ACTUALITES SCIENTIFIQUES ET INDUSTRIELLES
ELEMENTS DE MATHEMATIQUE
PAR
N. BOURBAKI
PREMIERE PARTIE
LES STRUCTURES FONDAMENTALES DE L'ANALYSE
LIVRE V
ESPACES VECTORIELS
TOPOLOGIQUES
PARIS
HERMANN & O\ EDITEURS
6, Rue de la Sorbonne, 6

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИКИ
Н. БУРБАКИ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА, 1959

АННОТАЦИЯ
Данная книга объединяет выпуски XV, XVIII
и XIX известной монографии Н. Бурбаки .Элементы
математики", составляющие единственное в мировой
литературе руководство по общей теории топологи-
топологических векторных пространств.
Книга рассчитана на математиков — научных
работников, аспирантов и студентов старших курсов
университетов и пединститутов, интересующихся
функциональным анализом и топологией.
Редакция литературы по математическим наукам

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие переводчика 11
Способ пользования этим трактатом 17
Глава I. Топологические векторные пространства над нормиро-
нормированным телом 21
§ 1. Топологические векторные пространства 21
1. Определение топологического векторного пространства .... 21
2. Нормированные, пространства над нормированным телом ... 23
3. Окрестности начала в топологическом векторном пространстве
над нормированным телом 25
.4, Признаки непрерывности и равностепенной непрерывности . . 28
5. Равномерная структура н пополнение топологического вектор-
. . ного пространства ,.,,,,..,,.,,,., 30
6. Векторные подпространства и факторпространства топологиче-
топологического векторного пространства , , , , 32
7. Произведение топологических, век.торцых пространств 34
8. Топологическая прямая сумма подпространств 35
9. Один метод топологизации векторных пространств 39
Упражнення 41
§ 2. Линейные многообразия в топологическом векторном пространстве 44
1. Замыкание линейного многообразия 44
2. Прямые и замкнутые гиперплоскости ...'.'. 47
3. Конечномерные векторные подпространства 48
4. Локально' компактные топологические векторные пространства 50
Упражнення '.'.'. 52
§ 3. Метризуе'мые' топологические векторные пространства 54
1. Окрестности нуля в метрнзуемом топологическом векторном
пространстве 54
'2.' Свойства метризуемых векторных пространств 56
'3. Непрерывные линейные функции на метризуемом векторном
пространстве ¦.¦.'.'...¦....¦...¦. 56
"Упражнения ; . : 60
Глава II. Выпуклые множества и локально выпуклые простран-
пространства 63
§ 1. Выпуклые множества . . '. 64
1. Определение выпуклого множества 64
2. Пересечения выпуклых множеств. Произведения выпуклых мно-
множеств 66

Ь ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Выпуклая оболочка множества 67
4. Выпуклые конусы 68
5. Упорядоченные векторные пространства 71
6. Выпуклые множества в топологических векторных пространствах 73
Упражнения 75
§ 2. Локально выпуклые пространства 80
1. Определение локально выпуклого пространства 80
2. Два метода введения локально выпуклой топологии 82
3. Топологическая прямая сумма семейства локально выпуклых
пространств 84
4. Индуктивные пределы локально выпуклых топологий 84
5. Строгий индуктивный предел последовательности подпро-
подпространств 87
Упражнения 89
§ 3. Отделение выпуклых множеств 92
1. Теорема Хана — Банаха (геометрическая форма) 92
2. Отделение выпуклых множеств в топологических векторных
пространствах . . . 94
3. Отделение выпуклых множеств в локально выпуклом простран-
пространстве 96
4. Положительные линейные формы на упорядоченном векторном
пространстве 99
Упражнения 100
§ 4. Компактные множества в топологических векторных пространствах 104
1. Выпуклые оболочки компактных множеств 104
2. Экстремальные точки компактных выпуклых множеств .... 105
Упражнения ПО
§ 5. Полунормы 114
1. Определение выпуклой функции 114
2. Непрерывность выпуклых функций 116
3. Полунормы 118
4. Полунормы в локально выпуклых пространствах 120
5. Полунормы в факторпространствах н произведениях пространств 123
6. Полилинейные непрерывные отображения произведения локально
выпуклых пространств в локально выпуклое пространство . . 124
7. Теорема Хана — Банаха (аналитическая форма) 126
Упражнения 127
§ 6. Комплексные локально выпуклые пространства 131
1. Топологические векторные пространства над С 131
2. Комплексные локально выпуклые пространства 133
3. Теорема Хана — Банаха 135
Упражнения 137
Приложение к главе II. Неподвижные точки компактных выпуклых мно-
множеств 139
Упражнения 141

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Глава III. Пространства непрерывных лннейиых отображений . 143
§ 1. Бочечные пространства 143
1. Определение бочечного пространства 143
2. Свойства бочечных пространств . . 144
Упражнения 145
§ 2. Ограниченные множества в топологических векторных простран-
пространствах 146
1. Определение ограниченных множеств 146
2. Свойства ограниченных множеств 147
3. Образ прн непрерывном отображении 149
4. Ограниченные множества в строгом индуктивном пределе ... 151
5. Квазиполные пространства 152
Упражнения 153
§ 3. Пространства непрерывных линейных отображений 160
1. Пространства Ag (fi,/7) 160
2. Условие отделимости пространства L@(E, F) 163
3. Связи между L (Е, F) н L (Ё, F) 163
4. Ограниченные множества в LB (Е; Р) 164
5. Равностепенно непрерывные множества в L (E, F) 166
6. Теорема Банаха — Штейнгауза 171
7. Полные множества в L@ (E, F) 175
Упражнения 177
§ 4. Гнпонепрерывные билинейные отображения 183
1. Раздельно непрерывные билинейные отображения 183
2. Гипонепрерывные билинейные отображения 184
3. Продолжение гипонепрерывного билинейного отображения . . 186
4. Гипонепрерывность отображения (»,!))•+».» ........ 188
5. Равностепенно гнпонепрерывные множества билинейных ото-
отображений 189
Упражнения 191
Глава IV. Двойственность в топологических векторных про-
пространствах 195
§ 1. Слабые топологии 195
1. Векторные пространства в двойственности 195
2. Слабые топологии 197
3. Поляры 198
4. Ортогональные подпространства 201
5. Подпространства и факторпространства пространства, наделен-
наделенного слабой топологией 201
6. Произведения слабых топологий 203
Упражнения 204
§ 2. Сопряженное к отделимому локально выпуклому пространству . . 211
1. Слабая н ослабленная топологии 211
2. Свойства слабого сопряженного 212
3. Топологии, согласующиеся с заданной двойственностью .... 215

8
ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Множества, ограниченные в ослабленной топологии 219
5. Характернзацня слабо непрерывных линейных форм на сопря-
сопряженном пространстве 220
6. Характеризация слабо замкнутых выпуклых множеств в сопря-
сопряженном к пространству Фреше 222
7. Сопряженное к подпространству; сопряженное к факторпро-
странству 224
8. Сопряженное к произведению 225
9. Сопряженное к пространству непрерывных линейных отобра-
отображений 226
Упражнения 228
§ 3. Сильная топология в сопряженном к отделимому локально выпук-
выпуклому пространству 235
1. Определение сильной топологии 235
2. Свойства сильного сопряженного 236
3. Второе сопряженное. Рефлексивные пространства 237
4. Монтелевские пространства 240
Упражнения 242
§ 4. Сильная н слабая непрерывность 251
1. Сопряженное к слабо непрерывному линейному отображению 251
2. Слабая и сильная непрерывность 254
Упражнения 257
§ 5. Двойственность банаховских пространств 262
1. Слабая и сильная топологии в сопряженном к нормированному
пространству 262
2. Второе сопряженное к нормированному пространству. Рефлек-
Рефлексивные банаховские пространства 265
3. Непрерывные линейные отображения нормированного простран-
пространства в локально выпуклое пространство 267
4. Сопряженное к подпространству и факторпространству норми-
нормированного пространства 268
Упражнения 270
Глава V. Гильбертовы пространства (элементарная теория) . . . 279
§ 1. Предгильбертовы н гильбертовы пространства 279
1. Эрмитовы формы 279
2. Положительные эрмитовы формы 281
3. Предгильбертовы н гильбертовы пространства 283
4. Выпуклые множества в предгильбертовом пространстве .... 285
5. Векторные подпространства н проекторы 289
6. Сопряженное к гильбертову пространству 291
Упражнения 293
§ 2. Ортогональные семейства в гильбертовом пространстве 301
1. Внешняя гильбертова сумма гильбертовых пространств .... 301
2. Гильбертова сумма ортогональных подпространств гильбертова
пространства 303

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
3. Ортонормальные семейства 307
4. Ортонормализацня 309
Упражнения 311
Исторический очерк (к главам I—V) 318
Библиография 332
Сводка результатов 334
Введение 334
§ 1. Топологические векторные пространства; окрестности, полунормы,
ограниченные множества 334
Топологические векторные пространства 334
Локально выпуклые пространства 336
Ограниченные множества 337
§ 2. Линейные и полилинейные отображения 339
Непрерывные линейные отображения 339
Гомоморфизмы 340
Билинейные отображения 341
§ 3. Подпространства; факторпространства; произведения; прямые суммы 343
Подпространства 343
Факторпространства •. 344
Произведения топологических векторных пространств 344
Конечные прямые суммы 345
Различные способы введения топологии 347
Гильбертова сумма гильбертовых пространств 348
§ 4. Выпуклость 349
Выпуклые множества 349
Отделение выпуклых множеств 350
Компактные выпуклые множества 351
Проекция на выпуклое множество в предгильбертовом простран-
пространстве 352
Выпуклые функции 352
Конусы 353
§ 5. Пространства непрерывных линейных отображений 354
©-топологии в L (Е, F) . . . . ' 354
Ограниченные множества в Ls (Е, F) 355
Равностепенно непрерывные множества в L (E, F) 356
§ 6. Двойственность 357
Векторные пространства в двойственности 357
Поляры 358
Подпространства, факторпространства, произведения 358
Топологии, согласующиеся с двойственностью 359
Сильное сопряженное 360
Сопряженное отображение 361
§ 7. Основные типы локально выпуклых пространств 361
Бочечные пространства 361
Монтелевские пространства 363

10 ОГЛАВЛЕНИЕ
Пространства Фреше 363
Банаховские пространства 364
Гильбертово пространство 365
Приложение к Сводке результатов. Некоторые топологические вектор-
векторные пространства функционального анализа 368
Словарь 369
Приложение I. Перевод некоторых мест из других книг „Элементов
математики" Н. Бурбакн, на которые имеются ссылки в этой книге . 380
Приложение II. Объяснение обозначений, заимствованных из других
книг „Элементов математики" Н. Бурбаки 392
Приложение III. Объяснение терминов, заимствованных нз других книг
„Элементов математики" Н. Бурбаки 394
Указатель обозначений 402
Указатель терминов 403
Определение и аксиомы главы I вклейка 1
Определения главы II вклейка 2
Определения главы III вклейка 3
Определения главы IV вклейка 4
Диаграмма различных типов топологических векторных
пространств вклейка 5

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Государственное издательство физико-математической литературы
и Издательство иностранной литературы приступили к переводу на
русский язык известного трактата Н. Бурбаки „Элементы мате-
математики". В^е появившиеся до сих пор выпуски этого трактата
относятся к первой его части, озаглавленной „Фундаментальные
структуры анализа" и распадающейся на следующие шесть книг:
Книга I „Теория множеств",
Книга II „Алгебра",
Книга III „Общая топология",
Книга IV „Функции одной вещественной переменной",
Книга V „Топологические векторные пространства",
Книга VI „Интегрирование".
В совокупности эти книги должны дать теоретико-множествен-
теоретико-множественную аксиоматическую основу для построения всей современной
математики *). Из них закончены пока книги III, IV и V. Книга III
издается в русском переводе (тремя отдельными выпусками) Физ-
•матгизом. Настоящее же издание содержит всю книгу V (вышед-
(вышедшую во французском издании тремя отдельными выпусками, из
которых первый, появившийся в 1953 г., содержал главы I—II,
второй, появившийся в 1955 г., — главы III—V и словарь, а третьим
0ыл „выпуск результатов", также вышедший в 1955 г.). При
переводе учтены исправления к этой книге, приложенные к даль-
дальнейшим выпускам трактата Бурбаки, и выправлены также другие
замеченные опечатки.
Среди книг „Элементов математики" Н. Бурбаки книга V „Топо-
„Топологические векторные пространства", несомненно, выделяется на-
насыщенностью новыми результатами (полученными в большинстве
уже после войны) и, если можно так выразиться, особой злобо-
злободневностью. Обьясняется это чрезвычайной быстротой развития
*) См. „Способ пользования этим трактатом", стр. 17.

12 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
теории топологических линейных пространств в последние годы и
важной ролью, которую в этом развитии сыграла школа Бурбаки.
Общее понятие топологического линейного пространства и не-
несколько более специальное (но единственно важное пока для
анализа) понятие локально выпуклого пространства были введены
А. Н. Колмогоровым, А. Н. Тихоновым и И. фон Нейманом
в 1934—1935 гг. Но вплоть до конца тридцатых годов главным
предметом теории топологических линейных пространств все еще
продолжали оставаться нормированные пространства; однако интерес
все больше концентрировался на изучении их слабой топологии.
Последнее объяснялось тем, что лишь в терминах слабой топологии
(а не одной только слабой сходимости последовательностей) оказалось
возможным правильно ставить и решать задачи теории двойствен-
двойственности для произвольных (не обязательно сепарабельных) нормирован-
нормированных пространств. Отсюда оставался лишь один шаг до исследования
слабой топологии любых локально выпуклых пространств. Этот шаг
сделали В. Л. Шмульян A940) и Ж. Дьедонне A942). Последний*)
построил полную теорию слабой двойственности линейных про-
транств, почти имитировавшую теорию двойственности для конечно-
конечномерного, т. е. чисто алгебраического, случая. Существенно дальше
продвинулся В. Л. Шмульян. Его работа „О линейных топологиче-
топологических пространствах" **) содержала уже, хотя и в недостаточно раз-
развернутом еще виде, основной результат общей теории двойствен-
двойственности локально выпуклых пространств. Война прервала исследова-
исследования В. Л. Шмульяна, а в 1944 г. он погиб на фронте. Оконча-
Окончательную форму упомянутому результату В. Л, Шмульяна придал
Макки ***) в своих работах 1945—1946 гг. ****). Эти работы, содер-
содержавшие также другие важные результаты и понятия, знаменовали
уже полное преодоление общей теорией рамок нормированных про-
пространств.
Но новые рамки — общих локально выпуклых пространств —
были еще слишком широки, и вряд ли теория топологических
*) J. p i e u d о п п ё, La dualite dans les espaces vectoriels topologiques,
Ann. Ecole Norm. C), т. 59 A942), стр. 107—139.
**) V. Smulian, Ober lineare topologische Raume, Мат. сбора, нов.
сер., т. 7 A940), стр. 425—448.
***) См. гл. IV, § 2, п°3.
****) См. библиографию к Историческому очерку, XIV а) и б).

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА 13
линейных пространств так быстро развивалась бы дальше, не получи
она мощного импульса извне, давшего также надежный компас для
выбора перспективных направлений исследования и разумной спе-
специализации понятий. Этот импульс был дан теорией „распределений"
(обобщенных функций) Л. Шварца *). Возникновение этой теории
(окончательно оформленной и систематически разработанной Л. Швар-
Шварцем) отвечало назревшей потребности математического анализа
в возможно более широки* функциональных пространствах, где
свободно действовали бы дифференциальные операторы, т. е. в раз-
различных пространствах бесконечно дифференцируемых функций и
сопряженных к ним пространствах обобщенных функций. Однако
эти пространства ненормируемы и большей частью даже неметри-
зуемы (как, например, пространства „финитных" функций и
„распределений" Л. Шварца). Это сделало совершенно очевидной
недостаточность и стеснительность старых банаховских рамок и
важность более общих концепций также — и прежде всего — для
новых приложений функционального анализа и дало мощный
толчок развитию общей теории топологических линейных про-
пространств, совершенно изменившему лицо этой теории.
На этом этапе, во всяком случае вплоть до 1955 года, когда
было завершено французское издание настоящей книги, ведущая
роль в разработке теории топологических линейных пространств,
безусловно, принадлежит математикам школы Бурбаки. Достаточно
указать основоположные работы Ж. Дьёдонне и Л. Шварца „Двой-
„Двойственность в пространствах (Jf) и (jg'^'y **>, Н. Бурбаки „О не-
некоторых топологических векторных пространствах" *t*) и А. Гротен-
.дика „О пространствах @~) и (ЗЬ&У ****); особо следует отметить
|гакже фундаментальную монографию А. Гротендика „Топологические
*) См. библиографию к Историческому очерку, XVI.
**) J. D i е ц d о n n ё et L. Schwartz, La dualite dans Ies espaces C)
WAJS^Z'), Ann. Inst. Fourier (Grenoble), т. I A950), стр. 61—101. Русск! пере-
?рд: Математика, т. 2, вып. 2 A958), стр. 77—107.
***) N. В о и г b a k i, Sur certains espaces vectoriels topologiques, Ann.
gl)*t. Fourier'(Grenoble), т. 2 A951), стр. 5—16. Русск. перевод: Математика,
:i2, вып. 2 A958), стр. 109—117.
"¦***) A. Grothendieck, Sur Ies espaces (<?") et (g^), Summa Bra-
usis Mathematicae, т. .3, вып. 6' A954), стр. 57—123. Русск. перевод:
ематика, т. 2, вып. 3 A958), стр. 81—127.

14 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
тензорные произведения и ядерные пространства" *), влияние кото-
которой только начинает еще сказываться.
Все это и наложило на рассматриваемую книгу трактата Бур-
баки печать особой оригинальности и злободневности. Вместе с тем
эта книга до сих пор играет роль единственного руководства, по
которому можно изучить основы современной теории топологиче-
топологических линейных пространств. Но нужно при этом иметь в виду, что
эта книга — вовсе не учебник в обычном смысле и даже не спе-
специальная монография: она является органической частью трактата
Бурбаки, всецело подчиненной общему его замыслу и плану.
По-видимому, именно этим объясняется, например, то, что в ней
совершенно не отражены исследования А. Гротендика по тензорным
произведениям локально выпуклых пространств и ядерным простран-
пространствам. Однако каждый изучивший эту книгу сможет уже свободно
читать литературу по любым специальным вопросам теории топо-
топологических линейных пространств.
Являясь пятой книгой трактата Н. Бурбаки, книга „Топологи-
„Топологические векторные пространства" содержи^ многочисленные ссылки
на предшествующие книги трактата; кроме того, в ней широко
используются, без специальных пояснений, введенные там обозначе-
обозначения и термины. Ввиду этого пришлось снабдить перевод книги
тремя приложениями. Первое из них содержит, в виде примечаний,
перевод тех, существенных для понимания текста книги, мест из
других книг трактата, на которые имеются ссылки. Во втором приложе-
приложении дано разъяснение стандартных обозначений, заимствованных из
других книг трактата. Наконец, третье приложение представляет
собой толковый словарь, где в алфавитном порядке расположены
в основном те (взятые из других книг трактата) термины, которые
либо присущи только языку этого трактата, либо приобрели в этом
языке не совсем общепринятый смысл. Ввиду перенасыщенности
трактата Бурбаки своей особой терминологией, читателю, еще не
знакомому с ней, пожалуй, следовало бы хотя бы бегло просмотреть
это приложение, прежде чем приступать к чтению самой книги.
Не менее полезно было бы предварительно ознакомиться со свод-
*) А. О г о t h е п d i e с k, Produits tensoriels topologiques et espaces
nucleaires, Memoirs of the American Mathematical Society, n° 16 A955).

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА 15
кой результатов к книге I „Теория множеств", помещенной в каче-
качестве приложения к русскому переводу первых трех глав книги III
„Общая топология", особенно с § 8 этой сводки, посвященным
йонятию „структуры", играющему центральную роль в концепции
математики у Бурбаки.
Наконец, отошлем читателя также к „Способу пользования этим
трактатом", содержащему ряд авторских указаний, обращенных
к читателю трактата и касающихся различных вопросов — от общей
характеристики трактата до описания особенностей редакционного
оформления, общих для всех его книг.
Д» А. Райков

СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ
1. В этом трактате математика рассматривается с самых ее
начал и даются полные доказательства. Таким образом, его чтение
не предполагает, в принципе, никаких специальных математических
знаний; требуется лишь некоторый навык в математических рас-
рассуждениях и известная способность к абстракции.
Тем не менее трактат (-предназначен главным образом для чита-
читателей, обладающих хорошим знанием хотя бы материала, препода-
преподаваемого во Франции в общем курсе математики (а в других стра-
странах— на первом или двух первых годах обучения в университете),
и, если возможно, некоторым знакомством с основными разделами
курса дифференциального и интегрального исчисления.
2. Первая часть трактата посвящена фундаментальным структу-
структурам Анализа (по поводу смысла слова „структура" см. Книгу I,
тл. 4); в каждой из книг, на которые распадается эта часть,
изучается одна из этих структур или несколько структур, тесно
связанных друг с другом (Книга I, Теория множеств; Книга II,
Алгебра; Книга III, Общая топология; следующие книги: Функции
вещественной переменной; Топологические векторные пространства;
Интегрирование).
Общие принципы, изучаемые в первой части, найдут, в по-
последующих частях, применение к теориям, в которых одновременно
|осаствуют различные структуры,
3. Способ изложения, принятый в первой части,—аксиомати-
цский и абстрактный, чаще всего идущий от общего к частному,
Добор такого метода определяется основной целью этой первой

18 СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ
принципов. К тому же нужды доказательста требуют, чтобы главы,
книги и части следовали в строго фиксированном логическом
порядке. Поэтому польза некоторых рассмотрений будет ясна
читателю, лишь если он уже обладает довольно обширными знаниями
либо имеет терпение ^тложить суждение до тех пор, пока не
получит наконец возможность убедиться в ней.
4. Чтобы устранить в какой-то мере это неудобство, среди текста
довольно часто вставляются примеры, относящиеся к фактам, кото-
которые хотя и могут быть уже известны читателю, однако еще не
изложены в этом трактате; такие примеры всегда выделяются
значками °.. .о. Большинство читателей, несомненно, найдет, что
эти примеры облегчают им понимание текста, и предпочтет не про-
пропускать их даже при первом чтении; тем не менее такой пропуск,
разумеется, не вызовет в логическом отношении никаких неудобств.
5. Читатель может пожелать иногда составить себе общее пред-
представление о какой-либо книге трактата в целом, прежде чем при-
приступать к подробному ее изучению. Эту задачу облегчат ему
сводки результатов, приложенные, как правило, к каждой книге
и предназначенные также для читателей, спешащих как можно
быстрее перейти, к изучению специальных проблем. Эти сводки
содержат, насколько это возможно, все существенно необходимое
для изучения последующих частей.
6. Логический остов каждой главы составляют определения, акси-
аксиомы и теоремы этой главы; именно это главным образом необходимо
удерживать в памяти для дальнейшего. Результаты менее важные
или те, которые легко можно восстановить на основании теорем,
фигурируют под наименованием „предложений", „лемм", „след-
„следствий", „замечаний" и т. д.;'те из них, которые можно пропустить
при первом чтении, напечатаны мелким шрифтом. Под названием
.Схолия" дается иногда комментарий к особо важной теореме.
Во избежание скучных повторений иногда вводятся те или иные
обозначения или сокращения, действительные лишь в пределах
одной главы или параграфа (например, в главе, где рассматриваются
лишь коммутативные кольца, под словом „кольцо" понимается
всюду „коммутативное кольцо"). Такого рода соглашения всегда

СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ 19
лвно оговариваются, как правило, в начале той главы, где они
лрименяются. ¦
7. Некоторые места имеют своей целью предостеречь читателя
»т серьезной ошибки, в которую он рискует впасть; эти места
•тмечены на поле знаком "У („опасного поворота").
8. Упражнения предназначены, с одной стороны, для того,
:тобы дать возможность читателю удостовериться в правильном
"своении им текста, а с другой — чтобы познакомить его с резуль-
атами, не нашедшими места в тексте, но тем не менее пред-
_;тавляющими свой интерес. Они могут быть опущены при первом
чтении, но изучающему рекомендуется решить их хотя бы при
втором чтении. Наиболее трудные из них отмечены звездочкой.
9. Терминология, принятая в этом трактате, была предметом осо-
особого внимания. Были приложены старания никогда не откло-
отклоняться от установившейся терминологии без весьма серьезных
ча то оснований. Не только каждый выпуск снабжается подроб-
дым указателем, но и каждая книга сопровождается словарем, где
изъясняются и обсуждаются, помимо терминов, употребляемых
| этом трактате, также соответствующие термины, применяемые
обстоящее время в основных западноевропейских языках. Тем
*ым этот словарь поможет читателю трактата обратиться к изуче-
оригинальных мемуаров на этих различных языках, а мате-
гикам, привыкшим к другой терминологии, скорее освоиться
в этом трактате.
10. Приложены старания, не жертвуя простотой изложения,
пользоваться выдержанно точным языком. Поскольку это
цожно, вольности речи, без которых любой математический
рисковал бы стать педантичным и даже неудобочитаемым,
|ый раз оговариваются; если это уместно, они отмечаются
Ёазателе или словаре.
[1, Поскольку текст книги посвящен, как правило, догматическому
|^сению теории, библиографические ссылки встречаются в нем
в виде исключения; ссылки на библиографию вопроса собраны

20 СПОСОБ ПОЛЬЗОВАНИЯ ЭТИМ ТРАКТАТОМ
в историческом очерке, помещаемом чаще всего в конце каждой
главы и содержащем также, если р этому представляется случай,
указание нерешенных проблем теории. При этом ссылки даются
лишь на те книги и оригинальные мемуары, изучение которых было
бы наиболее полезно для читателя. Ссылки, имеющие своей един-
единственной целью установление приоритета, почти всегда отсутствуют;
тем более читатель не должен рассчитывать найти здесь полную
библиографию рассматриваемых вопросов.
Что касается упражнений, не было вообще сочтено полезным
указывать их источники, которые весьма различны (оригинальные
мемуары, учебные руководства, сборники упражнений).
12. Порядок ссылок на то или иное место трактата таков:
а) при ссылке на теоремы, аксиомы или определения, приведен-
приведенные в том же самом параграфе, называется, если он имеется, их
номер;
б) если они приведены в другом параграфе той же главы,
указывается, кроме того, этот параграф;
в) если они приведены в другой главе той же книги, указы-
указываются соответствующие глава и параграф;
г) если они находятся в другой книге, сначала дается название
этой книги.
Сводки результатов указываются при ссылках буквами „Рез.":
например, „Теор. мн., Рез." означает „Сводка результатов Теории
множеств".
13. Каждый раз, когда читателю было бы полезно иметь перед
глазами при чтении всего выпуска те или иные аксиомы, определе-
определения и т. п., последние воспроизводятся на вклейке, помещаемой
в конце этого выпуска (и упоминаемой в его оглавлении).

ГЛАВА I
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
НАД НОРМИРОВАННЫМ ТЕЛОМ
§ 1. Топологические векторные пространства
/. Определение топологического векторного пространства
Определение 1. Пусть К—топологическое тело (Общ. топ.,
гл. III, § 5, п° 5). Топологическим левым векторным пространством
над К называют множество Е, наделенное:
1° структурой левого векторного пространства над К;
2° топологией, согласующейся со структурой аддитивной
группы в Е (Общ. топ., гл. Ш, § 1, п° 1) а удовлетворяющей,
кроме того, следующей аксиоме:
(EVT) Отображение (к, х)^-\х произведения КХ.Е в Е непре-
непрерывно.
Пусть в множестве Е заданы структура левого векторного про-
пространства относительно К и топология. Говорят, что они согла-
согласуются, если топология согласуется со структурой аддитивной
группы в Е и, кроме того, выполнена аксиома (EVT). То же самое
можно выразить, сказав, что отображения (х, у) —>¦ х -\-у и (к, х) —у ~кх
соответственно произведений Е~Х.ЕнКУ(.ЕвЕ непрерывны, ибо
это влечет непрерывность отображения х -*¦ — х — (— 1) л: и тем самым
согласованность топологии в ? со структурой аддитивной группы.
Примеры. 1) Если Е— левое векторное пространство над дис-
дискретным топологическим телом К, то дискретная топология в Е
согласуется со структурой векторного пространства в Е (что уже
неверно, если К недискретно, а Е не сводится к 0).
2) Пусть А — топологическое кольцо (Общ. топ., гл. III, § 5, п° 1)
и К, — его подтело, имеющее с А общий единичный элемент и такое,
что топология, индуцируемая в АГ топологией кольца А, согласуется
со структурой тела в АГ. Тогда в А топология согласуется со структурой
левого векторного пространства над К-
3) Пусть К—любое топологическое тело, /—любое множество.
В векторном пространстве К\ (Алг., гл. II, § 1, п° 4) произведение
топологий сомножителей ATg согласуется со структурой векторного
пространства, ибо оно согласуется со структурой произведения

22 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
(аддитивных) групп и для каждого х = F,) из KTS и каждого X ? К. имеем
\х = (Х?,), откуда сразу следует (Общ. топ.у, гл. I, § 8, следствие 2 тео-
теоремы 1), что отображение (X, х)-*-\х непрерывно. Можно также ска-
сказать, что пространство К.\ всех отображений /в ((, наделенное топо-
топологией простой сходимости, есть топологическое векторное про-
пространство над К (Общ. топ., гл. X, § 1, п° 3).
4) Пусть X—отделимое топологическое пространство. В множестве
Е = G в (X) всех непрерывных числовых функций, определенных на X,
топология компактной сходимости (Общ. топ., гл. X, § 1, п° 3) согла-
согласуется со структурой векторного пространства над R. Действительно,
пусть «о — точка из Е, Н — компактное множество в X и е — произ-
произвольное положительное число. Числовая функция и0 ограниченна на Н;
пусть а = sup | и0 (t) |. Для любой точки и из ? и любого t € Н имеем
t€H
\lu(t)-\ouo(t)\<C\l\-\u(t)-uo(t)\ + a\l-lo\.
Если, следовательно, | X — Хо |< е и | и (t) — и0 (t) |< е для всех t ? Н,
то ] \а (t) — Хоио (t) 14^ е (a -j- I ^o I + Е)! тем самым аксиома (EVT) выпол-
выполнена. Так же проверяется согласованность топологии компактной схо-
сходимости со структурой аддитивной группы в Е.
Напротив, если X некомпактно, топология равномерной сходи-
сходимости (на X) не обязательно согласуется со структурой векторного
пространства в Е. Например, если Х=Я и и0 — неограниченная непре-
непрерывная функция на R, то Х-*-Хи0 не будет непрерывным отображе-
отображением R в Е, наделенное топологией равномерной сходимости.
Так же, как в определении 1, вводится топологическое правое
векторное пространство над топологическим телом К. Но каждое
правое векторное пространство над К можно рассматривать как левое
векторное пространство над телом К°, противоположным К (Алг.,
гл. II, § 1, п° 1), а топология в К согласуется со структурой тела К°.
По этой причине мы, как правило, рассматриваем левые топологи-
топологические векторные пространства; и говоря просто „топологическое
векторное пространство", мы всегда, подразумеваем, что это вектор-
векторное пространство — левое.
Пусть К' — подтело тела К и Е — топологическое векторное про-
пространство над К. Ясно, что топология в Е согласуется также со
структурой векторного пространства относительно К', получающейся
в Е при сужении тела скаляров до К''• Мы будем называть полу-
получающееся так топологическое векторное пространство Е над К'
базисным для топологического векторного пространства Е над К.
Для того чтобы топологическое векторное пространство Е было
отделимым, необходимо . и достаточно, чтобы для каждой течки

2 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 23
хфО из Е существовала окрестность нуля, не содержащая х (Общ.
топ., гл. III, § 1, следствие предложения 2).
Рассмотрим в векторном пространстве Е относительно тополо-
топологического тела К топологию, согласующуюся со структурой адди-
аддитивной группы в Е. В силу тождества
1х — IqXq = (X — Хо) х0 4- Хо (х — х0) + (*¦ — К) (х — х0)
аксиома (EVT) равносильна системе следующих трех аксиом:
(EVTi) Отображение Х->Хдг0 непрерывно в точке Х=0 для
любого х0 ? Е.
(EVTh) Отображение х -*¦ \х непрерывно в точке х — О для
любого Хо ^ К.
(EVThi) Отображение (X, х)-*-\х непрерывно в точке @, 0).
В частности:
Предложение 1. Для каждого а?К и каждой точки Ь?Е
преобразование подобия х^>-ах-\-Ь пространства Е в себя непре-
непрерывно. Если при этом афО, то это преобразование есть гомео-
гомеоморфизм пространства Е на себя.
Вторая часть предложения есть следствие того, что отображе-
отображение х-*ах-\-Ь при афО допускает обращение х^-а~1х — а.~1Ь.
Следствие. Если А — открытое {замкнутое) множество в Е,
то а.А открыто (замкнуто) в Е для каждого афО из К.
Пусть Е и F — топологические векторные пространства над одним
ж тем же топологическим телом К. Для того чтобы взаимно одно-
однозначное отображение Е на F было изоморфизмом топологического
векторного пространства Е на топологическое векторное простран-
пространство pt необходимо и достаточно, чтобы это отображение было
шейно и взаимно непрерывно. В частности, если ^фО принад-
кит центру тела К, то гомотетия х —*¦ ~[х является автоморфиз-
чм структуры топологического векторного пространства в Е.
^Нормированные пространства над нормированным телом
|i Напомним (Общ. топ., гл. IX, § 3, п° 2), что норма (абсолютная
Шчина) на теле К есть отображение \ —у \ % | его в R+ такое, что
Ш=° равносильно $=0, |6tj| = |g| . |т,| и

24 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
Норма определяет в К расстояние |?— ч\\ и, следовательно, отде-
отделимую топологию, согласующуюся со структурвй тела в К. Если
|?|=1 для всех ЪфО, то норма называется несобственной и ею
определяется в К дискретная топология. Напротив, если в К суще-
существует а^=0 такое, что |а|=?М! то в К существует $фО с | [31 < 1
(достаточно взять р = а или р = а-х) и последовательность ($")„> t
сходится к нулю, так что топология в К — недискретная.
Напомним, с другой стороны (Общ. топ., гл. IX, § 3, п° 3), что
норма на векторном пространстве Е над недискретным нормиро-
нормированным телом К есть отображение jc-»-||^|| этого пространства Е
в R+ такое, что ||х||=0 равносильно х — 0, ||Xjc[|=|X|. ||*|| для
каждого скаляра \?К и ||*+_y 11-^ 11*11 -f- ||_yj|. Норма определяет
в Е расстояние Цл:—у\\ и, следовательно, топологию, согласую-
согласующуюся со структурой векторного пространства в Е (см. там же).
Всюду, где не оговорено противное, нормированное пространство
будет предполагаться наделенным структурой топологического век-
векторного пространства, определяемой его нормой. Нормированные
пространства являются одними из наиболее важных топологических
векторных пространств.
Как известно (Общ. топ., гл. IX, § 3), две различные нормы иа Е
могут определять в Е одну и ту же топологию, для чего необходимо
и достаточно, чтобы они были эквивалентны (там же, предложение 7).
Таким образом, структура нормированного пространства богаче струк-
структуры топологического векторного пространства. Следует тщательно
отличать понятие изоморфизма структуры нормированного простран-
пространства в ? на такую же структуру в F от понятия изоморфизма струк-
структуры топологического векторного пространства в ? на такую же
структуру в F.
Пример. Пусть /—произвольное множество индексов. В мно-
множестве $РК(Г) всех его ограниченных отображений .* = (?,) в /((обо-
/((обозначаемом также U?{[)) можно ввести норму ||л:|| = sup i ?t | (Общ.
топ., гл. X, § 1, п° 6). Если /—топологическое пространство, то мно-
множество G^(l) всех непрерывных ограниченных отображений / в К. есть
замкнутое подпространство пространства $&к(Г) (Общ. топ., гл. X,
§ 2, п° 1). Другое подпространство в .^^(/) образует множество LlK{I)
всех абсолютно суммируемых семейств х — (^) (Общ. топ., гл. IX,
§ 3, п° 6); на этом подпространстве можно ввести также норму || х || i =
= 2 I ^ I* во°бще не эквивалентную норме || х || =sup | SJ (упражнение 8);
если ?д-(/) рассматривается как нормированное пространство, но норма

3 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2!>
не указана, то всегда имеется в виду норма \\x\\i. Вместо <$& (/) и
L\,(I) мы пишем $A) и Z.I(/).
3. Окрестности начала в топологическом векторном про-
пространстве над нормированным телом
Определение 2. Пусть К—недискретное нормирован-
нормированное тело, Е— левое векторное пространство над К. Множество
Л!с? называется уравновешенным, если \х? М для каждого х? М
и каждого Х?/( с |Х|^1 (или, другими словами, ШсЖ при
В том случае, ког/да К есА тело С комплексных чисел, мы вместо
„уравновешенное множество"/оворим также „диск".
Предложение 2. В топологическом векторном пространстве
Е над недискретным нормированным телом К замыкание М
уравновешенного множества М есть уравновешенное множество..
Действительно, пусть В — замкнутый шар |$|^1 в К- Непре-
Непрерывная функция (X, х) —уХх отображает В у М в М и, следовательно,
ВУ. М в М (Общ. топ., гл.1, §4, предложение 1), чем уравнове-
уравновешенность множества М и доказана.
"¦ Пусть М — любое непустое множество в векторном простран-
пространстве Е над недискретным телом К- Очевидно, множество Mt всех,
элементов вида Хл:, где х пробегает М, а X — шар |Х|^1 из К,
есть наименьшее уравновешенное множество, содержащее М; оно'
называется уравновешенной оболочкой множества М.
Предложение 3. Пусть К—недискретное локально компакт-
рое нормированное тело и Е — отделимое топологическое век-
опорное пространство над К. Уравновешенная оболочка каждого
компактного множества Н из Е компактна.
: Действительно, пусть В — шар |?j<^ 1 в К. Уравновешенная обо-
!>чка множества Н есть образ произведения By H при непрерыв-
непрерывны отображении (X, л:)—»-Хх и, следовательно, компактна, поскольку В
\ И компактны по предположению.
Отметим, что уравновешенная оболочка замкнутого множества не
обязательно замкнута. Так, например, в R2 уравновешенная оболочка:
гиперболы, определяемой уравнением ху = 1, незамкнута.

26 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ "РОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
Предложение 4. Пусть Е — топологическое векторное про-
пространство над недискретным нормированным телом К и 93 —
фундаментальная система окрестностей нуля в Е. Множе-
Множество 93t уравновешенных оболочек множеств из 93 также есть
фундаментальная система окрестностей нуля в Е.
Действительно, из (EVTi'h) следует, что для каждой окрестности
V ? 93 существуют число а > 0 и окрестность W ? 93 такие, что \х ? V,
когда | X j<^l ее и х ? W. Пусть U — объединение всех множеств XW
с | "К | ^ а. Так как К недискретно, то существует р^К такое, что
|р,]^аи рфО; следовательно, \lWcU, чем доказано, что U — окрест-
окрестность нуля, притом, очевидно, уравновешенная. С другой стороны,
/Ус:V, и так Kaj< U — окрестность нуля, то существует Т? 93, содер-
содержащееся в /У; но U — уравновешенное множество, поэтому уравно-
уравновешенная оболочка 7\ множества Т содержится в /У и тем более в V,
чем предложение и доказано.
Определение 3. Пусть КЛ— недискретное нормированное
тело, Е — левое векторное пространство над К, А и В — мно-
множества из Е. Говорят, что А поглощает В, если существует
а>0 такое, что ХА^эВ, когда )А|;>а (или, что равносильно
этому, fj.Bc Л, когда рфО и | ц | ^ г1). Множество А из Е назы-
называют поглощающим, если оно поглощает каждое одноточечное
множество.
Пусть А — уравновешенное множество из Е; для того чтобы оно
поглощало множество В из Е, достаточно существования Ъ?К такого,
что АЛгэВ. Действительно, пусть |j*|^.|X|; так как L4 = (Х{х-1){хЛ,
[аЛ уравновешенно и ] Хр.~х j -^ 1, то.ХЛсг^Л, откуда и Вср.Л. В част-
частности, для того чтобы уравновешенное множество Л из ? было
поглощающим, необходимо и достаточно, чтобы в К для каждого
х?Е существовало Х=?0 такое, что \х?А. Каждое поглощающее
множество в векторном пространстве Е порождает это простран-
пространство.
Из аксиомы (EVTi) сразу следует, что в топологическом век-
векторном пространстве над недискретным нормированным телом каждая
окрестность нуля — поглощающая. Более точно, имеет место сле-
следующее предложение:

3 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 27
Предложение 5. В топологическом векторном пространстве
Е над недискретным нормированным телом] К существует фун-
фундаментальная система 93 замкнутых окрестностей нуля такая,
что:
(EVi) Каждое V?93 есть уравновешенное поглощающее мно-
множество.
(EVn) Каковы бы ни были V? 93 и ХфО из К, XV ? 23 (инвариант-
(инвариантность 93 относительно гомотетий с ненулевым коэффициентом).
Для кажд/&?с>'"V~^B существует W?23 такое, что W-\-
Обратно, если в уекторном пространстве Е над К имеется
базис фильтра 93, удовлетворяющий условиям (EVx), (EVn) и (EVm),
то в Е существует {и притом только одна) топология, согла-
согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая 93
фундаментальной системой окрестностей нуля.
1° Предложения 2 и 4, а также аксиома 'j(Oni), выполняющаяся
для каждой топологической группы (Общ. топ., гл. II, § 2 и гл. III,
§ 3), показывают, что множество 23 всех замкнутых уравновешенных
окрестностей нуля образует в Е фундаментальную систему окрест-
окрестностей нуля. Как было уже указано, каждая окрестность нуля есть
яоглощающее множество; ясно, кроме того, что 23 удовлетворяет
условию (EVh) (см. следствие предложения 1); наконец, каждая фунда-
фундаментальная система окрестностей нуля в Е удовлетворяет условию
{EVhi) в силу непрерывности отображения (х, у) —у х-\-у в точке
5@, 0). Таким образом, множество 23 отвечает всем требованиям.
; 2° Пусть теперь Е — векторное пространство над К и 23 — базис
фильтра в Е, удовлетворяющий условиям (EVi), (EVn) и (EVm)- Прежде
:ясего, аксоима (EVi) показывает, что каково бы ни было V?23,
>—V = V и 0?V; эти соотношения и аксиома (EVm) показывают,
ято 23 есть фундаментальная система окрестностей нуля для тополо-
топологии в Е, согласующейся со структурой аддитивной группы (Общ.
|оп., гл. III, § 1, п° 2). Так как, с другой стороны, аксиомы (EVTi),
Tii) и (EVTni) являются непосредственными следствиями аксиом
) и (EVu), то определенная так топология удовлетворяет аксиоме
5VT), что и завершает доказательство. ¦
Замечания. 1) В нормированном пространстве над недискрет-
недискретным нормированный телом множество всех открытых (соотв. зам-'

28 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
кнутых) шаров с центром 0 образует фундаментальную систему окрест-
окрестностей нуля, удовлетворяющую условиям (EV,), (EVU) и (EVm).
2) Если телом К скаляров служит R или С, то каждый базис
фильтра 58 в Е, удовлетворяющий уже аксиомам (EVj) н (EVln), является
фундаментальной системой окрестностей нуля для топологии, согла-
согласующейся со структурой векторного пространства в Е. Действительно,
нужно лишь доказать, что при этих условиях для каждого ХфО из К
и каждого Vе93 существует W?Ъ такое, что IWczV. Но из (EVm)
сразу следует существование Wi ? 58 такого, что21с:К, откуда индук-
индукцией по л получается, что для всякого л > 0 существует W№€58 такое,
что 2nWnczV. Так как V уравновешенно, то достаточно теперь взять п
столь большим, чтобы 2п= | 2й| >| X |, и W= Wn будет обладать
указанным свойством.
Этот результат не распространяется на произвольное недискрет-
недискретное нормированное тело К> ибо не во всяком таком теле для всех.
натуральных т выполняется равенство \тг\ = т, где е—единичный
элемент тела (см. упражнение 1).
3) Если К, —дискретное тело, то условия (EVT[) и (ЕУТщ) выпол-
выполняются для любой топологии в Е. Рассуждая как в доказательстве
предложения 5, легко показать, что в топологическом векторном про-
пространстве Е над t\ существует фундаментальная система 58 замкнутых.
окрестностей нуля,удовлетворяющая условиям (EVjj) и (EVin). Обратно,
если базис фильтра 33 в векторном пространстве Е относительно К
таков, что все множества из 58 содержат 0 и выполнены условия (EVn),
и (ЕУШ), то 58 служит фундаментальной системой окрестностей нуля
для топологии, согласующейся со структурой векторного простран-
пространства в Е.
4. Признаки непрерывности и равностепенной непрерывности
Пусть Е п F — топологические векторные пространства над одним,
и тем же телом К- Для того чтобы линейное отображение / про-
пространства Е в F было непрерывно, достаточно, чтобы оно было-
непрерывно в начале (Общ. топ., гл'. III, § 2, предложение 13). Это
предложение обобщается следующим образом:
Предложение 6. Пусть ЕгA^.1^.п) и F — топологические
векторные пространства над коммутативным недискретным
нормированным телом К. Для того чтобы полилинейное отобра-
п
жение f произведения Ц Et в F било непрерывно, достаточно,
чтобы f было непрерывно в точке @, 0, ..., 0).

п
JJ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРДНСТВА 29
Действительно, пусть (av аг ап) — произвольная точка из
Ец. Нужно показать, что для каждой окрестности нуля W из F
существуют окрестности нуля V{ в Е{ A ^ I ^ п) такие, что выпол-
выполнение п отношений Zi ? V^ влечет отношение
an-\-zn)—f(av
Но
/(a. + ^L a2-\-z2, .... an-\-zn)— /(a,, a2 ага) = 2«я>
a
где Н пробегает 2n—1 подмножеств отрезка /=[1, га] натураль-
натурального ряда N, отличных от /, а uu = f(yl, y%, •¦¦, уп)> где yt = at
при i?H и ^j = 2j при i^H. С другой стороны, в F существует
2й— 1 уравновешенных окрестностей нуля WH таких, что 2 ^cf.
Так как /, по предположению, непрерывно в точке @, 0, ..., 0),
то в каждом Ei существует окрестность нуля 11г такая, что из выпол-
выполнения п отношений хг^Иц следует f(xv ..., xn)?f]WH. И так
я
как Ui — поглощающее множество, то в К существует )^=?0, ДЛя
которого Xja^t/j. Пусть теперь X — элемент из К такой, что
|Х|>|Хгг1| (l^/<;«) и |Х|>1. Покажем, что окрестности
Vi=\~nUi обладают требуемым свойством. Действительно, пусть
р—число элементов множества ОН; имеем uR = tx/(x1, . .., хп), где
xi(^Ui (l-"Ci'-^ra) и \ь = 'к~пр( JJ Xtr\ и так как из выбора X сле-
следует, что | ;а| ^ 1,то uH?]\WHa WH, поскольку Wu уравновешенно.
Тем самым предложение доказано.
Предложение 7. При тех же предположениях относи-
относительно Et A^г<!«) и F, для того, чтобы множество §> поли-
I П
¦линейных отображений произведения Ц Е{ в F было равносте-
Пенно непрерывно, достаточно, чтобы оно было равностепенно
непрерывно в точке @, 0, ..., 0).
Действительно, в доказательстве предложения 6 окрестности
Vi A-C'^ra) могут быть выбраны так, чтобы отношения x-^U\
A ¦<«<;«) влекли/^ *п)€П^я для каждого отображе-
я
чия /?|

30 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
5. Равномерная структура и пополнение топологического
векторного пространства
Топология топологического векторного пространства Е, согла-
согласуясь со структурой аддитивной группы в Е, определяет в Е
равномерную структуру (Общ. топ., гл. Ш, § 3). Говоря о равно-
равномерной структуре топологического векторного пространства Е, мы
всюду, где не оговорено противное, будем иметь в виду именно эту
структуру. Каждое непрерывное линейное отображение топологиче-
топологического векторного пространства Е в топологическое векторное про-
пространство F равномерно непрерывно. Точно так же равномерно
непрерывно каждое преобразование подобия х-уах-^-Ь простран-
пространства Е.
Отметим, что непрерывное полилинейное отображение, вообще
говоря, не является равномерно непрерывным, как показывает уже
отображение (х, у)-*-ху пространства R2 в R.
Как непосредственно следует из определений, равностепенно
непрерывное семейство линейных отображений топологического
векторного пространства Е в топологическое векторное простран-
пространство F равномерно равностепенно непрерывно.
Топологическое векторное пространство называют полным, если
наделенное своей равномерной структурой, оно является полным
равномерным пространством.
Определение 4. Вещественным (соотв. комплексным) банахов-
ским пространством называют полное нормированное простран-
пространство над телом R (соотв. С).
Примеры. Если К—полное недискретное нормированное тело,
то пространства <$к (Г) и G^(/) (п° 2, пример) полны. То же верно
для пространства LlK(l) (там же), снабженного нормой Ц_яе-Ц^ ==¦
= 2 I ^ I- Действительно, пусть (л:,,) — последовательность Коши
в этом пространстве и хп = Eт), е г. Так как | ?то< — ?„, | < || хт — х^
для каждого i?/, то последовательность (Srei)n>1, для каждого i?/,
сходится в К к некоторому пределу t,. Далее, так как ~S\ |?m, — 5», К
< II хт — xn\\i Для каждого конечного множества J из /, то, прежде

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 31
всего, существует постоянная а > 0, не зависящая от У, т и п, такая, что
2 I5»».-—?«.!<«• Устремляя т к +со,.получаем, что 2 К,— 5щ К «»
«€/ • €'
откуда 2 I ^ К а + II ¦*» 1Ь чем доказано, что г = (CJ принадлежит
пространству LK (/). Далее, каково бы ни было е > О, существует и0
такое, что 2 I ^ — ^гы I < Е Для каждого п >• и0 и каждого конечного
множества / из /. Переходя к пределу, видим, что || z — хп \± ¦< е для
всех п ;> щ, так что z есть предел последовательности (хп).
Предложение 8. Пусть § и §' — две отделимые топологии,
согласующиеся со структурой векторного пространства Е над
пелом К. Пусть, далее, $ мажорирует §' и существует фунда-
лентальная система окрестностей нуля для оГ, замкнутых
» §'. При этих условиях, каждое множество А из Е, полное
i равномерной структуре, порождаемой в Е топологией §',
голно также в равномерной структуре, порождаемой тополо-
-ией $.
Действительно, пусть g — фильтр Коши в А относительно $;
тогда § тем более есть фильтр Коши относительно §' и, следова-
следовательно, сходится в топологии оГ' к какому-то пределу хо?А. Пока-
Покажем, что х0 есть предел фильтра g и в топологии §. Пусть
V — симметричная окрестность нуля для §, замкнутая в §'. В силу
предположения, % содержит множество М, малое порядка V, так
ifro Mcx^-^-V для произвольной точки xt?M. Но Xi-\-V замкнуто
Щ. Ш', следовательно х0, являющееся точкой прикосновения для М
JH. топологии §', содержится в xl-\-V. Отсюда заключаем, что
Hdc:xo-\-V-f-V, чем доказательство и завершается (обобщение этого
результата см. в Общ. топ., гл. II, § 3, упражнение 1).
Утверждение предложения 8 теряет силу, если не предполагать
существование фундаментальной системы окрестностей нуля для |г,
замкнутых в |г' (см. гл. II, § 5, упражнение 12).
Следствие. Пусть § и §' — две отделимые топологии, согла-
Шощиеся со структурой векторного пространства Е над те-
Щм К. Пусть, далее, § мажорирует §' и существует фунда-
фундаментальная система 23 окрестностей нуля для §, полных в равно-
Щерной структуре, порождаемой §'. Тогда Е полно в равно-
Мерной структуре, порождаемой $.

32 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Гл. I, § I
Действительно, предложение 8 показывает, что существует фунда-
фундаментальная система окрестностей нуля для оГ, полных в равномерной
структуре, порождаемой §. Пусть $ — фильтр Коши в Е относи-
относительно оГ и V?23. $ содержит множество М, малое порядка V, так
что Mcx1-|-V для любого xl^M. Но так как x-^-^-V полно, то
заключаем, что след фильтра $ на x^-^-V имеет предел, а значит
и сам фильтр $ имеет предел.
Пусть Ко — отделимое топологическое тело, К— его всюду плот-
плотное подтело, Е — отделимое топологическое векторное пространство
над К и Ё—пополнение аддитивной топологической группы ? (Общ.
топ., гл. III, § 3, теорема 2). Билинейное отображение (X, х)—>\х
произведения К X Е аддитивных групп К и Е в аддитивную группу Е
продолжается по непрерывности до билинейного отображения произ-
произведения К0Х.Ё в Ё (Общ. топ., гл. III, § 5, теорема 1); мы будем
употреблять для него то же обозначение (к, х) -> кх и рассмотрим
лишь его сужение на /Со X Ё. В силу принципа продолжения тож-
тождеств (Общ. топ., гл. I, § 6, предложение 10) имеем 1 -х = х и
X ([juc) — (X[i) х для всех ~k?K0, V-^K0 и х?Е. Следовательно, внеш-
внешнее произведение (к, х) —> Хх определяет в Ё структуру векторного
пространства относительно Ко, согласующуюся с топологией в Ё.
Если Ко полно, то мы говорим, что определенное так топологиче-
топологическое векторное пространство Е над Ко есть пополнение топологиче-
топологического векторного пространства Е (над К).
Все сказанное применимо, в частности, когда К—любое нормиро-
нормированное тело, ибо тогда и его пополнение К—нормированное тело
{Общ. топ., гл. IX, § 3, предложение 6).
В качестве приложения пополнения топологического векторного
пространства укажем, что предложение 3 сохраняет силу при замене
слова „компактное* на „предкомпактное". Действительно, если//пред-
компактно в Е, то его замыкание Н в Ё компактно; следовательно, и
уравновешенная оболочка множества Н компактна, а так как ее пере-
пересечение с Е есть уравновешенная оболочка множества Н, то эта послед-
последняя предкомпактна.
6. Векторные подпространства и факторпространства
топологического векторного пространства
Пусть М — векторное подпространство топологического вектор-
векторного пространства Е. Ясно, что топология, индуцируемая в М из Е,

j ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 33
согласуется со структурой векторного пространства в М; рассматри-
зая М как топологическое векторное пространство, мы всюду, где не
1говорено противное, будем подразумевать пространство, получаемое
лутем наделения М топологией, индуцируемой из Е. Тогда равно-
лерная структура, порожденная топологией пространства М, совпа-
совпадает с равномерной структурой в М, индуцируемой из Е (Общ. топ.,
-л. III, § 3, п° 2).
Как известно, в факторпространстве Е/М фактортопология тополо-
~ии пространства Е по подпространству М согласуется со структурой
;ддитивной группы (Общ. топ., гл. III, § 2, п° 4). Покажем, что
ша согласуется и со структурой векторного пространства, т. е. (если
>бозначить через х -*¦ х каноническое отображение Е на Е/М) что
)тображение (X, х) -*¦ Ъс произведения К X (Е/М) в Е/М непрерывно.
Для этого достаточно (Общ. топ., гл. I, § 9, теорема 1) показать
непрерывность отображения (X, х)-+\х произведения КУ.Е в Е/М,
*бо аддитивные группы К X (Е/М) и (К X Е)Щ0} X М) можно
ггождествить (Общ. топ., гл. III, § 2, предложение 17). Но это
лображение есть композиция отображения (X, х) —> Хх произведения
<Г X Е в Е и канонического отображения Е на Е/М, которые оба
лепрерывны.
Рассматривая Е/М как топологическое векторное пространство,
йы всегда будем подразумевать, если не оговорено противное, что
шо наделено фактортопологией топологии пространства Е по под-
лространству М. Как известно, для того чтобы Е/М было отдели-
4ым, необходимо и достаточно, чтобы М было замкнуто в Е (Общ.
.оп., гл. III, § 2, теорема 2).
Пусть Е — неотделимое топологическое векторное пространство
I N—замыкание начала в Е (пересечение всех окрестностей нуля).
"ак известно, N есть подгруппа аддитивной группы Е (Общ. топ.,
л. III, § 2, п° 1); будучи, с другой стороны, инвариантным относи-
ельновсех гомотетий с ненулевым коэффициентом (предложение 1), N
Сть замкнутое векторное подпространство пространства Е.
акторпространство E/N, которое уже отделимо, будет называться
.делимым топологическим векторным пространством, ассоциирован-
Мм с неотделимым пространством Е.
Пример. Пусть /= [а, Ь\ — компактный интервал в R и
Е — векторное пространство (над R), образованное правильными
функциями на / со значениями в R (Функц. вещ. перем., гл. II, § 1.

34 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
п° 3). Пусть Va, для каждого я]>0, —множество всех функций х?Е,
Ь
для которых I \x(t)\dt^.a. Непосредственно проверяется, что мно-
а
жество всех Va есть базис фильтра, удовлетворяющий условиям (EVj),
(EVjj) и (EVm) и, следовательно, определяющий топологию, согласую-
согласующуюся со структурой векторного пространства в Е. Но эта тополо-
топология — неотделимая, ибо всякая функция х,равная нулю на дополнении
к произвольному фиксированному конечному множеству из /, является
правильной и принадлежит всем множествам Va. Отделимым же про-
пространством, ассоциированным с Е, служит пространство классов пра-
правильных функций, на которые разбивается Е отношением эквивалент-
6
ности С \x(t) — y(t)\dt = O (см. Интегрир., гл. IV, § 2).
а
7. Произведение типологических векторных пространств
Пусть (?,) ,f — любое семейство топологических векторных про-
пространств над одним и тем же топологическим телом К и Е — произ-
произведение векторных пространств ?,. Как известно (Общ. топ., гл. III,
§ 2, п° 9), в Е произведение топологий пространств Е1 согласуется
с произведением структур аддитивных групп Et. Покажем, что эта
топология вместе с тем согласуется со структурой векторного про-
пространства в Е, для чего достаточно убедиться в непрерывности ото-
отображения (X, (х,))-»¦ (XxJ произведения КУ.Е в Е или, иначе (Общ.
топ., гл. I, § 8, теорема 1), в непрерывности отображения (X, (х,))->
-*¦ Ххх произведения К X Е в Е% для каждого х. Но это последнее
отображение есть композиция отображений (X, (xt)) -> (X, хх) и
(X, х%) -*¦ Ххх> которые оба непрерывны.
Рассматривая Е = ДА как топологическое векторное простран-
пространство, мы всегда будем подразумевать, если не оговорено противное,
что его топология есть произведение топологий пространств Ег
Предложение 9. В произведении ?'=1Т?'1 топологических
векторных пространств Е, прямая сумма F векторных про-
пространств ?, (Алг., гл. И, § 1, п° 7) есть всюду плотное подпро-
подпространство.
Действительно, F есть множество всех точек х = (х1) 2, для
которых лишь конечное число х, отлично от нуля. Пусть у = (_у,) —
произвольная точка из ? и V — любая ее окрестность. V содержит

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 35
элементарное множество JJ Vt, где V, — любая окрестность точки. j/t
з Et для всех индексов t, принадлежащих некоторому конечному
множеству Н из /, и V, = Et для всех индексов i (jt H. Но точка
; = (х,) из F, в которой xt = _у, дляс?# и xt=0 для t(?w, содер-
содержится в V, чем предложение 9 и доказано.
В гл. И, § 2, п° 3, будет определена другая топология в прямой
сумме произвольного семейства топологических векторных пространств
над R или С более специального типа.
j. Топологическая прямая сумма подпространств
Если топологическое векторное пространство Е есть прямая сумма
конечного семейства CMiI<i<n своих векторных подпространств, то
п
саноническое взаимно однозначное отображение (х{) -*¦ 2 хь произ-
i = i
п
зедения Цм4 на ? непрерывно; но оно не обязательно является
гомеоморфизмом.
Определение 5. Пусть Е — топологическое векторное про-
пространство и №1<(<„ — конечное семейство его векторных
лодпроcm ранете такое, что Е есть их прямая сумма. Говорят,
что Е есть топологическая прямая сумма подпространств Mt,
п п
каноническое Отображение (Xj) -*¦ 2 xi произведения JJ Ж4
i=l i=l
на Е является гомеоморфизмом (и, следовательно, изоморфизмом
структур топологических векторных пространств).
;- Предложение 10. Пусть Е — топологическое векторное про-
мранство, являющееся прямой суммой своих векторных под-
подпространств Mi(\ <;/<!n). Для того чтобы Е было их тополо-
щческой прямой суммой, необходимо а достаточно, чтобы линей-
|ре отображение х —> &j (x), относящее каждому х?Е его
•вставляющую в Мг, было непрерывно для каждого индекса i.
¦ и
Действительно, (xt) -> 2 xi есть непрерывное отображение произ-
г = 1
п
ведения JJ М^ на Е, а сформулированное условие выражает непрерыв-
'• г = 1

36 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
ность обратного отображения x-*(ki(x)), чем предложение и
доказано.
п
Так как 2 ?j (x) = х, то достаточно, впрочем, непрерывности
i=i
л — 1 из функций ftt, чтобы была непрерывна и л-я.
Пусть е — тождественное отображение пространства Е на себя;
в обозначениях предложения 10 можно написать
причем ki о kj = 0 для 1ф] и k% о kt = kt. Обратно:
Предложение 11. Пусть />4 A-^.i-^.n) n непрерывных линей-
линейных отображений топологического векторного пространства Е
в себя таких, что е = pl-\-p2-\- ... -\-рп, ргр^ = 0 для Ьф) а
/??=/>4A-^/<; «, 1 <;./<!«). Тогда Е есть топологическая пря-
прямая сумма подпространств Mt — pt(E) и /?4(лг) для каждого х?Е
есть составляющая х в Мг A <!/<; п).
п
Действительно, так как х = е (х) = ^А (х) Для всех х? Е, то ?
есть сумма подпространств Mt. Далее, если .Уг?-М{ таковы, что
= 0, то (в силу равенства р* = pt) это отношение можно
=1
n
записать в виде 2 Pi (Уд = 0> откуда
/ п \ я
о = р, (JS рг (уд) = 2 pj (Pi (уд) = р* (у}) = л
для каждого индекса у; это показывает, что Е есть прямая сумма
подпространств Mit а /?$(х) — составляющая лг в Мг. Так как pt
непрерывны, то предложение 10 показывает, что Е есть топологиче-
топологическая прямая сумма подпространств Ж4.
Отметим, что условия pi = pi являются следствиями соотношений
е=рх-\- ... -\-рп и PiPj=O при 1ф). Действительно, pi = epi~

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 37
ОпрЕДЕлениЕ 6. Линейное отображение и векторного про-
транства Е в себя, удовлетворяющее условию и2 = и, называется
гроектором.
Таким образом, предложение 11 показывает, что имеется взаимно
>днозначное соответствие между разложениями пространства Е
з топологическую прямую сумму п его векторных подпространств
i разложениями е в сумму п аннулирующих друг друга непрерыв-
шх проекторов.
Если Е—топологическая прямая сумма двух своих подпространств М
Ы, то говорят еще, что N есть топологическое дополнение к М
Е. Чтобы N было таковым, необходимо и достаточно, чтобы
каноническое отображение EjM на N (Алг., гл. II, § 1, п° 4) было
лзоморфизмом (структур топологического векторного пространства).
Предложение 12. Пусть Е — топологическое векторное про-
транство. Для того чтобы его векторное подпространство М
младало в Е топологическим дополнением, необходимо и доста-
достаточно, чтобы на Е существовал непрерывный проектор р такой,
что р(Е) — М.
Необходимость условия очевидна. Обратно, так как р2 = р, то
~р(е — р) = р — р2 = 0 и, следовательно, е = р-\-(е — р) есть разло-
разложение е в сумму двух аннулирующих друг друга непрерывных
^Проекторов. Так как р (Е) = М, то утверждение следует теперь из
¦«предложения 11, причем топологическим дополнением к М — р(Е)
¦^служит р@).
Отметим, что непрерывный проектор р пространства Е на М
Служит продолжением на все Е тождественного отображения М на
(Себя и что, обратно, каждое непрерывное линейное отображение Е
$ М, служащее продолжением тождественного отображения М на
?ебя, есть непрерывный проектор. Поэтому условие предложения 12
щожно сформулировать еще следующим образом: необходимо и доста-
достаточно, чтобы тождественное отображение М на себя можно было
щродолжить до непрерывного линейного отображения Е на Ж.
Замечания. 1) Чтобы избежать смешения, подпространство в Е,
дополнительное к М (в смысле структуры не топологического вектор-
векторного пространства), иногда называется алгебраическим дополне-
дополнением к М.

38 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
2) Если отделимое топологическое векторное пространство Е есть
топологическая прямая сумма семейства (Mi)l^i^n его векторных
подпространств, то каждое из них замкнуто. Действительно, Е канони-
п
чески изоморфно произведению JJ М{, а так как Mi отделимы, то
п
соответствующие им составляющие произведения ТТ Mi замкнуты, как
i=i
пересечения замкнутых множеств.
3) Не для всякого замкнутого подпространства М отделимого
топологического векторного пространства Е существует дополнитель-
дополнительное (в алгебраическом смысле) замкнутое векторное подпространство
(даже если Е — банаховское пространство; см. § 3, следствие 4 тео-
теоремы 1 и гл. IV, § 5, упражнение 5в). Тем более М не обязательно
обладает в Е топологическим дополнением (см. § 2, упражнение 2).
Все же мы увидим в § 2, что (замкнутое) подпространство М конеч-
конечной факторразмерности имеет в Е топологическое дополнение, по
крайней мере если /f—полное недискретное нормированное тело (§ 2,
предложение 3).
Предложение 13. Пусть Е и F— топологические вектор-
векторные пространства и и —непрерывное линейное отображение
Е в F. Для существования непрерывного линейного отображе-
отображения v пространства F в Е, при котором uov было бы тож-
тождественным отображением F на себя (в этом случае говорят, что
и обратимо справа и v — правое обратное к и), необходимо
д достаточно, чтобы и было гомоморфизмом Е на F (Общ. топ.,
-1
гл. III, § 2, п°7) и и @) обладало топологическим дополнением
в Е.
Условия необходимы. Действительно, если v — правое обратное
к и, то u(v(F))= F и тем более u(E) — F; далее р —гюи есть
непрерывное линейное отображение Е в себя такое, что р2 = р;
следовательно (предложение 12), p(E) = v(u(E))=v(F) имеет в ?
-1
топологическое дополнение р@), и так как, в силу предположения,
-1 -1 ¦
и(р(х)) = и(х), то />@) = к@). Наконец, взаимно однозначное
-1
отображение Е/и@) на F, ассоциированное с отображением и, есть
-1
композиция взаимнооднозначного отображения Е/р@) на v(F), ассо-
ассоциированного с отображением р, и сужения и на v(F); так как
оба эти отображения—изоморфизмы, то и — гомоморфизм Е на F
(см. Общ. топ., гл. III, § 2, п°7).

9 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 39
Условия достаточны. Действительно, пусть ср— канонический
-t -1
гомоморфизм Е на Е/и @). Сказать, что и @) обладает топологи-
топологическим дополнением М в Е, все равно что сказать, что сужение ср
-1
на М есть изоморфизм М па Е/и@). Так как, с другой стороны,
_ _ -1
м = моср> где и—изоморфизм ?/м@) на F, то мы видим, что
сужение и на М есть изоморфизм Ж на F, и, следовательно, об-
обратный изоморфизм v таков, что мог» есть тождественное отобра-
отображение F на себя.
Предложение 14. Пусть Е a F — топологические вектор-
векторные пространства и и — непрерывное линейное отображение Е
в F. Для существования непрерывного линейного отображения v
пространства F в Е, при котором v ° и было бы тождественным
отображением Е на себя (в этом случае говорят, что и обратимо
слева и v — левое обратное к и), необходимо и достаточно
чтобы и было изоморфизмом Е на и (Е) и и (Е) обладало топо-
топологическим дополнением в F,
Условия достаточны, ибо при их выполнении левое обратное v
к и получается путем компонирования непрерывного проектора F на
и (Е) с изоморфизмом и (Е) на Е, обратным к и.
Условия необходимы. Действительно, соотношение v (м(х)) = х
-1
показывает, что и @) сводится к нулевому элементу; таким образом,
и есть взаимно однозначное отображение Е на и(Е), и так как су-
сужение v на и(Е) непрерывно, то и — изоморфизм Е на и(Е). С дру-
другой стороны, q = uov есть непрерывное линейное отображение F
на и(Е) такое, что q2 = q, а это показывает (см. предложение 12),
что и{Е) обладает топологическим дополнением в F.
9. Один метод топологизации векторных пространств
Предложение 15. Пусть (?,Iе/ — семейство топологиче-
топологических векторных пространств над топологическим телом К,
Е — векторное пространство над К и /,, для каждого i ? /, —
линейное отображение Е в Е,. Тогда наименее сильная топо-
топология § в Е, при которой непрерывны все функции /„ согла-
согласуется со структурой векторного пространства в Е. Пусть ср (х)
для каждого х?Е означает точку (/, (х)) пространства

40 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § i
F = ТТ Е.. Тогда Ш есть прообраз топологии подпространства <р (Е)
пространства F относительно линейного отображения <р.
Вторая часть предложения есть непосредственное следствие оп-
определений топологии |Г, произведения топологий и прообраза топо-
топологии (Общ. топ., гл. I, §§ 3, 7 и 8). А тогда первая вытекает из
следующей леммы:
Лемма. Пусть М и N — векторные пространства, g— ли-
линейное отображение М в N и !Г0 — топология, согласующаяся
со структурой векторного пространства в N. Тогда прообраз $0
относительно g согласуется со структурой векторного про-
пространства в М.
Покажем, например, непрерывность отображения (Х,х) —*-\х
в каждой точке (Xq, х0) ? К X М. Каждая окрестность нуля'в М
содержит окрестность вида g(U), где U — окрестность нуля в /V;
в силу предположения существуют окрестность V нуля в К" и
окрестность W нуля в N такие, что из X — Хо? V, у—уо? W следует
-1
Х_у — VVoe^- Но тогда из X — \)(;V\ х — xo^g(W) следует Хлг —
Так же доказывается и непрерывность отобра-
отображения (х,у)-*х—у в М У. М.
Пусть SB, для каждого индекса i?/—фундаментальная система
окрестностей нуля в ?,. По определению топологии §, фильтр окрест-
окрестностей нуля для нее порождается объединением семейств мно-
-1
жеств /, (93t); иными словами, можества вида
где ('sI<ft<n — любые конечные наборы индексов из / и V, , для
каждого k, — любое множество из SB, , образуют фундаментальную
систему окрестностей нуля для топологии $.
Следствие 1. Пусть G — топологическое векторное про-
пространство над К. Для непрерывности линейного отображения и
пространства О в пространство Е {наделенное топологией $")

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 41
необходимо и достаточно, чтобы для каждого индекса i ? / было
непрерывно линейное отображение /,os пространства G в ?",.
Действительно, для непрерывности и необходима и достаточна
непрерывность <р о и.
Следствие 2. Пусть пространства Et отделимы. Для от-
отделимости топологии Ш необходимо и достаточно, чтобы
для каждого х фО из Е существовал индекс i ? /, при котором
/Лх)фО.
Действительно, если Е1 отделимы, то и ср (?) отделимо, и для
отделимости топологии Ш, очевидно, необходимо и достаточно,
чтобы ср было взаимно однозначно. Заметим, что тогда Е (наделен-
(наделенное топологией JT) можно отождествить посредством отображения <р
с подпространством <р (Е) пространства ?Т ?",.
Следствие 3. Пусть Е—векторное пространство над то-
топологическим телом К и (сГ,)-г — семейство топологий, согла-
согласующихся со структурой векторного пространства в Е. Тогда
и верхняя грань Ш топологий JT, согласуется со структурой
векторного пространства в Е.
Действительно, пусть Е1 — топологическое векторное простран-
пространство, получающееся при наделении Е топологией $\, и /, — тож-
тождественное отображение Е на Е,; тогда § есть наименее сильная
топология в Е, при которой все /, непрерывны.
Упражнения. 1) Пусть ?0 — Ор — произведение счетного бес-
бесконечного числа экземпляров />-адического тела Qp, рассматривае-
рассматриваемое как векторное пространство над Qp (Общ. топ., гл. III, § 5,.
упражнение 22 и след.). Пусть Р = Z^C Ео и Е — порожденное им
подпространство в ?0- Введем в аддитивной группе Р компактную
топологию — произведение топологий сомножителей Zp. Пусть 33 —
фильтр окрестностей нуля в Р для этой топологии. Показать, что Ъ-
есть фундаментальная система окрестностей нуля в Е для топологии
§¦, согласующейся со структурой аддитивной группы в ? и такой,
что функция (К, х) -*¦ 1х непрерывна в точке @,0) € Qp X Е; показать,,
что функция \ -*¦ 1х0 непрерывна в Qp для каждого х0 ? Е, но гомо-
гомотетия х -> — х в Е не непрерывна в топологии |г.
2) Пусть Е — топологическое векторное пространство над недис-
недискретным топологическим телом К,- Для того чтобы отображение:

42 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 1
(X, л:)->-Хл: было равномерно непрерывным в окрестности точки
@,0)?/СХ?> необходимо и достаточно существование окрестности
нуля Vq в Е такой, чтобы множества XVo> где X пробегает все
ненулевые элементы из /(, образовывали фундаментальную систему
окрестностей нуля в Е. Показать, что если К—недискретное нор-
нормированное тело и Е отделимо, то равномерная структура в Е
тогда метризуема.
3) В топологическом векторном пространстве Е над недискрет-
недискретным топологическим телом К существует фундаментальная система
33 замкнутых окрестностей нуля, удовлетворяющая условиям (EV(I)
и (EVm) и условиям:
(EVla) каково бы ни было V ?33, существуют W € 93 и окрестность
нуля U в К такие, что UWcV;
(EVI6) каковы бы ни были х?Е и V?23, в К существует X Ф О
такое, что \х ? V.
Обратно, пусть Е—векторное пространство над К и 33— базис
фильтра в Е, удовлетворяющий условиям (EVIa), (EV,6), (EVir)
и (EVrlI). Показать, что в Е существует, и притом только одна,
топология, согласующаяся со структурой векторного пространства
и имеющая 93 фундаментальной системой окрестностей нуля.
4) Обобщить предложение 6 на случай, когда Е{ A^.1-^.п)
и F — топологические векторные пространства над любым недискрет-
недискретным коммутативным топологическим телом.
5) Пусть К—дискретное коммутативное тело и Е — тело от-
отношений кольца формальных рядов К[[Х, У]] от двух переменных над
К (Алг., гл. IV, § 5). Пусть V», для каждого целого п;>0, — мно-
множество всех формальных рядов, степень каждого члена которых не
меньше п. Показать, что множества V,, образуют в Е фундамен-
фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии, согласующейся
со структурой векторного пространства над К н такой, что Е
в этой топологии метризуемо и полно, причем если тело К конечно,
то Е локально компактно. Показать, что билинейное отображение
(u,v)-*-uv произведения Е%Е в Е непрерывно в точке @,0),
но существуют щ?Е такие, что отображение и-»-иоине непрерывно
в Е (см. Алг., гл. IV, § 5, упражнение 7(!)).
6) Пусть Е — бесконечномерное векторное пространство над
R и % —¦ множество всех уравновешенных поглощающих множеств
в Е. Показать, что % не удовлетворяет аксиоме (EVuj). Для этого
пусть (еп) — бесконечное свободное семейство в Е; Ап, для каждого
целого п > 0, — множество всех точек ^ tipi таких, что | ti \ <; —
A <; / < п); А — объединение всех Ап; В — векторное подпростран-
подпространство, дополнительное к подпространству, порожденному элементами

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЛ 43
еп, и С = A -f- В. Показать, что не существует множества Л1 ? ?, для
которого бы М -\- М с С.
7) Пусть (?iX^j — любое бесконечное семейство отделимых
топологических векторных пространств над топологическим телом К
(не сводящихся к нулевому элементу); F — произведение векторных
пространств ?, (ig/); IT-—топология в F, согласующаяся со структурой
аддитивной группы, имеющая своей фундаментальной системой
окрестностей нуля совокупность всех произведений JIV» где V,, для
•€*
каждого индекса i?/,— любая окрестность нуля в Е, (топология
более сильная, чем произведение топологий пространств ?,; см. Общ.
топ., гл. III, § 2, упражнение 22).
а) Показать, что если К недискретно, то топология |Г не согла-
согласуется со структурой векторного пространства в F.
б) Пусть Е—векторное подпространство в F, являющееся пря-
прямой суммой подпространств Et. Показать, что Е замкнуто в F и то-
топология |Го в Е, индуцируемая топологией |Г, согласуется со струк-
структурой векторного пространства в Е. Показать, что если каждое Et
полно, то и ? полно (см. Общ. топ., гл. III, § 3, упражнение 8).
Показать, что если К недискретно, то ни для какой топологии, мажо-
мажорирующей f0 и согласующейся со структурой векторного простран-
пространства в Е, Е не является бэровским пространством.
8) Показать, что в пространстве Z.^(N) абсолютно суммируемых
последовательностей х = (?п) элементов недискретного нормирован-
ного тела К нормы ||.*||i= 2 I ?" I и И -*Н = SUP I ^" I неэквивалентны
и=о «
(см. Общ. топ.,гл. IX, § 3, предложение 7); показать, что Z,^(N), снаб-
снабженное нормой || .к II, неполно даже если К полно; каково замыка-
ние Z^(N) в ЯК(Щ?
*9) Пусть К — недискретное коммутативное нормированное тело
и S — любое бесконечное множество.
а) Пусть D = (ап) — счетное бесконечное множество элементов
из S и «х, для каждого X g/С с |\|<;1, — элемент нормированного
пространства 9§r(S) (n°2) всех ограниченных отображений мно-
множества S в К такой, что и.х(ап)=?1п (ngN) и и>(Ь) = 0 при
b&D. Показать, что и^ образуют свободное (алгебраически) семей-
семейство.
б) Вывести отсюда, что каждый базис векторного пространства
98К (S) равномощен К^. [Используя а), показать, что мощность
каждого базиса в $gK (S) не меньше мощности К', с другой сто-
стороны, заметив, что <$к E) равномощно KS, использовать упражнение
14 из Алг., гл. II, § 1 B).]
в) Показать тем же способом, что каждый базис векторного
пространства LlK (S) равномощен (К X 5)N.

44 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 2
10) Пусть Е — полное отделимое топологическое векторное прост-
пространство над недискретным нормированным телом К> F— векторное
подпространство в Е; Т — топология в F, согласующаяся со струк-
структурой векторного пространства, мажорирующая топологию §J, нн-
дуцируемую в F из Е, и обладающая фундаментальной системой 33
уравновешенных окрестностей нуля, замкнутых в jr'; Fo— векторное
подпространство в Е, порожденное замыканиями V множеств V?23
в Е. Множества V образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля для топологии f0 в Fo, согласующейся со структурой вектор-
векторного пространства; в этой топологии Fo полно; наконец, топология,
которую jr0 индуцирует в F, совпадает с |г.
§ 2. Линейные многообразия
в топологическом векторном пространстве
/. Замыкание линейного многообразия
Напомним (Алг., гл. II, 2-е изд., Приложение II), что аффинное
линейное многообразие в векторном пространстве Е над телом К
(называемое просто „линейным многообразием", если это не может
привести к путанице) есть образ векторного подпространства из Е
при произвольном переносе.
Предложение 1. Замыкание линейного многообразия в то-
топологическом векторном пространстве Е есть линейное много-
многообразие.
Действительно, так как каждый перенос есть гомеоморфизм про-
пространства Е, то достаточно доказать утверждение предложения для
векторного подпространства М. Но непрерывная функция (а:, у) ->
-+х-\-у (соотв. (X, х)-+\х) отображает М X М в Ж (соотв.
К X -М в М) и, следовательно, М X М в Ж (соотв. КХ М
в М)_@бщ. топ., гл. I, § 4, предложение 1), а это и доказывает*
что М есть векторное подпространство.
Следствие. В топологическом векторном пространстве, Е
каждая гиперплоскость замкнута или всюду плотна.
Действительно, замыкание однородной гиперплоскости Н, будучи
векторным подпространством, содержащим Н (предложение 1), может
быть только самим Н или всем пространством Е.
Мы видим, таким образом, что для того, чтобы гиперплоскость Н
была замкнутой в Е, необходимо и достаточно, чтобы СИ содер-
содержало внутреннюю точку.

/ ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 45
Пусть А — подмножество топологического векторного простран-
пространства Е. Напомним, что порождаемое им векторное подпространство М
есть множество всевозможных линейных комбинаций элементов
из А (Алг., гл. II, § 1, п°5); замыканием М в Е, в силу предло-
предложения 1, служит наименьшее замкнутое векторное подпространство,
содержащее А; его называют замкнутым векторным подпростран-
подпространством, порожденным множеством А.
Определение 1. Подмножество А топологического вектор-
векторного пространства Е называется тотальным, если порож-
порожденное им замкнутое векторное подпространство совпадает с Е
(или, другими словами, если множество линейных комбинаций эле-
элементов из А всюду плотно).
Примеры. 1) В нормированном пространстве (?с (/) непрерывных
функций на /= [0,1} со значениями из С сужения одночленов хп (п gN)
на / образуют тотальное множество в силу теоремы Вейерштрасса —
Стоуна (Общ, топ., гл. X, § 5, -теорема 3). Точно так же в подпро-
подпространстве Р пространства (?с(/), образованном функциями f(x) из
EС(/), удовлетворяющими условию /@)=/A), сужения функций
е2пкгх (n?Z) образуют тотальное множество (Общ. топ., гл. X, § 5,
предложение 8).
2) Каждое поглощающее множество в топологическом векторном
пространстве Е над недискретным нормированным телом (и, в ча-
частности, каждая окрестность нуля в Е) тотально, ибо порождает все Е
(§ 1, п°3). Отсюда вытекает, что линейное многообразие, не плотное
в Е, нигде не плотно в Е (Общ. топ., гл. IX, § 5, п°1), ибо его замы-
замыкание не может содержать внутренней точки.
Определение 2. Семейство (at)lf7 точек топологического
векторного пространства Е называется топологически свобод-
свободным, если, каково бы на было х ? /, замкнутое векторное под-
подпространство, порожденное точками at с индексами i ф х, не
содержит ах.
Пример. В нормированном пространстве Q с (/) непрерывных
функций на /=[0,1] сужения функций e2nictx (ngZ) на / образуют
топологически свободное семейство. Действительно, каково бы ни было
п ? Z, для любой линейной комбинации 2 fifte2*** (где лишь конечное

46 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 2
число коэффициентов е^ отлично от нуля) имеем
1
\gtrmix
о кфп
и тем более, в силу теоремы о среднем,
что и доказывает, что e2mix не содержится в замкнутом вектор-
векторном подпространстве пространства Q с (/), порожденном функциями
Множество, образованное элементами топологически свободного
семейства, называется топологически свободным множеством в Е.
Каждое подмножество топологически свободного множества тополо-
топологически свободно; если пространство Е отделимо, то каждое его
подмножество, сводящееся к одной точке а: ф О, топологически
свободно.
Топологически свободное семейство свободно 'в алгебраическом
смысле (см. Алг., гл. II, § 3, предложение 1 C)); но обратное не-
неверно.
Пример. В нормированном пространстве (?€(/) непрерывных
функций на/= [0,1] сужения одночленов Jtn(ngN) на / образуют алге-
алгебраически свободное семейство. Но так как существует последова-
последовательность (рп) полиномов такая, что рп (л:2) равномерно сходится к х
на / (Общ. топ., гл. X, § 5, лемма 2D)), то х содержится в замкнутом
векторном подпространстве пространства Q с (/), порожденном одно-
одночленами х2п (n?N).
Замечания. 1) [В отличие от того, что имеет место для алге-
алгебраически свободных подмножеств векторного пространства, множе-
множество всех топологически свободных подмножеств топологического век-
векторного пространства Е, вообще говоря, не индуктивно относительно^
включения (упражнение 1); кроме того, в ? не обязательно/содер-
обязательно/содержится максимальное топологически свободное подмножество (упраж-
(упражнение 2), а потому и не обязательно имеется топологически свободное
подмножество, которое было бы в то же время тотальным.
2) Пусть М — замкнутое векторное подпространство в ? и (я,),,7 —
топологически свободное семейство в Е/М. Семейство (а,),^, где в,—
любой элемент из а„ топологически свободно, как это следует из
определения 2 и непрерывности канонического отображения Е на

2 ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 47
Е/М. Отметим, однако, что замкнутое векторное подпространство Nr
порожденное элементами а„ может быть таково, что M[\NФ {О}
(упражнение 1), так что сумма M-\-N не обязательно прямая в алге-
алгебраическом смысле (и тем более в топологическом: см. § 1, п°8).
2. Прямые и замкнутые гиперплоскости
Предложение 2. Каждое одномерное отделимое топологи-
топологическое векторное пространство Е над недискретным норми-
нормированным телом К изоморфно Ks; более точно, для каждого
а Ф 0 из Е отображение <; —> ?а пространства Ks на Е есть изо-
изоморфизм (иначе говоря, каждое линейное отображение Ks на Е
есть изоморфизм).
Так как отображение \ -> \а пространства Ks на Е взаимно одно-
однозначно и непрерывно (§ 1, определение 1), то достаточно доказать,
что оно взаимно непрерывно. Пусть а — вещественное число-
> 0. Нужно показать, что в Е существует окрестность нуля V
такая, что \a?V влечет 111 < а. Так как К недискретно, то суще-
существует элемент ?0?К такой, что 0<|?0|<<х; с другой стороны,
так как Е отделимо, то в ? существует окрестность нуля V, не
содержащая ?оа, причем можно предполагать ее уравновешенной
(§ 1, предложение 4). Покажем, что &?V влечет |$|<|$о|; дей"
ствительно, если бы это было не так, то мы имели бы l^ ^U
и, следовательно, ?оа= (S0S~ *) Eа) ^ V, в противоречие с предположе-
предположением; тем самым предложение доказано.
Замечание. Утверждение предложения 2 не обязательно сохра-
сохраняет силу, если не предполагать Е отделимым. Точно так же оно не
сохраняет силу, когда 1(— дискретное нормированное тело. Действи-
Действительно, пусть К.1 —недискретное нормированное тело и К—дискрет
ное тело, получающееся из него путем введения несобственной нормы;
Ki есть одномерное топологическое векторное пространство над /f, не
изоморфное Ка-
Следствие. В отделимом топологическом векторном про-
пространстве Е над недискретным нормированным телом К каждое
одномерное векторное подпространство D изоморфно Ks.
Теорема 1. Пусть Е — топологическое векторное простран-
пространство над недискретным нормированным телом и Н — гиперплос-
гиперплоскость в Е, заданная уравнением f(x) = <x, где f—линейная форма,

48 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 2
не равная тождественно нулю. Для того чтобы Н было замк-
замкнуто в Е, необходимо и достаточно, чтобы f была непрерывна.
Достаточность условия очевидна (Общ. топ., гл. I, § 4, тео-
теорема 2); докажем его необходимость. Н можно предполагать одно-
однородной замкнутой гиперплоскостью, заданной уравнением /(л:) = 0.
Тогда факторпространство Е/Н будет одномерным отделимым топо-
топологическим векторным пространством над К- f можно представить
в виде g°<?, где ср — каноническое отображение Е на Е/Н, a g —
линейное отображение Е/Н на Ks; но g в силу предложения 2 не-
непрерывно, следовательно, непрерывно и /.
Следствие 1. Каждая ненулевая непрерывная линейная форма
на Е есть гомоморфизм Е на Ка.
Следствие 2. Каждое (одномерное) векторное подпростран-
подпространство D, алгебраически дополнительное к замкнутой однородной
гиперплоскости Н, топологически дополнительно к Н.
Действительно, множество в D, сводящееся к одному элементу О,
замкнуто, как пересечение D с замкнутым множеством Н; следова-
следовательно, D отделимо. Но так как Е/Н также отделимо, то канони-
каноническое отображение D на Е/Н, будучи линейным, есть изоморфизм
в силу предложения 2.
Замечание. Можно указать примеры отделимых топологических
векторных пространств над R, на которых каждая непрерывная линей-
линейная форма тождественно равна нулю (упражнение 2); следовательно,
в таком пространстве каждая гиперплоскость всюду плотна (следствие
предложения 1).
3. Конечномерные векторные подпространства
Теорема 2. Каждое отделимое топологическое векторное
пространство Е конечной размерности п над полным недис-
недискретным нормированным телом К изоморфно Kna; a именно для
каждого базиса (fiiI<i<n пространства Е над К линейное отобра-
п
жение (?{) -> 2 Uei есть изоморфизм fC на Е.
Предложение 2 показывает, что теорема 2 верна при п=\;
применим индукцию по п. Пусть Н—векторное подпространство
пространства Е, порожденное элементами ех, е2, .... вп_г; в силу

3 ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 49
Я-1
предположения индукции отображение (li)l<г<n_t-+ _2Uei есть изо-
изоморфизм Kg'1 на Н. Подпространство Н, будучи изоморфным
произведению полных пространств, полно (Общ. топ., гл. II, § 5,
предложение 4); следовательно, оно замкнуто в Е (Общ. топ.,
гл. II, § 3, предложение 6). Пусть D—подпространство Кеп в Е,
дополнительное к Н; так как Е — прямая топологическая сумма
подпространств Н и D (следствие 2 теоремы 1), то отображение
п
(%i)l . < п —*¦ 2 ?г?г произведения К%~ X Ка на ? есть изоморфизм.
~^ i = 1
Предположение полноты тела К^ существенно для справедливости
теоремы 2 при п>1. Действительно, пусть %—неполное нормиро-
нормированное тело и К—его пополнение. /(а всюду плотно в К для каждого
а ф 0 из К, ибо х->-ха есть гомеоморфизм /С на себя. Если аФк,
то подпространство /С+ Ка топологического векторного простран-
пространства К. над К имеет размерность 2 над ^< и, однако, не изоморфно К\,
ибо в К,-\- Ка каждое одномерное подпространство плотно.
Следствие 1. В отделимом топологическом векторном про-
пространстве Е над полным недискретным нормированным телом К
каждое конечномерное векторное подпространство F замкнуто.
Действительно, если F n-мерно, то оно изоморфно /С", значит
полно и, следовательно, замкнуто в Е (Общ. топ., гл. II, § 3,
предложение 6).
Следствие 2. Пусть К—полное недискретное нормирован-
нормированное тело, Е — конечномерное отделимое топологическое век-
векторное пространство над К и F — любое топологическое век-
векторное пространство над К. Каждое линейное отображение Е
в F непрерывно.
Действительно, каждое линейное отображение К" в F имеет вид
п
(?t) -~* 2 ^Ф% и потому непрерывно.
i = l
Следствие 3. В отделимом топологическом векторном про-
пространстве Е над полным недискретным нормированным те-
телом каждое конечное свободное подмножество топологически
свободно.

50 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 2
Следствие 4. Пусть Е— топологическое векторное про-
пространство над полным недискретным нормированным телом,
М — замкнутое и F— конечномерное векторные подпро-
подпространства в Е. Подпространство M-\-F замкнуто в Е.
Действительно, факторпространство Е/М отделимо. Пусть ср—•
канонический гомоморфизм Е на Е/М. Подпространство M-\-F
—1
равно ср (ср (F)). Но ср (F) конечномерно в Е/М, поэтому (след-
—1
ствие 1) ср (F) замкнуто в Е/М и, следовательно, ср (ср (F)) замк-
замкнуто в Е.
Заметим, что сумма Af-j-JV произвольных замкнутых векторных
подпространств М и N отделимого топологического векторного про-
пространства Е не обязательно замкнута в Е "даже если Е — гильбер-
гильбертово пространство,, (см. гл. IV, § 2, упражнение 19).
Предложение 3. Пусть Е — отделимое топологическое век-
векторное пространство над полным недискретным нормированным
телом К и М — замкнутое векторное подпространство конеч-
конечной факторразмерности п в Е. Каждое подпространство N
в Е, алгебраически дополнительное к М, топологически дополни-
дополнительно к М.
Напомним, что М всегда обладает алгебраическим дополнением
в Е (Алг., гл. II, § 3, предложение 5). Так как Е/М отделимо
и n-мерно над К, то Е/М и N оба изоморфны^/С" (теорема 2) и ка-
каноническое отображение Е/М на N (Алг., гл. П, § 1, п° 4) есть
изоморфизм Е/М на N (следствие 2 теоремы 2).
Следствие. Пусть Е и F — отделимые топологические век-
векторные пространства над полным недискретным нормирован-
нормированным телом. Если F конечномерно, то каждое непрерывное ли-
линейное отображение Е на F есть гомоморфизм.
4. Локально компактные топологические векторные про-
пространства
Теорема 3. Для локальной компактности топологического
векторного пространства Е (не сводящегося к одному элементу 0)
над полным недискретным нормированным телом К необходимо
и достаточно, чтобы К было локально компактно, а Е—отде-
Е—отделимо и конечномерно над К.

4 ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 51
Достаточность условий очевидна, ибо, в силу теоремы 2, Е тогда
изоморфно пространству вида К", которое локально компактно. Уста-
Установим их необходимость. Что Е должно быть отделимым — ясно.
Пусть теперь V — компактная уравновешенная окрестность нуля в Е;
покажем прежде всего, что когда X пробегает К*, множества XV
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Дей-
Действительно, для каждой уравновешенной окрестности нуля W ъ Е
существует конечное число точек aj?V таких, что ai-\-W обра-
образуют покрытие множества V; далее, так как W—поглощающее мно-
множество, то для каждого индекса / существует Xi Ф О в К такое,
что Xtai^W. Если поэтому X — ненулевой элемент из К такой, что
| X | ^ | Xj | для всех I, то Ха$ ? W для всех I, ибо W — уравнове-
уравновешенное множество. Так как, кроме того, можно считать, что |Х|^1,
то Wczl\(kai-\-'kW)<zW-\-W, чем наше утверждение и доказано,
г
поскольку множества W-\-W образуют фундаментальную систему
окрестностей нуля.
Пусть теперь 0 < е < -j и а — элемент из /С такой, что |a|^s.
По предположению, в V существует конечное число точек bj
п
О^У^я) таких, что VcM(df+ аУ); тогда тем более
где М — конечномерное подпространство, порожденное элементами by
Покажем, что предположение о несовпадении М с Е ведет к про-
противоречию. Действительно, пусть с—точка из QM и L — множество
tex Х?/С, для которых c-\-W пересекает М. Так как М замкнуто
{следствие 1 теоремы 2), то d = inf IX | > 0, ибо когда X пробегает К*,
Йго множества c-\-W образуют фундаментальную систему окрест-
окрестностей для с. Поэтому существуют точка у ? М и элемент ji ? /С
1»кие, что с—у?\>У и rf< |ji|^rf(l +e)- Положим хо = р-1(с—у).
Так как xo?V, то xo?M-\-aV, т. е. xo = z-\-at, где z?M nt?V.
Отсюда с = у-\-[az4~V-rt или с — j«xf=y-\-y.z?M. Но так как
|pa| ^е |ц| ^еA + s)rf < d, то мы пришли к противоречию, и тем
самым доказано, что М — Е.
Из теоремы 2 следует тогда, что Е изоморфно пространству
вида К"', следовательно, Е может быть локально компактным, лишь

52 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 2
если само К локально компактно (Общ. топ., гл. I, § 10, предло-
предложение 14), и доказательство закончено.
Замечания. 1) Отметим, что при доказательстве конечномер-
конечномерности пространства Е было использовано лишь то, что V предком-
пактно. Мы видим, таким образом, что если в Е существует предком-
пактная окрестность нуля, а /С есть полное недискретное нормирован-
нормированное тело, то Е изоморфно пространству вида К" и, следовательно,
полно', но тогда Е локально компактно и потому К, локально ком-
компактно, а Е — конечномерно над /С
2) Утверждение теоремы 3 теряет силу, если К — дискретное тело,
как показывает пример тела R (наделенного обычной топологией),
рассматриваемого как топологическое векторное пространство над
дискретным телом Q.
Упражнения. 1) Пусть в топологическом произведении Е = RN,
рассматриваемом как топологическое векторное пространство над R,
еп (п ? N) — элементы канонического базиса прямой суммы R^N'. Пусть
ао = ео, ап = е0-{ еп для и;>1. Показать, что элементы а^ где
0<^<!и, для каждого целого и!>0 образуют топологически свобод-
свободное семейство в Е, но бесконечное семейство (ап)п . N не является
топологически свободным. Пусть М — замкнутое векторное подпро-
подпространство Ra0 и ап — класс элемента ап в Е/М. Классы а'п (п~^>\)
образуют в Е/М топологически свободное семейство, однако замкну-
замкнутое подпространство /V, порожденное элементами аясл>1, содер-
содержит Af.
*2) Пусть Е — векторное пространство над R, образованное непре-
непрерывными числовыми функциями на интервале /=[0, 1]. Пусть V8j,,
для каждой пары чисел (8, е) такой, что 8>0и 0-<е<1, — множе-
множество тех х б Е, для которых | х (t) |<! о всюду вне (зависящего от х)
открытого множества значений t, связные компоненты которого имеют
суммарную длину <! г.
а) Показать, что множества Vs s образуют в Е базис фильтра @,
удовлетворяющий аксиомам (EVt), (EVtI) и (EVnl) (§ 1, предложение 5)
и, следовательно, определяют в Е топологию, согласующуюся со
структурой векторного пространства; показать, что эта топология
отделима.
б) Показать, что для любой пары (8, г) указанного вида суще-
п
ствует целое п > 0 такое, что Е = 2 At, где все Л4 = V5 ,• [Рассмо-
i = l
треть надлежащее разбиение единицы на /.]
в) Вывести из б), что каждая непрерывная линейная форма / на Е
тождественно равна нулю. [Принять во внимание, что если непрерыв-

ЛИНЕЙНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 53
ная числовая функция х равна нулю всюду вне интервала /с/длины
< г, то Хлг ? Vb> , для всех X ? R.] Вывести отсюда, что в ? не суще-
существует максимального топологически свободного подмножества.
3) Пусть /С— недискретное топологическое тело, удовлетворяющее
следующей аксиоме:
(КТв) Для любых окрестностей нуля U и V в К существует >.?/(*
такое, что Х(СК)"с?/ и (CV)~\ С U.
[Каждое недискретное тело, удовлетворяющее аксиоме (КТа) упра-
упражнения 13 в Общ. топ., гл. III, § 5E), тем более удовлетворяет аксиоме
(КТ6).] Распространить предложение 2 и теорему 1 на топологические
векторные пространства над /С; распространить также теорему 2 и пред-
предложение 3 при дополнительном предположении, что К полно.
4) Пусть /С—топологическое тело, полученное путем перенесения
иа тело Q (У 2") топологии из Q- посредством отображения (х, у) -*¦
У
у
а) Пусть Е — множество Q (У 2 ), наделенное структурой векторного
пространства над /С и топологией, индуцированной из R. Показать,
что Е— одномерное отделимое топологическое векторное простран-
пространство над К., не изоморфное К-
б) Пусть F— топологическое векторное пространство EX E над АС
В F гиперплоскость ?Х{0} замкнута, но не выражается никаким ура-
уравнением вида f(x) = О с непрерывной линейной формой / на Е.
5) Пусть /С—неполное недискретное нормированное тело, Е —
топологическое векторное подпространство К-\- Ка его пополнения ^,
где я(?/(, и F^KXE. В F подпространство М= /СХ {0} замкнуто
и имеет факторразмерность 2. Пусть N — дополнительное к М под-
подпространство, порожденное векторами @, 1) и A, а); показать, что F
не является топологической прямой суммой подпространств М и N.
*6) Пусть р — простое число, Qp — тело /?-адических чисел, полу-
полученное путем пополнения тела Q, наделенного р-адической тополо-
топологией (Общ. топ., гл. IX, § 3, п°2). Пусть Ео — произведение топологи-
топологических пространств Qp и R и К—тело Q, наделенное дискретной
топологией. Ео есть топологическое векторное пространство над АС.
Пусть М—векторное подпространство в ?0, образованное элемен-
элементами (г, г), где г пробегает Q; пусть, далее, 8 — иррациональное число
и N — векторное подпространство, образованное элементами @, гв),
где г пробегает Q; пусть, наконец, Е — подпространство M-\-N про-
пространства Ео. Показать, что N есть замкнутая гиперплоскость в Е, не
обладающая топологическим дополнением. [Принять во внимание,
что М всюду плотно в ?0.]
7) Пусть Е — топологическое векторное пространство над R и / —
представление аддитивной группы Е в аддитивной группе R. Пока-
Показать, что если в Е существует окрестность нуля, на которой / огра-
ограниченно, то / непрерывно и является линейной формой на Е.

54 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 3
8) Пусть S — любое бесконечное множество.
а) Показать, что наименьшая из мощностей тотальных множеств
в нормированном пространстве ^(S) ограниченных отображений S
в R (§ 1, п° 2) равна мощности $ (S). [Рассмотреть множество ха-
характеристических функций всех подмножеств из S и принять во вни-
внимание, что в R существует счетное всюду плотное множество.]
б) Показать, что наименьшая из мощностей тотальных множеств
в нормированном пространстве Ll(S) суммируемых семейств вещест-
вещественных чисел, имеющих S своим множеством индексов (§ 1, п° 2),
равна мощности S.
§ 3. Метризуемые топологические
векторные пространства
/. Окрестности нуля в метризуемом топологическом век-
векторном пространстве
Мы говорим, что топологическое векторное пространство Е
метризуемо, если его топология метризуема. Таким образом, наде-
наделенное структурой аддитивной группы и своей топологией, Е есть
метризуемая группа (Общ. топ., гл. IX, § 3, п° 1).
Как известно, для метризуемости топологической группы необхо-
необходимо и достаточно, чтобы ее нейтральный элемент е обладал счет-
счетной фундаментальной системой окрестностей, пересечение которых
сводилось бы к в (Общ. топ., гл IX, § 3, предложение 1). Для
топологических векторных пространств над недискретным норми-
нормированным телом имеет место следующее более точное предложение:
Предложение 1. В метразуемом топологическом вектор-
векторном пространстве Е над недискретным нормированным телом
К существуют последовательность (Vn) замкнутых окрестностей
нуля и стремящаяся к нулю последовательность (^п) элементов
аз К такие, что семейство ОчпУ„) (где т и п — произвольные
целые числа > 0) есть фундаментальная система окрестностей
нуля, удовлетворяющая следующим условиям:
а) все Vn — уравновешенные поглощающие множества;
б) для каждого целого р существует целое q такое, что
в) Пересечением всех множеств ^тУп служит 0.
Обратно, пусть Е — векторное пространство над К и (Vn) —
счетный базис фильтра в Е, а (кщ) — стремящаяся к нулю после-

/ МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 55
довательность элементов из К, удовлетворяющие условиям
а), б), в). Тогда множества 1тУп образуют фундаментальную
систему окрестностей нуля для метризуемои топологии, согла-
согласующейся со структурой векторного пространства в Е.
Первая часть утверждения есть непосредственное следствие пред-
предложений 4 и 5 § 1. Обратно, так как последовательность (Х„,)
стремится к нулю, то для любого X ф 0 из К существует номер т
такой, что |^»»|^|Н откуда \mVnczWn, поскольку Vn — уравно-
уравновешенное множество. Предложение 5 § 1 показывает тогда, что
множества 1-mVn образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля для отделимой топологии, согласующейся со структурой век-
векторного пространства в Е; так как семейство этих множеств счетно,
то определяемая ими в Е топология метризуема.
Как было уже отмечено (§ 1, п° 3, замечание 2 вслед за пред-
предложением 5), если АГ== R или /С= С, то из условий а) и б) предло-
предложения 1 вытекает, что для каждого номера п и каждого Х]>0 суще-
существует номер от такой, что lVmcz Vn. Следовательно, если базис
фильтра (Vn) удовлетворяет условиям а) и б) и пересечением всех
множеств Vn служит 0, то сами множества Vn образуют фундамен-
фундаментальную систему окрестностей нуля для метризуемои топологии, согла-
согласующейся со структурой векторного пространства в Е.
Равномерную структуру метризуемого топологического вектор-
векторного пространства Е можно задать инвариантным расстоянием
d(x, у) = \х—у\, где х-?\х\ есть непрерывное отображение Е
в R+, удовлетворяющее следующим трем условиям: 1) | — х| = |лг|;
2)*|х-\-у К |х |-|-|.у |; 3) отношения |д;| = 0 и х = О равносильны
(Общ. топ., гл. IX, § 3, п° 1).
В гл. IX .Общей топологии" показано (§ 1, предложение 2), как
можно ввести такое расстояние d с помощью убывающей последо-
последовательности (Wn) окрестностей нуля в Е, образующей фундаменталь-
фундаментальную систему и такой, что Wn+i + Wn+i + Wn+1 с: Wn F). Так как Е
есть метризуемое векторное пространство над недискретным телом К,
то можно, кроме того, считать множества Wn уравновешенными (§ 1,
предложение 4); как показывает способ введения расстояния d (там
же), тогда цз|Х|<;1 следует \ \х \ ¦< | х \. Кроме того, из условий
(EVT,) и (EVTj,) п° 1 § 1 вытекает, что \1хо\ стремится к нулю
вместе с X ? К для каждого хо?Е и что | \ух | стремится к нулю
вместе с \х\ для каждого ^(Е/С. Обратно, если функция |jr| обладает
всеми указанными свойствами, a Wn означает множество тех х?Е,
для которых |л-|<2~", то сразу видно, что Wn образуют фун-

56 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 3
даментальиую систему уравновешенных окрестностей нуля для метри-
зуемой топологии, согласующейся со структурой векторного простран-
пространства в Е.
Замечание. Нормированные пространства составляют один
из наиболее важных классов метризуемых векторных пространств
(§1, п° 2). Но следует заметить, что существуют метризуемые
векторные пространства, топология которых не может быть опре-
определена нормой (упражнение 2); позднее мы познакомимся с важными
примерами таких пространств.
2. Свойства метризуемых векторных пространств
Каждое векторное подпространство метризуемого топологического
векторного пространства Е метризуемо; то же верно для каждого
факторпространства Е/М пространства Е по замкнутому вектор-
векторному подпространству М (Общ. топ., гл. IX, § 3, предложение 4).
Произведение любого счетного семейства метризуемых топологи-
топологических векторных пространств метризуемо (Общ. топ., гл. IX, § 2,
следствие теоремы 1). Если Ко— полное нормированное тело и
К— его всюду плотное подтело, то пополнение ? метризуемого век-
векторного пространства Е над К есть метризуемое векторное прост-
пространство над Ко (§ 1, п° 5 и Общ. топ., гл. IX, § 2, предложение 1).
Наконец, если Е—полное метризуемое векторное пространство,
то EIM полно для каждого замкнутого векторного подпространства М
(Общ. топ., гл. IX, § 3, предложение 4).
3. Непрерывные линейные функции на метризуемом вектор-
векторном пространстве
Теорема 1 (Банах). Пусть Е и F — полные метризуемые
векторные пространства над недискретным нормированным
телом К. Каждое непрерывное линейное отображение и про-
пространства Е на F есть гомоморфизм.
Достаточно доказать, что при отображении и образ каждой
окрестности нуля из Е есть окрестность нуля в F. Теорема будет
вытекать из следующих двух лемм.
Лемма 1. Пусть Е и F — топологические ' векторные про-
пространства над недискретным нормированным телом Кии —
непрерывное линейное отображение Е на F. Если F — бэровское
пространство (Общ. топ., гл. IX, §5, п° 3), то u(V) есть окре-
окрестность нуля в F для каждой окрестности нуля V из Е.

3 МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 57
Пусть W — уравновешенная окрестность нуля в Е такая, что-
W-\-WaV (§ 1, предложение 5), и а —элемент из К с |а|> 1.
Объединение множеств a.nW есть тогда всё Е; в самом деле, для
каждого х?Е существует C?/( такое, что x?]W (§ 1, предложе-
предложение 5)* и если п столь велико, что |j3|<|an|, то также x?anW,
поскольку W уравновешенно. Следовательно, объединение множеств
и (a.nW) = апи (W) есть всё F. Так как F— бэровское пространство,
то по крайней мере одно из множеств а.пи (W) имеет внутреннюю
точку (Общ. топ., гл. IX, § 5, определение 3); следовательно, u(W}
имеет внутреннюю точку _у0; а так как — и (W) = и (W), та
= u(W) и, следовательно, 0 = _уо-}-(—_у0) есть внутренняя
точка множества и (W) -\- и (W). Но в силу непрерывности суммы
y-\~z на F X Z7. u(W)-\-u(W) содержится в замыкании множества
= u(W-\-W)<= u(V); следовательно, u(V) есть окре-
окрестность нуля.
Будем обозначать через Вг (х) замкнутый шар с центром х и
радиусом г.
Лемма 2. Пусть Е и F — метрические пространства, при-
причем Е полно. Пусть, далее, и — непрерывное отображение Е
в F, обладающее следующим свойством: для каждого г > 0 суще-
ствует р > 0 такое, что образ и {Вг (х)) плотен в шаре В? (и (х))
для каждого х?Е. При этих условиях, для каждого а > г образ
и(Ва(х)) содержит шар Вр(и(х)).
Действительно, пусть (гп) — бесконечная последовательность
оо
чисел > 0 такая, что гг = г и 2rn = a'\ °°- Для каждого п
существует число рп > 0 (с pt = р) такое, что и (ВГп (х)) плотна
в В (и (х)) для всех х ? Е. При этом можно предполагать, что-
lim pre = 0.
Я->сс
Пусть х0 — точка из Е и у — точка из Вр(и(х0)). Покажем,
что у содержится в и (Ва (х0)).
Для этого определим по индукции последовательность (хп)п><>
точек из Е так, чтобы хп?Вг (хп_1) и и(хп)?В? ^(у) для всех
га^-1. Пусть Xj, удовлетворяющие этим условиям, уже определены
для значений / от 0 до п— 1; имеем у?В? (uixn^^), и так как
и(Вг (*„_!>) плотно в В (и(хп_1)), то существует точка

58 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАЛСТВА ГЛ. I, § 3
r
(*n-i)> образ которой и(хп) содержится в окрестности
Во (у) точки у; тем самым существование последовательности (хп)
доказано.
(хп) есть последовательность Коши, ибо расстояние между хп
и хп+р мажорируется суммой гп+1-\-гп+г-\- . .. ~\-гп+р, произвольно
малой при достаточно большом га. Так как Е полно, то эта после-
последовательность сходится к некоторой точке х ? Е, причем расстояние
оо
между х0 и х мажорируется рядом 2 гп = а- так что х ? Ва (х0).
Но так как и непрерывно, то последовательность (и (хп)) сходится
к и(х); а так как и(хп)?Вр (у), то и(х)=у и лемма 2 доказана.
Вернемся теперь к теореме. Введем в каждом из пространств Е
и F расстояние, согласующееся с топологией этого пространства
и инвариантное относительно переносов (п° 1). Так как F, будучи
полным метрическим пространством, есть бэровское пространство
{Общ. топ., гл. IX, §5, теорема 1), то лемма 1 показывает, что м(
¦есть окрестность нуля в F для каждого г > 0; следовательно,
•существует р>0 такое, что и«(Вг@)) плотно в окрестности нуля
В? @) пространства F. Путем переноса заключаем, что и (Вг (х))
плотно в Вр (и (х)) для каждого х ? Е. А так как Е полно, то лемма 2
показывает, что и (Ва @)) есть окрестность нуля в F для каждого
¦а > г. Тем самым теорема 1 доказана.
Из теоремы 1 вытекает ряд следствий.
Следствие 1. Если Е и F — полные метризуемые вектор'
ные пространства над недискретным нормированным телом,
то каждое непрерывное взаимно однозначное линейное отобра-
отображение и пространства Е на F есть изоморфизм.
В частности, если Е и F — полные нормированные пространства,
то существует число а>0 такое, что || и(х) \\ ^-а\\ х\\ для каж-
каждого х?Е.
Следствие 2. Пусть Е — векторное пространство над недис-
недискретным нормированным телом, a Si и сГ2 — &ве топологии
в Е, согласующиеся со структурой векторного пространства а
такие, что в каждой из них Е метризуемо и полно. Если с^ и
J*2 сравнимы, то они совпадают.

-3 МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 59
Следствие 3. Пусть Е и F— полные метризуемые вектор-
векторные пространства над недискретным нормированным телом.
Для того чтобы непрерывное линейное отображение и прост-
пространства Е в F было гомоморфизмом, необходимо и достаточно,
чтобы и (Е) было замкнуто в F,
Условие необходимо, ибо если и — гомоморфизм, то и (Е), будучи
-1
изоморфным факторпространству Е/и @), полно (п° 2) и потому замк-
замкнуто в F. Условие достаточно, ибо если а (?) замкнуто в F, то оно
является полным метризуемым векторным пространством и потому и
есть гомоморфизм Е на н(?) в силу теоремы1 1.
Следствие 4. Пусть Е — полное метризуемое векторное
пространство над недискретным нормированным телом. Если
М а N — взаимно дополнительные (алгебраически) замкнутые
векторные подпространства в Е, то Е есть их топологическая
прямая сумма (§ 1, п° 8).
Действительно, My^N есть полное метризуемое векторное про-
пространство, и так как его отображение {у, z)-*y-\-z на Е непре-
непрерывно и взаимно однозначно, то оно есть изоморфизм (следствие 1).
Следствие 5 (теорема о замкнутом графике). Пусть Е a F —
полные метризуемые векторные пространства над недискретным
нормированным телом. Для того чтобы линейное отображение
и пространства Е на F было непрерывным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы его график в Е X f был замкнут.
Условие необходимо, поскольку график непрерывного отобра-
отображения в отделимое пространство всегда замкнут (Общ. топ., гл. I,
§ 8, следствие 2 предложения 6). Чтобы убедиться в достаточности
условия, заметим, что в силу этого условия график О отображения и,
будучи замкнутым векторным подпространством полного метризуемого
пространства Е X F, сам есть полное метризуемое пространство.
Но проекция z—*'ft'{(z) пространства О на~Е является непрерывным
взаимно однозначным линейным отображением и потому изоморфиз-
изоморфизмом (следствие 1); а так как обратным к нему служит отображение
х -> (х, и (х)), то и непрерывно на Е.
Это следствие можно выразить также в следующей форме: если
для любой последовательности (хп) точек из Е, стремящейся к нулю

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 3
и такой, что последовательность (а (хп)) стремится к некото-
некоторому пределу у, этот последний необходимо =.- О, то и непрерывно.
Пример. Пусть Е — векторное подпространство пространства
числовых функций, определенных на /= [0, 1]; пусть ||/|| —норма на Е
такая, что Е, снабженное этой нормой, полно, причем его топология
мажорирует топологию простой сходимости; пусть, наконец, Е содержит
множество gti всех бесконечно дифференцируемых функций на /.
Покажем, что тогда существует целое k ,> О такое, "что Е содержит
множество Qrp всех функций, имеющих непрерывную k-ю произ-
производную на /.
Пусть Vmn, для каждой пары целых чисел от >¦ 0, п ,> 0, — множе-
множество всех функций f?3>i таких, что I /*й' (х)\ ^— для 0^/г-<и и
каждого х g /; легко видеть, что множества Vmn образуют фундамен-
фундаментальную систему окрестностей нуля для метризуемой топологии, согла-
согласующейся со структурой векторного пространства в Qif, кроме того,
3)i полно в этой топологии (Функц. вещ. перем., гл. II, § 1, теорема 1).
Пусть и — каноническое отображение 3>i в Е; покажем, что и непре-
непрерывно. В силу следствия 5 теоремы 1, достаточно доказать, что если
последовательность (/п) сходится к нулю в Qlj и имеет предел / в Е,
то необходимо /=0; но это очевидно, поскольку, в силу предполо-
предположения, / есть предел (/«) в топологии простой сходимости. Поэтому
существуют целое k ;> 0 и число а > 0 такие, что для функций
/€ 311 из рк (/) = sup | /(ft) (x) | < а следует ||/|| < 1.
Ho pk (/) — норма в 3>^\ a Q)T образует в Qs^f1 подпространство,
всюду плотное по этой норме (ибо, как сразу следует из теоремы
Вейерштрасса—-Стоуна, множество полиномов всюду плотно в Зн^Л-
И так как, в силу предыдущего, тождественное отображение 3/1 (снаб-
(снабженного нормой рк) в Е непрерывно, то оно продолжается по непре-
непрерывности на всё пространство Sf^\ чем наше предложение и доказано.
Упражнения. *1) а) Пусть ?—векторное пространство над
нормированным телом К:, предположим, что Е наделено метризуемой
топологией, согласующейся с его структурой аддитивной группы,
и что, кроме того, х -*¦ %* непрерывно в Е для каждого Хо € /С н
X —»-Xjc0 непрерывно в К для каждого хо?Е. Показать, что если одна
из двух метризуемых групп К. и Е полна, то топология в Е согла-
согласуется с его структурой векторного пространства. [См. Общ. топ.,
гл. IX, § 5, упражнение 22.]
б) Пусть Ga, для каждого вещественного я > 0, — топологическая
группа R/aZ и G — произведение топологических групп Ga (где a
пробегает множество всех чисел > 0). Пусть <» (х), для каждого
х б R, — образ х при каноническом отображении R на Ga. Ото-

сю
= Zj
МЕТРИЗУЕМЫЕ ПРОСТРАНСТВА 61
Сражение х -> (ta (х)) есть непрерывное взаимно однозначное пред-
представление <р группы R на некоторую подгруппу Н группы G. Следова-
Следовательно, прообраз топологии подгруппы Н относительно отображения <р
согласуется со структурой аддитивной группы в R; пусть Е— топо-
топологическая группа, получающаяся путем наделения R этой тополо-
топологией. Показать, что отображение (X, х) -> Хх произведения R X Е в Е
не непрерывно и, однако, х -> Хох непрерывно в Е для каждого Хо ? R
и X -> Хх0 непрерывно в R для каждого х0 ? Е.
2) а) Показать, что если отделимое топологическое пространство Е
над недискретным нормированным телом К таково, что каждая окрест-
окрестность нуля содержит векторное подпространство, не сводящееся к одному
элементу 0, то его топология не может быть задана нормой. В част-
частности, топология произведения бесконечной последовательности (Еп)
отделимых топологических векторных пространств над /С не сводя-
сводящихся к одному элементу 0, не может быть задана нормой.
б) Пусть ?=/^f; для каждого х = (?„) ? Е положим [ х | ==
j"ic u• Показать, что топология пространства Е опреде-
П = 0
ляется расстоянием d(x, у) = | jc — у |, что | Хх |< | х\ при | X |< 1 и
I Хлг| <; | X 11 х\ при |Х|>1 и что | Xjc0 j стремится к нулю вместе
с | X | для каждого х0 ? Е.
*3) Пусть Е н F—полные метризуемые векторные пространства
над неднскретиым нормированным телом н и — непрерывное линейное
отображение Е в F. Показать, что если и не есть отображение Е на F,
то и (Е) I категории в F. [Рассуждая как при доказательстве тео-
теоремы 1, доказать, что если и(Е) не есть множество I категории в F,
то и( V) для любой окрестности нуля V из Е есть окрестность нуля в F.]
4) Пусть Е и F—полные метрнзуемые векторные пространства
над недискретным нормированным телом, ^„ — топология простран-
пространства F и §" — отделимая топология в F, мажорируемая топологией DV
Показать, что если линейное отображеине и пространства Е в F непре-
непрерывно в топологии §", то оно непрерывно также в топологии $. [Вос-
[Воспользоваться следствием 5 теоремы 1.]
Вывести отсюда, что если g-t и §"» — две различные топологии
в векторном пространстве Е над неднскретным нормированным телом,
согласующиеся со структурой векторного пространства в Е, н в каж-
каждой из ннх Е полно н метрнзуемо, то в 3 не существует отделимой
топологии, мажорируемой топологиями 0^ и $.
5) Пусть Е и F — отделимые топологические векторные простран-
пространства над недискретным нормированным телом, причем Е полно и
метрнзуемо. Пусть, далее, и — непрерывное взаимно однозначное линей-
линейное отображение Е в F н G — векторное подпространство в и(Е).
Пусть, наконец, в G существует топология $", мажорирующая тополо-
топологию, индуцируемую из F, и согласующаяся со структурой векторного

62 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. I, § 3=
пространства в G, причем G в этой топологии метризуемо и полно.
Показать что сужение иа G отображения, обратного к и, непрерывно-
в топологии 0\ [Воспользоваться следствием 5 теоремы 1.]
6) Пусть (Еп) — последовательность полных метризуемых вектор-
векторных пространств над неднскретным нормированным телом /С н ««, для
каждого п, — непрерывное лннейное отображение Еп в отделимое топо-
топологическое векторное пространство Е над /С, причем Е есть объедннение
подпространств ип{Еп). Показать, что каждое непрерывное линейное
отображение v пространства Е на полное метризуемое векторное
пространство F над К. есть гомоморфизм Е на Р. [Воспользоваться
упражнением 3.]
7) Пусть Е и F—полные метризуемые векторные пространства
над недискретным нормированным телом н и — лниейное отображе-
отображение Е в F. Пусть N — замыкание и в F по фильтру окрестностей
нуля в Е (Общ. топ., гл. I, § 6, п° 4). Показать, что это — замкнутое
векторное подпространство в F и что Для непрерывности отображе-
отображения и необходимо н достаточно, чтобы N сводилось к элементу 0.
[Воспользоваться следствием 5 теоремы 1.] Показать, что N есть наи-
наименьшее из замкнутых векторных подпространств М в F, для которых
<р о и, где <р — каноническое отображение F на F/M, есть непрерывное
отображение Е в F/M.

ГЛАВА II
ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
И ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Во всей этой главе, за исключением § 6, рассматриваются
лишь векторные и аффинные пространства над телом R веще-
вещественных чисел. Говоря о векторном (или аффинном) простран-
пространстве без указания его тела скаляров, мы всегда будем подразу-
подразумевать, что этим телом служит R.
Напомним (Алг., гл. II, 2-е изд., Приложение II), что аффинное
пространство Е может быть определено как однородное простран-
пространство (Алг., гл. I, § 7, п° 6) аддитивной группы векторного про-
пространства Т, имеющее 0 единственным оператором из Т, оставляю-
оставляющим инвариантными все элементы из Е. Мы говорим, что Т есть
пространство переносов аффинного пространства Е; точка, в кото-
которую а?Е переводится переносом t? T, обозначается a + t, или t-\-a;
для любых двух точек а и Ь из Е существует и притом только один
иеренос, переводящий а в Ь; он обозначается Ь — а; при этом
а — а = 0, а — Ь = — (р — а). Для любой точки а?Е, х-*¦ х— а
есть взаимно однозначное отображение Е на Т; отождествляя Е с Т
посредством этого отображения, говорят, что Е рассматривается
как векторное пространство, в котором а принято за начало.
Обратно, каждое векторное пространство Т может быть отожде-
отождествлено с аффинным пространством Е, соответствующим его под-
подгруппе {0} (Алг., гл. I, § 7, п° 6). При таком отождествлении не-
непустые аффинные линейные многообразия аффинного пространства Е
отождествляются с подмножествами векторного пространства 7", полу-
получаемыми путем переноса его векторных подпространств (называемых
также однородными линейными многообразиями). Напомним также,
что пустое множество рассматривается как аффинное линейное много-
многообразие.
Пусть Т — второе векторное пространство, отождествленное
с аффинным пространством Е', соответствующим его подгруппе {0}.
Аффинные линейные отображения Е в Е' отождествляются тогда

64 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. Н, § 1
с отображениями Т в Т', получающимися путем композиции линей-
линейных отображений Т в 7" (называемых также однородными линейными
отображениями Е в Е') с переносами в V.
Пусть даны семейство С*,),^ точек из ? и семейство (X,) if/ ска-
скаляров, отличных от нуля лишь для конечного числа индексов и таких,
что 2^—1- Положим 2 \хк — а -\- 2 \ (xt — а). Эту точку, не
зависящую от выбора а?Е, называют центром тяжести семей-
семейства (х,), в котором каждая точка х, снабжена массой X, (положи-
(положительной, отрицательной или нулевой). Множество всех этих центров
тяжести (при всевозможных выборах семейств (X,) указанного вида)
совпадает с аффинным линейным многообразием, порожденным точ-
точками хг
Напомним также, что множество всех точек а-{-И, где а—фи-
а—фиксированная точка из Е, t — фиксированный ненулевой вектор из Т
и ). ^5.0 (соотв. к > 0), называется замкнутой (соотв. открытой)
полупрямой с началом а и направляющим вектором t. Далее, мно-
множество всех точек kx-\-\iy, где х и у — две фиксированные точки
из Е, Х>0, [х>0 и X-f-ii= 1 (соотв. X > 0, ц, > 0 и Х + р= 1),
называется замкнутым (соотв. открытым, при х Ф у) отрезком
с концами х и у; при х=у он сводится к точке. Наконец, при
х ф у, отрезок, открытый в х и замкнутый в у, это — множе-
множество всех точек kx-\-\i.y, где X —(— ji.^= 1, Х^.0, [л>0.
,. § 1. Выпуклые множества
/. Определение выпуклого множества
Определение 1. Множество А точек аффинного простран-
пространства Е над R называется выпуклым, если, каковы бы ни были
точки х и у из А, замкнутый отрезок с концами х и у содер-
содержится в А.
Так как A — k) a -f- кх = a -f- к (х — а), то это определение равно-
равносильно следующему: множество А выпукло, если его образ при гомо-
тетии^с центром в любой точке и^Аи коэффициентом X, заключен-
заключенным между 0 и 1, содержится в А (иначе говоря, если А устойчиво
относительно этих гомотетий).
Примеры. 1) Каждое аффнниое линейное многообразие в Е (и,
в частности, пустое множество) выпукло.

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 65
2) Единственными непустыми выпуклыми множествами в R
являются интервалы (Общ. топ., гл. IV, § 2, предложение 1).
3) Пусть Е — векторное пространство и ||лг|| — норма в Е; зам-
замкнутый шар В, образованный точками х с ||.х||-<1, есть выпуклое
множество, нбо из неравенств ||лг||<1, ||у||<1 н 0<\<1 следует
Замечание. Пусть А — выпуклое множество в векторном про-
пространстве Е; каковы бы ни были скаляры а ]> О и р > О, аА-\-$А =
= (а -)- Р) А. Иными словами, каковы бы ни были х ? А и у ? А, суще-
существует z ? А такое, что (а -\- [5) z = ах -\- $у. Действительно, это соот-
соотношение можно записать в виде
и так как ^>0, ^|>0 н -^ + _i_p=i, то утверждение
следует из определения 1.
Предложение 1. Пусть (х) — семейство точек выпуклого мно-
множества А* Центр тяжести 2 Х^, точек xlt снабженных п о-
ложительными массами \ (такими, что 2\ = 1 и \ Ф О,
t
лишь для конечного числа индексов), содержится в А.
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда множеством
индексов служит конечный интервал [l,/?]cN иХ4>0 для каждого
номера /. При /?= 1 предложение тривиально. Докажем его индук-
цией по р. Положим [i=Vxi>0 и .у= V — xt; в силу предпо-
i=l i=l
ложения индукции у? А. Так как Хр= 1 —[i и ^, Xijci=jby-(-'(l—р)хр,
то точка j>j Xjjcj содержится в Л в силу определения 1.
Предложение 2. При аффинном линейном отображении f
аффинного пространства Е в аффинное пространство F образ
каждого выпуклого множества из Е и прообраз каждого выпук-
выпуклого множества из F являются выпуклыми множествами.
Первое утверждение следует из того, что / переводит замкнутый
.отрезок с концами х и у в замкнутый отрезок с концами f(x) и f(y).
Это же показывает также, что прообраз каждого замкнутого отрезка

66 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 1
из F содержит замкнутый отрезок, имеющий своими концами любые
две точки этого прообраза, а отсюда вытекает и второе утвержде-
утверждение предложения 2.
В частности, образ выпуклого множества при гомотетии или пере-
переносе есть выпуклое множество.
Предложение 3. Пусть Н—гиперплоскость, заданная урав-
уравнением g-(x) = a, где g — ненулевая линейная форма на Е.
Полупространства, определенные соответственно неравенствами
g (х) ^-я, g (х) <! a, g- (х) > я, g {x) < а, являются выпуклыми мно-
множествами.
Действительно, эти полупространства являются прообразами интер-
интервалов из R относительно линейного отображения g, а последние
выпуклы.
Говорят, что точки множества М находятся по одну сторону
(соотв. строго по одну сторону) от гиперплоскости Н, если М.
содержится в одном из полупространств, определяемых, в обозна-
обозначениях предложения 3, неравенствами g(x)^.a. или g(x)^a (соотв.
g (х) > а или g (х) < а).
Предложение 4. Пусть Н—гиперплоскость в аффинном про-
пространстве Е. Для того чтобы точки выпуклого множества А
из Е находились строго по одну сторону от Н, необходимо tt
достаточно, чтобы А не имело общих точек с Н.
Необходимость условия очевидна. Обратно, предположим, что
оно выполнено, и пусть g(x) = 0 — уравнение гиперплоскости И
(g— аффинное линейное отображение Е в R). Множество g(A) выпукло-
в R и, значит, является интервалом, а 0 (? g(A). Следовательно, g(x}
сохраняет знак, когда х пробегает А.
2. Пересечения выпуклых множеств. Произведения выпуклых
множеств
Предложение 5. Пересечение любого семейства выпуклых под-
подмножеств аффинного пространства Е выпукло.
Непосредственно следует нз определения 1.

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 67
Предложение 6. Пусть (?,)[fj — семейство аффинных про-
странств и Ао для каждого i?/,—непустое подмножество про-
пространства Et. Для того чтобы подмножество А = JJ Л, простран-
¦ 6-f
ства Е = JIЕ1 было выпуклым, необходимо и достаточно, чтобы Л„
для. каждого i?/, было выпукло в Et.
Действительно, каждый из проекторов рг, является аффинным
линейным отображением, и так как Л1 = рг[Л и А = Г]рг1(А1), то
утверждение вытекает из предложений 2 и 5.
Следствие. В пространстве R" каждый параллелепипед (Общ.
топ., гл. VI, § 1, п° 3) есть выпуклое множество.
Действительно, каждый параллелепипед есть образ кирпича при
аффинном линейном отображении, а последний—выпуклый в R"
в силу предложения 6.
Предложение 7. Пусть Е — векторное пространство и А, В —
его выпуклые подмножества. Каковы бы ни были вещественные
числа а и 3, множество а.А-\-$В (образованное точками 'ах-{-фу,
где х пробегает А, а у пробегает В) выпукло.
Действительно, аА-{-фВ есть образ выпуклого множества Ау^В
при линейном отображении (х, у) -*¦ ах -f- $у пространства Е У. Е в Е.
3. Выпуклая оболочка множества
Определение 2. Выпуклой оболочкой любого подмножества А
аффинного пространства Е называют пересечение всех выпуклых
множеств, содержащих А, т е. (предложение 5) наименьшее вы-
выпуклое множество, содержащее А.
Предложение 8. Пусть (A\fJ—семейство выпуклых подмно-
подмножеств аффинного пространства Е. Выпуклая оболочка множества
\\А1совпадает с множеством всех линейных комбинаций "%\х„
Тех '€'
где х^Ак, Х,^.О для всех i?/ (причем \фО лишь для конеч-
конечного числа индексов i) и 2 л = 1.
Действительно, множество С этих линейных комбинаций,, оче-
очевидно, содержится в каждом выпуклом множестве, содержащем все Л,

68 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 1
(предложение 1), и, с другой стороны, все A,czC; таким образом,
остается доказать, что С выпукло. Пусть х = ^i\xl, .y = 2[M;i —
t t
две точки из С и 0<а< 1. Для каждого i?/ положим Y, = a\-r-
-)-A—a)jt, и пусть J — (конечное) множество тех индексов i, для
которых Yt Ф 0. Тогда ах-\-(\—а.)у можно записать в виде 2 ТЛ»
-1 '6^
где zl = fl [aklxl-\-(l—oOft.yJ принадлежит Л, для каждого i?7.
И так как 2т1 = а2\ + A —aj^ft-l, то точка ах-{-{1 — а)у
принадлежит С.
Следствие. Выпуклая оболочка множества AczE совпадает
с множеством всех линейных комбинаций 2 \xlt где (х,) — любые
конечные семейства точек из А, \ ]> 0 для. каждого t и j?j\— 1.
Размерность аффинного линейного многообразия, порожденного
выпуклым множеством А, если она конечна, называется также
размерностью множества А. Аффинный ранг множества ВсЕ (если
он определен) равен размерности выпуклой оболочки этого мно-
множества В.
4. Выпуклые конусы
Определение 3. Подмножество С аффинного пространства Е
над R называют конусом с вершиной х0, если С устойчиво отно-
относительно всех гомотетий с центром х0 и положительным коэф-
коэффициентом.
В этом и следующем пунктах мы предполагаем, что вершина
рассматриваемого конуса выбрана за начало в Е; другими словами,
мы предполагаем, что Е есть векторное пространство, и, говоря
о конусе, имеем в виду конус с вершиной 0.
Конус С с вершиной 0 мы будем называть заостренным, если
0?С, и затупленным — в противном случае. Заостренный конус
либо сводится к точке 0, либо есть объединение некоторого мно-
жества^замкнутых полупрямых с началом 0. Затупленный конус есть
объединение (возможно, пустого) множества открытых полупрямых
с началом 0. Если С — затупленный конус, то C|_l{0} — заостренный
конус. Если С — заостренный конус, то СПС{0}—затупленный
конус.

4 ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 69
Если С — затупленный выпуклый конус, то С|_1{0} — заострен-
заостренный выпуклый конус. Напротив, если С—заостренный выпуклый
конус, то конус СПС{0}—не обязательно выпуклый. Будем назы-
называть заостренный выпуклый конус, не содержащий никакой прямой,
проходящей через 0, выступающим. Тогда:
Предложение 9. Для того чтобы заостренный выпуклый конус С
был выступающим, необходимо и достаточно, чтобы затуп-
затупленный конус С = СПС{0} был выпуклым.
Если С содержит прямую, проходящую через 0, то, очевидно,
С—не выпуклый. Пусть теперь С — выступающий, ахи у — две
точки из С. Замкнутый отрезок с концами х, у содержится в С;
если бы он содержал 0, то мы имели бы Xjc —f— (I—Х)_у=О для
некоторого X, заключенного между 0 и 1, и, следовательно, х=ру
с [л < 0, так что С содержал бы прямую, проходящую через 0 их,
в противоречие с предположением.
Предложение 10. Для того чтобы множество СсЕ было
выпуклым конусом, необходимо и достаточно, чтобы С-\-СсС
и ХС с С для каждого X > 0.
Действительно, условие ХС с С для каждого X > 0 характери-
характеристично для конусов. Если при этом С выпукло, то С -\-С = -^С-\-
-f- -^ С = С. Обратно, если конус С таков, что С-{-СсС, и 0 <Х< 1,
то ХС—|— A — У~)С = С-{-СсС и, значит, С—выпуклый.
Следствие 1. Если С—непустой выпуклый конус, то поро-
порожденное им подпространство есть множество С — С (т. е. мно-
множество всех х—у, где х и у пробегают С).
Действительно, пусть V = С — С. V не пусто, XV —V для каж-
каждого 1ф0 и V + V = C + C — {C + C)czC — C = V, так что
V — векторное подпространство. И, очевидно, каждое векторное
подпространство, содержащее С, содержит V.
Следствие 2. Если С—заостренный выпуклый конус, то
Cf1(—С) есть наибольшее векторное подпространство, содер-
содержащееся в С.

70 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 1
Действительно, пусть W = C0{— С). W не пусто, IW — W для
каждого ХфО и W+ W с (С + С) П (— {С^-С)) с: СП (— С) = W,
так что W — векторное подпространство. И, очевидно, каждое
векторное подпространство, содержащееся в С, содержится в W.
Ясно, что при однородном линейном отображении / аффинного
пространства Е в векторное пространство F образ f (С) каждого
выпуклого конуса С из Ё есть выпуклый конус в F. Каждое пере-
пересечение выпуклых конусов в ? (с вершиной 0) является выпуклым
конусом. Следовательно, для каждого множества A cr Е пересечение
всех выпуклых конусов, содержащих А (одним из которых является
само Е), есть наименьший выпуклый конус, содержащий А; его
называют выпуклым конусом, порожденным множеством А.
Предложение 11. Пусть (CI),J — семейство выпуклых кону-
конусов в Е. Выпуклый конус, порожденный объединением всех Со
совпадает с множеством всех сумм ^х:, где J—любые не-
'€</¦
пустые конечные множества индексов из I, a xt?C, для каждого
Действительно, множество С этих сумм есть, очевидно, выпуклый
конус, содержащий объединение всех С( и содержащийся в каждом
выпуклом конусе, содержащем это объединение.
Следствие. Выпуклый конус, порожденный множеством А с Е,
совпадает с множеством всех линейных комбинаций
где (xi)i(.j—г любые непустые конечные множества точек из А и
Xj > 0 для каждого i ? J.
Достаточно заметить, что если выпуклый конус содержит точку
х?А, то он содержит множество Сх всех точек \х, где X пробе-
пробегает положительные числа, и что Сх есть выпуклый конус.
Предложение 12. Выпуклый конус, порожденный выпуклым
множеством Ас Е, совпадает с С — JJХЛ.
о
Множество С, очевидно, — конус, так что достаточно показать,
что оно выпукло. Пусть Хх и [х_у — две точки из С (X > 0, jx > 0,
х?А, у?А), и пусть а>0, Э > 0 таковы, что а —(— р = 1. Имеем

е выпуклые множества 71
аКх-\-фру = (аХ-\-Р(а)z, где z?A и aX+^[j.>0. Следовательно,
Замечания. 1) Если, в условиях предложения 12, 0(? А, то
С — затупленный конус и, значит, С|_|{0} — выступающий.
2) Пусть А — любое выпуклое множество из Е. Рассмотрим
в /J = ?'XR выпуклое множество А1:=Ау^{\} и порожденный им
выпуклый конус С с вершиной 0. Предложение 12 показывает, что
Ах есть пересечение С с гиперплоскостью Е X {1} в Р. Таким обра-
образом, каждое выпуклое множество в Е можно рассматривать как
проекцию на Е пересечения выпуклого конуса в Р с вершиной 0
и гиперплоскости Е X {1}.
б. Упорядоченные векторные пространства
Пусть Е — векторное пространство над R. Мы говорим, что
структура порядка в Е согласуется со структурой векторного про-
пространства, если она удовлетворяет следующим двум аксиомам:
(EOi) x^_y влечет х -j-z <^у-j-z для любого
(ЕОц) х^.0 влечет Хх^.0 для любого скаляра
Множество Е, наделенное этими двумя структурами, называется
упорядоченным векторным пространством.
Отметим, что аксиома (EOi) означает согласованность структуры
порядка со структурой аддитивной группы в Е, иными словами,
что Е, наделенное двумя этими структурами, есть упорядоченная
группа (Алг., гл. VI, § 1).
В частности, из теории упорядоченных групп вытекает, что отно-
отношения х^_у и х-\- г<!у + г равносильны. Точно так же из (ЕОц)
следует равносильность отношений х^у и Xx^ly для любого ска-
скаляра X > 0: действительно, отношение Хх ¦< >.у равносильно отноше-
отношению \(у — х)^0, значит, влечет Х-1Х (у — х) !>0, что равносильно
отношению х^.у. Если X <^ 0, то отношение х*Су равносильно отно-
отношению — Хх < — \у и, значит, отношению \у ¦< 1х. Можно сказать,
что аксиомы (EOj) и (ЕОП) выражают инвариантность структуры
порядка в Е относительно всех переносов и всех гомотетий с коэф-
коэффициентом
Пример. В векторном пространстве Е = R4 всех вещественных
функций, определенных на множестве А, отношение порядка
*x(t) ^ у (t) для всех t? А" согласуется со структурой векторного
пространства.

72 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 1
Предложение 13. Множество Р всех элементов ^>0 упо-
упорядоченного векторного пространства Е есть выступающий за-
заостренный выпуклый конус. Обратно, пусть Р — выступающий
заостренный выпуклый конус в векторном пространстве Е\
тогда отношение у—х?Р в Е есть отношение порядка. Введем
для него обозначение х^.у. Определяемая этим отношением
структура порядка будет единственной согласующейся со струк-
структурой векторного пространства в Е и такой, множество поло-
положительных элементов которой совпадает с Р.
Если Е — упорядоченное векторное пространство, то аксиомы
(EOi) и (ЕОц) влекут Р-\-Р<=.Р и \Р <=. Р для каждого Х>0;
при этом, если х?Р и —х?Р, то х^.0 и х^О, значит х = 0,
так что Р есть выступающий заостренный выпуклый конус.
Обратно, если Р — выступающий заостренный выпуклый конус,
то из соотношений Р-\-РсР и Р(](—Р) = {0} следует, что отно-
отношение у — х?Р в Е есть отношение порядка, согласующееся
со структурой аддитивной группы в Е (Алг., гл. VI, § 1, предложе-
предложение 3); если записывать его в виде у^-х, то Р — это множество
всех элементов ^> 0, а соотношение ХР с Р для У. > О означает, что
выполнена и аксиома (ЕОц).
Пример. "Пусть Н— гильбертово пространство и _2* (Н) — век-
векторное пространство всех непрерывных операторов в Н. Положитель-
Положительные эрмитовы операторы образуют в Jg (H) выступающий заостреи-
иый выпуклый конус. Таким образом, этот конус определяет в J2?(H)
структуру порядка, согласующуюся со структурой векторного про-
пространства, причем А ¦< В означает, что В — А есть положительный
эрмитов оператор.о
Пусть Р—любой заостренный выпуклый конус в векторном про-
пространстве Е над R. Тогда Р Г) (— Р) образует в Е векторное под-
подпространство Н (следствие 2 предложения 10). Образ Р' конуса Р при
каноническом отображении Е на Е/Н есть выпуклый конус, и его
прообразом в Е служит Р. Следовательно, Р' Г) (—Я')={0} и F
определяет в Е/Н структуру порядка, согласующуюся со структурой
векторного пространства.
Линейную форму / на упорядоченном векторном пространстве Е
называют положительной, если /(х)^-О для каждого х^.0 из Е.
То же самое можно выразить, сказав, что выпуклый конус Р эле-

в ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 75
ментов >0 из ? содержится в множестве тех х, для которых
f(x)^>0. Ясно, что положительные линейные формы образуют в про-
пространстве Е* всех линейных форм на Е выпуклый конус.
6. Выпуклые множества в топологических векторных про-
пространствах
Предложение 14. Замыкание выпуклого множества (соотв.
выпуклого конуса) в топологическом векторном пространстве Е
над R есть выпуклое множество (соотв. выпуклый конус с той же
вершиной).
Действительно, пусть А — выпуклое множество; функция
{х, у)-+У.х-\-A—Х)у для каждого >., заключенного между 0 и 1Г
непрерывна на Е X Е и отображает АХ, А в А; следовательно
(Общ. топ., гл. I, § 4, предложение 1), она отображает Л X ^ в А,
чем выпуклость множества А и доказана. Так же доказывается, что
если С — выпуклый конус с вершиной 0, то C-f СсС и ХСс^С
для каждого У. > 0.
Определение 4. Пусть А — произвольное множество в то-
топологическом векторном. пространстве Е. Замкнутой выпук-
выпуклой оболочкой множества А называют пересечение всех замкну-
замкнутых выпуклых множеств, содержащих А, т. е. наименьшее-
замкнутое выпуклое множество, содержащее А.
Вследствие предложения 14 замкнутая выпуклая оболочка мно-
множества А есть замыкание его выпуклой оболочки. Очевидно, она
совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества А.
Предложение 15. Пусть А — выпуклое множество в топо-
топологическом векторном пространстве Е, имеющее по крайней мере
одну внутреннюю точку х0. Если х?А, то каждая точксь
открытого отрезка с концами х0 и х есть внутренняя точка
множества А.
Действительно, пусть у — точка этого отрезка и /—гомотетия-
с центром у и коэффициентом >. < 0, переводящая х0 в х. Если
V — открытая окрестность точки х0, содержащаяся в А, то /(V>
есть окрестность точки х и, следовательно, содержит точку f(z)?A^
Имеем

74 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 1
откуда у— f{z) = •—:z\iz — fB))> так чт0 У есть образ z при
гомотетии g с центром f(z) и коэффициентом [а = , г; так как
О < [J. < 1, то g преобразует V в окрестность точки у, содержа-
лцуюся в Л, и предложение доказано.
о
Следствие 1. Внутренность А выпуклого множества А вы-
.пукла. Если А не пусто, то оно совпадает с внутренностью
множества А, а А есть выпуклое множество, совпадающее с за-
мыканием множества А.
Действительно, из предложения 15 следует, что если А не пусто,
то оно выпукло и каждая точка из А принадлежит его замыканию.
Покажем, что, с другой стороны, каждая точка х, внутренняя к А,
о
¦принадлежит А. Можно предполагать, что х=0. Пусть V — сим-
симметричная окрестность нуля, содержащаяся в Л, и y?A(]V. Имеем
— о
—у?А, и если у Ф О, то предложение 15 показывает, что 0?Л;
яри у = 0 такое заключение очевидно.
о
Следствие 2. Внутренность С выпуклого конуса есть вы-
о
луклый конус. Если множество С не пусто, то оно совпадает
¦с внутренностью множества С, а С есть заостренный выпуклый
монус, совпадающий с замыканием множества С.
Так как гомотетии с коэффициентами > 0 и центром 0 пре-
о в
-образуют С в себя, то они преобразуют С в себя, так что С —конус;
•остальные утверждения вытекают из следствия 1 и очевидного заме-
замечания, что С содержит вершину конуса С, если последний не пуст.
Пусть Н — замкнутая гиперплоскость в топологическом вектор-
векторном пространстве Е над R; она имеет уравнение вида f(x) = a., где
/—ненулевая непрерывная линейная форма на Е (гл. I, § 2, тео-
теорема 1). Поэтому полупространства, определенные соответственно
неравенствами /(х)^а и /(х)^-а, являются замкнутыми выпук-
выпуклыми множествами, а их дополнения, определенные соответственно
•неравенствами f(x) > а и /(*)< а. — открытые выпуклые мно-
множества. Мы будем называть эти полупространства замкнутыми (соотв.
открытыми) полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Н.

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 75
Предложение 16. Пусть Е— топологическое векторное про-
пространство и А — множество в нем, содержащее по крайней
мере одну внутреннюю точку и такое, что все его точки лежат
мо одну сторону от гиперплоскости Н. Тогда Н замкнута, вну-
внутренние точки множества А лежат строго по одну сторону
¦от Н и точки прикосновения множества А лежат по одну сто-
сторону от Н.
Действительно, предположим, что Н проходит через начало и
имеет уравнение /(х) = 0, и пусть, например, f(x)^-0 для всех
точек х?А. Полупространство, образованное точками у, для которых
/СУ) > — Ь содержит по крайней мере одну внутреннюю точку, и
-путем переноса убеждаемся в том, что то же верно для полупро-
полупространства, образованного точками у с f(y) > 0. Это доказывает, что
Н замкнуто (гл. I, § 2, следствие предложения 1). Как мы знаем,
тогда / есть гомоморфизм Е на R (гл. I, § 2, следствие 1 тео-
о
ремы 1) и, следовательно, f(A) — открытое множество в R; оно
не может содержать 0, так как иначе содержало бы и отрицатель-
отрицательные числа, в противоречие с предположением; следовательно, оно
содержится в открытом интервале ]0, -f- oo[. С другой стороны,
полупространство тех у, для которых f(y)^>0, замкнуто и содер-
содержит А, а следовательно, и А.
Упражнения. 1) Подмножество А векторного пространства Е
над R называется звездным (относительно точки 0), если 0 ? А и
вместе с точкой х ? А множеству А принадлежат также точки 1х
для всех X, заключенных между 0 и 1. Пусть А — звездное множество,
для каждой точки х которого существует [л. > 1 такое, что \>.х ? А.
Показать, что если А вместе с каждой парой своих точек х, у
содержит и точку -^ (х + у), то оно выпукло. Дать пример невыпу-
невыпуклого звездного множества А, для которого -^ (А -\- А) с А.
2) Пусть в аффинном пространстве даны выпуклое множество А
и любое содержащее его множество В. Показать, что среди выпуклых
множеств, содержащих А и содержащихся в В, имеется по крайней
мере одно максимальное; дать пример, где имеются различные макси-
максимальные выпуклые множества, содержащие А и содержащиеся в В.
3) Пусть А и В — два непересекающихся выпуклых множества
в. аффинном пространстве Е. Показать, что в Е существуют непере-
непересекающиеся выпуклые множества С, D такие, что Ad С, В с D и
С|_|О = ?'. [Применить теорему Цорна к множеству всех пар М, N
непересекающих выпуклых множеств таких, что АсМ, BcN.}

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 1
4) Пусть Е — векторное пространство над R, обладающее счетным
базисом (?„), и С — множество всех точек х — 2 ?»?» таких, что
п
5» > 0 для наибольшего индекса п, при котором ?„ ф 0. Показать
что С есть заостренный выпуклый конус, причем Cf|(—С) = {0} и
С[}(—С) — Е. Вывести отсюда, что С есть множество всех эле-
элементов >- 0 для структуры порядка в Е, согласующейся со структурой
векторного пространства и превращающей Е в совершенно упорядо-
упорядоченное множество. Показать, что на этом упорядоченном векторном
пространстве не существует положительной линейной формы, неравной
тождественно нулю.
5) Пусть Е — аффинное пространство и/—взаимно однозначное
отображение его на себя. Показать, что если / переводит каждое
выпуклое множество в выпуклое множество, то / есть аффинное
линейное отображение. [Воспользоваться тем, что замкнутый отрезок
есть пересечение выпуклых множеств, содержащих оба его конца;
см. Алг., гл. II, 2-е изд., Приложение II, упражнение 7.]
6) Дать пример пары выпуклых множеств А с R, ficRs, для
которой образ выпуклого множества А X В при билинейном отображе-
отображении (к, х)-*\х пространства R X R2 в R2 не был бы выпуклым.
7) Пусть Aj, (l<!/^/>) — конечное число выпуклых множеств
в векторном пространстве Е над R, Wi — векторное подпространство,
полученное путем переноса аффинного линейного многообразия, поро-
порожденного множеством А; A<!/<!р), и W — подпространство ^ Wj.
i=l
Показать, что аффинное линейное многообразие, порожденное выпук-
v
лым множеством 2 ^И» (гДе числа Х$ отличны от нуля), получается
переносом из W.
*8) Пусть А — любое множество в R".
а) Показать, что выпуклая оболочка множества А совпадает
п
с множеством всех точек ^ hxi> гДе *i€A *-i>.0 @</<n)
п
и 2^»=1- [Установить сначала следующую лемму: если р-\-\
i-o
точек Xi @ ¦</</>) образуют аффинно зависимую систему (т. е. суще-
v р
ствует соотношение 2 $ixi = 0> гДе Р» не все равны нулю и 2 Pi = 0)
i=o i=o
Р р
и х = 2 *гхь где все я^^О и \J с^= 1, то существуют индекс ккр
i=o i=o
чисел Y» (' Ф k) такие, что все Y» > °> 2 Т»= ^ и •* = 2 f*"*»' для
i фк %фк
этого сравнить числа ?-, имеющие смысл.]

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА 77
б) Пусть а — точка выпуклой оболочки множества А, не принад-
принадлежащая выпуклой оболочке никакого подмножества из А, содержа-
содержащего ие более п элементов. Показать, что тогда А обладает по мень-
меньшей мере л +1 связными компонентами. [Можно считать а = 0.
Пусть (#i)o<i <n — аффинно независимое семейство п -\-1 точек из А,
выпуклая оболочка которого содержит 0 (см. а)), и пусть Q, для
каждого индекса /, — заостренный выпуклый конус с вершиной 0,
порожденный точками bj с индексами j ФI. Показать, что А не пере-
пересекается с границей ни одного из конусов —Q.]
в) Показать, что если А — заостренный конус с вершиной 0, то
я
«го выпуклая оболочка совпадает с множеством всех точек 2 ^~ixi>
где х^А и Хг>0
9) а) Показать, что в пространстве R" каждое л-мерное выпуклое
множество А обладает по крайней мере одной внутренней точкой. [Рас-
[Рассмотреть аффинно независимую систему п -f- 1 точек из А.]
б) Пусть Е = L1 (N) —• пространство абсолютно сходящихся рядов
х = (?„) вещественных чисел (гл. I, § 1, п° 2). Показать, что множество Р
тех х, для которых все 5»1>0, есть выступающий выпуклый конус,
порождающий Е, но не содержащий ни одной внутренней точки.
10) Показать, что в пространстве R" каждое непустое открытое
выпуклое множество гомеоморфно R". [Использовать упражнение 12
из Общ. топ., гл. VI, § 2 G).]
11) Пусть Е — топологическое векторное пространство над R и
А — замкнутое выпуклое множество в Е- Пусть V (х), для каждого
¦х?А, —объединение всех прямых, проходящих через х и содержа-
содержащихся в А. Показать, что V (х) есть замкнутое линейное многообразие
и что V{x) и V (у) для любых двух точек х и у из А получаются
друг из друга путем переноса. Вывести отсюда, что если W — замкнутое
векторное подпространство, получающееся путем переноса любого
-1
V(x), и <р — канонический гомоморфизм Е на E/W, то А = <р (В),
где В — замкнутое выпуклое множество в E/W, не содержащее никакой
прямой.
12) Пусть А — неограниченное замкнутое выпуклое множество в Rn
Показать, что для любой точки х g А существует по крайней мере
одна замкнутая полупрямая с началом х, содержащаяся в А. Мно-
Множество С (х) всех содержащихся в А замкнутых полупрямых с нача-
началом х есть замкнутый выпуклый конус в R". Конусы С (х) и С (у) для
любых двух точек х и у из А получаются друг из друга путем переноса.
13) Пусть С — выступающий замкнутый выпуклый конус в R"
с вершиной 0. Показать, что дополнение множества Cf|Sn_i по отно-
отношению к сфере Sn_i гомеоморфно R". [Произвести стереографиче-
стереографическую проекцию из точки множества Cf|Sn_i и воспользоваться упраж-
упражнением 12 из Общ. топ., гл. VI, § 2G).]

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 1
Показать, что если С обладает внутренней точкой, то C()Sn-i
гомеоморфно замкнутому шару Вп-\. [Тем же методом.]
14) Пусть А—неограниченное замкнутое выпуклое множество в R7*,.
не содержащее никакой прямой и обладающее по крайней мере одной
внутренней точкой. Показать, что граница А гомеоморфна R"- [Вос-
[Воспользоваться упражнениями 12 и 13.]
15) Показать, что для замкнутости выпуклого множества в про-
пространстве R" необходимо и достаточно, чтобы было замкнуто его-
пересечение со всякой прямой [см. § 5, упражнение 12].
*16) а) Пусть At (l^i^Cr) /->л-(-1 выпуклых множеств в про-
пространстве R", каждые г — 1 из которых имеют непустое пересечение.
Показать, что тогда все г множеств At имеют непустое пересечение^
[Пусть Xi — точка, принадлежащая пересечению всех множеств Aj
с индексами /ф1; существуют г чисел )н, из которых хоть одно отлично
г г
от нуля, таких, что 2^;=" н "X ^ixi = 0; сгруппировать в этом ра-
г-1 i=l
венстве члены с коэффициентами Xj^-О и члены с коэффициентами.
б) Пусть C — множество компактных выпуклых множеств в Rre.
Для того чтобы оно имело непустое пересечение, достаточно,,
чтобы пересечение любых л -j- 1 его множеств было не пусто.
17) Показать, что в топологическом векторном пространстве иад R
выпуклая оболочка открытого множества есть открытое множество.
18) Пусть М — всюду плотное выпуклое множество в топологи-
топологическом векторном пространстве Е над R. Показать, что Н{\ М для любой
замкнутой гиперплоскости Н из Е плотно в Н. [Для каждой точки Xq^.H'
и каждой уравновешенной окрестности нуля V в Е рассмотреть пере-
пересечение множества xo-\-V с открытыми полупространствами, опреде-
определяемыми гиперплоскостью Н, и установить, что хо-\- V-\- V содержит
точку множества И(]М.]
19) Пусть Е — бесконечномерное топологическое векторное про-
пространство, содержащее тотальное счетное множество (например, нор-
нормированное пространство Ll (N) абсолютно сходящихся рядов). Пока-
Показать, что в Е существуют два непересекающихся всюду плотных
выпуклых множества А, В таких, что А\]В = Е. [Заметив, что Е со-
содержит всюду плотное свободное семейство (еп), воспользоваться
упражнениями 3 и 4.] Показать, что каждое из множеств А, В поро-
порождает (алгебраически) Е.
20) Показать, что в топологическом векторном пространстве граница
каждого выпуклого множества, содержащего внутреннюю точку, нигде
не плотна. [Воспользоваться предложением 15.]
21) Пусть А — замкнутое выпуклое множество в отделимом топо-
топологическом векторном пространстве Е, обладающее внутренней точкой,
и Н-—проходящая через нее замкнутая гиперплоскость. Показать, что
пересечение гиперплоскости Н с границей F множества А нигде не

ВЫПУКЛЫЕ.МНОЖЕСТВА 79>
плотно в Р. [Доказательство того, что в каждой окрестности точки
множества ЯП Р содержится точка из F, не принадлежащая Н, свеет»
к случаю двумерного Е-]
*22) Пусть А — связное замкнутое множество в отделимом топо-
топологическом векторном пространстве Е, обладающее следующим свой*
ством: каждое х?А имеет замкнутую окрестность V такую, что Vfl-^
выпукло. Показать, что А выпукло. Для этого установить последова-
последовательно следующие свойства:
а) Показать, что любые две точки из А могут быть соединены
ломаной, содержащейся в А. [Использовать то, что множество точек
из А, соединимых с точкой а € А ломаной, содержащейся в А, открыто»
и замкнуто в А.]
б) Показать, что если две точки из А соединимы л-звеиной лома-
ломаной, содержащейся в А (л>1), то они соединимы также (л — 1)-звен-
ной ломаной, содержащейся в А. [Индукцией по п свести к случаю
п = 2, что позволит считать Е — R'; пусть тогда Т — треугольник
с вершинами а, Ь, с, стороны которого ас и be, включая концы, со-
содержатся в Л, а аЪ — нет; рассмотреть точку прикосновения пере-
пересечения множества СА с внутренностью треугольника Т, наиболее уда-
удаленную от прямой, проходящей через а и Ь, и показать, что существо-
существование такой точки противоречит предположению.]
*23) а) Пусть Е — отделимое топологическое векторное простран-
пространство, В — непустое замкнутое выпуклое множество в Е, X — непустое
компактное множество в Е. Показать, что если А — множество в Е
для которого А -\- X С В -\- X, то icB. [Для а ? А рассмотреть по-
последовательность (хп) точек из X, рекуррентно определяемую соотно-
соотношениями а-\-хп — Ьп-\- хп+1, где Ьп?В.\ Вывести отсюда, что если А
и В —два непустых замкнутых выпуклых множества в ? и X — не-
непустое компактное множество в Е, то из А-\- X— В-\- X следует
А = В.
б) Пусть Е — нормированное пространство и а — расстояние, опре-
определенное в множестве %(Е) всех непустых замкнутых подмножеств про-
пространства Е как указано в упражнении 7 из Общ. топ., гл. IX, § 2(8).
Показать, что для любых трех непустых компактных выпуклых мно-
множеств А, В, С в Е имеет место равенство а (А + С, В + С) = а (А, В)~
[Принять во внимание, что А -(- S>, и В -\- S\, где Sx — замкнутый
шар ||;е|| <J X, —замкнутые выпуклые множества, и использо-
использовать а).]
в) Вывести из а) и б), что множество Я (Е) всех непустых ком-
компактных выпуклых множеств в нормированном пространстве, снабжен-
снабженное расстоянием а, можно отождествить с конусом в нормированном,
пространстве, сложение и умножение на скаляры в котором индуци-
индуцируют в й (Е) операции (А, В)-+А-\-В и (к, Л)->ХА

SO ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 2
§ 2. Локально выпуклые пространства
/. Определение локально выпуклого пространства
Определение 1. Топологию 5Г в векторном пространстве Е
над R называют локально выпуклой, если она согласуется со струк-
структурой векторного пространства в Е и обладает фундаментальной
системой окрестностей нуля, образованной из выпуклых множеств.
Векторное пространство над R, наделенное локально выпуклой
топологией, называется вещественным локально выпуклым топо-
топологическим векторным пространством (или просто вещественным
локально выпуклым пространством, или локально выпуклым про-
пространством, если это не может породить недоразумений).
Топологические векторные пространства над R, рассматриваемые
дальше в этой книге, в своем большинстве будут локально выпуклы.
Пусть V — выпуклая окрестность нуля в локально выпуклом
пространстве Е; тогда V П (—V) — симметричная выпуклая окрест-
окрестность нуля. Таким образом, в силу аксиомы (Ош) (Общ. топ., гл. I,
$ 6, п° 7), замкнутые симметричные выпуклые окрестности нуля
образуют в Е фундаментальную систему окрестностей нуля, инва-
инвариантную относительно всех гомотетий с коэффициентами >• О
и центром 0.
Обратно, пусть Е — векторное пространство над R и © — базис
•фильтра, образованный симметричными выпуклыми поглощаю-
поглощающими множествами из Е. Так как, очевидно, каждое симметрич-
иое выпуклое множество уравновешенно, то множество 93 обра-
образов множеств из © при всевозможных гомотетиях с коэффициен-
коэффициентами > 0 и центром 0 есть базис фильтра в Е, удовлетворяющий
условиям (EVi) и (EVn) гл. I, § 1, п° 3; он удовлетворяет и усло-
условию (EVin), ибо для каждого множества V?S имеем -^V-\--~V = V.
Следовательно, базис фильтра 93 есть фундаментальная система
окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии §
в Е. Заметим, впрочем, что и множества — V, где V пробегает
©, а п — множество всех целых чисел > 0, образуют фундамен-
фундаментальную систему окрестностей нуля для §. Для отделимости топо-
топологии IT необходимо и достаточно, чтобы для каждого х Ф 0 из ?
существовали целое п и множество V ? © такие, что пх (? V. Если,

1 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 81
кроме того, ©счетно, то § — метризуемая локально выпуклая топо-
топология.
Примеры. 1) Пространство Rn локально выпукло, поскольку
открытые кубы с центром 0 выпуклы (§ 1, предложение 6).
2) Нормированное пространство локально выпукло, поскольку шары
с центром 0 образуют фундаментальную систему выпуклых окрест-
окрестностей нуля.
3) Пусть Е — произвольное векторное пространство над R и 35 —
множество всех поглощающих симметричных выпуклых множеств
из Е. В силу сказанного выше, SB есть фундаментальная система
окрестностей нуля для локально выпуклой топологии Э"ш, являющейся,
очевидно, сильнейшей из локально выпуклых топологий в Е. Эта топо-
топология отделима. Действительно, пусть х — любая ненулевая точка из Е;
Е обладает базисом (е,), содержащим х в качестве одного из своих
элементов, скажем е„; множество всех У = 2 У'е" для которых
i
I У« К Ь есть поглощающее симметричное выпуклое множество, не
содержащее х.
Если Е конечномерно, то |ГШ, очевидно, совпадает с единственной
отделимой топологией, согласующейся со структурой векторного про-
пространства в Е (гл. I, § 2, теорема 2); это показывает, что каждое
поглощающее выпуклое множество в Е содержит внутреннюю точку
(см. § 1, упражнение 9).
4) Пусть А'—-отделимое топологическое пространство, E=GR{X)—
пространство всех непрерывных числовых функций на X, наделенное
топологией компактной сходимости (гл. I, § 1, п° 1, пример 4). Про-
Пространство Е локально выпукло. Действительно, пусть Н—-компактное
множество из ? и ? — число >0; множество всех функций и ? Е, для
которых |н(х)|-<?, каково бы ни было х ? Н, очевидно, выпукло.
Ясно, что каждое векторное подпространство М локально вы-
выпуклого пространства Е локально выпукло. То же верно и для
факторпространства Е/М. Действительно, пусть ср — каноническое
отображение Е на Е/М. Для каждой выпуклой окрестности нуля U
ЯЗ Е, y(U) есть выпуклая окрестность нуля в Е/М (§ 1, предло-
предложение 2) и множества <р (?/) образуют в Е/М фундаментальную
систему окрестностей нуля.
Пополнение Е отделимого локально выпуклого пространства Е
локально выпукло. Действительно, замыкания в Е множеств, соста-
составляющих фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, обра-
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля в Е, а замыкание
выпуклого множества выпукло (§ 1, предложение 14).

82 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 2
Вещественным пространством Фреше мы называем полное
метризуемое локально выпуклое пространство. Таким образом, каж-
каждое вещественное банаховское пространство есть пространство Фреше.
2. Два метода введения локально выпуклой топологии
Пусть Е—векторное пространство над R, (El)lrl— семейство
локально выпуклых пространств и /t, для каждого i, — линейное отоб-
отображение Е в Ег Как мы знаем (гл. I, § 1, п° 9), топология §~0 в Е,
определенная как слабейшая из топологий, при которых непрерывны
все функции /,, согласуется со структурой векторного пространства
в Е; кроме того, она локально выпукла, ибо фильтр окрестностей
-1
нуля для §~0 порождается множествами вида /, (V,), где V,, для
каждого i ? /, пробегает фундаментальную систему окрестностей нуля
в ?,, которые можно предполагать здесь выпуклыми.
В частности, каждое произведение локально выпуклых пространств
локально выпукло. Точно так же верхняя грань семейства локально
выпуклых топологий в векторном пространстве Е есть локально
выпуклая топология.
Топологию, индуцируемую топологией локально выпуклого про-
пространства Е в его векторном подпространстве F, можно также рас-
рассматривать как слабейшую из топологий, прн которых непрерывно
каноническое отображение F в Е.
Пусть теперь Е—векторное пространство над R, (Fa)«?A — се-
семейство топологических векторных пространств над R и ga для
каждого а? А—линейное отображение Fa в Е. Рассмотрим множество Ф
локально выпуклых топологий в Е, при которых каждая из функ-
функций ga непрерывна. Множество Ф не пусто, поскольку содержит
слабейшую топологию в Е. Пусть &¦.— верхняя грань множества Ф.
Каждая из функций g^ остается непрерывной и при наделении Е
топологией IT. Действительно, каждая окрестность нуля для |Г со-
содержит множество вида Q Vt, где Vt — окрестность нуля для
l<i<n
некоторой топологии оГ4?Ф A^/^ге); так как каждое из мно-
-1
жеств ^(Vj) есть окрестность нуля в Fa, то это верно и для их
-1
пересечения, равного ga 11 l^i]. откуда и следует наше утвержде-

2 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 83
ние. Таким образом, топология § принадлежит Ф; иными словами,
это — сильнейшая из локально выпуклых топологий в Е, при ко-
которых непрерывны все g^.
Предложение 1. Пусть Ш — сильнейшая из локально, выпук-
выпуклых топологий в векторном пространстве Е, при которых
непрерывны линейные отображения ga топологических векторных
пространств Fa в Е. Множество 23 всех поглощающих уравно-
-1
вешенных выпуклых множеств V из Е таких, что g^ (V) есть
окрестность нуля в Fa для каждого я, является фундаменталь-
фундаментальной системой окрестностей нуля для §~.
Действительно, 23 есть базис фильтра, инвариантный относи-
относительно всех гомотетий с коэффициентами > 0 и центром 0; сле-
следовательно (п° 1), 23 является фундаментальной системой окрест-
окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии §' в Е.
По определению топологии Ш, каждая уравновешенная выпуклая
окрестность нуля для JT принадлежит 23, так что Ш мажорируется
топологией §'; с другой стороны, так как каждая из функций ga,
очевидно, непрерывна в топологии &', то §' мажорируется топо-
топологией |Г, чем доказательство и завершается. -
Следствие. Пусть h — линейное отображение пространства Е
в локально выпуклое пространство О. Для того чтобы h
было непрерывно на Е, наделенном топологией Ш, необходимо и
достаточно, чтобы hoga было непрерывно на Fa для каждого
индекса я.
Необходимость условия очевидна. Обратно, если это условие вы-
выполнено и W — произвольная уравновешенная выпуклая окрестность
-1 1-Х \
нуля в О, то ga \ h (W)J для каждого индекса а есть окрестность
-1
нуля в F^, так как h (W) — поглощающее уравновешенное выпук-
-1
лое множество, то заключаем, что h (W) есть окрестность нуля
для |Г. Следовательно, отображение h непрерывно.
Ф^ктортопология в ректорном факторпространстве Е/М локально
выпуклого пространства Е по векторному подпространству М есть
сильнейшая локально выпуклая топология, при которой непрерывно
каноническое отображение <р пространства Е на Е/М.

84 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА* ГЛ. II, § 2
Я. Топологическая прямая сумма семейства локально выпук-
выпуклых пространств
Предложение 2. Пусть Е— локально выпуклое пространство,
являющееся топологической прямой суммой (гл. I, § 1, п° 8)
конечного семейства (M{I<i<n его векторных подпространств,
и /i(l<!i<^«) — их канонические отображения в Е. Топология Ш
пространства Е есть сильнейшая локально выпуклая топология,
при которой все /^ непрерывны.
Пусть §' — эта последняя топология. Достаточно показать, что
всякая выпуклая окрестность нуля V для Ш' есть окрестность нуля
для Ш. Но V П Mt для каждого индекса I есть окрестность нуля
п
в Мг, следовательно, 2 (У П Щ) есть окрестность нуля для §. С дру-
> г = 1
1 П
той стороны, будучи выпуклым, V содержит — 2 (У П М4).
Предложением 2 оправдывается введение следующего определения.
Определение 2. Пусть (/\\е1 — семейство локально выпук-
выпуклых пространств, Е — прямая сумма векторных пространств
(/\),сГ (Алг., гл. II, § 1, п° 7) и /,, для каждого i?/, — канони-
каноническое отображение Ft в Е. Топологической прямой суммой се-
семейства (F,) называется пространство Е, наделенное сильнейшей
локально выпуклой топологией, при которой все /, непрерывны
(а эта топология называется прямой суммой топологий про-
пространств Ft).
Пусть (A)xgi — любое разбиение множества / и О^, для каждого
X, —топологическая прямая сумма семейства (F,) ,3 . Из следствия
предложения 1, примененного к тождественному отображению Е на
себя, сразу вытекает, что Е является также топологической прямой
суммой семейства
4. Индуктивные пределы локально выпуклых топологий
Пусть Е — векторное пространство над R, (?а) —семейство
его векторных подпространств и JTtt, для каждого индекса а, — топо-
топология, согласующаяся со структурой векторного пространства в Е„,.
Пусть <ра — каноническое отображение Еа в Е и § — сильнейшая

4 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 85
локально выпуклая топология в Е, при которой непрерывны линей-
линейные отображения <ptt. В силу предложения 1, симметричные выпуклые
поглощающие множества V такие, что Vfl^a Для каждого а?Л
есть окрестность нуля для §л, образуют фундаментальную систему
окрестностей нуля для §.
Если Е порождается объединением всех Еа, то фундаментальную
систему окрестностей нуля для |г можно получить также рассматривая
все семейства (У„)а^А, где V,Jt для каждого а? А, —произвольная сим-
симметричная окрестность нуля для D"*, и образуя для каждого такого
семейства выпуклую оболочку его объединения. Действительно, в силу
предположения, эта выпуклая оболочка есть поглощающее множество,
и, содержа все Va, она является окрестностью нуля для jr. С другой
стороны, ясно, что каждая симметричная выпуклая окрестность нуля V
для |г содержит выпуклую оболочку всех Vf]Ea.
Заметим, что если все Еа = Е и топологии |Га локально выпуклы,
то топология |г есть не что иное, как нижняя грань семейства C"tt)
в множестве всех локально выпуклых топологий в Е.
Для того чтобы линейное отображение h пространства Е в ло-
локально выпуклое пространство О было непрерывно в топологии оГ,
необходимо и достаточно, чтобы его сужение на Еа было непрерывно
в топологии |Гв для каждого а (следствие предложения 1).
Замечание. Пусть (Fx\^L— второе семейство векторных под-
подпространств пространства Е к §-'х, для каждого \?L, — топология в F\,
согласующаяся со структурой векторного пространства- Предположим,
что для каждого X ? L существует а g А такое, что Ft с Еа и Э^ мажо-
мажорирует топологию, индуцируемую в /"\ топологией цта. Пусть, наконец,
f а (соотв. фх) — каноническое отображение Еа (соотв. /¦>,) в Е и |г
(соотв. Ж') — сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при кото-
которой отображения <ра (соотв. <ЬХ) непрерывны. Тогда |г мажорируется
топологией Ж'. Действительно, если V — окрестность нуля для |г, то
V[\F\ = (УП?а)П^\ есть окрестность нуля для gr'x, так что V есть
окрестность нуля для fr'-
Чаще всего в приложениях топологии JTtt локально выпуклы, а се-
семейство (?„) — фильтрующееся относительно включения cz, причем
если ЕЛсЕ^, то JT-, индуцирует в ЕЛ топологию, мажорируемую
топологией &а. При этих условиях говорят, что § есть индуктивный
предел топологий §Л.
Примеры. 1) Пусть Е — векторное пространство и %— множество
всех его конечномерных векторных подпространств (фильтрующееся

86 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 2
относительно включения с). Пусть Ц"р в каждом У?§г— единственная
отделимая (локально выпуклая) топология, согласующаяся со струк-
структурой векторного пространства в У. Индуктивный предел тополо-
топологий D"p есть не что иное, как сильнейшая локально выпуклая топо-
топология 3"ш в Е (п° 1, пример 3). Действительно, какова бы ни была
симметричная выпуклая окрестность нуля V для 3"ш, V[\F есть
окрестность нуля для arF, поскольку это—-поглощающее симметричное
выпуклое множество.
2) Пусть Е — топологическая прямая сумма семейства (У,), с/
локально выпуклых пространств (п° 3, определение 2). Так как
объединение всех У, порождает Е, то мы получим фундаментальную
систему окрестностей нуля в Е, образуя для каждого семейства (V,),g j >
где V, — симметричная выпуклая окрестность нуля в У„ выпуклую обо-
оболочку объединения множеств V, в Е. Пусть Ун, для каждого На/,—
подпространство в Е, являющееся прямой суммой подпространств
У, (i ? Н), и Ц-д- ¦—прямая сумма топологий пространств y,(i?//). Из
данного только что описания окрестностей нуля в Е непосредственно
следует, что g"ff есть топология, индуцируемая в Рц топологией Э" про-
пространства Е, а |Г есть индуктивный предел топологий Wg, когда Н
пробегает фильтрующееся (относительно включения с) множество под-
подмножеств из /, объединением которых служит всё /.
Пусть Е — произвольное векторное пространство над R и (?,),?/—
базис Е над R (Алг., гл. II, § 3, п° 1); Е есть прямая сумма одно-
одномерных подпространств У, = Re,, и ясно, что Е, наделенное сильнейшей
локально выпуклой топологией Ц-цл есть топологическая прямая сумма
подпространств У,.
3) Пусть Л'—локально компактное пространство и Е—-векторное
пространство всех непрерывных числовых функций / на Е, равных нулю,
каждая, вне некоторого компактного множества (зависящего от /)¦
Пусть Eg, для каждого компактного множества КсХ,—-векторное
подпространство функций /??, равных нулю вне К, и Ж% —топология,
индуцируемая в Eg топологией 3"м равномерной сходимости на Е.
Индуктивный предел |г топологий &к мажорирует топологию |ГМ;
можно показать, что если Е обладает счетным базисом окрестностей
бесконечности, то |Г сильнее чем 3"и [Интегрир., гл. III, § 2, упражне-
упражнения 1, 2 и 3 (9)]. Линейные формы на Е, непрерывные в топологии |г,
суть не что иное, как меры на X по самому определению последних
(там же).
Замечания. 1) Пусть (Уа)ард — семейство локально выпуклых
пространств, ga, для каждого а ?71,—линейное отображение У„ в век-
векторное пространство Е над R и У—топологическая прямая сумма
пространств Уа. Определим линейное отображение g пространства У
в Е, для каждого х = 2 ¦** 6 Р положив g (х) — 2 g* (¦*<*)• Силь-
а?А а?4
нейшая локально выпуклая топология |г в Е, при которой непрерывны

5 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 87
все g4, совпадает с сильнейшей локально выпуклой топологией 3"'
в Е, при которой непрерывно g. Действительно, так как ga есть суже-
сужение g на Ра, то все ga непрерывны в топологии D"', так что она мажо-
мажорируется топологией 3"; но и обратно, g непрерывно в топологии &
(следствие предложения 1), так что она мажорируется топологией §"'.
Если Е порождается объединением подпространств ga (Fa), то g
есть отображение Р на Е; поэтому Е можно отождествить с PIN
где N — ядро отображения g, а |г — с фактортопологией топологии
пространства Р по подпространству N.
2) Читатель подметил некую „двойственность" между описанными
выше двумя методами введения локально выпуклой топологии; одним
охватываются как частные случаи индуцированная топология подпро-
подпространства, произведение топологий и верхняя грань семейства топологий,
другим — фактортопология, прямая сумма топологий и нижняя грань
семейства топологий. Некоторые аспекты этого соответствия получат
более точное выражение в гл. IV *).
3) В предыдущих примерах семейство (?„,) было фильтрующимся
относительно включения с и, кроме того, при Еа а Еа топология,
индуцируемая в Еа топологией §Гя, совпадала с |гв. Неизвестно,
не будет ли топология, индуцируемая индуктивным пределом |Г топо-
топологий |га в каждом из Еа, уже при одних этих условиях всегда
совпадать с |Г„, как это имеет место во всех рассмотренных при-
примерах. Заметим, что такое заключение всегда справедливо, если в Е
существует локально выпуклая топология 3"', индуцирующая в каждом
?а топологию 3V действительно, тогда |г по определению мажорирует
топологию |г', так что топология, которую |Г индуцирует в Еа, мажо-
мажорирует топологию ITo,; и так как по определению Э" индуцирует в Еа
топологию, мажорируемую топологией §-а, то наше утверждение
доказано; В приведенном выше примере 3 топология |ГМ в Е есть как
раз топология этого рода.
Мы укажем другой случай, где |Г индуцирует в каждом под-
подпространстве Еа его топологию |Га-
5. Строгий индуктивный предел последовательности под-
подпространств
Предложение 3. Пусть Е—векторное пространство над R
и (Еп) — возрастающая последовательность его векторных под-
подпространств, имеющая своим объединением всё Е. Пусть в каж-
каждом Еп задана локально выпуклая топология Шп, причем для
каждого п она совпадает с топологией, индуцируемой в Еп
топологией §п+1- Тогда топология, индуцируемая в каждом Еп
индуктивным пределом § топологией ffn, совпадает с сГп.
*) Это обещание осталось невыполненным.—-Прим. перев.

88 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 2
Пусть Шп — топология, индуцируемая в Еп топологией Ш. По
определению последней, Шп мажорируется топологией §п- Покажем,
что §'„ мажорирует топологию §п. Пусть Vn — выпуклая окрестность
нуля в Еп для топологии §п; мы построим возрастающую последо-
последовательность (Уя-!-р)р>1 такую, что Vn+p будет выпуклой окрест-
окрестностью нуля в Еп+р (для топологии 3~п+р) и Vn+p П Еп= Vn для
каждого /?>-1. Тогда объединение V множеств VH+p будет выпуклым
множеством таким, что V(]Eh, для каждого k, — окрестность нуля
для сГй, следовательно, V будет окрестностью нуля для §, и так
как V[\En = Vn, то тем самым предложение будет доказано.
Для построения множеств Vn+p достаточно применить индукцию
по р, опираясь на следующую лемму:
Лемма 1. Пусть F — локально выпуклое пространство, М — его
векторное подпространство и V — выпуклая окрестность нуля
в М. Тогда в F существует выпуклая окрестность нуля W
такая, что W (]M = V. При этом если М замкнуто в F, то
для каждой точки хо? QM существует выпуклая окрестность
нуля Wo в F такая, что W0(]M = V и xo(^Wo.
Действительно, по предположению, в F существует окрестность
нуля U такая, что U[\M<z.V. Выпуклая оболочка W множества U\}V
есть, очевидно, окрестность нуля в F. Покажем, что W (] M = V.
Действительно, каждая точка z?W имеет вид Хл:-)-A—У-)у, где
x?V, y?U и 0<А< 1 (§ 1, предложение 8). Если z?M и ). Ф 1,
то необходимо у?М, так что y?U []McV, и, следовательно, z?V;
то же заключение, очевидно, сохраняет силу и при Х= 1.
Если М замкнуто в F, то пространство F/M отделимо, так что
в F существует окрестность нуля UocU такая, что Uo не пересе-
пересекается с xQ-\-M; тогда выпуклая оболочка WQ множества Uo U V
удовлетворяет всем требованиям леммы.
При выполнении условий предложения 3 мы будем говорить,
что пространство Е, наделенное топологией Ш, есть строгий индук~
тивный предел локально выпуклых пространств Еп.
Замечания. 1) Если все топологии |T« отделимы, то из пред-
предложения 3 следует, что и 3" отделима, поскольку каждая точка про-
пространства Е принадлежит некоторому Еп.
2) Если каждое из подпространств Еп замкнуто в Еп+1 (в топо-
топологии ITn+i), то Е„ замкнуто в топологии 3". Действительно, индук-

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 89
цией по р сразу убеждаемся в том, что Е„ замкнуто во всех
пространствах Еп+р. Но каждая точка х?Е принадлежит некото-
некоторому Еп+р; если х(^Еп, то в Еп+р существует выпуклая окрестность
нуля Vn+p такая, что x-\-Vn+p не пересекается с Еп; так как,
с другой стороны, существует окрестность нуля V (для Ц") такая,
что Vf\En+p= Vn+p, то окрестность х-{¦ V точки л: для топологии 5"
не пересекается с Еп.
3) Пусть р—-локально выпуклое пространство, являющееся объ-
объединением возрастающей последовательности (рп) своих подпространств,
и 3"п, для каждого номера л,—топология, индуцируемая в Рп топо-
топологией |г пространства Р. Не следует думать, что §Г всегда совпадает
с индуктивным пределом топологий §~п. Так, например, если (Мп)—беско-
(Мп)—бесконечная последовательность отделимых локально выпуклых пространств,
не сводящихся к одному элементу О, Е — их произведение, Р—прямая
сумма всех Мп, рассматриваемая как часть Е и наделенная тополо-
топологией 3", индуцированной из Е, а Рп — сумма всех Ми с номерами k ^ п,
то ясно, что топология |г отлична от индуктивного предела топо-
топологий Э"«.
Упражнения. 1) Пусть Е — векторное пространство над R, А —
его симметричное выпуклое подмножество, |Г и D"'— локально выпук-
выпуклые топологии в' Е, U и W — определяемые ими равномерные струк-
структуры. Для того чтобы равномерная структура, которую U' индуцирует
в А, мажорировала структуру, которую V. индуцирует в А, необходим о
и достаточно, чтобы каждая окрестность нуля для топологии, инду-
индуцируемой в А топологией 3", была окрестностью нуля для топологии>
индуцируемой топологией $¦'.
2) Пусть Е—-векторное пространство над R, наделенное сильней-
сильнейшей локально выпуклой топологией.
а) Показать, что каждое векторное подпространство в Е замкнуто
и что если М и N—-взаимно дополнительные векторные подпростран-
подпространства в Е, то Е есть их топологическая прямая сумма.
б) Показать, что каждое линейное отображение пространства Е
в локально выпуклое пространство Р непрерывно и притом является
гомоморфизмом в Р, если Р наделено сильнейшей локально выпуклой
топологией.
3) Пусть ? — векторное пространство над R, А—выпуклое мно-
множество в Е, V—порождаемое им аффинное линейное многообразие.
Будем говорить, что хо?А есть окруженная точка множества А,
если х0 — внутренняя точка множества А относительно V при силь-
сильнейшей локально выпуклой топологии в Е.
а) Для того чтобы х0 было окруженной точкой множества А,
необходимо и достаточно, чтобы для каждой прямой D, проходящей
через х0 и принадлежащей V, D[\A содержало открытый отрезок,
содержащий х0.

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 2
б) Пусть /—аффинное линейное отображение пространства Е
в векторное пространство Р; показать, что если х0 — окруженная точка
множества А, то f(x0)—окруженная точка множества /(-Л) (см.
упражнение 26).
в) Пусть Е и Р— два векторных пространства и А (соотв. В)—
выпуклое множество в А (соотв. В). Для того чтобы (х, у) было
окруженной точкой множества А X В, необходимо и достаточно,
чтобы х было окруженной точкой множества А, а у—окруженной
точкой множества В.
г) Пусть А и В — два выпуклых множества в векторном простран-
пространстве Е. Показать, что если х — окруженная точка множества А
и у — окруженная точка множества В, то каковы бы ни были ска-
скаляры а и р, ах-\-$у есть окруженная точка множества аА -\- $В-
д) Пусть х0—окруженная точка выпуклого множества А а Е.
Показать, что х0 есть также окруженная точка порождаемого им
выпуклого конуса с вершиной 0.
е) Пусть А — выпуклое множество в топологическом векторном
пространстве Е над R, обладающее по крайней мере одной внутренней
точкой. Показать, что множество всех окруженных точек множества А
совпадает с его внутренностью (см. § 5, упражнение 12 и § 1, упраж-
упражнение 15).
ж) Показать, что выпуклое множество Р, определенное в упраж-
упражнении 96 § 1, не содержит ни олной окруженной точки.
4) Пусть Е — векторное пространство над R, обладающее счетным
базисом и наделенное сильнейшей топологией. Показать, что если
пересечение выпуклого множества А с Е со всяким конечномерным
подпространством замкнуто в Е, то А замкнуто в Е (см. § 5, упраж-
упражнение 12).
*5) Пусть Е и F — два векторных пространства над R, наделенные
оба сильнейшей локально выпуклой топологией.
а) Показать, что если каждое из этих пространств обладает
счетным базисом, то всякое билинейное отображение произведе-
произведения Е X /"'в произвольное локально выпуклое пространство G непре-
непрерывно. [Воспользоваться теоремой Дюбуа-Реймона (Функц. вещ. перем.,
гл. V, Приложение, упражнение 8A0)).]
б) Показать, что если одно из пространств Е, F обладает базисом
континуальной мощности, то на Е X F существует не непрерывная
билинейная форма.
6) Пусть (Е„) — любая бесконечная последовательность локально
выпуклых пространств и ? — их топологическая прямая сумма. Пока-
Показать, что топология пространства Е совпадает с топологией 3"о, опре-
определенной в упражнении 7 § 1 гл. 1.
7) Пусть /—несчетное множество. Показать, что в векторном
пространстве Е = R'z' сильнейшая локально выпуклая топология |г
отлична от топологии 3"о, определенной в упражнении 7 § 1 гл. I.

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 91
Для этого доказать, что множество тех х — (?,) ? Е (S, = 0, за исклю-
исключением конечного числа индексов), для которых 2^ *~^ '' открыто
'€*
в JT, но не открыто в ЗГо-
8) Пусть Е — векторное пространство над R, обладающее счетным
базисом (е„), V — уравновешенная выпуклая оболочка множества
всех еп и W—-уравновешенная выпуклая оболочка множества точек
о-п = еп-\-(п — 1) е1 (п = 1, 2, ...). Пусть gfi (соотв. д-2)— локально
выпуклая топология, для которой множества XV (соотв. XW), где \
пробегает множество всех чисел ^> 0, образуют фундаментальную
систему окрестностей нуля. Показать, что STi и § отделимы, но их
нижняя грань в множестве всех локально выпуклых топологий в Е—не
отделимая (см. § 3, упражнение 16).
*9) Пусть Е — векторное пространство над R, являющееся объеди-
объединением возрастающей последовательности (Еп) своих векторных под-
подпространств. Пусть |Гп для каждого п — локально выпуклая топология
в Еп, мажорирующая топологию, индуцируемую в Еп топологией Жп+i-
Предположим, что индуктивный предел |Г топологий §¦„ отделим. Для
того чтобы пространство Е, наделенное топологией |Г, было полным,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого п и каждого фильтра
Коши в топологии |Г, содержащегося в Еп, существовал номер р~^>п,
для которого этот фильтр сходился бы в Ер в топологии, которую
индуцирует иг. [Для фильтра Коши g в Е рассмотреть фильтр Коши ©
в Е, базис которого образуют множества М -\- V, где М пробегает g,
а V—фильтр окрестностей нуля в Е. Свести к доказательству того,
что след @ на Еп по крайней мере для одного п есть фильтр. Для
этого рассуждать от противного, предположив, что для каждого п
существуют множество Мп ? g и симметричная выпуклая окрестность
нуля Vn в Е такие, что Мп мало порядка Vn, a Mn + Vn не пере-
пересекается с Еп, причем последовательность (Vn) — убывающая. Пока-
Показать, что g не может содержать никакого множества малого порядка W,
где W— выпуклая оболочка объединения множеств -^(Vп[]Еп)', для
этого рассмотреть для каждого п выпуклую оболочку Wn мно-
множества -^ Vn и всех множеств -K-(Vfcfl?fc) с k<^n; установить суще-
существование множества ЯП?Э такого, что Pn-\-Wn не пересекается
с Еп, и вывести отсюда, что для некоторого множества Q ? g малого
порядка W должен был бы существовать индекс п, для которого
В частности, если Е — строгий индуктивный предел пространств Еп
и каждое Еп замкнуто в Еп+и т0 Для полноты Е необходимо и до-
достаточно, чтобы каждое Е„ было полно.
10) Пусть Е — строгий индуктивный предел возрастающей после-
последовательности локально выпуклых пространств Ёп (п° 5). Показать,
что топология пространства Е является сильнейшей из топологий |г
(безразлично — локально выпуклых или нет), согласующихся со

92 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
структурой векторного пространства в Е н индуцирующих в каждом Еп
топологию, мажорируемую топологией |ГИ. [Пусть Vq — окрестность
нуля для такой топологии |г и (Vn)n>o — последовательность окрест-
окрестностей нуля для |Г таких, что Kn+i-j-Vn+1 с: Vn для каждого «>0;
рассмотреть в Еп, для каждого «!>1, выпуклую окрестность нуля Wn,
содержащуюся в En[)Vn, и образовать выпуклую оболочку объедине-
объединения всех Wn.]
*11) Для каждого подмножества А аддитивной группы G и каждого
п
целого п ^> О обозначим через -\- А множество всех элементов
п
вида 2 xv r#e Xi^A (см. Алг., гл. I, § 2, п° 9). Множество А в G
г = 1
п
называется выпуклым, если для каждого целого п > 0 нз пх ? + А
следует х^А.
а) Показать, что если (аддитивно записываемая) топологическая
коммутативная группа G изоморфна подгруппе локально выпуклого
векторного пространства, то в G существует фундаментальная система
симметричных выпуклых окрестностей нуля.
б) Обратно, пусть G — отделимая аддитивная топологическая
коммутативная группа, в которой существует фундаментальная си-
система 33 симметричных выпуклых окрестностей нуля. Показать,
что G —¦ группа без кручения и может поэтому рассматриваться
(алгебраически) как подгруппа вполне определенного векторного про-
пространства Е над Q (Алг., гл. Ш, § 2, п° 3). Пусть V для каждого
V ? 33 — множество всех элементов вида гх, где х ? V, а г пробегает
множество всех рациональных чисел от 0 до 1. Показать, что V сим-
симметрично н выпукло (в определенном выше смысле). Вывести отсюда,
что если, кроме того, в G не содержится никакой открытой под-
подгруппы, отличной от самой G, то множества V образуют фундамен-
фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии, согласующейся
со структурой векторного пространства Е над Q. На этом основании
установить, что G изоморфна подгруппе- некоторого отделимого веще-
вещественного локально выпуклого пространства.
в) Пусть G — лексикографически упорядоченная аддитивная группа
RXR (Алг., гл. VI, § 1, п° 6). Отделимая топология ITo(G) в G [Общ.
топ., гл. (V, § 1, упражнение 2A1)] согласуется со структурой группы.
Показать, что эта топология обладает фундаментальной системой
симметричных выпуклых окрестностей нуля, но О не изоморфна
никакой подгруппе какого бы то нн было отделимого топологического
векторного пространства над R.
§ 3. Отделение выпуклых множеств
/. Теорема Хана — Банаха {геометрическая форма)
Теорема 1 (Хан — Банах). Пусть Е — топологическое вектор-
векторное пространство над R, А — непустое выпуклое открытое

/ ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 93
множество в Е и М — линейное многообразие, не пересекающееся
с А. Тогда существует замкнутая гиперплоскость Н, содержа-
содержащая М и не пересекающаяся с А.
Можно ограничиться тем случаем, когда М проходит через начало.
Пусть &Н. — множество всех векторных подпространств, содержа-
содержащих М и не пересекающихся с А. о/И не пусто, поскольку содер-
содержит М, и, очевидно, индуктивно; кроме того, если N?o4l, то также
N? <*#. Пусть Н—максимальный элемент в &ft (Teop. мн., Рез.,
§ 6, п° 10); очевидно, Н замкнуто. Остается показать, что
Н—гиперплоскость, или, иначе, что пространство Е/Н одно-
одномерно.
Пусть ф — каноническое отображение Е на F = E/H. В = ф(Л)
есть непустое выпуклое открытое множество в F, не содержащее
нулевой точки, и, по определению Н, в F нет ненулевого вектор-
векторного подпространства, которое бы не пересекалось с В. Таким
образом, достаточно показать, что при этих условиях F одно-
одномерно.
Предположим противное. Пусть С= М ЪВ— выпуклый конус
*>о
с вершиной 0, порожденный множеством В (§ 1, предложение 12);
С—затупленный конус, открытый в F. Мы получим противоречие,
если докажем, что в F существует элемент х ф 0 такой, что пря-
прямая, проходящая через 0 и х, не пересекается с С, для чего доста-
достаточно, чтобы х(?С и —Х^С. Пусть О—(открытое) дополнение
к 0 в F. Так как F имеет размерность ^> 2, то G связно: действи-
действительно, любые две точки у и z и'з О содержатся в двумерном векторном
подпространстве Р пространства F, и так как Р изоморфно R2, то
Pf)G связно (Общ. топ., гл. VI, § 2, предложение 5). Конус С
не пуст и не совпадает с О, ибо из C=G вытекало бы, что 0?С.
Следовательно, существует точка х, граничная для С относительно G
'и такая, что х(?С Так как x?G, то х Ф 0; если бы —х?_С, то
в силу предложения 15 § 1 мы имели бы 0?С. Таким образом,
•—хфС, чем доказательство теоремы 1 и завершено.
За м е ч а н и е. Если O?Af, то теорему 1 можно также сформу-
сформулировать следующим образом: на Е существует непрерывная ли-
линейная форма f такая, что /(х) = 0 на М и /(х)> 0 на А (см.
§ 1, предложение-4).

94 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
2. Отделение выпуклых множеств в топологических век-
векторных пространствах
Определение 1. Говорят, что замкнутая гиперплоскость Н
в топологическом векторном пространстве Е над R отделяет
непустые множества А и В, если А содержится в одном из
замкнутых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н,
а В — в другом.
Определение 2. Говорят, что замкнутая гиперплоскость Н
в топологическом векторном пространстве Е над R строго отде-
отделяет непустые множества А и В, если А содержится в одном из
открытых полупространств, определяемых гиперплоскостью Н,
а В — в д-ругом.
Предложение 1. Пусть А — непустое открытое выпуклое
множество в топологическом пространстве Е над R и В — не-
непустое выпуклое множество в Е, не пересекающееся с А. Тогда
в Е существует замкнутая гиперплоскость Н, отделяющая А и В.
Действительно, С= А — В есть непустое открытое выпуклое (§ 1,
предложение 7) множество и 0|С. Следовательно, в силу теоремы 1
на Е существует непрерывная линейная форма / такая, что f(z) > О
для всех z?C, так что /(-<;)>/(.у) для каждого х?А и каждого
у?В. Положим a = inf/(x); a конечно, /(x)^-a для каждого х?А
и /О0~<^а для .каждого у?В. Тем самым множества А я В отде-
отделяются замкнутой гиперплоскостью Н, заданной уравнением /(z) = a.
Замечания. 1) Гиперплоскость Н не пересекается с А (§ 1
предложение 16); тем самым два непустых открытых выпуклых мно-
множества, не имеющих общих точек, строго отделяются некоторой за-
замкнутой гиперплоскостью.
2) Напротив, если В — не открытое, то замкнутой гиперплоскости,
строго отделяющей множества А и В, может не существовать, даже
если Е конечномерно и множества А н< В не пересекаются (упраж-
(упражнение 5).
Определение 3. Опорной гиперплоскостью множества А в векг
торном пространстве Е над R называется гиперплоскость Н,
содержащая по крайней мере одну точку из А и такая, что все
точки из А находятся по одну сторону от Н.

2 ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 95
Пусть /—ненулевая линейная форма на Е; сказать, что гипер-
гиперплоскость, заданная уравнением f(x) = а, есть опорная гиперплоскость
множества А, все равно, что сказать, что а есть наименьший или наи-
наибольший элемент множества /(Л)<= R. Иными словами, для того чтобы
множество А обладало опорной гиперплоскостью, параллельной
гиперплоскости, заданной уравнением f(x)=0, необходимо и доста-
достаточно, чтобы верхняя или нижняя грань множества /(^4) была конеч-
конечной и принадлежала f(A).
Предложение 2. Пусть Е— топологическое векторное про-
пространство над R и А — непустое компактное множество в Е-
Для каждой замкнутой гиперплоскости И в Е существует опор-
опорная гиперплоскость множества А, параллельная Н.
Действительно, пусть f(x)=f — уравнение гиперплоскости И.
Так как /—непрерывная линейная форма на Е, то ее сужение на А
непрерывно, а потому ограниченно и принимает на А наибольшее и
наименьшее значения (Общ. топ., гл. IV, § 6, теорема 1).
Это доказательство показывает, что А обладает одной нли двумя
опорными гиперплоскостями, параллельными Н, причем первый слу-
случай имеет место лишь когда А целиком содержится в некоторой гипер-
гиперплоскости, параллельной Н.
Определение 4. Выпуклым телом в топологическом вектор-
векторном пространстве над R называется замкнутое выпуклое мно-
множество, обладающее по крайней мере одной внутренней точкой.
Предложение 3. Пусть А — выпуклое тело в топологическом
векторном пространстве Е над R. Каждая опорная гиперпло-
гиперплоскость множества А замкнута и через каждую его граничную
точку проходит по крайней мере одна опорная гиперплоскость.
То, что каждая опорная гиперплоскость множества А замкнута,
вытекает из того, что все точки из А находятся по одну сторону
от такой гиперплоскости (§ 1, предложение 16). С другой стороны,
граничная точка х0 множества А не принадлежит непустому открытому
о
выпуклому множеству А; поэтому, в силу теоремы 1, существует
о
гиперплоскость Н, проходящая через х0 и не пересекающая А. Так
о
как А есть замыкание множества А (§ 1, следствие 1 предложения 15),

96 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
то из предложения 16 § 1 следует, что Н служит опорной гипер-
гиперплоскостью для А.
Следствие. Каждое выпуклое тело А в топологическом век-
векторном пространстве Е над R есть пересечение содержащих
его замкнутых полупространств, определяемых опорными гипер-
гиперплоскостями этого тела.
Действительно, пусть х — точка, не принадлежащая телу А, и-
у — его внутренняя точка. А пересекается с замкнутым отрезком,
соединяющим х и у, по замкнутому отрезку с концами у и z ф х,
где z—граничная точка для А, так что z ф у. Пусть Н — опорная
гиперплоскость тела А, проходящая через z\ в силу предложе-
предложения 16 § 1 то из замкнутых полупространств, определяемых гипер-
гиперплоскостью Н, которое содержит А, не содержит х.
3. Отделение выпуклых множеств в локально выпуклом
пространстве
Предложение 4. Пусть Е— локально выпуклое пространство,
А — непустое замкнутое выпуклое множество в Е и К—ком-
К—компактное выпуклое множество в Е, не пересекающееся с А.
Тогда существует замкнутая гиперплоскость Н, строго отде-
отделяющая А и К.
Действительно, в Е существует открытая выпуклая окрестность
нуля V такая, что множества A-\-V и K-\-V не пересекаются (Общ.
топ., гл. II, § 4, предложение 1). Так как A-\-V и K-\-V открыты
и выпуклы в Е, то предложение 1 показывает, что существует
замкнутая гиперплоскость Н, строго отделяющая A-\-V и./f-j-V и
тем более А и К.
Замечание. Пусть А и В — непустые замкнутые выпуклые
множества без общих точек в отделимом локально выпуклом про-
пространстве Е. Если Е конечномерно, то в ? существует замкнутая
гиперплоскость, отделяющая эти множества (упражнение 8); но если Е
бесконечномерно, то такое заключение уже необязательно справедливо
(упражнение 7).
Следствие 1. В локально выпуклом пространстве каждое за-
замкнутое выпуклое множество А есть пересечение содержащих его
замкнутых полупространств.

3 ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 97
Действительно, в силу предложения 4, для каждой точки х(^А
существует замкнутая гиперплоскость, строго отделяющая х и А.
Следствие 2. В отделимом локально выпуклом простран-
пространстве каждое компактное выпуклое множество А есть пересече-
пересечение содержащих его замкнутых полупространств, определяемых
опорными гиперплоскостями к А.
Действительно, пусть х(^А; так как множество {х} замкнуто,
то существует замкнутая гиперплоскость Н, строго отделяющая х
и А (предложение 4); пусть f (х) = а.— ее уравнение (/—непрерывная
линейная форма) и /(х)>а для всех х?А. Положим -f = inif(x).
Полупространство, заданное неравенством f(x)^>^, содержит А,
определяется опорной гиперплоскостью, заданной уравнением f(x) — f.
и не содержит х.
В локально выпуклом пространстве некомпактное замкнутое выпук-
выпуклое множество, не имеющее внутренних точек, может не обладать
никакой замкнутой опорной гиперплоскостью (гл.' V, § 2, упражне-
упражнение 11; см. также гл. IV, § 5, упражнение 36).
Следствие 3. Каждое замкнутое линейное многообразие М
в локально выпуклом пространстве есть пересечение содержащих
его замкнутых гиперплоскостей.
Действительно, пусть Н для каждого х(^М — замкнутая гипер-
гиперплоскость, строго отделяющая х и М, так что М параллельно И.
Тогда гиперплоскость Hv содержащая М и параллельная Н, не
содержит х.
Следствие 4. Пусть С—-замкнутое выпуклое множество
в локально выпуклом пространстве Е. Для того чтобы мно-
множество А из Е содержалось в С, необходимо и достаточно,
чтобы для каждой непрерывной линейной формы f на Е выпол-
выполнялось условие /(Л) с /(С).
Действительно, если точка х? А не принадлежит С, то существует
замкнутая гиперплоскость с уравнением /(х) = а, строго отделяю-
отделяющая х и С, так что
Следствие 5. Пусть Е—локально выпуклое пространство,
М—-его векторное подпространство и f—-линейная форма.

98 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
определенная и непрерывная на М. Тогда существует непре-
непрерывная линейная форма /, определенная на Е и служащая продол-
продолжением для /.
Продолжив, если нужно, / по непрерывности, можно считать,
что М замкнуто; кроме того, в силу тривиальности утверждения
при /=0, можно ограничиться тем случаем, когда / Ф 0. Пусть
./V — линейное многообразие, составленное теми х?М, для которых
/(х)== 1. Так как / непрерывна на М, то N замкнуто в Е и 0(?Л/\
Пусть Н—замкнутая гиперплоскость в Е, содержащая N и не со-
содержащая 0 (следствие 3), и f(x)= 1—ее уравнение, так что / —
непрерывная линейная форма на Е. Так как уравнения/(х)= 1 и
f(x)=l на М равносильны, то / и / на М совпадают, чем дока-
доказательство и завершено.
Замечание. Для каждого непрерывного линейного отображе
ния g подпространства М в произведение R^ существует продолжаю
щее его непрерывное линейное отображение g всего пространства L
в R^. Действительно, g = (gt) ('?/), где g, — непрерывные линейны*
формы на М; если взять для каждого i ? / непрерывную линейпук
форму g-, на Е, служащую продолжением для glt то непрерывное ли
нейпое отображение g = (gL) и будет требуемым продолжением для g
Заметим, что непрерывное линейное отображение h векторной
подпространства М в произвольное локально выпуклое пространство I
уже необязательно допускает продолжение до непрерывного линей
пого отображения всего пространства Е в F (гл. IV, § 2, упражне
ние 9в, § 4, упражнение 11 и § 5, упражнение 5в).
Следствие 6. Для каждого конечномерного векторног*
подпространства М отделимого локально выпуклого простран
ства Е существует замкнутое векторное подпространство N
топологически дополнительное к М.
Действительно, для того чтобы подпространство М в Е обладал!
топологически дополнительным подпространством, необходимой доста
точно, чтобы тождественное отображение М на себя продолжалос
до непрерывного линейного отображения р пространства Е на М
которое необходимо является тогда непрерывным проектором (гл. 1
§ 1, предложение 12). Но мы видели, что в случае конечномер
ного М такое продолжение действительно существует.
Напротив, как уже указывалось, в некоторых банаховских ирс
странствах имеются замкнутые бесконечномерные подпространства, и
обладающие топологическим дополнением (гл. IV, § 5, упражнение 5

4 ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 99
Напомним, однако, что каждое замкнутое подпространство конечной
факторразмерности обладает топологическим дополнением (гл. I § 2,
предложение 3). °С другой стороны, мы увидим, что в гильбертовом
пространстве каждое замкнутое векторное подпространство обладает
топологическим дополнением (гл. V)o (см. также гл. IV, § 1, упражне-
упражнение Пд).
4. Положительные линейные формы на упорядоченном век-
векторном пространстве
Предложение 5. Пусть Р—выступающий заостренный- вы-
выпуклый конус в отделимом топологическом векторном простран-
пространстве Е над R, обладающий п? крайней мере одной внутренней
точкой. Каждая линейная форма f ф 0 на Е, положительная
относительно структуры порядка, определяемой конусом Р (§ 1,
п° 5), непрерывна. При этом f(x) > 0 для каждой внутренней
точки х конуса Р и /(х)^>0 для всех его точек прикосновения.
Это сразу вытекает из предложения 16 § 1, примененного к мно-
множеству Р и гиперплоскости, заданной уравнением /(х) = 0.
Предложение 6. Пусть Р — выступающий заостренный вы-
выпуклый конус в отделимом локально выпуклом пространстве Е>
обладающий по крайней мере одной внутренней точкой, и М—
векторное подпространство в Е, проходящее через внутреннюю
точку х0 конуса Р. Для каждой положительной линейной формы f
на М (относительно структуры порядка, определяемой кону-
конусом Р Л М) существует положительная линейная форма f на Е
(относительно структуры порядка, определяемой конусом Р),
служащая продолжением для /.
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда / Ф 0. Урав-
Уравнение f(x) = 0 определяет в М замкнутую гиперплоскость /V; в силу
предложения 5, /V не содержит ни одной внутренней точки ко-
конуса ЯПМ. значит тем более ни одной точки конуса Р, внутренней
по отношению к Е. Теорема 1 показывает, что существует замкну-
замкнутая гиперплоскость И, содержащая N и не пересекающаяся с внут-
внутренностью Р конуса Р; так как хо?М, то М не может содержаться
в Н и, значит, Mf]H^=N. Если f(x) — 0 — уравнение гиперпло-
гиперплоскости Н и /, — сужение / на М, то /, (х) = 0 есть уравнение гипер-
гиперплоскости N в М и, следовательно, существует скаляр а ф 0 такой,

100 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
что a/ = /i', умножив, если нужно, / на —, мы можем поэтому
считать, что / есть сужение / на М. Так как теперь /(хо)>0, то
/(jco)>O и, следовательно, f(x) > 0 для каждого х?Р; отсюда
вытекает, что /(i)>-0 на всем Р, чем и доказано, что / есть поло-
положительная линейная форма.
Замечание. Утверждение предложения 6 необязательно сохра-
сохраняет силу, если не предполагать, что М содержит внутреннюю точку
конуса Р, даже если Е конечномерно и Р{]М содержит внутренние
точки относительно М (упражнение 13).
Упражнения. *1) Пусть Е—-векторное пространство над У?.
Заостренный выпуклый конус С в Е (с вершиной 0) называется ма-
максимальным, если он является максимальным элементом в множестве
всех выпуклых конусов Ф Е, упорядоченном по включению. Для того
чтобы выпуклый конус С был максимальным, необходимо и достаточно,
чтобы он был полупространством нида / (д-) ;> 0, где /—ненулевая
линейная форма на Е. Для установления этого результата доказать
последовательно следующие свойства максимального конуса С:
а) С[}(—С) = Е. [Рассуждением от противного].
б) Если z — не окруженная точка из С (§ 2, упражнение 3), то
— z?C. [Тем же методом.] Вывести отсюда, что С содержит окру-
окруженные точки.
в) Наибольшее векторное подпространство //=С|~|(—С), содер-
содержащееся в С, есть гиперплоскость. [Переходом к факторпространству
F = Е/Н свести к доказательству того, что если все точки максималь-
максимального конуса в F—окруженные, то F одномерно; для этого исполь-
использовать б).]
*2) Пусть Е — векторное пространство над R, М — его векторное
подпространство, N — гиперплоскость в М, А— выпуклое множество
в Е такое, что все точки из А\]М находятся по одну сторону от N,
и обладающее, кроме того, следующим свойством: для каждого у ф 0
из Е существует х?А\]М такое, что х-{-\у?А для всех достаточно
малых | X J. Показать, что тогда в Е существует гиперплоскость Н
такая, что все точки нз А находятся по одну сторону от Я и
Wf| M = N. [Свести к случаю N = {0}; для точки а Ф 0, принадле-
принадлежащей Л|"|Л1, рассмотреть множество й всех заостренных выпук-
выпуклых конусов, содержащих Л и не содержащих — а; показать, что в й
имеется максимальный элемент С и что С есть максимальный конус
(упражнение 1).] Получить отсюда новое доказательство теоремы
Хана — Банаха.
3) Пусть А — выпуклое множество в топологическом векторном
пространстве Е над R и х0 — точка из Е. Для существования замкну-
замкнутой гиперплоскости Н, содержащей х0 и такой, что все точки из А

ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 101
находятся по одну сторону от Н, необходимо и достаточно, чтобы
существовал выпуклый затупленный конус С с вершиной х0, обладаю-
обладающий по крайней мере одной внутренней точкой и не пересекаю-
пересекающийся с А *).
4) Пусть А—замкнутое выпуклое множество в R" и х0 — точка
из R'*, не принадлежащая А. Будем через d обозначать евклидово
расстояние в R№.
а) Показать, не используя теоремы 1, что существует, и притом
только одна, точка х ? А такая, что d (дг0, х) = d (x0, А), и что гипер-
гиперплоскость, проведенная через х перп ендикулярно к прямой, соединяю-
соединяющей х0 и х, служит опорной гиперплоскостью к А.
б) Получить из а) новое доказательство теоремы 1 для того слу-
случая, когда пространство Е конечномерно. [Свести к случаю, когда М
есть граничная точка х0 множества А; принять во внимание, что
нижняя грань расстояний от х0 до опорных гиперплоскостей к А равна
нулю, и воспользоваться компактностью сферы Sn-i.]
5) Пусть С — замкнутый выпуклый конус в R3, определенный не-
неравенствами х^О, у>-0, г!>0, г <. ху. Показать, что прямая D,
заданная уравнениями х = 0, г= 1, не пересекается с С, но не суще-
существует никакой плоскости, проходящей через D, которая бы не пере-
пересекалась с С.
6) Пусть А — полное выпуклое множество в отделимом локально
выпуклом пространстве ? и В -¦- предкомпактное замкнутое выпуклое
множество такое, что А(]В = 0. Показать, что существует замкнутая
гиперплоскость, отделяющая А и В. [Перейти к пополнению Е.] Рас-
Рассмотреть тот случай, кагда А конечномерно.
__ 7) Пусть D — прямая в нормированном пространстве E—D- (N)
суммируемых последовательностей вещественных чисел -* = (?n)nfN>
.определяемая уравнениями ?п = 0 (п^.1). Показать, что существуют
две возрастающие последовательности (яп), (^„) вещественных чисел
такие, что выпуклое множество А, определенное неравенствами
|а»»5п — Эи I» замкнуто, неограниченно и не пересекает прямую D
и что не существует никакой замкнутой гиперплоскости, которая бы
отделяла А и D. [Выбрать ап и р„ так, чтобы А — D было всюду
плотно.] *
8) Показать, что всякие два замкнутых выпуклых множества А, В
без общих точек в пространстве Rre отделяются замкнутой гиперпло-
гиперплоскостью. [Пусть Кт> Для каждого целого т > 0, — пересечение мно-
множества В с замкнутым шаром с центром 0 и радиусом т и пусть
Нт — замкнутая гиперплоскость, отделяющая А и Кт\ перейти к пре-
пределу н воспользоваться компактностью сферы Sn-i-]
*) Пример выпуклого множества А Ф Е (в jбесконечномерном вектор-
векторном пространстве Е), ие содержащегося ни в каком полупространстве,
:м. в § 1, упражнение 4.

102 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 3
9) Пусть Е — локально выпуклое пространство и С — непустой
замкнутый выпуклый конус в ? с вершиной 0, отличный от Е. Пока-
Показать, что для любой гиперплоскости Н такой, что все точки конуса С
находятся от нее по одну сторону, существует параллельная ей опор-
опорная гиперплоскость к С. Вывести отсюда, что для любой точки &(кС
существует замкнутая опорная гиперплоскость к С, не содержащая а
и отделяющая а и С.
*10) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и
С—замкнутый выпуклый конус в ? с вершиной 0.
а) Пусть М — конечномерное векторное подпространство в Е
такое, что С П М — {0}. Показать, что С -f- M замкнуто в Е. [Рассуж-
[Рассуждать от гротивного: если бы Ъ fit M '-С было точкой прикосновения
для М-\-С, то для любой симметричной выпуклой окрестности нуля U
в Е пересечение b -j- М с С -\- U С С -\- 2U было бы не пусто; вос-
воспользоваться далее тем, что в подпространстве N — M-(-R& сфера
компактна.]
б) Вывести нз а), что при тех же предположениях С обладает зам-
замкнутой опорной гиперплоскостью, содержащей М. [Использовать упра-
упражнение 9.]
в) Пусть С—замкнутый выпуклый конус в R', определенный
в упражнении 5, и М — прямая, заданная уравнениями х = 0, г = 0.
Показать, что С -\- М незамкнуто в R3.
11) Пусть А—-компактное множество в R™, обладающее внутрен-
внутренними точками. Показать, что если через каждую граничную точку
множества А проходит по крайней мере одна опорная гиперплоскость,
то А выпукло. [Рассуждая от противного, показать, что если х и у —
две точки множества А такие, что соединяющий нх отрезок не содер-
содержится в Л, и z — внутренняя точка множества А, не лежащая на этом
отрезке, то треугольник с вершинами х, у, z содержит граничную
точку множества А, отличную от л: и у.]
*12) Пусть А—замкнутое множество в R'*, обладающее следую-
следующим свойством: для каждой точки х ? R" существует, и притом
только одна, точка у g А такая, что d (х, у) = d (х, А) (где d — евкли-
„ дово расстояние) (см.'упражнение 4).
а) Показать, что при х (? А гиперплоскость Н, проходящая через у
перпендикулярно к отрезку, соединяющему х и у, служит опорной
гиперплоскостью к А. [Доказать невозможность существования в А
точек, расположенных вместе с х строго по одну сторону от Н,
рассмотрев для этого проходящие через у сферы с центрами на полу-
полупрямой с началом у, проходящей через х.]
б) Вывести из а), что А — выпуклое множество. [Рассуждая от
противного, рассмотреть две точки х, у множества А и точку z(j^A
соединяющего их отрезка.]
13) Пусть Р—-замкнутый выпуклый конус в R1 с вершиной 0,
порожденный выпуклым множеством, заданным соотношениями х = \,

ОТДЕЛЕНИЕ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 103
г>(уЗ)~[=тах(— уЗ, 0)], так что PR(-P) = {0}. Пусть /И —под-
—подпространство г = 0 в R'. Показать, что на М линейная форма/ (х, у) = у
положительна относительно структуры порядка, определяемой кону-
конусом Р[\М, но нет нн одной линейной формы / на R4, положительной
относительно структуры порядка, определяемой конусом Р, которая
служила бы продолжением для /.
14) Пусть Е — топологическое векторное пространство над R и
1Г—-сильнейшая из локально выпуклых топологий в Е, мажорируемых
его топологией gr0. Непрерывные линейные отражения пространства Е
в локально выпуклое пространство F—-одни и те же в обеих тополо-
топологиях !Го и |Г. Для того чтобы на Е существовала ненулевая непре-
непрерывная линейная форма, необходимо и достаточно, чтобы для Зго
существовала окрестность нуля с не всюду плотной (в топологии |Го)
выпуклой оболочкой.
*15) Пусть ? —бесконечномерное метризуемое локально выпуклое
пространство.
а) Показать, что в Е существуют последовательность точек (ап),
стремящаяся к нулю, и убывающая последовательность замкнутых
векторных подпространств (Ln) такие, что каждое Ln имеет в Е фак-
торразмерность п и ап, для каждого п, принадлежит Ln, но не при-
принадлежит Ln+i-
б) Пусть Е, кроме того, полно. Показать, что последовательности
(ап) и (Ln), удовлетворяющие условиям, указанным в а), можно опре-
определить так, чтобы, сверх того, для каждой ограниченной последова-
последовательности вещественных чисел (Хи) ряд с общим членом Хпап был
коммутативно сходящимся в ? и линейное отображение (Xn)-»>2 Kian
п
банаховского пространства <% (N) в Е было непрерывным и взаимно
однозначным.
в) Вывести из б), что если Е—-бесконечномерное пространство
Фреше, то мощность каждого его базиса над R не меньше мощности
континуума (см. гл. I, § 1, упражнение 9). Если в Е существует счет-
счетное всюду плотное множество, то каждый базис в Е имеет мощность
континуума.
16) Пусть Е—бесконечномерное пространство Фреше, в котором
существует счетное всюду плотное множество (см. гл. I, § 2, упра-
упражнение 86).
а) Показать, что в Е существует последовательность (ап) линейно
независимых элементов такая,- что каждая из последовательностей (ain)
и (а2и+1) тотальна в Е. [Использовать упражнение 15в.]
б) Пусть F—векторное подпространство в Е, порожденное эле-
элементами а2ге+1 (ngN), и Мп для каждого л>0—подпространство,
порожденное элементами а^ с индексами k^n. Пусть, далее, <рп для
каждого п — сужение на Р канонического отображения Е на Е/Мп и
|Г» — прообраз топологии пространства Е[Мп относительно отображе-
отображения <рп. Показать, что каждое §¦„ является отделимой локально

104 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 4
выпуклой топологией в F, но их нижней гранью в множестве
всех локально выпуклых топологий в F служит слабейшая топология.
17) Пусть Ai (I <J t <^ n) n непустых выпуклых открытых множеств
в топологическом векторном пространстве Е над R, имеющих пустое
пересечение. Показать, что в Е существует замкнутое линейное много-
многообразие V факторразмерностн п — 1, не пересекающее ни одного
из этих множеств. [Провести доказательство индукцией по п.]
§ 4. Компактные множества
в топологических векторных пространствах
/. Выпуклые оболочки компактных множеств
Предложение 1. Выпуклая оболочка объединения конечного
числа компактных выпуклых множеств Ai A-^.i^n) в отдели-
отделимом топологическом векторном пространстве Е над R компактна.
Действительно, пусть В — компактное множество в R", опреде-
п
ленное соотношениями Xj^O A<^'<^/г)> _2] Xf = 1. Рассмотрим
г I
п
непрерывное отображение множества В X JI A^R" X Еп в Е>
г — 1
определяемое формулой
п
(X], • • •, 1'П, xlt . . ., лгп) —> ^j XjJCj.
п
Выпуклая оболочка С объединения \J A^ есть образ множества
п п
В X U Ai при этом отображении, и так как В X JT^t компактно,
i- I i 1
то компактно и С.
Предложение 2. Уравновешенная выпуклая оболочка пред-
компактного множества в отделимом локально выпуклом про-
пространстве Е предкомпактна.
Действительно, пусть А — предкомпактное множество в Е. Его
уравновешенная выпуклая оболочка есть выпуклая оболочка его
уравновешенной оболочки (гл. I, § 1, п° 3), а мы знаем, что эта
последняя предкомпактна (гл. I, § 1, п° 5). Таким образом, остается
доказать, что выпуклая оболочка предкомпактного множества А пред-
предкомпактна. Для каждой выпуклой окрестности нуля V в Е суще-
существует конечное число точек flj?/l A<^г<^/г) таких, что А содер-

2 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 105
жится в объединении окрестностей at -\- V A ^ i: <; п). Следовательно,
•выпуклая оболочка В множества А содержится в выпуклой оболочке
этого объединения, т. е. в C-\-V, где С — выпуклая оболочка конеч-
конечного множества, .образованного п точками flj (§ 1, предложение 8).
Но С компактно (предложение 1); поэтому существует конечное
число точек bk?C (I ^.k^ni), таких, что С содержится в объеди-
объединении окрестностей bk-\~V. А тогда В содержится в объединении
окрестностей b^-\-2V, и предложение доказано.
Отметим, что в бесконечномерном отделимом локально выпуклом
пространстве выпуклая оболочка компактного множества необязательно
замкнута (упражнение 36).
Следствие. В полном отделимом локально выпуклом про-
пространстве замкнутая выпуклая оболочка компактного множе-
множества компактна.
Напротив, в неполном пространстве замкнутая выпуклая оболочка
компактного множества может быть не компактной (упражнение Зв).
2. Экстремальные точки компактных выпуклых множеств
Определение 1. Пусть А — выпуклое множество в вектор-
векторном пространстве Е над R. Говорят, что точка х?А есть
экстремальная точка множества А, если в А нет никакого
открытого отрезка, содержащего х.
Иными словами, из соотношений л: —Х_у-)-A—X)z, y?A, z?A-
0<^Х^ 1 следует Х=0 или Х= 1 (так что х = z или х = у).
Отсюда вытекает, что х не может быть центром тяжести никакого
множества точек из А, снабженных неотрицательными массами,
Г)
не будучи само одной из этих точек. Действительно, если х = 2 ^Л.
п
хг ? A, Xi ~^> 0 A <; i <; п) и 2 h = 1 и если бы, например, мы имели
i=i
Хл > 0 и Хк > 0 (так что Xh =/= 1), то можно было бы написать
x = Xhxh-\-(\ — ^h)yti' гДе Ун — Центр тяжести точек х^ с индексами
I Ф h, снабженных массами т—V-; и так как _Ул? А, то мы пришли бы
к противоречию.
Примеры. 1) В пространстве Rn каждая точка сферы Sn-\
есть экстремальная точка замкнутого шара Вге. Действительно, если

106 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 4
п п
У)г-<1, 2 *?<1 и 0<Ь<1, то равенство
Л i = l
2 у] + A ~?.J2 А+241 -*>2ул = 1 = [х+A -хм2
i i i
22
i = l
п
возможно лишь если 2 У; = 2 ^г = 2 У А' = *• ^° последние ра-
г = 1 i = l г-Л
п
венства означают, что 2 (}\—ziJ — 0> откуда уг = г^ для каждого
г = 1
индекса г, н утверждение доказано.
2) В нормированном пространстве <$ (N) ограниченных последова-
последовательностей вещественных чисел экстремальные точки шара ЦдгЦ-^1
это точки х — (?п), в которых | ?„ | — 1идля каждого п. Действительно,
предположим, что | ?„ |<! 1 для всех п н [ Zp | < 1 для какого-то номера />•
Тогда можно написать
1 + Sfl 1-6,
л — 2 " i
где у (соотв. г)—точка с теми же координатами, что и х, за исклю-
исключением /7-той координаты, равной -\-\ (соотв. —1). Это показывает,
что х — не экстремальная точка, поскольку Цу||<!1 и ||2||<1.
Напротив, если | ?„ | = 1 для всех п, то х — экстремальная точка, ибо
из соотношений ?„ = lrln -\- A — X) С«, 11« |< 1, [ г,п К 1 и 0<Х<1
следует, что S,, = т„, = ?п.
Замечание. Пусть С — выпуклый конус в ? с вершиной 0.
Ясно, что С не может иметь нн одной экстремальной точки, кроме
вершины (а последняя будет экстремальной, лишь" если С —выступаю-
—выступающий заостренный конус). Мы говорим, что полупрямая D с началом 0,
содержащаяся в конусе С, есть его экстремальная образующая,
если каждый открытый отрезок, содержащийся в С и имеющий общую
точку с D, содержится в D. Пусть Н—гиперплоскость, не проходя-
проходящая через 0 н пересекающая полупрямую D сг С с началом 0 в неко-
некоторой точке х0. Для того чтобы D была экстремальной образующей
конуса С, необходимо и достаточно, чтобы хо была экстремаль-
экстремальной точкой множества Н(]С. Действительно, необходимость этого
условия очевидна. Обратно, пусть оно выполнено н предположим, что
существует прямая D' =/= D, проходящая через хй и такая, что D'f]C
содержит открытый отрезок, содержащий х0. Пусть у—ненулевой
вектор, параллельный D'; из наших предположений следует, что точка
A -\- X) xq -\- [iy при достаточно малых | X | и | (л | будет принадлежать С.
Но тогда в плоскости Р полупрямых D и D', наделенной ее един-
единственной отделимой локально выпуклой топологией, хо будет внутренней
точкой множества Р f\C и, следовательно, прямая ЯП Сбудет содержать

2 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 107
открытый отрезок, содержащийся в Н (]С и содержащий х0, что,
однако, противоречит предположению.
Пусть С — выступающий заостренный выпуклый конус. Рассмо-
Рассмотрим структуру порядка в Е, для которой С образует множество
всех элементов ^> 0 (§ 1, предложение 13). Для того чтобы элемент
х^>0 из Е принадлежал экстремальной образующей конуса С, необ-
необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент >-0, мажорируе-
мажорируемый этим элементом х, был пропорционален х. Действительно-
пусть элемент y~^>Q, не пропорциональный х, мажорируется элемен-
элементом х. Тогда х — у>0, следовательно, х -\- Ху ? С для всех X >•—1,
так что в С содержится открытый отрезок, содержащий х и не при-
принадлежащий полупрямой D с началом 0, проходящей через х; тем
самым D не экстремальна. Обратно, если D не экстремальна, то суще-
существует замкнутый отрезок с концами у, г, принадлежащими С, не
содержащийся в D и такой, что х = Ху-\-(\—X) z, где 0<Х<[1.
Так как тогда Ху!>-0 и A—X)z~^.O, то элементом х мажорируется
элемент Ху, не пропорциональный х.
Мы видели (§ 3, предложения 2 и 4), что в отделимом локально
выпуклом пространстве каждое компактное выпуклое множество
обладает замкнутой опорной гиперплоскостью. Но более того:
Предложение 3. Пусть А —компактное выпуклое множе-
множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е. Каждая
замкнутая опорная гиперплоскость Н множества А содержит
по крайней мере одну его экстремальную точку.
Будем говорить, что линейное многообразие М в Е есть опор-
опорное многообразие множества А, если оно имеет общую точку с А
и обладает следующим свойством: какова бы ни была точка л:? А П М,
каждый открытый отрезок, содержащийся в Л и содержащий х,
необходимо содержится в М. Непосредственно ясно, что каждая
опорная гиперплоскость множества А есть опорное многообразие
(чем и объясняется принятая нами терминология). Сказать, что линей-
линейное многообразие, сводящееся к точке хп множества А, есть опор-
опорное многообразие этого множества, все равно что сказать, что х0
есть экстремальная точка множества А. Пусть теперь § — мно-
множество всех замкнутых опорных многообразий множества А,
содержащихся в Н; % не пусто, поскольку #?$. Упорядочим g
по включению id; покажем, что g индуктивно по этому отноше-
отношению порядка (Теор. мн., Рез., § 6, п° 9). Действительно, пусть ©—
совершенно упорядоченное подмножество в ^; все сводится к доказа-

108 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. П, § 4
тельству того, что N = [") М будет опорным многообразием мно-
жества А (ибо замкнутость N очевидна). А для этого нужно только
проверить, что N П А — О (М П А) не пусто. Но когда М Пробе-
Пробелу®
гает ®, пересечения конечных наборов множеств вида М Л А суть
тоже множества этого вида, поскольку ® совершенно упорядочено.
Таким образом (поскольку М |~| А, по предположению, не пусто ни
для какого М?@), эти замкнутые множества образуют базис филь-
фильтра в компактном пространстве А, что и доказывает, что N (] А
не пусто.
Поэтому, в силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., § 6, п° 10),
в ^ существует минимальный элемент No. Мы покажем, что No
сводится к точке, чем предложение и будет доказано. Предположим
противное. Тогда Л^о П ^4 будет непустым компактным множеством
в замкнутом линейном многообразии No размерности > 0, следова-
следовательно, No П А будет обладать замкнутой опорной гиперплоскостью L
в No (§ 3, предложения 2 и 4). Но L — опорное многообразие мно-
множества А. Действительно, если x?L[]A и S — открытый отрезок,
содержащий х и содержащийся в А, то S содержится в No, по-
поскольку x?N0, a No — опорное многообразие множества А; таким
образом, ScN0()A, и так как L — опорная гиперплоскость множе-
множества No П А в No, то ScL, чем наше утверждение доказано. Но
тогда, очевидно, ??^, Z-cN0 и L Ф yV0, в противоречие с мини-
минимальностью No, и предложение доказано.
Теорема 1 (Крейн — Мильман). Каждое компактное выпуклое
множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е
есть замкнутая выпуклая оболочка множества своих экстре-
экстремальных точек.
Действительно, пусть В — замкнутая выпуклая оболочка множе-
множества всех экстремальных точек множества А. Ясно, что ВсА.
Для доказательства того, что Ас В, достаточно доказать, что,
какова бы ни была непрерывная линейная форма / на Е, f(A)czf(B)
(§ 3, следствие 4 предложения 4). Но f(A) — компактное выпуклое
множество в R, т. е. некоторый компактный интервал [а, р]. Гипер-
Гиперплоскость, заданная уравнением f(x) = a, есть замкнутая опорная
гиперплоскость множества А и, следовательно (предложение 3),
содержит его экстремальную точку, что, по определению, означает,

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 109
что а?/(В). Так же устанавливается, что Р?/(В), и так как f(B)
выпукло и, значит, является интервалом в R, то тем самым f(A)cz
czf(B), и теорема доказана.
Эта теорема допускает следующее уточнение.
Предложение 4. Пусть К— компактное множество в от-
отделимом локально выпуклом пространстве Е, обладающее ком-
компактной замкнутой выпуклой оболочкой А. Тогда каждая экстре-
экстремальная точка множества А принадлежит К.
Пусть х — экстремальная точка множества А. Для каждой замкну-
замкнутой симметричной выпуклой окрестности нуля V в Е существует
конечное число точек аг?/СA <^^я) таких, что множества flj-|-V
покрывают К- Пусть А{ — замкнутая выпуклая оболочка множества
KU(ai-\-V). Так как Л;сЛ, то At компактно. Отсюда вытекает,
что А есть выпуклая оболочка п множеств At, поскольку послед-
последняя компактна (предложение 1), содержится в Л и, очевидно, содер-
п п
жит К. Поэтому * = S'^i" где xi?Ai> ^0и^= 1. Так как
х — экстремальная точка множества А, а все xt принадлежат А, то
это означает, что х = х^ для некоторого I. Иначе говоря, x^At
для некоторого I; но так как V выпукло и замкнуто, то Л4саг-(-У;
следовательно, x?K-\-V. Будучи замкнутым, К является пересече-
пересечением множеств K-\-V, когда V пробегает множество всех сим-
симметричных окрестностей нуля. Тем самым лг^/С
Замечания. 1) Даже в конечномерном пространстве Е множе-
множество всех экстремальных точек компактного выпуклого множества
необязательно замкнуто (упражнение 8).
2) В бесконечномерном отделимом локально выпуклом пространстве
компактное выпуклое множество может обладать экстремальными точ-
точками, через которые не проходит никакая его опорная гиперплоскость
(гл. IV, § 5, упражнение 36).
3) Компактное множество К в неполном отделимом локально
выпуклом пространстве, имеющее некомпактную замкнутую выпуклую
оболочку, может обладать экстремальными точками, не принадлежа-
принадлежащими К (упражнение Зв).
4) Может случиться, что замкнутый шар с центром 0 и радиу-
радиусом 1 в бесконечномерном банаховском пространстве не обладает ни
одной экстремальной точкой.

ПО ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ II, § 4
Упражнения. 1) Дать пример замкнутого некомпактного мно-
множества в R2, выпуклая оболочка которого незамкнута.
2) Показать, что выпуклая оболочка компактного множества в про-
пространстве R™ компактна (см. § 1, упражнение 8).
*3) Пусть /—-интервал [0, 1] в R и F—векторное простран-
пространство (?(/) непрерывных числовых функций на /. Пусть Е — простран-
пространство Недоставленное из всех конечных числовых функции, определен-
определенных на F) и гп для каждого а ? /— элемент из Е такой, что га (/) = /(а)
для всех f^F.
а) Показать, что множество К всех гх (х?Г) компактно в Е.
б) Пусть (л — элемент нз ? такой, что ,а (/) = \ f{t) dt для всех/? F
о
(„мера Лебега"). Показать, что ,а есть точка прикосновения выпуклой
оболочки множества К в Е, но не принадлежит этой оболочке (см.
Функц. вещ. перем., гл. И, § 1, предложение 5).
в) Пусть G — векторное подпространство пространства Е, поро-
порожденное множеством К, и элементом \х. Показать, что ,а есть экстре-
экстремальная точка замкнутой выпуклой оболочки множества К. в G
(см. предложение 4).
*4) Пусть А — выпуклое множество в векторном пространстве Е
над R и х ? А. Назовем гранью точки х в А множество, образованное
точкой х и теми точками уфх нз А, для которых прямая, проходящая
через хну, содержит открытый отрезок, содержащийся в А и содер-
содержащий х. Окруженные (§ 2, упражнение 3) (соотв. экстремальные)
точки множества А — это точки, грань которых относительно А совпа-
совпадает с А (соотв. сводится к самой только этой точке).
а) Показать, что грань Рх точки х ? А есть наибольшее выпуклое
множество, содержащееся в А и имеющее х своей окруженной точкой.
б) Какова бы ни была точка у грани F,T точки х множества А,
ее грань Ру в А совпадает с гранью в Fx. Для того чтобы Fy = Fx,
необходимо и достаточно, чтобы у было окруженной точкой множе-
множества Рх. Вывести отсюда, что если Рх конечномерна н у — ее не
окруженная точка, то размерность Fy меньше размерности Fx.
в) Показать, что линейное многообразие М, порожденное гранью Fx
произвольной точки х ? А в А, есть пересечение опорных многообра-
многообразий множества А, проходящих через х, и что М[\А = Fx. Каково бы
ни было опорное многообразие N множества A, N(]A является гранью
(в А) каждой своей окруженной точки.
г) Пусть А и В—два выпуклых множества в Е. Какова бы ни
была точка x?Af\B, грань х ь Af\B есть пересечение граней х
в А и В. Показать, что если Е—топологическое векторное про-
пространство над R и В — замкнутое выпуклое множество в Е, содержащее
замкнутое линейное многообразие М конечной факторразмерности п,
то каждая грань точки из В (в В) содержит замкнутое линейное много-
многообразие факторразмерности п (см. § 1, упражнение 11). Вывести отсюда,

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1 11
что при этих условиях, для того чтобы грань точки х^А(]В в А(]В
была конечномерна, необходимо и достаточно, чтобы была конечно-
конечномерна грань х в 'А; при этом, если тогда р и q — размерности граней х
в А и в А(]В, то p^.q + "•
5) Пусть А — выпуклое множество в плоскости R2, определяемое
неравенствами—1<х< 1,-1 — 1^1 — л;2< у< 1 + V1 — -К2- Показать
что существуют граничные точки множества Л, грани которых в А
отличны от пересечения множества А с его опорными прямыми, про-
проходящими через эти точки.
6) Пусть А — замкнутое выпуклое множество в нормированном
пространстве $g (N) ограниченных последовательностей х = (?№) веще-
вещественных чисел, определяемое неравенствами -<?ji-<1 для п^> 1
и —1<50<;1. Показать, что А—выпуклое тело, 0 — его граничная
точка и ее грань в А незамкнута. Показать, что А компактно в топо-
топологии, индуцированной из пространства Rx, но грань точки 0 в Л
незамкнута в этой топологии.
7) Показать, что множество всех экстремальных точек замк-
замкнутого выпуклого множества А в пространстве R2 замкнуто. [Показать,
что точки множества А, грань которых в А одномерна, образуют
на границе этого множества открытое множество.]
8) Пусть А — компактное выпуклое множество в пространстве R'1
служащее выпуклой оболочкой объединения круга z = 0, х + у-—2х= О
и пары точек @,0,1) и @,0,—1). Показать, что множество экстре-
экстремальных точек множества А незамкнуто.
9) Показать, что всякое замкнутое выпуклое множество А в R1*,
не содержащее никакой полупрямой, есть выпуклая оболочка множе-
множества своих экстремальных точек. [Индукцией по размерности грани
точки множества А.]
10) Пусть еп в банаховском пространстве jg> (N) — последова-
последовательность, член которой с номером п равен 1, а все остальные члены
равны 0. Пусть А — замкнутая выпуклая оболочка множества, образо-
образованного точками 0 и —~- (п >0). Показать, что А компактно, но
п 1
не совпадает с выпуклой оболочкой своих экстремальных точек.
11) Пусть Е — замкнутое векторное подпространство банахонского
пространства ffi (N), образованное последовательностями х =(?»), для
которых lim 5» = 0.
п ->• со
а) Показать, что замкнутый шар ;[лг||<1 в банаховском простран-
пространстве Е не обладает ни одной экстремальной точкой.
ГС.
б) Пусть и — непрерывная линейная форма (?,() -> ^ 2~™«п на Е.
п=о
Показать, что шар||дг||<1 не обладает ни одной опорной гиперпло-
гиперплоскостью, параллельной замкнутой гиперплоскости, заданной уравне-
уравнением и(х) = 0.

112 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 4
12) Пусть А— компактное множество в нормированном простран-
пространстве Е.
а) Показать, что расстояние между двумя параллельными опор-
опорными гиперплоскостями мнржества А не превосходит диаметра 5 этого
множества.
б) Показать, что в А существуют пары точек (а, Ь) такие, что
||а — Ь\\ —Ь\ для такой пары точек существует пара параллельных
опорных гиперплоскостей, проходящих соответственно через а и b и
отстоящих друг от друга на расстояние 5. [Рассмотреть замкнутый
шар с центром а н радиусом 5.]
*13) а) Пусть А—я-мерное компактное выпуклое множество
в пространстве W, снабженном евклидовой нормой. Для каждого
вектора x?Sn-i обозначим через р (х) верхнюю грань длин отрезков,
параллельных х и содержащихся в А. Показать, что в А существует
пара точек и, v такая, что соединяющий их отрезок параллелен век-
вектору х и имеет длину р (х). Вывести отсюда существование двух
параллельных опорных гиперплоскостей множества А, проходящих
соответственно через точки и и v. [Рассмотреть множество А -\- р (х) х
и применить предложение 1 § 3, приняв во внимание упражнение 9 § 1.]
б) Пусть d— нижняя грань расстояний между парами параллель-
параллельных опорных гиперплоскостей множества А. Показать, что на его
границе существуют точки а н b такие, что \\а — b\\ = d и гиперпло-
гиперплоскости, проходящие соответственно через а и b перпендикулярно
к соединяющему нх отрезку, являются опорными гиперплоскостями
множества А. [Использовать а).]
14) Пусть А — компактное выпуклое множество в простран-
пространстве SS (N), определенное в упражнении 10, и Е — порожденное им
замкнутое векторное подпространство пространства <ffl (N). Показать,
что нижняя грань расстояний между парами параллельных замкнутых
опорных гиперплоскостей множества А в пространстве Е равна нулю,
но А не содержится ни в какой замкнутой гиперплоскости этого
пространства.
*15) Говорят, что точка х выпуклого множества А в векторном
пространстве Е над R есть точка строгой выпуклости множества А,
если существует опорная гиперплоскость Н множества А такая, что
HflA = {х}. Каждая точка строгой выпуклости экстремальна, но не
обратно (см. упражнение 5 и гл. IV, § 1, упражнение 2).
Далее предполагается, что E = Wl и А—компактное выпуклое
множество в Rn.
а) Пусть Н—гиперплоскость в Е. Показать, что в каждом опре-
определяемом ею открытом полупространстве, содержащем по крайней мере
одну точку из А, имеется точка строгой выпуклости множества А.
[Рассмотреть в Н замкнутый (п — 1)-мерный евклидов шар С доста-
достаточно большого радиуса, содержащий ЯП Л, и затем /г-мерные евкли-
евклидовы шары В большего радиуса, содержащие А и такие, что В(]Н = С]

КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1 1 3
б) Показать, что А есть замкнутая выпуклая оболочка множе-
множества своих точек строгой выпуклости. [Использовать а).]
в) Показать, что каждая экстремальная точка множества А есть
точка прикосновения множества всех точек строгой выпуклости
этого множества. [Используя б), а также упражнение 8а § 1, принять
во внимание, что экстремальная точка есть предел последовательности
п я
точек вида 2 hmxim> гДе ^ш ^> 0. 2 ^'т ~ * и х*т — точки строгой
г=0 г=0
выпуклости; заметить, кроме того, что каждую из последовательно-
последовательностей (Х{т) и (Хгт) можно считать сходящейся.]
16) Пусть А — компактное выпуклое множество в отделимом
локально выпуклом пространстве Е.
а) Показать, что если 0 (t А, то заостренный выпуклый коиус С
с вершиной 0, порожденный множеством А, замкнут. Показать на при-
примере (с Е = R2), что это заключение уже не сохраняет силу, если 0 ? А .
б) Показать, что С есть замкнутая выпуклая оболочка множества
своих экстремальных образующих. [Рассмотреть пересечение конуса С
с замкнутой гиперплоскостью, строго отделяющей 0 и А, и показать
что оно компактно.]
в) Пусть D —- экстремальная образующая конуса С; показать, что
DQA есть замкнутый отрезок, имеющий своими концами экстремаль-
экстремальные точки множества А.
17) Пусть Е и F—два отделимых локально выпуклых простран-
пространства, А — выпуклое множество в ? и и — линейное отображение Е в F.
а) Прообраз опорного многообразия множества и (А) относительно
отображения и есть опорное многообразие множества А.
б) Если А компактно, а и непрерывно, то каждая экстремальная
точка множества и (А) есть образ экстремальной точки множества А
при отображении и.
в) Если А — конус, порожденный компактным выпуклым множест-
множеством, не содержащим 0 (упражнение 16), а и непрерывно, то каждая
экстремальная образующая конуса и (А) есть образ экстремальной
образующей конуса А при отображении и.
*18) Пусть А — произвольное множество в отделимом локально
выпуклом пространстве Е.
а) Обозначим через Го (А) множество всех точек х?Е, обла-
обладающих тем свойством, что каково бы ни было непрерывное линейное
отображение и пространства Е в конечномерное векторное простран-
пространство, и(х) принадлежит выпуклой оболочке множества и {А). Показать,
что Го (А) есть выпуклое множество, содержащее А, что Го (Го (А)) =
= Го (Л) и что Го (А) содержится в замкнутой выпуклой оболочке
множества А. [Использовать предложение 4 § 3.]
б) Пусть (¦KtXgj—семейство элементов из А и (Х,),^—семей-
(Х,),^—семейство вещественных чисел > 0 такое, что 2^=1 и (>.,.*:,) — сум-

114 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 5
мируемое семейство в Е. Показать, что сумма s этого семейства
принадлежит Го (Л)- [Опираясь иа а), свести к тому случаю, когда К
конечномерно и совпадает с линейным многообразием, порожденным
элементами \х;, рассуждать далее от противного, рассматривая для
каждого конечного множества J индексов из / замкнутую гиперпло-
гиперплоскость Hj, проходящую через л и не пересекающуюся с выпуклой
оболочкой точек х^ с индексами i ? J, и используя затем компактность
единичной сферы в конечномерном пространстве.]
в) Показать, что если А компактно, то Го {А) совпадает с его
замкнутой выпуклой оболочкой. [Использовать упражнение 2.]
г) Показать, что если А — множество всех экстремальных точек
компактного выпуклого множества /fc?, то К=То(А). [Использовать
упражнения 9 и 17.]
д) Пусть А, в обозначениях упражнения 3, —множество, образо-
образованное элементами ех, где х пробегает все рациональные числа
отрезка |0, 1 ]. Показать, что Го (А) отлично как от выпуклой оболочки
множества А, так и от его замкнутой выпуклой оболочки.
*19) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство,
5—замкнутое выпуклое множество в Е, А — подмножество в 5 такое,
что (в обозначениях упражнения 18)^ = Г0(Л), и So—выпуклая обо-
оболочка множества А (так что 5 = So)- Пусть, далее, N — замкнутое
выпуклое множество в Е, содержащее замкнутое линейное много-
многообразие конечной факторразмерности, М = S(]N и Afo = SofW.
а) Показать, что М = Мо, [Используя упражнение 18а, принять во
внимание, что каждое замкнутое линейное многообразие конечной
факторразмерности в Е, проходящее через точку х ? М, пересекается
с Afo, и воспользоваться предложением 4 § 3.]
б) Предположим, что каково бы ни было конечное подмножество F
множества А, пересечение грани (в S) любой точки выпуклой оболочк»
множества F с N компактно или конечиомерио и не содержит никакой
прямой. Показать, что тогда М есть замкнутая выпуклая оболочка
множества всех своих экстремальных точек. [Опираясь на а), свести,
к доказательству того, что каждая точка из М$ содержится в замкну-
замкнутой выпуклой оболочке множества всех экстремальных точек мно-
множества М. Использовать упражнение 4г, теорему Крейиа и Мильмана
и упражнение 9.] Вывести отсюда, что каждая замкнутая опорная
гиперплоскость множества М содержит его экстремальную точку.
§ 5. Полунормы
7. Определение выпуклой функции
Пусть Н — подмножество множества Е, f—конечная числовая
функция, определенная на Я, и G — ее график в произведении Е X R.-
образованный точками Мх = (х, f(x)), где л: пробегает Н. Обобщая.

/ полунормы 115
определения, данные для функций вещественного переменного (Функц.
вещ. перем., гл. I, § 4), мы будем говорить, что точка (a, d)^?XR
находится над (соотв. строго над, под, строго под) G, если а?Н
и ft>/(c) (соотв. b>f{a), ft</(e). b<f(a)).
Определение 1. Пусть Н —выпуклое множество в аффин-
аффинном пространстве Е над R. Говорят, что конечная числовая
функция /, определенная на Н, выпукла {соотв. строго выпукла)
на Н, если, каковы бы ни были точки х и х' из Н, все точка
открытого отрезка с концами Мх и Мх< находятся над (соотв.
строго над) графиком функции /.
Иначе говоря, условием выпуклости (соотв. строгой выпуклости)
функции / на Н является выполнение неравенства
/(Х* + A — X) *')<*./(*) + (!— Х)/(*') A)
(соотв.
)) B)
для каждой пары различных точек х и х' из Н и каждого X такого,
что 0 < X < 1.
В силу определения 1, для выпуклости (соотв. строгой выпуклости)
функции / на Н необходимо и достаточно, чтобы, какова бы ни
была прямая DcE, сужение f на H(]D было выпуклой (соотв.
строго выпуклой) функцией на Н (] D. Если t—*-at-\-b, где t про-
пробегает R,— параметрическое представление прямой D, и/—выпуклое
множество в R, отвечающее при этом параметрическом представлении
множеству HflD, то можно также сказать, что функция t—>f(at-f-6)
должна быть выпуклой (соотв. строго выпуклой) на /.
Для выпуклости функции / на выпуклом множестве HczE необ-
необходимо и достаточно, чтобы множество точек из Е X R. лежащих
над графиком функции /, было выпукло (причем здесь можно слово
гнад" заменить на „строго над"). Это вытекает из соответствующего
предложения для функций вещественного переменного (Функц. вещ.
перем., гл. I, § 4, п° 1).
Предложение 1. Пусть f—выпуклая (соотв. строго выпук-
выпуклая) функция на выпуклом множестве НсЕ. Для каждого
конечного семейства /?>-2_ различных точек (Jei)i<i<p из Н и

116 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 5
каждого семейства р вещественных чисел 0-i).<j< таких, что
О < \г < 1 (!<;/<!/?) и2^—1> имеет место неравенство
1-1 f{xd C)
(соотв.
f(x{)). D)
Это предложение доказывается индукцией по р, с использованием
предложения 1 § 1.
Иными словами, образ центра тяжести точек xt, снабженных мас-
массами Xt > 0, при отображении х-*(х, f(x)) лежит под (соотв.
строго под) центром тяжести точек (х^, f(xj)), снабженных теми же
массами.
Предоставляем читателю самому проверить, что предложения 2,
3 и 4 из Функц. вещ. перем., гл. I, § 4 A2) сохраняют силу, и для
выпуклых функций, определенных на выпуклом множестве в произ-
произвольном векторном пространстве над R.
Говорят еще, что функция /, определенная на выпуклом множе-
множестве НсЕ и принимающая значения из интервала ]—оо, -j-оо] рас-
расширенной прямой R, выпукла (соотв. строго выпукла) на Н, если
неравенство A) (соотв. B)) удовлетворяется для любой пары различ-
различных точек х и л/ из # и каждого X такого, что 0 <^ X <[ 1- К таким
функциям применимо без всякого изменения все сказанное выше, за
исключением связанного с графиками.
2. Непрерывность выпуклых функций
Предложение 2. Пусть Е — топологическое векторное про-
пространство над R, Н — непустое открытое выпуклое множе-
множество в Е и / — (конечная) выпуклая функция, заданная на Н.
Для того чтобы / была непрерывна на Н, необходимо а доста-
достаточно, чтобы существовало непустое открытое множество UcH,
на котором f ограниченна сверху.
Необходимость условия очевидна. Докажем его достаточность.
Пусть / ограниченна сверху в некоторой окрестности V точки хо?Н.
Покажем прежде всего, что / непрерывна в точке х0. Путем надле-

2 ПОЛУНОРМЫ 117
жащих переносов можно свести рассмотрение к тому случаю, когда
хо = О и /(*„) = (); кроме того, окрестность V можно предполагать
уравновешенной. Пусть f(x)^,a для всех x?V. Заметим, что если
X X
x?eV, где 0<е<1,то-^-?^и Г^^' ^° тогда неравенство A),
примененное к точкам 0 и — и числу А = е, показывает, что
(Х\ X
—1-^еа, а примененное к точкам х и ¦ и числу
1 / х \
Х= , —что /(х)^>— е/( 1^ — еа. Тем самым наше
утверждение доказано. Пусть теперь у— произвольная точка из Н-
Тогда существует число р> 1 такое, что точка z=p_y еще принад-
принадлежит Н. Пусть g—гомотетия х-+кх-\-(\—k)z с центром z и
коэффициентом Х= 1 , переводящая 0 в у. В силу формулы A),
для любой точки g(x)?g(V) имеем / (g (х)) < If {х)-+-A — X) f
¦^ка-\- (l—l) f (z). Первая часть доказательства показывает тогда, что
/ непрерывна в точке у, и предложение доказано.
Следствие 1. Каждая (конечная) выпуклая функция /, полу-
полунепрерывная сверху на Н, непрерывна на Н.
Действительно, любая точка хо?Н обладает окрестностью, на
которой / ограниченна сверху.
Следствие 2. Каждая (конечная) выпуклая функция f, опре-
определенная на непустом открытом выпуклом множестве Н в R™,
непрерывна на Н.
Можно считать, что 0?Н. Пусть К—замкнутый куб с центром О
и ребром 2а, содержащийся в Н, и U — открытый куб, определяемый
неравенствами 0 < \г < — A < г<л). Каждая точка x?U принад-
принадлежит выпуклой оболочке нулевого вектора и п векторов a.et, где et
(l^i^re) n векторов канонического базиса в Rra; действительно, х
можно представить в виде
i = l

118 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 5
Но тогда из неравенства C) следует, что
/(*)< 1/@) 1+21/(^I
i = l
для всех x?U, откуда, в силу предложения 2, и вытекает непре-
непрерывность f(x) на И.
На бесконечномерном локально выпуклом пространстве вообще
•существуют не непрерывные линейные формы (гл. IV, § 5, упражне-
упражнение За), а следовательно, и выпуклые функции, не непрерывные ни
в какой точке.
3. Полунормы
Определение 2. Конечную числовую функцию р, определен-
определенную на векторном пространстве Е над R, называют полунормой,
если она удовлетворяет следующим аксиомам:
(SNi) р(Хх) = 1X1р{х) для всех х?Е и X?R;
(SNu)p(x-\-y)^.p(x)-\-p(y) для всех х и у?Е.
Из этих аксиом вытекает, что р @) = 0 и р (х) ;> 0 для всех х ? Е,
поскольку 0 = р @) ^ р (х) -f- р (— х) = 1р {х). Кроме того, имеет
место неравенство
непосредственно вытекающее из соотношений р (х) ^ р (у) -\- р (х—у)
и р(у)<Р(.х)-\-р(у — х), поскольку р(у — х) = р(х — у).
Полунорма есть выпуклая функция на Е, ибо из (SNi) и
следует, если 0 < X < 1, что
Заметим, что последнее рассуждение применимо, более общим
образом, ко всякой функции на Е со значениями из ]—-оо, -)-оо],
которая положительно однородна, т. е. такова, что р Qjc) = \р {х)
для каждого конечного X > 0, и удовлетворяет аксиоме (SNn).
Примеры. 1) Норма р на Е есть полунорма, для которой
p(x) = Q влечет х = 0 (гл. I, § 1, п° 2).
2) Функция x-*\f(x)\ есть полунорма для любой линейной
формы / на Е.
Предложение 3. Пусть Е—топологическое векторное про-
пространство над R.

з полунормы 119
1° Каждая полунорма р, определенная на Е и непрерывная
в точке х = 0, равномерно непрерывна на Е; множество V тех
точек х?Е, для которых р(х)^1 1, есть симметричное выпуклое
тело (§ 3, определение 4), внутренность которого образует мно.
жество тех точек х?Е, для которых /?(*)< 1.
2° Обратно, для каждого симметричного выпуклого тела А
s Е существует, и притом лишь одна, полунорма р на Е такая,
что А совпадает с множеством тех х?Е, для которых р (х) <^ 1;
при этом р непрерывна на Е.
1° Равномерная непрерывность полунормы р вытекает из нера-
неравенства E). Множество V замкнуто (в силу непрерывности р) и
симметрично; кроме того, если х, y?V и 0<Х< 1, то
/>(X*+(i—X)^<x/>(*) + (i —X)/>O0<x+(i—Х)==1.
так что V выпукло. Множество W тех х, для которых р(х)<^ 1*
открыто и содержится в V; если же р(у)= 1, то py<fcV при р > 1,
так что у не содержится внутри V; тем самым W = V.
Заметим, что какова бы ни была точка х?Е, множество тех
чисел р > 0, для которых х? pV, совпадает с интервалом [р(х), +оо(,
поскольку отношение x?pV равносильно неравенству р(х)^р.
Другими словами, р(х)= inf p для каждого х?Е.
2г Последнее замечание показывает, что если существует полу-
полунорма р такая, что А совпадает с множеством тех х?Е, для
которых р(х)^1, то эта полунорма единственна и определяется
формулой
р(х)= inf p. F)
р>0, х?рА
Покажем, что формула F) действительно определяет полунорму.
Прежде всего, так как А — поглощающее множество, то р{х) конечно
для каждого х?Е. Так как А симметрично, то отношения х?рА
•и —лг?рА равносильны, откуда р(Кх)= |Х| р(х) для каждого X?R.
С другой стороны, пусть х и у — произвольные точки из Е; если а
и р — положительные числа, для которых х?а.А, у?$А, то
х-f-у^аА-f-рл, а так как А выпукло, то аА-\-$А = (а-\-$)А;
в силу формулы F), отсюда следует, что р(х-\-у)^р(х)-\-р(у).
Если р(х)^1, то х?рА для всех р> 1 и, следовательно, х?А,
'поскольку А замкнуто. Обратно, из х?А очевидным образом

120 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 5
следует, что р(х) <[ 1. Наконец, каково бы ни было е > 0, множество
тех х?Е, для которых р(х)^е, есть окрестность нуля гА, так
что р непрерывно в точке 0, а значит, и на всем Е.
Замечания. 1) Пусть Е — векторное пространство над R и
А— поглощающее симметричное выпуклое множество в Е. Если
наделить Е сильнейшей локально выпуклой топологией $"„> (§ 2, п° 1),
то 0 будет в А внутренней точкой. Полунорму р, для которой А
служит множеством всех х?Е таких, что р(лг)<^1, назовем кали-
о
бровочной функцией множества А. Внутренность А множества А
в топологии сГш будет тогда множеством тех х, для которых р{х) < 1,
откуда сразу видно, что и здесь р(х) задается формулой F).
Выпуклые множества, имеющие р своей калибровочной функцией, —
о —
это выпуклые множества, содержащие А и содержащиеся в А. Ясно,
что калибровочной функцией для \А, где X > 0, служит -у р.
Обратно, каждая полунорма р на Е непрерывна в топологии сГш,
поскольку множество V тех х, для которых р(х) < 1, в силу (SNi), —
поглощающее; предложение 3 показывает тогда, что р служит кали-
калибровочной функцией для всех выпуклых множеств, содержащих V и
содержащихся в его замыкании V.
2) Пусть pi (I <;i<; n) — конечный набор полунорм на Е. Из
определения 2 сразу следует, что р(х)= sup pt (x)' также есть
1 < i< п
полунорма. Кроме того, множество V тех х, для которых р(х)^. 1,
есть пересечение множеств Vi теХ х, для которых pt (jc)<; I A <С i <^ n).
4. Полунормы в локально выпуклых пространствах
Пусть Е — векторное пространство над R, Г — множество полу-
полунорм на Е и © — множество всех поглощающих симметричных
выпуклых множеств в Е, определяемых соотношениями вида/?(х) < X,
где р пробегает Г, а X — множество всех чисел > 0. Тогда
множество 93 пересечений всевозможных конечных наборов мно-
множеств из © есть базис фильтра, образованного поглощающими
симметричными выпуклыми множествами и инвариантного относительно
всех гомотетий, коэффициент которых > 0. Следовательно, суще-
существует (и притом только одна) топология, согласующаяся со
структурой векторного пространства в Е, для которой 3S служит
фундаментальной системой окрестностей нуля (§ 2. п° 1). Мы будем

4 ПОЛУНОРМЫ 12 ?
называть эту (очевидно, локально выпуклую) топологию топологией,.
определяемой множеством Г полунорм.
Примеры. 1) Топология нормированного пространства над R"
определяется множеством, состоящим нз одной единственной нормы*
Заметим, что топология, определяемая в векторном пространстве Е
над R конечным числом норм р{ A</<л), может быть задана и
одной нормой р (х) = sup рц (х). Напротив, локально выпуклая
1 <i<n
топология, определяемая бесконечным множеством норм, вообще говорящ-
говорящие может быть задана одной только нормой (гл. III, § 2, упражнение 2).
2) Пусть (ST,),?j — семейство локально выпуклых топологий в век-
векторном пространстве Е и каждая из этих топологий jr, задана мно-
множеством Г, полунорм. Из предыдущего определения следует, что
локально выпуклая топология, заданная множеством полунорм I"* = II Г,,
есть верхняя грань топологии §¦,.
3) Пусть $—-векторное пространство над R, образованное всеми
бесконечно дифференцируемыми числовыми функциями на R. Для каждой
функции /?|> и каждой пары целых чисел т^>0, я>0 положим
Pn,m(f)= sup |/<">(*) |.
~»» < х < т
Непосредственно ясно, что рп> т — полунормы на $. Для того-
чтобы функции /agg сходились к нулю (по некоторому фильтру fjr)
в топологии |Г, определяемой полунормами рп< т, необходимо и доста-
достаточно, чтобы функции /?,") для каждого целого п ^ 0 равномерно схо-
сходились к нулю (по фильтру 5) на каждом компактном множестве из R^
Говорят, что Ш есть топология компактной сходимости для функ-
функций f ?% и всех их производных.
Предложение 4. Каждая локально выпуклая топология в век-
векторном пространстве Е над R может быть задана некото-
некоторым множеством полунорм.
Это—непосредственное следствие предложения 3: топология-
пространства Е определяется множеством всех непрерывных полу-
полунорм на Е.
В частности, множество всех полунорм на векторном простран-
пространстве Е определяет сильнейшую локально выпуклую топологию в Е
(§ 2, п° 1).
Замечание. Пусть р и q — две полунормы на векторном про--
странстве Е. Если существует такая постоянная а > 0, что/> (х) -< iq (хУ
во всех точках некоторого поглощающего множестэа А, то, поскольку р*

122 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 5
и q положительно однородны, это неравенство выполняется во всех
точках пространства Е. Тем самым отношение „существует а>0
такое, что р <! a.q" равносильно отношению р s< q по фильтру окрест-
окрестностей нуля для сильнейшей локально выпуклой топологии в Е (Функц.
вещ. перем., гл. V, § 1, п° 1 A3) ). Допуская вольность речи, мы говорим,
что множество Го полунорм на Е — фильтрующееся (по отношению ^),
•если для любых двух полунорм ръ р2 ? Го существует полунорма q ? Го
такая, что pi^q н р2^.д. Тогда множества, определяемые всевоз-
всевозможными неравенствами вида р(х)-^ X, где р ? Го и \^>0, образуют
фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии, заданной
множеством Го. Каково бы ни было множество Г полунорм на Е,
можно получить фильтрующееся множество полунорм, определяющее
ту же топологию, что и Г, образовав множество Го верхних граней
всевозможных конечных наборов полунорм, принадлежащих Г.
Предложение 5. Пусть Г — множество полунорм на век-
векторном пространстве Е. Для того чтобы топология, опреде-
определяемая этим множеством, была отделимой, необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждого х Ф 0 из Е существовала полунорма
J)?Y такая, что р(х)фО.
Это предложение очевидным образом следует из определений.
Предложение 6. Для того чтобы локально выпуклое про-
пространство было метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы
¦оно было отделимым и его топологию можно было задать счет-
мым множеством полунорм.
Действительно, для того чтобы отделимое локально выпуклое
векторное пространство было метризуемым, необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовала счетная фундаментальная система окрест-
окрестностей нуля.
Пусть Е — локально выпуклое пространство, топология которого
задана множеством Г полунорм. Так как для каждой полунормы р
выполняется неравенство р (х — z) ^ р (х —у) -\- р (у—z), то р (х —у)
есть отклонение на Е (Общ. топ., гл. IX, § 1, п° 1) и из определе-
определений следует, что когда р пробегает Г, множество этих отклонений
¦определяет равномерную структуру топологического векторного про-
-странства Е.
Пусть теперь Е отделимо. Функции р^Т, будучи равномерно
непрерывны на Е, по непрерывности продолжаются на пополнение Е
пространства Е (Общ. топ., гл. II, § 3, теорема 1). Пусть Г — мно-

-5 ПОЛУНОРМЫ 123
жество этих продолженных функций. В силу принципа продолжения
неравенств (Общ. топ., гл. IV, § 5, теорема 1), функции из Г
¦являются полунормами на В; при этом, если через р обозначить
продолжение функции p^V на Е, функции р(х— у) образуют
•систему отклонений, определяющих равномерную структуру про-
-странства Е (Общ. топ., гл. IX, § 1, п° 6). Мы видим, таким обра-
-зом, что Г есть множество полунорм, определяющих топологию
пространства Ё.
S. Полунормы в факторпространствах и произведениях про-
пространств
Пусть Е — локально выпуклое пространство, топология которого
задана множеством Г полунорм. Сужения этих полунорм на вектор-
векторное подпространство М пространства Е, очевидно, задают в М
топологию, индуцируемую из Е.
Пусть <р — каноническое отображение пространства Е на фактор-
пространство EJM. Пусть, далее, U — симметричная выпуклая откры-
открытая окрестность нуля в Е и р — ее калибровочная функция, так
•что U совпадает с множеством тех х?Е, для которых р{х)<^ 1.
Для каждого z?Е/М множество чисел р>0 таких, что z?p<p(?/) =
¦= <р (р?/), совпадает с множеством чисел р > 0 таких, что суще-
существует х ? Е, для которого х ? р?/ и ср (х) = z. Отсюда следует
{формула F)), что калибровочная функция р множества <р (U) задается
формулой
p(z)= inf p(x). G)
(
Таким образом, если множество Г — фильтрующееся (п° 4, заме-
замечание), то топология факторпространства Е/М задается множеством
полунорм р, где р пробегает Г.
Рассмотрим, в частности, локально выпуклое пространство Е,
топология которого задана одной только полунормой р. Для того
чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы р было
¦нормой (предложение 5). Если р — не норма, то замыканием N
точки 0 в Е служит векторное подпространство р@); ассоцииро-
ассоциированное отделимое пространство E/N есть тогда нормированное про-
пространство, определяемое нормой р, соответствующей полунорме р;
здесь р(х) — р(х) для каждого х, принадлежащего классу х по
модулю N.

124 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. И, § 5-
Пусть Е — векторное пространство над R, (A),?j — семейство
локально выпуклых пространств и /, для каждого i ? / — линейное
отображение Е в ?\. Рассмотрим слабейшую локально выпуклую
топологию f0 в Е, при которой все функции /, непрерывны
(§ 2, п° 2). Из определения окрестностей нуля для топологии IT^
(там же) сразу видно, что если Г, для каждого i?/—множество-
полунорм, определяющих топологию пространства Ео то тополо-
топология сГ0 определяется полунормами pt»/t, где i — произвольные
индексы из /, а р1 для каждого i?/—любая полунорма из Г,.
Предложение 7. Каждое отделимое локально выпуклое про-
пространство изоморфно подпространству произведения банахов-
ских пространств.
Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство, тополо-
топология которого определяется семейством (/>„)„,А полунорм; Na для
каждого а— подпространство рЛ@) в Е; Еа — пополнение фактор-
пространства E/Nu, наделенного топологией, определяемой нормой /?„,,
соответствующей полунорме ра, и сра — каноническое отображение Е
на E/Nar Множество тех х?Е, для которых />»(*)< 1, есть про-
прообраз шара, определяемого в E/Na неравенством pa(z) < 1, относи-
относительно отображения <р«- Это показывает, что топология пространства
Е — слабейшая, при которой непрерывны линейные отображения сря
пространства Е в пространства Еа, чем предложение и доказано,'
поскольку ? отделимо (гл. I, § 1, предложение 15).
Наконец, пусть Е — векторное пространство над R, (,Еа)агд —
семейство его векторных подпространств, /„ для каждого индекса
а — каноническое отображение Ел в Е и аГа — локально выпуклая
топология в ?а. Пусть Г—множество всех полунорм р на Е,
сужения которых на каждое Еа непрерывны в топологии аГа. Тогда
сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой непре-
непрерывны все Д (§ 2, п° 2), определяется множеством полунорм Г.
6. Полилинейные непрерывные отображения произведения
локально выпуклых пространств в локально выпуклое
пространство
Предложение 8. Пусть Ег A</^«) и F — локально вы-
выпуклые пространства, Tt (!<*'<» и Г — фильтрующиеся мно-

* полунормы 125
жгстза. полунорм, определяющие соответственно топологии
пространств Ei и F. Для того чтобы полилинейное отображе-
п
ние и произведения JJ Et в F было непрерывно, необходимо и
¦достаточно, чтобы для каждой полунормы q?T существовали
полунормы Pi^Tt A-^г^Сге) и число а>0 такие, что
Я (и (*i> хг хп) )< арх (хО р2 (хг) ... рп (хп) (8)
для всех точек (xlt x2 -
Условие необходимо. Действительно, в силу предположения, для
каждой полунормы q?T и каждого числа [3 > 0 существуют п
чисел сц > 0 и полунормы ft^Fj (l^i^n) такие, что неравен-
неравенства pi(х{)< щ A < I< п) влекут q(и(хи х2 хп))< $. Пусть
п
тогда (xlt х2, . • ., хп) — произвольная точка из JjEj и Х{ для каж-
i
дого номера г—число 1>0, удовлетворяющее неравенству Хг/74
Так как эти неравенства можно записать в виде р% (^лг{) ^
< ait то g(м(k1xv 12х2 1пхп))< р, т. е. ^(и (х1( х2> .... хп))<
-< -т-гг—-—т— . Если теперь р{ (х4) = 0 хотя бы для одного
к^кг ... кп
номера I, то ^ можно взять произвольно большим, так что
q(u(xv х2 хп)) = 0; если же все Рг(х{)фО, то можно взять
Xt = У . В обоих случаях будет выполняться неравенство (8)
Pi (xi> „
с а = ! .
Обратно, если условие сформулированного предложения выпол-
выполнено, то и, очевидно, непрерывно в точке @, 0, ..., 0), а значит,
и всюду (гл. I, § 1, предложение 6).
Следствие. Для того чтобы и было непрерывно, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любой полунормы q^T функ-
функция q(u(xv x2, ..., хп)) была ограниченна на некоторой окрест-
п
ности нуля в \\ Ег.
1
Необходимость условия очевидна, а из предыдущего доказатель-
доказательства видно, что выполнение этого условия влечет неравенство (8) и
тем самым непрерывность и.

126 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА Г Л. II, §.5
Отметим частный случай предложения 8, относящийся к линей-
линейным отображениям.
Предложение 9. Пусть Е и F — локально выпуклые про-
пространства, Г и I"— фильтрующиеся множества полунорм, опре-
определяющие соответственно топологии пространств Е и F. Для:
того чтобы линейное отображение и пространства Е в F
было непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы для каждой
полунормы q?V существовали полунорма р?Т и число а>0
такие, что
q(u(x))*Cap{x) (9>
для всех х?Е.
Следствие. Пусть § и §' — две локально выпуклые топо-
топологии в векторном пространстве Е, а Г и Г' — определяющие их
фильтрующиеся множества полунорм. Для того чтобы Ш мажо-
мажорировала §', необходимо и достаточно, чтобы для каждой полу-
нормы q ? Г' существовали полунорма р?Т и число а>0 такие у,
что q (x) <; ар (х) для всех х?Е.
Действительно, последнее означает, что тождественное отображе-
отображение пространства Е, наделенного топологией аГ, на Е, наделенное
топологией аГ', непрерывно.
7. Теорема Хана — Банаха {аналитическая форма).
Теорема 1 (Хан — Банах). Пусть р—полунорма на вектор-
векторном пространстве Е над R, М — векторное подпространство-
в Е и /—линейная форма на М такая, что \ f (х) | ^ р (х) для
всех х?М. Тогда на Е существует линейная форма /, продол-
продолжающая f и такая, что \ f (x) | <C p (х) для всех х?Е.
Можно ограничиться случаем / ф 0. Рассмотрим в Е локально-
выпуклую топологию, определяемую одной только полунормой р.
Выпуклое множество А тех х, для которых /?(х)<1, не пусто »
открыто в Е. Пусть N — гиперплоскость пространства М, заданна»
уравнением /(х)=1. Это—линейное многообразие в Е, и так как
во всех его точках /j(x)^>1, то оно не пересекается с А. Теорема
Хана — Банаха в ее геометрической форме (§ 3, теорема 1) показы-
показывает, что в Е существует гиперплоскость Н, содержащая Л/ и не
пересекающаяся с А. Пусть /—линейная форма на Е такая, что

полунормы 127"
/ (х) =1 на Я. Так как на гиперплоскости N подпространства М
сужения / и / совпадают, то f(x)=f(x) на всем М. Наконец, так
как 0 принадлежит открытому полупространству, определяемому
неравенством f (х) < 1, то это полупространство содержит А и, сле-
следовательно, /(х)=1 влечет р(х)^>\. В силу однородности функ-
функций / и р, тогда [/(я) | <С/?(х) Для всех х?Е, и теорема доказана.
Следствие 1. Пусть Е — нормированное пространство над R,
М — его векторное подпространство и /—непрерывная ли-
линейная форма на М. Тогда на Е существует непрерывная
линейная форма /, продолжающая / и такая, что нормы \\f\\
и [|/|| этих линейных форм (Общ. топ., гл. X, § 2, п° 2) равны.
Достаточно применить теорему 1, приняв /? (л:) = ||/|| ||jc||, что
даст ||/||-^||/||. Так как, с другой стороны, по определению,
= sup |/(x)|, то, очевидно, ||/||^>||/||. и утверждение дока-
зано.
Утверждение следствия 1 не распространяется на непрерывные
линейные отображения нормированного пространства в произвольное
нормированное пространство (см. гл. IV, § 5, упражнение 5в и гл. V,
§ 1, упражнение 12).
Следствие 2. Пусть Е — локально выпуклое пространство*
х0 — точка в Е и р — непрерывная полунорма на Е. Тогда на Е
существует непрерывная линейная форма f такая, что/(х0) = р (хо>
и I / (х) I ^С Р (*) на всем Е'
Достаточно применить теорему 1 к векторному подпростран-
подпространству М, порожденному точкой х0, и определенной на М линейной
форме Хх0 -> \р (х0).
Отметим, что при р (xq) ф 0 гиперплоскость, заданная уравне-
уравнением f(x) =р(х0), есть опорная гиперплоскость выпуклого тела, опре-
определенного неравенством р(х)^.р (хо), проведенная через точку л:^
Упражнения. 1) Пусть Е—векторное пространство над R и
/—выпуклая функция, заданная на выпуклом подмножестве //про-
//пространства Е.
а) Показать, что если /— не постоянная, то она не может при-
принимать свое наибольшее значевие в окруженной точке множества Н.
б) Показать, что множество тех точек в Н, где / достигает своего»
наибольшего значения, выпукло.

128 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 5
*2) Пусть Е — отделимое топологическое векторное пространство
над R, С —непустой открытый выпуклый заостренный конус в Е
с вершиной хо, V— выпуклая окрестность точки хо в Е и f— выпуклая
функция, заданная и ограниченная на Cf\V. Показать, что f(x) стре-
стремится к конечному пределу, когда х стремится к х0, оставаясь в С|"| V.
tMoжвo считать Хо = 0. Пусть р = lim sup /(*); вести рассужде-
o?C{\V
ние от противного, предполагая, что существует а ]> 0 такое, что
в каждой окрестности нуля имеется точка y?C{\V, для которой
-/(У)О — <*• Показать, что существует точка a?C{)V такая, что
/(рд)!>|3 ^ Для 0<О<!1; вывести отсюда, что тогда на прямой,
соединяющей точку вида ра (с достаточно малым р) с точкой у
в СП V, достаточно близкой к нулю и такой, что f(y) •< 3 — а, должны
были бы существовать точки множества C[\V, в которых / было бы
•сколь угодно велико.]
*3) Пусть Е — отделимое топологическое векторное пространство,
А — непустое выпуклое множество в Е, х0 — точка прикосновения
множества A, f—конечная выпуклая функция, заданная на А, и
А — множество всех замкнутых полупрямых D с началом х0 таких,
что D[\A содержит открытый отрезок с концом х0. Объединение С
полупрямых D?A есть выпуклый конус с вершиной л:0.
а) Показать, что какова бы ни была полупрямая D ? Л, f(x) стре-
стремится к конечному пределу илн + со, когда х Ф х0 стремится к х0
•оставаясь в ?>|"|-<4.
б) Пусть ЧГ — подмножество в А, образованное полупрямыми D
такими, что f(x) стремится к +со, когде х Ф х0 стремится к хц,
¦оставаясь в D[\A; если Xq ? А, то ЧГ пусто. Показать, что ЧГ не может
содержать двух противоположных полупрямых и что если D, D' — две
различные полупрямые, принадлежащие Ч!1, и Р — определяемая ими
плоскость, то либо каждая полупрямая D" ? А, содержащаяся в Р, при-
принадлежит Ч?", либо D и D' — единственные полупрямые из Ч", содержа-
содержащиеся в Р. Вывести отсюда, что если Ч' ф А, то никакая полупря-
полупрямая D ? Ч* не может содержать окруженной точки конуса С.
в) Пусть Ф — дополнение к Ч? относительно Д. Показать, что
•объединение Со полупрямых D ?Ф есть выпуклый конус и что для
полупрямых D ?Ф предел f (х), когда х Ф Хо стремится к х0, оста-
оставаясь в D[)A, не зависит от D. [Использовать упражнение 2.] Кроме
того, если хо?А, то значение этого предела -</(.*o), причем оно
равно f(x0), когда Ф содержит пару противоположных полупрямых.
г) Если /—не непрерывная линейная форма на Е и А = Е, то
каждая замкнутая полупрямая с началом х0 принадлежит Ф, но
1im inf/(j«r) = — со н lim supf(x) = + со. [Использовать упражнение 2.]
хух х>х
4. Пусть Н—компактное выпуклое множество в конечномерном
отделимом топологическом векторном пространстве В над R. Пока-

полунормы 129
зать, что каждая выпуклая функция на Н ограниченна снизу. Пока-
Показать на примере, что это может быть уже неверным, если Е не
конечномерно. [См. упражнение Зг.]
5) Пусть Е — векторное пространство над R и А — выпуклое мно-
множество в Е, содержащее начало. Для каждого х Ф 0 нз Е обозначим
через р(х) нижнюю грань чисел р>0 таких, что х??А, если такие
числа существуют, н -\- со в противном случае; кроме того, положим
р @) = 0. Показать, что р — выпуклая положительно однородная функ-
функция в Е; назовем ее калибровочной функцией множества А.
6) Дать: 1° пример конечной выпуклой функции, определенной на
открытой полуплоскости Н в R2, не ограниченной на Я и не стремя-
стремящейся ни к какому пределу при стремлении аргумента к точке 0,
являющейся граничной для Н\ 2° пример конечной выпуклой функ-
функции, определенной на ограниченном открытом множестве А из R2 и
не стремящейся ни к какому пределу при стремлении аргумента
к некоторой граничной точке этого множества. [Рассмотреть калибро-
калибровочную функцию диска, имеющего 0 своей граничной точкой.]
7) Пусть U и V —выпуклые открытые множества в отделимом
топологическом векторном пространстве Е над R такие, что VczU и U
' не содержит никакой полупрямой. Пусть ЗГ — семейство конечных
выпуклых функций на U, равномерно ограниченных сверху на гра-
границе множества U и равномерно ограниченных снизу на границе
множества V. Показать, что <•?" равностепенно непрерывно на V.
8) Пусть Н—выпуклое открытое множество в Rre, ff" — множество
конечных выпуклых функций на Н и Ф — фильтр в Зг, сходящийся
в каждой точке множества Н к некоторой конечной функции /0.
Показать, что Ф равномерно сходится к /0 на каждом компактном
подмножестве множества Н. [Использовать упражнение 7.]
*9) Пусть Е — конечномерное отделимое топологическое вектор-
векторное пространство над R.
а) Пусть % (?) — множество всех замкнутых множеств из Е,
наделенное равномерной структурой, получаемой из равномерной
структуры пространства Е по способу упражнения 7 в Общ. топ.,
гл. II, § 2 (и). Показать, что в полученном пространстве множе-
множество Ё (Е) всех выпуклых замкнутых множеств из Е замкнуто.
Вывести отсюда, что множество всех выпуклых замкнутых под-
подмножеств компактного множества /(сЕ есть компактное множество
в к (Е) [см. Общ. топ., гл. II, § 4, упражнение 5 (в)].
б) Пусть F—векторное подпространство пространства Е и /(—
компактное множество в Е. Показать, что отображение С-*-C[\F мно-
множества всех выпуклых замкнутых множеств С с К в $ (F) непре-
непрерывно. Непрерывно ли отображение C->-Cf]F множества Я (?)
в Я (/=•)?
в) Пусть А пробегает множество Яо (Е) всех выпуклых ком-
компактных множеств в Е, имеющих 0 своей окруженной точкой, н

ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, S 5
рА — калибровочная функция (упражнение 5) множества А. Показать
что отображение А-+рА есть изоморфизм равномерного подпростран-
подпространства Йо(?) пространства Ш(Е) в пространство СС(Е, R) непрерывных
числовых функций на Е, наделенное равномерной структурой ком-
компактной сходимости (Общ. топ., гл. X, § 1).
10) Пусть А — выпуклое компактное множество в R" и В — его
проекция на подпространство Rra-1 (отождествленное с гиперпло-
гиперплоскостью, определяемой уравнением in — 0). Показать, что на В суще-
существуют две выпуклые функции /j, /2 такие, что А совпадает с множе-
множеством тех точек (г, и) из R", для которых г^В и Д(г)<;и<;—Л (*)•
11) Для того чтобы в локально выпуклом пространстве Е суще-
существовало выпуклое тело, не содержащее никакого линейного много-
многообразия, необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е
мажорировала некоторую нормированную топологию в Е. Показать, что
если это условие выполнено, то границы двух выпуклых тел, не
содержащих никакой полупрямой, гомеоморфны.
*12) а) Пусть Е — бесконечномерное нормированное пространство
над R и |Г — его топология. Показать, что в Е существуют нормиро-
нормированная топология Э"', более сильная чем |Г, и нормированная тополо-
топология |Г", более слабая чем Э". [Окрестности нуля для этих топологий
определить с помощью базиса в Е, заданного в форме (аа,»), где а
пробегает некоторое бесконечное семейство индексов А, а п — мно-
множество целых чисел >0, причем |]да> п\\ =1.]
б) Пусть р (х) — норма, определяющая топологию f'. Показать
что если Е в топологии 3" —¦ банаховское пространство, то р не может
быть полунепрерывной снизу на ? в топологии jr. [Воспользоваться
теоремой Бэра; см. гл. 111, § 1.] Вывести отсюда, что выпуклое множе-
множество А, определяемое-неравенством р(х)<^\, не содержит ни одной
внутренней (в топологии f) точки, хотя все его точки и окруженные.
в) Вывести из б), что если Е в топологии JT — банаховское про-
пространство, то в ? существуют незамкнутые (в топологии |г) выпуклые
множества, пересечение которых с каждым конечномерным линейным
многообразием замкнуто. [См. § 2, упражнение 4, и § 1, упражнение 15.]
13) Для того чтобы множество Г полунорм на векторном про-
пространстве Е над R было множеством всех полунорм, непрерывных в
некоторой локально выпуклой топологии в Е, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Г удовлетворяло следующим двум условиям: 1° если р ? Г,
то каждая полунорма q такая, что q<iap (где а — постоянная), при-
принадлежит Г; 2° если р и q принадлежат Г, то и sup (p, q) принад-
принадлежит Г.
14) Пусть S — произвольное множество, F= $g (S) — банаховское
пространство всех ограниченных числовых функций на S, Е — про-
произвольное нормированное пространство над R и М — его векторное
подпространство. Показать, что для каждого непрерывного линейного
отображения / подпространства М в F существует непрерывное

I КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 131
линейное отображение / пространства Е в F, продолжающее / и такое,
что 11/Ц = Ц/11. [Для каждого s?S рассмотреть линейную форму
x->(f(x)) (s), определенную на М.\
15) Пусть Е — векторное пространство над R, М — его векторное
подпространство, р — полунорма на ? и q — полунорма на М такая,
что q (х) ¦< р (х) для всех х ? М. Показать, что на Е существует полу,
норма q<Lp, сужение которой на М равно q. [См. § 2, п° 5, лемма 1.]
16) Пусть Е—векторное пространство над R, р — конечная поло-
положительно однородная выпуклая функция (произвольного знака) на Е,
М — векторное подпространство в ? и /—линейная форма па М
такая, что f(x)^p (х) для всех х ? М. Показать, что на Е суще-
существует линейная форма /, продолжающая / и такая, что /(х)^.р (х)
для всех х ? Е. [В пространстве Е X R. наделенном сильнейшей
локально выпуклой топологией, рассмотреть конус С, образованный
теми точками {х, t), для которых р (х) < t, и принять во внимание,
что этот конус — открытый.]
§ 6. Комплексные локально выпуклые пространства
/. Топологические векторные пространства над С
Пусть Е— топологическое векторное пространство над телом С
комплексных чисел. Топология пространства Е согласуется также
со структурой векторного пространства над R, получающейся при
сужении тела скаляров до R. Топологическое векторное простран-
пространство над R, базисное для пространства Е (гл. 1, § 1, п° 1), мы будем
обозначать через Ео. Отметим, что отображение x—yix (не являю-
являющееся на Ео гомотетией) есть автоморфизм и структуры топологи-
топологического векторного пространства в Ео, обладающий тем свойством,
что и2 (х) = — х.
Обратно, пусть топологическое векторное пространство F над R
обладает автоморфизмом и таким, что м2=—е (где е — тождествен,
ный автоморфизм). Как известно (Алг., гл. IX), в F можно тогда
ввести структуру векторного пространства нал С, для каждого
X = а -\- 1Ъ ? С и каждого х ? F положив Хх = ах -f- 8и (х). Так как
отображение (а, 3, х) -> ах -\- $и (х) произведения R2 X F в F непре-
непрерывно, то топология пространства F будет согласоваться с введен-
введенной так структурой векторного пространства над С. И F будет топо-
топологическим векторным пространством над R, базисным для определен-
определенного так топологического векторного пространства Е над С.
Пример. Пусть G — топологическое векторное пространство
над R и F— G X G. Формула и(х, у) = (—у, х) определяет автомор-

132 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 6
физм и пространства F, имеющий своим квадратом — е. Следова-
Следовательно, ему соответствует в F структура векторного пространства
над С, в которой (я + /р> (х, у) = (ах — Ру, pjt + oy), В частности,
1(х, 0) = @, х) н, значит, (х, у) = (х, 0) + /(у, 0), а это показывает,
что определенное так (не топологическое) векторное пространство Е
над С получено расширением тела скаляров пространства G до С
(Алг., гл. III, § 2). Мы будем говорить также, что топологическое
векторное пространство Е над С получено из G путем расширения
тела скаляров до С, и обозначать Е также через G^.
Замечание. Не всякое топологическое векторное простран-
пространство F над R обладает автоморфизмом и, имеющим своим квадра-
квадратом — е. Так, например, в векторном пространстве нечетной размер-
размерности над R нельзя ввести структуру векторного пространства над С.
Пусть Е— топологическое векторное пространство над С и
?0 — базисное для него топологическое векторное пространство
над R. Каждое линейное многообразие М пространства Е есть также
линейное многообразие в Ео, обратное же неверно. Во избежание
путаницы, мы будем называть линейное многообразие при структуре
векторного пространства относительно С (соотв. относительно R)
комплексным (соотв. вещественным) линейным многообразием. Ком-
Комплексное линейное многообразие конечной размерности (соотв. фактор-
размерности) п есть вещественное линейное многообразие размер-
размерности (соотв. факторразмерности) 2п. Для того чтобы вещественное
векторное подпространство М пространства Е было также комплекс-
комплексным векторным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
ШсМ.
Напомним (Алг., гл. III, § 2), что для топологических векторных
пространств Е и F над С отображение Е в F называется С-линей-
ным (соотв. R-линейным), если оно является линейным отображением
при наделении Е и F структурой векторного пространства относи-
относительно С (соотв. R); каждое С-линейное отображение, очевидно,
R-линейно, обратное же неверно. Допуская вольность речи, мы С-ли-
нейную форму на Е будем называть комплексной линейной формой,
а R-линейную форму на Е (т. е. линейную форму на Ео) — веще-
вещественной линейной формой. Если /—комплексная линейная форма
на Е, то, очевидно, g=$lf и й = 3/—вещественные линейные
формы; при этом из соотношения / (ix) = if (x) следует тождество
Л(х) = —g(tx). Обратно, если g—вещественная линейная форма

2 КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 133
на Е, то f(->c) = g(x) — tg(ix) есть однозначно определенная ком-
комплексная линейная форма на Е, для которой ffif — g; для того
чтобы / была непрерывной на Е, очевидно, необходимо и доста-
достаточно, чтобы была непрерывной g.
Пусть теперь Н—комплексная гиперплоскость в Е, заданная
уравнением /(х) = а-|-/|3, где /—комплексная линейная форма
на Е; полагая g=3lf, мы видим, что Н есть пересечение двух
вещественных гиперплоскостей Ht и Н2, заданных соответственно
уравнениями g(x) — 3. и g(ix)=^ — Р; если Н замкнута, то зам-
замкнуты также Нх и #2 (гл. I, § 2, теорема 1). Обратно, пусть Но —
однородная вещественная гиперплоскость, с уравнением g(x) = Q
(где g — вещественная линейная форма на Е); тогда H=Hof]iHo
есть однородная комплексная гиперплоскость, причем ее уравне-
уравнением служит /(х) = 0, где /—комплексная линейная форма, для
которой SR/ = g; если Яо замкнута, то и Я замкнута.
2. Комплексные локально выпуклые пространства
Напомним, что в комплексном векторном пространстве Е мы
используем термин „диск" в качестве синонима для „уравновешен-
„уравновешенного множества" (гл. I, § 1, п° 3, определение 2); таким образом,
утверждение, что множество АсЕ есть диск, означает, что если х^А,
то рх?А для всех р таких, что O^p^l, и е^х^А для всех
вещественных 0.
Говорят, что множество А в комплексном векторном простран-
пространстве Е выпукло, если оно выпукло в вещественном векторном про-
пространстве Ео, базисном для Е. Для того, чтобы выпуклое множе-
множество АсЕ было диском, достаточно, чтобы е^АаА для всех ве-
вещественных 8; действительно, отсюда прежде всего вытекает, что
— Л = Л; так как А симметрично, то оно содержит 0 и, следо-
следовательно, рЛсЛ, когда O^p^l.
Пусть Е — комплексное топологическое векторное пространство.
Наименьший выпуклый диск (соотв. замкнутый выпуклый диск), содер-
'жащий множество Лс?, называется закругленной выпуклой обо-
оболочкой (соотв. замкнутой закругленной выпуклой оболочкой)
множества А; замкнутая закругленная выпуклая оболочка множе-
множества А есть замыкание его закругленной выпуклой оболочки. Эта
последняя есть выпуклая оболочка объединения множеств е^А, так
что ее можно определить как множество линейных комбинаций

134 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 6
^XjXj, где {xt) — любые конечные семейства точек из A, a (kt) — лю-
г
бые семейства комплексных чисел такие, что 2 IМ "^ *• Если А пред-
i
i
компактно, то и его закругленная оболочка предкомпактна (гл. I, § 1,
п° 5), а значит, если Ео локально выпукло, —• и его закругленная
выпуклая оболочка предкомпактна (§ 4, предложение 2).
Говорят, что комплексное топологическое векторное простран-
пространство Е локально выпукло, если локально выпукло его базисное
вещественное топологическое векторное пространство Ео, т. е. если
каждая окрестность пуля в Е содержит выпуклую окрестность нуля;
топология оГ в Е называется локально выпуклой, если она согла-
согласуется со структурой векторного пространства в Е (относительно С)
и Е, наделенное этой топологией оГ, локально выпукло. Так как
каждая замкнутая выпуклая окрестность нуля V содержит тогда
закругленную окрестность нуля W (гл. I, § 1, предложение 4), то
она содержит и замкнутую закругленную выпуклую оболочку U
последней; иными словами, закругленные выпуклые замкнутые
окрестности нуля образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля в Е, притом инвариантную относительно всех гомотетий с не-
ненулевыми коэффициентами.
Обратно, пусть Е — комплексное векторное пространство и <3 —
базис фильтра в Е, образованный поглощающими выпуклыми ди-
дисками. Как мы знаем (§ 2, п° 1), тогда семейство 33 образов мно-
множеств из S при всевозможных гомотетиях с коэффициентами > О
является фундаментальной системой окрестностей нуля для локаль-
локально выпуклой топологии |Г в вещественном векторном простран-
пространстве Ео, базисном для Е. Так как, кроме того, множества из 23 —
диски, то они инвариантны относительно всех гомотетий х —> е^х,
а это показывает, что Ш согласуется со структурой векторного
пространства в Е (над С) (гл. I, § 1, предложение 5).
Говорят, что конечная числовая функция р, определенная на
комплексном векторном пространстве Е, есть полунорма, если она
удовлетворяет аксиоме (SNn) n°3 § 5 и следующей аксиоме:
(SNi) p(lx) = \l\p(x) для всех х?Е и Х?С

3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 135
То же самое можно выразить, потребовав, чтобы р было полу-
полунормой на вещественном векторном пространстве Ео, базисном для Е
удовлетворяющей условию р (Ае) =р (х) для всех 6?R.
Непосредственно ясно, что если Г есть множество полунорм,
определенных на комплексном векторном пространстве Е, и © —
множество всех подмножеств пространства Е, определяемых нера-
неравенством вида р (х) < X, где р ? Г и X > 0, то множество © пере-
пересечений всевозможных конечных наборов множеств из © есть фун-
фундаментальная система закругленных выпуклых открытых окрестностей
нуля для некоторой локально выпуклой топологии JT в Е. §Г назы-
называется еще топологией, определяемой множеством Г полунорм.
Каждая локально выпуклая топология в комплексном векторном
пространстве Е может быть определена некоторым множеством
полунорм, поскольку калибровочная функция закругленной выпуклой
открытой окрестности нуля есть полунорма на Е.
Мы предоставляем читателю распространить на комплексные
локально выпуклые пространства свойства полунорм, установленные
в п°п° 4, 5 и 6 § 5 для полунорм на вещественных локально выпуклых
пространствах, равно как и два метода введения локально выпуклой
топологии, исследованные в п°п° 2, 3, 4 и 5 § 2.
Комплексное локально выпуклое пространство называется про-
пространством Фреше, если оно метризуемо и полно.
3. Теорема Хана—Банаха
Из теоремы Хана — Банаха для вещественных топологических
векторных пространств, в ее геометрической форме (§ 3, теорема 1),
непосредственно вытекает следующее предложение:
Предложение 1. Пусть Е — комплексное топологическое век-
векторное пространство, А— непустое выпуклое открытое мно-
множество в Е а М — комплексное линейное многообразие в Е,
не пересекающееся с А. Тогда существует замкнутая комплекс-
комплексная гиперплоскость И, содержащая М и не пересекающаяся с А.
Можно ограничиться тем случаем, когда 0?М. Тогда суще-
существует замкнутая вещественная гиперплоскость, содержащая М и не
пересекающаяся с А (§ 3, теорема 1). Так как М — Ш, то замкну-
замкнутая комплексная гиперплоскость Н= Н0[)Ш0 и будет обладать
требуемым свойством.

136 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 6
Следствие. В комплексном локально выпуклом простран-
пространстве Е каждое замкнутое комплексное линейное многообразие М
есть пересечение содержащих его замкнутых комплексных
гиперпл ос костей.
Действительно, каждое х (? М обладает выпуклой открытой
окрестностью V, не пересекающейся с М, и значит существует
замкнутая комплексная гиперплоскость И, содержащая М и не
пересекающая V; тем более Н не содержит х.
Аналитическая форма теоремы Хана — Банаха (§ 5, теорема 1)
также обобщается на комплексные топологические векторные про-
пространства.
Теорема 1 (Хан — Банах). Пусть р — полунорма на ком-
комплексном векторном пространстве Е, М — векторное подпро-
подпространство в Е и f — (комплексная) линейная форма, определен-
определенная на М и такая, что \f(x)\^.p(x) для всех точек из М.
Тогда существует (комплексная) линейная форма /t на Е, про-
продолжающая f и такая, что | /t (х) | ^ р (х) для всех точек из Е.
Действительно, g = 9J/ есть вещественная линейная форма, опре-
определенная на Ж и такая, что | g (х) | ^ р (х) для всех точек из М\
следовательно, существует вещественная линейная форма gv опре-
определенная на Е, продолжающая g и такая, что | gt (x) | <; р (х) на
всем Е (§ 5, теорема 1). Пусть Д(л:) — комплексная линейная форма
gi(x) — ig\.{ix) на Е> имеющая gy своей вещественной частью. Для
всех вещественных значений 8 имеем
Л (*)) | = |»(Л (Л)) | = | gl (е*х) | < р (*<•*) = р (х);
в частности, |/t (х) | ^ р (х), и теорема доказана.
Следствие 1. Пусть Е — комплексное локально выпуклое
пространство и М — комплексное векторное подпространство
в Е. Для всякой непрерывной линейной формы f на М суще-
существует непрерывная линейная форма fv определенная на Е
и продолжающая /.
Достаточно заметить, что на Е существует непрерывная полу-
полунорма р такая, что |/(х)|<р(х) для всех х?М (§5, предло-
предложение 9).

3 КОМПЛЕКСНЫЕ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА 137
Из этого следствия сразу вытекает, что каждое непрерывное
линейное отображение подпространства М в произведение С1 продол-
продолжается до непрерывного линейного отображения пространства Е
в С1 (см, § 3, следствие 5 предложения 4).
Следствие 2. Для каждого конечномерного (комплексного)
векторного подпространства М отделимого комплексного ло-
локально выпуклого пространства Е существует замкнутое (ком-
(комплексное) векторное подпространство N, топологически дополни-
дополнительное к М.
С учетом предыдущего замечания доказательство совпадает
с доказательством следствия 6 предложения 4 § 3.
Следствие 3. Пусть Е— комплексное нормированное про-
пространство и М — его комплексное векторное подпространство.
Для каждой непрерывной линейной формы на М существует
непрерывная линейная форма Д, определенная на Е, продолжаю-
продолжающая f и такая, что ||/|| = ||Д||.
Доказательство совпадает с доказательством следствия 1 тео-
теоремы 1 § 5.
Предоставляем читателю сформулировать для комплексных ло-
локально выпуклых пространств аналог следствия 2 теоремы 1 § 5,
доказательство которого сохраняется без всяких изменений.
Упражнения. 1) Установить для топологических векторных
пространств над телом К кватернионов определения и свойства, соот-
соответствующие приведенным в этом параграфе.
2) Введем на /j-адическом теле Qp (р — простое > 2) норму | 6 | =
= 2 Р , где Vp—р-адическая норма, и на векторном пространстве
Е = Q2p размерности 2 над Qp — норму || (?, к)) || = | 6 | + 11) |. Пусть
х0 — вектор (р, р), D — порожденное им одномерное подпространство
в Е и /—линейная форма на D, определяемая условием f{xu)—\.
Показать, что ||/ц=1, но для каждой линейной формы ft на Е, про-
продолжающей /, || Д || > 2.
*3) Пусть К. — недискретное полное нормированное тело и Е —
нормированное пространство над /'<, норма которого удовлетворяет
„ультраметрическому" неравенству ||* + )>||<; тах(||х\\, ||у||).
а) Показать, что норма удовлетворяет ультраметрическому нера-
неравенству на каждом факторпространстве пространства Е по замкнутому
векторному подпространству.

138 ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. II, § 6
б) Пусть Е двумерно над К, х— ненулевой вектор из Е, D —
порожденное им одномерное векторное подпространство и/— линейная
форма на D. Показать, что для любого е>0 существует линейная
форма /j, определенная на Е, продолжающая /и такая, что ||/i||<!
•< A + е) 11/11 • [Взять базис в Е, образованный вектором х и век-
вектором у, для которого || у || !>. . ¦¦¦, где d — расстояние от у до D,
и для каждого г = Хх-\- jxy ?Е положить /j (г) —f(\x).]
в) Пусть Е—произвольной размерности н М— векторное подпро-
подпространство в Е, факторпространство Е/М по которому обладает счетным
базисом над К- Показать, что для каждой непрерывной линейной
формы / на М н каждого е>0 существует линейная форма Д,
определенная и непрерывная на Е, продолжающая / н такая, что
H/ilKO + ОШ- [Использовать а) и б).]
*4) Пусть К—недискретное полное нормированное тело и ? —
нормированное пространство над К с нормой, удовлетворяющей
ультраметрическому неравенству (упражнение 3). Предположим, кроме
того, что образом мультипликативной группы Af* ненулевых элементов
из К при отображении ?-»-|5| служит дискретная подгруппа
группы R+ (что, например, имеет место в случае р-адического тела Qp).
Пусть М — векторное подпространство в Е н /—непрерывная
линейная форма, определенная на М. Показать, что существует линей-
линейная форма Д, определенная и непрерывная на Е, продолжающая /
и такая, что ||Д|| = ||/1!. [Применением теоремы Цорна свести к слу-
случаю двумерного Е, затем рассуждать, как в упражнении 36.]
*5) Пусть К—-тело формальных рядов с вполне упорядоченными
. (вещественными) показателями и вещественными коэффициентами
(Алг., гл. IV, § 5, упражнение 11 A6)). Для каждого ненулевого эле-
элемента 6 = 2 а (О Xf из К положим I 5 | = ехр (—10), где t0 — наимень-
ший элемент множества тех ^?R, для которых a (t) Ф 0; положим,
кроме того, | 01 = 0.
а) Показать, что | ? | есть норма на /( и что К, снабженное этой
нормой, есть полное нормированное тело.
б) Пусть Ко — множество в К, состоящее из рядов 5 = 2 а (О Xf,
для которых показатели ?gR с a(t)=fcQ образуют возрастающую по-
последовательность (tn), стремящуюся к -\- оо (и зависящую от ?). По.-
казать, что Ко есть замкнутое подтело в К-
в) Будем рассматривать К как нормированное пространство над Ко>
где за норму элемента S^Af принято | 5 |. Пусть /—тождественное
отображение Ко на себя. Показать, что на К не существует никакой
непрерывной линейной формы Д, продолжающей / и такой, что ||Д|| =
= ||/||. [Рассмотреть значение непрерывной линейной формы Д, про-
продолжающей /, на элементе ? ? К, для которого показатели t? R
с о(^)=^=0 образуют строго возрастающую последовательность, огра-
ограниченную в R.]

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
Теорема 1 (Марков — Какутани). Пусть Е— отделимое топо-
топологическое векторное пространство над R, К—непустое ком-
компактное выпуклое множество в Е и Г — множество попарно
перестановочных аффинных линейных отображений простран-
пространства Е в себя, переводящих К в себя, сужения которых на К
непрерывны. Тогда существует точка хо^К такая, что и(х0) =
= х0 для всех и ? Г.
Пусть е — тождественное отображение Е на себя. Для каждого
и каждого целого положительного п положим ип =
= — (е + и + и2 + ... -\-ип~1) в кольце Л всех аффинных линейных
отображений Е в себя. Так как К выпукло и u(K)czK, то ип{К)сК;
кроме того, сужение ип на К непрерывно. Пусть 1\— подмножество
в Л, образованное произведениями всевозможных конечных наборов
отображений вида ип, где и пробегает Г, а п — множество всех целых
чисел >¦ 0. Ясно, что аффинные линейные отображения, принадле-
принадлежащие Fj, попарно перестановочны и сужение каждого v^Ti па К
непрерывно, причем v(K)cK-
Множество 2? множеств v{K), где v пробегает 1\, есть базис
фильтра в К. Действительно, если v?Tt и w?Tu то, полагая и =
= vw — wv, имеем м^Гх и u(K) = v(w(K))c'v(K) и так же
u(K)<^w{K). В силу непрерывности сужений отображений v^_Tt па К,
множества из 58 компактны. Следовательно, пересечение А всех мно-
. жеств из 58 не пусто. Мы покажем, что для каждого х ? А и каждого и ? Г
имеет место равенство и (х) = х, чем и будет установлена справед-
справедливость теоремы. Пусть х ? А. Каково бы ни было целое п > 0,
имеем х?ип(К), так что х = — (у+м(У) +¦•• +и"~10')) для
некоторого у ? К, откуда
и{х) — * = -?-(« 00 +и* О>)+ ... +и»О0) —

140 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
Пусть V—уравновешенная окрестность нуля в ? и W—уравнове-
W—уравновешенная окрестность нуля такая, что W-\-WcV. Так как К — К=К'
компактно (как образ компактного множества К X К из Е X Е при
непрерывном отображении (х, у) —*¦ х—у), то существует конечное
число точек а{ A^/<[/и) таких, что К' содержится в объединении
окрестностей ?г4 —j— W. Так как W—поглощающее множество, то
существует число а такое, что 0<а^1 и aa^W (l^i^Cm).
Отсюда аГсГ + ali/cr + ^cV. Взяв п>~, видим, чтои(х) —
— x?V. Так как Е отделимо, то заключаем, что и(х) = х.
Пример: существование инвариантного среднего на тополо-
топологической коммутативной группе. Пусть G— топологическая ком-
коммутативная группа, в аддитивной записи, н ?= 6J°°(C?) — векторное
пространство всех ограниченных непрерывных числовых функций
на G. Снабженное нормой ||/|| = sup|/(.x) |, Е есть банаховское про-
х? в
странство; кроме того, Е—упорядоченное векторное пространство
(где отношение />0 означает „/(*)>() для всех x?G"). Алгебраи-
Алгебраическое сопряженное *) ?* к Е, наделенное топологией простой сходи-
сходимости на Е, есть отделимое локально выпуклое пространство.
Пусть К—подмножество в ?*, образованное положительными ли-
линейными формами |а на Е, удовлетворяющими условию цA) = 1
(„средние" на G; см. Интегрир., гл. III, § 1). Для каждой линейной
формы |х^/С и каждой функции /?? имеем | |а(/)| = | |л(/+—/~)|<
.< |j.(/+) + |а (/")<!2у/11. Ясно, что К замкнуто в ?*, а последнее
неравенство показывает (в силу теоремы Тихонова), что К компактно;
кроме того, К. очевидно выпукло.
Пусть теперь fs, для каждого $(Ои каждой функции /?Е,—
функция х ->f(x -{- s); очевидно, fs ? Е. Для каждой линейной формы
(л. € -Е*. f-+P-(fs) есть снова линейная форма на Е; обозначим ее ц„. На-
Наконец, |х -»¦ |xg есть линейное отображение Е* в себя; обозначим его Ur
Непосредственно ясно, что Us {К) С= К и Us непрерывно на Е*. Кроме
того, так как, для любых двух элементов s, t ? G, /< (х -\- s) =fa+t(x)t
то V-s (ft) = 1^в+* (/) для любых /? Е и {л ? ?* и, следовательно, UaUt = .
= UtUs = Ua+p Таким образом, к компактному множеству К и семейству
линейных отображений Us (где s пробегает G) применима теорема 1, и, сле-
следовательно, существует среднее |х ? К. такое, что |xg = |л для s^G; гово-
говорят, что |х инвариантно относительно сдвигов из G (см. Интегрир.,
гл. III, § 1).
*) Т. е. векторное пространство всех линейных форм на Е (см. гл. IV,
§ 1, п° 1). — Прим. перев.

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 141
Упражнения. 1) Пусть Е—топологическое векторное простран-
пространство над R, К— непустое компактное выпуклое множество в Е и Г —
разрешимая группа (Алг., гл. I, § 6, упражнение 14) аффинных ли-
линейных отображений пространства Е в себя, сужения которых на /С
непрерывны, причем и (К) с К для всех и ? Г. Показать, что суще-
существует точка х0 ? К такая, что и (х0) — х0 для всех и ? Г. [Индукцией
по длине композиционного ряда для Г, последовательные факторгруппы
которого коммутативны, с использованием теоремы 1.]
2) Пусть G — топологическая группа и Е = Q °° (Q) — упорядоченное
векторное пространство всех ограниченных непрерывных числовых
функций на G (где /!>0 означает „/(•*)>¦ 0 для всех x?G"). Гово-
Говорят, что положительная линейная форма [а на Е есть среднее на G,
если [аA)= 1. Для каждого sgG и каждой функции /g? обозначим
через g/ (соотв. /s) ограниченную непрерывную числовую функцию
на G, определенную формулой 8/ (х) = / (sx) (соотв. fs(x) = f(xs)).
Говорят, что среднее [а на G инвариантно слева (соотв. справа)
относительно сдвигов из G, если [a (sf) = [*.(/) (соотв. (a (/g) = (а (/))
для всех S?G и всех /??. Если на G существует среднее ja, инва-
инвариантное слева, то существует среднее [Aj, инвариантное слева
и справа. [Полагаем ja' (/) = [a (g), где g(x)=f(x-i), и [ах (/) =
=[а' (/'), где /' (х) = [а (/ж). ] Показать, что на разрешимой группе G
существует среднее, инвариантное слева и справа. [Использовать
упражнение 1.]
*3) Пусть S — множество, наделенное группой операторов Г (Алг.,
гл. I, § 7, п° 2), и Е = $ (S) — векторное пространство (над R) всех
числовых функций, определенных и ограниченных на S. Наделим Е
группой операторов Г, положив sf{x) —f{s~lx) для каждой функции
/?? и каждого s ? Г. Предположим, что группа Г (наделенная дискрет-
дискретной топологией) обладает инвариантным слева средним [а.
Пусть ?!>0—функция из Е, Е\ —. векторное подпространство
в Е, порожденное преобразованиями sg функции g посредством опе-
операторов s € Г, и ?2 — векторное подпространство в Е, порожденное
функциями !> О, мажорируемыми функциями из Е\. Показать, что если
на Е\ существует положительная линейная форма 'f^O такая, что
f (sf) — ? (/) Для всех/??! и всех s ? Г, то на ?2 существует поло-
положительная линейная форма $Ф0 такая, что ty (sf) = ф (/) для всех
/??2 и всех 5?Г. [Используя упражнение 2 § 3, доказать прежде
всего существование положительной линейной формы tp на ?,, про-
продолжающей ip.]
Случай g=l.
°4) а) Показать, что существует аддитивная функция множества
X (^4) ;> 0, определенная для всех ограниченных множеств на числовой
плоскости R2, инвариантная относительно всех движений н равная 1
для замкнутого квадрата С с центром 0 и стороной 1. [Применить
упражнение 3, приняв за Г группу всех движений в R2 и за ^ —

142 ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
характеристическую функцию квадрата С; принять во внимание,
что Г разрешима.]
б) Показать, что существует аддитивная функция множества
\(А)^0, определенная на всех множествах из R2, инвариантная отно-
относительно всех подобий и равная 1 для А = R2. [Тот же метод, в при-
применении к группе подобий.]0
5) Пусть Е—векторное пространство над R и G — разрешимая
группа его автоморфизмов, М—векторное подпространство в Е, инва-
инвариантное относительно jQ, и р — полунорма на Е такая, что р (sx) =
= р (х) для всех х?Е и всех s ? G. Показать, что для всякой ли-
линейной формы и на М такой, что | и (х) | ¦< р (х) и и (sx) — и (х) для
всех х ? М и всех s g Q, существует линейная форма и, продолжаю-
продолжающая и на ? и такая, что | и (х) ]< р (х) и и (sx) = и (х) для всех
х?Е и всех s ? G. [В пространстве Rs рассмотреть множество К,
всех линейных форм / на Е таких, что f(x) = a(x) для х?М
и \f(x) | </> (х) для всех х ? Е; показать, что К—непустое компакт-
компактное выпуклое множество, и использовать упражнение 1.]

ГЛАВА III
ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
ОТОБРАЖЕНИЙ
Все векторные пространства, рассматриваемые в этой и сле-
следующей главах, всюду, где не оговорено противное, имеют своим
телом скаляров тело вещественных или комплексных чисел;
если тело скаляров явно не указано, то это означает, что
утверждение справедливо как в том случае, когда телом ска-
скаляров служит R, так и в том случае, когда телом скаляров
служит С. Если одновременно рассматривается несколько век-
векторных пространств, то подразумевается (еели не оговорено
противное), что они имеют одно и то же тело скаляров.
§ 1. Бочечные пространства
/. Определение бочечного пространства
Определение 1. Бочкой в локально выпуклом простран-
пространстве Е называется каждое замкнутое поглощающее уравно-
уравновешенное вцпуклое множество. Локально выпуклое простран-
пространство Е называется бочечным, если каждая бочка в Е есть
окрестность нуля.
Существуют не бочечные локально выпуклые пространства (упраж-
(упражнения 4 и 5), а следующее предложение доставляет важные примеры
бочечных пространств:
Предложение 1. Каждое локально выпуклое пространство Е,
являющееся бэровским пространством (Общ. топ., Рез., § 1, п° 17;
гл. IX, § 5, определение 3), бочечно.
Действительно, пусть Т—бочка в Е; так как Т—поглощающее
множество, то Е есть объединение замкнутых множеств пТ
(где п — целые > 0); так как Е—бэровское пространство, то по
крайней мере одно из этих множеств обладает внутренней точкой
(Общ. топ., Рез., § 1, п°17; гл. IX, § 5, определение 3), а значит,
и Т само имеет внутреннюю точку х0. Если хо=О, то тем самым Т

144 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, § 1
есть ''..окрестность нуля; если же х0 Ф О, то, поскольку и —хо? Т, О,
как точка открытого отрезка с концами х0 и —х0, есть внутренняя
точка выпуклого множества Т (гл. II, § 1, предложение 15) и снова
справедливо то же заключение.
Следствие. Каждое пространство Фреше (и, в частности, каж-
каждое банаховское пространство) бочечно.
Замечание. Пусть р — полунорма, определенная на локально
выпуклом пространстве Е, и Т — поглощающее уравновешенное выпук-
выпуклое множество, образованное теми х?Е, для которых р(х)^.\. Для
того чтобы Т было бочкой, необходимо и достаточно, чтобы р было по-
полунепрерывно снизу на Е (Общ. топ., Рез., § 6, п° 18; гл. IV, § 6, пред-
предложение 1 A7)). Следовательно, для того чтобы Е было бочечным
пространством, необходимо и достаточно, чтобы каждая полунепре-
полунепрерывная снизу полунорма на Е была непрерывна (гл. II, § 5, предло-
предложение 3).
2. Свойства бочечных пространств
Предложение 2. Пусть (FJ.g/ — семейство бочечных про-
пространств и /, для каждого t?/—линейное отображение /\ в
векторное пространство Е. Пространство Е, наделенное силь-
сильнейшей локально выпуклой топологией, в которой непрерывны
все отображения /, (гл. II, § 2, п°2), бочечно.
Действительно, пусть Т—бочка в Е. Так как отображение /,
_ ^
непрерывно, то /t (Г) есть замкнутое выпуклое множество в /\,
притом уравновешенное и поглощающее, иными словами — бочка
-1
в /\; так как Ft бочечно, то, следовательно, /,(Г) есть окрестность
нуля в /\ для каждого i?/ и, значит, Т есть окрестность нуля
в Е (гл. II, § 2, предложение 1).
Следствие 1. Каждое факторпространство бочечного про-
пространства есть бочечное пространство.
Следствие 2. Каждый индуктивный предел (гл. II, § 2, п°4)
бочечных пространств есть бочечное пространство.
Следствие 3. Пусть (?,)tg/ — произвольное семейство локаль-
локально выпуклых пространств и Е—его топологическая прямая

БОЧЕЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 145
сумма (гл. И, § 2, п° 3). Для того чтобы Е было бочечным про-
пространством, необходимо и достаточно, чтобы было бочечным
каждое Ех.
Достаточность условия очевидна в силу следствия 2; оно необ-
необходимо согласно следствию 1, поскольку каждое Et изоморфно
факторпространству пространства Е (гл. II, § 2, п°3).
Замечания. 1) Можно показать, что каждое произведение
бочечных пространств есть бочечное пространство (гл. IV, § 2, упраж-
упражнение 9),
2) Замкнутое векторное подпространство бочечного пространства
не обязательно бочечно (гл. IV, § 2, упражнение 9 и § 5, упраж-
упражнение 21).
Упражнения. 1) Показать, что в бочечном пространстве
каждое замкнутое поглощающее выпуклое множество есть окрестность
нуля.
2) Показать, что пополнение отделимого бочечного пространства
бочечно. \
3) Пусть Е — векторное пространство над R или С. Показать,
что Е, наделенное еильнейшей локально выпуклой топологией (гл. II,
§ 2, п° 1), бочечно. Получить отсюда примеры бочечных пространств,
не метризуемых и не являющихся бэровскими пространствами (см. гл. I,
§ 1, упражнение 7 и гл. II, § 2, упражнения 6 и 9).
*4) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство, обла-
обладающее бесконечным счетным базисом (ап).
а) Показать, чю Е обладает топологически свободным счетным
базисом (е„). [Определить векторы е„ по индукции, воспользовавшись
тем, что каждая прямая в Е имеет топологическое дополнение.]
б) Показать, что для того, чтобы Е было бочечным простран-
пространством, необходимо и достаточно, чтобы его топология ?г совпадала
с сильнейшей локально выпуклой топологией в Е. [Принять во внима-
внимание, что уравновешенная выпуклая оболочка каждой последователь-
последовательности (\„еп) замкнута в Е.] В частности, если |г метризуема, то Е
не бочечно. [См. упражнение 3.]
5) Пусть /—несчетное множество и Е — пространство R^, наде-
наделенное (локально выпуклой) топологией |г0, определенной в упражне-
упражнении 7 § 1 гл. II. Показать, что Е, которое в топологии fo полно, не
является бочечным в этой топологии. [Рассмотреть множество Т тех
x = (ZL)?E, для которых 2 1^1^ 1> и показать, что Т — бочка; далее
использовать упражнение 7 § 2 гл. II.]
6) Пусть Е — банаховское пространство, содержащее тотальное
алгебраически свободное семейство {а„) (например, пространство /^(N)),
и пусть В — базис в Е, в который входят все ап; как известно (гл. II,

146 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 2
§ 3, упражнение 15), В несчетен. Пусть, далее, (еп) — последова-
последовательность попарно различных элементов из В, отличных от всех а„,
С — дополнение к множеству всех е„ в В, и Fn— векторное подпро-
подпространство в Е, порожденное множеством С и векторами е^ с k-^n,
так что Е есть объединение подпространств Fn. Пусть, наконец,
S—шар ||Jf||-< 1 в Е. Показать, что существует номер п такой, что
5П^"« — множество II категории. Вывести отсюда, что Fn, с этим п,
есть неполное метризуемое бэровское пространство.
*7) а) Показать, что любое произведение Е = JJ F, полных мет-
• g/
рических пространств есть бэровское пространство. {Заметить, что
если (Ап) — последовательность элементарных множеств в Е (Общ.
топ., Рез., § 7, п° 5; гл. I, § 8, п° 1), удовлетворяющая условию
An+1cz А„, то существует счетное подмножество Ус/ такое, что
каждое Ап имеет вид Вп X IT Flt где BnczIJ/\. Вывести отсюда,
что если выбрать последовательность (Ап) так, чтобы диаметр мно-
множества р1\(Л„) стремился к нулю для каждого индекса i такого, что
рг( (Ап) фF, хотя бы для одного п, то пересечение множеств Ап будет
не пусто.]
б) Получить из а) примеры неметризуемых локально выпуклых
пространств, являющихся полными отделимыми бэровскими простран-
пространствами.
§ 2. Ограниченные множества
в топологических векторных пространствах
/. Определение ограниченных множеств
Определение 1. Множество А в топологическом векторном
пространстве Е называется ограниченным, если оно поглощается
каждой окрестностью нуля.
Это означает (гл. I, § 1, п° 3), что для каждой окрестности
нуля V существует вещественное число X > 0 такое, что ХАс V.
Для того чтобы множество А было ограниченным, достаточно, чтобы
оно поглощалось каждой окрестностью из фундаментальной системы
окрестностей нуля.
Каждое множество, сводящееся к одной точке, ограниченно,
поскольку каждая окрестность нуля в Е есть поглощающее множе-
множество (гл. I, § 1, п° 3).
Пусть Е — локально выпуклое пространство, топология которого
задана множеством Г полунорм. Для того чтобы множество А из Е
было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы каждая полу-

г ограниченные множества 147
норма р?Г была ограниченна на А\ это сразу• следует из опреде-
определения окрестностей нуля в Е (гл. II, § 5, п° 4).
В частности, для ограниченности множества А в нормированном-
пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы норма ||лс|| был»
ограниченна -на А или, иначе, чтобы А содержалось в некотором-
шаре с центром 0; другими словами, А должно быть- ограниченным
относительно структуры метрического пространства в Е (Общ. топ,.
Рез., § 3, п° 7; гл. IX, § 2, п° 2) (см. упражнения 2 и 3).
Замечания. 1) Как видим, в нормированном пространстве суще-
существует фундаментальная система окрестностей нуля, образованная
ограниченными множествами. Можно показать, что, обратно, если
в отделимом локально выпуклом пространстве имеется ограниченная
окрестность нуля, то топология этого пространства может быть опре-
определена нормой (упражнение 2).
2) В отделимом топологическом векторном пространстве ограни-
ограниченное множество не может содержать никакой полупрямой с нача-
началом 0; действительно, для каждого хфО существует окрестность
нуля V такая, что х (? V; если поэтому Х]>0 таково, что Л с XV, то
1х ? А.
2. Свойства ограниченных множеств
Ясно, что если А — ограниченное множество в топологическом
векторном пространстве Е, то ХА ограниченно для каждого ска-
скаляра X; и ограниченно также любое подмножество множества А.
Пусть М — векторное подпространство в ?;.для того чтобы множе-
множество из М было ограниченно в М, необходимо и достаточно, чтобы
оно было ограниченно в Е.
Определение 2. Множество 93 ограниченных подмножеств
топологического векторного пространства Е называется фунда-
фундаментальной системой ограниченных множеств, если каждое огра-
ничейное подмножество пространства Е содержится в некото-
некотором множестве из 33.
Так, например, в нормированном пространстве шары с центром О
и радиусом п (где п — целые числа >0) образуют фундаментальную
систему ограниченных множеств.

148 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 2
Предложение 1. Объединение двух ограниченных множеств
элементов топологического векторного пространства Е есть
ограниченное множество.
Действительно, пусть А и В — ограниченные множества; для
каждой уравновешенной окрестности нуля V существуют числа а. > О
и ?>0 такие, что -AczaV и Bcz$V; тогда ясно, что А\]Bc(V, где
1 = max (a, P).
Предложение 2. Замкнутая уравновешенная выпуклая оболоч-
оболочка ограниченного множества элементов локально выпуклого про-
пространства Е есть ограниченное множество.
Действительно, пусть А — ограниченное множество в Е, С — его
замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка и V — уравновешенная
выпуклая окрестность нуля. Существует X > 0 такое, что \AczV;
тогда и XCczV. А так как замкнутые уравновешенные выпуклые
окрестности нуля образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля в Е, то тем самым предложение доказано.
Следствие. Замкнутые уравновешенные выпуклые ограничен-
ограниченные множества в локально выпуклом пространстве образуют
фундаментальную систему ограниченных множеств.
Замечание. В не локально выпуклом топологическом вектор-
векторном пространстве Е выпуклая оболочка ограниченного множества не
обязательно ограниченна (упражнение 8). Однако уравновешенная
оболочка ограниченного множества, очевидно, ограниченна. С другой
стороны, и замыкание любого ограниченного множества А в Е огра-
ограниченно; действительно, для любой замкнутой окрестности нуля V в Е
существует Х>0 такое, что Л с ~KV, а так как W замкнуто, то
и ~A<=.\V-
Предложение 3. В отделимом топологическом векторном про-
пространстве Е каждое предкомпактное множество ограниченно.
Действительно, пусть А — предкомпактное множество в Е и V —
уравновешенная окрестность нуля. Существует конечное число точек
щ?А (l^i<]re) таких, что окрестности аг-\-]/ A^/^и) обра-
образуют покрытие множества А. Множество В точек а{, будучи конеч-
конечным, ограниченно (предложение 1); поэтому существует скаляр X
такой, что О <Х< 1 и XBcV. Следовательно, ЫсХВ-\-WczV-+-V,
и предложение доказано.

3 ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 149
Следствие. В отделимом топологическом векторном про-
странстве множество точек последовательности Коми ограни-
ограниченно.
Действительно, это множество, как известно, предкомпактно
(Общ. топ., гл. II, § 4, п° 2).
Заметим, что ограниченное множество, вообще, говоря, не обяза-
обязательно предкомпактно; например, единственными нормированными про-
пространствами, в которых каждое ограниченное множество предком-
предкомпактно, являются конечномерные пространства (гл. I, § 2, теорема 3)
(см. гл. IV, § 3, п° 4).
Предложение 4. Для того чтобы множество А в топо-
топологическом векторном пространстве Е было ограниченным, не-
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (хп)
точек из А и любой последовательности (Х„) скаляров ^> О,
стремящейся к нулю, последовательность (Х„лгп) стремилась
к нулю.
Условие необходимо. Действительно, пусть V — произвольная
уравновешенная окрестность нуля в Е. По предположению, суще-
существует а>0 такое, что \xn?V для каждого номера п и каждого X
с | X | <^ а; с другой стороны, существует п0 такое, что Х„ ^ а для
всех п^-п0; следовательно, knxn?V для всех п^-п0.
Условие достаточно. Действительно, если А — неограниченное
множество в Е, то в Е существует уравновешенная окрестность
нуля (/.такая, что А не содержится ни в какой из окрестностей nil
(я!>.1); таким образом, для каждого целого я>0 существует
хп?А такое, что xn(?nU, откуда —xn^U и, значит, последова-
последовательность ( — хЛ не стремится к нулю.
Следствие. Для того чтобы множество А в Е было огра-
ограниченным, достаточно, чтобы было ограниченно всякое счетное
подмножество из А.
3. Образ при непрерывном отображении
Предложение 5. Пусть Е = JJ Et — произведение произволь-
произвольного семейства (El)i.I топологических векторных пространств,

J50 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 2
F— топологическое векторное пространство и f—непрерыв-
f—непрерывное отображение Е в F, для которого существует число
s > О такое, что /(Хх) = Х*/(х) каково бы ни было X > 0. Тогда f
отображает каждое множество В = Дв,, где Bt — огранлчен-
нов множество из El (i?/), в ограниченное подмножество про-
пространства F.
Нужно только доказать (предложение 4), что если (х„) — после-
последовательность точек из В и (Х„) — последовательность скаляров > 0,
стремящаяся к нулю, то последовательность с общим членом \J(xn)
стремится к нулю в F. Но У^/(х„) можно представить в' виде f(yn),
где yn = ^nSxn = (llJ'1xntX^r Так как s >0 и хп>, ? В, для каж-
каждого п, то последовательность (xj,/sxn> ,)п 0 стремится в ?t к нулю
щя каждого i?/ (предложение 4); но тогда последовательность (j>n)
стремится к нулю в Е. Так как / непрерывно и /@) = 0, то заклю-
заключаем, что последовательность (J(yn)) стремится к нулю в F, и пред-
предложение доказано.
Следствие 1. Пусть Ег A^/<;«)' и F — топологические
векторные пространства, /—непрерывное полилинейное отобра-
жение произведения JJ Е^ в F и В^ — ограниченное множество
в Et A <[/<;«). Тогда f отображает \^Вг в ограниченное под-
подмножество пространства F.
Следствие 2. Пусть Е и F — топологические векторные про-
пространства. Образ ограниченного множества из Е при непре-
непрерывном линейном отображении Е в F есть ограниченное под-
подмножество пространства F.
Следствие 3. Пусть ? —Цй1, — промздедение произвольного
семейства (?,)if/ топологических векторных пространств; для
того чтобы множество BczE было ограниченным, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы рг,В было ограниченно в Е1 для каж-
каждого i?/.
Условие достаточно, ибо при его выполнении. JJ pr,fi есть огра-
ничейное множество в Е в силу предложения 5 (где за / принято

4 ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 151
тождественное отображение), a ВсгТТрг.В. Условие необходимо
в силу следствия 2.
Следствие 4. Пусть (/\)lgr— семейство топологических век-
векторных пространств, Е—-векторное пространство и /,, для
каждого t?/,—линейное отображение Е в Ft. Пусть Е наделено
слабейшей топологией, в которой непрерывны все f, (гл. I, § 1, п° 9);
для того чтобы множество ВаЕ было ограниченным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы f,(B) было ограниченно в f, для
каждого t?/.
Действительно, рассмотрим отображение cp = (/t) пространства Е
в F = J? /у» из определений непосредственно следует, что для того,
чтобы В было ограниченным в Е, необходимо и достаточно, чтобы ср (В)
было ограниченно в F (поскольку топология пространства Е является
прообразом топологии произведения F относительно отображения ср)
утверждение вытекает тогда из следствия 3, поскольку prt (ср (??)) =
= /,(Б) для всех i?/.
Следствие 5. Если А и В — ограниченные множества в топо-
топологическом векторном пространстве Е, то и А-\-В ограни-
ограниченно в Е.
Действительно, А X В ограниченно в Е X Е (следствие 3),
а А -\-В- есть образ А X В при непрерывном линейном отображении
(х, у)-+х-\-у произведения Е X Е в Е.
4. Ограниченные множества в строгом индуктивном пределе
Предложение 6. Пусть локально выпуклое пространство Е
есть строгий индуктивный предел возрастающей последова-
последовательности (?„) своих замкнутых векторных подпространств
(гл. II, § 2, п° 5). Для того чтобы множество ВаЕ было огра-
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось
в одном из подпространств Еп и было в нем ограниченно.
Условие достаточно, поскольку топология, индуцированная в Еп
из Е, совпадает с топологией, заданной в Еп (гл. И, § 2, предло-
предложение 3). Установление необходимости условия сводится (в силу
предложения 4) к доказательству того, что если последователь-
последовательность {хт) точек из Е не содержится ни в каком из подпро-

152 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. Ш, § 2
странств Еп, то она не может стремиться к нулю. Но, действительно,
извлекая, если нужно, из последовательности (хп) надлежащую под-
подпоследовательность, можно считать, что существует строго возра-
возрастающая последовательность (пк) номеров такая, что хк^ЕПк
и хк?ЕПк+1 для каждого номера k. Следовательно, существует
(гл. II, § 2, п° 5, лемма 1) возрастающая последовательность (Vfc)
выпуклых множеств таких, что Vk есть окрестность нуля в Enkf
Vk+1 П ЕПк = Vk и хк rf Vk+1 для всех k. Объединение V множеств Vk
есть тогда окрестность нуля в Е и хк rf V для всех k, а это пока-
показывает, что последовательность (хк) не стремится к 0.
Утверждение предложения 6 уже не обязательно справедливо для
пространства Е, являющегося индуктивным пределом несчетного филь-
фильтрующегося семейства своих замкнутых подпространств [Интегрир.,
гл. III, § 2, упражнение 3(а)].
5. Квазиполные пространства
Определение 3. Топологическое векторное пространство Е
называется квазиполным, если каждое замкнутое ограниченное
множество в Е есть полное равномерное пространство (относи-
(относительно равномерной структуры, индуцированной из Е).
Ясно, что полное пространство квазиполно; в гл. IV мы позна-
познакомимся с примерами квазиполных пространств, не являющихся
полными (гл. IV, § 2, следствие 2 теоремы 1 и § 1, упражнение 11).
В квазиполном пространстве Е каждая последовательность Коши,
как подмножество замкнутого ограниченного множества (следствие
предложения 3 и замечание после предложения 2), сходится. В част-
частности, квазиполное метризуемое векторное пространство полно.
В квазиполном отделимом локально выпуклом пространстве замк-
замкнутая выпуклая оболочка каждого предкомпактного множества ком-
компактна, ибо она предкомпактна (гл. II, § 4, предложение 2) и тем
самым ограниченна (предложения 2 и 3), а следовательно полна.
Каждое замкнутое векторное подпространство квазиполного
пространства квазиполно. С другой стороны, из предложения 6
следует, что строгий индуктивный предел Е последовательности
замкнутых в Е квазиполных подпространств Еп есть квазиполное
пространство. Наконец, справедливо следующее предложение:

ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 153
Предложение 7. Произведение квазиполных пространств квази-
квазиполно.
Действительно, пусть E^JJf, — произведение квазиполных
пространств Б,иВ — замкнутое ограниченное множество в Е. рткВ = А,
ограниченна в ?, для каждого индекса i (следствие 3 предложения 5),
следовательно А,, будучи ограниченным и замкнутым в Et (замечание
после предложения 2), полно. Но В замкнуто и содержится в пол-
полном пространстве JJ Д, значит само полно,
i
Заметим, что факторпространство полного пространства по его
замкнутому подпространству не обязательно квазиполно (гл. IV, § 4,
упражнение 10).
Предложение 8. Пусть Е—топологическое векторное про-
пространство и М—его векторное подпространство такое, что каж-
каждая точка из F. есть точка прикосновения некоторого ограничен-
ограниченного множества из М. Тогда каждое непрерывное линейное отобра-
отображение f подпространства М в квазиполное отделимое
топологическое векторное пространство F однозначно продол-
продолжается до непрерывного линейного отображения пространства
Е в F.
Действительно, из предположения следует, что М всюду плотно
в Е, а потому / однозначно продолжается до непрерывного линей-
линейного отображения / пространства Е в пополнение F пространства F.
Пусть х — произвольная точка из Е. Так как х есть точка прикос-
прикосновения некоторого ограниченного множества В из М, то /(х) есть
точка прикосновения множества f(B) в F. А так как f(B) ограни-
ограниченно в F, то его замыкание в F в силу предположения есть полное
подмножество в F (см. замечание после предложения 2) и, следова-
следовательно, совпадает с замыканием множества f(B) в F, чем и дока-
доказано, что / (*) ? F.
Упражнения. 1) Пусть Е—топологическое левое векторное
пространство над недискретным топологическим телом 1(. Множество
В аЕ называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля V
в Е существует Х.=?0 в К такое, что ХВ а V.
а) Показать, что если В ограниченно в Е, то для каждой окрест-
окрестности нуля К из ? существует окрестность нуля U ъ К, такая, что
UBcV.

154 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. Ill, §2
б) Показать, что замыкание ограниченного множества ограниченно.
Распространить на ограниченные множества в Е предложения 1 и 3,
а также следствия предложения 5.
в) Пусть F—топологическое левое векторное пространство над К.
и /—непрерывное отображение Е в F, обладающее следующим свой-
свойством: для каждой окрестности нуля U в К существует ц.^=0 в К такое,
что pf(x)?f(Ux) для всех х?Е. Показать, что образ каждого огра-
ограниченного множества из Е при отображении / ограничен в Р.
г) Показать, что если А — ограниченное множество в К (рассма-
(рассматриваемом как левое векторное пространство над самим собой), а В —
ограниченное множество в Е, то АВ — ограниченное множество в Е.
д) Распространить предложение 4 на случай метризуемого топо-
топологического тела АГ.
е) Распространить на топологические векторные пространства
над К понятие квазиполного пространства и его свойства.
*2) а) Пусть Е — топологическое векторное пространство над
недискретным топологическим телом f(. Показать, что если на Е суще-
существует ограниченная окрестность нуля V (упражнение 1), то множе-
множества XV (A ? К, ^ФО) образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля в Е, и обратно. Если К метризуемо, то отделимая топология,
ассоциированная с топологией пространства Е, метризуема. Если К. = R
или С, то верхняя грань локально выпуклых топологий, мажорируемых
топологией пространства Е (гл. II, § 3, упражнение 14), может быть
определена одной полунормой.
б) Показать, что топология произведения бесконечного числа
отделимых локально выпуклых пространств (не сводящихся к одному
элементу 0) не может быть определена одной полунормой.
в) Пусть Е — локально выпуклое пространство, топология которого
определена возрастающей последовательностью (рп) полунорм. Для
того чтобы она могла быть определена одной полунормой, необходимо
и достаточно существование номера ло такого, чтобы для каждого
л ;> л0 при некотором kn > 0 удовлетворялось для всех х g E неравен-
неравенство рп (х) < кпрщ (х).
•г) Пусть egj — векторное пространство над R всех бесконечно
дифференцируемых числовых" функций на интервале /=[0, 1]. Для
каждого целого л!>0 положим
Рп (/)= SUP
(где f^(x) =f(x)). Показать, что рп — нормы иа О)т и что тополо-
топология в grj, определяемая этой последовательностью норм, не может
быть определена одной нормой.
3) Пусть Е — метризуемое векторное пространство над R и d —
расстояние на Е, инвариантное относительно переносов и согласую-
согласующееся с топологией пространства Е; положим | х \ = d (x, 0) (гл. I,

ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 155.
§ 3, п° 1). Показать, что — I х | .<
п
n
для каждого целого п
Вывести отсюда, что если В — ограниченное множество в Е, то
sup | х | <С + оо (иначе говоря, В ограниченно по метрике d). Дать
пример метризуемого векторного пространства Е и множества, не
ограниченного в Е, но ограниченного по метрике d. [См. упражнение 2.]
4) Пусть Е—топологическое векторное пространстве над неди-
недискретным метризуемым топологическим телом /0 Показать, что если
Е — бэровское пространство и в ? существует счетная фундаменталь-
фундаментальная система ограниченных множеств (упражнение 1),',то в Е суще-
существует ограниченная окрестность нуля. [См. упражнение 6.]
5) Пусть Е — метризуемое векторное пространство над недискрет-
недискретным нормированным телом К- Показать, что для любой последова-
последовательности (Вп) ограниченных множеств в Е (упражнение 1) существует
последовательность (Хп) ненулевых скаляров такая, что объединение
множеств ХпВп ограниченно.
6) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство, являю-
являющееся строгим индуктивным пределом строго возрастающей последо-
последовательности (Еп) своих замкнутых векторных подпространств.
а) Показать, что Е неметризуемо. [Использовать предложение 6
и упражнение 5.]
б) Для того чтобы в Е существовала счетная фундаментальная
система ограниченных множеств, необходимо и достаточно, чтобы
в каждом из Еп существовала счетная фундаментальная система
ограниченных множеств.
7) Показать, что в произведении бесконечного числа топологиче-
топологических векторных пространств (над R или С), не сводящихся к одному
элементу 0, нет счетной фундаментальной системы ограниченных
множеств. [Свести доказательство к случаю пространства RN и исполь-
использовать упражнение 4.] . *
*8) Пусть Е — векторное пространство правильных функций на
интервале /= [0,1] (Функц. вещ. перем., гл. II, § 1, п° 3). Пусть Vn для
каждого целого п > О — множество всех функций / ? Е таких, что
1
\\dt*C—. Показать, что множества Vn образуют фундамен-
о
тальную систему окрестностей нуля для метризуемой топологии,
согласующейся со структурой векторного пространства в Е, и что
в этой топологии множества Vn ограниченны, однако выпуклой обо-
оболочкой каждого Vn служит всё пространство Е. [Принять во внима-
внимание, что каждую функцию f?,E можно записать в виде f=-7j (g + h),
где g и h
принадлежат Е и С Y\ g(t) \ dt = J Y\ h (t) | dt =
о о

156 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. 111,8 2
1
= —— I Y\f(t)\dt.\ Вывести отсюда, что единственной локально
выпуклой топологией., мажорируемой топологией пространства Е,
является слабейшая топология в Е.
9) Пусть (?t)t?j —бесконечное семейство отделимых топологиче-
топологических векторных пространств, не сводящихся к одному элементу 0, над
неднскретным топологическим телом К> Е—прямая сумма векторных
пространств ?, и |Го — топология в Е, определенная в упражнении 7
§ 1 гл. I. Для того чтобы множество ВсЕ было ограниченным в топо-
топологии |Го, необходимо и достаточно, чтобы В содержалось в подпро-
подпространстве вида JJ ?„ где Н—некоторое конечное подмножество
из /, и проекции В на все эти ?t (i ? Н) были ограниченны. Вывести
отсюда, что если каждое Е1 есть квазиполное пространство, то Е (наде-
(наделенное топологией |Го) квазиполно.
10) Пусть (El)lrj — произвольное семейство отделимых локально
выпуклых пространств и Е—его топологическая прямая сумма (гл. II,
§ 2, п° 3). Для того чтобы множество ВаЕ было ограниченным,
необходимо и достаточно, чтобы оно содержалось в подпространстве
вида JJ Et, где Н—некоторое конечное подмножество из /, и проек-
проекции В на все эти Et (i ? Н) были ограниченны. [Использовать упраж-
упражнение 9.] Вывести отсюда, что если каждое ?t есть квазиполное про-
пространство, то Е квазиполно.
11) Пусть Е — топологическое векторное пространство над неди-
недискретным нормированным телом /С.
а) Для того чтобы уравновешенное множество АсЕ поглощало
все ограниченные множества из Е, достаточно, чтобы А поглощало мно-
множество точек любой последовательности (хп), стремящейся в Е к нулю.
б) Пусть и — линейное отображение пространства Е в топологи-
топологическое векторное пространство F над К- Для того чтобы образ любого
ограниченного множества из Е при отображении и был ограничен в F,
достаточно, чтобы последовательность (и (хп)) была ограниченна в F
для любой стремящейся к нулю последовательности (хп) точек из Е.
12) Локально выпуклое пространство Е называется ограниченно
замкнутым (соотв. инфрабочечным), если каждое выпуклое мно-
множество (соотв. каждая бочка) из Е, поглощающее все ограниченные
множества, есть окрестность нуля в Е.
а) Показать, что каждое ограниченно замкнутое пространство и
каждое бочечное пространство инфрабочечно *).
*) Можно привести примеры бочечных пространств, не являющихся огра-
ограниченно замкнутыми (см. L. N а с h b i n, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A.,
40 A954), 471—474, и Т. Shirota, Proc. Jap. Acad., 30A954), 294—298).

ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 157
б) Для того чтобы локально выпуклое пространство Е было огра-
ограниченно замкнутым, достаточно, чтобы в нем каждое уравновешенное
выпуклое множество, поглощающее все ограниченные множества,
было окрестностью нуля; достаточно также, чтобы каждая полунорма
на Е, ограниченная на всех ограниченных множествах, была непрерывна.
в) Показать, что пополнение инфрабочечного пространства бо-
чечно. [См. § 3, лемма 1.)
13) Пусть Е — локально выпуклое пространство и |Г—его топо-
топология. Среди локально выпуклых топологий в Е, обладающих тем же
запасом ограниченных множеств, что и Э", имеется топология Э*', мажо-
мажорирующая все остальные, и это — единственная нз указанных тополо-
топологий, в которых Е ограниченно замкнуто. Пространство, получаемое
путем наделения Е топологией Э*', называется ограниченно замкнутым
пространством, ассоциированным с Е. Для того чтобы линейное ото-
отображение и пространства Е в локально выпуклое пространство F пере-
переводило каждое ограниченное множество из ? в ограниченное множе-
множество в F, необходимо н достаточно, чтобы оно было непрерывно
в топологии Э*'.
14) а) Пусть М — некоторое множество линейных отображений огра-
ниченнр замкнутого пространства Е в локально выпуклое простран-
пространство F. Для того чтобы М было равностепенно непрерывным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы для любой стремящейся к нулю последова-
последовательности (хп) точек из Е множество точек и (хп) (и ? М, п ? N) было
ограниченно в F. [См. упражнение П.]
б) Для того чтобы локально выпуклое пространство F было огра-
ограниченно замкнутым, достаточно, чтобы каждое его линейное отображе-
отображение в банаховское пространство F, переводящее всякую стремящуюся
к нулю последовательность из ? в ограниченную последовательность
в F, было непрерывно. [Рассмотреть ограниченно замкнутое простран-
пространство Ео, ассоциированное с Е (упражнение 13), и погрузить отделимое
пространство, ассоциированное с Eq, в произведение банаховских про-
пространств.]
15) Пусть Е — метризуемое векторное пространство над недискрет-
недискретным нормированным телом К- Показать, что каждое уравновешенное
множество из Е, поглощающее все последовательности, стремящиеся
к нулю, есть окрестность нуля в Е. Вывести отсюда, что непрерывное
линейное отображение пространства Е в топологическое векторное
пространство над К, переводящее каждую стремящуюся к нулю по-
последовательность из ? в ограниченную последовательность в F, не-
непрерывно на Е.
В частности, каждое локально выпуклое пространство, топология
которого может быть определена счетным семейством полунорм, огра-
ограниченно замкнуто.
16) Пусть Е—отделимое топологическое векторное простран-
пространство над недискретным нормированным телом К. и F—метризуемое

158 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III. § 2
векторное пространство над К- Показать, что непрерывное линейное ото-
-1
бражение и пространства ? в F, такое что и {В) ограниченно в Е для
пюбого ограниченного множества В из./-1, есть изоморфизм Е в F.
17) а) Пусть {F\^i — семейство ограниченно замкнутых (соотв.
инфрабочечных) пространств и /„ для каждого i ? /, — линейное ото-
отображение пространства Fl в векторное пространство Е. Показать, что Е,
наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, при которой
непрерывны все /, (гл. II, §2, п°2), ограниченно замкнуто (соотв.
инфрабочечно). В частности, каждое факторпространство ограни-
ограниченно замкнутого (соотв. инфрабочечиого) пространства ограниченно
замкнуто (соотв. инфрабочечно) *); топологическая прямая сумма
ограниченно замкнутых (соотв. инфрабочечных) пространств ограни-
ограниченно замкнута (соотв. инфрабочечна). Векторное пространство, наде-
наделенное сильнейшей локально выпуклой топологией, ограниченно замк-
замкнуто.
б) Пусть Е—локально выпуклое пространство и Ев, для каждого
уравновешенного ограниченного выпуклого множества' В из Е, — век-
векторное подпространство в Е, порожденное множеством В и наделен-
наделенное топологией, для которой множества 1В (X Ф 0) образуют фунда-
фундаментальную систему окрестностей нуля (и которую можно определить-
одной нормой). Пусть /в — каноническое вложение Ев в?. Показать-
что сильнейшая локально выпуклая топология в Е, при которой не-
непрерывны все fB, есть ограниченно замкнутая топология, ассоцииро-
ассоциированная с топологией пространства Е (упражнение 13).
*18) Пусть (Д),?/ — бесконечное семейство локально выпуклых,
пространств, не сводящихся к одному элементу 0.
а) Пусть /— линейное отображение произведения Е = TJ ?, в бана-
^1
ховское пространство F. Показать, что если образ каждого ограничен-
ограниченного множества из Е при отображении / есть ограниченное множе-
множество в F, то существует конечное подмножество Н в / такое, что>
сужение / на Et (рассматриваемое как подпространство в Е) равно
нулю для каждого i (? Н. [В предположении, что утверждение неверно-
построить ограниченную последовательность (хп) в Е, образ которой
при отображении / не ограничен в F.]
б) Пусть каждое из пространств Е, ограниченно замкнуто. Пока-
Показать, что если, кроме того, произведение R ограниченно замкнуто, то-
произведение ? = JJ Е1 ограниченно замкнуто. [Используя признак
^1
упражнения 146 и а), свести к доказательству того, что если отобра-
отображение / пространства ? в банаховское пространство F переводит
*) Можно привести примеры подпространств ограниченно замкнутого
пространства, не являющихся инфрабочечными (гл. IV, § 5, упраж-
упражнение 21).

ОГРАНИЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА 159
каждое ограниченное множество в ограниченное множество и равно
нулю на каждом ?„ то / равно нулю на Е; для этого рассмотреть, для
каждого х — (л:,), сужение / на произведение прямых Rxr]
в) Вывести из б), что произведение любой последовательности (Еп)
ограниченно замкнутых пространств ограниченно замкнуто *).
19) Пусть /— несчетное множество. Рассмотрим в векторном про-
пространстве Е = R's с одной стороны, сильнейшую локально выпуклую
топологию |г, а с другой —топологию |Го, определенную в упражне-
упражнении 7 § 1 гл. I. Как известно, топологии |Г и Э"о различны (см. гл. И,
§ 2, упражнение 7). Показать, что ограниченные множества в обеих
топологиях — одни и те же (см. упражнения 9 и 10) и что Е, наделен-
наделенное топологией |Го, не является инфрабочечным. [Использовать упраж-
упражнение 12в, а также упражнение 5 § 1.]
20) Показать, что если топология метризуемого локально выпук-
выпуклого пространства Е не может быть определена одной нормой, то
в ? не существует счетной фундаментальной системы ограниченных
множеств. [Используя упражнение 5, показать, что в противном слу-
случае в Е существовало бы ограниченное множество, поглощающее все
ограниченные множества из Е, и в заключение воспользоваться упраж-
упражнением 15.]
21) Локально выпуклое пространство Е называется относительно
ограниченным, если в Е существует ограниченная бочка.
а) Для того чтобы Е было относительно ограниченным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы топология в Е мажорировалась топологией,
определяемой одной нормой. Тогда в Е существует фундаментальная
система ограниченных множеств, состоящая из бочек.
б) Для того чтобы пространство Е было ограниченно замкнутым
и относительно ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы его
топология была нижней гранью семейства нормированных топологий
в Е. [См. упражнение 176.] Для того чтобы в Е существовала, кроме
того, счетная фундаментальная система ограниченных множеств, необ-
необходимо и достаточно, чтобы топология пространства Е была нижней
гранью счетного семейства нормированных топологий.
22) Пусть К—компактное выпуклое множество и В — замкнутое
ограниченное выпуклое множество в отделимом топологическом век-
векторном пространстве Е. Показать, что выпуклая оболочка С объеди-
объединения К. U В замкнута. [Рассмотреть точку прикосновения г множе-
множества С, не принадлежащую К, и свести рассмотрение к случаю г = 0;
принять во внимание, что существуют окрестность нуля V и число
ао<1 такие, что из 0<Х<1, х^К, У ?В, Хл: + A — Х)у ? V следует
X < а^ затем для каждой окрестности нуля W рассмотреть множество
троек (X, х, у) таких, что Хл: + A — X) у g W, 0<Х<1, х ? К, у?В.]
*) Неизвестно, является ли произведение Rr ограниченно замкнутым, для
произвольного несчетного множества /.

160 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, §3
23) Пусть еп в банаховском пространстве Ll(ti)— последователь-
последовательность (bmn)mg5> гДе ьтп = 0 при т Ф п и Ьпп= 1. Определить непре-
непрерывное отображение D- (N) в R, переводящее ограниченную последо"
вательность элементов еп в неограниченное множество в R. [Исполь-
[Использовать теорему Урысона A8).]
§ 3. Пространства непрерывных линейных отображений
/. Пространства L& (Е, F)
Пусть Е—произвольное множество, <3 — некоторое множество
его подмножеств и F— коммутативная топологическая группа в адди-
аддитивной записи. Множество FE всех отображений Е в F обладает
структурой коммутативной группы — произведением структур групп
его составляющих. Покажем, что топология равномерной сходимости
на множествах из <3 (Общ. топ., Рез., § 13, п° 1; гл. X, § 1, п°2),
которую мы будем называть ©-топологией в FE, согласуется
с этой структурой группы в FE. Действительно, пусть Т0(М, V)
для каждого множества М ? 5 и каждой окрестности нуля V
в F — множество всех u?FE таких, что u(M)aV. Из определений
непосредственно следует, что для каждого uo?FE пересечения все-
всевозможных конечных наборов множеств вида ио-\-Т0(М, V) обра-
образуют фундаментальную систему окрестностей м0 в E-топологии.
Кроме того, ясно, что если W — симметричная окрестность нуля в F
такая, что V^ + W^^ то Т0(М, №) симметрично и Т0(М, W)-\-
-j-T0(M, W)aT0(M, V), чем наше утверждение и доказано. (Общ.
топ., Рез., § 10, п°2; гл. III, § 1, п°2).
Замечания. 1) Заметим, что равномерная структура в F , инду-
индуцированная ©-топологией, рассматриваемой как топология группы
(Общ. топ., Рез., § 10, п°11; гл. III, § 3, п°1), совпадает со структу-
структурой равномерной сходимости на множествах из <3.
2) Если V замкнуто в F, то множество T0(Af, V) замкнуто в топо-
топологии простой сходимости. Действительно, если и0 ? FE есть точка
прикосновения множества Тй(М, V) в топологии простой сходимости,
то «о (х) для каждого х ? М есть точка прикосновения объединения
множеств и{М), где и пробегает T0(iW, К); следовательно, ио(х), по
определению множества T0(iW, V), есть точка прикосновения для V,
откуда и0 (М) сг V, т. е. и0 ? То (М, V).
Если F — топологическое векторное пространство, то FE обла-
обладает структурой векторного пространства — произведением структур
векторных пространств его составляющих.

/ ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 161
Предложение 1. Пусть Е— множество, <5 — некоторое мно-
множество его подмножеств, F— топологическое векторное про-
пространство и Н — векторное подпространство в FE. Для того
чтобы ^-топология согласовалась со структурой векторного
пространства в Н, необходимо и достаточно, чтобы и(М) для
любой функции и?Н и любого множества Л1?<5 было ограни-
ограниченным в F. Если, кроме того, F локально выпукло, то Н, наде-
наделенное ^-топологией, локально выпукло.
В введенных выше обозначениях, («-топология в Я обладает фун-
фундаментальной системой окрестностей нуля, образованной пересече-
пересечениями конечных наборов множеств вида //Г)Т0(Л1, V), где М про-
пробегает @, а V — множество всех уравновешенных окрестностей
нуля в F. Так как Т0(Л1, W) = U0(M, V), то эта система окрест-
окрестностей инвариантна относительно гомотетий и состоит из уравнове-
уравновешенных множеств. Так как, по сказанному выше, C-топология согла-
согласуется со структурой аддитивной группы в И, то для того, чтобы
она согласовалась со структурой векторного пространства в Н, необ-
необходимо и достаточно, чтобы множества НГ|Т0(Л1, V) были погло-
поглощающими в Н (гл. I, § 1, п° 3); но это означает, что для каждого
м?#, каждого множества MfS и каждой уравновешенной окрест-
окрестности нуля V в F существует Х>0 такое, что u(M)cW, т. е.
(§ 2, п° 1) что и (М) ограниченно в F. Наконец, справедливость
последнего утверждения предложения вытекает из того, что выпу-
выпуклость V влечет выпуклость Т0(М, V).
Следствие. Пусть Е и F — топологические векторные про-
пространства, @ — некоторое множество ограниченных подмножеств
пространства Е и L(E, F) — векторное пространство всех непре-
непрерывных линейных отображений Е в F. ^-топология в L (E, F)
согласуется тогда со структурой векторного пространства и
притом локально выпукла, если F локально выпукло.
Достаточно заметить, что и(М), где и — непрерывное линейное
отображение Е в F, ограниченно в F для каждого ограниченного
множества Мс? (§ 2, п°3, следствие 2 предложения 5).
Пусть Е и F — топологические пространства и © — некоторое
множество ограниченных подмножеств пространства Е. Через Z.® (E, F)
мы будем обозначать топологическое векторное пространство, полу-
получаемое путем наделения векторного пространства L {E, F) @-топо-

162 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III. §3
логией, и для каждого М?<5 и каждой окрестности нуля V в F
положим
Т(М, V) = L{E, F)nT0{M, V)
(см. гл. IV, § 2, упражнение 1).
Наиболее важны следующие случаи:
1) S есть множество всех конечных подмножеств пространства Е;
E-топология в L (Е, F) есть тогда топология простой сходимости.
2) <5 есть множество всех компактных подмножеств простран-
пространства Е; E-топология в L(E, F) есть тогда топология компактной
сходимости.
3) © есть множество всех ограниченных подмножеств простран-
пространства Е; <5-топология в L (E, F) называется тогда топологией огра-
ограниченной сходимости. Ясно, что это — сильнейшая из ©-топологий
в L(E, F) (поскольку все <5 образованы ограниченными множествами).^
Заметим, что ©-топология в L (Е, F) не изменяется при замене ©
любым из следующих множеств подмножеств: 1) множеством всех под-
подмножеств множеств из @; 2) множеством объединений любых конеч-
конечных наборов множеств из ©; 3) множеством образов множеств из ©
при всевозможных гомотетиях; 4) множеством всевозможных конечных
сумм Mi-\- Мг-\- ... -f- Мр множеств из @; 5) множеством уравнове-
уравновешенных оболочек всех множеств из @; 6) множеством замыканий всех
множеств из @; 7) при локальной выпуклости пространств Е и F —
множеством замкнутых уравновешенных выпуклых оболочек нсех мно-
множеств из ©• Мы ограничимся установлением справедливости последних
двух утверждений. Если V—замкнутая окрестность нуля в F, то при
и ? Z. (E, F) из и (М) С V следует и (М) С и (М) а V, поскольку и не-
непрерывно; при этом М ограниченно (§ 2, замечание после предложе-
предложения 2). С другой стороны, если Е н F локально выпуклы, то выпуклые
оболочки множеств из © также ограниченны (§ 2, предложение 2);
если V—выпуклая окрестность нуля в F, М — множество из @ и /V —
его выпуклая оболочка, то из и (М) С V, где u?L (E, F), следует
и (N) с V (см. упражнение 2).
Предположим, что F локально выпукло, и пусть Г — множество
полунорм, определяющее его топологию (гл. И, § 5, п° 4). Для
каждой полунормы />?Г и каждого множества Л1?<5 положим
)• A)
Ясно, что рм — полунорма на L(E, F). Кроме того, если V —
окрестность нуля в F, определяемая неравенством р(у)^1> то

3 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 163
включение u(M)aV равносильно неравенству />м(«)<; 1; мы видим,
таким образом, что E-топология в L(E, F) определятся семейством
полунорм рм, где р пробегает множество Г, а Ж — множество <5
(или лишь его часть "®0 такую, что каждое множество из E содер-
содержится в гомотетичном образе некоторого множества из <20,—как
это следует из равенства рш (и) = | X | рм (и)).
Если, в частности, Е и F— нормированные пространства, то
топология ограниченной сходимости в L (?, F) определяется нормой
||«||= sup \\и(х)\\ B)
|| х Ц< 1
(см. Общ. топ., гл. X, § 2, п°2). Рассматривая L (E, F) как норми-
нормированное пространство, мы всюду, где не оговорено противное, будем
предполагать его снабженным нормой B).
2. Условие отделимости пространства Ls (E, F)
Предложение 2. Пусть Е и F — топологические векторные
пространства, F отделимо и <5—некоторое множество огра-
ограниченных подмножеств пространства Е. Если объединение всех
множеств из <2 тотально в Е, то пространство L& {Е, F) отде-
отделимо.
Действительно, пусть А — объединение всех множеств из © и
uo^L(E, F), и0Ф 0. Так как А тотально, то существует точка хо?А
такая, что ио(лго)^=О, и, следовательно, окрестность нуля V в F
такая, что uo(xo)&V; тогда для любого множества M?S, содержа-
содержащего х0, имеем ио$-Т(М, V), и предложение доказано (см. упраж-
упражнение 3).
В частности, при отделимости пространства F топологии простой,
компактной и ограниченной сходимостей в L (E, F) отделимы.
3. Связи между L (E, F) и L (E, F)
Пусть Е и F — отделимые топологические векторные простран-
пространства, причем F полно; и пусть Ё — пополнение пространства Е. Так
как каждое непрерывное линейное отображение и пространства Е
в F однозначно продолжается до непрерывного линейного отображе-
отображения и пространства Е в F, то отображение и—*и есть изоморфизм
структуры векторного пространства в L(E, F) на структуру век-
векторного пространства в L(E, F). Пусть, далее, 2 — некоторое мно-
множество ограниченных подмножеств- пространства Е. Из определения

164 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ' ГЛ. III, §3
¦явствует, что при отождествлении L (Е, F) с L {Ё, F) посредством
отображения и -*¦ и ©-топология в L (E, F) отождествляется с ©-то-
©-топологией в L (Ё, F). Обозначая через © множество замыканий мно-
множеств из © в Ё, заметим, что ©-топология и ©-топология в L(E, F)
совпадают (п° 1).
Например, если Е — нормированное пространство, то топология
ограниченной сходимости в L (Е, F) совпадает с топологией ограни-
ограниченной сходимости в L (Ё, F) (при указанном выше отождествлении
пространств L (E, F) и L (Ё, F)). Действительно, каждое ограничен-
ограниченное множество из Ё содержится в замыкании (в Ё) некоторого огра-
ограниченного множества из Е. Впрочем, шар ||х||<; 1 в Ё есть замы-
замыкание в Ё своего пересечения с Е; если поэтому F — нормирован-
нормированное пространство, то из формулы B) следует, что (в принятых выше
обозначениях) ||и|| = ||м||; иными словами, отображение м—»¦« есть
изоморфизм структуры нормированного пространства в L (E, F) на
структуру нормированного пространства в L(E, F).
Можно привести примеры отделимых локально выпуклых про-
пространств Е, для которых не всякое ограниченное множество в Е содер-
содержится в замыкании ограниченного множества из Е (гл. IV, § 1, упраж-
упражнение 11).
4. Ограниченные множества в Lm{E, F)
Пусть Е и F — топологические векторные пространства и © — мно-
множество ограниченных подмножеств пространства Е. Утверждение, что
множество HcL(E, F) ограниченно в ©-топологии, означает, что
для каждого множества М ? © и каждой окрестности нуля V в F
существует Х>0 такое, что НсЪТ(М, V), т. е. u(M)aW для всех
м?#, или, иначе, {Ju(M)dV, т. е. что множество (Jtf(M) огРа-
ниченно в F для каждого М ? ©.
Так как отношение „u(M)alV для всех и?Н" равносильно отно-
_ -1
шению .МсХ (I u(V), то этот признак выражается также следую-
щим образом:
Предложение 3. Пусть Е и F — топологические вектор-
векторные пространства и © — некоторое множество ограниченных
подмножеств пространства Е. Для того чтобы множество

4 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 165
HcL{E, F) било ограниченным в ^-топологии, необходимо и
достаточно, чтобы для каждой окрестности нуля V из F мно-
_ -1
жество \\ и (У) поглощало все М ? ©.
Если © и ©'— два множества ограниченных подмножеств из Е
и ©с©7, то ©-топология в L (E, F) мажорируется ©'-топологией
и, следовательно, каждое множество из L{E, F), ограниченное
в ©'-топологии, тем более ограниченно в ©-топологии. Мы увидим,
что в некоторых важных случаях ограниченность множества HczL(E, F)
в ©-топологии не зависит от ©, если только ограничиться множе-
множествами ©, образующими покрытия пространства Е (см. п°7, замеча-
замечание после следствия 1 теоремы 4).
Теорема 1. Пусть Е и F — отделимые локально выпуклые
пространства и E, — множество всех полных ограниченных
уравновешенных выпуклых множеств из Е. Каждое множество
HaL(E, F), ограниченное в топологии простой сходимости, огра-
ограниченно в (&-топологии.
Пусть V — замкнутая уравновешенная выпуклая окрестность нуля
в F; в силу предложения 3, дело сводится к доказательству того,
_ -1
что множество 7^ = || u(V) поглощает все М ? (L Ясно, что Т —
замкнутое уравновешенное выпуклое подмножество пространства Е.
Далее, 7"—бочка в Е, т. е. (§ 1, определение 1) поглощающее
множество; в силу предложения 3, это вытекает из предположения,
что Н ограниченно в топологии простой сходимости. Тем самым
справедливость теоремы вытекает из следующей леммы:
Лемма 1. В отделимом локально выпуклом пространстве Е
каждая бочка Т поглощает всякое полное ограниченное уравно-
уравновешенное выпуклое множество А.
Путем замены пространства Е, если нужно, его векторным под-
подпространством, порожденным множеством А, вопрос сводится к тому
случаю, когда А порождает Е, т. е. когда А — поглощающее мно-
множество. Пусть тогда р — его калибровочная функция (гл. II, § 5,
п°3). Так как для каждого ненулевого х?Е существуют окрест-
окрестность нуля U, не содержащая х, и число а>0 такое, что aAaU
(ибо А ограниченно), то р(х)фО, иными словами, р — норма на Е.

166 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, § 3
Обозначим через Ео нормированное пространство, получающееся
путем наделения Е нормой р. Множества \А (X > 0) образуют в Ео
фундаментальную систему окрестностей нуля. Так как А ограниченно
в Е, то топология §0 пространства Ео мажорирует топологию §
пространства Е. Далее, Ео — банаховское пространство. Действи-
Действительно, окрестности нуля \А для топологии oTQ полны в топологии IT;
следовательно, нормированное пространство Ео полно (гл. I, § 1,
следствие предложения 8). Так как теперь Т замкнуто в Е, то оно
замкнуто и в Ео и, следовательно, является бочкой в Ео. Но Ео —
бочечное пространство (§ 1, предложение 1). Следовательно, Т есть
крестность нуля в Ео и, значит, поглощает А.
Следствие 1. Пусть Е и F—отделимые локально выпук-
выпуклые пространства. Если Е квазиполно, то каждое множество
из L (E, F), ограниченное в топологии простой сходимости, огра-
ограниченно во всякой <?>-топологий.
Действительно, (Е есть в этом случае множество всех замкну-
замкнутых ограниченных уравновешенных выпуклых подмножеств про-
пространства Е, и так как замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка
каждого ограниченного множества из Е также ограниченна в Е
(§ 2, предложение 2), то 6-топология есть не что иное, как топо-
топология ограниченной сходимости, т. е. сильнейшая из всех 3-топологий.
Если Е квазиполно, то мы будем говорить поэтому просто об
ограниченных множествах в L (Е, F), не отмечая — в какой ©-топо-
©-топологии (подразумевая, если не оговорено противное, ©-топологии, по-
порождаемые множествами © множеств, содержащими все конечные под-
подмножества пространства Е).
Следствие 2. Пусть Е и F — банаховские пространства и
Н — множество непрерывных линейных отображений Е в F.
Если sup ||и (jc)||<-f-эо для каждого х?Е, то также
SUP 111<+°о-
и?Н
5. Равностепенно непрерывные множества в L (E, F)
Пусть Е и F — топологические векторные пространства. Для
того чтобы H^.L(E, F) было равностепенно непрерывным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы оно было равностепенно непрерывным
в точке 0 (гл. I, § 1, предложение 7); это означает, что для каждой

5 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 167
окрестности нуля V из F существует окрестность нуля U в Е
такая, что u(U)cV для всех и?Н, или, иначе, что множество
A и (V) есть окрестность нуля в Е. Как мы знаем (гл. I, § 1,
п° 5), тогда Н, сверх того, равномерно равностепенно непрерывно.
Заметим еще, что если Е и F локально выпуклы, то уравновешенная
выпуклая оболочка равностепенно непрерывного множества Н из
/.(?, F) равностепенно непрерывна; действительно, если для любой
уравновешенной выпуклой окрестности нуля V из F существует
окрестность нуля U в Е такая, что u(U)czV для всех и?Н, то
и для любой линейной комбинации v='^i\kuk элементов из //такой,
к
что 2i^fcK 1. имеем v{U)d]/.
к
Предложение 4. Пусть Е и F — топологические векторные
пространства, причем F отделимо. Замыкание Н каждого
равностепенно непрерывного множества HaL(E, F) в произведе-
произведении FE (пространстве всех отображений Е в F, наделенном топо-
топологией простой сходимости) содержится в L(E, F) и равностепенно
непрерывно.
Что Н равностепенно непрерывно — известно (Общ. топ., Рез.,
§ 13, пэ 12; гл. X, § 3, предложение 7); остается лишь показать,
что предел линейных отображений в топологии простой сходимости
линеен. Но отображение и —*¦ и {х) произведения F в F непрерывно;
поэтому, поскольку F отделимо, для любой пары точек х, у из Е
и любой пары скаляров ),, jx множество тех u?FE, которые удо-
удовлетворяют соотношению
и 0-х -j- jxy) — lu (х) — (хм (у) = О,
¦pi
замкнуто в F ; следовательно, множество всех линейных отобра-
отображений Е в F замкнуто в F J как пересечение указанных множеств,
когда х и у пробегают Е, а \ и jx — тело скаляров.
Следствие. Для того чтобы равностепенно непрерывное мно-
множество HaL(E, F) было относительно компактным в L(E, F),
наделенном топологией простой сходимости, необходимо и до-
достаточно, чтобы для каждого х?Е множество Н (х) значений
и(х), где и пробегает Н, было относительно компактно в F.

168 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 3
Действительно, это условие необходимо и достаточно для того,
чтобы Н было относительно компактным в произведении F (Общ.
топ., Рез., § 8, п° 7; гл. I, § 10, следствие теоремы 3), откуда
и вытекает утверждение, поскольку HaL{E, F).
Предложение 5. Пусть Е и F—отделимые топологические
векторные пространства. Следующие равномерные структуры
совпадают на каждом равностепенно непрерывном множестве
HcL(E, F):
1) равномерная структура простой сходимости на тоталь-
тотальном множестве из Е;
2) равномерная структура простой сходимости на Е;
3) равномерная структура равномерной сходимости на пред-
компактных множествах из Е-
Заметим прежде всего, что если и — линейное отображение Е
в F и V — уравновешенная окрестность нуля в F, то из м(х4)?У
следует, что и (j&Mi) € \К\ V-\-\ X2|V+ .. .+
—|— j Х„ | V для любого набора скаляров QH) A<;/<]я). Отсюда
сразу вытекает, что для каждого множества Л из ? равномерная
структура (в Н) простой сходимости на А совпадает с равномерной
структурой простой сходимости на векторном подпространстве, по-
порожденном множеством А. Поэтому в утверждении предложения 5
слово „тотальном" можно заменить на „всюду плотном". Совпаде-
Совпадение первых двух равномерных структур есть тогда следствие общего
свойства равностепенно непрерывных множеств. (Общ. топ., Рез.,
§ 13, п° 15; гл. X, § 3, предложение 3 A9)). Совпадение же вто-
второй и третьей равномерных структур вытекает из следующей леммы:
Лемма 2. Пусть Е и F — отделимые равномерные прост-
пространства и Н — равномерно равностепенно непрерывное множе-
множество отображений Е в F. Тогда в Н равномерная структура
простой сходимости на Е совпадает с равномерной структурой
равномерной сходимости на пред компактных множествах из Е.
Действительно, пусть V — окружение для равномерной структуры
в F и А — предкомпактное множество из Е. По предположению,
существует симметричное окружение U для равномерной структуры
в Е такое, что из {х, y)^U следует (и(х), u(y))?V для всех
и?Н. Так как А предкомпактно, то существует конечное число

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 169
точек Xj,Q_A таких, что окрестности U(xt) образуют покрытие
множества А; если тогда и и v принадлежат Н и таковы, что
з
(и (Xj), v(xi))? V для каждого /, то {и(х), v(х))? V для всех х?А,
и лемма доказана.
Примеры. °1) Пусть [а — мера Лебега на R и ?—-пространство
Lp(y.) A<р< + оо) (Интегрир., гл. IV, § 3). Пусть Д, для каждой
числовой функции / с интегрируемой р-й степенью на R и каждого
вещественного h, — функция x^yf(x— h), очевидно, также обла-
обладающая интегрируемой р-й степенью. Ясно, что /-> Д есть линейное
отображение пространства Е на себя *); кроме того, так к&кЫр (Д—gn)—
— Np(f—g)**), то множество Н всех этих линейных отображений
(где h пробегает R) равностепенно непрерывно. Но для каждой не-
непрерывной функции / с компактным носителем на R функции Д при
Л, стремящемся к нулю, сходятся к / равномерно, а значит, и в сред-
среднем порядка р. Так как множество <ffi (R) всех непрерывных функций
с компактным носителем на R всюду плотно в Е, то из предложения 5
следует, что Д при Л, стремящемся к нулю, сходится в среднем по-
порядка р к f для каждой функции f?E.
2) Пусть Е — пространство всех непрерывных числовых функций
на R, наделенное топологией компактной сходимости, и (;хп) — после-
последовательность мер с компактным носителем на R, т. е. непрерывных
линейных отображений Е в R (Интегрир., гл. III, § 3, предложение 11).
Предположим, что ||[л„||<!1 для всех п и что носители всех мер jxn
содержатся в фиксированном компактном множестве в R. Если тогда
/) = 0 для каждой функции f?E, то последовательность инте-
градов I ettxd^.n(t) стремится к нулю равномерно (по х) на каждом
компактном множестве в R. Действительно, последовательность
равностепенно непрерывна, а когда х пробегает компактное множество
в R, функции t^>-eitx образуют компактное множество в Е (Общ.
топ., Рез., § 13, п° 8; гл. X, § 2, предложение 9B0)).о
Следствие. Пусть Н—равностепенно непрерывное множе-
множество в L(E, F). Если фильтр Ф в Н сходится на Е в топо-
топологии простой сходимости к некоторому отображению и0
*) Допуская вольность речи, мы отождествляем функцию, обладающую
интегрируемой р-й степенью, с ее классом эквивалентности (по модулю
множества всех пренебрегаемых функций), или, что то же, отождествляем
две такие функции, если они совпадают почти всюду.
*) Np (/) = (J |/| d^j"'. -Прим. перев.

170 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 3
пространства Е в F, то и0 — непрерывное линейное отображение
Е в F и Ф сходится к и0 равномерно на каждом предкомпакт-
ном множестве из Е.
Первое утверждение есть следствие предложения 4, а второе —
предложения 5.
Предложение 6. Пусть Н—равностепенно непрерывное мно-
множество в L(E, F). Если F метризуемо, а в Е существует
тотальное счетное множество, то равномерная структура в Н
простой, сходимости на Е метризуема. Если, кроме того, и в F
существует тотальное счетное множество, то Н содержит
счетное всюду плотное множество (в топологии простой сходи-
сходимости на Е).
Действительно, пусть (ап)— тотальная последовательность в Е;
покажем, что отображение и—*(и(ап)) есть изоморфизм Н, наде-
наделенного равномерной структурой U простой сходимости на Е,
в равномерное пространство F*, чем и будет доказано, что U
метризуема (Общ. топ., Рез., § 7, п° 9; гл. IX, § 2, упражнение
8С21))- Итак, пусть d — расстояние, определяющее равномерную
структуру пространства F; если для каждых двух элементов и и г»
в L (E, F) положить dn(u, v) — d(u(an), v(an)), то dn будут от-
отклонениями на L (E, F); в силу предложения 5, они определяют в Н
равномерную структуру U, чем и установлена справедливость на-
нашего утверждения. Для доказательства второй части предложения
мы воспользуемся следующей леммой:
Лемма 3. Для того чтобы топология метризуемого топо-
топологического пространства О обладала счетным базисом, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы О содержало счетное всюду плотное
множество.
Условие необходимо, ибо если (Вп) — базис топологии про-
пространства О и Ьп?Вп, то последовательность (Ьп) всюду плотна.
Обратно, предположим, что в О существует всюду плотная после-
последовательность (ап), и пусть d — расстояние, определяющее топологию
в О, a Smn — открытый шар с центром ат и радиусом —. Тогда
множества Smn образуют базис топологии в О. Действительно, для
каждого открытого множества U из Си каждой точки x?U су-
1 й
ществуют целые числа т, п такие, что d {х, ат) < — < -н, где о —

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 171
расстояние от х до С^А а тогда шар Smn содержится в(Уи содер-
содержит х.
Вернемся теперь ко второй части предложения 6. Предположим,
что в F существует тотальная последовательность (сп). Если телом
скаляров для F служит R (соотв. С), то линейные комбинации векто-
векторов сп (соотв. сп и icn) с рациональными коэффициентами образуют
всюду плотное счетное множество в F, так что топология в F обла-
обладает в силу леммы 3 счетным базисом 23. Непосредственно ясно,
что тогда элементарные множества в F* (Общ. топ., Рез., § 7, п° 5;
гл. I, § 8, п° 1), все проекции которых на F принадлежат 23, обра-
образуют счетный базис топологии в FK. Отсюда заключаем, что топо-
топология в Н обладает счетным базисом, что, в силу леммы 3, и за-
завершает доказательство.
6. Теорема Банаха — Штейнгауза
Предложение 7. Пусть Е и F — топологические векторные
пространства. Каждое равностепенно непрерывное множество
в L (Е, F) ограниченно во всех ^-топологиях.
Действительно, какова бы ни была окрестность нуля V из F,
|| и (V) есть окрестность нуля в ? и, следовательно, поглощает
все ограниченные множества, что, в силу предложения 3, и завер-
завершает доказательство.
Множество из L (E, F), ограниченное в топологии ограниченной
сходимости (и тем более во всех ©-топологиях), не обязательно
равностепенно непрерывно (гл. IV, § 3, упражнение 5). Однако
справедливо следующее:
Теорема 2. Пусть Е — бочечное пространство и F — ло-
локально выпуклое пространство. Каждое множество HcL(E, F),
ограниченное в топологии простой сходимости, равностепенно
непрерывно.
Действительно, пусть V — замкнутая уравновешенная выпуклая
окрестность нуля в F. Множество Г= [] а (V) замкнуто, уравно-
вешенно и выпукло, предположение же, что Н ограниченно в топо-
топологии простой сходимости, означает, что Г—поглощающее мно-

172 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, § 3
жество (предложение 3), значит Т—бочка в Е. А так как Е—
бочечное пространство, то Т — окрестность нуля в Е, и теорема
доказана.
Следствие (теорема Банаха — Штейнгауза). Пусть Е—бочеч-
Е—бочечное пространство, F— отделимое локально выпуклое прост-
пространство и Ф— фильтр в L(E, F), сходящийся на Е в тополо-
топологии простой сходимости к некоторсгму отображению и0 прост-
пространства Е в F. Если Ф содержит множество, ограниченное
в топологии простой сходимости (в этом случае мы говорим,
чт0 ф — ограниченный фильтр), или обладает счетным базисом,
то и0 есть непрерывное линейное отображение Е в F и Ф схо-
сходится к и0 равномерно на каждом пред компактном множестве
из Е.
Если Ф содержит множество Н, ограниченное в топологии про-
простой сходимости, то утверждение вытекает из следствия предложе-
предложения 5, поскольку Н равностепенно непрерывно (теорема 2).
Далее, если Ф — элементарный фильтр, ассоциированный с не-
некоторой последовательностью (ип)п>1 (Общ. топ., Рез., § 2, п° 10;
гл. I, § 5, п° 10), то последовательность (ип(х)) для каждого х?Е
сходится в F к мо(х); тогда последовательность (ип) ограниченна
в топологии простой сходимости (§ 2, следствие предложения 3)
и мы приходим к предыдущему случаю.
Предположим, наконец, что Ф обладает счетным базисом. Тогда
каждый элементарный фильтр W, мажорирующий Ф, сходится на Е
к м0 в топологии простой сходимости, так что «о есть непрерывное
линейное отображение Е в F и W сходится к м0 в топологии рав-
равномерной сходимости на предкомпактных множествах из Е. Следо-
Следовательно, то же верно и для фильтра Ф, поскольку последний
является пересечением всех мажорирующих его элементарных фильт-
фильтров (Общ. топ., Рез., § 2, п° 10; гл. I, § 5, предложение 10).
Заметим, что просто сходящийся фильтр из L (Е, F), обладающий
счетным базисом, не обязательно содержит ограниченное множество,
как это показывает пример фильтра окрестностей нуля, когда топо-
топология в L (Е, F) метризуема, но не может быть определена одной
нормой (упражнение 3).
Пример. Пусть Е — банаховское пространство (над С), обра-
образованное непрерывными комплексными функциями на R, имеющими

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 173
период 1, и снабженное нормой ||/|| = sup |/(дгI. Для каждого це-
0<ж<1
1
лого n?Z н каждой функции /?? положим с„(/)= Г/(х) eiKinx dx
о
(п-тл коэффициент Фурье функции/); каждое из отображений/-»- сп (/)
есть непрерывная линейная форма на Е. Пусть (а„) — последователь-
последовательность комплексных чисел, обладающая тем свойством, что ряд с об-
общим членом апсп (/) (п ? Z) абсолютно сходится для каждой функ-
оо
ции/??. При этих условиях отображение /-*¦ \* <*ncn(f) есть не-
п— -со
прерывная линейная форма на Е; "иными словами, существует мера [а
на
со
[0,1] такая, что V «иС» (/) = I f(x)dy.(x) для каждой функции
.o Действительно, отображение /-> 2 akck(f) Для каждого
целого т^>0 есть непрерывная линейная форма ит на Е, и по пред-
предположению последовательность um((f)) для каждой функции
сходится к и U) = 2 anCn(f)'y тем самым справедливость утвержде-
—со
ния следует из теоремы Банаха—Штейнгауза, поскольку Е — бочеч-
бочечное пространство.
Замечание. °Результат последнего примера может быть полу-
получен также путем применения теоремы о замкнутом графике (гл. I,
§ 3, следствие 5 теоремы 1), а именно следующим образом. Пусть
v — линейное отображение пространства Е в банаховское простран-
пространство /?=Z,q(Z), относящее каждой функции f?E последовательность
(ancn(f) )ngz- Покажем, что v непрерывно, откуда тем более будет
следовать непрерывность отображения и. Для этого достаточно пока-
показать, что график G отображения v замкнут в Е X F- Но пусть PQ —
произведение Cz; F (рассматриваемое как векторное пространство, не
наделенное топологией) есть подпространство в р0 и топология, инду-
индуцируемая в Р из Ро, мажорируется нормированной топологией в Р.
Достаточно поэтому доказать, что G замкнут в пространстве Еу. Ро
или, иначе (поскольку Ро метризуемо), что v (fm) стремится к нулю
в Р для каждой стремящейся к нулю последовательности (fm) из Е.
Но это означает, что последовательность (а„с„(/т) )т^ сходится
к нулю для каждого п, а последнее очевидно.0
Теорема 3. Пусть Т—метризуемое топологическое про-
пространство, Е — метризуемое бочечное пространство, F —
локально выпуклое пространство и М — множество отображений

174 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III. § 3
произведения Е X Т в F, удовлетворяющее следующим условиям:
1° для каждого to?T множество отображений х—»-/(х, t0)
(f?M) есть равностепенно непрерывное множество линейных
отображений Е в F;
2° для каждого хо?Е множество отображений ^-+/(х0, t)
(f?M) пространства Т в F равностепенно непрерывно.
При этих условиях множество М равностепенно непрерывно.
Мы воспользуемся следующей леммой:
Лемма 4. Пусть Н—множество отображений метризуемого
пространства А в равномерное пространство В. Для того чтобы
Н было равностепенно непрерывным, достаточно, чтобы для
каждой последовательности (zn) из А, сходящейся к любому
пределу а, последовательность (f(zn)) сходилась к f (а) равно-
равномерно относительно /?//.
В самом деле, при этих условиях для каждого а?А и каждого
окружения U для равномерной структуры пространства В множе-
множество V точек z?А таких, что {f(z), f{a))^_U для каждой функции
f?_H, есть окрестность точки а в Л. Действительно, если бы это
было не так, то в QV существовала бы последовательность (zn),
сходящаяся к а, а тогда последовательность (f(zn)) не сходилась бы
к /(а) равномерно относительно f?H.
Для доказательства теоремы 3 достаточно теперь, в силу мет-
метризуемости произведения ?Х Т, показать, что для каждой после-
последовательности ((хп, tn) )n точек этого произведения, сходящейся
к пределу (х0, ?0), f(xn, tn) сходится к /(х0, t0) равномерно отно-
относительно f?M. Пусть ft для каждой функции f?M и каждой
точки t?T—частичное отображение х->-/(х, t), по условию при-
принадлежащее L(E, F). Покажем, что множество линейных отображе-
отображений ftn—ftQ, где / пробегает Ж, а я —множество целых чисел ^. 1,
ограниченно в топологии простой сходимости в L(E, F), т. е.
что для каждого х?Е множество Nx точек /(х, tn)—/(х, t0)
(и^-1, f?M) ограниченно в F.
Пусть V — уравновешенная окрестность нуля в F; из предполо-
предположения 2° теоремы следует существование номера п0 такого, что
/(х, tn)—/(х, to)?V для каждой функции f?M и всех л>-л0;
с другой стороны, в силу предположения Г и предложения 7,
множество точек /(х, t)=ft(x) (f?_M) ограниченно в F для каж-

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 175
дого t? Г; поэтому множество точек /(х, tn)—f(x, t0)
ограниченно в F для каждого номера п < п0 (§ 2, следствие 5 пред-
предложения 5) и, значит, существует Х^.1 такое, что /(х, tn) —
— /(х, to)?W для п < п0 и всех /?-М. Следовательно, NxcW,
т. е. Л/ж ограниченно.
Так как П бочечно, то множество линейных отображений/^—ft
равностепенно непрерывно (теорема 2); но в силу предположения Г,
множество отображений ft (f?M) тоже равностепенно непрерывно;
следовательно, и множество отображений ft (n^-l, /?М) равно-
равностепенно непрерывно. Это означает, что для каждой окрестности
нуля V из F существует окрестность U точки х0 в Е такая, что
/(х, tn)—/(х0, tn)?V для всех х??/, всех целых л^1 и всех
функций /?А1, Но если п достаточно велико, то xn?U и значит
/(х„, tn)—/(х0, tn)?V. С другой стороны, из предположения 2°
следует, что для достаточно больших п также /(х0, tn)—/(х0, to)?V
при всех f?M. Поэтому существует номер m такой, что/(хп, tn) —
— /(х0, to)?V-\-V для всех n^-m и всех функций f?M, чем
и доказано, что последовательность (/(xn, tn)) стремится к/(х0,/0)
равномерно относительно
7. Полные множества в Lz {В, F)
Теорема 4. Пусть Е и F — топологические векторные про-
пространства и E — покрытие пространства Е, образованное огра-
ограниченными множествами. Если F отделимо и квазиполно (§ 2,
п° 5), то каждое равностепенно непрерывное множество HczL (E, F),
замкнутое в ^-топологии, есть полное равномерное подпрост-
подпространство равномерного пространства Lq(E, F).
Действительно, пусть Ф—фильтр Коши в Н (в равномерной
структуре, индуцированной из L&(E, F)). Множество Н(х) точек
м(х) (и?Н) ограниченно в F для каждого х?Е (предложение 7),
поэтому его замыкание Н(х), также ограниченное в F, есть полное
равномерное подпространство пространства F. Так как образ Ф (х)
фильтра Ф при отображении и -> и (х) есть базис фильтра Коши
в Н(х) (поскольку о покрывает Е), то мы видим, что Ф(х) схо-
сходится к некоторой точке uo(x)?F. Другими словами, Ф просто
сходится к некоторому отображению м0 пространства Е в F. Так
как Н равностепенно непрерывно, то м0 есть непрерывное линейное
отображение Е в F (следствие предложения 5). Будучи фильтром

176 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, § 3
Коши в Z.® (?, F), Ф сходится к м0 в З-топологии (Общ. топ.,
Рез., § 13, п° 3; гл. X, § 1, предложение 4 B2)), и теорема доказана.
Замечание. Пусть М — полное равномерное подпространство
в L~ (Е, F). Каково бы ни было семейство ограниченных множеств
@'1Э@ в Е, ©'-топология в L (?, F) мажорирует ©-топологию; с дру-
другой стороны, существует фундаментальная система окрестностей нуля
для ©'-топологии, замкнутых в топологии простой сходимости (п° 1,
замечание 2) и, значит, тем более в ©-топологии. Отсюда следует
(гл. I, § 1, предложение 8), что М остается полным и в равномерной
структуре, индуцированной из L& (?, F).
Следствие 1. Пусть Е и F— топологические векторные про-
пространства и Н — равностепенно непрерывное множество из
L (Е, F). Если F отделимо и квазиполно и фильтр Ф в Н просто
сходится во всех точках некоторого тотального множества
SczE к отображению и0 последнего в F, то и0 однозначно про-
продолжается до непрерывного линейного отображения и0 прост-
пространства Е в F и Ф сходится к м0 равномерно на каждом
предкомпактном множестве из Е.
Действительно, в силу предложения 5, Ф есть фильтр Коши для
равномерной структуры простой сходимости на Е; поэтому, в силу
теоремы 4 и предложения 4, он просто сходится на ? к некоторому
отображению ио?Н (где Н—замыкание Н в L(E, F) в топологии
простой сходимости); последнее утверждение вытекает из предло-
предложения 5.
Замечание. Пусть (ип) — последовательность непрерывных ли-
линейных отображений банаховского пространства Е в банаховское про-
пространство F; может случиться, что (ип (х)) имеет предел в каждой
точке некоторого векторного подпространства S, всюду плотного в Е,
и, однако, последовательность (ип) не ограниченна. Пусть, например,
Е—пространство всех непрерывных числовых "функций f(x) на R,
удовлетворяющих условию lim /(дг) = 0, снабженное нормой ||/|| =
х ¦> ± оо
= sup |/(х) |, и S—его подпространство, образованное всеми непре-
рывными чнсловыми функциями на R с компактным носителем. После-
Последовательность непрерывных линейных отображений f-*-nf(n) про-
пространства Е в R стремится к нулю для всех f?S, но не ограниченна
в L (E, R). Тот же пример показывает, »то в пространстве L (S, R)
последовательность (у„) может быть сходящейся в топологии простой
сходимости и, однако, не ограниченной в топологии ограниченной схо-
сходимости.

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 177
Следствие 2. Пусть Е и F— локально выпуклые про-
пространства и © — покрытие пространства Е, образованное огра-
ограниченными множествами. Если Е бочечно, a F отделимо и квази-
квазиполно, то пространство Z.s (E, F) отделимо и квазиполно.
Действительно, замкнутое ограниченное множество в L (Е, F)
ограниченно в топологии простой сходимости (поскольку <5 покры-
покрывает Е), а потому равностепенно непрерывно (теорема 2) и, следо-
следовательно, в силу теоремы 4, есть полное равномерное подпространство
в Z-® {Е, F).
Замечание. В обозначениях предыдущего замечания, последо-
п
вательность непрерывных линейных отображений/->^/(й) является
ft-i
последовательностью Коши в L (S, R) в топологии простой сходимости,
но не имеет в этой топологии предела в L E, R).
Следствие 3. Пусть Е и F — банаховские пространства.
L (E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, есть
банаховское пространство (ср. Общ. топ., гл. X, § 2, предложение 4).
Действительно, как мы знаем, L(E, F) в этой топологии норми-
нормирование (п° 1); с другой стороны, так как Е бочечно (§ 1, след-
следствие предложения 1), a F квазиполно, то L{E, F) квазиполно; сле-
следовательно, L {Е, F) полно (§ 2, п° 5).
Упражнения. 1) Пусть Е— отделимое топологическое про-
пространство и F — топологическое векторное пространство. Показать, что
в пространстве Q (Е, F) всех непрерывных отображений Е в F топо-
топология компактной сходимости согласуется со структурой векторного
пространства.
2) Пусть Е и F — отделимые локально выпуклые пространства.
Множество @ ограниченных подмножеств пространства Е называется
насыщенным, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1° каждое
подмножество множества М ? @ принадлежит <3; 2° объединение ка-
каждого конечного числа множеств из <& принадлежит <5; 3° образы мно-
множеств из @ при всевозможных гомотетиях принадлежат @; 4° замкну-
замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка каждого множества из @ при-
принадлежит <&.
а) Пусть @ — произвольное множество ограниченных подмножеств
пространства Е, @t — множество объединений всевозможных конеч-
конечных наборов множеств из <3, @2 — множество замкнутых уравнове-
уравновешенных выпуклых оболочек всех множеств iиз ©1( @3-—множество
образов множеств из ©2 при всевозможных гомотетиях, наконец

178 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, §3
©—множество всех подмножеств множеств из ©3. Показать, что ©
есть наименьшее насыщенное множество ограниченных подмножеств
пространства Е, содержащее ©, и что ©-топология в L(E, F) сов-
совпадает с ©-топологией.
б) Пусть © — насыщенное множество ограниченных подмножеств
пространств Е и ©' — содержащее © множество ограниченных под-
подмножеств из Е, отличное от @. Показать, что ©'-топология в L (E, F)
сильнее ©-топологии. [Использовать теорему Хана — Банаха.]
3) Пусть Е и F—отделимые локально выпуклые пространства и
© — множество ограниченных подмножеств пространства Е.
а) Показать, что если F не сводится к одному элементу 0, то для
отделимости пространства Z,s (E, F) необходимо (и достаточно), чтобы
объединение всех множеств нз © было тотально в Е. [Использовать
теорему Хана — Банаха.]
б) Начиная отсюда, будем предполагать, что © покрывает Е. Пока-
Показать, что существует изоморфизм пространства Р на замкнутое под-
подпространство пространства LB (E, F). Вывести отсюда, что если /,@ (Е, F)
квазиполно, то F необходимо квазиполно.
в) Предположим, кроме того, что @ — насыщенное множество
(упражнение 2). Для того чтобы LB (E, F) было метризуемым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы F было метризуемо и существовала по-
последовательность (Мп) множеств из © такая, что каждое множество
из © содержится в одном нз Мп. Для того чтобы ©-топология
в L (E, F) могла определяться одной нормой, необходимо и достаточно,
чтобы топологию в Р можно было бы определить одной нормой и
существовало множество М ? © такое, что каждое множество из ©
содержится в образе множества М при некоторой гомотетии.
4) Пусть Е — топологическое векторное пространство над R
(соотв. С). Показать, что для каждого множества © ограниченных
подмножеств из R (соотв. С), не сводящегося к {0}, пространство
Ls (R, Е) (соотв. LB (С, Е)) канонически изоморфно Е. Вывести отсюда,
что для каждого целого п>0и каждого покрытия © пространства R'*
(соотв. С"), образованного ограниченными множествами, простран-
пространство LB (Rre, Е) (соотв. Z,s (Cn, ?)) изоморфно Еп.
5) а) Пусть Еь Е?, F—топологические векторные пространства,
<f — непрерывное линейное отображение Е\ в ?2 и ®1 (соотв. ©2) —
множество ограниченных подмножеств пространства Е\ (соотв. ?2)
такое, что ч> (@i) С ©2. Показать, что и -*¦ и о у есть непрерывное ли-
линейное отображение Ь^(Ег, F) в L^^(E\, F).
6) Пусть Е и Р—топологические векторные пространства, М —
векторное подпространство в Е, у — каноническое отображение Е
на Е/М и © — множество ограниченных подмножеств пространства Е.
Показать, что отображение и-*-и о <р есть изоморфизм пространства
L (Е/М, F), наделенного <р (©)-топологией, на подпространство про-

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 179
странства Z,s (Е, F), образованное всеми непрерывными линейными
отображениями Е в Р, аннулирующимися на М.
6) Пусть (Еа)ьСА — семейство локально выпуклых пространств,
Е — векторное пространство (над тем же телом скаляров, что и все ?„)
и /га для каждого a ? А — линейное отображение Ел в Е. Наделим Е
сильнейшей локально выпуклой топологией, в которой непрерывны
все ha (гл. II, § 2, п° 2). Пусть <За для каждого а?А — множество
ограниченных подмножеств пространства Ех и @ — объединение мно-
множеств ha (@a) ограниченных подмножеств пространства Е. Показать
что каково бы ни было локально выпуклое пространство F, ©-топо-
©-топология в L (E, F) есть слабейшая топология, в которой непрерывны
линейные отображения в-^иой, пространства L (?, F) в Ls (?,, F).
В частности, если Е—топологическая прямая сумма (гл. II, § 2, п° 3)
семейства (ЕЛ)Л^А (где каждое Ел рассматривается как подпространство
пространства Е), то произведение IT Z.s (?„ F) канонически изо-
морфно пространству Z,s (E, F), где © — объединение множеств <За
в У (?).
7) Пусть (EL\rj—семейство отделимых локально выпуклых про-
пространств, не сводящихся к одному элементу О, Е — произведение JT
и F— нормированное пространство. Показать, что существует кано-
канонический изоморфизм пространства L (?, F), наделенного топологией
ограниченной сходимости (соотв. простой сходимости, равномерной схо-
сходимости на предкомпактных множествах), на топологическую прямую
сумму пространств L (?„ F), наделенных каждое топологией ограничен-
ограниченной сходимости (соотв. простой сходимости, равномерной сходимости
на предкомпактных множествах). [Принять во внимание, что для ка-
каждого непрерывного линейного отображения и пространства Е в F су-
-1
ществует конечное множество Не/ такое, что и @) содержит про-
произведение пространств Е1 с индексами i<?#.]
8) Пусть Е, Fi, F-i — топологические векторные пространства, <\> —
непрерывное линейное отображение F: в Ръ и © —• множество ограни-
ограниченных подмножеств пространства Е. Показать, что м->^ои есть
непрерывное линейное отображение Z,s (F, Fi) в Z,@ (E, F2)-
9) Пусть Е — топологическое векторное пространство, © — мно-
множество его ограниченных подмножеств, (G\^j — семейство тополо-
топологических векторных пространств, Р—векторное пространство (над тем
же телом скаляров, что и пространства ? и G,) и gt для каждого t^/—•
линейное отображение Р в G,. Наделим Р слабейшей топологией,
в которой непрерывны все gr Показать, что ©-топология в L (Е,Р)
есть слабейшая из топологий, в которых непрерывны линейные ото-
отображения u-+g, о и пространства L (E, F) в пространства /,g (E, G,).

180 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III. § 3
В частности, при F = JJ G( произведение \\Ls (E' G<) кан°»ически
отождествимо с ?g (Е, F).
10) Множество А в отделимом топологическом векторном простран-
пространстве называется полуполным, если каждая последовательность Коши
в А сходится в некоторой точке из А.
а) Показать, что в отделимом локально выпуклом пространстве
каждое полуиолное ограниченное уравновешенное выпуклое множество
поглощается всякой бочкой.
б) Показать, что если Е—полуполное отделимое локально выпук-
выпуклое пространство, то каково бы ни было локально выпуклое простран-
пространство F, каждое множество из L (E, F), ограниченное в топологии про-
простой сходимости, ограниченно во всякой ©-топологии.
в) Показать, что каждое инфрабочечное пространство (§ 2, упраж-
упражнение 12), в котором всякое ограниченное замкнутое уравновешенное
выпуклое множество полуполно, — бочечно.
*11) Локально выпуклое пространство Е называется ультра огра-
ограниченно замкнутым, если каждое выпуклое множество в Е, погло-
поглощающее все полуполные (упражнение 10) ограниченные уравновешен-
уравновешенные выпуклые множества, есть окрестность нуля в Е.
а) Показать, что каждое ультра ограниченно замкнутое пространство
одновременно ограниченно замкнуто и бочечно*).
б) Пусть Е — локально выпуклое пространство, в котором за-
замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка множества точек всякой
последовательности, стремящейся к нулю, полуиолна. Показать, что
если Е ограниченно замкнуто, то оно ультра ограниченно замкнуто;
[Использовать упражнение 11 § 2:] В частности, каждое ограниченно
замкнутое квазиполное пространство ультра ограниченно замкнуто;
еще специальней: каждое пространство Фреше ультра ограниченно
замкнуто.
в) Пусть (?а) — фильтрующееся семейство векторных подпро-
подпространств векторного пространства ?, покрывающее Е, далее, в каждом ?а
задана локально выпуклая топология §¦« и |г — сильнейшая локально
выпуклая топология в Е, при которой непрерывны канонические вло-
ження всех Е* в Е. Предположим, что ^топология, индуцируемая в ЕЛ
топологией |г, совпадает с Э"в для каждого индекса а. Показать, что
если все пространства ЕЛ ультра ограниченно замкнуты, то Е, наделен-
наделенное топологией Ж, ультра ограниченно замкнуто.
г) Показать, что произведение конечного числа ультра ограниченно
замкнутых пространств ультра ограниченно замкнуто. Вывести отсюда,
что топологическая прямая сумма любого семейства ультра ограни-
ограниченно замкнутых пространств ультра ограниченно замкнута.
*) Неизвестно, существуют ли ограниченно замкнутые бочечные про-
пространства, которые не были бы ультра ограниченно замкнутыми.

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 181
д) Показать, что произведение Е = JJ Еп бесконечной последо-
п=о
вательности ультра ограниченно замкнутых пространств ультра огра-
ограниченно замкнуто. [Пусть А — выпуклое множество в Е, поглощающее
все полуполные ограниченные уравновешенные выпуклые множества
из Е. Показать, что если бы А не было окрестностью нуля в Е, то СА
содержало бы последовательность (хп) такую, что первые п — 1 коор-
координаты каждого хп равны нулю, но хп Ф 0. Заметить далее, что за-
замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка множества точек такой
О")
последовательности совпадает с множеством всех точек вида 2 ^пхп
со п = 0
где 2 I ^п I ^ '> и чт0 9та оболочка полуполна.]
п=о
е) Пусть Е — ультра ограниченно замкнутое пространство. Пока-
Показать, что существуют семейство (Ft) банаховских пространств и для
каждого 1 — линейное отображение /, пространства F, в Е такие, что Е
есть объединение всех /, (/\) и топология в Е есть сильнейшая локально
выпуклая топология, при которой непрерывны все ft. [Рассуждать как
в упражнении 176 § 2.]
12) Пусть Е—полуполное (упражнение 10) отделимое локально
выпуклое пространство и ?0— ограниченно замкнутое пространство,
ассоциированное с Е (§ 2, упражнение 13). Показать, что существуют
семейство (F,) банаховских пространств и для каждого t — линейное
отображение ft пространства pt в ?0 такие, что ?0 есть объединение
всех /j (F,) и топология в ?0 есть сильнейшая локально выпуклая то-
топология, при которой непрерывны все /t. [Использовать упражне-
упражнение 176 § 2.] В частности, ?0 есть бочечное пространство.
*13) а) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство,
F— пространство Фреше, (Fn) — последовательность пространств
Фреше, и — непрерывное линейное отображение F в ? и ип, для
каждого п, — непрерывное линейное отображение Fn в ?, причем и (F)
содержится в объединении всех ип (Fn). Показать, что тогда суще-
существует номер п такой, что u(F) czun(Fn). [Для каждого п рассмотреть
замкнутое подпространство Ип в F X. Fn, образованное точками {х, у )
для которых и (х) = ип (у); принять во внимание, что его проекцией
—1
на F служит множество и (ы„ (Fn)), и использовать упражнение 3 § 3
гл. I.]
б) Пусть ? — отделимое локально выпуклое пространство, (Fn) —
последовательность пространств Фреше, ип, для каждого п, — непре-
непрерывное отображение Fn в Е и А—полное уравновешенное выпуклое
ограниченное множество из ?, содержащееся в объединении подпро-
подпространств un(Fn). Показать, что существует номер п такой, что
Aczun(Fn). [Применить а) к подпространству F пространства Е, по-
порожденному множеством А и наделенному топологией, определяемой
нормой р, равной калибровочной функции этого множества.]

182 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, §3
в) Пусть ? —пространство Фреше, (Fn)— последовательность
пространств Фреше, F — векторное пространство (над тем же телом
скаляров, что и пространства Е и Fn) и gn, для каждого п, — линей-
линейное отображение Рп в F, причем F есть объединение подпро-
подпространств gn(Fn). Наделим F сильнейшей локально выпуклой тополо-
топологией, при которой функции gn непрерывны, и пусть /— линейное ото-
отображение Е в F. Показать, что если его график G замкнут в Е У. F,
то / непрерывно. fCeecTH к тому случаю, когда все Fn — подпростран-
подпространства в F, a gn — канонические отображения Fn в F\ G есть объеди-
объединение векторных подпространств G("|(?X Fn)\ рассматривая Нп =
= G(](E X Fn) как подпространство пространства Фреше Е X Fn> при-
применить а) к последовательности (Нп), проекциям Нп на ? и тождест-
тождественному отображению Е на себя; наконец, воспользоваться теоремой
о замкнутом графике (гл. I, § 3, следствие 5 теоремы 1).]
г) Распространить результат из в) на случай пространства Е, оп-
определенного следующим образом: существуют семейство (?,) банахов-
ских пространств и для каждого i — линейное отображение Л, про-
пространства ?, в Е; далее, Е есть объединение подпространств fit (?,),
а топология в Е — сильнейшая локально выпуклая топология, при
которой непрерывны все Л,. [Свести к тому случаю, когда Е есть ба-
наховское пространство.] Случай ультра ограниченно замкнутого Е
' (упражнение 11).
Вывести отсюда, что каждое непрерывное линейное отображение F
на Е есть гомоморфизм.
14) Пусть Е и F—отделимые топологические векторные простран-
пространства и Н—равностепенно непрерывное множество из L (?, F). Пока-
Показать, что если в ? существует счетное всюду плотное множество и
каждое ограниченное множество в F метризуемо, то Н метризуемо
в топологии простой сходимости на ?. Если, кроме того, каждое огра-
ограниченное множество в F содержит счетное всюду плотное подмноже-
подмножество, то и Н содержит счетное всюду плотное подмножество (в тополо-
топологии простой сходимости на ?).
15) Пусть Е и F—топологические векторные пространства, при-
причем Е — бэровское.
а) Показать, что каждое множество Н в L (?, F), ограниченное
в топологии простой сходимости, равностепенно непрерывно. [Рас-
[Рассмотреть для каждой замкнутой окрестности нуля V из Р множества
\
б) Показать, что если множество И из L (E, F) не равностепенно
непрерывно, то множество тех х^Е, для которых Н(х) не ограни-
ограниченно в F, имеет своим дополнением множество первой категории.
Вывести отсюда, что для каждой последовательности (//„) не равно-
равностепенно непрерывных множеств из L (?, F) существует х ? Е такое,
что ни одно из множеств Нп(х) не ограниченно в F („принцип кон.
денсации особенностей").

/ ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 183
*1б) Пусть Т — метризуемое топологическое пространство, Е и Р—
топологические векторные пространства, из которых Е — бэровское,
и М — множество отображений Е X ^ в Р, удовлетворяющее усло-
условиям 1° и 2° теоремы 3. Показать, что М равностепенно непрерывно.
[При данных точке to?T и замкнутой уравновешенной окрестности
нуля V из F пусть dx для каждого х ? Е — верхняя грань радиусов
открытых шаров в Т с центром t0, на которых f(x, t)—f(x, tu) ? V
для всех/ ? М. Показать, что функция x-*dx полунепрерывна сверху
в каждой точке хй ? Е\ для этого показать, что если бы для точек х,
произвольно близких к х0, выполнялись неравенства dx > а. ;> dx ,
то мы имели бы f(x0, t)—f(x0, tQ) g V+ W при d (t, *0Xa и /€Af
для каждой окрестности нуля W в Р. Наконец использовать теорему 2
из Общ. топ., гл. IX, § 5 B8).]
17) Пусть Е—ннфрабочечное пространство (§ 2, упражнение 12) и
Р — локально выпуклое пространство. Показать, что каждое множе-
жество из L (?, F), ограниченное в топологии ограниченной сходи-
сходимости, равностепенно непрерывно.
18) Пусть Е — ограниченно замкнутое пространство (§ 2, упраж-
упражнение 12) и © — множество его ограниченных подмножеств, содержа
щее все компактные множества. Показать, что если отделимое локально
выпуклое пространство Р квазиполно (соотв. полно), то и простран
ство Z.s (?, Р) квазиполно (соотв. полно). [Принять во внимание, что
линейное отображение ы пространства Е в F, сужение которого на
каждое компактное множество из Е непрерывно, непрерывно на Е;
см. § 2, упражнение П.]
§ 4. Гипонепрерывные билинейные отображения
/. Раздельно непрерывные билинейные отображения
Пусть Е, F, G — топологические векторные пространства. Для
каждого билинейного отображения и произведения Е X F в О и
каждого х?Е (соотв. каждого y?F) обозначим через их. (соотв. и.у)
линейное отображение у -> и (х, у) пространства F в О (соотв. ли-
линейное отображение х —> и (лг, у) пространства Е в О).
Определение 1. Билинейное отображение и произведения
3 X F в G называется раздельно непрерывным, если линей-
линейное отображение их. непрерывно для каждого х?Е и линейное
отображение и.у непрерывно для каждого
Из этого определения непосредственно вытекает следующее пред-
предложение:

184 ПРОСТРДНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. Ill, § 4
Предложение 1. Для того чтобы билинейное отображе-
отображение и произведения Е X F в G было раздельно непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы и.у для каждого y?F было
непрерывным линейным отображением Е в О и чтобы линейное
отображение у-+и.у было непрерывным при наделении простран-
пространства L (Е, О) топологией простой сходимости.
Раздельно непрерывное билинейное отображение ? X Z7 в G не
обязательно непрерывно на Е X F (упражнение 4). Однако справед-
справедливо следующее важное предложение:
Предложение 2. Пусть Е—метризуемое бочечное простран-
пространство, F — метризуемое векторное пространство и О—ло-
О—локально выпуклое пространство. Тогда каждое раздельно непре-
непрерывное билинейное отображение Е X F в О непрерывно.
Действительно, достаточно применить теорему 3 § 3, приняв F
за Т, G за F и множество, состоящее из одного данного билиней-
билинейного отображения, за М.
Ниже вводится понятие, промежуточное между понятиями непре-
непрерывного и раздельно непрерывного билинейных отображений.
2. Гипонепрерывные билинейные отображения
Предложение 3. Пусть Е, F, О — топологические вектор-
векторные^ пространства, <3— множество ограниченных подмножеств
пространства Е и и — раздельно непрерывное билинейное отобра-
отображение Е X F в G. Следующие условия равносильны:
а) Для каждой окрестности нуля W из О и каждого мно-
множества М?<3 существует окрестность нуля V в F такая, что
б) Образ каждого множества М ? <5 при отображении х -> их.
есть равностепенно непрерывное множество в L (Е, О).
в) Отображение у -> и.у пространства F в L& (E, G) непрерывно.
Действительно, в силу определения окрестностей нуля в L2 (E, G)
(§ 3, п° 1), а) выражает непрерывность отображения^—> и.у в точке 0;
точно так же а) выражает, что образ М при отображении х —>¦ их.
равностепенно непрерывен в точке 0 (§ 3, п° 5).

2 ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 185
Определение 2. Билинейное отображение и произведения
Е X Р в О называется S-гипонепрерывным, если оно раздельно
непрерывно и удовлетворяет одному из трех равносильных усло-
условий а), б), в) предложения 3.
Условие в) предложения 3 показывает, что понятие ©-гипонепре-
рывного билинейного отображения не измеияется при замене <§> любым
множеством подмножеств ©', получаемым из © с помощью операций,
описанных в п° 1 § 3, поскольку тогда ©'-топология в L (?, G) сов-
совпадает с ©-топологией.
Совершенно так же, поменяв лишь в предложении 3 ролями
Е и F, определим для каждого множества % ограниченных под-
подмножеств из F понятие %-гипонепрерывного билинейного отображе-
отображения. Раздельно непрерывное билинейное отображение и называется
(S, %)-гипонепрерывным, если оно одновременно и ©-гипонепре-
рывно и 2>гипонепрерывно.
Каждое непрерывное билинейное отображение Е X F в О
(S, 2)-гипонепрерывно для любой пары <?, X множеств ограничен-
ограниченных подмножеств. Действительно, для любой окрестности нуля W
из О существуют окрестность нуля U в Е и окрестность нуля V
в F такие, что u(U y,V) czW; так как каждое множество М ? E
ограниченно, то существует X > 0 такое, что УМ с U; а отсюда
и (Ж X W) = к (Ш X^)ca((/XV)cf.
Обратное вообще неверно (упражнение 5).
Предложение 4. %-гипонепрерывное билинейное отображе-
отображение и произведения EX F в О непрерывно на М X F для
каждого М ? ©, причем и (Ж X Q) ограниченно в О для каждого
ограниченного множества Q из F.
Действительно, пусть W — окрестность нуля в О; по предполо-
предположению, в F существует окрестность нуля V такая, что u(My_V)dW.
Так как существует X > 0, для которого XQ с V, то Ы (М X Q) =
= й(/ИХ >.Q) с W, чем вторая часть предложения доказана. С дру-
другой стороны, пусть (лг0, у0) — точка из М X F. Для каждой точки
О, у)?М X F имеем
и(х, у) —и{х0, у0) = и{х — х0, уо) + и(х, у — Уо)-

186 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 4
Если, поэтому, у—yo(z.V, то и(х, у—уо)?№ для каждого х?М.
Так как, с другой стороны, и раздельно непрерывно, то в ? суще-
существует окрестность нуля U такая, что и{х— х0, y^^W, когда
х — xu^U. Таким образом, из х — xo?U, у—.Уо?^ следует
и(х, у)— и(х0, yo)(zW-\-W, чем доказана и первая часть пред-
предложения.
ПрЕдложениЕ 5. C, %)-гипонепрерывное билинейное отображе-
отображение и произведения Е X F в Q равномерно непрерывно на М X N
для любой пары множеств М ? ©, N ^ %.
Действительно, для каждой окрестности нуля W из О суще-
существуют окрестность нуля U в Е и окрестность нуля V в f такие,
что из (*!, yt) g M X N. (x2,y2)?MXN, xl~x2^iU, yi—y2^.V
следует, что u(xt—х2, у2)? W и u(xv yl—y2)^W, а значит
« (*i> i>i) — и (х2, у2) = к (х!, З'! — Уг) + « (*i — *2. З'г) € ^ -h ^.
и предложение доказано.
Предложение 6. Если F — бочечное пространство, то каж-
каждое раздельно непрерывное билинейное отображение и про-
произведения Е X F в локально выпуклое пространство G &-гипо-
непрерывно для любого множества E ограниченных подмножеств
пространства Е.
Действительно, достаточно (предложение 3) доказать, что образ
каждого ограниченного множества М из ? при отображении х—>-их.
является равностепенно непрерывным множеством в L(F, G). Но
в силу предложения 1, этот образ ограничен в L{F, О) в топологии
простой сходимости, а так как F бочечно, то каждое множество
из L(F, G), ограниченное в топологии простой сходимости, равно-
равностепенно непрерывно (§ 3, теорема 2).
3. Продолжение гипонепрерывного билинейного отображения
Предложение 7. Пусть Е, F, О — топологические вектор-
векторные пространства,, причем О отделимо, далее, Ео (соотв. Fo) —
всюду плотное векторное подпространство в Е (соотв. F) и
и — раздельно непрерывное билинейное отображение Е X F в О.
Г Если и равно нулю на Ео\ Fo, то « — 0.

3 ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 187
2~ Пусть ©о — множество ограниченных подмножеств из Ео\
если сужение и на ?0 X Fo ^-гипонепрерывно, то и <&о-гипоне-
прерывно на Е X F.
1° По предположению, для каждого х?Е0 непрерывное линей-
линейное отображение у—уи(х, у) равно нулю на Fo, а значит, и на F;
тогда для каждого у ? F непрерывное линейное отображение лг-> и (х, у)
равно нулю на Ео, а значит, и на Е, т. е. и = 0.
2° По предположению, для каждой замкнутой окрестности нуля W
в О и каждого множества М ? <50 существует окрестность нуля V
в Fo такая, что и(М XV)cf. Но V есть окрестность нуля в F;
для каждого х?М из u({x}XV)czW следует и({х} X V)aW,
поскольку у—>и(х,у) непрерывно и W замкнуто; следовательно,
и (М X V) с W, а это и показывает, что и <50-гипонепрерывно
на EXF.
Предложение 8. Пусть Е, F, О — топологические вектор-
векторные пространства, причем О отделимо и квазиполно, далее,
Ео (соотв. Fo) — всюду плотное векторное подпространство в Е
(соотв. F) и 30 (соотв. ?0) — множество ограниченных подмно-
подмножеств из Ео (соотв. Fo), такое что каждая точка простран-
пространства Е (соотв. F) принадлежит замыканию некоторого мно-
множества из ©о (соотв. Zo). Тогда каждое (<50, %.о)-гипонепрерывное
билинейное отображение и произведения ?0 X Fo в О однозначно
продолжается до раздельно непрерывного билинейного отобра-
отображения и произведения Е X F в G, причем и (So, %0)-гипонепре-
рывно.
Единственность и гипонепрерывность отображения и вытекают
из предложения 7; остается установить существование и. Для
каждого y'(zF0 непрерывное линейное отображение х' -*¦ и(х', у')
подпространства Ео в G однозначно продолжается до непрерывного
линейного отображения х -у их (х, у') пространства Е в О (§ 2,
предложение 8). Непосредственно ясно, что для каждого х?Е ото-
отображение у -> «1 (х, у') подпространства Fo в О линейно; покажем,
что оно непрерывно. По предположению, существует М ? So такое,
что х?М. Для каждой замкнутой окрестности нуля W из О, по
предположению, существует окрестность нуля V в Fo такая, что
u(MXV)cW; отсюда, по -непрерывности, u^My,V)(=.W и,

188 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. Ill, § 4
в частности, и^х, y')?W для каждого y'?V, чем и установлена
справедливость нашего утверждения.
Теперь, линейное отображение у'—yul(x, у') однозначно про-
продолжается до непрерывного линейного отображения у—>и(х, у)
пространства F в G (§ 2, предложение 8). Ясно, что отображение
х-у и(х, у) для каждого y?F линейно; покажем, что оно непре-
непрерывно, чем доказательство предложения и будет завершено. По
предположению, существует N ?!?o такое, что y^N. Для каждой
замкнутой окрестности нуля W из О по предположению существует
окрестность нуля U в Ео такая, что и (U X N)cz W; отсюда но не-
непрерывности последовательно заключаем, что й( (I/ X W)c W и,
затем, u(U X M)czW; тем самым отображение х -> и{х, у) непре-
непрерывно, поскольку U — окрестность нуля в П.
4. Гипонепрерывность отображения (и, v) ->¦ v о и
Предложение 9. Пусть R, S, Т—отделичые топологические
векторные пространства и все три пространства L(R, S),
L (S, T), L (R, Т) наделены топологией простой (соотв. компакт-
компактной, ограниченной) сходимости. Тогда билинейное отображение
(и, v)-+Vou (<S, %)-гипонепрерывно, где % — множество всех
равностепенно непрерывных подмножеств из L(S, T), a <S — мно-
множество всех конечных (соотв. компактных, ограниченных) под-
подмножеств из L(R, S).
Докажем сначала, что (и, v)—>-v°u 2-гипопепрерывно. Пусть
Н—равностепенно непрерывное множество в L(S, T), W — окрест-
окрестность нуля в Г и М — конечное (соотв. компактное, ограниченное)
множество из R. Нужно лишь убедиться в том, что в S существует
окрестность нуля V такая, что из u{M)aV и v?H следует
v(u (M))c W. Но для этого достаточно, чтобы v(V)cW для каждого
v?H, а существование такой окрестности V вытекает из равно-
равностепенной непрерывности множества Я.
Чтобы убедиться в ©-гипонепрерывпости отображения (v, u)~*v о и,
мы установим, что для каждой окрестности нуля W из Т, каждого
конечного (соотв. компактного, ограниченного) множествапМсгЯ и
каждого конечного (соотв. компактного, ограниченного) множества L
из L {R, S) существует конечное (соотв. компактное, ограниченное)
множество N в S такое, что из v(N)cW и u?L следует v(u (M))c W.

5 ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 189
Очевидно, достаточно показать, что можно взять W=Mii (M),
т. е. что это множество N конечно (соотв. компактно, ограниченно)
вместе с L и М. Это непосредственно ясно, если L и М конечны
или М ограниченно в R, a L — в L(R, S) (в топологии ограничен-
ограниченной сходимости; см. § 3, п° 4). Таким образом остается установить,
что если М компактно в R и L компактно в топологии компактной
сходимости в L(R, S), то N компактно в S. Пусть им—сужение
u?L на М; отображение и—уии пространства L в пространство
Q (M, S) всех непрерывных отображений М в S, наделенное топо-
топологией равномерной сходимости, непрерывно; значит, образ L при
этом отображении компактен, и наше утверждение вытекает тогда
из непрерывности отображения (w, х) —у w (x) произведения
Q (M, S)X М в S (Общ. топ., Рез., § 13, п° 7; гл. X, § 2, пред-
предложение 6).
В двух нижеприводимых следствиях, как и в предложении 9,
предполагается, что все три пространства L(R, S), L(S, T), L(R, T)
наделены топологией простой сходимости, или все три — топологией
компактной сходимости, или все три — топологией ограниченной
сходимости.
Следствие 1. Для каждого равностепенно непрерывного мно-
множества Н из L (S, Т) отображение (и, v) —*¦ v о и произведе-
произведения L{R, S)y_H в L(R, T) непрерывно.
Это сразу следует из предложений 9 и 4.
Следствие 2. Пусть Т локально выпукло и S бочечно. Если
последовательность (ип) в L(R, S) сходится к и, а после-
последовательность (уп) в L (S, Т) — к v, то последовательность (vn о ип)
в L(R, T) сходится к v о и.
Действительно, последовательность {уп), будучи ограниченной
в топологии простой сходимости в L(S, T), равностепенно непре-
непрерывна, поскольку S бочечно (§ 3, теорема 2), а тогда утверждение
вытекает из следствия 1.
5. Равностепенно гипонепрерывные множества билинейных
отображений
Пусть Е, F, G — топологические векторные пространства. Мно-
Множество Н билинейных отображений ? X Р в О называется раздельно

ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ ГЛ. III, § 4
равностепенно непрерывным, если множество линейных отображе-
отображений ыж. (ы ? Н) равностепенно непрерывно для каждого х ? Е и мно-
множество линейных отображений иу (у ? Н) равностепенно непрерывно
для каждого у ? F. Раздельно равностепенно непрерывное множество Н
не обязательно равностепенно непрерывно; однако справедливо сле-
следующее предложение:
Предложение 10. Пусть Е— метризуемое бочечное простран-
пространство, F— метризуемое векторное пространство и G — локаль-
локально выпуклое пространство. Каждое раздельно равностепенно
непрерывное множество билинейных отображений EX F в О рав-
равностепенно непрерывно.
Это — следствие теоремы 3 § 3, где F принято за Т, G за F и Н
за М.
Предложение 11. Пусть Е, F, G— топологические вектор-
векторные пространства, <& —• множество ограниченных подмножеств
пространства Е и Н—множество раздельно непрерывных били-
билинейных отображений Е X F в G. Следующие условия равносильны:
а) Для каждой окрестности нуля W из G и каждого множе-
множества М ? © существует окрестность нуля V в F такая, что
и {MX V) с W для всех и^Н.
б) Для каждого множества М?@ образ Ну^М при отобра-
отображении (и, х) -*¦ их_ является равностепенно непрерывным множе-
множеством в L (F, G).
в) Множество отображений у -*¦ и,у (ы ? Н) пространства F
в Ls> (E, G) равностепенно непрерывно.
Доказательство непосредственно вытекает из определений.
Множество Н раздельно непрерывных билинейных отображений
Е X F B G, удовлетворяющее одному из равносильных условий а),
б), в) предложения 11, называется равностепенно <В-гипонепрерывным.
Таким же образом определяются понятия равностепенно %-гипоне-
прерывного множества по множеству % ограниченных подмножеств
пространства F и равностепенно (©, %)-гипонепрерывного множества.
Предоставляем читателю доказательство следующих предложений,
обобщающих предложения 4—-7.
Предложение 12. Равностепенно <&-гипонепрерывное множе-
множество Н билинейных отображений ? X Р в G равностепенно не-
непрерывно на MX F для каждого М?<3, причем объединение-мно-
объединение-множеств u(MXQ) (и ? Н) ограниченно в G для каждого ограничен-
ограниченного множества Q из F.
Предложение 13. Равностепенно (©, %)-гипонепрерывное мно-
множество Н билинейных отображений EX P в G равномерно

ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 191
равностепенно непрерывно на MXN для любой пары множеств
М е ©, N € %¦
Предложение 14. Если F— бочечное пространство, то каж-
каждое раздельно равностепенно непрерывное множество билиней-
билинейных отображений произведения ? X F в локально выпуклое
пространство G равностепенно <3-гипонепрерывно для любого мно-
множества © ограниченных подмножеств пространства Е.
Предложение 15. Пусть ?t, ??, F— топологические вектор-
векторные пространства, G± (соотв. G2) — всюду плотное векторное
подпространство в Et (соотв. ?2), @х (соотв. <32) — множество огра-
ограниченных подмножеств из G± (соотв. G<>) и Н — множество раз-
раздельно непрерывных билинейных отображений ?t X ?г в F. Если
множество сужений на G± X G2 отображений цз Н равностепенно
(@i, <В^)-гипонепрерывно, то и Н равностепенно (@1( <?>г)-гипоне-
прерывно.
Упражнения. 1) Пусть Е, F, G — топологические векторные
пространства. Показать, что если Е — бэровское, a F—метризуемое,
то каждое раздельно равностепенно непрерывное множество билиней-
билинейных отображений Е X F в G равностепенно непрерывно *). [См. § 3,
упражнение 16.]
2) Пусть Е, F, G — топологические векторные пространства и
© — покрытие пространства Е, образованное ограниченными множе-
множествами. Показать, что раздельно непрерьюное билинейное отображе-
отображение Е X F в G, непрерывное на М X Р Для любого М ? ©, <3-гипо-
непрерывно.
3) а) Пусть Е, Р, G — отделимые локально выпуклые простран-
пространства ии — билинейное отображение Е X F в G. Для существования
в Е уравновешенной окрестности нуля U такой, что множество ото-
отображений их, ? L (F, G) (х € U) равностепенно непрерывно, необходимо
и достаточно, чтобы и было непрерывно при замене топологии про-
пространства Е мажорируемой ею топологией, для которой множества \U
образуют фундаментальную снстему окрестностей нуля. Показать, что
если G нормированное, то это условие удовлетворяется для каждого
непрерывного билинейного отображения Е X F в G.
*) Заметим, что этот результат нельзя вывести прямо из предложе-
предложения 10, поскольку существуют неметризуемые бэровские пространства- (§ 1,
упражнение 7); точно так же и предложение 10 нельзя вывести из резуль-
результата упражнения 1, поскольку существуют метризуемые бочечные простран-
пространства, не являющиеся бэровскими (гл. V, § 2, упражнение 10). Наконец,
в предложении 10 нельзя опустить требование метризуемости пространства F,
ибо можно привести примеры раздельно непрерывных, но не непрерывных
билинейных форм на ? X Л где Е метризуемо, a F бочечно (упражне-
(упражнение 5).

192 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. П1, § 4
б) Примем за Е, F и G произведение Rv и за и — непрерывное
билинейное отображение ((хп), (уп)) -*¦ (хпу„). Показать, что в Е
нет никакой окрестности нуля U, для которой бы множество отобра-
отображений ux^L(F, G) (x?(J) было равностепенно непрерывным.
4) Пусть Е — прямая сумма R^, наделенная топологией, индуци-
индуцированной из произведения R . Показать, что билинейная форма
со
((хп)> (Уп)) ""*" 2 хпуп раздельно непрерывна на Е X Е, однако ни для
п=о
какого множества @ ограниченных подмножеств пространства Е, со-
содержащего хотя бы одно бесконечномерное ограниченное множество,
эта билинейная форма не ©-гипонепрерывна.
5) Пусть Е — пространство R \ наделенное сильнейшей локально
выпуклой топологией, и F— произведение RN; E — полное ограниченно
замкнутое бочечное пространство, F метризуемо и полно. Пусть,
далее, @ (соотв. %) — множество всех ограниченных подмножеств
пространства Е (соотв. F). Показать, что билинейная форма
со
( (хп)> (Уп)) -»¦ 2 хпУп на Е X F (©, 3;)-гипонепрерывна, но не непре-
п = 0
рывна. [См. гл. IV, § 3, упражнение 2.]
6) Пусть Е—локально выпуклое пространство, F—инфрабочеч-
ное пространство (§ 2, упражнение 12) и Ж — множество всех ограни-
ограниченных подмножеств пространства F. Показать, что ?-гнпонепре-
рывное билинейное отображение пространства Е X F в локально
выпуклое пространство G (S, З^-гицопепрерывпо для каждого мно-
множества @ ограниченных подмножеств из Е. [См. § 3, упражнение 17.]
7) Пусть ? и Р — топологические векторные пространства, /—би-
/—билинейное отображение (х, и) -»- и (х) произведения Е X L{E, F) в F,
3" — топология, согласующаяся со структурой векторного пространства
в L (E, F) и мажорирующая топологию простой сходимости, © — мно-
множество ограниченных подмножеств из Е, И — множество ограниченных
подмножеств из L (E, F). Для того чтобы / было ©-гнпонепрерыв-
ным, необходимо и достаточно, чтобы топология f мажорировала
©-топологию в L (E, F); для того чтобы / было 31-гипонепрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы множества, образующие %, были
равностепенно непрерывны.
8) Пусть Е, F, G — топологические векторные пространства, ©
(соотв. X) — множество ограниченных подмножеств пространства Е
(соотв. F) и И—векторное пространство всех S-гипонепрерывных
отображений Е X F в G.
а) Показать, что в Н топология равномерной сходимости на всех
множествах вида MyC,N (M ? ©, N ? X) согласуется со структурой век-
векторного пространства; эта топология называется C, %)-топологией
в Н. Пусть и для каждого и^Н — непрерывное линейное отображе-
отображение x-^-uj,m пространства Е в LX(E, G). Показать, что и-»-и есть

ГИПОНЕПРЕРЫВНЫЕ БИЛИНЕЙНЫЕ . ОТОБРАЖЕНИЯ 193
изоморфизм пространства Н, наделенного (@, 21)-топологней, на про-
пространство /.@ (?, Lz (F, G) ).
б) Пусть L — множество нз Н такое, что для каждой пары
(х, у)€?Х^ множество точек и(х,у) (u^L) ограниченно в G (т. е.
L ограниченно в Н в топологии простой сходимости). Показать,
что если Е, F и G локально выпуклы, причем Е и F отделимы и
квазиполны, то L ограниченно в Н для каждой (<3, 31)-топологнн.
в) Пусть Е, F, G — отделимые локально выпуклые пространства.
Если Е н Р бочечны, причем F квазиполно, то каждое множество L
из Н, ограниченное в топологии простой сходимости, равностепенно
31-гипонепрерывно.
г) Если Е и F бочечны, G квазиполно, а © и % покрывают соот-
соответственно Е и F, то Н отделимо н квазиполно в (©, ??)-топологии.
9) Распространить определения и результаты § 4 на полилинейные
отображения.
Пусть Е, F, G — топологические векторные пространства, ©
(соотв. 31) — множество ограниченных подмножеств пространства Е
(соотв. F) и U — множество ограниченных подмножеств пространства
/,@> $ (Е, F; G) (<Э, ?)-гнпонепрерывных отображений ? X Р в G, на-
наделенного (©, ?)-топологией (упражнение 8). Показать, что трилиней-
трилинейное отображение (х, у, и)-+и(х, у) произведення ?Х Р X ?©, г (Е, Р; G)
в G (©, ?)-гипонепрерывно; для того чтобы оно было (@, Ц)-гнпо-
непрерывно, необходимо н достаточно, чтобы каждое множество #?lt
было равностепенно ©-гнпонепрерывно.
*10) Пусть Е — пространство всех последовательностей х = (?л)и>о
вещественных чисел, для которых ряд с общим членом \п сходится.
п
Положим || х || = sup ^ %
к=о
а) Показать, что \\x\\ — норма в ? и ? полно по этой норме.
б) Показать, что векторное пространство I1 (N), рассматриваемое
как подпространство пространства ?, всюду плотно (в топологии
пространства ?), причем топология в Ll (N), определяемая нормой || х || j=
оо
= 2 I «»!• сильнее топологии, индуцируемой из Е.
и-о
в) Пусть (Р„) — возрастающая последовательность конечных под-
подмножеств произведения N X N. покрывающая N X N. Для каждого
х = (in) € ? и каждого у = (%) ё /.»(N) пусть /„ (х, у)= 2 5*V
Для* того чтобы последовательность (/„ (х, у)) для каждой пары
(х, у) ? Е X Ll (N) стремилась к пределу, необходимо и достаточно
чтобы эта последовательность для каждой такой пары (х, у) была
/со
ограниченна, причем предел fn (х, у) равен тогда I 8 ?«
\п=о

194 ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ГЛ. III, § 4
[Используя упражнение 8в, показать, что последовательность били-
билинейных форм (/„) равностепенно непрерывна, и заметить, что она
сходится на Lx (N) X L1 (N); в заключение использовать б).]
г) Пусть pjn, для каждого / € N, — наименьшее количество замкну-
замкнутых интервалов из N, объединением которых служит срез Рп по зна-
значению У второй координаты (проекция множества Pn(](N X {./}))> и
пусть рп = sup Pjn. Показать, что условие, полученное в в), равно-
сильно условию sup pn < -\- оо. [Показать, что норма билинейной
п
формы /„ равна sup У I f« (l> Л — Чп (' + 1. Л I , где :?„ — характе-
ристнческая функция множества Рп.\

ГЛАВА IV
ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
§ 1. Слабые топологии
/. Векторные пространства в двойственности
Пусть F и G — векторные пространства и (х, у) ->¦ В (х, у)—
билинейная форма на FXG. Говорят, что билинейная форма В
приводит векторные пространства F и О в двойственность, или
что F и G находятся в двойственности (относительно В), если
выполнены следующие два условия:
(Di) Для каждого хфО из F существует y?G такое, что
В (х, у) Ф 0.
(Dh) Для каждого у ф 0 из О существует x?F такое, что
В (х, у) ф 0.
Примеры. 1) Пусть Е — произвольное векторное пространство
н Е' — сопряженное пространство (векторное пространство всех ли-
линейных форм на Е). Каноническая билинейная форма (х, х') -*¦ {х, х') *)
на Е X •?* (Алг., гл. II, § 4, п° 1) приводит Е и Е" в двойственность.
Действительно, условие (Dn) выполнено по определению отношения
х' ф 0, а с другой стороны, известно, что для каждого х ф 0 из Е
существует линейная форма х' ?Е* такая, что {х, х')фО (Алг., гл. II,
§ 3, предложение 9), и тем самым выполнено также условие (Dj).
Если Е — пространство конечной размерности п, то единственным
подпространством G в Е", находящимся в двойственности с Е относи-
относительно сужения билинейной формы (х, х') на Е X G, является само Е*.
Действительно, так как Е канонически отождествимо с простран-
пространством Е"\ сопряженным к ?* (Алг., гл. II, § 4, п° 4), то при G Ф Е*
в Е существовал бы элемент афО такой, что (а, х') = 0 для каждого
х' б G (Алг., гл.«П, § 3, предложение 9), в противоречие с (D]).
2) Если Е — бесконечномерное векторное пространство н Е' — век-
векторное подпространство в Е~, то сужение билинейной формы {х, х')
(всегда удовлетворяющей условию (Рц)) на произведение Еу^Е'
может удовлетворять условию (Dt) даже когда Е'фЕ". Важнейший
пример, которому будет посвящена большая часть этой главы, это тот,
когда Е есть отделимое локально выпуклое пространство, а Е' —
*) (х, х') — значение линейной формы х' ? ?* на элементе х ? Е. — Прим.
пере в.

196 двойственность гл. iv, § i
подпространство в Е\ образованное всеми непрерывными линейными
формами на Е\ действительно, из теоремы Хана — Банаха следует, что
для каждого х Ф 0 из Е существует х' ??' такое, что (х, х') ф О
(гл. II, § 5, следствие 2 теоремы 1). Векторное пространство Е' назы-
называют топологическим сопряженным к Е\ оио зависит от топологии,
заданной в Е, но само не должно считаться наделенным топологией,
если только последняя явно не указана. Допуская вольность речи,
Е' чаще всего называют просто сопряженным к Е; а когда нужно
говорить о пространстве Е", то для избежания путаницы его назы-
называют алгебраическим сопряженным к Е.
3) Пусть Е и F—отделимые локально выпуклые пространства,
E®F—тензорное произведение векторных пространств Е и F (Алг.,
гл. III, § 1, п° 1) и G— векторное пространство всех непрерывных
билинейных форм на EXF- Каковы бы ни были элемент z — ^] Xk®yk
к
из E®F и билинейная форма и на ? X Л число (г, и) = ^] и(хь, уь),
к
как известно (Алг., гл. III, § 1, п° 2, Схолня), не зависит от выраже-
выражения г в виде суммы тензорных произведений х^^у^ и ясно, что
(z, и)-»- (г, и) есть билннейная форма на (E®F)X G, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию (Dn) по определению. Покажем, что она удовлетворяет
также условию (Dj) н, следовательно, приводит пространства E®F
и G в двойственность. Действительно, каждый элемент гфО из E®F
может быть записан в виде ^ = 2a»®^j' гДе ai О^С^-^)—ли"
«> i
нейно независимые элементы нз Е и bj A <!/<! п)—лннейио независи-
независимые элементы из F (Алг., гл. III, § 1, следствие 2 предложения 7).
Так как подпространство пространства Е, порожденное элементами а,-
с номерами / > 1, замкнуто (гл. I, § 2, следствие 1 теоремы 2), то на
Е существует непрерывная линейная форма х[ такая, что (av x[) =
= 1 и (at, Xj) = 0 для /> 1 (гл. II, § 3, следствие 3 предложения 4);
точно так же на/7 существует непрерывная линейная форма у[ та-
такая, что (bv у[) = 1 и (bj,y[) = O для />1. Тогда и(х, у) =
= (at, ATt) (y.^i) есть непрерывная билннейная форма иа EXF, для
которой (г,и) = 1, чем наше утверждение и доказано.
Пусть F и G — векторные пространства, приведенные в двой-
двойственность билинейной формой В, и В.г для каждого z?G — линей-
линейная форма у—> В (у, z) на F. Ясно, что z-+B.z есть линейное
отображение пространства G в алгебраическое сопряженное F*
к пространству F, а условие (Оц) означает, что это отображение
взаимно однозначно и, следовательно, есть изоморфизм простран-
пространства G на его образ в F*; чаще всего О отождествляют с этим
образом. Точно так же пусть Ву. для каждого y?F — линейная
форма z —> В (у, z) на G; у —> By. есть линейное отображение про-

2 СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 197
странства F в алгебраическое сопряженное G* к пространству G,
а условие (Dj) означает, что это отображение есть изоморфизм
пространства F на его образ в G*. что позволяет отождествлять F
с его образом при этом изоморфизме. Когда эти отождествления
выполнены, вместо В (у, z) мы пишем (у, z).
2. Слабые топологии
Определение 1. Пусть F и G—векторные пространства,
приведенные в двойственность билинейной формой (х, у) ->• (х,у).
Слабой топологией a(F, G) в F, определяемой двойственностью
между F и G, называют слабейшую из топологий в F, при
которых непрерывны все линейные формы х->(х, у) (y^G).
Таким же образом, меняя в определении 1 ролями F и G, вводят
слабую топологию a(G, F) в G; впрочем, эта возможность переста-
переставлять F и G относится ко всем результатам и определениям этого
параграфа.
Для наименования свойств, относящихся к слабой топологии
о (F, G), если это не сможет повлечь путаницы, мы будем иногда
пользоваться прилагательным „слабое" и наречием „слабо". Так, на-
например, мы будем говорить о „слабой сходимости", „слабо непрерыв-
непрерывной функции" и т. д.
Обозначим тело скаляров пространств F и G (равное R или С)
через К. В силу условия (Di), линейное отображение х—>((х, У))угО
пространства F в произведение д взаимно однозначно, что позво-
позволяет отождествлять F с векторным подпространством в д ; слабая
топология a (F, G) отождествляется тогда с топологией, индуцируемой
в F из топологического произведения /С6, так что это — отделимая
локально выпуклая топология, определяемая множеством полунорм
x-v | (х, у) |, где у пробегает G. Для каждого а>0 и каждого
конечного числа точек уг (l^i<;«) из G обозначим через
W (уи ...,уп;а) множество всех x?F таких, что | (х, yt) \ ^ a
(l^i^ra); эти множества (с произвольными а, и и yt) образуют
фундаментальную систему окрестностей нуля для a(F, G). Заметим,
что W(yv .... уп\ а) содержит подпространство конечной фактор-
размерности в F, определяемое уравнениями {х, yt) = Q (\^Ci*Cn).
Предложение 1. Каждая линейная форма на F, непрерыв-
непрерывная в топологии a (F, G), однозначно представима в виде
лг->(х, у), где y?G.

198 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
Действительно, непрерывность линейной формы / на F в топо-
топологии о (F, G) означает, что в G существует конечное число точек _у»
A<г<«) таких, что \f(x) |< sup | (х, у{) | (гл. II, § 5, предло-
1<г<п
жение 9). Если поэтому (х, yt) = 0 A <;/<;«), то f(x) = 0 и,
следовательно (Алг., гл. II, § 4, п°6), существует линейная комби-
п
нация .У —2^«.У» такая, что f(x).= (х, у) для всех x?F. Един-
ственность этого представления вытекает из условия (Dn).
Другими словами, если F наделено топологией a(F, G), то G
можно отождествить с пространством, сопряженным к F (п° 1,
пример 2).
Следствие 1. Для того чтобы семейство (а,) точек из F
было тотальным в топологии a(F, G), необходимо и достаточно,
чтобы для каждого ненулевого y?G существовал индекс i такой,
что (ао у) ф 0.
Действительно, это выражает, что никакая замкнутая гиперпло-
гиперплоскость не содержит всех точек ас.
Следствие 2. Для того чтобы семейство (а,) точек из F
было топологически свободным в топологии a (F, G), необходимо
и достаточно, чтобы для каждого индекса t существовал эле-
элемент b^G такой, что (at, Ь,)фО, а (ах, Ь,) = 0 для всех x^i.
Действительно, это выражает, что для каждого t существует
замкнутая гиперплоскость, содержащая все а% с индексами хфк и
не содержащая я,.
Следствие 3. Если Gx — векторное подпространство в G,
отличное от G и находящееся в двойственности с F (относи-
(относительно сужения (х, у) на F X GJ, то a(F, Gt) слабее, чем a(F, G).
Действительно, если y^G не принадлежит Glt то линейная
форма х -*¦ (х, у), . в силу предложения 1, непрерывна в z(F, G),
но не непрерывна в а(/7, Gj).
3. Поляры
Определение 2. Пусть F и G — векторные пространства
над R, находящиеся в двойственности, и М — произвольное мно-

3 СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 199
жество из F. Его полярой в G называется множество всех y?G
таких, что (х, у) <; 1 для каждого х?М.
Рассмотрим теперь векторные пространства F и G над С, нахо-
находящиеся в двойственности, и пусть Fo и Go— их базисные вектор-
векторные пространства над R. Положим В (х, у) = Ш {(х, у))\ ясно, что
В— билинейная форма, приводящая в двойственность Fo и Go, при-
причем (х, у) — В(х, у) — iB(ix, у) (гл. II, § 6, п° 1). Это подсказы-
подсказывает введение для комплексных векторных пространств следующего
определения:
Определение 3. Пусть F и G— векторные пространства
над С, находящиеся в двойственности, и М — произвольное мно-
множество из F. Его полярой в G называется множество всех
y?G таких, что 3t((x, y))-^. 1 для каждого х?М.
Там, где можно не опасаться путаницы, мы обозначаем поляру
множества М из F в пространстве G через М°. Разумеется, таким же
образом определяется и поляра в F множества из G. Всюду в даль-
дальнейшем свойства поляр исследуются одновременно для вещественных
и комплексных векторных пространств.
Ясно, что (ХМ)О = Х~1Ж° для любого скаляра X Ф 0 и множества
McF; далее, MczN влечет Л/°с=Ж°; если N поглощает М, то М°
поглощает №; поляра объединения JJ Ма любого семейства (Ма)
множеств из F есть пересечение их поляр МЛ.
Если М—уравновешенное множество из F, то М° — уравнове-
уравновешенное множество в G; в этом случае М° есть множество всех
y<zG таких, что | (х, у) | ^ 1 для каждого х?М. Действительно,
последнее равносильно выполнению неравенства 9t ((Сх, у)) ^ 1 для
каждого х?М и каждого С с |С| = 1.
Предложение 2. Поляра М° каждого множества М из F
содержит 0 и является выпуклым множеством, замкнутым
в топологии a(G, F).
Справедливость утверждения сразу следует из определений, если
принять во внимание непрерывность линейных форм у —>• (х, у)
в топологии a(G, F).

200 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
Замечания. 1) Пусть пространства F и G — вещественные
и М — конус (с вершиной 0) в F; ее ли у ? М°, то Aх, у) = 1 (х,у)^\
для каждого Х>0, откуда (х, у><;0 для всех х ? М. Это показывает,
что М° есть слабо замкнутый выпуклый конус, который можно опре-
определить как множество всех у ? G таких, что (х, у) <J 0 для каждого
2) Каждая окрестность нуля для с (G, F) содержит окрестность V,
определенную конечным числом неравенств | (Х{, у) | <J I A-^Ji^n)
(п°2), где Xf—какие-то элементы нз F. V есть поляра уравновешен-
уравновешенной выпуклой оболочки множества А этих элементов xt.
Предложение 3. Поляра М°° поляры М° каждого множе-
множества М из F есть замкнутая (в a (F, G)) выпуклая оболочка мно-
множеств М и {0}; при этом (Ж00H = М°.
Пусть N — выпуклая оболочка множеств М и {0}; ясно, что
№=М°, так что можно ограничиться тем случаем, когда N = М.
Предложение 2 показывает, что M°°z}M; с другой стороны, если
а ? F не принадлежит М, то существует замкнутая вещественная
гиперплоскость И, строго отделяющая а и Ж (гл. II, § 3, предло-
предложение 4); не содержа начала, Н имеет уравнение вида iR((x, у)) = 1,
где y?G (предложение 1), а, следовательно, ffi((x, у)) < 1 для всех
х?М и 9?((а, у))~> 1; это означает, что у?М° и а(?_М°°, откуда
и вытекает, что МОО = М. Далее, так как MczM°°, то (ЛГ°)°с=М°с=
с=(Жо)оо= (Ж00H, чем доказано и второе утверждение предложения.
Мы видим, таким образом, что М° не изменится, если заме-
заменить М замкнутой выпуклой оболочкой его объединения с множе-
множеством {0}.
Следствие. Поляра пересечения М = у\М<1 любого семей-
а
ства (MJ замкнутых (в a(F, G)) выпуклых множеств из F,
содержащих 0, есть замкнутая (в а (F, G)) выпуклая оболочка
объединения их поляр МЛ.
Действительно, пусть N — эта замкнутая выпуклая оболочка;
имеем
откуда N =

5 ¦ СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 201
4. Ортогональные подпространства
Пусть М — векторное подпространство в F; каждое у?М° должно
удовлетворять неравенству 9t (X (л:, у))^. 1 для всех значений тжа-
ляра X и всех х?М, что возможно лишь если (х, у) = 0. Говорят,
что множества А из F и В из G ортогональны, если (х, у) = 0
для каждой пары векторов х?А, у?В. Предыдущее замечание
показывает, что поляра М° векторного подпространства М есть
векторное подпространство в G, образованное всеми элементами у,
ортогональными к М; его называют также ортогональным допол-
дополнением к М (или, допуская вольность речи, просто подпространством,
ортогональным к Ж).
• Из предложений 2 и 3 вытекает
Предложение 4. Для каждого векторного подпростран-
подпространства М пространства F подпространство М° пространства G
замкнуто в a{G, F), М°° есть замыкание М в a(F, G) и
(М0°H = М°.
5. Подпространства и факторпространства пространства,
наделенного слабой топологией
Пусть F и G — векторные пространства в двойственности и
М — векторное подпространство в F. Рассмотрим его ортогональное
дополнение М° в G. Если точки ух и у2 из G сравнимы по мо-
модулю М°, то (л:, ух) = {х, у2) для всех х?М. Для каждого класса у
по модулю М° (т. е. каждого элемента факторпространства G/M°)
обозначим через (х, у) постоянное значение, принимаемое билиней-
билинейной формой (л:, у), когда у пробегает у; ясно, что (л:, у) -> (л:, у)
есть билинейная форма на М X (G/M°).
Предложение 5. Форма {х, у) приводит векторные простран-
пространства М и G/Ma в двойственность.
Это сразу следует из условия (Di) и определения простран-
пространства М°.
Предложение 6. Топология а (Ж, GjM°) в М совпадает с топо-
топологией, индуцируемой в М слабой топологией а(/\ G).
Действительно, пусть yt A <; / <^ п) — элементы из G и
Ух О^*'^п) —их классы по модулю М°. Ясно, что множество

202 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
W(ух уп\ а) тех х?М, для которых | (*,
есть след на М окрестности W (уг уп; а), и предложение до-
доказано.
Предложение 7. Пусть N — векторное подпространство в G.
Для того чтобы топология a (F/№, N) в F/№ совпадала
с фактортопологией слабой топологии а (F, G) по №, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы N было замкнуто в G в топологии
o(G, F).
Предположим сначала, что N замкнуто в a (G, F). Пусть ср —
каноническое отображение F на F/№ и сГ — фактортопология топо-
топологии а(/\ G) по №. Ясно, что сГ мажорирует топологию a(F/№, N).
С другой стороны, пусть V = W(y1 уп; а.) — окрестность нуля
в F для топологии a (F, G) и L — векторное подпространство в G,
порожденное подпространством N и элементами _у» A<С<СЛ);
в L существует векторное подпространство Р конечной размерности
т^_п, дополнительное к N; пусть (ZjI<i<m — его базис. Сужения
линейных форм x->(jc, zf) (}^.j^.m) на № линейно независимы;
т
действительно, в противном случае существовало бы 2 = 2 V-jzj>
.7 = 1
где не все pj равны нулю, такое, что (л:, z) = 0 для всех х?№;
но это означало бы, что z?Noa = N (поскольку N замкнуто в топо-
топологии o(G, F)), в противоречие с определением пространства Р.
Отсюда следует, что для. каждого х ? F существует s ? № такое,
т
что O—(x-\-s,Zj) A<у<«); но Л = Н^чй' где ft€N
J~-l
A <;/<;«); поэтому (л:, ti) = {x-\-s, yt) (l^i^n). Полагая
W (t^ tn; a) = U, заключаем отсюда, что ср (?/)сгср (V). Но так
как U насыщено по отношению х' — х?№, то <?{U) есть окрест-
окрестность нуля для топологии я (FIN", N), и тем самым доказано, что
a (/7/№, N) мажорирует топологию оГ.
Если теперь N не замкнуто в a(G, F) и N — его замыкание
в этой топологии, то (N)°=Na (предложение 4) и, значит, по пре-
предыдущему, фактортопологией топологии a (F, G) по № служит
о (/=•/№. 77); но так как N =?N, то о (/=•/№, N) и o(F/№, N) раз-
различны (следствие 3 предложения 1).
Замечание. Если М — подпространство в F, имеющее конечную
размерность т, то поскольку G/M° находится в двойственности с М,

6 СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 203
М° имеет в G факторразмерность т. (п° 1, пример). Если М — замкну-
замкнутое пространство в F, имеющее конечную факторразмерность л, то
F/M = F/M00 находится в двойственности с М° и потому М° л-мерно
(п° 1, пример 1).
6. Произведения слабых топологий
Предложение 8. Пусть (/\, О,) ,7— семейство пар вектор-
векторных пространств в двойственности, f = Ц/\ — произведение
пространств Ft и G — прямая сумма пространств G, (i ? /). Для
каждого х = (xt)?F и каждого у = (у,)?G положим (х, у) =
= 2 (-*v 30 (где в сумме лишь конечное число слагаемых Ф 0).
Билинейная форма (х, у) -> (л:, з») приводит F и О в двойствен-
ность, и топология a (F, G) есш> произведение топологий
Действительно, для каждого х = (xt) Ф 0 из F имеется хотя бы
один индекс i такой, что х,фО, а для него yl^,Gl такое, что
(¦*!• yi)i=Q' достаточно тогда взять y~yit чтобы (л:, у) = (*,, у,)фО.
Так же убедимся в выполнении условия (Dn). С другой стороны,
для того чтобы линейная форма х—>(х, у) была при каждом y?G
непрерывна в некоторой топологии сГ пространства F, очевидно,
необходимо и достаточно, чтобы в §Г было непрерывно каждое из
отображений х -> (prtx, у,) (с произвольным у^вь), т. е. (гл. I,
§ 1, п° 9) чтобы было непрерывно каждое из отображений prt (про-
(пространства F в Ft, наделенное топологией a (Ft, G,)). Тем самым
предложение полностью доказано.
Заметим, что подпространством в G, ортогональным к /\ (рас-
(рассматриваемому как подпространство пространства F), служит прямая
сумма всех Gx с индексами у.фи
Следствие. Пусть F и G — векторные пространства в двой-
двойственности. Если пространство F (наделенное топологией o(F, G))
есть топологическая прямая сумма своих подпространств М
и N, то пространство G (наделенное топологией a (G, F)) есть
топологическая прямая сумма подпространств М° и №, орто-
ортогональных соответственно к М и N.
Действительно, пусть М1 = О/ЛР и N1 = G/№. По предположе-
предположению, пространство F (наделенное топологией a (F, G)) может быть

204 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
отождествлено с произведением М X N, где М и Л/ наделены соот-
соответственно топологиями а(М, М^ и o(/V, A/t) (предложение 6).
Но (в силу предложения 1) G сопряжено к F (наделенному тополо-
топологией а(/\ G)). Поэтому G (наделенное топологией o(G, F)) может
быть, в силу предложения 8, отождествлено с произведением
М1 X Л/V где M-l и Nl наделены соответственно топологиями /}(Mit M)
и о (Nv N). Наконец, согласно замечанию, предшествующему дока-
доказываемому следствию, Nx = М° и Mt = №.
Замечание. Понятия векторных пространств в двойственности
и слабой топологии, равно как и значительная часть результатов этого
параграфа (по существу все те, где не участвует понятие выпуклого
множества) допускают обобщение на значительно более широкий класс
модулей и векторных пространств.
Упражнения. 1) Пусть А — бесконечное множество.
а) Пусть Е — банэховское пространство tffi (А) (над R), образован-
образованное семействами х = (ха)а^л вещественных чисел, такими, что а-*хл
стремится к нулю по фильтру дополнений к конечным подмножествам
множества А, и снабженное нормой \\x\\ = sup | хл \. Показать, что
каждая непрерывная линейная форма на В однозначно представляется
в виде jc-> 2 "«•*¦«> где (м«) — семейство вещественных чисел, для
которого 2 ! иа. I < + °°! тем самым сопряженное пространство Е'
можно отождествить (как не топологическое векторное пространство)
г пространством ^(А) (гл. I, § 1, п°2, пример).
б) Пусть Р—баиаховское пространство Ll(A). Показать, что
каждая непрерывная линейная форма на F однозначно представляется
в виде •*-»• 2 "«•*«> где (мя) — ограниченное семейство вещественных
чисел; тем самым сопряженное пространство можно отождествить
(как не топологическое векторное пространство) с пространством
в) Пусть В — произвольное множество, (<Ц)(а>р)?дх в — произ-
произвольное семейство вещественных чисел !>0 и G — векторное про-
пространство всех таких семейств х = (х„)агЛ вещественных чисел, что
Р$ (•*) = 2 с°? I х« I < + °° для каждого р g В; р? — полунормы на О.
«?А
Для того чтобы О, наделенное топологией, определяемой этим семей-
семейством полунорм, было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы
для каждого я g А существовало по крайней мере одно р такое, что
с<хр > 0- Показать, что G тогда полно и каждая непрерывная линейная
форма на G однозначно представима в виде х -*¦ 2 "«•*«» где ("«)—
А

СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 205
семейство вещественных чисел, обладающее тем свойством, что по
крайней мере для одного индекса р ? В существует а > 0 такое, что
| Mtt | <^йс„о для всех а; и обратно.
*2) Пусть Е — вещественное векторное пространство конечной
размерности л и Л — выпуклое тело в Е, содержащее 0 в качестве
внутренней точки.
а) Пусть а — граничная точка тела А. Показать, что множество р'а
всех точек х' ? А°, для которых (а, х') — 1, есть замкнутое выпуклое
подмножество в А°, состоящее из ие окруженных точек множества А°
(гл. II, § 2, упражнение 3). Ра совпадает с гранью в А° (гл. II, § 4,
упражнение 4) каждой из своих окруженных точек; говорят, что
Ра — сопряженная к а грань тела А°. Пусть Ра — грань а в А; по-
показать, что сопряженная грань в А° каждой окруженной точки из Ра
совпадает с Ра и что Ра есть сопряженная грань каждой окруженной
точки из Ра; Ра и Ра называются сопряженными гранями.
б) Пусть Р и Р' — сопряженные грани. Показать, что если Р — раз-
размерности р и Р' — размерности q, то р-\- q <; л — 1. Порядком каждой
граничной точки х тела А называется размерность ее грани в А,
а классом — размерность сопряженной ей грани в А°. Порядок (соотв.
класс) грани тела А есть порядок (соотв. класс) любой из ее окру-
окруженных точек. Экстремальная точка тела А есть точка порядка 0.
в) Точка класса л — 1 (и, следовательно, порядка 0) называется
острием тела А. Показать, что острия тела А образуют счетное мно-
множество. [Рассмотреть множество граней, сопряженных к остриям
тела А, и применить упражнение 12 из Общ. топ., гл. VI, § 2 G).]
г) Пусть Р—грань тела А, р — ее размерность, М — линейное
многообразие размерности л—р, имеющее с Р одну только общую
точку а, являющуюся окруженной точкой в Р, и содержащее внутрен-
внутреннюю точку тела А. Показать, что если V—опорная гиперплоскость
множества МП-d в М, проходящая через а, то гиперплоскость Н,
порождаемая (в Е) множествами Р и V, есть опорная гиперплоскость
тела А.
д) Грань F порядка р и класса q называется регулярной, если
p-\-q—n — 1. Показать, что если линейное многообразие М размер-
размерности л — р имеет с такой гранью F одну только общую окруженную
в Р точку, то эта точка есть острие выпуклого множества Л1П-^> и
обратно. [Использовать г).] Вывести отсюда, что в А множество регу-
регулярных граней порядка р счетно. [Рассмотреть проекцию А на каждое из
координатных многообразий V размерности р (при отождествлении Е
с Rw); рассматривая точки из V с рациональными координатами, пока-
показать, что если бы множество регулярных граней порядка р, проекция
которых на V имеет размерность р, было несчетным, то в V суще-
существовала бы точка, являющаяся окруженной точкой несчетного мно-
множества этих проекций; затем использовать в).] Дать пример выпуклого
множества, обладающего несчетным множеством ие регулярных граней.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
е) Показать, что если все граничные точки тела А — класса 0, то
отображение, относящее каждой граничной точке х единственную
точку сопряженной к ней грани, есть непрерывное отображение гра-
границы тела А на границу сопряженного тела А°. [См. Общ. топ., Рез., § 8,
п° 9; гл.1, § 10, теорема 1.] Когда это отображение взаимно однозначно?
3) Пусть Е — вещественное векторное пространство конечной раз-
размерности п, С — замкнутый выпуклый конус размерности л с верши-
вершиной 0, отличный от Е, и а Ф 0—его граничная точка. Показать, что
множество F'a всех точек х1 ? С°, для которых (а, х') = 0, есть за-
замкнутое выпуклое множество в С°, образованное из не окруженных
точек множества С°; Fa совпадает с гранью в С0 каждой из своих
окруженных точек; F'a называется гранью множества С°, сопряжен-
сопряженной к а. Доказать для этого понятия свойства, соответствующие уста-
установленным в упражнении 2.
4) а) Пусть AczK11—ограниченное выпуклое множество размер-
размерности л, являющееся пересечением конечного числа замкнутых полу-
полупространств („выпуклый полиэдр"). Показать, что граница множества А
есть объединение конечного числа выпуклых полиэдров размерности
<] л. Вывести отсюда, что А есть выпуклая оболочка конечного
множества. [Принять во внимание, что А есть выпуклая оболочка сво-
своей границы.]
б) Обратно, показать, что выпуклое множество А размерности л
в Rw, являющееся выпуклой оболочкой конечного множества, есть
выпуклый полиэдр. [Предполагая, что 0— внутренняя точка множества А ,
применить а) к поляре А° этого множества.]
в) Показать, что каждая грань выпуклого полиэдра А размер-
размерности л регулярна. [Упражнение 2д; доказательство провести индук-
индукцией по п.]
5) Пусть F и G — вещественные векторные пространства в двой-
двойственности и М — слабо ограниченное множество в F; тогда М°—по-
М°—поглощающее выпуклое множество в G. Для каждого у 6 G положим
h (у) = SUP (x, у); h называют опорной функцией множества М.
Х?М
а) Показать, что если М слабо компактно, то гиперплоскость,
заданная уравнением (х, у) =/г(у), есть опорная гиперплоскость мно-
множества М.
6) Будем всюду в дальнейшем предполагать, что М содержит
начало. Показать, что h есть калибровочная функция множества М°
(гл. II, § 5, п° 3); вывести отсюда, что если М—поглощающее слабо
замкнутое выпуклое множество, то его калибровочная функция р
есть опорная функция множества М°, причем (х, у)^Ср (х) h (у),
каковы бы ни были х ? F и у б G.
в) Показать, что если Л (у) — опорная функция множества М, то
опорной функцией множества —М служит h (— у).
г) Пусть Mi A <!/<!/>) — слабо ограниченные выпуклые множе-
множества в F, кг (l-<j<^jP) — опорная функция множества Mt и Х4

СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 207
A-^!^ ¦<!/>)—-вещественные числа ^-0. Показать, что опорной функ-
функцией выпуклого множества М = 2 ^i^i служит h '= 2 ^i^.
i г
д) Пусть у — фиксированный элемент из G и Cj — пересечение
множества Af^ с гиперплоскостью (лс, у) = /г; (у) (предполагаемое
непустым). Показать, что пересечением множества М с гиперплоскостью
(х, у) = h (у) служит множество 2 ^»Q-
г
6) Каждому компактному выпуклому множеству А в В = R™
поставим в соответствие его опорную функцию hA, определяемую
двойственностью между Е и его алгебраическим сопряженным Е\
отождествленным с Е (упражнение 5); hA принадлежит пространству
О (E, R) всех непрерывных числовых функций на Е. Наделим это про-
пространство равномерной структурой компактной сходимости, а множе-
множество $i (Е) всех компактных выпуклых подмножеств пространства Е —
равномерной структурой, определенной в упражнении 9 § 5 гл. II.
Показать, что А -»¦ hA есть изоморфизм fij (?) в Q (?, R).
Вывести отсюда, что отображение А -*¦ А° множества йо (?) всех
компактных выпуклых тел в Е, имеющих 0 своей внутренней точкой,
на множество йо (?*) есть изоморфизм для равномерных структур
этих пространств. [См. гл. II, § 5, упражнение 9.]
7) Пусть f и G—вещественные векторные пространства в двой-
двойственности, А — слабо компактное выпуклое множество в Р, С—слабо
замкнутый выпуклый конус с вершиной 0 в G. Предположим, что для
каждого у ? С существует х?_А такое, что (х, у)<^0. Показать, что
существует Xq^A такое, что (х0, у) <!0 для всех у ? С. [Применить
предложение 4 § 3 гл. II к А и С°.]
*8) а) Пусть Р и G — вещественные векторные пространства
в двойственности, С — слабо замкнутый выпуклый конус в Р, Н —
конечномерное векторное подпространство в G. Показать, что либо
существует у0 ? С такое, что уо 6 Н° и Уо Ф 0> либо существует гй ? Я
такое, что Zo?C° и го ф 0. [Использовать упражнение 10 § 3 гл. П.]
Показать, что если С не содержит никакой прямой и оба указаиных
свойства имеют место одновременно, то z0 не может быть окруженной
точкой в С
б) Пусть (Ду), (Ьф — две вещественные матрицы с л строками
и т столбцами, причем й^->0 для каждой пары (I, j). Показать, что
существует однозначно определенное X ? R, для которого имеются два
вектора х = (Xj) e R'" и у = (у,) ? R" такие, что х ф 0, у ф 0, Xj > 0,
У» 5> 0 для всех I A j и, наконец,
т т
^ 2 й*л- > 2 *«*./ < 1 < * < л). (!)
2 ). B)

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
[Полагая с^ = Хйу — bi} A<г<л, 1</<то) и cn+i, у = *у (!<*<»»)
(где b{j — кронекеровский символ), показать, что задача сводится
к нахождению ненулевых векторов х €Rm и z = (Z{) ?R"+'n, для ко-
которых
т
+ m), C)
2 ^ ) D)
i = 1
и 2^^>0 A <J! г <; л-)-да). Принять во внимание, что если неравен-
неравенство C) обладает решением для значения X = Хо, то оно обладает
решением также для X ;> Хо, и что если уравнение D) имеет решение
при X = Хо, то оно имеет решение для Х<;Х0. Наконец, использовать а).]
*9) Пусть Р и G — вещественные векторные пространства в двой-
двойственности. Для того чтобы ультрафильтр $ в F слабо сходился
к точке Хо, необходимо и достаточно, чтобы эта точка принадлежала
пересечению всех слабо замкнутых выпуклых множеств, содержащихся
в ?5- [Принять во внимание, что если Xq есть точка этого пересечения,
не являющаяся точкой прикосновения для g, то существует замкнутое
полупространство, принадлежащее g и не содержащее х0.]
Вывести из этого результата, что для того, чтобы последователь-
последовательность (хп) точек из Р слабо сходилась к точке а, необходимо и
достаточно, чтобы эта точка а принадлежала слабо замкнутой выпук-
выпуклой оболочке каждого бесконечного множества точек последователь-
последовательности (хп). [Использовать упражнение 9 из Общ. топ, гл. I, § 5 B4).]
10) а) Пусть Р и G — векторные пространства в двойственности.
Показать, что если р относительно ограниченно (гл. III, § 2, упражне-
упражнение 21) в топологии a (F, G), то G относительно ограниченно в топо-
топологии u(G, P).
б) Пусть /'—векторное пространство и G±, G2 — векторные под-
подпространства в F*, находящиеся оба в двойственности с Р. Показать,
что если Р относительно ограниченно в топологиях а (Р, Gi) и а (F, G2),
то оно относительно ограниченно и в топологии a (F, Gj -f G2).
в) Предположим, что F обладает счетным базисом. Показать, что
Р относительно ограниченно в топологии а (Р, G) для каждого вектор-
векторного подпространства G из Р", находящегося в двойственности с Р и
обладающего счетным базисом. [Определить по индукции базисы (ап),
и (Ьп) в Р и G соответственно так, чтобы (anf bm) = 5^,.]
*11) Пусть /' — вещественное или комплексное векторное про-
пространство, К (равное R или С) — его тело скаляров и G — подпро-
подпространство его алгебраического сопряженного Р".
а) Для того чтобы Р и G находились в двойственности, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы G было всюду плотно в Р" в топологии

СЛАБЫЕ ТОПОЛОГИИ 209
б) Показать, что F*, наделенное топологией а (Р*, Р), изоморфно
некоторому топологическому произведению К1', в частности, это — пол-
полное пространство, в котором каждое ограниченное множество отно-
относительно компактно.
в) Вывести из а) и б), что если Р и О находятся в двойственности
и G наделено топологией a (G, Р), то его пополнение изоморфно про-
пространству F*, наделенному топологией а (Р\ Р); кроме того, каждое
множество из G, ограниченное в топологии a (G, Р), предкомпактно
в этой топологии.
г) Наделим Р топологией а(Р, F*). Показать, что каждое ограни-
ограниченное множество в Р конечномерно. Вывести отсюда, что если Р бес-
бесконечномерно, то в его пополнении Р существуют компактные мно-
множества, не содержащиеся в замыкании никакого ограниченного мно-
множества из Р. [Использовать б) и в).]
д) Показать, что в пространстве/7, наделенном топологией а (Р, Р*),
каждое векторное подпространство замкнуто и обладает топологиче-
топологическим дополнением. Вывести отсюда, что в пространстве Р*, наделенном
топологией a (F\ F), каждое замкнутое векторное подпространство
обладает топологическим дополнением. [Использовать следствие пред-
предложения 8.]
*12) Пусть F и G— векторные пространства в двойственности-
причем G (соотв. F) отождествлено с пространством, сопряженным к Р
(соотв. О), наделенному топологией а (Р, G) (соотв. a(Q, p) ). Пусть,
далее, © (соотв. SE) — покрытие пространства р (соотв. G), образован-
образованное уравновешенными выпуклыми множествами, ограниченными в то-
топологии a (F, G) (соотв. q(G, P)). Доказать равносильность следующих
утверждений:
а) Каждое множество Af?© предкомпактно в ^-топологии.
б) Каждое множество N ?% предкомпактно в ©-топологии.
в) На каждом множестве М ? © топологии, индуцируемые St-топо-
логией и топологией а (/-", G), совпадают.
г) На каждом множестве N?% топологии, индуцируемые ©-топо-
©-топологией и топологией a (G, Р), совпадают.
[Для доказательства того, что а) влечет г), использовать предло-
предложение 5 § 3 гл. III, а того, что г) влечет б), — упражнение 1 § 2 гл. П.]
*13) Пусть Е — вещественное или комплексное векторное про-
пространство и К— его тело скаляров. Отделимая локально выпуклая
топология |г в Е называется минимальной (а Е, наделенное этой
топологией §¦, — пространством минимального типа), если в ? не
существует никакой отделимой локально выпуклой топологии, более
слабой чем |г.
а) Пусть 3" — минимальная топология в Е и ?' — пространство»
сопряженное к Е (наделенному топологией f). Показать, что 1Г=а(?,?')
и ? = ?'*. [Принять во внимание, что, в силу следствия 3 предложе-
предложения 1, в ?' не может содержаться гиперплоскость, всюду плотная

210 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 1
в топологии а (?', ?).] Вывести отсюда, что для того, чтобы отделимое
локально выпуклое пространство было минимального типа, необходимо
и достаточно, чтобы оно было изоморфно некоторому топологическому
произведению К?. [См. упражнение 116.]
б) Каждое замкнутое векторное подпространство пространства
минимального типа есть пространство минимального типа. [См. упраж-
упражнение 11 д.]
в) Показать, что в отделимом локально выпуклом пространстве Р
каждое. подпространство Е минимального типа обладает топологиче-
топологическим дополнением и, в частности, замкнуто. [Использовать а) и теорему
Хана — Банаха для продолжения тождественного отображения Е на
себя до отображения F в Е.]
г) Пусть и — непрерывное линейное отображение пространства Е
минимального типа в отделимое локально выпуклое пространство Р.
Показать, что и (?) замкнуто в F и и — гомоморфизм ? на и (?).
[Использовать в) и определение пространства минимального типа.]
д) Пусть F — отделимое локально выпуклое пространство и М —
замкнутое векторное подпространство в F. Показать, что если М
обладает в F дополнением N, являющимся подпространством мини-
минимального типа, то N есть топологическое дополнение к М. [Использо-
[Использовать г).]
е) Пусть М — подпространство минимального типа в отделимом
локально выпуклом пространстве Р. Показать, что М + N замкнуто
для любого замкнутого векторного подпространства /V пространства р.
[Рассмотреть факторпространство E/N и использовать г).] Если, кроме
того, N — минимального типа, то и М -\- N минимального типа.
*14) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и
Р—локально выпуклое пространство минимального типа (упражне-
(упражнение 13).
а) Показать, что проекция замкнутого векторного подпространства М
произведения fX^na ? замкнута. [Использовать упражнение 13е.]
б) Пусть и — линейное отображение Е в F. Показать, что если
график и замкнут в Е X Р< то и непрерывно. [Использовать а).]
в) Предположим, что каждое замкнутое векторное подпространство
в Е обладает топологическим дополнением. Показать, что и в Е X F
каждое замкнутое векторное подпространство М имеет топологическое
дополнение. [Пусть Л^ — проекция М на Е, N% — топологическое до-
дополнение к Л^ в Е, Р\ = М[\Р и Рч — топологическое дополнение
к Р± в Р; используя б), показать, что Af2 -\- Р2 есть топологическое
дополнение к М в Е \Р.]
15) Обобщить определения и результаты этого параграфа на век-
векторные пространства над телом кватернионов.
•16) Пусть Р = R^) и G = Ц.А,гце А — произвольное бесконечное
множество; Р и G приводятся в двойственность билинейной формой
{X, У>= 2 *(a)y(a).
• f Д

1 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 211
а) Пусть N — аддитивная подгруппа в G; обозначим через N*
подгруппу тех x^F, для которых все (х, у) (у ?N) — целые, н через
N**— подгруппу тех z^G, для которых все (х, z) (x^N*)— целые.
Показать, что ЛР замкнута в F в топологии a (F, G) и N** = N, где
N—замыкание N в топологии в (G, F). [Для установления справедливости
последнего утверждения использовать предложение 6 из Общ. топ.,
гл. VII, § 1 (м), проектируя Naa конечномерные координатные много-
многообразия в G.)
б) Предположим, что A = ti, и пусть М — подгруппа в F, замкну-
замкнутая в топологии a (F, G). Показать, что М есть топологическая прямая
сумма наибольшего векторного подпространства V, содержащегося
в М, и замкнутой подгруппы Р, являющейся свободным Z-модулем
со счетным базисом. [Рассматривать F как объединение возрастающей
последовательности (Рп) его конечномерных векторных подпространств
и применить теорему 2 и упражнение 7 из Общ. топ., гл. VII, § 1 (*).]
Для того чтобы подгруппа Р была дискретной (в топологии, индуци-
индуцируемой топологией a (F, G)), необходимо и достаточно, чтобы она
была конечномерна.
в) Вывести из а) и б), что каждая замкнутая подгруппа в G
(наделенном топологией e(G, F)) может быть преобразована посред-
посредством автоморфизма топологической группы G в произведение вида
Ц1 X Ъ°, где / и J — непересекающиеся подмножества из N.
г) Показать, что в пространстве Е = RN, наделенном топологией
о (?,?*), подгруппа Zs замкнута и не содержит никакой прямой, не
будучи, однако, свободным Z-модулем. [Алг., гл. VII, § 3, упражнение
10 (эт)..] ]Тем самым результаты из'б) ие распространяются на случай
несчетного А.
§ 2. Сопряженное к отделимому локально
выпуклому пространству
В этом и следующих параграфах всюду, где не оговорено
противное, рассматриваются лишь отделимые локально выпук-
выпуклые пространства (над R или С).
/. Слабая и ослабленная топологии
Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и |Г —
его топология. Напомним, что (топологическое) сопряженное к Е
есть подпространство Е' алгебраического сопряженного" Е*, образо-
образованное из всех непрерывных линейных форм на Е; мы видели
(§ 1, п° 1, пример 2), что Е и Е' приводятся в двойственность
канонической билинейной формой (х, х'). В этом параграфе мы изу-
изучим связи между топологией Ш, заданной в Е, и топологиями о (?, Е')

212 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV,§2
и о(?", Е); напомним, что последние локально выпуклы и отделимы
(§1, п° 2). В Е' мы будем рассматривать в этом параграфе одну
только топологию о(?", ?), которая будет именоваться слабой топо-
топологией. Напротив, в Е определены уже две топологии: топология |Г,
которую мы будем называть также исходной топологией в Е, и
топология о(?, Е'), которая, по определению, мажорируется топо-
топологией оГ и будет называться ассоциированной с ней ослабленной
топологией в Е.
Замечания. 1) Если наделить пространство Е топологией
а(Е,Е'), то его сопряженным снова будет Е' (§ 1, предложение 1;
см. ниже п°3); тем самым ослабленной топологией, ассоциированной
с а(Е,Е'), является с(Е,Е'). Там, где это не сможет повлечь иута-
ннцы, мы будем употреблять прилагательное „слабое" н наречие
„слабо" для обозначения свойств, относящихся как к слабой топологии
в Е', так и к ослабленной топологии в Е, Е', наделенное слабой топо-
топологией а{Е',Е), будет иногда называться „слабым сопряженным" к Е.
2) Пусть Е — комплексное локально выпуклое пространство и Яо—'
его базисное вещественное локально выпуклое пространство. Как из-
известно (гл. II, § 6, п° 1), отображение /-э-Я?/ есть (алгебраический)
изоморфизм пространства Е', сопряженного к Е, на пространство Е'о>
сопряженное к Ео. Кроме того, мы знаем (там же), что если g = ^ftf,
то,обратно, f(x) = g (х) — tg (г*)'для всеххgЕ, откуда | g(х)[<|/(х)|
и \f(x) I ^ I g(x) I + I S (lx) I • Это показывает, что указанный выше
изоморфизм является также изоморфизмом для слабых топологий
<з (?', Е) и а (Яо, ?о) и что ослабленные топологии в Е н ?о совпадают.
2. Свойства слабого сопряженного
Во всем дальнейшем, если Е означает отделимое локально выпук-
выпуклое пространство, под Е' понимается сопряженное пространство, и,
говоря о поляре М" (соотв. М'°) множества М из Е (соотв. М' из
Е'), мы всюду, где не оговорено противное, имеем в виду поляру
множества М (соотв. М') в Е' (соотв. Е), определяемую двойствен-
двойственностью между Е и Е'.
Слабая топология в пространстве Е'', сопряженном к веществен-
вещественному (соотв. комплексному) локально выпуклому пространству Е,
естьоне что иное, как топология простой сходимости в L(E, R)
(соотв. L(E, С)). Поэтому к ней применимы результаты § 3 гл. III.
Всюду, где в этом и следующем параграфах говорится о равно-
равностепенно непрерывных множествах в ?", это понятие относится

2 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 213
к исходной топологии в Е. Разумеется, оно не зависит ни от какой
топологии, которая может рассматриваться в Е'.
Предложение 1. Пусть Е— локально выпуклое простран-
пространство. Для того чтобы множество М'сЕ' было равностепенно
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы его поляра М'°
была окрестностью нуля (в исходной топологии) в Е или (что
то же) чтобы М' содержалось в поляре V° некоторой окрестности
нуля V (в исходной топологии) из Е.
Действительно, каждая окрестность нуля в теле скаляров содер-
содержит гомотетичный образ окрестности U, определяемой неравенством
?|^1. Поэтому для равностепенной непрерывности множества М'
-1
необходимо и достаточно, чтобы пересечение V множеств х' (U)
(х'?Мг) было окрестностью нуля в Е (гл. Ш, § 3, п° 5); но это
пересечение есть не что иное, как поляра уравновешенной выпуклой
оболочки множества М' (§ 1, п° 3), чем первое утверждение и дока-
доказано. Очевидно, тогда M'cV°; обратно, если M'czV0, где V —
окрестность нуля в Е, то M'°zdVoozdV, что и завершает доказатель-
доказательство предложения.
Предложение 2. Каждое равностепенно непрерывное мно-
множество в пространстве Е', сопряженном к локально выпуклому
пространству Е, относительно компактно в слабой топологии.
Это следует из общего условия компактности равностепенно
непрерывного множества в L(E, F) в топологии простой сходимости
(гл. III, § 3, следствие предложения 4), поскольку каждое ограни-
ограниченное множество в R или С относительно компактно.
Теорема 1. Пусть Е—бочечное пространство. Следующие
свойства множества M'czE' равносильны:
а) М' ограниченно в слабой топологии;
б) М' относительно компактно в слабой топологии;
в) М' равностепенно непрерывно.
Действительно, мы уже видели, что в) влечет б) (предложе-
(предложение 2), а, с другой стороны, каждое относительно слабо ком-
компактное множество слабо ограниченно (гл. III, § 2, предложе-
предложение 3), так что б) влечет а). Наконец, то, что а) влечет в),

214 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
является частным случаем совпадения в /.(?, F) множеств, ограни-
ограниченных в топологии простой сходимости, с равностепенно непрерыв-
непрерывными множествами, когда Е бочечно (гл. III, § 3, теорема 2).
. Следствие 1. Если Е—бочечное пространство, то за-
замкнутая выпуклая оболочка каждого слабо компактного множе-
множества в Е' слабо компактна.
Действительно, из теоремы 1 и предложений 1 и 2 следует, что
каждое слабо компактное множество из Е' содержится в поляре Vго
некоторой окрестности нуля V пространства Е, а V0 выпукло и
слабо компактно.
Следствие 2. Если Е — бочечное пространство, то Е' в слабой
топологии квазиполно.
Действительно, каждое слабо замкнутое ограниченное множество
в Е' слабо компактно (теорема 1) и потому полно.
Следствие 3. Пусть Е и F — локально выпуклые простран-
пространства. Наделим F' слабой топологией a(F', F), а пространство
L (E, F') всех непрерывных линейных отображений Е в F' —
топологией простой сходимости. Если тогда F бочечно, то
каждое равностепенно непрерывное множество в L (E, F') отно-
относительно компактно; если и Е и F бочечны, то каждое огра-
ограниченное множество в L(E, F') относительно компактно.
Действительно, в силу теоремы 1, тогда в F' каждое ограничен-
ограниченное (в топологии a(F', F)) множество относительно компактно, так
что первое утверждение следствия вытекает из характеризации мно-
множеств из L(E, F'), относительно компактных в топологии простой
сходимости (гл. III, § 3, следствие предложения 4). Второе утвер-
утверждение вытекает из совпадения в L(E, F') множеств, ограниченных
в топологии простой сходимости, с равностепенно непрерывными
множествами, когда Е бочечно (гл. III, § 3, теорема 2).
Предложение 3. Пусть Е — локально выпуклое простран-
пространство, содержащее тотальное счетное множество. Тогда каждое
равностепенно непрерывное множество Р' в Е', замкнутое в сла~
бой топологии, является в этой топологии метризуемым ком-
компактным пространством.

3 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 215
Действительно, Р' компактно в силу только что доказанного
предложения 2. С другой стороны, Р' метризуемо, так как к нему
применимо условие метризуемости равностепенно непрерывных мно-
множеств из L(E, F) (гл. III, § 3, предложение 6), поскольку R и С —
метризуемые пространства.
Следствие. Если Е — метризуемое локально выпуклое про-
пространство, содержащее тотальное счетное множество, то в Е'
существует счетное множество, всюду плотное в слабой топо-
топологии.
Действительно, пусть (Un) — счетная фундаментальная система
окрестностей нуля в Е. Е' есть объединение множеств U°n\ в силу
предложения 3, каждое Uun есть слабо компактное метризуемое про-
пространство и потому содержит счетное подмножество Ап, всюду
плотное в Ubn в топологии а(Е', Е) (Общ. топ., Рез., § 8, п° 3;
гл. IX, § 2, п° 7). Объединение множеств Ап есть счетное множе-
множество, плотное в Е'.
3. Топологии, согласующиеся с заданной двойственностью
Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и Е' —
его сопряженное. Е' будет сопряженным к ? и в том случае, если
Е наделить ослабленной топологией о(?, Е') (§ 1, предложение 1).
Для исследования связей между исходной топологией в ? и ослаб-
ослабленной топологией а(Е, Е') мы рассмотрим, более общим образом,
произвольную пару (F, G) векторных пространств в двойственности
Определение 1. Пусть F и G— векторные пространства
в двойственности. Говорят, что отделимая локально выпуклая
топология Ш в F согласуется с двойственностью между F и G,
если G (рассматриваемое как подпространство пространства F*)
является сопряженным к отделимому локально выпуклому про-
пространству, получаемому путем наделения F топологией Ш.
Предложение 4. Пусть F и G — векторные пространства
в двойственности. Для всех отделимых локально выпуклых то-
топологий в F, согласующихся с этой двойственностью между F
и G, замкнутые выпуклые множества в F — одни и те же.
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда F a G — ве-
вещественные векторные пространства. Так как для всех топологий,

216 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
согласующихся с двойственностью между F a G, непрерывные ли-
линейные формы на F— одни и те же, то то же верно и для замкну-
замкнутых выпуклых множеств в F, поскольку такое множество может
быть задано семейством неравенств /, (л:) ^ а,, где /, — непрерывные
линейные формы на F (гл. II, § 3, следствие 1 предложения 4).
Следствие 1. Выпуклое множество AczF имеет одно и то
же замыкание во всех отделимых локально выпуклых топологиях
в F, согласующихся с двойственностью между F и G.
Действительно, замыкание множества А в любой локально вы-
выпуклой топологии в F выпукло (гл. II, § 1, предложение 14) и,
следовательно, есть пересечение всех замкнутых выпуклых множеств,
содержащих А.
В частности:
Следствие 2. Выпуклое множество А в отделимом локально
выпуклом пространстве Е имеет одно и то же замыкание как
в исходной топологии пространства Е, так и в ослабленной то-
топологии а(Е, Е'). Если А содержит О, то это замыкание совпа-
совпадает с А°°.
Последнее утверждение вытекает из предложения 3 § 1.
Замечание. Следствие 2 применимо, в частности, к векторным
подпространствам; тем самым критерии того, что семейство точек из Е
тотально или топологически свободно в ослабленной топологии (§ 1,
следствия 1 и 2 предложения 1), являются также критериями того, что
это семейство тотально или топологически свободно и в исходной то-
топологии.
Следствие 3. Бочки в отделимом локально выпуклом про-
пространстве Е — это поляры слабо ограниченных уравновешенных
множеств из Е'.
В силу следствия 2, безразлично, сказать ли, что множество'Ж
из Е есть бочка в исходной топологии или в ослабленной. Но для
того, чтобы М было выпуклым, уравновешенным и замкнутым в то-
топологии о (?,?'), необходимо и достаточно, чтобы М = М°°, поскольку
М° — уравновешенное (§ 1, п° 3); а для того чтобы М поглощало
каждое конечное множество N из ?", необходимо и достаточно,
чтобы М° поглощалось множеством №; но так как множества №

3 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 217
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для топологии
б(?', ?) (§ 1, п° 3), то это означает, что М° слабо ограниченно.
Если F и G —векторные пространства в двойственности, то F
можно рассматривать как сопряженное к G, наделенному отделимой
локально выпуклой топологией o(G, F) (§ 1, предложение 1). Поэтому
в F можно рассматривать топологию равномерной сходимости на
элементах любого множества © ограниченных (в топологии a(G, F))
подмножеств из G, т. е. ^-топологию (гл. III, § 3, п° 1). Предпо-
Предположим, что © вместе с каждым своим множеством содержит и об-
образы его при всевозможных гомотетиях (с ненулевым коэффициентом),
а также вместе с каждым конечным числом своих множеств — и за-
замкнутую (в топологии a (G, F)) уравновешенную выпуклую оболочку
их объединения. Тогда определение окрестностей нуля для ©-топо-
логии (там же) показывает, что поляры (в F) множеств из © об-
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для этой
топологии.
Теорема 2 (Макки). Пусть F и G— векторные простран-
пространства в двойственности. Для того чтобы отделимая локально
выпуклая топология |Г в F согласовалась с двойственностью между
F и G, необходимо и достаточно, чтобы сГ было ^-топологией
для некоторого покрывающего G множества 3 уравновешенных
выпуклых множеств, компактных в слабой топологии a(G, F)
Докажем сначала необходимость условия теоремы. Предположим,
что G — сопряженное к F, наделенному отделимой локально выпу-
выпуклой топологией сГ. Пусть 33 — инвариантная относительно гомоте-
гомотетий фундаментальная система замкнутых (в оГ) уравновешенных вы-
выпуклых окрестностей нуля пространства F; для каждого V ? 33 имеем
y = V00 (следствие 2 предложения 4); следовательно, 33— фунда-
фундаментальная система окрестностей нуля для ©-топологии, определяе-
определяемой множеством © поляр Vго всевозможных множеств из 93; при этом
множества V0 компактны в топологии a(G, F) (предложения 1 и 2);
кроме того, © покрывает G, ибо для любогоy?G из непрерывности
формы х->(х, у) на F вытекает существование окрестности W?33
такой, что | (л;, у) |^ 1 для всех x?W, т. е. y?W .
Докажем теперь достаточность условия теоремы. Пусть, таким обра-
образом, © — покрытие пространства G, образованное уравновешенными

218 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
выпуклыми множествами, компактными в топологии a(G, F); не
изменяя этой ©-топологии, всегда можно предполагать, что об-
образы множеств из S при всевозможных гомотетиях, равно как и
уравновешенные выпуклые оболочки любых конечных наборов мно-
множеств из ©, также принадлежат © (гл. III, § 3, п° 1); при этом каж-
каждая такая оболочка компактна в топологии a(G, F) (гл. II, § 4,
предложение 1). Так как множества из © ограниченны в топологии
a(G, F) (гл. III, § 2, предложение 3), то ©-топология § согласуется
со структурой векторного пространства в F (гл. III, § 3, п° 1); кроме
того, эта топология локально выпукла и поляры К° в F мно-
множеств /(?(? образуют фундаментальную систему окрестностей нуля
для §; наконец, |Г отделима, поскольку © покрывает G (гл. III,
§ 3, предложение 2).
Пусть теперь F' — пространство, сопряженное к F, наделенному
топологией |Г. Так как каждое конечное множество из G содержится
в некотором множестве из ©, то |Г мажорирует топологию a (F, G)
и, следовательно, G можно рассматривать как векторное подпро-
подпространство в F' (§ 1, предложение 1). Докажем, что G = F'. Дей-
Действительно, пусть х' ? F'\ из непрерывности х' вытекает существо-
существование множества К? © такого, что | (л:, х') \ <^ 1 для каждого х?К°,
что означает, что х' принадлежит поляре К^ множества 1С в F'. Но
Кх есть замыкание К в F' в топологии a(F', F) (§ 1, предложение 3);
так как a (F', F) индуцирует в G топологию о (G, F), то К ком-
компактно и потому замкнуто в F' в топологии a (Fr, F). а, следова-
следовательно, K = KV Тем самым x'?G, и теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы отделимая локально выпуклая
топология Ш в F согласовалась с двойственностью между F и G,
необходимо и достаточно, чтобы |Г мажорировала топологию
c(F, G) и мажорировалась топологией x(F, G) равномерной схо-
сходимости на всех уравновешенных выпуклых множествах из G,
компактных в топологии a(G, F).
Сформулированное условие, очевидно, необходимо в силу тео-
теоремы 2. Оно досхаточно, ибо если $ мажорирует топологию o(F, G)
и мажорируется топологией x(F, G), то пространство F', сопряжен-
сопряженное к F при топологии |Г, содержит пространство F\, сопряженное
к F при топологии <з(/\ G), и содержится в пространстве Ff2, со-

¦4 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 219
пряженном к F при топологии -:(F, G), так что справедливость
утверждения вытекает из того, что F\ =^Fi = О.
¦z(F, G) называется топологией Макки (соответствующей двой-
двойственности между F и G).
Предложение 1 показывает, что топология Макки т (F, G) харак-
характеризуется следующим свойством: для того чтобы выпуклое мно-
множество в G было равностепенно непрерывным при наделении F то-
топологией т (F, G), необходимо и достаточно, чтобы оно было
относительно компактно в слабой топологии о (G, F) (см. упражне-
упражнение 3). В частности, в силу теоремы 1 имеем-:
Предложение 5. Если отделимое локально выпуклое про-
пространство Е бочечно, то топология Макки т (Е, Е') совпадает
с исходной топологией в Е.
4. Множества, ограниченные в ослабленной топологии
Теорема 3 (Макки). Пусть F и G — векторные простран-
пространства в двойственности. Для всех отделимых локально выпуклых
топологий в F, согласующихся с двойственностью между F и G,
ограниченные множества — одни и те же.
Действительно, множество X всех слабо компактных уравновешен-
уравновешенных выпуклых множеств из G образовано множествами, полными в то-
топологии o(G, F); поэтому каждое множество М из F, ограниченное
в слабой топологии a(F, G), ограниченно и в J-топологии (гл. III,
§ 3, теорема 1), т. е. в топологии Макки т (F, G); в силу следствия
теоремы 2, отсюда и вытекает справедливость утверждения теоремы.
Следствие. Каждое множество в отделимом локально выпук-
выпуклом пространстве Е, ограниченное в ослабленной топологии
а(Е, Е'), ограниченно и в исходной топологии.
Основываясь на этом, можно поэтому говорить просто об огра-
ограниченных множествах в Е, не уточняя — в какой топологии. Если ?
квазиполно в ослабленной топологии, то оно квазиполно и в исход-
исходной: это вытекает из предыдущего и предложения 8 § 1 гл. I, по-
поскольку каждая замкнутая выпуклая окрестность нуля для исходной

220 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
топологии замкнута в ослабленной топологии (следствие 2 предло-
предложения 4).
Предложение 6. Пусть Е— отделимое локально выпуклое
пространство. Если Е метризуемо, то топология Макки х (Е, Е')
совпадает с исходной топологией в Е.
Действительно, пусть Т—уравновешенная выпуклая окрестность
нуля для топологии х (?;?"). Так как Т, в силу теоремы 3, погло-
поглощает множества, ограниченные в исходной топологии |Г, то все сво-
сводится к доказательству того, что каждое выпуклое уравновешенное
множество М в Е, поглощающее все ограниченные множества,
есть окрестность нуля для Ш. Будем рассуждать от противного.
Пусть (Vn) — убывающая фундаментальная система уравновешенных
окрестностей нуля для |Г, и предположим, что ни одно из множеств
— Vn не содержится в М. Пусть хп — точка из —- Vn, не принадле-
принадлежащая М; тогда последовательность (пхп) сходится к нулю в топо-
топологии |Г и, однако, М не поглощает множества точек этой последо-
последовательности, вопреки предположению. Тем самым предложение
доказано.
Замечание. Этот результат доказывает также, что линейное ото-
отображение и пространства Е в локально выпуклое пространство F, пере-
переводящее каждое ограниченное множество из ? в ограниченное множе-
множество в F, непрерывно. Действительно, какова бы ни была уравнове-
-1
шенная выпуклая окрестность нуля V в F, и (V) поглощает все
ограниченные множества из Е и, следовательно, есть окрестность нуля
в Е (см. гл. III, § 2, упражнения 14 и 15).
5. Характеризация слабо непрерывных линейных форм на
сопряженном пространстве
Если Е — отделимое локально выпуклое пространство, то каждая
линейная форма на сопряженном пространстве Е', непрерывная в сла-
слабой топологии, однозначно представляется в виде х1 —>¦ (л:, х'), где х?Е
(§ 1, предложение 1). В некоторых случаях эти формы можно оха-
охарактеризовать свойством, менее ограничительным, чем слабая непре-
непрерывность:
Теорема 4 (Банах). Пусть Е — полное отделимое локально
выпуклое пространство. Для того чтобы линейная форма на

JS СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 221
сопряженном пространстве Е' была непрерывной в слабой топо-
топологии а{Е', Е), достаточно, чтобы было непрерывно (в тополо-
топологии о(?1', ?)) ее сужение на каждое равностепенно непрерывное
множество из Е'.
Пусть Fc?'* — множество всех линейных форм на ?", сужение
которых на каждое равностепенно непрерывное множество из Е'
непрерывно в топологии о (?', Е). Ясно, что F— векторное подпро-
подпространство в Е'*, содержащее Е и находящееся в двойственности
t Е'. Пусть ©'— множество всех равностепенно непрерывных слабо
замкнутых уравновешенных выпуклых подмножеств пространства Е'.
Каждое множество В'?<3' компактно в топологии <з(Е\ Е) (предло-
(предложение 2) и так как для каждой линейной формы и^Р ее сужение
на В' по предположению непрерывно, то и (В') ограниченно в теле
скаляров; это показывает, что ©'-топология §~ согласуется со струк-
структурой векторного пространства в F (гл. III, § 3, предложение 1).
Ясно, кроме того, что топология & — локально выпуклая и отдели-
отделимая и что поляры в F множеств из ©' образуют фундаментальную
систему окрестностей нуля для & (поскольку множество ©'— филь-
фильтрующееся по отношению с и инвариантно относительно гомотетий).
Но в силу предложения 1, след на Е поляры множества В' ? ©' в F
есть окрестность нуля для исходной топологии в Е; обратно, если
V — уравновешенная замкнутая выпуклая окрестность пуля для ис-
исходной топологии в Е, то ее поляра В' в Е' принадлежит <3',
и так как поляра множества В' в Е совпадает с V (следствие 2 предложе-
предложения 4), то V есть след на Е поляры множества В' в F. Таким об-
образом, мы видим, что топология, индуцируемая в Е топологией &,
совпадает с исходной топологией в Е. А так как Е предположено пол-
полным в этой последней топологии, то оно замкнуто в F в топологии §.
Покажем теперь, что Е' — сопряженное к F, наделенному топо-
топологией IT. В силу теоремы 2, достаточно доказать, что множества
В' ? ©' компактны в топологии о (Ef, F). А так как они компактны
в о(?', Е), то достаточно показать, что а(Е', Е) и о(?', F) инду-
индуцируют в В' одну и ту же топологию. Но топология, индуцируемая
в В' топологией о (Я', F), есть слабейшая топология, при которой
непрерывны сужения линейных форм и ? F на В'; поэтому она в силу
предположения мажорируется топологией, индуцируемой в В' топо-
топологией о(?1', Е); но она также мажорирует ату последнюю, поскольку
EcF; тем самым наше утверждение доказано.

222 двойственность гл. iv, § г
Если бы теперь Е Ф F, то в F существовала бы замкнутая (в то-
топологии |Г) гиперплоскость, содержащая Е (гл. II, § 3, следствие 3-
предложения 4), и, следовательно, нашелся бы элемент х' ??', орто-
ортогональный к Е и Ф 0, что абсурдно.
Замечание. Если в Е содержится тотальное счетное множе-
множество, то каждое равностепенно непрерывное множество из Е' метри-
зуемо в слабой топологии (предложение 3); поэтому для установления
слабой непрерывности линейной формы и на Е' достаточно установить,,
что для каждой последовательности (х^\, слабо сходящейся к ка-
какому-то пределу х', lim и (х'Л = и (х1).
П>со х '
6. Характеризация слабо замкнутых выпуклых множеств
в сопряженном к пространству Фреше
Предложение 7. Пусть Е — мет ризу е мо е локально вы-
выпуклое пространство и ©— множество его подмножеств, обра-
образованных точками всевозможных последовательностей, стремя-
стремящихся к нулю, ^-топология в Е' есть сильнейшая из топологий §~,
при которых непрерывны все переносы и которые индуцируют
на каждом равностепенно непрерывном множестве из Е' ту оке
топологию, что и слабая топология о (Er, E).
Ясно, что рассматриваемая ©-топология мажорирует топологию
о (Е'', Е), а так как каждое множество из © относительно компактно,
то топологии, индуцируемые ©-топологией и топологией о(?", Е) на
равностепенно непрерывных множествах из Е', совпадают (гл. III,
§ 3, предложение 5). Обратно, пусть Ш—топология в Е', обладаю-
обладающая свойствами, указанными в формулировке предложения, и W —
множество, открытое в Ш и содержащее 0. Мы установим существо-
существование множества S?©, для которого W'^S0, чем предложение и
будет полностью доказано.
Пусть (Un) — убывающая фундаментальная последовательность
замкнутых уравновешенных выпуклых окрестностей нуля простран-
пространства Е. Наше утверждение будет вытекать из следующей леммы:
Лемма 1. Для каждого целого ге^-0 существует конечное
множество BncUn такое, что все множества U°nuA°n, где Ап —
п-1
= (J Вр, содержатся в W.
р-0

СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 223
Действительно, предположим, что эта лемма доказана. Тогда объе-
объединение 5 множеств Ап принадлежит ©, и так как5°С/4^ для ка-
каждого п, то S° {\U°nczW для каждого п; а поскольку объединение
множеств ?/rf есть всё Е'', то и S°(Z.W.
Доказательство леммы проведем индукцией по п. Достаточно по-
показать, что если Ап—конечное множество из Е, удовлетворяющее
условию Un[\An<z.W, то существует конечное множество BncUn
такое, что U°n+i f| (AnU Bn)°cW'. Рассуждая от противного, предпо-
предположим, что никакого конечного множества Вп, обладающего этим
свойством, не существует, и пусть Кп = Un+i f) CW- Тогда пересе-
пересечение (Ап U В)° П К'п = А°п П В° П К'п не пусто ни для какого конечного
множества В из Un. Поэтому множества А°п П В0 Л К„, где В пробе-
пробегает всевозможные конечные подмножества из Un, образуют базис
фильтра в К'п- Но так как топология, которую JT индуцирует в Un+i>
по предположению, совпадает с топологией, которую индуцирует
<з(Е', Е), то К'п слабо компактно (предложение 2) и, значит, мно-
множества А°п П В° П К^, будучи слабо замкнутыми, имеют общую точку дсо-
Так как Un есть объединение множества всех своих конечных под-
подмножеств, то лго должно принадлежать множеству AnC\Un{]Kn< ко-
которое, однако, пусто по предположению. Полученное противоречие
и завершает доказательство предложения 7.
Следствие 1. Указанная <5-топология совпадает с топо-
топологией компактной сходимости.
Действительно, предложение 5 § 3 гл. III показывает, что топо-
топология компактной сходимости индуцирует в каждом равностепенно
непрерывном множестве из Е' ту же топологию, что и о (??', Е); тем
самым, в силу предложения 7, топология компактной сходимости
мажорируется указанной ©-топологией. С другой стороны, она, оче-
очевидно, мажорирует эту ©-топологию, поскольку множества из ©
относительно компактны.
Следствие 2. Для того чтобы множество А' в простран-
пространстве Е', сопряженном к метризуемому локально выпуклому про-
пространству Е, было замкнуто в топологии !ГС компактной схо-
сходимости, необходимо и достаточно, чтобы его пересечение А' П Мг
с каждым равностепенно непрерывным множеством М' из Ег

224 двойственность гл. vi, § 2
было замкнуто в топологии, индуцируемой в М' топологией
а(Е', Е).
Условие необходимо, поскольку Шо и з(?'/, Е) индуцируют в М'
одну и ту же топологию (гл. III, § 3, предложение 5). Чтобы убе-
убедиться в его достаточности, рассмотрим множество U всех подмно-
подмножеств U' пространства Е', пересечение которых if' (]Mf с каждым
равностепенно непрерывным множеством Мг из Е' открыто в топо-
топологии, индуцируемой в М' топологией о(?', Е). Ясно, что U есть
множество всех открытых множеств для сильнейшей из топологий
в Е', обладающих свойствами, указанными в предложении 7. Тем
самым, в силу следствия 1, эта топология совпадает с §~с, и утвер-
утверждение доказано.
Теорема 5 (Банах). Для того чтобы выпуклое множество А'
в пространстве Е', сопряженном к пространству Фреше Е, было
замкнуто в слабой топологии а (Е', Е), достаточно, чтобы Af fi U"
было замкнуто в <з(Е', Е) для любой окрестности нуля U про-
пространства Е.
Действительно, следствие 2 предложения 7 показывает, что А'
замкнуто в топологии компактной сходимости |Г0. Так как Е полно,
то замкнутая выпуклая оболочка каждого его компактного подмно-
подмножества компактна в исходной топологии и тем более — в мажорируе-
мажорируемой ею топологии о (С, ?'). Теорема 2 показывает тогда, что топо-
топология $с в Е' согласуется с двойственностью между Е' и Е. Так
как множество А' выпукло и замкнуто в §а, то в силу предложе-
предложения 4 оно замкнуто тогда и в топологии o(f, E).
Применив этот результат к гиперплоскостям из Е' и приняв во
внимание связь между замкнутыми гиперплоскостями и непрерывными
линейными формами (гл. I, § 2, теорема 1), мы получим (для про-
пространств Фреше) другое доказательство теоремы 4.
7. Сопряженное к подпространству; сбпряженное к фактор-
пространству
Предложение 8. Пусть М — векторное подпространство от-
отделимого локально выпуклого пространства Е и М°—ортого-
М°—ортогональное к М подпространство пространства Е'. Ослабленная то-
топология, ассоциированная с топологией, индуцируемой в М исход-

8 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 225
ной топологией § пространства Е, совпадает с топологией
а(М, Е'/М°), индуцируемой в М ослабленной топологией о (Е, Е').
Действительно, из теоремы Хана — Банаха (гл. II, § 5, теорема 1
и § 6, теорема 1) вытекает, что каждая линейная форма на М, не-
непрерывная в топологии, которую индуцирует JT, есть сужение на М
линейной формы на Е, непрерывной в топологии &, откуда и сле-
следует справедливость утверждения (§ 1, предложение 6).
Предложение 9. Пусть М — замкнутое векторное под-
подпространство отделимого локально выпуклого пространства Е.
Ослабленная топология, ассоциированная с фактортопологией
исходной топологии § пространства Е по М совпадает с фак-
фактортопологией о (Е/М, М°) ослабленной топологии о (Е, Е') по М.
Действительно, и ->• и ° 9, где 9 — каноническое отображение Е
на Е/М, есть (алгебраический) изоморфизм пространства, сопряжен-
сопряженного к Е/М (наделенному фактортопологией топологии § по М), на
подпространство М° в Е', ортогональное к М. Затем применяем пред-
предложение 7 § 1.
8. Сопряженное к произведению
Предложение 10. Пространство Е', сопряженное к про-
произведению E = \\Ei семейства (Е,) г локально выпуклых про-
пространств, канонически отождествило с (алгебраической) прямой
суммой семейства (?,),gr, поскольку каждая непрерывная линей-
линейная форма на Е однозначно представляется в виде х -> 2 (рг,*, х[),
<i
где х[ ? ?, и х, ф 0 лишь для конечного числа индексов. При этом
ослабленная топология <з(Е, Е') есть произведение ослабленных
топологий a(Et, E,).
Когда / конечно, первая часть предложения очевидна; действи-
действительно, тогда Е можно отождествить с прямой суммой пространств Е1
и каждое х?Е представить в виде х = 2 pr,JC, так что каждая не-
i?2
прерывная линейная форма и на Е представится в виде и = 2 Щ ° рг.
где и,— сужение и на Elt -очевидно, непрерывное. Пусть теперь /
произвольно ии — непрерывная линейная форма на Е. Тогда в Е
существует окрестность нуля V, являющаяся элементарным множе-

226 двойственность гл. iv, § 2
етвом (Общ. топ., Рез., § 7, п° 5) и такая, что |м(х)|^ 1 для всех
Но f=nVt. где V, =? ?, лишь для индексов i, принадле-
принадлежащих некоторому конечному множеству Hczl. Положим М = Д?,,
N = Д Е1 и будем рассматривать Е как прямую сумму подпро-
странств М и N. Пусть x?N. Так как \x?N^V и, значит,
|Хм(л:)|^1 для любого скаляра \, то м(л;) = 0. Следовательно,
и{х) = а(ртих), и мы приходим к первому случаю. Последнее утвер-
утверждение есть следствие предложения 8 § 1.
Следствие. Пусть (FJigz — семейство локально выпуклых
пространств, Е — векторное пространство и ft для каждого i?/ —
линейное отображение Е в F,. Если наделить Е слабейшей из
топологий, при которых непрерывны все /, *), то каждая непре-
непрерывная линейная форма на Е будет представляться в виде
х -> ^ ui (А (-"О )• г&е Mi — непрерывная линейная форма на F,, при-
причем и, Ф 0 лишь для конечного числа индексов i.
Действительно, пусть /=(/t)igi. Как мы знаем, топология, кото-
которой наделено Е, есть прообраз топологии подпространства f(E)
произведения /7=Д/\ относительно отображения / (гл. I, § 1, пред-
-1
ложение 15). Так как каждая окрестность нуля в Е имеет вид / (V),
где V—окрестность нуля в /(?), то каждая непрерывная линейная
форма на Е представляется в виде и of, где и — непрерывная линей-
линейная форма на /(?). Но в силу теоремы Хана—Банаха (гл. II, § 5,
теорема 1 и § 6, теорема 1), и есть сужение на f(E) некоторой
непрерывной линейной формы на F, и утверждение следствия до-
доказано.
9. Сопряженное к пространству непрерывных линейных
отображений
Предложение 11. Пусть Е и F — отделимые локально
выпуклые пространства. Если наделить пространство L(E, F)
топологией простой сходимости (гл. III, § 3, п° 1), то каждая
*) Эта топология не обязательно отделима; мы явно указываем иа это
обстоятельство в согласии с условием, принятым в начале параграфа.

9 СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 227
линейная форма на L(E, F) будет представляться в виде
п
и ->• 2 (и (х%)> Уг)- г&е xi (соотв. y'i) — элементы из Е (соотв. F').
Действительно, топология простой сходимости в L (E, F) есть
слабейшая из топологий, при которых линейные отображения и ->• и (х)
пространства L (E, F) в F непрерывны для всех х ? Е. Поэтому
справедливость предложения непосредственно вытекает из следствия
предложения 10.
Следствие. Существует однозначно определенный (алгебраи-
(алгебраический) изоморфизм тензорного произведения E(g)F' на сопря-
сопряженное к пространству L (E, F), наделенному топологией про-
простой сходимости, ставящее в соответствие каждому тензорному
произведению х®у' линейную форму и ->• (и (х), у').
Действительно, пусть fx, У' для каждой пары (х, у')?ЕХ, F'—
непрерывная линейная форма и ->• (и (х), у') на G=L(?, F). Оче-
Очевидно, (х, у') -yfx, у' есть билинейное отображение Е X Р' в G'\
Следовательно (Алг., гл. III, § 1, п° 2, Схолия), существует одно-
однозначно определенное линейное отображение ср тензорного произведе-
произведения E®F' в G' такое, что 9 С*®У) = /со,у'- Предложение 11 по-
показывает, что ср сюръективно; покажем, что ср инъективно.
Действительно, пусть (aj)i<i<n—свободная система точек из ? и
(bj)i<j<m—свободная система точек из F'; все сводится к дока-
вательству того, что если 2 ^ij (M (ai)> &j) — 0 для каждого линей-
линейного отображения u?G, то необходимо Ху=0 для всех пар (t, j).
Пусть (fy)i<^<m — свободная система точек из F такая, что (by bu) =
=*bjjc (Алг., гл. II, § 4, теорема 2). Покажем, что для каждой
пары (/, у) существует непрерывное линейное отображение и про-
пространства Е в F такое, что и (аг) = bj и и (ah) = 0 для всех h Ф I;
соотношение 2 ^ft (и (аъ)> **) = 0 даст тогда \ц = 0, чем утвержде-
h, k
ние следствия и будет доказано. Но в силу теоремы Хана — Банаха,
на Е существует непрерывная линейная форма х' такая, что (а^ х') = 1
и (ah, х') = 0 для всех h Ф I, и достаточно принять и(х)= (х, х') by
Сопряженное к пространству L (E, F), наделенному топологией
^простой сходимости, обычно отождествляют с тензорным произведе-
произведением E®F'. Таким образом, множества, определяемые конечными

28 двойственность гл. iv, § 2
системами неравенств |(«(а{), b'j) |< 1 (а»??\ b'j?F'), образуют для
слабой топологии a(L(E, F), E(g)F') в L(E, F) фундаментальную
систему окрестностей нуля. Эта топология в L(E, F) вообще слабее
топологии простой сходимости, но замыкания выпуклых множеств
в L(E, F) — одна а те же в обеих топологиях (предложение 4).
Упражнения. 1. Пусть Е и F— отделимые локально выпуклые
пространства и @ —• множество подмножеств пространства Е. Для того
чтобы ©-топология в L (F, F) согласовалась со структурой вектор-
векторного пространства, необходимо (и достаточно; см. гл. III, § 3, предло-
предложение 1), чтобы каждое множество из © было ограниченно в Е.
{Использовать теорему 3.]
*2) а) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и Ц',
для каждого ультрафильтра II из Е, — фильтр, базис которого обра-
образуют выпуклые оболочки множеств из П. Показать, что для того,
чтобы точка пространства Е была пределом ультрафильтра U в ослаб-
ослабленной топологии, необходимо и достаточно, чтобы она была точкой
прикосновения для II' в исходной топологии. [Использовать предло-
предложение 4, а также упражнение 9 § 1.]
б) Пусть Е — векторное пространство, А — выпуклое множество
в Е, S"i, 3*2 — отделимые локально выпуклые топологии в Е и зг[,
1Г2 — соответствующие ослабленные топологии. Показать, что если топо-
топология, которую S"i индуцирует в А, мажорирует топологию, индуци-
индуцируемую в А топологией f2, то и топология, которую |гх индуцирует
в А, мажорирует топологию, индуцируемую в А топологией |г2- [Исполь-
[Использовать а) и упражнение 9 из Общ. топ., гл. I, § 5 B4).]
*3) Пусть Р — прямая сумма R^11'и G — пространство L1 (N). Р и G
со
приводятся в двойственность билинейной формой {х, у) = р>Л Sn^lw
где х = E„) <Е Р и у = {ц„) <Е G.
а) Показать, что в Р каждое выпуклое множество К, компактное
в топологии a(F, G), конечномерно. [В противном предположении
пусть (%) — строго возрастающая последовательность целых чисел > О
и (aji) — последовательность точек из К такая, что у точки д^ соста-
составляющие с индексами ^> я& равны нулю, но составляющая с индек-
индексом nji отлична от нуля. Показать, что существует последователь-
ность (tjc) чисел >0 такая, что 2^*^ + °° и У точки 2^fcafc ПР°"
ft=o Л-о
странства <j§ (N) ограниченных последовательностей вещественных
чисел все составляющие с индексами п^ отличны от нуля. Вывести
Р
отсюда, что последовательность частичных сумм sp= ^^tk^k не может
ft-o
иметь слабой предельной точки в F.]

СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 229
б) Показать, что в F существуют бесконечномерные слабо ком-
компактные множества. [Принять во внимание, что G — сопряженное к F
при топологии, индуцированной в Р из нормированного простран-
пространства jg^N); см. § 1, упражнение 1а.]
в) Вывести из а) и б), что x(G, p) = a(G, F), но х (G, F) отлично
от топологии равномерной сходимости на слабо компактных множе-
множествах из Р.
*4) а) Пусть Е — квазиполное ограниченно замкнутое (гл. Ill,
§ 2, упражнение 12) отделимое локально выпуклое пространство. Для
того чтобы топологии х (?', Е) и &(?', Е) в сопряженном простран-
пространстве Е' совпадали, необходимо и достаточно, чтобы топология про-
пространства Е была сильнейшей локально выпуклой топологией. [Исполь-
[Используя предложение 4 § 2 гл. III, показать, что каждое ограниченное
множество в Е конечномерно.]
б) Пусть Е — бесконечномерное метризуемое локально выпуклое
пространство. Для того чтобы топология х (?, ?') в ? совпадала
с о (?, ?'), необходимо и достаточно, чтобы Е было изоморфно всюду
плотному подпространству пространства RN (соотв. CN). [Принять-
во внимание, что в Е' существует счетная фундаментальная система
равностепенно непрерывных множеств, каждое из которых конечно-
конечномерно, и, следовательно, ?' обладает счетным базисом.]
5) Пусть Р и G — векторные пространства в двойственности и
М — замкнутое векторное подпространство bF(b топологиях, согла-
согласующихся с двойственностью между F и G).
а) Показать, что фактортопология х (F, G) по М совпадает
с х (F/M, М°). [Использовать следствие предложения 3 § 1.]
6) Показать, что х (М, G/M°) мажорирует топологию, индуцируе-
индуцируемую в М топологией х (р, G); для того чтобы эти топологии совпа-
совпадали, необходимо и достаточно, чтобы каждое уравновешенное выпук-
выпуклое множество в G/M°, компактное в слабой топологии a (G/M°, M),
было образом уравновешенного выпуклого множества из G, компакт-
компактного в топологии и (G, Р), при каноническом отображении G иа G/M°~
[См. гл. V, § 2, упражнение 12.]
в) Пусть N — векторное подпространство в F, плотное в топо-
топологиях, согласующихся с двойственностью между Р и G. Показать,
что если S"— одна из этих топологий и топология, индуцируемая ею
в N, совпадает с х (N, G), то f совпадает с х (Р, G). [См. упраж-
упражнение 6г.]
б) Пусть ((Z7,, Gi)),^j—семейство пар векторных пространств
в двойственности. Произведение Р = JJ Pt векторных пространств Р
i
и прямая сумма G векторных пространств G^ приводятся, в двойствен-
двойственность билинейной формой ((.*,), (у,)) = 2 <¦*» У^> и a(F>G) есть
произведение топологий о (/=•„ GJ (§ 1, предложение 8).

'230 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
а) Показать, что х (G, F) есть прямая сумма топологий х (G,, /\) *)•
Вывести отсюда, что топология х (F, G) есть произведение топологий
х (Z7,, G,). [Использовать теорему 3, а также упражнение 10 § 2 гл. III.]
б) Вывести из а), что сопряженное к топологической прямой
сумме семейства (?,),gj отделимых локально выпуклых пространств
изоморфно (алгебраически) произведению семейства (?') сопряженных
к пространствам ?,.
в) Пусть Е—векторное пространство и Е*—его алгебраическое
сопряженное. Вывести из а), что т (Е, Е*) есть сильнейшая локально
выпуклая топология в Е, а х (?*, Е) совпадает с а (?*, ?).
г) Пусть ? — бесконечномерное векторное пространство, Е* — его
алгебраическое сопряженное и Е**— алгебраическое сопряженное к Е*.
Показать, что Е плотно в Е** во всех топологиях, согласующихся
с двойственностью между Е** и Е*, но топология, которую х (?**, ?*)
индуцирует в ?, отлична от т (?, ?'). [Использовать в).]
°7) Пусть (?а)а^А — семейство отделимых локально выпуклых про-
пространств, ? — векторное пространство и /а, для каждого <х?Л,— ли-
линейное отображение Ел в Е. Рассмотрим в Е сильнейшую из локально
выпуклых топологий 3", при которых непрерывны все /а (гл. II, § 2,
л° 2); предположим, что она отделима, и обозначим через Е' сопря-
сопряженное к пространству Е, наделенному этой топологией IT. Показать,
что если топология каждого Е„ (а ? Л) совпадает с т (?а, Е'^, то §¦
совпадает с х (Е, Е'). [Использовать предложение 7 § 4.]0
8) Пусть F и G — вещественные векторные пространства в двой-
двойственности.
а) Пусть А — слабо компактное выпуклое множество в F, не содер-
содержащее начала, и С — конус с вершиной 0, порожденный этим мно-
множеством. Показать, что конус С° обладает в топологии x(G, F) вну-
внутренней точкой.
б) Обратно, пусть С — выпуклый конус в F с вершиной 0, обла-
обладающий в топологии х (F, G) внутренней точкой. Показать, что в G
существует слабо замкнутая гиперплоскость Н, не содержащая начала
и такая, что Н[\С° слабо компактно.
*9) а) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство.
Доказать равносильность следующих утверждений: а) Е бочечно;
Р) каждое слабо ограниченное множество в Е' равностепенно непре-
непрерывно; f) каждое слабо ограниченное множество в Е' относительно
слабо компактно, а топология в Е совпадает с х (Е, Е').
б) Показать, что произведение любого семейства бочечных про-
пространств бочечно. [Свести к случаю отделимых бочечных пространств
и использовать а), предложение 7, теорему 3, приведенное выше упраж-
упражнение 6 и упражнение 10 § 2 гл. III.]
*) Напротив, o(G, F) не есть вообще прямая сумма топологий о (Gt, /•',)
как показывает случай, когда t\ = Gl = R и / бесконечно. [См. § 3, упраж-
упражнение 16 и § 1, упражнение Ив.]

СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 231
в) Получить из б) пример бочечного пространства F, обладающего
замкнутым подпространством Е, не являющимся бочечным и, следова-
следовательно, не имеющим дополнения в F. [Использовать предложение 7
§ 5 гл. II и упражнение 5 § 1 гл. III.]
10) Пусть F и G— векторные пространства в двойственности.
Заграждением пространства G в алгебраическом сопряженном F*
к F назовем множество всех линейных форм х' на F, ограниченных
на каждом множестве из F, ограниченном в топологии a (F, О); это—
векторное подпространство G в F*, сопряженное к пространству F,
наделенному топологией ограниченно замкнутого пространства, ассо-
ассоциированной с любой из топологий в F, согласующихся с двойствен-
двойственностью между F и G (гл. III, § 2, упражнение 13). Если G= G, то G
назовем загражденным в F".
а) Пусть М — замкнутое векторное подпространство в F (в топо-
топологии а(/7, G)). Показать, что если О — загражденное в F*, то
сопряженное к факторпространству F/M, наделенному топологией
с (F/M, М°), — загражденное в алгебраическом сопряженном к F/M.
б) Для того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е
было ограниченно замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его
топология совпадала с х (?, Е'), а Е' было загражденным в Е*.
*11) а.) Пусть (?t),g7 — семейство отделимых локально выпуклых
пространств н F—-прямая сумма пространств ?„ наделенная тополо-
топологией, определенной в упражнении 7 § 1 гл. I. Показать, что простран-
пространство, сопряженное к F, канонически изоморфно подпространству про-
произведения JTfi' сопряженных пространств Е[, образованному семей-
ствами (л:'), в которых х\ Ф 0 не более чем для счетного множества
индексов. [Пусть V, — произвольная окрестность нуля в Et. Показать,
что если х^ Ф 0 для несчетного бесконечного множества индексов,
то существует число а ^>0 такое, что в несчетном бесконечном мно-
множестве окрестностей V, содержатся элементы х„ для которых
(jc,, х[) ;> а, и заключить отсюда, что (л:') не может принадлежать Р'.]
б) Показать, что если /несчетно, то F' — не загражденное в F*
(упражнение 10).
12) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство.
а) Для того чтобы в сопряженном пространстве Е' существовало
поглощающее слабо ограниченное множество, необходимо и доста-
достаточно, чтобы топология пространства Е мажорировалась нормированной
топологией. [См. § 1, упражнение 10.]
б) Для того чтобы в Е' существовало тотальное в слабой топо-
топологии равностепенно непрерывное множество, необходимо н доста-
достаточно, чтобы топология пространства Е мажорировала нормированную
топологию.
в) Для того чтобы в Е' существовало поглощающее равностепенно
непрерывное множество, необходимо и достаточно, чтобы топология
в Е могла быть определена одной нормой.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
*13) а) Пусть в пространстве Е', сопряженном к отделимому
локально выпуклому пространству Е, существует счетное множество,
всюду плотное в топологии з(Ег, Е). Показать, что тогда топология
пространства Е мажорирует метризуемую локально выпуклую топо-
топологию.
б) Пусть Р и G— векторные пространства в двойственности,
причем в G существует счетное множество, всюду плотное в топо-
топологии a(G, Р), и пусть (хп)—последовательность точек нз Р, каждая
подпоследовательность которой обладает предельной точкой в Р в топо-
топологии a(F, G). Показать, что тогда некоторая подпоследовательность
последовательности (хп) сходится к точке пространства Р в топологии
a(.F, G) („теорема Шмульяна'). [Пусть (Ьп) — слабо плотная после-
последовательность в G; выбрать из (хп) подпоследовательность (у„) так,
чтобы (у„, Ьр) сходилось к пределу для каждого индекса р, и показать,
что последовательность (уп) имеет лишь одну предельную точку
в слабой топологии а (/•', G).]
в) Пусть Е — метризуемое локально выпуклое пространство или
строгий индуктивный предел (гл. II, § 2, п° 5) последовательности
метризуемых локально выпуклых пространств. Показать, что если
(хп) — последовательность точек из Е, каждая подпоследовательность
которой обладает предельной точкой в ? в ослабленной топологии
а (?, Е'), то (х„) содержит подпоследовательность, сходящуюся в этой
топологии к некоторой точке пространства Е. [Используя предложе-
предложение 6 § 2 гл. III, свести к случаю метризуемого Е и далее — к случаю,
когда Е — пространство счетного типа; в заключение использовать
а) и б).]
г) Пусть Е — банаховское пространство ?g (N) (не являющееся
пространством счетного типа; гл. I, § 2, упражнение 8), и пусть еп
для каждого целого я!^0 — непрерывная линейная форма на Е, отно-
относящая каждой последовательности х = E») ? Е ее л-й член ?„. Пока-
Показать, что последовательность (е'п} тотальна в сопряженном простран-
пространстве Е', наделенном топологией а (?', Е); кроме того, каждая ее под-
подпоследовательность обладает предельной точкой в Е' в топологии
<*(?', Е), но никакая подпоследовательность последовательности (е^)
не сходится в этой топологии.
*14) а) Пусть К—компактное пространство, Н—любое множе-
множество в пространстве G(K< R) всех непрерывных числовых функций
на К, и /о — точка прикосновения множества //в G(К, R) в топо-
топологии Жа простой сходимости. Показать, что /о есть точка прикосно-
прикосновения для некоторого счетного подмножества //0 из И в топологии 3V
[Показать, что для каждой пары целых чисел т, п существует конеч-
конечное подмножество Н(т, п) множества Н, обладающее следующим
свойством: для каждых т точек t^ из К A ¦< й<!т) существует
f?H(m,n) такое, что |/0(<л) — /(**) |< — A <й<т)\ для этого
использовать непрерывность функций из G (К, R) и компактность
пространства /(*".]

СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО 233
б) Пусть В — метризуемое локально выпуклое пространство и
Н—произвольное множество в В. Показать, что если х0— точка при-
прикосновения множества Н в ослабленной топологии а(?, В'), то х0
есть точка прикосновения некоторого его счетного подмножества Но
в топологии z (Е, Е') *). [Использовать а), приняв во внимание, что Е'
есть объединение счетного числа множеств, компактных в тополо-
топологии а (?', ?).]
в) Пусть Е — метризуемое локально выпуклое пространство или
строгий индуктивный предел последовательности метризуемых локально
выпуклых пространств. Показать, что если Н есть множество из Е,
относительно компактное в топологии з (Е, Е'), и х0 — его точка при-
прикосновения в этой топологии, то Н содержит последовательность
точек (-*:„), сходящуюся к х0 в топологии а (Е, Е'). [С помощью пред-
предложения 6 § 2 гл. III свести к случаю метризуемого Е. Использо-
Использовать б) для сведения к случаю счетного И, что позволит считать Е
метризуемым пространством счетного типа; затем применить следствие
предложения 3 и упражнение 13 в.]
*15) а) Пусть К—компактное пространство и Н—подмножество
пространства Rff, образованное из непрерывных функций на К- Пред-
Предположим, что каждая последовательность функций из Н обладает
в топологии простой сходимости на К. точкой прикосновения, являю-
являющейся непрерывной функцией на А^. Показать, что замыкание Н мно-
множества И в R компактно и образовано из непрерывных функций на К,-
[Показать, что если бы и ? Н не было непрерывно, то существовали бы
точка а^К., число В>0, последовательность (хп) точек из К. и после-
последовательность (/от) функций из Н, удовлетворяющие следующим усло-
условиям: 1° | а (х„) — а (а) | > В для каждого л; 2° | fm (xn) — fm {a) | < -g-
для всех т<л; 3) \a(xn)—fm{xn)\^-^ и | и (a)— /m(e)|<-g для
всех т > л -[- 1 [определить последовательности (/т) и (хп) по индук-
индукции]. Получить отсюда противоречие, рассматривая предельную точку/
последовательности (/«,), являющуюся непрерывной функцией по усло-
условию, и предельную точку последовательности (хп) в /С]
б) Пусть Е — квазиполное отделимое локально выпуклое про-
пространство и Н—множество в Е, каждая последовательность точек
которого обладает в Е предельной точкой в топологии а (?, Е'). Пока-
Показать, что Н относительно компактно в ? в этой топологии (.теорема
Эберлейна'). [Рассматривая Ё вместо Е, свести к случаю полного Е.
Погрузить Е в Е'* и использовать а) и теорему 4.]
в) Пусть /—несчетное множество и Е — пространство R^, наде-
наделенное топологией, определенной в упражнении 7 § 1 гл. I (см. упраж-
упражнение 11). Показать, что в Е' существуют множества Н, не относи-
относительно компактные в а (?', Е) и такие, что каждая последовательность
*) Это (неопубликованное) предложение сообщил нам I. Kaplansky.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 2
точек из Н содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
точке из Я в топологии а (?', Е).
*16) а) Пусть К—компактное пространство и Н—выпуклое мно-
множество в пространстве R , образованное из непрерывных функций
на К- Предположим, что каждая убывающая последовательность
непустых замкнутых выпуклых подмножеств множества Н имеет непу-
непустое пересечение. Показать, что замыкание Н множества Н в R ком-
компактно и образовано из непрерывных функций на К- [Рассуждать как
в упражнении 15а, заменяя / общей точкой убывающей последова-
последовательности выпуклых множеств Ат, где Ат — замкнутая в Н выпуклая
оболочка множества функции Д с k~^-m.\
б) Пусть Е— квазиполное отделимое локально выпуклое про-
пространство и И—множество в Е такое, что каждая убывающая после-
последовательность его непустых замкнутых выпуклых подмножеств обла-
обладает непустым пересечением. Показать, что Н относительно компактно
в ? в топологии а (Е, Е'). [Свести к случаю полного Е; считать Е
погруженным в Е'* и использовать а) и теорему 4.]
17) Пусть Е — квазиполное отделимое локально выпуклое про-
пространство. Показать, что в сопряженном пространстве Е' топология
компактной сходимости есть сильнейшая из топологий, совместимых
с двойственностью между Е' и Е и индуцирующих в каждом равно-
равностепенно непрерывном множестве из Е' ту же топологию, что и слабая
топология з(?', Е). [См. § 1, упражнение 12.]
18) а) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство,
А — уравновешенное выпуклое множество в ? и и — линейная форма
на Е. Показать, что если А |"| и @) замкнуто в А, то сужение и на А
непрерывно. [Показать, что в противном случае 0 был бы точкой при-
прикосновения для пересечения множества А с некоторой гиперплоскостью
-1 1
и (а); вывести отсюда, что для Ь ? А такого, что и (Ь) = — я, -~ Ь
-1
было бы точкой прикосновения множества А |"| и @).]
б) Пусть Е — полное отделимое вещественное локально выпуклое
пространство. Показать, что если пересечение гиперплоскости Н'
сопряженного пространства Е' с каждым слабо замкнутым равносте-
равностепенно непрерывным множеством М' cz E' слабо замкнуто, то Н' слабо
замкнута. [Использовать а) и теорему 4.]
*19) а) Пусть Е — бесконечномерное пространство Фреше. Пока-
Показать, что в Е существуют замкнутые векторные подпространства М
и N такие, что Л1Г|Л^ = {0} и M-\-N не замкнуто. [Свести к случаю
пространства ? счетного типа. Пусть (хЛ — последовательность линейно
независимых непрерывных линейных форм на Е, образующих всюду
плотное множество в топологии а (?', Е) (следствие предложения 3),
и Ln — подпространство в Е, ортогональное к множеству тех xt, для
которых I -^ 2л; пусть хп и уп — два линейно независимых вектора

1 СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 235
в дополнении к Ln+i относительно Ln; показать, что хп и уп можно
выбрать так, чтобы d (О, хп) > 1, d (О, у„) >1 иа! {хп, у„)< — , где
d — расстояние, определяющее топологию в Е. Показать тогда, что
замкнутые векторные подпространства М к N, порождаемые соответ-
соответственно векторами хп и у„, обладают требуемым свойством; исполь-
использовать следствие 4 теоремы 1 § 3 гл. I.]
б) Дать пример бесконечномерного отделимого локально выпук-
выпуклого пространства Е такого, что сопряженное пространство Е' содержит
счетное множество, всюду плотное в топологии а (?', Е), и сумма
любых двух замкнутых векторных подпространств пространства Е
замкнута. [См. § 1, упражнение 13.]
20) Пусть Е — пространство Фреше счетного типа. Показать, что
для замкнутости выпуклого множества А' с Е' в топологии а (Е/, Е)
достаточно, чтобы для любой последовательности (•*„) точек из А ,
обладающей в Е' пределом в топологии и (Е', Е), этот предел а' при-
принадлежал А'. [Использовать теорему 5.]
§ 3. Сильная топология в сопряженном
к отделимому локально выпуклому пространству
/. Определение сильной топологии
Пусть Е— вещественное (соотв. комплексное) отделимое локально
выпуклое пространство и Е' — сопряженное пространство. Так как
E' = L(E, R) (соотв. E' = L(E, С)), то <5-топология в Е', порождае-
порождаемая любым множеством © ограниченных подмножеств пространства Е,
объединением которых служит веб Е, есть отделимая локально вы-
выпуклая топология (гл. III, § 3, предложение 2). В частности:
Определение 1. Сильной топологией в пространстве Е', со-
сопряженном к отделимому локально выпуклому пространству Е,
называют топологию равномерной сходимости на всех ограни-
ограниченных множествах из Е.
Так как образ ограниченного множества из Е при любой гомоте-
гомотетии ограничен, так же как ограниченна выпуклая оболочка объеди-
объединения любого конечного числа ограниченных множеств, то из опре-
определения окрестностей нуля для <3-топологии (гл. III, § 3, п° 1) сразу
видно, что поляры всех ограниченных множеств из Е (или поляры
фундаментальной системы ограниченных множеств из Е) образуют
фундаментальную систему окрестностей нуля для сильной топологии
в Е.

236 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 3
Мы будем иногда употреблять прилагательное „сильное* и наре-
наречие .сильно" для- обозначения свойств, относящихся к сильной топо-
топологии в Е'. Пространство Е', наделенное сильной топологией, будет
иногда называться .сильным сопряженным" к Е.
Замечания. 1) Сильная топология в Е' определяется полунор-
полунормами
\х'\в= sup \{x, У)\,
где В пробегает фундаментальную систему ограниченных множеств
пространства Е. В частности, для того чтобы эта топология была мет-
ризуемой, необходимо и достаточно, чтобы в Е существовала счетная
фундаментальная система ограниченных множеств.
2) Из определения 1 непосредственно следует, что при наделении
сопряженного пространства Е' сильной топологией каноническая би-
билинейная форма (х, xf)-*{x, x') оказывается (@, <&>')-гипонепрерыв-
ной, где @ — множество всех ограниченных подмножеств простран-
пространства Е, а <&' — множество всех равностепенно непрерывных множеств
из Е'. Но эта форма вообще не непрерывна на Е Х.Е' (упражнение 2).
3) Ясно, что сильная топология в Е' мажорирует слабую тополо-
топологию а(?', Е); и она вообще сильнее (упражнение 1 и § 5, п°1). Ниже
мы увидим, что она не обязательно согласуется с двойственностью
между Е' и Е (п°3). Заметим, однако, что она не изменяется при
замене в Е исходной топологии любой топологией, согласующейся
с двойственностью между Е и Е' (§ 2, теорема 3).
2. Свойства сильного сопряженного
Применяя к пространству Е', сопряженному к отделимому локально
выпуклому пространству Е, результаты § 3 гл. III, относящиеся
к ©-топологиям, мы видим, что каждое равностепенно непрерывное
множество из Е' сильно ограниченно (гл. III, § 3, предложение 7)
и что каждое сильно ограниченное множество из Е' слабо ограни-
ограниченно. Кроме того, имеют место следующие два предложения:
Предложение 1. Если Е — квазиполное отделимое локально
выпуклое пространство, то каждое слабо ограниченное подмно-
подмножество сопряженного пространства Е' сильно ограниченно.
Это — частный случай следствия 1 теоремы 1 § 3 гл. III.
В этом случае можно говорить просто об ограниченных множе-
множествах в Е', без уточнения ©-топологии.

¦3 СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 237
Предложение 2. Если Е— отделимое бочечное простран-
пространство, то каждое слабо ограниченное множество в сопряженном
пространстве Е' равностепенно непрерывно, а потому и сильно
ограниченно.
Принимая во внимание предшествующие замечания, это — уже
доказанное свойство (§ 2, теорема 1).
Таким образом, можно сказать, что для отделимого бочечного
пространства Е понятия равностепенно непрерывного множества,
¦относительно слабо компактного множества, сильно ограниченного
множества и слабо ограниченного множества в сопряженном про-
пространстве Е' совпадают; в этом случае мы будем говорить просто
об ограниченных множествах в Е' без дальнейшего уточнения.
Схолия. Если Е — бочечное пространство, а Е' — его сильное
сопряженное, то поляры окрестностей нуля любого из этих двух
пространств образуют фундаментальную систему ограниченных
множеств другого, а поляры ограниченных множеств — фунда-
фундаментальную систему окрестностей нуля другого.
Предложение 3. Сильное сопряженное к отделимому бочеЧ"
ному пространству квазиполно.
Это — частный случай следствия 2 теоремы 4 § 3 гл. Ш, отно-
относящейся к полным множествам в пространстве /.<§ (Е, F).
3. Второе сопряженное. Рефлексивные пространства
Определение 2. Пусть Е — отделимое локально выпуклое
пространство и Е' — его сопряженное. Вторым сопряженным
к Е называют сопряженное Е" к отделимому локально выпук-
выпуклому пространству, получающемуся при наделении 'Е' сильной
топологией.
Пусть х для каждого х?Е — линейная форма х'—у(х, х') на Е'\
она непрерывна в слабой топологии а(Е', Е), а потому тем более
в сильной топологии в Е', иначе говоря, х?Е"; кроме того, х = 0
влечет х = 0, поскольку Е и Е' находятся в двойственности (§ 1,
п°1). Поэтому отображение х—ух есть изоморфизм структуры век-
векторного (не топологического) пространства в Е на такую же струк-
структуру некоторого подпространства пространства Е"\ рассматривая Е
(в качестве не топологического векторного пространства), мы всегда

238 двойственность гл. iv, § а
будем считать его погруженным в Е" посредством этого отображения
(называемого каноническим). Заметим, что отображение х —>х
не обязательно непрерывно при наделении Е его исходной тополо-
топологией, а Е" — сильной (см. упражнения 5 и 6). Однако если Е бочечно,
то сильная топология пространства Е" индуцирует в Е, рассматри-
рассматриваемом как погруженное в Е", его исходную топологию; это выте-
вытекает из Схолии п°2.
Определение 3. Отделимое локально выпуклое простран-
пространство Е называется полурефлексивным, если каждая линейная
форма на сопряженном пространстве Е', непрерывная в сильной
топологии, непрерывна в слабой топологии (иначе говоря, пред-
ставима в виде х' -> (х, х'), где х?Е).
То же самое можно выразить, сказав, что х —> х отображает Е
на Е", или еще — что Е и Е" алгебраически совпадают. Это озна-
означает также, что-сильная топология в Е' согласуется с двойствен-
двойственностью между Е и Е'.
Предложение 4. Пространство Е', сопряженное к полу-
полурефлексивному пространству Е, бочечно в сильной топологии.
Действительно, бочка в сильном сопряженном Е' есть тогда поляра
ограниченного множества из Е (§ 2, следствие 3 предложения 4) и
тем самым окрестность нуля в сильной топологии.
Теорема 1. Для того чтобы отделимое локально выпуклое
пространство Е было полу рефлексивным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы в ослабленной топологии а (Е, Е') каждое замкну-
замкнутое ограниченное множество из Е было компактно.
В силу предложения 4, необходимость этого условия сразу сле-
следует из теоремы 1 § 2. Обратно, предположим, что в топологии
о (Е, Е') каждое замкнутое ограниченное множество из Е компактно.
Тогда сильная топология в Е' есть ©-топология, определяемая неко-
некоторым множеством <3 уравновешенных выпуклых множеств из Е,
компактных в топологии а (Е, Е') (а именно — всех замкнутых урав-
уравновешенных ограниченных выпуклых множеств из Е). Из теоремы
Макки (§ 2, теорема 2) следует тогда, что Е есть сопряженное к Е',
наделенному сильной топологией.

СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 239
Замечания. 1) Для полурефлексивности пространства Е необ-
необходимо и достаточно, чтобы каждое выпуклое сильно замкнутое мно-
множество в Е' было слабо замкнуто. Действительно, это необходимо
согласно предложению 4 § 2; обратно, если каждая сильно замкнутая
гиперплоскость в Е' слабо замкнута, то каждая сильно непрерывная
линейная форма на Е' слабо непрерывна (гл. I, § 2, теорема 1).
2) Из теоремы 1 сразу -следует, что полурефлексивное простран-
пространство Е квазиполно в ослабленной топологии а (Е, Е') и тем более
в исходной топологии (§ 2, п° 4). Поэтому каждая последовательность
Коши (хп) в Е относительно топологии о (Е, Е') обладает в Е преде-
пределом в этой топологии (гл. III, § 2, п° 5).
Если Е полурефлексивно, то, рассматривая его как сопряженное
к ?", можно вводить в нем ©'-топологии, где (?' — множества под-
подмножеств из' Е', ограниченных в сильной топологии. В частности:
Определение 4. Отделимое локально выпуклое простран-
пространство Е называется рефлексивным, если оно полурефлексивно и
его исходная топология совпадает с топологией равномерной схо-
сходимости на сильно ограниченных множествах из Е' (иначе говоря —
с сильной топологией в Е, рассматриваемом как сопряженное к его
сильному сопряженному Е').
Теорема 2. Для того чтобы отделимое локально выпуклое
пространство Е было рефлексивным, необходимо и достаточно,
чтобы оно было бочечным и чтобы в ослабленной топологии а (Е, Е')
каждое замкнутое ограниченное множество из Е было компактно.
Второе условие выражает, что Е полурефлексивно (теорема 1).
Будем в дальнейшем предполагать, что это условие выполнено, так
что можно говорить об ограниченных множествах в Е', не уточ-
уточняя—в какой ©-топологии (предложение 4 и § 2, теорема 1). Бочки
в Е (в исходной топологии) — это поляры уравновешенных ограни-
ограниченных множеств из Е' (§ 2, следствие 3 предложения 4). Поэтому
для рефлексивности Е, в силу определения сильной топологии, необ-
необходимо и достаточно, чтобы бочки в Е были окрестностями нуля
в исходной топологии, т. е. чтобы Е было бочечным.
Предложение 5. Сильное сопряженное к рефлексивному про-
пространству рефлексивно.
Это сразу следует из определения 4.

240 двойственность гл. iv, § з
Х4. Монтелевские пространства
Определение 5. Монтелевским пространством называется
отделимое бочечное пространство, в котором каждое ограничен-
ограниченное множество относительно компактно.
Примеры. 1) Каждое конечномерное пространство—монтелев-
ское. Нормированное монтелевское пространство локально компактно
и, следовательно, конечномерно (гл. I, § 2, теорема 3).
2) Пусть § — векторное пространство всех бесконечно дифферен-
дифференцируемых числовых функций на R. Для каждой пары целых чисел
п > 0, т !> 0 и каждой функции / ? § положим
Рпш(Л= sup |/W(<)|.
Ясно, что рпт — полунормы на $, определяющие в этом пространстве
метризуемую локально выпуклую топологию. Покажем, что §, наде-
наделенное этой топологией, есть монтелевское пространство Фреше.
Действительно, ясно, что для любой последовательности Коши (Д) в §,
последовательность производных т-ro порядка (/^) (m?N) схо-
сходится равномерно на каждом компактном множестве из R к некоторой
непрерывной функции gm, причем в силу теоремы о равномерной схо-
сходимости первообразных (Функц. вещ. перем., гл. II, § 1, теорема 1)
gm=: g^*\ Это показывает, что $ полно. Пусть теперь В— ограни-
ограниченное множество из §. Производные (т+1)-го порядка равномерно
ограниченны на каждом компактном интервале К.п = {— п> Л1 из R>
в силу теоремы о конечных приращениях, отсюда следует, что сужения
на К.п производных m-го порядка функций из В образуют для каждого
т>0 равностепенно непрерывное множество; теорема Асколи пока-
показывает тогда, что это множество относительно компактно в тополо-
топологии равномерной сходимости на К.п (Общ. топ., Рез., § 13, п° 18; гл. X,
§ 4, теорема 1). Тем самым для каждого целого г и каждого е>0
существует конечное покрытие (Аг) множества В такое, что для любых
двух функций /, g, принадлежащих одному и тому же множеству А^
Pnmif—g)-^-s @<!m-<r); иными словами, В предкомпактно, а
следовательно, поскольку $ полно, и относительно компактно в $.
3) °Пространство всех голоморфных функций на открытом мно-
множестве из С", наделенное топологией компактной сходимости, есть
монтелевское пространство Фреше. Точно так же и пространство всех
гармонических функций на открытом множестве из R", наделенное
топологией компактной сходимости, есть монтелевское пространство
Фреше.о
Предложение 6. В каждом ограниченном подмножестве В
монтелевского пространства Е исходная а ослабленная тополо-
топологии индуцируют одну и ту оке топологию.

4 СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 241
Очевидно, можно ограничиться тем случаем, когда В замкнуто
(в исходной топологии). Так как топология, индуцируемая в В осла-
ослабленной топологией, отделима и мажорируется топологией, индуци-
индуцируемой исходной топологией, а в последней В компактно, то эти
две топологии совпадают (Общ. топ., Рез., § 8, п°5; гл. I, § 10,
п°4).
Следствие. В монтелевском пространстве Е каждый фильтр
со счетным базисом, сходящийся в ослабленной топологии
к точке х0> сходится к х0 и в исходной топологии.
Достаточно доказать справедливость этого утверждения для эле-
элементарного фильтра, ассоциированного с последовательностью (хп)п>1
(Общ. топ.. Рез., § 2, п° 10; гл. I, § 5, п° 10). Но если последова-
последовательность (хп) сходится к х0 в топологии а(Е, ?*), то она ограни-
ограниченна в этой топологии, а, следовательно, также в исходной топо-
топологии пространства Е (§ 2, теорема 3). Но в таком случае тополо-
топология, индуцируемая исходной топологией в множестве, образованном
точками х0 и хп (я ^> 1), совпадает с топологией, которую индуци-
индуцирует а(Е, Е'), откуда и вытекает справедливость утверждения.
Из определения 5 и теоремы 2 сразу видно, что монтелевское
пространство рефлексивно. Кроме того:
Предложение 7. Сильное сопряженное к монтелевскому про-
пространству есть монтелевское пространство.
В самом деле, пусть Е—монтелевское пространство и Е' — его
сильное сопряженное. Так как Е рефлексивно, то ?" бочечно (пред-
(предложение 4). Покажем, что каждое ограниченное замкнутое выпуклое
множество В' в Е' сильно компактно. Так как Е бочечно, то В'
равностепенно непрерывно (предложение 2); поэтому топология, инду-
индуцируемая в В' слабой топологией а(Е', Е), совпадает с топологией,
индуцируемой топологией компактной сходимости (гл. III, § 3, пред-
предложение 5). Но каждое ограниченное замкнутое множество в Е ком-
компактно, так что в ?" топология компактной сходимости совпадает
с сильной. Так как В' слабо компактно (§ 2, предложения 2 и 4),
то заключаем, что оно сильно компактно, и предложение дока-
доказано.

242 двойственность гл. iv, § з
Упражнения. *1) Пусть ? —отделимое локально выпуклое
пространство.
а) Для того чтобы в сопряженном пространстве Е' сильная топо-
топология совпадала со слабой, необходимо и достаточно, чтобы топология
ограниченно замкнутого пространства, ассоциированного с Е (гл. III,
§ 2, упражнение 13), была сильнейшей локально выпуклой топологией
в Е.
б) Для того чтобы сильная топология в Е' совпадала с х (?', ?),
необходимо и достаточно, чтобы Е было иолурефлексивио.
в) Предположим, что Е—инфрабочечное пространство. Для того
чтобы сильная топология в Е' совпадала с топологией компактной схо-
сходимости, необходимо и достаточно, чтобы Е было монтелевским. [См.
гл. III, § 3, упражнение 10.]
2) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и ?' — его
сопряженное, наделенное ©-топологией, где © —• покрытие простран-
пространства Е, образованное ограниченными множествами. Показать, что для
того, чтобы билинейная форма (*, х')-*-{х, х') была непрерывна на
? X Е', необходимо и достаточно, чтобы топологию в Е можно было
определить одной нормой, а рассматриваемая ©-топология была силь-
сильной топологией в Е'. [См. гл. III, § 2, упражнение 2.]
*3) а) Пусть Е—-отделимое локально выпуклое пространство,
С-—замкнутое уравновешенное выпуклое множество вЕни—-линей-
вЕни—-линейная форма иа Е. Показать, что если сужение и на С непрерывно
в исходной топологии, то оно непрерывно и в топологии а (?, Е').
[Использовать упражнение 18а § 2.] Показать на примере, что суже-
сужение и на векторное подпространство М, порожденное множеством С,
не обязательно непрерывно. [За Е взять Ир*\ наделенное нормой
||*|| = sup |$й|, аза С — надлежащим образом выбранное выпуклое
п
множество, порождающее ?.]
б) Пусть © — покрытие пространства ?, образованное замкнутыми
уравновешенными ограниченными выпуклыми множествами. Показать,
что пополнением пространства Е', наделенного ©-топологией, служит
векторное пространство F всех линейных форм на ?, сужения кото-
которых иа каждое множество нз © непрерывны {„теорема Гротендика").
[Чтобы показать, что для каждой линейной формы u?F, каждого мно-
множества A g © и каждого е ^> 0 существует линейная форма и g E'
такая, что \и{х) — о(д;)|<? для всех * g А, заметить, что сужение и
на А в силу а) слабо непрерывно и что А слабо предкомпактио.
Свести, таким образом, доказательство к следующей задаче: пусть
заданы множество В g @, конечномерное подпространство М простран-
пространства Е и линейная форма и0 на М такая, что | и0 (*) | <^ — для всех
*g Bf\M; продолжить и0 до непрерывной линейной формы ug?'такой,
что | v (*)|<;— для всех xgB. Для решения ее использовать предло-

СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 243
жение 4 § 3 гл. II, примененное к пространству ?'*, наделенному топо-
топологией о(?'*, ?')•]
в) Вывести из б), что сильное сопряженное к отделимому огра-
ограниченно замкнутому пространству (и, в частности, к метризуемому
локально выпуклому пространству) полно. [См. гл. III, § 3, упражне-
упражнение 18.1
г) Показать, что пополнение ? отделимого локально выпуклого
пространства ? может быть отождествлено с пространством всех ли-
линейных форм на ?', сужение которых на каждое равностепенно непре-
непрерывное множество из Е' слабо непрерывно. Получить отсюда новое
доказательство теоремы 4 § 2.
4) Пусть /—несчетное множество и Е — прямая сумма Ц^, наде-
наделенная топологией, определенной в упражнении 7 § 1 гл. I. Показать,
что сильное сопряженное Е' к Е не полно и что в Е' существуют
сильно ограниченные множества, не являющиеся относительно слабо
компактными. [См. § 2, упражнение П.]
5) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство, ©i — мно-
множество всех равностепенно непрерывных выпуклых подмножеств со-
сопряженного пространства Е', 582 —• множество всех относительно слабо
компактных выпуклых множеств из Е', SBS—множество всех сильно
ограниченных выпуклых множеств из Е' и 334 — множество всех слабо
ограниченных выпуклых множеств из Е'. Показать, что SBtCSB^C
cz 933 с: Э34- [См. § 2, теоремы 2 и 3.] Дать пример пространства Е,
для которого эти четыре множества подмножеств попарно различны.
[Припять за Е произведение трех пространств, для которых соответ-
соответственно S3i ф ЭЗг (см- § 2. упражнение 46), Э32 ф ЗЭ3 (упражнение 4)
и 5Вз Ф ©4 (см- гл- > § 3> замечание после следствия 1 теоремы 4).]
*6) а) Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство.
Доказать равносильность следующих свойств: а.) Е инфрабочечно
(гл. III, § 2, упражнение 12); р) каждое сильно ограниченное множе-
множество в Е' равностепенно непрерывно; y) каждое сильно ограниченное
множество в Е' относительно слабо компактно, а исходная топология
пространства Е совпадает с х (?, ?'); 5) топология, индуцируемая в Е
сильной топологией второго сопряженного Е", совпадает с исходной
топологией в Е. Замыкания в топологии а (?", ?') множеств, образую-
образующих фундаментальную систему окрестностей нуля для исходной топо-
топологии в Е, образуют тогда фундаментальную систему окрестностей
. нуля для сильной топологии в Е".
б) Показать, что если Е инфрабочечио, а его сопряженным Е'
служит алгебраическое сопряженное ?*, то исходной топологией в Е
является сильнейшая локально выпуклая топология. [Использовать а)
и упражнение 116 § 1.]
*7) Пусть F и G — векторные пространства в двойственности.
Для всех топологий |г в F, согласующихся с двойственностью между
Р и G, сильная топология в G, рассматриваемом как сопряженное к F,

244 двойственность гл. iv, § з
одна и та же (§ 2, теорема 3) и тем самым зависит лишь от двой-
двойственности между F и G; будем обозначать ее C (G, /•")•
а) Доказать равносильность следующих свойств: о) F, наделенное
топологией |Г, согласующейся с двойственностью между F н G, полу-
полурефлексивно; Р) G, наделенное топологией х (G, F), бочечно; 7) F, наде-
наделенное топологией т (F, G), квазиполно н каждая ограниченная
последовательность точек из F обладает предельной точкой в тополо-
топологии a(F, G) [см. § 2, упражнение 156]; Ь) F, наделенное топологией
•и (F, G), квазиполно и каждая' убывающая последовательность не-
непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств в F обладает
непустым пересечением [см. § 2, упражнение 166].
б) Доказать равносильность следующих свойств: a) F, наделенное
топологией х (F, G), рефлексивно; Р) G, наделенное топологией х (G, F),
рефлексивно; y) F и G, наделенные соответственно топологиями х (F, G)
и х (G, F), бочечны.
8) Для того чтобы квазиполное отделимое локально выпуклое
пространство было полурефлексивным, необходимо р достаточно, чтобы
было полурефлексивно каждое его замкнутое векторное подпростран-
подпространство, содержащее всюду плотное счетное множество. [См. § 2, упраж-
упражнение 156.]
*9) Пусть Е — не полурефлексивное квазиполное отделимое
локально выпуклое пространство; Н—замкнутая гиперплоскость в Е,
содержащая начало; (Сп) — убывающая последовательность непустых
замкнутых выпуклых ограниченных множеств в Н, имеющая пустое
пересечение (упражнение 7а); х —• точка, не принадлежащая Н; и
А — замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка объединения мно-
жеств (i-JLjx+Cn (л>0).
а) Показать, что А не обладает опорной гиперплоскостью, парал-
параллельной Н. [Принять во внимание, что для каждого у ? х -\-Н суще-
существует целое п такое, что у (? х + Сп.\
б) Пусть г ?Н таково, что г fit Co- Показать, что выпуклая обо-
оболочка объединения двух замкнутых ограниченных выпуклых множеств
Ак В = x-\-z-\-Сй не замкнута. [Для этого показать, что х-\-г есть
точка прикосновения этой оболочки, но не принадлежит ей.]
*10) Пусть Е — отделимое инфрабочечное пространство.
а) Показать, что если сильное сопряженное Е' к Е ограниченно
замкнуто, то пополнение Ё пространства Е, рассматриваемое как век-
векторное подпространство в ?'* (упражнение Зг), содержится во вто-
втором сопряженном Е". [См. упражнение 3.]
б) Е называется провальным, если каждое множество в Е", огра-
ограниченное в топологии и (Е", Е'), содержится в замыкании (в этой топо-
топологии) некоторого ограниченного множества из Е. Показать, что для
того, чтобы Е было правильным, необходимо и достаточно, чтобы его
сильное сопряженное Е' было бочечным.

СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 245
*11) Пусть Е— отделимое локально выпуклое пространство, обла-
обладающее полурефлексивным сильным сопряженным Е'.
а) Показать, что а (?', Е") и и (?', Е) индуцируют в каждом
сильно ограниченном множестве из Ег одну и ту же топологию.
б) Вывести из а), что Е в топологии х (Е, Е') инфрабочечно [см.
упражнение 6] и пополнение Е пространства Е в этой топологии, рас-
рассматриваемое как часть Еп (упражнение Зг), содержит Е" [исполь-
[использовать упражнение За]. В частности, если Е в топологии т; (?, ?')
квазиполно, то оно в этой топологии рефлексивно.
в) Показать, что если сильное сопряженное Е' к Е рефлексивно,
то Е = Е", сильные топологии 8 (?', ?) и р (?', ?) (упражнение 7)
совпадают и ? рефлексивно. [Использовать б), упражнение Зг и упраж-
упражнение 106.]
*12) а) Пусть М—-замкнутое векторное подпространство отдели-
отделимого локально выпуклого пространства ?. Показать, что для равно-
равностепенной непрерывности множества в факторпростраистве E'jM°,
рассматриваемом как сопряженное к М, необходимо и достаточно,
чтобы оно было образом равностепенно непрерывного множества из Е'
при каноническом отображении ?' на EfjM°. [См. Общ. топ., гл. III,
§ 3, упражнение 15 (ffl).]
б) Показать, что если ? полурефлексивно, то и М полурефлек-
полурефлексивно, причем сильная топология S (Е'/М°, М) (упражнение 7) есть
фактортопология сильной топологии В (?', Е) по М°. [Использовать
следствие 2 предложения 4 § 2.] *)
в) Показать, что если в Е замкнутая выпуклая оболочка каждого
компактного множества компактна, то топология компактной сходи-
сходимости в фачторпространстве Е']М° (рассматриваемом как сопряжеииое
к М) есть фактортопология топологии компактной сходимости в Е'
по М°.
г) Показать, что если М инфрабочечио и Ef/M°, наделенное топо-
топологией $(Е'/М°, М), ограниченно замкнуто, то В (Е'/М°, М) есть фак-
тортопологня топологии В (?', ?) по М°. [Использовать а).]
13) Пусть ((F,, G,)),gj^ семейство пар векторных пространств
в двойственности, F—произведение JJ Ft векторных пространств Fl
и G — прямая сумма векторных пространств G,; Р и G приводятся
в двойственность билинейной формой {(xj, (yt)> = 2 (х" У')-
а) Показать, что сильная топология В (F, G) (упражнение 7) есть
произведение сильных топологий р(Р„ Gt). [См. гл. III, § 2, упражне-
упражнение 10.]
б) Пусть BL для каждого ig/—уравновешенное ограниченное мно-
множество вР, и В = JJ Вг Показать, что В0 (в G) есть выпуклая
*) Существуют монтелевские пространства, некоторые замкнутые век-
векторные подпространства которых нерефлексивны (§ 5, упражнение 21).

246 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 3
оболочка объединения множеств В° с G,. Вывести отсюда, что тополо-
топология fi(G, F) есть прямая сумма топологий jj (Gt, Ft).
14) Пусть (?t)tg j — семейство отделимых локально выпуклых про-
пространств, ?—произведение пространств ?„ /?—их топологическая
прямая сумма. Показать, что для того, чтобы Е или F было полуреф-
полурефлексивным (соотв. рефлексивным), необходимо и достаточно, чтобы
каждое Е1 было полурефлексивно (соотв. рефлексивно). [Использовать
упражнение 13, а также упражнение 96 § 2.]
*15) Показать, что произведение любого семейства инфрабочечных
пространств инфрабочечно. [Свести к случаю отделимых нифрабочеч-
ных пространств; использовать тогда упражнения 6 и 136, а также
упражнение 10 § 2 гл. III.]
16) Показать, что топологическая прямая сумма семейства полных
отделимых локально выпуклых пространств полна. [Использовать упраж-
упражнение Зг.]
17) Пусть ? — отделимое локально выпуклое пространство, являю-
являющееся строгим индуктивным пределом возрастающей последователь-
последовательности (Еп) своих замкнутых векторных подпространств (гл. II, § 2,
п°5).
а) Показать, что если сильное сопряженное каждого нз про-
пространств Еп полно, то и сильное сопряженное пространство ? полно.
[См. упражнение 3.]
б) Для того чтобы Е было полурефлексивным (соотв. рефлексив-
рефлексивным), необходимо и достаточно, чтобы каждое Еп было полурефлек-
полурефлексивно (соотв. рефлексивно).
*18) Пусть (?а)асд — семейство отделимых локально выпуклых
пространств, фильтрующееся по отношению Э и такое, что если
?oCr?oL. то топология пространства Е§ мажорирует топологию, инду-
индуцируемую в?д из Еа. Пусть, далее, Е—¦ пересечение всех пространств ?а,
наделенное топологией, являющейся верхней гранью топологий, инду-
индуцируемых в ? из всех ?а. Показать, что если каждое Еа полурефлек-
снвно, то Е полурефлексивно. [Рассмотреть ультрафильтр в ограничен-
ограниченном множестве из ?.]
19) Пусть Е — пространство Фреше. Показать, что в сопряженном
пространстве ?' каждый фильтр gf со счетным базисом, являющийся
в слабой топологии фильтром Коши, ограничен. [Рассуждать от про-
противного, используя то обстоятельство, что в Е' существует счетная
фундаментальная система ограниченных множеств.]
20) а) Пусть Е—пространство Фреше. Показать, что сопряженное
пространство ?', наделенное топологией компактной сходимости или
какой-нибудь более сильной ©-топологией, полно. [См. гл. III, § 3,
замечание после теоремы 4.] Показать, что если ? не рефлексивно,
то ?' не иифрабочечно ни для какой ©-топологии, мажорирующей
топологию компактной сходимости и мажорируемой топологией х (?', Е).

СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 247
б) Пусть (Fa)aeA— семейство пространств Фреше, Е—векторное
пространство и ha для каждого а ? А — линейное отображение Fa в Е.
Предположим, что Е, наделенное сильнейшей локально выпуклой топо-
топологией, при которой непрерывны все /га (гл. II, § 2, п°2), отделимо.
Показать, что сопряженное Е' к Е, наделенное топологией компактной
сходимости или любой более сильной ©-топологией, полно. [См. упраж-
упражнение 3.]
*21) Пусть Е—метризуемое локально выпуклое пространство и
Е' — его сильное сопряженное.
а) Показать, что если Е' метризуемо, то топология в Е может
быть определена одной нормой. [Использовать упражнения 2, 5 и 15
§ 2 гл. III.]
б) Пусть (?/„) — убывающая последовательность сильно замкнутых
уравновешенных выпуклых окрестностей нуля в Е'. Показать, что если
пересечение W этих окрестностей есть бочка в сильной топологии, то
V — окрестность нуля в этой топологии. [Пусть (К^)— фундаменталь-
фундаментальная последовательность слабо замкнутых уравновешенных выпуклых
сильно ограниченных множеств из Е'. Показать, что существуют после-
последовательность (А„) чисел >0и последовательность (Wn) слабо замк-
замкнутых уравновешенных выпуклых сильных окрестностей нуля в Е'
такие, что ЬпК'„ сг 2~п~2и' для каждого п, Х^^ с Wj для каждой
пары индексов /, j и WncU'n для всех п. Провести индукцию по п,
используя лемму 1 § 3 гл. III и упражнение 15 из Общ. топ., гл. III,
§3B8).]
в) Показать, что если {а"Л — последовательность равностепенно
непрерывных множеств во втором сопряженном Е", объединение кото-
которых А" ограниченно в топологии а(?", ?'), то А" равностепенно не-
непрерывно. [Использовать б).]
г) Вывести из в), что в Е" каждая последовательность Коши по
топологии а (?", Е') сходится, и заключить отсюда, что Е" — полное
метризуемое пространство в сильной топологии р (Е", Е') *).
*22) Пусть Е — метризуемое локально выпуклое пространство.
а) Пусть {АЛ — возрастающая последовательность уравновешен-
уравновешенных выпуклых сильно ограниченных .множеств в сопряженном про-
пространстве Е' такая, что каждое сильно ограниченное множество из Е'
поглощается хотя бы одним А'п, и пусть U' — объединение мно-
множеств Ап. Показать, что сильное замыкание множества U' в Е' совпа-
совпадает с множеством всех х'^Е' таких, что Xx'^U', когда 0-<Х<[1
(т. е. с замыканием W в сильнейшей локально выпуклой топологии
в ?'). [Принять во внимание, что если х'фШ', где Х>1, то для
каждого п существует линейная форма х"п?Ё' такая, что х'п?Ап
*) Неизвестно, не будет ли вообще второе сопряженное Е" к отдели-
отделимому локально выпуклому пространству Е полным в сильной тонологии
Р (?", Е'), даже если предположить Е бочечным.

248 двойственность гл. iv, § a
и (х', х"^1 = Х; использовать тогда упражнение 21в для доказательства
существования х" g U'° в Е" такого, что {х\ х") = X.]
б) Показать, что каждое уравновешенное выпуклое множество V
в Е', поглощающее все сильно ограниченные множества из Е', со-
содержит бочку (относительно сильной топологии), поглощающую все
сильно ограниченные множества из Е'. [Пусть (к'Л — фундаментальная
последовательность слабо замкнутых уравновешенных выпуклых
сильно ограниченных множеств из Е' и Хи>0 таково, что \пк'пС1-у V;
применить а) к последовательности {а'^), где А'п — выпуклая оболочка
объединения тех 1цК.'р для которых /¦</!.]
в) Вывести из б), что для того, чтобы Ег, Наделенное сильной
топологией, было ограниченно замкнутым, необходимо и достаточно,
чтобы Е было правильным (упражнение 106).
г) Пусть F—отделимое локально выпуклое пространство. Если
М — правильное метризуемое замкнутое векторное подпространство
в F, то р (Ff/M°, М) есть фактортопология топологии fs (F', F) по М°.
[Использовать в) и упражнение 12г.]"
*23) Пусть а*-п) для каждого целого я^>0 — двойная последова-
последовательность (д^), где a^ = q, если /><п, и я^ = 1, если р>п
и пусть Е—векторное пространство таких двойных последователь-
последовательностей х = (хра) вещественных чисел, что гп (х) = 2 а^ | хш | ко"
1Ч
нечно для каждого целого п > 0. Е, наделенное топологией, опреде-
определяемой полунормами гп, есть пространство Фреше [§ 1, упражнение 1в];
пространство Е', сопряженное к Е, может быть отождествлено с про-
пространством таких двойных последовательностей х' = (х' ) веществен-
вещественных чисел, что хотя бы для одного номера п и всех пар (р, q),
выполняются при надлежащем выборе фиксированного коэффициента k
неравенства | х'ш \ < ka^, причем {х, х') = ^ хпх'1Ч- [§ !> упраж-
р,д
нение 1в.]
Пусть J (р0; (тр)) для каждого целого р0 ^> 0 и каждой последо-
последовательности (тр) целых чисел >0 — множество всех пар (р, q) целых
чисел ^>0, удовлетворяющих условиям р^ро и q^-ntp. Пусть, далее,
35 — базис фильтра в NXN, образованного множествами J(p0; (nip)),
и g — ультрафильтр, мажорирующий фильтр с базисом 33.
а) Показать, что двойная последовательность ({хр^, х')) имеет
предел и (х/) по фильтру g для каждого х' = (х^) ? Е'\ при этом
| и (хг) \ ^ 1 для каждого х ? Vn, где Vп — окрестность нуля в Е,
определяемая неравенством rn(x)^.l.
б) Пусть Uf — слабо замкнутая уравновешенная выпуклая сильная
окрестность нуля в Е' и яп^>0, для каждого п, таково, что an
Пусть, далее, тр, для каждого р>0, — целое, для которого 2ppp
и х' = (•*!,) — двойная последовательность, в которой х^ = 0, если

СИЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ В СОПРЯЖЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 249
q < тр, и х'т = 2, если q > тр. Показать, что х1 ? U', но и (х1) = 2.
Вывести отсюда, что и не сильно непрерывна на ?', хотя и ограни-
ограниченна на всех ограниченных множествах из ?', и, следовательно
(упражнение 22в), что Е—не правильное.
в) Получить из б) пример замкнутого подпространства М про-
пространства Фреше F, для которого бы сильная топология $ (FjA/P, M)
отличалась от фактортопологии сильной топологии р (/", F) по Af°.
[Погрузить Е в произведение счетного семейства банаховских про-
пространств.]
*24) Пусть Е—метризуемое локально выпуклое пространство
и Е'—его сильное сопряженное. Предположим, что Е' содержит всюду
плотную последовательность (хЛ.
а) Показать, что Е' бочечно или, иными словами, что Е — пра-
правильное. [Пусть U' — бочка в Е' (и, значит, поглощает все ограни-
ограниченные множества в Е', поскольку последнее полно), (К») — фунда-
фундаментальная последовательность ограниченных множеств из Е' и
(уЛ — всюду плотная последовательность в CU'. Показать, что суще-
существуют последовательность (Уи) замкнутых уравновешенных выпуклых
окрестностей нуля в Е' и последовательность (Хи) чисел >0 такие,
что ^пК'п с U', y'n fit V для каждого п и \гК.\ cz Vj для каждой пары
индексов /, /. Используя упражнение 216, показать, что V = О v'n
есть окрестность нуля, содержащаяся в U'.\ "
б) Показать, что Е — пространство счетного типа. [Пусть я — си-
система, образованная из точки х'п, конечного числа рациональных
чисел Х/с>0 A <;&<;«) и т номеров tijiil^k^m) таких, что
т
д:„|22 \Кп = 2// , и х^^Е таково, что гиперплоскость, опреде-
^ к=1 к
ляемая уравнением (ха, у') = 1, строго отделяет слабо компактные
множества х'п -f- Н и Н'. Показать, что если х g E' таково, что
{Хх, х') = 0 для каждой системы а, то необходимо х' = 0; воспользо-
воспользоваться для этой цели тем, что Е' ограниченно замкнуто, так что для
любой последовательности (Хт) чисел ^>0 множество U всех конеч-
п
пых сумм 2 ^тхт' где п — любые целые числа и хт ? Кт для
т = 1
всех т, есть окрестность нуля в Е' (упражнение 22в).]
25) Показать, что произведение и топологическая прямая сумма
любого семейства монтелевских пространств являются монтелевскими
пространствами. [См. § 2, упражнение 96.] То же верно и для стро-
строгого индуктивного предела возрастающей последовательности моите-
левских пространств *).
*) Напротив, факторпространство моителевского пространства Е по
замкнутому векторному подпространству не обязательно является монтелев-
ским пространством, даже если ?—-пространство Фреше (§5, упражнение 21).

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 3
*26) Пусть Е — пространство Фрете счетного типа. Показать, что
если в сопряженном пространстве Е' каждая слабо сходящаяся после-
последовательность сильно сходится, то Е— монтелевское пространство.
[Доказать, что каждое ограниченное множество в Е' относительно
сильно компактно, используя для этого предложение 3 § 2 и упражне-
упражнение 2 из Общ. топ., гл. II, § 4 B9); в заключение использовать при-
приведенное выше упражнение Ив.]
*27) Пусть (стп) — двойная последовательность чисел >0 и
Е—векторное пространство всех таких последовательностей х = (хп)
вещественных чисел, что рт (х) = 2 стп I хп К + °° Для каждого
п
целого т. Наделим Е топологией, определяемой семейством полу-
полунорм рт и превращающей Е в пространство Фреше; сопряженное
пространство ?' будет отождествимо тогда с пространством всех
последовательностей х' = (х'г) таких, что sup c~^n \x'n\<^.Jrco хотя бы
для одного т, а каноническая билинейная форма (х, х') — с У х„х„
п
(§ 1, упражнение 1в). Предположим, что нет никакой подпоследова-
подпоследовательности номеров (nfc), для которой существовали бы последователь-
последовательности (ат), (Ь/с) вещественных чисел !>0 такие, что cnh ti.^^ amf>k>
каковы бы пи были т и k. Показать, что при этих условиях каждая
слабо сходящаяся последовательность в Е' сильно сходится и, следо-
следовательно (упражнение 26), Е—моителевское пространство. [Вести
доказательство от противного; выполнив, если нужно, преобразование
вида (хп) ->¦ (апхп), свести к случаю, когда в Е' существует после-
последовательность (Jf'^')pgNt слабо сходящаяся к нулю и такая, что
|*п^|-<1 для каждой пары (р, п), а в Е — ограниченное множе-
множество М, определяемое неравенствами pm(x)*Cbin (m^N), такое, что
sup | (х, х'^) | :>25 >0 для каждого целого р. Установить, что при
этих предположениях существуют строго возрастающая последова-
последовательность (Гд) целых чисел и последовательность (х^) точек из М
такие, что
для каждого номера q. Рассуждая от противного, показать тогда, что
для каждого q существует хотя бы один номер sq такой, что
2»»+2
и Cin,sqKbm—;— для всех целых т, в противоречие
с предположением.]
*28) а) Пусть (?/»)п>1 — последовательность нормированных про-
пространств, причем ?х не есть пространство счетного типа. Пусть
F — векторное подпространство в Е = JJ Еп такое, что ргд. F = ?j

Л СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 251
для каждого k. Показать, что существуют число 8^>0и ограниченная
последовательность (xm)m>i в Р такие, что в Е± выполняется нера-
неравенство || prt X; — ргг Xj !| ^> 5 для каждой пары различных индексов /, j.
[Принять во внимание, что в каждом несчетном подмножестве А из F
содержится несчетное подмножество В такое, что рг^-В ограниченна
в Ей для всех k.}
б) Вывести из а), что каждое метризуемое монтелевское про-
пространство есть пространство счетного типа. [Использовать предложе-
предложение 7 § 5 гл. II, а также упражнение 126 из Общ. топ., гл. I, § 8 C0).]
в) Вывести из б), что в сильном сопряженном к метризуемому
монтелевскому пространству существует счетное всюду плотное мно-
множество. [См. § 2, предложение 3.]
29) Пусть Е—-отделимое комплексное локально выпуклое про-
пространство н Ео — его базисное вещественное локально выпуклое про-
пространство. Показать, что каноническое линейное отображение /-»-SR/
пространства Е' на Ео есть гомеоморфизм для ©-топологий в Е' и Ео
при любом множестве @ ограниченных подмножеств пространства Е.
Получить отсюда определение канонического линейного отображения
второго сопряженного Е" на второе сопряженное ?0', которое было бы
гомеоморфизмом как для слабых топологий а (?", Е') и з (?q, ?o), так
н для сильных топологий р (Е",Ег) и ^(Е^, Е\, доказать, что это
отображение преобразует Е (рассматриваемое как часть Е") в ?0
(рассматриваемое как часть Е^\
§ 4. Сильная и слабая непрерывность
/. Сопряженное к слабо непрерывному линейному отобра-
отображению
Предложение 1. Пусть (F, G) и (Fv Ot) — две пары вектор-
векторных пространств в двойственности. Для того чтобы линей-
линейное атображение и пространства F в F± било непрерывным при
слабых топологиях a(F, G) и <s(Fv G{), необходимо и доста-
достаточно, чтобы существовало отображение v пространства Gt
в G, для которого бы
(и (у), zl) = (y,v(zl)), A)
каковы бы ни были y?F и zt?Gv
Действительно, если это условие выполнено, то линейная форма
у->(и(у), г,) непрерывна (в топологии o(F, G)) для каждого z^^G^,
из определения слабых топологий следует тогда, что и непрерывно
при топологиях a(F,'G) и з(р1; Ot) (гл. I, § 1, следствие 1 пред-
предложения 15). Обратно, предположим, что и при этих топологиях

252 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 4
непрерывно; для каждого Zi^Gj линейная форма у —*¦ (и(у), zx)
непрерывна в a(F, G), значит (§ 1, предложение 1) существует
однозначно определелная точка v (zj ? G такая, что (и (у), zt) =
= (у, v(Zi)) для всех y?F.
Мы видели, что отображение v единственно. Если рассматри-
рассматривать G к О, как подпространства алгебраических сопряженных F*
и F* к пространствам F и Fv то соотношение A) показывает, что v
есть сужение на Gl определенного в Алгебре отображения, сопря-
сопряженного к и (Алг., гл. II, § 4, п° 9). Допуская вольность речи, мы
называем v сопряженным к и (относительно двойственностей между
F и G, с одной стороны, и Fj и Gl — с другой) и обозначаем <и.
Следствие. Если и — линейное отображение F в Fv непрерыв-
непрерывное при топологиях a(F, G) и o(Fv GJ, то его сопряжен-
сопряженное tu есть линейное отображение Gl в G, непрерывное при
топологиях s(Gv Ft) и a(G, F), причем *(*и) = и.
Достаточно в предложении 1 поменять ролями F и Fv с одной
стороны, и G и Gi—с другой.
Предложение 2. Пусть и — линейное отображение F в Fx, не-
непрерывное при топологиях a(F, G) и a(Fv Gx), A — множество
из F, В — множество из Fv Тогда (и(А))° — *и(А°); из и(А)аВ
следует *м(В°)с:Л0; если при этом А и В выпуклы, замкнуты
(в топологиях o(F, G) и o(Fv Ox) соответственно) и содержат
начало, то отношения и(А)аВ и ги(В°)сА° равносильны.
Действительно, zl^(u(A))° равносильно выполнению неравенства
9t (и (у), ZjX; 1 для всех у^А, a '«(z^g Л°—выполнению нера-
неравенства 91 (у, 'и (Zx)) <! 1 для всех у?А, так что в силу A) полу-
-1 -1
чаем (и (Л))° = Ч (Л°). Если теперь м(Л)с:В,то Воа(и(А))о = Ч{А°),
откуда *и(В°)сА°. Наконец, Ч{В°)аА°, с учетом следствия пред-
предложения 1, влечет и й(А°°)сВ°°, чем в силу предложения 3 § 1
доказано и последнее утверждение.
Следствие. Пусть и — линейное отображение F в Flt непре-
непрерывное при топологиях a(F, G) и a(Fv Gj). Ядро сопряжен-
сопряженного отображения Ч совпадает с подпространством в Gj, орто-
ортогональным к u{F).

СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 253
Достаточно применить предложение 2 к Л = F и В = и (F),
поскольку тогда Л°—{0}.
Предложение 3. Пусть и — линейное отображение F в Fv не-
непрерывное при топологиях a(F, G) и a(Fv Gx). Для того
чтобы u{F) было всюду плотным в F1(e топологии a(Fv GJ),
необходимо а достаточно, чтобы ги было взаимно однозначным
линейным отображением Ох в G.
Это вытекает из следствия предложения 2, поскольку сказать,
что и (F) всюду плотно в Fv все равно, что сказать, что подпро-
подпространство в О1г ортогональное к m(F), сводится к одному элементу 0
{§ 1, предложение 4).
Предложение 4. Пусть и—-линейное отображение F в Fv не-
непрерывное при топологиях a(F, G) и a(Fv Gx). Для того
чтобы и было гомоморфизмом F на подпространство и (F) про-
пространства Fv необходимо и достаточно, чтобы подпростран-
подпространство ги (Gj) было замкнуто в G (в топологии a (G, F)).
Положим N = tu(G1)aG; согласно следствию предложения 2,
-1
примененному к *м, тогда №= и@). Пусть <р—каноническое ото-
отображение F на F/№; тогда u = woy, где w — взаимно однозначное
линейное отображение F/№ в Fx. Пространства F/№ и N нахо-
находятся в двойственности и из A) следует, что
{w(y\ z1) = 0. *«(*i)).
каковы бы ни были y?F/№ и Zi^G^ Это соотношение показывает,
что w есть изоморфизм пространства FJ№, наделенного топологией
a(FI№, N), на u(F), наделенное топологией, индуцируемой тополо-
топологией о (Flt Gj). Но, как известно, для того, чтобы о (F/№, N) было
фактортопологией топологии о (F, G) по №, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ./V было замкнуто в топологии o(G, F) (§ 1, предло-
предложение 7). Тем самым предложение доказано.
Следствие. Если и — гомоморфизм F на u(F)cFv то слабое
сопряженное подпространства и (F) пространства Ft изоморфно
подпространству tu'{G1) пространства G.
Действительно, тогда и (F), наделенное топологией, индуцируемой
топологией сз(р1, Gj), изоморфно пространству F/Л/0, наделенному

254 двойственность гл. iv, § 4
топологией о (F/№, Л/); но сопряженное к последнему отождествимо
с N, а слабая топология о (N, F/№) есть топология, индуцируемая
в N топологией a(G, F) (§ 1, предложение 6).
Замечания. 1) Не следует думать, что если и есть гомомор-
гомоморфизм F на и (F) при топологиях о (F, G) и з (Fb G{), то *и будет
гомоморфизмом Gt на u(G{) при топологиях з (Gt, 7^) н о (О, F) или,
другими словами, что и (Р) будет замкнуто «Ff в топологии в (Ft, G{)
(упражнение 10).
2) Пусть М —- векторное подпространство пространства Z7, замкну-
замкнутое в топологии a (F, G). Наделим факторпространство Pi = F/M
фактортопологиеи топологии a (Z7, G) по М и пусть Gj — сопряженное
к /V Каноническое отображение sp пространства Z7 на /^ есть тогда
гомоморфизм, а сопряженное к нему отображение — изоморфизм Gt
на М° при топологиях i(Gt, Z^) и o(G, Z7); точно говоря, какова бы
ни была непрерывная линейная форма у' на Ft, *? (у') будет непре-
непрерывной линейной формой у'°<р на F.
Пусть, с другой стороны, ф — каноническое вложение М в f и
Af' — сопряженное к Af, наделенному топологией, индуцируемой топо-
топологией з (F, G). Как мы знаем, ф есть тогда изоморфизм при тополо-
топологиях о (М, М') и s(F, G); его сопряженное *6 есть гомоморфизм G
на М', с ядром Af°, нрн топологиях o(G, f) и з (М', М) (§ 1, пред-
предложения 6 и 7); точно говоря, какова бы нн была непрерывная линей-
линейная форма х' на F, Ц {х') есть сужение х' на подпространство М
пространства Р.
Предложение 5. Пусть и — линейное отображение F в Flt не-
непрерывное при топологиях s(F,G) и о (Fv Gt). Для того чтобы
и было сюръективным, необходимо и достаточно, чтобы *и было
изоморфизмом Ох на tu(Gl) при топологиях o(Gv F{) и a(G, F).
Действительно, сказать, что u(F) = Flt все равно, что сказать,
что и (F) замкнуто и всюду плотно в Ft; поэтому справедливость
утверждения вытекает из предложения 3 и предложения 4 (приме-
(примененного к *м).
2. Слабая а сильная непрерывность.
Предложение 6. Пусть Е и F — отделимые локально вы-
выпуклые пространства, и — линейное отображение Е в F и и' —
линейное отображение F' в ?". Рассмотрим следующие свойства:
а) и непрерывно при исходных топологиях в Е и F;
б) и непрерывно при ослабленных топологиях о (if, E') и
c(F, F');

2 СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 255
в) а' непрерывно при слабых топологиях a(F', F) и о(?", ?);
г) и' непрерывно при сильных топологиях в F' и Е'.
Тогда а)=фб) и в)=фг).
1° Если и непрерывно при исходных топологиях, то для каждого
y'?F' линейная форма х -+ (и(х), у') непрерывна в исходной то-
топологии пространства Е, а значит, и в топологии о (Е, Е'), что и
доказывает, что и непрерывно при топологиях а(Е, Е') и o{F, F').
2° Если и' непрерывно при a(F', F) и а(Е', Е), то можно на-
написать и' = ги, где и — отображение, сопряженное к и', — непре-
непрерывно при а (Е,Е') и о (F, F') (предложение 1). По определению сильной
топологии, остается доказать, что для каждого ограниченного мно-
множества Л из ? существует ограниченное множество В в F такое,
что *и(В0)сД°. Но и (А) ограниченно в F в топологии o(F, F')
(гл. III, § 2, следствие 2 предложения 5), а, значит, также и в ис-
исходной топологии пространства F (§ 2, теорема 3), и в силу
предложения 2 достаточно принять В = и(А).
Следствие. Каждое линейное отображение и пространства
Е в F, непрерывное при исходных топологиях, непрерывно
и при ослабленных топологиях, а его сопряженное слабо и сильно
непрерывно.
Достаточно применить следствие предложения 1 к и и предло-
предложение 6 к и' = ги.
В обозначениях предложения 6, импликации б)=фа) и г)=фв)
вообще не верны.
Например, если Р и G—-векторные пространства в двойственности
такие, что a (F, G) Ф т (F, G), то тождественное отображение F, наде-
наделенного топологией з (F, О), на F, наделенное топологией х {Р, G),
при ослабленных топологиях непрерывно, а при исходных нет. При-
Пример, где г) не влечет в), доставляют сильно непрерывные линейные
формы на F', не являющиеся слабо непрерывными, в случае, когда F
не совпадает алгебраически со своим вторым сопряженным (а за Е
принято тело скаляров). Однако справедливы следующие два предло-
предложения:
Предложение 7. Пусть Е и F — отделимые локально выпук-
выпуклые пространства. Каждое линейное отображение и простран-
пространства Е в F, непрерывное при топологиях о (?,?") и o(F, F'),
непрерывно и при топологиях т (Е, Е') и т (F, F').

256 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 4
Действительно, пусть W = K'°—окрестность нуля в F для то-
топологии t(F, F'), где К' — слабо компактное уравновешенное вы-
выпуклое множество из F'. Так как *м непрерывно при слабых тополо-
топологиях в F' и Е' (следствие предложения 1), то #' = *м(/С') есть
слабо компактное уравновешенное выпуклое множество в Е'. Сле-
Следовательно,. Я'0 есть окрестность нуля в Е для топологии х(?, Е'),
чем предложение и доказано, поскольку Н'° = и (К'°) (предложе-
(предложение 2).
Следствие. Если исходной топологией в Е служит т(Е, Е'), то
каждое линейное отображение и пространства Е в F, не-
непрерывное при топологиях о (Е, Е') и о (F, F'), непрерывно и
при исходных топологиях.
Достаточно заметить, что исходная топология в F мажорируется
топологией z(F, F') (§ 2, следствие теоремы 2).
Отметим, что это следствие применимо, в частности, когда Е
бочечно (§ 2, предложение 5), а также когда Е метризуемо (§ 2,
предложение 6).
Предложение 8. Пусть Е и F — отделимые локально выпуклые
пространства. Если F полу рефлексивно, то каждое линейное
отображение и' пространства F' в Е', непрерывное при силь-
сильных топологиях, непрерывно и при слабых топологиях о (F', F)
и а(Е', Е).
Действительно, предложение 6 показывает, что и' непрерывно
при топологиях a(F', F") и а(?", Е"), и справедливость утвержде-
утверждения следует из того, что з (/•"', F") = s(F', F) в силу предполо-
предположения, а з(?', Е") мажорирует топологию з(?", Е),
Предложение 9. Пусть Е и F — отделимые локально выпуклые
пространства. Каждое линейное отображение и простран-
пространства Е в F, являющееся гомоморфизмом Е на и (Е) при исход-
исходных топологиях в Е и F, есть также гомоморфизм Е на и (Е)
при топологиях а (Е, ?") и a (F, F').
j
Пусть N=u @), Н—факторпространство EIN, наделенное
¦фактортопологией исходной топологии пространства Е по N, и <р —
каноническое отображение Е на Н. Тогда u = v о «>, где v — инъек-

СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 257
тивное линейное отображение Н в F, непрерывное при исходных
топологиях этих пространств. Так как <р есть гомоморфизм Е на Н
при топологиях о(?, ?') и а{Н, Н') (§ 2, предложение 9), то
остается доказать, что v есть изоморфизм Н на и (Е) при тополо-
топологиях а (Я, Я') и о^, /="). Но v, по предположению, есть изомор-
изоморфизм Н на и(?) при исходных топологиях пространств Н и F, так
что справедливость утверждения вытекает из предложения 8 § 2.
Упражнения. *1) Пусть. Е и Р — векторные пространства,
Е* и F* — их алгебраические сопряженные. Показать, что если и —
ч линейное отображение F* в Е, непрерывное при топологиях а (Р*, F)
и а (Е, Е*), то и (Z7*) конечномерно. [С помощью предложения 4 по-
показать, что и есть гомоморфизм /•"* на и (/**), и вывести отсюда, что
и{Р*) есть подпространство минимального типа пространства Е (§1,
упражнение 13); в заключение рассмотреть ограниченные множества
в этом подпространстве.]
2) Пусть (F, G) и (Fi, Gj) — две пары векторных пространств
в двойственности.
а) Для того чтобы линейное отображение и пространства Р в Р±
было непрерывным при топологиях а (Р, G) и а (Plt G{), необходимо
и достаточно, чтобы его алгебраическое сопряженное % (Алг., гл. II
§ 4, п° 9) было отображением Ft* в Р* таким, что tu(G1)d G.
б) Пусть ? и 5?х — насыщенные множества подмножеств из G и
G\, ограниченных в топологиях <s(G, Р) и a(Gb Pt) соответственно
(гл. III, § 3, упражнение 2). Для того чтобы линейное отображение и
пространства Р в р\, непрерывное при топологиях а(/% G) и a{F\, G{),
было непрерывным при ^-топологии в Р и ^-топологии в Рь необхо-
необходимо и достаточно, чтобы *и (Ij) CZ %.
3) Пусть Е и Р—отделимые локально выпуклые пространства.
а) Для того чтобы линейное отображение и пространства Е в Р
было гомоморфизмом ? на и (?) при исходных топологиях в Е и Р, не-
необходимо и достаточно, чтобы и было гомоморфизмом при топологиях
о (Е, Е') и а (Р, Р') и каждое равностепенно непрерывное множество
из Е', содержащееся в *и(Р'), было образом равностепенно непрерыв-
непрерывного множества из f при сопряженном отображении fu. [Для уста-
установления достаточности условия свести к случаю, когда и инъективно
(см. упражнение 4).]
б) Показать, что если топология, индуцируемая в каждом вектор-
векторном подпространстве N пространства Р топологией х (Р, р/), совпа-
совпадает с х (N, р'/№), то каждый гомоморфизм Е в Р при топологиях
а (?, Е') и а (F, Р') есть также гомоморфизм при топологиях х (Е, Е')
и х (f, Р'). [См. § 2, упражнение 5а.] Случай, когда F метризуемо.
4) Пусть Е — отделимое вещественное локально выпуклое про-
пространство, такое, что в его сопряженном ?' содержится бесконечно-

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 4
мерное выпуклое множество В', компактное в слабой топологии а (?', ?>
(условие, осуществляющееся, например, когда ?— бесконечномерное
векторное пространство, наделенное топологией <s (Е, ?*)). Показать,
что существует линейная форма и?Е'*, не ограниченная на В'; вы-
вывести отсюда, что В' не компактно в топологии о (?', р), где Р — под-
подпространство Е -(- R# пространства ?'*. Заключить отсюда, что тождест-
тождественное отображение Е в F есть изоморфизм при топологиях о (Е, Е') и
^(f, E'), но не при топологиях х (?, ?') и х (Я, ?').
5) а) Пусть Е и Z7—пространства Фреше. Доказать равносильность
следующих пяти свойств линейного отображения и пространства Е в Р:
a) и есть гомоморфизм Е на и(?) при исходных топологиях
в Е и Р;
{3) и есть гомоморфизм ? на и (?) при топологиях а (?, ?') и
"(Л /=");
Y) и (?) замкнуто в Р;
b) (и есть гомоморфизм f на *и (/") при слабых топологиях
о (/=*, F) и а (?', ?);
е) *и (/") замкнуто в ?' в топологии а (?', ?).
[Использовать предложение 4, упражнение 36, а также теорему 1
§ 3 гл. I.]
6) Дать пример изоморфизма и пространства Фреше ? в про-
пространство Фреше F, для которого *и не было бы гомоморфизмом F
на fu(F') при сильных топологиях в F' и ?'. [См. § 3, упражнение 23в.}
*6) Пусть Е и F—пространства Фреше и и — непрерывное ли-
линейное отображение Е в Р. Показать, что если *и есть изоморфизм Рг
на *а (/у) прн сильных топологиях в Р1 н ?', то и есть гомоморфизм Е
на Z7. [Использовать предыдущее упражнение 5 и теорему 5 § 2; см. § 5„
упражнение П.]
7) Пусть Е и F — локально выпуклые пространства, и — непре-
непрерывное линейное отображение Е в Р и А — всюду плотное векторное
подпространство в Е. Показать, что если сужение и па А есть гомо-
гомоморфизм А па и (А), то и есть гомоморфизм Е на и (?). [Использо-
[Использовать упражнение За.] Если, кроме того, и (А) = F, то и (V) есть.
внутренность и(У"П^) Для каждой уравновешенной выпуклой откры-
открытой окрестности нуля V из Е.
8) Пусть Е и F—отделимые локально выпуклые пространства.
Для каждого подмножества Н пространства L (E, F) всех непрерывных
линейных отображений Е в F обозначим через fH множество отобра-
отображений F' в ?', сопряженных к всевозможным отображениям и ? //.
Для каждого множества М (соотв. N') из ? (соотв. F') обозначим че-
через Н{М) (соотв. tH(N')) объединение всех множеств и(М) (соотв.
% (W)), где и пробегает Н.
а) Для того чтобы Н было равностепенно непрерывным, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы fH(Nf) с Е' было равностепенно непрерывно
для каждого равностепенно непрерывного множества N' из F'.

СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 259
б) Пусть © — множество ограниченных подмножеств простран-
пространства Е. Показать, что для того чтобы Н было ограниченным в ©-то-
©-топологии в L(E, F), необходимо и достаточно, чтобы fH(y') было
ограниченно в ©-топологии в ?' для каждого / 6 F. [Использовать
теорему 3 § 2.]
в) Пусть © — множество ограниченных подмножеств простран-
пространства Е, % — насыщенное множество (гл. 111, § 3, упражнение 2) огра-
ограниченных подмножеств пространства F, и Е' наделено ©-топологией,
a F — 2>топологией. Для того чтобы fH было равностепенно непре-
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы Н(В) для любого множе-
множества В ? © содержалось в некотором множестве из S?. В частности,
для того чтобы *Н было равностепенно непрерывным при сильных
топологиях «Ри Е', необходимо и достаточно, чтобы Н было ограни-
ограниченно в L (E, F) в топологии ограниченной сходимости.
г) Вывести из б) и в), что если *Н ограниченно в топологии про-
простой сходимости в L (Fr, E'), где F' и Е' наделены сильными тополо-
топологиями, то оно равностепенно непрерывно при тех же топологиях.
9) В обозначениях упражнения 8:
а) Показать, что если Е бочечно, то следующие свойства равно-
равносильны:
a) Н ограниченно в L(E, F) в топологии простой сходимости;
(з) Н равностепенно непрерывно;
1) *// ограниченно в топологии простой сходимости в L (/•"', Е')
при наделении Е' слабой топологией а (Е1', Е);
b) *Н равностепенно непрерывно, когда Е' и Р' наделены силь-
сильными топологиями.
б) Показать, что если Е инфрабочечно, то свойства р) и S) из а)
равносильны друг другу, а также следующим двум другим:
е) Н ограниченно в L (E, F) в топологии ограниченной сходи-
сходимости;
<f) fH ограниченно в топологии простой сходимости в L (F't E')
при наделении Е' сильной топологией.
в) Показать, что если Е квазиполно, то свойства а), •;) и 8) из а)
равносильны.
*10) Пусть G — векторное подпространство произведения RN,
отличное от RN, содержащее ^прямую сумму R*N' и наделенное ло-
локально выпуклой топологией, превращающей G в метризуемое монте-
левское (следовательно, полное; см. § 3, упражнение 21г) простран-
пространство (по поводу способа построения таких пространств см. § 3,
упражнение 27). Пусть G' — сопряженное к G, отождествленное
с подпространством произведения R" посредством билинейной канони-
канонической формы < х, х') = 2 хпх'п, где x — {xn)^G, ^r/ = (jr^)gG/.
п
Пусть Н—пространство всех двойных последовательностей t = (tmn),
в которых (тпф0 лишь для конечного числа индексов п и (tmn)m^ 6 G'

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 4
для каждого п; Н можно рассматривать как прямую сумму G'^\ и мы
наделим Н прямой суммой топологий его слагаемых, превращающей
его в монтелевское пространство (§ 3, упражнение 25); пространство Н',
сопряженное к Н, отождествимо с пространством всех двойных по-
последовательностей t' = (t'm^j таких, что последовательность (^n)mgN
для каждого п принадлежит G (пространством, изоморфным произве-
произведению G"). Пусть К— пространство, получающееся из Н посредством
„симметрии" (tmn)->-(tnm) в RNxN, и /('— его сопряженное, получаю-
получающееся из Н' посредством симметрии (^п) -»¦ (^т)-
Пусть Р — пространство всех тройных последовательностей (smnp),
в которых smnp=f=(i лишь для конечного числа индексов р и
(smnp\m,n)?Sx.ii принадлежит Я для каждого р; Р можно рассмат-
рассматривать как прямую сумму Н^ — G'^xJi\ и мы наделим Р прямой
суммой топологий его слагаемых, так что оно будет в этой топологии
монтелевским пространством. Пусть Q — пространство всех трой-
тройных последовательностей (smnp) таких, что последовательность
(smnp)(m} n)?NxN для каждого/) принадлежит К', Q можно рассматри-
рассматривать как произведение К?, и мы наделим его произведением тополо-
топологий его множителей, превратив его тем самым в монтелевское про-
пространство. Пусть, наконец, E — P[\Q— пространство всех последо-
последовательностей (smnp), содержащих лишь конечное число ненулевых
членов, отождествимое с прямой суммой ц(Ях1ГхК); наделим Е прямой
суммой топологий его слагаемых, так что пространством Е'', сопря-
сопряженным к Е, будет тогда произведение RNxNxJf.
а) Пусть и — инъективное линейное отображение х -»(х, х) про-
простраиства Е в монтелевское пространство F= Р X Q- Показать, что и
непрерывно и М = и (Е) замкнуто в F; вывести отсюда, что fu есть
гомоморфизм /•" на tu{P/) при слабых и сильных топологиях. [Исполь-
[Использовать предложение 4 и упражнение 36.] Показать, что N = *и (/")
всюду плотно и не замкнуто в Е' как при слабой, так и при сильной
топологиях. [Заметить, что *и есть отображение (у', г') -*¦ у' -\- z'
произведения Р' X Q' в ?'.]
б) Вывести из а), что факторпространство полиого простраиства F'
(наделенного сильной топологией) по замкнутому подпространству М°
не полуполно (гл. III, § 3, упражнение 10), хотя F' и является строгим
индуктивным пределом последовательности метризуемых монтелев-
ских пространств.
в) Показать, что замкнутое подпространство М простраиства Р
не является ограниченно замкнутым, хотя Р и ограниченно замкнуто.
[Доказать, что пространство, сопряженное к М, не полно в сильной
топологии.]
г) Пусть х1 — элемент из Е', не принадлежащий N = *и (F'), и для
каждого у ?М пусть \v{y) = {х, х'), где и (х) = у. Показать, что
сужение v на каждое ограниченное множество из М непрерывно
в ослабленной топологии, но v не непрерывно в топологии, иид^ци-

СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 261
руемой из F. Вывести отсюда, что L = v @) есть векторное] "Подпро-
"Подпространство сопряженного F к Ff, пересечение которого с каждым замкну-
замкнутым ограниченным (а следовательно, слабо и сильно компактным) множе-
множеством из F замкнуто и которое тем не менее не замкнуто в F (см. § 2,
теорема 5).
*11 а)-Пусть ?— пространство Фреше, на котором не существует
непрерывной нормы. Показать, что в ? содержится бесконечномерное
подпространство минимального типа (§ 1, упражнение 13), тем самым
обладающее топологическим дополнением в Е. [Пусть (Vn) — строго
убывающая фундаментальная система окрестностей нуля в ? и (хп) —
последовательность точек из Е такая, что хп& Vn+1 и прямая, про-
проходящая через 0 и хп, содержится в Vn, причем хп линейно незави-
независимы. Показать, что замкнутое векторное подпространство, порожден-
порожденное точками хп, обладает требуемым свойством.]
б) Пусть Е—пространство Фреше, топология которого не может
быть определена одной нормой, но определяется возрастающей после-
последовательностью (рп) норм. Пусть Vn—окрестность нуля, определяе-
определяемая неравенством рп(х)^\, и А'п = V°n — ее поляра в Е'\ можно
предполагать, что Ап+1 не содержится в векторном подпространстве
пространства Е', порожденном множеством Ап (§ 2, упражнение 12в).
Пусть (лгп) — последовательность точек из Е' такая, что хп ? Ап и хп
не принадлежит векторному подпространству, порожденному множе-
множеством Ап_х. Показать, что векторное подпространство М', порожден-
порожденное последовательностью (хп\ слабо замкнуто [§ 2, теорема 5] и не
обладает топологическим дополнением в слабом сопряжённом к Е.
[Принять во внимание, что если бы существовал .слабо непрерывный
проектор и' пространства Е' на М', то и' {А.'^, в силу теоремы Бэра,
содержалось -бы в одном из множеств М'(]Ап, и получить отсюда
противоречие с тем, что А[ слабо тотально в Е'.\ Вывести отсюда,
что подпространство М'° пространства Е не обладает топологическим
дополнением.
в) Пусть Е—пространство Фреше, топология которого не может
быть определена одной нормой. Показать, что если Е не изоморфно
произведению банаховских пространств, то в ? содержится замкнутое
векторное подпространство, не обладающее топологическим дополне-
дополнением. [Рассуждать от противного. Пусть (Рп)п > i — возрастающая
последовательность полунорм на Е, определяющая топологию этого
пространства, Fn—Pn@) и En+i — топологическое дополнение
kF»+i относительно Fn (полагаем E = F0); используя б), показать,
что Еп+1 — банаховское пространство и Е изоморфно произведению
пространств Еп (л^>1); использовать теорему 1 § 3 гл. I.]
*12fa) Пусть ? и F—пространства Фреше, G—отделимое локально
выпуклое пространство, ?', F' и G' — их сопряженные и а — билинейное

262 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
отображение E'y^F' в G', раздельно непрерывное (гл. III, §4, п° 1),
когда Е', F' и G' наделены слабыми топологиями а (?', Е), о {F', F)
и а (G', G). Показать, что а есть непрерывное отображение E'XF' в G'
при наделении Е', F' и G' сильными топологиями. [Полагая {г, и{х/, у'))=
=(vs(x'), у'), где 2€ G и v3(x/)?F, показать сначала, что множество,
пробегаемое v3, когда г пробегает ограниченное множество С из G,
равностепенно непрерывно при наделении Е' сильной топологией,
a F — исходной; использовать для этого упражнение 8г. Затем пока-
показать, что в Е' существует сильная окрестность нуля V' такая, что
объединение множеств vs(V), где г пробегает С, ограниченно в F'
использовать для этого упражнение 5 § 2 гл. III.]
б) Дать пример нарушения справедливости заключения из а) при
предположении Е пространством Фреше, a F — строгим индуктивным
пределом последовательности пространств Фреше. [См. гл. III, § 4,
упражнение 5.]
§ 5. Двойственность банаховских пространств
Принимая во внимание важность банаховских пространств, мы
в этом параграфе заново изложим для них результаты, полученные
в предыдущих параграфах, и пополним эти результаты некоторыми
свойствами, специфичными для банаховских пространств.
/. Слабая и сильная топологии в сопряженном к нормиро-
нормированному пространству
Пусть Е— нормированное пространство и Е— банаховское про-
пространство, получающееся путем его пополнения. Как известно, про-
пространство Е', сопряженное к Е, канонически отождествимо (как не
топологическое векторное пространство) с сопряженным к Ё; кроме
того, сильная топология в Е' (рассматривается ли оно как сопря-
сопряженное к Е или к Е)—одна и та же и •определяется нормой
||*'||= sup |(*. *')|= sup |(*. *01 A)
а>.? В, ||<вЦ< 1 х g В", ||а>[|< 1
(гл. III, § 3, п° 3). Напротив, при Ё Ф Е- слабые топологии о (Е', Е)
и а(Е', Е) различны (§ 1, следствие 3 предложения 1).
Замечания. 1) Пусть А — всюду плотное подмножество шара
||jr||^l (относительно исходной топологии пространства Е). Вслед-
Вследствие непрерывности х', из A) вытекает, что также
sup|<*, x')\.
?А

/ ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 2бЗ
В частности, в последних двух членах в A) можно знаки ^ за-
заменить на <[.
2) Если Е бесконечномерно, то слабая топология о(?', Е) слабее
сильнойтопологиипространства Е'. Действительно, для любой конечной
последовательности точек («»I^j^n из Е существует х'фО в Е'
такое, что {а{, х') = 0 A</<л) (Алг., гл. II, § 4, теорема 1). При
этом можно предполагать, что \\х'\\ =1. Это показывает, что О
является в Е' слабой точкой прикосновения к сфере, заданной урав-
уравнением || г'11 =1, тогда как эта сфера замкнута в сильной топо-
топологии.
Формула A) показывает, что
| (*.*') К 11*11 11*1 B)
для любых х?Е, х?Е' и, следовательно, каноническая билинейная
форма (х, х') —>¦ (х, х') непрерывна на Еу,Е', когда Е и Е' наде-
наделены своими нормированными топологиями (см. § 3, упражнение 2).
Замечания. 1) Так как (кх, х') = X {х, х'), то можно также
написать
IIjc'H = sup \{х, х')\
?Е |И1
sup
It* II
что представляет собой уточнение формулы B). Точно так же, каково
бы ни было множество D, всюду плотное в ? (в исходной топологии)
и не содержащее начала, но непрерывности имеем
IU'U= sup
\\X\\
2) Если Н—замкнутая гиперплоскость в Е, определяемая уравне-
уравнением {х, х/) = а (х'фО), то расстояние от 0 до Я задается форму-
формулой
d
Действительно, в силу формулы B), для каждого х?Н имеем
;> ' f ; с другой стороны, для каждого п существует уп такое, что
II х ||
НУ»Н =1 и {у„, JC/>>||JC/||(l-i); пусть {уп, х') = Хп ил:„ = -^;
тогда хп.?Н и ||jcn|| = " | < ; -^ , и наше утверждение
доказано.

264 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
Напомним, что в силу метризуемости пространства Е его исход-
исходная топология есть топология Макки х (Е, Е') (§ 2, предложение 6).
Пространство Е', наделенное сильной топологией, будучи метри-
зуемым и квазиполным, полно (§ 3, предложение 3); иными словами,
это — банаховское пространство. Так как полярой в Е' шара
|| х || -^ 1 пространства Е служит шар ||лг'||<^1, то равностепенно
непрерывные множества в Е' — это сильно ограниченные множества.
Следовательно (§ 2, предложение 2):
Предложение 1. В пространстве Е', сопряженном к нор-
нормированному пространству Е, каждый замкнутый шар компак-
компактен в слабой топологии а (?', Е).
Напомним, что метризуемое топологическое пространство назы-
называется пространством счетного типа, если в нем содержится
счетное всюду плотное множество (Общ. топ., Рез., § 1, п° 14).
Предложение 3 § 2 и его следствие показывают, что:
Предложение 2. В пространстве Е', сопряженном к нор-
нормированному пространству Е счетного типа и наделенном сла-
слабой топологией с (С, Е), каждый замкнутый шар есть метри-
метризуемое компактное пространство и содержит всюду плотное
счетное множество.
Если Е — банаховское пространство, то оно бочечно (гл. III, §1,
следствие предложения 1), так что каждое множество в Е', ограни-
ограниченное в слабой топологии о (Е\ Е), также сильно ограниченно; по-
поэтому можно говорить просто об ограниченных множествах в Е',
не уточняя—в какой топологии.
Отметим, что еели Е — не бочечное нормированное пространство,
то в Е' имеются слабо ограниченные множества, не являющиеся сильно
ограниченными (§ 2, упражнение 9а).
Предложение 3. Пусть Е — банаховское пространство. Для
того чтобы векторное подпространство М' сопряженного про-
пространства Е' было замкнутым в топологии а (Е', Е), необходимо
и достаточно, чтобы было замкнуто в этой топологии его пе-
пересечение с шаром \\х'\\-^ 1.

2 ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНДХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 265>
Это—не что иное, как теорема 5 § 2, примененная к банахов-
скому пространству (поскольку каждое равностепенно непрерывное
множество из Е' содержится в некотором гомотетичном образе шара:
Следствие 1. Пусть Е — банаховское пространство. Для того-
чтобы линейная форма и на сопряженном пространстве Ег
была непрерывной в слабой топологии а(Е', Е), необходимо и
достаточно, чтобы было непрерывно в этой топологии ее суже-
сужение на шар И*'И-^ 1.
Следствие 2. Пусть Е—банаховское пространство счет-
счетного типа. Для того чтобы линейная форма и на сопряженном
пространстве Е' была непрерывной в слабой топологии а(Е', Е)у.
необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности
(хп) в Е'', сходящейся в этой топологии, имело место равенство*
lim и (х'п) = и (lim x'n).
Действительно, шар ||*'||<^ 1 является в топологии о{Е', Е)<
метризуемым компактным пространством (предложение 2) и справед-
справедливость утверждения вытекает из следствия 1 (см. Общ. топ., Рез.,.
§ 6, п° 2).
2. Второе сопряженное к нормированному пространству.
Рефлексивные банаховские пространства
Так как сильное сопряженное ?' к нормированному простран-
пространству Е есть банаховское пространство, то его сильное сопряженное
Е" — также банаховское, с нормой
||*» ||= sup |(*', *»)]. C>
х'^Е', ||<в'||<1
Как известно (§ 3, п° 3), Е можно отождествить (как не топо-
топологическое векторное пространство) с некоторым подпространством
пространства Е". Но здесь не только топология, индуцируемая в Е
сильной топологией пространства Е", совпадает с исходной тополо-
топологией пространства Е, но и сужение на Е нормы ||*"||, определенной?
формулой C), совпадает с нормой, заданной на Е; иными словами::

266 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
Предложение 4. Пусть Е— нормированное пространство и
Е' — его сопряженное. Для каждого х?Е имеем
||*||= sup \(x, х')\. D)
Действительно, так как шар ||д;||^ 1 в Е замкнут, а его поля-
полярой в Е' служит шар ||jc'||-^ 1. то предложение 4 выражает, что
шар ||х||<! 1 есть поляра в Е шара ||*'||-^ 1 (§ 2, следствие 2
предложения 4).
Следствие. Если Е — счетного типа, то в Е' существует
последовательность (ап) такая, что
\\х \\ = sup ?-?—
" " п \\aj
¦для всех х?Е.
Действительно, шар \\х'\\ <С 1 в ?" является в топологии а(Е',Е)
метризуемым компактным пространством (предложение 2), так что
в этом шаре существует всюду плотная в этой топологии последо-
последовательность ненулевых точек (ап) (Общ. топ., Рез., § 3, п° 12;
гл. IX, § 2, п° 7). Пусть х ? Е. Ясно, что для каждого х' ? Е'
с || л:'|| ^ 1 Имеет место неравенство [ {х, х') |^ sup | (х, ап) |. А тогда
» ,
/ I <¦*. ап) I
¦формула D) показывает, что ||д;|| -^ sup | (х, ап) | ^ sup -, .
п п II яп ||
Противоположное неравенство очевидно.
Предложение 5. Пусть Е — нормированное пространство.
Его шар ||*|K 1 плотен в шаре ||У||< 1 второго сопряжен-
мого Е" в слабой топологии е(Е", Е').
Действительно, пусть В — шар ||д;||-^ 1 пространства Е (рас-
(рассматриваемого как подпространство в Е"). Шар ||jc"||^ 1 простран-
пространства Е" является полярой В°° для В" (относительно двойственности
между Е" и f), так что справедливость утверждения следует из
предложения 3 § 1.
Банаховское пространство Е замкнуто в Е" в сильной тополо-
топологии, но, в силу предложения 5, всюду плотно в Е" в слабой топо-
топологии а(Е", Е').

3 ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 267
Приведенное выше предложение 4 и теорема 2 § 3 показывают,
что:
Предложение 6. Для того чтобы нормированное простран-
пространство Е было рефлексивным, необходимо и достаточно, чтобы
его шар \\x\\ ^ 1 был компактен в ослабленной топологии а(Е, Е').
Отметим, что в этом случае Е необходимо полно, и, значит,
есть банаховское пространство, и что его сопряженное Е' есть реф-
рефлексивное банаховское пространство (§ 3, предложение 5).
Пусть ? = 3%?(N) — подпространство банаховского пространства
<$ (N) всех ограниченных последовательностей вещественных чисел
(гл. I, § 1, п° 2, пример), образованное из всех последовательностей,
стремящихся к нулю. Е—не рефлексивное банаховское пространство,
сопряженное В к которому отождествимо с пространством Ll (N) всех
абсолютно суммируемых последовательностей (там же), а второе со-
сопряженное Е"— с пространством <$ (N) (см. упражнение 3).
В гл. V мы рассмотрим бесконечномерные рефлексивные банахов-
ские пространства особенно важного типа; некоторые другие рефлек-
рефлексивные банаховские пространства встретятся в теории интегрирования
(Интегрир., гл. V).
3. Непрерывные линейные .отображения нормированного про-
пространства в локально выпуклое пространство
Предложение 7. Пусть Е—нормированное пространство,
F— локально выпуклое пространство и и — линейное отображе-
отображение Е в F. Следующие свойства равносильны:
а) и непрерывно при исходных топологиях;
б) и непрерывно при ослабленных топологиях о (Е, Е') и о (F, F');
в) образ шара \\x\\ -^ 1 при отображении и ограничен в F.
Равносильность свойств а) и б) следует из предложений 6 и 7 § 4,
поскольку исходная топология в Е есть т(?, Е').
С другой стороны, утверждение, что надлежащий гомотетичный
образ шара ||л;[|^1 переводится отображением и в любую окрест-
окрестность нуля W пространства F, очевидно, означает, что и непрерывно
(см. гл. III, § 2, упражнения 14 и 15).
При выполнении условий предложения 7 сопряженное отображе-
отображение *и есть, как известно, отображение F' в Е', непрерывное,

268 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
с одной стороны, при слабых топологиях a (F', F) и а (Е', Е), а с дру-
другой — при сильных топологиях в F' и Е' (§ 4, следствие предложения 6)_
Если также F—нормированное пространство, то этот результат
допускает следующее уточнение:
Предложение 8. Пусть Е и F—нормированные простран-
пространства и и — непрерывное линейное отображение Е в F. Тогда
Действительно, по определению (гл. III, § 3, п° 1, формула B) >
и принимая во внимание формулы A) и D) и определение сопря-
сопряженного отображения, имеем:
||««||= sup ||««(/)||= sup \{х, *«(/)>] =
fe'lKl 1М1<1 1|'Ц<1
= sup | («(*), у) |= sup ||а(*)|| = ||а||.
Цац < 1, \\у'\\ < 1 IHll < 1
Замечание. Положим В (х, у')={и{,х), у') = {х, *и (у'))~
Проведенное сейчас доказательство показывает, что В есть непрерыв-
непрерывная билинейная форма на ? X F¦> причем (Общ. топ., гл. X, § 2, п° 2>
II В II —¦ Ц СЕ И .
4. Сопряженное к подпространству и факторпространству
нормированного пространства
Пусть Е—нормированное пространство, М — его замкнутое век-
векторное подпространство, F — факторпространство Е/М и tp — кано-
каноническое отображение Е на F; как известно, фактортопология топо-
топологии пространства ? по Ж может быть определена нормой ||_у|| =
= inf ||л: || (гл. II, § 5, п°5). *<р есть тогда взаимно однозначное
линейное отображение пространства F' на подпространство М° про-
пространства Е', ортогональное к М (§ 4, п° 1, замечание 2). Кроме
того:
Предложение 9. Отображение *ср есть изометрия про-
пространства F'', сопряженного к нормированному пространству
F = E/M, на подпространство М° нормированного простран-
пространства Е'.

¦* ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 269
Действительно, для каждого / ? F' имеем
ЛУ11= sup |(у./>| = sup |(«р(*)./)| =
= sup |(*. ««р 0")) |.
а>ей ||т(а;)||<1
Но открытый шар ||.у||<1 пространства F есть образ открытого
шара ||л:||<1 пространства Е при каноническом отображении ср;
лоэтому имеем также
ц/ц= sup | (*.«?</)> | = II (<р ООН.
и предложение доказано.
Пусть теперь ф — каноническое отображение подпространства М
в Е. Его сопряженное *ф есть линейное отображение ?' на Ж',
имеющее своим ядром подпространство Ма пространства Е, орто-
ортогональное к М (§ 4, п° 1, замечание 2). Пусть 8 — каноническое
отображение Е' на Е'/М°_и фх — ассоциированное с *ф взаимно одно-
однозначное отображение, определяемое формулой *ф = ф1о6.
Предложение 10. фх еоиь изометрия банахо'вского простран-
пространства Е'/М" на банаховское пространство М'.
Нужно доказать, что для каждой непрерывной линейной формы
/ на М имеет место равенство ||/|| = inf ||jc'||. Но так как
— сужение линейной формы х' на М, то из формулы A)
сразу следует, что ||*ф(л:')|| -^Цл/Ц. С другой стороны, в силу тео-
теоремы Хана — Банаха (гл. II, § 5, следствие 1 теоремы 1, и § 6, след-
следствие 3 теоремы 1), на Е существует непрерывная линейная форма z',
продолжающая / и такая, что \\z'\\ = ||/||; так как *ф(г') = /. то
это и завершает доказательство нашего утверждения.
Предложение 11. Замкнутое подпространство М и фак-
торпространство Е/М рефлексивного банаховского простран-
пространства Е являются рефлексивными банаховскими пространствами.
Действительно, из предложений 9 и 10 вытекает, что сильное
сопряженное к замкнутому векторному подпространству М каждого
•банаховского пространства Е может быть отождествлено с фактор-
пространством Е'/М° сильного сопряженного Е' к Е, а второе

270 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5.
сопряженное к Ж — с подпространством Мх второго сопряженного Е""
к Е, ортогональным к М°. Если поэтому Е рефлексивно, то Жх = М
(§ 2, следствие 2 предложения 4), и, следовательно, М рефлексивно,,
как и его сопряженное E'jM0. Так как тогда Е' рефлексивно и
имеет своим сопряженным пространство Е, то проведенное рас-
рассуждение, примененное к М°, показывает, что и EjM рефлексивно.
Упражнения. 1) Пусть Е — банаховское пространство.
а) Показать, что расстояние d (х, А) от точки х ? Е до замкнутого^
выпуклого множества А есть полунепрерывная снизу функция на Е
в топологии а (Е, Е').
б) Показать, что если Е рефлексивно, то в каждом замкнутом вы-
выпуклом множестве AczE существует точка х0, для которой \\хо\\'
равно расстоянию от 0 до А. [Использовать то обстоятельство, что
||лг|| полунепрерывна снизу в топологии а (?, ?').] Если каждая гра-
граничная точка шара ||jc||<;1 является его экстремальной точкой
(гл. II, § 4, п° 2), то точка х0 единственна.
в) Вывести из а) и б), что если Е рефлексивно и В — ограничен-
ограниченное замкнутое выпуклое множество в Е, то существуют точки х ? А
и у ? В, для которых || jc — у || =d(A, В).
2) Пусть Е — банаховское пространство и М — его замкнутое
векторное подпространство. Показать, что если М и Е/М рефлексивны,
то Е рефлексивно. [Показать, что для каждой непрерывной линейной
формы и на сильном сопряженном Е' к Е существует элемент х ? Е
такой, что и (х/) — {х, х') = 0 для всех точек х' ? М°.\
3) Пусть А — бесконечное множество.
а) Показать, что сильное сопряженное к банаховскому простран-
пространству ? = з%?(.4) (§ 1, упражнение 1) отождествимо с банаховским.
пространством &(А), а сильное сопряженное к L1 (А) — с банаховским
пространством <%? (Л)= Lm (А). Вывести отсюда, что ? не рефлексивно-
и Е"/Е бесконечномерно*). Если А = N, то Е и Е' — банаховские
пространства счётного типа, но Е" уже не есть пространство счетного-
типа. [Гл. I, § 2, упражнение 8.]
б) Пусть х' = (х' (я) )а€^ —точка из ?'= L1 (Л) такая, что 11*41 =
= 2 I х' (я) I = ^ и jc* (а) =? 0 для бесконечного множества индексов
а
а ? А. Показать, что в слабой топологии а (?', ?) не существует за-
замкнутой опорной гиперплоскости к (компактному) шару 5', определяе-
определяемому неравенством ||у'|| < 1, проходящей через точку х'.
*) Пример не рефлексивного вещественного банаховского простран-
пространства Е, для которого E"jE одномерно и Е изоморфно Е", см. в работе
R. С. James, Ann. of Math., т. 52 A950), стр. 518.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 271.
в) Пусть 5" — шар || х" || < 1 в Е" => L°° (А) и S'q — выпуклое
множество S"-\-(S" (] Е). Показать, что 50 есть ограниченное выпук-
выпуклое тело при сильной топологии в ?", но не обладает ни одной экс-
экстремальной точкой; вывести отсюда, что Е", наделенное нормой р,
где р{х") — калибровочная функция множества 50, не изометрично
никакому сопряженному банаховскому пространству и что 50 не замк-
замкнуто в а (?", ?') (хотя 5" компактно в а (?", ?'), a S"[\E сильно
замкнуто).
* 4) Сохраним обозначения упражнения 3.
а) Показать, что если (хп)— последовательность в ?', стремя-
стремящаяся к нулю в топологии <з (?', ?"), то для всякого е ]> 0 существует
конечное множество На А такое, что 2 1Лгп(аI^? Для каждо-
го п. [Рассуждать от противного: показать, что если бы это свойство
не имело места, то существовали бы число 5 ^> 0, возрастающая по-
последовательность номеров (Пк) и возрастающая последовательность (//&)
конечных множеств из А такие, что i ] х'п (а) | ^ — для всех
п>пк, 2 | х (а) | < -^ для всех п < пк и
^>~ст, и что это приводило бы к противоречию („метод скользящего
горба")]. Вывести отсюда, что последовательность (х'п) сходится к.
нулю в сильной топологии.
б) Вывести из а), что каждое множество в Е', компактное в тополо-i
гии <з (?', ?"), сильно компактно. [Использовать упражнение 136 § 2.]
в) Показать, что в ?' каждая последовательность Коши относи-
относительно топологии а (?', Е") сходится к некоторой точке, иначе говоря,
что ?' в топологии а(?', Е") полуполно (гл. III, § 3, упражнение 10).
(Рассуждая от противного, как в а), и используя а), показать, что для
всякого е]>0 существует конечное множество На А такое, что
2 I хп (а) I ^ Е для кажД°г0 п-\
*5) Сохраним обозначения упражнения 3 и пусть Е" — сопряжен-,
ное к Е"' = <$ {А).
а) Пусть (Кп) — последовательность попарно не пересекающихся
конечных множеств из Л и (хп) — последовательность элементов из.
Е". Показать, что существует строго возрастающая бесконечная по^
следовательность номеров (л^) такая, что все элементы уп =
= {хп (е«) )арв ¦ где ^ = U ^"* и е" ^ = °а? (кронекеровский;
к

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
символ), принадлежат. L1 (В). [Пусть о — произвольное число ]> 0 и
(/m)»»gN — разбиение N на бесконечные множества. Рассуждая от
лротивного, показать, что для каждого х'" ? Е" существует номер m
такой, что | (х", х'") | <5 для всех х"^Е', удовлетворяющих усло-
,виям ||jc"|| <; 1 и х" (а) Ф 0 лишь для индексов а? [J Кп- Надле-
жащим образом применить этот результат последовательно к
х)
б) Вывести из а) и упражнения 4а, что если (хп)—-последова-
(хп)—-последовательность в ?"', сходящаяся к нулю в топологии а (?"', ?")> и хп —
сужение хп на сильно замкнутое подпространство Е пространства Е",
то lim || ~х"' || = 0 в ?'.
И -> ТО
в) Вывести из б), что в Е" сильно замкнутое подпространство Е
не обладает топологическим дополнением. [Ограничиться случаем
А — N; пусть (еп) — последовательность непрерывных линейных форм
на ?, для которых (х, еп) = х (л); показать, что последовательность
{еп) сходится к нулю в топологии а (?', ?), но еп не могут быть про-
продолжены до непрерывных линейных форм хп на Е" так, чтобы по-
последовательность (хп) сходилась к нулю в топологии а (?'", ?").]
6) Показать, что банаховское пространство ?, обладающее силь-
сильным сопряженным Е' счетного типа и полуполиое (гл. III. § 3, упраж-
упражнение 10) в топологии а (?, ?'), рефлексивно. [См. упражнение 4в. ]
7) Пусть Е—банаховское пространство и G' — сильно замкнутое
подпространство пространства ?', являющееся в сильной топологии
пространством счетного типа. Показать, что G' изометричио сильно
замкнутому подпространству пространства F', сопряженного к замк-
замкнутому подпространству F пространства ?, порожденному некото-
некоторым счетным множеством точек из Е. [Предположим, что (хп) —
сильно плотная последовательность точек из G', и пусть хп?Е для
каждого п таково, что ||*п|| <1 и (хп, х'п) = П — — J \\ х'п\\; пока-
показать, что сильно замкнутое подпространство F пространства ?, поро-
порожденное точками хп, обладает требуемым свойством.]
*8) Пусть Е — банаховское пространство и В — шар ||аг||^1 в ?.
Для того чтобы каждая точка из В обладала счетной фундаментальной
системой окрестностей в топологии, индуцируемой в В ослабленной
топологией <з (?, Е'), необходимо и достаточно, чтобы Е' было в силь-
сильной топологии пространством счетного типа. [Для доказательства не-
необходимости условия приня-ть во внимание, что если каждая точка
р В обладает счетной фундаментальной системой окрестностей в ослаб-

ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНКОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 273
ленной топологии, то это же имеет место и в замыкании В°° множе-
множества В в Е" по топологии а (?", ?'); тогда в ?' существует последо-
последовательность (ап) такая, что каждая окрестность нуля в В°° для
топологии а (?", ?') содержит пересечение В°° с конечным числом
поляр {ап} ; рассмотреть сильно замкнутое подпространство W в Е'
порожденное точками а'п, и подпространство W'° в ?", ортогональное
к W'.\
*9) Пусть ? — нерефлексивиое банаховское пространство. Дока-
Доказать, что в ? существует нерефлексивное замкнутое подпростран-
подпространство М бесконечной факторразмерности. [Пусть (хп) — ограниченная
последовательность в ?, не обладающая в ослабленной топологии
о (?, ?') ни одной предельной точкой (§ 3, упражнение 7а); образо-
образовать по индукции подпоследовательность (х„к) и топологически сво-
свободную последовательность (ук) такие, что || х„к— Уй11<!-г-, и рас-
рассмотреть замкнутое векторное подпространство в ?, порожденное
точками yvjc-]
*10) Пусть ? — нерефлексивное банаховское пространство счет-
счетного типа, М — нерефлексивное замкнутое векторное подпространство
в ?, имеющее бесконечную факторразмерность (упражнение 9), (хп) —
всюду плотная на сфере ||лг|| =1 последовательность ее точек и К—
замкнутая уравновешенная выпуклая оболочка последовательности
I—— J; К сильно компактно в ? и К.-{- М — А есть замкнутое выпук-
выпуклое множество [Общ. топ., гл. Ill, § 3, упражнение 15B8).] Пусть
5 — шар ||лг||<1 пространства ?и В — A[]S.
а) Показать, что 0 не есть внутренняя точка множества А, и
вывести отсюда существование точки х0 ? ? такой, что Хаг0 (? А для
всех Х]>0. [См. гл. III, § 1, следствие предложения 1.]
б) Показать, что через 0 не проходит ни одной опорной гипер-
гиперплоскости к В. [Принять во внимание, что такая гиперплоскость дол-
должна была бы служить опорной гиперплоскостью для /?]
в) Пусть U0 = Mf\S и (Un)n > 1 — убывающая последовательность
непустых ограниченных замкнутых выпуклых множеств такая, что
UiCZ -к- Uu и пересечение всехUnпусто (§ 3, упражнение 7а). Пусть
С — замкнутая выпуклая оболочка объединения всех множеств — х0 -\-
-\- Un. Показать, что Bf\C = О, но не существует никакой замкнутой
гиперплоскости, которая бы отделяла В и С. [Использовать б).]
*11) Пусть ? и F — баиаховские пространства и « — непрерывное
линейное отображение ? в F. Показать, что если *« есть гомоморфизм
F' в Е' при сильных топологиях, то и есть гомоморфизм ? в F. [Ис-
[Использовать предложение 4 § 4 и теорему 5 § 2.]

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV. § 5
*12) Пусть Е и F—нормированные пространства и «— непре-
непрерывное линейное отображение ? в F.
а) Показать, что если и — гомоморфизм Е в F, то *« — гомомор-
гомоморфизм F' в Е' при сильных топологиях. [См. § 4, предложения 4 и 9,
и гл. I, § 3, теорема 1.]
б) Показать, что если Е полно и % — гомоморфизм F* в Е' при
сильных топологиях, то и — гомоморфизм Е в F, а % — гомоморфизм
F' в Е' при слабых топологиях. [Рассматривать F как подпространство
его пополнения F и использовать упражнение 11.]
в) Дать пример, где Е не полно, F полно, % — изоморфизм F'
в Е' при сильных и слабых топологиях, но и не есть гомоморфизм Е
в F. [См. гл. 11, § 5, упражнение 12.]
г) Дать пример, где Е не полно, F полно, % — изоморфизм F'
в Е' при сильных, но не при слабых топологиях, и и — изоморфизм Е
в F. [Взять Е всюду плотным в F.]
д) Если F полно и *« — гомоморфизм F' в Е' при слабых топо-
топологиях, то *« есть гомоморфизм F' в Е' при сильных топологиях.
[Принять во внимание, что и (?) замкнуто в F, и продолжить к на ?.)
е) Дать пример, где Е полно, F не полно и % — изоморфизм F'
в ?' при слабых, но не при сильных топологиях. [См. гл. II, § 5,
упражнение 12.]
13) Пусть Е—бесконечномерное банаховское пространство, (ап) —
счетное свободное семейство точек в Е, Fn — подпространство в Е раз-
размерности п, порожденное точками а,- с индексами i <! п, Sn — сфера
—п в ? и Ап — конечное множество в Snf\Fn такое, что ка-
каждая точка 43Snf\Fn отстоит от него на расстояние •<—;. Показать,
что пересечение множества А = KJAn с каждым ограниченным
п
множеством замкнуто и, однако, 0 есть точка прикосновения для А
в ослабленной топологии *).
*14) Пусть Е — банаховское пространство, 5 — шар ||*|| <1 в Я
и 5^. — шар || х' || < г в ?'.
а) Пусть М1 и М'2 — векторные подпространства пространства ?',
всюду плотные в слабой топологии а (?', ?). Для того чтобы а (?, М^) и
а (?, М2) индуцировали в 5 одну и ту же топологию, необходимо и
достаточно, чтобы сильные замыкания М[ и М'2 в Е' совпадали.
б) Пусть М' — векторное подпространство в ?', всюду плотное
в топологии <з (?', ?); обозначим через М'О) векторное подпространство,
порожденное замыканием множества М'{\S[ в Е' в топологии а (?',?).
Для того чтобы М'A) = ?', необходимо и достаточно, чтобы слабое за-
*) Этот (неопубликованный) результат сообщил нам М. Day.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНДХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 275
мыкание множества M'{]S[ содержало шар S'r (/">()). [См. гл. III,§1,
следствие предложения 1.]
в) Пусть г — верхняя грань чисел t таких, что слабое замыкание
множества M'QSl содержит шар St; r называется характеристикой
подпространства М'. Показать, что г есть нижняя грань чисел
sup
где х пробегает множество всех ненулевых точек из ?. [Использовать
теорему Хана — Банаха.]
г) Показать, что — равно верхней грани чисел ||аг||, где х про-
пробегает замыкание шара 5 в ? в топологии а (?, М'). [Использовать в)
и теорему Хана — Банаха.]
д) Пусть М'° — подпространство пространства Е", ортогональное
II х _|_ g ||
к М'. Показать, что г = inf — ———, где г" пробегает М'°, ах —
I! -^ II
множество всех ненулевых точек из Е. [Использовать в) и теорему
Хана — Банаха.] Вывести отсюда, что для того, чтобы M'W = ?', необ-
необходимо и достаточно, чтобы Е-{-М'° было сильно замкнуто в L".
[Использовать теорему 1 § 3 гл. I.]
е) Пусть Л= N X N, ?= е%Г (А) (упражнение 3) и Р — векторное
подпространство пространства Е" = $ (А), образованное точками х ¦=
= (хф такими, что xtj— . . для всех /^>0. Показать, что Р =
= М'°, где М' — векторное подпространство пространства» ?', всюду
плотное в топологии а (?', ?), но Е-\-М'°= Е-\-Р не являетсясилы:о
замкнутым в Е". Вывести отсюда, что характеристика М' равна нулю.
*15) Пусть ?—банаховское пространство и М' — сильно замкну-
замкнутое векторное подпространство пространства ?', всюду плотное в сла-
слабой топологии. М' называется неприводимым, если оно не содержит
никакого отличного от него векторного подпространства N', сильно
замкнутого и слабо всюду плотного в ?'.
а) Показать, что для того, чтобы М' было неприводимым, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы подпространство' М'° пространства Е", орто-
ортогональное к М', являлось топологическим дополнением к ? в Е"
(в сильной топологии). Вывести отсюда, что тогда М'(Ц = ?' (упраж-
(упражнение 14) и Е изоморфно сильному сопряженному к банаховскому
пространству М' (для структур топологического векторного простран-
пространства).
б) Показать, что для того, чтобы М' было неприводимым, необ-
необходимо и достаточно, чтобы единичный шар ||аг|| <; 1 пространства ?
был относительно компактен в ? в топологии а(?, М'). [Использовать
упражнение 14а.]

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. IV, § 5
в) Для того чтобы ? было изоморфно (по структурам топологи-
топологического векторного пространства) сильному сопряженному к банахов-
скому пространству, необходимо и достаточно, чтобы в ?' содержалось
неприводимое подпространство. Вывести отсюда, что банаховское про-
пространство e5?"(N) не изоморфно сопряженному ни к какому банахов-
скому пространству [См. упражнение 5в.]
16) Пусть Е — нерефлексивное банаховское пространство, Е' — его
сильное сопряженное, Е" — сильное сопряженное к ?', ?'" — сильное
сопряженное к Е" и ?iv — сильное сопряженное к Е1".
а) Показать, что в Е'" подпространство Е' и подпространство Е°,
ортогональное к Е (рассматриваемому как подпространство простран-
пространства Е"), топологически дополнительны и что проекция Е'" на Е' есть
непрерывное линейное отображение с нормой 1.
б) Показать, что ? есть топологическая прямая сумма подпро-
подпространств Е'° и Е", а также Е'° и ?°°, а Е" (] Е°° = Е. Пу.сть v — ли-
линейное отображение ? на себя, являющееся на Е'° тождеством, а на
Е" — проекцией Е" на Е°° параллельно ?'°; показать, что v есть изо-
метрия, но не непрерывно в топологии a(?IV, ?'")•
*17) а) Пусть ? — банаховское пространство и (ха)л^А — всюду
плотное на единичной сфере ||аг||=1 множество ее точек. Показать,
что линейное отображение и пространства Lx (Л) в ?, определенное
формулой и (О = "V t (а) аг„ для всех t — (t (a))af A ? Lx (Л), есть гомо-
морфизм 1Л(А) на ?. [Использовать теорему 1 § 3 гл. I.] Вывести
отсюда, что ? изоморфно факторпространству пространства L1 (А).
б) Получить из а) пример замкнутого подпространства простран-
пространства Z.1 (N), не обладающего топологическим дополнением в Z.1 (N).
[Использовать упражнения 3, 4в и 6.]
18) а) Показать, что каждое вещественное (соотв. комплексное)
банаховское пространство изометрично замкнутому подпространству
банаховского пространства вида G(S, R) (соотв. Q E, С)), образо-
образованного всеми вещественными (соотв. комплексными) непрерывными
функциями на некотором компактном пространстве 5 (Общ. топ., гл. X,
§ 5). [Использовать формулу D).]
б) Вывести из а), что каждое отделимое локально выпуклое про-
пространство ? изоморфно подпространству локально выпуклого простран-
пространства вида С ?,(/., R) (соотв. Q C(L, С), образованного всеми вещест-
вещественными (соотв. комплексными) непрерывными функциями на некото-
некотором локально компактном пространстве L и наделенного топологией
компактной сходимости. [См. гл. II, § 5, предложение 7.] В частности,
каждое пространство Фреше изоморфно замкнутому подпространству
пространства Q c (L, R) (соотв. Q c (L, С)), где L локально компактно
и счетно на бесконечности.
*19) а) Пусть ? —бесконечномерное (вещественное или комплекс-
комплексное) нормированное пространство. Показать, что оно содержит после-

ДВОЙСТВЕННОСТЬ БАНАХОВСКИХ ПРОСТРАНСТВ 277
довательность (хп) такую, что какова бы ни была ограниченная после-
последовательность скаляров (Х„), существует непрерывная линейная
форма х' на Е, для которой (хп, х') = 1п при всех п. [Образовать
последовательности {х'Л точек сопряженного пространства Е' и (хп)
точек из В такие, что \х^ х'^ = Ь^ и \\х'п\\ <2~".].
б) Для того чтобы отделимое локально выпуклое пространство Е
обладало свойством, указанным в а), необходимо и достаточно, чтобы
его пополнение ие было пространством минимального типа (§ 1, упраж-
упражнение 13). [Использовать предложение 7 § 5 гл. II и предложение 10
§ 2 гл. IV.]
*20) а) Пусть Е и F—бесконечномерные комплексные нормиро-
нормированные пространства и и — взаимно однозначное отображение Е на F,
полулинейное относительно автоморфизма а тела С и переводящее
каждую замкнутую гиперплоскость из ? в замкнутую гиперплоскость
в F. Показать, что автоморфизм <з необходимо непрерывен (и, следо-
следовательно, есть тождество или автоморфизм ?->!). [Рассуждать от про-
противного. Пусть (хп) — последовательность точек из Е, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию упражнения 19а, и (Хп) — ограниченная последователь-
последовательность комплексных чисел такая, что ] XJ, | !> п\\и (хп)\\ для всех п
показать, что если (х„, х') = \п для всех п и а — точка из Е, для
которой (а, аг')=1, то и (а) должно было бы принадлежать образу
замкнутой гиперплоскости х' @) при отображении и.]
б) Вывести из а), что и — непрерывное, полулинейное отображе-
отображение Е на F. [Воспользоваться предложением 7.]
в) Пусть а — разрывный автоморфизм тела С. Показать, что взаимно
однозначное отображение (?„)-*¦ (SJi) произведения CN на себя пере-
переводит каждую замкнутую гиперплоскость в замкнутую гиперплоскость.
[См. § 2, предложение 10.]
*21) Пусть я'"' для каждого целого п > 0 — двойная последова-
последовательность a'^ = (ai"^)i>i, ^>i> гДе a<tj'= У" Для каждой пары (/, /)
с /<л и а[") = I" для каждой пары (/, /) с/>п. Пусть ?—век-
?—векторное пространство всех таких двойных последовательностей аг= (X{j)
вещественных чисел, что />»»(*) = 2ai!? xij\<~-~^~cc для кажД°г0
целого п > 0; рп — полунормы, определяющие в Е топологию монте-
левского пространства Фреше (§ 3, упражнение 27); пространство ?',
сопряженное к Е, отождествимо с пространством всех последователь-
последовательностей х' = (*ij) таких, что sup а|"' -1 j лг,'^|< + оо хотя бы для
одного номера п (§ 1, упражнение 1в).
а) Для каждого х = (аг^) ? Е положим у3- = 2 xtj (Для всех J'^> *)•
г
Показать, что 2 I У} I < + °°- Обозначим последовательность (уj) g
€ Z.1 (N) через и (at); показать, что и — непрерывное линейное отобра-
отображение Е в /?=Z.1(N) и что какова бы ни была последовательность

ДВОЙСТВЕННОСТЬ ГЛ. V, § 5
у' — (у^) ?Fr = Z.~°(N), *«(у') есть последовательность (г^-) ? ?' та-
такая, что zij = уj для каждого /. Вывести отсюда, что % есть взаимно
однозначное линейное отображение L^°(S) на слабо замкнутое под-
подпространство пространства ?' и, следовательно, и — гомоморфизм ?
на /.'(N) при исходных топологиях (§ 4, упражнение 5), a tu — изо-
изоморфизм ¦/W = Z.=O(N) на '«(/") при слабых топологиях а (/", F) и
с (?',?).
б) Пусть Л1 = а @), так что Л1° = *« (/у). Показать, что прообраз
топологии, индуцируемой в М° сильной топологией из ?', относительно
отображения % есть топология равномерной сходимости на всех ком-
компактных множествах из F — Ll(N). [См. § 2, теорема 5 и § 5, упраж-
упражнение 4.] Вывести отсюда, что топология, индуцируемая в М° сильной
топологией из Е', отлична от сильной топологии 3 (М°, Е/М) и что
в топологии, которую индуцирует 3 (?', Е), М° не есть инфрабочечное
пространство, хотя Е', наделенное топологией J3 (?', ?), ограниченно
замкнуто и бочечно (см. § 3, упражнения 10, 20 и 22); в частности,
М° не рефлексивно. Показать, что в Е/М имеются ограниченные мно-
множества, не являющиеся образами никаких ограниченных множеств из
Е при каноническом отображении ? на Е/М.
22) а) Пусть а и Ь — две точки нормированного пространства Е.
Обозначая через о (А) диаметр ограниченного множества Ас: Е, опре-
определим по индукции последовательность (Вп)п>1 ограниченных мно-
множеств из ? следующими условиями: Bt есть множество тех х?Е, для
которых 11-с —а|| = ||лг—6Ц = 2"||а —ft||; Bn при л>1 есть мно-
множество всех х^Вп-! таких, что} ||х — у ||< - 5 (?rt-i) Для всех
у € -S»»—1- Показать, что пересечение всех множеств Вп сводится к точке
1 Г 1 Л
у (а -\-Ь). Принять во внимание, что 5 (Вп)^— Ь (Вп-^А
б) Вывести из а), что изометрия и вещественного банаховского
пространства Е на вещественное баиаховское пространство F есть
аффинное линейное отображение ? на Р.

ГЛАВА V
ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА*)
(Элементарная теория)
§ 1. Предгильбертовы и гильбертовы пространства
/. Эрмитовы формы.
На протяжении всей этой главы К означает тело вещественных
или комплексных чисел; ?->? означает тождественный автоморфизм
тела К, если K = R, и автоморфизм, относящий каждому комплекс-
комплексному числу 4, = a.-\-i$ сопряженное комплексное число \ = а. — ij3,
если К=С. Напомним следующее определение (Алгебра, гл. IX):
Определение 1. Пусть Е— векторное пространство над К.
Полуторалинейной эрмитовой формой (или просто эрмитовой
формой, или еще симметричной формой при K = R) на Е X Е (или,
допуская вольность речи, на Е) называется всякое отображение f
произведения Е X. Е в К, удовлетворяющее следующим условиям:
*2. y)=f{*v y)+f{*» У)' \
/(Хх, y) = \f(x, у),
f(X, [i_y) = \>-f(x, у).
f(x, y)=f(y, x). . C)
Заметим, что второе условие A) и второе условие B) являются след-
следствиями трех остальных.
*) Обращаем внимание читателя, интересующегося специально гильбер-
гильбертовыми пространствами, на то, что в этой главе, за исключением п° 6 § 1,
не применяются никакие результаты глав III и IV. Из материала же глав I
и II используются лишь определения выпуклого множества и полунормы
(гл. II, §§ 1, 5 и 6), а также понятия топологической прямой суммы (гл. I,
§ 1), тотального семейства и топологически свободного семейства (гл. I, § 2).
Все применяемые в п° 6 § 1 результаты, относящиеся к баиаховским про-
пространствам, изложены в § 5 главы IV, за исключением характеризации то-
Тальиого семейства (гл. IV, § 1, следствие 1 предложения 1).

280 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
Из A) и B) сразу следует, что
2v> 2tW) 2
j к I h ft
В частности, если Е конечномерно и (ej)i^j^n— его базис, то для
и п
х=2 heiи у — 2 ^^имеем
где a.j4=f(fij,ek)'i ПРИ этом тождество C) равносильно условию, что
о^ = ajy для каждой пары индексов /, к; из него, в частности, следует, что
все a}j вещественны.
В силу формулы C), f(x, x) для каждого х?Е вещественно.
При этом, как известно (Алг., гл. IX), значения формы f(x, у)
определяются значениями f(x, x) по формуле
. У)=/(х-\-У< х-{-у)—f(x—у, х—у), если AT=R, E)
-\-tf(x-\-ly, x-\-ty) — if(x — iy, x — ty), если АГ=С. F)
Замечание. Отметим, что формула F) справедлива для каждой полу-
торалинейной формы на Е X Е (т. е. каждой функции/, удовлетворяющей
условиям A) и B), но не обязательно удовлетворяющей условию C)). Это
показывает, что при /С=С полуторалинейиая форма /, для которой f(x, x)
вещественно при всех Х?Е, необходимо эрмитова, ибо формула F) дает
тогда /(у, х) = /(*, у), поскольку у + 1х == / (х — 1у).
Из формул E) и F) вытекает в частности:
Предложение 1. Пусть /—эрмитова форма на Е и М — век-
векторное подпространство в Е такое, что f(x, x) = 0 для всех
х?М. Тогда также f(x, y) = 0 для каждой пары точек х, у
из М.
Пусть /—эрмитова форма на Е. Множество N всех х?Е таких,
что f(x, y) = 0 для каждого у?Е, есть векторное подпростран-
подпространство в Е. Из формулы C) следует, что если xt^x2 (modN) и
У\ — Уг (modN), то f(xv yi)=f(x2, y2); таким образом, положив
f(x, y)=f(x, у) для каждого x?x?E/N и каждого y^'y^ElN,
мы получим на факторпространстве E/N полуторалинейную форму/;

2 ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 28!
ясно, что она эрмитова и из отношения я/(лг, у)^=0 для каждого
y?EjN" следует лг = О б E/N, иначе говоря (Алг., гл. IX), что f
не вырождена, f называется невырожденной эрмитовой формой,
ассоциированной с /.
2. Положительные эрмитовы формы
Определение 2. Эрмитова форма f на Е называется положи-
положительной, если f(x, х)^-0 для всех х?Е.
Ясно, что эрмитовы формы на векторном пространстве Е обра-
образуют векторное пространство над телом R (но не над телом С при
К=С). Из определения 2 следует, что положительные эрмитовы
формы образуют в этом пространстве выступающий заостренный-
выпуклый конус (гл. II, § 1, п° 4).
Предложение 2. Если f — положительная эрмитова форма,,
то
(*, x)f(y, у),
каковы бы ни были х и у?Е (неравенство Коши—Буняковского*)).
Предположим сначала, что f(y, у)фО. Для каждого \?К имеем
/Су.
или
fix, x)f{y, y) — \f(x, y)\2Jf
v, y)+f(x,
Положив в этом неравенстве ? = — х' у , получим G). Аналогично
рассуждаем, если f(x, х) Ф 0. Наконец, если f(x, x) = f(y, y) = 0,
то неравенство f(x-\-%y, x-\~%y)^0, справедливое для всех s
запишется в виде
Положив в этом неравенстве % = —f(x, у), получим —2\f(x,
откуда f(x, y) = 0 и, значит, снова верно G).
*) В оригинале: Коши—Шварца. — Прим. перев.

232 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
Следствие 1. Если f—положительная эрмитова форма, то
множество N всех тех х?Е, для которых f(x, лг) = О, сов-
совпадает с векторным подпространством всех х?Е таких, что
f(x, y) = 0 для каждого
Следствие 2. Для того чтобы положительная ярмитова
форма f была невырожденной, необходимо и достаточно, чтобы
¦для всех хфО выполнялось неравенство f(x, x) > 0.
Это непосредственно вытекает из следствия 1.
Ясно, что какова бы ни была положительная эрмитова форма /
«а Е, ассоциированная с ней невырожденная эрмитова форма / (п° 1)
-является положительной эрмитовой формой на E/N.
Предложение 3. Если f—положительная (соотв. невыро-
невырожденная положительная) эрмитова форма на Е, то функция
yf(x, x) есть полунорма (соотв. норма) на Е.
Требует доказательства лишь то, что Yf(x, x) «удовлетворяет
¦неравенству треугольника. Но
=f{x, x)+f(y, y)+f{x, y)-\-f(x, у)
m потому, согласно неравенству Коши—Буняковского,
(x, x)+f(y, y) + 2Vf{x, x)f(y, y) =
Замечания. 1) Пусть /—невырожденная положительная эрмитова
•форма и х, у — ненулевые векторы. Доказательство неравенства Коши—Бу-
¦няковского показывает, что если в G) имеет место равенство, то существует
•скаляр 5 такой, что f(x-\-Zy, х + ?>') = 0, так что x-\-Zy = 0; иначе говоря,
jc и у линейно зависимы; обратное очевидно. Доказательство неравенства (8)
показывает"тогда, что равенство Vf(x-\-y, х -\-у) = У/(х, х) -(- Yf(y> У)
•возможно лишь если хну линейно зависимы; если у = \х, то это равенство
дает |1-)-Х| = 1+|Х|, откуда следует, что X — положительное веществен-
вещественное число.
2) Пусть / — положительная эрмитова форма на ? и /—ассоциирован-
/—ассоциированная с ней невырожденная положительная эрмитова форма на E/N. Про-
Пространство, получаемое путем снабжения E/N нормой V f{x, у), есть нор-
нормированное пространство, ассоциированное с Е, снабженным полунормой
ТМгл. И, § 5, п° 5).

3 ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 283
-3. Предгильбертовы и гильбертовы пространства
Определение 3. Предгильбертовым пространством назы-
еается множество Е, наделенное структурой, определяемой за-
заданием в Е структуры векторного пространства над К и поло-
положительной эрмитовой формы. При A" —R (соотв. К = С) Е назы-
называется вещественным (соотв. комплексным) предгильбертовым
пространством.
Пример. Пусть /—интервал из R (ограниченный или нет) и Е—мно-
Е—множество всех правильных функций на R со значениями в С (Функц. вещ.
перем., гл. II, § 1, п° 3), обращающихся каждая в нуль вне некоторого ком-
компактного множества, содержащегося в /. Очевидно, Е—векторное простран-
пространство над С. Пусть /— полуторалинейная форма (л:, у) -*¦ I x (t) у (t) dt. Ясно,
I
что / есть положительная эрмитова форма на Е и, значит, определяет в Е
структуру предгильбертова пространства.
Когда в векторном пространстве Е рассматривается лишь одна
структура предгильбертова пространства, значение эрмитовой формы,
определяющей эту структуру, для пары точек (л:, у) из Е обозна-
обозначается (х\у) и называется скалярным произведением х и у (ска-
(скалярным квадратом х, если у = л:). Векторы х, у называются ор-
ортогональными, если (х\у) = 0. Функция || д-1| = |/"(дг | л:) есть тогда
полунорма на векторном пространстве Е (предложение 3); предгиль-
предгильбертово пространство всегда считается снабженным этой полунормой
(и, следовательно, наделенным соответствующими топологией и рав-
равномерной структурой).
При этих обозначениях неравенство Коши—Буняковского в пред-
предгильбертовом пространстве Е записывается в виде
1И.УI<1М111.У|| (9)
и показывает, что скалярное произведение есть непрерывная полу-
полуторалинейная форма на ? X ? (гл. II, § 5, предложение 8).
Для отделимости ? необходимо и достаточно, чтобы ||лг|| было
нормой на Е, иными словами, чтобы (л: | у) было невырожденной
положительной эрмитовой формой; то же самое можно выразить,
сказав, что 0 есть единственный вектор в Е, ортогональный
к самому себе.

284 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
Согласно общим определениям (Теор. мн., Рез., § 8), изомор-
изоморфизм предгильбертова пространства Е на предгильбертово простран-
пространство F есть взаимно однозначное линейное отображение и простран-
пространства Е на F такое, что
(и(х)\и(у)) = (х\у) A0>
для всех х и у из Е. Отсюда вытекает, что ||и(дг)|| = ||дг|| для всех
х?Е, причем и, очевидно, есть изоморфизм для структур вектор-
векторного пространства в Е и F; если Е и F отделимы, то и есть изо-
метрик Е на F.
Пример. Как известно (Алг., гл. IX), для каждой невырожден-
невырожденной положительной эрмитовой формы / на пространстве К" суще-
существует взаимно однозначное линейное отображение и этого простран-
п
ства на себя такое, что f(u(x), и (у)) = (л: | у) = 2 S»*»Ji (где ^ п
7j4—-соответственные координаты векторов х и у); форма (л:|_у) при-
/C=R есть не что иное, как евклидово скалярное произведение
(Общ. топ., гл. VI, § 2). Тем самым два отделимых вещественных
(соотв. комплексных) предгильбертовых пространства одной и той же
конечной размерности п всегда изоморфны. (В § 2, предложение 7,
мы увидим, как обобщается это свойство.)
Пусть Е — комплексное предгильбертово пространство и (х\у)—
скалярное произведение на Е. В множестве Е можно определить
вторую структуру векторного пространства относительно С, сохра-
сохраняя ту же групповую операцию и принимая за закон внешней ком-
композиции (X, х) — ~кх (Алг., гл. II, Приложение, п° 2); при этой
структуре векторного пространства (л:, у)—>-(у\х) есть положи-
положительная эрмитова • полуторалинейная форма. Предгильбертово
пространство Е^ получающееся путем наделения Е этой новой струк-
структурой векторного пространства и этой новой эрмитовой формой, мы
будем называть дуальним к пространству Е. Изоморфизм и про-
пространства Е на ?t есть полулинейное (относительно автоморфизма
$->? тела С) отображение Е на себя такое, что (и (у) | и(х)) = (х\у)
или, иначе, (и (х) | и (у)) = (х \у); такое отображение называется также
полуавтоморфизмом предгильбертова пространства Е.

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 285
Пусть Е— предгильбертово пространство и М — его векторное
подпространство. Сужение скалярного произведения (л: [.у) "а Му^М
есть положительная эрмитова фэрма на М и тем самым определяет
в М структуру предгильбертова пространства; говорят, что эта
структура индуцирована структурой предгильбертова пространства,
имеющейся в Е.
Определение 4. Гильбертовым пространством {или простран-
пространством Гильберта) называют полное отделимое предгильбертово
пространство.
Каждое отделимое предгильбертово пространство изоморфно всюду
плотному подпространству гильбертова пространства, определенного
с точностью до изоморфизма единственным образом. А именно:
Предложение 4. Пусть Е — отделимое предгильбертово про-
странство и Е — пополнение его как нормированного про-
странстча (Общ. топ., Рез., § 10, п° 28; гл. IX, § 3, предложе-
предложение 8). Скалярное произведение (х\у) продолжается по непре-
непрерывности до невырожденной положительной эрмитовой формы
на Ё X Ё, определяющей в Ё структуру гильбертова простран-
пространства.
Существование продолжения (х\у) на Е X Ё вытекает из непре-
непрерывности этой полуторалинейной формы на Е X Е (Общ. топ., Рез.,
¦§ 10, п° 15; гл. III, § 5, теорема 1). Кроме того, в силу принципа
продолжения тождеств, это продолжение, также обозначаемое нами
через (х\у), есть эрмитова полуторалинейная форма, удовлетворяю-
удовлетворяющая соотношению (л: | л:) = || л: ||2, где ||х||—норма на Ё, получен-
полученная путем продолжения по непрерывности нормы из Е; это показы-
показывает, что и в Ё из (jc|jc) = O следует л: = 0, так что (х\у) — не-
невырожденная положительная форма и, следовательно, определяет
в Ё структуру векторного пространства.
Это гильбертово пространство называется пополнением отдели-
отделимого предгильбертова пространства Е.
4. Выпуклые множгства в предгильбертовом пространстве.
Вычисляя || х—_y||2 = (*—у\х—у) и ||лг+.у||2 = С*+.у| х-\-у)
для произвольных двух точек л:, у предгильбертова пространства Е,

286 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
сразу приходим к „медианному тождеству"
ГЛ. V, § 1
Из этого тождества вытекает следующее предложение:
Предложение 5. Пусть d > О, 0<;8<rf, В а В'— мно-
множества в Е, определяемые соответственно неравенствами \x
и l|jc||^rf + 8, и А— выпуклое множество, содержащееся в В' П
В'
Черт.
Черт. 2.
Тогда для любой пары точек х, у из А выполняется неравенства
II*— У\\<УШ* (черт. 1).
Действительно, ir (х-{-у) ? А, откуда Uj- (x -\-у) 1> d; тогда из
тождества A1) вытекает, что
чем предложение и доказано.
Теорема 1. Пусть Е — предгильбертово пространство и Н—
его непустое выпуклое подмножество, являющееся в Е полным
отделимым равномерным подпространством. Для каждого х?Е
существует однозначно определенная точка у?Н такая, что
||х — у\] = inf \\х — г||; это—также единственная точка из Н,
для- которой
при всех z?H (черт. 2).
{х—у\г—.у)<0
A2)

4 ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 287
Путем надлежащего переноса можно привести рассмотрение к слу-
случаю jc —0. Пусть тогда d= inf ||z|| ^-0 и Ап для
еЯ
целого п — (непустое) множество тех точек из Н, для которых
IMI'-^^H • Так как А-п выпукло, то из предложения 5 сразу
следует, что диаметр этого множества стремится к нулю вместе
с —; иными словами, убывающая последовательность (Л„) есть базис
фильтра Коши в Н. Так как Н отделимо и полно, то этот базис
фильтра сходится к некоторой точке у?Н, которая, как явствует
из ее определения, есть единственная точка в Н такая, что ||_у|| =d.
Пусть теперь z — произвольная точка из Н; для каждого X,
заключенного между 0 и 1, точка y-{~X(z — у) принадлежит Н,
значит
|2
ИЛИ
||У||2-|-2Ш (y\z — у)~\-Х \\z — У||2^- \\y\\ 1
т. е.
Ж(у\г—у)> — Цу-zf,
откуда и следует A2), поскольку X > 0 можно взять произвольно»
малым. Обратно, если У?Я таково, что SR (У | z—У)^-0 для
всех z?H, то ||г||2= ||/||2 + 2Й (У | г—у')+ \\z-y'||2>||У ||2,
следовательно, ||У||=1^. а в силу предыдущего это показывает,,
что У = у.
Однозначно определенную точку у множества Н, существование
которой установлено теоремой 1, мы называем, допуская вольность-
речи, проекцией х на Н (см. предложение 8).
Первая часть теоремы 1 справедлива при более общих предполо-
предположениях относительно пространства Е (упражнение 15).
Доказательством теоремы 1 установлено между прочим наличие
следующего свойства:
Следствие 1. Пусть I—множество, фильтрующееся по-
фильтру g, и i->.)\ — отображение I в Н. Если \\х — _у.11

88 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
¦стремится, по фильтру1^, к inf II л: — гII, то у, стремится, по %
-к проекции у вектора х на Я.
Следствие 2. Проекция точки х?Е на полное отделимое
непустое выпуклое подмножество Я пространства Е есть непре-
непрерывная функция от х.
Действительно, пусть л:, х' — две точки из Е и у, у'—-их проек-
проекции па Я. Имеем \\х'— у' ||< ||л:'— j>|| < ||дг — у\\ + ||jc — x'\\
я 11*-.у||<11*-/11<11*-*'11 + \\*'-у'\\<\\х-у\\ + 2Ц*—*'||-
Мы видим, таким образом, что когда х' стремится к л:, то ||лг—у'\\
стремится к ||д: — у\\, и справедливость утверждения вытекает из
следствия 1.
Предложение 6. Пусть Ф—убывающее фильтрующееся мно-
множество полных отделимых выпуклых подмножеств про-
пространства Е и d(x, Я) = inf ||л: — г|| для каждого х?Е а ка-
ждого Я?Ф. Для того чтобы пересечение М всех множеств Я?Ф
было не пусто, необходимо и достаточно, чтобы для некото-
некоторого хо?Е множество всех чисел d(x0, Я) (Я?Ф) было ограни-
ограниченно. Тогда проекция каждого х?Е на Я стремится по фильтру
сечений множества Ф к проекции х на М.
Если М не пусто, то это — полное отделимое выпуклое множе-
множество (как пересечение замкнутых выпуклых множеств в полном
отделимом подпространстве пространства Е) и d(x, M)^.d(x, H)
для каждого /У?Ф и каждого х?Е. Обратно, предположим, что
d = supd(x0, Я)<-|-оэ; как убывающая функция от Я, d(x0, Я)
стремится к d по фильтру сечений множества Ф. Пусть В — множе-
множество всех z?E, для которых ||лг0 — г||^??; покажем, что множе-
множества Н[\В образуют базис фильтра Коши. Действительно, из тео-
теоремы 1 следует, что эти множества выпуклы и не пусты; очевидно,
«ни образуют базис фильтра, и для каждого е > 0, по определению,
существует Я0?Ф такое, что d(x0, H0)^>d — s; предложение 5
показывает тогда, что диаметр множеств Н[]В, где ЯсЯ0 и Я?Ф,
произвольно мал вместе с е, чем и доказана справедливость нашего
утверждения. Так как Hof\B — замкнутое множество в полном отде-
отделимом подпространстве Яо, то Н0(]В отделимо и полно, так что
пересечение множеств Н[\В сводится к некоторой точке у0 такой,

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 289
что ||х0—.Уо11 —**• Это показывает, что М не пусто,
и d{x0, M) = d, так что у0 есть проекция х0 на М. Но с другой
стороны, проекция х0 на каждое множество Я?Ф принадлежит
Н[\В, и предложение полностью доказано.
Предложение 7. Пусть W — возрастающее фильтрующееся
множество непустых полных выпуклых подмножеств полного
отделимого выпуклого множества АсЕ и N — замкнутая выпук-
выпуклая оболочка их объединения. Тогда проекция точки х?Е на Н
стремится по фильтру сечений множества W к проекции х на N.
Заметим прежде всего, что вследствие наших предположений
N есть замыкание объединения множеств H?W и содержится в А,
а потому отделимо и полно. Тем самым, в обозначениях предложе-
предложения 6, имеем d(x, N)— inf d(x, H), и, следовательно, d(x, N)
Н?ЧГ
есть предел d (x, H) по фильтру сечений множества W. Пусть
ун—проекция х на Н; так как \\х—yH\\ = d(x, H) стремится
к d (л:, N) и ун ? N, то следствие 1 теоремы 1 показывает, что yR
стремится по фильтру сечений множества V к проекции х на N.
5. Векторные подпространства и проекторы
Говорят, что вектор х в предгильбертовом пространстве Е орто-
ортогонален к подмножеству А этого пространства, если он ортогонален
к каждому вектору из А; подмножества А и В пространства Е
называют ортогональными, если каждый вектор из А ортогонален
к каждому вектор'у из В. Заметим, что в этом случае, если Е пред-
предположено, кроме того, отделимым, А[\В пусто или сводится к век-
вектору 0, поскольку 0 есть тогда единственный вектор из Е, ортого-
ортогональный к самому себе.
Если х и у — ортогональные векторы, то
(„теорема Пифагора").
В том случае, когда выпуклое множество Н есть векторное
подпространство пространства Е, теорема 1 допускает следующее
уточнение:
Предложение 8. Пусть L —полное отделимое векторное
подпространство предгильбертова пространства Е; проекция

290 . ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОЙТРАИСТВА ГЛ. V, § 1
произвольной точки х?Е на L есть однозначно определенная
точка y?L такая, что у — х ортогонально к L.
Действительно, точка y-\-^-(z—у) для каждого z?L и каждого
скаляра Х?/С принадлежит L, так что, в силу теоремы 1,
<Я(Х(лг—y\z—_у))<°; взяв X—(х—y\z—у), получим \(х—у\z—y)|2<0
и, значит, (х — y\z — у) — 0. Единственность сразу следует из вто-
второй части теоремы 1.
Теорема 2. Пусть Е— предгильбертово пространство и М — его
полное отделимое векторное подпространство. Отображение
Р, относящее каждому вектору х?Е его проекцию на М,
есть непрерывный проектор пространства Е на себя такой,
что ||/Ч*)||-<;||*|| для всех х?Е. Подпространство Ж = Р(?)
есть множество тех х?Е, для которых Р (х) = х; ядро N = Р @)
есть замкнутое векторное подпространство в Е, дополнительное
к М, совпадающее с множеством всех векторов, ортогональных
к М, а Е есть топологическая прямая сумма М и N.
Действительно, согласно предложению 8, Р{х) характеризуется
тем, что оно является единственной точкой в М, удовлетворяющей
условию
(Р{х)\г) = (х\г) A4)
для всех z?M. Отсюда сразу следует, что Р линейно, что М есть
множество тех х?Е, для которых Р(х)=^х, и что ядром Р служит
множество всех векторов, ортогональных к М. Так как Р(х)?М,
то Р(х) — х ортогонально к Р(х); согласно теореме Пифагора, тогда
\\х\\г = \\Р(.х)\\г+\\х — Р{х)\\\ откуда ||/?(*)||< ||*||. чем дока-
доказано, что Р—непрерывный проектор. Наконец, то, что Е есть
топологическая прямая сумма М и N~P@), известно (гл. I, § 1,
предложение 12).
Мы называем Р ортогональным проектором (или, допуская
вольность речи, просто проектором) Е на М; подпространство
-1
N = P(Q), образованное всеми векторами, ортогональными к М,
называется ортогональным дополнением к М (или иногда просто
ортогональным к М, если это не может повлечь путаницы): это

* ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 291
действительно единственное из подпространств, дополнительных к М,
которое ортогонально к М. Ортогональным дополнением к N служит М.
Как известно (гл. I, § 1, п° 8), канонический изоморфизм <\/ фак-
торпространства Е/М на ЛГ есть изоморфизм структуры топологи-
топологического векторного пространства в~ Е/М на такую же структуру в N.
Если для каждой пары точек х, у из Е/М положить (х | у) =•
= (Ф (*) I Ф (У))> т0 этим, очевидно, определится в Е/М структура пред-
предгильбертова пространства, получающаяся путем перенесения структуры^
предгильбертова пространства, имеющейся в ЛГ, посредством изомор-
изоморфизма, обратного к ф. Кроме того, из соотношения || х ||2 = || Р (х) ||2 -f-
-f-||jc — Р(х)\\2 видно, что полунорма элемента х в этой структуре,
определяемая соотношением ||1г|| = || <\> (х) ||, равна полунорме inf
общим образом определяемой на каждом факторпространстве (гл. II,
§ 5, п° 5).
€. Сопряженное к гильбертову пространству
Теорема 3. Пусть Е — гильбертово пространство и их для
каждого х?Е — непрерывная линейная форма у->(у|лг). Ото-
Отображение х —>¦ их является взаимно однозначным полулинейным
(относительно автоморфизма $—>•$) отображением пространства Е
на его сопряженное Е' и изометрией нормированного про-
пространства Е на нормированное пространство Е'.
Действительно, полулинейность отображения х^*-их следует из B), а,
в силу неравенства Коши — Буняковского, ||«a,||== sup | (_у [ jc) |='||jc||,
так что х -? их есть изометрия Е в Е' и, в частности, взаимно
однозначно. Для завершения доказательства остается показать, что
¦для каждого х'ФО из Е' существует х?Е такое, что х' = их. Но
гиперплоскость Я=л;'@) замкнута в Е; ее ортогональным допол-
дополнением (п° 5) служит некоторая прямая D, и если b?D, ЬфО, то
линейная форма у -> (у \ Ь) аннулируется на Я; поэтому существует
скаляр Х=?0. такой, что (у, х') = {у\\Ь) для всех у?Е, а эта
означает, что х' = ихь.
Отображение х -*¦ их и его обратное называются каноническими
отображениями ? на С и Е' на Е; если Е—вещественное гильбер-
гильбертово пространство, то это — линейные отображения. Если Е—ком-
Е—комплексное гильбертово пространство, то х—>их можно рассматривать
как взаимно однозначное линейное отображение пространства Е^,

292 * ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
дуального к Е (п° 3), на Е'. Часто Е (соотв. EJ отождествляют
с Е' посредством отображения х —>¦ их.
Безразлично, сказать лн, что вектор х ? Е ортогонален к вектору
у ? Е, или что линейная форма ах ? Е' ортогональна к у в смысле,
определенном в гл. IV, § 1, п° 4 (что и оправдывает употребление
слова „ортогонально" в обоих случаях). Если М — замкнутое вектор-
векторное подпространство пространства Е, то подпространство М° в ?',
ортогональное к М (гл. IV, § 1, п° 4), есть образ ортогонального
дополнения к М в Е, определенного в п° 5, при отображении х^*-их.
Следствие. Для того чтобы семейство (xt) точек гильбер-
гильбертова пространства Е было тотальным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы из справедливости равенств (xt\y)^0 для всех
индексов i следовало, что у = 0.
Действительно, это выражает, что 0 есть единственный вектор
в Е', ортогональный ко всем xt (гл. IV, § 1, следствие 1 предло-
предложения 1, и § 2, замечание после следствия 2 предложения 4).
Из теоремы 3 вытекает, что каноническое отображение про-
пространства Е в его второе сопряженное Е" (гл. IV, § 3, п° 3) отобра-
отображает Е на Е", иными словами (гл. IV, § 5, п° 2), что Е—ре-
Е—рефлексивное банаховское пространство. Действительно, если Е —
вещественное (соотв. комплексное) гильбертово пространство, то
каноническое отображение ср пространства Е' на Е есть изоморфизм
нормированного пространства Е' на Е (соотв. на пространство Е1г
дуальное к Е); применяя к Е (соотв. к Et) теорему 3, мы видим,
что каждая непрерывная линейная форма на нормированном про-
пространстве Е' имеет вид х' ->• (х | ср (х')) = (х, х'), где х — некоторый
фиксированный элемент из Е, чем справедливость нашего утвержде-
утверждения и установлена.
Следовательно (гл. IV, § 5, предложение 6):
Теорема 4. Единичный шар ||*||<^ 1 гильбертова простран-
пространства Е слабо компактен.
Предложение 9. Если фильтр § 8 гильбертовом прост'
ранстве Е. слабо сходится к х0 и, кроме того, итэ||д;|| = ||л:0||,
то g сходится к х0 в исходной топологии пространства Е.

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 293
Действительно, ||jc — jc0J|2 = ||jc||2— 2SR(x \хо)~\- ||xo||2. Так как,
по предположению, (лг|л:0) стремится по фильтру g к J|xo||2, a \\x\\
стремится по g к ||*0Ц' т0 II* — ^oll стремится по g к 0, и пред-
предложение доказано.
Замечание. Как известно (гл. IV, § 5, п° 1), сопряженное Е'
к отделнмому предгильбертову пространству Е отождествнмо с сопря-
сопряженным к гильбертову пространству Ё, служащему пополнением для Е.
Из теоремы 3 следует, что каждая непрерывная линейная форма на Е
однозначно записывается в виде х -*¦ (х \ а), где а ? Ё.
Упражнения. 1) Пусть Е—комплексное нормированное про-
пространство н f(x, у) — симметричная билинейная форма на его базис-
базисном вещественном векторном пространстве Ео такая, что/(х, х) =
= ||x|j2 для каждого х?Е. Показать, что на ? существует однозначно
определенная эрмитова полуторалннейная форма g (х, у) такая, что
/(¦*> y) = $tg(x, у). [Используя формулу E), доказать, что f(x, ly) =
2) Пусть,?—вещественное или комплексное нормированное про-
пространство. Предположим, что для любого его векторного подпростран-
подпространства Р размерности 2 (над R) существует определенная на Р X Р
симметричная билинейная форма /р (х, у) такая, что /р (х, х) = || х\\2
для каждого х ? Р. Показать, что на ? X -Б существует эрмитова полу-
торалинейная форма g такая, что какова бы ни была вещественная
плоскость Рс Е, fP(x, y) = '?Rg(x, у) для всех х?Р и у ? Р. [Если
Е—вещественное векторное пространство, то заметить, что || х—у||2+
-И1* + .У112 = 2(||л:||2-|- ||у||2) для каждой пары точек х, у из Е,
и вывести отсюда тождество
+ И*112+11УИ2+1И12=О;
если Е — комплексное векторное пространство, применить упражне-
упражнение 1.]
*3) Пусть Е— вещественная плоскость (двумерное векторное про-
пространство над R). Пусть Bf для ка ждой невырожденной положительной
симметричной билинейной формы f(x, у) — ограниченное выпуклое
тело, определяемое неравенством f(x, х)-<1. Площадью Вр относн-
_л_
тельно базиса (аъ д2) в Е называется число s (/) = те | Д | 2, где
Д — дискриминант / относительно этого базиса. Если Fj, 62) — другой
базис в Е и a-i Д д2 = 8*i Л *2 *). т0 площадью В^ относительно (*i, 62)
будет | 5 | s (/).
*) в!.ЛЛ2—бивектор, определяемый векторами %, %. — Прим, перев.

594 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
а) Показать, что если / и g—-невырожденные положительные
формы, для которых BfdBg (что равносильно неравенству g*Cf),
то s(f)^,s (g). [Рассмотреть базис в Е, ортогональный одновременно
н относительно / н относительно g.]
б) Пусть А — симметричное ограниченное выпуклое тело в Е.
Показать, что среди невырожденных положительных форм / на Е
таких, что А с Bf, существует, и притом только одна, для которой
площадь Bf (относительно заданного базиса в Е) принимает наимень-
наименьшее возможное значение. [При доказательстве единственности / при-
принять во внимание, что если А с Bf и А с В„, то также АаВ . .]
г я -jif+a)
в) Пусть А —¦ симметричное ограниченное выпуклое тело в Е
и /—невырожденная положительная форма.такая, что Ac Bf и Bf
обладает наименьшей возможной площадью относительно заданного
базиса в Е. Показать, что в А содержатся по крайней мере две не
симметричные друг другу точки х.н у, для которых/(х, х) = /(у, у) = 1.
[Отнеся форму / к ортонормальному базнсу (aj, а2), рассмотреть для
каждого е > 0 форму gt (х, у) = , . 6i% Ц- A + е) бгЧг и принять во
внимание, что, в силу б), А ЦТ Вдг; показать, что множество тех xt g А,
которые не принадлежат Вд , обладает точкой прикосновения Ь, отлич-
: ной от «1 и —a-i и такой, что f(b, b)= 1.]
г) Доказать аналоги утверждений б) и в) для невырожденных
положительных форм / таких, что B^czA н Bf имеет наибольшую
возможную площадь (относительно заданного базиса в Е).
*4) а) Пусть Е—-вещественное или комплексное нормированное
пространство размерности >-2, обладающее следующим свойством: если
11*11 '= НУII. то ||х + у||2+11* —У112<2(||*112+НУ112)- Показать,
что на Е существует невырожденная положительная эрмитова форма
f(x, у), для которой f(x, jc) = ||л:Ц2. [С помощью упражнений 1 и 2
свести к случаю, когда Е вещественно и двумерно. Пусть, в этом случае,
А — выпуклое тело, определяемое неравенством ||х||<;1, /—невы-
/—невырожденная положительная форма такая, что АсВ/> и Bf обладает
относительно заданного базиса наименьшей возможной площадью,
далее, (*j, е%) — ортонормальиый относительно / базис и х, у — не сим-
симметричные друг другу точки из Л, для которых f(x, x)=f(y, у) = 1
(упражнение Зв). Показать, что точки пересечения окружности
/(г, г) — 1 с биссектрисами пары векторов х, у также принадлежат А,
и заключить путем повторного применения этого рассуждения, что
Г
б) Пусть Е—вещественное или комплексное нормированное про-
пространство размерности !>2, обладающее следующим свойством: из
11* + у11 = II* — УII следует \\х + у\\2= ||х||2-j-Uу||2. Показать, что
на Е существует невырожденная положительная эрмитова форма
/(*¦ у), для которой f(x, x)= \\x\\2. [Свести ка).]

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 295
в) Доказать аналог предложения а) при предположении, что нз
IIжII = ||у|| следует \\х + у\\г + \\Х — у||2>2([|лг|Г2 + ||у II*). [Исполь-
[Использовать упражнение Зг.]
5) Пусть Е — вещественное или комплексное векторное простран-
пространство размерности ">2. Предположим, что задано его отображение
¦*-*¦ IIх|| в R+ такое, что ЦХлг|| =)Х| ||jf|| для каждого скаляра X,
||jc|| =0 влечет х = 0 и для- любых а, Ь, с, d нз Е имеет место
.птолемеево неравенство'
а) Показать, что ||лс|| есть норма на Е. [Заменить в птолемеевом
неравенстве d на 0 и Ь на —а.]
б) Показать, что на Е существует невырожденная положительная
эрмитова форма /(*, у), для которой f(x, х) = \\x\\2. [Вывести нз
птолемеева неравенства неравенство || х -\- у ||.2 + II * — УII2>4II х \\ \\ у ||
н использовать упражнение 4в.] Обратное предложение. [Показать,
, а ., b
что если в гильбертовом пространстве а'= •——г-, V = ~, то
\\а\\г \\Ь\\г
1 " H«llll*irJ
*6) Пусть Е—вещественное нлн комплексное нормированное про-
пространство размерности !>2, обладающее следующим свойством: суще-
существует вещественное число y. отличное от 0 и ±1, такое, что нз
И-к + УН = II* — уII следует Цлс-f-Ту|| = \\х — tyll-
а) Показать, что если ||ж + УН = \\х — уII, то выпуклая функция
<? E) = II х + ?у II вещественного переменного 5 не постоянна ни на
каком интервале. [Рассуждая от противного, рассмотреть наибольший
интервал [a, (SJ, на котором <f (S) постоянна. Приняв во внимание, что
нз ||а + »Н = Ни —»И следует || и -f- fnv|| = IIи — tnv|| для каждого
целого рационального п, показать, что <р E) = <р (р) для некоторого
Ь > р, достаточно близкого к р.]
б) Показать, что если \\х + у || = ||лг — у ||, то Ц-* + 5уН =
= 11 х — Sy|| для всякого вещественного числа 5. [Основываясь на том,
что, в обозначениях из а), ? (y") = <р (— y") Для каждого целого рацио-
рационального л, показать, что <р E) достигает в точке 5 =» 0 относительного
минимума; вывести отсюда, что <?(?) = <{>(—$) тождественно, заметив,
что в противном случае мы имели бы <у (X) = у (jj.) для двух чисел X
и [а таких, что X -\- ц=?0, и в этом случае у достигало бы относитель-
относительного минимума в точке -=-(Х -j-jx).]
в) Вывести из б), что на Е существует невырожденная положитель-
положительная эрмитова форма f(x, у), для которой f(x, x)— ||ж||2. [Показать
прежде всего, что если ||лг|| = II у ||, то ||ajr + Pyll = ||{U-|-«yll Д*я
каждой пары вещественных чисел «,р а что если || х -\- у || = IIх — у||,
то || ах -\- Ру || = || ах — ру ||, каковы бы ни были вещественные числа а, р.

296 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
Используя эти результаты, показать, далее, что если \\хЦ = [|у|| =1
и II х + у || = || х ~ у ||, то || (а* — S2) х -f- 2аРу || = а» + ?», и вывести
отсюда справедливость доказываемого утверждения *).]
7) Пусть Е—вещественное или комплексное нормированное про-
пространство, обладающее следующим свойством: если х, у, Xе, у'—четыре
вектора нз Е такие, что ||х|| = ||х'||, [|у|| = ||у'|| н \\х-\-у\\ =
= 11*' + У' II. то || л: — у || = || х/ — у'Ц. Показать, что на Е существует
невырожденная положительная эрмитова форма f(x, у), для которой
f(x, x)= ||х ||2. [Использовать упражнение 6.]
*8) Пусть Е — вещественное нормированное пространство размер-
размерности !>3. Предположим, что существует убывающее взаимно одно-
однозначное отображение со множества Ж всех его замкнутых векторных
подпространств на себя такое, что со (со (М)) = М н М(] со (М) = {0} для
каждого М ? S01.
а) Показать, что существует такое, определенное с точностью до
скалярного множителя линейное отображение и пространства Е на его
сопряженное ?',"что и (М) = (со (Af))° для каждого М ? Ж. [Рассматри-
[Рассматривая случай одномерного М, применить основную теорему проективной
геометрии (Алг., гл. II, 2-е изд., Приложение III, упражнение 10 C1)), при-
приняв цо внимание, что тело R обладает единственным — тождественным —
автоморфизмом (Общ. топ., гл. IV, § 3, упражнение 3).]
б) Положив {х\у)= {х, м(у)>, показать, что (х\х)фО для каж-
каждого хфО и что соотношения (х|у) = 0 и (у | х) = 0 равносильны.
Вывести отсюда, что (у | х) — (х | у) для всех пар точек х, у нз Е.
[Рассмотреть X ? R, для которого (Кх -J— у { лг) == 0.]
в) Показать, что (х| х) сохраняет постоянный знак для всех хфО,
так что, заменяя, если нужно, и на — и, можно считать, что (х I у)
есть невырожденная положительная симметричная билинейная форма
на Е X Е. ,
г) Пусть §"о —• исходная топология пространства Е. Показать, что
топология Ж в Е, определяемая нормой у (х\х), мажорирует топо-
топологию f 0. [Принять во внимание, что сопряженное к Е при Ж содержит
сопряженное Е' к Е при Э"о-]
д) Показать, что и непрерывно при топологиях а (?, Е') н а(?', Е).
Вывести отсюда, что если Е полно в исходной топологии д-0, то и не-
непрерывно при Э"о и сильной топологии в Е'. [Принять во внимание,
что и преобразует каждое множество, ограниченное в топологии а (?, Е'),
в множество, ограниченное в топологии а (?', Е).\ Вывести отсюда,
что тогда топологии Ж н f 0 совпадают н со (М) есть ортогональное
дополнение к М при структуре гильбертова пространства, определяе-
определяемой в Е формой (х | у). [См. гл. I, § 3, теорема 1.]
е) Показать, что в пространстве D- (N), снабженном нормой, инду-
индуцированной из gg (N) = ?°° (N), существует взаимно однозначное ото-
*) Этот (неопубликованный) метод сообщили нам Е. Lorch и J. von Neu-
Neumann.

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 297
бражение Л1-»ч»(Л1) множества Ж на себя, обладающее указанными
выше свойствами. [См. гл. IV, § 5, упражнение 3.]
*9) Пусть Е — бесконечномерное комплексное нормированное про-
пространство. Предположим, что существует взаимно однозначное отобра-
отображение щ множества 501 всех его замкнутых векторных подпространств
на себя, обладающее свойствами, указанными в упражнении 8.
а) Показать, что существует такое определенное с точностью до
скалярного множителя полулинейное (относнтельно автоморфизма 6-»¦ 6
тела С) отображение и пространства Е на его сопряженное Е', что
и (Af) = (to (Af))° для всех M^ffl. [Рассуждать как в упражнении 8;
используя упражнение 20 § 5 гл. IV, показать, что и есть полулиней-
полулинейное отображение относнтельно тождественного автоморфизма тела С
или автоморфизма ?-»¦?; наконец,приняв во внимание, что (х, и (х))фО
при хфО, установить, что первый случай не может иметь места.]
б) Положив (х\у)= (х, и (у)), показать, что (у | х) = (х\ у)
н (х | х) сохраняет постоянный знак для всех хфО. [Тот же метод,
что н в упражнении 8.]
в) Показать, наконец, что топология §¦ в Е, определяемая нормой
у (х | je) 1 мажорирует исходную топологию 3 и что эти две топологии
совпадают, если Е в топологии Э"о полно; в этом последнем слу-
случае (о (М) есть ортогональное дополнение к М в гильбертовом про-
пространстве Е.
*10) Пусть Е—конечномерное вещественное векторное простран-
пространство, <f — взаимно однозначное линейное отображение пространства Е
на его сопряженное Е* н А — ограниченное симметричное выпуклое
тело в Е, для каждой точки х границы которого гиперплоскость,
определяемая уравнением {у — х, <р (jc)> = 0, является опорной
к А.
а) Пусть /(*) = I {х, <((х))\ и л —точка, в которой/(jc) дости-
достигает своего минимума на границе тела А. Показать, что для каждой
точки b такой, что (Ь, <у(а)) = 0, также (а, <уF)> = 0. [Принять во
внимание, что {х, у(х))фО при дг^Он, следовательно, можно пред-
предполагать, что/(*)= {х, <f(*)>>0; использовать далее то, что каждая
опорная гиперплоскость к А в точке а есть также опорная гипер-
гиперплоскость к множеству, определяемому неравенством /(*)•</(#).]
б) Показать, что {х, <f (у)) — симметричная билинейная форма
и А совпадает с множеством тех точек х, для которых /(*)¦<?¦ где
Y — надлежащая постоянная. [Провести доказательство индукцией по
размерности пространства Е, рассматривая, в обозначениях из а), гипер-
гиперплоскость, определяемую уравнением (х, <{>(#)) =0.]
*П) Пусть Е—конечномерное комплексное векторное простран-
пространство, <f — взаимно однозначное полулинейное (относнтельно автомор-
автоморфизма ?-»¦?) отображение пространства Е на его сопряженное ?* и
II ж II—норма на Е такая, что | (х, у {х)) | = || jr|| ||<j>(jc)|| для всех
х ?Е. Показать, что {х, <? (у)> с точностью до постоянного множителя—

298 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, §
невырожденная положительная эрмитова форма н {х, ?(*)) =
= Т II х ||! (где y — постоянная). [Рассуждать как в упражнении 10.]
*12) Пусть Е — вещественное нормированное пространство раз-
размерности ;>3 такое, что для каждой его однородной плоскости Р
существует непрерывный проектор Е на Р с нормой 1. Показать, что
на Е существует невырожденная положительная симметричная форма
f(x, y\ для которой || х || з = f(x, x). С помощью упражнения 2 свести
к случаю, когда Е трехмерно, и установить последовательно спра-
справедливость следующих предложений:
а) Для каждой однородной плоскости Р в. Е существует одно-
однозначно определенный непрерывный проектор Е на Р с нормой 1,
и ядром этого отображения служит однородная прямая D (Р) такая,
что P-*-D(P) есть непрерывное взаимно однозначное отображение
пространства однородных плоскостей из ? на пространство однород-
однородных прямых (Общ. топ., гл. VI, § 3, п° 5).
б) Каждая точка сферы S пространства Е, определяемой уравне-
уравнением ||х||=1, есть экстремальная точка шара В, определяемого
неравенством || х\\ •< 1. [Показать прежде всего, что если бы точка х 6 S
не была экстремальной, то ее грань Рх в В (гл. II, § 4, упражне-
упражнение 4) была бы двумерной, рассматривая для этого все однородные
плоскости Р, проходящие через х. Доказать далее, что это предполо-
предположение противоречиво, применяя то же рассуждение к точке на Fx,
через которую в плоскости грани Fx проходит лишь одна опорная
прямая к Fx; существование такой точки может быть установлено
с помощью упражнения 15 § 4 гл. II и упражнения 2 § 1 гл. IV.]
в) Каждая точка сферы S' сопряженного пространства Е', опре-
определяемой уравнением ||х'|| =1, экстремальна в шаре В', определяе-
определяемом неравенством || х' || <; 1. [Заметить прежде всего, что для каждой
однородной прямой D' из Е' существует однозначно определенная
однородная плоскость Р'(?>') в Е' такая, что опорная плоскость
к В' в каждой точке множества S/{]P/ (?>') (единственная, согласно а))
параллельна к D'\ при этом Р' (?>') непрерывно зависнт от D'. Вывести
отсюда прежде всего, что если бы точка х' g S' не была экстремаль-
экстремальной в В', то ее грань Fx, в В' была бы не менее чем двумерна, рас-
рассматривая для этого все однородные прямые D', параллельные опор-
опорной плоскости к В' в хг. Показать далее, что это предположение ведет
к противоречию, рассмотрев точку строгой выпуклости у' множе-
множества Fx, (гл. II, § 4, упражнение 15) н единственную однородную пря-
прямую Do, параллельную опорной прямой к Fx,, проведенной через
точку у' в плоскости грани Fx,, н установив, что функция D' -*¦ Р' (D'
не была бы непрерывна при D = D^.]
г) Показать, что если Р±, Ръ Ps — тройка однородных плоскостей
в Е, содержащих одну и ту же прямую Д, то D (Pj), D (Рг), D (Р3) —
тройка прямых, лежащих в одной, и той же однородной плоскости П (Д).

ПРЕДГИЛЬБЕРТОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА 299
[Рассмотреть единственную опорную плоскость к В в одной из. точек
пересечения прямой Д со сферой S.] Применяя основную теорему
проективной геометрии (Алг., гл. II, 2-е изд., Приложение III, упраж-
упражнение 10(м)), вывести отсюда, что существует взаимно однозначное
линейное отображение <р пространства Е' на Е, переводящее каждую
точку х? € Е' в точку у (х/), принадлежащую прямой D (Р), где
Р — плоскость, определяемая уравнением (у, х')=0. Показать, что
для любой точки х? € Sf плоскость, определяемая уравнением
(<р (лс')> у' — ¦*') =0, есть опорная плоскость к В', проведенная в этой
точке, и в заключение применить упражнение 10.
*13) Пусть Е — комплексное нормированное пространство размер-
размерности >3, для всякой однородной (комплексной) плоскости Р кото-
которого существует непрерывный проектор Е на Р, имеющий норму 1.
Показать, что на Е существует невырожденная положительная эрми-
эрмитова форма f(x, у), для которой ЦхЦ^ — /(х, х). [С помощью упраж-
упражнения 2 свести к случаю, когда Е трехмерно над С, и поступать как
в упражнении 12. В пункте б) доказательства рассмотреть для каж-
каждого хг ? Е' с" || д/1| =1 выпуклое множество Gxt тех х 6 S, для кото-
которых (х, х') = 1; показать, что если бы G^, не сводилось к одной
точке, то оно было бы не менее чем трехмерно над R, и рассмотреть
тогда в вещественном линейном многообразии, порожденном множе-
множеством Gxt, граничную точку этого множества, через которую прохо-
проходит лншь одна его (вещественная) опорная гиперплоскость. В пункте в)
доказательства также рассмотреть, для каждой точки х € S, множе-
множество Од, тех х ? S , для которых {х, х ) = 1, и показать, что Gx сво-
сводится к точке; для этого доказать, что в противном случае веществен-
вещественное линейное многообразие, порожденное множеством Gx, было бы
не менее чем двумерно над R и содержало бы два вектора, линейно
независимых над С. В заключение воспользоваться упражнением П.]
*14) Говорят, что вектор у вещественного нормированного про-
пространства Е размерности >-3 квазинормален к вектору х, если
|| х-f- Ay||>||х|| для каждого скаляра X.
а) Показать, что если отношение „у квазинормален к х" влечет
отношение „х квазинормален к у", то на Е существует симметрич-
симметричная билинейная форма f(x, у), для которой f(x, x)— \\я\\\ [Пока-
[Показать, что выполнено условие упражнения 12.]|
б) Показать, что то же заключение справедливо, если для каждой
замкнутой однородной гиперплоскости Н пространства Е существует
ненулевой вектор, квазинормальный ко всем векторам из Н. [Тот же
метод с применением теоремы Цорна к проекторам с нормой 1 во
всевозможных векторных подпространствах, содержащих однородную
плоскость Р, на эту плоскость, упорядоченным по отношению продол-
продолжения.]
в) Показать, что то же заключение справедливо, если в Е каждый
вектор х Ф 0 квазинормален ко всем векторам из некоторой замкнутой

300 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 1
гиперплоскости Н. [Свести к "случаю, когда Е трехмерно, н при-
применить результат упражнения 12 к пространству, сопряженному к К]
г) Показать, что то же заключение справедливо, если ил квази-
квазинормальности г к х и у следует квазинормальность г к * + у.
[Применить упражнение 12.]
*15) Говорят, что (вещественное или комплексное) нормированное
пространство Е равномерно выпукло, если для каждого е, заключен-
заключенного между 0 н 2, существует 8>0 такое, что неравенства ||*||<1,
||у||<1, ||* — у||>е влекут ||* + у||<2—5. Говорят, что Е равно-
равномерно гладко, если для каждого г >¦ 0 существует ¦») > 0 такое, что
неравенства Цлг||>1, ||у||>1, II* —у||<т) влекут ||* + yl| > 11*11 +
+ 11У11—е II* — УII..
а) Показать, что для того, чтобы Е было равномерно гладким,
необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало р > 0
такое, чтоб из ||лг||=1, ||у||<р следовало ||* + у|| + Ц* —у||<
б) Показать, что если Е равномерно выпукло, то его сопряжен-
сопряженное Е' равномерно гладко, и что если Е равномерно гладко, то его
сопряженное Е' равномерно выпукло. [Использовать формулы A) и D)
§ 5 гл. IV.]
в) Показать, что если Е равномерно выпукло и фильтр gf в Е
сх'одится к х0 в топологии а(?, Е'), причем litrig ||лсЦ = ll*oll. то g
сходится к Хо в исходной топологии пространства Е.
г) Показать, что равномерно выпуклое или равномерно гладкое
банаховское пространство рефлексивно. [Использовать б) и в), предло-
предложение 5 § 5 гл. IV и упражнение Ив § 3 гл.'IV. (См. § 2, упражне-
упражнение 13в).]
д) Обобщить на равномерно выпуклые банаховские пространства
первую часть теоремы 1 и ее следствия, а также предложения 6 и 7.
[См. гл. IV, § 5, упражнение 1.]
*16) Пусть Е—(вещественное нли комплексное) нормированное
пространство размерности !> 2 такое, что для каждого е, заключенного
между 0 н 2, из |Цг|| = J, ||у|| =1, Ц* —у|| >е следует ||* + у|| <
/ ^
¦< 2 у 1 ц-. Показать, что на Е существует эрмитова форма /(х, у),
для которой ||л:Ц2 = /(л:, х). [Свести к случаю, когда Е вещественно
н двумерно, н рассуждать, как в упражнении 4а.]
*17) а) Пусть Е— вещественное нли комплексное нормированное
пространство размерности >• 2. Показать, что для каждого х Ф 0 нз Е
и каждого а > 0 существует у ? Е такое, что || у || = а и || х + у ||! =
б) Предположим, что для любых двух векторов х и у из Е,
удовлетворяющих соотношению II * + у II2 = II * II2 + IIУII2, удовлетво-
удовлетворяется также соотношение \\х — у||2= 11*||2+НуII2. Показать, что
тогда на Е существует эрмитова форма/(jc, у), для которой f(x, *) =

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 301
= И*||2. [Используя а), свести к упражнению 4: ограничиваясь слу-
случаем, когда Е двумерно, доказать, что если |] х^\\ = || хг\\ = 1,
у = -i (*! — *2) и ге Е таково, что ||у ||«+ 1И12 = ||у -|-z||* = 1, то
г = у (*t + *г) или — у (*i + *2)-]
в) Предположим, что для каждого вектора х Ф 0 из ? множе-
множество Н всех векторов у, для которых ||л:-|-у||2 = ||jc||2-(- ||yl|2,
устойчиво относительно сложения. Показать, что справедливо заклю-
заключение из б). [Свести к случаю,, когда Е вещественно и двумерно.
Используя а) и компактность единичного шара в Е, показать, что Н
есть замкнутое множество, содержащее по крайней мере две различ-
различные полупрямые с началом 0; доказать, что это — две противополож-
противоположные полупрямые, заметив, что в противоположном случае порождае-
порождаемое ими выпуклое множество содержалось бы в Н и содержало х
или —х.]
18) Пусть Е—вещественное гильбертово пространство nf(x) — .
непрерывная линейная форма на Е. Показать, что функция \\x\\—f{x)
на каждом замкнутом выпуклом множестве A с: E ограниченна снизу
и достигает своего наименьшего значения в некоторой однозначно
определенной точке из А. [Использовать теорему 3.]
19) Пусть Е—гильбертово пространство и (хп)—-последователь-
(хп)—-последовательность точек из Е, слабо сходящаяся к точке а. Для каждого у ? Е поло-
положим d (у) = lira inf || хп — у|| и D (у) = lim sup || хп '¦—у||. Показать,
п ->¦ со п -> со
что (rf(y)J = (rf(a)J+||y-a||2H (D (y))* = (D (а)
Пусть 0О<;?1; дать примеры, где rf(a) = а и D{a) =
§ 2. Ортогональные семейства в гильбертовом
пространстве
/. Внешняя гильбертова сумма гильбертовых пространств
Пусть (?,)[fj — семейство гильбертовых пространств над К', {х^у^
и Ц*, ||—скалярное произведение и норма в ?,. Пусть F — произве-
произведение ТТ^ векторных пространств Е1 (не наделенное топологией),
G — прямая сумма векторных пространств ?,, т. е. подпростран-
подпространство в F, образованное теми точками х = (л:,), у которых л, ф 0
лишь для конечного числа индексов. Каковы бы ни были точки
х = (х,) и .у —00 и3 О, сумма 2(*J.yi) имеет смысл, поскольку
лишь конечное число ее членов отлично от нуля; обозначим ее (х\у).
Ясно, что (х, у)-*(х\у) есть эрмитова полуторалинейная форма

302 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
на G. При этом (x\x) = Jj [|*,[|2>-0 для всех x?G и из (л: 1 л:) = 0
следует, что хь — 0 для всех i ? /, т. е. что х = 0. Иными словами,
(л: | .у) есть невырожденная положительная эрмитова форма на G
и определяет в G структуру отделимого предгильбертова простран-
пространства. Это пространство вообще не полно. Внешней гильбертовой
суммой семейства гильбертовых пространств (Е,)^х называется гиль-
гильбертово пространство G, получающееся путем пополнения отдели-
отделимого предгильбертова пространства G; мы будем обозначать его © Е,.
Предложение 1. Пусть (Е1),1— семейство гильбертовых про-
пространств и Е—часть векторного пространства Р = ~ЦшЕ1,
образованная теми точками х = (xt), для которых 2II ¦*.1|2 < + оо.
Тогда Е есть векторное подпространство в F, семейство ((х^у^))
для каждой пары точек х = (х1), у = (у) из Е суммируемо в К
и (х | у) = 2 С*. I У) есть невырожденная положительная эрми-
това форма на Е, определяющая в Е структуру гильбертова
пространства, при которой Е изоморфно внешней гильбертовой
сумме семейства (?,)if/.
Так как ||л:1+.у1||2<2(||л:,||2+ НзМ!2). то ? — векторное под-
подпространство в F. Неравенства
показывают, что семейство ((*, | >*,)),f/ суммируемо; так как (х\х) =
и (х\х) = 0 равносильно дг = О, так что
(х\у) есть невырожденная положительная форма на Е. Структура
отделимого предгильбертова пространства, определяемая в Е фор-
формой (х\у), индуцирует в прямой сумме G векторных пространств Е
структуру предгильбертова пространства, определенную выше, и ясно,
что G всюду плотно в предгильбертовом пространстве Е. Следова-
Следовательно, нужно еще только показать, что Е полно по норме ||л:|| =
= Y{x\x). Пусть (дгп) — последовательность Коши . по этой норме
и xn — (xn,\?f (.•*»!,.€?()> По предположению, для каждого е > О
существует ге0такое, что ||jcw~ дгп||2< е2, т. е. 2 II*»,, — *п,.112О2.
при всех т^>п0, п^.п0. В частности, (*п,0пек пРи каждом фикси-

г ортогональные семейства 303
рованном t?/ есть последовательность Коши и, значит, сходится
к некоторой точке я,??\; устремляя m к -ft», мы видим, что
каково бы ни было конечное подмножество У из /, 2 IIа.—:jc» ill2jCe2
для всех ге^>«о и, следовательно, также 2 IK — хп til2-Се2 Для
всех п^Пд. Это показывает, прежде всего, что точка а — хп, где
а = (at), a значит, и точка а принадлежит Е, и, далее, что последо-
последовательность (хп) стремится к а в пространстве Е\ тем самым пред-
предложение полностью доказано.
Внешнюю гильбертову сумму ф ?\ семейства (,^)iGI гильберто-
вых пространств обычно отождествляют с указанным гильбертовым
пространством Е.
Пусть /, — отображейие С, в Е, переводящее z?Et в элемент
(дс,) ? Е, для которого л:х = 0 при х Ф i и л:, = г; ясно, что /, есть
изоморфизм гильбертова пространства ?, на замкнутое векторное
подпространство гильбертова пространства Е. /, называется канони-
каноническим отображением. ?, в Е, и f, чаще всего отождествляется
с его образом в Е при этом изоморфизме. При этом условии Е, и Ех
ортогональны в ? при i Ф х и Е совпадает с замкнутым векторным
подпространством, порожденным объединением всех подпространств Е,.
Если / конечно, то Е есть прямая сумма векторных пространств ft;
так как канонический проектор Е на Е1 непрерывен для каждого i ? /,
то Е является тогда также топологической прямой суммой про-
п
странств ?, (гл. I, § 1, предложение 10). При /=A, п\ вместо ф ?{
i l
пишут также
2. Гильбертова сумма ортогональных подпространств гиль-
гильбертова пространства
Определение 1. Гильбертово пространство Е называется
гильбертовой суммой семейства (Е^,х его замкнутых векторных
подпространств, если:
1° Et и Е% ортогональны для любых двух различных индек-
индексов i и х;
2° замкнутое векторное подпространство, порожденное объеди-
объединением всех ?,, совпадает с Е.

304 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
Теорема 1. Пусть Е— гильбертово пространство, являю-
являющееся гильбертовой суммой семейства (f,),^ своих замкнутых
векторных подпространств. Существует однозначно определен-
определенный изоморфизм f пространства Е на внешнюю гильбертову
сумму Е' семейства (Е), сужение которого на ?, есть канони-
каноническое отображение /, пространства Et в Е' для каждого t?/.
Пусть GcE' прямая сумма векторных пространств ?\ и g—ее
линейное отображение (^,)lC/->2 xi в ?• Покажем, что g есть изо-
изоморфизм предгильбертова пространства G на (предгильбертово) под-
подпространство g(G) пространства Е, порожденное объединением
всех ?,. Действительно, для любых двух элементов jc = (*,)„ и
1 из ° имеем
Но, по предположению, (xt\yx) = 0 при i ф х; следовательно,
и наше утверждение доказано. Изоморфизм g продолжается до изо-
изоморфизма g пополнения Е' пространства G на замыкание g(G) в Е,
которым, по предположению, служит Е; ясно, что изоморфизм /,
обратный к g, и обладает требуемым свойством. Его единственность
вытекает из того, что замкнутое подпространство пространства Е,
порожденное объединением всех ?,, есть само Е. *~
Обычно Е отождествляют с внешней гильбертовой суммой Е' его
подпространств Et посредством изоморфизма / и называют Е' гиль-
гильбертовой суммой подпространств Ег
Следствие 1. Пусть Е — гильбертово пространство, являю-
являющееся гильбертовой суммой семейства (?,) >7 своих замкнутых
векторных подпространств, Р1 для каждого t?/—ортогональ-
t?/—ортогональный проектор (§ 1, п° 5) Е на Et и xl = Pl(x) для каждого х?Е.
Тогда семейство (Ц^Ц2) суммируемо в R, семейство (xt) сум-
суммируемо в Е и
|v-||2

2 , ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 305
Обратно, если (х,) ,Т—семейство элементов из Е такое, что
для всех i?/ и 2 ll^ll2 < ~г"°°> то это семейство сум-
6f
мируемо и его сумма есть единственная точка из Е такая,
что Р1(х)=^х1 для всех i?/. Наконец,
для каждой пары точек х, у из Е.
Действительно, эти свойства очевидны для внешней гильбертовой
суммы пространств Ev и переносятся на Е по изоморфизму.
Следствие 2. Пусть Е — отделимое предгильбертово про-
пространство, (Е^)~х— семейство его полных векторных подпро-
подпространств, в котором Е1 и Е% ортогональны для каждой пары
различных индексов i и у., V — замкнутое векторное подпростран-
подпространство в Е, порожденное объединением всех Ео Я, — ортогональный
проектор Е на ?, и л:1 = Р1(х). Тогда:
1° 2ll*,ll2<ll*ll2-
2° Следующие условия равносильны: a) x?V; б) 2ll*ill2 — ll*ilz;
в) семейство (xt) суммируемо в Е и х — ^хг
3° Если V полно, то семейство (х,) суммируемо в Е и 2 х==Ру{х),
2i\\xl\\2 = (P\r(x)J, где Ру — ортогональный проектор Е на V.
Действительно, пусть Е — гильбертово пространство, получаю-
получающееся путем пополнения отделимого предгильбертова пространства Е,
так что Е всюду плотно в Е. Будучи полными, Et являются замкну-
замкнутыми подпространствами в Е. Замыкание V подпространства V в Ё
есть замкнутое векторное подпространство в Е, порожденное объеди-
объединением всех ?,, и V = V П Е. Пространство Е есть гильбертова сумма
всех ?, и ортогонального дополнения W к V в Е. Пусть х0—орто-
х0—ортогональная проекция х на W. Согласно следствию 1, j|jc||2= ||-«'0||2 +
+ 2 IIXJI2 и х — хо~\~^jxi в Е. Отсюда сразу следует неравен-
ство 1°, а также то, что условия б) и в) из 2° равносильны усло-
условию хо — О, т. е. условию x?V. Наконец, если V полно, то, положив

306 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
х' = Ру{х), имеем х'—xt = (x — л:,)— (х — Ру(х)), так что
х' — х1 ортогонально к Et и, следовательно, xt = Pl(x') для всех i?/;
тогда достаточно применить 2° к вектору х'.
Замечание. Пусть Е — отделимое предгильбертово простран-
пространство н {V^^rj—семейство его векторных подпространств, в кото-
котором V( и Vx ортогональны для каждой пары различных индексов i
и *. Тогда пересечение подпространства V% с замкнутым векторным
подпространством W%, порожденным объединением всех V, с индек-
индексами i Ф •/., для каждого ¦*. ? / сводится к элементу 0. Действительно,
вектор х, принадлежащий одновременно V% и W%, ортогонален ко всем V,
с индексами i Ф ¦*., а значит, и к W%; но тогда он ортогонален,
в частности, к самому себе и, значит, равен нулю.
Предложение 2. Пусть Е— гильбертово пространство, (V\)krL—
семейство его замкнутых векторных подпространств и (ЖхЛ^дг
для каждого X?Z.—семейство замкнутых векторных под-
подпространств в Vx такое, что замкнутое векторное подпро-
подпространство, порожденное объединением этого семейства, совпа-
совпадает с Vx. Для того чтобы. Е было гильбертовой суммой семей-
семейства (№\-Дс? а?М, необходимо и достаточно, чтобы Е было
гильбертовой суммой семейства (Vx)x,jr, a Vx, для каждого X^L, —
гильбертовой суммой семейства (W^) еж („ассоциативность гиль-
гильбертовой суммы").
Чтобы установить необходимость условия, достаточно убедиться
в том, что Va и Vp при а Ф $ ортогональны. Но каждый элемент
из W«n (^€^«) ортогонален ко всем W^ С*?Л1?), а значит, и
к порождаемому ими замкнутому векторному подпространству V*\
то же самое рассуждение показывает далее, что каждый элемент
из V^, будучи ортогонален ко всем W^ ([a ? Жа), ортогонален к Va.
Чтобы установить достаточность условия, достаточно убедиться
в том, что при его выполнении Е совпадает с замкнутым векторным
подпространством F, порожденным объединением всех W^ (X^L,
jjl ? A1;J. Ho F содержит замкнутое векторное подпространство,
порожденное объединением всех WXv. с произвольным фиксирован-
фиксированным X?L, т. е. Vx; поэтому F есть замкнутое векторное подпро-
подпространство, порожденное объединением всех V\, т. е. по предполо-
предположению совпадает с Е.

3 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 307
3. Ортонормальные семейства
Определение 2. Семейство (?.),?/ векторов предгильбертова
пространства Е называется ортонормальным, если е1 и е% при
i Ф у. ортогональны, и (|еьЦ = 1 для каждого i?/.
е,фех при i^k, поскольку (в,|в,)=1; ортонормальным мно-
жеством называется каждое множество S а Е такое, что семейство,
определяемое тождественным отображением 5 на себя, ортонор-
мально; тем самым безразлично, говорить ли об ортонормальном
семействе или ортонормальном множестве.
Если (A)lf/—ортонормальное семейство, то полные одномерные
векторные подпространства Dl = Ket попарно ортогональны. Ортого-
Ортогональная проекция каждого х?Е на D, равна \et такому, что
(х — Х,е11 е) = 0, откуда (х | ег) = \ (el | et) = \. Результаты п° 2 в при-
применении к подпространствам Dl дают:
Предложение 3. Каждое ортонормальное семейство в отде-
отделимом предгильбертовом пространстве Е-mono логически свободно.
Отметим, что это свойство вытекает также из характеризации
топологически свободных семейств (гл. IV, § 1, следствие 2 предло-
предложения 1 и § 2, замечание после предложения 4), если принять во вни-
внимание, что пространство, сопряженное к Е, отождествимо с пополне-
пополнением пространства Е или пространства, дуального к Е (§ 1, п° 6).
Предложение 4. Пусть Е — отделимое предгильбертово про-
пространство, («t)ie7 — ортонормальное семейство в Е и V — по-
порожденное им замкнутое векторное подпространство простран-
пространства Е. Тогда:
Г Для каждого х?Е
*k)l2<iWI2 A)
(неравенство Бесселя), так что множество тех i?/, для кото-
которых (х | е,) Ф 0, не более чем счетно. При этом следующие усло-
условия равносильны: a) x?V; б) ||*||2 = 21 С*| ед \2', в) семейство
векторов (х\ ек)ек суммируемо в Е и х = ^i(x\el)el.

308 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
2° Если, V полно, то семейство векторов (х \ е) е, суммируемо
в Е для каждого х^Е и 2 (* ! О е1 = Р7 (х), 2 (*|OI2 = II ^V ООН2-
3° ?с<ш 1/ полно, то для каждого семейства (КI(:1 скаляров,
для которого 2 IК I2 < + <уэ< существует однозначно определен-
«ая точка x^V такая, что (х \et) = \ для каждого 'G^- Если
(V-Xci — второе семейство скаляров, для которого 2 I V-i i2< + co.
и з'б^ таково, что (y\el) = \).t для каждого <.?/, то (х\у) =
Предложение 5. Пусть (e,)tej—ортонормалъное семейство
в отделимом предгильбертовом пространстве Е. Следующие свой-
свойства равносильны:
а) семейство (е,) тотально;
б) для каждого х?Е семейство векторов (х { eL) ?, суммируемо
в е и * =
в) для каждого х?Е
|[je!l2=S[(*IOl2 B)
(равенство Парсеваля).
Если Е — гильбертово, то эти условия равносильны еще сле-
следующему:
г) если (л: | е;) = 0 для всех i ? /, /гао л: = 0.
Равносильность условий а), б), в) сразу следует из предложения 4.
Равносильность условий а) и г), когда Е — гильбертово, вытекает
из следствия теоремы 3 § 1.
Определение 3. Ортонормалъное тотальное семейство в пред-
предгильбертовом пространстве Е называется ортонормалъным бази-
базисом этого пространства.
Пусть (д) — ортонормальный базис пространства Е; числа (х\е),
допуская вольность речи, называют координатами вектора х?Е
относительно базиса (et).
Ортонормальный базис отделимого предгильбертова пространства Е
является также ортонормальным базисом пополнения этого простран-
пространства.

4 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 309
Ортонормальный базис пространства Е не есть базис Е над те-
телом К. в смысле, определенном в Алг., гл. II, § 1, п° 6; чтобы избе-
избежать путаницы, мы базис предгильбертова пространства Е в смысле
этого последнего определения всегда называем алгебраическим ба-
базисом Е над К-
4. Ортонормалазация
Теорема 2. Каждое ортонормальное множество L в гильбер-
гильбертовом пространстве Е содержится в некотором ортонормаль-
ном базисе В этого пространства.
Действительно, пусть О — множество всех ортонормальных под-
подмножеств пространства Е, упорядоченное по включению. Ясно, что
это — множество конечного характера (Теор. мн., Рез., § 6). Следо-
Следовательно, в силу теоремы Цорна (Теор. мн., Рез., § 6, п° 10), в О
существует максимальное множество В, содержащее L. Остается
показать, что В — тотальное множество. Но в противном случае су-
существовал бы вектор у Ф 0, ортогональный ко всем векторам из В
(предложение 5), и умножая у на надлежащий скаляр, можно было
бы сделать ||_у|| = 1. А тогда В[} {у) было бы ортонормальным мно-
множеством, отличным от Б и содержащим В, в противоречие с опре-
определением множества В. Тем самым теорема доказана.
Следствие. В каждом гильбертовом пространстве существует
ортонормальный базис.
Достаточно применить теорему 2 к случаю, когда L=0.
Предложение 6. Пусть Е — отделимое предгильбертово про-
пространство и (ап) — счетное свободное семейство его векторов.
В Е существует однозначно определенное ортонормальное семей-
семейство (еп), обладающее следующими свойствами:
1° Для каждого целого р>0 векторное подпространство,
порожденное векторами ev ег, ..., ер, совпадает с векторным
подпространством, порожденным векторами av a2, .... ар.
2° (ап | еп) вещественно и > 0 для каждого номера п.
Действительно, пусть Vn—подпространство (размерности п), по-
порожденное векторами alt a2 ап, и bn+i = an+l — Pv (an!_i) (где
Р —ортогональный проектор на полное векторное подпростран-
п
ство Vn). Kbn+l есть ортогональное дополнение к У„ в Vn+V так

310 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
что если векторы еп удовлетворяют условию .1°, то необходимо
en+i = W>B+i; условие ||еп+,_||=1 дает тогда |Х|2||?п+1||2= 1, а усло-
условие (ап+11 еп+1) > 0 дает Цап+1|6„+1) > 0; но это вполне опреде-
определяет X и, следовательно, доказывает, что ортонормальное семейство
(еп), удовлетворяющее условиям 1° и 2°, допускает определение по
индукции, и притом однозначным образом.
Говорят, что семейство (еп) получено посредством ортонормали-
зации свободного семейства (ап). Очевидно, векторное подпростран-
подпространство, порожденное семейством (еп), совпадает с векторным подпро-
подпространством, порожденным семейством (ап). В частности, если (ап)—то-
(ап)—тотальная последовательность, той (еп) — тотальная последовательность
и, значит, является ортонормальным базисом пространства Е; отсюда:
Следствие. В каждом отделимом предгильбертовом простран-
пространстве Е счетного типа существует счетный ортонормальный
базис.
Действительно, утверждение, что Е — счетного типа, означает,
что ?' содержит тотальную последовательность, а из такой последо-
последовательности всегда можно выбрать тотальное свободное семейство
(Алг., гл. II, § 3).
Можно дать примеры отделимых предгильбертовых пространств
не обладающих никаким ортонормальным базисом (упражнение 2).
Для каждого множества индексов / обозначим через L%(J) гиль-
гильбертово пространство, являющееся внешней гильбертовой суммой
семейства (ATt)i_г, где К1 = К для каждого i?/; иными словами,
1?к{Г)—векторное пространство всех семейств * = (?,)„ элементов
из К, имеющих / своим множеством индексов и таких, что 21 КI2 <
<-}-оо, со скалярным произведением {х \ у) = 2 ^Л- Следствие тео-
'€*
ремы 2 показывает, что каждое гильбертово пространство над К
изоморфно некоторому пространству L.\{T).
Предложение 7. Любые два ортонормальных базиса одного
и того же гильбертова пространства Е равномощны.
Пусть В и С — два ортонормальных базиса пространства Е. Слу-
Случай, когда одно из множеств В, С конечно, тривиален, поскольку

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 311
конечный ортонормальный базис является и алгебраическим базисом
пространства. Предположим поэтому, что В к С бесконечны. Пусть
Ах для каждого х?_В— часть С, образованная теми у?С, для ко-
которых (х\у)фО. Множество Ах счетно (предложение 4). Для каж-
каждого у?С существует х?В такое, что у?_Ах, поскольку В — орто-
ортонормальный базис, а уфО; иными словами, С есть объединение счет-
счетных множеств Ах, где х пробегает В. Поэтому мощность множества С
не выше мощности произведения N X В, т. е. мощности множества В
(Теор. мн., Рез., § 7); точно так же мощность множества В не выше
мощности множества С, и предложение доказано.
Кардинальное число произвольного ортонормального базиса гиль-
гильбертова пространства Е называется гильбертовой размерностью
этого пространства.
Следствие 1. Для каждых двух ортонормальных базисов
гильбертова пространства Е существует автоморфизм этого
пространства, преобразующий первый базис во второй.
Следствие 2. Для того чтобы гильбертовы пространства
(/) и Lg(J) были изом(
I и J были равномощны.
L2K(I) u L%(J) были изоморфны, необходимо и достаточно, чтобы
Упражнения. *1) Пусть В — ортонормальный базис в беско-
бесконечномерном гильбертовом пространстве Е.
а) Показать, что каждое всюду плотное в Е множество имеет
мощность, не меньшую мощности В, и что в Е существует всюду
плотное множество, равномощное с В.
б) Показать, что мощность Е равна мощности Ву. [Для устано.
вления того, что мощность Е не превосходит мощности В , использо-
использовать а).]
в) Показать, что если мощность В не превосходит мощности кон-
континуума, то каждый алгебраический базис пространства Е имеет
мощность континуума. [Использовать упражнение 15 § 3 гл. П.] На-
Напротив, если мощность В больше мощности континуума, то каждый
алгебраический базис пространства Е равномощен с В . [Использо-
[Использовать б) н упражнение 14 из Алг., гл II, § 1 B).]
*2) а) Пусть Ei и ?2 — гильбертовы пространства, имеющие своими
гильбертовыми размерностями соответственно бесконечные кардинальные
числа m и п такие, что ш < n <! mSo; далее, Е = Ех (В Е2 — гиль-
гильбертова сумма пространств ?г и¦ ?2 и (b-,\^L—ортонормальный базис

312 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА Гл. V, S 2
пространства ?2. В Et содержится алгебраически свободная система
(a\)l?l (см. упражнение 1в); пусть Н— векторное подпространство в Е,
порождаемое (алгебраически) семейством (а\-\-bi)XrL. Показать, что Н
имеет гильбертову размерность п. [Принять во внимание, что ортого-
ортогональная проекция Н на ?2 всюду плотна, и использовать упражнение 1а.]
Пусть S — ортонормалыгое множество в //; показать, что 8(~\Е,ф0,
н вывести отсюда, что кардинальное число множества S не превосхо-
превосходит ш. [Показать, что каждый элемент ортонормалыюго базиса про-
пространства Et ортогонален ко всем элементам из S, за исключением,
самое большее, их счетного бесконечного множества.]
б) Пусть Еъ — гильбертово пространство гильбертовой размерности
p>n, F—гильбертова сумма ?ф?3 и G — подпространство Н -f- ?s
в F. Показать, что G имеет гильбертову размерность р. Пусть Т —
ортонормальное множество в G; показать, что Т(} (Ег(?) Е3) с Ея;
вывести отсюда [рассуждая, как в а)], что кардинальное число орто-
ортогональной проекции Т на ?2 не превосходит щ, и заключить, что G
не обладает ортонормальным базисом, заметив, что ортогональная
проекция G на ?2 всюду плотна в ?2.
3) Показать, что в каждом неполном отделимом предгильбертовом
пространстве Е существует замкнутая гиперплоскость такая, что орто-
ортогональное к ней подпространство пространства Е сводится к одному
элементу 0. Вывести отсюда, что если Е—счетного типа, то в ?
существует не тотальное ортонормальное семейство, не содержащееся
ни в каком ортонормальном базисе.
4) Пусть Е—отделимое предгильбертово пространство и (Ht),?/—
семейство его полных векторных подпространств, вполне упорядочен-
упорядоченное по включению и такое, что объединение всех ?, всюду плотно в Е.
Показать, что существует ортонормальный базис (еа)и^А пространства Е,
обладающий следующим свойством; для каждого i?/ множество всех ел,
принадлежащих ?„ есть ортонормальный базис пространства Ек. [Рас-
[Рассмотреть множество всех ортонормальных подмножеств S пространства Е
таких, что для каждого i ? / все векторы из S, не принадлежащие ?„
ортогональны к ?,, и взять максимальный элемент этого множества.]
Получить отсюда новое доказательство предложения 6.
5) Определителем Грама произвольных п точек Xf A<!/<!/*)
отделимого предгильбертова пространства Е называется определитель
G (хь хг хп) = det ({Xi | xj)).
а) Показать, что G (xlt хъ ..., xn) > 0 и что для того, чтобы
хъ х2,..., х„ образовывали свободную систему, необходимо и доста-
достаточно, чтобы G (хъ хг, ..., дг„)^О. [Выбрать в подпространстве,
порожденном векторами Х(, ортонормальный базис и использовать
формулу (9) из Алг., гл. III, § 8 C2).]
6) Показать, что расстояние точки х?Е от векторною подпро-
подпространства V, порожденного л. точками Хх, х», ..., хп, образующими

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 313'
*Г - ш /G (Х< Х1< ¦ • -, Хп) ,„
свободное семейство, равно 1/ —~ - ^- . [Искать выражение
' " \xi хп)
для проекции х на V.]
в) Пусть (хп) — бесконечная последовательность точек из Е. Для
того чтобы семейство (х„) было топологически свободным, необходимо-
и достаточно, чтобы
х
-ъ xp+i хп)
sup ?Г7г
п и (xt, ..., хп)
для каждого р^>0. [Использовать б).]
6) Показать, что для любого гильбертова пространства Е беско-
бесконечной гильбертовой размерности существует изоморфизм Е на его
замкнутое векторное подпространство, отличное от Е.
7) Пусть Е—гильбертово пространство, обладающее бесконечным
счетным ортонормальным базисом (e»»)n>i> к А — замкнутая выпуклая.
оболочка множества, образованного точками ll \en (л>Л). Пока-
Показать, что в А нет ни одной пары точек х, у, расстояние между ко-
которыми было бы равно диаметру этого множества и А. [См. гл. IV, § 5-
упражнение 1.]
8) Пусть Е — бесконечномерное вещественное гильбертово про-
пространство. Показать, что в Е имеется бесконечное множество структур
комплексного гильбертова пространства, для которых Е служит базис-
базисным вещественным локально выпуклым пространством (гл. II, § 6, п° 1).
[Для доказательства существования автоморфизмов и структуры тоно-,-
логического векторного пространства в Е таких, что и2(х) — — х
воспользоваться ортонормальным базисом пространства Е; затем при-
применить упражнение 1 § 1.] Дать пример, показывающий, что это пред-
предложение не распространяется на неполные отделимые предгильбертовы
пространства. [Рассмотреть в Е всюду плотную гиперплоскость.]
9) Пусть Е и F — бесконечномерные гильбертовы пространства,
счетного типа, (ап) — ортонормальный базис пространства Е и (Ьп) —
ортонормальный базис пространства F.
а) Пусть и — непрерывное линейное отображение Е в F; положим
и (ап) = 2 amnbm- Показать, что 2 I атп I2 < II и ||2 и 2 I атп I2 < II« II2'
т п /и
для всех т и п.
б) Дать пример двойной последовательности (ят„) такой, что
для всех " и 2lamnl2j*=-^ для всех т> н0 не
т п
ствует никакого непрерывного линейного отображения пространства Е
в F, для которого бы (и (ап) | bm) = amn для всех пар целых чисел (т, л).
[Обозначив через Vp и Wp подпространства в Е и F, соответственно-
порожденные векторами ап или Ьп с номерами п-^.р, показать,,
что для каждого р существует линейное отображение пространства Vp.

314 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
на Wp такое, что (ир (ап) | Ьт) = -== (яг<р, л<р) и \\upW>Yp.\
*10) Пусть ? — бесконечномерное вещественное гильбертово про-
пространство и gg = Z. (?) — баиаховская алгебра всех его непрерыв-
непрерывных эндоморфизмов (с нормой ||Л|| = sup
||||<
а) Для каждой пары векторов х, у нз Е отображение А-*-(Ах\у)
есть непрерывная линейная форма fx,y на банаховском пространстве^1.
Показать, что существует взаимно однозначное линейное отображе-
отображение <Ь тензорного произведения Е® Е (рассматриваемого как не топо-
топологическое векторное пространство) на векторное подпространство
пространства <%?', сопряженного к банаховскому пространству <$, такое,
что ^(-к® У) —/я,у Для каждой пары (х, у) € ЕX Е. Следовательно
Е® Е можно отождествить с этим подпространством пространства <%}'
-гак, чтобы {А, х® у) = (Ах\у), и наделить Е® Е структурой норми-
нормированного пространства, индуцированной из <$'. Показать, что при
этой структуре Чх® у|| = ||л:|| ||у||. [Рассмотреть эндоморфизм
z-*-(z\x)y пространства Е.\ Показать, что для каждого конечного орто-
.нормального семейства (ci)i<i<n имеет место равенство
И г = 1 || г = 1
[Тот же метод.]
б) Показать, что пространство, сопряженное к нормированному
пространству Е®Е, отождествимо с <%}; точнее, каждая непрерывная
линейная форма на Е® Е однозначно представима в виде z-+(А, г),
где А?&. [Принять во внимание, что (х, у) -»- <f (х ® у), где <р — не-
непрерывная линейная форма на Е®Е, есть билинейная непрерывная
форма на Е X Е, и вывести отсюда существование А ? <$ такого, что
в) Вывести из б), что нормированное пространство Е®Е бо-
чечно. [Используя бочечность пространства Е, показать, что каждое
множество из <$, ограниченное в топологии <з(<$, Е® Е), сильно огра-
ограниченно.]
г) Пусть Ux>y, для каждой пары векторов х, у из Е, — непрерыв-
непрерывный эндоморфизм z -*¦ (г | х) у пространства Е. Показать, что суще-
существует однозначно определенное линейное отображение t -*¦ Uf про-
пространства Е®Е в gg такое, что Ux^y=UXty для каждой пары
векторов х, у из Е. Показать, далее, что (Ux ®y,t) = {Ufy | x) для
каждой пары векторов х, у из Е, и вывести отсюда, что || ?/* || <^ || 11|.
п
Доказать, наконец, что Uf при t = 2 xi ® У» есть эндоморфизм конеч-
i = l
ного ранга < л.
д) Пусть Fn для каждого целого л — множество тех элементов
, для которых Uf есть эндоморфизм ранга <!п. Показать,

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА . 315
что Fn нигде не плотно в Е® Е. [Для доказательства того, что допол-
дополнение к Fn в Е® Е содержит всюду плотное открытое множество,
использовать неравенство || Uf || -^ II11| и то, что для каждого непре-
непрерывного эндоморфизма и конечного ранга т банаховского простран-
пространства G существует е > О такое, что каждый непрерывный эндомор-
эндоморфизм v конечного ранга, удовлетворяющий условию [|и —»||<! e, имеет
ранг ^-т.) Вывести отсюда, что Е® Е есть не бэровское нормирован-
нормированное бочечное пространство.
11) а) Пусть Е — бесконечномерное вещественное гильбертово про-
пространство счетного типа, (ап) — свободное семейство его точек такое,
что каждое из семейств (а2п) и (a2n+i) тотально в Е (гл. II, § 3,
упражнение 16), и Р, G — векторные подпространства пространства Е,
имеющие . своими (алгебраическими) базисами соответственно (я2»)
и (a2»+i)- Пространства Р и G приводятся в двойственность билиней-
билинейной формой {у\г). Показать, что выпуклое множество F{]B, где
В — шар ||лг||<;1 пространства Е, замкнуто в пространстве F, наде-
наделенном топологией a(F, G), но не обладает ни одной замкнутой опор-
опорной гиперплоскостью.
б) Пусть (Ьп) — всюду плотная последовательность в В и и (х)
для каждого х?Е — последовательность 1-^-А-—-) . Показать, что и
есть непрерывное взаимно однозначное линейное отображение про-
пространства Е на некоторое подпространство Н гильбертова простран-
пространства Z.| (N), причем и (В) компактно. Показать, что в нормированном
подпространстве L = u(F) множество u(Bf\F) выпукло, замкнуто и
предкомпактно, но не обладает ни одной опорной гиперплоскостью,
{Принять во внимание, что если /— непрерывная линейная форма на L,
то / о и есть линейная форма на F, непрерывная в топологии ч (F, G).]
*12) а) Пусть дМ для каждого целого п ^> 0 — двойная последователь-
последовательность, определенная в упражнении 21 § 5 гл. IV, и Е—векторное про-
пространство всех таких двойных последовательностей х = (Jfy) веществен-
вещественных чисел, что р„ (х) = | / ^jj a<if | xij f <C + °° Для каждого целого
Показать, что рп — полунормы на Е и Е, наделенное тополо-
топологией, определяемой этими полунормами, есть монтелевское простран-
пространство Фреше. [Рассуждать, как в упражнении 27 § 3 гл. IV.]
б) Показать, что сопряженное к Е может быть отождествлено
с пространством Е' всех таких последовательностей х = [xi}^, что
2j [ауу\ I xij I < + °° х(>тя бы для одного номера п.
i,i
со / со \ 2
в) Показать, что 2 ( 2 I ХУ \ ) <^Jrca для кажД°г0 ¦* = (xij) € Е.
{Использовать неравенство Коши — Буняковского.] Для каждого У>1

316 ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА ГЛ. V, § 2
положим У; = 2'Ч/' так чт0 последовательность и (х) — (у^) будет
i = i
принадлежать гильбертову пространству Z.2 (N). Показать, что а есть
гомоморфизм Е на Z.2(N), и вывести отсюда, что в Z.2(N) существуют
слабо компактные множества, не являющиеся образами никакого ком-
компактного в топологии и (Е, Е') множества из Е при отображении и.
[Рассуждать, как в упражнении 21 § 5 гл. IV.]
*13) а) Пусть (Еп) — последовательность вещественных банахов-
ских пространств и Е—векторное подпространство произведения
со
/•"=Jj?n, образованное теми последовательностями х=(х„), для
Jj
п=о
1 / V цХп цг
которых 2ll-*»H2< + co- Показать, что функция ||дс||
п=о
на Е есть норма и Е полно в этой норме. Е называется гильбертовой
суммой банаховских пространств Еп.
б) Показать, что пространство Е', сопряженное к банаховскому
пространству Е, отождествим о с гильбертовой суммой сопряженных
со
пространств е!п, причем (х, х') = 2 (хп> хп) для каждого х' = (.xQ €
п = 0
? Е'. [Показать, что если а — непрерывная линейная форма на Е,
ип — ее сужение на ?„, рассматриваемом как подпространство в Е,
и ап — точка нз Еп, для которой ||а„|| = 1, то ряд с общим членом
(ап) сходится для каждой последовательности (Х„) вещественных
чисел такой, что 2 ^и ^"Ь00» и вывести отсюда, что 2
п=о п=о
используя, например, теорему Банаха — Штейнгауза для L- (N).]
в) Вывести из б), что если все Еп рефлексивны, то Е рефлексивно-
В частности, принимая за Еп пространство R", снабженное нормой
||д:||= sup |?,|, где х = (il)l < i < п, показать, что ? рефлексивно,
но ни для одной нормы на пространстве Е, согласующейся с его топо-
топологией, Е не является равномерно выпуклым (§ 1, упражнение 15).
*14) Пусть Е—гильбертово пространство счетного типа, (en)ncz—'
ортонормальный базис в Е, множеством индексов которого служит
множество всех целых рациональных чисел. Обозначим через и изо-
метрию Е на себя такую, что и (еп) = еп+1 для всех п ? Z, и положим
/(¦*) = ^ 0- \\х\\)ео + и{х).
а) Пусть В — шар ||д:||<;1 и S — сфера ||дг|| = 1. Показать, что
сужение / на В есть гомеоморфизм В на себя [заметив, что сужение и.
на S есть гомеоморфизм S на себя] и что Fie существует точки хй 5 В,
для которой бы /(хо) = хо [выразить х0 через ее координаты отно-
относительно базиса (еп)].

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА 317
б) Пусть g (х) для каждого х ? В — точка, в которой полупрямая
с началом f{x), проходящая через х, пересекает S. Показать, что g
«сть непрерывное отображение В a S такое, что g {х) = х для всех
¦X ? S. [См. Общ. топ., гл. VI, § 2, упражнение 8 (**).] Вывести отсюда,
что существует непрерывное отображение h произведения S X [0, 1]
на S такое, что h (х, 0) = х0 и h {х, 1) = х для каждого х ? S.
15) Пусть Е—бесконечномерное вещественное гильбертово про-
пространство счетного типа и (еп)п>1 — его ортонормальный базис.
а) Пусть А — замкнутая симметричная выпуклая оболочка множе-
множества всех точек —. Показать, что А компактно и не обладает в точке 0
п
ни одной замкнутой опорной гиперплоскостью, но существуют прямые D,
¦проходящие через 0 и такие, что ?>ПЛ = {0}.
б) Пусть Р— гильбертова сумма ?©R, е0— вектор, образующий
вместе с векторами еп (л>1) ортонормальный базис пространства Ft
и В — замкнутая выпуклая оболочка множества {eo/'lM- Показать,
что в Р существует замкнутый отрезок L с началом 0 такой, что
2|"|? = {0}, но пет никакой замкнутой гиперплоскости, проходящей
через 0 и отделяющей L и В (хотя в точке 0 и существует замкнутая
опорная гиперплоскость к В).
*16) Пусть Ei и Ег — бесконечномерные вещественные гильбертовы
¦пространства счетного типа и Е—гильбертова сумма Е^@ Е2 (отожде-
(отождествленная с произведением Ех X Е2). Пусть (еп)п->1 — ортонормальный
базис пространства Et, далее, А — компактное выпуклое множество в ?2,
содержащее 0, и D — прямая в Еъ проходящая через 0, такие, что
?>ГМ = {0} и А не обладает замкнутой опорной гиперплоскостью
в точке 0 (упражнение 15). Пусть (а„) и C„) — последовательности
вещественных чисел >>0 такие, что lim [)n = 0 и J.—<1. Пусть
п>со ¦*"¦ яп
п
Р — множество всех точек 25пе„ из Et таких, что 0 <!?«<>,» для
п
всехл>1. Наконец, пусть Q — замкнутая выпуклая оболочка в Е
множества всех точек (апе„, х-\-$па), где л!>1, а Ф 0 — фиксирован-
фиксированная точка прямой Dux пробегает А.
а) Показать, что P{]Q — 0, но в Е не существует замкнутой
гиперплоскости, которая бы отделяла Р и Q.
б) Пусть F—гильбертова сумма ?©R и с— произвольная точка
из Р, не содержащаяся в Е. Показать, что заостренные выпуклые ко-
конусы Pi и Qi с вершиной с, порожденные соответственно множе-
множествами Р и Q, замкнуты в Р, но никакая замкнутая гиперплоскость
в Р не отделяет Рх и Qv [Для установления замкнутости Рх и Qt
доказать, что ни Р, ни Q не содержит полупрямой.] *)
*) Упражнения 116, 15 и 16 сообщил нам V. L. Юее.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
К ГЛАВАМ I-V
(Римские цифры относятся к библиографии, помещенной
в конце этого очерка.)
Общая теория топологических векторных пространств возникла в тече-
течение промежутка времени, длившегося приблизительно от 1920 до 1930 г.
Но она подготовлялась задолго до этого исследованием многочисленных
проблем функционального анализа; и нельзя излагать ее историю, не указав,
по крайней мере в общих чертах, как исследование этих проблем посте-
постепенно подводило математиков (особенно с наступлением двадцатого века)
к осознанию родственности рассматриваемых вопросов и возможности форму-
формулировать их значительно более общим образом и применить к ним едино-
единообразные способы решения.
Можно сказать, что аналогии между алгеброй и анализом и идея рас-
рассмотрения функциональных уравнений (т. е. уравнений, в которых неизвест-
неизвестной является функция) как „предельных случаев" алгебраических уравнений,
восходят к первым шагам исчисления бесконечно малых, которое в некото-
некотором смысле отвечает этой потребности обобщения „с конечного на беско-
бесконечное". Но прямым алгебраическим прародителем исчисления бесконечно
малых является исчисление конечных разностей (см. Функц. вещ. перем..
Исторический очерк к главам I—III, стр. 161—166), а не решение общих
линейных систем; и лишь в середине восемнадцатого века обнаружились
первые аналогии между этим последним н проблемами дифференциального
исчисления, в связи с уравнением колеблющейся струны. Мы не будем под-
подробно входить здесь в историю этого вопроса; но следует отметить появле-
появление двух фундаментальных идей, постоянно встречающихся и в дальнейшем и
обязанных обе своим возникновением Д. Бернулли. Первая состоит в рас-
рассмотрении колебания струны как „предельного случая" колебания системы л
точечных масс, когда л неограниченно возрастает; как известно, эта задача,
в случае конечного л, доставила несколько позже первый пример исследо-
исследования собственных значений линейного преобразования (см. Исторический
очерк к главам VI—VII Алгебры); этим числам соответствуют, при указан-
указанном „переходе к пределу", частоты „собственных колебаний" струны, экспе-
экспериментально наблюдавшихся очень давно, теоретически же обоснованных
(а именно Тейлором) в начале восемнадцатого века. Эта формальная анало-
аналогия, хотя и довольно редко отмечавшаяся в дальнейшем (A6), стр. 390)^
по-видимому, никогда в течение девятнадцатого века не терялась из виду;
но, как мы дальше увидим, вся ее важность была осознана лишь
к 1890—1900 годам.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I-V 319К
Другой идеей Д. Бернулли (быть может, подсказанной эксперименталь-
экспериментальными фактами) является „принцип суперпозиции", согласно которому самое
общее колебание струны ^должно быть „разложимо" в суперпозицию „соб-
„собственных колебаний", что, говоря математически, означает, что общее реше-
решение уравнения колебаний струны должно быть разложимо в ряд ~S\ cn<fn (x, t)+
п
гДе 9п (ху 0 представляют собственные колебания. Как известно, этот прин-
принцип вызвал длительный спор насчет возможности разложения „произвольной
функции" в тригонометрический ряд — спор, который был разрешен лишь,
работами Фурье и Дирихле в первой трети девятнадцатого века. Но еще
до достижения этого результата встретились другие примеры разложений
в ряды по „ортогональным" функциям *): сферическим функциям и полино-
полиномам Лежандра, а также различным системам вида \е п), где Хп уже не.
кратны одному и тому же числу, вводившимся с восемнадцатого века в зада-
задачах о колебаниях, а также Фурье и Пуассоном в ходе их исследований па
теории теплоты. К 1830 году все явления, наблюденные в этих различных
частных случаях, были систематизированы Штурмом (I) и Лиувиллем (II)
в общей теории колебаний для функций одной переменной: они рассмотрели
дифференциальное уравнение
с граничными условиями
у' (а) — Aiy (а) = О
У' № 4" ^гУ (^) = О
и доказали следующие фундаментальные результаты:
1) задача имеет ненулевое решение лишь когда \ принимает одно из зна-
значений, образующих некоторую последовательность (Кп) чисел ]>0, стремя-
стремящуюся к +со;
2) для каждого Хп решения кратны одной и той же функции vn, кото-
ь
рую можно предполагать „нормированной" условием I pv^dx=\, причем.
а
Ь
I pvmVn dx=0 при т Ф п;
а
3) каждая дважды дифференцируемая функция / на интервале [а, Ь]г
удовлетворяющая граничным условиям B), разложима в равномерно сходя-
ь
щийся ряд / (х) = 2 cnVn (¦*)> где Сп= I pfvndx;
а
ь
4) имеет место равенство Г pPdx = 2 сп (Уже доказанное Парсевалем.
*) Впрочем, этот термин не появлялся до работ Гильберта.

320 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V
в 1799 году — впрочем, чисто формально — для систем тригонометрических
функций и имеющее своим непосредственным следствием „неравенство Бес-
селя", высказанное последним (все еще для тригонометрических рядов)
в 1828 году).
Полустолетием позже эти свойства были пополнены работами Грама (III),
который, продолжая исследования Чебышева, выявил связь между разложе-
разложениями в ряды ортогональных функций и задачей „наилучшего квадратиче-
¦ского приближения" (восходящего непосредственно к гауссовскому „методу
наименьших квадратов" в теории ошибок); в этой последней задаче тре-
требуется найти для функции / линейную комбинацию 2 ai"W заданной конеч-
i
ной последовательности функций (^j)i<i<n так> чтобы интеграл
ь
Г р I/ — 2^»^» ) ^х достигал своего минимума. Эту по существу тривиаль-
а i
ну:о проблему линейной алгебры Грам решил оригинальным способом, при-
применив к функциям ф; процесс „ортонормализации", описанный в § 2 гл. V
(и обычно приписываемый Эрхарду Шмидту). Переходя, далее, к случаю
бесконечной ортонормальной системы (fn), он поставил вопрос, как узнать,
когда „наилучшее квадратическое приближение" цп функции / линейными
комбинациями первых п функций этой системы стремится к нулю при неогра-
неограниченном возрастании п *); таким образом он подошел к определению поня-
понятия полной ортонормальной системы и знал, что это свойство равносильно
^несуществованию ненулевой функции, ортогональной ко всем <fn. Он пытался
даже подвергнуть исследованию понятие „сходимости в среднем квадрати-
ческом", но до введения основных понятий теорин меры мог получить в этом
направлении лишь результаты весьма частного характера.
Во второй половине девятнадцатого века основные усилия аналитиков
.были направлены больше в сторону распространения теории Штурма — Лиу-
вилля на функции нескольких переменных, чего особенно требовало иссле-
исследование уравнений в частных производных эллиптического типа математи-
математической физики и естественно связанных с ними краевых задач. Главный
интерес сосредоточился на уравнении „колеблющейся мембраны"
Lx (и) = Ди + *и = 0, C)
для которого разыскивались в достаточно правильной области G решения,
обращающиеся в нуль на контуре области; и лишь весьма постепенно были
преодолены значительные аналитические трудности, заключенные в этой
задаче, к которой нельзя было и думать применить методы, оказавшиеся
успешными для функций одной переменной. Напомним основные этапы на
*) Следует отметить, что в своем исследовании Грам нигде не ограни-
ограничивает себя рассмотрением непрерывных функций, подчеркивая зато важ-
ь
вость условия I p/2 dx<^-\- 'jo

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V 321
пути к решению: введение „функции Грииа" области G, существование кото-
которой было доказано Шварцем; также принадлежащее Шварцу доказательство
существования наименьшего собственного значения; наконец, в 1894 году
А. Пуанкаре в его знаменитом мемуаре (Va) удалось доказать существова-
существование и важнейшие свойства всех собственных значений, рассмотрев, при
заданной „правой части" /, решение и\ уравнения !>(«)=/, обращающееся
в нуль на контуре области, и показав, путем искусного обобщения метода
Шварца, что «> есть мероморфная функция комплексного переменного А.,
обладающая лишь простыми вещественными полюсами Х„, как раз и являю-
являющимися искомыми собственными значениями.
Эти исследования тесно связаны с первыми шагами теории линейных
интегральных уравнений, несомненно наиболее способствовавшей воцарению
новых идей. Мы ограничимся здесь лишь самым кратким очерком развития
этой теории (отсылая за большими подробностями к Историческим очеркам,
которые будут Сопровождать главы этого трактата, посвященные спект-
спектральной теории). Этот тип функциональных уравнений, сначала лишь спора-
спорадически появлявшийся в первой половине девятнадцатого века (Абель, Лиу-
вилль), приобрел важность после того, как Беер и К. Нейманн свели решение
„задачи Дирихле" для достаточно правильной области G к решению „инте-
„интегрального уравнения второго рода""
6
K(x, у) и (у) dy=f(x) D)
а
относительно неизвестной функции и, — уравнения, которое К. Нейманну
удалось решить способом „последовательных приближений" в 1877 году.
Побуждаемый, несомненно, уже упомянутыми алгебраическими аналогиями
не в меньшей мере, чем результатами, полученными им для уравнения колеб-
колеблющейся мембраны, А. Пуанкаре приходит в 1896 году (V6) к идее введе-
введения переменного параметра X перед знаком интеграла в предыдущем урав-
уравнении и утверждает, что, как и для уравнения колеблющейся мембраны,
решение будет тогда мероморфнои функцией от X; но ему не удалось дока-
вать этот результат, установленный (для непрерывного „ядра" К и конеч-
конечного интервала \а, Ь\) лишь четырьмя годами позже И. Фредгольмом (VI).
Этот последний, быть может, еще более сознательно, чем его предшествен-
предшественники, полностью руководствуется аналогией между уравнением D) и линей-
линейной системой
п
{ ) ) E)
и получает решение уравнения D) в виде отношения двух выражений, соста-
составленных по образцу определителей, входящих в формулы Крамера. Впрочем,
здесь не заключалось новой идеи: с начала девятнадцатого века метод „не-
„неопределенных коэффициентов" (состоявший в нахождении неизвестной функ-
функции, предполагаемой разложимой в ряд 2 cnfn по известным функциям tpn,

322 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V
путем вычисления коэффициентов сп) привел к „линейным системам с бес-
бесконечным числом неизвестных"
2 «<,*, = *, (/=1,2,...). F)
i
Фурье, встретившийся с такой системой, „решил" ее еще как математик
восемнадцатого века: он отбросил все члены с номером i или j, превосхо-
превосходящим я, нашел явное решение получившейся конечной системы по форму-
формулам Крамера и далее „перешел к пределу", устремив в решении п к беско-
бесконечности! Хотя позже уже не удовлетворялись подобными фокусами, все же
вначале пытались атаковать эту задачу еще с помощью теории определите-
определителей; начиная с 1886 года (вслед за работой Хилла) А. Пуанкаре, а затем
X. фон Кох построили теорию „определителей бесконечного порядка", позво-
позволившую решить некоторые типы систем F) по классическому образцу; и
если эти результаты и не оказались непосредственно применимыми к задаче,
поставленной Фредгольмом, несомненно, по крайней мере, что, в частности,
теория Коха послужила ему моделью для образования его „определителей".
В этот момент и выступил Гильберт, дав новый толчок развитию тео-
теории (VII). Он начал с дополнения работ Фредгольма фактическим осущест-
осуществлением предельного перехода, ведущего от решения системы E) к решению
уравнения D); но он тут же присоединил к этому соответствующий предель-
предельный переход для теории вещественных квадратичных форм, к которому
естественно приводили типы интегральных уравнений с симметрическим
ядром (т. е. таким, что К (У, х)-=К(х, у)), гораздо более часто встречаю-
встречающиеся в математической физике. Это привело его к фундаментальной фор-
формуле, непосредственно обобщающей приведение квадратичной формы к ее
осям:
ь ь со / б \2
ffK(s,t)x(s)x(t)dsdt=^±-lf4n(s)x(s)ds\ , G)
а о п=1 *о I
где Х„—(необходимо вещественные) собственные значения ядра К, <fn обра-
образуют ортонормальную систему соответствующих собственных функций, а ряд
6
в правой части сходится при I л2 (s) ds <^ Ь Он показал также, что каждая
а
6
функция, „представимая" в виде /(*)= \ К(х, y)g(y)dy, .обладает „раз-
а
со Ь
ложением" Л. ср„ (дг) I tpn (у)/(у) dy, и, следуя аналогии с классической тео-
n=i о
рией квадратичных форм, указал вариационный метод определения собствен-
собственных значений А.,,, представляющий собой не что иное, как распространение
хорошо известных экстремальных свойств осей поверхности второго порядка
((VII). стр. 1—38).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V 323
Эти первые результаты Гильберта были почти сразу передоказаны
Э. Шмидтом в более простой и общей форме, избегающей как введения
„определителей Фредгольма", так и перехода от конечного к бесконеч-
бесконечному, и уже весьма близкой к абстрактному изложению, поскольку в дока»
зательствах очевидным образом использовались лишь фундаментальные
свойства линейности и положительности интеграла (Villa). Но тем временем
Гильберт поднялся до еще более общих концепций. Все предшествующие
работы выявили важность функций с интегрируемым квадратом, а формула
Парсеваля установила тесную связь между этими функциями и последова-
последовательностями (сп), для которых 2 сп "^ + °°* Несомненно, этой идеей руко-
п
водствовался Гильберт в своих мемуарах 1906 года ((VII), гл. XI—XIII),
где, оживив старый метод .неопределенных коэффициентов", он показал^
что решение интегрального уравнения D) равносильно решению бесконечной
системы линейных уравнений
оо
xp+^kpqxq*=bp (p = l, 2,...) (8)
6
для „коэффициентов Фурье" хр = | и (t) <ар (t) dt неизвестной функции и
а
относительно заданной полной ортонормальной системы (шп) (с Ьр =
Ь Ь ь
*= I f(t)<op(t)dt и kpq = J Г K(s, t)a>p(s)a>a(t)dsdt). При этом един-
а а а
ственные решения системы (8), которые с этой точки зрения подлежат рас-
рассмотрению, это те, для которых 2 Jcn<C + ooi и потому именно этим типом
п
решения систематически ограничивается Гильберт; но зато он расширяет
условия, накладываемые на „бесконечную матрицу" (kpq) (которая в си-
системе (8) такова, что 2 *рд<С + оо)> С этого момента становится ясным,
р, g
что в основе всей теории лежит, хотя и не введенное явно, „пространство
Гильберта" последовательностей (хп) вещественных чисел, для которых
2 •*п<С~Ьсо' появляющееся как результат .предельного перехода" от евкли-
п
дова пространства конечной размерности. Более того, что особенно важно
для дальнейшего развития теории, Гильберт пришел к введению в этом
пространстве не одного лишь, а двух различных понятий сходимости (соот-
(соответствующих тому, что [впоследствии было названо слабой и сильной топо-
топологиями*), а также „принципа выбора", являющегося не чем иным, как
*) Вариационное исчисление уже естественно привело к рассмотрению
в одном и том же множестве функций различных понятий сходимости (в за-
зависимости от того, требуется ли равномерная сходимость одних только функ-
функций или же функций с некоторым числом их производных); но способы
сходимости, определенные Гильбертом, были в то время совершенно новы.

324 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I-V
свойством слабой компактности единичного шара. Новая линейная алгебра,
развитая им в связи с решением систем (8), полностью основывалась на этих
топологических понятиях: линейные отображения, линейные формы и били-
билинейные формы (ассоциированные с линейными отображениями) классифици-
классифицировались и изучались соответственно их свойствам „непрерывности" *)•
В частности, Гильберт открыл, что успех метода Фредгольма основывался
на понятии „вполне непрерывности", которое он выделил, сформулировав
для билинейных форм **), и подверг глубокому изучению; за дальнейшими
подробностями мы отсылаем к той части настоящего трактата, где будут
изложены это важное понятие, а также великолепные и глубокие работы
Гильберта, в которых он положил начало спектральной теории симметрич-
симметричных билинейных форм (как ограниченных, так и неограниченных).
Язык Гильберта остается еще классическим, и на всем протяжении своих
„Grundzflge" Гильберт не упускает из виду приложений теории, излагаемых
на большом числе примеров (занимающих около половины книги). Следующее
поколение предпочло уже стать на гораздо более абстрактную точку зрения.
Под влиянием идей Фреше и Ф. Рисса, относящихся к общей топологии
(см. Исторический очерк к гл. I Общ. топ.), Э. Шмидт (VI1I6) и сам Фреше
смело ввели, в 1907—1908 годах, язык евклидовой геометрии в (веществен-
(вещественное или комплексное) „пространство Гильберта"; именно в этих работах
содержатся первое упоминание нормы (с современным обозначением 11*11),
неравенство треугольника, которому ,она удовлетворяет, тот факт, что
пространство Гильберта „сепарабельно" и полно; кроме того, Э. Шмидт
доказывает существование ортогональной проекции на замкнутое линейное
многообразие, что позволяет ему придать гильбертовой теории линейных
систем более простой и общий вид. В том же 1907 году Фреше и Ф. Рисе
заметили, что пространство функций с интегрируемым квадратом обладает
совершенно аналогичной „геометрией"; эта аналогия полностью выяснилась,
когда немного позже Ф. Рисе и Э. Фишер доказали, что это пространство
полно и изоморфно „пространству Гильберта", блестящим образом выявив
одновременно значение незадолго до этого созданного Лебегом орудия.
С этого момента основные черты теории гильбертовых пространств можно
считать определившимися; из более поздних достижений особо следует упо-
упомянуть аксиоматическое изложение теории, данное к 1930 году М. Строуном
и И. фон Нейманном, а также отказ от ограничения „сепарабельностью",
осуществленный около 1934 года в работах Реллиха. Лёвига и Ф. Рисса AХд).
Тем временем в первые годы двадцатого века и другие идейные течения
усиливали тенденцию, приведшую к теории нормированных пространств.
В последние десятилетия девятнадцатого века в связи с вариационным
исчислением, с одной стороны, и теорией интегральных уравнений — с другой,
*) Следует отметить, что вплоть до 1935 года под „непрерывной" функ-
функцией всегда практически понимали отображение, преобразующее каждую
¦сходящуюся последовательность в сходящуюся последовательность.
**) По Гильберту, билинейная форма В(х,у) вполне непрерывна, если
В (хп> Уп ) стремится к В(х, у), когда последовательности (хп) и (уп) слабо
сходятся соответственно к х и у.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ b-V 325
сформировалась общая идея „функционала" (т. е. числовой функции, опре-
определенной на множестве, элементы которого сами являются числовыми функ-
функциями одного или нескольких вещественных переменных). Но хотя своим
появлением на свет это понятие, как и более общая идея .оператора", было
обязано в первую очередь итальянской школе — Пинкерле и особенно
Вольтерра,— работы этой школы имели обычно довольно формальный харак-
характер и занимались задачами частного типа, причем в них отсутствовал сколько-
нибудь серьезный анализ лежащих в основе топологических понятий.
В 1903 году Адамар положил начало современной теории „топологической"
двойственности, задавшись задачей разыскания наиболее общих непрерывных
линейных „функционалов" на (наделенном топологией равномерной сходи-
сходимости) пространстве Q (/) всех непрерывных числовых функций на компакт-
компактном интервале / и охарактеризовав их как пределы последовательностей
интегралов х -*¦ I kn(t) x(t)dt. С другой стороны, в 1907 г. Фреше и Ф. Рисе
I
доказали, что непрерывные линейные формы на пространстве Гильберта —
это введенные Гильбертом .ограниченные" формы; далее, в 1909 году Ф. Рисе
придал теореме Адамара окончательную форму-, выразив каждый непрерыв-
непрерывный линейный функционал на G (/) интегралом Стилтьеса, что послужило
позже отправным пунктом современной теории интегрирования (см. Истори-
Исторический очерк к книге VI, гл. II — V).
В следующем году снова Ф. Рисе AХа) сделал новый и важный шаг
в теории введением и изучением (по образцу теории пространства Гиль-
Гильберта) пространств IP (/) функций с суммируемой р-й степенью на интер-
интервале / (для показателей р, удовлетворяющих условию 1<^р<Ц-°о)> ПР°"
долженным три года спустя AХв) аналогичной работой о пространствах
последовательностей L? (N); эти исследования, как мы позже увидим, сделали
очень много для выяснения идей двойственности тем, что здесь впервые
встретились два пространства в двойственности, между которыми не было
естественного изоморфизма *).
С этого момента Ф. Рисе размышляет об аксиоматическом исследовании,
охватывающем все эти результаты (AХа), стр. 452); и можно полагать, что
лишь щепетильность аналитика, озабоченного тем, чтобы не слишком уда-
удалиться от классической математики, удержала его от написания в такой
форме его знаменитого мемуара 1918 года о теории Фредгольма AХг).
В принципе он рассматривает пространство Q (/) всех непрерывных функ-
функций на компактном интервале /; но определив в этом пространстве норму
и заметив, что Q (/), снабженное этой нормой, полно, он нигде в своих
дальнейших рассуждениях не пользуется ничем, кроме аксиом полных нор-
*) Хотя двойственность между Z.1 и Z.00 неявно встречается в большин-
большинстве работ этого времени, относящихся к интегралу Лебега, лишь в 1918 году
Г. Штейнгаузом было доказано, что каждая непрерывная линейная форма на
Z.1 (/) (для конечного интервала /) имеет вид*-»- \ f(t)x{t)dt,где/??°°(У).

326 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V
мированных пространств *). Не входя здесь в подробное рассмотрение
этой работы, упомянем, что именно в ней впервые определяется общим
образом понятие вполне непрерывного линейного отображения (свойством
преобразовывать некоторую окрестность в относительно компактное мно-
множество) **); и — истинным шедевром аксиоматического анализа — вся теория
Фредгольма (в ее качественном аспекте) сводится к одной фундаментальной
теореме, а именно, что каждое локально компактное нормированное про-
пространство конечномерно.
Общее определение нормированных пространств было дано в 1920 —
1922 годах С. Банахом, X. Ханом и Э. Хелли (причем последний рассматри-
рассматривал лишь пространства последовательностей вещественных или комплексных
чисел). В последующее десятилетие теория этих пространств развивалась
главным образом вокруг двух вопросов, имеющих фундаментальную важность
для приложений: теории двойственности и теорем, связанных с понятием
.категории" Бэра.
Мы видели, что идея двойственности (в топологическом смысле) восходит
к началу двадцатого века; она лежит в основе теории Гильберта и занимает
центральное место в работе Ф. Рисса. Этот последний, например, заметил
в 1911 году (AX6), стр. 41—42), рассматривая пространство С (Г), что соот-
соотношение |/(х) |<М||х|| (принятое за определение „ограниченных" линей-
линейных функционалов в пространстве Гильберта) равносильно непрерывности/,
пользуясь при этом рассуждением совершенно общего характера. В связи
с характеризацией непрерывных линейных функционалов иа Q (/) он заметил
также, что условием для того, чтобы множество А было плотно в 6A),
является несуществование на / никакой меры Стилтьеса ц Ф 0, которая
была бы .ортогональна" ко всем функциям из А (обобщив этим условие
Г рама для полных ортонормальных систем); наконец, он установил, в той же
работе, что сопряженное к пространству Z.00 .больше" пространства мер
Стилтьеса (AX6), стр. 62).
С другой стороны, в работах о пространствах Lp (/) и Lp (N) Ф. Риссу
удалось видоизменить метод решения линейных систем в пространстве
Гильберта, предложенный Э. Шмидтом (VIII6), сделав его применимым
в более общих случаях. Идея Э. Шмидта состояла в определении .экстре-
.экстремального" решения уравнений F) путем разыскания точки замкнутого линей-
линейного многообразия, представляемого этими уравнениями, находящейся на
*) Впрочем, Ф. Рисе явно указывает, что применение его теорем к не-
непрерывным функциям является здесь лишь „пробным камнем" для гораздо
более общих концепций (AХг), стр. 71).
**) В своих работах о пространствах Lp Ф. Рисе определял вполне не-
непрерывные отображения, как отображения, преобразующие каждую слабо
сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся, что (учитывая сла-
слабую компактность единичного шара в пространствах Lp, где 1 <С Р <С ~Ь °°)
равносильно в этом случае данному выше определению; кроме того, Ф. Рисе
указал, что для пространства L2 его определение (переведенное с языка
линейных отображений на язык билинейных форм) равносильно гильбертов-
скому (AХа), стр. 487).

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I—V 327
минимальном расстоянии от начала. Используя ту же идею, Ф. Рисе показы-
показывает, что для существования функции x?.Lp (a, b), удовлетворяющей урав-
уравнениям
6
fai(t)x(t)dt=bi (/=1,2,...), (9)
а
в которых функции а{ принадлежат Lq, где 1 = 1, и, кроме того, усло-
6
вию I | х (t) \р dt ¦< Мр, необходимо и достаточно, чтобы для любой коиеч-
а
ной последовательности 0-i)i<i<n веш.ественных чисел выполнялось не-
неравенство
4=1
<м
dt
4=1
В 1911 году AX6) он рассматривает аналогичным образом „обобщенную
проблему моментов", заключающуюся в том, чтобы решить систему
6
fat(t)(K(i)~bt (/=1,2,...), (И)
где а.ф непрерывны, а неизвестной является мера Стилтьеса ? *); и здесь
ясно видно, что эту проблему можно сформулировать как проблему опре-
определения непрерывного линейного функционала на 6A) по его значениям
на заданной последовательности точек этого пространства. В такой форме
Хелли и рассматривал эту проблему в 1912 году—-получив условия Ф. Рисса
методом, довольно сильно отличающимся от риссовского и обладающим
более широкой областью применимости**), — и вернулся к ней, при гораздо
*) Классическая „проблема моментов" отвечает тому случаю, когда
интервал \а, Ь\ есть ]0, +ос[ или J—оо, +со[, а а{ (t) = t*; кроме того,
от меры ? требуется еще положительность (в своем мемуаре 1911 года
Ф. Рисе указывает, как должны быть видоизменены его общие условия при
разыскании решений этого типа). Среди различных методов решения клас-
классической проблемы моментов следует особо отметить метод М. Рисса,
изящно соединившего общие идеи функционального анализа и теории фуикций
комплексного переменного для получения явных условий, которым должны
удовлетворять bs (Sur le probleme de moments, 3., Ark. for Math., т. XVII
A922—1923), n° 16, 52 стр.).
**) Как и Ф. Рисе (AX6), стр. 49—50), Хелли использует в этом дока-
доказательстве «принцип выбора", т. е., разумеется, не что иное, как слабую
компактность единичного шара в пространстве мер Стилтьеса; Ф. Рисе
пользовался аналогичным свойством также в пространствах Lp (I <CP<C~f" °°)'

328 исторический очерк к главам I—v
более общих условиях, в 1921 году. Введя, как мы уже выше указывали,
понятие нормы (иа пространстве последовательностей), он заметил, что это
понятие обобщает понятие „калибровочной функции" выпуклого тела в л-мер-
ном пространстве, использованное Минковским в его знаменитых работах
по „геометрии чисел" (IV). В этих работах Минковский определил также
(в Rn) понятия опорной гиперплоскости и „опорной функции" (IV6) и доказал
существование опорной гиперплоскости в каждой граничной точке выпук-
выпуклого тела ((IVa), стр. 33—35). Хелли распространил эти понятия на про-
пространство последовательностей Е, снабженное произвольной нормой; он
установил двойственность между Е и пространством Е последовательностей
и = (ип) таких, что ряд (ипхп) сходится для каждого х — (хп) ? Е к не-
некоторой сумме, которую мы обозначим (и, х); он определил в Е' норму
. „ I <и, х) I
формулой sup ' ' ' ' , дающей в конечномерных пространствах опорную
хфО II-* II
функцию*). Решение в Е системы F), где каждая из последовательностей
ui~(aij)j^i предполагается принадлежащей ?', сводится, как показывает
тогда Хелли, к последовательному решению следующих двух задач: 1° найти
непрерывную линейную форму L на нормированном пространстве Е' такую,
что L («^) = bt для каждого номера I, что, как он указывает, приводит
к условиям типа A0); 2е установить, может ли такая линейная форма быть
представлена в виде и-> {и, х) с некоторым х ? Е. Хелли замечает, что эта
последняя задача не обязательно имеет положительное решение, даже
когда L существует, й ограничивается указанием нескольких достаточных
условий, влекущих существование решения х ? Е в некоторых частных
случаях (X).
Эти идеи приобрели свою окончательную форму в 1927 году в фунда-
фундаментальном мемуаре X. Хана (XI), результаты которого были заново полу-
получены (независимым образом) С. Банахом двумя годами позже (ХНб). Метод
Минковского—Хелли применяется Хаиом к произвольному нормированному
пространству и определяет тем самым в сопряженном пространстве струк-
структуру (полного) нормированного пространства; это сразу позволяет Хану
рассматривать последовательные сопряженные к нормированному простран-
пространству и поставить в общем виде проблему рефлексивных пространств, лишь
затронутую Хелли. Но главное — это что капитальная проблема продолжения
непрерывного линейного функционала с сохранением его нормы была окон-
окончательно решена Ханом совершенно общим образом, с помощью трансфинит-
трансфинитной индукции по числу измерений, чем был дан один из первых примеров
важного применения аксиомы выбора к функциональному анализу **). К этим
результатам Банах присоединил основополагающее исследование связей
*) Для того чтобы получить так норму, следует предположить, что
если (а, х)—0 для всех х?Е, то и = 0, что, впрочем, Хелли явно и
отмечазт.
**) Банах уже провел аналогичное рассуждение в 1923 году для опре-
определения инвариантной меры на плоскости (определенной для всех ограни-
ограниченных множеств) (ХПа).

исторический очерк к главам i-v 32&
между непрерывным линейным отображением и его сопряженным, распро-
распространив на общие нормированные пространства результаты, известные до-
этого лишь для пространств Lp (IXa), с помощью весьма глубокой теоремы
о слабо замкнутых множествах в сопряженном пространстве (см. гл.-IV, § 2,
теорема 5); впрочем, эти результаты выражаются в более яркой форме при
использовании понятия факторпростраиства нормированного пространства,
введенного несколькими годами позже Хаусдорфом и самим Банахом.
Наконец, снова Баиах открыл связь между слабой компактностью единичного
шара (как было указано выше, отмеченной во многих частных случаях)
и рефлексивностью, по крайней мере для пространств счетного типа ((ХНв),.
стр, 189). С этого момента теория двойственности нормированных пространств
может считаться в своих основных чертах определившейся.
К тому же времени получили разъяснение также теоремы парадоксаль-
парадоксального характера, первые примеры которых восходят приблизительно к 1910 году-
А именно, Хеллингер и Теплиц по существу доказали в указанном году,
что последовательность ограниченных билинейных форм Вп (х, у) в про-
пространстве Гильберта, значения которых Вп (а, Ь) для каждой заданной
пары (а, Ь) ограничены сверху (числом, априори зависящим от а и Ь), на самом
деле равномерно ограниченна иа каждом шаре. Их доказательство велось-
от противного и состояло в построении пары {а, Ь), в которой нарушается
предположение, посредством рекуррентного метода, известного с тех пор
под наименованием „метода скользящего горба" и оказавшегося по-
полезным еще в ряде аналогичных вопросов (см. гл. IV, § 5, упражнение 4)-
Впрочем, в 1905 году Лебег использовал аналогичный прием для доказа-
доказательства существования непрерывных функций, ряд Фурье которы* в не-
некоторых точках расходится, и в том же году, что Хеллингер и Теплиц, он
использовал тот же метод для доказательства того, что слабо сходящаяся
последовательность в Z.1 ограниченна пр норме*). Количество этих примеров
в последующие годы умножилось, ио без введения новых идей, пока
в 1927 году Банах и Штейнгауз (отчасти в сотрудничестве с С. Саксом)
не связали эти явления с понятием множества II категории и теоремой
Бэра для полных метрических пространств, получив общее предложение,
охватившее все предшествовавшие частные случаи (XIII). При этом изуче-
изучение вопросов „категории" в полных нормированных пространствах привело
Банаха в тот же период к многочисленным другим результатам относительно-
непрерывных линейных отображений, из которых наиболее замечательной
и, несомненно, наиболее глубокой явилась теорема о „замкнутом графике",,
оказавшаяся, как и теорема Банаха — Штейнгауза, первоклассным орудием
современного функционального анализа (ХПб).
*) Отметим также аналогичную (более простую) теорему, доказанную
Ландау в 1907 году и послужившую для Ф. Рисса отправным пунктом его
теории пространств Lp: если ряд с общим членом ипхп сходится для любой,
последовательности (хп) ? Lp (N),' то последовательность («„) принадлежит
где 1+1=1.

330 ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I-V
Опубликование монографии Банаха „Теория линейных операций" (ХПв)
ознаменовало, если так можно сказать, наступление зрелости теории норми-
нормированных пространств. В этой книге изложены все результаты, о которых
мы говорили, равно как и многие другие, правда несколько беспорядочно,
но в сопровождении многочисленных ярких примеров, взятых из различных
областей анализа и, по-видимому, предвещавших теории блестящее будущее.
Действительно, это сочинение имело замечательный успех и одним из наибо-
наиболее непосредственных последствий его появления было почти всеобщее
усвоение языка и обозначений, использованных Банахом. Но несмотря
на большое число предпринятых после 20-х годов исследований по простран-
пространствам Банаха, в оставленных им открытыми проблемах не было достигнуто
существенного прогресса; с другой стороны, — если исключить теорию
¦банаховских алгебр и ее применения к гармоническому анализу, — почти
полное отсутствие новых применений теории к большим проблемам клас-
классического анализа несколько охладило возлагавшиеся на нее надежды.
Более плодотворным, пожалуй, было развитие в сторону расширения
и более тщательного аксиоматического анализа концепций, связанных
¦с нормированными пространствами. Хотя функциональные пространства,
встречавшиеся с начала двадцатого века, были в своем большинстве снаб-
снабжены „естественной" нормой, не прошли незамеченными и некоторые
исключения. Около 1910 года Э. Мур предложил обобщить понятие равно-
равномерной сходимости, заменив его понятием „относительной равномерной
¦сходимости", при которой окрестность нуля образована функциями /, удовле-
удовлетворяющими неравенству 1/@ | <! tg (t), где g — функция, которая всюду > 0
я может меняться вместе с окрестностью. С другой стороны, уже до 1930 года
¦было замечено, что такие понятия, как простая сходимость, сходимость
по мере для измеримых функций или компактная сходимость для целых
функций, не поддаются определению посредством нормы; а в 1926 году
Фреше установил, что векторные пространства этого типа могут быть
метризуемыми и полными. Но теория этих более общих пространств могла
плодотворно развиваться лишь в соединении с идеей выпуклости. Эту
последнюю идею (как мы видели, встречавшуюся уже у Хелли) Банах и его
ученики сделали объектом исследований, усмотрев возможность более гео-
геометрически истолковывать так многочисленные предложения теории норми-
нормированных пространств и подготовив дорогу общему определению локально
выпуклых пространств, данному И. фои Нейманном в 1935 году. Теория
этих пространств и особенно вопросов, касающихся двойственности, полу-
получила развитие главным образом в течение последнего десятилетия, и в этой
книге мы изложили основные результаты этих исследований. В связи с этим
следует отметить, с одной стороны, прогресс в простоте и общности, сделав-
сделавшийся возможным благодаря приведению в полную ясность фундамеитальиых
понятий общей топологии, достигнутому между 1930 и 1940 годами; с другой
стороны, важность, которую приобрело понятие ограниченного множества,
введенное Колмогоровым и фон Нейманном в 1935 году и фундаментальная
роль которого была выяснена работами Макки (XIV). Наконец, и главным

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ I-V 331
образом, несомненно, что основным импульсом, мотивировавшим эти иссле-
исследования, послужили новые возможности приложения к анализу в областях,
где теория Банаха оказалась недейственной; в этой связи следует упомянуть
теорию пространств последовательностей, развитую Кёте, Теплицом и их
учениками в ряде мемуаров после 1934 года (XV), недавнее придание
•совершенной формы теории „аналитических функционалов" Фантапье и
¦особенно теорию распределений Л. Шварца (XVI), в которой современная
теория локально выпуклых пространств нашла поле применений, несомненно,
«ще далекое от нечерпания.

БИБЛИОГРАФИЯ
(I) С. Sturm: a) Sur les equations differentielles lineaires du second ordre,
Journ. de Math. A), I A836), 106—186;
6) Sur une classe d'equations a differences partielles, там же, стр. 373—444.
(II) J. Liouville: a) Sur Ie developpement des fonctions ou parties de
fonctions en series dont les divers termes sont assujettis a satisfaire a une
meme equation differentielle du second ordre contenant un parametre
variable, Journ. de Math. A), I A836), 253—265, H A837), 16—35 и 418—436;
6) D'un theoreme dfl a M. Sturm et relatif a une classe de fonctions
transcendantes, там же, I A836), 269—277.
(III) J. P. Gram, Ueber die Entwickelung reeller Funktionen in Reihen mit-
telst derMethode der kleinsten Quadrate, J. de Crelle, XCIV A883), 41—73.
(IV) H. Minkowski: a) Oeometrie der Zahlen, 1-е изд., Leipzig (Teubner),
1896; 6) Theorie' der konvexen Korper, Oesammelte Abhandlungen, т. II,
стр. 131—229, Leipzig — Berlin (Teubner), 1911.
(V) H. P о i n с а г ё : a) Sur les equations de la Physique mathematique, Rend.
Palermo, VIII A894), 57—156 (= Oeuvres, т. IX, стр. 123—196,
Paris (Oauthier —Villars), 1954); 6) La methode de Neumann et le pro-
bleme de Dirichlet, Acta Mathematica, XX A896), 59—142 (= Oeuvres,
т. IX, стр. 202—272, Paris (Oauthier —Villars), 1954).
(VI) I. F r e d h о I m, Sur une classe d'equations fonctionnelles, Acta Mathema-
Mathematica, XXVII A903), 365—390.
(VII) D. Hilbert, Grundziige einer allgemeinen Theorie des linearen Integral-
gleichungen, Leipzig — Berlin (Teubner), 1912 ( = Gott. Nachr'., 1904„
1905, 1906, 1910).
(VIII) E. Schmidt: a) Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integral-
gleichungen. I. Teil: Entwickelung willkiirlicher Funktionen nach Syste-
men vorgeschriebener, Math. Ann., LXIII A907), 433—476; 6) Ueber die
Auflosung linearer Oleichungen mit unendlich vielen Unbekannten, Rend.
Palermo, XXV A908), 53—77.
(IX) F. Riesz: a) Untersuchungen fiber Systeme integrierbarer Funktionen,
Math. Annalen, LXIX; A910), 449—497; 6) Sur certains systemes singu-
Ilers d'equations integrales, Ann. Ec. Norm. Sup. C), XXVIII A911), 33—62;
в) Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'inconnues, Paris
(Gauthier— Villars), 1913; r) Ueber lineare Funktronalgleichungen, Acta
Mathematica, XLI A918), 71—98 [русский перевод: Ф Рисе, О линей-
линейных функциональных уравнениях, Успехи математических; наук, 1A936),

БИБЛИОГРАФИЯ 333
175—199]; д) Zur Theorie des Hilbertschen Raumes, Ada litt. ac. scient.
(Szeged), VII A934—35), 34—38.
(X) E. Helly, Ueber Systeme linearer Oleihungen mit unendlich vielen
Unbekannten, Monatshefte fur Math, und Physik, XXXI A921), 60—91.
(XI) H. H a h n, Ueber lineare Gleichungssysteme in linearen Raumen, J. de
Crelle, CLVII A927), 214—229.
(XII) S. В a n а с h : a) Sur le probleme de la mesure, Fund. Math., IV A923),
7—33; 6) Sur les fonctionnelles lineaires, Studia Math., I A929), 211—216
и 223—239; в) Theorie des operations lineaires, Warszawa, 1932 [украин-
[украинский перевод: С. Банах, Курс функцюнального анал!зу, Ки1в, 1948].
(ХШ) S. Banach, H. Steinhaus, Sur le principe de condensation des
singularites, Fund. Math., IX A927), 50—61.
(XIV) O. W. M а с k e у: a) On infinite-dimensional linear spaces, Trans.
Amer. Math. Soc, LVII A945), 155—207; 6) On convex topological spaces,
Trans. Amer. Math. Soc, LX A946), 519—537.
(XV) О. К о t h e, Neubegriindung der Theorie der vollkommenen Raume, Math.
Nachr., IV A951), 70—80.
(XVI) L. Schwartz, Theorie des distributions, Actual. Scient. et Ind., n°n°
1091 и 1122, Paris (Hermann), 1950—51.

СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Введение
Результаты, сформулированные в этой сводке, сгруппированы
вокруг фундаментальных понятий теории топологических векторных
пространств. Некоторые формулируются несколько раз; кроме того,
нередко случается, что какое-нибудь понятие упоминается в пара-
параграфе, предшествующем тому, где оно определено; терминологиче-
терминологический указатель, помещенный в конце книги, содержит точную ссылку
на то место этой сводки, где дано его определение. Понятия и ре-
результаты книг I — IV, использованные в книге V, предполагаются
известными *).
Соответственно своему характеру эта сводка не содержит ника-
никаких доказательств сформулированных в ней результатов; наиболее
трудные теоремы сопровождены ссылкой на место книги, где нахо-
находится доказательство.
§ 1. Топологические векторные пространства;
окрестности, полунормы, ограниченные множества
Под векторным пространством всюду в этой сводке пони-
понимается векторное пространство, телом скаляров которого служит
тело R всех вещественных чисел или тело С всех комплексных
чисел. Если в формулировке какого-либо утверждения тело скаля-
скаляров явно не упомянуто, то подразумевается, что это утверждение
справедливо как в том случае, когда телом скаляров служит R, так
и в том случае, когда телом скаляров служит С.
Топологические векторные пространства
1. Вещественным (соотв. комплексным) топологическим век-
векторным пространством называется множество Е, наделенное струк-
структурой векторного пространства над R (соотв. С) и топологией, со-
согласующейся со структурой аддитивной группы в Е и удовлетворяющей,
кроме того, следующей аксиоме:
*) См. Приложения I и III. — Прим. перев.

§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 335
(EVT) Отображение (X, х) -> \х произведения R X Е (соотв.
С X Е) в Е непрерывно.
Тогда мы говорим, что структура векторного пространства в Е
и топологическая структура согласуются.
Если Е— комплексное топологическое векторное пространство,
то ограничение тела скаляров телом R превращает Е в веществен-
вещественное топологическое векторное пространство Ео, именуемое базисным
для пространства Е.
2. Каждое отделимое топологическое векторное пространство-
конечной размерности п над R (соотв. С) изоморфно произведению
R" (соотв. С") (гл. I, § 2, теорема 2). Каждое отделимое топологи-
топологическое векторное пространство, в котором существует предкомпакт-
ная окрестность нуля, конечномерно (гл. I, § 2, теорема 3).
3. Множество А в векторном пространстве Е называется уравно-
уравновешенным, если XAczA для каждого X с "|Х|^1. Уравновешенной
оболочкой произвольного множества Л из ? называется наименьшее
уравновешенное множество, содержащее А: это — объединение всех
ХЛ с |X|j^1. В отделимом топологическом векторном пространстве
уравновешенная оболочка компактного множества компактна.
Множество А в векторном пространстве Е поглощает множе-
множество В, если существует а>0 такое, что ХЛгз5 для всех X
с | X | ^. а. Множество А в Е называется поглощающим, если оно
поглощает каждую точку из Е. В топологическом векторном про-
пространстве окрестность нуля — поглощающее множество; в локально
выпуклом пространстве бочка — поглощающее множество.
4. В топологическом векторном пространстве существует фунда-
фундаментальная система © замкнутых окрестностей нуля такая, что:
(EV,) Каждое V?<5—уравновешенное и поглощающее.
(EV,,)© инвариантно относительно всех гомотетий с ненуле-
ненулевым коэффициентом.
(EVni) Для каждого V?Q существует W?<& такое, что
W + WcV.
Обратно, каждый базис фильтра © в векторном пространстве Е,
обладающий свойствами (EV,) и (EVIn), однозначно определяет в Е
структуру топологического векторного пространства, имеющую ©
фундаментальной системой окрестностей нуля.
Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно,
чтобы пересечение всех множеств из © приводилось к элементу 0.

336 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
5. Так как в топологическом векторном пространстве Е тополо-
топология согласуется со структурой группы, то она определяет в Е равно-
равномерную структуру. Пусть ? отделимо и Ё—его пополнение; отобра-
отображение (к, jc)->• Xjc произведения R Х^ (соотв. СУ,Е) в Е продол-
продолжается по непрерывности до билинейного отображения R X Ё (соотв.
С X Е) в Е; тем самым Е наделяется структурой топологического
векторного пространства над R (соотв. С) и называется пополнением
топологического векторного пространства Е.
6. Для того чтобы топологическое векторное пространство было
метризуемым, необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимо
и обладало счетной фундаментальной системой окрестностей нуля.
Локально выпуклые пространства
7. Топологическое векторное пространство Е называется локально
выпуклым, если оно обладает фундаментальной системой окрестно-
стей нуля, каждая из которых выпукла. Тогда существует фунда-
фундаментальная система S окрестностей нуля, образованная замкнутыми
поглощающими уравновешенными выпуклыми множествами. Если Е
метризуемо, то E можно предполагать счетной.
Обратно, если © — базис фильтра в векторном пространстве Е,
инвариантный относительно всех гомотетий с ненулевыми коэффици-
коэффициентами и образованный из поглощающих уравновешенных выпуклых
множеств, то в ? существует однозначно определенная топология,
согласующаяся со структурой векторного пространства и имеющая
© фундаментальной системой окрестностей нуля; наделенное этой
топологией, Е локально выпукло.
8. Полунормой на векторном пространстве Е называется каж-
каждая числовая функция р^-0 на Е, удовлетворяющая следующим
условиям:
(SN,) p(kx) = \l\p(x).
(SN „) р (х + У)< Р (х) + р (У),
Если, кроме того, р(х) = 0 лишь при л: = 0, то р называется нор-
нормой на Е.
Множество Г полунорм на Е называется фильтрующимся, если
для любых двух полунорм pt ? Г и р2 ? Г существуют полунорма #? Г
и числа ах > 0, а2 > 0 такие, что Pi^a^ и p2^.a2q.
Пусть Г—некоторое множество полунорм на Е, © — множество
всех подмножеств из Е, определяемых неравенствами вида р (х)

§ 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 337
где /??Г и X > 0, и <3 — множество пересечений всевозможных ко-
конечных наборов множеств из ©. В Е существует однозначно опре-
определенная топология, согласующаяся со структурой векторного про-
пространства и имеющая © фундаментальной системой окрестностей нуля.
Она называется топологией, определяемой множгстзом Г полу-
полунорм.
Каждая топология, определяемая некоторым множеством полунорм,
локально выпукла. Обратно, каждая локально выпуклая топология
может быть определена некоторым множеством полунорм, например
множеством всех непрерывных полунорм.
9. Пусть Е— локально выпуклое пространство, топология кото-
которого определена семейством Г полунорм. Для того чтобы Е было
отделимым, необходимо и достаточно, чтобы отношение „р(х) = 0 для
всех р?Т" влекло х = 0. Равномерная структура в Е определяется
семейством отклонений р(х—у) (/??Г); полунормы р? Г равномерно
непрерывны; если Е отделимо, то они продолжаются по непрерыв-
непрерывности до полунорм на пополнении Е пространства Е, определяющих
топологию в Ё.
Для того чтобы локально выпуклое пространство Е было метри-
зуемым, необходимо и достаточно, чтобы его топологию можно было
определить счетным семейством полунорм. Нормированное простран-
пространство— это векторное пространство, наделенное нормой и (метризуе-
мой) топологией, определяемой этой нормой.
Ограниченные множества
10. Множество в топологическом векторном пространстве назы-
называется ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью
нуля. Объединение любого конечного набора ограниченных множеств,
каждое подмножество ограниченного множества, образ ограниченного
множества при любой гомотетии — ограниченные множества.
Фундаментальной системой ограниченных множеств назы-
называется всякое множество © ограниченных множеств такое, что каж-
каждое ограниченное множество из Е содержится в одном из множеств,
принадлежащих ©. В нормированном пространстве шары ||л:||^га
(п — целые ^> 1) образуют фундаментальную систему ограниченных
множеств.
11. Каждое предкомпактное множество ограниченно. Множество
точек последовательности Коши ограниченно. Для того чтобы мно*1

338 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
жество А было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы для
любой последовательности (хп) элементов из Л и любой последова-
последовательности скаляров (ап), стремящейся к нулю, последователь-
последовательность Q*nxn) стремилась к нулю.
12. Для того чтобы подмножество А векторного подпростран-
подпространства Е топологического векторного пространства F было ограничен-
ограниченным в Е, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченно в F.
Для того чтобы подмножество произведения топологических вектор-
векторных пространств было ограниченным, необходимо и достаточно,
чтобы была ограниченной каждая из его проекций.
Образ ограниченного множества при непрерывном линейном
отображении или произведения ограниченных множеств при непре-
непрерывном полилинейном отображении есть ограниченное множество.
13. Пусть Е—локально выпуклое пространство и Г—семейство
полунорм, определяющее топологию в Е. Для того чтобы множество
AczE было ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы на А
была ограниченной каждая полунорма /??Г, и достаточно, чтобы
каждая непрерывная линейная форма на Е была ограниченной на Л,
иначе говоря, чтобы А было ограниченным в ослабленной топологии,
соответствующей топологии, заданной на Е (гл. IV, § 2, тео-
теорема 3).
14. "В локально выпуклом пространстве уравновешенная замкну-
замкнутая выпуклая оболочка ограниченного множества ограниченна, и»су-
ществует фундаментальная система ограниченных множеств, образо-
образованная из уравновешенных замкнутых выпуклых множеств.
15. Пусть Е — локально выпуклое пространство, являющееся
строгим индуктивным пределом последовательности (Еп) локально
выпуклых пространств, причем все Еп замкнуты в Е\ для того
чтобы множество Ас:Е было ограниченным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно содержалось и было ограниченным в одном из
пространств Еп.
16. Топологическое векторное пространство Е называется квази-
квазиполным если каждое ограниченное замкнутое множество в Е полно;
в квазиполном пространстве каждая последовательность Коши схо-
сходится. Каждое полное топологическое векторное пространство квази-
квазиполно и каждое квазиполное метризуемое пространство полно.
Произведение любого семейства квазиполных пространств квази-
квазиполно.: ...

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 339
§ 2. Линейные и полилинейные отображения
Непрерывные линейные отображения
1. Пусть Е и F—топологические векторные пространства и и —
линейное отображение Е в F. Для того чтобы и было непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы «оно -было непрерывно в точке О,
причем тогда и равномерно непрерывно. Если топологии в Е и F
определяются семействами Г и Г' полунорм, то необходимо и доста-
достаточно, чтобы для каждой полунормы q?T' существовали число
а^О и конечное семейство полунорм л?Г (l-^t-^ti) такие, что
<7(и(х))<;а sup Pi(x) для всех х?Е. В частности, если Е и F —
нормированные пространства, то необходимо и достаточно, чтобы
существовало а^.0 такое, что ||a(jc)|| <^ a \\x\\ для всех х?Е.
Нижняя грань чисел а, удовлетворяющих этому неравенству, называется
нормой отображения и и обозначается ||и||; она определяет в век-
векторном пространстве L(E, F) структуру нормированного векторного
пространства; если F — банаховское пространство, то и L (?, F) —
баиаховское пространство.
2. Для того чтобы линейная форма и на топологическом вектор-
векторном пространстве Е была непрерывной, необходимо и достаточно,
чтобы гиперплоскость и @) была замкнута в Е (гл. I, § 2, тео-
теорема 1). Если Е локально выпукло, то для этого необходимо и
достаточно, чтобы на Е существовала непрерывная полунорма р та-
такая, что | и (х) | <; р (х).
3. Пусть Е и F — топологические векторные пространства, при-
причем F отделимо, и М — всюду плотное векторное подпространство
в Е. Каждое непрерывное линейное отображение М в F может быть
продолжено до непрерывного линейного отображения Е в F при вы-
выполнении одного из следующих двух условий:
а) F полно;
б) F квазиполно и каждая точка пространства Е есть точка
прикосновения некоторого ограниченного множества из М.
4. Пусть Е—векторное пространство, р—полунорма на E,V —
векторное подпространство в Е и /—линейная форма на V такая,
что |/(х) |<^р(х) для всех x?V. Тогда на Е существует линейная
форма/, продолжающая/ и такая, что | / (х) |-<! р (х) для всех х?Е
(теорема Хана —Банаха (аналитическая форма); гл. II, §5, теорема 1

340 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
и § 6, теорема 1). Для каждого хо?Е существует линейная формаg
на Е такая, что | g (х) | < р (х) и g(xa) = p(x0).
В частности, всякая непрерывная линейная форма на векторном
подпространстве локально выпуклого пространства может быть про-
продолжена (вообще бесконечным множеством способов) до непрерывной
линейной формы на всем пространстве. Если пространство—норми-
пространство—нормированное, то среди этих продолжений существует имеющее ту же
норму, что и заданная линейная форма.
5. Пусть Е — бочечное пространство, F— отделимое локально
выпуклое пространство и (а„)— последовательность непрерывных
линейных отображений Е в F. Если последовательность (ап(х)) для
каждого х?Е стремится к u(x)?F, то а есть непрерывное линей-
линейное отображение Е в F (теорема Банаха — Штейнгауза; гл. Ш, §3,
следствие теоремы 2).
Если Е и F — банаховские пространства и (а,)-,—семейство непре-
непрерывных линейных отображений Е в F такое, что sup||a, (jc)|| <+oo
• €i
для каждого х?Е, то sup||a,|| < -f-oo.
•?i
6. Пусть Е и F—полные метризуемые векторные пространства и
а — линейное отображение Е в F. Если его график замкнут в Ey^F
(т. е. из limxn = 0 и Mm и (хп) =у следует _у = 0), то а непрерывно
л>оо п
(теорема о замкнутом графике; гл. I, § 3, следствие 5 теоремы 1).
Гомоморфизмы
7. Пусть Е и F — топологические векторные пространства и а —
линейное отображение Е в F. Говорят, что а — гомоморфизм, если
-1
, ассоциированное с а взаимно однозначное отображение Е[и @) на а (Е)
есть изоморфизм (для структур топологического векторного простран-
пространства); для этого необходимо и достаточно, чтобы а было непрерывно
и образ каждого открытого множества из Е был открытым множе-
множеством в и(Е).
Пусть а — непрерывное линейное отображение Е в F; каждое
из следующих двух свойств достаточно для того, чтобы а было
гомоморфизмом:
а) ц(Е) отделимо и конечномерно (гл. I, § 2, следствие предло-
предложения.. 3);
б) ? и -и(Е) метризуемы и полны (гл. I, § 3, теорема 1).

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 341
Каждый гомоморфизм и пространства Е на и (Е) при заданных
исходных топологиях в Е и F есть также гомоморфизм при ослаблен-
ослабленных топологиях а (Е, Е') и а (F, F').
Билинейные отображения
8. Пусть Е, F, G— топологические векторные пространства и
и — билинейное отображение Е X F в G. Для того чтобы и было
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы оно было непрерывно
в точке @, 0).
9. Обозначим через их. для каждого х?Е линейное отображе-
отображение у —> и (х, у) пространства F в G и через и.у для каждого у ? F —
линейное отображение л: —»¦ и (х, у) пространства ? в О.
и называется раздельно непрерывным, если и^. и и .у непре-
непрерывны, каковы бы ни были х?Е и y?F. Для этого необходимо и
достаточно, чтобы и.у было непрерывно при каждом y?F и отобра-
отображение у—* и.у пространства F в L{E, G) было непрерывно при на-
наделении L(E, G) топологией простой сходимости.
Каждое непрерывное билинейное отображение раздельно непре-
непрерывно.
10. Пусть и — раздельно непрерывное билинейное отображение
Е "X F в G и E — покрытие пространства ? уравновешенными огра-
ограниченными множествами. Следующие свойства равносильны:
а) Для каждой окрестности нуля W из G и каждого М ? <5 суще-
существует окрестность нуля V в F такая, что и (М X V) с W.
б) Образ каждого М ? © при отображении х -> и^. есть равно-
равностепенно непрерывное множество в L(F, G).
в) _у -> м.^ есть непрерывное отображение F в Le (E, G).
Раздельно непрерывное билинейное отображение и, обладающее
приведенными свойствами, называется <®-гипонепрерывным. Если и
E-гипонепрерывно, то и (М X Щ ограниченно в G для каждого Л4?3
и каждого ограниченного множества fi из /\ причем сужение и на
/И X F непрерывно.
11. Поменяв в вышесказанном ролями Е к F, приходим к опре-
определению понятия 2-гипонепрерывности, где 2 — покрытие простран-
пространства F уравновешенными ограниченными множествами. Билинейное
отображение и произведения Е X F в G, являющееся одновременно
©-гипонепрерывным и 2-гипонепрерывным, называется (©, %)-гипо-

342 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
непргрывным. Сужение такого отображения на каждое М X N,
где М?(© и /V?2, равномерно непрерывно.
12. Непрерывное билинейное отображение Е X F в О C. 2)-гипо-
непрерывно при любых S и S. Если F — бочечное пространство,
то каждое раздельно непрерывное билинейное отображение Е X F
в О 3-гипонепрерывно при любом 3 (гл. III, § 4, предложение 6).
Если Е метризуемо, a F метризуемо и бочечно, то каждое раз-
раздельно непрерывное билинейное отображение Е X F в О непре-
непрерывно (гл. III, § 4, предложение 2).
13. Пусть Ео и Fo — всюду плотные векторные подпространства
в Е и F соответственно. Пусть, далее, 30 (соотв. Хо) — покрытие Ео
(соотв. Fq) уравновешенными ограниченными множествами такое, что
каждая точка из Е (соотв. F) есть точка прикосновения некоторого
множества из 30 (соотв. 20). Пусть, наконец, 3 (соотв. %) — множе-
множество замыкан-ий в Е (соотв. F) всевозможных множеств из <50
(соотв. ?0). Если тогда G отделимо и квазиполно, то каждое
C0, 20)"гип0непРеРЬ1вн°е билинейное отображение Ео X Fo в G
однозначно продолжается до раздельно непрерывного билинейного
отображения Е X F в G, причем последнее C, 2)-гипонепре-
рывно.
14. Пусть R, S и Г—отделимые локально выпуклые простран-
пространства. Будем всюду в этом п° предполагать, что L(R, S), L(S, T) и
L(R, T) наделены все три топологией простой (соотв. компактной,
ограниченной) сходимости. Тогда отображение (и, v)->-v°u произведе-
произведения L(R, S)XiE, T) в L(R, T) C, Х)-гипонепрерывно, где X —
множество всех равностепенно непрерывных подмножеств из L (S, Т),
а 3 — множество уравновешенных оболочек всевозможных конечных
подмножеств из L (R, S) (соотв. всех уравновешенных компактных
или ограниченных подмножеств из L (R, S)) (гл. III, § 4, предложе-
предложение 9). В частности, это билинейное отображение непрерывно на
каждом произведении L(R, 5) X И, где Я—равностепенно непре-
непрерывное множество из L(S, T).
Если S бочечно, (мп) — последовательность из L(R, S), сходящаяся
к и, и (vn) — последовательность из L(S, T), сходящаяся к v, то
последовательность (vn°un) сходится в L (R, Т) к v°u (гл. III, §4,
следствие 2 предложения 9).

§ 3. ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ 343
§ 3. Подпространства; факторпространства;
произведения; прямые суммы
Подпространства
1. Пусть Е— топологическое векторное пространство и М — его
векторное подпространство. Топология, индуцируемая в М из Е,
превращает М в топологическое векторное пространство, называемое
топологическим векторным подпространством пространства Е.
Если Е отделимо (соотв. метризуемо, локально выпукло), то и М
отделимо (соотв. метризуемо, локально выпукло). Если топология
пространства Е определяется некоторым семейством полунорм, то
топология подпространства М определяется сужениями этих полу-
полунорм на М.
2. Замыкание М в Е есть векторное подпространство в Е.
Если М конечномерно, а Е отделимо, то М замкнуто в Е (гл. I,
§ 2, следствие 1 теоремы 2). Каждая гиперплоскость либо замкнута,
либо всюду плотна; для ее замкнутости необходимо и достаточно,
чтобы она была ядром непрерывной линейной формы (гл. I, § 2,
теорема 1).
3. Замкнутым векторным подпространством, порожденным
множеством АсЕ, называется замыкание векторного подпростран-
подпространства, порожденного этим множеством; это —наименьшее замкнутое
векторное подпространство, содержащее А. Если Е локально вы-
выпукло, то это подпространство есть также пересечение всех зам-
замкнутых гиперплоскостей из Е, содержащих А, или также множество
общих нулей всех непрерывных линейных форм на Е, аннули-
аннулирующихся на А (гл. II, § 3, следствие 3 предложения 4).
Множество АсЕ называется тотальным, если порождаемым
им замкнутым векторным подпространством служит всё Е. Для того
чтобы подмножество А локально выпуклого пространства Е было,
тотальным, необходимо и достаточно, чтобы всякая непрерывная линей-
линейная форма на Е, равная нулю на А, была тождественно равна нулю.
4. Семейство (^)t€i точек из Е называется топологически сво-
свободным, если для каждого у. ?/ замкнутое векторное подпростран-
подпространство, порожденное теми xv у которых t Ф %, не содержит хх. Топо-
Топологически свободное семейство и алгебраически свободно; конечное
алгебраически свободное семейство в отделимом пространстве топо-
лргически свободно. Для того чтобы семейство (-KjOxcl точек ло-

344 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
кально выпуклого пространства Е было топологически свободным,
необходимо и достаточно, чтобы на Е существовало семейство (f\\cL
непрерывных линейных форм такое, что Д (х^) = 8, (где Ьх —сим-
—символ Кронекера). В предгильбертовом пространстве каждое ортонор-
мальное семейство топологически свободно.
Факторпространства
5. Пусть Е—топологическое векторное пространство и М— его
векторное подпространство. Фактортопология топологии простран-
пространства Е по М превращает Е/М в топологическое векторное про-
пространство, называемое топологическим векторным факторпро-
странством пространства Е по М. Для того чтобы Е/М было
отделимым, необходимо и достаточно, чтобы М было замкнуто в Е-
Если Е локально выпукло, то Е/М локально выпукло; если тополо-
топология пространства Е определяется фильтрующимся семейством Г полу-
полунорм, то топология в Е/М определяется полунормами
р(х)= mip(z),
где р пробегает Г. Если Е метризуемо и полно, то Е/М метризуемо
и полно, но Е может быть полным (не метризуемым) и без того,
чтобы Е/М было полно.
Произведения топологических векторных пространств
6. Пусть (?,),?/—семейство топологических векторных про-
пространств. Произведение их топологий превращает Е^Де, в топо-
топологическое векторное пространство, называемое произведением топо-
топологических векторных пространств ?,. Для того чтобы JTe, было
отделимым (соотв. локально выпуклым, квазиполным, полным), необ-
необходимо и достаточно, чтобы таким было каждое Е,. Если топология
каждого ?, определяется семейством Г, полунорм, то топология про-
произведения ТГе, определяется полунормами pt о /A где pt ? Г„ а /, озна-
означает проекцию IJf, на Ег
7. Произведение счетного семейства метризуемых векторных
пространств метризуемо. Каждое локально выпуклое пространство
изоморфно подпространству некоторого произведения банаховских

§ 3. ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ 345
пространств. Каждое метризуемое локально выпуклое пространство»
изоморфно подпространству произведения счетного семейства бана-
ховских подпространств.
Конечные прямые суммы
8. Пусть Е — топологическое векторное пространство, являющееся
(для структур векторного пространства) прямой суммой конечного»
семейства (^iI<i<n ero векторных подпространств. Если отображе-
n n
ние (*iI<i<n->2 xi произведения JJaIj на Е есть изоморфизм
i т~. i i — l
топологических векторных пространств, то Е называется топологи-
топологической прямой суммой подпространств Mf, если Е отделимо, то М{
тогда замкнуты в Е. Обратно, если Е отделимо и является (для?
структур векторного пространства) прямой суммой конечного семей-
семейства CMjI<i<;n своих замкнутых подпространств, то для того, чтобы.
Е было их топологической прямой суммой, достаточно выполнения*
любого из следующих двух условий:
а) Каждое из подпространств Mit за исключением, быть может,,
одного, конечномерно (гл. I, § 2, предложение 3).
б) Е метризуемо и полно (гл. I, § 3, следствие 4 теоремы 1).
9. Пусть Е — топологическое векторное пространство, являющееся-
(в алгебраическом смысле) прямой суммой конечного семейства своих
векторных подпространств Mt (l^t^re), и ft$ для каждого / — ли-
линейное отображение, относящее каждому х ? Е его составляющую-
составляющуюся) в Mi- Отображения kt удовлетворяют соотношениям
ki о kj = 0 при 1Ф],
ki° ki — k^
^ = e (тождественному отображению).
Для того чтобы Е было топологической прямой суммой подпро-
подпространств Mi, необходимо и достаточно, чтобы отображения k^
были непрерывны. Обратно, пусть (*iI<i<n—семейство непрерыв-
непрерывных линейных отображений Е в Е, удовлетворяющих соотноше-
соотношениям A) (второе из которых выражают, говоря, что ki — проекторы);.
тогда Е есть топологическая прямая сумма подпространств Mi = k^ (?).
10. Если Е — топологическая прямая сумма двух своих векторных
.подпространств М к N, то N называется топологическим допол-

346 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
мением к М. Обратно, пусть М — замкнутое векторное подпростран-
подпространство пространства Е, предполагаемого отделимым; для того чтобы М
¦обладало топологическим дополнением, достаточно выполнения любого
,из следующих трех условий:
а) Е—предгильбертово пространство и М полно (гл. V, § 1, пред-
предложение 8).
б) М имеет конечную факторразмерность в и1 (в этом случае
каждое подпространство, дополнительное к М в алгебраическом
смысле, есть топологическое дополнение к М) (гл. I, § 2, предло-
предложение 3).
в) Е локально выпукло и М конечномерно (гл. II, § 3, след-
следствие б предложения 4).
11. Вообще для того, чтобы векторное подпространство М топо-
топологического векторного пространства Е обладало топологическим
.дополнением, необходимо и достаточно, чтобы на В существовал
непрерывный проектор и такой, что и(Я) —VW; тогда за топологи-
—1
¦ческое дополнение к М можно принять подпространство и @),
в которое Е переводится проектором е — и. Следовательно, сущест-
существует взаимно однозначное соответствие между парами (Mv M2) век-
векторных подпространств пространства Е, топологически дополнитель-
дополнительных одно другому, и парами (uv и2) непрерывных проекторов, для
которых и1-\-и2 = е.
Если Е—предгильбертово пространство, а М—'-его полное отде-
отделимое векторное подпространство, то существует однозначно опре-
—1
деленный проектор р пространства Е на М такой, что р@) орто-
ортогонально к М; р называется ортогональным проектором Е на М.
12. Пусть Е и F — топологические векторные пространства и
/—непрерывное линейное отображение Е в F. Для того чтобы /
было обратимо справа (т. е. чтобы существовало непрерывное линей-
линейное отображение g пространства F в Е, удовлетворяющее условию
/ о g=e', где е' — тождественное отображение F на себя), необхо-
-1
димо и достаточно, чтобы / было гомоморфизмом Е на F и /@)
.имело топологическое дополнение в Е. Для того чтобы / было обра-
обратимо слева (т. е. чтобы существовало непрерывное линейное ото-
отображение g пространства F в Е, удовлетворяющее условию g о f—e,
где е—тождественное отображение Е на себя), необходимо и

S 3. ПОДПРОСТРАНСТВА; ФАКТОРПРОСТРАНСТВА; ПРОИЗВЕДЕНИЯ 347
достаточно, чтобы / было изоморфизмом Е на и (Е) и и (Е) имело
топологическое дополнение в F.
Различные способы введения топологии
13. Пусть {F\ri — семейство топологических векторных прост-
пространств и /, для каждого i?/—-линейное отображение векторного
пространства Е в Fr Слабейшая из топологий в Е, при которых
все /, непрерывны, согласуется со структурой векторного простран-
пространства в Е. Для того чтобы линейное отображение g топологического
векторного пространства G в Е было непрерывно в этой топологии,
необходимо и достаточно, чтобы было непрерывно каждое из ото-
отображений fl о g. Если все /\ локально выпуклы и топология в Ft
определяется семейством Г, полунорм ('•(;/), то топология простран-
пространства Е локально выпукла и определяется полунормами pt о ft, где
л€г,
14. Пусть (/\\f7 — семейство локально выпуклых пространств
и g, для каждого i?/—линейное отображение пространства Ft в век-
векторное пространство Е. Среди всех локально выпуклых топологий
в Е, при которых все g, непрерывны, имеется сильнейшая. Для того
чтобы линейное отображение h пространства Е, наделенного этой
топологией, в локально выпуклое пространство О было непрерывным,
необходимо и достаточно, чтобы было непрерывно каждое из ото-
отображений h о gt.
15. Пусть Е — векторное пространство, (?,)lf/—семейство его
векторных подпространств, фильтрующееся по включению cr, и каж-
каждое Е, наделено локально выпуклой топологией $"[, причем если
Е1 с Ех, то JT, мажорирует топологию, индуцируемую в Et тополо-
топологией аГх. Сильнейшая из локально выпуклых топологий в Е, при
которых непрерывны канонические вложения всех Е1 в Е, есть также
¦сильнейшая из локально выпуклых топологий, индуцирующих в каж-
каждом Е, топологию, мажорируемую топологией оГц; эта топология назы-
называется индуктивным пределом топологий $\. Для того чтобы линейное
отображение h пространства Е, наделенного этой топологией, в ло-
локально выпуклое пространство было непрерывным, необходимо и
достаточно, чтобы было непрерывно в топологии cTt его сужение на
каждое ??,.
Выпуклые множества в Е, пересечение которых с каждым ?t
является окрестностью нуля в топологии <0~t, образуют фундаменталь-

348 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ную систему окрестностей нуля для индуктивного предела этих
топологий оГк.
16. Пусть (Ея)— возрастающая последовательность векторных
подпространств векторного пространства Е, образующая покрытие
этого пространства, и §п для каждого п— локально выпуклая топо-
топология в Еп, причем оГп совпадает для каждого п с топологией, инду-
индуцируемой в Еп топологией оГп+1. Тогда индуктивный предел § топо-
топологий 5ГП индуцирует в каждом Еп топологию §п\ если все §п отделимы»
то и их индуктивный предел Ш отделим. Е, наделенное топологией 5Г,.
называется строгим индуктивным пределом пространств Еп. Пред-
Предположим, кроме того, что каждое из Еп замкнуто в Еп+1 (в топо-
топологии сГп+1); тогда Еп замкнуто в Е (в топологии §) и для того,
чтобы множество в Е было ограниченным (в §), необходимо и доста-
достаточно, чтобы оно содержалось в одном из Еп и было ограниченно
в §п (гл. III, § 2, предложение 6).
17. Пусть Е—векторное пространство, являющееся (алгебраи-
(алгебраической) прямой суммой семейства (,M),j своих векторных подпро-
подпространств. Предположим, что каждое Ж, наделено локально выпуклой
топологией. Для каждого конечного множества Не/ наделим про-
пространство Мц— 2 Mt топологией, являющейся произведением ТОПО-
ТОПОЛЯ
логий пространств Ж, (i?#). Пусть $"— топология в Е, являющаяся
индуктивным пределом топологий пространств Жя, где Н пробегает
множество всех конечных подмножеств из /. Пространство Н, наде-
наделенное топологией |Г, называется топологической прямой суммой
подпространств Ж,; если каждое из Ж, отделимо, то и ? отделимо.
Пусть Fj = ^ Ж,, где J—произвольное подмножество из /; наде-
ленное топологией, индуцированной из F, Fj совпадает с топологи-
топологической прямой суммой семейства (Ж,),^. Е совпадает с топологиче-
топологической прямой суммой семейства (Fj\ для любого разбиения (A)xgi
множества /.
Гильбертова сумма гильбертовых пространств
18. Пусть (С,),,7 — семейство гильбертовых пространств и F —
(алгебраическая) прямая сумма этого семейства векторных пространств.
Для каждых двух элементов х = ^ хк и у = ^ yt пространства F
положим (х \ у) = 2 (xt | у,); (х | у) есть эрмитова полуторалинейная

§ 4. выпуклость 349
форма, превращающая F в отделимое предгильбертово пространство.
Его пополнение Е есть гильбертово пространство, называемое внеш-
внешней гильбертовой суммой гильбертовых пространств Er E можно
отождествить с подпространством произведения J? ??,, образованным
теми х = (х1), для которых 2 II-"ч!!2 < + °о. причем скалярное про-
•€¦/¦
изведение (х\у) на Е будет равно 2 (-"^.УО- Если / конечно, то Е
есть также топологическая прямая сумма пространств ??,.
19. Пусть С — гильбертово пространство и (Е,)^—-семейство
его замкнутых векторных подпространств такое, что Ег и Е% при
tф % ортогональны. Тогда замкнутое векторное подпространство в Е,
порожденное всеми ?„ изоморфно внешней гильбертовой сумме про-
пространств ??,. Если, в частности, это подпространство совпадает с Е,
то Е называется гильбертовой суммой своих подпространств ??,. Если
{Fi\rL — семейство гильбертовых пространств, F — их внешняя гиль-
гильбертова сумма и каждое Fy рассматривается как подпространство в F,
то F есть также гильбертова сумма этих подпространств Fx.
§ 4. Выпуклость
Все понятия, связанные с выпуклостью, относятся к структуре
векторного пространства над R. Под „гиперплоскостью" всюду в этом
параграфе понимается (вещественная) аффинная гиперплоскость,
тем самым не обязательно содержащая начало.
Выпуклые множества
1. Множество А в векторном пространстве Е называется выпук-
выпуклым, если вместе с каждыми своими двумя элементами х, у это
множество содержит и весь соединяющий их отрезок, иными словами,
если Хлг —f-(I—Х)_у?.<4, когда 0-^X^1. Выпуклое множество А
содержит центр тяжести любого конечного набора своих точек, снаб-
снабженных положительными массами (т. е. каждую линейную комбина-
комбинацию' 2 ^х" где -К'б^' Х(^0 для всех i?/, X, Ф 0 лишь для конеч-
ного числа индексов i и 2 \= 0*
2. Образ и прообраз выпуклого множества при аффинном линей-
линейном отображении выпуклы. Произведение и пересечение выпуклых
множеств выпуклы. Если А и В — выпуклые множества в Е, тоаА-\-$В

350 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
выпукло для любой пары скаляров (а, [3). Линейное многообразие-
выпукло; параллелепипед в Rn — выпуклый; если р — полунорма
на Е, то множество тех х?Е, для которых р (х) ^ г (соотв. р (х) < /•)„
выпукло при каждом г^.0.
3. В топологическом векторном пространстве замыкание выпук-
выпуклого множества выпукло; внутренность А выпуклого множества А
О О — — ~о
выпукла; если Аф 0, то А = А и А —А.
Замкнутое множество с непустой внутренностью называется вы-
выпуклым телом.
4. Выпуклой оболочкой множества А с Е называется наименьшее,
выпуклое множество, содержащее А; это — множество центров тяжести
всевозможных конечных наборов точек из А, снабженных положи-
положительными массами.
5. В топологическом векторном пространстве Е замкнутой вы~
пуклой оболочкой множества А называется замыкание его выпуклой
оболочки; это — наименьшее замкнутое выпуклое множество, содер-
содержащее А. Если Е локально выпукло, то замкнутая выпуклая оболочка
множества А есть пересечение содержащих его замкнутых полупро-
полупространств (гл. II, § 3, следствие 1 предложения 4).
6. Пусть сГ и оГ' — локально выпуклые топологии в Е; если непре-
непрерывные линейные формы при обеих этих топологиях одни и те же,
то и замкнутые множества одни и те же (гл. IV, § 2, предложение 4).
Это имеет место, в частности, когда §' — ослабленная топология,
ассоциированная с топологией аГ.
Отделение выпуклых множеств
7. Пусть Е — топологическое векторное пространство, АсЕ —
выпуклое множество и V — линейное многообразие в Е, не пересе-
пересекающееся с А; для существования замкнутой гиперплоскости Н, со-
содержащей V и не пересекающейся с А, достаточно выполнения лю-
любого из следующих двух условий:
а) А открыто (теорема Хана — Банаха (геометрическая форма);
гл. II, § 3, теорема 1).
б) Е локально выпукло, А компактно и V замкнуто (гл. II, § 3,
предложение 4).
8. Говорят, что множества А и В в топологическом векторной
пространстве Е отделяются (соотв. строго отделяются) замкну-
замкнутой (вещественной) гиперплоскостью Я, если А содержится в одном

§ 4. ВЫПУКЛОСТЬ 351
из определяемых ею замкнутых (соотв. открытых) полупространств,
а В — в другом.
Пусть А и В— непустые выпуклые множества в топологическом
векторном пространстве Е, причем А открыто и А[\ В= 0. Суще-
Существует замкнутая гиперплоскость, отделяющая А и В (гл. II, § 3,
предложение 1).
Пусть А и В — непустые замкнутые выпуклые множества в ло-
локально выпуклом пространстве Е, причем А компактно и Лр|В= 0.
Существует замкнутая гиперплоскость, строго отделяющая А и В
(гл. II, § 3, предложение 4).
9. В локально выпуклом пространстве каждое замкнутое выпук-
выпуклое множество есть пересечение содержащих его замкнутых полу-
полупространств. Каждое замкнутое линейное многообразие есть пересе-
пересечение содержащих его замкнутых гиперплоскостей.
10. Опорной гиперплоскостью к множеству А в векторном про-
пространстве Е называется каждая гиперплоскость Н такая, что Н[\АФ
Ф 0 и А целиком находится по одну сторону от Н.
В топологическом (соотв. локально выпуклом) векторном про-
пространстве каждое выпуклое тело А (соотв. каждое непустое ком-
компактное выпуклое множество А) есть пересечение содержащих его
замкнутых полупространств, определяемых опорными гиперплоско-
гиперплоскостями к А (гл. II, § 3, следствие предложения 3 и следствие 2:
предложения 4).
Компактные выпуклые множества
11. В отделимом топологическом векторном пространстве Е вы-
выпуклая оболочка объединения конечного числа выпуклых компактных
множеств компактна. Если Е — отделимое локально выпуклое про-
пространство, то выпуклая оболочка предкомпактного множества из Е
предкомпактна; если, кроме того, Е квазиполно, то замкнутая
выпуклая оболочка предкомпактного множества компактна.
12. Пусть А—непустое компактное множество и Н—замкнутая
гиперплоскость в отделимом топологическом векторном пространстве ?\
Соответственно тому, содержится ли А в гиперплоскости, параллель-
параллельной Н, или нет, А обладает одной или двумя опорными гиперпло-
гиперплоскостями, параллельными Н.
13. Точка х выпуклого множества А называется его экстре^
мальной точкой, если в А нет ни одного открытого интервала, со-

352 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
держащего х. Пусть А — компактное выпуклое множество в отде-
отделимом локально выпуклом пространстве. Каждая опорная гиперпло-
гиперплоскость множества А содержит его экстремальную точку, и А есть
замкнутая выпуклая оболочка множества F всех своих экстремальных
точек (теорема Крейна — Мильмана; гл. II, § 4, теорема 1); обратно,
каждое компактное подмножество в А, имеющее А своей замкнутой
выпуклой оболочкой, содержит F (гл. II, § 4, предложение 4).
Проекция на выпуклое множество в предгильбертовом про-
пространстве
14. Пусть Е— предгильбертово пространство, А — непустое пол-
полное отделимое выпуклое множество в Е и х?Е. Существует одно-
однозначно определенная точка у^А, называемая проекцией х на А,
расстояние которой от х равно расстоянию х от А. Эта точка ха-
характеризуется также выполнением неравенства 91 (х—y\z—f)*C О
для всех z?A (гл. V, § 1, теорема 1).
При заданном А проекция х на А есть непрерывная функция
от х.
15. Пусть Ф — фильтрующееся по включению zd (соотв. с)
множество, образованное непустыми полными отделимыми выпуклыми
подмножествами предгильбертова пространства Е, и М — пересечение
всех множеств Л?Ф, предполагаемое непустым (соотв. замкнутая
выпуклая оболочка объединения всех множеств А, предполагаемая
отделимой и полной). Проекция каждого х?Е на Л?Ф стремится
по фильтру сечений множества Ф к проекции х на М.
Выпуклые функции
16. Числовая функция /, определенная на выпуклом подмноже-
подмножестве А векторного пространства Е, называется выпуклой (соотв.
строго выпуклой), если выполнены следующие равносильные
условия:
а) Для каждой прямой D в Е сужение / на отрезок D(]A есть
выпуклая (соотв. строго выпуклая) функция вещественного пере-
переменного.
б) Если х?А, у?А, х ф у и 0<Х<1, то
(соотв. /(Х* + A— *);,)< X/(*) + 0— Х)/О0).

§ 4. ВЫПУКЛОСТЬ 353
в) Каковы бы ни были точки х и у в А, все точки открытого
интервала МхМу (где Mt означает точку (t, f(t)) произведения Е X R)
находятся под (соотв. строго под) графиком функции /.
Если / выпукла (соотв. строго выпукла) и g—центр тяжести
попарно различных точек xt?A, снабженных массами /ч > 0, то
точка Мд находится под (соотв. строго под) центром тяжести точек
Мх{; снабженных теми же массами X.j.
Полунорма есть выпуклая функция.
17. Пусть /—выпуклая функция, определенная на открытом
выпуклом подмножестве А топологического векторного простран-
пространства. Если / ограниченна сверху на некотором непустом открытом
подмножестве множества А, то / непрерывна на всем А.
Конусы
18. Множество С в векторном пространстве Е называется конусом
с вершиной, в начале, если оно устойчиво относительно всех гомо-
гомотетий с положительными коэффициентами. х-\-С для каждого х?Е
называется конусом с вершиной х.
Конус с вершиной 0 называется заостренным, если 0?С, за-
затупленным, если 0 fit С, и выступающим, если он не содержит
никакой прямой, проходящей через 0.
19. Для того чтобы множество СсЕ было выпуклым конусом
с вершиной 0, необходимо и достаточно, чтобы С-\-СаС и ХСаС
для всех X ]> 0; порождаемое им векторное подпространство есть
тогда С — С; наибольшее векторное подпространство, содержащееся
в С, есть СП (—С).
Пересечение выпуклых конусов с общей вершиной есть выпук-
выпуклый конус; образ выпуклого конуса при аффинном линейном ото-
отображении есть выпуклый конус.
20. Пусть Р — выступающий заостренный выпуклый конус с вер-
вершиной 0 в векторном пространстве Е. Отношение у — х?Р есть
отношение порядка в Е; обозначим его х^.у. Оно обладает сле-
следующими свойствами:
(ЕОЛ если х^.у, то х -\- z ^ у -f- z для всех z?E;
если х^-0, то Хх^О для каждого скаляра
Обратно, если Е наделено структурой порядка, обладающей
свойствами (ЕОЛ и (ЕОП), то множество Р всех элементов !>0 из

354 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Е есть выступающий заостренный выпуклый конус с вершиной 0;
Е, наделенное своими структурами векторного пространства и по-
порядка, называется тогда упорядоченным векторным простран-
пространством.
21. Пусть Р—выпуклый конус с вершиной 0; полупрямая Z>
с началом 0, содержащаяся в этом конусе, называется его экстре-
экстремальной образующей, если каждый открытый интервал, содержа-
содержащийся в Р и пересекающийся с D, содержится в D; для этого не-
необходимо и достаточно, чтобы H3X-\-y?D, х?Р,у?Рследовалох? D
и y?D.
22. В топологическом векторном пространстве внутренность
и замыкание выпуклого конуса с вершиной 0 являются выпуклыми
конусами с вершиной 0.
23. Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и Р —
выступающий заостренный выпуклый конус в Е, имеющий непустую
внутренность. Каждая линейная форма на Е, положительная на Р,
непрерывна. Если М — векторное подпространство в Е, пересекаю-
пересекающееся с внутренностью конуса Р, и /—линейная форма на М,
положительная на Р П М, то на Е существует линейная форма f,
продолжающая / и положительная на Р (гл. II, § 3, предложение 6).
§ 5. Пространства непрерывных линейных отображений
В э<гом параграфе Е и F — локально выпуклые пространства»
© — множество ограниченных подмножеств пространства Е и L (Е, F) —
векторное пространство всех непрерывных линейных отобра-
отображений Е в F.
Если F — тело скаляров пространства Е, то L(E, F) называется
топологическим сопряженным (или просто сопряженным) к Е
и обозначается Е'.
©-топологии в L (E, F)
1. ©-топологией в пространстве L(E, F) всех непрерывных ли-
линейных отображений Е в F называется топология равномерной схо-
сходимости на множествах из ©; эта топология согласуется со струк-
структурой векторного пространства в L(E, F) и локально выпукла. Про-
Пространство L(E, F), наделенное ©-топологией, обозначается L&(E, F).
Если объединение множеств из © тотально в Е, a F отделимо,
то L® (E, F) отделимо.

§ 5. ПРОСТРАНСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 355
2. Наиболее важны следующие ©-топологии:
а) ©— множество всех конечных подмножеств пространства Е;
такая ©-топология называется топологией простой сходимости
(или слабой топологией, в случае сопряженного пространства Е').
б) ©— множество всех компактных подмножеств пространства Е;
такая ©-топология называете;? топологией компактной сходимости.
в) © — множество всех ограниченных подмножеств пространства Е-у
такая ©-топология называется топологией ограниченной сходи-
сходимости (или сильной топологией в случае сопряженного простран-
пространства ?¦')•
Каждая из этих топологий мажорируется следующей.
3. Пусть Г—множество полунорм, определяющее топологию в F.
Для каждого u?L(E, F), М?© и р^Т положим рм(и) —
= sup p(и(х)). Функции р,, образуют семейство полунорм, опреде-
ляюших топологию пространства L& (Е, F). В частности, если Е
и F — нормированные пространства, то норма ||и|| = sup ||и(лг)||
определяет в L (E, F) топологию ограниченной сходимости.
4. ©-топология не изменяется при замене © множеством образов
всех множеств из © при всевозможных гомотетиях, или множеством
объединений всевозможных конечных наборов множеств из ©, или
множеством замкнутых уравновешенных выпуклых оболочек всех
множеств из ©.
5. Предположим, что Е и F отделимы, причем F полно; пусть
Е — пополнение пространства Е и © — множество замыканий в Е
всех множеств из ©. Относя каждому элементу из L (Е, F) его про-
продолжение по непрерывности на Е, получаем изоморфизм топологи-
топологического векторного пространства L&(E, F) на топологическое век-
векторное пространство Lg (?, F).
6. Если Е бочечно, F квазиполно и ©•, покрывает Е, то
Z.@(?, F) квазиполно (гл. III, § 3, теорема 4).
Ограниченные множества в L® (E, F)
7. Для того чтобы множество Н в L (?, F) было ограниченным
в ©-топологии, необходимо и достаточно, чтобы множество точек
и(х) (и?Н, х?М) было ограниченно в F для каждого М?®.
8. Если Е и F отделимы и & — множество всех полных уравно-
уравновешенных ограниченных выпуклых подмножеств пространства Е, то

356 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
каждое множество из L(E, F), ограниченное в топологии простой
сходимости, ограниченно и в Й-топологии (гл. III, § 3, теорема 1).
9. Если Е квазиполно или бочечно, а <5 покрывает Е, то огра-
ограниченные множества в L^(E, F) — одни и те же для всех ©-топо-
©-топологий (гл. III, § 3, следствие 1 теоремы 1 и теорема 2).
Равностепенно непрерывные множества в L (E, F)
10. Пусть Н—множество в L(E, F). Следующие свойства рав-
равносильны:
а) Н равностепенно непрерывно в точке 0 пространства Е.
б) Н равностепенно непрерывно в каждой точке пространства Е.
в) Н равномерно равностепенно непрерывно на Е.
г) Для каждой окрестности нуля V из F существует окрестность
нуля U в Е такая, что u(x)?V для всех x?(J и и?Н.
Условие б) означает, что Н равностепенно непрерывно на Е.
11. Предположим F отделимым и пусть Н—равностепенно не-
непрерывное множество в L (E, F). Тогда множество всех пределов
отображений и?Н в топологии простой сходимости есть равносте-
равностепенно непрерывное множество в L(E, F) (гл. III, § 3, предложе-
предложение 4). В Н совпадают следующие равномерные структуры: 1) про-
простой сходимости на тотальном подмножестве пространства Е;
2) простой сходимости на Е; 3) равномерной сходимости на всех
предкомпактных множествах из Е (гл. III, § 3, предложение 5).
12. Все равностепенно непрерывные множества в L(E, F) огра-
ограниченны в каждой E-топологии. Обратно, если Е бочечно и <3 по-
покрывает Е, то каждое множество в L(E, F), ограниченное в <5-то-
пологии, равностепенно непрерывно. Если, кроме того, F отделимо
и фильтр Ф в [(?, F), ограниченный или обладающий счетным ба-
базисом, просто сходится к отображению и0 пространства Е в F, то
«0 есть непрерывное линейное отображение и Ф сходится к и0 рав-
равномерно на каждом предкомпактном множестве из Е (теорема Ба-
Банаха— Штейнгауза; гл. III, § 3, теорема 2).
13. Предположим, что F отделимо и квазиполно, а <5 покры-
покрывает Е. Тогда каждое равностепенно непрерывное множество из
L(E, F), замкнутое в (^-топологии, полно в этой (^-топологии
(гл. III, § 3, теорема 4),
14. Для того чтобы равностепенно непрерывное множество Н
в L(E, F) было относительно компактным в топологии простой схо-

§ 6. двойственность 357
димости, необходимо и достаточно, чтобы множество точек и(х)
(и?Н) было относительно компактно в F для каждого х?Е (гл. III,
§ 3, следствие предложения 4).
§ 6. Двойственность
Векторные пространства в двойственности
1. Пусть В — билинейная форма на произведении векторных про-
пространств F н G. Мы говорим, что В приводит F и G в двойствен-
двойственность, если выполнены следующие два условия:
(Dj) Для каждого х Ф О из F существует y?G такое, что
В (х, у)фО.
(Dji) Для каждого у Ф О из G существует x?F такое, что
В(х,у)фО.
Относя каждому элементу у?О линейную форму х ->¦ В (х, у)
на F, мы получаем изоморфизм пространства О в алгебраическое
сопряженное F* к F; если отождествить G с его образом при этом
изоморфизме, то форма В(х, у) отождествится с канонической би-
билинейной формой (х, у). Таким же образом F может быть отож-
отождествлено с некоторым подпространством пространства G*.
2. Топология простой сходимости на G определяет в F (рас-
(рассматриваемом как часть G*) топологию, обозначаемую c(F, G) и на-
называемую слабой топологией, определяемой заданной двойствен-
двойственностью. Эта топология локально выпукла и отделима; она определяется
семейством полунорм х —>• j (х, у) \, где у пробегает G; это — сла-
слабейшая из топологий, при которых непрерывны все линейные формы
х —>• (х, у) (y^.G). Обратно, каждая линейная форма на F, непре-
непрерывная в топологии a(F, G), имеет вид х —*¦ (х, у), где y?G. Таким
образом, топологическое сопряженное к F (множество всех непре-
непрерывных линейных форм на F, наделенном топологией o(F, G))
отождествимо с G.
Поменяв ролями F и G, определим топологию a(G, F) в G;
сопряженное к О (наделенному топологией a(G, F)) отождест-
отождествимо с F.
3. Обратно, пусть Е — топологическое векторное пространство
с отделимой локально выпуклой топологией & и Е' — топологическое
сопряженное к Е. Каноническая билинейная форма (jt, x') приводит
Е и Е' в двойственность (гл. II, § 5, следствие 2 теоремы 1); со-

358 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
ответствующая топология с(Е, Е') мажорируется топологией § и на-
называется ослабленной топологией, ассоциированной с $; топология
с(?', Е) называется слабой топологией в Е'.
Поляры.
4. Пусть F и G— векторные пространства в двойственности.
Полярой множества McF называется множество М3 всех y?G
таких, что 9t (х, у) ^ 1 для каждого х?М. Множество М° содер-
содержит О, выпукло и слабо замкнуто (т. е. замкнуто в топологии с (О, F)).
Если М уравновешенно, то М° уравновешенно и состоит из всех
y?G таких, что | (х, у) | -^ 1 для каждого х?М. Если McN, то
M°zd№, и если М поглощает N, то ЛР поглощает М3. Поляра объ-
объединения [J Mt любого семейства (М) множеств из F есть пересече-
ние (| М°; если все Mt выпуклы, слабо замкнуты и содержат 0, то
поляра пересечения || Mt есть замкнутая (в топологии a(G, F))
выпуклая оболочка объединения \J ML.
5. Пусть McF; Ж03 обозначает поляру множества /VP; это —
замкнутая (в топологии a{F,G)) выпуклая оболочка объединения
множества М и точки 0; ЛР°° = М°. Таким образом, полярность при-
приводит во взаимно однозначное соответствие слабо замкнутые выпук-
выпуклые множества из F и G, содержащие начало. Для того чтобы мно-
множество MczF было ограниченным в топологии a(F, G), необходимо
и достаточно, чтобы М" было бочкой в топологии s(G, F).
Подпространства, фзктэрпространства, произведения
6. Если М — векторное подпространство в F, то его поляра М°
есть слабо замкнутое векторное подпространство в G, называемое
ортогональным к М; это — множество всех y^.G таких, что
(х, у) = 0 для каждого х?М. Мо:> есть слабое замыкание вектор-
векторного подпространства М.
7. Пусть М—векторное подпространство в F. Билинейная форма
{х, у) приводит в двойственность М и G/ЛГ. а (/И, G/ЛГ) есть то-
топология, индуцируемая в М топологией з(/\ G). Если М слабо зам-
замкнуто, то o{GjM°, M) есть фактортопология топологии а (О, F) по Ма
(гл. IV, § 1, предложение 7).

§ 6. двойственность 359
8. Пусть ((/\, G,)),i—семейство пар векторных пространств
(/\, GJ, приведенных в двойственность билинейными формами
A (*i> ^i)- Тогда прямая сумма F пространств /\ и произведение О
пространств О, приводятся в двойственность билинейной формой
.В((*,), (yl)) = 2 AG*i. V.); топология a(G, F) совпадает с произве-
дением топологий 0@^ /\).
Топологии, согласующиеся с двойственностью
9. Пусть F и G — векторные пространства в двойственности.
Говорят, что отделимая локально выпуклая топология I в F согла-
согласуется с двойственностью между F и О, если линейные формы
на F, непрерывные в топологии §~, это формы вида х—>(х, у), где
y?G; то же можно выразить, сказав, что сопряженным к F, наде-
наделенному топологией §, служит G, или также что о(/\ G) есть ослаб-
ослабленная топология, ассоциированная с $.
10. В F ограниченные (соотв. замкнутые выпуклые) множества —
одни и те же для всех топологий, согласующихся с двойственностью
между F п О (гл. IV, § 2, теорема 3 и предложение 4).
11. Для отделимой локально выпуклой топологии §~ в F сле-
следующие три свойства равносильны (теорема Макки; гл. IV, § 2, тео-
теорема 2):
а) S согласуется с двойственностью между F и G;
б) § мажорирует топологию a(F, G) и мажорируется топологией
i(F,G) равномерной сходимости на всех слабо компактных уравно-
уравновешенных выпуклых множествах из G;
в) IT есть топология равномерной сходимости на элементах не-
некоторого покрытия пространства G, образованного слабо компактными
уравновешенными выпуклыми множествами.
Топология t(F, G) называется топологией Макки в F; это —
сильнейшая из локально выпуклых топологий в F, согласующихся
с двойственностью между F и G. В F топология метризуемого или
бочечного локально выпуклого пространства, согласующаяся с.двой-
с.двойственностью между F n G, необходимо совпадает с т (F, G); однако,
для пары пространств в двойственности F, G топология т(/\ G) не
обязательно бочечна или метризуема.
12. Пусть сГ — топология в F, согласующаяся с двойственностью
между F и G. Для того чтобы множество NcG было равностепенно

360 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
непрерывным (при топологии оГ в F), необходимо и достаточно,
чтобы № было окрестностью нуля для топологии J" в F; такое
множество N слабо относительно компактно в G; JT совпадает с <2-то-
пологией, где <5— множество всех таких N (см. п°11).
Предположим, кроме того, что F, наделенное топологией аГ,
полно. Для того чтобы линейная форма на О была слабо непрерыв-
непрерывной (иначе говоря, записывалась в виде у —у (х, у), где x^F), до-
достаточно, чтобы были слабо непрерывны ее сужения на множества
из <5 (гл. IV, § 2, теорема 4).
Сальное сопряженное
13. Пусть Е— отделимое локально выпуклое пространство и?' —
его сопряженное. Сильной топологией в Е' называется топология
равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е.
Векторное пространство Е', наделенное этой топологией, называется
сильным сопряженным к Е. Поляры всех ограниченных множеств из Е
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для сильной
топологии в Е'. Эта топология зависит лишь от двойственности между
Е и Е'.
14. Каждое равностепенно непрерывное множество из Е' сильно
ограниченно, и каждое сильно ограниченное множество слабо огра-
ограниченно. Обратно, если Е квазиполно, то каждое слабо ограничен-
ограниченное множество из Е' сильно ограниченно (гл. IV, § 3, предложение 1);
если Е бочечно, то каждое слабо ограниченное множество из Е'
сильно ограниченно и равностепенно непрерывно (гл. IV, § 3, пред-
предложение 2).
15. Сопряженное к сильному сопряженному Е' к Е называют
вторым сопряженным к Е и обозначают Е". х' —>• (х, x') для каж-
каждого х?Е есть непрерывная линейная форма на Е' и тем самым
некоторый элемент j(x) из Е". Отображение j пространства Е в Е"
взаимно однозначно и линейно, но не обязательно непрерывно. Для
того чтобы j отображало Е на Е", необходимо и достаточно, чтобы
каждое ограниченное множество из Е было относительно компактно
в топологии с(Е, Е') (гл. IV, § 3, теорема 1); Е называется тогда
полурефлексивным. Предположим, что это условие выполнено;
для того чтобы j было изоморфизмом топологического векторного
пространства Е на векторное пространство Е", наделенное силь-
сильной топологией (как пространство, сопряженное к сильному

? 7. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 361
сопряженному ?'), необходимо и достаточно, чтобы Е было бочечно
(гл. IV, § 3, теорема 2); Е называется тогда рефлексивным. Сильное
сопряженное к рефлексивному пространству рефлексивно.
Сопряженное отображение
16. Пусть (F, G) и (Z7!, Gj) — две пары пространств в двойствен-
двойственности и и — линейное отображение F в Fv Для того чтобы суще-
существовало линейное отображение v пространства Cv в С такое, что-
каковы бы ни были y^F и z1^Gl, необходимо и достаточно, чтобы
и было слабо непрерывно (т. е. непрерывно при топологиях a (F, GV
и а (Fv Gt)). Отображение v тогда единственно и является слабо-
слабонепрерывным (при топологиях s(Gv Ft) и <s(G, F)) линейным отобра-
отображением; оно называется сопряженным кип обозначается 1и. Имеем
*(*«) = ti-
till. Ядро отображения ги ортогонально к u(F). Для того чтобы*
и (F) было слабо плотным в Flt необходимо и достаточно, чтобы *и
было взаимно однозначно.
Для того чтобы и было гомоморфизмом F в F( (при топологиях
<s(F,G) и 3(Fj, GJ), необходимо и достаточно, чтобы tu(Gl) было
слабо замкнуто в G (гл. IV, § 4, предложение 4).
18. Пусть Е и F — отделимые локально выпуклые пространства:
и и — линейное отображение Е в F. Если и слабо непрерывно, то
*и определено и отображает F' в Е'\ оно непрерывно, если наде-
наделить F' и Е' одновременно слабой или сильной топологиями.
Если и непрерывно при заданных исходных топологиях в ? и Fг
то оно слабо непрерывно. Обратно, если а слабо непрерывно, то-
оно непрерывно при топологиях Макки i(E, E') и т(/\ F')\ в ча-
частности, если Е бочечно или метризуемо, то и непрерывно при за-
заданных исходных топологиях в Е и F.
§ 7. Основные типы локально выпуклых пространств
Бочечные пространства
1. Бочкой в локально выпуклом пространстве Е называется каж-
каждое поглощающее замкнутое уравновешенное выпуклое множество.
Бочка поглощает все полные ограниченные выпуклые множества

362 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
-(гл. Ш, § 3, лемма 1). Если Е квазиполно, то бочка поглощает все
ограниченные множества из Е.
2. Топологическое векторное пространство Е называется бочеч-
бочечным, если оно локально выпукло и каждая бочка в нем является
окрестностью нуля. Локально выпуклое пространство, базисное то-
топологическое пространство которого — бэровское (Общ. топ., Рез.,
§ 1, п°17; гл. IX, § 5, п°3), бочечно (гл. III, § 1, предложение 1);
« частности, пространства Фреше, а тем самым и банаховские про-
пространства бочечны. Монтелевское пространство бочечно по опреде-
определению. Факторпространство, топологическая прямая сумма и индук-
индуктивный предел бочечных пространств бочечны.
3. Пусть Е—-бочечное пространство и F— локально выпуклое
-пространство. Ограниченные множества в L(E, F) — одни и те же
лля всех ©-топологий, где объединением множеств из © служит
¦всё Е\ они совпадают с равностепенно непрерывными множествами
в L{E,F) (гл. III, § 3, теорема 2).
Если F отделимо и Ф — ограниченный или обладающий счетным
^базисом фильтр в L (E, F), просто сходящийся к некоторому
отображению и0 пространства Е в F, то и0 есть непрерывное ли-
линейное отображение и Ф сходится к и0 равномерно на каждом пред-
компактном множестве из Е (теорема Банаха — Штейнгауза; гл. III,
•§ 3, следствие теоремы 2).
Если, кроме того, F квазиполно и © покрывает Е, то Ls (E, F)
квазиполно (гл. III, § 3, следствие 2 теоремы 4).
4. Пусть Е — отделимое бочечное пространство и Е' — его со-
сопряженное. Следующие свойства множества М'сЕ' равносильны
.{гл. IV, § 3, предложение 2):
а) М' слабо ограниченно.
б) М' сильно ограниченно.
в) М' относительно слабо компактно.
г) М' равностепенно непрерывно.
Пространство Е' квазиполно как в сильной, так и в слабой
топологии. В Е', наделенном слабой топологией, замкнутая выпуклая
оболочка компактного множества компактна.
5. Если Е — отделимое бочечное пространство, то его топология
-совпадает с топологией Макки т (Е, Е'). Поляры окрестностей нуля
из Е (соотв. из сильного сопряженного Е') образуют фундаменталь-
фундаментальную систему ограниченных множеств в сильном сопряженном Е'

§ 7. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 363
{соотв. в Е). Обратно, поляры ограниченных множеств из Е (соотв.
•из сильного сопряженного Е') образуют фундаментальную систему
¦окрестностей нуля в сильном сопряженном Е' (соотв. в Е).
6. Пусть Е, F, G—-топологические векторные пространства.
?сли F бочечно, то каждое раздельно непрерывное билинейное ото-
отображение и произведения Е X F в G <5-гипонепрерывно для любого
покрытия <3 пространства Е ограниченными множествами (гл. III, § 4,
предложение 6). Если, кроме того, Е и F метризуемы, то и непре-
непрерывно (гл. III, § 4, предложение 2).
Монтелевские пространства
7. Монтелевским пространством называется каждое отделимое
"бочечное пространство, в котором все ограниченные множества отно-
относительно компактны. Нормированное монтелевское пространство
конечномерно (гл. I, § 2, теорема 3).
8. В ограниченном подмножестве монтелевского пространства
©слабленная топология совпадает с первоначально заданной. Каждый
ограниченный фильтр или фильтр со счетным базисом, сходящийся в
ослабленной топологии, сходится и в первоначально заданной топологии.
Следующие свойства подмножества Р монтелевского пространства
равносильны:
а) Р ограниченно.
б) Р относительно компактно.
в) Р ограниченно в ослабленной топологии.
г) Р относительно компактно в ослабленной топологии.
9. Каждое монтелевское пространство рефлексивно. Сильное со-
сопряженное к монтелевскому пространству есть монтелевское про-
пространство (гл. IV, § 3, предложение 7).
Пространства Фреше
10. Пространством Фреше называется каждое полное метри-
зуемое локально выпуклое пространство. Каждое замкнутое вектор-
векторное подпространство пространства Фреше и каждое факторпростран-
ство пространства Фреше по его замкнутому векторному подпро-
подпространству являются пространствами Фреше.
11. Так как пространство Фреше метризуемо и полно, то к нему
применима теорема о замкнутом графике (см. § 2, п°п° 6 и 7; § 3,
л° 8). В частности, пусть $\ и Ш2 —две топологии в одном и том же

364 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
векторном пространстве Е, в каждой из которых Е есть простран-
пространство Фреше; если Ш1 мажорируется топологией сГ2- т0 эти Две топо-
топологии совпадают.
12. Пространство Фреше. бочечно. Поэтому к нему применимы
все свойства бочечных пространств и прежде всего теорема Банаха —
Штейнгауза (п°п° 1—6). Если Е — пространство Фреше и F— метри-
зуемое топологическое векторное пространство, то каждое раздельно
непрерывное билинейное отображение произведения Е X F в топо-
топологическое векторное пространство О непрерывно (гл. III, § 4, пред-
предложение 2).
13. Пусть Е—пространство Фреше и Е' — его сопряженное. Для
того чтобы выпуклое множество А'аЕ' было замкнутым в слабой
топологии з (Е',Е), необходимо и достаточно, чтобы А' П U° было
замкнуто в топологии а (?', Е) для каждой окрестности нуля U из Е
(гл. IV, § 2, теорема 5).
Банаховские пространства
14. Банаховским пространством называется каждое полное нор-
нормированное пространство. Каждое банаховское пространство есть
пространство Фреше (п°п° 10—13). Пополнение нормированного про-
пространства есть банаховское пространство.
15. Если Е и F—банаховские пространства, то L(E, F), наде-
наделенное нормой || и || = sup ||и(х)||, есть банаховское пространство,
||ж||<1
топология которого есть топология ограниченной сходимости.
Если Н—множество в L(E, F) такое, что sup ||и(х)||< + 00
для каждого х?Е, то sup ||и||<-f-oo. что означает, что Н равно-
степенно непрерывно (теорема Банаха — Штейнгауза).
16. Пусть Е — банаховское пространство и Е' — его сопряжен-
сопряженное. Снабженное нормой ||х'|| = sup | (х, х') \, Е' есть банахов-
||а;||<1
ское пространство, топология которого является сильной топологией;
иными словами, сильное сопряженное к банаховскому пространству
есть банаховское пространство.
Каждый замкнутый шар в Е' слабо компактен (гл. IV, § 5, пред-
предложение 1). Для того чтобы линейная форма / на Е' была слабо
непрерывной (и, значит, записывалась в виде f(x') = (x, х'), где
•*??), достаточно, чтобы было слабо непрерывно ее сужение на шар
||-к'||-<1 (гл. IV, § 5, следствие 1 предложения 3).

§ 7. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 365
17. Второе сопряженное Е" к банаховскому пространству Е,
снабженное нормой ||х"|| = sup j (х", х')', есть банаховское про-
||ж'||<1
странство, причем каноническое отображение j пространства Е в Е"
есть изометрия. Для того чтобы Е было рефлексивным, необходимо
и достаточно, чтобы шар ||х||<; 1 был компактен в ослабленной
топологии а (Е, Е') (гл. IV, § 5, предложение 6).
18. Замкнутое подпространство М банаховского пространства Е
и факторпространство EjM являются банаховскими пространствами.
Пусть М°— подпространство в Е', ортогональное к М. Каноническое
отображение сопряженного к EjM на М° есть изометрия; канони-
каноническое отображение М на E'jM0 есть изометрия.
Если Е рефлексивно, то М и EjM рефлексивны.
19. Пусть Е и F — банаховские пространства; каково бы ни было
непрерывное линейное отображение и пространства Е в F, \\*и\\ = ||и||
и ||и|| есть норма непрерывной билинейной формы (х, у') —>¦ (и(х), у')
на Е X Р'-
Гильбертово пространство
20. Пусть Е — векторное пространство над телом вещественных
или телом комплексных чисел (обозначаемым далее К). Эрмитовой,
полуторалинейной формой на Е называется каждое отображение
{х, у) -*¦ (х | у) произведения Е у_ Е в К, удовлетворяющее следую-
следующим условиям:
Г (х\у) линейно по х и полулинейно по у;
2° (у\х)ЩУ
Если (х|л:)>-0 для всех х?Е, то форма (х\у) называется
положительной; если при этом (х\х) = 0 лишь при х = 0, то она
называется невырожденной положительной.
21. Векторное пространство Е, наделенное положительной эрми-
эрмитовой полуторалинейной формой (х\у), называется предгильберто-
предгильбертовым пространством, а форма (->с|У) — скалярным произведением
векторов х и у. \\ х \\ = у (х | х) есть полунорма, превращающая Е
в локально выпуклое пространство.
Скалярное произведение удовлетворяет неравенству Коши —
Буняковского
и потому непрерывно на Е X

366 СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Для того чтобы Е было отделимым, необходимо и достаточно*
чтобы (х\у) было невырожденной положительной формой; ||х|| есть»
тогда норма, а Е — нормированное пространство.
22. Полное отделимое предгильбертово пространство называется
гильбертовым пространством или пространством Гильберта.
Пополнение отделимого предгильбертова пространства есть гильбер-
гильбертово пространство. Каждое замкнутое векторное подпространство*
гильбертова пространства есть гильбертово пространство. /С, наделен-
наделенное скалярным произведением (; | ¦»]) = ?¦»], если гильбертово простран-
пространство. Каждая внешняя гильбертова сумма гильбертовых пространств
есть гильбертово пространство. В частности, для любого множества Г
пространство Lk(I) всех семейств (S,)-^ для которых 2 IU2< -г-оо„
наделенное скалярным произведением
есть гильбертово пространство.
23. Пусть Е — гильбертово пространство и иу для каждого
линейная форма х~>(х\у). у -> иу есть изометрическое полулинейное
отображение пространства Е на его сопряженное Е'\ поэтому гиль-
гильбертово пространство можно отождествить с его сопряженным (гл. V,.
§ 1, теорема 3).
Каждое гильбертово пространство Е есть рефлексивное банахов-
ское пространство. Единичный шар ||х|| <; 1 пространства Е слабо
компактен. Для того чтобы фильтр ^ в ? сильно сходился к х0»
необходимо и достаточно, чтобы он слабо сходился к х0 и чтобы
Нт5||х|| = ||хо|] (гл. V, § 1, предложение 9).
24. Пусть М — векторное подпространство гильбертова простран-
пространства Е и М°— ортогональное дополнение к М, т. е. множество-
всех точек у?Е таких, что (х | у) = 0 для каждого х ? М. {М)° = Ма
и (М°)° = М; М° есть замкнутое векторное подпространство в Е^
а Е — гильбертова сумма своих подпространств М и М° (гл. V, § 1,
теорема 2).
25. Семейство (е,Iе/ элементов предгильбертова пространства Е на-
называется ортонормальным, если (et j e%) = 81Х (где 51Х — кронекеровский
символ); такое семейство топологически свободно. Для каждого
(неравенство Бесселя).

§ 7. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 367"
Следующие свойства ортонормального семейства (е,) в отделимом
предгильбертовом пространстве Е равносильны (гл. V, § 2, пред-
предложение 5):
а) Семейство (е,) тотально.
б) Для каждого х ? Е семейство ((х \ е,) ej суммируемо и имеет
своей суммой х.
в) Для каждого х?Е имеет место равенство ||-к||2 = 2 I (x | О I2-
Ортонормальное семейство (е,), удовлетворяющее этим условиям,
называется ортонормальным базисом пространства Е.
Если Е — гильбертово пространство, то условия а), б), в) равно-
равносильны условию
г) Если (x|.et) = 0 для всех i?/, то х = 0.
Отображение х -> ((х \ е)), где (е,) — ортонормальный базис гиль-
гильбертова пространства Е, есть изоморфизм последнего на простран-
пространство L2K(I).
26. В каждом отделимом предгильбертовом пространстве счетного,
типа содержится счетный ортонормальный базис (гл. V, § 2, пред-
предложение 6).
27. В каждом гильбертовом пространстве существует ортонор-
ортонормальный базис, содержащий заданное ортонормальное семейство;
каждое гильбертово пространство обладает поэтому хотя бы одним,
ортонормальным базисом (гл. V, § 2, теорема 2). Любые два орто-
нормальных базиса в одном и том же гильбертовом пространстве Е
равномощны (гл. V, § 2, предложение 7); их кардинальное число
называется гильбертовой размерностью пространства Е. Для того
чтобы два гильбертовых пространства были изоморфны, необходимо и,
достаточно, чтобы они имели одинаковую гильбертову размерность.

ПРИЛОЖЕНИЕ
К СВОДКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ
НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
1. Пусть 3>к — пространство всех бесконечно дифференцируемых
комплексных функций на R™, носитель которых содержится в ком-
компактном множестве К. Наделенное топологией равномерной сходи-
сходимости каждой производной, 3>к есть монтелевское пространство
Фреше.
2. Объединение SD всех 3)к (где К пробегает множество всех
компактных подмножеств пространства Rre), наделенное индуктивным
пределом топологий пространств 3)к, есть строгий индуктивный пре-
предел пространств Фреше и монтелевское пространство.
3. Сопряженное S' к 3—пространство всех распределений HaRre,
наделенное сильной топологией, есть монтелевское пространство,
¦сопряженным к которому служит поэтому 3.
4. Пространство § всех бесконечно дифференцируемых комплекс-
комплексных функций на R™, наделенное топологией компактной сходимости
каждоД производной, есть монтелевское пространство Фреше.
5. Сопряженное &' к $ — пространство всех распределений на R"
с компактным носителем, наделенное сильной топологией, есть мон-
монтелевское пространство, сопряженным к которому служит по-
поэтому S.
6. Пространство $в (D) всех голоморфных функций в области
DczCn, наделенное топологией компактной сходимости, есть монте-
монтелевское пространство Фреше.
7. Пусть (х — положительная мера на локально компактном про-
пространстве X; для каждого р такого, что 1 ^ р ^ -f- oo, простран-
пространство LP(X, (i.), снабженное нормой ||/||р,—банаховское. Если 1<]р<
<-|-сх>, то сопряженное к Lp(X,\t.) канонически изоморфно про-
пространству Lq (X, [х), где 1 = 1. В частности, если 1 < р < -\- оо,
то Lp(X,\j.) рефлексивно; L2 (X, (д.) есть гильбертово простран-
пространство.

СЛОВАРЬ
ВВЕДЕНИЕ
Жирными прописными буквами набраны термины, определенные
в этой книге; каждый из них сопровождается ссылкой на главу,
параграф и пункт, где он введен. Остальные слова представляют
собой либо перевод терминов, определенных в этой книге, на язык дру-
другой терминологии (французской или иностранной), либо термины,
означающие понятия, тесно связанные с изучаемыми в книге, но не
рассматриваемые в основном тексте. Немецкие и английские термины,
весьма близкие по написанию с французскими, имеющими тот же
смысл, опущены. Тире заменяет повторение рассматриваемого тер-
термина. Наименование, состоящее из нескольких слов, приводится
вообще лишь на первую букву одного из них (например, „espace
localement convexe"—на букву L, но не на буквы Е и С). (В)
означает ссылку на книгу S. Banach, Theorie des operations
lineaires (Warzawa, 1932)*).
A
ABSORB ANT (ENSEMBLE) (поглощающее множество): I, 1, 3.
ABSORPTION (поглощение) одного множества другим: I, 1, 3.
Adjoint (first): сопряженное к локально выпуклому пространству; — (se-
(second): второе сопряженное к локально выпуклому пространству.
AFFAIBLIE (TOPOLOGIE) (ослабленная топология): IV, 2, 1. В другой
терминологии: topologie faible (слабая топология). Нем.: schwache
Topologie; англ.: weak topology.
Aichk6rper: выпуклое множество, определяемое неравенством вида р (x)<! a,
где р — выпуклая положительно однородная функция.
APPLICATION CANONIQUE (каноническое отображение) локально выпуклого
пространства Е в его второе сопряженное Е": IV, 3, 3; EL в ф Е
(где (?,)— семейство гильбертовых пространств): V, 2, 1.
*) Украинский перевод: С. Банах, Курс функцюналыюго анал1зу, КиГв,
1948.

370 словарь
ASSOCIE (ESPACE VECTORIEL TOPOLOGIQUE SEP ARE): отделимое топо-
топологическое векторное пространство, ассоциированное с данным топо-
топологическим векторным пространством: I, 1, 6.
ASSOCIEE (FORME HERMITIENNE NON DEGENEREE): невырожденная
эрмитова форма, ассоциированная с данной эрмитовой формой: V, 1,1.
Associee (operation) (сопряженный оператор) (В): сопряженное к данному
непрерывному линейному отображению.
В
BASE ALGEBRIQUE (алгебраический базис) предгильбертова пространства: V,
2,3; в другой терминологии: base de Hamel (базис Хамеля); — ORTHO-
NORMALE (ортонормальный базис) предгильбертова пространства:
V, 2, 3; в другой терминологии: systeme orthonormal complet (полная
ортонормальная система).
Base (базис) банаховского пространства (В): последовательность (д„) эле-
элементов рассматриваемого пространства Е, обладающая тем свойством,
что для каждого х^Е существует однозначно определенная последо-
последовательность (?„) скаляров такая, что ряд с общим членом Ьпап схо-
сходится в ? и имеет своей суммой х.
BIDUAL (второе сопряженное): IV, 3, 3. Англ: second adjoint, second conjugate.
|| Второе сопряженное к локально выпуклому пространству Е часто обо-
обозначается ?** или Е (В).
Biorthogonales (suites) (В): последовательность (х„) элементов нормирован-
нормированного пространства Е и последовательность (дгп) элементов его сопря-
сопряженного Е' называют биортогональными, если (xt, Xj) = btj (где 5у —
кронеккеровский символ).
BORNE (ENSEMBLE) (ограниченное множество): III, 2, 1. Нем.: beschrankt;
англ.: bounded.
Вогпёе (operation, transformation) (ограниченное отображение): линейное
отображение топологического векторного пространства в топологиче-
топологическое векторное пространство, преобразующее некоторую окрестность
нуля в ограниченное множество.
Bornologique (espace) (ограниченно замкнутое пространство): локально вы-
выпуклое пространство, в котором каждое выпуклое множество, погло-
поглощающее все ограниченные множества, есть окрестность нуля. Англ.:
boundedly closed space.
CARRE SCALAIRE (скалярный квадрат): V, 1, 3.
COMPATIBLE (TOPOLOGIE) согласующаяся (топология) с данной двой-
двойственностью: IV, 2, 3. Англ.: admissible topology.
COMPATIBLES (STRUCTURE D'ESPACE VECTORIEL ET TOPOLOUIE)
(согласующиеся структура векторного пространства и топология): 1,1,1.
Complet (systeme orthonormal) (полная ортонормальная система): ортонор-
ортонормальный базис.

СЛОВАРЬ 371
Complete (suite) (В): тотальная последовательность в пространстве (С) или
(Iм) (см. Espaces de Banach partfculfers).
Complete linear space: полное топологическое векторное пространство.
||Авторы стран английского языка употребляют этот термин в различ-
различных смыслах: у некоторых он означает квазиполное пространство,
у других — полуполное пространство (см. QUASI-COMPLET (ESPACE)
и Semf-eomplet (espace).
CONE (конус): II, 1, 4. Нем.: Kegel. — EPO1NTE (затупленный—): II, 1, 4;
—POINTE (заостренный—): И, 1, 4.
Conjugue (espace) (сопряженное пространство) (В): сопряженное к локально
выпуклому пространству. Англ.: conjugate, first conjugate.
CONJUGUE (ESPACE PREH1LBERTIEN): предгильбертово пространство,
дуальное к данному комплексному предгильбертову пространству: V, 1,3.
Conjuguee (operation) (сопряженный оператор) (В): сопряженное к данному
непрерывному линейному отображению.
Contredomalne (В): область значений отображения.
Convex linear space: локально выпуклое пространство.
CONVEX (CORPS) (выпуклое тело): II, 3, 2; — (ENSEMBLE) (—множество):
II, 1, 1; — (FONCTION) ( — функция): II, 5, 1.
COORDONNEES (координаты), относительно данного ортонормального
базиса: V, 2, 3.
D
Definie positive (forme hermitienne) (положительно определенная эрмитова
форма): невырожденная положительная эрмитова форма.
DEMI-ESPACES FERMES (— OUVERTS) (замкнутые, соотв. открытые полу-
полупространства), определяемые замкнутой гиперплоскостью: II, 1, 6. Нем.:
Halbraume; англ.: half spaces.
Derive faible (слабое производное) множества в сопряженном к банаховскому
пространству (В): множество пределов всевозможных слабо сходящихся
последовательностей точек рассматриваемого множества.
Developpement (разложение) элемента х банаховского пространства по
паре биортогональных последовательностей (а„), (д') (В): ряд с общим
членом (х, а'п) ап.
DIMENSION (размерность) выпуклого множества: II, 1, 3; — H1LBERTIENNE
(гильбертова —) гильбертова пространства: V, 2, 4.
Dimension llneaire (линейная размерность) полного метрнзуемого веще-
вещественного топологического векторного пространства (В): отношение
,Х и Y — полные метризуемые вещественные топологические вектор-
векторные пространства н X изоморфно замкнутому векторному подпро-
подпространству пространства Y" есть отношение предпорядка R {X, Y}.
Пусть S{X, ^ — ассоциированное с ним отношение эквивалентности
.R{X, Y} и R{Y, X}". iz(S{X, Z})*) называется линейной размер-
размерностью пространства X.
*) Класс эквивалентности пространства X по отношению эквивалент-
эквивалентности S. — Прим. перев.

372 словарь
DISQUE (ENSEMBLE) (закругленное множество): I, 1, 3. Англ.: circled set.
Distanzfunktion: см. JAUGE.
Domaine (В): область определения отображения.
DUAL (сопряженное) к отделимому локально выпуклому пространству: IV,
1, 1; — ALGEBRIQUE (алгебраическое—): IV, 1, 1; FA1BLE (слабое—):
IV, 2, 1; —FORT (сильное —): IV, 3,1; —TOPOLOGIQUE (топологиче-
(топологическое—): IV, 1, 1. В другой терминологии (В): espace conjugue. Англ.:
adjoint, first adjoint, conjugate, first conjugate. || Сопряженное к локально
выпуклому пространству Е часто обозначается Е* или Е (В).
DUALITE (ESPACES EN) (пространства в двойственности): IV, 1, 1.
Е
Entourage (В): voisinage (окрестность).
ENVELOPPE CONVEXE (выпуклая оболочка) множества: II, 1, 3; DIS-
QUEE (закругленная ) множества: II, 6, 2; — EQU1L1BREE (ура-
(уравновешенная—) множества: I, 1, 3; —FERMEE CONVEXE (замкнутая
выпуклая — ) множества: II, 1, 6; ЕТ DISQUEE (закругленная
) множества: II, 6, 2. Нем.: Hulle; англ.: hull.
EQUIHYPOCONTINU (ENSEMBLE ©-) (равностепенно (g-гипонепрерывное
множество): III, 4, 5; —(ENSEMBLE (@, ?)-)(— (<3, %) ):'Ш,4,5
EQUILIBRE (ENSEMBLE) (уравновешенное множество): I, 1, 3.
Equivalents (espaces norme§) (В): два нормированных пространства назы-
называются эквивалентными, если существует изометричное линейное ото-
отображение одного из них на другое.
ESPACE DE BANACH (банаховское пространство): I, 1,5; в другой термино-
терминологии (В): espace de type (В) (пространство типа (Б)); — DE FRECHET
(—Фреше): II, 2, 1 и 6, 2; — DE HILBERT (гильбертово—)^, 1, 3;
— DE MONTEL (монтелевское—): IV, 3, 4; в другой терминологии:
espace (М) (пространство (М)).
Espace de type (В) (пространство типа (В)) (В): банаховское простран-
пространство; — de type (F) (— типа (F)) (В): полное метризуемое топологи-
топологическое векторное пространство (вещественное или комплексное); — de
type (G) (— типа (G)) (В): полная метризуемая коммутативная группа;
— (М): монтелевское пространство.
Espaces de Banach particuliers (В):
Espace (С) (пространство (С)): пространство С (/) всех непрерывных
числовых функций на компактном интервале /cR, снабженное
нормой || х\\ = sup | х (t) \.
Espace (C^') (пространство (С^)): пространство всех числовых
функций на / с непрерывной р-й производной, снабженное нормой
p|(Ol + p|()i
Espace (с) (пространство (с)): пространство всех вещественных число-
числовых последовательностей х = (?„), для которых существует конечный

словарь 373
lim ?„, снабженное нормой ||д:|| = sup|?n| (подпространство нор-
п->-оо п
мированного пространства (т); см. ниже).
Espace (с0) (пространство (с0)): пространство а%Г (N) всех вещественных
числовых последовательностей, стремящихся к нулю, снабженное
нормой, индуцированной из пространства (с).
Espace (l№) (пространство iffy A <!р<[оо): пространство Lp (/) всех
измеримых числовых функций с интегрируемой р-н степенью по
мере Лебега*) на интервале /czR, снабженное нормой
11*11 =
Ехрасе № (пространство fify A <; р <С + оо): пространство Lp (N)
всех числовых последовательностей х = EП), для которых ряд с
общим членом | ?ге \р сходится, снабженное нормой
г)
1*
Espace (М) (пространство (М)): пространство всех ограниченных чис-
числовых функций на интервале /czR, измеримых по мере Лебега*),
снабженное нормой ||д:|| = Л10о (| JC |) (максимум по мере функции
\x(t)\ на /).
Espace (/и) (пространство (/и)): пространство L°° (N) всех ограничен-
ограниченных числовых последовательностей х = EП). снабженное нормой
||х|| = == sup | =„ f.
¦ n
EXTENSION к С (расширение до С) тела скаляров: II, 6, 1.
Extension d'une fonctionnelle (продолжение функционала) (В): продолжение
линейной формы.
EXSTREMAL (POINT) (экстремальная точка) выпуклого множества: II, 4, 2.
EXSTREMALE (GENERATRICE) (экстремальная образующая) выпуклого
конуса: II, 4, 2.
F
FAIBLE (TOPOLOGIE) (слабая топология): IV, 1, 2 и 2, 1. Нем.: schwache
Topologie, minimale Topologie; англ.: weak* topology (слабая топология
з (?', E) в сопряженном Е' к локально выпуклому пространству Е).
Faiblement complet (espace) (слабо полное пространство) (В): банаховское
пространство Е, в котором каждая последовательность Коши по ослаб-
ослабленной топологии а (Е, Е") сходится в этой топологии; — continue
(fonctionnelle) ( — непрерывный функционал) (В): линейная форма /
на Е, для которой f(xn) сходится к f(x), какова бы ни была после-
последовательность (х„) точек из Е, сходящаяся к х в топологии о (Е, Е')\
— dense (ensemble) (— плотное множество) (В): множество М' а Е'
*) Две функции, отличающиеся друг от друга лишь на множестве меры
нуль, отождествляются.

374 словарь
такое, что каждая'точка из Е' есть предел в топологии а (?', Е) не-
некоторой последовательности точек из М'\ — ferme (ensemble) ( — зам-
замкнутое множество) (В): множество Mf cz Е\ содержащее предел каж-
каждой последовательности своих точек, сходящейся в топологии я (?', Е),
Fermee (suite) (В): тотальная последовательность в пространстве (С) нлн
(Z.^) (см. Espaces de Banach particuliers).
Folgenkompakte Menge (секвенциально компактное множество): множе-
множество AT, каждая последовательность точек которого содержит под-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из К.
Folgenseparabler Raum (секвенциально сепарабельное пространство): топо-
топологическое векторное пространство, содержащее последовательность
точек (х„) такую, что каждая точка пространства есть предел некоторой
ее подпоследовательности.
FolgenvollstSndiger Raum: полуполное пространство -(см. Semi-complet
(espace)).
Foncttonnelle Hneafre (линейный функционал) (В): непрерывная линейная
форма.
Fondamental (ensemble) (В): тотальное множество.
FORTE (TOPOLOGIE) (сильная топология): IV, 3, 1. Нем.: starke Topologie;
англ.: strong topology.
G
Gauge: см. JAUGE.
GleichmSssig beschrSnkte Menge (равномерно ограниченное множе-
множество): множество в отделимом локально выпуклом пространстве Е,
ограниченное в топологии, индуцированной в Е сильной топологией
второго сопряженного Е" (мажорирующей исходную топологию про-
пространства Е).
GHssante (metrique) (инвариантная метрика) (В): расстояние на коммута-
коммутативной группе, инвариантное относительно переносов.
Н
Halbraum, halfspace: полупространство.
Hamel (base de) (базис Хамеля): (алгебраический) базис топологического
векторного пространства.
HERMITIENNE (FORME) (эрмитова форма): V, 1, 1.
HILBERTIEN (ESPACE) (гильбертово пространство): V, 1, а
Hull, Hfllle: оболочка.
HYPERPLAN D'APPUI (опорная гиперплоскость): II, 3,2. В другой терминоло-
терминологии (В): plan d'appui (опорная плоскость). Нем.: Stfltzebene, StOtz-
hyperebene; англ.: plane of support. ]| В (В) понятию „опорной плоско-
плоскости' множества А (в нормированном пространстве) придан более общий
смысл: предполагается лишь, что расстояние от А до рассматриваемой
гиперплоскости (по одну сторону от которой расположено А) равно
нулю, но гиперплоскость не обязательно содержит точку нз А.

словарь 375
HYPOCONTINUE (APPLICATION BILINEAIRE ©-)• (©-гипонепрерывное
билинейное отображение): III, 4, 2; — (APPLICATION BILINEAIRE
(<3, %)-) ((©, %) ): III, 4, 2.
I
Indefinie (forme hermitienne) (неопределенная эрмитова форма): эрмитова
форма, могущая принимать и значения >0, и значения <] 0.
INITIALE (TOPOLOGIE) (исходная топология): IV, 2, 1.
INVERSE A DROITE (A GAUCHE) (правое (левое) обратное) линейного ото-
отображения: I, 1, 8. Нем.: Linksreziproke, Rechtsreziproke; англ.: left in-
inverse, right inverse.
Isomorphes (espaces normes) (изоморфные нормированные пространства) (В)
нормированные пространства, обладающие изоморфными структурами
топологического векторного пространства, но не обязательно изоморф-
изоморфными структурами нормированного пространства (иными словами — не
обязательно изометричные).
ISOMORPHISME (изоморфизм) топологического векторного пространства
на топологическое векторное пространство: I, 1, 1.
JAUGE (калибровочная функция, функционал Минковского) поглощающего
симметричного выпуклого множества: II, 5, 3. Нем.: Distanzfunktion,
Strahldistanz; англ.: gauge.
К
KEGEL: см. C6NE.
L
LIMITE INDUCTIVE (индуктивный предел) локально выпуклых топологий: II,
2, 4; STRICTE (строгий ) последовательности локально
выпуклых пространств: II, 2, 5.
Lineaire (ensemble) (В): векторное подпространство; — (espace) (В): (веще-
(вещественное) векторное пространство.
Linear manifold: векторное подпространство, линейное многообразие.
Lfnksreziproke: левое обратное.
LOCALEMENT CONVEXE (ESPACE) (локально выпуклое пространство):
II, 2, 1 и 6, 2; (TOPOLOGIE) ( топология): II, 2, 1 и 6, 2.
N
NON DEGENEREE (FORME HERMITIENNE) (невырожденная эрмитова
форма): V,. 1, 1.
Normalе, поппёе (suite) (нормальная или нормированная последователь-
последовательность) (В): последовательность элементов с нормой 1 в банаховском
пространстве.

376 СЛОВАРЬ
О
Operateur, operation (оператор, операция) (В): отображение.
ORDONNE (ESPACE VECTORIEL) (упорядоченное векторное простран-
пространство): 11,1,5.
ORTHOGONAL (SOUS-ESPACE) (ортогональное подпространство): IV, 1, 4
и V, 1, 5.
Orthogonalabgeschlossener TeUraum: подпространство сопряженного Е'
к локально выпуклому пространству Е, замкнутое в слабой тополо-
топологии а (?', Е).
Orthogonal complement of a subspace: ортогональное дополнение к зам-
замкнутому векторному подпространству гильбертова пространства.
ORTHOGONALES (PARTIES) (ортогональные множества): IV, 1, 4 и V, 1, 5.
ORTHOGONAUX (VECTEURS) (ортогональные векторы): V, 1, 3.
ORTHONORMAL (ENSEMBLE) (ортонормальное множество): V, 2, 3.
ORTHONORMALE (FAMILLE) (ортоиормальное семейство): V, 2, 3.
ORTHONORMALISATION (ортонормализация) последовательности векторов:
V, 2, 4.
Plan d'appui (В), plane of support: опорная гиперплоскость.
POLAIRE (поляра) множества: IV, 1, 3.
POSITIVE (FORME LINEAIRE) (положительная линейная форма): II, 1, 5; —
(FORME HERMITIENNE) ( — эрмитова форма): V, 1, 2. В другой тер-
терминологии: forme positive semi-definie (положительно полуопределенная
форма).
POSITIVE NON DEGENEREE (FORME HERMITIENNE) (невырожденная
положительная эрмитова форма): V, 1, 2. В другой терминологии:
forme definie positive (положительно определенная форма).
POSITIVEMENT HOMOGENE (FONCTION) (положительно однородная функ-
функция): II, 5, 3.
PREHILBERTIEN (ESPACE) (предгильбертово пространство): V, 1, 3.
PRODUIT SCALAIRE (скалярное произведение): V, 1, 3.
PROJECTEUR (проектор): I, 1, 8 и V, 1, 5; — ORTHOGONAL (ортогональ-
(ортогональный—): V, 1, 5.
PROJECTION (проекция) на выпуклое множество в предгильбертовом про-
пространстве: V, 1, 4.
Pseudo-norm (полунорма): см. SEMI-NORME.
Q
QUASI-COMPLET (ESPACE) (квазиполное пространство): III, 2, 5.
Quasi-tonnele (espace) (квазибочечное пространство): локально выпуклое
пространство, в котором каждая бочка, поглощающая все ограничен-
ограниченные множества, есть окрестность нуля.

словарь 377
R
Rechtsreziproke: правое обратное.
REFLEXIF (ESPACE) (рефлексивное пространство): IV, 3, 3. Прежняя тер-
терминология: regular space, regularer Raum (регулярное пространство).
Regular space, regularer Raum: рефлексивное пространство (см. REFLEXIF
(ESPACE)).
Regulierement ferme (sous-espace) (регулярно замкнутое подпространство)
(В): векторное подпространство сопряженного Е' к нормированному
пространству Е, замкнутое в слабой топологии а(?', ?).
Relatively strong topology (относительно сильная топология): топология
х (?, Е') в пространстве Е, приведенном в двойственность с простран-
пространством Е'.
Rotation (вращение) (В): изометричное отображение нормированного про-
пространства на себя, оставляющее инвариантной хотя бы одну точку.
SAILLANT (C6NE CONVEXE POINTE) (выступающий заостренный выпуклый
конус): II, 1, 4.
Schwache Topologle: слабая топология.
Second conjugate: второе сопряженное.
Semi-complet (espace) (полуполное пространство): топологическое векторное
пространство, в котором каждая последовательность Коши сходится.
Semi-deflnle (forme hermitlenne positive) (полуопределенная положительная
эрмитова форма): положительная эрмитова форма, вырожденная или нет.
SEMI-NORME (полунорма): II, 5, 3 и 6, 2. В другой терминологии: pseudo-
norm.
SEMI-REFLEXIF (ESPACE) (полурефлексивное пространство): IV, 3, 3.
SEPAREMENT CONTINUE (APPLICATION BILINEAIRE) (раздельно непре-
непрерывное билинейное отображение): III, 4, 1.
SEPAREMENT EQUICONTINU (ENSEMBLE) (раздельно равностепенно не-
непрерывное множество): III, 4, 5.
SEPARES (ENSEMBLES) PAR UN HYPERPLAN FERME (множества, отде-
отделяющиеся замкнутой гиперплоскостью): II, 3, 2.
SESQUILINEAIRE (FORME) (полуторалинейная форма): V, 1,1.
SOMME DIRECTE (прямая сумма) локально выпуклых топологий: И, 2, 3;
TOPOLOGIQUE (топологическая ) конечного числа топологи-
топологических векторных пространств: I, 1, 8; локально выпуклых пространств:
II, 2, 3; — HILBERTIENNE (гильбертова — ): V, 2, 2; EXTERNE
(внешняя ): V, 2, 1.
SOUS-JACENT (ESPACE VECTORIEL TOPOLOGIQUE): базисное топологи-
топологическое векторное пространство: I, 1, 1.
Sphere (В): замкнутый шар; — ouverte (В): открытый шар.
Starke Topologle: сильная топология.
Strahldistanz: см. JAUGE.

378 словарь
STRICTEMENT CONVEXE (FONCTION) (строго выпуклая функция): II, 5, 1.
STRICTEMENT SEPARES (ENSEMBLES) PAR UN HYPERPLAN FERME
(множества, строго отделяющиеся замкнутой гиперплоскостью): II, 3, 2.
Strong topology: сильная топология.
Stfitzebene, Stfltzhyperebene: опорная гиперплоскость.
Subspace: под этим некоторые авторы из стран английского языка пони-
понимают замкнутое векторное подпространство топологического вектор-
векторного пространства.
SUPPLEMENTAIRE ALGEBRIQUE (алгебраическое дополнение) подпростран-
подпространства: I, 1, 8; —ORTHOGONAL (ортогональное — ) замкнутого подпро-
подпространства в гильбертовом пространстве: V, 1, 5; в другой терминологии:
orthogonal complement (ортогональное дополнение); —TOPOLOGIQUE
(топологическое —) подпространства: I, 1, 8.
SYMETRIQUE (FORME BILINEAIRE) (симметричная билинейная форма):У,1,1-
SYSTEME FONDAMENTAL D'ENSEMBLES BORNES (фундаментальная
система ограниченных множеств): III, 2, 2.
TONNEAU (бочка): III, 1, 1.
TONNELE (ESPACE) (бочечное пространство): III, 1, 1.
TOPOLOGIE DE LA CONVERGENCE BORNEE (топология ограниченной
сходимости): 111,3,1; — DE MACKEY ( — Макки [= относительно силь-
сильная— ]): IV, 2,3; — DEFINIE PAR UN ENSEMBLE DE SEMI-NORMES
(— определяемая некоторым множеством полунорм): II, 5,4 и 6, 2; — (©-)
(©- — ): III, 3, 1.
TOPOLOGIQUEMENT LIBRE (ENSEMBLE) (топологически свободное
множество): I, 2, 1; (FAMILLE) ( семейство): I, 2, 1.
TOTAL (ENSEMBLE) (тотальное множество): I, 2, 1.
TRANSPOSED (сопряженное) к непрерывному линейному отображению: IV,
4, 1. В других терминологиях: operation associee, operation conjuguee (В),
adjointe.
U
Uniform topology (равномерная топология): топология, определяемая в про-
пространстве L (?, Е) непрерывных линейных отображений нормирован-
нормированного пространства Е в себя нормой || н || = sup || и (х) ||, т. е. тополо-
гия ограниченной сходимости на Е.
Uniformement convexe (espace) (равномерно выпуклое пространство): нор-
нормированное пространство Е, в котором норма || х || обладает следующим
свойством: для каждого е @<е<2) существует &>0 такое, что из
11*11=1, ||у||=1, \\х — у || >е следует |] *-)-У ||< 2 — В.
Uniformly bounded set (равномерно ограниченное множество): множество
в отделимом локально выпуклом пространстве Е, ограниченное в то-
топологии, индуцированной в Е сильной топологией второго сопряжен1
ного Е" (мажорирующей исходную топологию пространства Е).

словарь 379
Universel (espace) (универсальное пространство) (В): банаховское простран-
пространство счетного типа, обладающее тем свойством, что каждое банахов-
банаховское пространство счетного типа нзометрично некоторому его вектор-
векторному подпространству.
V
„VARIETE D'APPUI (опорное многообразие) выпуклого множества: 11,4,2; —
LINEAIRE COMPLEXE (комплексное линейное —): II, 6,1; — LINEAIRE
REELLE (вещественное линейное —): II, 6, 1.
VoIIstandfg: полное.
W
Weak topology (слабая топология): ослабленная топология а (?, Е') в ло-
локально выпуклом пространстве Е с сопряженным Е'.
Weak* topology: слабая топология а (?', Е) в сопряженном Е' к локально
выпуклому пространству Е.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
ПЕРЕВОД НЕКОТОРЫХ МЕСТ
ИЗ ДРУГИХ КНИГ „ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н. БУРБАКИ,
НА КОТОРЫЕ ИМЕЮТСЯ ССЫЛКИ В ЭТОЙ КНИГЕ*)
О К стр. 42:
,7) Пусть К—коммутативное тело. Показать, что не существует
формального ряда и (X, Y)?K[[X, Y] ], для которого бы
(XY)~m(X+ Y)u(X, Y) = 1
при всех целых /и>0."
B) К стр. 43 н 311:
„14) Показать, что каждый унитарный Л-модуль, обладающий
базисом с множеством индексов /, равномощен множеству А X Л если
хотя бы одно из множеств А, I бесконечно."
C) К стр. 46:
„Предложение 1. Для того чтобы семейство (а,) эле-
элементов векторного пространства было свободным, необходимо
и достаточно, чтобы ах не было линейной комбинацией элемен-
элементов а, с индексами i Ф х на для какого индекса х."
(*) К стр. 46:
„Лемма 2. Пусть (рп) — последовательность полиномов без
свободного члена, определяемая индукцией по п условиями р0 (t) = О
¦« Pn+i<t) = Pn(t)-\-^{t — (pn(t)f) (я>0). На интервале [0, 1]
эта последовательность возрастает и равномерно сходится к Y^t . *
E) К стр. 53:
>,(КТа) Каковы бы ни были окрестности U и V нуля тела К,
существует окрестность W нуля такая, что W (CV) с: U
(в).К стр. 55:
„Предложение 2. Равномерная структура 21 на множе-
множестве Е, обладающая счетной фундаментальной системой окру-
окружений, совпадает с равномерной структурой, определяемой не-
некоторым отклонением f на Е.
*) При переводе упражнений указания пути решения опущены.

ПРИЛОЖЕНИЕ I 381
Пусть (Vn)—счетная фундаментальная система окружений для и.
Определим по индукции последовательность (Un) симметричных
окружений для У, таких, что U1cV1 и
для
Ясно, что тогда (Un) также будет фундаментальной системой окру-
з
жений для и, причем Un+1czUn (и^-1). Пусть g—числовая функ-
функция на Е X Е, определенная следующим образом: ^(лг, у) = 0, если
(лг, y)?Un для всех п; g(x, у) — 2~ , если (лг, y)?Un, когда
,!<«<*, но (лг, у)(?ик+1; g(x, y)=l, если (лг, у) ?Uv Функция
g симметрична и положительна и g(x, лг) = О для каждого лг??-
Положим
/(лг, _y) = inf ^ig(zit zi+l),
г=0
где нижняя грань берется по множеству всех конечных последова-
последовательностей BiH<i<p (с произвольными р), в которых zo = x и zp = .y-
Покажем, что / есть отклонение, удовлетворяющее неравенствам
^. y)<f(x, y)*Cg(x, у). A>
Действительно, из определения / непосредственно следует, что /
удовлетворяет неравенству треугольника, симметрично и ^. 0; а оче-
очевидное второе неравенство A) показывает, что /(лг, лг) = О для
каждого х?Е, так что / есть отклонение. Для доказательства пер-
первого неравенства A) покажем, индукцией по р, что каждая после-
последовательность (^H<г<р. образованная р-\-\ точками из Е и такая»
что z0 — х и zp = y, удовлетворяет неравенству
^S(zi> zi+l)~<2- ~2 g(X, у). B)
г=0
р-1
При р= 1 это неравенство очевидно. Положим а=: 2tg(Zi, zi+l)',
если а^у, то неравенство B) очевидно, поскольку g(x, .у)-<1.
Предположим поэтому, что а < -^; пусть h — наибольший из номе-

82 ПРИЛОЖЕНИЕ I
ров k, для которых ^g(Zi, zi+1)<-|. так что ^giZi, zi+1)<
<|. a ^ g{Zi, zi+1)>~, откуда 2 ^B,. zi+1)<-|. В силу
предположения индукции, g(x, 2д)-<а, g(zh+1, .у)<я; с другой
стороны, очевидно, и g(zh, zh+1)^a. Пусть k — наименьшее целое
> 0 такое, что 2~к -< а; имеем k >. 2 и, по определению функции g-,
3 3
<*. **)№• («*. **+i)€ ^*. (г*+1. .У)№; поэтому (дг, y)^Ult(=.Uk-v
«откуда ?•(.*, з'Х! 21-*^ 2а.
Неравенства A) показывают теперь, что каково бы ни было а > О,
-1
¦множество / ([0, а]) содержит Uk для каждого номера k такого,
что 2~к < а, и, с другой стороны, каждое Uh содержит множество
/([О, 2~*~1]); тем самым множества /([0, а]) образуют фунда-
фундаментальную систему окружений для структуры 21.
С) К стр. 77 и 205:
„*12) Множество ?cRn, содержащее 0, называют звездным (от-
(относительно точки 0), если tx(iE, каковы бы ни были х?Е и t g [0,1].
Пересечение множества Е с замкнутой полупрямой, выходящей из
точки 0, есть либо вся эта полупрямая, либо отрезок с одним из
концов в этой точке. Скорлупой множества Еназывается множество /С,
образованное концами этих отрезков, отличными от точки 0, и точ-
точкой 0, если к ней сводится пересечение некоторой полупрямой с Е.
Ниже предполагается, что 0(^К-
а) Показать, что скорлупа множества Е содержится в его гра-
границе; дать пример, в котором эти два множества были бы различны.
б) Показать, что если скорлупа К, множества Е компактна, то
существует гомеоморфизм Rw на себя, отображающий К на Sn-±, E
на Вп и внутренность Е на внутренность Ви- Вывести отсюда, что
граница множества Е совпадает с его скорлупой К, а внутренность Е —
с множеством точек tx, где х пробегает К., a t — интервал [0, l[cR.
в) Если Е не ограниченно и его граница совпадает с его скорлу-
скорлупой К., то внутренность Е гомеоморфна пространству Rn, а /С—от-
. крытому подмножеству сферы Sn_i.
г) Дать пример неограниченного звездного множества, скорлупа
которого замкнута, но не совпадает с границей множества."
(8) К стр. 79:
„*7) Пусть Е— метрическое пространство. Для любых двух не-
непустых его подмножеств А и В положим
р (А, В) = sup d (х. В) и ч (А, В) = max (p (А, В), р (В, А));
?А

ПРИЛОЖЕНИЕ I 383
кроме того, положим а @, 0) = О и а @, А) — а (А, 0) = -f- oo для
каждого непустого множества A с?. Показать, что <j есть отклонение
на множестве ЩЕ) всех подмножеств множества ? н что определяе-
определяемая нм равномерная структура совпадает с получаемой из равномер-
равномерной структуры пространства Епо способу упражнения 7 § 2 гл. II (**).
На множестве g (Е) всех непустых замкнутых подмножеств мно-
множества Е о является расстоянием. Показать, что если Е полно, то
gf (E)—полное метрическое пространство.'
(9) К стр. 86 и 152:
„*1) Пусть Е — не компактное локально компактное пространство
и7И—множество всех симметричных выпуклых подмножеств простран-
пространства $? (?)*), след которых на каждом из подпространств $?(Е-, К)**)
(где К—произвольное компактное множество в Е) есть окрестность нуля
в этом подпространстве для топологии равномерной сходимости на К.
а) Показать, что It есть фундаментальная система окрестностей
нуля для локально выпуклой топологии в ?%(Е), мажорирующей то-
топологию равномерной сходимости на Е н называемой далее сильной
топологией в S%(E) (индуктивный предел топологий пространств
SfC (E, К); см. Топ. вект. простр., гл. II, §2); эта топология согласуется
со структурой упорядоченного векторного пространства в $?(JE).
Показать, что топология, индуцируемая в каждом из подпространств
0% (Е, К) сильной топологией пространства ?%?(Е), совпадает с топо-
топологией равномерной сходимости на К; вывести отсюда, что каждое
подпространство $? (?, /0 сильно замкнуто в &? (Е).
б) Показать, что для того чтобы линейное отображение про-
пространства SfC(E) в локально выпуклое пространство F было непрерыв-
непрерывным в сильной топологии, необходимо и достаточно, чтобы его суже-
сужение на каждое из подпространств Ц%(Е, К) было непрерывно в топо-
топологии равномерной сходимости на 1(. В частности, меры на ? совпадают
с сильно непрерывными линейными формами.
Точно так же для того, чтобы множество Н линейных отображе-
отображений $С (Е) в У было равностепенно непрерывным (прн наделении $? (Е)
сильной топологией), необходимо и достаточно, чтобы каково бы ии
было компактное множество /Сс?, множество сужений отображений
из Н на $?(Е, К) было равностепенно непрерывно (в топологии рав-
равномерной сходимости на К).
в) Вывести из б), что каждое ограниченное подмножество Н про-
пространства оМ(Е) мер на ?***) равностепенно непрерывно при наделе-
наделении $?(Е) сильной топологией.
*) Всех непрерывных числовых функций с компактным носителем иа
?.— Прим. перев.
**) Образованных теми функциями из Ц% (?), носитель которых содер-
содержится в К.. —Прим, перев.
***) Наделенного топологией простой сходимости на 5?(?). — Прим. перев.

384 ПРИЛОЖЕНИЕ 1
*2) Пусть ?—локально компактное пространство, счетное в бес-
бесконечности (Общ. топ., гл. I, § 10, п° 11).
а) Для каждой непрерывной чнсловой функции h на ? такой, что
h(x)^>0 во всех точках х g E, обозначим через V(А) множество всех
функций /€ SfC (Е), удовлетворяющих условию ]/|-^й. Показать, что
множества V (К) образуют фундаментальную систему окрестностей
нуля для сильной топологии-в $? (Е). Вывести отсюда, что если ? не
компактно, то сильная топология в <$"(?) сильнее топологии равно-
равномерной сходимости на Е.
б) Показать, что каждое сильно ограниченное подмножество про-
пространства ЗС(Е) содержится в подпространстве ¦ <$"(?, К), определяе-
определяемом надлежаще выбранным компактным множеством Кс Е.
в) Показать, что пространство Ц%'(?) в сильной топологии полно.
*3) Пусть ?0 — несчетное вполне упорядоченное множество, об-
обладающее наибольшим элементом Ь и такое, что для каждого х < Ь
множество элементов <; х счетно. Наделим ?0 топологией JT- (?о) (и)
в которой ?о компактно (Общ. топ., гл. I, § 10, упражнение 12); пусть
?—локально компактное пространство, получающееся из Е$ удалением
точки Ъ. Показать, что сильная топология в <!% (?) совпадает с топо-
топологией равномерной сходимости на ? и что $? (?), наделенное этой
топологией, полно. Вывести отсюда, что в $? (?) существуют сильно
ограниченные множества, не содержащиеся в подпространстве $? (?, К)
ни при каком компактном КсЕ."
A0) К стр. 90:
„8) а) Пусть (/п)— последовательность возрастающих непрерыв-
непрерывных функций, принадлежащих &в (gf, R) *) и таких, что /n«/n+i **)
для каждого п. Показать, что существует возрастающая непрерывная
функция /, принадлежащая &&(i$, R) и такая, что /та-^</ для всех п.
б) Пусть (/„) — последовательность возрастающих непрерывных
функций, принадлежащих &в (f$, R) и таких, что l«/n+i«/« Для
каждого п. Показать, что существует возрастающая непрерывная
функция/, принадлежащая ^ (g, R) и такая, что 1 -^</-^</п для всех п.
в) Пусть (/n), (gn) — две последовательности возрастающих не-
непрерывных функций, принадлежащих 3€ (§. R) и таких, что/п«/п+1,
gm У^- gm+i и fn-^gm Ддя любых номеров тип. Показать, что су-
существует возрастающая непрерывная функция А, принадлежащая
R) и такая, что /n-^< A«g-m, каковы бы ни были тип.
*) &в C> R) — множество всех вещественных функций, каждая из кото-
которых определена на некотором множестве из базиса фильтра % в R, обра-
образованного всевозможными интервалами вида |jr0, -j-oo[. —Прим. перев.
**) Т. е. для каждого е > 0 существует xs, такое,, что /п (О ¦< e/n+i @
Д1гя всех t > jf8. — Прим. перев.

ПРИЛОЖЕНИЕ I 385
В частности, показать, что существует убывающая непрерывная
функция /, принадлежащая &в (gf, R) и такая, что никакой логариф-
логарифмический признак не позволяет установить, ^сходится ли интеграл
J f(f)dt или нет („теоремы Дюбуа-Реймоиа").•
а
(») К стр. 92:
„*2) Некоммутативная группа (в мультипликативной записи) О
называется также совершенно упорядоченной группой, если она со-
совершенно упорядочена отношением порядка х ^ у таким, что х < у
влечет xz^yz и zx^.zy для всех z?G. Показать, что топология
Го (б) в О (Общ. топ., гл. I, § 1, упражнение 3 (М)) согласуется со
структурой группы. В каком случае также топологии f + (G) и fv (G)
(см. там же) согласуются со структурой группы в G?"
С2) К стр. 116:
.Предложение 2. Пусть ft A -^.i^p)p выпуклых функций
на интервале /cR и с-х (l^i^p) — произвольные р чисел^О;
р
функция /= 2ci/i выпукла на I. Если при этом fj хотя бы для
одного j строго выпукла на I и Cj > 0, то f строго выпукла на I."
.Предложение 3. Пусть (/„) — семейство выпуклых функ-
функций на интервале /cR; если верхняя огибающая g этого семей-
семейства конечна в каждой точке интервала I, то она выпукла на I. °
„Предложение 4. Пусть Н — множество выпуклых функ-
функций на интервале /cR; если фильтр g в Я просто сходится
на I к конечной числовой функции /0, то последняя выпукла на I."
A3) К стр. 122:
„Определение 1. Пусть f, g—две числовые функции, при-
принадлежащие §6 (§, R) *) и ^0 на некотором множестве из ^>.
Мы говорим, что f доминируется функцией g {no базису филь-
фильтра %), и пишем f^g, если существуют множество Х?%
и число ?>0 такие, что f (t) -< kg (t) для всех t?X.*
(u) К стр. 129 и 386:
,*7) а) Пусть Е— равномерное пространство; сопоставим каждому
окружению V подмножество V произведения 5Ц (Е) X $ (•?). обра-
*) &6 C. Ю — множество всех вещественных функций, каждая из кото-
которых определена на некотором множестве из базиса фильтра f$> заданного
в рассматриваемом множестве Е. — Прим. перев.

386 ПРИЛОЖЕНИЕ I
зованное всеми парами (X, Y) множеств из Е такими, что одно-
одновременно XaV(Y) и YcV(X)*). Показать, что множества V
образуют фундаментальную систему окружений некоторой равно-
равномерной структуры в 5Ц (?).
б) Пусть g (?) — равномерное подпространство в 5J5 (Е), образо-
образованное всеми замкнутыми множествами из Е. Показать, что f5 (Е)
изоморфно отделимому равномерному пространству, ассоциированному
с равномерным пространством *Ц (?)."
A5) К стр. 129:
„*4) Пусть g (?) — множество всех замкнутых подмножеств
равномерного пространства Е, наделенное равномерной структурой,
определенной в упражнении 7 § 2 A4). Показать, что если Е пред-
компактно, то и g (E) предкомпактно.
*5) Показать, что если Е компактно, то пространство g (^) полно
(и, следовательно, по упражнению 4, компактно).*
<1в) К стр. 138:
„°*11) а) Пусть А и В — два вполне упорядоченных множества из R
(необходимо счетных; см. Общ. топ., гл. IV, § 2, упр. 1 A6»)). Пока-
Показать, что А -\- В вполне упорядочение и что для каждого с ? А -\- В
существует лишь конечное число пар (а, Ь) таких, что ad А, Ь^В
и с = а-\-Ь.
б) Пусть К—произвольное коммутативное тело. Рассмотрим век-
векторное подпространство Е векторного пространства /Св, образованное
элементами (a^) такими, что множество тех x?R, для которых ахф0,
вполне упорядочение. Для любых двух элементов (а^), (рж) из Е поло-
положим (ад.) Од.) = (ix), где Тяг = 2 а^г (сумма имеет смысл в силу а)).
y+z=x
Показать, что этот закон композиции в соединении со сложением
определяет в Е структуру тела; элементы этого тела обозначаются
также ^ чХ? и называются формальными рядами с вполне упоря-
доченными показателями н коэффициентами из /С.о"
О
„Точка «gR называется левой точкой прикосновения для мно-
множества А с R, если она является его точкой прикосновения и суще-
существует интервал ]а, Ь[ F>а), не содержащий ни одной точки из А.
Показать, что множество всех левых точек прикосновения вся-
всякого множества из R счетно. Вывести отсюда, что 1° всякое вполне,
*) V(X) — множество тех у g E, для которых существует х?Х такое,
что (х, у) ? V. — Прим. перев.

ПРИЛОЖЕНИЕ I 387
упорядоченное множество в R счетно; 2° всякое множество в R, со-
состоящее из одних изолированных точек, счетно."
A7) К стр. 144:
„Предложение 1. Для того чтобы числовая функция f
на топологическом пространстве Е была полунепрерывна снизу,
необходимо и достаточно, чтобы для любого конечного k мно-
жество f(]k, +oo]) (тех х?Е, для которых f(x)>k) было
-I
открыто в Е (или, что то же, чтобы /([—оо, k\) было замкну-
замкнутым множеством в Е).*
A8) К стр. 160 (Общ. топ., Рез., § 5, п° 7):
„Топологическое пространство Е называют нормальным, если
оно отделимо и удовлетворяет одной из следующих четырех равно-
равносильных аксиом (теоремы У р ы с о н а, гл. IX, § 4, теоремы 1 и 2):
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые множе-
множества AczE и BczE, существует непрерывное отображение Е
в [0, 1], равное 0 на А и I на В.
(Оу) Каковы бы ни были непересекающиеся замкнутые мно-
множества AczE и BczE, существуют непересекающиеся открытые
множества U и V такие, что AczU и В czV.
(Оу) Каковы бы ни были замкнутое множество AczE и его
окрестность V, существует окрестность W множества А такая,
что WczV.
(о'у) Каковы бы ни были замкнутое множество AczE и опре-
определенная на нем непрерывная числовая функция /, на Е суще-
существует непрерывная числовая функция g, продолжающая /."
(«>) К стр. 168:
„Предложение 3. Пусть Н—равностепенно непрерывное
множество в Q(E, F)*) и А — всюду плотное подмножество про-
пространства Е. В множестве Н равномерная структура простой
сходимости на А и равномерная структура простой сходимости
на Е совпадают.
Достаточно показать, что каковы бы ни были конечное множе-
множество BczE и симметричное окружение V для F, существуют конеч-
*) G (Е, F) — множество всех непрерывных отображений топологиче-
топологического пространства Е в равномерное пространст во Р. — Прим. перев.

388 Приложение i
ное множество B'czA и окружение V для F такие, что след на
Ну^Н окружения W(B, V)*) содержит след окружения W(B\ V).
з
Примем за V симметричное окружение для F такое, что V'czV;
каждая точка Xi?B A ^г<!ге) обладает такой окрестностью ?Д,
что (u(Xi), u(y))?Vr для всех и?Н и y^U{, пусть у± — какая-
нибудь точка из Ui П А и В' —^ конечное подмножество множества А,
образованное точками yt. Если и и v—-две функции из Н такие, что
(«(Л). ъ(Уд)?У' A<*<«). то (u(xd.v(Xi))eV'cV A<1<я).
и предложение доказано."
B0) К стр. 169:
„Предложение 9. Пусть Е—локально компактное про-
пространство, Е' — топологическое пространство, F— отделимое
топологическое пространство и f—отображение ЕУ^Е' в F.
Для каждого у?Е' обозначим через fy частичное отображение
лг —>-/(лг, у) пространства Е в F. Для того чтобы f было непре-
непрерывным на Е X Е', необходимо и достаточно, чтобы отображе-
отображение fy было непрерывно для каждого у?Е' и отображение y—>-fv
пространства Е' в Q(E, F), наделенное топологией компактной
сходимости, было непрерывно."
B1) К стр. 170:
„8) Пусть (Еп) — бесконечная последовательность метризуемых
равномерных пространств. Показать, что равномерное пространство
оо
Е = IT En метризуемо ..."
B2) К стр. 176:
„Предложение 4. Пусть © — множество подмножеств
множества Е такое, что каждый элемент последнего принадле-
принадлежит по крайней мере одному множеству из ©. Для того чтобы
фильтр Ф в пространстве <&~®(Е, f )'**) был сходящимся, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы он был фильтром Коши (для струк-
структуры #©**)) и просто сходился на Е.
*) W (В, V) — множество всех пар (и, v) отображений Е в F таких,
что (и (х), v (х)) ? V каково бы ни было х ? В. — Прим. перев.
**) ^© (?> F) — равномерное пространство, полученное путем наделения
множества &~ (Е, F) всевозможных отображений множества Е в равномер-
равномерное пространство Р структурой U® равномерной сходимости на множествах

ПРИЛОЖЕНИЕ I 389
Необходимость этих условий очевидна (поскольку структура 2ia *)
мажорируется структурой #©). Обратно, предположим, что Ф есть
•фильтр Коши для #© и просто сходится к некоторой функции и0;
лусть V — замкнутое окружение для F; для каждого множества
А?<& существует множество /7?Ф такое, что (и(х), v(x))?V ка-
каковы бы ни были и и v из Н и х из А. Для произвольной точки
х?А имеем также (ио(х), v(x))?V для каждого v?H, поскольку
ио(х) есть предел и (х) по фильтру Ф, а V замкнуто; тем самым и0
¦есть предел Ф в пространстве $">&."
B3) К стр. 183:
„Теорема 2. Пусть Е — бэровское пространство и (/„) —
семейство полунепрерывных снизу числовых функций на Е, при-
причем sup/„(л:) конечен для каждой точки х?Е. Тогда каждое
а
непустое открытое множество содержит непустое открытое
подмножество, на котором семейство (/„) равномерно ограни-
ограниченно. "
B4) К стр. 208 и 228:
„*9) Показать, что всякий фильтр g есть пересечение мажорирую-
мажорирующих его ультрафильтров."
B6) К стр. 211:
„Пусть G — произвольная (замкнутая или незамкнутая) подгруппа
группы Rn. Рассмотрим множество G* всех точек « = (ai)?Rn, для
71
которых число (и, х) = 2 агхг является целым, какова бы ни была
точка x = (Xi)?G. Ясно, что G* — подгруппа группы Rn...
Предложение 6. Для каждой подгруппы G группы Rn имеем
B6) К стр. 211:
„Теорема 2. Пусть G — замкнутая подгруппа ранга г
@ <; г ^ п) группы Rn. Существует наибольшее векторное под-
из © (т. е. равномерной структурой, фундаментальную систему окружений
которой образуют множества W (А, V) (см. предыдущую сноску), где А
пробегает всевозможные конечные объединения множеств из®, а V—фильтр
окружений для F). — Прим. перев.
*) Равномерная структура простой сходимости на ? в с?" (?, F), т. е.
равномерная структура пространства ff~^ (?, F), где 21 — множество всех
конечных подмножеств множества ?. — Прим. перев.

390 ПРИЛОЖЕНИЕ I
пространство V, содержащееся в G; для всякого векторного под-
подпространства W, дополнительного к V, W f\G дискретно и О
есть прямая сумма V и W(]G.U
„*7) Пусть G— замкнутая подгруппа группы Rn. Для того чтобы G
была прямой суммой своей замкнутой подгруппы Н и некоторой дру-
другой замкнутой подгруппы К, необходимо и достаточно, чтобы Н была
пересечением G с некоторым векторным подпространством."
B7) К стр. 211:
„*10) Пусть А — кольцо главных идеалов, обладающее бесконеч-
бесконечным множеством максимальных идеалов. Показать, что каково бы ни
было бесконечное множество /, Л-модуль А не является свободным
модулем."
B8) К стр. 245 и 273:
„*15) Пусть А — замкнутое, а В — компактное множество в топо-
топологической группе G. Показать, что АВ и ВА замкнуты в G."
B9) К стр. 250:
„*2) Показать, что для того, чтобы отделимое равномерное про-
пространство было предкомпактно, достаточно, чтобы всякая последо-
последовательность его точек имела предельную точку."
C0) К стр. 251:
„12) Пусть (F,) . —бесконечное семейство отделимых топологи-
топологических пространств, ни одно из которых не сводится к одной точке, и
ах, bl для каждого t?/—две различные точки из /*.
а) Обозначим через сх для каждого f. € / точку пространства
Е = JJ F,, координата которой с индексом % равна Ьх, а коор-
динаты с индексами i=?% равны я,. Показать, что все сх являются изо-
изолированными точками образованного ими множества С.
б) Вывести из а), что для того, чтобы топология в Е имела
счетный базнс, необходимо н достаточно, чтобы / было счетно и
каждое из пространств Ft имело счетный базис."
C1) К стр. 296 и 299:
„*10) Пусть E = P(V) н Ef = P(Vf) — два проективных простран-
пространства одинаковой конечной размерности л !> 2 над телами К, и К! соот-
соответственно *) и и — взаимно однозначное отображение Е на Е', пре-
*) P(V) — факторпространство дополнения V* к {0} в векторном про-
пространстве V над К по отношению эквивалентности „в К существует
такое, что у = Хх" между элементами х, у ? V*. — Прим. перев.

ПРИЛОЖЕНИЕ I 391
образующее любую прямолинейную тройку точек в прямолинейную
тройку точек. Показать, что существуют изоморфизм о тела К. на К.г
и полулинейное (относительно а) взаимно однозначное отображение v
пространства V на V такие, что и есть отображение, получающееся
из v при факторизациях *)..."
C2) К стр. 312:
„Пусть X и X— две матрицы из п строк и р^Сп столбцов
над кольцом А. Для каждого множества Яс[1, п\, состоящего
из р элементов, обозначим через Хя (соотв. Х#) минор матрицы X
(соотв. X'), имеющий Н множеством номеров своих строк (и [1, р]—
множеством номеров столбцов). Тогда
% (>
где Н пробегает множество всех подмножеств по р элементов
из [1, п\."
C3) К стр. 317:
„8) Показать, что не существует непрерывного отображения /
круга Вз на Sj, которое бы совпадало на Si с тождественным отобра-
отображением."
C4) К стр. 383 и 384: определение топологий |Г0, §_ и JT+
(Общ. топ., гл. I, § 1, упражнение 3).
„3) Пусть Е — совершенно упорядоченное множество и пусть
1° ЗЗо (¦*) — множество всех множеств из Е, содержащих каж-
каждое какой-нибудь открытый интервал, которому принадлежит х;
2° 58_ (х) — множество всех множеств из. Е, содержащих ка-
каждое полуоткрытый интервал вида \г, х] (г < х) или ]<-, х\;
3° 58+ (х) — множество всех множеств из Е, содержащих каж-
каждое полуоткрытый интервал вида [х, у[ (у > х) или [х, -»¦(.
Показать, что 33О (¦*), 33- (х) и SS+ (л:) — множества всех окрест-
окрестностей точки х соответственно для трех топологий Э"о (л:), Э"_ (х).
и щ-+(х) в Е..."
*) Переводящих V* в P(V) и V* в P(V') (см. предыдущую сноску).—
Прим. перев.

ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОБЪЯСНЕНИЕ ОБОЗНАЧЕНИЙ,
ЗАИМСТВОВАННЫХ ИЗ ДРУГИХ КНИГ
„ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н. БУРБАКИ
0 — пустое множество.
о — символ композиции (отображений, множеств).
п -1
А°В, А, А — см. Приложение III, Операции над подмножествами про-
произведения.
Вп — шаР радиуса 1 с центром 0 в Rn.
С — тело комплексных чисел, наделенное своей естественной топологией.
Сп—л-мерное комплексное пространство.
С А — дополнение к подмножеству А в рассматриваемом множестве.
Е1 — произведение семейства множеств (пространств, групп и т. п.) ?, = ?
с множеством индексов /.
?^ — прямая сумма векторных пространств Д = Е с множеством индек-
индексов /, т. е. подпространство произведения Е1, образованное теми его элемен-
элементами (лгс) - , у которых х^О лишь для конечного числа индексов i.
Интервалы в совершенно упорядоченном множестве Е:
[а, Ь] = {х?Е: <*<*<*};
[а, Ь[~
I<-, а] ={х€Е: л:<л};
J«-, а[ ~{х€Е: х<а};
[а, -*( = {.*€?: л<л:};
а<х};
Кв — тело К., рассматриваемое как левое векторное пространство над самим
собой.
К* — мультипликативная группа ненулевых элементов тела К-
N — множество всех целых чисел !>0, наделенное своей естественной струк-
структурой упорядоченного множества.
ф (Е) — множество всех подмножеств множества Е.
Q — тело рациональных чисел, наделенное своей естественной структурой
упорядоченного множества.
R — тело вещественных чисел, наделенное своими естественными топологией
и структурой упорядоченного множества.

ПРИЛОЖЕНИЕ II 393
R+ — множество всех вещественных чисел
R^_ — множество всех вещественных чисел х
R — расширенная прямая (см. Приложение III).
Rn — л-мерное вещественное пространство.
Sn_i — сфера радиуса 1 с центром 0 в Rn.
со
3 хп — сумма сходящегося ряда (хп) элементов коммутативной отделимой
я-1
топологической группы.
2— кольцо целых чисел, наделенное своей естественной структурой упо-
упорядоченного множества.

ПРИЛОЖЕНИЕ III
ОБЪЯСНЕНИЕ ТЕРМИНОВ,
ЗАИМСТВОВАННЫХ ИЗ ДРУГИХ КНИГ
„ЭЛЕМЕНТОВ МАТЕМАТИКИ" Н. БУРБАКИ*)
Абсолютно суммируемое семейство: семейство точек нормированного-
пространства, нормы которых образуют суммируемое семейство в R,
Аксиома (Ош): Множество всех замкнутых окрестностей любой точки есть
фундаментальная система окрестностей этой точки.
Аффинный ранг множества в аффинном пространстве: размерность аффин-
аффинного подпространства, порожденного этим множеством.'
Базис фильтра в множестве Е: множество 33 подмножеств множества Еу
удовлетворяющее следующим аксиомам:
(Вг) пересечение любых двух множеств из S3 содержит множество из 33;.
(ВГ1) 33 не пусто и пустое подмножество множества Е не содер-
содержится в 33.
Биективное отображение: взаимно однозначное отображение на (т. е_
одновременно инъективное и сюръективное).
Близкие порядка V точки: точки л: и у равномерного пространства, для
которых (х, у)? V, где V—его окружение.
Бэровское пространство: топологическое пространство, в котором никакое
счетное объединение замкнутых множеств без внутренних точек к&
может иметь внутренней точки (т. е. являющееся множеством II кате-
категории в себе).
Верхняя грань семейства топологий: слабейшая из топологий в данном
множестве, мажорирующих все топологии рассматриваемого семей-
семейства.
Замыкание отображения / по фильтру %: множество всех предельныхг
точек функции f no фильтру %.
Индуктивное множество: упорядоченное множество, всякое совершенно-
упорядоченное подмножество которого обладает верхней гранью-
(т. е. верхней границей, мажорируемой любой другой верхней гра-
границей).
Инъективное отображение: взаимно однозначное отображение в.
Канонический базис прямой суммы R(N): множество всех элементов из
одна компонента которых равна единице, а каждая другая — нулю.
*) Курсивом набраны термины, разъясняемые в соответствующих местах,
этого же Приложения.

ПРИЛОЖЕНИЕ III
Кирпич в R": произведение п интервалов.
Класс эквивалентности по отношению эквивалентности R в множестве ?»
определяется любым своим &элемеитом х как совокупность тех у € Д
для которых справедливо R{x, у}.
Коммутативно сходящийся ряд: ряд элементов коммутативной отделимой
топологической группы, сходящийся при любой перестановке его
членов.
Компактное == хаусдорфово бикомпактное.
Локально компактное = хаусдорфово локально бикомпактное.
Мажорируемая (мажорирующая) топология: см. Сравнение топологий.
Максимальный элемент подмножества X упорядоченного множества Е;
элемент у?Х, для которого не существует ни одного элемента z?X
такого, что г>у.
Малое порядка V множество в равномерном пространстве Е: множество,
любые две точки которого близки порядка V, где V — данное
окружение для Е.
Мера на локально компактном пространстве Е: линейная форма ц(,а
векторном пространстве tZf? (Е) всех непрерывных числовых функций
на ? с компактным носителем, удовлетворяющая следующему усло-
условию: для каждого компактного множества /С С Е сужение (х на под-
подпространство а/? (?> К) тех функций из ?% (?), носитель которых
содержится в К, непрерывно в топологии равномерной сходимости,
Метризуемая равномерная структура: «-см. Равномерная структура,
определяемая семейством отклонений.
Множество, фильтрующееся по фильтру gf: множество, наделенное
структурой, определяемой заданным в нем фильтром gf.
Насыщение подмножества А множества Е по отношению эквивалент-
эквивалентности R в Е: объединение классов эквивалентности по R всех
элементов из А.
Насыщенное множество: совпадающее со своим насыщением (по данному
отношению эквивалентности).
Нижняя грань семейства топологий: сильнейшая из топологий [в данном
множестве, мажорируемых всеми топологиями рассматриваемого
семейства.
Носитель меры иа локально компактном пространстве: дополнение
к объединению всех открытых множеств, на которых сужение этой
меры равно нулю.
Огибающая верхняя (нижняя) семейства функций (Л), g/ иа множестве Е:
функция на Е, значение которой в каждойчточке х ? Е равно sup (/, (х)У
•6/
(соотв. inf (/,(.*))).

396 ПРИЛОЖЕНИЕ III
Однородное пространство топологической группы G по ее подгруппе Н:
факторпространство G/H пространства G по отношению экви-
эквивалентности х~1у ? Н, наделенное законом внешней композиции,
относящим каждому элементу S?G и каждому классу л:= xH?G/H
класс sx = sxH ? G/H.
Окрестность точки х: всякое множество, содержащее х в качестве
внутренней точки.
Окружение (для) равномерной структуры: см. Равномерная структура.
Операции над подмножествами произведения ? X ? множества ? на
-1
себя: А — образ АаЕХ Е при канонической симметрии (х, у) -*¦ (у, х)
множества ? на себя; Во А (где А, В с ? X Е) — множество всех тех
(х, г) ? Е X Е, для которых существует у ? Е такое, что (х, у) ? А и
2 п п-\ п-1
(у, г) С В. А = АоА, А= А °А = Ао А .
Отделимая равномерная структура в множестве Е: равномерная струк-
структура, пересечением всех окружений которой служит диагональ Д
произведения ? X Е.
Отделимое = хаусдорфово.
Отделимое равномерное пространство: равномерное пространство с от-
отделимой равномерной структурой.
Отклонение на множестве ?: отображение / произведения ? X ? в [0, + оо|
такое, что /(лг,лг) = О, /(у, х) =/(лг, у) и/(лг, у)</(лг,г) +/(¦?, У)
для всех х, у, г ? Е.
Относительно компактное множество: множество с компактным замы-
замыканием.
Отношение порядка в множестве ?: отношение <о {х, у} между двумя
общими элементами х, у 6 ?, удовлетворяющее условиям: а) отноше-
отношение „<а {х, у} и ю {у, г}° влечет <о {х, г}; б) отношение »»{>:, у} и
<° {У. •*}" влечет .* = у. Часто записывается в виде х ¦< у.
Отношение эквивалентности в мнЪжестве ?: отношение R {х, у} между
двумя общими элементами х, у ? ?, удовлетворяющее условиям:
а) /? {л:, л:} для всех л: ? ? (рефлексивность); б) /? {х, у} к R {у, л:}
равносильны (симметричность); в) отношение vR{x,y} и R{y,z}"
влечет R {х, г} (транзитивность). Определяет разбиение ? на классы
эквивалентности.
р-адическая равномерная структура в Z: равномерная структура в Z,
фундаментальную систему окружений которой образуют множе-
множества Wn пар (х, y)gZXZ, для которых | х — у \р<р—п, причем
| 0 |jj = 0 и \х\р — р-9 при лг=?О, где р — показатель наивысшей
степени простого числа р, на которую делится х.
Полная аддитивная топологическая группа: аддитивная топологическая
группа, которая в равномерной структуре, порождаемой тополо-
топологией этой группы, является полным равномерным пространством.
Полное равномерное пространство: равномерное пространство, в кото-
котором каждый фильтр Коши сходится.

ПРИЛОЖЕНИЕ III 397
Полное топологическое тело: топологическое тело, являющееся полной
аддитивной топологической группой.
Пополнение отделимого равномерного пространства Е: отделимое полное
равномерное пространство Ё, содержащее всюду плотное равномер-
равномерное подпространство, изоморфное Е. Ё всегда существует и опре-
определено однозначно с точностью до изоморфизма.
Пополнение отделимой аддитивной топологической группы G: отделимая
полная аддитивная топологическая группа б, содержащая всюду
плотную подгруппу, изоморфную G. С/ всегда существует и определена
однозначно с точностью до изоморфизма.
Последовательность Коши: бесконечная последовательность (ип) точек
равномерного пространства, удовлетворяющая следующему условию:
для всякого окружения V этого пространства существует целое п0
такое, что ит и ип близки порядка V при любых т!>л0 и л;>л0.
Правильная функция: функция на интервале Id R со значениями в полном
вещественном нормированном пространстве, являющаяся на каждой
компактной части этого интервала равномерным пределом кусочно-
постоянных функций.
Предел базиса фильтра 33 в топологическом пространстве: точка, каждая
окрестность которой содержит множество из 35.
Предел-фильтра: см. Предел базиса фильтра.
Предел функции / (отображающей множество Е в топологическое про-
пространство Е') по фильтру 2? в Е: предел базиса фильтра / (g) в Е'.
Предельная точка функции / по фильтру gf: точка прикосновения
базиса фильтра /®).
Предкомпактное равномерное пространство: отделимое равномерное
пространство, пополнение которого компактно; может быть опре-
определено также как отделимое равномерное пространство Е, для всякого
окружения V которого существует покрытие Е множествами, малыми
порядка V.
Принцип продолжения тождеств: Если fug — непрерывные отображе-
отображения топологического пространства Е в отделимое топологическое
пространство Е' и f{x) = g(x) на множестве А, всюду плотном в Е,
tof—g.
Произведение топологий пространств У,: топология произведения этих
пространств, т. е. слабейшая из тех топологий в произведении JT У,
множеств У„ в которых проекции на все У, непрерывны.
Прообраз топологии S" пространства Е' относительно отображения /
множества Е в ?': топология в Е, открытыми множествами которой слу-
служат прообразы открытых множеств из Е' относительно / и только они.
Противоположное тело: тело К°, получаемое из тела К. путем замены
закона умножения (х, у) -»¦ х ¦ у противоположным законом умножения
(х, у)-*у -х.

398 ПРИЛОЖЕНИЕ III
Равномерная структура в множестве Е: структура, определяемая в Е
множеством % подмножеств произведения ЕХЕ, удовлетворяющим
следующим условиям:
1° каковы бы ни были х?Е и У?%, х к х близки порядка V;
2° пересечение любых двух множеств из 5 содержит множество
из gf;
3° каково бы ни было V?gf, существует V'ggf такое, что если
х к у близки порядка V, то у и л: близки порядка V;
4° каково бы ни было Vg^f, существует W?$ такое, что если
как х и г, так гну близки порядка W, то х и у близки
порядка V.
% есть базис фильтра U в ? X Е, называемого фильтром
окружений рассматриваемой равномерной структуры, а множе-
множества U € U называются окружениями этой структуры. Фильтр
окружений U удовлетворяет трем аксиомам, формулируемым в терминах
операций над подмножествами произведения следующим образом:
(U[) Всякое множество из Ц содержит диагональ Д произведе-
произведения Е X Е.
(Uu) V?U влечет V g U.
(Um) Каково бы ни было KgU, существует W?U. такое,
что WoWdV.
Равномерная структура, определяемая семейством отклонений: равно-
равномерная структура на множестве Е, фундаментальную систему
окружений которой образуют множества
{(*, У)€?Х E:flk(x,y)<ak A<*<л)},
где (/,),?/—заданное семейство отклонений на Е, Ofc)i<fc<n —
произвольные конечные семейства индексов из / и (ajC)l^ ic<.n—'
произвольные конечные семейства чисел >0. Равномерная структура,
определяемая семейством, образованным одним расстоянием, назы-
называется метризуемой равномерной структурой.
Равномерная структура, порождаемая топологией аддитивной топо-
топологической группы G: равномерная структура в G, фундамен-
фундаментальную систему окружений которой образуют множества всех
пар (х, у) таких, что х — у g V, где V—любые окрестности нуля.
Равномерное пространство: множество, наделенное равномерной струк-
структурой и топологией, порождаемой этой равномерной структурой.
Равномерно непрерывное отображение: отображение / равномерного
пространства Е в равномерное пространство Е', удовлетврряющее
следующему условию: каково бы ни было окружение V для ?',
существует окружение V для Е такое, что если (х, у) ? V, то
(/(¦*)>/(У)) 6 V.

ПРИЛОЖЕНИЕ III 399
Разбиение единицы: семейство (/!),?/ конечных числовых функций на
топологическом пространстве Е, удовлетворяющее следующим двум тре-
требованиям: а) каждая точка х?Е обладает окрестностью, на которой
отлично от нуля лишь конечное число функций семейства; б) 2 Л (-*¦)=!
для каждой точки х ? Е.
Ранг подгруппы группы R": размерность порождаемого ею подпространства.
Расстояние: отклонение d на множестве Е, принимающее лишь конечные
значения и такое, что d (х, у) = О влечет х = у.
Расширенная прямая R: множество, полученное путем присоединения
к R элементов — оо и -f- oo, с естественно распространенными на
него порядком и топологией.
Свободное семейство элементов векторного пространства: каждое конеч-
конечное подсемейство которого линейно независимо.
Свободный модуль: модуль с базисом.
Сечение множества Е, фильтрующегося вправо по отношению порядка (а),
относительно элемента а ? Е: множество всех х ? Е таких, что а (а) х.
Симметричное окружение: окружение V равномерной структуры
-1
в множестве Е, удовлетворяющее условию V— V (т. е. симметричное
относительно диагонали Д произведения ЕуС. Е).
След множества Ха Е на множестве А с Е: множество ХА = X f]A, рас-
рассматриваемое как подмножество множества А.
След множества g подмножеств множества Е на множестве А с Е:
множество §А следов множеств из $ на А.
Совершенно упорядоченное множество: упорядоченное множество,
любые два элемента х, у которого связаны отношением х •<! у или
Сравнение равномерных структур U\ и #2 в одном и том же множе-
множестве: #2 мажорирует #i, если фильтр окружений структуры и±
содержится в фильтре окружений структуры #2; #2 сильнее чем К±
(и #i слабее чем #2), если иг мажорирует U\ и И^фи^,
Сравнение топологий $'1 и Э"г, заданных в одном и том же множестве:
S"j мажорирует &и если каждое множество, открытое в Ж\,
открыто в f,; !•{ сильнее чем S"\ (и^ слабее чем Э), если Э
мажорирует ffi и ЖчФЗ~1-
Сравнимые равномерные структуры: две равномерные структуры
в одном и том же множестве, одна из которых мажорирует другую
(см. Сравнение равномерных структур).
Сравнимые топологии: две топологии в одном и том же множестве, одна
из которых мажорирует другую (см. Сравнение топологий).
Срез множества KaEXF по элементу х?Е: множество тех у 6 F, для
которых (х, у) ? К-
Структура: см. Н. Б у р б а к и, Общая топология, Основные структуры.
Приложение (Сводка результатов книги 1 «Теория множеств", § 8)'

400 ПРИЛОЖЕНИЕ III
Суммируемое семейство с суммой s: семейство (¦*,),?/ точек коммута-
коммутативной отделимой топологической группы, обладающее следующим
свойством: для любой окрестности V начала существует конечное
множество /0 с: / такое, что Sj = 2 х< € s + V для всех конечных
множеств / Z3 /о из /.
Сходимость по фильтру: см. Предел функции по фильтру.
Сходящийся фильтр: см. Предел фильтра.
Счетное множество: равномощное части множества N всех целых чисел ;>0.
Сюръэктивное отображение: отображение на.
Теорема Бэра: Полное метрическое пространство есть бэровское про-
пространство.
Теорема Цорна: Всякое индуктивное множество обладает по крайней
мере одним максимальным элементом.
Топология компактной сходимости: топология равномерной сходи-
сходимости на множестве всех компактных подмножеств.
Топология, порождаемая равномерной структурой в множестве Е:
топология, в которой фильтром окрестностей произвольной
точки хо?Е служит совокупность множеств V(x0), где V пробегает
фильтр окружений данной равномерной структуры, а V(jc0) есть
множество всех х ? Е таких, что х и х0 близки порядка V.
Топология простой сходимости: топология равномерной сходимости на
множестве всех конечных подмножеств.
Топология равномерной сходимости на множестве Е: топология равно-
равномерной сходимости на множестве подмножеств <3 с *$ (?), состоящем
из одного Е.
Топология равномерной сходимости на множестве подмножеств <3 с *р (?):
топология, порождаемая равномерной структурой в простран-
пространстве 2 (Е, F) отображений множества Е в равномерное пространство F,
фундаментальную систему окружений которой образуют множе-
множества { (и, v) ? 2 (Е, F)X% (E, F): (и (х), v (х)) ? V для всех х ? А }, где
А пробегает @, а V—фильтр окружений для пространства F.
Точка прикосновения базиса фильтра в топологическом пространстве:
точка прикосновения каждого множества из базиса фильтра.
Ультрафильтр: фильтр, не содержащийся ни в каком другом фильтре,
заданном в том же множестве.
Унитарный Л-модуль: модуль Е над кольцом А с единицей е, такой, что
гх = х для всех х ? Е.
Упорядоченное множество: множество, наделенное отношением порядка.
Факторпространство топологического пространства Е по отношению экви-
эквивалентности R: множество E/R, наделенное фактортопологией.
Факторразмерность векторного подпространства V векторного простран-
пространства Е: размерность факторпространства E/V.

ПРИЛОЖЕНИЕ III 401
Фактортопология в множестве E/R классов эквивалентности по отно-
отношению эквивалентности R в множестве Е: сильнейшая из топо-
топологий (см. Сравнение топологии), при которых каноническое
отображение Е на E/R (относящее каждой точке из Е ее класс экви-
эквивалентности в E,'R) непрерывно.
Фильтр в множестве Е: множество ?$ подмножеств множества Е, удовле-
удовлетворяющее следующим аксиомам:
(F[) Всякое подмножество множества Е, содержащее множество
из g, принадлежит ?$•
(F,j) Пересечение любого конечного числа множеств из ?$ принад-
принадлежит ?5-
(F,,,) Пустое подмножество множества Е не принадлежит g.
Фильтр Коши в равномерном пространстве Е: фильтр ?5> содержащий
сколь угодно малые множества, т. е. такой, что для любого окруже-
окружения V существует А ? ?J, всякие две точки которого близки порядка V.
Фильтр окружений равномерной структуры: см. Равномерная структура.
Фильтр, порождаемый базисом фильтра S3' в множестве Е: множество
всех подмножеств, множества Е, в каждом из которых содержится
множество из базиса фильтра 33.
Фильтр сечений множества Е, фильтрующегося вправо по отношению
порядка (а): фильтр, порождаемый базисом фильтра ©, образо-
образованным всевозможными сечениями множества Е.
Фильтрующееся впрдво (влево) множество Е: упорядоченное множество,
каждое непустое конечное подмножество которого имеет в Е верхнюю
(нижнюю) границу.
Фундаментальная система окружений: базис фильтра окружений дан-
данной равномерной структуры.
Элементарное • множество в произведении ТГ Z7, топологических про-
странств /*: множество вида JJ А„ где каждое А, — открытое под-
i
множество пространства Ft и Л, = Ft для всех индексов i, кроме
конечного их числа.
Элементарный фильтр, ассоциированный с последовательностью (хп)
элементов множества Е: множество всех множеств ХсЕ таких,
что хп $ X для всех значений п, кроме конечного их числа.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Гл. § п°
т. и!.. .¦ i 1 2
&к{1), ??(/), LlK{l), &{I), Ll(I) I 1 2
TU(M,V),T(M,V) HI 3 1
L (?, F), Le (?, F) (?, F — топологические векторные простран-
пространства, @ — множество ограниченных подмножеств про-
пространства ?) III 3 1
их., а.у III 4 1
<У, г) IV 1 1
a (F, G) (F, G — векторные пространства в двойственности) . . IV 1 2
М°,М°° IV 1 3
¦с {F, G) (F, G — векторные пространства в двойственности) . . IV 2 3
Е'(Е — отделимое локально выпуклое пространство) IV 2 1
Е" (? — отделимое локально выпуклое пространство) IV 3 3
*и(и — непрерывное линейное отображение) IV 4 1
(х\у) V 1 3
?„ ?i ф ?2 ф • • ¦ ф ?» (?„ ?* A< I < п) — гильбертовы про-
пространства) V 2 1
L2E(I) V 2 4
t.

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ *)
Гл. § п°
Алгебраический базис пред-
предгильбертова пространства
Алгебраическое дополнение
подпространства
— сопряженное ....
Ассоциированная невырож-
невырожденная эрмитова форма
Ассоциированное отдели-
отделимое топологическое век-,
торное пространство . .
Базис алгебраический пред-
предгильбертова пространства
— ортонормальный . .
Базисное топологическое
векторное пространство
Банаха теоремы
Банаховское пространство
бесселя неравенство . . .
Билинейная форма, приво-
приводящая векторные про-
пространства в двойствен-
двойственность
Билинейное отображение
раздельно непрерывное
V 2 3
I 1
IV 1
VII
I 1 6
V
V
р
I
р
I
IV
IV
I
р
V
р
IV
р
III
р
2
2
7
1
1
3
2
2
1
7
2
7
2
6
4
2
3
3
25
1
1
3
5
6
5
14
3
25
1
1
1
9
*) „Р" означает ссылку на „Сводку
результатов".
Гл. § n°
Билинейное отображение
<В-гипонепрерывное III 4 2
Р 2 10
— — (<&, %)-гипонепре-
рывное III 4 2
Р 2 11
Бочка III 1 1
Р 7 1
Бочечное пространство . . III 1 1
Р 7 2
Векторные пространства
в двойственности .... IV 1 1
Р 6 1
Вершина конуса II 1 4
Р 4 18
Вещественная линейная
форма .' . II 6 1
Вещественное линейное
многообразие II 6 1
— локально выпуклое
пространство II 2 1
— топологическое век-
векторное пространство . . Р 1 1
Внешняя гильбертова сум-
сумма V 2 1
Р 3 18
Второе сопряженное ... IV 3 3
Р 6 15
Выпуклая оболочка мно-
множества
— функция
Выпуклое множество . . .
II 1
Р 4
II 5
Р 4
II 1
II 6
Р 4
3
4
1
16
1
2
1

404
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Выпуклое тело
Выступающий конус . .
II 3 2
Р 4 3
II 1 4
Р 4 18
Гильбертова размерность V 2 4
Р 7 27
— сумма подпространств V 2 2
Р 3 19
внешняя V 2 1
Р 3 18
Гильбертово пространство V 1 3
Р 7 22
Гиперплоскость опорная
множества II 3 2
Р 4 10
%-гипонепрерывное били-
билинейное отображение . . III 4 2
Р 2 10
(©, %)-гипонепрерывное би-
билинейное отображение III 4 2
Р 2 11
Гомоморфизм Р 2 7
Диск 113
Дополнение алгебраиче-
алгебраическое 118
— ортогональное .... IV 1 4
V 1 5
Р 7 24
— топологическое ... 118
Р 3 10
Дуальное предгильбертово
пространство VI 3
Закругленная выпуклая
оболочка множества ... II 6 2
Закругленное множество I 1 3
Замкнутая выпуклая обо-
оболочка множества .... II 1 6
Р 4 5
— закругленная выпук-
выпуклая оболочка множества II 6 2
— уравновешенная вы-
выпуклая оболочка мно-
множества II 6 2
Замкнутое векторное под-
подпространство, порожден-
порожденное множеством Р 3 3
Замкнутые полупростран-
полупространства, определяемые зам-
замкнутой гиперплоскостью II 1 6
Заостренный конус .... II 1 4
Р 4 18
Затупленный конус ... II 1 4
Р 4,18
Изоморфизм топологиче-
топологического векторного про-
пространства на топологиче-
топологическое векторное простран-
пространство II 1
Индуктивный предел ло-
локально выпуклых топо-
топологий II 2 4
Р 3 15
строгий локально
выпуклых пространств II 2 5
Р 3 1й
Исходная топология ло-
локально выпуклого про-
пространства IV 2 1
Калибровочная функция 11*5 3
Каноническое отображе-
отображение Е в Е" IV 3 3
Е% в ©Е, V 2 1
Квадрат скалярный .... VI 3
Квазиполное пространство III 2 5
Р 1 16
Компактная сходимость III 3 1
Р 5 2
Комплексная линейная
форма II 6 1
Комплексное линейное мно-
многообразие . . . . ¦ ... II 6 1
— локально выпуклое
пространство II 6 2
— топологическое век-
векторное пространство Р 1 ' 1
Конус И 1 4
Р 4 18

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
405
Конус выпуклый, поро-
порожденный множеством . . II 1 4
— выступающий .... II 1 4
\ Р 4 18
— заостренный II 1 4
Р 4 18
— затупленный .... II 1 4
Р 4 18
Координаты относительно
ортонормального базиса V 2 3
Коши—Буняковского нера-
неравенство VI 2
Р 7 20
Крейна — Мильмана тео-
теорема II 4 2
Р 4 13
Левое обратное линейного
отображения - II 8
Р 3 12
Линейная форма вещест-
вещественная II 6 1
комплексная ... II 6 1
положительная II 1 5
Линейное, многообразие ве-
вещественное II 6 1
комплексное ... II 6 1
Локально выпуклая топо-
топология II 2 1
II 6 2
Локально выпуклое про-
пространство вещественное II 2 1
Р 1 7
комплексное . . II 6 2
Р 1 7
Макки теоремы . . . ... IV 2 3
IV 2 4
Р 6 11
— топология IV 2 3
Р 6 И
Маркова — Какутани тео-
теорема II Прил.
Метризуемое топологиче-
топологическое векторное про-
пространство 13 1
Многообразие линейное ве-
вещественное
• комплексное . . .
Многообразие опорное вы-
выпуклого множества ....
Множества ортогональ-
ортогональные
— отделяющиеся замк-
замкнутой гиперплоскостью
— строго отделяющиеся
замкнутой гиперпло-
гиперплоскостью ........
Множество выпуклое . . .
— закругленное . . , .
— ограниченное
— ортонормальное . . .
— поглощающее . . . .
— полунорм фильтрую-
фильтрующееся
II 6 1
116 1
И 4 2
II 1 *
V 1 5-
II 3 2-
Р 4 8-
II ?
Р 4
II 1
II 6
Р 4
I 1
III 2
Р 1
V 2
I 1
Р
— равностепенно ®-гм-
понепрерывное
— раздельно равносте-
равностепенно непрерывное . . .
— равностепенно (©, t)-
гипонепрерывное ....
— топологически сво-
свободное
— тотальное . ¦ . . . .
— уравновешенное . . .
Монтелевское простран-
пространство
1
2-
1
3-
1
1О
1 3.
II 5
Р 1
8-
III 4 S
III 4 S
III 4 S
I
р
I
р
I
р
IV
р
2
3
2
3
1
1
3
7
1
4>
1.
»
а.
3-
4
X

406
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Невырожденная (полуто-
ралинейная) эрмитова
форма VI 1
Р 7 20
Левырожденная (полуто-
ралинейная) эрмитова
форма ассоциированная VII
положи-
положительная , V
Леравенство Бесселя . . .
— Коши — Буняковского
Лорма II
Р 1
1 2
Р 7 20
V 2 3
Р 7 25
V 1 2
Р 7 20
2
8
— непрерывного линей-
линейного отображения ... Р 2 1
Нормированное простран-
пространство 112
Р 1 9
Оболочка множества вы-
выпуклая
закругленная
— — — замкнутая . .
уравновешен-
уравновешенная
уравновешенная . .
Обратимое слева {справа)
линейное отображение
•Ограниченная сходимость
Ограниченное множество
•Ограниченных множеств
фундаментальная систе-
система
Опорная гиперплоскость
множества
¦Опорное многообразие вы-
выпуклого множества ... II 4 2
II
р
II
II
р
II
I
р
I
р
[II
р
III
р
III
р
II
р
1
4
6
1
4
6
1
1
1
3
3
5
2
1
2
1
3
4
3
4
2
6
5
2
3
3
8
12
1
2
1
10
2
10
2
10
Ортогональное дополнение IV 1 4
V 1 5
Р 7 24
— подпространство : . IV 1 4
Р 6 6
V 1 5
Ортогональные векторы V 1 3
— множества IV 1 4
V 1 5
Ортогональный проектор V 1 5
Р 3 11
Ортонормализация после-
последовательности векторов V 2 4
Ортонормальное множе-
множество V2 3
— семейство V 2 3
Р 7 25
Ортонормальный базис . . V 2 3
Р 7 25
Ослабленная топология IV 2 1
Р 6 3
Отделяющиеся замкнутой
гиперплоскостью мно-
множества II 3 2
Р 4 8
Открытые полупростран-
полупространства, определяемые зам-
замкнутой гиперплоскостью II 1 6
Парсеваля равенство ... VI 3
Поглощающее множество I 1 3
Р 1 3
Поглощение множества мно-
множеством 113
Р 1 3
Подпространство ортого-
ортогональное IV 1 4
Р 6 6
V 1 5
— топологическое век-
векторное Р3 1
Полное топологическое
векторное пространство I 1 5
Положительная линейная
форма II 1 5
— {полуторалинейная)

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
407
эрмитова форма ....
невырожден-
невырожденная
Положительно однород-
однородная функция
Полунорма
V
Р
V
Р
И
и
и
р
1
7
1
7
5
5
6
1
2
20
2
20
3
3
2
8
Полупространства, опре-
определяемые замкнутой ги-
гиперплоскостью II 1 6
Полурефлексивное про-
пространство IV 3 3
Р 6 15
Полуторалинейная эрми-
эрмитова форма VI 1
' Р 7 20
положительная V 1 2
Р 7 20
невырожден-
невырожденная VI 2
Р 7 20
Поляра множества .... IV 1 3
Р 6 4
По одну сторону от гипер-
гиперплоскости II 1 1
Пополнение отделимого то-
топологического векторного
пространства 115
Р 1 5
Правое обратное линейного .
отображения 118
Р 3 12
Предгильбертово про-
пространство VI 3
Р 7 21
дуальное VI 3
Проектор 118
V 1 5
Р 3 9
V 1 5
Р 3 11
— ортогональный
Проекция на выпуклое мно-
множество в предгильберто-
предгильбертовом пространстве ....
Произведение скалярное , ,
— топологических век-
векторных пространств . .
Простая сходимость . . .
Пространства векторные
в двойственности ....
Пространство базисное . .
— банаховское
— бочечное
— гильбертово
— квазиполное
V- 1 4
Р 4 14
V 1 3
Р 7 21
Р 3
III 3
Р 5
IV 1
Р 6
I 1
Р 1
I 1
Р 7
III
б
1
2
1
1
1
1
5
14
1
2
3
Р 7 22
III 2 5
Р 1 16
1
Р 7
V 1
— локально выпуклое ве-
вещественное
комплексное . .
— монтелевское ....
— нормированное ....
— отделимое ассоцииро-
ассоциированное
— полурефлексивное . .
— предгильбертово . . .
— — дуальное
— рефлексивное
— топологическое век-
векторное
метризуемое . .
: — полученное рас-
расширением тела скаляров
до С
И
Р
II-
Р
IV
Р
I
Р
I
IV
р
V
р
V
IV
р
I
р
I
2
1
6
1
3
7
1
1
1
3
6
1
7
1
3
6
1
1
3
II.6
1
7
2
7
4
7
2
9
6
а
15
3
21
3
3
15
1
1
1
1

408
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Пространство . упорядо-
упорядоченное векторное .... Ill 5
Р 4 20
— Фреше II 2 1
II 6 2
Р 7 10
Прямая сумма локально
выпуклых топологий . . II 2 3
топологическая ко-
конечного числа топологиче-
топологических векторных про-
пространств 118
Р 3 8
локально выпук-
выпуклых пространств II 2 3
Р 3 17
Равенство Парсеваля ... VI 3
Равностепенно <&-гипоне-
прерывное множество III 4 5
— (<&-%)-гипонепрерыв-
ное множество III 4 5
Раздельно непрерывное би-
билинейное отображение III 4 1
Р 2
— равностепенно непре-
непрерывное множество би-
билинейных отображений . . III 4
Размерность выпуклого
множества II 1
— гильбертова
Сильное сопряженное
V 2
Р 7 27
Рефлексивное простран-
пространство IV 3 3
Р 6 15
Сильная топология . .
, IV 3 1
Р 5 1
Р 6 13
. IV 3 1
Р 6 13
Симметричная билинейная
форма VI 1
Скалярное произведение V 1 3
Р 7 21
. V 1 3
Скалярный квадрат
Слабая топология . . . .
Слабое сопряженное . . .
Согласующаяся с двой-
двойственностью топология
Согласующиеся структура
векторного простран-
пространства и топология . . .
Сопряженное алгебраиче-
алгебраическое .... . . ..... • •
— второе
— отображение ....
— пространство ....
— сильное
IV 1
IV 2
Р 5
Р 6
Р 6
IV 2
IV 2
Р 6
I 1
Р 1
— слабое
— топологическое . . .
Строгий индуктивный пре-
предел локально выпуклых
пространств
Строго выпуклая функция
— отделяющиеся зам-
замкнутой гиперплоскостью
множества
Строго по одну сторону
от гиперплоскости . . .
Сумма гильбертова ....
— — внешняя
— прямая локально вы-
выпуклых топологий . . .
Сходимость компактная
IV 1
IV 3 3
P 6 15
IV 4 1
P 6 16
IV 1 1
P 5
IV 3
P 6 13
IV 2 1
IV 1
P 5
I
1
II 2 5
Р 3 16
II 5 1
Р 4 16
II 3
Р 4
II 1
V 2
Р 3 19
V 2 1
Р 3 18
II 2
III 3
Р 5

УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
409
Сходимость ограниченная III 3 1
Р 5 2
— простая III 3 1
Р 5 2
Тело выпуклое II 3 2
Р 4 3
Теорема Банаха — Штейн-
гауза III 3 6
Р 5 12
Теорема Крейна — Миль-
мана II 4 2
Р 4 13
— Маркова — Каку-
тани II Прил.
— о замкнутом графике I 3 3
Р 2 6
— Хана — Банаха. ... II 3 1
II 5 7
' II 6 3
Р 2 4
Р 4 7
... 133
IV 2 5
IV 2 6
... IV 2 3
IV 2 4
Р 6 11
Теоремы Банаха
— Макки
Топологическая прямая
сумма конечного числа
топологических вектор-
векторных пространств
локально выпук-
выпуклых пространств
Топологически свободное
множество
Топологическое векторное
подпространство ....
— — пространство . . .
— базисное ....
вещественное . .
I
р
II
р
I
р
р
I
р
I
р
р
1
3
2
3
2
3
3
1
1
1
1
1
8
8
3
17
1
4
1
1
1
1
1
1
Топологическое векторное
подпространство ком-
комплексное Р 1 1
— метризуемое . . 13 1
— — факторпростран-
ство Р3 5
— дополнение подпро-
подпространства 118
Р 3 10
— сопряженное IV 1 1
Р 5
<&-топология III 3 1
Р 5 1
Топология исходная ... IV 2 1
— компактной сходи-
сходимости III 3 1
Р 5 2
— локально выпуклая И 2 1
II 6 2
— Макки ........ IV 2 3
Р 6 11
— ограниченной сходи-
сходимости III 3 1
Р 5 2
— ослабленная IV 2 1
Р 6 3
— определяемая множе-
множеством полунорм ....
— простой сходимости
— сильная
— слабая
— согласующаяся с двой-
двойственностью
— — со структурой
векторного простран-
пространства
II
II
р
III
р
IV
р
р
IV
IV
р
р
р
IV
р
I
р
5
6
1
3
5
3
5
6
1
2
5
6
6
2
6
1
1
4
2
8
1
2
1
1
13
2
1
1
2
3
3
9
1
1

410
УКАЗАТЕЛЬ ТЕРМИНОВ
Тотальное множество ... 12 1
Р 3 3
Упорядоченное векторное
пространство II 1 5
Р 4 20
Уравновешенная оболочка
множества 113
Р 1 3
Уравновешенное множе-
множество 113
Р 1 3
Фауторпространство то-
топологического векторного
пространства Р 3 5
Фильтрующееся множе-
множество полунорм II 5 4
Р 1 8
Форма билинейная, приво-
приводящая векторные про-
пространства в двойствен-
двойственность IV 2 1
Р 6 1
— линейная веществен-
вещественная II 6 1
комплексная ... II 6 1
— — положительная . . II 1 5
— (полу тора лине иная)
эрмитова VI 1
Р 7 20
невырожденная VII
ассоцииро-
ассоциированная VI 1
положительная V 1 2
Р 7 20
невырожден-
невырожденная VI 2
Р 7 20
— симметричная .... VI 1
Фреше пространство . . .
Фундаментальная система
ограниченных множеств
Функция выпуклая ....
— положительно одно-
однородная
— строго выпуклая . . .
Хана — Банаха теорема
II 2
II 6
Р 7 10
III 2
Р 1
II 5
Р 4
II 5
II 5
Р 4
II 3
II 5
II 6
Р 2
Р 4
2
10
1
16
3-
1
1&
1
7
3-
4
7
Экстремальная образую-
образующая выпуклого конуса II 4 2
Р 4 21
Экстремальная точка вы-
пуклого
Эрмитова
нейная)
ванная
ная
множества . . .
(полуторали-
форма
невырожденная
— ассоцииро-
положительная
— невырожден-
II
Р
V
Р
V
V
V
Р
V
Р
4
4
1
7
1
1
1
7
1
7
2
13-
1
20
1
1
2
20
2
20

Редактор О. О. САВКО
Художник В. А. Селенгинский
Технический редактор М. П. Грибова
Слано в производство 13/Х 1958 г.
Подписано к печати 19/V 195Э г. Бума-
Бумага e0x92'/i«=13,6 бум. л. 27,2 печ. л. в г/ч о вкл.
Уч.-изд. л. 26,0. Изд. № 1/3638. Цена 15 р.
Зак. 3578.
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Москва, Ново-Алексеевская, 52.
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И АКСИОМЫ ГЛАВЫ I
Определение топологического векторного пространства:
Пусть дано топологическое тело /С. Топологическим левым вектор-
векторным пространством над К называется множество ?, наделенное:
1° структурой левого векторного пространства над К.;
2° топологией, в которой отображение (х, у) -*¦ х -f- у произведения
? Х? в ? и отображение (К, х) ->- Xjc произведения КХ Е в Е непре-
непрерывны.
Уравновешенные множества; поглощающие множества:
Пусть К—недискретное нормированное тело и Е — левое векторное
пространство над К- Множество Mcz E называется уравновешенным
(или диском, если К= С), если \х?М для каждого х^М и каждого
хе/с с |Ч<1.
Пусть А и В — два подмножества пространства Е. Говорят, что А
поглощает В, если существует а>0 такое, что Ыгэ/J, когда |л|;>а.
Множество Acz E называется поглощающим, если оно поглощает
каждое одноточечное множество.
Аксиомы окрестностей в топологическом векторном пространстве над
недискретным нормированным телом:
В топологическом векторном пространстве Е над недискретным нор-
нормированным телом А" существует фундаментальная система 2} замкну-
замкнутых окрестностей нуля такая, что:
Каждое множество V ?33 — уравновешенное и поглощающее.
() Каковы бы ни были К^ЗЗ и ХфО из К, ХК^Щ.
(EVm) Для каждого К ?23 существует W ? 23 такое, что W+Wd V.
Обратно, пусть Е—векторное пространство иад АГ и 33 — базис фильтра
в Е, удовлетворяющий условиям (EVj), (EVj[) и (ЕУШ). Тогда суще-
существует однозначно определенная топология в Е, согласующаяся со
структурой векторного пространства в ? и имеющая 23 фундаменталь-
фундаментальной системой окрестностей нуля.
Нормированные пространства:
Пусть Е — левое векторное пространство над недискретным нормиро-
нормированным телом К- Нормой на Е называется такое отображение Jf-*|| x \\
пространства ?в R+, что из || *|| — 0 следует х= 0, [|Xjcj| — | а 11| jcjj для
всех ХеК и х?Е и || х + у ||<|| х|| + || у || для всех х € ? и у 6 ?•
Векторное пространство ?, наделенное нормой j|jc|| и топологией
определяемой расстоянием || х — у ||, называется нормированным про-
пространством. Вещественным (соотв. комплексным) банаховским про-

странством называется полное нормированное пространство над
телом R (соотв. С).
Топологическая прямая сумма подпространств:
Топологическое векторное пространство Е называется топологической
прямой суммой конечного семейства (-Mj)i<i<n своих векторных
подпространств, если отображение (xt) -*¦ ^ xt произведения JJ М.;
i г
в Е есть изоморфизм Дм,- на Е.
г
Векторное подпространство N пространства Е называется топологи-
топологическим дополнением к векторному подпространству М, если Е есть
топологическая прямая сумма М и N.
Тотальное подмножество топологического векторного пространства:
Подмножество А топологического векторного пространства Е назы-
называется тотальным, если порождаемое им векторное пространство
(множество всевоэыожных линейных комбинаций элементов из ^4) всюду
плотно в Е.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ II
Определение выпуклого множества:
Подмножество А векторного пространства Е над R или С называется
выпуклым, если каковы бы ни были точки х, у ?А, ~кх + A — X) у ? А
для всех X таких, что О^Х-^1.
Выпуклая оболочка множества:
Выпуклой оболочкой (соотв. уравновешенной выпуклой оболочкой)
подмножества А векторного пространства Е над R или С называется
наименьшее выпуклое (соотв. уравновешенное выпуклое) множество,
содержащее А.
Замкнутой выпуклой оболочкой (соотв. замкнутой уравновешенной
выпуклой оболочкой) подмножества А топологического векторного
пространства Е над R или С называется наименьшее замкнутое вы-
выпуклое (соотв. замкнутое уравновешенное выпуклое) множество, со-
содержащее А.
Конусы:
Конусом (с вершиной 0) в векторном пространстве Е над R или С
называется множество С такое, что hx ? С для каждого х ? С и каж-
каждого Х>0. Конус С называется заостренным (соотв. затупленным),
если OgC (соотв. 0 (jt С). Заостренный выпуклый конус называется
выступающим, если он не содержит никакой прямой, проходящей
через точку 0.
Отделение двух множеств гиперплоскостью:
Пусть Е — векторное пространство над R и Н—гиперплоскость в Е,
заданная уравнением f (х) = о (где /—лиш-йная форма на Е, не рав-
равная тождественно нулю). Множества, определяемые» соответственно
неравенствами f(x) > а и /(*)¦< а, называется замкнутыми полу-
полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Н; множества,
определяемые соответственно неравенствами /(jc)> а и/(.*)< а, назы-
называются открытыми полупространствам^ определяемыми гиперпло-
гиперплоскостью Н. Говорят, что два непустых подмножества А, В векторного
пространства Е над R отделяются (соотв. строго отделяются
гиперплоскостью Н, если А содержится в одном из определяемых
ею замкнутых (соотв. открытых) полупространств, а В — в другом.

Опорная гиперплоскость:
Говорят, что все точки некоторого подмножества М векторного про-
пространства Е над R находятся по одну сторону (соотв. строго по одну
сторону) от гиперплоскости Н, если М содержится в одном из опре-
определяемых ею замкнутых (соотв. открытых) полупространств.
Опорной гиперплоскостью множества А а Е называется гиперпло-
гиперплоскость Н, содержащая хотя бы одну точку из Л и такая, что все
точки множества А находятся по одну сторону от Н.
Выпуклые тела:
Выпуклым телом в топологическом векторном пространстве над R
или С называется всякое замкнутое выпуклое множество, обладающее
хотя бы одной внутренней точкой.
Определение локально выпуклого пространства:
ТополО1 ическое векторное пространство над R или С называется
локально выпуклым, если оно обладает фундаментальной системой
окрестностей нуля, образованной выпуклыми множествами.
Вещественным (соотв. комплексным) пространством Фреше назы-
называется полное метризуемое локально выпуклое пространство над R
(соотв. С).
Полунормы:
Пусть Е — топологическое векторное пространство над R (или С). Полу-
Полунормой на Е называется конечная числовая функция р, определенная
иа Е и удовлетворяющая следующим двум аксиомам:
(SNj) Каковы бы ни были х ? Е и I ? R (соотв. к ? С), р (\х) =\\\р (х).
(SNn) Каковы бы ии были х?Е и у ? Е, р( х-\- у)<р (х) -\-р (у).
Пусть Г — множество полунорм на ? и @ — множество всех подмно-
подмножеств из Е, определяемых неравенствами вида р (х) <^ X, где р ? Г и
X > 0. Множество Ж пересечений всевозможных конечных наборов
множеств из © является фундаментальной системой выпуклых окре-
окрестностей нуля для топологии, согласующейся со структурой векторного
пространства в ? и называемой топологией, определяемой множе-
множеством Г полунорм.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ III
Определение бочки и бочечного пространства:
Бочкой в локально выпуклом^ пространстве называется каждое замкну-
замкнутое поглощающее уравновешенное выпуклое множество.
Локально выпуклое пространство Е называется бочечным, если каждая
бочка в Е является окрестностью нуля.
Ограниченные множества:
Подмножество топологического векторного пространства называется
ограниченным, если оно поглощается каждой окрестностью нуля.
Квазиполные пространства:
Топологическое векторное пространство Е называется квазиполным,
если каждое его замкнутое ограниченное подмножество является
полным равномерным пространством; (по равномерной структуре, инду-
индуцированной из ?).
® топологии:
Пусть ? и У7—топологические векторные пространства, @ — множе-
множество ограниченных подмножеств пространства Е и L (?, F) — вектор-
векторное пространство всех непрерывных линейных отображений Е в F.
©-топологией в L (?, F) называется топология равномерной сходимо-
сходимости на множествах из @. Пусть Т (М, V) для каждого М ? © и каждой
окрестности нуля V пространства /¦ — множество тех и ? L (?, F), для
которых u(M)<zV. Пересечений всевозможных конечных наборов
множеств Т (М, V) (где М пробегает <В, а V—фундаментальную
систему окрестностей нуля в F) образуют фундаментальную систему
окрестностей нуля ©-топологии.
Если © — множество всех конечных (соотв. компактных, ограничен-
ограниченных) подмножеств пространства ?, то ©-топология называется топо-
топологией простой (соотв. компактной, ограниченной) сходимости.
Если ? и F—нормированные пространства, то топология ограничен-
ограниченной сходимости в L(E,F) определяется нормой ||и||= sup II и (х) II.
11||<1

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛАВЫ IV
Векторные пространства в двойственности:
Пусть F и G —векторные пространства и (х, у) ->- В (х, у) — билиней-
билинейная форма на F X G. Говорят, что F и G находятся в двойствен-
двойственности (относительно В), если выполнены следующие два условия:
(Dj) Каково бы ни было х Ф О из F, существует у ? G такое, что
В (х, у) ф 0.
(D,,) Каково бы ни было у Ф 0 из G, существует х?р такое, что
В (х, у) ф 0.
Вместо В (х, у) пишут тогда {х, у).
Сопряженное; алгебраическое сопряженное:
Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство. Его алгебраи-
алгебраическим сопряженным называется векторное пространство Е' всех линей-
линейных форм на Е (непрерывных или нет). Сопряженным к Е называется
подпространство Е' пространства ?*, образованное непрерывными линей-
линейными формами иа Е. Пространства Яи?' находятся в двойственности
относительно канонической формы (х, х') -*¦ {х, х'). Сопряженное
?' к Е не рассматривается как топологическое векторное пространство,
если только явно не указана его топология (которая может опреде-
определяться различным образом при одном и том же локально выпуклом
пространстве Е).
Определение поляры:
Пусть F и G — два (вещественных или комплексных) векторных про-
пространства в двойственности и А — произвольное подмножество про-
пространства F. Полярой множества А в G называется множество -4°
всех z?G таких, что 9t «у, г))<1 для каждого у ? А. Если А —
уравновешенное, то последнее равносильно выполнению неравенства
КУ'-2")!^! Для каждого у б А. Если А -- векторное подпространство
пространства Р, то А° — векторное подпространство пространства G,
называемое ортогональным к А.
Слабые топологии:
Пусть F и G — два векторных пространства в двойственности. Слабой
топологией в F, определяемой двойственностью между F и G, назы-
называется локально выпуклая топология <з (F, G), определяемая семейством
полунорм y->j (у, г) |, где г пробегает G. Так же определяется слабая
топология з (G, F) в G.
Пусть Е— отделимое локально выпуклое пространство (топология кото-
которого именуется исходной топологией) и Е' — его сопряженное. Топо-

логия а (Е, Е') называется ослабленной топологией в Е (ассоцииро-
(ассоциированной с исходной, которою она мажорируется). Топология о (?', Е)
называется слабой топологией в Е'. Векторное пространство Е',
наделенное топологией а (?', Е), называется слабым | сопряжен-
сопряженным к Е. .
Топологии, согласующиеся с двойственностью:
Пусть F и G— два векторных пространства в двойственности. Говорят,
что отделимая локальио выпуклая топология |г в F согласуется с двой-
двойственностью между F и G, если каждая непрерывная (в топологии |Г)
линейная форма на F 1иожет быть записана в виде у->{у,г), где
z?G (иными словами, если G отождествимо с сопряженным к F, наде-
наделенному топологией З").
Через х (/=", G) обозначается сильнейшая из топологий в F, согласую-
согласующихся с двойственностью между F и G. Фундаментальную систему
окрестностей нуля. для х (F, G) образуют поляры К.°, где /( цробегает
множество всех уравновешенных выпуклых подмножеств из G, ком-
компактных в слабой топологии a (G, F).
Сильная топология:
Пусть Е — отделимое локально выпуклое пространство и Е' — его
сопряженное. Сильной топологией в Е' называется локально выпуклая
топология, имеющая своей фундаментальной системой окрестностей нуля
множество поляр В° всевозможных ограниченных множеств В из Е.
Пространство Е', наделенное этой топологией, называется сильным
сопряженным к Е.
Второе сопряженное; рефлексивные пространства:
Пусть Е—отделимое локально выпуклое пространство и Е' — его
сопряженное. Вторым сопряженным к Е называется сопряженное
Е" к сильному сопряженному к Е. Е называется рефлексивным,
если 1° каждая линейная форма иа ?', непрерывная в сильной
топологии, записывается в виде х°-* (х, х'), где х ? Е; 2° поляры (в Е)
всевозможных множеств из Е', ограниченных в сильной топологии,
образуют фундаментальную систему окрестностей нуля для исходной
топологии в Е. Сильное сопряженное к сильному сопряженному к Е
отождествимо тогда с Е, наделенным его исходной топологией.

ДИАГРАММА
различных типов топологических векторных пространств
Локально выпуклое пространство
А
Бочечное
/
Пространство Фреше
f
1
Банаховское пространство
\ /
1 ильбертово пространство
1
пространство
\
\
Рефлексивное
/
Монтелевское
пространство
\
\
пространство
Все пространства, заключенные в рамку, отделимы и квазиполны.