфизмом К ° В в хК ® В(х)=
= хК (g) M.)
Сечение тонкого перекрытия X подпространством УСХ является тон-
тонким перекрытием пространства Y ([83], п. 32 и предложение 37.3; [18], Сооб-
Сообщение II). Если X — многообразие, то за тонкое /^-перекрытие (R — поле
вещественных чисел) можно принять алгебру внешних дифференциальных
форм, которая является канонической и антикоммутативной. Это верно,
в частности, для сферы, и теорема погружения Менгера — Небелинга**
дает
* О пучках и когомологиях с коэффициентами в пучке см. [X]. — Прим. ред.
** См. [113], стр. 41 (теорема 5). — Прим. ред.

174 А. БОРЕЛЬ
Предложение 3.1. Сепарабельное метрическое компактное простран-
пространство конечной размерности имеет тонкое антикоммутативное R-перекры-
mues.
Пусть F — замкнутое подпространство компактного пространства
X, К — тонкое А-перекрытие X, Kx-f — ядро отображения К -*¦ FK,
т. е. множество тех элементов К, носители которых не пересекают F, и пусть
М — некоторый Л-модуль. Тогда существует точная* последовательность
линейных отображении
О -»¦ Kx-F ®M^K®M^FK<g)M^0, C.6)
которая индуцирует следующую точную последовательность когомологий:
—> Я»-1 (F, М) -*-> Hn(KX-F ®М)—+ Нп(Х, М) —+ Hn(F, M) —¦*. C.7)
Доказывается, что Нп (Kx-f ® Щ можно отождествить с алгеброй
Нп(Х mod F, М) таким образом, что последовательность C.7) превратится в
точную последовательность относительных когомологий Александера —
Спанье ([18], Сообщение IV, п. 1; Сообщение VII, Добавление).
Обозначения. Если не оговорено противное, то через Н(Х, М) будет
обозначаться алгебра когомологий Александера — Спанье с компактными
носителями локально компактного пространства X со значениями в алгебре
М или же в локально постоянном пучке, локально изоморфном М.
Будем говорить, что X имеет когомологий, тривиальные относительно М
(до размерности п), если Н°(Х, М) = М, Н\Х, М) = О для i > 0 (соот-
(соответственно 0 < i =s= п). Будем говорить, что X не имеет кручения (/с-круче-
ния), если Н(Х, Z) не имеет кручения (соответственно /с-кручения).
Через /*: H(Y, М) ->• Н(Х, М) будет обозначаться гомоморфизм, порож-
порожденный непрерывным отображением / : X ->¦ Y. Для когомологий с компакт-
компактными носителями гомоморфизм /* может быть ненулевым только в том слу-
случае, когда / — собственное отображение, то есть когда полный прообраз
всякого компакта из У компактен в X.
§ 4. Теория Лерэ. Расслоенные пространства
Лерз связал с каждым непрерывным отображением некоторую спект-
спектральную последовательность ([83], п. 50). Мы здесь будем рассматривать
только тот случай, когда отображение является проекцией расслоенного
пространства на базу. Поэтому основную теорему** Лерэ мы сформулируем
следующим образом.
Теорема 4.1. Пусть (Е, В, F, р) — связное локально компактное рассло-
расслоенное пространство со связными слоями и локально связной базой и М — ком-
коммутативная А-алгебра. Тогда существует спектральная последовательность
(Нг) над А, каноническая при г s» 2, в которой Н2=Н(В, H(F, M)) и
которая оканчивается градуированной алгеброй, связанной с алгебройН (?, М),
снабженной надлежащей фильтрацией7:
6 А. ' Картан доказал, что тонкое антнкоммутативное Я-перекрытне существует на
любом компактном пространстве (не опубликовано).
* См. примечание 3 на стр. 100. — Прим. ред.
** Для сингулярных гомологии и когомологий см. в [I]. — Прим. ред.
7 В действительности Лерэ рассматривает бесконечное множество спектральных
последовательностей, каждая нз которых соответствует фильтрации, характеризуемой
двумя целыми числами /, т, но эти последовательности не являются существенно раз-
различными. Теорема сформулирована здесь для фильтрации / = 0, т = 1 (см. [84]). Опреде-
Определение этой фильтрации, единственной, какую мы будем использовать, мы напомним ниже.
Она и связанная с ней фильтрация алгебры Н(Е,М) удовлетворяют условию A.10). Если
алгебра М не коммутативна, то имеет место аналогичная теорема, только Нг не обязательно
будет антикоммутативной алгеброй по полной степени. Если М есть модуль, то можно
утверждать только что Нг — также модуль.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 175
Точнее говоря, Я2 является алгеброй когомологий пространства В
по отношению к локально постоянному пучку, локально изоморфному H(F, M),
который определяется на В отображением р, или, если угодно, по
отношению к локальному семейству коэффициентов, образованному на
В алгебрами Н(р~г (b), M). Но использовать спектральную последователь-
последовательность мы будем почти исключительно в таких случаях, когда это семейство
простое, то есть когда в алгебре Н2 коэффициенты обыкновенные. Это имеет
место в каждом из следующих случаев ([84], пп. 4,5):
1) В линейно связно и локально линейно связно, а также односвязно.
2) (Е, В, F, р) является главным расслоенным пространством, слой
которого — компактная связная группа, или факторпространством
(E/U, В, F/U, р) главного пространства по замкнутой (не обязательно свя-
связной) подгруппе группы F.
Если М = А и если в алгебре Н2 коэффициенты обыкновенные, то можно
применить „правило Кюннета". Известно, что в этом случае Н2 содержит
подалгебру, изоморфную Н(В, А) ® H(F, А), которая совпадает с Н2,
когда А = Кг, или когда А = Z, и по крайней мере одна из алгебр
Н(В, Z), H{F, Z) не имеет кручения ([83], п. 17). Фактормодуль
Н(В, H(F,Z))/H(B, Z) 0 H(F,Z) представляет собой так называемое
дуальное, или периодическое, произведение Картана и Эйленберга
Тог(Я(В, Z), H{F, Z))*. Однако это понятие понадобится нам только в хорошо
известных элементарных случаях (ср. п. 8.2). Что же касается двойной
градуировки, то имеет место точная последовательность
О -* НР(В, Z) <g> H\F, Z) -> НР(В, H%F, Z)) -*
-> Tor {HP+\B, Z), H\F, Z)) -> 0. D.1)
Резюмируем теперь основные свойства спектральной последователь-
последовательности.
(a) Алгебра Н2 биградуирована подмодулями Н\>9 — НР(В, H^F, M)).
Число р называется степенью по базе, q — степенью по слою, р + q — пол-
полной степенью. Эти степени будут обозначаться через DB, DF и D соответст-
соответственно. Дифференциал dr в Нг увеличивает DB на г единиц, уменьшает DF
на г — 1 единиц и увеличивает D на единицу.
(b) Гомоморфизм р* : Н(В, М)-> Н(Е, М) может быть отличен от
нуля только в том случае, когда пространство F компактно (для когомоло-
когомологий с компактными носителями). В этом случае Щ-0 = НР(В, H°(F, M)) =
= НР(В, М). Дифференциал dr, уменьшающий DF па г— 1 единиц, необхо-
необходимо равен нулю на Н^° (г == 2), и потому ЩД получается из Нр° факто-
факторизацией. Поэтому имеется последовательность эпиморфизмов
Нр(В, М) = Hf° -v Щ>° ->...-> Я?-+°1 = Н%? = Jp-o С Нр(Е, М)
(обозначения те же, что в § 1 (В)). Последнее включение вытекает из того,
что Ур+1 П НР(Е, М) = 0 в силу A.10). Доказывается, что первое равенство
осуществляется каноническим изоморфизмом л*, таким, что8
р» = «•+!»• на Нр(В, М) D.2)
([84], п. 6g; [18], Сообщение VII, п. 2).
(c) Гомоморфизм i* : Н(Х, М)-> H(F, M). Пусть it — гомоморфизм,
порожденный вложением ib слоя Fb = р (Ь) в Е. Он может быть ненуле-
ненулевым только в том случае, когда В компактно. В этом случае существует
канонический изоморфизм8
= Н»(В, H%Fb, М)) = H\Fb, M). D.3)
• См. [III], стр. 127, и примечание 1 иа стр. 159. — Прим. ред.
8 Его определение мы напомним ниже.

176 А. БОРЕЛЬ
Так как элементы Щл не могут быть кограницами для дифференциала
(/^увеличивающего степень DB на г единиц (г э= 2), то модуль H5m?i изоморфен
подмодулю коциклов модуля Щл, и имеет место последовательность включений
H%Fb, М) = Я»-« d Я»-« э... Э Я°-Д = Я~ =
Гомоморфизм Н\Е, М) в H\Fb, М), получающийся из отображений
Н%Е, М) -> Я«(Е, Myj1'"-1 = Н™ с Н8-» = H\Fb, М), D.4)
совпадает с it (ср. [84], п. 6 f; [18], Сообщение VIII, теорема 2 и ее дока-
доказательство). Ядром гомоморфизма it является идеал J1. Если менять точку
Ь, то изоморфизмы it оказываются согласованными с каноническими отож-
отождествлениями модулей Ня (Fb, M), рассматриваемых как элементы постоян-
постоянного подпучка, содержащегося в пучке H(p~\b), М). Поэтому из D.4) выте-
вытекает, что it не зависит от Ь, и можно говорить о гомоморфизме i* : Н(Е, М) ->
- H(F, M).
Отметим еще частный случай, который часто будет встречаться нам
в дальнейшем. Говорят, что слой F вполне не гомологичен нулю в ? относи-
относительно М, если I* : Н(Е, М)-> H(F, M) есть эпиморфизм. С другой сто-
стороны, говорят, что спектральная последовательность (Нг) тривиальна, если
dr = 0 (г з= 2), откуда вытекает Я2 = Hs = ... = Н^ = G(H(E, M)).
Предложение 4.1. Пусть (Е, В, F, р) — компактное связное расслоен-
расслоенное пространство со связным слоем а локально связной базой.
Спектральная последовательность этого расслоения над полем Кр триви-
тривиальна и H(F, Кр) = H(F, Кр) тогда и только тогда, когда F вполне не
гомологичен нулю в Е относительно Кр. В этом случае р* есть мономорфизм,
а идеал, порожденный образом р*(Н+ (В, Кр))9, является ядром г*.
Аналогичное предложение имеет место для целых коэффициентов, если
Н(В, Z) или H(F, Z) не имеет кручения.
Если Я2 = Я^, то р* является мономорфизмом в силу формулы
D.2). Идеал алгебры Н2 = G(H(E, Кр)), порожденный образом р*(Н+(В, Кр)),
равен сумме модулей jp^jjp+i,q-i (p;>0). Отсюда при фиксирован-
фиксированном р + q = п при помощи спуска по р доказывается, что Jp> n~p (р > 0)
содержится в идеале алгебры Н (?, Кр), порожденном образом р*(Н+(В, Кр));
для начального шага индукции заметим, что Jn+lt -1 = 0 в силу A.10).
Таким образом, J1 содержится в идеале, порожденном р*(Н+(В, Кр)). Обрат-
Обратное включение выводится из соотношений р*(Нр(В, Kv)) = Jp'° и JpJq с Jp+q.
Итак, идеал, порожденный образом р*(Н+(В, Кр)), совпадает с J1, а послед-
последний, как Указано выше, является ядром i*. Доказательство остальных утверж-
утверждений предложения 4.1 см. в [84], теоремы 7.1 и 7.3, или в [18], Сообщение IX*.
Напомним еще ([84], теорема 7.2), что если полные степени всех биодно-
родных элементов Н„ имеют одинаковую четность, то последовательность
(Нг) тривиальна, так как дифференциалы dr, увеличивающие полную сте-
степень на 1, необходимо равны нулю.
(d) Гомоморфизмы спектральных последовательностей. Пусть (Е, В, F, р)
и (Е',-В', F', р') — два расслоенных пространства. Представление пер-
первого пространства во второе определяется двумя непрерывными отображе-
отображениями Х:Е^>-Е', ii: В -*¦ В', такими, что диаграмма D.5) коммутативна:
• НЦВ, Кр) - 2 №ЦВ, Кр).
«>о
* Ср. [I], предложение 8, стр. 64. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 177
С представлением D.5) связан гомоморфизм А* спектральной последо-
последовательности (Н'г) пространства (Ё', В', F', р') в спектральную последователь-
последовательность (Яг) пространства (Е, В, F, р) (это верно и тогда, когда pup' суть
произвольные непрерывные отображения; ср. [83], п. 54; [18], Сообщение
VII). Предположим, что Е, F, E', F' — связные компакты и что выполнены
условия теоремы 4.1. Тогда следующие диаграммы коммутативны:
ч,
's D.6)
, M) <-^— Я*>(В', M) Hq(Fb, M) ч-ii- H%Fb,, M)
(Ь' = Цр), Хь — отображение, индуцируемое А на Fb=p~1(b)); см. [18],
Сообщение VII, теорема 4 и Сообщение VIII, теорема 4. Отсюда видно, что
гомоморфизм А? на H(Fb, М) не зависит от выбора Ь.
Пусть М = А. Предположим, что в Н'й и Н2 коэффициенты обыкно-
обыкновенные, что Х% — эпиморфизм, что H%F, A) = H\F', А) = 0 для i > s и,
наконец, что (л* осуществляет изоморфизм Hj(B', А) на Н\В, А) для / =s т.
Тогда отображение X* для элементов степени D =s т — s есть изо-
изоморфизм Н'г на Нг и Н(Е', М) на ЩЕ, М) (г з* 2).
Доказательство. Согласно предположениям и формуле D.1), А*яв-
А*является изоморфизмом Н'г на Н2 дляDB^m. Так как дифференциал d2 увеличи-
увеличивает степень D на единицу, то А* является изоморфизмом для коциклов со сте-
степенью D =« т — 1 и для кограниц со степенью D =*=,т. Значит, А* есть изо-
изоморфизм Яд на ^з Для D «г т— 1. Аналогично, ds увеличивает степень D
на единицу, и А* есть изоморфизм H't на Я4 для D «s m — 2. Наконец, А*
есть изоморфизм H's+2 на Hs+2 для D *?tn — s. Но мы предположили,
что H(F, А) и H(F', А) не имеют ненулевых элементов степени > s. Значит,
степени по слою в Н'г и Hr(r s= 2) заключены между 0 и s. Поэтому диффе-
дифференциал dr, уменьшаюший степень DF на г — 1 единиц, равен 0 при г гэ= s + 2.
Таким образом, H's+2 = Н^ = G(H(E', А)) и Я8+2 = Н^ = G{H{E, A)).
Отсюда мы получаем изоморфизм Н'г на Нг для D =« m — s(rs=2)
и изоморфизм Н%Е', А) на Н\Е, А) (/ =« т — s) (ср. § 1 (D)).
Изложенное выше, не считая четвертого определения трансгрессии,
содержит почти все свойства спектральных последовательностей расслоенных
пространств, которые мы будем использовать. Нижеследующие замечания
найдут применение только в §§ 5 и 24; при зтом для простоты мы предпола-
предполагаем расслоенное пространство (Е, В, F, р) компактным.
Если ? и (В — два тонких А-перекрытия на ? и В, то легко показать,
что р~\(В) о ? есть тонкое А-перекрытие пространства Е. Обозначим
через М постоянный пучок, изоморфный А-алгебре М. Тогда (см. § 3)
Hip-^ty'SvM) = Н(р-\<Ъ)°? <g> М) = ЩЕ, М). D.7)
Комплекс ё = р~\(В) о ? о М биградуируется очевидным способом. При
этом обычная степень в Н(Е, М) соответствует полной степени в &. Про-
Профильтруем g подмодулями
&оМ. D.8)
Условие „О «s /(х) «е степень х" выполняется для полной степени. Соответ-
Соответствующая спектральная последовательность (Яг) является последователь-
последовательностью, фигурирующей в теореме 4.1 ([84], теорема 4.1; [18], Сообщение VII).
Доказывается, что она не зависит от выбора тонких А-перекрытий ([83],
п. 50).
Пусть и — единица перекрытия ?. Рассмотрим канонический го-
гомоморфизм р': (В о М -> р~Ч<В) о и о М, относящий элементу кот
12 Расслоенные пространства

178 А. БбРЕЛЬ
элемент к ° а ° т. Это — мономорфизм ([83], предложение 37.5; [18], Сооб-
Сообщение II, теорема 7.5). Значит, комплекс 3»М можно отождествить с
комплексом р~\(В) ° и о м ; принадлежащие этому комплексу элементы
комплекса ё мы будем называть коцепями базы. В теории Лерз гомоморфизм
р* совпадает по определению с тем гомоморфизмом Н(В, М) = Н((В°М) в
Н(Е, М) = ЯF), который индуцируется гомоморфизмом р\ Легко видеть,
что если отождествить Н(<В ° М) и Н(@) с алгебрами когомологий Алек-
сандера — Спанье пространств В и ? при помощи канонических изоморфизмов
теоремы единственности, то р* перейдет в естественный гомоморфизм, опре-
определенный в когомологиях Александера — Спанье. Однако это обстоятель-
обстоятельство не будет у нас играть роли.
Лемма 4.1. Если пространство F связно, то для фильтрации D.8)
комплекса ё имеем:
Ср,о = р-цгвр) о и о М = р'(<Ър°М)
(см. [18], Сообщение VII, лемма 4). Следовательно, Cf° есть множество ко-
коциклов, a DP'° = d Cf'0 — множество кограниц из р'((В о м). Отсюда,
учитывая, что Ср+1- -1 = 0, получаем канонический изоморфизм
л* ; Щ'° = С™/D?'0 = НР(В, М).
Об этом изоморфизме мы и говорили в разделе (Ь).
Если b — произвольная, но фиксированная точка В и Fb — p~\b), то
для сечения комплекса & подпространством Fb имеем:
&=Fb(e)^p-\b)-p-1(<B)oFb(?oM) = b<3(g) Fb6®M D.9)
(зто следует из простых лемм о комплексах, ср. [id], Сообщение VII или
[83], формула C0.6) и лемма 32.2). Комплексы Fb? и ЬЪ суть тонкие А-пере-
крытия пространств Fb и Ь, не имеющие кручения, причем H{FbS о м) —
= H(Fb, M), а когомологий комплекса ?В тривиальны. Профильтруем
комплекс б' подмодулями
= У КЗ1 0 FbS 0 М. D.10)
Так как FbSp с S'p, то наше сечение индуцирует гомоморфизм спектраль-
спектральных последовательностей (Нг) и (Я?) комплексов <§ и g' и гомоморфизм
Н(Е, М) в H(Fb, M), совпадающий, по определению, с гомоморфизмом i%.
В частности, ib (Jp) с J'p. Спектральная последовательность (Н'Т) легко
вычисляется ([83], п. 17; [18], Сообщение VI, теорема 4). Имеем H'0=G(e'), d'o—
частный дифференциал относительно Fb? и, следовательно,
p* = b<Bp®H\Fb,M). D.11)
Далее, d[ — частный дифференциал относительно Ь<Ъ, откуда
Н'2 = H(Fb, M); H?>* = H\Fb,M); Я^«=0 (р>0). D.12)
Значит, d'r = 0 для г>2 и Н'2 — Н'^ = G(H(Fb, M)), причем в последней
алгебре нет элементов с положительной фильтрующей степенью. Следова-
Следовательно, у1 = 0 и алгебры H(Fb, M), G(H(Fb, M)) естественно изоморфны.
Между прочим, отсюда видно также, что ib (У1) — 0 (ср. (с)). Доказывается,
что //?¦«= Н°(В, Hq(F, M)) изоморфно отображается на H«(Fb, M). Это
и есть изоморфизм il, который мы упоминали в (с) (ср. [18], Сообщение VIII).
§ 5. Трансгрессия
Трансгрессия в расслоенном пространстве (Е, В, F, р) (которое мы
всегда будем предполагать связным) по отношению к области, коэффициентов
М — зто линейное отображение некоторого подмодуля H\F, M) в некоторый

о когомологиях главных расслоенных пространств 179
фактормодуль HS+\B, M) (s = 0,1,...). Как мы уже говорили, это поня-
понятие играет в настоящей работе фундаментальную роль. Мы дадим четыре
определения трансгрессии и докажем их эквивалентность (в общей области
существования). Первые два определения весьма общи, тогда как последние
два, сформулированные здесь в терминах теории Лерэ, годятся только для
компактных пространств.
В § 5 через Н(Х, М) обозначается алгебра когомологий Александера —
Спанье' пространства X со значениями в М и с произвольными носителями,
через С(Х, М) — алгебра коцепей Александера — Спанье пространства X
со значениями в М.
Первое определение. Вложение ib слоя Fb в ? индуцирует канони-
канонический эпиморфизм ib: С(Е, М) -> C(Fb, M) и проекция р индуцирует канони-
канонический мономорфизм р': С(В, М) -»- С(?, М). Алгебра С{В, М) отож-
отождествляется со своим образом при мономорфизме р', и элементы этого образа
называются коцепями базы.
Элемент h е H\Fb, M) называется трансгрессивным, если существует
такой элемент с е С(?, М), что il(c) eh и коцепь dc является коцепью базы.
Элемент с называется коцепью трансгрессии для Л. Коцепь dc является,
очевидно, коциклом в С(В, М). Можно сказать, что ее класс когомологий
является образом Л при трансгрессии, но этот класс не определен одно-
однозначно. Действительно, обозначим через K8+i(B, M) подмодуль модуля
HS+1(B, M), образованный элементами х, обладающими следующим свой-
свойством: х содержит коцикл, являющийся в С(Е, М) границей коцепи, кото-
которую отображение i'b переводит в 0. Легко проверить, что образ трансгрессив-
трансгрессивного элемента определен с точностью до элемента из KS+\B, M). Таким
образом, получаем линейное отображение подмодуля трансгрессивных
элементов из H\Fb, М) в HS+1(B, M)jKs+\B, M). Оно и называется
трансгрессией;
Второе определение принадлежит Серру ([I], п. 9). Рассмотрим
отображения
Hs(Fb, M) -*-+Ha+\E mod Fb) M)*-^-Ha+\B, M), E.1)
где б — граничный оператор точной последовательности относительных
когомологий Е mod Fb, a q* ¦— произведение канонического изоморфизма
HS+\B, М) на НЯ+1(В mod b, M) и канонического гомоморфизма
р* : HS+1(B mod b, M) ->¦ HS+1(E mod Fb, M), индуцированного отображе-
отображением p.
Формула E.1) позволяет определить линейное отображение некоторого
подмодуля H%Fb, М) в фактормодуль HS+1(B, М). Легко видеть, что зто
отображение есть трансгрессия в смысле первого определения.
Замечание. Эти два определения можно, конечно, дать в других кого-
молоРиях, например, в сингулярных когомологиях, как это сделал Серр [ I].
A priori зти определения зависят от выбора слоя, но в действительности, как
мы увидим, зто не так, по крайней мере в том случае, когда ? компактно, а
F связно.
Для двух следующих определений мы предположим, что ? компактно,
a F связно.
Третье определение. Оно аналогично первому, но использует коцепи
из специального комплекса, который позволяет построить спектральную
последовательность и определение которого мы напомнили в § 4. Пусть
снова <5 и (В — тонкие А-перекрытия пространств ? и В, и пусть 6 =
= р~\(В) о <5 о м. Был определен мономорфизм р': <В ° М -> 6, при
котором образом является р~\(В)°и.оМ. Элементы последнего комплекса
называются коцепями базы. Говорят, что элемент h e H\Fb, M) транс-
трансгрессивен, если, существует такой элемент се ё, что Fbc eh и что dc
12* - 5/13 S

180
А. БОРЕЛЬ
является коцепью базы. Пусть L8+1(B, М) — множество элементов xeHs+\В, М)
обладающих следующим свойством: существует такой элемент с € &, что
Fbc = 0 и dc € х. Если поставить в соответствие трансгрессивному элементу
h класс когомологий В, содержащий dc, то определится линейное отобра-
отображение некоторого подмодуля модуля H%Fb, M) в фактормодуль
HS+1(B, M)/L8+1(B, M). Оно называется трансгрессией. Докажем, что
это определение эквивалентно предыдущему. Пусть 01 — ядро сечения ё
подпространством Fb; это — множество тех элементов g, носители которых
не пересекаются с Fb. Пусть ф — ядро сечения <Ъ°М подпространством Ь.
Имеет место следующая коммутативная диаграмма, строки которой явля-
являются точными последовательностями:
*->0 E.2)
Из нее выводится коммутативная диаграмма E.3), строки которой тоже
точны:
Н\Ь, М)
¦Н*+\В,М) + Н8+\Ь,М)-
E.3)
Так как отображение / взаимно однозначно, то можно определить отобра-
отображение q* : HS+1(B, M) -»¦ Н8+1{01), являющееся произведением ото-
отображений /-1 и р*. Ясно, что трансгрессию в смысле третьего определения
можно получить из последовательности
H%Fb, М) -
Н8+\В,М).
E.4)
Уже было сказано ( § 3), что ЩО1) и Н(ф) канонически отождествляются
с Н(Е mod Fb, М) и Н(В mod b, M). Это отождествление таково, что E.3)
переходит в гомоморфизм точных последовательностей относительных кого-
когомологий, связанный с отображением р (ср. [18], Сообщение VII, Добавление).
Но тогда E.4) переходит как раз в E.1), откуда и вытекает эквивалентность.
Обозначения. T%Fb, M) — подмодуль трансгрессивных элементов
H8(Fb, M), т — трансгрессия.
Иногда интересно несколько расширить понятие коцепи трансгрессии
следующим способом, на который указал мне Лерэ.
Мы скажем, что элемент с € &, имеющий степень s гэ= 1, есть коцепь
трансгрессии в широком смысле, ecAUdc является коцепью базы. Мы не требуем,
чтобы элемент Fbc был коциклом, но тем не менее с определяет некоторый
элемент из H8(Fb, M), который мы обозначим через <о(с). Действительно,
комплекс
имеет тривиальные когомологий. Поэтому из того, что dc € р~*(<3)°и°М,
следует
d Fbc = Fb{dc) = Fb{dk) (Dk=s-1, k? p-\<B)ouoM).
Элемент F^c — k) является коциклом. Его класс когомологий в H\Fb, M)
не зависит от к. Действительно, если Fb(c — к') есть коцикл (к' — коцепь
базы), то Fb(k — к') — коцикл, принадлежащий Ь(В <& М. Значит,
Fb(k-k') = dFbm (Dm = s- 1

о когомологиях главных расслоенных пространств 181
и коцикл Fb(c — к') = Fb(c — к) + dFbm когомологичен Fb(c — к). Итак,
класс когомологий со (с) коцикла Fb(c — к) однозначно определен элементом
с. Далее, если к — коцепь базы, то коциклы dc и d(c — к) лежат в одном
и том же классе у € HS+1(B, М). Следовательно, если с — коцепь транс-
трансгрессии в широком смысле, то элемент ео(с) трансгрессивен и класс когомоло-
когомологий В, содержащий dc, есть его образ при трансгрессии.
Очевидно, что если ео(с) = 0, то существует такая коцепь базы к, что
Fb(c — к) = 0. Значит,, LS+\B, M) есть множество классов когомологий
элементов dc, где с — такая коцепь трансгрессии в широком смысле, что
со(с) = 0.
Заметим, что коцепь трансгрессии в широком смысле, имеющая степень
s, содержится по определению в С&" и что элемент т(с) можно получить
из с последовательностью отображений
где v%>+\ — проекция Cf+\ на Н&\ = Cgvi/CJ- s~1 + ^s's. Это немедленно
следует из определения i% и из того, что vj?;i(c — к) = vjvi(c), поскольку
к — коцепь базы и, значит, содержится в CJ' s~1.
Лемма 5.1. Пусть с —коцепь трансгрессии в широком смысле и т —
коцикл базы, когомологичный коциклу dc в базе.
Тогда существует коцепь трансгрессии в широком смысле с' такая, что
dc' == т -и со(с') = ео(с).
Действительно, по предположению, dc = т + dk, где к — коцепь базы.
Нужно положить с' = с — к. Эта лемма будет использована в § 25.
Четвертое определение. Предположим, что условия теоремы 4.1
выполнены, и рассмотрим спектральную последовательность (Нг) расслоенного
пространства (?, В, F, р). Модуль Н2'+\ есть подмодуль модуля WgiS, обра-
образованный элементами, которые являются коциклами для дифференциалов
d2, ... , ds. Дифференциал ds+1 линейно отображает Н%+\ в НЦ\'°. Мы
хотим показать, что зто отображение есть трансгрессия. Точнее, имеет место
Предложение 5.1. Отождествим модули HS+\B, M) и H%Fb, M)
с модулями Я|+1-° и H%'s при помощи изоморфизмов л* и il. При этом
модули LS+1(B, M) и T%Fb, M) переходят соответственно в ядро ото-
отображения ж|+1 и в модуль Н1'*1г причем имеет место коммутативная
диаграмма
T%Fb, M)-^-^Hs+1(B, M)IL*+\B, M)< Н'+\В, М)
U U ¦ E-5)
Я О, S "8+1 HS + 1, 0
Так как мы предположили, что Fb связно, то трансгрессия представляет
интерес только при ss= 1. Пусть L's+1— ядро отображения х|+1: Я|+1>0^-
-> Н1Х1' °- Очевидно, что L'2 = 0. Для s &= 2 имеем последовательность
включений
Hltl-o D («i) dsHl**-1 Э («J-i) d^HlLt2 D ... D rf.Hr1-'. E-6)
причем L's+1 = (x2sy-1dsHl's-1. Покажем сначала, что L's+1 = LS+1(B, M).
Последний модуль будем обозначать просто через Ls+1.
1) Докажем, что Ls+1 с L's+1 (s s= 1). Если х € Ls+1, то существует
такой с € ё, что Fbc — 0 и dc e х. Так как с предполагается, конечно, отлич-
отличным от 0, то существует такое p@=sp=«s), что c?Sp. Тогда с e C?;fzg,
поскольку dc — коцепь базы. Если р = s, то с является коцепью базы (лемма
4.1) и, значит, х = 0. Пусть теперь 0 =s р < s и с* есть проекция с в Щ;?г?.
По определению дифференциала ds+1_p имеем (после отождествления с

182 А. БОРЕЛЬ
ПОМОЩЬЮ я:*)
xs+l-p х — "s+l—p с •
Если р > О, то 2 =s s + 1 — p=sss и
Y Р f«! 1~1 Л HP' S—P С 1 's+1
Л- t \Л8+1-р,/ "s+1-p ПШ-Р <— *-
Если же р = О, то обозначим через ? проекцию с в Hfs. Изоморфизм it,
индуцированный сечением (§ 4), отображает Hfs на Hs(Fb, M). Поэтому
из соотношения Fb с — 0 следует, что д = О, откуда
к\+1 х = ds+1 с* = rfe+1 x*+1 е=0,
т. е. х е L's+1.
2) Докажем, что L's+1 С Ls+1 (s з& 1). Для s = 1 это тривиально,
так как L'2 = 0. Для s з= 2 проверим индукцией по а, что
da H*r"+ь «-1 CL«. E.6)a
Предположим, что доказано (б.б),,.!. Пусть х е («I) da Щга+1'а~1 и
Л 6 ЯГа+1> "-1 такие, что xg x = da h.
Пусть с — представитель элемента Л в Qra+1'a~1 С С^\; зто —
коцепь трансгрессии в широком смысле. Так как s — а + 1 > 0, то со (с) = О
и класс когомологий у элемента dc содержится в Ls+1. По определению da
имеем (после отождествления с помощью п*) dah — xl у. Значит, у = х + х',
где х' принадлежит ядру («i-i)" da_x H?% а~г отображения xg, которое
содержится в Ls+1 по предположению индукции. Итак, х = у — х' 6 Ls+1.
Аналогичное доказательство проводится для a = 2.
3) Покажем, что Ts (Fb, М) = H°s>+\ и т = ds+1. Если Л е Ts (Fb, M),
то коцепью трансгрессии для Л является такой элемент с е С2'Д, что <о (с) = Л.
Значит, Г8 (Fb, М) с Щ-+\. Далее, если y€W8+1(B, M) — класс кого-
когомологий элемента dc, то, по определению ds+1 и в силу 1), 2), имеем
ds+1h= *S+i У = тЛ.
Остается показать, что Яр;\ с T8(Fb, М). Пусть Л' е //j^V Его произ-
произвольный представитель с е С^\ является коцепью трансгрессии в широком
смысле и со(с) е Ts(Fb, M), откуда и следует нужное включение.
Замечания. 1. Четвертое определение показывает, что Ts(Fb, M) с
С H\Fb, M) и что три первых определения не зависят от выбора слоя.
Третье определение не зависит также от выбора тонких А-перекрытий <5
и (В.
2. Если Е и F — полиэдры или вообще компактные ЯЬС-пространства*, то
точные последовательности относительных когомологий Александера —
Спанье и сингулярных относительных когомологий совпадают. Поэтому
четвертое определение эквивалентно второму и первому определениям,
сформулированным для сингулярных коцепей и когомологий.
3. Для произвольного расслоенного пространства первое, второе и
четвертое определения в сингулярных когомологиях также эквивалентны.
В этом случае (Нг) — спектральная последовательность расслоения для
сингулярных когомологий, введенная Серром ([I], п. 9). Наконец, в случае
когда компактная группа Ли расслаивается по замкнутой связной подгруппе,
первое определение, сформулированное с помощью внешних дифференциаль-
дифференциальных форм, допускает также истолкование в спектральной последователь-
последовательности Косула [74].
* ЯЬС-пространства — гомологически локально связные пространства, т. е. прост-
пространства, обладающие тем свойством, что для всякой окрестности U найдется окрестность
V такая, что естественные гомоморфизмы Hq(U, Z) -> Hq(V, Z) тривиальны (для всех q).
— Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 183
Глава II
ТЕОРЕМА ХОПФА
В известной теореме Хопфа [175] речь идет об алгебре когомологий
пространства, на котором определено умножение, удовлетворяющее некото-
некоторым условиям. Из'этих условий вытекают определенные свойства алгебры
когомологий, которые и используются в доказательстве. В § 6 мы принимаем
эти свойства за исходный пункт и доказываем теорему Хопфа в чисто алгеб-
алгебраической формулировке. Для нашей формулировки нужно предполагать,
что основное поле совершенно. Это предположение всегда выполняется в
топологическом случае, который рассматривается в § 7.
§ 6. Алгебраическая теорема Хопфа
6.1 Пусть Н — алгебра над полем Кр, градуированная подпространствами
W (/ з= 0), антикоммутативная, снабженная единицей 1, на которую натянуто
Н°. Обозначим через Dx степень однородного элемента х. Будем говорить,
что элемент he H имеет бесконечную высоту, если № Ф- 0 для любого целого
г э= 0, и что элемент h имеет высоту s, если Л8 Ф0, hs = 0. Разумеется,
мы полагаем х° = 1 для всех х 6 Н.
Для упрощения обозначений предположим, что Н имеет конечный тип,
т. е. что каждое подпространство Я* имеет конечную размерность. Тогда в
Н существует счетная система образующих. Напомним, что система однород-
однородных элементов х1( х2, ... положительных степеней называется минимальной
системой образующих Н, если всякий элемент he H есть сумма многочлена
от х{ и скалярного кратного единицы и если xh не является многочленом от
Xi с индексами i Ф к (к = 1, 2, ...).
Определение 6.1. Множество (х{) (i= 1,2,...) однородных элементов
алгебры Н @ < Dxi «s Dx}-, если i =ss /) называется системой образующих
типа (М) алгебры Н, если оно удовлетворяет двум условиям:
Ml: Это минимальная система образующих Н.
М2: Высота хк не превосходит высоты всякого элемента xk + P(xk-V
..., Xj), где P(xft_x, •.., х,) — многочлен от xft_x, ..., хх (А == 1, 2, ...).
Систему образующих типа (М) легко построить по индукции (отметим,
что, вообще говоря, не всякая минимальная система образующих удовле-
удовлетворяет условию М2).
Определение 6.2. Алгебра Н называется алгеброй Хопфа, если сущест-
существуют гомоморфизм градуированных алгебр f : Н -*¦ Н 0 Н и два автомор-
автоморфизма q, а алгебры Н такие, что для всякого однородного he H имеем
/(Л) = е(/г)®1+1®ст(/г) + х1®Уг+... + xs®y3 @ < Dx{ < Dh). F.1)
В дальнейшем мы будем считать, что q и а — тождественные отобра-
отображения. Общий случай сводится к этому, если умножить / на автоморфизм
х ® У -* Р-1(х) <8> а~Ч.У) алгебры Н 0 Н.
Теорема 6.1. Пусть Н — алгебра Хопфа конечного типа над совершен-
совершенным* полем Кр, (ъ) (i = 1, 2, ...)—система образующих Н типа(Щ, s{ —
высота элемента xt (быть может, бесконечная).
* Следующий пример, принадлежащий Шевалле, показывает, что предположение
о совершенстве'поля Кр существенно. Пусть Кр— не совершенное поле и пусть сеКр —
элемент, который не является р-й степенью никакого элемента поля Кр- В качестве
алгебры Н рассмотрим факторалгебру алгебры Кр[х, у] многочленов от двух перемен-
переменных по идеалу, порожденному элементом хр + суР (мы предполагаем, что х и у имеют
степень 2). Ясно, что, полагая h(x) = х ® 1 + 1 ® х и h(y) = у ® 1 + 1 ® у, мы превра-
превратим Н в алгебру Хопфа с двумя образующими. Но так как из с нельзя извлечь корень
р-й степени в Кр, то Н, очевидно, не удовлетворяет заключению теоремы 6.1.
— Прим. ред.

184 А. БОРЕЛЬ
Тогда одночлены xj> • х?« ... х?» ... (О «= ri < sb гг Ф 0 только для
конечного числа индексов) образуют базис векторного пространства Н над Кр.
Если р = 0, то всякая минимальная система образующих имеет тип (М).
Дополнение. Если р = 2,то s{ бесконечно или является степенью двой-
двойки. Если рф2, тодляБх1 нечетного s{=2, а для Dxj четного s{ есть степень
р или бесконечность (всегда бесконечность, если р — 0).
Таким образом, теорема утверждает, что Н является ассоциативной
алгеброй, порожденной элементами Xj, соотношения между которыми обус-
обусловлены только антикоммутативностью и нильпотентностью некоторых
элементов. Вместе с дополнением она показывает также, что алгебру Хопфа
всегда можно рассматривать как тензорное произведение (левое) алгебр
Хопфа с одной образующей. Из теоремы 6.1 немедленно следует, что если
Р (xk, ..., хх) = О — соотношение между некоторыми Xj (P — многочлен)
и если Р{ — частная производная* Р по Xj, то также P((xft, ..., Xj) = 0.
Напомним, что формулировка теоремы Хопфа, принадлежащая Лерэ (см.
[79], п. 24), позволяет дифференцировать только по переменной максимальной
степени.
Удобно ввести еще следующее определение, годное для любой алгебры
Н над Кр, удовлетворяющей условиям, сформулированным в начале п. 6.1.
Определение 6.3. Множество (xj) элементов Н называется р-полусво-
бодным, если:
A) Одночлены xj1 • х?* ... х?* ... @ «= r{ < su гг^?0 только для конеч-
конечного числа индексов, s{ — быть может бесконечная, высота х{) линейно
независимы.
B) Если р — 2, то s{ бесконечно или является степенью двойки. Если
р Ф 2 и Dxi четно, то st бесконечно или является степенью р (всегда беско-
бесконечно, если р = 0).
Наша теорема утверждает, что в алгебре Хопфа над совершенным
полем всякая система образующих типа (М) р-полусвободна. В частности,
в ней всегда существует р-полусвободная система образующих.
6.2. Доказательство теоремы 6.1 является предметом пп. 6.3, 6.4 и 6.5.
Здесь же мы сделаем несколько предварительных замечаний и введем обо-
обозначения.
(a) Через Crs будет обозначаться биномиальный коэффициент (ГА. Легко
доказать, что если р — простое число, то соотношение Cs = 0 (mod p) выпол-
выполнено для 0 < s < г тогда и только тогда, когда г является степенью числа
р (или г — 1). В частности, если г есть степень числа р, то r-я степень суммы
элементов из центра Н (или Н 0 Н) равна сумме r-х степеней этих элемен-
элементов. Мы постоянно будем использовать эти факты.
(b) Если р Ф 2 и Dx нечетно, то х • х = 0. Поэтому заметим раз навсегда,
что мы будем рассматривать степени х3 при s > 1 только тогда, когда р =
= 2 или когда Dx четно. В этих двух случаях х содержится в центре Н
и каждый член из /(х), фигурирующий в F.1), содержится в центре Н ® Н.
При вычислении степеней (/ (x))s эти члены можно рассматривать как комму-
коммутативные переменные.
(c) Пусть (х1} ..., xft) — идеал Н, порожденный элементами хх, ..., xk.
Обозначим через Ik идеал (хх, ..., xft) 0 Н алгебры Н 0 Н. Для системы
(х{) из формулировки теоремы имеем следующие сравнения по модулю
f(xk) ш xk ® 1 + 1 ® xft; f(xt) = 1 ® xt (/<*);
/ (х? ... х?) - х? (8) xjfci1... х? +2 С? (xi ® х!Г*) A ® xjfci*... хЮ-
0<i<r*
* Pi определяется как коэффициент при первой степени z в многочлене
P(%k Xi + г хг), причем при вычислении этого коэффициента следует учитывать
антикоммутативность алгебры и считать степень z равной степени х{. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 185
6.3. Назовем нормальным одночленом из Н произведение xft* x%zi... х{',
где 0 < rk <C sk, 0 *? rt < st (О < i < к). Под степенью такого одночлена
мы будем понимать его степень как элемента Н, т. е. число гх Охг + ... +
+ rk Dxk. Нормальным одночленом алгебры Н 0 Н назовем тензорное
произведение а 0 b двух нормальных одночленов а и ft из Я. Сущность утвер-
утверждения нашей теоремы состоит в том, что нормальные одночлены алгебры
Н вместе с единицей образуют базис векторного пространства Н над полем
Кр. Очевидно, что всякий элемент Н есть конечная линейная комбинация
нормальных одночленов и 1 (с коэффициентами из Кр). Значит, достаточно
доказать линейную независимость нормальных одночленов степени i (i =
= 1, 2, ...), что мы и сделаем посредством индукции по степени. Утвержде-
Утверждение тривиально для i = 1. Предположим, что оно верно для i < п. Отсюда
следует утверждение:
Два нормальных одночлена степеней < п равны как элементы Н только
тогда, когда они равны формально. Одночлены а 0 Ь, где а и b пробегают
нормальные одночлены степеней < п, линейно независимы вЯ®Я. Поэтому
две линейных комбинации (без повторений) таких одночленов равны как
элементы Н 0 Н только тогда, когда они равны формально (с точностью
до порядка членов).
Пусть P(xft, ..., хг) — конечная линейная комбинация нормальных
одночленов степени п с ненулевыми коэффициентами и пусть к — наиболь-
наибольший индекс такого рода, что xft входит в Р. Упорядочим одночлены из Р
лексикографически: х? хй1 ... х? предшествует одночлену xj' х^~\ • • • xi',
если i > / или если i = j и первая из разностей г{ — tb ..., r1 — tlt отлич-
отличная от нуля, положительна. Имеем
P(xk, ... , хх) = xj Q(xk_v ... , хх) + R(xk, ... , х,), F.3)
где Q и R — суммы нормальных одночленов, причем xft встречается в R
только в степенях < г. Таким образом, мы обозначаем через г наибольшую
степень xft. Это число играет в доказательстве особую роль. Наша цель —
вывести противоречие из предположения Р = 0.
6.4. Докажем, что если Р = 0, то Q — константа, г есть степень р
для р Ф 0 и г = 1 для р = 0.
Используя п. 6.2, получаем, что
№Q) s *? <S> Q + Z СЫ ® *И 0 ® Q) (mod 7h-i)
0<t< r
и что f(R) не содержит членов вида х\ a (g) x^ b с г + / = г- Если Q имеет
положительную степень, то xi и Q имеют степени < п. Согласно п. 6.3,
для того чтобы /(Р) = 0, необходимо, чтобы для каждого нормального одно-
одночлена в Хй 0 Q нашелся формально равный ему нормальный одночлен в /(Р) —
— х? 0 Q. Но, в силу сказанного, это невозможно.
Итак, rDXft = n, Q — отличная от нуля константа и можно считать,
что Q = 1. Если теперь г > 1 и, более того, если для р^О г не является
степенью р, то /(х? Q) = /(х?) содержит член C?(xft (g) хГ1) @ < г < г),
отличный от' нуля, и нормальный одночлен хь 0 х?~* не встречается в
разности /(Р) — С{(х1 0 Xft"*). Значит, /(Р) ^ 0. Отсюда вытекает, что г =
= 1 для р = 0 и что г есть степень числа р или 1 для р Ф 0. Но если г —
— 1, то равенство Р = 0 означает, что xft = — /?(хй_1; ... , хД а это неверно
в силу минимальности системы (х,). Для р = 0 наша теорема доказана.
Замечание. До сих пор мы использовали только условие Ml. Таким
образом, для р = 0 наша теорема и ее доказательство верны для всякой
минимальной системы. В случае р = 0 предыдущее рассуждение показы-
показывает, что "если Dxk четно, то элемент xh имеет бесконечную высоту. Дейст-
Действительно, если xf1 Ф 0, то /(х|)- содержит член С\(х{ (^) xfl) Ф 0 @ < i < s),
который не может встретиться в f(xi) — C\(xi 0 xft~l). Значит, /(х0 Ф 0 и

186 А. БОРЕЛЬ
x| Ф 0. Отсюда вытекает, что для р = 0 всякая минимальная система имеет
тип (М) и что утверждение дополнения верно для р = 0.
6.5. Предположим теперь, что р Ф О, Р = х? + R(xh, ... Xj) и что
г есть степень р. Докажем, что если Р = О, то всякий нормальный одночлен
из Я есть r-я степень одночлена от х1г ... , xft_a (быть может, умноженная
на константу из Кр).
Допустим на мгновение, что это доказано. Основное поле совершенно,
и каждый его элемент является r-й степенью. Значит, многочлен Я есть сумма
r-х степеней и потому сам является г-й степенью многочлена от xv ... , xfe_j.
Итак, существует такой многочлен Я^х^^ ... , хД что Р = (xk -j- /?,)г.
Но тогда равенство Р = О означает, что высота элемента xft больше, чем
высота элемента xk + Я^х^^ ... , хг), а это противоречит условию М2
определения 6.1. Тем самым доказательство теоремы закончено.
Пусть либо р = 2, либо Dx3 четно. Тогда, если s не является степенью
р и если xf ф О, то /(xf) содержит член C|(xj ® xj-*) 9^ 0 @ < г < s),
который не может уничтожиться ни одним одночленом из /(xf) — C|(xj (g) х^{).
Значит, х\ Ф- 0, т. е. высота х5- бесконечна или является степенью р, что
и доказывает дополнение.
Остается установить F.5). Будем доказывать это утверждение индук-
индукцией по лексикографическому порядку нормальных одночленов. Пусть
доказано, что
Р = (xk + S(xfc_lf .... хг)У + xf Qfx^, ... ,Xj)+ Г(х3-, ... , x,), F.5)
где / =? к и х5- встречается в Г только в степенях </. Мы не исключаем случая
S = 0, соответствующего началу индукции; только в этом случае может
быть a priori / = к. Имеем
m
f(xk + S) = (xk + S) <g> 1 + 1 <g> (xk + S) + /clfll <g> bx + ¦ ¦ ¦ + ктат ® b,
(ki e Kp; au bx — нормальные одночлены от х^, ..., xj. Значит,
№ь + S)r) = (x* + sy (8> l + l (8) (xft + s)- ±.
Допустим сначала, что степень Q в формуле F.5) строго положительна.
Пусть а — его первый нормальный одночлен; тогда рассуждение из п. 6.3
показывает, что f{x\ Q + Т) содержит х$- 0 а в точности один раз, причем
с тем коэффициентом, с которым а входит в Q. Поэтому для соблюдения
равенства /(Р) = 0 необходимо, чтобы этот нормальный одночлен встречался
f((xk + S)r)> т. е. чтобы существовало такое i, что а\ = х\, Ь\ = а. Стало
быть, одночлен xf а является r-й степенью одночлена сц Ьь умноженного,
быть может, на корень r-й степени из —1.
Пусть теперь Q — с — константа. Тогда / < к и, конечно, г «г /, ибо
tDxj = rDxk и DXj «= Dxk. Следовательно, если t само является степенью
р, то оно делится на г и х] является r-й степенью (некоторой степени эле-
элемента х,). В противном случае /(сх$) содержит член с C^(xf 0 Xj~9) Ф-
Ф 0 @ < q < t), который должен встретиться в /((xfe + Sf). Значит, сущест-
существует такое i, что xj = aru xlfq = Щ, и xf, снова является r-й степенью
(также некоторой степени элемента х3-, так как из п. 6.3 вытекает, что at
и Ьг суть степени х5). Этим завершается доказательство.
6.6. Следующее определение предполагает, что Н обладает свойствами,
перечисленными в первых трех строках п. 6.1.
Определение 6.4. Множество (Xj) (i—1,2,...) однородных элементов
Н с положительными степенями называется простой системой образу-
образующих, если одночлены Xit Хи • • • х\к (i\ < г2 < ... < ih; к = 1, 2, ...) обра-
образуют вместе с единицей базис векторного "пространства Н над Кр.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 187
Предложение 6.1. (а) Алгебра Хопфа конечного типа над совершенным
полем характеристики 2 всегда допускает простую систему образующих.
(Ь) Пусть Н — алгебра Хопфа конечной размерности над совершен-
совершенным полем характеристики рф2. Она допускает простую систему обра-
образующих тогда и только тогда, когда она является внешней алгеброй, порож-
порожденной элементами нечетных степеней. Это всегда имеет место, когда р = 0.
(a) Если (хг) — 2-полусвободная система образующих, то простую
систему можно получить, присоединяя к xt их степени с показателями
2, 4, ..., 2s, ..., отличные от нуля.
(b) Для р = 0 минимальная система образующих не может содержать
элемента четной степени, ибо высота такого элемента была бы бесконечной.
Поэтому из теоремы 6.1 вытекает, что Н есть внешняя алгебра. Для рФ
ф 0, 2 достаточно показать, что если Н имеет простую систему образующих,
то всякий элемент р-полусвободной системы образующих имеет нечетную
степень. Пусть п = dim Н. Если Н имеет простую систему образующих, то
п является степенью двух. Если, с другой стороны, х1( ..., хт — р-полусво-
бодная система образующих и если st — высота хь то п — st ... sm. Таким
образом, п делится на р, если хотя бы один хг имеет четную степень (допол-
(дополнение к теореме 6.1). Отсюда и вытекает наше утверждение.
§ 7. Топологические следствия
Многообразие X называется многообразием Хопфа, если существует
непрерывное отображение С : X х X -»¦ X такое, что преобразования х -»¦
~> ?(а, х)их-> С(х, Ь) пространства X индуцируют автоморфизмы Н(Х, Z).
Отображение С называют существенным умножением на X.
Предложение 7.1. Пусть X — компактное связное многообр'азие Хопфа
и Кр — произвольное поле характеристики р.
Тогда Н(Х, Кр) допускает р-полусвободную систему образующих.
Если Lp — простое подполе поля Кр, то*
ЩХ, Кр) = ЩХ, Lp) ®KP G.1)
(тензорное произведение над Lp). Поэтому достаточно доказать предложение
для поля Lp. Имеем*
ЩХ X X, Lp) = ЩХ, Lp) (g) ЩХ, Lp). G.2)
Гомоморфизм С* : ЩХ, Lp) -+ ЩХ х X, Lp\ индуцированный С, превра-
превращает, как известно, алгебру ЩХ, Lp) в алгебру Хопфа. Можно приме-
применить теорему 6.1, так как Lp совершенно и ЩХ, Lp) имеет, очевидно, конеч-
конечный тип.
Замечания. Предложение 7.1 верно, конечно, и для более общих прост-
пространств с существенным умножением. В когомологиях Александера — Спанье
оно приложимо ко всякому связному компактному пространству X. Дейст-
Действительно, в этом случае G.2) всегда верно (см., например, [83], п. 63), а тео-
теорема 6.1 верна, если Н(Х, Lp) имеет конечный тип, но от последнего пред-
предположения в нашем доказательстве можно освободиться. В сингулярных
когомологиях предложение 7.1 приложимо ко всякому связному пространству
X, сингулярные когомологии которого имеют конечный тип, потому что
тогда G.2) верно, согласно неопубликованному результату Эйленберга —
Зильбера. Но от этого предположения конечности, которое нужно уже для
G.2), вероятно, вообще нельзя освободиться.
Предложение 7.2. ЕслиХ — компактное связное многообразие Хопфа
без р-кручения, то Н(Х, Кр) есть внешняя алгебра над векторным прост-
пространством, градуированным нечетными степенями.
См. [III], стр. 127, 128 и примечание 1 на стр. 159. — Прим. ред.

188 А. БОРЕЛЬ
Для р = О наше предположение всегда выполняется и предложение
вытекает из предложения 6.1.
Если X не имеет р-кручения, то*
H(X,KP) = H(X,Z)®KP G.3)
(тензорное произведение над Z), и всякий элемент нечетной степени из
Н(Х, Кр) имеет нулевой квадрат (для р=р^2 зто очевидно; для р — 2 это верно
в Н(Х, Z), поскольку квадрат целочисленного класса когомологий нечет-
нечетной степени имеет порядок* 2, а значит, верно и в Н(Х, Z) ® Кр). Стало
быть, достаточно показать, что элементы р-полусвободной системы образу-
образующих (xpi) имеют нечетные степени.
Пусть Gp — подпространство разложимых элементов из W (X, Кр),
т. е. подпространство, порожденное произведениями элементов, степени
которых строго меньше /. Число образующих (xpi) степени / равно, очевидно,
dim W{X, Кр) — dim GJ. С другой стороны, если X не имеет р-кручения,
то dim Н\Х, Ко) = dim Н\Х, Кр). Так как теорема верна для р = 0, то
достаточно показать, что dim G'o = dim Gp. Это очевидно для / = 1. Пред-
Предположим, что это верно для / < к. Тогда имеется взаимно однозначное
соответствие, сохраняющее степень, между элементами систем (х0> {) и (xPi г),
степени которых < к (и, следовательно, нечетны), а также между одно-
одночленами Хог11 ... х^ ig и произведениями xPi 4l, ... , xPi ^(i^ < ... < Q
элементов со степенями < к. Те из этих одночленов, которые имеют степень
к, образуют базис пространств G* и соответственно G%. Значит, зти прост-
пространства имеют одинаковые размерности.
Замечания. 1. Из нашего доказательства, очевидно, следует, что если
X не имеет р-кручения, то всякая минимальная система образующих алгебры
Н(Х, Кр) р-полусвободна.
2. Заметим, между прочим, что справедливо частичное обращение пред-
предложения 7.2: Если Н(Х, Кр) — внешняя алгебра, порожденная элементами
нечетных степеней, и если X односвязно, то X не имеет р-кручения. Мы
опускаем доказательство этого результата, который нам не понадобится.
Предложение 7.3. ЕслиХ — компактное связное многообразие Хопфа
без кручения, то Н(Х, Z) есть внешняя алгебра над свободной абелевой груп-
группой, которая имеет базис, состоящий из элементов с нечетными степе-
степенями.
Пусть G3 — подгруппа разложимых элементов из Hj(X, Z). Так как
последняя группа свободна, то в ней существует базис ib lt ..., uit rJ-, vix...,
..., v3j sj такой, что при некоторых целых mjt г Ф- 0 элементы m3-'4 uif 4
образуют базис G1.
Пусть Zp—поле целых чисел по модулю р, Zo—поле рациональных чисел.
Тогда Н(Х, Z) содержится в Я(Х, Zo) и ясно, что Gi порождает G]o (значит,
r3- = dim Gl) и что элементы vJ(i составляют минимальную систему образую-
образующих Н(Х, Zo). Следовательно,' степени v,- 4 нечетны, квадраты их равны
нулю, а произведения отличны от нуля. Достаточно доказать, что они со-
составляют систему образующих Н (X, Z). Для этого в свою очередь достаточно
показать, что G1 является прямым слагаемым в W(X,Z), т. е. что
mJ(i=±l (/=1,2,...; i = l,2, ..., г,).
Из доказательства предложения 7.2 видно, что ri = dim G]o = dim Gf>.
С другой стороны, если р > 1, то H(X,ZP) = Я(Х, ZHZp отождествляет-
отождествляется с факторгруппой Н(Х, Z) по подгруппе элементов вида ph (Л € Н(Х, Z)).
Очевидно, что Gj, отождествляется при этом с некоторой факторгруппой
GK Поэтому размерность GP может быть равна г3- только в том случае, когда
одно из чисел т1г не делится на р. Так как это имеет место для каждого
простого р > 1, то miti = ± 1.
* См. примечание иа стр. 187. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГ1ДЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 189
Глава III
КОГОМОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЙ Ш ТИФ ЕЛ Я
(ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ)
§ 8. Замечания о спектральных последовательностях
расслоенных пространств
В этом параграфе мы рассматриваем расслоенное пространство (?, В, F, р),
в котором Е, В, F суть конечные полиэдры, а алгебры H(Fb,Z) образуют
простую систему над В. Эти предположения не будут повторяться.
8.1. Если элемент heH(E,A) имеет фильтрацию р, т. е. если hejp,
h $ Jp+1, то через й будет обозначаться образ Л в Jp/Jp+1 С G(H(E, A)) = Н^.
Предложение 8.1. (а) Если (Тгг) (i = 1, ...,т) — системообразующих
алгебры (соответственно модуля) G(H(E, А)), то (ht) есть система обра-
образующих алгебры (модуля) Н(Е, А).
(b) Если (hi) — простая система образующих G(H(E, А)), то (ht) есть
простая /Система образующих Н(Е, А).
(c) Пусть G(H(E, A)) — внешняя алгебра, порожденная элементами
Ъх,..., Ът, полные степени которых нечетны. Если А — Кр (р^2) или если
A — Zu G(H(E, Z)) не имеет кручения, то Н(Е, А) есть внешняя алгебра,
порождённая элементами Л1(..., hm.
(a) Пусть Р — подалгебра, порожденная единицей и элементами hlt..., hm.
По предположению всякий элемент Jp>n~p сравним по модулю yp+1>n-p-i
с некоторым элементом Р. Так как Уп+1>-1 = 0, то индукцией по р выводим
отсюда, что Jp-n-pdP. Значит, Я"(?, А) = J°'n С Р и Н(Е,А)сР.
Доказательство для модулей проводится аналогично.
(b) Обозначим через qlt ... , qs одночлены hu ... hik (it < it < ... < ik;
к = 1, ... , m). Доказательство утверждения (а) показывает, что всякий
элемент h 6 Н(Е, А) есть линейная комбинация единицы и элементов qt.
Остается установить, что элементы qx, ... , qs линейно независимы. Пусть
Л — ai Яи + • • • + а« 4it — линейная комбинация некоторых из них с
ненулевыми коэффициентами (j\ ф. jkf если i Ф к). Можно предположить,
что элементы q-n, ... , qjt имеют фильтрацию р, а элементы qji+1, ... , qit —
фильтрацию > р. Тогда h e Jp и его образ в JVIJV+1 есть Л = а-д^ + ... +
+ ak q~jk у^ 0» так как Л1г ... , hm — простая система образующих G(H(E, A)).
Значит, Л 9^0.
(c) В силу (Ь), (Л4) — простая система образующих Н(Е, А). Достаточно
показать, что Л{Л4 = 0. Для А — Кр, р^2 это очевидно. Если G(H(E, Z))
не имеет кручения, то это верно и для Н(Е, Z). Стало быть, элемент ЛгЛ4,
имеющий порядок 2, равен нулю.
Замечание. То, что Н(Е, А) является алгеброй когомологий, не играло
в наших рассуждениях никакой роли. Мы просто выяснили некоторые
соотношения между алгеброй с фильтрацией и связанной с ней градуирован-
градуированной алгеброй, когда фильтрация удовлетворяет определенным условиям
конечности.
8.2. Для вычисления Н2 = Н(В, H(F,Z)) можно применить правило
Кюннета*, которое дает здесь:
Н2 = Н(В, Z)®H(F, Z) + Tor (ЩВ, Z), H(F, Z)) = Н(В х F, Z),
разумеется, с аддитивной точки зрения". Группа Tor (H(B, Z), H(F, Z))
является факторгруппой Ht no H(B, Z) 0 H(F, Z); она полностью опре-
определяется подгруппами кручений Н(В, Z) и H(F, Z) и зависит от них били-
См. примечание на стр. 187. — Прим. ред.

190 А. БОРЕЛЬ
нейно ([83], теорема 63.1). Здесь для ее вычисления достаточно знать, что
Tor (Zp, ZQ) — Z(PQ), где (р, q) — наибольший общий делитель р и q ([83],
предложение 18.1е)..,
8.3. Как мы уже отмечали в § 1, алгебра с фильтрацией и
связанная с ней градуированная алгебра могут, вообще говоря, иметь
совершенно различные кручения. В этом пункте мы рассмотрим один част-
частный случай, в котором Н(Е, Z) и G(H(E, Z)) аддитивно изоморфны. Будем
называть спектральную последовательность пространства (Е, В, F, р), вы-
вычисленную с коэффициентами из Л, спектральной последовательностью
пространства (Е, В, F, р) над Л.
Предложение 8.2. Предположам,чтомодулиН(В^) и H(F,Z) содер-
содержат лишь элементы порядков °° и 2 и что спектральные последователь-
последовательности пространства (Е, В, F, р) над R и над Z2 тривиальны.
Тогда спектральная последовательность (Е, В, F, р) над Z тривиальна
и Н(Е, Z) аддитивно изоморфна G(H(E, Z)).
Группы Hr (r зв 2), соответственно Яоо, Н(Е, Z), являются прямыми
суммами тг, соответственно moo, т, групп Z и пг, соответственно Яоо, п,
циклических групп, порядки которых равны степеням простых чисел. Так
как числа т2 и п2 конечны, то конечны и числа тг, пг, т^, Поо. Учитывая
замечания из § 1 (В), мы видим, что т^ = пг, Поо э» п. С другой стороны,
т и т2 суть . размерности алгебры H(E,R) и вычисленной для Л =/? ал-
алгебры "Н2. Поэтому, в силу предположений, т2 = т, откуда т2 = т3= ...
= moo = т, так как, очевидно, тг+1 «= тг. Равенство тг+1 = тг озна-
означает, что ни один коцикл из Нг, имеющий бесконечный порядок, не является
кограницей, т. е. что dr(Hr) с Тог Нг, откуда Tor Hr+1 = a?+1 Tor Hr и
Tor Hr+1 является факторгруппой группы Tor Hr.
В силу наших предположений и в силу п. 8.2, Тог Н2 является здесь
суммой п2 групп Z2. Значит, Тог Нг и Тог Н^ также являются суммами
групп Z2, причем п =^ Поо =е .. - == пг+1 =^ пг =е ... =&. п2. Стало быть,
Tor H(E, Z) есть прямая сумма групп Zm, где щ — степень двойки (ср.
§ 1 (В)) (i=l,..., п). Согласно формуле универсальных коэффициентов*,
имеем
Н{Е, Z2) = ЩЕ, Z)®Z2+ Tor (ЩЕ, Z), Z2).
Поэтому dim H(E, Z2) = т + 2п. Так как над Z2 имеем Я2 = Н(В, Z2) 0
(g) H(F,,Z2) = Н(В х F, Z2), то dim H2 = m2 + 2п2. Эти две раз-
размерности равны, поскольку спектральная последовательность (Е, В, F, р)
над Z2 тривиальна (и поскольку dim Н(Е, Кр) = dim G(H (Е, Кр)).
Значит, п = Поо = пг+1 = пг = п2. Но равенство пг+1 = пг может иметь
место только тогда, когда Тог Нг+1 = Тог Н„ т. е. когда dr = 0. Стало
быть, спектральная последовательность, над Z тривиальна.
Пусть, наконец, щ — 2S\ Группе Zui с H(E,Z) соответствует в G(H(E, Z))
сумма s{ циклических групп порядка 2 (в силу § 1 (В) и того факта,
что Тог Яоо содержит лишь элементы порядка 2). Значит, для выполнения
равенства ««, = п необходимо, чтобы s4 = 1 (i = 1, ... , п), откуда следует
аддитивный изоморфизм между Н(Е, Z) и G(H(E, Z)) — Н2 = Н(В х F, Z).
§ 9. Комплексные и кватернионные многообразия Штифеля
Обозначения. Wn>a — многообразие упорядоченных систем q ортонор-
мированных векторов пространства п комплексных переменных Сп.
Xnq — многообразие упорядоченных систем q- ортонормированных
векторов пространства. п кватернионных переменных Кп.
U(n), соответственно Sp(n), — унитарная группа пространства С™,
соответственно Кп.
См. примечание на стр. 187. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 191
SU(n) — унимодулярная унитарная группа пространства Сп.
Известно, что имеют место канонические включения U(n) Z) U(n — 1) D
D ... D U(l) и что
U(n)/U(n-q) = Wn>q, W^^S^,, Wn>n=U(n). (9.1)
Пространство (U(n), Wng, U(n — q), pq) есть главное расслоенное простран-
пространство группы U(n — q).' Его факторпространство по U(n — q — г) есть рас-
расслоенное пространство (Wnjq+r, WB; q, Wn_gjr, pq>q+r). Ясно, что
Pq, 3+r == Pg, g+l " Pgr+1, q+2 • • • Pg+r-l, q+r> Pq, n — Pq- ("'^)
Аналогичные расслоения можно построить, отправляясь от групп
SU (п) и Sp (n), в частности
Wn, q = SU(n)/SU(n - q), Wn,n_1 = SU(n), (9.3)
Х„, e = Sp(n)/Sp(n - ?), X^^S^, Xn,n = Sp(n). (9.4)
Предложение 9. l10. Пространства Wn>n_a и Xn>n_q не имеют
кручения и
, n-q, Z) = Щ$2п_г X S2n_3 X ... X S2g+1, Z),
П) n_q, Z) = H^in^ X S4n_5 X ... X S49+3, Z) @ ^ ? *= n - 1).
Предложение верно для Wn>! = S2n-i- Предположим, что оно установ-
установлено для Wnil.rl, и рассмотрим спектральную последовательность над
Z расслоенного пространства (Wn>n_a, W^ „_,,_!, Wg+1>1, Pn-g-x, n_g).
Коэффициенты в //2 — обыкновенные, в силу § 4 B) или, если угодно, в силу
того, что база однбсвязна. Значит,
Н2 = #(Wn, n-q-Ъ Z) (8) Я(8„ + 1, Z).
Так как степени по слою равны 0 и 2q + 1, то только d2a+2 может быть
отличным от 0. В то же время этот оператор равен 0 на элементах с DF = О,
образующих W(Wn> „_,_!, Z)(g) H°(S2q+1,Z), и равным образом на Я^+а2+1 ***
^ H2q+1(S2q+1, Z), ибо H2q+S = H2 не имеет по предположению индукции
элементов полной степени 2q -f- 2. Так как d2a+S! — дифференциал, то он
равен нулю на H%q+2 = Hl'q+s <8> ^м+а. а значит, и на всей алгебре Нгр+2.
Спектральная последовательность тривиальна. Теперь нужно применить
предложение 8.1 (с).
Аналогичное доказательство проводится для Xnn-q.
Замечания. 1.В предложении 9.1 речь идет, разумеется, об изоморфизме
алгебр, сохраняющем аддитивную структуру и произведение, но этот изо-
изоморфизм не сохраняет, вообще говоря, приведенных р-степеней Стинрода
(см. [23]).
2. Из предложения 9.1 немедленно следует, что спектральная после-
последовательность над2 пространства (Wn>r+S, Wnr., Wn_r(S, pr>r+s) тривиальна,
т. е. что Wn-r>s вполне не гомологично'нулю в \Уп>г+8'и что p*,r+s— моно-
мономорфизм. Пусть ft,, ... , ftft, соответственно йй+1, ... , tit, — образующие
алгебр W(Wn>r, Z) (g) 1 и 1 ® W(Wn_r> 8, Z). Тогда элементы ht (h{ — пред-
представитель Л/в H(Wnr+s,Z)) имеют 'нулевые квадраты и f/(Wn)r+s,Z) —
порожденная ими внешняя алгебра. Она отождествляется с тензорным
произведением внешней алгебры, порожденной hlf ... , hk, которая является
образом при гомоморфизме p*,r+s, и внешней алгебры, порожденной hk+1,
... , ht) которую i* изоморфно отображает на W(Wn_r> s, Z) (ср. § 4 (с)).
Отсюда, в частности, следует, что если х{ — образующий элемент
W2i+1(Wn;n_t,Z), то элементы р*п-х(х\ р1-2{х„), ..., pj(xn-i) составляют
вместе с образующим элементом H\V(n),Z) систему образующих алгебры
tf(U()Z)
10 Принадлежит Эресмаиу [198).

192 А. БОРЕЛЬ
§ 10. Вещественные многообразия Штифеля
Обозначения. Vng — многообразие упорядоченных систем q ортонор-
мированных векторов пространства Rn. О(п) (соответственно SO(rc)) — орто-
ортогональная (соответственно унимодулярная ортогональная) группа простран-
пространства Rn. Gnm (соответственно G?m) — многообразие Грассмана т-мерных
подпространств (соответственно ориентированных m-мерных подпространств)
пространства Rn.
Имеют место канонические включения О(п) Z) O(q), SO(rc) Z) SO(<7),
приводящие к расслоениям
Vn>q = SO(n)ISO(n-q) = O(n)/O(n^q) (l^q^n). A0.1)
Имеем Vn>1 = Sn_1; Vn> п_, = Vn> „ = SO (n). A0.2)
Как и в случае комплексных многообразий,, существуют расслоения (Vn q+r,
v», ф vn-,, r, Pq, g+r)- Включения О (n) Z> О (?) х О (n — q) и SO (п) d SO (q) x
х SO (n — q) приводят к главным расслоенным пространствам
(V^ g, Gn, „ О (q), p), (Vn> q, G°, v SO (q), p). A0.3)
Отсюда же видно, что Gn,m является двулистным накрытием Gnm (об этих
расслоениях см., например, [143], п. 7).
Мы примем без доказательства следующее предложение, принадлежащее
Штифелю ([185], теорема V).
Предложение* 10.1. Если п четно, то H(Vn2, Z)= H(Sn_1 x Sn_2, Z).
Если п нечетно, то группы целочисленных когомолог'ий \Пу2 суть
, n- 1,2п-3).
Следовательно, если п нечетно, то
#(Vn>8, /С,) = //(Sn-! X Sn_2) Кг), A0.4)
H(Vn>2) Kp) = //(S2n.3) Kp) {рф2). A0.5)
Предложение 10.2. Пусть п (соответственно q) — наибольшее (наи-
(наименьшее) целое нечетное число =s n (соответственно э= q).
Тогда Vn n_g имеет над Кр{р ^ 2) ту же алгебру когомологий, что и
произведение эгп-з х S2»-7 х . •. х S2S+1 n, помноженное еще на Sn-ь если
п четно, и на Sq, если q четно.
Предположим сначала, что q нечетно. Предложение верно для Угт> а =
= Sa^.i и для V2m+12 (предложение 10.1). С помощью рассуждения,
основанного на A0.5),' которое вполне аналогично доказательству предло-
предложения 9.1 и которое мы опускаем, можно показать, что спектральная после-
последовательность над Кр расслоения (Vnn_g, V,, n_g_2, Vg+22, j?n_?_2j n-q)
тривиальна, и перейти от Vn n_g_2 к Vnn_g.
Если q четно, то рассмотрим расслоение (Vn,n_g, Vn> n_,_lt Sg, рп-ч-% „_,).
Предложение верно для Vn)n_g_1( и, с другой стороны, S? вполне не гомо-
гомологично нулю в Vnn_? относительно Кр, потому что q четно и рф2 (см.,
например, [84], теорема 12.1). Стало быть, спектральная последователь-
последовательность тривиальна (предложение 4.1), откуда следует, пока с аддитивной
точки зрения, нужный изоморфизм. Если h — такой элемент H(Vn> n_g, Kp),
что i*(h) — основной коцикл Sg, то h • h = 0, ибо H2%Vnр,_н,'К„) = 0.
Отсюда следует, что H(Wn>n_q, Kp) есть тензорное произведение алгебры,
порожденной единицей и' Л, и алгебры Pn-g-i,n-? (W(Vnn_g_1( Kp)\) s*
^ Н (Vn n-q-i, Kp), чем и доказывается предложение с мультипликативной
точки зрения.
* См. примечание 1 в конце статьи. — Прим. ред.
11 Если п = q, то это произведение следует заменить точкой.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 193
Предложение 10.3. Алгебра H(Vn>„_e, K2)допускает простую систему
образующих Л,, Лв+1, • • •, К-х степеней соответственно q, q + 1, ... , п — I12.
Для Vn2 при произвольном п предложение верно (ср. A0.4)). Предпо-
Предположим, что оно верно для Vn r B «s r as p — \,п произвольно). Чтобы перейти
к Vnp, рассмотрим сначала спектральную последовательность расслоения
(Vn,p, Vn>1, VB_^p_!, p1)P). Так как Vnl = Sn_!, то в базе есть элементы
только степеней 0 и п — 1, и йп_х — единственный дифференциал, который
может быть отличен от 0. Так как р э= 3, то йп_^ обязательно равен 0 на
пространстве Н%?{~р = Н% п~р ?¦* #n~p(Vn , p_lt /C2), которое отлично от
нуля по предположению индукции. Значит, 7/°in~p ^Ои Нп~р(Упр, К„) Ф 0.
Рассмотрим теперь спектральную последовательность расслоения
(Vn,p,Vn р_!, Vn__p+M, рр_1( р). Так как Vn_p+11 = Sn_p, то степени по слою
равны 0 и п — р и только дифференциал «п_р+1 может быть отличен от
нуля. В Я„_р+1 элементы полной степени п — р образуют одномерное
пространство HnL_np-?=l(g)Hn-p(Sn_p, К2). Уже известно, что Нп~р (Vnp, Кг)ф
Ф 0. Значит, Woo должна содержать элементы полной ст епени
п — р. Это возможно только при Н%п~р ф 0, откуда вытекает, что
rfn-P+i(^n-np^i) = ° и что dn-p+i = Of так как Я„_р+1 есть тензорное
произведение подалгебры, образованной элементами, степень которых по
слою равна 0, на подалгебру, порожденную единицей и Н&ЛрЦ. Таким
образом, спектральная последовательность тривиальна. Теперь достаточно
применить предложение 8.1 (Ь) и предположение индукции.
Замечания. 1. Из предложения 10.3 немедленно следует, что спектральная
последовательность над К2 простарнства(У„)д+Р, Vn> Q Vn_Qir>pj, q+r) тривиальна.
Используя предложение 8.1 и § 4(Ь), получаем, что в H(Vng+r, K2) можно
найти простую систему образующих, последние элементы которой составляют
простую систему образующих алгебры р^ g+r (H(Vn, q> Ks)) = W(Vn q, /C2).
Как и в унитарном случае, отсюда следует, что если Xj — образующий
элемент Н%Уп>ПгН, Кг) и рп^ — проекция SO(n) на УП(П_Й то элементы
Рп-2 (х«)> • • • > Р* (*n-i) составляют вместе с образующим элементом из
Я1(§0(п), Кг) простую систему образующих алгебры H(SO(n), K8).
2. Аддитивный изоморфизм алгебр H(Vnq+r, К2) и //(V^g, Kg) ®
(g) W(Vn_Qr, K2) не распространяется, вообще говоря, на умножение, как
показывают примеры, приведенные в [15]. Отметим еще следующие формулы
(верные при некотором выборе простой системы образующих)*:
= @ hi+} (i + j^n- 1),
= 0 (f+/>n). v '
Предложение 10.4. Ненулевые цементы группы Tor W(Vnn_g,Z) имеют
порядок 2. Если п (соответственно q) — наибольшее (наименьшее) нечетное
число «= п (соответственно s= q), mo.\n,n-q имеет с аддитивной точки зрения
те же целочисленные когомологии, что и произведение
Y- v V- v у V- и
п,2 •* »п—2,2 л ... Л Vg+2J ,
умноженное еще на §„_!, если п четно, и на Se, если q четно.
Если q нечетно, то спектральные последовательности над R и над К2
расслоения (Vn>n_e, Vnn_g_2, Vg+2jg, Pn-g-^n.,) тривиальны (см. дока:
зательство предложения 10.2 и следующее за ним замечание). Если q четно,
то тривиальны спектральные последовательности над R и /С2 расслоения
(Vn>n_e, V^n-q-i, Sg, Pn-g-j. n-g). Наше предложение вытекает теперь по
индукции из предложений 8.2 и 10.1.
12 Многочлен Пуанкаре по модулю 2 пространства Vn>p указан Эресманом 1198].
Об этих многообразиях см. также [197].
* См. [VI], стр. 292. — Прим. ред.
13 Расслоенные пространства

194 А. БОР ЕЛЬ
Глава IV
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
В этой главе мы докажем теорему,' которая позволит изучать транс-
трансгрессию в главных расслоенных пространствах. Ее доказательство исполь-
использует лишь формальные свойства спектральной последовательности расслоен-
расслоенного пространства. Поэтому мы даем здесь алгебраическую формулировку
теоремы, отсылая за топологическими приложениями к следующим главам.
Понятие соотношения, вводимое в § 11, можно было бы изучить полнее.
Не ставя себе целью дать систематическое изложение вопроса, мы ограни-
ограничились установлением некоторых фактов, нужных для дальнейшего. Часть
из них приближается к теоремам, полученным Косулом в теории гомологии
S-модулей [75].
Для понимания следующих глав читать § 17 не требуется. Он включен
сюда потому, что предложение 17.1 уже было использовано [14] и его дока-
доказательство прямо связано с доказательством основной теоремы. • .
§ 11. Понятие соотношения
В этой главе мы обозначаем через В алгебру над полем К произвольной
(если не оговорено противного) характеристики, градуированную под-
подпространствами В* (i з» 0), антикоммутативную, снабженную единицей 1,
являющейся базисом В0. Если Ьъ ... , Ьп — однородные элементы В, то
порожденные ими левый, правый и двухсторонний идеалы совпадают и
можно говорить просто об идеале, порожденном элементами blt ... , bn,
который мы обозначим (blt ... , bn).
Определение. Пусть Ьл, ..., Ьп — однородные элементы В. Равенство
ulb{1+ ... + ambim=O (ji1<i%<...<im;Dai + Dbt, = k) A1.1)
называется соотношением степени к между элементами blt ... , bn, если
существует по крайней мере один индекс \ такой, что щ $ (Ь{Л, ..., Ьи-Ъ
Ьч+г, ¦ ¦ ¦ , *, J18-
Будем говорить, что Ьъ ... , Ьп не имеют соотношений до степени к
(или для D «? к), если не существует соотношения A1.1), в котором члены
uj b{. являются однородными элементами одной и той же степени ==s k.
Мы дадим ниже несколько разных формулировок, эквивалентных условию
„bv...,bn не имеют соотношений для D=sA:". Может показаться более
естественным назвать соотношением между Ьг,..., Ьп равенство
аА + ... +anbn=O (Da{ + Dbt = к) A1.2)
такое, что для некоторого / а,- $ (blt ... , ь\_ъ bj+1, ... , bn). Это определение
не зквивалентно предыдущему и дает меньше соотношений между blt ... , bn.
В этом новом смысле условие ..Ьх, .::, Ьп не имеют соотношений для D «s к"
было бы слабее, чем в нашем определении, и было бы менее удобным для
наших целей.
Через Р будет обозначаться векторное пространство конечной размер-
размерности над К, градуированное подпространствами P*(i > 0). Если не ого-
оговорено противного, то предполагается, что Pi = 0 при i четном.
Пусть J = В 0 Л Р — тензорное произведение (левое) над К алгебр
В и АР. В дальнейшем J будет играть роль члена Н2 спектральной после-
последовательности расслоенного пространства, а В и ЛР — соответственно роли
Н(В, К) и H(F, К). Поэтому мы примем для степеней обозначения § 4:
14 Если т = 1, то это значит, что

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 195
элемент h = IP 0 х9 (bp е Вр, х9 е (ЛР)«) имеет 3 степени: DBh = p, DFh =
= q, Dh = р + q. Можно еше градуировать у подпространствами В (g) Л'Р*;
будем называть / внешней степенью. В § И мы предполагаем, что в J введен
дифференциал й, который увеличивает D на единицу и удовлетворяет усло-
условиям
rf(B(g) 1) = 0, d(l (g)P) = Q(g) 1 (Q С В). A1.3)
Пространство Q градуировано четными степенями и потому содержится в
центре В. Дифференциал является однородным и по отношению к внешней
степени, которую он уменьшает на единицу. Значит //(/) имеет две граду-
градуировки, одна из которых индуцирована D, а другая — внешней степенью.
Если, кроме того, все элементы Р имеют одну и ту же степень s — 1, то диф-
дифференциал является также однородным относительно степени DF, которую
он уменьшает на s— 1, и относительно степени DB, которую он увеличивает
на s; эти две градуировки тоже переносятся на //(/).
Лемма 11.1. Предположим, что Р имеет базис р,, ... , рт, все элементы
которого имеют одну и ту же нечетную степень s — 1. Пусть в J действует
дифференциал й, определенный формулами й(В (g) 1) = 0, а\\ (g) р4) =
— 4i 0 * Ф<7{ = s, i = I, ... , m). Тогда справедливы утверждения:
(a) Элементы H(J), у которых DF = 0, образуют алгебру, изоморфную
» ..., Ят).
(b) Если все коциклы, у которых DB =s= k — s и внешняя степень равна
1, являются кограницами, то это имеет место и для коциклов с DB =s k — s
и внешней степенью г= 1.
Утверждение (а) очевидно. Докажем (Ь) индукцией по т. Для т = 1
это утверждение очевидно. Предположим, что оно верно для т — 1 г* 1.
Пусть В' = ВД^) и Р' — векторное пространство с базисом р„, ..., рт.
Положим /' == В' 0 ЛР' и обозначим через Л' образ элемента Л ё В (g) ЛР'
в В'®ЛР' при каноническом эпиморфизме f: В <?) ЛР' ->¦ /'. Алгебра
В (g) ЛР' отождествляется с подалгеброй алгебры В (g) ЛР, инвариантной
относительно й. Предположим, что в В (g) ЛР' действует дифференциал й,
индуцированный й, и введем в /' дифференциал й' при помощи формул
й'{В' (8) 1) = 0, d'{\ (g) A) = q[ <g) I (i = 2,..., m). A1.4)
Тогда / становится гомоморфизмом биградуированных дифференциальных
алгебр. Разделим доказательство леммы на три части.
A) Покажем, что /' также удовлетворяет предположению (Ь) леммы.
Пусть Л' = b'2 (g) р2 + ... + b^ (g) рт — коцикл и DBh' *s=k — 3. Тогда
К <g> Is + •¦• + Ьт<8>Чт = 0- Значит, существует такой Ьг е В, что
^i^i + • • • + bmqm = 0, и и = bx (g) рг + Ъг 0 р„ -(- ... -(- bm (g) pm является
коциклом /, у которого DB =s= к — s, а внешняя степень равна 1. По пред-
предположению и = dv. Имеем
i + A2 (ftlf A, e В <g> ЛР')»
откуда
*» <S> Ръ +; • • • +*m0Pm=(?i® О Ai + d А,
и Л' = d'ft'2. Таким образом, /' удовлетворяет предположению (Ь), и наша
лемма верна для /' по предположению индукции.
B) Пусть Ann qx — аннулятор qx в В. Докажем индукцией по л, что
Ann qt П В" = 0 для 0 «ё л «s к — s. Пусть это верно для степеней < л
и пусть b e Ann qt П В". Тогда b 0 рх является таким коциклом, у которого
* Через А'Р обозначается подмодуль модуля АР, порожденный элементами х%1,
• • -, Xij (xi х„ — некоторый базис Р). — Ярил. ред.
13* - 5/0

196 А. БСЙРЕЛЬ
sk — s, а внешняя степень равна 1. По предположению ^px
где ft = A <g) рх) ftx + ft2 (ft1( ft2 e В <g) ЛР', DBft! = ?>ВЛ2 = л — s). Значит,
b®Pi= -A ®Pi)dhv (ft <g) 1) ftx + dft2 == 0.
Следовательно, d'h'^ — O, и в силу A) имеем ft2 = d'ftg, т. е.
ft2 = dft3 + (ft01)ft4
(Л3, Л4 е В 0 ЛР', DBft8 = ЙВЛ4 = /г — 2s). Но тогда
(ft ® 1) Ai + (ft 0 О dA* = 0
и ftx = — dft4, поскольку Ann ft = О для Z)B «ели ?>ВЛг = ?>Bdft4 — n — s.
Окончательно имеем
fi <g> Pi = — A <g> Pi) ddft4 = 0 и ft = 0.
C) Теперь мы можем доказать (b) для /. Пусть
(Лц Л2еВ 0 ЛР', DBhx— DBhs^zk — s) — коцикл, у которого DB=&k — s,
а внешняя степень > 0. Тогда d' Ь'г = О, откуда h's = d' Л3, или
h2 = dhs + (ft 0 1) Л4
(Л3, Л4 е В 0 ЛР', DBhs = ЙВЛ4 =s к — 2s). Из соотношения dh = 0 выте-
вытекает, что
О = (ft О 1) Л, + dh2 = (ft 0 1) (Л, + dhj.
В силу B), hx + dft4 = 0, и, наконец,
А = 0 ® Pi) (~ <*Л4) + <*Л3 + (ft 0 1) Л4 = rf (ft, + A 0 Pi) Л4),
что и требовалось доказать.
Для краткости мы будем писать „Ann ft в B/(ft,... , ft_i)", обозначая
аннулятор в B/(ft, ... , ft^) образа элемента ft в этой алгебре.
Предложение 11.1. Предположим, что J = В 0 ЛР удовлетворяет
предположениям леммы 11.1. Тогда следующие 4 условия эквивалентны:
(I) Коциклы из J, внешняя степень которых равна 1 и DB=szk — s,
являются кограницами.
BV Элементы ft, ... , qm не имеют в В соотношений до степени к.
C) Для ' всякой перестановки ]\ , ... , }т чисел \, ... , т Ann qH в
B[(qiv ... , qji_j) не содержит элементов степени D ==s k — s, отличных
от 0 (/ = 1,2, ... , mf\
D) Ann ft e B/(ft, ... , q^j) не содержит отличных от 0 элементов
степени D ==s к — s (i = 1, ... , т).
Легко видеть, что B) и C) эквивалентны и что из C) следует D). Лемма
11.1 и пункты A), B) ее доказательства позволяют легко доказать индукцией
по I, что A) влечет за собой C). Значит, остается показать, что из D) следует
A). Это утверждение очевидно, если Р одномерно. Допустим, что это утвер-
утверждение верно, когда dim P = т — 1, в частности, для /', пользуясь обоз-
обозначениями из доказательства леммы 11.1. Пусть
h =¦ ft 0 Pi + b2 0 p2 + ... + bm 0 pm (DBh = t «S /c — s)
— коцикл. Тогда b2 0 pa + ... + &m 0 Рт является коциклом /' степени
DB *sk — s и, значит, кограницей, откуда
ft <S> P2 + • • • + bm 0 pm = dhx + (ft 0 1) h2 (Л1( Л2 е В 0 дР')>
(-1)' (ftft + ' • • + ЬтЧт) <S> 1 = (ft ® О й?Л2.
14 Для / = 1 это значит, что аннулятор qjt в В ire содержит элемента степени < к — s,
отличного от 0. ¦ . .

о когомологиях главных расслоенных пространств ' 197
Но по предположению [ft — коцикл, т. е. b2q2 + ... + bm qm = —
Поскольку Ann ql = {0} для D <«? /с — s, то мы имеем
откуда ft = - A 0рх) dh2 + dhy +.(ql 0 1) h2 = rf(ftx + A ® p 2
Замечания. 1. Условие A) тривиально выполнено, если k<s. Для
к = s оно означает, что элементы qlt ... , qm линейно независимы. Если
Ръ ¦ • ¦ ур'т — Другой базис Р, то ясно, что он удовлетворяет или не удовлет-
удовлетворяет условию A) одновременно с базисом р1( ... , рт. Следовательно, если
элементы qly ... , qm не имеют соотношений для D *s к (кз* s), то элементы
второго базиса q[, ... , q'm пространства Q, натянутого на qb ... , qm, тоже
не имеют соотношений для D =ss к. В этом случае говорят, что Q не имеет
соотношений для D «= к. Условие B) для lc>s эквивалентно следующему
условию: d изоморфно отображает Р на Q и Q не имеет соотношений для
D*sk.
2. Мы скажем, что элементы qlf ... , qm алгебраически независимы
до степени к, если выполнено следующее условие. Если Р(хь ... , Хт)—
отличный от 0 элемент K[xlf ... , хт]* и если P(ql7 ... , qm) является в В
суммой однородных одночленов одной и той же степени =sfc, то P(qb , qm) Ф
=^ 0. Ясно, что если qv ... ,qm не имеют соотношений для D*sktil,qv ... ,qm
порождают В до степени к, то qlt ... , qm алгебраически независимы для
D*sk.
3. Результаты, аналогичные полученным,, имеют место, когда степени
элементов р{ различны. Тогда нужно предположить, что D^ = Dp4 + 1
(Dqi четно), и заменить условие A) на следующее: коциклы внешней степени
1 и степени D *sk— 1 суть кограницы. Заключение (Ь) леммы 11.1 превра-
превращается в следующее: всякий коцикл /, имеющий положительную внешнюю
степень, кограница которого формально имеет DB =s к, сам является когра-
кограницей. Мы не будем пользоваться этим обобщением.
§ 12. Вспомогательные предложения
В §§ 12—15 мы будем рассматривать каноническую спектральную
последовательность (ср. § 1 (С)) (Hr) (r s= 2). В этой последовательности
Н2 = В 0 ЛР, пространство Р градуировано нечетными степенями, под-
подпространства Hfq имеют вид
= Вр0(ЛР)в,
дифференциал d2 уменьшает q на единицу и увеличивает р на 2; в част-
частности, d2(B <g) 1) = 0.
Положим ВГ=«?(В01). Если элементы подпространства S (Z ЛР
являются dj-коциклами для всех г < /, то «3? отображает 1 <Э S мономорфно
в Hj. Образ при этом мономорфизме мы будем также обозначать через 1 0 S,
если это не будет приводить к путанице.
Пусть т — максимальная степень в Р. Положим
Р1 = р* + р<+1 + ... + Pm.
Наконец, мы будем обозначать в формулах знаками = и с соответственно
изоморфизм и мономорфизм, что будет уточняться контекстом.
Определение. Обозначим через A(t, к) совокупность следующих двух
утверждений:
A) fifr«?(l 0Р;) = О для 2=sr=s;f.
B) Если i*smin(t,k), то Q{= fif4«f (I (g) Р1) изоморфно Р1 и Q4
не имеет в В4 соотношений для D =s k.
* Через К[х1Р ..., XnJ обозначена алгебра многочленов над полем К от (коммути-
(коммутирующих) неизвестных xlt xt Хщ. — Прим. ред.

198 А. БОРЕЛЬ
По аналогии с четвертым определением трансгрессии (§ 5) мы будем
говорить, что элемент хе(лР)* трансгрессивен, если drx8r(l(gix) = 0
для г < i. Если A(t, к) верно, то элементы Р степени D =s t трансгрессивны.
Для к = 0,1 условие B) этого определения пусто. В частности, если t s= m,
то условие A(t, 0) означает в точности то, что однородные элементы Р транс-
трансгрессивны.
Следующее предложение будет играть существенную роль в доказатель-
доказательстве нашей теоремы.
Предложение 12.1. Если A(t, к)верно в (Нг), то для2 ^r« min (t, к)
имеем:
AГ) Я (ВТ <g> дР1-1) <8> ЛР; С Яг+1 для DB =е к + 1.
BГ) яг+1 = н{вг <g> лр^1) ® лр; = вг/(оо Олр; = sr+1 о лр;
(если DB *s к — г).
(Зг) н;?+1(В 0 лР^) есть факторалгебра алгебры Br+1 (g) дР» ц совпа-
совпадает с последней при DB == /с + 1.
Положим Sr = Br (g) дР^" = Br (g) АР1" (g) ЛР; и снабдим эту ал-
алгебру дифференциалом дг, равным 0 на Br (g) Л Р« и dr на Рг-1. Так как
элементы из В (g) ЛР^ являются fifj-коциклами для i' < г, то определено
Тг = х? (В <g) ЛР^). Ядро хр содержит, в частности, ядро отображения
и*: В (g) 1 -»¦ Вг. Поэтому хр определяет эпиморфизм /г алгебры Sr на
Тг. Очевидно, что dr ¦ fr = fr ¦ бг. В этих обозначениях наши утверждения
переписываются следующим образом:
(lr) H(Sr)aHr+1 для DB*sk+l.
BГ) Яг+1 = H(Sr) = Br/(Q0 (g)APi = Sr+1, для DB^k-r.
Cr) Tr+1 является факторалгеброй алгедры Sr+1 и совпадает с последней
при DB =s /с 4- 1.
Мы докажем также
DГ) Мономорфизм из (lr) u первый изоморфизм из BГ) индуцированы
эпиморфизмом /г; изоморфизм Нг+1 = Sr+1 (DB =s k — г) из BГ) и эпимор-
эпиморфизм из (Зг) индуцированы fr+1.
A2) очевидно (для произвольных DB); B2) выводится из предло-
предложения 11.1 и леммы 11.1. Множество всех кограниц из B(g)AP* есть
d2(B(g)P1(g)AP*) = (Q2)(8)API, откуда следует C2); D2) очевидно.
Предположим, что (lr-i), Br_!), Cr_!), (V-j) выполнены, где г =s min (t, k)
четно (для г нечетного Р1" = 0, и переход от г — 1 кг производится
немедленно). Эпиморфизм /г, являющийся гомоморфизмом дифференци-
дифференциальных алгебр, определяет гомоморфизм H(Sr) в Н(НГ) = Нг+1. Пусть
Л е Тг является ^-коциклом. Тогда, если Л является кограницей в
Нг и DBh =s k + 1, то он является кограницей и в Тг. Действительно, если
Л = dru (ц е Яг), то DBu *sk — г + 1. Так как, в силу B^ и (^.Д
/r(Sr) = Нг для DB *s k — (г — 1) = к — г+1, то существует такой v e Sr,
что и = /r(v). Значит, и е Тг и Л = dru e dr Tr. Если, кроме того, Л = /Г(Л'),
где Л' — коцикл Sr, то Л' = <5r v, поскольку Д. взаимно однозначен при
D =е /с 4- 1, в силу C,^) и DГ_1), и согласован с дифференциалами. Отсюда
ВИДНО, ЧТО
dr(Hr) n «P(S(g)AP;) = /r((Qr)(8)APi;) для DB^k+ 1 A2.1)
(так как второй член есть, очевидно, множество всех <5г-кограниц в Br (g) Л Pi)
и что /г — мономорфизм W(Sr) в Нг+1 для DB ««Л +¦ 1. Тем самым дока-
доказано AГ) и первое' утверждение DГ). Но, в силу B^) и D^!), имеем /r(Sr) =
= Нг для DB =s к — г + 1. Значит, /г взаимно однозначно отображает H(Sr)
на Яг+1 для DB == к — г + 1. Здесь содержится первое равенство BГ) и

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 199
второе утверждение DГ). Второе равенство BГ) вытекает теперь из предло-
предложения 11.1 и леммы 11.1. Равенство A2.1) показывает, 4To(Qr) = dr(Hr) П Д-
для DB =ё к -f. 1, т. е. что
Вт+1 = х*г+1 Вт = Br/(Qr) ДЛЯ DB^k+l, A2.2)
откуда следует третье равенство BГ). По определению имеем
*г2+1 (В (8) A Pi) = <
Гомоморфизм Д. отображает (Qr) (g)AP? = %Sr) в #г#г> т- е- в ЯДР°
«г+1- Поэтому при переходе к факторалгебрам получается эпиморфизм
Br/(Qr)®APi; -^Tr+1. В силу A2.2). при DB =s /с + 1 этот эпиморфизм
совпадает с /г+1. Таким образом, /г+1 индуцирует изоморфизм Нг+1 = Sr+1
(DB =ss к — г). Кроме того, мы знаем из (Зг-1) и DГ_Х), что /г для DB ==ё /с -)- 1
есть изоморфизм Sr на Тг. Из A2.1) видно, что /г+1 отображает (Qr)®AP*
на ядро гомоморфизма х?+1: ж? (В ®APJ) -»¦ Тг+1. Следовательно, он
индуцирует изоморфизм Br/(Qr) (g)AP* на Тг+1 для DBss/c + 1, который,
в силу A2.2), совпадает с /г+1. Тем самым доказано (Зг) и последнее утвер-
утверждение DД
Замечание. Пусть к s= t. Выберем в Рх+ ... + Р' базис xv ... , х„,
и пусть элементы у4 6 В таковы, что
Пусть ^3 — подпространство, натянутое на элементы у4 степени /. Тогда
ясно, что х] изоморфно отображает Q3 на Q3 и что
Br=B/(Q1+ ... +Qr~l) для DB</c;r=3,4 f+ 1- A2.3)
Так как Qj не имеют соотношений в В} для D «s /с, / = 1 f, то Ann yt
в B/fo, ... , у{_х) равен 0 для D *s к (i = 1, 2, ... , s). Значит, у„ .. ^, у,
не имеют соотношений в В для D =^к (предложение 11.1).
Лемма 12.1. Предположим, что A(t, к) верно и алгебра //оо тривиальна
для D *s к. Пусть hp e Hp, hp=?0, 0 < Dhp ^ к, DFhp <p—\.
Тогда существуют элемент х 6 Н2 и целое число s з» 2 такие, что
и DFhp = 0, когда s «= min (f, /с) или когда t s= Л:.
Дифференциал dr уменьшает DF на г — 1 единиц. Значит, Лр является
*/г-коциклом для всех гэ= р. Так как //<» тривиальна для D *sz к, то должни
существовать такие х и s, что
(Dx = Dhp— 1,
Если s =s min (f, /с), то, в силу неравенства DBx=s, к — s, имеем н\ х е Bs 0
<Э А Р* (предложение 12.1). Так как DF(ds х\х)<р — 1 ^ s — 1, то
DF(da х\ х) = DF Лр = 0. Если <>Л и DF Лр ^ 0, то s > min (f, /rt, откуда
s > Л: и DB Лр = DBx + s > /с, что противоречит условию ОЛР =s к. Лемма
доказана.
Предложение 12.2. Предположим, что A(t, 0) верно и что алгебра //«,
тривиальна для D =s f. Тогда справедливы утверждения:
(a) Л(<, f + ") верно; Р содержит все трансгрессивные однородные эле-
элементы А Р, имеющие степень *?. t.
(b) Если xlr ..., хг — базис Р1 + ... + Р' " элементы yi? В удовлет-
удовлетворяют условию х? (у{ (^) 1) = d^p A ® *0 (г — Dxj +1), то элементы
у1( ... , У; порождают В> @ < / =^ f) и В = К [ух, ... , уг] для D ^st.

200 А. ВОР ЕЛЬ
(а) Пространство Q* изоморфно Pi-1 (i = 2, .. * , f), так как в против-
противном случае Pi~1 содержало бы отличный от 0 элемент, являющийся коцик-
коциклом для всех dr и имеющий ненулевой образ в алгебре Н«>, тогда как послед-
последняя тривиальна при D*st. Пусть верно A(t, к) и к =s t. Если A(t, к + 1)
не верно, то существует такое i B «s г «s t), что Q* имеет соотношение сте-
степени к 4- 1. Но, согласно предложению 12.1 A4), для DB <^ к имеем
Л Р1) 0 Л Pt <ZHi+1.
Поэтому должен существовать элемент h e Hi+1 такой, что ft ^ 0, Dh — к,
DFh = i — 1 9^ 0-(предложение 11.1), что противоречит лемме 12.1, поскольку
t з» к. Итак, A(t, к + 1) верно и Л(/, f + 1) доказано по индукции.
Пусть элемент хе(Л Р)' (i<^t-\- 1) трансгрессивен. Тогда, в силу
предложения 12.1 BД имеем xf(\ ®x)e »f(l 0ЛР*). Значит, хеР*.
(Ь) Уже известно, что ylf •.., у, не имеют соотношений для D «S t + 1
(замечание к предложению 12.1). Достаточно показать, что эти элементы
порождают В* @ < / =ss /). А для этого достаточно показать, что В' 6
е(У1) • • • f Уг) Для всякого /, удовлетворяющего условию 0 < / ^ /. Но если йеВ3,
* $ (У1> • • • . Уг), то я;?+1 Ь ^ 0, и в силу тривиальности //«,, должно существо-
существовать такое s г» / + 1, что й является dg-кограницей некоторого элемента
х, необходимо удовлетворяющего условиям Dx = /— 1, DFx= s— 1 > 0,
DBx= j — s < / — t. Отсюда получаем, что
и DFx 2& t, а это невозможно, поскольку Dx= f— 1 «s / — 1.
Предложение 12.3. Предположим, что верно А(т+ 1,0), где т —
максимальная степень Р, и что Нт тривиальна до степени п^т. Тогда
справедливы утверждения:
*(а) А(т + 1, п + 1) верно, и Р содержит все трансгрессивные элементы
из АР.
(Ь) Пусть хъ ... , хг — базис Р и элементы уге В удовлетворяют
условиям н%уг 01)= йгн*(\ 0 х4) (г = Dxj + 1, i=l,...,/). Имеем:
В = К [Ух, • • • , у,] для D «S п.
Действительно, если верно А(т+ 1, 0), то верно и A(t, 0) для всех
(>т+ 1 и, в частности, верно А(п, 0). Теперь нужно применить пред-
предложение 12.2.
Замечание. Мы все время предполагали, что Р конечномерно, так как
только этот случай представляет интерес для дальнейшего. Но это пред-
предположение в общем не играло роли. Действительно, формулировки и дока-
доказательства предложений 12.1 и 12.2 сохраняются без всяких изменений,
если предположить только, что всякое подпространство Р* конечномерно.
Видно также, что если несколько изменить обозначения, то рассмотрения
§ 11 и § 12 будут годиться и для произвольных пространств Р*.
§ 13. Основная теорема
Обозначим через т максимальную степень в пространстве Р.
Теорема 13.1. Пусть (//г)(гэ=2)—каноническая спектральная после-
последовательность, в которой Н2 = В®ЛР. Предположим, что Р градуиро-
градуировано нечетными степенями и что Нт тривиальна для D =s n (п > 2т + II5.
Тогда справедливы утверждения:
(а) Л Р есть внешняя алгебра над подпространством Р', которое имеет
15 Для наших целей было бы достаточно предположить, что п произвольно велико.
Мы указываем нижнюю границу, чтобы обратить внимание на то, что она не совпадает с
границей, указанной н [14] (см. замечание в конце § 17).

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 201
базис х1, ..., х,, состоящий из однородных трансгрессивных элементов. Прост-
Пространство Р' содержит все трансгрессивные элементы из АР.
(Ь) Если элементы yt e В выбраны так, что к\ (у{ 01) = d^ A 0 *i) (r =
= Dxt + 1), то В = К [уу у{] для D^n.
• Заметим, что главным в этой теореме является утверждение об единст-
единственности. Если задано пространство Р, градуированное нечетными степе-
степенями, то нетрудно построить некоторую алгебру В и спектральную последо-
последовательность, начинающуюся с //2=В0ЛР и заканчивающуюся триви-
тривиальной алгеброй: достаточно предположить, что Р натянуто на трансгрес-
трансгрессивные элементы х{, и определить В и спектральную последовательность
при помощи формул пункта (Ь). Теорема утверждает, что эта конструкция
однозначна с точностью до изоморфизма спектральных последовательнос-
последовательностей.
Если Р* =я 0 для i < m, то А(т +1,0) очевидно и теорема сводится
к предложению 12.3. Поэтому мы предположим на будущее, что в Р сущест-
существуют по крайней мере две различные степени. В силу предложения 12.3,
достаточно доказать А(т + 1, 2 т + II6. Это мы сделаем с помощью двой-
двойной индукции: в §14 мы перейдем от A(t, 2t + 1) к A(t + 1, 2t + 1), а в
§15 — от A(t, 21 — 1) к A(t, 2t + 1). Было бы, конечно, заманчиво с помощью
предложения 12.3 попробовать доказать А(т + 1, 0) прямо, например
индукцией по одному первому индексу, но это едва ли возможно.
§ 14. Первая часть доказательства
Сделаем сначала несколько простых замечаний. Если 0 < i ^ t, i ^ п,
то В\+1 = 0, так как в силу свойств дифференциалов dr пространство
В\+1 изоморфно отображается в алгебру Ню, тривиальную для D «s л.
Если Р( состоит из трансгрессивных элементов, то Qt+l = dr+1xf+1 A 0Р')
изоморфно Р', так как в противном случае Р' имело бы отличный от 0 образ
в tfoo. Кроме того, В%\ = Q *+К Действительно, Q'+1 = Bft{ f) di+1(Ht+1) и
oBitlBitW+1
Предположим, что A(t, 21 + 1) верно. Тогда из предложения 12.1 B{)
следует, что
Ht+1=Bt+1®APi для DB^t + 1. A4.1)
Значит,
В частности, при t четном В\%\ = Qt+1 = 0, т. е. Р* состоит из </(+1-коциклов
и A(t + 1, 2t + 1) верно. Остается исследовать случай нечетного t.
Лемма 14.1. Если верно A(t, 2t -f- 1) (t нечетно), то Qt+1 не имеет
соотношений для D *= 2t -f- 2 (t =ss m).
Согласно предложению 12.1 Ct),
St+l = Bt+1 <g) Л Р' 0 Л Pi+1 С Я(+1 для DB ^ 2f + 1.
Если Q'+1 имеет соотношение степени DB *s2t -\- 2, то (предложение
11.1) Bt+1<g>AP' содержит коцикл Л (Dfi*s2t+l, DFh = t, DBh *?
=sf+l), который не входит в dt+1(Bt+10ЛР'). Я утверждаю, что
й не является кограницей в Ht+1. Действительно, если Л = dt+lu, то
DFu = 2f, DBu = 0 (значит, DBh = t + I), и, в силу A4.1), и е 1 ® Л Pi.
Поскольку Р2'=0, то ие1<ЭЛ2Р'и Л е d(+i(Д+i <8>ЛР'), что неверно.
Итак, элемент х^Л^О. Но так как DBh*st+ I, DFh = t, то этот
элемент является ^-коциклом и не является ^-кограницей для всех
16 Для подходящей системы образующих в ЛЯ.

202 А. БОРЕЛЬ
гз= t -f- 1. Поэтому его образ в//«, отличен от 0, что противоречит предполо-
предположению, поскольку Dh =s 2t + 1 =s n. Лемма доказана.
Предложение 14.1. Если верно A It, 2t.+ \)(t =s m), то верно Alt + 1,
2t + II6.
Как мы уже говорили в начале параграфа, достаточно рассмотреть слу-
случай нечетного t. Пусть х1? ... , xh, xft+1, ... , хг (Dxi =ss t, если i =s к; Dx{ >
> t, если i > к) — система образующих лР, удовлетворяющая A(t,2t+\).
Докажем, что к каждому элементу хг (i > к) можно прибавить такой
разложимый элемент, что получится новая однородная система образующих
х1( ..., xh, x'h+1, ..., х/ алгебры ЛР, удовлетворяющая A(t + 1, 0). Так как
мы не изменили элементов, имеющих степени =s t, то, в силу предположения
теоремы и леммы 14.1, новая система образующих будет удовлетворять
Alt +1, 2t+ 1).
Предположим, что мы выбрали новые образующие для к < i «= /. Пусть
V — подпространство, натянутое на х^+1, ... , xj, и пусть yi+1 =
=d(+1 xf+1 A0х3+1). Система образующих ЛР, состоящая из х?+1,..., х| и из Xj
с индексами, отличными от к + 1, ...,/, удовлетворяет Alt, 2t + !)•
Применяя к этой системе предложение 12.1 B,), получим, что у,-+1 6 В,+1 (g)
0дР5- Поскольку DFyj+1 < Dx,+1, то yJ+16 В<+1 0лР'0Л^; иначе
говоря,
(ctj е В(+10 д Р', v4 е д V). Можно считать,что элементы vi( ... , vp линейно неза-
независимы. Элементы у3+1, v1( ... , vp являются й{+1-коциклами. Так как
DB (dt+1 у,+1) = 2t + 2, то из предложения 12.1 Ct) видно, что dl+, а4 = 0
(г = 1, ... , р). Очевидно, DBdi = t-\- 1. Значит, если DFat^:0, то
существует такой элемент с? е 1<ЭлР', что at = dt+1 c4 (лемма 14.1 и
предложение 11.1). Если DFaj = 0, то
fli e B|±i = Q'+i ® 1 = df+1 «f+1 A <g> P')
и flj = d4+1 c4 (c4 e 1 (g) P'). Рассмотрим разложимый элемент
1®A = c1®v1+...+cp®vp (ЛеЛ(Р'+Ю).
Имеем
dr «р A <g) (xi+1 — Л)) = 0 для 2 =s г ^ f + 1.
Следовательно, достаточно положить х}+1 = х,+1 — Л.
То же самое доказательство проходит для / + 1 = & + 1, что позво-
позволяет построить по индукции нужную нам систему образующих. Этим дока-
доказано предложение 14.1.
С помощью аналогичных, но более простых рассуждений доказывается
следующая лемма, обеспечивающая начало индукции.
Лемма 14. 2. ЛB, 3) верно.
Сначала с помощью рассуждения из леммы 14.1 доказывается, что
Q2 не имеет соотношений для D == 4. Затем отсюда выводится, как в пред-
предложении 14.1, существование новой системы образующих дР, удовлетворя-
удовлетворяющей ЛB, 0), а значит, и ЛB, 3) или даже ЛB, 4).
§ 15. Вторая часть доказательства
Лемма 15.1. Пусть верно A(t, 2t—1)(t =sm) и пусть hp^=0, hpeHp,
0<Dhp*s2t, DFhp<p—\.
Тогда либо существует такое s (t з= s s= p), что 0 96 и|? ftp g (Qs) ц
DFhp = 0, либо существует такое s > t, что 0 Ф x\h = dsх\ x (xe 1 0 P[)
и Dhp четно.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 203
Так как ж? hp является с/г-коциклом для всех г =& р и Н^ тривиальна
для D =s; 2t + 1, то существуют такие s&pHxe H2, что
</гх?х = 0 (г< s),
d3xfx = xj ftp 7^ 0 (Dx «s 2/ — 1, DBx *s 2t — s).
Предположим сначала, что s =s= t, и применим предложение 12.1 Bg_j) для
A = 2/—1. Из неравенства DBx*^2t— s = 2t—1—(s—1) вытекает,
что
Поэтому из неравенства DF{ds xf x) = DF hv < p — 1 =s s — 1 следует,
что DF{ds xl x) = 0, DFx = s — 1 и
x\ x e Bs 0 P3-1, *? ftp = ds к» x e (Q8)-
Если же s>/, то DBx*^2t— t—\ = t—1. Из предложения 12.1B,)
видно, что
Но В\+1 = 0 для 0 < i =ё t (ср. начало § 14). Следовательно, хе 1 0 ЛР[.
В силу Dx =« 21— 1 элемент х не может быть разложимым, и потому xel 0 Р[.
Так как х однороден и отличен от 0, то Dx нечетно и Dftp четно.
Лемма 15.2. Если верно A(t, 2t— 1), то В1 =0 для нечетных i*s2t—1.
Если это утверждение неверно, то обозначим через /' наименьший не пре-
превосходящий 2t — 1 нечетный индекс, для которого В} ф 0. Пусть h e В\
Ъ.ф§. Элемент ft удовлетворяет предположениям предыдущей леммы для
р = 2. Очевидно, все не превосходящие / степени из (Q4) четны. Поэтому
должна выполняться вторая возможность, что противоречит нечетности /.
Предложение 15.2. Если верно A(t,2t — 1) (f^m), то верно и
A(t, 2t + 1).
Предположим, что верно A(t, к) Bt — 1 «s к < 2t + 1). Если A(t, к +1)
неверно, то существует такое i B «s i =s t), что в Ql есть соотношение
степени к + \ и j необходимо четно. Из предложения 12.1 A4) следует, что
ЩВг 0 л Р*-1) ®APic Hi+1 для DB *s к.
Значит (предложение 11.1), существует такой ft e Hi+1, что ИфО, Dh = к,
DFh =i—l, DBh = k — i + 1. Имеем DBh = A — i+ I *s2t — г + 1 «s
^2<—1. Следовательно, DBft четно (лемма 15.2) и Dh = DBh A-i—1
нечетно. С другой стороны, ft удовлетворяет предположениям леммы 15.1
для р — i + 1. Так как DFh = г — 1 ^ 0, то должна выполняться вторая
возможность, и Dft должно быть четным в противоречие с тем, что мы полу-
получили раньше. Следовательно, A(t, к + 1) верно.
Лемма 14.2 и предложения 14.1 и 15.1 позволяют доказать по индукции,
#что А{т-\- 1, 2т + 1) верно. Как мы уже говорили, наша теорема выте-
вытекает теперь из предложения 12.3.
§ 16. Дополнение для характеристики 2
В этом параграфе мы предполагаем, что К — К2 имеет характеристику 2.
Если F — алгебра над Кг, допускающая простую систему образующих
рг, ..., р{, и если Р — пространство, натянутое на ръ .... рь то мы будем
писать F = Л Р. Если Р' — подпространство пространства Р, натянутое
на элементы qlt ..., qa, содержащиеся среди элементов ри то через АР'
обозначим подпространство алгебры АР, натянутое на 1 и на одно-
одночлены qu ... qit (ij < ... < ih, k = 1, ..., s). Если P" — другое подпро-
подпространство того же типа, что и Р', и если Р' П Р" = 0, то, очевидно,

204 А. БОР ЕЛЬ
А (Р' + Р") = А Р' 0 А Р" (тензорное произведение модулей). Простран-
Пространство АР' не обязательно является подалгеброй.
В случае характеристики 2 лемма 11.1 верна, конечно, и для нечет-
нечетного s. Вообще она остается верной, если заменить лР на АР и считать
s произвольным целым числом. Действительно, существует очевидный изо-
изоморфизм векторного пространства В ® А Р на В®лА Этот изоморфизм
согласован с четырьмя градуировками и с дифференциалами. Отсюда сле-
следует, что лемма 11.1 верна также для В (g) АР. Наш изоморфизм не обяза-
обязательно согласован с умножением, но тем не менее он сохраняет произве-
произведение одночленов ри ... pih и ри ... ph, если i^-ф /„ для всех р, v (ix <
< ... < ik; /j < ... < /g). Следовательно, доказательство леммы 11.1
годится и для В® АР, если Л заменить на А. Эти замечания показывают
также, что лемму 11.1 можно применить к случаю J = В 0 АР, даже
если АР — не алгебра, а только вложено в алгебру F с простой системой
образующих так же, как подпространство АР', о котором говорилось в начале
этого параграфа.
Отсюда, очевидно, вытекает, что предложение 11.1, результаты §12 и
их доказательства сохраняются, если заменить Л на А. Из предложения
12.3 следует
Предложение 16.1. Пусть (НТ) (г > 2) — каноническая спектральная
последовательность над К2, причем # 2 = В 0 F, где F = АР — комму-
коммутативная алгебра, допускающая простую систему образующих хг, ..., хь
степени которых — положительные целые числа. Предположим, что Ято
тривиальна для D «е п и что Xi трансгрессивны.
Если элементы у4 е В удовлетворяют соотношению м\ (у4 ® 1) =
= drxr О 0 *i) (r = Вхг +1» i = 1, • • •, I), mo ylf ..., у[ не имеют соот-
соотношений для D «s= n и В = /С2 [yv • •', у{] для D «= п; пространство Р содер-
содержит все трансгрессивные элементы F.
В этом предложении мы не предполагаем ни того, что Xj • х^=0, ни того,
что DXi нечетно, но зато мы допускаем, что Xj трансгрессивен. Стало быть,
это скорее слабый аналог, чем обобщение теоремы 13.1 для К = Кг. Впро-
Впрочем, примеры показывают, что если Р содержит элементы четных степеней,
то теорема 13.1 не верна для К = К2.
§ 17. Дополнение для характеристик, отличных от 2
Как мы говорили в начале этой главы, §17 посвящен обоснованию одного
результата, использованного в [14], но вовсе не применяемого в настоя-
настоящей работе.
В работе [14] рассматриваются расслоения, слои которых имеют такие
же гомологии, как произведение сфер. Значит, алгебра когомологий слоя
допускает простую систему образующих, квадраты которых равны 0. Если
антикоммутативная алгебра F допускает простую систему образующих,
Ри • • •. Pi, квадраты которых равны 0, то мы будем писать F = МР. Через
Р здесь обозначается подпространство, натянутое на р1( ..., рг. Это обоз-
обозначение не вполне корректно, потому что другой однородный базис р'г>
..., р{ пространства Р не является, вообще говоря, простой системой обра-
образующих с квадратами, равными 0. Однако мы будем его использовать для
краткости, поскольку в дальнейшем оно не приведет к путанице. Если Р'
и Р" — пространства с базисами plt ..., pk и ph+1, .. .,.ph то МР' и МР"
— подалгебры и МР = МР' 0 МР" (левое тензорное произведение). Разу-
Разумеется, если Р градуировано нечетными степенями, то МР = ЛР.
Мы будем рассматривать каноническую спектральную последователь-
последовательность (Нг) (г г* 2), в которой Н2 = В 0 МР.
Определение. Говорят, что A*(t, к) верно в (Нг), если Р* = 0
для четных i «e t — 1 и если верно A(t, к).

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 205
Ясно, что результаты и доказательства §12 остаются верными, если
всюду заменить А на А* и д на М. Назовем предложением 12.1* то пред-
предложение, которое при этом получится из предложения 12.1.
Пусть опять т — максимальная степень в Р.
Предложение 17.1. Пусть (Нг) — каноническая спектраль-
спектральная последовательность над Кр, в которой Яа = В 0 МР.
Если р Ф 2 и если Н^ тривиальна для D =s п (п > 2т + 1), то Рг =
= 0 для четных L
Мы будем использовать, не оговаривая этого всякий раз, следующий
хорошо известный факт. В антикоммутативной канонической дифферен-
дифференциальной алгебре над полем характеристики ф2 всегда b ¦ db = 0, если
степень b четна и bs = 0 (действительно, 2Ь • db — d(b • b) = 0).
Я не знаю другого способа доказательства предложения 17.1, кроме
построения всей спектральной последовательности. Метод аналогичен тому
методу, который позволил нам установить теорему 13.1.
Если Р* = 0 для Km, то dr = 0 B =s= г *~ т), Нт+1 = Я2. Пусть
х е Р, х Ф 0, dm+1 х 6 В 0 1. Тогда х • dx — 0 тогда и только тогда, когда
dx = 0. Значит, если т четно, то х есть ^т+1-коцикл и имеет ненулевой
образ в Я^,, что противоречит тривиальности Я^ для О^пи доказывает
предложение в том случае, когда все элементы Р имеют одну и ту же сте-
степень. Отныне мы предположим, что в Р существуют по крайней мере две
различные степени. Достаточно доказать, что верно А*(т + 1, 2т + П.
Это мы сделаем, следуя по возможности доказательству А(т + 1, 2т + 1),
данному в §§14 и 15.
1-я часть: переход от A*(t, 2t + I) к A*(t + 1, 2t + 1).
Пусть xv ..., xa, x8+1, ..., X[ (DXi < t, если i =s s; Dxi =* t, если i > s)
— простая система образующих с нулевыми квадратами алгебры F = МР,
удовлетворяющая A*(t, 2t + 1). Из предложения 12.1* BЛ следует при
k = 2t+ 1:
Ht+l = Bt+i (g) MPf цпя DB^t+l. A7.1)
Стало быть, yt = dt+1 xf+1 A (g) Xj) (i>s) содержится в Bt+1 0 MPt* и,
так как DF yt < DF xi( y{ • ж?+1 A (g) Xj) = 0 тогда и только тогда, когда
yt = 0. Отсюда следует утверждение:
Если Dx{ четно (i > s), mo *?+iA0Xi) является dt+l-KouuwoM. A7.2)
В частности, если / четно, то Р' изоморфно отображается в Я^, откуда
Р' = 0. С другой стороны,
в силу тривиальности Н^ (ср. начало §14). Значит, если t четно, то уг = 0
для всех i > s, и наша система образующих удовлетворяет A*(t+\, 2/+1).
Для нечетного t, как и в §14, можно доказать, что
Qt+1 не имеет соотношений для D =s 21 + 2. A7.3)
Доказательство нужно лишь дополнить следующим пунктом. Если
це 1 0 МР'., то либо uel 0A2Pf, либо uel 0РИ. Но вторая возможность
исключена, в силу A7.2), так как dl+1 и = h ф 0. Значит, ие 1 0л2Р'- Затем
с помощью рассуждений предложения 14.1 доказывается следующее утвер-
утверждение:
Прибавляя к элементам нашей системы образующих, имеющим нечет-
нечетные степени > t, некоторые разложимые элементы, можно получить новую
систему образующих, удовлетворяющую A*(t -+¦ 1, 0). A7.4)
Нужно заметить, что в этой индуктивной конструкции мы переходим
от одной системы образующих к другой, изменяя только один элемент нечет-

206 ¦ А. БОРЕЛЬ
ной степени. Промежуточные и окончательная системы образующих просты
и состоят из элементов с нулевыми квадратами.
Затем с помощью A7.3) и A*(t, 2t + 1) мы переходим от A*(t +1,0)
к A*(t + 1, 2 / -J- I). Наконец, аналогичные рассуждения показывают,
что А*B, 3) верно.
2-я часты переход от A*(t, 2t — 1) к A*(t, 2t + 1).
Здесь нам понадобится новая лемма.
Лемма 1 7.1. Если верно A*(t, 2t — 1) (t =s= m), mo P* = 0 для чет- '
ных i < 21.
Если P3 ф 0 для некоторого четного / < 2t, то по предположению
/ s= t и существует такой элементрel 0 Р\ р ^ 0, р8 = 0, который является
</г-коциклом для г =sst. В силу тривиальности Яет, существуют такие qeH%
И S&/+ 1, ЧТО
drx*q = 0 (r<s),
0^x*q = d8xjp {Dq = / + 1 *s 2t — 1, DBq = s).
Имеем DF? = /+ 1 — s =s 2 f — 1 — s =s 2 f — 1— t— \ = t — 2. Значит,
<7 e В ® д (Р1 + - • ¦ + jP*) и ^ • p 9^ 0. Так как р • p = 0, то xss (q • p) =
= »| ^ . x| p = 0 и существуют такие у б Н2 и s' < s, что
dr«r2y = 0 (r<s')(
ds, x% у = x% (q - p) ф 0 {DBy = DBq — s' = s — s').
Мы докажем ниже, что s' s= t + 1. Если предположить, что это уже дока-
доказано, то DBy =s; D?ty — t — 1 «=2/ — 1 — t — 1 — t — 2. Согласно предло-
предложению 12.1*Bt),
*?+i У е Bt+1 ® MPf,.
Ho B^+1 = 0 для i =s t (тривиальность Hm). Значит, DBy = 0 и s = s\ Полу-
Полученное противоречие доказывает лемму.
Остается еще проверить, что s' s= t + 1. Это очевидно, если DFq = 0.
Действительно, тогда «f+i ? е 6i+i и» Так как ж?+ 9^0, в силу A7.5)
<i (</ • Р) е «8+i (
и xf+1 (q ¦ р)=? 0. Предположим теперь, что DFq = i — 1^0. Тогда
DBq*^2t—1—(i—1) и, согласно предложению 12.l*Bi_1),
xfqe Bt ® MP*-1,
откуда xfqeBi ® P*. Значит. к?+1 ^^0 является элементом
имеющим внешнюю степень 1. Так как
Н(Вг ® дР*-1) ® МР; с Hi+1 для DB ^ 2/ — 1
(предложение 12.1*A{)), то х?+1 (q • р) ф 0 и х?+1 q $ Bi+1 ® МР*,.
Допустим теперь, что уже доказано соотношение
*? (Я • Р) $ «г8 (? ® МР^) (i + 1 ^ г ^ min (s', 0). A7.6)
Если dft х\у = 0 для k<r *st, то s' s= r, DBy =s 2t — 1 — г и
x% у e Br ® MP^», tfr к? у 6 Br ® Mf^-1.
В силу A7.6), dr>4y не может быть равен x*(q • р). Поэтому из опре-
определения у видно, что х* у является ^-коциклом и что s' > г. Значит,
s' 5= t + 1, что нам и требовалось доказать.
Для завершения доказательства остается установить A7.6). Докажем
это соотношение индукцией по г. Предположим, что оно верно для г = и — 1
(/+ 1 «s и «= min (s', t)). Если A7.6) не верно для и, то существует такой
х е В (g) МР?-1, что
< *(

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 207
и DBx = DBq *=2*—1. Из предложения 12.1* A») и из того, что я?+1 q
имеет в H(Bi®APi~1) внешнюю степень 1, вытекает включение
*f+1 х е Bi+1 ® MP»
и ж?+1 х Ф xf+1 (q ¦ р). Следовательно, существуют такой z e Нг и такая
степень v(i + 1 =s v < ц), что drxpz = 0 (г < v), </„ ж* z + х$ х = *g (? • р),
d%^0. Но DBz = D?ty — v =s 2f — 1 — v, и в силу предложения 12.1*
и (Зи.Д имеем
х? z, dD*? z e **(?
Так как *? х е *%В ® МР^1) с х|(В ® МР^) (v < ц), то
для v< ц, что противоречит предположению индукции. Итак, A7.6) дока-
доказано.
Формулировки и доказательства лемм 15.1, 15.2 и предложения 15.1
можно сохранить, заменив в них А на А* и л на М. Некоторое усложнение
требуется только в конце доказательства леммы 15.2. Для Установления
того, 4toDx нечетно, где xel ® Р'„ Dx «s 2i — 1, нужно использовать лемму
17.1 вместо того, чтобы прямо применить гипотезу: Р* = 0 при четном i.
Замечание. Пусть М = dim Р1 + 2 dim Р8 + ... + т dim Pm.
В работе [14] мы сформулировали теорему 13.1 и предложение 17.1 для п з=
з= М. Но число М в некоторых случаях может быть меньше, чем 2т + 1.
Мы не будем пытаться распространить наши доказательства на этот случай,
не представляющий интереса для дальнейшего. Зато мы покажем, как допол-
дополнить наши доказательства, чтобы получить теорему 2 работы [14] для п<
< 2т + 1.
Предположим, что (Яг) — спектральная последовательность над К
такого расслоенного пространства, которое имеет такие же гомологии, как
сфера размерности п + I. Сначала доказывается, как и в работе [14], что
В* = 0, если к > п + 1 — М- Предположим, что в слое имеются по край-
крайней мере две сферы, т. е. что М з= т + 1, и пусть п < 2т + 1. Пусть t таково,
что 2* + 3>п=3=2*+1. тогда В* = 0 для к > 2t + 3 — t — 2 = t + 1.
Значит, Hl+S = Ятс = G(H(Sn+1, К)) = H(Sn+v К). С другой стороны,
утверждения A(t +1, 2t + 1) и A*(t + 1, 2t + 1), доказательства кото-
которых используют только тривиальность Яоо для D =s= 2t + 1, остаются в силе.
В частности (предложение 12.1 B1+1)),
что противоречит равенству Ht+2 = H(Sn+1, К). Таким образом, теорема
2 работы [14] доказана и для случая п.< 2т + 1.
Глава V
ТРАНСГРЕССИЯ В ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 18. Универсальные и классифицирующие пространства
Чтобы ввести понятия универсального пространства и характеристи-
характеристической подалгебры, я воспользуюсь гомологическими определениями, кото-
которые были мне сообщены Серром. О гомотопической точке зрения ([59], [143])
будет упомянуто ниже. Этими определениями можно пользоваться благо-

208 А. БОР ЕЛЬ
даря следующему предложению, являющемуся частным случаем теоремы
Виеториса—Бегля о собственных отображениях17:
Предложение 18.1. Пусть (?, В, F, р) — связное локально
компактное расслоенное пространство со связными компактными слоями.
Если H%F, М) = 0 для 0 < / « п, то р* изоморфно отображает
Н\В, М) на Н\Е, М) для O^i^n.
Определение 18. 1. Главное расслоенное пространство Е(п, G)
со слоем G называется универсальным для компактной группы Ли G и раз-
размерности п, если оно компактно, связно и локально связно и если его кого-
мологии (Александера — Спанье с произвольными коэффициентами) три-
тривиальны до п.
База В(п, G) такого пространства называется классифицирующим
пространством для Gun.
Когда п, предполагаемое достаточно большим, не будет играть особой
роли, мы будем обозначать эти пространства просто Еа и BG. Напомним,
что универсальные пространства существуют для всякой G и всякого п.
Действительно, если U — замкнутая подгруппа G, то Е(п, G), очевидно,
универсально для U и для п. Так как всякая группа допускает точное линей-
линейное представление в группу SO(A), то достаточно установить существова-
существование универсальных пространств для этой последней. В качестве таких прост-
пространств можно взять многообразия Штифеля (ср. предложения 10.1 и 10.4.).
Примеры. За Е(п, О(А)) и Е(п, SO(A)) можно взять многообразие
Штифеля Vn+ft+, ft. Тогда В(п, О(к)) (соответственно В(п, SO(A)) будет
многообразием Грассмана /с-мерных подпространств (соответственно ори-
ориентированных А-мерных подпространств) пространства 7?n+ft+1.
Аналогичным образом можно взять за ЕBп, Щк)) и ?Dn, Sp(/c))
многообразия Штифеля Wn+ft) ft и Xn+hi h. Тогда классифицирующими прост-
пространствами будут грассмановы многообразия /с-мерных подпространств прост-
пространств Cn+ft и Kn+h.
Мы говорим, что две градуированные алгебры Я и Я' изоморфны до
п (или для D =s; n), если существует изоморфизм Я* на Нп (i «= n), сохраня-
сохраняющий произведение однородных элементов, сумма степеней которых =s п.
Предложение 18. 2. Алгебры когомологий двух классифицирую-
классифицирующих пространств для G и размерностей э= п канонически изоморфны до п.
Обозначим через Ev E2 два пространства, Универсальных для G и для
размерностей э= п, через Вг и В8 — их базы и образуем коммутативную
диаграмму
р.
A8.1)
Здесь Е^Еъ рассматривается как главное расслоенное пространство
группы G, в котором G действует по формуле (e^e^g = {exg, e2g), a p есть
проекция EiXEg на базу. Через /г и /2 обозначены проекции | (ev e2) -*¦ е1
и (ev е2) -* ег. Это — гомоморфизмы главных расслоенных пространств,
а /i и /а — соответствующие отображения баз. Очевидно, что \х (соответст-
17 Для компактных пространств ср. [Б]. Для локально компактных пространств и
когомологий Александера—Сианбе с компактными носителями см. [11], теорема 5а илн
[18], Сообщение VII, теорема 3; с произвольными замкнутыми носителями см. [60], Сооб-
Сообщение XXI, предложение 5. Для расслоенных пространств (в смысле Серра) с линейно
связными базой и слоем и для сингулярных когомологий см. [I], стрл 60. Если Е локально
связно, то предложение 18.1 тривиально вытекает из § 4 (а), (Ь) (для когомологий Алексаи-
дера—Спаиье с компактными носителями).

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
209
венно /8) превращает X = (Elt Е2)а в расслоенное пространство (X, Вь Е2, /х)
(соответственно (X, В2, Ег, /8)). Согласно теореме Виеториса, /* есть
изоморфизм Hl(Bj, М) на Н\Х, М) (/ = 1, 2; 0 «= i as п), откуда вытекает
изоморфизм /J2 = ft-1 • /| алгебры Н(В2, М) на H(BV M) для D«n,
Этот изоморфизм является каноническим в следующем смысле. Если
?3 — третье универсальное пространство для размерности з» п и В3 —
его база, то /J = /*g • /J3. Чтобы доказать это, нужно рассмотреть прост-
пространство ЕгхЕ2хЕг, факторпространство которого по отношению эквивалент-
эквивалентности (elt е2, е3) & (е&, e.,g, e3g) мы обозначим через Y. Диаграмма
E1xEsxE3
A8.2)
Si
}3
где gj и gj — проекции, дает снова изоморфизм g*3- = g*-1 • g* алгебры
H(BjtM) на (H(BitM). Ясно, что g*3 = gjg • gg. Кроме того, можно обра-
образовать диаграмму
-E1 xEg
A8.3)
где Л3 — проекция. Из теоремы Виеториса видно, что #3 есть изоморфизм
для D «? п. Имеем g2 = /2 • Л3, gx = /х • Л3, откуда
SIS — gl SS — /1 *  '  /8 — /1 ' /8 — /IS-
Аналогично g*3 = /?, откуда /*3 = /J8 • /g3.
Предложение 18.2 позволяет дать следующее определение.
Определение 18.2. Обозначим через H(BG, M) градуированную
алгебру, которая для всякого п изоморфна до п алгебре Н(В(п, G), М), где
В(п, G) —' классифицирующее пространство для G и для размерности п.
Эта алгебра будет играть роль алгебры когомологий классифицирую-
классифицирующего пространства для G и для всех размерностей , хотя такое пространство
и не может быть компактным. (Действительно, в § 19 мы увидим, что H(Bg, R)
содержит не нильпотентные элементы.)
Поскольку H(Bg, M) полностью определяется группой G, то возникает
задача — выяснить соотношения между H(G, M) и H(BG, M). В § 19 мы
Укажем несколько случаев, когда значение H(G, M) позволяет полностью
вычислить H(BG, M).
Пусть (Е, В, G, р) — связное локально компактное главное расслоенное
пространство. Образуем диаграмму18
, G) х Е -i-* E (n, G)
A8.4)
В *i (Е(п, О), E)G -U В (л, G)
где g и /—проекции. Отображение g пространства X = (Е(/г, G), E)G порож-
18 Именно эта диаграмма и была указана мне Серром; оиа позволяет стать на чисто
гомологическую точку зрения.
14 Расслоенные пространства

210 А. БОРЕЛЬ
дает расслоение (X, В, Е (п, G), g). Значит, g* есть изоморфизм для fl«n,
откуда следует гомоморфизм g* /* : Н(В(п, G), М) -* Н(В, М) для
D === п. Этот гомоморфизм не зависит от выбора универсального простран-
пространства в следующем смысле: если Е'(п, G) — другое универсальное простран-
пространство и если Л* : Н{В'(п, G), М) -* Н(В(п, G) М) — изоморфизм (до п)
из предложения 18.2, то g* • /* • Л* совпадает с гомоморфизмом
Н(В'(п, G), М) -»• Н(В, М), который получится из диаграммы A8.4),
если заменить в ней Е(п, G\ на Е'(п, 6). Это можно доказать, используя прост-
пространство E{n,G) х Е'(п, G)xE и рассуждая так же, как в конце доказа-
доказательства предложения 18.2. Итак, можно дать
Определение 18.3. Пусть (?, В, G, р) — связное локально компактное
главное расслоенное пространство компактной группы Ли G. Характеристи-
Характеристическим гомоморфизмом этого расслоения (относительно М) называется
гомоморфизм а* : H(BG, М) -»• Н(В, М), который для каждого п сов-
совпадает до пс гомоморфизмом Н(В(п, G), М) -* Н(В, М), определяемым
диаграммой A8.4). Образ при гомоморфизме а* называется характеристи-
характеристической подалгеброй расслоения.
Замечание. В дальнейшем мы будем использовать зто понятие
почти исключительно для компактных пространств. Если Е не компактно,
то надо использовать когомологаи Александера — Спанье с произвольными
замкнутыми носителями (и обобщенную теорему Виеториса — Бегля из
[60], Сообщение XXI).
Предложение 18.3. Пусть h : (?, В, G, р) -> (?', В', G, р') —
гомоморфизм главных, расслоенных пространств, а а* и а'* — характери-
характеристические гомоморфизмы этих пространств.
Тогда а* = Л* . а'*.
Отображение Л порождает очевидный гомоморфизм диаграммы A8.4)
в соответствующую диаграмму, построенную для Е'. Рассматривая две
нижние строки, получаем следующую коммутативную диаграмму:
В (п, G)
'
ф
из которой выводится, что
а* = g*. /* = g*. h* • /'* = Л* • (g'*)-1 • /'* = h* • &*.
Часто бывает полезно следующее
Следствие. Пусть (?, В, G, р) — связное локально компактное
главное расслоенное пространство и U — замкнутая подгруппа G.
Если характеристический гомоморфизм а* расслоения (G, G/U, U, q)
относительно М есть эпиморфизм, то G/U вполне негомологично нулю в
пространстве (E/U, В, GjU, q) относительно М.
Аналогичные рассмотрения можно развить для расслоенных пространств
с данной компактной группой Ли в качестве структурной группы (т. е.
группы гомеоморфизмов слоя). Такое пространство имеет вид (?, F)G, где
Е — главное пространство со слоем G ([59], Сообщение VI, [143], пп. 8.7,8.12).
Универсальными будут тогда- по определению пространства (? (п, G), F)G.
Если Ег и ?2 — два универсальных пространства для G и для п, то имеет
место следующая коммутативная диаграмма, в которой Д и Д. — канонические

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 211
проекции:
Е2х F «-?- ЕгхЕ2х F -Ь_* Е1 х F
О8-5)
В,
Очевидно, что /г и /2 — те же отображения, что и в A8.1). Теорема Виеториса
показывает, что A8.5) определяет изоморфизм /*2 = Z* • /* алгебры
Я((?2, F)G, М) на /Z((?i, F)G, М) для D =ё л, такой, что р* • /*3 = /*2 • pg.
Как и /Jg, этот изоморфизм является каноническим и позволяет ввести алгебру
Н((Еа, Р)в, М), которая при всяком л изоморфна до л алгебре //((?(л, С), F)G, M),
а также гомоморфизм
PZ:H(Bg,M)-+H({Eg,F)g,M)>
совпадающий при всяком л с гомоморфизмом
р*: Л(В(л, G, М) -* Щ?(л, G), F)G, М) (для D ^ л).
Е.сли теперь ((?, F)G, В, F, р) — связное локально компактное расслоенное
пространство, то можно построить диаграмму, аналогичную A8.5), где
?-i> ^i» Pi>_fi> /i. /i заменены на ?, В, р, g, g, g. Она дает канонический гомо-
гомоморфизм g*-1 • /*: Щ?2, F)G, М) -* Н((Е, F)G, M) для D =*= л, такой, что
р* . g*-i. ^* _ g*-i . f* . p*_ Окончательно получаем коммутативную диа-
диаграмму
H((EG, F)G, М)-г^> Н ((?, F)G,M)
Pi\ }p* A8-6>
H(BG>M) '- > Н(В,М)
где а* — характеристический гомоморфизм из определения 18.3.
Замечание. Опираясь на результаты Серра [I], можно во всем
предшествующем изложении отправляться от сингулярных когомологий.
Универсальным для G и для л будет тогда линейно связное главное рас-
расслоенное пространство, сингулярные когомологий которого тривиальны для
D =s л (также можно взять многообразия Штифеля), причем не обязательно
предполагать его компактным. С помощью теоремы из [I], цитированной в
примечании 17 на стр. 208, можно доказать предложение 18.2 и ввести поня-
понятие характеристической подалгебры для произвольных линейно связных
главных расслоенных пространств, а также определить, как в A8.6), пару
характеристических подалгебр для пространств (?, F)G.
Гомотопическая точка зрения. Назовем универсальным для G и для
л линейно связное главное расслоенное пространство ?(л, G) со слоем G,
гомотопические группы которого щ(Е(п, G)) тривиальны для i «s л (ср. [59],
Сообщение VIII; [143], п. 19). В качестве такого пространства опять можно
взять многообразие Штифеля. Название классифицирующего пространства,
данное базе В(л, G) универсального пространства, оправдывается следу-
следующей теоремой классификации (см. [143], п. 19, если В —конечный полиэдр;
[59], Сообщение VII, — при сформулированных здесь предположениях,
но еще нужно потребовать, чтобы ?(п, G) было конечным полиэдром):
' Пусть В — паракомпактное* локально компактное пространство
* См. примечание 2 на стр. 294, а также примечание ** на стр. 355. — Прим. ред.
14* - 5/0

212 А. БОРЕЛЬ
конечной размерности, G — компактная группа Ли. Тогда структуры глав-
главных расслоенных пространств (?, В, G, р) с базой В находятся во взаимно
однозначном соответствии с гомотопическими классами непрерывных, ото-
отображений В в В(п, G) (п 5= dim В), причем структура, соответствующая
отображению h : В -»¦ В\п, G) — это индуцированное при отображении
h пространство.
Отображение ft*: Н(В(п, G), М) -»¦ ЩВ, М) (сингулярные кого-
мологии или когомологии Александера — Спанье с произвольными носи-
носителями) называется характеристическим гомоморфизмом расслоения, а его
образ — характеристической подалгеброй. Мы хотим показать, что это
отображение и этот образ будут также и в смысле определения 18.3 харак-
характеристическим гомоморфизмом и характеристической подалгеброй, если,
конечно, взять пространство, универсальное и в гомологическом, и в гомо-
гомотопическом смысле (многообразия Штифеля).
Предложение 18.4. Пусть й: Е -> Е{п, G) — гомоморфизм
главных расслоенных пространств и Л: В -* В(п, G) — соответствующее
отображение баз. Тогда Л* совпадает до п с гомоморфизмом а* определения
18.3.
Пусть ?:?-*¦? х ?(n, G) — гомоморфизм, действующий по формуле
?(е) = (е, h \е)) и С : В -* (Е, Е (п, G))G — соответствующее отображение
баз. Тогда в обозначениях диаграммы A8.4) имеем:
Значит,
что и требовалось доказать.
Заметим, что из теоремы классификации вытекает подобный результат
для пространств (Е, F)G со слоем F и структурной группой G: структуры
тех пространств, которые имеют базу В, находятся во взаимно однозначном
соответствии с гомотопическими классами отображений В в В(п, G), причем
каждому такому отображению ставится в соответствие структура индуциро-
индуцированного им пространства([59], Сообщение VIII). Пространству ((?, F)G, В, F, р)
соответствует тогда пара характеристических гомоморфизмов. Доказывается,
что эта пара совпадает с а*, а* из A8.6).
§ 19. Когомологии классифицирующих пространств и трансгрессия
Определение. Пусть G — связная компактная группа Ли. Элемент
х 6 H(G, М) называется универсально трансгрессивным (относительно М),
если существуют пространства, универсальные для G и для произвольно
больших размерностей, в которых он трансгрессивен.
Предложение 19.1. Если элемент х 6 H(G, А) универсально транс-
трансгрессивен, то он трансгрессивен во всяком связном локально связном компакт-
компактном главном расслоенном пространстве (Е, В, G, р).
Пусть в диаграмме A8.4) E(n,G) обозначает пространство, Универ-
Универсальное для достаточно большого п, скажем, для п з» 2s (s = dim G), в
котором х трансгрессивен. Пусть (ЯД (Н'Т), (Н"г) — спектральные последова-
последовательности над А отображений р, р', р". Так как мы имеем дело с главными
расслоенными пространствами со связным компактным слоем G, то коэффици-
коэффициенты в Hs, Н'2, Н\ — обыкновенные (§ 4 B)).
Отображение /* индуцирует гомоморфизм (Н"т) в (Н'т). Стало быть,
элемент х, трансгрессивный в (Н"т), трансгрессивен и в (Н'г). Отображение
| является изоморфизмом для когомологии слоя, и по теореме Виеториса g*
является изоморфизмом для D >е п. Следовательно, g* — изоморфизм (Яг)

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 213
на (Нг) для элементов степени «= л — s (ср. § 4 (d)), в частности, для элементов
с D «s s. Таким образом, х трансгрессивен и в (Нг).
Замечания. 1. Это предложение показывает, что элемент универ-
универсально трансгрессивен, если он трансгрессивен в каком-либо одном универ-
универсальном пространстве Е(п, G) для достаточно большого п.
2. Можно, конечно, указать другие классы' пространств, в которых
универсально трансгрессивный элемент трансгрессивен, используя, напри-
например, спектральную последовательность А. Картана ([60], Сообщение XXI)
для когомологий Александера — Спанье с произвольными носителями или
спектральную последовательность Серра для сингулярных когомологий.
С точки зрения теоремы классификации можно заметить, что если h:E->E' —
гомоморфизм главных расслоенных пространств и если элемент х транс-
трансгрессивен в ?', то х трансгрессивен и в Е. Действительно, обратный образ
коцепи трансгрессии для х в Е' является коцепью трансгрессии для х в Е.
Стало быть, если элемент х универсально трансгрессивен, то он трансгресси-
трансгрессивен во всяком главном расслоенном пространстве, для которого верна теорема
классификации (то же верно и для сингулярных когомологий, и для кого-
когомологий Александера — Спанье с произвольными носителями).
Пусть G — группа гомеоморфизмов слоя F; элемент х б H(F, M) назы-
называется универсально трансгрессивным, если он трансгрессивен в простран-
, ствах (Е (п, G), F)e для достаточно больших п. Такой элемент трансгресси-
трансгрессивен во всяком пространстве (Е, F)G, для которого верна теорема классифи-
классификации, а если М — А и F есть связный локально связный компакт, то и во
всяком пространстве (Е, F)G, где Е — связный локально связный компакт
(доказательство похоже на доказательство предложения 19.1).
Теорема 19.1. Пусть G — связная компактная группа Ли. Предпо-
Предположим, что H(G, Кр) (соответственно H(G, Z)) есть внешняя алгебра над
векторным пространством (соответственно над свободной абелевой группой),
базис которого образован элементами нечетных степеней rv... , гх. Тогда:
(a) H(G, Кр) (соответственно H(G, Z)) имеет систему xv ... , xt
(Dxi = гг) универсально трансгрессивных образующих. Все универсально
трансгрессивные элементы H(G, Кр) (соответственно H(G, Z)) суть линейные
комбинации элементов х4.
(b) Алгебра H(BG, Кр) (соответственно ЩВа, Z)) изоморфна алгебре
многочленов Kp[yv ... ,уг] (соответственно Z [уъ... , уг]). В пространстве
E(n,G) элемент у? является классом когомологий, содержащим кограницу
коцепи трансгрессии для х{.
Если алгебра H(G, Kp) удовлетворяет нашему предположению, то,
в силу теоремы 13.1, она является внешней алгеброй над подпространством
Р, однозначно определенным элементами, трансгрессивными в универсаль-
универсальном пространстве Е(п, G) (п гэ= dim G). Элементы пространства Р трансгрес-
трансгрессивны в любом универсальном пространстве (предложение 19.1). Для дока-
доказательства (Ь) достаточно применить теорему 13.1(Ь) к пространствам
Е(п, G), где п произвольно велико.
Если H(G, Z) — внешняя алгебра над свободной абелевой группой с
базисом х17 ... , х,, то H(G, Кр) = H(G, Z) (g) Kp есть внешняя алгебра,
порожденная элементами хх 0 1, ... , хг01, и, значит, H(BG, Kp) =
= ^р Ьъ • • • у Уп Фу% = Dxi + !)• Докажем сначала, что H(BG, Z) =
= Z [Ух, ... , у,], или, иначе говоря, что Н(В(п, G), Z) = Z [уг, ..., уг]
для D as п. Действительно, группы Н\Е(п, G), Z) и HHfi, Z) (i =s n) имеют
конечное число образующих. С помощью спектральной последовательности
над Z пространства Е (п, G) легко доказать индукцией по i =*? п, что
Н\В(п, G), Z) имеет конечное число образующих. Так как dim Н\В (п, G), Кр)
не зависит от р, то отсюда вытекает, что Н%В(п, G),Z) не имеет кручения
и что Н(В (п, G), Z), по крайней мере аддитивно, изоморфна Z [ух, ... , • у,]

214 А. БОРЕЛЬ
для D =s п. Мультипликативный изоморфизм устанавливается с помощью
рассуждения, аналогичного использованному в предложении 7.3.
Обозначим через D1 (соответственно Т1) подгруппу разложимых (соответ-
(соответственно универсально трансгрессивных) элементов группы H'(G, Z). Спек-
Спектральную последовательность {HI) универсального расслоения над полем
рациональных чисел Zo можно рассматривать как тензорное произведение
спектральной последовательности (Яг) этого расслоения над Z на 2о.Поэтому,
если х б Т\ то он трансгрессивен в (Н'т), а если элемент х е H\G, Z)
трансгрессивен в (Н'т), то существует такое целое тп, что тп х б Т*. Для
всякого z 6 HHG, Zo) существует такое число /, что lz ,е H\G, Z). Вследствие
этого, если теорема 19.1 верна для H(G, Zo), то \D* П Т* = 0 и группа
D1 + Тг имеет тот же ранг, что и H\G, Z).
Построим теперь с помощью индукции по / (/ = 2,3 ...) свободную
систему образующих (х,-L) внешней алгебры H(G, Z), имеющую следующие
свойства:
(a) xJ;i трансгрессивен для Dxi{ =s / — 1 и
(b) dr н\ A (g) xu) = 0 B «s r «s /, Dxjti s* /).
Тем самым доказательство будет завершено. Обозначим через Qk (соответ-
(соответственно Р)) подгруппу, порожденную элементами у{ (соответственно xJ;i),
имеющими степень к.
Предположим, что элементы (xs_hi) построены. Положим тогда
x8>i = xs_lA (Dxs_L>i < s — 1).
Простое вычисление показывает, что
для D«n — s. Так как Я с» тривиальна, то трансгрессия изоморфно отоб-
отображает H*'s~1^P|Zi на H|'S^QS, откуда вытекает существование эле-
элементов xs 4 степени s — 1, удовлетворяющих (а). Отсюда видно также, что
алгебра Z[QS] 0 д Р8 имеет тривиальные когомологии относительно ds.
Поэтому подалгебра Я8, порожденная «KQ8 ® 1) и «1A (&РГ1), имеет
тривиальные когомологии по крайней мере для D =ssn — s— 1.
Допустим, что для i «s к мы выбрали элементы xs> u удовлетворяющие
(а) и (Ь), причем xs { для Dxs г == s отличается от xsl1> f на разложимый
элемент. Пусть и =' Dxs_h k+1.' В силу вышесказанного, можно считать
а з& s. Имеем
ds»; A 0 хн, к+1) = ? щ ® Ьи
где щ 6 *i(Qs 0 л РГ1) и Ьг пробегает базис х$(л(Р1+ ... + F™'1)). Из
сделанного выше замечания о D* и Т* вытекает, что существует целое т,
такое, что
пис-1, ft+1 = z + Г B б л (РГ1 + • • • + РГ1), ' 6 П-
Так как п ^ s, то / является ^8-коциклом и мы имеем
mdsx%\ 0хе_1дk+1) = dsk%{\ 0z).
Пусть
Тогда

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 215
откуда та{ = ds x\ ct. Так как Hs не имеет кручения и ее подалгебра, порож-
порожденная Qs и Pf1, имеет тривиальные когомологии для D =s гг— s— 1, то
= 0 и существует такой сц е л Р*~\ что
Значит,
г
Поэтому можно положить
xs, k+1 = Х„-ь k+1 — ]? Щ (g) Й{.
t
Таким же способом можно построить (Xgfi), что дает начало индукции.
Замечание. Напомним, что, в силу предложений 7.2 и 7.3, пред-
предположение теоремы 19.1 верно, если G не имеет р-кручения (соответственно
кручения).
Примеры. В § 9 мы видели, что
ЩЩт), Z) = Я(8Х х S3 х ... х Ssm_lt Z),
ff(Sp(m), Z) = Я(88 x S7 x ... x S4tn_1( Z).
Стало быть, можно применить теорему 19.1 для целых коэффициентов. Алгебры
Н(В(п, U(m)), Z) и ЩВ(п, Sp(m)), Z) до размерности п являются алгеб-
алгебрами многочленов с целыми коэффициентами от т переменных степеней
соответственно 2,4, ... , 2т и 4, 8,... , 4т. Получаем теорему Чженя [177]
для комплексных многообразий Грассмана и аналогичный результат для
кватернионных многообразий Грассмана.
В этих частных случаях существование системы универсально транс-
трансгрессивных образующих может быть также установлено независимо от
теоремы 13.1 с помощью рассуждения, которое будет изложено ниже при-
применительно к ортогональным группам. Можно доказать также, что H(Wn>q, Z)
и Я(ХП,, Z) имеют системы универсально трансгрессивных образующих
(причем', конечно, считается, что на Wn;g иХ,|в действуют группы гомео-
гомеоморфизмов, определяемые расслоениями Wn'g = U(n)/U(n — q), Х„ g =
= Sp(n)/Sp(n - q)).
Наконец, отметим следующее следствие из предложения 16.1.
Предложение 19.2. Если H(G, Кг) обладает простой системой
универсально трансгрессивных образующих х^, ... , хь то H(BG, Kg) =
= КаЁУк • • • > Уг\ (DYi = Dxi + !)> г&е Ух — класс когомологии, содержащий
кограницу коцепи трансгрессии элемента xt в Е(п, G).
§ 20. Универсально трансгрессивные и примитивные элементы
Пусть f :GxG -+G — отображение, определяемое групповым умноже-
умножением. Не желая переходить от когомологии к гомологиям, мы назовем здесь
элемент х б H(G, Kp) примитивным, если
/•(х) = х <g> 1 + 1 <g> x. B0.1)
Для поля характеристики 0 это свойство эквивалентно ортогональ-
ортогональности х разложимым элементам алгебры гомологии (в смысле произведения
Понтрягина) ([74], лемма 10.1)*. Теорема трансгрессии Картана •— Шевалле —
Вейля утверждает, что примитивные элементы H(G, R) — это элементы,
трансгрессивные в дифференцируемых главных расслоенных пространствах.
Мы хотим получить здесь аналогичный результат для произвольной харак-
характеристики.
* См. также [41], п. 20. — Прим. ред.

216 . А. БОРЕЛЬ
Мы говорим по аналогии с определением 6.4, что Н(Х, Z) имеет простую
систему образующих xv ... , Хт, если она не имеет кручения и если одно-
одночлены х^ ... Xik (ix < ... < ih;k = 1, ... , m) образуют вместе с единицей
базис абелевоЙ группы Я (X, Z).
Заметим, что если многообразие Хопфа X не имеет кручения, то
Н(ХхХ, Z) = Н(Х, Z)(g) H(X, Z); формула B0.1) имеет смысл и определяет
примитивные целочисленные классы когомологий.
Определение. Пространство X удовлетворяет (Т)А, если Н(Х, А)
не имеет крученая19 и обладает простой системой универсально трансгрес-
трансгрессивных образующих.
Многообразие Хопфа X удовлетворяет (Р)А, если Н(Х, А) не имеет
кручения19 и обладает простой системой примитивных образующих.
Обозначения. Будем писать также (Г)р, (Р)р, когда А = Кр, и
(Т), (Р), когда А = Z.
Пусть (?, В, G, р) — главное расслоенное пространство, (Яг) — его
спектральная последовательность над А. Обозначим через q проекцию
(е, g) -*¦ р{е) пространства ExG на В и рассмотрим главное расслоенное
пространство (ExG, В, GxG, g) группы GxG. Пусть (Я;.) — его спектраль-
спектральная последовательность.
Л е м м а 20.1. Если H(G, А) не имеет кручения, то H'r= Hr§§ H(G, A)
и дифференциал d'r в Н'г равен dr на Нт и нулю на Н (G, А).
Имеем
Н'2 = Н(В, А) 0 H(G xG,A)= H(B, A) ® H(G, A) 0 H(G, A).
Если отождествить H(GxG, А) с алгеброй когомологий слоя q~\b), то
можно считать, что первый сомножитель H(G, А) соответствует многооб-
многообразию (р (b), g0), где g0 — фиксированный элемент G, а второй сомно-
сомножитель — многообразию (и, G) (и 6 р (&)). Так как [и, G) вполне негомо-
негомологично нулю, то последний сомножитель состоит из ^-коциклов (г == 2)
(ср. § 4 (с)). Рассмотрим диаграмму
ExG
Г
D ( то ж д. ? rj ( тожд. > п
где х — проекция (е, g) -»¦ е, /5 — вложение е -»¦ (е, g0). Отображение х*
(соответственно /5*) есть гомоморфизм (Нг) в {Н'т) (соответственно (Н'г) в
(Нг), и /5* • х* тождественно, так как х ¦ /5 тождественно. Значит, а* есть
мономорфизм. Имеем Н2 = Н(В, A) <g) H(G, А). Согласно § 4 (d), мономорфизм
х* совпадает на Н(В, А) 0 1 с тождественным отображением. На 1 0H(G, А)
он определяется гомоморфизмом H(G, A) -+ H(G x G, А), индуцирован-
индуцированным х. Значит, это изоморфизм H(G, A) 0 1 на 10 H(G, A) 0 1. Таким
образом,
Н2 = а*(Я2) 0 H(G, A) si H2 0 H(G, A)
и й'г совпадает с d2 на Я2 и равен 0 на H(G, А). Так как H(G, A) — свободный
модуль, то наша лемма легко доказывается индукцией по г.
Предложение 20.1. Если H(G, А) не имеет кручения и если эле-
элемент х 6 H(G, А) универсально трансгрессивен, то он примитивен.
Пусть ?g — универсальное пространство для G и для достаточно боль-
18 Если А= Кр, то это предположение всегда выполнено; его не следует смешивать
с условием „Н{Х, Z) не имеет р-кручения". <

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 217
шого п, в котором х трансгрессивен. Действие G на EG дает отображение
h : EG x G -*¦ EG, коммутативную диаграмму
Еах G —±-+EG
B0.1)
и гомоморфизм спектральной последовательности (Нг) проекции р в спек-
спектральную последовательность (Н'г) проекции q. В частности, h*\Hz -+ Н'2
есть тождественное отображение на H(BG, А), и оно индуцируется h на
H(G, А), т. е. совпадает на H(G, А) с отображением /* : H(G, A) -»¦
-»¦ H(G х G, А), индуцированным групповым умножением. Следовательно,
для Л* : Н2 -*¦ Н'2 имеем
Л*(х) = 1 0 /*(х) = 1®(x®1+1®x + h1®v1+... + h,® v.),
где 0 <Du} <CDx(f— 1, ... , s). Согласно лемме 20.1, v,- являются d'r-
коциклами для всех г, а щ отождествляются с элементами (Яг). Элемент
h*(x) трансгрессивен, так как трансгрессивен х. Значит, он является d'r-
коциклом для г «s Dx. Если допустить (что законно), что v4 линейно неза-
независимы, то отсюда вытекает, что щ является </г-коциклом для г < Dx, a
значит, и для всех г, так как Ощ < Ьх. Но так как йВщ — 0, то щ не явля-
является </г-кограницей. Стало быть, если щ ^ 0, то он имеет ненулевой образ
в Яоо, которая тривиальна. Таким образом, щ = 0 (г = 1, ... , s) и х при-
примитивен.
Предложение 20.2. Если G удовлетворяет (Т)А, то она удовлет-
удовлетворяет а (Р)А; универсально трансгрессивные и примитивные элементы
Н (G, А) совпадают.
Все универсально трансгрессивные элементы H{G, А) являются линей-
линейными комбинациями некоторых образующих (теорема 19.1, предложения
6.1 и 19.1) и примитивны, в силу предложения 20.1. Это определяет полностью
гомоморфизм /*. Легко видеть, что разложимый элемент не может быть
примитивным. Этим доказано и второе утверждение предложения 20.2.
Замечания. 1. Пусть H(G, Кр) — внешняя алгебра, порожденная
элементами с нечетными степенями. Сопоставляя теорему 19.1 и предложение
20.2, замечаем, что H(G, Kp) имеет систему примитивных образующих.
Для характеристики 0, когда это предположение всегда выполнено, полу-
получаем теорему Самельсона [124]; ее можно доказать при предположении,
высказанном в начале этого замечания, не прибегая к понятию трансгрессии:
доказательство Лерэ (см. [79], стр. 133, 134) проходит для любой харак-
характеристики.
2. Можно было бы также доказать (Г)А, отправляясь от(Р)А и используя
дифференциальные операторы, аналогичные операторам Лерэ [81]; речь
идет об операторах из п. 4. Они определяются с помощью диаграммы B0.1),
которая была мне сообщена Лерэ именно по этому поводу. Рассматривая их
действие на спектральной последовательности пространства Е(п, G), можно
доказать, что примитивные элементы трансгрессивны.
§ 21. Три гомоморфизма, связанные с некоторой подгруппой
Обозначения. Пусть G — связная компактная группа Ли, U —
ее связная замкнутая подгруппа, р* и i* — гомоморфизмы, индуцированные
проекцией G на G/U и вложением U в G.
Фиксируем кольцо А(= Z или Кр) и обозначим через PG модуль прими-
примитивных элементов алгебры H(G, А), которая предполагается не имеющей
кручения.

218 А. БОРЕЛЬ
Сначала мы изучим р* и i* и обобщим результаты, установленные для
характеристики 0 Самельсоном [124]. Затем мы свяжем i* с каноническим
гомоморфизмом H(BG, А) в H(BV, Л), который будет часто использоваться
в дальнейшем.
Предложение 21.1. Если G удовлетворяет (Р)А, то образ р* до-
допускает простую систему примитивных образующих.
Действие группы G на G/U дает отображение у) : G/U xG -*¦ GjU и
коммутативную диаграмму
G х G —*—> G
тожд.
B1.1)
G/U х G —2— G/U
из которой получается следующая коммутативная диаграмма (это верно и
для Л = Z, так как H(G, А) не имеет кручения):
H(G, A) ®H(G, А) -Л— H(G, A)
р*
тожд.
H(G/U, A) <g> H(G, A) *-2l- H{GjU, A)
Пусть x1( ... , Xm — базис PG, на первые к элементов которого натянуто
p*(H(GJU, Л)) П Pg20- Назовем простым одночленом произведение х^... xig
(i! < ... < ia). Пусть Q — векторное пространство, базисом которого явля-
являются простые одночлены от х4 с индексами =s к. Мы должны показать, что
Q есть образ р*. Достаточно показать, что Q содержит этот образ, так как
обратное включение очевидно. Ясно, что p*{H\GIU, А)) С Q для i — 1.
Предположим, что это доказано для i < n, и пусть y^Hn{GjU, A).
Элемент у*(у) является суммой членов уг (g) zt (уг е H(G/U, Л), z* 6 H(G, A))
и р* • у*(у) есть сумма членов р*(у4) (g) z{. В силу предположения индукции,
те из этих членов, у которых Dzi > 0, являются суммами линейно незави-
независимых элементов с} щ (g) v,- (с} б Л, иг- — простой одночлен из Q, v^ — простой
одночлен).
С другой стороны, можно написать, что р*(у) = wt -j- a2 w2 + .:. -f a,w,
(at б Л, ivx примитивен, w2, ...,wt — простые одночлены, wlt .'.. , wt линейно
независимы). Достаточно показать, что w{?Q(i= I, ..., t). Пусть i э= 2
и iv{ = xh ... Xjs (s 5& 2). Поскольку (x») — простая система образующих,
элемент х,-, ® Xj8 ... x,g встречается в f*p*(y) в точности один раз, причем
с коэффициентом ± щ. Так как f*p*(y) = р*У (у), то необходимо, чтобы
этот элемент был равен одному из членов u,- (g) v,, описанных выше. Следо-
Следовательно, х^ 6 Q, а также х,2, ... , х^ б Q, откуда w{ 6 Q (i э» 2). Таким
образом, iVj содержится в образе р*. Поэтому iVj = р* (у) — a2iv2 — ... — atwt
тоже содержится в этом образе. Но Wj примитивен и, значит* w1 e Q по опре-
определению Q. Итак, р*(у) б Q, что завершает индукцию.
Замечание. Если А = Z или Л = /Ср (р 9^ 2) и если G удовлетворяет
(Р)а> т0 в H(G/U, А) можно найти подалгебру, которая взаимно однозначно
отображается на образ р*. (Можно „поднять" образующие элементы этого
образа, квадраты которых необходимо равны нулю.) Так как (Р)о всегда
20 Нужно заметить, что если один из базисов Ра является простой системой образую-
образующих, то и всякий другой базис обладает этим свойством. Это очевидно для А = Z или
А = Кр(.р Ф 2), ибо тогда мы имеем дело с внешней алгеброй, степени образующих кото-
которой нечетны. Для А = К» это легко доказать, используя следующие очевидные факты:
Pg содержит все примитивные элементы H(Q, А) и квадрат примитивного элемента при-
примитивен.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ
219
выполнено, то мы получаем, в частности, теорему Самельсона ([124], теорема V).
Данное здесь доказательство следует идее Лерэ [81], хотя мы явно не
использовали дифференциальных операторов 8, которые можно ввести с
помощью у*, если выполнено (Р)А. А именно, если представить у*(у) в виде
суммы членов уг (g) zu где гг — простой одночлен, то оператор, связанный с
х{, сопоставляет элементу у элемент у, — коэффициент* при Zj = х,.
Предложение 21.2 обобщает теорему II из [124].
Предложение 21.2. Если G и U удовлетворяют (Р)А, то образ
i* допускает простую систему примитивных образующих. Ядро i* есть
идеал, порожденный примитивными элементами H(G, А,), которые i*
переводит в 0.
Следствие. Если PG и Ри имеют базисы из элементов, степени
которых нечетны и квадраты которых равны 0, то H{G, А) = д Рх ®д Р„,
H(U, А) = д/?! ® д/?2 (Pi + Рг = Pa, Ri + Я2 = Ри), а. г* переводит Р?
б 0 и изоморфно отображает дРх на R
Коммутативная диаграмма
Ux U
f
U
GxG
f
G
показывает, что i* (PG) С Ри. Вместе с примечанием 20 на стр. 218 это поз-
позволяет доказать первое утверждение. Идеал, порожденный примитивными
элементами, которые i* переводит в 0, содержится, конечно, в ядре г*. Простой
подсчет размерностей показывает, что он равен этому ядру.
Гомоморфизм q*. Пусть Е(п, G) — универсальное пространство для G.
Так как оно универсально и для- U, то Е(п, G)/U = B{n, U), E(n, G)jG =
= В{п, G). Проекция е„ первого из этих пространств на второе индуцирует
гомоморфизм бп : ЩВ(п, G), М) -*¦ ЩЩц, Щ, М). Если Е1 и Е2 — два
универсальных пространства для G и для п, то диаграмма
С1 ft С1 w С* /1 С*
EJU
где /[И/j — проекции, показывает, что этот гомоморфизм не зависит от выбора
универсального пространства с точностью до канонических отождествлений
§ 18. Это позволяет дать следующее
Определение. Пусть G — компактная группа Ли, a U — ее зам-
замкнутая подгруппа. Обозначим через qm ((/, G) канонический гомоморфизм
H(BG, М) -»¦ Н (Ви, М), для всякого п совпадающий до п с гомоморфизмом
Н(В(п, G), М) -»¦ Н(Щп, U), М), индуцируемым проекцией Е(п, G)jU на
Е(п, G)jG.
Об
)j
Обозначения. Мы будем
q*(U, G), если М = Z.
писать также Qp(U, G), если М = К
р,
* Доказательство предложения 21.1, развивающее эти идеи, дано Борелем в работе
[20] (см. теорему 3.6). — Прим. ред.

220 А. ВОРЕЛЬ
Мы увидим, что если G и U связны и удовлетворяют (Т)А, то можно рас-
рассматривать q* вместо i*. Эта замена интересна, так как в* в« многих случаях
можно эффективно вычислить (см. §§ 28—31).
Пусть Dg — подпространство H(BG, А), натянутое на H%BG, А) и на
разложимые элементы, и пусть л — проекция H(BG, A)HaQG = H(BG, A)/DG.
Тогда QG градуировано подпространствами Q% = HnjDG П Нп. Положим
Р§ = Pg П Я"(О, A); PG есть множество Универсально трансгрессивных
элементов степени п (предложение 20.2). Доказательства теорем 13.1,19.1,
предложений 16.1 и 19.2 показывают, что в спектральной последовательности
универсального пространства дифференциал ds осуществляет изоморфизм
между РеГ1 и QSG, совпадающий с трансгрессией (§ 5). A priori этот изомор-
изоморфизм определяется трансгрессией в некотором частном универсальном
пространстве, но из диаграммы A8.1) вытекает изоморфизм между спектраль-
спектральными последовательностями Е2 и Е2 (по крайней мере для D «s n — к,
к = dim G), что показывает независимость изоморфизма Pg —у Q*G от
выбора универсального пространства.
Коммутативная диаграмма
Е{п, G) +^^ Е(п, G)
E(n,G)jG
индуцирует гомоморфизм спектральной последовательности отображения
Щп, G) -*¦ В(п, G) в спектральную последовательность отображения Щп, U) -*
-> В(п, U). Отсюда вытекает
Предложение 21.3. Пусть G, U удовлетворяют (Т)А. Если отож-
отождествить PG и Ри соответственно с QG и Qv при помощи трансгрессии, то
i* переходит е гомоморфизм QG в Qv, индуцированный 6а(^> О).
Следствие. При сделанных предположениях U вполне негомоло-
негомологична нулю в G относительно А тогда и только тогда, когда q*a(U, О) есть
эпиморфизм.
§ 22. Две спектральные последовательности
Настоящий параграф посвящен некоторым спектральным последователь-
последовательностям главных расслоенных пространств и однородных пространств, в
конструкции которых участвуют классифицирующие пространства. Эти спект-
спектральные последовательности будут очень часто использоваться в дальнейшем.
Обозначим через EG и BG Универсальное и классифицирующее простран-
пространства для достаточно большой размерности п. Строго говоря, последующие
формулировки и доказательства будут верны только до некоторой степени
(например, для D =s п — s, где s — размерность G или U). Однако мы поз-
позволим себе не упоминать каждый раз об этом, ибо, как будет показано в конце
параграфа, можно сделать переход к бесконечному гг. Нам придется рассма-
рассматривать локально постоянные пучки на классифицирующих пространствах.
Поэтому, начиная отсюда, будем предполагать, что универсальное простран-
пространство линейно связно, локально связно и односвязно. Это не является суще-
существенным ограничением, так как многообразия Штифеля удовлетворяют
нашим условиям. Локально постоянный пучок на BG сводится тогда к семей-
семейству локальных коэффициентов и, если Go связная компонента единицы в
G, я^Ва) = G/Go.
Теорема 22.1. Пусть U — компактная группа Ли и (X, Y, U, р) —
связное локально компактное расслоенное пространство.
Тогда существует каноническая спектральная последовательность, в
которой Но = H(BV, H(X, M)) и которая оканчивается градуированной

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 221
алгеброй, связанной с алгеброй Н (Y, М), снабженной надлежащей филь-
фильтрацией.
Элементы из Н\Ви, Н(Х, М)) = Н(Х, М), являющиеся коциклами для
всех дифференциалов, составляют образ р*. Если X компактно, то гомомор-
гомоморфизм H(BV, М) ->• H(Y, М), получаемый из спектральной последова-
последовательности, является характеристическим гомоморфизмом пространства
(X, Y, U, р).
Нижняя строка диаграммы A8.4), написанная для Еи и X, имеет вид
Ви < (Еи, Х)и *¦ Y.
Отображение / превращает (Еи, X)v в расслоенное пространство
((Ev, X)v, BUt X, /), а отображение g* отождествляет H(Y, М) с H({EV, X)v, M).
Спектральная последовательность отображения / отвечает сформулирован-
сформулированным условиям. Если i — вложение слоя X в (Еи, Х)и, то р = i -g (ср. § 2),
и р* сводится к I*, как только H(Y, М) и Н((Еи, X)Ut M) отождествлены
с помощью g*. Согласно § 4 (с), образ i* есть множество тех элементов ЩХ, М),
которые являются коциклами для всех дифференциалов. Наконец, если X
компактно, то гомоморфизм Н(Ви, М) -*¦ Н((Еи, Х)и, М), вытекающий
из спектральной последовательности, совпадает с /* (§ 4 (Ь)); умножив его
на g*, получим характеристический гомоморфизм.
Замечания. 1. Таким образом, спектральная последовательность
теоремы является спектральной последовательностью расслоения
((Еу, Х)и, Ви, X, /). Мы не предполагали, что группа U связна; если Uo —
ее связная компонента единицы, то л^Ву) ^ UjU0 может нетривиально дей-
действовать на Н (X, М). Тогда Н2 — алгебра когомологий Bv относительно
некоторого локального семейства коэффициентов. Во всех приложениях,
которые мы будем делать, это семейство будет простым.
2. Если группа U дискретна, то H(BUt H(X, M)) является, в смысле
дискретных групп, алгеброй когомологий U со значениями в Н(Х, М),
на которой действует U. Тогда (Нг), по всей вероятности, совпадает со |спек-
тральной последовательностью конечных накрытий А. Картана — Лерэ[б4]*.
3. Если X = G — связная компактная группа Ли, a U — ее замкнутая
подгруппа, то можно рассматривать (Ev, G)v как главное расслоенное про-
пространство со слоем G (нужно определить действие G на EvxG формулой
(е, g)' g' = (е, g'~x • g), если U действует по формуле (е, g) ¦ и = (е • и, g • и%
Так как G связна, то л1 (Ви) тривиально действует на H(G, M). Важный
частный случай является предметом следующего предложения, в котором
используются обозначения § 21.
Предложение 22.1. Пусть G — связная компактная группа Ли,
удовлетворяющая (Т)А, хъ ... , хг — базис PG и у1; ... , уг ¦— образующие
H(BG, А), соответствующие xf при трансгрессии.
В спектральной последовательности теоремы 22.1 для X = G имеем
Нг = H(BV, A) <S> H(G, А) и, кроме того
dr к*A <S> *i) = *1(Q*a (U, G) (yt) <S> 1)
Отправляясь от пространства EG, универсального для G (а, значит, и для U),
получаем коммутативную диаграмму
(Ev, G)v ^> (EG, G)c
t
I
BQn D
U *¦ &G
* См. [I], гл. I, § 6, а также примечание II на стр. 107. — Прим. ред.

222 • а. борель
Ho (EG, G)G естественным образом отождествляется с EG. Значит, Qn есть
гомоморфизм спектральной последовательности расслоения (EG, BG, G, р) в
спектральную последовательность {{Ev, G)Ut Bv, G, /), откуда, принимая во
внимание § 4 (d), получаем наше предложение.
Теорема 22.2. Пусть U — замкнутая подгруппа компактной группы
Ли G такая, что G/U связно. Тогда существует спектральная последователь-
последовательность, в которой Hs = H (BG, H (GjU, M)) и которая заканчивается градуиро-
градуированной алгеброй, связанной со снабженной надлежащей фильтрацией алгеброй
ЩВи, М).
Гомоморфизм H(BG, М) -> ЩВи, М), определяемый спектральной
последовательностью, совпадает с q*m(U, G). Элементы H(GjU, M), являю-
являющиеся коциклами для всех дифференциалов, образуют характеристическую
подалгебру расслоения (G, GjU, U, р).
Рассмотрим спектральную последовательность расслоения
(EGjU, EGjG, GjU, Qn), которое можно записать в виде (Ви, BG, GjU, en).
Гомоморфизм H(BG, M) ->- Н(Ви, М), вытекающий из этой спектральной
последовательности, совпадает с гомоморфизмом g*, совпадающим с гомо-
гомоморфизмом q*m(U, G) по определению.
Чтобы определить характеристическую подалгебру расслоения
(G, GjU, U, р), рассмотрим следующую диаграмму, где вместо Еи написано EG:
Еа <^— Ео х G -JU G
EG/U <-*- (Ee, G)v -?U G/U
Характеристический гомоморфизм есть а* = Л* • /* (ср. § 18). Пусть е —
фиксированный элемент EG и C_^G_->- EGx G — гомоморфизм, определенный
формулой C(g)=^_(eg,g). Тогда /• С есть вложение слоя, содержащего е,
а отображение Л • С тождественно. При факторизации по U отображение ?
переходит в отображение С : GjU -*¦ (EG, G)v, для которого i = f • ? есть
вложение слоя и отображение Л • С тождественно. Имеем
а* = Л*-1 ./• = ?•./•= г*.
Стало быть, образ а* состоит из таких элементов H(GjU, M), которые явля-
являются коциклами для всех дифференциалов (§ 4 (с)).
Предложение 22.2. Пусть U — замкнутый нормальный делитель
компактной группы Ли G. Тогда существует спектральная последователь-
последовательность, в которой Я, = H(BGiUy Н(Ви, М)) и которая заканчивается граду-
градуированной алгеброй, связанной со снабженной надлежащей фильтрацией
алгеброй H(BG, M).
Пространство Ви = EGjU является здесь главным расслоенным про-
пространством {EGjU, BG, GjU, Qn) группы GjU. Достаточно применить теорему
22.1, полагая X = EGjU — Bv, Y = BG и заменяя U на GjU.
Эта спектральная последовательность, на которую указал мне Серр,
является для компактных групп Ли аналогом той последовательности,
которую он ввел для изучения расширений дискретных групп [130].
Замечание о переходе к бесконечному п. В предыду-
предыдущие формулировки вообще не нужно вводить конечных верхних границ для
степеней, ибо справедливо следующее утверждение:
Предложение 22.1 и теорема 22.2 верны, если понимать члены Н2 как
алгебры когомологий классифицирующих пространств для всех п в смысле
определения 18.2. То же утверждение верно в отношении теоремы 22.1, если
U связна, и в отношении предложения 22.2, если GjU связна.
Спектральная последовательность теоремы 22.1 есть последовательность
расслоения ((Еи, Х)и, Ви, X, р). Если U связна, то в Нг коэффициенты

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 223
обыкновенные (потому что Bv односвяэно, ср. начало § 22). Если Ег и Е2 —
два универсальных пространства для U и для п, то две нижние строки
диаграммы A8.5), в которых надо положить X = F, G = U, позволяют
установить канонический изоморфизм между спектральными последователь-
последовательностями расслоений ((Я2, Х)и, В2, X, р2) и ((Ех, X)v, Blf X, pt) для D*sn—s
(s = dim U). Поэтому можно однозначно определить каноническую спек-
спектральную последовательность (Hr) (r =з= 2), которая для всякого л
изоморфна до л — s спектральной последовательности расслоения
((Е(п, U), Х)и, В(п, U), X, р). Это и есть нужная нам последовательность.
Наше рассуждение применимо также к предложениям 22.1 и 22.2, явля-
являющимся частными случаями теоремы 22.1; в предложении 22.2 нужно еще
сделать переход к бесконечному л, чтобы получить в слое H(BUt M)
вместо Н(В(п, U), М), что не представляет трудностей. Наконец, для
теоремы 22.2 нужно использовать две нижние строки диаграммы, которая
предшествовала определению q*m(U, G) в § 21.
§ 23. Когомологии классифицирующих пространств
для ортогональных унимодулярных групп
Группа SO(m) не имеет р-кручения для р=р^2, и можно при-
применить теорему 19.1. Напротив, она обладает 2-крУчением, если т > 2,
и Н (SO(m), Кг) имеет простую систему образующих со степенями
1, 2, ... , т — 1 (предложение 10.3). Мы хотим показать, что эти обра-
образующие можно выбрать универсально трансгрессивными. Это ясно для xv
С другой стороны, известно, что в качестве х4 можно выбрать образ ненуле-
ненулевого элемента из Hl (Vm> m_i, Кг) при отображении, индуцированном про-
проекцией pm_{: SO (m) —> Vm, m_{ (i s* 2, cp. § 10, замечание 1).
Пусть (Я, В, SO (m), p) — компактное связное главное расслоенное
пространство. Оно является также главным расслоенным пространством
группы SO (г) (i < т), откуда получаются расслоение (Я/SO (г), В, Vm, m_b р)
и нижеследующая коммутативная диаграмма, в которой горизонтальные
стрелки обозначают канонические проекции, вертикальные стрелки —
вложения, а Р—некоторую точку:
Щт)
Е > ?/SO(r) у В
Эта диаграмма показывает, что если элемент h е #(VTO> то_ь Ks) трансгрес-
трансгрессивен в ?/SO(r), то элемент рт-% (Л) трансгрессивен в Е. Элементы наи-
наименьшей • положительной степени из H(Vm< m_it Ks), очевидно, трансгрес-
трансгрессивны. Значит, элемент х{ трансгрессивен в Е. Беря в качестве Е универ-
универсальное пространство и применяя предложение 19.2, получаем
Предложение 23.1. Алгебра W(S0(m), К2) обладает простой
системой универсально .трансгрессивных образующих xlf..., x^-i сте-
степеней 1, 2, ..., т— 1 и ЩВво(т), К2) = K2[yv ... , ут^} (Dy{ = i+\),zde
у{ — класс когомологии, содержащий кограницу коцепи трансгрессии для Х( в
Е (п, SO(m)). Элемент х{ определен с точностью до скалярного множителя.
Но в качестве универсального и классифицирующего пространств
для л— 1 можно взять многообразия Vn + m>m и G? + m, m (ср. §18).
Таким образом, получается следующее предложение, .принадлежащее
Л. С. Понтрягину [112]:
Предложение 23.2. Для D < п алгебра H(G% + m, m, К2)
изоморфна алгебре многочленов Кг[уъ •••, Ут—Л от т.— 1 переменной
степеней 2, 3, ..., т.

224 А. БОРЕЛЬ
Мы не видим возможности получить, не отвлекаясь слишком далеко
в сторону, аналогичный результат Чженя [178] о когомологиях грассмано-
вых многообразий G п+т, т : Щпп+т т, К2) = К2 [у0, Ух, • • •, Ут-i] Фуг =
= 1 + 1) для D < п; аппарат, развитый в настоящей работе, приложим
главным образом к случаю связных групп. Мы восполним этот пробел
в последующей работе, упомянутой во введении, где будет полностью вычис-
вычислена алгебра когомологий Gn+m, m по модулю 2.
Доказательство предложения 23.1 использует многообразия Штифеля
и показывает, что в качестве образующих #(G?+rn, m, К2), являющихся
образами при трансгрессии, можно взять приведенные классы Штифеля
— Уитни многообразия G#+rn, m; последний факт хорошо известен.
Аналогичную связь можно установить между образующими Я(Ви(т), Z)
и классами Чженя комплексных грассмановых многообразий*.
Заметим, наконец, что аналогично предложению 23.1 можно доказать
Предложение 23.3. Алгебра H(Vn n_g, K2) имеет простую
систему образующих xq, ..., Xn-t степеней q, q + \, ..., п — 1, универсально
трансгрессивных в расслоенных пространствах со структурной группой
SO (n), действие которой на Vn> n_9 определяется расслоением SO(n)[SO(q).
Г л а в*а VI
КОГОМОЛОГИЙ'ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ И ОДНОРОДНЫХ
ПРОСТРАНСТВ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ]
Обозначения. Во всей этой главе Н(Х) обозначает алгебру кого-
когомологий X с вещественными коэффициентами, G и U — компактные группы
Ли.
Алгебра H(BG,R) будет обозначаться через SG; это—алгебра многочле-
многочленов. Через Sq обозначается подалгебра, образованная элементами SG, име-
имеющими положительные степени.
§ 24. Когомологий компактных главных расслоенных пространств
Согласно предложению 3.1, конечномерное компактное пространство
(метрическое сепарабельное) ' обладает тонким антикоммутативным
/?-перекрытием; например, для дифференцируемого многообразия таким пере-
перекрытием может служить алгебра внешних дифференциальных форм. Этот
факт и теорема 19.1 лежат в основе доказательства теорем 24.1 и 24. Г, обоб-
обобщающих в компактном случае результат Шевалле о дифференцируемых
расслоенных пространствах (доказательство не опубликовано, ср. Косул
[75], теорема I).
К вещественным когомологиям всегда приложима теорема 19.1: H(G) =
= Л Р является внешней алгеброй над пространством Р универсально транс-
трансгрессивных элементов, градуированным нечетными степенями. Пусть (E,B,G, p)
— связное локально связное компактное главное расслоенное прост-
пространство конечной размерности, 6 и <3 — тонкие антикоммутативные
Я-перекрытия Е и В, <§=р~~1(C)ос5. Тогда <§ антикоммутативно относительно
полной степени. Пусть xv ..., xt — базис Р, с(е<§ — коцепь трансгрессии
для х4. Обозначим через й{ некоторый элемент <3 такой, что p~\bi) ° и =
= dci A=1, ..., I; и — единица ?).
Снабдим левое тензорное произведение L алгебр (В и H(G) над R диффе-
* Определение классов Штифеля—Уитии и классов Чжеия см. [143], гл. III.
— Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 225
ренциалом d, каноническим для полной степени и удовлетворяющим усло-
условиям
d(b (g) 1) = db (g) 1 (b € <B),
d{\ <g) x{) = b{ <g) 1 (i = 1, ..., 0 B4.1)
(нужно, конечно, проверить, что эти условия полностью определяют диффе-
дифференциал, но это делается мгновенно). Очевидно, d увеличивает полную
степень на 1 и продолжает дифференциал алгебры (В.
Определим линейное отображение А : <3 (g) P->-<§ формулами
А(й® 1) =р~1(й)оц (йе<2),
A(l (g) х{) = с{ (f=l, ...,/).
Так как & антикоммутативно по полной степени, то А однозначно продол-
продолжается в мультипликативный гомоморфизм L = <3(g)AP в <§, согласованный
с дифференциалами. Он индуцирует гомоморфизм H(L) в Н(ё) = Н(Е),
который мы тоже обозначим через Я. Пусть q — гомоморфизм Н(В) в H(L),
индуцированный вложением <2 в L. Элемент из 1 <g)AP не может быть,
очевидно, кограницей в L. Поэтому каждый класс когомологий L содержит
не больше одного коцикла из 1 <g)AP. Сопоставляя классу этот коцикл
(если он еро содержит), мы определяем изоморфизм некоторой подалгебры
H(L) на подалгебру H(G); обозначим его через г.
Теорема 24.1. Пусть (Е, В, G, р) — компактное главное рассло-
расслоенное пространство конечной размерности, связное и локально связное, со
связными слоями и пусть 6 и (В — тонкие антикоммутативные R-перекры-
тия пространств Е и В.
Тогда определенный выше гомоморфизм А алгебры L — <3 (g) H(G) в
р~г((В)о6 индуцирует изоморфизм H(L) на Н(Е). Имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
A.
\
ЩО)
41 Я(?) Х
Доказательство. Профильтруем L подпространствами
L*> = Л <& 0 Я(б).
Для ё примем из § 4 фильтрацию подпространствами
Sp= У p-
i>
Очевидно, A(LP) С Sp. Значит, Я определяет гомоморфизм спектраль-
спектральной последовательности (Н*) алгебры L в спектральную последователь-
последовательность (Нг) алгебры й, о которой говорится в теореме 4.1. Для доказательства
нашей теоремы достаточно, например, проверить, что А есть изоморфизм
Н\ на Hit ибо тогда Я будет изоморфизмом Н* на НТ (г з» 2) и H(L) на
Н(@) (ср. § 1 (D)). Прежде всего имеем
Я; = G(L) ^ L, И*р ^ <&> (g) H(G),
так как d(Lp) С LP, На Н*о* = LPILP+1 оператор d*0 индуцируется опе-
оператором d, но из определения d ясно, что d{LP) с Lp+1. Стало быть, d*0
равен нулю на #JP (р произвольно) и на всем я;. Итак, Н{ = Hi, что в^ обоз-
обозначениях § 1 можно записать также следующим образом:
CJP = W, С$р+1 + D%
15 Расслоенные пространства

226 А. БОРЕЛЬ
Оператор d\ на Н\р индуцируется гомоморфизмом пар
(L*>, Lp+1) -±+ (LP+1,LP+2).
Рассмотрим, например, bp (g) хг € GP (g) P. Имеем
d(№ <g) х{) = (/й* (g) x{ ± й"» • 6< <g) 1 (Dftt = Dx{ + 1).
Первый член входит в Lp+1, второй— в Lp+2. Значит, d\(bv (g) х») =
= dtp (g)Xi. Это верно, конечно, и для элемента й (g) х е B" (g) #(G) = Яip
и показывает, что d\ есть частный, дифференциал относительно (В в Я* ^
^ <2 (g) tf(G). Следовательно, Я? = Н(В) (g) tf(G), т. е. я; изоморфна
Я2. Проверим теперь, что А есть изоморфизм Н\ на Я2. Если й — коцикл
(В, то й (g) 1 и р" (й)о ц имеют в Я2 и Я2 одинаковые образы, а именно, класс
когомологий й (для Н\ мы это только что доказали, а для Я2 это вытекает
из определения я:* в § 4). Далее, образ А(х{) — с{в Н2 есть хь в силу опре-
определения it в § 4. Стало быть, Д есть тождественное отображение на Н(В) (g) P.
Так как отображение А сохраняет умножение, то оно является изоморфиз-
изоморфизмом Я2 на Нг.
По самому определению р* = Я • q, что дает левую часть диаграммы.
Как легко следует из определений, элементы из Я20>8 = H8(G), являющи-
являющиеся коциклами для всех дифференциалов, представляют собой в точности
те элементы из HS(G) с L, которые являются коциклами для d, т. е. эти эле-
элементы составляют образ г. Таким образом, Д ставит их во взаимно одно-
однозначное соответствие с элементами Н%?, составляющими образ /*, что дока-
доказывает коммутативность правой части диаграммы.
В этом доказательстве мы не использовали полностью предположение
о том, что (?, В, Q, р) есть главное расслоенное пространство со связной
компактной группой Ли в качестве слоя. Использовалось лишь то, что Н (G)
есть внешняя алгебра над пространством трансгрессивных элементов и что
в спектральной последовательности расслоения Н2 = Н(В) (g) H(G). Поэтому
теорема 24.1 допускает следующее обобщение:
Т е о р е м а 24. Г. Пусть (Е, В, F, р) — связное локально связное конечно-
конечномерное компактное расслоенное пространство. Предположим, что H(F) —
внешняя алгебра над пространством, натянутым на элементы нечет-
нечетных степеней, трансгрессивные в Е, и что в спектральной последователь-
последовательности этого расслоения Н2 = Н(В) (g) H(F).
Тогда верно заключение теоремы 24.1, если заменить в нем G на F.
Замечание. Если В — дифференцируемое многообразие, то в качестве
(В можно взять алгебру внешних дифференциальных форм, и мы получаем
теорему Шевалле. Но нужно заметить, что последняя верна и для некомпакт-
некомпактных дифференцируемых расслоенных пространств.
§ 25. Когомологий однородных пространств
Теорема 24.1 показывает, что Н(Е) вполне определяется алгебрами
H(G), (В и трансгрессией, но эта теорема не утверждает, что уже H(G), Н(В)
и трансгрессия определяют Н(Е). Косул заметил, что если (В состоит из
коциклов относительно d, то L отождествляется с алгеброй Н(В) (g) H(G),
дифференциал в которой определяется трансгрессией и равен нулю на Н(В).
Условие Косула у нас не выполнено, но, как мы увидим, достаточно и того,
чтобы (В содержала подалгебру, состоящую из коциклов и имеющую ровно
по одному представителю в каждом классе когомологий В.
Через (Е, В, G, р) будет обозначаться связное и локально связное ком-
компактно^ главное расслоенное пространство. Алгебру Н(В) (g) H(G) мы
будем рассматривать в этом параграфе с „дифференциалом трансгрессии" й,
определенным формулами
1) = 0, ' d(l®Xi) = fti<g)l (i=l,...,0, B5.1)

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 227
где xlt ..¦., X; — базис пространства универсально трансгрессивных элемен-
элементов H(G), а Ьг — образ xt при трансгрессии.
Теорема 25. 1. Пусть (Е, В, G, р) — связное и локально связное
компактное главное расслоенное пространство со связными слоями, (В —
тонкое антикоммутативное R-перекрытие В. Предположим, что (В содер-
содержит подалгебру (В', состоящую из коциклов и имеющую в точности по одному
представителю в каждом классе когомологий.
Тогда Н(Е) канонически изоморфна алгебре Н(Н (В) (g) H(G)), и имеет
место коммутативная диаграмма
\
N H(E) '
Пусть L = <2 (g) H(G), V = <Ъ' <g) H(G). Для каждого хг рассмотрим
коцепь трансгрессии в широком смысле сг такую, что dct есть представитель
Ьь содержащийся в <3'. Такая коцепь существует в силу леммы 5.1. Снаб-
Снабдим L дифференциалом d, действующим по формулам B4.1). Подалгебра
L' инвариантна относительно d и индуцированный в ней дифференциал
действует по формулам B5.1) (ибо (В'о=? Н (В)). Введем в L фильтрацию
подпространствами № так же, как при доказательстве теоремы 24.1, а в
V положим L'v = Lv П L'. Вложение L' в L индуцирует гомоморфизм
спектральной последовательности (#?) алгебры V в спектральную последо-
последовательность (Я*) алгебры L. При доказательстве теоремы 24.1 мы видели,
что Н\ = Н(В) 0 H(G). Очевидно, что также Н2 = Н(В) ® H(G) и что
вложение L' в L индуцирует изоморфизм Н2 на Н\. Значит, оно индуци-
индуцирует изоморфизм алгебры H(L') = Н(Н(В) 0 H(G)) на алгебру H(L),
изоморфную И(Е), согласно теореме 24.1. Принимая во внимание диаграмму
теоремы 24.1, получаем нашу теорему.
Следствие (Косул [75]). Пусть G — компактная связная группа
Ли, a U — ее связная замкнутая подгруппа, причем G[U есть симметри-
симметрическое пространство.
Тогда H{G) — H(H(G/U)&) H(U)) и имеет место коммутативная
диаграмма
V
H(GIU)[
/
4 H(G) X
H(U)
Пусть <Ъ — алгебра дифференциальных форм на G/U, а <3' — подалгебра
дифференциальных форм, инвариантных относительно операций из G. Из-
Известно, что <3' состоит из коциклов и содержит в точности по одному предста-
представителю каждого класса когомологий ([70], п. 10)*. Остается применить
теорему 25.1, где Е, В, G заменены соответственно на G, G/U, U.
Дополнение к теореме 25.1. Если (В' удовлетворяет пред-
предположениям теоремы только для элементов степеней D «= п, то заключение
имеет место для элементов степеней «п — s (s = dimG).
Действительно, для D «s n имеем V = H(B) (g) H(G), откуда H(L') =
= ЩН (В) 0 H(G)) для D*sn—\. Имеем также Hl2 = H(B) <g) H(G)
* См. примечание 2 в конце статьи. — Прим. ред.
15* - 5/0

228 , А. БОРЕЛЬ
для D «s n; следовательно, вложение V в L определяет изоморфизм H's на
Н\ для элементов полной степени D «г п, а значит, и изоморфизм Н (L')
на H(L) для элементов с D «s п — s.
Теорема 25. 2. (А. Картан [56, Ь]). Пусть U — связная замкнутая
подгруппа компактной связной группы Ли G и xlt . . ., хг — система универ-
универсально трансгрессивных образующих Н (G), а уг, ..., уг — образующие SG,
соответствующие xlt ..., хг при трансгрессии в универсальном пространстве
EG.
Тогда H(GJU) канонически изоморфна алгебре //(Sy (g) H(G)), где
алгебра Sy 0 H(G) снабжена дифференциалом, равным нулю на Sv и удовле-
удовлетворяющим условиям d(\®Xi) = ввЦуд <8> ! О' =!>••• i О- Имеет место
коммутативная диаграмма
B5.2)
44 H(G/U) /
(Qr — гомоморфизм QR(U,G):SG^-SU, определенный в §21; q определяет-
определяется вложением; г определено, как в § 24; <г* — характеристический гомо-
гомоморфизм расслоения (G, GjU, U, р); изоморфизм /л будет определен ниже).
Доказательство. Мы отправляемся от пространства X =
=(E(n,U),G)v (п велико), где Е(п, U) конечномерно. Пространство X допускает
два часто рассматриваемых раселоения: (X, В(п, U),G,f)n(X,G[U,E(n, U),g).
По теореме Виеториса g* есть изоморфизм H(GjU) на Н(Х) для D «г п.
Первое расслоение удовлетворяет всем условиям теоремы 24.1. Более того,
гомоморфизм (X, В(п, U), G, /) в (EG, BG, G, р), установленный при дока-
доказательстве предложения 22.1, показывает, что bi — Q:R{yi) является обра-
образом Xi при трансгрессии в Х(/=1, •••,')•
Алгебра Н(В(п, U)) для D<sn является алгеброй многочленов
R [zlt.. .,zh]. Рассмотрим в тонком антикоммУТативномЯ-перекрытии (В прост-
пространства В{п, U) коцикл Uj€Zj(j = 1, ..., к), и пусть (В' — подалгебра, порож-
порожденная 1, ии ..., щ и всеми элементами алгебры (В, имеющими степень
> п. Так как она антикоммутативна и так как Н(В(п, U)) для D «s n
есть алгебра многочленов, то (В' для D<sn содержит только коциклы и
имеет в точности по одному представителю в каждом классе когомологий.
Дополнение к теореме 25.1 дает для D «s п — s коммутативную диаграмму
S
и.
\
/
H(G) B5.3)
Положим /I = g*-1A; это—изоморфизм H(SV 0 Н (G)) на H(GjU) для D =?
<sn — s. Так как g* • /* = а* по определению (определение 18.3) и так
как, в силу B.5), р* = i* «g*, то из B5.3) вытекает коммутативная диаграмма
B5.2). Эта диаграмма доказана для D «s п — s, но, увеличивая п беспредельно,
можно доказать, что она верна без ограничении на D. Тем самым теорема
25.2 доказана.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 229
§ 26. Факторпространство компактной группы по подгруппе
максимального ранга
В начале § 26 и § 27 мы напомним некоторые факты из теории компакт-
компактных групп Ли (см., например, [125], [187])*.
Пусть G — компактная связная группа Ли размерности п. Она имеет
однопараметрические подгруппы и, следовательно, имеет подгруппы, изо-
изоморфные торам. Максимальные среди таких подгрупп (их называют макси-
максимальными торами) являются одновременно максимальными абелевыми
подгруппами. Любые два максимальных тора переводятся друг в друга
внутренним автоморфизмом О и их общая размерность называется рангом,
I = rang G, группы G. Всякий элемент G содержится в некотором макси-
максимальном торе. Ранг любой подгруппы U не превосходит /; он равен / тогда
и только тогда, когда U содержит тор, максимальный в G. Всякий замкну-
замкнутый путь, выходящий из единицы е, гомотопен пути, содержащемуся в макси-
максимальном торе ([35], стр. 328—395). Следовательно, G/U односвязно, если
U связна и имеет тот же ранг, что G. В этом случае полный прообраз U
подгруппы U в универсальной накрывающей G группы G тоже связен.
Так как максимальный тор прямого произведения есть прямое произведение
максимальных торов отдельных сомножителей и так как две локально изо-
изоморфные связные компактные группы Ли допускают общее конечное уни-
универсальное накрытие [107]**, то мы видим, что факторпространства двух
локально изоморфных компактных связных групп Ли G, G' по максималь-
максимальным торам Т, Т' гомеоморфны и что при изучении GJT можно ограничиться
случаем, когда G проста. Вообще, можно показать, что если U есть подгруппа
группы G1xG2X...xGk = G и ранг U равен рангу G, то U = игхи2х
X... X l/fcfl/iCGj, rang t/{=rangGi). Таким образом, изучение G/U
(rangG = rang U) сводится к исследованию случая, когда G проста, но этот
факт нам не понадобится.
Известно, что ранг G равен размерности того пространства, над кото-
которым H{G, R) является внешней алгеброй [173]; другие доказательства
см. в [75], [85]. Ниже мы дадим еще одно доказательство этого факта.
При изучении вещественных когомологий пространства G/U (rang G =
= rang U) мы будем опираться на теоремы 19.1 и 22.2, которые вместе с лем-
леммой 26.1 позволят легко получить результаты настоящего параграфа.
Лемма 26. 1***. Если Т — максимальный тор компактной связной
группы Ли G, то числа Бетти пространства GjT равны нулю для нечетных
размерностей.
Доказательство проводится индукцией по рангу / и размерности п
группы G. Для п = I и произвольного / проверять нечего. Предположим,
что лемма верна для U, если rang U «s rang G, dim U < dim G, и докажем
ее для G. Можно считать, что G полупроста: в противном случае G локально
изоморфна Т*Х U (rang U = I — s) и GIT = VjV, где Г — максимальный
тор U. Центр C(G) полупростой группы G дискретен, и можно найти такой
xeG, что x$C(G), x*eC(G). Пусть U — связная компонента е в нормализаторе
элемента х в О. Так как х содержится в максимальном торе, то ранги G
и U равны, но, так как х $ C(G), то dim U < dim G. Обозначим через L(G)
алгебру Ли группы G, через L(U) — ее подалгебру, соответствующую U,
и через /а — автоморфизм L(G), индуцированный автоморфизмом g -»¦
-»¦ (ща~г. В частности, /х инволютивен и L(U) есть пространство всех век-
векторов, инвариантных относительно 1Х.
i
* См. также [107], гл. XI, и [42]. — Прим. ред.
** См. теорему ПО, стр. 476. — Прим. ред.
*** В настоящее время известны еще два других доказательства леммы 26.1 (см.
примечание 3 в конце статьи). — Прим. ред.

230 А. БОРЕЛЬ
Докажем сначала, что числа Бетти GjU равны нулю для нечетных раз-
размерностей*. Рассмотрим GjU как пространство левых смежных классов
gU. Пусть у — точка, представляющая U, а V — касательное пространство
к G/U в точке у. Известно, что можно отождествить V с подпространством
V' С ДО), дополнительным к L(U) и инвариантным относительно автомор-
автоморфизмов 1и таким образом, что преобразование V, индуцированное движением
gU -> ugU (ae U), переходит в точности в /и([70], п. 1). Каждый класс вещест-
вещественных когомологий GjU можно представить полилинейной кососимметри-
ческой формой на V, инвариантной относительно автоморфизмов /и [70].
По отношению к инволюции 1Х инвариантное дополнение V может быть
лишь подпространством, соответствующим собственному значению —1.
Значит, /х является симметрией V относительно начала координат. Поэтому
инвариантная ненулевая форма должна иметь четную степень. Итак, H%GjU)=
= 0, если i нечетно.
Возьмем теперь в качестве максимального тора Т группы G некоторый
тор U. В спектральной последовательности над/? расслоения (GjT,GjU, UjT,p)
имеем И2 = H(GjU) ® H(U/T). По предположению индукции,
H\UjT) — 0, если i нечетно. Значит, Н2 содержит только элементы четных
степеней, что верно и для Яю, и для H(GjT). Впрочем, здесь Ято = Нг, так
как дифференциалы, увеличивающие D на 1, необходимо равны 0. Тем самым
лемма доказана для GIT.
Предложение 26.1. Гомоморфизм Qr(T, G):Sg^ St является
мономорфизмом. Алгебра H(G[T) есть факторалгебра ST no идеалу, порож-
порожденному образом Sq, и равна характеристической подалгебре.
Ранг группы G равен размерности пространства примитивных эле-
элементов H(G,R). Если sx—1, ..., S;—1 — степени элементов базиса этого
пространства, то многочлен Пуанкаре пространства GjT равен
P(GjT, 0 = A — t°) A — t°>) ... A — f»0/(l — t2I.
В спектральной последовательности теоремы 22.2 для М = R, U — Т
имеем Н2 = SG&) H(GjT). Обозначим временно через к размерность прост-
пространства примитивных (или универсально трансгрессивных) элементов H(G).
Пусть х1( ..., хк — базис этого пространства и Dxi = st—1. Известно,
что
SG = R [Ун • • •, У к] ФУ i = Dxt + 1 = sj четно).
Поэтому, в силу леммы 26.1, Н2 содержит лишь элементы четных степеней
и Н2 = Ню. Значит, H{GjT) равна своей характеристической подалгебре
(теорема 22.2), рд есть мономорфизм и H(G/T) = StI(Qb(Sg)) (предло-
(предложение 4.1).
Ряд Пуанкаре SG равен
P(SG, 0 = A - i*) A - «"Г1 ... A - t°»)-\
а ряд Пуанкаре Н2 = йю = G (ST) равен (для полной степени)
P(ST,O = A-'V (/=rangG).
Значит,
P{GjT, 0 = A — *80 ... A — ***)/( 1 — t2I.
Остается показать, что к = I. Так как H(GjT) имеет конечную размерность,
* G/U является симметрическим пространством, причем роль отражения играет
преобразование х е G. Поэтому равенство нулю нечетномерных чисел Бетти G/U сразу
вытекает из сказанного в конце примечания 2 в конце статьи. — Прим. ред.

о когомологиях главных расслоенных пространств 231
то предыдущее равенство показывает, что к s= /. Из того же равенства видно,
что если к > I, то P(G/T, 1) = 0, что невозможно. Значит, к = I.
Замечания. 1. Из предложения 26.1 можно вывести, что еИуД
¦ •• , Qr (yi) не имеют соотношений в ST. Для этого воспользуемся следующей
леммой:
Лемма 26.2. Пусть В — антшоммутатавная алгебра, градуиро-
градуированная неотрицательными степенями, и J = (bv ..., bk) — ее идеал, порож-
порожденный к однородными элементами степеней slt .... sk.
Если blt .. •, bk не имеют соотношений, то ряд Пуанкаре B/J равен
p(Bjj, о = р(В, о A - *••)... A -1°*).
В противном случае P(B[J, t) строго мажорирует выражение в правой
части.
Мы предоставляем читателю доказательство этой леммы, которое легко
проводится индукцией по к, если условие „bv ..., bh не имеют соотношений"
заменить условием ,,аннулятор образа Ьг в B/(bv ..., Ь{^) равен О" (i = 1,
2, ..., к).
Так как идеал, порожденный S&, равен (в^У^, ¦¦• , вКуд), т0 Ф°Р"
мула, полученная для P(G/T, t), показывает, что р| (у^), ..., qUvi) He имеют
соотношений.
2. Если G не связна, а Г — максимальный тор ее максимальной связ-
связной подгруппы Go, то Qr(T, G) — также мономорфизм. Действительно, рас-
рассмотрим канонические проекции
EG > ВТ —^U- BGg у BG.
По определению «* = 6%Т, Go), р* = q*b(G0, О) и «*•/?* = й(Г, G).
Отображение /3 осуществляет конечное накрытие BG пространством BGo
с группой G/Go и, в силу известного результата о конечных накрытиях
[193], /?* есть мономорфизм, образом которого является множество всех
элементов 5Go, инвариантных относительно GjG0. Так как х* есть моно-
мономорфизм, согласно предложению 26.1, то Qr(T, G) = х* • /8* — также
мономорфизм.
Теорема 26.1. Пусть U — замкнутая подгруппа компактной группы
Ли G, имеющая равный с G ранг. Тогда справедливы утверждения:
(a) Qr(U, G):Sg-+ S^ есть мономорфизм.
(b) Если G связна, то H(GjU) есть факторалгебра Sv no идеалу, порож-
порожденному Qr(Sg), равная характеристической подалгебре.
(c) Если G и U связны и если sr — 1, ..., st — 1, соответственно гг — 1,
..., гг—1,— степени элементов системы образующих внешней алгебры
H(G), соответственно H(U), то многочлен Пуанкаре G/U равен
л _ A — <»0A—«»¦)... A —ft»)
t) - A_frl)A_p.i)... (l_tri) ¦
Доказательство. Имеем вн(Т, G) = вв(Т, U) ¦ Qr%U, G). Так
как вк(Т, G) — мономорфизм (предложение 26.1 и замечание 2), то и qr(U, G)
ззаимно однозначен. Начиная отсюда, мы предполагаем, что G связна.
Пусть сначала U связна. Тогда H(U[T) совпадает со своей характерис-
характеристической подалгеброй (предложение 26.1). Согласно следствию из предло-
кения 18.3, UIT вполне негомологично нулю в расслоении (GIT, G/U, U/T, р).
Значит, спектральная последовательность этого расслоения тривиальна
предложение 4.1) и P(G/T, t) = P(G[U, t) • Р(ЩТ, t), откуда получаем
[ногочлен Пуанкаре (с) и находим, что H^G/U) = 0 для нечетных i. Следо-
ательно, спектральная последовательность теоремы 22.2, ведущая от Н2 —
= SG (g) H(G/U) к Sv, тривиальна, откуда следует (Ь) для связной U.

232 А. БОР ЕЛЬ
Если U не связна, то пусть Uo — ее максимальная связная подгруппа.
Рассмотрим коммутативную диаграмму
G G/l/o-^U G[U
где горизонтальные стрелки обозначают канонические проекции, а верти-
вертикальные — канонические вложения. Отображения i и i определяются с
помощью перехода к факторпространствам, исходя из отображения I, рас-
рассматриваемого как гомоморфизм главных расслоенных пространств группы
^(соответственно I/). Значит, i* и i* — характеристические гомоморфизмы
(предложение 18.4). Мы уже знаем, что Т* — эпиморфизм и что его ядро есть
идеал, порожденный qU^Sg) = a* • /?*(Sc;). С другой стороны, теорема
о конечных накрытиях, упомянутая в замечании 2 к предложению 26.1,
показывает, что а* и у* — мономорфизмы и что их образы состоят из инвари-
инвариантов и/и0. Производя в SVo усреднение по группе UjlH, легко вывести
отсюда, что i* есть эпиморфизм и что его ядро есть идеал, порожденный
/3*(Sg). Тем самым (Ь) доказано для любой U.
Замечание. Формула, дающая P{GjV, t), была предположена
Хиршем, доказана для классических групп Лерз [82], для симметрических
пространств — Косулом, наконец, в общем случае Картаном — Косулом ([56],
[75]), а затем Лерэ и автором [85]; она была обобщена Лерэ ([85], теорема
2.2d). Чисто алгебраическое доказательство в рамках алгебр Ли дано Шевалле
(не опубликовано). В этих мемуарах изучена также мультипликативная
структура H(GjU).
§ 27. Инварианты группы Г. Вейля
Пусть Г — максимальный TopG. Введем в окрестности eeG канонические
координаты, В накрывающей группе R1 тора Т рассмотрим диаграмму группы
G [187], состоящую из m семейств параллельных гиперплоскостей (п ?=
— 1 + 2т). Это есть множество тех элементов R1, проекция которых в Т
является сингулярным элементом G, т. е. элементом, нормализатор которого
имеет строго ббльшую размерность, чем /. Если N(T) — нормализатор Т
в G, то факторгруппа <P(G) = N(T)jT является конечной группой, назы-
называемой группой Г. Вейля группы G. Она изоморфна группе автоморфизмов
тора Т, индуцированных внутренними автоморфизмами G. Она действует
также в R1, оставляя диаграмму инвариантной, и порождается m отражениями
в гиперплоскостях диаграммы, проходящих через начало координат. Отра-
Отражение рассматривается в смысле инвариантной относительно Ф эвклидовой
метрики, которая задается формой Киллинга. Преобразования из Ф оставля-
оставляют также инвариантной ..единичную решетку", — полный прообраз е в
R1, изоморфную фундаментальной группе Т, а значит, и группе Н\Т, Z),
поскольку она абелева*. Отсюда получается точное представление Ф в качест-
качестве группы преобразований Н\Т, Z) или Н\Т, А) = Н\Т, Z)(g) А, кото-
которую мы будем обозначать через ФА (G) или ФА, если это не приведет к пута-
путанице. Если zlf ..., zt — базис НЦТ, Z), то ФА определяет представление
Ф в качестве группы автоморфизмов A [zlt ..., г{\, которую мы обозначим
через Ф*А{О) или Ф*А. Пусть 1g — подалгебра инвариантов Ф|, т. е. эле-
элементов, не меняющихся при всех преобразованиях из Ф|. Ясно, что алгебра
• Доказательство всех этих фактов можно найтн, например, в [42]. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 233
Ig ® -А содержится в множестве инвариантов ФА и что она совпадает
с этим множеством, если А = R.
В случае А — R можно естественным образом сопоставить элементам
гг, ..., гг линейные формы на R1, определяющие на R1 систему координат.
При этом Фв истолковывается как представление Ф в качестве группы
автоморфизмов алгебры многочленов на R1 с вещественными козффициентами.
Можно также рассматривать zv ..., гг как координаты на алгебре Ли тора Т, а
Фн — как группу автоморфизмов алгебры многочленов на этой алгебре Ли.
Если G не связна, то можно снова рассматривать Ф(б) = N(T)/T.
При этом, если Go — максимальная связная подгруппа G, то вложение
N(T) в G индуцирует изоморфизм 0(G)/0(Go) на GIGq. Вообще говоря,
может случиться, что нетривиальный элемент Ф(б) оставляет на месте
каждую точку Т. Но если G является подгруппой некоторой связной ком-
компактней группы того же ранга, то Ф(б) действует на Т эффективно.
Пусть Eg — универсальное пространство для G, а значит, и для Г. Группа
N(T) действует на расслоении (EG, Вт, Г, р) и поэтому Ф = N(T)/T дейст-
действует на Н(Т, А) и Н(ВТ, А), причем на НЦТ, А) индуцируется группа
ФА. Группа N(T) действует также на тонком перекрытии р~г (<3)о<221, опре-
определяющем спектральную последовательность отображения р, и преобразует
модули Sp в себя. Значит, N(T) действует на спектральной последователь-
последовательности (ЯР) отображения р. На Нг = Н(ВТ, A) (g) Н(Т, А) группа Т дейст-
действует тождественно, и мы получаем представление Ф в Нг. То же самое пред-
представление получается, если распространить на Hz построенные выше пред-
представления Ф в ЩВТ, А) и Н(Т, А) (это легко следует из определения
гомоморфизмов л* и 1%, в §4). Но Ф коммутирует с дифференциалом d2, кото-
который осуществляет изоморфизм между Н^Т, А) и Н\ВТ, А). Значит, Н(ВТ, А)
можнр канонически отождествить с A [z1? ..., zt] (zlt ..., zt — базис
НЦТ, А)) так, чтобы построенное выше представление Ф в качестве группы
операторов Н(ВТ, А) совпадало с ФА. Заметим еще, что N(T) действует
на Н(ВТ, А), сохраняя модули Jp, так как Jp — канонический образ мно-
множества коциклов* из Sp. Если, в частности, А есть поле, то можно установить
между Н(ВТ, А) и Ято = G(H(BT, А)) изоморфизм векторных пространств,
коммутирующий с ФА.
Группа N(T) действует также на расслоении (?G, BG, G, q), переводя
в себя каждый слой. Следовательно, Ф тривиально действует на H(BG, A)
и коммутирует, конечно, cq*a(T, G), образ которого состоит поэтому из инвари-
инвариантов ФА. Мы увидим, что при А = R таким способом получаются все инва-
инварианты Фд. Это будет следовать из леммы 27.1, принадлежащей'Лерэ [85].
Лемма 27.1**. Если G связна, то естественное представление Ф, дейст-
действующее в H{GjT), эквивалентно регулярному представлению.
21 В качестве & и ® можно принять, например, коцепи Александера—Спанье.
* Речь идет о фильтрации, соответствующей расслоению (Вр, Be, G/T, q(T, G)). —
Пром. ред. -
** Напомним используемые в этой лемме факты нз теории линейных представлений
(см., например, [31], П,§ 125). Пусть Ф— какая-нибудь конечная группа ng->Cff —ее представ-
представление линейными операторами в пространстве L. Функция: z(g)=След Са (ge<P) называется
характером представления. Если характеры двух представлений совпадают, то эти пред-
представления эквивалентны. Рассмотрим, в частности, пространство L всех функций /(ft)
(ft е Ф) на группе Ф и положим Cgf(h) = /(g~Vi). Определяемое этой формулой представ-
представление называется регулярным представлением группы Ф. Положим
{
1. если ft = g,
0, если Л ф g.
Тогда Ся /й1 = /да,. Отсюда видно, что
I s, если g = e,
X(g)= След Са = {
10, если g?=et
где s—порядок группы Ф. — Прим. ред.

234 А. БОРЕЛЬ
Если рассматривать G/T как пространство левых смежных классов,
то N(T) действует на нем с помощью правых сдвигов. Если n&N(T), n$T,
то этот сдвиг является гомоморфизмом без неподвижных точек, и его число
Лефшеца* равно нулю. Если п€.Т, то это преобразование тождественное
и его число Лефшеца равно характеристике Эйлера — Пуанкаре прост-
пространства G/T, т. е. порядку Ф* ([125], стр. 251). Но числа Бетти G/T в нечет-
нечетных размерностях равны нулю (лемма 26.1). Значит, число Лефшеца равно
следу эндоморфизма, индуцированного п в H(GjT). Стало быть, рассмот-
рассмотренное нами представление группы Ф в H(GjT) имеет тот же характер,
что и регулярное представление, и эквивалентно ему.
Предложение^27.1. Если Т — максимальный тор компактной
группы Ли G, то образ мономорфизма рд(Т, G): SG->ST состоит из всех
инвариантов Ф%.
Предположим сначала, что G связна. В спектральной последователь-
последовательности расслоения (ВТ, BG, GIT, p) член
Н2 = SG <g> H(G/T)
содержит только элементы четных степеней. Значит, Н,, = Н^ — градуиро-
градуированная алгебра, связанная с алгеброй ST, снабженной" надлежащей фильт-
фильтрацией. Стало быть, как мы уже говорили выше, существует изоморфизм
между Н2 = Нж и ST, коммутирующий с Фд. С другой стороны, gB(T, G)
есть мономорфизм, отождествляющий SG с подпространством SG <g) 1 прост-
пространства ST. Следовательно, на этом подпространстве Фд действует тривиаль-
тривиально и это подпространство содержит все инварианты Фд, так как 1 ® H(GjT),
согласно лемме 27.1, есть пространство регулярного представления.
Если G не связна, то рассмотрим отображения
Вт -2->- BG, —»¦ BG,
где Go — максимальная связная подгруппа G. Мономорфизм рд(Г, Go) = a*
отображает SGo на инварианты Ф(О0); мономорфизм р* = qr(G0, G) отображает
SG на инварианты GjG0. Но если N(T) — нормализатор Т в G, то вложение
ЩТ) с G индуцирует изоморфизм Ф(и)/Ф(Оо) на GjG0 (эти две группы рас-
рассматриваются как группы преобразований SGo). Следовательно, мономор-
мономорфизм <х* • /8* отображает SG на множество инвариантов Ф(б).
Предложение 27.2. (а) Если G связна, то кольцо инвариантных
относительно Ф(б) многочленов на накрывающем пространстве R1 макси-
максимального тора допускает I образующих без соотношений.
(Ь) Если тг, ..., т\ — степени этих образующих, то 2т, — 1, ... ,
2тг — 1 суть степени элементов базиса того пространства, над которым
H(G) является внешней алгеброй, и многочлен Пуанкаре группы G имеет
вид
P(G, t) = A + f2™i
Это следует немедленно из теоремы 19.1 и предложений 27.1 и 26.1.
Замечание. Предложение 27.2 (а), которому мы дали топологи-
топологическое доказательство, принадлежит Шевалле, доказавшему его алгебраи-
алгебраическим путем для любых конечных групп, порожденных отражениями (не
опубликовано)**. Предложение 27.2(Ь) было впервые установлено А. Карта-
* Пусть Р — полиэдр. Непрерывное отображение к: Р -»¦ Р индуцирует отобра-
отображения di: Hi(P)^-Hi(P). Сумма ^?(—1)* Следй^ называется числом Лефшеца отображения к.
i
Доказывается (см., например, [113], § 16), что если преобразование не имеет неподвиж-
неподвижных точек, то его число Лефшеца равно нулю; для,тождественного преобразования число
Лефшеца равно эйлеровой характеристике Р. — Прим. ред.
** Результат Шевалле был опубликован в 1955 г.; см. [182], стр. 778. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 235
ном и Шевалле. Оно весьма интересно тем, что сводит вычисление много-
многочлена Пуанкаре компактной связной группы Ли к изучению инвариантов
конечной группы.
Предложение 27.3. Пусть (X, Y, U, р) — связное и локально
связное компактное главное расслоенное пространство компактной группы
Ли U и Т — максимальный mop U.
Тогда проекция Х/Т -> Y индуцирует изоморфизм H(Y) на алгебру
элементов Н(Х/Т), инвариантных относительно ФA1).
Это предложение принадлежит Лерэ ([85], теорема 2.2а). Его доказа-
доказательство совершенно аналогично доказательству предложения 27.1, явля-
являющегося частным случаем предложения 27.3 (нужно положить X = Еи,
Y = Вц и, значит, Х/Т = ВТ), и поэтому здесь не воспроизводится.
§ 28. Интерпретация гомоморфизма g*
Пусть Т — максимальный тор G, U — замкнутая подгруппа G и 5 —
максимальный тор U. Без существенного ограничения общности можно
предположить, что 5 с Т. Если пространство EG универсально для G,
то коммутативная диаграмма
EG/T<—EG/S
I I
EG/G<—EG/U
где стрелками обозначены проекции, может быть переписана в следующем
виде:
Вт <— Bs
I I
BG <— Ви
Эта диаграмма показывает, что
Q*a(S, U) ¦ e\(U, G) = qa(S, T) ¦ Q*A(T, G).
В частности, если q*a(S, U) и q*a(T, О) — мономорфизмы и если отождествить
с их помощью алгебры H(BV, A)uH(BG, А) с подалгебрами алгебр H(BS, A)
и Н(ВТ, А) соответственно, то QA(U, G) перейдет в то отображение, которое
(>а($, Т) индуцирует на Н(ВТ, А). Изучим это отображение. Коммутативная
диаграмма
? ТОЖД. р
! 1
EG/T<— EG/S
определяет гомоморфизм спектральной последовательности проекции EG ->
-» EG/T = Вт в спектральную последовательность проекции EG -»¦
-> EG/S — Bs. На членах Hz получается гомоморфизм Н(ВТ, А) 0 Н(Т, А)
в H(BS, A) 0 H(S, А), коммутирующий с йг и являющийся, в силу § 4(d),
тензорным произведением гомоморфизмов qa(S, Т) и г*: Н(Т, А) -> H(S, A).
Пусть х17 ... , хг и yv ... , yk — базисы Н\Т, А) и H^S, А). Уже
было сказано, что d2 позволяет отождествить Н(ВТ, А) и Н(В3, А) с
A [xv ... , Xj] и A [yv ... , yk] соответственно, откуда следует
Предложение 28.1. Пусть S — тор, являющийся подгруппой
тора Т, yv ... , yk —- базис H\S, А) и xv ... , хг — базис Н\Т, А).
Можно канонически отождествить Н(ВТ, А) и Н(В3, А) соответственно
с А [хъ ..., х{] и А [у1ь ... ,yk] таким образом, чтобы qa(S, T) перешел
в гомоморфизм A [xv ... , х{] в А [уь ..., yk], индуцированный гомомор-
гомоморфизмом вложения i* : Н\Т, А) -> H\S, A).

236 А. БОР ЕЛЬ
В случае вещественных коэффициентов R [х1( ... , хг] и R [у1г ... , yk]
можно рассматривать как алгебры многочленов на накрывающей группе
R1 тора Г, соответственно на ее подгруппе Rk, накрывающей тор S, или еще
как алгебры многочленов на алгебре Ли ЦТ) тора Т, соответственно на ее
подалгебре ?(S), отвечающей 5. Тогда Qr\S, T) сопоставляет каждому
многочлену на R1 индуцированный им многочлен на Rh. С другой стороны,
если Т и S — максимальные торы двух групп G Э U, то ?вE, U) и q&T, G)
суть мономорфизмы и их образы состоят из всех инвариантов соответственно
0r(U) и OU.G) (предложение 27.1). Отсюда следует
Предложение 28.2. Пусть U — замкнутая подгруппа компактной
группы Ли G, S с Г — максимальные торы для U и G, R1 — накрывающее
пространство Т и R* — его подпространство, накрывающее S.
Если отождествить SG и Sy с алгебрами многочленов на R1, соответ-
соответственно на Rk, с вещественными коэффициентами, инвариантных относи-
относительно 0rXG), соответственно Ф&и), то гомоморфизм QrXU, G):Sg-+ Sv
сопоставит каждому многочлену из SG индуцированный им многочлен на Rh.
Таким образом, мы видим, что многочлен, инвариантный относительно
ЩО), индуцирует на Rh многочлен, инвариантный относительно Ф(и). Это
можно было доказать a priori для связных G и U, исходя из того, что вся-
всякий автоморфизм Rk из группы Ф(С) индуцируется некоторым элементом
Ф(в) (см. [50], § 6, теорема 5).
Мы доказали, что гомоморфизм Qr(U, G) (U, G связны) полностью
определяет вещественные когомологии G/U. Предложение 28.2 показывает,
что этот гомоморфизм зависит только от локальных, или инфинитезималь-
ных, свойств. Действительно, группа Ф порождается отражениями в гипер-
гиперплоскостях диаграммы, проходящих через начало координат, и qr опреде-
определяется этими гиперплоскостями и положением Rh в R\ В терминах алгебр
Ли: qr зависит только от элементов L(S) и ЦТ), сингулярных в Ц1Л), соответ-
соответственно в Цб), и от положения L(S) в ЦТ). Все это — инфинитезимальные
понятия. Мы получили классический результат Э. Картана [70], утвержда-
утверждающий, что вещественные когомологии G/U определяются локальными дан-
данными.
Предложение 27.2 выражает аналогичное явление для групп Ли.
В частности, оно объясняет, почему группы с одинаковыми группами Ф, т. е.
такие группы, диаграммы которых совпадают в окрестности начала коор-
координат, имеют одинаковые многочлены Пуанкаре для вещественных коэф-
коэффициентов (например, Sp (n) и SO Bn -f 1)).
Для изучения целочисленных когомологии с этой точки зрения нужно
было бы рассматривать всю диаграмму, а также единичную решетку, которая
позволяет различать локально изоморфные группы (см. [187], §4). Но зто
представляется трудной задачей, и я знаю лишь очень мало результатов в
этом круге идей.
Глава VII
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ КОГОМОЛОГИИ И КОГОМОЛОГИИ ПО МОДУЛЮ р
НЕКОТОРЫХ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ
Результаты настоящей главы весьма отрывочны и относятся по большей
части к случаю одинаковых рангов. Главным образом здесь устанавливаются
условия, достаточные для того, чтобы соотношения между когомологиями
по модулю р были аналогичны тем, которые описани в §26. В §31 эти резуль-
результаты применяются для изучения когомологии некоторых классических
однородных пространств.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 237
Обозначения. G — связная компактная группа Ли ранга I, U—
связная замкнутая подгруппа G, Т — максимальный тор G.
РР(Х, t) — многочлен Пуанкаре пространства X для когомологий над
полем характеристики р.
Н+(Х, А) — подалгебра, порожденная элементами положительных
степеней из Н(Х, А).
S(xlf ... , xk) — кольцо симметрических функций от х1( ... , xk с целыми
коэффициентами.
Qp (U, G) — как всегда, канонический гомоморфизм H(BG, Kp) в
H(BV, Кр), Ф% (G) — представление Ф в качестве группы автоморфизмов
Н(ВТ, Кр), определенное в § 27, IG — кольцо инвариантов <&UG).
§ 29. Факторпространство компактной группы по максимальному тору
Первой нашей задачей будет проверка того, что если G — простая клас-
классическая группа или группа, изоморфная G2, F4, и Г — максимальный
торб, то факторпространство GjT не имеет кручения*. Отсюда будет следо-
следовать, что GjT не имеет кручения и в том случае, когда G локально изоморфна
прямому произведению торов и простых групп указанных выше типов
(см. начало § 26). Что же касается пространств Et/T (i = 6, 7, 8), то о них я
ничего не знаю. Используемый здесь рекуррентный метод не позволяет в
настоящее время приступить к изучению этих пространств, потому что не
существует однородного пространства группы Еь целочисленные когомоло-
• гии которого были бы известны. На всякий случай укажем одно свойство,
общее пространству G/T и некоторым однородным пространствам группы
U(n), не имеющим кручения (ср. § 31, п. 1); однако мы не знаем, связано ли
оно с тем топологическим вопросом, которым мы занимаемся**.
Пространство GjT допускает структуру комплексного многообразия,
инвариантную относительно гомеоморфизмов из группы G.
Достаточно доказать это утверждение для полупростой группы G.
Немедленно проверяется, что GjT гомеоморфно факторпространству ком-
комплексной оболочки G по разрешимой подгруппе, алгебра Ли которой описана
Ивасава ([51], доказательство леммы 3.11, стр. 527—528; речь идет об алгебре./?).
Таким образом, GjT гомеоморфно факторпространству группы Ли с
комплексными параметрами по ее подгруппе в смысле структуры комплекс-
комплексной группы Ли. Отсюда следует наше утверждение.
Лемма 29.1. Пусть S — максимальный тор U. Если G/U и U/S' не
имеют р-кручения (соответственно кручения), то и G/S не имеет р-круче-
ния (соответственно кручения).
Алгебра HfU/S, R) совпадает со своей характеристической подалгеброй
(предложение 26.1). Значит U/S вполне негомологично нулю в G/S для
вещественных коэффициентов (следствие из предложения 18.3) и
Многочлен PP(G/S, t) мажорирует, конечно, P^G/S, t), но сам мажориру-
мажорируется многочленом Пуанкаре (для полной степени) члена Н2 спектральной
последовательности над К~ расслоения (GIS, GIU, UIS, р), равным
Pp(GlU,t)-Pp(UIS,t). Но
PpiG/U, f)-Pp(UIS, t) = P0(GIU, t).P0(UIS, 0 = P0(G/S, t),
согласно нашим предположениям. Таким образом, PP(GIS, t) = P^G/S, t)
и G/S не имеет /^кручения. Отсюда тотчас же вытекает и утверждение для Z.
Замечание. На самом деле предыдущее рассуждение доказывает
более общий результат. Если в расслоенном пространстве (X, Y, F, р) слой
• См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.
•• Эта связь выясняется в примечании 3, помешенном в конце статьи. — Прим. ред.

238 А. БОР ЕЛЬ
F вполне негомологичен нулю для вещественных коэффициентов и если
Y и F не имеют р-кручения, то и X не имеет р-кручения (в предположении,
что применима теория Лерэ, что группы целочисленных когомологий про-
пространств X, Y, F имеют конечный тип и что Н2 = H(Y, Kp) ® H(F, Kp)).
Лемма 29.2. Пусть G имеет ранг I, U — ранг I — 1, 5 есть
максимальный тор U и Г—максимальный mop G, содержащий 5.
Если GjS и U/S не имеют кручения, то и G/T не имеет кручения.
Пространство G/T всегда имеет четную размерность п (см., например,
[187], стр. 359) и ориентируемо. В силу двойственности, группы кручений
групп H\GJT, Z) и H\G/T, Z) изоморфны для г + / = п — 1. Значит, если
Tor H(G/7, Z)#0, то существует такой наименьший нечетный индекс /,
для которого Tor H3(G/7, Z)^0.
Можно предполагать, что Г Z) 5 и, следовательно, пространство Г/5
гомеоморфно окружности. Так как Г/5 не имеет кручения, то в спектральной
последовательности над Z расслоения (G/5, G/T, Г/5, р) имеем
Н2 = H{GjT, Z) <g> H(TjS, Z).
В слое есть только элементы степеней 0 и 1. Поэтому только d2 может быть
отличен от 0 и Я3 = Н^. Если х — образующий элемент H\TjS, Z) и если
у ?х) 1 = d2 A 0 х) (у е H%G/T, Z)), то образ р* изоморфен факторалгебре
H(G/T,Z)j(y) алгебры H(GJT, Z) по идеалу, порожденному у. В силу леммы
26.1 и предположения о минимальности /, имеем: Hk(G/T,Z) = О для нечет-
нечетных к < /. Значит,
(у) П НЩТ, Z) = О
и р* является мономорфизмом W(GjT, Z) в H(GJS, Z). Таким образом, GJS
имеет кручение, что противоречит нашему предположению. Значит,
Tor W(GIT, Z) = 0.
Предложение 29.1. Если G изоморфна классической группе или
одной из групп G2, F4, mo ее факторпространство по максимальному тору
не имеет кручения.
В этом доказательстве через Тп обозначается тор размерности п.
(a) G — U(n) или SU(n). Группа U(n) имеет ранг п. Для п = 1 • имеем
U(l) = T1 и доказывать нечего. Предположим, что предложение верно для
U(n). Тогда оно верно для l^nJxT1. Известно, что М{п-\-\)\М{п)уЛг есть
n-мерное проективное комплексное пространство. Так как оно не имеет кру-
кручения, то достаточно применить лемму 29.1.
Группа SD(n) имеет ранг п — 1 и SD(n)/Tn-1 = SD(n) х Т^Т" = U(n)/Tn
тоже не имеет кручения.
(b) G = Sp(n). Предложение верно для Sp(l)=SDB). Как и выше,
рассуждаем по индукции, используя тот факт, что Sp(n + l)/Sp(n)xSp(l)
есть n-мерное проективное кватернионное пространство, не имеющее кручения.
(c) G = SO(n). Группы SOBn) и S0Bn + 1) имеют ранг п. Предложение
верно для SOC)/T! = SDB)/T1 и SOD)/T2 = SO^/T1 x S0C)/T!. Далее
рассуждаем по индукции. Для перехода от SOBn) к SOBn + 1) замечаем,
что SOBn + l)/SOBn) = S,,n, и применяем лемму 29.1. Для перехода от
SOBn + 1) к SOBn + 2) " рассматриваем SOBn + 2)/SOBn + 1) = S2n+1.
Лемма 29.1 показывает, что SOBn + 2)/Тп, где Тп — максимальный тор
SOBn +1), не имеет кручения. Затем применяем лемму 29.2.
(d) Группа G = G2 имеет ранг 2. Применим лемму 29.1 к хорошо из-
известному расслоению G2/SDC) = S6 (чисто мнимые числа Кэли*) и к расслое-
расслоению SDC)/T2, приняв во внимание, что SDC)/T2 не имеет кручения.
* Числа Кэли, или октавы, представляют собой (неассоцнатнвную) алгебру ранга 8
над полем действительных чисел (см., например, [143], 20.5, нлн [87]). Группа G всех
автоморфизмов этой алгебры изоморфна Ga. Чисто мнимые числа Кэлн с нормой 1 обра-
образуют шестнмерную сферу S6. Группа G транзнтнвно действует на этой сфере, причем
стационарная подгруппа изоморфна SUC). — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 239
(е) G = F4. Пусть Spin(9) — универсальная накрывающая группы
S0(9). Тогда, в силу (с), Spin(9)/T4 = SO(9)/T* не имеет кручения. Простран-
Пространство F4/Spin(9), изученное Э. Картаном [69], является однородным про-
пространством ранга 1; это означает, что через две его точки проходит, вообще
говоря, только одна геодезическая (в римановой метрике, инвариантной
относительно F4). Множество тех точек, которые можно соединить с точкой
Р более чем одной геодезической (антиподное многообразие в смысле
Э. Картана), гомеоморфно S8. Значит, пространство F4/Spin (9) допускает
разбиение на две клетки: сферу S8 и открытый 16-мерный шар. Отсюда для
целочисленных когомологий F4/Spin(9) следует, что
Н° = Н* = Я16 = Z, Я' = О (I ф 0, 8, 16)
и, в частности, что Tor H(F4/Spin(9), Z) = 0. Итак, можно применить
лемму 29.1.
Предложение 29.2. (а) Если G и G/T не имеют р-кручения,
т0 Qp(T, G) есть мономорфизм. Алгебра ЩО/Т, Кр) изоморфна фактор-
алгебре Н(ВТ, Кр) по идеалу, порожденному Qp\H+{BG, Kp)), и совпадает
со своей характеристической подалгеброй. Образ QP(T, G) равен IG 0 Кр.
(Ь) Если G uGjT не имеют кручения, то аналогичное предложение имеет
место для целых коэффициентов.
(a) H(BG, Кр) есть алгебра многочленов от I переменных, имеющих
четные степени (предложение 7.2 и теорема 19.1). Лемма 26.1 и предполо-
предположение показывают, что H'(GjT, Кр) = 0, если i нечетно. Значит, спектраль-
спектральная последовательность теоремы 22.2, ведущая от HS=H(BG, Kp)®H{GjT,Kp)
к Н(ВТ, Кр), тривиальна. Из предложения 4.1 следует (а), за исклю-
исключением последнего утверждения.
Теорема 19.1 показывает, что H(BG,R) и H(BG, Kp) имеют одинако-
одинаковые ряды Пуанкаре. Значит, H(BG, Z) не имеет р-кручения (потому что
Н(В(п, G), Z) Конечного типа; ср. доказательство теоремы 19.1) и H(BG, Кр) =
= H(BG, Z) 0 К р. Так как образ el(T, G) содержится, очевидно, в /G,
то образ Qp(T, G) содержится в IG 0 Кр.
Пусть /? = Н\ВТ, Z) f] IG. Так как Н\ВТ, Z) — свободная группа,
то 1% есть прямое слагаемое в Н\ВТ, Z). Значит, число sk элементов базиса
группы IG равно размерности /&(§> КраН(Вт, Кр) или размерности IG<g)Rc:
С Н(ВТ, R). Так как пространство Io<g)R есть множество инвариантов
Фн(б), содержащихся в Н\ВТ, R) = Hk(BT, ZH/?, то его размерность, в
силу предложения 27.1, равна размерности Hk(BG, R). Итак, мы получили,
что
sk = dim 1\ 0 Кр = dim 1% 0 R = dim H\BG, R) = dim H\BG, Kp).
Значит, sh равно размерности образа H\BG, Kp) при гомоморфизме QP(T, G),
являющемся, по доказанному, мономорфизмом, откуда
IG ® Кр = Q*p(T, G) (H(BG, Kp)),
так как левый член содержит правый.
(b) Если G не имеет кручения, то H(BG, Z) также не имеет кручения
(теорема 19.1), а если, кроме того,G/T не имеет кручения,тоH2=H(BG, ZH
0 H(GjT, Z) изоморфна Ято в спектральной последовательности расслое-
расслоения (Вг, BG, G/T, р) (все степени четны). Отсюда вытекает (Ь), за исклю-
исключением равенства IG = Qz(H(BG, Z)).
Правая часть этого равенства во всяком случае содержится в левой
и, так как IG — прямое слагаемое в Н(ВТ, Z), можно найти такой базис
иг, ..., иг, vlt ..., vt в Н\ВТ, Z), что uv ..., us есть базис 1% и что miui
(тг целые) образуют базис 0г{Н\Ва, Z)). Но, в силу (а), имеем
1% 0 Кр = Q*p(H\BG, Кр)) = Q*z(H\BG, Z)) 0 Кр (р любое),
откуда видно, что тг = ± 1 (i: = 1, ..., s) и что lG = qz (H(Bg, Z)).

240 А. БОР ЕЛЬ
Примеры. 1. G = Щп) и О(п)/Т не имеют кручения, Ф есть группа
перестановок х1г ..., х„ (базис ЯхG\ Z) или H\Bui:n), z)), 1g — кольцо
симметрических функций от х1} ..., х„ (если рассматривать их как элементы
H(Bv(n)> Z)t T0 нужно, конечно, приписать переменным х4 степень 2).
2. G = Sp(n) и Sp(n)/T не имеют кручения, Ф есть группа, порожден-
порожденная перестановками хъ ..., х„ и произвольными переменами знаков, IG —
кольцо симметрических функций от х?, ..., х|.
3. G = S0Bn + 1) не имеет р-кручения для р э= 3 (предложение 10.4)
и S0Bn + 1)/Г не имеет кручения. Группа Ф — та же, что и для Sp(n).
Значит, если р > 2, то qI отождествляет H(BSW!in+1), Ко) с алгеброй
симметрических функций от х\, ..., х?, содержащихся в fL, [xv ..., х„].
4. G = S0Bn) не имеет р-кручения для рэ=3 и SOBn)/T не имеет
кручения. Группа Ф порождена перестановками xlf ..., х„ и переменами
знаков у четного числа символов. Кольцо /so(an) порождено (п — 1) пер-
первыми элементарными симметрическими функциями от х|, ..., хД и одно-
одночленом хг ..., xn; el отождествляет ЩВтBп), Кр), с /soBn) <g) Кр (р > 2).
Замечания. 1. Пусть а^х^ ... , х„) — i-я элементарная симметри-
симметрическая функция от х1г ... хп. Из примера 1 вытекает, что класс Чженя C2i
степени 2/ комплексного многообразия Грассмана отождествляется с ±ег{ +
+ P(ov ..., оч-i)- В последующей работе Серра и автора* будет показано,
что C2i = erf (при подходящем выборе базиса в НЦ1\ Z)).
2. Предположение, что G не имеет р-кручения, не излишне в вышеизло-
вышеизложенном. Например, отображение Qt(T, SO(n)) не взаимно однозначно,
потому что Я(В8О(п), К2) содержит элементы нечетных степеней
(предложение 23.1). Спектральная последовательность расслоения
(Вт, Bgo(n), S0(n)/T, p) над К2 нетривиальна, ибо в противном случае
мы имели бы Po(fiso(nb 0 = ра(вЖп)>') и Н($О(п)/Т, Kz) не была бы равна
характеристической подалгебре.
3. Даже если G и G/T не имеют кручения, то IG (g) Kp не обязательно
содержит все инварианты Ф%. Например, для Sp(n) инварианты Ф\ суть
симметрические функции от xlt ..., хп, тогда как lG <8> ^г есть множество
симметрических функций от х\, ..., х?. Это означает, что пространство эле-
элементов H(Sp(n)jT, Кг), инвариантных относительно Ф, имеет размерность > 1
(см. доказательство предложения 27.1).
Предложение 29.3. Пусть (X, Y, G, р) — связное а локально связ-
связное компактное главное расслоенное пространство. Если G и GjT не имеют
р-кручения (соответственно кручения), то G/T вполне негомологично нулю
по модулю р (соответственно для целых коэффициентов) в XJT.
Если Y и Х/Т имеют целочисленные когомологии конечного типа, то
они одновременно имеют или не имеют р-кручения (соответственно круче-
кручения).
Это вытекает из следствия предложения 18.3 и из предложения 29.2.
Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно сравнить многочлены
Пуанкаре пространств Y, Х/Т для характеристик 0 и р.
§ 30. Факторпространство группы по подгруппе максимального ранга
Предложение 30.1. Пусть U — подгруппа группы G, имеющая
тот же ранг, что G, а Т — их общий максимальный тор.
Если GjT, U, U/T не имеют р-кручения (соответственно кручения),
то G/U не имеет р-кручения (соответственно кручения).
Для доказательства нужно применить предложение 29.3 к расслое-
расслоению (G, G/U, U, р) (заменяя X на G, a G на U).
В формулировке этого предложения ничего не говорится о кручении
* См. [V]. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 241
группы G. Поэтому, принимая во внимание предложение 29.1, можно ска-
сказать, что, вообще говоря, G/U не имеет р-кручения, когда U не имеет р-кру-
чения и когда rang U = rang G. Эти два предположения не являются излиш-
излишними, как показывают примеры SpB)/Sp(l) — V5>2 и G2/SOD) (о последнем
пространстве см. [13]).
Предложение 30.2. Пусть U — подгруппа группы G, имеющая
тот же ранг, что G, а Т — их общий максимальный тор.
Если G, U, G/T и U/T не имеют р-кручения (соответственно кручения),
то QP(U, G) (соответственно qz (U, G)) есть мономорфизм и алгебра НF/и, Кр)
(соответственно H(GjU,Z)) изоморфна факторалгебре H(BV, Кр) (соот-
(соответственно H(BV, Z)) по идеалу, порожденному Qp(H+(BG, Кр)) (соот-
(соответственно Q%H+(BG, Z)), и равна своей характеристической подалгебре.
В силу теоремы 19.1, формулы Хирша (теорема 26.1) и предложения
30.1, ненулевые элементы алгебр H(BG, Кр) и H(GIU, Кр) могут иметь лишь
четные степени. Значит, спектральная последовательность над Кр расслое-
расслоения (Bv, BG, GjU, p) тривиальна. Применяя предложение 4.1, получаем
наше предложение для /С. Аналогично проводится доказательство для
целочисленных когомологии.
С помощью следствия из предложения 18.3 можно вывести отсюда пред-
предложение 30.3, которое обобщает предложение 29.3 и, по крайней мере для
связной U, теорему 2.2с из [85]22.
Предложение 30.3. Пусть (X, Y, G, р) — связное и локально связ-
связное компактное главное расслоенное пространство. Если G, U, G/T и U/T
не имеют р-кручения (соответственно кручения), то G/U вполне негомо-
негомологично нулю шпо модулю р (соответственно для целочисленных когомологии)
в X/U.
Если Y и X/U имеют целочисленные когомологии конечного типа, то
они одновременно имеют или не имеют р-кручения (соответственно круче-
кручения).
§ 31. Изучение некоторых частных случаев
В последующих формулировках мы приписываем переменным xv ..., х„
степень 2.
Пространства
Щп1г..., nk)=U(n)/U(nJ х ... х U(nk) (nx + ...+ nh = п). C1.1)
Точкой пространства W(n1, ... , nh) является набор подпространств прост-
пространства Сп, вложенных друг в друга, первое из которых имеет размерность
п1? второе — размерность пх + щ, ..., (к — 1)-е — размерность пх + Щ +
+ ... + пк_х. При к —2 получаются комплексные многообразия Грассмана.
Многообразие W(n1,.. .,nk) является факторпространством GjU, где rang G=
= rang U и где G, U, G/T и U/T не имеют кручения (предложения 9.1
и 29.1). Поэтому из предложения 30.2 вытекает предложение 31.1, которое
с аддитивной точки зрения было впервые доказано Эресманом [195].
Предложение 31.1. Многообразие Vf(nv ... , nh) не имеет кру-
кручения, и его многочлен Пуанкаре по модулю р выражается формулой Хирша.
Алгебра Н(W (nv ..., nh), Z) изоморфна факторалгебре
S (Xv . . ., Xn,) ® 5(Xni+1,. . ., Хщ+п,) ® • • • (^) S(Xni+... +п*_,+1) • • •, Xn)
no идеалу, порожденному S+(xly ..., х„).
Пространства
K(nv ..., nk) = Sp(/z)/Sp(/21) x ... X Spfab) (nx+ ...+ nh = n). C1.2)
aa Ьама эта теорема вытекает из теоремы 26.1 (Ь) и из следствия предложения 18.3.
16 Расслоенные пространства

242 А. БОР ЕЛЬ
Это — кватернионный аналог пространств W(nlf ..., nh), и можно вновь
применить предложение 30.2. Получим предыдущее предложение, в кото-
котором W(n1, ..., nk) заменено на Щщ, ..., nk) и х* на х?.
Пространства
Fn = 8OBn)/U(n). C1.3)
Как известно, это многообразие играет важную роль при изучении почти
комплексных структур на дифференцируемых многообразиях (см. [200],
пп. 8, 9, 10; [143], п. 41). Это—факторпространство G/U, где rangG = rang U —
= п и где U, G/T и UjT не имеют кручения. Поэтому, в силу предложения
30.1, Fn не имеет кручения. Формула Хирша показывает, что с аддитивной
точки зрения Fn имеет такие же целочисленные когомологии, как и
52 X S4 X ... X S2n_2
(это — результат Эресмана [195]). Это утверждение можно также доказать
прямой индукцией по п, рассматривая спектральную последовательность
расслоения
(*п> S2n_2, rn_j, р)
(см. [200], [143]), которая тривиальна (все степени четны).
С мультипликативной точки зрения следует различать два случая.
Если рФ2, то SOBn) не имеет р-кручения и применимо предложение
30.2. Если р — 2, то рассмотрим спектральную последовательность над
К2 расслоения (S0Bn), Fn, U(n), р). Член Я2 = H(Fn, Kz) <g> ЩЩп), К2)
этой последовательности имеет по полной степени такой же многочлен
Пуанкаре, как многообразие Sx х S2 х ... х S2n_2 x S2n_1. Но тот же много-
многочлен Пуанкаре имеет и SOBn) (предложение 10.3), а значит, и Н^. Следо-
Следовательно, спектральная последовательность тривиальна и О(п) вполне не-
негомологична нулю в SOBn) по модулю 2, а р* есть мономорфизм. Исполь-
Используя § 21, получаем окончательно
Предложение 31.2. Многообразие Fn = SOBn)/U(n) не имеет
кручения и с аддитивной точки зрения имеет те же целочисленные когомо-
когомологии, что S» х S4 X ... х S2n_2.
Если рф2, то Н(?п, Кр) совпадает со своей характеристической подал-
подалгеброй и изоморфна факторалгебре 5(х1; ..., хп) по идеалу, порожденному
п—1 первыми элементарными симметрическими функциями от х\, ..., х%
и одночленом хг ... хп.
Группа U(n) вполне негомологична нулю по модулю 2 в SOBn). Гомо-
Гомоморфизм р* изоморфно отображает H(Fn, Кг) на подалгебру H(SOBn), Кг),
порожденную примитивными элементами степеней 2, 4, ..., 2п — 2.
Замечание. Согласно предложению 20.2, примитивные элементы
Н(Щп), К2) суть образы примитивных элементов степеней 1,3 2п— 1
алгебры Н(Щ2п), К2) при гомоморфизме г*: H(SO Bn), К2) -> ЩЩп), Кг).
Поэтому формула A0.6) для S<p в H(SOBn), К,,), которая верна для уни-
универсально трансгрессивных (а значит, примитивных, в силу предложения
21.1) образующих Л,, позволяет определить 5^' для Щп) и Fn.
Пространства
Xn = UBn)/Sp(n). C1.4)
Эти многообразия играют роль Fn при изучении почти кватёрнионных
структур на комплексных аналитических многообразиях ([200], п. 11).
Предложение 31.3. Группа Sp(n) вполне негомологична нулю в
UBn) для целочисленных когомологии.
Мономорфизм р* : Н(Хп, Z) -> Н(Щ2п), Z) отображает Я(Х„, Z) =
= H(S1 х S5 х ... х S4n-3, Z) на некоторую подалгебру, порожденную при-
примитивными элементами. '

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 243
В силу предложений 4.1 и 21.1, достаточно доказать первое утверж-
утверждение. Для этого заметим, что если Т" с Т2" — максимальные торы Sp(n)
и DBn), то Qz(J", T2n) индуцирует эпиморфизм IVBn) на /Sp <n) (предло-
(предложение 23.1, следствие, и § 28).
Пусть (sx sn, s[, ..., sA) и (Ul un) — базисы Я/Г2", Z) и Я/Г", Z),
а (х1( ..., хп, х[, ..., Хп) и (уг У„) — двойственные базисы Н\Т2п, Z)
и Я^Т", Z). Используя факты, изложенные в [187], §3, легко видеть, что
/uBn)= S(XV ...,ХП,Х[,...,Х'П)\ /Sp(n) = S(yf,. . ., у2)
и что вложение z определено формулой i(Uj) = s3- — s- (/ = 1, ..., п). Двойст-
Двойственная формула имеет вид i*(Xj) — i*{— х\) = у3- (/ = 1, ..., п). Образ
многочлена от хх> ..., х^ при еКт". Т2п) получается поэтому путем замены
х^ и — x'j на у,-. Теперь ясно, что образом /иB„) является 1$в(пу
Замечание. Универсально трансгрессивные элементы H(Sp(n), Z)
суть образы универсально трансгрессивных элементов #(UBn), Z^ при гомо-
гомоморфизме, порожденном вложением (предложения 21.1 и 21.2). Поэтому
приведенные р-степени Я(ХП, Кр) и H(Sp(n), Kp) вполне определяются
р-степенями Н(Щ2п), Кр) (по поводу последних см. [23]).
Пространства
Yn = U(n)/SO(n). C1.5)
Мы изучим здесь когомологии этих пространств по модулю р для
р#2.
Предложение 31.4. Пусть рф2. Тогда U(n)/SO(n) не имеет
р-кручения. Группа SOBA: + 0 вполне негомологична нулю по модулю р
в Xi{2k + 1) и
Н(Уы+1> Кр) = (//Si X S5 X ... X S^+j, Кр).
Кроме того,
ЩЧы, Кр) = HiS, х S5 X ... X S4ft_3xS2ft, Кр).
Для рф2 группа SO(n) не имеет р-кручения (предложение 10.4) и
Я(В80(п), Кр) отождествляется с /^(„j 0 Кр (предложения 29.1 и 29.2).
То же заключение верно и для U(n).
Вычисления, относящиеся к случаю п = 2к + 1, будут практически
те же, что в предыдущем примере. Пусть TftcT2fe+1 — максимальные торы
SOBk +1) и UBk + 1). Возьмем такие базисы {s0, sv ...., sk, s[, ..., si)
и (ux uh) групп Hx{Tih+\ Z) и Hx{Th, Z), что i(s0) = О, Щ) =.- Sj — s'j.
Пусть (x0, xv ... , xh, х[, ... , x^) и (у,, —, yk) — двойственные базисы
tfi(T2ft+\Z) и Hi(Tft,Z). Имеем
., xft, xi,..., Xft) 0 /Cp,
= S(y\ yl)®Kv.
Так как r*(x0) =0, i*(x,)"= i*( — xj) = y3- (/ = 1, ..., к), то образ /D(lk+1) (g)
(g)/Cp при eJ(Tft, T2ft+i:) совпадает с /§о (гь+и <8» Кр. Вместе со сделанными
отождествлениями это показывает, что e?(S0B/c + 1), UB/c + 1)) есть
эпиморфизм, т. е. что SOBfc + 1) вполне негомологична нулю в UB/c + 1)
по модулю р (предложение 21.3). Так как мы имеем дело с внешними алгеб-
алгебрами, то H(UBk +1), Кр) аддитивно и мультипликативно изоморфна
Н(УК) <S H(SOBk 1), К) ф Y
(( ), р)
+1р) <S> H(SOBk + 1), Кр), что и дает нам формулу для Y,ft+1.
Пусть теперь п = 2/с четно, Т^сТ2*—максимальные торы и (х1; ..., xhr
Xi, ..., xi) и (у1? ...,yk) — такие базисы Я^Т2*, /С?) и Hi(Tft, /Cp), что
г*(х,)==/*(—х3!) = у}- (/= 1, ..., /с). Тогда AjBfc)<8>Kp имеет в качестве
образующих 2к элементарных симметрических функций от ха, ..., x'h, a
1тст®Кр— к—1 элементарных симметрических функций аК{у\, ...,yf)
16' - о

244 А. БОР ЕЛЬ
(i:= 1, ..., к— 1) и одночлен уг ... yh. Легко получаем, что
е;Ыхх,..., xk)) = О (f = 1, 3, 5,..., 2к — 1),
C1.6)
e%au(xv..., х$) = (-\уOi(yi...,yi) (/= l,...,&),
где qt, в силу сделанных отождествлений, можно рассматривать и как
Й(Т\ Т2*) и как ^(SOBk), Щ2к)).
Алгебра H(VBk), Кр) имеет систему универсально трансгрессивных
образующих, которые мы обозначим здесь через хх, xs, ... , x^-i (Dxt = 0-
Рассмотрим теперь спектральную последовательность предложения 22.1 над
Кр. Имеем
Я2 = Н(Вт2к), Кр) (g> ЩЩ2к), Кр).
Кроме того, в силу C1.6),
di+1 *?+1A <g> хд = 0 (г = 1, 5, 9,..., 4/с - 3),
di+iИ+iO ®хг) = (-1)'»$+1(oftl..., yj)) (i = 4/- 1; /= 1,2,..., &-1),
X4ft_x) = (-l)ft «b (yf,..., yf).
Спектральная последовательность вычисляется теперь немедленно. Обнару-
Обнаруживается, что Htk+1 — Яет и что
(^ft = ух ... yft, Р' — пространство, натянутое на xlf хъ, ... , х^-з)- Итак,
алгебра Яет имеет простую систему образующих степеней 1, 5, ... , 4/с — 3
и 2к. Значит, то же верно и для H(Y2h, Kp) (предложение 8.1). Образующие
с нечетными степенями обязательно имеют нулевые квадраты (р ^ 2). Алгебра
KplQkiKQk) канонически отождествляется с подалгеброй алгебры H(Yih, Kp),
потому что она состоит из элементов, степени которых по слою равны 0
(ср. § 4). Стало быть, образующий элемент степени 2fc можно взять из этой
алгебры и его квадрат равен 0. Это доказывает формулу, относящуюся к
#(Ygft, Кр). Наконец H(Yn, Ко) и Я(?п, Кр) (р Ф 2) имеют одинаковые много-
многочлены Пуанкаре, и Yn не имеет р-кручения. Значит, приведенные р-степени
(р нечетно) в UBfc -f- 1) определяют р-степени в SOBfc+l) (формулы те же,
что и для Sp(/c)). Так как H(Y2k, Kp) известна, то легко вычислить спектраль-
спектральную последовательность над ~КР расслоения (OBfc), Y2ft, SOBfe), p). Из этого
вычисления видно, что образ i*: Н(Щ2к), Кр) -*¦ H(SOBk), Kp) есть подал-
подалгебра, порожденная универсально трансгрессивными элементами степеней
3, 7 4/с — 5. Таким образом, р-степени этих элементов определены.
Этого достаточно для того, чтобы знать р-степени в S0B/c) (p Ф 2). Последний
образующий элемент W(SOBfc), Кр), имеющий степень 2к—1, не связан с
остальными при помощи этих когомологических операций, как мы покажем
в последующей работе*.
Результаты по модулю 2 значительно отличаются от предложения
31.4. В ближайшей работе* будет вычислен многочлен Пуанкаре U(n)/0(n)
по модулю 2, равный многочлену Пуанкаре S] X S2 X ... х Sn. Будут вычис-
вычислены также когомологии по модулю 2 пространств
G(nlf ...,пк) = О(л)/О(лх) ^< О(л2) х ... х О(я0 (п1 + ...+ пк = п),
являющихся вещественными аналогами пространств W(nx, ... , пк), с адди-
аддитивной точки зрения изученных Эресманом [196]. Будет показано, что
H(Q(nv ..., nh), К2) изоморфна Н(Щпь ..., пь), К„), причем изоморфизм
удваивает степени.
• См. [VI]. — Прим. ред.

О КОГОМОЛОГИЯХ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕННЫХ ПРОСТРАНСТВ 245
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
1 (к стр. 192). Доказательство. Представим Vn,a как пространство единич-
единичных касательных векторов к сфере Sn_j, заданной в R уравнением xj + . . . + xj = I»
сопоставив каждой ортонормироваиной паре (и, v) векторов fC1 точку Sn_j, определяемую
вектором и, и касательный вектор в этой точке, равный V. Отображение р: Vn,a -* Sn-i>
сопоставляющее каждому касательному вектору точку его приложения, превращает
Vn,s в расслоение (Vn,s, Sn_i, Sn_s, p), являющееся частным случаем общего расслоения
пространства Vn>g (см. [IV]). Если п = 2к четно, то иа Sn_i существует непрерывное
поле единичных касательных векторов и(х) (X 6 Sn_j; положим, например, и{х1 хп) =
= (ха> — хъ Х«, —х3 xaft, — х&_г). Пусть т° — одни из векторов ц(х„), т™" — сово-
совокупность всех остальных векторов этого поля, тп~а— совокупность всех единичных каса-
касательных векторов в точке х*,, кроме Ufo), и тап~8= У„,2\(т° U тп~а U тп-1). Разбиение
Vn,a = T°UTn""sUTn-1Ur2n~s есть клеточный комплекс (см. [10], §§ 2,3 )и клетки т°, тп~а
составляют клеточный комплекс слоя Sn_a = Р~1(х0). Пусть tn~a — коцепь Vn,a. равная
1 иа тп~а. Вследствие непрерывности поля коэффициент инцидентности [тп-1: тп~~2] равен
нулю, так что йп~а = 0. и tn~* есть коцикл; индуцированный им класс когомологий слоя
совпадает с основным классом когомологий сферы Sn_a. Значит, слой нашего расслоения
вполне иегомологичен нулю в Vn>2. В силу предложения 4.1 спектральная последователь-
последовательность нашего расслоения над Z тривиальна и Нте= Н(Ъп_г х Sn_a, Z). Из предложения 8.1(С)
следует теперь утверждение для четного п. При нечетном п разобьем опять совокупность
всех единичных касательных векторов в точке х0 на две клетки т°, т"~а. Пусть Т — гипер-
гиперплоскость, касающаяся сферы в точке —х0. Перенеся некоторый вектор е Т параллельно
вовсе точки Т, получим в Т векторное поле. С помощью стереографической проекции сферы
Sn-i из точки х0 на Т это поле переносится иа Sn_! и при подходящей нормировке образует
непрерывное поле единичных касательных векторов иа Sn_1\{x0}. Обозначим последнее
через тп-i и положим т2"""8 =УП8\(т°11тп~811тп-1). Очевидно, Vn,2=T°UTn~8UTn~1UT2n~s
есть клеточный комплекс и [тп~': тп~2] = 2 при подходящем выборе ориентации клеток.
Пусть И— коцепь, равная 1 на т»; тогда St° = at™-1 = 3fan-s=0, at"-* = 2tn~l. Отсюда
следуют утверждение для нечетного п и формула A0.5). Если кольцом коэффициентов
является К.ъ, то Ып~г = 0 и, рассуждая как в случае четного п, получим A0.4).
2 (к стр. 227). Наметим главные черты доказательства этого факта. Пусть В—диффе-
В—дифференциальная градуированная алгебра всех (бесконечно дифференцируемых) дифферен-
дифференциальных форм на (бесконечно дифференцируемом) многообразии М. Обозначим через
Rx касательное пространство к многообразию М в точке х. Дифференциальную форму
? степени к можно истолковать как функцию ?x(u, Uft) точки хеМ и векторов
Щ, . . . , Uft из Rx, являющуюся при фиксированном X fc-линейной кососимметрической
формой относительно щ Uft. Пусть g—бесконечно дифференцируемое преобразование
М. Обозначим через g индуцированноеg отображение касательных пространств Rx-*- Rgx-
Формула
определяет дифференциальную форму г\, которая обозначается через g* |. Преобразо-
Преобразование g* является эндоморфизмом дифференциальной градуированной алгебры В. Более
того, можно показать, что если преобразование g гомотопно тождественному, то существует
линейный оператор ft в пространстве В, увеличивающий степени на 1 и такой, что
g*f —I = dj8f+ /8d|. (**)
Предположим теперь, что иа М действует слева связная компактная группа Ли G. Исполь-
Используя инвариантное интегрирование на группе, построим оператор /f= fg*!rfg,
отображающий алгебру В на подалгебру В' всех дифференциальных форм, инва-
инвариантных относительно G (т. е. таких, что g* ? = | для всех g e G). Каждому g e G соот-
соответствует оператор /? = f}g, удовлетворяющий (* *). Этот оператор определен неодно-
неоднозначно. Однако его можно^выбрать так, чтобы функция Pg(geG) была кусочно непрерывной
(т. е. всю группу в можно разбить на конечное число множеств, иа каждом из которых
Рд непрерывна). При таком выборе Рд можно построить оператор ? /Й-= j Pg?dg, причем
G
Из формулы (* * *) следует, что если форма ? есть коцикл, то Л когомологична |. Поэтому
каждый класс когомологий В содержит элемент из В'. Далее, нз (* * *) видно, что /d| =
= dl I. Поэтому, если r\ = d|, причем г\ е В', | е В, то ц = / ц = I dS = dl?. Следовательно,
форма из В' когомологична нулю в В тогда и только тогда, когда она когомологична
нулю в В'. Если группа G действует на Мтранзитивно, то, как это видно из (*), инвариант-
инвариантная форма однозначно определяется свонм значением в одной фиксированной точке х е М.
Однородное пространство М с группой преобразований G называется симметри-
симметрическим пространством, если для некоторой точки х определено отображением: М-+М

246 А. БОР ЕЛЬ
(«отражение в точке х»), удовлетворяющее следующим условиям: 1) для всякого g e G
(jg(j"eG; 2)<jx=x, аи = —и для всякого ueRx. Из требования 1) вытекает, что
а*(В')С В', и из (*) и 2) следует, что если г\ — <т*|, то
Jfc.("i>- • •. «ft) ='Jx(Z> «1,- • м1» "ft) = (— l)ft-f («i.- • -, «ft)-
Из совпадения форм ??и(—l)ftf в точке х и их инвариантности отиосительиотранзитивной
группы G вытекает, что «= (—1)*|, т. е. а*(= (—1)л? f. Если D$ — к, to Dd(= k+ \
и из соотношения do*?= a* df следует, что d((—l)ft|)=(—l)ft+i I,. откуда df = 0.
Итак, дифференциал d равен нулю на алгебре В'. Отсюда вытекает, что каждый класс
когомологий В содержит ровно одну форму из В'. Если отражение а входит в (связную)
группу G, то для любого коцикла | из В, в силу (***), имеем ст*| = ? + d /9 f.Следовательно,
(—l)D( | когомологично | и, если D! нечетно, f когомологично нулю. Итак, в случае,
когда а е G, все нечетномерные числа Бетти многообразия М равны нулю. Это замечание
используется при доказательстве леммы 26.1.
3 (к стр. 237). В настоящее время доказано отсутствие кручения для любого прост-
пространства О/Т, где О — компактная группа Ли и Т — ее максимальный тор. Известно два
общих метода для доказательства этой теоремы (каждый из этих методов попутно дает-
доказательство леммы 26.1).
Первый метод (Борель [21]; доказательства лишь намечены), основан на
представлении G/T в виде факторпространства комплексной оболочки К груп-
группы G по ее максимальной разрешимой подгруппе L. (Более подробно группы К и L можно
описать следующим образом. Рассмотрим алгебру Ли G, соответствующую группе О.
Обозначим через К ее комплексную оболочку, т. е. множество элементов вида
х + iy (x, yeG) с естественными операциями. Односвязная группа Ли, соответствующая К, и
есть группа К. Пусть далее Н — какая-нибудь картановская подалгебра алгебры К и L
— минимальная подалгебра, содержащая Н и все корневые векторы 1а, отвечающие положи-
положительным корням а. Подгруппа группы К, соответствующая L, и есть максимальная раз-
разрешимая подгруппа L. Группа К. а следовательно, и ее подгруппа L действуют слева
в пространстве левых смежных классов K/L. Оказывается, что пространство K/L распа-
распадается на конечное число классов транзитивности М1(..., Мт относительно группы пре-
преобразований L. Каждая из «ячеек» Мъ . . . , Мг гомеоморфна (и даже бирационально и
бирегулярно эквивалентна) некоторому комплексному аффинному пространству и ее
теоретико-множественная граница составлена из ячеек меньшего числа измерений, вхо-
входящих в систему Мц ..., Мг. Таким образом, получается клеточное разбиение пространства
K/L, составленное из клеток четной размерности. Следовательно, каждая из этих клеток
представляет собой цикл и эти циклы образуют базис группы целочисленных гомологии
K/L (а значит, и G/T). Отсюда видно, чтоО/Т не имеет кручения и нечетиомерные числа
Бетти равны нулю.
Другой метод (Ботт [25]) основан на использовании теории Морса
(см. [98], а также [49]). Пусть М — компактное риманово многообразие и /—дважды
непрерывно дифференцируемая функция на М . Точка х,еМ называется стационарной
для /, если в этой точке обращается в нуль первый дифференциал df = ~^-^dXK Ста-
¦*¦• 0ЭС1
ционарная точка называется невырожденной точкой индекса к, если'второй дифференциал
<'2/== S л л ¦ dxidxJB точке х„ есть невырожденная квадратичная форма, каноничес-
кий вид которой содержит ровное/с квадратов с отрицательными коэффициентами. Пред-
Предположим, что / имеет лишь конечное число стационарных точек, причем все эти точки
невырождены. Тогда число стационарных точек" с индексом к называется fc-мерным типо-
типовым числом многообразия М. Из теории Морса вытекает, что если все нечетиомерные
типовые числа для некоторой функции / равны нулю, то многообразие М не имеет кру-
кручения и все типовые числа равны соответствующим числам Бетти (в частности, все нечет-
нечетномерные числа Бетти равны нулю).
Эта теория применяется к следующей функции / на многообразии G/T. Рассматри-
Рассматривается присоединенное представление p(g) группы G(p(g) есть автоморфизм алгебры
Ли G, индуцированный внутренним автоморфизмом группы G, соответствующим эле-
элементу g). В подалгебре Т, отвечающей подгруппе Т, выбираются какие-нибудь два регуляр-
регулярных элемента ха и у„. Пусть g= gT(geG). Полагаем /(g) = Q(p(g) x0 — yo)(Q—инвари-
yo)(Q—инвариантная квадратичная форма Картана в алгебре G). Поскольку для f е Г p(i)x0 = х„,
функция / не зависит от выбора представителя из левого смежного класса g.
Доказывается, что левые смежные классы Nno T (N—нормализатор Тв G) суть единствен-
единственные стационарные точки функции /. Все эти точки невырождены, и индекс пТ (п 6 N)
равен удвоенному числу сингулярных гиперплоскостей, которые пересекаются отрезком,
соединяющим у с р(п)х0. Отсюда следует, что нечетномерные типовые числа G/T равны
нулю, и, следовательно, G/T не имеет кручения и его нечетномерные числа Бетти равны
нулю.

V. ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА*
АРМ АН БОРЕЛЬ И ЖАН-ПЬЕР СЕРР
Введение
Стинродом были определены новые когомологические операции — при-
приведенные степени, обобщающие его r-квадраты. В настоящей работе мы
изучаем эти операции в алгебрах когомологий по модулю р (р — простое
число) групп Ли и их классифицирующих пространств. Полученные результаты
применяются к решению некоторых топологических задач.
Для удобства читателя в первой главе мы напоминаем с некоторыми
дополнениями все основные результаты относительно групп Ли и их класси-
классифицирующих пространств, которые нам понадобятся в дальнейшем. Вторая
глава посвящена приведенным степеням, свойства которых излагаются в п. 7.
Мы не повторяем здесь их конструктивного определения, так как оно нам не
понадобится. В этой главе мы вычисляем приведенные степени в комплексных
и кватернионных проективных пространствах, что позволяет нам получить,
следуя методу Стинрода, некоторые сведения о гомотопических группах сфер.
В третьей главе мы применяем результаты первых двух глав к изучению
приведенных степеней в алгебрах когомологий H*(G,Zp) и H*(BG,ZP) неко-
некоторой компактной связной группы Ли G и ее классифицирующего простран-
пространства BG, в случае когда группа G и ее факторпространство GjT no макси-
максимальному тору не имеют р-кручения1. В этом случае алгебру H*(BG, Zp) мож-
можно рассматривать как подалгебру алгебры Н*(ВТ, Zp). С другой стороны,
алгебра Н*(ВТ, Zp) порождается элементами второй степени (пространство
Вт можно при желании рассматривать даже как произведение комплексных
проективных пространств), а приведенные степени в таких алгебрах вычислены
в гл. II. Это позволяет, по крайней мере в принципе, вычислить приведенные
степени в алгебре H*(BG, Zp), а следовательно, и в алгебре H*(G, Zp), так
как при сделанных предположениях алгебра H*(BG, Zp) является алгеброй
многочленов, образующие которой суть образы при трансгрессии образу-
образующих алгебры H*(G, Zp) (являющейся внешней алгеброй), а трансгрессия
перестановочна с приведенными степенями. Этот общий метод применяется
к унитарной группе Щп), унитарной симплектической группе Sp(rc) при
произвольном (простом) р и к ортогональной группе SO(n) при рФ-Ъ. В
применении к классифицирующим пространствам этот метод дает среди дру-
других результатов также некоторые результаты, касающиеся классов Чженя**.
Четвертая глава посвящена приложениям. В п. 15 показывается, что
на сфере Sn (п =з= 8) нельзя ввести никакого квазикомплексного строения и
что в некотором классе алгебр с делением не существует алгебр, размерности
которых больше 8. В п. 17 показано, что некоторые расслоения (например,
расслоения U(n)/U(n—1) = S^-i) не имеют сечений. Отсюда выводятся
некоторые факты относительно гомотопических групп классических групп,
которым посвящены также пп. 18 и 19. Наконец, в п. 20 получены необходи-
необходимые условия существования сечений в расслоениях, для которых простран-
пространство, база и слой являются комплексными многообразиями Штифеля.
* В orel A. et Serre J. -P., Groupes de Lie et puissances reduites de Steenrod,
Amer. J. Math., 75 A953), 409—448.
1 Говорят, что пространство имеет р-кручение (р — простое число), если хотя
бы один коэффициент кручения его групп целочисленных гомологии делится на р.
** Заметим, что ранее на русском языке была принята неправильная транскрипция
этой фамилии: вместо Чжень писали Черн. — Прим. ред.

248 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Глава I
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА, СТРУКТУРНЫЕ ГРУППЫ КОТОРЫХ
ЯВЛЯЮТСЯ ГРУППАМИ ЛИ
1. Универсальные и классифицирующие пространства произвольной
группы Ли. Пусть G — произвольная компактная группа Ли. Напомним,
что универсальным пространством группы G до размерности л называется
главное расслоенное пространство Е со структурной группой G, для которого
я?Е) = 0 при 0 =s i =s л, ([143], § 19). Его база В = EjG называется класси-
классифицирующим пространством группы G до размерности л. Зная это простран-
пространство, можно обозреть все главные расслоенные пространства со структурной
группой G, базой которых является некоторый данный n-мерный полиэдр X
(классы расслоенных пространств взаимно однозначно соответствуют гомо-
гомотопическим классам отображений полиэдра X в пространство В, см. [143],
Известно ([143], 19.7), что для любой группы G и любого целого л су-
существуют универсальные пространства, являющиеся, так же как и их базы,
компактными аналитическими многообразиями и, следовательно, конечными
полиэдрами. Однако часто удобно предполагать число п произвольно большим
и для того, чтобы избежать необходимости каждый раз уточнять это число,
целесообразно следующим образом ввести понятия универсального и клас-
классифицирующего пространств группы G (подразумевается: для всех л).
Пусть Ev E2t... — произвольная последовательность универсальных
пространств до размерностей пг < л2 < ... соответственно. Очевидно, что
зти пространства можно выбрать таким образом, чтобы для любого i про-
пространства Et и Bt = Ei/G были конечными полиэдрами и чтобы существовали
гомеоморфные отображения U : Ег—»• Ei+l (i = 1,2, ...) перестановочные с
операторами из группы G. тогда индуктивный предел Е пространств Et
будет главным расслоенным пространством со структурной группой G, все
гомотопические группы которого тривиальны. Пространство Е называется
универсальным пространством группы G, а его база В, являющаяся индук-
индуктивным пределом баз В1г — классифицирующим пространством группы G.
Из теоремы классификации немедленно следует, что все универсальные, так
же как и все классифицирующие, пространства имеют один и тот же гомо-
гомотопический тип. Следовательно, в гомологических или гомотопических
вопросах эти пространства можно без какого-либо неудобства рассматривать
как неразличимые. Мы будем обозначать через EG любое универсальное, а
через BG — любое классифицирующее пространство группы G. В частности,
можно говорить о группах сингулярных гомологии или когомологий про-
пространства BG. Впрочем, для любой группы коэффициентов Г имеют место
естественные изоморфизмы
Hp(BG, Г) ~ Нр(Вь Г), №>(BG, Г) ~ НЦВЬ Г) при щ > р
(само собой разумеется, что в случае когда Г является кольцом, изоморфизмы
групп когомологий сохраняют умножение Колмогорова — Александера).
Таким образом, группы HP(BG, Г) изоморфны группам Hp(Bh Г) для доста-
достаточно большого г. Тем самым мы возвращаемся к определениям, введенным
в [IV], § 181
а Если группа G дискретна (случай, нами не исключенный), то группы HP(BG, Г)
и HP(BG, Г) совпадают с группами гомологии и когомологий группы Gb смысле Хопфа—
Эйленберга—Маклейна—Экмана*.
* То есть для дискретной группы за пространство BG принимается пространство
КШ, 1). - Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 249
Итак, любой компактной группе Ли G отнесено некоторое пространство
BG или, скорее, класс пространств одного и того же гомотопического типа.
Оказывается, что можно, кроме того, любому гомоморфизму / : Н -»G
одной компактной группы Ли в другую отнести некоторый класс гомотопных
между собой отображений g(f) : Вн -»¦ BG.
С этой целью рассмотрим Универсальное пространство Ен группы Н.
Расширение структурной группы Н до группы G с помощью гомоморфизма
/ позволяет получить из пространства Ен некоторое главное расслоенное
пространство Е'н с группой G, базой которого является пространство Вн.
Это пространство определяется как факторпространство (Ец, G)H произведе-
произведения Ен х G относительно отношения эквивалентности (х, g) ~ (хЛ, f(h)g).
Так как база пространства Е'н является индуктивным пределом полиэдров,
то к нему применима теорема классификации, согласно которой существует
такой однозначно определенный гомотопический класс отображений
?(/): Вв -> BG, что пространство Е'н является прообразом пространства
EG при отображении* ?(/).
Очевидно, что для тождественного автоморфизма / отображение е(Л
гомотопно тождественному отображению. Кроме того, отображения g(f)
удовлетворяют соотношению транзитивности: р(/ ° g) = е(/) ° e(g). Это озна-
означает, что соответствие О -»¦ BG является ковариантным функтором группы
G.
Наиболее важен частный случай изложенного построения, когда ото-
отображение / является отображением вложения некоторой замкнутой под-
подгруппы Н группы G в группу G; при этом в соответствии с [IV], § 21, ото-
отображение дф обозначается через q(H, G). Оказывается, что в этом случае
можно так выбрать отображение ?(/): Вв -*¦ BG, чтобы оно определяло
пространство Вн как расслоенное пространство с базой BG и слоем — одно-
однородным пространством GjH. Действительно, так как группа Н вложена
в группу G, то ее можно рассматривать как группу операторов пространства
EG, и тогда это пространство можно принять за Универсальное пространство
Ев группы Н. Следовательно, Вн = EG/H, BG = EG/G и отображение ?(/)
будет естественной проекцией пространства Еа/Н на пространство EG/G,
определяющей пространство Вн как расслоенное пространство с базой BG
и слоем G/H.
В общем случае можно также, по крайней мере с гомологической или
гомотопической точки зрения, рассматривать отображение е(/) как проекцию
некоторого расслоенного пространства. Действительно, пусть Х=(Е'н, Eg)g—
факторпространство произведения E'HxEG относительно отношения экви-
эквивалентности (х, у) ~ (xg, yg). Это пространство допускает два расслое-
расслоения: одно — со слоем Е'н и базой BG, другое — со слоем EG и базой Вн. Пусть
х и /? — соответствующие проекции. Так как пространство EG ациклично,
то отображение /S определяет изоморфизм /J* групп гомологии (или гомото-
гомотопических групп) пространств X и Вн. С другой стороны, любой гомоморфизм
пространства Е'н в пространство EG определяет очевидным образом некоторое
сечение s : Вн -» X, композиция которого с отображением а совпадает** с
Q(f). Таким образом, при отождествлении групп гомологии пространства
Вн с группами гомологии пространства X посредством изоморфизма /З^1,
гомоморфизм Q*(f) перейдет в гомоморфизм а*, порожденный проекцией а.
* То есть пространство Е'ц индуцируется пространством EG и отображением g(f)
в смысле [143]; см. также стр. 171. — Прим. ред.
** Поясним подробнее, что имеет в виду автор.
Пусть q>:E'u-+EG — произвольное гомоморфное (т. е. перестановочное с опера-
операторами из группы G) отображение. Определим отображение ^i: Е'н -> Е'н х EG, поло-
положив ?>i(x) = (х, <р(х)), х е Е'н. Очевидно, что это отображение перестановочно с проекциями
Е'н -*¦ Вн и Е'н х EG-± X и потому индуцирует некоторое отображение s: Вя-*- X.
Пусть далее<ра:Ея х Eq ~> EG — естественная проекция (х, у) -> у. Индуцированное

250 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Пусть, в частности, отображение / является проекцией группы Н на ее фак-
факторгруппу H/N по некоторому замкнутому нормальному делителю N. Тогда
пространство Е'н совпадает, очевидно, с пространством BN и отображение
?*(/) — с гомоморфизмом, индуцированным проекцией некоторого расслоен-
расслоенного пространства, группы гомологии которого совпадают с группами гомо-
гомологии пространства Вн, а базой и слоем являются соответственно простран-
пространства BHtN и BN.
Замечание. Пусть Е — произвольное расслоенное пространство со
структурной группой Н, база X которого является конечным полиэдром.
Согласно теореме классификации, пространство Е определяется некоторым
гомотопическим классом отображений С : X -» Вн. Композиции этих ото-
отображений с отображениями e(f) '• Вн -> BG определяют некоторое расслоен-
расслоенное пространство с базой X и структурной группой G. Как следует из опре-
определения отображений g(f), зто пространство совпадает с пространством,
получающимся из пространства Е при расширении структурной группы Н
до группы G с помощью отображения /.
С этой точки зрения отображение e(f) было в некоторых частных случаях
изучено У ([152], [156]). Как следует из сказанного выше, расслоенное про-
пространство с базой X и группой G, определенное отображением С : X -> BG,
тогда и только тогда может быть получено из расслоенного пространства с
группой Н расширением структурной группы, когда отображение С ^раз-
^разлагается" в композицию двух отображений, одним из которых является
отображение e(f)- Зная алгебры когомологий Н*(ВН) и H*(BG) и гомоморфизм
Q*(f): H*(BG) -> Н*(ВН), можно вывести отсюда когомологические условия,
необходимые для того, чтобы структурную группу G можно было сузить
до группы Н. Следуя этому методу, У [ 152] изучал квазикомплексные строения
(в случаях, рассмотренных У, отображение / было вложением группы Щп)
в группу S0Bn)).
2. Когомологий групп Ли и их классифицирующих пространств. Пусть
G — произвольная связная компактная группа Ли ранга I (напомним, что
рангом группы G называется размерность любого максимального тора этой
группы). Согласно классической теореме Хопфа, алгебра когомологий группы
G над полем характеристики нуль является внешней алгеброй, порожденной
I элементами нечетных степеней. Если группа G не имеет р-кручения (р—
простое число), то тот же результат имеет место и для алгебры H*(G, Zp),
где Zv— поле вычетов по модулю р ([IV], предложение 7.2). Если же группа
G не имеет кручения, то алгебра H*(G, Z) является внешней алгеброй сво-
свободной абелевой группы с / образующими нечетных степеней.
В случае когда группа G не имеет р-кручения, можно, используя транс-
трансгрессию, получить весьма точные соотношения между алгебрами H*(G, Zp)
и H*(BG, Zp). Напомним, что трансгрессией в расслоенном пространстве Е
с базой В и слоем F относительно группы коэффициентов Г называется
гомоморфизм
B.1) т: T\F, Г) -> Я8+1(В, r)/Ls+\B, Г), s = 0, 1, 2, ...
этой проекцией отображение Х->Вд совпадает по определению с проекцией а. Таким
образом, имеет место коммутативная диаграмма
-*- Ен х EG -2-'- EG
i i
BH ¦ --+ X ——-> BG
Так как <р = <рао<р1; то коммутативность этой диаграммы означает, что отображение
а о s индуцировано отображением <р. Но, по определению, отображение у индуцирует
как раз отображение g(f). Таким образом, действительно, g(f) = а о s. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 251
некоторой подгруппы TS(F, Г) группы HS(F, Г) в некоторую факторгруппу
группы HS+1(B, Г). Гомоморфизм т определяется как композиция q*~x о б,
где <3 — кограничный гомоморфизм, отображающий группу HS(F, Г) в группу
Нг+1(Е, F; Г), a q* — композиция изоморфного отображения группы
Нг+1(В, Г) на группу Нг+\В, Ь;Г)(Ь — проекция слоя F) и гомоморфизма
р* : HS+\B, b; r)->Hs+\E, F; Г), порожденного проекцией (см. [IV],
§ 5; [109]). В частности, через T*(G, Г) обозначается множество элементов
группы H\G, Г), трансгрессивных в Универсальном пространстве EG; эти
элементы называются универсально трансгрессивными.
Напомнив эти определения, изложим теперь доказанные в [IV] свой-
свойства расслоенного пространства EG с базой BG и слоем G (теоремы 13.1, 19.1).
2.2. Пусть р — произвольное простое число и пусть группа G не имеет
р-кручения. Тогда алгебра H*(G, Zp) обладает системой образующих Л1; ... , Лг
нечетных степеней, являющейся базой подпространства T(G, Zp), порож-
порожденного универсально трансгрессивными элементами.
2.3. Подпространство LS+\BG, Zp) пространства Hs+1(BGyZp) (обо-
(обозначения см. 2.1) совпадает с подпространством разложимых элементов
(т. е. подпространством, порожденным произведениями элементов, степени
которых меньше s + 1).
Мы будем обозначать множество разложимых элементов группы H\BG, Г)
через D\BG, Г) или просто через D\ если это не приводит к недоразумениям,
а через D(BG, Г) или просто через D — прямую сумму групп DK
2.4. Пусть т — трансгрессия в пространстве EG и у4 ? H*(BG,ZV) —
некоторые представители смежных классов т(Л{) (i = 1, ... , I). Тогда алгебра
H*(BG, Zp) совпадает с алгеброй многочленов от переменных у*.
Таким образом, т(Л4) = у{ mod D, и алгебра H*(BG,ZP) является алгеб-
алгеброй многочленов от I переменных, причем степени последних равны Увели-
Увеличенным на единицу степеням образующих Л{ (и, следовательно, четны).
Над полем нулевой характеристики (вместо Zp) утверждения 2.2, 2.3
и 2.4 имеют место для произвольной группы G; если же группа G не имеет
кручения, то эти утверждения имеют место и над кольцом целых чисел.
3. Соотношения между алгеброй H*(BG, Zp) и группой Вейля группы G.
Пусть Т — максимальный тор компактной связной группы Ли G ранга /,
./V — нормализатор тора Т в группе G и Ф — группа Вейля группы G, т. е.
факторгруппа N/T. Известно, что группа Ф конечна. В силу результатов,
сформулированных в п. 2, трансгрессия является изоморфным отображением
группы Н\Т, Z) на группу Н\ВТ, Z) и Н*(ВТ, Z) является свободной комму-
коммутативной алгеброй, порожденной группой Н\ВТ, Z). Любая база (|1? ... , |t)
группы Нг(Т, Z) переходит при трансгрессии в систему независимых обра-
образующих (х1; ... , X;) алгебры H*(BT,Z). Степени этих образующих равны
ДВУМ.
Так как N является расширением группы Т посредством группы Ф, то
Ф естественным образом действует на Г и, следовательно, на Нг(Т, Z) и потому
на Н*(ВТ, Z). Подалгебру алгебры Н*(ВТ, Z), состоящую из элементов,
инвариантных относительно Ф, мы будем обозначать через IG. Очевидно,
что если пх е IG, где х € Н*(ВТ, Z), а п — произвольное целое число, то
хе IG. Отсюда следует, что IG является прямым слагаемым абелевой группы
H*(BT,Z). Это позволяет рассматривать тензорное произведение IGB)ZP
как подалгебру алгебры
Н*(ВТ, Z)®Zp^ Н*{ВТ, Zp).
Известно ([IV], предложение 29.2):
3.1. Если пространства G и GjT не имеют кручения, то отображение
в*(Т, G): H*(BG, Z) -> Н*(ВТ, Z)
изоморфно и его образ совпадает с IG.

252 А. ВОРЕЛЬ'И Ж.-П. СЕРР
3.2. Пусть р — произвольное простое число. Если пространства О и GjT
не имеют р-кручения, то пространство BG также не имеет р-кручения, а
отображение
e*(T,G):H*(BG,Zp)^H*(BT,Zp)
мономорфно и его образ совпадает с произведением IG (g) Zp (вложенным в
Н*(ВТ, Zp), как это описано выше).
В случаях когда условия теорем 3.1 (или 3.2) выполнены, мы будем ото-
отождествлять алгебру H*(BG, 2Хсоответственно H*(BG,ZP)) с подалгеброй /G
(соответственно с IG (g) Zp). Это позволяет, как мы увидим, сводить многие
задачи, относящиеся к BG, к существенно более простым задачам, относящимся
к ВТ. Пусть, например, И иО — две группы Ли,-удовлетворяющие условиям
3.2, / : Н ->¦ G— некоторый гомоморфизм и пусть требуется найти гомо-
гомоморфизм g*(f) :H*(BG, Zp)-+ H*(BH, Zp). Пусть V — максимальный тор
группы Н, Т — максимальный тор группы G, содержащий образ f(V) тора
Г', и g: V -» Т — часть отображения / на Т'. Отображение g определяет
гомоморфизм g*(g): Н*(ВТ, Zp) -> Н*(ВТ., Zp), очевидно совпадающий на
Ig <8> ^pi c гомоморфизмом е*(/). Следовательно, для определения гомо-
гомоморфизма Q*(f) достаточно найти гомоморфизм e*(g), что совсем легко.
Пусть 1Х, ... , 1Г (соответственно IJ, ... , Is) — некоторая база группы
Н\Т, Zv) (соответственно группы НЦТ', Zp)), и пусть
Если xit соответственно х[ — образы при трансгрессии элементов ft) соот-
соответственно ||, то многочлен Q(xlt ... , х,.) от х4 переходит при отображении
Q*(g) в многочлен
QBnux'i,...,2nrjx'j)
(подробности см. в [IV], § 28, § 31, где этот метод применен в случае, когда
отображение / мономорфно).
Важным частным случаем изложенного построения является случай,
когда / — вложение некоторой подгруппы Н в группу G, причем Н и G
имеют один и тот же ранг. Тогда Т = V и отображение g*(g) тождественно.
Следовательно, учитывая сделанные выше отождествления, мы можем
сказать, что H*(BG, Zp) является подалгеброй алгебры Н*(ВН, Zp), в свою
очередь являющейся подалгеброй алгебры Н*(ВТ, Zp).
Условия применимости изложенных результатов.
Условия теорем 3.1 и 3.2, как правило, выполнены; действительно, имеют
место следующие предложения:
3.3. Если алгебра Ли группы G не имеет ни одного прямого слагаемого,
изоморфного алгебрам Ej, E7 или Е8, то пространство G/T не имеет круче-
кручения ([IV], предложение 29.1)*.
3.4. Для любого п классические группы D(n), SU(n), Sp(n) не имеют
кручения ([IV], предложение 9.1).
3.5. Для любого п и любого нечетного простого р группа SO(n) не имеет
р-кручения ([IV], предложение 10.4).
Таким образом, за исключением группы SO(n) при р — 2, любая классичес-
классическая группа удовлетворяет условиям предложения 3.2. В случае группы SO (п)
при р = 2 необходимо заменить максимальные торы на максимальные абе-
левы подгруппы типа B,2, ... , 2) (см. [19]**).
4. Частный случай: унитарная группа О(п). Пусть G = V(n) — группа
комплексных унитарных матриц порядка п. Диагональные матрицы обра-
образуют в этой группе максимальный тор Т. Следовательно, ранг группы О(п)
* На самом деле пространство G/T никогда не имеет кручения; см. примечание 3 на
стр. 245. — Прим. ред.
** См. [VI]. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 253
равен п. Обозначая через exp Bni Сх), ... , exp Bni Cn) собственные значения
некоторой диагональной матрицы, мы можем принять элементы ?4 = dt,{
за элементы базы группы №(Т, Z). Образы при трансгрессии элементов |{
в группе Н%Вл, Z) обозначим через х{.
Нормализатор N тора Т в группе О (я) состоит из всех мономиальных
матриц (т. е. из произведений диагональных матриц на матрицы переста-
перестановок), и, следовательно, Ф = N/T является группой всех перестановок
элементов f4 или элементов xt. Поэтому /u(nj является алгеброй всех сим-
симметрических многочленов от хи а /и(п) 0 Zp — алгеброй симметрических
многочленов с коэффициентами в поле Zp.
Пусть C2i — элементарная симметрическая функция3 ^х1.. .хг. Со-
Согласно только что сказанному, эта функция принадлежит алгебре /С(п) =
= Я*(Ви(п), Z). Более того, алгебра /и(п) является алгеброй всех много-
многочленов от функций С2;. Сравнивая это утверждение с результатами п. 2,
получаем, что в алгебре H*(\J(n),Z) существуют однозначно определенные эле-
элементы ht (l=si =s n) степеней 2i—1, для которых т(Л4)=С2{ mod (С„,... , C2i_2),
где т — трансгрессия в пространстве EvM. Кроме того, f/*(U(nj, Z)
является внешней алгеброй, порожденной элементами Л4.
Интересно сравнить полученные результаты с результатами Чженя [177].
С помощью комплексных грассмановых многообразий и символов Шуберта
Чжень определил некоторые элементы czi e Я2*(Ви(п), Z) и показал, что
алгебра Я*(Ви(п), Z) является алгеброй многочленов от образующих
c2i (I =s i =s n). Таким образом, классы C2i обладают теми же свойствами,
что и классы Чженя czi. Оказывается, что имеет место следующее
Предложение 4.1. Классы C2i — ]? хг.. .xt совпадают с классами
Чженя c2i(i = 1, ... , п).
Во избежание неясностей мы не будем в этом доказательстве отождеств-
отождествлять алгебры /и(п) и Я*(Ви(п), Z). Следовательно, нам нужно будет пока-
показать, что гомоморфизм р*(Т, О(п)) : Я*(Ви(п), Z)-* Я*(Вт, Z) переводит
класс c2i в класс C2i.
Мы докажем предложение 4.1 индукцией по л с помощью формулы
двойственности D.3) для классов Чженя (см. [156], [180]). Для п = 1 имеем:
0A) = Т, и предложение очевидно, ибо как С2, так и с2 являются образами
при трансгрессии класса f — dt группы Я2(Т, Z). Предположим, что пред-
предложение уже доказано для групп D(m), где т < п. Так как мы будем рас-
рассматривать группы О(п) при различных значениях п, то удобно отмечать
индексом п, который мы будем помещать слева вверху, объекты, относящиеся
к группе 0(п). Так, мы будем писать n|i( nxh nCzi, nc2l и т. д.
Пусть p,q>O,p + q=n,f — естественное вложение группы О(р) х U(g)
в группу D(n), а Тр, Т9 и ТП=ТР х Т4 — максимальные торы соответственно
групп О(р), U(^) и U(n). Таким образом, часть g отображения / на торе
ТрхТ4 является тождественным отображением. Коммутативная диаграмма
стрелки которой обозначают гомоморфизмы вложения, порождает коммута-
коммутативную диаграмму
, Z) 0 Я*(ВТ4 , Z) ч-^- Я*(Втп, Z)
, Z) ^И- Я*(Ви(п), Z)
* Во всей этой работе симметрический многочлен обозначается его начальным чле-
членом, перед которым поставлен знак J?.

254 А. БОРЕЛЬ И Ж-П. СЕРР
в которой
« = e*(g) = е*(тр х т, т»), р = е*(тр х v, вд x
г = е*№) х вд, и(л)) = ?>*(/) и <з = е*огп, и(л»
(обозначения см. в п. 1).
В построенных в начале этого пункта базах (Р|Д (9fft) и (nfj) групп
ЯХ(ТР, Z), Я^Т9, Z) и Я^Т", Z) отображение g* определяется, очевидно,
формулами
g*(*ft) = ph (i < /0, gTW = efi A * / ^ q),
и, следовательно, отображение а определяется формулами
<Х*) = РХ{ ® 1 A =? / *? р), «(%+,) = 10% (К /*??),
из которых следует, что
D.2) «(nC
З-рГ-i
где, само собой разумеется, положено pC2i = 0 для / > р и 9C2ft = 0 для
к > ^. При аналогичных соглашениях для классов Чженя имеет место сле-
следующая формула двойственности
D.3) r(nc2i) =*2У Чц (g)ic2ft.
j+h-i
Так как гомоморфизм /5 является тензорным произведением гомоморфизмов
р*(Тр, О(р)) и е*(Тв, О(?)), то, согласно предположению индукции,
D.4) /5 о r(»c2i)= ? pC2i09C2ft,
З+я-i
откуда ввиду D.2) и соотношения ?°у = а°<5 получаем, что
а о <5(«c2i) = aD?2i) A ^ /И «)•
Так как отображение а мономорфно, то, следовательно, <5(nc2i) = nC2i.
Замечание. Не используя формулы двойственности, можно легко
доказать, что nc2i = e{nC2i, где et = ± 1. Для доказательства предложения
4.1 достаточно, следовательно, показать, что ?{ = 1 A =? г =s п). Это можно
сделать, используя значения классов Чженя касательного расслоенного
пространства комплексного проективного пространства и произведенное в
п. 11 вычисление степеней Стинрода классов nC2i. К сожалению, этот метод
мало естественен и приводит к весьма сложным вычислениям.
Было бы интересно найти простое и независимое от теоремы двойственности
доказательство предложения 4.1. (Возможно, что для этого будет полезным
представление классов Чженя как дифференциальных форм.) Тогда можно
было бы вывести формулу двойственности непосредственно из очевидного тож-
тождества D.2), как зто сделано в [19] для приведенных по модулю 2 классов
Штифеля — Уитни.
5. Другие классические группы. Мы рассмотрим вкратце другие класси-
классические группы, отсылая читателя за подробностями к [IV]4.
Рассмотрим сначала ортогональные группы. Группа SOBn -f 1) имеет
ранг п, и ее группа Вейля является группой перестановок и изменений
знаков у хг. Отсюда следует, что алгебра H*(Bm^n+lh Zp) является алгеброй
многочленов, порожденной п элементами Рц = ]? xf.. .х? A =s i =s л). Пред-
Предполагается, что р нечетно (зто ограничение обусловлено тем, что для т s= 3
группа SO(m) имеет 2-кручение).
4 Обо всем, что касается группы Вейля, см., например, [187]*.
* См. также [42]. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 255
Группа SOBn) также имеет ранг п, но ее группа Вейля порождается
перестановками и изменениями знаков у четного числа символов xt. Отсюда
легко следует, что для любого нечетного простого р алгебра Н*(Вт„п), Zp)
является алгеброй многочленов, порожденной многочленами Ри (I«?i=src — I)
и многочленом W2n = х1... хп.
Предложение 5.1. Класс Ри является 41-мерным классом Понтря-
гина, приведенным по модулю р. Класс Wsn является 2п-мерным классом
Штифеля — Уитни, приведенным по модулю р.
Классы Понтрягина и Штифеля — Уитни мы будем обозначать через
Ри и wnn соответственно.
Пусть / — вложение группы О(п) в группу SOBn). Так как эти две
группы имеют один и тот же ранг, то отображение q* (/) = q* (U(n), SO Bn))
мономорфно. В силу описанного выше отождествления, это отображение
сводится к вложению алгебры многочленов от Рц и W2n в алгебру всех
симметрических многочленов. Отсюда, очевидно, следует, что
E-2) ?>*(/) (W2n) = С2п.
Но хорошо известно ([143], 41.8), что при расширении структурной группы
расслоенного пространства со структурной группой О(п) и классами Чженя
c2i до группы SOBn) получается расслоенное пространство со структурной
группой SOBn), класс Штифеля — Уитни w2n которого совпадает с классом
с2п. Это означает, что Q*(f)(w2n) = с2п. Так как С2п = с2п, то, поскольку ото-
отображение ?>*(/) мономорфно, из равенства E.1) следует, что W2n = w2n.
Аналогично можно рассмотреть и классы Понтрягина, если восполь-
воспользоваться результатами п. 3 заметки У [ 152], но удобнее поступить иначе.
Рассмотрим естественное вложение группы SO(n) в группу U(n) и порож-
порожденный этим вложением гомоморфизм
а = e*(SO(n), Щп)): Я* (BD(n), Zp) —> Я*(Вио(»>. ZvY
В [IV], § 31, этот гомоморфизм вычислен в явном виде:
o(C2i) = 0, если i нечетно,
E-3) <KCik) = (-lfPik.
С другой стороны, как показал У ([155], стр. 9),
c(cik) = (— \)hplh,
откуда ввиду равенства С№ = с^ следует, что Рш = pik.
Замечание. Так же как и для предложения 4.1, было бы интересно
найти независимое от результатов У доказательство предложения 5.1, потому
что тогда можно было бы весьма просто получить результаты У прямыми
вычислениями над симметрическими многочленами.
Случай унитарной симплектической группы Sp(n) совершенно анало-
аналогичен случаю группы SOBn + I), так как эти группы имеют один и тот же
ранг и изоморфные группы Вейля. Однако существенное различие имеет
место в том отношении, что в случае группы Sp(n) можно рассматривать
целочисленные алгебры когомологий, ибо эта группа не имеет кручения.
Мы получаем, таким образом, что алгебра H*(SsP (n>, Z) является алгеброй
многочленов от классов Кц A *= * ==? п), определяемых формулой Кц —
Естественное вложение группы Sp(n) в группу ОBп) определяет гомо-
гомоморфизм
v = e*(SpOO, Щ2л)): Н*(ВЩ2п), Z) - Н*(Втп), Z),
для которого
v(Czd = 0> если » нечетно,
E.4) v(Cik)=(-l)kKik.

256 А. БОРЕЛЬ И Ж.П. СЕРР
Примечание. Формулы E.2), E.3), E.4) позволяют определить
гомоморфизмы
tf*(SOBn), Zp) -> Н*(Щп), Zp) -> Я*(SO(n), Zp)
и
Н*(Щ2п), Z) -> H*(Sp(n), Z),
порожденные естественными вложениями ([IV], предложение 21.3 и § 31).
Обозначив через th элемент группы W4ft~x(SO(n), Zp), переходящий при
трансгрессии в класс Р^, через ц„ — элемент, переходящий при трансгрессии
в класс Wn (п четно), и через vk — элемент группы Hik~\Sp(n), Z), пере-
переходящий при трансгрессии в класс К^, мы получим, что классы (— \)Hk
и (— l)hvh являются частями классов
соответственно.
Отсюда следует утверждение.
5.5. За исключением класса ип (являющегося, впрочем, исключением
скорее по названию), образующие алгебр когомологий классических групп
являются частями образующих алгебры когомологий унитарной группы (для
SO(n) предполагается, что р ф 2).
Глава II
ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА
6. Приведенные степени. В пп. 6 и 7 через р обозначается произвольное
фиксированное простое число, через К — некоторый конечный полиэдр и
через L — произвольный подполиэдр полиэдра К. Группы когомологий
полиэдра К относительно подполиздра L с коэффициентами в поле Zp обоз-
обозначаются через Н%К, L; Z_) или, если это не ведет к недоразумениям, просто
через Hq(K, L).
Приведенные степени являются гомоморфизмами
Р1: Н\К, L; Zp) + Н™~*(К, L; Zp),
определенными для любого простого р, любого i з= 0, любого qs* 0 и любой
пары полиэдров К и L, где L — произвольный подполиэдр полиэдра К.
Вместо принятого в [142] обозначения Pf часто пользуются ([23], [155],
[160]) обозначением StP) понимая под ним гомоморфизм Р?д_д_4. Таким
образом, гомоморфизм StP отображает группу Н\К, L) в группу Hq+i(K, L),
т. е. увеличивает степени на i единиц.
В этой статье мы будем пользоваться третьим обозначением, упомянутым
в конце заметки [142, Ь]. Напомним, почему удобно пользоваться именно
этим обозначением. Согласно одной теореме Тома ([147], [142, b]), Stp = 0,
если i ф 0 mod 2(р — 1). Кроме того, известно, что гомоморфизм Stpi+1
немедленно сводится к гомоморфизму* Stp\ Таким образом, по существу
интересны только операции Stpk(^p~1\ и естественно обозначать их более
простым символом. С другой стороны, свойства операций S/j, усложняются
* Пусть х — произвольный коцикл пары (К, L) по модулю р. Этот коцикл можно
рассматривать как результат приведения по модулю р некоторой целочисленной коцепи
X', для которой дх' = ру. Оказывается, что класс когомологий целочисленного коцикла
у зависит только от класса когомологий ? коцикла х. Этот класс когомологий обозначается
через а(?) (или через—-<5?), а соответствующий класс когомологий по модулю р через

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 257
появлением некоторых числовых множителей, и для того, чтобы избежать
этих множителей, необходимо соответствующим образом видоизменить опре-
определение приведенных степеней. На основании этих соображений мы прихо-
приходим к следующему определению, которым будем всегда пользоваться в даль-
дальнейшем. .
Обозначим через ф% гомоморфизм
, q, к) St^-O:H%K, L;ZP)-» Н*+*й>~*(К, L;ZP),
где коэффициент Я(р, q, k) е Zp определяется следующим образом:
если р = 2, то Х(р, q, к) = 1;
если р = 2Л + 1, то А(р, q, к) = (_l^r-D/aф\)-г^ r = q — 2к.
7. Список формул. Напомним основные свойства приведенных степеней
фр (см. [142Ь]). Во всей работе мы будем пользоваться только этими свойст-
свойствами и нигде не будем ссылаться на конструктивное определение операций
ф% (что, впрочем, не удивительно, поскольку, как показал Том [160], эти
свойства полностью характеризуют операции фр).
7.1. Отображение ф% : Н\К, L; Zp) -* Я«+2*№-« (К, L;Zp) является го-
гомоморфизмом, определенным для любых q з== 0, к з= 0 и любой пары (К, L).
7.2. Пусть f : (К, L) -*¦ (К', L')— произвольное непрерывное отображение.
Тогда ф\°\* — \*°ф%, где /* — гомоморфизм алгебры Н*(К', L') в алгебру
Н*(К, L), порожденный отображением /.
7.3. Если р = 2, то ф\ = Sq2k („i-квадрат" Стинрода)*.
7.4. Отображение ф% является тождественным отображением алгебры
Н*(К, L) на себя.
7.5. Отображение ф\ : Н\К, L) ->- Яв+2Й<Р-» (К, L) тривиально, когда
q < 2/с, и совпадает с возведением в р-ю степень, когда q = 2/с.
7.6. фр о 8 — 8 о ф*, где 8 — кограничный гомоморфизм группы Hq(L)
в группу Н*+\К, L).
7.7. Пусть х и у — произвольные элементы алгебры Н*(К, L), ах-у —
их произведение Колмогорова — Александера. Если рф2, то
Фр(х)-ФЦу)
(отсюда, в частности, следует, что операция ф\ является дифференцирова-
дифференцированием).
7.8 Sqh (x-y)= ? siKx) • Sqj(y).
i+i-k
(Таким образом, формула 7.7 имеет место и для р = 2, если только в
алгебре Н*(К, L) операция Sq1 тривиальна**.)
/?(?). Построенные гомоморфизмы а. и fi групп когомологий называются гомоморфизмами
Бокштейна.Оказывается, что Stpl+1=fioStpl, так что, действительно, достаточно ограничить-
ограничиться изучением операций St2p- Заметим, что иногда бывает удобно под Sfpl+1 понимать опе-
операцию a,oStpl> результат применения которой является целочисленным классом.
— Прим. ред.
* О квадратах Стинрода см., например, [10]. — Прим. ред.
** Заметим, .что операция Sq1 совпадает с описанным в примечании на стр. 256
гомоморфизмом Бокштейна /3 (построенным для р = 2). Прежде чем доказывать это
утверждение, сделаем несколько предварительных замечаний.
Во-первых, элемент Sq^S, где ? — произвольный класс когомологий по модулю 2,
определяется как класс коциклах ^~>jх, где/ = д — i(q=dim?), x—произвольный коцикл
класса ?, а умножение ^ определено относительно естественного умножения вычетов по
модулю 2 (это умножение удовлетворяет условию F.10) книги [10], стр. 89).
Во-вторых, данное в [10], стр. 89, определение операций <Jj можно рассматривать
и в том случае, когда умножение групп коэффициентов не удовлетворяет условию F.10)
(например, является обыкновенным умножением целых чисел). В этом случае формула
17 Расслоенные пространства

258 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Заметив, наконец, что трансгрессия в любом расслоенном пространстве
определяется, согласно п. 2, как композиция q*~1 ° <5, мы получим, ввиду
того что, согласно 7.2 и 7.6, гомоморфизмы q* и 8 перестановочны с операциями
фр, следующее соотношение:
7.9. ф\ о г = г о ф%г где т — трансгрессия в некотором, расслоенном
пространстве Е.
Более точно: операция^ переводит группу TS(F) в группу Ts+ih(p~1'>(F),
группу LS+1(B) — в группу Ls+1+2ft <Р~1)(В), и диаграмма
THF) _!?!!—>
HS+1(B)ILS+1(B) -^-->
коммутативна.
Примечание. Приведенные степени <?>? определены в [ 142] для пар (К, L)
конечных полиэдров, но, как сообщил нам Стинрод, их можно определить и для
более широких теорий когомологий. В частности, приведенные степени
можно определить в теории Чеха (перейдя к пределу по спектру полиэдров)
и в сингулярной теории (потому что существует универсальная симплици-
альная формула, аналогичная известной формуле для i-произведений, кото-
которая позволяет получить из любого коцикла класса х некоторый коцикл
класса ф&х)). Само собой разумеется, что указанные выше свойства остаются
справедливыми и в этих двух случаях.
8. Приведенные степени в проективных пространствах. Покажем теперь,
как с помощью формул п. 7 можно в некоторых простых случаях вычислить
операции ф%. Полученные в этом пункте результаты нам будут нужны в
третьей части этой работы.
Предложение 8.1. Пусть и—произвольный двумерный класс когомоло-
когомологий. Если рф2,то ф%ип) = B)un+ft<p-1> {считаем, что (?) = 0, если к > п).
Для р = 2 эта формула также справедлива, если только Sq^u = 0.
Докажем это предложение индукцией по п. Пусть сначала
Применяя 7.7, получаем
*)= z Ф
i+1-h
Понтрягина—Стинрода ([10], стр. 89, формула F.13)) принимает следующий вид:
Для операции ui( определенной с помощью обыкновенного умножения целых чисел,
очевидно, имеем
где хч — произвольная целочисленная коцепь. Следовательно,
Ex9 = 2(—
С помощью формулы Понтрягнна—Стинрода это выражение можно преобразовать к
следующему виду:
<5х« = 2 (—
Предположим теперь, что дхЯ = 2у?+1. Подставляя это выражение для их8 в формулу
(*), деля на 2 и приводя по модулю 2, получим
?_j x9 + 6(yQ+iuq+1 xV) (mod 2).
Пусть $ — класс когомологий приведенной по модулю 2 коцепи xq. Тогда /3(?) является
классом когомологий приведенной по модулю 2 коцепи yQ+1, a S^? — классом когомоло-
когомологий приведенной по модулю 2 коцепи х^ vqix4. Следовательно,
№ = Sq4,
что и доказывает наше утверждение. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 259
но из предположения индукции следует, что эта сумма равна
Для р = 2 нужно применить формулу 7.8. Появляющийся дополнитель-
дополнительный член Sq1u • Sqr2fe~1(un~1) равен нулю, так как по условию Sq*u = 0.
В остальном доказательство не изменяется.
Следствие 8.2. Пусть X = Рт(С) — комплексное проективное прост-
пространство комплексной размерности т, и пусть и — произвольный элемент
группы H2(X,Zp). Тогда
Нужно только проверить, что Sq1u = 0, но это следует из тривиальности
группы Я3(Х, Z2).
Следствие 8.3. Пусть Y = Рт(К) — кватернионное проективное прост-
пространство кватернионной размерности т. Тогда группа Я*(?, Zp) содержит
такой элемент Vy^O, что
<Pp(vn) = 0, если р = 2 и к нечетно,
фЦуп) — ( j vn+Hp—i)i2 e остальных случаях.
По определению, пространство Рт(К) является базой некоторого рас-
расслоения сферыS4«+3,.слоем которого является группа Sp(l) единичных кватер-
кватернионов, гомеоморфная сфере S3. С другой стороны, факторпространством
сферы S4m+3 по подгруппе S1 группы Sp(l) является пространство Р2ТО+1(С).
Следовательно, это последнее пространство естественным образом расслаи-
расслаивается на слои Sg/Sj = S2. Базой этого расслоения является пространство
Рт(/С). Пусть у — соответствующая проекция. Можно показать (непосредст-
(непосредственным геометрическим рассуждением или рассмотрев спектральную после-
последовательность этого расслоения), что отображение у* является изоморфиз-
изоморфизмом алгебры Я*(?) на подалгебру алгебры Я*(Р2т+1(С)), порожденную
элементом и2, где и — образующая алгебры* Я*(Р„т+1(С)). Пусть v e НЦЧ)
— такой элемент, что гр*(у) = и2.
Если р = 2 и к нечетно, то размерность элемента ф%{уп) сравнима с
2 по модулю 4, и, следовательно, этот элемент равен нулю. В противном слу-
случае имеем
гр* (ф1(уп))
что доказывает следствие, поскольку отображение у>* мономорфно.
Замечание. Естественен вопрос,не будет ли следствие 8.3, так же как
следствие 8.2, иметь место для любого элемента группы Я*(?). Произволь-
Произвольный элемент этой группы имеет вид Av (AeZp) и он будет удовлетворять
формуле, указанной в следствии 8.3, тогда и только тогда, когда
А*(р-1)/2 = 1 modp1. Если к четно, то это сравнение действительно имеет место
* Как известно (см. стр. 46), гомоморфизму>*: №00-> №ЧР2ТП+1(С)) можно отождествить
с естественным гомоморфизмом Е%'° -»• Я^°. Этот гомоморфизм может иметь нетривиаль-
нетривиальное ядро только тогда, когда для некоторого г 5= 2 группа ?J"—г.г—1 не тривиальна. Но,
согласно теореме Лерэ, Е%~г> г~1 = НР~Г{\) ® №-i(Ss) н, следовательно, если Е\—г- Т—1^
?=0, то г = 3 н р — г = 0 mod 4. Тогда ??¦<> = «p(Y) = 0, нбо р ф 0 mod 4. Таким обра-
образом, гомоморфизм tp* действительно является мономорфизмом. Пусть далее v' — образую-
образующая группы ННУ). Тогда y>*(v') e H4(P2m+1(C)) и, следовательно, v' = Ли2, AeZp. Таким
образом, у)*(Х~гу') = и*. Остается заметить, что многочлены от элемента v' исчерпывают
алгебру H*(Y). — Прим. ред.
17* - 0

260 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
для любого Д ф 0, но если к — нечетно, то оно имеет место тогда и только
тогда, когда Д является квадратичным вычетом по модулю р.
Предложение 8.4. Пусть алгебра когомологий Н*(Х, Zp) некоторого
пространства X порождается элементами степени 2. Тогда для любого
xeH*(X,Zp) имеем: (ф^{х) = k\q%,(x), где {fPlf—операция ф\, повторен-
повторенная к раз.
Если степень элемента х равна двум, то это равенство немедленно следует
из предложения 8.1. Значит, достаточно только показать, что если
оно имеет место для элементов х и у, то оно будет иметь место и для элемента
х • у. Но, так как, согласно 7.7, операция ф\ является дифференцированием,
то можно применить формулу Лейбница для к-й производной произведения.
Согласно этой формуле,
тт (х-у) =,?к(*})№У(х) - ту (у)-
По предположению, элементы х и у удовлетворяют рассматриваемому
равенству и, следовательно, левую часть этой формулы можно преобразо-
преобразовать к виду
2
что, согласно 7.7, равно к\ фЦх ¦ у).
Следствие. Повторенная р раз операция ф\ тривиальна.
Замечание. Весьма вероятно, что при р-ф2 формула (Ф1^=к\ ф%
имеет место для любого пространства X. Во всяком случае, эта формула
имеет место, если X=G или X—BG, где G—произвольная группа Ли, удов-
удовлетворяющая условиям 3.2. Действительно, в последнем случае алгебра H*(BG)
изоморфна подалгебре алгебры Н*(ВТ), которая удовлетворяет условиям
предложения 8.4. Переходя затем с помощью трансгрессии, к алгебре H*(G),
получаем, что рассматриваемая формула имеет место и в этой последней
алгебре. Напротив, для р = 2 эта формула, вообще говоря, неверна, как
показывает пример Sq*<>Sq2 = SqzoSq\
9. Применения к гомотопическим группам сфер. Стинрод [142] показал,
как можно использовать приведенные степени при изучении групп ^i(Sn).
Напомним его метод.
Пусть р — простое число, к — целое и / — непрерывное отображение
сферы Si в сферу Sn, где i = п + 2к(р— 1)— 1. Обозначив через X полиэдр,
получаемый присоединением к сфере Sn шара размерности i + 1 посредством
отображения / его границы на сферу Sn, будем иметь
Я°(Х, Z) = ЯП(Х, Z) = Яп+2*<р-*>(Х, Z) = Z.
Все другие группы когомологий полиэдра X тривиальны. Пусть s
(соответственно t) — приведенная по модулю р естественная образующая
группы Hn(X,Z) (соответственно группы h»+*-(p-i) (X, Z)). Тогда ф^) = Xft
(\feZp). Очевидно, что Д/ зависит только от гомотопического класса отобра-
отображения / и что соответствие / -»• Д/ определяет некоторый гомоморфизм группы
^n+gMp-y-^S,,) в группу Zp. Этот гомоморфизм будем обозначать через ??л.
Пусть ? — надстройка Фрейденталя. Тогда
(9.1) CJ+1-*e? = Cj5.k
(потому что операция ф\ перестановочна с операцией 8).
Примеры. 1. р = 2. Из существования отображений с инвариантом
Хопфа, равным единице, следует, что С"*1, ?jj'2 и ??•* являются отображени-
отображениями групп яп+1(8пХ ^n+3(Sn) и jin+7(Sn) на группу Z2 (для пэ=2, пз*4
ип>8 соответственно).

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИСТИНРОДА 261
2. р = 3. Известно, что полученное описанным выше способом исходя
из отображения Хопфа / : S7-»- S4, пространство X является кватернионной
проективной плоскостью Р2(К). Но, согласно 8.3, для произвольного отлич-
отличного от нуля элемента v группы Н\Р2(К), Z8) имеем: фЦу) ф 0 mod 3. Следо-
Следовательно, ?за(/) т^О, откуда, согласно 9.1, вытекает, что для п з= 4 гомомор-
гомоморфизм Сз*1 является эпиморфизмом группы nn+^[Sn) на группу Zs.
Так как (согласно классическим результатам Фрейденталя и Уайтхеда)
итерированная надстройка Е2 является изоморфным отображением группы
^e(S8) на подгруппу индекса 2 группы :i8(S8), то из формулы (9.1) следует,
что С!'1 отображает группу 7re(S3) на группу* Z3. Этот результат другим
способом был получен Стинродом. В п. 19 мы его уточним, указав элемент
группы ^e(S3), образ которого при отображении С|д отличен от нуля.
Таким образом, для р = 2,3 гомоморфизм Ср'1 отображает группу
:in+2p_3(Sn) при п зь 3 на группу Zp. Оказывается, что этот факт имеет общий
характер. Именно, справедливо следующее
Предложение 9.2. Для п з& 3 гомоморфизм Ср'*•: Jin+2p-3(Sn) -»¦ Zp
является изоморфным отображением р-компоненты группы ^n+2p_8(Sn) на
группу Zp.
Согласно [III], гл. IV, предложения 3 и 4, надстройка Фрейденталя
для п зь 3 изоморфно отображает р-компоненту группы лп+гр-3(8п) на р-
компоненту группы jin+2p_2(Sn+1). Следовательно, ввиду 9.1 достаточно
доказать предложение 9.2 для п = 3. Так как р-компонентой группы :i2p(S3)
является группа Zp (там же, предложение 7), то достаточно доказать, что
для существенного отображения / : S2P -»¦ Ss, определяющего элемент порядка
р группы tt2p(S8), число Д/ (см. начало этого пункта) отлично от нуля.
Рассмотрим точную гомотопическую последовательность пары (X, S3),
где X — пространство, получающееся присоединением к сфере S3 с помощью
отображения / некоторого шара размерности 2р + 1:
...-»- tff(S3)-> щ(Х) -»• щ(Х, S3) —->¦ Щ-xiS^ ->• ^i_i(X)-*... .
Ясно, что я,{Х, S8) = 0, когда i < 2р + 1, и jiip+1(X, S8) = Z. Кроме того,
образ отображения й:пгр+1(Х, S,)-»-ot2p(S8) является подгруппой, порож-
порожденной классом отображения /, и, следовательно, изоморфен группе Zp.
Следовательно,
лг(Х) ^ я4(83), когда i < 2р,
[ж2р(Х) ™ w
Пусть теперь Y = (X, 4) — пространство, получающееся из пространства
X уничтожением группы л3(Х) = Z (в смысле [65]; см. также [III], гл. III).
Из определения пространства Y следует, что я{(У) = 0, если i =s 3, и ж0) =
= п?Х), если i > 4. Отсюда и из предыдущих формул следует, что группы
(Y) (i ^ 2р) являются конечными группами с тривиальными р-компонен-
С ННУ Z) 0 0 i 2 (III Ill 1)
i() ( р) р р р
тами. Следовательно, ННУ, Zp) = 0, если 0 < i =s 2p ([III], гл. Ill, теорема 1).
С другой стороны, Y является расслоенным пространством с базой X,
слоем которого служит пространство K(Z,2) Эйленберга — Маклейна. Алгебра
H*(Z,2) является, как известно, алгеброй многочленов от одной образую-
образующей второй степени**. Эту образующую мы обозначим через г. Трансгрессия
* Без ссылки на уточнение Уайтхеда теоремы Фрейдеиталя этот результат можно
доказать следующим образом. Согласно «легкой части теоремы Фрейдеиталя (см. приме-
примечание 5 иа стр. 161) отображение E:^,(S4) ->^8(S5) является эпиморфизмом.Следовательно,
согласно предложению 6 гл. IV работы [III] (см. стр. 148), индекс подгруппы Я*яв(88)
группы ^8(S5) является степенью двойки, что достаточно для доказательства эпиморф-
ности отображения ff'1. — Прим. ред.
** Ибо за пространство K(Z, 2) можно взять бесконечномерное комплексное проек-
проективное пространство (см. также примечание 23 на стр. 114). — Прим. ред.

262 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
т в расслоенном пространстве Y переводит элемент г в некоторый элемент
группы Я3(Х), который необходимо имеет вид Xs(leZp), где s — введенная
выше образующая. Так как элемент г трансгрессивен, то, согласно 7.9,
трансгрессивным будет и элемент гр=фр(г), причем т(гр) = фр(т(г)) = кфЦз).
Если т(гр) = 0, то гр определяет отличный от нуля элемент группы
H2P(Y, Zp), что, как мы видели, невозможно. Следовательно, фр(в) Ф О,
т. е. А^О.
Заметим, что в изложенном доказательстве не указывается явно никакого
элемента группы 7tn+2p_3(Sn), образ которого при отображении Cg-1 отли-
отличен от нуля.
Глава III
ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ В АЛГЕБРАХ КО ГОМОЛОГИИ ГРУПП ЛИ
И ИХ КЛАССИФИЦИРУЮЩИХ ПРОСТРАНСТВ
10. Общий метод. Изложим теперь описанный уже вкратце во введении
метод вычисления приведенных степеней в алгебрах H*(G,Zp) и H*(BG,Zp).
Пусть р — произвольное, но фиксированное простое число. Всюду в
дальнейшем будем считать, что группа Q удовлетворяет условиям 3.2, т. е.
что сама группа Q и ее факторпространство QjT по максимальному тору не
имеют р-кручения. Как уже было отмечено в п. 3, эти условия имеют место
для любого р и любой классической группы, за исключением случая G=SO(n),
р = 2. Таким образом, вне рамок нашего исследования остаются опера-
операции Sql в алгебрах /f*(SO(n),Z2) и #*(Bso(n),Z2). Эти операции аналогич-
аналогичным методом изучены в [19]*. Однако при этом приходится вместо макси-
максимальных торов рассматривать максимальные абелевы подгруппы типа
B,2, . . . , 2).
Так как группа Q удовлетворяет условиям 3.2, то алгебра H*(BG,ZJ)
является алгеброй многочленов от I образующих уь . . . , уг четных степеней.
Эта алгебра естественным образом отождествляется с некоторой подалгеброй
алгебры Н*(ВТ, Zp). Последняя алгебра является алгеброй многочленов от
I образующих х1г . . . , хг второй степени, и, следовательно, приведенные
р-степени элементов этой алгебры можно определить с помощью предложения
8.1 и формулы 7.7. Тем самым приведенные степени будут определены и в
алгебре H*(BG,Zp).
Ввиду результатов п. 2 можно затем с помощью трансгрессии перейти
к алгебре H*(Q,ZP). Пусть хг — такой универсально трансгрессивный эле-
элемент алгебры H*(G,Zp), что r(xt) = y{ mod D (l=s=/=s=Z). Согласно 7.9,
элемент фр(х^) также универсально трансгрессивен, и, ввиду 2.3,
D.
Но приведенные степени элементов алгебры H*(BG, Zp) уже известны, т. е.
известно выражение элемента фр(уд как многочлена от у}. Пусть ? Д3у3- —
линейная однородная часть этого многочлена. Имеем: фр(у1) = 2 tyj m°d D.
откуда
A0.1) фР(У1) = 2 Цх х,-) = тB А, х,) mod D.
Значит, ^>р(х{) =1^ A,-Xj, ибо отображение т мономорфно. Тем самым
определены приведенные степени универсально трансгрессивных элементов
алгебры H*(G,Zp) и, следовательно, приведенные степени любых элементов,
поскольку рассматриваемая алгебра является внешней алгеброй, порожден-
порожденной элементами х4.
* См. этот сборник, [VI]. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 263
Замечание. Таким образом, основным в этом методе является вы-
вычисление операций <Щ в алгебре H*(BG,Zp). Для того чтобы получить опе-
операции ф% в алгебре H*(G, Zp), достаточно вычислить главный член много-
многочлена 0^(у4) A =s i =s= /). Обратно, если нам известны операции^ в алгебре
H*(G,Zp), то мы можем определить главный член многочлена <?>?(уг), но
его разложимая часть остается нам полностью неизвестной. Однако для
всех приложений, рассматриваемых в четвертой части этой работы, доста-
достаточно знать только главные члены этих многочленов.
11. Унитарная группа U(n). В первую очередь применим изложенный
метод к важнейшему частному случаю Унитарной группы О(п). Мы сохра-
сохраним обозначения, введенные в п. 4. Так как алгебра H*(BV(n),Zp) порождается
классами C2i(\ «s i «s n), то в основном вопрос сводится к выражению класса
ф%(Сн) в виде многочлена от классов C2i. Поскольку алгебра H*(BV(n), Zp)
вложена, как это было описано в п. 3, в алгебру H*(BT,ZP), то классы Cai
можно рассматривать как элементарные симметрические функции ? xi • • ¦ xi =
= °i-
Лемма 11.1.
) 2 ?f ' • XU~k г
где {j\ < /2 < ... < /i_fe) — множество, дополнительное к множеству
{iv ..., ikj в последовательности {1, 2, ...,/}.
Эта лемма доказывается индукцией по и Для i = 1 она сводится к
предложению 8.1. Согласно формуле 7.7 (которая применима здесь и при
р = 2, потому что алгебра H*(BT,Zp) тривиальна во всех нечетных размер-
размерностях), имеем
... хг)
Так как фЦхг) = х?, согласно 7.5, то отсюда следует, что
По предположению индукции первый член справа совпадает с частью суммы
хи • • •
соответствующей случаю ik < i, а второй член — с частью этой суммы,
соответствующей случаю ik = i. Тем самым лемма доказана. (Заметим, что
при хх = х, = ... = х4 = х эта лемма превращается в предложение 8.1.)
Из леммы 11.1, очевидно, следует, что
A1.2)
Другими словами, имеет место
Теорема 11.3. Пусть BP'j(av ..., <т}) (/ =i -\- к (р — 1)) — многочлен,
выражающий симметрический многочлен с типичным членом х\... х? •
¦ xh+1.. . xt через элементарные симметрические функции at = 2 xi • • -xt-
Тогда
где C2i e H2i(Bv (n), Zp) — приведенный по модулю р класс Чженя размерности 2i.
Эта теорема принадлежит У [150]. Наше доказательство по существу
не отличается от доказателства У; различие состоит лишь в том, что у У
равенство Сй = ]? Xj... х4 имеет „символический" характер и не может
быть непосредственно использовано для вычисления приведенной степени
фр(С2^). (У ведет доказательство индукцией по п и использует упомянутую
в п. 4 теорему двойственности, в то время как мы интерпретируем символы
х( как элементы группы H\BT,Zp).)

264 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Сопоставляя A0.1) и 11.3, получаем
Следствие 11.4. Пусть йр>3<т,- — главный член многочлена
Вр>3(.<тг>..., Oj), a /z{ е Яи~1(и(п), Zp) — элемент, переходящий при транс-
трансгрессии в класс C2i mod D. Тогда
= ft*-3hj A =s i =s n; j = i + k(p — 1)).
(Главный член определяется, как обычно, из условия, что разность
Bpij(ov ..., Oj) — ftpl3ff,- является многочленом от ov ..., о}_г.)
12. Частные случаи. Если к, /, р — заданные целые числа, то многочлен
B^j(ov ..., Oj) и его главный член ftp'3 <т,- можно определить общеизвестным
приемом. Для р=2 У предложил следующую формулу, пригодную для
любых к и /:
fj — k—l\ п — к — 2-
к ) ai + \ к— 1
Для рф1 нам неизвестно никакой общей формулы такого рода.
Примеры. 1. Вычисление многочлена В^3. Нужно вычислить вы-
выражение 2 эфсг • • • хз-2- Имеем
2 х| х2... х}_2 =
2 x{ x2... Xj_t =
Так как 2'xi = (ffiJ — 2<т2, то отсюда получаем
A2.1) BJrj = (ffiJff3-2 - 2«т1в}._, - в1^_! + /ff„
откуда, ввиду 11.3, имеем
A2.2) ф%Сц-д = (С2JС2Ь4 - 2С4С23_4 - C2C2j-2 + jC2j.
2. Вычисление коэффициента ftp-3. Из предыдущего примера следует,
что й|'3 = /. Оказывается, что вообще
A2.3) й?3 = j mod p.
Так как (—\y+1 = I mod p для любого простого р, то, очевидно, доста-
достаточно показать, что главный член многочлена 2 Х?Х2 • • • xi-g+i имеет вид
(— 1)9+1/ Oj. Для 9 = 2 это следует из формулы
а для ? > 2 доказывается индукцией по q с помощью тождества
Сопоставляя A2.3) с 11.3 и 11.4, получаем
Предложение 12.4. Пусть р — простое число, / — любое целое
число, большее р и не делящееся на р. Тогда приведенный по модулю р класс
Чженя C2j с точностью до многочлена от классов С,н (/</) равен A //)Ф^(С,3_2р+2).
Кроме того, /z,= (l//) ДОг3_р+1).
Как правило, в приложениях число / задано наперед и требуется найти
простое число р, удовлетворяющее условиям предложения 12.4. В связи с
этим укажем следующую лемму.
Лемма 12.5. Для любого целого числа j s= 3 существует такое простое
число р, что р < / и j ф 0 mod p. Если j s» 4, то число р можно выбрать
нечетным.
Для доказательства первого утверждения леммы достаточно принять за
р любой простой делитель числа / — 1. Для доказательства второго — доста-

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 265
точно принять за р любой простой делитель или числа /—1, если / четно, или
числа / — 2, если / нечетно.
Из 12.4 и 12.5 следует
Предложение 12.6. Пусть / — произвольное целое число s» 3.
Существует не делящее / простое число р, нечетное, если /э= 4, для
которого приведенный, по модулю р класс С$ (соответственно класс ty) яв-
является суммой некоторого многочлена от классов C2i (соответственно hj,
i < /, и выражения G^(АС21_ар+1) (соответственно <7>?(АЛ3-_р+1)), AeZp.
Поскольку любой элемент группы Я23 (BU(n),Zp)(соответственно группы
Я2{~1(и(п), Zp)) является суммой некоторого кратного класса С2з- (соответст-
(соответственно класса Л,) и некоторого многочлена от классов C2i (соответственно от
классов hi) i < /, то из 12.6 вытекает
Следствие 12.7. Если числа j и р удовлетворяют условиям предло-
предложения 12.6, то любой элемент групп #2i(BU(n), Zp) и Я2з'-1(О(п), Zp) выра-
выражается с помощью произведений Колмогорова — Александера и операций
Стинрода через элементы строго меньших размерностей.
Заметим, что следствие имеет место также и для группы SU(n). Это
можно показать с помощью аналогичных вычислений, но проще заметить,
что, поскольку группа SU(n) вполне негомологична нулю в группе U(n),
то алгебры #*(SU(n),Zp) и tf*(Bsu(n), Zp) являются факторалгебрами алгебр
Н*(\3(п), Zp) и H*(BV(n), Zp) ([IV], следствие из предложения 21.3).
13. Унитарная симплектическая группа Sp(n). Применим общий метод
к вычислению приведенной степени <7?Р(/<«) класса Кц= 2ХЬ • •*?•
Лемма 11.1 дает значение выражения <рр\х\... х|), откуда легко полу-
получить выражение фр(Кц). Проделав соответствующие вычисления, найдем
A3.1) ф%2 х\ ... xf) = 2 2'2х?>х? ... хрхВД ... х?+/х2+8+1.. .х\.
2r+a-h
Для достаточно малых i и к эта формула позволяет выразить степень
Ки) в виДе многочлена от классов Ки.
Примеры. 1. к= \, р = 3. Нужно вычислить выражение
?|...х2. Имеем
что дает
A3.2) ф&Км) = 2К,К,{-B1 + 2)K4+i.
2. k=l, р=5. Нужно вычислить выражение 22 xfxl... xf. Имеем
2 xjxi ...xf = BхЪB*1 ¦ • • xf) - 2*&l • • • xf+i,
откуда, используя предыдущий результат и формулу B xf) = B *!J —
—2 2 xf x|, получаем
A з.з) фцки) = гк\к« + к8к« + зед4{+4 +& + 4)/<4i+8.
Однако, вообще говоря, удобнее использовать естественное вложение
группы Sp(n) в группу UBn). Соответствующий гомоморфизм
отображает, согласно 5.4, класс C4i+2 в нуль, а класс C4i в класс (— 1)* Кц.
Следовательно,
Таким образом, применяя теорему 11.3, получаем следующий результат:
Теорема 13.4. В обозначениях теоремы 11.3 имеем
Ф&Ки) - (-1I В%< 4@, - Kt, 0,К„..., О, (-1)' Ки, ..., (-1У К^),
где j=i+k(p-1I2.

266 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
(Предполагается, что р^2 или что к четно, ибо в противном случае
*«) = 0, так как H«+*(BSv(n),Z2) = 0.)
Из этой теоремы вытекает следствие, аналогичное следствию 11.4.
Следствие 13.5. Пусть v{ — элемент группы Я44 (Sp(n),Zp),
переходящий при трансгрессии в класс Кц mod D. Тогда
= 0, если р = 2 и к нечетно,
= (— 1)Кр-1I2 ь*-*Ч} в противном случае (здесь /= i + k(p— 1)/2).
(Можно также получить 13.5 из 11.4, воспользовавшись тем, что элемент
V; порождается элементом (— 1)*Л2{, см. п. 5.)
Наконец, утверждения 13.4 и 13.5, соединенные с равенством bp'2i =
= 2/ mod p, дают следующий аналог утверждения 12.7.
Следствие 13.6. Пусть j— произвольное целое числог=2. Существу-
Существует такое нечетное простое число р<2/, что любой элемент групп Н**(ВцР(п), Zp),
//4з—1^§р(п), Zp) выражается с помощью произведений Колмогорова — Алек-
сандера и операций Стинрода через элементы строго меньших размерностей.
14. Ортогональная группа SO(n). Поскольку группа SO(n) имеет 2-
кручение, мы должны ограничиться здесь нечетными простыми р. Как было
указано в п. 5, образующими алгебры H*(SQ(ri),Zp) являются приведенные
классы Понтрягина P4i, к которым при четном п прибавляется класс Штифеля—
Уитни1Уп. Далее, естественное вложение группы SO(rc) в группу Щп) опре-
определяет гомоморфизм а : H*(BV(n), Zp) -> H*(Bmn), Zp), который переводит
класс С4{+2 в нуль, а класс Си в класс (— l)*P4i (см. 5.3). Следовательно, для клас-
классов Р4{ можно повторить рассуждения, изложенные в п. 13 для случая
классов Кц- Таким образом, получается
Теорема 14.1. Пусть Р^е #4i(BSo<n),Zp) — приведенный по модулю
р (р^?2) класс Понтрягина размерности 4f. Тогда
В случае когда п = 2т четно, остается еще вычислить выражение
<Pp(Wzm). Для этого проще всего применить общий метод. Так как W2m =
= х1...хт, то <p^(W2m) = 2*i • • • х% *й+1 • • • *т> ЧТ0 можно переписать в
следующем виде, поскольку имеется только т символов хх.. . хт:
где положено h — (р— 1)/2. Таким образом, остается выразить многочлен
^ xlh ... x|h через многочлены Р4{ = ^ х\. . . xf и (W2mJ. В результате
мы получаем следующую теорему.
Теорема 14.2*. Пусть р — произвольное нечетное простое число,
h = (р — 1)/2, и пусть С^^а^ ... , ат) — выражение симметрической функ-
функции ^ х\ .. л* в виде многочлена от элементарных симметрических функций
Oi ~ ^ хх. .. X; переменных xv ..., xm. Тогда
Ф1{Ы2т) = ]У2тСк'\РА,Р„..., P4m_4, (W2m)%
где WsmeH2m{BsoBm),Zp) — приведенный по модулю р класс Штифеля—
Ушпни размерности 2т.
Заметим, что для к г= 1 класс <J)^W.,m) всегда разложим.
Из теорем 14.1 и 14.2 вытекает
Следствие 14.3**. Пусть р — произвольное нечетное простое число,
t{ — элемент группы W4i~1(SO(n), Zp), переходящий при трансгрессии в эле-
элемент Ри mod D, и ип (при четном п) — элемент группы W"-1(SO(n), Zp),
* В оригинале эта теорема ошибочно имеет номер 13.2. — Прим. ред.
** В оригинале это следствие ошибочно имеет номер 13.3. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 267
переходящий при трансгрессии в элемент Wn mod D. Тогда
^р("п)= 0, если fcs= I,
(Заметим, что можно было бы a priori предвидеть тривиальность классов
фр(ип), fcs» 1. Действительно, класс Wn является образом при трансгрес-
трансгрессии элемента группы /7n~1(SO(n), Z), являющегося в свою очередь образом
фундаментального класса сферы Sn-1 при гомоморфизме, порожденном
естественной проекцией группы SO(n) на сферу Sre_i. Так как в рассматри-
рассматриваемом случае трансгрессия является мономорфизмом, то этот элемент, приве-
приведенный по модулю р, совпадает с элементом и^. Следовательно, класс фр(ип)
является образом некоторого элемента группы Hn~1+2k(p~1\Sn_1, Zp) и
потому равен нулю, если к г= 1.)
Рассуждая, как при доказательстве теоремы 12.7, получим
Предложение 14.4*. Пусть / s= 2 и п нечетно. Тогда существует
такое простое нечетное число р<2/, что любой элемент групп Hij(B$o(n), Zp),
/7«"—x^sO(n), Zp) выражается с помощью произведений Колмогорова —
Александера и операций Стинрода через элементы строго меньших размер-
размерностей.
Замечание. Пусть G—произвольная классическая группа и 2q—1 —
наибольшая размерность, в которой алгебра H*(G,R) (где R — поле дейст-
действительных чисел) содержит отличный от нуля универсально трансгрессив-
трансгрессивный элемент.
Для любого простого нечетного числа р < q операция фр нетривиальна в
алгебре H*(G,Zp); точнее, операция ф\ преобразует отличный от нуля уни-
универсально трансгрессивный элемент xeH\G, Zp) в отличный от нуля элемент
.группы Н*+\в, Zp).
Учитывая равенство Ьр^ = / mod p, это утверждение можно проверить
в любом из случаев G = Щп), SU(n), Sp(rc), SO(n). В случаях G = U(n),
SU(n) это утверждение имеет место и для р = 2.
Напротив, если р > q, то a priori очевидно, что операция фр, и вообще
любая операция ф%, тривиальна в алгебре H*(G,ZP).
Глава IV
ПРИЛОЖЕНИЯ
15. Квазикомплексные сферы и алгебры с делением над полем действи-
действительных чисел.
Предложение 15.1. Сфера S2n(ns=4) не допускает никакого
квазикомплексного строения.
Рассуждая от противного, предположим, что на сфере S2re введено неко-
некоторое квазикомплексное строение. Рассмотрим соответствующие классы
Чженя c2ieHZi(Sen, Z). Эти классы являются образами классов Cgie H2i(BV(n),Z)
при гомоморфизме, порожденном некоторым непрерывным отображением
сферы S2n в пространство Ви(п>A '== i =s n). Следовательно, согласно пред-
предложению 12.6, в котором положено / = п, существует такое нечетное простое
число р < п, что приведенный по модулю р класс с2п выражается с помощью
произведений Колмогорова — Александера и операции Стинрода ф\ через
классы c2i(i < п). Но эти последние классы равны нулю, так как H2i(S2n,Z) = О
для 0 < i < п. Таким образом, с2п = 0 mod p.
* В оригинале это предложение ошибочно имеет номер 13.4. — Прим. ред.

268 А. БОРЕЛЬ И Ж--П. СЕРР
С другой стороны, известно ([143], 41.8), что класс с2п имеет вид jf(S2n) • ft,
где ft — фундаментальный класс группы H*?(S2n, Z). Так как число р выбрано-
нечетным, отсюда следует, что с^ ф 0 mod p. Полученное противоречие
доказывает наше утверждение.
Замечание. Изложенное доказательство применимо к сфере S2n,
снабженной произвольным дифференцируемым строением, тогда как в клас-
классическом доказательстве отсутствия квазикомплексного строения на сфере
S4 ([143], 41.20) предполагается, что сфера S4 снабжена обычным дифферен-
дифференцируемым строением.
Известно, что с помощью октав Кзли квазикомплексное строение можно
определить на сфере Se ([143], 41.21). Обобщая это построение, мы докажем
Предложение 15.2. Пусть А — некоторая (не обязательно ассо-
ассоциативная) алгебра над полем действительных чисел R и пусть
(a) алгебра А обладает единицей, которую мы будем обозначать через ег
(b) из соотношения аЬ = 0 следует, что либо а = 0, либо Ь = 0,
(c) из соотношения ab = е следует, что элементы а, Ь и е удовлет-
удовлетворяют линейному соотношению с действительными коэффициентами.
Тогда размерность алгебры А равна 1, 2, 4 или* 8.
Прежде всего заметим, что, согласно Хопфу и Штифелю6, из одних
только условий (а) и (Ь) следует, что размерность алгебры А является степенью
двух. Следует ли из них неравенство dim A «s 8 — неизвестно. В случае
когда подалгебра, порожденная произвольным элементом, ассоциативна,
условие (с) эквивалентно тому, что любой элемент алгебры удовлетворяет
квадратичному соотношению**.
Пусть п = dim А, и пусть п>3, Нужно показать, что п = 4 или п = 8.
Введем в алгебре А, рассматриваемой как действительное линейное простран-
пространство, некоторое положительно определенное скалярное произведение. Пусть
Н — гиперплоскость пространства А, проходящая через нуль и ортогональна*
к элементу е (относительно введенного скалярного произведения). Пусть
далее S — множество точек гиперплоскости Н, находящихся от нуля на
расстоянии, равном единице. Множество S является, очевидно, (п — 2)-
мерной сферой. Касательное пространство Тх в любой точке х сферы S можно
* Для разъяснения алгебраического значения этого предложения заметим, что
условие (Ь) (отсутствие делителей нуля) равносильно (ибо размерность алгебры А, хотя
это и не оговорено авторами, предполагается конечной) существованию у любого отлич-
отличного от нуля элемента алгебры однозначно определенных правых и левых обратных эле-
элементов. С другой стороны, из условия (с) следует, что любой элемент а € А удовлетворяет
квадратичному соотношению вида а.а3+ ра+ уе=О, где«,/3, yeR, т. е. либо является кратным
единицы, либо порождает подалгебру, изоморфную полю комплексных чисел. Таким обра-
образом, любой элемент алгебры порождает ассоциативную подалгебру, т. е. алгебра А являет-
является алгеброй с ассоциативными степенями. Обратно, если алгебра А конечной размер-
размерности иад полем действительных чисел не имеет делителей нуля, обладает единицей и
является алгеброй с ассоциативными степенями, то, ввиду того, что любой многочлен
над полем действительных чисел разлагается на линейные и квадратичные множители,
любой элемент алгебры А удовлетворяет квадратичному соотношению, т. е. порождает
подалгебру, изоморфную либо полю действительных чисел (если он кратен единице), либо
полю комплексных чисел. Следовательно, алгебра А удовлетворяет условию (с) (и, конечно,
условиям (а) и (Ь)). Таким образом, предложение 15.2 можно сформулировать в следую-
следующей форме:
Пусть алгебра А конечной размерности над полем действительных чисел не имеет
делителей нуля, обладает единицей и является алгеброй с ассоциативными степенями.
Тогда dim А = 1, 2, 4, 8.
Заметим, кстати, что если dim A = \, то A =R, если dim A =2, то А =С (где С —
поле комплексных чисел). Напротив, в случаях dim A = 4,8 существует бесконечно
много алгебр рассматриваемого типа. — Прим. ред.
5 См. [186, 174]***.
** Это замечание излишне, потому что, как следует из примечания* на этой странице,
.р. алгебре А любой элемент порождает ассопиативную подалгебру. — Прим. ред.
*** См. также [116]. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 269
отождествить с (п — 2)-мерным подпространством пространства А, ортого-
ортогональным элементам е и х. Обозначив через кх оператор ортогонального
проектирования пространства А на подпространство Тх, положим
ЛОО = К (ху),
где у е Тх.
Оператор Jx является эндоморфизмом пространства Тх, непрерывно
меняющимся вместе с х. Покажем, что оператор Jx не имеет действитель-
действительных собственных значений. В самом деле, равенство JJy) = Ay (A e Я) можно
записать в виде kJxy — Хе) — 0, т. е. ху — Лу = /ле + vx {pi, v e R). Сле-
Следовательно, (х — Хе) (у — ve) = (/л + Xv)e. Если у ^ О, то х — ХефО и у —
— ve Ф- 0, так как элементы х и у ортогональны к элементу е. Поэтому, сог-
согласно (Ь), имеем: р + Xv ф 0. Следовательно, можно положить w = (р +
+ Ху)~г (у — ve), и мы получим (х — Xe)w = e. Согласно (с), отсюда
следует, что элементы х — Хе, w, e и, следовательно, элементы х, у, е линейно
зависимы. Но это невозможно, потому что эти элементы попарно ортого-
ортогональны.
Таким образом, любой точке х е S мы отнесли не имеющий действительных
собственных значений эндоморфизм Jx касательного пространства сферы
S в точке х. Как известно (см. ниже), отсюда следует, что на сфере S можно
определить квазикомплексное строение. Поетому п — 2 = 2, б, т. е. п = 4,8.
Примечание. Для полноты изложения покажем, как с помощью
эндоморфизмов Jx можно на сфере S ввести квазикомплексное строение6,
т. е. определить такие эндоморфизмы /ж, что (/жJ = — 1.
Пусть Tx<g) С — комплексное расширение действительного линейного
пространства Тх, и пусть (хг,..., а„ alt..., ocq) — собственные значения
эндоморфизма Jx в пространстве Тх 0 С; предполагается, что мнимые части
собственных значений а» положительны. Для любого собственного значе-
значения а обозначим через Va наибольшее подпространство пространства Тх 0 С,
в котором оператор ]х — а нильпотентен. Известно, что пространство Тх 0 С
является прямой суммой пространств Va. Кроме того, Vs = Va. Следова-
Следовательно, пространство Тх ®_С является прямой суммой пространств W =
= Уо, + • • • + Vaj и W, а значит, любой элемент у е Тх однозначно
представляется в виде у = w *f w (w e W). Положим теперь IJy) = iw — iw.
Этот элемент принадлежит пространству Тх, и, следовательно, 1Х является
эндоморфизмом пространства Тх, удовлетворяющим, очевидно, условию
(/жJ = — 1. Остается проверить, что этот эндоморфизм зависит непрерывно
от х. Но это немедленно следует, например, из непрерывности собственных
нзачений эндоморфизма Jx.
16. О расслоенных пространствах, базами которых являются сферы.
Изложим здесь некоторые результаты, которые понадобятся нам в следу-
следующих пунктах; предложение 16.1 используется также в работе Миллер
[97].
Предложение 16.1. Пусть Е — расслоенное пространство с
слоем F и базой Sr, /? — фундаментальный класс группы Hr(Sr,Zp) (где
р — простое число) и С — проекция пространства Е на сферу Sr. Если класс
у — ?*(/?) выражается с помощью произведений Колмогорова — Александера
и операций Стинрода через элементы алгебры Н*(Е, Zp) размерностей,
меньших г, то расслоенное пространство Е не имеет ни одного сечения*.
По предположению существуют такие элементы uv ... , uh € Н*(Е, Zp)
(О < dim щ < г), что у = /(Uj,..., uk), где / — некоторая комбинация про-
произведений Колмогорова — Александера и операций ф\. Если расслоенное
пространство Е обладает сечением s: Sr -> Е, то соответствующий гомо-
6 Излагаемое ниже доказательство любезно сообщено нам де Рамом.
* Сечениями называются здесь секущие поверхности в смысле [143]. — Прим. ред.

270 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
морфизм s* : H*(E,ZP) -* H*(Sr, Zp) удовлетворяет соотношению s*°?* =1.
Следовательно,
/J = s* о :•(/*) = s*(y) = s*(/(ui,- •., и*)) = /(s*(«i),- •., s*(uk)) = 0,
ибо s*(tij) являются классами когомологий сферы Sr, размерности которых
содержатся строго между 0 и г. Но это невозможно, потому что /5^0, так
что пространство ? не может иметь сечений.
(Само собой разумеется, что это рассуждение имеет общий характер и
применимо не только к сферам, но и к другим пространствам, лишь бы в
них для любого i имело место соотношение s*(Uj) — 0.)
Утверждение предложения 16.1 равносильно тому, что характеристи-
характеристический класс се е пг^г{Р) рассматриваемого расслоения является нетривиаль-
нетривиальным элементом группы ггг_1(/7). Мы уточним этот результат в следующих
двух предложениях.
Предложение 16.2. В предположениях и обозначениях предыду-
предыдущего предложения порядок характеристического класса се е п^^Р) либо
бесконечен, либо делится на р.
Другими словами, qcc Ф 0 в n^F), если q является отличным от нуля
целым числом, не делящимся на р.
Для доказательства рассмотрим некоторое отображение у> : Sr -> Sr
степени q. Пусть ?'— прообраз пространства ? при отображении у> и ?'—
проекция пространства ?' на сферу Sr. Тогда существует такое отображение
у> :?'->?, что уо?' = ?°у- Очевидно, что у>*({?) = qfi, откуда
qt'*(P) = Г* - ?>*(/*) = V* ° :*(/») = V*(/ («1. • • •
и, следовательно, поскольку q ф 0 mod p,
Поэтому, согласно 16.1, в пространстве ?' не существует ни одного сечения,
т. е. характеристический класс се' € ггг_1(/7) пространства ?' отличен от нуля.
Тем самым предложение доказано, ибо, как легко видеть, се' = qce.
Предложение 16.3. Пусть, кроме условий предложения 16.1,
имеют место также следующие условия'.
(a) Расслоенное пространство Е является главным расслоенным про-
пространством с линейно связной структурной группой F.
(b) Если щ, ... , uh — такие элементы алгебры Н*(Е, Zp), что у =
= / (Uj, ... , uh), то 0 < dim щ *s r =s 2 для всех* г.
(c) Класс у отличен от нуля.
Тогда в группе ?rr_1(F) не существует элемента а', для которого се — pet'.
(Другими словами, элемент се определяет отличный от нуля элемент
группы 7j;l._1(F) &)Zp; результат существенно более точный, чем предложе-
предложение 16.2.)
Рассуждая от противного, предположим, что существует элемент ce'&n^F),
для которого а = рее'. Известно ([143], 18.5), что, сопоставляя любому глав-
главному расслоенному пространству с базой Sr и слоем F его характеристический
класс, мы получим взаимно однозначное соответствие между классами
главных расслоенных пространств с базой Sr и слоем F и элементами группы
nr-i(F). Рассмотрим главное расслоенное пространство ?' с характеристи-
характеристическим классом л'. Пространство ? является прообразом пространства ?'
при некотором отображении а : Sr -* Sr степени р. Пусть, как и выше,
?' — проекция пространства ?' на сферу Sr и пусть, кроме того, а :?-»?' —
* Это условие сформулировано авторами нечетко. Правильная формулировка:
Существуют такие элементы ult ... , Uft € H*(Et Zp), что у = /(ub ... Ut) a
0 < dim щ^г — 2 для всех i. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 271
естественное отображение пространства Е в пространство ?', а
i*: Н*(Е, Zp) - H*(F, Zp) и V*: Н*(Е>, Zp) -> H*(F, Zp)
— гомоморфизмы, порожденные вложением слоя в пространства Е и ?' соот-
соответственно.
Очевидно, что i* °o* = i'*. С другой стороны, из точности последова-
последовательности Вана ([30] или [ IJ, стр. 62) следует, что в размерностях =е г — 2
гомоморфизмы i* и i'* являются изоморфизмами. Следовательно, тем же
свойством обладает и гомоморфизм а*. Поэтому алгебра Н*{Е', Zp) содержит
такие элементы и'ь что ui = cf*(U;)(l3S?zssfc), где щ — предусмотренные усло-
условием (Ь) элементы алгебры Н*(Е', Zp). Так как
**(У) = '"*(/(«!, • • -, «О) = '• ° **(/("!,- ¦•> "*)) = i'*(f(ui- • • "*)).
то i'*(f(ui>• ¦ ¦> ик)) = 0, ибо, как легко видеть, i*(y) = 0. Поэтому из точ-
точности последовательности Вана вытекает, что f(u[, ..., ы^) = К'*(Р) (Я е Zp).
Следовательно,
у=Хд*о ?Щ) = АС* о о*@),
что невозможно, ибо о- является отображением степени р и потому а*ф) = 0,
а, с другой стороны, у ^ 0, согласно условию (с). Тем самым предложение
16.3 доказано.
17. Отсутствие сечений в некоторых расслоенных пространствах.
Предложение 17.1. В следующих расслоениях нет сечений:
(a) SU(rz)/SU(rz — 1) = S2n_! при п^Ъ.
(b) О(л)/О(л - 1) = S2n^ при п^З.
(c) Sp(rz)/Sp(rz — 1) = S^-i при п ^ 2.
(d) Spfa(9)/SpinG) = S15.
(e) SpinG)/G2 = S7.
^Расслоения (a), (b), (с) общеизвестны, расслоения (d), (e) определены
в [13].)
Согласно 16.1, достаточно для каждого расслоения найти такое простое
число р, что любой элемент групп
//2«-i(sU(r0, Zv\ Я2«-1(О(„), zp), H^-*(Sp(n), Zp),
tf15(Spin(9), Zp) и /T(SptaG),Zp)
выражается с помощью произведений 'Колмогорова—Александера и приве-
приведенных степеней через элементы строго меньших размерностей. Для U(n)
и SU(n) это возможно в силу 12.7, а для Sp(rc) — в силу 13.6. В случае
(d) необходимо сначала найти такое нечетное р, что любой элемент группы
#"(SO(9), Zp) выражается с помошью произведений Колмогорова — Алек-
Александера и операций <7?р через элементы размерностей < 15. Согласно 14.4, за
р можно принять любое из трех чисел 3, 5, 7. Далее, поскольку группа
Spin(9) является двулистным накрытием группы SO(9), порожденный про-
проекцией гомоморфизм tf*(SO(9), Zp) -* tf*(Spin(9), Zp) является изо-
изоморфизмом*. Следовательно, любой элемент группы #15(Spin(9), Zp) также
выражается через элементы меньших размерностей. В случае (е) доказатель-
доказательство аналогично; следует положить р = 3.
Замечание. Согласно предложению 17.1 (а), расслоение SUC)/SUB)=
= S5 не имеет сечения, т. е. характеристический класс а е tt4(Ss) зтого рас-
расслоения отличен от нуля. Этот факт впервые был доказан Понтрягиным
* См. примечание на стр. 27 и предложение 3 на стр. 72. — Прим. ред.

272 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
[109] гомотопическими методами. Подчеркнем, что мы доказали его чисто
когомологически (с использованием операции Sq*).
Предложение 17.2. (а) Характеристический класс расслоения
SU(n)/SU(n — 1) = S2n_x для любого простого р < п, не делящего п, опре-
определяет отличный от нуля элемент группы 7r2n_2(SU(n — \)\ <g) Z,,.
(b) То же самое имеет место для расслоения U(n)/U(n — Г) = S2n-v
(c) То же самое имеет место для любого не делящего п нечетного простого
числа р < 2п и расслоения Sp(n)/Sp (п — 1) = S4n_]_.
(d) Характеристический класс расслоения Spin(9)/SpinG) == S15 опре-
определяет отличный от нуля элемент группы 7rl4(SpinG)) ® Zp для р = 3, 5, 7.
(e) Характеристический класс расслоения SpinG)/G2 =*= S7 определяет
отличный от нуля элемент группы tt6(G2) ® Z8.
Нужно показать, что выполнены условия предложения 16.3. Условие
16.3 (а) очевидно; условие 16.3 (Ь) следует из того, что использованная при
доказательстве предложения 17.1 операция / содержит операцию ф\, уве-
увеличивающую степени на 2(р — 1) =э= 2 единиц. Наконец ясно, что в каждом
из рассматриваемых случаев элемент у универсально трансгрессивен и,
следовательно, по самому определению алгебр Н*(Е, Zp) отличен от нуля.
Таким образом, условие 16.3 (с) также выполнено.
Легко видеть, используя формулу Щр = j mod p и результаты гл. III,
что в каждом из рассматриваемых случаев указанные в формулировке про-
простые числа обладают тем свойством, что у = ФЦц) (и е Н*(Е, Zp)). Таким
образом, 17.2 следует из 16.3.
Замечание. Для доказательства предложения 17. 2 нам понадобились
только операции ф\. Используя приведенные степени ф\ для произвольного
к и учитывая доказываемую ниже лемму о коэффициентах ftp'1 (лемма 20.7),
можно аналогичными рассуждениями получить более точный результат.
Для простоты мы сформулируем получающееся таким образом предложение
только для случая (а).
Характеристический класс расслоения SU(n)/SU(n — 1) = Ssn^l опре-
определяет нетривиальный элемент группы 7r2n_2(SU(n — 1)) ® Zp, если простое
число р < п удовлетворяет следующему условию: число п не делится на ph(p'n)+1,
где h{p, n) — наибольшее число, для которого р^>п)(р— 1) < п.
В заключение этого пункта докажем следующее предложение, анало-
аналогичное предложениям 17.1 (с) и 17.2 (с). ,
Предложение 17.3. Пусть W4n_! — многообразие единичных
векторов, касающихся сферы S2n. Расслоение SOBn + l)/SOBn — 1) = W4n-i
не имеет сечения, если пз=2. Для любого нечетного простого числа р, мень-
меньшего 2п и не делящего п, граничный гомоморфизм d группы 7r4n_1(W4n_1) в
группу 7r4n_2(S0Bn — 1)) определяет в группе rc4n_2(SOBn— I)) ®ZP под-
подгруппу, изоморфную группе Zp.
Известно*, что если р нечетно, то W*(W4n_x, Zp) ж H*(Sin_v Zp). Сле-
Следовательно, рассуждения, составляющие доказательство предложения 16.1,
без всякого изменения применимы и к рассматриваемому случаю. Таким
образом, для доказательства первой части предложения 17.3 достаточно
сослаться на предложение 14.4.
Далее, известно (см. [III], гл. IV, предложение 2), что существует ото-
отображение^ сферы S^.j в многообразие W4n_1( для которого при любом
значении i ядро и коядро отображения
являются 2-группами. Пусть Е — расслоенное пространство, являющееся
'прообразом группы** SOBn +1) при этом отображени, и g — его естествен-
* См. стр. 192, формула A0.5). — Прим. ред.
** Здесь группа SOBn + 1) рассматривается как расслоенное пространство с базой
W4n_i и слоем SOBn — 1). — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 273
ное отображение в группу SOBn + 1). Так как часть отображения g на любом
слое является гомеоморфным отображением этого слоя на соответствующий
слой группы SOBn + 1) и так как отображение g* для любого р =? 2 является
изоморфизмом алгебры //*(S4n_1; Zp) на алгебру H*(Win_x, Zp), то гомо-
гомоморфизм g* является изоморфным отображением алгебры W*(SOBn + 1), Zp)
на алгебру Н*(Е, Zp), ([I V]§ 4d). Таким образом, к пространству Е применимы
те же рассуждения и вычисления, что и к расслоению (с) предложения 17.2.
Следовательно, образ отображения
d': %n-i(S4,_i) - nin-2(SOBn - 1)) (g) Zp,
являющийся подгруппой группы jr4n-2(SOBn — l))<g)Zp, изоморфен группе
Zp. Для доказательства второй части предложения 17.3 остается заметить,
что d' = d°g0.
18. О р-компонентах гомотопических групп классических групп. Пре-
Предыдущие предложения позволяют вычислить р-компоненты групп
m(G), (G = SU(n), Sp(n), SO(n)) до размерности 4р—3 включительно. Для
формулировки получающихся результатов удобно воспользоваться языком
6-теории, развитой в [III], и, в частности, понятием (g-изоморфизма, опре-
определенным в гл.1 статьи [III]. Мы будем через &р обозначать класс конечных
групп, порядки которых взаимно просты с числом р.
Предложение 18.1. Пусть р — произвольное простое число и
G = SU(n). С точностью до &р-изоморфизма группы щ(п) (i =s Ар — 3)
определяются следующими формулами:
(I) Если п =s р, то л2^г{п) = Z B =«= / =s n),
n2h(Q) = Zp (p^k^p + n — 2),
7ii(G) = 0 в остальных случаях.
(II) Если р < п =s 2р — 2, то щН1(п) = Z, B =s / ^ п),
j%(G) = Zp (n =s к ^ 2р — 2),
7Tj(G) = 0 в остальных случаях.
(III) Если п ^ 2р — 1, то лщ^й) = Z B =s / ^ 2р — I),
= 0 в остальных случаях.
Если п =s р, то из [III], гл. V, предложение 6, следует, что число р регу
лярно для группы G (в смысле п. 4 этой статьи), так что группа тг4@Nр-изо
морфна прямой сумме групп jri(S2m_1) B =s m =s n). Тем самым (I) доказано
Для доказательства утверждении (II) и (III) мы воспользуемся индук
цией по п. Начало индукции обеспечивается утверждением (I). Для доказа
тельства общего шага индукции достаточно рассмотреть точную последо
вательность
При этом следует иметь в виду, что для всех г, кроме i — 2л— 1, группы
Л{ (S^-i) ёр-тривиальны, ибо 2л — 1 + 2р — 3 s= 4p — 2. Кроме того, в слу-
случае р < п =s= 2р — 2 для вычисления ядра отображения d : 7i2n-i (S2n-i) —*"
—*¦ jr2n_2(SU(n— 1)) следует воспользоваться предложением 17.2.
Читатель без труда может получить аналогичные результаты для групп
Sp(n) и S0Bn + 1). Мы не будем их формулировать. Ограничимся доказа-
доказательством предложения, позволяющего перейти от группы S0Bn — 1) к
группе S0Bn).
18 Расслоенные пространства

274 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Предложение 18.2. Пусть 6 — класс всех 2-групп. Оказывается,
что группа ni(SO Bп)) ^-изоморфна прямой сумме групп 7Ti(SOBn — 1))
и jTiCSgn-]).
Известно, что порядок характеристического класса ж расслоения
SOBn)/SOBn — 1) = S2n_j равен двум*. Следовательно, расслоенное про-
пространство Е, являющееся прообразом пространства SO Bл) при некотором
отображении Sun-X -*¦ S2n_1 степени два, изоморфно прямому произведению
SOBn—1) X Sgn_!. С другой стороны, из [IV], §4d, следует (ср. соот-
соответствующие рассуждения при доказательстве предложения 17.3), что
естественное отображение пространства Е на пространство SOBn) опре-
определяет для любого нечетного простого р изоморфизм алгебры H*(S0Bn),Zp)
на алгебру Н*(Е, Zp). Пусть Е и SpinBn) — универсальные (дву-
(двулистные) накрытия пространств Е и SOBn) соответственно. Тогда соот-
соответствующее отображение алгебры H*(SpinBn), Zp) в алгебру Н*(Ё, Zp)
также является изоморфизмом. Следовательно, согласно теореме 3 гл.
III работы [III], отображение пг(Е) -*¦ ^(Spin Bл)), а потому и отобра-
отображение л{(Е) -*¦ m(S0Bn)) является ё-изоморфизмом. Тем самым пред-
предложение доказано.
19. 11Гестимерные гомотопические группы классических групп. Мы пред-
предполагаем известными значения пяти первых гомотопических групп класси-
классических групп (см. [143], 24.11, 25.4, 25.5 и [194], 3.72). Кроме того, мы будем
считать известным, что 7r6(S3) «* Z127. При определении шестимерных гомо-
гомотопических групп мы будем пользоваться следующим предложением.
Предложение 19.1. Характеристический класс « е ne(S3) рассло-
расслоения SpB)/Sp(l) является образующей группы n6(S3).
Из предложения 17.2 (с) мы уже знаем, что элемент х не делится на три.
Следовательно, для доказательства предложения 19.1 достаточно показать,
что элемент ж не делится на два.
Отождествим группу Sp(l) с единичной сферой тела кватернионов, а
сферу Se — с многообразием пар кватернионов (q, q'), для которых \q\2 +
+ | q' |2 = 1 и действительная часть кватерниона q' равна нулю. Согласно
[143], 24.11, класс а определяется отображением g : S6 -> S3, которое за-
задается формулой
(') \
Как показал Дж. Уайтхед [ 160], отображение g гомотопно отображению
g', определяемому формулой**
g'(q,q')= 1-
Положив q = Q cos в, q' = Q' sin в, где 0 =s 0 =s n\2 и \Q\ = \Q'\ = 1,
получаем
g'(q, q') = _ cos 26 + sin 26-QQ'Q.
Это означает, что отображение g'\ S6 ~> S3 получается применением
конструкции Хопфа*** к отображению произведения S3 x S2 в сферу S2,
* Действительно, группе SOBn) принадлежит движение, степень которого на сфере
S2M_! равна —1, так что о= — о (см. [143], 18.7, стр. 121). — Прим. ред.
' Известно, что группа me(S3) имеет 12 элементов. Простое доказательство этого
'факта можно найтн в [III], гл. IV, предложение 10. Для доказательства ее цикличности
можно либо показать, что она содержит подгруппу, изоморфную группе Zlt как это было
сделано Барраттом и Пехтером [4], либо воспользоваться группами когомологий по модулю
2 пространств Эйленберга—Маклейна, вычисленными одним из нас (см. [132] и [134])****.
** См. примечание 2 в конце статьи. — Прим. ред.
*** См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.
**** См. примечание 1 в конце статьи. — Прим. ред.

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 275
определяемому формулой (Q, Q') -> Q Q' Q. Но тогда, согласно Блей-
керсу и Масси' [8], обобщенный инвариант Хопфа элемента х отличен от
нуля*. Так как в рассматриваемом случае обобщенный инвариант Хопфа
является гомоморфизмом И : 7r6(S3) -> Z2, то, следовательно, элемент х
не делится на два.
Предложение 19.2.
7r6(Sp A)) = Z12, n6(Sp(n)) = О при п > 2.
Первое равенство следует из того, что Sp(l) = S3. Далее, расслоение
SpB)/Sp A) = S7 порождает точную последовательность
7T7(S7) -!U 7T6(S3) -> 7T6(SpB)) -> 0.
Образом отображения d является подгруппа, порожденная элементом
х, и, следовательно, согласно 19.1, вся группа 7r6(S3). Поэтому 7r6(SpB)) =
= 0, откуда следует, что л6(Sp(л)) = 0, если п>2.
Предложение 19.3.
7r6(SOC)) = Z12, tt6(S0D)) = Z12 + Z12, 7r6(SO(n)) = 0 при л э* 5.
Две первые формулы следуют из того, что группы SOC) и SOD) имеют
универсальными накрывающими группы S3 и S3 x S3 соответственно. Далее,
известно, что универсальная накрывающая группы SO E) изоморфна группе
SpB) и, следовательно, ввиду 19.1 п6 (SOE)) = 0.
Расслоение SOF)/SOE) = S5 порождает точную последовательность
0 - 7T6(SOF)) -> 7T6(S5) -^-> 7T5(SOE)) -> 7T5(SOF)).
Так как ^5(SOF)) = Z и tt5(SOE)) = Z, (см. [194]), то отображение d
является изоморфизмом группы 7r6(S5) = Z2 на группу 7r5(SOE)), откуда
7r6(SOF)) = 0.
Рассмотрим теперь точную последовательность
0 -> tt6(SOG)) -> tt6(S6) -^-> tt5(SOF)) -> tt5(SOG)).
Согласно [194], имеем 7r5(SOG)) = 0 и 7r5(SOF)) = Z. Следовательно, ото-
отображение d является изоморфизмом и tt6(SOG)) = 0. Для доказательства
предложения 19.3 остается заметить, что пв(SO(n)) = tt6(SOG)), если п>
&= 7.
Предложение 19.4.
tt6(SUB)) = Z12, tt6(SUC)) = Z6, 7r6(SU(n)) = 0 (n > 4).
Первое равенство следует из того, что SUB) = S3. Рассмотрим группу
SUC). Расслоение SUC)/S3 = S5 порождает точную последовательность
%(S5) — * ^6(S3) -* VSDC)) -> tt6(S5) -^-> n&(S3) -> тг5 (SUC)).
Покажем сначала, что гомоморфизм Ф: tt6(S5) -> tt5(S3) отображает первую
группу на вторую. Известно [109], что 7r4(SUC)) .= 0. Следовательно, любое
отображение S4 ~* S3 -> SU C) несущественно. Тем более несущественна
его композиция с любым отображением S5 -> S4. Так как отображение
S5 ~* S4 -> S3 существенно, когда существенны отображения S5 -> S4 и
S4 -* S8, то отсюда следует, что образ группы n5(S:i) в группе 7r5(SUC))
равен нулю и потому d отображает группу 7r6(S5) на группу 7r5(S3). Следо-
Следовательно, предыдущая точная последовательность дает точную последо-
последовательность
5 0.
18* — 5/13
См. примечание 4 в конце статьи. — Прим. ред.

276 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Для доказательства равенства ne(SU C)) = Z6 достаточно показать,
что образ отображения d отличен от нуля, т. е. что ядро отображения i не-
нетривиально. Но Хилтон доказал, что составное отображение Se -»• S5 -»-
-*¦ S4 -> S3, где каждое отображение существенно, определяет отличный
от нуля элемент группы лв($3) (см. также [III], гл. IV, предложение 10,
замечание 1), и, следовательно, приведенное выше рассуждение (тем более
применимое в рассматриваемом случае) показывает, что этот элемент при-
принадлежит ядру отображения г.
Известно, что группа SUD) изоморфна универсальной накрывающей
группе группы SOF). Следовательно, 7re(SUD)) = 0, согласно 19.3. Для
доказательства предложения 19.4 остается заметить, что rc6(SU(n)) =
= 7re(SUD)), если пз=4.
20. Расслоения комплексных многообразий Штифеля. Пусть Wn, , =
= U(n)/U(n — q) — комплексное многообразие Штифеля ортонормирован-
ных ^-реперов эрмитова пространства С1, и грд>г — естественная проекция
многообразия U(n)/U(n — q) = Wn, „ на многообразие V(n)IV(n — г) =
= Wnj r (q з= г). Известно ([IV], §9), что алгебра H*(Wn,q,Z) является
внешней алгеброй, порожденной элементами размерностей 2п — 2q -f- I,
2л — 2q-\-3, ..., 2п—1. Отображение yn, g изоморфно отображает эту
алгебру в алгебру H*(V(n), Z). Кроме того,'
B0.1) Н*(Щп), Z) м Н*(Щп - q), Z) <g> H*(W^ „ Z).
Последнее утверждение уточняется следующей леммой, в которой hv.. .,hn —
указанные в п. 4 универсально трансгрессивные образующие алгебры
H*(U(n), Z).
Лемма 20.2. Образ алгебры H*(Wn> g, Z) в алгебре H*(U(n),Z) при отобра-
отображении Уп, q является подалгеброй, порожденной элементами ки где п — q +
+ 1 =s i ^ n.
Пусть v{ — некоторая образующая группы #2n~2i+1 (Wn> u Z)
A «s i^n). Это—элемент алгебры H*(Wn> {, Z) наименьшей положительной
размерности. Следовательно, элемент rp^ t (Vj) универсально трансгресси-
трансгрессивен (ср. соответствующие рассуждения в [IV], §23). Таким образом, ^п, i (vi) =
= mjii. С другой стороны, элементы y%t {(v,) составляют систему обра-
образующих алгебры H*(V(n), Z) ([IV], § 9, замечание 2). Следовательно, т{ =
= ± 1 A=^ i =^ п). Из очевидного соотношения транзитивности у>пг { = К, g°V«,i
A =« / ^ q) следует теперь, что элементы h{ (n — q -f- I ^ / =s= n) принадлежат
образу отображения уп, 9 и> следовательно, согласно 20.1, порождают
этот образ.
Эта лемма позволяет свести вычисление приведенных степеней в алгебре
H*(Wni g) к аналогичному вычислению в алгебре Н*(Щп)). Последнее вычис-
вычисление было проведено выше (см. 11.4). Мы хотим теперь получить отсюда
условия, необходимые для существования сечения в расслоении многооб-
многообразия Wn, r+8 посредством многообразий Wn_r> „ с базой Wn, r.
Предложение 20.3. Если расслоение Wn, r+8/Wn_ri ,'= Wn> r имеет
сечение, то ф% (Л{) = 0 или, что равносильно, bptj = 0 mod p для любого
простого р и любого i, удовлетворяющего неравенствам
A) п — г — s < i: «? п — г,
B) п — г < / ^ п, где / = i + к(р~- 1).
Пусть ha — такой элемент алгебры H*(Wn, r+s), что
V>n,r+s (К) = К (n — r—s<a^n),

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 277
и, аналогично, h"b — такой элемент алгебры H*(Wn>r), что
Очевидно, что ipr+Si JJfb) = h'b. Пусть теперь s : Wn> r -> Wn, r+s неко-
некоторое сечение. Тогда из равенства s*oy*+s, r= 1 вытекает, что
s*(/z!) = 0 (п — г — s < i =s; n — г),
B0.4)
**(/# = Л; (Л _ г < / «6 л).
Следовательно, предполагая, что i удовлетворяет неравенствам, ука-
указанным в предложении 20.3, и используя 11.4, 20.2 и B0.4), получаем
о = #&•(&;)) = **сдао) = s*(^-) = Ф>>(л;-) = ф'л;.
Таким образом, &?•' = 0 mod p.
Следствие 20.5. Если расслоение Wn>r+S/Wn_r, s = Wn> r имеет
сечение, то либо s = 1, либо г = 1.
Предполагая, что г s= 2 и s з= 2, применим предложение 20.3 для р =
= 3. Необходимо рассмотреть два случая:
a) л — г = 2 mod 3; полагая i = п — г, к = 1, получим, что / = i +
+ 2=?=п — r + s. Так как г s= 2, то неравенства A) и B) предложения
20.3 удовлетворены. Кроме того, / = 1 mod 3. Но, согласно 12.3, b\'j = / mod 3
и, следовательно, b\j ф 0 mod 3, так что ввиду 20.3 рассматриваемое расслое-
расслоение не может иметь сечения.
b) п — г ф 2 mod 3. Положим i = n — г—1, к = 1. Неравенства A)
и B) удовлетворены, ибо ss=2. Но / = л — г+ 1ф0 mod 3, откуда, как
и выше, следует, что Ь\1 ф 0 mod 3.
Рассмотрим теперь детально случай г = 1. Аналогично можно было
бы рассмотреть и случай s = 1, однако необходимые для этого вычисления
слишком сложны.
Предложение 20.6. Если расслоение WniS+1/Wn_ljS = Wni 1 =
= S2n_1 имеет сечение, то п делится на число
где произведение распространено на все простые числа, а через h(p, s) обоз-
обозначено наибольшее целое число h s= — 1, для которого (р— \)ph =s s.
Ввиду предложения 20.3 достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 20.7. Пусть р — простое число, и пусть ЬР>п = 0 mod p для
любого целого числа к > 0, удовлетворяющего неравенству п — к(р — 1) s=
п — s (т. е. неравенству к(р—1) =s s), где s < п. Тогда п делится на
+Hp з)
В свою очередь, эта лемма вытекает из следующей леммы, в формули-
формулировку которой число s уже не входит.
Лемма 20.8. Пусть а — произвольное неотрицательное целое число,
к = ра, и пусть число п больше к(р — \)и делится на к. Если tfp'n = 0 mod p,
то п делится на ра+1.
Покажем, что из 20.8 следует 20.7. Лемма 20.7 тривиальна для s = 0;
предположим, что она верна для s— 1, и докажем ее для s. Поскольку
Л(р, s) *s 1 + л(р, s — 1),
то из предположения индукции следует, что п делится на ph(p>s). Кроме того,
по определению числа Л(р, s) имеем (р— i)pft(p>») === s < п. Таким образом,
число а = Л(р, s) удовлетворяет условиям леммы 20.8 и, следовательно,
п действительно делится на p1+ft(-°'s).
Лемма 20.8 является частным случаем следующего утверждения, кото-
которое мы теперь и докажем.

278 А. БОРЕЛЬ И Ж.-П. СЕРР
Лемма 20.9. Пусть F — симметрический многочлен _2"х}'.. . х"' сте-
степени п =2хи Р — некоторое простое, а а — произвольное целое число. Пред-
Предположим, что ра делит п и что существует не больше ра индексов /, для
которых Xjy? 1.
В этих предположениях старший член многочлена F тогда и только
тогда не сравним с нулем по модулю р, когда либо а,- = 1 для всех /, либо
существует точно ра индексов /, для которых Xj^A 1, причем соответству-
соответствующие показатели а,- равны между собой и п не делится на ра+1.
(Чтобы получить 20.8, нужно применить лемму 20.9 к многочлену, для
которого Xj = р, если 1 =s / == ра, и а- = 1, если / > ра).
Мы докажем лемму 20.9 методом бесконечного спуска по i. В случае
/ = п эта лемма тривиальна, так как тогда все показатели о,- равны единице.
Пусть хи ... , xk > 1 и xk+1 = ... = хх = 1. Ввиду того, что i < п,
имеем 1 «= к =s pa. Рассмотрим симметрический многочлен
Многочлен G является, очевидно, суммой многочлена F и симметрических
многочленов вида
Здесь V = п + к — ^ /в,-, где fa равно либо а,-, либо а,- — 1, причем второй
случай имеет место по крайней мере для одного значения / (следовательно,
V > г). Коэффициент с(/8) является некоторым целым числом. Многочлен
G, являясь произведением двух симметрических многочленов, разложим,
и потому из равенства
G = F
следует, что старший член многочлена F равен взятой с противоположным
знаком сумме старших членов многочленов c(W ^х^1... xik xft+1 ... х[. Со-
Согласно предположению индукции, можно применить к последним многочле-
многочленам лемму 20.9, ибо V > г. Возможны следующие четыре случая:
(A) ас, = 2, если j =s к. В этом случае старший член будет отличен от
нуля тогда и только тогда, когда ^ = 1 для всех /. Соответствующий коэф-
коэффициент c^) равен, очевидно, биномиальному коэффициенту (?). Так как
1 =s= к =s pa и ра делит п, то из известных свойств делимости биномиальных
коэффициентов следует, что
/П\
С(Р) = { k) = 0 m°d Р, если к < ра;
in \
с{Р) = 11 = njpa modp, если к = ра.
Тем самым в случае (А) лемма доказана.
(B) Xj = q > 2, если j =s к. Старший член отличен от нуля тогда и только
тогда, когда /8,- = q — 1, 1 =s / ^ к, к = ра и ра+1 не делит п. Соответству-
Соответствующий коэффициент Сф) равен единице. Тем самым лемма доказана и в слу-
случае (В).
(C) к < ра. Старший член отличен от нуля тогда и только тогда, когда
/в,= 1 для всех /. Но тогда показатели а; A =s / =s/с) равны двум, так
что мы возвращаемся к уже рассмотренному случаю (А).
(D) к = ра и не все показатели щ A «= / «s к) равны между собой. В
этом случае старший член отличен от нуля тогда и только тогда, когда Д =
= ... = pk = q > 1. Эти значения- показателей ?• возможны только тогда,

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 279
согда некоторые из показателей ж}- равны q -f- 1, а другие равны #. Пусть
— число показателей первого вида, as — второго. Согласно предположению,
-f- s = ра и г 3= 1, s 3= 1. Так как # > 1, то
0 mod /).
J = ( л J
ем самым лемма доказана и в случае (D).
Поскольку случаи (А), (В), (С), (D) исчерпывают все возможности,
> тем самым лемма 20.8 и, следовательно, предложение 20.6 полностью
жазаны.
Примеры.
s = 1; h(p, 1) =-¦ 0 для р=- 2, h(p, 1) = —1 для р > 2. Следо-
1Тельно, Л?х = 2. Заметим, что в этом случае условие „п четно" не только
юбходимо, но и достаточно для существования сечения (см. Экманн [192],
юрема IV).
s = 2; Л(р, 2) = 1 для р = 2, Л(р, 2) = 0 для р = 3, /г(р, 2) = —1 для р г=
= 5. Следовательно, N2 = 12. Нам неизвестно, является ли условие ,,п
;лится на 12" достаточным для существования сечений, однако нам кажется,
:о это маловероятно. Довольно естественно предположить, что расслое-
л& Wn, ,+1/Wn_i, 8 = §;,„_! вообще не имеет сечения, когда s > 1.
В заключение укажем несколько значений арифметической функции
N1=2, N2 = N3= 12, N4 = N5 = 120, W6 = N7
A?20 = Na = 6 983 776 800.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
1 (к стр. 274). Так как #e(S3,6; Zj) = Нот (ir^S,,), Z2), то для доказательства
1кличности группы jto(S3) достаточно показать, что группа Не (S3,6; ZJ циклична.
Согласно общей теории пространств (X, п) (см. стр. 138) , пространство (S3, 4) являет-
расслоенным пространством с базой (S3, 3) = S3, слоем которого служит простран-
во K(Z,2) = РС(оо). Рассмотрим спектральную последовательность (Еп) этого расслое-
1Я. Так как алгебра H*(Z, 2; Z2) является алгеброй многочленов от одной образующей
второй степени (см. стр. 114), то база алгебры Е2 = #*(S3; Z2) (g> H*(Z, 2; Z2) состоит из
ементов вида uf и и® u]f, где us=0h v — образующая группы //3(S3; Z2). Так как сте-
нь по слою всех этих элементов четна, то d2 = О и, следовательно, Я2 = Е3. Кроме того,
к как степени по базе этих элементов не превосходят трех, то dr= 0, если г > 3, и,
едовательно, ?4 =Еоо. Далее, d3(u2) =v, ибо в противном случае й3(и2) =0 и и2 €?4 = ?«>,
0 невозможно, так как #2(S3, 4; Z2) = 0. Следовательно, d3(u\n) = 0, ds(uln+1) = v (g) tt|n.
гсюда вы.текает, что элементы и|Ц| и v® u|n+1 составляют базу алгебры Eoq.
Элементу ц| в алгебре H*(SS, 4; Z^ соответствует нетривиальный элемент а4 е
f4(S3, 4; Z2), элементу v (g) u2 — элемент а5 € #6(S3, 4; ZJ и элементу и\ — элемент as e
f8(S3, 4; Z2). Таким образом, в размерностях =s 8 база алгебры H*(S3, 4; Z2) состоит из
ементов 1, а4, а5, а8. Так как и\ = (и|J> то а8 = а\. Кроме того, Sq1 а4 ^ 0 и потому Sq1^ =
as. (Так как операция Sq1 совпадает с гомоморфизмом Бокштейна (см. примечание на
р. 257), то, если бы Sq1 а4 = 0, мы бы имели #4(S3, 4; Z) = Z, что невозможно, ибо
(S3)= Z2.)
Рассмотрим теперь пространства (S3, п) для п = 5,6. Как известно (стр. 138), прост-
iHCTBO (S3, п) является слоем некоторого расслоенного пространства с базой /C(Z2, п — 1)
бо mn_1(S3) = Z2 для п = 5,6). Гомотопический тип этого пространства совпадает с
пом пространства (S3, п — 1); ради краткости мы будем это пространство обозначать
кже через (S3) п — 1). Рассмотрим последовательность
...-* Н1-1^, п; Z2) 12+ H\Z2, n—\; Z2) fi+ Я'(88 п—\; Zt) ^+ H{(S3, n; Z2) ->...,
,е хп — трансгрессия в расслоенном пространстве (S3, п —1), a yj и yj — гомоморфизмы
¦упп когомологий, порожденные проекцией (рп: (S3, п— 1) -*¦ K(Z2, п— 1) и вложением
г: (S3, п)-> (S3, п—1). Согласно замечанию 1 к предложению 5 гл. III статьи
1 (см. стр. 59), эта последовательность для !<2л—2 точна.

280 А. БОРЕЛЬ И Ж--П. СЕРР
С другой стороны, согласно результатам Серра (см. примечание 1 на стр. 348), алгебра
#*(Z2, 4; Z2) в размерностях =s 8 обладает базой, состоящей из элементов
1, u4, Sq1^, Sq2ut, Sq3^, Sq^Sq1^, uf, S^Sq1^,
а алгебра H*(Z2, 5; Zj) в размерностях «7—базой
1, u5, SgX. S92«3,
где un^i — фундаментальный класс пространства /C(Z2, n—1) (л =5,6). Очевидно, что
<p?(ut) — а4 н, аналогично, <р%(и5) = Ь&, где Ь& — нетривиальный элемент группы
H5(S3,5; Zj).
Рассмотрим сначала случай п = 5. Так как у*(и4) = а4, то (p%(Sq*u^ = Sq1ai —
= я5 и 95*(ul) = fl4 = fls- Таким образом, в размерностях =s 8 отображение g?* эпиморфно
и, следовательно, отображение у>% тривиально, а потому отображение ts мономорфно.
Кроме того, <p%(Sq*uJ = 0, q>%(Sqs u4) = 0, 9?*(S?2 S?1 u4) = 0, так как в соответствующих
размерностях алгебра #*(S3,4; Zj) тривиальна. Наконец, согласно формулам Адема
(см. примечание 2 на стр. 349), Sq* Sq1 = Sq2 Sq* и, следовательно, ^KSg8 Sg1 н4) =
= Sq2 g>%(Sq* ut) = 0. Таким образом, в размерностях =s 8 база алгебры Кег <р* состоит
из элементов Sq* u4, Sq3 u4, Sq^Sq1^, ScpSq1^. Следовательно, поскольку Im т5 = KeryJ
н отображение т5 мономорфно, в размерностях =¦= 7 алгебра //*(S3, 5; Z2) обладает
такой базой 1, 65, 66, 6^, &7, что т5F5) = S?2u4, т5F6) = S<fu4, т5Fв) = S?2S91u4,
ts(&7) = S^S^1^. Из этих соотношений, в частности, следует, что 6e = Sglft5, h6oS9s =
Пусть теперь л= 6. Так как ф*(иь) —Ьь, то <p%(SqYu*) = S^&s = b6 и ^(Sj'Ub) =
= Sq* Ьъ = ft7. Следовательно, отображение g?g мономорфно и потому отображение тв
тривиально, а значит, отображение <р% эпиморфно. Поэтому
He(S3, 6; Za) Rrf H«(SS) 5; Z2)/Ker wt-
Согласно сказанному выше, база группы Н6($2, 5; Zj) состоит из двух элементов Ье и Ь'л,
из которых только один (а именно ft3) принадлежит подгруппе Кег yj* = Im yj. Следова-
Следовательно, группа He(S3, 6; Z2) является циклической группой (и порождается элементом
Уе(Ю)- Отсюда, как уже было сказано, вытекает цикличность группы я6(83).
2 (к стр. 274). Пусть отображение ft: S6 -> S6 определяется формулой
если 9=0, то ft@, о') = @, q'). Отображение ft, очевидно, непрерывно и гомотопно
тождественному отображению; соответствующая гомотопия имеет вид
., ,, / t\№ + \Q\) + tQ -lg|)B+|glB-Q)\Vt q'{l+\q\(l - Oh
Простой подсчет показывает, что для любой точки (q, q') 6 S3
(g о Л) («,?') ^ — g' (q,qr).
Следовательно, отображения g о ft, g', а значит, н отображения g, g' гомотопны между
собой.
3 (к стр. 274). Пусть /': Sp X Sq-> Sr — произвольное отображение (р, ?, г- про-
произвольные числа.) Говорят, что отображение /: Sp+Q+1 -9- Sr+1 получается применением
конструкции Хопфа к отображениею /', если
/0B) эк 0, когда Я з= ц,
fo(z) «s 0, когда Я =s ,u,
где
z = (zo ,• ••, Zpi.g+i) € Sp+g+1,
Я __
У = (Уо,..-, Уд) е Sq.
(мы рассматриваем все сферы как единичные сферы евклидовых пространств соответ-

ГРУППЫ ЛИ И ПРИВЕДЕННЫЕ СТЕПЕНИ СТИНРОДА 281
ствующих размерностей; сферу Sr считаем сечением сферы Sr+1 плоскостью х0 = 0;
через /i(z) обозначаем декартовы координаты точки /(z) e Sr+i)-
В тексте q = Zo + zj + z2/ + z3k, q' = zti + zh\ + zsk.
4 (к стр. 275). Обобщенным инвариантом Хопфа называется некоторый гомомор-
гомоморфизм Н: jrs(Sn) -> JisfSgn—i). определенный для s =s Зп — 3. Если элемент о е jrp+g+1 (Sr+i)
является классом отображения /: Sp+g+i ->¦ Sr+1, получаемого применением конструк-
конструкции Хопфа к отображению /': Sp X Sg^- Sr. то элемент Н(и) с точностью до знака сов-
совпадает ([162], теорема 5.1) с классом отображения ft: Sp+a+1 ->¦ Sir+v определенного
формулой
если i = 0,. .., г,
Йг B) =
1 2г+ 1.
В случае, рассматриваемом авторами, отображение ft:Se-*S5 определяется фор-
формулой (мы рассматриваем точки сферы S5 как пары кватернионов (q, q1) с нулевыми дейст-
действительными частями, для которых | q |2 + | q' |2 = 1)
h(q,q') = (qi Q ,q').
Это отображение является трехкратной надстройкой над отображением q-* qi Q сферы
S3 в сферу S2, инвариант Хопфа которого равен, очевидно, единице. Следовательно, класс
отображения ft, т. е. элемент Н(а) 6 jr3(Sa) = 22, отличен от нуля, как и утверждается
в тексте.

VI. КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ
ГРУПП;-МНОГООБРАЗИЯ ШТИФЕЛЯ*
АРМАН БОРЕЛЬ
Поскольку мы будем рассматривать исключительно когомологии по
модулю 2, условимся через Н(Х) обозначать алгебру когомологии простран-
пространства X над полем из двух элементов. Многочлен Пуанкаре алгебры Я(Х)
будем обозначать через Р(Х, t). Спектральные последовательности (Ег)
будут рассматриваться только над полем Z2.
Через Q(n) (соответственно SQ(n)) мы будем обозначать подгруппу диа-
диагональных матриц группы О(п) (соответственно группы SO(n)). Так как
Q(n) ta (Z2r, SO(n) ^ (Z2)""\
To**
H(BQ(n)) sz Z2 [xlt ...,xn] {Dx{ = 1),
ЩВтп)) о* Z2 [ylt ..., y^] (Dyi = 1),
p(BQin), о = О - t)-n, Р(втп), о = (i - 0-n+1-
Через Fn мы будем обозначать соответствующие однородные пространства
Fn = O(n)IQ(n) st SO(n)/SQ(«).
4. Когомологии пространства ?п
Наша цель состоит в изучении гомоморфизма
Q*(Q(n), О(п)),
но, так как этот гомоморфизм порождается проекцией расслоения***
(n), В0(П), Fn),
то полезно будет изучить пространство Fn. Заметим, что это пространство
является также слоем расслоения (BsQ(n>, Bso(m), Fn), соответствующего
вложению SQ(nj <Z SO(n).
Лемма 4.1. Размерность пространства H4Fn) не меньше п—1
(п = 2,3,...).
Рассмотрим спектральную последовательность расслоения
(BSQ(n), В8о(П), Fn). Имеем
Ег = H(BS0{n)) <g) H(Fn)
и, следовательно,
• ?*¦• = О,
ибо пространство Вт(п) односвязно. Таким образом,
!?2 = Щ.о ^ №(Fn). D.1)
С другой стороны,
dim !?«, = dim W1(BSQ(n)) = и — 1. D.2)
* Первая глава работы: В о г е I A., La cohomologie mod 2 de certains espaces homo-
genes, Comm. Math. Helvetia, 27 A953), 165—197.
** Пространством B(z2)" можно считать прямое произведение п экземпляров беско-
бесконечномерного проективного пространства над полем действительных чисел. — Прим. ред.
*** См. стр. 249. — Прим. ред.

КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП 283
Для завершения доказательства остается сослаться на неравенство
dim гЕ2 =& dim 1ЕОО.
Предложение 4.1. Алгебра H(Fn) порождается элементами сте-
степени =? 1. Ее многочлен Пуанкаре имеет вод
P(Fn, t) = A — П A _ /з) ...A_ ,«) A _ ,)!-» (п & 2).
Докажем это предложение индукцией по п. Для л = 2 пространство
F2 = SO B)/Z2 является окружностью и, следовательно, в этом случае пред-
предложение 4.1 справедливо.
Предположим, что предложение уже доказано для F,^ (n э= 3). Тогда,
в частности, dim //1(Frl_1) = л — 2.
Пусть Z2 х О(л — 1) — подгруппа группы О(п), состоящая из матриц,
первый элемент первой строки которых равен ± 1. Эта подгруппа содержит
подгруппу Q(n) = Z2xQ(n—1) и так как факторпространство O(n)/Z2x
хО(л—1) является действительным (л—1)-мерным проективным про-
пространством Pjj-j, то имеет место расслоение
(О(л)/0(я), К-ъ О(п - 1)/Q(o - 1), Рп),
т. е. расслоение (Fn, Pn_lf Fn_J( р„). Рассмотрим спектральную последова-
последовательность этого расслоения. Имеем:
dim Е\'° = dim //^«-i) = Ь
dim Eg-1 = dim /^(P,,-!, ^(F,,.!)) = dim C^F^) ^ n — 2
(здесь C^F^j) — максимальное подпространство пространства Я1(ТП_1),
на котором группа ^j(Pn_x) действует тривиально). Таким образом,
dim гЕ2 *s п — 1. Но
dim гЕх = dim //i(Fn) э= п — 1
и, следовательно, C1(Fn_1) = ^1(Fn_1). Кроме того, элементы пространства
Ef1 являются коциклами относительно любого дифференциала dr, так что*
образ гомоморфизма вложения i* : H(Fn) -> H(Fn_j) содержит простран-
пространство W1(Fn_1) и, следовательно, совпадает со всей алгеброй Я(РП_1), потому
что эта алгебра порождается элементами степени «= 1. Таким образом,
слой Fn-! вполне негомологичен нулю в Fn. Следовательно**, спектральная
последовательность рассматриваемого расслоения тривиальна и потому
откуда, используя предположение индукции, получаем
P(Fn, 0 = С — *2)A-/3)... A - П A —
Наконец, алгебра
порождается элементами степени =е 1. Поэтому этим свойством обладает
и алгебра H(Fn), так как Ех является градуированной алгеброй, присоеди-
присоединенной к алгебре H(Fn), снабженной надлежащей фильтрацией (см. [IV],
предложение 8.1а).
Следствие. Алгебра ,tt(SO(n)/SQ(n)) совпадает со своей характеристи-
характеристической подалгеброй***. Ряд Пуанкаре алгебры f/(BS0(n)) выражается фор-
* Согласно общей теории спектральных последовательностей (см. стр. 46), для любого
расслоенного пространства (Е, В, F) образ гомоморфизма вложения i* : НЩЕ) -* №(F)
совпадает с E<tg, т. е. с пространством элементов, являющихся коциклами относительно
любого дифференциала dr. — Прим. ред.
** См. (V], предложение 4.1. — Прим. ред.
*** См. (V], определение 18.3. — Прим. ред.

284 А. БОРЕЛЬ
мулой
Р(ВШп), t) = A — **)-! A — **)-* ... A — f)-l.
Вернемся к спектральной последовательности расслоения (q(),
Дзо(п), Fn), рассмотренной в лемме 4.1. Из предложения 4.1 и формул D.1),
D.2) следует, что dim1^ =^ dim 1Е, = п— 1. Следовательно, на элементах
полной степени 1 все дифференциалы тривиальны. В частности, все диффе-
дифференциалы тривиальны на подпространстве 1 ?§) Нг{?п) и, следовательно, на
алгебре 1 ?§) H(Fn), порождаемой элементами степени =г 1. Таким образом,
пространство Fn вполне негомологично нулю в этом расслоении и, следова-
следовательно, рассматриваемая спектральная последовательность тривиальна.
Поэтому алгебра
совпадает со своей характеристической подалгеброй (см. [V], теорема 22.2) и
Р(Втч,t) ¦ P(Fn, 0 = P(Bmn),t) -- A -0"«+1.
Для вычисления ряда Пуанкаре остается воспользоваться предложением 4.1.
5. Когомологии пространства В0(п)', приведенные характеристические классы
Для т < л мы будем отождествлять группу О(т) с подгруппой группы
О(л), состоящей из матриц, первые л — т диагональных элементов которых
равны единице; через е*(О(т), О(п)) мы будем обозначать отображение ал-
алгебры Я(В0(т)) в алгебру Н(ВО(П)), соответствующее этому вложению.
Известно, что первые группы когомологии (по модулю 2) многообразия
Штифеля Vn, n-i = О (л)/О (/) определяются формулами
Hj(Vn,n-i) = 0 (/</), H4Vn,m) = Za E.1)
(см., например, [IV], предложение 10.3).
Лемма 5.1, Приведенный по Модулю 2 класс Штифеля—Уитни wi+1
степени i + 1 пространства В0(П) совпадает с единственным отличным
от нуля элементом степени i + 1 ядра отображения Q*(O(i), О(п)) (г =
= 1,2... , л-1).
Здесь В0(п) — классифицирующее пространство для достаточно боль-
больших размерностей, например для размерностей, больших л.
Известно (см. [143], стр. 139), что трансгрессия в расслоении
(?о<п)/О@> ?о(«)/0(л), Vn,n_«,
т. е. 'в расслоении (B0{i), В0(п), Уп,п-Ъ Q(O(i), О (л))), переводит отличный
от нуля элемент группы Я4(УП, n_i) в класс wi+1. Согласно лемме 5.1, в
соответствующей спектральной последовательности
Е?ч= 0, если р + q =s i, p > 0, г э= 2. E.2)
Следовательно,
Е\+\* 52 Е\+^ ^ &+\ВЧп)) E.3)
и, поскольку группа я-^Восп)), очевидно, тривиально действует в Z2,
Ef ^ ei Ef' ^ ... ^ E<>& ^ HHyn> n_{).
Пусть v1 — отличный от нуля элемент группы Н*(\Пг п_{). Так как в раз-
размерности г трансгрессия совпадает с гомоморфизмом Щ& -»- Е\%\ °, опре-
определенным дифференциалом di+1 ([IV], предложение 5.1), то

КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП 285
Следовательно, группа di+1(*Ei+1) П Щ+{'° порождается элементом wi+1.
Остается заметить, что, согласно общим свойствам спектральных последова-
последовательностей,
i1 iholrf tip \ П pi+1,0
l lui + lK ci+l) I I ci+l >
Теорема 5.1. Гомоморфизм f?*(Q(n), 0(п)) алгебры Н(В0(п)) в алгебру
(?(}()) = Z2[xl7 ... , хп] (Dxt = 1) является мономорфизмом. Его образом
служит алгебра симметрических многочленов от xv .:., хп. Приведенный
характеристический класс wi переходит при этом гомоморфизме в i-u эле-
элементарный симметрический многочлен a1 (i = 1, ... , л).
В доказательстве, разделенном на три части, мы будем вместо ??*(Q(r), 0(r))
писать ?>(*>.
(а) Сначала покажем, что отображение е(*п) мономорфно и что
р{В0{п), о = A - о-1 A - О • ¦ • A — П-1.
Для спектральной последовательности расслоения (BQ(n), Вой, ^n» Qw)
имеем
dim гЕ2 = dim Е\Л + dim Eg-1.
Вспоминая предложение 4.1 и пользуясь тем, что жг(В0(П)) = яо(О(л)) ^Z2
(это следует из точности гомотопической последовательности расслоения
(?0(п), Вон, О(л))), получаем
dim rE2 = dim H\B0(n)) + dim H°(B, /^(FJ) ^ л.
С другой стороны,
dim ^ = dim НЧВщп)) = л.
Таким образом, dim гЕ2 = п и, следовательно, пространство H°(BQ{n), ^J)
во-первых, изоморфно пространству //^F,,), а, во-вторых, его элементы явля-
являфф Т #)
^,,) , ,
ются коциклами относительно всех дифференциалов. Так как алгебра #(Fn)
i Н°(В Hk(F)) Hk(Fn)
ц дффрц р (n
порождается элементами степени «si, то Н°(В^^п), Hk(Fn)) = Hk(Fn)
для всех к и элементы этого пространства являются коциклами относительно
всех дифференциалов. Поэтому
Е2 = Н(В0{п)) ® H(Fn) = Еж,
спектральная последовательность тривиальна, отображение g*n) моно-
мономорфно и
Р(В0(п), t) ¦ P(Fn, t) = P(BQW) = A — 0-S
откуда ввиду предложения 4.1 следует, что
Р(в0{п), t) = A -*)-10 -П-1 ¦ ¦ ¦ О -Р1)-1-
(Ь) Обозначив через S(x1; ... , хп) алгебру симметрических многочленов
от х1? ... , хп, покажем, что S(xlt ... , х„) является образом отображения g*n).
Нормализатор Nn подгруппы Q(n) в группе О(п) естественным образом
определяется как группа операторов расслоения (Е0{П), В<кп), Q(«)). Сле-
Следовательно, группа Ч*п — Nn/Q(n) является группой операторов простран-
пространства BQ(n), а значит, и алгебры Н(Вц{п)) = Z2[xv ... , х„]. Легко видеть,
что хРп порождается всеми перестановками элементов хъ ... , хп.
Группа Nm действует также на расслоении (Е0{п), В0(П), О(л)), двигая
каждый слой по себе. Следовательно, эта группа тривиально действует
на пространстве В0{п) и на алгебре Я(В0(П)). Так как операторы из Nn,
очевидно, перестановочны с проекцией Q*n): BQ(n) -*- В0(П), то операторы
из Wn перестановочны с гомоморфизмом р(*п): //(В0(П)) -»¦ Н(В9(п)). По-
Поскольку на первой алгебре группа S7^ действует тривиально, образ гомо-
гомоморфизма f>*n) содержится в подалгебре алгебры #(BQ(n)), состоящей из

286 А. БОРЕЛЬ
элементов, инвариантных относительно Wn, т. е. в подалгебре S(xv ... , хп).
С другой стороны, согласно (а), отображение Q*n) мономорфно, и ряд Пуан-
Пуанкаре алгебры Я(В0(п)) совпадает с рядом Пуанкаре алгебры S(x1; ... , х„).
Поэтому образ гомоморфизма д*п) совпадает со всей алгеброй S(xv ... , хп).
(с) Покажем, наконец, что Q*n)(wj) = aj (/ = 1,2, ... , п). Для /= 1
это очевидно, так как а1 является единственным отличным от нуля элементом
первой степени алгебры S(xx, ... , хп). Пусть теперь j — i -\- \ (i === 1). Рас-
Рассмотрим коммутативную диаграмму
\
•Ео(П)/О@ -*-+
которую можно переписать в следующем виде:
\4i)
Эта диаграмма порождает коммутативную диаграмму
-t- -t-
|е(*г) |е(п)
Н(В<цъ)+?- Н{ВЩп))
в которой а* = e*(Q(r), Q(n)) и jS* = е*(О(г), О(п)). Легко видеть, что, при
соответствующем выборе образующих уг, ... , у4 алгебры ЩВщг)) отобра-
отображение а* определяется формулами
x*(xn_i+k) = yk (к = 1 /), x*(xk). = О (Л ^ п — i). E-4)
Согласно доказанному выше, отображения р*4) и g*n) мономорфны, и их
образами являются алгебры S(y1; ... , у4) и 5(хх, ... , х,г) соответственно.
Кроме того, согласно лемме 5.1,
«* ° e(n)(W<+1) = <?(*) ° /3*(W'+1) = 0.
Таким образом, Q*n)(wi+1) является отличной от нуля симметрической
функцией степени i -f- 1, образ которой при гомоморфизме, определенном
формулами E.4), равен нулю. Отсюда следует, что эта функция совпадает
с ai+1.
Замечание. В (а) было доказано, что спектральная последователь-
последовательность расслоения (ВщП), В0(П), Fn, Q(n)) тривиальна. Поэтому алгебра
//(O(n)/Q(n)) совпадает, со своей характеристической подалгеброй.
Геометрическая интерпретация. Примем за универсаль-
универсальное пространство группы О(п) многообразие Штифеля Vm> п (где т — большое
число) ортонормированных n-реперов пространства Rm. Очевидно, что
образами ортонормированного n-репера (ev . . . , еп) при преобразо-.
ваниях из группы Q(n) будут реперы (± ev ± е2, ... , ± еп). Следовательно,
пространство Vm, n=Vmj n/Q(n) является многообразием упорядоченных систем
п неориентированных, проходящих через начало координат и попарно орто-
ортогональных прямых пространства Rm. Это пространство, являясь фактор-
пространством универсального пространства, будет классифицирующим
пространством BqW группы Q(«) (в размерностях, не больших т — п — 1)
и, следовательно, H(Vm, n) = ^2 txi. • • • » хп\ Для D < т — п. Расслоение
, B0(n), O(n)IQ(n), е@(л), Q(«)))

КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП 287
приобретает вид (V?,,n, Gm,n, O(n)/Q(n), e(Q(n), O(n))). Таким образом,
в (а) по существу доказано, что пространство O(n)/Q(n) вполне негомоло-
негомологично нулю (по модулю 2) в V™,n и, следовательно, что отображение д*:
Щ&т,п) -*• ЩУт,п) в0 всех размерностях является мономорфизмом. Со-
Согласно (Ь), образ отображения д* в размерностях < т — л совпадает с алгеб-
алгеброй симметрических многочленов от Xj , х„.
Пусть далее (?, Vm,n. Щп)> Р) — расслоенное пространство, являющееся
прообразом („индуцированным косым произведением" в смысле [143], § 10)
пространства (Vm, „, Gm> n, O(n), q) при отображении g(n). Другими словами,
Е является главным расслоенным пространством, для которого существует
гомоморфизм р: Е -> Vm, „, порождающий после перехода к базам отобра-
отображение g(n). Равенство е*т)(и>*) = oi означает, что приведенные по модулю
2 характеристические классы расслоения
(Е, Vkn, О(л), р)
являются элементарными симметрическими многочленами от xv ... , хп.
7*. Квадраты Стинрода приведенных характеристических классов
Для полноты изложения приведем здесь доказательство формул У
([154], [179]), которое, впрочем, по существу не отличается от доказательства
автора.
Как и выше, мы будем через и>3(/= 1,2, ...) обозначать приведенные
характеристические классы алгебры А/(В0(П)); условимся считать., что
wj = 0, если / > п.
Теорема 7.1. Имеют место формулы
2
0<*<t
в которых через (?) при a s& b обозначен приведенный по модулю 2 биномиаль-
биномиальный коэффициент и, кроме того, положено (") = 1, если Ь = 0, (?) = 0,
если а<.Ь и Ь^О.
В алгебре f/(BQ(m)) = Z2[xv ... , хп] квадраты Стинрода определяются
на основе формул
= xit Sq1 xt = x?, Stf xt = 0 (/ > 1) G.1)
с помощью формулы А. Картана
Sq^u • v) = У, Sqa и • Sqb v. G.2)
Из этих формул легко следует, что
2 Xl,Xl,...X|lXftl+1...Xfcj> 1-е/, 1!<1В <...<!>, G.3)
где (fca, ... , fci) — произвольное подмножество множества (г1( ... , г'Д а
(fci+1, ... , fcj) — его дополнение.
Согласно теореме 5.1, имеем Q^n)(wj) = а\ откуда ввиду формулы G.3)
следует, что
Sql qUwJ) = 2 xfxf... x?xi+1 ... xj (i *s /), G.4)
где справа стоит симметрический многочлен от xlt ... , хп с типичным членом
х|х| ... xf xi+1 ... Xj. Следовательно, поскольку отображение ?(«) моно-
* Пункт 6, где с помощью результатов п. 5 доказывается формула двойственности
Уитни по модулю 2, при переводе опущен. — Прим. ред.

288 А. БОР ЕЛЬ
морфно, теорема 7.1 равносильна формуле
~l ~ " '-«0*+', G.5)
в которой относительно коэффициентов приняты те же соглашения. Поло-
Положим
-
Коэффициенты cfii удовлетворяют соотношениям
с*-'" =1 A-е /), G.7)
- ii (о ^ t < i:*s !),
= Cii,ii (
= Ci,i-1 + сг^ @ < t
Мы докажем формулу G.5) индукцией по числу переменных. Для п = 1
она очевидна. Предположим, что формула G.5) уже доказана для п — 1
переменной. Если i = /, то формула G.5) сводится к очевидно справедливому
по модулю 2 соотношению
21 х|х|... х? = о'оК
Следовательно, можно предполагать, что i < /. Обозначим через
2;* xfx|... xfxi+1... х,-
симметрический многочлен от xv ... , x^-i c типичным членом
ХХХ2 . . . 5Cj5Ci+1 . . . Xj,
а через <т{ — элементарный симметрический многочлен степени / от перемен-
переменных Xlt . . . , Xjrj—j.
Левую часть формулы G.5) перепишем в следующем виде:
и сравним ее с правой частью, которую мы обозначим через Ai>j. Преобразуя
выражение Aiij, получим
А" = cH(xn at+i-i + o*+i) + У 4'\хп оГ^1 +
0<7<i
= хй 2 &<%*+* di+™ + хп 2 (A^ + ciild ог{ + ^ ргЧ
0<«i 0<«i 0<t<(
(полагаем ch.{ = 0). Для завершения доказательства остается воспользо-
воспользоваться предположением индукции и формулой G.7).
8. Когомологии пространства Bgo(n)
Очевидно, что существует некоторая спектральная последовательность,
соединяющая алгебру Е2 = tt(BO(n)/so(n), ^(Bso(n))) с алгеброй Я(В0(п)).
Эту последовательность можно построить либо на основании предложения
22.2 статьи [IV], ибо группа SO(n) является нормальным делителем группы
0(п), либо на основании теории Картана—Лерэ спектральных последова-
последовательностей конечных накрытий (см. [64]*), ибо O(n)/SO(n) = Z2 и Bsow
является односвязным двулистным накрывающим пространством простран-
пространства Во(п). Как бы ни была построена эта спектральная последовательность,
* См. также примечание 11 на стр. 107. — Прим. ред.

КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП 289
легко видеть, что образ гомоморфизма e*(SO(n), 0(n)) в размерности q состоит
из элементов группы E%>q, являющихся коциклами относительно всех диффе-
дифференциалов*. (Для спектральной последовательности, построенной на осно-
основании результатов статьи [IV], это следует из теоремы 22.1 ввиду того, что
спектральная последовательность предложения 22.2 является частным
случаем спектральной последовательности теоремы 22.1.)
Так как O(n)/SO(n) = Zv то
)^Z2[x] (Dx=l),
откуда ввиду теоремы 5.1 и следствия из предложения 4.1 имеем
P(fio(n),'s©(«), 0 • Р(Втп), 0 = Р(В0(п), О-
Следовательно (предложение 2.1)**,
Е2 = #(BO(n)/SO(n))
и слой Bso(n) вполне негомологичен нулю. Таким образом, согласно пред-
предложению 4.1 работы [V], имеем***
Предложение 8.1. Гомоморфизм g*(SO(n), 0(п)) отображает
алгебру f/(B0<n)) на алгебру Н(В§о(п.)), а его ядром является идеал, порож-
порожденный классом w1.
Таким образом, f/(Bgo(n)) является алгеброй многочленов от п— 1 перемен-
переменных iv2,..., wn степеней 2,3,..., п, являющихся образами классов iv2, ..., wn
* То есть совпадает с EJj?. — Прим. ред.
** Упомянутое предложение 2.1, помещенное в непереведенной части работы,
гласит:
Предложение 2.1. Пусть в расслоении. (Е, В, F) пространство Е связно и ком-
компактно, база В локально связна, а слой F связен. Тогда равенство Р(Е, t) = P(B, t)P(F, t)
является необходимым и достаточным условием полной негомологичности нулю слоя F.
Необходимость условия следует из предложения 4.1. работы [V]. Докажем его достаточ-
достаточность. Пусть C'(F) — максимальное подпространство пространства H«(F), иа котором
группа 3ii(B) действует тривиально. Тогда
?§•« = Н°{В, H4F)) =C*(F).
Оказывается, что CQ(F) = Hq(F). Действительно, для q = 0 это очевидно. Предположим,
что равенство Ci(F) = H%F) уже доказано для q < k, где к > 0. Тогда
fijft = №(В, №(F)) = №>(В) ® H'(F) (q < к),
а следовательно,
dim *?2 = dim Нк(В X F) — dim Hk(F) + dim C*(F) =
= dim "E^ — dim H*(F) + dim C(F).
Отсюда, поскольку dim *?2 & dim *Eao, следует, что dim C*(F) s» dim Hk(F), т. е.
Ck(F) = H"(F).
Таким образом, группа я^В) тривиально действует на H'(F), так что Е2 =Н(В) ®
® H(F). Следовательно,
P{Eitt) = Р(В, 0 • P(F, t) = Р(Е, t) = Р(ЕСО, t),
но равенство P(Eit t) = P(?oo, 0 возможно только тогда, когда все дифференциалы три-
тривиальны. Отсюда, согласие упомянутому предложению 4.1, следует, что слой F вполне
негомологичен нулю. Тем самым предложение 2.1 доказано. — Прим. ред.
*** Согласно упомянутому предложению 4.1, гомоморфизмQ*(SO(n), О(л)) является эпи-
эпиморфизмом, а его ядро — идеалом, порожденным образами элементов положительных
степеней алгебры H(Bo(n)/SO(n)) при гомоморфизме р* : H(Bo(n)/SO(n)) -*¦ Н(Во(п)),
соответствующем рассматриваемой спектральной последовательности (если эту последо-
последовательность формально рассматривать как спектральную последовательность некоторого
расслоения, то гомоморфизм р* будет гомоморфизмом алгебр когомологий, индуцирован-
индуцированным проекцией этого расслоения). Следовательно, поскольку H(Bo(n)/SO(n)) Prf Z2 [x], то
ядро гомоморфизма g*(SO(n), О(л)) порождается элементом р*(х) первой степени. Но отобра-
отображение р* мономорфно (согласно тому же предложению 4.1), а класс W1 является единствен-
единственным отличным от нуля элементом первой степени алгебры Н(Во(п)). Следовательно,
р*(х) = iv1. — Прим. ред.
19 Расслоенные пространства

290 А. БОРЕЛЬ
при гомоморфизме e*(SO(n), О(л)). Многообразие Грассмана G&, п ори-
ориентированных плоскостей является классифицирующим пространством груп-
группы SO(n) до размерностей т — л— 1. Следовательно, до этих размерностей
алгебра tf(G?,, „) является алгеброй многочленов от переменных w2, ..., wn,
являющихся, очевидно, приведенными характеристическими классами рас-
расслоения
(Ущп, в™,». SO(n)).
Заметим еще, что из теоремы 7.1 и предложения 8.1 следует формула
'~' + '-1' ¦ " (8.1)
0<t<i
I
в которой положено w1 = 0.
Предложение 8.2. а) Гомоморфизм e*(SQ(n), Q(n)) является эпи-
морфным отображением алгебры Н(Вщп)) = Z2[xu ..., хп] на алгебру
f/(BSQ(n)). Его ядром является идеал (х3 + ... + х„), порожденный элемен-
элементом Хг+ ... + Хп.
Ь) Гомоморфизм j>*(SQ(n), SO(n)) является мономорфизмом. Его обра-
образом является факторалгебра алгебры S(xt, ..., х„) по идеалу (хг + ... +
+ хп) (алгебра f/(BSQ(n)) рассматривается, согласно (а), как факторалгебра
алгебры Z,[xv..., хп] по идеалу (хг+ ... + хп)).
a) Гомоморфизм p*(SQ(n)> Q(n)): wi(BSQ(n)) -> HJBQ{n)) совпадает
(после естественных отождествлений) с вложением SQ(n)cQ(n) и, следова-
следовательно, является мономорфизмом. Поэтому сопряженный гомоморфизм
q* будет эпиморфизмом в размерности 1, а следовательно, и во всех размер-
размерностях, ибо алгебра H(BSQ(n)) порождается элементами степени =? 1.
С другой стороны, очевидно, что при соответствующем выборе базы хг, ..., хп
пространства f/1(BQ(n)), подпространство Н^Ващп)) пространства Нг(В^(П))
можно определить как максимальное подпространство, на котором выра-
выражение хг + ... + хп (рассматриваемое как линейный функционал) обра-
обращается в нуль. Следовательно, идеал (хг + ... + х„) содержится в ядре
гомоморфизма j>*(SQ(n), Q(n)). Более того, он совпадает с этим ядром, ибо
его ряд Пуанкаре t(\—t)~n является разностью P(BQ(n), <) — P(BSQ(n), 0-
b) Вложениям
SQ(n)—* Q(n)
1 1
SO(n) —> O(n)
соответствует коммутативная диаграмма
*, SO(n)) S*(Q(n), O(n))
. e*(SO(n),O(n))
*
Так как отображение j>*(SO(n), O(n)) зпиморфно (предложение 8.1), то образ
гомоморфизма e*(SQ(n), SO(n)) совпадает с образом отображения
e*(SQ(n), Q(n)) о q* (Q(n
т. е., согласно (а) и теореме 5.1, совпадает с факторалгеброй S(xv ..., ^Kj^
+ ... + хп). Наконец отображение e*(SQ(n), SO(n)) мономорфно, потому
что его образ имеет тот же ряд Пуанкаре, что и алгебра Н(В$о(п)). Моно-
морфность этого отображения следует также из тривиальности спектраль-

КЛАССИФИЦИРУЮЩИЕ ПРОСТРАНСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ ГРУПП 291
юй последовательности расслоения (BSfi(n), Bsq(«), Fn) (см. доказатель-
:тво следствия предложения 4.1).
Замечание. Пусть SNn — нормализатор группы SQ(n) в группе
iO(n). Очевидно, что факторгруппа SNn/SQ(n) изоморфна группе хРп =
= Nn/Q(n), операторы которой в алгебре
Н(ВШп)) = Z2 [хъ ..., хп]/(Хх +...+ хп)
юрождаются всевозможными перестановками переменных xlt ..., хп.
'аким образом, так же как и в случае гомоморфизма ??*(Q(n), 0(n)), гомо-
юрфизм f>*(SQ(n), SO(n)) позволяет рассматривать алгебру #(Дзо(п)) как
лгебру всех инвариантов нормализатора группы SQ(n).
9. Квадраты Стинрода в многообразиях Штифеля
Говорят, что элементы Л3, ..., hm составляют простую систему обра-
гащих алгебры Н(Х), если одночлены
huhit...hlk (i1<it<...<ik; k=\,2,...,m)
лестё с единичным элементом образуют базу над Z2 пространства алгебры
(X) (см. [IV], определение 6.4). Если X — связная компактная группа
и, то алгебра Н(Х) всегда имеет простую систему образующих (см.[1 V], пред-
эжение 6.1а). Для случая ортогональной группы автором было доказано
гедующее предложение (см.[ IV], предложение 10.3, замечание 1 кэтомупред-
шению и предложение 23.1).
Предложение 9.1. Алгебра H(SO(n)) обладает однозначно опре-
'ленной простой системой универсально трансгрессивных образующих
, ..., Лп_х степеней 1, 2, ..., л—1.
Гомоморфизм рп-к, индуцированный проекцией
pn.k: SO(#i) - s6(#i)/S0(ft) = V», n-k,
оморфно отображает алгебру Щ\п n_ft) на подалгебру, порожденную
ементами hh, hk+v • •., hn^1 (к = 1, 2, ..., п — 1).
Известно, что трансгрессия в расслоенном пространстве (Е, В, F, р)
ображает некоторое подпространство Т' пространства HB(F) в фактвр-
юстранство пространства Ha+1(B) (s = 0, 1,...)(см., например, [IV],
5). В частном случае расслоения (Eso(n), Bso(n>, SO(n), p) где Esow —
[иверсальное пространство группы SO(n), можно высказать следующие
лее точные утверждения (см. [IV], конец §21 и §23).
Пусть Dj — подпространство разложимых элементов пространства
(Bso(n)) и Qj = Н>{Втп)I&. Для / = 2, 3 п пространство Q'
номерно и порождается образом w{ класса wK Пусть, далее, Tj — под-
остранство, порожденное элементом hj. Тогда трансгрессия т является
оморфным отображением пространства Т3' на пространство Qi+1, т. е.
г(^) = ^ (/=1 п— 1). (9.1)
Из формулы G.2) следует, что S^i(DJ)cDi+i, так что операция Sq1 инду-
рует некоторый гомоморфизм Q1 -*¦ Q3+i, который мы будем также обо-
1чать через Sq\ Утверждение, что квадраты Стинрода перестановочны
рансгрессией ([I], п. 9), равносильно в нашем частном случае коммутатив-
:ти диаграммы
У? Se' > J4+J
(9.2)
QJ+l_Sqi_^ Qj+l + l
— 5/0 S

292 А. БОР ЕЛЬ
Из формулы (8.1) следует, что
У ~ )ф*+< (f ^ /'¦ / = 2, 3, • • ')• (9.3)
Это равенство вместе с формулами (9.1), (9.2) и предложением 9.1 дает сле-
следующую теорему.
Теорема 9.1. Алгебра H(yn>n_k) обладает простой системой
образующих
удовлетворяющих соотношениям
i+i (i^i;i + i^n- 1), Sq* A,- = 0 (i + / s= я).
Эти формулы получены Миллер [97] с помощью клеточных разбиений.
В нашей заметке [ 15] были указаны только квадраты Колмогорова—Алек-
сандера Sq^. Напомним, что из теоремы 9.1 легко следует теорема Стин-
рода — Уайтхеда относительно векторных полей на сферах (см. [97])*. Тем
же методом можно показать, что если расслоение (Vn>r+1, Vnir, Vn_ril)
имеет сечение и если r=2*s (s нечетно), то число п — г— 1 делится на 2h+1,
откуда следуют результаты Экмана ([194], п. 4.2).
* Упомянутая теорема Стинрода—Уайтхеда утверждает, что на сфере Sn_1 не сущест-
существует 2а независимых векторных полей, где 2а — наибольшая Степень двух, делящая п:
п = 2аBЬ + 1), a s» 0, 6 э» 0.
При доказательстве можно предполагать, что b > О/нбо для 6=0 теорема очевидна.
Пусть г = 2а, s = 2а+1Ь — 1, и пусть ft,,..., Ап_1 —указанная в теореме 9.1 простая
система образующих алгебры H(Vn r+i)- Легко видеть, что (*) = I(mod2) и, следовательно,
Рассмотрим естественное расслоение р : Vn, r+1 -> Vn, t многообразии Vn, P+1. Оче-
Очевидно, что рорг+1= ри где pn_ft:SO(n) -* \n,n-h — указанные в предложении 9.1
естественные расслоения. Отсюда, в силу предложения 9.1, легко следует, что Лп-i =
= p*(Sn_i), где sn_l — фундаментальный класс сферы \n,i= &n-i- Таким образом,
S?24ft,,= P*(Sn_i)-
Предположим теперь, что расслоение (Vn,r+i, Sn_lf Vn, r_i> P) обладает некото-
некоторым сечением о : Sn_! -> Vn, rw Тогда a*(fte) = 0, ибо s < n — 1. Следовательно, cr*S4a*ftg =
= S^o'hs = 0. Поэтому 6*p*(sn_-d = 0, что невозможно, ибо о*op* = 1. Таким обра-
образом, расслоение (Vn,r+i> $n-i> Vn^-_l, p) не может иметь сечеиня, а следовательно (см.
[143], 7.7, 27.7), на сфере Sn_x не существует Г независимых векторных полей.
— Прам.гред.

ГЦ. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА „В ЦЕЛОМ" ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
МНОГООБРАЗИЙ*
РЕЛЕ ТОМ
Введение
Настоящая работа посвящена доказательству результатов, изложен-
.IX в заметках автора [150]. Она разделена на четыре главы. В гл. I рас-
[атриваются некоторые вопросы аппроксимации дифференцируемых отобра-
ений. Доказанные в ней теоремы, аналогичные топологической теореме
симплициальной аппроксимации, позволяют избежать ссылок на тео-
;му о триангулируемости дифференцируемых многообразий. Гл. II посвя-
зна задаче реализации классов гомологии многообразия посредством
•дмногообразий. Основные результаты, полученные в этой главе, следу-
дие: класс гомологии по модулю 2 произвольного многообразия реализуем
средством подмногообразия, если размерность этого класса меньше поло-
полоны размерности многообразия. Для любого целочисленного класса гомоло-
й z ориентируемого многообразия V существует такое отличное от нуля
лое число N, что класс Nz реализуем посредством подмногообразия. В
[. III результаты гл. II применяются к решению следующей задачи Стин-
»да: любой ли класс гомологии конечного полиэдра является образом
'ндаментального класса некоторого многообразия? Показано, что для
мологий по модулю 2 ответ на этот вопрос утвердительный. Напротив,
любой размерности з= 7 существуют целочисленные классы гомологии,
¦ являющиеся образами фундаментальных классов никаких компактных
ьфферещируемых многообразий. Наконец, гл. IV посвящена изучению
:ловий, необходимых для того, чтобы некоторое многообразие было краем**,
также условий, при которых два многообразия внутренне гомологичны друг
)угу. Здесь довольно полные результаты также получены лишь для классов
[утренних гомологии „по модулю 2", когда не обращается внимание на
шентируемость многообразии. Напротив, для групп Qk, появляющихся
ж классификации ориентируемых многообразий, получены лишь весьма
рывочные результаты. Трудности, здесь возникающие, имеют чисто алгеб-
1Ический характер и связаны с поведением степеней Стинрода в спектраль-
.IX последовательностях расслоений. Результаты гл. IV тесно связаны
кже с вопросом о топологическом значении характеристических чисел
энтрягина.
Методы, используемые в работе, основаны почти исключительно на
1ссмотрении некоторых вспомогательных полиэдров M(SO(k)) и М(О(к)).
лределение гомотопических свойств этих полиэдров требует использования
:тодов А. Картана и Ж.-П. Серра. В частности, существенную роль играют
: результаты о когомологиях полиэдров Эйленберга—Маклейна. Я должен
•благодарить их за сообщение мне этих результатов до опубликования.
:обенно я должен отметить помощь, оказанную мне Ж.-П. Серром как при
^актировании этой рукописи, так и при усовершенствовании многих
•казательств.
¦Thorn R., Quelques proprietes globales des varietes differentiables, Comm. Math.
>lv., 28 A954), 17—86.
** To есть было внутренне гомологично нулю в смысле В. А. Рохлина [123]. — Прим. ред.

294 р. том
Г л ава I
СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Во всей этой работе через Vn обозначается произвольное паракомпакт-
ное2 дифференцируемое n-мерное многообразие класса С°°.
1. Определения. Пусть / — отображение класса Ст, га>1, многооб-
многообразия Vя в многообразие Мр. Назовем критической всякую точку х много-
многообразия Vn, в которой ранг отображения / строго меньше размерности р
многообразия Мр. Множество Z критических точек х, или критическое мно-
множество отображения /, замкнуто в многообразии Vn. Любая точка у образа
/B)с Мр этого множества называется критическим значением отображения
/. Напротив, любая точка у многообразия Мр, не принадлежащая образу
/(Z), называется регулярным значением отображения8.
2. Прообраз регулярного значения. Прообраз /~*(у) регулярного зна-
значения у е Мр может быть пуст. Например, если размерность п многообразия
Vn строго меньше размерности р многообразия Мр, то прообраз /~х(у) пуст
для любого регулярного значения у. Предполагая, что прообраз }~\у) не
пуст, рассмотрим произвольную точку хе/~х(у). Пусть у1( у2, ..., ур — лока-
локальные координаты многообразия Мр в некоторой окрестности точки у. Так
как отображение / имеет в точке х ранг р, то в некоторой достаточно
малой окрестности Ux точки х в многообразии Vn существует система лока-
локальных координат вида (ylt..., ур, Хр+1,..., х„). В этих координатах прообраз
/~Чу) определяется в окрестности Ux уравнениями yi = у2 = • • • = ур = 0.
Следовательно, точка х имеет в прообразе /~х(у) окрестность, гомеоморфную
звклидову пространству Rn~p. Так как это верно для любой точки хе/-1(у),
то прообраз /-1(у) является дифференцируемым подмногообразием класса Ст
многообразия Vй. Это подмногообразие обозначается далее через Wn~p.
Пусть Vx — касательное пространство в точке х многообразия V", а
Wx — его подпространство, состоящее из векторов, касающихся подмного-
подмногообразия Wn~~p. Пусть, кроме того, Му — касательное пространство в точке
у многообразия МР. Условие, что отображение / имеет в точке х ранг р,
означает, что порожденное отображением / отображение / касательных прост-
пространств определяет изоморфное отображение факторпространства VJWX
на пространство Му. Допуская некоторую нечеткость терминологии, будем
называть факторпространство Vx/Wx трансверсальным к подмногообразию
Wn~p в точке х. Если объемлющее многообразие Vn снабжено римановой
метрикой, то определено пространство Нх, нормальное в точке х к подмного-
подмногообразию Wn~p. Ясно, что пространства VxjWx и Нх изоморфны, причем
изоморфизм между ними можно определить в целом, т. е. для всех точек
подмногообразия Wn~p. Все нормальные (соответственно трансверсаль-
ные) к подмногообразию Wn~p векторы образуют нормальное (соответст-
(соответственно трансверсальное) расслоенное пространство*. Согласно только что
сказанному, эти пространства изоморфны.
Резюмируя, имеем: прообраз /~х(у) = Wn~p регулярного значения у
отображения f является подмногообразием многообразия Vn и соответст-
2 Напомним, что связное паракомпактное многообразие можно определить как
многообразие, являющееся объединением счетного числа компактов.
3 Заметим, что это определение критических значений существенно отличается от
обычного определения: когда размерность п многообразия V меньше размерности р много-
многообразия М, любая точка образа f(V) является критическим значением, даже для отобра-
женяя /, имеющего максимальный ранг в каждой точке множества )~Цх). Напротив,
любая точка, не принадлежащая образу f(V), является регулярным значением.
* В этой работе термин ..расслоенное пространство" употребляется как синоним
термина „косое произведение". — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 295
вующее отображению / отображение / индуцирует естественный изоморфизм
нормального расслоенного пространства подмногообразия Wn~p на произ-
произведение Wn~p х My, где Му & Rp — касательное пространство многообразия
Мр в точке у.
Замечание. Высказанное утверждение верно даже тогда, когда
•у есть предельная точка множества критических значении. В связи с этим
заметим, что если / является собственным* отображением (в частности,
если многообразие Vn компактно), то множество /B7) критических значений
замкнуто в Мр. В последнем случае любое регулярное значение у обладает
окрестностью Uy, над которой отображение / локально расслоено. Это —
локальная форма одной теоремы Эресмана A99].
3. Свойства множества /B7) критических значений. Может случиться,
что внутренность множества /B7) непуста. Например, Уитни построил в
[166] числовую функцию класса С1, определенную на квадрате, для которой
любое значение является критическим значением. Однако это явление может
иметь место для отображений / класса Ст лишь тогда, когда т строго меньше
размерности п отображаемого многообразия. Действительно, Морс дока-
доказал следующую теорему [100].
Теорема 1.1. Множество критических значений числовой функции
класса Ст, определенной в пространстве Rn, где т э= п, имеет меру нуль.
(Для функций класса С, г < п, эта теорема неверна.)
Любое паракомпактное многообразие Vn можно покрыть счетным
числом областей, гомеоморфных пространству Rn, а так как объединение
счетного числа множеств меры нуль также является множеством меры
нуль, то имеет место
Теорема 1.2. Если т=&п, то множество критических значений
любой числовой функции класса Ст, определенной на п-мерном многообразии
Vn, имеет меру нуль.
Докажем теперь следующую теорему4.
Теорема 1.3. Если m з= п, то для любого отображения / класса Ст
многообразия Vn в многообразие Мр в каждом открытом множестве много-
многообразия Мр существуют регулярные значения отображения /.
Другими словами, множество /B7) критических значений отображения
/ не имеет внутренних точек.
Так как в этой теореме речь идет о некотором локальном свойстве много-
многообразия Мр, то можно считать это многообразие эвклидовым пространством
Rp. Заметив, что для р = 1 теорема является непосредственным следствием
теоремы 1.2, докажем ее индукцией по числу р. Итак, предполагая, что
теорема верна для многообразий размерности не превосходящей р — 1, рас-
рассмотрим произвольное отображение / класса С" многообразия Vn в прост-
пространство Rp. Пусть yv у2, ..., ур — координаты в пространстве Rp, U —
произвольное открытое множество пространства Rp и (а, Ь) — некоторый
открытый интервал значений, принимаемых функцией ур на множестве U.
Так как на многообразии Vn координата ур является функцией класса С",
то, согласно теореме 1.2, интервал (а, Ь) содержит некоторое регулярное
значение с функции ур. Можно считать, что прообраз Wn~x — y^ic), являю-
являющийся (п — 1)-мерным подмногообразием многообразия V", не пуст (в про-
противном случае теорема тривиальна). Пусть х — произвольная точка подмно-
подмногообразия Wn~x. В достаточно малой окрестности Vx точки х в многообразии
* Отображение / называется собственным, если полный прообраз i~x(K) любого
компакта К С МР является компактным подмножеством многообразия Vn (см. гл. II,
п. 3). — Прим. ред.
4 Как мне сообщил де Рам, этот результат является следствием одной теоремы Сарда
[128]*.
* См. также [115], стр. 25, теорема 4. — Прим. ред.

296 р. том
Vn существует система локальных координат (хх, х2, ..., хп^, ур),
которая содержит координату ур. Пусть Uc — сечение области
U гиперплоскостью ур = с. Часть /с отображения / на многообразии Wn~x
является отображением класса С™. Следовательно, по предположению индук-
индукции, для отображения /с: Wn~x -> Rp~1, где /?р~х — гиперплоскость ур — с,
существует в области Uc некоторое регулярное значение а. Пусть хе Vn —
произвольная точка прообраза ?гх(а) = /~х(а>с) (можно считать, что этот
прообраз не пуст). Так как а является регулярным значением отображения
/с, то в окрестности Vx точки х это отображение имеет ранг р — 1. С другой
стороны, пусть f(xlt X,,, ..., х„_1; с) = (ух, у2, ..., ур_х). Тогда при ур = с
хотя бы один из миноров вида 16у{/8х,-1 отличен от нуля. Следовательно,
по соображениям непрерывности, этот минор отличен от нуля и при любых
значениях координаты ур, достаточно близких к с. Отсюда следует, что в
некоторой окрестности V'x С Vx функции х1( х2, ..., х^р, yv у2, ..., ур
образуют систему локальных координат. Другими словами, в точке х отобра-
отображение / имеет максимальный ранг. Так как это верно для любой точки х
прообраза /~х(а,с), то, следовательно, точка (а,с) е U является регулярным
значением отображения /. Тем самым теорема 1.3 доказана.
Если / — собственное отображение ( в частности, если многообразие
Vй компактно), то множество /B) критических значений отображения /
является замкнутым множеством без внутренних точек, т. е. в терминологии
Бурбаки [28], IX, разреженным множеством многообразия Мр. Для произ-
произвольного отображения / рассмотрим счетное покрытие V" = \JjKj много-
многообразия Vn некоторыми компактами Ку Каждое из пересечений Z?j = /С, П -^
компактнр и, следовательно, /(-^j) является разреженным компактным
множеством многообразия Мр. Таким образом, множество f(U) = U ,-/(?j)
является счетным объединением разреженных замкнутых множеств, т. е. в
терминологии [28], IX, является тощим подмножеством многообразия Мр.
За*. Прообраз подмногообразия.
Определение. Трубчатая окрестность подмногообразия. Пусть
Np~q — некоторое компактное подмногообразие класса С°° многообразия
Мр. Предположив, что многообразие Мр снабжено римановой метрикой
класса С°°, рассмотрим множество Т всех точек многообразия Мр, располо-
расположенных на расстоянии =s e от подмногообразия iV33"9. Если е достаточно
мало, то через любую точку х е Т проходит единственная геодезическая
нормаль к подмногообразию Np~q. Точку пересечения этой нормали с под-
подмногообразием Np~q обозначим через у = р(х). Так построенное отобра-
отображение р :Т -> ЛР~д является расслоением, слоями р~\у) которого
служат ^-мерные нормальные геодезические шары. Граница F области Г
есть (р—1)-мерное многообразие, расслоенное посредством отображения
р на (q — 1)-мерные сферы (с базисным пространством Л?1*"9). Описанная
окрестность Т подмногообразия Np~q называется нормальной трубчатой
окрестностью подмногообразия Np~q. Заметим, что структурной группой
расслоения р является некоторая подгруппа ортогональной группы 0(q).
Получающееся таким образом расслоенное пространство Т естественным
образом изоморфно нормальному (и, следовательно, трансверсальному)
расслоенному пространству подмногообразия ЛР-"8 в многообразии Мр.
О дифференцируемых гомеоморфизмах шаров.
Пусть Щ — замкнутый ^-мерный^шар с центром О, а А—гомеоморфное
отображение класса С°° этого шара на себя. Если обратный гомеоморфизм
А~г дифференцируем, то отображение А имеет в каждой точке шара В9
один и тот же ранг q. Группу всех гомеоморфизмов, удовлетворяющих этому
* В оригинале этот пункт ошибочно имеет номер 3. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 297
условию и совпадающих на границе Se~x шара В9 с тождественным отобра-
отображением, обозначим через G.
Для любой внутренней точки с шара Bq можно построить гомеоморфизм
A&G, для которого А(с)=О. Более того, можно показать, что существует гомео-
гомеоморфизм с этим свойством, гомотопный в G тождественному отображению,
т. е. в G можно найти непрерывно зависящий от параметра t @ =s t =s 1)
гомеоморфизм Д., для которого Ао — А, а Д является тождественным отобра-
отображением. При этом мы имеем в виду, что в группе G введена топология, в
которой некоторая последовательность отображений считается сходящейся
тогда и только тогда, когда эта последовательность и все последователь-
последовательности, полученные из нее дифференцированием (частным) до порядка п
включительно, а также и все последовательности, полученные из указанных
последовательностей переходом к обратным отображениям, сходятся в
топологии равномерной сходимости.
Группа Н гомеоморфизмов нормальной трубчатой окрестности.
Пусть Т — нормальная трубчатая окрестность подмногообразия Np~q
в многообразии Мр. Рассмотрим группу Н гомеоморфизмов класса С™ окрест-
окрестности Т, удовлетворяющих следующим условиям:
U Любой гомеоморфизм Ае Н отображает каждый слой р~г(у) на себя.
2) Любой элемент группы Н является тождественным отображением на
границе F окрестности Т.
В группе Н вводится топология, аналогичная топологии, введенной
выше в группе G. (Для того чтобы определить частные производные отобра-
отображения А : Т -> Г, можно вложить Т в эвклидово пространство Rk; получаю-
получающаяся топология группы Н, как легко видеть, не зависит от этого
вложения.) Относительно так определенной топологии группа Н является
пространством Бэра* и даже полным метрическим пространством. Действи-
Действительно, пусть (Д) — произвольный фильтр Коши в группе Н. Тогда для
любой точки хе Т точки Д(х) образуют фильтр Коши в Т. Пусть J(x)e T—
предельная точка этого фильтра. Ясно, что так полученное предельное
отображение J принадлежит классу С". Аналогично, фильтр Коши А~\х)
сходится и определяет отображение J~x класса С", обратное отображению
J. Таким образом, любой фильтр Коши (Д) группы Н сходится к гомеомор-
гомеоморфизму J, очевидно, принадлежащему группе Н. Тем самым наше утверждение
доказано.
Определение. Отображение, t-регулярное на подмногообразии.
Пусть / — дифференцируемое отображение многообразия Vn в многообразие
Мр и пусть у — произвольная точка подмногообразия Np~9cMp. Пусть, далее,
Му — касательное пространство в точке у к многообразию Мр, a Ny — его
подпространство, состоящее из векторов, касающихся подмногообразия Nv~q.
Пусть, наконец, х— произвольная точка прообраза /-1(у) и Vx — касательное
пространство к многообразию Vn в точке х. Говорят, что у есть t-регулярное
значение отображения /, если в любой точке х е /-1(у) сквозное отображение
/ : Vx -> My -> My/Ny имеет ранг q и является эпиморфизмом6.
4. Прообраз подмногообразия при f-регулярном отображении.
Будем говорить, что отображение /: Vn -*¦ Мр f-регулярно на под-
подмногообразии ЛР~в С Мр, если любая точка у е Np~q является f-pe-
гулярным значением отображения /. Выберем в окрестности точки у
систему локальных координат у1( у2, ..., yq, в которой подмногообразие
N1^9 определяется (локально) уравнениями ух = у2 = ... = у, = 0.
* То есть пространством второй категории. — Прим. ред.
6 Прообраз }~Цу) f-регулярного значения у е №~1 может быть пуст; в этом случае
будем говорить, что у является тривиальным f-регулярным значением.

298 Р. том
Пусть х — произвольная точка прообраза /~х(у) (мы предполагаем, что
этот прообраз не пуст). Если у является f-регулярным значением, то на
многообразии Vn в некоторой окрестности Ux точки х существует система
локальных координат вида (хг, э^, ..., xn_e, ylt у2, ..., yq). В этом случае
прообраз /-1(Np~Qr) определяется в окрестности Ux уравнениями у. = у2 =
= .. . == уд = 0. Следовательно, точка х обладает в прообразе /~х(у) окрест-
окрестностью, гомеоморфной пространству /?n~g. Другими словами, прообраз
f-1(Np~q) является дифференцируемым (класса С") подмногообразием Wn~9.
Пусть Vx — касательное пространство в точке х к многообразию Vn, a
Wx — касательное пространство в той же точке х к подмногообразию Wn~Q.
Так как у = /(х) является f-регулярным значением, то, по определению,
главная линейная часть / отображения / порождает изоморфное отображение
трансверсального пространства VJWX на пространство MyjNy, трансвер-
сальное к подмногообразию Nn~9 в точке у. Следовательно, трансверсальное
(или нормальное) к подмногообразию W""" в многообразии Vn расслоенное
пространство естественно изоморфно расслоенному пространству, инду-
индуцированному отображением f и расслоенным пространством, трансвер-
сальным к подмногообразию ЛР~д в многообразии Мр.
Пусть у — произвольная точка подмногообразия ЛР~а. Рассмотрим в
подмногообразии Np~g открытый шар X с центром в точке у геодезического
радиуса г и. концентричный ему шар X' радиуса 2г. Для того чтобы X' на
самом деле был шаром, необходимо число г предполагать достаточно малым.
Так как любое расслоенное пространство над шаром тривиально, то под-
подмножества D = р~х(Х) и D' = р~х(Х') трубчатой окрестности Г будут
соответственно гомеоморфны произведениям X х В9 и X' х BQ. Этот гомео-
гомеоморфизм порождает отображение k : D' (или D) -» В9. Докажем следующую
лемму:
Лемма 1.4. Для любого отображения / : Vn -» Мр класса С™ множество
гомеоморфизмов А е Н трубчатой окрестности Т, для которых состав-
составные отображения А ° f не t-регулярны на X, является тощим подмножест-
подмножеством б.эровского 'пространства Н.
Тот факт, что отображение g : Vn -> Мр не f-регулярно на X, означает,
что составное отображение к о g, определенное на g~1(?>), имеет центр О
слоя Bq критическим значением. (Действительно, главная линейная часть
к отображения к в точке у е Мр является, по определению, отображением
касательного пространства Му на факторпространство по касательному к
подмногообразию ЛР~а подпространству Ny.)
Пусть К% — компактные подмножества, объединением которых является
многообразие Vй. Назовем гомеоморфизм А ? Н i-критичным, есл ! состав-
составное отображение к ° А ° /, определенное на f'H.D), имеет в Ki хотя бы одну
критическую точку х, для которой* /(х) е X. Пусть at—множество всех i-
критичных гомеоморфизмов А е Н. Покажем, что ег{ замкнуто в Н и не
имеет внутренних точек.
1. а{ замкнуто. Пусть А — произвольный элемент группы Н, не принад-
принадлежащий множеству аь т. е. такой, что составное отображение к о А ° f на
множестве Ki П/~1(^>) имеет точку О своим регулярным значением. Пусть
Vi> У2> • • • > Уд — координаты в ^-мерном шаре В9. По предположению, на
пересечении Ki П t ° A~1(NP~9) абсолютные величины якобианов |8у{/8хй
порядка q имеют строго положительную нижнюю грань, которую мы обо-
обозначим через ЗВ, В > 0. Следовательно, в Kt существует замкнутая, и потому
компактная, окрестность J множества Кг П t'1 ° A'1 (N^9), на которой
абсолютные величины якобианов |8yt/8xft| больше 2В.
* То есть точка О е В« является критическим значением отображения к о А о j,
рассматриваемым иа Кг П 1~\Щ- — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 299
Рассмотрим теперь множество всех гомеоморфизмов А е Н, настолько
близких к А, что:
1) Пересечение Ki П /"M'^W"9) целиком- содержится в J. Этому
условию можно удовлетворить, ограничивая соответствующим образом
расстояние (в Мр) от А до А'. Достаточно, например, считать, что || А'(у) —
— -<4(у)|| меньше расстояния от точки О до границы множества k°Af(J).
2) В области J абсолютные величины якобианов 18y,-/8xft |, соответствую-
соответствующих отображению к ° А' ° /, бо,льше В > О. Этому условию можно удовлет-
удовлетворить, выбирая частные производные первого порядка отображения А'
достаточно близкими к соответствующим частным производным отображения
А. Действительно, якобианы | 8y,-/8xft | являются непрерывными функциями
частных производных первого порядка отображения А
Для всех гомеоморфизмов А', настолько близких к гомеоморфизму А,
что эти два условия удовлетворены, якобианы |8y3-/8xft| не обращаются в
нуль на Ki П f^A'^N1^9), и, следовательно, отображение А'° / регулярно
на шаре X.
2. а{ не имеет внутренних точек. Пусть А е ег{. Тогда составное отобра-
отображение k*Aof имеет точку О критическим значением. С другой стороны,
являясь отображением класса С", оно допускает, согласно теореме 1.3,
регулярное значение с, сколь угодно близкое к точке О. Пусть G — гомеомор-
гомеоморфизм ^-мерного шара В9, переводящий точку с в точку О и являющийся тожде-
тождественным отображением на границе Se~x шара Bq, и пусть Gt— непрерывно
зависящий от параметра t е J гомеоморфизм, для которого Go = G, a G1
является тождественны _ отображением. Пусть, далее, d — функция класса
С°°, равная нулю на X, единице на границе шара X' и возрастающая
от нуля до единицы, когда геодезическое расстояние от центра у шара X
возрастает от г до 2г. Используя гомеоморфизм D' rs X' х Bq, где D' — р~1(Х'),
определим теперь гомеоморфное отображение Е множества D' на себя,
положив
ЩУъ2) = (Ух, Gm(z)), y{ еХ',2 6 5«.
Гомеоморфизм Е сохраняет слои р~Ц,у) и сводится к тождественному
отображению на границе множества D'. Следовательно, его можно продол-
продолжить до гомеоморфизма всей трубчатой окрестности Т на себя, для чего вне
D' достаточно взять тождественное отображение. Так определенный гомео-
гомеоморфизм Е принадлежит, очевидно, группе Н.
Далее, отображение Е о А ° / f-регулярно на X, потому что, согласно
построению, точка О является регулярным значением составного отображения
k о Е о А о /. Таким образом, отображение А' ° /', где А' =Е° А, f-регулярно
на X и может быть выбрано сколь угодно близким к отображению А° f.
Действительно, гомеоморфизм Е можно построить сколь угодно близким к
тождественному отображению, для чего достаточно взять регулярное зна-
значение с достаточно близким к точке О.
(Заметим, что в этой, второй части доказательства компакт Ki не исполь-
использовался. Тем самым показано, что множество гомеоморфизмов А, для
которых отображение А ° f не f-регулярно на X, не имеет внутренних
точек в Н.)
Так как многообразие Vn является счетным объединением компактов
Кь то множество а таких гомеоморфизмов А, что Д°/ не f-регулярно на
X, является счетным объединением разреженных множеств аи т. е. яв-
является тощим множеством в Н. Тем самым лемма 1.4 доказана.
Подмногообразие Np~q, предполагаемое паракомпактным, можно пок-
покрыть счетным числом открытых шаров X (заметим, кстати, что нормаль-
нормальную трубчатую окрестность можно определить для любого паракомпакт-
ного подмногообразия, если допустить трубчатые окрестности с переменным
„радиусом"). Отсюда следует, что множество гомеоморфизмов А, для кото-

300 Р. том
рых отображение Д°/не f-регулярно на Np~q, является счетным объедине-
объединением тощих в Н множеств и, следовательно, само является тощим множест-
множеством без внутренних точек. Тем самым доказана следующая
Теорема 1.5. Пусть f — произвольное отображение класса С™ много-
многообразия Vn в многообразие Мр, Np~q — произвольное паракомпактное под-
подмногообразие многообразия Мр и Т — некоторая нормальная трубчатая
окрестность подмногообразия Np~q в многообразии Мр. Тогда сколь угодно
близко к тождественному отображению можно найти такой гомеомор-
гомеоморфизм А окрестности Т на себя, что:
1) Прообраз /'~х(ЛР~а) подмногообразия W~a при отображении /' =
= A°f является гладко вложенным (п — qy-мерным подмногообразием Wn~q
многообразия V" класса С".
2) Нормальное расслоенное пространство подмногообразия Wn~q в много-
многообразии Vn естественно изоморфно пространству, индуцированному нор-
нормальным расслоенным пространством подмногообразия Np~q в многообра-
многообразии Мр.
5. Теорема изотопии. Доказываемое в этом пункте свойство понадобится
нам только в гл. IV и притом только для случая компактного многообразия
Vn. Поэтому мы докажем его лишь в этом предположении.
Пусть / — произвольное отображение класса С™ многообразия V" в
многообразие Мр, и пусть это отображение f-регулярно на компактном
подмногообразии Np~q. Предположим, что в каждой точке у многообразия
Np~q выбрана такая система локальных координат у1( у2, ..., yq, что в не-
некоторой окрестности точки у подмногообразие N1*""9 определяется уравне-
уравнениями уг = у2 = ... = Уд = 0. Так как по предположению подмногообра-
подмногообразие Np~q компактно, то его можно покрыть конечным числом координатных
окрестностей этого типа. С помощью римановой метрики, произвольным
образом введенной на многообразии V", определим трубчатую окрестность
Q подмногообразия Wn~q = /~1(Np~a). Радиус е этой окрестности выберем
настолько малым, чтобы удовлетворялось следующее условие.
Пусть х—произвольная точка подмногообразия Wn~q, а Вх—геодези-
Вх—геодезический ^-мерный шар в точке х, нормальный к подмногообразию Wn~q.
Требуется, чтобы координаты уг, у2, ..., yq, перенесенные на Vn с помощью
отображения у = /(х), являлись бы координатами в ^-мерном шаре Вх.
Так как отображение / по условию f-регулярно, а подмногообразие Wn~q
компактно, то этому условию, очевидно, всегда можно удовлетворить.
Пусть А — произвольный элемент группы Н, близкий к тождественному
отображению. Рассмотрим прообраз g~1(Np~q), где g — A°f. Ясно, что
если отображение А достаточно близко к тождественному отображению,
то отображение g также i-регулярно на подмногообразии Np~q. Действительно,
если расстояние || Л(у)—у||в Мр строго меньше расстояния подмногообразия
Np~q от границы множества /(Q), то прообраз g~1(Np~a) целиком содержится
в Q. Предположим далее, что и частные производные отображения А близки
к частным производным тождественного отображения. Тогда отображение
g, так же как и отображение /, имеет на всем ^-мерном шаре Вх ранг q, и, сле-
следовательно, f-регулярно. Покажем теперь, что если отображение А достаточно
близко к тождественному, то подмногообразия Wn~q = /~1(Np~a) и W =
= g~1(AP~a) изотопны в V". Доказательство мы проведем по схеме, пред-
предложенной Зейфертом в [48].
Пусть у = /(х) — произвольная точка подмногообразия W~a. Любой
точке zeBx. отнесем точку Цг) эвклидова пространства Rq с координатами
yj(g(z)), где у^ — локальные координаты в некоторой окрестности точки
у, в нормальном пространстве к подмногообразию Л/р~*. Для так определен-
определенного отображения L прообраз Ь~\0) является пересечением шара Вх с под-
подмногообразием W = g1(^pa)

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 301
Пусть, как и выше, е — радиус шара В,. Если отображение А доста-
достаточно близко к тождественному, то для любой системы координат (у3) в
точке у = /(х) будем иметь: || L (z) — г || < в равномерно по х. Отсюда сле-
следует, что образ ЦБ**1) границы S4 шара Вх гомотопен сфере S4 в прост-
пространстве /?9 \ О с удаленной точкой О. Поэтому степень отображения L
относительно точки О равна степени тождественного отображения, т. е.
равна +1. Сверх того, отображение L в любой точке шара Вх имеет макси-
максимальный ранг, так что в некоторой окрестности произвольной точки z шара
Вх отображение L локально гомеоморфно, и, следовательно, прообраз L~\O)
состоит только из изолированных точек. Так как в любой точке шара Вх
отображение L имеет степень +1 (равную знаку якобиана отображения
L), то прообраз L~\O) состоит только из одной точки х'. Таким образом,
подмногообразие W пересекает каждый шар Вх в одной единственной
точке х'. Поэтому соответствие х -* х' является гомеоморфным отображением
подмногообразия W71"9 на подмногообразие W'n~9. Соединим точку х' в шаре
Вх с точкой х некоторой геодезической дугой s(x, x'). Движение по этой
дуге определяет, очевидно, изотопию, деформирующую подмногообразие
Wn~~9 в подмногообразие W n~q. Тем самым доказана
Теорема 1.6. Пусть / — произвольное отображение класса С" ком-
компактного многообразия Vй в многообразие Мр, и пусть это отображение
t-регулярно на некотором компактном подмногообразии W~9. Тогда для
любого достаточно близкого к тождественному отображению гомеомор-
гомеоморфизма ЛеН некоторой трубчатой окрестности подмногообразия Np~i сос-
составное отображение g =A°f t-регулярно на N^", и подмногообразия Wn~q —
= /-х(ЛР-«), W'n~q = g-^N*-9) изотопны в многообразии Vй.
Глава II
ПОДМНОГООБРАЗИЯ И КЛАССЫ ГОМОЛОГИИ МНОГООБРАЗИЯ
1. Постановка вопроса. Пусть V" — произвольное ориентируемое
многообразие. Для того чтобы ориентировать многообразие Vn, нужно
в группе Hn(Vn; Z) целочисленных гомологии выбрать некоторую образу-
образующую. Эта образующая называется фундаментальным классом ориентиро-
ориентированного многообразия Vn. Для ориентированного многообразия Vй группа
гомологии Hn_k(Vn; Z) естественно изоморфна группе когомологий Hh(Vn;Z)
(закон двойственности Пуанкаре). Классы, соответствующие друг другу при
этом изоморфизме, будем называть соответствующими классами. Если
группой коэфициентов является группа Z2 вычетов по модулю 2, то фунда-
фундаментальный класс группы Hn(Vn; Zs) однозначно определен даже тогда,
когда многообразие V" неориентируемо. Кроме того, однозначно определен
изоморфизм Пуанкаре—Веблена между группами Hn_ft(V"; Z2) и H\Vn; Z2).
Для простоты мы будем считать многообразие V* компактным, лишь вкратце
касаясь возможных обобщений на случай паракомпактных, но не компакт-
компактных многообразий.
Пусть Wp — произвольное р-мерное подмногообразие многообразия
V" и i* — гомоморфизм группы гомологии Hp(Wp) в группу гомологии
Hp(Vn), порожденный отображением вложения i: Wp -> Vn. Пусть ze.Hp(Vn)
— образ при гомоморфизме i# фундаментального класса многообразия
Wp. Мы будем говорить, что класс z реализован посредством подмногообра-
подмногообразия Wp. В этой работе рассматривается следующий вопрос: реализуем
ли заданный класс гомологии г многообразия Vй посредством некоторого
подмногообразия? Ответы на этот вопрос, как мы увидим, совершенно раз-
различны в зависимости от того, будет ли группой коэффициентов группа Z

302 Р- том
целых чисел или группа Z2 вычетов по модулю 2. В первом случае мы будем
предполагать, не всегда оговаривая это явно, что рассматриваемое много-
многообразие Vй ориентируемо и снабжено произвольно выбранной, но фиксиро-
фиксированной ориентацией.
2. Пространство, присоединенное к замкнутой подгруппе ортогональной
группы. Пусть Q — произвольная замкнутая подгруппа ортогональной
группы 0(к) порядка к. Известно*, что любое расслоенное на сферы Sft-1
пространство, для которого Q является структурной группой, может быть
получено из некоторого универсального расслоенного пространства EG.
База BG этого универсального пространства является компактным много-
многообразием (мы ограничиваемся расслоенными пространствами, базы кото-
которых имеют конечные размерности == N). Обозначим через AG — цилиндр**
расслаивающего отображения EG -> BG. Этот цилиндр является, с одной
стороны, пространством, расслоенным на fc-мерные шары, с базой BG и,
с другой стороны, многообразием с краем EG. Соответствующее открытое
многообразие A'G = AG\ EG является расслоенным на fc-мерные откры-
открытые шары пространством, ассоциированным с расслоенным пространством
EG (см. [148]).
Определение. Будем называть пространством^ присоединенным
к подгруппе G группы 0(к), пространство M(G), полученное из многообразия
AG посредством стягивания его границы EG в одну точку а. Пространство
M(G) можно также рассматривать как пополнение одной точкой (в смысле
Александрова) расслоенного на открытые шары пространства A'G.
Когомологии пространства M(G). Группу когомологий Hr(M(G)) для
любого г > О можно отождествить с группой когомологий HrK(AG) с ком-
компактными носителями, а также с группой Hr(AG, EG) относительных
когомологий. С другой стороны, иэ теории расслоенных на открытые шары
пространств известен изоморфизм*** (см. [144])
4>G: H'-\BG) - HWg) w H%M(G)).
При этом группой коэффициентов, вообще говоря, служит группа Z,. Однако,
если расслоенное пространство EG ориентируемо (группа G св'язна), то
за группу коэффициентов можно принять группу Z. Таким образом, в раз-
размерностях г > 0 алгебра когомологий Н*(М (G)) получается из алгебры
когомологий H*(BG) классифицирующего пространства BG увеличением
всех размерностей на к единиц. В частности, в размерностях, больших нуля,
первой нетривиальной группой когомологий является группа H\M(G)).
Эта группа циклична. Ее образующая U e H\M(G)) определяется формулой
У = <Pg(«>g)>
* См. [143], стр. 123, теорема 19.3. — Прим. ред.
** Определение цилиндра отображения см., например, в [117], стр. 13. — Прим. ред.
*** Рассмотрим произвольное клеточное разбиение пространства Во- Очевидно,
что полные прообразы р~1(о) клеток а этого разбиения при расслаивающем отображении
р: A'g-^-Bg образуют клеточное разбиение пространства А'о = Ag\Eq. Рассматри-
Рассматриваемый автором изоморфизм <рЪ'- HT~h(BG) -> Ht(Ag, Eg) групп когомологий по модулю
2 порождается соответствием а-+ р-1(<т). (Нетрудно видеть, что это соответствие взаимно
однозначно, сохраняет отношения инцидентности и повышает размерности на к единиц.)
Если группа G связна, то клетки а и р~1(сг) можно ориентировать согласованно, т. е.
так, чтобы соответствие а -> р-1((т) сохраняло коэффициенты инцидентности. Следовательно,
в этом случае соответствие а-^-р~1(а) порождает изоморфизм целочисленных . групп
когомологий.
Изоморфизм <р& также легко "строится на основании теории спектральных последо-
последовательностей. Действительно, согласно теореме Лерэ, второй член (?f>9) спектральной
последовательности когомологий с компактными носителями расслоения Ag -> Bq при
указанных ограничениях на область коэффициентов изоморфен произведению HP(Bq)&
(g> H^(Ek) и, следовательно, равен нулю, если q ф к. Поэтому dr = 0 для всех г а» 2, т. е.
*Et ?« 'Еоо ыН?(АЬ). С другой стороны, 'Е^ = Е\-к>h ы Hr~h (BG) ® И^(Ек) fj №>-ft (BG)-
Таким образом, НР-ЦВв) f=« Н?(Д6). — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА В ЦЕЛОМ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 303
где coGeH°(BG) — единичный класс. Класс U называется фундаменталь-
фундаментальным классом пространства M(G). Подчеркнем, что U является целочисленным
классом, если пространство EG ориентируемо (группа G связна), и клас-
классом по модулю 2, если пространство EG неориентируемо (группа G несвязна).
3. Основная теорема. Определение. Мы будем говорить, что класс кого-
мологий иеНк(А) некоторого пространства А реализуем относительно
группы G(ZO(k) или допускает G-реализацию, если существует такое отобра-
отображение / : А -> M(G), что порожденный этим отображением гомоморфизм
/* переводит фундаментальный класс U пространства М (G) в класс и.
Имеет место
Теорема II.1. Для того чтобы класс гомологии г е Hn^k(Vn), к > 0,
мог быть реализован посредством подмногообразия Wn~h, нормальное рас-
расслоенное пространство которого имеет группу G своей структурной группой,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующий классу z класс когомоло-
гий ueHk(Vn) был реализуем относительно группы G.
1) Необходимость. Пусть в многообразии Vn существует подмногообра-
подмногообразие Wn~k, фундаментальный класс которого принадлежит к 2. Пусть N —
нормальная трубчатая окрестность подмногообразия Wn~k и Г — ее край.
Нормальное геодезическое расслоение р : N -> Wn~k допускает, согласно
условию теоремы, в качестве структурной группы группу G и, следова-
следовательно, индуцируется некоторым отображением g : Wn~k -> BG своей базы
в базу универсального пространства AG. Этому отображению соответствует
отображение F : N -> AG (отображающее слой на слой), для которого диа-
диаграмма
N -?-+ Аа
¦ 4 к
Wn~k -2-> BG
коммутативна.
Отображение F переводит край Т окрестности N в край EG многообра-
многообразия AG. Пусть <р* u <pa — упомянутые выше изоморфизмы, соответствующие
расслоенным на ^-мерные шары пространствам N и AG соответственно.
Ясно, что диаграмма
H\N, T) -?-+ H\AG, EG)
"*| \< (О
H0(Wn~h) -?-* H°(BG)
также коммутативна.
С другой стороны, пусть /* : Hh(N, T)-> Hk(Vn) — естественный гомо-
гомоморфизм вложения. Известно, что в открытом многообразии N' = N\T
класс <р*(ш) соответствует по закону двойственности Пуанкаре фундамен-
фундаментальному классу гомологии базы lV"~ft (см. [148], теорема 1.8)*. Следова-
Следовательно, класс /* <р*(ю)еHk(Vn) совпадает с классом и, соответствующим
классу 2.
Обозначим через ft : AG -> M(G) естественное отображение отождествле-
отождествления, переводящее край EG многообразия AG в точку а. Составное отображе-
отображение ftog переводит край Т окрестности N в точку а. Следовательно, отобра-
отображение ftog может быть распространено на все многообразие Vn, для чего
достаточно отобразить дополнение Vn \ N в точку а. Тем самым определено
* Достаточно заметить, что скалярное произведение классов <р*(ео) и Wn~k отлично
от нуля, как это непосредственно вытекает из изложенной на стр. 302 конструкции изо-
изоморфизма <р*. -^ Прим. ред.

304 р. том
отображение / многообразия Vn в пространство M(G), для которого, согласно
коммутативной диаграмме A),
Г(^) = /?S(»o) = /•?*<») = и-
2) Достаточность. Пусть существует такое отображение / многообра-
многообразия Vй в пространство M(G), что /*(?/) = и. Если из пространства M(G)
удалить исключительную точку а, то получится дифференцируемое много-
многообразие. Следовательно, отображение / на дополнении Vn \ /-1(а) можно
регуляризировать, т. е. построить близкое к отображению / дифференци-
дифференцируемое отображение fv имеющее на Vn \ f*1 (а) класс Сп. К отображению
/х применим теорему I. 5. В результате мы получим такое произвольно близ-
близкое к отображению / отображение F, что прообраз F~1(BG) будет некото-
некоторым подмногообразием Wn~k многообразия Vn. Так как нормальное рас-
расслоенное пространство подмногообразия Wn~~h индуцировано пространст-
пространством AG, то структурной группой этого пространства является группа G.
Как мы видели в 1), класс ц =/*([/) = F*(U) совпадает с классом ]^р*{ю),
где ср* — изоморфизм, соответствующий некоторой нормальной трубчатой
окрестности подмногообразия Wn~h в многообразии Vй, а <о — единичный
класс подмногообразия Wn~k. Это и означает, что класс и соответствует
по закону двойственности Пуанкаре классу фундаментального цикла под-
подмногообразия Wn~h.
Распространение теоремы II. 1 на паракомпактные, но не компакт-
компактные многообразия.
Напомним, что в паракомпактных, но не компактных многообразиях
существует столько же теорем двойственности, сколько существует семейств
(Ф) замкнутых подмножеств, используемых для определения групп гомо-
гомологии и когомологий (см. [144], теорема 0.3). Поэтому интересующий нас
вопрос нужно формулировать следующим образом: может ли быть реали-
реализован посредством некоторого подмногообразия Wn~k заданный класс гомо-
гомологии zeH?_k(Vn) с носителями в данном семействе (Ф)? Для исследо-
исследования этого вопроса в изложенное выше доказательство нужно внести
лишь незначительные изменения.
Во-первых, нормальную трубчатую окрестность можно определить и
для паракомпактного подмногообразия, если допустить переменность её
радиуса. Назовем далее отображение / :¦ V-*- М Ф-собственным, если прооб-
прообраз Г~г(К) любого компакта К С М принадлежит семейству (Ф) (если Ф
является семейством К всех компактов многообразия V, то получается класси-
классическое определение собственных отображений). Тогда имеет место
Теорема II. Г. Для того чтобы класс z e H%_h(Vn) мог быть реали-
реализован посредством некоторого подмногообразия, нормальное расслоенное
пространство которого имеет группу G своей структурной группой, необ-
необходимо и достаточно, чтобы существовало такое Ф-собственное на M(G)\a
отображение f: Vn -»¦ M(G), что класс f*(U)eH%(Vn) соответствует
классу z по закону двойственности Пуанкаре.
4. Случай, когда группа G сводится к единичному элементу ееО(к).
В этом случае классифицирующее пространство BG состоит из одной точки,
пространство AG является замкнутым fc-мерным шаром, а пространство
М(е) — сферой Sh. Класс целочисленных когомологий и пространства А
называется сферическим, если существует такое отображение / : А -*¦ Sk, что
и = f*(sk), где sh — фундаментальный класс группы Hk(Sk;Z). Из теоремы
1.1 следует
Теорема 11.2. Для того чтобы класс гомологии zeHn_k(Vn; Z)
ориентируемого многообразия Vn можно было реализовать посредством

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 305
некоторого подмногообразия, нормальное расслоенное пространство которого
тривиально, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий классу Z
класс когомологий ueHh(Vn; Z) был сферическим.
В алгебраической топологии до сих пор неизвестны необходимые и
достаточные условия того, чтобы данный класс когомологий был сферическим.
Единственный общий результат получен Серром [III]*:
Теорема II. 3. Если к нечетно или если п < 2к, то для любого
к-мерного класса хе И\А\Т)п-мерного полиэдра А существует такое отлич-
отличное от нуля целое число N, зависящее только от к и п, что класс Nx сфери-
чен.
Отсюда следует
Теорема II. 4. Пусть к нечетно или п < 2к. Тогда существует
такое отличное от нуля число N, зависящее только от кип, что для любого
класса целочисленных гомологии z e #n_ft(Vn; Z) ориентируемого многообра-
многообразия Vn класс Nz реализуем посредством подмногообразия, нормальное
расслоенное пространство которого тривиально.
5. Строение пространств М(О(к)) и M(SO(k)). Из теоремы II. 1 немед-
немедленно вытекают следующие теоремы, которые выясняют значение пространств
М(О(к)) и M(SO(k)).
Теорема II. 5. Для того чтобы класс гомологии ze Hn-k(Vn;Z)
ориентируемого многообразия Vй мог быть реализован посредством некото-
некоторого подмногообразия, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий
классу z класс когомологий и был реализуем относительно группы враще-
вращений.
Теорема II. 5'. Для того чтобы класс гомологии ze Hn-k(Vn;Z2)
по модулю *2 многообразия Vn мог быть реализован посредством некоторого
подмногообразия, необходимо и достаточно, чтобы соответствующий классу
z класс когомологий и был реализуем относительно ортогональной группы.
Пусть Gft — многообразие Грассмана неориентированных fc-мерных
плоскостей эвклидова пространства /?т. Размерность га эвклидова простран-
пространства предполагается весьма большим числом. Многообразие Gk, как известно,
является классифицирующим, пространством B0{h) ортогональной группы**
О(к). Пусть Gft — многообразие Грассмана fe-мерных ориентированных
плоскостей пространства Rm. Это многообразие является классифицирующим
пространством Bs0(k) группы вращений SO(k). Многообразие 6к является
двулистным накрытием многообразия Gft. .
Сопоставляя каждой Ус-мерной плоскости из Gh ее пересечение Sft-1 с
единичной сферой пространства Rm, мы получим универсальное расслоенное
пространство ES0(ky Таким образом, пространство ESOik) можно рассматри-
рассматривать как пространство пар, состоящих из ориентированных fe-мерных плос-
плоскостей и единичных векторов, лежащих в соответствующих плоскостях.
Сопоставим каждой такой паре (к— 1)-мернУю плоскость, принадлежащую
fe-мерной плоскости пары и ортогональную к вектору этой пары. Тем самым
определится расслоение пространства Es0(ft) на сферы Sm~k с базой Gk-^
Отсюда следует, что в размерностях, меньших классифицирующей размер-
размерности т — к, пространство Es0(k) имеет тот же гомотопический тип, что
и многообразие Грассмана Gft-!. Кроме того, вложение ES0{k) -> As0(h)
с точки зрения теории гомотопий совпадает с естественным отображением
Gfc-! -> Gft, порожденным вложением подгруппы SO(k— 1) в группу*** SO(k).
* См. этот сборник, стр. 154, 155, предложение 2 гл. V и примечание редак-
редактора. — Прим. ред.
** См. [143], стр. 126, теорема 19.7. — Прим. ред.
*** Достаточно заметить, что естественное вложение Gft -> Aso(k) является гомото-
гомотопической эквивалентностью. — Прим. ред.
20 Расслоенные пространства

306 р. том
Когомологии пространства M(SO(k)). Следовательно, в размерностях
г > 0 алгебру когомологии H*(M(SO(k))) можно отождествить с алгеброй
относительных когомологии H*(Gk, Gk-^). Последнюю алгебру можно опре-
определить из точной последовательности
, B)
так как гомоморфизм i* хорошо изучен.
Когомологии по модулю 2. Известно ([IV]*), что алгебра когомологии
H*(Gk?2) является алгеброй многочленов от (к — 1) образующих Wt, W3,
..., Wk. Образующая W4 имеет степень i и является i-м классом Штифеля—
Ушпни. При гомоморфизме i* классы Wj отображаются друг в друга. По-
Поэтому алгебра H*(Gk, Gft_t) относительных когомологии изоморфна идеалу
алгебры многочленов H*(Gk,Zs), порожденному классом Wk. Этот результат
можно получить также и непосредственно, рассматривая (так же, как в п. 2)
изоморфизм <р*.
Когомологии по модулю р, где р — простое число, большее 2. Нужно раз-
различать два случая:
1) к нечетно, к = 2т + 1. В этом случае алгебра H*(Gk;Zp) является
алгеброй многочленов от образующих Р4, Р8 Р4т размерности кото-
которых делятся на 4 (эти образующие являются приведенными по модулю р
классами Понтрягина).
2) к четно, к = 2т'. В этом случае алгебра H*[Gh\Zp) является алгеброй
многочленов, порожденной приведенными по модулю р классами Понтря-
Понтрягина, Р4, Р8, ..., Р4т'-4 и „фундаментальным классом**" X2'.
Гомоморфизмом i* алгебр когомологии, порожденным естественным
отображением i:Gk-*Gh+x, классы Понтрягина P4i отображаются друг в
друга, за исключением класса Р4т 6 #4m(Gft+1) максимальной размерности
(этот класс существует при четном к). Этот класс отображением i* перево-
переводится в квадрат (Х2™J фундаментального класса X2 е Hk(Gk) (см. [V]).
Отсюда следует, что при четном к алгебра H*(Gft,Gft_1) изоморфна идеалу
алгебры H*(Gk), порожденному классом Х2"*,' а при нечетном к алгебра
H*(M(SO(k)) изоморфна внешней алгебре с образующей д*(Хгт').
Когомологии пространства М(О(к)). Воспользуемся той же точной
последовательностью B), заменив в ней Gh на Gk.
Когомологии по модулю 2. "Алгебра когомологии H*(Gk;Z2) является
алгеброй многочленов от к образующих Wv W2, W3, ..., Wk. Как и выше,
находим, что алгебра H*(Gft,Gft_1;Zg) изоморфна идеалу J алгебры H*(Gk;Za),
порожденному классом Wk.
Когомологии по модулю р, где р — простое число, большее 2. Пусть g —
группа автоморфизмов двулистного накрытия Gk -*¦ Gk. Легко видеть, что
классы Понтрягина P4i инвариантны относительно группы g. Наоборот (при
четном к), группа g преобразует фундаментальный класс Xft в противопо-
противоположный класс —Хк. Согласно классическим теоремам о когомологиях
накрывающего пространства (Экман [193]***), отсюда следует, что при нечет-
нечетном к алгебра H*(Gk;Zk) изоморфна алгебре H*(Gk;Zp), а при четном к = 2т
алгебра H*(Gk; Z^) является алгеброй многочленов, порожденной классами
Понтрягина Р4, Р8, ..., р*™-* и квадратом (XftJ фундаментального класса
Xft (действительно, хотя класс Xft не инвариантен относительно g, его квад-
квадрат (XftJ Уже инвариантен).
* См. этот сборник, стр. 223, 224. — Прим. ред.
** См. этот сборник, стр. 255. — Прим. ред.
*** См. примечание редактора иа стр. 28. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 307
Используя, как уже было сказано, точную последовательность, анало-
аналогичную последовательности B), рассмотрим, как и выше, два случая:
1) к = 2т + 1 нечетно. Так как алгебры многочленов H*(Gk;Zp) и
H*(G2m;Zp) изоморфны и так как этот изоморфизм порожден отображением
i* (напомним, что i*(P4m) = (Х8т)г), то
№{Gh, Gk^; Zp) = 0 для всех г > 0.
2) к = 2т четно. В этом случае алгебра H*(Gk; Gh-.]) изоморфна идеалу
алгебры многочленов H*(Gk;Zp), порожденному классом (Х2тJ.
Фундаментальная группа. Согласно общей теории фундаментальная
группа пространства M(G) является факторгруппой фундаментальной группы
пространства AG (или BG) по образу группы жх{Еа) при вложении EG -»¦
-> AG. Следовательно:
a) так как щфк) = 0, то Л1(МE0(Лс))) = 0;
b) так как гомоморфизм i* отображает группу n1(Gh^ с* Za на группу
Я1(Ок) си Z3, то пх(М@(к))) = 0 для к э* 1.
Таким образом, пространства М(О(к)) и M(SO(k)) односвязны. Отсюда
следует, что эти пространства асферичны до размерности к — 1 включительно,
так как в размерностях, больших нуля, их первой нетривиальной группой
когомологий является группа Нк. Первыми нетривиальными гомотопичес-
гомотопическими группами являются группы як(М@(к))) = Z2 и nh(M(S0(k))) = Z.
Докажем теперь одну теорему общей топологии, "позволяющую опреде-
определять гомотопические свойства пространств по их когомологическим свойствам.
В основном эта теорема принадлежит Дж. Г. К. Уайтхеду [158].
Теорема II. 6. Пусть X и Y — односвязные клеточные разбиения и
/ — такое отображение разбиения X в разбиение Y, что для любой группы
коэффициентов Zp порожденный отображением f гомоморфизм /* : Hk(Y) ->-
-»- Н^Х) является для г < к изоморфизмом, а для г = к — мономорфизмом.
Тогда существует такое отображение g к-мерного остова разбиения Y в
разбиение X, что отображения / оg и go f (на соответствующих (к — 1)-
мерных остовах) гомотопны тождественным отображениям.
Отсюда, в частности, следует, что разбиения X и У имеют один и тот же
к-тип: их гомотопические группы изоморфны в размерностях < к—1.
Заменим разбиение Y цилиндром Y' отображения /. Это законно, потому
что Y является деформационным ретрактом цилиндра У и, следовательно,
имеет тот же гомотопический тип. Рассмотрим точную последовательность
НГ(У) — * Hr(X) -* Hr+l(Y', X) -> Hr+1(X) -
Условия, наложенные на отображение /, равносильны тому, что
Hr(Y';X;Zp)=0 для всех простых р и r=sfc. Отсюда по соображениям двойствен-
двойственности следует, что HJY';X;Zp) = 0 для г =е к. Следовательно, согласно
формуле универсальных коэффициентов, Hr(Y', X;Z) = 0 для г =е к. По-
Поскольку разбиения ХиУ односвязны, применима теорема Гуревича для
относительных групп [39]. Согласно этой теореме, лг(У, X) — 0 для г «? к.
Следовательно, на /с-мерном остове разбиения Y' можно определить обратное
вложению / отображение g : У -> X, для которого отображения g ° / и / о g
гомотопны тождественным отображениям на соответствующих (к— 1)-
мерных остовах разбиения* X.
Из изложенного выше описания групп когомологий пространств М(О(к))
и M(SO(k)) следует, что группы когомологий Hk+i(M(O(k))) и Hh+i(M(SO(k)))
не зависят от к, если / < к. Оказывается, что аналогичное свойство имеет
место и для гомотопических групп.
* Подробно это доказательство изложено, например, в [117]; см. также стр. 141,
142 этого сборника. — Прим. ред.
20* - 5/13

308 Р. том
Теорема II. 7. Если i < к, то гомотопические группы nk+i(M(O(k)))
и nk+i(M(SO(k))) не зависят от к.
Эта теорема вполне аналогична теореме Фрейденталя о гомотопических
группах сфер.
Пусть Aq^-d — рассмотренное выше расслоенное пространство,
базой которого является многообразие Грассмана Ол_1? а слоями (к — 1 )-
мерные открытые шары. Обозначим через А' ® / „соединение" (в смысле
Уитни)* расслоенного пространства A'0{h^1} и открытого отрезка /,
рассматриваемого как расслоенное пространство, база которого состоит из
одной точки. По определению, А' ® / является пространством, расслоен-
расслоенным на fc-мерные шары, базой которого будет многообразие Gk^. Очевидно,
что отображение i: Gh-x '-*¦ Gh, .индуцирующее это пространство, совпадает с
рассмотренным выше отображением i, соответствующим вложению О(к — 1) С
С О(к). Пусть / — отображение пространства A' (g) / в пространство Л0№),
соответствующее отображению i. Рассмотрим компактное пространство X,
полученное из пространства A' (g) / присоединением к нему ,.в бесконеч-
бесконечности" некоторой точки х и продолжим отображение / до отображения F : X ->
-»¦ М@(к)). Очевидно, что порожденный отображением F гомоморфизм F*
является для i < к — 1 изоморфным отображением группы Hk+i(M(O(k)))
на группу Hk+i(X). Для i — к — 1 отображение F* является мономорфизмом.
Кроме того, пространства X и М@(к)) односвязны. Следовательно, приме-
применима теорема II. 6, согласно которой гомотопические группы nk+i пространств
X и М(О(к)) изоморфны для i < к — 1.
Пусть Т(к—1) — надстройка** над М(О(к— 1)) с полюсами р и р',
а — „бесконечно-удаленная" точка пространства М(О(к)) ug— отображение,
стягивающее весь отрезок [рар'] в одну точку х. Получающееся в результате
этого отождествления пространство есть не что иное, как пространство X.
Так как отображение g удовлетворяет условиям теоремы 11. 6 (можно даже
показать, что отображение g является гомотопической эквивалентностью),
то гомотопические группы пространств X и Т(к— 1) изоморфны.
Но известна следующая теорема: пусть К — некоторый полиэдр, асфе-
асферичный до размерности п—1 включительно, и Т(К)—надстройка над К.
Тогда для / < 2п гомоморфизм Фрейденталя Е: л^К) -»¦ щ-х(Т(К)) является
изоморфизмом (см. Блейкерс — Масси [8])***.
* Пусть (А\ В\ Fl, G\ Ulai, gib/3i), i = 1,2,... —два расслоенных пространства.
Здесь В* — базы, F1 — слои, Ог — структурные группы, Ulai — координатные [окрест-
[окрестности, a gj^p,: Ua( п Ulpt-+ Gl — соответствующие координатные преобразования. Тогда
группа G1 X G2 естественным образом является эффективной группой преобразований
пространства F1 x F2, семейство множеств U^ x 1/|, — покрытием пространства В1 хВ2,
а отображения
Й../»1 х«&.* = (Ult X Ul.) П (Ul x U%)-+ G1 x G*
образуют систему координатных преобразований в смысле [143], 3.1. Соответствующее
расслоенное пространство
(А, В1 х В2, F1 х F», G1 X G2, Ul, х Ul,, gi,,^, x gS,l/Sl)
(см. теорему 3.2, [143], стр. 20) и называется соединением данных расслоенных про-
пространств. — Прим. ред.
** Пусть X — произвольное пространство и р — некоторая точка, не принадлежащая
пространству X. Цилиндр тривиального отображения Х-*-р называется конусом над
X с вершиной (полюсом) р. Теоретико-множественное объединение двух конусов над
X с вершинами р и р' (предполагается, что эти конусы пересекаются только по X) назы-
называется надстройкой над X с полюсами р и р'. — Прим. ред.
*** Пусть K]U К2 — Два конуса иад К, объединением которых является надстройка
Т(К) (см. предыдущее примечание). Так как конусы Кг и К2 стягиваются, очевидно, в
точку, то граничный гомоморфизм 9: зг3-+1 (К2, К) -> щ (К) и гомоморфизм вложения

310 р. том
Когомологии пространства K(Zz,n) (ср. статью Серра [134]).
Алгебра когомологии H*(Zt,k?t) порождается итерированными квад-
квадратами Стинрода6 фундаментального класса t e Hh (Z2, k; Z2) и их произ-
произведениями. Для ft < к (стационарная часть алгебры H*(Zs,k,Zs)) группа
Hh+\Zu,k;Z2) порождается итерированными квадратами Sq^Sq^... Sq1'^),
2 im = ft. Базой этой группы является совокупность итерированных
квадратов
Sq^ Sql>... Sq^i), где ixэ* 2i2> z8 s= 2i3, i3 s= 2i4, ..., i^ =» 2ir.
Последовательность / = {z1( i2, ..., ir}, удовлетворяющая этим неравенст-
неравенствам, называется, согласно [134], допустимой последовательностью. Соот-
Соответствующий итерированный квадрат Sqli Sql* ... Sql> обозначается через
Sq1. Ранг c(ft) группы Hk+h(Z2, к; Z2) равен числу разбиений числа h на
слагаемые вида 2т — 1 (порядок слагаемых не учитывается)*.
Аналогичные результаты имеют место и для алгебры H(Z, к; Z2).
Когомологии комплекса K(Z, к) над группой Zp, p > 2.
Нам понадобится только следующий результат А. Картана [63]: алгебра
H*(Z, к; Zp) порождена итерированными степенями Стинрода фундамен-
фундаментального класса t.
Многообразия Грассмана Gk.
Мы уже отмечали, что алгебра H*(Gk; Z2) является алгеброй много-
многочленов, порожденной классами Штифеля—Уитни Wit l=^i^k. Часто оказы-
оказывается полезным рассматривать классы Wt как элементарные симметрические
функции переменных tlt t2,'..., tk первой степени. Переменные tr, формально
введенные У Вэнь Цзюнем, получили топологическое истолкование в тео-
теории Бореля—Серра [V, 19]**. С помощью переменных tr легко доказываются
следующие формулы У [154]*** для квадратов Стинрода классов Wt:
W^tWi+l. C)
Следующая лемма, доказательство которой принадлежит Серру, показы-
показывает, что многообразие Грассмана Gk может в некоторой мере заменить
пространство Эйленберга—Маклейна K(Z2, к).
Лемма П. 8. Любая линейная комбинация итерированных квадратов
Sq1 полной степени h =s к, равная нулю на классе Wk e Hh(Gh; Zs), тождест-
тождественно равна нулю.
Заметим сначала, что любой класс вида Sq'(Wk), где последователь-
последовательность / не обязательно допустима, имеет вид**** Wk • Qb где Qi?H\Gk) —
полином общего веса h относительно W{. Следовательно, класс Sq1 (Wh)
принадлежит идеалу J алгебры H*(Gk), порожденному классом Wk.
Введем в множестве одночленов от Wi лексикографическое отношение
порядка (/?), положив Wm < Wn, если т < п. Например,
Wi < WiiWjK < WiW^j, < WiWa-
Пусть SqI=Sq^Sqi'...Sqi-, где последовательность /={11, i2,..., ir) допустима
(im_x > 2 im) и пусть SqIWh=Wk • Qj. Оказывается, что Qi=Wu Wu... Wir+
8 Определение и свойства квадратов и степеней Стинрода см. [142, ь]*****.
* См. примечание 1 в конце статьи. — Прим. ред.
** См. этот сборник, стр. 285. — Прим. ред.
*** См. этот сборник, стр. 287. — Прим. ред.
**** Это немедленно доказывается многократным применением формулы C). —
Прим. ред.
***** См. также этот сборник, стр. 257. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 311
+ одночлены, предшествующие относительно (R) одночлену W^W^Wi,... Wir.
Этот факт доказывается индукцией по г. Если г = 1, то, согласно формуле
C), Sq* Wk = WkWu так что Qt = Wt. Предположим, что для г — 1 наше
утверждение справедливо, и рассмотрим класс
= Sq^(Wk-P),
где, по предположению, многочлен Р имеет вид Wit W? ... Wir + одно-
одночлен низшего порядка относительно (R). Развернем зто произведение*:
= 2
Следовательно, полагая Sq1 Wh = Wh • QIt получим
Qr= 2
0<<
В этой сумме член с т = 0 имеет вид Р • Wh = WhWit ... W^ + одно-
одночлены низшего порядка относительно (R). С другой стороны, ни один из
членов разложения квадрата Sq™(P), m > 0, не может содержать класс
Wit больший или равный относительно (R) классу Wtl. Действительно,
согласно формуле C), квадрат Sqm Ws содержит только такие классы Wit
для которых i < 2s. Отсюда следует, что квадрат Sqm (P), га > 0, содержит
только такие классы Wu для которых i < 2f, =s ix. Таким образом, все зти
члены относительно (/?) строго ниже одночлена Wt^Wu ... Wir.
Итак, получаем, что все классы Sql(W^), где /—любая допустимая после-
последовательность, полной степени ft линейно независимы в группе Hk+h(Gk).
Действительно, если бы между этими классами существовало нетривиальное
линейное соотношение, то, выбрав в этом соотношении высший относительно
(/?) член, мы получили бы, что этот член линейно выражается через члены
низшего порядка относительно (R), что невозможно**.
Истолковывая классы Wt как симметрические функции к переменных
tm первой степени, сформулируем доказанную лемму следующим образом.
Лемма II. 8'. Классы Sq1 (tjtt ... tk), где 1 пробегает множество
допустимых последовательностей полной степени ft =s к, являются линейно
независимыми симметрическими функциями переменных t^
Мы видели, что алгебра когомологий Н*(М(О(к)); Zt) изоморфна иде-
идеалу J алгебры H*(Gk;Z2), порожденному классом Wk. С другой стороны,
база группы H\Gk, Z2) образована симметризованными одночленами
D)
где сумма показателей at равна ft, а знак симметризации 2 означает, как
обычно, суммирование по всем „существенным" для одночлена D) переста-
перестановкам, т. е. по представителям смежных классов полной симметрической
группы от к переменных по подгруппе перестановок, оставляющих одночлен
D) инвариантным***. Например,
2 СО (У • • • (**) = Ма ...**¦
Для любого разбиения (со) числа ft на слагаемые h = 2ai будем обозна-
i
чать через Sa систему соответствующих существенных перестановок. Кроме
* Здесь используется формула А. Картаиа; см. 7.8, стр. 257. — Прим. ред.
** См. примечание 2 в конце статьи. — Прим. ред.
*** Любой элемент группы Hh(Gh',Z^) является, согласно сказанному на стр. 310,
симметрическим многочленом степени Лот переменных 1Х, . . . , tk- Пусть afj*1 . . . . t°r —
старший член этого многочлена. Вычитая симметрнзованный одночлен 2(h)ai- •• @r)ar.
мы получим, очевидно, симметрический многочлен с меньшим старшим членом. Повторяя
этот процесс, мы выразим любой элемент группы НЦвк', Z3) в виде линейной комбинации
(очевидно, независимых) снмметрнзованных одночленов D). — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 309
Рассматривая последовательность изоморфизмов
nk_1+i(M@(k — 1))) -?-* nh+i(T{k - 1)) - лк+1(Х) с* лк+1(М@(к))), i<k~\,
получаем искомый результат. Для M(SO(k)) доказательство аналогично.
6. Гомотопический тип пространства М(О(к)). Для вычисления гомо-
гомотопических групп пространства М(О(к)) необходимо воспользоваться неко-
некоторыми общими свойствами пространств Эйленберга—Маклейна, с одной
стороны, и многообразий Грассмана — с другой.
Пространства Эйленберга—Маклейна.
Пусть л — произвольная абелева группа. Пространством Эйленберга—
Маклейна К(л, п) называется связное пространство, все гомотопические
группы которого в размерностях, больших нуля, тривиальны, за исключе-
исключением группы яп(К(я, п)) Fd п. Все такие пространства имеют один и тот же
гомотопический тип и среди них существует по крайней мере одно, являю-
являющееся симплициальным разбиением. Если группа л конечного типа, то сущест-
существует пространство К(л, п), являющееся симплициальным разбиением, конеч-
конечномерные остовы которого являются конечными, разбиениями. Поскольку
этот факт нельзя считать общеизвестным, приведем здесь краткое доказатель-
доказательство. Доказательство проводится индукцией по q (q — размерность остова).
Начало индукции обеспечивается тем, что n-мерный остов комплекса К(л,п)
состоит из конечного числа сфер S". Пусть теперь остов Kq некоторой размер-
размерности qs* n конечен. Согласно теоремам Серра [ I], гомотопическая группа
ля(К9) имеет конечный тип. Следовательно, эту группу можно обратить в
нуль, присоединив к Kq конечное число (q + 1>-мерных шаров, граничные
сферы которых отображены в Kq. Так как эти отображения можно считать
симплициальными, то в результате получается конечное разбиение Kq+1, для
которого все группы m{Kq+x) при л < i «s q тривиальны. Это разбиение и
является искомым (q + 1)-мерным остовом.
Группы когомологий пространства К(л,п) с коэффициентами в группе
G сокращенно обозначаются через Hr{pt,n;G). Напомним, что группа Hn(G, n;G)
содержит так называемый ..фундаментальный класс*" i. Для любого класса
когомологий ие Нп(А; G) некоторого полиэдра А существует такое отобра-
отображение / : А -*¦ K(G, п), что** и = /* (i).
Группы когомологий пространств K(Z,n) и K(Zp,n) с коэффициентами в
группе Zp определены Серром и А. Картаном. Напомним здесь некоторые
их результаты»
г: 71}+1(Т(К)) -*• jij+1 (Т(К), Ki) являются изоморфизмами. Рассматриваемый автором гомо-
гомоморфизм Фрейдеиталя Е : щ (К) ->- щ+i (Т(К)) можно определить как композицию г о ео дг1,
где е : я5+1(Ка, К) -*¦ щ+1(Т(К), Ki) — естественный гомоморфизм вложения. Таким обра-
образом, теорема Блейкерса—Масси, на которую ссылается автор, равносильна утверждению,
что для i < 2п — 1 гомоморфизм е : n%{Kt, К) -*¦ тц(Т(К), Кд является изоморфизмом.
В этой форме она является непосредственным обобщением теорем, сформулированных
в примечании 7 иа стр. 162, и доказывается аналогично. — Прим. ред.
* Этому классу при изоморфизме Hn(G, n; G) ?& Нот (О, О) соответствует тождест-
тождественное отображение О -> G. — Прим. ред.
** Пусть z — произвольный коцикл класса и в некотором клеточном разбиении
полиэдра А. Рассмотрим отображение л-мерного остова этого разбиения в пространство
K(G, л), переводящее (л — 1)-мерный остов в некоторую точку пространства K{G, л) и
определяющее на любой л-мерной клетке а элемент z(;>) группы G = яп(К@, л)). Так как
коцепь z является коциклом, то это отображение гомологично нулю на границе любой
(л + 1)-мериой клетки рассматриваемого клеточного разбиения и поэтому его можно
распространить иа (л + 1)-мерный остов и, следовательно, на весь полиэдр А (потому
что для i > л группы jii(K(G, л)) по условию тривиальны). Построенное отображение
/: А -*¦ K{G, л) удовлетвориет, очевидно, условию u = f*(i).
Из этого построения следует, что с точностью до гомотопии отображение / определено
однозначно. — Прим. ред.

312 р. том
того, условимся, что знак 2> стоящий перед одночленом вида D), обозна-
обозначает, если только явно не оговорено противное, суммирование по системе
существенных перестановок.
В размерности к + h база идеала J состоит из симметризованных одно-
одночленов
V и y»rfi(f2y»rfi ... (t )а'+Ч , ... L, E)
получаемых из элементов базы D) умножением последних на класс Wk =
= tt t2 ... th. Действительно, любая перестановка, существенная для
одночлена D), существенна для одночлена. E), и обратно.
I Определение. Пусть Р — произвольный многочлен от перемен-
переменных t{. Переменная U называется диадической переменной для многочлена
Р, если в каждый член многочлена Р она входит либо в нулевой степени,
либо в степени вида* 2т.
Лемма 11.9. Переменная tn, диадическая для многочлена Р, будет
также диадической переменной для многочлена Sq{P.
Действительно, известно, что** Sqa(tn)m = (m) (tn)m+a. С другой сто-
стороны, если т отлично от нуля и является степенью двойки, то биномиаль-
биномиальный коэффициент (™\ равен нулю***, за исключением тех случаев, когда
а=0 или а = т. (Действительно, (*\ = 1 mod 2 тогда и] только |тогда,
когда двоичное разложение числа р содержит двоичное разложение числа
q. См. [144].****) В этих случаях новый показатель т + а также
является степенью двойки.
Определение. Назовем недиадическим множителем одночлена
(t1)ait2)a'... (tr)a' одночлен, составленный из всех недиадических перемен-
переменных; число этих переменных мы будем обозначать через ы, а полную степень
недиадического множителя — через v. Следующим образом определим в мно-
множестве одночленов от переменных (tt) отношение квазипорядка***** (Q): одно-
одночлен X старше одночлена Y относительно (Q), если ы(Х) > u(Y) или если
ц(Х) = u(Y) и v(X) < v(F).
Для любого числа ft «s k рассмотрим классы
Л...гк, F)
где ю = {av a2, ..., ar} — любое разбиение числа ft на слагаемые, из кото-
которых ни одно не имеет вид 2т — 1 (недиадическое разбиение числа ft). Число
всех таких разбиений обозначим через d(h).
Для любой размерности m =s k рассмотрим классы
*?., SqiXZ*, Sq*X™^,...,SqI"Xhah,...,SqIWh, G)
где Sqh — [допустимая последовательность полной степени (m — ft),
a a>h — любое недиадическое разбиение числа Л.
Оказывается, что все классы G) линейно независимы.
* Случай т = 0 не исключается. — Прим. ред.
** Если а + т = 1, то соотношение очевидно. Предполагая, что оно справедливо,
когда а + т < N, для а + т = N получим :
bq tn = bq (in • t) = bq tn ¦ tn + bq tn • tn =
((m—l\ , (m—1\\ .a+m (m\ .a+m
= \\ a ) ~r \ a—if) tn = \a)tn
— Прим. ред.
*** По модулю 2. — Прим. ред.
**** См. также [116]. — Прим. ред.
***** Значение приставки „квази" таково: из того, что X не старше У и Y не старше
X, не следует, вообще говоря, что X = У. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 313
Для доказательства выберем в многочлене, полученном в результате
применения операции Sq1 к некоторому члену многочлена F), старший
относительно (Q) одночлен. Оказывается, что сумма всех таких старших
одночленов имеет вид
' (У"+1<«-+1 • ¦ ¦ W-+1 • S?'((,ti • • •'»), (8)
где суммирование распространено на систему So перестановок, сущест-
существенных для одночлена F), соответствующего разбиению <о. Действительно,
индекс и любого одночлена, входящего в многочлен
.tr+1
обязательно меньше или равен г, потому что, согласно лемме II. 9, перемен-
переменные (tr+1, ..., tk) являются диадическими переменными. При и = г воз-
возможны два случая: либо рассматриваемый одночлен входит в многочлен
либо он входит в многочлен вида
В первом случае v = и + Л, во втором v строго больше г + Л. Отсюда следует,
что все члены многочлена (9) старше относительно (Q) любого другого члена
многочлена Sq1 Хщ. С другой стороны, никакой член многочлена (9) не может
исчезнуть в результате симметризации, произведенной в (8). Действительно,
любая перестановка переменных tu существенная для одночлена F), сущест-
существенна и для его недиадического множителя (<1)в*+ЧУ<+1 • • • (С)а'+1> явля-
являющегося недиадическим множителем также и любого члена многочлена
(9). Следовательно, преобразуя (9) перестановками системы So, мы получим
выражения, не содержащие одинаковых недиадических множителей. Поэтому
их сумма не равна нулю.
Так как никакой член нельзя выразить в качестве линейной комбинации
членов, строго низших относительно (Q), то из сказанного выше следует,
что любая линейная зависимость между классами G) является следствием
зависимостей, содержащих лишь такие классы S0JX?, старшие относительно
(Q), члены которых имеют один и тот же индекс и = г и один и тот же индекс
v = г + Л, а следовательно, одно и то же значение степени Л. Кроме того,
разбиения <о числа Л, с помощью которых построены классы Х„, связан-
связанные этой линейной зависимостью, должны быть одинаковы. В противном
случае недиадические множители высших относительно (Q) членов разло-
разложений квадратов Sq1 Х„ будут все различны и их сумма не будет равна
нулю. Таким образом, любая линейная зависимость между классами G)
является следствием линейных соотношений вида 2 c^Sq^X), = 0, содер-
содержащих только один класс Х^.
Выпишем высшие относительно (Q) члены этого соотношения:
Все члены этого выражения, содержащие фиксированный множитель
Ci)a'+1 • (Ч)а'+1 ¦ • ¦ 0r)a'+1 Должны в сумме давать нуль. Таким образом,
(/1)a.+l(ya.+l . . . (yar+l? Cx Sq'x(tr+1 . . . tk) = 0.
Но, согласно лемме II. 8', все классы Sq1 (tr+1 ... tk) линейно независимы,
если степень т — h последовательности / не превосходит к — г. Так как,
очевидно, h s= 2r, то зто неравенство удовлетворяется для всех т« к. Сле-
Следовательно, коэффициенты сх равны нулю. Таким образом, классы G) не свя-
связаны никакой нетривиальной линейной зависимостью.

314 Р. том
Ранг группы Hh+m (M (О (к))), т. е. ранг идеала J, равен общему числу
р(т) разбиений числа т на слагаемые. С другой стороны, число классов G)
равно _2 с(т — Щ й(Щ- Н°> как нетрудно убедиться,
h <m
2- h) d(h).
Действительно, любому разбиению числа т можно отнести два разбиения:
разбиение числа (т — Л), состоящее из слагаемых вида 2П— 1, и разбиение
числа Л, составленное из остальных слагаемых. Таким образом, классы
G) образуют базу группы Нк+т(М(О(к))).
Отнесем каждому классу Х„ такое отображение
FB:.M(O(k))-+K(Z2,k + h),
что Fl(i) = Хщ, где F* — порожденный отображением Fa гомоморфизм.
Отображения Fa определяют отображение F пространства М(О(к)) в произ-
произведение
Y = K(Z2, k)xK(Z2,k + 2)x...x (K(Z2, k+h))*w x ... x (K(Z2,2k))<*k\ A0)
Так как классы G) образуют базу группы Hh+\M(O(k))), то порожден-
порожденный отображением F гомоморфизм F* является изоморфным отображением
группы Hh+m(Y;Z2) на группу Hh+m(M(O(k))) для всех т «s к. По модулю
р, р > 2, алгебра когомологий пространства Y тривиальна*, а алгебра кого-
мологий пространства М(О(к)) тривиальна в размерностях, меньших 2к.
Следовательно, гомоморфизм F* является в этом случае изоморфизмом в
размерностях, меньших 2к, и мономорфизмом в размерности 2к. Таким
образом, к пространствам М(О(к)) и Y можно применить теорему II. 6.
Согласно этой теореме, существует отображение, g 2/с-мерного остова кле-
клеточного разбиения Y в клеточное разбиение М(О(к)), для которого отобра-
отображение g°F гомотопно тождественному отображению на Bк—1)-мерном
остове разбиения М@(к)).
Следовательно, имеет место
Теорема II. 10. Пространство М(О(к)) имеет тот же гомотопи-
гомотопический 2к-тип, что и определенное формулой A0) произведение Y полиэдров
Эйленберга—Маклейна.
Следствие II. 11. Стационарная гомотопическая группа яй+/1(М(О(/с))),
h < к, изоморфна прямой сумме d(h) групп Z2.
Рассматривая отображение g на первом множителе, получаем
Следствие. II. 12. Существует такое отображение g 2к-мерного
остова разбиения K(Z2, к) в разбиение М(О(к)), что g*(U) = i, где i — фунда-
фундаментальный класс разбиения K(Z2, k).
Так как любой класс ueH\A;Z2) произвольного пространства А явля-
является образом фундаментального класса i при некотором отображении / : Л ->
-> K(Z2, к), то получаем
Следствие 11.13. Любой к-мерный класс когомологий по модулю
2 некоторого пространства размерности «s 2k допускает ортогональную
реализацию.
7. Пространства М@(к)) для малых значений к.
к = 1. Пространство неориентированных 1-векторов является действи-
действительным проективным пространством PR(N) некоторой очень большой раз-
размерности N; соответствующее универсальное расслоенное пространство
Л0A) совпадает с ,.цилиндром отображения" двулистного накрытия SN ->
-> PR(N). Стянув в комплексе Л0A) граничную сферу SN в точку, мы
* Потому что, согласно предложению 8 гл. II работы [III] (см. этот сборник,
стр. 136), все целочисленные группы когомологий пространства У являются 2-группамя.
— Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА сВ ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 315
получим в качестве пространства М@A)) действительное проективное прост-
пространство PR(N + 1). Таким образом, оба пространства K(Zt, 1) и Л1(ОA))
совпадают с действительным проективным пространством PR(°°) бесконеч-
бесконечной размерности. Следовательно, любой одномерный класс когомологий по
модулю 2 допускает ортогональную реализацию.
к = 2. Когомологий пространства М(ОB)) описываются следующим обра-
образом*:
В размерности 2 имеется один класс по модулю 2 — фундаменталь-
фундаментальный класс U.
В размерности 3 — целочисленный** класс Sq1U = UWV
В размерности 4 — целочисленный класс X и класс (ДИ^J по модулю 2.
Класс X является квадратом фундаментального класса пространства
M(S0B)), а по модулю 2 — квадратом U2 класса U.
В размерности 5 имеются целочисленный класс второго порядка
^WxJ) = tWxK и класс и2]Мг по модулю. 2.
Для естественного отображения F : М(ОB)) -> K(Z2, 2) имеем над груп-
группой Zs:
F*(i) = U; F^Sq11) = UWX; F*(Sq21) = U2;
F*(Sq2Sh) = S<p(UWJ = U*Wi + U(Wtf; F*(i • Sqh) = U2WV
Рассмотрим, как и в доказательстве теоремы П. 6, цилиндр К отображения
F. Цилиндр К содержит в качестве замкнутого подмножества пространство
М(ОB)), которое мы для краткости будем обозначать через М. Из точной
последовательности, соответствующей вложению F: М -* К, следует, что
Hr(K, M; Zp) = 0 при г < 5,
Н\К, М; Zp) = Zv для всех простых р.
Отсюда, по соображениям двойственности, получаем
HAK,M;ZP) = O при г<5,
НЬ{К, М; Zp) = ZppflH всех простых р.
Следовательно, согласно формуле универсальных коэффициентов,
Hr(K, M;Z) = 0 при г <5,
H5(K,M;Z) = Z.
Применяя теорему Гуревича для относительных групп, отсюда получаем:
я4(К, М) = 0, лв(К, М) = Z.
Следовательно,
л3(М) = 0, я4(М) = Z.
Отображение g, гомотопически обратное отображению F, можно определить
на 4-мерном остове клеточного разбиения К. При продолжении отображения
g на 5-мерный остов разбиения K(Z2, 2) возникает препятствие над группой
* Согласно сказанному на стр. 306, алгебра Н*(М@B)), 22) является идеалом алгебры
многочленов Н*(Ог, Za) от двух образующих Wx и Wt. Этот идеал порождается элементом
W.. Следовательно, полагая U = Wt, получим: Я2 =(U), Н* ^iUW^, Н* = AЯ, UiW^3),
Н° = ((/(IVj)8, U^Wj) и т. д. С другой стороны, согласно теореме Серра (см.
примечание 1 на стр. 348), Ha(Zt, 2; ZJ = (Sq1^)). Так как F*(i) = t/, где F: М@B))->
-> /C(Z,,2) x /C(Za,4) — построенное при доказательстве теоремы II. 10 отображение, то
Sq1U = Sq1F*(i) = F*5g! (i) = t/ Wj, и, следовательно, Sg1^ (WjJ) = U • S?1((Wr1)*) +
+ S^LO • (WiJ = У (^)8, ибо Sq1 ((WJ*) = Wj • Sq1 (^) + Sg1 (W^) • ^ = 0.
— Прим. ред.
** To есть получаемый из целочисленного класса когомологий редукцией по модулю'
2. Здесь и в дальнейшем следует иметь в виду, что классы Sq*x при нечетном i целочислеины
в этом смысле. — Прим. ред.

316 р. том
я4(М) = Z. В соответствии с общей теорией второго препятствия [94]*
этот класс, принадлежащий группе Н^2, 2; Z), есть не что иное, как инва-
инвариант Эйленберга—Маклейна, соответствующий второй нетривиальной гомо-
гомотопической группе л^М). Этот класс порождает ядро гомоморфизма
F*: H5(Z2, 2; Z) -^ H\M; Z)**.
Группа H\Z2, 2; Z) является циклической группой четвертого порядка.
Она порождается элементом -^ <5р(«), являющимся образом квадрата
Понтрягина*** p(i) фундаментального класса i при гомоморфизме Бок-
штейна -j д. Группа H\M;Z) является циклической группой второго порядка
и порождается классом Sq\U{W^f). Приведя этот класс по модулю 2,
мы получим класс U^W^3. Оказывается, что гомоморфизм F* переводит
образующую первой группы в образующую второй группы. Ясно, что это
утверждение достаточно проверить лишь по модулю 2. С этой целью вычислим
приведенный по модулю 2 класс -j- <5p(f). Пусть и — коцикл класса i, a
v =-2-р<5(ц) — коцикл класса Sq1^ Квадрат Понтрягина определяется
формулой р(ц) = uw и + и^г ди. Следовательно, согласно формуле когра-
кограницы, имеем
<5р.(ц) = ди ^ и + и ^ Ьи + Ьи и х Ьи + и ^i ди — ди <*> и.
Откуда, деля на 4 и приводя по модулю 2, получаем
¦j <5p(u) = «uv + vw1v = i' Sqh + Sq2Sqh.
При гомоморфизме F* этот класс переходит в класс
т. е. в образующую группы H\M;Z\ приведенную по модулю 2.
Так как образующая группы Н^М; Z) имеет второй порядок, то отобра-
отображение F* переводит класс -^ др(с) в нуль; этот класс и является искомым
препятствием. (Заметим, что хотя это препятствие и является кларсом
второго порядка, но приводя его по модулю 2, мы получим нуль. Отсюда
следует, что его нельзя выразить с помощью операций 5^'.) Тем самым
доказана
Теорема II. 14. Для того чтобы класс x?H\A;Z2) некоторого
5-мерного пространства А допускал ортогональную реализацию, необходимо
и достаточно равенство нулю класса -j <5р(х), где р(х) — квадрат Понтря-
Понтрягина класса х.
Заметим, что условия этой теоремы выполняются только тогда, когда
существует такой класс X е Н\А; Z2), что Sq2Sqxx + х • Sqxx = Sq'-X.
k = 3. Сравним полиэдр М@C)) с указанным в теореме 11. 10 произ-
произведением Y полиэдров Эйленберга—Маклейна. Оказывается, что гомомор-
гомоморфизм F* является изоморфизмом не только до размерности 6, но также и
в размерности 7. Напротив, в размерности 8 этот гомоморфизм заведомо
не будет изоморфизмом. Действительно, имеем:
* Теория второго препятствия изложена, например, в [10]. Об инвариантах Эйлен-
Эйленберга—Маклейна см. [117]. — Прим. ред.
** Только это свойство препятствия используется далее. Поэтому в рассматриваемом
случае можно определить препятствие как класс, порождающий ядро гомоморфизма F*.
— Прим. ред.
*** О квадратах Понтрягина см. [114]. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 317
в размерности 3 F*(i) = U;
в размерности 4 F*E^ t) = UWt;
в размерности 5 F*(Sq2i) = UW2 и
F*(X2) = UiW]J (новая образующая);
в размерности 6 F*(Sq3i) = U2, F*(Sg25g1t) = U{WtWx + (WJ3),
в размерности 7 F*(t • Sq11) =
В размерности 7 имеются две новые образующие F*(X4) = ЦИ^L и
F*(X22) = U(W2)\ Гомоморфизм F* не является изоморфизмом в раз-
размерности 8, потому что F*(Sq3X2 + (Sq1^2 + Sq1 X4) = 0. Из сказанного
следует (см. теорему II. 6)
Теорема II. 15. Любой трехмерный класс когомологий над группой
22 произвольного пространства, размерность которого меньше 8, допускает
ортогональную реализацию.
Замечание. Мне не известно, чему равно препятствие в размерности
8. Возможно, что это препятствие равно нулю.
Закончим этот пункт следующим общим замечанием: для к > 1 не су-
существует отображения
g:K(Z,,k)-+M(O(k)),
гомотопически обратного отображению F : М{О(к)) -+ K(Z2, к). Действи-
Действительно, как мне указал Серр, алгебра когомологий пространства K(Z2, к)
является для к > 1 алгеброй многочленов от бесконечного числа переменных*.
Напротив, алгебра когомологий пространства М(О(к)) изоморфна с точ-
точностью до сдвига градуировки алгебре когомологий многообразия Грассмана
Oft и, следовательно, имеет конечный тип. В достаточно больших размер-
размерностях ранг алгебры H*(Z2, k) строго больше ранга алгебры Н*(М@(к))),
так что ядро гомоморфизма F* отлично от .нуля, и потому отображение g
существовать не может. Следовательно, для любого числа к > 1 существуют
пространства достаточно большой размерности {большей 2к), у которых
некоторые k-мерные классы когомологий по модулю 2 не допускают ортого-
ортогональной реализации.
8'. Комплекс M(SO(k)). Стационарный случай. В п. 6 мы описали „ста-
„стационарный" гомотопический тип пространства М(О(к)). Для-пространства
M(SO(k)) мы этого сделать не сможем, потому что гомотопический тип этого
пространства существенно сложнее. Действительно, в то время как полиэдр
Y, эквивалентный пространству М(О(к)), является топологическим произ-
произведением полиэдров K(ZZ, k), полиэдр, эквивалентный пространству M(SO(k)),
является Уже не произведением, а многократным расслоенным простран-
пространством, последовательные слои которого являются полиэдрами K(Z2, r) и
K(Z, m) (а может быть, даже и полиэдрами K(Zp, n)\), причем последователь-
последовательные расслоения, вообще говоря, нетривиальны. Поэтому мы ограничимся
описанием эквивалентного полиэдра только в размерностях к + i, где i «s 7.
Определение „полиэдра Зильбера" К. Известно, что полиэдр K(Z, к + 4)
является слоем некоторого асферического пространства А, базой которого
служит полиэдр K(Z, к + 5) (см. Серр [ I]**). Пусть и — фундаментальный
класс базы K(Z, к + 5). Существует такое отображение / полиэдра K(Z, к)
* См. примечание на стр. 348. — Прим. ред.
** Пространство А является пространством путей с фиксированным началом поли»
эдра K(Z, к + 5). — Прим. ред.

318 .р. том
в полиэдр K(Z, к + 5), что /*(ц) = S/|(t), где S/jj — „куб Стинрода" размер-
размерности 5, являющийся целочисленным классом третьего порядка*. Обо-
Обозначим через К пространство, индуцированное отображением / и расслоенным
пространством А. Пространство К является расслоенным пространством с
базой K(Z, k) и слоем K(Z, к + 4). Единственными нетривиальными гомото-
гомотопическими группами пространства К являются группы лк и я4+4, изо-
изоморфные группе Z. Соответствующий инвариант Эйленберга—Маклейна
k e Hk+5 (Z, к; Z) совпадает с St%i). Необходимым и достаточным условием
того, чтобы отображение F некоторого клеточного разбиения М в про-
пространство К, определенное на (к + 4)-мерном остове разбиения М, могло
быть продолжено на все разбиение М, является тривиальность куба Sf|(x),
где х — образ класса i при отображении F*.
Когояюлогии пространства К.
1. Когомологии по модулю 2. Пусть F3 — такое отображение пространства
K(Z, k) в себя, что (F3)*(i) = 3i. Расслоенное пространство, порожденное
при этом отображении пространством К, совпадает с произведением K{Z, к) х
х K(Z, к + 4), потому что инвариант Эйленберга—Маклейна этого про-
пространства равен нулю:
(F3* (S)Q@) = Stl(F\i)) = S/fCi) = 0.
Следовательно, существует согласованное с расслоениями на пространстве
K(Z, к + 4) отображение G произведения K(Z, к) х K(Z, к + 4) в простран-
пространство К, для которого соответствующее отображение баз K(Z, к) совпадает
с отображением F3.
Отображение G Порождает гомоморфное отображение спектральной
последовательности когомологии расслоения К в тривиальную спектральную
последовательность когомологии произведения K(Z, к) х K(Z, к + 4O.
Гомоморфизм G* на членах Е2 этих спектральных последовательностей
является изоморфизмом. Кроме того, гомоморфизм (F3)* является автомор-
автоморфизмом алгебры H*(Z, к; Z2). Следовательно, дифференциал Лерэ d2 члена
Е2 спектральной последовательности расслоения К тривиален, потому что
он тривиален в спектральной, последовательности произведения. Это же
верно для всех последовательных дифференциалов d4. Отсюда получаем:
алгебра когомологии Н*(К; Z2) изоморфна алгебре когомологии произ-
произведения K(Z, k)xK(Z, k + 4).
2. Когомологии по модулю р, где р — простое число г» 5. Рассуждения
те же, что и выше, приводят к аналогичному заключению: алгебра кого-
когомологии H*(K;Z ) изоморфна алгебре когомологии произведения K(Z,k)x
xK(Z,k+4).
3. Когомологии по модулю 3. Здесь нам понадобится более подробное
рассмотрение спектральной последовательности расслоенного пространства
К. Обозначим через v — фундаментальный класс слоя K(Z, k + 4). По самому
построению пространства К фундаментальный класс v переходит при транс-
трансгрессии (которая совпадает здесь с дифференциалом dh+^ в класс St\(i).
Так как степени Стинрода перестановочны с трансгрессией, то (с точностью
до отличного от нуля коэффициента) класс St\v переходит в** класс St\°
°St%(i) = St\(i)***, а класс St%(v) в класс St\oSt^i) = 0. Следовательно,
алгебра когомологии Н*(К; Z3) имеет следующие образующие: в размерности
* Здесь автор пользуется тем, что классы S<pft(P~1)+1(x) можно рассматривать как
целочисленные (см. примечание на стр. 256, 257). — Прим. ред.
7 Определение и свойства спектральной последовательности, отнесенной к некоторому
расслоению, см. у Лерэ [83, 84] и Серра [ I].
** Отличный от нуля. — Прим. ред.
*** Здесь и в дальнейшем автор пользуется формулами Адема(см. примечание на стр..
349) для степеней Стинрода. (Напомним, что с точностью до множителя операция <J)p сов-
совпадает с операцией St$a(v—!), а операция $<Щ — с операцией St$a(P— D+i.) — Прим. ред^

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 319
к — образующую, порожденную классом i (которую мы не совсем законно
обозначаем также через t); в размерности к + 4 — класс Sf§ (t); в размер-
размерности к + 8 — класс Sfi(i); в размерности к + 9 — элемент, порожденный
классом* Sfijv.
Пространство, эквивалентное пространству M(SO(k)).
Этим пространством будет произведение Y пространства К, определен-
определенного выше, на пространство Эйленберга — Маклейна K(Z2, k + 5). Соот-
Соответствующее отображение F: М (SO (к)) -> Y определяется на основании
следующих соображений.
Существует такое отображение / (к + 4)-мерного остова клеточного
разбиения M(SO(k)) в пространство К, что f*(i) = U. Так как 5/|G = О
(потому что группы когомологий пространства M(SO(k)), как и многообразия
Qk, не имеют элементов порядка 3), то отображение / может быть продол-
продолжено до отображения
f:M(SO(k))-+K
всего пространства M(SO(k)) в пространство К. С другой стороны, существует
такое отображение g: M(SO(k)) ¦-> K(Z2, к + 5), что g*(i')= VW2W3,
где t'—фундаментальный класс пространства K(Z2, k-\- 5). Пара отображений
/ и g определяет искомое отображение F: M(SO(k)) -*¦ Y.
Вычислим гомоморфизм F*, порожденный отображением F.
Вычисление по модулю 2. Рассмотрим размерности к + i, где 0 =s i «s 8.
Обозначая через v образ при изоморфизме
Н* (К; Z2) ** Н* (Z, к; Z) <g> H* (Z, к + 4; Zt)
образующего элемента алгебры когомологий множителя К (Z, к+ 4), будем
иметь:
i=l; F*@)=0.
1 = 2; F*(Sq*i) = UWt.
г = 3; F*(Sq3t) = UW3.
F*(v) = t/(^2J-
i = 5; F*(Sq5i) =
, = 6; F*(Sq*i) =
F*Eg*v) =
F*(Sq5Sq*i) =
F*(Sq*Sq* *) =
F*Eg* v) = U(Wt(W2)* + W2(W3)* + (W2)%
F*(Sq3 О = UW5W»,
* Действительно, поскольку dft+6(v) = S<|@ и dfc+6(Sf|(v)) = SQ(t), при переходе от
?s к ?то элементы v, S^(i), SQ(v) и SQ(t) пропадают. С другой стороны, согласно
А. Картаиу (см. стр. 310), в размерностях «в к + 9 образующими алгебры Et =H*(Z,*;Z8) <g>
®H*(.Z,fc+ 1,28), кроме этих исчезающих элементов, являются только указанные
автором элементы. — Прим. ред.

320 р. том
Легко видеть, что при i =s 8 элементы алгебры H*(M(SO(k)); Z2), указан-
указанные в этой таблице, линейно независимы. Более того, при i =s= 7 зти элементы
образуют базу группы Hh+\M(SO(k)); Z2). Следовательно, отображение F*
при i =s 7 является изоморфизмом группы Hh+i(Y) на группу Hk+i{M(S0(k))),
а при г = 8 отображение F* является мономорфизмом.
Замечание. Пользуясь указанным Серром [134] каноническим
видом образующих алгебры H*(Z, к; Z2), можно продолжать вычисление
далее. При этом в размерности 8 появляются две новые образующие, соот-
соответствующие классам Понтрягина (W2)* и (W4J-
Вычисление по модулю 3. Множитель К (Z2, к + 5) не дает ничего. Следо-
Следовательно,
1 = 0; F*(i) = U.
1 = 4;
i = 8;
Вычисление по модулю6 5:
i = 0; F*(i) = U, F*(v) = UPif F*(S t*51) = i/((P4)* - 2P8) .
Вычисление по модулю p, р > 5:
i = 0; F*@ = U.
i = 4; F*(y)=UPt.
i = 8; F*@)= 0.
Таким образом, для любого поля коэффициентов гомоморфизм F* при
г «= 7 является изоморфным отображением группы Hk+i(Y) на группу
Нк+\М (SO(A;))), а при i = 8 он является мономорфизмом. Так как простран-
пространства Y и M(SO(A;)) односвязны, то к ним применима теорема п. 6, согласно
которой пространства M(SO(k)) и Y имеют один и тот же (к + 8)-тип. Следо-
ветельно, имеет место
Теорема II. 16. При i=s7 стационарные гомотопические группы
jrft+i(M(SO(A:))) определяются следующими формулами:
= Ли+з = 0;
= Z2; jrft+e = nh+4 = 0.
Теорема II. 17. При к > 8 целочисленный к-мерный класс когомологий
х некоторого пространства размерности к + 8 тогда и только тогда реали-
реализуем относительно группы вращений, когда целочисленный класс 5/§(х) равен
нулю.
9. Пространство M(SO(k)) при малых значениях к. В этом параграфе
мы определим первое препятствие для отображения g'-K(Z, к) -> M(SO(k))
при к < 5. Это препятствие является, так же как и в стационарном случае,
кубом Стинрода Sfij(t) фундаментального класса.
к—\. Пространство M(SOA)) является произведением S^xS1, в кото-
котором некоторая сфера вида Sxt стянута в точку. Это пространство имеет
гомотопический тип окружности S1. С другой стороны, S1 является реали-
реализацией пространства K{Z, 1). Отсюда следует, что любой целочисленный
класс когомологий реализуем относительно группы вращений (которая, впрочем,
состоит в этом случае из одного единичного элемента).
к = 2. Многообразие Грассмана G2 двумерных ориентированных пло-
плоскостей является классифицирующим пространством группы S0B) = St/A)=
= S1. Следовательно, это многообразие можно отождествить с комплексным
8 Вычисление степеней Стинрода Stf,U фундаментального класса U см. в статьях
Бореля—Серра [V] и У [155].

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 321
проективным пространством PC(N) „большой размерности". Универсальное
расслоенное пространство Л8ОB) над G2 можно отождествить с нормальной
трубчатой окрестностью пространства PC(N), рассматриваемого как проек-
проективная гиперплоскость пространства PC(N -f- 1). Отсюда следует, что про-
пространство M(S0B)) можно отождествить с пространством PC(N + 1). Таким
образом, пространство M(S0B)), так же как и K(Z, 2), может быть реализо-
реализовано посредством комплексного проективного пространства „большой раз-
размерности*". Поэтому любой двумерный целочисленный класс когомологий
реализуем относительно группы вращений.
к = 3. Пусть, как обычно, с — фундаментальный класс пространства
K(Z, 3). Известно, что класс 5/|(i) отличен от нуля**. Построим „простран-
„пространство Зильбера" К, инвариант Эйленберга—Маклейна к которого равен
S/f(t). Это' пространство является расслоенным пространством с базой
K(Z, 3) и слоем K(Z, 7). Как и выше, убеждаемся, что для любого простого
рфЪ алгебра когомологий Н*(К;Zp) изоморфна алгебре когомологий
произведения K(Z, 3)xK(Z, 7). Пусть v— фундаментальный класс простран-
пространства К (Z, 7). Легко видеть, что группа Н*(К, Z3) имеет только одну обра-
образующую, являющуюся образом класса i при расслаивающем отображении
К ->¦ K\Z, 3); эту образующую мы будем также обозначать через с Кроме
того, Я* = Н& = Н6 = О, группа Я7 порождается элементом St$(i), а группа
Я8 равна нулю.
Поскольку St^U) = 0, то существует отображение F: M(S0C)) -> К.
Для гомоморфизма F* имеем:
mod 2. F*(t) = U, F*(Sq*i) = UW2,
F*(Sq3t) = UW3 = U2, F*(v) = U(W2)*,
F*(i-Sq2i) = UW2.
mod 3. F*(i) = U, F*E/|0 = UPif и ничего более до раз-
размерности П.
mod p, p ss 5. F*(i) = U,
F*(v)= UPi7 и ничего более до размерности И.
Таким образом, для любого поля коэффициентов гомоморфизм F*
является изоморфным отображением алгебры Н*(К) на алгебру Я*(МE0C)))
в размерностях =s 7, а в размерности 8 гомоморфизм F* является мономор-
мономорфизмом. Следовательно, согласно теореме II. 6, пространства К и M(S0C))
имеют один и тот же 8-тип. Отсюда следует
Теорема П. 18. Целочисленный трехмерный класс когомологий х
пространства размерности =s 8 тогда и только тогда реализуем относи-
относительно группы вращений, когда целочисленный класс St\{x) равен нулю.
к = 4. Построим пространство Зильбера К для пространства Af(SOD)).
Гомоморфизм F*, порожденный отображением F: M(S0D)) -» К, описы-
описывается следующими формулами (обозначения те же, что и выше):
mod 2. F*({) = U, F*(Sq21) = UW2,
F*(Sq3 с) = UW3, F*(Sq* t) = U\
F*(v) = U(W2J, и ничего более до размерности 9.
mod3. F*(i) = U, F*(St*i)= UPi,
F*(i2) = U2, и ничего более до размерности 12.
* Точнее, посредством бесконечномерного комплексного проективного пространства
PC (сю). — Прим. ред.
** Так как в противном случае операция St% была бы тривиальна в любом про-
пространстве. — Прим. ред.
21 Расслоенные пространства

322 р. том
mod p, p s* 5. F*(i) = U, F*(i*) = U\
F*(v) = UPit и ничего более до размерности 12.
Таким образом, гомоморфизм F* является изоморфизмом в размер-
размерностях «8и мономорфизмом в размерности 9. Следовательно, пространства
M(S0D)) и К имеют один и тот же 9-тип. Отсюда вытекает
Т.е о р е м а II. 19. Целочисленный четырехмерный класс когомологий
х любого пространства размерности =s= 9 тогда и только тогда реализуем
относительно группы вращений, когда целочисленный класс St%(x) равен
нулю.
10. Теорема умножения. В этом параграфе излагаются некоторые общие
теоремы о классах, реализуемых относительно группы вращений. Докажем
сначала следующее необходимое условие:
Теорема II. 20. Необходимым условием того, чтобы некоторый
целочисленный класс когомологий х был реализуем относительно группы
вращений, является равенство нулю всех степеней Стинрода Sf|m(p~1)+1 (x)
для всех нечетных простых р.
Действительно, для нечетного простого р все степени Стинрода Stf^-^^U
фундаментального класса U пространства M(SO(k)) равны нулю, потому
что многообразие Грассмана Gh при р > 2 не имеет р-кручения (ср. [ IV]).
Доказательство следующей теоремы требует некоторых лемм относи-
относительно пространств Эйленберга—Маклейна K(Z, n).
Обозначение. Пусть Fn — определенное с точностью до гомотопии
отображение пространства K(Z, n) в себя, для которого F%(i) = Nt.
Лемма II. 21. Пусть 0->- G' -+ G-* G" -*-0 —некоторая точная
последовательность абелевых групп. Предположим, что эндоморфизмы
(FN,)*: H* (Z, k; G') и (FN.)*: H*(Z, к; G") тривиальны. Тогда эндоморфизм
(FN)* :H*(Z, к; G), где N == N'N" также тривиален.
Действительно, рассмотрим соответствующую точную последователь-
последовательность* групп когомологий
-> H\Z, k;G')-t-+ H\Z, k;G)-?-+ Hr(Z, k; G") ^.
Для любого целого т гомоморфизмы / и g этой последовательности переста-
перестановочны с эндоморфизмом (Fm)*. Пусть хе Hr(Z, k; G). Тогда, по предполо-
предположению, g (F*N. (x)) = F* ,(g(x)) = 0.
Следовательно, F^»(x) = /(у), где у е Hr(Z, к; G'), и потому
= о.
Лемма доказана.
Из этой леммы вытекает
Лемма II. 22. Для любой абелевой группы G конечного порядка N
эндоморфизм (FN)* : H*(Z, k; G) тривиален.
Ввиду того что группа G является прямой суммой своих р-примарных
компонент, достаточно, в силу предыдущей леммы, доказать, что для любого
простого р эндоморфизм (Fp)* алгебры H*(Z,k]Zp) тривиален. Но это немед-
немедленно следует из того, что алгебра H*(Z, k;Zp) порождена, как это указано
в п. 6, итерированными р-степенями S/j, фундаментального класса i.
Лемма II. 23. Пусть G — некоторая абелева группа конечного типа
и пусть все элементы группы Hr(Z,k;G) имеют конечный порядок N. Тогда
существует такое отличное от нуля целое число т, что эндоморфизм
(Fm)*: Hr(Z,k;G) тривиален.
Разложим группу G в прямую сумму свободной группы F и конечной
группы Т. Тогда
* См., например, [143], 38.5, стр. 231—233. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 323
Все элементы группы Hr(Z,k; F) имеют порядок N. Ясно, что достаточно
доказать лемму только для группы Hr(Z,k;F), потому что группа Hr(Z,k; T)
удовлетворяет условиям леммы II. 22, так как группа Т конечна. Рассмотрим
точную последовательность
О -> F -^ F -* F' -> О,
в которой гомоморфизм (JV) является умножением на целое отличное от нуля
число N. Поскольку группа F имеет конечный тип, то группа F' является
конечной группой некоторого порядка N'. Пусть х е Hr(Z, к; F) и пусть
g—гомоморфизм точной последовательности групп когомологий
... ^ HT(Z, к; F) -^+ Hr(Z, к; F) -*--> H\Z, к; F')-*....
Тогда, согласно лемме II. 22, goF*N,(x) = F*V'(g(x)) = 0.
Следовательно, элемент F*N,(x) имеет вид Ny, где у е Hr(Z, к; F), и
поэтому равен нулю. Лемма доказана.
Лемма II. 24. Пусть У — произвольное пространство, свободная
компонента k-мерной гомотопической группы nk(Y) которого изоморфна
группе Z, и пусть t — образующая этой свободной компоненты. Если для
всех q s* к гомотопические группы nJY) являются группами конечного типа,
а группы когомологий H9+1(Z,k;nq(Y)) конечны, то для любого qs& k су-
существует отображение Gq q-мерного остова Kq клеточного разбиения K(Z, k)
в пространство Y, переводящее образующую группы nh(K(Z, к)) •=» Z
в элемент N(q, k)t, где целое отличное от нуля число N(q, к) зависит только
от k, q и У.
Действительно, fc-мерный остов клеточного разбиения K(Z,k) можно
считать сферой Sk. Тогда соответствующее отображение Gh : Sh -+ Y опре-
определяется как отображение, порождающее элемент t группы пк(У). Пусть
для некоторого q з= к Уже определено отображение G» ^-мерного остова Kq
разбиения K(Z,k). При продолжении отображения Gq на (q -f- 1)-мерный
остов разбиения K(Z,k) возникает препятствие W, представляющее собой
коцикл, класс которого является элементом конечной по условию группы
Hq+1(Z, к; nq(Y)). Рассмотрим отображение Fm:K(Z, k)^-K(Z, к), соответ-
соответствующее, согласно лемме 11. 23, конечной группе Hq+1(Z, к; 7iq(Y)). Со-
Составное отображение GqoFm
K(Z, к) -^+ K(Z, к) -^ Y
определено на ^-мерном остове разбиения K(Z,k). При продолжении его на
(q + 1)-мерный остов возникает препятствие w = (Fm)*(W). Согласно лемме
II. 23, класс когомологий коцикла w равен нулю. Поэтому после возможной
деформации составное отображение GqoFm продолжается на (q + ^-мер-
^-мерный остов разбиения K(Z,k) и определяет тем самым отображение Gq+1. Соот-
Соответствующее число N(q + 1, к) определяется, очевидно, формулой
N(q + l,k)—mN(q,k) и, следовательно, отлично от нуля. Лемма II. 24 пол-
полностью доказана.
Применим лемму II. 24 к многообразию Грассмана Gh fe-мерных ориен-
ориентированных плоскостей или, более точно, к универсальному пространству
As0(h), гомотопически эквивалентному этому многообразию. Число к счи-
считаем четным. Напомним, что алгебра когомологий H*(Gh) над полем действи-
действительных чисел является алгеброй многочленов, образующими которой будут
классы Понтрягина P4i, i < [fe/2], и фундаментальный fe-мерный класс Хк.
Отсюда и из б-теории Серра [III] следует, что целочисленная алгебра кого-
когомологий многообразия Gk ё-изоморфна, где & — класс конечных групп,
целочисленной алгебре когомологий произведения
K(Z, 4) х K{Z, 8) х ... X K(Z, к)
21* - о

324 р. том
полиэдров Эйленберга — Маклейна*. Следовательно**, единственными не
конечными гомотопическими группами многообразия 6к являются те группы,
размерности которых равны 4г" и к (т. е. равны размерностям указанных
выше образующих).
Пусть t e nk (Gk) — некоторая образующая свободной компоненты,
соответствующей классу*** Xh (произвол, имеющийся в выборе этой ком-
компоненты, не играет никакой роли). Для соответствующего отображения
t: Sh -+Gk имеет место соотношение t*(Xk) = №sk, где № — некоторое целое
отличное от нуля число.
Ясно, что условия леммы II. 24 выполнены. Действительно, если ^ф
фО mod 4, то группа когомологий Hq+1(Z,k; nq(Gk)) конечна, потому что конечна
группа nq(Gk). Если же q~0 mod 4, то группа Hq+1(Z,k;nq(Gk)) конечна,
потому что конечна группа Hq+1(Z,k;Z)****.
Таким образом для любого q з= к можно определить отображение Gq
^-мерного остова клеточного разбиения K(Z, к) в пространство AS0(k) и,
следовательно, в пространство M(SO(k)). Рассмотрим составное отображение
Kq -?*-* Gfe -?-* M(SO(k)).
Пусть U — фундаментальный класс пространства M(SO(k)). Тогда, если к
четно, то h*(U) — Xh и, следовательно, Gq°h*(U) = N i, где отличное от
нуля целое число N зависит только от q и к. Тем самым доказана
Теорема II. 25. Для любого целочисленного к-мерного класса кого-
когомологий х некоторого полиэдра конечной размерности q существует целое
отличное от нуля число N, зависящее только omkuq, для которого класс Nx
реализуется в группе врщений*****.
Замечание. Изложенные соображения применимы не только к
действительному многообразию Грассмана Gh, но и к комплексному и даже
(при к = 0 mod 4) к классифицирующему пространству симплектической
группы. Следовательно, аналогичная теорема имеет место не только для
группы SO(k), но и для унитарной (соответственно симплектической) группы.
Однако для этих групп коэффициент N существенно больше.
11. Сводка результатов. Сформулируем теперь результаты, касающиеся
нашей исходной задачи: реализовать данный класс гомологии некоторого
многообразия посредством подмногообразия. В соответствии с теоремами II. 5
и II. 5' эта задача сводится к задаче о том, будет ли соответствующий
класс когомологий допускать ортогональную реализацию. Частичный ответ
на последний вопрос был дан в пп. 7—10.
1) Классы по модулю 2. Согласно теоремам 11.13—11.15, справедлива
Теорема II. 26. Для любого дифференцируемого многообразия Vn
все элементы следующих групп гомологии реализуемы посредством подмногооб-
* Из сказанного на стр. 309 вытекает, что существует непрерывное отображение
/: Gh-+K(Z, 4) XK(Z, 8) X... XK(Z.fe),' для которого /*(u4i)"= P4i, i = 1,2,. .../*(«*) = Xh,
где цаР —-фундаментальный класс полиэдра КB,2p). Так как, согласно [I] (см. этот
сборник, стр. 95, предложение 4), алгебра когомологий полиэдра КB,2р) иад полем
действительных чисел является алгеброй многочленов от ыгр, то над полем действительных
чисел гомоморфизм /* является изоморфизмом. Следовательно, согласно [III] (см. этот
сборник, стр. 142, предложение 1), над кольцом целых чисел гомоморфизм /* будет й-
изоморфизмом. — Прим. ред.
** В силу обобщенной теоремы Дж. Г. К- Уайтхеда (см. этот сборник, стр. 141).
— Прим. ред.
*** То есть компоненты, отображающейся прн построенном в предыдущем приме-
примечании отображении / на группу яй(КB,/с)). — Прим. ред.
**** Из [I], стр. 95, предложение 4, следует, что группа HP(Z,k;Z) бесконечна
только тогда, когда р делится на к. — Прим. ред.
***** Если полиэдр А имеет размерность q, то для любого х е Hh(A;Z) существует такое
отображение /: А -> Kq, что х = /*(«); см, стр. 309. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 325
разий: tfn_x(Vn) для всех п; Hn_2(Vn) для л<6; Hn_^Vn) для «<8;
Ht(Vn) для f=s=/i/2 и всех п.
Заметим, что в случае группы /7n_2(Vn) препятствие A/2)йр(ц) (см.
теорему 11.14) необходимо равно нулю на фундаментальном классе любого
пятимерного многообразия V6. Действительно, для ориентируемого много-
многообразия V6 это тривиально, а для неориентируемого—следует из того, что
фундаментальный класс группы H^V^Z) является квадратом Sq1 и, следо-
следовательно, по модулю 2 отличен от нуля. Относительно реализуемости эле-
элементов группы Я4(Ув) мы ничего сказать не можем. Это наиболее простой
пример группы гомологии, относительно которой вопрос о реализации пос-
посредством подмногообразий не может быть разрешен с помощью полученных
нами результатов.
2) Классы целочисленных гомологии. Согласно теоремам 11.17—11.19,
имеет место
Теорема 11.27. Для любого ориентируемого многообразия Vn все
элементы следующих групп целочисленных гомологии реализуемы посредст-
посредством ориентируемых подмногообразий:Нn_x(Vn); Hn_2(Vn) для всех п; H^V*)
для !«5и всех п.
В предельном случае H^VS,Z) соответствующее препятствие, являясь
кубом Стинрода St&u), имеет третий порядок и, следовательно, равно нулю
на фундаментальном классе. Отсюда получаем
Следствие 11.28. Для любого ориентируемого многообразия размер-
размерности =е8 все классы целочисленных гомологии реализуемы посредством под-
подмногообразий.
Здесь простейшим случаем, не охваченным нашими теоремами, является
группа H^V9;Z) (см., впрочем, ниже примечание 9).
Отметим еще, что вследствие теоремы 11.17, для того чтобы некоторый
класс гомологии размерности 8 любого многообразия размерности s= 17
был реализуем посредством подмногообразия, необходимо и достаточно,
чтобы ку6 St% двойственного класса когомологий был равен нулю.
Наконец, из теорем „умножения" II.4 и 11.25 следует
Терема 11.29. Для любого класса целочисленных гомологии г некото-
некоторого ориентируемого многообразия Vй существует такое целое отличное от
нуля число N, что класс Nz реализуем посредством подмногообразия.
Эта теорема имеет интересное следствие, касающееся групп гомологии
над полем действительных или рациональных чисел.
Следствие 11.30. Группы гомологии над полем действительных или
рациональных чисел любого ориентируемого многообразия Vn имеют базы,
состоящие нз элементов, реализуемых посредством подмногообразий.
Замечания. Не следует думать, что любой класс целочисленных
гомологии некоторого многообразия может быть реализован посредством
подмногообразия. Мы дадим в гл. III пример класса гомологии размерности
7 (в многообразии размерности 14), не реализуемого посредством подмного-
подмногообразия. Более того, оказывается, что для любой размерности =^ 7 сущест-
существуют в некотором многообразии произвольно большой размерности не реа-
реализуемые классы целочисленных гомологии.
Мне не известно, существуют ли нереализуемые классы гомологии
размерности9 6.
Из того, что классы гиг' реализуемы, не следует реализуемость класса
z + z'. Это верно, вообще говоря, только тогда, когда размерности классов
9 Можно показать, что любой класс целочисленных гомологии размерности 6 реа-
реализуем. Соответствующее препятствие, определенное гомоморфизмом St%: Яп~в( Vn; Z) -*¦
-> Hn~1(Vn; 2), тождественно равно нулю. Аналогичным образом можно улучшить резуль-
результаты теорем II. 18 и 11.19. В следствии II. 28 можно заменить число 8 на 9. Таким обра-
образом, простейшей группой гомологии, для которой вопрос остается открытым, является
группа H7(V10;Z).

326 р. том"
z и z' строго меньше половины размерности данного многообразия. Напро-
Напротив, пересечение двух реализуемых классов гомологии реализуемо. Это
следует почти немедленно из теоремы 1.5.
Необходимость предположения дифференцируемости. Вся изложенная
здесь теория существенным образом опирается на способ, которым в объем-
объемлющее многообразие и во вложенные подмногообразия была введена диффе-
ренцируемость. Однако для задачи реализации классов гомологии по модулю
2 можно показать, что некоторые условия теоремы II. 1 имеют внутреннее
топологическое значение. Например, пусть F : М(О(к)) -> K(Z2,k) — кано-
каноническое отображение, для которого F*(i) = U, и пусть с = T(t) — неко-
некоторый элемент алгебры H*(Zitk^^, принадлежащий ядру отображения F*
(здесь Т — некоторая сумма произведений итерированных квадратов Sql).
Очевидно, что класс когомологий xeHk(Vn) соответствует классу некото-
некоторого дифференцируемым образом вложенного подмногообразия только
тогда, когда Т(х) = 0. С другой стороны, можно показать, что когда Т(х)
не равно нулю по модулю 2, класс гомологии, соответствующий классу х,
нельзя реализовать даже посредством топологически вложенного подмного-
подмногообразия. Действительно, как я показал в [148], любому топологически вло-
вложенному подмногообразию можно отнести обобщенные нормальные харак-
характеристические классы W\ которые имеют формальные свойства классов
Штифеля—Уитни нормального расслоенного пространства некоторого диффе-
дифференцируемым образом вложенного подмногообразия. Кроме того, для этих
классов имеют место формулы C) У (которые можно доказать с помощью соот-
соотношений Ад емаA) между итерированными квадратами Sql). Любой операции
вида Т, увеличивающей размерность на i, можно отнести некоторый много-
многочлен от Wj общего веса г. Если класс T(i) принадлежит ядру отображения
F*, то этот многочлен тождественно равен нулю. Следовательно, Т(х) должно
быть равно нулю, что противоречит исходному предположению. На примере
операции Г, определенной формулой
T(i)=(Sq* Sqh*) • i* + (Sq1 if + Sq1i- ts,
где t — фундаментальный класс пространства K(Zit 2), можно все намеченные
выше вычисления легко проделать в явном виде. Этот пример сообщен мне
Серром.
Глава III
О ПРОБЛЕМЕ СТИНРОДА
1. Постановка задачи. Стинрод [190] поставил следующую задачу:
существуют ли для данного класса гомологии z e Н^К) некоторого конеч-
конечного полиэдра К такое компактное многообразие ЛГ и такое отображение
/ : ЛГ -> К, что класс z является образом при отображении /„. фундаменталь-
фундаментального класса многообразия Л-Г? При решении этой задачи мы потребуем
дополнительно, чтобы многообразие ЛГ было дифференцируемо. Как мы
увидим, ответы на этот вопрос получаются различными в зависимости от
того, какая группа коэффициентов (Z или Z2) положена в основу определения
рассматриваемых классов гомологии. Оказывается, что задача СтинрОда тесно
связана с разобранной в гл. II задачей о реализации классов гомологии
многообразия посредством подмногообразий.
2. Определение. Многообразия, ассоциированные с данным конечным
полиэдром К. Пусть К — некоторый т -мерный конечный полиэдр. Как
известно, полиздр К можно прямолинейно вложить в эвклидово пространство
Rn размерности пэ=2т+1. Определим, —например как решение некоторой
задачи Дирихле, — числовую функцию / класса С°°, равную нулю на К и

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА В «ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 327
строго положительную на дополнении Rn\K. Поскольку К является абсо-
абсолютным окрестностным ретрактом, то для некоторой открытой окрестности
U полиэдра К существует ретрагирующее отображение r:U-*K. Пусть
с — такое достаточно малое регулярное значение функции /, что прообраз
/~1@,с) целиком содержится в окрестности U (с существует, согласно теореме
1.1). Этот прообраз Мп — f~\O,c) будет окрестностью полиэдра К, край
которой (т. е. прообраз f~\c)) является дифференцируемым многообразием
пространства Rn. Очевидно, что полиэдр К является ретрактом окрестности
Мп. Соответствующее ретрагирующее отображение является частью рет-
рагирующего отображения г.
Замечание. Если на интервале [0,с] не существует ни одного кри-
критического значения функции /, то полиэдр К будет деформационным рет-
ретрактом окрестности Мп. Соответствующую деформацию Мп -+ К можно
определить, как движение вдоль интегральных кривых поля градиента функ-
функции /. Однако мне не известно, всегда ли существует функция /, не имеющая
произвольно малых критических значений.
Из окрестности Мп с краем Тп~г = f~\c) можно получить, пользуясь
классической конструкцией „удвоения", некоторое компактное многообра-
многообразие Vй. Это многообразие получается склеиванием двух изоморфных экзем-
экземпляров окрестности Мп вдоль их общего края Г". Обозначим через g : Мп ->
-»¦ Vn отображение вложения, а через h : Vn -> Mn — отображение, полу-
получающееся в результате отождествления обеих компонент М? и М%. Много-
Многообразие Vй называется многообразием, ассоциированным с конечным поли-
полиэдром К. Ясно, что полиэдр К будет ретрактом любого ассоциированного
многообразия и, следовательно, для любой группы коэффициентов гомо-
гомоморфизм h* °г*: НТ(К) -* Hr(Vn), порожденный отображением г ° h : Vn ->
-»¦ К, будет мономорфизмом. Действительно, композиция отображений г ° h
и g о i, где i — отображение вложения полиэдра К в многообразие Мп,
является тождественным отображением.
Докажем теперь следующую теорему, устанавливающую связь между
вопросами, рассматриваемыми в этой главе, и вопросами, рассмотренными
в предыдущей.
Теорема III. 1. Для того чтобы класс гомологии z&Hr(K) был
образом компактного дифференцируемого многообразия, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для некоторого достаточно большого п образ класса z в ассо-
ассоциированном с полиэдром К многообразии Vй можно было реализовать пос-
посредством подмногообразия.
Достаточность условия очевидна. Действительно, если класс z реализован
в многообразии Vn посредством компактного подмногообразия Wr, то этот класс
является образом фундаментального класса многообразия W при гомомор-
гомоморфизме, порожденном ретрагирующим отображением Vn -> К.
Условие необходимо. Предположим, что z является образом при некото-
некотором отображении / фундаментального класса компактного дифференцируе-
дифференцируемого многообразия Wr. Рассмотрим
a) регулярное дифференцируемое вложение g многообразия Wr в
некоторое пространство Rn,
b) прямолинейное вложение i полиэдра К в некоторое пространство Rm.
Пусть У — цилиндр отображения /. Для любой точки х многообразия
Wr обозначим через (х, t) точку цилиндра У, делящую отрезок [/(х), х] в отно-
отношении t @ as t =s= 1).
Пусть, наконец, а — некоторый действительный неотрицательный пара-
параметр. Определим вложение Fa цилиндра У в эвклидово пространство Rn+m+1Fd
tv RnxRmxR, положив
Fe(x, 0 = (atg{x), A — Qi о /(х), а О,
Ра(У) = @- i(y), «0. У е К.

328 р. том
Пусть М — некоторая окрестность описанного выше типа полиэдра К,
вложенного в пространство /?n+m+i посредством отображения Fo. По сооб-
соображениям компактности, для некоторого достаточно малого значения с
параметра а образ Fa(Y) при а < с целиком содержится в М. Тогда
образ Fa(W, 1) является подмногообразием окрестности М и, следовательно,
подмногообразием ассоциированного многообразия V. Фундаментальный
цикл этого подмногообразия принадлежит к образу k(z) класса z при отобра-
отображении вложения к : К ->¦ V, соответствующем отображению Fa. Тем самым
теорема II 1.1 полностью доказана.
3. Приложения. Случай коэффициентов по модулю 2. Всякий раз, когда
класс k(z) можно реализовать посредством некоторого подмногообразия
ассоциированного многообразия Vй, проблема Стинрода имеет положитель-
положительное решение. Размерность п ассоциированного многообразия может быть
всегда сделана больше 2г. Следовательно, рассматривая случай коэффи-
коэффициентов по модулю 2 и применяя теорему II. 26, получаем:
Теорема III. 2. Любой класс гомологии по модулю 2 произволь-
произвольного конечного полиэдра является образом фундаментального класса некото-
некоторого компактного дифференцируемого многообразия.
Для целочисленных коэффициентов из теоремы II. 27 следует
Теорема III. 3. Любой целочисленный класс гомологии размерности
=s= 5 произвольного конечного полиэдра является образом фундаментального
класса некоторого компактного ориентируемого многообразия.
Из теоремы II. 29 следует „теорема умножения":
Теорема III. 4. Для любого целочисленного р-мерного класса гомо-
гомологии z некоторого конечного полиэдра К существует такое целое отличное
от нуля число к, зависящее только от р, что класс Nz является образом фун-
фундаментального класса некоторого компактного дифференцируемого много-
многообразия.
Для того чтобы в случае целочисленных коэффициентов получить более
точные результаты, нужно ввести новые операции над классами гомологии
полиэдра К.
4. Операции #f. Пусть К — конечный полиэдр, вложенный (топологи-
(топологически) в пространство Rn. Рассмотрим проективный предел H*(U) алгебр
когомологий с компактными носителями открытых окрестностей полиэдра
К в пространстве Rn. Согласно закону двойственности Пуанкаре (см. [148],
теорема III. 4), для любой группы коэффициентов существует изоморфное
отображение % группы Н?К) на группу Hn~r (U).
Для любого четного i определим гомоморфизм &f:H,(K; Zp) -»¦ Hr_?K;Z),
положив
*Г = яг1 sfip x,
где St\, — степень Стинрода10 индекса i.
Операции Щ, "соответствующие степеням St\, с нечетным индексом,
определяются формулой
АР АР о АР
где А\ — гомоморфизм Бокштейна A/р)й. (Такое определение дает возмож-
возможность избежать знаков ±, возникающих из-за того, что оператор St% не
коммутирует с надстройкой.)
Следующие свойства операторов #f, доказанные в [148] для случая
р = 2, без труда распространяются на случай р > 2.
10 Мы предполагаем здесь, что степени Стинрода Sf?,fe*p~1^ снабжены нормализирую-
нормализирующими множителями, введенными Серром в [V]. (Операцию Stp ^""^Cepp обозначал через
ф^Степени с нечетным индексом получаются из степеней <Р\ с четным индексом с помощью
гомоморфизма Бокштейна —д.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 329
1) Операции df топологически инвариантны, т. е. не зависят от способа
вложения полиэдра К в эвклидово пространство.
2) Операции #f перестановочны с гомоморфизмами /*, порожденными
непрерывными отображениями f:K-> К'.
3) Над полем Zp операции &f можно выразить через операции Stp.
Пусть Qy. Н^ХК, Zp) -> Hr(K, Zp) — гомоморфизм, двойственный гомомор-
гомоморфизму Щ, рассматриваемому над полем Zp. Оказывается, что гомоморфизмы
Qp с четными индексами i связаны с операциями Stp следующими форму-
формулами:
= О т, i ш 0 mod 2 (р — 1), Q« = 1.
Доказательство этих формул вполне аналогично доказательству формулы
F0) теоремы III. 23 работы [148]*. Гомоморфизмы Q\, с нечетными индексами
получаются из гомоморфизмов Qf, с четными индексами согласно следующей
формуле (двойственной формуле, определяющей операции #f):
где Ql — гомоморфизм Бокштейна A/р)<5, сопровождаемый приведением по
модулю р.
Соотношения C) действительно позволяют выразить операции Qf> через
операции St\,. Например,
Ql = — Stl, Qi = — Sn о Ql = St* SQ.
Вернемся теперь к полиэдру К, вложенному в ассоциированное много-
многообразие Vй. Пусть z — произвольный элемент группы Hr(K;Z). Образ и
класса когомологий #(z) при естественном отображении группы Hn~r(U; Z)
в группу Hn~r(Vn) мы будем также обозначать через %{z). Класс и двойст-
двойственен по Пуанкаре классу гомологии iJ^z)eHXVn). Так как гомоморфизм
i*:HAK)-+H?Vn) является мономорфизмом, то гомоморфизм х:Н?К)-*
-> Hn~T(Vn) также будет мономорфизмом. Кроме того, по определению,
Как мы знаем, класс гомологии i*(z) только тогда реализуем в многообразии
Vn посредством подмногообразия, когда все степени Стинрода Stp (г, р
нечетны) соответствующего класса когомологий %(z) равны нулю (теорема
II. 20). Следовательно, имеет место
Теорема III. 5. Для того чтобы класс целочисленных гомологии
z произвольного конечного полиэдра был образом фундаментального класса
некоторого компактного дифференцируемого многообразия, необходимо, чтобы
все классы целочисленных гомологии &f (z) при нечетных р и i были равны
нулю.
В размерностях =е 8 это условие будет и достаточным. Действительно,
из теоремы II. 17 следует
Теорема III. 6. Для того чтобы класс целочисленных гомологии z
размерности =е 8 произвольного конечного полиэдра был образом фундамен-
фундаментального класса некоторого компактного дифференцируемого ориентируемого
многообразия, необходимо и достаточно, чтобы целочисленный класс гомо-
гомологии &l(z) был равен нулю.
Для г «= 5 этот результат уже известен из теоремы III. 3. Рассмотрим
случай г = 6, когда класс #jj(z) является элементом третьего порядка
группы Н-^К; Z). Если он отличен от нуля, то для некоторого целого числа
т, кратного трем, существует класс когомологий ueW1(/C;Zm), скалярное
произведение которого на #jj(z) не равно нулю. Пусть / — отображение
* См. примечание 3 в конце статьи. — Прим. ред.

330 р. том
полиэдра К в пространство K(Zm, 1), для которого /*(t) = и, где i — фунда-
фундаментальный класс пространства K(Zm, 1). Рассмотрим коммутативную диа-
диаграмму
H)
Согласно известным результатам [ 189]* о группах гомологии циклических
групп, группа Ha(Zm, 1; Z) тривиальна. Следовательно, /*(*I(Z)) — ° и
скалярное произведение элементов #?(z) и а равно нулю. Так как это спра-
справедливо для любого целого числа т, то целочисленный класс гомологии
#|(z) равен нулю. Таким образом, имеем
Следствие III. 7. Любой шестимерный класс целочисленных гомо-
гомологии произвольного конечного полиэдра является образом фундаменталь-
фундаментального класса некоторого компактного дифференцируемого многообразия.
Покажем теперь, что этот результат не может быть улучшен. Пред-
Предварительно докажем следующую лемму о полиэдрах Эйленберга—МаклеЙна.
Лемма III. 8. Для г з= 2 класс когомологий Sfjj Stl (i) полиэдра K(Za, r)
отличен от нуля.
В первую очередь заметим, что если класс БЩ St^i) отличен от нуля
в K(Z3, п), то он отличен от нуля и во всех полиэдрах K(Z3, т), при m > п,
потому что с точностью до знака степени Стинрода перестановочны с надстрой-
надстройкой. Следовательно, достаточно доказать, что класс St%St$(i) отличен от нуля
в полиэдре K(ZS, 2). Это, действительно, верно, но прямое доказательство
весьма сложно. Поэтому удобно заменить комплекс K(ZZ, 2) произведением
двух комплексов K(ZS, 1). Пусть vx и v2 — фундаментальные классы двух
комплексов K(ZZ, 1), а щ = Stl vx и щ = Sfjv2 — образующие двумерных
групп когомологий этих комплексов над группой Z3. Тогда
Sts3 St&Vl • v2) = Stl St*(Ul • v2 — Vl ¦ u2) =
K • v2 — (ы2K • Vl) = (uxK • u2 — ux • (u2)° Ф 0.
Тем самым лемма доказана**.
Так как целочисленный класс
StlStl{i)zHT+*(Z3,r;Z), r з* 2,
отличен от нуля, то, согласно закону двойственности, существует класс
гомологии zeHr+&(Z3, r; Z), скалярное произведение которого на класс St^Sty[i)
не равно нулю по модулю*** 3, т. е. <z, Q|(t)>960. Следовательно, ^JK2).')^
Ф 0, так что Щг) ф 0. Тем самым доказана
Теорема III. 9. В любой размерности г & 7 существует в некото-
некотором конечном полиэдре класс целочисленных гомологии, не являющийся обра-
образом фундаментального класса никакого компактного дифференцируемого
ориентируемого многообразия.
Пример. Реализуем комплексы K(Z3, 1) посредством линзовых прост-
пространств. Здесь достаточно рассмотреть пространства L7 размерности 7, явля-
являющиеся факторпространствами сферы 57 по группе Z3, действующей на этой
сфере без неподвижных точек. Пусть Lx и L2 — два экземпляра пространства
L. Обозначим через vvv2, ux =SfJvx ии2 = Stl v2 образующие групп /71(L1;Z8),
* См. примечание 17 на стр. 112. — Прим. ред.
** Действительно, рассмотрим такое непрерывное отображение / : K(Z3, 1) X
X K(Z3, 1) -> K(Z3, 2), что /*(«) = v1 Vjj. Тогда /*Sf| Stl (') = $'з Stl (vx vs) ?> 0 и, следова-
следовательно, Stl Stl @ ^ 0. — Прим. ред.
*** Следует иметь в виду, что класс SfijS^W является образом при гомоморфизме
Бокштейна класса' St$Stl(i). — Прим. pef>.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 331
(jj-Z,), H\L1;Z^ и H\LZ;ZJ) соответственно. Рассмотрим произведение
V14 многообразий La и Ьг. Пусть
Это — целочисленный класс, потому что X = Stl(vx ¦ v2 • (u2J).
Пусть z&H^V^Z)—класс гомологии, двойственный по Пуанкаре классу
X. Оказывается, что класс гомологии #| (z) отличен от нуля по модулю
3. Действительно, рассмотрим скалярное произведение
< 0i(z), vx • v2 > = < z, QI(Vl • v2) > = <z,S tlStl(Vl ¦ v2) > mod 3.
Это скалярное произведение равно произведению Колмогорова—Алексан-
дера
X • St* Stk(Vl ¦ v2) = X • ((UlK • v2 — vx • (u2K) = Vl ¦ v2(Ul • u2K ф 0.
Следовательно, #l(z) не равно нулю, так что класс гомологии z не является
образом фундаментального класса никакого компактного дифференцируе-
дифференцируемого многообразия. Тем более класс z нельзя реализовать в многообразии
V14 посредством подмногообразия. -Этот факт можно проверить и непосредст-
непосредственно:
St\ X = Stl((Uiy • v2 - (u2)*) = (Ul • u2K ф 0.
Можно указать аналогичные примеры нереализуемых посредством под-
подмногообразий семимерных классов гомологии в многообразиях произвольно
больших размерностей.
5. Степени Стинрода в алгебрах когомологий дифференцируемых много-
многообразий. Пусть Vй—компактное дифференцируемое многообразие и(Уп)—
его фундаментальный класс. Согласно теореме III. 5, все целочисленные
классы ^f(Vn) при простом нечетном р и при i= I mod2(p—1) равны
нулю. Следовательно, по соображениям двойственности имеем:
Теорема III. 10. В любом компактном дифференцируемом ориенти-
ориентируемом многообразии Vй гомоморфизмы
тривиальны (р и i нечетны).
Например, гомоморфизм
Q\ = St\ St\:Hn~\Vn) - H»(Vn; Z3)
тривиален.
Эти соотношения между степенями Стинрода можно также получить,
применяя теорему II. 20 к реализуемому посредством подмногообразия
диагональному классу произведения Vnx Vn. .Заметим, что эти соотношения
имеют место не только в дифференцируемых многообразиях, но также и
в любых многообразиях, являющихся образами дифференцируемых много-
многообразий при отображении степени 1. Однако, в этом случае их нельзя, по-
видимому, получить из теоремы двойственности Пуанкаре. Остается откры-
открытым вопрос, нельзя ли доказать эти соотношения для любого топологического
многообразия без всяких предположений дифференцируемое™?
Глава IV
ВНУТРЕННЕ ГОМОЛОГИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
Пусть Vй — ориентируемое компактное многообразие. Говорят, что
Ajn+i есть многообразие с краем Vn, если выполнены следующие условия:
а) Дополнение Mn+1\Vn является (п-\- 1)-мерным открытым много-
многообразием.

332 ' р. том
b) Для любой точки х многообразия Vй существуют такая окрестность
U этой точки в многообразии Мп+1 и такие дифференцируемые функции
*о, *i» • • •» хп> заданные в этой окрестности, что
1) функции х0, х1( ..., хп являются локальными координатами в Mn+1,
т. е. осуществляют гомеоморфное отображение окрестности U на полупрост-
полупространство пространства /?"+1, определяемое неравенством Хо s= 0;
2) функции хь ..., хп являются локальными координатами в Vn, т. е.
дифференцируемы в Vn, и осуществляют гомеоморфное отображение пере-
пересечения U' П Vn на гиперплоскость х0 = 0.
Если многообразие Mn+1 \Vn ориентируемо, то край Vn также ориенти-
ориентируем, и любая ориентация многообразия Mn+1 естественным образом порож-
порождает ориентацию края Vn. Соответствие между ориентациями определяется
граничным оператором 6 : Hn+l(Mn+1, Vn) -*¦ Hn(Vn).
Гоэорят, что ориентированное компактное многообразие Vй внутренне
гомологично нулю, если существует компактное ориентируемое многообразие
Mn+1 с краем Vй, причем в многообразии Мп+1 можно ввести ориентацию,
индуцирующую данную ориентацию многообразия V". Настоящая глава
посвящена решению следующей задачи,' поставленной Стинродом в [ 190]:
найти условия, необходимые и достаточные, для того чтобы данное много-
многообразие Vn было внутренне гомологично нулю. В работе [148] мною были
указаны некоторые условия, необходимые для того, чтобы многообразие
было внутренне гомологично нулю или внутренне гомологично нулю по
модулю 2 (т. е. было краем некоторого многообразия без каких-либо усло-
условий на ориентируемость). Несколько обобщив задачу, мы сможем здесь
подойти и к вопросу о достаточных условиях.
Определение. Внутренне гомологичные многообразия. Два ориен-
ориентированных компактных многообразия V и V одной и той же размерности
к называются внутренне гомологичным между собой (обозначение V с± V),
если многообразие V'U(—V)— объединение многообразия V" и многообразия
V, взятого с противоположной ориентацией,— внутЛренне гомологично нулю.
Если многообразия V и V внутренне гомологичны одному и тому же
многообразию V", то они внутренне гомологичны между собой. Для доказа-
доказательства достаточно, отождествить вдоль V" края многообразий, определя-
определяющих внутренние гомологии V ^ V" и V ^ V". Отсюда следует, что мно-
множество всех компактных ориентированных многообразий размерности к
распадается на классы эквивалентности. Класс многообразия V мы будем
обозначать через [V].
Определим для этих классов коммутативное сложение, полагая [ V] +
+ [У] = [У U V']. Обозначая через —V многообразие V с противоположной
ориентацией, будем иметь [V] + [— V] = 0. гДе через 0 обозначен класс
многообразий, внутренне гомологичных нулю. Действительно, многообразие
V U (—V) является краем произведения Vxl. Таким образом, множество
классов [V] многообразий размерности к является абелевой группой, которую
мы будем обозначать через Qk (группа внутренних гомологии в размерности к).
Если многообразие V внутренне гомологично многообразию V, то,
как легко проверить, для любого ориентированного компактного много-
многообразия W произведение VxW внутренне гомологично произведению
V х W. Отсюда следует, что для классов [ V] можно определить умножение-.
Это умножение антикоммутативно и дистрибутивно относительно сложения.
Таким образом, прямая сумма Q групп Qh определяется как кольцо.
Если в изложенных определениях мы опустим все упоминания об ориен-
тациях, то мы получим внутренне гомологичные по модулю 2 многообразия,
классы эквивалентности по модулю 2, которые мы будем обозначать через
[V]2, группу внутренних гомологии по модулю 2 в размерности к, которую
мы будем обозначать через 9?*, и кольцо 9? классов внутренних гомологии
по модулю 2. Ясно, что в кольце 31 любой элемент имеет порядок 2.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 333
2. Инварианты классов внутренних гомологии*. Очевидно, что любое
условие внутренней гомологичности нулю многообразия можно сформули-
сформулировать как условие внутренней гомологичности двух многообразии. Так,
например, теорема V. 11 работы [148], согласно которой для внутренне гомо-
гомологичного нулю ориентированного многообразия Vth индекс т квадратичной
формы определенной посредством произведения Колмогорова—Алексан-
дера на пространстве //^У4*), равен нулю, дает следующую теорему:
Теорема IV. 1. Для двух ориентированных внутренне гомологичных
многообразий VuV размерности 4к квадратичные формы, определенные при
помощи произведения Колмогорова—Александера на пространствах H%h{V) и
Н**(]/') соответственно, имеют один и тот же индекс х.
(Напомним, что под индексом квадратичной формы здесь понимается
избыток числа положительных квадратов над числом отрицательных квад-
квадратов в каноническом представлении квадратичной формы над полем действи-
действительных или рациональных чисел.)
Легко видеть, что этот инвариант т классов внутренних гомологии, раз-
размерности которых делятся на 4, аддитивен и мультипликативен. Следовательно,
он определяет гомоморфизм кольца Q в кольцо Z целых чисел.
Далее, теорема Понтрягина [112], цитированная в [148], согласно
которой характеристические числа внутренне гомологичного нулю много-
многообразия равны нулю, дает следующую теорему:
Т е о р е м а IV. 2. Для внутренне гомологичных ориентированных много-
многообразий VuV размерности 4/с характеристические числа Понтрягина
ЩРи) одинаковы.
Эти инварианты аддитивны, а характеристическое число, соответству-
соответствующее классу P4ft максимальной размерности, кроме того, мультипликативно.
(Это следует из того, что классы Понтрягина расслоенного на сферы про-
пространства, являющегося соединением двух данных расслоенных пространств,
определяются по тензорному закону.)
Для классов Штифеля — Уитни имеет место
Теорема IV. 3. Внутренне гомологичные по модулю 2 многообразия
VuV одной и той же размерности к имеют одинаковые характеристические
числа Штифеля — Уитни.
Здесь также все инварианты аддитивны, а мультипликативно лишь
число, соответствующее классу максимальной размерности. Последний ин-
инвариант совпадает, как известно, с приведенной по модулю 2 характеристикой
Эйлера—Пуанкаре.
3. Дифференцируемые отображения многообразий с краем. Пусть Xn+1—
компактное многообразие с краем Vn и / — произвольное дифференци-
дифференцируемое отображение многообразия Хп+1 в некоторое многообразие Л1Р,
содержащее компактное подмногообразие ЛР~9. Отображение / называется
t-регулярным на подмногообразии Np~q, если в отдельности f-регулярны
(в смысле п. I. 3) части отображения / на внутренности Xn+1\ Vn и на крае V".
Прообраз t-регулярного отображения. Согласно изложенным в п. I. 4
общим свойствам f-регулярных отображений, пересечение с многообразием
Vй прообраза An+1~q = f~\Np~q) является подмногообразием Cn~q много-
многообразия Vn. Аналогично, пересечение прообраза Ап+1~9 с внутренностью
Xn+1\Vn является подмногообразием Дп+1-«\ С"~а размерности п+ \ — q.
Покажем, что Ап+1~я есть многообразие с краем С"~а. Пусть х — произ-
произвольная точка многообразия Cn~q, у=/(х) — ее образ в Np~q и yv у2,..., yq —
локальные координаты, определенные в 0-мерном шаре, геодезически
нормальном к подмногообразию Np~qB точке у. Пусть, далее, (х1;хг хп, t)—
система локальных координат, определенная в некоторой окрестности
Сохранена нумерация пунктов оригинала. — Прим. ред.

334 р. том
точки х, для которой последняя координата t принимает только положитель-
положительные значения, a t = 0 является уравнением края Vn. f-регулярность отоб-
отображения / на многообразии Vй означает, что отображение (х1; х2,... , хш 0)->
-*¦ (Ун Уг> • • • > Уд) имеет в точке х ранг q. Другими словами, найдется
якобиан | Зуг/Эх{ | порядка q, отличный от нуля при х{ = О и t = 0. По
непрерывности этот якобиан отличен от нуля для любых достаточно малых
значений координат х{ и t. Следовательно, переменные
уУь Уг> • • • у Уф хд +и • • •» хп> Ч
являются локальными координатами в некоторой окрестности точки х.
В этой окрестности прообраз Ап+Л~ч определяется линейными уравнениями
уа = у2 = ... уд = 0, а подмногообразие Cn~q — этими же уравнениями и
уравнением t — 0. Таким образом, точка х обладает в AnJcl~q окрестностью,
гомеоморфной полупространству пространства Rn+1-q (с координатами
хд+1, ... , xn, t), ограниченному пространством R71"9 (с координатами
хд+1, ... , хп), являющимся образом многообразия Cn~q. Наше утверждение
доказано.
Определение. Ориентация, порожденная на подмногообразии.
Пусть / — отображение ориентированного многообразия Vn в многооб-
многообразие Мр, f-регулярное на подмногообразии N^"9, и пусть Cn~q — прообраз
подмногообразия N1^9. Предположим, что нормальная расслоенная окрест-
окрестность подмногообразия ЛР~9 в многообразии Мр ориентируема. Тогда для
нормальной трубчатой окрестности подмногообразия N можно определить
^„фундаментальный" класс U = д>*(а>) е Hq(T;Z). Трубчатая окрестность
подмногообразия Cn~q будет также ориентируемой. Соответствующий „фун-
„фундаментальный" класс U будет образом при гомоморфизме /* класса U окрест-
окрестности Г. Будем говорить, что многообразие Сп~9 снабжено ориентацией,
порожденной данной ориентацией многообразия Vn, если его фундаментальный
цикл (Сп~а) определяется в нормальной трубчатой окрестности подмного-
подмногообразия Сп~в формулой*
= (Vn) г, U,
где (Vn) — индуцирующий данную ориентацию многообразия V" фунда-
фундаментальный п-мерный класс гомологии (с замкнутыми носителями) открытой
трубчатой окрестности подмногообразия Cn~q.
Пусть, как и выше, / — некоторое отображение ориентированного
компактного многообразия Х"+1 с краем Vn в многообразие Мр, f-регуляр-
ное на подмногообразии Np~q. Предположим далее, что нормальное рас-
расслоенное пространство подмногообразия Np~q ориентируемо. Тогда прооб-
прообразы дп+i-e = /-^(ЛР""9) и СП=АП+1~9П Vn также ориентируемы, в
чем можно Убедиться, например, с помощью теоремы двойственности Уитни
[167]. Снабдим многообразие Vn ориентацией, порожденной ориентацией
многообразия Xn+1. Таким образом, (Vй) = Э(Хп+\ Vй), где Э—граничный
оператор. В этих предположениях ориентация подмногообразия Cn~q,
порожденная его вложением в многообразие V", совпадает с ориентацией
подмногообразия Cn~q, рассматриваемого как край многообразия An+1~q,
снабженного ориентацией, индуцированной ориентацией многообразия Хп+\
Действительно, Vn n U = Э(ХП+1) n U = Э(ХП+1 nU). Докажем теперь сле-
следующую теорему:
Теорема IV. 4. Пусть / и g — два отображения класса Ст, т^ п,
ориентированного компактного многообразия Vn в многообразие Мр, f-pery-
лярные на компактном подмногообразии N*^4 С Мр, нормальная окрест-
окрестность которого ориентируема. Пусть Wn~q = /~1(Np-'a)» W(n~q) = g~\Np~q) —
* Через n обозначается известное произведение Уитни (см., например, [36], гл. I).
— Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА .В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 335
прообразы подмногообразия Np~q, являющиеся, как легко видеть, ориен-
ориентируемыми подмногообразиями. Введем в них ориентацию, порожденную
ориентацией многообразия Vn. Если отображения fug гомотопны, то
многообразия Wn~q и W"'(n~9) внутренне гомологичны между собой.
Отбрасывая в условиях теоремы требование ориентируемости рассматри-
рассматриваемых многообразий, получим: прообразы f^N1^9), g~1(Np~q) внутренне
гомологичны между собой по модулю 2.
Сначала докажем следующую лемму, идея которой сообщена мне Уитни.
Лемма IV. 5. Если два отображения fug класса Ст многообразия
Vn в многообразие Мр гомотопны между собой, то их можно связать дефор-
деформацией класса Ст.
Пусть F : Vxl -*¦ Мр — некоторая гомотопия класса С0, связывающая
отображения / и g. Заменимее гомотопией G:VxI ->¦ Мр, определенной
следующим образом: G( V, f)= f = F(V, 0), если 0 «s t =s -Ь G( V, t) = f(v, ^=^) •
13 3
если ij- =s t =s-j; G(V, t) = g, если-ysf.es l. Снабдим произведение Vxl
римановой метрикой, являющейся произведением некоторой метрики мно-
многообразия. Vn и эвклидовой метрики отрезка /. Классическим образом
сгладим отображение G, заменяя G его средним на геодезических шарах
радиуса г. Радиус г будем считать постоянным и меньшим -5- для s ««*«=-?-»
00 о
в крайних слоях f < -^-и -=- < t считаем г возрастающей функцией класса С°°
переменного t (соответственно A — t)), равной нулю при t = 0 и при t = 1.
1 7
Таким образом, в слое -g- =s= f =s= -g- класс дифференцируемое™ ^отображения
G увеличивается на единицу и не уменьшается на слоях 0 =s t =s 4" и
7 ' '
— =^ t =s 1. Кроме того, на(V, 0) и (V, 1)сглаженное отображение G совпадает
с отображениями / и g соответственно. Повторяя изложенную конструкцию
достаточное число раз, получим отображение класса Ст произведения
Vxl в многообразие Мр, совпадающее на (V, 0) и (V, 1) с отображениями
/ и g соответственно. Лемма доказана.
Построенное отображение F : Vxl -»¦ Мр класса Ст может не быть
f-регулярным на подмногообразии Np~9. Но множество Но таких гомеомор-
гомеоморфизмов ЛеН трубчатой окрестности Т подмногообразия ЛР~?, для которых
отображение h ° F, рассматриваемое на внутренности многообразия Vxl,
не f-регулярно на ЛР~Л является тощим в Н множеством. Аналогичное
утверждение имеет место для гомоморфизмов Л, для которых отображение
Л о F, рассматриваемое на (V, 0) U (V, 1), не f-регулярно на ЛР~"?. Отсюда
следует, что теоремы I. 5 и I. 6 справедливы и для отображений многообразий
с краем. Для отображения F, рассматриваемого на (V, 0)U(V, 1), выберем
достаточно близкий к тождественному отображению гомеоморфизм Л, удовлет-
удовлетворяющий теореме I. 6. Пусть F' = Л о F, и пусть /', g' — части отображения
F' на (V, 0) и (V, 1) соответственно. Согласно теореме I. 6, многообразия
Cn-g = ^-i^p-g^ C(n-g) = g'-l(NP-a) ИЗОТОПНЫ МНОГООбраЗИЯМ Wn~q =
= /-1(№~а) и V^'(n~a) = g^iN1*-*) соответственно. Эта изотопия сохраняет
индуцированные ориентации, так что ориентированные многообразия Сп~а
и С'(п~9) образуют край ориентированного многообразия А = F'^AP"9).
Таким образом, многообразия Сп~9 и С'(п~9), а потому и многообразия Wn~q
и W'(n~q) внутренне гомологичны между собой. Теорема IV. 4 полностью
доказана.
4. L-эквивалентные подмногообразия. В п. II. 2 каждому ориентиро-
ориентированному подмногообразию Wn~k ориентируемого многообразия Vn было

336 р. том
отнесено некоторое отображение / : V" -> M(SO(k)). Уточним эту зависи-
зависимость между подмногообразиями и отображениями.
Предположим, что многообразие V™ погружено в эвклидово простран-
пространство Rn+m. для любой точки х подмногообразия Wn~h обозначим через
Н(х) /с-мерную плоскость, касательную в точке х к многообразию Vn и нор-
нормальную к подмногообразию Wn~h (в произвольной римановой метрике).
Сопоставив плоскости Н(х) проходящую через начало координат О парал-
параллельную плоскость пространства Rn+m, мы получим некоторое отображение
где через Gh, как и раньше, обозначено многообразие Грассмана /с-мерных
ориентированных плоскостей. Пусть N — произвольная трубчатая окрест-
окрестность подмногообразия Wn~k в многообразии У™. Отнеся произвольной геодези-
геодезической нормали, проходящей через точку х е Wn~h, ее касательный вектор
в точке х, получим после параллельного переноса отображение
для которого диаграмма
F: N -> Asow,
р\ р'\
+ 4-
коммутативна (здесь ри-р' — канонические расслоения на /с-мерные шары).
Так же как и в п. II. 2, отображение F можно продолжить до отобра-
отображения
f:Vn->M(SO)k)).
Если заменить первоначальное вложение многообразия V™ в пространст-
пространство Rn+m другим вложением или заменить метрику другой метрикой, то вместо
отображения / получим некоторое гомотопное ему отображение. Действи-
Действительно, так как две римановы метрики многообразия V™ всегда можно
непрерывно продеформировать друг в друга, то соответствующие этим метри-
метрикам трубчатые окрестности N и N' изотопны между собой и, следовательно,
соответствующие отображения F : N -> As0{h), а значит, и отображения
/: Vn -> M (SO (к)) гомотопны между собой. Для доказательства независи-
независимости гомотопического класса отображения / от вложения многообразия
V™ в пространство Rn+m нам понадобится одна лемма, которую мы впоследст-
впоследствии еще неоднократно используем.
Пусть Qn+1 — некоторое многообразие с краем Vn и Xk+1 — его подмного-
подмногообразие с краем Wh, содержащемся в многообразии Vй. Пусть, далее, в любой
точке хе V^ft полупространство Rk+1, касательное к Хк+1, трансверсально
к краю Vй в том смысле, что пересечение этого полупространства с прост-
пространством, касательным к Vй, совпадает с пространством, касательным к Wh.
Предположим, наконец, что в Qn+1 задана некоторая риманова метрика.
Эта метрика позволяет рассматривать нормальную окрестность края Vй в
многообразии Qn+1 как произведение Vnx/, где полупрямые вида (х, t),tel
являются геодезическими нормалями края Vn. Оказывается, что справедлива
следующая
Лемма IV. 5'. Существует гомеоморфизм Ф многообразия Qn+1 на
себя, переводяи}ий подмногообразие Xh+1 в подмногообразие, ортогональное
к краю V".
Для доказательства рассмотрим гомеоморфизм Ф многообразия Qn+1,
вне окрестности V™ х / являющийся тождественным отображением, а на
Vй х / — движением по нормалям, определяемым функцией V = q>(t), для
которой 0 = <р@), 1 = <р(\); dt'jdt = +со при t = 0 и uf\dt ==1 при t = 1.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 337
Легко проверить, что любой вектор, касательный в точке х к много-
многообразию Ф(Хк+1), касается ортогонального к краю V™ цилиндра Wh x X.
Лемма, доказана.
Вернемся теперь к многообразию Vn, погруженному в пространство
ftn+m с помощЬю двух различных погружений /0 и i1# Если т>п + 2, то
можно образы i<?Vn) и гг(Кп) предполагать непересекающимися. Согласно
одной теореме Уитни, можно (быть может, после некоторой трансляции
вложения г\) найти такое вложение i произведения Vй х / в пространство
Rn+m, которое на (V, 0) и (V, 1) совпадает с i0 и ix соответственно. Вложенное
многообразие i(VnxI) содержит подмногообразие вида Wn~hxl, трансвер-
сально пересекающее край многообразия Vй х /.
Пусть в произведении Vй х/ задана риманова метрика. Согласно дока-
доказанной лемме, можно предположить, что подмногообразие Vn~h x / ортого-
ортогонально к краям (Vn, 0) и (Vn, 1) произведения Vnxl. Пусть N — нормаль-
нормальная трубчатая окрестность подмногообразия Wn~h х / в произведении Vй х /.
Тогда пересечения No = Np\i<j(Vn) и Nj_ = NCii-^V71) являются нормаль-
нормальными трубчатыми окрестностями подмногообразий i,?Wn~k) и i1(Wn~k) в
многообразиях i^V") и i^V4) соответственно. Построим с помощью парал-
параллельного переноса каноническое отображение
F:N^ As0(h).
Распространив его на все произведение, мы получим отображение
F:Vn х /-> M(SO(k)),
которое на (Vй, 0) и (V*, 1) совпадает, очевидно, с каноническими отобра-
отображениями /0 и /1; соответствующими вложениям /0 и ix многообразия Vn.
Таким образом, отображения /0 и fx действительно гомотопны между собой.
Определение. L-жвшалентные подмногообразия. Пусть Wo~h и
Wf~k — два ориентированных подмногообразия одной и той же размер-
размерности п — к, вложенные в ориентируемое многообразие Vn. Подмногообразия
W"~k и WT~k называются L-жвшалентными, если существует ориентируемое
многообразие Xn~k+1 с краем W^~h\JWj:~k, вложенное в произведение Vй х/
таким образом, что
Xn-h+i
Xn-h+l
и если это многообразие допускает такую ориентацию, что dXn~h+1 =
= wrk и (— wr kX
Из этого определения и леммы IV. 5' немедленно следует, что два под-
подмногообразия, L-эквивалентные одному и тому же подмногообразию, L-экви-
валентны между собой. Множество ориентированных подмногообразий
размерности п — к многообразия Vn оказывается, таким образом, разби-
разбитым на классы L-эквивалентности. Обозначим через Ln_ft(V™) множество
этих классов.
Если в предыдущих определениях опустить все указания на ориентиру-
ориентируемость всех входящих в них многообразий, то будут определены L-эквивалент-
L-эквивалентные по модулю 2 подмногообразия и множество Ln_ft(Vn;Z2) классов L-экви-
L-эквивалентности по модулю 2.
Ясно, что два L-зквивалентные подмногообразия являются одновременно
гомологичными и внутренне гомологичными между собой. Если два подмного-
подмногообразия Wo и Wx образуют в Vй край, некоторого подмногообразия X,. то
эти подмногообразия L-эквивалентны.
Рассмотрим естественное отображение множества Ln_ft(Vn) в группу
и H(VnZ) Об L^V")
р р nft() р
гомологии Hn_h(Vn;Z). Образами элементов множества Ln-^V") при этом
отображении являются классы гомологии, реализуемые посредством под-
подмногообразий. „Ядро" этого отображения, вообще говоря, отлично от нуля,
22 Расслоенные пространства

338 Р. том
в чем мы убедимся далее на примерах. Естественно спросить, нельзя ли пред-
представить множество Ln_ft(Vn) как группу, введя операцию, совместимую с
рассматриваемым отображением. Оказывается, что это возможно, если
п — /с<п/2 — 1. В этом случае операция сложения классов L-эквивалентности
порождается простым объединением представителей этих классов. Действи-
Действительно, эти представители при п — к < п/2 можно предполагать непересека-
непересекающимися, и для п — к < п/2 — 1 так определенный L-класс не зависит
от способа вложения обоих подмногообразий. С другой стороны, сумма
[W] + [—W] является нулевым классом, так как всегда можно вложить
(локально) произведение W х / в нормальную трубчатую окрестность много-
многообразия W.
Согласно сказанному выше, любому подмногообразию Wn~h многообра-
многообразия V" соответствует некоторый класс отображений многообразия Vя
в пространство M(SO(k)). Беэ труда доказывается, что двум ^эквивалент-
^эквивалентным подмногообразиям W и W соответствуют два гомотопных отображения
/ : V" -*- M(SO(k)).
Действительно, если подмногообразия Wo и \Уг L-зквивалентны, то су-
существует погруженное в произведение Vn x / подмногообразие X с краем,
являющимся объединением многообразия Wo, погруженного в (V", 0), с
многообразием W1( погруженным в (Vй, 1). Согласно лемме IV. 5', можно
считать, что многообразие X ортогонально к краевым многообразиям (Vя, 0)
и (Vй, 1). Рассмотрим нормальную трубчатую окрестность Q подмногообра-
подмногообразия X в произведении Vn х / и соответствующее отображение F:Q ->¦ As0lky.
Отображение F продолжается до отображения Fx: V" х / -> M(SO(k)), явля-
являющегося построенной выше гомотопией между каноническими отображе-
отображениями
F|(V»,0) = /0,
отнесенными многообразиям Wo и И\ соответственно.
Тем самым определено отображение J множества Ln_ft(Vn) классов L-
эквивалентности в множество C\V) гомотопических классов отображений
/: Vn -*¦ M(SO(k)). Отображение J взаимнооднозначно. Действительно, если
двум подмногообразиям Wo и И^ соответствуют гомотопные отображения,
то, согласно теореме IV. 4, гомотопию F: Vn x / -*¦ M(SO(k)), связывающую
эти отображения, можно считать гладкой. Кроме того, после возможной
изотопии, также являющейся L-эквивалентностью, можно считать, что про-
прообразы /^((/fc) = Wo и /T^Gfc) = W^ образуют край многообразия А = /?-1(Cft).
Заметим, что J отображает класс многообразий, /^эквивалентных нулю
в нулевой класс несущественных отображений /: Vn -> M(SO(k)). Если
к > (п/2) + 1, то, согласно общей теории когомотопических групп11, мно-
множество C\V) гомотопических классов отображений многообразия V в асфе-
асферичное до размерности к пространство M(SO(k)) может рассматриваться
как абелева группа. Легко проверить, что отображение J является тогда
гомоморфизмом. Достаточно заметить, что, согласно определению суммы
f + g двух отображений, прообраз (/ +g)~H(jtt) с точностью до L-эквивалент-
L-эквивалентности является объединением прообразов /-1(Gft) и g-^Gj,).
Покажем теперь, что J отображает множество Ln_ft( V) на множество
C\Vn).
. ц В случае сфер когомотопические группы были изучены Спанье [138]. Их обоб-
обобщение на случай любых асферических пространств составляет содержание еще не опубли-
опубликованной работы Спанье, Стиирода и Дж. Г. К. Уайтхеда. Намеченное ниже доказатель-
доказательство легко полностью провести для типичного случая сфер. При его обобщении на общий
случай ие возникает никаких новых трудностей*.
См. примечание 4 в конце статьи. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 339
Пусть с — некоторый гомотопический класс, принадлежащий множеству
C\V), a h — произвольное отображение класса с. Согласно теореме 1.5,
можно считать, что отображение h f-регулярно на многообразии Грасс-
мана Gfe, погруженном в пространство M(SO(k)). Пусть W1""" = /2~1(Gft) —
прообраз многообразия Грассмана Gh и N — нормальная трубчатая окрест-
окрестность подмногообразия Wn~h в многообразии V71. Можно, далее, считать, что
отображение h нормализовано таким образом, что оно отображает внутрен-
внутренность окрестности N на M(SO(k)) \ а, открытые /с-мерные шары на откры-
открытые* /с-мерные шары и, наконец, дополнение Q — V71 \ N в точку а. Обо-
Обозначим теперь через i:Vn-+Rp произвольное вложение многообразия V"
в пространство Rp, а через
g: Wn~k - Gh, F:N-+ AS0(h), f:Vn-+ M(SO(k))
— отображения, которые естественным образом определяются этим вло-
вложением с помощью параллельного перенесения. Очевидно, что отобра-
отображения
h:Wn-h-y6k (т. е. отображение hjWn-h)
и
g:Wn-h-+Gk
оба порождают нормальное расслоенное пространство многообразия Wn~h
в многообразии Vn. Следовательно, согласно теореме классификации рас-
расслоенных пространств, эти отображения гомотопны. Рассмотрим снова комму-
коммутативную диаграмму
N h + A
I I
Согласно теореме о накрывающей гомотопии, существует такое отобра-
отображение hlt гомотопное отображению h, что
SO(h)
Таким образом, новое отображение 1гг отличается от отображения F на изо-
изоморфизм х трубчатой окрестности N. Другими словами, в окрестности N
имеем /1г= F°x.
Оказывается, что можно построить (увеличивая в случае необходи-
необходимости размерность объемлющего эвклидова пространства) новое вложение
V многообразия Vn, для которого в окрестности N
V = а о i.
Действительно, можно доказать следующую лемму:
Лемма. Пусть Q — многообразие с краем Т. Пусть задано вложение
i некоторой окрестности края Т(вида Тх I) в пространство Rp. Тогда можно
продолжить это вложение до вложения всего многообразия Q в пространство
Rp+q, где q — достаточно большое целое число.
Действительно, пусть ylt y2, ..., ур — координаты в пространстве
Rp. В некоторой окрестности U произведения Т х / координаты уи про-
произвольным образом продолженные на все Q, в различных точках различны.
Пусть теперь (х^ Xj, ..., xq) — некоторые функции, равные нулю на Тх / и
не принимающие одинаковых значений ни в одной точке дополнения Q\U.
(Такие функции всегда можно найти, если q больше чем 2п + 1, где п — раз-
22» - 5/о

340 р. том
мерность многообразия Q.) Система функций уь Xj определяет, очевидно,
искомое вложение многообразия Q в пространство Rp+q.
Применим эту лемму к дополнению Q = V" \ N. Данное вложение
края Т окрестности N и окрестности вида Тх/ задается отображением
V = а ° и Очевидно, что отображение F': N -> AS0(hh соответствующее вло-
вложению V, можно отождествить с отображением йх. Следовательно, получен-
полученное из hx отображение
Д: Vn-+M(SO(k))
можно отождествить с естественным отображением, соответствующим вло-
вложению Г. С другой стороны, так как отображение h1: N -> AS0(h) гомотопно
части отображения h на окрестности N, то „полное" отображение Д гомо-
гомотопно отображению h. (Напомним, что отображение h „нормализовано"
и, следовательно, отображает многообразие Q в „особую точку" а пространст-
пространства M(SO(k)).) Тем самым доказана
Теорема IV. 6. Множество Ln_ft(V™) классов L-эквивалентности
некоторого многообразия V" может быть отождествлено с множеством
Ch(V) классов отображений многообразия V" в пространство M(SO(k)).
Если к > (л/2) + 1, то отождествление сохраняет групповые операции,
определенные e'Ln_h и Ch(V).
В аналогичной теореме для множества Ln_fe(Vn;Z2) полиэдр M(SO(k))
нужно заменить полиэдром М(О(к)).
Приложения. Максимальное число L-классов, содержащихся
в некотором классе гомологии z, соответствующем классу u€.Hh(Vn;Z), равно
числу гомотопических классов отображений / многообразия Vn в пространство
M(SO(k)), для которого* /*((/) = и. Так как полиэдры M(SOA)) и M(SOB))
можно отождествить с полиэдром K(Z, 1) и K(Z, 2), то отсюда получаем:
Гомологичные между собой ориентированные подмногообразия размер-
размерности п — 1 и п — 2 ориентируемого многообразия Vn всегда L-жвивалентны.
Следствие. Все гомологичные нулю (п — 2}-мерные подмногообра-
подмногообразия внутренне гомологичны нулю. (Для п — 1 зто тривиально.)
Для гомологии по модулю 2 аналогичное утверждение имеет место для
(п — 1)-мерных подмногообразий.
Наконец, из гл. II мы знаем (теорема II. 16), что вторая отличная от нуля
гомотопическая группа пространства M(SO(k)) появляется в размерности
/с + 4. Отсюда следует, что два отображения многообразия V" в пространство
M(SO(k)), гомотопные на /с-мерном остове многообразия Vn, гомотопны
также на (к + 3)-мерном остове. Следовательно,
Ориентированные гомологичные между собой подмногообразия размер-
размерности «s 3 всегда L-жвивалентны.
5. Основная теорема. Применим предыдущую теорему к случаю, когда
многообразие V™ является сферой Sn.
Лемма IV. 7. Если п>2к-\-2,то группу L^S") классов ^эквивалент-
^эквивалентности для сферы S" можно отождествить с группой внутренних гомоло-
гомологии Qh.
Рассмотрим естественное отображение группы Lk(Sn) в группу Qh,
получающееся, когда каждому представителю некоторого L-класса отнесен
его класс внутренних гомологии. Это отображение является, очевидно,
гомоморфизмом, так как в обоих группах сложение определено с помощью
объединения представителей. Этот гомоморфизм отображает группу Lh(Sn)
на группу Qk. Действительно, пусть с — некоторый элемент группы Qh и
Wh — многообразие класса с. Так как п з= 2к + 2, то многообразие W*
можно погрузить в пространство Rn, а следовательно, и в сферу S™. Поэтому
с является образом некоторого L-класса сферы Sn. Таким образом, для
Это предложение в оригинале сформулировано неверно. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 341
доказательства леммы остается показать, что ядро гомоморфизма Lh(Sn) ->
-> Qh тривиально. Другими словами, нужно показать, что два многообразия
Wh и W'h, погруженные в сферу Sn, L-эквивалентны, если они внутренне
гомологичны между собой.
Пусть Xk+1 — многообразие с краем Wfe\W\ Так как п > 2к + 2, то
многообразие Xh+1 можно погрузить в пространство Rn.
Определим на Xh+1 такую функцию t (класса С°°), изменяющуюся от О
до 1, что уравнения t = 0 и t = 1 определяют подмногообразия Wk и W'k
соответственно. Пополняя пространства (/?", t) и (Sn,t),,бесконечно удаленной
точкой", мы получим вложение многообразия Xk+1 в произведение S™ X /.
Это вложение определяет искомую L-эквивалентность. Заметим, наконец,
что для п & 2/с + 2 два произвольных вложения многообразия Wk в сферу
Sn всегда L-эквивалентны. Тем самым полностью доказано, что соответст-
соответствие между группами Lh(Vn) и Qh является изоморфизмом.
Мы можем теперь сформулировать основную теорему этой главы.
Теорема IV. 8. Группа Qh внутренних гомологии и группа %lh внут-
внутренних гомологии по модулю 2 изоморфны соответственно стационарным
гомотопическим группам nn+h(M(SO(ri))) и лп+к(М(О(п))).
Для доказательства достаточно применить теорему IV. 6 к случаю,
когда многообразие V™ является сферой S™, и принять во внимание изомор-
изоморфизм Lh(Sn) c^. Qkt указанный в лемме IV. 7. Кроме того, необходимо вос-
воспользоваться классической теоремой теории когомотопических групп, сог-
согласно которой когомотопическая группа классов отображений
/; Sn+k -+ M(SO(n))
изоморфна гомотопической группе jrn+ft(Af(SO(n)))*.
6. Группы № классов по модулю 2. В гл. II были определены стабиль-
стабильные гомотопические группы лп+к(М(О(п))). Как мы знаем (теорема 11.10),
в размерностях < In пространство М@(п)) имеет тот же гомотопический тип,
что и произведение У полиэдров Эйленберга—Маклейна:
Y = K(Z2, п) х К {Z2, п + 2) x...x(K(Z2,n + /2))d(h) X ..., h^n,
где d(h) есть число недиадических разбиений числа h, т. е. таких разбиений,
которые не содержат целых чисел вида 2т— 1. Следовательно, имеет место
Теорема IV.9. Для любой размерности к группа Я1к является прямой
суммой d(k) групп, изоморфных группе Z2, где d(k) — число недиадических
разбиений числа к.
Тем самым определено аддитивное строение группы %lh.
Из теоремы 11.10 следует, что при п > к любое гомологически тривиаль-
тривиальное (по модулю 2) отображение сферы Sn+k в пространство М@(п)) гомо-
гомотопно тривиальному отображению. Этот результат может быть уточнен на
основании следующих соображений.
Для любого недиадического разбиения о> числа к рассмотрим отображение
Fa:M(O(n))-+K(Z2,k + n),
для которого F*(t) = Хш, где Ха — элемент группы Яй"п(М@(п))), соот-
соответствующий симметрической функции
* Действительно, обе группы состоят, очевидно, из одних и тех же элементов. Для
доказательства совпадения операций достаточно заметить, что (как в теории гомотопи-
гомотопических групп, так и в теории когомотопических групп) сумму двух отображений /,g : Sn+tl->
-> M(SO(ri)) можно определить как сквозное отображение Sn+h -> Sn+kVSn+h -> M(SO(ri)),
где первое отображение на каждой сфере букета Sn+ftVSn+ft имеет степень +1, а второе
совпадает на одной сфере букета с отображением / и на другой — с отображением g.
— Прим. ред.

342 р. том
((a4) — данное недиадическое разбиение ев числа к). Пусть
— соответствующий элемент группы когомологий H\Qh,Z^). Тогда, в обозна-
обозначениях пункта 11.2, имеем: Ха = <Pe(Ya).
Пусть /ffl> — такие отображения Sn+k -+ М(О(п)), что
/:-FI@= <*2Ф), A)
где s — фундаментальный класс группы Hk+n(Sk+n, Z2), а д%* — символ
Кронекера в его классическом значении, но с заменой числовых индексов
разбиениями о>. Гомотопические классы отображений /ei образуют, очевидно,
базу группы яп+к(М(О(п))).
Отображения /ffli можно считать f-регулярными на многообразии Грасс-
мана Gn, содержащемся в пространстве М(О(п)). Пусть W — прообраз
многообразия Оп при отображении /ei. Рассмотрим нормальную трубчатую
окрестность N многообразия VV в сфере Sn+k. Пусть у* : //г~* (Vffl>) -*
->W(N) — соответствующий изоморфизм групп когомологий. Обозначим
через Y'a образ класса Yo ¦ в группе когомологий многообразия Vat при
гомоморфизме /*>, индуцированном рассматриваемым на многообразии Ув>
отображением fai. Классы Yoi выражаются через характеристические классы
Штифеля — Уитни W{ нормального расслоенного пространства многообразия
Vffli в сфере Sn+h. Согласно формуле A) и коммутативной]! диаграмме A)
п. 11.2, имеем
..) = ^/:. (У.) = tWG (К.) = /:<Х.) = д%> (s). B)
Назовем нормальными характеристическими числсшц_многообразия V — Уи
значения многочленов общего веса к от переменных Wt на фундаментальном
классе многоорбазия V. Из соотношения B) следует, что для любого него-
негомотопного нулю отображения / : Sn+k -> Af(O(n)) существует нетривиальная
линейная комбинация классов Х„, образ которой при отображении /*
отличен от нуля алгебры //*(Sn+ft,Zs)*. Следовательно, по крайней мере одно
нормальное характеристическое число соответствующего многообразия** V
не равно нулю. Отсюда вытекает следующая обратная теореме Понтрягина
Теорема IV. 10. Если все характеристические числа Штифеля—
Уитни некоторого многообразия Vh равны нулю, то это многообразие внут-
внутренне гомологично нулю по модулю 2.
Действительно, если все характеристические числа, определенные для
классов Wi касательного расслоенного пространства, равны нулю, то нор-
нормальные характеристические ^исла равны нулю_ В самом деле, согласно
соотношению Уитни*** ? WiWr-i = 0, классы Wr являются многочленами
от классов ]М{.
Следствие IV. 11. Если два многообразия V и V имеют равные харак-
характеристические числа Штифеля — Уитни, то эти многообразия внутренне
гомологичны между собой по модулю 2.
Замечание. Из этого результата следует, что в группе (касатель-
(касательных) характеристических чисел**** fc-мерных многообразий Vk (зта группа
изоморфна группе Hk(Gn)) имеется точно d(k) линейно независимых чисел.
* Следует иметь в виду, что любое отображение / гомотопно линейной комбинации
отображений /ei. ¦— Прим., ред.
** То есть прообраза многообразия Gn при отображении /. — Прим. ред.
*** Это соотношение немедленно следует из теоремы двойственности Уитии (см.
[143], стр. 240), потому что соединение нормального и касательного расслоенных прост-
пространств любого многообразия имеет тривиальные характеристические классы. — Прим. ред.
**** То есть в аддитивной группе многочленов общего веса к от переменных W%.
— Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 343
Для малых размерностей (к «s 6) этот результат можно проверить с помощью
соотношении У [ 153] для классов Wt касательного расслоенного пространства
многообразия. В связи с этим возникает вопрос, дают ли соотношения У
все соотношения между классами Wt касательного расслоенйого пространства
любого многообразия.
7. Мультипликативное строение групп 9^. Пусть к = г -f s, a co1 —
недиадическое разбиение числа г и ю2 — недиадическое разбиение числа s.
Тогда объединение (e»lf ео2) является недиадическим разбиением числа к.
Выше было определено многообразие V\. Напомним, что все нормаль-
нормальные характеристические числа* Ya, многообразия V\ равны нулю, за исклю-
исключением числа Уш. Покажем, что многообразие V\ внутренне гомологично
по модулю 2 произведению многообразий Vrai X Vsat. Для этого достаточно
доказать, согласно следствию IV. 11, что все характеристические числа Шти-
феля—Уитни многообразий V\ и Vai х VI, равны между собой.
Последнее утверждение немедленно вытекает из следующей формулы,
которую мы сейчас установим:
Уш= 2 (Ушд'РшЬ C)
(•« *>•)
где (о)ь <и2) —. всевозможные разложения разбиения ш числа к на разбиения
w1 числа г и o)g числа s. Действительно, из формулы C) следует, что все числа
Yo произведения Vai X Va, равны нулю, за исключением числа, соот-
соответствующего разбиению со = (ш1, ш2).
Напомним, что нормальное расслоенное пространство произведения
V», X Vsa, является соединением нормальных расслоенных пространств
многообразий Vrai и V%,. Обозначим через Wt нормальные классы произ-
произведения Vroi х Vsa,, через Ui — нормальные классы многообразия Vrai и
через Vt — нормальные классы многообразия VI,. Тогда, согласно „теореме
двойственности" Уитни, имеет место следующая символическая формула
Обозначим через щ символические корни первого множителя, а через v}- —
символические корни второго. Подставим в выражение
вместо переменных /4 корни щ и v3-. Тогда из соображений размерности следует,
что все члены, полная степень которых относительно корней (ц{) не равна
г, а относительно корней (v3) не равна s, должны обращаться в нуль. Осталь-
Остальные члены можно сгруппировать следующим образом:
Ya = 2 2 (Щ)Чи,Г' • • • («т)а» • 2 (ViLv2)b.. • • (vnL D)
где (ох — разбиение av а2, ..., ат числа г, порожденное разбиением со, а ш2 —
разбиение F,, Ь2, ..., Ьп) числа s, составленное из оставшихся чисел раз-
разбиения (о. Первая сумма распространена на всевозможные разложения
разбиения ш в разбиение сох числа г и разбиение w2 числа s. Два других знака
2 обозначают симметризацию, в описанном на стр. 311 смысле. Заметим,
что любое разложение (cov o>2) разбиения w входит в выражение D) только
один раз, даже в том случае, когда зто разложение получается многими
различными способами. В самом деле, пусть разложение (со1, ш2) можно полу-
получить двумя различными способами. Тогда существует перестановка перемен-
переменных (ti), преобразующая типичный одночлен
* Речь идет о значениях классов Yа> на фундаментальном классе многообразия
Vш. — Прим. ред.

344 "р. том
разложения (а>ь ш2) в себя. Следовательно, эта перестановка несущественна
и не употребляется при симметризации, Таким образом, формула D) сов-
совпадает с доказываемой формулой C).
Как уже было показано, из формулы C) следует, что для любого разло-
разложения недиадического разбиения со числа к на разбиения сох числа г и ю2
числа s классы внутренних гомологии соответствующих многообразий V\
связаны формулой
= [Vkai] X [Vsai].
Таким образом, единственными неразложимыми классами [V*,] являются
классы [ У(й)], где (к) — разбиение числа к, состоящее только из самого числа
к. (Предполагается, что к не является числом вида 2т—1.) Любой другой класс
единственным образом представляется в виде суммы произведений этих
неразложимых классов. Тем самым доказана
Теорема IV. 12. Кольцо У1 внутренних гомологии по модулю 2 изо-
изоморфно некоторой алгебре многочленов над полем Z2. Образующие этой ал-
алгебры имеют вид[V^], где к — любое число, не являющееся числом вида 2™—1.
Следствие. Топологическое произведение двух внутренне негомоло-
негомологичных нули) по модулю 2 многообразий внутренне негомологично нулю.
Образующие в малых размерностях. Первая образующая возникает при
к = 2. Соответствующее характеристическое число равно
Представителем класса [Vf2>] является действительная проективная плос-
плоскость PRB).
При к = 3 группа Sft3 тривиальна.
При к = 4 появляется новая образующая, соответствующая нормаль-
нормальному характеристическому числу (*)* = (ИМ4 = (ИМ4. Представителем этой
образующей является сумма PRD) + (PRBfJ. Группа 9?4 изоморфна прямой
сумме Z2 + Z2. Заметим, что комплексная проективная плоскость РСB)
внутренне гомологична по модулю 2 квадрату действительной проективной
плоскости PRB).
При к — о группа 9?5 изоморфна группе Z2. Ее образующей является
класс [ Vj6)]. Соответствующее касательное характеристическое число равно
W2Wa. Представителем класса [VE)] является построенное У [153]* рас-
расслоенное на окружности пространство над комплексной проективной плос-
плоскостью РСB).
При к = 6 группа 9?6 изоморфна группе (Z2K. Ее образующими являются
два разложимых класса (PRB)f, PRD) x PRB) и примитивный класс [ V(e)],
соответствующий нормальному характеристическому числу
3J =
)
Представителем последнего класса является проективное пространство
рад.
При к = 7 все классы разложимы, потому что к равно 23— 1. Группа
W изоморфна группе Za. Её образующей служит класс [VE)] x [КB)].
При к = 8 разложимые классы определяются без труда. Кроме раз-
разложимых, имеется один примитивный класс [V(8)], которому соответствует
характеристическое число (U^)8. Любое многообразие этого класса с точ-
точностью до разложимых многообразий внутренне гомологично по модулю
2 проективному пространству Р/?(8).
Последнее утверждение имеет общий характер. Именно:
* Пространство У получается из произведения РСB) х/, где / = [0,1], отождествле-
отождествлением точек (х0, Xi, Хг) X 0 с точками (ха, хх, Зс8) X 1 соответственно. ¦— Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 345
Для любой четной размерности п = 2г примитивный класс [ V"n)] является
суммой класса [PR(n)] и некоторых разложимых классов.
Достаточно доказать, что для многообразия_Р#(л) нормальное характе-
характеристическое число ]?(ti)n не равно нулю (здесь_/{ — символические перемен-
переменные, соответствующие нормальным классам И^). Пусть
2 &)«<*>... (па-
— произвольное не равное нулю нормальное характеристическое число
многообразия PR(n), отличное от 2(h)n- Здесь аъ а2, . .., ат — некоторое
недиадйческое разбиение щ числа л. Рассмотрим сумму PR(n) + Ui^"<-
Все нормальные характеристические числа этого многообразия, соответствую-
соответствующие недиадическим разбиениям числа п, равны нулю, за исключением числа
"- Следовательно, это многообразие принадлежит примитивному классу
)]- С другой стороны, согласно формуле E), все классы [ V%t] при о>{ Ф
(л) разложимы.
Заметим, что для любого многообразия Vй нормальное характеристи-
характеристическое число 2@" равно касательному характеристическому числу^С1)-
Действительно, согласно теореме двойственности Уитни [167], переменные
*, соответствующие касательному расслоенному пространству, связаны с
переменными th соответствующими нормальному расслоенному простран-
пространству, следующим соотношением:
Из этого соотношения следует, что любая отличная от постоянной, симмет-
трическая функция переменных ft и Ц равна нулю. В частности,
2(и)п + 2(пГ = о-
Многочлен Штифеля—Уитни многообразия PR(n) имеет вид
( j )л + ( 2 )rfV+...+ ( p
где d — образующая группы H1(PR(n);Z2). Так как dn+1 = 0, то этот много-
многочлен можно символически записать в следующем виде:
Можно считать, что этот многочлен имеет п + 1 равных корней t = — \jd.
Поскольку п четно, сумма 2(fi)n равна l/(rf)n. Следовательно, соответствую-
соответствующее характеристическое число равно единице.
Что же касается образующих нечетных размерностей, то для них мне
не известно никакой аналогичной конструкции.
8. Группы Qh. В общем случае стационарные гомотопические группы
nn+k(M(S0(n)))
неизвестны. Для малых значений к эти группы указаны в теореме 11.16.
Следовательно, согласно теореме IV.8, имеем:
Теорема IV. 13. При к < 8 группы Qh определяются следующими
формулами:
Q° = Z; Q1 = QS = Q3=Q; Q* = Z; Q5 = Z2; Q* = Q7 = 0.
Этот результат тривиален для к «s 2. Группы Q3 и Q* были указаны
В. А. Рохлиным [121, 122]. Образующей группы Q* является комплексная
проективная плоскость РСB). Из этого, в частности, вытекает
Следствие IV. 14. Характеристическое число Понтрягина Р4 четы-
четырехмерного ориентированного многообразия равно Зт, где т — индекс квад-

346 р. том
ратичной формы, определенной умножением Колмогорова—Александера на
пространстве Н*(У*, R).
Для доказательства достаточно применить теоремы IV. 1 и IV. 2 и восполь-
воспользоваться равенством Q* — Z. Коэффициент 3 равен характеристическому
числу Р4 комплексной проективной плоскости РСB), для которой х= 1.
Этот результат был предположен У, который доказал, что число Р4 делится
на 3 [155]. Впервые он был доказан В. А. Рохлиным [122] и мною, способом,
совершенно отличным от изложенного12.
Заметим, что из равенства Р4 = Зг следует топологическая инвариант-
инвариантность характеристического числа Р4 любого многообразия V*. Было бы
очень интересно найти прямое доказательство этого соотношения.
Из топологической инвариантности числа Р4 следует, что класс внутрен-
внутренних гомологии многообразия V* не зависит от введенной в него дифференци-
руемости.
Как было доказано в пункте 11.5, алгебра когомологий H*(M(SO(n)))
над полем рациональных чисел изоморфна алгебре когомологий произведения
У полиэдров Эйленберга — Маклейна:
У = K(Z, k) X К (Z,к + 4) х (К (Z, к + 8)J... (К (Z,k + 4m))«'n>]...,
где с(т) — ранг группы Him(Qk; R), причем этот изоморфизм порождается
некоторым отображением F : M(SO(k)) -*¦ Y. Отсюда, применяя некоторые
результаты g-теории Серра [ 111]*, относящиеся к случаю, когда ё является
классом конечных групп, получаем:
Теорема IV. 15. Если i ф 0 mod 4, то группа Q1 конечна. Ранг свобод-
свободной компоненты группы Qimравен с(т)—числу Бетти размерности Am много-
многообразия Грассмана 6к.
Следствие IV. 16. Если все характеристические числа Понтрягина
ориентируемого многообразия Vk равны нулю, то для некоторого отличного
от нуля целого числа N многообразие NVh внутренне гомологично нулю.
Заметим, что образующей группы ?6 ^ Z2 является определенное в
[153] многообразие У.
Мультипликативное строение групп Qk. Пусть Qt — совокупность
всех элементов конечного порядка кольца Q. Множество QT является идеалом
кольца Q, так что определено факторкольцо Q/QT. Мы знаем (теорема IV. 15),
что 4/п-мерная компонента этого факторкольца является прямой суммой
с(т) свободных циклических групп. С другой стороны,
nk+in (M (SO(fc))) (8) Q,
где Q — поле рациональных чисел. Так как последняя группа двойственна
(над полем Q) группе когомологий
(M(SO(k)); Q) е- Я*т (Gk; Q),
то любой 4т-мерный элемент кольца QjQT полностью характеризуется
значениями нормальных характеристических чисел
<П(Р*Г), Vim},
определяемых произвольным вложением некоторого многообразия Vim
рассматриваемого класса в эвклидово пространство. Для уточнения этого
12 См. мою заметку [149]. Заметка Рохлина содержит также результаты относительно
групп 9?. Один из этих результатов неверен, а именно Рохлин утверждает, что W =2а
(вместо Z2 + Za)**.
* Стр. 141, 142, предложение 1 н теорема 3. •— Прим. ред.
** Правильный результат указан В. А. Рохлиным в следующей заметке [123].
— Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 347
утверждения важно отметить, что, вообще говоря, не существует многообра-
многообразия, нормальные (или касательные) характеристические числа которого
имели бы наперед заданные значения щ. Однако можно утверждать, что
для некоторого отличного от нуля числа N произведения Nnt являются
нормальными (или касательными) характеристическими числами некото-
некоторого многообразия Vim.
Теперь можно построить для тензорного произведения Q ® Q теорию,
аналогичную построенной выше для кольца 9?. Напомним, что, согласно
Борелю и Серру*, классам Понтрягина взаимно однозначно соответствуют
элементарные симметрические функции от квадратов (х{)а некоторых дву-
двумерных переменных х{ (если существует унитарное расслоенное пространство,
подчиненное данному ортогональному расслоенному пространству, то его
классы Чженя задаются симметрическими функциями переменных х4).
Таким образом, база группы Him(Gk) состоит из симметризованных одночле-
одночленов вида
р. = 2 (х!)<Чх|)а- • • • №Г>
где а1; а2, ..., аг — произвольное разбиение (а>) числа т.
Нормальные характеристические числа произведения ХрхУв двух ори-
ориентированных многообразий Xе и Yq определяются формулой
Ра {X? х Y*) = 2 р°г (*р) • P.. (Xq), C')
где суммирование распространено на всевозможные взаимнодополнитель-
ные разбиения cov т2, для которых deg юг — р, deg ш2 = q.
Согласно сделанному выше замечанию, в любой размерности 4т сущест-
существуют многообразия Vim, для которых все нормальные характеристические
числа равны нулю, за исключением числа < J? (хгJт, Vim >. Пусть УDт) —
соответствующий класс группы Qim(g)Q. Из формулы C') и следствия IV. 16
следует, что классы Y{im) неразложимы и что любой другой элемент тен-
тензорного произведения Q <g)Q единственным образом представляется в виде
суммы произведений классов Y<im). Таким образом, имеет место
Теорема IV. 17. Алгебра Q(g)Q является алгеброй многочленов.
В любой размерности, кратной 4, существует единственная образующая
У этой алгебры.
Покажем теперь, что с точностью до отличного от нуля множителя класс
ti] является суммой класса комплексного проективного пространства
РСBт) и некоторых разложимых элементов. Другими словами, классы
пространств РСBт) можно принять за образующие алгебры Q 0 Q. Для
доказательства этого утверждения достаточно показать, что нормальное
характеристическое число пространства PC Bm), соответствующее классу
.ZfciJ» отлично от нуля. Но ввиду закона двойственности между нормаль-
нормальными и касательными классами, нормальное характеристическое число,
соответствующее сумме 2(XiJm, отличается только знаком от касательного
характеристического числа, соответствующего той же сумме. С другой
стороны, известно, что многочлен Чженя комплексного проективного прост-
пространства РСBт) имеет следующий вид:
l\
2m + I\ /2m+I
dx++[ у1++(
где d — класс когомологий проективной прямой. Символически этот много-
многочлен можно записать в следующем виде:
С(х) = A
* Этот сборник, стр. 255. — Прим. ред.

348 Р. том
Следовательно, все символические корни этого многочлена равны — 1/d,
Таким образом, характеристическое число < J^XxjJ, PC Bm) > равна
2<(— 1/dI, d2m > = 2m + 1-
Нормальное характеристическое число многообразия PCBm), соот-
соответствующее классу 2'(xiJm, равно, следовательно, —Bт+ 1) и поэтому
отлично от нуля. Тем самым сформулированное выше свойство доказано.
Из него вытекает
Следствие IV. 18. Для любого ориентированного многообразия
Vй существует такое отличное от нуля целое число N, что многообразие
NVn внутренне гомологично линейной целочисленной комбинации произ-
произведений четномерных комплексных проективных пространств. Коэффици-
Коэффициенты этой линейной комбинации являются линейными однородными функци-
функциями характеристических чисел Понтрягина многообразия NVn.
Замечание. Естественно спросить, не составляют ли произведения
пространств РСB/) базу Z-модуля Q/Qt? Это верно для размерности 4,
потому что класс пространства РСD) порождает группу Q*. Можно показать,
что это верно и для размерности 8. Действительно, в этой размерности харак-
характеристические числа Р8 и (Р4J связаны следующими соотношениями:
(Р4J — 2Р8 ¦ 0 mod 5,
7Р8 + (Р4)а =[45 т.
Первое соотношение следует из равенства Stl Л = 0, имеющего место в топо-
топологическом произведении многообразий (ср. У [155]); второе получается,
если записать индекс т в виде линейной однородной функции классов Р8
и(Р4J и определить коэффициенты для типичных многообразий РСD)и(РСB)J.
Пусть Vs — произвольное многообразие и т — индекс квадратичной формы,
определенной произведением Колмогорова — Александера, на пространстве
H\V8, R). Легко проверить, что многообразие V8 и многообразие
q.PCD)+(r-q).(PCB)y,
где число q определено равенством (Р4J — 2Р8 + 5*/, имеют одинаковые
числа Понтрягина и внутренне гомологичны между собой (по модулю Qt).
Для исследования в высших размерностях необходимо более точное рас-
рассмотрение арифметических и топологических свойств чисел Понтрягина13.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА
1 (к стр. 310). Эти утверждения являются непосредственвым следствием следующей
теоремы Серра.
Алгебра H*(Z2, Ic, Zj) является алгеброй многочленов, образующими которой
служат элементы Sq'(i), где I = {^ ir} — любая допустимая последовательность,
удовлетворяющая условию it — ia — ... — ir < к. (Число it — it — ... — ir обозначается
через е(Г) и называется дефектом последовательности /.)
Для к = 1 эта теорема очевидна, ибо пространством КB2, 1) можно считать дейст-
действительное бесконечномерное проективное пространство. Пусть fc> 1, и пусть теорема
уже доказана для к — 1. Рассмотрим пространство Е путей пространства K(Zit к) с фикси-
фиксированной начальной точкой. Согласно [ I], это пространство является расслоен-
расслоенным пространством в смысле Серра, базой В которого служит данное пространство K(Z2, к),
а слоем F— пространство петель пространства К B2, к). Пусть (?г) — спектральная
последовательность этого расслоенного пространства. Так как пространство ? стягивается
в точку, то Н*(Е, Za)=H°(?, Za). Далее, согласно известной теореме Гуревича, пространство
F является пространством K(ZV к— 1) и, следовательно, по предположению индук-
индукции алгебра H*(F;Z2) является алгеброй многочленов от некоторых элементов ха,
являющихся итерированными квадратами Стинрода фундаментального класса i' прост-
пространства F. Очевидно, что класс «'трансгрессивен и его образом при трансгрессии служит
13 По этому вопросу см. недавно появившуюся работу Хирцебруха [171].

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 349
фундаментальный класс t пространства В. Отсюда следует, что элементы ха трансгрес-
трансгрессивны, а потому трансгрессивны и элементы х® = SqL^ni'р* (х„), где L(ni,p) = BР Ьц,
.. ., 2rii), щ = dim Xj, p — О, 1, 2,... (если р = О, то L(;ii, p) = 0). С другой стороны, эле-
элементы х?р образуют, очевидно, простую систему образующих алгебры H*(F). Наконец,
Яа = Н*(В) (g> H*(F) (см. стр. 49). Таким образом, последовательность (Ег) удовлетворяет
всем условиям предложения 16.1, стр. 204. и, следовательно, алгебра Н*(В) является
алгеброй многочленов от элементов т(х&р), где т — трансгрессия. Но, если Ха = Sq1^'), то
т(х1") = SgL(n(> р) ° S9J(r(('))= Sq''(i), где /' =(L («i, p), I). Для завершения доказатель-
доказательства остается заметить, что последовательность /' допустима и e(I') < к (на самом деле
е(Г) = к— 1, еслв р > 0). Кроме того, любую допустимую последовательность с дефектом
меньшим к можно единственным образом представить в виде (Ь(щ, р), 1), где последова-
последовательность /допустимей еA) < к— 1. Тем самым теорема доказана.
Утверждение, относящееся к группе Hk+h(Z~, к; Za) при ft< к, немедленно следует
из этой теоремы, ввиду того, что dim (Sq1'^) • Sg*»(<)) в== 2fc.
Ранг еШ группы Яй+'!Bа, к; Z2) вычисляется отсюда на основании следующих сооб-
соображений. Пусть /=(i'i Jr) — произвольная допустимая последовательность, для
которой I'i + . . . + /V = Л. Положим ах = /х — 2ia,. . ., аг_х = /г_х — 2ir, а,. = 1г.Тогда
г
^аЛг1—I) = Л. Таким образом, последовательность / определяет разбиение числа Л
i-l i
в сумму слагаемых вида 2 — I. Очевидно и обратное: любое такое разбиение определяет
некоторую допустимую последовательность /, для которой i1 + . . . + ir= Л.
2 (к стр. 311). Как заметил Серр, с помощью этой леммы можно доказать сле-
следующие формулы Адема — У:
SqaSqb = 2(Ь~_1п l)sqa+b-cSqc, a < 2Ь,
позволяющие выразить любой итерированный квадрат в виде линейной комбинации итери-
итерированных квадратов, соответствующих допустимым последовательностям.
Для сокращении формул положим
TaJb = Sq*-1 Sqb +.S9« Stf-1 - Z(b^1)(sqa+^C-1 Sqc
Из очевидной формулы
b—c—\\ . I b—c—l \ , ( b—c—2 \ , (b—c—2\ _ n lm . ,N
a-2c ) + \a-2c-\) + \a-2c-2) + { a-2c ) = ° (mod 2)
немедленно вытекает, что
Тц,Ь = Ca—i,b + Ca,b—v
С другой стороны, легко видеть (дважды применяя формулу Картана), что для любого
х е Н*(Х, Zg) и любого / е НИХ, ZJ (где X — произвольное пространство)
Sql S^xt) = Sq* Sqj (x) • t + (Sq^Sq* (x) + Sq* S^'-^x)) • <2 +
+ Sq*—* Sqi-Hx) ¦ t* .
Отсюда следует, что
Ca,b(Xt) = Са,ь(х) ¦ t + Г„,Ь(Х) • /a + Ca-^.^X) • Л
Подставляя сюда выражение для Та,ы получаем: если Са,ь=О для а+Ь<п.
то Са,ь(х() = Са,ь(х) • t для любых а, Ь, удовлетворяющих соотношению а+ Ь= п.
Пусть теперь X = Gft, где к > а + Ь. Так как Wh = *i • ¦ • 'ft, то из соотношения
Со,ь(х<) = Са,ь(х) ¦ t следует, что Са,ь(У/ь) = Са,ь(е) ¦ Wk, где е — единичный класс.
Поскольку dime= 0, то Са,ь(е) = 0 и, следовательно, Ca,b(Wk) = 0, т. е., согласно до-
доказанной лемме, Са,ь — 0. Таким образом, если Са,ь = 0 для а+ Ь<Сп, то Са,ь= 0
для а + b = п. Для завершения доказательства формулы Адема — У остается заметить,
что для а+ Ь= 1 эта формула очевидна.
Аналогично можно доказать формулы Адема для степеней Стннрода
Рь.

350 р. том
3 (к стр. 329). Операции д$ и Qp связаны, по определению, соотношением
х n #fy = Qpx r\ у, х € IP—^iK, Zp), у € Hr{K, Zp),
где ъ — известное умножение Унтни (см., например, [36]). Следовательно,
/. Цр Olp ^Л^ Г* у — ^? Olp Л Г* Vyjj—i yt ЛЕЛ \А> ^р)> У ^ "г \*^7 ^р/* '
г 1
Применяя отображение % н учитывая, что
х (и г, v) = и ~ х v,
получим
i i
Но, согласно формуле Картана,
_/^ Ofp Л Ofp /t У «Э1р ^Л / у^ .
1
Таким образом,
X ^ Qp1""* StP(x) ъ у = St% х (х ^ у),
т. е.
St\> (х) ^ у = «j»(x о у).
Но х <-> у е Ят (К, 2Р). Легко видеть, далее, что дли любого и е Нт (К, Zp), m > 0,
0.
Действительно, рассмотрим произвольное вложение / полиэдра К в некоторое эвклидово
пространство R . Согласно свойству 2 операций &%,
/«*?(«)¦- «& (/?«) = о,
потому что f?u— 0. С другой стороны, отображение /*, очевидно, изоморфно (полиэдр
К предполагается связным).
Таким образом,
2 Qp~* s'pW - у = о
t
для любого у е Нг (К, Zp). Следовательно,
2 Ql?-1 S<p (х) = 0.
i
4 (к стр. 338). Пусть У — линейно связное односвязное топологическое пространство,
асферичное до размерности л — 1 включительно (л > 2), Y X Y — топологическое произ-
произведение пространства Y на себя н К V У подмножество пространства Y x Y вида Y х
х у0 U Уо X К, где у0— некоторая точка пространства Y. Согласно формуле Кюннета
(см. стр. 128),
Яр(К|х Y) ъ ? Hj(Y) ® Hj(Y) + ^ НМ * н№-
i+i-P i+J-P—1
С другой стороны, очевидно, что
HV{Y V Y) яв» HP(Y) ® H0(Y) + Ht(Y) ® HP(Y),
н естественное вложение ЯР(У V Y) -> Яр (У х У) является мономорфизмом. Отсюда,
в силу точности гомологической последовательности пары (У х Y, Y V У), следует, что
|ЯР(У xY,YVY)ib ]? Hi (У)® Я,(У) + 2 »i (У) * «i (Y)- (*)
i+j-p i+j-p-1
Так как ггг(У) = 0, если 0 < / < л, то (в силу теоремы Гуревнча для абсолютных групп)
Hi(Y) — 0, если 0 < / < п. Отсюда и из формулы (*) следует, что HP(Y x У, У V У) = О,
если 1 =ss p =ss 2n — 1, а значит (в силу теоремы Гуревнча для относительных групп),
Яр(У X У, У V У) = 0, если 1 =е р s 2п-1. (* ¦)

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА «В ЦЕЛОМ» ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ МНОГООБРАЗИЙ 351
Из соотношений (**) известными из теории препятствий рассуждениями легко получаем
следующую лемму:
Любое отображение не более чем Bя—\)-мерного конечного полиэдра в
пространство У х У гомотопно отображению этого полиэдра в подпространство YVY.
Пусть теперь V — произвольный конечный полиэдр, размерность которого меньше
2л— 1, и пусть /: V-> У и g: V-> У — произвольные непрерывные отображения поли-
полиэдра Vв пространство У. Рассмотрим их произведение /xg: V->YxY (т. е. (/ xg)(x) =
= (/(х), g(x))). Согласно доказанной лемме, отображение / х g гомотопно некоторому
отображению ft: V-+Y V Y. Определим теперь отображение q>:YVY->Y, положив
<Р(У х у0) = у,
<р(Уо х у) = у.
Композиция <p°h: V-> V называется суммой отображений / и g и обозначается через
/+ g. Легко проверить, что гомотопический класс отображения /+ g зависит только от
гомотопических классов отображений / и g. Таким образом, можно говорить о сумме
гомотопических классов отображений V -> Y. Оказывается, что относительно этой опе-
операции сложения совокупность Y(V) всех гомотопических классов отображений V->Y
является абелевой группой. Оиа называется Y-когомотопической группой полиэдра V.
В случае когда Y= Sn, группа Sn(V) обозначается через яп(У) и называется п-мерной
когомотопической группой полиэдра V.

VIII. КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ
И ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ*
АНРИ КАРТ АН
Теория „в целом" идеалов колец аналитических функций, построенная
Ока [ 104] и Картаном [52, 53, 55], справедлива не только для областей голо-
голоморфности, но и для более широкого класса комплексных аналитических
многообразий, а именно для класса многообразий, впервые введенных Штей-
Штейном [184], содержащего, в частности, все аналитические многообразия без
особенностей произвольной размерности р, расположенные в числовом
комплексном пространстве некоторой размерности п > р.
Основные теоремы этой теории удобно формулируются на языке кого-
мологий. Этот язык, с одной стороны, подсказывает обобщения, а с другой
стороны, он весьма полезен при использовании результатов. В настоящем док-
докладе мы изложим сначала основные понятия: понятие пучка и понятие когомо-
логий с коэффициентами в пучке**. Затем будут изложены основные теоремы.
В заключение мы приведем приложения этих теорем к некоторым зада-
задачам „в целом", относящимся к многообразиям Штейна; другие приложения
изложены в докладе Серра.
§ 1. Пучки над топологическим пространством1
Пусть X — произвольное топологическое пространство. Пучок абежвых
групп над X, или просто пучок, определяется заданием:
1) функции x-+Qix, относящей любой точке хеХ некоторую абелеву
группу Cfcx (записываемую аддитивно);
2) некоторой топологии (не обязательно хаусдорфовой) в объединении
Cfc всех множеств С?х.
Обозначив через р отображение множества CJ-, на пространство X, относя-
относящее любому элементу а еГ^ такую точку хеХ, чтоае<7^, потребуем выполне-
выполнения следующих двух аксиом:
(Fi). Отображение а -»- — а, относящее любому элементу а е Ср, про-
противоположный элемент в группе С?р(а), является непрерывным отображе-
отображением пространства (JL на себя. Отображение (а, Р) -+ а + /5, определенное
на множестве'^2 всех паР («> Р), Для которых р(х) = р0), и относящее
каждой такой паре сумму « + |? в группе Cf^a), является непрерывным
отображением подмножества ^ произведения Ср.хС?. в пространство (JL
(Fn). Отображение р является локальным гомеоморфизмом, т. е. любой
элемент а е (JL обладает открытой окрестностью V, которую р гомеомор-
фно отображает на некоторое открытое множество пространства X.
*Cartan H., Varietes analytiques complexes et cohomologie; в сборнике Colloque
sur les fonctions de plusieurs variables tenu k Bruxelles du 11 au 14 mars 1953, Liege—Paris,
1953.
** Подробнее об этих понятиях см. работу [X]. — Прим. ред.
1 Понятие пучка было введено Лерэ в связи с изучением гомологических свойств
непрерывных отображений (см. [83]). В этой же работе (на стр. 75 внизу) дано определение
когомологий с коэффициентами в пучке, правда только для случая локально компакт-
компактного пространства X (и для когомологий „с компактными носителями"). Употребляемое
здесь определение пучка лишь незначительно отличается от определения Лерэ; оно при-
принадлежит Лазару и подробно изложено в трудах моего семинара за 1950—1951 гг. [60].
Там же развита и теория когомологий с коэффициентами в пучке (Сообщения XIV—XX).

КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ 353
Для любого подмножества U пространства X объединение групп Cfx,
для которых х б U, снабженное топологией, индуцированной топологией
множества Cf, является, очевидно, пучком над U. Этот пучок обозначается
через Cf(U) и называется пучком, индуцированным пучком Cf над множест-
множеством 13.
Пример. Пусть G — произвольная абелева группа и Cf — произ-
произведение ОхХ, снабженное обычной топологией (группа G предполагается
дискретной). Подмножество Cfx, состоящее из пар (g, х), где g пробегает
группу G, естественным образом определяется'как абелева группа (изоморф-
(изоморфная группе G). Очевидно, что аксиомы (Fi) и (Fn) выполнены. Этот пучок
называется „постоянным (или тривиальным) пучком", определяемым груп-
группой G, и обозначается также через G.
Пусть Cf. — произвольный пучок над пространством X. Сечением, пучка
Cf. над открытым множеством UczX называется непрерывное отображение
s:U^Cf, для которого составное отображение p°s тождественно. Ясно, что s
является гомеоморфным отображением множества U в Cf (на s(U)). Из акси-
аксиомы (Fn) следует, что если два сечения совпадают в некоторой точке xeU,
то они совпадают и во всех точках некоторой окрестности точки х. Отобра-
Отображение s, относящее любой точке х б U нулевой элемент 0ж е Cfx, является
сечением (в силу аксиомы (Fr)). Это сечение называется нулевым. Мно-
Множество Г (U, Cf) всех сечений пучка<^ над U является, в силу аксиомы (Fi),
абелевой группой, нулем которой служит нулевое сечение.
Если открытые множества U и V таковы, что VdU, то любое сечение
над U порождает некоторое сечение над V. Группа Cfx является индуктив-
индуктивным пределом* групп гф, Cf), когда U пробегает все открытые окрестности
точки х.
На практике пучок над X часто определяется следующим образом:
любому открытому множеству UC.X из некоторого фундаментального семей-
семейства открытых множеств пространства X сопоставляется абелева группа
Cfv и любой паре (U, V), для которой VdU, сопоставляется такой гомомор-
гомоморфизм fvu'Q^u -*~Q?v> что если WC.VC.U, то fwu — fwv°fvu- Обозначив через
Cfx индуктивный предел групп Cfv по всем открытым множествам U, содер-
содержащим х, введем в объединении Cf всех групп Cfx некоторую топологию
7}. Именно, для любого открытого множества V и любого элемента а е Cfv
рассмотрим множество [а] образов элемента х во всех группах (fx, где
х б U. Подмножества [а] множества Cf мы и примем за фундаментальное
семейство открытых множеств топологии Т). Ясно, что аксиомы (Fi) и (Fn)
удовлетворены. Имеет место очевидный гомоморфизм Cfv -*¦ F(U, Cf), не
являющийся, вообще говоря, изоморфизмом. Таким образом, один и тот
же пучок можно получить описанным способом, исходя из различных отне-
отнесений U -*¦ Cfv. Гомоморфизм Cfjj -> Г(и, Cf) является изоморфизмом тогда
* Пусть {U} — частично упорядоченное (отношением •<) множество, в котором
для любых элементов U н V существует такой элемент W, что W < U и W < V (частично
упорядоченные множества, удовлетворяющие этому условию, называются направленными),
и пусть любому элементу 0 этого частично упорядоченного множества отнесена некоторая
группа Fjj, а любой паре (t/, V), для которой V < U, отнесен гомоморфизм fvu- Fjj->
-> Fy, причем fwu = fwv°fvu> если W < V < U. Тогда индуктивным пределом
групп Fu называется группа, состоящая из таких совокупностей (аи) элементов аи € Fjj,
что для любой пары (U, V), удовлетворяющей соотношению V <С U, имеет место равенство
av = fvu(au)-
Сложение в этой группе определяется „по-компонентно":
(аи) + Фи) = (аи + Ри)-
В случае, рассматриваемом в тексте, элементами U являются открытые множества, содер-
содержащие точку х, а отношение < является отношением включения.
Ниже (в § 3) индуктивный предел употребляется в случае, когда элементами U явля-
являются открытые покрытия пространства X, а отношение V < U означает, что покрытие
V вписано в покрытие U. — Прим. ред.
23 Расслоенные пространства

354 А. КАРТАН
и только тогда; когда для любой системы открытых множеств иг и любой
системы элементов <Xie(f,Vi такой, что аг и щ имеют в CfVif)Uj один и тот
же образ; в группе Cfv, отнесенной объединению V множеств Uif сущест-
существует один и только один элемент а, для которого fVi u(<x) = а{, каково бы
ни было* I.
Пример. Пусть Cfv — аддитивная группа непрерывных числовых
действительных (или комплексных) функций, определенных в области
U. Если VaU, то ограничение области определения функций порождает гомо-
гомоморфизм Cfv -*¦ Cfv. Соответствующая группа Cfx называется аддитивной
группой ростков непрерывных функций в точке х, а соответствующий пучок
Cf — пучком ростков непрерывных действительных (или комплексных)
функций**. В рассматриваемом случае группа Cfv изоморфна группе F(U,Cf)
всех сечений пучка Cf, над U.
Замечание. Мы определили пучки абелевых групп, однако ясно,
что аналогичные определения можно предложить и для любых других
алгебраических объектов.
§ 2. Подпучок, гомоморфизм, факторпучок
Пусть Cf — произвольный пучок над пространством X, а ^ — такое
подмножество пучка Cf, что для любой точки х е X пересечение ^ П (fx =
= 4?х является подгруппой группы Cfx. Такое подмножество ^ является
пучком относительно топологии, индуцированной топологией пучка Cf,
тогда и только тогда, когда ^ открыто в Cf, (см. условие (Fn)). В этом слу-
случае говорят, что ^ есть подпучок пучка Cf.
Пусть Cf и Cf! — два пучка над одним и тем же пространством X. Гомо-
Гомоморфным отображением пучка Cf в пучок Cf! называется такое непрерывное
отображение / пучкаг^в пучок Cf!, что для любой точки хеХ часть fx отобра-
отображения / на подмножестве Cfx является гомоморфным отображением группы
Cfx в группу Cf^. Прообраз ^ (при гомоморфизме /) нулевого сечения пучка
Cf! (рассматриваемого как открытое подмножество пучка Cf!) является под-
подпучком пучка Cf и называется ядром гомоморфизма /; для любой точки хеХ
группа Qx является ядром отображения fx. С другой стороны, отображение
/ открыто, и, следовательно, образ Q' пучка Cf в пучке Cf! является подпучком
пучка Cf!, называемым образом гомоморфизма /; для любой точки хеХ; под-
подгруппа 4?х является образом гомоморфизма fx.
Ясно, что любой гомоморфизм / :Cf-+Cf' определяет для любого откры-
открытого множества UdX некоторое гомоморфное отображение ГA),Cf)-*r(U', Cf!)
соответствующих групп сечений.
Пусть Q —подпучок пучка Cf. Обозначим через Ябх факторгруппу С^\фх и
через 76 объединение всех групп 7бх. Естественные отображения Cfx->
->• 7бх определяют отображение пучка Cf на множество Яб. Другими словами,
Яб получается из Cf в результате некоторого отождествления. Введя в Ж
топологию отождествления (т. е. приняв за открытые множества те и только
те множества, прообразы которых в Cf открыты), мы определим Яб как пучок.
Этот пучок называется факторпучком пучка Cf и обозначается через Cfj-Q,.
Отображение Cf -> Cf\Q является гомоморфизмом, и его ядром служит под-
подпучок ^. Найдем сечения факторпучкаГ^/^ над X. Пусть seP(X,Cfl-0.).Любая
точка хеХ обладает, очевидно, такой окрестностью U, что сечение над U,
индуцированное сечением s, является образом некоторого сечения из/"((/, Cf).
Таким образом, пространство X можно покрыть открытыми множествами
Ub причем для каждого Ut существует такое сечение s{e r(Uiff), что в UV
* См. стр. 374, 375. — Прим. ред.
** Две функции, определенные в точке х, имеют один и тот же росток, т. е. одинаковые
образы в группе <~?х, если они совпадают в некоторой окрестности точки х. — Прим. ред.

КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ 355
разность Si — Sj является сечением подпучка 0. Вообще говоря, эти сече-
сечения нельзя объединить в одно, т. е. не всякое сечение пучка Щ0. над X являет-
является образом некоторого сечения пучка QL Другими словами, в последо-
последовательности групп и гомоморфизмов
являющейся, очевидно, точной последовательностью (образ любого гомо-
гомоморфизма является ядром следующего), гомоморфизм <р не является, вообще
говоря, эпиморфизмом2.
§ 3. Когомологии с коэффициентами в пучке
Пусть Cf, — произвольный пучок над топологическим пространством
X. Определим для любого целого q s^O группу когомологии Я9(Х, cfi). Пусть
9t — произвольное покрытие пространства X открытыми множествами 1/{.
Любому набору индексов iv ..., ip, vj\ep = q-\- 1, отнесем некоторый эле-
элемент fu ... ip? Г(ииГ\... П Uip, <79- Если пересечение Uu П • • • П Uip пусто,
полагаем fu ... ,„ = 0. Предположим, кроме того, что fu ... ip является
кососимметрической функцией индексов (в частности, равной нулю, если
индексы не все различны). Получив таким образом аддитивную группу
„кососимметрических коцепей" покрытия ffi степени q = р— 1 относительно
пучка Cf. и определив в этой группе обычным образом „кограничный" опе-
оператор, увеличивающий степень на единицу, мы получим группу когомологии
Hq(8l, Г70 покрытия 9t Если покрытие Ш' вписано в покрытие 9R, то одно-
однозначно определен естественный гомоморфизм группы Н%Ш,С]И) в группу Щ9?',Гу?).
Следовательно, можно рассматривать индуктивный предел групп Я9(9*, QH)
относительно всех открытых покрытий 9t. Этот предел является, по опреде-
определению, группой Н%Х, Cfy. Заметим, что группа Я°(Х, С?) естественным обра-
образом отождествляется с группой Г(Х,(]Е).
Любой гомоморфизм пучков (Ji-^Cf,' определяет, очевидно, гомоморфизмы
Hg(X,(J^^Hq(X, ф,') соответствующих групп когомологии. Далее, если 0.—
подпучок пучка (%, то можно определить естественные гомоморфизмы
, 0),
по крайней мере для паракомпактного пространства* X.
Изложим здесь для примера определение гомоморфизма 6°. Как мы
видели (§ 2), любой элемент а е Я°(Х, Щ??) определяется сечениями st e
€ Н°(иь Qf-) над элементами Ut некоторого соответствующим образом подоб-
подобранного открытого покрытия ffi пространства X, причем st—Sj e Я°({74 П Up 0)-
Положим Si — s,- = fij. Сечения /tj определяют (кососимметрический)
коцикл степени 1 и, следовательно, определяют некоторый элемент группы
Я1^, ф и потому некоторый элемент /S е Я^Х, 0). Легко проверить, что
этот элемент /? однозначно определяется элементом «., т. е. не зависит от
выбора покрытия 9t и сечений st. По определению д°(а) = /?. Для q > 0 го-
гомоморфизмы dq определяются аналогично, но несколько сложнее.
Основное свойство групп когомологии состоит в следующем3:
2 Гомоморфизм <р : А -*¦ В абелевых групп ( или модулей) называется эпиморфизмом,
если <р отображает А на В. Напомним, кстати, определение коядра гомоморфизма <р:
коядром называется факторгруппа группы В по образу <р(А). Аналогичная терминоло-
терминология употребляется и для гомоморфизмов пучков.
* Пространство X называется паракомпактным, если в любое его открытое покры-
покрытие можно вписать локально конечное (т. е. любой элемент которого пересекается только
с конечным числом элементов покрытия) открытое покрытие. — Прим. ред.
3 См. Семинар 1950—1951 г., упомянутый в примечании 1 на стр. 352, где свойство
„точности последовательности" сформулировано как одна из аксиом аксиоматическсй
теории когомологии с коэффициентами в пучке.
23* - 5/0

356 А. КАРТАН
если пространство X паракомпактно, то для любого подпучка -^ пучка Cf,
бесконечная последовательность абелевых групп и гомоморфизмов
О -> Н\Х,ф -> Н\Х,
... -> Н\Х, ф
является точной последовательностью.
Начало этой последовательности совпадает с рассмотренной в конце § 2
последовательностью
Следовательно, гомоморфизм ЦХ, Гу?)->-Г(Х, г^-/^) является эпиморфизмом2,
если ЯНХ, ф = 0.
§ 4. Комплексные аналитические многообразия;
аддитивная проблема Кузена
Общеизвестное определение комплексного аналитического многообра-
многообразия (комплексной) размерности п (следовательно, действительной размер-
размерности 2п) может быть следующим образом сформулировано в терминах
теории пучков: пространство X, предполагаемое хаусдорфовым, называется
комплексным аналитическим многообразием размерности п, если над ним
задан подпучок О пучка (JI ростков комплексных непрерывных функций
(§ 1), удовлетворяющий следующему требованию:
(VA) Для любой точки хе X существует такое открытое множество U,
содержащее х, и такие п сечений /{ пучка О над U, равные нулю в точке х,
что: 1) функции /4 определяют гомеоморфное отображение множества U
на некоторое открытое множество числового комплексного простра нства С"
(комплексной) размерности п; 2) элементы группы Ох есть не что иное, как
сложные функци F(/1; . . ., /п), где F — произвольная функция, голоморф-
голоморфная в начале координат (пространства С").
Система п сечений fu обладающая этими свойствами, называется систе-
системой локальных координат в точке х. Пучок О называется пучком ростков
голоморфных функций*. Сечения пучка О над открытым множеством U суть
голоморфные функции в U. Пучок, индуцированный пучком О над открытым
множеством U, обозначается через O(U). Заметим, что Ох является областью
целостности.
Над комплексным аналитическим многообразием X определяется пучок
JtLpocmKoe мероморфныхфункций.^^.определяется как поле частных области
целостности Ох, а топология в объединении JH. всех полей JHX вводится сле-
следующим образом. Пусть fug — функции, голоморфные в некотором откры-
открытом множестве U, причем функция g не равна тождественно нулю ни в каком
непустом отрытом подмножестве множества U и пусть [/, g] — совокупность
дробей fx/gx e Jtlx для всех точек х е U (через fx, соответственно gx, обозна-
обозначается образ функции /, соответственно функции g, в Ох). Множества [/, g]
образуют, по определению, фундаментальное семейство открытых множеств
в пространстве Ж. „Мероморфная функция" в некотором открытом множестве
U есть, по определению, некоторое сечение пучка Ж над U.
Ясно, что О является подпучком пучка Ж. Рассмотрим факторпучок
Ж\О. Для любого элемента т е Жх его класс в факторгруппе ЖХ1ОХ назы-
называется его главной частью. Сечения пучка Ж/О называются системами глав-
* Две голоморфные функции имеют в точке х один и тот же росток (см. примечание
на стр. 354) тогда и только тогда, когда они совпадают в некоторой окрестности точки х.
Итак, понятие ростка голоморфной функции совпадает с понятием' элемента аналити-
аналитической функции (в смысле Вейерштрасса), а операция образования сечения есть не что
иное, как операция образования голоморфной функции из ее элементов. — Прим. ред.

КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ КОГоДоЛОГИЙ 357
них частей. Гомоморфизм q>: Г(Х, Ж) -> Г{Х,Ж\О) относит любой меро-
морфной над X функции некоторую систему главных частей. Классическая
аддитивная проблема Кузена (называемая также первой проблемой КузенаL
состоит в определении тех систем главных частей над X, которые порождаются
мероморфными функциями, т. е. в определении образа гомоморфизма у.
Утверждение, что проблема Кузена всегда разрешима, равносильно тому,
что гомоморфизм <р является эпиморфизмом.
В силу точности когомологической последовательности (§ 3) условие
Я^Х, О) = О достаточно для того, чтобы проблема Кузена была всегда
разрешима. Мы увидим, что это условие выполнено, когда X является „много-
„многообразием Штейна" (§ 7, теорема В). Для формулировки общих теорем о триви-
тривиальности при некоторых условиях групп когомологий Hq(X,Qfi) необходимо
ввести новое понятие ..когерентного аналитического пучка".
§ 5. Когерентные аналитические пучки
Пусть X — произвольное комплексное аналитическое многообразие.
Пучок (J-. над X называется аналитическим, если для любой точки х группа С?.х
является модулем над кольцом Ох (кольцом ростков голоморфных функций
в точке х), причем отображение (/, а) -> /а, определенное на множестве Q
таких пар (/, а), что / е Ох и а е Cf-,x для некоторой точки х е X, является
непрерывным отображением множества ^ с О X Cf, в Cjfi.
Пример. Пусть Ор — прямая сумма р экземпляров пучка О; эле-
элементом группы Ор является р-членная последовательность (/1(..., fp ) рост-
ростков голоморфных функций в точке х. Определив Ох как кольцо операто-
операторов группы 0е. формулой
/•(/i,.--./p) = (//i tip),
мы обратим пучок Ор в аналитический пучок.
Другой пример. Пусть 3 — такой подпучок пучка О, что для
любой точки х подкольцо Зж является идеалом кольца Ох. Тогда Э является
аналитическим пучком.
Пусть CfcuCfc' — два аналитических пучка над X. Гомоморфизм пучков
]\С?.-*Ср называется аналитическим, если для любой точки х гомоморфизм
/х: Фх -*¦ G-х является гомоморфизмом модулей (т. е. перестановочен с опера-
операторами из Ох). Ядро, образ и коядро аналитического гомоморфизма являются,
очевидно, аналитическими пучками.
Определение. Аналитический пучок Cfc. над X называется когерент-
когерентным5, если любая точка х 6 X обладает такой открытой окрестностью U,
что индуцированный аналитический пучок Q^U) изоморфен коядру некоторого
аналитического гомоморфизма / : О"*(U) -*¦ O%U) (p и q — произвольные
целые числа).
В частности, аналитический пучок называется локально свободным,
если любая точка х е X обладает такой открытой окрестностью U, что
индуцированный пучок CfiU) изоморфен пучку <99(С7) для некоторого целого
q. Любой локально свободный пучок когерентен.
Можно доказать, что ядро, образ и коядро аналитического гомоморфизма
когерентных аналитических пучков являются когерентными аналитическими
пучками. Доказательство существенно опирается на теорему Ока6, утвер-
4 См. [77]. Проблемам Кузена посвящена обширнейшая литература. Мы ограничимся
указанием статьи [101].
5 Это определение обобщает предложенное в [53] и [55]. В рассмотренных в [53] и
[55] частных случаях оба определения совпадают*.
* См. [104], стр. 18 и след.; см. также [55], стр. 37, теорема 1, и [61], Сообщение XV,
стр. 5—10.
* Более общее определение когерентного пучка см. в [X], п. 12. — Прим. ред.

358 А. КАРТАН
ждающую, что для любого аналитического гомоморфизма / : <9Р(Х) -> О%Х)
каждая точка х е X обладает такой открытой окрестностью U, что ядро
соответствующего гомоморфизма OP(U) -*¦ O\U) является образом некоторого
аналитического гомоморфизма (У(и) -*¦ O^U).
Заметим, что аналитический подпучок ф когерентного аналитического
пучка Cfc. является когерентным пучком тогда и только тогда, когда для
любой точки х G X существует конечное число таких сечений пучка Cjf- над
некоторой открытой окрестностью U точки х, что для любой точки у е U
группа фу является подмодулем модуля С^,, порожденным этими сечениями.
Этот критерий особенно удобен, когда QF,= О? и, в частности, когда (Jl= О.
В последнем случае Qx есть идеал кольца Ох и в соответствии с этим пучок
^ называется когерентным пучком идеалов.
Пример когерентного пучка идеалов. Пусть X —
произвольное комплексное аналитическое многообразие. Аналитическим
подмногообразием многообразия X называется замкнутое подмножество V
многообразия X, для любой точки х € V которого существует конечное число
таких функций /{, голоморфных в некоторой окрестности U точки х, что
у е V П U тогда и только тогда, когда у е U и /{(у) = 0. Точка х е V
называется регулярной, если в некоторой окрестности этой точки (относитель-
(относительно объемлющего многообразия X) существует такая система локальных
координат хх, ..., х„, обращающихся в нуль в точке х, что подмногообразие
V определяется локально (в указанной окрестности точки х) как множество,
в котором обращаются в нуль некоторые из этих координат. Если все точки
подмногообразия V регулярны, то говорят, что V регулярно расположено
в X. Рассмотрим произвольное аналитическое подмногообразие V много-
многообразия X. Любой точке х е V отнесем идеал Эж кольца Ох, состоящий из
всех ростков, тождественно равных нулю в некоторой окрестности (на V)
точки х. Для точек х $ V положим Зж = Ох. Доказано,7 что получаемый
таким образом пучок 3 (называемый пучком подмногообразия V) когерентен.
Если подмногообразие V регулярно расположено в X, то это утверждение
очевидно.
§ 6. Многообразия Штейна
Многообразие Штейна есть, грубо говоря, такое комплексное аналити-
аналитическое многообразие, на котором имеется достаточно много голоморфных
функций. Более точно, многообразием Штейна называется комплексное
аналитическое многообразие X (вообще говоря, не связное), являющееся
объединением счетного множества компактов* и удовлетворяющее следую-
следующим трем условиям:
(a) Для любых точек х, у е X, х=?у, существует такая голоморфная в
X функция /, что /(х)^/(у).
(b) Для любой точки х е X существует на X п голоморфных функций,
индуцирующих в кольце Ох систему локальных координат в точке х (п —
комплексная размерность многообразия X).
(c) Оболочка К любого компакта К С X компактна.
Напомним, что оболочкой компакта К называется множество К всех
таких точек х е X, что для любой функции /, голоморфной в X,
Можно показать (с помощью теоремы Бэра), что условие (с) равносильно
следующему условию.
7 См. [55], теорема 2, и [61], Сообщение XVI.
* Компактом здесь называется хаусдорфово бикомпактное пространство,
— Прим. ред.

КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ 359
(с') Для любой бесконечной последовательности S точек многоборазия
X, не имеющей в X предельных точек, существует в X голоморфная функция,
неограниченная на S.
Примеры. 1. Из условия (а) следует, что компактное многообразие
X положительной размерности не может быть многообразием Штейна.
2. Для п = 1 любая связная некомпактная „поверхность Римана"
является многообразием Штейна. Это доказано в мемуаре Беенке и Штейна [7].
3. Пусть X — произвольное открытое множество комплексного числового
пространства С". Условия (а)-и (Ь) выполнены тривиальным образом. Условие
(с) означает, что X есть область гомоморфности (ср. [66]).
4. Пусть X — произвольная „область наложения" в Сп, т. е. много-
многообразие, снабженное локально гомеоморфным отображением q> в пространство
Сп. Условие (Ь) выполняется тривиальным образом. Из условий (а) и (с)
следует, что X является областью голоморфности. Верно ли обратное: любая
ли область голоморфности (являющаяся в Сп областью наложения) является
многообразием Штейна? Ответ положительный,8 если область X „конечного
типа" (т. е. если нельзя найти в Сп открытого диска А, на который отобра-
отображение q> гомеоморфно отображает бесконечное число открытых множеств
многообразия X). В общем случае вопрос остается открытым.
5. Произведение X х У двух многообразий Штейна является, очевидно,
многообразием Штейна.
6. Из определений немедленно следует, что любое регулярно располо-
расположенное (ср. § 5) аналитическое подмногообразие многообразия Штейна
само является многообразием Штейна. Таким образом, любое регулярно
расположенное аналитическое подмногообразие пространства Сп является
многообразием Штейна. В частности, многообразием Штейна будет любое
аффинное алгебраическое многообразие.
7. Пусть X — произвольное многообразие Штейна и g — некоторая
голоморфная в X функция, не равная тождественно нулю. Множество Y
точек х е X, для которых g(x) =fc О, является многообразием Штейна; для
доказательства условия (с) достаточно заметить, что функция 1/g голоморфна
в У9. Например, многообразие линейной комплексной группы является
многообразием Штейна. Следовательно, многообразие любой замкнутой
подгруппы линейной комплексной группы является многообразием Штейна.
§ 7. Формулировка основных теорем
Теорема А. Пусть X — произвольное многообразие Штейна, a(~f, —
некоторый когерентный аналитический пучок над X. Тогда для любой точки
х е X образ группы Я°(Х, С?) в Cf^. порождает С?.х как Ох-модуль.
Теорема В. Пусть X — произвольное многообразие Штейна, aCfc —
некоторый когерентный аналитический пучок над X. Тогда для любого q > О
группа когомологий НЯ(Х, (JI) тривиальна.
Доказательства этих теорем слишком длинны и деликатны, чтобы их
8 См. [66], а также [61], Сообщение IX.
' Имеет место следующий более общий результат: если из многообразия Штейна
удалить произвольный „дивизор" D (т. е. аналитическое подмногообразие многообразия
X, которое в окрестности любой точки х е D определяется одним уравнением вида gx = О,
где функция gx голоморфна в точке х и не равна тождественно нулю), то остающееся
многообразие X\D является многообразием Штейна. Для доказательства достаточно
показать, что для любой точки х е D существует в X мероморфная функция /, голоморф-
голоморфная в X\D и такая, что функция gxf голоморфна и отлична от нуля в точкех. Существование
такой функции / следует из теоремы А (см.' ниже § 7), примененной к подпучку Cf. пучка
Л ростков мероморфных функций, определяемому следующим образом: если х $ D, то
<7х = Ох, если же х е D, то f?x состоит из всех функций <р е Jtx, Для которых произведение
gxq> голоморфно. Этот пучок когерентен. Намеченное доказательство принадлежит
Серру.

360 A. KAPTAH
можно было здесь поместить10. Доказательство теоремы А и теоремы В в
случае q = 1 составляет, в сущности, основную цель мемуара [55], по крайней
мере тогда, когда X является областью голоморфности конечного типа, а
пучок Cf-. — когерентным подпучком пучка ОЯ(Х). Рассуждения без труда
распространяются на общий случай любых многообразий Штейна. Мысль
— изучить не только случай q = 1, но и случай любого q ,> 0 — и формули-
формулировка теоремы в терминах когомологий принадлежат Серру.
§ 8. Приложения
Теорема I11. На многообразии Штейна аддитивная проблема Кузена
всегда разрешима.
Действительно, согласно теореме В, группа Я1(Х, О) тривиальна.
Теорема 2. Пусть X — произвольное многообразие Штейна, V — не-
некоторое его аналитическое подмногообразие и 3 — пучок идеалов, определен-
определенных многообразием V(§ 5). Тогда для любой точки хеХ идеал Зх порождает-
порождается гомоморфными в X функциями, равными нулю в любой точке подмного-
подмногообразия V.
Действительно, Э является когерентным пучком, к которому применима
теорема А.
Следствие. Если х$ V, то существует такая функция /, голоморф-
голоморфная в X и равная нулю на V, что Дх) Ф 0. Другими словами, подмногооб-
подмногообразие V можно в целом определить уравнениями (получающимися прирав-
приравниванием нулю некоторых голоморфных в X функций). Более того, для
любого открытого, но имеющего компактное замыкание множества U много-
многообразия X существует конечное число функций /г, голоморфных в X и равных
нулю на V и не имеющих на U никаких других общих нулей, кроме точек
пересечения V f] U.
Теорема. 3. Пусть X — произвольное многообразие Штейна, а V —
его аналитические подмногообразие, регулярно расположенное в X. Тогда
любая функция, голоморфная на комплексном аналитическом многообразии
V, порождается некоторой функцией, голоморфной на X.
Действительно, пусть 3— пучок идеалов, определенный многообразием
V. Согласно теореме В группа Я1 (X, 3) тривиальна, и потому естественный
гомоморфизм
Н°{Х,О)-*Н0(Х,О1Э) A)
является эпиморфизмом. Но, если х $ V, то факторкольцо 0J3x тривиально,
а если х е V, то факторкольцо 0xj3x можно отождествить с кольцом ростков
голоморфных на V функций в точке х, потому что точка х регулярна на V.
Следовательно, кольцо Я°(Х, 0J3) можно отождествить с кольцом голо-
голоморфных на V функций, после чего A) окажется гомоморфизмом, относящим
любой голоморфной на X функции порожденную ею голоморфную функцию
на V. Тем самым теорема доказана.
Рассмотрим частный случай, когда V является бесконечным дискретным
подмножеством многообразия X. Если X является многообразием Штейна,
то теорема 3 показывает, что на многообразии X существует голоморфная
функция, принимающая в точках множества V любые произвольно заданные
значения. Это свойство усиливает, очевидно, свойства (а) и (с') многообразий
Штейна. Можно получить и более общее предложение.
Каждой точке х некоторого дискретного множества А отнесем целое
число г(х). Для х G А обозначим через Зх идеал кольца Ох, образованный
10 Полные доказательства изложены в [61], Сообщение XIX.
11 Доказана впервые Ока [101] в случае, когда X есть однолистная область голо-
голоморфности.

КОМПЛЕКСНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ И ТЕОРИЯ КОГОМОЛОГИЙ 361
теми ростками, тейлоровские разложения которых в точке х не имеют членов
порядка =? г(х). Для х $ А положим Эж = Ох. Очевидно, что пучок 3, состав-
составленный из идеалов Эж, когерентен. Если х $ А, то элементами факторкольца
OJ3X являются „отрезки разложений порядка г(х)". Оказывается, что
имеет место
Теорема 4. На многообразии Штейна X существует голоморфная
функция, имеющая в каждой точке х е А произвольные наперед заданные
отрезки разложений (произвольных порядков г(х)).
Действительно, задание отрезков разложений эквивалентно заданию
некоторого элемента кольца Я°(Х, 0/3). . Но естественный гомоморфизм
Н°(Х, 0)-*Н\Х, 0/3)
является эпиморфизмом, потому что, согласно теореме В,
Н\Х, 50 = 0.
Теорема 4, примененная к случаю, когда А содержит только одну точку,
усиливает требование (Ь) определения многообразий Штейна.
Замечание (принадлежащее Серру). Комплексное аналитическое
многообразие X, являющееся объединением счетного числа компактов, тогда и
только тогда будет многообразием Штейна, когда оно удовлетворяет условию:
(S) Для любого когерентного пучка идеалов Э группа ЯХ(Х, Э) триви-
тривиальна.
Необходимость этого условия следует из теоремы В. Для доказательства
достаточности заметим, что из (S) следует теорема 4, а значит; и условия
(а), (Ь) и (с).
Теорема 5. Пусть X — произвольное многообразие Штейна uQ-. —
некоторый когерентный аналитический пучок. Пусть щ е #°(Х, Cf) — конеч-
конечное число таких сечений, что для любой точки х е X модуль С?.х порождается
их образами в Ох. Тогда сечениящ порождают группу Я°(Х, Cfi), рассматривае-
рассматриваемую как модуль над кольцом Н°(Х, О) всех голоморфных на X функций.
Действительно, пусть р — число сечений иг. Эти сечения определяют
естественный аналитический гомоморфизм пучков Ov-*(J-.. По условию
этот гомоморфизм является эпиморфизмом. Но его ядро является когерент-
когерентным пучком и, следовательно, по теореме В гомоморфизм H\X,OV)-+ H°(X,Cf)
является эпиморфизмом, что и доказывает теорему.
Пример. Пусть Cf. = О. Сказать, что идеал кольца Ох, порожденный
сечениями щ е Я°(Х, О), совпадает с Ох, значит сказать, что голоморфные
функции щ не имеют в X ни одного общего нуля. Теорема 5 утверждает, что
для таких функций имеет место тождество
1 = 2 Сг Щ B)
с голоморфными в X коэффициентами сг12. Это утверждение справедливо,
в частности, когда X есть открытое множество пространства С", являющееся
областью голоморфности. Покажем, что оно неверно, когда X есть открытое
множество пространства Сп, не являющееся областью голоморфности. Дей-
Действительно, тогда на границе области X существует такая точка а, что любая
функция, голоморфная в X, может быть продолжена до некоторой голо-
голоморфной функции в открытом множестве Y, содержащем X и а. Пусть
щ = хг— ait где хг — комплексные координаты переменной точки простран-
пространства С", а а; — координаты точки а. Функции щ не имеют ни одного общего
нуля в области X, однако равенство B) для них невозможно, потому что
голоморфные в X функции с{ должны быть голоморфны и в точке а, так
что соотношение B) вблизи точки а не может иметь места.
12 Ср. [53], стр. 189, для случая, когда X является областью голоморфности.

362 А. КАРТАН
§ 9. Различные обобщения. Нерешенные проблемы
Аддитивная проблема Кузена может быть разрешимой и на многооб-
многообразиях, не являющихся многообразиями Штейна. Например, она разрешима в
комплексном проективном пространстве Р произвольной размерности п.
Действительно, оказывается, что Н9(Р, О) = О для всех q > 0. Доказательство
этого результата совершенно отлично от доказательства теоремы В; он сле-
следует иэ теоремы Дольбо13 о том, что для любого компактного келерова мно-
многообразия X линейное (комплексное) пространство Н\Х, О) изоморфно
пространству гармонических форм типа @, q). Если же X является проек-
проективным пространством Р, то, как легко следует из мультипликативной струк-
структуры кольца когомологий пространства Р над полем комплексных чисел,
всякая не равная тождественно нулю гармоническа'я форма имеет четную
степень 2р и тип (р, р).
С другой стороны, теоремы А и В § 7 можно обобщить. Пусть У —
произвольное замкнутое множество комплексного аналитического простран-
пространства X. Понятие когерентного аналитического пучка очевидным образом
обобщается на пучки над У. Доказывается, что если У обладает фундамен-
фундаментальной системой открытых окрестностей, каждая иэ которых является
многообразием Штейна, то теоремы А и В остаются верными для У (и для
любого когерентного пучка над У). Например, положив X = Сп, У = Rn
(числовое действительное пространство, вложенное в числовое комплексное
пространство), мы без труда найдем, что У удовлетворяет сформулированным
выше требованиям. Следовательно, изложенная здесь теория имеет место
и для действительных аналитических подмногообразий пространства Rn
и когерентных действительных аналитических пучков (переходящих в ком-
комплексные аналитические пучки). Так получается, например, следующий
результат. Если V — действительное аналитическое регулярно располо-
расположенное подмногообразие пространства Rn, то любая определенная на V
действительная аналитическая функция порождается некоторой действитель-
действительной аналитической функцией, определенной на всем Rn.
Проблема. Не ограничиваясь действительными аналитическими
регулярно расположенными подмногообразиями пространства Rn, рассмотрим
вообще „действительные многообразия Штейна", т. е. действительные ана-
аналитические (абстрактные) многообразия, удовлетворяющие условиям (а),
(Ь) и (с) § 7, в которых термин „голоморфная" всюду заменен термином
„действительная аналитическая". Имеют ли место для действительных
многообразий Штейна теоремы, аналогичные теоремам Аи В?
Другая проблема. Пусть X — произвольное многообразие
Штейна (комплексное). Каким условиям должно удовлетворять открытое
множество U а X для того, чтобы оно было многообразием Штейна? Необ-
Необходимое условие состоит в том, чтобы любая предельная точка множества
U обладала в X такой открытой окрестностью V, что пересечение U f] V
является многообразием Штейна (заметим, кстати, что если открытые мно-
множества U и V являются многообразиями Штейна, то их пересечение U О V
также будет многообразием Штейна). Будет ли это необходимое условие
также и достаточным? В частном случае, когда X является однолистной
областью голоморфности в числовом пространстве Сп, ответ на этот вопрос
положителен в силу одной теоремы Ока14, доказанной, впрочем, только для
случая п = 2.
13 [40], теорема 1.
14 См. [103].

IX. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ В ЦЕЛОМ
МНОГООБРАЗИЙ ШТЕЙНА*
ЖАН-ПЬЕР СЕРР
Мы изложим здесь некоторые приложения теорем А и В, сформулиро-
сформулированных на этой конференции в докладе А. Картана [VIII]. За объяснением
используемых нами понятий (пучки, группы гомологии, многообразия
Штейна и т. д.) читатель отсылается к этому докладу (см. также [61]).
I. Голоморфные дифференциальные формы на многообразиях Штейна
1. Для любого комплексного аналитического многообразия X комплекс-
комплексной размерности п определено понятие голоморфной дифференциальной
формы степени р, т. е. дифференциальной формы
»=. 2 Л. ... iF(Z|)<fei,A..
которую в любой точке можно выразить через дифференциалы локальных
комплексных координат (z1? ... , zn), причем коэффициентами /i]L... ip служат
голоморфные функции этих координат. В алгебраической геометрии такие
формы называются „формами первого рода".
Внешний дифференциал dco голоморфной формы со также является
голоморфной формой. Обозначим через СР(Х) группу всех голоморфных диффе-
дифференциальных форм со степени р, определенных на всем многообразии X, для
которых dco=0 (формы, удовлетворяющие этому условию, называются зам-
замкнутыми), а через ВР(Х) — группу всех форм вида doc, где а — произвольная
голоморфная форма степени р — 1, определенная на всем многообразии.
Известно, что ВР(Х) С С*>(Х).
Теорема 1. Если многообразие X является многообразием Штейна,
то группа Cf(X)/B"(X) изоморфна р-мерной группе когомологий НР(Х, С)
многообразия X над полем С комплексных чисел.
(Для р = 1 этот результат известен, ср. [57] и [184].)
2. Доказательство теоремы 1. Рассмотрим над многообразием X пучок
Qp ростков голоморфных дифференциальных форм степени р. Внешнее диффе-
дифференцирование d порождает гомоморфизм пучка Qp в пучок Qp+1, ядро 22?
которого является пучком ростков замкнутых форм. В частности, пучок Q0
является пучком О ростков голоморфных функций, а пучок SS> — пучком
ростков постоянных функций. Последний пучок можно отождествить с
постоянным пучком С комплексных чисел.
Имеют место следующие две леммы.
Лемма 1. Для любого р г» 1 последовательность
i_> вр> -+ О
точна.
Лемма 2. Если многообразие X является многообразием Штейна,
то для любого i > 0 и любого р>0
Н\Х, Qp) = 0.
*Serre J.-P., Quelques problemes globaux relatifs aux varietes de Stein; в сборнике
Colloque sur les fonctions de plusieurs variables tenu a Bruxelles du 11 au 14 mars 1953,
Liege—Paris, 1953.

364 Ж.-П. СЕРР
Лемма 1 утверждает, что любая замкнутая голоморфная форма степени
р з= 1 локально является дифференциалом некоторой голоморфной формы.
Эта лемма общеизвестна. Лемма 2 является частным случаем теоремы В из
[VIII], так как пучок Qv является аналитическим пучком, локально изо-
изоморфным пучку систем голоморфных функций, состоящих из (?) функций
ti-y...ip, и потому — когерентным пучком.
Докажем теперь теорему 1. Указанная в лемме 1 точная последователь-
последовательность порождает точную последовательность
... -> н\х, о»-1) -> нг{х, др) -> Hi+1(x, op-*) -> Hi+1(x, Q*-1) ->...
групп когомологий.
Согласно лемме 2, для любого i =* 0 группа Hi+1(X, Qv-1) тривиальна.
Следовательно, для i = 0 мы получаем точную последовательность
Н\Х, Q^-1) -> Н°(Х, ??) -> Н\Х, &Р-1) -> 0.
Это означает, что группа ЯХ(Х, 2Р~г) изоморфна факторгруппе группы
Я°(Х, 2?) по образу группы Я°(Х, ?*>-*), т. е. изоморфна группе СР(Х)/ВР(Х)*.
Если же i > 0, то, согласно лемме 2, Н\Х, Q?-1) = Hi+1(X, Qv~x) = О
и, следовательно,
ЩХ, 2?) ^ Hi+1(X, 2Р~1).
Таким образом,
Ср(ХIВ»(Х) ~ Н\Х, Й^-1) ~ Н\Х, ?*>-*) м ... ~ Н*(Х, 2°) л* ЩХ, С).
Теорема 1 тем самым доказана.
3. Теорема 1 сходна с классической meo/жши де Рама**. Чтобы получить
доказательство теоремы де Рама1, достаточно в доказательстве теоремы 1 заме-
заменить пучок Qp на пучок ростков дифференциальных форм степени р, име-
имеющих дифференцируемые коэффициенты (или коэффициенты, являющиеся
распределениями в смысле Шварца).
После такой замены леммы 1 и 2 останутся справедливыми (причем
лемма 2 будет выражать существенно более элементарный факт).
Сравнивая оба доказательства, легко получить следующий результат.
Следствие 1. Для любой дифференциальной формы к на многообразии
Штейна, внешний дифференциал dx которой голоморфен, существует такая
форма Р, что разность х — d/S голоморфна.
В частности, любая замкнутая форма когомологична голоморфной
форме. Это доказывает существование замкнутой голоморфной формы,
имеющей любую наперед заданную „систему периодов".
4. Одно топологическое свойство многообразий Штейна. Применим теорему
1 при целом р > п. В этом случае группа СР(Х) тривиальна, потому что
любая голоморфная форма степени, большей п, тождественно равна нулю.
Таким образом, ЯР(Х, С) = 0.
Обозначим через пр(Х) целочисленную р-мерную группу гомологии
многообразия X. Известно, что группа Нр(Х, С) изоморфна группе гомо-
гомоморфизмов группы ЯДХ) в аддитивную группу поля С. Из тривиальности
* Действительно, для любого пучка <~f, как мы знаем, Н°(Х,ГР)=Г(Х,О:). С другой
стороны, Г(Х,@Р) =СР(Х), так что Н°(Х, <7) =СЦХ). Аналогично, группа Н0(Х,Ор~1)
совпадает с группой всех голоморфных форм степени р — 1 и, следовательно, ее образ в
группе Н°(Х, 2Р) совпадает с группой ВР(Х). — Прим. ред.
** Утверждающей, что р-мерная группа когомологий HP(X,R) любого ^диффер_енци-
руемого многообразия X над полем R действительных чисел изоморфна группе С*>(Х)/ВР(Х),
где СР(Х) — пространство всех замкнутых определенных на-Х дифференциальных форм
степени р, а ВЦХ) — его подпространство, состоящее из всех внешних дифференциаль-
дифференциальных форм степени р— 1. — Прим. ред.
1 Приводимое доказательство лишь формально отличается от доказательства
А. Вейля, которое будет опубликовано в Commentarii Mathematici Helvetici.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ МНОГООБРАЗИЙ ШТЕЙНА 365
группы HV(X, С) поэтому следует, что группа Нр(Х) периодична, т. е. что
любой ее элемент имеет конечный порядок. Тем самым доказано
Следствие 2. Группы гомологии Нр(Х) многообразия Штейна X
комплексной размерности п (и, следовательно, действительной размерности
2п) в размерностях р~> п периодичны2.
Если группа НР(Х) имеет конечное число образующих, то можно опре-
определить р-мерное число Бетти Вр многообразия X. В этом случае следствие
2 эквивалентно утверждению, что Вр = 0 для р > п.
Таким образом, мы получили чисто топологическое условие, необхо-
необходимое для того, чтобы данное многообразие было многообразием Штейна и,
тем более, — областью голоморфности конечного типа.
II. Вторая проблема Кузена
5. Пусть X — произвольное паракомпактное комплексное аналити-
аналитическое многообразие размерности п. Напомним, что дивизором многообразия
X называется любая локально конечная целочисленная линейная комбина-
комбинация аналитических (п—1)-мерных подмногообразий многообразия X.
Если все коэффициенты дивизора положительны, то дивизор называется
положительным.
Для любой мероморфной на X функции / множество всех ее нулей и
полюсов (сосчитанных с их порядками) является дивизором. Этот дивизор
обозначается через (/). Для голоморфной функции / дивизор (/) положителен.
Мы можем теперь сформулировать вторую проблему Кузена: при
каких условиях существует на многообразии X мероморфная функция /,
для которой (/) = D, где D — произвольный, заданный на многообразии
X дивизор?
6. Сформулируем эту проблему на языке теории пучков. Пусть 0. —
пучок ростков мероморфных на X функций (с законом композиции, порож-
порожденным умножением функций),^— подпучок пучка ф, состоящий из ростков
голоморфных обратимых функций (т. е. не обращающихся в нуль в некоторой
окрестности рассматриваемой точки), и, наконец, пусть Ф — факторпучок
Q\(Ji. Ясно, что пучок Ф можно рассматривать как пучок ростков дивизоров
многообразия X.
Точная последовательность пучков
порождает точную последовательность
н\х, ф -> н\х, ф) -> я* (X, гт)
групп когомологий.
Таким образом, для того чтобы дивизор Ф б #°(Х, Ф) был дивизором
некоторой мероморфной функции / е Н°(Х, .0), необходимо и достаточно,
чтобы его образ в группе H\X,(Ji) был равен нулю. Тем самым вопрос сво-
сводится к изучению этой последней группы.
Обозначим через О пучок ростков голоморфных на X функций (с зако-
законом композиции, порожденным сложениям функций) и рассмотрим отобра-
отображение ¦&, относящее каждой голоморфной функции ц> функцию е2ж1<р. Этот
2 Для п э= 2 отсюда вытекает, что группа Нгп_х (X) периодична и, следовательно
(согласно общей теории многообразий*), тривиальна. Как следствие получаем, что много-
многообразие Штейна комплексной размерности э= 2 имеет только один конец (в смысле Фрейден-
таля). Для областей голоморфности этот результат не является, впрочем, существенно
новым.
* Напомним, что любое комплексное аналитическое многообразие ориентируемо.
— Прим. ред.

366 Ж-П. СЕРР
гомоморфизм порождает гомоморфное отображение пучка О на пучок (JI
(потому что любая отличная от нуля голоморфная функция локально логариф-
логарифмируема), ядро которого является, очевидно, постоянным пучком Z целых
чисел. Другими словами, имеет место точная последовательность
О -+ Z -+ О — ¦> (Ц -+ 0.
Эта точная последовательность порождает точную последовательность
Н\Х,0 ) - Н\Х, Cf) - Н\Х, Z) -* НИХ, О)
групп когомологий.
Составной гомоморфизм Я°(Х, ф) -+ Н\Х, С?) -> Я2(Х, Z) относит лю-
любому дивизору D е Н%Х, Ф) некоторый класс когомологий h(D) e H\X, Z).
Легко видеть, что этот класс „двойственен" классу гомологии дивизора D,
рассматриваемого как . Bп — 2)-мерный цикл. Обращение в нуль класса
h(D), очевидно, необходимо для того, чтобы дивизор D был дивизором не-
некоторой мероморфной функции. Если НХ(Х, О) — 0, то это условие также
и достаточно, потому что из написанной выше точной последовательности
следует, что при Н\Х, О) = 0 гомоморфизм Н\Х, (~?) -»• Я2(Х, Z) взаимно-
взаимнооднозначен. Таким образом, доказана
Теорема 2. Если для комплексного аналитического многообразия X
группа Нг(Х, О) тривиальна, то дивизор D многообразия X тогда
и только тогда является дивизором мероморфной функции, когда соответст-
соответствующий дивизору D класс когомологий h(D) e H\X, Z) тривиален.
Условие теоремы 2 выполнено, если X является многообразием Штейна
и, в частности, областью голоморфности конечного типа (случай,
рассмотренный Ока [102] и Штейном [183]). Оно выполнено также, если X
является компактным келеровым многообразием, одномерное число Бетти
которого равно нулю (ср., например, [40]), и, следовательно, оно выполнено,
в частности, для любого алгебраического многообразия без особенностей.
7. Можно поставить вопрос: какие классы когомологий х е Я^Х, Z)
имеют вид h{D), т. е. соответствуют некоторому дивизору3? Мы ответим на
этот вопрос в случае, когда X является многообразием Штейна.
Теорема 3. Если X является многообразием Штейна, то для любого
элемента х группы Н\Х, Z) существует такой положительный дивизор
D, что h(D) = х.
(Эта теорема была доказана Штейном в следующих двух частных слу-
случаях: 1) когда X является полицилиндром [183]; 2) когда элемент х безгра-
безгранично делим в группе ЩХ, Z) [184].)
Доказательство. Согласно теореме В из [VIII], группа Я2(Х, О)
тривиальна. Поэтому из точности написанной выше последовательности
следует, что класс х является образом некоторого элемента z е НХ(Х, (Ji).
Для достаточно мелкого открытого покрытия (?/4) многообразия X
класс z обладает представителем, являющимся семейством голоморфных
обратимых функций /у-, определенных на Ut П ?/,•> а на Ut П Uj П Uk
удовлетворяющих тождеству fijfjk = fik (см. [61]). Обозначив через Мг
пучок ростков голоморфных функций над Uit рассмотрим над пересечением
иг П Uj изоморфизм Гц: JHj-+JtLi, определенный формулой <р ->¦ /^ <р. Изо-
Изоморфизмы Гу удовлетворяют соотношению транзитивности Гц ° rjk — г^,
что позволяет отождествить над Ut f] Uj пучки Mi и JKj. После отождествле-
отождествления мы получим пучок Ж, локально изоморфный пучкам^ и поэтому анали-
аналитический и когерентный. Так как этот пучок не равен тождественно нулю,
то из теоремы А статьи [VIII] следует, что он обладает по крайней мере
s Когда X является компактным алгебраическим многообразием, одна из теорем
Лефшеца утверждает, что для этого необходимо и достаточно, чтобы класс х определил в
группе Н2(Х,С) класс когомологий типа A,1)-

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ. СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ МНОГООБРАЗИЙ ШТЕЙНА 367
одним ненулевым сечением g. Это сечение определяет над С74 сечение g4 пучка
Мь т. е. некоторую голоморфную функцию. Над ?7, П t/j-эти функции свя-
связаны соотношением g{ — f^gj. Множество нулей функций g{ образует поло-
положительный дивизорD(потому что ни одна из функций g4 не равна тождественно
нулю). Соотношение gt/gj- = /у показывает, что образ дивизора D в группе
ЯХ(Х, С?) совпадает с z = (/у). Следовательно, h(D) — х, что и доказывает
теорему.
8. Из теоремы 3 следует, что для любого дивизора D существует такой
положительный дивизор ?>', что h(D) — h(D'). Следовательно, существует
такая мероморфная функция /, что (/) = D' — D (существование такой функ-
функции можно, не опираясь на теорему 3, вывести прямо из теоремы А статьи
[VIII]).
Пусть g — произвольная мероморфная функция на многообразии
X. Положим
где дивизоры D+ и ?)_ положительны.
Применяя предыдущее замечание к дивизору D = — ?)_, найдем такую
мероморфную функцию / и такой положительный дивизор ?>', что (/) = ?)' -+-
-+- ?>_. Так как (/) & 0, то функция / голоморфна. С другой стороны, (/g) =
= (/) -(- (g) = D+ + D' з= 0, так что функция /g = Л также голоморфна.
Таким образом,
На многообразии Штейна любая мероморфная функция является част-
частным двух голоморфных функций.
9. Пример. Отвечая на вопрос, поставленный Беенке и Тулленом ([6],
стр. 68), построим пример односвязной области голоморфности, для которой
вторая проблема Кузена не всегда имеет решение.
В пространстве С3 рассмотрим множество X точек (х, у, z), удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству
\х2 + у2 + z2 — 1| < 1.
Область X является однолистной областью голоморфности. Рассматривая
комплексные прямые, исходящие из начала координат, легко показать, что
область X можно стянуть на комплексную квадрику Q с уравнением4
х2 + У2 + г2 — 1 = 0.
Используя систему прямолинейных образующих квадрики Q, легко
показать, что зта квадрика стягивается в свою очередь на множество своих
действительных точек, т. е. на некоторую двумерную сферу S2. Так как сфера
S2 односвязна, то область X также односвязна, а так как H2(S2, Z) Ф 0, то
Я2(Х, Z)^0 и, следовательно, вторая проблема Кузена в области X не
всегда имеет решение. Впрочем, легко непосредственно указать в области
X дивизор, не являющийся дивизором никакой мероморфной функции.
Таким дивизором будет, например, одна из двух компонент пересечения
области X с комплексной плоскостью у= гх.
III. Когомологии с компактными носителями
10. Предыдущие результаты, а также результаты, изложенные в [61] и
[VIII], основаны на рассмотрении групп когомологии пространства X с
произвольными носителями. Но, как известно5, можно определить также
группы когомологии с компактными носителями. Мы будем зти группы
* Точнее, область X аналитически изоморфна прямому произведению квадрики Q
иа некоторый диск.
5 См., например, [60].

368 Ж.-П. СЕРР
обозначать через Щ(Х, (J-). Основной результат (принадлежащий Картану и
Шварцу) относительно этих групп состоит в следующем:
Теорема 4. Пусть X — многообразие Штейна комплексной размер-
размерности п и Qp — пучок ростков голоморфных дифференциальных форм сте-
степени р э= 0. Тогда Hq(X, Qp) = 0 для всех q, отличных от п.
11. Доказательство теоремы 4. Напомним (ср., например, [61]), что на
любом комплексном аналитическом многообразии определено понятие диффе-
дифференциальной формы типа (р, q). Так называется форма степени р -\- q, выра-
выражение которой с помощью локальных комплексных координат (zv .. ., zn)
и величин, им сопряженных, содержит р дифференциалов dzi и q дифферен-
дифференциалов dzt. Если со — форма типа (р, q), то
dm = d'o) + d"u>,
где форма d'co имеет тип (р +1, q), а форма d"co — тип (р, q + 1) (этим усло-
условием операторы d' и d" однозначно определены). Очевидно, что d' • d' — 0,
d> .d" + d" -d' = 0, d" -d" = 0.
Обозначим через Ар> q группу всех дифференциальных форм на много-
многообразии X, имеющих тип (р, q), носители которых произвольны, а коэффици-
коэффициенты бесконечно дифференцируемы. Аналогично, через Kp'fq обозначим группу
всех дифференциальных форм на многообразии X, имеющих тип (р, q), носи-
носители которых компактны, а коэффициенты являются распределениями.
Оператор d" переводит Ам в Ам +1, a КРА в Kp'q+1. Так как X является
многообразием Штейна, то Hq+1(X, Qp) = 0 для р, q э= 0 (лемма 2), что,
согласно одной теореме Дольбо [40], равносильно точности последователь-
последовательности
АР'*-?-+ Л".«+1 -Ё1%. ДР,«+2. • A)
С другой стороны, введя в Ap'q топологию на основе сходимости на компак-
компактах всех частных производных*, мы обратим, очевидно, группу Ар'q в метри-
зуемое полное локально выпуклое топологическое линейное пространство
(такие пространства называются пространствами Фреше). Двойственное
этому пространству линейное пространство естественным образом отождест-
отождествляется с пространством к^-^-ч (билинейная форма, устанавливающая
эту двойственность, имеет вид
J со1 д а>2,
х
где
юг 6 A*'q, (a>2 6 Kn~v' n~q).
Оператор d" : Ар'q ->• Ар>q+1 является линейным непрерывным оператором.
Поэтому группа d"(Ap'q), являясь, в силу точности последовательности
В этой топологии последовательность форм \mul-Z'T' гДе
сходится к нулю, если носители всех форм содержатся в некотором компактном множестве
К, причем: 1) множество К содержится в области определения некоторой системы локаль-
локальных координат; 2) для любого оператора D частного дифференцирования
все последовательности
/г)„(О \i-oo
\иан... iP,h ... з,Я-1
равномерно стремятся к нулю. — Прим. ред.

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ. СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ МНОГООБРАЗИЙ ШТЕЙНА 369
A), ядром отображения d" : Ap>q+1 ->¦ Ap'q+S, будет замкнутым подпрост-
подпространством пространства Лр> 9+1. В силу одной теоремы Банаха6, отсюда следует,
что отображение d":Ap'q -*¦ APi9+1 является гомоморфизмом. С другой сторо-
стороны, легко непосредственно проверить, что к оператору d" сопряжен (с точ-
точностью до знака) оператор d" : Кп~~Рг п~9~1 -> Кп~р' п~9-
Лемма 3. Если E-^F-^G — точная последовательность, состоящая
из локально выпуклых топологических векторных пространств Е, F,G, в которой
и является непрерывным линейным отображением, a v — гомоморфизмом,
то последовательность
Е* -Ь-+ F* — ¦> G*,
состоящая из двойственных пространств Е*, F* uG* и сопряженных отобра-
отображений tu и tv, также точна.
Доказательство. Нужно доказать, что для любого непрерыв-
непрерывного линейного функционала <р на F, для которого <р ° и = 0, существует на
G такой непрерывный линейный функционал у>, что у = у> ° v. Но, поскольку
функционал <р равен нулю на и(Е) = v~x@), он определяет посредством
перехода к факторпространству линейный функционал на v(/^ ^ G. Этот
функционал непрерывен, потому что отображение v является гомоморфиз-
гомоморфизмом, и, согласно теореме Хана—Банаха, может быть продолжен до линей-
линейного непрерывного функционала у> на G. Очевидно, что <р = y°v.
Вернемся к доказательству теоремы 4. Применяя доказанную лемму к
точной последовательности A), найдем, что последовательность
[fn—p, n—q ^ d" JC"—p,jn—q—1 ^ d" [fn—p,n—q—2
точна для всех р, j>0. Согласно цитированной выше теореме Дольбо,
точность этой последовательности равносильна равенству Я^~9~1(Х, йп~р) =
= 0. Таким образом, Н\(Х, vfls) = 0 для s з= 0 и г < п. Когда г > п, известно
([40], п. 4), что Hrj(X, Q8) = 0 для любого комплексного аналитического
многообразия размерности п. Тем самым теорема 4 полностью доказана.
12. Замечания. Изложенное доказательство фактически показывает,
что для любого комплексного аналитического пара компактного многообразия
X комплексной размерности п из равенства
Hn-q(X, Qn-p) = Hn-q+1(X, Qn~p) = 0 (p, ? з= 0)
следует, что Hq(X, Qp) = 0. В частности, теорема 4 имеет место для любого
многообразия X, группы когомологий Н%Х, Qp) которого тривиальны для
всех q > 0. Мне не известно, впрочем, существуют ли многообразия, удовле-
удовлетворяющие этому условию и не являющиеся многообразиями Штейна. Во
всяком случае, можно показать, что если X является областью пространства
Сп, то условие Н\Х, Q°) = 0 при q = 1, .. ., п— 1 достаточно для того,
ч.тобы X было областью голоморфности7 и, следовательно, многообразием
Штейна.
Отметим также, что в условиях теоремы 4 линейное пространство
#;(Х, Qp) изоморфно пространству, топологически двойственному прост-
пространству голоморфных на X дифференциальных форм степени п — р, снаб-
снабженному топологией сходимости на компактах.
6 См. [29], I, стр. 34.
7 Этот факт доказывается индукцией по п, причем можно предполагать, что л з= 2.
Так как /^(Х.О) = 0, то в X разрешима первая проблема Кузена. С другой стороны, для
любой комплексной гиперплоскости Н легко видеть (с помощью некоторой последователь-
последовательности), что пересечение X f\ H удовлетворяет тем же условиям, которым удовлетворяет
многообразие X (с п — 1 вместо л), и, следовательно, в силу предположения индукции,
пересечение Xf\H является областью голоморфности. Таким образом, X является областью,
в которой разрешима первая проблема Кузена и для которой любое плоское сечение яв-
является областью голоморфности. Отсюда, как показал А. Картан, легко следует, что X
есть область голоморфности.
24 Расслоенные пространства

370 Ж--П. cepp
13. Приложения теоремы 4: случаи q = 0 и q = 1. Мы будем
считать, что р = 0, т. е. будем рассматривать только пучок О = 0° ростков
голоморфных на X функций. В случае q = 0 теорема 4 тривиальна: она
утверждает, что любая голоморфная на X функция с компактным носителем
равна нулю, если п г» 1, Случай q = 1 дает следующий результат:
Пусть X — многообразие Штейна комплексной размерности э= 2, К —
произвольное компактное подмножество многообразия X и f — голоморфная
на Х\К функция. Тогда существует голоморфная на X функция g, совпадаю-
совпадающая с f вне некоторого компакта К' ZD К.
Пусть U — некоторое открытое множество многообразия X, содержащее
К, имеющее компактное замыкание и являющееся многообразием Штейна.
Такое открытое множество существует в силу общих свойств многообразий
Штейна. Положим F = X\U. Имеет место точная последовательность
Н°(Х, О) -> H°(F, О) -> H\(U, О).
Согласно теореме 4, группа H\(U, О) тривиальна. Следовательно, любое
сечение пучка О над Cf. является частью некоторого сечения пучка О над X.
Другими словами, любая функция, голоморфная на F (т. е. в некоторой
окрестности множества F), может быть продолжена до функции, голоморфной
на всем X. В частности, продолжая на все X часть функции / на F, мы полу-
получим искомую функцию g.
Замечание. Для случая когда X является областью голоморфности,
полученный результат хорошо известен (см. [6], теорема 18).
14. Приложения теоремы 4: случай q = 2. Пусть снова X — произ-
произвольное многообразие Штейна, U — открытое множество многообразия X,
имеющее компактное замыкание и являющееся многообразием Штейна, и
F = X\U. Пусть п — комплексная размерность многообразия X. Тогда,
Если п Ф 2, то первая проблема Кузена всегда разрешима над F.
Напишем точную последовательность
Н\Х, О) -* H\F, О) -у Щ(и, О).
Согласно теореме 4, группа Я|(С/, О) тривиальна. Так как X является
многообразием Штейна, то, следовательно, Нг(Х, О) — 0. Таким образом,
H\F, О) = 0, откуда, как мы знаем, следует разрешимость над F первой
проблемы Кузена.
Если, кроме того, H\F, Z) = 0, то соображения, примененные в п. 6,
показывают, что вторая проблема Кузена также разрешима над F. Таким
образом, для любого положительного над F дивизора D существует на F
такая голоморфная функция /, что (/) = D. Если п э= 3, то функцию / можно,
как выше было показано, продолжить на все многообразие X; при этом
дивизор D также будет продолжен. Итак:
Если п&Зц H2(F, Z) = 0, то любой дивизор области F можно продол-
продолжить до некоторого дивизора многообразия X.
Применяя этот результат к случаю, когда X является открытым шаром
пространства Сп (п э= 3), a U — концентрическим шаром меньшего радиуса,
мы получим результаты Ротштейна (Math. Ann., 1950, 1952).
IV. Некоторые нерешенные задачи
15. Мы видели в п. 4, что для многообразия Штейна комплексной раз-
размерности п группы гомологии НР(Х) для р > п являются периодическими
группами.
Если X — аффинное алгебраическое многообразие, т. е. имеет вид
V\E, где V — алгебраическое многообразие в проективном пространстве, а
Е — некоторое плоское сечение многообразия V, то группы Нр(Х) изоморфны

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ. СВЯЗАННЫЕ С ИЗУЧЕНИЕМ МНОГООБРАЗИЙ ШТЕЙНА 371
относительным группам когомологий H^-^V, E) и, следовательно, — в
силу одной теоремы Лефшеца8 — тривиальны. Всегда ли этот факт имеет
место? Другими словами, для любого ли многообразия Штейна комплексной
размерности п группы Нр(Х) при р > п тривиальны?
16. Пусть X — многообразие Штейна иС — комплексная группа Ли.
Обозначим через С(Х, G) множество всех классов главных расслоенных
пространств с базой X и с группой G. Через А(Х, G) обозначим множество
всех классов главных аналитических расслоенных пространств, а через <р —
естественное отображение множества А(Х, G) в множество С(Х, G).
Если группа G абелева, то легко показать (ср. [61]), что q> является
взаимно однозначным отображением множества А(Х, G) на множество С(Х, G).
Как доказал Френкель [168], это верно и для разрешимой группы G.
Верно ли это для любой, группы G?
17. Является ли накрытие многообразия Штейна многообразием Штейна?
Утвердительный ответ можно дать в некоторых частных случаях, напри-
например когда накрытие конечно или когда оно является накрытием Галуа,
а его группа изоморфна дискретной подгруппе группы матриц.
18. Более общий вопрос: Будет ли многообразием Штейна аналити-
аналитическое расслоенное пространство, база и слой которого являются многообра-
многообразиями Штейна?
Здесь также можно дать Утвердительный ответ в различных частных
случаях, например, когда речь идет о главном расслоенном пространстве,
структурная группа которого изоморфна замкнутой подгруппе комплексной
линейной группы, или когда слой является комплексным линейным прост-
пространством (с линейной структурной группой). В частности, пространство
касательных векторов многообразия Штейна само является многообразием
Штейна.
8 См. [86], стр. 89.
24* — 5/13

X. КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ*
ЖАН-ПЬЕР СЕРР
Введение
Известно, что когомологические методы и, в частности, теория пучков
приобретают все большее значение не только в теории функций многих
комплексных переменных (см. [VIII]), но и в классической алгебраической
геометрии (достаточно указать недавние работы Кодаиры — Спенсера о
теореме Римана— Роха). Алгебраический характер этих методов позволяет
думать, что их можно применить также и в абстрактной алгебраической
геометрии. Цель настоящей статьи — показать, что дело обстоит именно так.
Содержание отдельных глав следующее.
Гл. I посвящена общей теории пучков. Она содержит доказательства
результатов этой теории, используемых в двух других главах. Различные
алгебраические операции, которые можно производить над пучками, описаны
в § 1; здесь мы довольно точно следуем изложению Картана ([VIII], [60]).
В § 2 изучаются когерентные пучки модулей. Эти пучки являются обоб-
обобщением когерентных аналитических пучков (см. [VIII], [61]) и обладают
совершенно аналогичными свойствами. В § 3 определяются группы кого-
мологий произвольного пространства X с коэффициентами в некотором
пучке (JI. В последующих приложениях пространство X является алгебраи-
алгебраическим многообразием, снабженным топологией Зарисского. Так как эта
топология не хаусдорфова, то методы, использованные Лерэ [83] и Картаном
[61] (основанные на „разложениях единицы" или на „тонких" пучках),
в нашем случае не применимы. Поэтому мы вынуждены вернуться к процессу
Чеха и определять группы когомологий Hq(X, С?), переходя к пределу по
все более мелким открытым покрытиям. Другая трудность, связанная с
тем, что пространство X не хаУсдорфово, встречается в „точной последова-
последовательности когомологий" (см. пп. 24 и 25). В связи с этим точная последова-
последовательность когомологий построена нами только для некоторых частных
случаев, что, впрочем, вполне достаточно для приложений, которые мы
имеем в виду (см. пп. 24 и 47).
Гл. II начинается с определения алгебраических многообразий, анало-
аналогичного определению Вейля ([34], гл. V11), но включающего случай приводи-
приводимых многообразий (отметим кстати, что в противоположность Вейлю мы
не сохраняем термин „многообразие" только для неприводимых многообра-
многообразий). Мы определяем строение алгебраического многообразия заданием неко-
некоторой топологии (топологии Зарисского) и некоторого подпучка пучка ростков
функций (пучка локальных колец). Когерентный алгебраический пучок над
алгебраическим многообразием V есть просто когерентный пучок Оу-модулей,
где ov—пучок локальных колец этого многообразия. Различные примеры
этих пучков приведены в § 2. В § 3 рассматриваются аффинные многообразия.
Полученные результаты совершенно аналогичны соответствующим резуль-
результатам для многообразий Штейна (см. [VIII], [61]): для любого когерентного
алгебраического пучка (Ji над аффинным многообразием V имеем H%V, С?) — 0,
если q > 0, а модуль Н°( V, С?\ порождается модулем Cf^, какова бы ни была
точка х б V. Кроме того (§ 4), пучок Cf, полностью определяется модулем
H°(V,(Ji), рассматриваемым как модуль над координатным кольцом много-
многообразия V.
* S е г г е J: - P., Faisceaux algebriques coherents, Ann. Math., 61 A955), 197—278.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 373
Гл. III, посвященная проективным многообразиям, содержит основные
результаты этой работы. Эта глава начинается с установления некоторого
соответствия между когерентными алгебраическими пучками Cf, над проек-
проективным пространством X = Р?К) и градуированными S-модулями, удовле-
удовлетворяющими условию (TF) п. 56 (где S—алгебра многочленов K[t0, ..., У).
Это соответствие взаимно однозначно, если условиться отождествлять
S-модули, отличающиеся только в однородных составляющих достаточно
низкой степени (точные формулировки см. в пп. 57, 59, 65). Следовательно,
любой вопрос, относящийся к пучку Qi, может быть превращен в некоторый
вопрос, относящийся к соответствующему S-модулю М. В частности, в
§ 3 излагается метод, позволяющий чисто алгебраически вычислить группы
Я3(Х,Г^) по модулю М. Этим методом мы изучаем свойства групп Н\Х,СрХпУ)
при п, стремящемся к + оо (определение пучка Cfiji) см. в п. 54). Полученные
результаты изложены в пп. 65 и 66. В § 4 мы связываем группы Hq(X,Cfi)
с функторами Ext|, введенными Картаном—Эйленбергом [68]. Это позволяет
нам в § 5 изучить поведение групп Hq(X, (Jl(n)) при п, стремящемся к —°о,
и дать гомологическую характеристику многообразий „fc-кратно первого
рода". В § 6 излагаются некоторые элементарные свойства характеристики
Эйлера — Пуанкаре проективного многообразия с коэффициентами в неко-
некотором когерентном алгебраическом пучке.
В другом месте мы покажем, как применяются общие результаты этой
работы к различным частным задачам. В частности, мы распространим на
абстрактный случай „теорему двойственности" [135], а также часть резуль-
результатов Кодаиры — Спенсера, относящихся к теореме Римана—Роха. В этих
приложениях теоремы пп. 66, 75 и 76 играют основную роль. Мы покажем
также, что в случае, когда основное поле является полем комплексных чисел,
теория когерентных алгебраических пучков в основном совпадает с теорией
когерентных аналитических пучков (см. [62]).
Глава I
пучки
§ 1. Операции над пучками
1. Определение пучка. Пусть X — произвольное топологическое про-
пространство. Пучок абемвых групп над X (или просто пучок) состоит:
(a) из некоторого соответствия х -»- С?х, относящего любой точке х е X
абелеву группу С?х;
(b) из некоторой топологии в объединении CJ-, множеств CJix.
Для любого элемента / группы С?х положим я(/) = х. Отображение п
называется проекцией пучка <~? на пространство X. Подмножество произ-
произведения «CfcxQi, образованное такими парами (/, g), что n(f) = 3t(g), обозна-
обозначается через (ji + (Ji. Соответствие, определенное в (а), и топология, о
которой говорится в (Ь), должны удовлетворять следующим двум аксиомам:
(I) Для любого элемента f e Qi существует окрестность V, которую
проекция я гомеомошрфно отображает на некоторую окрестность U точки
(/)
(Другими словами, проекция п должна быть локальным гомеоморфиз-
гомеоморфизмом.)
(II) Отображение]-* —/ является непрерывным отображением пучка
Cfc. в себя; отображение (f,g)-*f + g является непрерывным отображением
множества <Ji + CJ- в пучок (JI.
Заметим еще следующее: из того, что пространство X хаусдорфово
(чего мы не предполагаем), вовсе не следует, что хаусдорфово пространство
QI, как это показывает пример пучка ростков функций (см. п. 3).

374 Ж.-П. CEPP
Пример пучка. Пусть G — произвольная абелева группа. Для
каждой точки х е X положим Cfx=G. Соответствующее множество Cf можно
отождествить с произведением ХхО. Рассматривая G как дискретную
топологическую группу, введем в множестве^обычную топологию прямого
произведения. Очевидно, что Cf удовлетворяет аксиомам пучка. Этот пучок
называется постоянным пучком, изоморфным группе G. Его часто отождеств-
отождествляют с группой G.
2. Сечения пучков. Пусть Cf— произвольный пучок над пространством
X, и пусть U — некоторое подмножество пространства X. Сечением пучка
Cf над множеством U называется непрерывное отображение s: U-*Cf,
для которого составное отображение n°s является тождественным отобра-
отображением множества U на себя. Таким образом, s(x) e Cfx для любой точки
х е U. Совокупность всех сечений пучка Cf над множеством U обозначается
через F((J,Cf). Из аксиомы (II) следует, что r(U,Cf) является абелевой груп-
группой. Если U с V, то часть над U любого сечения s пучка Cf. над множеством
V является сечением пучка Cf над множеством U. Получающееся естествен-
естественное отображением Qu:r(V,Cf)->-r(U,Cf), очевидно, гомоморфно.
Если U открыто в X, то s(U) открыто BCf. Когда V пробегает произ-
произвольную открытую базу пространства X, его образ s(U) пробегает некоторую
открытую базу пространства Cf. Это утверждение является простой пере-
перефразировкой аксиомы (I).
Укажем еще одно следствие аксиомы (I): Для любого элемента feCf^.
существует такое сечение s над некоторой окрестностью точки х, что s(x) = /.
Два сечения, обладающие этим свойством, совпадают в некоторой окрест-
окрестности точки х. Следовательно, группа Cfx является индуктивным пределом
групп Г(и, Cf) по направленному множеству всех окрестностей точки х.
3. Построение пучков. Пусть для любого открытого множества U С X
задана некоторая абелева группа Cfv, а для любой пары U (ZV открытых
множеств некоторый гомоморфизм <рЦ- Cfv -> Cfv, удовлетворяющий сле-
следующему условию транзитивности: если U а V C.W, то <Pu°<Pv = Фи-
Совокупность (Cfv, <ри) позволяет следующим образом определить неко-
некоторый пучок Cf:
(a) Пусть Cfx=lim Cfv (индуктивный предел по направленному множеству
всех открытых окрестностей точки х). Тогда для любой точки х открытого
множества U определен естественный гомоморфизм <р% : Cfv -> Cfx.
(b) Пусть t ?Cfv. Обозначим через [t, U] множество всех элементов вида
<Px(t), где х — произвольная точка множества U. Введем в Cf топологию*,
приняв множества [t, U] за элементы открытой базы. Таким образом, базой
окрестностей в Cf некоторого элемента / е Cfx является совокупность всех
множеств [t, U], где х е U и ^@ = /.
Легко проверить, что построенные в (а) и (Ь) объекты удовлетворяют
аксиомам (I) и (II), т. е. Cf действительно является пучком. Этот пучок
называется пучком, определенным системой (Cfv, <pu). Для любого элемента
t e Cfv отображение х -> ^(Оявляется сечением пучка Cf над открытым мно-
множеством U. Тем самым определен естественный гомоморфизм i: Cfv -> I\U, Cf).
Предложение 1. Отображение i:Cfu -* Д^7, <?) мономорфно1
тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие:
* Под <7- здесь подразумевается теоретико-множественное объединение (непере-
(непересекающихся) групп ^ж. •— Прим. ред.
1 Напомним, что отображение f:E-*E' называется мономорфным, если из /(ej =
= /(е2) следует, что ех = ег, эпиморфным, если /(?) = Е', и изоморфным, если оио одно-
одновременно мономорфно и эпиморфно. Мономорфное (соответственно эпиморфное, изо-
изоморфное) отображение называется мономорфизмом (соответственно эпиморфизмом, изо-
изоморфизмом).

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 375
Если для элемента t e(Jiv существует такое открытое покрытие {?/J
открытого множества U, что <рЦ<A) = 0 для всех i, то t = 0.
Если t е г^и удовлетворяет этому условию, то
?*F(Q= 9xf ° ч>Ш = 0, если х е Uh
т. е. i(/) = 0. Обратно, пусть для некоторого элемента t е Г^у имеет место
равенство i{t) = 0. Поскольку q?(t) = 0 для любой точки х е U, то, по опре-
определению индуктивного предела, существует такая открытая окрестность
Щх) точки х, что 9>$(Ж)@ = 0. Окрестности U(x) образуют открытое покрытие
множества U, удовлетворяющее требуемому условию.
Предложение 2. Пусть U — произвольное открытое множество
пространства X. Предположим, что для любого открытого множества
V a U отображение i: Cf,v -> I\V, Cfi) мономорфно. Оказывается, что
отображение i: Qiv -> I\U, Cf) тогда и только тогда эпиморфно («, следова-
следовательно, изоморфно), когда выполняется следующее условие:
Для любого открытого покрытия {C/J множества U и любой системы {/J
таких элементов titQlut, что <рЦ'пиЛк) = <pb'nui(tj), какова бы ни была
пара (г, /), существует элемент t e (JLV, для которого yf/XO — h nPa всех '•
Для доказательства необходимости этого условия заметим, что сечения
s{ = i (tt)f определяемые над множествами иг элементами tu согласованы
между собой: s4 = si над пересечением Ut П U}. Следовательно, над мно-
множеством U существует сечение s, которое на множестве Ut для любого f
совпадает с сечением st. Если отображение f.Cfcu—>r(U,CJ) зпиморфно,
то существует такой элемент / е С?.и, что t(/) = s. Ясно, что сечение над
множеством Ut, определенное элементом t[ = <pftt(f), совпадает с сечением st.
Следовательно, t(/4 — Q = 0, так что /{= t\, ибо отображение i по условию
мономорфно.
Для доказательства достаточности заметим, что для произвольного
сечения s пучка Cf. над множеством U существует такое открытое покрытие
{Ui} множества U и такие элементы tt e (J-Ut, что сечения t(/{) являются
частями сечения s на множествах L^. Таким образом, элементы 9>$П[7,('О
и <ри\пиЩ) определяют над пересечением иг П U, одно и то же сечение и,
следовательно, в силу .мономорфности отображения i совпадают. Если
t — такой элемент группы Cf,v, что <рЦ$) =/4, то i{t) совпадает с s на каждом
множестве иг и, следовательно, на всем U. Предложение доказано.
Предложение 3. Для любого пучка (JI абелевых групп над про-
пространством X пучок, определенный системой (T(U, Cf), qJj), естественно
изоморфен пучку Cf,.
Это предложение немедленно следует из свойств сечений, рассмотренных
в п. 2.
Предложение 3 показывает, что любой пучок может быть определен
подходяще выбранной системой (фи, <р%). Заметим, что различные системы
могут определять один и тот же пучок. Однако среди систем (C?.v, <рц), удов-
удовлетворяющих условиям предложений 1 и 2, существует только одна (с точ-
точностью до изоморфизма) система, определяющая данный пучок, а именно,
система (J\U, Cf), qI).
Пример. Пусть G — произвольная абелева группа. Примем за Cf,v
совокупность всех функций, определенных на множестве U, со значениями
в группе G. Отображение 9?и: Cfcv ~* Фи определим как естественное ото-
отображение ограничения области определения функции. Определенный по-
построенной системой ((Jijj, ви) пучок Cf, называется пучком ростков функций
со значениями в группе G. Легко проверить, что рассматриваемая система
(Фи* Ч>Ъ) удовлетворяет условиям предложений 1 и 2. Следовательно, сечения
пучка ф, над произвольным открытым множеством U можно отождествить
с элементами группы Cf_v.

376 Ж.-П. СЕРР
4. Склеивание пучков. Пусть Cf— произвольный пучок над простран-
пространством X, a U — некоторое подмножество пространства X. Множество
я (U) dCf, снабженное топологией, индуцированной топологией пучка Cf,
является, очевидно, пучком над множеством U. Этот пучок называется
пучком над U, индуцированным пучкомCf, и обозначается черезCf(U) (или
просто через Cf в тех случаях, когда это не может привести к недоразумению).
Покажем, что, обратно, можно определить пучок над пространством
X с помощью пучков над открытыми множествами, покрывающими простран-
пространство X.
Предложение 4. Пусть U={C/Jie/ — произвольное открытое
покрытие пространства X, и пусть для каждого индекса /е / задан некоторый
пучок Cft над множеством Ub а для любой пары (г, /)— некоторый изомор-
изоморфизм 04,- пучка CfcjiUi П иЛ на пучок Cfi(Ui П Ц), причем в1} • 6jk = Bik
для любой системы индексов (г, /, к) в каждой точке пересечения иг П Uj f\ Uk.
Тогда существуют такой пучок Cf и для каждого i e / такой изоморфизм
щ пучка Cf(Ui) на пучок Cft, что вц= щ°Щх в любой точке пересечения
иг П Uj. Пучок Cf и изоморфизмы jjj определяются этими условиями одно-
однозначно (с точностью до изоморфизма).
Единственность системы {Cf, ^} очевидна. Для доказательства ее су-
существования можно было бы определить Cf как факторпространство объеди-
объединения пространств Cfi. Мы предпочитаем воспользоваться методом, изложен-
изложенным в п. 3. Для любого открытого множества U пространства X определим
элементы группы Cfv как системы {sh}kei, где skeF(U C\Uk, (fk), причем
sk = Okj (sj) на пересечении U П Uj П Uk. Для множеств U с V отобра-
отображение wlfj определяется очевидным образом. Пучок, определенный системой
(Q^Uf Фи), является искомым пучком Cf. Если U с Uit то, согласно
условию транзитивности, отображение, сопоставляющее системе {sk} e Cfv
элемент s?r{Ub(f>), является изоморфизмом группы Cfv на группу Д С/, фг).
Получающийся таким образом изоморфизм щ{: (f(Ut) —*¦ Cft удовлет-
удовлетворяет, очевидно, требуемым условиям.
Говорят, что пучок Cf получается склеиванием пучков Cf{ с помощью
изоморфизмов 6ц.
5. Распространение и сужение пучков. Пусть X — произвольное топо-
топологическое пространство, У — его замкнутое подпространство, a Cf — неко-
некоторый пучок над пространством X. Мы скажем, что пучок Cf сконцентрирован
на Y или равен нулю вне Y, если Cfx = 0 для всех х е X \ Y.
Предложение 5. Если пучок Cf сконцентрирован на Y, то гомомор-
гомоморфизм
является изоморфизмом.
Если некоторое сечение пучка Cf над пространством X равно нулю над
подпространством Y, то оно равно нулю всюду, потому что Cfx = 0, если
х $ У. Таким образом, отображение ef мономорфно. Далее, пусть s — произ-
произвольное сечение пучка CffY) над подпространством Y. Продолжим сечение s
на все X, положив s(x) = 0 для х $ У. Очевидно, что отображение х -> s(x)
непрерывно на дополнении Х\У. С другой стороны, для любой точки х е У су-
существует такое сечение s' пучка Cf над некоторой окрестностью U точки х,
что s'(x) = s(x). Поскольку, согласно предположению, сечение s непрерывно
на пространстве У, то существует такая окрестность Уточки х, содержащаяся
в U, что s'(y)=s(y) для всех точек уе V C\Y. Так как<^у=0, если у $ У, то s'(y)=
= s(y) для любой точки у е V \ V П Y. Следовательно, сечение s совпадает
с сечением s' в окрестности V, что доказывает непрерывность сечения s в
некоторой окрестности подпространства У и, следовательно, непрерывность
всюду. Таким образом, отображение q$ эпиморфно. Тем самым предложение
доказано.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 377
Теперь мы покажем, что пучок Q-{Y) однозначно определяет пучок Qi.
Предложение 6. Пусть Y — произвольное замкнутое подпро-
подпространство пространства X и 4? — некоторый пучок над пространством Y.
Положим Cfcx = фх для х е У и (~?х =0 для x$Y. Пусть Cfc. — объединение
групп Qix. Множество С?. можно единственным образом определить как пучок
над пространством X, для которого C$Y) = -$.
Пусть U — произвольное открытое множество пространства X. Три-
Тривиально продолжая сечения пучка-^ над пересечением U f]Y на дополнение
U\UC\Y, мы получим некоторую группу Cf,v отображений множества
U в множество Qi.
Применяя к системе ((JiUf <pu), где q>Jj : Cfcv-+(Jlv — естественные отобра-
отображения ограничения, конструкцию, описанную в п. 3, мы определим мно-
множество Qi как пучок, для которого QXY)= Q. Единственность этого пучка
следует из того, что, согласно предложению 5, C?v = F(U, Cf) при любом
определении множества CJ-, как пучка.
Говорят, что пучок Cfc. получен тривиальным продолжением пучка Q с
подпространства Y. Этот пучок обозначается через 0Y или просто через
0, когда это не может привести к недоразумению.
6. Пучки колец и пучки модулей. Понятие пучка, определенное в п. 1,
было понятием пучка абелевых групп. Ясно, что аналогичные определения
можно дать для любых алгебраических образований (можно даже опреде-
определить „пучки множеств", для которых множества Qix не имеют никакого
алгебраического строения и удовлетворяют только одной аксиоме (I)). В пос-
последующем нам будут нужны главным образом пучки колец и модулей.
Пучок колец d есть пучок абелевых групп dx, хеХ, для которого каж-
каждая группа dx является аддитивной группой некоторого кольца, причем
отображение (f,g) -> fg является непрерывным отображением множества
d+d в множество d (обозначения такие же, как и в п. 1). Дополнительно
предполагается, что каждое кольцо dx обладает единицей, непрерывно
меняющейся вместе с х.
Для любого пучка колец, удовлетворяющего предыдущим условиям,
множествоI\U,ci) является кольцом с единицей, а отображение еи : AV,d)^-
-+Г{и,сА), где U сV, Является кольцевым гомоморфизмом. Обратно, если
даны кольцами с единицей и кольцевые гомоморфизмы <р% : dy -*¦ aiUt удов-
удовлетворяющие условию q>Yj°<Pv = Ч?и> то пучок d, определенный системой
(dUt фи), является пучком колец. Например, если G — кольцо с единицей,
то пучок ростков функций со значениями в G (определенный в п. 3) явля-
является пучком колец.
Пусть с&— произвольный пучок колец. Пучок QI называется пучком
d-модулей, если каждая группа (~f-.x является унитарным ^-модулем (для
определенности—левым), в следующем смысле, „непрерывно" меняющимся
вместе с х: отображение (а, /) -> а/ подмножества d+ Cf, CZd xCfc, состоя-
состоящего из таких пар (а, /), что л(а) = я(/),' в пучок CJ-, является непрерывным
отображением.
Для любого пучка с^-модулей QI группа r(U,Cf) является унитарным
модулем над кольцом F(U,d). Обратно, пусть пучок d определен системой
{djj, <ри) Указанного выше типа, а пучок Допределен системой {Q-u, yu)>
для которой каждая группа О1и является унитарным с^у-модулем, а гомо-
гомоморфизмы fJj удовлетворяют условию f%(af) — <pt(a)fKf), где aedv, f?<7v
Тогда пучок Qi является пучком ^-модулей.
Любой пучок абелевых групп можно рассматривать как пучок Z-моду-
лей, где Z — постоянный пучок, изоморфный кольцу целых чисел. Это поз-
позволяет нам в дальнейшем ограничиться изучением пучков модулей.
7. Подпучки и факторпучки. Пусть d — произвольный пучок колец,
а ^ — некоторый пучок с^-модулей. Пусть для любой точки хеХ задана

378 Ж.-П. cepp
некоторая подгруппа Qx группы Cf,x. Объединение -$ = U
подпучком пучка <Jl, если
(a) для любой точки хеХ подгруппа 0.х являетсяо1х-подмодулем у
(b) множество 0. является открытым подмножеством пространства
Условие (Ь) равносильно следующему:
(Ь') если, сечение s пучка С?. над некоторой окрестностью точки хеХ удовле-
удовлетворяет условию s(x)e0.x, то s(y)e0.y для всех точек у, достаточно близких
к точке х.
Ясно, что любой подпучок 0. является пучком с?-модулей.
Пусть 0.—произвольный подпучок пучка (JL. Для любой точки хеХ поло-
положим 7бх = С?.Х\0Х. Топология пучка QI порождает естественную топологию
объединения 76 = U 76Х. Легко видеть, что относительно этой топологии
множество 76 является пучком о?-модулей. Этот пучок называется фактор-
пучком пучка Cf. по подпучку Q и обозначается через Cf.\Q.. Можно дать иное
определение факторпучка, используя метод, изложенный в п. 3. Для любого
открытого подмножества U пространства X положим 76и = Г(и,ф)/Г(и, 0).
Для любых открытых множеств U <CV гомоморфизм qJj :F(V, Г^)->- Г(и, Cf)
индуцирует некоторое гомоморфное отображение /^Жу^-Жр. Пучок, опре-
определенный системой G6 а, (pjj), совпадает, очевидно, с факторпучком 76.
Из любого определения факторпучка 76 следует, что для каждого его
сечения s над некоторой окрестностью точки х существует такое сечение /
пучка Q1. над окрестностью точки х, что для любой точки у, достаточно
близкой к х, смежный класс элемента /(у) по подмодулю Qy совпадает с s(y).
Само собой разумеется, что „в целом" соответствующее утверждение,
вообще говоря, неверно: для некоторого открытого множества U пространства
X в точной последовательности
О -* Г(У, Я) - I\U, (J) - I\U, 76)
последний гомоморфизм Г(U, Г^)->-ДU, 76), вообще говоря, не является
эпиморфизмом (см. п. 24).
8. Гомоморфизмы. Пусть Л — произвольный пучок колец, а ^ и ^ —
два пучка о?-модулей.
Семейство ст?ж-гомоморфизмов <рх '• О^х ->• -Qx, где точка х пробегает все
пространство X, называется ai-гомоморфным отображением пучка Cf. в пучок
0 (иначе, о?-линейным гомоморфизмом или просто гомоморфизмом), если
определенное гомоморфизмами <рх отображение <р: Cfc -*¦ Q непрерывно.
Последнее условие равносильно следующему:
Для любого сечения s пучка Qi над некоторым множеством U отобра-
отображение х -> <Px(s(x)) является сечением пучка 0. над тем же множеством
U (это сечение мы будем обозначать через cp(s) или через <р о s).
Если 0 —произвольный подпучок пучка (JI, то вложение Cf, -> Q и
проекция Cf. -> Cf-IQ являются гомоморфизмами.
Предложение 7. Пусть <р — произвольный гомоморфизм пучка
CJ-, в пучок 0. Для любой точки хеХ обозначим через<ЖХядро, а через Зж —
образ отображения <рх. Тогда объединение (Ж = U <ЛХ является подпучком
пучка (JI, объединение 3= U Зж является подпучком пучка 0. и отображение
ср определяет изоморфизм факторпучка Cf-^QfL на подпучок 3.
Поскольку срх есть ст?ж-гомоморфизм, ядро <ЖХ и образ Зж являются
подмодулями пучков Qiu 0. соответственно, и отображение срх определяет
изоморфизм фактормодуля CfaJGlx на подмодуль Зж. С другой стороны,
если s—такое локальное* сечение пучка (JI, что s{x)eGlx, то 9?°s(x)=0. Поэтому
93os(y) = 0 для всех у, достаточно близких к х, так что s(y)eGty. Отсюда
следует, что 01 является подпучком пучка (JI. Пусть /—такое локальное сече-
сечение пучка -$, что /(х)еЭж. Тогда существует такое локальное сечение s пучка
* То есть сечение над некоторой окрестностью. — Прим. ред. •

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 379
Cfi, что <p°s(x) =t(x). Следовательно, 9S = t в некоторой окрестности точки
х. Это показывает, что Э является подпучком пучка 0., изоморфным фактор-
пучку C?.\Qfl.
Пучок (Ж называется ядром гомоморфизма у и обозначается через Кег (95).
Пучок Э называется образом гомоморфизма у и обозначается через Im (9?).
Пучок ЩЭ- называется коядром гомоморфизма <р и обозначается через Coker^).
Гомоморфизм <р называется мономорфизмом, если каждое отображение
<рх мономорфно, т. е. если Кег(<р) = 0. Гомоморфизм <р называется эпимор-
эпиморфизмом, если каждое отображение <рх эпиморфно, т. е. если Coker (95) = 0.
Гомоморфизм <р называется изоморфизмом, если он одновременно является
мономорфизмом и эпиморфизмом. Согласно предложению 7, изоморфизм
<р является изоморфизмом пучка CJ- на пучок Q (в смысле общей теории
строений). Для любого изоморфизма у обратное отображение <р~г также
является изоморфизмом. Все определения, относящиеся к гомоморфизмам
модулей, можно очевидным образом перенести на пучки модулей. Напри-
Например, последовательность гомоморфизмов пучка называется точной, если
образ каждого гомоморфизма совпадает с ядром следующего гомоморфизма.
Для любого гомоморфизма <р : CJ-. -> -^ точны последовательности
»¦¦#-»• Coker (y)-> 0.
Для любого гомоморфизма <р пучка Cf, в пучок Q отображение s-*<p°s
является Г(Ц, ст?}-гомоморфизмом модуляГ({], Cfi) в модуль F(U, 0). Наобо-
Наоборот, пусть пучки c/L,^,^. определены посредством систем(с4.и,<ри),{(fry, fu%
@и> Хи) методом, изложенным в п. 6, и пусть для любого открытого множества
исХзадантакой с^у-гомоморфизм<ра : С^ц-^-^ц, что%и°9'у = <Pu°vla- Тогда
индуктивный предел гомоморфизмов <ри будет, очевидно, гомоморфизмом
<р : Cf. -> -$.
9. Прямая сумма двух пучков. Пусть d— произвольный пучок колец,
а^и^ —два пучка .^-модулей. Для любой точки хеХ рассмотрим прямую
сумму CJiy. + Qx модулей Cf_x и 42*- Элементами прямой суммы (Jix + -0.х
являются пары (/, g), где/e^Hge^. Пусть Яб—объединение модулей (Jix+
+0Х для всех хеХ. Множество Тб можно рассматривать как подмножество
произведения фх0, состоящее из всех пар (/, g), для которых я(/) = 7t(g).
Следовательно, топология произведения ф,х0. индуцирует некоторую
топологию множества Тб. Легко проверить, что в этой топологии 76 явля-
является пучком о?-модулей. Этот пучок называется прямой суммой пучков CJi
и Q и обозначается через (Ji-\-0.. Любое сечение прямой суммы (?.+0. над
открытым множеством UdX имеет вид х -> (s(x), t(x)), где sat — некоторые
сечения пучков CJ-. и -^ над множеством И. Другими словами, модуль
F(U, С?. + $) изоморфен прямой сумме Г{\],Ср) + F(U, ф. Определение
прямой суммы распространяется по индукции на любое конечное число
ч^-модулей. В частности, определена прямая сумма р пучков, изоморфных
одному и тому же пучку (Ji. Эта прямая сумма обозначается через Cf?.
10. Тензорное произведение двух пучков. Пусть сА — произвольный
пучок колец, Cf.— пучок правых о^-модулей, ^ — пучок левых с^-модулей.
Для любой точки хеХ положим7бх = (J-x® Qx, где тензорное произведение
рассматривается над кольцом dx (см., например, [68], глава II, §2)*. Пусть
76 — объединение модулей 76Х.
Предложение 8. Множество 76 можно единственным образом
определить как пучок, удовлетворяющий следующему условию: для любых
двух сечений s и t пучков Cf. и Q соответственно над произвольным открытым
множеством U отображение х -> s(x) ® t(x)e76x является сечением пучка
76 над U.
* См. также примечание 4 на стр. 101. — Пром. ред.

380 Ж.-п. cepp
Так, определенный пучок 36 называется тензорным произведением
(над d) пучков Cf-, и 0 и обозначается через <Ji ?gu 0.
Если кольца dx коммутативны, то пучок 36 является пучком d-моду-
лей.
Если множество 36 определено как пучок, удовлетворяющий изложен-
изложенным условиям, и если s{ и f{ — сечения пучков Cfc. и 0 над открытым мно-
множеством С/сХ, то отображение х -+ ? $i(x) (g) ^(х) будет сечением пучка
36 над множеством U. Но любой элемент he36x можно записать в виде Л =
=2fi®gi> где/4ефх, &?¦&., следовательно, также и в виде 2si(x) <S> h(x\
где s{ и tt — некоторые сечения, определенные в окрестности U точки х.
Таким образом, любое сечение пучка 36 локально совпадает с некоторым
сечением описанного выше типа. Отсюда следует, что пучок 36 определен
однозначно.
Докажем теперь его существование. Согласно п. 6, можно считать,
что пучки d, Cfc, 0 определены некоторыми системами (dUt <рЪ), iff-v* Vu)>
@и> Хи)- Положим 36а = Cfcu (g) 0и, гДе тензорное произведение берется
над dxj. Пусть t\b: 36V -+ Ябц — гомоморфизм тензорных произведений,
определенный гомоморфизмами гр^ и хи- Так как тензорное произведение
перестановочно с операцией взятия индуктивного предела (см., например,
[68], гл. VI, упражнение 18), то
где тензорное произведение берется над кольцом dx. Следовательно, прост-
пространство пучка, определенного системой (Яби, rfc), можно отождествить
с пространством Ж. Тем самым 36 определяется как пучок, кото-
который • удовлетворяет, очевидно, изложенному выше условию. Наконец, если
кольца <ЛХ коммутативны, то кольцами можно считать также коммутатив-
коммутативными (достаточно принять за dLv кольцо Г(и, d). Поэтому произведение
76ц будет с^у-модулем и, следовательно, пучок 36 — пучком с^-модулей.
Пусть теперь <р — произвольный с^-гомоморфизм пучка QI в пучок
CfJ, а у> — произвольный с^-гомоморфизм пучка 0 в пучок 0'; тогда тензор-
тензорное произведение <рх 0 у>х будет гомоморфизмом (вообще говоря, абелевых
групп, а если кольца с?х коммутативны, то и с^-модулей). Из определения
тензорного произведения Ср.(&<А0 немедленно следует, что совокупность
отображений <рх 0 ipx является гомоморфизмом пучка Cfc. ®^0 в пучок
Cf! ®л0'. Этот гомоморфизм обозначается через <р 0 у. В том случае, когда
ip является тождественным отображением, вместо q> (g) 1 пишут просто q>.
Все обычные свойства тензорного произведения двух модулей имеют
место для тензорного произведения двух пучков модулей. Например, любая
точная последовательность
Cf. - ф -> С?" —* О
индуцирует точную последовательность
Ф ®<Л0 - Ф ®<Л0 - Ф" ®<А0 - 0.
Имеют место естественные изоморфизмы
и (предполагаем для упрощения обозначений кольца dx коммутативными)
11. Пучок ростков гомоморфизмов одного пучка в другой. Пусть d —
произвольный пучок колец, a Cfc и 0 — некоторые пучки ^-модулей.
Для любого открытого множества U пространства X обозначим через 36и
группу гомоморфизмов пучка<^(U) в пучок 0(U) (мы будем говорить „гомо-
„гомоморфизм пучка CJ, в пучок Cf. над U" вместо „гомоморфизм пучка (JL(U)b пучок

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 381
0(U)"). Операция взятия части гомоморфизма определяет некоторое отображе-
отображение (рxj : Збу+'Зба. Пучок, определенный системой (Яба,.<р ц), называется пучком
ростков гомоморфизмов пучкаГ^в пучок 0 и обозначается через Won\ji.(Cf,0).
Если кольца Лх коммутативны, то пучок Нот^Г^, 0) является пучком
<??-модулей.
Произвольный элемент группы Hom^r^, 0)х, являясь ростком гомо-
гомоморфизма пучка Cf в пучок 0 в некоторой окрестности точки х, однозначно
определяет о^-гомоморфизм модуля Cfx в модуль 0х. Таким образом, воз-
возникает естественный гомоморфизм
в: Hom^(ff, 0)х
Однако в противоположность рассматриваемым выше операциям гомо-
гомоморфизм q не является, вообще говоря, изоморфизмом. В п. 14 мы укажем
одно достаточное условие, при выполнении которого гомоморфизм q яв-
является изоморфизмом.
Произвольные гомоморфизмы <р'-С? -*(f и у. 0-+ 0! определяют
очевидным образом некоторый гомоморфизм
Honufo i): Horrid, 0) -> Нопи(ф', 0').
Любая точная последовательность
0 -» 0. -> 0.' -* #"
порождает точную последовательность
О - Honu(r? ф - Нот^^, 0.')
Аналогично, имеют место естественные изоморфизмы:
, Ф ~ 0,
+ r^2, 0) ~ Нопи(гй, 0) + Hom^^, 0).
§ 2. Когерентные пучки модулей
В этом параграфе через X обозначается произвольное топологическое
пространство, а через Л — некоторый пучок колец над пространством X.
Предполагается, что все кольца aix, где хеХ, коммутативны и обладают
единицами, непрерывно меняющимися вместе с х. До п. 16 все рассматривае-
рассматриваемые пучки предполагаются пучками о?-модулей, а все гомоморфизмы —
с^-гомоморфизмами.
12. Определения. Пусть Cf. — произвольный пучок с^-модулей и
st sp— некоторые сечения пучка Cf. над открытым множеством UdX.
Относя любой последовательности Д, ...,/„ элементов кольца dx элемент
i-V
2 fisi(x) модуля Cf.x, мы получим над открытым множеством U некоторый
гомоморфизм ц>: Л? -> Cf (точнее, ц> является гомоморфизмом пучка
Л\Щ в пучок Cf(U); см. п. 4). Ядро ^(sv ..., sp) гомоморфизма <р является
подпучком пучка Л? и называется пучком соотношений между сечениями
54. Образ гомоморфизма <р является подпучком пучка Cf, порожденным
сечениями st. Обратно, любой гомоморфизм <р : Л? -»(J-, определяет пос-
посредством формул
«i(x) = ?>x(l,0, ...,0), ..., sp(x)=<px@, ...,0, 1)
некоторые сечения slf ..., sp пучка Cf.
Определение 1. Пучок Л-модулей Cf называется пучком конеч-
конечного типа, если он локально порождается конечным числом своих сечений.

382 Ж.-П. cepp
Другими словами, пучок Qi является пучком конечного типа, если для
любой точки хеХ существует такое открытое множество U, содержащее
точку х, и конечное число таких сечений slt ..., sp пучка Cf, над (], что для
каждой точки yell любой элемент модуляГ^, является линейной комбина-
комбинацией элементов sfy) с коэффициентами в кольце dy. Согласно сказанному
выше, это условие равносильно тому, что часть пучка Qi над U изоморфна
некоторому факторпучку пучка dv.
Предложение 1. Пусть (~?•— произвольный пучок конечного типа.
Если сечения slt ... , sp пучка CJ- над некоторой окрестностью точки хеХ
порождают модуль С^х, то для любой точки у, достаточно близкой к точке
х, эти сечения порождают также и модуль Cfv.
Так как пучок (J. является пучком конечного типа, то в некоторой окрест-
окрестности точки х существуют сечения tlt ..., tq пучка <Ji, которые для любой
точки у, достаточно близкой к точке х, порождают модуль (f.y. Так как эле-
элементы Sj (x) порождают модуль Cf,x, то в некоторой окрестности точки х сущест-
существуют такие сечения Д,- пучка с?, что
3-1
Следовательно, для любой точки у, достаточно близкой к точке х,
ft)
Поэтому элементы s5(y) порождают модуль С?.у. Предложение доказано.
Определение 2. Пучок d-модулей Cfi называется когерентным,
если:
пучок CJ- имеет конечный тип,
для любых сечений slt ..., sp пучка Cf, над открытым множеством
U С X пучок соотношений между этими сечениями является пучком конеч-
конечного типа (над открытым множеством U).
Подчеркнем локальный характер определений 1 и 2.
Предложение 2. Любой когерентный пучок локально изоморфен
коядру некоторого гомоморфизма <р : dq -> cAP.
Это предложение немедленно вытекает из определений и из предшествую-
предшествующих определению 1 замечаний.
Предложение 3. Любой подпучок конечного типа произвольного
когерентного пучка является когерентным пучком.
Действительно, если пучок Cf, удовлетворяет условию (Ь) определения
2, то любой подпучок пучка (JL, очевидно, также удовлетворяет этому условию.
13. Основные свойства когерентных пучков.
Теорема 1. Если в точной последовательности О -^Г^-2-^- ^ -й-* 76-> О
два из трех пучков Cfi, Q, Яб когерентны, то третий пучок также коге-
когерентен.
Пусть когерентны пучки ^ и ЯЗ. Так как пучок -$ является по определению
пучком конечного типа, то существует гомоморфизм y:d(?-*Q, локально
являющийся эпиморфизмом. Из когерентности пучка Яб следует, что ядро
3 гомоморфизма $ ° у является пучком конечного типа (условие (Ь)). Следо-
Следовательно, пучок у C) является пучком конечного типа и потому, согласно
предложению 3, когерентным пучком. Так как а является изоморфным
отображением пучка Q- на пучок у{Э), то пучок (J-. когерентен.
Пусть когерентны пучки Qi и -$. Так как пучок ^ является пучком конеч-
конечного типа, то пучок Я6 также будет пучком конечного типа. Следовательно,
достаточно показать, что пучок 76 удовлетворяет условию (Ь) определения 2.
Пусть slt ..., sp — произвольная конечная система сечений пучка 76 в
окрестности некоторой точки х е X. Так как' наше рассмотрение имеет

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 383
чисто локальный характер, то можно считать, что s^/S^), где s[, ..., sp—
некоторые сечения пучка Q. С другой стороны, пусть пх, ..., nq — конеч-
конечная система сечений пучка Cf, в окрестности точки х, порождающая для
любой точки у, достаточно близкой к точке х, модуль Qiy. Система fv ..., fp
элементов кольца <Лу тогда и только тогда принадлежит модулю <Т> (sx, ... ,sp)y,
когда существуют такие элементы g1( ..., gq e dy, что
2 hs'i = 2iA"j) в точке У-
i-l 3-1
Пучок соотношений между сечениями s[ и ос (п3) является пучком конеч-
конечного типа, потому что пучок ¦& по условию когерентен. Следовательно, образ
этого пучка при естественной проекции пучка cAv+q на пучок cAv также
является пучком конечного типа. Однако этот образ совпадает с пучком
G>(sv ..., sp). Таким образом, пучок 70 удовлетворяет условию (Ь) определе-
определения 2 и, следовательно, когерентен.
Пусть когерентны пучки f/. и Ж. В силу локального характера наших
определений можно предполагать, что пучки ^и5К порождаются конечным
числом сечений пх, .. ., nq и sv . .., sp соответственно. Кроме того, можно
предполагать, что st = /?(S{), где s[ — некоторые сечения пучка jQ,. Очевидно,
что сечения s\ и а(п3) порождают пучок ^. Таким образом, пучок ^ является
пучком конечного типа. Пусть теперь tlt . .., tr — произвольная конечная
система сечений пучка 4} в окрестности некоторой точки х. Поскольку пучок
70 по условию когерентен, существуют сечения {) пучка dr A =? i == r,
1 === / =« s), определенные в окрестности точки х и порождающие пучок
г=т i-r
соотношений между сечениями /S(f4). Пусть и5 = ? i)t{. Так как ? f)Hh) =
= 0, то сечения и3- являются сечениями подпучка а {СЩ. Так как пучок Cfc
когерентен, то пучок соотношений между сечениями и3- порождается в окрест-
окрестности точки х конечной системой сечений. Пусть gi(l =*=/=« s, I =s fc=e t)—
эти сечения. Оказывается, что в окрестности точки х сечения ^g\J) порож-
порождают пучок <H(tx,..., ^.Действительно, если в некоторой точке у, достаточно
i-r i~r
близкой к точке х, имеет место равенство У1 Д?{= 0, где \% е dy, то ? {ф (f{) =
= 0. Следовательно, существуют такие элементы g, e о?у, что Д =
j-s i-r
— 2* &ifi' ПоэтомУ. раскрывая соотношение ? /4f{ = 0, мы получим, что
, J-1 г-1
3 -s
21 ?lui = ®' Отсюда следует, что система сечений g3 является линейной ком-
комбинацией систем сечений g?. Тем самым наше утверждение доказано. Из
него вытекает, что пучок jQ, удовлетворяет условию (Ь) и, следовательно,
когерентен. Теорема 1 полностью доказана.
Следствие. Прямая сумма конечного числа когерентных пучков
является когерентным пучком.
Теорема 2. Ядро, коядро и образ любого гомоморфизма <р когерент-
когерентного пучка Cf, в когерентный пучок Q являются когерентными пучками.
Поскольку пучок (^когерентен, образ Im(9>) являетвя пучком конеч-
конечного типа и, следовательно, согласно предложению 3, когерентным пучком.
Применяя теперь теорему 1 к точным последовательностям
О -> Ker {<p)-+(JL-+ Im (<p) -* 0, 0 -* Im (<р) -* ^ -* Coker (q>) -* 0
немедленно получаем, что пучки Кег (у) и Coker (q>) когерентны.

384 ж--п. cepp
Следствие. Пусть Cfc и jQ, — когерентные подпучки когерентного
пучка Ю. Тогда пучки (JL + 0 и Cf, П 0 когерентны.
Для пучка Cf. +0 это следует из предложения 3. Что же касается пучка
<^П 0, то этот пучок является ядром отображения Qi-^-761-Q..
14. Операции над когерентными пучками. Как мы уже видели, прямая
сумма конечного числа когерентных пучков является когерентным пучком.
Мы получим теперь аналогичные результаты относительно функторов 0 и
Нот.
Предложение 4. Тензорное произведение Qi ^^0 двух когерент-
когерентных пучков Qi и 0 является когерентным пучком.
Согласно предложению 2, пучок Qi локально изоморфен коядру некото-
некоторого гомоморфизма <р : dq -> dp; следовательно, тензорное произведение
(Ji 0^.^ локально изоморфно коядру гомоморфизма <р : dq <SU^2 -*¦ <з?р<8><а.&
Но пучки dq 0„{ ^ и оР 0U 0 соответственно изоморфны пучкам
0q и 0Р, которые когерентны (следствие из теоремы 1). Следовательно,
тензорное произведение Qi%^.0, когерентно (теорема 2).
Предложение 5. Пусть Cf, и Q — два пучка, причем пучок Cf,
когерентен. Для любой точки х е X модуль Нот^Г^, 0)х изоморфен модулю
гомоморфизмов Нот^,^, 0Х).
Точнее, определенный в п. 11 гомоморфизм
является изоморфизмом.
Пусть\р'Г?.->}$. — некоторый гомоморфизм, определенный в окрестности
точки х и тривиальный на модуле С?х. Из того, что пучок (^ имеет конечный тип,
непосредственно следует, что гомоморфизм ip тривиален и в некоторой окрест-
окрестности точки х. Таким образом, отображение q мономорфно. Покажем, что отоб-
отображение q эпиморфно, т. е., иначе говоря, покажем, что для любого о^-гомомор-
физма (р модуля С?,х в модуль ^ существует гомоморфизм у-С?->-0., опреде-
определенный в некоторой окрестности точки х, для которого ipx = <р. Пусть mv
.. ., тр — конечная система сечений пучка (J-. в окрестности точки х, по-
порождающая модули Qiy для всех точек у, достаточно близких к точке х.
Пусть f) A =s i =s р, 1 =е / =е q) — сечения пучка dfP, порождающие пучок
(Щт^, ..., тр) в окрестности точки х. Существуют такие локальные сечения
nlt ..., п_ пучка ^, что щ(х) = 9>(т;(х)). Пусть р5 = У1 /)ni( I =e / =s q. Это
t-i
— локальные сечения пучка ^, равные нулю в точке х и, следовательно, во
всех точках некоторой окрестности U точки х. Отсюда следует, что в каждой
точке у е U из соотношения ]? Дт{ (у) = 0, где /j e dy, вытекает соотно-
соотношение ^ 1\Щ{у) = 0. Следовательно, для любого элемента т = ^ к()
можно положить
Эта формула однозначно определяет элемент y>jj(m). Совокупность отображений
у>у, yet/, составляет гомоморфизм у>: (J-. -> -^, определенный над множест-'
вом U, для которого грж = q>. Тем самым предложение 5 доказано.
Предложение 6. Для когерентных пучков Qiu-Q. пучок Hom^iQi, 0)
когерентен. «
В силу локального характера этого утверждения можно считать, сог-
согласно предложению 2, что имеет место точная последовательность
Qi-+ 0.
Тогда из предыдущего предложения следует, что последовательность
О - Horn^, #)-+ Hom^(dP, ф-^Нот^с^1,0)

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 385
точна. Но пучок Hom^ (сАр, 0) изоморфен пучку 0? и, следовательно, коге-
когерентен. Аналогично когерентен и пучок Нот^оЁ*, 0). Следовательно,
согласно теореме 2, пучок Hom^f^, 0) также когерентен.
15. Когерентные пучки колец. Пучок колец <А можно рассматривать
как пучок о?-модулей. Если этот пучок о?-модулей когерентен, то говорят,
что пучок сА является когерентным пучком колец. Так как пучок сА имеет,
очевидно, конечный тип, то его когерентность означает, что пучок сА удов-
удовлетворяет условию (Ь) предложения 2. Таким образом, получаем
Определение 3. Пучок d называется когерентным пучком колец,
если пучок соотношений между конечным числом сечений пучка Л над любым
открытым множеством U является пучком конечного типа над U.
Примеры. A) Пусть X — произвольное комплексное аналитическое
многообразие. Согласно теореме Ока (см. [61], Сообщение XV или [VIII],
§ 5), пучок ростков голоморфных на многообразии X функций является
когерентным пучком колец.
B) Пусть X — произвольное алгебраическое многообразие. Пучок
локальных колец многообразия X является когерентным пучком колец (см.
п. 37, предложение 1).
Для любого когерентного пучка колец <А имеет место
Предложение 7. Пучок сА-модулей тогда и только тогда коге-
когерентен, когда он локально изоморфен коядру некоторого гомоморфизма
<р : сА*-+сАр.
Утверждение необходимости условия является не чем иным, как пред-
предложением 2. Достаточность следует из когерентности пучков <А? ucI'h из
теоремы 2.
Предложение 8. Для того чтобы подпучок пучка dP был когерен-
когерентен, необходимо и достаточно, чтобы он был пучком конечного типа.
Это — частный случай предложения 3.
Следствие. Пучок соотношений между конечным числом сечений
некоторого когерентного пучка является когерентным пучком.
Действительно, этот пучок имеет конечный тип по самому определению
когерентных пучков.
Предложение 9. Пусть С?. — произвольный когерентный пучок
сА-модулей. Для любой точки х е X обозначим через Зж идеал кольца <Ах,
образованный такими элементами а е <АХ, что af = 0 для всех / e <Jlx.
Оказывается, что идеалы Зж образуют когерентный пучок идеалов (назы-
(называемый аннулятдром пучка С^).
Действительно, идеал Зж является ядром гомоморфизма <Ах->
-> Нот^^я, С?х). Остается применить предложения 5 и 6 и теорему 2.
Справедливо и более общее утверждение: транспортер CJ-:.0 когерентного
пучка 0 в когерентном подпучке Q-, т. е. аннулятор пучка 0ffii, является
когерентным пучком идеалов.
16. Изменение колец. Понятия пучка конечного типа и когерентного
пучка связаны с определенным пучком колец сА. Поэтому, когда рассматри-
рассматриваются несколько пучков колец, нужно говорить „конечного типа над с?\
„о^-когерентный" и т. п., указывая явно кольцо сА.
Теорема 3. Пусть at — произвольный когерентный пучок колец,
3 — когерентный подпучок идеалов пучка сА и Qi — некоторый пучок
сА/З-модулей. Пучок (JL тогда и только тогда является сА/З-когерентным
пучком, когда он является сА-когерентным пучком. В частности, пучок
сА\Э- является когерентным пучком колец.
Ясно, что выражение „конечного типа над сА" равносильно выражению
„конечного типа над о?/Э". Далее, если пучок QI является о^-когерентным
пучком, to для любых сечений slt ..., sp пучка 3 над некоторым открытым
множеством U пучок соотношений между сечениями s4 с коэффициентами в
25 Расслоенные пространства

386 Ж--п. cepp
пучке d имеет конечный тип над d. Так как пучок соотношений между
сечениями s{ с коэффициентами в факторпучке d/З является образом пучка
соотношений с коэффициентами в пучке d при естественном отображении
dP -+{dj3)v, то этот пучок также имеет конечный тип. Таким образом,
пучок CJi является оё/3-когерентным пучком. В частности, оё-когерентный
пучок оЦЗ- будет оё/Э-когерентным пучком. Иначе говоря, факторпучок
dj3 является когерентным пучком колец. Обратно, любой оё/3-когерентный
пучок (JI локально изоморфен коядру некоторого гомоморфизма <р : {djSf ->
->(оё/3)р. Следовательно, так как факторпучокоё/3 является оё-когерентным
пучком, то, согласно теореме 2, пучок Cfc также будет оё-когерентным пучком.
17. Распространение и сужение когерентных пучков. Пусть Y — произ-
произвольное замкнутое подпространство пространства X. Для любого пучка jQ,
над пространством У обозначим через фх пучок над пространством X, полу-
получающийся тривиальным продолжением пучка ^ на дополнение подпрост-
подпространства Y (см. п. 5). Для любого пучка колец d над Y пучок dx будет пучком
колец над X, а для любого пучка оё-модулей QI пучок Cfx будет пучкомdx-
модулей.
Предложение 10. Пучок Cfc тогда и только тогда имеет конеч-
конечный тип над d, когда пучок Cfx имеет конечный тип над dx.
Пусть U — произвольное открытое множество пространства X и пусть
V = U f] Y. Любой гомоморфизм <р : dP -> CJ-, над множеством V определяет
гомоморфизм q>x : (dxy^-Qix над множеством U и обратно. Гомоморфизм ц>
является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда гомоморфизм ух яв-
является эпиморфизмом. Предложение 10 следует отсюда непосредственно.
Аналогично доказывается
Предложение 11. Пучок Cf, тогда и только тогдаd-когерентен,
когда сЛх-когерентен пучок Cf-X.
Отсюда для (~fr = d имеем
Следствие. Пучок d тогда и только тогда является когерентным
пучком колец, когда когерентным пучком колец является пучок dx.
§ 3. Когомологии пространства с коэффициентами в пучке
В этом параграфе через X обозначается произвольное топологическое
пространство, не подчиненное, вообще говоря, никаким аксиомам отдели-
отделимости. Под покрытием пространства X всегда понимается открытое по-
покрытие.
18. Коцепи покрытий. Пусть IX = {Ui}ieI — произвольное покрытие
пространства X. Для любой конечной последовательности s = (i0, ..., ip)
элементов множества / положим Us = [/{,...i, = Uu П • • • П Uip.
Пусть CJ- — произвольный пучок абелевых групп над пространством X.
Для любого целого числа р =& 0 назовем р-мерной коцепью покрытия U с
коэффициентами в пучке (JI произвольную функцию /, которая сопоставляет
любой (р + 1)-членной последовательности s = (i0, ..., ip) элементов мно-
множества /, некоторое сечение fs = fu...ip пучка (JI над множеством Ui,...,„•
Множество р-мерных коцепей образует абелеву группу, обозначаемую через
СРAХ, (J). Эта группа является произведением ur(Us, Qi), распространенным
на все последовательности s, состоящие из р + 1 элемента множества
/. Семейство групп СРAХ, С?), р = 0,1, ..., обозначается через С(IX, Cfc).
Будем называть р-мерные коцепи также коцепями степени р.
Коцепь / степени р называется кососимметрической, если :
(a) )ч..лг = 0, когда в последовательности i0, .. ., ip равны хотя бы
два индекса;
(b) fi<ro...i<rp — ?<г/г„...ip для любой перестановки о множества чисел
{0, . .., р} (?„. обозначает знак этой перестановки).

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 387
Множество кососимметрических р-мерных коцепей образует подгруппу
C'fQXyty) группы С?A1,С?). Семейство группC'p(U,r^) обозначается через С(П,Г?).
19. Симплициальные операции. Пусть S(I) — симплекс, имеющий мно-
множество / в качестве множества вершин. Гранью (упорядоченной) симплекса
S(I) является, по определению, некоторая последовательность s = (i0, ..., ip)
элементов множества /. Число р называется размерностью грани s. Пусть
оо
КA) 2 Кр(Г)—комплекс, определенный симплексом S(I). По определе-
р-0
нию, КрA) является свободной группой, базой которой служит множество
всех р-мерных граней симплекса S(I).
Для любой грани s симплекса S(I)будем через \s\ обозначать множество
ее вершин.
Некоторое отображение ft : Kv(I)->-Kq(I) называется симплщшльным
эндоморфизмом, если
A) ft
рф
A) ft является гоморфизмом,
B) для любой р-мерной грани s симплекса S(/)
Суммирование в этой формуле распространяется на все ^-мерные грани s',
для которых \s' | С \s\.
Пусть ft — произвольный симплициальный эндорфизм и / е С9 (U, С?) —
некоторая коцепь степени q. Для любой р-мерной грани s положим
где gf — естественный гомоморфизм r(Ui?,C?)-+r(lJStCfi). Этот гомоморфизм
определен потому, что \s'\ C|s]. Отображение s-^-('ftOs является р-мерной
коцепью; ее обозначают через 'ft/. Соответствие /-»-'ft/ определяет гомомор-
гомоморфизм
'ft:C«(U,r?)-C»(U,^),
обладающий, очевидно, следующими свойствами:
Xh + й.) = % + %, Xh о ft,) = % о %, '1=1.
Замечание. Как правило, Указание на естественный гомоморфизм
gf опускается.
20. Конмплексы коцепей. Применим изложенную конструкцию к симп-
лициальному эндоморфизму
определенному обычной формулой
jp+
9(iOf..., /р+1) = X (—')' («о. • •., ij, • • •, «р +i),
J-0
в которой знак ^ Указывает, как это принято, что соответствующий элемент
должен быть опущен.
Таким образом, мы получаем гомоморфизм (Э : Cp(tl, r^)-^-Cp+1(U, Г^),
который будем обозначать через й. Следовательно, по определению,
, iT(
3-0
где Qj — естественный гомоморфизм:
Qi- Atfi....t,...w &)
Так как ЭоЭ = 0, то d»d = 0. Таким образом, для семейства C(U, Cfc)
определен кограничный оператор. Тем самым зто семейство превращается
25* — 5/0

388 Ж.-П. cepp
в комплекс. Группы когомологий комплекса СИХ, (^) обозначаются через
Н%П(?)
?)
Предложение 1. Н°(П, (?) = ДХ, (?).
По определению, нульмерная коцепь есть система (ДL€/, гдеД—некото-
гдеД—некоторое сечение пучка С? над множеством (/4. Эта коцепь тогда и только тогда
является коциклом, когда Д — Д = 0 над пересечением (/{ П U» т. е. когда
над всем пространством X существует сечение / пучка (?, для любого i e /
совпадающее на множестве (/4 с сечением Д. Предложение 1 следует отсюда
непосредственно.
(Таким образом, группа H%U, (?) не зависит от покрытия U. Само собой
разумеется, что для остальных групп Ня (]!,(?) это, вообще говоря, неверно.)
Очевидно, что для кососимметрической коцепи / коцепь df также косо-
симметрична. Другими словами, оператор d оставляет инвариантным семейст-
семейство C'(VL,(?), которое является, следовательно, подкомплексом комплекса
C(VL,(?). Группы когомологий комплекса C'(VL,(?) обозначаются через
Н'\ПП
Предложение 2. Для любого q s& О вложение комплекса C'(VL, (?)
в комплекс СИХ, (?) определяет изоморфное отображение группы H'%VL,(?)
на группу H%Vl,Qi).
Произвольно упорядочив множество /, следующим образом определим
симплиЦиальный эндоморфизм h комплекса КA):
ft((i0, ..., iq)) = 0, если в последовательности i0> ... , iq равны хотя
бы два индекса;
ft(O"o, -.., i«)) = e<rO\rOf •••, Ц)» если все индексы tp, ..., iq различны,
а о — такая перестановка чисел {0, ..., q), что i^ < ial < ... < ivq.
Нетрудно проверить, что эндоморфизм h перестановочен с эндоморфиз-
эндоморфизмом Э. Кроме того, /z(s) = s, если dim s = 0. Отсюда следует (см. [145], гл.
VI, § 5), что существует симплициальный эндоморфизм к, повышающий
размерности на единицу, для которого 1 —Л = ЭоА: + А:оЭ. Следовательно,
переходя к комплексу C(U, (~?), получим
Но легко видеть, что отображение 'ft является проекцией комплекса (,fc)
на комплекс C'(U, Cfi). С другой стороны, согласно предыдущей формуле,
это отображение цепногомотопно тождественному отображению. Тем самым
предложение доказано. (Ср. [145], гл. VI, теорема 6.10.)
Следствие. H%U, (?) = 0, если q > dim (U).
По определению размерности dim (U) покрытия U имеем Ui,... i, = 0,
если q > dim A1) и все индексы j0, ..., i. различны. Таким образом,
C'e(U, ffi=Q, и следовательно, Н%П, (?) = H'q(VL, (?) = 0.
21. Переход к более мелкому покрытию. Покрытие U = {t/Jiei назы-
называется вписанным в покрытие 9S= {V,-},-€j, если существует такое отображе-
отображение т : /-*У, что UiC VTf для всех *'е/. Для любойg-мерной коцепи f?C(%$,(?)
положим
(*f)i....i,= QU (f ri....ri,),
где gu—естественный гомоморфизм, порожденный вложением t/i,...i, С
С Vri,... iir Отображение / -> т/ является гомоморфизмом группы С9C3, (?)
в группу C9(tt, (?). Этот гомоморфизм определен для всех q s=0 и перестано-
перестановочен с оператором d. Поэтому он определяет гомоморфизм
Предложение 3. Гомоморфизм т*: Я«(93, (?) —> Hq(U, (?) не
зависит от выбора отображения х и определяется покрытиями U и SS.
Пусть гит' два отображения множества / в множество J, для кото-
которых Ut С VTi и Ut С УтЧ.. Нужно показать, что т* = т'*.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 389
Для любой g-мерной коцепи / е Са(93, С?) положим
где gh — естественный гомоморфизм, порожденный вложением {7i,...ie_,C
Непосредственное вычисление показывает (см. [145], гл. VI, §3), что
Тем самым предложение доказано.
Таким образом, если покрытие U вписано в покрытие 33, то для любого
q s= 0 определен естественный гомоморфизм группы Яа(93, С?) в группу
H%Vl, Qi). В последующем этот гомоморфизм будет обозначаться через
aQX, S3).
22. Группы Когомологий пространства Хс коэффициентами в пучке Cfc.
Отношение „покрытие U вписано в покрытие 93" (что иногда обозначается
через U -< 93) является отношением частичной упорядоченности между пок-
покрытиями пространства X. Кроме того, это отношение направлено, потому
что для любых двух покрытий U = {C/i}i6j и 93 = {Vj}jej покрытие SB =
= {Ui П Vj}(it n?ixj вписано как в U, так и в 93.
Покрытия it и 93 называются эквивалентными, если U -< 93 и 93 ¦< 11.
Любое покрытие U эквивалентно такому покрытию U', для которого мно-
множество индексов является подмножеством множества ЩХ) всех подмножеств
множества X. Действительно, за U' можно взять множество открытых мно-
множеств пространства X, принадлежащих к семейству U. Следовательно,
можно говорить о множестве классов покрытий относительно определенного
выше отношения эквивалентности. Это множество является частично упоря-
упорядоченным направленным множеством2.
Если U -< 93, то, согласно сказанному в конце предыдущего пункта,
для любого ?>0 и для любого пучкаС? над пространством X определен
гомоморфизм <r(tt, 93): Яв(93, (JZ) -* Я«(93, С?). Ясно, что a(U, U) является
тождественным отображением и что <r(U, 93)°<r(93, SB) = о(п, SB), если
U -< 93 < SB. Отсюда следует, что для двух эквивалентных покрытий U
и 93 отображение <r(tt, 93) и а (93, U) являются взаимно обратными изомор-
изоморфизмами. Таким образом, группа H%U, Cf) зависит только от класса
покрытия U.
Определение. Индуктивный предел групп Hq(&, (?), определен-
определенный направленным множеством классов покрытий пространства X с помощью
гомоморфизмов <r(tt, 93), называется q-й группой когомологий пространства
X со значениями в пучке Cfi. и обозначается через Н%Х, (~?).
Дрзтижи словами, элементами группы НЦХ, CJ-) являются пары (U, х),
где хеЯ9(и, С?), причем две пары (U, х) и (93, у) считаются одинаковыми,
если существует такое покрытие SB, что SB<U, SB<93 и в (SB, tt) (x) =
= <r(SB, 93) (у) в Я9(ЗВ,Г^). Следовательно, для каждого покрытия U простран-
пространства X существует естественный гомоморфизм o(U): Hq(&, Cfc) -> Я9(Х, (?).'
Заметим, что группы Н%Х,(~?) можно рассматривать как индуктивный
предел групп Hq(u.,Qi) по любому конфинальному семейству покрытий U.
Таким образом, если пространство X квазикомпактно* (или квазипара-
компактно), то можно ограничиться рассмотрением лишь конечных (соот-
(соответственно локально конечных) покрытий.
2 Напротив, нельзя говорить о „множестве" всех покрытий, потому что покрытия
являются семейством с произвольным множеством индексов.
* Автор называет квазикомпактными (соответственно квазипаракомпактными)
пространства, обычно называемые компактными (соответственно паракомпактными),
резервируя термин „компактные" (соответственно „паракомпактные") для квазикомпакт-
квазикомпактных (соответственно квазипаракомпактных) хаусдорфовых пространств. — Прим. ред.

390 Ж.-П. cepp
Для q = 0, применяя предложение 1, получим
Предложение 4. Я°(Х,(?) = ДХ,С?).
23. Гомоморфизмы пучков. Пуст, q> — произвольный гомоморфизм пучка
С? в некоторый пучок ^. Для любого покрытия U пространства X отнесем
каждой коцепи /eC«(tt, Cfi) коцепь tpfzCPQl, 0), определенную формулой
(<pf)s = <p(fs)- Отображение /->?>/ является гомоморфным отображением
комплекса CQl,Cfi) в комплекс C(tt, -ф. Этот гомоморфизм перестановочен
с кограничным оператором и потому порождает гомоморфизмы <р* : Hq()X,Qi) ->¦
->- Hq(U, ф. Очевидно, что <p*ooQl, 93) = <x(U, Що<р*. Следовательно, в пре-
пределе получаются некоторые гомоморфизмы
Для q = О гомоморфизм <р* совпадает с гомоморфизмом группы ДХ, Cfi)
в группу ДХ, 0), естественным образом определенным гомоморфизмом <р.
Гомоморфизмы <р* обладают обычными формальными свойствами:
(<Р + У>)* = <Р* + V*, (9> о У>)* = 9* ° У>*> 1* = !•
Другими словами, для любого q &=0 группа Яв(Х, С?) является адди-
аддитивным ковариантным функтором пучка Qi. Если пучок (J-. является прямой
суммой пучков Qx и 0г, то группа НЦХ, (JI) будет прямой суммой групп
Н%Х, 4д и Н%Х, 4J.
Если пучок Qi является пучком оё-модулей, то любое сечение пучка
сА над всем пространством X определяет эндоморфизм пучка (^ и, следова-
следовательно, эндоморфизм каждой из групп Н\Х, Qi). Таким образом, группы
Hq(X, Cf) являются в этом случае модулями над кольцом Г(Х, о?).
24. Точная последовательность пучков. Общий случай. Пусть
О -+сА —-> (В -?—*¦ & ->¦ 0 — произвольная точная последовательность пучков.
Очевидно, что для любого покрытия U пространства X соответствующая
последовательность комплексов
О -* С (\X,dL) -2-»- С (U, <3) -2-» С (U, ё)
точна. Вообще говоря, гомоморфизм § не является эпиморфизмом. Обозна-
Обозначим через Со (й,ё) образ этого гомоморфизма. Это — подкомплекс комплекса
СA1, б), группы когомологий которого мы будем обозначать через Hg(U, ё).
Точная последовательность комплексов
О -* С (U, dL) -у С (U, S) - Со (U, б) -¦ О
порождает точную последовательность групп когомологий
... - Н* (U, (В) •* Щ (U, б) 4=.+ Я«+1 (U, оё) -^ Я" (U, S) -¦...,
в которой кограничный оператор d определяется обычным образом.
Пусть теперь U = {Ui}i?I и 93 = {V,-},-e/ — такие покрытия, что U -< 93 и
т: / ->¦ J — такое отображение, что UidVTi. Из коммутативности диаграммы
О - С(93)О?) —> С(93, <В) —
(
о •* c(u,oQ —> c(U, <з) —* c(u, e)
следует, что т отображает комплекс СО(93, ё) в комплекс C0(U, g) и, следо-
следовательно, определяет некоторые гомоморфизмы т* : tfg(93, ё) -> Hg(U,g). Ока-
Оказывается, что гомоморфизмы т* не зависят от выбора отображения т. Дейст-
Действительно, если / е Cg(93,g), то А / е Cg^ g), где А—определенный в доказа-
доказательстве предложения 3 гомоморфизм. Следовательно, имеют место естест-
естественные гомоморфизмы o(U, 93): #8(93, &) -*¦ Hyyi, g). Это позволяет определить
группу Щ(Х, й) как индуктивный предел групп Hg(tt,6) по направленному
множеству всех покрытий пространства X.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 391
Поскольку индуктивный предел точных последовательностей явля-
является точной последовательностью (см. [145], гл. VIII, теорема 5.4), то мы
получаем
Предложение 5. Последовательность
... -> Н\Х, <3) -?1* Щ(Х, ё) -±-+ Hq+\X, <?)—-> Н*+\Х, (В)-*...
точна.
(Здесь d — гомоморфизм, порожденный после перехода к пределу гомо-
гомоморфизмами d : Hg(U, ё) -> H«+1(U, dL).)
Сравним теперь группы Щ(Х, ё) и -Яв(Х, ё). Вложение C0(U,g)cC(U,g)
определяет некоторые гомоморфизмы Щ()Х, ё) ->¦ Н%I, ё). Переходя ^к
пределу, получаем гомоморфизмы
Щ(Х, ё) ¦* Н%Х, ё).
Предложение 6. Естественный гомоморфизм Щ(Х, ё) ->¦ Н\Х, Щ
является изоморфизмом для q = 0 и мономорфизмом для q = 1.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть 23 = {V,-},-ej— произвольное покрытие. Для любого
элемента f= (/}) группы С°EВ, @) существует такое покрытие U = {fJt}i€ T и
такое отображение х: I-*¦ J, что UiClVn и r/eCg(U, &).
Для любой точки хеХ выберем такой элемент tx&J, что хе VTX. Для сечения
fTX пучка ё над множеством VTX существует такая открытая окрестность
Ux точки х, содержащаяся в открытом множестве VT3t, и такое сечение Ьх
пучка <Ъ над окрестностью Ux, что f}(bx) = /г* над Ux. Семейство {Ux}x&x =
= U является покрытием пространства X, а сечения Ьх образуют нульмерную
коцепь Ь покрытия U с коэффициентами в пучке (В. Так как т/ = (Цр), то
T/eC«(U,(g).
Покажем теперь, что отображение НJ(X, ё) -»• Н\Х, ё) мономорфно. Про-
Произвольный элемент ядра этого отображения определяется таким одномерным
коциклом z=(zi#Jl)€C;(a3,g), что z=df, где / = (Д) е С°(аЗ, ё). Применяя
к коцепи / лемму 1, мы получим такое покрытие U, что т/еС§AХ, ё).
Следовательно, коцикл xz когомологичен нулю в комплексе C0(U, &).
Поэтому его образ в группе Я?(Х, б) равен нулю. Аналогично доказы-
доказывается, что отображение Hg(X, ё) -* Н\Х, ё) изоморфно.
Следствие 1. Имеет место точная последовательность
О -* Н°(Х, сА) •* Н\Х, (В) -у Н\Х, ё) -> Н\Х, с?) •* Н\Х, <В) -* Н\Х, ё).
Это — непосредственное следствие предложений 5 и 6.
Следствие 2. Если ЯХ(Х, of) = 0, то отображение Г(Х, (В) -*
-+ Г(Х, ё) эпиморфно.
25. Точная последовательность пучков. Случай паракомпактного прост*
ранства X. Напомним, что пространство X называется паракомпактным,
если оно удовлетворяет аксиоме отделимости ХаУсдорфа и если в любое
его покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Для такого
пространства предложение 6 имеет место для любого значения q. (Мне не
известно, останется ли зто утверждение справедливым для нехаусдорфовых
пространств.)
Предложение 7. Для паракомпактного пространства X естествен-
естественный гомоморфизм
для всех q s* 0 является изоморфизмом.
Это предложение немедленно вытекает из следующей леммы, аналогич-
аналогичной лемме 1.
Лемма 2. Пусть 95= {V^ej — произвольное покрытие пространства
X и пусть f = (/,-„... ,е) — некоторый элемент группы Св C3, ё). Существуют

392 Ж--П. cepp
такое покрытие tt = {{74}{€/и такое отображение т: I-+J, что UiC.VTi и
/Cg(Ug)
/g(,)
Поскольку пространство X паракомпактно, можно предполагать покры-
покрытие 93 локально конечным. Тогда существует такое покрытие {Vy,},ej, что
WjCVj. Для любой точки хеХ выберем открытую окрестность Ux, удовле-
удовлетворяющую следующим условиям:
Е V (
р
(а) Если xeVj (соответственно xeW.),то UxaVi(соответственно
• . (b) Если ихГ\Щ^0, то UxdVi.
(с) Для любой точки х е V,o...,-, существует сечение b пучка <3
над окрестностью Ux, для которого /3(й) = /j,.. -it над Ux.
Окрестности Ux, удовлетворяющие условию (с), можно найти, ввиду того
что точка х принадлежит только конечному числу множеств V,-,...,-t. Чтобы
эти окрестности удовлетворяли также условиям (а) и (Ь), достаточно их
несколько уменьшить.
Семейство- окрестностей {Ux}xzx образует некоторое покрытие U. Для
любой точки хеХ выберем такой элемент тхеу, что x&WTx. Оказывается,
что коцепь tf принадлежит группе C%U, &), т. е., другими словами, что /тЖ,.. .«с,
является образом при отображении /S некоторого сечения пучка СЗ над
пересечением UX,C\... П Uxr Если пересечение UX,C\... П Ux, пусто, то это
очевидно. Если это пересечение не пусто, то Ux,C\ ... f\Uxk^0 для 0 =s
=s к =« q. Следовательно, UXtC\WTXk^0, потому что UxiC.W^Xk. Отсюда, согла-
согласно условию (Ь), следует, что Ux, С Vzxl. Следовательно, хое Утж0...тзс,. Со-
Согласно условию (с), над окрестностью Ux, существует такое сечение пучка
% что /3(й)ж = /«,...«, над Ux, и тем более над UX,C\ ... r\UXt. Тем самым
лемма доказана.
Следствие. Для паракомпактного пространства X точна следу-
следующая последовательность
..*•+ Н%Х, (В) -^> Н%Х, й) — -> №+i(X, с?) — -> Н**\Х, (В)-*..*
(оператор d определяется как композиция изоморфизма, обратного к изо-
изоморфизму Я«(Х, б) - Н%Х, ё), и отображения Я«(Х, б) -¦ Я«+1(Х, <??).
Построенная точная последовательность называется точной последо-
последовательностью когомологий, соответствующей данной точной последователь-
последовательности пучков 0-*о?-*B->-б->-0. Эта последовательность определена
каждый раз, когда отображение Я«(Х, б) -> Н"(Х, 6) изоморфно (в п. 47 мы
увидим, что это отображение будет изоморфизмом также и в том случае,
когда пространство X является алгебраическим многообразием, а пучок d —
алгебраическим когерентным пучком).
26. Когомологий замкнутого подпространства. Пусть Cf. — произволь-
произвольный пучок над пространством X и У — некоторое подпространство прост-
пространства X. Пусть С0У) — пучок над Y, индуцированный в смысле п. 4 пуч-
пучком Cfc. Для любого покрытия U = {Ui}m пространства X пересечения
U'i = У П Ui образуют покрытие U' подпространства У. Для любого сечения
/i....i, пучка (Ji над множеством (/t,...i, его часть над пересечением
Uit... ie = У П Ui..г.. i, является сечением пучка Cf- (У). Таким образом, опре-
определен естественный гомоморфизм q:C(U,QI)-+ C(U',<Ji(Y)), перестановочный с
оператором d. Следовательно, определено отображение q* : /i^tt, Qi) ->¦
->¦ Н\П',(? (У)). Если U < S8, то и W < SS' и 6*oa(U, SS) = a(W, 93')° е*. Сле-
Следовательно, гомоморфизмы q* определяют после перехода к пределу по U
некоторые гомоморфизмы q*:H%X, Cfi) ->¦ H%Y, С0У)).
Предложение 8. Пусть подпространство У замкнуто в про-
пространстве X и пучок Qi тривиален вне подпространства У. Тогда для всех
qs>0 отображение q* : Л«(Х,Г?) ->¦ H%Y,Qi(y)) изоморфно.
Предложение вытекает из следующих замечаний:
(а) Любое покрытие SB = {W^^i подпространства У имеет вид W, где
U — некоторое покрытие пространства X.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 393
Действительно, поскольку подпространство Y замкнуто в пространстве
X, достаточно положить U4= И^и(-Х\У).
(b) Для любого покрытия УХ пространства X отображение q : C(U, (~?) -»¦
-> QU', (^ХУ)) мономорфно.
Действительно, это следует из предложения 5 п. 5, примененного к мно-
множеству 1/»,.,.гг и пучку ф.
Можно также выразить предложение 8 следующим образом. Если 4$,—
произвольный пучок над подпространством Y и если пучок 4?х получен
тривиальным продолжением пучка ^ вне подпространства Y, то Hq(Y, 0) =
= Н9(Х, 0х) для всех q s= 0. Другими словами, в террии групп кого-
мологий можно отождествить пучок ¦$ с пучком -Q,x.
§ 4. Сравнение групп когомологий для различных покрытий
В этом параграфе X — произвольное топологическое пространство,
a С? — некоторый пучок над X. Мы будем искать условия, которым должно
удовлетворять некоторое покрытие U пространства X для того, чтобы
Нп(П, (?) - Нп(Х, С?) при всех п э* 0.
27. Двойные комплексы. Двойной комплекс (см. [68], гл. IV, §4) есть
абелева дважды градуированная группа
снабженная двумя эндоморфизмами d' и d", удовлетворяющими следующим
условиям:
й' отображает группу Кр> 9 в группу Кр+1'9,
й" отображает группу Кр> 9 в группу КРг q+1,
d' о й' = 0, d' о d" + d" о d' = 0, й" о <Г=0.
Элементы группы КРзЯ называются дважды однородными элементами
двойной степени (р, q) и полной степени р + q. Эндоморфизм d — d' + d"
удовлетворяет соотношению d°d = 0. Группы когомологий двойного ком-
комплекса К относительно кограничного оператора d обозначаются через Нп(К),
где п — полная степень.
Равным образом, можно в комплексе К рассматривать кограничный
оператор d'. Этот оператор d' совместим с двойной градуировкой комплекса
К. Соответствующие группы когомологий обозначаются через НРЛ(К). Ана-
Аналогично, оператору d" соответствуют группы когомологий Hff(K).
Обозначим через К?! подгруппу группы Кьл, образованную эле-
элементами х, для которых d'(x) = 0, а через Ки — прямую сумму подгрупп
со
•)• Аналогично определим К1=^КР[. Отметим, что
*н = ЩЛК) и Кр = Н**(К).
Ки является подкомплексом комплекса К. Оператор d совпадает на
комплексе Кп с оператором d".
Предложение 1. Если для всех р > 0 и q s= 0 группы когомологий
Hfq(K) тривиальны, то вложение Кп -*¦ К определяет для всех п &= 0 изо-
изоморфное отображение группы Нп{Кп) на группу Нп{К).
(Мы воспроизведем доказательство этого предложения, изложенное в
[62], Сообщение XVI1-6.)
Заменим комплекс К факторкомплексом К/Ки. Тогда доказываемое
предложение сводится к тому, что Нп(К) = 0 для всех п>0. Пусть
Kh= ?Kp'q.

394 Ж.-П. cepp
Очевидно, что Кл(Л = 0,1,...) являются подкомплексами комплекса К.
Факторкомплексы KJKh+1 изоморфны комплексу 2 №* с пограничным опе-
оператором й'. Следовательно, для любых п и h имеем #"(KA/Kh+i) = Я{>П-"(К) =
= 0. Отсюда следует, что Hn(Kh) = Hn(Kh+1). Так как Hn(Kh) = 0, если
h > п, то, согласно принципу бесконечного спуска по Л, отсюда вытекает,
что Я"(КА)= 0 для любых п и Л. Тем самым предложение 1 доказано, потому
что комплекс Ко совпадает с комплексом К.
28. Двойной комплекс, соответствующий паре покрытий. Пусть U={l/{}i€i
и SS = { V3- }j e j — произвольные покрытия пространства X. Для произвольной
р-мерной грани s симплекса S(I) и произвольной ^-мерной грани s' симплекса
S(J) обозначим через UB пересечение всех множеств Uit i€s (см. п. 18),
через V8, — пересечение всех множеств Vjt /es', через SSg — покрытие
множества Us, образованное пересечениями { Us П Vj}j € j, и через Ug, —
покрытие множества VV, образованное пересечениями {V*C[UCkiti-
Определим теперь двойной комплекс С (U, SS; (Ji) = 2 СРЛ Ф-> %'> &)
РЛ
положив O9(U, SS; Cfc) = ПГ((У8 П V*, Ф), где произведение распростра-
распространено на все пары вида (s, s',), состоящие из произвольной р-мерной грани
s симплекса S(/) и произвольной ^-мерной грани s' симплекса S(J).
Таким образом, элементом / б Ср>3 (U, 33; G0 является произвольная
система (/S)S>) сечений пучка Г^ над множествами Us П VS', или в обозначе-
обозначениях п. 18 система
Группу Cp>a(U, SS, (^) можно также отождествить с произведением
П Cp(llg/, Г^). Так как для каждой грани s' определен кограничный оператор
й: CPQXg,, Ql) —>¦ C?+1 (Ug/, Cfc), то возникает гомоморфизм
dn: C*> «(U, 95; ф) -> Cp+1- «(И, 95; r^).
Гомоморфизм du можно также определить следующей явной формулой:
( 1) ?fc(/to. ..**.. Лр+г, Эо.-.З» )»
ft-0
где gk — естественный гомоморфизм, соответствующий вложению
U' ¦ О V' ' С^ U * ^ * О V^i
Аналогично определяется гомоморфизм d^: CP>"(U, 33; ф)-»- CPt8+1(U, 3S; i
i-g+i
¦l)h Ph (/i....ip,3...-3»...3',+»)'
Ясно, что du°du=0, du°dfs = d%°du, d%°dt8=O. Полагая теперь
d' = du, d" = (— l)pdaj, мы определим группу C(U, 33; Cf) как двойной ком-
комплекс. Группы и комплексы, обозначаемые в общем случае через Я"(К),
Н\ C(U 33 f б
р , р ()
\\К\ Щ?(К), Ki, Кп, будут для комплекса К = C(U, 33; Cf) обозначаться
через Hn(VL, SS; Cft, H*-%VL, 33; г^), Я?9AХ, 33; r^), Cj(U, 33; &) и Cn(U, 33; r^)
соответственно.
Из определения гомоморфизмов d' и d" немедленно следует
Предложение 2. Группа Щ'%и, S3; Г?) изоморфна произведению
nHp(Ug>, (~fi), распространенному на все q-мерные грани симплекса S(I).
В частности, группа
изоморфна произведению П #O(US,, (^) = C3(U;

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 395
Обозначим через i" естественный изоморфизм СC3, С?) -+ Cii(U, 33; С?).
Для любого элемента (/j,... jf) группы Ce(S3, Cp) имеем по определению
if f)t.,i....i, = Qi.(fi....i,)>
где gi, — естественный гомоморфизм, соответствующий вложению
Само собой разумеется, что аналогичный предложению 2 результат
имеет место и для групп Hff(U, 33; Cf). В частности, определено изоморфное
отображение С : C(VL, С?) -* Ci(U, S3; Г?).
29. Приложения. Сохраняя обозначения, введенные в предыдущем
пункте, имеем
Предложение 3. Пусть HP(VLS,, Cf) = 0 для всех граней s' и всех
р > 0. Тогда для любого п>0 соответствующий изоморфизму i" гомомор-
гомоморфизм ЯпC3, <79 ->- Я"AХ, S3; ф) является изоморфизмом.
Это — непосредственное следствие предложений 1 и 2.
Прежде чем сформулировать предложение 4, докажем следующую
лемму.
Лемма 1. Пусть SB = {Wi}ieI — произвольное покрытие простран-
пространства Y и Cf. — некоторый пучок над Y. Если существует такой элемент
i 6 I, что Wi = Y, то НР(Ш, С?) = 0 для всех р > 0.
Пусть 2В' — покрытие пространства У, состоящее только из одного
пространства Y. Очевидно, что SB -< SB'. Условие, наложенное на покрытие
SB, означает, что SB' < SB. Следовательно (п. 22), HP(W, С?) = НР(Ш, qft = 0,
если р > 0.
Предложением Предположим, что покрытие S3 вписано в покры-
покрытие U. Тогда для любого пз=0 отображение i": Я"(ЭЗ, CJ) -»¦ Hn(VL, S3; Cf)
изоморфно. Кроме того, гомоморфизм I'oi"-*: Hn(tt, CJ) -»¦ Я"C3, Cfc)
совпадает с указанным в п. 21 гомоморфизмом a0S, U).
Полагая в лемме 1 SS = Ч„. и Y = Va., находим, что Нр(Чг, С?) = 0
для всех р > 0. Следовательно, согласно предложению 3, отображение
для всех л з& 0 изоморфно.
Пусть т: J -+ I — такое отображение, что V) с Uxj. Для доказатель-
доказательства второй части предложения 4 нужно показать, что для любого л-мерного
коцикла / комплекса C(U, Cfc) коциклы t'(/) и i"(rf) когомологичны в
комплексе C(U, S3; Cft.
Для любого целого числа p,0=&p*sn — 1, определим коцепь gp e
6 Ср< *-»-1(U, SS; Г/.), положив
8г....»р,3,...Ь-я_1 = QpilU.. .iP r j,.. .rjn_p),
где еР — естественный гомоморфизм, соответствующий вложению
Ui,...ip П Mi...ji-i_|C ^....г, tj,...TJw_,_1.
Непосредственным вычислением проверяется, что
*•(*/), .... d"(gP) = d'(g^) d'fe") = (—1)"*'(/)
(в этом вычислении необходимо воспользоваться тем, что / является коцик-
коциклом). Следовательно,
так что коциклы i"(if) и t'(/) действительно когомологичны между собой.
Предложение 5. Пусть покрытие S3 вписано в покрытие U и
ЯаC38, С?) = 0 для всех s u всех q > 0. Тогда для любого п з& 0 гомоморфизм
<rC3, U): Я"(и, Г^) -»¦ Я"C5, Г^) является изоморфизмом.

396 Ж-п. серр
Меняя ролями в предложении 3 покрытия U и 3S, получаем, что отоб-
отображение t': /f"(SS, G0 -»¦ Hn(U, SS; (~?) изоморфно. Остается применить пред-
предложение 4. ' #
Теорема 1. Пусть X "— произвольное топологическое пространство,
U = {t/thei — произвольное покрытие пространства XuCf. — некоторый
пучок над X. Предположим, что существует семейство 33", а е А, покрытий
пространства X, удовлетворяющее следующим условиям:
(a) Для любого покрытия 2В пространства X существует такое а € А,
что 23* < SB.
(b) #9C3g, (~?) = 0 для всех а б Л, всех граней s симплекса S(I) и всех
0
q>
Тогда для любого п э= 0 отображение o(U): Нп (U, С?) -*¦ Н"(Х,
изоморфно. *.гу
Поскольку покрытия SSa произвольно мелки, мы можем предполагать,
что они вписаны в покрытие U. В этом случае, согласно предложению 5,
гомоморфизм
a(SSa, U):Hn(U, (ft -+ Я"(»а, (Щ
для любого п з* 0 является изоморфизмом. Для доказательства теоремы
остается заметить, что группа Нп(Х, С?) является индуктивным пределом
групп A/"(SSa, Cfc), ибо покрытия 3$* произвольно мелки.
Замечания. 1. По-видимому,теорема 1 остается справедливой, если
условие (Ь) заменить на следующее более слабое условие:
(b') lime Н\%%, С?) = 0 для всех граней s симплекса S(I) и всех q > 0.
2. Теорема 1 аналогична одной теореме Лерэ об ациклических покрытиях
(см. [83], а также [62], Сообщение XVI1-7).
Глава II
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КОГЕРЕНТНЫЕ}
ПУЧКИ НАД АФФИННЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ
В дальнейшем через К обозначается некоторое алгебраически замкнутое
поле произвольной характеристики.
§ 1. Алгебраические многообразия
30. Пространства, удовлетворяющие условию (А). Пусть X — некоторое
топологическое пространство. Мы говорим, что пространство X удовлетворяет
условию (А), если
(А) Любая убывающая последовательность замкнутых подмножеств
пространства X стационарна.
Другими словами, для любой последовательности FXZD F^ZD FSZD ...
замкнутых подмножеств Ft пространства X существует такое целое число
л, что Fm = Fn при т^п. Или иначе:
(А') Упорядоченное по включению множество всех замкнутых множеств
пространства X удовлетворяет условию минимальности.
Примеры. Любое пространство X, в котором замкнутыми подмно-
подмножествами являются все конечные подмножества и само пространство
X, удовлетворяет условию (А). Каждое алгебраическое многооб-
многообразие, снабженное топологией Зарисского, удовлетворяет условию (А)
(см. п. 34).
Предложение 1. (а) Любое пространство X, удовлетворяющее
условию (А), квазикомпактно.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 397
(b) Любое подпространство пространства, удовлетворяющего условию
(А), также удовлетворяет этому условию.
(c) Пространство X, являющееся объединением конечного семейства
подпространств Yh удовлетворяющих условию (А), само удовлетворяет
условию (А).
Пусть F{ — произвольная убывающая система замкнутых подмножеств
пространства X, удовлетворяющего условию (А'). Тогда существует подмно-
подмножество Fit содержащееся во всех остальных. Следовательно, если f| /*"i = 0,
то существует такое i, что F{ = 0. Таким образом, пространство X квази-
компактно.
Пусть GxZ) Gg э G3 э... — убывающая последовательность замкнутых
подмножеств некоторого подпространства У пространства X. Если простран-
пространство Х_удовлетворяет условию (А), то существует такое ^елое число п, что
Gm — Gn для всех т=&п. Следовательно, Gm = Y f] Gm = Y f] Gn = Gn.
Тем самым свойство (b) доказано.
Пусть FjDFjDFjD... — произвольная убывающая последователь-
последовательность замкнутых подмножеств пространства X, удовлетворяющего условию
(с). Поскольку подпространства yt удовлетворяют условию (А), то для
каждого числа i существует такое целое число пг, что Fm П У» = Fm П Yt
для всех m S& щ. Следовательно, Fm — Fn для всех т г= п, где п — тахпь
что и доказывает свойство (с).
Пространство X называется неприводимым, если его нельзя представить
как объединение двух своих замкнутых подмножеств, отличных от него
самого, или, что равносильно, если любая пара непустых открытых подмно-
подмножеств пространства X имеет непустое пересечение. Тогда любая конечная
система непустых открытых подмножеств пространства X также имеет
непустое пересечение. Кроме того, любое открытое подмножество простран-
пространства X неприводимо.
Предложение 2. Любое пространство X, удовлетворяющее усло-
условию (А), является объединением конечного числа своих замкнутых неприводи-
неприводимых подпространств Yt. Если для каждой пары (i, /), i Ф /, подпространство
Yt не содержится в У3-, то подпространства У4 однозначно определены
пространством X. В этом случае множества Yt называются неприводимыми
компонентами пространства X.
Существование разложения X = U ^i немедленно следует из условия
(А). Пусть Zk— другое разложение пространства X. Тогда У{ = U (Yi П Zh),
и так подпространства Yt неприводимы, то существует такой индекс к, что
Zk э У{. Меняя в этом рассуждении роли множеств Yt и Zk, получаем,
что для некоторого V имеет место включение Yv э Zk. Таким образом,
Yi<zZk С Yt,. Согласно условию, отсюда следует, что i = V и У{ = Zh.
Тем самым единственность разложения доказана.
Предложение 3. Пусть топологическое пространство X являет-
является объединением конечного числа открытых непустых подмножеств Vt.
Пространство X неприводимо тогда и только тогда, когда все подмножества
Vt неприводимы и для любой пары (i, /) пересечение V{ fl V} непусто.
Необходимость этого условия доказана выше, докажем его достаточ-
достаточность. Пусть X = Y U Z, где пространства У и Z замкнуты. Тогда Vt =
= (Vi П У) U (Vt П Z). Следовательно, каждое* подмножество Vi содер-
содержится либо в подпространстве У, либо в подпространстве Z. Пусть подпро-
подпространства У и Z отличны от X. Тогда существуют такие i и /, что Vi не содер-
содержится в У, a Vj не содержится в Z, и, следовательно, Vt С Z и V, С У. Пусть
Т = Vj \ Vt П Vy Множество Т замкнуто в V,- и Vj = T U (Z П V)
Так как V, по условию неприводимо, то либо Т = Vjt т. е. Vt П V) =
* По условию неприводимое. — Прим. ред.

398 ж.-п. серр
либо Z П V)= Vjt т. е. V3 С Z. В обоих случаях мы приходим к противо-
противоречию. Тем самым предложение доказано.
31. Локально замкнутые подмножества аффинного пространства. Пусть
г — целое неотрицательное число и X — аффинное r-мерное пространство
КТ над полем К с топологией Зарисского. Напомним, что в этой топологии
замкнутыми множествами являются множества общих нулей семейств
многочленов Рае K[XV... , Хг]. Поскольку кольцо многочленов нетерово*,
пространство X удовлетворяет условию (А) предыдущего пункта. Кроме
того, легко показать,- что пространство X неприводимо.
Для любой точки х = (х1( ... , хг) пространства X будем через Ох обоз-
обозначать локальное кольцо точки х. Напомним, что Ох определяется как под-
кольцо поля K[Xlt ..., Хг], состоящее из рациональных дробей R вида
R = P/Q} где Р и Q — многочлены и Q(x) Ф 0.
Рациональная дробь такого вида называется регулярной в точке х.
В каждой точке х еХ, в которой Q(x)^0, функция х -> P(x)/Q(x) является
непрерывной функцией со значениями в поле К (поле К предполагается
снабженным топологией Зарисского). Если поле К бесконечно, то эту функ-
функцию можно отождествить с дробью R. Кольца О„ х 6 X, образуют подпучок
О пучка С?.(Х) ростков функций на пространстве X со значениями в К (см.
п. 3). Пучок О является пучком колец.
Распространим эти определения на локально замкнутые подпростран-
подпространства X (подпространство топологического пространства X называется ло-
локально замкнутым в X, если оно является пересечением двух множеств, одно
из которых открыто в X, а другое замкнуто). Пусть Y—произвольное локально
замкнутое подпространство пространства X и CfflY) — пучок ростков функ-
функций над подпространством Y со значениями в поле К. Для любой точки х 6 Y
операция ограничения области определения функций порождает естествен-
естественный гомоморфизм
Образ кольца Ох при отображении ех, являющийся подкольцом кольца
GХУ)Х, мы будем обозначать через Ох, у. Кольца Ох> Y образуют подпучок
OY пучка CJHY). Мы будем называть этот подпучок пучком локальных колец
подпространства Y. Любое сечение пучка OY над открытым множеством V
пространства Y есть, по определению, отображение /: V -»¦ К, совпадающее
в окрестности каждой точки х 6 V с некоторой рациональной функцией,
регулярной в точке х и рассматриваемой только на множестве V. Такая
функция / называется регулярной на множестве V. Рассматривая поле К
в топологии Зарисского, немедленно замечаем, что любая регулярная на
V функция непрерывна в топологии множества V, индуцированной тополо-
топологией пространства X. Множество Д V, OY) регулярных в каждой точке
множества V функций является, очевидно, кольцом. Заметим, что для любой
функции f&F(V, OY), отличной от нуля во всех точках х б V, функция
1// также принадлежит кольцу Г(У, OY).
Можно описать кольцо Су и с другой точки зрения:
Предложение 4. Пусть U — открытое, a F — замкнутое под-
подпространства пространства X, и пусть Y = U П F- Пусть I(F) — идеал
кольца К[Хг, ... , Хг], образованный многочленами, равными нулю на мно-
множестве F. Тогда для любой точки подпространства Y ядро эпиморфизма
ех: Ох-+ Ox,y совпадает с идеалом I(F)OX кольца Ох.
Ясно, что любой элемент идеала I(F)OX принадлежит ядру отобра-
отображения ех. Наоборот, пусть R=P/Q, где Р и Q многочлены и Q(x) Ф 0, — про-
произвольный элемент этого ядра. Тогда существует такая открытая окрестность
* Кольцо называется нетеровым, если любой его идеал имеет конечный базис.
— Прим. ред.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 399
W точки х, что Р(у) = 0 для всех у е W П F. Пусть F' — дополнение мно-
множества W, замкнутое в пространстве X. Так как х $ F', то, согласно опреде-
определению топологии Зарисского, существует многочлен Рг, равный нулю на
множестве F' и отличный от нуля в точке х. Тогда многочлен РРХ принад-
принадлежит идеалу /(F). С другой стороны, элемент R можно записать в виде
R = P • PJQ • Pv откуда следует, что R e I(F)OX.
Следствие. Кольцо ОХуY изоморфно кольцу частных факторколъца
K[XV ... , Xryi(F) относительно максимального идеала, определенного
точкой х.
Для доказательства достаточно сослаться на определение кольца частных
относительно идеала (см., например, [105], гл. XV, § 5, теорема XI).
32. Регулярные отображения. Пусть U — локально замкнутое под-
подпространство аффинного пространства КТ, а V — локально замкнутое под-
подпространство аффинного пространства К8. Отображение q>: U -»¦ V назы-
называется регулярным на пространстве U (или просто регулярным), если
(a) отображение ц> непрерывно, и
(b) из того, что x&U, a t^Onx)>v следует, что f°<p?OXtU.
Пусть <Pi(x), I =s i =s s, — координаты точки <р(х). Имеет место
Предложение 5. Отображение <р: U -»¦ V регулярно на под-
подпространстве U тогда и только тогда, когда для всех i, I «s i =s s, отображе-
отображения <рг: U'-*¦ К регулярны на подпространстве U.
Так как координатные функции регулярны на подпространстве V,
то это условие необходимо. Обратно, предположим, что <рг б Г(Ц, Ov) для
всех /. Тогда для любого многочлена Р(ХЪ ..., Xs) функция P{yv ... , <ps)
принадлежит F(U, О и), так как Г(и, О и) — кольцо. Следовательно, зта
функция непрерывна на подпространстве и и поэтому множество ее нулей
замкнуто. Это доказывает непрерывность отображения (р. Далее, для любой
точки х е U каждая функция / 6 09(x)i v. допускает локально запись вида
/ = P/Q, где Р и Q многочлены и Q(^(x)) Ф 0. Следовательно, в некоторой
окрестности точки х функция f°q> имеет вид P°q>/Q°q>. Из сказанного выше
следует, что функции P°q> и Q°q> регулярны в некоторой окрестности
точки х, а так как Q°q>(x)^0, то функция f°<p регулярна в окрестности
точки х. Предложение доказано.
Композиция двух регулярных отображений является регулярным ото-
отображением. Изоморфное отображение w : U -»¦ V называется бирегулярным
изоморфизмом (или просто изоморфизмом), если отображения q> и <р~х регуляр-
регулярны. Это равносильно тому, что отображение q> является гомеоморфным
отображением пространства U на пространство V, переводящим пучок
О и в пУчок Оу.
33. Произведения. Отождествим для двух неотрицательных целых
чисел гиг' аффинное пространство КТ+Г> с произведением Кт х К1". Тополо-
Топология Зарисского пространства Кг+Г> сильнее* произведения топологий Зарис-
Зарисского пространств Кг и Кг'. (Она строго сильнее, если числа гиг' положительны.)
Отсюда следует, что для локально замкнутых подпространств U и U' соот-
соответственно пространств Кт и Кг' произведение UxU' является локально
замкнутым подпространством пространства KT+rt. Следовательно, имеет
смысл говорить о пучке 0Vxv
Пусть, с другой стороны, W — произвольное локально замкнутое под-
подпространство пространства К', t s= 0, a q>: W -* U и q>': W -*¦ U'— неко-
некоторые отображения. Из предложения 5 немедленно следует
Предложение 6. Отображение х -»¦ (q>(x), q>'(x)) тогда и только
тогда является регулярным отображением подпространства W в произ-
произведение U х U', когда отображения <р и <р' регулярны.
* Имеет больше замкнутых множеств. — Прим. ред.

400 Ж.-П. cepp
Так как все постоянные отображения регулярны, то, согласно предло-
предложению 5, любое сечение х -»¦ (х, х^), х^ б U' является регулярным отобра-
отображением пространства U в произведение UxU'.C другой стороны, проекции
Ux U' -*¦ U и UxU' -*¦ U', очевидно, регулярны.
Пусть V и V — два локально замкнутых подпространства пространств
К8 и К* соответственно, а у>: U -*¦ V и у': U' -*¦ V — некоторые отобра-
отображения. Из изложенных выше соображений и предложения 6 следует (см.
[26], гл. IV)
Предложение 7. Отображение уху': UxU' -*¦ VxV регулярно
тогда и только тогда, когда отображения у> и у>' регулярны.
Следствие. Отображение %рх%р' является бирегулярным изоморфиз-
изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображения у> и у>' являются бирегуляр-
ными изоморфизмами.
34. Определение алгебраического многообразия.
Определение. Алгебраическим многообразием над полем К (или
просто алгебраическим многообразием) называется множество X, снаб-
снабженное
1) некоторой топологией, удовлетворяющей формулируемой ниже акси-
аксиоме (V Аи);
2) некоторым подпучком Ох пучка F(X) ростков функций на X со значе-
значениями в К, удовлетворяющим формулируемой ниже аксиоме (VAi).
Заметим, что для любых множеств X и У, снабженных описанными
строениями (т. е. топологиями и подпучками Ох и <?у соответственно), опреде-
определено понятие изоморфного отображения множества X на множество Y.
Именно, отображение множества X на множество У называется изоморфным,
если оно гомеоморфно и переводит пучок Ох в пучок Оу Заметим еще, что
для любого открытого подмножества пространства X определено индуци-
индуцированное строение, состоящее из индуцированной топологии и индуцирован-
индуцированного пучка. После этих замечаний мы можем сформулировать аксиому
(VAi):
(VAi) — Существует такое конечное открытое покрытие 2S={Vi},er
пространства X, что каждое множество Vit снабженное индуцированным
строением, изоморфно некоторому локально замкнутому подпространству
Ui аффинного пространства, снабженному определенным в п. 31 пучком OU{.
Для упрощения формулировок топологическое пространство X, снаб-
снабженное подпучком Ох, Удовлетворяющим аксиоме (VAi), будем называть
псевдоалгебраическим многообразием. Изоморфизм <р{. V{ -»¦ Ui называется
картой открытого множества У{. Таким образом, условие (VAi) означает,
что пространство X можно покрыть конечным числом открытых множеств, об-
обладающих картами. Согласно предложению 1 п. 30, любое псевдоалгебраичес-
псевдоалгебраическое многообразие удовлетворяет условию (А) и, следовательно, квазиком-
пактно. Любое его подпространство также квазикомпактно.
Топология многообразия X называется „топологией Зарисского", а
пучок Ох — пучком локальных колец многообразия X.
Предложение 8. Пусть множество X является объединением
конечного числа некоторых подмножеств X,-, j € J, причем каждое мно-
множество Xj является псевдоалгебраическим многообразием. Если
(a) для любых i, j & J пересечение Xt П Х3- открыто в Х4 и
(b) для любых i, j б J строения, индуцированные многообразиями Xt
и Xj на пересечении Xt П Х^ совпадают', то на множестве X существует
одно и только одно строение псевдоалгебраического многообразия, относи-
относительно которого множества Х3- открыты в X и которое индуцирует на
множествах Х3- данные строения.
Существование и единственность пучка Ох и топологии пространства X
очевидны. Нужно только проверить, что эта топология и этот пучок удовл-е

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 401
творяют аксиоме (VAi). Но это немедленно следует из того, что число множеств
Xj конечно и каждое из них удовлетворяет аксиоме (VAi).
Следствие. Пусть X и X' — произвольные псевдоалгебраические
многообразия. Оказывается, что на произведении ХхХ' существует одно
и только одно строение псевдоалгебраического многообразия, удовлетворя-
удовлетворяющее следующему условию: для любых двух карт <р: V -> U и <р': V -*¦ U',
где V открыто в X, а V открыто в X', произведение Vх V открыто в ХхХ'
и отображение q>x<p': V xV -*¦ Ux U' является соответствующей картой.
Покроем многообразие X конечной системой открытых множеств Vit
обладающих картами <р{. Уг-+ Uit а многообразие X' — открытыми мно-
множествами V'j, обладающими картами <р\: V\ -+ [/,-. Тогда множество
ХхХ'будет объединением множеств УгхУ\. Отображение tp^-xtp'f1 пере-
переносит строение псевдоалгебраического многообразия иг х U\ на множество
V{ X V'j. Согласно следствию из предложения 7, покрытие произведения
XXX' псевдоалгебраическими многообразиями V4 x V] удовлетворяет усло-
условиям (а) и (Ь) предложения 8. Следовательно, на множестве ХхХ' может
быть определено строение псевдоалгебраического многообразия, удовле-
удовлетворяющее, очевидно, требуемым условиям.
Применяя это следствие к частному случаю X' = X, получаем, что
множество ХхХ имеет строение псевдоалгебраического многообразия и,
в частности, имеет некоторую топологию. Теперь мы в состоянии сформули-
тровать аксиому (VAn):
(VAn) Диагональ Л множества ХхХ замкнута в ХхХ.
Пусть X — псевдоалгебраическое многообразие, полученное с помощью
„склеивания" согласно предложению 8. Условие (VAn) удовлетворяется
тогда и только тогда, когда множество Xi3- = А П Xf x Х3- замкнуто в Х{ х Х^.
Но множество Х<3- состоит из элементов вида (х, х), где х е Xf П -Х3- Пред-
Предположим,, что существуют карты q>{: Х4 -»¦ Ut и положим Ту = <р\Х<р^(Х^).
Множество Тц состоит из элементов вида (<Pi(x), <р}(х)), где х пробегает пере-
пересечение Xf П Xj. Аксиома (VAn) принимает, следовательно, такой вид:
(VAn) — Дт любой пары, (i, /) множество Тц замкнуто в U{ х Ц.
Это — аксиома (А) Вейля (см. [32], стр. 167). Заметим, что Вейль рас-
рассматривал только неприводимые многообразия.
Примеры алгебраических многообразий. Любое ло-
локально замкнутое подпространство U произвольного аффинного простран-
пространства, снабженное индуцированной топологией и указанным в п. 31 пучком
Ov, является алгебраическим многообразием. Все проективные многообразия
являются алгебраическими многообразиями (см. п. 51). Любое алгебраическое
расслоенное пространство (см. [34]), база и слой которого суть алгебраические
многообразия, является алгебраическим многообразием.
Замечания. 1. Отметим аналогию между аксиомой (VAn) и аксиомой
отделимости в аналитических дифференцируемых топологических многообра-
многообразиях.
2. Простые примеры показырают, что аксиома (VAn) не является след-
следствием аксиомы (VAi).
35. Регулярные отображения, индуцированные строения, произведения.
Пусть X и У — произвольные алгебраические многообразия, а ц> — некоторое
отображение многообразия X в многообразие Y. Отображение q> называется
регулярным, если выполняются условия:
(a) отображение q> непрерывно;
(b) из того, что х б X и f е ОПх), Y, следует, что foq> e OXtX-
Как и в п. 32, показывается, что композиция двух регулярных отобра-
отображений является регулярным отображением и взаимно однозначное отобра-
отображение <р : X —> Y является изоморфизмом тогда и только тогда, когда
отображения q> и <р~г регулярны. Регулярные отображения образуют, сле-
26 Расслоенные пространства

402 Ж.-П. CEPP
довательно, семейство морфизмов строений алгебраических многообразий в
смысле [26], гл. IV.
Пусть X — некоторое алгебраическое многообразие, а X' — его локально
замкнутое подмножество. Снабдим множество X' топологией, индуцирован-
индуцированной топологией многообразия X и пучком Ох>, индуцированным пучком
Ох (напомним, что для любой точки х 6 X' кольцо OXi x. является образом
кольца Ох,х ПРИ естественном отображении С?(Х)Х -^ С?(Х')^. Так опре-
определенное строение множества X удовлетворяет аксиоме (VAi). Действительно,
для любой системы карт q>{ : Vt -*¦ Uit X = U Vt положим V\ = X' П Vu
U'i = q>i(V?). Тогда (pi: V't-*- U't будет такой системой карт, что X' = U V'i-
Аксиома (VAn) следует из того, что топология произведения X' х X' инду-
индуцирована топологией произведения ХхХ (еще проще воспользоваться
аксиомой (VA^)). Таким образом, в множество X' введено строение алгебраи-
алгебраического многообразия. Это строение называется строением, индуцированным
строением алгебраического многообразия X. Многообразие X' называют
также подмногообразием многообразия X (у Вейля [32] термин „подмного-
„подмногообразие" означает замкнутое неприводимое подмногообразие в нашем смысле).
Очевидно, что естественное отображение вложения i многообразия X' в
многообразие X регулярно. Кроме того, отображение <р некоторого алгебраи-
алгебраического многообразия Y в многообразие X' тогда и только тогда регулярно,
когда отображение i о q>: Y -»¦ X регулярно (это оправдывает термин
„индуцированное строение", см. [26], там же).
Произведение ХхХ' двух алгебраических многообразий X и X' явля-
является алгебраическим многообразием. Для доказательства достаточно пока-
показать, что выполняется аксиома (VAix), или, иначе говоря, проверить, что
для любых карт Vi: Vt -+ Ut и <р\,: V\. -+ tfv, X=U^i и X'= U Vv,
множества ТцxTvr замкнуты в произведении [/;хЦхU'vхU'r (обозначе-
(обозначения те же, что и в п. 34). Но это немедленно следует из того, что множества
Тц и Ti4, замкнуты в Ut x L/,- и l/-> x Щ соответственно.
Предложения 6 и 7 остаются справедливыми без всякого изменения для
произвольных алгебраических многообразий.
График Ф любого регулярного отображения у : X -*-Y- замкнут в
произведении ХхУ, так как он является прообразом диагонали произ-
произведения YxY при непрерывном отображении <рх\ ¦ XxY -*¦ YxY. Кроме
того, отображение у> : X -> Ф, определенное формулой у>(х) = (х:, <р (х)),
изоморфно. Действительно, отображение ip регулярно и обратное отображение
цгх, являясь частью проекции ХхУ -»¦ X, также регулярно.
36. Поле рациональных функций на неприводимом многообразии. Дока-
Докажем предварительно две топологические леммы.
Лемма 1. Для любого связного пространства X и любой абелевой группы
G естественное отображение G-+F{X,0), где Q — постоянный пучок
над пространством X, изоморфный группе G, изоморфно.
Элементами группы 1\Х, 0) являются по определению непрерывные
отображения пространства X в группу G, снабженную дискретной тополо-
топологией. Поскольку пространство X связно, то любое такое отображение по-
постоянно. Тем самым лемма доказана.
Пучок Cf, над пространством X называется локально постоянным, если
любая точка пространства X обладает такой окрестностью U, что пучок
ФЦ1) постоянен над U.
Л е м м а 2. Над неприводимым пространством любой локально постоян-
постоянный пучок постоянен.
Пусть Cji— локально постоянный пучок над неприводимым простран-
пространством X и пусть F = J\X, G0- Для доказательства леммы достаточно пока-
показать, что для любой точки х е X естественный гомоморфизм qx : F -*¦ Cfa.
является изоморфизмом. Действительно, мы получим тогда изоморфизм
между постоянным пучком, изоморфным группе F, и данным пучком CJL

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 403
Для любого элемента / е F множество точек х е X, для которых Дх) = О,
открыто (согласно общей теории пучков) и замкнуто (потому что пучок Cfc
локально постоянен). Следовательно, ввиду того, что неприводимое простран-
пространство связно, это множество либо пусто, либо совпадает со всем пространст-
пространством X. Тем самым доказано, что отображение дх мономорфно.
Пусть теперь т — произвольный элемент группы Cf.x и s — такое сечение
пучка Cfc над некоторой окрестностью U точки х, что s(x) = т. Покроем
пространство X такими непустыми открытыми множествами Uit что пучок
C?(Ui)постоянен на и{. Так как пространство X неприводимо, то V П Ut ^ 0.
Пусть х{ е U П Ui- Очевидно, что существует такое сечение Sj пучка (% над
множеством 0ь что Sjfo) — s(Xi). Так как пересечение U П Ut неприводимо
и, следовательно, связно, то сечения s и su совпадающие в точке хь совпадают
на всем U П Ut. Следовательно, сечения st и s3- совпадают на пересечении
U П Ui П Ui Ф 0 и потому совпадают на Vi П Ц- Поэтому сечения s,-
определяют некоторое сечение s пучка CJ-, над всем пространством X. Для
окончания доказательства остается заметить, что qx(s) = т.
Пусть теперь X — произвольное неприводимое алгебраическое много-
многообразие. Для любого непустого открытого множества U многообразия X
положим &?и=Г(и, Ох). Оказывается, что кольцо dv является областью
целостности. Действительно, пусть fg = 0, где / и g — некоторые регуляр-
регулярные отображения множества U в поле К. Пусть F и G — множества точек
х е U, для которых /(х) = 0 и g(x)=O соответственно. Так как отображения
/ и g непрерывны, то множества F и G замкнуты. С другой стороны, U =
= F U G. Так как множество U неприводимо, то либо F = U, либо G = U,
т. е. по крайней мере одно из отображений / и g равно нулю на U. Поле
частных области целостности dLv мы будем обозначать через ЭСи. Если Ud V,
то U плотно в 7 и, следовательно, гомоморфизм д%: of.v -*¦ dv является
мономорфизмом. Этому мономорфизму соответствует вполне определенный
изоморфизм <р% поля JCV в поле Э?и. Построенная система {JCV, <рц} определяет,
очевидно, некоторый пучок полей JC. Заметим, что поле ЭСХ естественным обра-
образом изоморфно полю частных кольца OXtX.
Предложение 9. Для любого неприводимого алгебраического много-
многообразия X построенный пучок JC является постоянным пучком.
Согласно лемме 2, это предложение достаточно доказать только для
того случая, когда многообразие X является локально замкнутым подмного-
подмногообразием некоторого аффинного пространства Кг. Пусть F — замыкание
подмногообразия X в пространстве Кг. Обозначим через I(F) идеал кольца
K[Xj, ... , Хг], состоящий из всех многочленов, равных нулю на F (или на
X, что равносильно). Так как многообразие X неприводимо, то факторкольцо
А — К[Хг, ... , Xr]/I(F) является областью целостности. Пусть К(А) —
поле частных области целостности А. Согласно следствию из предложения
4, кольцо Ох,х можно отождествить с кольцом частных кольца А относительно
максимального идеала, определенного точкой х. Следовательно, поле К(А)
изоморфно полю частных кольца Ох, х- Легко видеть, что тем самым определя-
определяется изоморфное отображение постоянного пучка, изоморфного полю К(А),
на пучок X. Предложение доказано.
Согласно лемме 1, сечения пучка X образуют поле, изоморфное полю
Хх, где х — произвольная точка многообразия X. Это поле мы будем обоз-
обозначать через К (X) и называть полем рациональных функций на многообра-
многообразии X. Оно является расширением конечного типа поля К. Его степень транс-
трансцендентности над К называется размерностью многообразия X (для приводи-
приводимого алгебраического многообразия X размерность определяется формулой
dim X = Sup dim Yi7 где Yt — неприводимые замкнутые многообразия,
объединением которых является многообразие X). Как правило, мы будем
отождествлять поле К(Х) с полем Хх. Так как Ох,х С Хг, то кольцо Ох<х опре-
определяется тем самым как подколъцо поля К(Х) (это — кольцо спёциали-
26* - 5/12 S

404 Ж.-П. GEPP
заций точки х в поле К(Х) в смысле Вейля [32], стр. 77). Для любого
открытого множества U многообразия X кольцо F(U, Ох) будет, следова-
следовательно, пересечением в К(Х) колец Ох>х, где х е U.
Для любого подмногообразия Y многообразия X имеем dim Y *s dim X.
Кроме того, если подмногообразие Y замкнуто и не содержит никакой не-
неприводимой компоненты многообразия X, то dim Y < dim X. Для подмного-
подмногообразий пространства Кг это доказано, например, в [105], гл. X, § 5, тео-
теорема II.
§ 2. Когерентные алгебраические пучки
37. Пучок локальных колец алгебраического многообразия. Вернемся
к обозначениям п. 31. Пусть X = Кт, а О — пучок локальных колец простран-
пространства X. Имеет место
Лемма 1. Пучок О является когерентным пучком колец, в смысле п. 15.
Пусть х — произвольная точка пространства X, U — некоторая окрест-
окрестность точки х, а /х, ... , /р — сечения пучка О над окрестностью U, т. е.
регулярные в каждой точке окрестности U рациональные функции. Нам
нужно показать, что пучок соотношений между сечениями flt ... , /р явля-
является пучком конечного типа над О. Уменьшая в случае необходимости окре-
окрестность U, можно считать, что функции Д имеют вид ft = Pi/Q, где Р{ и Q —
многочлены, причем многочлен Q отличен от нуля в окрестности U. Пусть
теперь у е U и пусть gi — такие элементы кольца Оу, что сумма Д^ Д равна
нулю в некоторой окрестности точки у. Можно считать, что g4 = 7?{/5, где
Ri и S — многочлены, причем многочлен 5 отличен от нуля в точке у. Соотно-
Соотношение „? gift = 0 в некоторой окрестности точки у" равносильно соотно-
соотношению „J? Ri Pt = 0 в некоторой окрестности точки у", которое имеет место
^ i
il P
тогда и только тогда, когда ]? Ri Рг = 0. Отсюда немедленно вытекает, что
пучок соотношений между сечениями /{ имеет конечный тип, потому что
модуль соотношений между многочленами Рг является модулем конечного
типа (так как кольцо многочленов нетерово).
Пусть теперь V — произвольное замкнутое подмногообразие много-
многообразия Х = Кг. Для любой точки хеХ рассмотрим идеал3X(V) кольца
Ох, образованный элементами / е Ох, равными нулю в любой точке много-
многообразия V, принадлежащей некоторой окрестности точки х (следовательно,
S^V) = Ох, если x$V). Очевидно, что идеалы 3X(V) образуют некоторый
подпучок 3(V) пучка О.
Лемма 2. Пучок 3(V) является когерентным пучком О-модулей.
Пусть /(V) — идеал кольца K[Xlt ... , Хг], состоящий из многочленов,
равных нулю на подмногообразии .V. Согласно теореме 4 п. 31, для любой
точки хе'У идеал 3J[V) совпадает с идеалом I(V). Тривиальным образом
это верно и для точек х$ V. Идеал I(V) порожден конечным числом элемен-
элементов, поэтому пучок Э( V) имеет конечный тип, и, следовательно, согласно лем-
лемме 1 и предложению 8 п. 15, этот пучок когерентен.
Обобщим теперь лемму 1 на произвольные алгебраические многообразия.
Предложение 1. Для любого алгебраического многообразия V пучок
Ov является когерентным пучком колец над многообразием V.
Так как это утверждение имеет локальный характер, то можно считать
многообразие V замкнутым подмногообразием аффинного пространства КТ.
Тогда, согласно лемме 2, пучок 3(V) будет когерентным пучком идеалов.
Следовательно, согласно теореме 3 п. 16, пучок E/3(V) будет когерентным
пучком колец над многообразием X. Этот пучок колец тривиален вне много-

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 405
образия V, а его часть над многообразием V совпадает с пучком Ov(n. 31).
Следовательно, пучок Ov является когерентным пучком колец над много-
многообразием V (п. 17, следствие из предложения 11).
Замечание. Ясно, что предложение 1 можно обобщить и на случай
ооизвольного псевдоалгебраического многообразия.
38. Когерентные алгебраические пучки. Пусть V — произвольное алгеб-
алгебраическое многообразие, a Ov — его пучок локальных колец. Алгебраиче-
Алгебраическим пучком над многообразием V мы будем называть любой пучок Оу-
модулеЙ в смысле п. 6. Отображение <р: Cf -*¦ Q алгебраических пучков
Cf и ^ назовем алгебраическим гомоморфизмом (или просто гомоморфизмом),
если оно является (9у-гомоморфизмом. Напомним, что это условие равносильно
тому, что каждое отображение <px-Cfx-+ &х б^у-линейно и что отображение
<Р переводит каждое локальное сечение пучка Cf в некоторое локальное
сечение пучка Q.
Для любого алгебраического пучка Cf группы когомологий Hg(V, Cf)
являются модулями над кольцом Д V, 6>у)(ср. п. 23). В частности, эти группы
являются векторными пространствами над полем К.
Алгебраический пучок Cf над многообразием V называется когерентным,
если он является когерентным пучком 6>у-модулей в смысле п. 12. Согласно
предложению 7 п. 15 и предложению 1 п. 37, алгебраический пучок тогда и
только тогда когерентен, когда он локально изоморфен коядру некоторого
алгебраического гомоморфизма <р : Cfy -*¦ О%.
Укажем несколько примеров алгебраических когерентных пучков
(другие примеры см., например, в пп. 48, 57).
39. Пучок идеалов, соответствующий замкнутому подмногообразию.
Пусть W — произвольное замкнутое подмногообразие некоторого алгебраи-
алгебраического многообразия V. Для любой точки х е V обозначим через 3JW)
идеал кольца OXtY, состоящий из функций /, равных нулю в любой точке
подмногообразия W, принадлежащей некоторой окрестности точки х. Пусть
3(W) — подпучок пучка OY, образованный идеалами S^IV). Имеет место
следующее обобщение леммы 2:
Предложение 2. Пучок 3(W) является алгебраическим когерент-
когерентным пучком.
Поскольку это утверждение имеет локальный характер, можно пред-
предполагать, что многообразие V (а следовательно, также и многообразие W)
является замкнутым подмногообразием аффинного пространства КТ. Тогда,
согласно лемме 2, примененной к подмногообразию W, пучок идеалов, соответ-
соответствующий многообразию W в пространстве Кг, будет пучком конечного типа.
Поэтому и пучок 3(W), являющийся образом этого пучка при естественном
гомоморфизме О -*¦ Ov, будет также пучком конечного типа и, следовательно,
согласно предложению 8 п. 15 и предложению 1 п. 37, когерентным пучком.
Пусть Ow — пучок локальных колец над многообразием W и пусть
Ow — пучок над многообразием V, полученный тривиальным, продолжением
пучка OwBne многообразия W (см. п. 5). Пучок Ow естественным образом
изоморфен пучку 0vj3(W), иначе говоря, последовательность
О -
точна. Пусть теперь Cf — произвольный алгебраический пучок над много-
многообразием W и пусть С?У — пучок, полученный тривиальным продолжением
пучка f вне многообразия W. Пучок Qiv можно рассматривать как пучок
E^-модулей и, следовательно, также как пучок (9у-модулей, аннулятор
которого содержит пучок 3(W). Имеет место
Предложение 3. Для любого когерентного алгебраического пучка
Cf, над многообразием W пучок Cfv является когерентным алгебраическим
пучком над многообразием V. Обратно, если аннулятор когерентного алгебраи-

406 Ж.-П СЕРР
ческого пучка & на^ многообразием V содержит пучок 3(W), то часть пучка
¦ф над многообразием W является когерентным алгебраическим пучком над W.
Действительно, для любого когерентного алгебраического пучка Cf-,
над многообразием W пучок Cfv является когерентным пучком О^-модулей
(п. 17, предложение 11) и, следовательно, когерентным пучком 6>у-модулей
(п. 16, теорема 3). Обратно, если аннулятор когерентного алгебраического
пучка ^ над многообразием V содержит пучок 3(W), to пучок ^, рассмат-
рассматриваемый как пучок Оу/3 AУ)-модулей, является когерентным пучком
(п. 16, теорема 3). Следовательно, часть пучка -Q. над многообразием W явля-
является когерентным пучком О^ниодулей (п. 17, предложение 11).
Таким образом, любой когерентный алгебраический пучок над много-
многообразием W можно отождествить с некоторым когерентным алгебраическим
пучком над многообразием V (согласно предложению 8 п. 26, это отож-
отождествление не меняет групп когомологий). В частности, любой когерентный
алгебраический пучок над аффинным (проективным) многообразием можно
рассматривать как когерентный алгебраический пучок над аффинным (про-
(проективным) пространством. В дальнейшем мы часто будем использовать эту
возможность.
Замечание. Аннулятор тривиального вне подмногообразия W коге-
когерентного алгебраического пучка 9 над многообразием V может не содер-
содержать пучок 3(W) (иначе говоря, пучок Q нельзя рассматривать как коге-
когерентный алгебраический пучок над многообразием W) Можно лишь утвер-
утверждать, что аннулятор пучка ^ содержит некоторую степень пучка 3(W).
40. Пучки дробных идеалов. Пусть V — произвольное алгебраическое
неприводимое многообразие и K(V) — постоянный пучок рациональных
функций над многообразием V (ср. п. 36). Пучок K(V) является алгебраи-
алгебраическим пучком, но если dim V > 0, то этот пучок не когерентен. Алгебраи-
Алгебраические подпучкиQi пучка K(V) можно называть „пучками дробных идеалов",
поскольку любой модуль фх такого пучка будет дробным идеалом кольца
Ox>v.
Предложение 4. Алгебраический подпучок CJi пучка K(V) коге-
когерентен тогда и только тогда, когда он имеет конечный тип.
Необходимость условия тривиальна. Для доказательства его достаточ-
достаточности достаточно показать, что пучок K(V) удовлетворяет условию (Ь) опре-
определения 2 п. 12, или, иначе говоря, что для любых рациональных дробей
/i,..., /р пучок <Щг,..., /р) имеет конечный тип. Пусть х — произвольная точка
многообразия V. Существуют такие функции gt и Л, регулярные в некоторой
окрестности U точки х, причем функция Л отлична от нуля в U, что Д = gijh.
Пучок ^(/1; ..., /р) совпадает, очевидно, с пучком r&(glt ... , gp), a этот послед-
последний имеет конечный тип, потому что пучок Ov является когерентным пучком
колец.
41. Пучок, ассоциированный с расслоенным пространством, слои которого
являются векторными пространствами. Пусть Е — алгебраическое расслоен-
расслоенное пространство, слоем которого является r-мерное векторное пространство
Кг, а базой — некоторое алгебраическое многообразие V. Структурной груп-
группой этого прстранства, по определению, является полная линейная группа
GL(r, К), обычным образом действующая на пространстве КТ (определение
алгебраического расслоенного пространства см. [34], см. также [135], п. 4,
где определены аналитические расслоенные пространства с векторными
слоями). Для любого открытого множества U многообразия V обозначим
через Л(Е)и совокупность всех регулярных на U сечений пространства Е.
Если W Z) U, то определен естественный гомоморфизм <р%: ?(E)w-± ?(Е)и
и, следовательно, определен пучок S{E), который мы будем называть пучком
ростков сечений пространства Е.
Из того, что Е — расслоенное пространство с векторными слоями, выте-

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 407
кает, что любая группа ^(Е)и является Д G, (9у)-модулем, и, следовательно,
пучок & (?) является алгебраическим пучком над многообразием V. Так как
пространство Е локально является произведением VxKr, то имеет место
следующее
Предложение 5. Пучок 3(Е) локально изоморфен пучку <7Y; в част-
частности, этот пучок является когерентным алгебраическим пучком.
Обратно, легко видеть, что любой алгебраический пучок QI над много-
многообразием V, локально изоморфный пучку Оу, изоморфен некоторому пучку
вида S{E\ причем с точностью до изоморфизма пространство ? определяется
однозначно (см. [135], где разобран- аналитический случай).
Если V является многообразием без особенностей, то за Е можно принять
расслоенное пространство р-ковекторов, касательных к многообразию V
(где р—некоторое неотрицательное целое число). Соответствующий пучок
S(E) мы будем обозначать через Qp. Элементы модуля ??, х е V, являются не
чем иным, как регулярными в точке х дифференциальными формами степени
р на многообразии V. Пусть Нрл .= dim KHq(V, Qp). Для классического
случая (и если многообразие V проективно) известно, что Лр>3 равно размер-
размерности пространства гармонических форм типа (р, q) (теорема Дольбо8).
Кроме того, Вп = 2! ЛР'а> гДе вп—п-мерное число Бетти многообразия V.
р+а-п
В общем случае можно принять эту формулу за определение чисел Бетти
проективного многообразия без особенностей (в п. 66 мы докажем, что числа
Ь.РЛ конечны). Было бы очень интересно изучить их свойства и, в частности,
проверить, совпадают ли они с числами, используемыми в предположении
Вейля относительно многообразий над конечными полями4. Здесь же мы
отметим только, что для любого m-мерного неприводимого многообразия V эти
числа удовлетворяют „закону двойственности" Пуанкаре: Вп = Вгт^п.
Группы когомологий Hq(V, S(E)) встречаются также и в других вопро-
вопросах, как например в теореме Римана—Роха, а также при классификации
алгебраических расслоенных пространств над многообразием V, структурной
группой которых является аффинная группа х -*¦ ах-\- b (ср. [34], § 4,
где разобран случай, когда dim V = 1).
§ 3. Когерентные алгебраические пучки над аффинными многообразиями
42. Аффинные многообразия. Алгебраические многообразия, изоморфные
замкнутым подмногообразиям аффинного пространства, называются аффин-
аффинными. Произведение двух аффинных многообразий является аффинным
многообразием, и любое замкнутое подмногообразие аффинного многооб-
многообразия также будет аффинным многообразием.
Открытое подмножество U алгебраического многообразия X назы-
называется аффинным, если оно является аффинным многообразием относительно
строения алгебраического многообразия, индуцированного на нем много-
многообразием X.
Предложение 1. Пересечение U П V двух аффинных открытых
подмножеств алгебраического многообразия X является аффинным подмно-
подмножеством.
Пусть Л — диагональ произведения X X X. Согласно п. 35, отображение
х -> (х, х) является бирегулярным изоморфизмом многообразия X на
диагональ Л. Следовательно, на U П У это отображение является бирегуляр-
бирегулярным изоморфизмом пересечения U С\ У на A C\UxV. Так как U и V
являются аффинными многообразиями, то их произведение UxV также
является аффинным многообразием. С другой стороны, согласно аксиоме
(VAn), диагональ Л замкнута в произведении X х X. Следовательно, пере-
3 См. [40].
4 См. [33], стр. 507.

408 ж.-п. серр
сечение Л П U X V замкнуто в U х V и потому является аффинным много-
многообразием. Тем самым предложение доказано.
(Легко видеть, что для псевдоалгебраических многообразий это пред-
предложение неверно, так что использование аксиомы (VAn) было вызвано су-
существом дела.)
Для любого алгебраического многообразия V и любой регулярной на
V функции / мы будем через Vf обозначать открытое подмножество много-
многообразия V, состоящее из всех точек х 6 V, для которых /(х) ^ 0. Этим обоз-
обозначением мы будем пользоваться до конца этого параграфа.
Предложение 2. Для любого аффинного алгебраического много-
многообразия V и любой регулярной на V функции f открытое множество Vf
является аффинным множеством.
Рассмотрим подмножество W произведения VxK, состоящее из всех
пар (х, X), для которых Д/(х)= 1. Очевидно, что W замкнуто в VxK и,
следовательно, является аффинным многообразием. Для любой точки (х, А) 6 W
положим я(х, А) = х. Так построенное отображение п является, очевидно,
регулярным отображением многообразия W в многообразие Vt. Кроме
того, определим отображение со : Vt -> W, положив ю(х) = (х, 1/Дх)).
Отображение со регулярно, и л°со= 1, oo°ti= 1. Таким образом, много-
многообразия Vf и W изоморфны. Предложение доказано.
Предложение 3. Пусть V — произвольное замкнутое подмного-
подмногообразие пространства Kr, F — некоторое замкнутое подмножество много-
многообразия V и U = V\F. Открытые множества VP, где Р — произвольный
многочлен, равный нулю на F, образуют базу открытых множеств топо-
топологического пространства U.
Пусть V = V \ F' — произвольное открытое множество пространства
U и пусть х € U'. Нужно показать, что существует многочлен Р, для
которого Vp С U' и х е Vp. Другими словами, многочлен Р должен
быть равен нулю на замкнутом множестве F' и отличен от нуля в точке х.
Но существование такого многочлена немедленно следует из определения
топологии пространства Кг.
Теорема 1. Аффинные открытые множества алгебраического много-
многообразия X образуют базу открытых множеств этого многообразия.
Поскольку утверждение теоремы имеет локальный характер, можно
предполагать многообразие X локально замкнутым подмногообразием аффин-
аффинного пространства Кг. Но в этом случае теорема немедленно следует из
предложений 2 и 3.
Следствие. Существуют произвольно мелкие покрытия многооб-
многообразия X, состоящие из аффинных открытых множеств.
Заметим, что для любого такого покрытия U= { U{}{е х множества
^и ...iP являются, согласно предложению 1, аффинными открытыми мно-
множествами.
43. Некоторые предварительные свойства неприводимых многообразий.
Пусть V — произвольное замкнутое подмногообразие пространства Кг и
пусть I(V) — идеал кольца К[Х1, ... , Хг], образованный многочленами,
равными нулю на V. Пусть далее А — факторкольцо К[Х1 ... Xr]/I(V).
Очевидно, что естественный гомоморфизм
i:A-+r(V,OY)
является мономорфизмом.
Предложение 4. Для неприводимого многообразия V естественный
гомоморфизм г.А-+Г(у, Ov) является изоморфизмом.
(На самом деле это предложение справедливо, как мы увидим в следу-
следующем пункте, для любого замкнутого подмногообразия пространства КТ.)
Пусть K(V) — поле частных кольца А. Согласно сказанному в п. 36,
кольцо ОХг v можно отождествить с кольцом частных кольца А относительно

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 409
максимального идеала тх, состоящего из всех многочленов, равных нулю
в точке х, причем после этого отождествления будем иметь J\V, Ov)= C\xevOx,v
(кольца OXtV рассматриваются как подкольца кольца K(V)). Но так как
поле К алгебраически замкнуто, то любой максимальный идеал кольца А
совпадает с одним из идеалов тх (теорема Гильберта о нулях). Отсюда немед-
немедленно следует (см. [105], гл. XV, § 5, теорема X), что А= Г\хеуОх,у=Г(У, Ov).
Предложение доказано.
Предложение 5. Пусть X — произвольное неприводимое алгеб-
алгебраическое многообразие, Q — регулярная на многообразии X, а Р — регуляр-
регулярная на многообразии XQ функции. Тогда для всех достаточно больших п
рациональная функция QnP регулярна на всем многообразии X.
Ввиду квазикомпактности многообразия X утверждение теоремы имеет
локальный характер. Согласно теореме 1, можно, следовательно, считать
многообразие X замкнутым подмногообразием аффинного пространства Кг.
Тогда из предыдущего предложения следует, что функция Q принадлежит
факторкольцу А — К[Х1г,.. ХГ]//(Х). Согласно условиям теоремы, функция
Р в любой точке х е XQ имеет вид Р = PxjQx, где Рх и Qx принадлежат кольцу
А и QJix) Ф 0. Пусть а — идеал кольца А, порожденный многочленами Qx.
Многообразие нулей идеала а содержится, очевидно, в многообразии нулей
многочлена Q. В силу теоремы Гильберта о нулях отсюда следует, что Q" е а
для всех достаточно больших п. Таким образом, Qn = ]?RXQX и QnP =
= ]?RxPx, где RxzA. Следовательно, многочлен QnP регулярен на много-
многообразии X.
(Равным образом можно было бы воспользоваться тем, что для аффинного
многообразия X многообразие XQ аффинно, и применить к нему предложе-
предложение 4.)
Предложение 6. Пусть X — неприводимое алгебраическое мно-
многообразие, Q — произвольная регулярная на многообразии X функция, CJ-, —
некоторый когерентный алгебраический пучок над X и s — равное нулю на
XQ сечение пучка С? над многообразием X. Тогда для достаточно большого
п сечение Qns равно нулю на всем многообразии X.
Поскольку это утверждение имеет локальный характер, мы можем
предположить, что:
(a) X является замкнутым подмногообразием пространства КТ,
(b) пучок Cf. изоморфен коядру некоторого гомоморфизма у: О\ -+ Ох,
(c) сечение s является образом некоторого сечения а пучка Ох-
(Действительно, все эти условия локально выполнены.)
Пусть А = Г(Х, Ох) = K[XV ..., ХГ]//(Х). Сечение а можно рассма-
рассматривать как систему q элементов кольца А. Пусть, с другой стороны,
/1 = уA,0, ... ,0), ... ,1р = чФ, ... ,0,1).
Функции tu I =s i =ss p, являются сечениями пучка Ох над многообразием X.
Следовательно, их можно отождествить с системами, состоящими из q эле-
элементов кольца А. Условие, наложенное на сечение s, означает, что для
любой точки xeXQ имеет место включение o(x)e<p(Oxltx)- Следовательно,
а = ? fiti, где fi е Ох> х- Избавляясь от знаменателей, получаем, что Qx a =
i-p
— У1 Ritit где Qx, Rt е А и Q^x) ф 0. Из сказанного выше следует, что
i-i
при достаточно больших п многочлен Qn принадлежит идеалу, порожден-
порожденному многочленами Qx. Поэтому Qna(x) е цф^ х) Для любой точки х е X.
Это означает, что сечение Qns равно нулю на всем многообразии X.
44. Тривиальность некоторых групп когомологий.
Предложение 7. Пусть X — произвольное неприводимое аффин-
аффинное многообразие, Qt — конечное семейство регулярных на X функций, одно-

410 Ж.-П. CEPP
временно не обращающихся в нуль, и VL — открытое покрытие многообра-
многообразия X, образованное множествами XQi — иг. Тогда для любого когерентного
алгебраического подпучка Qi пучка О\ и для любого q > 0 группа Hq(VL, Qz)
тривиальна.
Заменив в случае необходимости покрытие U эквивалентным покрытием,
можем предполагать, что ни одна из функций Qt не равна тождественно нулю,
т. е., другими словами, что (/^9^0 для любого i.
Пусть / = (Д.... *,) — произвольный дчиерньй коцикл покрытия U с коэф-
коэффициентами в пучке (% Сечение /»,... г, пучка (% над множеством Ui,... *г можно
рассматривать как систему р регулярных на {/*„...,, функций. Применяя
предложение 5 к функции Q = Qit... Qi,, получаем, что для достаточно
большого п выражение gi,...if = (Qi,.. .Qi,)n/*.-..*» является системой
р регулярных на всем многообразии X функций, т. е. сечением пучка Ор
над многообразием X. Выберем целое число п, обладающее этим свойством
для любой системы индексов i0, ..., iq, что возможно ввиду конечности числа
таких систем, и рассмотрим образ сечения git...i, в когерентном пучке
O\\Qz. Этот образ равен нулю над Ui,...i,¦ Следовательно, согласно предло-
предложению 6, его произведение на функцию (Qio... Qig)m при достаточно больших
т равно нулю на всем многообразии, так, что произведение (Qi,... ()г,)"Чи... г,
является сечением пучка Cf, над всем многообразием X. Таким образом, мы
построили некоторые сечения /?i....i, пучка (JL над многообразием X, совпа-
совпадающие на Ui,...it с сечениями (Qit.. .Qit)NU....i,, где N = m + п.
Так как функции Qf одновременно не обращаются в нуль, то существуют
такие функции
ЯгеГ(Х,Ох),
что J^RiQi1 = 1. Для любой системы г0, ... , г4_х положим теперь
г
что имеет смысл, так как произведение Qi,... if_1 отлично от нуля на мно-
множестве Ui,.. .j,_r
Таким образом, определена некоторая коцепь k e Cq~\U, C?). Покажем,
что / = йк. Тем самым предложение будет доказано.
Нужно показать, что (dfc)i,...i, = /*,...v Достаточно доказать, что
эти два сечения совпадают на 0 =. П Ui- Действительно, тогда они будут
совпадать всюду, потому что U Ф 0 и каждое из этих сечений является
системой р рациональных на X функций. Но над U мы имеем
i /
откуда
и, следовательно, учитывая, что / является коциклом, получим
Следствие 1. Н%Х,(~f>) = 0, если q>0.
Действительно, из предложения 3 следует, что использованные в пред-
предложении 7 покрытия могут быть выбраны сколь угодно мелкими.
Следствие 2. Гомоморфизм Г(Х, 0^) -*¦ /*(Х, О\\С?) является
эпиморфизмом.
Это вытекает из следствия 1 и следствия 2 предложения 6 п. 24.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 411
Следствие 3. Пусть V — произвольное замкнутое подмногообра-
подмногообразие пространства Кг и пусть
Тогда гомоморфизм i: А -> Г{у ,OV) является эпиморфизмом.
Полагая в предыдущем следствии X=Kr, p=\, Cfc=3(V), где 3(V) —
пучок идеалов, соответствующий подмногообразию V, получим, что
любой элемент кольца F(V, Ov) является частью некоторого сечения пуч-
пучка О над многообразием X, т. е., согласно предложению 4, примененному
к многообразию X, является некоторым многочленом.
45. Сечения когерентного алгебраического пучка над аффинным много-
многообразием.
Теорема 2. ПустьCfc — произвольный когерентный алгебраический
пучок над аффинным многообразием X. Для любой точки х 6 X Ох,х-модулъ
фх порождается элементами группы Г(Х,(^).
Аффинное многообразие X можно рассматривать как замкнутое под-
подмногообразие некоторого аффинного пространства Кг. С другой стороны,
согласно п. 39, тривиальное продолжение пучка Qi с многообразия X на
все пространство является когерентным алгебраическим пучком над Кг.
Очевидно, что теорему достаточно доказать для этого нового пучка. Дру-
Другими словами, можно считать, что X = Кг.
Согласно определению когерентных пучков, существует покрытие много-
многообразия X, состоящее из открытых множеств, над каждым из которых пу-
пучок Cfc изоморфен некоторому факторпучку пучка Ор. В силу предложения 3
можно считать, что элементы этого покрытия имеют вид XQ. Другими сло-
словами, существует конечная система многочленов Qit одновременно не обраща-
обращающихся в нуль, для которых над каждым множеством 1]г = XQi определен
некоторый эпиморфизм <pt: OPi -> (Jz. Можно, конечно, предполагать, что
ни один из этих многочленов не равен тождественно нулю.
Данная точка х принадлежит одному из множеств Uif скажем, мно-
множеству Uo. Очевидно, что модуль С?х порождается сечениями пучка Cf. над
множеством Uo. Следовательно, ввиду того, что многочлен Qo обратим в
кольце Ох, доказательство теоремы сводится к доказательству следующей
леммы:
Лемма 1. Для любого сечения s0 пучка Cf над множеством Uo сущест-
существует такое целое число N и такое сечение s пучка CJ- над многообразием X,
что s = Q$s0 над множеством Uo.
Согласно предложению 2, пересечение U{ П ^о является аффинным
многообразием, причем, очевидно, неприводимым. Применяя к этому много-
многообразию и отображению <р{: OPi -> Cfc следствие 2 предложения 7, получим
такое сечение <roi пучка (Р* над пересечением G4 П f/0» что Фг&ы) = s0 ^над
Ui П {Л>- Так как пересечение Ut П Uo состоит из всех тех точек множества Uit
в которых многочлен Qo отличен от нуля, то, согласно предложению 5, в кото-
котором положено X = Ub Q = Qo, над множеством иг существует сечение
<т{ пучка OPi, имеющее над пересечением Ut f| Uo вид Q™ aoi, где п — достаточно
большое число. Полагая s[ = <Рг(сг{), получим сечение пучка С? над мно-
множеством Uh совпадающее над пересечением иг П Uo с сечением Q$ s0. Сече-
Сечения s[ и s'j совпадают на пересечении Uif\Ujf]U0. Следовательно, применяя
предложение 6 к сечению s- — s3;, получим, что при достаточно больших т
сечение QoKsJ—Sj) равно нулю на всем пересечении G{р|Ц- Отсюда следует,
что сечения Q™s't определяют над многообразием X некоторое сечение s
пучка Cji, причем s = Q*+m s0 над Uo. Тем самым лемма, а следовательно,
и теорема 2 доказаны.

412 Ж.-П. CEPP
Следствие 1. Пучок Cfc изоморфен некоторому факторпучку пучка
Модуль Qix, являясь (9ж>х-модулем конечного типа, порождается конеч-
конечным числом сечений пучка ф„ В силу предложения 1 п. 12 эти сечения
порождают также модули f^ для всех точек у, достаточно близких к точке х.
Так как пространство X кваэикомтактно, то отсюда следует, что модуль
Qix для всех точек хеХ порождается некоторой (одной и той же для всех
точек) конечной системой сечений sx sp пучкаг^. Это и означает, что пучок
Ср. изоморфен некоторому факторпучку пучка О\.
Следствие 2. Для любой точной последовательности dL¦*+ (В — ->¦ Q.
когерентных алгебраических пучков над аффинным многообразием X последо-
последовательность Г(Х,&?)-+Г(Х,(В)-+Г(Х,@) также точна.
Как и в доказательстве теоремы 2, можно считать, что многообразие
X является аффинным пространством Кг и, следовательно, неприводимо.
Пусть 9= Im(a)= Кег(/8). Очевидно, достаточно доказать, что отображе-
отображение a : ДХ, d) -*¦ ДХ, Э) эпиморфно. Согласно следствию 1, существует
эпиморфное отображение у: О\ -*¦ d. Ввиду следствия 2 предложения 7
отображение а°<р :Г(Х,О\)-+Г(Х,Э) эпиморфно, потому что многообразие
X = 1С неприводимо. Следовательно, тем более эпиморфно и отображение
х:ЦХ,о?)-+ЦХ,Э).
46. Группы когомологий аффинного многообразия с коэффициентами в
когерентном алгебраическом пучке. Мы можем теперь обобщить предло-
предложение 7 на любые аффинные многообразия' и любые когерентные алгебраи-
алгебраические ПУЧКИ.
Теорема 3. Пусть X — произвольное аффинное многообразие, Q4 —
конечное семейство регулярных на X функций, одновременно не обраща-
обращающихся в нуль, и U — открытое покрытие многообразия X, образованное
множествами XQi = иг. Тогда для любого когерентного алгебраического
пучка F над X и любого q > 0 группа H\U, Cf) тривиальна.
Предположим сначала, что многообразие X неприводимо. Согласно
следствию 1 теоремы 2, можно найти точную последовательность вида
Оказывается, что соответствующая последовательность комплексов 0 -»¦
-> C(U, (Щ ->- C(U, Орх) -»¦ C(U, G)^-0 также точна. Действительно, точность
этой последовательности равносильна тому, что каждое сечение пучка Cf,
над множеством Uu ... и является образом некоторого сечения пучка
О\. Но это немедленно вытекает иэ следствия 2 теоремы 7, примененного
к неприводимому многообразию Uu ... и.
С другой стороны, точная последовательность комплексов порождает
точную последовательность когомологий
... -> H%U, Орх) -*¦ Н«(П, ф -*¦ Я«+1(П, «)-*-... .
Отсюда, ввиду того что, согласно предложению 7, H%VL, O^)=Hq+\Vi, ^)=0,
для всех q > 0 получаем, что H%VL, Cfc) = 0.
Перейдем теперь к общему случаю. Многообразие X можно рассматри-
рассматривать как замкнутое подмногообразие аффинного пространства К1". Согласно
следствию 3 предложения 7, функции Qt порождаются некоторыми многочле-
многочленами Р4. Пусть, с другой стороны, Rj — некоторая конечная система образу-
образующих идеала /(X). Функции Pit R}- не обращаются одновременно в нуль
на пространстве КТ и, следовательно, определяют некоторое открытое покры-
покрытие W этого пространства. Пусть ф' — пучок, полученный тривиальным
продолжением пучка Cf. с многообразия X на все пространство Кг. Прост-
Пространство 1С, функции PitR}. и пучок ф' удовлетворяют всем условиям теоремы.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 413
Следовательно, так как пространство Кт является неприводимым многообра-
многообразием, то, согласно доказанному, H^W, Cf') — О для q > 0. Но очевидно,
что комплексы C(ll', Cf') и C(U, Cf) изоморфны. Следовательно, H%VL, Cf) = 0.
Следствие 1. Для произвольного аффинного многообразия X и
любого когерентного алгебраического пучка Cf над многообразием X группы
когомологий Hq(X, Cf) тривиальны для всех q > 0.
Действительно, использованные в предыдущей теореме покрытия могут
быть выбраны сколь угодно мелкими.
Следствие 2. Пусть 0->ст?->C-^<§->0 — точная последова-
последовательность пучков над некоторым аффинным многообразием X. Если пучок
d является когерентным алгебраическим пучком, то гомоморфизм Г(Х, <Ъ) ->
-> Г(Х, <§) является эпиморфизмом.
Это вытекает из следствия 1 при q = 1.
47. Покрытия алгебраических многообразий открытыми аффинными
множествами.
Предложение 8. Пусть X — произвольное аффинное многооб-
многообразие и U = {Ut}i?i — некоторое конечное покрытие многообразия X откры-
открытыми аффинными множествами. Для любого когерентного алгебраического
пучка Cf. над многообразием X и любого q > 0 группа H9(U, Cf) тривиальна.
Согласно предложению 3, существуют регулярные на X функции
Pj, для которых покрытие Ш = {XPj} вписано в покрытие U. Для любой
системы индексов (i0, ..., ip) индуцированное покрытием' 93 покрытие
93*. •.. iP множества (/,,... ip порождено функциями Р}} рассматриваемыми
только на множестве Uu ... ip. Но, согласно предложению 1, это множество
является аффинным многообразием и поэтому к нему применима теорема 3.
Таким образом, //а(93{,... ip, Cf) — 0 для любого q > 0. Следовательно,
согласно предложению 5 п. 29,
но, согласно теореме 3, Hq(%,C?) = 0 для всех q > 0. Тем самым предло-
предложение доказано.
Теорема 4. Пусть X — произвольное алгебраическое многообразие,
Cf. — когерентный алгебраический пучок над многообразием X и U = {Ui}^i—
конечное покрытие многообразия X открытыми аффинными множест-
множествами. Тогда для всех п з= 0 гомоморфизм aQX) : Hn(U, (f) -> Нп(Х, Cf) яв-
является изоморфизмом.
Рассмотрим семейство 83а конечных покрытий многообразия X откры-
открытыми аффинными множествами. Согласно следствию из теоремы 1, в этом
семействе существуют сколь угодно мелкие покрытия. С другой стороны,
для любой системы (г0, ..., ip) покрытия 93?,... ip множества Uu ... ip,
порожденные покрытиями семейства 93°, являются, согласно пред-
предложению 1, открытыми аффинными покрытиями. Следовательно,
#9C3?, • • - iP><7) = 0 Для всех ^ > 0 (предложение 8). Таким образом,
условия (а) и (Ь) теоремы 1 п. 29 выполнены. Тем самым теорема 4 доказана.
Теорема 5. Пусть X — произвольное алгебраическое многообразие
и U = {Ui}iti — некоторое конечное покрытие многообразия X открытыми
аффинными множествами. Пусть далее 0->сА-+<Ъ-* <§->0 — точная,
последовательность пучков над многообразием X, в которой пучок dL яв-
ялется когерентным алгебраическим пучком. Тогда для всех ^э=0 естественный
гомоморфизм HIQ1, й) -> H^U, ё) (см. п. 24) является изоморфизмом.
Очевидно, достаточно показать, что C0(tl,g) = C(U,@), или, другими
словами, что любое сечение пучка й над множеством 1)и ... iq является
образом некоторого сечения пучка <3 над зтим же множеством. Но это немед-
немедленно вытекает из следствия 2 теоремы 3.

414 Ж--П. CEPP
Следствие 1. Пусть X — произвольное алгебраическое многообра-
многообразие и О -> d -> <3 -> & -*¦ О — точная последовательность пучков над много-
многообразием X, в которой пучок сА является когерентным алгебраическим пучком.
Тогда для всех q э= О естественный, гомоморфизм Н%(Х, ё) -> Н%Х, &) яв-
является изоморфизмом.
Это немедленно следует из теорем 1 и 5.
Следствие 2. Последовательность
... -> Н*{Х, <В) -> Я«(Х, б) -
точна.
§ 4. Соответствие между модулями конечного типа
и когерентными алгебраическими пучками
48. Пучок, соответствующий модулю. Пусть V — произвольное аффин-
аффинное многообразие, а О — пучок локальных колец многообразия V. Кольцо
A = F(V,O) мы будем называть координатным кольцом многообразия V.
Это кольцо является алгеброй над полем К и не содержит ни одного отлич-
отличного от нуля нильпотентного элемента. Рассматривая многообразие V как
замкнутое подмногообразие аффинного пространства КТ, можно кольцо
Л отождествить (см. п. 44) с факторалгеброй алгебры К[Х17 ..., Хг] по иде-
идеалу, состоящему из многочленов, равных нулю на V. Отсюда следует, что
алгебра А имеет конечное число образующих.
Обратно, легко видеть, что любой коммутативной К-алгебре А без
нильпотентных элементов (кроме нуля) с конечным числом образующих
можно отнести аффинное многообразие V, для которого алгебра Г(у,О)
изоморфна алгебре А. Более того, этим свойством многообразие V опреде-
определяется с точностью до изоморфизма однозначно (многообразие V можно
определить как снабженное обычной топологией множество всех характе-
характеров алгебры А).
Пусть М — произвольный Л-модуль. Этот модуль определяет на много-
многообразии V постоянный пучок, который мы также будем обозначать через
М. Аналогично алгебра А определяет постоянный пучок над многообразием
V, и поэтому пучок М можно рассматривать как пучок Л-модулей. Пусть
с4(М) = 0 (g)A M, где пучок О рассматривается как пучок Л-модулей.
Очевидно, что с4{М) является алгебраическим пучком над многообразием V.
Далее, любой Л-гомоморфизм <р: М -> М' индуцирует гомоморфизм
сёд) = 1 <g) <р : с4{М) -»- ct(M'). Другими словами, с^М) является ковари-
антным функтором модуля М.
Предложение 1. Функтор ct(M) точен.
Другими словами, для любой точной последовательности Л-модулей
М -> М' -> М" последовательность пучков о?(М) -> d(M') -> с4{М") точна,
т.е. для любой точки xeV точна последовательность Ox(g)AM -*OX®AM' -*
Но кольцо Ох является не чем иным, как кольцом частных As кольца
Л по множеству S функций / е Л, для которых /(х) =? 0 (относительно опре-
определения кольца частных см. [105], [126] или [127]). Предложение 1 является
поэтому частным случаем следующей леммы.
Лемма 1. Пусть А — произвольное кольцо, S — некоторое замкну-
замкнутое относительно умножения подмножество этого кольца, не содержащее
нуля, и As — кольцо частных кольца А по S. Для любой точной последователь-
последовательности А-модулей М -> М' -> М" последовательность As фА М -> As ®A ЛГ->
-> As (g)A M" точна.
Пусть Ms — множество дробей вида mjs, где т е М и seS; две дроби mis
и m'js' будем считать равными, если существует такой элемент s" e S, что

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 415
s"(s'm — sm') — 0. Легко видеть, что Ms является Л^модулем и что
отображение
a/s ® m -> am/s
является изоморфным отображением тензорного произведения As ®АМ на
модуль Ms. С другой стороны, очевидно, что последовательность
Ms -> M's -> M"s
точна.
Предложение 2. Если с^М) =0, то М = 0.
Пусть m — произвольный элемент модуля М. Если оЦМ) =0, то 1 ® m =
= 0 в любом модуле С^ (g)AM. Но, согласно сказанному выше, соотно-
соотношение 10т = О имеет место тогда и только тогда,когда в кольце Л сущест-
существует такой элемент s, что s(x) ^ 0 и sm = 0. Следовательно, аннулятор
элемента m модуля М не содержится ни в каком максимальном идеале
кольца А и поэтому совпадает со всем кольцом А. Таким образом, т = 0.
Предложение 3. Для любого А-модуля М конечного типа пучок
с4{М) является когерентным алгебраическим пучком над многообразием V.
Так как модуль М имеет конечный тип, а кольцо А нетерово, то модуль
М изоморфен коядру некоторого гомоморфизма <р : Aq -> Ар и, следовательно,
пучок с^М) изоморфен коядру гомоморфизма ot((p) : o?(Aq) ¦+&1(АР ).Но
с4{Ар) = О" и diA9) = б»9, так что пучок сА{М) когерентен.
49. Модуль, соответствующий алгебраическому пучку. Пусть CJi —
произвольный алгебраический пучок над многообразием V иГ(С?) = Г(У,С?).
Поскольку CJi является пучком (9-модулей, то Г(С?) естественным образом
определяется как Л-модуль. Любой алгебраический гомоморфизм y.Cf-.-*
-*¦ Q определяет некоторый Л-гомоморфизм 1\<р) : Г(О?)-* Г@). Для любой
точной последовательности когерентных алгебраических пучков Cf. -+ ф ->
-> Яб последовательность
точна (п. 45). Применяя это заключение к точной последовательности Ор ->
->(^->0, получаем, что для когерентного пучка (JI модуль ДГ^) является
Л-модулем конечного типа.
функторы с4{М) и Г(С?) „обратны" друг другу в следующем смысле:
Теорема 1. (а) Для любого А-модуля М конечного типа модуль
%М)) естественно изоморфен модулю М.
(Ь) Для любого когерентного алгебраического пучка Cf. над многообразием
V пучок с?(Г((~?)) естественно изоморфен пучку (JI.
Докажем сначала (а). Любой элемент теМ определяет некоторое сечение
<х(т) :х -> 1 ® meOx(g)AM пучка Ы(М). Таким образом, определен естествен-
естественный гомоморфизм а.: М -> Г(с4{М)). Если М является свободным модулем
конечного типа, то отображение а является изоморфизмом (достаточно
доказать это утверждение для М = Л, когда оно очевидно). Если М являет-
является произвольным модулем конечного типа, то существует точная последо-
последовательность L1 -> L0 -> М -> 0, где L0 и L1 — свободные модули конечного
типа. Последовательность сД1У) -> d(L°) ->¦¦ d(M) -> 0 точна, и, следовательно,
последовательность IXat^L1)) -> I\c^L0)) -> I\ot(M)) -> 0 также точна. Ком-
Коммутативная диаграмма
L1 —¦ L? —¦* М -> 0
•I
rx<4L*)), — А^(^и)) —^ о
показывает тогда, что отображение а : М -> Дст^М)) является изоморфиз-
изоморфизмом. Тем самым утверждение (а) доказано.

416 . Ж.-П. СЕРР
Пусть теперь CJ-. — произвольный когерентный алгебраический пучок
над многообразием V. Относя каждому сечению s е Г(С?) элемент s(x)e Cf.x,
получим некоторый Л-гомоморфизм I\Cf) -> Cf.x. Этот Л-гомоморфизм ес-
естественным образом индуцирует Ох-гомоморфизм рх : Ох %А Г{С?) -> Cf.x.
Легко проверить, что гомоморфизмы рх образуют гомоморфизм пучков
$\cMT((]?fy*Cf^ Если(f=zOv, то гомоморфизм/S является, очевидно, изоморфиз-
мом.Отсюда, так же как и выше, следует, что отображение /? изоморфно для
всех когерентных алгебраических пучков Cf.. Тем самым утверждение (Ь)
доказано.
Замечания. 1. Можно вывести (Ь) из (а). См. п. 65, доказатель-
доказательство предложения 6.
2. В теории когерентных пучков над проективным пространством изло-
изложенное соответствие между пучками и модулями необходимо несколько
видоизменить (см. гл. III).
50. Проективные модули и расслоенные пространства с векторными
слоями. Напомним ([68], гл. I, теорема 2.2), что Л-модуль М называется
проективным модулем, если он является прямым слагаемым некоторого
свободного Л-модуля.
Предложение 4. Модуль М конечного типа будет проективным
модулем тогда и только тогда, когда Ох-модулъ Ох ®АМ является для всех
xeV свободным модулем.
Для проективного модуля М модуль Ох fg)AM является О^-проективным
модулем, а следовательно, поскольку Ох — локальное кольцо, и (^-свобод-
(^-свободным модулем (см. [68], гл. VIII, теорема 6.1').
Обратно, если все модули Ох ®аМ свободны, то
dim (М) = Sup dimxeV(Ox <g)A M) = 0
(см. [68], гл. VII, упражнение 11) и, следовательно, М является проектив-
проективным модулем ([68], гл. VI, § 2).
Заметим, что если для когерентного алгебраического пучка Cf. над много-
многообразием V модули Cfix и О% изоморфны, то пучок Cf. изоморфен пучку Ор
в некоторой окрестности .точки х. Если это свойство имеет место в любой
точке xeV, то пучок Cf. локально изоморфен пучку Ор, причем целое число
р остается постоянным на любой связной компоненте многообразия V. При-
Применяя это замечание к пучку d(M), получаем
С л"е д с т в и е . Пусть Cfc — когерентный алгебраический пучок над
некоторым связным аффинным многообразием V. Тогда равносильны три
следующих свойства:
A) Модуль Tiffi) является проективным А-модулем.
B) Пучок Cf. локально изоморфен пучку СР.
C) Пучок Cf. изоморфен пучку ростков сечений некоторого алгебраического
расслоенного пространства с векторными слоями и базой V.
Кроме того, отображение Е -*¦ Г(?(Е)) (Е — расслоенное пространство
с векторными слоями) устанавливает взаимно однозначное соответствие
между классами расслоенных пространств и классами проективных Л-моду-
лей конечного типа. При этом соответствии тривиальным расслоенным
пространствам соответствуют свободные модули и наоборот.
Отметим, что в случае, когда V = Кг (в этом случае Л = К[Х1г ... ,ХГ]),
неизвестно, существуют ли проективные Л-модули конечного типа, не явля-
являющиеся свободными модулями, или, что одно и то же, существуют ли нетриви-
нетривиальные алгебраические расслоенные пространства с векторными слоями и
базой Кг.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 417
Глава III
КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ НАД ПРОЕКТИВНЫМИ
МНОГООБРАЗИЯМИ
§ 1. Проективные многообразия
51. Обозначения. (Введенные здесь обозначения будут использованы
без изменений во всей главе.)
Пусть г — целое число з= 0 и У=Кг+1\{0}, Мультипликативная группа
К* отличных от нуля элементов поля К действует на У по следующей фор-
формуле:
Две точки у и у' называются эквивалентными, если существует такое
Д е К*, что у' = Ду. Факторпространство пространства У по этому отношению
эквивалентности обозначается через РГ(К) или просто через X и называется
проективным r-мерным пространством над полем К. Естественное отобра-
отображение пространства У на пространство X обозначается через ж.
Пусть / = {0,1, ... , г}. Для любого i е / мы будем через f4 обозначать
/-ю координатную функцию пространства Кг+\ определенную формулой
U (Ро, •••> Иг) = №•
Обозначим через Vf открытое подмножество пространства Kr+1, обра-
образованное точками, для которых координатная функция f4 отлична от нуля,
а через иг — образ множества V{ при проекции ж. Система множеств {(/Jig/
образует покрытие U пространства X. Для любых индексов i, j e I регуляр-
регулярная на множестве V{ функция Ц\1К инвариантна по отношению к группе К*
и, следовательно, определяет некоторую функцию на множестве Uir которую
мы также будем обозначать через Щ1г. Очевидно, что при фиксированном i
функции '.tj/ti, где / ф i, определяют некоторое изоморфное отображение
Рассматривая пространство Kr+1 как алгебраическое многообразие,
введем в пространстве У индуцированное строение алгебраического много-
многообразия. В пространстве X введем топологию, индуцированную топологией
многообразия У. Другими словами, объявим замкнутыми подмножествами
пространства X образы при проекции п замкнутых подмножеств простран-
пространства Kr+1. Для любого открытого в пространстве X множества U положим
Av = Г(я~\и), OY). Напомним, чтоI\ri~\U), OY) является кольцом регуляр-
регулярных на множестве n~\U) функций. Пусть А\, — подкольцо кольца Аи,
состоящее из инвариантных относительно группы К* функций (т. е. однород-
однородных функций нулевой степени). Если V ~Э U, то определен естественный
гомоморфизм ограничения у^: А%-* A\j. Пучок, определенный построен-
построенной системой (АЬ, q>u), обозначается через Ох- Его можно рассматривать как
подпучок пучка <7^Х) ростков функций над пространством X. Некоторая
функция /, определенная в окрестности точки х, тогда и только тогда при-
принадлежит пучку OXtx, когда она локально совпадает с функцией вида P/Q,
где Р и Q однородные многочлены одной и той же степени от координат
tOt ... , tr, причем Q(y) Ф 0 для у е я^) (что мы будем короче записывать
так: Q(x) Ф 0).
Предложение 1. Проективное пространство X — Р^К), снабжен-
снабженное описанными выше топологией и пучком, является алгебраическим много-
многообразием.
Множества Uit iel, открыты в пространстве X, а определенные выше
изоморфизмы щ: U{ -> Кг являются, очевидно, бирегулярными изоморфиз-
изоморфизмами. Таким образом, аксиома (VAi) выполнена. Для доказательства того,
что выполнена также и аксиома (VAn), необходимо показать, что подмно-
27 Расслоенные пространства

418 Ж--П. CEPP
жество произведения КтхКг, состоящее из пар вида (%(*)> у/*))» где хе игГ\ Up
замкнуто, а это не представляет трудности.
В дальнейшем пространство X всегда рассматривается как алгебраи-
алгебраическое многообразие с только что определенным строением. Пучок Ох будет
обозначаться просто через О. Алгебраическое многообразие V, изоморфное
замкнутому подмногообразию некоторого проективного пространства, назы-
называется проективным многообразием. Изучение когерентных алгебраических
пучков над проективными многообразиями сводится к изучению когерентных
алгебраических пучков над пространством РГ(К) (см. п. 39).
52. Когомологии подмногообразий проективного пространства. Так как
любой элемент определенного в предыдущем пункте покрытия U = {C/j}i e j
изоморфен пространству Кг, то к этому покрытию можно применить теорему
4 п. 47. Таким образом, получаем
Предложение 2. Для любого когерентного алгебраического пучка
Cfc. над пространством X = Р/К) гомоморфизм о-A1): /f'Xll, Cfi) -»- Нп(Х, Cf)
является для всех п з= 0 изоморфизмом.
Учитывая, что покрытие U образовано г + 1 открытым множеством,
получаем (см. п. 20, следствие из предложения 2)
Следствие. Для всех п > г группа Нп(Х, Г?) тривиальна.
Последний результат можно обобщить следующим образом.
Предложение 3. Пусть V -— произвольное алгебраическое много-
многообразие, изоморфное локально замкнутому подмногообразию проективного
пространства X. Пусть Cfc—когерентный алгебраический, пучок над множест-
множеством V, равный нулю вне некоторого подмногообразия W многообразия V. Тогда
для всех п > dim W группа Н"( V, СЩ тривиальна.
В частности, беря W = V, получаем
Следствие. Hn(V, Cfc) = 0 для всех п > dim V.
Будем рассматривать многообразие V как локальное замкнутое под-
подмногообразие пространства X = Р^К). По определению, многообразие V
замкнуто в некотором открытом множестве U пространства X. Можно,
очевидно, считать, что подмногообразие W замкнуто в многообразии V и,
следовательно, замкнуто в U. Пусть F = X \ U. Прежде чем доказывать
предложение 3, установим две необходимые для этого леммы.
Лемма 1. Пусть к — dim W. Существуют к+ 1 однородных много-
многочленов Pi(t0 tr), имеющих положительные степени, равных нулю на
множестве F и не обращающихся одновременно в нуль на многообразии W.
(Злоупотребляя краткостью, говорят, что некоторый однородный много-
многочлен Р равен нулю в точке х пространства РГ(К), если он равен нулю в любой
точке прообраза я^).)
Доказательство будем проводить индукцией по к. Случай к = — 1
тривиален. Пусть к з= 0. В каждой неприводимой компоненте многообразия
W выберем по точке. Пусть Рг — однородный многочлен положительной
степени, равный нулю на F, но отличный от нуля в каждой из выбранных
точек (существование многочлена Рг немедленно следует из замкнутости
множества F и определения топологии пространства Р^К)). Пусть W —
подмногообразие многообразия W, состоящее из точек хе W, в которых
Рх(х) = 0. Из построения многочлена Рг следует, что никакая неприводимая
компонента многообразия W не содержится в W. Следовательно, dim W' < /с
(см. п. 36). Применяя к подмногообразию W предположение индукции,
видим, что существуют к однородных многочленов Р8, ... , Р*+1, равных
нулю на множестве F и не обращающихся одновременно в нуль на W.
Многочлены Р1г ... , Ph+1 удовлетворяют, очевидно, требуемым условиям.
Лемма 2. Для любого однородного многочлена P(t0, ... , tr) степени
п > 0 множество ХР точек хе X, для которых Р(х) ^ 0, является аффинным
открытым множеством пространства X.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 419
Отнеся любой точке у — (^0, ..., /гг) е У точку пространства KN, коорди-
координатами которой служат всевозможные одночлены вида nf\ . ./м™г, т0 +.. .+
+ тг = п, мы получим после перехода к проективному простран-
пространству некоторое отображение tpn\ X ->- Р^^К). Общеизвестно и можно
легко проверить, что отображение <рп является бирегулярным изоморфизмом
пространства X на некоторое замкнутое подмногообразие пространства
Pjv-i(K) („многообразие Веронезе"). С другой стороны, отображение уп
переводит открытое подмножество ХР в множество точек многообразия
<рп(Х), не принадлежащих некоторой гиперплоскости пространства Р^.^К).
Но дополнение любой гиперплоскости изоморфно аффинному пространству.
Следовательно, множество ХР изоморфно замкнутому подмногообразию
некоторого аффинного пространства/т. е. является аффинным множеством.
Вернемся теперь к предложению 3. Тривиально продолжая пучок (J-
на U \ V, мы получим когерентный алгебраический пучок над множеством
U. Этот пучок мы также будем обозначать через С?. Известно (см. п. 26),
что W"{U, Cfi) — Hn(V, Cfi). Пусть Ръ ... , Pk+1 — однородные многочлены,
построенные в лемме \, a Ph+2, ... , Ph — однородные многочлены поло-
положительных степеней, равные нулю на W U F и не обращающиеся одновре-
одновременно в нуль ни в одной точке множества U\W (зтими многочленами мож-
можно считать систему однородных образующих идеала многообразия W U F
в кольце K[t0, ... i /P]). Обозначим через Vit I «s i =s h, множество точек
X торых Р4(х) v^ 0 О V U Б
58 {V
[0, i P]) р it ,
х б X, для которых Р4(х) v^ 0. Очевидно, что V{ С U. Более того, легко видеть,
что семейство 58 = {Vi} является открытым покрытием множества (Л
С другой стороны, согласно лемме 2, множества У{ являются аффинными
открытыми множествами и, следовательно, //"E8, (~?) = Hn(U, (Щ =Hn(V, Qi)
для любого п з* 0. Но, если п > к и если все индексы г0, ... , in различны,
то хотя бы один из этих индексов больше чем к+1, и, следовательно, множе-
множество Vie ... in не пересекается с W. Отсюда немедленно следует, что для
п > к группа кососимметричных коцепей C'"(9S, (jl) тривиальна. Поэтому,
согласно предложению 2 п. 20, //"E8, Cf) — 0.
53. Когомологии неприводимых алгебраических кривых. Замкнутые
подмножества одномерного неприводимого алгебраического многообразия V,
отличные от самого V, конечны. Пусть F — произвольное конечное подмно-
подмножество одномерного многообразия V. Для любой точки х множества F
положим V? = (V \ F) U {х}. Очевидно, что множества У|", х е F, образуют
конечное открытое покрытие многообразия V. Это покрытие мы будем обоз-
обозначать через S8F.
Л ем м а 3. Среди покрытий ^существуют сколь угодно мелкие покры-
покрытия.
Пусть 11 = {(/Jiei — произвольное открытое покрытие многообразия
V. Так как V квазикомпактно, то это покрытие'можно считать конечным.
Кроме того, можно считать, что 1){ Ф 0 для всех i е /. Пусть Ft = V \ 1)г.
Множества Fit так же как и их объединение F = U ie/ Fb конечны. Покажем,
что S8F -< U. Пусть xeF. Так как множества иг покрывают многообразие V,
то найдется такой индекс i, что х$ F^ Следовательно, F \ {x}D Fb так
Как F D Ft. Это означает, что Vi D U. Таким образом, S8F < U. Так как
покрытие U произвольно, то лемма тем самым доказана.
Лемма 4. Для любого пучка Q- над многообразием V, любого конечного
подмножества F этого многообразия и любого числа пэ=2
Я" E8F,f?) = 0.
Пусть W = V \ F. Очевидно, что УF П • • • П V? = W, если п з= 1
и все точки Xq, ... , х„ различны. Отсюда следует, что в положительных
размерностях кососимметричный комплекс C'(9SF, (?) изоморфен комплексу
,C'(S(F),G), где S(F) — симплекс, множеством вершин которого является
27» - 5/о

420 Ж.-п. cepp
множество F, a G = F(W, (Ji). Так как группы когомологий симплекса триви-
тривиальны, то
Нп (S8F, ф)= W (S(F), G) = 0 при п ^ 2.
Из лемм 3 и 4 тривиальным образом следует
Предложение 4. Для произвольного пучка CJ-. над неприводимой
алгебраической кривой V группа Нп{ V, С?) при «&2 тривиальна.
Замечание. Автору не известно, имеет ли место аналогичный резуль-
результат для многообразий произвольной размерности.
§ 2. Градуированные модули и когерентные алгебраические пучки
над проективным пространством
54. Операция (J?n). Пусть CJi — произвольный алгебраический пучок
над пространством X = Pr(K), a Qit =<J%Ut) — части пучка CJi на множествах
иг (см. п. 51). Для произвольного целого числа п рассмотрим изоморфное
отображение 0„- пучка Qij(Ui П U3) на пучок <~ЫУг П Uj), получающееся
при умножении любого элемента первого пучка на функцию ЩЩ. Это отобра-
отображение имеет смысл, потому что у*4 является регулярной на Ut П U5 функ-
функцией, принимающей значения в группе К*. В любой точке пересечения
Ui П Uj П Uk, очевидно, имеем в^{п) о вм(п) = вш(п). Таким образом,
семейство пучков Cfa = (J-XV\) и изоморфизмов в^п) удовлетворяет условиям
предложения 4 п. 4 и, следовательно, определяет некоторый алгебраический
пучок, который мы будем обозначать через С?(п).
Очевидно, что имеют место естественные изоморфизмы <7^@) *** <7-,
С?(п)(т) ** Ч^1 + т)- Далее, пучок CJ.(n) когерентен, если когерентен пучок
Cfi, так как пучки Cf. и (Ji(n) локально изоморфны. Наконец для любой точной
последовательности Cf-_ -> Cf-' -> Cf." алгебраических пучков и любого п е Z
последовательность Cf{n) -> Cf.'(n) -> (f."(n) также точна.
Применяя изложенную конструкцию к пучку Qi — O, получим, в част-
частности, пучки О(п), neZ. Укажем другое описание этих пучков. Для любого
открытого множества U пространства X обозначим через Л^ подмножество
модуля Аи= Г(ж~\1)), Оу), состоящее из всех однородных функций степе-
степени п (т. е. из функций, удовлетворяющих тождеству /(Ду) = Д" /(у), где
Д е К* и у е яГ^С/)). Множества АЪ являются, очевидно, Л^модулями и,
следовательно, порождают некоторый алгебраический пучок, который мы
обозначим через О'(п). Любой элемент модуля О'(п)х, хеХ, можно рассматри-
рассматривать как рациональную дробь P/Q, где Р и Q — такие однородные многочлены,
что Q(x) ^0и deg Р — deg Q ~ п.
Предложение 1. Пучки О(п) и О\п) естественно изоморфны.
По определению сечением пучка О(п) над открытым множеством U С X
является такая система (Д) сечений пучка О над множествами U П Ui, что
fi = (tfjtf) fj над U П иг П Uj. Сечения /{ можно рассматривать как регу-
регулярные и однородные функции степени нуль над множеством л~г(и)р\ яГ1^)-
Пусть gt = ^Д; тогда g{ = gj в любой точке множества ^(LOn^K^On
П n^Uj). Следовательно, функции g{ являются частями одной и той же
функции g, регулярной на множестве яГ1^). Эта функция однородна, и
степень ее равна п. Обратно, любая обладающая этими свойствами функция
g определяет некоторую систему (Д): достаточно положить /{ = git?. Следо-
Следовательно, отображение (Д) -> g определяет изоморфное отображение пучка
О(п) на пучок О'(п).
В последующем мы, как правило, будем с помощью построенного изо-
изоморфизма отождествлять пучки О(п) и О'(п). Заметим, что сечения пучка
О'(п) над пространством X совпадают с регулярными над Y однородными
функциями степени п. Если г з= 1, то любая такая функция тождественно

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 421
равна нулю при п < 0 и является однородным многочленом степени п при
гсз= 0.
Предложение 2. Для любого алгебраического пучка Cf пучка Cf{n)
11 <7- ®о 0{п) естественно изоморфны.
Так как пучок О(п) получается из пучков О{ склеиванием с помощью
изоморфизмов вц(п), то пучок Cf. 0 О(п) получается из пучков CfA 0 0*
склеиванием с помощью изоморфизмов 1 (g) 0у(и). Остается заметить, что
пучок Cfx <S> Ot можно отождествить с пучком Cfc-
В последующем мы будем, как правило, отождествлять пучки Cf(n)
и Cf ® Ori).
55. Сечения пучка (fin). Докажем сначала одну лемму относительно
аффинных многообразий, совершенно аналогичную лемме 1 п. 45.
Лемма 1. Пусть V — аффинное многообразие, Q — регулярная на
многообразии V функция и VQ — множество таких точек х е V, что Q(x) ф 0.
Пусть Cf. — произвольный когерентный алгебраический пучок над V и s —
некоторое сечение пучка Cf над VQ. Тогда для любого достаточно большого
числа п существует такое сечение s' пучка Cf над всем многообразием V, что
s' = Qns над VQ.
Вложив многообразие V в аффинное пространство и тривиальным образом
продолжив пучок Cf вне многообразия V, мы сведем доказательство к случаю,
когда V является аффинным пространством и, следовательно, неприводимо.
Согласно следствию 1 теоремы 2 п. 45, существует эпиморфизм <р: О% -> Ср.
Согласно предложению 2 п. 48, множество VQ является аффинным открытым
множеством. Следовательно (п. 44, следствие 2 предложения 7), существует
такое сечение а пучка О\ надмножеством Vq, что <р(<т) = s. Сечение а можно
рассматривать как систему р регулярных на VQ функций. Применяя к каждой
из этих функций предложение 5 п. 43, получаем, что для достаточно боль-
большого п существует сечение а' пучка О\ над V, для которого </ = Qna над VQ.
Полагая s' = <р(<т'), получаем сечение пучка CJ-. над V, для которого s' = Qn s
над VQ.
Теорема 1. Пусть Cf. — произвольный когерентный алгебраический
пучок над пространством X = Ру(К). Существует такое целое число n(CJ),
что для всех п з* n((Jl) и для всех точек х е X Ох-модулъ (Jl(n)x порождается
элементами модуля Г(Х, Q^ri)).
По определению, произвольное сечение пучка (Ji(n) над пространством
X является системой (s{) сечений пучка Cf- над множеством Uit удовлетворя-
удовлетворяющих следующим условиям согласования:
st = (tflt?)Sj над Ut П U}.
Мы будем говорить, что сечение s{ является i-й компонентой сечения s.
С другой стороны, поскольку множество Ut изоморфно пространству
КТ, существует конечное число сечений s" пучка Cf. над Ub которые порождают
модули (Jix для всех точек х е 1/4 (п. 45, следствие 1 теоремы 2). Предположим,
что для некоторого целого числа п мы построили сечения sa пучка Ср.(п), г-е
компоненты которых совпадают с сечениями s". Тогда, очевидно, модуль
Г(Х, Cf.(n)) будет порождать модули (Щп)х для всех х е 1){. Таким образом,
достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 2. Пусть st — произвольное сечение пучка Cf. над множеством
и{. Для любого достаточно большого п существует сечение s пучка ff(n),
i-я компонента которого совпадает с сечением st.
Применим лемму 1 к аффинному многообразию V = U5, функции Q =
= ti/t; и сечению sit рассматриваемому на пересечении (/{ f| Ц- Это законно,
поскольку Ujtj является регулярной функцией на множестве Uj7 а ее нули
расположены в Uj \ 17{ П Uj. Согласно этой лемме, существует такое целое
число р и такое сечение s'j пучка Cf над множеством Uj, что s3; = (tf/tf) st

422 ж.-п. серр
над пересечением и{ П ?Л-. Полагая / = i, получаем s[ = si} так что si =
/.« / #Т)\ f
1аше построение определяет сечения s\ для любого индекса / (с одним
и тем же показателем р). Рассмотрим сечение s3! — (t%/tf)Sb. Это — сечение
пучка QI над Uj П Uh, равное нулю на пересечении Ut П Uj П Uh. Применяя
к нему предложение 6 п. 43, получаем, что (t*lfy (s'j — (#/ff) s?) = 0 над
Uj П ^ь для любого достаточно большого целого числа q. Полагая теперь
Sj = (*?/ф s} и л = р + q, получим s} = {^jtj)sh. Таким образом, система
s = (sj) является сечением пучка (Jin), /-я компонента которого равна s{.
Теорема доказана.
Следствие. Любой когерентный, алгебраический пучок CJ-, над про-
пространством X — РАК) изоморфен факторпучку некоторого пучка О(пу,
где п и р — надлежащим образом выбранные целые числа.
Действительно, согласно предыдущей теореме, существует такое целое
число п, что для любой точки х е X модуль Г(Х, С?(— л)) порождает модуль
С?,(—п)х. Ввиду квазикомпактности пространства X это равносильно тому, что
пучок Cf{—п) изоморфен факторпучку пучка Ор, где р — надлежащим образом
выбранное неотрицательное число. Отсюда следует, что пучок С?&С? (— п) (п)
изоморфен факторпучку пучка Oinf^O^n).
56. Градуированные модули. Пусть S = K[t0, ..., tr] — алгебра много-
многочленов от переменных t0, ... , tr. Для каждого целого числа п з= 0 обозна-
обозначим через Sn линейное подпространство алгебры S, образованное однород-
однородными многочленами степени п. Для п < 0 положим Sn = 0. Алгебра S яв-
является прямой суммой подалгебр Sn, neZ, причем SpSq dSp+q. Другими
словами, S является градуированной алгеброй.
Напомним, что S-модуль М называется градуированным, если задано
его разложение в прямую сумму М = У Мп некоторых подгрупп Мп,
nez
причем SpMqczMp+q для любой пары целых чисел (р, q). Элементы подгруппы
Мп называются однородными элементами степени п. Подмодуль N модуля
М называется однородным, если он является прямой суммой пересечений
N П Мп. В этом случае подмодуль N также является градуированным
S-модулем. S-гомоморфизм двух градуированных S-модулей М и М'
называется однородным степени s, если (р(Мп) с Мп+a Для всех п е Z.
Однородный S-гомоморфизм нулевой степени называется просто гомоморфиз-
гомоморфизмом.
Для любого градуированного S-модуля М и любого целого числа п
будем через М(п) обозначать градуированный S-модуль
для которого М(п)р = Мп+Р. Таким образом, S-модули М и М(п) совпадают,
но однородный элемент, имеющий в модуле М(п) степень р, будет в модуле
М иметь степень п + р. Другими словами, модуль М(п) получается из
модуля М Уменьшением степеней всех элементов на п единиц.
Класс градуированных S-модулей М, для которых Мп=0 при доста-
достаточно больших п, мы будем обозначать через <§. Для любой точной последо-
последовательности А-+В-+С градуированных S-модулей из включений Аеё,
Сеё, очевидно, следует, что В её. Другими словами, <§ является классом в
смысле [III], гл. I. Без дальнейших оговорок мы будем пользоваться терми-
терминологией, введенной в упомянутой статье. В частности, гомоморфизм q>: A -*¦
-*¦ В мы будем называть й-мономорфным (@.-эпиморфным), если Кет(<р)?©
(соответственно, если Сокег(<р)е@). Гомоморфизм одновременно g-эпиморфный
и <§-мономорфный мы будем называть й-изоморфизмом.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 423
Градуированный S-модуль М называется модулем конечного типа,
если он порождается конечным числом элементов. Говорят, что модуль М
удовлетворяет условию (TF), если существует такое целое число р, что под-
подмодуль ?Мп модуля М является модулем конечного типа. Модули, удовлет-
р
воряющие условию (TF), образуют класс, содержащий класс <§.
Градуированный S-модуль М называется свободным модулем (свободньш
модулем конечного типа), если он обладает базой (соответственно конечной
базой), состоящей из однородных элементов, т. е. если он изоморфен прямой
сумме (соответственно конечной прямой сумме) модулей S(n{).
57. Алгебраический пучок, соответствующий градуированному 5-модулю.
Для любого непустого подмножества U пространства X обозначим через
S(U) подмножество модуля S = K[t0, • •., tr], состоящее из таких однород-
однородных многочленов Q, что Q(x)^0 для любой точки хеСЛ Множество S(U)
замкнуто относительно умножения и не содержит нуля модуля S. В случае
когда U = {х}, мы вместо S({x}) будем писать S(x).
Пусть М — произвольный градуированный S-модуль. Множество всех
дробей mjQ, где теМ, Q&S(U) — однородные элементы одной и той же сте-
степени, мы будем обозначать через Mv. Две дроби m/Q и m'/Q' будем считать
равными, если
Q"(Q'm — Qm') = 0
для некоторого Q"eS(U). Очевидно, что отношение равенства рефлексивно,
симметрично и транзитивно. В случае, когда U ={х}, мы вместо М{х} будем
писать Мх. В частности, для М = S множество Sv является кольцом рацио-
рациональных дробей P/Q, где Р и Q — однородные многочлены одной и той же
степени и Q$S(U). Для произвольного градуированного S-модуля М поло-
положим
mjQ + rn'IQ' = (Q'm + Qm')/QQ',
(P/QXm/Q')= Pm/QQ'.
Тем самым множество Mv определяется как Sy-модуль.
Если U с V, то S(V)cS(U), так что определен естественный гомоморфизм
Следовательно, система (MUtSu), где U и V — произвольные непустые откры-
открытые множества пространства X, определяет некоторый пучок, который
мы будем обозначать через d(M). Очевидно, что
Mv = Мх,
т. е. с4(М)х — Мх. В частности, c4(S) = О. Так как модули Mv являются
Sy-модулями, то пучок с4(М) будет пучком о^5)-модулей, т. е. алгебраическим
пучком над пространством X. Любому гомоморфизму <р : М -*¦ М' естест-
естественным образом соответствуют Sy-линейные гомоморфизмы уу'. Mv -*¦ М'и
и, следовательно, гомоморфизм пучков с4(<р): с?(М) -*¦ с4(М'). Этот гомо-
гомоморфизм мы будем, как правило, обозначать просто через <р. Очевидно,
что
Таким образом, операция еА{М) является ковариантным аддщивным функ-
функтором, определенным на категории градуированных S-модулей и принима-
принимающим значения в категории алгебраических пучков над пространством X.
(Изложенные определения вполне аналогичны определениям, данным
в § 4 гл. II. Заметим, однако, что множество Sv не совпадает с кольцом част-
частных алгебры S по множеству S(U), а является лишь его однородной компо-
компонентой нулевой степени.)

424 Ж.-П. СЕРР
58. Элементарные свойства функтора d(M).
Предложение 3. Функтор Jf(M) точен.
Покажем, что для любой точной последовательности М —-»¦ М' — ¦* М"
градуированных S-модулей последовательность Мх —-»¦ Мх —-*¦ Мх также
точна. Пусть m'/Q?Mx— произвольный элемент ядра отображения /?. По
определению модуля М'х, существует такой многочлен /?eS(x), что R /?(m') =
= 0. Но тогда существует такой элемент теМ, что а(п) = Rm'. Следовательно,
odjnlRQ) = m'/Q. Тем самым предложение доказано. (Ср. лемму 1 п. 48.)
Предложение 4. Для любого градуированного S-модуля М и
любого целого числа п пучок d(M(n)) естественно изоморфен пучку &1(М)(п).
Пусть /е/, хе?/? и mjQ^M{n)x, где т&М(п)р, QeS(x) и deg Q = р. Поло-
Положим
Пи x(jnlQ) = m/tl Q е Мх,
что законно, так как т&Мп+р и f!?QeS(x). Легко видеть, что для любой точки
xeUi так определенные отображения r\Ux : М(п)х^ Мх являются изоморфиз-
изоморфизмами. Следовательно, эти отображения определяют над множеством U{
некоторый изоморфизм пучка ol(M(n)) на пучок сА(М). Кроме того, %о щх =
= вц(п) над пересечением Ut П Us. Вспоминая определение операции Г^(п)
и учитывая предложение 4 п. 4, получим отсюда, что пучок с4(М(п)) изо-
изоморфен пучку с4{М){п).
Следствие. Пучок d{S(n)) естественно изоморфен пучку О(п).
Действительно, мы знаем, что пучок cA(S) изоморфен пучку О.
(Впрочем, очевидно и непосредственно, что пучок c4{S(n)) изоморфен
пучку О'(п), так как модуль О'(п)х как раз и состоит из таких рациональных
дробей P/Q, что deg.P — deg Q = п и Q&S(x).)
Предложение 5. Для любого градуированного S-модуля М, удов-
удовлетворяющего условию (TF), алгебраический пучок сА(М) является когерент-
когерентным пучком. Кроме того, dL(M) = 0 тогда и только тогда, когда Ме<§.
Если Ме<§, то для любого элемента теМ и любой точки хеХ существует
такой многочлен Q&S(x), что Qm = 0. Действительно, за Q можно принять
любой однородный многочлен достаточно высокой степени. Следовательно,
Мх = 0, и потому сА(М) =0. Пусть теперь М — произвольный градуирован-
градуированный S-модуль, удовлетворяющий условию (TF). Очевидно, что в модуле
М существует такой однородный подмодуль N конечного типа, что M/N&e.
Следовательно, согласно только что доказанному, oiiM/N) = 0. Поэтому
из предложения 3 следует, что естественное отображение сА(Щ -»dL(M)
изоморфно. Таким образом, достаточно доказать когерентность пучка d(N).
Так как N является модулем конечного типа, то существует точная последо-
последовательность L1 -» L0 -> N -> 0, в которой модули L0 и L1 являются свобод-
свободными модулями конечного типа. Соответствующая последовательность
пучков c&(Lx) -> c4(L°) -> <d{N) -> 0 точна, в силу предложения 3. С другой
стстроны, согласно следствию из предложения 4,?пучки cA(L°) и cA{Lx) изо-
изоморфны конечным прямым суммам пучков О(щ). Следовательно, эти пучки,
а значит, и пучок ck(N) когерентны.
Пусть, наконец, М — градуированный S-модуль, удовлетворяющий
условию (TF), для которого сА(М) = 0. Ввиду сказанного в предыдущем
абзаце можно считать этот модуль модулем конечного типа. Для любого
однородного элемента т модуля М обозначим через ат аннулятор этого
элемента, т. е. множество всех многочленов Q&S, для которых Qm = 0.
Очевидно, что а^ является однородным идеалом. Далее, так как для любой
точки хеХ, по условию, Мх = 0, то многообразие нулей идеала Ощ в прост-
пространстве Kr+1 либо пусто, либо состоит только из точки {0}. Отсюда, согласно
теореме Гильберта о нулях, следует, что любой однородный многочлен
достаточно большой степени принадлежит идеалу ат. Применяя это сообра-
соображение к некоторой конечной системе образующих модуля М, немедленно

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 425
получаем, 'что Мр = О для достаточно большого р. Тем самым предложе-
предложение полностью доказано.
Сопоставляя предложения 3 и 5, получаем
Предложение 6. Пусть М и М' — произвольные градуирован-
градуированные S-модули, удовлетворяющие условию (TF), и <р : М -> М' — некоторый
гомоморфизм модуля М в модуль М'. Отображение
тогда и только тогда мономорфно (соответственно эпиморфно, изоморфно),
когда гомоморфизм <р является ©-мономорфизмом (соответственно й-эпи-
морфизмом, ©-изоморфизмом).
59. Градуированный S-модуль, соответствующий алгебраическому пучку.
Для любого алгебраического пучка (? над пространством X положим
2
nez
где ПЮп = ЧХ,(Пп)).
Группа Г(С?) по определению является градуированной группой. Введем
в эту группу строение S-модуля. Пусть seT(X,(J^q)) и P&SP. Многочлен Р
можно рассматривать как сечение пучка О(р), а следовательно, произведе-
произведение Р 0 s — как сечение пучка О(р) 0 Cf{q) = Cfcq) (p) = Cf{p + q)
(см. п. 54). Так определенное сечение пучка (J^p + q) мы будем обозначать
вместо Р (g) s через Ps. Отображение (Ps) -> Ps вводит в группу ДГ^)
согласованное с градуировкой строение S-модуля.
Сечение Ps можно также определить с помощью его компонент над
множествами ?/{. Если компонентами сечения s являются сечения SieF^U^Q1)
(напомним, что s{ = (ff/ff) s^ над U^U,), то (Р s)t = (P/ff) st. Эта фор-
формула имеет смысл, потому что дробь Pjtf является регулярной функцией
на Ut.
Для того чтобы сравнить функторы ^Л/) и Г@), мы должны определить
два естественных гомоморфизма
Определение гомоморфизма к. Пусть М — произволь-
произвольный градуированный S-модуль. Для любого однородного элемента нуле-
нулевой степени т&М0 модуля М определен элемент т/1 модуля Мх. Так как
элемент т непрерывно меняется вместе с точкой хеХ, то, следовательно, он
определяет некоторое сечение а(т) пучка ai(M). Далее, любой однородный
элемент т степени п является однородным элементом нулевой степени модуля
М(п) и, следовательно, определяет некоторое сечение х(т) пучка сёМ(п)) =
= с?(М)(п) (см. предложение 4). Тем самым определяется отображение
а : М -+Г(с4(М)), являющееся, очевидно, гомоморфизмом.
Определение гомоморфизма /3. Пусть QI — произвольный
алгебраический пучок над пространством X, a s/Q — произвольный элемент
модуля ЦС?)Х, где ser(X,Cfc(n)), QeSn и Q(x) 9^ 0. Функция 1/Q однородна,
имеет степень —п и регулярна в точке х. Поэтому ее можно рассматривать
как сечение пучка О(—п) в окрестности точки х, а следовательно, произ-
произведение 1/Q 0 s — как сечение пучка О(—п) 0 Cf{n) = qp,. Пусть PJ^s/Q) —
соответствующий элемент модуля (Jix (очевидно,, что он зависит только
от sjQ). Гомоморфизм Рх'о$(Г(ф)) -* (Jix можно также определить, используя
компоненты s{ сечения s, так как Px(sIQ) = (tflQ)si(x) Для любой точки
xet/j. Совокупность гомоморфизмов (}х определяет, очевидно, некоторый
гомоморфизм /3 : с4(Г(С?)) -> Qi.
Связь между гомоморфизмами а и /3 описывается в следующих предло-
предложениях, доказательство которых сводится к непосредственному подсчету.

426 Ж.-П. СЕРР
Предложение 7. Для любого градуированного S-модуля М состав-
составной гомоморфизм с4(_М) ->¦ с4(Г(о4(М))) -> с4(М) является тождественным
отображением.
(Первый гомоморфизм определяется отображением к : М ~+Г (CJ{M)),
а второй является отображением /3, построенным для пучка ff = d{M)).
Предложение 8. Для любого алгебраического пучка Cfнад про-
пространством X составной гомоморфизм F{Cf) -> r(c?(T((f))) ->¦ Г(С?) явля-
является тождественным отображением.
(Первый гомоморфизм является отображением а, построенным для
модуля М = F(Cf), а второй определяется отображением /3 : <J(r(Cf)) -> Cf.)
В п. 65 мы покажем, что для когерентного пучка Cf отображения
/3 : cMT{Cf)) -»- Cf изоморфны и что для любого модуля М, удовлетворяющего
условию (TF), отображение а: М ->Г(с4(М)) является «©-изоморфизмом.
60. Случай когерентных алгебраических пучков. Докажем сначала
следующий предварительный результат.
Предложение 9. Если алгебраический пучок Л над пространством
X является прямой суммой конечного числа пучков 0{щ), то модуль Г(Л)
удовлетворяет условию (TF), а отображение р : d(I\jS)) -*¦ Л. изоморфно.
Общий случай немедленно сводится сначала к случаю Л = О(п), а затем
к случаю Л = О. В последнем случае известно, что I\O(p)) = Sp для р э= 0.
Следовательно, SdI\O) и соответствующий фактормодуль принадлежит
классу <g. Отсюда, во-первых, следует, что модуль Гф) удовлетворяет усло-
условию (TF), и, во-вторых, что ср1(Г(О)) = ot(.S) = О. Тем самым предложение
доказано.
(Заметим, что Г(О) = S, если г з» 1. Напротив, если г = 0, то модуль
Г(О) даже не будет S-модулем конечного типа.)
Теорема 2. Для любого алгебраического пучка QI над пространством.
X существует градуированный S-модуль М, удовлетворяющий условию (TF),
для которого пучок <^(М) изоморфен пучку Ср„
Согласно следствию теоремы 1, существует точная последовательность
алгебраических пучков Л1 -^-*- Л° -> Cf, -* 0, в которой Л1 и Л° удовле-
удовлетворяют условиям предыдущего предложения. Пусть М — коядро гомо-
гомоморфизма Г(<р): Д^) -* Г(Л9). Согласно предложению 9, модуль М
удовлетворяет условию (TF). Применяя функтор d к точной последова-
последовательности Г{ЛУ) -* Г(Л°) -* М -*¦ 0, мы получим точную последовательность
<Л(Г(Л1)) -* сЛ(ЦЛ°)) -* сЛ(М) - 0.
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:
> О
.1 .1
ч- ч-
?)¦ -* Л? -* Cf -* О
Согласно предложению 9, оба вертикальных отображения являются изо-
изоморфизмами. Следовательно, пучок сА(ЬА) изоморфен пучку Cf.
§ 3. Когомологии проективного пространства с коэффициентами
в некотором алгебраическом пучке
61. Комплексы Ch(M) и С(М)- Мы сохраним обозначения, введенные
в пп. 51 и 56. В частности, через / будем обозначать числовой отрезок
{0, 1, ...,/•}, а через S — градуированную алгебру K[t0, ..., tr].

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 427
Пусть М — произвольный градуированный S-модуль, а А: и q — целые
неотрицательные числа. Рассмотрим группу С%(М), элементами которой
являются отображения
(f0, ...,*,)->/л < f0... iq >,
относящие любой (q + 1)-членной последовательности (io,...,iq) чисел
отрезка / однородный элемент степени k(q + 1) модуля М, кососимметрич-
еский по i0,.. .,iq. В частности, m(i0.. .iq}~ О, если среди индексов г0,...
..., iq имеются совпадающие. Сложение в группе С%(М), а также умножение
на элементы АеК определяются очевидным образом. Таким образом, группа
С1(М) является векторным пространством над полем К.
Для произвольного элемента т группы С\(М) определим элемент dme
еС%+\М), положив
i-9+i
(am) i t0 ... tq+1 ) = 2L, \—ч нт do • • • tj • • • iq+i >•
Непосредственным подсчетом легко проверить, что dod = 0. Следовательно,
q-r
прямая сумма СК(М) = ? Cj&M), снабженная кограничным оператором d,
является комплексом. Группы когомологий этого комплекса обозначаются
через Щ(М).
(Заметим, что, следуя [119], можно дать другую интерпретацию элемен-
элементов групп С%(М). Именно, вводя г + 1 дифференциальных симеолов
dXf,,.. .fdx,., отнесем каждому элементу теС^М) „дифференциальную форму"
степени q + 1
(От = 2 Ш< 'о •••':> fai. A • • • Л dXit.
i-r
Полагая aft == Д] $ dxit получим
<Odm = «ft Л <От-
Другими словами, кограничный оператор соответствует операции внеш-
внешнего Умножения на форму aft.)
Для любого целого числа h з» к определим гомоморфизм gjj: С\(М) ->
-»• С%(М), положив
Qk(m) < 'о • • • iq > = (^i. • • • ti,)h~k m < 'о • • • 'g>-
Очевидно, что g|J od — d ° ей и gj, ogg = д1к) если к «s ft «s/. Следовательно,
индуктивный предел С(М) прямого спектра (Ск(М),дъ) при к -* + °° естест-
естественным образом можно определить как комплекс. Группы когомологий
этого комплекса мы будем обозначать через Н\М). Поскольку операция
перехода к группе когомологий перестановочна с операцией взятия индук-
индуктивного предела (см. [68], гл. V, предложение 9.3*), то
Любому гомоморфизму (р : М -* М' отнесем гомоморфизм
положив <р(т) <i0 ... ig> = <р(т <f0 ... ig».
В пределе эти гомоморфизмы порождают некоторый гомоморфизм
<р : С(М) -> С(М'). Очевидно, что эти гомоморфизмы перестановочны с ко-
кограничным оператором и поэтому определяют гомоморфизмы
у: Щ(М) -> НЦМ') и <р: Н%М)-+Н«(М').
Любой точной последовательности модулей 0 -»¦ М -> М' -> М" -»¦ О
соответствует точная последовательность комплексов 0 -»¦ Ck(M) -> Ck(M') -*¦

428 Ж.-П. СЕРР
-> Ck(M") -»О, а последней — точная последовательность групп когомо-
логий
Следовательно, аналогичные точные последовательности имеют место
для комплексов С(М) и групп когомологий Н\М).
Замечание. Далее мы покажем (см. п. 69), что группы когомологий
Н%(М) выражаются через операции Ext|.
62. Вычисление групп когомологий Щ(М) для некоторых модулей М.
Пусть М — произвольный градуированный S-модуль. Очевидно, что для
любого однородного элемента теМ нулевой степени система (thm) явля-
является нульмерным коциклом комплекса Ск(М). Мы будем этот коцикл обоз-
обозначать через хк(т) и будем отождествлять его с его классом когомологий.
Таким образом определяется К-линейный гомоморфизм xh: Мо -» Н%(М).
Так как xh = ek°xh, если h э== к, то в пределе гомоморфизмы хк определяют
некоторый гомоморфизм х : Мо -> Н°(М).
Введем еще два обозначения:
Для любых элементов (Ро, ..., Ph) алгебры S будем через (Ро,..., Ph)M
обозначать подмодуль модуля М, состоящий из всех элементов вида 2 Ргть
где mfiM. Для однородных многочленов Р4 этот подмодуль однороден.
Для произвольного многочлена P&S и любого подмодуля N модуля
М будем через N : Р обозначать подмодуль модуля М, состоящий из таких
элементов теМ, что PmeN. Очевидно, что N:PZ)N. Если подмодуль N
и многочлен Р однородны, то и подмодуль N: Р однороден.
Эти обозначения позволяют сформулировать следующее
Предложение 1. Пусть М '— произвольный градуированный
S-модуль, а к—-неотрицательное целое число. Предположим, что для каждого
индекса г'е/
(%,..., tU)M:t\ = (tb, ...,tl_x)M.
Тогда
(a) отображение а.к : Мо -+ Н%{М) изоморфно (если г^ \);
(b) НЦМ) = 0 для 0<q<r.
(При г = 0 условия теоремы означают, что из f?m = 0 следует т —
= 0.)
Это предложение является частным случаем одного результата де Рама
[119J (результат де Рама также верен, если не предполагать, что элементы
т < f0.. Aq > однородны). См. также [68], гл. VIII, § 4, где рассмотрен част-
частный случай, вполне достаточный для приложений, которые мы имеем в виду*.
Применим предложение 1 к градуированному S-модулю S(n).
Предложение 2. Пусть к — неотрицательное, an — произвольное
целые числа. Тогда
* Если <**(т) = 0, то, в частности, Щт = 0 и, следовательно, т = 0. Таким образом,
отображение а* мономорфио. Далее, пусть т <( i ) — произвольный нульмерный коцикл
комплекса Сь(М). Тогда для любых i,j
«f</>«}<f>- ' 0)
В частности, t{ т < 0 > = fj m< I >, т.е. т < 0> € (fj) M: t$ = (fj) M. Другими словами,
существует такой элемент т 6 Мо, что т < 0 > = <*т. Следовательно, полагая в A)
/ = 0, получим
откуда
т < i > = i\ m,
т. е. т ' i У = ак(т). Таким образом, отображение аъ эпиморфно. Тем самым утверж-
утверждение (а) доказано.
Доказательство утверждения (Ь) аналогично. — Прим. ред.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 429
(a) отображение хк: Sn -*¦ H%(S(n)) изоморфно {если г э= 1);
(b) Щ(п))=0для0<д<г,
(c) классы когомологий одночленов ?<?.. .t$% для которых О =s a.{ =s k a
i—r
2j<*i= k(r+ 1)+ п, образуют базу (над К) группы Hl(S(n)).
г = 0
S-модуль S(n) удовлетворяет, очевидно, условиям предложения 1, что
и доказывает утверждения (а) и (Ь). С другой стороны, Щ(М) =
= Mk(r+1)/(t%, ..., tl) Mhr для любого градуированного S-модуля М.
Но одночлены
образуют базу модуля S(n)k(r+1) и те из этих одночленов, для которых хотя
бы один показатель х-% не меньше к, образуют базу модуля ((„, ... , t*)S (n)hr.
Тем самым доказано и утверждение (с).
Удобно записывать показатели а{ в виде х{ = к — /3{. Условия, указан-
указанные в (с), записываются тогда следующим образом:
Второе условие, соединенное с условием & > 0, дает f}{ =s — п — г.
Следовательно, если к э== — п — г, то условие ft =s к является следствием
условий ft > 0 и _2" ft = — п. Таким образом, имеем
i-0
Следствие 1. Для к э=— п — г группа когомологий ЩШп)) обладает
базой, состоящей из классов когомологий одночленов (t0 ... trf/t^° ... t$', где
ft > 0 и lj?B< = — п.
Далее, имеет место
Следствие 2. Если Л э== ks* — п — г, то для любого q з= 0 гомо ¦
морфизм
является изоморфизмом.
Для цч^т это следует из утверждений (а) и (Ь) предложения 2, а для
q = г это вытекает из следствия 1, потому что отображение р? преобразует
одночлен (^0. ..trf/tfr. ..$.' в одночлен (t0... tr)h]tfr... t?r.
Следствие 3. Если г э== 1 или п s= 0, то гомоморфизм х :Sn -> H°(S(ri)),
является изоморфизмом. Если 0 < q < г, то H\S(n)) = 0, а размерность
над полем К векторного пространства Hr(S(n)) равна ( ) •
Утверждение, относящееся к гомоморфизму х, для случая г = 0, п з= О
очевидно, а для случая г& 1 немедленно следует из предложения 2(а).
Остальные утверждения очевидным образом вытекают из следствий 1 и 2
(уславливаемся, что биномиальные коэффициенты ( ) равны нулю, если а < г).
63. Общие свойства групп когомологий Н\М).
Предложение 3. Пусть М—градуированный S-модуль, удовлетворя-
удовлетворяющий условию (TF). Тогда
(a) существует такое целое число к(М), что для h э== к s= к (М) и любого q
отображение g&: Я^(М) -»¦ Н%(М) изоморфно;
(b) для всех q э» 0 размерность над полем К векторного пространства
Н\М) конечна;
(c) существует такое целое число п(М), что при п з» п(М) отобра-
отображение х\ Мп -»- Н°(М(п)) изоморфно, а группа Н%М(п)) равна нулю для
всех q > 0.

430 Ж.-п. серр
Очевидно, что достаточно рассмотреть случай, когда модуль М имеет
конечный тип. Говорят, что модуль М конечного типа имеет размерность
=s s (s—целое неотрицательное число), если существует точная последова-
последовательность]
О -> L8 -> L8 -+.. .-> U> -> М -> О,
в которой L* являются градуированными свободными S-модулями конечного
типа. Согласно теореме Гильберта о сизигиях (см. [68], гл. VIII, теорема
6,5), эта размерность не превосходит г + 1.
Докажем предложение 3 индукцией по размерности модуля М. Если
его размерность равна нулю, то М — свободный модуль конечного типа,
т. е. является прямой суммой модулей S(nt). В этом случае предложение
немедленно вытекает из следствий 2 и 3 предложения 2.
Предполагая теперь, что предложение 3 справедливо для любого модуля
размерности =s s—1, рассмотрим произвольный модуль М размерности s.
Пусть N — ядро отображения L0 ->¦ М. Градуированный S-модуль N
имеет размерность ^s — 1 и связан с модулем М точной последовательностью
Согласно предположению индукции, предложение 3 справедливо для
модулей N и L0. Применяя лемму о пяти гомоморфизмах ([145], гл. I, лемма
4.3)* к коммутативной диаграмме
H%(N) -> Щ(Ь°) -> Щ(М) -> H%+1(N) -> Щ+\Ь°)
4-111 4-
ЩAЯ) -> Hl(U>) -> НЦМ) -+ Hl+\N) -> Hl+1(L°)
где Л з= к з» max(k(N), к (L0)), немедленно получим (а). Из (а), очевидно,
следует (Ь), так как пространства Н%,(М) имеют конечную размерность над
К. С другой стороны, из точности последовательности
Hq(L°(n)) -> Н%М(п)) -* W9+!(N(n))
следует, что Hq(M(ri)) = 0 для п з» max (n(L°), n(N)). Рассмотрим, наконец,
коммутативную диаграмму
О -> iVM -*. Ln ^ AfM -> 0
п
0 -+ H°(N(n)) -+ H°(L°(n)) ¦* Н°(М(п)) ¦* H4N(n))
Для п s* n(N) имеем H\N(n)) =0 и, следовательно, при п з»
=э= max (n(L0),n (JV)) гомоморфизм х: Мп -*¦ Н\М(п)) является изоморфизмом.
Предложение 3 полностью доказано.
64. Сравнение групп Н\М) и Н%Х, с4{М)). Пусть М — произвольный
градуированный S-модуль, a d(M)— алгебраический пучок над простран-
пространством X = Р,(К), соответствующий модулю М в смысле п. 57. Сравним
комплекс С(М) с комплексом C'(U, с4(М)), т. е. с комплексом кососимме-
тричных коцепей покрытия 11= {174}46/ с коэффициентами в пучке oi(M).
Пусть т е Q(M) и пусть (г'о, ... , iq) — произвольная (q + 1)-членная
последовательность чисел из отрезка /. Многочлен (tu... tuf принадлежит,
очевидно, множеству S(UU... ie) (см. обозначения, введенные в п. 57). СлеДй-
вательно, дробь m(i0... iqyj(tu... tuf принадлежит модулю Mv, где U =
= Ut,.. .ij, и поэтому определяет некоторое сечение пучка с4(М) над множеством
Uu ... и. Таким образом, меняя индексы (f0, ... , iq), мы получим некоторую
кососимметричную ^-мерную коцепь покрытия U со значениями в пучке
с4(М). Эту коцепь мы будем обозначать через ih(m). Очевидно, что так опре-
* См. также примечание* на стр. 60. — Прим. ред.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 431
деленный гомоморфизм ik перестановочен с оператором d. Кроме того, если
h ss к, то ik = in о g?. Следовательно, гомоморфизмы ik порождают в пределе
некоторый гомоморфизм i: С(М) -* C'(U, ct(M)), перестановочный с опе-
оператором d.
Предложение 4. Если модуль М удовлетворяет условию (TF), то
гомоморфизм »: C(M) -»¦ C'(U, dt{M)) является изоморфизмом.
Если М е ё, то М„ = 0 для п =э= п„ и, следовательно, Cft(M) = 0 для
Л & п0, т. е. С(М) — 0. Так как каждый S-модуль, удовлетворяющий условию
(TF), б-изоморфен модулю конечного типа, то можно, следовательно, огра-
ограничиться случаем, когда модуль М является модулем конечного типа. Для
любого модуля М конечного типа рассмотрим точную последовательность
L1 -*¦ L0 -*¦ М -»¦ 0, где L1 и L0 — свободные модули конечного типа.
Согласно предложениям 3 и 5 п. 58, соответствующая последовательность
cA{U) - cA{U) -* сА(М) -> 0
будет точной последовательностью когерентных алгебраических пучков.
Так как Ui,...i, является открытым аффинным множеством, то последова-
последовательность
C'(U, ^(L1)) ¦* С'(й, cA(L«)) ¦* C'(U, <Л(М)) - О
точна (см. п. 45, следствие 2 теоремы 2). Из коммутативной диаграммы
СA*) -* C(L°) -* С(М) -> О
J J J I
ч- ч- ¦ + +
C'(U, ^(L1)) - C'(U, c^(L0)) - C'(U, c^(M)) - О
следует тогда, что предложение 4 справедливо для модуля М, если оно верно
для модулей L1 и IP. Таким образом, мы можем пердполагать модуль М
свободным модулем конечного типа. Ввиду того что любой свободный модуль
конечного типа является прямой суммой модулей типа S(n), можно даже
считать, что М = S(n).
Но c7^(S(n)) = O(ri). Любое сечение /i,...if пучка О(п) над множеством
?Л,..л, является, согласно определению этого пучка, некоторой регуляр-
регулярной однородной функцией степени п над пересечением Vio П • • • П ^i5-
Так как пересечение Vu fl • • • П У и является множеством точек простран-
пространства Кг+\ в которых функция tu... tu не равна нулю, то существует такое
целое число к, что :
где P<i0... I' > — однородный многочлен степени п + Щ +\), т. е. степени
k(q + 1) в S(n). Итак, любая кососимметричная коцепь / е C'(tl, (9(n)) опре-
определяет систему P<io...ig> многочленов, т. е. некоторый элемент модуля
Cft(S(n)). Это соответствие порождает, очевидно, гомоморфизм
Непосредственно проверяется, что 4<>»>=1и»>о4=1. Таким образом,
отображение t является изоморфизмом. Предложение 4 тем самым доказано.
Следствие. Для любого q =э= 0 отображение i индуцирует изоморфное
отображение группы Н%М) 'на группу Н\Х, d(M)).
Действительно, как мы знаем, Н'%П, оЦМ)) = H\U, сЛ(М)) (п. 20,
предложение 2) и H%Vl, с4(М))= Н\Х, с?(М)) (п. 52, предложение 2, которое
применимо, потому что пучок с?(М) когерентен).
Замечание. Легко видеть, что отображение i: С(М) -»- C'(U,
мономорфно, даже если модуль М не удовлетворяет условию (TF).

432 Ж.-П. СЕРР
65. Приложения.
Предложение 5. Для любого удовлетворяющего условию (TF)
градуированного S-модуля М определенный в п. 59 гомоморфизм х : М -»¦
-*¦ Г(сА(М)) является ё-изоморфизмом.
Нужно показать, что для достаточно большого целого числа п отображе-
отображение <х: Мп -»¦ Г(Х, сА{М{п))) является изоморфизмом. Но, согласно предло-
предложению 4, модуль Г(Х, <??(М(п))) можно отождествить с группой Н°(М(п)).
Остается, следовательно, воспользоваться предложением 3(с), имея в виду,
что при этом отождествлении гомоморфизм х переходит в гомоморфизм,
определенный в начале п. 62 и обозначенный там также через к.
Предложение 6. Для произвольного когерентного алгебраического
пучка (J-, над пространством X градуированный S-модуль F(Gl) удовлетворяет
условию (TF) и определенный в п. 59' гомоморфизм /3: с?(Г{(ф)) —*¦ (J-, является
изоморфизмом.
Согласно теореме 2 п. 60, можно считать, чтог^ = с4(М), где М — неко-
некоторый модуль, удовлетворяющий условию (TF). Согласно предыдущему
предложению, отображение х: М -*¦ Г(о4(М)) является (g-изоморфизмом.
Так как модуль М удовлетворяет условию (TF), то отсюда следует, что
модульГ(сЖ{М)) также удовлетворяет этому условию. Применяя предложение
6 п. 58, получаем, следовательно, что отображение х : <у$(М) -*• оН,Г (с4(М)))
изоморфно. Поскольку составное отображение oi(M)—+oi(r(oi(M$-2-+ oi(M)
является тождественным отображением (п. 59, предложение 7), то отобра-
отображение /3 также изоморфно. Предложение доказано.
Предложение 7. Для произвольного когерентного. алгебраического
пучка (J-, над пространством X и любого q s= 0 группа Н%Х, С$) является
конечномерным векторным пространством над полем К и Hq(X,(Ji(n))= 0
для всех q > 0 и достаточно большого п.
Как и выше, можно предполагать, что <7:=сДМ), где М — некоторый
модуль, удовлетворяющий условию (TF). Предложение вытекает тогда и
из предложения 3 и из следствия предложения 4.
^Предложение 8. Если 0<q < г, то Н\Х, О(п)) = 0. Группа
НГ(Х, О(п)) является векторным пространством размерности ( ) над
полем К и имеет базу, состоящую из классов когомологий кососимметричных
коциклов покрытия U вида
/о!...г =
zie
/??>0 и 2Pt = — n.
г-0
Как мы знаем, О(п) = cA(S(n)), откуда, согласно следствию предложения
4, вытекает, что Н\Х, О(п)) = Hq(S(n)). Остается сослаться на следствия
предложения 2.
Заметим, в частности, что группа Нг(Х,О(—г—1)) является одно-
одномерным векторным пространством над К и имеет оазу, состоящую из класса
когомологий коцикла /oi... г = l/t0.. .tr.
66. Когерентные алгебраические пучки над проективными многообра-
многообразиями. Пусть V — произвольное замкнутое подмногообразие проективного
пространства X = Р^К) и Cf. — некоторый когерентный алгебраический
пучок над многообразием V. Тривиальным образом продолжая пучок Qi
на все пространство X, мы получим когерентный алгебраический пучок над
пространством Х(см. п. 39). Обозначим его через Cf*. Как мы знаем,
Н\Х, Cfcx) = H%V, (JI). Результаты предыдущего пункта можно применить,
следовательно, к группам H9(V,(Ji). Таким образом, получаем (учитывая
результаты п. 52) следующий результат:

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 433
Теорема 1. Группы H9(V, Cfc) являются конечномерными векторными
пространствами над полем К. Для q > dim V эти группы тривиальны.
В частности, для q = 0 получаем
Сле-дствие. Модуль F(V,Cfc) является конечномерным векторным
пространством над полем К.
(Можно предполагать, что теорема 1 справедлива для любых полных в
смысле Вейля [32] многообразий.)
Пусть U\ — U{ П V. Множества U[ образуют открытое покрытие W
многообразия V. Для любого алгебраического пучка QI над многообразием
V через Г7н обозначим пучок (Ji(U[), через бу-(п) — изоморфное отображение
пучка ^(Щ П Uj) на пучок CJi^Ul^U'j), определенное с помощью умно-
умножения на (fy/f{)n, и через Г^(п) — пучок, полученный склеиванием пучков
Cfc посредством изоморфизмов Qi}{n). Операция ф(п) имеет те же свойства,
что и операция, определенная в п. 54, которую она обобщает. В частности,
пучок (J4ji) естественно изоморфен произведению Qi 0 Ov(n).
Очевидно, что (J-X(n) = С?(Р)Х. Следовательно, применяя теорему 1
п. 55 и предложение 7 п. 65, получаем:
Теорема 2. Для любого когерентного алгебраического пучка CJi над
многообразием V существует такое целое число miff!), что при п з= т(с?):
(a) Для любой точки xeV 0ХуУ-модуль С?(п)х порождается элементами
модуля F(V, (J-(n)).
(b) H\V,(JXn)) = 0 для всех q > 0.
Замечание. Важно отметить, что пучок Q^n) зависит не только
от пучка Cf и числа п, но и от вложения многообразия V в проективное прост-
пространство X. Для того чтобы уточнить это замечание, рассмотрим прообраз
лгЧУ) как главное расслоенное пространство Р со структурной группой
К*. Для любого целого числа п определим группу К* как группу операторов
поля К, положив
(X, ft) ^ X-n/i, где Я6К* и fie К.
Пусть Еп = Рхк*К— расслоенное пространство, ассоциированное с прост-
пространством Р, слоем которого является поле К и структурной группой — группа
К*, определенная как группа операторов, согласно указанной формуле.
Пусть i(En) — пучок ростков сечений пространства Еп (см. п. 41). Имея в
виду, что ti/tj являются координатными функциями расслоенного простран-
пространства Р, немедленно получаем, что пучок <$(Еп) естественно изоморфен пучку
Оу(п). Из формулы С?(п) = С? (g) Oy{n) = CJ-, (g) S(En) следует тогда, что опе-
операция Cf, -> Cfin) зависит только от класса расслоенного пространства Р,
определенного вложением V -> X. В частности, если многообразие V нор-
нормально, то пучок (J-(n) зависит только от класса линейной эквивалентности
гиперплоскостных сечений многообразия V в рассматриваемом вложении
(см. [34]).
67. Дополнение. Для любого градуированного S-модуля М, удовлет-
удовлетворяющего условию (TF), мы будем обозначать через М градуированный
S-модуль Г{с4^М)). Как мы уже видели в п. 65, естественное отображение
«: М -> М является ё-изоморфизмом. Укажем условия, при выполнении
которых отображение ж является изоморфизмом.
Предложение 9. Отображение ос'. М -> Мп тогда и только
тогда изоморфно, когда выполнены следующие условия:
(П Если т е М и (гт = 0 для всех i б /, то т — 0.
B) Если однородные и имеющие одну и ту же степень элементы т{ е М
для любой пары (г, /) удовлетворяют соотношению Цтг — <{т5- = 0, то
существует элемент те М, для которого mt = ttm.
Для доказательства необходимости условий A) и B) покажем, что
они имеют место в модуле М°. Элемент т, фигурирующий в условии A),
можно, очевидно, считать однородным, т. е. считать некоторым сечением
.28 Расслоенные пространства

434 Ж.-п. серр
пучка ci(M(ri)). В этом случае из условия f{m = 0 следует, что сечение т
равно нулю над множеством U{. Так как это имеет место для любого i 6 /,
то действительно т = 0. Для доказательства необходимости условия B)
обозначим через п степень элементов т{. Таким образом, тгеГ(с4(Щп))).
Так как функция 1/<{ является сечением пучка О(— 1) над множеством
Ui, то дробь niijti будет сечением пучка с4{М(п— 1)) над и{. Следовательно,
условие tpii — \гщ = 0 означает, что сечения т{/<{ являются частями
некоторого сечения т пучка с4{М(п—1)) над пространством X. Таким
образом, остается сравнить сечения Urn и т{. Для того чтобы показать,
что эти сечения совпадают над множеством Uit достаточно показать, что
tj(f{m — m,) = 0 над Uy Но это немедленно следует из формулы Цтг =
= ит^ и определения сечения т.
Покажем теперь, что из условия A) следует мономорфность отображения
х. Мы знаем, что для достаточно большого п отображение а: Мп -*¦ М?
изоморфно. Следовательно, можно применить метод бесконечного спуска по
п. Еслиа(т) = Одля т е Мп, то <{а(т) = а(<{т) = 0. Так как txm б Мп+1,
то, предполагая отображение а мономорфным на Мп+1, получаем отсюда,
ввиду условия A), что т = 0. Покажем, наконец, что из условий A) и B)
следует эпиморфность отображения а. Как и выше, воспользуемся методом
бесконечного спуска по п. Предполагая, что отображение а эпиморфно на
Мп+1, рассмотрим произвольный элемент т' 6 М**. Согласно предположению,
существует такой элемент т{ 6 Мп+1, что а (т{) = ^т'. Имеем а(^т{ —
— tfTTij) = 0 и, следовательно, Цтпг — f4m^ = 0, потому что отобра-
отображение а мономорфно. Согласно условию B), отсюда следует, что существует
такой элемент т б Мп, для которого ^т = т{. Так как <{(т' — х (т)) = 0,
то»т' = а(т). Тем самым предложение доказано.
Замечания. 1. Из изложенного доказательства следует, что условие
A) необходимо и достаточно для того, чтобы отображение л было мономорфно.
2. Условия A) и B) равносильны следующему требованию: гомомор-
гомоморфизм а1: Мп-> Н1(М(п)) для всех neZ является изоморфизмом. Отсюда
легко получить чисто алгебраическое доказательство предложения 9 (не
использующее пучка с4{М)), если иметь в виду, что модуль Mtt можно,
согласно предложению 4, отождествить с S-модулем 2^°(Щп))-
n€Z
§ 4. Связь с функторами Ext|
68. Функторы Ext|. Сохраним обозначения п. 56. Для любых градуи-
градуированных S-модулей М и N будем обозначать через Hom^M, N)n группу
однородных S-гомоморфизмов степени п модуля М в модуль JV, а через
Иот^М, N) — градуированную группу 2'Homs(M, N)n. Это — градуиро-
ванный S-модуль. Если модуль М является модулем конечного типа, то
модуль Homs(M, N) совпадает с S-модулем всех S-гомоморфизмов модуля
М в модуль JV.
Производными функторами (см. [68], гл. V) функтора Homs (M, JV)
являются функторы Ext|(M, JV), q = 0,1, ... . Напомним кратко их опре-
определение.
Рассмотрим „резольвенту" модуля М, т. е. точную последовательность5
L«->.. .^ L° -> M -> 0,
5 Когда модуль М не является модулем конечного типа, определенные выше
функторы могут отличаться от функторов Ext|(Af,N), определенных в [68]: это связано
с тем, что наше определение модуля Homg(Al,N) отличается от определения, принятого
в [68]. Однако все доказательства, изложенные в книге [68], без всяких изменений применимы
и в нашем случае. Проверить это можно или непосредственно, илн с помощью результа-
результатов Дополнения к книге [68].

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 435
в которой L9 — свободные градуированные S-модули, а отображения явля-
являются гомоморфизмами (т. е. однородными S-гомоморфизмами нулевой
степени). Пусть Ca=Homs(La, N), и пусть d:Cq^Cq+1 — сопря-
сопряженный к гомоморфизму L9+1 -> Lq гомоморфизм. Очевидно, что d о d = 0.
Следовательно, модуль С = ]?Cq является комплексом. Его q-я группа кого-
мологий, по определению, является группой ЕхЩМ, N). Оказывается, что
эта группа не зависит от выбора резольвенты. Кроме того, поскольку группы
С9 являются градуированными S-модулями, а гомоморфизм d:Cq^ Cq+1 —
однородным гомоморфизмом нулевой степени, то ЕхЩМ, N) естественным
образом определяется как S-модуль, градуированный подпространствами
Ext|(M, JV)n, где ЕхЩМ, N)n — группы когомологий комплекса, обра-
образованного модулями Homs(Le, N)n, т. е. производные функторы функтора
Homs (M, Л0п.
Напомним основные свойства функторов Ext|.
Ext%(M, N)= Homs(M, N). Если'модуль М имеет конечный тип, то
ЕхЩМ, N) = 0 для q > г + 1 (в силу теоремы Гильберта о сизигиях, см.
[68], гл. VIII, теорема 6.5). Если модули М и N имеют конечный тип, то
Ext|(M, JV) является S-модулем конечного типа (так как в этом случае
можно выбрать резольвенту, для которой модули Lq будут модулями конеч-
конечного типа). Для всех п е Z имеют место естественные изоморфизмы
Ext|(M(n), N) r* ЕхЩМ, N(—n)) en Ext%(M, N) (—n).
Точные последовательности
Q-+N-+N'-+N"-*Q и 0 -> M -> М' -* М" -> 0
порождают точные последовательности
.. .-> ЕхЩМ, N) -> Ext%(M, N')-* ЕхЩМ, N") -> Ext%+\M, N) -*...,
.. .^ ЕхЩМ", N) -> ЕхЩМ', N) -> ЕхЩМ, N) -* Ext|+i(M", N) -*....
69. Интерпретация групп Hj&M) с помощью функторов Ext|. Пусть
М — градуированный S-модуль и к — неотрицательное целое число.
Используя обозначения, введенные в п. 61, положим
Полученная градуированная группа изоморфна, очевидно, q-u группе
когомологий комплекса 'У Ch(M(n)). Введем в этот комплекс согласованное с
градуировкой строение S-модуля, положив
(Рт) < |в... ie > = Рт < I,. ..i,>, Ре Sp, m(io...iq>e Cqh(M(n)).
Так как кограничный оператор является однородным S-гомоморфизмом
нулевой степени, то группы В?(М) будут также градуированными S-модулями.
Пусть
В\М) = Нга^со ЩМ) =
Так определенные группы В\М) являются градуированными S-моду-
S-модулями. Для q = 0 модуль
В°(М)= 2^°W)
совпадает с модулем Мп, рассмотренным в п. 67 (если модуль М удовлетво-
удовлетворяет условию (TF)). Для каждого п е Z в п. 62 было определено линейное
отображение « : Мп ->- Н°(М(п)). Очевидно, что зти отображения определяют
28* - 5/

436 Ж.-П. СЕРР
некоторый гомоморфизм модуля М в модуль В\М), который мы будем также
обозначать через а.
Предложение 1. Пусть к — целое неотрицательное число, a Jk—
идеал (<о, • • •» $) алгебры S. Для любого градуированного S-модуля М градуи-
градуированные модули В%(М) и Extg(yA, M) изоморфны.
Пусть L%, q = 0, .. ., г, — свободный градуированный S-модуль, база
которого состоит из всевозможных элементов вида е < ig. .. iq >, 0 =е i0 <
<i"i < . .. < i'g « г, степени k(q + 1). Определим операторы d : L%+1 -+Ци
е : Lg -> Jk, положив
л(р / ; f \\ — у (. -]\i fiе ( »„ Г- / , \ f (е <? i ч^— th
"\е \ 'О • • • 'g+l // — ?d \ */ 1ЧС \ '0 • • • lj • ' • 'g+1 /> fc Vе \ ' //— li •
J-0
Лемма 1. Последовательность
точна.
Для к = 1 этот результат хорошо известен (см. [68], гл. VIII, § 4). Общий
случай можно доказать тем же методом (или свести к случаю к — 1). Можно
также использовать одну теорему, доказанную в [119].
Предложение 1 немедленно следует из этой леммы, потому что, как легко
видеть, комплекс, состоящий из групп Homs (L?, M) и гомоморфизмов,
сопряженных к отображениям d, совпадает с комплексом ]?Ch(M(ri)).
Следствие 1. Группа Щ(М) изоморфна группе ExtKA, M)o-
Действительно, зти группы являются однородными составляющими
нулевой степени градуированных групп В%(М) и Ext| (Jh, M).
Следствие 2. Группа Hq(M) изоморфна группе lim Ext| (Jh, M\.
h—yoo
Действительно, построенный в п. 61 гомоморфизм q\ : НЦМ) -> Н%(М)
переходит при изоморфизме, указанном в следствии 1, в гомоморфное отобра-
отображение группы ExtKA, M)o в группу Ext|(yh, M)g, соответствующее вло-
вложению Jh -*¦ Jk. Тем самым следствие доказано.
Замечание. Пусть М — градуированный S-модуль конечного типа.
Модуль М определяет (см. п. 48) некоторый когерентный алгебраический
пучок CfJ над пространством КТ+1, а следовательно, и над пространством
Y = Kr+1 \ 0. Можно доказать, что группа Hq(Y, Cf-') изоморфна группе
В\М).
70. Определение функторов Т\М). Определим сначала понятие модуля,
двойственного данному градуированному S-модулю. Пусть М — произ-
произвольный градуированный S-модуль. Для любого neZ его однородная
составляющая Мп является векторным пространством над полем К. Обозна-
Обозначив через (Мп)' соответствующее двойственное векторное пространство,
положим
М*=^М1> где М* = (М_П)',
Введем в пространство М* строение S-модуля, согласованное с его
градуировкой. Для любого Р е Sp отображение m -> Pm является
/С-линейным отображением пространства М_п_р в пространство М_п. Соот-
Соответствующие сопряженные /С-линейные отображения пространства (Л1 _„)' =
= MZ в пространство (М-п_р)' = Мп+Р определяют, очевидно, пространство
М* как S-модуль. Иначе модуль М* можно определить как модуль
Homs (Л/, К), где К — градуированный S-модуль S/(f0, . .., tr).
Градуированный S-модуль М* называется двойственным модулю М.
Если все пространства Мп имеют конечную размерность над К, то М** = М.
Этот случай, например, имеет место, когда М = -Г(^), где Cf,—когерентный

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 437
алгебраический пучок над пространством X, или когда М — модуль конеч-
конечного типа. Любой гомоморфизм <р : М -*¦ N определяет сопряженный гомо-
гомоморфизм модуля N* в модуль М*. Если последовательность М -*¦ N -»¦ Р
точна, то последовательность Р* -*¦ N* -»¦ М* также точна. Другими словами,
М* является точным контравариантньш функтором модуля М. Для любого
однородного идеала / алгебры S модуль, двойственный модулю S//, совпадает
с „обратной системой" идеала / в смысле Маколея (см. [76], п. 25).
В предыдущем пункте мы для любого градуированного S-модуля М и
любого целого неотрицательного числа q определили градуированный
S-модуль Bq(M). Модуль Двойственный к модулю В\М), мы будем обозначать
через Т\М). Таким образом, по определению,
где Т%М)п = (НЦМ(-п)))'.
Любой гомоморфизм q>: М -> JV определяет некоторый гомоморфизм
модуля В\М) в модуль B\N), а значит, и некоторый гомоморфизм модуля
T\N) в модуль Т\М). Модули Т9(М) являются, таким образом, контра-
вариантными функторами модуля М (в п. 72 мы покажем, что эти функторы
весьма просто выражаются через функторы Exts). Любая точная последо-
последовательность
0-* М ->JV^P->0
порождает точную последовательность,
... -> В\М) - B%N) -> В%Р) -> В"+1(М) -+...,
а последняя — сопряженную точную последовательность
> T«(JV) -> T\M) ->
Гомоморфизм а : М -»¦ В°(М) определяет сопряженный гомоморфизм
а*: Т°(М)-+ М*.
Поскольку В\М) = 0 для q > г, то Т\М) = 0 для q > г.
71. Вычисление модуля ТГ(М). (В этом пункте, так же как и в следую-
следующих, мы будем считать, что г э= 1; при г = 0 формулировки должны быть
несколько изменены. Впрочем, случай г = 0 совершенно тривиален.)
Обозначим через Q градуированный S-модуль S(—г— 1), Это — сво-
свободный модуль, база которого состоит из одного элемента степени г + 1.
Согласно п. 62, Hr(Q) = Щ(п) для достаточно больших к. Кроме
того, база пространства H{(Q) над полем К состоит из одного элемента
(t0 ... tr)h/t0.. .tr. Образ этого элемента в Hr(Q) будем обозначать через !.
Элемент ? составляет базу пространства Hr(Q).
Определим теперь скалярное произведение <Л, у > элементов h ? Вг(М)_п
и 9?eHoms(M, Q)n, где М — некоторый градуированный S-модуль.
Элемент q> можно рассматривать как элемент группы Homs(M(— n), QH)
т. е. как гомоморфизм модуля М(— п) в модуль Q. Соответствующий
этому гомоморфизму гомоморфизм группы НГ(М(— п.)) = Вг(М)_п в группу
Hr(Q) мы также будем обозначать через ср. Образ элемента h при этом гомо-
гомоморфизме является некоторым скалярным кратным элемента!. В соответствии
с этим мы определим скалярное произведение < Л, q> > с помощью формулы
= < Л, у > f.
Для любого q> ? Homs(M,Q)n функция h-*(h,q>} является линейной
формой на модуле ВГ(М)_П и, следовательно, может быть рассматриваема
как некоторый элемент v(q>) модуля Тг(М)п, двойственного к модулю EF(M)
Тем самым определено однородное отображение нулевой степени
v. Homs(M, Q)

438 Ж.-П. cepp
Формула < Ph, <p > = < ft, P<p > показывает, что отображение v явля-
является S-гомоморфизмом.
Предложение 2. Гомоморфизм v : Homs(M, Q) -*¦ V(M) явля-
является изоморфизмом.
Мы докажем это предложение сначала для того случая, когда М является
свободным модулем. Если модуль М является прямой суммой однородных
подмодулей Ма, то
fi)n и Г(М)п = Па
Следовательно, если предложение 2 верно для модулей Ма, то оно верно
и для модуля М. Это позволяет нам при рассмотрении свободных модулей
ограничиться частным случаем свободного модуля с одной образующей, т. е.
случаем М = S(m). Тогда группу Homs(M, Q)n можно отождествить с группой
Hom^S, S(n—т—г—1)H, т. е. с линейным пространством однородных много-
многочленов степени п — т—г — 1. Следовательно, базой модуля Hom^M, Q)n
i-r
является семейство одночленов $•... Цг, где yt а& 0 и J? % = п — т — г — 1.
С другой стороны, мы знаем из п. 62, что модуль H?(S(m—п)) имеет базой (для
i-r
достаточно большого к) семейство одночленов (fo...fryt/fg>...frIr, где &>0 и ? /3{ =
= п — т. Полагая &=г!+1, можно записать эти одночлены в виде
i-r
(t0 ... trf-i/ftf ... Ц', где у\ э= 0 и У у\ = п — т — г — 1. Вспоминая опре-
1-0
деление скалярного произведения < ft, <p >, немедленно констатируем, что
произведение
< ft, •. • Q^ltf ... 0, Ц>... Ц< >
всегда равно нулю, за исключением случая, когда yt = y\ для всех i. В послед-
последнем случае это произведение равно единице. Это означает, что отображение
v преобразует базу, состоящую из одночленов Ц»... tT, в базу, двойственную
базе, состоящей из одночленов (t0 ... f,)*/^'... f?r- Следовательно, это
отображение изоморфно. Тем самым предложение 2 в случае, когда модуль
М свободен, доказано.
Перейдем теперь к общему случаю. Пусть
L1 -> L°b-> M ->[0
—некоторая точная последовательность, в которой L0 и L1 — свободные модули.
Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму:
О —-* Homs(M, Q) —> Homs(L°, Q) —у Hom^L1, Q)
О —> Т(М) —^ T^L0) —^ Т[(О)
Согласно общим свойствам функтора Homs, первая строка этой диаграммы
является точной последовательностью. С другой стороны, из точной после-
последовательности когомологий для групп Bq и из тривиальности группы
ВТ+1(М) для любого градуированного S-модуля М следует, что последователь-
последовательность
BT(V) -> BT(L°) -> Br(M) -> О
точна. Следовательно, точна и двойственная последовательность, располо-
расположенная во второй строке рассматриваемой диаграммы. Кроме того, согласно
доказанному, вертикальные гомоморфизмы
r:Homs(L°, Q)-> r(L°) и *: Homs (L1, Q) -

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 439
являются изоморфизмами. Отсюда следует, что гомоморфизм
также является изоморфизмом. Тем самым предложение 2 доказано.
72. Вычисление модулей Tq(M). Докажем теперь следующую теорему,
обобщающую предложение 2.
Теорема 1. Для любого градуированного S-модуля М и любого q^r граду-
градуированные S-модули V~q(M) a Ext|(M, Q) изоморфны. Кроме того, имеет
место следующая точная последовательность:
О ->¦ Extrs (М, Q) -> Т°(М) -?-> М* -> Extrs+! (M, Q) -> 0.
Для доказательства мы воспользуемся указанным в [68], гл. 111, § 5, аксио-
аксиоматическим определением производных функторов. С этой целью определим
новые функторы Eq(M), положив
Е\М) = Т~\М), если q=?r, г + 1,
ЕГ(М) = Кег (а*), если q = г,
ЕГ+\М) = Coker (а*), если q = г + 1.
Так определенные модули ?а(М) являются контравариантными адди-
аддитивными функторами модуля М и обладают следующими свойствами:
A) Модуль Е\М) изоморфен модулю Нот^(М, Q).
Это — утверждение предложения 2.
B) E\L) = 0 для любого свободного модуля L и любого q > 0. Это
свойство достаточно проверить для L = S(n), а в этом случае оно следует
из результатов п. 62.
C) Любой точной последовательности 0-+M-+N->P->0 отве-
отвечают некоторые пограничные операторы dq:Eq(M) -*• Eq+1(P). Соответ-
Соответствующая последовательность
...-+ Eq(P) -> E%N) -+ Eq(M) ¦?+ Ен-ЦР) ->...
точна.
Если q^r— \,r, то отображение dq есть не что иное, как определенный
в п. 70 гомоморфизм модуля Т'-'ЧМ) в модуль Т*-*-ХР). Для того чтобы
определить это отображение в случаях q = r—1, г, воспользуемся следу-
следующей коммутативной диаграммой:
Т\М) —у Т°(Р) -
л
0 —у Р* -
Согласно этой диаграмме, образ модуля Т^ЛП содержится в ядре гомо-
гомоморфизма ж*: Т°(Р) -*¦ Р*, т. е. в модуле ЕГ(Р). Таким образом, модуль
71 (М) естественно отображается в модуль Ег(Р). Это отображение и явля-
является, по определению, отображением «Р: ЕГ~\М) -> ?Г(Р).
Далее, для любого элемента х б Kei^T^M) -> М*) существуют такие
элементы у еР* иге T°(N), что элемент х является образом элемента z, a
у и 2 имеют один и тот же образ в JV*. Следуя [68], гл. III, лемма 3.3, мы опре-
определим гомоморфизм
dr: Кег (Т°(М) -> М*) -> Coker (Г>(Р) -+ Р*),
положив dr (x) = у.
Точность последовательности
...-> Eq{P) ¦* Eq(N) -> Eq(M)— > Eq+1(P) ->...
T°(N) —+
1
JV* —>
T°(M
•i
M*
Г) —у 0
4-
—> 0

440 Ж.-П. СЕРР
в силу результатов, изложенных в цитированном месте книги [68], немедлен-
немедленно следует из точности последовательности
D) Указанный в A) изоморфизм и построенные вC) операторы dq являются
„естественными отображениями".
Это свойство немедленно следует из определений.
Так как свойства A)—D) полностью характеризуют производные
функторы функтора Homs(Af, Q), то Е\М) ^ Ext|(M, Q). Тем самым
теорема доказана.
Следствие 1.* Для любого модуля М, удовлетворяющего условию (TF), и
любого q =& 1 пространство Н%М) изоморфно векторному пространству,
двойственному к пространству Ext^^M, Qo).
Действительно, мы знаем, что пространство Н%М) конечномерно, а
двойственное к нему пространство изоморфно пространству ExtsT^M, Q)o.
Следствие 2. Для любого модуля М, удовлетворяющего условию (TF),
модуль Т°(М) также удовлетворяет условию (TF), а модули Т%М) для
q =& 1 являются градуированными S-модулями конечного типа.
Не меняя модулей Bq(M), а следовательно, и модулей Т%М), можно
заменить модуль М некоторым модулем конечного типа. Но для любого
модуля конечного типа модули Extg^M, Q) являются S-модулями конеч-
конечного типа, и М* б &. Следствие вытекает отсюда непосредственно.
§ 5. Применения к когерентным алгебраическим пучкам
73. Соотношения между функторами Ext| и Ext^. Пусть М и JV —
произвольные градуированные S-модули. Для любой точки х пространства
X = Рт (К) зти модули определяют, согласно п. 57, некоторые ^-модули Мх
и Nx. В этом пункте мы рассмотрим соотношения между модулями ExtqOx(Mx,Nx)
и градуированным S-модулем ExtKM, JV).
Предложение 1. Для любого модуля М конечного типа:
(a) Пучок c4(Homs(M, N)) изоморфен пучку Horrip (dL (M), dL (JV)).
(b) Для любой точки хеХ Ох-модуль Ext| (M, N)x изоморфен Ох-модулю
hAMN)
hAx,x)
Предварительно определим некоторый гомоморфизм ix : Hom^M, JV).,. ->
-> Нот^(Мж, JVjj). Элементами первого модуля являются дроби вида <р/Р,
где <р 6 Hom^M, JV,)n, a P 6 S(x) — однородный многочлен степени п. Для
любого элемента т/Р' модуля Мх элемент ср(тIРР' модуля Nx зависит только
от ф/Р и т/Р', и отображение т/Р' -> <р(т)/РР' является гомоморфным
отображением модуля Мх в модуль Nx. Этот гомоморфизм мы будем обоз-
обозначать через iJ^y/P). Согласно предложению 5 п. 14, модуль HomQx(Mx, Nx)
можно отождествить с модулем
Ното(<А(М), c4(N))x.
После этого отождествления гомоморфизм ix переходит в некоторый гомо-
гомоморфизм
ix: c4(Homs(M, N))x -> Homo(ai(M), c4(N))x
Легко проверяется, что семейство так определенных гомоморфизмов ix будет
некоторым гомоморфизмом
i: o?(Homs(M, JV)) -> Нот _ (с?(М), c^(JV)).
Для модуля М конечного типа гомоморфизм ix является изоморфизмом.
Для доказательства достаточно заметить, что общий случай немедленно
сводится к случаю М = S(ri), когда утверждение очевидно.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 441
Пусть теперь М — произвольный градуированный S-модуль конечного
типа. Выберем некоторую резольвенту модуля М
в которой свободные модули Lq являются модулями конечного типа, и рас-
рассмотрим комплекс С, состоящий из модулей Homs(L9, JV). По определению
модулями когомологий комплекса С являются модули Ext|(M, JV). Следова-
Следовательно, обозначая через В4 и Zq подмодули модуля С3, состоящие из всех
кограниц и, соответственно, из всех коциклов, будем иметь точные последо-
последовательности
О -> Z* -> С« -> Aq+1 -> О
и
О - В« -> Z« -» Ext|(Af, JV) -> 0.
В силу точности функтора с4(М) последовательности
О -> ZJ -> С| -> В*+1 -> О
и
О -> Вх -* Z% -> Ext|(M, N)x -> О
также точны. Но, как выше было доказано, модуль С| изоморфен модулю
НотоЛЦ, Nx). Следовательно, модули Ext|(M, N)x изоморфны модулям
когомологий комплекса, состоящего из модулей Hom&XLjj!, JV^), т. е., посколь-
поскольку модули L%, очевидно, Bж-свободны, изоморфны модулям ExtQx(Mx, Nx).
Тем самым утверждение (Ь) доказано. Что касается утверждения (а), то,
как было доказано выше, отображения ix являются изоморфизмами. Следо-
Следовательно, изоморфным будет и отображение t.
74. Тривиальность групп когомологий Н%Х, г^(—л)) при п -> + °°.
Теорема 1. Для любого когерентного алгебраического пучка Qi над
пространством X и любого целого неотрицательного числа q следующие
условия равносильны:
(a) Hq(X, Cf_{—п)) = 0 для достаточно больших п.
(b) Extroxq((^x, Ох) =0 для всех Х€Х.
Согласно теореме 2 п. 60, можно считать, что Qi = с4(М), где М — не-
некоторый градуированный S-модуль конечного типа. Тогда, согласно п. 64,
модуль Н%Х, (Ji( — «)) изоморфен модулю Яа(М(—л)) = В\М)_п. Следо-
Следовательно, условие (а) равносильно тому, что
Т\М)п = О
для достаточно больших п, т. е. тому, что Т9{М)её. Так как М* её, потому
что М является модулем конечного типа, то, согласно теореме 1 п. 72, послед-
последнее условие равносильно тому, что Extg^M, Q) 6 &. Так как Extg^M, Q)
является S-модулем конечного типа, то, согласно предложению 5 п. 58,
условие
равносильно тому, что Extg^M, Q)x = 0 для всех х е X. Наконец, согласно
предложению 1, Extg^M, Q)x = ExV^x%Mx, Qx). Тем самым теорема
доказана, потому что модуль Мх изоморфен модулю г^ж, а модуль Qx изоморфен
модулю О{—г— 1)х и, следовательно, модулю Ох.
Для формулировки теоремы 2 нам понадобится понятие размерности
(9ж-модуля. Напомним ([68], гл. VI, § 2), что Eж-модуль Р конечного типа
называется модулем размерности «s p, если существует точная последователь-
последовательность Сж-модулей
О -> Lp -> Lp_u -+.. .-> Lo -> Р -> О,
в которой каждый модуль Ц свободен (это определение равносильно опре-

442 Ж.-п. cepp
делению, данному в цитированном месте книги [68], потому что любой
проективный ^-модуль конечного типа свободен; см. [68], гл. VIII, теорема
6.1').
Согласно теореме о сизигиях (см. [68], гл. VIII, теорема 6.2'), любой
Сзс-модуль конечного типа является модулем размерности =е г.
Лемма 1. Для любого Ох-модуля Р конечного типа и любого целого
неотрицательного числа р следующие условия равносильны:
A) Модуль Р является модулем размерности =е р,
B) Ext^. (Р, Ох) = 0 для всех т > р.
О A) B) Д
вия
(а)
(Ь)
Очевидно, что из A) следует B). Для доказательства того, что из B)
следует A), воспользуемся методом бесконечного спуска по р. Для р з» г
лемма тривиальна, потому что A) всегда выполнено. Перейдем теперь от
р + 1 к р. Пусть N — произвольный (^-модуль конечного типа. Существует
точная последовательность вида O-*-R-*L-+N-+Q, где L —
свободный модуль конечного типа (потому что кольцо Ох нетерево). Из
точности последовательности
следует, что Extg^P, N) = 0. Действительно, Ext^x\P, L) — 0, согласно
условию B); и Extg?2 (P, R) = 0, потому что dim P *s p + 1, согласно пред-
предположению индукции. Так как это свойство характеризует модули раз-
размерности ==? р, то тем самым лемма доказана.
Сопоставляя лемму 1 и теорему 1, получаем:
Теорема 2. Для любого когерентного алгебраического пучка Cfi над
пространством X и любого целого неотрицательного числа р следующие
условия равносильны:
Н%Х, С?{—п)) = 0 для любого достаточно большого п и 0=ед<р.
Ох-модуль Qix для любой точки хе X является модулем размерности
^г — р.
75. Многообразия без особенностей. Следующий результат играет основ-
основную роль в распространении на абстрактный случай „теоремы двойствен-
двойственности", доказанной в [135].
Теорема 3. Пусть V — произвольное подмногообразие без особенностей
проективного пространства РДК). Предположим, что все неприводимые
компоненты многообразия V имеют одну и ту же размерность р. Пусть,
далее, CJ-, —такой когерентный алгебраической пучок над многообразием V, что
для любой точки xeV модуль Qix является свободным модулем над кольцом
Ох> у. Тогда Н% V, CjE(— п)) = 0 для любого достаточно большого п и любого
q, подчиненного неравенствам 0 =? q < р.
Согласно теореме 2, достаточно показать, что кольцо Ох, у, рассматри-
рассматриваемое как ^-модуль, имеет размерность =е г — р. Пусть 3^ V) — ядро
естественного гомоморфизма ех: Ох -> OXt v. Так как точка х является
простой точкой многообразия V, то этот идеал порождается г — р элемен-
элементами /1( ... , /Р_р (см. [46], теорема 1) и, согласно теореме Коэна—Маколея
(см. [127], стр. 53, предложение 2),
(/i, ...,/i_i):/i = (/i, ¦¦¦,fi-i) при 1 «?/«?/¦ — p.
Обозначим теперь через Lq свободный С^-модуль, база которого
состоит из символов е < ft... iq > , где
Для q = 0 положим Lo = Ох. Кроме того, положим
й{е <k... iq}) = %\— lYfue <h ...?... L>, d(e

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 443
Согласно [68], гл. VIII, предложение 4.3, последовательность
О -* Lr_p -U- Lr_p_x -U. ... -JU Lo -^->OX,V -* 0
точна. Таким образом, dim^a^ y)«r — p. Тем самым теорема доказана.
Следствие. Н% V, Оу(— п)) = 0 для всех достаточно больших п и
любого q, подчиненного неравенствам 0 =s q < p.
Замечание. Из изложенного доказательства следует, что теорема
имеет место каждый раз, когда идеал ЭЛ V) допускает систему г — р обра-
образующих, т. е. когда в любой точке многообразие V локально является полным
пересечением.
76. Нормальные многообразия. Нам понадобится следующая
Л е м м а 2. Пусть М — произвольный Ох-модулъ конечного типа и пусть
/ — необратимый элемент кольца Ох, для которого из соотношения
fm = О, где те М, следует, что т = 0. Тогда размерность Ох-модуля
MjfM равна увеличенной на единицу размерности модуля М.
Рассмотрим точную последовательность 0 -»• М —-*¦ М -*¦ M/fM -+ О,
где гомоморфизм « является умножением на элемент /. Для любого Ох-модуля
N конечного типа этой последовательности соответствует точная последова-
последовательность
Пусть р — размерность модуля М. Полагая в предыдущей точной
последовательности q = р + 1, получим, что Extg?2(M//.M, N) = 0. Отсюда
следует ([68], гл. VI, § 2), что dim(M//M) =s= p -f- 1. С другой стороны, так
как dim М = р, то существует такой модуль N, что Extg^M, N) 9^ 0.
Следовательно, полагая в указанной выше точной последовательности
q = р, получим, что модуль Ext^1 (MjfM, N) можно отождествить с коядром
гомоморфизма
ExtpOx(M, N) -2-+ ExtpOx(M, N).
Но так как этот гомоморфизм совпадает с умножением на элемент / и так
как элемент / необратим в локальном кольце Ох, то, согласно [68], гл. VIII,
предложение 5.1, это коядро отлично от нуля. Таким образом, dim M/fM s=
з= р + Г. Тем самым лемма доказана.
Докажем теперь один результат, тесно связанный с „леммой Энриквеса—
Севери", доказанной Зарисским [47].
Теорема 4. Пусть V — нормальное неприводимое подмногообразие
размерности з= 2 проективного пространства РДК) и QI — такой
когерентный алгебраический пучок над многообразием V, что для любой
точки х е V модуль (Jlx является свободным модулем над кольцом OXt v. Тогда
Н\ V, (J{— п)) = 0 для достаточно больших п.
Согласно теореме 2, достаточно показать, что кольцо Сх> у, рассматри-
рассматриваемое как Сд.-модуль, имеет размерность «г — 2. Выберем элемент / е Ох,
образ которого в кольце OXiV отличен от нуля, в то время как /(х) = 0.
Такой элемент существует, так как dim V > 0. Ввиду того что многообразие
V неприводимо, кольцо OXt v является областью целостности. Поэтому пара
(OXt у, /) удовлетворяет условиям леммы 2. Следовательно,
dim OXtV = dim 6>x>y/(/) - 1, где (/) = / Ox>v.
Так как кольцо OXt v целозамкнуто, то все простые идеалы ра главного
идеала (/) являются минимальными идеалами (см. [126], стр. 136, или [76],
п. 37) и ни один из них не совпадает с максимальным идеалом m кольца
Ох>у (так как в противном случае dim V =s 1). Следовательно, существует
элемент gem, не принадлежащий ни одному из идеалов ра. Этот элемент

444 Ж.-П. СЕРР
g не является делителем нуля в факторкольце<9ж>у/(/). Поэтому пара (OXiVl(f),g),
где g — произвольный представитель элемента g в кольце Ох, удовлетворяет
условиям леммы 2. Следовательно,
dim Ox,vl(f) = dim OXtV/(f, g) — 1.
Но, согласно уже цитированной теореме о сизигиях, dim Ох> v/(/, g) =s r,
откуда Ox<vl(f) "^r — 1 и dim OXtV =s= r — 2.
Следствие. Нг( V, Оу(— п)) = 0 для достаточно больших п.
Замечания. 1. Изложенные рассуждения общеприняты в теории
сизигий. См., например, [38], 152.6 и 153.6.
2. Даже если размерность многообразия V больше двух, может случиться,
что dim OXiV, = f — 2. Так будет, например, когда V является конусом,
плоское сечение W которого является иррегулярным проективно нормальным
многообразием (т. е.. многообразием, для которого H^W, Ow) Ф 0).
77. Гомологическая характеристика многообразий /с-кратно первого рода.
Пусть М — градуированный S-модуль конечного типа.
Лемма 3. dim M =s= к тогда и только тогда, когда Ext|(M, 5) = 0
для всех q > к.
Доказательство этой леммы дословно совпадает с доказательством
леммы 1.
Поскольку М — градуированный модуль, то Extg(M, ®) =
= Ext^(M, S)(—г —1). Следовательно, dim M =s= /с тогда и только тогда, когда
ЕхЩМ,@)—0 для любого q> к. Вспоминая теорему 1 п. 72, получаем отсюда
Предложение 2. (a) dim M =s r тогда а только тогда, когда
для всех neZ отображение а : Мп-»¦ Н\М(п)) мономорфно.
(b) dim M «? г — к, где к э= 1, тогда и только тогда, когда длявсех neZ
отображение а : Мп -+ Н°(М(п)) изоморфно и когда Н%М(п)) — 0 для
любого q, подчиненного неравенствам 0 < q < k, и всех neZ.
Пусть V — замкнутое подмногообразие пространства РГ(К) и J(V) —
идеал, состоящий из однородных многочленов, равных нулю на V. Поло-
Положим S(V) = S/I(V). Это — градуированный S-модуль. Соответствующий
этому модулю пучок совпадает с пучком Ov. Говорят8, что подмногообразие
V является подмногообразием пространства Р^К) ,:/с-кратно первого рода",
если размерность S-модуля S(V) меньше или равна г — к. Очевидно, что
для всех neZ отображение а : S(V)n-* H°(V, Ov(n)) мономорфно. Следова-
Следовательно, любое многообразие является многообразием 0-кратно первого рода.
Применяя предыдущее предложение к модулю М = S{V), получаем
Предложение 3. Пусть к — целое число s& 1. Подмногообразие
V тогда и только тогда является многообразием k-кратно первого рода, когда
для всех neZ выполнены следующие условия:
A) Отображение ос: S(V)n -> H%V, Ov(n)) изоморфно.
B) Н%у, Оу(п)) = 0 для любого q, подчиненного неравенствам 0 < q < k.
(Условие A), как известно, равносильно тому, что линейный ряд, высекае-
высекаемый формами степени п на многообразии V, является полным рядом.)
Сравнивая этот результат с теоремой 2, получаем •
Следствие. Если многообразие V является многообразием к-кратно
первого рода, то H%V, Ov)=0 для любого q, подчиненного неравенствам 0<^</с,
и для любой точки xeV размерностьОх-модуляOx,vменьше или равна г — к.
Это следствие легко доказать и непосредственно.
Пусть т — произвольное положительное целое число, а <рт — вложе-
вложение пространства Р^К) в проективное пространство соответствующей раз-
размерности, определяемое с помощью одночленов степени т (см. [105],
гл. XVI, §6, а также п. 52, доказательство леммы 2). Оказывается, что полу-
полученное выше следствие допускает следующее обращение:
См. [44], а также [38], § 5.

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 445
Предложение 4. Пусть V — такое связное и замкнутое под-
подмногообразие пространства РГ(К), что H%V, Ov) = 0 для любого q, подчинен-
подчиненного неравенствам 0 < q < k, где к — некоторое положительное целое число,
и для любой точки xeV размерность Ох-модуля Ох, v меньше или равна г — к.
Тогда для всех достаточно больших т подмногообразие <pm(V) является
многообразием к-кратно первого рода.
Так как многообразие V связно, то H°(V, Ov) = К. Действительно, если
многообразие V неприводимо, то это очевидно (иначе модуль H\V, Ov) будет
содержать некоторую алгебру многочленов и не будет модулем конечной
размерности над .К). Если многообразие V приводимо, то любой элемент
)eH°(V, Ov) на каждой неприводимой компоненте будет константой, а в
силу связности многообразия V эти константы будут одинаковы.
Так как dimOx,v«=r—1, то алгебраическая размерность каждой из
неприводимых компонент многообразия V по крайней мере равна единице.
Отсюда следует, что для всех п >:0
H%V,Ov(-n)) = 0
(потому что, если /eH°(V, Ov(—«)) и /^0, то элементы fg, где geS(V)nk,
образуют векторное подпространство модуля H°(V, Ov), размерность кото-
которого больше единицы).
Обозначим теперь подмногообразие <pm(V) через Vm. Очевидно, что
OVm{n) = Ov{nm).
Для всех достаточно больших т удовлетворяются следующие условия :
(a) Отображение x:S(V)nm-+ H%V, Ov(nm)) изоморфно для всех п з= 1.
Это следует из предложения 5 п. 65.
(b) Н%у, Ov(nm)) = 0 для любого q, подчиненного неравенствам 0< #<fc,
и всех п s=— 1.
Это следует из предложения 7 п. 65.
(c) H\V, Ov (пт)) = 0 для любого q, подчиненного неравенствам 0<q<M,
и всех п =ss: 1.
Это следует из теоремы 2 п. 74 и условий, наложенных на Ox<v.
С другой стороны, по условию, Н°(V, Ov) = К, H°(V, Ov(nm)) = 0 для
всех n=s—1 и Hq(V,Ov) = 0 для любого q, подчиненного неравенствам
0 < q < к. Следовательно, многообразие Vm удовлетворяет всем условиям
предложения 3. Тем самым предложение 4 полностью доказано.
Следствие. Проективное многообразие V без особенностей раз-
размерности s= к, где к — некоторое положительное целое число, тогда и только
тогда бирегулярно изоморфно подмногообразию к-кратно первого рода некото-
некоторого проективного пространства, когда V связно и Hq(V,Ov) — 0 для
любого q, подчиненного неравенствам 0 < q < к.
Необходимость условия немедленно следует из предложения 3. Для
доказательства достаточности заметим, что модуль СХ;У имеет размерность
^ г — к (см. п. 75), и применим предложение 4.
78. Полные пересечения. Некоторое р-мерное подмногообразие V проек-
проективного пространства Р/К) является полным пересечением, если идеал I(V)
многочленов, равных нулю на многообразии V, порождается г — р многочле-
многочленами Р1г ..., Рг_р. В этом случае, согласно теореме Маколея (см. [76], п. 17),
все неприводимые компоненты многообразия V имеют размерность р. Как из-
известно, такое многообразие является многообразием рчфатно первого рода.
Отсюда, как мы уже видели, следует, что H\V, Oy(n)) = 0 для любого
q, подчиненного неравенствам 0<#<р. Оказывается, что группа Hp(V,Ov(n))
определяется степенями т1? ..., тг_р однородных многочленов Рг, ..., Рг-Р.
Согласно теореме 1 п. 72, для вычисления этой группы достаточно вычислить
S-модуль Ext?~p(S( V),Q), rp,eS(V)=SII(V)—проективное координатное кольца

446 Ж.-П. CEPP
многообразия V. Рассмотрим резольвенту, аналогичную резольвенте, указан-
указанной в п. 75. За модуль Lq примем свободный градуированный S-модуль, база
которого состоит из элементов е < /х ... iq>, соответствующих таким после-
последовательностям (г1( ..., ig), что 1 =s гх < г2 < ... < iq «г — р. Степень
элемента е< г\ ... г"д>, по определению, равна ]F m3-. За модуль L0 примем
3-1
алгебру S. Кроме того, положим
Последовательность 0 -> Lr~p — + ... — -> L° -> S(V) -> 0 точна ([68], гл. V111,
предложение 4.3). Отсюда следует, что Ext|(S(l/), Q) являются модулями
когомологий комплекса, образованного модулями Hom^(Lq,Q). Но любой
элемент модуля Homs(L9, Q)n можно рассматривать как систему однородных
многочленов / < ix ... iq > степеней т^ + ... + m,, + n — г — 1. Для
этих многочленов кограничный оператор задается обычной формулой
1-4+1
(df)Oi ¦ ¦ ¦ ig+i> = 2 (—О3 PiJ <*i • • • ij • • • *'9+i>.
3-1
Из уже цитированной теоремы Маколея и из результатов работы [119]
следует, что Ext|(S( V), Q) = 0, если q Ф г — р.
С другой стороны, модуль Exts~p(S(V0, @)n изоморфен подпространству
кольца S(V), состоящему из однородных элементов степени N + п, где
i-r—p
N = У1 Щ — г—1. Следовательно, принимая во внимание теорему 1
t-i.
п. 72, получаем
Предложение 5. Пусть многообразие V является полным пере-
пересечением, определенным однородными многочленами Plf ..., Рг-Р степеней
т1} ..., mr_p соответственно. Тогда:
(a) Отображение х : S(V)n -*¦ H°(V, Ov(n)) изоморфно для всех neZ.
(b) H\V, Oy(n)) = 0 для любого q, подчиненного неравенствам 0 < q < р,
и всех neZ.
(c) Модуль Hp(V,Oy(n)) изоморфен векторному пространству, двойствен-
i-r—p
ному пространству H\V, Ov(N — п)), где N = ? m4 — г— 1.
Отметим, в частности, что модуль Hp(V,Ov) отличен от нуля, если N < 0.
§ 6. Характеристическая функция и арифметический род
79. Характеристика Эйлера—Пуанкаре. Для любого проективного много-
многообразия V и любого когерентного алгебраического пучка (J- над этим много-
многообразием положим
Как мы знаем (п. 66, теорема 1), эти числа конечны для любого q и равны
нулю, если q > dim V. Следовательно, можно определить целое число %{V, <70>
положив
Это — характеристика Эйлера — Пуанкаре многообразия V над пуч-
пучком Cf_.
Лемма 1. Пусть О-s-Li^-...^-Lp-^O — произвольная точная
последовательность конечномерных векторных пространств над полем К,

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ » 447
гомоморфизмы Lx -*¦ Li+1 которой являются К-линейными отображениями.
Тогда
9=1
Лемма очевидна, если р =s 3. Предполагая, что эта лемма уже дока-
доказана для любой (р — 1)-членной точной последовательности, рассмотрим
ядро Lp_x гомоморфизма Lp_x -* Lp и точные последовательности
О -¦ Lj ->...-¦ Ц-г -+ О,
По предположению индукции,
д-р—2
2 (—I)9 dim L, + (—I)»-1 dim Ц^ = О,
dim L?_x — dim Lv^x + dim Lv = 0.
Сопоставляя эти формулы, немедленно получаем, что лемма справедлива
и для любой р-членной точной последовательности.
Предложение 1. Пусть 0 -*¦ d -> СЗ -* & -*¦ 0 — точная последо-
последовательность когерентных алгебраических пучков над проективным много-
многообразием V, гомоморфизмы сЛ. -* (В и <Ъ -> 6 которой являются К-линейными
отображениями. Тогда
X(V, (В) = X(V, c?) + X(V, &).
Согласно следствию 2 теоремы 5 п. 47, имеет место точная последователь-
последовательность групп когомологий
... ^ НЧУ, (В) -> Я«( V, &) ^ H«+i(V, с^) ^ H^+HV, S) ¦* . ••. .
Для доказательства предложения 1 достаточно применить к этой точной
последовательности лемму 1.
Предложение 2. Пусть 0 -> С?х ->...-»¦ г^р -»¦ 0 — точная последо-
последовательность когерентных алгебраических пучков над многообразием V,
гомоморфизмы СрЛ -> Q-i+1 которой являются алгебраическими отображения-
отображениями. Тогда
Если р =s 3, это предложение является частным случаем предложения 1.
Предположим, что оно уже доказано для любой (р— 1)-членной последо-
последовательности пучков. Так как отображение <7^>-i -»¦ (Jip является алгебраи-
алгебраическим гомоморфизмом, то ядро Cf.v-X этого отображения будет когерентным
алгебраическим пучком. Следовательно, предположение индукции можно
применить к точным последовательностям
0 •+ С?х -*...-> С&_х + 0,
0 - ф^ * q^_x ^(J^^O.
Предложение 2 следует отсюда немедленно.
80. Связь с характеристической функцией градуированного S-модуля.
Д б ^)
р р
Для когерентного алгебраического пучка Cf. над пространством
будем вместо %(?г (К), Ф) писать %(С?).
Предложение 3. Число %{CJ- (n)) как функция п является
многочленом степени =s r.
Согласно теореме 2 п. 60, существует градуированный S-модуль М
конечного типа, для которого пучок ol(M) изоморфен пучку Cf.. Согласно

448 # Ж.-п. серр
теореме Гильберта о сизигиях, существует точная последовательность гра-
градуированных S-модулей
О -> Z/+1 -* ... -> L0 -* М -* О,
в которой Lq — свободные модули конечного типа. Применяя к этой последо-
последовательности функтор сЛ, получим точную последовательность пучков
О -у ^+1 -> ... -> с?° -* ф, -> О,
в которой каждый пучок =?9 изоморфен конечной прямой сумме пучков вида
0{щ). Следовательно, согласно предложению 2, число х(<7(п)) равно знако-
знакопеременной сумме чисел %(Л%п)). С другой стороны, согласно п. 62,
Х(О(п)) = ( ],а это выражение является многочленом от п степени =s /-.
Предложение 3 следует отсюда немедленно.
Предложение 4. Пусть М — произвольный градуированный
S-модулъ, удовлетворяющий условию (TF), и пусть CJ-, = сА(М). Тогда
x(QKn)) = dimKMn для достаточно больших п.
Действительно, известно (п. 65), что для достаточно больших п гомо-
гомоморфизм х : Мп -»¦ Н°(Х, (Jin)) является изоморфизмом и Н\Х, С?(п)) = О,
если q > 0. Следовательно,
. xU{n)) = h°(X, (Ji(n))=dimK Mn.
Таким образом, доказано (этот факт общеизвестен), что для достаточно
больших п число dimK Mn является многочленом от п. Этот многочлен обоз-
обозначается через Рми называется характеристической функцией модуля М.
Для всех neZ имеем Р^п) = %{(^(п)). Полагая здесь п = 0, получаем, что
свободный член многочлена Рж равен характеристике %((?).
Пусть М = SjJ(V), где I(V) — однородный идеал алгебры S, состоящий
из всех многочленов, равных нулю на некотором замкнутом многообразии
V пространства РГ(К). Свободный член многочлена Рм называется в этом
случае арифметическим родом многообразия V (см. [47]). Так как, с другой
стороны, d(M) = Ov, то получаем
Предложение 5. Арифметический род проективного многообразия
V равен характеристике
X(V, Оv) = ? (-1)« dimK НЦу, Оу).
«-о
Замечания. 1. Из этого предложения с очевидностью следует,
что арифметический род не зависит от вложения многообразия V в проектив-
проективное пространство, потому что от этого вложения не зависят модули H\V, Ov).
2. Виртуальный арифметический род (определенный Зарисским [47])
также сводится к характеристике Эйлера — Пуанкаре. В следующей работе
мы вернемся к этому вопросу, тесно связанному с теоремой Римана — Роха.
3. Заметим, что для удобства мы несколько изменили классическое опре-
определение арифметического рода (см. [47]). Если все неприводимые компоненты
многообразия V имеют одну и ту же размерность р, то оба определения
связаны следующей формулой %(V, Ov)= I +(—1)р pa(V).
81. Степень характеристической функции. Носителем когерентного
алгебраического пучка Cfc над алгебраическим многообразием V называется
множество всех точек xeV, для которых Qix^d. Это множество обозначается
через Supp (Cfc). Носитель пучка (JI конечного типа замкнут. Действительно,
если Cf_x = 0, то нулевое сечение порождает модуль С?„ а следовательно,
и модуль Cfiy для достаточно близких к точке х точек у (п. 12, предложение 1).
Это как раз и означает, что дополнение множества Supp (ff) открыто.
Пусть М — градуированный S-модуль конечного типа и Cf, = с4(М) —
пучок, определенный модулем М над пространством Р/К). Носитель

КОГЕРЕНТНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПУЧКИ 449
Supp (ф) можно следующим образом определить непосредственно по моду-
модулю М.
Пусть 0= ПаМа — разложение нуля в пересечение однородных при-
марных подмодулей Ма модуля М и пусть ра — простые однородные идеалы,
соответствующие подмодулям Ма (см. [126], гл. IV). Будем считать, что это
представление „наикратчайшее", т. е; что никакой модуль Ма не содержится
в пересечении остальных. Для любой точки хеХ каждый идеал ра опре-
определяет простой идеал р? локального кольца Ох. Если точка х не содержится
в многообразии Va, определенном идеалом ра, то р% = Ох. Кроме того,
0 '=а* ПаМ" в модуле Мх. Очевидно, что тем самым получено разложение
нуля модуля Мх в пересечение примарных подмодулей. Подмодулям М.%
соответствуют простые идеалы #J. Если х $ Vе, то Mg = Мх. Рассматривая
только модули Л1?, для которых xeVa, мы получим „наикратчайшее" разло-
разложение (ср. [126], гл. IV, теорема 4, где содержатся аналогичные результаты).
Отсюда следует, что модуль Мх нетривиален тогда и только тогда, когда
точка х принадлежит одному иэ многообразий Va. Другими словами,
Supp(r?) = U а*".
Предложение 6. Для любого когерентного алгебраического пучка
Cf. над пространством Р/К) степень многочлена яО'Нп)) равна размерности
носителя Supp(r^).
Доказательство проведем индукцией по г. Случай г = 0 тривиален.
Можно считать, что Cfc= с4(М), где М — градуированный S-модуль конеч-
конечного типа. Используя введенные выше обозначения, мы должны показать,
что многочлен %(С?{п)) имеет степень q = Sup dim Va.
Пусть t — однородная линейная форма, не принадлежащая ни одному
простому идеалу ра, кроме, возможно, „несобственного" простого идеала
p°=(t0, ..., tr). Существование такой формы следует из бесконечности поля
К. Пусть Е — гиперплоскость пространства X, определенная уравнением
/ = 0. Рассмотрим точную последовательность
в которой О -*¦ ОЕ является естественным гомоморфизмом ограничения, а
гомоморфизм О(—1) -»• О определяется соответствием Ц -»¦ tf. Тензорно
умножая эту последовательность на (JI, получаем точную последователь-
последовательность
ОЕ.
Над множеством иг пучок С?{—1) можно отождествить с пучком Cf,
При этом отождествлении определенный выше гомоморфизм С?{—1) -> (f.
переходит в умножение на элемент t/U. Так как t не содержится ни в одном
из идеалов ра, то Щ не содержится ни в одном из простых идеалов модуля
Мх = (^х, где хе{/|. Поэтому рассмотренный выше гомоморфизм является
мономорфизмом (см. [126], стр. 122, теорема 7, Ь'"). Следовательно, последо-
последовательность
точна. Отсюда для любого neZ вытекает, что последовательность
0 -> Qi{n — 1) - (Jin) -* (ЦЕ{п) -> 0
точна.
Применяя предложение 1, получаем соотношение
х№п))—х№п -1)) = *№(*))•
Но пучок (^является когерентным алгебраическим пучком #Е-модулей,
или, другими словами, когерентным алгебраическим пучком над многообра-
многообразием Е, которое является проективным (г—Л)-мерным пространством.
29 Расслоенные пространства

/•50 ЛИТЕРАТУРА
Далее, из равенства Cf.x,E = О заключаем, что эндоморфизм пучка Cf.x, опре-
определенный посредством умножения на tjth является эпиморфизмом. Отсюда
следует, что С?х = 0 (см. [68], гл. VIII, предложение 5.1'). Следовательно,
Supp(r^E) = ?f|Supp (Cfi). Так как гиперплоскость ? не содержит ни одного
из многообразий Va, то отсюда, как известно, следует, что размерность
носителя Supp (CfcE) равна q — 1. Из предположения индукции вытекает
тогда, что х(Ф-е(п)) является многочленом степени q— 1. Так как этот много-
многочлен является первой разностью функции xiQ^n)), то последняя представляет
собой многочлен степени q.
Замечания. 1. Предложение б известно в случае, когда (f. a 0/3,.
где 3 — когерентный пучок идеалов. См., например, [76], п. 24.
2. Изложенное доказательство не использует предложения 3, которое*
следовательно, доказано заново.

ЛИТЕРАТУРА
Адем Дж. (A d e m J.)
[1] The iteration of the Steenrod squares in Algebraic Topology, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 38 A952), 720—726.
[2] Relations on iterated reduced powers, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 39 A953), 636—638.
Александров П. С.
[3] Комбинаторная топология, М.—Л., 1947.
Баррат М. и. Пехтер Г. (Barratt M. G. and P а е с h t e r Q. F.)
[4] A note on nr(Vn,m), Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38 A952), 119—121.
Б е г л ь Э. (В e g 1 e E. G.)
[5] Vietoris mapping theorem for bicompact spaces, Ann. Math., 51 A950), 534—543.
Беенке Г. и Туллен П. (Behnke H. und T h u 11 е п Р.)
[6] Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen, Berlin, 1934.
Беенке Г. и Штейн К. (Behnke H. und Stein К.)
[7] Entwicklung analytischer Funktionen auf Riemannschen Flachen, Math. Ann.,
120 A948), 430-7461.
Блейкерс А. и Масси В. (В lakers A. L. and M a s s e у W. T.)
[8] The homotopy groups of a triad, Ann. Math., 53 A951), 161—204.
Болтянский В. Г.
[9] Расслоение пространств отображений, Труды Моск. мат. общ., т. 5, 1957.
[10] Гомотопическая теория непрерывных отображений и векторных полей, Труды
Мат. и нет. АН СССР, т. 47, 1955.
Борель А. (В orel A.)
[11] Remarques sur l'homologie filtree, J. Math. Pures Appl., 29 A950), 313—322.
[12] Section locale des certains espaces fibres, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 A950), 1246—
1248.
[13] Le plan projectif des octaves et les spheres comme espaces homogenes, С R. Acad.
Sci. Paris, 230 A950), 1378—1380.
[14] Impossibilite de fibrer une sphere par un produit de spheres, С R. Acad. Sci. Paris,
231 A950), 943—945.
[15] Sur la cohomologie des varietes de Stiefel et de certains groupes de Lie, С R. Acad.
Sci. Paris, 232 A951), 1628—1630.
[16] La transgression dans les espaces fibres principaux, C. R. Acad. Sci. Paris, 232
A951), 2392—2394.
[17] Sur la cohomologie des espaces homogenes des groupes de Lie compacts, C. R.
Acad. Sci. Paris, 233 A951), 569—571.
[18] Seminaire de Topologie algebrique de l'E.P.F., Zurich, 1951 (Notes polycopiees).
[19] La cohomologie mod 2 de certains espaces homogenes, Comm. Math. Helv., 27A953)i
165—197.
[20] Sur Phomologie et la cohomologie des groupes de Lie compacts connexes, Amer.
J. Math., 76 A954), 273—342.
[21] Kahlerian coset spaces of semisimple Lie groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 40
A954), 1147—1151.
Борель А. и Серр Ж.-П. (В о r e 1 A. et S e r r e J.-P.)
[22] Impossibilite de fibrer un espace euclidien par des fibres compactes, С R. Acad.
Sci. Paris, 230 A950), 2258—2260.
29* - о

452 ЛИТЕРАТУРА
[23] Determination des p-puissances reduites de Steenrod dans la cohomologie des
groupes classiques. Applications, С R. Acad. Sci. Paris, 233 A951), 680—682.
[24] Sur certains sous-groupes des groupes de Lie compacts, Comm. Math. Helv., 27
A953), 128—139.
Бон Р. (Bott R.)
[25] On torsion in Lie groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 40 A954), 586—588.
БурбакиН. (BourbakiN.)
Elements de mathematique. Les structures fondamentales de Panalyse.
[26] Livre 1: Theorie des ensembles, Paris, 1939—1952.
[27] Livre 2: Algebre, Paris, 1942—1952.
[28] Livre 3: Topologie generale, Paris, 1947—1949.
[29] Livre 5: Espaces vectoriels topologiques, Paris, 1953 (готовится русский перевод).
Ван X а о (Wang H. С.)
[30] The homology groups of the fibre-bundles over a sphere, Duke Math. J., 16 A949),
33—38.
Ван дер Варден Б. (Van der Waerden В. L.)
[31] Современная алгебра, М.—Л., 2 изд., 1947.
В ей ль A. (Weil А.)
[32] Foundations of Algebraic Geometry, New York, 1948.
[33] Numbers of solution of equations in finite fields, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949),
497—508.
[34] Fibre-spaces in Algebraic Geometry, Chicago, 1952.
В ей ль Г. (Weyl H.)
[35] Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch lineare
Transformationen I, II, III, Math. Z., 23 A925), 271—309; 24 A926), 328—395;
неполный русский перевод в УМН, 4 A938), 201—257.
Гизин. В. (Gysin W.)
[36] Zur Homologie Theorie des Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten,
Comm. Math. Helv., 14 A941), 61—121.
Глисон A. (Gleason A. M.)
[37] Spaces with a compact Lie group of transformations, Proc. Amer. Math. Soc,
1 A950), 35—43.
Грёбнер В. (GrSbner W.)
[38] Moderne Algebraische Geometrie. Die idealtheoretischen Grundlagen, Wien, 1949.
Гуревич В. (Hurewicz W.)
[39] BeitrSge zur Topologie der Deformationen, Neder. Akad. Weiensch., I, 38 A935),
112—119; II, 521—528; 111, 39 A936), 117—126; IV, 215—224.
Дольбо П.' (D о 1 b e a u 11 P.)
[40] Sur la cohomologie des varietes analytiques complexes, C. R. Acad. Sci. Paris,
236 A953), 175—177.
Д ы н к и н Е. Б.
[41] Гомологии'компактных групп Ли, УМН, 8:5 E7) A953), 73—120.
Д ы и к и н Е. Б. и О н и щ и к А. Л.'
[42] Компактные группы Ли в целом, УМН, 10:4 F6) A955), 3—74.
Дьедонне Ж. (Dieudonne J.)
[43] Semi-derivations et formule de Taylor en caracteristique p, Arch. Math., 2 A950),
364—366.
Д ю б р е й П.. (D u b r e i 1 P.)
[44] Sur la dimension des ideaux de polynomes, J. Math. Pures Appl., 15 A936), 271—
283.
Дюэвель Р. (Deheuvels R.)
[45] Topologie d'une fonctionelle, Ann. Math., 61 A955), 13—71.

ЛИТЕРАТУРА 453
ЗарисскийО. (ZariskiO.)
[46] The concept of a simple point of an abstract algebraic variety, Trans. Amer. Math.
Soc, 62 A947), 1—52.
[47] Complete linear systems on normal varieties and a generalization of a lemma of
Enriques-Severi, Ann. Math., 55 A952), 552—592.
Зейферт Г. (Seifert H.)
[48] Algebraische Approximation von Mannigfaltigkeiten, Math. Z., 41 A936), 1 —17.
Зейферт Г. и Трельфалль В. (Seifert H. und T h r e I f a 11 W.)
[49] Вариационное исчисление в целом, М., 1947.
де Зибенталь Ж- (de Siebenthal J.)
[50] Sur Ies sousgroupes formees par groupe de Lie clos, Comm. Math. Helv., 25 A951),
210—256.
И в а с а в а К. (Iwasawa К.)
[51] On some types of topological groups, Ann. Math., 50 A949), 507—558.
Картан A. (Cartan H.)
[52] Sur Ies matrices holomorphes de n variables complexes, J. Math. Pures Appl., IX s.,
19 A940), 1—126.
[53] Ideaux de fonctions analytiques de n variables complexes, Ann. Ecole Norm., 61
A944), 149—197.
[54] Sur la cohomologie des espaces ou opere un groupe, C. R. Acad. Sci. Paris, 226
A948), 148—150, 303—305.
[55] Ideaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes, Bull. Soc.
Math. France, 78 A950), 28—64.
[56] a. Notions d'algebre differentielle, applications au groupes de Lie,..., b. La trans-
transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibre principal; в книге Colloque
de Topologie algebrique, Bruxelles, 1950, p. 16—27, 57—71.
[57] Problemes globaux dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variables
complexes; в книге Proc. Int. Cong. Math. 1950, I, p. 152—164.
[58] Seminaire de Topologie algebrique de I'E.N.S., Paris, 1948—1949 (polycopiees).
[59] Idem, Paris, 1949—1950.
[60] Idem, Paris, 1950—1951.
[61] Idem, Paris, 1951—1952.
[62] Idem, Paris, 1953—1954.
[63] Sur Ies groupes d'Eilenberg-MacLane, I, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 40 A954),
467—471; II, 704—707.
Картан А. и Лерэ Ж- (Cartan H. et Leray J.)
[64] Relations entre anneaux de cohomologie et groupe de Poincare; з книге Colloque
de Topologie algebrique, Paris, 1947, p. 83—85.
Картан А. и Серр Ж--П. (Cartan H. et Serr J.-P.)
[65] Espaces fibres et groupes d'homotopie. I. Constructions generates, C. R. Acad.
Sci. Paris, 234 A952), 288—290; II. Applications, 393—395.
Картан А. иТуллен П. (Cartan H. und T h u 11 e n P.)
[66] Zur Theorie der Singularitaten der Funktionen mehrerer Veranderlichen: Regulari-
tats- und Konvergenzbereiche, Math. Ann., 106 A932), 617—647.
Картан А. и Эйленберг С. (Cartan H. et Eilenberg S.)
[67] Satellites des foncteurs de modules (в печати).
[68] Homological algebra, Princeton, 1956 (готовится русский перевод).
Картан Э. (Cartan Ё.)
[69] Sur certaines formes Riemanniennes remarquables des geometries a groupe fonda-
mental simple, Ann. Ecole Norm., 44 A927), 345—465.
[70] Sur Ies invariants integraux de certains espaces homogenes clos,..., Ann. Soc.
Pol. Math., 8 A929), 181—225; см. также Selecta, Paris, 1939, p. 203—223.
[71] La Topologie des groupes de Lie, Paris, 1936.

454 ЛИТЕРАТУРА
•Коксетер Г. (Coxeter H.S.M.)
[72] The product of the generators of a finite group generated by reflections, Duke Math.
J., 18 A951), 765^-782.
К о с у л Ж. Л. (К о s z u I J. L.)
[73] Sur les operateurs de derivation dans un anneau, С R. Acad. Sci. Paris, 225 A947),
217—219.
[74] Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bull. Soc. Math. France, 78 A950),
65—127.
[75] Sur la structure multiplicative de l'anneau de cohomologie des espaces homogenes;
в книге Colloque de Topologie algebrique, Bruxelles, 1950.
К р у л л ь В. (К г u 11 W.)
[76] Idealtheorie, Berlin, 1935.
Кузен П. (Cousin P.)
[77] Sur les fonctions de n variables complexes, Ada math., 19 A895), 1—62.
К у р о ш А. Г.
[78] Теория групп, М.—Л., 2 изд. 1953.
Лерэ Ж. (Leray J.)
[79] Sur la forme des espaces topologiques et sur les points fixes des representations,
J. Math. Pures Appl, IX s., 24 A945), 95—248.
[80] Structure de I'anneau d'homologie d'une representation, С R. Acad. Sci. Paris,
222 A946), 1419—1422.
[?1] Applications continues commutant avec les elements d'un groupe de Lie compact,
С R. Acad. Sci. Paris, 228 A949), 1784—1786.
[82] Determination, dans le cas non-exceptionnele, de l'anneau de cohomologie de l'espace
homogene quotient d'un groupe de Lie compact par un sousgroupe de meme rang,
С R. Acad. Sci. Paris, 228 A949), 1902—1904.
[83] L'anneau spectral et l'anneau filtre d'homologie d'un espace Iocalement compact
et d'une application continue, J. Math. Pures Appl., IX s., 29 A950), 1—139.
[84] L'homologie d'un espace fibre dont la fibre est connexe, J. Math. Pures Appl.,
IX s., 29 A950), 169—213.
[85] Sur l'homologie des groupes de Lie, des espaces homogenes et des espaces fibres
principaux; в книге Colloque de Topologie algebrique, Bruxelles, 1950, p. 101—115.
Лефшец С. (Lefschetz S.)
[86] L'analysus situs et la geometrie algebrique, Paris, 1924.
Л и н н и к Ю. В.
[87] Кватернионы и числа Кэли, УМН, 5: 5 A949), 49—98.
Лихиерович A. (Lichnerowicz A.)
[88] Theorie globale des connexions et des groupes d'holonomie, Paris—Roma, 1955.
Маклейн С. и Эйленберг С. (MacLane S. and E i I e n b e r g S.)
[89] Relations between homology and homotopy groups of spaces, Ann. Math., 46
A945), 480—509.
[90] Idem, II, Ann. Math., 51 A950), 514—533.
[91] General theory of natural equivalences, Trans. Amer. Math. Soc, 58 A945), 231—
294.
[92] Cohomology theory of abelian groups and homotopy theory I, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 36 A950), 443—447.
[93] Idem, II, 657—663.
[94] Idem, IV, 38 A952), 1340—1342.
[95] Acyclic models, Amer. J. Math., 75 A953), 189—199.
MeSepc С (Myers S.)
[96] Riemannian manifolds in the large, Duke Math. J., 1 A935), 39—49.
Миллер К- (Miller С. Е.)
[97] The topology of rotation groups, Ann. Math., 57 A953), 90—114.

ЛИТЕРАТУРА 455
Морс М. (М о г s M.)
[98] The Calculus of variations in the large, New York, 1934.
[99] Functional Topology and abstract variational theory, Ann. Math., 38 A937), 386—
449.
[100] The behavior of a function on its critical set, Ann. Math., 40 A939), 62—70.
Ока К. (Oka К.)
[101]Sur Ies fonctions analytiques de plusieurs variables. II. Domaines d'holomorphie,
J. Sci. Hiroshima, set. A, 7 A937), 115—130.
[102] III. Deuxieme probleme de Cousin, J. Sci. Hiroshima, 9 A939), 7—19.
[103] VI. Domaines pseudo-convexes, Tohoku Math. J., 49 A942), 15—52.
[104] VII. Sur quelques notions arithmetiques, Bull. Soc. Math. France, 78 A950), 1—27.
Пидо Д. и Ходж В. (Pedou D. and Hodge W. V. D.)
[105] Методы алгебраической геометрии, М., 1954.
П и т ч е р Э. (Pitcher E.)
[106] Homotopy groups of the space of curves with application to spheres; в книге
Proc. Int. Congr. Math. 1950, I, p. 528—529.
Понтрягин Л. С.
[107] Непрерывные группы, М.—Л., 2 изд., 1954.
[108] Homologies in compact Lie groups, Мат. сб., н. с, 6 A939), 389— 422.
[109] Ueber die topologische Structur der Lieschen Gruppen, Comm. Math. Helv., 13
A940), 277—283.
[110] Классификации отображений трехмерного комплекса в двумерную сферу,
Мат. сб., 9 A941), 331—363.
[111] Отображение 3-мерной сферы в л-мерный комплекс, Докл. АН СССР, 34 A942),
35—37.
[112] Характеристические циклы дифференцируемых многообразий, Мат. сб., н. с,
21 A947), 233—284.
[ИЗ] Основы комбинаторной топологии, М.—Л., 1947.
[114] Классификация отображений (п + 1)-мерной сферы в полиэдр Кп, фунда-
фундаментальная группа которого и группы Бетти размерностей 2 п— I триви-
тривиальны, Изв. АН СССР, сер. мат., 14 A950), 7—44.
[115] Гладкие многообразия и нх применения в теории гомологии, Труды мат.
инст. АН СССР, т. 45, 1955.
Постников М. М.
[116] Определенные семейства функций и алгебры без делителей нуля иад полем
действительных чисел, УМН, 9:2 F0) A954), 67—104.
[117] Исследования по гомотопической теории непрерывных отображений I, II,
Труды мат. инст. АН СССР, т. 46, 1955.
[118] Теория гомологии гладких многообразий и ее обобщения, УМН, 11:1A956),
115-166.
д е Рам Г. (d e R h a m G.)
[119] Sur la division de formes et de courants par une forme Iineaire, Comm. Math.
Helv., 28 A954), 346—352.
P и в о в В. и X о п ф Г. (R i n о w W. und Н о р f H.)
[120] Ueber den Begriff der vollstandigen differential-geometrischen Flache, Comm.
Math. Helv., 3 A931), 209—225.
Рохлин В. А.
[121] 3-мерное многообразие — граница 4-мерного, Докл. АН СССР, 81 A951), 355.
[122] Новые результаты теории 4-мерных многообразий,. Докл. АН СССР, 84 A952),
221—224.
[123] Внутренние гомологии, Докл. АН СССР, 89 A953), 789—792.
Самельсон Г. (Samelson H.)
[124] Beitrage zur Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten, Ann. Math., 42 A941),
1091—1137.

456 ЛИТЕРАТУРА
Самельсон Г. и Хопф Г. (Samelson H. und Н о р f H.)
[125] Ein Satz uber die Wirkungsraume geschlossener Liescher Gruppen, Comm. Math.
Helv., 13 A940—1941), 240—251.
С a м у э л ь П. (Samuel P.)
[126] Commutative Algebra, New York, 1953.
[127] Algebre locale, Paris, 1953.
Cap-д A. (Sard A.)
[128] The measure of the critical values of differentiable maps, Bull. Amer. Math. Soc,
48 A942), 883—890.
С e p p Ж--П. (S e r r e J.-P.)
[129] Trivialite des espaces fibres. Applications, С R. Acad. Sci. Paris, 230 A950), 916—
918.
[130] Cohomologie des extensions des groupes, C. R. Acad. Sci. Paris, 231 A950), 643—
646.
[131] Homologie singuliere des espaces fibres. I, C. R. Acad. Sci. Paris, 231 A950), 1408—
1410; П, 232 A951), 31—33; III, 142—144.
[132] Sur Ies groupes d'Eilenberg-MacLane, С R. Acad. Sci. Paris, 234 A952), 1243—1245.
[133] Sur la suspension de Freudenthal, C. R. Acad. Sci. Paris, 234 A952), 1340—1342.
[134] Cohomologie modulo 2 des complexes d'Eilenberg-MacLane, Comm. Math. Helv.,
27 A953), 198—231.
[135] Un theoreme de dualite, Comm. Math. Helv., 29 A955), 9—26.
С e p p Ж.-П. и Хохшильд Г. (Serre J.-P. and Hochschild G.)
[136] Cohomologies of group extensions, Trans. Amer. Math. Soc, 74 A953), 110—134.
Спанье Э. (S p a n i e r E.)
[137] Cohomology theory for general spaces, Ann. Math., 49 A948), 407—427.
[138] Borsuk's cohomotopy groups, Ann. Math., 50 A949), 203—245.
Спанье Э. и Чжень Шэ н-ш ень (Spanier E. and С К е г n S. S.)
[139] The homologie structure of sphere bundles, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 36 A950),
248—255.
Стинрод Н. (Steenrod N.)
[140] Homology with local coefficients, Ann. Math., 44 A945), 610—627.
[141] Cohomologies invariants of mappings, Ann. Math., 50 A949), 954—988.
[142] a. Homology groups of symmetric groups and reduced powers operations, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA, 39 A953), 213—217; b. Cyclic reduced powers of cohomology
classes, 217—223.
[143] Топология косых произведений, М., 1953.
Стинрод Н. н Уайтхед Дж. Г. К. (Steenrod N. Е. and W h i t e h e-
a d J. H. C.)
[144] Vector fields on the л-sphere, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 37 A951), 58—63.
Стинрод Н. и Эйленберг С. (Steenrod N. and E i 1 e n b e r g S.)
[145] Foundations of algebraic topology, Princeton, N. Y., 1952 (готовится русский
перевод).
Том Р. (Thorn R.)
[146] Classes caracteristiques et i-carres, С R. Acad. Sci. Paris, 230 A950), 427—429.
[147] Une theorie axiomatique des puissances de Steenrod; в книге Colloque de Topolo-
gie, Strasbourg, 1951.
[148] Espaces fibres en spheres et carres de Steenrod, Ann. Ecole Norm., 69 A952), 109—
181.
[149] Definition intrinseque des puissances de Steenrod; в книге Colloque de Topologie,
Strasbourg, 1952.
[150] Sous-varietes et classes d'homologie des varietes differentiables, С R. Acad. Sci.
Paris, 236 A953), 453—454, 573—575; Sur un probleme de Steenrod, 1128—1130;
Varietes differentiables cobordantes, 1733—1735.

ЛИТЕРАТУРА 457
У В э н ь Цзюнь (W u W. Т.)
[151] On the product of sphere bundles and the duality theorem mod 2, Ann. Math.,
49 A948), 641—653.
[152] Sur la structure presque complexes d'une variete differentiable reelle, C. R. Acad.
Sci. Paris, 228 A949), 972—973.
[153] Classes caracteristiques et i-carres d'une variete, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 A950),
508—509.
[154] Les i-carres dans une variete grassmannienne, C. R. Acad. Sci. Paris, 230 A950),
918—920.
[155] Sur les puissances de Steenrod; в книге Colloque de Topologie, Strasbourg, 1951.
[156] Sur les classes caracteristiques des structures fibrees spheriques, Paris, 1952.
У а й т x e д Д ж. Г. K. (W h i t e h e a d J. H. C.)
[157] On the readability of homotopic groups, Ann. Math., 50 A949), 261—263.
[158] Combinatorial Homotopy, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 213—245, 453—496
[159] Note on Suspension, Quart. J. Math. Oxford, 1 A950), 9—22.
УайтхедДж. (Whitehead G. W.)
[160] Correction to my paper „On families of continuous vector fields over spheres",
Ann. Math., 48 A947), 782—783.
[161] On spaces with vanishing low-dimensional homotopy groups, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA, 34 A948), 207—211.
[162] A generalization of the Hopf invariant, Ann. Math., 51 A950), 192—237.
[163] Fiber spaces and the Eilenberg homology groups, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 38
A952), 426—430.
[164] On the Freudenthal theorem, Ann. Math., 57 A953), 209—228.
Уитни Г. (Whitney H.)
[165] Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets, trans. Amer.
Math. Soc, 36 A934), 63—89.
[166] A function non constant on a connected set of critical points, Duke Math. J., 1A935),
514—517.
[167] On the topology of differentiable manifolds, Univ. of Michigan Lectures, 1941.
Френкель Ж. (FrenkelJ.)
[168] Sur une classe d'espaces fibres anaIytiques,C. R. Acad. Sci. Paris, 236 A953), 40—41.
Хаусдорф Ф. (Hausdorf F.)
[169] Теория множеств, М.-Л., 1937.
Хялтон П, (Hilton P.)
[170] Suspension theorem and generalized Hopf invariant, Proc. London Math. Soc,
1 A951), 462—493.
Хнрцебрух Ф. (Hirzebruch F.)
[171] Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie, Berlin, 1956.
X и р ш Ж. (Н i r s с h G.)
[172] Un isomorphisme attache aux structures fibrees, C. R. Acad. Sci. Paris, 227 A948),
1328—1330.
X о n ф Г. (Hopf H.)
[173] Ober den Rang geschiossener Lieschen Gruppen, Comm. Math. Helv., 13 A940—
1941), 119—143.
[174] Ein topologischer Beitrag zur reelen Algebra, Comm. Math. Helv. 13 A940—1941),
219—239.
[175] Ueber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerun-
gen, Ann. Math., 42 A941), 22—52.
[176] Ueber die Bettischen Gruppen, die zu einer beliebigen Gruppe geh6ren, Comm.
Math. Helv., 17 A944), 39—79.
Чжень Ш э н-ш е н ь (С h e r n S. S.)
[177] Characteristic classes of hermitian manifolds, Ann. Math., 47 A946), 85—121.

458 ЛИТЕРАТУРА
[178] On the multiplication in the characteristic ring of a sphere bundle, Ann. Math.'
49 A948), 362—372.
[179] Topics in differential geometry, Princeton, 1951 (mimeographed).
[180] On the characteristic classes of complex spheres bundles and algebraic varieties,
Amer. J. Math, (в печати).
Шапиро A. (Shapiro A.)
[181] Cohomologie dans les espaces fibres, C. R. Acad. Sci. Paris, 231 A950), 206—207.
Шевалле К. (Chevalley С.)
[182] Invariants of finite groups generated by reflections, Amer. J. Math., 77 A955).
Штейн К- (Stein К.)
[183] Topologische Bedingungen fur die Existenz analytischer Funktionen komplexer
Veranderlichen zu vorgegeben NuIIstellenfiachen, Math. Ann., 117 A941), 727—
757.
[184] Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen zu vorgegebenen Periodi-
zitatsmoduln und das zweite Cousinsche Problem, Math. Ann., 123 A951), 201—222.
Ш т и ф е л ь Э. (S t i e f e I E.)
[185] Richtungsfelder und Fernparallelismus in л-dimensionalen Mannigfaltigkeiten,
Comm. Math. Helv., 8 A935—1936), 3—51.
[186] Ober Richtungsfelder in den projektiven Rflumen und einen Satz aus der reelen
Algebra, Comm. Math. Helv., 13 A940—1941), 201—218.
[187] Ueber eine Beziehung zwischen geschlossenen Lieschen Gruppen und diskonti-
nuierlichen Bewegungsgruppen,..., Comm. Math. Helv., 14 A941—1942), 350—
380.
Эйленберг С (Eilenberg S.)
[188] Singular homology theory, Ann. Math., 45 A944), 407—447.
[189] Topological methods in abstract algebra. Cohomology theory of groups, Bull.
Amer. Math., Soc, 55 A949), 3—27.
[190] Problems in Topology, Ann. Math., 50 A949), 246—260.
Э к м а н Б, (Eckfflann B.)
[191] Ueber die Homotopiegruppen von Gruppenraumen, Comm. Math. Helv., 14 A941),
234—256.
[192] Systeme von Richtungsfeldern in Spharen und stetige Lbsungen komplexer Hnearer
Gleichungen, Comm. Math. Helv., 15 A942), 1—26.
[193] Coverings and Betti numbers, Bull. Amer. Math. Soc, 55 A949), 95—101.
[194] Espaces fibres et homotopie; в книге Colloque de Topologie, Bruxelles, 1950,
p. 83—89.
Эресмаи Ш. (Ehresmann C.)
[195] Sur la topologie de certains espaces homogenes, Ann. Math., 35 A934), 396—443.
[196] Sur la topologie de certaines varietes algebriques reelles, J. Math. Pures AppL,
IX s., 16 A937), 69—100.
]197] Sur la variete des generatrices planes d'une quadrique reelle et sur la topologie
du groupe orthogonal a n variables, С R. Acad. Set. Paris, 208 A939), 321—323.
[198] Sur la topologie des groupes simples clos, C. R. Acad. Sci. Paris, 208 A939), 1263—
1265.
[199] Sur les espaces fibres differentiables, C. R. Acad. Sci. Paris, 224 A947), 1611—1612.
[200] Sur la theorie des espaces fibres; в книге Colloque international de Topologie
algebrique, Paris, 1949, p. 3—15.
Юнг Г. (Young G.8.)
[201] On the factors and fiberings of manifolds, Proc. Amer. Math. Soc., 1 A950), 215—
223.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редакторов 5
I. Сингулярные гомологии расслоенных пространств. Жан-Пьер Серр. Перевод
- В. Г. Болтянского 9
Глава I. Понятие спектральной последовательности 11
Глава II. Сингулярные гомологии и когомологии расслоенных прост-
пространств 28
Глава III. Приложения спектральной последовательности расслоенных
пространств 54
Глава IV. Пространства петель 65
Глава V. Гомотопические группы k.. 82
Глава VI. Группы Эйленберга—Маклейна 93
Добавление. О гомологиях некоторых накрытий 96
Примечания редактора 98
II. Многообразия, иа которых все геодезические замкнуты. Рауль Ботт. Перевод
Б. С. Вияенской 115
III. Гомотопические труйпы и классы абелевых групп. Жан-Пьер Серр. Перевод
Б. С. Вимнской 124
Глава I. Понятие класса ' 125
Глава II. Расслоенные пространства 132
Глава III. Теоремы Гуревича и Дж. Г. К. Уайтхеда 137
Глава IV. Гомотопические группы сфер 143
Глава V. Дополнения 153
Примечания редактора 159
IV. О когомологиях главных расслоенных пространств и однородных пространств
компактых групп Ли. Арман Борель. Перевод А. Л. Оншцика 163
Глава г. Предварительные сведения 166
Глава П. Теорема Хопфа 183
Глава III. Когомологии многообразий Штифеля (элементарная теория) 189
Глава IV. Основная теорема 194
Глава V. Трансгрессия в главных расслоенных пространствах 207
Глава VI. Когомологии главных расслоенных пространств и однородных
пространств с вещественными коэффициентами 224
Глава VII. Целочисленные когомологии и когомологни по модулю р неко-
некоторых однородных пространств 236
Примечания редактора 245
V. Группы Ли и приведенные степени Стиирода. Арман Борель и Жан-Пьер Серр.
Перевод Б. С. Виленской 247
Глава I. Расслоенные пространства, структурные группы которых яв-
являются группами Ли 248
Глава II. Приведенные степени Стинрода 256
Глава III. Приведенные степени в алгебрах когомологии групп Ли и их
классифицирующих пространств 262

460 СОДЕРЖАНИЕ
Глава IV. Приложения 267
Примечания редактора 279
VI. Классифицирующие пространства ортогональных групп; многообразия Шти-
феля. Арман Б орель. Перевод Б. С. Виленской 282
VII. Некоторые свойства „в целом" дифференцируемых многообразий. Рене Том.
Перевод Б. С. Виленской 293
Глава I. Свойства дифференцируемых отображений 294
Глава • II. Подмногообразия и классы гомологии многообразия 301
Глава III. О проблеме Стиирода 326
Глава IV. Внутренне гомологичные дифференцируемые многообразия .... 331
Примечания редактора 348
VIII. Комплексные аналитические многообразия и теория когомологий. Анри Картан.
Перевод Б. С. Виленской 352
IX. Некоторые задачи, связанные с изучением в целом многообразий Штейиа.
Жан-Пьер Серр. Перевод Б. С. Виленской 363
X. Когерентные алгебраические пучки. Жаи-Пьер Серр. Перевод Б. С. Виленской 372
Глава I. Пучки 373
Глава II. Алгебраические многообразия. Алгебраические когерентные
пучки над аффинными многообразиями 396
Глава III. Когерентные алгебраические пучки над проективными много-
многообразиями 417
Литература 451
РАССЛОЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Редактор В. Д. СОЛОМ ЕНЦЕВ
Переплет художника К. Г. Митру хина
. Технический редактор Н. А. Иовлева
Сдано в производство 6/IV 1957 г. Подписано к печати 5/IV 1958 г.
Бумага 70xl0S7u = 14.4 бум. л. 39,4 печ. л. Уч. изд. л. 40,2. Изд. № 1/2801
Цена 30 р, 15 к. Зак. 126
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
Моснва, Ново-Алексеевская, 62.
13724 — Типография Франклин, Будапешт