Топологические векторные пространства и их приложения - Смолянов О.Г., Богачев В.И., Соболев В.И.

Глава 1. Введение в теорию топологических векторных пространств
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства
1.8. Компактные и предкомпактные множества
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма
Глава 2. Методы построения топологических векторных пространств
2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями
3.2. Топологии, согласующиеся с двойственностью
Топологические свойства локально выпуклых пространств
Минимальные пространства и степени прямой
4.4. Дифференцируемость и непрерывность по подпространству
4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила
Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально выпуклых пространствах
Предельный переход под знаком производной
Дифференцируемость через псевдотопологии
Гладкие функции на банаховых пространствах
5.2. Меры на топологических пространствах
5.6. Ковариационные операторы и средние мер
5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова
Прохоровские локально выпуклые пространства
Измеримые линейные и полилинейные функции
Author: Смолянов О.Г. Богачев В.И. Соболев В.И.
Tags: топология геометрия физика дифференциальное исчисление высшая математика
ISBN: 978-5-93972-941-3
Year: 2012
Similar
Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения
Топологические векторные пространства
Мемуар о компактных топологических пространствах
Text
                    В. И. Богачев
О. Г. Смолянов
В. И. Соболев
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Москва ♦ Ижевск
2012

ББК 22.152 + 22.151
УДК 515.1 + 513
Б 733
Интернет-магазин · физика
π · математика
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Богачев В. И., Смолянов О. Г., Соболев В. И.
Топологические векторные пространства и их приложения. —
М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012. —
584 с.
Книга дает подробное изложение основ теории топологических
векторных пространств, обзор важнейших результатов более
тонкого характера, которые уже не относятся к основам, но знание
которых полезно для приложений, и, наконец, некоторые из таких
приложений, связанные с дифференциальным исчислением в
бесконечномерных пространствах и теорией меры. Имеется много задач
и упражнений с указаниями. Приведена обширная библиография.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников физико-
математических специальностей.
Библ. 523
ISBN 978-5-93972-941-3 ББК 22.152 + 22.151
© В. И. Богачев, О. Г. Смолянов, В. И. Соболев, 2012
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2012
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

Оглавление
Обозначения 6
Предисловие 7
Глава 1. Введение в теорию топологических
векторных пространств 9.
1.1. Линейные пространства и топология 9
1.2. Основные определения 22
1.3. Примеры 31
1.4. Выпуклые множества 47
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 56
1.6. Метризуемость 64
1.7. Полнота и пополнение 69
1.8. Компактные и предкомпактные множества 81
1.9. Линейные операторы 89
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 95
1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 107
1.12. Дополнения и задачи 120
Равномерные пространства (120). Выпуклые компакты (123).
Теоремы о неподвижных точках (125). Пространства
последовательностей (128). Сопряженные к банаховым
пространствам (129). Свойства сепарабельности (131).
Непрерывные селекции и продолжения (133). Задачи (134).
Глава 2. Методы построения топологических
векторных пространств 141
2.1. Проективные топологии 141
2.2. Примеры проективных пределов 145
2.3. Индуктивные топологии 153
2.4. Примеры индуктивных пределов 158
2.5. Конструкция Гротендика 168

4
2.6. Строгие индуктивные пределы 175
2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями 178
2.8. Тензорные произведения 182
2.9. Ядерные пространства 184
2.10. Дополнения и задачи 191
Свойства пространств РиР' (191). Абсолютно
суммирующие операторы (196). Локальная полнота (199).
Задачи (201).
3. Двойственность 207
Поляры 207
Топологии, согласующиеся с двойственностью 214
Сопряженные операторы 219
Слабая компактность 222
Бочечные пространства 230
Борнологические пространства 237
Сильная топология и рефлексивность 245
Критерии полноты 254
Теорема о замкнутом графике 263
Компактные операторы 272
Альтернатива Фредгольма 280
Дополнения и задачи 285
Бэровские пространства (285). Теорема о борелевском
графике (288). Ограничивающие множества (289). Теорема
Джеймса (290).Топологические свойства локально выпуклых
пространств (292). Свойства Эберлейна-Шмульяна (296).
Базисы Шаудера (297). Минимальные пространства
и степени прямой (299). Задачи (303).
Глава 4. Дифференциальное исчисление 323
4.1. Дифференцируемость по системе множеств 325
4.2. Примеры 334
4.3. Дифференцируемость и непрерывность 341
4.4. Дифференцируемость и непрерывность
по подпространству 347
4.5. Производная композиции 350
4.6. Теорема о среднем 364
4.7. Формула Тейлора 366
4.8. Частные производные 371
4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 372
4.10. Дополнения и задачи 386
Теорема об обратной функции (386). Многочлены (387).
Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально
Глава
3.1.
3.2.
3.3.
' 3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.

Оглавление
5
выпуклых пространствах (390). Предельный переход под
знаком производной (395). Полнота пространств гладких
отображений (398). Дифференцируемость через
псевдотопологии (405). Гладкие функции на банаховых
пространствах (406). Задачи (407).
Глава 5. Меры на линейных пространствах 411
5.1. Цилиндрические множества 411
5.2. Меры на топологических пространствах 414
5.3. Преобразования и сходимость мер 425
5.4. Цилиндрические меры 432
5.5. Преобразование Фурье 441
5.6. Ковариационные операторы и средние мер 446
5.7. Гауссовские меры 457
5.8. Квазимеры 468
5.9. Достаточные топологии 472
5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова 475
5.11. Условия счетной аддитивности 483
5.12. Дополнения и задачи 492
Свертка (492). Законы 0-1 (496). Выпуклые меры (499).
Центральная предельная теорема (502). Безгранично
делимые и устойчивые меры (504). Банаховы носители
мер (513). Бесконечномерные винеровские процессы (516).
Прохоровские локально выпуклые пространства (517).
Измеримые линейные и полилинейные функции (523).
Связь различных σ-алгебр (532). Радонизующие
операторы (534). Измеримые нормы (535). Задачи (536).
Комментарии 543
Литература 551
Предметный указатель
577

Обозначения
Символы упорядочены по первой букве названия согласно латинскому
алфавиту, за исключением символов, начинающихся с математических знаков.
Л°, 208
Л, 19
А, 48
А*, 414
Д®£, 416
absconvA, 12
absconv V, 47
Я(Х), 416
£(]Rn), 411, 416
B{E,G), 91
C[a,6], 125, 131
Ο,(Χ), 130, 417
C5(t/,C?), 347
convA, 12
convV, 47
со, 83, 130
£>(]Rn), 42, 164
P'QR71), 43
£>n, £>mQRn), 164, 166
£7', E\ 11, 46
£в, 168
Εβ, 247
£σ, 247
Ят, 247
Ε'β, 247
££, 247
Ε'τ, 247
<?QRn), 42
£'(]Rn), 43
£i®£2, 183
E^eE2, 184
Ei®nE2, 183
/U, 93
/(n)(s), 330
indn^n, 175
inda^a, 154
KerA, 11
/C(£,G), 272
L°(M), £°(μ), 39
L1^), 130
Ζ,2(μ), 130
27(μ), 130
L°°(/x), 130
Ζ7(μ,Χ), 415
C(E,G), 91
C(E,G), 91
CA(P,Q), 325
/2, 130
P, 130
Γ°, 130
lim£a, 148
lim^a, 162
рл, 50
]R°°, 32
HT, 10
Ran A, 11
<SQRn), 41
«S'QR71), 43
Γ*, 219
x0y, 183
£(£',£), 246
£*0,423
Λ0(μ), 523
μ+, μ", 414
μ*, 414
μ о/"1, 425
/χ®ι/, 426
μ * ι/, 493
ν < μ, 415
ί/ _L μ, 415
ί/ ~ μ, 415
σ(Λ), 275
σ(^), 416
a(E,G), 44
r(£,G), 216
21σ, 411
IN, 414
0α£7α, 160
φατα, 160
вь/(*о), 334

Предисловие
Цель этой книги — компактное изложение основ теории
топологических векторных пространств, обзор важнейших результа- ·
тов более тонкого характера, которые уже нельзя отнести к
основам, но знание которых полезно для приложений, и, наконец,
некоторые из таких приложений, связанные с
дифференциальным исчислением в бесконечномерных пространствах и теорией
меры. Последнее отличает нашу книгу от целого ряда известных
руководств по топологическим векторным пространствам.
Другим существенным отличием этой книги от классических
трактатов типа [27] является отказ от полной замкнутости изложения
(за исключением самых основ), благодаря чему стало возможным
проинформировать читателя без доказательств (но со ссылками
на другие работы) о весьма многих достижениях; часть из них
замаскирована под видом задач (со ссылками), такие задачи не
следует путать с упражнениями, выделенными значком °.
Поэтому в смысле объема представленной информации наша книга не
покрывается никакой другой по этому предмету (правда, и нельзя
сказать, что она покрывает всякую другую).
В главе 1 излагаются основы теории, к которым мы
относим большой список конкретных примеров, некоторые общие
понятия (выпуклое множество, полунорма, линейное
отображение) и ряд фактов, важнейшим из которых является теорема
Хана-Банаха о продолжении функционала в разных ее
вариантах. Основной материал главы 2 связан с обсуждением
проективных и индуктивных пределов (включая строгие индуктивные
пределы и индуктивные пределы с компактными вложениями,
мало освещенные в учебной литературе), а также одной
конструкции Гротендика построения банаховых пространств, вложенных

8
Предисловие
в локально выпуклые. Глава 3 излагает классический
материал, относящийся к так называемой двойственности, т. е. к
привлечению различных локально выпуклых топологий на данном
пространстве, дающих один и тот же запас непрерывных
линейных функционалов. Центральными здесь являются теоремы
Макки-Аренса о топологиях, согласующихся с двойственностью,
результаты о слабой компактности, включая теоремы Эберлейна-
Шмульяна и Крейна-Шмульяна, а также некоторые понятия
и факты, связанные с полнотой локально выпуклых пространств.
Глава 4 посвящена основам теории дифференцирования в
локально выпуклых пространствах. В ней изложена общая схема
дифференцируемое™ по системе множеств, детально рассмотрены
важные для приложений случаи дифференцируемости по
системам ограниченных и компактных множеств. В главе 5 изложены
основы теории меры на локально выпуклых пространствах. Здесь
обсуждаются продолжения мер, преобразование Фурье и условия
счетной аддитивности в его терминах, ковариационные
операторы, некоторые важные классы мер (гауссовские, устойчивые,
выпуклые).
Во всех главах есть много дополнительных разделов
(набранных более мелким шрифтом), где представлена информация
более специального характера в связи с основными темами главы,
а также приведено много задач (к более трудным даны
указания). Завершают книгу историко-библиографический
комментарий, список литературы с указанием страниц, на которых
цитируются включенные в него работы, и предметный указатель. К этой
книге можно приступить, владея лишь основами анализа и
линейной алгебры в объема программы первого курса, но для
основательного ее изучения все же лучше ознакомиться с учебным
курсом функционального анализа (по любому учебнику,
включая наш [21] или [79]).
Мы благодарим Т.О. Банаха, Е.Д. Косова, А.С. Трегубова
и Е.В. Юрову за полезные замечания по тексту.
Работа над этой книгой началась четверть века назад по
инициативе Владимира Ивановича Соболева (1913-1995), автора
ряда широко известных учебников по функциональному анализу
(включая одно из первых отечественных пособий, изданное еще
в 1951 году), а ее завершение — дань памяти замечательному
ученому и педагогу.

Глава 1
Введение в теорию топологических
векторных пространств
В этой главе изложены основные понятия и примеры, связан:
ные с топологическими векторными пространствами.
1.1. Линейные пространства и топология
Топологическое векторное пространство — линейное (или
векторное) пространство, снабженное топологией, которая
определенным образом согласована с линейной структурой. Поэтому мы
начнем с того, что отдельно напомним основные нужные
понятия, относящиеся к линейным пространствам и топологическим
пространствам. Пусть К — некоторое поле (далее во всех
основных результатах речь идет о поле IR вещественных чисел или,
реже, о поле С комплексных чисел; поэтому читатель, не знакомый
с общим понятием алгебраического поля, вполне может
обходиться без него и дальше). Множество Ε называется линейным (или
векторным) пространством над полем К, если элементы Ε
(называемые векторами) можно складывать и умножать на элементы
из К, т. е. определены отображения
ExE^E, {u,v)\-+u + v, КхЕ^Е, (\,υ) ^ \υ,
причем выполнены следующие условия:
(i) и + ν = ν + и для всех и, ν Ε Ε,
(ii) имеется единственный элемент О Ε Ε (нулевой элемент),
для которого ν + 0 = ν для всех ν Ε Ε,
(iii) для каждого ν Ε Ε имеется единственный элемент — г>,
для которого ν + {—ν) = О,
(iv) Х(и + ν) = Хи + λι>, Χ(μυ) = (Χμ)ν и Ον = АО = 0 для всех
и, ν Ε Ε, λ, μ Ε К.

до
Глава 1. Введение в теорию
Далее явное упоминание о поле К часто будет опускаться,
а его элементы будут называться скалярами, а в случае К С С —
просто числами. Об общих полях см. Курош [85].
1.1.1. Пример. Пусть К = JR и Τ — непустое множество.
Пусть Жт — множество всех вещественных функций на Т,
причем линейные операции заданы поточечно:
(/ + 9№ := f{t) + g(t), (λ/)(ί) := λ/(ί).
Тогда IRT — линейное пространство; его называют произведением
Τ экземпляров вещественной прямой или степенью прямой.
Всюду далее, если не оговорено противное, предполагается,
что К является недискретным нормированным полем. Норма на
поле К — такое отображение К —> [0, +оо) (его значение на
элементе χ Ε К обозначается через \х\), что выполнены условия:
\х\ > О для χ Ε К \ {0} (невырожденность), |0| = 0, \ху\ = \х\ \у\
(мультипликативность) и |ж + у| ^ |ж| + |у| (неравенство
треугольника) для всяких х,у Ε К. Поле с заданной на нем нормой
называется нормированным полем. Например, поле С комплексных
чисел становится нормированным, если \а\ есть обычный модуль
числа a G С. Поле недискретно, если в нем есть к φ 0 с \к\ φ 1.
Полунормой на векторном пространстве Ε называется всякая
функция ρ: Ε —> [0, оо), обладающая следующими свойствами:
(1) р(кх) = \к\р(х) УкеК.хеЕ;
(2) ρ(χι +х2) ^ р{х\) + р{х2) Vxi е Е, х2 е Е.
Полунорма ρ называется нормой, если р(х) > 0 при χ φ 0.
Нормы ри q называют эквивалентными, если для некоторых
чисел ci, С2 > 0 и всех χ верно неравенство с\р{х) < q(x) < С2р(х).
Набор векторов из одного линейного пространства
называется линейно независимым, если равенство λχ^ι + · · · + \ηνη = 0,
где νι — векторы данного набора и λ^ — скаляры, возможно лишь
при Xi = 0 для всех г = 1,..., п; иначе набор линейно зависим.
Линейно независимый набор векторов называется
алгебраическим базисом (базисом Гамеля) пространства X, если всякий
вектор из X является конечной линейной комбинацией векторов να.
В нулевом пространстве базисом считается нуль. Ниже доказано
существование базиса Гамеля в любом линейном пространстве;
при этом разные базисы Гамеля равномощны. Мощность базиса
Гамеля называют размерностью пространства.
Пусть Ε и F — векторные пространства над одним и тем
же полем. Отображение А: Е —> F называется линейным (или

1.1. Линейные пространства и топология
11
линейным оператором), если справедливо равенство
А(Хи + μν) = ХА(и) + μΑ(ν)
для всех векторов и, ν Ε Ε и всех скаляров λ, μ.
Линейное отображение со значениями в поле скаляров
называется линейным функционалом.
Множество Ker A := А~г(0) называют ядром линейного
отображения А, а множество Ran Л := А(Е) называется образом А.
Для каждого векторного пространства Ε символ Е*
обозначает векторное пространство всех линейных функций на Е] оно
называется алгебраическим сопряженным к Е. Алгебраически
сопряженное не следует путать с рассматриваемым далее
топологическим сопряженным, состоящим из непрерывных линейных
функций. Основное значение для теории и приложений имеют
топологические сопряженные, но алгебраически сопряженное
полезно для некоторых примеров и конструкций.
Факторпространство Е/Е\ векторного пространства Ε по его
подпространству Е\ определяется так: элементы Е/Е\ — классы
эквивалентности множества Е, причем χ ~ ζ <^=> χ — ζ G E\.
Таким образом, если Ζ Ε Ε/Ει, то существует (не
единственный) ζ Ε Ε такой, что Ζ = ζ + Εχ. Линейные операции в Е/Е\
определяются так: пусть X = а; + £ι, Ζ = г + £ι, λ G К;
тогда X + Ζ = (χ + ζ) + Ει, XX = Χχ + Ε\. Размерность
пространства Ε/Εχ называется коразмерностью подпространства Ει
в пространстве Ε. Гиперподпространством векторного
пространства Ε называется всякое его подпространство G, для которого
ftimE/G = 1, т.е. существует такой ненулевой вектор ν, что
всякий вектор из Ε является линейной комбинацией ν и некоторого
вектора из G. В этом случае говорят, что коразмерность G в Ε
равняется единице.
Подмножество Г векторного пространства Ε называется
гиперплоскостью, если в Ε существуют такое
гиперподпространство G и такой элемент а, что а + G = Г (при этом а Е Г). Иначе
говоря, подмножество Г векторного пространства Ε называется
гиперплоскостью в точности тогда, когда для некоторого
(следовательно, и для каждого) элемента Ъ Ε Г множество Г — Ъ
представляет собой гиперподпространство (гиперподпространство —
гиперплоскость, проходящая через нуль).
Подмножество А векторного пространства Ε называется
аффинным подпространством или линейным многообразием, если
оно непусто и для всех а, Ь Ε А и каждого t e К справедливо

12
Глава 1. Введение в теорию
включение ta + (1 — t)b Ε А. Множество {ta + (1 — t)b: t G K}
есть (при а ф Ъ) прямая, проходящая через а и Ъ. Иначе говоря,
множество А — аффинное подпространство, если оно имеет вид
α+Ь, для некоторого векторного подпространства L и некоторого
(а тогда и для каждого) элемента a Ε А.
Линейная оболочка А есть наименьшее линейное
подпространство, содержащее А.
1.1.2. Определение. Множество V в вещественном или
комплексном векторном пространстве называется выпуклым,
если tu + (1 — t)v Ε V для всех г/, ν Ε V и t Ε [0,1].
Иначе говоря, множество выпукло, если вместе со всякими
двумя своими точками оно содержит соединяющий их отрезок.
Отрезок [а, Ь] с концами а и b определяется равенством
[а,Ь] := {χ: χ = ta + (1 -t)b,t e [0,1]}.
Положим также
(а,Ь):=[а,Ь)\{а,Ь}, [а,Ь) :=[а,Ь]\{Ь}, (а,Ь]:=[а,Ь]\{а).
Выпуклой оболочкой непустого множества А в вещественном
или комплексном векторном пространстве Ε называется
пересечение conv А всех выпуклых множеств, содержащих А.
Тем самым выпуклая оболочка множества А есть наименьшее
выпуклое множество, содержащее А. Нетрудно проверить, что
она состоит из всевозможных сумм вида t\a\ + · · · + tnani где
а{ е A, U ^ 0, *ι + ··· + ίη = 1.
1.1.3. Определение. Множество Μ называется
закругленным или уравновешенным, если Хх G Μ при всех χ G Μ и |λ| < 1.
Выпуклое закругленное множество называется таксисе
абсолютно выпуклым.
Закругленная и выпуклая закругленная (или абсолютно
выпуклая) оболочки множества А в линейном пространстве есть
соответственно наименьшее закругленное и наименьшее выпуклое
закругленное множества abs conv Л, содержащие А.
1.1.4. Определение. Если А и В — множества в линейном
пространстве Е, то говорят, что А поглощает В (или что
множество В поглощается множеством А), если существует
такое число г > 0, что кВ С А при \к\ < г, к G К.
Множество в Ε называется поглощающим, если оно
поглощает каждое одноточечное (и тогда каждое конечное)
множество в Е.

1.1. Линейные пространства и топология
13
Простым примером множества, которое не поглощает себя,
является К \ {0}; всякое уравновешенное множество себя
поглощает (берем г = 1). Если нормированное поле К дискретно, то
свойство поглощать, хотя формально и сохраняет смысл,
становится бессодержательным, так как тогда {0} поглощает каждое
множество с г = 1.
Для непустых множеств А и В в векторном пространстве
и скаляра λ положим
А + В := {а + Ъ: ае А.Ъ е В}. ХА:={\а: а е А};
А-{- В — алгебраическая (векторная) сумма множеств. Далее,
А-В = А-{-(-В) = {а-Ъ: а eA.be В}.
Ниже используются два теоретико-множественных понятия:
отношение эквивалентности и отношение частичного порядка.
Пусть выделено некоторое множество И пар элементов из
множества X. т.е. подмножество К С 1x1. Говорят, что 1Ζ
задает на множестве X отношение эквивалентности, и пишут
χ ~ у при (х. у) е 7£, если выполнены следующие условия:
(i) χ ~ χ для всех χ е X.
(и) если χ ~ у. то у ~ х.
(Hi) если χ ~ у и у ~ ζ. то χ ~ ζ.
Читатель без труда убедится на простых примерах, что эти
три условия независимы.
Отношение эквивалентности разбивает X на
непересекающиеся классы эквивалентности, состоящие из попарно
эквивалентных элементов. Например, если χ ~ у только при χ = у. то
каждый класс состоит ровно из одного элемента; если, наоборот, все
элементы эквивалентны, то получится лишь один класс
эквивалентности. Еще пример: пусть χ ~ у для х. у е К1, если х — у е Q.
Тогда классы эквивалентности счетны. Часто бывает полезно
выбрать по представителю в каждом классе эквивалентности.
Оказывается, что для осуществления этого на первый взгляд
совершенно невинного желания нужна специальная аксиома.
Аксиома выбора. Если дана совокупность непустых
попарно непересекающихся множеств, то существует множество,
содержащее ровно по одному элементу из каждого из этих
множеств.
Использование этой аксиомы существенно для многих
вопросов функционального анализа, а без этой аксиомы хотя бы для

14
Глава 1. Введение в теорию
счетных совокупностей мало что останется от непрерывной
математики вообще. Тем не менее полезно помнить, что это
действительно аксиома, не вытекающая из основных положений так
называемой наивной теории множеств.
Говорят, что на множестве X задано отношение частичного
порядка или частичный порядок, если выделена некоторая
совокупность V пар (х, у) Ε ХхХ, для которых пишут χ ^ у, причем
(i) χ ^ х, (и) если χ ^ у и у ^ ζ, то χ ^ ζ. Если χ ^ у, то пишут
также у ^ х. Отметим, что мы не включаем равенство х = у
при х^уиу^жв отличие от ряда других учебников (впрочем,
к этому случаю можно перейти, отождествив такие элементы, что
соответствует переносу данного частичного порядка на классы
эквивалентности). Нашему определению удовлетворяет
отношение / ^ g почти всюду для измеримых функций на отрезке.
При этом не требуется, чтобы все элементы были попарно
сравнимы. Например, на К2 можно ввести такой частичный
порядок: χ = {χι,χ2) < У = (УъУ2), если χι < уг и х2 < У2·
Если же все элементы X оказались попарно сравнимы, то X
называется линейно упорядоченным.
Например, прямая с обычным порядком линейно
упорядочена, а указанный выше покоординатный порядок на плоскости не
является линейным. Однако на плоскости можно ввести
естественный линейный порядок: так называемый
лексикографический порядок, при котором χ ^ у, если либо х\ <у\, либо х\ = у\
И Х2 < У2·
В частично упорядоченном множестве некоторые части
могут оказаться линейно упорядоченными. Такие части называют
цепями. Например, вещественная прямая как часть плоскости
с покоординатным порядком является цепью.
Если X — частично упорядоченное множество и Μ С X,
то элемент μ Ε X называется мажорантой множества М,
если га ^ μ для всех га Ε М. Если т — такая мажоранта М, что
га < га для всякой другой мажоранты га множества М, то га
называется точной верхней гранью М. Элемент га Ε X называется
максимальным, если нет такого элемента га/ Ε X, что га ^ ml'.
При этом не требуется, чтобы все элементы X были меньше га.
Например, если χ ^ у лишь при χ = у, то каждый элемент
максимален. Аналогично определяются миноранта, точная нижняя
грань и минимальный (или наименьший) элемент.
Линейно упорядоченное множество X называется вполне
упорядоченным, если всякая непустая часть X имеет минимальный
элемент.

1.1. Линейные пространства и топология
15
Например, множество натуральных чисел с естественным
порядком вполне упорядочено, а множества рациональных и
вещественных чисел — нет.
Аксиоме выбора равносильно следующее утверждение (если
его принять в качестве аксиомы, то теоремой станет аксиома
выбора); доказательство см. в Колмогоров, Фомин [79], Курош [85].
Теорема Цермело. Всякое непустое множество можно
вполне упорядочить.
Приведем еще одно следствие аксиомы выбора (которое также
оказывается ей эквивалентным).
Лемма Цорна (или Куратовского—Цорна). Если всякая
цепь в частично упорядоченном множестве X имеет
мажоранту, то в X есть максимальный элемент.
Напомним, что максимальный элемент не обязан быть
единственным. Приведем пример использования леммы Цорна.
1.1.5. Предложение. Всякое вещественное или
комплексное линейное пространство обладает алгебраическим базисом.
При этом всякие два таких базиса равномощны. Кроме того,
алгебраический базис линейного подпространства можно
дополнить до алгебраического базиса всего пространства.
Доказательство. Считаем, что наше пространство X
содержит ненулевые векторы. Тогда в X имеются системы
алгебраически независимых векторов. Обозначим совокупность всех
таких систем через Λ и введем на Λ следующее отношение
подчиненности: λχ ^ λ2, если λχ С λ2· Ясно, что получено
отношение частичного порядка. Нам надо установить, что в множестве Λ
есть максимальный элемент, т. е. система λ алгебраически
независимых векторов, не являющаяся собственным подмножеством
никакой другой системы независимых векторов. Такая
максимальная система будет базисом, поскольку существование вектора г>,
не представимого в виде линейной комбинации векторов из λ,
означало бы, что система λ U ν тоже независима вопреки
максимальности λ. Существование максимального элемента следует из
леммы Цорна, для применения которой необходимо проверить,
что всякая цепь Ло в Л имеет мажоранту. Иначе говоря, имея
такое множество Ло независимых наборов векторов, что всякие два
набора из них сравнимы (т. е. хотя бы один из двух содержится
в другом), надо найти независимую систему векторов,
содержащую все системы из Ло- В качестве таковой следует взять просто

16
Глава 1. Введение в теорию
объединение Λχ всех систем из Ло- Тот факт, что полученная
система независима, ясен из следующего. Если векторы г>1,... ,г>п
входят в Λχ, то существуют такие системы λχ,...,λη Ε Ло, что
Vi Ε Х{ при г = 1,..., п. Поскольку системы λ^ попарно сравнимы,
среди них есть наибольшая λ^0. Тогда все νι входят в λ^0 и потому
линейно независимы.
Небольшая модификация этого рассуждения позволяет
дополнять алгебраические базисы подпространства до базиса всего
пространства: достаточно брать в качестве элементов Л
независимые системы, содержащие фиксированный базис из данного
подпространства. Кстати, эти рассуждения верны для любого поля.
Наконец, утверждение о равномощности алгебраических
базисов пространства X в случае конечномерного пространства
известно из линейной алгебры. Если же X бесконечномерно и 71
и 72 — два его алгебраических базиса, то мощность 72 не выше
мощности 7ι · В самом деяе^ каждому элементу ν Ε 72 сопоставим
конечное множество элементов S С 7ь через которые он линейно
выражается. Такое конечное множество S сопоставлено не более
чем конечному числу элементов из 72 (не превосходящему
мощности 5, ибо через к векторов нельзя линейно выразить более к
линейно независимых векторов). Значит, мощность 72 не выше
мощности множества конечных подмножеств 7ь которое равно-
мощно 7ι (см· Брудно [24, с. 112]). Итак, мощность 72 не выше
мощности 7ι, причем верно и противоположное неравенство. D
С помощью этого результата линейное отображение Т,
заданное на линейном подпространстве Eq векторного пространства Ε
и принимающее значения в векторном пространстве F, можно
продолжить до линейного отображения всего Ε в F.
Достаточно алгебраический базис в Eq дополнить до базиса всего Е,
положить Τ нулем на дополнительных элементах базиса и затем
доопределить по линейности на всех векторах.
Перейдем теперь к необходимым топологическим понятиям.
Более подробные сведения см. в Александров [7], Александрян,
Мирзаханян [8], Архангельский, Пономарев [10], Богачев, Смо-
лянов [21], Келли [73], Эдварде [185], Энгелькинг [186].
Топологией на множестве X называется семейство τ
подмножеств этого множества, обладающее следующими свойствами:
(i) X,0Gr;
(ii) если Vi, ^2 £ τ, το V\ Π V<i G r;
(iii) объединение всякого набора множеств из τ входит в г.

1.1. Линейные пространства и топология
17
Топологическое пространство есть пара (X, т), где X —
множество, называемое множеством элементов топологического
пространства, τ — топология на X. При этом элементы г называются
открытыми подмножествами топологического пространства X.
Подмножество топологического пространства называется
замкнутым, если его дополнение открыто. Топологию в X можно
задать также введением класса Τ всех замкнутых множеств,
который должен удовлетворять следующим условиям:
(i)X,0e^;
(и) если Fu F2 е Τ, то Fx U F2 G T\
(iii) пересечение всякого набора множеств из Τ входит в Т.
Важный подкласс класса топологических пространств
образуют метрические пространства. Хотя небольшое знакомство
с ними мы предполагаем, но напомним, что метрическое
пространство (М, d) есть множество М, для которого задана
функция d: МхМ —> [0,+оо), называемая метрикой и
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) d(a, b) = d(b, a), причем d(a, b) = 0 лишь при a = Ь,
(ii) d(a,c) < d(a, b) + d(b, с) (неравенство треугольника).
Линейное пространство с нормой || · || (нормированное
пространство) является метрическим с метрикой d(x,y) = ||ж — у||.
Пусть α Ε Μ и г > 0. Множество
К(а,г) := {х в М: d(x,a)<r}
называется открытым шаром с центром в α и радиусом г.
Если открытыми в Μ объявить пустое множество и всевозможные
объединения открытых шаров (с произвольными центрами и
радиусами), то получится топологическое пространство (несложная
проверка оставляется в качестве упражнения). При этом
открытый шар будет и открытым множеством (что легко проверить
с помощью неравенства треугольника). Замкнутым шаром с
центром в α и радиусом г называется множество
К (а, г) := {х е М: d(x,a)^r}
Топологическое пространство называется метризуемым, если его
топология получается указанным образом из какой-либо метрики
на нем. Разные метрики могут порождать одну и ту же
топологию. Например, обычная метрика на прямой порождает ту же
топологию, что и ограниченная метрика d(x,y) = min(l, \x — у\).
Ниже встретятся многочисленные примеры неметризуемых
пространств, поэтому мы не будем приводить искусственные
примеры такого рода. Дискретная топология на X есть τ = 2Х.

18
Глава 1. Введение в теорию
Понятие полного метрического пространства считаем
известным (оно напоминается в § 1.7).
Псевдометрикой на множестве Μ называется всякая
функция ρ: МхМ —> [0, оо) со следующими свойствами:
(1) в(х,х) = 0;
(2) g(x,y) = g(y,x)\
(3) g(x,y) < Q(x,z) + Q(z,y).
Если неравенство треугольника (3) записать в виде
(З7) g(x,y) < Q(x,z) + g(y,z),
то условия (2) и (3) вместе будут равносильны паре условий (2)
и (З7), но (2) будет следовать из (1) и (З7) с помощью замены в (З7)
буквы ζ на букву х.
Псевдометрика ρ на множестве Μ порождает топологию на
этом множестве совершенно также, как и метрика: множество
V С Μ называется открытым в топологии, порожденной
псевдометрикой £, если для всякого χ Ε V есть такое ε > 0, что
выполнено включение {ζ: ρ(ζ,χ) < ε} С V. Кроме того, псевдометрика
порождает метрику на множестве классов эквивалентности, если
положить χ ~ у при d(x, у) = 0.
Всякое подмножество Хо топологического пространства X
само оказывается топологическим пространством, если открытыми
в Хо объявить множества вида С/ПХо, где U открыто в X.
Разумеется, такие множества не обязаны быть открытыми в X (если
само Хо не было открыто в X). Указанная топология на Хо
называется индуцированной.
Открытой окрестностью точки χ называют всякое
открытое множество, содержащее х. Иногда полезно привлекать более
широкое понятие окрестности точки (необязательно открытой!)
как множества, содержащего некоторую открытую окрестность
данной точки.
Базой топологии называют любой набор открытых множеств
с тем свойством, что всевозможные объединения элементов этого
набора дают уже все непустые открытые множества.
Базой топологии в точке χ или фундаментальной системой
окрестностей точки χ называют любой набор открытых
окрестностей точки χ с тем свойством, что всякая окрестность χ
содержит какой-то элемент этого набора. Иногда по аналогии с
окрестностями используют базы необязательно открытых окрестностей.
Предбазой окрестностей точки топологического пространства
называют семейство окрестностей этой точки, конечные
пересечения элементов которого образуют базу ее окрестностей.

1.1. Линейные пространства и топология
19
Точку χ в топологическом пространстве X называют
предельной точкой множества А С X, если во всякой ее окрестности есть
точки из А, отличные от х. Если же всякая окрестность χ
пересекается с А, то χ называют точкой прикосновения А. Замыкание А
множества А (пересечение всех замкнутых множеств,
содержащих А) есть множество всех его точек прикосновения. Точки А,
не являющиеся предельными, называют изолированными.
Если X = А, то А называют всюду плотным в X. Если в X
есть не более чем счетное всюду плотное множество, то X
называют сепарабельным.
Если дан набор непустых топологических пространств Xt, где
t Ε Τ, то произведение Пгет ^t наделяется тихоновской
топологией произведения, в которой открытыми объявляются
всевозможные объединения множеств вида Пгет^> гДе кажД°е Ut
открыто в Xt, но лишь для конечного числа индексов t множество
Ut отлично от Xt. См. задачу 2.10.26 о ящичной топологии.
Отображение /: X —> Υ топологических пространств
называется непрерывным, если для каждого открытого множества V
в пространстве Υ множество f~l(V) открыто в X.
Непрерывность в отдельной точке хо Ε X определяется так: для всякого
открытого множества V, содержащего точку /(жо)? существует
такое открытое множество U, содержащее хо, что f(U) С V.
Непрерывность / равносильна непрерывности в каждой
точке. В самом деле, если / непрерывно и V Э f(xo) открыто, то
U = f~l(V) открыто, хо G U и f(U) С V. Обратно, пусть /
непрерывно в каждой точке χ и V С Υ открыто. Для каждой точки
χ Ε U := f~l{V) найдется такое открытое множество Ux Э х, что
f(Ux) С V. Тогда множество W := \^}хец Ux открыто. Так как
/(V) С V и U С W, то W = U.
Если X и Υ — топологические пространства, то отображение
F: X —> Υ называется гомеоморфизмом, если оно взаимно
однозначно, F(X) = Υ и оба отображения F и F~l непрерывны;
тогда ΧπΥ называют гомеоморфными.
Введем свойства отделимости. Топологическое пространство
(Χ, τ) называют колмогоровским или То-пространством, если для
всяких двух разных его точек найдется открытое множество,
содержащее ровно одну из них; (X, т) называют Т\-пространством,
если для всяких двух разных точек а,Ъ из X есть такие
множества А, В Ε т, что аеА\ВиЬеВ\А; (X, т) называют
хаусдорфовым или отделимым (или Т2-пространством), если для

20
Глава 1. Введение в теорию
всяких двух разных точек а,Ь G X есть такие открытые
множества А, В G т, что А П В = 0, a Ε А, Ъ Ε -В; регулярным
(или Тз-пространством) называют ΤΊ-пространство, каждая
точка которого обладает базой замкнутых окрестностей. В
отделимом пространстве точка замкнута. Вполне регулярным называют
пространство со следующим свойством: для всяких замкнутого
множества F С X и точки χ £ F есть такая непрерывная
функция д: X —> [0,1], что д(х) = 0 и д = 1 на F. Тихоновским
(или Tsi-пространством) называют отделимое вполне
регулярное пространство. Если псевдометрика не является метрикой, то
порождаемая ею топология неотделима. Мы увидим ниже, что
топологические векторные пространства вполне регулярны.
Покрытием множества называется любой набор множеств,
объединение которых его содержит.
1.1.6. Определение. Подмножество топологического
пространства X называется компактным или компактом, если
из всякого его покрытия открытыми множествами можно
извлечь конечное подпокрытие. Если это верно для всего X, то X
называется компактом или компактным пространством.
Топологическое пространство называется локально
компактным, если каждая его точка обладает фундаментальной системой
окрестностей, состоящей из компактных множеств.
Подмножество топологического пространства называется
относительно компактным, если его замыкание компактно. Это
равносильно тому, что данное подмножество лежит в компакте.
Топологическое пространство называется связным, если его
нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся
непустых открытых множеств, или, что то же самое, если его
нельзя представить в виде объединения двух непересекающихся
непустых замкнутых множеств.
Полезными инструментами для работы с топологическими
пространствами являются понятия направленности и фильтра.
Для удобства читателя мы коротко расскажем об этих понятиях,
которые иногда используются ниже.
1.1.7. Определение. Частично упорядоченное
множество Τ называется направленным, если для всяких двух
элементов t,s Ε Τ найдется такой элемент τ еТ, что t < τ и s < т.
Направленностью в данном множестве X называется
семейство {xt}teT его элементов, индексируемое каким-либо
направленным множеством Т.

1.1. Линейные пространства и топология
21
Например, направленными множествами являются плоскость
с лексикографическим порядком и множество окрестностей
данной точки в топологическом пространстве, частично
упорядоченное по обратному включению. Множество всех непустых
открытых подмножеств прямой, частично упорядоченное по обратному
включению, не является направленным (два дизъюнктных
открытых множества не имеют общей мажоранты).
1.1.8. Определение. Направленность {xt}ter в
топологическом пространстве X сходится к точке х, если для всякой
окрестности U точки χ найдется такой индекс τ е Т, что
xt G С/ при t ^ т.
Отметим, что при этом множество таких ί G Τ, что xt 0 U',
может быть бесконечным. Поэтому даже для счетных множеств
Τ сходимость направленностей не сводится к сходимости
последовательностей. Например, если на IN ввести порядок, при котором
все нечетные числа меньше 2, а на четных и нечетных числах
отдельно сохраняется обычный порядок, то мы получим
направленное счетное множество; направленность {жп}, для которой хп = О
при четных η и хп = 1 при нечетных п, сходится к нулю. Можно
привести пример сходящейся счетной направленности в
топологическом пространстве, из которой нельзя извлечь сходящуюся
подпоследовательность (задача 1.12.26).
Если Ъ — точка прикосновения множества А, то найдется
направленность {at} элементов А, сходящаяся к Ъ. В самом деле,
пусть Τ — совокупность всех окрестностей Ь, частично
упорядоченная по обратному включению. В каждой такой окрестности t
по условию есть точка at G А. Полученная направленность
сходится к Ь, ибо для всякой фиксированной окрестности г G Τ мы
имеем at G t С т при t ^ т.
1.1.9. Определение. Фильтром в множестве X
называется всякое непустое множество Φ непустых подмножеств X,
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) если А,В G Ф, то АПВ еФ,
(и) если ВеФиВсС,тоСеФ.
Базисом (базой) фильтра β множестве X называется всякое
такое непустое множество В непустых подмножеств в X, что
выполнено условие: для всяких В\,Въ G В найдется В% G В, для
которого Вз С В\ Π Β<ι.
Фильтр Φ мажорируется фильтром Ф, если ФсФ.
Базис фильтра — цельный термин (фильтра может и не быть).

22
Глава 1. Введение в теорию
Среди всех фильтров, содержащих данный базис фильтра #,
существует (единственный) минимальный фильтр Ф#, который
называется фильтром, порожденным базисом фильтра В. При
этом В называется базисом фильтра Ф#. Минимальным
фильтром является пересечение всех фильтров, содержащих В (такие
существуют, например, класс всех множеств, содержащих хотя
бы одно множество из В). Если τ — топология на множестве X
и χ G X, то множество всех (необязательно открытых)
окрестностей точки χ является фильтром в X, называемым фильтром
окрестностей этой точки относительно τ и обозначаемым
символом Ф£. Таким образом, фундаментальная система окрестностей
нуля есть базис фильтра всех окрестностей нуля.
1.1.10. Определение. Фильтр в X называется сходящимся
к точке χ в топологии τ, если он мажорирует фильтр
окрестностей этой точки.
Максимальные элементы системы всех фильтров на
множестве X, частично упорядоченной отношением мажорирования по
включению, называются ультрафильтрами на X. Из аксиомы
выбора несложно вывести, что каждый фильтр на X
мажорируется некоторым ультрафильтром на X. Фильтр Φ на X является
ультрафильтром, в точности тогда, когда из того, что АиВ = X
и А £ Ф, вытекает, что В Ε Φ. В качестве простейшего
примера применения фильтров приведем следующие утверждения,
проверку которых оставим в качестве упражнения.
1.1.11. Предложение. Отображение f топологических
пространств непрерывно в точке χ в точности тогда, когда
для каждого сходящегося к χ фильтра Φ порожденный базисом
фильтра /(Ф) фильтр сходится к f(x).
Отметим, что образ фильтра может не быть фильтром, но
всегда является базисом фильтра.
1.1.12. Предложение. Подмножество топологического
пространства является компактным тогда и только тогда,
когда всякий содержащий его ультрафильтр сходится к
некоторому элементу этого подмножества.
1.2. Основные определения
Здесь приведены основные определения, связанные с
топологическими векторными пространствами, и доказаны некоторые
простейшие факты, а примеры будут рассмотрены в следующем

1.2. Основные определения
23
параграфе. Хотя поле К у нас обычно IR или С (реже
недискретное нормированное), дадим общее определение.
1.2.1. Определение. Топологическим векторным
пространством над топологическим полем К называется
векторное пространство Ε над К, наделенное топологией,
относительно которой непрерывны следующие два отображения, где
ЕхЕ иКхЕ наделены произведениями соответствующих
топологий: 1) (х\,Х2) ·—> х\ +Х2, ЕхЕ —> Ε (сложение векторов),
2) (к,х) ·—> кх, КхЕ —> Ε (умножение векторов на скаляры).
Такая топология на Ε называется согласующейся со
структурой векторного пространства. Топологическое векторное
пространство Ε с топологией τ обозначают символом (Ε,τ).
Заметим, что в определении топологического поля требуются эти же
условия с К вместо Ε и непрерывность k \—> k~l вне нуля.
Два топологических векторных пространства над одним и
тем же полем называются изоморфными, если существует такое
непрерывное линейное взаимно однозначное отображение одного
из них на другое, что обратное отображение также непрерывно.
Размерностью топологического векторного пространства (Ε, τ)
называется размерность векторного пространства Е.
Из непрерывности отображения 1) вытекает, что топология
всякого топологического векторного пространства (£?, т)
инвариантна относительно сдвигов (т. е. что для каждого a Ε Ε
отображение χ ι—> χ + а представляет собой гомеоморфизм Ε на себя);
поэтому топология топологического векторного пространства
может быть восстановлена, если известна какая-нибудь
фундаментальная система окрестностей нуля.
Если U — база окрестностей нуля и a Ε Е, то совокупность
множеств вида а + V, где V Ε W, образует базу окрестностей
точки а. Таким образом, для задания топологии
топологического векторного пространства достаточно задать какую-либо базу
окрестностей нуля; именно так обычно и делается в
большинстве применений теории топологических векторных пространств.
Однако далеко не каждая система подмножеств векторного
пространства может служить базой окрестностей нуля топологии,
согласующейся со структурой векторного пространства;
достаточные для этого условия содержатся в предложении 1.2.7.
Прежде чем переходить к этому предложению, полезно
привести утверждение, согласно которому среди фундаментальных
систем окрестностей нуля в топологическом векторном
пространстве всегда есть системы с особенно хорошими свойствами.

24
Глава 1. Введение в теорию
1.2.2. Предложение, (а) Всякая базаЫ окрестностей нуля
топологического векторного пространства обладает
следующими свойствами:
(1) для всякого VΕ U существует такое множество WeU,
что W + W С V;
(2) каждое V Ε U — поглощающее множество.
(б) Во всяком топологическом векторном пространстве
существует база Uq окрестностей нуля, обладающая таксисе
следующими свойствами:
(3) каждое V Ε Uo — закругленное замкнутое множество;
(4) если V Ε Uo, то kV Ε Uq для всякого k eK, к фО.
Доказательство. Пусть U — база окрестностей нуля
топологического векторного пространства Е. Из того, что
отображение {х\,Х2) ·—► Χι + χ<ι, Ε χ Ε —> Ε непрерывно в точке (0,0)
в силу аксиомы 1, следует, что U обладает свойством (1). Далее,
по аксиоме 2 для всякого а £ Ε отображение к ·—> ка, К —> Ε
непрерывно в точке 0 Ε К; поэтому если V — окрестность нуля
в Ε и χ Ε Е, то существует такое ε > 0, что кх Ε V при |/с| < ε,
так что произвольная окрестность нуля V в Ε — поглощающее
множество. Это значит, что U обладает свойством (2). Тем самым
часть (а) предложения доказана.
Для доказательства части (б) достаточно показать, что
множество Uq всех замкнутых закругленных окрестностей нуля в Ε
есть база окрестностей нуля в Е, ибо свойства (3) и (4) легко
проверить. В самом деле, из определения множества Uo ясно, что оно
обладает свойством (3). Из того, что в силу аксиомы 2 при
каждом фиксированном ненулевом fcGK отображение χ ·—> кх
является линейным гомеоморфизмом Ε на Е, следует, что если V —
окрестность нуля в Е, то и kV (к Ε К, к φ 0) — окрестность нуля,
причем если множество V замкнуто и закруглено, то и kV таково
же, так что Uo обладает и свойством (4). Для проверки того, что
Uo — база окрестностей нуля в Е, покажем, что каждая
окрестность нуля в Ε содержит замкнутую закругленную окрестность
нуля. Пусть W — произвольная окрестность нуля в Е. В силу
непрерывности в нуле отображения {х\,Х2) |—> χι — #2, ЕхЕ —> Е,
вытекающей из аксиом 1 и 2, есть такая окрестность нуля W\,
что W\ — W\ С W. Покажем, что W\ С W. Для этого
проверим, что если χ <£ W, то χ <£ W\. Множество χ + W\
представляет собой окрестность точки ж, не пересекающуюся с W\ (если
ζ Ε WiC\(x + Wi), то ζ = х + у, у Ε W\ и χ = z-y Ε W\-W\ С W,

1.2. Основные определения
25
в то время как χ £ W). Существование такой окрестности и
означает, что χ fi W\. Далее, в силу непрерывности отображения
(/с, χ) ι—> кх, К χ Ε —> Ев точке (0,0) существуют ε > 0 и
окрестность нуля И^2 в Ε такие, что если \к\ < ε и χ Ε И^2, то
кх Ε Wi; поэтому множество Ws = Uifcke^^2 является
закругленной окрестностью нуля в Е, содержащейся в W\ (то, что Ws —
окрестность нуля, вытекает из того, что ввиду недискретности К
существует к φ 0, для которого \к\ < ε). Замыкание
закругленного множества — закругленное множество (если \к\ ^ 1 и G —
закругленное множество, то kG С G, значит, kG С kG С G
(если к φ 0, то kG = kG); поэтому Ws — замкнутая закругленная
окрестность нуля, причем Ws С W\ С W. D
1.2.3. Замечание, (i) При доказательстве фактически
установлено, что множество замыканий всевозможных множеств из
некоторой базы окрестностей нуля топологического векторного
пространства снова является базой окрестностей нуля (в
действительности это верно для произвольной топологической группы).
(ii) Было также доказано, что всякая окрестность нуля в
топологическом векторном пространстве — поглощающее множество;
этот факт постоянно будет использоваться в дальнейшем.
(Hi) Предложение 1.2.2 остается справедливым, если в его
формулировке в части (б) слово «замкнутое» заменить словом
«открытое»: иначе говоря, во всяком топологическом векторном
пространстве существует база U окрестностей нуля,
обладающая свойствами (1) и (4) и следующим свойством (З7): каждое
V Ε U — закругленное поглощающее открытое множество.
Доказательство в основном совпадает с доказательством
предложения 1.2.2, но несколько проще. Как и выше, проверяется, что в Ε
существует база из открытых закругленных множеств.
Существование такой базы вытекает из того, что для каждой окрестности
нуля W С Ε существуют ε > 0 и открытая окрестность нуля
W\ такие, что если к Ε К, \к\ < ε и χ Ε W\, то кх Ε W;
поэтому множество W2 = Uifcke^^i — содержащаяся в W открытая
закругленная окрестность нуля.
1.2.4. Следствие. Каждая точка топологического
векторного пространства обладает базой окрестностей, состоящей из
замкнутых множеств (т. е. всякое топологическое векторное
пространство является регулярным топологическим
пространством, как, впрочем, и произвольная топологическая группа).'

26
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Действительно, если U — база замкнутых
окрестностей нуля, то a + U — база замкнутых окрестностей
точки а для всякого a. D
1.2.5. Следствие. Топологическое векторное пространство
является Т^-пространством (и тем самым хаусдорфовым)
тогда и только тогда, когда оно является Т^-пространством.
Доказательство. В силу предыдущего следствия и в
соответствии с определением Тз-пространства следует показать, что
в данном пространстве Ε выполняется аксиома Т\. Пусть даны
&ъ а2 G Е\ так как аксиома То по предположению выполнена,
то для одной из этих точек — пусть это будет αϊ — существует
окрестность нуля W такая, что αϊ + W $ а^ но тогда a2 — W $ αϊ,
ибо в противном случае для некоторого ζ eW имеем α<ι = z + a\,
т.е. α2 G αϊ + W. Таким образом, a2~W — окрестность точки а2,
не содержащая αχ. Π
На самом деле верно большее: отделимое топологическое
векторное пространство вполне регулярно, что будет установлено
в §1.6.
1.2.6. Следствие. Чтобы топологическое векторное
пространство было отделимым, необходимо и достаточно, чтобы
пересечение всех его окрестностей нуля содержало ровно один
элемент — нулевой элемент этого пространства.
Доказательство. Достаточность вытекает из предыдущего
следствия; необходимость очевидна. D
1.2.7. Предложение. Пусть В — базис фильтра в
векторном пространстве Е, состоящий из закругленных множеств
и обладающий свойствами {аналогичными свойствам 1, 2, 4 из
предложения 1.2.2):
(I)7 для всякого V G В есть такое W G В, что W + W CV;
(2)' каждое V G В — поглощающее множество;
(4/ если V G #, то kV G В для всякого k eK, к φ 0.
Тогда в Ε существует единственная топология,
согласующаяся со структурой векторного пространства, для которой В
является базой окрестностей нуля (необязательно замкнутых
или открытых).
Доказательство. Пусть τ — семейство подмножеств Е,
определяемое так: V G τ в точности тогда, когда для всякого a GV
существует такое множество W из #, что а + W С V. Тогда

1.2. Основные определения
27
г — топология в Е. Действительно, включения 0 G г и Ε G г
и замкнутость г относительно образования произвольных
объединений непосредственно вытекают из определения т. Покажем,
что τ замкнуто относительно образования конечных пересечений.
Пусть Vi, V2 G τ; надо показать, что Vi Π V2 G г. Пусть α G V\ Π V2·
Значит, существуют такие множества Wi, И^2 £ #, что a+W; с V;,
г = 1,2. Тогда a + (Wi Π И^) С V\ Π V<2. Следовательно, если
W3 С Wi Π И^2, Ws G β (такое W3 существует, поскольку β —
базис фильтра), то а + W3 С Vi П V2.
Покажем, что топология г согласуется со структурой
векторного пространства в Е. Сначала покажем, что В — база
окрестностей нуля топологии т. По определению топологии т, если V —
открытая окрестность нуля в т, то существует множество W G В
такое, что W С V\ поэтому достаточно показать, что каждое
множество, являющееся элементом β, представляет собой
окрестность нуля в топологии т. Итак, пусть W G В. Обозначим через
W0 множество, определяемое так: χ G W° в том и только том слу-'
чае, если существует такое множество W\ G #, что χ + W\ С W.
Так как нулевой элемент пространства Ε содержится в каждом из
множеств системы В (в силу их закругленности), то О G W0 С W.
Покажем теперь, что W0 открыто в топологии т; это и будет
означать, что W — окрестность нуля в этой топологии.
Достаточно для каждого a G W0 найти такое W2 G #, что а + W2 С W0.
Пусть a G W0. Тогда по определению W0 существует такое
множество W\ G β, что а + W\ G W; в силу свойства (1) существует
такое W2 G В, что W2 + W2 С W\, т.е. (a + W2) + W2 С W. Это
и значит, что а + W2 С W0.
Далее, так как ввиду самого ее определения топология τ
инвариантна относительно сдвигов, то для каждого a G Ε
совокупность множеств вида а+V, где V G Л?, образует базу окрестностей
точки а. Поэтому для доказательства непрерывности в τ
операции сложения (т.е. выполнения аксиомы 1 определения 1.2.1)
достаточно показать, что если а = х\ + х2, W G Л?, то существует
такое множество W\ G β, что
(χι + Wi) + (я?2 + Wi) С a + W.
В силу аксиомы 1 существует такое Wi, что Wi + Wi С W; для
этого W\ выполняется и нужное соотношение.
Перейдем к доказательству непрерывности операции
умножения (т.е. выполнения аксиомы 2 из определения 1.2.1). Пусть
даны а е Е, к еК и W е В. Требуется доказать существование

28
Глава 1. Введение в теорию
таких W\ G В и ε > О, что если а\ G α + W\ и \к\ — к\ < ε, то
к\а\ G ка + W. Так как операция сложения, как только что
доказано, непрерывна, то существует такое множество W2 £ β, что
И^2 + И^2 + W2 С W. Поскольку справедливо равенство
к\а\ — ка = (к\ — к)а + (к\ — к) (αχ — а) + Α; (αϊ — α),
то требуемыми свойствами будут обладать множество W\ и число
ε > 0, для которых из включения αϊ G α + V^i и неравенства
\к\ — к\ < ε будет следовать, что
(кг - к)а G W2l (h - к)(αχ - а) е W2, к(аг - а) е W2.
Поскольку множество W2 G В — закругленное, то из соотношений
\к\ — к\ < 1, αϊ — α G W2 следует, что (к\ — k)(ai — α) G W2\ так как
множество W2 поглощающее, то существует ε\ G (0,1) такое, что
(к\ — к)а G W2 при \к\ — к\ < ε\. Наконец, если к = 0, то можно
взять W\ = W2\ если же к φ 0, то найдем окрестность W\ G В
такую, что W\ С W2 Π k~lW2. Таким образом, в обоих случаях
W\ G #, в то же время из включения αϊ — α G W\ вытекает, что
к (αϊ — α) G W2. Поэтому можно положить ε = ε\.
Проверим единственность упомянутой топологии. Пусть t —
еще одна топология в Е, согласующаяся со структурой
векторного пространства, для которой В служит базой окрестностей нуля.
Тогда все множества вида χ + W, где χ G Ε и W G #, образуют
базу обеих топологий, откуда t = т. D
1.2.8. Замечание. Из предпоследнего абзаца этого
доказательства вытекает, что требование (4)' доказанного предложения
можно заменить следующим более слабым требованием: для
всякого s G К \ {0} и всякого V G В существует такое множество
V\ G β, что Vi С sV. Однако для случая, когда Q С К С С, это
последнее требование является следствием аксиомы 1 и
закругленности множеств, являющихся элементами В. Действительно,
из аксиомы 1 вытекает, что каковы бы ни были натуральное
число η и множество W G Л?, существует V G В такое, что
2nV С V + V + · · · + V С W,
N ν '
2праз
т.е. что У С 2~nW. Значит, если заданы ε > 0 и W е В, а
число η G IN таково, что 2_η < ε, то существует такое V £ В, что
У С 2~nW С εΗ^ (последнее включение вытекает из
закругленности множества W). Таким образом, если К С С, то для
справедливости заключения предложения выше достаточно потребовать,

1.2. Основные определения
29
чтобы В было базисом фильтра в Е, обладающим свойствами (1)
и (2) и состоящим из закругленных множеств.
1.2.9. Следствие. Пусть Ε — векторное пространство над
полем К, τ — инвариантная относительно сдвигов топология
в Е, обладающая базисом В окрестностей нуля, состоящим из
закругленных множеств и имеющим свойства (1)'; (2)'; (4)' из
предложения 1.2.7 (а в случае, когда К С С, — только свойства
(1) и (2)). Тогда г согласуется со структурой векторного
пространства в Е.
Доказательство. В силу предложения 1.2.7 и
предыдущего замечания в данном случае в Ε существует согласующаяся со
структурой векторного пространства топология τχ, для которой
В является базой окрестностей нуля. Так как т\ инвариантна
относительно сдвигов, то τ = τχ. D
Среди топологических векторных пространств над полями
вещественных и комплексных чисел наиболее важный для
приложений класс образуют локально выпуклые пространства,
определение которых сейчас будет приведено.
Отметим, что замыкание А выпуклого подмножества А в
топологическом векторном пространстве выпукло, ибо в силу
непрерывности операций векторного пространства мы имеем
ТА + (1 - t)A с ТА + (l-t)A с tA + (l -t)A с А.
Далее, выпуклая оболочка convW открытого множества W —
снова открытое множество: это следует из того, что conv W —
объединение всевозможных множеств вида ΣΊς=ι akW, где η Ε IN,
ak ^ 0? ]Cfc=i ak — 1? каждое из которых открыто в силу
непрерывности операций сложения и умножения на скаляр.
Кроме того, внутренность А выпуклого подмножества А в
топологическом векторном пространстве Ε выпукла.
Действительно, если а, Ъ Ε А, то А — окрестность точек а и Ь, а множество
tA + (1 — t)A — содержащаяся в А открытая окрестность точки
ta+ (1 — t)b для каждого t Ε [0,1] (см. также предложение 1.4.2).
1.2.10. Определение. Локально выпуклым топологическим
векторным пространством называется топологическое
векторное пространство над полем вещественных или комплексных
чисел, обладающее базой окрестностей нуля, состоящей из
выпуклых множеств.

30
Глава 1. Введение в теорию
Вместо слов «локально выпуклое топологическое векторное
пространство» обычно употребляются слова локально выпуклое
пространство или аббревиатура ЛВП. Топология τ в векторном
пространстве Ε (над IR или С) называется локально выпуклой,
если пространство (Е, т) является локально выпуклым. Часто
в определение локально выпуклого пространства включают
требование его хаусдорфовости, но мы не делаем этого, хотя в
большинстве результатов речь идет об отделимых пространствах.
1.2.11. Предложение. Пусть К = IR или К = С.
(i) Во всяком локально выпуклом пространстве Ε над К
существует база окрестностей нуля, состоящая из замкнутых
закругленных выпуклых поглощающих множеств и
инвариантная относительно умножений на ненулевые числа из К.
(и) Если г — топология в векторном пространстве Ε
над К, инвариантная относительно сдвигов и обладающая
базой окрестностей нуля, состоящей из закругленных выпуклых
поглощающих множеств и содержащей вместе с каждым
множеством V множество 2~lV', то Ε — локально выпуклое
пространство.
(Hi) Если В — базис фильтра в векторном пространстве
над К, состоящий из закругленных выпуклых поглощающих
множеств и содержащий вместе с каждым множеством V
множество 2~lV', то в Ε существует, причем только одна,
топология, превращающая Ε в локально выпуклое пространство, для
которой В является базой окрестностей нуля.
Доказательство. Если В — некоторая база окрестностей
нуля в Е, состоящая из выпуклых множеств, то каждое из
множеств Wy = V n(—V), где V Ε В, — выпуклая закругленная
окрестность нуля в Ε в случае К = К; в случае же К = С
выпуклой закругленной окрестностью Wy С V (для V Ε В) будет
Wy = Пы=1 ZV (эт0 действительно окрестность, так как
существуют такая окрестность U и такое ε > 0, что kU С V при
\к\ < ε, откуда eU С Wy). В обоих этих случаях совокупность
всех множеств Wy образует базу окрестностей нуля в Е\ в силу
замечания 1.2.3 это же верно и для совокупности В их замыканий,
которые к тому же снова выпуклы и закруглены. Поэтому
семейство всех множеств вида kV, где V Ε В, к Ε К, к φ 0, образует
базу окрестностей нуля в Е, существование которой утверждается
в первой части доказываемого предложения (как уже отмечалось,
каждая окрестность нуля является поглощающим множеством).

1.3. Примеры
31
Оставшиеся две части предложения вытекают из
предложения 1.2.7 и следствия 1.2.9. Достаточно проверить, что для
множеств #, о которых говорится в этих частях, выполняется
свойство (1) из предложения 1.2.7. Пусть V е В. Тогда 2~lV G В.
В силу выпуклости V имеем 2~lV + 2~lV = V. D
1.2.12. Замечание. Аналогично можно доказать, что во
всяком локально выпуклом пространстве есть база окрестностей
нуля, состоящая из открытых закругленных выпуклых
поглощающих множеств и инвариантная относительно умножения на
ненулевые числа из К. Сделаем это. Пусть int A — внутренность А.
Если V — выпуклая окрестность нуля и W —
содержащаяся в V открытая окрестность нуля, то ее выпуклая оболочка
conv W открыта и содержится в V в силу выпуклости V. Так как
W С conv W, то conv W — открытая выпуклая окрестность нуля,
содержащаяся в У, а множество Wq = conv W Π (— conv W) в
вещественном случае и множество W$ = int Пы=1 conv (zW) в
комплексном случае — открытая выпуклая закругленная окрестность
нуля (заметим, что существуют такие ε > 0 и открытая
окрестность нуля И7!, что из к Ε С, \к\ ^ ε следует kW\ С W; отсюда
eW\ С Wo), причем и Wq С V. Поэтому множество Uq всех таких
окрестностей нуля образует базу окрестностей нуля; то же верно,
и для семейства всех множеств вида fcV, где к Ε К, к Φ О, V Ε Uq.
1.3. Примеры
Здесь собрана обширная коллекция модельных примеров.
1.3.1. Пример. Всякое алгебраическое поле К есть
одномерное векторное пространство над К относительно имеющихся в К
операций сложения и умножения; это одномерное над К
векторное пространство обозначают через К1. Если при этом К —
топологическое поле относительно топологии г, то К1 — одномерное
топологическое векторное пространство над К относительно той
же топологии; его обозначают тем же символом К1 или К.
1.3.2. Пример. Пусть К — произвольное топологическое
поле, Τ — непустое множество и Кт — векторное пространство
над К, представляющее собой произведение Τ экземпляров К,
наделенное топологией произведения; тем самым Кт есть
множество всех функций χ: Т-^Кс топологией поточечной
сходимости, база которой состоит из множеств
UXoju...,tny = {х: x(U) - Xo(U) е V, г = 1,..., п},

32
Глава 1. Введение в теорию
где t{ Ε Τ, У — окрестность нуля в К. Тогда Кт — топологическое
векторное пространство. Более общим образом, произведение
любого множества топологических векторных пространств над
полем К снова является топологическим векторным пространством
над К относительно произведения топологий сомножителей.
При Τ = IN получим IR°° — пространство всех вещественных
последовательностей с топологией покоординатной сходимости;
ее можно задать метрикой d(x,y) = Σ™=ι 2_n min(|xn — yn|, 1),
где χ = (xn), у = (yn).
1.3.3. Пример. Если топология топологического поля К
дискретна, то всякое векторное пространство Ε над К, наделенное
топологией, согласующейся со структурой его аддитивной
группы (это означает, что непрерывно отображение (х\,Х2) |—> χι~χ2·>
Ε χ Ε —> Ε) и инвариантной относительно операции умножения
на ненулевые элементы из К, является топологическим
векторным пространством над К (в частности, этим условиям
удовлетворяет дискретная топология на Е). Топологические векторные
пространства над полями, обладающими дискретной топологией,
называются топологическими векторными группами.
Далее считаем, что поле К недискретно. В большинстве
примеров К = IR или К = С.
1.3.4. Пример. Пусть Ε — векторное пространство над
недискретным нормированным полем К, V — некоторое множество
полунорм на Е. Открытым шаром радиуса г > 0 с центром
в нуле относительно полунормы ρ на, Ε называется множество
{х е Е: р(х) < г}. Множество пересечений всевозможных
конечных семейств открытых шаров положительных радиусов
относительно полунорм, принадлежащих множеству Р, образуют базу
окрестностей нуля некоторой топологии τ-p в Е,
согласующейся со структурой векторного пространства; говорят, что эта
топология задается (или определяется) семейством полунорм V.
Таким образом, само множество открытых шаров всевозможных
положительных радиусов (по всевозможным полунормам)
образует предбазу окрестностей нуля топологии τ-ρ. Отметим, что все
полунормы из V непрерывны в этой топологии. Если К = IR
или К = С, то топология т-р локально выпукла, так как
множества {х: р(х) < г} выпуклы; в §1.4 показано, что топология
всякого локально выпуклого пространства (над IR или С)
задается некоторым набором полунорм. Топологическое векторное
пространство называется нормируемым, если его топология может

1.3. Примеры
33
быть задана одной нормой. Банаховым называют нормированное
пространство, полное с метрикой, порожденной нормой (понятие
полноты напоминается в § 1.7). Критерий нормируемости
топологического векторного пространства над IR или над С
(принадлежащий А.Н. Колмогорову) будет приведен в § 1.5.
1.3.5. Пример. Пусть η Ε IN. Топология в Кп определяется
нормой, задаваемой равенством ||(χχ,... ,жп)|| = ma-χ^ι,...,η \xi\-,
где символ | · | обозначает норму в К. Мы могли бы здесь взять
Y^Ji—i \х%\ или (Σ!Γ=ι 1жг|2) ? но далее нам понадобится тот факт,
что множество значений нормы maxi=iv..,n \xi\ совпадает с
множеством значений нормы к \—> \к\. В §1.5 будет доказано, что
если поле К полно, то всякое n-мерное отделимое
топологическое векторное пространство над К изоморфно пространству Кп
(при η = 1 это верно и без предположения о полноте К), причем
если поле К локально компактно, то отделимое топологическое
векторное пространство над К конечномерно в точности тогда,
когда оно обладает предкомпактной окрестностью нуля.
Сказанное в первой части последней фразы означает, что в п-мерном
вещественном или комплексном топологическом векторном
пространстве существует ровно одна отделимая топология,
согласующаяся со структурой векторного пространства; эта топология
далее будет называться стандартной.
1.3.6. Пример. Пусть Q — поле рациональных чисел (с его
обычной топологией, задаваемой нормой, равной модулю числа),
а — иррациональное вещественное число. Лежащее в IR
множество {aqi+q2 '· Qi-, 42 £ Q} с топологией, индуцированной обычной
топологией прямой, представляет собой двумерное
топологическое векторное пространство над Q, неизоморфное
топологическому векторному пространству Q2 (задача 1.12.25).
1.3.7. Определение. Псевдонормой на векторном
пространстве Ε называют функцию ρ: Ε —> [0, оо) с свойствами
(1) р(0) = 0, (2) р(-х)=р(х), (3) р(хг +х2) < ρ(χι)+ρ(χ2)..
Псевдонорма называется невырожденной, еслир(х) = 0 лишь
при χ = 0.
Отметим, что наше определение отличается от
приведенного в книге Шефера [174], где требуются еще невырожденность
и оценка р(Хх) < р(х) при |λ| ^ 1. Впрочем, для заданий
векторных топологий это отличие несущественно (см. конец
доказательства теоремы 1.6.1).

34
Глава 1. Введение в теорию
Итак, полунорма есть псевдонорма q, обладающая
следующим свойством, более ограничительным, чем (2) и (1) вместе:
(2') q(ax) = \a\q(x) VaGK.
В отличие от нормы, полунорма может принимать нулевые
значения на ненулевых элементах пространства. Например,
тождественно равная нулю функция является полунормой.
Если ρ — псевдонорма на векторном пространстве Е, то
равенство д(х\,Х2) = р(х\ —Х2) определяет псевдометрику,
инвариантную относительно сдвигов; такая псевдометрика, в свою
очередь, определяет топологию на Е, согласующуюся со структурой
аддитивной группы пространства Е\ псевдометрика ρ является
метрикой в точности тогда, когда р{х) = 0 лишь при χ = 0.
Если Ε — топологическое векторное пространство, топология
τ которого метризуема, то на Ε существует псевдонорма,
порождающая эту топологию только что описанным способом (это
будет доказано в § 1.6). Критерий метризуемости
топологического векторного пространства также будет приведен в § 1.6.
Отметим еще, что если р — произвольная псевдонорма на
векторном пространстве Е, то порожденная ею топология не
обязана быть согласованной со структурой векторного пространства
(приведите пример); чтобы она все же согласовывалась со
структурой векторного пространства, достаточно (и очевидным
образом необходимо), чтобы псевдонорма обладала дополнительно
следующими свойствами:
(4) если хп Ε Е, t Ε К, р(хп) —> 0, то p(txn) —> 0;
(5) если χ Ε Е, tn Ε К, tn —> 0, то p(tnx) —> 0;
(6) если хп е Е, tn е К, tn —> 0, р(хп) —> 0, то p(tnxn) —> 0.
Свойство (6), как можно показать, вытекает из свойств (4)
и (5); доказательство мы оставляем читателю; выполнение этих
свойств равносильно непрерывности операции умножения на
скаляр в векторном пространстве, наделенном топологией,
порожденной псевдонормой р.
1.3.8. Определение. Квазинормой называется
псевдонорма, обладающая свойствами (4) и (5) (следовательно, также
и свойством (6)). Таким образом, псевдонорма р, задающая
топологию метризуемого топологического векторного
пространства, автоматически оказывается квазинормой (обладающей
свойством р(х) φ 0 при χ φ 0).
1.3.9. Пример. Пусть Ε — векторное пространство и V —
некоторое семейство квазинорм на Е. Открытым шаром радиуса

1.3. Примеры
35
г > 0 с центром в нуле по квазинорме ρ Ε V называется
множество {х £ Е: р(х) < г}; множество всевозможных открытых
шаров всевозможных положительных радиусов по всевозможным
квазинормам, принадлежащим множеству V, образует предбазу
окрестностей нуля некоторой топологии в Е, согласующейся со
структурой векторного пространства; эта топология называется
топологией, порожденной семейством V квазинорм. В § 1.6 будет
показано, что топология всякого топологического векторного
пространства может быть задана некоторым семейством квазинорм.
Отметим, что все квазинормы семейства, задающего топологию,
непрерывны в этой топологии.
1.3.10. Пример. Пусть (Ε,τ) — топологическое векторное
пространство, Е\ С Ε — векторное подпространство, т\ —
топология, индуцированная в Е\ топологией т. Топология т\
согласуется со структурой векторного пространства.
Топологическое векторное пространство {Ε\,τ{) называется топологическим
векторным подпространством топологического векторного
пространства Е. Если U — база (или предбаза) окрестностей нуля
в (Е,г), то множество {V Π Ει: V Ε U} образует базу
(соответственно предбазу) окрестностей нуля в пространстве (Ει,τι).
Если (Е, т) отделимо (или метризуемо, или локально выпукло), то и
(Ει,τι) таково же. Если топология τ задается некоторым
множеством полунорм (или псевдонорм), то топология τι определяется
их сужениями на Ει.
Полезно следующее достаточное условие замкнутости Ει как
подмножества в топологическом векторном пространстве Е.
1.3.11. Лемма. Пусть векторное подпространство F
отделимого топологического векторного пространства Ε полно
относительно некоторой метрики, задающей топологию
этого подпространства. Тогда F замкнуто в Е.
Доказательство. Совсем коротко обобщение этой леммы
доказывается с помощью понятия фильтра Коши (см.
предложение 1.7.8); здесь же приведем непосредственное обоснование —
оно потребуется в первом доказательстве теоремы 1.5.1.
Покажем, что каждая точка у замыкания F подпространства F в Ε на
самом деле принадлежит F. Пусть {Vj : j Ε IN} — база
окрестностей нуля в метрической топологии подпространства F. Для
каждого j Ε IN пусть Wj и W· — такие окрестности нуля в Е,
что Vj = Wj Π F и W'j - Wj С Wj, причем W'j+l С Wj. Тогда для

36
Глава 1. Введение в теорию
всякого j Ε ΙΝ очевидным образом имеют место соотношения
((y + W<)riF)-((y + W<) nF)cWjnF = Vj.
Поэтому произвольно выбранные точки Xj Ε (у + W·) Π F
образуют фундаментальную последовательность в F, сходящуюся
к некоторой точке χ Ε F ввиду полноты F. Остается проверить,
что эта же последовательность сходится и к у.
Пусть U — окрестность нуля в Е\ выберем сначала такую
окрестность нуля Ur в Е, что Ur + Ur С С/, а затем такой номер
к = k(U), что 14 С !7' Π F и, значит, Vfc С U'. Наконец, выберем
в непустом множестве (у + U') Π ((у + W£) Π F) элемент г. Тогда
при каждом j ^ к справедливы соотношения
xj - ζ € ((y + Wj)nF) - {(y + W^HF) С (Wj -Wi)r\F С
CiWi-WijnFcVkCU'.
Следовательно,
Xj = у + (xj - у) = у + (xj - ζ) + {ζ - у) Ε у + С/7 + U' С у + С/,
так что при каждом j ^ &(^0 имеем #j £ У + £Л и сходимость {xj}
к у доказана. В силу отделимости Ε получаем у = χ Ε F. D
В случае локально выпуклых пространств индуцированная
в подпространстве топология обладает следующим свойством.
1.3.12. Лемма. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Е\ — его векторное подпространство с индуцированной
топологией uU — абсолютно выпуклая окрестность нуля в Е\.
Тогда в Ε найдется такая абсолютно выпуклая окрестность
нуля V, что V Π Ει = U.
Если xq Ε Ε\Εχ, то V можно взять так, что xq £ V.
Доказательство. По определению индуцированной
топологии есть абсолютно выпуклая окрестность нуля W С Е, для
которой W Π Е\ С U. Пусть V — абсолютно выпуклая оболочка
WUU. Тогда U С V Π Е\. Если ν Ε V Π Ει, το υ = tw + su, где
w Ε W, и Ε U, \t\ + \s\ < 1. При этом tw = v — su Ε E\. Если t = 0,
то сразу получаем, что ν = su Ε С/, ибо U абсолютно выпукло.
Если же t φ 0, то w Ε £α, откуда w e EiPiW С U и потому ν Ε U.
Итак, V Π Ελ С £Λ_τ. е. У Π Ει = С/.
Если xq E Ε\Ει, то берем W так, что (xq + W) Π Ε\ = 0.
Тогда жо ^ V\ так как иначе, как и выше, х$ = tw + su, откуда
Xq — tW Ε Ε\ И Xq — tw E Xq + W, ЧТО невОЗМОЖНО. D

1.3. Примеры
37
1.3.13. Пример. Пусть (£7, т) и Ει — те же, что и в
примере 1.3.10, и Ε /Ει — факторпространство векторного
пространства Ε по его подпространству Ει. Топология Т2 в Ε /Ει,
называемая фактортопологией, определяется так: множество V С Ε /Ει
открыто в Т2 в точности тогда, когда его прообраз относительно
канонического отображения Ε —> Ε/Ει открыт в т. При этом
каноническое отображение Ε —> Ε /Ει оказывается открытым, т. е.
переводит всякое открытое множество в открытое.
Топологическое векторное пространство (Е/Е\,Т2) называется
топологическим векторным факторпространством пространства (Ε,τ).
Доказательство. Проверим, что если U — база
окрестностей нуля в (£?, г), то множество образов ее элементов
относительно канонического отображения Ε —> Ε /Ει образует базу
окрестностей нуля в пространстве (Е/Е\,Т2) (для предбаз это, вообще
говоря, не так). Сначала покажем, что каноническое
отображение /: £7 —> Ε /Ει открыто, т.е. переводит открытые множества
в открытые. Пусть V С Ε и V открыто в т. Тогда открыто в
топологии τ и множество
V + Ει = (J (V + а)
αβΕι
как объединение открытых множеств (получающихся из
открытого множества V с помощью операции сдвига). Мы имеем
равенство f~1(f(V)) = V + £а, так что множество f(V) открыто
по определению топологии Т2.
Если теперь U — база окрестностей нуля в Е, то, во-первых,
в силу только что доказанного все множества f(V) являются
окрестностями нуля; во-вторых, если W — произвольная
окрестность нуля в (Ε/Ει,Τ2), то W = /(/_1(W)), причем f~l{W) —
окрестность нуля в (£?, т) (так как в силу определения
топологии Т2 отображение / непрерывно); поэтому в U существует
множество V такое, что V С /_1(W); значит, /(V) С W. Из того,
что f(U)— база окрестностей нуля фактортопологии, вытекает,
что фактортопология согласуется со структурой векторного
пространства в Ε/Ει. D
Факторпространство не всегда отделимо.
1.3.14. Лемма. Для того чтобы топологическое векторное
пространство {Е/Е\,Т2) было отделимым, необходимо и
достаточно, чтобы подпространство Ει было замкнутым в (Ε,τ).

38
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Одноточечные подмножества любого
отделимого топологического пространства замкнуты. Поэтому
наше предположение об отделимости (Ε/Ει,τϊ) влечет замкнутость
нуля. Значит, замкнут'и его прообраз Ει = /_1(0) относительно
канонического отображения /, так как последнее непрерывно.
Предположим теперь, что Е\ замкнуто в (£?, г), и покажем,
что топологическое векторное факторпространство (Е/Е\,Т2)
отделимо (даже если само Ε не отделимо). Достаточно показать,
что Ε/Ει — То-пространство, а для этого, в силу
инвариантности топологии относительно сдвигов, достаточно показать, что
всякий ненулевой элемент а в Ε /Ει обладает окрестностью, не
содержащей нуля. Пусть а е Ε /Ει, α φ 0 и Ъ е f~l(a). Тогда Ъ £ Е\.
В силу замкнутости Ει существует такая открытая окрестность
V точки Ь, что V Π Ει = 0. Поэтому f(V) — открытая
окрестность точки а = /(b), не содержащая нуля пространства Ε /Ει.
То, что 0 ф. /(V), вытекает из равенства
Г1 (f(V)) П /-х(0) = (V + Ει) П Ег = 0,
являющегося следствием равенства VdEi = 0. Открытость
множества f(V) в (Ε/Ει,Τ2) вытекает из открытости V. D
Если Ε — произвольное (вообще говоря, неотделимое)
топологическое векторное пространство, то замыкание Eq = {0}
одноточечного множества {0} представляет собой векторное
подпространство в Е\ (отделимое) топологическое векторное
факторпространство Е/Ео называется отделимым топологическим
векторным пространством, ассоциированным с Е. Конечно,
если само Ε отделимо, то ассоциированное с ним отделимое
топологическое векторное пространство ему изоморфно.
Факторпространство произвольного локально выпуклого
пространства Ε по его произвольному векторному подпространству
Ει локально выпукло; это следует из того, что каноническое
отображение /:£?—> Ε /Ει переводит базу выпуклых окрестностей
нуля (в Е) в базу выпуклых же окрестностей нуля (в Ε /Ει).
Отметим также, что если пространство Ε метризуемо, а
подпространство Ει замкнуто, то Ε /Ει также метризуемо (это
вытекает из приводимого ниже критерия метризуемости отделимого
топологического векторного пространства — наличия в нем
счетной базы окрестностей нуля). Если же Ε нормируемо, то таково
и факторпространство.

1.3. Примеры
39
1.3.15. Пример. Если топологическое векторное
пространство Ε является прямой алгебраической суммой своих векторных
подпространств Ει и Ε<ι, т. е. Е\ Γ\Ε<ι = 0 и Ει + £?2 — Е, то можно
рассмотреть естественные алгебраические проекции pi: Ε —> Ει,
Ρ2'. Ε -+ Ε2] подпространства Ει и £?2 называются
алгебраическими дополнениями друг друга. Если проекции pi и р2
непрерывны, то Ει и £?2 называются топологическими дополнениями
друг друга. В § 3.9 мы увидим, что в ряде важных случаев
алгебраические дополнения автоматически оказываются
топологическими; например, так обстоит дело в случае замкнутых
подпространств полных метризуемых топологических векторных
пространств. В общем случае проекции могут быть разрывны.
Например, так будет, если Ει — ядро разрывной линейной
функции и Е2 — алгебраически дополняющее одномерное
подпространство. Имеются также примеры замкнутых
алгебраически дополнительных подпространств Ει и Е^ в неполных
нормированных пространствах, дающих разрывные проекции.
1.3.16. Пример. Пусть £° = £°(λ) — векторное
пространство всех измеримых по Лебегу вещественных функций, всюду
определенных на [0,1], λ — мера Лебега на этом отрезке и
Vn = {feC°: λ(ί€[0,1]: |/(ί)| > 1/η) < 1/η}, η G IN.
Семейство U = {Vn} — база окрестностей нуля некоторой
(неотделимой) топологии τ в Τ, согласующейся со структурой
векторного пространства. Пусть L0 — отделимое топологическое
векторное пространство, ассоциированное с (£°,т). Оно метризуемо,
но не локально выпукло (задача 1.12.28). Его можно
отождествить — как векторное пространство — с пространством классов
λ-эквивалентных λ-измеримых вещественных функций на [0,1];
сходимость последовательностей в (£°,т) и в L0 есть сходимость
по мере (индивидуальных функций или классов эквивалентности
измеримых функций). Для общей ограниченной
неотрицательной меры μ на измеримом пространстве (Ω, В) аналогично задаем
С0 (μ) и Ζ/°(μ). Сходимость по мере можно задать метрикой
d(f,g)= / mm(\f(uj) - g(u)\,l) μ(άω).
В следующих примерах К = IR или К = С.
1.3.17. Пример. Пусть η — натуральное число и /С(КП) —
векторное пространство всех непрерывных финитных функций

40
Глава 1. Введение в теорию
/: Кп —> К (функция на Кп называется финитной, если она
обращается в нуль вне некоторого ограниченного множества); иное
обозначение: Co(IRn). Обозначим через Тп множество всех
непрерывных функций /: IRn —> (0, +оо) (конечно, Тп — не векторное
пространство и Тп Π /C(IRn) = 0). Для / Ε Тп обозначим через
Vf множество, определенное так:
Vf = {(pe)C(Mn): \φ(χ)\ < f{x) Vz G Жп}.
Совокупность всех множеств такого вида образует базу
окрестностей нуля для некоторой отделимой локально выпуклой
топологии tjc в /С(КП); далее везде предполагается, если не оговорено
противное, что /С(КП) наделено этой топологией. Опишем также
одно семейство норм, задающее только что определенную
топологию. Для каждой функции / G Тп обозначим через pf норму
на /С(КП), задаваемую равенством ρ/(φ) = тахж \/(χ)φ(χ)\, и
положим VJC = {pf: f е Тп\.
Семейство норм Vic задает введенную топологию tjc-
Пространство (/С(Кп),гд:) неметризуемо. Последовательность {φι}
элементов пространства /С(КП) сходится к нулю в том и
только том случае, если выполнены два условия:
(i) max^iRn \ψι(χ)\ -> 0,
(ii) существует ограниченное множество В в Кп, вне которого
обращаются в нуль одновременно все функции φι.
В самом деле, если Х{ Ε Шп, \х{\ —> оо, d —> оо, то найдется
/ Ε Тп с f(xi) = C{. На /С(КП) не существует метрики,
относительно которой сходимость последовательностей совпадает со
сходимостью последовательностей в топологии tjc (это
утверждение, составляющее предмет задачи 1.12.29, сильнее, чем
утверждение о неметризуемости /С(КП)).
1.3.18. Пример. Пусть Ε — некоторое векторное
пространство над К, Vo — множество всех полунорм на Е, V\ —
множество всех квазинорм на Е. Топология в Е, определяемая
семейством полунорм Vo, является сильнейшей среди всех локально
выпуклых топологий в Ε (она называется сильнейшей локально
выпуклой топологией в Е); топология в Е, определяемая
семейством квазинорм V\, — самая сильная среди всех топологий в Е,
согласующихся со структурой векторного пространства. Можно
доказать (задача 1.12.31), что если алгебраическая размерность
пространства Ε над К не более чем счетна, то эти две топологии
совпадают; в противном случае они различны.

1.3. Примеры
41
Отметим, что в сильнейшей локально выпуклой топологии
непрерывны все полунормы на Е, значит, и все линейные
функции и вообще все линейные отображения в любые локально
выпуклые пространства.
Поучительно выявить более узкие классы полунорм,
задающие сильнейшую локально выпуклую топологию. Например, взяв
базис Гамеля {еа} в Ε и положительную функцию φ на
множестве индексов а, можно ввести полунормы вида
Ρψ(χ) = Σφ(α)\χ*\ι где χ = Σχ<*β<*·
а а
Набор полунорм такого вида по-прежнему задает сильнейшую
локально выпуклую топологию, ибо для всякой полунормы ρ
верна оценка р(х) < Σα \ха\р(еа) < Ρφ(χ), где φ(ά) = р(еа) + 1.
1.3.19. Пример. Пусть Σ — пространство быстро
убывающих последовательностей, т. е. вещественных
последовательностей χ = (хп) с конечными нормами
Рк(х) — supnfc|xn|, к Ε IN.
η
Эта же топология задается евклидовыми нормами q^, где
оо
<1к{х? = Y^nik\xn\2.
n=l
1.3.20. Пример. Пусть <S(Hn) — пространство всех
бесконечно дифференцируемых К-значных функций φ (К = IR или С),
определенных на Шп и удовлетворяющих следующему условию
(далее мы полагаем t = (ti,...,tn)):
Prfc(v) = max(l + |£Г)Н¥>(А:)(*)11 < °° Для всех к,г e¥S,
1/2
где \t\ = (ELi Ы2) , ||^(0)(i)ll = maxieIRn |^)|,
¥><fe>(i)||=max<
aV(*)
at*1... dtfr
rZ\ ~\~ ' ' ' ~т~ rZn — ™м "'i ^ ^
Каждая из функций pkr представляет собой норму на <S(IRn);
обозначим через Vs множество всех таких норм и через rs —
задаваемую этим множеством норм топологию в <S(IRn).

42
Глава 1. Введение в теорию
Топологию в S можно задать также евклидовыми нормами.
Например, при η = 1 можно взять евклидовы нормы qrk, где
/+оо
(l+t2Y^{k){t)\2dt.
-оо
Всюду далее предполагается, если не оговорено противное,
что пространство <S(IRn) наделено топологией т^. При этом
пространство <S(IRn) оказывается полным метризуемым локально
выпуклым пространством (проверьте полноту); такие пространства
называются пространствами Фреше. Пространство <S(IRn)
играет важную роль в теории распределений (обобщенных функций).
Интересно отметить, что на <S(IRn) не существует нормы,
превращающей его в банахово пространство, в топологии которого
каждая функция Ф^: φ ι—> φ(ί), t Ε IRn, непрерывна. Так как
в топологии τ$ все такие функции непрерывны, то отсюда
следует ненормируемость топологии rs (впрочем, ненормируемость τ$
немедленно вытекает из приводимого далее критерия
Колмогорова нормируемости топологического векторного пространства).
При применениях пространства <S(IRn) в задачах анализа обычно
требуется непрерывность отображений Φί? поэтому отсутствие на
<S(IRn) банаховой нормы, относительно которой они непрерывны,
является одним из примеров, показывающих недостаточность
теории банаховых пространств для нужд анализа.
1.3.21. Пример. Пусть D(IRn) — пространство всех
финитных бесконечно дифференцируемых функций φ: IRn —> К. Для
каждой пары функций /, г Ε Тп = {д Ε C(\Rn): g > 0}
обозначим через qf^r норму на D(IRn), определяемую так:
9/,r(¥>) = max||/(t)^H0])(t)||>
где [а] — целая часть числа а (обозначение ||<£>^(^)Н введено в
предыдущем примере). Далее считаем, что Т>(Жп) наделено
топологией то, заданной набором норм Vd — {Qf,r: f->r £ ^Vi}· Тогда
D(IRn) — неметризуемое локально выпуклое пространство
(задача 1.12.30). При η = 1 эту топологию задает набор полунорм
оо
iW,{r*}(¥>) = Σ аь ΐί1^ , lv(rfc)(*)l> <*k e M,rfc g ми {о}.
к=—оо
1.3.22. Пример. Пусть £(КП) — пространство всех
бесконечно дифференцируемых функций на Кп, принимающих значения

1.3. Примеры
43
в К, и для каждого η Ε IN, полунорма рт на £(КП) определена
равенством
Ρπι(φ) = max{||^(fc)(i)||: к = О,1,... ,m; ||t|| < m}.
Далее, если не оговорено противное, предполагается, что
пространство £ (Ж71) наделено топологией Т£, задаваемой множеством
полунорм Ve — {Рт: т £ IN}. Тогда £(ЖП) — полное метризуе-
мое локально выпуклое пространство (проверьте). Отметим, что
топология Т£ не может быть задана с помощью норм; более того,
на £(КП) не существует ни одной непрерывной нормы (на самом
деле эти два утверждения равносильны).
В дальнейшем, когда речь будет идти о свойствах пространств
/С(1ЕГ), <S(IRn), £>(ЕГ), £(НП), не зависящих от размерности η
пространства Кп, символы типа D(IRn), <S(IRn) часто будут
заменяться символами Р, 5 и т. д. Как правило, рассматриваемые
свойства этих пространств не будут зависеть от того,
вещественны они или комплексны; именно поэтому в предыдущих примерах
пространства комплексных функций (над полем С) и
вещественных функций (над полем К) были обозначены одинаковыми
символами. Далее при обсуждении свойств пространств /С, S и т. д.
мы вообще не будем упоминать о поле скаляров, если
обсуждаемые свойства от него не будут зависеть. В противном случае
будут использоваться выражения типа «комплексное
пространство <S», «вещественное пространство S». Аналогично мы будем
поступать с топологическими сопряженными этих пространств
D7(IRn), <S7(IRn) и т. д. Эти пространства линейных функционалов
играют важную роль в приложениях и называются
«пространствами обобщенных функций» (сами Р, 5 и т. д. нередко
именуются «пространствами пробных функций»). Терминология
объясняется тем, что многие обычные функции задают обобщенные
посредством интегрирования. Например, всякая локально
интегрируемая функция / на Кп задает элемент V, действие
которого на φ Ε V есть интеграл от φ/ по Кп. Если / оценивается
многочленом, то / задает и обобщенную функцию из S'.
Подробнее это обсуждается в Богачев, Смолянов [21, гл. 8, 9].
1.3.23. Пример. Этот пример может рассматриваться как
введение в теорию двойственности. Пусть Ε — произвольное
векторное пространство над К, G — некоторое векторное
пространство К-линейных функционалов на Е, т. е. К-линейных
отображений из Ε в К. Тогда на Ε существует топология т, обладающая
следующими свойствами:

44
Глава 1. Введение в теорию
(а) она согласуется со структурой векторного пространства;
(б) всякий функционал д, являющийся элементом G,
непрерывен как отображение (£?, т) в К;
(в) всякий К-линейный непрерывный функционал на (Е,т)
является элементом G.
Более того, среди всех топологий в Е, обладающих свойством
(б), существует самая слабая, причем она автоматически
обладает и свойствами (а), (в); эта топология, называемая слабой
топологией в Е, задаваемой элементами G, и будет сейчас
определена. Сходимость в ней называется слабой сходимостью.
Для каждого g Ε G обозначим через р9 полунорму на Е,
определяемую формулой
Pgiv) = \д(<р)\-
Мы докажем, что топология в Е, задаваемая семейством
полунорм Vg — {Pg: g £ G} — требуемая. Эту топологию будем
обозначать символом a{E,G). Ясно, что a(E,G) обладает
свойством (а).
Если g Ε G, то \д(<р)\ < ε при ρ9(φ) < ε; это означает, что
функционал g непрерывен в нуле; так как он линеен, отсюда
следует его непрерывность в каждой точке, так что τ — σ(Ε, G)
обладает свойством (б). Пусть теперь / — произвольный
непрерывный К-линейный функционал на (£?, σ{Ε, G)); надо доказать,
что / Ε G.
В силу непрерывности / в нуле пространства (E,a{E,G))
существуют такие элементы д\,..., дп пространства G, что если
\дг(а)\ < ε,..., \дп(а)\ < ε, то |/(α)| < 1. Отсюда следует, что
η
Ker/D f] Кетдк(ср). (1.3.1)
fc=l
Действительно, если это не так и существует такой элемент a Ε Е,
что f(a) ф 0, но д\{а) = · · · = #п(&) — 0, то, пользуясь
недискретностью поля К, выберем его элемент к со свойством \к\ > 1; тогда
|/(fea//(a))| = |fe| >1, хотя
\gj{ka/f(a))\ = \kgj(a)/f(a)\ = 0 < ε, j = 1,2,... ,η.
Однако из включения (1.3.1) следует (это будет доказано в
следующем предложении, называемом иногда леммой о трех
гомоморфизмах), что / — линейная комбинация функционалов ду, так
как G — векторное пространство, то это значит, что /GG.

1.3. Примеры
45
1.3.24. Лемма. Пусть Е\, Е2, Е% — векторные
пространства, fi2: Ει —> Е2 и /хз: Е\ -+ Е% — линейные отображения,
причем Ker/хз D Ker fi2. Тогда существует такое линейное
отображение /2з- Е2 —> #з, что Лз = /23°/ΐ2·
Доказательство. Отображение /23 определяется сначала
на подпространстве fn(Ei) в Е2 равенством /23(я) = /^(Л^1^));
корректность определения и линейность /23 вытекают из
линейности отображений /12, /13 и включения Кег/13 D Ker/i2· Затем
отображение /23 произвольным образом с сохранением
линейности продолжаем на все пространство Е2 (что легко сделать с
помощью базиса Гамеля, см. §1.1). Это продолжение и является
нужным нам отображением. D
Чтобы теперь установить соотношение
η
достаточно положить Ει = Ε, Ε% = К, Е2 = Кп, /хз = / и
определить отображение fi2 так: fi2(x) = (gi(x), · · · ,^η(^))· В
силу леммы о трех гомоморфизмах существует такой К-линейный
функционал /23: ^п —> К, чт0 / — /23°/ΐ2· Всякий линейный
функционал на Кп задается набором (fci,..., kn) из η элементов
поля К, так что f2z{h\,...,hn) = Y^=\kjhj. Поэтому получаем
f(x) = Σ]=ι kjgj{x), т.е. f = £?=1 kjgj.
Таким образом, топология a(E,G) обладает и свойством (в).
Покажем теперь, что σ(Ε, G) — самая слабая из топологий со
свойством (б). Если τ — произвольная топология с таким
свойством, то множества вида
{х е Е: \gk(x-xk)\ < ek, k = 1,2,..., η}, η e IN, xk e Ε, gk e G,
являются в ней открытыми; так как эти множества образуют базу
топологии σ(2£, G), то топология a(E,G) мажорируется
топологией τ (если S и Τ — системы множеств и S С Т, то говорят, что
система Τ мажорирует систему S и что S мажорируется
системой Т).
Здесь уместно ввести сопряженное к топологическому
векторному пространству. Точнее говоря, мы введем даже два
сопряженных — алгебраическое и топологическое, причем особо важно
последнее.

46
Глава 1. Введение в теорию
1.3.25. Определение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство над полем К. Пространство всех
непрерывных линейных функций на Ε со значениями в К называется
сопряженным (или топологически сопряженным) к Ε
пространством и обозначается символом Е'.
Подчеркнем, что Е' обычно бывает гораздо уже
алгебраического сопряженного к Е, состоящего из всех линейных функций
и обозначаемого в этой книге через Е*. Отметим, что во
многих книгах (включая нашу [21]) обозначения противоположны;
мы решили придерживаться здесь обозначений, все же более
традиционных для литературы по топологическим векторным
пространствам. Может случиться, что Е' = {0}, но на локально
выпуклых пространствах, как мы увидим из теоремы Хана-Банаха,
сопряженные разделяют точки пространства Е.
Если Ε — локально выпуклое пространство и G = Е\ то
топология a(E,G) называется слабой или ослабленной
топологией в Е; отметим, что (E,a(E,G)) = Ε'. Описанная ситуация
может считаться симметричной относительно Ε и G. А именно:
каждый элемент χ Ε Ε можно отождествить с некоторым
линейным функционалом Fx на пространстве G, определяемым так:
Рх{я) = д{х)-> х € Е, g e G. При этом все Ε отождествляется
с некоторым векторным пространством линейных функционалов
на G. Если Ε — локально выпуклое пространство, то слабой
топологией (или же *-слабой) в Е' называется топология σ(Ε',Ε).
1.3.26. Пример. Это — обобщение (хотя в действительности
только формальное) предыдущего примера. Говорят, что
векторные пространства Ε и G приведены в двойственность (или что
они образуют дуальную пару), если задана билинейная функция
Ъ: ExG —> К (или «билинейная форма»; про нее говорят, что
она приводит пространства Ε и G в двойственность),
обладающая следующими свойствами:
(1) если χ Ε Ε, χ φ 0, то имеется g Ε G с b(x,g) φ 0;
(2) если g Ε G, g φ 0, то имеется χ Ε Ε с b(x,g) φ 0.
Пусть, в частности, как и в предыдущем примере, Ε —
векторное пространство, G — некоторое векторное пространство
линейных функционалов на Е, причем если χ Ε Ε, χ φ 0, то имеется
g Ε G с g(x) φ 0, т. е., как говорят, множество G различает
точки (или разделяет точки) из Е. Билинейная форма Ъ на ExG,
определяемая равенством Ъ(х,д) = д{х), обладает свойствами (1)

1.4. Выпуклые множества
47
и (2) и, значит, приводит пространства Ε и G в двойственность
(эту билинейную форму называют канонической).
На самом деле общий случай двух векторных пространств
в двойственности совпадает с только что описанным частным.
А именно: пусть Ε и G — два векторных пространства в
двойственности, задаваемой билинейной формой Ъ. Тогда всякий
вектор χ Ε Ε определяет линейный функционал g ·—> b(x,g) на G,
а всякий элемент g Ε G задает линейный функционал χ ι—> b(x,g)
на Ε. Тем самым оказываются определенными линейные
отображения Ε —> G*, χ ι—► [g ι—► b(x,g)] и G —> Ε*, g ι-> [ж ι-> Ь(ж,5)]·
Непосредственно проверяется (с помощью свойств (1) и (2)
отображения Ь), что оба они линейны и инъективны, т.е.
являются изоморфизмами на образ. Поэтому пространство Ε можно
отождествить с его образом при первом из этих изоморфизмов,
т.е. с некоторым пространством линейных функционалов на G,
а пространство G — с его образом при втором из этих
изоморфизмов, т. е. с некоторым пространством линейных
функционалов на Е. Именно так мы и будем поступать (даже не
оговаривая это специально) в дальнейшем при рассмотрении пар
пространств в двойственности. В частности, элементы Ε мы часто
будем в этом случае называть (линейными) функционалами на G,
а элементы G — (линейными) функционалами на Е. Тем самым
с помощью конструкции предыдущего примера оказывается
возможным определить две «слабые топологии, задаваемые
двойственностью между Ε и G», — топологию σ(Ε, G) на Ε и
топологию a(G, Ε) на G.
Еще одно замечание об обозначениях. В дальнейшем
билинейную форму, приводящую пространства Ε и G в двойственность,
мы обычно обозначаем символом (·, ·); в частности, даже в случае,
когда, скажем, векторное пространство G с самого начала
задано как пространство линейных функционалов на Е, мы нередко
вместо символа д(х), где д Ε G, ж Ε Е, будем использовать символ
(д,х) (или (х,д)).
1.4. Выпуклые множества
В этом параграфе предполагается, что полем скаляров
является К. Замкнутая выпуклая оболочка множества А в
топологическом векторном пространстве определяется как пересечение
всех замкнутых выпуклых множеств, содержащих А.
Обозначение: conv А. Аналогично определяется замкнутая абсолютно
выпуклая оболочка abs conv А множества А.

48
Глава 1. Введение в теорию
1.4.1. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, V С Ε — выпуклое множество, V и V —
внутренность и замыкание V. Тогда, каковы бы ни были точки
a eV и b EV, в V содержится множество
[а,Ъ) :={ία+(1-ί)6: ί G (0,1]}.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда Ъ е V;
будем при этом считать, что 6 = 0 (чтобы этого добиться,
достаточно заменить V на V — Ь; так как операция сдвига —
гомеоморфизм, то она переводит внутренность множества во
внутренность, замыкание — в замыкание и т.д.). Пусть χ G [α,0),
т.е. χ = λα, λ G (0,1]. Множество V — открытая окрестность
точки α, лежащая в V. Тогда множество XV является открытой
окрестностью точки х, причем XV С V в силу выпуклости V.
Рассмотрим теперь общий случай. При этом, в отличие от
предыдущего, будем считать, что выполняется равенство χ = 0
(а не Ъ = 0), где χ — какая-то точка из интервала
(а, Ь) := {ta + (1 - ί)6: ί G (0,1)};
если χ = а, то доказывать нечего, так как a G V по
предположению. Таким образом, Ъ = ζ/α, где ν < 0. Множество vV
есть окрестность точки Ь, причем, поскольку 6 G 7,
существует ζ G V Π {yV), т.е. z/u G V. Следовательно, из соотношения
χ = 0 е [ζ/ν, ζ) в силу уже доказанного вытекает, что χ eV. D
1.4.2. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство и V С Ε выпукло. Тогда множества V и V
таксисе выпуклы. Если V φ 0, то V = V и V = V.
Доказательство. Выпуклость V и справедливость
равенства V = V (в предположении непустоты V) являются
непосредственными следствиями предыдущего предложения. Выпуклость
V вытекает из непрерывности для каждого t G [0,1] отображения
Ф*: ЕхЕ —> Е, (ж, ζ) ι—> tx + (l — t)z. Действительно, в силу
непрерывности Ф^ имеем ФДУхУ) = Ф^(УхУ) С V\ справедливость
этих включений и означает выпуклость V.
Проверим, что V = V. Так как V С У, то достаточно
проверить, что справедливо и противоположное включение. Пусть

1.4. Выпуклые множества
49
α G У и δ G ί^(/ 0). Будем считать, что Ъ = 0 (как уже
говорилось, это не ограничивает общности). Тогда в силу непрерывности
отображения φ: t ι—> ta из равенства φ(1) = а и открытости V
вытекает существование такого ε > 0, что имеют место
соотношения φ(1 + ε) = (1 + ε)α G F С ϊ7.
Таким образом, α G [0, (1 + ε)α), О G У и (1 + ε)α G У; поэтому
в силу предыдущего предложения a eV. D
1.4.3. Замечание, (i) Для ссылок отметим следующий
очевидный факт: если Ε — векторное пространство, V и W — его
выпуклые подмножества, α, β G К, то множество а У + PW
также выпукло и (а + /3) V С аУ + /3V, а если αβ > 0, то включение
превращается в равенство (а + β)ν = aV + βΎ.
(ii) Непустота V существенна для справедливости
доказанного предложения. Пусть, например, Ε — топологическое
векторное пространство, на котором существует разрывный линейный
функционал (таким свойством обладают, в частности все
бесконечномерные нормированные пространства и даже все
бесконечномерные метризуемые пространства, см. пример 1.9.10). Тогда
ядро V этого функционала — всюду плотное векторное
подпространство (тем самым — выпуклое множество) с пустой
внутренностью, так что V = Е, V = Ε j^V = 0.
Обсудим связи между выпуклыми множествами и
сублинейными функциями. Пусть Ε — векторное пространство над полем
вещественных чисел. Функция (функционал) ρ: Ε —> И1 U{+oo}
называется сублинейной или однородно-выпуклой, если она
обладает следующими свойствами:
(1) р{х + у) <р(х)+р(у),
(2) р(0) = 0, р{\х) = λρ(χ), λ > 0.
Если ρ не принимает значения +оо, то последнее равенство
справедливо и при λ = 0.
Сублинейная функция выпукла. Напомним, что выпуклой
называется такая функция / на выпуклом множестве V в линейном
пространстве, что
f(Xu + (1 - Χ)υ) < Xf(u) + (1 - λ№), Vu, υ G У, λ G [0,1].
Вогнутой называют такую функцию #, что — д выпукла.
Отметим, что всякий линейный функционал / на Ε
сублинеен; при этом функционал |/|, где \f\(x) = \f(x)\-> х G Е, также

50
Глава 1. Введение в теорию
сублинеен; всякая полунорма на векторном пространстве
представляет собой сублинейный функционал.
Наша ближайшая цель — описать связь между
неотрицательными сублинейными функционалами и выпуклыми
подмножествами в Е, содержащими нуль.
1.4.4. Определение. Пусть Ε — векторное пространство
и А С Е. Функционалом Минковского или калибровочной
функцией множества А называется функция ρ α'· Ε —> IR+ U {+оо};
определяемая равенством
рА(х) = inf{A > 0: χ е ХА},
где ра(х) — +оо, если таких X нет.
1.4.5. Определение. Подмножество топологического
векторного пространства называется ограниченным, если оно
поглощается каждой окрестностью нуля.
Следует иметь в виду, что, даже если топология
топологического векторного пространства задана метрикой,
ограниченность в смысле предыдущего определения не сводится к
ограниченности относительно метрики. Например, стандартная
топология прямой задается ограниченной метрикой. С другой стороны,
ограниченное в топологическом векторном пространстве
множество не обязано быть ограниченным относительно метрики,
задающей топологию (см. задачу 1.12.35).
1.4.6. Предложение. Множество В в топологическом
векторном пространстве Ε ограничено в точности тогда, когда
для всякой последовательности {ап} С В и всякой сходящейся
к нулю последовательности скаляров {tn} последовательность
{tn^n} сходится к нулю в Е.
Доказательство. Если В ограничено, ап е В, скаляры tn
стремятся к нулю, V — окрестность нуля в Ε и λ > 0 таково, что
tB С V при \t\ < λ, то tnan Ε V для η настолько больших, что
\tn\ < X. Значит, tnan —> 0 в Е.
Обратно, пусть выполнены условия сформулированного
критерия ограниченности для множества В. Если В не
ограничено, то найдется такая окрестность нуля 7с£, что для
каждого η Ε IN существует tn Ε К с тем свойством, что \tn\ < 1/п,
(tnB) \ V φ 0. Значит, существуют ап Ε В с tnan Ε (tnB \ V).
Ясно, что tnan -/* 0, хотя tn —> 0. Π
Исследуем связь между функцией ρ а и множеством А.

1.4. Выпуклые множества
51
1.4.7. Предложение, (i) Если χ Ε Ε и существует такое
λ Ε (0, оо), что χ Ε ХА, то ра{х) < оо. Поэтому если А —
поглощающее множество, то ра(х) < оо для всякого χ Ε Ε. Если
множество А выпукло и функция ρ а конечна, то А —
поглощающее множество.
^(ii) Если χ φ 0 и множество Ах = Α Π {ζ Ε Ε: ζ = λχ, λ ^ 0}
ограничено в стандартной топологии одномерного
подпространства, порожденного элементом х, то ра{х) > 0. В частности,
если А ограничено в какой-либо отделимой топологии
пространства Е, согласующейся со структурой векторного
пространства, то ра{х) > 0 для всех χ Ε Ε, χ φ 0.
(Hi) Если О 0, то ра{сх) = срд(ж); если 0 е А и ра(х) < оо,
то ра(сх) = сра{х) для всех с ^ 0.
(iv) Если множество А выпукло, то
Ра{х\ +Х2) ^Ра{х\) +Ра(х2) Vzi, X2 Ε Е.
(ν) Если А закруглено, то ра(сх) = \с\ра{х) для всех с Ε Ж.
Доказательство. Все утверждения очевидны, кроме (iv),
при обосновании которого можно считать, что pa(xi) и Ра(#2)
конечны, так как иначе доказывать нечего. Пусть а\ > ρα(χι)·>
&2 > РА (#2); тогда существуют такие числа о!{ Ε (рл(#г)>аг)' чт0
χι + χ2 £ &i^4 + а^А С (а7х + а2)^· Это значит? чт0
Pa(xi + ^2) < α'ι + α2 < αϊ + α2.
Так как α^ могут быть сделаны сколь угодно близкими к ρα{χϊ),
τορΑ(χι +Χ2) ^Ρα(χι)+ρα(χ2)· □
1.4.8. Предложение, (i) .Бели 0 Ε А г/ А выпукло, то имеет
место включение {х Ε А: ра{х) < 1} С А.
(и) Имеет место включение Ас {х: Ра{х) ^ 1}·
(Ш) .Бели пересечение множества А со всяким одномерным
подпространством пространства Ε замкнуто (в стандартной
топологии этого одномерного пространства), причем А
выпуклое и поглощающее, то А = {х: ра{х) ^ 1}·
(iv) Если А выпукло, 0 Ε А и пересечение с А каждого
одномерного подпространства Ε открыто (в стандартной
топологии одномерного пространства), то {х Ε Е: ра(х) < 1} = А.
(ν) Пусть ρ — неотрицательная сублинейная функция на Е:
Тогда множества А\ = {х: р{х) < 1} и А2 = {х: р(х) < 1}

52
Глава 1. Введение в теорию
выпуклы и содержат нуль, причем ΡΑλ(χ) — РА2(Х) — р(х) для
всех χ G Е.
(vi) В предположениях (у), если функция ρ всюду конечна, то
Αι открыто, а А2 замкнуто в сильнейшей локально выпуклой
топологии пространства Ε (см. пример 1.3.18).
Доказательство, (i) Если ра(х) < 1, то существует такое
λ G (0,1), что χ G АА, т. е. χ/λ G А. Так как О G А и А выпукло,
то λχ/λ + (1 — λ)0 = χ G А. Утверждение (ii) очевидно.
Для обоснования утверждения (iii) достаточно показать, что
{х: ра(х) — 1} С Д ибо при данных условиях на А мы имеем
{х: рА{х) < 1} С А С {х: рА{х) < 1}·
Пусть ра (х) = 1, т. е. для всякого натурального η существует
такое число λη ^ 1, что х/Хп G А и λη — 1 < 1/п. Это значит,
что хп = х/Хп —> χ в одномерном пространстве, порожденном
элементом ж, причем жп G Α Π {λχ: χ G IR} для каждого η, а
последнее множество по предположению замкнуто.
(iv) Так как множество в левой части этого равенства по
доказанному выше содержится в множестве в правой части, то
достаточно показать, что если χ G А, то ра(х) < 1- Итак, пусть χ G А;
требуется доказать, что ра(х) < 1· Если χ = 0, то это верно.
Пусть ж/ОиМ- порожденное χ одномерное подпространство
в Е. Тогда Μ Π А открыто в М. Из включения χ G А,
справедливого по предположению, вытекает, что х/Х G А для некоторого
λ G (0,1); это и значит, что ра(х) < 1·
(ν) Ясно, что О G Αι С А2. Если г = tai + (1 — *)ж2, Где
Ж1,ж2 £ Αι, t G [0,1], то
p(z) = p(txi + (1 - ί)ζ2) < tp{x{) + (1 - <)р(ж2) < ί + (1 - ί) = 1,
так что ζ £ Αι] аналогично проверяется выпуклость А2.
Докажем равенство рах{х) — р(х)- Пусть pAi(xo) — <^ р(#о) — /?·
Рассмотрим два случая: а < β и β < а. В первом случае
существует такое ε > 0, что а + ε < β. Тогда, с одной стороны,
ΡΑι(χο/(α + ε)) = α/(α + ε) < 1, так что χ0/(α + ε) G А\\ с другой-
стороны, ρ(#ο/(α+ε)) = β/(α+ε) > 1, так что χο/(α+ε) £ Αχ. Во
втором случае (а > β) существует δ > 0 такое, что β+δ < α; тогда
ρ(χ0/(β + 5)) < 1, так что χ0/(β + 6)еАг,и ρΑι (χ0/(β + δ)) > 1,
т.е. χο/(β + δ) <£ Αι вопреки предыдущему включению.
Аналогично доказывается и равенство р(х) = ра2{х)·

1.4. Выпуклые множества
53
Утверждение (vi) следует из того, что всякая конечная
сублинейная функция на векторном пространстве непрерывна в этой
топологии. Докажем это. Пусть д — сублинейная функция на Е.
Тогда функция /: жи max{|g(:r)|, \g(—х)\} представляет собой,
как это непосредственно проверяется, полунорму на Е, так что
множество {х: f(x) ^ 1} оказывается выпуклым, поглощающим
и закругленным, т. е. окрестностью нуля в сильнейшей локально
выпуклой топологии на Е. Это значит, что полунорма /
непрерывна. В силу неравенства \д{х\) — д{х2)\ ^ /(#1—#2) непрерывна
и сублинейная функция д. D
1.4.9. Теорема. Топология всякого локально выпуклого
пространства над полем IR или С может быть задана некоторым
семейством полунорм.
Доказательство. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство и В — база его окрестностей нуля, состоящая из выпуклых
закругленных множеств (такая база окрестностей нуля
существует в силу предложения 1.2.11). Для каждого множества У,
являющегося элементом базы β, обозначим через ру его функционал
Минковского и через τ — топологию, задаваемую семейством
полунорм {pv'· V Ε В}. Топология τ совпадает с исходной
топологией пространства Е. Действительно, с одной стороны, каждое из
множеств вида {х е Е: ру(х) < ε} = eV, где ε е (0,оо), V е В,
является окрестностью нуля в исходной топологии; эти
множества образуют предбазу (см. пример 1.3.9), являющуюся в
данном случае базой окрестностей нуля в г. С другой стороны, если
W — произвольная окрестность нуля в исходной топологии и Vo —
такое множество, являющееся элементом базы #, что Vo С W, то
мы имеем {х: pv0(x) < 1} = Vo С W. D
1.4.10. Замечание, (i) Даже в том случае, когда локально
выпуклое пространство отделимо, его топология не всегда
может быть задана набором норм. Действительно, всякая норма
из такого набора непрерывна в задаваемой этим набором
топологии, а между тем существуют отделимые локально выпуклые
пространства, на которых нет непрерывных норм. Например,
таковы любая бесконечная степень вещественной прямой с обычной
топологией произведения и пространство £(IRn) (пример 1.3.22).
Нормируемость обсуждается в § 1.5.
(ii) Легко видеть, что отделимость локально выпуклого
пространства равносильна следующему свойству: для всякого χ φ Ο
существует такая непрерывная полунорма р, что р(х) φ 0.

54
Глава 1. Введение в теорию
(Ш) Локально выпуклая топология, заданная набором
полунорм Q, сильнее локально выпуклой топологии, заданной
набором Р, в точности тогда, когда для для всякой полунормы ρ Ε V
найдутся полунормы gi,..., qn Ε Q и число С > 0, для которых
р{х) ^ C[q\(x) + · - · + qn(x)] ПРИ всех х.
В самом деяе^ при выполнении этого условия топология,
порожденная Q, мажорирует топологию, порожденную V. С другой
стороны, если всякая окрестность нуля во второй топологии
содержит окрестность нуля из первой, то множество {х: р(х) < 1}
должно содержать множество вида {х: qi{x) < г,г = 1,...,тг}
для некоторых <?ι,..., qn e Q и г > 0; тогда ρ < r~l(qi H hqn),
ибо иначе ввиду однородности обеих частей найдется элемент ж,
для которого q\{x) Η + qn(x) < ?·> н° р(х) > 1-
Следовательно, два набора полунорм V и Q на данном
пространстве задают одну и ту же локально выпуклую топологию
в точности тогда, когда в дополнение к указанному условию
выполняется и симметричное условие: для всякой полунормы q Ε Q
найдутся полунормы pi,... ,р^ Ε V и число Μ > 0, для которых
верно неравенство q{x) < М\р\(х) -\ + Рк(х)]·
В локально выпуклых пространствах имеется следующее
простое описание ограниченности.
1.4.11. Предложение. Чтобы подмножество В
локально выпуклого пространства Ε было ограниченным,
необходимо, чтобы на В была ограничена всякая непрерывная
полунорма на Е, и достаточно, чтобы на В была ограничена всякая
полунорма из какой-нибудь системы полунорм, задающей
топологию Е.
Доказательство. Если ρ — непрерывная полунорма на Е,
то множество Vp = {χ Ε Ε: р(х) < 1} представляет собой
окрестность нуля в Ε и потому для достаточно больших по модулю
скаляров t справедливо включение t~lB С У, если В ограничено; но
это значит, что р(х) < 1, если χ Ε t~lB, т.е. что ρ(ζ) < |ί|, если
ζ £ В. Таким образом, ограниченность на В всякой непрерывной
' полунормы доказана. Пусть теперь V — некоторая система
полунорм на Е, задающая топологию. Пусть ар = supxeBp(x) < оо
для каждой полунормы ρ Ε V', таким образом, если \t\ > αρ, то
В С tVp. Так как множества Vp образуют предбазу окрестностей
нуля, то и каждая окрестность нуля в Ε будет поглощать В, т. е.
множество В оказывается ограниченным. Иное обоснование
легко извлечь из предложения 1.4.6. D

1.4. Выпуклые множества
55
1.4.12. Предложение. Замыкание и закругленная оболочка
всякого ограниченного подмножества топологического
векторного пространства представляют собой ограниченные
подмножества. Выпуклая оболочка всякого ограниченного
подмножества локально выпуклого пространства таксисе является
ограниченным множеством.
Доказательство. Наше рассуждение основано на том, что
всякое топологическое векторное пространство обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из закругленных замкнутых
множеств, а всякое локально выпуклое пространство — базой
окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств. Поэтому для
проверки того, что некоторое множество является ограниченным,
достаточно в случае произвольного топологического векторного
пространства проверить, что оно поглощается всякой
закругленной замкнутой окрестностью нуля, а в случае локально
выпуклого пространства — что оно поглощается всякой выпуклой
окрестностью нуля.
Итак, пусть В — ограниченное подмножество
топологического векторного пространства Е, В — его замыкание, ТВ — его
закругленная оболочка и conv В — его выпуклая оболочка. Если
V — замкнутая закругленная окрестность нуля в£и для
некоторого числа t справедливо включение В С tV, то справедливы и
включения В С tV, ТВ С tV (так как, скажем, В — пересечение
всех замкнутых множеств, содержащих множество B,&tV — одно
из таких множеств). Если Ε — локально выпуклое пространство
и V — выпуклая окрестность нуля в Е, причем снова В С tV', то
conv В С tV, ибо conv В — пересечение всех выпуклых множеств,
содержащих B^W — одно из них. D
Выпуклая оболочка ограниченного множества
топологического векторного пространства, не являющаяся локально выпуклым,
не всегда ограничена (пример: шар в пространстве из
примера 1.3.16 или в пространствах L1/2 и Z1/2, описанных перед
следствием 1.11.14).
Отметим, что из этого предложения немедленно следует, что
закругленная замкнутая оболочка ограниченного подмножества
топологического векторного пространства также ограничена; то
же верно и для абсолютно выпуклой замкнутой оболочки
ограниченного подмножества локально выпуклого пространства.
Сложнее положение с сохранением компактности при таких операциях,
что обсуждается в § 1.8.

56
Глава 1. Введение в теорию
1.5. Конечномерные и нормируемые пространства
В этом параграфе приведены критерии принадлежности
топологического векторного пространства к перечисленным в
заглавии классам пространств; кроме того, доказано, что для
каждого натурального η с точностью до изоморфизма существует
ровно одно отделимое топологическое векторное пространство
размерности η над К, если К — полное нормированное поле.
Семейство подмножеств произвольного множества
называется центрированным, если оно непусто и пересечение всякого
конечного набора его элементов также непусто.
1.5.1. Теорема. Всякое отделимое топологическое
векторное пространство конечной размерности η над полным
недискретным нормированным полем Ж, изоморфно пространству Кп
(произведению η экземпляров поля К, рассматриваемого как
одномерное топологическое векторное пространство над К).
Доказательство. Мы приведем три доказательства.
Первое будет проходить в общей ситуации; остальные — в случае
локально компактного поля К. Так как всякие два векторных
пространства одинаковой размерности над одним и тем же полем
изоморфны как векторные пространства, достаточно доказать,
что произвольная отделимая топология τ в пространстве Кп,
превращающая его в топологическое векторное пространство,
совпадает с топологией произведения, которую мы обозначим через то·
Для этого мы покажем, что непрерывны в точке (0,..., 0) (а
потому и всюду) тождественные отображения /f: (Кп,то) —> (Кп,т)
и fg: (Кп,т) —> (Кп,то). Проверим, что непрерывность
отображения /γ вытекает из определения топологии произведения и
аксиом топологического векторного пространства. В самом деле,
пусть W — окрестность нуля в г и W\ — такая окрестность нуля
в т, что W\ + · · · + W\ С W (η слагаемых).
Обозначим символом ej элемент (0,..., 0,1,0,... 0) Ε Кп
(единица поля К на j-м месте). Пусть ау — такие положительные
числа, что kjej Ε W\ при \kj\ < otj (их существование вытекает из
того, что всякая окрестность нуля в топологическом векторном
пространстве — поглощающее множество). При ε > 0 положим
V£ = {х еКп: \\х\\ < ε}, где ||ж|| = maxj=iv..jn \xj\ — норма,
введенная в примере 1.3.5, так что V£ — окрестность нуля в (Кп,то).
Пусть еще а = min{ai,..., ап}. Тогда при χ = (х\,..., хп) Ε Va
(а это значит, что \xj\ < otj для каждого j G {1,2,...,η}) имеем

1.5. Конечномерные и нормируемые пространства
57
х Ε W\ + · · · + W\ С W. Таким образом, непрерывность
отображения fi в точке (0,..., 0) доказана.
Докажем теперь непрерывность отображения /^ в той же
точке. Так как множества {V£: ε > 0} образуют базу окрестностей
нуля в го, достаточно показать, что для каждого ε > 0 в τ
существует такая окрестность нуля W', что W С Ve. Доказательство
проведем по индукции. Сначала предположим, что η = 1. Пусть
ε > 0, к Ε Ve (т.е. \к\ < ε), к φ 0; такой элемент к
существует в силу недискретности поля К. Из отделимости пространства
(К1, г) вытекает существование в нем закругленной окрестности
нуля W, не содержащей элемента к. Для нее справедливо
включение W С Ve. Действительно, если бы это было не так, нашелся бы
элемент к\ Ε W\V£. Тогда |Α;χ| ^ ε, \к/к\\ < 1; в силу
закругленности W должно было бы выполняться включение к = ^-к\ Ε W,
которое на самом деле не выполнено. Таким образом, для η = 1
теорема полностью доказана (причем без использования полноты
поля К).
Докажем теперь, что если она справедлива для некоторого
η Ε IN, то она будет справедлива и для η + 1. Достаточно
показать, что (при этом предположении) отображение f£+1
непрерывно. Заметим, что каждое из пространств (Кп, то) полно в силу
полноты поля К; полнота произведения полных топологических
векторных пространств доказана ниже в предложении 1.7.10,
однако в рассматриваемом сейчас случае речь идет о произведении
полных метрических (нормированных) пространств, а полнота
такого произведения — стандартный факт элементарного
функционального анализа. Поэтому полно и каждое n-мерное
топологическое векторное подпространство пространства (Кп+1,т), ибо
в силу индуктивного предположения оно изоморфно
пространству (Кп,то). В силу леммы 1.3.11 отсюда следует, что в (Кп+1,т)
замкнуто всякое n-мерное векторное подпространство.
Для ε > 0 и j Ε {1,2,... ,η + 1} обозначим через Ve
множество {(/ci,... ,/cn+i) Ε Kn+1: \kj\ < ε}. Так как множества
Ve образуют предбазу окрестностей нуля в (Кп+1,то), для
доказательства непрерывности отображения f%+1 (в точке (0,... ,0),
значит, и всюду) достаточно показать, что, каковы бы ни были
ε > 0 и j Ε {1,2, ...,η + 1}, существует такая окрестность нуля W
в топологии т, что W С V£. Из недискретности поля К вытекает
существование такого к Ε К, к φ 0, что kej Ε Ve (т.е. \к\ < ε).

58
Глава 1. Введение в теорию
В силу замкнутости в τ подпространства
Gj = {(ku...,kn+1)eKn+1: \kj\ = 0}
в τ существует такая закругленная окрестность нуля Wo, что
(kej + Wo) Π Gj = 0. Следовательно,
kej £ Gj + W0. (1.5.1)
Выведем отсюда, что Wo и представляет собой окрестность
нуля в г, содержащуюся в Vi. Доказывается это с помощью
рассуждения, аналогичного использованному выше при
доказательстве включения W С Ve. Пусть а = (&ι,..., кп+\) Ε Wo, a $lV£.
Ввиду закругленности Wo имеем ka/kj Ε Wo (так как \k/kj\ < 1
в силу того, что \к\ < ε, \kj\ ^ ε); но это противоречит (1.5.1), ибо
ka/kj Ε kej + Gj. Первое доказательство теоремы закончено.
Остальные два доказательства отличаются от приведенного
только своими нетривиальными частями, состоящими в
проверке непрерывности отображения f%. Однако эти доказательства
применимы лишь в случае, когда топологическое поле К
локально компактно. Из локальной компактности поля К вытекает
локальная компактность пространства (Кп,то), следствием чего
является компактность в топологии т$ каждого замкнутого шара
W£ = {х £ К.п: \\х\\ ^ ε}, которая и будет использоваться в
дальнейшем. Одно из этих доказательств — его мы приведем
первым — основано на понятии фильтра, благодаря чему оно
применимо не только к топологическим векторным пространствам, но
и к псевдотопологическим векторным пространствам
(определение псевдотопологического пространства можно найти в § 4.10(vi)
или в книге Смолянов [146]).
Итак, предположим, что отображение /% не является
непрерывным (в силу его линейности это равносильно тому, что /^ не
является непрерывным в нуле), и приведем это предположение
к противоречию. Так как /% разрывно в нуле, то в Кп
существует фильтр Ф, сходящийся в топологии τ к нулю, но не сходящийся
в топологии то. Последнее, в свою очередь, означает, что
существует такое εο > 0, что для всякого φ Ε Φ справедливо
соотношение
φΠ(Κη\νεο)ϊ0, (1.5.2)
где Ve := {χ е Кп: \\х\\ < ε}, ε > 0.
Рассмотрим теперь два случая. Сначала предположим, что
существует такое с > εο, что для всех φ Ε Φ выполняется
условие (Wc \ V£o) Π φ Φ 0. Тогда множество {(Wc \ V£o) Π φ: φ Ε Φ}

1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 59
является базисом фильтра в Кп; если Φχ — (некоторый)
ультрафильтр, мажорирующий фильтр Фс, порожденный этим базисом,
то Φχ мажорирует и фильтр Ф. Кроме того, поскольку множество
WC\V£0 компактно в (Кп,то), то ультрафильтр Φ χ сходится в
топологии го к некоторому элементу а множества Wc \ V£0. Так как
по доказанному ранее отображение /f непрерывно, то
ультрафильтр Φχ сходится к α и в топологии т. Это противоречит
отделимости т, поскольку Φχ должен сходиться в топологии τ к нулю,
ибо Φχ мажорирует фильтр Ф, сходящийся к нулю. Полученное
противоречие означает, что для каждого О е$ существует φ Ε Φ
такое, что (Wc \ V£o) Π φ = 0 (и справедливо (1.2.2)). В
частности, для всякого с > 0 и всякого φ Ε Φ справедливо соотношение
(Kn\Wc)n<£> ф 0 (проверьте это); другими словами, все элементы
фильтра неограничены по норме.
Далее для η > 0 полагаем W^ = {k G К: \к\ < η}. Покажем,
что если η > 0, φ Ε Φ и вещественное с$ > во > 0 таково, что
существует элемент поля ко Ε К со свойством \ко\ = cq (такое cq
существует в силу недискретности нормированного поля К), то
(Wt-cp)n(WCo\Veo)^0.
Действительно, в силу неограниченности множества φ имеется
хо Ε φ такой, что \\хо\\ ^ 0)/τ?ο > 0, где 0 < 770 ^ η, и найдется
элемент поля kv Ε К, для которого \kv\ =770? причем существует
еще такой элемент к' Ε К, что
\к'\ = \\kv · х0\\ = г/о||жо|| ^ с0 = \\к0\\ > 0.
Поэтому
1*0Vtf| = (Ы/М) · N = (Ы/Н)г/о < 1 · η = η,
откуда k0kv/k' € W?j, (кок^/к^хо G W^j ■ ψ и
\\{k0kv/k')x0\\ = со · (l/|fc'|) · И Vo|| = со.
Значит, совокупность множеств
{(Wi-<p)n(Ws0\Veo): r/GlR, т/>0,^еФ}
образует базис фильтра в Кп, который в силу непрерывности
операции умножения также сходится в топологии τ к нулю.
Порожденный этим базисом фильтр обладает всеми теми свойствами
фильтра Ф, которые использовались в предыдущей части
доказательства. Как было показано, из них вытекает неотделимость

60
Глава 1. Введение в теорию
топологии т. Второе доказательство непрерывности
отображения /^, а тем самым и теоремы, для случая локально компактного
поля завершено.
Третье доказательство непрерывности отображения /^,
которое сейчас будет приведено, в идейном отношении очень близко
ко второму, однако не использует понятия фильтра. Мы проведем
его для случая К = С или К = К, хотя несложно его
адаптировать и к общему случаю локально компактного поля (сделайте
это в качестве упражнения). Снова предположим, что
отображение /% разрывно. Это значит, что существует ε > 0 такое, что
множество W£ не содержит никакой окрестности нуля в
топологии т. В частности, какова бы ни была замкнутая закругленная
окрестность нуля V в этой топологии, мы имеем V (£ W£. Из
этого следует, что V пересекается с множеством S£ = W£ \ V£.
Действительно, S£ есть сфера в К71 относительно нормы || · ||. Так
как существует такой элемент a Ε У, что а ^ We, то ||а|| = а > ε.
Из закругленности V и включения a Ε V получаем εα/α G У, но
||εα/α|| = ε, т. е. εα/α G S£ и VPiS£ φ 0. Множество W£ компактно
в го в силу локальной компактности поля К. Поэтому компактно
в го и множество S£. Так как отображение /f непрерывно (что
было доказано ранее), то множество S£ компактно и в
топологии г. С другой стороны, пересечение любых двух окрестностей
нуля — снова окрестность нуля. Значит, множества вида V Π 5ε,
где V — замкнутая закругленная окрестность нуля в г, образуют
центрированное семейство замкнутых подмножеств
компактного в топологии τ множества S£. Поэтому пересечение всех этих
множеств непусто; пусть а — один из его элементов. Тогда а
принадлежит каждой окрестности нуля в топологии г, что
противоречит ее отделимости. Третье доказательство теоремы также
завершено. D
1.5.2. Следствие. Всякое конечномерное подпространство
отделимого топологического векторного пространства над
полным полем замкнуто.
Доказательство. В этом случае Кп полно. D
1.5.3. Следствие. Пусть F — замкнутое векторное
подпространство конечной коразмерности в отделимом
топологическом векторном пространстве Е. Тогда всякое алгебраическое
дополнение G подпространства F в Ε является таксисе и
топологическим дополнением {см. пример 1.3.15).

1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 61
Доказательство. Факторпространство E/F отделимо и
конечномерно, причем естественная проекция π: Ε —> E/F
непрерывна. Ее сужение π\ο на G — алгебраический, а по
доказанной теореме и топологический изоморфизм G и E/F. Проекция
рс'- Ε —> G имеет вид рс = (π|<3)_1οπ и потому непрерывна. D
1.5.4. Определение. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε называется предкомпактным,
если для всякой окрестности нуля V в Ε можно найти такое
конечное множество {αϊ,..., ап} в Е, что А С Ufc=i(afc + V).
Множество {αχ,..., ап} называют конечной У-сетью (ε-сетью,
если V — шар радиуса ε в метрическом пространстве).
Нетрудно заметить, что всякий компакт в топологическом векторном
пространстве предкомпактен. Отметим (этот факт сейчас не
понадобится и поэтому будет доказан в § 1.8 после обсуждения
пополнений топологических векторных пространств), что
подмножество топологического векторного пространства предкомпактно
в точности тогда, когда его замыкание в пополнении этого
топологического векторного пространства компактно. Предкомпактные
множества называют также вполне ограниченными.
1.5.5. Лемма. Всякое предкомпактное подмножество
топологического векторного пространства ограничено.
Доказательство. Пусть А — предкомпактное
подмножество топологического векторного пространства Ε и V —
окрестность нуля в Е\ требуется доказать, что существует такое ν > О,
что А С tV при \t\ > v. Пусть W — такая закругленная
окрестность нуля, что W + W С У, и αχ,..., ап — элементы Е, для
которых справедливо включение А С Ufc=i(afc + W). Далее, пусть
ν > 1 таково, что {αχ,..., ап} С tW при \t\ > v. Тогда для таких
чисел t имеем
η
А С (J К + W) С tW + W С tW + tW = t(W + W) С tV,
fc=l
что показывает ограниченность A. D
1.5.6. Теорема. Чтобы отделимое топологическое
векторное пространство Ε над полем К = IR или К = С было
конечномерным, необходимо, чтобы оно обладало компактной
окрестностью нуля, и достаточно, чтобы оно обладало предкомпактной
окрестностью нуля.

62
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Необходимость ясна из теоремы 1.5.1,
так как отделимое топологическое векторное пространство (над
недискретным полным нормированным полем К) конечной
размерности η изоморфно — как топологическое векторное
пространство — пространству Кп, причем если S — компактная
окрестность нуля в К, то произведение η экземпляров
компактного множества S — компактная окрестность нуля в Кп.
Докажем достаточность (приводимое доказательство
принадлежит Глисону). Пусть V — предкомпактная окрестность нуля
в Ε и αχ,..., ап Ε Ε — такие элементы, что
V^ U{ak+2V)' (1·5·3)
fc=l
Мы покажем, что линейная оболочка множества А = {αχ,..., ап}
совпадает со всем пространством, т. е. что всякий элемент из Ε
является линейной комбинацией элементов множества А. Итак,
пусть Ъ Ε Ε и t G IR\0 таково, что tb Ε V. В силу (1.5.3)
существует такой элемент a/Cl Ε А, что tb — а/С1 Ε V/2. Если для
некоторого натурального г уже доказано, что существуют такие
а**,...,afcr Ε А, для которых tb~Y^rj=1 21_·?α^. Ε 2~rV (для г = 1,
как только что было отмечено, это верно), то, ввиду
вытекающего из (1.5.3) соотношения 2~rV С \Jk=i(2~rak + ^~r~lV),
существует такой элемент а^г+1 Ε Д что tb — Y^j=i 21~·7'α^. Ε 2_r_1 V.
Так как предкомпактное множество V ограничено, то отсюда
следует, что ряд Y^jLi ^l~^akj сходится к tb. Действительно, пусть
W — произвольная окрестность нуля в Ε и число го > 0
таково, что 2~rV С W при г > tq. Тогда для г > г о
справедливо включение tb — ΥΖ=\ 21_·7α^. Ε 2~rV С W. В то же
время Y^j-i 21~·7'α&. = Y27=i uiai Для кажД°г0 натурального г, где
^г = Σ/сеВгг 2l~fc> Бгг = {j: fcj = i, j < г}. Поэтому
существуют такие числа г/г £ К, г = 1,... ,тг, что v\ —> ^ при г —> оо
для всякого г Ε {1,..., п} (каждое число v\ является суммой
ряда, элементы которого образуют подпоследовательность
последовательности 2~п). Из аксиом топологического векторного
пространства вытекает, что ΥΖ=χ 21~·7'α^. —> Σ™=ι щеп при г —> оо.
В отделимом топологическом векторном пространстве
последовательность может сходиться только к одному пределу, поэтому
получаем tb = Y27=i viai· ^

1.5. Конечномерные и нормируемые пространства 63
А.Н. Колмогоров [362] открыл следующий важный факт.
1.5.7. Теорема. Чтобы вещественное или комплексное
топологическое векторное пространство было нормируемым,
необходимо и достаточно, чтобы оно было отделимым и обладало
выпуклой ограниченной окрестностью нуля.
Доказательство. Если ρ — норма на топологическом
векторном пространстве Е, порождающая топологию, то (по
определению топологии, порождаемой нормой) совокупность множеств
{х Ε Ε: ρ(χ) < ε}, каждое из которых выпукло, образует
базу окрестностей нуля в Е; так как каждая из них получается из
всякой другой путем умножения на скаляр, то каждая из них
является ограниченным множеством в Е.
Отделимость топологии Ε вытекает из того, что норма
обращается в нуль только на нулевом элементе пространства Е\
действительно, если χ Ε Ε, ρ(χ) φ 0, то χ ^ {ζ: ρ(ζ) < р(х)}.
Таким образом, необходимость условий теоремы доказана.
Докажем достаточность. Пусть V — выпуклая ограниченная
окрестность нуля в Е. В силу предложения 1.2.2 существует
закругленная окрестность нуля Wo С V. Ее выпуклая оболочка
W представляет собой выпуклую закругленную окрестность
нуля; она содержится в V и потому ограничена. Функционал Мин-
ковского pw множества W и является нормой на Е,
порождающей исходную топологию. То, что pw — норма, вытекает из
свойств W: pw{%) конечно для всякого xg£, ибо W
поглощающее; выпуклость W дает полуаддитивность р\у] закругленность
влечет равенство p(tx) = |ί|ρ(#) при всех t Ε К и χ Ε Ε; из
ограниченности W следует положительность pw на ненулевых
элементах. То, что эта норма порождает исходную топологию, следует
из того, что топология, порождаемая нормой pw, обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из всевозможных множеств вида
{х Ε Е: pw(x) < ε}, ε G (0,оо). Действительно, с одной
стороны, каждое из этих множеств является окрестностью нуля в
исходной топологии (это следует из справедливости для каждого ε
включения eW/2 С {χ Ε Ε: pw{x) < ε}; с другой стороны,
произвольная окрестность нуля Vb в исходной топологии содержит
одно из этих множеств, поскольку в силу ограниченности
множества W мы имеем включения {х Ε E: pw{x) < δ} С SW С Vo
для достаточно малого числа δ > 0. D
Выпуклость окрестности нуля важна: ненормируемое
пространство I1'2 (см. с. 117) имеет ограниченные шары.

64
Глава 1. Введение в теорию
1.6. Метризуемость
Здесь мы выясним условия метризуемости топологического
векторного пространства, но предварительно будет установлена
связь с метриками любой векторной топологии.
1.6.1. Теорема. Топология всякого топологического
векторного пространства может быть задана некоторым семейством
квазинорм.
Доказательство. Покажем сначала, что если (Ε,τ) —
топологическое векторное пространство и В = {Vn} —
последовательность его закругленных окрестностей нуля, для которой
K+1 + K+iCK VnG IN, (1.6.1)
то на векторном пространстве Ε существует такая квазинорма д,
что верны включения
[х е Е: q{x) < ^} С Vn С {х G E: q(x) < -^}. (1.6.2)
Обозначим через k(TN) множество конечных подмножеств IN и
через Qi — множество двоично-рациональных чисел из [0,1), т.е.
числа г G Qi имеют вид г = ]С&еФ(г) 2_/% гДе Ф(г) £ k(TN); если
г = 0, то Φ (г) = 0. Определим отображение W множества Qi
в множество подмножеств пространства Ε следующим образом:
W(r) = Ση(ΞΦ(Γ) Vn (в частности, для г = 2"п имеем W(r) = Vn;
W(0) = {0}). Таким образом, если 0 φ τ G Qi, то W(r) —
закругленная окрестность нуля в Е.
Для χ G Ε положим q{x) := inf{r G Qi: χ G W(r)},
если χ G \JrW(r), q(x) = 1, если χ £ UrW(r). Покажем, что q —
квазинорма на Е. Проверим сначала, что q — псевдонорма.
Непосредственно из определения q вытекает, что q(0) = 0 и q(x) G [0,1]
для всех χ G Е] из закругленности множеств W(r) вытекает, что
q(x) = q{—x) для всех χ G Ε. Покажем теперь, что
q{x\ + Х2) ^ ч{х\) + 9(^2) Vxi, X2 G Е. (1.6.3)
Если g(xi) + q{x2) ^ 1, то неравенство (1.6.3) выполняется, так
как всегда q(z) < 1. Пусть q(x\) + q{x2) < 1· Для доказательства
неравенства (1.6.3) в этом случае мы покажем, что
q(xi + х2) < q(xi) + ^(аъ) + 2ε Υε > 0. (1.6.4)

1.6. Метризуемость
65
Итак, пусть ε > О, причем q(xi)+q(x2)+2£ < 1. Тогда существуют
такие ri, Г2 G Qi, что гг· < q(xi) + ε, £; G W(ri), г = 1,2 (без
ограничения общности можно считать, что Г2 ^ Γι, значит, Г2 < 1/2).
Для доказательства (1.6.4) достаточно проверить включение
χι +#2 £ W{r\ + г2),
так как тогда q{x\ +X2) ^ Γι +Γ2 < q{x\) + #(#2) + 2ε, а для этого,
в свою очередь, достаточно доказать справедливость включения
W(n + г2) Э W(n) + W(r2). (1.6.5)
Отметим, что непосредственно из определения W (а также из
соотношений (1.6.1)) вытекает справедливость (1.6.5) для
случаев, когда Г2 = 0 и г\ — г2] в свою очередь, из (1.6.5) вытекает
монотонность W(·), т.е. W{r\) С W(r\ + Г2) при г* G Qi.
Перейдем теперь к общему случаю. Положим г = т\ + Г2,
г* = г^ г = 1,2 и построим по индукции конечную
последовательность некоторой длины so G IN, элементами которой
являются пары (rf,r2) чисел из множества Qi, такую, что для каждого
s G {1,..., so} верны соотношения
r{ + rs2=r, (1.6.6)
W{r{) + W{rs2) D W{rx) + W(r2), (1.6.7)
причем r2° = 0 и, значит, τ{° = г (при этом значение индекса so
последнего члена этой последовательности определяется на
последнем шаге построения, а то, что он существует, доказывается
после описания индуктивного процесса).
Построение такой последовательности и означает
доказательство включения (1.6.5), так как при s = sq включение (1.6.7) с ним
совпадает. Предположим, что j G IN, j^ 2 и для всех s G IN,
где s < j, пары чисел (г|,г|) из Qi, для которых справедливы
соотношения (1.6.6) и (1.6.7), построены. Определим т\ и г2
соотношениями
φ(4) = (ф(гГх) и ф^-1)) \ {ф^-1) η ф^-1)),
Ф(^) = (Ф(гГ1)ПФ(^2-1))-1 =
= {η€ΐΝ: η+ΐ€Φ(Γ{_1)ηΦ(^_1)}.
Покажем, что и для s = j соотношения (1.6.6), (1.6.7) верны.
Равенство (1.6.6) вытекает из справедливости аналогичного
равенства для s = j — 1 и определения множеств Ф(г?). Отметим,

66
Глава 1. Введение в теорию
что если s Ε Qi, s < 1/2, то Ф(з) — 1 = Φ(2s); в рассматрива-
7 — 1 7 — 1
емом случае отсюда и из соотношения гг + г2 = г < 1
вытекает, что г2 = 2s·7-1, где число s·7-1 определяется равенством
ф(^_1) = Ф(г{~1)ПФ(г32~1) (так что s·7-1 < 1/2). Справедливость
включения (1.6.7) вытекает из следующей цепочки соотношений:
W(n) + W(r2) С W(rj_1) + W{rjfl) =
= J2 W(2"n)+ Σ W{2~n) =
η€Φ(τ^_1) п€Ф(г^-1)
Σ W(2~n) + J2 W(2~n)+
пеФ^-1)^^-1) пеФ^-^пФ^-1)
+ Σ W{2~n) + J2 W{2~n) с
пеФ^'-^пФ^-1) пеФ^-1)^^'-1)
С Σ ^(2"П)+ Σ W(2-n) = W(r{) + W(4),
п£Ф(г{) п£Ф(г32)
где последнее включение вытекает из (1.6.1). Если множество
Ф(т*2) непусто, т. е. г2 Φ 0, то Ф(г2~ ) также непусто и
максимальное значение элементов числового множества Ф(г2) строго
меньше максимального значения элементов множества Ф(г2~ );
поэтому найдется такое j Ε IN, что Ф(г2) =.0 (значит, Ф(г2 ) = 0 для
всех целых к ^ 0); мы полагаем so равным наименьшему из
таких чисел j; на этом построение требуемой последовательности
заканчиваем. Таким образом, доказательство того, что q —
псевдонорма, завершено.
Проверим, что для q выполняются включения (1.6.2). Второе
из них вытекает из определения q\ первое — из определения q
и включения (1.6.1). Действительно, если q{x) < 2_n_1, то
существует г G Qi такое, что χ Ε W(r) и г < 2~п. Это означает, что
все числа из множества Φ (г) больше, чем п, откуда на основании
соотношения (1.6.1) следует, что
х е W(r) = Σ w(2~k) С Vn.
кеФ(г)

1.6. Метризуемость
67
Докажем теперь, что псевдонорма q является и квазинормой.
Справедливость свойства (5) из определения квазинормы
(пример 1.3.6) вытекает из того, что все множества W(r) (г φ 0)
поглощающие, а выполнение свойства (6) — из того, что все они
закругленные. Далее, покажем, что q имеет свойство (4) из
примера 1.3.6. Пусть t Ε IR и {хп} С Ε — такая последовательность,
что q(xn) —> 0; требуется доказать, что q(txn) —> 0, а для этого
достаточно проверить, что для всякого фиксированного j Ε IN
неравенство q(txn) < 2~3 выполняется для достаточно больших
η Ε IN. При этом ввиду закругленности используемых при
определении q множеств W(r) мы можем считать, что t > 0.
Обозначим через щ (произвольное) целое число, большее £, и пусть
j Ε IN, jo = j + щ. Тогда в силу (1.6.1) имеем
Vjo + V^ + '-' + V^cVj,
если число слагаемых слева равно 2nt. Пусть io Ε IN таково, что
при г > ίο справедливо неравенство q(xi) < 2-·70-1. Тогда для
таких г в силу (1.6.2) имеем Х{ G V}0, откуда
txi = —ntXi е —ntVjo С —2ntVjo С —Vj С К·,
щ щ щ щ J
так что q(tX{) < 2~3. Итак, q — квазинорма; заметим, что
выполнение свойства (6) вытекает, как отмечалось, из выполнения
свойств (4) и (5), однако для построенной функции q это свойство
очень просто проверяется непосредственно, что и было сделано.
Продолжим доказательство теоремы. Пусть U —
произвольная база закругленных окрестностей нуля в Е. Для V G U
обозначим через By последовательность {V^} элементов W, обладающую
свойством (1.6.1), для которой V\ = V, и через qy —
построенную по этой последовательности, как только что было описано,
квазинорму q на Е. Тогда в силу (1.6.2) множество квазинорм
{qy: V G U} задает исходную топологию. В заключение
отметим, что построенные квазинормы обладают тем свойством, что
q(Xx) ^ \X\q(x) при |λ| < 1. D
1.6.2. Замечание. Доказанная теорема утверждает, что на
пространстве Ε существует такое семейство V квазинорм, что
всевозможные шары с центром в нуле, соответствующие
квазинормам из V, образуют предбазу окрестностей нуля в Е. В
действительности же было показано, что все такие шары образуют
даже базу окрестностей нуля в Е.

68
Глава 1. Введение в теорию
1.6.3. Теорема. Если топологическое векторное
пространство Ε обладает счетной базой окрестностей нуля, то
существует квазинорма на Е, порождающая его топологию.
Доказательство. Пусть U = {V^} — счетная база
закругленных окрестностей нуля в Е. Положим V\ = V^1; если
множество Vn уже определено, то пусть V^+i — такой элемент W, что
Vn+i + Vn+\ С Vn и Vn+i С ΠΓ^ι1^1· Пусть q — квазинорма,
определенная по последовательности В = {Vn} так, как это было
сделано при доказательстве предыдущей теоремы. Тогда q задает
исходную топологию в пространстве Е. D
Теперь мы получаем простой критерий метризуемости.
1.6.4. Следствие. Топология топологического векторного
пространства Ε может быть задана метрикой в точности
тогда, когда Ε отделимо и обладает счетной базой окрестностей
нуля. При этом метрику можно взять инвариантной
относительно сдвигов. Если Ε локально выпукло, то его топология
задается счетным набором полунорм {рп}, а в качестве метрики
можно взять d(x, у) = Σ™=ι 2_η тт(рп(х — у), 1).
Доказательство. Необходимость данных условий
очевидна. Докажем достаточность. Если Ε имеет счетную базу
окрестностей нуля, то по теореме выше его топология задается одной
квазинормой q; это и означает, что топология Ε порождается
псевдометрикой вида ρ{χ\,Χ2) = 4{χι — χ2)\ эта псевдометрика
является метрикой, ибо Ε отделимо; ясно, что ρ инвариантна
относительно сдвигов. Если Ε локально выпукло, то его топология
задается набором полунорм (теорема 1.4.9), среди которых
можно выбрать счетную часть в силу наличия счетной базы
окрестностей нуля. Взяв такую часть {рп}, легко проверить, что d —
метрика, причем она задает ту же топологию, что и {рп}. Π
1.6.5. Теорема. Всякое топологическое векторное
пространство вполне регулярно, а всякое отделимое
топологическое векторное пространство является тихоновским.
Доказательство. Пусть F — замкнутое множество в
топологическом векторном пространстве Е, xq fi F и V — открытая
окрестность точки xq, не пересекающаяся с F. Возьмем такую
квазинорму q на Е, что {х: q(x) < 1} С V — хо (ее существование
вытекает из замечания 1.6.2). Функция f(x) = min(^(x — xq)A)

1.7. Полнота и пополнение
69
непрерывна наЕи обладает следующими свойствами: 0 < q < 1,
q(xo) = 0; q(x) = 1, если χ е F. D
1.7. Полнота и пополнение
Напомним, что последовательность {ап} в метрическом
пространстве (Μ, ρ) называется фундаментальной или
последовательностью Коши, если для каждого ε > 0 существует такое
no G IN, что @(ak,an) < ε при /с, η > по- Очевидно, что всякая
сходящаяся последовательность фундаментальна. Если Л —
подмножество (Μ, ρ) и всякая последовательность Коши в А
сходится к элементу из Л, то Л называется полным. Если это так для
А = М, то само Μ называется полным пространством.
Для произвольных топологических пространств понятие
последовательности Коши, а потому и приведенное определение
полноты, не имеет смысла; более того, может случиться, что на
одном и том же множестве Ε можно ввести две метрики ρχ и £2,
порождающие одну и ту же топологию, причем при наделении
одной из них Ε превращается в полное метрическое пространство,
а при наделении другой — в неполное. Например, если Ε = К1, то
относительно обычной метрики Q\{x,y) = \х — у\ оно полно, а
относительно метрики Q2{x,y) = arctg|x — у\ — нет, хотя топологии,
индуцируемые обеими этими метриками, совпадают.
В то же время существуют «геометрические» объекты,
близкие к топологическим пространствам, но обладающие многими
чертами, общими с метрическими пространствами, — так
называемые равномерные пространства, введенные А. Вейлем в 1938
году. Частными их случаями являются топологические группы и
топологические векторные пространства. Точнее, на
топологических группах и топологических векторных пространствах можно
ввести — но не единственным образом — равномерность,
порождающую исходную топологию (тем не менее при
дополнительном требовании инвариантности относительно сдвигов эта
равномерность оказывается единственной). Мы не будем
рассматривать произвольные равномерные пространства (о них можно
прочитать в книгах Бурбаки [28], Келли [73], Энгелькинг [186]
и очень кратко в § 1.12(i)); необходимые нам результаты о
топологических векторных пространствах, являющиеся фактически
частными случаями теорем о равномерных пространствах,
будут доказаны непосредственно (впрочем, доказательства теорем
для произвольных равномерных пространств мало отличаются от
доказательств их специализаций для топологических векторных

70
Глава 1. Введение в теорию
пространств). Далее в этом параграфе (£7,т) — топологическое
векторное пространство над полем вещественных или
комплексных чисел.
1.7.1. Определение. Последовательность {ап} С Ε
называется последовательностью Коти или фундаментальной
последовательностью, если для всякой окрестности нуля V из Ε
существует такое по Ε IN, что ап — а^ £V при n, k ^ по-
Подмножество А С Ε называется секвенциально полным,
если всякая последовательность Коти, состоящая из его
элементов, сходится к некоторому элементу из А.
Направленность {at}teT С Ε называется фундаментальной,
если для всякой окрестности нуля V из Ε существует такой
индекс to Ε Τ, что at — as G V при £, s ^ ίο·
В локально выпуклом пространстве фундаментальность
направленности {at}teT равносильна тому, что для всякой
полунормы ρ из задающего топологию набора и всякого ε > 0 есть такое
to G Τ, что p(at — as) < ε при ί, s ^ ίο-
Фильтр Φ подмножеств Е называется фильтром Коши, если
для всякой окрестности нуля V в Ε существует такое множество
F Ε Ф, что F — F Ε V (множество F, для которого выполнено
последнее включение, называется малым порядка V).
В частности, последовательность {ап} С Ε
фундаментальна, если соответствующий ей элементарный фильтр (его базисом
служат всевозможные множества Fn = {α^: к ^ η}) является
фильтром Коши. Другими примерами фильтров Коши
являются произвольные сходящиеся фильтры, в частности фильтр всех
окрестностей произвольной точки. Отметим еще, что фильтр Φ
подмножеств Ε является фильтром Коши в точности тогда, когда
фильтр Φ — Φ (так обозначен фильтр в Е, порожденный базисом
{А — В: А,В Ε Ф}) сходится к нулю. Поэтому фильтр,
мажорирующий фильтр Коши, сам является фильтром Коши.
1.7.2. Определение. Подмножество А С Ε называется
полным, если всякий фильтр Коши в Е, содержащий А в
качестве элемента, сходится к некоторому элементу из А.
Если всякий фильтр Коши в Ε сходится, то Ε называется
полным пространством.
Пространство Ε называется квазиполным, если всякое его
ограниченное подмножество содержится в полном множестве.
Полное метризуемое локально выпуклое пространство
называется пространством Фреше.

1.7. Полнота и пополнение
71
Ниже показано, что полнота А равносильна сходимости всех
фундаментальных направленностей в А. Поэтому полное
топологическое векторное пространство секвенциально полно (но не
наоборот). Далее, для подмножеств метризуемого
топологического векторного пространства Ε секвенциальная полнота и полнота
равносильны (это видно из наличия счетной базы нуля);
нетрудно проверить, что если ρ — инвариантная относительно сдвигов
метрика на Е, задающая его топологию (такая существует по
следствию 1.6.4), то полнота Ε как топологического векторного
пространства и полнота метрического пространства (Ε,ρ) —
также равносильные свойства. Легко видеть, что замкнутая часть
полного множества полна. Значит, квазиполнота Ε равносильна
полноте всех замкнутых ограниченных множеств в Е.
1.7.3. Предложение. Если Φ и Φ — фильтры в
топологическом векторном пространстве Е, причем Φ С Φ, Φ — фильтр
Коти и Φ сходится к элементу χ Ε Ε, то и Φ сходится к х.
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в Е;
покажем, что F С V+x для некоторого F Ε Φ (тогда V+x G Φ). Пусть
W — такая окрестность нуля в Е, что W + W С V. Так как Φ —
фильтр Коши, то существует такое F\ Ε Φ, что F\ — F\ С W, а так
как Φ сходится к ж, то найдется F<i Ε Φ такое, что i<2 С χ + W,
т. е. i<2 - χ С W. Положим F% = F\ Π i<2. Тогда F$ Ε Φ (и потому
F3 φ 0). При этом Fi - χ С Fi - F3 + F3 - χ С W + W С V, так
что можно положить F = F\. D
Отметим, что это предложение является обобщением
следующего факта: всякая фундаментальная последовательность
элементов топологического векторного пространства или
метрического пространства, содержащая сходящуюся
подпоследовательность, сама сходится к тому же пределу.
1.7.4. Следствие. Множество А в топологическом
векторном пространстве Ε полно в точности тогда, когда каждый
ультрафильтр Коши в А сходится.
Доказательство. Необходимость очевидна; с другой
стороны, если Φ — произвольный фильтр Коши в А, то ввиду
доказанного предложения его сходимость вытекает из сходимости
мажорирующего его ультрафильтра, автоматически
являющегося фильтром Коши. D
Теперь опишем введенную полноту топологических
векторных пространств в терминах направленностей.

72
Глава 1. Введение в теорию
1.7.5. Следствие. Множество А в топологическом
векторном пространстве полно в точности тогда, когда в А всякая
фундаментальная направленность сходится.
Доказательство. Пусть А полно и {xtjter —
фундаментальная направленность в А. Рассмотрим фильтр Ф, базой
которого являются всевозможные множества Ft := {xt'· t ^ s},
где s G Τ — фиксированный элемент, а также А. Из
определений ясно, что этот фильтр фундаментален. Ввиду полноты А он
сходится к некоторой точке χ G А. Пусть V — некоторая
окрестность х. Тогда по определению сходимости фильтра имеем V G Ф.
Это означает, что в V содержится какое-то из множеств Ft, что
доказывает сходимость {xt} к х.
Обратно, пусть в А всякая фундаментальная направленность
сходится. Проверим, что всякий фундаментальный ультрафильтр
Φ в Л сходится. Для этого с его помощью мы построим
фундаментальную направленность в А. Возьмем Φ в качестве
индексирующего множества, снабдив его естественным частичным
порядком по обратному включению, т.е. φ ^ φ при φ С φ. Так
как φ Π ф £ Φ для всех Ф, то получено направленное
множество. В каждом множестве φ G Φ выберем какой-нибудь
элемент χφ. Покажем, что направленность {χφ} фундаментальна.
Пусть V — окрестность нуля в Е. Ввиду фундаментальности Φ
найдется множество φ G Φ, для которого φ — φ С V. Тогда при
£, s ^ φ имеем xt G t С φ, xs E s С φ, откуда Xt — xs G V.
Значит, {χφ} фундаментальна и сходится к некоторому χ G А.
Тогда и ультрафильтр Φ сходится к х. В самом деле^ пусть W —
окрестность точки х. Надо показать, что W Π A G Ф. Если это
неверно, то A\W G Φ, как пояснялось в §1.1. Ввиду сходимости
{χφ} κ χ имеется φ\, для которого χφ G W при всех φ ^ φι, т.е.
при φ С φι. В частности, для всех ф = φι Π (A\W) мы должны
иметь Хф G W, что невозможно, ибо χψ G A\W. Π
Пусть локально выпуклое пространство Ε метризуемо и его
топология задана счетным набором полунорм {рп}. Из сказанного
выше следует, что Ε — пространство Фреше в точности тогда,
когда оно полно с метрикой с?(х, у) = Σ™=ι 2_n mm(pn(x — у), l).
1.7.6. Предложение. Пусть А — полное подмножество
локально выпуклого пространства Е. Тогда А полно в любой
локально выпуклой топологии на Е, более сильной, чем
исходная, и обладающей базой окрестностей нуля, состоящей из
множеств, замкнутых в исходной топологии.

1.7. Полнота и пополнение
73
Доказательство. Пусть то — исходная топология и τ —
более сильная топология с указанными свойствами. Если
направленность {at} С А фундаментальна в топологии т, то она
фундаментальна и потому сходится к некоторому a Ε А и в
топологии то. Покажем, что at —> α в т. Пусть V — то-замкнутая
окрестность нуля в т. По условию найдется такой индекс ίχ, что
at — asGV при всех t,s^t\. Поскольку as —> α в то и Л замкнуто
в то, то а^ — a G V при всех £ ^ ίχ, т. е. а* —> а в т. D
1.7.7. Следствие. В локально выпуклом пространстве
всякое полное в слабой топологии множество полно.
Замкнутость и полнота связаны следующим образом.
1.7.8. Предложение. Если топологическое векторное
пространство Ε отделимо и полно, то его подмножество А
замкнуто тогда и только тогда, когда оно полно.
Доказательство. Действительно, если А замкнуто и Φ —
фильтр Коши в Е, причем A Ε Ф, то Φ сходится в £ в силу
полноты Е, а его предел принадлежит А ввиду замкнутости А.
С другой стороны, если А полно, а — точка прикосновения
множества А и U — фильтр окрестностей нуля в Е, то (a + U) Π А
есть базис фильтра Коши Φ в Е, содержащего в качестве элемента
множество А. Так как А полно, то этот фильтр обязан сходиться
к некоторому элементу Ъ Ε А. В то же время он сходится к а; из
отделимости Ε следует, что а = b. D
1.7.9. Предложение. Если топологическое векторное
пространство Ε отделимо и секвенциально полно, то его
подмножество секвенциально замкнуто (т. е. содержит пределы всех
сходящихся последовательностей своих точек) тогда и только
тогда, когда оно секвенциально полно.
Доказательство. Обоснование этого предложения
аналогично обоснованию предыдущего; отличие лишь в том, что
вместо фильтров следует рассматривать последовательности. D
В связи со следующим предложением, в котором речь идет
о произведениях топологических векторных пространств,
заметим, что произведение произвольного семейства топологических
векторных пространств, наделенное топологией (тихоновского)
произведения, само является топологическим векторным
пространством (подробно о произведениях топологических
векторных пространств будет говориться в гл. 2).

74
Глава 1. Введение в теорию
1.7.10. Предложение. Произведение непустого семейства
топологических векторных пространств полно в том и только
том случае, когда полно каждое из
пространств-сомножителей. В частности, всякая степень прямой IR полна.
Доказательство. Для доказательства того, что из
полноты пространств-сомножителей Еа следует полнота их
произведения Е, достаточно заметить, что если Φ — фильтр Коши в Е, то
проекция его на каждое из пространств Еа снова является
фильтром Коши и что фильтр в Ε сходится в точности тогда, когда
сходятся все фильтры, являющиеся его проекциями. С другой
стороны, если одно из пространств семейства {Еа}, скажем Еао,
неполно, то пусть Фао — фильтр Коши в нем, не имеющий
предела, и для каждого α φ αο пусть Фа — фильтр всех окрестностей
нуля в Еа. Тогда фильтр-произведение есть фильтр Коши в Е,
не имеющий предела. D
1.7.11. Пример. Всякое бесконечномерное нормированное
пространство В со слабой топологией σ(Β, Вг) неполно.
Доказательство. Мы покажем, что для каждого
линейного функционала L Ε (β7)* найдется такая направленность ха Ε -В,
что 1{ха) —► F(l) для всех I Ε В'. Тогда, взяв разрывный
функционал F на В' (существующий на всяком бесконечномерном
банаховом пространстве), мы получим фундаментальную в
топологии σ{Β,Β'), направленность в В, не имеющую предела в В.
Для нахождения {ха} достаточно проверить, что для всякого
конечного набора /ι,...,Ζη £ Вг и всякого ε > 0 найдется вектор
ζ Ε В с F(li) = k(z). Существование такого вектора ζ следует из
доказываемой в § 1.11 теоремы Хана-Банаха, применяемой к
пространству (Β',σ(Β',Β)^ с учетом того факта, что пространство
непрерывных линейных функционалов на (Β',σ(Β',Β)) есть как
раз В (см. пример 1.3.23). D
Приведем экзотический пример полного локально выпуклого
пространства.
1.7.12. Пример. Локально выпуклое пространство Ε
полно в своей сильнейшей локально выпуклой топологии (см.
пример 1.3.18).
Доказательство. Напомним, что с использованием базиса
Гамеля {еа}аел в Ε сильнейшую локально выпуклую топологию

1.7. Полнота и пополнение
75
можно задать набором полунорм вида
Ρφ(χ) = ^2(Ρ(α)\χα\, где X = Y^Xaea,
а а
со всевозможными положительными функциями φ на множестве
индексов а. Предположим, что направленность {vt}teT
Фундаментальна по каждой такой полунорме и проверим, что она
сходится. Пусть vt = Σανί,οί€α- При каждом фиксированном а мы
получаем фундаментальность направленности координат {vt,a}·
Поэтому эта направленность сходится к некоторому скаляру са.
Заметим, что лишь конечное число скаляров са отличны от нуля.
В самом деяе^ если есть бесконечная последовательность сап Φ О,
то берем функцию φ, для которой φ(αη) = ^|can|_1 и φ (а) = О
для остальных индексов. Ввиду фундаментальности {vt} по
полунорме ρφ существует такой индекс ίο? что p<p(vt — vt0) ^ 1
при всех t ^ to· Значит, Σ™=ι п|сап|_1|г^ап - vto^n\ < 1 при
t ^ to. Ненулевых чисел vt0,an конечное число, поэтому при
некотором т > 1 имеем vt0,an — 0 для всех η ^ га. Таким
образом, Y^=mn\cari\~l\vt,an\ < 1 для всех t ^ t0. В частности,
mlc<*ml_1K,<*ml ^ 1 ПРИ t^to, откуда в пределе получаем
неверную оценку т\сагп \~г \сагп | ^ 1. Итак, имеется вектор ν = Σα с<*е<*·
При этом p<p(vt — ν) —> 0 для каждой полунормы ρφ
указанного вида. Действительно, взяв to при заданном ε > 0 так, что
P<p(vt — vs) < ε при £, s ^ ίο? мы получаем p(vt — ν) < ε при
t ^ ίο· В самом деле, зафиксировав £ ^ to и выделив все
ненулевые координаты vt^a и са векторов vt к ν (соответствующее
конечное множество индексов обозначим через М), мы находим:
p{vt—v) = ΣαβΜ ψ{α)\νι,α — са\ ^ £? ибо в неравенстве с конечным
числом слагаемых ΣαβΜ φ(α)\ν^α — va,s\ < ε для s ^ to можно
перейти к пределу по s. D
1.7.13. Определение. Отображение f подмножества А
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G называется равномерно
непрерывным на А, если для всякой окрестности нуля W в G существует
такая окрестность нуля V в Е, что если х\—х2 G V, х\,х2 £ А,
то f(xi) - f(x2) e W.
Из этого определения непосредственно вытекает, что
равномерно непрерывное отображение переводит фильтры Коши
пространства Е, состоящие из подмножеств Е, пересекающихся с А,

76
Глава 1. Введение в теорию
в фильтры Коши пространства G и поэтому непрерывно
(переводит сходящиеся фильтры в сходящиеся). Конечно,
непрерывность еще более ясна и без фильтров (предоставляем читателю
убедиться в это непосредственно).
Отметим, что всякое линейное отображение топологического
векторного пространства в топологическое векторное
пространство равномерно непрерывно, если оно непрерывно (в частности,
если оно переводит фильтры Коши в фильтры Коши); для
полилинейных отображений это уже не так: функция /(ж, у) = ху для
ж, у Ε IR переводит фильтры Коши в фильтры Коши (и
потому непрерывна), не являясь равномерно непрерывной. Наконец,
непрерывность отображения / части топологического векторного
пространства в топологическое векторное пространство, вообще
говоря, не влечет свойство переводить фильтры Коши в фильтры
Коши (пример: f(x) = tg(x)), но для отображения, определенного
на полном подмножестве топологического векторного
пространства, непрерывность эквивалентна свойству переводить фильтры
Коши в фильтры Коши.
1.7.14. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, Η — его всюду плотное подмножество
(необязательно являющееся векторным пространством) и f —
отображение Η в полное отделимое топологическое векторное
пространство G. Если f равномерно непрерывно на Н, то его
можно продолжить, причем единственным образом, до
непрерывного отображения F: Ε —> G. При этом F автоматически
оказывается равномерно непрерывным.
Доказательство. Единственность продолжения, если оно
существует, следует из того, что два непрерывных отображения /
и д, совпадающие на всюду плотном множестве, совпадают
всюду. В самом деяе^ если f(a) φ #(α), то ввиду отделимости G
найдутся дизъюнктные открытые множества U Э f(a) и V Э д{а).
Взяв такую окрестность W точки а, что f(W) С U и g(W) С У,
получаем, что в W нет точек, в которых / и д равны.
Докажем существование отображения F. Зафиксируем
точку х. К ней сходится некоторая направленность точек xt G Η.
В силу равномерной непрерывности отображения /
направленность точек f(xt) фундаментальна в G и потому сходится к
некоторому элементу у G G. Положим F(x) := у. Легко проверить,
что у не зависит от выбора сходящейся к χ направленности. Из
э/гого следует также равномерная непрерывность F. D

1.7. Полнота и пополнение
77
1.7.15. Замечание. Аналогично доказывается, что если А —
подмножество некоторого топологического векторного
пространства, Η — плотное в А подмножество и / — равномерно
непрерывное отображение, определенное на Η и принимающее
значения в полном подмножестве G некоторого топологического
векторного пространства, то существует единственное продолжение
его до непрерывного отображения F: А —> G; это продолжение
равномерно непрерывно.
Отметим еще, что можно определить равномерную
непрерывность и для отображений метрических пространств в
метрические, метрических — в топологические векторные и
топологических векторных — в метрические. Например,
отображение f:E—>G метрического пространства (Ε,ρι) в метрическое
пространство (G, ^) называется равномерно непрерывным,
если для всякого ε > 0 найдется такое δ > 0, что из неравенства
£ι(χι,£2) < δ вытекает неравенство ^2(7(^1)5/(^2)) < £· Для
всех этих случаев справедливы аналоги доказанного
предложения с весьма близкими доказательствами; надо только в нужных
местах включения х\ — x<i Ε У, где V — подходящая окрестность
нуля, заменить неравенствами типа д{х\,Х2) < £·
На самом деле все эти факты являются частными случаями
общего результата для отображений равномерных пространств
в равномерные (см. Бурбаки [28], Келли [73], Энгелькинг [186]).
Оставшаяся часть настоящего параграфа будет посвящена
доказательству теоремы о пополнении топологического векторного
пространства, согласно которой всякое отделимое топологическое
векторное пространство может быть вложено как всюду плотное
топологическое векторное подпространство в полное отделимое
топологическое векторное пространство, определенное с
точностью до изоморфизма.
1.7.16. Определение. Пополнением топологического
векторного пространства Ε называется полное отделимое
топологическое векторное пространство Ε со следующим свойством:
Ε является топологическим векторным подпространством
пространства Е, всюду плотным в Е.
Для метрического Ε такое пополнение не тождественно
пополнению в категории метрических пространств, когда плотное
вложение Ε —> Ε должно сохранять расстояние, ибо теперь
требуется еще его линейность, но можно модифицировать
стандартную конструкцию пополнения метрического пространства.

78
Глава 1. Введение в теорию
1.7.17. Теорема. Каждое отделимое топологическое
векторное пространство Ε обладает пополнением, причем если G\
и G<i — два его пополнения, то существует единственный
линейный гомеоморфизм G\ на Gi, оставляющий все элементы Ε
неподвижными.
Доказательство. Предположим сначала, что Ε метризуе-
мо. Пусть ρ — квазинорма на Е, задающая инвариантную
относительно сдвигов метрику ρ на Е, порождающую исходную
топологию. Согласно известной теореме из курса анализа (см.,
например, Богачев, Смолянов [21, с. 23]), существует полное
метрическое пространство G, являющееся пополнением
метрического пространства (Ε,ρ). Мы покажем, что в G можно ввести
структуру векторного пространства, согласующуюся с тополо-
тией т, определяемой его метрикой, такую, что исходное
топологическое векторное пространство Ε окажется топологическим
векторным подпространством топологического векторного
пространства (G, г); это и будет означать, что G — пополнение Е.
Операции умножения элементов G на скаляр и сложения
элементов из G определяются путем продолжения по
непрерывности операций, имеющихся в топологическом векторном
пространстве Е. Существование и единственность таких продолжений
вытекает из замечания 1.7.15. С другой стороны, метрика qq на
пополнении является продолжением по непрерывности метрики
ρ на пространстве Е. Так как функция р также обладает
продолжением по непрерывности на все G и оба эти продолжения
единственны, то все используемые далее в этом рассуждении
тождества, которые были справедливы для продолжаемых функций,
будут справедливы и для их продолжений; в частности,
продолжение рс псевдонормы р оказывается псевдонормой на G,
связанной с метрикой ρο на G равенством £с(жъ#2) — Pg(xi — χ2)·
Поэтому топология, порождаемая ρο на G, согласуется со
структурой аддитивной группы векторного пространства.
Для доказательства того, что она согласуется и со
структурой векторного пространства, оказывается достаточно проверить
непрерывность операции умножения. Пусть fc, q Ε К, ж, ζ Ε G.
Тогда (k+q)(x+z) — kx = q-z-Vq-x-Vk-z. Поэтому для доказательства
непрерывности операции умножения на скаляр достаточно
проверить, что при фиксированных к и χ отображения ζ ·—> к · г,
G —> G, q ι—> q - χ, Κ —> G, а также отображение (д, ζ) н-> q · ζ,
К χ G —> G непрерывны в нуле соответствующих пространств.
Непрерывность (даже равномерная) первого из них вытекает из

1.7. Полнота и пополнение
79
его определения как продолжения по непрерывности равномерно
непрерывного отображения умножения на фиксированный
скаляр. Докажем непрерывность двух оставшихся.
Начнем с отображения q ι—> q · ж, К —> G, где χ —
фиксированный элемент G. Пусть последовательность {хп} С Ε сходится к х,
V — замкнутая окрестность нуля в G и W — такая закругленная
окрестность нуля в Е, что W + W С V. Сходящаяся
последовательность {хп} является последовательностью Коши, поэтому
существует такой номер щ Ε IN, что xs — xr Ε W при s,r ^ го-
Так как .Б — топологическое векторное пространство, то
существует такое ε > 0, что если ί Ε К, |£| < ε, то &гГо Ε W. Поэтому
для всех t Ε К таких, что \t\ < πήη(Ι,ε) при г ^ г$ верны
соотношения txr = txro + t(xr - xro) eW + tWcW + WcVr\E.
При фиксированном t отображение χ ι—> tx, как уже отмечалось,
непрерывно, поэтому tx = t lim xr = lim (txr) С V Π Ε С V при
г—кх> г—кх>
|£| < πήη(Ι,ε). Непрерывность отображения q\-^ q- x доказана.
Для доказательства непрерывности в нуле отображения
(q,z)^q-z, KxG-^G
достаточно заметить, что если V — замкнутая окрестность нуля
в G, то существуют ε > 0 и окрестность нуля W в Ε такие, что
q · ζ Ε V Π Ε при \q\ < ε, ζ Ε W. Действительно, тогда в
силу непрерывности отображения ζ ι—> q · ζ (при фиксированном q)
при каждом g, удовлетворяющем неравенству \q\ < ε,
справедливо включение qW С V Π Ε С V, и остается заметить, что W —
замыкание множества W в G — окрестность нуля в G. Таким
образом, в предположении метризуемости Ε существование его
пополнения доказано (можно дать и другие обоснования,
используя явные конструкции пополнения метрических пространств).
Пусть теперь Ε — произвольное отделимое топологическое
векторное пространство и?- множество квазинорм, задающих
его топологию. Для каждой квазинормы ρ Ε V обозначим
через Ер векторное пространство Е, наделенное топологией,
задаваемой квазинормой р, и через Ер — топологическое векторное
факторпространство пространства Ер по его замкнутому
подпространству р_1(0); его топология задается квазинормой pi,
определяемой так: если ζ Ε Ер, то ρι(ζ) = Ίηΐ{ρ(χ): χ Ε ζ}. Этот факт,
как и то, что р\ — действительно квазинорма, проверяется
непосредственно; при этом из отделимости факторпространства Ер
вытекает, что р\ обращается в нуль только на нулевом элементе.

80
Глава 1. Введение в теорию
Поэтому топология пространства Ер метризуема. Обозначим
через Ер его пополнение и для каждого элемента χ Ε Ε обозначим
через хр его канонический образ в Ер.
Положим G = Πρζ-ρΕρ. Пространство G полно как
произведение полных топологических векторных пространств. При этом
отображение F: Ε —> G, сопоставляющее каждому вектору χ Ε Ε
элемент (хр) Ε G, представляет собой линейный гомеоморфизм Ε
на его образ в G, наделенный индуцированной из G топологией.
Это следует непосредственно из определений топологии
произведения и топологии, задаваемой семейством псевдонорм.
Отождествим Ε с его образом F(E) и будем считать, что само Ε является
подпространством пространства G. Это означает, что мы
заменяем топологическое векторное пространство Ε на изоморфное ему
топологическое векторное пространство Ει = F(E); далее мы
будем обозначать его тем же символом Е, что и исходное
пространство. Тогда для топологического векторного
подпространства Ε пространства G, являющегося замыканием в G
подпространства Е, выполнены все нужные условия, чтобы Ε было
пополнением топологического векторного пространства Е. Таким
образом, существование пополнения для произвольного
отделимого топологического векторного пространства доказано.
Докажем его единственность. Пусть Е\ и £?2 — два
пополнения топологического векторного пространства Е, и / —
тождественное отображение Ε в себя. Так как Ε всюду плотно как в Е\,
так и в ΐ?2, то равномерно непрерывные отображения I и J = I~l
можно продолжить до непрерывных отображений /: Е\ —> £?2 и
J: Ε<ι —> Е\. Мы покажем, что / (значит, и J) — изоморфизм
топологических векторных пространств. Чтобы в этом убедиться,
достаточно заметить, что Jol и IoJ — тождественные отображения
соответственно пространств £?2 и Ει на себя, ибо они непрерывны
и являются тождественными на всюду плотных множествах. D
Из доказательства нетрудно усмотреть такой факт.
1.7.18. Следствие. Всякое отделимое локально выпуклое
пространство обладает единственным с точностью до
изоморфизма пополнением, являющимся локально выпуклым
пространством.
В категории локально выпуклых пространств можно
построить пополнение путем выделения некоторого подпространства

1.8. Компактные и предкомпактные множества
81
в (Е')* (см. §3.8). В категории метризуемых топологических
векторных пространств пополнение можно построить по методу
пополнения метрических пространств (задача 1.12.69).
1.8. Компактные и предкомпактные множества
В этом параграфе приводится сводка основных результатов
о компактных и предкомпактных подмножествах топологических
векторных пространств. Некоторые дополнительные результаты
будут получены в § 1.12.
Напомним еще раз, что подмножество К топологического
векторного пространства Ε называется предкомпактным, если
оно покрывается объединением конечного числа сдвигов каждой
окрестности нуля этого пространства. Как уже отмечалось,
компакт предкомпактен. Очевидно, что предкомпактные множества
обладают следующими свойствами:
любое подмножество предкомпактного множества пред-
компактно,
гомотетия и сдвиг предкомпактного множества предком-
пактны,
объединение любого конечного числа предкомпактных
множеств в одном пространстве предкомпактно.
В лемме 1.5.5 было показано, что предкомпактное
множество ограничено.
Приведем несколько чуть менее очевидных свойств
предкомпактных множеств в топологических векторных пространствах.
1.8.1. Предложение, (i) Замыкание предкомпактного
множества предкомпактно.
(и) Образ предкомпактного множества при равномерно
непрерывном отображении со значениями в топологическом
векторном пространстве предкомпактен.
(in) Векторная сумма конечного числа предкомпактных
множеств предкомпактна.
(iv) Закругленная оболочка предкомпактного множества
предкомпактна.
Доказательство, (i) Пусть множество S предкомпактно,
S — его замыкание и U — окрестность нуля. Ввиду
непрерывности сложения имеется такая окрестность нуля У, что v\ + V2 G U
при всех г?1,г?2 G V. Найдем точки si,...,sn G 5, для которых
S С U?=i(5i + ^)· Покажем, что 5 С U?=i(5i + *0· Пусть χ G 5. По
определению существует элемент sG*S, для которого χ — s G V.

82
Глава 1. Введение в теорию
Взяв г так, что s Ε Si + V, т. е. s = si + г>, ν Ε У, получаем
соотношение χ = s + # — £ = ^ + ^ + # — sEs^ + C/.
Утверждение (ii) легко усмотреть из определений, а
утверждения (iii) и (iv) выводятся из него следующим образом. Если
А и В вполне ограничены в £", то А + В есть образ множества
Ах В в Ε χ Ε при отображении (u,v) *-^и + уизЕхЕвЕ.
Очевидно, что Ах В предкомпактно, а указанное отображение
равномерно непрерывно. Аналогично закругленная оболочка S
есть образ S χ [—1,1] при отображении (x,t) ι—> tx, которое
равномерно непрерывно на всяком множестве вида Μ χ [—1,1], где
Μ ограничено в Е. D
Отдельно рассмотрим выпуклые оболочки.
1.8.2. Предложение. Выпуклая оболочка, абсолютно
выпуклая оболочка и замкнутая абсолютно выпуклая оболочка
предкомпактного множества в локально выпуклом
пространстве предкомпактны.
Доказательство. Пусть К — предкомпактное
подмножество локально выпуклого пространства Е, conv К — его
выпуклая оболочка. Мы покажем, что для всякой открытой
абсолютно выпуклой окрестности нуля V в Ε существует такой набор
{αϊ,... ,αη} С conv if, что conv К С UILi(a* + ^0· В силу пред-
компактности множества К найдутся такие точки ci,... ,cr Eif,
что К С {Ji=\ici + ^/2)· Пусть К\ — выпуклая оболочка точек
ci,...,cr. Множество К\ компактно в порожденном элементами
ci,... ,сг конечномерном подпространстве пространства Е, а
потому и во всем Е. Поэтому найдутся элементы αχ,...,αη Ε if,
для которых Κι С U?=i(a» + v/2)· Тогда conv if С U?=i(ai + v)·
В самом деяе^ всякий элемент conv К имеет вид χ = Σ^=1 tjbj,
где bj Ε К, Σ tj — 1? ^' ^ О· ДЛЯ каждого j = 1,2,..., s выберем
индекс r(j) так, что bj — cr^ Ε V/2. Тогда
s s
V := Σ Ι0°τϋ) ΕΚΐ И V-X = ^ ЬЫз) - Ьз) Ε V/2
в силу выпуклости V. Так как из включения ν Ε К\ вытекает
существование такого элемента а\ Ε if ι, что ν — αι Ε У/2, то
х - си = d - a{ - (v - x) Ε V/2 - V/2 = V/2 + V/2 = V,
где последние два равенства справедливы в силу абсолютной
выпуклости V. Таким образом, доказано, что χ Ε υΓ=ι(α* + ^0·

1.8. Компактные и предкомпактные множества
83
Утверждения об абсолютно выпуклой оболочке и замкнутой
абсолютно выпуклой оболочке следуют из уже доказанного. D
1.8.3. Пример. Пусть С0 — пространство всех вещественных
измеримых функций на [0,1] с топологией сходимости по мере
(пример 1.3.16). Пусть {εη} — последовательность вещественных
чисел, причем еп Ε (0,1), еп —> 0, Σ™=ι εη = оо. Для каждого η
определим функцию φη е так: если Sn — У^?_^ £r(niod 1) и
Sn < 5η+ι, то φη = 10η7η, где ηη — индикатор отрезка [Sn, Sn+i];
если Sn > Sn+i, то ψη = 10ηχη, где χη — индикатор объединения
отрезков [О,
Sn+i] и [sn? 1]· Множество
{0} U {φη: η е IN} U {-φη : η G IN}
компактно, но его выпуклая замкнутая оболочка совпадает со
всем пространством Τ и, таким образом, отнюдь не компактна
и даже не ограничена. Отметим, что ассоциированное отделимое
пространство L0 метризуемо, но не локально выпукло.
1.8.4. Пример. Пусть со — банахово пространство
стремящихся к нулю последовательностей вещественных чисел со
стандартной нормой ||(хп)|| — maxn |жп|, Ε — его линейное
подпространство, состоящее из всех финитных последовательностей (т. е.
последовательностей, имеющих лишь конечное число отличных
от нуля элементов) с индуцированной нормой. Рассмотрим
векторы еп = (0,..., 0,1,0,...), где единица стоит на п-м месте,
а остальные места заняты нулями. Множество К, состоящее из
сходящейся к нулю последовательности {еп/п} и нуля,
компактно. В то же время выпуклая оболочка conv К этого множества
замкнута и совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой, но не
компактна. Рассматриваемое как подмножество со, множество К,
разумеется, также компактно, но множество conv К не является
замкнутым в cq.
1.8.5. Предложение. Подмножество топологического
векторного пространства компактно в том и только том случае,
когда оно одновременно предкомпактно и полно.
Доказательство. Понятно, что из компактности вытекает
предкомпактность. Покажем, что из компактности подмножества
А топологического векторного пространства вытекает его
полнота. Пусть Φ — фильтр Коши в Е, причем A G Φ и Φ —
ультрафильтр, мажорирующий Ф. Тогда Φ сходится (поскольку
всякий ультрафильтр, содержащий компактное множество, сходится

84
Глава 1. Введение в теорию
к точке этого множества, см. задачу 1.12.27). В силу
предложения 1.7.3 сходится и фильтр Ф.
Покажем теперь, что если подмножество А топологического
векторного пространства Ε одновременно предкомпактно и
полно, то оно компактно. Пусть Φ — ультрафильтр в Е, A Ε Ф.
В силу предкомпактности А для каждой окрестности нуля V
пространства Ε существуют такие элементы αχ,..., ап из Е, что
А С υΓ=ι(α^ + ^0· Так как * — ультрафильтр, то найдется г, для
которого di + V G Φ (иначе Е\(а{ + V) Ε Φ при всех г, откуда
А 0 Ф). Отсюда следует, что Φ — фильтр Коши. В силу
предполагаемой полноты А он сходится к элементу множества A. D
Доказанное предложение является аналогом известного
результата о подмножествах метрических пространств.
1.8.6. Следствие. Подмножество топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в точности тогда, когда
оно относительно компактно в пополнении пространства Е.
В терминах фильтров есть такое условие.
1.8.7. Предложение. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в том и только
том случае, когда каждый содержащий его ультрафильтр в Ε
является фильтром Коши.
Доказательство. Выше мы уже видели, что всякий
содержащий предкомпактное множество ультрафильтр является
фильтром Коши. Докажем обратное. Предположим, что А не
является предкомпактным. Тогда в Ε существует такая окрестность
нуля V\ что никакое конечное семейство множеств вида a + V,
где a Ε Е, не покрывает А. Поэтому конечные пересечения
множеств А \ (а + V), где a Ε Е, образуют базис фильтра в Е.
Если Φ — некоторый ультрафильтр, мажорирующий фильтр,
порождаемый этим базисом, то по предположению он должен быть
фильтром Коши. Поэтому найдется непустое множество F Ε Φ
такое, что F — F С V. Значит, F — а С V для некоторого а Ε F,
т. е. F С а + V, так что а + V Ε Ф. Это противоречит тому, что
фильтр Φ содержит дополнения всевозможных множеств вида
а + V, где а Ε Е. D
1.8.8. Следствие. Подмножество А топологического
векторного пространства Ε предкомпактно в том и только том
случае, когда каждый содержащий его фильтр в Ε
мажорируется фильтром Коши.

1.8. Компактные и предкомпактные множества
85
Это аналог известного предложения из теории метрических
пространств, согласно которому подмножество метрического
пространства предкомпактно (вполне ограничено) в точности тогда,
когда каждая последовательность его элементов содержит
подпоследовательность Коши. Эти же утверждения можно
сформулировать на языке направленностей.
1.8.9. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство и А С Е. Множество А вполне ограничено
в точности тогда, когда из всякой направленности его
элементов можно извлечь фундаментальную поднаправленность.
Множество А компактно в точности тогда, когда из всякой
направленности его элементов можно извлечь сходящуюся в А
поднаправленность.
С учетом доказанного в § 1.7 получаем такой факт.
1.8.10. Следствие. Компакты полны. Значит, слабо
компактные множества полны.
Для компактов в топологических векторных пространствах
имеются аналоги утверждений, доказанных выше для предком-
пактных множеств.
1.8.11. Предложение, (i) Гомотетия, сдвиг и закругленная
оболочка компактного подмножества произвольного
топологического векторного пространства компактны.
(и) Объединение и векторная сумма конечного семейства
компактных подмножеств топологического векторного
пространства компактны.
(iii) Выпуклая оболочка объединения конечного семейства
выпуклых компактных подмножеств топологического векторного
пространства компактна.
(iv) Векторная сумма замкнутого и компактного
подмножеств топологического векторного пространства
представляет собой замкнутое множество.
Доказательство. Утверждения (i)-(iii) доказываются
аналогично случаю предкомпактных множеств. Докажем (iv). Пусть
А компактно, В замкнуто и направленность {wa} С А-\-В
сходится к некоторому элементу х. Так как wa = аа 4- Ьа, где аа Ε А,
Ъа Ε В, то ввиду компактности А найдется поднаправленность
{а^}, сходящаяся к элементу a Ε А. Тогда {Ьр} сходится к χ — α,
причем χ — a Ε В ввиду замкнутости В. Итак, χ Ε А + В. D

86
Глава 1. Введение в теорию
Из предложений 1.8.2 и 1.8.5, а также следствия 1.8.10
получаем такое утверждение.
1.8.12. Следствие. В локально выпуклом пространстве
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка предкомпактного
множества компактна в точности тогда, когда она слабо
компактна.
1.8.13. Предложение. Замкнутая выпуклая оболочка
предкомпактного подмножества полного или квазиполного локально
выпуклого пространства компактна.
Доказательство. Замкнутая выпуклая оболочка
множества К есть замыкание его выпуклой оболочки. Последняя пред-
компактна для предкомпактного К. Замыкание полно, если все
пространство полно или квазиполно (в последнем случае важно
еще то, что вполне ограниченное множество ограничено). Однако
секвенциальной полноты недостаточно (задача 5.12.98). D
1.8.14. Предложение. Всякое вполне ограниченное
множество в метризуемом локально выпуклом пространстве лежит
в замкнутой выпуклой оболочке некоторой последовательности,
сходящейся к нулю.
Доказательство. В силу метризуемости топология
данного локально выпуклого пространства Ε задается
последовательностью полунорм рп (см. §1.6). Можно считать, что рп ^ рп+ъ
перейдя к суммам р\ + \-рп· Пусть К вполне ограничено в Е.
Для каждой полунормы рп есть конечная 4_п_1-сеть Кп С К,
т. е. при любом k G К есть Vk Ε Κη с pn(k — Vk) ^ 4_n_1.
Множество (J^Li Кп плотно в К. Положим S\ := 2К\. Затем при η > 1
выберем конечные множества Sn в Ε следующим образом: для
каждого ν Ε Кп найдем элемент и Ε Кп-\ с ρη-ι(ν — и) ^ 4_п
и образуем элемент χ := 2η(ν — и) Ε Ε. Множество Sn так
полученных точек χ имеет мощность не более мощности Кп.
Последовательность {жп}, полученная поочередной нумерацией
точек из 5Ί, $2, · · ·, сходится к нулю по каждой полунорме рт, так
как pn-\(2n{v - и)) < 2~п, т.е. рп-\(х) < 2~п при всех χ е Sn.
Нетрудно проверить, что каждый элемент ν Ε Кп имеет вид
ν = 2~1χι1 + · · · + 2~nXin и потому лежит в абсолютно выпуклой
оболочке последовательности {χι} = {J^=iSn. Значит, {J^=iKn
входит в замкнутую выпуклую оболочку {хп} U {—хп}. При этом
К лежит в замыкании (J^Li Кп. См. также пример 3.12.35. D

1.8. Компактные и предкомпактные множества 87
1.8.15. Предложение. Если К — компакт в
топологическом векторном пространстве Ε и V — открытое покрытие
этого множества, то существует такая окрестность нуля W
в Е, что для каждого χ Ε К множество χ + W целиком
содержится в одном из множеств семейства V.
Доказательство. Для каждого χ е К пусть Vx —
окрестность нуля в Ε такая, что χ + Vx С V для некоторого V Ε V.
Для каждого χ Ε К найдется такая открытая окрестность
нуля Wx в Е, что Wx + Wx С Vx. Семейство {χ + Wx: x Ε К}
образует открытое покрытие множества К. В силу
компактности К это покрытие содержит некоторое конечное подпокрытие
{χι + WXi: г = 1, 2,..., п}. Положим W = ПГ=1 WXi. Для всякого
χ Ε К существует такое х^ что xGXj + WXi. При этом
x + Wcx + WXiCXi + WXi + WXiCXi + VXi С V
для некоторого V Ε V. D
1.8.16. Теорема. Если К и F — непересекающиеся
компактное и замкнутое множества в топологическом векторном
пространстве Е, то существует непрерывная функция f: Ε —> IR,
обладающая следующими свойствами: если χ £ F, то f(x) = 0;
если χ е К, то f(x) = 1; 0 < /(ж) < 1 <?ая всех χ е Е.
Доказательство. Так как всякое топологическое векторное
пространство вполне регулярно (теорема 1.6.5), то для каждого
χ Ε К существует непрерывная функция fx: Ε —> К, равная 0
на F, равная 1 в точке χ и такая, что 0 ^ fx(z) ^ 1 для всех
ζ Ε Ε. Положим Vx = {ζ Ε E: fx(z) > 1/2} для каждого х Ε Ε.
Каждое множество Vx открыто, К С []хек^х- ^ силу
компактности К существует такое конечное семейство {χχ,... ,жп} С К,
что UILi ^г ^ ^· Функция / на Е, определяемая равенством
f(z) = 2min(2_1,^l=1 fXi(z)), и есть та, существование которой
требовалось доказать. D
1.8.17. Следствие. В предположениях предыдущей
теоремы существуют такие непересекающиеся открытые
множества Vf и Vkj что F с Vf, К cVk-
На самом деяе^ так как в доказательстве этой теоремы нигде
не используется то обстоятельство, что Ε — топологическое
векторное пространство, обсуждаемым свойством обладает всякое
вполне регулярное топологическое пространство.

88
Глава 1. Введение в теорию
1.8.18. Предложение. Всякое непрерывное отображение
компактного подмножества топологического векторного
пространства в топологическое векторное пространство
равномерно непрерывно.
Доказательство. Пусть К — компакт в топологическом
векторном пространстве Е, f — непрерывное отображение К в
топологическое векторное пространство G, W — окрестность нуля
в G и V — такая окрестность нуля в G, что V + V С W. Из
непрерывности / вытекает, что для каждой точки χ G К существует
такое открытое множество Vx С Е, что f(Vx) С f(x) + V.
Множества VXl где χ G К, образуют покрытие множества К. Ввиду
предложения 1.8.15 найдется такая окрестность нуля Η в Е, что для
каждого ζ G К множество ζ Λ-Η содержится в одном из множеств
ЭТОГО ПОКрЫТИЯ. ЕСЛИ Х\,Х2 eK,Xi~X2 £ Η, ТО Χι G Х2+Н С Vx
для некоторого χ G К. Поэтому f(x\) G f(Vx), f(x2) £ Vx
(последнее включение вытекает из того, что Х2 G Х2 + Η С Vx), откуда
f{xi)-f{x2)ef{Vx)-f{vx)cv-vcw. D
Введем еще ряд полезных понятий, связанных с
компактностью. Пусть Τ — топологическое пространство (необязательно
являющееся векторным) и К С Т.
1.8.19. Определение. Множество К называют счетно
компактным, если всякое его бесконечное подмножество
обладает хотя бы одной предельной точкой, лежащей в К.
Множество К называют относительно счетно
компактным, если всякое его бесконечное подмножество обладает хотя
бы одной предельной точкой в Τ (при этом может случиться,
что ни одна из этих предельных точек не входит в К).
Множество К называют секвенциально компактным,
если всякая бесконечная последовательность его элементов
содержит подпоследовательность, сходящуюся к элементу из К.
Множество К называют относительно секвенциально
компактным, если всякая бесконечная последовательность его
элементов содержит подпоследовательность, сходящуюся в Т.
Известно, что для подмножеств метрического пространства
компактность, счетная компактность и секвенциальная
компактность равносильны и то же верно для соответствующих
относительных понятий. В общем случае (как легко проверить)
счетная компактность вытекает как из секвенциальной компактности,
так и из компактности, и никакие другие возможные импликации
между этими свойствами не имеют места (см. §3.4).

1.9. Линейные операторы
89
1.9. Линейные операторы
Здесь приведены базовые сведения о линейных операторах
в топологических векторных пространства. Начнем с критерия
непрерывности линейных и полилинейных отображений
топологических векторных пространств (над произвольным
топологическим полем К).
Пусть к G IN и Е\,... ,Еь и G — векторные пространства над
одним и тем же полем; отображение Ь: Ё\Х· · -хЕ^ —> G
называется полилинейным (к-линейным), если для всякого j G {1,..., к}
при всех фиксированных χi G Е{, где iG{l,...,/c}\{j},
отображение Ej —> G, χ ι—> b{x\,..., Xj-ι, χ, Xj+i, · · ·, #fc) линейно.
Отметим, что к = 1 не исключается, так что линейное отображение
является частным случаем полилинейного.
1.9.1. Предложение. Полилинейное отображение
произведения топологических векторных пространств E\X- -хЕ^ в
топологическое векторное пространство непрерывно в точности
тогда, когда оно непрерывно в точке (0,..., 0).
Доказательство. Проведем доказательство для
билинейного отображения. Пусть {χι,χζ) G Е\хЕ2\ докажем, что Ъ
непрерывно в точке {х\,Х2), если оно непрерывно в точке (0,0). Пусть
Wq — окрестность нуля в G и W — еще одна окрестность нуля
в G такая, что W^ + IV + ^C Wo· Обозначим через V\ и V<i такие
окрестности нуля в £ι и £2, что если h\ G Vi, /12 G V2, то имеем
включение b(/ii,/i2) G W. Теперь воспользуемся равенством
Ь(гъг2)-Ь(хъх2) =b(zi-xi,X2) + b(xi,Z2-X2) + b(zi-xi,z2-X2),
справедливым в силу билинейности Ъ. Пусть /ci,/c2 G К \ {0}
таковы, что kixi G Vu k2x2 е V2, V = Vi Π (fc2Vi), У" = У2 Π (fciV^).
Если даны элементы z\ £ x\ + V, Ζ2 G £2 + V77, то
= b(/c^1(^i-Xi),/c2X2)+b(^l^b^r4^2-^2))+b(^l-^b^2-^2),
что входит в множество W + W + W С Wo, ибо ^1{ζ\ — х\) G Vi,
fcjf {z2 — Х2) G V2. Это и означает, что Ъ непрерывно в {х\,Х2)>
При к = 1 обоснование еще проще: b(x + h) = Ъ{х) + Ь(/г). D
Отображение / называют секвенциально непрерывным, если
из равенства χ = lim жп следует, что fix) = lim f(xn)-
п—кх> η—кх>

90
Глава 1. Введение в теорию
1.9.2. Предложение. Всякое секвенциально непрерывное
полилинейное отображение из конечного произведения
топологических векторных пространств со значениями в
топологическом векторном пространстве переводит ограниченные
множества в ограниченные. В частности, это верно для
секвенциально непрерывных линейных отображений {тем самым для всех
непрерывных линейных отображений).
Доказательство. Утверждение ясно из предложения 1.4.6:
если множество В ограничено в Ε = Е\ χ · · · χ Ε^ и
полилинейное отображение /: Ε —> G секвенциально непрерывно, то
для любой последовательности элементов f(bn) из f(B) и любой
последовательности чисел tn —> 0 мы имеем tnf(bn) —> 0 в
силу секвенциальной непрерывности, ибо tnf(bn) = f(\tn\1^k)signtn
и \tn\l/kbn —> 0 (в случае К; случай С аналогичен). D
1.9.3. Теорема. Пусть Ε и G — локально выпуклые
пространства с задающими топологию наборами полунорм {ра}
и {qp} соответственно. Линейное отображение Τ: Ε —> G
непрерывно в точности тогда, когда при каждом β найдутся
конечное семейство Ρβ,αη · · · ιΡβ,αη 6 наборе {ра} и число С β, для
которых
ςβ(Τχ) < Οβ\ρβ,αι(χ) + · · · +Р/?,ап(я)], х е х-
В частности, непрерывность линейного функционала I на Ε
равносильна тому, что \1\ ^ С(ра1 Η ^Рап) для некоторых С ^ 0
и а\,..., ап.
Доказательство. Из указанной оценки следует
непрерывность Τ в нуле, а тогда и во всякой другой точке. Если же Τ
непрерывно, то для каждого β множество {χ: ςβ(Τχ) < 1} содержит
некоторую окрестность нуля вида {х: Роц(х) <£, · · · >Ραη (#)<£}·
Следовательно, из условия ραι (х)-\ \-рап{х) < ε следует
неравенство qp(Tx) < 1. Значит, в качестве С β можно взять ε-1. D
Эта теорема подсказывает способы введения локально
выпуклых топологий на пространствах линейных операторов из
локально выпуклого пространства Ε в локально выпуклое
пространство G. Пусть C(E,G) — множество всех непрерывных
линейных операторов из Ε в G, B(E, G) — более широкое в общем
случае пространство ограниченных линейных отображений из Ε
в G, т. е. переводящих ограниченные множества в ограниченные,

1.9. Линейные операторы
91
С(Е, G) — подпространство в В{Е, G), состоящее из
секвенциально непрерывных линейных отображений (ограниченность
секвенциально непрерывного линейного отображения следует из
предложения 1.9.2). Конечно, включение £(E,G) С B(E,G) очевидно
из определений. В случае общих топологических векторных
пространств используются такие же понятия и обозначения.
Пусть В — некоторый класс ограниченных множеств в
пространстве Ε и Q — некоторый класс непрерывных полунорм на G.
Тогда на С{Е, G) возникают полунормы
РВЛ(Т) = sup{q(Tx): хеВ}, В е В, q e Q.
Если Q есть класс всех непрерывных полунорм на У, то
получаем топологию равномерной сходимости на классе В. Для
класса В всех конечных множеств это дает топологию поточечной
сходимости в £(E,G). Часто применяются топологии
равномерной сходимости на вполне ограниченных или компактных
множествах. Если X и Υ — нормированные пространства, В состоит
из единичного шара в X, а единственным элементом Q является
норма У, то приходим к операторной норме на £(Х, Υ). В гл. 3
будет рассмотрен важный частный случай: топологии на Е'.
1.9.4. Определение. Пусть Ε и G — топологические
векторные пространства. Множество Τ С С(Е, G) называют
равностепенно непрерывным, если для всякой окрестности нуля V
в пространстве G есть такая окрестность нуля U в Е, что
f{u) G V при всех f G Τ, и Ε U.
В частности, множество Τ С Е' равностепенно
непрерывно, если для всякого ε > 0 найдется такая окрестность нуля
U С Е, что \f(u)\ < ε для всех и G U, f Ε Τ.
Множество Τ С С(Е, G) поточечно ограничено, если для
всякого χ G Ε множество {f(x): / G Τ} ограничено в G.
1.9.5. Предложение. Пусть Ε и G локально выпуклы.
Замыкание равностепенно непрерывного множества Τ С С(Е, G)
в топологии поточечной сходимости равностепенно
непрерывно, а если G квазиполно, то это замыкание полно.
Кроме того, ограничение на Τ топологии поточечной
сходимости совпадает с ограничением топологии поточечной
сходимости на множествах с плотными линейными оболочками,
а таксисе с ограничением топологии равномерной сходимости на
вполне ограниченных множествах.
Если Ε сепарабельно, то равностепенно непрерывные
множества в Е' в топологии поточечной сходимости метризуемы.

92
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Первое утверждение очевидно из
определений. Пусть Τ замкнуто и G квазиполно. Если направленность
{Fa} в Τ фундаментальна, т.е. для каждого χ Ε Ε
фундаментальна направленность {Fax}, то последняя сходится в силу
квазиполноты G, ибо она ограничена как подмножество множества
{Fx: F Ε J7}, ограниченного из-за равностепенной
непрерывности Τ. Непрерывность полученного в пределе линейного
отображения F также следует из равностепенной непрерывности Т.
Наконец, F Ε Τ, ибо Τ замкнуто.
Покажем теперь, что ограничение на Τ топологии
равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах
мажорируется ограничением топологии поточечной сходимости на
произвольном множестве А с плотной линейной оболочкой в Е. Пусть
S вполне ограничено в Ε и направленность {Fa} из Τ сходится
к F Ε Τ на каждом a Ε А. Проверим, что сходимость
равномерна на S. Можно считать, что F = 0. Зафиксируем
окрестность нуля V в G и найдем окрестность нуля U в Е, для которой
Fa(U) С V/2 при всех а. Выберем точки bi,... ,ЬП из линейной
оболочки А, для которых S С [Jl=i(U + Ьг), что возможно при
наших условиях. Возьмем од так, что Fabi Ε V/2 при а ^ од,
г = 1,..., п. Тогда Fa(S) Ε V при а ^ од, ибо для s Ε S имеем
s e bi + U при некотором г ^ п, откуда Fas Ε Fabi + Fa(U) С V.
Если в Ε есть счетное всюду плотное множество {αη}, то на Е'
задана метрика d(f,g) = Σ™=ι 2-nmin(|/(an) - #(an)|,l). Эта
метрика порождает топологию поточечной сходимости на
элементах {an}, поэтому на равностепенно непрерывных множествах
она порождает топологию поточечной сходимости. Несколько
более общий факт будет установлен в предложении 1.12.16. D
1.9.6. Предложение. Непрерывность линейного
функционала f на топологическом векторном пространстве Ε
равносильна замкнутости его ядра.
Доказательство. Если функция / непрерывна, то
множество /_1(0) замкнуто. Пусть множество G = Кег/ (являющееся
векторным подпространством в Е) замкнуто. Если G = Е, то
f(x) = 0 для всех χ Ε Е. Если G ^ Ε и а е E\G, то в силу
замкнутости G существует такая закругленная окрестность нуля V',
что (a + V) PiG = 0. Мы покажем, что функционал /наУ
ограничен; это будет означать, что / непрерывен. Положим /(a) = а.
Если множество значений функционала / на V не ограничено,
то существует элемент ζ Ε V такой, что \f(z)\ > \а\. Поэтому

1.9. Линейные операторы
93
\a/f(z)\ < 1, откуда z\ — —az/f(z) Ε V в силу
закругленности V, так что а + z\ Ε а + V. Этому включению противоречит
равенство f(a + z\) = f(a) — af(z)/f(z) = О, означающее, что
а + z\ Ε G (напомним, что (а + V) Π G = 0). D
1.9.7. Замечание. Сейчас было проведено
«непосредственное» доказательство. Его, однако, можно несколько упростить,
воспользовавшись понятием факторпространства. А именно:
если G = Кег/ — замкнутое подпространство в Е, то /
представляет собой композицию двух отображений: непрерывного
канонического отображения Ε на отделимое (в силу замкнутости G)
факторпространство E/G и некоторого линейного
функционала д на E/G, непрерывного в силу отделимости и
одномерности E/G.
Следующее предложение является усилением предыдущего.
1.9.8. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, А — его выпуклое закругленное
подмножество, f — линейный функционал на Е. Для того чтобы
сужение f на А было непрерывно в топологии, индуцированной из
пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы множество
А П Кег / было замкнутым в А в индуцированной топологии.
Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем
достаточность. Если / = 0 на А, то доказывать нечего. Пусть
существует элемент χ Ε Д для которого f(x) φ 0.
Мы докажем сначала, что, каково бы ни было ε > 0,
существует такая окрестность нуля V в Е, что |/(#)| < ε при χ Ε AC\V. Это
будет означать непрерывность /|д (сужения / на А) в нуле;
затем мы покажем, что из непрерывности функционала /|д в нуле
вытекает его непрерывность всюду. В силу закругленности А
существует такое a Ε Д что 0 < f(a) < ε. Тогда а <£ (2А)П Кег /, ибо
(2А)П Кег/ = 2(АП Кег/), причем последнее множество
замкнуто в 2А. Поэтому существует такая окрестность нуля V в Е, что
множество а + V не пересекается с (2А) Π Кег/. Отсюда следует,
что при χ Ε V Π А справедливо неравенство \f(z)\ < |/(α)|.
Действительно, в противном случае ввиду закругленности множества
VH А существует такой элемент ζ Ε ΫΠ А, что f(z) = —/(α). При
этом f(z + α) = 0, так что ζ + α Ε Кег/; в то же время, так как
множество А выпукло, ζ + α Ε (2Α) Π (α + V), что
противоречит соотношению (a + V) Π ((2А) Π Кег/) = 0. Таким образом,
непрерывность функционала /|д в нуле доказана.

94
Глава 1. Введение в теорию
Покажем, что из непрерывности /|д в нуле следует
непрерывность на А. Пусть V — такая закругленная окрестность нуля в Е,
что \f{x)\ < ε при χ е V Π А, и W — закругленная окрестность
нуля в Е, для которой W + W С V. Мы утверждаем, что если
a Ε А, х Ε (а + И^)ПЛ, то |/(ж) —/(а)| < 2ε (что и означает
непрерывность /|л в точке а). В самом деле, если ж G (а + W) Π Д то
ж - а Ε ((а + ИО - (а + W)) Π (Л - А) С У Π (2Α) = 2(2"V Π Л).
Значит, выполнена нужная оценка. D
В доказательстве можно (привлекая окрестности нуля) не
использовать то, что значения / лежат в числовом поле; так
измененное рассуждение применимо и к линейному отображению /
в любое топологическое векторное пространство. Поэтому для
непрерывности сужения такого отображения на закругленное
выпуклое подмножество достаточно непрерывности этого сужения
в нуле. Предложение 1.9.6 верно и для отображений в Жп
(задача 1.12.49).
Отметим одно интересное свойство гиперподпространств.
Напомним, что множество нигде не плотно, если в его замыкании
нет непустых открытых множеств.
1.9.9. Предложение. Всякое гиперподпространство в
топологическом векторном пространстве либо всюду плотно, либо
замкнуто и тогда нигде не плотно.
Доказательство. Пусть G — гиперподпространство в
топологическом векторном пространстве Е, причем G φ G.
Поскольку G — векторное подпространство в Ε (задача 1.12.33) и G С G,
то G = Ε (векторное подпространство данного векторного
пространства F, содержащее некоторое гиперподпространство
пространства F, но не совпадающее с ним, обязано совпадать с F).
Если же G замкнуто, то оно (как и всякое замкнутое
собственное векторное подпространство) нигде не плотно. В самом
деле, если V — непустое открытое в Ε множество, причем V С G
и a Ε V, то V\ = V — а — открытая окрестность нуля в Е,
содержащаяся в G. Поэтому Ε = U^Li η^ί С G, т.е. Ε = G. D
1.9.10. Пример. На всяком бесконечномерном метризуемом
топологическом векторном пространстве есть разрывный
линейный функционал: взяв линейно независимые векторы vn —> 0,
положим l(vn) = η и доопределим I по линейности (дополнив {νη}
до базиса Гамеля).

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 95
1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма
В различных разделах математики большую роль играют
теоремы о продолжении отображений. В функциональном анализе
часто используются теоремы о продолжении линейных
функционалов, первоначально определенных на векторных
подпространствах векторных (или топологических векторных) пространств
и удовлетворяющих некоторым условиям типа непрерывности
или каким-либо неравенствам. Эти теоремы могут быть
переформулированы как теоремы о расширении векторных
подпространств, не пересекающих заданное выпуклое подмножество, до
гиперподпространств. Различные варианты таких теорем обычно
называются теоремами Хана-Банаха, причем теоремы из первой
группы — теоремами Хана-Банаха в аналитической форме, а
теоремы из второй группы — теоремами Хана-Банаха в
геометрической форме. К теоремам Хана-Банаха в геометрической форме
примыкает теорема Какутани о расширениях непересекающихся
выпуклых подмножеств векторных пространств (геометрическая
форма теоремы Хана-Банаха может быть получена в качестве
ее следствия). Обо всех этих теоремах и пойдет речь ниже. Во
многих из них топология не используется.
В большинстве руководств по функциональному анализу
обычно сначала доказывается один из вариантов аналитической
формы теоремы Хана-Банаха, после чего в качестве следствия
получают теорему Хана-Банаха в геометрической форме; иногда
поступают и наоборот. В нашем изложении мы начинаем с
теоремы Какутани как наиболее «геометрической»; затем в
качестве ее следствия мы получаем геометрическую форму теоремы
Хана-Банаха, из которой выводим теорему Хана-Банаха в
аналитической форме. Приводятся и независимые доказательства двух
последних теорем, а также вывод геометрического варианта
теоремы Хана-Банаха из аналитического (что, в частности,
устанавливает их эквивалентность). Похожий метод доказательства
теорем Хана-Банаха применен в книге Хилле, Филлипс [166].
Если А, В, С, D — некоторые множества в общем
пространстве, то будем говорить, что пара (А, В) содержится в паре (С, D),
и писать (А, В) с (С, D), если А с С и В с D.
1.10.1. Теорема. (Теорема Какутани) Пусть Ε —
векторное пространство над полем вещественных чисел uV uW —
два его непересекающихся выпуклых подмножества. Тогда
существуют такие непересекающиеся выпуклые подмножества V\
и W\ пространства Е, что V С V\, W С W\ uV\\J W\ = Ε.

96
Глава 1. Введение в теорию
Доказательство. Рассуждение состоит из двух частей:
теоретико-множественной и геометрической.
Теоретико-множественная часть — доказательство того, что в множестве V всех
пар непересекающихся выпуклых подмножеств пространства Е,
содержащих пару (V,W), частично упорядоченном при помощи
введенного перед формулировкой теоремы отношения С,
существует максимальный элемент; геометрическая часть
представляет собой доказательство того, что каждый такой элемент — пара
множеств, существование которой утверждается в теореме.
Для доказательства существования в Ε максимальных
элементов нам достаточно проверить, что для V выполнены
условия леммы Цорна: если в V дана линейно упорядоченная часть
V\ = {(Va, Wa)}aeA, то пара (У, W), где V = \JaVa,W = \Ja Wa,
является мажорантой V\.
Действительно, непосредственно из определения этой пары
вытекает, что (уа, Wa) С (V, W) для каждого a Ε Λ; таким
образом, остается проверить, что множества V и W выпуклы и не
пересекаются. Если а, Ь Ε У, то существуют индексы α, β Ε Λ
такие, что a Ε Va, Ъ Ε V^; поскольку множество V\ линейно
упорядочено, то или Va С V/з, или Vp С Va. В первом случае а, Ь Ε λίβ
и, следовательно, [а, Ь] С Vp С V] во втором случае а, Ъ Ε Va и
[а, Ь] С Va С V, так что множество У выпукло; так же
доказывается и выпуклость множества W.
Покажем, что УПИ^ = 0. Если a Ε УПИ^, то a Ε VaPiWp для
некоторых а, /3 Ε Λ. Из линейной упорядоченности множества V\
вытекает, что или (Va,Wa) С (V^W^), или (V^,W/j) С (ya,Wa).
Тогда либо a eVar\ \Υβ С V# П W^, либо a eVaC\ Wa; каждое из
этих включений противоречит тому, что λίΊ Π W7 = 0 для
каждого 7 £ Λ по определению множества Р. Таким образом, для
Ρ выполнены условия леммы Цорна. Значит, множество
максимальных элементов множества V непусто; пусть (Voo, Woo) — один
из них. По определению V множества Voo и Woo выпуклы и не
пересекаются. Поэтому для проверки того, что пара (Voo, Woo)
является искомой, достаточно проверить равенство Voo U Woo = Ε.
Покажем, что если это равенство не выполняется, то пара
(Кю? Woo) не является максимальным элементом в множестве V.
Итак, пусть χ Ε Ε и χ φ. Voo U Woo- Обозначим через V^ и W^
выпуклые оболочки множеств {х} U Voo и {х} U Woo·
Мы покажем ниже, что справедливо хотя бы одно из равенств
V^n Woo = 0, Voo Π W^ = 0. В первом случае пара (V^,, Woo)
будет принадлежать множеству V и мажорировать пару (Voo, Й^оо)?

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 97
не совпадая с ней; во втором случае то же будет верно для
пары (Voo, W£>); таким образом, в обоих случаях окажется, что пара
(Кх>, Ж») не является максимальным элементом вопреки ее
выбору. Итак, переходим к доказательству того, что V^D Woo = 0 или
VcqPiW^q = 0. Предположим, что это не так, т. е. существуют
элементы с Ε V^flWoo и d Ε VooHW^q. Так как в силу вытекающей из
последнего равенства непустоты множества Voo справедливо
равенство V£q = UzeVoofo^]' т0 существует такой элемент a Ε V^,
что с Ε [ж, а]; аналогично d Ε [ж, Ь] для некоторого Ъ Ε Woo-
Не ограничивая общности, мы можем считать, что χ = 0
(чтобы этого добиться, достаточно все рассматриваемые множества и
элементы заменить их образами при сдвиге ζ ι—> ζ — χ; при этом
образом элемента χ как раз и будет нулевой элемент).
Таким образом, с Ε [Ο,α], d G [0, Ь], так что с = λα, d = vb,
λ, ν Ε [0,1] (отметим, хотя это и не используется дальше, что
в действительности λ, z/ Ε (0,1)). Покажем, что отрезки [с, Ь] и
[с?, а] пересекаются; так как [с, Ь] С Woo, а [с?, а] С Voo (ввиду
выпуклости множеств Woo и Voo), то это означает, что пересекаются
и множества Woo и Voo вопреки включению (Voo, Woo) £ ^·
Наша цель — доказать, что существует ζ Ε [с, Ь] Π [d, α].
Включение ζ Ε [с, Ь] равносильно равенству
z = tc+(l-t)b = tXa + (1 - ί)6, t Ε [0,1],
а включение ζ Ε [d, а] равносильно равенству
ζ = rd + (1 - τ)α = rub + (1 - τ)α, τ Ε [0,1].
Таким образом, для доказательства существования элемента ζ
в [с, Ь] Π [d, а] достаточно доказать, что существуют такие числа
t,rG [0,1], что справедливо равенство
tXa + (1 - t)b = rub + (1 - т)а;
для его справедливости, в свою очередь, достаточно
одновременного выполнения равенств
tX = 1 — τ, τν — 1 — £.
Последняя система уравнений совпадает со следующей:
τ + ίλ = 1, τι/ + ί = 1;
эта последняя система разрешима, каковы бы ни были г/, λ Ε [0,1],
причем всегда существует такое ее решение (г, £), что г Ε [0,1],
£ Ε [0,1]. Действительно, если ζ/, λ Ε [0,1], то определитель 1 — ζ/λ

98
Глава 1. Введение в теорию
рассматриваемой системы обращается в нуль лишь в случае,
когда ν = X = 1, т. е. когда оба образующих ее уравнения
совпадают (в действительности, как следует из сказанного выше, этот
случай невозможен), а тогда τ = t = 1/2 — решение системы,
-удовлетворяющее условию τ G [0,1], t G [0,1]. Если же 1 — Хи Φ О,
то решение системы дают равенства τ = γΞχί;, t = γΞ^- Так
как λ, ν G [0,1], 0 < 1 - λ < 1 - Χν, 0 < 1 - ν < 1 - Χν, то
τ,ί G [0,1]. Итак, отрезки [с,Ь] и [d,а] пересекаются. Тем самым
доказательство теоремы закончено. D
1.10.2. Теорема. Пусть Ε — топологическое векторное
пространство над полем вещественных чисел, V и W — его
непустые выпуклые подмножества, причем V PiW = 0, V UW = Ε
и G = V Π W. Тогда или G = Ε, или G — гиперплоскость в Е.
Доказательство. Покажем сначала, что G — линейное
многообразие. Предположим, что а, Ъ G G, и докажем, что для
всякого t G IR справедливо равенство c(t) = ία+(1—t)b G G. Если это не
так, то для некоторого to G IR получим c(to) = t$a + (1 — to)b £ G\
для определенности будем считать, что c(to) $. V (аналогично
рассматривается случай c(to) £ W). Таким образом, c(to) —
элемент открытого множества Ε \ V, содержащегося, ввиду
равенства V U W = Е, во внутренности W множества W, т. е. имеем
c(to) G W. Заметим, что to £ [0,1], так как иначе было бы
справедливо включение c(to) G G (ввиду выпуклости G). Рассмотрим
два случая: когда to > 1 и когда to < 0. В первом из них
а = t^c(t0) - ίο χ(1 " *о)Ь, t^1 + t^1 (-(1 - to)) = 1,
так что a G [с(£о),Ь); во втором —
Ь = (1 - ίο)_1φο) - (1 -ίο)_1ίοα, (1"ίο)"1 + (1 - ίοΓ^-ίο) = 1,
так что Ъ G [c(to)jfl)· Поскольку c(to) G W и Ъ G W, то по
предложению 1.4.1 в первом случае a G W, значит, в силу равенства
V HW = 0, входящего в условие теоремы, а £ V, что
противоречит включению a G G = VPiW. Аналогично во втором случае из
того же предложения и включения c(to) G W следует, что Ъ G W
в противоречие с включением Ъ G G. Итак, доказано, что G —
линейное многообразие.

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 99
Покажем теперь, что если G Φ Ε, то G — гиперплоскость
в Е. Пусть a Ε Ε \ G и для определенности а <£ W, так что
a Ε V, ибо V U W = Е. Из последнего равенства в силу
связности топологического векторного пространства и непустоты
множеств V и W следует, что G = V Π W φ 0. Пусть Ъ Ε G. Не
ограничивая общности, мы можем считать, что Ъ = 0, так что
G — векторное подпространство. Чтобы доказать, что G —
гиперплоскость, достаточно убедиться, что для всякого ζ Ε Ε
существуют элементы cq Ε G и £ Ε IR такие, что г = с$ + ta.
Так как α Ε V\ то —α ^ У (т.е. —α Ε VT), поскольку из
включения —а Е V и включения а Е У вытекает (в силу все того
же предложения 1.4.1), что а/2 + (—а)/2 = 0 Ε У, тогда как
в действительности 0 е G С W С Ε \V. Для определенности
будем считать, что ζ Ε V (случай ζ Ε W рассматривается
аналогично). Тогда множество [—α, ζ] Π G непусто. Действительно,
[—а, г]П(?= ([—а, г] Π У) Π ([—а, г] Π W), причем множества,
стоящие в круглых скобках справа, замкнуты в [—α, ζ] и непусты, их
объединение совпадает с [—а,г], а сам отрезок [—α,ζ] — связное
множество. Пусть d Ε [—а,г] Π G. Тогда d = τζ + (1 — т)(—α)
для некоторого τ Ε [0,1]; так как —а £ V, то τ φ 0; поэтому
ζ = d/r + (1 — т)а/т, что и требовалось доказать. D
Отметим, что никаких топологических ограничений на V и W
в теореме нет.
1.10.3. Замечание. В конце доказательства этой теоремы
было показано, что если в ее предположениях υ\ Ε W, V2 Ε У, то
[vbV2]nG^0.
1.10.4. Замечание. Если Ε — векторное пространство над
полем вещественных чисел, то множество А С Ε называется
конечно открытым (Хилле, Филлипс [166, с. 25]), если его
пересечение с каждым конечномерным подпространством
открыто (в единственной отделимой топологии этого подпространства,
превращающей его в топологическое векторное пространство, т. е.
в обычной евклидовой топологии).
Множество всех конечно открытых подмножеств векторного
пространства Ε образует топологию tq в Е, называемую конечно
открытой] она является самой сильной среди всех топологий,
которые индуцируют в каждом конечномерном подпространстве
евклидову топологию.

100
Глава 1. Введение в теорию
Обозначим еще через т\ самую сильную среди всех локально
выпуклых топологий в Ε и через Т2 самую сильную среди всех
топологий в Е, согласующихся со структурой векторного
пространства. Можно показать, что если Ε обладает не более чем
счетным алгебраическим базисом, то все эти три топологии
совпадают; если же нет — то все они различны (см. задачу 1.12.31
и пример prim2.3.4). Но и в последнем случае запас открытых
выпуклых множеств одинаков во всех этих трех топологиях.
1.10.5. Определение. Точка a Ε Ε назовем с-внутренней
(или алгебраически внутренней) для множества А С Е, если
выполнено следующее условие:
\/х е Ε 3ε > 0: (а - εχ, α + εχ) С Α.
Алгебраическим ядром множества назовем множество всех его
алгебраически внутренних точек.
Назовем множество с-открытым (или алгебраически
открытым), если все его точки являются с-внутренними (т.е. оно
совпадает со своим алгебраическим ядром); иначе говоря, множество
с-открыто, если оно пересекается с каждым одномерным
линейным многообразием в Ε по множеству, открытому в этом
многообразии, наделенном стандартной евклидовой топологией.
Даже на обычной плоскости Ш2 есть с-открытые множества,
не являющиеся открытыми. Таково, например, дополнение к
множеству {(х\,Х2) G И2: Х2 = х\,х\ > 0}. Однако каждое с-от-
крытое выпуклое подмножество произвольного векторного
пространства является открытым в каждой из только что
определенных топологий го, τι, Τ2· Более того, всякая с-внутренняя точка
выпуклого подмножества векторного пространства является в то
же самое время и внутренней в локально выпуклой топологии τ\.
Если выпуклое множество имеет топологически внутренние
точки, то его топологическая внутренность совпадает с
алгебраической (задача 1.12.81).
Можно показать (сделайте это), что Г является
гиперплоскостью в £ в том и только том случае, когда существуют
(ненулевой) линейный функционал / на Ε и скаляр а, для которых
Г = {х G Е: f(x) = а}. Если гиперплоскость Г не является
векторным подпространством, т. е. если а ф 0, то последним
соотношением функционал / определяется однозначно.
Если Г — гиперплоскость в векторном пространстве Ε и / —
функционал, о котором шла речь в предыдущем абзаце, то
множества {х: f(x) ^ а} и {х: f(x) ^ а} называются замкнутыми

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 101
полупространствами, определяемыми гиперплоскостью Г, а
множества {х: f(x) < α}, {χ: f(x) > a} — открытыми
полупространствами, определяемыми ею (даже если нет топологии в Е).
Первые два полупространства в самом деле замкнуты, а
вторые два — открыты в сильнейшей локально выпуклой топологии
на Ε (в этой топологии замкнуты вообще все векторные
подпространства). Однако из того, что в локально выпуклом
пространстве Ε замкнуты все векторные подпространства, вообще говоря,
не следует, что в Ε не существует более сильной локально
выпуклой топологии.
Если Ε — ненулевое топологическое векторное пространство,
а гиперплоскость Г замкнута в Е, то определяемые ею
замкнутые полупространства замкнуты, а открытые — открыты и в
исходной топологии Е; при этом замкнутые полупространства
являются замыканиями открытых (задача 1.12.40). Напомним (см.
предложение 1.9.6), что непрерывность линейной функции /
равносильна замкнутости ее ядра, значит, замкнутости
гиперплоскости {х: f(x) = а} при каком-нибудь (а тогда и при всех) а.
Введем еще одно важное понятие.
1.10.6. Определение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, Г — замкнутая гиперплоскость в Е, А и В —
подмножества Е. Говорят, что Г разделяет множества А и В,
если А и В содержатся в различных замкнутых
полупространствах, определяемых Г. Если же А и В содержатся в
различных открытых полупространствах, определяемых V, то
говорят, что Г строго разделяет А и В.
1.10.7. Замечание, (i) Если множества А и В открыты, то
разделяющая их гиперплоскость и строго их разделяет.
(и) Из определения вытекает, что множества А и В в
топологическом векторном пространстве Ε могут быть разделены
замкнутой гиперплоскостью в том и только том случае, когда на
пространстве Ε существует такой линейный непрерывный
функционал /, что f(a) ^ f(b) для всех a Ε А, Ъ Ε В\ эти множества
могут быть строго разделены гиперплоскостью в точности тогда,
когда Да) < f(b) для всех α G А, Ъ Ε В.
(Hi) Замкнутая гиперплоскость Н, проходящая через точку
множества А, называется опорной, если А целиком лежит в одном
из двух полупространств, задаваемых Н.
Основной результат о разделении выпуклых множеств
состоит в следующем.

102
Глава 1. Введение в теорию
1.10.8. Теорема. Пусть Ε — вещественное топологическое
векторное пространство, А и В — его выпуклые подмножества,
причем множество В и внутренность А множества А
непусты и не пересекаются. Тогда существует замкнутая
гиперплоскость Г, разделяющая А и В.
Доказательство. Как мы знаем, существуют
непересекающиеся выпуклые множества V, W С Е, для которых i С V,
В CW, VUW = Ε. Положим G = VriW. Так как VriW = 0,
следовательно, V Π G = 0, то из непустоты А вытекает, что G φ Ε.
Из предыдущей теоремы следует, что G — гиперплоскость в Ε
(здесь важно, что W и V непусты). Можно считать, что G —
гиперподпространство. Пусть / — линейный функционал, ядром
которого является G. Так как V Π G = 0, то на выпуклом
множестве V функционал / сохраняет знак; будем считать для
определенности, что f(x) > 0 при χ G V (тем самым f(x) > 0 при
χ е А). Поскольку УП(? = 0и7/0, то Сне является всюду
, плотным, следовательно, замкнуто. Каждая точка χ Ε А
является предельной для точек множества (ж, а], где а е Д
содержащегося в А. Поэтому f(x) ^ 0 для всех χ Ε А. Кстати, в этом
рассуждении используется только непрерывность сужения / на
отрезок [ж, а] и не используется непрерывность / на Ε (хотя она
имеет место в силу замкнутости G); на одномерном пространстве
любой линейный функционал непрерывен. Таким образом, чтобы
показать, что G разделяет А и Б, осталось доказать, что f(x) < 0
при χ е В. Если f(b) > 0 для некоторого Ь G β, то для всякого
χ Ε А на отрезке [ж, Ь] функционал / не обращается в нуль (он
линеен и на концах отрезка принимает значения одного знака).
Это означает, что [ж, Ь] Π G = 0, вопреки замечанию 1.10.3. D
Предположение о непустоте внутренности одного из множеств
А и В существенно в этой теореме.
1.10.9. Пример. Пусть JRl·00' — топологическая прямая
сумма счетного семейства вещественных прямых, т. е. множество всех
последовательностей вида (#ι,..., хП10,0,...), наделенное
сильнейшей локально выпуклой топологией, порожденной всеми
полунормами (общие прямые суммы обсуждаются в следующей
главе). Пусть А — подмножество Шл°°\ состоящее из векторов (хп),
у которых последняя ненулевая компонента положительна. Это

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 103
множество выпукло, так как если х,у G А имеют последние
ненулевые компоненты хп > 0 и ут > 0, где η ^ га, то хпЛ-уп > 0. Если
G — гиперплоскость в Шл°°) (заметим, что всякая гиперплоскость
замкнута, ибо всякая линейная функция на Шл°°)
непрерывна ввиду нашего выбора топологии), V и W — определяемые
ею открытые полупространства, то AdV ^ 0 и AdW ^ 0. См.
также пример с неразделимыми замкнутыми выпуклыми
множествами в пространствах I1 и I2 в задаче 1.12.72.
Приведем условие строгой разделимости.
1.10.10. Теорема. Пусть F, К — выпуклые подмножества
локально выпуклого пространства Ε над полем вещественных
чисел, причем F замкнуто, а К компактно и К Π F = 0. Тогда
в Ε существует замкнутая гиперплоскость, строго
разделяющая F и К.
Доказательство. Так как F замкнуто, то для каждой
точки a G К существует такая выпуклая закругленная окрестность
нуля У, что
{a + V)n{F + V) = 0. (1.10.1)
Действительно, в силу замкнутости F существует такая
выпуклая закругленная окрестность нуля, что
{a + W)C\F = 0. (1.10.2)
Чтобы получить (1.10.1), достаточно положить V = W/2. В
самом деле^ в этом случае при ζ G (V + F) Π (α + V) существуют
z\ G V, Z2 G V, χ G F такие, что а + ζχ = ζ = Z2 + х-, т. е.
a + z\ — Z2 = x. Поскольку a + z\ — Z2 G a + W/2 — W/2 С a + W,
но это противоречит (1.10.2).
Для каждого а £ К найдем такую закругленную выпуклую
открытую окрестность нуля Wa, что (a+Wa)Pi(F+Wa) = 0.
Множества а + Wa образуют открытое покрытие компакта К. Пусть
{αϊ + Wai} — некоторое конечное подпокрытие. Для окрестности
Wf = П?=1 W^ имеем (F + Wf) Π (UIUK + W^j) = 0. Тем
самым (F + Wf) ПК = 0.
Положим W' = Wf/2. Тогда (К + W')C\(F + W') = 0;
доказательство этого совершенно аналогично доказательству
соотношения (1.10.1) для V = W'/2. Пусть G — замкнутая гиперплоскость,
разделяющая открытые выпуклые множества К + W' и F + W'.
Ввиду замечания 1.10.7(i) она строго разделяет эти множества;
тем более она строго разделяет К и F. D

104
Глава 1. Введение в теорию
1.10.11. Замечание. В силу замечания 1.10.7(i) заключение
этой теоремы равносильно существованию на Ε такого
непрерывного линейного функционала /, что f{x\) < /(#2) для всех
χι £ К, Х2 € F. В действительности из условий доказанной
теоремы вытекает более сильное заключение: в этом случае на Ε
существует такой линейный непрерывный функционал /, что
sup f(x) < inf f(x).
хек X^F
В самом деле^ пусть G и W' — те же, что и в доказательстве
теоремы, и / — непрерывный линейный функционал на Е, ядром
которого служит G и который принимает положительные
значения на открытом полупространстве, содержащем F. Положим
7 = supxG^ /(#)· Пусть а — элемент К, на котором / принимает
значение η. Найдется такой элемент Ъ Ε W', что f(b) Φ 0, ибо
замкнутая гиперплоскость нигде не плотна. Можно считать, что
f(b) > 0, заменяя в противном случае Ь на — Ъ. Поскольку G
разделяет множества К + W и F + W1\ то для всех х\ Ε К, x<i Ε F
справедливы соотношения
/(xi) < 7 < 7 + f(b) = /(о) + f(b) = f(a + b)< f(x2),
где α + b Ε К + W7, так что справедливо доказываемое нами
неравенство.
1.10.12. Теорема. (Теорема Хана-Банаха в
геометрической форме) Пусть Ε — вещественное топологическое
векторное пространство, V — его непустое открытое выпуклое
подмножество и G — замкнутое линейное многообразие в Е, не
пересекающее V. Тогда в Ε существует замкнутая
гиперплоскость, содержащая G и таксисе не пересекающая V.
Доказательство. По теореме 1.10.8 существует замкнутая
гиперплоскость i?o, разделяющая V и G. Эта гиперплоскость не
пересекает У, ибо V открыто.
Пусть g — такой непрерывный линейный функционал на Е,
что Щ = {х е Η: g(x) = α}, где a Ε Ж, и, например, g(x) > a
для всех χ е V и д(х) ^ а для всех χ Ε G. Тогда существует
такое β Ε К, что д(х) = β для всех χ Ε G. В самом деле^ если
линейная функция д непостоянна на линейном многообразии G, то
множество ее значений есть К1, что невозможно, ибо д ^ а на G.
Разумеется, β < а. Множество {х е Е: д{х) = β} представляет
собой гиперплоскость, содержащую G и не пересекающуюся с V.

1.10. Теорема Хана-Банаха: геометрическая форма 105
Приведем еще одно — «непосредственное» — доказательство
этой теоремы. Обозначим через Vq частично упорядоченное
множество всех векторных подпространств пространства Е,
содержащих подпространство G и не пересекающих V.
Совсем просто проверяется (сделайте это), что множество Vq
удовлетворяет условиям теоремы Куратовского-Цорна; поэтому
в Vq существуют максимальные элементы; пусть Gm — один из
них. Таким образом, Gm — векторное подпространство
пространства Е, обладающее следующими свойствами:
(a) G С Gm; (б) Gm Π V = 0; (в) если L — векторное
подпространство пространства Е, содержащее Gm и не пересекающее У,
то L = Gm.
Покажем, что из того, что GfYi обладает тремя этими
свойствами, вытекает, что Gm — гиперподпространство,
существование которого утверждается в теореме.
Пусть Eq — топологическое векторное факторпространство
пространства Ε по его подпространству Gm. Тогда Gm —
гиперподпространство в точности тогда, когда Eq одномерно.
Таким образом, чтобы доказать, что Gm —
гиперподпространство, достаточно показать, что dim£?o — 1· Сейчас мы это и
сделаем. Из (б) и (в) вытекает, что Gm замкнуто. В самом деле,
замыкание Gm подпространства Gm представляет собой векторное
подпространство пространства Е, содержащее Gm и не
пересекающееся с множеством V (в силу того, что последнее открыто
и Gm его не пересекает). Поэтому Gm = Gm в силу (б). Значит,
пространство Eq отделимо. Обозначим через Vo образ V в Eq
относительно канонического отображения Φ: Ε —> Eq; Vq —
открытое выпуклое подмножество Eq, причем 0 ^ Vo, ибо V Π Gm = 0.
Предположим теперь, что dim£?o > 1, и покажем, что тогда
в Eq существует нетривиальное векторное подпространство Go,
не пересекающее Vo- Его прообраз Ф_1(Со) относительно
канонического отображения будет тогда векторным подпространством
в Е, содержащим Gm и не пересекающим V (так как Go Π Vo = 0,
то Ф_1(Со) Π Φ_1(νο) = 0, а поскольку V С Ф_1(Уо), то тем
более Ф_1(Со) Π V = 0). Поэтому в силу (в) должно выполняться
равенство Ф_1(Со) = Gm, но оно противоречит соотношениям
Ст = ф-1(0), G0#{0}.
Итак, осталось показать, что если dim£?o > 1, то в Ео
существует векторное подпространство Go положительной
размерности, не пересекающее Vo. Пусть ei, e<i — линейно независимые
элементы в Eq и £(βι,β2) — порожденное ими в Eq векторное

106
Глава 1. Введение в теорию
подпространство. Если £(βι,β2) Π Vo = 0, то можно положить
Go = £(βι,β2); предположим поэтому, что £(ei,e2)nVb = V\ Φ 0,
и покажем, что в С{е\,е2) имеется одномерное подпространство,
не пересекающее V\. Для каждого ψ Ε [0,2π) обозначим через
к (φ) множество («луч») {A(ei cos φ + β2 sin у?): λ > 0}. Поскольку
V\ выпукло и 0 ^ V\, то для каждого φ справедливо хотя бы одно
из равенств к (φ) Π V\ = 0, (—&(<£>)) Π Vi = 0.
Действительно, если это не так и λια(<ρ) Ε Vi, λ2α(<^) Ε Vi,
где α(<£>) = eicos^? + e2sin<£>, λι > 0, λ2 < 0 (равенства λ^ = 0
исключаются, так как 0 ^ Vi), то, поскольку выпуклая
комбинация -—Χια(φ) + -—А2а(<£>) элементов \\α(φ) и \2α(φ)
Αι + |Α2| Αι + |Α2|
обращается в нуль, оказывается, что 0 Ε Vi, но это неверно.
В частности, выполняется хотя бы одно из равенств &(0)nVi = 0,
(-Л(О)) Π Vi = 0. Меняя, если это необходимо, обозначения, мы
можем и будем считать, что справедливо первое из них.
Положим теперь
<^m = sup{^E [0,2тг): %>i)nVi = 0 V(^i Ε [0,^]}
и покажем, что (—к^т) U к((рт)) Π Vi = 0. Это будет означать,
что с Vi не пересекается одномерное пространство, порожденное
элементом а(у?т); этим подпространством и является множество
{0} Π fc(<pm) U (—&(<£>m)). Предположение, что к{1рш) PiVi Φ 0,
противоречит определению y?m в силу открытости Vi- В самом
деле, если Aa(<pm) Ε Vi, А > 0, то в силу непрерывности
отображения φ ι—> α(φ), [0,2π) —> С{е\,е2) существует такое ε > 0, что
Аа((^т -ε) Ε Vi.
Далее, если — Аа(<^т) Ε Vi, то ввиду открытости Vi
существует такое 5 > 0, что для всех ε Ε [0,5) справедливо включение
—Аа((^т + ε) G Vi. В то же время, согласно определению у?т,
среди таких ε существует ε7, для которого fc(y>m + ε7) Π Vi 7^ 0, т.е.
λια(<ρ™ + ε7) Ε Vi для некоторого Αχ. Из последних двух
включений с помощью выкладки, основанной на выпуклости V\ и
аналогичной приведенной выше, вытекает неверное включение 0 Ε Vi.
Итак, доказано, что в С{е\,е2) существует подпространство,
не пересекающее Vi = Vo Π £(βι,β2); его и можно принять за Go.
Таким образом, второе доказательство теоремы завершено. D
В следующем параграфе обсуждается еще один подход.

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма
107
1.11. Теорема Хана—Банаха: аналитическая форма
Изложенные выше результаты о разделении выпуклых
множеств можно представить в форме некоторых неравенств;
поэтому говорят о теореме Хана-Банаха в аналитической форме.
1.11.1. Теорема. Пусть Ε — вещественное векторное
пространство, Eq — его векторное подпространство, ρ —
сублинейная функция (см. § 1.4) на Е, принимающая конечные значения,
f — линейный функционал на Eq, причем для каждого χ Ε Eq
справедливо неравенство
f(x)^p(x). (1.11.1)
Тогда существует линейный функционал f на Е, сужение
которого на Е\ совпадает с f и который всюду на Ε удовлетворяет
неравенству f(x) < р{х). Иначе говоря, f можно продолжить
на все пространство Ε с сохранением неравенства (1.11.1).
Доказательство. Мы положим G = Ε χ К, G0 = Е0хЖ,
V = {(χ, t) Ε G: же£, p(x) < t} и обозначим через те и tq
сильнейшие локально выпуклые топологии в Ε и G соответственно.
Проверим, что V выпукло и открыто в топологии tq. Если
(ζι,ίι), (я2,*2) eV> *е[0,1], (яз,«з) = А(жь<1) + (1-А)(ж2,*2),
тор(жз) ^ λρ(χι) + (1 — Х)р{х2), ^з — λίι + (1 — λ)^2· Так как, кроме
того, р(хг) < ti, р(х2) < *2, то р(х3) < Xp(xi) + (1 - Х)р(х2) < *з,
так что (жз^з) £ V. Значит, V выпукло.
Открытость V в топологии tq вытекает из непрерывности
в этой топологии функции (x,t) ·—> t — р(х) из ЕхЖ в К,
следующей из непрерывности на (Ε,τε) сублинейной функции ρ (см.
упражнение 1.12.38). Установленные свойства множества V будут
нужны для применения теоремы 1.10.12.
Обозначим через Г график / на Е$\ Г —
гиперподпространство Go- Заметим, что из оценки f(x) ^ р(х) при χ £ Eq вытекает,
что ГПУ = Tn(VnG0) = 0. В самом деле, если (ζ,ί) e ГПУ, то
р(х) < £, ибо (ж,£) G У; с другой стороны, t = f(x), ибо (x,t) Ε Г,
так что f(x) > р(х) для некоторого χ Ε £?о? что невозможно.
В силу теоремы 1.10.12 существует гиперподпространство Гт
пространства G, содержащее Г и не пересекающееся с V
(множество Г замкнуто в топологии tq)· Покажем, что Гт есть график
линейного функционала / на Е, являющегося продолжением /
и удовлетворяющего для всех χ Ε Ε неравенству f(x) ^ р(х)·

108
Глава 1. Введение в теорию
Достаточно проверить три вещи:
(а) то, что Гт — график какой-то функции Ε —> Ж; тогда
в силу того, что Гт — векторное подпространство, эта функция
автоматически окажется линейной;
(б) равенство Гт Π G\ = Г — тогда этот функционал будет
продолжением /;
(в) выполнение требуемого неравенства для / при всех χ G Ε.
Для проверки (а) покажем, что если (#ο? ^ι) GTm, (#o? t2) GTm,
το t\ = t2. Если это не так, то р(хо) < Ati + (1 — A)t2 ПРИ некотором
λ G К. Например, при t\ > t2 это неравенство выполняется, если
λ = (р(ж0) - 2t2 + ίι)/(ίι - <2). Поэтому (a:0,Aii + (1 - \)t2)eV,
но ввиду соотношения У Π Гт = 0 это противоречит
включению (^ο,λίι + (1 — λ)^) G Гт, вытекающему, в свою очередь, из
включений (χο,ίχ) G Гт, (xo,t2) G Гт и линейности Гт.
Докажем (б). Прежде всего, Г С Гт Π Gi, так как Г С Гт
и Г С G\\ таким образом, достаточно показать, что Г С Гт Π G\.
Пусть χ G (Гт Π Gi)\r. Так как Г — гиперподпространство в Gi,
то наименьшее подпространство Τ пространства G\, содержащее
Г и ж, совпадает с G\ и потому пересекается с V (даже содержит
VflGi). Однако это противоречит тому, что TmnV = 0, Τ С Гт
(это включение вытекает из включений χ G Гт, Г С Гт).
Наконец, оценка f(x) ^ р(х) для всех χ G Ε вытекает из
равенства VГ\Тт = 0, ибо если f(xo) > р(хо), то (xo/f(xo)) G V,
что в силу включения (xo,f(xo),xo) G Гт противоречит только
что приведенному равенству. D
Если ρ — полунорма, то (1.11.1) равносильно оценке |/| ^ р,
но этот случай отдельно отмечен ниже в теореме 1.11.7.
Доказанную теорему в большинстве учебников по
функциональному анализу и называют теоремой Хана-Банаха (в полном
соответствии историческому порядку открытия обсуждаемых
результатов). Поэтому стоит привести еще ее непосредственное
доказательство (не опирающееся на геометрический вариант этой
теоремы). Обычно оно и приводится в учебных курсах.
Пусть V — частично упорядоченное множество, состоящее из
всевозможных пар (g, F), где F — линейное подпространство в Е,
содержащее Е\, д — линейный функционал на F, являющийся
продолжением функционала / и удовлетворяющий для каждого
χ G F неравенству д(х) < р(х).

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма
109
Порядок в V вводится так: (#i,Fi) < (52,^2) в том и только
том случае, если F\ С F<i и g<i является продолжением д\.
Непосредственно проверяется, что для V выполнены условия
теоремы Куратовского-Цорна. Поэтому в V существуют
максимальные элементы; обозначим через (до,^о) один из них и покажем,
что Fo = Ε. Это и будет означать, что областью определения
функционала до является все Е, т. е. что до и является тем
продолжением функционала /, существование которого требовалось
доказать.
Если Fo Φ Ε, то пусть хо Ε F, хо <£ Fo. Обозначим через F\
подпространство в F, порожденное хо и Fo, и покажем, что
вопреки максимальности (go,Fo) существует такое продолжение д\
функционала до на i*\, что (#i,Fi) Ε V. Если ζ Ε Fi, то
существуют (однозначно определяемые) а Е Fq и а Е К, для которых
ζ = а + сххо-
Далее, если д\ — тот функционал на i*\, существование
которого мы хотим доказать, то
9\{?) = 5о(а) + <*gi(x0) ^ р(а + ах0), (1.11.2)
ибо до(х) = 9ι{χ) на Fo и а Е Fo. С другой стороны, если
можно выбрать д\{хо) таким образом, чтобы последнее неравенство
было справедливо при всех α и а, то функционал, определяемый
посредством (1.11.2), будет требуемым.
Покажем, что такой выбор д\{хо) действительно возможен.
Для этого рассмотрим (1.11.2) отдельно для а > 0 и а < 0 (при
а = 0 это неравенство выполняется при любом выборе gi(xo), так
как (go,Fo) Ε V). Если а > 0, то (1.11.2) равносильно неравенству
51 (яо) <р(- + xoj -5o(-J;
если а < 0, то оно преобразуется так:
5о(—) -5i(zo) <р(~ жо)>
что равносильно неравенству
Таким образом, число 5ι(^ο) должно быть выбрано так, чтобы
при αϊ, α2 Ε Fo и αϊ, α2 Ε (0, оо) выполнялись неравенства:
р(— +хо) -5о( —) > 9i(xo) > -Р\— хо) ~5о( —)·
\а2 / V«2/ V—αϊ / \αι/

по
Глава 1. Введение в теорию
Чтобы такой выбор был возможен (напомним, что хо —
фиксированный элемент Е), необходимо и достаточно, чтобы было
выполнено неравенство
mf{p(b + x0)-go(b): beF0}^sup{-p(-b-x0)-9o(b): Ь е F0}
или, что равносильно, для каждых 6χ, Ъ2 £ Fq ~ неравенство
p(h + хо) - go(h) ^ -р(-Ь2 - хо) - go(h).
Последнее неравенство справедливо, так как
go(bi)-g0(b2)^p(bi-b2)=p(bi+x0-b2-xo)^p(bi+xo)+p(-b2-xo)
ввиду сублинейности р.
1.11.2. Замечание. Условие, что функционал ρ конечен,
существенно для справедливости теоремы Хана-Банаха в
аналитической форме. Действительно, пусть Ε = К2, а функционал
р: К2 —> IR определяется так: ρ(#ι, х2) = 0, если х2 > 0 или если
Х2 = 0, но χι ^ 0; в остальных случаяхр{х\, х2) = оо (это
функционал Минковского множества {(xi,x2) G К2: p(xi,x2) < 1}).
Положим Ει = {(#1,0): χι G К} и f(xi,0) = —χχ. Тогда f(x) ^ ρ{χ)
для χ = (xi,x2) G Ει, однако на Ε не существует линейного
функционала, являющегося продолжением / и
удовлетворяющего аналогичному неравенству. Это вытекает из того, что в Ε не
существует прямой («гиперплоскости»), проходящей через точку
(—1,0) и не пересекающей множество {(χχ,χ2): р(хх,х2) < 1}·
Мы привели два доказательства теоремы Хана-Банаха в
аналитической форме: непосредственное (самое последнее) и
опирающееся на геометрическую форму этой теоремы; в свою очередь,
эта последняя была доказана также двумя способами: с помощью
теоремы Какутани и опять-таки «непосредственно». Таким
образом, фактически мы привели даже три различных
доказательства теоремы Хана-Банаха в аналитической форме. При этом
каждое из этих доказательств состояло из двух частей: теоретико-
множественной, опирающейся на теорему Куратовского-Цорна,
и элементарной, относящейся по существу к геометрии
двумерных пространств, так что в идейном отношении все эти три
различных доказательства очень близки.
Приведем теперь вывод геометрической формы теоремы
Хана-Банаха из аналитической.

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 111
Пусть V — непустое открытое выпуклое подмножество
топологического векторного пространства Ε и G — векторное
подпространство в Е, не пересекающее V. Требуется доказать, что в Ε
существует гиперподпространство F, также не пересекающее V.
Пусть a G V (а φ 0), Va = V — α, Ga = G — α, ρ —
функционал Минковского множества Va, Eq — векторное подпространство
пространства Е, порожденное Ga. В Е$ подмножество Ga
является гиперплоскостью (не содержащей нулевого элемента).
Обозначим через /о функционал на Е\, для которого Ga = f$ (l).
Тогда fo(x) < р(х) при всех χ Ε Eq. Действительно, если для
некоторого хо Ε Ео это не так, т.е. fo(xo) > ρ(χο)·> то для
вектора ζ = xo/f(xo) справедливы соотношения fo(z) = 1 > p(z), но
содержащееся здесь равенство означает, что ζ Ε Ga, а
неравенство — что ζ G V; таким образом, совокупность этих включений
противоречит равенству (G — а) П V = 0.
Пусть / — продолжение /о н& все Е, удовлетворяющее
неравенству из формулировки теоремы 1.11.1, G' = {хеЕ: f(x) = 1}.
Тогда Ga С С и С Π V = 0. Включение очевидно; равенство
доказывается так. Пусть χ G G'PiV; тогда f(x) = 1 и р[х) < 1 в силу
открытости V, что противоречит неравенству / ^ р. Теперь для
завершения доказательства достаточно положить F = С + а.
Перейдем к обсуждению теоремы Хана-Банаха для
комплексных пространств. Здесь возникают нюансы, связанные с
линейностью над IR и С.
Пусть X — комплексное топологическое векторное
пространство. Обозначим через Xr вещественное топологическое
векторное пространство, которое состоит из тех же элементов, что и X,
т. е. Xr и X как множества совпадают, но в Xr допускается
умножение лишь на вещественные числа. Поэтому если χ Ε Xr, χ φ 0,
то также ίχ Ε Xr, но в Xr элемент гх не есть произведение χ на
число г (это произведение в Xr не определено); более того,
элементы χ и гх в Xr линейно независимы.
Совокупности окрестностей нуля, следовательно, замкнутые
и открытые множества в X и Xr одни и те же. Так как в
определении выпуклости фигурируют лишь вещественные числа, то
множество, выпуклое в X, выпукло и в Xr (и наоборот). Таким
образом, если X — локально выпуклое пространство, то Xr —
также локально выпуклое пространство.
Отметим еще, что множество, уравновешенное в X, будет
уравновешенным и в Xr, однако обратное может быть неверно.
Пример: отрезок [—х,х].

112
Глава 1. Введение в теорию
Пространство Xr называют вещественным топологическим
векторным пространством, ассоциированным с комплексным
топологическим векторным пространством X (или
овеществлением X). В пространстве X мы можем рассматривать
комплексные и вещественные линейные многообразия, последние —
линейные многообразия в Xr. В частности, мы будем рассматривать
комплексные и вещественные гиперплоскости. Например, С1 есть
комплексная гиперплоскость в С2, но не вещественная.
Вещественное линейное многообразие не будет, вообще
говоря, являться комплексным линейным многообразием. Так,
например, комплексная прямая, проходящая через точки 0 и χ φ 0,
содержит точку гж, а вещественная прямая, проходящая через те же
точки, точку гх не содержит. Тем не менее между комплексными
и вещественными плоскостями существует тесная связь, частный
случай которой описывается следующей леммой.
1.11.3. Лемма. Всякая комплексная гиперплоскость Η β Χ
есть пересечение двух вещественных гиперплоскостей, причем
последние замкнуты в случае замкнутой Н.
Доказательство. Пусть / — такой линейный функционал
на X, что Η = {χ: f(x) = а + г/3}. Положим ψ{χ) = Ref(x)
и ψ (χ) = 1ш/(ж), χ Ε X. Без труда проверяется, что φ и ψ —
линейные вещественнозначные функционалы на Xr. Тогда ясно,
что Η = Hi Π #2, где Н\ = {χ: φ(χ) = а} и Н2 = {χ: ψ(χ) = β}.
Чтобы установить замкнутость Hi и Н2 при замкнутости ii, надо
показать, что непрерывность / влечет непрерывность φ и ψ. Это
также ясно, ибо если существует окрестность нуля V в X такая,
что \f(x)\ < ε для всех χ G У, то тем более \φ(χ)\ < ε и \ψ(χ)\ < ε
для всех таких х. D
1.11.4. Лемма. Для всякого вещественного линейного
функционала φ на X найдется единственный комплексный линейный
функционал f такой, что ψ{χ) = Re f(x) для всех χ Ε Χ, причем
если функционал φ непрерывен, то f таксисе непрерывен.
Доказательство. Положим f(x) = φ(χ) — ίφ(ίχ). Тогда
f(xi + Х2) = φ{χ\) + φ(χ2) ~ ίφ(ίχι) - ίφ(ίχ2) = f(x\) + /(^2)·
Далее, если λ вещественно, то ясно, что f(Xx) = А/(ж). Наконец,
f(ix) = φ(ίχ) — ιφ{—χ) = ί[φ(χ) — ιφ{ιχ)} = г/(ж),
f(a + ίβ)χ = f(ax) + ί{ιβχ) = af(x) + iftfx) = (α + ίβ)/(χ).

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 113
Предположим, что существует другой комплексный линейный
функционал /ι такой, что fi(x) = φ{χ) + ίψ(χ). Тогда
fi(ix) = φ{ιχ) + ίψ(ίχ) = ifi(x) = ί[φ(χ) + ίψ(χ)],
т.е. ф(χ) = —φ{ίχ), и единственность / доказана. Если
функционал φ непрерывен, то для всякого ε > 0 найдется закругленная
окрестность нуля V такая, что \φ(χ)\ < ε/2 при χ G V. Тогда
гх Ε V и потому |г<^(гж)| < ε/2, откуда \f(x)\ < ε. D
1.11.5. Следствие. Если Щ — вещественное
гиперподпространство в X, то множество Я = Но Π %Hq — комплексное
гиперподпространство в X, причем Я замкнуто, если Но
замкнуто.
Доказательство. Пусть φ(χ) = 0 — уравнение Я0. Если
χ Ε гЯд, то χ = гу, у Ε Щ. Поэтому ψ{ιχ) = (f{—y) = 0.
С другой стороны, если φ(ίχ) = 0, то гх = ζ Ε Щ и потому
χ = —ίζ. Следовательно, уравнение подпространства гЩ
имеет вид φ(ιχ) = 0. Если функционал / определяется равенством
f(x) = φ{χ) — ίφ{ίχ), то подпространство Η = {χ: f(x) = 0}
состоит из тех и только тех точек χ Ε X, для которых φ (χ) = 0
и φ(ιχ) = 0, т. е. Я = Я0 Π гЯ0. D
Переходим к доказательству геометрической формы теоремы
Банаха-Хана для комплексных топологических векторных
пространств. Ниже рассмотрена аналитическая форма.
1.11.6. Теорема. Пусть X — комплексное топологическое
векторное пространство, А — непустое открытое выпуклое
множество в X и Ρ — комплексная плоскость, не
пересекающая А. Тогда в X существует замкнутая комплексная
гиперплоскость Н, содержащая Ρ и не пересекающая А.
Доказательство. С помощью сдвига можно добиться,
чтобы плоскость Ρ проходила через нуль. В этом случае гР = Р.
В вещественном пространстве Хд, ассоциированном с X,
множество А по-прежнему открыто и выпукло, а Р — подпространство.
Следовательно, по теореме Хана-Банаха для вещественного
случая существует вещественная замкнутая, проходящая через нуль
гиперплоскость Яд, содержащая Ρ и не пересекающая А. По
лемме 1.11.4 пересечение Я = Но ПгНо — замкнутая гиперплоскость
в X, проходящая через нуль. Ясно, что А П Я = 0, и поскольку
Ρ = гР С гЯ0, то Ρ С Я. D

114
Глава 1. Введение в теорию
Аналитическая форма теоремы Хана-Банаха была доказана
выше только для вещественных пространств. Для комплексных
пространств справедлив немного более слабый вариант
аналитической формы теоремы Хана-Банаха, который сейчас и будет
доказан, причем без использования аналитической формы теоремы
Хана-Банаха для вещественных пространств (хотя есть и
доказательство, использующее ее, см. Богачев, Смолянов [21]). Точнее
говоря, теорема, которая сейчас будет приведена, верна и для
вещественных, и для комплексных пространств.
1.11.7. Теорема. Пусть Ε — векторное пространство над
полем вещественных или комплексных чисел, ρ — полунорма на
Е, Eq — векторное подпространство пространства Ε и f —
такой линейный функционал на Eq, что \f(x)\ ^ р(х) для всех
χ Ε £?о· Тогда на Ε существует линейный функционал f,
обладающий следующими свойствами:
f(x) = f(x) для χ е Е0, \f(x)\ < р(х) для χ е Е.
Доказательство. Наделим Ε топологией тр, порожденной
полунормой р. Будем считать, что / φ 0 (в противном случае
теорема тривиальна) и потому существует элемент a Ε Eq такой,
что f(a) = 1. Тогда Е0 = {λα: λ Ε К} + L, где L = Kerf.
Образуем множество А = а + V, где V = {хеЕ: р{х) < 1} —
выпуклое закругленное поглощающее множество; в топологии тр
множество А открыто. Если χ е Α Π Eq, то χ = а + у, у е V
и f{x) = f(a) + f(y) = l + f(y) φ 0, ибо \f(y)\ < р(у) < 1. Поэтому
Ео Π А = 0. В силу теорем 1.10.12 и 1.11.6 существует замкнутое
гиперподпространство Щ D Eq, не пересекающееся с А. Так как
а £ Я0, то Щ + {λα} = Ε.
Пусть f(x) = \ при χ = λα + г, ζ G Щ. Тогда / —
непрерывный линейный функционал на Е. Ясно, что f(x) = f(x) на Ео.
Остается доказать, что \f(x)\ < р(х) при χ G Ε.
Если χ е Ε и р(х) < 1, т.е. χ G V, то \f{x)\ < 1, ибо
если |/(ж)| ^ 1, то, взяв χ = — х//(х), в силу закругленности V
получим, что χ G V. Следовательно, α + х G А; в то же время
f(a + х) = 1 — f(x)/f(x) = 0, т. е. А П Щ φ 0, что невозможно.
Если теперь χ G Ε и \f{x)\ > р(#), то существует а > 0 такое,
что р(х) < а < |/(ж)|, откуда р(х/а) < 1, но \f(x/a)\ > 1, что по
доказанному невозможно. D

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 115
1.11.8. Следствие. Если Ε — локально выпуклое
пространство и Eq — его векторное подпространство с индуцированной
топологией, то всякий непрерывный линейный функционал f
на Eq имеет продолжение до функционала / Ε Ε'. Если Ε —
нормированное пространство, то существует такое его
продолжение fe Ef, что 11/11 = υ/11.
Доказательство. Первое утверждение следует из того, что
|/| < ρ на Eq, где ρ — некоторая непрерывная норма (см.
теорему 1.9.3); поэтому даваемый предыдущей теоремой функционал
/ на Ε — требуемый. Во втором можно считать, что ||/|| = 1 (если
/ φ 0). Взяв р(х) = \\х\\, получим \f(x)\ < р(х) при χ Ε Eq. Для
продолжения с \f(x)\ < ||ж|| имеем \\f\\ < ||/||; так как ||/|| ^ ||/||,
то H/II = ||/||. Π
1.11.9. Замечание. Следствие говорит, что функционал /
можно продолжить на все пространство Ε с сохранением нормы.
Такое продолжение функционала /, вообще говоря, не является
единственным. Отметим, однако, три случая, когда это
продолжение все же единственно (обоснование — задача 1.12.45):
(i) Ε — евклидово пространство и Eq — его произвольное
векторное подпространство;
(и) Ε = Zoo, Е0 = со (см. § 1.12(v));
(iii) E — пространство всех непрерывных линейных
операторов в гильбертовом пространстве if, наделенное обычной
операторной нормой, Eq — подпространство, состоящее из всех
компактных операторов.
1.11.10. Теорема. На топологическом векторном
пространстве Ε существует непрерывный линейный функционал,
отличный от тождественного нуля, в точности тогда, когда в Ε
есть выпуклая окрестность нуля, отличная от Е.
Доказательство. Пусть / — такой функционал. Тогда
множество V = {х: \f(x)\ < 1} — выпуклая окрестность нуля в силу
непрерывности /. Неравенство V φ Ε следует из того, что если
f(x) φ 0, то |/(Аж)| ^ 1 при достаточно большом по модулю λ,
следовательно, Хх <£ V. Обратно, пусть V — выпуклая
окрестность нуля, которую без потери общности можно считать
открытой и симметричной (перейдя к Vn(—V)), и xq £ V. На линейной
оболочке xq функционал /о(too) = t оценивается через
функционал Минковского ру множества V. Теорема Банаха-Хана дает

116
Глава 1. Введение в теорию
линейный функционал / на Ε с f(xo) = 1 и / < ру. При χ Ε V
имеем |/(ж)| ^ 1, что означает непрерывность /. D
1.11.11. Теорема. Для всякой точки а локально выпуклого
пространства Ε и всякой полунормы ρ на Ε существует
линейный функционал f такой, что
f(a)=p(a), |/(x)Kp(i) Ух € Ε.
Если полунорма ρ непрерывна, то функционал f таксисе
непрерывен.
Доказательство. На прямой Da = {λα} рассмотрим
линейный функционал φ(Χα) = \р(а). Продолжение φ с Da на все
пространство Ε по теореме Хана-Банаха приводит к
функционалу / с требуемыми свойствами. D
Подчеркнем, что эта теорема неочевидна даже для двумерной
плоскости.
1.11.12. Следствие. Пусть Ε — отделимое локально
выпуклое пространство и a Ε Е. Если для каждого непрерывного
линейного функционала f на Ε мы имеем f(a) = О, то а = 0.
Напомним (см. определение 1.3.25), что сопряженным
(топологическим сопряженным) к топологическому векторному
пространству Ε называется векторное пространство всех линейных
непрерывных функционалов на Е; оно обозначается символом Е'.
Подчеркнем, что заранее пространство Е' не предполагается
наделенным какой-либо топологией; о различных способах тополо-
гизации Е' будет сказано в гл. 3. Напомним еще, что
алгебраическим сопряженным к векторному пространству Ε называется
пространство всех линейных функционалов на Е\ оно
обозначается символом Е*.
Из следствия 1.11.12 и сказанного в примере 1.3.26 получаем
такое утверждение.
1.11.13. Следствие. Если Ε — отделимое локально
выпуклое пространство, то каноническая билинейная форма
(/,*)-/(*), Я'хЯ-К
приводит векторные пространства Ε и Е' в двойственность.
Отметим также, что для произвольного векторного
пространства Ε та же билинейная форма приводит пространства Ε и Е*
в двойственность; этот чисто алгебраический факт не связан с
теоремой Хана-Банаха и является очевидным следствием того, что

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 117
всякий линейный функционал, определенный на векторном
подпространстве векторного пространства, может быть продолжен
с сохранением линейности на все объемлющее пространство.
Отметим еще, что локальная выпуклость пространства
существенна, но не необходима для справедливости заключения
следствия 1.11.13. В частности, на топологическом векторном
пространстве £° из примера 1.3.16 вообще не существует ненулевых
непрерывных" линейных функционалов (задача 1.12.28), так что
в этом случае {С0)' = {0} и, значит, £° и (С0)' не могут быть
приведены в двойственность вообще никакой билинейной формой.
Таким же свойством обладает и топологическое векторное
пространство £р[0,1], где 0 < ρ < 1, состоящее из таких
измеримых функций / на [0,1], что функция \f\p интегрируема на [0,1];
топология на £р[0,1] задается квазинормой
||/||„:= Л/ГА.
Jo
Это пространство неотделимо, но ассоциированное с ним
отделимое также обладает сопряженным, состоящим из одного
нуля, ибо выпуклая оболочка всякого шара Ur = {/: ||/||р < г}
равна всему Lp[0,1]: если / е £р[0,1], то / = (/ι + · · · + /П)Д&,
где fj = nfI[8jiSj+1], 0 = si < s2 < ··· < sn+i = 1, интеграл
\f\p по [sj,sj+i] равен ||р||р/п'; тогда \\fj\\p = пГ^ЦрЦр и fj e Ur
при больших п. Примером не локально выпуклого
топологического векторного пространства Е, для которого Ε и Е' приводятся
канонической билинейной формой в двойственность, может
служить пространство /р, 0 < ρ < 1, состоящее из таких бесконечных
числовых последовательностей χ = {жп}, что Σ™=ι \хп\р < °о;
топология в V задается квазинормой ||ж||р := Ση^ι \χη\ρ·
1.11.14. Следствие. Пусть В — замкнутое абсолютно
выпуклое подмножество вещественного или комплексного
локально выпуклого пространства Е. Тогда для всякого а <£ В
существует такой линейный непрерывный функционал f на Е, что
выполнено неравенство \f(a)\ > sup^^ |/(#)|·
Доказательство. Если Ε вещественно, то это частный
случай замечания 1.10.11. Если же Ε комплексно, то пусть / —
вещественно линейный функционал на Е, для которого выполнено
требуемое неравенство. Тогда соответствующий ему в силу
леммы 1.11.4 комплексный функционал является искомым. D

118
Глава 1. Введение в теорию
1.11.15. Теорема. Пусть Ε — вещественное или
комплексное локально выпуклое пространство, V С Ε — выпуклое
множество. Тогда V замкнуто в ослабленной топологии а{Е,Ег)
в точности тогда, когда оно замкнуто в исходной топологии
пространства Е. Кроме того, для всякого А С Ε
ограниченность А равносильна ограниченности в σ{Ε,Ε').
Доказательство. Так как топология σ(Ε,Ε')
мажорируется исходной, то из замкнутости V в а{Е,Ег) вытекает
замкнутость в исходной топологии. Пусть теперь V замкнуто в
исходной топологии в Ε и а £ V. Возьмем такой функционал / Ε Е\
что |/(а)| > а, где а = sup{\f(x)\: x G V}. Тогда множество
{χ G Ε: \f(x)\ > a} — открытая в топологии σ{Ε,Ε')
окрестность точки а, не пересекающаяся с V. Аналогично доказывается
ограниченность А, ограниченного в σ(Ε,Ε'), ибо замкнутая
абсолютно выпуклая оболочка А также ограничена в σ(Ε,Ε'). D
Таким образом, классы всех выпуклых замкнутых множеств
в пространстве (Ε,σ{Ε,Ε*)) и в пространстве Е, наделенном
исходной топологией, совпадают (но это не означает совпадение
классов выпуклых открытых множеств). Кроме того, совпадают
классы множеств, ограниченных в исходной топологии и в
топологии σ(Ε,Ε'); последние называются слабо ограниченными.
Теорема Хана-Банаха позволяет также строить
топологические дополнения к конечномерным подпространствам локально
выпуклых пространств. Если в бесконечномерном
топологическом векторном пространстве Ε дан ненулевой вектор г?, то,
конечно, существует линейное подпространство Е$, не содержащее ν
и порождающее вместе с ν все Е. Однако возникающий при этом
оператор ρ: Ε —> Eq алгебраического проектирования на Eq
может оказаться разрывным. Например, так будет, если на Ε нет
ненулевых непрерывных линейных функций (ибо если χ = XQ+tv,
где vq Ε £?о? то функционал 1{х) := t оказывается непрерывным
в случае непрерывности ρ: χ ι—> xq).
1.11.16. Теорема. Пусть Ε — отделимое локально
выпуклое пространство и Eq — конечномерное линейное
подпространство в Е. Тогда найдется такое замкнутое линейное
подпространство Ει С Е, что Eq Π Е\ = {О}, Ε = Eq®E\ и операторы
алгебраического проектирования на Eq и Е\ непрерывны. Более
того, последнее верно для всякого замкнутого линейного
подпространства Ει, дающего Ε в прямой алгебраической сумме с Eq.

1.11. Теорема Хана-Банаха: аналитическая форма 119
Доказательство. Пусть ei,...,еп — базис в Eq. По
доказанному выше можно найти такие функционалы /ь ..., /п £ Е',
что fi(ej) = Sij. Положим Ει = ΠΓ=ι/Γ^Ο)· Тогда Е\ замкнуто
и Ε = Etf&E\. Ясно, что операторы ро(х) = fi(x)e\-\ l· fn(x)en
и ρι(χ) = χ — ρ\(χ) непрерывны и являются проекторами на
подпространства Ео и Εχ.
Пусть теперь Е\ — какое-нибудь замкнутое линейное
подпространство в Е, алгебраически дополняющее Eq. Опять возьмем
базис ei,..., еп в Eq. Ввиду замкнутости Е\ для каждого е*
замкнуто'также подпространство Щ, являющееся суммой Ει и
линейной оболочки векторов ej с j φ %. При этом е\ ^ Щ. Значит,
найдется такой функционал U Ε Е', что 1г\щ = 0 и li{ei) = 1.
Легко видеть, что Ει = ΠΓ=ι 'гг1(0)> поэтому функционалы U
выполняют роль fi из первой части доказательства. D
В общем случае проекторы на замкнутые подпространства,
дающие в прямой сумме все пространство, могут быть
разрывными. Однако есть важные классы пространств, для которых такие
проекторы автоматически непрерывны (см. §3.9).
Приведем один результат, дополняющий предложение 1.9.8
(иное обоснование см. в Kelley, Namioka [353, п. 16.8, с. 144]).
1.11.17. Теорема. Пусть А — абсолютно выпуклое
множество в локально выпуклом пространстве Е. Сужение линейной
функции f £ Е* на А непрерывно в точности тогда, когда
существует последовательность функционалов fn Ε Ε'', равномерно
сходящаяся к f на А.
Доказательство. Неочевидна лишь необходимость
указанного условия. Перейдя к линейной оболочке А, можно считать,
что Ε совпадает с этой линейной оболочкой. Тогда функционал
Минковского ра множества А — полунорма на Е. Пусть ε > 0.
Надо найти f£ G Ε' с sup^^ \f(x) — fe(x)\ ^ ε- Достаточно уметь
делать это для ε = 1, перейдя к f/ε. Непрерывность / на А дает
абсолютно выпуклую окрестность нуля U с \f(x)\ < 1 при всех
χ Ε А П U. Поэтому
1/0*01 < pa(x)+pu(x), χ е е.
Далее, рц(х - у) + 1(у)+Ра(у) > -ри{х)+ри{у) + f{y) + ра(у),
что оценивается снизу через —ри(х)- Рассмотрим функцию
р(х) := mi\pu(x -у) Л- f(y) +рл(у)] > ~Ри{х)·
уеЕ

120
Глава 1. Введение в теорию
Ясно, что р(0) = 0. Кроме того, функция ρ сублинейна. В самом
деле^ р(\х) = Хр(х) при λ > 0, ибо в формуле для р(\х) можно
заменить у на Ау; р(х\ + Х2) ^ ρ(χι) +ρ(#2) из-за оценки
PU(X1 +Х2-У1- У2) + f(yi + У2) + Ра{У\ + У2) ^
< РиЫ - У\) + f(yi) +PA(yi) +Ρυ(Χ2 - У2) + /(У2)+Ра(У2)
при всех Х1,Х2,У1,У2- Так как ри(0) = Ра(0) = 0, то p(x) ^ р£/(ж)
и р(х) ^ /(х) +рл(ж). По теореме Хана-Банаха найдется
функционал g G Ε* с g < ρ, причем g e E\ так как ρ ^ ри- Итак,
имеем g ^ f + рл, откуда |/(ж) — #(ж)| ^ 1 при xgA □
1.12. Дополнения и задачи
(i) Равномерные пространства (120). (ii) Выпуклые
компакты (123). (iii) Теоремы о неподвижных точках (125). (iv)
Пространства последовательностей (128). (ν) Сопряженные к
банаховым пространствам (129). (vi) Свойства сепарабельности (131).
(vii) Непрерывные селекции и продолжения (133). Задачи (134).
1.12(i). Равномерные пространства
Топологические векторные пространства входят в более широкую
категорию равномерных пространств. Пространство X называют
равномерным, если задана система подмножеств X произведения ХхХ,
называемая системой окружений диагонали Δ χ = {(χ,χ): χ G X} и
удовлетворяющая следующим условиям:
(i) Δχ G U для всех U G X,
(ii) если U, V G X, то U Π V G ДГ, и если U G X, U С W С ХхХ, то
We*,
(iii) если U е Χ,το U'1 := {(г/,ж): (ж,2/) G £/} е Д>,
(iv) для всякого U Ε X найдется такое V G X, что если (ж, у) G У
и (у, z) G У при некоторых ж, у, ζ, то (ж, z) G 17.
Топологическое векторное пространство Ε наделяется следующей
равномерностью: класс X состоит из подмножеств ЕхЕ, содержащих
какое-либо множество вида {(ж,у): χ — у G {/}, где [7 — окрестность
нуля в Е. Всякое метрическое пространство (необязательно
векторное) также обладает естественной равномерностью, образованной
множествами, содержащими подмножества вида {(ж,у): d(x,y) < г}, где
г > 0 и d — метрика данного пространства.
Таким образом, новая категория пространств охватывает как
топологические векторные пространства (а также топологические группы),
так и не имеющие какой-либо алгебраической структуры метрические
пространства.

1.12. Дополнения и задачи
121
С другой стороны, всякое равномерное пространство X можно
наделить топологией, порождаемой равномерностью следующим
образом: база окрестностей (необязательно открытых) точки χ в этой
топологии состоит из множеств вида U{x) := {у: (х,у) £ U}, U Ε X. Тем
самым множество W открыто, если всякая точка w Ε W входит в W
с окрестностью такого вида. При этом не всякая топология
получается из какой-либо равномерности: известно, что топология порождается
равномерностью в точности тогда, когда пространство вполне
регулярно (см. Энгелькинг [186, гл. 8]).
Подмножество А равномерного пространства (X, X) наделяется
индуцированной равномерностью, состоящей из пересечений Ах А с
множествами из X.
На равномерные пространства переносятся некоторые
встречавшиеся нам выше понятия: фундаментальная направленность, полнота,
предкомпактность. Направленность {xt} в равномерном пространстве
(X, X) называется фундаментальной, если для всякого U Ε X
найдется такой индекс to, что (xt,xs) Ε U для всех t,s ^ to. Сходимость
направленности понимается как сходимость в порожденной топологии.
Поэтому можно ввести понятие полного равномерного пространства
аналогично тому, как это было сделано для топологических
векторных пространств (в категории равномерных пространств также
имеются пополнения). Аналогично вводится и понятие предкомпактного
или вполне ограниченного множества: так называется такое множество
А С X, что для всякого U е X найдется конечное покрытие множества
А множествами Αι,..., Ап с тем свойством, что Αι χ Αχ С U.
Посредством базисных окрестностей U(x) это можно выразить так:
найдутся такие αϊ,..., ап Ε А, что А с UlLi ^(α0·
В случае топологического векторного пространства эти понятия
совпадают с ранее введенными. Подробнее равномерности
обсуждаются в книгах Бурбаки [28], Келли [73], Эдварде [185], Энгелькинг [186].
Мы приведем лишь несколько фактов, полезных в связи с
обсуждаемыми результатами, особенно касающимися полноты и компактности.
Как и для топологических векторных пространств, компактность в
равномерном пространстве равносильна предкомпактности и полноте.
1.12.1. Лемма. Пусть (Х,Х) — равномерное пространство.
(i) Всякое множество А С X с тем свойством, что каждая его
бесконечная последовательность имеет точку прикосновения в X,
предкомпактно. В частности, это верно, если А счетно компактно.
(и) Множество А в X имеет компактное замыкание в
точности тогда, когда оно имеет полное замыкание и всякая бесконечная
последовательность из А обладает точкой прикосновения в X.
Доказательство, (i) Если А не является предкомпактным, то
найдутся окружение U Ε X и бесконечная последовательность точек
ап Ε А, для которых αη+ι ^ UlLi ^(α*)> гДе ^(α) :— {χ: iaix) € Щ-

122
Глава 1. Введение в теорию
Таким образом, (α$,αη+ι) $. U при г ^ га. По условию эта
последовательность имеет предельную точку ρ Ε X. Найдется окружение V G X
с тем свойством, что если (х,у) G V и (у, ζ) G У, то (ж, г) G U.
Найдется также элемент ат в окрестности V(p), т.е. (p,am) G У, откуда
(ат?р) € V· Тогда при га > га мы получаем αη ^ V(p), ибо включение
an G V'Cp), означающее, что (ρ, αη) G У, влечет включение (am,an) G 17,
которое неверно при га < га.
(ii) Нетрудно проверить, что компакт в топологии, порожденной
равномерностью, полон в смысле равномерного пространства. Кроме
того, компакт счетно компактен. Если же множество А имеет полное
замыкание и всякая его бесконечная последовательность обладает
предельной точкой, то А оказывается предкомпактным, что влечет пред-
компактность и его замыкания, которое ввиду полноты компактно. D
В частности, это утверждение верно для топологических
векторных пространств. Следует обратить внимание на то важное
обстоятельство, что утверждение (ii) не означает равносильность счетной
компактности и компактности (в отличие от случая метрических
пространств). Дело в том, что из счетной компактности не следует полнота
(но для полного множества равносильность есть по предложению 1.8.5).
Рассмотрим такие примеры (напомним, что секвенциальная
компактность влечет счетную компактность, но не влечет компактность,
а также не следует из компактности); при этом нас будут интересовать
множества в локально выпуклых пространствах.
1.12.2. Пример, (i) Построим некомпактное абсолютно выпуклое
замкнутое секвенциально компактное множество V в секвенциально
полном локально выпуклом пространстве.
В IR возьмем подпространство Ε функций, отличных от нуля не
более чем в счетном числе точек. Это подпространство секвенциально
полно, а искомое множество V состоит из функций χ G £7,
удовлетворяющих условию supt \x(t)\ ^ 1. Секвенциальная компактность следует
из того, что всякая последовательность функций в Ε сосредоточена на
счетном множестве, а некомпактность V ясна из того, что замыкание
V в Шш состоит из всех функций χ с supt \x(t)\ < 1.
(ii) Построим абсолютно выпуклое секвенциально компактное
множество V в локально выпуклом пространстве, имеющее не счетно
компактное замыкание.
Возьмем в качестве Ε линейное подпространство в
состоящее из всех таких функций х, что при некотором га G IN множество
{t G [га, оо): x(t) Φ 0} не более чем счетно. Пусть V — множество
функций χ G Е, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек
и удовлетворяющих неравенству supt \x(t)\ ^ 1. Это абсолютно
выпуклое множество секвенциально компактно, но его замыкание таковым не
является, ибо содержит функции хп = i(_oo,n] (индикаторы (—оо, га]),

1.12. Дополнения и задачи
123
которые не имеют предельной точки в £7, поскольку сходятся в
пространстве Шш к функции x(t) = 1, не входящей в Е.
1.12(ii). Выпуклые компакты
1.12.3. Определение. Точка χ множества К в вещественном
линейном пространстве Ε называется крайней или экстремальной
точкой этого множества, если она не содержится ни в каком
интервале (а,Ь), целиком содержащемся в К.
Если множество К выпукло, то χ G К является крайней точкой
в точности тогда, когда из того, что χ = ta + (1 — t)b, где t G [0,1],
a,b £ К, следует, что χ = а или х = b.
Более общим образом, подмножество А выпуклого множества К
называется крайним подмножеством множества if, если из того, что
ta+(l — t)b G А для некоторого t G (0,1) и некоторых a,b G if, вытекает,
что а, Ь G А. Очевидно, что если крайнее множество состоит из одной
точки, то эта точка является крайней.
В трехмерном евклидовом пространстве вершины замкнутого куба
являются его крайними точками, а его ребра и грани — его крайними
множествами. Внутренние точки ребер и граней крайними точками не
являются. Открытый куб крайних точек не имеет.
1.12.4. Лемма. Пусть Ε — вещественное локально выпуклое
пространство, К С Ε — непустой компакт, f — непрерывный линейный
функционал на Е, а := sup{f(x): xGК}. Тогда А = {хеК: f(x) = a}
является непустым крайним подмножеством множества К.
Доказательство. Так как К компактно и функционал /
непрерывен, то существует χ Ε К такое, что f(x) = α, т. е. множество А
непусто. Пусть для некоторых a, i? G К, t G (0,1) справедливо
включение ta + (1 — t)b G А. Покажем, что тогда α, ί> G А. Если, например,
f(a) < f(b), то Да) < а и, следовательно, справедливо неравенство
f(ta + (1 - t)b) = tf(a) + (1 - t)f(b) < ta + (1 - t)a = α, что
противоречит включению ta Η- (1 — t)b G A. D
Следующий результат относится к классике выпуклого анализа.
1.12.5. Теорема. (Теорема Крейна-Мильмана) Всякий
непустой выпуклый компакт в вещественном отделимом локально
выпуклом пространстве является замкнутой выпуклой оболочкой
множества своих крайних точек.
Доказательство. Покажем сначала, что каждый непустой
компакт К в отделимом локально выпуклом пространстве Ε обладает
крайними точками. Докажем, что К содержит по крайней мере
одну крайнюю точку. Обозначим через М. множество всех непустых
замкнутых крайних подмножеств множества К, упорядоченное так: если
Д В G М, то А ^ В <^=> AD В. Так как К G М, то Μ φ 0.

124
Глава 1. Введение в теорию
Далее, если Mq С М. — некоторое линейно упорядоченное
подмножество, то множество Пле.м ^ непусто как пересечение
семейства компактных подмножеств, каждое конечное подсемейство
которого обладает непустым пересечением. Таким образом, для Л4 выполнены
условия теоремы Куратовского-Цорна (непосредственно из
определения крайнего множества следует, что пересечение любого семейства
крайних множеств является крайним множеством); поэтому в Μ
существуют максимальные элементы.
Пусть В — один из них. Таким образом, В — непустое компактное
крайнее подмножество в if, никакое собственное подмножество
которого не является крайним в К. Мы докажем сейчас, что В содержит
ровно одну точку; эта точка и будет крайней. Допустим, что α, ί> G В,
а ф Ь. Из теоремы Хана-Банаха вытекает, что существует такой
линейный непрерывный функционал / на Е, что Да) < f(b). По доказанной
выше лемме множество В\ = {χ G В: f(x) = та,хгев f(z)} является
крайним подмножеством крайнего подмножества В множества К, а
потому и крайним подмножеством самого К. В то же время а £ В\, так
что £?ι — собственное подмножество множества В. Это противоречит
максимальности В.
Пусть теперь К — выпуклый компакт в локально выпуклом
пространстве Ε и С — множество всех крайних точек множества К. Нам
нужно доказать, что conv С = К. Для этого достаточно показать, что
К С conv С (обратное включение немедленно вытекает из выпуклости
и замкнутости К и включения С С К). Пусть a G К, а £ conv С. В силу
теоремы Хана-Банаха на Ε существует такой линейный непрерывный
функционал д, что д(а) > та>х{д(х): χ G conv С}. Тогда множество
{х G К: д(х) = та,ххекд(х)} является крайним в К. В силу
доказанного выше оно содержит хотя бы одну крайнюю точку, которая в то
же время — как крайняя точка крайнего подмножества множества К —
является и крайней точкой этого последнего множества. Пусть Ъ —
одна из таких точек, тогда Ь £ conv С, так как выполнены неравенства
f(b) ^ f(a) > тах{д(х): χ G conv С}; тем более b £ С. Итак, получено
противоречие. Эта теорема неочевидна и в IRn. D
Интересен также следующий результат Д.П. Мильмана.
1.12.6. Теорема. Пусть компактное множество К в локально
выпуклом пространстве Ε таково, что его замкнутая выпуклая
оболочка С компактна {что автоматически имеет место, если Ε
квазиполно). Тогда всякая крайняя точка множества С входит в К.
Доказательство. Пусть χ — крайняя точка С и U — выпуклая
окрестность нуля. Найдутся точки χι,... ,хп в К с К С U™=i(%i + U).
Пусть Vi — замкнутая выпуклая оболочка К Π (xi + U). Множества
Vi входят в С и потому компактны. Значит, выпуклая оболочка их
объединения также компактна и потому равна С. Итак, χ = Σ™=ι λ*ν*,

1.12. Дополнения и задачи
125
где Vi Ε Vi, Xi ^ 0 и Х^=1 λ* = 1. Так как χ — крайняя точка С,то χ = Vi
при некотором г, откуда xG^ + [/Ci^ + i/. Ввиду произвольности U
и замкнутости X получаем χ е К. D
1.12.7. Пример, (i) В пространстве со замкнутый шар
положительного радиуса не имеет ни одной крайней точки. Отсюда следует,
что со не является сопряженным ни к какому банахову пространству.
Более точно: не существует банахова пространства, сопряженное к
которому можно линейно и с сохранением нормы отобразить на с$.
Действительно, если бы со можно было отождествить — как банахово
пространство — с сопряженным к некоторому банахову пространству Ε
(наделенным нормой сопряженного), то единичный шар в со по
теореме 3.1.4 был бы компактен в топологии а(со,Е) и к нему была бы
применима теорема Крейна-Мильмана.
(и) Более общим образом, бесконечномерное банахово
пространство В не является сопряженным ни к какому банахову пространству
(в смысле, уточненном в предыдущем примере), если его замкнутый
единичный шар с центром в нуле имеет лишь конечное число крайних
точек: в этом случае их замкнутая выпуклая оболочка конечномерна.
Так как единичный шар пространства С [а, Ь] непрерывных функций на
[а,Ь] с нормой maxj \x(t)\ имеет ровно две крайние точки (φ(ί) = 1 и
φ(ί) = —1), то С[а, Ь] не может быть сопряженным ни к какому
банахову пространству. Про выпуклые компакты см. также § 5.6.
1.12(iii). Теоремы о неподвижных точках
Для отображений выпуклых компактов имеются важные теоремы
о неподвижных точках (см. также задачу 1.12.85).
1.12.8. Теорема. (Теорема Шаудера-Тихонова) Если Ε —
отделимое локально выпуклое пространство, К С Ε — выпуклый
компакт и /: К —> К — непрерывное отображение, то
существует такой элемент а Е К, что f(a) = а (этот элемент называется
неподвижной точкой отображения /).
Доказательство. Пусть V — семейство всех непрерывных
полунорм на Е. Покажем, что для каждой полунормы ρ Ε V множество
Fp := {ζ G К: p(f(z) — ζ) =0} непусто. Если это сделано, то остается
заметить, что множестваFp замкнуты (ввиду непрерывности /ир),
поэтому они компактны, причем для всякого конечного набора pi,... ,рп
пересечение FPlC\· · -nFPn непусто, ибор\-\ \-рп Ε V. Значит, непусто
и пересечение всех Fp, а всякий его элемент — неподвижная точка.
Итак, фиксируем ρ Ε V. Достаточно проверить, что для всякого
ε > 0 найдется точка ζε, для которой p(f(z£) — ζε) < ε, ибо тогда
последовательность {ζι/η} имеет предельную точку ζ Ε К, для которой

126 .
Глава 1. Введение в теорию
ввиду непрерывности / и ρ мы получим p(f(z) — z) = 0. Ввиду
компактности К найдутся точки αϊ,... , αη Ε К, для которых множества
Щ := {χ: ρ(χ — α*) < ε/2} покрывают К. Для каждого г = 1,...,п
зададим функцию ψΐ на Ε так: ψϊ(χ) = ε — ερ(χ — α*) при р(х — α*) ^ ε,
ψϊ(χ) = 0 при ρ(χ — α) > ε. Легко проверить, что функции φι
непрерывны, причем в каждой точке К хотя бы одна из них отлична от
нуля. Следовательно, на К непрерывны функции а*(ж) := ψι(χ)/4!(χ),
^{χ) — Σ?=ι Ψο(χ)· Заметим, что 0 ^ α* (ж) ^ 1 и Σ™=1 аг{х) = 1 на АГ.
Отображение
η
9(χ) '=^2oii(f(x))ai
г=1
также непрерывно, причем оно переводит К в конечномерное
выпуклое множество V, порожденное точками αϊ,... , αη. По теореме Боля-
Брауэра для Нп (см. Богачев, Смолянов [21, задача 3.12.46], Данфорд,
Шварц [53, с. 506]) найдется точка у Ε V С if, для которой д(у) = у.
При этом
η
№ - у = f(y)-g(y) = Т,°чШШу) - «ib
г=1
ибо Σ™=ι Oii(f(y)) = 1. Следовательно,
η
p(f(y) -y)*Z Σαί(/(2/))ρ(/(2/) " Oi).
г=1
В последней сумме мы имеем ai(f(y)) = 0 при p(f(y) — αι) > ε.
Следовательно, p(f(y) —у) ^ ε, что и требовалось. D
1.12.9. Следствие. Пусть V — замкнутое выпуклое
подмножество полного локально выпуклого пространства, f: V —> V —
непрерывное отображение, причем f(V) имеет компактное замыкание.
Тогда существует такой элемент a eV, что Да) = a.
Доказательство. Замкнутая выпуклая оболочка /(V)
компактна ввиду полноты Е, причем она переходит в себя при отображении /.
По основной теореме в ней есть неподвижная точка. D
Следующая теорема Маркова-Какутани имеет дело с аффинными
отображениями.
1.12.10. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
топологическом векторном пространстве Ε и G — некоторое
семейство попарно коммутирующих непрерывных отображений из К в К,
причем д(Хх + (1 — Х)у) = Хд(х) + (1 — Х)д(у) для всех х,у Ε К, g Ε G.
Тогда существует xq Ε К, для которого д(хо) = хо при всех д Ε G.

1.12. Дополнения и задачи
127
Доказательство. Для каждого д ε G при η ε IN зададим
отображение дп: К —> К формулой дп = п-1(/ + д + #2 + · · ·#η_1). Это
тоже непрерывное аффинное отображение. Рассмотрим множество Go
преобразований К, являющихся композицией конечного числа
отображений вида дп для всевозможных элементов д Ε G и любых η Ε IN.
Ясно, что класс Go удовлетворяет тем же условиям, что и G.
Покажем, что непусто пересечение компактов f(K), где / Ε Go- Для этого
достаточно заметить, что пересечение всякого конечного набора таких
множеств непусто, ибо если /i,...,/m Ε G0, то / = До· · -ofm E Go
и /(X) С fi(K) при всех г ^ m в силу перестановочности /$.
Возьмем любой элемент хо указанного пересечения и покажем, что он
искомый. Зафиксируем д Ε G. Для каждого η по построению найдется
такой элемент у Ε К, что хо = #п(2/) = п~г(у + #(2/) + · · · + дп~1{у))·
Поэтому 0(жо) = ™_1(#Ы + #2Ы Η Ь 9п(у)), откуда мы получаем
д(хо) - хо = ™-1 (9п(у) - у) £ ™_1(if - К). Поскольку такое включение
верно при всех п, то д(хо) = Хо в силу отделимости £7, ибо для всякой
уравновешенной окрестности нуля У и всякого компакта Q найдется
такое п, что n~1Q С У из-за ограниченности компактов. D
Какутани показал, что от перестановочности отображений можно
отказаться, если они равностепенно непрерывны. Это имеет место,
если Ε — нормированное пространство и G С С(Е) ограничено.
1.12.11. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и G — некоторая группа
линейных отображений из К в К, равностепенно непрерывных на К. Тогда
существует хо Ε К, для которого д(хо) = хо при всех д Ε G.
Доказательство см. в Данфорд, Шварц [53, с. 494].
Следующая теорема Какутани-Ки Фаня обобщает теорему
Шаудера-Тихонова на многозначные отображения (приводимое
доказательство дает иное, хотя и близкое, обоснование последней).
1.12.12. Теорема. Пусть К — выпуклый компакт в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и Φ — многозначное
отображение, сопоставляющее каждому χ Ε К непустое выпуклое компактное
множество Ф(х) С К, причем Φ полунепрерывно сверху в том
смысле, что если χ Ε К и открытое множество U содержит Ф(х), то
есть такая окрестность V точки х, что Φ (ν) С U для всех ν Ε VC\K.
Тогда существует точка хо Ε К с хо Ε Ф(яо)·
Доказательство. Мы чуть изменим обоснование теоремы Шау-
дера-Тихонова. Для фиксированных полунормы ρ Ε V и г > О
обозначим через Кр^г множество таких ζ Ε К, что ζ Ε Φ (ζ) + rV, V = {ρ < 1}.
Это множество замкнуто, что легко выводится из полу непрерывности

128
Глава 1. Введение в теорию
сверху Ф. Если все Кр,г непусты, то, как и в доказательстве
теоремы Шаудера-Тихонова, будет непусто их пересечение. Из
замкнутости Ф(х) тогда получим, что искомым является любой элемент
этого пересечения. Проверим непустоту Кр,г. В силу полу непрерывности
вверху есть такая окрестность нуля W = {q < 1}, где q G Ρ, что
Ф(х0 + w) С Ф(яо) + rV/2 при w G W. Положим U = W П V. Пусть
ε > 0. Возьмем αϊ,..., ап так, что К с υΓ=ι(α* + £2_1£У). Выберем
любые yi G Ф(а$). Отображение д£(х) = Σ™=ι &г{х)Уг непрерывно и имеет
неподвижную точку χε. Пусть х$ — предельная точка {xi/m}.
Покажем, что хо G Кр,г. Будем иметь дело лишь с индексами га, для
которых Х\/т G хо + U. Среди них найдется га > А/г с Х\/ш G хо + U/A.
Если OLi(xi/m) > 0, то Х\/ш G αι + m~1U, откуда хо — ai G W и
уi G Ф(#о) + гV/2. Поэтому £i/m есть выпуклая комбинация векторов
oci{xi/rn)yu где 2/i G Ф(жо) + rV/2. Значит, х0 входит в Ф(х0) + rV. D
1.12.13. Следствие. Пусть S — еще один выпуклый компакт в Ε
и непрерывная функция f на KxS такова, что функции χ »—> f(x,y)
выпуклы, а функции у ь-> f{x,y) вогнуты, т. е. выпуклы у н-> —f(x,y).
Тогда mmma,xf(x,y) = maxmin/(x, у),
хек yes yes хек
Доказательство. Применим предыдущую теорему к
отображению Ф: (х,у) ь-> (АУ,ВХ), где Ау = {и е К: f(u,y) = minkeK f(k,y)},
Вх = {ζ G S: f(x,z) = ma,xses f(x,s)}. Из условия следует, что Ау
и Вх непусты, выпуклы и замкнуты. Проверим, что Φ полунепрерывно
сверху. Пусть χ G К и Вх лежит в открытом множестве U. Функция
g(u) = minses f(u,s) непрерывна на К. Если нет такой окрестности
V Э х, что Bv G U при ν G V, то найдется направленность ха —> х, для
которой имеются уа G S\U с f(xa,ya) = д(ха)· В силу компактности
S\U можно считать, что уа —> у G S\U, перейдя к поднаправленности.
Тогда /(ж, у) = (/(ж) вопреки тому, что у & U. Аналогично рассуждение
для Ау. Таким образом, предыдущая теорема дает точку (жо?2/о)? Для
которой /(жо»2/о) = minfc€/r/(fc,2/0) = maxsGs f(xo,s). Эта точка
искомая, ибо левая часть доказываемого равенства всегда не меньше правой
в силу неравенства /(ж, у) ^ minsGs /(ж, s) при всех χ G К, у G S, а
предыдущее соотношение дает оценки f(xo,yo) < maxsGs minfcGK /(/с, s),
/(жо, 2/о) ^ minfcGK maxsG5 /(/с, s). D
1.12(iv). Пространства последовательностей
Помимо уже встречавшихся нам пространств всех
последовательностей Н°°, быстро убывающих последовательностей Σ (пример 1.3.19)
и банаховых пространств Р, со, в теории и приложениях используются
другие локально выпуклые пространства последовательностей.

1.12. Дополнения и задачи
129
1.12.14. Пример. Важный класс пространств
последовательностей (пространств Кёте) строится следующим образом. Множество Ρ
вещественных последовательностей а = (ап) называется множеством
Кёте, если ап ^ 0, причем для каждого nGlN найдется а е Ρ с ап > О,
а для всяких двух элементов α, β Ε Ρ найдется 7GPc max(an, βη) ^ ηη
при всех п. По такому множеству Кёте строится пространство Кёте
последовательностей (вещественных или комплексных)
Λ(Ρ):={ζ = (ζη): (anX^el1 Va G Ρ}.
Естественный набор полунорм на пространстве Л(Р) состоит из
функций ра(х) = Σ™=1 \апхп\.
Например, если Ρ состоит из одной последовательности единиц, то
Л(Р) = Ζ1, а если взять все последовательности вида ап = пк, к Ε IN,
то получим пространство Σ из примера 1.3.19.
Различные классы абстрактных пространств часто удается
описать с помощью пространств Кёте и их подпространств (см. Пич [109],
Jarchow [334], Meise, Vogt [395]). Приведем один важный и
характерный пример.
Пусть С°°[0,1] — пространство всех бесконечно
дифференцируемых функций на [0,1], Со°[0,1] — его подпространство, состоящее из
функций, обращающихся в нуль со всеми производными в концах
отрезка, С^ — пространство всех бесконечно дифференцируемых
функций / на [0,2π], для которых /^(0) = f^(2n) при всех к ^ 0. Во всех
этих пространствах рассматривается топология равномерной
сходимости всех производных.
1.12.15. Теорема. Пространства S'(И1), С£, С00[0,1] wCg°[0,l]
изоморфны пространству Σ. Это же верно и для аналогичных
пространств функций η переменных.
Доказательство. Для упрощения рассмотрим лишь одномерный
случай. Изоморфизм Σ и С%% задается с помощью разложения в ряд
Фурье: f(t) = αο + Σ™=1 lan cosnt+bn sinni], j{f) = (α0, αιΜ,α2, b2,...).
Изоморфизмы с другими пространствами строятся сложнее, но тоже
с помощью подходящих базисов (см. детали в книгах Владимиров [36],
Пич [109], Jarchow [334]). Например, в пространстве ^(Н1)
используется базис из функций Эрмита. D
1.12(ν). Сопряженные к банаховым пространствам
Для большинства используемых в приложениях банаховых
пространств известен достаточно явный вид сопряженных пространств.
Здесь мы приведем ряд таких результатов; доказательства можно
найти во многих учебниках (включая [17], [21]).

130
Глава 1. Введение в теорию
Следующие пространства банаховы:
/°° — пространство ограниченных последовательностей
(вещественных или комплексных) с нормой χ = (хп) »—> supn \хп\;
со — замкнутое подпространство в /°°, состоящее из элементов, для
которых lim xn = 0;
п—»оо
/р, где 1 ^ ρ < со, — пространство последовательностей χ = (хп)
(вещественных или комплексных), для которых
1/р
:= {Σ\Χη\; <оо;
п=1
на 1Р функция χ ь-> \\х\\р является нормой;
пространство I2 даже гильбертово со скалярным произведением
оо
(ж, у) = ^ χηΊΜ\
η=1
пространство Сь(Т) ограниченных непрерывных функций на
топологическом пространстве Τ с нормой \\х\\ = supiGT |(ж(£)|;
пространство £ρ(μ), где 1^ρ<οοπμ — неотрицательная мера на
пространстве (Т, Л), состоит из классов эквивалентности (/ ~ #, если
f = д почти всюду) измеримых функций /, для которых функция |/|
интегрируема относительно μ; норма на £ρ(μ) задается формулой
|/(ί)|"μ(Λ)) Ρ;
это выражение не зависит от выбора представителя класса
эквивалентности; особым образом определяется пространство L°°(/i), состоящее
из классов эквивалентности измеримых функций, имеющих
ограниченную модификацию; при этом
||/||oo=infsup|/(i)|.
f~fter
Имеют место канонические изоморфизмы
с'0 = I1, (I1)' = l°°, (If)' = L\ ρ'1 +q-1 = l,pe [1, оо),
причем общий вид непрерывного функционала таков:
на с0: 1{х) = Σ™=ι ХпУп, (Уп) е /\
на ί1: 1{х) = Σ™=ι ХпУп, {Уп) е со,
на Ρ, ρ е [1, со): 1(х) = Σ™=ι хпУп, {Уп) е Iя, р~г + q~x = 1,
HaLP(M),p€(l,cx>):Z(aO= ί x(t)y{t) μ((ϋ), yeL<>^), р~г + ?"1 = 1,

1.12. Дополнения и задачи
131
на L1(/i) для конечной или σ-конечной меры:
l(x) = j χ(ί)ν(ί)μ(<1ί), 2/GL°°(/i),
на С(К) = Сь(К) для компакта К: 1(х) = / x(t) μ(άί), где μ —
ограниченная борелевская мера на К.
Сопряженные к /°° и L°°(/i), где μ — мера Лебега, не являются
изоморфными I1 и L1(/i) соответственно; они могут быть описаны с
помощью конечно-аддитивных мер.
1.12(vi). Свойства сепарабельности
1.12.16. Предложение. Пусть Ε и F — топологические
векторные пространства, причем F метризуемо, и Η — равностепенно
непрерывное множество в C(E,F). Если Ε сепарабельно, то
равномерная структура поточечной сходимости в Η метризуема. Если F
также сепарабельно, то и Η сепарабельно в топологии поточечной
сходимости.
Доказательство. Пусть {ап} — счетное всюду плотное
множество в Ε и d — инвариантная относительно сдвигов метрика в F,
задающая топологию. Положим
оо
do(f,9) = ^2-nmm(l,d(f(an),g(an))y f,geH.
71=1
Взяв в C(E,F) окрестность нуля U = {/: d(/(#i),0) < ε, г = 1,... , η},
где χι Ε Επε > О, найдем такой открытый шар W по метрике do
с центром в нуле, что если f,geHnf — ge W, то / — g Ε U. В самом
деле, равностепенная непрерывность Η дает такую окрестность нуля
V С £", что d(/(v),0) < ε/4 для всех ν Ε V и / Ε Н. Возьмем такое /с,
что точки χι,..., хп будут покрыты множествами αϊ + V,..., а к + V.
Наконец, положим г = 2~ке/А. Если теперь f,g Ε Η и do(f,g) < г, то
мы получаем d(f(xi),g(xi)) < ε при г ^ гг. Действительно, для каждого
г ^ η найдется точка а^ с некоторым j ^ /с, для которой Хг € % + V,
откуда с учетом равенства d(u, ν) = d(u — г>, 0) находим
d(f(xi),g(xi)) ^ d(f(xi)J(aj)) +d(f(aj),g(aj)) +d(g(aj),g(xi)) ^
^ ε/4 + 2kr + ε/4 < ε.
Ясно также, что всякий шар W по метрике do с центром в нуле
содержит окрестность нуля U указанного вида.
Второе утверждение вытекает из того, что счетная степень сепара-
бельного метрического пространства сепарабельна. D

132
Глава 1. Введение в теорию
1.12.17. Предложение. Пусть Ε — сепарабельпое локально
выпуклое пространство Ε, ρ — непрерывная полунорма на Е. Положим
U = {х: р(х) ^ 1}. Тогда существует такая последовательность
Ш С U° := {f ЕЕ': supnet/ \f(u)\ ^ 1}, что
р(х) =sup|/n(x)|, хе Ε.
η
Доказательство. В подпространстве £Ь есть всюду плотная
последовательность {хп}· Для каждого η по теореме Хана-Банаха имеем
р{%п) = sup{|/(arn)|: / G U°}. Поэтому в U° найдется такая
последовательность /nm, что р(хп) = supm \fnm(%n)\· Полученное счетное
множество занумеруем в виде единой последовательности {fn}· Ясно,
что q(x) := supn \fn(x)\ ^ ρ (χ) при χ G Ε0, причем q(xn) = p(xn) для
всех п. С другой стороны, для каждого χ G Е$ при фиксированном
ε > О найдется элемент хт с р(х — хт) < ε, откуда
р(х) < р{хт) + ε = q(xm) + ε ^ q(xm - χ) + q(x) + ε ^
^ ρ{Χτη -x)+ q{x) + ε ^ д(ж) + 2ε,
что в силу произвольности ε дает оценку ρ(χ) ^ q{x)·
Более короткое обоснование легко усмотреть из доказанного в § 3.2:
множество U° в топологии σ(Ε',Ε) — метризуемый компакт, значит,
взяв в нем счетное всюду плотное множество {/п}? получаем нужное
представление. В самом деле, ρ ^ supn \fn\. С другой стороны, если
χ G 17, то имеется / G Е' с /(ж) = р(ж) и |/| ^ р, т. е. / G 17°, что дает
подпоследовательность {т^} с р(х) = f(x) = lim fni(x)· Π
г—»оо
1.12.18. Предложение. Пусть Е — нормированное
пространство, F — сепарабельпое по норме линейное подпространство в Е'
и ξ — непрерывная по норме линейная функция на F. Тогда имеется
такая последовательность {хп} С Е, что
£(/)= lim /(*„) V/GF.
η—>οο
Доказательство. Можно считать, что ||£|| < 1. Возьмем
последовательность элементов {Д} с F единичной нормы, линейная оболочка
которой плотна в F. Затем по индукции построим такую
последовательность {хп} в единичном шаре U из Е, для которой верно равенство
£(Л) = Ит fk{xn) при каждом /с. Положим хг = 0. Если х\,..., Хп
п—»оо
уже выбраны, то x^+i G 17 подберем так, что |£(/г) — /i(^fc+i)| ^ &-1
для г = 1,..., /с + 1. Это возможно, ибо по теореме Хана-Банаха
существует элемент η G Ε", для которого Ц77Ц ^ 1 и ξ = η\ρ. При этом
η входит в замыкание образа U при каноническом вложении Ε с Е"
в топологии σ(Ε",Ε'). В противном случае нашелся бы такой элемент
g G Ε', что |#(w)| ^ 1 при всех и G U и 77(g) > 1; тогда мы бы имели

1.12. Дополнения и задачи
133
||#|| ^ 1, что дало бы Ц77Ц > 1. Значит, в окрестности η, задаваемой
неравенствами |С(Л) — v(fi)\ < ^_1? ^ — l,...,fc + 1, есть вектор из
образа U, так что соответствующий вектор из U можно взять в
качестве Xk+i· Так как линейная оболочка {Д} плотна в F, мы получаем,
что £(/) = η(/) = lim f(xn) для всех функционалов f Ε F. Π
η—>οο
1.12(νϋ). Непрерывные селекции и продолжения
Приведем несколько полезных результатов, связанных с
построением обратных к неинъективным отображениям и продолжений
непрерывных отображений. Пусть дано сюръективное отображение /: X—► Y.
Отображение д: Υ —> X называют правым обратным для
отображения /, если f(g(y)) = у для всех у G Υ. Часто бывает полезно иметь
непрерывные правые обратные для непрерывного отображения, что
тесно связано с построением однозначных ветвей многозначных
отображений (такие однозначные ветви называют селекциями).
Классическим результатом в этой области является следующая теорема Майкла
о селекции (см. Michael [396] или Repovs, Semenov [436, с. 190]).
1.12.19. Теорема. Пусть Μ — метризуемое пространство, Ρ —
полное метризуемое замкнутое подмножество локально выпуклого
пространства Ε и Φ: Μ —> 2Р — полунепрерывное снизу
отображение со значениями во множестве непустых выпуклых замкнутых
подмножеств Р, т. е. для всякого открытого множества U С Ρ
множество Ф-1 (U) := {х G Μ: Φ(χ)πυ φ 0} открыто. Тогда есть такое
непрерывное отображение f: Μ —> Ρ, что f(x) G Φ (χ) для всех х.
Как показал В.В. Филиппов [163], от замкнутости Ρ отказаться
нельзя, даже если Ρ — G^-множество в I2 (тем самым полно с некоторой
метрикой, задающей ту же топологию).
1.12.20. Следствие. Пусть Τ: Ρ —> Μ — непрерывное
аффинное отображение полного метризуемого замкнутого выпуклого
множества Ρ в локально выпуклом пространстве в метризуемое
множество Μ в локально выпуклом пространстве, причем Τ открыто,
т. е. переводит открытые множества в открытые. Тогда Τ
обладает непрерывным правым обратным.
Доказательство. Проверим, что отображение из Μ в 2Р,
переводящее χ в Ф(х) := Т~1(х), удовлетворяет условиям теоремы Майкла.
Множества Ф(х) замкнуты в Ρ из-за непрерывности Τ и выпуклы из-
за аффинности Т. Проверим, что если U С Ρ открыто, то указанное
в теореме множество Ф-1(£7) открыто в М. Для каждого χ G Ф_1(£7)
имеется и G Ф(х) Π [7, т.е. Ти = х, но T(U) открыто в Μ по условию,
значит, точка χ лежит в T(U) с некоторой окрестностью У, откуда
V С Ф_1(£7), что легко проверяется. D

134
Глава 1. Введение в теорию
1.12.21. Следствие. Пусть Хо — замкнутое линейное
подпространство пространства Фреше X и π: Χ —> Х/Хо — каноническая
проекция на факторпространство. Тогда π имеет непрерывное правое
обратное (возможно нелинейное).
1.12.22. Пример. В ситуации предыдущего следствия для
каждого компакта К с Х/Хо найдется такой компакт S С X, что π(S) = К.
В самом деле, выбрав непрерывное правое обратное φ κ π, можно
положить S = φ(Κ).
В задаче 1.12.82 предлагается получить последнее утверждение
непосредственно, причем без условия локальной выпуклости
пространств. В следствии 3.9.14 и примере 3.9.15 доказанное
распространено на общие непрерывные линейные сюръекции пространств Фреше.
Следующий важный результат — теорема Дугунджи о
продолжении [281].
1.12.23. Теорема. Пусть Ζ — замкнутое подмножество
метрического пространства Μ, Ε — локально выпуклое пространство,
f: Ζ —> Ε — непрерывное отображение. Тогда существует
непрерывное отображение f пространства Μ в выпуклую оболочку f(Z),
совпадающее с f на Ζ.
Подробное доказательство можно прочитать в Борсук [23, с. 86].
Если Ε — пространство Фреше и продолжения могут принимать
значения в замыкании выпуклой оболочки /(Ζ), то это утверждение
сразу вытекает из теоремы Майкла о селекции: достаточно положить
Ф(х) = f(x) при χ G Z, а при χ £ Ζ взять в качестве Ф(х) замкнутую
выпуклую оболочку f(Z). Простая проверка показывает, что Φ
полунепрерывно снизу.
1.12.24. Следствие. Для всякого замкнутого выпуклого
множества V в метризуемом локально выпуклом пространстве Ε
существует непрерывное отображение г: Ε —> V, тождественное на V
(такое отображение называют ретракцией, а V ретрактом).
В работе Borges [241] теорема Дугунджи распространена на
более широкий класс кружевных пространств (о нем см. §3.12(v)),
откуда следует, что всякое замкнутое выпуклое множество в кружевном
локально выпуклом пространстве является его ретрактом. Однако не
всякий выпуклый компакт в произвольном локально выпуклом
пространстве есть его ретракт (см. Сипачева [130]).
Задачи
1.12.25? Обосновать пример 1.3.6.
1.12.26.° Привести пример сходящейся направленности в
топологическом пространстве, состоящей из счетного числа элементов, из которой
нельзя извлечь сходящуюся подпоследовательность.

1.12. Дополнения и задачи
135
Указание: в пространстве всех функций на [0,1] с топологией
поточечной сходимости взять счетное множество функций sin(ni) и заметить, что
нулевая функция — его предельная точка, что дает сходящуюся
направленность из этих функций.
1.12.27.° Доказать, что всякий ультрафильтр, содержащий компактное
множество, сходится к точке этого множества.
1.12.28.° Доказать, что на топологическом векторном пространстве £°
из примера 1.3.16 нет ненулевых непрерывных линейных функционалов.
1.12.29° Показать, что на пространстве /C(IRn), введенном в
примере 1.3.17, нет метрики, относительно которой сходимость
последовательностей совпадает со сходимостью последовательностей в топологии τχ;.
Указание: взять ненулевой элемент φ и для каждого к £ IN
последовательность (pkj(x) = j~1(p(x/k), сходящуюся к нулю в /C(IRn); заметить, что
нельзя так выбрать jk —► оо, что ifk,jk —*· 0.
1.12.30.° Показать, что пространство V(JRn) неметризуемо, рассмотрев
функции (pjtk{x) = AT V(x/j), где φ G P(IRn), φ ф 0, и заметив, что φ^^ —> О
при к —> оо, но {ipj,kj} не сходится ни при каком выборе kj —> оо.
1.12.31. Пусть Ε — векторное пространство, Vo — множество всех
полунорм на £7, Vi — множество всех квазинорм на Е. Доказать, что если
алгебраическая размерность Ε конечна или счетна, то топологии в £7,
определяемые семейством полунорм Vo и семейством квазинорм Pi, совпадают.
1.12.32.° Доказать, что замыкание множества А в топологическом
векторном пространстве Ε совпадает с пересечением f)UeU(A+U), где Ы — базис
окрестностей нуля в Е.
1.12.33° Доказать, что замыкание линейного подпространства в
топологическом векторном пространстве является линейным подпространством.
1.12.34. Пусть Ео — линейное подпространство в вещественном
линейном пространстве Ε, ρ — полунорма на Ε и ро — полунорма на ΕΌ, причем
ро(х) ^ р(х) для всех χ £ Ео. Доказать, что на Ε найдется такая
полунорма pi, что pi\e0 = Ро и pi ^ р.
Указание: рассмотреть функционал Минковского абсолютно выпуклой
оболочки {ро ^ 1} U {pi ^ 1}.
1.12.35. (i) Пусть Μ — ограниченное множество в топологическом
векторном пространстве £7, топология которого задана инвариантной
относительно сдвигов метрикой. Доказать, что Μ ограничено относительно этой
метрики, (π) (Α.Β. Шапошников) Построить метрику d на /2, задающую ту
же топологию, что и обычная норма на /2, но обладающую тем свойством, что
единичный шар по обычной метрике неограничен относительно метрики d.
Указание: (ii) взять непрерывные функции /п : I2 —> [0, п] с носителями
в шарах радиуса 1 с центрами в Зеп и /(Зеп) = п, где {еп} — стандартный
базис, положить / = Σ™=ι fn и рассмотреть метрику d(x,y) = \\F(x) — F(y)\\,
где F: I2 —► Ζ2, F(x) = (/(χ),χι,χ2, ·. ·), x = (xn)·
1.12.36? Доказать, что в топологическом векторном пространстве
фундаментальная последовательность ограничена.

136
Глава 1. Введение в теорию
1.12.37.° Доказать, что множество в локально выпуклом пространстве
ограничено в точности тогда, когда на нем ограничена каждая непрерывная
полунорма.
1.12.38.° Покажите, что сублинейный функционал на векторном
пространстве, не принимающий бесконечных значений, непрерывен в
сильнейшей локально выпуклой топологии.
1.12.39? Доказать, что выпуклое множество в IRn замкнуто в точности
тогда, когда замкнуты его пересечения со всеми отрезками.
1.12.40? Пусть Ε — ненулевое топологическое векторное пространство,
Г — замкнутая гиперплоскость в Е. Доказать, что определяемые ею
замкнутые полупространства замкнуты, а открытые открыты, причем замкнутые
полупространства являются замыканиями открытых.
1.12.41? Пусть V — выпуклое всюду плотное множество в вещественном
топологическом векторном пространстве. Доказать, что для всякой
замкнутой гиперплоскости Η множество Η (IV плотно в Н.
1.12.42. Доказать, что в бесконечномерном метризуемом локально
выпуклом пространстве Ε есть дизъюнктные всюду плотные выпуклые
множества А и Б, для которых Аи В = Ε (если Ε сепарабельно, то это верно без
метризуемости, см. Бурбаки [27, с. 78, задача 19]).
1.12.43. Доказать, что в топологическом векторном пространстве
граница выпуклого множества с непустой внутренностью нигде не плотна.
1.12.44. Пусть V — связное замкнутое множество в отделимом
топологическом векторном пространстве, причем каждая точка χ £ V имеет такую
замкнутую окрестность W, что W Π V выпукло. Доказать, что V выпукло.
1.12.45. Обосновать сказанное в замечании 1.11.9.
1.12.46.° Доказать, что множество внутренних точек уравновешенного
множества в топологическом векторном пространстве уравновешено.
1.12.47.° Пусть X и Υ — топологические векторные пространства,
Т: X —► Υ — линейное отображение, переводящее некоторую окрестность
нуля в ограниченное множество. Доказать, что Τ непрерывно.
1.12.48? Пусть полунорма ρ на локально выпуклом пространстве
ограничена на некотором непустом открытом множестве. Доказать
непрерывность р.
1.12.49? Доказать, что линейное отображение А из топологического
векторного пространства в IRn непрерывно, если его ядро Кег А замкнуто.
1.12.50. Построить пример разрывной линейной функции на локально
выпуклом пространстве, которая слабо секвенциально непрерывна, т. е.
переводит слабо сходящиеся к нулю последовательности в сходящиеся к нулю.
Показать, что такое невозможно в банаховом пространстве со слабой
топологией.
Указание: рассмотреть ^(IR1) с топологией тч из задачи 2.10.49(ii).
1.12.51. Доказать, что локально выпуклое пространство
секвенциально полно в точности тогда, когда в нем сходятся все последовательности,

1.12. Дополнения и задачи
137
фундаментальные по каждой полунорме из некоторого набора, задающего
топологию. Это равносильно также сходимости всех последовательностей,
фундаментальных по каждой непрерывной полунорме.
1.12.52. Пусть В — непустое замкнутое выпуклое множество в
отделимом топологическом векторном пространстве £7, К С Ε — непустой компакт
и А С Ε таково, что А + К С В + К. Доказать, что А С В. В частности, если
А также непусто, замкнуто и выпукло vl A + К = В + К, то А = В.
Указание: достаточно рассмотреть случай А = {0}; тогда можно взять
к\ £ К и по индукции найти такие кп £ К и Ъп £ Ϊ?, что кп = Ьп + Α;η+ι;
заметить, что η_1(6ι + · · · + 6П) — n~1(ki — kn+i) —> 0, откуда 0 £ В ввиду
выпуклости и замкнутости В.
1.12.53. Пусть А — выпуклый компакт и В — замкнутое ограниченное
выпуклое множество в отделимом локально выпуклом пространстве.
Доказать, что выпуклая оболочка A U В замкнута.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 159].
1.12.54. Пусть S — компакт диаметра d в нормированном
пространстве Е. Показать, что расстояние между двумя опорными гиперплоскостями
к 5 не больше d, причем существуют такие точки а, Ъ £ 5, что \\а — b\\ = d
и через них проходят опорные гиперплоскости, отстоящие друг от друга на
расстояние d.
1.12.55. Показать, что на всяком бесконечномерном нормированном
пространстве существуют нормы, задающие строго более сильную и
строго более слабую топологии соответственно.
1.12.56. Доказать, что произведение любого набора квазиполных
пространств квазиполно.
1.12.57. Пусть Eq — такое линейное подпространство топологического
векторного пространства £7, что всякая точка из Ε лежит в замыкании
некоторого ограниченного множества из Eq. Доказать, что каждое непрерывное
линейное отображение из Eq в квазиполное отделимое топологическое
векторное пространство G однозначно продолжается до непрерывного
линейного отображения из Ε в G.
1.12.58.° Пусть топология локально выпуклого пространства Ε
задана последовательностью полунорм рп, причем рп ^ ρη+ι· Показать, что эта
топология может быть задана одной полунормой в точности тогда, когда
найдется такое /с, что при некоторых Сп > 0 имеем рп ^ Спрк для всех п.
1.12.59. Пусть Ε — метризуемое локально выпуклое пространство
неуравновешенное множество в Е, поглощающее все стремящиеся к нулю
последовательности. Доказать, что S содержит окрестность нуля.
Указание: если ап —> 0, ап 0 5, то найдутся Сп —> +оо с Спап —> 0, что
ведет к противоречию, ибо S поглощает {Спап}.
1.12.60. Показать, что в локально выпуклом пространстве
последовательность {хп} фундаментальна тогда и только тогда, когда для всякой ее
подпоследовательности {хПк} последовательность векторов хПк+1 — Хпк
сходится к нулю.

138
Глава 1. Введение в теорию
1.12.61. Пусть V — выпуклое множество с непустой внутренностью
в локально выпуклом пространстве Е. Доказать, что V открыто в точности
тогда, когда для всякого ненулевого непрерывного линейного функционала
/ на Ε множество /(V) открыто.
Указание: если V открыто, то открыто /(V) для ненулевого /; если же
χ о £ V не является внутренней точкой, то взять / Ε Ε' с f(u) ^ /(хо) для
всех и из внутренности V\ показать, что /(хо) — внутренняя точка f(V).
1.12.62. (Фихтенгольц [164]) Пусть ρ и q — полунормы на линейном
пространстве £7, Е'р и E'q — подпространства в £"*, соответствующие
функционалам, непрерывным по полунормам ρ и q соответственно. Показать, что
Ер С Eg в точности тогда, когда ρ ζ. cq при некотором с > 0.
1.12.63. Пусть Ε и F — локально выпуклые пространства, множества
А С Ε и В С F абсолютно выпуклы, / — числовая билинейная функция
на ExF, причем ее сужение на, Ах В непрерывно в нуле, (i) Доказать, что
сужение f на, Ах В непрерывно, (ii) Доказать, что если А предкомпактно,
а В компактно, то сужение f на Ах В равномерно непрерывно.
1.12.64. Доказать, что компактное пространство К метризуемо в
точности тогда, когда на нем есть счетное семейство непрерывных функций /п,
разделяющих точки в следующем смысле: если χ φ у, то для некоторого η
имеем /п(х) φ /η(у). При этом в качестве метрики можно взять
d(x,y) = Σ~=ι 2-" min(|/n(x) - fn(y)\, l).
1.12.65.° Доказать, что отделимый компакт К метризуем в точности
тогда, когда пространство С (К) с обычной sup-метрикой сепарабельно.
1.12.66. Пусть X — метризуемый компакт и /: X —► Υ — непрерывное
отображение, причем Υ хаусдорфово. Доказать, что компакт f(X) также
метризуем.
Указание: пространство С(Х) сепарабельно, а С(/(Х)) вкладывается
в него изометрично посредством отображения φ ι—► ipof. Значит, С(/(X))
тоже сепарабельно, что дает метризуемость /(X).
1.12.67. Доказать, что множество А в отделимом топологическом
векторном пространстве Ε предкомпактно в точности тогда, когда каждая
бесконечная последовательность из А имеет предельную точку в пополнении Е.
1.12.68. Пусть А — локально компактное замкнутое выпуклое
множество в топологическом векторном пространстве. Доказать, что если А
ограничено, то оно компактно.
Указание: показать, что А вполне ограничено, рассуждая от
противного и взяв такую уравновешенную окрестность нуля У, что ап — а,к 0 V для
некоторой последовательности {ап} С А, затем использовать выпуклость А.
1.12.69. Пусть Ε — метризуемое топологическое векторное
пространство, d — инвариантная относительно сдвигов метрика на нем, задающая
топологию, Ε — пространство классов эквивалентности бесконечных
фундаментальных последовательностей χ = (хп) из Е, где χ ~ у, если
последовательность (χι,2/ι,Χ2,2/2, · · ·) фундаментальна. Пусть с?(х,у) := lim c?(xn,yn).

1.12. Дополнения и задачи
139
Показать, что Ε — полное метрическое топологическое векторное
пространство, служащее пополнением Е.
1.12.70.° Доказать, что всякое счетное всюду плотное множество в
бесконечномерном метризуемом топологическом векторном пространстве
содержит плотное линейно независимое подмножество.
1.12.71. Доказать, что на IR°° нет непрерывных норм.
1.12.72. В банаховом пространстве I1 рассмотрим прямую L, заданную
условиями хп = 0,п^2,а также множество
А := {х = (хп): \п3хп — п\ ^ х\ Vn ^ 2}.
Показать, что А замкнуто и выпукло, причем AnL = 0, но А и L нельзя
разделить замкнутой гиперплоскостью (заметить, что множество А — L нельзя
отделить от нуля замкнутой гиперплоскостью, поскольку это множество
всюду плотно). Аналогичное верно ив/2.
1.12.73. Рассмотрим банахово пространство I1 = (со)', наделенное
топологией σ(/χ, со), в которой замкнутый единичный шар U компактен (см. § 3.1).
Показать, что ни в какой точке и единичной сферы с бесконечным числом
ненулевых координат нет замкнутой опорной гиперплоскости к U.
1.12.74. Показать, что замкнутый единичный шар банахова
пространства со стремящихся к нулю последовательностей не имеет опорных
гиперплоскостей, параллельных замкнутой гиперплоскости /_1(0), где / задается
формулой /(χ) = Σ™=1 2~ηχη.
1.12.75. Возьмем компакт К := {(χη): Σ^=ι у/пх^, ^ 1} в Ζ2 и точку
а Е К, где ап = стпГ1, с > О, Σ™=1 (?п~ъ'2 = 1. Доказать, что а — крайняя
точка X, но через а не проходит никакая опорная гиперплоскость к К.
Указание: если эта гиперплоскость имеет вид (х,у) = 1, то уп = су/пап.
1.12.76. Пространство Μ = С[0,1]' борелевских мер на [0,1] наделим
топологией σ(Μ, С[0,1]). Пусть λ — мера Лебега, D — множество дираков-
ских мер δα, а £ [0,1], Ε — линейное подпространство М, порожденное D и X
и наделенное индуцированной топологией. Показать, что D компактно в Е,
причем λ является крайней точкой замкнутой выпуклой оболочки множества
D в Е, хотя не входит в выпуклую оболочку D.
1.12.77. Пусть еп — последовательность, имеющая 1 на месте с
номером η и нули на остальных местах. Показать, что множество К, являющееся
замкнутой выпуклой оболочкой последовательности {(п + 1)_1еп} в
банаховом пространстве /°°, компактно, но не совпадает с выпуклой оболочкой
своих крайних точек.
1.12.78. Пусть К — выпуклый компакт в вещественном локально
выпуклом пространстве. Доказать, что всякий непрерывный линейный
функционал принимает минимальное и максимальное значение на К в некоторых
крайних точках К.
1.12.79. (i) Пусть Η — замкнутая гиперплоскость в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε и А — абсолютно выпуклое множество в Е.
Доказать, что ~А П Я = А П Я.

140
Глава 1. Введение в теорию
Привести пример выпуклого, но не абсолютно выпуклого множества А
в Ш2, для которого это неверно.
(ii) Вывести из (i), что абсолютно выпуклое множество в Ε замкнуто
в точности тогда, когда замкнуты его пересечения со всеми замкнутыми
гиперплоскостями в Е.
Указание: если h 0 Η и направленность векторов ha + Coch e А, где
ha £ Η и Сое φ 0, стремится к Ь £ Н, то векторы
αα = —ta(hai + caih) + (1 — ta)(ha + cah) £ A
тоже стремятся к Ь, если ta —► 0; заметить, что аа £ Н, если cai£a = ca(l—ία)·
1.12.80. (i) Пусть А — абсолютно выпуклое подмножество локально
выпуклого пространства £7, наделенного сильнейшей локально выпуклой
топологией. Показать, что тогда А П L = AnL для всякого линейного
подпространства L С Е. (ii) Пусть А — абсолютно выпуклое подмножество ExF, где
E,F — локально выпуклые пространства и F наделено сильнейшей локально
выпуклой топологией. Показать, что Ап(Ех {0}) = Ап(Ех {0}).
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 110].
1.12.81. Пусть V — выпуклое множество в топологическом векторном
пространстве. Доказать, что если V имеет хотя бы одну внутреннюю точку,
то его топологическая внутренность совпадает с алгебраическим ядром.
1.12.82. Пусть X — пространство Фреше, Хо — его замкнутое линейное
подпространство, π: X —> Х/Хо — каноническая проекция на факторпро-
странство. Доказать, что для каждого компакта К С Х/Хо найдется такой
компакт S С X, что π(5) = К. В задаче 3.12.149 приведено обобщение.
Указание: см. Эдварде [185, лемма 9.6.9, с. 926].
1.12.83. Пусть Ε — нормированное пространство, F — сепарабельное
и замкнутое по норме линейное подпространство в Е'. Показать, что
найдется сепарабельное замкнутое линейное подпространство Eq С Е, для которого
существует линейная изометрия j подпространства F на замкнутое линейное
подпространство в банаховом пространстве Е'0.
Указание: взять в F плотную по норме последовательность {/п} и
такие векторы ап £ Е, что ||αη|| ^ 1, |/η(αη)| = (1 — гс_1)||/п||; пусть Е0
замкнутое линейное подпространство в Е, порожденное {αη}; заметить, что
II/H = supn|/(an)| при / £ F; в качестве j(f) при / £ F взять /|я0, т.е.
j(f)(x) = Дх) при χ £ Ео, \\j(f)\\ = sup{|/(x)|: χ £ Я0, ||*|| ^ 1} = ||/||.
1.12.84. Пусть Φ — многозначное отображение топологического
пространства Τ в множество непустых подмножеств компакта К, имеющее
замкнутый график. Доказать, что Φ полунепрерывно сверху, т. е. если to £ Τ
и Φ (to) лежит в открытом множестве W, то существует такая окрестность
U Э to, что Φ(ί) С W при t £ U.
1.12.85. (Миллионщиков [94]) Пусть V — замкнутое выпуклое
множество в полном отделимом локально выпуклом пространстве £7, /ι: V —► Ε —
сжимающее отображение, т. е. для всякой полунормы ρ из задающего
топологию набора есть такое λ < 1, что p(/i(x) — /ι(у)) ^ Хр(х — у), /2: V —► Ε
непрерывно и /(V) лежит в компакте. Предположим, что / = /ι + /г
отображает V в V. Тогда найдется хо £ V с /(хо) = хо-

Глава 2
Методы построения топологических
векторных пространств
В этой главе рассматриваются проективные пределы (в
частности произведения) семейств топологических векторных
пространств, индуктивные пределы (в частности топологические
прямые суммы) семейств локально выпуклых пространств,
включая строгие индуктивные пределы и индуктивные пределы с
компактными вложениями, тензорные произведения локально
выпуклых пространств и ядерные пространства.
Всюду в этой главе символ К обозначает — если не оговорено
противное — поле комплексных или поле действительных чисел;
предполагается, что все рассматриваемые векторные и
топологические векторные пространства являются пространствами над К.
2.1. Проективные топологии
2.1.1. Определение. Пусть Ε — векторное пространство
и 21 — некоторое множество индексов. Предположим, что для
каждого a Ε 21 даны топологическое векторное пространство Еа
и линейное отображение да: Ε —> Еа. Проективной топологией
семейства пространств {Еа} относительно семейства
отображений {да} называется самая слабая среди всех топологий
в Е, относительно которых непрерывны одновременно все
отображения {да}- Проективным пределом семейства {Еа}
относительно семейства отображений {да} называется векторное
пространство Е, наделенное этой топологией.
Проверим корректность приведенного определения, т. е.
докажем, что проективная топология семейства пространств {Еа}

142
Глава 2. Методы построения
относительно семейства {да} отображений существует.
Доказательство заключается в предъявлении явного описания этой
топологии. Для каждого индекса a Ε 21 пусть Wa есть класс всех
множеств вида да~1(У), где V — открытое подмножество в Еа.
Положим W = Ua^<*· Тогда совокупность V пересечений
всевозможных конечных семейств множеств из W образует базу
топологии τ в Е, обладающей требуемыми свойствами, т.е. самой
слабой среди всех топологий t в Е, для которых все отображения
да: (E,t) —> Еа непрерывны.
Чтобы в этом убедиться, требуется проверить справедливость
следующих утверждений: (1) V — база некоторой топологии τ
в Е; (2) все отображения да: (£?, т) —> Еа непрерывны; (3)
топология τ мажорируется всякой топологией t в £?, для которой все
отображения да: (£?, £) —> £?α непрерывны.
Справедливость (1) вытекает из того, что пересечение всякого
конечного набора подмножеств из V входит в Р, так что
совокупность всех подмножеств пространства Е, каждое из которых
является объединением некоторого семейства множеств из V,
образует топологию. Ее мы и обозначим символом т. Ясно, что базой
этой топологии служит V (класс W является ее предбазой).
Если теперь a Ε 21 и V — открытое подмножество в Еа, то
9а.1(У) £ VV С Ρ С т, в силу определения W, Риг, так что
отображения да: (£?, т) —> Еа непрерывны, т. е. (2) верно.
Проверим (3). Пусть t — такая топология в £?, что для
каждого a Ε 21 отображение да: (£?, £) —> £?а непрерывно. Тогда
каждое из множеств, являющихся элементами W, открыто в £, т.е.
Wei. Поэтому τ С t в силу определения г. Проверка
корректности определения закончена.
2.1.2. Замечание. До сих пор нигде не использовалось ни
то, что для каждого a Ε 21 топология пространства Еа
согласуется со структурой векторного пространства, ни то, что все
отображения да линейны, ни то, что Ε и Еа — векторные
пространства. Таким образом, определение проективного предела
сохраняет смысл и остается корректным и без этих предположений
(т.е. в случае, когда Ε — произвольное множество, {Еа} —
произвольное семейство топологических пространств и {да} ~
произвольное семейство отображений из Ε в Еа).
2.1.3. Предложение. В предположениях определения 2.1.1
проективная топология τ согласуется со структурой
векторного пространства Е.

2.1. Проективные топологии
143
Доказательство. Справедливость этого предложения
вытекает из следствия 1.2.9. Действительно, все Е(% —
топологические векторные пространства, а все отображения да линейны.
Значит, каждое из семейств множеств Wa инвариантно
относительно сдвигов; следовательно, инвариантны относительно
сдвигов и семейства УУиР, а потому и топология т.
Далее, в силу определения топологии τ множество О всех
подмножеств пространства Е, каждое из которых является
пересечением некоторого конечного семейства множеств вида Яа1{У)ч
где V — открытая закругленная окрестность нуля в Еа,
представляет собой базу окрестностей нуля в топологии т, причем эта
база обладает свойствами (1) и (2) из предложения 1.2.2.
Поэтому в силу следствия 1.2.9 топология τ согласуется со структурой
векторного пространства. D
Термин «проективный предел» часто используется в качестве
названия более специальной конструкции (о ней будет сказано
позже); с другой стороны, проективные в нашем смысле
топологии называются также инициальными.
2.1.4. Предложение. Если в предложении 2.1.1 все
топологические векторные пространства Еа локально выпуклы, то
локально выпукла и топология т.
Доказательство. Обоснование совершенно аналогично
доказательству предложения 2.1.3; следует только слова «открытая
закругленная окрестность» заменить словами «открытая
выпуклая закругленная окрестность». D
2.1.5. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, являющееся проективным пределом
семейства {Еа: a Ε 21} топологических векторных пространств
относительно линейных отображений {ga: a Ε 21}.
Отображение f произвольного топологического пространства G в
топологическое векторное пространство Ε непрерывно в точке χ Ε G
в том и только в том случае, когда для всякого a Ε 21
отображение ga°f: G —> Еа непрерывно в этой точке.
Доказательство. Так как композиция двух непрерывных
(в соответствующих точках) отображений непрерывна,
достаточно доказать, что непрерывность отображений gaof (a Ε 21) влечет
непрерывность /. Пусть V — открытая окрестность точки f(x).
Надо показать, что существует такая окрестность W точки ж, что

144
Глава 2. Методы построения
f(W) С V. В силу определения проективной топологии
существуют индексы αϊ,..., ап Ε 21 и открытые подмножества Vi,..., Vn
пространств Εαι,..., Εατι, для которых f(x) е ΠΓ=ι 9*}(Vi) c ^·
Так как каждое отображение gai°f непрерывно, то найдутся
такие открытые окрестности W{ точки ж, что (<7ai°/)(Wi) С Vi для
каждого г Ε {1,2,... , п}. Это означает, что f(Wi) С ^/(V*) для
каждого такого г. Поэтому тем более /(fl^Wi) С д^.1^) для всех г.
Значит, если W = ПГ=1 ^i. т° f(W С ΠΓ=ι ^(^)· □
Если Ε — локально выпуклое пространство и ρ — некоторая
непрерывная полунорма на Е, то символом Ер или (Ер,р)
обозначается нормированное пространство, определяемое так:
векторное пространство Ер — это векторное факторпространство
векторного пространства Ε по его подпространству р_1(0); при этом
ρ — норма на Ер, корректно определяемая следующим образом:
если χ е Ер и χι — представитель класса ж, то р{х) = р{х\).
Отметим, что каноническое отображение др: Ε —> Ер
непрерывно как композиция двух непрерывных отображений —
тождественного отображения пространства Е, наделенного исходной
топологией, в Е, наделенное топологией, определяемой
полунормой ρ (мы обозначим это последнее символом (Е,р)), и
канонического отображения (Е,р) в Ер (это фактически то же самое
отображение др, но рассматриваемое как отображение из (Е,р)
в пространство Ер).
Общий проективный предел — весьма универсальный объект.
2.1.6. Предложение. Всякое локально выпуклое
пространство Ε представляет собой проективный предел семейства
{Ер: ρ Ε V} нормированных пространств относительно
канонических отображений {gp: p Ε V}, где V — множество всех
непрерывных полунорм на Е.
Доказательство. Это вытекает из того, что всякая
локально выпуклая топология задается множеством всех непрерывных
полунорм на том пространстве, в котором она введена. D
2.1.7. Замечание. Аналогичное предложение справедливо
и для произвольных топологических векторных пространств (т. е.
пространств, не являющихся локально выпуклыми). Чтобы его
получить, достаточно в формулировке приведенного
предложения слово «полунорма» заменить словом «квазинорма», а слово
«нормированных» — словом «метризуемых».

2.2. Примеры проективных пределов
145
2.1.8. Замечание. Для каждой полунормы ρ на Ε обозначим
через ερ банахово пространство, являющееся пополнением
нормированного пространства Ер. Из предыдущего предложения
вытекает, что всякое локально выпуклое пространство
представляет собой проективный предел семейства банаховых пространств
{Sp} относительно соответствующих канонических отображений.
Аналогичное предложение справедливо и для произвольных
топологических векторных пространств, т. е. необязательно
локально выпуклых (в этом случае роль банаховых пространств играют
полные метризуемые топологические векторные пространства).
2.1.9. Замечание. Если τ — проективная топология в
векторном пространстве Ε относительно семейства {Еа: a Ε 21}
топологических векторных пространств и линейных отображений
{da £ £(Е,Еа): & £ 21}, то для отделимости τ необходимо и
достаточно, чтобы для всякого ненулевого элемента χ Ε Ε
можно было найти a Ε 21 и окрестность нуля Va в Еа такие, что
9а{х) £ Va- В частности, если все топологические векторные
пространства Εа отделимы, то для отделимости Ε необходимо и
достаточно, чтобы для каждого ненулевого элемента χ Ε Ε
существовал такой индекс a Ε 21, что да(х) φ 0. Оба утверждения
непосредственно вытекают из определения.
2.2. Примеры проективных пределов
Рассмотрим несколько примеров проективных пределов.
2.2.1. Пример. (Верхняя грань набора топологий в
векторном пространстве.) Пусть Ε — векторное пространство, 21 —
некоторое множество индексов и для каждого a Ε 21 задана
топология та в Е, согласующаяся со структурой векторного
пространства. Тогда в Ε существует топология т, являющаяся верхней
гранью множества {та: a Ε 21} в множестве всех топологий в Е,
т.е. самая слабая среди всех тех топологий в Е, каждая из
которых мажорирует всякую из топологий та. При этом топология
г согласуется со структурой векторного пространства и, кроме
того, является локально выпуклой, если таковы все та.
Действительно, требуемым свойством обладает топология
проективного предела семейства топологических векторных
пространств {Еа: a Ε 21} относительно семейства отображений
{да: a Ε 21}, где для каждого a Ε 21 берем Еа = (Е,та),
причем да — тождественное отображение пространства Е. Сказанное
о локальной выпуклости вытекает из предложения 2.1.4.

146
Глава 2. Методы построения
2.2.2. Пример. (Подпространства, см. пример 1.3.10). Пусть
Ε — топологическое векторное пространство, Ει — его
топологическое векторное подпространство (т. е. векторное
подпространство, наделенное индуцированной топологией) и д: Ει —> Ε —
каноническое вложение. Тогда Ει — проективный предел
одноэлементного семейства топологических векторных пространств {Е}
относительно одноэлементного семейства отображений {д}.
2.2.3. Пример. (Произведение топологических векторных
пространств.) Пусть 21 — непустое множество и (Еа,та) —
топологическое векторное пространство для каждого a Ε 21. Пусть
Ε — векторное пространство, являющееся произведением
семейства векторных пространств {Еа: a Ε 21}. Таким образом,
множество элементов Ε — множество всех функций / на
множестве 21, принимающих значения в множестве (JaG2t£?a, причем
f((y) G Εα для каждого a Ε 21; структура векторного
пространства в Ε вводится с помощью соотношения
(Αι/ι + λ2/2)(α) = λι/ι(α) + Α2/2(α), АЬА2 € К, /ь/2 G Ε.
Для каждого a Ε 21 обозначим через рга отображение
проектирования Ε на Еа, определяемое так: если / Ε Е, то pra(/) = f(a).
Топология (в Е) проективного предела семейства {Еа: a Ε 21}
топологических векторных пространств относительно семейства
отображений {pra: a Ε 21} совпадает с топологией тихоновского
произведения; это вытекает из определений той и другой. Всюду
далее произведением семейства топологических векторных
пространств будет называться их произведение как векторных
пространств, наделенное топологией тихоновского произведения;
если {Ga} — то семейство топологических векторных пространств,
о котором при этом идет речь, то символ Паея @а будет
обозначать их произведение.
2.2.4. Предложение. Пусть Ε — проективный предел
семейства {Еа: a Ε 21} топологических векторных пространств
относительно семейства отображений {ga Ε С(Е, Еа): a Ε 21},
причем его топология отделима. Тогда Ε изоморфно — как
топологическое векторное пространство — некоторому
топологическому векторному подпространству произведения G
семейства топологических векторных пространств {Еа: a Ε 21}.
Доказательство. Пусть Φ — линейное отображение
пространства £bG, определяемое так: Φ (χ) (α) = ga(x) (линейность

2.2. Примеры проективных пределов
147
Φ следует из линейности всех да). Это отображение инъектив-
но, ибо в силу отделимости Ε для каждого χ Ε Ε существует
такое a Ε 21, что да(х) Φ 0. Далее, для каждого a Ε 21
композиция ргаоФ совпадает с отображением да и, следовательно,
непрерывна. В силу предложения 2.1.5 непрерывно и
отображение Ф. Для окончания доказательства осталось проверить, что
непрерывно также отображение Ф-1: Ф(£?) —> Ε (в
предположении, что векторное подпространство Φ (£7) пространства G
наделено топологией, индуцированной топологией пространства G).
Для каждого a Ε 21 композиция отображения Ф-1, переводящего
элемент д(ж) (т. е. функцию α ι—► ga(#)) пространства Φ (£7) в
элемент χ Ε £?, и отображения #а совпадает с сужением на Ф(£?)
отображения проектирования рга: д(х) \—> да(х) и потому
непрерывно в силу определения топологии произведения. Поэтому —
опять же на основании предложения 2.1.5 — отображение Ф-1
также непрерывно. Таким образом, отображение Φ представляет
собой линейный гомеоморфизм Ε на топологическое векторное
подпространство Φ(£7) пространства Πα^<*· ^
2.2.5. Следствие. Всякое отделимое локально выпуклое
пространство Ε изоморфно топологическому векторному
подпространству произведения ПРеР ^р> г^е ^ ~ множество всех
непрерывных полунорм на Е.
Этот факт вытекает из предложений 2.1.6 и 2.2.4.
2.2.6. Пример. {Слабые топологии, пример 1.3.23). Пусть
Ε — векторное пространство, G — некоторое векторное
подпространство в £?*, и для каждого g Ε G пусть Ед — экземпляр
поля К, рассматриваемого как одномерное топологическое
векторное пространство (над полем К). Тогда топология
проективного предела семейства топологических векторных пространств
{Ед: д Ε G} относительно семейства отображений {д: д Ε G} —
слабая топология в £?, задаваемая элементами множества G.
2.2.7. Пример. (Пределы обратных спектров
топологических векторных пространств.) Пусть 21 — направленное
множество. Семейство {Еа: a Ε 21} топологических векторных
пространств называют обратным спектром топологических
векторных пространств Еа, если каждой паре α,/3 Ε 21 индексов, для
которых а ^ /3, сопоставлено непрерывное линейное отображение
φαβ: Ε β —> Еа. Пределом такого обратного спектра называется
топологическое векторное подпространство произведения Па^<*>

148
Глава 2. Методы построения
обозначаемое символом ИтЕа и состоящее из таких элементов
9 € ΤίαΕ*ι чт0 5(α) = Ψαβ9(β), если α, β е 21, а < β.
Например, если Е^ С Еа при α < β и естественное вложение
Εβ —> Εα непрерывно, то р|а Еа оказывается пределом обратного
спектра пространств Еа.
Всякое топологическое векторное подпространство
произведения произвольного семейства топологических векторных
пространств представляет собой проективный предел этого
семейства относительно семейства отображений рассматриваемого
пространства в пространства-сомножители, являющихся сужениями
на него отображений проектирования произведения на эти
сомножители. Поэтому, в частности, пространство \imEa
является проективным пределом семейства топологических векторных
пространств {Еа: a Ε 21} относительно семейства отображений,
являющихся сужениями соответствующих проекций.
Отметим еще, что в силу непрерывности отображений ψαβ
топологическое векторное пространство ИтЕа представляет
собой замкнутое подпространство произведения Υ[α Εα
(проверьте это). Поскольку, кроме того, замкнутое подмножество
полного топологического векторного пространства полно, а
произведение произвольного семейства полных топологических векторных
пространств является полным топологическим векторным
пространством, то предел обратного спектра полных топологических
векторных пространств является полным топологическим
векторным пространством. Аналогичное утверждение справедливо
и для квазиполных топологических векторных пространств.
Введем еще один интересный класс пространств.
2.2.8. Пример. (Счетно нормированные пространства.)
Так называются локально выпуклые пространства, являющиеся
пределами обратных спектров банаховых пространств,
обладающих следующими свойствами: (а) множество индексов
представляет собой множество натуральных чисел с обычным порядком;
(б) все отображения ipnj (определенные для j ^ п) инъективны.
Понятие счетно нормированного пространства было введено
Гельфандом и Шиловым [46] с помощью другого определения:
в их книге топологическое векторное пространство называется
счетно нормированным, если оно локально выпукло, метризуе-
мо, полно, причем его топология может быть задана счетным
набором согласованных норм. При этом две нормы на векторном

2.2. Примеры проективных пределов
149
пространстве Ε называются согласованными, если из
фундаментальности последовательности элементов этого пространства
одновременно по обеим нормам и сходимости этой
последовательности к нулю по одной из них вытекает, что она сходится к нулю
и по другой.
В качестве примера двух несогласованных норм на
бесконечномерном банаховом пространстве X укажем исходную норму
|| · || и норму χ ι—> \\х\\ + |/(#)|, где I — разрывный линейный
функционал на X. Тогда можно найти такие векторы хп Ε X,
что ||жп|| —> 0 и 1{хп) = 1.
Мы будем называть введенное нами определение счетно
нормированного пространства определением I, а определение из
книги [46] — определением П.
Сейчас мы докажем, что эти определения равносильны.
Сначала покажем, что из выполнения условий определения I
вытекает выполнение условий определения II. Итак, пусть задан
обратный спектр {Еп: η Ε IN} банаховых пространств, для которого
выполнены условия определения I.
Для каждого j Ε IN норму в Ej обозначим символом || · \\j.
Так как все отображения ipnj : Ej —> Еп инъективны, то каждое
из пространств Еп можно отождествить — как векторное
пространство — с подпространством любого пространства Е{ (г < п)
с меньшим индексом. Таким образом, если вместо слов
«является векторным подпространством» использовать символ С С, то
будет справедлива следующая цепочка соотношений:
•••сс£псс Εη-ι ее · · · ее Еъ
При этом отображения ipjr будут совпадать с
соответствующими (тождественными) вложениями. Подчеркнем, что, вообще
говоря, пространства Ег не являются топологическими
векторными подпространствами пространств Ej с меньшими индексами j,
а всего лишь векторными подпространствами.
При принятых соглашениях пространство lim En можно
отождествить — как векторное пространство — с пересечением р|п Еп
пространств Еп. В самом деле, g Ε \imEn в точности тогда,
когда при j ^ η справедливы равенства ipnj(d(j)) = 9(п)· Так
как ipnj — вложения, эти равенства фактически означают, что
д(1) = д{2) = ··· = д(п) = ···, так что отождествление \imEn
и f]n Еп можно задать так: д Ε lim Еп <ί=> д{1) Ε f]n En.

150
Глава 2. Методы построения
Итак, показано, что как векторное пространство ИтЕп
совпадает с 0пЕп. Как было отмечено в примере 2.2.8, топология
пространства lim Еп есть топология проективного предела
семейства топологических векторных пространств {Е3-,: j е ΊΝ}
относительно семейства отображений, являющихся сужениями на
ИтЕп отображений рг^: ПпЕп —> Ej. После отождествления
lim En и f)n En отображения pr^· можно считать определенными
на f]n En\ при этом каждое из этих отображений является
вложением в соответствующее пространство; скажем, рг^· совпадает на
р|п Еп с тождественным вложением in^: р|п Еп —> Ej. Значит,
если наделить р|п Еп топологией τ проективного предела семейства
банаховых пространств {Εη: η G IN} относительно
отображений inj, то описанное выше отождествление пространств \imEn
и р|п Еп будет их отождествлением и как топологических
векторных пространств.
Из определения I следует, что определенная выше топология
проективного предела в f]n En задается семейством норм || · ||п
(точнее, сужениями этих норм на р|п Еп). Покажем, что эти
нормы согласованы. Пусть последовательность {xk} С f]nEn
фундаментальна по двум нормам || · ||7·, || · ||п и \\хк\\п —> 0. Если
η > j, то соотношение \\xk\\j —> 0 вытекает из непрерывности
вложения г/jjn: Еп —> Ej. Если же η < j, то {хк} сходится к
некоторому χ в Ej ввиду полноты Ej, что дает равенство χ = 0 из-
за непрерывности и инъективности ipnj. Таким образом,
показано, что пространство (f)nEn,r) — а тем самым и совпадающее
с ним пространство ИтЕп — является счетно нормированным
пространством в смысле определения П.
Пусть теперь, наоборот, для пространства Ε выполнены
условия определения II, и пусть {pj} — те согласованные нормы,
которые задают топологию этого пространства. Заменяя, если это
необходимо, нормы pj нормами p'j = Yj*n=iPn (которые задают
ту же самую топологию) и сохраняя прежние обозначения,
можно считать, что для всех χ Ε Ε и η справедливы соотношения
Ρη(^) ^ Ρη+ι(#); ПРИ этом согласованность норм не нарушается.
Пусть, далее, Еп — пополнение Ε по норме ρη, η Ε IN. Для
каждой пары n,j Ε IN зададим непрерывное линейное
отображение ψη^η+j : En+j —> Еп как продолжение по непрерывности

2.2. Примеры проективных пределов
151
тождественного отображения (такое продолжение существует
согласно предложению 1.7.14).
Из согласованности норм вытекает инъективность этих
отображений, т.е. из равенства ipniTl+j(x) = О, где χ Ε En+j,
вытекает, что χ = 0. В самом деле^ существует последовательность
{χι} С Е, сходящаяся в En+j к х. Эта последовательность
фундаментальна по норме Рп+7 5 причем pn(xi) —> 0, ибо грщп^(х) = 0.
В силу согласованности норм pn+j(xi) —> 0, откуда χ = 0.
Итак, семейство {Еп: η Ε IN} банаховых пространств
образует спектр относительно инъективных отображений {фп8: η ^ s}
(Ψηη — тождественные отображения Еп в Еп, которые, как
и раньше, мы считаем вложениями векторных пространств).
Как было показано выше, пространство lim En можно
отождествить с векторным пространством р|п Еп, наделенным
топологией, задаваемой семейством норм рп. Таким образом, для
доказательства того, что Ε является счетно нормированным
пространством в смысле определения I, остается проверить, что множество
р|п Еп совпадает как векторное пространство с Е.
Так как включение Ε С f]n En верно по определению (все
Еп — пополнения £?), то следует доказать справедливость
противоположного включения. Пусть χ G f]nEn. Это значит, что
для каждого η Ε IN существует последовательность {#?} С ЕП1
сходящаяся к ж в £п, т.е. по норме рп. Тогда можно выбрать
«квазидиагональную» последовательность {#!^ПЛ, которая
сходится в каждом из пространств Еп, следовательно,
фундаментальна по каждой из норм рп. Поскольку они задают топологию
в Е, то это означает, что последовательность {хЪп\}
фундаментальна в£ив силу полноты Ε сходится к некоторому элементу
ζ Ε Ε. Эта последовательность сходится к ζ и в пространстве Е\
(сходясь в Е, она сходится по каждой из норм рп). Однако {#?(ПЛ
является подпоследовательностью последовательности жj,
сходящейся к χ в Е\ и потому также сходится в этом пространстве
к х. Таким образом, χ = ζ, т.е. χ Ε Ε. Тем самым завершено
доказательство равносильности обоих определений.
2.2.9. Замечание. Отметим следующий факт,
установленный в примере 2.2.8. Пусть дана последовательность вложенных
друг в друга банаховых пространств Еп+\ С С Еп (как и
раньше, символ С С обозначает, что пространство, стоящее слева от

152
Глава 2. Методы построения
него, является векторным подпространством пространства,
стоящего справа), причем все вложения непрерывны. Такое семейство
может рассматриваться как обратный спектр этих пространств,
множеством индексов которого является множество натуральных
чисел, а роль отображений ipnj играют вложения.
Тогда предел такого обратного спектра представляет собой —
как векторное пространство — пересечение всех пространств Еп,
а его топология задается с помощью сужений на р|п Еп норм рп
банаховых пространств Еп.
2.2.10. Пример. Конечно, не всякое пространство Фреше
является счетно нормированным. Например, счетное произведение
вещественных прямых Ж°° таковым не является, ибо на нем
вообще нет ни одной непрерывной нормы (всякая окрестность нуля
этого пространства содержит некоторое бесконечномерное
векторное подпространство).
2.2.11. Пример. Более интересным является то
обстоятельство, что счетно нормированным может не быть и пространство
Фреше, топология которого задается с помощью счетного
набора норм (отметим, кстати, что, для того чтобы топология
произвольного локально выпуклого пространства — необязательно
пространства Фреше — могла быть задана некоторым семейством
норм, достаточно, чтобы на этом пространстве существовала хотя
бы одна непрерывная норма).
Пространство Фреше, о котором идет речь, определяется так.
Пусть Ε — пространство всех один раз непрерывно
дифференцируемых вещественных функций / на прямой со следующим
свойством: \f(t)\ + |/7(^)1 ~~^ 0 ПРИ И ~~^ °°· Для каждого
натурального η обозначим через рп норму на Е, определяемую равенством
pn(/) = max|/(i)| + max |/'(*)|+
teJR1 te[-n,n]
+ max{|/'(r + l/(2fc))|: r G Ζ; \r\ > n; к = 1,2,... ,n}.
Пусть τ — топология в пространстве Ε, определяемая счетным
семейством норм V = {рп: η G IN}; тогда (Ε,τ) — пространство
Фреше.
Покажем, что на этом пространстве не существует счетного
семейства согласованных норм, задающего его топологию.
Прежде всего, никакие две нормы из семейства V не являются
согласованными (проверьте!).

2.3. Индуктивные топологии
153
Предположим теперь, что на Ε существует семейство V\
согласованных норм, задающее топологию Е. Мы можем считать,
что эти нормы образуют возрастающую последовательность, так
что множество соответствующих им шаров {х Ε E: qj(x) < ε}
образует базу (а не только предбазу) окрестностей нуля.
Пусть q Ε V\. Тогда найдутся такие две различные нормы
PjnPj2 £ ^5 чт0 я(х) ^ CPji(x) ^ Cpj2(x) для каждого χ Ε Ε,
где С > 0 — некоторое число. Можно считать, что С = 1. Нормы
Pji ИР^2 5 разумеется, не являются согласованными. Можно также
найти норму q' Ε V\ и норму pj3 Ε Ρ, для которых q' < C'pj31 так
что без ущерба для общности можно считать, что
q(x) ^ Pjx(x) ^ Pj2(x) ^ Ql(x) ^ PjAx) ПРИ всех χ £ Е-
Конечно, нормы pjx и р^ также не являются согласованными.
Покажем теперь, что не согласованы и нормы q и q'. Пусть
{ап} — последовательность элементов из Е, фундаментальная по
норме pj3, следовательно, и по нормам р^ и р^2, сходящаяся к
нулю по норме pjx, но не сходящаяся к нулю по норме pj2 (значит,
и по норме Pj3). Именно существование для всяких трех норм р^1?
Pj2, pj3> таких5 чт° Pjx ^ Pj2 ^ Pj3> последовательности,
сходящейся к нулю по первой из них, фундаментальной сразу по всем трем
нормам, но не сходящейся к нулю ни по одной из двух последних
норм, и является тем свойством семейства норм Р, из которого
вытекает, что топология τ не может быть задана никаким
семейством попарно согласованных норм. Так как Pj1(an) ^ q(an), то
#(αη) —> 0. В силу неравенства q' ^ pj3 последовательность {ап}
фундаментальна по норме q'. Наконец, из неравенства pj2 ^ q'
следует, что она не может сходиться к нулю по норме q\ так как
в противном случае она сходилась бы к нулю и по норме pj2.
Отметим еще, что из соотношения \f(t)\ + |/'(£)| —> 0 при
\t\ —> оо, справедливого для каждой функции / Ε Е, вытекает,
что пространство (£?, т) сепарабельно.
2.3. Индуктивные топологии
Понятие индуктивной топологии двойственно понятию
проективной топологии, однако соответствующие при этом друг другу
результаты, относящиеся к той и другой топологиям, все же не
вполне симметричны; в чем состоит эта асимметрия, станет ясно
в дальнейшем.

154
Глава 2. Методы построения
2.3.1. Определение. Пусть Ε — векторное пространство,
21 — непустое множество индексов и для каждого a Ε 21 даны
локально выпуклое пространство Еа и линейное отображение
да: Еа —> Е. Индуктивной топологией семейства пространств
{Еа} относительно семейства отображений {да} (точнее,
индуктивной топологией в классе локально выпуклых топологии)
называется сильнейшая из всех локально выпуклых топологий
в Е, относительно которых непрерывны все отображения да.
Индуктивным пределом семейства {Еа} относительно
отображений {да] называется векторное пространство Е, наделенное
этой топологией. Обозначение: Ε = indaEa.
2.3.2. Замечание. Пусть V — множество всех таких
выпуклых закругленных поглощающих подмножеств V
пространства Е, что дй1{У) есть окрестность нуля в Еа для каждого
a Ε 21. Тогда V — база окрестностей нуля в индуктивной
топологии семейства {Еа} относительно семейства отображений {да}·
В самом деле^ согласно предложению 1.2.11, множество V есть
база окрестностей нуля некоторой локально выпуклой топологии τ
в Е, причем из определения базы V вытекает, что все
отображения да: Еа —> (Ε,τ) непрерывны. Если т\ — произвольная
локально выпуклая топология в Е, для которой все отображения
да: Еа —> (Ε,τχ) непрерывны, и Vi — база ее окрестностей нуля
из закругленных выпуклых множеств (разумеется, все они
являются поглощающими), то для каждого a Ε 21 и каждого V Ε Vi
множество дй1{У) является окрестностью нуля в Еа, в силу чего
по определению базы V имеем Vi С V, так что т\ С т.
Таким образом, если Еа — локально выпуклое пространство
с базисом абсолютно выпуклых окрестностей нуля Va, то
множество V абсолютно выпуклых оболочек всевозможных множеств
вида {Jaga(Va), где Va G Va, есть базис окрестностей нуля в Е.
(и) Если Еа — общие топологические векторные
пространства, то на Ε вводится индуктивная топология в категории
топологических векторных пространств как сильнейшая векторная
топология, для которой все да непрерывны. Такая тоже
существует. Согласно примеру 2.2.1, множество Τ всех векторных
топологий в Е, для которых все да непрерывны, непусто, причем в нем
есть слабейшая топология. Проверяется, что в Τ есть и нужная
нам сильнейшая, но можно и явно предъявить базу окрестностей
нуля (см. Jarchow [334, § 4.1]). Для упрощения считая, что Ε есть
объединение да(Еа), и взяв в каждом Еа базис Ыа закругленных

2.3. Индуктивные топологии
155
окрестностей нуля, введем в Ε базу нуля U из множеств вида
оо η
U = (J Σ (J 9a{Ua,k), Ua,k e Ua,
п=1 к=1 aG2t
где Σ обозначает векторную сумму. Для счетного набора Еп
можно брать множества U = Ukga: YlkeK 9k(Uk), где Uk E Uk
и /С — множество всех конечных подмножеств IN. Ясно, что С/
закруглено и поглощающее, причем существует V GU cV-{-V С U
(можно взять Va,k С Ua,2k Π Ua,2k-i из Wa). По следствию 1.2.9
класс W есть база окрестностей нуля векторной топологии τ<ι на Е.
Непрерывность да: Еа —> (Е,т) очевидна. Максимальность Т2
видна из того, что если все да непрерывны при наделении Ε
векторной топологией го и Wq — уравновешенная окрестность нуля
в ней, то найдем U e U с U С W, взяв Wk £ то, Wk + Wk С Wfc_i,
Ua,k С 5ra1(^/fc)· Если £?п локально выпуклы, то такова и
топология Т2, но для несчетного 21 это неверно (см. пример ниже).
Помимо индуктивных топологий в категориях локально
выпуклых пространств и топологических векторных пространств,
в пространстве Ε можно ввести еще самую сильную среди всех
вообще топологий, для каждой из которых все отображения да
непрерывны. Оказывается, что, даже если все Еа локально
выпуклы, эти три топологии могут оказаться различными.
2.3.3. Пример. Пусть Ε — вещественное векторное
пространство с алгебраическим базисом мощности континуума, Τ —
множество всех его конечномерных векторных подпространств,
каждое из которых наделено стандартной топологией, др —
каноническое вложение F в Ε для каждого F Ε Τ (таким образом,
здесь множеством индексов является само Т). Пусть т\ —
сильнейшая локально выпуклая топология в Е, для которой все др
непрерывны (т. е. локально выпуклая индуктивная топология),
Т2 — сильнейшая векторная топология, в которой все др
непрерывны, наконец, тз — сильнейшая среди всех вообще топологий
в Е, для которых непрерывны те же самые отображения.
Тогда, очевидно, тз D Т2 D т\. Мы покажем, что тз Φ Τ2 φ т\.
Для доказательства неравенства Т2 Φ т\ заметим, что
топология т\ может быть задана множеством всех полунорм в J5, а
топология Т2 — множеством всех квазинорм на Е. Пусть V — базис
Гамеля в Ε и q — квазинорма на Е, определяемая равенством
y{YleevCe *e) = {Σ/eev \/1се|) · Разумеется, множество отличных
от нуля коэффициентов в сумме Σ6β<ρ се · е конечно.

156
Глава 2. Методы построения
Мы покажем, что на Ε не существует такой полунормы р, что
{х е Е: р(х) 0}c{xG£: q(x) < 1}. В самом деле^ если ρ —
такая полунорма на Е, то для каждого a G Ε с р(а) ^ 1 должно
выполняться неравенство q(a) ^ 1. С другой стороны, для
некоторого С > 0 множество Vc = {β G V: р(е) < С} бесконечно, так
как если бы такого С > 0 не существовало, то множество V
было бы не более чем счетным, что неверно по условию. Итак, для
всякого η можно найти η различных элементов ei,... ,en G Vc-
Тогда для r\j — C~lej имеем p(n~l ]C?=1 Vj) ^ 1, в то же
время q{ji~lY^j=iT)j) = С^п. Поэтому для достаточно большого η
будет справедливо неравенство q(n~l ]C?=i Vj) > 1,
противоречащее неравенству ρ(η~1Σ™=1η^ ^ 1. Тем самым Т2 Φ τ\. Более
простое утверждение доказано.
Перейдем к доказательству неравенства тз φ Τ2· Пусть || · || —
норма на Е, определяемая равенством || Σ6β<ρ се-е\\ = maxeGp \ce\
(мы используем прежние обозначения). Для каждой
положительной функции φ на множестве VxV выберем какую-нибудь
окрестность нуля νφ в топологии гз, обладающую следующим
свойством: если ||A(ei + β2)|| ^ φ{ζ\,£2), то \{е\ + e<i) £ νφ. Такая
окрестность нуля в тз существует, ибо множество открыто в
топологии гз в точности тогда, когда его пересечение с каждым
конечномерным подпространством в Ε открыто в стандартной
топологии этого конечномерного подпространства; в качестве λίφ
МОЖНО ВЗЯТЬ Ε \Ue,6G-p{^(e + b): И^(е + Ь)И ^ ψ(β^)} ·
Чтобы доказать, что топология тз сильнее Т2, достаточно
показать, что существует функция φ: VxV —> IR+, для которой
на Ε нет такой квазинормы д, что если W = {х G Е: q(x) < 1},
то W + W С νφ. Мы докажем формально более сильное
утверждение: для некоторой функции φ: V xV-+ К+ не существует
такой окрестности нуля W в топологии тз, что W + W С Ύφ.
Для каждой окрестности нуля W в топологии тз выберем какую-
либо положительную функцию ψ\γ на Р, обладающую
следующим свойством: для всякого е G V имеет место включение
{Ае: ||Ае|| < ipw(e)} С W. Так как из включения W + W С νφ
вытекает неравенство ΐΐήη(φ\γ(^ι)τΦ\ν(^2)) ^ φ{&\·>£*!) Для всех
βι,β2 G Ρ, то достаточно найти функцию φ: 'Рх'Р—>К+, для
которой неравенство тт(гр(е),ф(Ь)) < <£>(е, Ь) не может
выполняться сразу для всех е, Ъ G V ни для какой функции ψ: Ρ —> IR+.

2.3. Индуктивные топологии
157
Функция ψ с таким свойством может быть построена так.
Пусть {ej} — некоторое счетное подмножество множества Р, S —
множество всех последовательностей положительных
вещественных чисел и Vo — некоторое подмножество V мощности
континуума. Пусть д — взаимно однозначное отображение Vo на S. Для
е Ε Vo положим <р(е, ej) — (д(е)) ., где {(#(е)) .} —
принадлежащая множеству S последовательность, являющаяся образом
элемента е при отображении д. Для прочих пар (е, b) Ε VxV
определим <р{е, Ь) произвольным образом. Тогда, какова бы ни была
положительная функция φ на Р, получим <£>(е, Ь) ^ тт(ф(е),ф(Ь))
для некоторых е, Ъ. Это вытекает из того, что множество g{Vo)
содержит все последовательности положительных чисел, в
частности последовательность чисел ay = ip(ej)/j. Ясно, что если
(д(е)) . = otj, то <p(e,ej) < тт(ф(е),ф^)) для всех достаточно
больших j (каково бы ни было ф(е)).
Хилле и Филлипс [166] ввели «конечно открытую»
топологию в векторном пространстве, в которой множество открыто в
точности тогда, когда его пересечение с каждым конечномерным
подпространством открыто в стандартной топологии этого
подпространства (см. замечание 1.10.4); таким образом, эта
топология совпадает с нашей топологией тз (как и было отмечено
выше). В [166] было сказано, что авторам неизвестно, всегда ли эта
топология согласуется со структурой векторного пространства;
отрицательный ответ был дан в Kakutani, Klee [344].
Приведенное только что доказательство несовпадения
топологий тз и Т2 является фактически доказательством того, что если
алгебраическая размерность векторного пространства не меньше
мощности континуума, то конечно открытая топология в нем не
согласуется со структурой векторного пространства.
2.3.4. Замечание. Термин «индуктивный предел» часто
используется в качестве названия более специальной конструкции
(о ней будет сказано ниже). С другой стороны, если Ε —
произвольное множество, {Еа: a Ε 21} — семейство
топологических пространств, причем для каждого a Ε 21 дано отображение
да: Еа —> Е, то в Ε существует сильнейшая среди всех
топологий, для которых все эти отображения одновременно
непрерывны; такая топология называется индуктивной топологией (в
классе всех топологий) семейства топологических пространств {Еа}
относительно семейства отображений {да}] иногда эту
топологию называют также финальной. Всюду далее, однако, термины

158
Глава 2. Методы построения
индуктивный предел и индуктивная топология используются
исключительно в смысле нашего определения.
2.3.5. Предложение. Пусть локально выпуклое
пространство Ε является индуктивным пределом некоторого семейства
{Еа: a Ε 21} локально выпуклых векторных пространств
относительно линейных отображений да: Еа —> Е. Линейное
отображение f пространства Ε в какое-либо локально выпуклое
пространство G непрерывно в точности тогда, когда для каждого
a Ε 21 отображение foga непрерывно. Тем самым
секвенциально непрерывные линейные отображения индуктивных пределов
метризуемых пространств непрерывны.
Доказательство. Как и в предложении 2.1.5, достаточно
показать, что непрерывность отображений foga влечет
непрерывность отображения /. Для этого нужно установить, что если
V — выпуклая закругленная окрестность нуля в G, то f~l{V)
есть окрестность нуля в Е. Множество f~l(V) является
выпуклым, закругленным и поглощающим ввиду линейности /.
Наконец, из непрерывности всех отображений да следует, что все
множества gal{f~l(V)) представляют собой окрестности нуля в
соответствующих пространствах. Теперь остается воспользоваться
замечанием 2.3.2. D
Это предложение не вполне симметрично предложению 2.1.5,
двойственным к которому оно является: здесь предполагается
(в отличие от предложения 2.1.5), что / линейно и что G
локально выпукло. Ни от одного из этих предположений
отказаться нельзя (то, что сейчас речь идет о непрерывности всюду, а не
в точке, несущественно, ибо для линейных отображений это
одно и то же). Отметим еще, что это предложение не переносится
на замкнутые линейные подпространства индуктивных пределов
даже для линейных функционалов (см. задачу 2.10.63).
2.4. Примеры индуктивных пределов
Рассмотрим несколько примеров индуктивных топологий.
2.4.1. Пример. (Нижняя грань множества локально
выпуклых топологий в векторном пространстве.) Пусть Ε —
векторное пространство и для каждого а из некоторого множества
индексов 21 задана локально выпуклая топология та в Е.
Тогда среди всех локально выпуклых топологий в Е,
мажорируемых топологиями семейства {та}, существует самая сильная —

2.4. Примеры индуктивных пределов
159
индуктивная топология τ семейства локально выпуклых
пространств (Е,та) относительно семейства «канонических»
отображений (Е,та) —> Ε (каждое из которых является
тождественным отображением векторного пространства Ε в себя). Если Va —
класс всех окрестностей нуля в топологии та, то р|а Va есть класс
всех окрестностей нуля в топологии τ (замечание 2.3.2).
2.4.2. Пример. (Факторпространства.) Пусть Ε —
локально выпуклое пространство и Ει — его векторное
подпространство. Тогда топология в факторпространстве Е/Е\,
превращающая его в топологическое факторпространство, есть индуктивная
топология (одноэлементного) семейства локально выпуклых
пространств {Е} относительно (одноэлементного) семейства
отображений из Ε в Ε /Ει, единственным элементом которого является
каноническое отображение Ε на Ε/Ει (см. пример 1.3.13).
2.4.3. Пример. (Топологические прямые суммы локально
выпуклых пространств.) Пусть (Ε,τ) — локально выпуклое
пространство, причем векторное пространство Ε является прямой
суммой семейства {Еа} своих векторных подпространств и
каждое из Еа наделено локально выпуклой топологией та,
индуцированной топологией т. При этом (£?, т) называется топологической
прямой суммой семейства своих топологических векторных
подпространств (£7α,τα), если топология τ является индуктивным
пределом топологических векторных пространств (Еа,та)
относительно канонических вложений Еа —> Е.
В только что описанной ситуации заранее предполагалось, что
топологическое векторное пространство (£?, т) существует;
поэтому речь шла о топологической прямой сумме семейства
топологических векторных подпространств.
Пусть теперь задано некоторое семейство {(Еа, та)} локально
выпуклых пространств, относительно которых не
предполагается заранее, что они являются подпространствами какого-нибудь
векторного пространства.
При этом топологической прямой суммой семейства {(Еа, та)}
локально выпуклых пространств называется локально выпуклое
пространство (£?, г), определяемое следующим образом.
Векторное пространство Ε — векторное подпространство произведения
Υ\α Εα семейства {Еа} векторных пространств, состоящее из всех
тех функций / Ε Па^<* (определенных на множестве
индексов 21), каждая из которых принимает ненулевые значения не

160
Глава 2. Методы построения
более чем в конечном множестве точек; τ — индуктивная
топология семейства локально выпуклых пространств {(Еа,та)}
относительно «канонических» вложений да: (Еа,та) —> Е, где
9а(х) = f £ Ε для всех a Ε 21 и χ Ε Еа, причем / определяется
соотношениями f(a) = χ, /(β) = 0, если β φ ос.
Топологическая прямая сумма семейства локально выпуклых
пространств (Еа,та) обозначается посредством (ζΒαΕα,®ατα).
Таким образом, (0α Εα, 0α та) есть топологическая прямая
сумма своих топологических векторных подпространств да(Еа).
В дальнейшем мы будем отождествлять каждое из локально
выпуклых пространств Еа с его образом да(Еа) в φα£?α,
считая, что сами Еа являются топологическими векторными
подпространствами их топологической прямой суммы.
Из сказанного вытекает, что топологическая прямая сумма
конечного семейства локально выпуклых пространств и их
произведение — одно и то же. Для бесконечных семейств
топологических векторных пространств, не являющихся локально
выпуклыми, топологические прямые суммы рассматриваются редко
(однако см. Jarchow [334, §4.3]).
2.4.4. Определение. Топологическое векторное
пространство Е, равное прямой сумме его топологических векторных
подпространств Е\,..., Еп, называется топологической прямой
суммой семейства {Е\,..., Еп} своих подпространств, если
Ε канонически изоморфно произведению Π?=ι Ej
топологических векторных пространств Ej.
Это значит, что топология Ε является сильнейшей среди всех
векторных топологий в Е, для которых все канонические
вложения Ej —> Ε непрерывны.
2.4.5. Предложение. Пусть ΕΊ, где η Ε Г, — набор
локально выпуклых пространств. Тогда сопряженное к их прямой
сумме есть произведение сопряженных, а сопряженное
произведению есть прямая сумма сопряженных, т. е.
При этом множество ограничено в φ ΕΊ в точности тогда,
когда оно лежит и ограничено в сумме конечного числа ΕΊ\
множество ограничено в Π ΕΊ в точности тогда, когда оно лежит
в произведении ограниченных множеств из сомножителей.
В частности, (TRTY — прямая сумма Τ копий прямой.

2.4. Примеры индуктивных пределов
161
Доказательство. Первое равенство для сопряженных
очевидно. Для проверки второго заметим, что если линейная
функция / на произведении ΕΊ ограничена на базисной окрестности
нуля вида С/хП70Го> где Г° к0нечн0> то / е Θ7<ξγ0 Ετ
Пусть А С φ ΕΊ ограничено. Если есть бесконечное число
индексов 7п5 для которых проекции А на ΕΊ содержат ненулевые
векторы г>п, то, взяв fn Ε Ε'Ίη так, что fn(vn) = η, получим
непрерывный линейный функционал, неограниченный на А. Последнее
утверждение предложения очевидно. D
2.4.6. Предложение. Пусть Ε — индуктивный предел
семейства {Еа: a Ε 21} локально выпуклых пространств
относительно семейства {ga Ε C(Ea,E): a Ε 21} линейных
отображений и линейная оболочка множества [jaga(Ea) совпадает с Е.
Тогда Ε изоморфно как топологическое векторное пространство
некоторому топологическому векторному факторпространству
топологической прямой суммы (0QJEa,0Qra).
Доказательство. Пусть G = (Q)aEa, 0αrQ), Φ: G -> Ε —
линейное отображение, определяемое формулой Ф(#) = ]Са#(а)>
в последней сумме число отличных от нуля членов конечно.
Сюръективность Φ вытекает из совпадения линейной оболочки
\Jaga(Ea) со всем Е. Отображение Φ непрерывно согласно
предложению 2.3.5, так как да = Φοίπια, где ima — каноническое
вложение Еа в @аЕа (определенное в примере 2.4.3, где оно
обозначалось символом да). Обозначим через Φι каноническое
отображение пространства G на G/Ker Φ и через Φ 2 линейное
взаимно однозначное отображение пространства G/Ker Φ на Е,
определяемое равенством *2°*i = Φ· Покажем, что Φ 2 и Ф^-1
непрерывны; этим и будет доказано, что Ε изоморфно (как
топологическое векторное пространство) пространству G/Ker Φ .
Непрерывность Φ2 вытекает из предложения 2.3.5 и
непрерывности Φχ и Ф; при этом роль индуктивного предела, о
котором говорится в предложении 2.3.5, играет факторпространство
G/Ker Φ (оно является индуктивным пределом семейства
пространств {Еа] относительно семейства отображений {Φχορα}).
Непрерывность Ф^"1 вытекает, снова согласно предложению 2.3.5,
из того, что Ф^" ода = Φχοΐπία, причем все отображения Φιοίπια
непрерывны (на этот раз роль индуктивного предела, о котором
говорится в предложении 2.3.5, играет само Ε). ϋ

162
Глава 2. Методы построения
В гл. 3 будет рассмотрен вопрос о двойственности между
индуктивными и проективными пределами при различных
топологиях на сопряженном.
2.4.7. Пример. {Пределы прямых спектров локально
выпуклых пространств.) Пусть 21 — направленное множество.
Прямым спектром локально выпуклых пространств с
множеством индексов 21 называется семейство {(Ea,ra): a Ε 21}
локально выпуклых пространств (с этим множеством индексов),
при условии, что каждой паре α,/3 Ε 21 индексов, такой, что
а ^ /3, сопоставлено непрерывное отображение Ара: Еа —> Ер.
Пределом такого прямого спектра называется топологическое
векторное факторпространство топологической прямой суммы
(фа Еа, фа Та) по ее векторному подпространству,
порожденному множеством G, определяемым так: /gG, если имеются такие
α, β € SI, что α^β, /(/3) = Αβα/(α) и /(7) = 0 при 7 t {α, β}.
Всякое топологическое векторное факторпространство
топологической прямой суммы произвольного семейства локально
выпуклых пространств является индуктивным пределом этого
семейства относительно семейства отображений, представляющих
собой композиции канонических вложений пространств
семейства в их сумму и канонического отображения последней на
ее факторпространство (этот факт использовался и в
доказательстве предложения 2.4.6); поэтому предел прямого спектра
локально выпуклых пространств — мы будем обозначать его
символом \imEa — является индуктивным пределом семейства
{(Еа,та): a Ε 21} локально выпуклых пространств
относительно только что описанного семейства отображений. Отметим еще,
что здесь, в отличие от случая пределов обратных спектров, уже
нельзя, вообще говоря, утверждать, что пространство Y\mEa
полно, если полны все пространства (Еа,та) (см. задачу 2.10.23).
В книге Шефера [174] то, что выше было названо пределом
прямого спектра, называется индуктивным пределом; таким
образом, смысл термина «индуктивный предел» у нас шире, чем
в [174] (где ему соответствует «индуктивная топология»).
Рассмотрим теперь один специальный — но для приложений
наиболее важный — класс прямых спектров.
2.4.8. Пример. Пусть роль множества индексов 21 играет
множество натуральных чисел IN с обычным порядком, причем

2.4. Примеры индуктивных пределов
163
все отображения Aij : Ej —> Е{ (определенные для j < г) инъ-
ективны. Благодаря последнему предположению можно считать,
что каждое локально выпуклое пространство Е{ является
векторным подпространством в Е{+п [Е{ С С Е{+п). При этом в силу
непрерывности отображений А^ топология, индуцируемая на Е{
топологией Ti+n пространства Е{+п, мажорируется исходной
топологией Т{ пространства Е{.
Итак, мы считаем, что Е\ С С Е2 С С ... СС Еп С С ... и
полагаем Ε = Ujli Ej'·» на множестве Ε естественным образом
определяется структура векторного пространства: если #ι,#2 £ Е, то
^1,^2 £ Еп для некоторого η £ IN, и \\Х\ + М^2 в Ε
определяется как соответствующая линейная комбинация в Еп\ так как
Еп С С En+j, то это определение не зависит от выбора Еп.
При перечисленных условиях векторное пространство Е,
наделенное индуктивной топологией семейства {Еп: η Ε IN}
относительно вложений Еп —> Е, «канонически изоморфно»
пространству \imEn.
Этот изоморфизм Φ: Ε —> lim£?n можно описать так. Пусть
χ е Е, т.е. χ е Еп для некоторого η Ε IN. Тогда Φ (ж) —
элемент пространства limEn (являющегося факторпространством
пространства фп£?п), являющийся образом при каноническом
отображении Ф: @пЕп —> lim£?n элемента д™ Ε 0п£?п?
определяемого следующим образом: g™{j) = 0, если j φ щ g™{ri) = χ.
Это определение не зависит от выбора п, так как если j ^ п,
то Ajn(x) = χ и потому Ф(#™) = Ф(5ж). Описанное отображение
Φ является и сюръективным: если a Ε limi?n, g Ε Ф_1(а), то
Ф(]Сп#(п)) = а (множество {η: #(η) φ 0} конечно).
Наконец, отображения Φ и Ф-1 непрерывны; доказательство
этого аналогично доказательству предложения 2.4.6.
Таким образом, пространство Е, наделенное определенной
выше индуктивной топологией, является реализацией прямого
спектра. Эта реализация будет обозначаться символом ind En или
mdnEn; при этом локально выпуклое пространство mdEn будет
называться индуктивным пределом расширяющейся
последовательности локально выпуклых пространств Еп.
Отметим, что нередко не Ε строится с помощью заранее
заданных пространств Еп, а Еп определяются как подходящие
векторные подпространства (с локально выпуклыми топологиями)

164
Глава 2. Методы построения
заранее заданного пространства Ε (без топологии),
являющегося их теоретико-множественным объединением. При этом термин
«индуктивный предел расширяющейся последовательности
локально выпуклых пространств Еп» обозначает в точности то же
самое, что и термин «индуктивный предел семейства {Еп}
локально выпуклых пространств относительно вложений Еп —> Е».
Впрочем, после введения пространства (J^Li En разница между
последней ситуацией и предыдущей исчезает. Надо иметь в
виду, что даже индуктивный предел последовательности банаховых
пространств Еп может быть неотделим (задача 2.10.24).
Индуктивный предел последовательности пространств Фреше
называют LF-пространством.
2.4.9. Пример. Пусть V — векторное пространство всех
финитных бесконечно дифференцируемых (вещественных) функций
на К1. Для каждого η Ε IN обозначим через Vn := V[—n,n] его
подпространство, состоящее из всех функций, обращающихся в
нуль вне [—п,п], наделенное топологией, задаваемой нормами
Ρί(φ) = max max\(pV'(t)\.
jG{0,l,...,i} t
Тогда £>[-1,1] CC £>[-2,2] CC · · · CC 2?[-n, n] CC · · ·, причем
Un^I-n'n] = ^> так чт0 мы оказываемся в ситуации, описанной
во второй части предыдущего примера.
При этом индуктивная топология в V семейства локально
выпуклых пространств Ί)[—η,η], η Ε IN, относительно семейства
вложений Т>[—п,п] —> V совпадает с топологией в D, введенной
в примере 1.3.21. Таким образом, V = limi)[-n,n]. Так
определенная топология в V рассматривается как стандартная; если не
оговорено противное, то предполагается (как в этой, так и в
других книгах), что V наделено именно этой топологией.
Пространство Т>[—п,п] можно естественным образом
отождествить с пространством всех определенных на [—п,п]
бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся вместе со всеми
производными в нуль в точках ±п; отождествление состоит в том,
что каждой функции из первого пространства сопоставляется ее
сужение на отрезок [—п,п], а каждой функции из второго
пространства — ее продолжение нулем с отрезка [—п, п] на IR . При
этом для второго пространства используется то же самое
обозначение Т>[—п,п] и оно наделяется топологией, задаваемой теми же
нормами p'j(<p) = max^jHiaxt \(p^{t)\; хотя тепеРь Щ—п,п] уже

2.4. Примеры индуктивных пределов
165
формально не является подпространством в Т>[—п — j, η + j], но
в итоге получается тот же самый индуктивный предел.
2.4.10. Замечание, (i) Для каждого j G {0,1,2,...} и
каждого натурального η обозначим через /С? , векторное простран-
ство всех j раз непрерывно дифференцируемых вещественных
функций на И1 (для j = 0 — просто непрерывных функций),
обращающихся в нуль вне отрезка [—п,п], наделенное топологией,
задаваемой нормой ^·, определяемой равенством
Qjiv) = max {max 1^(^)1: i = 0,1,..., j}.
t
Тогда для каждого η Ε IN семейство {/С? ι: j = 0,1,... }
образует обратный спектр относительно вложений /СГ^ , —> /С? пл,
при этом пространства lim^/0?! и Т>[—п,п] совпадают как
локально выпуклые пространства (пример 2.4.9). В то же время
для каждого j ^ 0 семейство {/С? пл · η Ε IN} образует
прямой спектр относительно вложений /С? ι —> /С? _χ п+ц· Для
каждого j ^ 0 положим /С·7 = ind /С? ηι (вместо символа /С0
мы будем использовать обычно символ /С). При этом локально
выпуклые пространства {/С7: j '^ 0} образуют обратный спектр
относительно вложений /С·7'-1"1 —> /С·7, и локально выпуклое
пространство lim/C7 можно отождествить как векторное
пространство с пространством Π^ι^7? которое совпадает как векторное
пространство с V. Однако как локально выпуклые пространства
пространство Т> со стандартной топологией и пространство lim /С7
неизоморфны. При их естественном отождествлении топология
пространства V оказывается строго сильнее топологии
пространства lim/C7. Также и никакое другое линейное отображение
одного из них на другое не является непрерывным в обе
стороны (т. е. не является изоморфизмом топологических векторных
пространств) хотя бы потому, что локально выпуклое
пространство V со стандартной топологией бочечно, а локально выпуклое
пространство lim /С7 — нет (определение бочечного пространства
приведено в § 3.5, проверка небочечности lim/C7 — задача 3.12.55).

166
Глава 2. Методы построения
Если принять во внимание определение стандартной
топологии в D, то все сказанное можно записать в виде неравенства
lim j (ind /С? }) Φ ind (lim 7- /С? л).
Таким образом, операции образования прямого и обратного
спектров не являются перестановочными.
(ii) До сих пор речь шла о пространствах финитных
функций на К1 (при этом мы для определенности говорили о
пространствах вещественных функций, хотя ничего не изменилось
бы, если бы мы рассматривали комплексные пространства,
состоящие из комплексных функций). Но совершенно аналогичные
конструкции применимы и к пространствам функций,
определенных на IRn и даже на областях IRn. Именно: пусть Ω — открытое
множество в Кп. Функцию на Ω называют финитной, если она
обращается в нуль вне некоторого содержащегося в Ω компакта
(мы рассматриваем вещественные или комплексные функции).
Пусть, далее, Κι С К2 С К% С · · · — расширяющаяся
последовательность компактных подмножеств множества Ω, причем
Um=i ^т — Ω. Если во всем, что было сказано при обсуждении
примера 2.4.9, символы [—п,п] и К1 заменить на Кт и Ω,
термин «отрезок» — термином «компакт», символы Ю и Ό —
символами Λ7'(Ω) и £>(Ω), обозначающими пространства всех j раз
дифференцируемых и всех бесконечно дифференцируемых
финитных функций на Ω соответственно, и считать, что символы
|<^)(:г)| обозначают (некоторые) нормы в пространствах,
которым принадлежат элементы φ№\χ), то все определения
сохранят смысл, а все утверждения окажутся справедливыми.
Например, Т>(Жп) — индуктивный предел пространств T>m(lRn) гладких
функций с носителем в шаре Кш = {х: \х\ < га}.
2.4.11. Пример. (Сильнейшая локально выпуклая
топология в векторном пространстве.) Пусть Ε — векторное
пространство. Тогда индуктивная топология в Ε пустого семейства
локально выпуклых пространств относительно пустого семейства
отображений — самая сильная среди всех локально выпуклых
топологий в Е] базой окрестностей нуля является, например,
множество всех выпуклых закругленных поглощающих подмножеств
пространства Е. Эта топология может быть задана множеством
всех полунорм на Е. Отметим, что сильнейшая локально
выпуклая топология в векторном пространстве уже рассматривалась
в примерах 1.3.18, 2.4.1. Интересная ситуация возникает, если

2.4. Примеры индуктивных пределов
167
взять в качестве Ε пространство Kg0 всех конечных
последовательностей, т.е. объединение всех IRn. На нем сильнейшая
локально выпуклая топология совпадает с топологией
индуктивного предела Кп (это ясно из предложения 2.3.5).
2.4.12. Пример. (Пространства ростков непрерывных,
бесконечно дифференцируемых и аналитических функций в
фиксированной точке.) Мы рассмотрим только случай аналитических
функций — остальные аналогичны.
Пусть ζ Ε С и Ει — множество всех комплексных функций,
каждая из которых определена на некоторой окрестности точки ζ
и аналитична в этой окрестности, и пусть ~ — отношение
эквивалентности в Ει, определяемое так: / ~ g в том и только в том
случае, если существует такая окрестность V точки г, что fug
определены на V и f(x) = g(χ) для всех χ Ε V.
Пусть, наконец, Ε — фактормножество множества Ει по
этому отношению эквивалентности. В Ε естественным образом
вводится структура векторного пространства; его элементы
называются ростками аналитических функций в точке ζ.
Для каждого η Ε IN возьмем пространство Еп всех
комплексных функций, непрерывных на круге Sn = {χ Ε С: \х — z\ ^ 1/п}
и аналитических внутри Sn, и наделим его топологией, заданной
нормой ρ(φ) = ΐΆ3χ{\φ(χ)\: \х — ζ\ ^ 1/^}· Пусть дп — вложение
Еп в Е, сопоставляющее каждой функции φ Ε Еп содержащий ее
росток (отметим, что в остальных трех случаях, о которых
упоминалось выше, аналогичные отображения вложениями не
являются). Аналогично определяются и вложения Еп —> Еп+1:
каждой функции из Еп сопоставляется ее сужение на 5η+ι. Таким
образом, Е1 С С Е2 С С · · · СС Еп С С · · ·, Еп С С Е, при этом
Ε = U^=i Еп- Наделение Ε индуктивной топологией семейства
локально выпуклых пространств {Еп: η Ε IN} относительно
вложений дп превращает Ε в индуктивный предел расширяющейся
последовательности локально выпуклых пространств Еп.
Наконец, отметим, что пространства типа V определяются
на гладких многообразиях, а пространства ростков голоморфных
функций рассматриваются на комплексных многообразиях.
В § 2.6, 2.7 описаны два класса индуктивных пределов
расширяющихся последовательностей локально выпуклых пространств,
наиболее часто встречающиеся в приложениях: строгие
индуктивные пределы и индуктивные пределы расширяющихся
последовательностей локально выпуклых пространств с компактными
вложениями.

168
Глава 2. Методы построения
2.5. Конструкция Гротендика
В этом параграфе мы рассмотрим один способ образования
нормированных пространств, связанных с абсолютно выпуклыми
множествами в топологических векторных пространствах. Этот
способ, ставший общепринятым после работ Гротендика и
нашедший многочисленные применения в теории локально выпуклых
пространств, теории банаховых пространств, теории операторов
и теории меры, состоит в следующем.
Пусть Ε — отделимое топологическое векторное пространство
и В — его ограниченное абсолютно выпуклое подмножество.
Обозначим через Ев векторное подпространство U^Li п^ (т0> чт0 эт0
действительно векторное пространство, следует из абсолютной
выпуклости множества В), наделенное нормой рв-, являющейся
функционалом Минковского множества В, и топологией,
определяемой этой нормой. Тот факт, что функционал Минковского —
полунорма на Ев-, следует из того, что В — абсолютно выпуклое
поглощающее подмножество векторного пространства Ев] из
того же, что В — ограниченное подмножество отделимого
топологического векторного пространства, следует, что рассматриваемый
функционал Минковского является и нормой.
Множество Ев представляет собой векторное
подпространство векторного пространства Е. Однако, вообще говоря, оно не
является топологическим векторным подпространством в Е, т. е.
топология, индуцированная на Ев топологией пространства Е,
не совпадает с только что определенной топологией
пространства Ев- Из ограниченности множества В вытекает, что
каноническое вложение Ев в Ε (при котором каждому элементу χ Ε Ев
сопоставляется он сам, но рассматриваемый уже как элемент
пространства Е) непрерывно; это равносильно тому, что топология,
индуцированная в Ев из Е, мажорируется топологией,
определяемой имеющейся в Ев нормой. См. также §2.10(iii).
2.5.1. Предложение. Если В — абсолютно выпуклое
ограниченное секвенциально полное подмножество отделимого
топологического векторного пространства Е, то нормированное
пространство Ев полно, т. е. банахово.
Доказательство. Пусть последовательность {ап} с Ев
фундаментальна по норме рв- Это значит, что для любого ε > О
существует no G IN такое, что рв(а>к ~ aj) < ε Для всех
&5 j > по- Поскольку топология, индуцированная в Ев
топологией пространства Е, мажорируется топологией, определяемой

2.5. Конструкция Гротендика
169
нормой рв-, то последовательность {ап} фундаментальна и в Е.
Значит, при каждом фиксированном к Ε IN в топологии
пространства Ε фундаментальна и последовательность {а^ — а^·}. Так как
из неравенства рв(а>к ~ aj) < ε вытекает, что а^ — clj Ε εί?, то
из предыдущего следует, что а^ — а^· Ε ε В при /c,j > по-
Множество εΒ секвенциально полно в Е, поэтому фундаментальная
последовательность {dk — CLj} его элементов сходится в топологии
пространства Ε к некоторому элементу bk Ε В. Поэтому сходится
в топологии пространства Ε и последовательность {αη}, причем
если а — ее предел, то а^ — а = bk Ε εί? С £?в при к > uq.
Поскольку а^ Ε £?в, то а Е £?#. Кроме того, из включения
dk — а е ε В (выполненного при всех к > по) вытекает, что для
этих к мы имеем рв(а>к — α) ^ ε. В силу произвольности ε это
и означает, что а^ав Ев- □
Аналогично доказывается, что если Ε — векторное
пространство и т\ и Т2 — две отделимые топологии в Е, согласующиеся со
структурой векторного пространства, причем т\ мажорирует Т2
и обладает базой окрестностей нуля, секвенциально полных (или
полных) в топологии Т2, то топологическое векторное
пространство (Ε,τι) секвенциально полно (или, соответственно, полно).
2.5.2. Определение. Банаховым диском в топологическом
векторном пространстве Ε называется всякое абсолютно
выпуклое ограниченное подмножество В пространства Е, для
которого пространство Ев полно.
Из доказанного предложения следует такой факт:
чтобы абсолютно выпуклое ограниченное подмножество В
топологического векторного пространства было банаховым
диском, достаточно, чтобы оно было секвенциально полным {так
будет, в частности, если В компактно)', более того,
достаточно, чтобы В было секвенциально полно в какой-либо из
топологий в Е, согласующейся с двойственностью между Ε и Е'\
в частности достаточно, чтобы это множество было
компактным в какой-либо из таких топологий.
Ни одно из перечисленных условий не является необходимым.
2.5.3. Пример, (i) Подмножество
{х = (хп) Ε со: (пхп) Ε со, \хп\ < 1/n Vn}
пространства со является банаховым диском, хотя оно не
является компактным ни в одной из топологий, согласующихся с
двойственностью между со и (со)7 = I1.

170
Глава 2. Методы построения
(и) Замкнутый единичный шар U из С[0,1] является
банаховым диском в L2[0,1], который не замкнут и не предкомпактен.
Замыкание U в L2[0,1] — тоже банахов диск, для которого
соответствующее банахово пространство есть L°°[0,1], причем С[0,1]
имеет в нем бесконечную коразмерность.
(Hi) Пространство Ε = I1 естественно вложено в Ζ2; пусть А —
его замкнутый единичный шар. Возьмем функционал / Ε Z°°,
заданный последовательностью
(1,1,...). Положим В = АП/-1(0)
и получим банахов диск. Конечно, легко описать В явно: это
множество таких последовательностей χ = (жп), что ]CiS=i \хп\ ^ 1
и Σ™=ι хп — 0· Множество В — замкнутый единичный шар в
банаховом пространстве Ев, являющемся замкнутой
гиперплоскостью в I1. При этом в I2 множество В незамкнуто. Например,
к вектору h = (2-1,0,0,...) 0 В сходится в I2
последовательность векторов hk G В вида (2-1, — (2/с)-1,..., — (2/с)_1,0,0,...),
где число компонент — (2/с)-1 равно к; здесь \\h — hk\\22 = (4/с)-1.
Аналогичным свойством обладает незамкнутое предкомпакт-
ное множество {х = (хп) е I2: \хп\ < 2~n, lim 2nxn = 0}.
η—юо
На самом деле такие примеры — общее явление.
2.5.4. Пример. Во всяком бесконечномерном пространстве
Фреше F имеется незамкнутый банахов диск В, служащий
замкнутым единичным шаром банахова пространства Ев- При этом
можно выбрать В вполне ограниченным в F.
Доказательство. Утверждение сводится к случаю F = Ζ2,
поскольку можно найти непрерывно вложенное в F
бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство. Для этого
достаточно взять в F ограниченную последовательность {νη}
линейно независимых векторов и положить Τ χ = Σ™=ι 2~ηχηνη,
χ = (χη) Ε Ι2. Ортогональное дополнение к ядру Т инъективно
отображается в F, причем образ полученного отображения
содержит {νη}. Заметим, что построенное вложение компактно. D
Разумеется, аналогичный пример существует в любом
локально выпуклом пространстве, в которое можно непрерывно
вложить бесконечномерное гильбертово пространство.
Довольно неожиданным оказывается то, что замыкание
банахова диска не всегда является банаховым диском (см. Perez
Carreras, Bonet [424, замечание 8.3.21]).

2.5. Конструкция Гротендика
171
Отметим простое применение понятия банахова диска.
2.5.5. Пример. Пусть В — банахов диск в топологическом
векторном пространстве Ε и абсолютно выпуклое замкнутое
множество S С Ε таково, что его линейная оболочка содержит В.
Тогда найдется такое t > О, что tB С S.
Действительно, множество Si)Ев замкнуто в банаховом
пространстве Ев с нормой рв, причем последнее является
объединением замкнутых множеств n(S Π Ев)· По известной из учебного
курса теореме Бэра (см. Богачев, Смолянов [21, § 1.5]) при
некотором η множество п(ЗПЕв) имеет внутренние точки (в топологии
нормы ρ в)- Значит, это верно и для множества SPiEb, что ввиду
его абсолютной выпуклости доказывает наше утверждение.
Введем еще одно важное понятие.
2.5.6. Определение. Бочкой β локально выпуклом
пространстве Ε называется всякое замкнутое абсолютно выпуклое
поглощающее множество.
Следующий простой, но полезный факт, вытекающий из
предыдущего примера, называют теоремой Банаха-Макки.
2.5.7. Теорема. В любом локально выпуклом пространстве
всякая бочка поглощает всякий банахов диск.
2.5.8. Предложение. Пусть выпуклое подмножество S
локально выпуклого пространства Ε таково, что всякая
бесконечная последовательность его элементов имеет предельную
точку в Е. Тогда S содержится в некотором банаховом диске.
В частности, S поглощается всякой бочкой.
Доказательство. По аналогии с обычным I1 вводится
банахово пространство /1(5'), состоящее из вещественных функций
на 5, отличных от нуля в не более чем счетном числе точек и
имеющих конечную норму Σ3 |£(s)|.
Обозначим через Ε пополнение Ε и рассмотрим
отображение Т: I1 (S) -> Ё, Τξ = T,ses£(s)s'> Для каждого χ е ^(S)
имеется лишь счетное число точек sn, для которых £(sn) φ Ο,
поэтому ряд Y2™=i£(sn)sn сходится в Ε из-за полноты Ε и
ограниченности У, вытекающей из условия. Из этого видна также
непрерывность Т. Искомым диском будет образ замкнутого
единичного шара U в Ζ1(5), если мы проверим, что V С T(U) и

172
Глава 2. Методы построения
Τ(U) С Е. Первое очевидно, ибо s = T(es), где es —
индикаторная функция точки s. Достаточно показать, что Τξ Ε U для таких
ξ Ε С/, что £(sn) > 0 для всех точек из носителя ξ. В этом случае
vN = M^1J2n=i^(sn)sn e V, где MN := £^=1£Ы· По
условию последовательность {г^} имеет предельную точку ν Ε £7, но
•Α^Λί —> ||£|| и Mnvn —> Τξ в £?, откуда следует, что г? = Τξ/||ξ||.
Значит, Τξ е Е. D
2.5.9. Теорема. Пусть F — метризуемое локально
выпуклое пространство и А С F — ограниченное множество. Тогда
найдется такое ограниченное замкнутое абсолютно выпуклое
множество В С F, что А С В и нормированное пространство
Ев индуцирует на А ту же топологию, что и F.
Если при этом А было вполне ограниченным или
компактным в F, то оно будет таким и в Ев·
Кроме того, для любой последовательности ограниченных
множеств Ап С F есть такое ограниченное замкнутое
абсолютно выпуклое множество D, что все Ап ограничены в Ер.
Доказательство. Перейдя к абсолютно выпуклой
оболочке А, можно считать, что А абсолютно выпукло. В этом случае
достаточно найти ограниченное замкнутое абсолютно выпуклое
множество BcF, содержащее Д для которого Ев и F
индуцируют одни и те же окрестности нуля в А, что сводится к тому,
что, имея базу {Vn} абсолютно выпуклых замкнутых
окрестностей нуля в F, для каждого λ > 0 можно найти η с А П Vn С ХВ.
Если это сделано, то уже для всякой точки а Е А и всякого λ > О
мы сможем взять такое Vm, что А П (а + Vm) С а + ХВ. В
самом деле, пусть Vm таково, что А П Vm С 2~1ХВ. Если тогда
аг = а + υ е А, где υ Ε Vm, то υ/2 = (αϊ - а)/2 Ε Α Π Vm С 2~гХВ
и потому а\ — а Е ХВ, т. е. а\ Ε а + ХВ.
Ввиду ограниченности А найдутся числа λη > 0, для которых
А С Π^=ι ^nVn. Можно считать, что λη —> +оо. Далее положим
В := f|^Li X2nVn. Тогда В абсолютно выпукло, замкнуто и
ограничено (ибо λ~2β С Vn), А С В. Если λ > 0, то найдется такое по,
что λλη ^ 1 при п^ по. Тогда А С XXnVn при п^ uq. Поскольку
найдется такое га, что Vm С f)k^n0 λλΙ^> то AfWm С XXlVn при
всех п, откуда APiVm С ХВ, что и требовалось.
Докажем последнее утверждение. Пусть {Vn} — базис
замкнутых окрестностей нуля, состоящий из абсолютно выпуклых
множеств, причем V^+i С Vn. Для каждого η найдется такое сп > О,

2.5. Конструкция Гротендика
173
что спАп сУп. В качестве D можно взять замкнутую абсолютно
выпуклую оболочка объединения спАп. D
Отметим, что Ев и F индуцируют на В также одну и ту же
равномерную структуру (см. § 1.12(i)).
Даже если V — выпуклый уравновешенный компакт в
гильбертовом пространстве, банахово пространство (Εγ,ρν) не всегда
сепарабельно. Таково множество V = {(хп): supn \xn\ ^ 1} в
весовом гильбертовом пространстве
Е={х = (хп): \\χ\\2:=Ση=ΐη-2Χ2η<™}.
В этом случае Еу совпадает с 1°°. Однако справедливо следующее
утверждение.
2.5.10. Теорема. Пусть Ε — полное метризуемое локально
выпуклое пространство и К — компактное множество в Е.
Тогда найдется такое выпуклое уравновешенное компактное
множество V, содержащее К, что банахово пространство (Еу,ру)
сепарабельно, а К компактно в нем.
Доказательство. С учетом полноты пространства Ε и двух
предыдущих теорем найдется такое уравновешенное выпуклое
компактное множество Wo, содержащее К, что К компактно как
подмножество банахова пространства Ецг0- Тогда линейная
оболочка К в EwQ сепарабельна по норме р\у0- Замыкание Е$ этой
линейной оболочки по норме pw0 в Еу/0 дает нужное сепарабель-
ное банахово пространство Еу/, единичным шаром которого
является множество W := Wo Π Е$. □
Можно пойти еще дальше и получить следующее полезное
утверждение — теорему Дэвиса-Фигеля-Джонсона-Пелчинского,
доказательство которой и ее следствия можно прочитать в Бога-
чев, Смолянов [21, теорема 8.6.24], о рефлексивности см. §3.7.
2.5.11. Теорема. Пусть X — банахово пространство и К —
выпуклое уравновешенное слабо компактное множество в X.
Тогда существует такое ограниченное замкнутое
уравновешенное выпуклое множество W, содержащее К, что банахово
пространство (Ew,Pw) рефлексивно. Если К компактно, то W
можно выбрать компактным, а Еу/ сделать сепарабельным.
2.5.12. Следствие. В ситуации теоремы 2.5.10 банахово
пространство (Еу:ру) можно выбрать сепарабельным
рефлексивным.

174
Глава 2. Методы построения
Как установлено в Fonf, Johnson, Pisier, Preiss [299], не
всегда можно получить в качестве пространства Ew пространство
с базисом Шаудера (см. определение в гл. 3).
В случае компакта V топология пространства Еу много
сильнее исходной топологии Е. Тем не менее, как показывает
следующий результат, на Еу есть достаточно много линейных
функционалов, непрерывных относительно этой исходной топологии.
2.5.13. Предложение. Пусть множество V в локально
выпуклом пространстве Ε компактно, выпукло и уравновешено,
а В* — единичный шар в сопряженном к банахову
пространству Еу. Тогда множество всех функционалов в В*,
непрерывных относительно топологии, индуцированной из Е, плотно
в В* в топологии равномерной сходимости на компактах из Еу.
Доказательство см. в [21, предложение 8.6.26].
2.5.14. Предложение. Пусть {хп} — последовательность
в локально выпуклом пространстве, стремящаяся к нулю. Ее
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка К компактна в
точности тогда, когда пространство Ек банахово. В этом случае
компакт К метризуем.
Доказательство. Если К — компакт, то Ек банахово.
Обратно, пусть Ε к полно. Рассмотрим линейное отображение
Т: I1 —> ЕК-> Т(уп) = Σ™=1νηΧη, которое определено и
непрерывно, ибо векторы хп лежат в единичном шаре Ек- Пусть U —
замкнутый единичный шар в I1. Так как I1 = Cq, to U — метри-
зуемый компакт в топологии σ(ί1,βο), см. теорему 3.1.4.
Покажем, что Г непрерывно на U с этой топологией (на всем I1
это может быть неверно). Если векторы уг = (угп) Ε U сходятся
к ν = (vn) Ε U покоординатно, то для каждой непрерывной
полунормы рна£и каждого ε > 0 мы найдем номер m с тем
свойством, что р(хп) < ε при η ^ т, а затем возьмем такой номер М,
что \νιη — νη\ < ε(ρ(χ\) Η h p(xm) + l) ПРИ всех η — 1,... ,га
и г ^ М. Тогда при г ^ Μ мы получим оценку
тп оо
p(7V - Τν) ^ Σ Κ - vn\p(xn) + ε^2(Κ\ + \νη\) < 3ε,
η=1 η=1
доказывающую непрерывность Г в топологии σ(/1,βο).
Следовательно, T(U) — метризуемый компакт в Ε. Из этого сразу
следуют и компактность, и метризуемость К, ибо {хп} С Γ(ί7), но на

2.6. Строгие индуктивные пределы
175
самом деле К = Γ(ί7), что легко проверить, заметив, что
абсолютно выпуклая оболочка {хп} плотна в T(U). D
2.5.15. Теорема. Во всяком локально выпуклом
пространстве, алгебраический базис которого не более чем континуален,
существует гиперплоскость, не содержащая банаховых дисков
с бесконечномерной линейной оболочкой.
Обоснование см. в Perez Carreras, Bonet [424, теорема 6.3.11].
Компактное множество К в банаховом пространстве X
называется s-компактным, если оно лежит в замкнутой абсолютно
выпуклой оболочке некоторой последовательности {хп} в X со
следующим свойством: для каждого ρ Ε IN последовательность
{прхп} стремится к нулю.
2.5.16. Теорема. Для всякого s-компактного множества К
в банаховом пространстве X существует такой s-компактный
банахов диск С, что Ее является сепарабельным гильбертовым
пространством, вложение Ее —> X — ядерный оператор (см.
определение в §2.9), причем К остается s-компактным и в Ее-
Доказательство можно прочитать в [424, теорема 6.5.4].
2.6. Строгие индуктивные пределы
Пусть {Еп} — расширяющаяся последовательность локально
выпуклых пространств:
Ει СС Е2 СС . .. СС Еп СС .. . ,
причем, каково бы ни было п, вложение Еп С Еп+\
непрерывно. Объединение Ε = (J^i En наделяется сильнейшей локально
выпуклой топологией, в которой вложения Еп —> Ε непрерывны;
базой окрестностей нуля в ней служат такие выпуклые
множества V С Е, что каждое пересечение VPiEn есть окрестность нуля
в Еп. Пространство Ε называется индуктивным пределом
последовательности {Еп} и обозначается символом mdnEn (см. §2.4).
Мы увидим в §2.10(i), что такой индуктивный предел может не
быть индуктивным пределом в категории общих топологических
пространств, т. е. в mdnEn могут быть незамкнутые множества
(даже выпуклые), пересечения которых со всеми Еп замкнуты.
Две расширяющиеся последовательности локально выпуклых
пространстве Еп и Fn называют эквивалентными, если для
каждого номера т существуют такие номера рид, что Ет С Fp,
Fm С Eq, причем эти вложения непрерывны.

176
Глава 2. Методы построения
Легко видеть, что mdnEn = indnFn для двух таких
последовательностей.
2.6.1. Определение. Если при всех η топология Еп
совпадает с топологией, индуцированной из Еп+\, причем Еп φ Εη+\,
то индуктивный предел {Еп} называется строгим.
Покажем, что топология в Еп индуцируется топологией из Е.
2.6.2. Лемма. Если Ε = mdnEn — строгий индуктивный
предел, то топология в Еп индуцируется и топологией из Е.
Если все Еп отделимы, то отделимо и Е.
Доказательство. Ясно, что топология в Еп не слабее
индуцированной. Обратно, пусть U — абсолютно выпуклая
окрестность нуля в Еп. Лемма 1.3.12 дает такую абсолютно выпуклую
окрестность нуля Un+\ в Еп+\, что Un+\ Π Εη = U. По
индукции получим такие возрастающие абсолютно выпуклые
окрестности нуля Uk С Ek при к > п, что t/fc+i Π Ek = Uk- Тогда
^ — Ubn+i ^ — окрестность нуля в Ε, причем V Π Εη = U. Из
этого видно также, что если все Еп отделимы, то таково и Е. D
2.6.3. Предложение. Пусть Ε — строгий индуктивный
предел отделимых локально выпуклых пространств Епу причем
каждое Еп замкнуто в Εη+\.
(i) Множество А ограничено в Ε в том и только том
случае, если А лежит в некотором пространстве Еп и ограничено
в нем.
(и) Всякий компакт в Ε есть компакт в некотором Епу
и аналогично для вполне ограниченных множеств. Кроме того,
всякая сходящаяся в Ε счетная последовательность
содержится и сходится в одном из Еп.
(iii) Все Еп замкнуты в Е.
Доказательство, (i) Ясно, что если А ограничено в Еп, то
оно ограничено и в Е\ Обратно, пусть А С Ε ограничено. Если А
не лежит ни в одном ЕП1 то найдутся возрастающие номера кп и
точки ап Ε (Екп Π A)\Ekn_1- С помощью леммы 1.3.12 по
индукции находим абсолютно выпуклые окрестности нуля Vn С Е^п
так, что п~1ап 0 Vn+i и Vn+\ Π Ε^η = Vn для всех п.
Множество V = (J^Li ^n есть окрестность нуля в Е, но п~1ап 0 У, что
противоречит ограниченности А. Тем самым А оказывается в
одном из ЕП1 а тогда оно и ограничено ввиду совпадения топологии
в Еп с индуцированной. Утверждение (и) сразу следует из (i).

2.6. Строгие индуктивные пределы
177
Наконец, (in) следует из леммы, ибо если к точке χ Ε Ε сходится
направленность элементов жа Ε ЕП1 то χ Ε Ет при некотором
т ^ п, но £?п замкнуто в £?т из-за замкнутости £?п в Еп+\. D
Отметим, что для общих индуктивных пределов эти
утверждения неверны (см. задачу 2.10.25). Кроме того, надо иметь
в виду, что не всякое подпространство L С Ε является
индуктивным пределом LC\En (см. предложение 2.10.7 и задачу 2.10.63).
2.6.4. Следствие. В ситуации предыдущего предложения Ε
неметризуемо.
Доказательство. Если Ε метризуемо, то, взяв базис
убывающих окрестностей нуля Un в Ε и для каждого η выбрав вектор
^п £ Un\En, получаем последовательность, сходящуюся к нулю,
что противоречит доказанному предложению. D
2.6.5. Предложение. Строгий индуктивный предел Ε
полных отделимых локально выпуклых пространств Еп полон.
Доказательство. Предположим, что есть точка ζ 0 Ε из
пополнения Ε пространства Е. Заметим, что Еп замкнуто в Ε
ввиду полноты Еп. Поэтому для каждого η найдется такая
абсолютно выпуклая окрестность нуля Wn, что {z + Wn) Π Εη = 0.
Эти окрестности можно выбрать так, что Wn+i С Wn.
Абсолютно выпуклую оболочку множества [X?=i(2~lWnnEn)
обозначим через U. Тогда U — окрестность нуля в Е,
следовательно, ее замыкание U в Ε есть замкнутая окрестность нуля
в Е. Поскольку Ε плотно в £", то (z + U) Π Ε непусто; значит, для
некоторого η существует ν Ε {ζ + U) Π Εη, т. е. ν = ζ + и Ε Εη,
где и Ε U. Мы покажем, что U С Wn + Еп, откуда будет
следовать, что и = wn + у, где wn Ε Wn, у Ε Еп, а это даст включение
ζ + wn = ν — у £ Еп, противоречащее выбору Wn.
Итак, пусть χ е U. Тогда χ Ε U+2~1Wn, поэтому χ = u+wn/2,
где и Ε С/, wn Ε Wn. Значит, χ = \\Х\ + · · · + \k%k + wn/2, где
Xj Ε 2~1Wj Π Ej, |λι| + · · · + |Afc| = 1. Можно считать, что k ^ п.
При этом λιΖιΗ \-\пХп £ Εηι \η+ιχη+ι-\ \-\kXk £ 2"1 Wn, так
как Wj С Wn при j > η и окрестность Wn абсолютно выпукла.
Тем самым λι^ι Η h λ/^ Ε En + 2_1 Wn, откуда xG£n + Wn,
что и требовалось. D
Например, Т>(Жп) полно. Интересные дополнительные
сведения можно найти в книге Perez Carreras, Bonet [424, гл. 8].

178
Глава 2. Методы построения
2.7. Индуктивные пределы с компактными
вложениями
Теперь мы обратимся к другому важному случаю, когда
топология Еп заведомо сильнее индуцированной из Εη+\.
Будем говорить, что расширяющаяся последовательность
отделимых локально выпуклых пространств Еп регулярна, если для
каждого η в Еп есть замкнутая окрестность нуля с компактным
замыканием в Еп+\. Если же в Еп можно выбирать компактные
в Еп+\ замкнутые окрестности нуля, то будем говорить, что дана
сильно регулярная последовательность.
2.7.1. Лемма. Всякая регулярная последовательность {Еп}
эквивалентна некоторой сильно регулярной последовательности
сепарабельных рефлексивных банаховых пространств.
Доказательство. Для каждого η найдем в Еп замкнутую
абсолютно выпуклую окрестность нуля Vn, имеющую
компактное замыкание Кп в £?η+ι, и положим Хп = Εχη (см. § 2.5). Тогда
Хп — банахово пространство, Еп С Хп С Еп+\ С Хп+ъ причем
эти вложения непрерывны. Поэтому замкнутый единичный шар
из Хп (т.е. Кп) компактен в Χη+ι· Тем самым
последовательности {Εη} и {Хп} эквивалентны, причем {Хп} сильно регулярна.
Теперь с помощью следствия 2.5.12 мы можем получить
эквивалентную последовательность уже сепарабельных
рефлексивных банаховых пространств. D
Последовательность абсолютно выпуклых компактов Кп в
локально выпуклом пространстве Ε будем называть регулярной,
если Ε = U^=i ^п? каждое Кп лежит в алгебраическом ядре Кп+\
(см. § 1.10) и компактно в банаховом пространстве Εχη+1.
2.7.2. Лемма. Пусть {Кп} — регулярная
последовательность абсолютно выпуклых компактов. Тогда для каждого т
и каждого скаляра X найдется такой номер п, что ХКШ
содержится в алгебраическом ядре Кп.
Доказательство. При η > т пусть Gn — алгебраическое
ядро Кп Π Ект+1· Нуль входит в топологическую внутренность
множества Кп Π Ект+1 в банаховом пространстве Ект+1-
Поэтому алгебраическое ядро этого множества совпадает с
топологическим в пространстве Ект+1 (задача 1.12.81). Тем самым
множества Gn открыты в Екгп+χ · Они покрывают ХКт, так как
алгебраические ядра Кп покрывают Ε (ибо Кп лежит в алгебраическом

2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями 179
ядре ifn+i), причем Кт компактно в этом пространстве. Поэтому
ХКт лежит в некотором Gn и тем самым входит в алгебраическое
ядро Кп. D
2.7.3. Лемма. Пусть {Кп} — регулярная
последовательность абсолютно выпуклых компактов. Тогда всякое
абсолютно выпуклое компактное множество К С Ε лежит в
некотором Кп.
Доказательство. Из непрерывности вложения Ε к —> Ε
следует, что абсолютно выпуклые множества множества Кп Π Εκ
замкнуты в банаховом пространстве Ек- Поэтому какое-то
пересечение Кт Π Εκ содержит окрестность нуля из Ек-
Следовательно, найдется такое λ > 0, что К С ХКт. По предыдущей
лемме К входит в некоторое Кп. D
2.7.4. Лемма. Во всяком регулярном индуктивном
пределе последовательности локально выпуклых пространств
имеется регулярная последовательность абсолютно выпуклых
компактов.
Доказательство. Представив данное пространство в виде
регулярного предела некоторой последовательности банаховых
пространств Хп, возрастающие замкнутые единичные шары Un
которых компактны в Χη+ι, мы можем взять Кп = nUn. D
2.7.5. Лемма. Пусть Ε = mdnEn — регулярный
индуктивный предел некоторой последовательности локально выпуклых
пространств Еп, {Кп} — произвольная регулярная
последовательность абсолютно выпуклых компактов в Е. Тогда Ε
является индуктивным пределом последовательности банаховых
пространств Екп-
Доказательство. Возьмем те же Хп и С7П, что и в
предыдущем доказательстве. Тогда последовательности {Хп} и {Екп}
эквивалентны в силу леммы 2.7.3. D
Будем говорить, что топологическое пространство X
является свободным объединением последовательности своих
подпространств Хп, если X = (J^Li Хп и замкнуты в X те и
только те множества, пересечения которых с каждым Хп замкнуто
в Хп в индуцированной топологии. Таким образом, пространство
X является индуктивным пределом подпространств Хп в
категории общих топологических пространств. Важно подчеркнуть,
что если Хп — возрастающие локально выпуклые пространства,

180
Глава 2. Методы построения
непрерывно вложенные друг в друга, то топология
индуктивного предела в категории общих топологических пространств
может оказаться строго сильнее топологии индуктивного предела
в категории локально выпуклых пространств. Так происходит в
случае пространства Т>(Ш}): как мы увидим ниже, оно не
является свободным объединением своих замкнутых подпространств
Т>[—п, п]. В этом принципиальное отличие следующей теоремы от
случая строгих индуктивных пределов.
2.7.6. Теорема. Индуктивный предел Ε = mdnEn
регулярной последовательности локально выпуклых пространств
является свободным объединением любой регулярной
последовательности своих абсолютно выпуклых компактных подмножеств.
Доказательство. Пусть {Кп} — регулярная
последовательность абсолютно выпуклых компактов в Ε и множество А таково,
что все пересечения АГ\Кп замкнуты. Покажем, что А замкнуто.
Пусть xq 0 А. По условию существует номер р, для которого xq
лежит в Κρ-ι, значит, и в алгебраическом ядре Кр . По индукции
найдем возрастающую последовательность множеств Vn, η ^ ρ,
со следующими свойствами: 1) Vn — замкнутая абсолютно
выпуклая окрестность нуля в Екп-> компактная в Екп+1, 2) xo+Vn С Кп,
3) (xo + Vn)nA = 0.
В качестве множества Vp берем замкнутый шар достаточно
малого радиуса в Εκν\ это возможно, ибо АП (АПЕкр) замкнуто
в Εχρ, xq 0 Α Π (Α Π Екр) и xq лежит в алгебраическом ядре Кр.
Если возрастающие абсолютно выпуклые компакты с нужными
свойствами Vp,..., Vn в пространствах Εχη уже выбраны, то Vn+\
находим так.
Множество Α Π Κη+\ замкнуто и в Εχη+1 из-за замкнутости
в Ε и непрерывности вложения Εχη+1 —> Ε. При этом х$ + Vn не
пересекается ни с inifn+i, ни с единичной сферой Sn+i в Εχη+1
(ибо вместе с Кп лежит в алгебраическом ядре Κη+ι). Поскольку
#о + Vn — компакт в Εχη+1, а множество (Α Π Κη+\) U Sn+\
замкнуто в банаховом пространстве Екп+1, то расстояние d между
ними по норме из Εχη+1 положительно. Следовательно, положив
Vn+i = Vn + 2~ldKn+i, мы получим абсолютно выпуклое
множество, компактное в Екп+2 из-за компактности Vn и Кп+\ в Εχη+2.
Ясно, что Vn С Vn+i и Vn+i является замкнутой окрестностью
нуля в Екп+1- Наконец, х0 + Vn+\ С Кп+\ и (х0 + Vn+\) Π Α = 0
ввиду выбора d.

2.7. Индуктивные пределы с компактными вложениями 181
Итак, Vn построены. Тогда множество V = U^L» Vn ~
замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля в Ε и (xq + V)PiA = 0.
Тем самым Е\А открыто в Е, т. е. А замкнуто. D
2.7.7. Следствие. Множество А в регулярном
индуктивном пределе mdnEn замкнуто в точности тогда, когда каждое
пересечение Α Π Εη замкнуто в Еп.
Доказательство. Пусть Απ Еп замкнуто в Еп для всех п.
Взяв регулярную последовательность абсолютно выпуклых
компактов Кп, получаем, что замкнуты и Α Π Κη, что дает
замкнутость А. Обратное очевидно. D
2.7.8. Следствие. Множество А в регулярном
индуктивном пределе тапЕп замкнуто в точности тогда, когда оно
секвенциально замкнуто, т. е. содержит пределы всех своих
сходящихся счетных последовательностей.
Доказательство. Пусть А секвенциально замкнуто в Е.
Представим Ε как регулярный индуктивный предел
последовательности банаховых пространств Хп. Тогда АПХп
секвенциально замкнуто в банаховом пространстве ХП1 что дает замкнутость
множества А в Е. Обратное очевидно. D
2.7.9. Следствие. Всякий компакт в Ε лежит в одном из
подпространств Еп. Кроме того, всякая сходящаяся
последовательность в Ε содержится и сходится в одном из Еп.
Более того, всякое ограниченное множество в Ε лежит в
одном из Еп и имеет там компактное замыкание.
Доказательство. Ясно, что можно выбрать регулярную
последовательность абсолютно выпуклых компактов Кп так, что
2Кп С Κη+ι для всех п. Пусть для каждого η есть точка ап
данного ограниченного множества А, не лежащая в i^2n- Тогда
2~пап 0 КП1 ибо Кп С 2~пК2п' Счетное множество {2~пап} имеет
конечное пересечение с каждым Кп и по доказанному
оказывается замкнутым в Е. Однако это невозможно, поскольку ввиду
ограниченности множества А последовательность {2~пап}
сходится к нулю, не входящему в эту последовательность. Итак,
множество А лежит в некотором КШ1 а мы уже знаем, что множество
Кт содержится и компактно в некотором Еп. D
Если Еп различны, то из доказанного следует
неметризуемость их регулярного индуктивного предела. Доказательство
следующего факта отнесено в задачу 2.10.28.

182
Глава 2. Методы построения
2.7.10. Следствие. Регулярный индуктивный предел полон.
2.7.11. Пример. Пусть Ε — индуктивный предел
некоторой возрастающей последовательности рефлексивных банаховых
пространств Хп с компактными вложениями. Тогда Ε является
регулярным индуктивным пределом. В частности, это верно,
если все Хп гильбертовы. Если же Хп конечномерны, то это верно
и в случае непрерывных вложений.
В самом деле^ замкнутый шар из Хп компактен в Χη+ι ввиду
слабой компактности (вытекающей из рефлексивности) и вполне
ограниченности (вытекающей из компактности вложения).
Вот еще одно свойство регулярных индуктивных пределов,
которого нет у строгих индуктивных пределов (задача 2.10.63).
2.7.12. Предложение. Замкнутое линейное
подпространство регулярного индуктивного предела mdnEn с
индуцированной топологией само есть регулярный индуктивный предел.
Доказательство. Пусть F — замкнутое подпространство
регулярного индуктивного предела Ε = mdnEn. Можно считать,
что Еп — рефлексивные банаховы пространства, замкнутые
единичные шары Кп которых возрастают и компактны в Еп+\.
Покажем, что Qn = Кп Π F образуют регулярную
последовательность компактов в F. Ясно, что Qn — абсолютно выпуклый
компакт в F, замкнутый в Equ+1. Кроме того, множество Qn вполне
ограничено в EQn+1. В самом деле^ оно компактно в Εκη+1,
поэтому для всякого ε > 0 найдутся точки х\^...1хгп Ε Qn, для
которых Qn С U£Li(si + εΚη+ι), откуда Qn С U™ i(^ + ^Qn+i)·
Из сказанного ясно, что {Qn} — регулярная последовательность
компактов в подпространстве F. Проверим теперь, что F с
индуцированной топологией совпадает с регулярным индуктивным
пределом ΊηάηΕς>η. Пусть AcF, причем все AnQn замкнуты.
Тогда замкнуты и АПКп, откуда следует замкнутость А в Е, а тем
самым и в F с индуцированной топологией. Верно и обратное:
если А замкнуто bFc индуцированной топологией, то все AnQn
замкнуты. Итак, F с индуцированной топологией есть свободное
объединение Qn и потому совпадает с mdnEQn. D
2.8. Тензорные произведения
Пусть Ει и £?2 — два локально выпуклых пространства.
Алгебраическое тензорное произведение Е\®Е2 обычно определяется
как естественное факторпространство линейного пространства,

2.8. Тензорные произведения
183
формально порожденного выражениями вида х®у, где χ Ε Е\,
у G E2l но здесь будет удобно сразу задать Е\®Е2 как
линейное подпространство алгебраически сопряженного к
пространству Β{Ει,Ε2) билинейных функций на Е\ χ E2l порожденное
элементами
х®у: Ъ*-+Ь(х,у), ЬеВ(ЕъЕ2).
При таком вложении нужная факторизация происходит
автоматически.
На пространстве Е\ ® Е2 можно вводить различные
локально выпуклые топологии. Проективная топология τπ задается как
сильнейшая локально выпуклая топология, в которой
непрерывно каноническое билинейное отображение Е\хЕ2 —> Е\®Е2.
Легко проверить (см. Шефер [174, с. 120]), что сопряженное
к {Ει®Ε2,τπ) можно отождествить с пространством всех
непрерывных билинейных функций на ΕχχΕ2, причем равностепенно
непрерывным подмножествам в (Ει®Ε2,τπ)' будут
соответствовать равностепенно непрерывные множества билинейных
функций на ΕχχΕ2. Для задания τπ с помощью полунорм используется
следующая конструкция тензорного произведения полунорм ри q
на Ει и Е2. Для w G Е\®Е2 положим
p®q(w) = inf|x;.p(^)^(y0: w = Егж<®г/<}>
где inf берется по всем представлениям w в указанном виде. Легко
проверить, что p®q(x®y) = p{x)q{y)-
Локально выпуклую топологию всегда можно задать
направленным семейством полунорм Р, т. е. таким, что для всяких
полунорм pi,p2 eV найдется рз £ V с р\ < рз, Р2 ^ Рз (например,
можно взять всевозможные конечные суммы исходных полунорм
и их произведения на положительные числа). Возьмем
направленные семейства полунорм V\ и V2 на Е\ъ E2l задающие
топологии. Тогда набор полунорм p\®p2l где р\ Ε V\, p2 G V2, задает
проективную топологию τπ. Пополнение (Ει®Ε2,τπ) обозначим
через Ει®πΕ2. Следующий результат получен Гротендиком.
2.8.1. Теорема. Если Е\ и Е2 — метризуемые локально
выпуклые пространства, то всякий элемент w Ε E\®JE2 можно
представить в виде
оо оо
w = y^2/\ixi®yi, где У^ \Xj\ < оо,
г=1 г=1
причем χι —> 0 и yi —> 0 в Ει и Е2 соответственно.

184
Глава 2. Методы построения
Доказательство. Возьмем в Ει и £?2 возрастающие
последовательности полунорм рп и qn, порождающие топологии.
Положим rn = pn®qn и продолжим гп на Ει®ττ£?2· Существуют такие
wn Ε Е\®Е2, что гп(г<; — wn) < n_22_n_1, причем wi = 0. Пусть
wn = Σ!=ι \Хг®Уг. Положим г>п = wn+i - wn. Тогда
ΓηΚι) < rn(w - Wn) + ^η(™ - Wn+\) <
< rn(w - wn) + rn+i(w - wn+i) < n"22"n.
Из определения rn следует, что найдутся такие возрастающие
числа %\ < %2 < - - · и представления νη = Σ*=^+ι ^А^г ®Уг?
ЧТ0 Σ^η+1 Μ ^ 2_П' Рп(^г) < П"\ ^п(Уг) ^ ™_1 При ВСех НО-
мерах гп < г ^ ίη+χ. Действительно, найдя представление вида
^п = Σ!5η+ι^®^' для К0Т°Р0Г0 Σ;=^+ιΡη(^)<7η(^) ^ ^"22"п5
где Рп(^г) > 0, qn{zi) > 0, можно взять Χι = щ(прп{щ)) ,
Уг = ^i(ngn(^)) , Аг = n2pn(ui)qn(zi). Таким образом, нужное
представление дается формулой w = Ση=ι vn — Σ£ι \хг®Уг- П
Для абсолютно выпуклых окрестностей нуля U cEi и VCE2
на Е\®Е2 можно задать полунорму
Ρί/,νΜ =8ир|^/(я:г)5(Уг): w = ^ixi®V^f eU°,g e Vго|,
где sup берется по всем представлениям ги в указанном виде.
Легко проверить, что рс/,у(ги) ^ Ρυ®Ρν· Поэтому порожденная
такими полунормами топология т£ слабее τπ.
Пополнение [Е\®Е21те] обозначают символом Е\®еЕ2.
2.9. Ядерные пространства
Пусть X и Υ — два нормированных пространства. Оператор
Г Ε £(X,Y) называется ядерным, если он представим в виде
оо оо
Тх = ^2,щ{х)уи где щ е X', vi G У, ^ ||г^|| ||^|| < оо.
i=l i=l
Точная нижняя грань сумм ^^ ||^г|| ||^г|| по всем возможным
представлениям Г называется ядерной нормой Г и обозначается
символом ЦГЦ^. Очевидно, что ядерный оператор между
банаховыми пространствами компактен (см. определение в §3.10).

2.9. Ядерные пространства
185
Понятие ядерного оператора следующим образом
распространяется на локально выпуклые пространства.
Если V — абсолютно выпуклая окрестность нуля в локально
выпуклом пространстве Е, то функционал Минковского ру
множества V является полунормой и порождает норму на фактор-
пространстве Е/ру1{0). Пополнение этого нормированного
пространства обозначим через Еу. Норму в Еу будем обозначать
также символом ру. Если Ру1{0) = О, то Еу есть пополнение
обычного пространства (Еу,ру). Напомним, что последнее
полно, если V ограничено и секвенциально полно. Однако в
типичных случаях V не является ограниченным и р^1(0) Ф 0.
Естественное отображение jy: Ε —> Еу непрерывно. Отметим также,
что если V содержит абсолютно выпуклую окрестность нуля W,
то естественный оператор тгу^цг- Ε\γ —> Еу, порожденный
включением р^(0) С Руг(0) и сюръекцией Е/р^(0) —> Ε/ργι{ϋ),
оказывается непрерывным.
Пусть Ε и F — локально выпуклые пространства и
линейное отображение Τ: Ε —> F таково, что для некоторой
абсолютно выпуклой окрестности нуля V С Ε множество T(V) лежит
в некотором банаховом диске В С F. Пусть грв'- Ев —> F —
естественное вложение. Поскольку Τ χ = 0 при ру{х) = 0 (из-за
ограниченности T(V)), то Г можно записать в виде Г = ipB°Tojy,
где Т: Еу —> Ев является непрерывным линейным оператором.
Если возможен такой выбор V и В, что оператор Г между
банаховыми пространствами оказался ядерным, то Г называется
ядерным. Из этого сразу следует, что ядерный оператор
компактен и в случае локально выпуклых пространств (см. §3.10). Для
нормированных пространств это дает прежнее понятие.
Можно проверить, что ядерные отображения
характеризуются следующим образом (см. Шефер [174, теорема 7.1]).
2.9.1. Теорема. Оператор Τ Ε C(E,F) является ядерным
в точности тогда, когда имеет вид
оо
Тх = у v лп1п(х)уп,
п=1
где Σ™=ι |λη| < оо, {ln} — равностепенно непрерывная
последовательность в Е' и {уп} С F — последовательность, лежащая
в некотором банаховом диске.

186
Глава 2. Методы построения
2.9.2. Определение. Локально выпуклое пространство Ε
называется ядерным, если оно обладает базисом V абсолютно
выпуклых окрестностей нуля с тем свойством, что для всякой
окрестности V Ε V каноническое отображение jy: Ε —> Еу
оказывается ядерным.
Из предыдущей теоремы следует, что канонические
отображения jy должны иметь вид
оо
jvx = ^2xnln(x)yn,
п=1
где Υ^=ι |λη| < оо, {ln} — равностепенно непрерывная
последовательность в Е' и {уп} С V.
Нетрудно проверить, что локально выпуклое пространство
ядерно в точности тогда, когда ядерно его пополнение.
Примером бесконечномерного ядерного пространства служит
бесконечная степень прямой К . Здесь базисные окрестности
нуля имеют вид V = {х: \x(U)\ < ε,г = 1,... , η}, поэтому мы имеем
Ру (0) — {х: X{U) = 0, г = 1,... ,гг}, значит, факторпространство
Кт/ру1(0) конечномерно.
2.9.3. Теорема. Следующие свойства локально выпуклого
пространства Ε равносильны:
(i) E ядерно;
(ii) для всякого банахова пространства X всякий оператор
Τ Ε С(Е,Х) является ядерным;
(Hi) всякая абсолютно выпуклая окрестность нуля V С Ε
содержит такую абсолютно выпуклую окрестность нуля U, что
естественный оператор пу^ц: Ец —> Еу оказывается ядерным.
Доказательство. Если Ε ядерно и X банахово с открытым
единичным шаром С/, то V = T~l{U) является окрестностью
нуля в Е, поэтому отображение jy: Ε —> Еу ядерно. Значит, оно
имеет вид Σ™=ι AnZn(x)yn, где {ln} — равностепенно
непрерывная последовательность в Е', {Хп} £ I1·, {Уп} лежит в банаховом
диске в Еу. Заметим, что тогда Тх = X^^Li Kln(x)Tyn, где {Туп}
лежит в банаховом диске в X.
Ясно, что из (iii) следует (i). Пусть верно (и) и V —
абсолютно выпуклая окрестность нуля в Е. Тогда оператор jy: Ε —> Еу
имеет указанный выше вид. В силу равностепенной
непрерывности {1п} найдется абсолютно выпуклая окрестность нуля W', для

2.9. Ядерные пространства
187
которой |Zn(w)| < 1 при всех w Ε W, η ^ 1. Возьмем U = W Π V'.
Непосредственно проверяется, что оператор тгу^и является
ядерным, ибо он имеет вид ττγ^ζ = Σ/nLi Ιη(ζ)ΐ/η·> где функционал
ln Ε Е'и порожден функционалом 1п (оценка |Zn(w)| < 1 на W
означает, что норма 1п не больше 1), а последовательность {уп}
ограничена в Еу. D
Из свойства (Hi) и компактности ядерных операторов
получаем такой факт.
2.9.4. Следствие. Всякое ограниченное множество в
ядерном пространстве вполне ограничено.
Из свойства (и) очевидно, что нормированное пространство
ядерно лишь тогда, когда оно конечномерно. Тем не менее, как
мы сейчас увидим, ядерные пространства тесно связаны с
гильбертовыми пространствами.
2.9.5. Теорема. Пусть U — окрестность нуля в ядерном
пространстве Е. Тогда найдутся такие абсолютно выпуклые
окрестности нуля V С U, W С V, что банаховы
пространства Еу и Еу/ линейно изометричны I2 или Шп, а оператор
кууу: Ew —> Еу — ядерный. Тем самым топология Ε
задается семейством полунорм, порождаемых неотрицательно
определенными эрмитовыми формами.
Доказательство. Покажем, что есть оператор А ε С(Е, Ζ2),
для которого V = А~1(В) С С/, где В — открытый
единичный шар в I2. Можно считать, что U абсолютно выпукло.
Тогда ju: Ε -> Ευ имеет вид jvx = Σ™=ι\η1η{χ)νη, где λη > О,
Σ^=ι ^η — 1? ||Уп|| = 1 в Ευ и {ln} равностепенно непрерывна
в Е'. Положим Ах = {у/\^1п(х)} · Из равностепенной
непрерывности {1п} следует, что A(U) ограничено в I2. При этом
оо оо U2
ρυϋυχ) < 5^λημη(χ)| < (5^λημη(^)|2) = ||Ar||Z2.
n=l n=l
Итак, V := A~l(B) С U. Наконец, факторпространство Ε/ργι{0)
с нормой ру линейно изометрично евклидову пространству А(Е),
что дает линейную изометрию Еу и замыкания A(V) в I2.
Остается применить предыдущую теорему. D

188
Глава 2. Методы построения
Отметим, что вместо I в этой теореме можно взять любое
пространство 1Р с 1 ^ ρ ^ +оо. Обоснование аналогично.
Пусть Л — множество мощности, равной минимальной
мощности базы окрестностей нуля в пространстве Е.
2.9.6. Следствие. Если Ε ядерно и {#д}лел — семейство
бесконечномерных гильбертовых пространств, то существуют
такие линейные отображения Т\: Ε —> Η χ, что топология Ε
является слабейшей, в которой все Т\ непрерывны.
2.9.7. Следствие. Если ядерное пространство Ε полно, то
оно изоморфно проективному пределу семейства мощности Л
гильбертовых пространств.
Пространство Фреше ядерно в точности тогда, когда оно
представимо в виде проективного предела Ε = lim Hn
последовательности сепарабельных гильбертовых пространств Нп с
ядерными отображениями фтп : Нт —> Нп при т < п. При этом оно
сепарабельно.
Доказательство. Первое утверждение следует из
доказанного выше. Пусть теперь Ε — ядерное пространство Фреше.
Согласно доказанному выше, в Ε имеется база абсолютно
выпуклых окрестностей нуля Vni для которых пространства Нп = Еуп
гильбертовы. При этом можно считать, что Vn+i С Vn л все
канонические отображения ^η,η+ι: Еуп+1 —> Еуп ядерны. Это дает
искомое представление. Обратно, пусть Ε имеет указанный вид.
Тем самым Ε есть подпространство в Π^=ι ^η, выделенное
условиями фтпХт = жп, т < п, а базой окрестностей нуля служат
произведения V = Π2=ι ^ х Пу1т+1 Hj, где В{ — шар с центром
в нуле в Hi. Поэтому каноническое отображение Ε —> Еу можно
отождествить с проекцией Ε в ΠΙϋι Η{. Эта проекция имеет вид
ρ = (рь ... ,рт), где pi — проекция Ε в Щ. Поскольку щ = гргп°Рп
при η > га, το ρ оказывается ядерным отображением. D
2.9.8. Теорема, (i) Векторное подпространство и
отделимое факторпространство ядерного пространства ядерны.
(и) Произведение любого семейства ядерных пространств
и локально выпуклая прямая сумма счетного набора ядерных
пространств ядерны.
(Hi) Проективный предел произвольного семейства ядерных
пространств и индуктивный предел счетного набора ядерных
пространств ядерны.

2.9. Ядерные пространства
189
(iv) Проективное тензорное произведение двух ядерных
пространств ядерно.
Доказательство см. в Шефер [174, гл. III, теоремы 7.4, 7.5,
с. 133, 137]. В терминах проективных топологий есть такая ха-
рактеризация (см. [174, с. 219, 235]).
2.9.9. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε ядерно
в точности тогда, когда E®nF = E®£F для всякого локально
выпуклого пространства F, причем достаточно иметь это
равенство для всех банаховых F.
Рассмотрим примеры ядерных пространств.
2.9.10. Пример. Следующие пространства ядерны.
(i) Любое векторное подпространство в любой степени IR ,
в частности все локально выпуклые пространства со слабой
топологией.
(и) Пространство Σ быстро убывающих последовательностей
(пример 1.3.19).
(Hi) Пространство Cq°(U) гладких функций, равных нулю вне
шара Ϊ7, с топологией равномерной сходимости всех производных.
(iv) Пространства V(JRn) и <S(IRn).
(ν) Пространство C°°(IRn) гладких функций на Кп с
топологией равномерной сходимости всех производных на компактах.
Ядерно также C°°(U) для всякого открытого множества U.
(vi) Пространство H(U) голоморфных функций в открытом
множестве U С С с топологией равномерной сходимости на
компактах в U.
Доказательство. Утверждение (i) следует из сказанного
выше. Ядерность Σ видна из того, что такая же топология
задается евклидовыми нормами q^ (см. пример 1.3.19), для которых
соответствующие операторы гильбертовых пространств ядерны.
Для обоснования (in) рассмотрим для упрощения случай η = 1.
В качестве норм в Со°[0,1] возьмем Ь2-нормы производных
четных порядков. Непосредственно проверяется, что
соответствующие операторы ядерны. Можно было бы воспользоваться и
изоморфизмом с Σ (теорема 1.12.15). Ядерность Т>(Шп) следует из
предыдущей теоремы и (Hi). Пространство <S(IRn) ядерно, ибо
изоморфно пространству Σ (теорема 1.12.15).
Наконец, H(U) является замкнутым подпространством в
комплексном пространстве C°°{U). D

190
Глава 2. Методы построения
Следующий важный факт получен Б.С. Митягиным [97].
2.9.11. Теорема. Пространства C°°(IRn) и Σ°° изоморфны.
Указанные пространства универсальны в следующем смысле.
2.9.12. Теорема. [Котита, Котита [365]) Локально
выпуклое пространство ядерно в точности тогда, когда оно
изоморфно векторному подпространству пространства ΈΑ для
некоторого множества А. Пространство Фреше ядерно в точности
тогда, когда оно изоморфно подпространству пространства Σ°°
(а также подпространству пространства С°°(Ш})).
В §3.7 приведен еще ряд фактов, связанных с ядерностью
сопряженного пространства.
Б.С. Митягин [97] получил критерий ядерности пространства
Фреше в терминах ε-энтропии компактов в нем.
2.9.13. Теорема. Пространство Фреше Ε ядерно в
точности тогда, когда для всякого компакта и всякой окрестности
нуля в нем выполнено равенство
lim sup log log N (К, eU)/ log - = 0,
гдеМ{К,еи) = 'тпМ: К С U*Li(*i + eU), χι е eV
Известен также любопытный критерий ядерности
пространства Фреше в терминах безусловно сходящихся рядов, т.е.
рядов, сходящихся при всех перестановках элементов, и абсолютно
сходящихся рядов, т.е. рядов с общим членом жп, для которых
Σπ?=ιΡ(χη) < °° Для всякой непрерывной полунормы р.
2.9.14. Теорема. Пространство Фреше ядерно в точности
тогда, когда в нем всякий безусловно сходящийся ряд сходится
абсолютно.
Следующая так называемая теорема о ядре дает описание
ядерных пространств в терминах билинейных форм.
2.9.15. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε
ядерно в точности тогда, когда для всякого локально выпуклого
пространства F каждая билинейная непрерывная функция В на
пространстве ExF ядерна, т. е. допускает представление
оо
В(х,у) = ^1п(х)/п(у),
п=1

2.10. Дополнения и задачи
191
где ln Ε Е', fn G F' и существуют такие абсолютно выпуклые
окрестности нуля U С Е, V С F, что Σ™=1 рио (ln)pVo (fn) < оо.
Доказательства сформулированных теорем можно найти в
Jarchow [334], где есть обширная дополнительная информация.
2.10. Дополнения и задачи
(i) Свойства пространств V и V' (191). (ii) Абсолютно суммирующие
операторы (196). (iii) Локальная полнота (199). Задачи (201).
2.10(i). Свойства пространств V и V
Здесь обсуждается ряд довольно экзотических свойств пространств
Т>иТ>'.В свое время было даже неизвестно, существуют ли вообще
пространства с такими свойствами, затем была проявлена немалая
изобретательность для построения искусственных примеров, наконец,
выяснилось, что примерами служат хорошо известные DhD'. Правда,
проверка этого оказывается весьма нетривиальной.
Один из первых вопросов, который возникает при знакомстве с
топологией пространства D, таков: почему нельзя ввести на V
топологию Ttop, в которой замкнутыми являются множества, дающие
замкнутые пересечения со всеми Т>п? Эта топология не слабее той, которую мы
ввели. Однако она с ней не совпадает: ведь в указанной более сильной
топологии непрерывными оказываются все те функции, сужения
которых на все Т>п непрерывны. Стандартная топология Т> таким свойством
не обладает: квадратичная форма
оо
F(v?) = 5>(rcV(n)(0)
71=1
разрывна в этой топологии (задача 2.10.49), но очевидным образом
непрерывна на всех Т>п. Правда, обе топологии имеют равные
запасы непрерывных линейных функций. Однако решающим недостатком
топологии rt0p является то, что она не превращает V в топологическое
векторное пространство: операция сложения разрывна. Иначе из
замечания 2.3.2(H) следовало бы совпадение Ttop со стандартной топологией
(ибо указанная в этом замечании база нуля для счетного набора
пространств с базами из абсолютно выпуклых множеств состоит из
выпуклых множеств). Доказательства приводимых ниже результатов можно
найти в Смолянов [137], [141], [143], [149], [469], [470].
Множество называется секвенциально замкнутым, если оно
содержит пределы всех своих сходящихся последовательностей.
Пространством Фреше-Урысона называют пространство, в котором для
каждого множества А всякая точка из замыкания А есть предел
последовательности точек из А (необязательно разных). Такие пространства

192
Глава 2. Методы построения
входят в более широкий класс секвенциальных пространств, в
которых секвенциальная замкнутость равносильна замкнутости (см. Эн-
гелькинг [186, с. 94]). Через [А] здесь будем обозначать замыкание А,
через [A]s — секвенциальное замыкание (наименьшее содержащее А
секвенциально замкнутое множество), через [A]ss — множество пределов
последовательностей элементов из А. Например, всякое метрическое
пространство — пространство Фреше-Урысона, а произведение
континуума прямых нет. Пример неметризуемого пространства Фреше-
Урысона — слабо компактное множество в банаховом пространстве, не
являющееся метризуемым в слабой топологии (теорема 3.4.10 и
задача 3.12.50). Неметризуемым секвенциальным локально выпуклым
пространством является регулярный индуктивный предел (см. §2.7), но
этот предел не есть пространство Фреше-Урысона.
Подмножество S локально выпуклого пространства Ε будем
называть стандартным счетным секвенциально замкнутым
незамкнутым множеством, если (i) 0 <^ S, 0 G [S]; (ii) 0 — единственная
неизолированная предельная точка множества S (так что, в частности, все
точки множества S — изолированные); (iii) всякая сходящаяся
последовательность элементов множества S является стационарной (отсюда
следует секвенциальная замкнутость множества S).
2.10.1. Предложение. Пусть
Sx = {к'г5^(·) + <*(*>(■ - п): /с, η G Щ С V.
Тогда S\ — стандартное счетное секвенциально замкнутое
незамкнутое подмножество пространства Т>' с топологией равномерной
сходимости на ограниченных множествах из V.
Доказательство. Ясно, что 0 φ S\. Пусть V — окрестность нуля
в V. Это значит, что существуют ограниченное подмножество В в V
и ε > 0 такие, что V э Vi = {g G V : \{g,ip)\ < ε Μφ G В}. Так как В
ограничено, то существует такое а > 0, что отрезок [—α, α] содержит
носители всех функций из В. Пусть η G IN, η > а и k eJN таково, что
fc-ifi(n) £ у1 (такое к существует в силу того, что V\ — окрестность
нуля). Тогда для любого φ G В имеем
(к-Ч^^) + (5<*>(. + ή),φ) =\k-1S(n\<p) < ε,
такчто/с-1^п)(-) + ^(А;)(·-^) € Vi С У, т.е. 0 G [S].
Проверим теперь, что 0 — единственная предельная точка
множества Si. Пусть g G [Si], g ф Sb g Φ 0. Тогда
η оо г (η)
3 = Σνω + ΣΣ^(Γ)(·-").
j=l n=l r=l
так как носитель предельной точки множества Si должен содержаться
в объединении носителей элементов этого множества. Если βΓη Φ 0 для

2.10. Дополнения и задачи
193
некоторых г, га, то, так как д Ε [Si], имеем /3rn = 1 и βίj = 0 для всякой
пары (i,j), не совпадающей с парой (г, га); отсюда следует (снова в силу
включения д Ε [Si]), что αη = \/г и а^ = 0, если j φ га. Таким образом,
д Ε Si, что противоречит предположению. Для окончания
доказательства свойства (ii) остается заметить, что все точки множества Si —
изолированные. Докажем теперь свойство (iii). Пусть для некоторого j
выполнено равенство
и предположим, что последовательность {dj} сходится в V. Тогда
имеем supj rij < оо, следовательно, sup^· kj < оо; поэтому множество
различных элементов последовательности {ап} конечно. Так как эта
последовательность сходится, то существует такое га Ε IN, что α^ = a,j2
ПРИ JiiJ2 > η·, т-е. последовательность {ctj} стационарна. D
Почти так же можно показать, что и множество
5i/={fc-1i(n)(.) + fci(--n): к,га Ε IN}
обладает свойствами, аналогичными свойствам Si. При этом как
выпуклая оболочка множества Si, так и выпуклая оболочка Sy также
секвенциально замкнуты, но не являются замкнутыми.
Отметим еще (это будет использовано в дальнейшем), что
множество Si (значит, и его выпуклая оболочка) содержится в
подпространстве пространства V, изоморфном произведению счетной степени JR°°
вещественных прямых и топологической прямой суммы Ш}°°'
счетного семейства вещественных прямых. Так как пространство JR°° мет-
ризуемо, а Ш>°°> секвенциально, то получаем, что произведение двух
локально выпуклых пространств, одно из которых является
пространством Фреше, а другое секвенциально, может не быть секвенциальным
пространством.
2.10.2. Предложение. Пусть α^η(ί) = g(t)(k + l)~nsm(kt), где
к, га Ε IN, g Ε Ρ[_ι,ΐ], g φ О, и Ъ\к($) = k~xp(t — га), где ρ Ε V, причем
suppp С [Ι,οο). Тогда множество S2 = {о>кп + Ь\к: п,к Ε IN}
является стандартным секвенциально замкнутым незамкнутым
подмножеством пространства V.
2.10.3. Предложение. Пусть G — замкнутое векторное
подпространство пространства V, состоящее из обобщенных функций,
сосредоточенных в нуле, Ε = £>[-ι,ΐ] и к, га Ε IN, b^k = к~г6^ Ε G,
akn £ Ε те же, что и в предыдущем предложении. Тогда множество
S3 = {О'кп + Ь^к · п, к Ε IN} является стандартным секвенциально
замкнутым незамкнутым подмножеством топологической прямой
суммы E(&G.

194
Глава 2. Методы построения
2.10.4. Замечание. Топологическая прямая сумма счетного
набора вещественных прямых не является пространством Фреше-Уры-
сона, т. е. в ней существуют множества, некоторые предельные точки
которых не являются пределами сходящихся последовательностей их
элементов. Среди таких множеств существуют даже счетные.
Действительно, реализуем такую топологическую прямую сумму
как пространство G из предыдущего предложения. Положим
54 = {п-г6 + ^Ψη) : щке IN}.
Тогда 0 ^ 54,0 Ε [54], причем не существует последовательности
элементов множества 54, сходящихся к нулю.
Конечно, 54 не является секвенциально замкнутым, ибо [54] φ S±\
поэтому G не секвенциально. Отметим еще, что [54]ss Φ \S^8 = [S^]-
Аналогично можно показать, что секвенциальным не является и
бесконечномерное гильбертово пространство со слабой топологией.
Действительно, пусть {еп} — счетное ортонормированное семейство элементов
этого пространства и
к,пеЩ.
Тогда О Ε [А], О ^ А (проверьте), причем никакая последовательность
элементов множества А не сходится к нулю. Последний пример
фактически принадлежит фон Нейману.
Далее для каждого подмножества А локально выпуклого
пространства символ Μ (А) обозначает порожденное им аффинное
многообразие, а символ L(A) — векторное подпространство, порожденное А.
2.10.5. Предложение. Для /c,n, m Ε IN положим
Ъ3пк = (k+ l)-1^. - к'1), а°кп = δ^(· - η),
Cm = {a°kn + b3nk: keSN,n = l,2,...,m}cV',
OO
Μ = (J М(Ст).
771=1
Тогда О £ М,0 Ε [М], [М] = Ми{0} и [M]S = Μ, так что Μ является
секвенциально замкнутым незамкнутым аффинным
подмногообразием пространства V. Более того, векторное подпространство L(M)
пространства V замкнуто, и линейный функционал /: L(M) —> IR,
определяемый равенством f(M) = 1, секвенциально непрерывен, но не
является непрерывным в индуцированной топологии.
2.10.6. Предложение. Для /с, η Ε IN положим
btlk = (k + i)-1s^(--k-1)ev[_lil]
и возьмем элемент а\п пространства £>[_ι,ι], определяемый так:
a1kn(t) = (k+l)-1sm(lknt)f(t),

2.10. Дополнения и задачи
195
где / G Χ^-ι,ι], / φ 0 и 1кп € IN? причем 1к1П1 = h2n2 тогда и только
тогда, когда к\ = кч и п\ = η<ι. Для каждого т G IN пусть
Сгп = {а\п + ЪАпк: /cGlN,n=l,2,...,m}
ti Mi = υ~=ιΙΜ(^)]. Гогда 0 £ Мь 0 G [Mi], [Mx] = Mx U {0},
[Mi]s = М\. Поэтому Μι — секвенциально замкнутое незамкнутое
аффинное подмногообразие пространства £>[-ι,ΐ] х ^(_ι ц? а линейный
функционал / на L(Mi), определяемый равенством /(Μι) = 1,
разрывен, но секвенциально непрерывен.
2.10.7. Предложение. Пусть а\п — элементы V, определяемые
равенством из предыдущего предложения, и b^k G V определяется
так: Ьъпк(Ь) = 2(<-2^g(2k(t - η)), где g G V, supp# G [l,oo),# φ 0. Для
каждого т G IN пусть
Cln = Wkn + b5nk: fc€N,n = l,2,...,rn}.
ТЪг^а М2 = Um=i[^(^m)] ~~ секвенциально замкнутое незамкнутое
аффинное многообразие в V, линейный функционал / на Ь(Мг) такой,
что /(Мг) = 1, разрывен, но секвенциально непрерывен.
Из этого предложения следует, что подпространство Ь(Мг) не
является индуктивным пределом пересечений Ь(Мг) Π Dn.
2.10.8. Предложение. Пусть {rj} — последовательность всехt
рациональных чисел, (р, j, 5) »—> га(р, j, 5) — взаимно однозначное
отображение IN3 wa (2,3,...) г« Fp/ — аффинное подмногообразие
пространства V, порожденное множеством
Гог^а Fp/ секвенциально замкнуто и плотно в V, но не является
замкнутым (0 G [Fp'],0 ^ Fp/), так что F-ρ' — а, где a G Fp/, — се-
квенциально замкнутое незамкнутое всюду плотное векторное
подпространство в V.
2.10.9. Предложение. Пусть (к,п) »-> 1(к,п) и (j,s) ь-> n(j,s) —
биекции IN2 на IN, {fj} — последовательность элементов V, причем
выполнены следующие условия:
(1) если mmsn{j,s) = a(j) и min^s /(/с, n(j, s)) = b(j), то
выполнено равенство ή*υ)\χ) = 0 для χ е (0,2n/b(j));
(2) supp/j С (-oo,a(i));
(3) [{/,·}]=©.
Существование такой последовательности вытекает из
соотношений a(j) —> сх), Ь^') —> оо.

196
Глава 2. Методы построения
Для всевозможных троек /с, j, s G IN рассмотрим функции
^,i,^0=/i(0+/W(^+l)n(j>)sin(z(A;,n(i,S))i)+2-2fcff(2fc(i-nO-,5))),
где д £ Т>, suppg С [Ι,οο), f Ε V, supp/ С (—oo, 1], /(£) = 1 для всех
точек t G (0,1/2).
Тогда секвенциально замкнутое аффинное подмногообразие F-p
пространства V, порожденное множеством {<fkj,s- k,j,s G IN} не
является замкнутым и всюду плотно, так что Ρχ> — а, где a G F-p,
есть незамкнутое всюду плотное секвенциально замкнутое
векторное подпространство в V.
2.10.10. Замечание. Аналогичную конструкцию можно
применить для построения секвенциально замкнутого незамкнутого всюду
плотного векторного подпространства пространства £>[-ι,ΐ] Θ ^f_i \γ
2.10(ii). Абсолютно суммирующие операторы
Ряд Σ™=ι хп в отделимом локально выпуклом пространстве X
называют безусловно сходящимся, если он сходится при всех
перестановках индексов. Для числового ряда это равносильно абсолютной
сходимости; тем самым сумма не зависит от перестановок. Значит, если
s — сумма этого ряда, то для всякой непрерывной полунормы q на X
и всякого ε > 0 найдется такое Ν, что для всякого конечного
множества индексов М, содержащего {1,...,7V}, выполнено неравенство
ф-Егем^) <ε·
Более общим образом, семейство векторов x7GX, индексируемое
некоторым множеством Г, называют суммируемым к вектору s G X,
если для всякой непрерывной полунормы дна!и всякого ε > 0
найдется такое конечное подсемейство Го С Г, что q(s — Σ7€Γι χί) < € Для
всякого конечного семейства Γι, содержащего Го-
Если же Σ^γ#(χ7) *^ °° для всякой непрерывной полунормы q,
то семейство {х7}7ег называют абсолютно суммируемым. В случае
Г = IN говорят об абсолютно сходящемся ряде.
В конечномерном пространстве безусловная сходимость ряда
равносильна абсолютной сходимости. Например, знакопеременный ряд
с общим членом (—l)nn_1 сходится, но не безусловно. В гильбертовом
пространстве I2 ряд из векторов хп = п~1еп, где {еп} — стандартный
базис, не сходится абсолютно, но сходится безусловно, так как при
любых /ci,..., km > η мы имеем \\xkl Η \- xkm ||2 < Σ™=η k~2.
Пусть ρ G [l,+oo). Семейство {#7}7ег называют слабо р-сум-
мируемым, если Σ7€Γ |/(х7)|р < оо при всех / G X'.
Если же Σ7€γ#(χ7)ρ *^ °° для всякой непрерывной полунормы q
на X, то {#7}7ег называют абсолютно ρ-суммируемым.

2.10. Дополнения и задачи
197
2.10.11. Лемма. Если последовательность {хп} в
нормированном пространстве X является слабо ρ-суммируемой, то найдется
такое С > 0, что
оо
sup У2\1(хп)\р^С.
гех',||г|К1~;
Доказательство. Рассмотрим линейное отображение S: X' —>/р,
SI = (l(xn))„=v Нам надо установить его ограниченность.
Поскольку X' и 1Р банаховы, то достаточно проверить замкнутость графика S
(см. §3.9). Пусть lj —> I в X' и Slj —> ν в /р, где ν = (υη). Тогда
получаем lj(xn) —> Κχη) при каждом фиксированном п. С другой стороны,
lj(xn) —> vn, откуда l(xn) = vn, т.е. υ = SI, что и требовалось. D
2.10.12. Определение. Пусть X и Υ — локально выпуклые
пространства. Оператор Те С(Х, Υ') называется абсолютно
ρ-суммирующим, если он переводит слабо р-суммируемые семейства в
абсолютно р-суммируемые.
Оператор Τ называется абсолютно суммирующим, если он
переводит суммируемые семейства в абсолютно суммируемые.
Легко видеть, что в этих определениях достаточно ограничиться
счетными наборами векторов.
Если Χ πΫ — нормированные пространства, то Τ Ε С(Х, Υ)
является абсолютно р-суммирующим, если из того, что X^Lj К(жп)|р < оо
для всех I G Х\ следует, что Σ™=ι \\Τ(χη)\\^ < оо. При этом есть такое
число С > 0, что
оо оо
Σ \\Txn\\pY ^ С sup V \l(xn)\p (2.10.1)
ί=ί ΙΙΊΚΐ^ί
для всякой последовательности {хп} С X. Действительно, иначе для
всякого га нашлось бы конечное множество xm,i,... , £т,ь для
которого sup||Z)Kl X^=1 \Kxm,i)\p ^ 2~m и Т11=1\\Тхш,г\\ру ^ 1, что ведет
к противоречию. Наименьшее возможное С обозначается через πρ(Τ).
Введенные классы выдерживают композиции справа и слева с
ограниченными операторами. По теореме Дворецкого-Роджерса во всяком
бесконечномерном банаховом пространстве X есть безусловно, но не
абсолютно сходящийся ряд. Если X не имеет подпространств,
изоморфных со (и только в этом случае), то безусловная сходимость ряда
из хп равносильна слабой 1-суммируемости {хп} (см. Кадец, Кадец
[64, гл. 3, 4]). Если X и Υ — гильбертовы пространства, то класс
абсолютно суммирующих операторов совпадает с классом
абсолютно 2-суммирующих операторов и с классом операторов Гильберта-
Шмидта, т. е. таких операторов Τ е С(Х, У), что Σα H^ecJ|y < °° Для

198
Глава 2. Методы построения
некоторого (тогда и всякого) ортонормированного базиса {еа} в 1, см.
Богачев, Смолянов [21, предложение 7.10.26].
Отметим следующее важное специальное абсолютно 2-суммирую-
щее вложение (см. [21, теорема 7.10.27]).
2.10.13. Теорема. Пусть μ — вероятностная мера. Тогда
тождественное вложение L°°(/i) —> ί<2(μ) является абсолютно 2-сумми-
рующим. В частности, если μ — мера Радона на топологическом
пространстве, то вложение £7&(Ω) —» £>2(μ) является абсолютно 2-сум-
мирующим.
Интересно отметить (см. Пич [109, лемма 3.3.4]), что всякое
абсолютно суммирующее отображение Т: X —> Υ между банаховыми
пространствами можно записать в виде композиции Τ = T10J0T2, где
j: С (Ω) —> £2(μ) — тождественное вложение для некоторой меры
Радона μ на компакте Ω, Тг: С(Х,С(П)), Т2 G £(L2(/i),F).
Как показывает следующая теорема А. Пича, в случае общих
банаховых пространств абсолютно 2-суммирующие операторы также
связаны с пространством L2 (про меры см. гл. 5).
2.10.14. Теорема. Пусть X и Υ — банаховы пространства,
В' — замкнутый единичный шар пространства X' с топологией
σ(Χ',Χ), а(С(В')) — σ-алгебра, порожденная непрерывными
функциями на компакте В'. Оператор Τ Ε C(X,Y) является абсолютно
2-суммирующим в точности тогда, когда на а(С(В')) существует
такая ограниченная неотрицательная мера μ, что
\\Τχ\\1< ί \ξ(χ)\2 μ(άξ).
JBf
Ядерное отображение нормированных пространств является
абсолютно суммирующим. Действительно, пусть {χι} — слабо абсолютно
суммируемая последовательность и Τ χ = Σ™-ι ^nln(x)yn — ядерный
оператор, где An ^ 0, Σ™=1 λη < оо, ||/η|| ^ 1, ||yn|| ^ 1. Как было
показано в лемме выше, найдется такое С > 0, что
оо
sup
п <=1
Следовательно,
оо оо оо оо
5^iiTzf|| ^ ^2^2 к\1п{хг)\ \\уп\\ ^с^2хп.
г=1 г=1 п=1 п=1
В книге Пич [109, гл. 3] можно найти доказательство следующей
теоремы Гротендика.
2.10.15. Теорема. Композиция двух абсолютно суммирующих
операторов в нормированных пространствах ядерна.

2.10. Дополнения и задачи
199
С помощью абсолютно суммирующих операторов можно
охарактеризовать ядерность пространства. Например, по теореме 2.9.14
пространство Фреше ядерно в точности тогда, когда все безусловно
сходящиеся ряды в нем сходятся абсолютно, т. е. тождественный оператор
является абсолютно суммирующим.
2.10(iii). Локальная полнота
В связи с рассмотренной в § 2.5 конструкцией Гротендика возникло
следующее полезное свойство полноты. Для упрощения терминологии
будем называть здесь диском всякое ограниченное абсолютно выпуклое
множество в топологическом векторном пространстве.
2.10.16. Определение. Отделимое локально выпуклое
пространство называется локально полным, если в нем всякий замкнутый
диск является банаховым диском.
Из доказанного в § 2.5 следует, что из секвенциальной полноты
следует локальная полнота, но обратное неверно. Например,
пространство со сходящихся к нулю последовательностей со слабой топологией
σ(βο, Ι1) не является секвенциально полным, но оно локально полно, ибо
оно банахово относительно своей стандартной нормы, а слабо
ограниченные множества ограничены по норме.
2.10.17. Определение. Говорят, что последовательность {хп}
в локально выпуклом пространстве Ε сходится к χ по Макки, если,
есть такой диск В С Е, что рв(х — Хп) —> 0. Аналогично
последовательность называют фундаментальной по Макки, если для
некоторого диска В она фундаментальна в Ев.
2.10.18. Лемма. Последовательность {хп} в локально выпуклом
пространстве Ε сходится по Макки к нулю в точности тогда, когда
найдется возрастающая последовательность положительных чисел
\п —> Н-оо, для которой \пхп —> 0 в Е.
Доказательство. Если {хп} сходится по Макки к нулю, то такие
числа очевидным образом найдутся: при рв{хп) > 0 можно положить
λη =Рв{%п)~1/2· Обратно, если такая последовательность {Ап}, то
замкнутая абсолютно выпуклая оболочка В последовательности {ХпХп}
есть замкнутый диск, причем рв(хп) = λ"1 —> 0. D
Из этой леммы следует, что в метризуемом локально выпуклом
пространстве сходимость последовательности равносильна ее сходимости
по Макки.
2.10.19. Предложение. Следующие условия для отделимого
локально выпуклого пространства Ε равносильны:
(i) пространство Ε локально полно;

200
Глава 2. Методы построения
(ii) всякая фундаментальная по Макки последовательность в Ε
сходится по Макки;
(iii) всякое ограниченное множество в Ε лежит в некотором
банаховом диске.
Доказательство. Импликации (i)=>(ii)=>(iii) тривиальны. Чтобы
получить (iii)=>(i), для данного замкнутого диска D найдем
содержащий его банахов диск В. Тогда замыкание D в Ев будет банаховым
диском. Заметим, что D совпадает с этим замыканием, ибо всякая
предельная точка для в Ев будет предельной в Е, но D замкнуто. D
2.10.20. Следствие. Локально полное пространство Ε является
таковым во всех локально выпуклых топологиях на Е, для которых
сопряженное есть Е'.
Описание таких топологий, согласующихся с двойственностью,
дано в §3.2.
2.10.21. Теорема. Следующие условия для отделимого локально
выпуклого пространства Ε равносильны:
(i) пространство Ε локально полно;
(ii) всякая последовательность в Е, сходящаяся к нулю по Макки,
имеет компактную замкнутую абсолютно выпуклую оболочку;
(iii) всякая последовательность, сходящаяся к нулю в σ(Ε,Ε'),
имеет компактную в σ(Ε,Ε') замкнутую абсолютно выпуклую
оболочку;
(iv) всякая последовательность, сходящаяся к нулю в Е, имеет
компактную замкнутую абсолютно выпуклую оболочку.
Доказательство. Проверим импликацию (i)=>(iii). Пусть хп —> 0
в σ(Ε, Ε') и В — замкнутая абсолютно выпуклая оболочка {хп} в
топологии σ(Ε, Ε'). Тогда В ограничено и замкнуто в исходной топологии,
поэтому является банаховым диском. Предложение 2.5.14 дает
компактность В в топологии σ(Ε,Ε').
Импликация (iii)=>(iv) ясна из того, что замкнутая абсолютно
выпуклая оболочка последовательности {хп}, сходящейся к нулю в Е,
слабо компактна по условию (iii), а так как она предкомпактна, то по
следствию 1.8.12 получаем ее компактность в исходной топологии.
Импликация (iv)=>(ii) тривиальна. Выведем (i) из (и). Пусть В —
замкнутый диск в Ε и последовательность {хп} фундаментальна в Ев-
Покажем, что она имеет предел в Ев- Перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что рв(%п+1 — хп) ^ 2_2п, т.е. χη+ι — хп € 2~2пВ.
Положим уп = 2η(χη+ι - хп). Тогда рв(Уп) ^ 2_п. По условию (и)
последовательность {уп} имеет компактную абсолютно выпуклую
оболочку К в Е. Последовательность Xk+i — χι = Ση=ι 2~пУп лежит в К
и потому имеет в К предельную точку. Значит, {хп} имеет предельную

2.10. Дополнения и задачи
201
точку χ G К. Заметим, что тогда рв(хп — х) —> 0. В самом деле, пусть
ε > 0. Для всех п, /с ^ га, где 2~т < ε, имеем хп — Xk G ε£. Так как Б
замкнуто их — предельная точка {хк}, то получаем хп — χ е ε В для
всех η ^ т, т. е. рв(хп — х) ^ ε, что и требовалось. D
2.10.22. Пример. Для метризуемых локально выпуклых
пространств локальная полнота равносильна полноте. Действительно, если
последовательность {хп} фундаментальна в локально полном метризу-
емом пространстве Е, то она сходится в пополнении Е. Значит, в
пополнении она сходится и по Макки и потому фундаментальна по Макки,
что дает фундаментальность по Макки в Е, а тогда и сходимость по
Макки в Е.
Сходимость по Макки и указанная в лемме 2.10.18 ее характери-
зация будут полезны в §4.3. Дополнительные сведения можно найти
в гл. 5 книги Perez Carreras, Bonet [424].
Задачи
2.10.23. Построить пример неполного прямого спектра НтЕ'а полных
пространств (£?<*, та).
2.10.24. (i) Существует неполный отделимый индуктивный предел
возрастающей последовательности сепарабельных банаховых пространств Вп
с непрерывными вложениями Вп С Вп-\-\.
(ii) Существует отделимый индуктивный предел возрастающей
последовательности сепарабельных банаховых пространств Вп с непрерывными
вложениями Вп С Bn+i, в котором есть ограниченное множество, не лежащее
целиком ни в одном из Вп.
(iii) Существует отделимый индуктивный предел возрастающей
последовательности сепарабельных банаховых пространств Вп с непрерывными
вложениями Вп С Βη+ι, в котором есть ограниченное множество, лежащее
в Βι, но не являющееся ограниченным ни в одном Вп.
(iv) Существует индуктивный предел строго возрастающей
последовательности сепарабельных банаховых пространств Вп с непрерывными
вложениями Вп С .Bn+i, в котором нет окрестностей нуля, отличных от всего
пространства.
Указание: в (i), (ii) взять следующий пример (см. Макаров [91], [92]).
Пусть Вп — пространство двойных последовательностей χ = (xi,j) с
конечным пределом lim Xij при всех г > η и lim Xi,j/(l+j) = 0 при г ^ п, причем
j —кх> j—юо
\\х\\п = suptj \xi,j\/ci,j,n, Ci,j,n = l+j ПРИ г ^ η, Ci,j,n = 1 при г > п;
рассмотреть счетное множество А элементов afc'n, где ак,п = {a^J), ai,Jl = — 1
при j = 2771, га ^ /с, г ^ η, ai^n = 1 в остальных случаях; проверить, что А
ограничено в Βι, но замыкание А содержит {уп}, где у^э- = — 1 при j = 2га,
i ζ п, y™j = 1 в остальных случаях, причем уп £ Βη\Βη-ι\ проверить, что
последовательность частичных сумм ряда из п~1уп фундаментальна, но не
сходится. Примеры (iii), (iv) см. в [92].

202
Глава 2. Методы построения
2.10.25. Обобщить предыдущий пример (ii) так. Пусть для каждого
к Ε IN дана последовательность чисел а£ >0, причем а£ ^ а^+1. Обозначим
через Ек банахово пространство последовательностей χ = (хп), для
которых Хп/о>п —> 0 при η —> оо, наделенное нормой \\х\\к = supn |χη/α*|. Пусть
Ε1 = indfcEfc· Вместо индекса η будем писать пару (га, п) и зададим а*т>п)
так: а*т)П) = η при т < к, а*т)П) = 1 в остальных случаях. Пусть векторы
vk таковы: v\m,n) = 0 при всех га, n, f(fcm>n) = к-1 при га = /с — 1, v^n) = О
в остальных случаях. Показать, что vk £ Ek, vk+1 0 Ек и i>fc —> 0 в Е. Тем
самым сходящаяся в indfc.Efc последовательность не лежит ни в одном Ек.
2.10.26. На произведении X = Y[teTXt непустых топологических
пространств ящичная топология порождается базой, состоящей из
произведений вида YlteTUt, где Ut — непустое открытое подмножество Τ
(необязательно равное Xt для всех £, кроме конечного числа, как в тихоновской
топологии), (i) Выяснить, является ли компактом в ящичной топологии бесконечная
степень отрезка, (ii) Пусть Et, где t £ Τ, — бесконечное семейство отделимых
топологических векторных пространств над IR или С, отличных от нуля.
Наделим их произведение ящичной топологией. Показать, что эта топология не
согласуется со структурой векторного пространства. Согласуется ли она со
структурой аддитивной группы?
Указание: (i) заметить, что ящичная топология сильнее тихоновской;
(ii) если x(tn) > 0 для бесконечно многих tn Ε Τ, то найдите такую ящичную
окрестность нуля W, что λχ 0 W при всех λ Ε (0,1).
2.10.27. Пусть Ε — локально выпуклое пространство, в котором есть
такое замкнутое линейное подпространство Ео, что Eq и Е/Ео — метризу-
емы. Доказать, что Ε тоже метризуемо. Показать, что если Eq и E/Eq —
пространства Фреше, то Ε — тоже пространство Фреше.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 51].
2.10.28. Доказать следствие 2.7.10.
2.10.29. Пусть А — ограниченное полное подмножество отделимого
локально выпуклого пространства Е. Показать, что найдется такое замкнутое
абсолютно выпуклое множество £>, что А полно в Ed-
Указание: пусть D — замкнутая абсолютно выпуклая оболочка An В —
замыкание D в пополнении Е; заметить, что А замкнуто в банаховом
пространстве Ев, a Ed — линейное подпространство в Ев с той же нормой.
2.10.30. Пусть V — полное ограниченное выпуклое множество в
отделимом локально выпуклом пространстве Е. Показать, что его абсолютно
выпуклая оболочка является банаховым диском.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 88].
2.10.31. Пусть 77ΐο(Ω) — пространство всех функций с конечным числом
значений на непустом множестве Ω, наделенное нормой ||х|| = sup^ |χ(ω)|.
Показать, что всякий банахов диск в τηο(Ω) конечномерен. Доказать, что
в бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве существует
гиперподпространство F, не содержащее бесконечномерных банаховых дисков.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 90].

2.10. Дополнения и задачи
203
2.10.32. Пусть D — замкнутый диск в локально выпуклом
пространстве Ε и множество А С D абсолютно выпукло и предкомпактно в Ed·
Доказать, что замыкания А в Ε и Ed совпадают.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 169].
2.10.33. Множество А в локально выпуклом пространстве Ε назовем
гиперпредкомпактным, если найдется такой замкнутый диск J9, что А
предкомпактно в Ed- (i) Доказать, что замкнутая абсолютно выпуклая
оболочка гиперпредкомпактного множества гиперпредкомпактна. (ii) Доказать, что
если последовательность {хп} сходится к нулю в Ed для некоторого диска £>,
то ее замкнутая абсолютно выпуклая оболочка в Ε гиперпредкомпактна.
(ш) Доказать, что всякое гиперпредкомпактное множество лежит в
замкнутой абсолютно выпуклой оболочке некоторой последовательности, которая
для некоторого диска D стремится к нулю в Ed- (iv) Доказать, что для
всякого гиперпредкомпактного множества А есть такое замкнутое абсолютно
выпуклое гиперпредкомпактное множество С, что А предкомпактно в Ее-
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, предложение 6.1.13].
2.10.34. Пусть нормированное пространство В непрерывно вложено
в секвенциально полное локально выпуклое пространство X, причем
замкнутый единичный шар из В замкнут в X. Доказать, что В банахово.
Указание: применить теорему 2.5.1.
2.10.35. Построить пример банахова пространства X и непрерывно
вложенного в него посредством инъективного оператора Τ неполного
нормированного пространства £7, для которых продолжение Τ по непрерывности на
пополнение Ε уже не будет инъективным.
2.10.36. Пусть Ε — индуктивный предел возрастающей
последовательности отделимых локально выпуклых пространств Еп и в каждом Еп есть
абсолютно выпуклая окрестность нуля со слабо компактным замыканием
в Еп+\. Показать, что если множество А таково, что Α Π Εη слабо
замкнуто в Еп для всех п, то А замкнуто в Ε (если А выпукло, то достаточно
замкнутости А П Еп в Еп в исходной топологии Еп). Значит, если Еп —
рефлексивные банаховы пространства и Ζ — замкнутое подпространство в £7,
то секвенциально непрерывные линейные функции на Ζ непрерывны.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, предложение 8.5.28].
2.10.37. Пусть Ε — индуктивный предел возрастающей
последовательности отделимых локально выпуклых пространств Еп, причем известно, что
всякое ограниченное множество из Ε содержится и ограничено в
некотором Еп. Доказать, что для всякого непрерывного линейного оператора Τ из
метризуемого локально выпуклого пространства F в Ε найдется такое п, что
T(F) С Еп и отображение Т: F —> Еп непрерывно.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, предложение 8.5.38].
2.10.38. Пусть Ε — отделимый индуктивный предел возрастающей
последовательности отделимых локально выпуклых пространств Еп, причем
есть такие абсолютно выпуклые окрестности нуля Un С Еп, что Un С Ε/η+ι·
Доказать, что если множество А ограничено в Е, то найдется такое п, что
А С nUn, где замыкание берется в Е.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, предложение 8.5.20].

204
Глава 2. Методы построения
2.10.39. (i) Пусть Ε — топологическое векторное пространство, Q —
секвенциально замкнутое выпуклое множество в £7, причем при некотором
β > 0 оно содержит все множества aQ при \а\ < β. Доказать, что если Q
поглощает каждую точку некоторого абсолютно выпуклого секвенциально
полного множества А, то Q поглощает А.
(ii) Вывести из (i), что если Ε секвенциально полно, a Q — абсолютно
выпуклое секвенциально замкнутое поглощающее множество, то оно поглощает
каждое ограниченное абсолютно выпуклое множество.
Указание: см. Эдварде [185, предложение 7.4.1, следствие 7.4.2].
2.10.40. (i) Предположим, что Ε — ядерное локально выпуклое
пространство и V С Ε — абсолютно выпуклая окрестность нуля. Показать, что
пространство Еу сепарабельно. (ii) Показать, что если Е' метризуемо в
сильной топологии, то Ε сепарабельно.
2.10.41. Пусть Ε и F — пространства в двойственности, Ε наделено
топологией σ(Ε, F), V — бочка в £7, Еу — пополнение нормированного
пространства (Εν,ρν), где ру — функционал Минковского множества V.
Доказать, что каноническое отображение jy: Ε —► Еу имеет замкнутый график,
причем V = Jv1(jv(V)).
Указание: если ру(ха) —*· 0 и ха —> х, где χ 0 V/n, то χ и V/n
разделяются гиперплоскостью.
2.10.42. Пусть F — пространство Фреше. Доказать, что F линейно го-
меоморфно замкнутому подпространству счетного произведения банаховых
пространств.
Указание: пусть топология F задается полунормами рп, Хп —
пополнение Х/р~г(0) по норме, порожденной рп\ вложение F в U^Li Хп задать
формулой χ н-> (х, х,...).
2.10.43. Пусть X — бесконечномерное банахово пространство.
Доказать, что для всякого сепарабельного банахова пространства Ε существует
инъективный непрерывный линейный оператор А: Ε —► X. Доказать также,
что такой оператор найдется из /°° в X.
Указание: построить непрерывный линейный оператор Т: 12->Хс
бесконечномерным образом и сузить его на ортогональное дополнение к ядру;
построить явно инъективный оператор из /°° в /2; проверить, что всякое се-
парабельное банахово пространство инъективно вкладывается в /°°.
2.10.44. Показать, что банаховым диском является векторная сумма
двух банаховых дисков, любое пересечение банаховых дисков и образ
банахова диска при непрерывном линейном операторе в отделимое локально
выпуклое пространство.
2.10.45.° Доказать, что топологию пространств <S(IRn), H(U) и C°°(U)
из примера 2.9.10 (см. также § 1.3) нельзя задать нормой.
2.10.46. Обосновать примеры из предложений в § 2.10(i).
2.10.47.° Пусть Ε — секвенциально полное локально выпуклое
пространство и последовательность {хп} сходится к нулю в топологии σ(Ε,Ε').
Показать, что ее замкнутая абсолютно выпуклая оболочка совпадает с
множеством {Ση°=ι λ"χ™ : Ση°=ι Ιλ"Ι ^ 1}·

2.10. Дополнения и задачи
205
2.10.48. Пусть Fj e V^JR1) и Fjfa) -> 0 для всякого φ е ^(IR1).
Доказать, что найдется полунорма ρ указанного в примере 1.3.21 вида и числа
εj —> 0, для которых выполнены неравенства \Fj{}p)\ ^ ε^ρ{φ) при всех j.
2.10.49.° (i) Обосновать сказанное в §2.10(i), доказав, что введенная
в тексте топология τ на пространстве ^(IR1) строго слабее топологии Ttop
на ^(IR1), в которой открытыми считаются все те множества, которые дают
открытые пересечения со всеми Т>п. Для этого показать, что квадратичная
функция F((p) = Σ™=1 φ(η)φ(η\θ) разрывна в топологии т, но непрерывна
В ТОПОЛОГИИ Ttop·
(ii) Доказать, что топология τ строго сильнее топологии Т2 на ^(IR1),
порожденной нормами ρ-ψ{φ) = sup \φ(χ)φ^τη\χ)\, где берутся всевозможные
целые неотрицательные т и положительные локально ограниченные
функции ф. Для этого проверить, что линейная функция F(y>) = Σ™=1 φ^η\η)
непрерывна в топологии т, но разрывна в топологии Т2.
Тем самым топологии на D, используемые в Кириллов, Гвишиани [74] и
Колмогоров, Фомин [79], отличаются от стандартной и не совпадают.
2.10.50. Пусть L — линейное подпространство в ^(IR1) конечной
коразмерности и все пересечения L Π Т>т замкнуты. Доказать, что L замкнуто.
2.10.51. Показать, что всякое полное отделимое локально выпуклое
пространство линейно гомеоморфно замкнутому линейному подпространству
некоторого произведения банаховых пространств.
2.10.52. (i) Пусть Ε — отделимое локально выпуклое пространство
и С С Ε — замкнутое выпуклое уравновешенное множество. Показать, что
если сужение линейной функции / на С непрерывно в исходной топологии,
то оно непрерывно и в топологии σ(Ε, Ε').
(ii) Построить пример, показывающий, что даже для банахова
пространства Ε сужение / на линейное пространство, порожденное С, не обязано быть
непрерывным.
2.10.53.° Пусть Ε и F — отделимые локально выпуклые пространства
и S: Ε —► F — секвенциально непрерывное линейное отображение. Доказать,
что S переводит фундаментальные последовательности в фундаментальные.
2.10.54. Привести пример такого абсолютно выпуклого вполне
ограниченного множества V в I2 с замыканием У, что V не плотно в V относительно
нормы ру.
Указание: взять множество V векторов χ = (хп) с конечным числом
ненулевых координат, для которых \хп\ ^ п-1 при всех п; заметить, что
Ру(х) = supn \пхп\ и ν = (η-1) Ε V не входит в замыкание V по норме ру.
2.10.55. (Горин, Митягин [50]) Пусть F — пространство Фреше,
топология которого задана нормами рп с рп ^ Ρη+ι, согласованными в следующем
смысле: последовательность, фундаментальная по рп и сходящаяся к нулю
по Pn+ij сходится к нулю и по рп. Пусть в F ограниченные множества пред-
компактны. Тогда можно найти два набора норм {qn} и {гп}, задающих
исходную топологию и обладающих таким свойством: для всякого / Ε F'
имеем lim ||/||ς. = 0, lim ||/||r* > 0 при / ф 0, где ||/||ς. и ||/||г* обознача-
η—юо η—кх>
ют нормы / на (F,qn) и (F,rn).

206
Глава 2. Методы построения
2.10.56. (Banaszczyk [212], [214]) Пусть F — пространство Фреше, ряд
из векторов φη £ F сходится к so £ F, G — подпространство в F' всех /
с Σ^=ι \Ι(ψη)\ < °°? ^({ψη}) — множество всех сумм сходящихся
перестановок ряда из φη. Тогда ядерность F равносильна тому, что β({(^η}) = sq + G°f
для всех сходящихся в F рядов с общим членом φη.
2.10.57. (i) (Drewnowski [275]) Пусть Ε — отделимое локально выпуклое
пространство и А — его подмножество, сепарабельное и метризуемое в
индуцированной топологии. Тогда на линейной оболочке А есть метризуемая
локально выпуклая топология, которая мажорируется исходной топологией
и сужение которой на А совпадает с исходной топологией.
(ii) (Larman, Rogers [374]) Если при этом А локально ограничено (для
каждого а £ А есть такая окрестность нуля С/, что (a-\-U)(lA ограничено), то
на линейной оболочке А есть норма, порождающая на А исходную топологию
(но порождаемая нормой топология не всегда мажорируется исходной на
линейной оболочке А).
2.10.58. Пусть С — выпуклое замкнутое множество в нормированном
пространстве с замкнутым единичным шаром U и qU С C + U при некотором
q > 1. Тогда С имеет непустую внутренность.
2.10.59. Показать, что в локально выпуклом пространстве
секвенциально замкнутое выпуклое множество с непустой внутренностью замкнуто. Без
предположения о внутренних точках это неверно.
Указание: считая, что 0 лежит внутри данного множества У,
проверить, что V = {pv ^ 1}; рассмотреть топологически сопряженное к I2 в
алгебраически сопряженном.
2.10.60.° Показать, что линейный функционал на топологическом
векторном пространстве, ограниченный на вполне ограниченных множествах,
ограничен. Проверить также, что если в двух векторных топологиях одни
и те же вполне ограниченные множества, то в них одни и те же
ограниченные множества.
2.10.61.° Последовательность в локально выпуклом пространстве
сходится слабо к нулю в точности тогда, когда нуль лежит в замкнутой
выпуклой оболочке всякой ее подпоследовательности.
2.10.62. Локально выпуклое пространство Ε локально полно в точности
тогда, когда для всякой последовательности хп ->0вЕи всякого абсолютно
сходящегося ряда чисел λη сходится ряд Σ™=ι ληχη в Ε. Это
равносильно также сходимости таких рядов для всех ограниченных
последовательностей {хп}· Еще одно равносильное описание: сходимость рядов Σ^=ι ληΧη
для всех {λη} £ I2 и всех таких {хп} £ Е, что {р(хп)} £ I2 для всех
непрерывных полунорм р.
Указание: см. Qiu [431], Saxon, Sanchez Ruiz [445].
2.10.63. (Slowikowski [463]) В пространстве ^(IR1) существует
замкнутое линейное подпространство Z, на котором есть разрывная секвенциально
непрерывная линейная функция (значит, ее нельзя продолжить до
секвенциально непрерывной линейной функции на всем ^(IR1)). Тем самым Ζ не
является индуктивным пределом Ζ Π Vn. Ср. с задачей 2.10.36.

Глава 3
Двойственность
При доказательстве довольно большого числа результатов
в теории локально выпуклых пространств используется переход
от некоторых подмножеств таких пространств к их полярам,
являющимся подмножествами сопряженных пространств. При этом
вместо свойств исходных множеств исследуются свойства их
поляр, а затем производится обратный переход, точнее, переход
к полярам поляр (биполярам), являющимся абсолютно
выпуклыми замкнутыми оболочками первоначальных множеств.
Про такой метод доказательства говорят, что он
использует двойственность локально выпуклых пространств; иногда
говорят также про теорию двойственности, хотя в действительности
никакой «теории двойственности» не существует и все сводится
к сказанному в предыдущей фразе. Тем не менее систематическое
использование описанного приема является характерной чертой
теории локально выпуклых пространств, так что его можно
назвать одним из основных методов этой теории (хотя, конечно,
говоря об «основном методе», следует помнить об
ограниченности значения этого выражения, так как одним ключом нельзя
открыть много дверей).
В этой главе собраны основные результаты теории
вещественных локально выпуклых пространств, при получении которых
используется двойственность.
3.1. Поляры
Пусть Ε — векторное пространство, G — некоторое векторное
пространство линейных функционалов на Е, разделяющее или
различающее точки из Е, т. е. такое, что для всякого ненулевого
элемента χ пространства Ε существует функционал g Ε G, для
которого д(х) φ 0.

208
Глава 3. Двойственность
Полярой в G множества А С Ε называется подмножество
пространства G, обозначаемое символом Aq и определяемое
равенством
АЬ = {д е G: \(д,х)\ ^1Ух£ А}, 0° := G;
обычно вместо символа Aq мы будем использовать символ А°.
Полярой в Ε множества В С G называется подмножество
пространства Е, обозначаемое символом В°Е (или символом В°
без нижнего индекса), определяемое так:
В°Е = {хеЕ: \(д,х)\^1ЧдеВ}.
Обычно так определяемые поляры называются абсолютными;
при этом поляры (неабсолютные) тех же множеств определяются,
соответственно, как множества
{д е G: Re(g,x) < 1 Ух G А}, {х е Е: Re(g,x) ^lVge В}.
Преимущество абсолютных поляр состоит в том, что в них
явно не присутствует комплексная структура. Кроме того, в
определении абсолютной поляры нет того элемента произвола,
который есть в определении поляры, не являющейся абсолютной: ведь
такую поляру, скажем, для множества А С Ε можно было бы
определить и как множество [д £ G: Ке(д^х) ) -1 Va; G А}.
Разумеется, это определение отнюдь не является эквивалентным
предыдущему. Многие из приведенных далее результатов легко
перенести на неабсолютные поляры.
Перечислим простые свойства поляр, непосредственно
вытекающие из их определения. Мы рассматриваем здесь только
поляры (в G) подмножеств пространства Е\ для поляр (в Е)
подмножеств пространства G дело обстоит совершенно аналогично.
1. Если А С Б, то В° С Л°; в частности, 0° = {0}° = G,
Е° = {0}.
2. Если ίφ 0, то (tA)° = t~lA°\
3. Поляра всякого множества А С Ε представляет собой
выпуклое закругленное σ((7, £?)-замкнутое подмножество
пространства G. Действительно, абсолютная выпуклость множества А°
очевидна; его σ((7, £?)-замкнутость следует из того, что оно
представляет собой пересечение множества σ((7, £?)-замкнутых
множеств {д Ε G: \(д,х)\ < 1} (ж G А). Отметим еще, что для
получения аналога этого свойства для поляр, не являющихся
абсолютными, следует в приведенной формулировке опустить требование
закругленности.

3.1. Поляры
209
4. Поляра объединения любого семейства множеств {Аа}
очевидным образом представляет собой пересечение их поляр:
(LK)° = fH-
а а
5. Если множество А поглощает множество В (т. е. если для
всех достаточно больших по модулю скаляров t справедливо
включение tA D В), то В° поглощает множество А°.
6. Поляра А°° = (Aq)°e поляры А° множества А называется
его биполярощ аналогично определяется понятие биполяры и для
подмножества пространства G. Следующий важный факт
называют теоремой о биполяре.
3.1.1. Теорема. Биполяра всякого непустого множества А
представляет собой его a(E,G)-замкну тую абсолютно
выпуклую оболочку, т.е. наименьшее абсолютно выпуклое
a(E,G)-замкнутое подмножество Е, содержащее А. Значит, А = А°° для
абсолютно выпуклого a(E,G)-замкнутого А.
Доказательство. По свойству 3 поляр А°° абсолютно
выпукло и замкнуто. Пусть absconvA — σ(Ε, С)-замкнутая
абсолютно выпуклая оболочка А. Включение absconvА С А°°
очевидно, так как absconv A — пересечение всех содержащих А
абсолютно выпуклых σ(Ε, С)-замкнутых множеств, а А°° — одно
из них. Если absconv А φ Л°°, то существует a Ε A°° \ absconv А,
причем так как А φ 0, то а φ 0. Поэтому существует такой
линейный функционал / на Е, непрерывный в топологии σ(Ε, G)
(т.е. элемент пространства G), что |/(а)| > 1 и \f{x)\ < 1 для
всякого χ Ε absconv Л. Так как тогда тем более \f{x)\ < 1 для
всякого χ Ε Д то / Ε А°, и потому неравенство |/(а)| > 1
означает, что а ф. А°° вопреки предположению. D
Если рассматриваются поляры, не являющиеся абсолютными,
биполяра всякого множества представляет собой σ(Ε,
(^-замкнутую выпуклую оболочку объединения этого множества и нуля.
7. Из предыдущего свойства и свойства 3 следует, что всегда
А000 = А° (даже если А = 0).
8. Поляра пересечения произвольного семейства {Аа}
абсолютно выпуклых σ(Ε, С)-замкнутых подмножеств пространства
Ε представляет собой σ(Ε, С)-замкнутую абсолютно выпуклую
оболочку объединения их поляр.

210
Глава 3. Двойственность
В самом деле, по свойству 6 для каждого множества Аа
имеем А™ = Аа. Поэтому по свойству 4 (точнее, его аналогу для
подмножеств G) получаем {[}аА°а)° = f)aA™ = f]aAa; теперь,
снова применяя свойство 6, получаем
a а. а.
9. Если А — линейное подпространство пространства Е, то
А° = {/ eG: f(x) = 0VxeA}.
3.1.2. Теорема. Совокупность бочек (см. определение 2.5.6)
в локально выпуклом пространстве Ε совпадает с классом поляр
слабо ограниченных множеств из Ег.
Доказательство. Очевидно, что поляра слабо
ограниченного множества из Е' есть замкнутое абсолютно выпуклое
поглощающее множество в Е, т. е. бочка. Обратно, пусть В — бочка
в Е. Тогда В = (Б°)°, где множество В° слабо ограничено в Е',
ибо если a Ε \В, то |/(α)| < λ для всех / Ε B°. D
3.1.3. Замечание. Из определения 1.9.4 очевидно, что
равностепенно непрерывные множества в сопряженном Е' локально
выпуклого пространства Ε — в точности подмножества поляр
окрестностей нуля в Е.
Следующее важное свойство поляр обычно называют
теоремой Банаха-Алаоглу-Бурбаки.
3.1.4. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство. Тогда поляра всякой окрестности нуля из Ε компактна
в топологии σ(Ε', Ε). Значит, равностепенно непрерывные
множества в Е' относительно компактны в топологии σ(Ε\Ε).
Если Ε сепарабельно, то они и метризуемы в этой топологии.
Доказательство. Это утверждение — следствие теоремы
Тихонова о компактности произведения компактов. Пусть V —
окрестность нуля в Ε и ру — ее функционал Минковского. Для
каждого χ Ε Ε обозначим через Sx замкнутый круг в
комплексной плоскости с центром в нуле и радиусом ру(х), наделенный
стандартной топологией. Пусть Τ — произведение семейства
компактов {Sx: χ Ε Ε}, т.е. совокупность всех таких комплексных
функций / на Е, что f(x) Ε Sx для каждого χ Ε Ε.

3.1. Поляры
211
Поляра V° множества V также состоит из (некоторых)
функций на Е, причем, если / G К°, то для каждого χ Ε Ε
выполняется неравенство \f(x)\ ^ Pv(#), ибо оно верно на V. Таким
образом, мы можем считать, что V° С Т. При этом топология,
индуцированная в V° топологией пространства Т, и топология,
индуцированная в V° топологией σ(Ε',Ε), совпадают (проверьте
этот факт).
Ввиду того что по теореме Тихонова Τ компактно, для
доказательства компактности V° достаточно удостовериться, что V°
замкнуто в Т. Считая Ε комплексным, заметим, что
V° = {/ е Т: f(tlXl + t2x2) = ίχ/ίχχ) + t2f(x2)
Va?i, x2 eE, ii, t2 eC}.
Таким образом, V° представляет собой пересечение
всевозможных подмножеств Τ вида
{/ е Т: f(tlXl + t2x2) - *ι/(χι) - t2f{x2) = 0},
где t\,t2 Ε С,x\,x2 G E. Каждое из этих множеств замкнуто в Τ
в силу непрерывности на Τ функций
/ ■-► f(tixi + t2x2) - hf(xi) - t2f(x2),
вытекающей из определения топологии произведения. Наконец,
если Τ С Е' равностепенно непрерывно, то Τ С С/°, где U С Ε —
окрестность нуля.
Метризуемость поляр окрестностей нуля в топологии σ(Ε\ Ε)
в случае сепарабельного Ε следует из предложения 1.9.5. D
3.1.5. Следствие. Если Ε метпризуемо и сепарабелъно, то
пространство Е' сепарабелъно в топологии σ(Ε',Ε).
Доказательство. Имеем Е' = \J^=lU^, где {Un} — база
окрестностей нуля в Е, U° — метризуемые компакты. D
3.1.6. Следствие. Поляры окрестностей нуля компактны
таксисе в топологии тр равномерной сходимости на предком-
пактных множествах. Следовательно, эта топология
совпадает с топологией σ(Ε',Ε) на полярах окрестностей нуля,
значит, и на всех равностепенно непрерывных множествах.
Доказательство. Пусть V — окрестность нуля в локально
выпуклом пространстве Е. Так как поляра V° является
компактом в Е' с топологией σ(Ε', Ε), то достаточно проверить, что если
направленность {fa} сходится вУ°к некоторому функционалу /

212
Глава 3. Двойственность
в топологии σ(Ε', Ε), то сходимость имеет место и в топологии тр.
Пусть S — предкомпактное множество в Ε и ε > 0. Найдем точ-
ки si,...,sn ES, для которых S С [Jl=i(si + eV). Затем найдем
такое од, что \f(si) — fa(si)\ < ε ПРИ всех г = 1,... ,η и α ^ од.
Тогда мы получим supsG£ \f(s) — /a(s)| < 3ε при а ^ од, ибо для
всякого s Ε S найдется такой номер г, что s — S{ Ε εν, откуда
|/(s - β»)Ι < ε, |/a(s - 5^)| < ε ввиду включений /,/a e V°. D
Обсудим теперь одно свойство слабой топологии, связанное
с полярами. Если Ε и G — два конечномерных векторных
пространства в двойственности (как обычно, в зависимости от
удобства мы считаем или Ε пространством линейных функционалов
на G, или G пространством линейных функционалов на Е\
билинейную форму, приводящую эти пространства в двойственность,
мы обозначаем символом (·,·)), то всякое векторное
подпространство Е\ пространства Ε связано естественной двойственностью
с факторпространством GjE\ пространства G; в данном случае
E{ = {geG: (д,х) = 0 Ух G £?χ}.
Иначе говоря, пространство всех линейных функций на Ει
изоморфно естественным образом пространству G/E^ а
пространство всех линейных функций на факторпространстве GjE\
изоморфно пространству Ει (в конечномерном случае
существование второго изоморфизма вытекает из существования первого,
но мы хотим описать оба изоморфизма явно).
Если Ει — векторное подпространство в Ε и д — линейный
функционал на Е\, то при первом из описываемых
изоморфизмов, обозначаемом через F, ему соответствует тот элемент F(g)
пространства G/E°, который имеет вид gi + ££, где gi Ε G —
линейный функционал на Е, являющийся продолжением д. То,
что отображение F: Е[ —> GjE\ — действительно изоморфизм,
проверяется непосредственно; в частности, сюръективность
следует из того, что если д1 Ε G/E^ то д1 = F(g), где д — линейный
функционал на Е, являющийся сужением на Ει произвольного
представителя того класса функционалов на Е, который
представляет элемент д1. Второй из рассматриваемых изоморфизмов,
обозначаемый через Ф, определяется так. Если х1 Ε (G/E^)7, то
Φ (ж1) есть линейный функционал на G (т.е. в соответствии с
нашим соглашением элемент Е), являющийся композицией х1 и
канонического отображения пространства G на G/EI (мы будем
обозначать это отображение символом Ф); при этом Φ (ж1) Ε Е\,

3.1. Поляры
213
так как Ф{хг){д) = 0 для д е Я?, значит, Ф(хг) е Е{°, а Е{° = Ег
из-за конечномерности Е\. Конечномерность Ε и G
использовалась неявно еще дважды: именно из нее следует, что G —
множество всех линейных функционалов на Е, а Е — множество всех
линейных функционалов на G.
Оказывается, что если наделить Ε и G топологиями σ(Ε, G)
и σ((7, E) соответственно и при этом рассматривать не все
линейные функционалы, а только непрерывные (и, кроме того, считать
подпространство Е\ замкнутым), то и в бесконечномерном случае
будут справедливы аналогичные утверждения.
3.1.7. Теорема. Пусть Ε uG — пространства в
двойственности, определяемой билинейной формой (·,·), причем Ε
наделено топологией a(E,G), a G — топологией a(G,E). Пусть Е\ —
замкнутое подпространство пространства Е, а Е\ — его поляра
в G, наделенная топологией, индуцированной из G. Тогда
пространство (Ε^,σ(Ε^,Ει)) канонически изоморфно
топологическому векторному факторпространству GjE\, а пространство
(Ει,σ(Ει,Ε[)) канонически изоморфно наделенному слабой
топологией сопряженному к факторпространству GjE\ (эти
изоморфизмы будут определены при доказательстве).
Доказательство. Изоморфизм [Ε[,σ(Ε[,Ει)) на G/E{,
обозначаемый символом F, определяется так: если g Ε Е[, то
F(g) = g\ + E\ Ε G/E^ где g\ — линейный непрерывный
функционал на Е, являющийся продолжением функционала g
(продолжение существует по теореме Хана-Банаха). При этом
всякий элемент д\ + Е\ пространства G/E\ является образом
некоторого элемента из Е[. Действительно, если д — сужение на Ει
произвольного функционала, являющегося элементом множества
gi+Ei, то F(g) = gi + E^. To, что F инъективно и линейно, также
проверяется совсем просто, и мы этого делать не будем.
Осталось доказать, что F — еще и гомеоморфизм. Для этого
заметим, что если Φ — каноническое отображение G на G/E^ то
для всех η Ε IN и х\,..., хп Ε Ε\ справедливо равенство
FdgeE',: \(g,Xj)\ < l,j < η}) = V({g€G: \(g,Xj)\ <l,j <n}).
Множество в скобках в левой части — произвольное множество
из базы окрестностей нуля в топологии σ(Ε[,Ει), а множество
в правой части — произвольное множество из базы
окрестностей нуля пространства GjE\. Тем самым доказано, что (Ε[)σ

214
Глава 3. Двойственность
и G/Ei изоморфны, причем явно описан (называемый
каноническим) изоморфизм между ними. Определим теперь изоморфизм
пространства ((G/Ei)\a{(G/Ei)\G/Ei)j на Ει, обозначаемый
символом Ф. Это определение фактически не отличается от
использованного выше в конечномерном случае; все отличие
заключается в проверке корректности определения (и, конечно, в
доказательстве непрерывности построенного отображения и к нему
обратного).
Если χ Ε (G/Е^У', то, как и раньше, мы определяем Ф(х)
как композицию хиФ. При этом отображение ж о Φ непрерывно
в топологии σ((7, E) как композиция двух непрерывных
отображений — отображения Φ: G —> G/E\ и функционала х. Поэтому
жоф ε Е. Кроме того, так как (#, (жоф)) = 0 для каждого д Ε ££,
то хоф ε Ει°. Поскольку Ει = Ε™ в силу замкнутости Е\, то это
и значит, что Φ (χ) Ε E\.
Инъективность и линейность Φ очевидны. Чтобы убедиться в
сюръективности Ф, заметим, что если х\ Ε Е\, то х\ — линейный
функционал на G, обращающийся в нуль на Е\. Значит,
существует единственный линейный функционал χ на GjE\ такой,
что х\ = жоф. Из определения фактортопологии и
непрерывности χι вытекает, что функционал χ непрерывен; при этом из
определения отображения Φ следует, что Ф(х) = х\.
Докажем, что Φ — гомеоморфизм. Поскольку множества
вида Ufummmjn := {х Ε Ег: \(fj,x)\ < 1J < η}, где /i,...,/„GG,
η Ε IN, образуют базу окрестностей нуля в Е\, то множества
вида W>lv..,/n := {х е (G/Я?)': \(fj,xoV)\ < 1, j < η}, где
/ь · · · 5 fn E G, образуют базу окрестностей нуля в {G/El)'a. Чтобы
теперь установить, что Φ — гомеоморфизм, достаточно заметить,
что Ф(^/ь...,/п) = Е//Х,...,/„ Для всех /ь ... JneG. Π
3.2. Топологии, согласующиеся с двойственностью
Пусть Ε и G — векторные пространства в двойственности,
заданной билинейной формой (·,·) (пример 1.3.26). Будем
отождествлять Ε с подпространством в G*, a G — с подпространством
в Е*; тем самым элементы Ε оказываются функционалами на G.
Напомним (см. с. 91), что всякий набор σ(<7,^-ограниченных
множеств В из Ε задает в G топологию т# равномерной
сходимости на В посредством полунорм рв(д) = suPxeB 1#(ж)1> В Ε В.
Аналогичные топологии задаются в Е.

3.2. Топологии, согласующиеся с двойственностью 215
3.2.1. Определение. Говорят, что топология τ в
пространстве Ε согласуется с двойственностью между Ε и G,
если она локально выпукла и пространство всех линейных
непрерывных функционалов на (£?, τ) совпадает с G.
Еще раз подчеркнем, что в этом определении имеется в виду,
что G отождествлено с некоторым векторным пространством
линейных функционалов на Ε посредством отображения G —> Е*,
которое элементу g сопоставляет функционал χ ·—> {g,x).
Таким образом, локально выпуклая топология τ согласуется с
двойственностью между Ε и G в точности тогда, когда каждый
функционал χ ι—> (д,х), где g Ε G, непрерывен в этой топологии
и каждый непрерывный линейный функционал на (Ε,τ) имеет
такой вид. Аналогично определяется топология в G,
согласующаяся с двойственностью между G и Е.
3.2.2. Теорема. Всякая топология τ β Ε, согласующаяся
с двойственностью между Ε и G, есть топология сходимости
на полярах в G всевозможных окрестностей нуля из Е.
Доказательство. Для каждой окрестности нуля V в
топологии г возьмем полунорму ру на Е, заданную формулой
pv(x) := sup{\g(x)\: g е V°}.
Проверим, что полученная система полунорм задает топологию т.
С одной стороны, V входит в множество {х: ру(х) < 1}. С
другой стороны, во всякой окрестности нуля W найдется множество
вида {χ: ρν{χ) ^ 1}. Для этого надо взять такую абсолютно
выпуклую окрестность нуля V С W, что ее замыкание VT в
топологии τ также входит в W. По теореме 1.11.15 множество V'Т
замкнуто и в топологии a{E,G). При этом, как указано в §3.1,
биполяра множества V является абсолютно выпуклой σ(Ε, G)-
замкнутой оболочкой V. Поэтому эта биполяра, как раз равная
{х: ру(х) ^ 1}, совпадает сУти входит в W. D
Напомним, что по теореме 3.1.4 упомянутые поляры
абсолютно выпуклы и σ((7, £?)-компактны в пространстве G.
В примере 1.3.23 показано, что среди всех топологий в
пространстве Е, для каждой из которых множество линейных
непрерывных функционалов на Ε совпадает с G, существует
слабейшая, которая автоматически оказывается локально выпуклой (см.
также §2.1); отсюда следует, что среди всех топологий,
согласующихся с двойственностью между Ε и G, существует слабейшая.
Оказывается, что среди них есть также и сильнейшая.

216
Глава 3. Двойственность
3.2.3. Теорема. (Теорема Макки-Аренса) Среди всех
топологий в Е, согласующихся с двойственностью между Ε
и G, существует сильнейшая. Эта топология t(E,G)
называется топологией Макки и является топологией сходимости на
множестве всех абсолютно выпуклых a(G, Ε)-компактных
подмножеств пространства G. Верно и утверждение, получаемое
переменой ролей пространств Ε и G.
Доказательство. Как показано выше, всякая топология τ
в Е, согласующаяся с двойственностью между Ε и G, есть
топология сходимости на полярах окрестностей нуля пространства Е,
причем эти поляры являются абсолютно выпуклыми σ((7,
^-компактными подмножествами G. Из этого следует, что топология
Макки мажорирует такую топологию т. Покажем, что
топология Макки согласуется с двойственностью между Ε и G, т.е.
(£?, т(Е, G)) = G. Согласованность топологии Макки со
структурой векторного пространства вытекает из того, что каждое
компактное в топологии σ((7, Ε) множество ограничено в этой
топологии. Очевидно, что топология Макки локально выпукла.
Докажем теперь, что если g Ε (E,t(E,G)) , то g Ε G. Нам
нужно доказать, что если функционал g из пространства Е* всех
линейных функций на Ε непрерывен на Ε в топологии т(Е, G), то
g Ε G. Существует такая окрестность нуля V в топологии т(Е, G),
что \д(х)\ ^ 1 для всех χ Ε V. Из определения топологии t(E,G)
следует, что найдется такое σ(<7, £?)-компактное абсолютно
выпуклое подмножество К пространства G, что К° С V. Значит,
\д{х)\ ^ 1 для всех χ Ε К°. Последнее означает, что д Ε (К°)°Е*.
Подчеркнем, что поляра (К°)°Е* множества К° есть поляра
в пространстве Е*, а не в G (ведь заранее мы не знаем, что д Ε G;
напротив, именно это требуется доказать).
Покажем теперь, что {К°)°Е* С G; тем самым будет
доказано включение д Ε G. Для этого заметим, что топология на К,
индуцированная топологией a{G,E) пространства G, совпадает
с топологией, индуцированной топологией пространства σ(Ε*,Ε)
пространства Е* (конечно, К С £?*, так как G С Е*).
Поэтому множество К компактно и как подмножество пространства
(Ε*,σ{Ε*,Ε)). В силу отделимости топологии σ(Ε*,Ε) отсюда
следует, что К замкнуто в этом пространстве. Так как, кроме
того, К абсолютно выпукло, то по свойству 6 поляр из §3.1 мы
получаем (К°)°Е* = К С G. D

3.2. Топологии, согласующиеся с двойственностью 217
3.2.4. Замечание, (i) Локально выпуклое пространство
называют пространством Макки, если его топология есть
топология Макки. Примеры топологий, являющихся (и не являющихся)
топологиями Макки, будут приведены ниже. Например, мы
увидим в § 3.6, что метризуемые локально выпуклые пространства —
пространства Макки. Топологию Макки часто обозначают также
символом μ(Ε,Ε').
(ii) Топологию Макки можно было бы определить и как
топологию сходимости на множестве всех выпуклых σ((7,
^-компактных подмножеств пространства G.
В самом деле, всякое такое множество содержится в
абсолютно выпуклом σ((τ, £?)-компактном множестве — своей абсолютно
выпуклой оболочке, ибо абсолютно выпуклая оболочка
выпуклого множества К есть выпуклая оболочка объединения множеств
К и (—К), а выпуклая оболочка конечного числа выпуклых
компактов компактна, см. предложение 1.8.11.
(Hi) Если dim Ε > 0, то в пространстве Ε существует
топология, более сильная, чем т(Е, G), не согласующаяся со структурой
векторного пространства, но тем не менее обладающая тем
свойством, что множество всех линейных функционалов на Е,
непрерывных в этой топологии, совпадает с G. Если Ε = G = К1, то
таким свойством обладает дискретная топология (в которой все
множества одновременно открыты и замкнуты).
Заметим теперь, что теорема 1.11.15, примененная выше,
может быть сформулирована следующим образом.
3.2.5. Предложение. Во всех топологиях в Е,
согласующихся с двойственностью между Ε и G, замкнутые выпуклые
множества одни и те же.
Аналогичный факт для ограниченных (но не обязательно
замкнутых) множеств и составляет содержание следующей
теоремы; наряду с упомянутой теоремой 1.11.15 она принадлежит
к числу наиболее часто используемых результатов.
3.2.6. Теорема. Множество В С Ε ограничено в топологии
Макки r(E,G) в точности тогда, когда оно ограничено в слабой
топологии a(E,G). Более общим образом (без условия
отделимости), если множество в локально выпуклом пространстве Ε
ограничено в топологии а(Е,Ег), то оно ограничено.
Доказательство. Сначала дадим обоснование,
использующее двойственность. Если В ограничено в топологии t(E,G), to

218
Глава 3. Двойственность
оно тем более ограничено в a(E,G). Докажем, что если В
ограничено в σ(2£, G), то любая окрестность нуля V в r(E,G)
поглощает В. Пусть W — такая замкнутая абсолютно выпуклая
окрестность нуля в (E,t(E,G)), что W С V\ по теореме 1.11.15
множество W замкнуто и в σ(Ε, G). Теперь достаточно показать,
что W поглощает В. Для этого покажем, что В° поглощает W°,
т. е. tB° D W° при всех достаточно больших по модулю чисел t.
Тогда в силу свойств поляр t~lB00 С W°°. Так как W°° = W, то
В°° С tW для всех достаточно больших по модулю чисел t.
Поскольку В С В°°, то тем более В С tW. Остается показать, что
В° поглощает W°. По теореме 3.1.4 абсолютно выпуклое
множество W° компактно в топологии σ((7, Ε) и потому полно. В
силу предложения 2.5.1 оно является банаховым диском
(определение 2.5.2). В то же время В° — поглощающее замкнутое
абсолютно выпуклое множество в пространстве (G,a(G,E)). Значит,
таково и множество В° Π Ε\γ° в пространстве Ецг° · Поэтому В°
поглощает W° в силу примера 2.5.5.
Дадим прямое обоснование. Покажем, что если q —
полунорма и sup^^ \f(x)\ < °° Для всякого функционала / с |/| ^ д, то
suPxeB \я(х)\ < °°· Пусть это неверно и U — множество
функционалов / с |/| < q. По теореме Хана-Банаха supfeUxeB \f(x)\ = оо.
Тогда ^^PferU-\-g,xeB \f(x)\ = °° Для всех г > 0 и д е U. Найдем
h e U/2 и Ьх е В с /ι(6ι) > 2. Если / e_U и |Л - /| < #ι)"4
то f(b\) ^ 1, т.е. при / е U\ = f\ +^(6ι)_1?7 имеем f(bi) ^ 1.
Находим J2 £ U\ и &2 £ В с /2(^2) > 4 и полагаем С/2 = Λ + #(^2)_1#·
По индукции получаем такие /η+ι £ Un = fn + enU и bn+i Ε -В,
что εη < 2"η, /η+ι(6η+ι) > 2η+1. Предел /(ж) = lim fn(x) суще-
η—κχ>
ствует и задает функционал из U. По построению /(Ьп) ^ η при
всех п, что невозможно по условию. D
Так как t(E,G) и a(E,G) — самая сильная и самая слабая из
множества топологий, согласующихся с двойственностью между
Ε и G, то эту теорему можно переформулировать еще и так:
3.2.7. Следствие. Во всех топологиях в Е,
согласующихся с двойственностью между Ε и G, ограниченные множества
одни и те же.
3.2.8. Замечание. Ограниченные множества могут быть
одинаковыми и в сравнимых локально выпуклых топологиях
с разными сопряженными. Пусть Ε — банахово пространство I1

3.3. Сопряженные операторы
219
с его обычной нормой, Е' = 1°° и G = cq. Тогда
ограниченные множества в топологиях σ(Ε,Ε') и a(E,G) в Ε одинаковы
(т.е. ограниченные по норме множества, что следует из
теоремы Банаха-Штейнгауза), хотя (E,a(E,G)) = G не совпадает
с (Ε,σ(Ε,Ε'))' = 1°°.
3.2.9. Теорема. Линейное отображение Т: X —> Υ
локально выпуклых пространств непрерывно относительно топологий
Макки т(Х, X') и τ (У, Υ') в точности тогда, когда оно
непрерывно относительно слабых топологий σ(Χ,Χ') и σ(Υ,Υ') или же
топологий т(Х,X') и σ(Υ,Υ').
Доказательство. Если Τ непрерывно относительно
топологий Макки, то для каждого / Ε Y' функционал foT
непрерывен в т(Х, X7), значит, и в σ(Χ',Χ), что дает слабую
непрерывность Т. Обратно, если Τ слабо непрерывно, то для всякого
абсолютно выпуклого σ(Υ'', У)-компактного множества Q С Υ'
множество К := {loT: I Ε Q} С X' абсолютно выпукло. Оно
а(Х',Х)-компактно, ибо из всякой направленности {1аоТ} в нем
можно извлечь поточечно сходящуюся поднаправленность,
сначала выбрав такую поднаправленность в {1а}- Так как при всех
χ G X верно равенство supieQ\l(Tx)\ = supfeK\f(x)\, то
получаем непрерывность оператора Τ в топологиях Макки. Это же
рассуждение годится и в случае непрерывности Τ из топологии
т(Х', X) в σ{Υ\ У), ибо^сХ'ив этом случае. D
Надо иметь в виду, что доказанная теорема не
распространяется на промежуточные топологии (см. задачу 3.12.82).
О топологиях Макки произведений, сумм, проективных и
индуктивных пределов см. задачи 3.12.138, 3.12.139, 3.12.140.
3.3. Сопряженные операторы
3.3.1. Определение. Пусть Ε и G — локально выпуклые
пространства, Е' и G' — их сопряженные, Τ: Ε —> G —
линейное отображение. Отображение Т*: G' —> Е' называется
сопряженным к отображению Т, если д{Вх) = (В*д)(х) для всех
χ е Ε и g e G, т. е. (д, Вх) = (В*д, х).
Как и выше, значение функционала д на векторе χ мы иногда
будем обозначать символами (д,х) или (х,д) (напоминающими
обозначения для скалярного произведения).

220
Глава 3. Двойственность
3.3.2. Предложение. Пусть Τ \ Ε —> G — линейное
отображение локально выпуклых пространств. Сопряженное
отображение Т*: G' —> Е' существует в точности тогда, когда
отображение Τ непрерывно при наделении Ε и G топологиями
σ(Ε, Ε') и σ(<7, G') {для чего достаточна непрерывность Τ в
исходных топологиях Ε и G). При этом Т* непрерывно как
отображение из (G',a{G',G)) в {Ε',σ(Ε',Ε)).
Доказательство. Пусть Т: (G',a(G',G)) -> (Ε',σ{Ε',Ε))
непрерывно. Тогда отображение Т* определяется так:
(T*g,x) = (g,Tx).
Это определение корректно, ибо правая часть равенства линейна
по χ и непрерывна в топологии (Ε\σ(Ε\Ε)). Линейность
отображения Т*: G' —> Е' проверяется при этом непосредственно.
Если сопряженное отображение Т*: G' —> Е' существует, то
оно линейно и непрерывно при наделении пространств Q и Е'
топологиями a(G',G) и σ(Ε',Ε) соответственно. В самом деяе^
первая задается полунормами вида qz(g) = |#(z)|, где 9 £ G\
ζ Ε G, а последняя — полунормами вида рх(1) = |Z(rrr)|, где I G E\
жЕ£, откуда
px(T*g) = \T*g(x)\ = \g(Tx)\ = qTx(g).
Кроме того, при этом оказывается непрерывным и исходное
отображение Τ при наделении Ε и G топологиями σ(Ε, Ег) и σ((7, Gr)
соответственно. Действительно, первая топология задается
системой полунорм ρι(χ) = |/(#)|, где I Ε Е\ а вторая — системой
полунорм qg(x) = \g(x)\, где g Ε G'. Равенство |^(Тж)| = |Т*^(ж)|
для g Ε G7, χ Ε Ε означает, что полунорма qg{Tx) оценивается
полунормой рт*9 (даже совпадает с ней). D
Из того, что отображение Τ: Ε —> G непрерывно при
наделении пространств Ε и G топологиями σ{Ε,Ε') и σ((7, С), не
вытекает, что оно непрерывно и относительно исходных
топологий пространств Ε и G: например, если Ε — такое локально
выпуклое пространство, что его ослабленная топология строго
слабее исходной, обозначаемой символом г (например
бесконечномерное гильбертово пространство), то тождественное
отображение Ε —> Ε не является непрерывным как отображение
пространства (Ε,σ(Ε,Ε')) в пространство (£?, г), хотя, разумеется,

3.3. Сопряженные операторы
221
непрерывно как отображение (Ε,σ{Ε,Ε*)) в (Ε,σ{Ε,Ε')) и
потому обладает сопряженным. Тем не менее справедливо
следующее предложение, в котором используется такая терминология
(см. § 1.9). Пусть Χ, Ζ — два локально выпуклых пространства,
А — некоторое семейство ограниченных подмножеств
пространства X, С(Х, Ζ) — пространство всех линейных непрерывных
отображений из X в Ζ. Топология в С(Х, Ζ) сходимости на
семействе множеств А задается семейством V полунорм вида
P(f) = supq(f(x)),
хеА
где q — непрерывная полунорма на Ζ, Α Ε А.
3.3.3. Предложение. Пусть Τ — линейное отображение
локально выпуклого пространства Ε в локально выпуклое
пространство G, непрерывное при наделении Ε и G топологиями
а{Е,Ег) и a{G,Gr). Если В — некоторое семейство
ограниченных подмножеств в (G/,a(G/, G))y Τ*(Β) — семейство их
образов в (Ε',σ(Ε',Ε)) относительно отображения Т*; то Τ
непрерывно и при наделении пространств Ε и G топологиями
сходимости на семействах множеств Т*(В) и В соответственно.
Проверка очевидна.
Отметим, что для произвольного множества LcG',
справедливы равенства
(T*(L))°E = {xeE: \(f,x)\ < 1 V/ € T*(L)} =
= {хеЕ: \(1,Тх)\ ^ 1 VZ G L] = (3.3.1)
= Τ~\{9 € G: \(l,g)\ <1VIGL}) = T~\L°G).
Аналогично проверяется, что для любого множества К С Ε
справедливо равенство
{T(K))°G, = (Т*Г\К°Е,). (3.3.2)
Из этих соотношений получаем
(RanT)° = KerT*, (RanT*)° = KerT.
Так как Ran Τ и Ran Τ* — векторные пространства, то для их
замыканий (которые берутся в произвольных топологиях,
согласующихся с двойственностью между Ε и Е' и между Е' и Е) мы
имеем (RanT)°° = RanT, (RanT*)°° = RanT*. Следовательно,
ШКТ= (КегТ*)°, RanT* = (KerT)°. (3.3.3)

222
Глава 3. Двойственность
3.4. Слабая компактность
Здесь будут получены критерии компактности в
ослабленной (называемой также слабой) топологии. В этих критериях
будут использоваться термины «счетная компактность» и
«секвенциальная компактность», введенные в определении 1.8.19. Хотя
основные результаты этого параграфы устанавливают как раз
совпадение данных видов компактности в ряде важных случаев,
мы начнем с примеров несовпадения в общем случае.
3.4.1. Пример. Если Τ — произведение континуума
вещественных прямых, реализованное как пространство всех веще-
ственнозначных функций на отрезке [0,1], то его подмножество
К = {д е Т: svpt\g(t)\ < 1} компактно, следовательно, счетно
компактно, но не является секвенциально компактным, ибо
последовательность {#п}, где gn(t) = sin(ni), не содержит никакой
сходящейся подпоследовательности. Далее, если Ко — множество,
образованное всеми теми принадлежащими К функциями,
которые принимают отличные от нуля значения на не более чем
счетном множестве точек (зависящем от выбранной функции), то Ко
секвенциально компактно, но не является компактным.
Если подмножество топологического пространства
секвенциально или счетно компактно, то это же множество, наделенное
индуцированной топологией, представляет собой секвенциально
(соответственно счетно) компактное топологическое
пространство. В частности, приведенные в примере выше два
подмножества, одно из которых секвенциально компактно, но не
компактно, а другое компактно, но не секвенциально компактно,
определяют топологические пространства с аналогичными свойствами.
Произведение этих топологических пространств — счетно
компактное пространство, не являющееся ни компактным, ни
секвенциально компактным.
Ниже доказаны теоремы Эберлейна и Шмульяна,
устанавливающие, что при довольно широких предположениях для
подмножеств локально выпуклого пространства, наделенного
ослабленной топологией, относительные компактность,
секвенциальная компактность и счетная компактность эквивалентны; эти
теоремы имеют многочисленные применения (а также
существенно облегчают проверку условий полурефлексивности).
Гораздо более элементарным (хотя и довольно полезным)
является такой факт.

3.4. Слабая компактность
223
3.4.2. Предложение. Всякое ограниченное подмножество
локально выпуклого пространства Ε предкомпактно в
топологии σ(Ε,Ε').
Доказательство. Достаточно проверить, что ограниченное
множество В С Ε покрывается конечным числом сдвигов всякой
окрестности нуля вида U = {х Ε Е: \fi(x)\ < 1, i = 1, · · ·, η}, где
fi Ε Er линейно независимы. Так как |/г(#)| ^ Μ для всех χ Ε В
и г ^ η при некотором Μ > О, то утверждение следует из того,
что куб [—М,М]п покрывается конечным числом сдвигов куба
(-1,1)п на векторы <ц,..., α^ G Кп: тогда В С \Ji=1(bj + U), где
векторы bj Ε Ε таковы, что (fi(bj),..., fn{bj)) = Q>j- Π
Однако даже в сочетании с замкнутостью ограниченного
множества в топологии σ(Ε, Ε') до компактности в этой топологии
здесь еще далеко, поскольку ограниченные σ(Ε, £?7)-замкнутые
множества отнюдь не всегда σ(Ε, Е')-поляы. Например,
замкнутый единичный шар в нерефлексивном банаховом пространстве Ε
(скажем, в I1) неполон в топологии σ(Ε,Ε'). Следующее
предложение играет центральную роль в доказательстве теоремы Эбер-
лейна. О топологии поточечной сходимости см. с. 31, 91.
3.4.3. Предложение. Пусть К — компакт, Τ [К) —
пространство всех числовых функций на К, наделенное топологией
поточечной сходимости, СР(К) — топологическое векторное
подпространство пространства Τ {К), состоящее из
непрерывных функций (причем СР(К) наделено топологией,
индуцированной их Τ (К), т. е. таксисе топологией поточечной сходимости).
Если G С СР(К) относительно счетно компактно в СР(К), то
его замыкание в Τ (К) содержится в СР(К) и компактно.
Доказательство. Из относительной счетной компактности
множества G в С = СР(К) вытекает относительная счетная
компактность этого множества в Τ = Τ {К), следовательно, и его
ограниченность в Т\ ограниченность G в Т, в свою очередь,
влечет за собой относительную компактность G в J7, так что остается
доказать, что замыкание G множества G в Τ содержится в С. _
Предположим, что существует разрывная функция g Ε G
(т.е. g φ. С), и пусть а — одна из ее точек разрыва. Таким
образом, существует такое ε > 0, что во всякой окрестности V точки
а существует точка χ = ху, для которой \g(x)—g(a)\ > ε.
Пользуясь этим, мы докажем ниже существование последовательности

224
Глава 3. Двойственность
функций дп Ε G и последовательности точек хп Ε К, таких, что
\9п{хк) ~ 5(α) Ι > ε при к < η и |5n(zfc) - 5(a) | < ε/2 при /с> п.
Предположим, что это сделано, и завершим доказательство
предложения. Так как множество элементов последовательности
{хп} бесконечно, то из-за компактности К оно обладает
предельными точками; пусть Ъ — одна из них. Поскольку каждая
функция дп непрерывна, ее значение в точке Ъ является
предельной точкой последовательности {дп(хк)} (подчеркнем, что
это не то же самое, что предельная точка множества значений
элементов этой последней; таковой может и не быть). Так как
\9п(хк) ~ 5(a)I < ε/2 при к> п, то \дп(Ъ) - д(а)\ < ε/2.
Таким образом, если φ — функция из С, являющаяся
предельным элементом множества {дп} (существование φ обеспечивается
предположенной относительной счетной компактностью G в С),
то справедливо неравенство \<р(Ь)—д(а)\ ^ ε/2. С другой стороны,
так как при η ^ к справедливо неравенство \gn(xk) ~ 5(a)l > е->
то при всех к для предельной функции φ выполнено неравенство
\ip{xk) — д{о)\ ^ ε. Ввиду непрерывности функции ψ ее значение в
точке Ь, являющейся предельной точкой множества {#&}, должно
быть предельной точкой последовательности {φ(χϊς)}'·>
предыдущие неравенства показывают, что это не так.
Для окончания доказательства предложения осталось
установить существование нужных последовательностей {хк} и {дп}·
Пусть V\ — произвольная окрестность точки а; тогда существует
такая точка х\ Ε Vi, что \д{х\) — 5(а)| > е- Поскольку д Ε G, то
найдется такая функция д\ Ε G, что
\дг(а) - д(а)\ < ε/2, \gi(xi) - д(а)\ > ε,
а так как функция д\ непрерывна, то существует такая
окрестность V2 точки а, что для всех χ Ε V2 верно неравенство
Ых) - 3(a) | < ε/2.
Далее, в этой же окрестности найдется точка х2, для которой
\д{х2) — 5(α)| > ε. В силу же включения д Ε G найдется функция
д2 £ G, для которой справедливы неравенства
152(a) - 0(a)| < ε/2, \g2{xi) - д{а)\ > ε, \д2(х2) ~ д(а)\ > ε.
Предположим, что для некоторого η ^ 1 уже найдены
функции 51? 525 · · · ? 5п £ G и точки х\, х2,..., хп Ε К с такими
свойствами: |<7fc(a) — g(a)| < ε/2 при всех /с, |5n(#fc) — 5(α)| > ε при
/с < η и |5n(#fc) — 5(a) I < ε/2 при к > п. Тогда χη+ι и дп+\
выбираются следующим образом. Пусть Vn+i — такая окрестность

3.4. Слабая компактность
225
точки а, что \дк{о) — 9{°)\ < ε/2 при всех к < η и χ G Vn+\.
Обозначим через хп+\ какую-либо точку из V^+i, для которой
\g(xn+i) — д(а)\ > ε, и через дп+\ — какую-либо функцию из G,
для которой \gn+i(a) - д{о)\ < ε/2 и \gn+i(xk) - д(а)\ > ε при
всех к > п+1. Существование Vn+i вытекает из непрерывности
функций д$, а существование дп+\ ~ из включения д Ε G. Таким
образом, мы доказали существование нужных
последовательностей {xk} и {<7п}, а тем самым и предложение. D
3.4.4. Теорема. (Теорема Эберлейна) Пусть Ε —
локально выпуклое пространство и А С Ε относительно
счетно компактно в топологии а{Е,Ег). Если замкнутая выпуклая
оболочка множества А полна в топологии Макки τ{Ε,Ε'), то
множество А относительно компактно в топологии а{Е,Ег).
Доказательство. Пусть В — замкнутая выпуклая
оболочка множества А; напомним, что во всех топологиях,
согласующихся с одной и той же двойственностью, замкнутые выпуклые
множества одинаковы, поэтому здесь безразлично, какой
топологией наделено пространство Ε — исходной или одной из
топологий а{Е,Ег) и τ(Ε,Ε'). Обозначим символом Ε локально
выпуклое пространство, являющееся пополнением пространства Е\
при этом, конечно, пространства Е' и Е' совпадают. Отметим,
что поскольку множество В предположено полным в
пространстве (E,r{E,Ef)), то оно замкнуто и в (E,r{E,Ef)).
Кроме того, поскольку в силу счетной компактности в
пространстве (Ε,σ(Ε,Ε')) множество А ограничено в нем, оно
ограничено также и в пространстве (Е' * ,σ{Ε' *, Ε')}, значит, и пред-
компактно в нем (предложение 3.4.2). Так как пространство
(Ε^,σ^7 *,£?')) очевидным образом полно, то это означает, что
замыкание А множества А в этом пространстве компактно.
Теперь для окончания доказательства теоремы достаточно
показать, что А С В, ибо В С Е. Для этого, в свою очередь
^достаточно проверить, что А С Е, так как В замкнуто в (Е,т(Е,Е')),
а потому и в (Ε,σ(Ε,Ε')), причем топология а{Е,Ег) на Ε
индуцируется топологией σ(Ε'*,Ε'). Итак, пусть a Ε А. Тогда для
всякой окрестности нуля V в (Ε,σ{Ε,Ε')) сужение а\уо
функционала а на компактное в (Ε',σ(Ε',Е)) множество V° = Vg,

226
Глава 3. Двойственность
(его компактность следует из теоремы 3.1.4) принадлежит
замыканию в пространстве Т(у°) множества А\уо, состоящего из
сужений на V° линейных функционалов, входящих в А. Все эти
функционалы непрерывны в топологии, индуцированной на V°
топологией σ(Ε',Ε). Поскольку в этой топологии V°
компактно, то из предложения 3.4.3 следует, что функция а непрерывна
(указанное предложение применимо, ибо из относительной
счетной компактности в (£?, σ(Ε, Ε')) множества А вытекает
относительная счетная компактность в Cf(V°) множества А|\л>). Таким
образом, мы доказали, что, какова бы ни была окрестность нуля
V в (i?, τ(Ε, Ε')), сужение а на V° непрерывно в топологии,
индуцированной на V° топологией σ(Ε',Ε). Так как пространство
(Ε,τ{Ε,Ε1)) полно, то отсюда следует, что а е Е. D
3.4.5. Теорема. (Абстрактная теорема Шмульяна)
Пусть Ε — векторное пространство, G — некоторое векторное
пространство линейных функций на Е, причем в Ε существует
счетное множество, всюду плотное в топологии σ{Ε,ό),
которая не предполагается отделимой. Тогда всякое относительно
счетно компактное подмножество пространства (G, σ(Ε, G))
относительно секвенциально компактно.
Доказательство. Пусть {хп} — счетное подмножество
пространства Е, всюду плотное в топологии σ(Ε, G), А —
относительно счетно компактное подмножество пространства (G, cr(G, £?)),
{gn} С А. Из относительной счетной компактности множества А
вытекает, что оно ограничено в (G,σ(<7,Ε)); поэтому для
всякого χ Ε Ε ограничено множество чисел {дп{х)}- Отсюда следует,
что существует такая подпоследовательность {gnj} в {#п}? Для
которой числовая последовательность {gnj(xi)} сходится; далее,
существует подпоследовательность {gnj } в {gnj}, для которой
сходится последовательность {gnj (#2)}? и т.д. Итак, для
каждого j Ε ΙΝ существует подпоследовательность {дЪ,}
последовательности {дп} со следующими свойствами: если j\ < j'2, то {gii?}
является подпоследовательностью в {^п1}, причем для каждого j
последовательность {gn^(xj)} сходится. Поэтому «диагональная»
последовательность {д7^} обладает следующим свойством:
последовательность {g%(xj)} сходится для каждого j. Отсюда следует,

3.4. Слабая компактность
227
что множество предельных точек этой последовательности в
пространстве (G,a(G,E)) содержит ровно один элемент.
Действительно, пусть /ι и /2 - две ее предельные точки. Тогда для
всякого j имеем fi(xj) = lim g^Xj) = /2(^7)5 так что значения функ-
п—юо
ционалов /ι и ^ непрерывных в топологии σ(£?, G), совпадают
на элементах всюду плотного в этой топологии множества {хп}.
Это значит, что f\ = /2·
Пусть / — (единственная) предельная точка
последовательности {д™}. Мы докажем, что д™ —> / в (G, σ(<7, Ε)); тем самым
доказательство теоремы будет завершено. Если предположить, что
последовательность {д™} не сходится в пространстве (G,a{G,E))
к /, то найдутся открытая окрестность V элемента / и
подпоследовательность {<7п^}? ни один элемент которой не содержится
в V. Тогда и предельная точка этой подпоследовательности
(существующая в силу относительной счетной компактности
множества А) не принадлежит окрестности У, но эта предельная точка
является в то же время предельной точкой исходной
последовательности и, значит, должна совпадать с /. Заметим, что эта
теорема применима к слабо компактному множеству. D
3.4.6. Теорема. (Теорема Шмульяна) Пусть Ε —
локально выпуклое пространство, причем на Ε существует мет-
ризуемая локально выпуклая топология, мажорируемая
исходной. Тогда всякое относительно счетно компактное
подмножество пространства (Ε,σ{Ε,Ε')) относительно секвенциально
компактно в нем.
Доказательство. Достаточно доказать этот факт для
счетных множеств. Итак, пусть А — счетное подмножество
пространства Е, являющееся относительно счетно компактным в σ(Ε, Ε').
Обозначим через G порожденное множеством А замкнутое
векторное подпространство пространства (£?, σ{Ε, Ε')) (или, что
равносильно, пространства Е, наделенного исходной топологией).
Пусть т\ — топология в G, индуцированная исходной
топологией пространства Е, а Т2 — топология в G, индуцированная той
метризуемой локально выпуклой топологией в £?, существование
которой предполагается в формулировке теоремы.
Так как топология a{G,G') в G совпадает с топологией,
индуцированной в G топологией σ{Ε,Ε') (это вытекает из
теоремы Хана-Банаха, согласно которой всякий элемент пространства
G' является сужением на G некоторого функционала из Е'), то

228
Глава 3. Двойственность
для доказательства теоремы достаточно установить, что
множество А относительно секвенциально компактно в пространстве
(G, cr(G, G7)). Заметим, что (опять же в силу совпадения
топологии a{G,G') и топологии, индуцированной топологией σ{Ε,Ε'))
множество А относительно счетно компактно в (G, a(G, G7)).
Кроме того, как показано ниже, пространство (G/,a(G/,G))
сепарабельно. Таким образом, для пространств G и G' и
множества A G G выполнены условия предыдущей теоремы (здесь роль
пространства Ε из нее играет пространство С). Отсюда и
следует, что А относительно секвенциально компактно в (G, σ((7, G7)).
Итак, осталось доказать, что (G/,a(G/,G)) сепарабельно. Пусть
{Vn} — база окрестностей нуля в топологии Т2, состоящая из
абсолютно выпуклых замкнутых (в топологии Т2, значит, и в
топологии ri) множеств; мы будем предполагать, кроме того, что
Vn С Vj при j > п. Согласно свойству 8 поляр, установленному
в §3.1, справедливо равенство
оо оо
п=1 п=1
где поляры берутся в С, а черта означает замыкание в
пространстве (G',a(G',G)). Достаточно доказать, что в каждом из
множеств V° существует счетное всюду плотное в топологии a(Gf, G)
множество. Чтобы это сделать, заметим прежде всего, что
каждое из этих множеств компактно в топологии a(G\G)
(теорема 3.1.4). Далее, если Ga — векторное подпространство
пространства G, порожденное множеством А, то топология a(G',Ga) в G'
метризуема (ибо размерность Ga не более чем счетна),
следовательно, обладает счетной базой окрестностей нуля. Поскольку Ga
всюду плотно в (G, σ(<7, G7)), то топология g(G',Ga) отделима;
так как она мажорируется топологией a(G',G), в которой
множество V° компактно, то топология, индуцируемая топологией
a(G\ Ga) в множестве V^, совпадает с топологией, индуцируемой
в нем топологией a(G', G). Таким образом, V° как топологическое
подпространство пространства (G/,a(G/,G)) представляет собой
метризуемый компакт и, следовательно, сепарабельно. D
3.4.7. Пример. Предположения доказанной теоремы
выполняются для строгих индуктивных пределов метризуемых
локально выпуклых пространств (задача 3.12.136).

3.4. Слабая компактность
229
Применительно к слабым топологиям банаховых пространств
получаем такое утверждение.
3.4.8. Теорема. Пусть А — множество в банаховом
пространстве X. Тогда следующие условия равносильны:
(i) множество А имеет компактное замыкание в слабой
топологии;
(и) всякая последовательность в множестве А имеет
подпоследовательность, слабо сходящуюся в X;
(Hi) всякая бесконечная последовательность из А имеет в X
предельную точку в слабой топологии {точку, каждая
окрестность которой содержит бесконечно много элементов этой
последовательности) .
В частности, для множеств в банаховом пространстве со
слабой топологией компактность равносильна секвенциальной
компактности и равносильна счетной компактности.
В [21, § 6.10(H)] дано прямое доказательство, использующее
специфику данного случая.
3.4.9. Лемма. Пусть Τ — компакт. Если /о £ С(Т) входит
в замыкание множества F С С(Т) в топологии поточечной
сходимости, то /о лежит в замыкании некоторой счетной части
множества F в этой топологии.
Доказательство. При фиксированных п,т е ΤΝ и f e F
множество
W(m,n,f) = {fa, ...,деГ: sup \f(U) - f0(U)\ < η'1}
открыто. Их объединение по / Ε F есть Тт, ибо /о входит в
замыкание F в топологии поточечной сходимости. Значит, найдется
конечный набор Fn^m С F, для которого соответствующие
множества покрывают Тш. Тогда /о лежит в замыкании объединения
Fn^m по η и m в топологии поточечной сходимости. D
3.4.10. Теорема. Пусть Ε — метризуемое локально
выпуклое пространство, А С Е.
(i) Если точка χ входит в замыкание А в слабой топологии,
то χ входит в слабое замыкание некоторого счетного
подмножества в А.
(и) Если А — подмножество слабо компактного множества
в Ε и точка χ входит в замыкание А в слабой топологии, то
χ является пределом некоторой последовательности {ап} С А
в слабой топологии.

230
Глава 3. Двойственность
Доказательство, (i) Пусть {Un} — база окрестностей
нуля в Е. Тогда Е' есть объединение σ(Ε\ £?)-компактных
множеств [7°. Для каждого η применим предыдущую лемму кАих,
рассматриваемым как элементы С([/°); это дает счетную часть
Ап С Л, в замыкании которой в топологии поточечной
сходимости на и^ лежит х. Остается заметить, что χ лежит в σ(Ε,Ε')-
замыкании (J^Li Ап.
(ii) По доказанному можно перейти к счетному А. Тогда,
заменив Ε на линейную оболочку А, приходим к случаю сепарабель-
ного Е. По следствию 3.1.5 в Е' есть счетное σ(Ε\ Е)-плотное
множество {fk}- С помощью диагонального приема в А можно
выделить последовательность {αη}, для которой /fc(an) —> fk(x)
при каждом к. По теореме Шмульяна можно выделить
дальнейшую слабо сходящуюся подпоследовательность, но из-за
плотности {fk} ее пределом будет именно х. D
Важная характеризация слабой компактности, полученная
Джеймсом, указана в §3.12(iv).
3.5. Бочечные пространства
Рассматриваемый в этом параграфе интересный класс так
называемых бочечных пространств связан с ограниченными
множествами. Поэтому мы напомним, что в предложении 1.9.2
показано, что секвенциально непрерывные линейные отображения
переводят ограниченные множества в ограниченные. До конца
настоящего параграфа мы будем предполагать, что все
рассматриваемые локально выпуклые пространства отделимы.
Как обычно, для топологических векторных пространств Ε
и G символ C(E,G) обозначает множество всех линейных
непрерывных отображений из Ε в G. Напомним (см. определение 1.9.4),
что множество Τ называется равностепенно непрерывным, если
для всякой окрестности нуля V в G можно найти такую
окрестность нуля U в Е, что {f(u): / G f, и G U} С V. Множество
!F<^C(E,G) называется поточечно ограниченным, если для
всякого χ G Ε множество {f(x): f G F} ограничено в G.
3.5.1. Определение. Локально выпуклое пространство Ε
называется бочечным, если, каково бы ни было локально
выпуклое пространство G, всякое поточечно ограниченное
множество линейных непрерывных отображений из Ε в G
равностепенно непрерывно.

3.5. Бочечные пространства
231
3.5.2. Следствие. Предел поточечно сходящейся
последовательности непрерывных линейных операторов из бочечного
пространства в локально выпуклое пространство непрерывен.
Определение имеет смысл и в категории топологических
векторных пространств (необязательно отделимых), но далее при
рассмотрении бочечных и близких к ним пространств мы будем
иметь дело с отделимыми локально выпуклыми
пространствами. Тем не менее, хотя требование отделимости
рассматриваемых пространств в этом параграфе подразумевается, мы иногда
все же будем его высказывать явно. Смысл несколько
странного термина «бочечное пространство» (espace tonnele у Бурбаки)
вскоре выяснится.
3.5.3. Предложение. Если локально выпуклое
пространство Ε бочечно, то для любого локально выпуклого
пространства G всякое поточечно ограниченное подмножество С(Е, G)
равномерно ограничено на каждом ограниченном подмножестве
пространства Е.
Доказательство. Пусть В с Ε ограничено, W —
окрестность нуля в G и V — такая окрестность нуля в Е, что F(V) С W
(последняя существует согласно определению бочечности). Так
как В ограничено, то tV D В для некоторого t > 0. Тогда мы
имеем tW D tF(V) = F(tV) D F(B). Тем самым ограниченность
множества F(B) доказана. D
Ниже будет показано, что всякое пространство Фреше
(значит, всякое банахово пространство) бочечно. Поэтому в
предложении 3.5.3 можно в качестве Ε взять произвольное банахово
пространство; в этом случае это предложение превращается в
следующую классическую теорему.
3.5.4. Теорема. (Теорема Банаха-Штейнгауза)
Поточечно ограниченное семейство непрерывных линейных
отображений банахова пространства X в нормированное
пространство Υ ограничено по норме, т. е. равномерно ограничено на
единичном шаре в X.
Таким образом, можно сказать, что бочечные пространства
есть пространства, для которых справедлива надлежащим
образом обобщенная теорема Банаха-Штейнгауза. Это «надлежащее
обобщение» и составляет содержание приведенного выше
определения бочечного пространства.

232
Глава 3. Двойственность
Установим теперь критерий бочечности пространства.
Напомним (определение 2.5.6), что бочкой в локально выпуклом
пространстве называется всякое замкнутое абсолютно выпуклое
поглощающее множество. Предложение 1.2.11 показывает, что во
всяком локально выпуклом пространстве существует база
окрестностей нуля, состоящая из бочек (но при этом не всякая бочка
обязательно является окрестностью нуля).
3.5.5. Теорема. Отделимое локально выпуклое
пространство бочечно в точности тогда, когда в нем всякая бочка является
окрестностью нуля.
Доказательство. Допустим, что всякая бочка в отделимом
локально выпуклом пространстве Ε является окрестностью
нуля, и докажем, что Ε бочечно. Пусть G — еще одно локально
выпуклое пространство и J7 — поточечно ограниченное
подмножество в C{E,G). Мы должны доказать, что Τ равностепенно
непрерывно. Пусть W — окрестность нуля в G и Wq С W —
некоторая абсолютно выпуклая замкнутая окрестность нуля.
Положим V = OfeF /_1(^/о) и покажем, что V — бочка в Е.
Так как все отображения / Ε Τ непрерывны, a Wo
замкнуто, то замкнуты все множества f~l(Wo), а значит, и их
пересечение V. Из линейности всех / Ε Τ и абсолютной выпуклости
множества Wo следует, что абсолютно выпукло и V.
Покажем, что множество V — поглощающее. Действительно,
если χ G Е, то множество Т(х) := {/(#): / Ε J7} ограничено в G
(именно в этом и состоит поточечная ограниченность множества).
Поэтому существует такое λ > 0, что если \t\ > λ, то tWo D F{x),
т. е. Wo D Τ {x/t). Это значит, что для каждого / Ε Τ выполнено
условие f{x/t) Ε Wo, т.е. x/t Ε f~1(Wo), откуда x/t Ε V. Таким
образом, множество V является поглощающим и тем самым
оказывается бочкой. Из определения V следует, что /(V) С Wo С W
при / Ε Т\ это и означает равностепенную непрерывность Т.
Предположим теперь, что пространство Ε бочечно, и
докажем, что в нем всякая бочка — окрестность нуля. Для этого мы
применим определение в ситуации, когда G — поле скаляров,
т.е. C(E,G) = Ε'. Пусть V — бочка в Е. Покажем, что ее
поляра — ограниченное множество в (Ε',σ(Ε',Ε)), т.е. поточечно
ограниченное множество в Ег. Для этого напомним, что
топология σ(Ε',Ε) задается системой всевозможных полунорм вида
g ι—> \g(x)\, где χ Ε Ε. Таким образом, достаточно показать, что
для каждого χ Ε Ε функция g \—> \g(x)\ ограничена на V°. Но

3.5. Бочечные пространства
233
это сразу следует из того, что V — поглощающее множество, ибо
tx Ε V для всех достаточно малых по модулю чисел £, откуда
|<?(fcc)| ^ 1 Для всех 9 £ V° и потому \д(х)\ < 1/1*1· Таким
образом, поточечная ограниченность в Е' множества V° доказана.
Из поточечной ограниченности V° в силу бочечности Ε
вытекает равностепенная непрерывность. Значит, существует такая
абсолютно выпуклая и замкнутая окрестность нуля W в Е, что
если χ eW и д е Vго, то \д(х)\ < 1. Иначе говоря, W° э V°. Тогда
W = W°° С V00 = V, т. е. V — окрестность нуля. D
Напомним, что по теореме 3.1.2 бочки в Ε есть в точности
поляры ограниченных множеств в (Ε',σ(Ε',£?)).
Часто критерий бочечности из только что доказанной
теоремы принимают за определение; при этом наше определение
становится теоремой (она и называется в теории локально выпуклых
пространств теоремой Банаха-Штейнгауза).
3.5.6. Определение. Топологическое векторное
пространство называется бэровским, если его нельзя представить в виде
не более чем счетного объединения нигде не плотных множеств.
Из учебного курса хорошо известно, что всякое полное
метрическое пространство является бэровским (теорема Бэра, см. Бога-
чев, Смолянов [21]); в частности бэровскими являются
пространства Фреше, а тем самым и банаховы пространства.
В §3.12(i) приведены дополнительные сведения о бэровских
пространствах в случае общих топологических пространств.
3.5.7. Предложение. Всякое бэровское отделимое локально
выпуклое пространство бочечно. Поэтому пространства Фреше
{значит, и банаховы пространства) бочечны.
Доказательство. Пусть V — бочка в бэровском
(отделимом) локально выпуклом пространстве Е. Тогда Ε — (J^Li nV->
а так как Ε — бэровское, то существует такое η G IN, что nV не
является нигде не плотным. Поскольку V замкнуто, это
означает, что nV содержит некоторое открытое множество W, которое,
в свою очередь, содержит множество вида а + WQl где Wo —
абсолютно выпуклая окрестность нуля в Е. Следовательно, ввиду
абсолютной выпуклости nV имеем ^(α + Wo —a —Wo) = Wo С nV.
Поэтому V — окрестность нуля. D
Пространство Т>(Ш}) бочечно, но не бэровское; теорема 3.12.4
дает нормированное бочечное, но не бэровское пространство.

234
Глава 3. Двойственность
На практике критерий из теоремы 3.5.5 редко применяется
для проверки бочечности (исключение, между прочим,
доставляет приводимое ниже предложение); обычно бочечность
конкретных пространств обнаруживают, используя замкнутость класса
бочечных пространств относительно различных операций.
3.5.8. Предложение. Пусть Ε — бочечное локально
выпуклое пространство. Тогда всякое его линейное подпространство
конечной или счетной коразмерности бочечно.
Доказательство. Рассмотрим сначала в Ε линейное
подпространство Eq коразмерности 1. Пусть В — бочка в Е$.
Возьмем какой-либо вектор ν Ε Е\Е$. Если замыкание В множества
В в Ε содержит какой-либо ненулевой вектор вида tv, то В
оказывается бочкой в Ε и потому содержит окрестность нуля С/, что
дает окрестность нуля U Π Е$ в Е$. При этом U Π Ε$ С В из-за
замкнутости В в Е$. Если же такого ненулевого вектора нет, то
В = В. Тогда сумма В и компакта {tv: \t\ < 1} оказывается
бочкой в£ив этой сумме есть окрестность нуля U. Как и выше,
U Π Eq С Б, ибо всякий элемент из U имеет вид Ъ + tv, где b e В,
что дает t = 0 в случае, когда Ъ + tv Ε Е$. По индукции
получаем наше утверждение в случае любой конечной коразмерности.
Случай счетной коразмерности отнесен в задачу 3.12.58. D
3.5.9. Пример. Бочечным является подпространство
бесконечномерного банахова пространства, являющееся ядром
разрывного линейного функционала (это подпространство представляет
собой неполное бочечное нормированное пространство).
3.5.10. Теорема, (i) Индуктивные пределы и прямые суммы
бочечных пространств бочечны. (и) Отделимое локально
выпуклое пространство, равное образу бочечного пространства при
открытом (переводящем открытые множества в открытые)
непрерывном линейном отображении, бочечно. (Hi) Любое
отделимое факторпространство бочечного пространства бочечно.
Доказательство, (i) Если В — бочка в индуктивном
пределе Ε бочечных пространств Еа с отображениями да: Еа —> Е,
то д~1(В) — бочка в Еа, значит, содержит окрестность нуля в Еа,
откуда следует, что В содержит окрестность нуля в Е. Тем самым
в случае прямых сумм достаточно рассмотреть конечные суммы,
что сводится к сумме двух бочечных пространств Ει и £?2·
Тогда пересечения бочки В со слагаемыми оказываются бочками

3.5. Бочечные пространства
235
и потому содержат окрестности нуля, что дает окрестность нуля
в В.
(и) Прообраз бочки при линейном отображении является
бочкой, поэтому содержит окрестность нуля, а образ последней
открыт при открытом отображении. Из этого следует и (iii), ибо
проекция на факторпространство открыта. D
3.5.11. Теорема. Пусть Ε — отделимое локально выпуклое
пространство. Следующие утверждения равносильны:
(i) пространство Ε бочечно]
(и) все σ{Ε' ,Е)-ограниченные множества в Е'
равностепенно непрерывны (т. е. топология Ε совпадает с β(Ε,Ε'))\
(iii) все σ(Ε', Ε)-ограниченные множества в Ε'
относительно слабо компактны, а топология в Ε совпадает с τ{Ε,Ε').
Тем самым бочечные пространства — пространства Макки.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Импликация (i)=>(ii) тривиальна. Пусть
выполнено (ii). Тогда всякое слабо ограниченное множество В
в Е' относительно слабо компактно, ибо в силу предложения 3.4.2
оно предкомпактно в топологии σ(Ε',Ε), кроме того,
гарантируемая условием (ii) равностепенная непрерывность дает
полноту, а тогда и компактность замыкания В согласно
предложению 1.9.5. При этом исходная топология есть топология Макки,
так как всякое абсолютно выпуклое σ(Ε', £?)-компактное
множество Q слабо ограничено, поэтому при условии (ii) оно
равностепенно непрерывно, что дает окрестность нуля U исходной
топологии с Qc Ϊ7°, откуда U С Q°, т. е. исходная топология мажорирует
топологию Макки. Наконец, если дано (iii), то поляра всякой
бочки В слабо компактна, что по свойствам поляр (см. § 3.1)
означает, что В есть поляра абсолютно выпуклого σ(Ε\ £?)-компактного
множества, т. е. окрестность нуля в топологии Макки. Кстати, из
теоремы следует, что пространства Фреше — пространства
Макки, но это верно и без полноты (см. следствие 3.6.12). D
3.5.12. Следствие. Если Ε бочечно {скажем, пространство
Фреше), то Е' квазиполно в слабой топологии σ(Ε\Ε).
Доказательство. Замкнутые и ограниченные в топологии
σ(Ε',Ε) множества слабо компактны в силу (iii), поэтому слабо
полны. См. также задачу 3.12.155. D
3.5.13. Следствие. Произведение любого семейства
бочечных пространств бочечно.

236
Глава 3. Двойственность
Доказательство. Сопряженное к произведению есть
прямая сумма сопряженных (предложение 2.4.5), ограниченное
множество в ней лежит в сумме конечного числа слагаемых. D
3.5.14. Предложение. Пусть бочечное пространство Ε
является объединением возрастающей последовательности его
линейных подпространств Еп. Тогда Ε есть индуктивный предел
пространств Еп с индуцированной топологией.
Доказательство. Исходная топология пространства Ε
мажорируется топологией τι индуктивного предела пространств Еп.
Проверим обратное. В силу бочечности Ε является
пространством Макки, поэтому достаточно проверить, что {Ε,τ\)' = Е'.
Пусть / е (Е, т\)'. Тогда /\еп Ε Е'п. По теореме Хана-Банаха
найдется функционал fn е Е', для которого /|яп = /п\еп- Так к&к
Ε = (J^Li ^n? т° функционалы fn сходятся поточечно. В силу
бочечности Ε последовательность {fn} равностепенно непрерывна,
откуда следует непрерывность / в исходной топологии. D
3.5.15. Предложение. Отделимое локально выпуклое
пространство Ε бочечно в точности тогда, когда не существует
такого нигде не плотного абсолютного выпуклого множества В
в пространстве Е, что Ε = (J^=i n^-
Доказательство. Если Ε = \J™=1 nB для некоторого
абсолютно выпуклого множества В, то В — бочка, поэтому в случае
бочечного Ε содержит окрестность нуля. Если же Ε не
бочечно, то есть бочка В, не являющаяся окрестностью нуля, а тогда
и не имеющая внутренних точек из-за абсолютной выпуклости.
Значит, В нигде не плотно. При этом Ε = (J^=i n^- ^
Локально выпуклое пространство называется квазибочечным
(или инфрабочечным), если всякая бочка в нем, поглощающая все
ограниченные множества, является окрестностью нуля.
Топологическое векторное пространства с топологией t
(необязательно локально выпуклое) называют ультрабочечным,
если всякая векторная топология в Е, имеющая базу
окрестностей нуля из ί-замкнутых множеств, слабее t.
Можно показать (см. Эдварде [185, теорема 6.2.1]), что
локально выпуклое пространство (E,t) бочечно в точности тогда,
когда всякая локально выпуклая топология в Е, имеющая базу
окрестностей нуля из ί-замкнутых множеств, слабее t. Поэтому
ультрабочечные локально выпуклые пространства бочечны (но

3.6. Борнологические пространства
237
есть примеры бочечных пространств, не являющихся
ультрабочечными). Замкнутое подпространство бочечного пространства
не всегда бочечно (задачи 3.12.61, 3.12.62, 3.12.63).
3.5.16. Теорема. Пусть Ε — метризуемое бочечное
пространство, F — локально выпуклое пространство, Τ —
метрическое пространство и Μ — множество отображений из ЕхТ
в F, удовлетворяющее следующим условиям:
(i) для каждого t Ε Τ множество отображений χ \—> f(x,t),
где f Ε Μ, равностепенно непрерывно в L(E,F);
(ii) для каждого χ Ε Ε множество отображений t \—> f(x,t),
где f Ε Μ, равностепенно непрерывно.
Тогда Μ равностепенно непрерывно.
Доказательство см. в Бурбаки [27, с. 173].
Есть характеризация бочечности через локальную полноту,
введенную в §2.10(ш) (см. Perez Carreras, Bonet [424, §5.1]).
3.5.17. Предложение. Локально выпуклое пространство Ε
бочечно в точности тогда, когда оно квазибочечно и
пространство (Ε\σ(Ε\Ε)) локально полно.
3.6. Борнологические пространства
Здесь мы рассмотрим еще один интересный (и более узкий
при наличии квазиполноты) класс отделимых пространств.
3.6.1. Определение. Линейное отображение между
топологическими векторными пространствами называется
ограниченным, если оно отображает каждое ограниченное множество
в ограниченное.
В § 1.9 уже отмечалось, что непрерывное (или секвенциально
непрерывное) линейное отображение ограничено.
3.6.2. Определение. Пусть Ε — отделимое локально
выпуклое пространство. Пространство Ε называется борнологи-
ческим, если для всякого локально выпуклого пространства G
всякое ограниченное линейное отображение из Ε в G
непрерывно. Пространство Ε называется ультраборнологическим, если
для всякого локально выпуклого пространства G для
непрерывности линейного отображения из Ε в G достаточна его
ограниченность на каждом банаховом диске.
Определение банахова диска дано в §2.5.

238
Глава 3. Двойственность
3.6.3. Замечание. Очевидно, что всякое ультраборнологи-
ческое пространство является борнологическим, так что
введенная терминология внутренне непротиворечива. Кроме того,
секвенциально полное борнологическое пространство ультраборно-
логично, так как в нем замкнутая абсолютно выпуклая оболочка
ограниченного множества является банаховым диском (см. §2.5).
Тем самым и всякое квазиполное борнологическое пространство
оказывается ультраборнологическим.
3.6.4. Определение. Локально выпуклое пространство
удовлетворяет условию сходимости Макки, если для всякой
сходящейся к нулю последовательности {ап} его элементов можно
найти такую числовую последовательность {tn}, что tn —> оо,
но tnan —» 0.
Условие сходимости Макки равносильно тому, что для всякой
последовательности {хп} в Е, сходящейся к нулю, найдется такой
диск Z), что {хп} сходится к нулю в Ер. В самом деле^ если такой
диск D есть, то можно взять tn = ρ#(#η)_1 · Если же имеются
числа tn —> оо, для которых tnan —> 0, то в качестве D можно
взять замкнутую абсолютно выпуклую оболочку {tnan}] тогда
VD{tnan) < 1, откуда ρ£>(αη) < \tn\~1·
3.6.5. Пример. Метризуемое локально выпуклое
пространство удовлетворяет условию сходимости Макки.
В самом деле^ пусть {ап} — сходящаяся к нулю
последовательность в метризуемом локально выпуклом пространстве Ε
и {pk} — последовательность полунорм, задающих топологию Е.
Можно считать, что pk < Pfc+i· Найдем такие возрастающие
номера п&, что Pk{a>n) < 4~к при η ^ п&. Положим сп = 1 при η ^ щ,
сп = 2~к при rik < η < nfc+i. Тогда сп —> 0 и Pfc(an/cn) —> 0 при
фиксированном к.
Примером пространства, для которого это условие не
выполнено, является бесконечномерное гильбертово пространство Η со
слабой топологией, т.е. топологией σ{Η,if), определяемой
естественной двойственностью Η с самим собой, задаваемой
скалярным произведением. В этом пространстве ортонормированная
последовательность {еп} (т.е. ||еп|| = 1 и (en,em) = 0 при т Φ η)
сходится к нулю, но после умножения на стремящуюся к
бесконечности числовую последовательность перестает сходиться.
3.6.6. Предложение. Всякое секвенциально непрерывное
линейное отображение борнологического локально выпуклого

3.6. Борнологические пространства
239
пространства в произвольное локально выпуклое пространство
непрерывно.
Если локально выпуклое пространство Ε удовлетворяет
условию сходимости Макки, причем все его секвенциально
непрерывные линейные отображения в локально выпуклые
пространства непрерывны, то Ε — борнологическое пространство.
Доказательство. Мы покажем, что всякое секвенциально
непрерывное линейное отображение / произвольного
топологического векторного пространства Ε в произвольное
топологическое векторное пространство G является ограниченным. Тем
самым будет доказано первое утверждение теоремы. Пусть В —
ограниченное множество в Е. Требуется доказать, что множество
f(B) ограничено в G. Для этого достаточно показать, что если
{ап} С f(B) и {tn} — сходящаяся к нулю числовая
последовательность, то tnan —> 0. Мы имеем ап = /(Ьп), где Ъп Ε В. Так как
В ограничено, то tnbn —> 0. Поэтому tnan = tnf(bn) = f(tnbn) —> 0
в силу секвенциальной непрерывности /.
Пусть теперь Ε — локально выпуклое пространство,
удовлетворяющее условию сходимости Макки, причем все
секвенциально непрерывные линейные отображения Ε в локально выпуклые
пространства непрерывны. Надо доказать, что для каждого
локально выпуклого пространства G всякое ограниченное линейное
отображение f:E—>G непрерывно. По нашему условию для
этого достаточно показать, что / секвенциально непрерывно.
Пусть ап —> 0 в Е. Поскольку Ε удовлетворяет условию
сходимости Макки, то существует такая последовательность чисел
tn > 0, что tn —> оо и tnan —> 0. Так как последовательность
{tn^n} ограничена в Е, то последовательность {f(tnan)}
ограничена в G. Поэтому f(an) = ί~λί(ίηαη) —> 0. D
3.6.7. Следствие. Всякое метризуемое локально выпуклое
пространство является борнологическим. Всякое пространство
Фреше является ультраборнологическим.
Доказательство. Всякое секвенциально непрерывное
отображение метризуемого пространства в топологическое
пространство непрерывно. D
В частности, пространство IR°° ультраборнологично, а его
подпространство Но , состоящее из финитных
последовательностей, борнологично, но не ультраборнологично, так как в нем
всякий банахов диск лежит в конечномерном подпространстве.

240
Глава 3. Двойственность
3.6.8. Теорема. Локально выпуклое пространство борноло-
гично в точности тогда, когда всякое его абсолютно
выпуклое подмножество, поглощающее все ограниченные множества,
есть окрестностью нуля. Локально выпуклое пространство
является ультраборнологическим в точности тогда, когда всякое
его абсолютно выпуклое подмножество, поглощающее каждый
банахов диск, есть окрестность нуля.
Доказательство. Мы докажем только первую часть, ибо
доказательство второй совершенно аналогично. Пусть Ε —
локально выпуклое пространство, где всякое абсолютно выпуклое
подмножество, поглощающее все ограниченные множества, есть
окрестность нуля. Пусть G — еще одно локально выпуклое
пространство, /: Ε —> G — ограниченное линейное отображение.
Докажем, что / непрерывно. Пусть V — окрестность нуля в G; надо
доказать, что f~l(V) — окрестность нуля в Е. Обозначим через
Vo абсолютно выпуклую окрестность нуля в G, лежащую в V]
достаточно доказать, что окрестностью нуля в Ε является
множество /_1(Vo). Это множество абсолютно выпукло, а из
ограниченности / мы сейчас выведем, что f~1(Vo) поглощает каждое
ограниченное подмножество пространства Е. В самом деяе^
если В С Ε ограничено, то f(B) ограничено в G. Поэтому для
достаточно больших по модулю чисел t справедливо включение
f(B) С tV0. Тогда для тех же t имеем В С /_1(/(В)) С tf-l(V0).
Таким образом, в силу наложенного на Ε условия, f~1(Vo) —
окрестность нуля в Е.
Докажем, что если Ε — борнологическое локально выпуклое
пространство, то всякое его абсолютно выпуклое множество,
поглощающее каждое ограниченное множество, есть окрестность
нуля. Пусть В — класс всех абсолютно выпуклых подмножеств
пространства Е, каждое из которых поглощает все ограниченные
множества. Согласно предложению 1.2.11, класс В представляет
собой базу окрестностей нуля некоторой локально выпуклой
топологии τ в Ε (которая мажорирует исходную топологию, ибо
всякая абсолютно выпуклая окрестность нуля в этой последней
является элементом класса В). При этом тождественное
отображение пространства Ε с исходной топологией в пространство
(Ε,τ) ограничено и потому непрерывно в силу предполагаемой
борнологичности Е. Это значит, что каждый элемент класса В
является окрестностью нуля в исходной топологии Е. D
Приведем еще один простой критерий борнологичности.

3.6. Борнологические пространства
241
3.6.9. Следствие. Локально выпуклое пространство борно-
логично в точности тогда, когда все полунормы на нем,
ограниченные на ограниченных множествах, непрерывны.
Доказательство. Если данное пространство Ε борнологич-
но и полунорма ρ ограничена на ограниченных множествах, то
множество {р < 1} поглощает ограниченные множества и по
предыдущей теореме оказывается окрестностью нуля, что влечет
непрерывность р.
Пусть из ограниченности полунормы на ограниченных
множествах в Ε следует ее непрерывность. Тогда для всякого
линейного отображения Τ из Ε в локально выпуклое пространство F,
ограниченного на ограниченных множествах, мы получаем
ограниченность полунорм роТ на ограниченных множествах для всех
полунорм ρ из набора, задающего топологию в F. Это дает
непрерывность роТ, что означает непрерывность Т. D
3.6.10. Замечание, (i) Критерии борнологичности и ульт-
раборнологичности локально выпуклого пространства,
содержащиеся в доказанной теореме, обычно принимают за определения
соответствующих классов пространств. Нередко борнологичность
определяется и с помощью предыдущего следствия.
(и) Доказанная теорема аналогична теореме 3.5.5, но стоит
обратить внимание на одно отличие в доказательствах: при
доказательстве того, что в бочечном пространстве всякая бочка есть
окрестность нуля, достаточно было применить определение бо-
чечности к семействам линейных функционалов на
рассматриваемом пространстве; здесь же определение борнологичности
применялось к линейному отображению рассматриваемого борноло-
гического пространства в локально выпуклое пространство, не
являющееся числовым полем. Это отличие лежит в существе
дела. Если для бочечности отделимого локально выпуклого
пространства Ε достаточно, чтобы всякое поточечно ограниченное
множество линейных непрерывных функционалов на нем было
равностепенно непрерывным, то борнологичность Ε не вытекает
из того, что непрерывен всякий ограниченный линейный
функционал на нем (однако она вытекает из того, что для всякого
банахова пространства G все ограниченные линейные
отображение из Ε в G непрерывны). Например, бесконечномерное
нормированное пространство Е, наделенное топологией σ{Ε,Ε'), не
является борнологическим, хотя каждый ограниченный
функционал на нем непрерывен. Однако, как замечено в Shirota [453],
положение меняется в топологии Макки.

242
Глава 3. Двойственность
3.6.11. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε бор-
нологично в точности тогда, когда его топология есть
топология Макки т(Е, Е') и Е' совпадает с пространством всех
линейных функций на Е, ограниченных на ограниченных множествах.
Доказательство. Если Ε борнологично, то оно является
пространством Макки, ибо его тождественное вложение в Ε с
топологией Макки ограничено и потому непрерывно по
определению борнологичности. Обратно, пусть на Ε с топологией Макки
все ограниченные функционалы непрерывны. Пусть F —
банахово пространство и линейное отображение Τ: Ε —> F ограничено.
Для всякого / Ε F' функционал foT ограничен, значит,
непрерывен. Теорема 3.2.9 дает непрерывность Т. D
Бывают пространства Макки, которые не борнологичны (см.
пример 3.6.16).
3.6.12. Следствие. Метризуемые локально выпуклые
пространства являются пространствами Макки.
3.6.13. Теорема. Индуктивный предел борнологических
пространств есть борнологическое пространство.
Факторпространство борнологического пространства по
любому векторному подпространству есть борнологическое
пространство.
Несложное доказательство этого утверждения можно
прочитать в Эдварде [185, теорема 7.3.3].
3.6.14. Теорема. Все борнологические пространства квази-
бочечны, а все ультраборнологические пространства бочечны.
Значит, бочечны все секвенциально полные борнологические
пространства.
Доказательство. Первое очевидно, ибо если Ε —
борнологическое пространство и V — бочка в нем, поглощающая всякое
ограниченное множество, то ввиду абсолютной выпуклости V
является окрестностью нуля, что и означает квазибочечность Е.
Второе утверждение вытекает из теоремы 2.5.7, а последнее — из
замечания 3.6.3. Π
3.6.15. Пример. Пусть Ε — бесконечномерное
нормированное пространство, имеющее счетный базис Гамеля,
коэффициенты разложения по которому непрерывны (скажем, множество
финитных последовательностей в I2). Тогда Ε — борнологическое

3.6. Борнологические пространства
243
локально выпуклое пространство, не являющееся бочечным.
Действительно, пусть {еп} — его базис Гамеля с указанным свойством
из векторов единичной длины. Тогда множество
{Σ?=ι h4 ·■ η е in, |ί,·| < r1 vj € м}
есть бочка в Е, не являющаяся окрестностью нуля. Описанное
борнологическое пространство не является ультраборнологиче-
ским, так как оно не является бочечным.
3.6.16. Пример. Пусть F = Ж[0>1] — пространство всех
вещественных функций на отрезке [0,1], наделенное топологией
поточечной сходимости, Fq — его подпространство, состоящее из всех
тех функций, каждая из которых принимает ненулевые значения
не более чем в счетном множестве точек. Пусть, наконец, Ε —
подпространство в F, порожденное — как векторное
пространство — пространством Fo и элементом χ Ε F\Fq. Пространство
Ε — бочечное, но не борнологическое (описанный пример
принадлежит М. Вальдивии). Бочечность Ε можно доказать, например,
так: сначала непосредственно проверить, что бочечно i<o, а затем
воспользоваться тем, что коразмерность Fo в Ε равна единице.
Тот факт, что Ε — не борнологическое, следует из того, что
линейный функционал на Е, ядром которого является
подпространство Fo, секвенциально непрерывен, но не непрерывен.
Отметим еще, что пространство Fo — не только бочечное, но
и ультраборнологическое (задача 3.12.66).
3.6.17. Пример. Можно привести и пример пространства
одновременно бочечного и борнологического, но не ультрабор-
нологического. Именно: можно доказать (задача 2.10.31), что
в бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве
существует гиперподпространство F, не содержащее ни одного
бесконечномерного (т. е. с бесконечномерной линейной оболочкой)
банахова диска. Это гиперподпространство в Ε с
индуцированной топологией бочечно и борнологично, но не является ульт-
раборнологическим, ибо банаховы диски в F конечномерны, что
дает ограниченность на них любых линейных отображений, в том
числе и разрывных линейных функционалов (безусловно,
имеющихся на F). Произведение пространств из описанного примера и
примера 3.6.16 доставляет пример квазибочечного пространства,
не являющегося ни бочечным, ни борнологическим.
Известно (см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 183-185]), что
замкнутые подпространства конечной или счетной коразмерности

244
Глава 3. Двойственность
в ультраборнологических пространствах ультраборнологичны, но
если ультраборнологическое пространство не наделено
сильнейшей локально выпуклой топологией, то в нем есть плотная
гиперплоскость, которая борнологична и бочечна, но не ультрабор-
нологична.
Напомним, что мощность к называется двузначно измеримой,
если на множестве всех подмножеств пространства мощности к
есть ненулевая мера со значениями 0 и 1, равная нулю на всех
точках. Ответ на вопрос о существовании таких мощностей
связан с привлечением дополнительных теоретико-множественных
аксиом (обычным аксиомам не противоречит утверждение, что
таких мощностей нет). Известно, что если мощность к не
является двузначно измеримой, то такова и мощность 2К (см. Богачев
[17, предложение 1.12.43]). Поэтому мощность континуума не
является двузначно измеримой.
Доказательство следующего факта можно прочитать в [424,
теорема 6.2.23].
3.6.18. Теорема. Пространство JRK борнологично в
точности тогда, когда к не является двузначно измеримой.
Отметим, что классы борнологических и
ультраборнологических пространств замкнуты относительно конечных
произведений и произвольных прямых сумм, а также отделимых
индуктивных пределов (см. [424, §6.2]). В терминах индуктивных
пределов эти классы можно описать так (см. Шефер [174, теорема 8.4]
или [424, следствие 6.2.3]).
3.6.19. Теорема. Борнологические пространства — это
индуктивные пределы нормированных пространств, а ультрабор-
нологические пространства — это индуктивные пределы
банаховых пространств. В частности, всякое секвенциально полное
борнологическое пространство есть индуктивный предел
банаховых пространств.
Доказательство. Поясним лишь представление борнологи-
ческого пространства Ε в виде индуктивного предела
нормированных пространств (более подробные обоснования можно найти
в цитированных выше книгах). Для этого семейство В всех
абсолютно выпуклых замкнутых ограниченных множеств в Ε
частично упорядочим по включению. Каждое такое множество В
порождает нормированное пространство (Ев,рв)- Индуктивным
пределом полученного семейства и оказывается Е. В случае
секвенциально полного Ε пространства (Ев,рв) банаховы. D

3.7. Сильная топология и рефлексивность
245
Можно показать, что нормированные пространства в этих
индуктивных пределах всегда можно выбрать сепарабельными (см.
Jarchow [334, §13.2]).
Дополнительные сведения о пространствах типа борнологи-
ческих имеются в Perez Carreras, Bonet [424, гл. 6].
3.7. Сильная топология и рефлексивность
Если Ε — нормированное векторное пространство, Е' - его
сопряженное, то равенство ||/|| = sup{|/(x)|: x Ε Ε, \\χ\\ ^ 1}, где
/ G Ε', определяет на Ε' норму. С этой этой нормой Е'
представляет собой банахово пространство, называемое банаховым
сопряженным к пространству Е\ вторым банаховым сопряженным
к нормированному векторному пространству Ε называется
банахово сопряженное к его банахову сопряженному.
Если Ε — отделимое локально выпуклое пространство и Е' —
его сопряженное, то каноническая билинейная форма на Ε' χ Ε,
(fix) |—> f(x) = (f->x) приводит пространства Ε и Ε' в
двойственность (см. гл. 1). Поэтому мы будем отождествлять
элементы пространства Ε с линейными функционалами на Е' (элемент
χ Ε Ε отождествляется с функционалом f \—> (/,#)).
Если Ε — нормированное пространство, Е' и Е" — его
первое и второе банаховы сопряженные, то справедливо включение
Ε <ш Еп'. Если это включение оказывается равенством Ε = Ε", то
Ε называется рефлексивным', в случае строгого включения
пространство Ε называется нерефлексивным.
3.7.1. Замечание. Нерефлексивность означает, что в Е" есть
элементы, с которыми не отождествлен описанным выше
способом ни один вектор из Е. Однако при этом может все же
случиться, что Ε и Е" изоморфны как банаховы пространства (первый
пример такой ситуации привел Джеймс; см. задачу 3.12.79).
В случае, когда Ε — общее отделимое локально выпуклое
пространство, возникает вопрос, какую топологию в Е' считать
естественным аналогом топологии банахова сопряженного к
нормированному пространству. Поскольку последняя есть топология
сходимости на системе всех ограниченных подмножеств
исходного пространства, то, по крайней мере в классе топологий
равномерной сходимости на системах ограниченных множеств, такую
топологию и следует считать аналогом топологии банахова
сопряженного. Именно такое определение используется в теоремах,
в которых речь идет об условиях рефлексивности произвольных

246
Глава 3. Двойственность
локально выпуклых пространств, и то обстоятельство, что эти
теоремы и их доказательства весьма изящны и в то же время
значительно проясняют и ситуацию в банаховом случае,
показывает, что переход от банаховых пространств к локально
выпуклым пространствам произведен «правильно».
Итак, пусть Ε — локально выпуклое пространство, Е' — его
сопряженное. Как уже отмечалось, для всякого класса В
ограниченных множеств в Ε па,Ег возникает топология т# сходимости на
классе #, задаваемая полунормами I \—> sup^^ |Z(rr)|, В Ε В.
Наибольший такой класс В состоит из всех ограниченных множеств.
Согласно теореме 3.2.6, система σ(Ε, ^^-ограниченных множеств
совпадает с системой множеств, ограниченных и во всякой
другой топологии в Е, согласующейся с двойственностью между
пространствами Ε и Е'. Конечно, топология т& не всегда согласована
с двойственностью между Е' и Е\ примеры встретятся ниже.
3.7.2. Определение. Сильной топологией β Ε' называется
топология сходимости на системе всех σ(Ε,Ε')-ограниченных
множеств в Е. Она обозначается символом β(Ε',Ε) и
задается полунормами вида q(l) = sup^^^ \l(x)\> г^е В — ограниченное
множество в Е.
Далее рассматриваем отделимые пространства. Так как
ситуация совершенно симметрична по отношению к пространствам Ε
и Ε', то мы можем определить сильную топологию β{Ε,Ε') и
в пространстве Е. Таким образом, β(Ε,Ε') — топология в
пространстве Ε равномерной сходимости на классе всех
ограниченных подмножеств пространства (Ε',σ(Ε',Ε)).
Так как исходная топология Ε есть топология сходимости на
системе всех равностепенно непрерывных подмножеств
пространства Е\ а всякое равностепенно непрерывное множество в Е'
очевидным образом ограничено в топологии σ(Ε',Ε), то топология
β{Ε,Ε') мажорирует исходную топологию в Ε (почему она и
называется сильной), и вполне может случиться, что β(Ε,Ε') не
согласуется с двойственностью между Ε и Е\ т.е. может
случиться, что (Ε,β(Ε,Ε'))' φ Ε'.
Таким образом, помимо исходной топологии в Е, можно
ввести еще три: только что определенную топологию β(Ε,Ε');
слабую топологию σ(Ε, Ε'), которая, в отличие от топологии β(Ε,Ε'),
всегда согласуется с двойственностью между Ε и Ег\ а также
топологию Макки τ{Ε,Ε').

3.7. Сильная топология и рефлексивность
247
Если еще обозначить исходную топологию пространства Ε
символом те, то будут справедливы включения
σ{Ε, Ε') С тЕ С т{Е, Е') С β(Ε, Ε');
конечно, эти включения не обязаны быть строгими.
В пространстве Е' можно также ввести три аналогичные
топологии (напомним, что никакой «исходной» топологии в Е' нет):
сильную β(Ε',Ε), топологию Макки т{Е',Е) и слабую σ(Ε',Ε).
При этом снова справедливы включения
а(Е',Е)Ст(Е',Е)сР(Е',Е),
последнее из которых объясняет, почему топологию β(Ε',Ε)
называют сильной. Топология β(Ε', Ε) не всегда согласована с
двойственностью между Е' и Е, а остальные две, конечно,
согласованы. Например, если Ε есть банахово пространство со, то Е' = I1,
топология β(Ε',Ε) есть просто топология нормы в ί1, а
сопряженным к I1 с этой топологией оказывается ί°°, а не cq.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими
обозначениями. Если Ε — локально выпуклое пространство, то
пространство {Ε,σ{Ε,Ε')) мы будем обозначать символом Εσι
пространство (Е,г{Е,Е1)) — символом Ет, пространство {Ε,β{Ε,Ε')) —
символом Εβ. Аналогично мы полагаем
(Ε',σ(Ε',Ε))=Ε'σ, (Ε',τ(Ε',Ε))=Ε'τ, {Ε',β(Ε', Ε)) = Ε'β.
Итак, Ε' есть сопряженное к пространству Ε = (Ε,τε), не
наделенное какой-либо топологией; сопряженное же, скажем, к
пространству Ер мы обозначаем символом (Εβ)'; последнее
пространство снова не предполагается наделенным какой бы то ни было
топологией (в отличие от Ε β, которое является локально
выпуклым пространством; впрочем, и как векторные пространства они
могут не совпадать). Сильно ограниченными называют
множества в Е', ограниченные в сильной топологии β(Ε',Ε). Если Ε
бочечно, то σ{Ε\ ^-ограниченные множества сильно
ограничены (предложение 3.5.3).
Хотя всегда (Εσ)' = {ET)f = Ε' и {Εβ)' D Ε', но, вообще
говоря, (ΕβΥ φ Ε'. Конечно, в пространстве {Εβ)' тоже можно
вводить различные топологии, но мы этого здесь делать не
будем. В то же время топологии в {Εβ)' будут рассматриваться;
здесь снова применимы предыдущие соглашения, только роль Ε
играет Εβ.

248
Глава 3. Двойственность
Для каждого локально выпуклого пространства Ε
пространство Ε'σ называется слабым сопряженным, Е* — сильным
сопряженным, пространство Е'т — сопряженным Макки.
Пространство (Ε'β)'β называется вторым сильным
сопряженным-, для определяемых аналогично пространств (Ε'σ)'σ и (Е'Т)'Т
названия «второе слабое сопряженное» и «второе сопряженное
Макки» не вводятся, так как эти пространства совпадают
соответственно с Εσ и Ет.
В пространстве Ε', наряду с топологией σ(Ε',Ε) (с ней оно
обозначается символом Ε'σ), полезно рассматривать также
топологию σ(Ε', (Εβ)Ύ Это — «ослабленная топология в сильном
сопряженном»; наделенное ею, это пространство следует, в
соответствии с нашим соглашением, обозначить символом (Εβ)σ.
3.7.3. Определение. Локально выпуклое пространство Ε
называется полу рефлексивным, если пространства (Εβ)' и Ε
совпадают как векторные пространства без топологии.
Локально выпуклое пространство Ε называется
рефлексивным, если (ΕβΥβ = (Ε, те), т. е. если оно полурефлексивно и
топология β(Ε,Ε') совпадает с исходной топологией Е.
В терминах топологии Макки полурефлексивность есть
равенство τ(Ε',Ε) = β(Ε' ,Е). Если Ε полурефлексивно, то
ослабленная топология σ(Ε,Ε') в Ε совпадает со слабой, которой
может быть наделено пространство (Εβ)', и то же верно для Εβ.
Часто (в том числе в этой книге) ослабленная топология в Ε
называется слабой, а слабая топология σ(Ε',Ε) в Е' называется
*-слабой (особенно это распространено применительно к
нормированным пространствам).
Конечно, наиболее целесообразно в тех случаях, когда может
возникнуть путаница, пользоваться подробными обозначениями
вроде σ(Ε',Ε), σ(Ε,Ε').
3.7.4. Теорема. Отделимое локально выпуклое
пространство Ε полурефлексивно в точности тогда, когда всякое его
ограниченное подмножество относительно компактно в
топологии σ(Ε,Ε') (здесь подразумевается ограниченность в
исходной топологии, но поскольку запас ограниченных множеств во
всех топологиях, согласующихся с двойственностью между Ε
и Ε', одинаков, можно считать, что речь идет об
ограниченности в любой из них, скажем, в топологии σ(Ε,Εί)).

3.7. Сильная топология и рефлексивность
249
Доказательство. Фактически это следствие теоремы Мак-
ки-Аренса (теорема 3.2.3), ибо сказать, что локально выпуклое
пространство Ε полурефлексивно — все равно что сказать, что
топология β(Ε',Ε) в пространстве Е' согласуется с
двойственностью между Е' и Е. Так как топология Макки т(Е',Е) — самая
сильная из всех топологий в Е\ согласующихся с
двойственностью между £?' и £?, а топология β(Ε',Ε) ее мажорирует, то
топология β(Ε',Ε) согласуется с двойственностью между Е' и Ε
в точности тогда, когда она совпадает с топологией Макки.
Таким образом, осталось показать, что выполнение условия
доказываемой теоремы равносильно равенству β(Ε', Ε) = т(Е\ Ε),
которое, в свою очередь, равносильно включению β(Ε',Ε) С т(Е\Е)
в силу того, что β(Ε',Ε) мажорирует τ{Ε',Е).
Итак, пусть каждое ограниченное подмножество
пространства Ε относительно компактно в топологии σ(Ε,Ε')\ докажем,
что тогда β(Ε\ Ε) С т(Е\ Е). Пусть V — окрестность нуля в
топологии β(Ε',Ε). Тогда существует такое ограниченное
подмножество В пространства Е, что В° С V. Однако В° = (В°°)°
(см. §3.1), причем множество В°° является абсолютно выпуклой
замкнутой (в топологии σ(Ε,Ε'), а потому и во всякой другой
топологии, согласующейся с двойственностью между Ε и Е')
оболочкой ограниченного множества В, а потому само ограничено,
значит, относительно компактно в топологии σ(Ε,Ε'). При этом
его замкнутость означает, что оно и компактно в этой
топологии. Значит, множество (В°°)° = В° является окрестностью нуля
в т{Е',Е). Таким образом, доказано, что β(Ε',Ε) С т(Е',Е).
Покажем теперь, что из последнего включения вытекает, что
всякое ограниченное подмножество пространства Ε (или, что все
равно, пространства Εσ) относительно компактно в Εσ.
Пусть это включение выполнено. Поляра В° всякого
ограниченного множества В в Ε есть окрестность нуля в топологии
β(Ε',Ε), значит, существует такая окрестность нуля W в
топологии т(Е',Е), что W С В°. Тогда из определения топологии
т(Е',Е) следует, что существует такое абсолютно выпуклое
компактное подмножество К пространства Εσι что К° С W. Это
означает, что К = К°° D B°° D В, так что множество В
относительно компактно в Εσ. D
Конечно, для полурефлексивности достаточна относительная
компактность ограниченных множеств в топологии т(Е,Е').

250
Глава 3. Двойственность
3.7.5. Следствие. Всякое полурефлексивное локально
выпуклое пространство квазиполно и потому секвенциально полно.
Более того, полурефлексивное локально выпуклое
пространство Ε квазиполно и секвенциально полно в топологии а(Е,Ег).
Доказательство. По доказанной теореме каждое
замкнутое ограниченное подмножество полурефлексивного
пространства Ε содержится в множестве, компактном в топологии σ(Ε,Ε'),
следовательно, полном в этой топологии. Ясно, что это последнее
множество будет полным и в исходной топологии. Значит, полным
в ней будет и исходное множество как замкнутое подмножество
полного множества. Сказанное верно и для топологии а(Е,Ег)
(ибо ее можно считать исходной). D
Так как для метризуемых локально выпуклых пространств
секвенциальная полнота равносильная полноте, то из сказанного
вытекает, что полурефлексивные метризуемые локально
выпуклые пространства являются пространствами Фреше (т.е. полны).
3.7.6. Теорема. Топология, которая индуцирована в
пространстве Ε топологией его второго сильного сопряженного,
совпадает с исходной топологией этого пространства в
точности тогда, когда Ε квазибочечно (здесь подразумевается, что
Ε рассматривается как подпространство пространства
линейных функционалов на Е' и что, следовательно, Ε С (E'q)').
Доказательство. Квазибочечность Ε означает, что всякая
бочка в Е, поглощающая все ограниченные множества, является
окрестностью нуля. Топология, индуцированная в Ε топологией
пространства (£7д)д, т.е. топологией /3((Е^У, £?'), обладает базой
окрестностей нуля, состоящей из поляр в Ε подмножеств
пространства Е\ ограниченных в топологии β(Ε',Ε) (т.е., как
говорят, сильно ограниченных подмножеств). При этом множество
А С Е' сильно ограничено в точности тогда, когда оно
поглощается полярой В° каждого ограниченного множества В С Ε (ибо эти
поляры образуют базу окрестностей нуля топологии β(Ε',Ε));
но если множество А поглощается полярой В°, то А°
поглощает множество В°° D В и тем более В. Поскольку А° как поляра
множества, ограниченного в топологии β(Ε',Ε), а тогда и в
мажорируемой ею топологии σ(Ε',Ε), является бочкой в исходной
топологии пространства Е, то А° оказывается окрестностью нуля
исходной топологии пространства Е.

3.7. Сильная топология и рефлексивность
251
Итак, всякая окрестность нуля из базы окрестностей нуля
топологии, индуцированной в Ε топологией β([Ε'β)*,£?'), является
и окрестностью нуля в исходной топологии этого пространства,
которая, таким образом, не слабее индуцированной. Однако она
и не сильнее индуцированной, так как поляра V° всякой
окрестности нуля V пространства Ε ограничена в Ε β. В самом деяе^
V поглощает всякое ограниченное подмножество В С Е. Поэтому
поляра В° всякого такого множества (а такие поляры образуют
базу окрестностей нуля топологии β(Ε',Ε)) поглощает
множество Vго, что и означает его ограниченность. Значит, всякая абсо-,
лютно выпуклая замкнутая окрестность нуля в Е, являющаяся
полярой своей поляры, будет и окрестностью нуля в топологии,
индуцированной в Ε топологией β^Ε'β)',Е'}.
Предположим теперь, что топология, индуцированная в Ε
топологией β((Εβ)',Ε'}, совпадает с исходной, и докажем, что Ε
квазибочечно. Пусть V — бочка в Е, поглощающая каждое
ограниченное подмножество В] докажем, что V — окрестность нуля.
Поляра V° множества V поглощается полярой каждого
ограниченного множества и, значит, является ограниченным
подмножеством Ε β. Поэтому биполяра V00 (совпадающая с V)
представляет собой окрестность нуля в топологии, индуцированной в Ε
топологией β((Εβ)',Ε'), значит, и в исходной топологии Е. D
Имеет место такой критерий рефлексивности.
3.7.7. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε
рефлексивно в точности тогда, когда Ε квазибочечно и всякое его
ограниченное множество относительно компактно в
топологии σ(Ε,Ε'). Всякое рефлексивное локально выпуклое
пространство бочечно.
Доказательство. Сказанное в первой фразе вытекает из
двух предыдущих теорем. Таким образом, осталось доказать, что
если Ε рефлексивно, то оно бочечно. Поскольку Ε
полурефлексивно, то слабо и сильно ограниченные подмножества
пространства Е' одни и те же (слабая ограниченность — ограниченность
в пространстве Ε'σι а сильная — ограниченность в Ε β).
Следовательно, если V — бочка в Е, то ее поляра V°, будучи
ограниченным подмножеством в Ε'σ, является ограниченным множеством
в Ε β. Поэтому V°° = V представляет собой окрестность нуля
в топологии β(Ε, Ε'), а тогда и в исходной топологии. D

252
Глава 3. Двойственность
3.7.8. Следствие. Если пространство Ε полу рефлексивно,
то его топологическое сопряженное Е' бочечно в сильной
топологии (совпадающей с τ(Ε',Ε)). Обратно, если (Ε',τ(Ε',Ε))
бочечно, то Ε полу рефлексивно. Если пространство Ε
рефлексивно, то Е' с сильной топологией таксисе рефлексивно.
Доказательство. Это следует из предыдущих результатов
с учетом того, что поляра ограниченного множества в Ε является
бочкой в Е'. D
Полученные результаты можно представить в более
симметричном виде.
3.7.9. Теорема. Для локально выпуклого пространства Ε
с сопряженным Е' следующие условия равносильны:
(i) пространство (Е,т(Е,Е*)) рефлексивно-,
(и) пространство (Е',т(Е',Е)) рефлексивно;
(Hi) оба (Ε,σ(Ε,Ε')) и (Ег,σ(Ε',Е)) полурефлексивны;
(iv) оба (Ε,τ(Ε,Ε')) и (Е',т(Е',Е)) бочечны.
3.7.10. Замечание, (i) Поскольку класс ограниченных
подмножеств локально выпуклого пространства Ε определяется не
непосредственно его топологией, а только тем, каково его
сопряженное Е' как векторное пространство, то как свойство быть (или
не быть) полурефлексивным, так и топология, индуцируемая в Ε
из его второго сильного сопряженного, также зависят только от
пары (Е,ЕГ) векторных пространств. Таким образом, для всех
топологий в Е, согласующихся с двойственностью между Ε и Е',
Ε одновременно является (или не является) полурефлексивным,
и для всех этих топологий топологии, индуцируемые в Ε из
второго сильного сопряженного к Е, совпадают.
(и) Так как нормированное пространство борнологично и
потому квазибочечно, то топология, индуцированная в нем
топологией его второго сильного сопряженного, совпадает с исходной,
так что для нормированных пространств рефлексивность и
полурефлексивность — одно и то же. Однако для слабой топологии
это не так: I2 со слабой топологией пол у рефлексивно, но не
рефлексивно. Отметим, кстати, что топология первого сильного
сопряженного к нормированному пространству есть топология его
банахова сопряженного; то же верно и для второго сильного
сопряженного. Рефлексивность банахова пространства
равносильна слабой компактности его замкнутого единичного шара.

3.7. Сильная топология и рефлексивность
253
3.7.11. Пример, (i) Пространства Lp при 1 < ρ < оо
рефлексивны, а со, Ζ1, С[0,1], Ll[Q, 1] нерефлексивны.
(ii) Пространство, являющееся строгим индуктивным
пределом возрастающей последовательности его замкнутых
рефлексивных подпространств, само рефлексивно. Рефлексивны
индуктивные пределы возрастающих последовательностей пространств
с компактными вложениями (см. §2.6, 2.7).
(iii) Рефлексивны пространства Vni V, V, <S, <S7, £, £', JRT.
Требование относительной компактности ограниченных
множеств в слабой топологии, содержащееся в теоремах 3.7.4 и 3.7.7,
является довольно тонким, ибо всякое ограниченное множество в
произвольном локально выпуклом пространстве слабо предком-
пактно (предложение 3.4.2). При проверке слабой компактности
полезны обсуждавшиеся в § 3.4 теоремы Эберлейна и Шмульяна.
Есть неполные рефлексивные пространства, даже с
относительно компактными ограниченными множествами (в Knowles,
Cook [359] исправлен пример из Amemiya, Komura [199]; см.
также Komura [364]). Сведения о пространствах Е' с сильной
топологией β = β(Ε',Ε) даны в Эдварде [185, §8.4]; там
используется понятие правильного пространства, т. е. такого
отделимого локально выпуклого пространства X, что каждое σ(Χ/7,Χ)-
ограниченное множество из X" лежит в замыкании некоторого
а(Х/7,Х)-ограниченного множества из X. Например, (Ε',β) бо-
чечно в точности тогда, когда оно правильно; это равносильно
тому, что Ε правильно. Если Ε — пространство Фреше с
убывающей базой замкнутых абсолютно выпуклых окрестностей
нуля Vn, то Ε правильно в точности тогда, когда топология β на Е'
совпадает с топологией индуктивного предела возрастающих
банаховых пространств Еуо.
Следующий факт вытекает из теоремы 2.9.12, но без труда
доказывается непосредственно.
3.7.12. Теорема. Всякое ядерное пространство Фреше
рефлексивно.
Сильное сопряженное ядерного пространства не обязано быть
ядерным, однако верны такие факты.
3.7.13. Теорема. Метризуемое локально выпуклое
пространство ядерно в точности тогда, когда ядерно его
сильное сопряженное. Аналогично локально выпуклое пространство
с метризуемым сильным сопряженным ядерно в точности
тогда, когда ядерно его сильное сопряженное.

254
Глава 3. Двойственность
3.7.14. Теорема. Если локально выпуклое пространство Ε
имеет ядерное сильное сопряженное, а локально выпуклое
пространство F ядерно, то ядерно пространство Cb(E-,F)
непрерывных линейных операторов из Ε в F с топологией
равномерной сходимости на ограниченных множествах.
Доказательства см. в Шефер [174, гл. 3, §7, гл. 4, §9].
3.8. Критерии полноты
В этом параграфе приводится серия результатов, содержащих
критерии полноты локально выпуклых пространств. Эти
результаты были впервые получены Банахом для нормированных
пространств и затем обобщены Гротендиком на произвольные
локально выпуклые пространства.
Пусть дано некоторое семейство у ограниченных в топологии
σ{Ε, G) подмножеств пространства Е, сопряженного к локально
выпуклому пространству (7, причем множество поляр к
элементам 7 образует предбазу окрестностей нуля в G. Будем называть
7 наполненным семейством, если оно покрывает Ε и из
включений A G 7 и В С А следует, что В е η. При этом для
каждого дуального к Ε пространства F (например для G) топология
равномерной сходимости на элементах η (вообще говоря, не
согласующаяся с векторной структурой F, но согласующаяся со
структурой векторной группы) обозначается символом т7.
3.8.1. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Е' — его сопряженное, наделенное топологией τΊ
сходимости на некотором наполненном семействе η ограниченных
множеств из Е. Пространство (Ε',τΊ) полно в точности тогда,
когда непрерывен всякий линейный функционал на Е, сужение
которого на каждое множество из η непрерывно в топологии,
индуцированной из Е.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточность почти очевидна.
Действительно, пусть {fa} — фундаментальная направленность в Е'.
Поскольку всякое одноточечное множество входит в 7? Для всякого
χ £ Ε существует lim/Q(:c) = f(x)- При этом функция /, опре-
а
деленная последним равенством, линейна на Е. Ввиду того что
направленность {fa} сходится к / равномерно на множествах из
семейства 7, сужение функции / на каждое множество из η
оказывается непрерывным. По условию теоремы это означает, что /
непрерывна на Е. Значит, / е Е\ причем /Q —> / в Е'.

3.8. Критерии полноты
255
Докажем необходимость. Предположим, что Е' полно и / —
линейный функционал на Е, сужение которого на каждое
множество из 7 непрерывно. Проверим, что / Ε Ег. Для этого покажем,
что всякая окрестность функции /, рассматриваемой как элемент
пространства Е* с топологией сходимости на том же семействе 7,
содержит некоторый элемент пространства Е'. Так как Е', будучи
полным, замкнуто в Е* (топология, индуцированная в Е'
топологией, которой мы наделили Е*, совпадает с введенной в Е'), то
это будет означать, что / Ε Е'.
Итак, пусть V — некоторая окрестность / в пространстве Е*.
Тогда существует такое множество В Ε 7? чт0 / + В*е* ^ ^ (и^°
множества вида ВЕ* образуют базу окрестностей нуля
пространства Е* в топологии т7). Можно считать, что В замкнуто и
абсолютно выпукло из-за равенства поляр В и absconvi?. Ввиду
непрерывности функции /\в есть такая замкнутая и абсолютно
выпуклая окрестность нуля W в пространстве Е, что |/(#)| < 1
при χ Ε В Π W, т. е. / Ε (В U И^)^*. Верны соотношения
(Б U W)°E* =conv(B°E* U W°E*) С В°Е* + W°E*,
так что / Ε ВЕ* + W^, т.е. существует такой элемент a Ε WE*,
что / Ε ВЕ*+а или, что то же, a Ε f + BE*. Поскольку WE* С Ε1,
то a Ε Е' является искомым элементом в окрестности /. D
Отметим, что свойство пространства (Ε',τΊ) быть полным
зависит не непосредственно от топологии пространства Е, а только
от пары (Е,ЕГ) и, конечно, от системы множеств η.
Доказательство дает такое описание пополнения пространства (Ε',τΊ).
3.8.2. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Е' — его сопряженное, наделенное топологией τΊ
сходимости на некотором семействе η ограниченных подмножеств
пространства Е. Тогда пополнение пространства Е' можно
реализовать как наделенное топологией сходимости на семействе
множеств η векторное пространство Г всех линейных
функционалов на Е, каждый из которых непрерывен на каждом
множестве из системы η относительно топологии из Е.
Доказательство. При доказательстве второй части
предыдущей теоремы было показано, что если / — линейный
функционал на Е, непрерывный на абсолютно выпуклом замкнутом
ограниченном множестве В С Ε (в топологии, индуцированной
из £?), то существует такой элемент a Ε Е', что a Ε / + ВЕ*. Это

256
Глава 3. Двойственность
значит, что такой функционал ограничен на В. Действительно,
так как а — f Ε Вд*, то на В ограничены единицей модули
значений функционала a — f £ Е*; кроме того, на В ограничены по
модулю и значения непрерывного функционала а.
Таким образом, каждый из функционалов, входящих в Г,
ограничен на каждом подмножестве В Ε η. Значит, топология
сходимости на системе множеств η согласуется со структурой
векторного пространства в Г. Теперь полнота Г доказывается точно
так же, как первая часть предыдущей теоремы (с тем отличием,
что сейчас нет необходимости пользоваться тем, что из
непрерывности функционала / Ε Е* на каждом множестве из η вытекает
его непрерывность на всем Е).
Далее, использованный выше факт, что для каждого
функционала / Ε £?*, непрерывного на абсолютно выпуклом замкнутом
ограниченном множестве В С Е, существует функционал a Ε Е\
для которого a—f Ε ##*, означает, что множество Е' всюду
плотно в (Г,т7). Отсюда в силу полноты пространства (Г,т7) и
вытекает, что (Г,т7) — пополнение (Ε',τΊ). Π
3.8.3. Замечание. Аналогично можно доказать критерий
полноты и описать пополнение пространства £7(£7, G) всех
линейных непрерывных отображений произвольного локально
выпуклого пространства Ε в полное локально выпуклое
пространство G относительно топологии сходимости на системе η
ограниченных подмножеств Е. А именно: это пространство полно в
точности тогда, когда из непрерывности линейного отображения
/: Ε —> G на каждом множестве из системы η вытекает
непрерывность его на всем Е. Далее, пополнение £7(£?, G) можно
реализовать как векторное пространство всех линейных
отображений Ε в G, непрерывных на каждом множестве из системы 7?
наделенное топологией сходимости на системе η (докажите это).
3.8.4. Теорема. Пусть Ε — отделимое борнологическое
пространство. Тогда Е' полно с сильной топологией β(Ε',Ε), а
если Ε секвенциально полно, то Е' полно и в топологии Макки
τ(Ε',Ε). Например, это верно, если Ε — пространство Фреше.
Доказательство. Первое утверждение вытекает из
теоремы 3.6.11. Пусть Ε секвенциально полно и линейная функция
f е Е* есть предел направленности элементов fa Ε Ε',
сходящихся равномерно на абсолютно выпуклых слабо компактных
множествах в Е. Покажем, что / Ε Е'. Для этого в силу борнологич-
ности Ε достаточно проверить ограниченность /. Предположив,

3.8. Критерии полноты
257
что ограниченности нет, получаем ограниченную
последовательность {ап} с f(an) —> +00. Перейдя к подпоследовательности,
можно считать, что f(an) ^ 4П, т.е. f(2~nan) ^ 2п. Это ведет
к противоречию, ибо {2~пап} лежит в абсолютно выпуклом
компакте, равном образу замкнутого единичного шара в I2 при
операторе А: I2 —> Е, (хп) \—> Y^Li 2~пхпап\ сходимость ряда следует
из ограниченности {ап} и секвенциальной полноты Е. D
Рассматривая исходное локально выпуклое пространство как
векторное пространство линейных функционалов на Е\
наделенное топологией сходимости на системе /Зе всех равностепенно
непрерывных подмножеств пространства Е', получаем из
доказанного следующий критерий полноты локально выпуклого
пространства.
3.8.5. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε полно
в точности тогда, когда всякий линейный функционал на Е*',
непрерывный в топологии σ(Ε',Ε) на каждом равностепенно
непрерывном множестве в Ε', является элементом Е.
Пополнение локально выпуклого пространства Ε можно
реализовать как наделенное топологией сходимости на всех
равностепенно непрерывных множествах из Е' пространство всех
линейных функционалов на Ε', непрерывных при сужении на
всякое равностепенно непрерывное подмножество.
Поскольку для сепарабельного Ε топология σ(Ε',Ε) метри-
зуема на равностепенно непрерывных подмножествах в Е'
(предложение 1.9.5), то верен такой полезный факт.
3.8.6. Следствие. Если локально выпуклое пространство Ε
сепарабельно и полно, то для непрерывности линейной функции
Λ на Е' в топологии σ(Ε',Ε) достаточно, чтобы для всякой
последовательности {fn} С Ε', поточечно сходящейся к нулю,
выполнялось соотношение Λ(/η) —> 0.
3.8.7. Предложение. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство. Для каждого А С Ε обозначим через (А°)°Е,*
взятую в Е'* (алгебраическом сопряженном к Е') поляру
вычисленной в Е' поляры множества А. Если Ε — пополнение
пространства Е, то справедливо следующее равенство векторных
пространств:
Е= Г)(Я+(ПЬ")>
Vera

258
Глава 3. Двойственность
где tq — множество всех окрестностей нуля в Е.
Аналогично пополнением пространства Е1', наделенного топологией
сходимости на некотором классе Л ограниченных множеств в Е,
объединение которых покрывает Е, служит наделенное
топологией сходимости на Л векторное подпространство
АеЛ
в Е*, где поляры берутся в Е*.
Доказательство. Это вытекает из теорем 3.8.1 и 3.8.5.
Действительно, если / Ε £", то / — функционал на Е\ сужение
которого на каждое множество V°, где F G го, непрерывно в
топологии, индуцированной на V° топологией σ(Ε',Ε). Поэтому,
согласно рассуждению, проведенному в самом конце
доказательства теоремы 3.8.1, / Ε а+(У°)°Е,*,гдеае Я, т.е. / Ε E+{V°)°EI*.
Так как это верно для каждого V Ε то, то / Ε Г\уего (E+(V°)°E,*).
Допустим теперь, что выполнено последнее включение. Это
значит, что для всякой окрестности нуля в Е'* вида (V°)^/*, где
V Ε то (такие окрестности образуют базу окрестностей нуля в
пространстве Е' * в топологии сходимости на множестве всех
подмножеств Е\ имеющих вид V°, где V Ε то), существует такой
элемент a Ε Е, что a Ε / + (V°)°Ef*. Таким образом, каждая
окрестность функционала / содержит элементы из Е. Иначе
говоря, каково бы ни было множество V Ε то, сужение / на V°
может быть с произвольной степенью точности аппроксимировано
сужением на V° некоторого функционала, являющегося
элементом Ε (проверьте, что сказанное в последней фразе вытекает из
сказанного в предпоследней). Поэтому в силу теоремы 3.8.5
получаем / Ε Е. Второе утверждение теоремы очевидным образом
вытекает из первого. Π
3.8.8. Замечание. Из теоремы 3.8.5 вытекает установленный
в примере 1.7.11 факт, что никакое бесконечномерное банахово
(и тем более никакое нормированное) пространство В не
является полным в ослабленной топологии σ(Β,Β'), ибо на банаховом
сопряженном В' существуют разрывные функционалы, которые,
таким образом, разрывны в топологии σ(Β', В"), тем более в
топологии σ(Β',Β). Действительно, поляра всякой окрестности нуля
пространства (Β,σ{Β,Β')) в пространстве В' содержится в
конечномерном подпространстве последнего, поэтому сужение на

3.8. Критерии полноты
259
нее всякого линейного функционала на Е' непрерывно в
топологии, индуцированной какой угодно отделимой локально выпуклой
топологией пространства В'.
Совершенно аналогично из того, что на всяком
бесконечномерном метризуемом локально выпуклом пространстве
существуют разрывные линейные функционалы, следует, что сопряженное
к такому пространству, наделенное слабой топологией, не может
быть полным.
В связи со сказанным отметим, что в старой литературе
(например в книге Данфорда и Шварца [53]) термин «слабо
полное банахово пространство» означает «банахово пространство,
секвенциально полное в ослабленной топологии».
Секвенциально полными в ослабленной топологии являются
все рефлексивные банаховы пространства (почему?);
нерефлексивные банаховы пространства могут как быть, так и не быть
секвенциально полными в этой топологии. Пример первого
случая — пространство Z1, второго — пространство с$.
3.8.9. Теорема. Локально выпуклое пространство полно
в точности тогда, когда всякое гиперподпространство его
сопряженного, обладающее замкнутыми в слабой топологии
пересечениями с полярами всех окрестностей нуля исходного
пространства, само замкнуто в этой топологии.
Для доказательства достаточно применить теорему 3.8.5
и предложение 1.9.6.
В формулировке этой теоремы термин
«гиперподпространство» можно заменить термином «гиперплоскость».
3.8.10. Определение. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Ег — его сопряженное. Множество А С Е'
называется почти замкнутым, если, какова бы ни была окрестность
нуля V пространства Е, множество APiV° замкнуто в
топологии σ(Ε',Ε).
Пользуясь этим определением, предыдущую теорему можно
переформулировать так.
3.8.11. Теорема. Локально выпуклое пространство Ε полно
в точности тогда, когда всякое почти замкнутое
гиперподпространство его сопряженного Е' замкнуто в топологии σ(Ε',Ε)
(или всякая почти замкнутая гиперплоскость в его
сопряженном замкнута в той же топологии).

260
Глава 3. Двойственность
3.8.12. Определение. Локально выпуклое пространство Ε
называется совершенно полным, если всякое почти замкнутое
векторное подпространство его сопряженного замкнуто в
топологии σ(Ε',Ε).
Классы Вг-полных пространств, гиперполных пространств
и пространств Крейна-Шмульяна определяются путем
замены термина «почти замкнутое подпространство» на термины
«почти замкнутое всюду плотное в топологии σ(Ε\ Ε)
векторное подпространство», «почти замкнутое абсолютно выпуклое
подмножество» и «почти замкнутое выпуклое подмножество»
соответственно.
Из теоремы 3.8.9 следует, что всякое #г-полное пространство
полно. Кроме того, из самого определения выше вытекает, что
введенные в нем классы пространств связаны так:
£?г-полные локально выпуклые пространства D совершенно
полные локально выпуклые пространства D гиперполные
локально выпуклые пространства D локально выпуклые пространства
Крейна-Шмульяна.
Бесконечномерное банахово пространство с сильнейшей
локально выпуклой топологией полно, но не Вг-полно
(задача 3.12.143); также полны, но не Вг-полны пространства V и V,
ибо в силу предложений 2.10.8 и 2.10.9 в них есть
незамкнутые плотные секвенциально замкнутые линейные
подпространства (секвенциально замкнутые множества в этих пространствах
почти замкнуты, так как слабо компактные множества в них мет-
ризуемы). Произведение счетной степени прямой и счетной
суммы прямых гиперполно, но не является пространством Крейна-
Шмульяна (задача 3.12.165). Долго стоявшая проблема о
различении классов #г-полных и совершенно полных пространств была
решена в работе Valdivia [498], где построен пример #г-полного
пространства, не являющегося совершенно полным (он изложен
также в книге Perez Carreras, Bonet [424, § 7.4]). До сих пор
неизвестно, различаются ли классы совершенно полных и
гиперполных пространств.
Совершенно полные локально выпуклые пространства
называются также В-полными или пространствами Птака. Значение
#г-полных и β-полных пространств связано с той ролью,
которую они играют в теоремах о замкнутом графике и об открытом
отображении; об этом пойдет речь в § 3.9.
3.8.13. Теорема. (Теорема Крейна-Шмульяна) Всякое
пространство Фреше есть пространство Крейна-Шмульяна.

3.8. Критерии полноты
261
Доказательство. Пусть Ε — пространство Фреше и X —
топология в Е\ определяемая следующим требованием:
множество А С Ег замкнуто в точности тогда, когда оно почти замкнуто
(проверьте, что это определение корректно). Чтобы доказать
теорему, достаточно проверить, что эта топология локально выпукла
и согласуется с двойственностью между Е' и Е. Если это
сделано и А С Е' — почти замкнутое выпуклое подмножество, то А
замкнуто в топологии X, следовательно, в силу выпуклости, и во
всякой другой топологии в Е\ согласующейся с двойственностью
между Е' и Е, в частности в топологии σ(Ε', Ε).
Чтобы доказать, что топология X локально выпукла,
достаточно показать, что для всяких открытого в топологии X
множества W С Е' и точки a Ε W существует такое открытое в
топологии X выпуклое множество Wai что a Ε Wa С W.
Множество F = Er\W замкнуто в топологии X, т. е. почти
замкнуто. Наша цель — доказать существование такого открытого
в топологии X выпуклого множества В, что аЕВиВПР = 0.
Пусть V\ D V2 D V3 D · · · — база абсолютно выпуклых
окрестностей нуля в Е] тогда Ujli ^7 = Е'· Таким образом, a Ε V° для
некоторого щ мы можем считать, что η = 1. Пусть В\ Э α —
открытое в топологии σ(Ε',Ε) выпуклое множество в Е',
замыкание В\ которого в топологии σ(Ε', Ε) не пересекается с V{ CiF.
Такое В\ существует, ибо V£ Π F замкнуто в топологии σ(Ε*', Ε).
Мы имеем БГп^П^) = (B[r\V^)r\F, причем Б^ПVJ0 = Вг Π Vf
в силу компактности V£ в топологии σ(Ε',Ε). Таким образом,
W\ = В\ Π ν{ — окрестность точки а в пространстве V£ с
топологией, индуцированной топологией σ(Ε',Ε), причем замыкание
этой окрестности в V£ не пересекается с F.
Предположим, что построена конечная последовательность
W\ С W<i С · · · С Wn выпуклых множеств в Е' со
следующими свойствами: для всякого j ^ η множество W}+i есть
открытая окрестность множества Wj в пространстве Т^_1? наделенном
топологией, индуцированной топологией σ(Ε',Ε), причем
замыкание множества Wj в V° не пересекается с F. Тогда Wn+i есть
пересечение с множеством V^+1 какой-либо открытой выпуклой
окрестности множества Wn в пространстве (Ε',σ(Ε',Ε)),
замыкание которой в топологии σ(Ε',Ε) не пересекается с F. Значит,
множество (J^Li Wn выпукло и открыто в топологии X (ибо его
дополнение в Е' почти замкнуто).

262
Глава 3. Двойственность
Осталось доказать, что топология X согласована с
двойственностью между Е' и Е. Эта топология мажорирует σ(Ε\ Ε)
(каждое множество, замкнутое в топологии σ(Ε',Ε), тем более почти
замкнуто), так что каждый элемент пространства Ε
непрерывен как функционал на (Е',%). С другой стороны, если линейная
функция / на Е' непрерывна в топологии X, то ее ядро
замкнуто в этой топологии, т. е. почти замкнуто. Значит, /
непрерывна на каждом множестве К° с топологией σ(Ε',Ε)
(предложение 1.9.8). В силу полноты Ε имеем / е (Ef,σ{Ε',Ε)) = Ε по
теореме 3.8.5. D
В банаховом пространстве достаточно поляры одного шара,
что дает следующий факт.
3.8.14. Следствие. Пусть пространство X банахово и
множество V С X' выпукло. Если пересечение V с каждым
замкнутым шаром радиуса η с центром в нуле замкнуто в топологии
σ(Χ',Χ), то V таксисе замкнуто в топологии σ(Χ',Χ).
Если при этом X сепарабельно, то для замкнутости
множества V в топологии σ(Χ7, Χ) достаточно, чтобы V
содержало пределы всех своих *-слабо сходящихся последовательностей.
При определении топологии X и доказательстве ее
локальной выпуклости полнота метризуемого локально выпуклого
пространства Ε не использовалась. Возникает вопрос о
существенности метризуемости. Известен пример Коллинза (задача 3.12.147),
показывающий, что для общих локально выпуклых пространств
топология X не обязана быть локально выпуклой. Однако и без
предположения полноты метризуемого пространства Ε
топология X допускает весьма простое описание, которое дается
следующей теоремой Банаха-Дьедонне.
Пусть φ — класс всех предкомпактных множеств в локально
выпуклом пространстве Е, & — класс всех последовательностей
в Е, сходящихся к нулю. Ясно, что 6cip.
3.8.15. Теорема. Пусть Ε — метризуемое локально
выпуклое пространство. Тогда на пространстве Е' топологии
равномерной сходимости на классах ^3 и & совпадают с сильнейшей
топологией X на Е1', совпадающей с σ(Ε',Ε) на равностепенно
непрерывных множествах.
Если Ε полно, то указанные совпадающие топологии
согласуются с двойственностью между Е' и Е.

3.9. Теорема о замкнутом графике
263
Доказательство. Топологии τφ и т© сходимости на
классах φ и & совпадают в силу предложения 1.8.14. На полярах
окрестностей нуля все три рассматриваемые топологии
совпадают (см. следствие 3.1.6). Поэтому τφ мажорируется
топологией X. Покажем, что верно и обратное (для полного Ε это ясно
из предыдущей теоремы). Мы уже знаем, что X локально
выпукла. Пусть W — Х-окрестность нуля в Е'. Построим в Ε
сходящуюся к нулю последовательность 5, для которой S° С W. По
индукции найдем такие непустые конечные множества Fn С 14,
что Уп°+1 Π Щ С W, где Нп = F\ U · · · U Fn. Тогда в качестве
S можно будет взять занумерованные последовательно элементы
множеств Fn; так как S° Π V°+l С W при всех η и Ε' = Uiili Κι°>
то мы получим S° С W. Множество F\ существует, ибо WDVi
открыто в топологии σ(Ε\ Ε) и содержит пересечение V£ с полярой
некоторого конечного множества. Пусть i*\,..., Fn уже выбраны.
Нам надо выбрать непустое конечное множество Fn+i С Vn+i
так, что V^+2 ^ (^i U Fn+i)° С W. Предположим, что для
каждого непустого конечного множества F С Vn+\ непусто множество
Уп°+2 Π (Ηη U F)°\W. Это множество а(Е',Е)-з<хмкяуто в Уп°+2
из-за совпадения рассматриваемых топологий на V^+2, поэтому
оно σ(Ε', £?)-компактно в силу компактности V^+2. Набор
полученных непустых компактов обладает тем свойством, что всякое
его конечное пересечение непусто. Следовательно, непусто
пересечение всех этих компактов. Так как (Нп U F)° = Н° Π F°, а
пересечение множеств F° по всем конечным F С Vn+i есть V^+1, то
непусто множество H^DV^+1\W. Это противоречит
предположению, что ϋί°ην^+1 С W. В случае полного Ε можно брать только
абсолютно выпуклые компакты, ибо всякое вполне ограниченное
множество там лежит в абсолютно выпуклом компакте. D
Отметим, что по теореме 3.8.5 полнота пространства Ε и
необходима для согласования указанных топологий с
двойственностью между Е' и Е.
3.9. Теорема о замкнутом графике
Здесь мы кратко обсудим теорему о замкнутом графике и два
близких результата: теоремы об обратном операторе и открытом
отображении. Эти классические результаты восходят к работам
Банаха и Шаудера и были первоначально получены для полных

264
Глава 3. Двойственность
метризуемых топологических векторных пространств.
Формулировки, входящие в университетские курсы функционального
анализа, таковы.
Напомним, что график отображения Т: X —> Υ есть
множество
Гт = {(х,Тх): xeX}cXxY.
3.9.1. Теорема. Пусть X и Υ — полные метризуемые
топологические векторные пространства иТ: X —> Υ — линейное
отображение.
(i) Если Τ непрерывно и сюръективно, то для всякого
открытого множества U С X множество T(U) открыто в Υ.
(ii) Если Τ непрерывно и взаимно однозначно, то Т~1 тоже
непрерывно.
(iii) Непрерывность отображения Τ равносильна
замкнутости его графика.
3.9.2. Следствие, (i) Если на полном метризуемом
топологическом векторном пространстве Ε задана новая более сильная
векторная топология, относительно которой Ε таксисе полно
и метризуемо, то новая топология совпадает с исходной.
(и) Если полное метризуемое топологическое векторное
пространство является прямой алгебраической суммой двух своих
замкнутых линейных подпространств, то алгебраические
проекции на них непрерывны, тем самым сумма является и
топологической.
Мы не будем воспроизводить доказательства, имеющиеся во
многих учебниках (см., например, [21]), тем более что ниже
будут приведены более общие результаты для локально выпуклых
пространств. Отметим лишь некоторые логические связи
между утверждениями (i)-(iii). Ясно, что (ii) сразу следует из (i).
С другой стороны, из (ii) получаем (i) переходом к факторпро-
странству Χ/Ker Т, которое в случае непрерывного Τ
отображается взаимно однозначно на Υ. Конечно, из (iii) мы получаем (ii)
просто из-за того, что график взаимно однозначного
оператора Τ получается из графика Т-1 при линейном гомеоморфизме
Χ χΥ -+ Υ хХ, (ж, у) \—> (у,х). Наконец, в случае полных
метризуемых пространств X и Υ утверждение (iii) следует из (и), так
как Χ χ Υ — пространство того же класса, значит, это же верно
для его замкнутого подпространства IV, что дает непрерывность
оператора, обратного к взаимно однозначному проектированию
Ρ: Τ τ —> X, тем самым и непрерывность Τ (заметим, что Τ есть

3.9. Теорема о замкнутом графике
265
композиция Р~1 и непрерывной проекции на Y). Однако в этом
последнем утверждении была использована замкнутость данного
класса пространств относительно конечных произведений и
перехода к замкнутым подпространствам, а в импликации (ii)=>(i)
было важно переходить к факторпространству. Это обстоятельство
проявляется при обобщениях всех трех утверждений. Такие
обобщения весьма многочисленны (см. также задачи 3.12.88-3.12.93)
и получены по следующим направлениям.
1) Ищутся два как можно более широких класса локально
выпуклых пространств X и У, для элементов X и Υ которых
верны какие-то из указанных утверждений. 2) Фиксируется какой-
либо класс У пространств Υ и ищется как можно более
широкий класс X пространств X, для отображений которых во все
пространства Υ Ε У верны такие утверждения. 3) Фиксируется
какой-либо класс X пространств X и ищется как можно более
широкий класс У пространств У, для отображений в которые из
всех пространств X Ε X верно какое-либо из интересующих нас
утверждений.
Конечно, заранее можно ожидать, что для утверждений (и)
(или (i)) и (Hi) будут получены разные результаты. Ведь в
случае (и) окажется, что пространства X и Υ изоморфны, а теорема
о замкнутом графике вовсе не подразумевает такого исхода. По
последней причине мы на ней в основном и сосредоточимся.
Далее рассматриваем отделимые пространства.
3.9.3. Теорема, (i) Пусть пространство X бочечно и
пространство Υ является Вг-полным. Тогда все линейные
операторы из Χ β Υ с замкнутыми графиками непрерывны. В
частности, всякое линейное отображение бочечного пространства
в пространство Фреше с замкнутым графиком непрерывно.
(и) Если локально выпуклое пространство X таково, что
для каждого банахова пространства Υ всякое линейное
отображение с замкнутым графиком из Χ β Υ обязательно
непрерывно, то X бочечно.
Доказательство см. в Шефер [174, § IV.8], где можно найти
родственные результаты об открытом отображении.
Тем самым, если локально выпуклое пространство Ε не
является бочечным, то найдутся банахово пространство F и
разрывное линейное отображение А: Е —> F с замкнутым графиком.
В этой теореме заметно отсутствие симметрии свойствами
между X и Υ. Скажем, в ней нельзя переставить свойства
пространств: она неверна для отображений банаховых пространств

266
Глава 3. Двойственность
в бочечные. Например, если X — бесконечномерное банахово
пространство и Υ — это же пространство с сильнейшей локально
выпуклой топологией, то Υ — полное бочечное пространство
(пример 1.7.12 и задача 3.12.53), а тождественное отображение из X
в Υ имеет замкнутый график (ибо обратное непрерывно), но
разрывно.
Если мы хотим применить эту теорему к оператору Τ: X —> X
в пространстве X, не являющемся пространством Фреше, то
пока мы можем это сделать лишь в предположении его бочечности
и #г-полноты. Как уже отмечалось, классические пространства
V и V не являются Бг-полными. Оказывается, теорему о
замкнутом графике можно применять и к ним.
Обозначим через UT класс всех отделимых локально
выпуклых пространств У, представимых в виде Υ = (J^=i ^n, где Yn —
линейное подпространство в У, на котором можно ввести
топологию пространства Фреше, мажорирующую топологию,
индуцированную из Υ. Тем самым Υ оказывается счетным
объединением непрерывно вложенных в него пространств Фреше. Отметим,
что при этом не требуется, чтобы Υ было индуктивным пределом
пространств Υη, хотя последние можно сделать и возрастающими.
Например, в индуктивном пределе возрастающей
последовательности пространств Фреше можно взять более слабую локально
выпуклую топологию.
Гротендик [314], [315, с. 147-149] доказал следующий важный
результат (доказательство можно прочитать также в [127,
Приложение 1]). Напомним, что ультраборнологические
пространства суть индуктивные пределы банаховых пространств, поэтому
непрерывность линейных операторов на них следует из
непрерывности сужений на соответствующие банаховы пространства.
3.9.4. Теорема. Для отображений из ультраборнологиче-
ских пространств в пространства класса UT верна теорема
о замкнутом графике.
Кроме того, если Υ = U^Li Yn, где Yn — непрерывно
вложенные в Υ пространства Фреше, то всякое непрерывно вложенное
в Υ пространство Фреше лежит в каком-то из Υη.
Предыдущая теорема (в которой условия на область
определения и область значений тоже несимметричны) уже охватывает
операторы из Ρ в D, но все же неприменима к Т>'. Д.А.
Райковым [122] класс пространств, для отображений в которые
банаховых пространств верна теорема о замкнутом графике, был
значительно расширен так, что в него вошло и V. Приведем

3.9. Теорема о замкнутом графике
267
частный случай его результата, доказательство которого можно
прочитать в Робертсон, Робертсон [127, Приложение 1].
3.9.5. Теорема. Пусть отделимое пространство Υ
является образом при открытом непрерывном линейном отображении
замкнутого линейного подпространства счетного произведения
пространств класса ЫТ. Тогда для отображений из всех ультра-
борнологических пространств в пространство Υ верна теорема
о замкнутом графике.
В § 3.12(H) рассмотрено обобщение теоремы о замкнутом
графике в другом направлении, где Υ является суслинским
пространством (определение 5.2.9). Для сепарабельных пространств
рассмотренные выше классы входят в класс суслинских
пространств (сепарабельность также и необходима для этого), ибо
последний замкнут относительно счетных произведений и
перехода к замкнутым подпространствам и непрерывным образам.
Приведем здесь частный случай следствия 3.12.9.
3.9.6. Теорема. Линейное отображение с замкнутым
графиком из пространства Фреше в суслинское локально выпуклое
пространство непрерывно.
В работах De Wilde [255], [257], [256], Ferrando, K^kol, Lopez
Pellicer [292], Ferrando, K^kol, Lopez Pellicer, Sliwa [294], K^kol,
Kubis, Lopez-Pellicer [338], Smirnov [464] получены аналоги этого
результата для пространств, получаемых с помощью более общих
схем типа суслинской.
Отделимое локально выпуклое пространство Ε называют
пространством с сетью (webbed space), если оно наделено набором
абсолютно выпуклых множеств Wnin2...nfc, индексируемых
всевозможными конечными наборами натуральных чисел (ηχ,... ,η^),
причем выполнены следующие условия:
(i) множество (J^Li Wn является поглощающим, (и) для
каждого мультииндекса (ηι,... ,η^) все множества Wnin2„.nkj лежат
в Wnin2...nfc/2 и \J^=iWn1n2...nkj поглощает Wnin2...nu·, (Hi) при
всяком выборе возрастающих наборов ηι, (ηι, П2),... и всяком
выборе векторов Xk Ε Wniv..jnfc ряд Y^Li Xk сходится в Е.
Набор дисков с одинаковым количеством индексов
называют слоем (так что есть первый слой {И^}, второй слой {И7^}
и т.д.), а нитью называют последовательность множеств вида
и т.д. Таким образом, в (in) речь идет о
сходимости ряда элементов нити.

268
Глава 3. Двойственность
В отделимом топологическом векторном пространстве Ε сеть
определяется аналогично, но вместо абсолютной выпуклости
множеств Wnin2...nfc требуется лишь их закругленность, а условие (и)
записывается в виде Wnin2..,nkj + Wnin2...nkj С Wnin2...nk.
3.9.7. Пример, (i) Любое банахово пространство является
пространством с сетью, в которой все диски слоя с номером к —
один и тот же диск 2~kU, где U — замкнутый единичный шар.
Аналогично произвольное пространство Фреше F обладает
сетью, в которой Wni...nk = C/fc, Uk = {ρι Η \-Vk < 2_fc, где {pk} —
задающая топологию последовательность полунорм, причем
выполнены неравенства рк ^ Pfc+i· В категории топологических
векторных пространств соответствующими сетями обладают полные
метризуемые пространства.
(ii) Сильное сопряженное метризуемого локально
выпуклого пространства Ε имеет сеть вида Wn = ?7°, Wnk = 2_1?7°,
Wni...nk = 2~kU°, где {Un} — убывающая база абсолютно
выпуклых окрестностей нуля в Е.
Сетью обладает и сильное сопряженное строгого
индуктивного предела последовательности метризуемых локально выпуклых
пространств (задача 3.12.166). Другие свойства пространств с
сетями отмечены в задаче 3.12.167. Бэровские пространства с
сетями есть полные метризуемые пространства (задача 3.12.168).
3.9.8. Теорема. Всякое линейное отображение Τ с
секвенциально замкнутым графиком из пространства Фреше X в
локально выпуклое пространство Υ с сетью непрерывно.
Доказательство. Возьмем в X базу абсолютно выпуклых
окрестностей нуля Un так, что 2?7η+ι С Un. Пусть {Wnimmm7lk} —
сеть в Y. Из определения сети следует, что \J^=iT~l(Wn) есть
поглощающее множество в X. По теореме Бэра найдется ηι, для
которого замыкание T~l(Wni) имеет внутренние точки. Далее,
USb=i T~1(Wnik) поглощает T~l(Wni). Поэтому найдется П2, для
которого T~1(Wnin2) имеет внутренние точки. Продолжая по
индукции, получаем нить wni, Wni7l2r.., для которой замыкания
множеств T~1(WnimmmTlk) имеют внутренние точки, но из-за их
абсолютной выпуклости замыкание каждого такого множества
содержит некоторую окрестность нуля Umk.
Заметим, что для всякой нити {Wnimmm7lk} всякая замкнутая
окрестность нуля V С Υ целиком содержит какое-то Wni...nfc.

3.9. Теорема о замкнутом графике
269
В самом деле, если имеются векторы у\ Ε V\Wni, 7/2 G ^\И/П1П2,
Уз G V\Wnin27l3 и т. д., то ряд из у^ должен сходиться, что
невозможно, ибо yk ~h О· Таким образом, замыкание T~l(V) имеет
внутренность. Покажем, что на самом деле само T~l(V)
имеет внутренность, откуда сразу следует непрерывность Т. Для
этого возьмем Wni...nfc С V и проверим, что Umk+1 С Т_1(У).
Нетрудно проверить, что при всех Ζ замыкание T_1(Wni...n|) ле-
житвГ-1(И^11...п,) + С/т,+1. Поэтому C7mz С T^W^...^) + C/m,+1.
Зафиксируем г Ε i/fcm+1 и покажем, что г Ε Т_1(У), т.е. ТгЕУ.
Найдутся векторы хг Ε T~1(Wni..,nk+1) и z\ Ε Umk+2, для
которых ζ = χχ+ζχ. Затем находим х2 Ε 71~1(Wni...Tlfc+2) и г2 Ε Umk+3,
для которых ζχ = Х2 + ^2? т.е. г = #1 + #2 + ζ2· По
индукции находим zj Ε T~1(Wni...nk+j) и Xj Ε Umk+1+j, для которых
ζ = Zj+i + χι + · · - + Xj. Так как Zj —> 0, то ряд из Xj
сходится к ζ. Кроме того, ряд из Txj сходится к некоторому у Ε Υ
(свойство (и) сети). Так как Wni„.ni+1 С Wni...n|/2, то частичные
суммы ряда из Txj лежат в У, поэтому у Ε V. Наконец, для
завершения доказательства осталось заметить, что у = Tz. Именно
здесь используется секвенциальная замкнутость графика. D
Из доказательства видно, что вместо полноты X достаточна
бэровость и метризуемость. Из теоремы легко выводится такой
факт. Более того, от метризуемости можно отказать, потребовав
настоящую замкнутость графика (см. ниже).
3.9.9. Следствие. Всякое линейное отображение с
секвенциально замкнутым графиком из ультраборнологического
пространства {т.е. индуктивного предела банаховых пространств)
в локально выпуклое пространство с сетью непрерывно.
В категории топологических векторных пространств
ситуация совершенно аналогична, причем аналогично и обоснование
(см. Jarchow [334, §5.4]).
3.9.10. Теорема. Если топологическое векторное
пространство X есть индуктивный предел семейства бэровских
топологических векторных пространств Ха и Υ — топологическое
векторное пространство с сетью, то всякое линейное
отображение из Χ β Υ с замкнутым графиком непрерывно.
Если все Ха метризуемы, то достаточно секвенциальной
замкнутости графика.

270
Глава 3. Двойственность
Из приведенных результатов видно, что требование
справедливости теоремы о замкнутом графике для операторов на
пространстве Ε со слишком большим классом пространств значений
(скажем, всех банаховых) оказывается довольно
ограничительным. Особенно это заметно в тех случаях, когда в качестве X
выступает сопряженное к ненормируемому пространству. Между
тем в приложениях нередко бывает нужно иметь дело с довольно
узким классом пространств значений. Приведем ряд результатов,
полезных в этой ситуации (о локальной полноте см. §2.10(iii)).
3.9.11. Теорема. Пусть X — локально выпуклое
пространство. Пространство (Χ',σ(Χ',Χ)) локально полно в точности
тогда, когда всякое линейное отображение Т: Х-^12 с
замкнутым графиком непрерывно.
Доказательство дано в Valdivia [493].
3.9.12. Теорема. Пусть локально выпуклое пространство X
локально полно (например секвенциально полно), У — такое
локально выпуклое пространство, что У метризуемо в тополо-
- гии Макки г (У7, У) (что выполнено, если Υ — рефлексивное
банахово пространство), Τ:Χ'-+Υ — линейное отображение. Тогда
Τ непрерывно при наделении X' топологией Макки τ(Χ',Χ),
если график Τ замкнут в (Х\т(Х', X)) хУ. Например, последнее
верно, если на Υ есть такая более слабая отделимая
топология то, что Τ непрерывно из (Χ1\τ(Χ'\Χ)) β (Υ,то).
Доказательство. Подчеркнем, что то не обязана быть
векторной топологией. Ясно, что непрерывность Τ из (X',т(Х',Х))
в (У, то) обеспечивает замкнутость графика в (Χ',^Χ',Χ)) χ У.
Пространство X' с топологией т(Х',Х) обозначим через G. По
теореме 3.2.9 нам достаточно проверить непрерывность
отображения Т: G —> (Υ,σ(Υ,Υ')). Пусть L — множество всех
функционалов I Ε У7, для которых функционал 1оТ непрерывен в
топологии σ((7,X), т.е. задается элементом из X (напомним, что по
теореме Макки G' = X). Нам надо установить, что L = У'.
Множество L — линейное подпространство. Оно всюду
плотно в У7 с метризуемой по условию топологией τ(Υ',Υ), ибо оно
всюду плотно в топологии σ(Υ\Υ). Действительно, в противном
случае нашелся бы ненулевой элемент уо Ε У с тем свойством, что
Куо) — 0 ПРИ всех / £ L. Элемент (0, уо) не входит в график Т,
который является замкнутым линейным подпространством в GxY.

3.9. Теорема о замкнутом графике
271
По теореме Хана-Банаха есть непрерывный линейный
функционал на GxY, равный нулю на графике Τ и единице на (0,уо)·
Этот функционал имеет вид (д,у) ·—> д(а) + /(у)·, где α Ε Χ = G'
и / Ε Υ', причем f(yo) = 1 и g(a) + f(Tg) = 0 для всех g Ε G. Тем
самым foT E L, но тогда /(уо) — О вопреки равенству /(уо) — 1·
Таким образом, на всюду плотном линейном подпространстве
L С Υ1 задано отображение А: I \—> νι со значениями в X, где
vi Ε Χ — вектор, задающий функционал ίο Τ. Это отображение
линейно. Проверим его непрерывность в топологии,
индуцированной τ(Υ\Υ). В силу предполагаемой нами метризуемости
последней достаточно показать, что из сходимости последовательности
{1п} к нулю следует сходимость {Αίη} к нулю в X, а для
этого достаточно проверить, что А переводит всякое ограниченное
в L множество V в ограниченное множество в X. Это
сводится к проверке ограниченности множества чисел {д{А1): / Ε V}
для всякого фиксированного д Ε G. Последнее имеет место, ибо
д(А1) = 1{Тд), а множество V ограничено и в топологии a(G,Y).
Теперь пора использовать локальную полноту X, благодаря
которой можно продолжить А до непрерывного линейного
оператора A: Y' —> X (задача 3.12.137). Наконец, замечаем, что для
каждого Ι Ε Υ' мы имеем 1(Тд) = д(А1) при всех д Ε G, ибо при
фиксированном д обе части непрерывны по I на Υ' и равны на
плотном множестве L. Тем самым, L = Yr. D
3.9.13. Пример. Пусть локально выпуклое пространство X
локально полно и линейное отображение Т: X' —> Ζ/Ρ(μ), где
ρ Ε (1,+оо) и μ — конечная мера, непрерывно на X' с
топологией т(Х',Х) при наделении Ι^(μ) топологией сходимости по мере.
Тогда Τ непрерывно и при наделении Σ,ρ(μ) стандартной нормой.
Отметим интересное следствие теоремы об открытом
отображении и теоремы Майкла о селекции 1.12.19 (частный случай уже
был приведен в следствии 1.12.21).
3.9.14. Следствие. Пусть Т: X —> Υ — непрерывная
линейная сюръекция пространств Фреше. Тогда Τ имеет непре-'
рывное правое обратное (возможно, нелинейное).
3.9.15. Пример. В ситуации этого следствия для каждого
компакта К С Υ найдется такой компакт S С X, что T(S) = К.
В самом деле^ выбрав непрерывное правое обратное ДкТ, можно
положить S = R(K).

272
Глава 3. Двойственность
3.10. Компактные операторы
Здесь мы рассмотрим важный класс линейных операторов:
так называемые компактные операторы.
3.10.1. Определение. Линейное отображение А из
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G называется компактным, если оно
отображает некоторую окрестность нуля V пространства Ε в
относительно компактное подмножество пространства G.
Так как относительно компактное множество ограничено, то
для всякой окрестности нуля W пространства G найдется такое
число а > 0, что A(aV) = aA(V) С W. Значит, компактное
линейное отображение непрерывно в нуле пространства Е,
следовательно, и всюду. Разумеется, не всякое непрерывное линейное
отображение компактно (примером служит тождественное
отображение всякого отделимого бесконечномерного топологического
векторного пространства). Компактные отображения называют
также вполне непрерывными (отметим, что некоторые авторы
используют эти два термина — компактность и вполне
непрерывность — в разном смысле; так поступает, например, А. Пич
в своей книге [110]). Класс компактных операторов обозначают
через IC(E,G).
Всюду далее в этом параграфе Ε — отделимое топологическое
векторное пространство над IR или С (в части результатов —
локально выпуклое), I — тождественное отображение из Ε в Е,
А — компактный линейный оператор из Ε в Е, λ Ε С или λ Ε IR
в вещественном случае,
Тх = А-\1, Τ — Α-Ι.
Отображение Τ обладает свойствами, близкими к свойствам
линейных отображений конечномерных пространств. Наша
очередная цель — доказательство следующей теоремы.
3.10.2. Теорема. Если КегТ = {0}, то Τ представляет
собой линейный гомеоморфизм Ε на Е.
Для операторов общего вида в бесконечномерном
пространстве из инъективности не следует сюръективность. В следующем
параграфе мы усилим приведенное утверждение, показав, что
для операторов рассматриваемого вида из сюръективности
следует инъективность.
Доказательство этой теоремы довольно сложно и основано на
следующих леммах.

3.10. Компактные операторы
273
3.10.3. Лемма. Подпространство Т(Е) замкнуто в Е,
причем Τ — открытое отображение Ε на Т(Е) (образы открытых
множеств открыты в Т(Е)). Если Τ инъективно, то Τ —
линейный гомеоморфизм Ε на Т(Е).
Доказательство. Все сводится к случаю инъективного Т,
ибо ядро Τ конечномерно (на нем — Τ — тождественный
оператор), поэтому есть замкнутое линейное подпространство Е\, для
которого Ε = Ει® Кет Τ и проекции на слагаемые непрерывны.
Итак, пусть Кет Τ = 0. Пусть направленность {Тха} сходится к
некоторому у. По условию имеется такая квазинорма d из
семейства, задающего топологию, что соответствующие шары с
центром в нуле уравновешены и A(U), где U = {d ^ 1}, имеет
компактное замыкание. Предположим сначала, что некоторая под-
направленность в {ха} лежит в kU при некотором к > 0. Можно
считать, что такова исходная направленность. Тогда {Ага}
лежит в компакте и потому можно перейти к сходящейся подна-
правленности, что дает сходящуюся к некоторому χ Ε Ε подна-
правленность χ β = Αχ β — Τ χ β. Значит, у = Τχ.
Остается рассмотреть случай, когда ри(ха) -+ +оо. Покажем,
что такое невозможно. В самом деяе^ в этом случае для
направленности ζα = ха/ри(ха) мы имеем Τζα —> 0 и ρυ(ζα) — 1· Как
показано на предыдущем этапе, из этого следует существование
поднаправленности {ζβ}, сходящейся к некоторому ζ Ε Ε, для
которого Τ ζ = 0. Ввиду инъективности Τ получаем ζ = 0, что
противоречит равенству ρ(ζ) = 1. Итак, доказана замкнутость
множества Т(Е). Более того, из сказанного следует и непрерывность
Т-1 на Т(Е). Действительно, мы видели, что для всякой
сходящейся направленности векторов уа = Тха в Т(Е) направленность
ха = Т~1уа имеет сходящуюся поднаправленность. Однако
ввиду инъективности Τ все такие поднаправленности имеют общий
предел, что означает сходимость всей направленности {ха}· Из
непрерывности Т-1 следует, конечно, открытость Т. D
3.10.4. Лемма. Пусть G — векторное подпространство
топологического векторного пространства F и W — окрестность
нуля в F, причем G + W Φ F. Тогда существует такой элемент
ae2W, что αφ G + W, т.е. 2W^G + W.
Доказательство. Если 2W с G+W, то для каждого η е IN
имеем 2nW = 2n~x2W С 2n"1(G + W) С G + 2n~1W, что лежит
bG + G + 2n-2W. Продолжая, мы получаем 2W С G + W. Так

274
Глава 3. Двойственность
как UJJLi 2ПИ^ = F, то отсюда следует, что F = G + W, что
противоречит нашему предположению. D
3.10.5. Лемма. Пусть F — топологическое векторное
пространство, G — его собственное замкнутое векторное
подпространство, В: F —> F — компактный линейный оператор,
причем (В — I)(F) С G, W — окрестность нуля в F, для которой
множество B(W) относительно компактно. Тогда G + W φ F.
Доказательство. Если G + W = F, то для каждого ε > 0
имеем
F = eF = eG + eW = G + eW = G - ε(Β - I)(W) + eB(W) С
С G - eG + eB{W) = G + sB(W).
Так как множество B(W) относительно компактно и потому
ограничено, то для всякой окрестности нуля U в пространстве F мы
имеем eB(W) С U для достаточно малых ε > 0. Поэтому для
таких ε справедливо включение F С G + U. Поскольку G замкнуто,
то это означает, что F = G. D
Доказательство теоремы 3.10.2. Ввиду леммы 3.10.3
достаточно доказать, что Т(Е) = Е. Предположим, что Т{Е) Φ Ε.
В силу инъективности оператора Τ в цепочке подпространств
Ε D Τ (Ε) э Τ2 (Ε) э · · · все включения строгие.
Пусть V — такая окрестность нуля в Е, что множество A(V)
компактно. Покажем, что для всякого натурального η
существует элемент ап е (2V) Π Τη_1(Ε), не содержащийся в Тп(Е) + V,
где мы полагаем Т°(Е) = Е. Для этого мы проверим, что при
каждом фиксированном η для подпространства F = Тп~1(Е)
пространства £", подпространства G = Тп{Е) пространства F и
окрестности нуля W = V PiF пространства F выполнены условия
леммы 3.10.4.
Для этого достаточно проверить, что G + W Φ F.
Справедливость последнего неравенства вытекает из леммы 3.10.5.
Действительно, в силу леммы 3.10.3 множество Т(Е) замкнуто, а Т —
линейный гомеоморфизм. Поэтому G = Тп(Е) — замкнутое
векторное подпространство в F = Тп~1(Е). Чтобы применить
лемму 3.10.5, надо еще положить В = А\тп_г,Еу т.е. В —
сужение А на Тп~1(Е). Как было отмечено выше, из предположения
Т(Е) φ Ε, сделанного в самом начале, вытекает, что F φ G.

ЗЛО. Компактные операторы
275
Таким образом, все условия леммы 3.10.5 выполнены. Итак,
выполнение условий леммы 3.10.4 проверено. Таким образом,
существует последовательность {αη}, о которой шла речь в начале
доказательства.
Векторы А(ап) при η > 1 содержатся в относительно
компактном множестве A(V). Кроме того, для всех n,r G IN при
п> г мы имеем
А(ап) — А{аг) = ап + Тап — аг — Таг е —аг + ТГЕ,
т. е. аг е А(аг)—А(ап)+ТГЕ. Но это значит, что А(аг)—А(ап) £ V,
ибо ar fi TrE + V. Последнее противоречит тому, что множество
{Α(αη)} предкомпактно. Таким образом, теорема доказана.
3.10.6. Определение. Спектром непрерывного линейного
оператора А в топологическом векторном пространстве Ε
называют множество σ(Α) таких X Ε С, что А — XI не является
топологическим изоморфизмом Е.
Если Ε — пространство Фреше, то сг(А) состоит из
собственных чисел, т. е. чисел λ, для которых Кег (А — XI) φ 0, и таких λ,
что (А — XI)(Ε) φ Ε (см. теорему 3.9.1). Ненулевой вектор ν
называют собственным, если Αν = Χν.
3.10.7. Следствие. Спектр компактного линейного
оператора в бесконечномерном топологическом векторном
пространстве состоит из собственных чисел, отличных от нуля (их
может вообще не быть), и точки нуль.
Доказательство. Основная теорема верна и для оператора
Т\ = А — XI при λ φ 0, так как он только множителем отличается
от оператора Х~1Т\. Это означает, что если λ φ 0 не является
собственным значением, то этот оператор имеет непрерывный
обратный. Наконец, ясно, что компактный оператор в бесконечномер-,
ном пространстве не может быть гомеоморфизмом и потому его
спектр содержит нуль. D
Более полная характеристика спектра компактного оператора
содержится в следующей теореме.
3.10.8. Теорема. Собственных значений компактного
оператора в отделимом топологическом векторном пространстве
либо конечное число, либо они образуют последовательность,
сходящуюся к нулю; при этом кратность каждого ненулевого
собственного значения конечна.

276
Глава 3. Двойственность
Доказательство. Прежде всего заметим, что собственные
векторы, соответствующие различным собственным значениям,
линейно независимы (задача 3.12.169). Перейдем теперь
непосредственно к доказательству теоремы. Предположим, что оно
неверно. Тогда кратность хотя бы одного ненулевого собственного
значения бесконечна или существует такое ε > 0, что множество
собственных значений, по модулю превышающих ε, бесконечно.
Первая возможность исключается совсем просто: ненулевой
оператор XI не может быть компактным в бесконечномерном
пространстве.
Покажем теперь, что существование бесконечного числа
(различных) собственных значений, по модулю превышающих ε,
также невозможно. В самом деяе^ пусть {λη} — последовательность
попарно различных чисел, по модулю превышающих ε, {хп} —
последовательность ненулевых векторов в Ε с Ахп = Хпхп.
Обозначим через Нп подпространство, порожденное х\,... ,жп. В
силу линейной независимости векторов, соответствующих
различным собственным значениям, мы имеем Нп С i?n+i? Нп φ ifn+i
для каждого п, причем все пространства Нп конечномерны и
потому замкнуты.
Пусть V — такая закругленная окрестность нуля в Е, что
множество A(V) относительно компактно. Теперь с помощью
приема, аналогичного использованному при доказательстве основной
теоремы этого параграфа, мы покажем, что для каждого η Ε IN,
существует элемент ап е (2V Π ifn+i)\(ifn + V).
Положим G = ifn, F = i?n+b W = F ΠΫ и покажем, что
выполнены условия леммы 3.10.4. Воспользуемся леммой 3.10.5.
Пусть В = (А"^И)| я +ι' ПРИ этом Τ(Ηη+ι) С Нп. Тогда G,
будучи конечномерным, замкнуто bF, а множество B(W)
относительно компактно в ifn+i и потому G + W Φ F по лемме 3.10.5,
так что лемма 3.10.4 действительно применима. Таким образом,
существование элементов ап доказано.
Теперь при п, г Ε ΙΝ, где η > г, справедливы соотношения
А(ап) - А(аг) = \η+ιΒ(αη) - Xn+iB(ar) =
— λη+χαη — λη+χΤ(αη) — λη+ιαΓ + λη+ιΤ(αΓ) Ε λη+χαη + Ηη,
т.е. λη+ιαη Ε (Α(αη) — А(аг)) + Нп. Это значит, что А(ап) —
A(ar) $l eV, так как λη+χαη ^ Hn + sV (это соотношение вытекает
из соотношения ап <£ Нп + V и закругленности V). Полученное
соотношение противоречит предкомпактности A(V). □

ЗЛО. Компактные операторы
277
Обратимся к локально выпуклым пространствам, когда
можно привлечь сопряженный оператор.
3.10.9. Теорема. Если А — компактное линейное
отображение из локально выпуклого пространства Ε в локально
выпуклое пространство G, то его сопряженное компактно при
наделении пространств Е' и G' топологиями равномерной
сходимости на классах всех предкомпактных подмножеств
пространств Ε и G. Это же верно и для топологий равномерной
сходимости на классах всех компактных подмножеств.
Доказательство. Пусть те и tq — топологии в Е' и G'
одного из двух типов, упомянутых в формулировке. Пусть V —
такая окрестность нуля в Е, что A(V) имеет компактное
замыкание A(V) в G. Тогда W = (A(V)) есть окрестность нуля в
топологии tq пространства О'. Ввиду соотношения (3.3.2) мы имеем
(А*)-1^0) = (A(V))° = W, так что A*(W) С Vго, но последнее
множество компактно в топологии те по следствию 3.1.6. D
Надо иметь в виду, что при наделении сопряженных
пространств иными топологиями сопряженное к компактному
линейному отображению может не быть компактным. Например,
пусть Ε = Н®Н\, где Η — бесконечномерное гильбертово
пространство с топологией, порожденной его нормой, а Н\ — то же
самое векторное пространство, но наделенное слабой топологией,
и пусть А: Е —> Ε, А(х, у) = (0, х). Тогда А компактно из-за
слабой компактности шара, но А* не является компактным при
наделении Е' сильной топологией (которая в рассматриваемом случае
совпадает с топологией Макки). Действительно, А*(/, g) = (g, 0).
Из этого примера следует, что классическая теорема Шау-
дера, согласно которой линейный непрерывный оператор между
банаховыми пространствами компактен в точности тогда, когда
компактен его сопряженный (действующий между банаховыми
сопряженными к исходным пространствам), не переносится на
случай произвольных локально выпуклых пространств. Тем не
менее некоторый аналог теоремы Шаудера для произвольных
локально выпуклых пространств, содержащий эту теорему в
качестве частного случая, все же существует. Этот аналог
заключается в следующем.
3.10.10. Предложение. Пусть Ε uG — локально выпуклые
пространства, Τ: Ε —> G — непрерывный линейный оператор,
А и В' — семейства всех ограниченных множеств пространств

278
Глава 3. Двойственность
(Ε,σ(Ε,Ε')) и (G',a(G',G)) соответственно. Тогда все
множества Τ (A) j где A G А, предкомпактны в топологии сходимости
на семействе В' β том и только том случае, когда все
множества Т*(В), где В Ε В', предкомпактны β топологии
сходимости на семействе А.
Доказательство. Если множество Т{А), где А ε А, пред-
компактно в топологии ^'-сходимости в G, то для всякого В Ε В'
существуют такие элементы αχ,..., ап Ε Е, что
η
Т(А)с[Л9(а^ + В°).
Из этого включения вытекает (покажите это) включение
Ac\j(*i + (94B))°).
3=1
Это означает, что каждое множество A Ε А предкомпактно в
топологии сходимости на семействе {Т*(В): В Ε В'} подмножеств
пространства Е'. По доказанному ниже следствию 3.10.12
каждое множество последнего семейства предкомпактно в топологии
сходимости на семействе А. Таким образом, в одну сторону
предложение доказано; в обратную доказательство аналогично. D
3.10.11. Лемма. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, множества А С Ε и В С Е' ограничены соответственно
в (Ε,σ{Ε,Ε')) и (Ε',σ(Ε',Ε)), причем для всякого ε > 0
существует такое конечное множество Ке С Е, что А С Ке + еВ°.
Тогда для всякого ε > 0 найдется такое конечное множество
L£ С В, что В С L£ + εΑ°.
Доказательство. Согласно предложению 3.4.2, из
ограниченности В в топологии σ(Ε', Ε) следует, что для конечного
множества Κε/4 С Ε найдется такое конечное множество Le С Е',
что В С L£ + 2~λεΚ°,4; ясно, что при этом можно взять Le С В.
Проверим, что В С L£ + εΑ°. Пусть Ъ Ε В. Выберем I Ε Le так,
что b — lG 2~1εΚ°,4. По условию для всякого a Ε А имеется такой
вектор k Ε Κε/±, что ν := а — к Ε 4~ιεΒ°. Следовательно,
|<Ь-и>| = \(b-l,v + k)\ < \(b,v)\ + \(l,v)\ + \(b-l,k)\ < \ + \ + \,

3.10. Компактные операторы
279
ибо b,leB,v е 4τιεΒ°, Ъ-1 е 2~ιεΚ°ε/Α, к е Ке/4. Итак, Ъ-l е А°,
что и требовалось. D
Теперь мы получаем утверждение, использованное в
предложении 3.10.10.
3.10.12. Следствие. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, Л и В — некоторые семейства ограниченных
подмножеств пространств Ε и Е' соответственно. Пусть а —
топология в Е' сходимости на системе множеств Л и β —
топология в Ε сходимости на системе множеств В. Тогда каждое
множество из системы А предкомпактно в топологии β в
точности тогда, когда каждое множество из системы В
предкомпактно в топологии а. При этом на множествах из А
топология β совпадает с σ{Ε,Ε') и аналогично для В.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из леммы
и определения топологии сходимости на системе множеств. D
Покажем теперь, что теорема Шаудера (сформулированная
выше) действительно получается в качестве следствия того, что
только что было доказано. Итак, пусть Е, G — банаховы
пространства и Τ: Ε —> G — компактное линейное отображение.
Тогда Τ непрерывно, следовательно, определено сопряженное
отображение Т*: G' —> Е\ где Е' и G' — банаховы сопряженные
к пространствам Ε и G, наделенные соответствующими нормами
и топологиями, порождаемыми этими нормами.
Из компактности отображения Τ вытекает, что оно
переводит каждое ограниченное подмножество пространства Ε в
относительно компактное подмножество пространства G. В силу
доказанного выше отображение Т* переводит каждое ограниченное
по норме подмножество пространства G1 в предкомпактное
подмножество пространства Е'\ мы пользуемся тем, что топология
пространства Ε — топология равномерной сходимости на
семействе всех шаров пространства Е1', а топология в G есть топология
сходимости на множестве всех шаров в G1 (конечно, вместо
семейства всех шаров можно было бы иметь дело лишь с одним
единичным шаром). Поскольку Е' полно, то всякое его предкомпактное
подмножество содержится в некотором компакте (например в его
замыкании). Таким образом, одна из двух частей теоремы
Шаудера доказана; вторая доказывается аналогично. Конечно, есть
и несложное прямое доказательство теоремы Шаудера для
банаховых пространств.

280
Глава 3. Двойственность
3.11. Альтернатива Фредгольма
Применим приведенные выше результаты к нахождению
условий разрешимости уравнений, содержащих компактные
линейные операторы в локально выпуклых пространствах. В
частности, мы докажем здесь, что для операторов вида Τ = I — А
с компактным А справедлива так называемая альтернатива
Фредгольма, т. е. выполняется ровно одно из двух
утверждений: либо однородное уравнение Ах — χ = 0 имеет в Ε не
только нулевое решение, либо неоднородное уравнение Ах — χ = ζ
относительно χ разрешимо в Ε при всякой правой части из Ε
(причем тогда решение единственно). Иначе говоря, для Τ
инъективность равносильна сюръективности. Для произвольных
непрерывных линейных операторов эти утверждения не
являются взаимоисключающими (например, Τ может быть инъектив-
ным, но не сюръективным, а может быть сюръективным, но не
инъективным). В предыдущем параграфе мы уже видели, если
отображение (А — Ι)~λ существует и всюду определено, то оно
обязано быть непрерывным. Далее в этом параграфе Ε —
отделимое локально выпуклое пространство.
3.11.1. Теорема. При данном ζ Ε Ε уравнение
Ах — Χχ = ζ
разрешимо относительно χ в точности тогда, когда для
каждого элемента g Ε Ker (А* — XI) справедливо равенство (g, z) = 0.
Доказательство. Наше утверждение есть
непосредственное следствие равенства Ran (Л — XI) = (Кег(Л* — λ/)) ,
справедливого ввиду замкнутости подпространства Ran (А — λ/),
вытекающей из компактности оператора A. D
3.11.2. Теорема. При данном f Ε Ε' уравнение
A*g-Xg = f
разрешимо относительно g в точности тогда, когда для
каждого элемента χ G Ker (A — XI) справедливо равенство (/, х) = 0.
Доказательство. Из равенства
Ran (А - XI)* = (Кег(А-Х1))°
следует равенство
Ran (А - XI)* = (Ker (А - λ/))°.

3.11. Альтернатива Фредгольма
281
Действительно, оператор А* компактен при наделении Е'
топологией равномерной сходимости на компактных множествах
(теорема 3.10.9). Поэтому образ XI — А* замкнут в указанной
топологии в Ε', откуда ввиду линейности следует его замкнутость
и в топологии σ(Ε',Ε). D
3.11.3. Следствие. Если уравнение Ах—Хх = 0 имеет
только нулевое решение, то уравнение А*д — Хд = f разрешимо при
всякой правой части f Ε Ε'; если уравнение А*д — Хд = 0 имеет
только нулевое решение, то уравнение Ах — Хх = ζ разрешимо
при всякой правой части ζ Ε Ε.
3.11.4. Теорема. Если Χ φ 0, то линейные подпространства
Νχ = Кег (А — XI) и Νχ = Кег (А* — XI) имеют одну и ту же
конечную размерность.
Доказательство. Так как оператор А компактен, то имеем
dimiVA < оо. Поскольку по теореме 3.10.9 после введения в Е'
топологии равномерной сходимости на предкомпактных
множествах оператор А* тоже становится компактным, то dimiV^ < оо.
Для доказательства равенства dimiVA = dimiV^ достаточно
доказать неравенство dim ./Уд ^ dimiV^. Действительно, пусть
доказано, что dimiVA ^ dimiV^. Тогда для оператора А** — XI
будет справедливо соотношение dim Кег (Л** — XI) < dimiV^;
так как А — сужение оператора А** на Ε (задача 3.12.77), то
Νχ С Кег (Л** - XI) и потому dimiVA < dimiV^.
Пусть dimiVA = η < dimiV^. Выберем в Νχ базис βι,... ,en.
Найдется такое замкнутое линейное подпространство Е$ С Е,
что Ε есть прямая сумма Е$ и Νχ, причем естественные проекции
на эти подпространства непрерывны (теорема 1.11.16). Зададим
конечномерный оператор К: Ε —> Ε так: если х = у + ζ, у Ε Е$,
ζ Ε Νχ, то Кх = ζ, т. е. К = 0 на Е$ и К = I на Νχ. Ясно, что
оператор К компактен. Тогда компактен и оператор А\ = А + К.
При этом очевидным образом ядро Αι —XI тривиально. Поэтому
(Αι — Х1)(Е) = Е. С другой стороны,
(А, - М)(Е) = (А- М)(Е) 0 К{Е) = (А- ΧΙ)(Ε) φ Νχ.
Итак, образ А — XI имеет коразмерность п, что ведет к
противоречию, ибо этот образ есть аннулятор ядра А* — XI и потому
имеет коразмерность, равную dimiV^. D

282
Глава 3. Двойственность
3.11.5. Пример. Для λ = 0 равенство dimiV^ = dimiVx
неверно. Действительно, пусть Ε = Ζ2,
А: (жьж2>. ■·)·-> (Я2,я3/3,...).
Тогда ядро А одномерно, а ядро А* тривиально.
При доказательстве леммы 3.10.3 фактически было показано,
что цепочка ΤχΕ D ΤχΕ D · · · замкнутых подпространств
пространства Ε (при λ φ 0) обязана стабилизироваться, т.е.
существует такое число к Ε IN, что ΤχΕ = Τχ+0Ε при всех j Ε IN.
Аналогично можно показать, что стабилизируется и следующая
цепочка замкнутых подпространств: Τχλ(0) С Т^~2(0) С · · · (λ φ 0).
Пусть теперь к — минимальное натуральное число, для
которого Т%Е = Т*+1Е (при этом и ТкЕ = T*+iE для всех j Ε IN) и
η — минимальное натуральное число, для которого верно
равенство Τ"η(0) = Τ-η_1(0) (при этом T"n(0) = T~n~j(0) для всех
j Ε IN). Тогда η = к и Ε представляет собой алгебраическую
прямую сумму своих подпространств Τχη(0) и ΤχΕ.
Последний факт — чисто алгебраический (его доказательство
мы приведем ниже). Из леммы 3.10.3 вытекает, что все
подпространства ΤχΕ замкнуты (это следует из того, что в силу
равенства Τχ = Ак - к\Ак~1 + · · · + (—A)fcJ отображение Т%, как
и отображение Тд, представляет собой сумму двух отображений
(компактного и кратного единичному). Поэтому алгебраическая
прямая сумма Τχη(0) ®ΤχΕ двух подпространств — замкнутого
и конечномерного — является и топологической прямой суммой.
Снова воспользовавшись тем, что операторы Τ χ при λ φ 0
являются суммами компактного и кратного тождественному,
получаем, что для каждого натурального j верно равенство
dimT-'(0) = dim(rA*r'(0).
Докажем теперь, что Ε = Τχη(0) 0 Τχ{Ε). Прежде всего
заметим, что равенства
TS{E) = Ts+r(E), (3.11.1)
Тг(Е)®Т~8(0) = Е (3.11.2)
равносильны. Действительно, если выполнено первое из них и
х Ε Е, то существует такое ζ Ε Ε, что Tsx = Ts+rz, но это

3.11. Альтернатива Фредгольма
283
значит, что Ts{x — Trz) = О, т. е. x — Trz е T~s(0). Таким образом,
χ = Trz + (х — Trz), так что соотношение (3.11.2) справедливо.
Проверим, что из (3.11.2) вытекает (3.11.1). Если (3.11.2)
справедливо и χ Ε Е, то существуют такие элементы г, z\ Ε Ε, что
х = Trz + 2ι, причем Tsz\ = 0, так что Tsx = Ts+rz\ это и
означает, что справедливо соотношение (3.11.1).
Докажем далее равносильность равенств
Т"г(0) = T"s-r(0), (3.11.3)
Тг(Е)ПТ~8(0) = {0}. (3.11.4)
Пусть (3.11.3) справедливо их е ТГ(Е) Π T"s(0). Тогда Tsx = 0.
С другой стороны, существует такое ζ Ε Ε, что χ = Trz, так
что Tr+Sz = 0. Поэтому ζ Ε T~s~r(0) и, следовательно, в силу
равенства (3.11.3) получаем ζ Ε T_r(0), т. е. ж = Trz = 0; тем
самым справедливость (3.11.4) доказана.
Предположим теперь, что справедливо (3.11.4), и докажем,
что тогда будет справедливо и (3.11.3). Достаточно показать, что
если ζ е T~s_r(0), то ζ е Т~г(0). Первое включение означает, что
Tr+Sz = 0, т.е. Trz G T_s(0); отсюда, в силу равенства (3.11.4),
следует, что Trz = 0, т. е. мы имеем ζ G T_r(0).
Перейдем непосредственно к доказательству равенств к = η
и Тп(Е) θ Τ~η(0) = Е. Если первое из них считать доказанным,
то второе окажется непосредственным следствием справедливых
в этом случае равенств Тп(Е)+Т-п(0) = Е, Тп(Е)ПТ-п(0) = {0}
(они являются частными случаями равенств (3.11.2) и (3.11.4)).
Равенство к = η доказывается так. Так как по определению
η мы имеем Т"п(0) = Т"71"1^), то Тп(Е)ПТ-1(0) = {0}. Если
к < п, то опять же по определению (на этот раз — числа к)
мы имеем Тк(Е) = Тп(Е). Значит, предыдущее равенство можно
заменить следующим: Тк(Е) ПТ_1(0) = {0}. Ввиду соотношений
(3.11.3) и (3.11.4) это означает, что Т~к(0) = Г^-^О); последнее
равенство, в свою очередь, означает, что к ^ п. В итоге получаем,
что к = п. Далее, по определению к мы имеем Тк(Е) = Тк+1(Е).
Так как (3.11.1) влечет (3.11.2), то Т(Е)+Т~к(0) = Е. Если п < /с,
то по определению T"n(0) = T"fc(0), значит, Т(Е) + Т"п(0) = Е,
а так как (3.11.2) влечет (3.11.1), то Тп(Е) = ТП+1(Е), так что
η ^ к. Значит, снова η = к.
Напомним, что вектор a G Ε, α φ 0, называется
присоединенным (или корневым) вектором линейного оператора А: Ε —> £?,

284
Глава 3. Двойственность
относящимся к числу λ, если (А — \1)па = 0 для некоторого
η Ε IN; наименьшее число η с таким свойством называется
порядком корневого вектора. В частности, собственные векторы —
корневые первого порядка. Впрочем, обычно присоединенными
называют корневые векторы, не являющиеся собственными.
Как известно, приведение к жордановой форме матрицы
линейного оператора в конечномерном пространстве достигается
при помощи выбора базиса, состоящего из собственных и
присоединенных векторов этого оператора. При этом каждой клетке
Жордана соответствует набор векторов базиса, состоящий из
одного собственного и нескольких присоединенных векторов,
отвечающих одному и тому же собственному значению;
максимальный из порядков этих присоединенных векторов совпадает с
числом диагональных элементов клетки Жордана.
Из сказанного выше о подпространствах Тд~п(0) и Т™(Е)
вытекает, как можно показать, что они являются инвариантными
подпространствами оператора А, причем подпространство Тд~п(0)
конечномерно и содержит базис, состоящий из собственных и
присоединенных векторов оператора А порядка не больше п,
отвечающих собственному значению λ. Однако из этого отнюдь не
вытекает, что в бесконечномерном пространстве есть базис
(хотя бы алгебраический) из собственных и присоединенных
векторов оператора А. Даже в сепарабельном гильбертовом
пространстве не всякий компактный оператор обладает базисом Гамеля из
собственных и присоединенных векторов; простейшим примером
служит оператор Вольтерра
А№= f f{s)ds
Jo
в I/2 [0,1], который вообще не имеет ни собственных, ни
присоединенных векторов.
3.11.6. Замечание. Почти все результаты о компактных
операторах, изложенные выше, верны и для оператора, некоторый
полином от которого компактен. Исключение составляет
описание спектра: если компактным является оператор φ(Α), где φ —
некоторый полином, то спектр отображения φ(Α) по-прежнему
конечен или счетен, но множество его предельных точек
должно содержаться в множестве корней многочлена φ (скажем, нуль
может не быть предельной точкой спектра такого оператора).
Доказать это предоставляется читателю в качестве упражнения
(доказательства почти не отличаются от приведенных выше).

3.12. Дополнения и задачи
285
3.12. Дополнения и задачи
(i) Бэровские пространства (285). (ii) Теорема о борелевском
графике (288). (iii) Ограничивающие множества (289). (iv)
Теорема Джеймса (290). (ν) Топологические свойства локально
выпуклых пространств (292). (vi) Свойства Эберлейна-Шмульяна (296).
(vii) Базисы Шаудера (297). (viii) Минимальные пространства
и степени прямой (299). Задачи (303).
3.12(i). Бэровские пространства
В случае общих топологических пространств более принятое
определение бэровского пространства таково.
3.12.1. Определение. Топологическое пространство X
называется бэровским, если никакое его непустое открытое подмножество
нельзя представить в виде счетного объединения нигде не плотных
множеств.
Счетные объединения нигде не плотных множеств называют
множествами первой категории, а все прочие множества —
множествами второй категории. Тем самым в бэровском пространстве все
непустые открытые множества (значит, и само пространство) являются
множествами второй категории. Несколько более слабым является
условие, что все пространство есть множество второй категории. Правда,
для топологических векторных пространств оба свойства равносильны,
так как если какая-то окрестность есть множество первой категории, то
сдвинутая в нуль окрестность будет окрестностью нуля, имеющей
первую категорию, а тогда все пространство тоже оказывается множеством
первой категории. Конечно, в общих пространствах такой
равносильности нет: например, объединение [0,1] с множеством рациональных
чисел из [2,3] не является бэровским пространством в смысле данного
выше определения, хотя и является множеством второй категории.
Пространство является бэровским в точности тогда, когда в нем
пересечение каждой последовательности всюду плотных открытых
множеств всюду плотно. В самом деле, если открытые множества Gn всюду
плотны в бэровском пространстве X, то H^LiC^n Π U) Φ 0 для
всякого непустого открытого £7, ибо иначе замкнутые множества X\Gn
нигде не плотны и покрывают U. Если же открытое множество U есть
объединение нигде не плотных множеств Fn, то Gn = X\Fn открыты
и всюду плотны (замыкание Fn также нигде не плотны), но их
пересечение не пересекает £7, так что это пересечение не является всюду
плотным.
Подробные сведения о бэровских пространствах даны в Haworth,
Мссоу [319] (см. также Бурбаки [28], Perez Carreras, Bonet [424], Val-
divia [497]). Мы отметим лишь такие факты, связанные с
произведениями.

286
Глава 3. Двойственность
Пусть X и Υ — бэровские пространства. Тогда Χ χ Υ является
бэровским в каждом из следующих случаев:
(i) Y имеет счетную базу;
(ii) X и Υ метризуемы, Υ полно.
Кроме того, имеет место такой факт.
3.12.2. Теорема. Произведение любого набора метризуемых сепа-
рабельных бэровских пространств является бэровским. Произведение
любого набора полных метрических пространств является бэровским.
Например, JRT — бэровское.
Окстоби [419] построил пример вполне регулярного бэровского
пространства, квадрат которого не является бэровским (он использовал
гипотезу континуума, без нее пример был построен в Cohen [252]). Позже
были найдены примеры метрического пространства с таким свойством
(см. Krom [368]), а в работе Arias de Reyna [204] построен пример двух
евклидовых бэровских пространств X и У, для которых Χ χ Υ не
является бэровским. Приведем результат из Saxon [444].
3.12.3. Теорема. Топологическое векторное пространство Ε
является бэровским в точности тогда, когда всякое поглощающее
замкнутое уравновешенное множество в Ε имеет внутреннюю точку.
Доказательство. Если V — множество с указанными
свойствами в бэровском £7, то замкнутые множества nV покрывают Е, поэтому
какое-то из них имеет внутренние точки. Предположим теперь, что Ε
не является бэровским. Тогда Ε можно представить в виде
объединения последовательности возрастающих замкнутых множеств Fn без
внутренних точек. Будем считать, что Ε вещественно (комплексный
случай чуть сложнее, см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 14]). Можно
считать, что Fn = —Fn, ибо множества Fn U {—Fn) также замкнуты
и нигде не плотны. Возьмем ненулевой вектор υο и уравновешенную
замкнутую окрестность нуля W, не содержащую vo (такие
существуют всегда в отделимом ненулевом пространстве, но в данном случае
отделимость не нужна, ибо иначе Fn = Е). Найдется уравновешенная
замкнутая окрестность нуля U, для которой U + U С W.
Покажем, что множество А = U^Lin_1(^n Л U) нигде не
плотно и является поглощающим. Тогда множество В, равное замыканию
множества всех лежащих в А центрально-симметричных отрезков,
оказывается замкнутым, нигде не плотным, уравновешенным и
поглощающим (для всякого χ Ε Ε есть лежащий в А отрезок вида [—εχ,εχ]).
Если А не является нигде не плотным, то замыкание А плотно
в некотором открытом множестве G. Для каждого к ^ 1 замыкание А
равно объединению множеств n~1(Fn Π U) с η ^ к — 1 и замыкания
Ak := U^lfc n~1(FnC\U). Тогда открытое множество G\Ak лежит в
объединении множеств n~1(Fn C\U) с η ^ к — 1, которое является нигде не

3.12. Дополнения и задачи
287
плотным. Значит, это открытое множество пусто, т. е. G С А^ С к ги
при всех к. Взяв какой-либо элемент д G G, мы получаем, что при
9+tvo,g—tvo £ G с некоторым/; > 0, откуда 2tv0 G /с_1£/+/с_1£/ С /c_1W
при всех /с. Взяв /с так, что 2tk ^ 1, из включения 2£/л;о G W и
уравновешенности W мы получаем, что vo £ W — противоречие. Итак, А нигде
не плотно.
Покажем, что А — поглощающее. Пусть е G Ε, е φ 0. Отрезок
U Π JRxe покрыт замкнутыми множествами Fn Π U, поэтому найдутся
такие ρ G ИМ, ζ G И1 и ε > 0, что £е G Fp Π £7 при всех t G [ζ — ε, ζ + ε].
Если ζ = 0, то мы получаем, что se £ А при |s| < δ, где положительное
J < ε/ρ таково, что (—йе, йе) G p~xU.
Пусть z^O. Можно считать, что ε ^ (ρ+1)-1ζ (увеличив р) и ζ > 0.
Пусть 0 < s ^ ρ_1ε. Выберем η ^ ρ так, что (п + \)~λζ ^ s ^ η-1ζ.
Тогда ζ-ε^η^^ζ + ε, ибо ζ-ε ^ η(η+1)_1ζ. Значит, nse e Fp С Fn,
откуда sz G n_1(Fn Π (7) С А. Так как А центрально-симметрично, то
se G А также при s G [—ρ-1 ε, 0). Наконец, 0 G A. D
Доказательство следующей теоремы можно прочитать в [424, с. 17].
3.12.4. Теорема. Пусть Ε — сепарабельное бесконечномерное
бэровское топологическое векторное пространство. В предположении
гипотезы континуума (или аксиомы Мартина, согласно которой
объединение менее чем континуума множеств меры нуль на прямой
тоже имеет меру нуль) существует всюду плотная гиперплоскость
в Е, не являющаяся бэровским пространством.
Нам понадобится еще одно понятие, связанное с именем Бэра:
говорят, что множество А в топологическом пространстве X имеет свойство
Бэра, если существует такое открытое множество [7, что UA А является
множеством первой категории.
Ясно, что открытые множества имеют свойство Бэра, причем класс
Во(Х) всех множеств в X с этим свойством замкнут относительно
взятия дополнения и счетного объединения. Тем самым класс Bq(X) —
σ-алгебра, содержащая борелевскую σ-алгебру (см. §5.1).
3.12.5. Лемма. Пусть А — множество второй категории в
топологическом векторном пространстве, имеющее свойство Бэра.
Тогда А — А содержит окрестность нуля.
Доказательство. По условию имеется открытое множество [7,
для которого U Δ А является множеством первой категории. При этом
U—U — окрестность нуля. Покажем, что U—U С А—А. Пусть χ G U—U.
Тогда χ = и — ν, где и, ν Ε {/, откуда ν G (x + U)C\U. Так как множество
U\A имеет первую категорию, то его сдвиг (U + x)\(A + x) также имеет
первую категорию. Из этого нетрудно усмотреть (задача 3.12.71), что
Α Π (Α + χ) φ 0, что дает искомое включение χ G А — A. D

288
Глава 3. Двойственность
3.12.6. Пример. Рассмотрим пример замкнутого
подпространства в бэровском пространстве, не являющегося бэровским.
В пространстве X = Π^=ι ^η? где Хп — И°°, возьмем линейное
подпространство D, алгебраически дополняющее сумму Хп, т.е.
подпространство последовательностей (χχ,..., хп, 0,0,...), хп Ε Хп.
Каждое Хп вложено в X как множество векторов с нулевыми компонентами
на местах с номерами к φ п. Пусть Еп — прямая сумма D и Χι,..., Хп.
Поскольку объединение Еп есть X, то ввиду задачи 3.12.68 при
некотором η подпространство Еп является плотным и бэровским. Возьмем
в Хп+г подпространство L счетной размерности и положим Ε = En+L.
Тогда Ε — бэровское (ибо Еп плотно в Ε и бэровское), L = Ε Π Χη+ι
замкнуто в Ε из-за замкнутости Χη+ι в X, но бэровским не является.
3.12(ii). Теорема о борелевском графике
Определение борелевского отображения см. в § 5.2.
3.12.7. Теорема. Пусть Ε — бэровское топологическое векторное
пространство, F — локально выпуклое пространство, Т: E^>F — бо-
релевское линейное отображение. Тогда Τ непрерывно. В частности,
всякая борелевская линейная функция на Ε непрерывна.
Доказательство. Пусть V с F — замкнутая абсолютно
выпуклая окрестность нуля. Тогда В = Т~г(у) — поглощающее абсолютно
выпуклое борелевское множество в Е. Будучи борелевским, множество
В обладает свойством Бэра. По лемме 3.12.5 множество 2В = В — В
содержит окрестность нуля. Значит, таково и В, что дает
непрерывность Т. D
3.12.8. Теорема. Пусть Ε и F — суслинские локально выпуклые
пространства, причем Ε — бэровское, иТ: Ε —> F — линейное
отображение с борелевским графиком. Тогда Τ непрерывно.
Доказательство. Чтобы применить предыдущую теорему,
проверим, что Τ является борелевским. Сначала заметим, что Ε χ F —
тоже суслинское пространство и потому график Г отображения Τ —
суслинское множество (см. Богачев [17, следствие 6.6.7]).
Пусть В С F — борелевское множество. Обозначим через πι и П2
проекции Ε χ F на Ε и F. Эти проекции непрерывны и потому
являются борелевскими. Значит, π^~1(5) Π Γ — борелевское, а тогда и
суслинское множество в Г. Поэтому Т~Х(В) = πι(π^"1(5) Π Γ)
оказывается суслинским множеством в Е. Поскольку это же верно и для
£;\Г_1(Б) = Г_1(^\Б), то Т-г(В) — борелевское множество (см. [17,
следствие 6.6.10]). □
Теорема применима, если, скажем, Ε является сепарабельным
пространством Фреше. Однако в этом случае сепарабельность не нужна.

3.12. Дополнения и задачи
289
3.12.9. Следствие. Пусть Ε — пространство Фреше, F — су-
слинское локально выпуклое пространство, Τ: Ε —> F — линейное
отображение с борелевским графиком. Тогда Τ непрерывно.
Доказательство. Непрерывность достаточно проверять для
сужений на сепарабельные замкнутые подпространства Eq С Е,а, график
такого сужения является борелевским множеством — пересечением
исходного графика с Е0 χ F. D
3.12.10. Следствие. Пусть Ε и F — суслинские локально
выпуклые пространства, причем Ε — бэровское, и A: F —> Ε — непрерывное
взаимно однозначное линейное отображение. Тогда Λ-1: Ε —> F
тоже непрерывно.
Доказательство. График непрерывного отображения Λ
является борелевским в FxE, значит, график обратного (то же самое
множество, но в ExF) оказывается борелевским. D
3.12.11. Следствие. Пусть Ε — пространство Фреше и Е0 —
суслинское линейное подпространство конечной коразмерности. Тогда
Ео замкнуто. Это же верно, если Ео имеет счетную коразмерность.
Доказательство. Пусть Е\ — конечномерное подпространство
в Е, дополняющее Ео. Заметим, что Ε = Εο@Ει сепарабельно.
Пространство Ео χ Ει является суслинским, а отображение (и, ν) »—> и + ν
из Ео χ Ει в Ε взаимно однозначно и непрерывно. По предыдущему
следствию непрерывно и обратное, что влечет замкнутость Eq.
Если же Ео имеет счетную коразмерность и {ап} — счетный базис
алгебраического дополнения, то по доказанному замкнуты все
подпространства Еп, порожденные Ео и αι с г ^ п. Их пересечение есть Ео. □
Из доказательства ясно, что достаточно, чтобы Ε было бэровским
(оно будет и суслинским, ибо Ε = £Όφ£Ί).
3.12(iii). Ограничивающие множества
3.12.12. Определение. Подмножество В топологического
пространства Τ называется ограничивающим, если всякая непрерывная
функция на Τ ограничена на В.
Само Τ является ограничивающим, если оно псевдокомпактно, т. е.
все непрерывные функции на Τ ограничены.
Ясно, что если всякая бесконечная последовательность из В имеет
предельную точку в Т, то В является ограничивающим. Всякая часть
компакта является ограничивающим множеством. Пространство всех
счетных порядковых чисел с порядковой топологией некомпактно, но
счетно компактно и потому псевдокомпактно. Тихоновская плоскость
([1,α;ο]χ[1,α;ι])\(α;ο,α;ι), где ωο — наименьшее счетное порядковое
число и ωι — наименьшее несчетное порядковое число, причем порядковые

290
Глава 3. Двойственность
отрезки наделены порядковыми топологиями, дает пример
псевдокомпактного пространства, которое не счетно компактно.
Представляет интерес вопрос об относительной компактности
ограничивающего множества в локально выпуклом пространстве.
Приведем ряд результатов на эту тему, доказательства которых можно
найти в Floret [298]. Эти результаты любопытны еще и тем, что понятие
ограничивающего множества привлекает нелинейные функции.
Для общего вполне регулярного пространства Τ теорема Широты-
Нахбина утверждает, что всякое ограничивающее множество в Τ
относительно компактно в точности тогда, когда пространство С(Т)
непрерывных функций на Τ с топологией равномерной сходимости на
компактах бочечно (см., например, Schmets [446]). Μ. Вальдивиа доказал
следующий результат.
3.12.13. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое пространство,
причем Е' сепарабельно в топологии σ(Ε', Ε). Тогда всякое σ(Ε, Е')-ог-
раничивающее множество в Ε относительно компактно в σ(Ε,Ε').
3.12.14. Следствие. В квазиполном локально выпуклом
пространстве Ε множество является ограничивающим в топологии
σ(Ε, Ε') в точности тогда, когда оно относительно компактно
в этой топологии.
Из этого вытекает результат Птака об относительной слабой
компактности слабо псевдокомпактных множеств в квазиполных локально
выпуклых пространствах.
3.12.15. Следствие. Квазиполное локально выпуклое
пространство Ε полурефлексивно в точности тогда, когда всякая
σ(Ε,Ε')-непрерывная функция ограничена на ограниченных множествах.
3.12.16. Следствие. Если ограничивающее множество А в
локально выпуклом пространстве Ε имеет полную в топологии Мак-
ки τ(Ε,Ε') замкнутую выпуклую оболочку или если Е' сепарабельно
в топологии σ(Ε',Ε), то А относительно компактно.
3.12(iv). Теорема Джеймса
Приведем без доказательства важную теорему Джеймса [332]
(перенесенную на локально выпуклые пространства в Pry се [430]),
доказательство которой можно прочитать также в книге Floret [298, с. 59].
3.12.17. Теорема. Слабо замкнутое множество А в
квазиполном локально выпуклом пространстве слабо компактно в точности
тогда, когда на А достигает максимума каждый непрерывный
линейный функционал.
3.12.18. Следствие. Банахово пространство X рефлексивно
в точности тогда, когда на его замкнутом единичном шаре всякий
непрерывный линейный функционал на X достигает максимума.

3.12. Дополнения и задачи
291
3.12.19. Следствие. Пусть Ε — квазиполное локально выпуклое
пространство, А — некоторая σ-алгебра подмножеств множества Ω
и ν: А —> Ε — векторная мера на А, т. е. и(А) = Σ™=ι ν (An), если
Ап G А попарно не пересекаются и А = U^Li An. Тогда множество
значений ν относительно слабо компактно. В частности, это верно
для банахова пространства Е.
Доказательство. Поскольку множество значений всякой счетно-
аддитивной числовой меры на σ-алгебре А ограничено, то множество
Μ = {у(А): A G А} слабо ограничено. Пусть С — его слабое
замыкание. Для проверки слабой компактности С применим теорему Джеймса
и покажем, что всякий функционал /ЕЕ' достигает максимума на С.
Это сводится к тому, что мера f(u) на А принимает наибольшее
значение; но это известный факт теории меры (см. Богачев [17, §3.1]). D
Вывод следующих утверждений из теоремы Джеймса можно найти
в книге Floret [298, с. 87, 88].
3.12.20. Теорема. Квазиполное локально выпуклое пространство
полурефлексивно в точности тогда, когда всякие два дизъюнктных
замкнутых ограниченных выпуклых множества могут быть строго
разделены замкнутой гиперплоскостью.
3.12.21. Теорема. Абсолютно выпуклое ограниченное замкнутое
множество С в квазиполном локально выпуклом пространстве Ε
слабо компактно в точности тогда, когда его можно строго отделить
замкнутой гиперплоскостью от всякого дизъюнктного с ним
замкнутого ограниченного выпуклого множества.
Поэтому банахово пространство рефлексивно в точности тогда,
когда его замкнутый единичный шар можно строго отделить замкнутой
гиперплоскостью от всякого дизъюнктного с ним замкнутого
ограниченного выпуклого множества. Например, в С[0,1] есть ограниченное
замкнутое выпуклое множество, которое дизъюнктно с единичным
шаром, но не может быть строго отделено от него гиперплоскостью.
Теорема Джеймса дает такую нелинейную характеризацию слабой
компактности (см. Floret [298, с. 91]).
3.12.22. Предложение. Пусть V — ограниченное выпуклое и
полное в топологии Макки множество в локально выпуклом
пространстве. Слабая компактность V равносильна тому, что для
каждого непрерывного в слабой топологии отображения Φ: V —> V'
существует неподвижная точка.
Близкий результат Д.П. и В.Д. Мильманов утверждает, что
слабая компактность V равносильна тому, что для каждого выпуклого
замкнутого подмножества W CV все аффинные непрерывные
отображения из W в W имеют неподвижные точки.

292
Глава 3. Двойственность
3.12(ν). Топологические свойства локально выпуклых
пространств
В общей топологии рассматриваются различные свойства
топологических пространств, обобщающие те или иные свойства
метрических пространств. Так возникают нормальные, совершенно
нормальные, паракомпактные и другие пространства. Здесь мы приведем
простейшие сведения о локально выпуклых пространствах этих классов.
Нередко бывает нужно применить какой-то результат общей
топологии к конкретному локально выпуклому пространству, для чего
требуется принадлежность к определенному классу общих топологических
пространств. Обычно это конкретное пространство получено из более
простых (скажем, метризуемых) операциями типа индуктивного или
проективного пределов в категории локально выпуклых пространств.
Поскольку такие топологии слабее вводимых в категории общих
топологических пространств (так Т> не есть топологический индуктивный
предел Т>п), то такие вопросы оказываются непростыми. Другой
пример: пространства (даже банаховы) со слабыми топологиями.
Мы уже знаем, что отделимые топологические векторные
пространства — тихоновские. Следующее по силе свойство: нормальность.
Нормальным называется хаусдорфово пространство Т, в котором для
всякой пары дизъюнктных замкнутых множеств А и В найдется такая
пара дизъюнктных открытых множеств U и V, что А С U, В С V.
Такие пространства вполне регулярны. Еще более узкий класс состоит
из совершенно нормальных пространств: хаусдорфовых пространств,
в которых всякое замкнутое множество имеет вид /_1(0) для некоторой
непрерывной функции /. Несчетная степень прямой не является
нормальным пространством (см. Архангельский, Пономарев [10, с. 105]).
Топологическое пространство называется линделёфовым, если из
всякого его покрытия открытыми множествами можно выделить не более
чем счетное подпокрытие. Для метрических пространств это
равносильно сепарабельности. Лин дел ёфово отделимое топологическое
векторное пространство нормально (задача 3.12.189). Хаусдорфово
пространство называется паракомпактным, если во всякое его открытое
покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.
Известно (см. Энгелькинг [186, с. 444]), что класс таких пространств
содержит компакты, метризуемые пространства, линделёфовы
пространства и входит в класс нормальных пространств. Кроме того, он входит в
более узкий класс коллективно нормальных пространств, т. е.
хаусдорфовых пространств, в которых для всякого дискретного набора
замкнутых множеств Fs есть дискретный набор открытых множеств Us D Fs
(набор множеств дискретен, если всякая точка имеет окрестность,
пересекающуюся не более чем с одним из них).
Из результатов Д.П. Батурова и Е.А. Резниченко (см.
Архангельский [9], Резниченко [123]) следует такой примечательный факт.

3.12. Дополнения и задачи
293
3.12.23. Теорема. Для метризуемого локально выпуклого
пространства со слабой топологией равносильны нормальность и лин-
делёфовость.
Кроме того, в [123] показано, что если на локально выпуклом
пространстве Ε есть более сильная метризуемая локально выпуклая
топология, то для (£, σ(Ε, Ε')) равносильны нормальность и коллективная
нормальность (а тогда и паракомпактность). Эти вопросы тесно
связано с изучением пространства СР(Т) непрерывных функций на
топологическом пространстве Т, наделенного топологией поточечной
сходимости.
Например, банахово пространство X со слабой топологией
линейно гомеоморфно замкнутому линейному подпространству Ср (Т) с
компактным Т, равным шару в X' с топологией σ(Χ',Χ). Аналогично
метризуемое локально выпуклое пространство Ε со слабой топологией
вкладывается в качестве замкнутого линейного подпространства СР(Т)
с σ-компактным Т, равным объединению поляр счетной базы
окрестностей нуля в Е.
Следующее достаточное условие слабой линделёфовости получено
в Talagrand [473]. Конечно, самым простым достаточным условием
является сепарабельность по норме.
3.12.24. Теорема. Если в банаховом пространстве X есть
слабый компакт с плотной линейной оболочкой, то X со слабой
топологией линделёфово.
Условию теоремы удовлетворяет любое гильбертово пространство
(как и любое рефлексивное банахово).
В связи с задачей продолжения отображений (см. теорему 1.12.23)
появился интересный класс кружевных пространств (называемых
также стратифицируемыми по английскому оригиналу stratifiable),
которые обладают следующим свойством: они хаусдорфовы и для каждого
замкнутого множества Ζ можно так выбрать последовательность
открытых множеств Un(Z) D Ζ, что
оо оо
ζ = f) un(Z) = р) Щг),
η=1 η=1
причем если Ζ с Ζ', το Un(Z) C Un(Z').
Например, в метрическом пространстве в качестве Un(Z) можно
взять открытую 1/п-окрестность Z.
Функциональная характеризация кружевных пространств (из
которой сразу видна их совершенная нормальность) такова: для каждого
открытого множества U есть такая непрерывная функция fu со
значениями в [0,1], что U = {fu φ 0}, а если V С U открыто, то fy < fu-

294
Глава 3. Двойственность
Монотонно нормально хаусдорфово пространство, в котором
всякой паре множеств F С 17, где F замкнуто и U открыто, можно
сопоставить открытое множество V(F,U) так, что FcV(F,U)cV(F,U)cU,
причем для всякой пары F' С U' замкнутого и открытого множеств
с F' С F, U' С U мы имеем V{F\ U') С V(F, U).
Известно (см. Gruenhage [316]), что пространство является
кружевным в точности тогда, когда его произведение на сходящуюся
последовательность монотонно нормально. Как заметил С.А. Шкарин [458],
из этого вытекает, что для локально выпуклых пространств оба
свойства равносильны. В его работе [455] получен следующий важный
результат, дающий широкие классы неметризуемых кружевных локально
выпуклых пространств.
3.12.25. Теорема, (i) Прямая сумма кружевных локально
выпуклых пространств — кружевное пространство.
(и) Строгий индуктивный предел последовательности метризуе-
мых локально выпуклых пространств — кружевное пространство.
(Ш) Если в сопряженном F1 пространства Фреше ограниченные
множества метризуемы, то F' с топологией Макки — кружевное
пространство.
Тем самым оказываются кружевными (а тогда и совершенно
нормальными) пространства V, V, S, S'.
Однако со слабыми топологиями положение сложнее: банахово
пространство со слабой топологией может быть кружевным лишь в
случае конечной размерности; пространство СР(Т) непрерывных функций
на топологическом пространстве Τ с топологией поточечной
сходимости оказывается кружевным лишь для счетных Т. Однако если Τ —
полное сепарабельное метрическое пространство, то кружевным будет
пространство Сь(Т) непрерывных функций на Τ с топологией
равномерной сходимости на компактах. Остается открытым вопрос,
является ли кружевным пространство Cfc(Q). Обзор результатов на эту тему
и ссылки см. в Gruenhage [316].
Отметим следующее описание пространств Фреше-Урысона (где
предельные точки множеств — пределы сходящихся
последовательностей), полученное в K§,kol, Lopez Pellicer, Todd [339] (см. также K§,kol,
Kubis, Lopez-Pellicer [338]).
3.12.26. Теорема. Для топологического векторного
пространства Ε следующие условия равносильны: (i) оно является
пространством Фреше-Урысона; (ii) если точка входит в замыкание какого-
либо множества А С Е, то она входит в замыкание некоторого
ограниченного множества В с A; (iii) если дана последовательность
множеств Ап С Е, замыкания которых содержат О, то найдется
последовательность множеств Вп С Ап, для которой U^Li Bn
ограничено и О входит в замыкание U^Lm Вп для всех га.

3.12. Дополнения и задачи
295
Существование неметризуемых сепарабельных локально выпуклых
пространств Фреше-Урысона зависит от дополнительных теоретико-
множественных предположений. Такие пространства существуют,
если принять аксиому Мартина; для широких классов локально
выпуклых пространств метризуемость вытекает из свойства Фреше-Урысона
(см. [338], [339]). Известно, что секвенциально полные пространства
Фреше-Урысона являются бэровскими; из этого следует, например, что
индуктивный предел возрастающей последовательности IRn не
является пространством Фреше-Урысона (хотя секвенциально).
Полностью выяснена топологическая классификация пространств
Фреше. Выдающимся достижением здесь является следующий
результат Кадеца [65] и Андерсона [200] (первый доказал гомеоморфность
бесконечномерных сепарабельных банаховых пространств, а второй
построил гомеоморфизм I2 и И00). Доказательство можно прочитать
также в Bessaga, Pelczynski [222], Torunczyk [489].
3.12.27. Теорема. Всякое бесконечномерное сепарабельное
пространство Фреше гомеоморфно JR°°.
В доказательстве важную роль играет такой факт,
представляющий самостоятельный интерес.
3.12.28. Теорема. Всякое бесконечномерное сепарабельное
банахово пространство гомеоморфно своему замкнутому единичному
шару, а также единичной сфере.
В бесконечномерном пространстве Фреше F всякое замкнутое
выпуклое множество с непустой внутренностью гомеоморфно F.
Конечно, непустота внутренности важна (компакт не гомеоморфен F). Как
показано в Banakh, Cauty [210], всякое несепарабельное выпуклое
множество в F, метризуемое полной метрикой, гомеоморфно некоторому
гильбертову пространству. Для выпуклых компактов известен другой
факт, установленный в Keller [351]: всякий выпуклый компакт в
пространстве Фреше с бесконечномерной линейной оболочкой
гомеоморфен гильбертову кубу [0,1]°° (фактически в цитированной работе это
доказано для компактов в /2, к чему легко сводится общий случай, см.
задачу 3.12.191). В той же работе получен следующий замечательный
результат: для всяких двух точек х, у гильбертова куба [0,1]°° найдется
такой гомеоморфизм h: Q —> Q, что Q(x) = у.
В случае произвольных пространств Фреше Торунчик получил
следующий замечательный результат (см. Torunczyk [489]).
3.12.29. Теорема. Всякое пространство Фреше гомеоморфно
некоторому гильбертову пространству.
Тем самым два пространства Фреше гомеоморфны в точности
тогда, когда для них совпадают минимальные мощности всюду плотных

296
Глава 3. Двойственность
множеств. Пример замкнутой гиперплоскости в неполном
бесконечномерном евклидовом пространстве, не гомеоморфной всему
пространству, построен в van Mill [397].
Следующая замечательная теорема принадлежит А.А. Милютину
(см. [95]; доказательство есть также в книге Пелчинский [108]).
3.12.30. Теорема. Пусть К — несчетный метрический компакт.
Тогда пространства С {К) и С[0,1] линейно гомеоморфны.
3.12(vi). Свойства Эберлейна—Шмульяна
Здесь мы приведем еще ряд результатов, связанных с теоремой
Эберлейна-Шмульяна.
3.12.31. Определение. Хаусдорфово топологическое
пространство Τ называется ангелическим, если всякое множество А С Τ
с тем свойством, что каждая его бесконечная последовательность
имеет предельную точку в Т, обладает еще и такими свойствами:
А относительно компактно и всякая точка из замыкания А есть
предел последовательности из А.
В ангелических пространствах свойства компактности, счетной
компактности и секвенциальной компактности совпадают. Кроме того,
замыкание относительно компактного множества исчерпывается
пределами последовательностей точек этого множества. Конечно, не
всякий компакт является ангелическим пространством, но интересно, что
известен пример двух ангелических компактов, произведение которых
не ангелично. Известно также, что если регулярное пространство X
можно непрерывно инъективно отобразить в ангелическое
пространство У, то X также оказывается ангелическим. Доказательства этих
утверждений и следующей теоремы можно найти в Floret [298, §3].
3.12.32. Теорема. Пусть топологическое пространство X
является замыканием счетного объединения мносисеств Кп с тем
свойством, что каждая бесконечная последовательность в Кп имеет в X
предельную точку. Тогда для всякого метрического пространства Ζ
пространство С(Х, Ζ) с топологией поточечной сходимости
является ангелическим.
Если все Кп компактны, то для всякого множества А С С(Х, Ζ)
всякая точка из замыкания А в указанной топологии входит в
замыкание некоторой не более чем счетной части А.
Применительно к метризуемым локально выпуклым
пространствам это дает уже известное нам из теоремы 3.4.10 утверждение: если
А — множество в метризуемом локально выпуклом пространстве, то
всякая точка из слабого замыкания А лежит в слабом замыкании
некоторой не более чем счетной части А.
Из представленных выше результатов можно вывести также такие
факты.

3.12. Дополнения и задачи
297
3.12.33. Теорема, (i) Если локально выпуклое пространство Ε
метризуемо или имеет более слабую метризуемую локально
выпуклую топологию, то оно является ангелическим в топологии σ(Ε, Ε').
В частности, это верно для всех подпространств JR°° с локально
выпуклыми топологиями, мажорирующими топологию покоординатной
сходимости.
(и) Строгие индуктивные пределы и индуктивные пределы со
слабо компактными вложениями последовательностей пространств
Фреше являются ангелическими в слабой топологии.
Следующая теорема принадлежит Гротендику.
3.12.34. Теорема. Пусть К — компакт. Множество F С С (К)
слабо компактно в точности тогда, когда оно ограничено по норме
и компактно в топологии поточечной сходимости.
Доказательство. Одна импликация очевидна. Пусть F
ограничено и компактно в топологии поточечной сходимости. Поскольку С (К)
является ангелическим в обеих рассматриваемых топологиях, то
достаточно проверить, что всякая равномерно ограниченная поточечно
сходящаяся последовательность в С(К) слабо сходится. Это очевидно из
теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и того факта, что С (К)*
отождествляется с пространством радоновских мер на К. D
Отметим, что данное в предложении 1.8.14 описание компактов
в метризуемом пространстве как подмножеств замкнутых абсолютно
выпуклых оболочек стремящихся к нулю последовательностей не
переносится на метризуемые компакты в неметризуемых пространствах.
3.12.35. Пример. Единичный шар в I2 со слабой топологией
компактен и метризуем, но не может входить в замкнутую абсолютно
выпуклую оболочку последовательности {αη}, слабо сходящейся к нулю.
Иначе в силу задачи 2.10.47 оператор Α: (Αη) »-> Σ™=1 ληα<η из I1 в I2
был бы сюръективен, тогда был бы замкнут образ А* (задача 3.12.182),
но А*(12) с со, ибо (А*х)п = (х,ап) —> 0, что невозможно, так как в со
нет бесконечномерных замкнутых гильбертовых подпространств (см.
Lindenstrauss, Tzafriri [381, предложение 2.а.2]).
3.12(vii). Базисы Шаудера
Как известно из учебного курса, важнейшим атрибутом
гильбертовых пространств являются ортогональные базисы. Для более общих
пространств вводится понятие топологического базиса. Мы будем
рассматривать здесь лишь отделимые локально выпуклые пространства.
3.12.36. Определение. Последовательность {hn} в локально
выпуклом пространстве X называется топологическим базисом, если

298
Глава 3. Двойственность
для каждого χ Ε Χ имеется единственная числовая
последовательность {сп(х)} такая, что χ = Y^Li cn(x)hn, где ряд сходится в X.
Если при этом все функционалы χ ь-> сп(х) непрерывны, то {hn}
называется базисом Шаудера.
Топологические базисы и базисы Шаудера в слабой топологии
называют соответственно слабыми топологическими базисами и
слабыми базисами Шаудера.
Ясно, что топологический базис является линейно независимым
множеством. В бесконечномерном банаховом пространстве
топологический базис не может быть алгебраическим базисом (базисом Гаме-
ля), ибо последний всегда несчетен. В банаховом пространстве С[0,1]
топологический базис был построен Фабером еще в 1910 г. После
появления общих банаховых пространств такие базисы стали объектом
интенсивных исследований (этим занимались Банах, Мазур, Шаудер
и другие известные математики). В некоторых пространствах долго
не удавалось построить базис. Например, в 1974 г. СВ. Бочкарев
решил поставленную еще Банахом проблему и построил базис Шаудера
в пространстве аналитических в круге функций, непрерывных на
замкнутом круге и наделенных sup-нормой. В течение десятилетий
оставался открытым вопрос о существовании базиса Шаудера во всяком
сепарабельном банаховом пространстве. Это была одна из самых
известных проблем теории банаховых пространств. Наконец, в 1973 г.
шведский математик П. Энфло опубликовал свой знаменитый
контрпример. Заодно он решил и другую трудную старую проблему о
существовании сепарабельных банаховых пространств без свойства
аппроксимации. Говорят, что банахово пространство обладает свойством
аппроксимации, если для всяких компакта К с X и ε > 0 найдется такой
непрерывный конечномерный оператор Т, что \\х — Тх\\ < ε при всех
χ G К. Это равносильно тому, что для каждого банахова пространства
Ζ конечномерные операторы плотны по норме в пространстве /C(Z, X)
компактных операторов. Если X имеет базис Шаудера {/ιη}, то
проекторы χ ь-> Σ7=ι xihi сходятся к единичному оператору равномерно на
компактах, поэтому X имеет и свойство аппроксимации. Однако есть
пространства со свойством аппроксимации, но без базиса Шаудера.
Известно, что пространства без свойства аппроксимации (а потому и без
базиса Шаудера) существуют даже среди замкнутых подпространств
со и 1Р с ρ > 2 (конечно, они есть и среди замкнутых подпространств
универсального пространства С[0,1]). Краткая информация о базисах
Шаудера приведена в Богачев, Смолянов [21, §6.10(iv)], где указана и
соответствующая литература. Здесь мы упомянем несколько ключевых
результатов для более общих пространств. В этом круге вопросов
одним из важнейших положительных результатов является следующий
факт (восходящий к Банаху для банаховых пространств).
Доказательство см. в Эдварде [185, §6.8], Jarchow [334, гл. 14].

3.12. Дополнения и задачи
299
3.12.37. Теорема. В пространстве Фреше и в индуктивном
пределе последовательности пространств Фреше всякий слабый
топологический базис является базисом Шаудера в исходной топологии.
Легко построить пример неполного нормированного пространства
с топологическим базисом, не являющимся базисом Шаудера: можно
взять пространство со счетным базисом Гамеля {/ιη}? для которого
первый коэффициент с\ (или даже все коэффициенты сп) будут разрывны.
Дьедонне [270] доказал, что слабый базис Шаудера в бочечном
пространстве является базисом Шаудера (доказательство можно найти
также в [334, гл. 14]).
Базис Шаудера {hn} в X называется абсолютным, если для всякой
непрерывной полунормы ρ на X есть такая непрерывная полунорма #,
что Σ™-ι \cn(x)\p(hn) ^ q(%) для всех х. Бесконечномерное банахово
пространство с абсолютным базисом изоморфно Z1. Это неверно для
пространств Фреше. Дынин и Митягин [284] (см. также Митягин [97])
установили, что в ядерном пространстве Фреше всякий базис Шаудера
абсолютен.
3.12.38. Теорема. Пусть F — пространство Фреше с базисом
Шаудера. Следующие условия равносильны: (i) F ядерно, (ii) F и F^
обладают абсолютными базисами, (ш) если {hn} — базис Шаудера
в F с соответствующими координатными функционалами {сп}, то
{hn} — абсолютный базис в F, {сп} — абсолютный базис в Ffa.
Доказательство см. в [334, § 21.10]. Известно (Wojtynski [518]), что
если в пространстве Фреше с базисом Шаудера всякий такой базис
является абсолютным, то это пространство ядерно. Долго было
неизвестно, существуют ли ядерные пространства Фреше без базиса Шаудера.
Первый такой пример построили Митягин и Зобин [62]. Позже
конструкции были упрощены (см. [334, §21.10]). Про базисы в
пространствах Фреше см. Драгилев [55], Драгилев, Чалов [56], Коробейник [81],
Dubinsky [277], [278], Taskinen [481], Valdivia [500], Vogt [503], [504].
3.12(viii). Минимальные пространства и степени прямой
Отделимое топологическое векторное пространство Ε называют
минимальным, если на нем нет строго более слабой отделимой
векторной топологии. Аналогично в категории локально выпуклых
пространств определяются минимальные локально выпуклые
пространства. Далее рассматриваются только отделимые пространства.
3.12.39. Пример. Всякая степень прямой IRT минимальна.
Доказательство. Пусть отделимая локально выпуклая
топология τ на JR°° мажорируется топологией произведения. Чтобы
установить совпадение этих топологий, достаточно установить непрерывность

300
Глава 3. Двойственность
в топологии τ всех координатных функционалов 1п(х) = хп. Иначе
говоря, нам надо доказать такой факт бесконечномерной линейной
алгебры: если в линейном пространстве IRq0, порожденном всеми /п, дано
линейное подпространство L, разделяющее точки из И00, то L = Н£°.
Предположим, что это не так. Тогда найдется ненулевой функционал /
на Н£°, равный нулю на L. Как и всякий функционал на Н^°, /
задается последовательностью (уп) Ε М°°. Значит, уп = 0, ибо L
разделяет точки. Полученное противоречие означает, что L = IR^°.
Общий случай следует из доказанного. В самом деле, если Τ несчетно, то
также достаточно проверить непрерывность координатных
функционалов it: хи x(t) во всякой отделимой локально выпуклой топологии τ
на IRT. Если множество То всех таких t Ε Τ, что функционалы lt
разрывны в т, непусто, то оно бесконечно (иначе уже на IRn получим
отделимую локально выпуклую топологию, отличную от стандартной),
поэтому можно перейти к счетной части То и применить доказанное. D
Как мы увидим ниже, других минимальных отделимых локально
выпуклых пространств не бывает.
3.12.40. Лемма. Локально выпуклое пространство минимально
в точности тогда, когда все его взаимно однозначные непрерывные
линейные отображения на локально выпуклые пространства являются
гомеоморфизмами. Аналогичное утверждение верно в классе
топологических векторных пространств.
Доказательство. Пусть Ε минимально и Τ: Ε —> F —
непрерывное взаимно однозначное линейное отображение на локально
выпуклое пространство F. Если Т-1 не является непрерывным, то набор
полунорм вида qoT, где q G Q и Q — задающий топологию F набор
полунорм, порождает в Ε отделимую локально выпуклую топологию,
которая мажорируется исходной топологией. Значит, эта топология
совпадает с исходной, что дает непрерывность оператора Т-1. Обратно,
пусть Ε не минимально, т. е. на Ε есть строго более слабая отделимая
локально выпуклая топология т. Тогда тождественное отображение из
Ε в (Ε,τ) не может быть гомеоморфизмом. Аналогичное рассуждение
применимо в категории топологических векторных пространств. D
3.12.41. Предложение. Пусть Ε — отделимое топологическое
векторное пространство.
(i) Если Ε минимально, то Ε полно.
(и) Если Ε минимально, то всякое замкнутое векторное
подпространство в Ε минимально.
(ш) Если F — замкнутое линейное подпространство в Е, a G —
такое минимальное векторное подпространство в Е, что F Π G = 0,
то F + G замкнуто и его топология совпадает с топологией прямой
суммы F и G.

3.12. Дополнения и задачи
301
Доказательство, (i) Пусть Ё — пополнение Е. Если существует
ν Ε Е\Е и L = IR г?, то мы получаем непрерывный линейный
оператор канонического проектирования Ρ: Ε —> E/L, который на Ε инъ-
ективен. Ввиду минимальности Ε этот оператор дает топологический
изоморфизм Ε и Р{Е). Однако, взяв направленность {να} в £7,
сходящуюся к ν, мы получаем направленность {Ρνα} в Р(Е), сходящуюся
к нулю, что означает и сходимость к нулю направленности {να} —
противоречие. (И) Если замкнутое подпространство F в Ε не минимально,
то на F есть строго более слабая векторная топология s, с помощью
которой на Ε можно ввести векторную топологию т, базой
окрестностей нуля в которой служат множества U + V, где U — окрестность
нуля в Ε в исходной топологии и V — окрестность нуля в F в
топологии s. Нетрудно проверить, что получена отделимая векторная
топология, сужение которой на F есть s; тем самым τ строго слабее исходной
топологии вопреки ее минимальности.
(ш) Пусть Ρ: Ε —► E/F — каноническая проекция. Тогда P(G)
является минимальным подпространством в E/F и потому ввиду
утверждения (i) оно полно, значит, и замкнуто. Поэтому G + F = P~1(<P(G))
замкнуто в Е. Пусть Q — каноническая проекция F + G на (F + G)/F
и q — ограничение Q на G. Тогда q непрерывно, инъективно, сюръ-
ективно и линейно. В силу минимальности G оператор q оказывается
изоморфизмом. D
3.12.42. Теорема, (i) Минимальные вещественные отделимые
локально выпуклые пространства — в точности степени И1.
(И) Всякое замкнутое линейное подпространство в IRT изоморфно
некоторому IR .
(ш) Если линейное подпространство отделимого локально
выпуклого пространства минимально, то оно дополняемо.
Доказательство, (i) Мы знаем, что любая степень И1 —
минимальное пространство. В силу предыдущей теоремы минимальное
вещественное отделимое локально выпуклое пространство Ε со слабой
топологией w полно. Алгебраически сопряженное к Е' пространство
изоморфно IR , где Τ — множество индексов для базиса Гамеля {ft}
в Е'. Естественное вложение (E,w) —> (Ε')* линейно и непрерывно,
поэтому в силу минимальности Ε оно должно быть топологическим
изоморфизмом между (E,w) и Ε с топологией из σ((£,/)*,£,/). Поскольку
(E,w) полно (как указано выше) и Ε плотно в (Е')* в указанной
топологии, то мы получаем, что Ε = (£")*, т.е. Ε изоморфно IR .
Утверждение (и) следует из (i) и предыдущей теоремы.
(ш) Пусть линейное подпространство F отделимого локально
выпуклого пространства Ε минимально. Мы знаем, что F изоморфно IRT

302
Глава 3. Двойственность
для некоторого непустого множества Т. Для каждого t Ε Τ
функционал χ »—> x(t) на F при этом изоморфизме по теореме Хана-Банаха
продолжается до непрерывного линейного функционала ft на Е.
Отображение Ρ: Ε —> F = IRT, χ ι—> (ft(%))tGT линейно и непрерывно, причем
на F совпадает с тождественным. Поэтому G = Р-1(0) — замкнутое
подпространство в Е, алгебраически дополняющее F. Применяя
утверждение (ш) предыдущей теоремы, завершаем доказательство. D
3.12.43. Следствие. Если локально выпуклое пространство Ε
полно в топологии σ(Ε, Ε'), то оно минимально и изоморфно степени
вещественной прямой.
Доказательство. Пусть Λ = Ε1 и Τ: Ε —> Нл — вложение,
заданное формулой Тх(Х) = Х(х). Как явствует из определения σ(Ε,Ε'),
это вложение — топологический изоморфизм. В силу полноты Ε
подпространство Т(Е) замкнуто в IR . В самом деле, если направленность
{Тха} сходится к у G НЛ, то направленность {ха} фундаментальна
в топологии σ(Ε, Ε') и потому слабо сходится к некоторому χ Ε Ε, что
дает у = Тх. Остается применить предложение 3.12.41(ii). D
3.12.44. Теорема. Для бесконечномерного пространства Фреше F
следующие условия равносильны: (i) на F нет непрерывной нормы;
(и) в F есть замкнутое линейное подпространство, изоморфное
пространству И00; (ш) в F есть дополняемое замкнутое линейное
подпространство, изоморфное пространству JR°°.
Доказательство. Ясно, что из (и) следует (i), ибо на Н°° нет
непрерывных норм (задача 1.12.71). Пусть верно (i). Возьмем
возрастающую последовательность полунорм рп, задающих топологию F.
Можно считать, что Рпг(0) Φ F и множество ρ^+ι(0) строго содержится
в р~г(0). Выберем векторы hn Ε Рй1 Φ)\Ρη+ι(®)- Заметим, что для
всякой числовой последовательности {хп} ряд Y^=iXnhn сходится в F,
ибо Pk(hn) = 0 при η ^ /с. Тем самым задано линейное отображение
Т: JR°° —> F, (хп) ь-> Σ™=1 Xnhn- Это отображение непрерывно ввиду
непрерывности конечных сумм. Кроме того, оно очевидным образом
инъективно. Из теоремы 3.12.42 следует, что Τ является
гомеоморфизмом Н°° и Т(Н°°). Наконец, Т(Н°°) замкнуто, ибо если
последовательность векторов уп = Τυη сходится в JR°° к у, то она
фундаментальна, поэтому из-за непрерывности Т-1 фундаментальна {vn}. Значит,
υη ^> ν в И00, откуда у = Τυ. Итак, мы доказали (и), но на самом
деле доказано и (iii), ибо после отождествления JR°° с подпространством
в F мы можем продолжить координатные функционалы до элементов
ип Ε F', что дает отображение Ρ: χ »—> Σ™-ι un(x)hn. Это
отображение непрерывно и является проектором на JR°°. D

3.12. Дополнения и задачи
303
3.12.45. Теорема. (Eidelheit [288]) Пусть F — ненормируемое
пространство Фреше. Тогда существует непрерывная линейная сюръ-
екция пространства F на JR°°.
Доказательство. Возьмем задающие топологию полунормы рп
на F, для которых рп ^ рп+ъ причем рп+\ не оценивается через Срп
(последнее возможно из-за того, что топология F не задается одной
нормой). Возьмем ненулевой функционал /i GF', для которого /ι ^ р\.
Заметим, что пространство Е'п всех линейных функционалов на F,
непрерывных относительно полунормы рп (т.е. допускающих оценку
вида |/| ^ constрп), строго содержится в Е'п+1. Поэтому можно
построить последовательность функционалов fn E Efn+1\E'n. Ясно, что
fn Ε Ε', причем функция fn неограничена на множестве {рп ^ 1}.
Покажем, что отображение Τ: χ ι—> (fn(x))n>v которое линейно
и непрерывно, отображает F на все JR°°. Зафиксируем {уп} Ε JR°°. По
индукции мы построим векторы хп G F со следующими свойствами:
1) fi(xi) = 1, fn(Xn) =ζη- Σ^~ι fn(xi), η > 1;
2) χη e Γ\7=ΐ /ГЧО) Π {χ: ρη-ι(χ) ^ 2—}, η > 1.
Возьмем вектор Χ\ Ε F так, что fi(xi) = 1. Поскольку функция
/2 не ограничена на множестве {х: pi(ar) ^ 2-1} и ее ядро не
совпадает с ядром /ι (иначе /2 имела бы вид c/i), то найдется вектор
х2 G /1~1(0)П{х: pi(x) ^ 2-1}, для которого/ι(χ2) = ^2-/2(^1).
Предположим, что уже выбраны χι,..., хп с указанными свойствами.
Функция /η+ι не ограничена на множестве {х: рп(х) ^ 2_п_1} и не равна
нулю на пересечении ядер /ι,..., /п (иначе /η+ι является их линейной
комбинацией). Легко видеть, что тогда она не ограничена и на
абсолютно выпуклом множестве ΠΓ=ι /ГЧ^)^^· Рп(х) ^ 2_п_1} и принимает
на нем все вещественные значения. Значит, в этом множестве найдется
вектор хп+и Для которого fn+1(xn+1) = ζη+ι - Σ"=1 /η+ι(^).
Заметим теперь, что ряд Σ™=1 хп сходится в F, ибо для
фиксированного к имеем pk{xm) ^ Pm(Xm) ^ 2_m_1 при всех га ^ /с. Для
суммы χ этого ряда получаем fk(x) = ζ& для всех /с, так как fk{xn) = 0
при η > к + 1, Λ(#ι + V Хк) = Zk по построению векторов хп. D
Задачи
3.12.46? Пусть Ε — локально выпуклое пространство. Топология Аренса
κ(Ε', Ε) есть топология в £", базой окрестностей нуля которой являются
поляры абсолютно выпуклых компактов из Е. Показать, что эта топология
локально выпукла, причем σ(Ε', Ε) ζ. κ(Ε', Ε) ^ τ(Ε', £7), однако она может
быть строго слабее топологии Макки т(Е\Е).
3.12.47. Пополнение отделимого бочечного пространства бочечно.

304
Глава 3. Двойственность
3.12.48.° Привести пример поточечно сходящейся последовательности
в С[0,1], которая не является ограниченной (и потому не сходится слабо).
3.12.49. Показать, что на единичной сфере гильбертова пространства
слабая топология совпадает с топологией нормы, хотя для шара это не так.
3.12.50.° Привести пример слабо компактного множества в банаховом
пространстве, не являющегося метризуемым в слабой топологии.
3.12.51. Доказать, что банахово пространство рефлексивно, если оно
является объединением счетного набора слабо компактных множеств.
Указание: применить теорему Бэра.
3.12.52. Пусть Ε — бесконечномерное сепарабельное отделимое
локально выпуклое пространство. Доказать, что найдутся такие
последовательности {хп} С Ε и {fn} С £", что fn(xk) = Snk и линейная оболочка {хп} плотна
в пространстве Е.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 44].
3.12.53. Пусть Ε — векторное пространство и Е* — пространство всех
линейных функций на Е. Доказать, что топология Макки т(Е, Е*) совпадает
с сильнейшей локально выпуклой топологией на £7, причем Ε бочечно в этой
топологии. Показать, что если Ε бесконечномерно, то т(Е,Е*) φ σ(Ε,Ε*).
Указание: см. Эдварде [185, п. 8.3.7].
3.12.54. Пусть Ε — квазиполное отделимое локально выпуклое
пространство, в котором всякое выпуклое множество, поглощающее все
ограниченные множества, является окрестностью нуля. Тогда для совпадения
топологий σ(Ε', Ε) и т(£", Е) в Е' необходимо и достаточно, чтобы
топология Ε совпадала с сильнейшей локально выпуклой топологией.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 229].
3.12.55. Показать, что описанное в замечании 2.4.10 пространство lim К,3
не является бочечным.
3.12.56.° Показать, что пространство I1 с нормой из I2 не бочечно, хотя
борнологично.
3.12.57. Показать, что отделимое локально выпуклое пространство со
счетным алгебраическим базисом бочечно в точности тогда, когда его
топология совпадает с сильнейшей локально выпуклой топологией.
3.12.58. Показать, что векторное подпространство счетной
коразмерности в бочечном пространстве само является бочечным.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, теорема 4.3.6].
3.12.59. В бочечном пространстве замкнутое линейное подпространство
счетной коразмерности дополняемо.
Указание: см. Wilansky [513, с. 222].
3.12.60. (i) Наделим пространство Πν0'1^ ящичной топологией то, базой
которой являются всевозможные произведения открытых множеств в
сомножителях (эта топология не является векторной, задача 2.10.26). Показать,
что подпространство X С IR^0'1^ всех функций, отличных от нуля лишь на

3.12. Дополнения и задачи
305
конечных множествах, оказывается в топологии то полным локально
выпуклым пространством, не являющимся бочечным. Для этого заметить, что
топология в X задается полунормами вида ρψ(χ) = supt \ψ(ί)χ(ί)\, где ψ —
положительная функция; рассмотреть А = {х £ X: J^t |х(£)| ^ l}.
(ii) Показать, что в X с топологией то запас ограниченных множеств
таков же, как и в сильнейшей локально выпуклой топологии на X, и что
(X, то) не является инфрабочечным.
(iii) Показать, что сильное сопряженное к X неполно.
3.12.61. Построить пример замкнутого линейного подпространства в
бочечном пространстве, не являющегося бочечным.
Указание: использовать пространство X из задачи 2.10.51 и тот факт,
что всякое локально выпуклое пространство изоморфно подпространству
произведения банаховых пространств, что следует из следствия 2.2.5,
причем любое произведение банаховых пространств бочечно.
3.12.62. Показать, что всякое отделимое локально выпуклое
пространство Ε изоморфно замкнутому линейному подпространству в некотором
бочечном пространстве.
Указание: взять базис V абсолютно выпуклых замкнутых окрестностей
нуля в £7, для каждого V £ V взять банахово пространство Е(у), полученное
факторизацией и пополнением пространства Ε с полунормой ру
(функционалом Минковского V)\ вложить Ε в бочечное пространство F = Πν^ν ^W>
взять базис Гамеля {еа} в алгебраическом дополнении Ε в F и для каждого
α рассмотреть гиперплоскость На в F, полученную как линейная оболочка
Ε и всех ер с β φ α; наконец, заметить, что Ε изоморфно замкнутому
подпространству в пространстве Па Н&, которое бочечно ввиду бочечности Н&.
3.12.63. Пусть 7По — линейная оболочка в /°° последовательностей из
нулей и единиц. Тогда то с нормой из /°° бочечно, но его замкнутое
подпространство 7По Π со не является бочечным.
Указание: для проверки бочечности тпо надо проверить ограниченность
всякого σ(Λ,ττίο)-ограниченного множества В в Λ = (Ζ00)'; отождествив Λ
с пространством аддитивных мер ограниченной вариации на IN, это легко
получить с помощью леммы Филлипса (см. Богачев [17, лемма 4.7.42]);
чтобы увидеть, что нормированное пространство гаоПсо, состоящее из конечных
последовательностей, не является бочечным, достаточно проверить, что
множество А = {(жп): \хп\ ^ 1/п} — бочка.
3.12.64. Привести пример ограниченного абсолютно выпуклого
множества А в банаховом пространстве, для которого нормированное пространство
Ε а бочечно, но не полно.
Указание: взять бочечное неполное нормированное пространство,
например, незамкнутую гиперплоскость в банаховом пространстве.
3.12.65. (Antosik, Burzyk [201]) Пусть локально выпуклое пространство
Ε таково, что на нем все секвенциально непрерывные полунормы
непрерывны и всякая сходящаяся к нулю последовательность содержит
подпоследовательность векторов, ряд из которых сходится. Доказать, что Ε бочечно и
борнологично.

306
Глава 3. Двойственность
3.12.66. Показать, что пространство всех вещественных функций на
отрезке [0,1], каждая из которых равна нулю вне некоторого счетного
множества, наделенное топологией поточечной сходимости, является ультрабор-
нологическим.
3.12.67. Пусть топологическое векторное пространство Ε имеет плотное
линейное подпространство, являющееся бэровским. Показать, что само Ε
бэровское.
3.12.68. Пусть бэровское топологическое векторное пространство
покрыто последовательностью векторных подпространств. Доказать, что хотя
бы одно из них является бэровским и всюду плотным.
3.12.69. Вывести из предыдущего, что во всяком бесконечномерном
бэровском топологическом векторном пространстве имеется собственное
бэровское всюду плотное векторное подпространство.
3.12.70. Пусть Ε — метризуемое топологическое векторное
пространство, причем для всякой сходящейся к нулю последовательности {хп} в Ε
найдется такая подпоследовательность {хпк}, что сходится ряд из хПк.
Доказать, что Ε — бэровское.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 20].
3.12.71. Пусть Ε — бэровское топологическое векторное пространство,
А, В С Е, причем С/, V С Ε — такие открытые множества, что С/ПУ φ 0,
U\A и V\B — множества первой категории. Доказать, что Α Π Β φ 0.
3.12.72. Показать, что секвенциально замкнутая гиперплоскость в бор-
нологическом пространстве замкнута.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, предложение 6.2.15].
3.12.73. Показать, что подпространство конечной коразмерности в бор-
нологическом пространстве борнологично.
Указание: см. [424, следствие 6.3.4]; для счетной коразмерности это
неверно (Dierolf, Lurje [263]).
3.12.74. Отделимое локально выпуклое пространство Ε борнологично
в точности тогда, когда для каждого локально выпуклого пространства F
линейные отображения из Ε в F, ограниченные на компактах, непрерывны.
3.12.75. Пусть Ε — секвенциально полное локально выпуклое
пространство, (i) Показать, что всякая бочка в Ε поглощает каждое абсолютно
выпуклое ограниченное множество, (ii) Показать, что если Ε инфрабочечно, то
оно бочечно.
Указание: применить теорему 2.5.7.
3.12.76. Показать, что на /°° с топологией т(/°°, I1) секвенциально
непрерывные линейные функционалы непрерывны, хотя это пространство не
является борнологическим.
3.12.77. Пусть А: Е —► G — непрерывное линейное отображение
отделимых локально выпуклых пространств и А**: Е" —► G" — оператор,
сопряженный κ А*: G' —► Е', где G' и Е' наделены сильными топологиями
P(G', G) и β(Ε', Ε). Показать, что сужение А** на Ε совпадает с А.

3.12. Дополнения и задачи
307
3.12.78. Пусть А и В — ограниченные операторы в гильбертовом
пространстве Η и \(Ах,Вх)\ ^ А;||Лх|| \\Вх\\ при некотором к < 1. Доказать, что
(А* + В*)(Н) = А*(Н) + В*(Н).
Указание: см. Эдварде [185, задача 8.37, с. 842].
3.12.79. (Пространство Джеймса [329]) Пусть J — линейное
подпространство в со, состоящее из всех элементов с конечной нормой
1Mb := sup((xj2 - Xjl)2 + · · · + (xJ2m - Xj^.J2 + fe2m+1)2)1/2,
где sup берется по всем конечным наборам Ι ζ. ji < J2 < · — < J2m+i.
Доказать, что пространство J при каноническом вложении в J" имеет
коразмерность 1 и потому нерефлексивно, однако оно линейно изометрично J".
Вывести из этого, что J не изоморфно Х0Х ни для какого банахова
пространства X. В частности, J не изоморфно J(BJ.
3.12.80. (Теорема Голдстайна) Пусть X — нормированное
пространство, Ux и Ux„ — замкнутые единичные шары в X и X" соответственно и
J: X —► X" — каноническое вложение. Доказать, что множества J(UX)
всюду плотно в Ux„ в топологии σ(Χ",Χ'). Значит, J(X) всюду плотно в X"
в топологии σ(Χ",Χ').
Указание: см. Богачев, Смолянов [21, теорема 6.7.6].
3.12.81. Пусть Ε — банахово пространство. Показать, что в единичном
шаре Όε" из Е" могут быть элементы, не являющиеся пределами
последовательностей из единичного шара Ό ε из Ε в топологии σ(Ε",Ε'), хотя по
теореме Голдстайна шар Ue всегда плотен в Όε" в этой топологии.
Указание: рассмотреть I1.
3.12.82. (i) Пусть X — нормированное пространство и τ — некоторая
локально выпуклая топология на X, промежуточная между слабой топологией
и топологией нормы. Показать, что если линейное отображение А: X —> X
непрерывно как отображение из (X, т) в (X, т), то оно является
ограниченным оператором.
(ii) Показать, что обратное к (i) утверждение не всегда верно, построив
унитарный оператор А в гильбертовом пространстве Н, который разрывен
как отображение из (Η,τ) в (Н,т) для некоторой локально выпуклой
топологии на Н, промежуточной между слабой топологией и топологией нормы.
Указание: (i) следует из доказательства теоремы 3.2.9. В (ii) можно
взять Η = L2(IR1) и преобразование Фурье в качестве Л, задав топологию
τ посредством добавления к полунормам слабой топологии χ ι—► |(х,у)| еще
одной полунормы р(х) := ||-ί"[ο,ι]#||· На подпространстве Но функций с
носителем в [0,1] ни при каких С > 0 и yi,..., уп £ L2(IR1) не может быть оценки
р(Ах) ^ C[p(x) + |(x,yi)|H Н(х,2/П)|], поскольку ρ (χ) = 0 на Я0, р(Ах) > О
для ненулевых жбЯо, ибо Ах — аналитическая функция, причем в качестве
χ можно взять функцию, ортогональную 2/1,..., уп.
3.12.83. Доказать, что всякая слабо фундаментальная
последовательность в I1 сходится по норме. Вывести из этого компактность по норме слабо
компактных множеств в I1. Совпадает ли слабая топология I1 с топологией
нормы на шаре?

308
Глава 3. Двойственность
3.12.84. (Богачев, Смолянов [20]) Пусть / — такая измеримая функция
на IR1, что линейное подпространство L := {φ Ε ^(ГО1): /φ Ε L1(IR1)}
имеет конечную коразмерность. Доказать, что существует обобщенная функция
F Ε Ρ'(ГО1), действие которой на φ Ε L есть интеграл от /φ.
Указание: рассматривая отдельно /+ и /~, можно считать, что / ^ 0;
пусть /п = min(/, η) и Ε — множество всех φ Ε ^(ГО1), для которых
существует конечный предел 1(φ) интегралов от /ηφ при η —> оо; тогда Ε —
линейное подпространство конечной коразмерности, ибо L С Е. Заметить,
что пересечения Ε Π Dm являются борелевскими множествами в Т>т\
применить к ним следствие 3.12.11, что даст их замкнутость и непрерывность I.
3.12.85. Пусть X — бесконечномерное нормированное пространство.
Рассмотрим связанную со следствием 3.8.14 топологию bw* на X', которая
задается так: множество bw*-замкнуто в X', если его пересечение с каждым
замкнутым шаром замкнуто в *-слабой топологии.
(i) Доказать, что топология bw* строго сильнее топологии σ(Χ',Χ) и
строго слабее топологии нормы, причем если X банахово, то она не задается
метрикой, (ii) Привести пример такой локально выпуклой топологии τ на X',
что она не мажорирует σ(Χ\ Χ), но на всех ограниченных множествах
индуцирует ту же топологию, что и σ(Χ*,Х) (значит, ту же, что и bw*); для этого
рассмотреть со с топологией a(c'0,L), где L — пространство финитных
последовательностей, (ш) Пусть Χ, Υ — банаховы пространства, Τ Ε С(Х, Υ).
Доказать, что оператор Τ компактен в точности тогда, когда оператор Т*
непрерывен из топологии bw* на Y' в топологию нормы на X'.
Указание: см. Megginson [394, §2.7, §3.4].
3.12.86. Пусть банахово пространство Ε непрерывно вложено в
пространство вещественных функций на [0,1] с топологией поточечной
сходимости и содержит С°°[0,1]. Доказать, что Ε содержит некоторое Cfc[0,1].
3.12.87. Пусть X и Υ — хаусдорфовы топологические пространства
и отображение /: X —> Υ имеет замкнутый график. Доказать, что для
всякого компакта К С Υ множество /~г(К) замкнуто в X, причем для всякого
открытого U С Υ множество /_1(К) П /_1(£/) открыто в /_1(К).
3.12.88. Пусть Ε и F — локально выпуклые пространства, причем Ε —
суслинское, a F — бэровское, Τ: Ε —► F — непрерывная линейная сюръ-
екция. Показать, что Τ — открытое отображение, т. е. переводит открытые
множества в открытые.
Указание: свести к случаю инъективного отображения, рассмотреть
график обратного (см. также Perez Carreras, Bonet [424, с. 27]).
3.12.89. Пусть Ε — полное метризуемое топологическое векторное
пространство, F — бэровское топологическое векторное пространство. Доказать
открытость всякой непрерывной линейной сюръекции Τ: Ε —► F.
3.12.90. Пусть Ε — отделимое топологическое векторное пространство
над IR, для каждого η Ε 1Ν дано непрерывное линейное отображение Тп
полного метризуемого топологического векторного пространства Еп в Е, причем
Ε = IJ^Li Tn(En). Доказать, что всякая непрерывная линейная сюръекция
пространства Ε на полное метризуемое топологическое векторное
пространство открыта.

3.12. Дополнения и задачи
309
3.12.91. (Теорема Райкова-Птака) Пусть отделимые локально
выпуклые пространства Ε и F таковы, что Ε — квазиполное пространство, в
котором для замкнутости множества достаточна замкнутость его пересечений
со всеми абсолютно выпуклыми компактами, a F есть объединение
возрастающей последовательности абсолютно выпуклых компактов. Тогда всякое
линейное отображение Τ: E->Fc замкнутым графиком непрерывно.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, теорема 8.3.59].
3.12.92. Пусть отделимое локально выпуклое пространство Ε таково,
что все линейные отображения из Ε в банаховы пространства, имеющие
секвенциально замкнутые графики, непрерывны. Доказать, что Ε бочечно.
3.12.93. (i) (Mcintosh [393]) Пусть Ε и F — пространства Макки,
причем Ε секвенциально полно, Ер полно, a F полу рефлексивно. Тогда для
непрерывности линейного оператора Т: £->Fc замкнутым графиком
достаточно, чтобы либо F было суслинским, либо F являлось индуктивным
пределом последовательности совершенно полных пространств.
(ii) (Kalton [345]) Теорема о замкнутом графике также верна, если Ε —
пространство Макки с секвенциально полным (£",σ(£", Ε1)), a F сепарабель-
но и Бг-полно (см. также Wilansky [513, с. 203]).
3.12.94. Пусть пространства Фреше Ε и F рефлексивны, L: F' —► Е' —
линейное отображение, график которого секвенциально замкнут в F' χ Ε'
относительно произведения сильных топологий. Показать, что L непрерывно
относительно сильных топологий.
Указание: применить задачу 3.12.124; см. Эдварде [185, п. 8.4.19].
3.12.95. Пусть X — нерефлексивное банахово пространство и X' се-
парабельно. Показать, что тождественное отображение в X' из топологии
т(Х',Х) в топологию нормы имеет замкнутый график, но разрывно.
3.12.96. Пусть (X, || · ||) — бесконечномерное банахово пространство.
Доказать, что на X есть такая норма д, что q(x) ^ ||х||, но X не является
полным с этой нормой.
Указание: рассмотреть сначала случай сепарабельного X и
использовать инъективный оператор из X в I2 с плотным образом, отличным от I2.
3.12.97. Пусть Ε — векторное пространство над IR или С и Е* — его
алгебраическое сопряженное. Наделим Ε топологией σ(Ε,Ε*). (i) Доказать,
что ограниченные множества в этой топологии конечномерны и все линейные
подпространства замкнуты, (ii) Доказать, что если Ε бесконечномерно, то в
пополнении (Ε,σ(Ε,Ε*)} есть компакт, не содержащийся в замыкании
никакого ограниченного множества из Е. (Hi) Доказать, что т(Е,Е*) есть
сильнейшая локально выпуклая топология в £7, а т(Е*,Е) совпадает с σ(Ε*,Ε).
Указание: см. Бурбаки [27, с. 209, 230].
3.12.98. Пусть F = IRg° — пространство конечных последовательностей
с топологией a(F1l1). Показать, что в этой топологии все выпуклые
компакты конечномерны, но существуют бесконечномерные невыпуклые компакты.
Вывести из этого, что σ(/χ, F) = τ (Ζ1, F) и т (Ζ1, F) не совпадает с топологией
сходимости на слабо компактных множествах из F.

310
Глава 3. Двойственность
3.12.99. Пусть Ε — бесконечномерное метризуемое локально выпуклое
пространство над IR. Тогда для совпадения топологий σ(Ε,Ε') и τ(Ε,Ε')
в Ε необходимо и достаточно, чтобы Ε было изоморфно всюду плотному
подпространству в IR°°.
3.12.100. Пусть F — сепарабельное пространство Фреше и W С F' —
выпуклое множество. Доказать, что W замкнуто в топологии a(F', F) в
точности тогда, когда W содержит пределы всех последовательностей из W,
сходящихся в топологии a(F',F).
3.12.101. Пусть локально выпуклое пространство Ε таково, что в нем
каждое выпуклое множество, поглощающее все ограниченные множества,
содержит окрестность нуля. Доказать, что сильное сопряженное к Ε полно.
В частности, это верно, если Ε метризуемо.
3.12.102. Доказать, что квазиполное отделимое локально выпуклое
пространство полурефлексивно в точности тогда, когда полурефлексивно
каждое его замкнутое сепарабельное подпространство.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 244, упражнение 8].
3.12.103. Доказать, что если квазиполное отделимое локально
выпуклое пространство не полу рефлексивно, то в нем найдутся два выпуклых
замкнутых ограниченных множества, выпуклая оболочка объединения
которых незамкнута.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 244, упражнение 9].
3.12.104. Пусть Ε — метризуемое локально выпуклое пространство
с сильным сопряженным Ε β. (i) Доказать, что (£"', β(Ε", £")) является
полным метризуемым локально выпуклым пространством, (ii) Пусть Ε β сепара-
бельно. Доказать, что Ε сепарабельно и Е' бочечно в сильной топологии.
Указание: (i) см. Бурбаки [27, с. 247, упражнение 21]; (ii) см. [27, с. 249,
упражнение 24].
3.12.105. Пусть X — банахово пространство и U — его замкнутый
единичный шар.
(i) Пусть F\ и F2 — линейные подпространства в X', всюду плотные
в топологии σ(Χ',Χ). Доказать, что топологии a(X,F\) и σ(Χ, F2)
индуцируют на U одну и ту же топологию в точности тогда, когда F\ и F^ имеют
одинаковые замыкания по норме. В частности, ограничение a(X,F\) на U
совпадает с ограничением σ(Χ,Χ') на U в точности тогда, когда F\ плотно
в X' по норме.
(ii) Показать, что каждая точка в U имеет счетную фундаментальную
систему окрестностей в топологии σ(Χ, Χ') на U лишь тогда, когда X'
сепарабельно по норме.
(iii) Пусть линейное подпространство F С X' всюду плотно в топологии
σ(Χ',Χ) и G — линейное подпространство в X', порожденное замыканием
множества F Π {χ' £ Χ': ||χ'|| ^ 1} в топологии σ(Χ',Χ). Доказать, что
G = X' в точности тогда, когда указанное замыкание содержит шар
положительного радиуса по норме в X'.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 274, 275].

3.12. Дополнения и задачи
311
3.12.106. Пусть Ε — локально выпуклое пространство, причем Е' се-
парабельно в топологии σ(Ε',Ε). Доказать, что если ζ Ε (Е')*\Е и F —
линейное пространство, порожденное Ε и ζ, то Е' сепарабельно и в топологии
a(E',F).
Указание: см. Floret [298, с. 22].
3.12.107. В подпространстве Ε пространства IR^1, образованном всеми
функциями с конечными или счетными носителями, рассмотрим
подмножество А, образованное индикаторами не более чем счетных множеств.
Показать, что А секвенциально компактно, но замыкание А некомпактно.
3.12.108. Доказать, что в равномерном пространстве всякое
ограничивающее множество является предкомпактным.
3.12.109. Доказать, что на псевдокомпактном пространстве всякая
непрерывная функция имеет максимум.
3.12.110. Показать, что в квазиполном локально выпуклом
пространстве псевдокомпактные множества относительно компактны.
3.12.111. Доказать, что всякое псевдокомпактное нормальное
пространство счетно компактно.
3.12.112. Показать, что есть локально выпуклые пространства,
имеющие псевдокомпактные и замкнутые в слабой топологии подмножества, не
являющиеся слабо счетно компактными. Вывести из этого, что есть локально
выпуклые пространства, не являющиеся нормальными в слабой топологии.
3.12.113. Показать, что множество в локально выпуклом пространстве
предкомпактно в точности тогда, когда оно ограничено и индуцированная
равномерная структура на нем совпадает с равномерной структурой,
индуцированной слабой топологией.
Указание: см. Эдварде [185, с. 846].
3.12.114. Пусть Ε — отделимое локально выпуклое пространство, Е'
сепарабельно в топологии σ(Ε',Ε), а множество А С Ε таково, что всякая
бесконечная последовательность в нем имеет слабую предельную точку в Е.
Показать, что слабое замыкание А метризуемо в топологии σ(Ε,Ε').
3.12.115. Пусть Ε — сепарабельное локально выпуклое пространство и
множество Τ С Е' таково, что в нем всякая бесконечная последовательность
имеет предельную точку в Е' в сильной топологии β(Ε\Ε). Доказать, что
тогда из всякой последовательности в Τ можно выделить
подпоследовательность, сходящуюся в β(Ε\Ε).
3.12.116. Пусть мера μ такова, что пространство Ι/1(μ) сепарабельно.
Доказать, что тогда пространство Ζ/°°(μ) с топологией σ (L°° (μ), L1 (μ))
является ангелическим (см. определение на с. 296).
3.12.117. Пусть Α: Я —► Я — ядерный оператор в сепарабельном
гильбертовом пространстве Я. Доказать, что для всякого бесконечномерного се-
парабельного банахова пространства X найдутся такие непрерывные
линейные операторы Т: Я —► X и S: X —► Я, что А = ST.
Указание: использовать такой факт (см. Lindenstrauss, Tzafriri [381,
с. 44]): есть биортогональная последовательность {хп} С X, {/п} С Х\ для

312
Глава 3. Двойственность
которой линейная оболочка {хп} плотна в X, линейная оболочка {/п} плотна
ъ X' в топологии σ(Χ',Χ), ||хп|| = 1, supn ||/n|| < oo; Ah = Σ™=ι OLn(h,en)4>n,
где {еп} и {φη) — ортонормированные базисы в Η, λη ^ 0, Σ™=ιλη < oo;
положить Th = Σ™=ι λη (Λ, en)xn, Sx = Σ™=ι λη fn(x)tpn-
3.12.118. (Schreier [447]) Доказать, что найдется последовательность
непрерывных функций /п на [0,1] со следующими свойствами: 0 ^ /n ^ 1,
lim fn(x) = 0 для каждого χ £ [0,1], но нет такой возрастающей последова-
п—кх>
тельности индексов Пк, что (/П1 (х) + · · · + fnk (x))/rik —> 0 для всех х.
3.12.119. (i) Пусть U — замкнутый единичный шар в со и L —
замкнутое подпространство в со, состоящее из последовательностей χ = (хп), для
которых Σ™=ι 2~ηχη = 0. Доказать, что множество U + (U (1L) незамкнуто.
(ii) Пусть U — замкнутый единичный шар в С[0,1]. Доказать, что в С[0,1]
найдутся такие замкнутые линейные подпространства L\ и Z/2, что
множество (U Π L\) + (U Π Ζ/2) незамкнуто.
3.12.120. На векторном пространстве Ε заданы две топологии,
превращающие его в пространство Фреше, причем имеется набор линейных
функций на £, разделяющих точки и непрерывных в обеих топологиях. Доказать,
что эти топологии совпадают, применив теорему о замкнутом графике.
3.12.121. Пусть Ε — локально выпуклое пространство и ограниченное
множество В С Ε таково, что его поляра В° сепарабельна в сильной
топологии в Е'. Доказать, что В сепарабельно в исходной топологии.
3.12.122. Пусть пространства Ε и F локально выпуклы, Τ: Ε —► F —
линейное отображение и Т* — его алгебраически сопряженное. Рассмотрим
следующие условия: (1) Τ непрерывно; (2) Τ ограничено; (3) T*(F') С Е'.
Доказать, что из (1) следуют (2) и (3), а из (3) следует (2). Вывести из
этого, что для борнологического Ε все три условия равносильны.
3.12.123. Пусть Ε — пространство Фреше, не являющееся
полурефлексивным. Доказать, что Ε в Е" имеет вид счетного объединения нигде не
плотных множеств.
Указание: в противном случае вложение Ε —> Ε" сюръективно.
3.12.124. Пусть {U&} — база абсолютно выпуклых окрестностей нуля
локально выпуклого пространства Е, W& = Е/£, Х& — банахово
пространство, полученное наделением линейной оболочки Wot нормой pwQ- Введем
в Е' топологию λ индуктивного предела банаховых пространств Хс*
относительно естественных вложений Ха —> Е'. (i) Показать, что сильная
топология β(Ε\ Ε) мажорируется топологией λ. (ii) Показать, что если Ε инфра-
бочечно, то в β(Ε\ Ε) и X одни и те же ограниченные множества. (Hi)
Показать, что если Ε инфрабочечно, то λ = β(Ε',Ε) в точности тогда, когда Е'
борнологично в топологии β(Ε',Ε). (iv) Показать, что если Е' в топологии
β(Ε', Ε) бочечно и имеет базу β(Ε', Е')-замкнутых окрестностей нуля в
топологии λ, то λ = β(Ε', Ε), (ν) Показать, что Е' в топологии β(Ε\ Ε) бочечно в
точности тогда, когда Ε правильно, т.е. всякое а(£,//,Е")-ограниченное
множество в Е" лежит в σ(Ε", Е")-замыкании некоторого ограниченного
множества из Е. (vi) Пусть F — пространство Фреше. Показать, что F правильно в

3.12. Дополнения и задачи
313
точности тогда, когда λ = P(F\F). В этом случае (F',/?(F',F)) есть
индуктивный предел возрастающей последовательности банаховых пространств.
Например, это верно, если F рефлексивно.
Указание: см. Эдварде [185, с. 698, 699].
3.12.125. Топологическое сопряженное F' к пространству Фреше F
совершенно полно во всякой локально выпуклой топологии, заключенной
между топологией Аренса n{F\ F) и топологией Макки r(F\ F).
Указание: см. Эдварде [185, с. 738].
3.12.126. Пусть F — рефлексивное пространство Фреше. Показать, что
F' совершенно полно в сильной топологии и что всякое сильно замкнутое
линейное подпространство в F' является 5г-полным в индуцированной
топологии.
3.12.127. Пусть Ε — сепарабельное банахово пространство. Доказать
равносильность следующих двух утверждений:
(i) каждое слабо компактное множество в Ε компактно; (ii) если хп —> О
в топологии σ(Ε,Ε') и /п —> 0 в топологии σ(£", F), то fn(xn) —*· 0.
Примером пространства, в котором эти утверждения верны, служит Z1,
а в I2 они не выполняются. См. также задачи 3.12.152 и 4.10.53.
3.12.128. Пусть Ε — банахово пространство, причем Е' сепарабельно
по норме. Доказать, что найдутся такие последовательности {хп} С Ε и
{/п} С Е', что Хп —> 0 в топологии σ(Ε, £"), fn —> 0 в топологии σ(Ε', F), но
fn(xn) = 1· Сепарабельность Ε' важна* ибо для Ε = I1 таких
последовательностей нет.
3.12.129. Пусть X — банахово пространство. Доказать, что всякое
рефлексивное замкнутое подпространство в X' замкнуто в топологии σ(Χ', Χ).
Указание: проверить замкнутость в указанной топологии замкнутого
шара из этого подпространства.
3.12.130. Пусть Ε — полное метризуемое топологическое векторное
пространство и С — такой замкнутый конус (т. е. С выпукло и ХС С С для всех
чисел λ ^ 0), что Ε = С — С. Доказать, что если линейная функция на Ε
неотрицательна на С, то она непрерывна.
3.12.131. Доказать, что во всяком бесконечномерном банаховом
пространстве найдутся такие замкнутые линейные подпространства Χι и Х2,
что Χι Π Х2 = 0 и Χι + Х2 незамкнуто.
Указание: см. Perez Carreras, Bonet [424, с. 48].
3.12.132. Если локально выпуклое пространство Ε секвенциально
полно, то сг(Е\ £')-ограниченные множества сильно ограничены.
Указание: применить предложение 2.5.1 и теорему 3.5.4.
3.12.133. Пусть Ε и F — локально выпуклые пространства, причем Ε
секвенциально полно. Показать, что если семейство Τ С C(E,F)
поточечно ограничено, то для всякого ограниченного множества В С Ε множество
{Тх: Τ ζΤ,χ £ В} ограничено в F. В частности, всякое слабо ограниченное
множество в Е' сильно ограничено (задача 3.12.132).
Указание: см. задачу 3.12.132 или Эдварде [185, теорема 7.4.4].

314
Глава 3. Двойственность
3.12.134. Пусть Χ, Υ — банаховы пространства, линейный оператор
А: X —► Υ непрерывен и А(Х) плотно в Υ. Показать, что А(Х) = Υ в
точности тогда, когда А**(Х") = Υ".
Указание: см. Эдварде [185, следствие 8.7.4].
3.12.135. (А. Гротендик) Пусть μ — вероятностная мера, V —
выпуклое множество в Ι/°°(μ) и / £ Ζ/°°(μ) лежит в замыкании V в топологии
a(L°°,L1). Доказать, что существует такая последовательность {/п} С У,
что /п —> / в Ζ/Ρ(μ) для всех рЕ [1, +оо).
Доказать, что если V ограничено, то верно и обратное. Заметим также,
что при этом можно взять {/п} сходящейся к / почти всюду.
Указание: см. Эдварде [185, с. 691, 834], Grothendieck [315, с. 67].
3.12.136. Пусть Ε — строгий индуктивный предел последовательности
метризуемых локально выпуклых пространств. Доказать, что на Ε
существует более слабая метризуемая локальная выпуклая топология и потому для Ε
верно заключение теоремы 3.4.6.
3.12.137. Пусть Ε — метризуемое локально выпуклое пространство,
G — локально полное локально выпуклое пространство, L С Ε — всюду
плотное линейное подпространство и A: L —► G — непрерывное линейное
отображение. Доказать, что А продолжается до непрерывного линейного
отображения всего Ε в G. _
Указание: продолжить А до непрерывного линейного оператора А из Ε
в пополнение G пространства G\ тогда Ах £ G при всех χ £ £7; в самом деле,
можно взять хп £ L так, что хп —> я, затем взять числа Сп —> +оо, для
которых Сп(хп — х) —> 0 в Ε (что возможно из-за метризуемости Е)\ тогда
L/nJ\.{Xn—X) —> U В G, поэтому рв (А(хп—х)) —> 0, где В — замкнутая
абсолютно выпуклая оболочка {А(хп — ж)} в (5; следовательно, последовательность
{Лхп} фундаментальна по норме рс, где С = В П(? — замкнутый диск в G\
в силу локальной полноты G есть предел у £ G этой последовательности по
норме рс\ тогда Ахп ->увС, откуда у = Ах £ G.
3.12.138. Пусть Et — локально выпуклые пространства, Ε = Y[tEt,
Ео = ®tEt. Тогда для топологий Макки верны равенства
т(Е, Е') = Ц r(Et, E't), т(Е', Я) = 0 r(E't, Et),
t t
т(Ео,Е'0) = ®r(Et,E't), τ(Ε'0,Ε0) = Y[r(E't,Et).
t t
Указание: см. Шефер [174, § IV.4].
3.12.139. (i) Пусть Ε — индуктивный предел локально выпуклых
пространств Ео, с отображениями /ια : Еа —> Е, причем пространство Ε
отделимо. Тогда Е' как векторное пространство можно отождествить с
проективным пределом пространств Е'а с отображениями h^: Ε' —> Е'а.
(ii) Если при этом каждое пространство Еа наделено топологией
сходимости на некотором классе *Аа ограниченных множеств, покрывающих Е&·,
то топология проективного предела пространств Е'а есть топология
сходимости в Е' на классе А множеств вида /ic*i(^4i) U · · · U /ιαη(^4η), где Αι £ А**·

3.12. Дополнения и задачи
315
Поэтому если проективный предел пространств Ε'Ά оказался пространством
Макки, то он совпадает с проективным пределом (Е^т^Е^, Еа)).
Например, если Ε — строгий индуктивный предел возрастающих
пространств Макки Еп, причем Еп замкнуто в Εη+ι (либо Ε есть индуктивный
предел таких пространств с компактными вложениями), то топология
Макки т(£", Е) есть проективный предел пространств (Е'п, τ(Ε'η, Εη)), ибо всякое
абсолютно выпуклое слабо компактное множество в Ε содержится и слабо
компактно в одном из Еп (и обратно).
(iii) Пространство Е' с сильной топологией β(Ε', Ε) может не быть
проективным пределом (Е'а,Р(Е'а,Еа)).
Указание: (i), (ii) см. Робертсон, Робертсон [127, с. 128], Шефер [174,
§IV.4]; (iii) см. Kelley, Namioka [353, с. 196].
3.12.140. (i) Пусть Ε — проективный предел локально выпуклых
пространств Е& с отображениями /ια: Ε —> Еа, причем пространство Ε
отделимо. Тогда Е' как векторное пространство можно отождествить с
индуктивным пределом пространств Е'а с отображениями h*a: Е'а —> Е''.
(ii) Индуктивный предел {Е^^Е'^Еа)) есть (Е\т(Е\Е)).
(iii) Пространство Е' с сильной топологией β(Ε',Ε) может не быть
индуктивным пределом [Ε'Ά, β(Ε'α, Еа)).
Указание: (i), (ii) см. Робертсон, Робертсон [127, с. 128], Шефер [174,
§IV.4]; (iii) см. Kelley, Namioka [353, с. 221].
3.12.141. (i) Пусть Ε — локально выпуклое пространство, Е'
наделено топологией сходимости на некотором классе А ограниченных множеств,
покрывающих Е, Е'л — пополнение Е' в этой топологии. Показать, что
топологии σ(Ε,Ε') и σ(Ε,Ε'Λ) совпадают на множествах из А.
(ii) Вывести из этого, что если Е' наделить топологией Макки т(Е\Е),
то топологией его пополнения окажется т(Е'т,Е).
(iii) Показать, что если Ε является отделимым борнологическим
пространством, причем каждый компакт в этой топологии содержится в каком-
то из множеств класса *А, то Е' с топологией сходимости на А полно.
3.12.142. С помощью предложения 3.8.7 показать, что если Ε -
локально выпуклое пространство и Е' наделено сильной топологией β(Ε\Ε), то
топология его пополнения Ε β есть β(Εβ, Ε).
3.12.143. Показать, что бесконечномерное банахово пространство с его
сильнейшей локально выпуклой топологией полно, но не Вг-полно.
3.12.144. Пусть Ε — локально выпуклое пространство, причем
пространство Е' есть объединение возрастающих выпуклых множеств Ап.
Доказать, что всякий ограниченный линейный функционал / на Ε входит в какое-
то множество пЛ^, где А*п — замыкание Ап в алгебраически сопряженном
пространстве Е* с топологией σ(Ε*,Ε).
Указание: возрастающие выпуклые множества Ап Π (—Ап) также
покрывают £"; поэтому можно считать, что Ап = —Ап; если / 0 пА*п, то
найдутся такие хп £ Е, что f(xn) = 1, |<7(^п)| < 1 для всех д £ пЛ^,
откуда f(nxn) = η, что противоречит ограниченности / ввиду ограниченности

316
Глава 3. Двойственность
последовательности {пхп}, следующей из того, что для каждого I £ Е' мы
имеем Ι Ε Вп при всех η ^ п*, а тогда |/(пхп)| = |п/(хп)| < 1, ибо nl £ пА£
при п^. щ.
3.12.145. Пусть Ε — пополнение локально выпуклого пространства Е.
Предположим, что всякая последовательность в (Ε',σ(Ε',Ε)), сходящаяся
к нулю по Макки, равностепенно непрерывна. Доказать, что всякий элемент
из Ε есть ограниченный линейный функционал на (Ε',σ(Ε',Е)).
3.12.146. (i) Пусть бочечное пространство Ε является объединением
возрастающей последовательности своих абсолютно выпуклых замкнутых
подмножеств Ап, причем пополнение Ε — бэровское пространство (скажем,
Ε метризуемо). Доказать, что найдется Ап с непустой внутренностью.
(ii) Пусть локально выпуклое пространство Ε является объединением
возрастающей последовательности своих выпуклых подмножеств Ап.
Предположим, что всякая последовательность в [Ε1', σ(£", Ε1)), сходящаяся к нулю
по Макки, равностепенно непрерывна. Доказать, что пополнение Ε является
объединением пополнений Ап.
(iii) Пусть пространство Макки Ε является объединением
возрастающей последовательности своих выпуклых полных подмножеств Ап.
Предположим, что Е' локально полно. Доказать, что Ε полно.
Указание: см. Valdivia [497, гл. 1, §3].
3.12.147. (Collins [253]) На пространстве Ε = I2 рассмотрим
сильнейшую локально выпуклую топологию т. Наделим пространство Ε* = (Ε, τ)'
топологией X из теоремы 3.8.13. Показать, что она не локально выпукла.
Указание: Е' является Т-замкнутым в Е*\ если топология X локально
выпукла, то она согласована с двойственностью между Ε и Ε*, что следует из
полноты (£\т); тогда Е' замкнуто и в топологии σ(Ε*,Ε), что невозможно,
ибо Е' плотно в Е* в этой топологии.
3.12.148. Пусть Ε — метризуемое локально выпуклое пространство,
Ε'β — его сопряженное с сильной топологией, (i) Показать, что если Ер
метризуемо, то Ε нормируемо, (ii) Дать пример пространства Фреше ϋ?, для
которого Ε'β небочечно (можно взять С°°(Ш) П L\JR)). (iii) Доказать, что
если последовательность выпуклых окрестностей нуля Vn в Ε'β такова, что
V = Pl^Li ^n поглощает сильно ограниченные множества, то V —
окрестность нуля, (iv) Показать, что всякое счетное ограниченное множество во
втором сильном сопряженном Е" равностепенно непрерывно, (ν) Доказать,
что второе сильное сопряженное Е" является пространством Фреше и
секвенциально полно в топологии σ(Ε", Ε'"), (vi) Показать, что бочечность Ε'β
равносильна квазибочечности и равносильна борнологичности. (vii)
Показать, что если Ε — рефлексивное пространство Фреше, то Ε'β борнологично.
Кроме того, для борнологичности Ε'β достаточна его сепарабельность.
Указание: см. Шефер [174, §IV.6, 6.5, 6.6], Bierstedt, Bonet [224].
3.12.149. Пусть Τ: Χ —► Υ — непрерывная линейная сюръекция
полных метризуемых топологических векторных пространств. Доказать, что для
каждого компакта К С Υ найдется такой компакт S С X, что T(S) = К.

3.12. Дополнения и задачи
317
Указание: применить задачу 1.12.82 и тот факт, что Τ порождает
изоморфизм Υ и Χ/Ker Т.
3.12.150. Локально выпуклое пространство Ε названо Гротендиком
(^.^-пространством, если оно обладает фундаментальной
последовательностью ограниченных множеств Вп (так что всякое ограниченное множество
лежит в некотором Вп) и каждое сильно ограниченное счетное объединение
равностепенно непрерывных множеств в Е' равностепенно непрерывно.
(i) Показать, что этот класс пространств включает сильные
сопряженные к метризуемым пространствам, нормированные пространства,
квазибочечные пространства с фундаментальной последовательностью
ограниченных множеств.
(п) Показать, что выпуклое множество V в (^.^-пространстве —
окрестность нуля в точности тогда, когда для всякого абсолютно выпуклого
ограниченного множества В пересечение В Π V есть окрестность нуля в В.
Указание: см. Шефер [174, §IV.6, 6.7].
3.12.151. (Гротендик [51, теорема 9]) Пусть Ε — индуктивный предел
последовательности нормированных пространств Ει относительно
отображений gi: Ει —> Е. Тогда всякое ограниченное множество в Ε лежит в
замкнутой выпуклой оболочке конечного числа образов шаров из Ег.
Более общим образом, пусть Ег — (^.^-пространства. Тогда Ε также
есть (^.^-пространство, сильная топология Е' есть топология равномерной
сходимости на множествах вида дг(Вг), где Βι ограничено в Ei, причем всякое
ограниченное множество в Ε лежит в замкнутой выпуклой оболочке
конечного числа таких множеств.
3.12.152. (И.М. Гельфанд [42]) Пусть X — сепарабельное банахово
пространство. Доказать, что множество А в X вполне ограничено в точности
тогда, когда всякая поточечно сходящаяся к нулю последовательность
функционалов /п Ε Χ' равномерно сходится к нулю на А.
Указание: сначала показать, что А ограничено; далее, считая, что А
лежит в единичном шаре, предположив, что есть последовательность
элементов си GAc 11 си — a,j || ^ г > 0 при г φ j, взять плотное счетное множество
{хп} в единичном шаре и выбрать функционалы /n £ X' и номера *П) ДЛЯ
которых fn(xi) = 0 при г = l,...,n, fn(ain) = 1, ||/n|| ^ 2/r, для чего
заметить, что для всякого конечномерного подпространства L найдется гп
с dist (din,L) ^ г/2. См. также задачу 4.10.53.
3.12.153. Пусть последовательность непрерывных функций /п на бэров-
ском пространстве сходится поточечно. Доказать, что тогда она равномерно
ограничена на некотором непустом открытом множестве.
3.12.154. Пусть Ε — полное локально выпуклое пространство и
счетные множества {аг,п}, {αη}, {&»} в нем таковы, что lim сц,п = Ы в слабой
п—кх>
топологии при всех г, lim αι,η = ап в исходной топологии равномерно по п.
г—кх>
Доказать, что найдется такой элемент абЕ, что lim an = а в слабой топо-
п—юо
логии и lim bi = а в исходной топологии.
г—кх>
Указание: см. Эдварде [185, с. 622].

318
Глава 3. Двойственность
3.12.155. (i) Пусть Ε — бочечное пространство. Доказать, что Е' с
сильной топологией β(Ε\Ε) квазиполно, (ii) Пусть Ε — бочечное пространство,
F — отделимое квазиполное пространство и В — некоторый класс
ограниченных множеств, покрывающих Е. Доказать, что пространство Cb(E,F)
непрерывных линейных отображений из Ε в F с топологией равномерной
сходимости на В отделимо и квазиполно. В частности, [Ε',σ(Ε'\Ε))
квазиполно; например, это верно, если Ε — пространство Фреше.
Указание: см. определение 3.5.1 или Бурбаки [27, с. 177, 237].
3.12.156. Пусть Ε — локально выпуклое пространство и то — такая
локально выпуклая топология на Е', что (£",то)' С Е. Доказать, что то
мажорируется топологией Макки т(Е',Е).
3.12.157. Пусть Ε и F — метризуемые топологические векторные
пространства, причем Ε бочечно. Доказать, что всякое билинейное отображение
Φ: ExF->Gb локально выпуклое пространство G, непрерывное по
каждому переменному раздельно, непрерывно.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 184].
3.12.158. Пусть Ε и F — пространства Фреше, причем Ε ядерно.
Доказать, что всякая раздельно непрерывная билинейная функция на Εβ χ F'p
непрерывна.
Указание: см. Шефер [174, гл. IV, п. 9.9].
3.12.159. Вывести из теоремы 3.12.17 следующую теорему Дьедонне-
Шмульяна: слабо замкнутое множество А в квазиполном локально выпуклом
пространстве слабо компактно в точности тогда, когда для всякой
последовательности замкнутых выпуклых множеств Сп, для которой все множества
AnCi Π · · · ПСп непусты, пересечение А с H^Li С η также непусто.
Указание: см. Бурбаки [27, с. 234].
3.12.160. Монтелевским называют такое отделимое бочечное
пространство Е, что каждое ограниченное множество в Ε лежит в компакте.
(i) Доказать, что IR°°, £>(IRn), <S(IRn) и пространство H(U) голоморфных
функций в открытом множестве U С С1 с топологией равномерной
сходимости на компактах являются монтелевскими пространствами.
(ii) Доказать, что монтелевское пространство Ε рефлексивно и Е' с
сильной топологией β(Ε',Ε) также является монтелевским.
(iii) (Dieudonne [271]) Всякое монтелевское пространство Фреше сепара-
бельно.
Указание: (ii) см. Бурбаки [27, с. 240]; (iii) см. Kothe [360, с. 370].
3.12.161. Отделимое локально выпуклое пространство Ε называют
пространством Шварца, если в нем для всякой абсолютно выпуклой
окрестности нуля U найдется абсолютно выпуклая окрестность нуля V,
являющаяся вполне ограниченным множеством по полунорме ри· (i) Показать, что
в пространстве Шварца всякое ограниченное множество вполне
ограничено, (ii) Показать, что полное квазибочечное пространство Шварца является
монтелевским. (iii) Существует монтелевское пространство Фреше, не
являющееся пространством Шварца.
Указание: см. Meise, Vogt [395, с. 286, 338].

3.12. Дополнения и задачи
319
3.12.162. (Bonet, Lindstrom, Valdivia [234]) Пусть F — пространство
Фреше. (i) Монтелевость F равносильна тому, что всякая последовательность
в F', сходящаяся к нулю в топологии a(F', F), сходится в топологии /3(F', F)
(случай сепарабельного F см. в Kothe [360, с. 370]). (ii) F есть пространство
Шварца в точности тогда, когда всякая последовательность в F', сходящаяся
к нулю в топологии a(F',F), сходится равномерно на некоторой
окрестности нуля из F. (iii) Пространство F не содержит I1 в точности тогда, когда
сходимость последовательности функционалов в топологии Макки t(F',F)
влечет сходимость в сильной топологии /3(F',F).
3.12.163. (Гротендик [51, с. 84]) Пусть Ε — метризуемое локально
выпуклое пространство. Тогда всякое ограниченное сепарабельное множество А
в его пополнении Ε лежит в замыкании в Ε некоторого ограниченного
множества из Е. Это утверждение неверно без предположения
сепарабельности A (Dieudonne [272], Amemiya [198], Kothe [360, т. 1, с. 404]).
3.12.164. (Dieudonne [272]) В предположении гипотезы континуума
существует несепарабельное метризуемое локально выпуклое пространство,
в котором все ограниченные множества сепарабельны.
3.12.165. Показать, что произведение счетной степени прямой и счетной
суммы прямых гиперполно, не будучи пространством Крейна-Шмульяна.
3.12.166. Доказать, что в сильном сопряженном строгого индуктивного
предела последовательности метризуемых локально выпуклых пространств
есть сеть (см. определение на с. 267).
3.12.167. Показать, что класс пространств с сетями (как в категории
локально выпуклых пространств, так и в категории топологических
векторных) замкнут относительно следующих операций: (i) переход к
секвенциально замкнутому подпространству, (ii) переход к отделимому образу при
секвенциально непрерывном линейном отображении, (iii) счетное
произведение и счетная прямая сумма, (iv) проективный предел счетной
последовательности, (ν) отделимый индуктивный предел счетной последовательности.
Указание: см. Jarchow [334, §5.4].
3.12.168. Доказать, что топологическое векторное пространство
является полным метризуемым в точности тогда, когда оно бэровское и имеет сеть.
Указание: см. Jarchow [334, §5.4, теорема 4].
3.12.169? Показать, что собственные векторы, соответствующие
различным собственным значениям линейного отображения в линейном
пространстве, линейно независимы.
3.12.170. Пусть Ε — бэровское топологическое векторное пространство,
F — топологическое векторное пространство. Показать, что всякое поточечно
ограниченное семейство непрерывных линейных операторов из Ε в F
равностепенно непрерывно.
3.12.171. (Drewnowski [276]) Пусть К — компакт в топологическом
векторном пространстве X, причем его замкнутая абсолютно выпуклая оболочка
abs conv К компактна и лежит в линейной оболочке К. Если линейное
отображение Τ из X в топологическое векторное пространство Υ имеет
непрерывное сужение на К, то непрерывно и его сужение на abs conv К.

320
Глава 3. Двойственность
3.12.172. (Drewnowski [276]) Разрешением множества А называется его
покрытие подмножествами Аа, индексируемыми элементами a Ε 1№° и
удовлетворяющими такому условию: если α ^ β покомпонентно, то Ла С Ар.
Пусть X — полное метризуемое топологическое векторное пространство
с некоторым разрешением {Ха}. Если линейное отображение Τ из X в
топологическое векторное пространство Υ имеет непрерывное сужение на каждое
из множеств Ха, то Τ непрерывно.
3.12.173. Пусть Ε — локальное выпуклое пространство и множество А
в Е' ограничено в топологии σ(Ε',Ε). Привести пример, в котором А не
является ограниченным в β(Ε',Ε).
Указание: рассмотреть пространство /о финитных
последовательностей с нормой из I2 и функционалы 1п(х) = пхп.
3.12.174. Пусть V — замкнутое выпуклое множество без внутренних
точек в отделимом локально выпуклом пространстве Е, причем выпуклая
оболочка А и нуля имеет внутренние точки. Показать, что V лежит в
замкнутой гиперплоскости.
Указание: Valdivia [497, с. 18].
3.12.175. В бесконечномерном бэровском топологическом пространстве
есть всюду плотное линейное подпространство, не являющееся бэровским.
Указание: взять базис Гамеля Г, выделить в нем счетную часть {г>п},
рассмотреть линейную оболочку Г и t?i,..., νη.
3.12.176. Пусть Ε = Ζ§° — подпространство финитных
последовательностей с нормой из /°°, Е' = Z1, S = {nln} U {0}, 1п(х) = хп. Показать, что
S компактно в топологии σ(Ε',Ε), но S° не является окрестностью нуля
в топологии т{Е,Е'), ибо 5°° некомпактно в σ(£", Ε).
3.12.177. (i) (Гротендик [51]) Существует рефлексивное (даже монте-
левское) пространство Фреше, имеющее факторпространство, изоморфное
пространству I1, (ii) (Valdivia [499]) Пусть F — пространство Фреше. Все его
факторпространства рефлексивны в точности тогда, когда F изоморфно
замкнутому подпространству счетного произведения рефлексивных банаховых
пространств.
3.12.178. (Кадец, Кадец [63]) Пусть F — пространство Фреше и ρ —
такая непрерывная норма на F, что всякий непрерывный линейный
функционал, ограниченный на U = {р ^ 1}, достигает максимума на U. Тогда F
банахово.
3.12.179. (i) (Смолянов [135]) Есть неядерное локально выпуклое
пространство счетной алгебраической размерности, в котором все ограниченные
множества конечномерны, (ii) (Гутник [52]) Есть полное локально выпуклое
пространство, в котором ограниченные множества конечномерны, не
содержащее прямой суммы одномерных пространств. Кроме того, существует
локально выпуклое пространство Макки, в котором ограниченные множества
конечномерны, но пополнение которого таким свойством не обладает.
3.12.180. (Райков [117]) Пусть F — ядерное счетно нормированное
пространство Фреше (см. пример 2.2.8), топология которого задана
возрастающей последовательностью согласованных норм рп, и /n £ F' таковы, что

3.12. Дополнения и задачи
321
Σ^=ι |/п(ж)| < оо для всех х. Тогда найдется такое га, что Σ™=ι \\fn\\m < оо,
где ||/||m = sup{|/(x)|: рп(х) ^ 1}· Такое свойство рядов рассматривалось в
Гельфанд, Костюченко [45] и Гельфанд [43] (причем в [43] такое свойство
рядов приведено как определение ядерности, приписанное Гротендику, хотя
последний использовал иное определение).
3.12.181. (Ретах [124]) Пусть X и Υ — локально выпуклые пространства
и оператор А £ C(X,Y) сюръективен. Пусть пространство К = Л_1(0) мет-
ризуемо в индуцированной топологии и для всякой окрестности нуля U С К
найдется окрестность нуля V С К с тем свойством, что для всякой
окрестности нуля W и всякого ε > 0 есть а > О, при котором V С eU + aW. Тогда
Α*(Υ') = X'. В частности, это верно, если X — метризуемое пространство
Шварца, что усиливает результат Гротендика [51].
3.12.182. Пусть X и Υ — пространства Фреше, Τ е £(Χ,Υ). Тогда
замкнутость Т(Х) равносильна замкнутости Τ*(Υ') в топологии σ(Χ',Χ),
а если X и Υ банаховы, то и по норме в X'.
Указание: см. Шефер [174, с. 204], Богачев, Смолянов [21, с. 291].
3.12.183. (Шкарин [177]) Пусть F — пространство Фреше, {/п} С F',
L — линейная оболочка {/п}· Следующие условия равносильны:
(i) для всяких чисел сп есть вектор χ Ε F с fn(x) = сп при всех п;
(ii) для всякой последовательности чисел сп > 0 найдется вектор χ £ F
с fn(x) т^Ои \fn+i(x)/fn(x)\ ^ сп при всех п;
(iii) последовательность {/п} линейно независима, причем ни для какой
линейно независимой последовательности {дп} в L нет такой
последовательности чисел тпп > 0, что supn \дп(х)\/ап < оо при всех х;
(iv) топологию в F можно задать такой возрастающей
последовательностью полунорм рп, что каждый функционал /п непрерывен относительно
полунормы pn+ij т.е. |/n| ^ Cnpn+i, но разрывен относительно рп;
(ν) последовательность {/п} линейно независима, причем всякий
функционал / Ε F\ равный нулю на H^Li /тГ1(0)? входит в L.
3.12.184. (Valdivia [496]) Пусть отделимое локально выпуклое
пространство Ε — строгий индуктивный предел возрастающей
последовательности его замкнутых линейных подпространств Еп. Тогда верно следующее,
(i) Если линейное подпространство L С Ε таково, что все пересечения L Π Εη
слабо полны, то L есть индуктивный предел L Π Εη и имеет дополнение,
(ii) Имеется дополняемое замкнутое подпространство £, изоморфное
прямой счетной топологической сумме одномерных подпространств, (iii) Если
абсолютно выпуклое множество А таково, что все пересечения Α Π Εη слабо
полны, то А замкнуто. В качестве следствия легко получить, что
произведение IR°° и прямой счетной суммы прямых гиперполно. См. задачу 3.12.165.
3.12.185. Бесконечномерное банахово пространство нельзя покрыть
последовательностью шаров со стремящимися к нулю радиусами.
3.12.186. Доказать, что не существует непрерывной линейной сюръек-
ции со на / .
3.12.187. Доказать, что существует непрерывная линейная сюръекция
Т: C[0,1]^L2[0,1].

322
Глава 3. Двойственность
Указание: Η = L2[0,1] изоморфно замкнутому линейному
подпространству в L1 [О,1] (взять замыкание линейной оболочки последовательности
независимых стандартных гауссовских случайных величин); поэтому Η
изоморфно замкнутому линейному подпространству в С [О,1]'; это подпространство
замкнуто в топологии σ((7[0,1]',С[0,1]) по задаче 3.12.129; взять оператор,
сопряженный этому вложению.
3.12.188. (Смолянов [133]) Пусть топологическое векторное
пространство Ε является объединением строго возрастающей последовательности
своих линейных подпространств Еп, причем известно, что всякая сходящаяся
в Ε последовательность лежит в каком-то из Еп. Тогда в Ε есть множество А,
не все предельные точки которого являются пределами последовательностей
точек из А.
3.12.189. Доказать, что линделёфово регулярное топологическое
пространство нормально.
3.12.190. Показать, что существует банахово пространство, не
являющееся линделёфовым в слабой топологии. Рассмотреть /°°.
3.12.191. Пусть К — выпуклый компакт в топологическом векторном
пространстве Ε и существует последовательность {fn} С Е', разделяющая
точки К. Доказать, что К аффинно гомеоморфен выпуклому компакту в /2.
Указание: взять отображение χ »—► (/п(х)), выбрав функционалы /п
так, что supK \fn(x)\ ^ η-1.
3.12.192. (Теорема Гротендика, см. Floret [298, с. 15]) Пусть множество
V выпукло и полно в локально выпуклом пространстве Е. Множество А С V
имеет σ(£7, £")-компактное замыкание в точности тогда, когда оно
ограничено и для каждого равностепенно непрерывного множества S С Е' равенство
lim lim fm(xn) = lim lim fm(xn) верно для всех последовательностей
то—юо п—юо п—юо то—кх>
{хп} С А и {/т} С 5, для которых оба предела существуют.
3.12.193. Пусть Ε — бесконечномерное локально выпуклое
пространство, W = {/ > 0}, где / е Е\ f φ 0. Доказать, что существует такой
гомеоморфизм h: W U {0} —> Ε, что h(x) = χ при /(χ) ^ 1.
Указание: см. Bessaga, Pelczynski [222, с. 114].
3.12.194. (Mankiewicz [388]) Всякое LF-пространство (индуктивный
предел возрастающей последовательности пространств Фреше) гомеоморф-
но одному из следующих пространств: (i) IR^°°^ (индуктивный предел IRn),
(ii) 12{к) для некоторой мощности /с, (iii) 12(k)xJR^°°^ для некоторой
бесконечной мощности /с, (iv) ф°^! 12(к>г) для некоторой строго возрастающей
последовательности бесконечных мощностей щ. См. также Banakh, Repov§ [211],
Sakai [441].
3.12.195. (Banakh [209]) (i) Пространство Ρ'(IR1) гомеоморфно счетной
степени индуктивного предела пространств IRn.
(ii) Сильное сопряженное ядерного LF-пространства гомеоморфно
одному из пространств Н°°, IR(oo), IR°° xIR(oo), (Π^00))00 и [0,1]°° xIR(oo).

Глава 4
Дифференциальное исчисление
Понятие дифференцируемого отображения топологического
векторного пространства в топологическое векторное
пространство было выработано сравнительно недавно. В середине
шестидесятых годов число предложенных определений
дифференцируемое™ для отображений топологических векторных пространств
было очень велико и едва ли не превышало число работ,
посвященных изучению такого рода отображений.
Тем не менее дифференциального исчисления для
отображений таких пространств в то время фактически не
существовало, и казалось естественным предположение, что единого
дифференциального исчисления для них и не может быть, а
каждому определению дифференцируемости должно соответствовать
свое собственное дифференциальное исчисление. Однако вскоре
было обнаружено, что множество неэквивалентных определений
(однократной) дифференцируемости топологических векторных
пространств вполне обозримо и укладывается в простую схему.
Более того, оказалось, что практически существуют ровно два
типа бесконечно дифференцируемых отображений локально
выпуклых пространств; то же верно и для η > 1 раз
дифференцируемых отображений, если игнорировать возможное понижение
порядка дифференцируемости на единицу.
Именно этот результат и позволил построить единое и по
существу очень простое дифференциальное исчисление для
отображений топологических векторных пространств. Основы этого
исчисления и излагаются в настоящей главе. Ключевую роль
играет дифференцируемость по системе множеств. При этом
используются две серии определений дифференцируемости,
охватывающие в совокупности все основные известные определения;
каждая из этих серий содержит ровно одно определение
бесконечной дифференцируемости. При описании дифференцируемых

324
Глава 4. Дифференциальное исчисление
отображений, соответствующих одной из этих серий,
используются фильтры (или направленности) и язык теории
псевдотопологических пространств (но не сама эта теория). Подробно об этом
написано в книге Смолянов [146], а здесь приводятся лишь
минимальные сведения в §4.10(vi). В основном же материале
рассматриваются результаты, относящиеся к той серии определений
дифференцируемое™, описание которой не требует использования
псевдотопологий. Тем не менее отметим, что язык,
использующий понятия теории псевдотопологических пространств и
прежде всего понятие фильтра, гибок и выразителен и нисколько не
сложнее стандартного языка теории топологических векторных
пространств (использующего понятия ограниченных и открытых
множеств, а также сходящихся последовательностей). В то же
время все доказательства, использующие язык псевдотопологий,
совершенно аналогичны доказательствам, относящимся к серии
дифференцируемостей основного текста, не использующей этого
языка, и при некотором навыке могут быть получены простым
переводом с одного языка на другой (конечно, при этом смысл
доказательств меняется). Вероятно, можно было бы даже
доказать «метатеорему», формализующую сказанное.
Всюду в этой главе, если не оговорено противное,
предполагается, что полем скаляров является поле вещественных чисел.
Если Ρ и Q — множества, то через T{P,Q) или через Qp
обозначается множество всех отображений множества Ρ в
множество Q; если Q — векторное пространство, то предполагается,
что множество Qp наделено естественной структурой векторного
пространства. Если при этом t(P,Q) — топология в Т(Р,0), то
через TT(PjQ) обозначается топологическое пространство,
получаемое путем наделения T(P,Q) топологией r{P,Q). Если S —
часть Т(Р, Q), то через Sr обозначается множество S с
ограниченной на него топологией t(P,Q). В основном r(P^Q) будет
топологией равномерной сходимости на множествах из некоторого
класса множеств А в топологическом векторном пространстве Р;
тогда будем использовать обозначение Ta(P,Q).
Если Ρ и Q — векторные пространства, то через Lin(P,Q)
обозначается векторное пространство всех линейных
отображений Ρ в Q. Если Ρ и Q — топологические векторные
пространства, то символ С(Р, Q), как обычно, обозначает векторное
пространство всех линейных непрерывных отображений Ρ в Q.
Символ С(Р, Q) обозначает при этом векторное пространство
всех секвенциально непрерывных линейных отображений PbQ,

4.1. Дифференцируемость по системе множеств
325
а символ #(Р, Q) — пространство всех ограниченных линейных
отображений Ρ в Q; Наконец, если Л — некоторый класс
ограниченных множеств в Р, то через £д(Р, Q) обозначим класс всех
линейных отображений из Ε в Р, ограниченных на множествах
из Д, и наделим £д(Р, Q) топологией равномерной сходимости на
классе Л. Тем самым B(P,Q) С £д(Р, Q).
Отметим, что #(Р, Q) э £(Р, Q) Э £(Р, Q) для всяких
топологических векторных пространств Ρ и ζ); если Ρ — борнологи-
ческое пространство, то /3(Р, Q) = £(Р, Q) = £(Р, Q).
В случае, когда Ε = IR, мы будем отождествлять
пространство £(Р, G) (= L(E, G) = β(Ρ, G)) с пространством G; при этом
линейное отображение / Ε C(E, G) отождествляется с элементом
/(1) пространства G, так что /(α) = α/(1) для всех а Е К.
4.1. Дифференцируемость по системе множеств
В этом параграфе вводится та из упомянутых двух серий
определений дифференцируемое™ отображений топологических
векторных пространств, описание которой не требует
использования псевдотопологического языка.
Пусть Ε — топологическое векторное пространство; для
каждого топологического векторного пространства G пусть H(E,G)
и TZ(Ej G) — некоторые векторные подпространства пространства
Т{Е, G) всех отображений Ε в G, причем выполнено следующее
условие:
(С) если U — окрестность нуля в пространстве Р, LeH(E, G),
г е К{Е, G) и L{x) = г(х) при χ е U, то L = 0.
4.1.1. Определение. Отображение f части V
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G называется HTZ-дифференцируемым в
точке xq Ε V, если существуют элемент пространства H{E^G)y
называемый HTZ-производной отображения f в точке хо и
обозначаемый символом f'{xo), окрестность нуля Vo С Ε и
отображение г Ε 1Z(E,G), называемое при этом ΙΖ-малым, такие,
что хо + Vo С V и для всех h Ε Vo справедливо равенство
f(xo + h) - /(хо) = f'(xo)h + r(h). (4.1.1)
Таким образом, символы Η и 1Ζ не используются в
обозначениях соответствующих производных.
Ясно, что фактически можно считать / заданным в
окрестности xq. Из требований, наложенных на пару (7i(E,G),1l(E,G)),

326
Глава 4. Дифференциальное исчисление
вытекает, что для всякой точки a Ε V линейная комбинация H1Z-
дифференцируемых в точке а отображений (определенная на
пересечении их областей определения и потому заданная в
окрестности а) также H1Z-дифференцируема в а, причем ее производная
есть соответствующая линейная комбинация производных
данных отображений; далее, каждое отображение может иметь не
более одной производной в данной точке и каждое отображение
г Ε TZ(E, G) является Ή11-дифференцируемым в нуле, причем
г'(0) = 0. Конечно, верно и обратное к последнему утверждению:
если / — НИ-дифференцируемое в нуле отображение из Ε в G
*f'(0)=0,Tofen(E,G).
Таким образом, задача дифференцирования — разновидность
задачи аппроксимации: производная отображения в данной
точке — отображение из заданного класса, приближающее — с
точностью до отображения из некоторого другого класса —
приращение рассматриваемого отображения. Для задания операции
дифференцирования (на множестве отображений одного
топологического векторного пространства в другое) достаточно задать
два пространства отображений первого пространства во второе:
во-первых, пространство отображений (оно выше обозначено
через H(E,G)), которые могут служить производными, во-вторых,
пространство отображений (обозначенное символом TZ(E, G)),
которые рассматриваются как «бесконечно малые». Эта схема
применима и к глобальной дифференцируемости Соболевского типа,
здесь не обсуждаемой (см. Богачев [18]).
Всюду далее, если не оговорено противное, предполагается,
что, каковы бы ни были топологические векторные пространства
Ε и G, пространство Н(Е, G) совпадает с одним из пространств
£(£?, G), C(E,G) и B(E,G); иногда будет использоваться
пространство Ca(E,G). Для описания пространств TZ(E,G) в
настоящем параграфе используются топологии равномерной
сходимости на различных семействах ограниченных множеств
пространства Е\ этими топологиями наделяется пространство T(E,G).
Пусть σ — некоторое множество ограниченных подмножеств
пространства Е, содержащее все конечные подмножества.
4.1.2. Определение. Пусть η Ε IN. Отображение г
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G называется σ-малым п-го порядка, если
для всякого множества В Ε σ мы имеем r(th)/tn —> 0 в G при
t —> 0 равномерно по h Ε В. Отображение, σ-малое первого
порядка, называется σ-малым.

4.1. Дифференцируемость по системе множеств 327
Обозначим множество всех σ-малых отображений Ε в G п-го
порядка через lZn,a(E,G). Таким образом, г е 1Zn,a(E,G) в
точности тогда, когда для каждой окрестности нуля V С G и для
каждого множества В Ε σ существует такое ε > 0, что если
t e (-ε,ε)\{0} и h е Б, то t~nr(th) е V. Символ TZa(E,G) будет
обозначать то же самое, что и символ TZl'a{E^G).
Обозначим символом Ta(E^G) пространство T(E,G),
наделенное топологией сходимости на множествах системы σ (если G
отделимо и имеет положительную размерность, то Τσ{Ε, G)
представляет собой топологическое векторное пространство в
точности тогда, когда семейство σ не содержит ни одного бесконечного
множества).
Следующее предложение — переформулировка определения,
оправдывающая сказанное выше о задании пространств малых
отображений с помощью топологий.
Если Е\ и Ε<ι — два векторных пространства, г Ε Т{Е\,Е2),
t Ε Н\{0}, то через rt обозначается отображение Е\ в Ε<ι,
определяемое равенством rt(x) = t~lr(tx) {x Ε E\), а через tq — нулевое
отображение Е\ в 2?2? т. е. r${x) = 0 для всех χ Ε E\.
4.1.3. Предложение. Отображение г топологического
векторного пространства Ε в топологическое векторное
пространство G является σ-малым в том и только том случае, если
отображение t н-► rt, IR —> Τσ{β>·> G) непрерывно в нуле.
4.1.4. Предложение. Для того чтобы отображение г
топологического векторного пространства Ε в топологическое
векторное пространство G было σ-малым, необходимо и
достаточно, чтобы было выполнено следующее условие: каково бы ни было
множество A Ε σ, если {ап} — последовательность его
элементов и (tn) — сходящаяся к нулю последовательность отличных
от нуля вещественных чисел, то t~lr{tnan) —> 0 при η —> оо
в пространстве G.
Это предложение немедленно вытекает из предыдущего и
следующего утверждения.
4.1.5. Предложение. Если Q — топологическая
коммутативная группа, Ρ — множество и σ — система подмножеств
множества Р, то последовательность элементов дп
пространства Ta(P^Q) сходится в этом пространстве к g Ε T{P,Q)
в точности тогда, когда для всяких множества A Ε σ и
последовательности {hn} С А мы имеем gn(hn) — g(hn) —> 0 в Q.

328
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Доказательство. Ясно, что из сходимости
последовательности {дп} в Ta(P^Q) вытекает справедливость
сформулированного утверждения. Если же последовательность {дп} в Τσ{Ρ,€})
не сходится в этом пространстве, то для всякого д Ε Τσ{Ρ, Q)
существуют такие окрестность нуля V в Q и множество A Ε σ,
что для каждого η Ε IN имеется такой элемент hn Ε А, что
#п(М - 9{Ю £ У- Таким образом, gn(hn) - g(hn) /> 0 в Q. D
Всюду до конца настоящего параграфа символы Ε и G
обозначают отделимые топологические векторные пространства,
а символ σ — некоторое семейство ограниченных подмножеств
пространства Е, содержащее все конечные множества.
Если K(E,G) = Ka(E,G), H(E,G) — одно из трех
перечисленных выше пространств, то все требования, наложенные на
пару (Н(Е, G),TZ(E, G)), оказываются выполненными (это
проверяется непосредственно), так что применимо определение 4.1.1.
Вместо терминов 7^7£°"-производная (дифференцируемость)
далее будут использоваться термины Т^-производная
(дифференцируемость). Для терминов £σ- и £а-производная будут
применяться дополнительные сокращения: первый из них
будет заменяться термином σ-производная, а второй — термином
σ-производная; аналогичный смысл имеют термины σ-,
σ-дифференцируемость.
Приведем еще непосредственные определения σ- и
σ-дифференцируемое™, а также Д-дифференцируемое™, порождаемой
выбором некоторого класса А ограниченных множеств в
качестве σ и класса C^(E^G) линейных операторов, ограниченных
на множествах из Л, в качестве H(E,G).
4.1.6. Определение. Отображение f из множества VcE
в G называется σ-дифференцируемым в точке xq Ε V, если
существуют линейное непрерывное отображение Ε в G,
называемое σ-производной отображения f в точке х$ и обозначаемое
символом f'{xo), окрестность нуля Vq С Ε и σ-малое
отображение г: Ε —> G, такие, что xq + Vo С V и для всех h e Vq
справедливо равенство (4.1.1).
Аналогично вводятся σ-дифференцируемость и
σ-производная, но вместо непрерывности f'(xo) требуется лишь
секвенциальная непрерывность. Если σ = А — некоторый класс
ограниченных множеств и вместо непрерывности требуется лишь,
чтобы f'(xo) Ε £a(E,G), то получаем А-дифференцируемость.

4.1. Дифференцируемость по системе множеств
329
Таким образом, для того чтобы отображение / части Ε в G
было σ-дифференцируемым в точке xq Ε V в смысле этого
определения, необходимо, чтобы эта точка была внутренней; если это
так, то отображение / является σ-дифференцируемым в точке хо
в точности тогда, когда в этой точке σ-дифференцируемо
каждое его продолжение до отображения всего Е\ если при этом / —
такое продолжение, то f(xo) = f'(xo)· Поэтому является
естественным следующее менее ограничительное определение
σ-дифференцируемое™.
4.1.7. Определение. ПустьУсЕ. Отображение/: V-^G
называют σ-дифференцируемым (соответственно σ-дифферен-
цируемым) в точке xq Ε V, если в этой точке
σ-дифференцируемо (σ-дифференцируемо) в смысле определения 4.1.6 каждое
продолжение этого отображения до отображения всего Е. При
этом σ-производной (σ-производной) отображения f в xq
называют σ-производную (соответственно σ-производную) в этой
точке произвольного продолжения f до отображения всего Е.
4.1.8. Замечание. Если / дифференцируемо в точке хо Ε V
в смысле определения 4.1.7, то его производная в этой точке
определяется однозначно (докажите это). Отметим еще, что для
каждой внутренней точки xq области определения функции /
определения 4.1.6 и 4.1.7 равносильны; однако отображение может
быть дифференцируемо в смысле 4.1.7 и в точке, не являющейся
внутренней. В то же время если Ε — локально выпуклое
пространство, τ — его исходная топология и т\ — такая (отличная
от г) локально выпуклая топология в Е, что (Е,т)' = (Ε,τι)',
то вещественная функция д, определенная на подмножестве V
пространства Ε, σ-дифференцируема в точке хо Ε V в смысле
определения 4.1.7 как отображение подмножества пространства
(Е,т) в точности тогда, когда она σ-дифференцируема в этой
точке в смысле того же определения как отображение
пространства (Е,т\) (почему?). Если Ε — бесконечномерное
нормированное пространство, τ = σ(Ε, Ε'), τ\ — топология в Е, определяемая
нормой, V — единичный шар с центром в нуле в Ε и / — сужение
на V линейного непрерывного функционала на Е, то функция /,
рассматриваемая как функция на множестве V в (£?, г),
оказывается σ-дифференцируемой в нуле в смысле определения 4.1.7, но
не в смысле определения 4.1.6. В то же время /
дифференцируема и в смысле определения 4.1.6, и в смысле определения 4.1.7
как функция на подмножестве V пространства (£?, т\).

330
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Всюду далее, если не оговорено противное, под σ- или σ-диф-
ференцируемостью понимается σ- или σ-дифференцируемость в
смысле определения 4.1.7. При этом в тех местах, где речь идет
о дифференцируемости функций, определенных на собственных
подмножествах пространства Е, и где в связи с этим
оказывается необходимым, в соответствии с определением 4.1.7,
рассматривать продолжения этих функций на все Е, мы без
дополнительных пояснений используем для обозначения таких продолжений
те же символы, что и для исходных функций.
В следующих трех определениях речь идет о
дифференцируемости на множестве (а не обязательно в точке), о высших
производных и о дифференцируемости по подпространству.
4.1.9. Определение. Отображение f из части Ε в G
называется σ-дифференцируемым (соответственно
σ-дифференцируемым) на множестве V, если оно σ-дифференцируемо
(соответственно σ-дифференцируемо) в каждой точке χ Ε V. При
этом отображение fr:x^ fr(x), V —> £a(E,G)
(соответственно V —> £a(E,G)) называется σ-производной
(соответственно σ-производной) отображения f на множестве V.
Положим £*(Е,G) = £σ(Ε,...,£σ(Ε,G)...).
4.1.10. Определение. Пусть η > 1 и V С Е.
Отображение /: V —> G называется η раз σ-дифференцируемым в точке
хо £ V, если оно п—1 раз σ-дифференцируемо на некотором
содержащем точку хо множестве Vq и его (п — 1)-я σ-производная
f(n-i): y0 _> £™-l(E,G) σ-дифференцируема в точке xq. При
этом п-й σ-производной отображения f в точке хо
называется первая σ-производная отображения /(η_1) в этой точке:
f(n)(x0) = (/^-^УОго). Отображение f называется
бесконечно σ-дифференцируемым в точке хо, если f дифференцируемо
в этой точке η раз для всякого п.
Аналогично определяют σ- и Л- производные порядка η и
соответствующую η-кратную σ- и Л-дифференцируемость.
Всюду разница между σ и σ — секвенциальная непрерывность
операторов вместо непрерывности.
Мы всегда считаем в дальнейшем, что /(°) = /. Пусть теперь
топологическое векторное пространство Ε является векторным
подпространством некоторого векторного пространства Ео и W —
часть Eq.

4.1. Дифференцируемость по системе множеств
331
4.1.11. Определение. Отображение /: W —> G
называется η раз σ-дифференцируемым в точке х$ по подпространству Ε
или σ Ε-дифференцируемым, если отображение fXQ множества
(W — xq) Π Ε в G, определяемое равенством fXQ(x) = f(xo + х),
η раз σ-дифференцируемо в нуле. При этом п-й σ-производной f
в xq по подпространству Ε называется п-я σ-производная
отображения fXo в нуле; п-я σ-производная отображения f в
точке хо по подпространству Ε обозначается через f^(xo)·
Отображение /: W —> G называется η раз
σ-дифференцируемым на множестве W\ С W по подпространству Ε (или
же σ Ε-дифференцируемым), если оно η раз σ- дифференцируемо
в каждой точке из W\\ при этом отображение f^ : χ \—> /^ (#),
W —> C™(E,G) называется п-й σ-производной отображения f на
множестве W\ no подпространству Е. Аналогично
определяется η-кратная σ-дифференцируемость.
Таким образом, по определению, f^(xo) = (Ιχ0Ϋη\®) для
каждого п. В частности, если Ε = Е$, то п-я σ-производная
отображения / по подпространству Ε совпадает с его п-й σ-προ-
изводной (в той же точке) в смысле определения 4.1.10; ниже
в этом случае будет использоваться более короткий термин и
соответствующее обозначение (т.е. f^n\ а не /^ ).
Пусть σ^η — семейство всех конечных подмножеств
пространства Ε, σ^ — семейство всех ограниченных множеств, σ0 —
семейство всех компактов, af — семейство всех множеств, каждое
из которых является множеством элементов некоторой
сходящейся последовательности; если это не сможет привести к
недоразумениям, вместо символов σ^, σ<?, af будем использовать
символы σ&, σ0, σ8 или даже Ь, с, s. Вместо термина
σ-дифференцируемость часто используется термин дифференцируемость по
системе множеств σ. Например, Ь-дифференцируемость есть
дифференцируемость по системе всех ограниченных множеств,
а Ъ-дифференцируемость — ее версия с секвенциальной
непрерывностью производной.
Термины аАп-дифференцируемость, Ь-дифференцируемость,
с-дифференцируемость и s-дифференцируемость часто будут
заменяться терминами дифференцируемость по Гато,
дифференцируемость по Фреше, дифференцируемость по системе
компактов и секвенциальная дифференцируемость (подчеркнем, что
последняя — отнюдь не то же самое, что дифференцируемость

332
Глава 4. Дифференциальное исчисление
по системе всех компактов, если пространство неметризуемо);
Ь-дифференцируемость будет также называться ограниченной
дифференцируемостью. Аналогичные соглашения принимаются
для терминов, содержащих слово «производная».
В метризуемых пространствах с-дифференцируемость
совпадает с s-дифференцируемостью. В случае нормированных (или
метризуемых) пространств дифференцируемость по системе
компактных множеств называют дифференцируемостью по Адамару.
Из определений следует, что из σ&-дифференцируемое™
вытекает а^п-дифференцируемость, причем соответствующие
производные совпадают. Всюду далее запись Ε (Ш Е$ означает, что
Ε — векторное подпространство пространства Eq.
В случае дифференцируемости по системе А ограниченных
множеств в Ε удобно ввести индуктивно определяемые
пространства Lk '·= Сд{Е, Lk-i), где Lo = G, с топологиями равномерной
сходимости на Л. Пусть С\{Е, G) — линейное пространство /с-ли-
нейных отображений из Ε в G с топологией равномерной
сходимости на множествах вида Αχ χ · χ А^, где А{ Ε Л. Пространство
Lk можно отождествить с CA(E,G). Например, элемент Φ Ε L2
задает элемент Ф2 £ C\(E,G) по формуле 4!2{u,v) = Фг/(г>), где
правая часть ограничена по и Ε Д v Ε В для всех Д В Ε Л, что
следует из определения топологии в Ζ/2. Обратно, всякий элемент
Ф2 G C2A(E,G) задает Φ Ε L2 по формуле Vu(v) = Ф2(гх,г;).
Будем обозначать Л-производную порядка к отображения /
в точке χ символом DAf(x); ее можно считать /с-линейным
отображением из Хк в Y. Тогда D\f{x) Ε CkA{X,Y).
Напомним, что отображение F нормированных пространств
липшицево, если Ц-Р(ж) — ^(у)|| ^ Щх — у||, где L —
постоянная. Для локально липшицевых (т. е. липшицевых в окрестности
всякой точки) отображений нормированных пространств
дифференцируемости Гато и Адамара совпадают.
4.1.12. Теорема. Пусть X и Υ — нормированные
пространства и F: X —> Υ локально липшицево. Если F в точке χ
дифференцируемо по Гато, то в этой точке F дифференцируемо и по
Адамару, причем соответствующие производные равны.
Доказательство. Пусть К — компакт в X и ε > 0. Пусть F
удовлетворяет условию Липшица с постоянной L в шаре В(х, г)
с г > 0, К содержится в шаре В(0, R) и М:= max(L, i?, ||i)F(x)||).
Найдем конечную ε-сеть h\,..., hm в К. Существует такое число

4.1. Дифференцируемость по системе множеств
333
δ Ε (0, r/R), что при \t\ < δ для каждого г = 1,..., т мы имеем
\\F(x + thi) - F(x) - tDF{x){hi)\\ < ε|ί|.
Тогда при \t\ < δ для всякого h Ε К получаем
\\F{x + th) - F(x) - tDF(x)(h)\\ < ε|ί| + 2Με|ί|,
ибо найдется hi с ||/г — /г^Ц ^ ε, откуда
||F(x + th) - F(x + ίΛί)|| < M\\th - th{\\ < Me\t\
и ||Ш^(ж)/г — Ш^(ж)/гг|| < Με|ί|. Итак, F дифференцируемо в χ
по Адамару. Ясно, что производная Адам ара служит и
производной Гато, ибо последняя единственна. D
В бесконечномерных банаховых пространствах
дифференцируемость Фреше строго сильнее дифференцируемое™ Адамара.
4.1.13. Предложение. Пусть Ε — сепарабельное локально
выпуклое пространство, в котором есть ограниченная не пред-
компактная последовательность {hn}. Тогда для всякой
последовательности ненулевых чисел tn —> 0 найдется такая
непрерывная с-дифференцируемая функция f на Ε (даже с
производной f, непрерывной при наделении Е' топологией сходимости
на компактах), что f(0) = 0, /'(О) = 0, но предел отношения
f(tnhn)/tn не существует.
Доказательство. Применив задачу 4.10.53 и перейдя к
подпоследовательности в {/ιη}, находим равностепенно непрерывную
последовательность {fn} С Е1', поточечно стремящуюся к нуля,
для которой fn(hn) = 1, fn(hi) при г < щ эта последовательность
стремится к нулю равномерно на компактах. Выбрав
подпоследовательность в {£п}? можно также считать, что
Ι^Ι^ΖΙ^Γ1 < 4-risup{|/7(^)|: h3 G IN}.
г=1
Возьмем φι,φ2 £ C°°(IR) так, что \ψι\ < 1, ψι(ί) = 1 при \t\ < 1/4,
Ψι{ί) = 0 при |ί| ^ 1/2, φ2{ί) = 0 при |ί| < 1/2, φ2(1) = 1.
Положим
оо
п=1
В силу дизъюнктности носителей ψ\ и φ2 при каждом χ лишь
одно слагаемое может быть ненулевым; это же верно для ряда
из производных по фиксированному направлению h. По этой же

334
Глава 4. Дифференциальное исчисление
причине эти ряды сходятся равномерно по х. Более того, для
каждого компакта К С Ε ряд из производных по h сходится
равномерно по χ Ε Е, h Ε К, что легко выводится из указанных
условий на /n, tn. Тем самым непрерывна / и непрерывно /': Ε —> Ε'
при наделении Ε' топологией сходимости на компактах. Наконец,
/(0) = 0, /'(0) = 0, f(tnhn) = (-l)ntn. D
4.1.14. Следствие. На всяком бесконечномерном сепарабе-
льном нормированном пространстве есть дифференцируемая по
Адамару функция, не имеющая производной Фреше в нуле.
4.2. Примеры
4.2.1. Пример. Если Ε (Ш Е$ одномерно, то а^-дифференци-
руемость и af-дифференцируемость по подпространству Ε
отображения Eq в произвольное топологическое векторное
пространство равносильны; поэтому в случае dim .Б = 1 мы будем
называть σ-дифференцируемое (по подпространству Е) отображение
просто дифференцируемым.
4.2.2. Пример. Пусть Е$ — векторное пространство, h Ε Е$
и Ε — порожденное h одномерное подпространство (наделенное,
как всегда, стандартной топологией). Отображение /: E$-+G
называется дифференцируемым по направлению /г, если оно
дифференцируемо по подпространству Е; при этом производной / по
направлению h будет называться элемент dhf(xo) ~ f {%o)h
пространства G; ясно, что dhf(xo) — Пт[/(жо + th) — f(xo)]/t- Если
Ε = Eq = IR, το в соответствии с принятым выше соглашением
пространство C(E,G) отождествляется с G; при этом
производная fr{xo) отождествлена с элементом fr(x$)l £ G; так как
/'(х0)1 = Um[/(a:o + г) - f(x0)]/r,
τ—>Ό
то это означает, что при Ε = Ео = G = IR производная f'(xo)
отождествляется с производной — в смысле элементарного
математического анализа — вещественной функции вещественного
аргумента. Таким образом, обычная производная вещественной
функции вещественного аргумента есть производная
отображения из IR в IR по направлению 1.
4.2.3. Пример. Если Ε = IRn и G = IR, то компактная
дифференцируемость отображения /: IRn —> IR, дифференци-
руемость по Фреше и дифференцируемость в смысле обычного
элементарного анализа — одно и то же.

4.2. Примеры
335
4.2.4. Замечание. В элементарном анализе определяется,
наряду с производной, и так называемый дифференциал; его
стандартное определение в старых учебниках таково:
«дифференциал — главная линейная часть приращения функции». Таким
образом, следует считать, что дифференциал — в смысле старых
учебников анализа — при заданном значении приращения
аргумента h = (Δ#ι,..., Ахп) G IRn (мы сейчас рассматриваем
случай конечномерного пространства Е) есть значение производной
Фреше на элементе /г, так что предпочтительнее, по-видимому,
используя термин дифференциал в этом смысле, применять его
лишь в словосочетаниях типа «дифференциал при приращении
таком-то».
Слово дифференциал встречается и в более новых
математических текстах, но здесь оно используется лишь как синоним
термина производная Фреше (причем, как правило, только для
отображений нормированных пространств); еще одним
синонимом этого же термина является касательное отображение.
Впрочем, оба эти термина обычно используются не в теории
гладких отображений бесконечномерных пространств, а в
теории гладких многообразий в качестве названий
соответствующих отображений касательных пространств. Однако термин
«касательное к нулю отображение» используется именно в теории
гладких отображений (нормированных пространств) в качестве
синонима термина «а^-малое отображение».
4.2.5. Пример. Если φ — постоянное отображение Ε в G
(так называется отображение, принимающее во всех точках
области определения одно и то же значение), то φ всюду
σ&-дифференцируемо и его производная равна нулю (т. е. отображению,
переводящему каждый элемент пространства Ε в нулевой
элемент пространства G).
4.2.6. Пример. Если ψ G £(£?, G), то φ всюду
σ&-дифференцируемо и φ'{χ) = φ для всех χ Ε Ε. Если φ G C(E,G), το φ
всюду аь-дифференцируемо и φ'(χ) = φ.
4.2.7. Пример. Пусть φ — линейное отображение Ε в G, не
являющееся непрерывным. Тогда φ в каждой точке
аь-дифференцируема по каждому конечномерному подпространству
пространства Е, но ни в одной точке не является
^-дифференцируемым (по всему Е).

336
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.2.8. Пример. Пусть д — полилинейная непрерывная
вещественная функция на Ε χ · · · χ Ε. Функция д\: χ ι—> д(х,... ,χ)
аь-дифференцируема в каждой точке, причем верно равенство
9\(x)h = 9{К ж,..., ж) + д(х, К · · ·, х) + · · · + д(х, χ, · · ·, h).
4.2.9. Пример. Пусть г, φ — полярные координаты на
евклидовой плоскости К2. Определенная всюду на К2 функция
(г, φ) ι—> г sin3 φ в каждой точке дифференцируема по каждому
направлению, но в начале координат не является даже
дифференцируемой по Гато.
4.2.10. Пример. Пусть функция д: К2 —> IR определена
так. Если χ = (жьжг) £ Е-2? χ Φ 0, χ2 = χ\·, то д(х) = 1; в
противном случае д(х) = 0. Тогда в начале координат функция д
дифференцируема по Гато (и </(0) = 0), но не дифференцируема
по Фреше.
4.2.11. Пример. Пусть г, φ — полярные координаты на
евклидовой плоскости ид — вещественная функция на К2,
определяемая так:
о
Г / Г \
9(г,<р) = -г-. гехр(-— г ,если φφ-кк,
|sin<£>| V |sin<^|/
g(r, φ) = 0, если φ = π/c (к Ε Ζ).
Эта функция дифференцируема по Гато в каждой точке, но не
дифференцируема по Фреше в точке 0.
4.2.12. Пример. Пусть Η — вещественное гильбертово
пространство. Функционал /: Η —> IR, определяемый равенством
f(x) = \\х\\, дифференцируем по Фреше в каждой точке, кроме
нуля, причем f'{x) = х/\\х\\, т.е. f{x)h = (x,h)/\\x\\.
4.2.13. Пример. Пусть / — функция на сепарабельном
гильбертовом пространстве if, определяемая так: если χ = teni где
\βη\ — ортонормированный базис в if, то f(x) = ί1+1/η; f(x) = 0
для всех остальных χ Ε Η. Функция / компактно
дифференцируема в точке χ = 0, хотя и не является в этой точке
дифференцируемой по Фреше.
4.2.14. Пример. Функция
/: ^[0,1] -+К1, f{x)= [ sinx(s)ds (4.2.1)
Jo

4.2. Примеры
337
всюду дифференцируема по Адамару, но нигде не
дифференцируема по Фреше. То же самое справедливо для отображения
F: L2[0,1] -> L2[0, l], F(x)(s) = s'mx(s). (4.2.2)
Доказательство. При доказательстве дифференцируемос-
ти отображения часто бывает полезно найти кандидата на
производную, что делается путем вычисления частных производных.
Для функции / имеем следующее равенство:
f(x + th) = / sin[z(s) + th(s)] ds.
Jo
Его можно продифференцировать по t с помощью теоремы
Лебега о мажорируемой сходимости, что дает
dhf(x)= / h(s) cosx(s) ds.
Jo
Ясно, что производная Гато существует и дается функционалом
Df{x)h = / h(s) cos x(s) ds.
Jo
Поскольку ||/)/(ж)|| < 1, то с помощью теоремы о среднем для
функций на прямой заключаем, что функция / липшицева
(конечно, это можно проверить непосредственно). По теореме 4.1.12
получаем дифференцируемость по Адамару. Для отображения
F рассуждения аналогичны. Здесь мы имеем операторы DF{x)
в L2[0,1], причем
(DF(x)h)(s) = (cosx(s))h(s).
Выясним, дифференцируемы ли / и F по Фреше. Пусть χ = 0.
Тогда f(x) = 0. Нам надо посмотреть, верно ли соотношение
f(h) — Df(0)h = o(\\h\\). Левая часть равна
ι
[sin/i(s) — h(s)] ds.
Поскольку тейлоровское разложение sin h(s) — h(s) начинается
с /г3, а наше пространство — L1, то возникает предположение, что
дифференцируемости Фреше здесь нет. Чтобы убедиться в
правильности этого предположения, начинаем брать в качестве h
такие элементы единичного шара, на которых f(th) — tDf(0)h не
/

338
Глава 4. Дифференциальное исчисление
будет равномерно o{t). А именно: пусть hk(s) = к при 0 ^ s ^ 1/к
и hk(s) = 0 при s > 1/к. Тогда
f(thk) - tDf(0)hk = к'1 sin kt - t.
Эта величина не является o(t) равномерно по к: достаточно
положить t = к~1, что даст £(sin 1 — 1). Для произвольной точки χ
рассуждение аналогично. Зафиксируем версию х. Рассмотрим
isin(x(s) + th(s)) — sinx(s) — th(s)cosx(s)j ds.
Функции cosx(s) и sinx(s) имеют общую точку Лебега so G (0,1).
Для всякого ε эта точка является точкой Лебега и для функции
sin(x(s) + ε) — sinx(s) — ε cos x(s). Выберем ε G (0,1) так, что
sin(:r(so)+ ε) —s'mx(so) — ecosx(so) φ 0. Положим hk = klEk, где
Ek = (so — k~l, sq + k~l). При t = ek~l получаем величину
ί sin(x(s) + ε) — sinx(s) — ε cos χ(s) J ds
порядка малости Lk~l = L_1£, где L ^ 0 — некоторое число,
ибо предел этой величины, умноженной на /с/2, при к —> оо равен
sin(:r(so)+£)—sin:r(so)—£cosx(so) φ 0. Похожие оценки работают
и в случае F. D
Интересно отметить, что если функцию / рассматривать не
на L1, а на L2, то она станет дифференцируемой по Фреше.
4.2.15. Пример. Функция /, заданная формулой (4.2.1) на
пространстве L2[0,1], всюду дифференцируема по Фреше.
Отображение F, заданное формулой (4.2.2) на С[0,1], всюду
дифференцируемо по Фреше.
Доказательство. Нюанс, различающий свойства / на L1
и L2, состоит в том, что величина \f(x + h) — f(x) — Df(x)h\
с помощью неравенства | sin(x + К) — sin χ — hcosx\ < h2
оценивается через интеграл от /г2, который равен квадрату Ь2-нормы
(бесконечной для некоторых h из L1). Аналогичное
рассуждение применимо к отображению F на пространстве С[0,1]. Здесь
величина \\F(x + h) — F(x) — DF(x)h\\ оценивается через \\h\\2
в случае sup-нормы, но не в случае Ь2-нормы, когда указанная
оценка приводит уже к интегралу от /г4. D
L
L

4.2. Примеры
339
Рассмотрим еще один поучительный бесконечномерный
пример. В нем используется нередко встречающаяся в приложениях
функция — расстояние до множества.
4.2.16. Пример. Пусть X — бесконечномерное
нормированное пространство и К — компактное множество. Положим
f(x) = dist(x,К) = inf{||a; — 2/11: У € К].
Тогда функция / удовлетворяет условию Липшица, но не
дифференцируема по Фреше в точках К.
Если при этом К таково, что аК С К при |а| ^ 1, а
множество U^Li пК ВСЮДУ плотно в X, то / имеет нулевую
производную Гато в точке О Ε К. Например, в качестве К можно взять
эллипсоид
K=i(xn)el2: f>24<l)
^ n=l J
в гильбертовом пространстве I2.
Доказательство. Пусть χ е К. Тогда f(x) = 0.
Предположим, что в χ существует производная Фреше f'(x). Эта
производная может быть лишь нулевой, ибо для каждого ненулевого
вектора h функция £·—►/(# + th) имеет минимум при t = 0. Мы
приведем наше предположение к противоречию, если покажем,
что f(x+h)—f(x)—f,(x)h = f(x+h) не представляет собой о(||/г||).
Для каждого η Ε IN мы найдем такой вектор /гп, что \\hn\\ < 1/п
и шар радиуса ||/гп||/4 с центром в x + hn не пересекается с К. Это
даст оценку f(x+hn) ^ ||/ιη||/4. Компактное множество К
покрывается конечным числом шаров радиуса (4п)-1 с центрами в
точках αϊ,..., α^. Пусть L — конечномерное линейное пространство,
порожденное этими центрами. Найдется вектор hn с \\hn\\ = 1/п
и dist(/in,L) = 1/п. Этот вектор — искомый. В самом деле^ если
бы существовал вектор у Ε ΚΠ5(χ+/ιη, ||/ιη||/4), то мы получили
бы следующее разложение: χ = и + 1\, у = ν + fa, где h, h £ £,
||ιι|| < (4n)_1, ||г>|| ^ (4n)_1 и \\x + hn — y\\ < ||/in||/4.
Следовательно, справедливо неравенство
\\K-{h-h) + u-v\\ < (4η)"1,
и потому \\hn — (I2 — h)\\ < 3(4n)_1 вопреки выбору /гп, так как
мы имеем 1ъ — h Ε L.
Предположим теперь, что К удовлетворяет указанным
дополнительным условиям. Покажем, что в точке 0 Ε К производная

340
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Гато существует и равна нулю. Для этого надо проверить, что
при фиксированном h Ε X выполнено равенство limt~1f(th) = 0.
Пусть ε > 0. По условию найдется такой вектор ν Ε пК, что
\\h — ν\\ ^ ε. Поскольку tv Ε К при \t\ ^ η-1 ввиду условия,
то f(tv) = 0 для таких t. Значит, \t~lf(th)\ ^ ε ввиду оценки
\f{th) — f(tv)\ < \\th — tv\\ ^ |ί|ε, имеющей место в силу липшице-
вости /. D
В задаче 4.10.43 предлагается проверить, что если множество
К еще и выпукло, то / имеет нулевую производную Гато во всех
точках υ0<ξ*<ι ίΚ·
4.2.17. Пример. Пусть Ε — произведение континуума
прямых, реализованное как пространство всех вещественных
функций на [0,1], и пусть К = {хп} — счетное подмножество Е,
состоящее из индикаторов подмножеств, являющихся объединением
конечного числа интервалов из [0,1] с рациональными концами
и имеющих меру Лебега больше 1/2. Множество К относительно
компактно в Е; в то же время существуют последовательности
элементов множества К, не содержащие фундаментальных
подпоследовательностей. Если χ = txn, то положим f(x) = ί1+1/η;
для остальных χ G Ε положим f(x) = 0. Функция /
секвенциально дифференцируема (т. е. s-дифференцируема) в точке χ = 0,
но не дифференцируема в этой точке по системе компактов.
4.2.18. Пример. Пусть V — пространство всех финитных
бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т\ — его
обычная топология, Т2 — топология a(V,V). Тогда отображение
/: (2?, Т2) —> (D,ti), переводящее функцию ψ из V в функцию
φ2 = [t ·—> <p2(t)], дифференцируемо в точке OGDno Фреше, но
не является непрерывным ни в одной точке.
4.2.19. Пример. Пусть D, т\ — те же, что и в предыдущем
примере, ψ G D, ψ Φ 0. Для всех m, /celNnielR положим
Xmk(t) — τη~ιφ{ί) + fc~V(£ — га). Тогда индикатор множества
S = {xmk} представляет собой вещественную функцию на
пространстве (D, ri), дифференцируемую по Фреше в точке 0, но не
являющуюся непрерывной в этой точке.
4.2.20. Пример. Пусть D, т\ — те же, что и в предыдущих
двух примерах, Т>' — сопряженное к (D, τχ), наделенное сильной
топологией; вместо символа (Ί),τ\) будем теперь использовать

4.3. Дифференцируемость и непрерывность
341
символ Т>. Билинейная функция Φ: Т)'уХ> —> К, (д, х) ·—> д(х)
разрывна в каждой точке, но всюду бесконечно дифференцируема по
Фреше. При этом Ф'(д,х) = [(/г, к) ι—► h(x) + g(k)], Ф"{д,х) = Φ',
φ(η) = о при п > 2, так что все производные непрерывны как
отображения Р'хРв ££(£>'χ£>,К).
4.2.21. Пример. Пусть £? — топологическое векторное
пространство, являющееся векторным подпространством векторного
пространства Е$, Е\ — топологическое векторное
подпространство Е, f — отображение части W пространства Е$ в
топологическое векторное пространство G, σ и σ\ — как обычно, некоторые
системы ограниченных подмножеств пространства Е,
содержащие все конечные подмножества, σ' = Ε\ Π σ. Тогда из
σ£?~дифференцируемое™ отображения / в точке χ Ε W вытекает его
σι Ε-дифференцируемость в той же точке, если σ\ является
одной из следующих систем множеств:
1) подсистемой из σ;
2) системой объединений некоторых конечных наборов
множеств из σ;
3) системой образов множеств из σ при всевозможных
гомотетиях пространства Е;
4) системой закругленных оболочек множеств из σ.
Отметим, что заменить σ системой замыканий множеств из σ
или системой их выпуклых оболочек можно не всегда.
Если σ2 С σ7, то из σ£?-дифференцируемое™ (в точке χ Ε W)
отображения / вытекает его σ2Ε\-дифференцируемость в этой
точке.
4.2.22. Пример. Пусть Ε — бесконечномерное бочечное
локально выпуклое пространство, Εσ — то же самое векторное
пространство, наделенное ослабленной топологией, Е' —
сопряженное к Ε пространство, наделенное слабой топологией.
Отображение Е'хЕ —> К, (д, х) ·—> д{х) всюду разрывно, всюду один раз
дифференцируемо по Фреше, всюду бесконечно Ь-дифференци-
руемо, но не является дважды дифференцируемым по Фреше ни
в одной точке.
4.3. Дифференцируемость и непрерывность
В предыдущем параграфе были приведены примеры,
показывающие, что даже всюду бесконечно дифференцируемая по
Фреше вещественная функция может быть всюду разрывной. Здесь

342
Глава 4. Дифференциальное исчисление
будет, в частности, описан класс всех тех пространств, для
отображений которых в произвольное топологическое векторное
пространство из дифференцируемости по Фреше в данной точке
вытекает непрерывность в этой точке. В этот класс входят все мет-
ризуемые пространства, но не только они.
4.3.1. Предложение. Пусть dimG > 0. Всякое s-дифферен-
цируемое в данной точке отображение из Ε в G секвенциально
непрерывно в этой точке в точности тогда, когда Ε
удовлетворяет следующему условию:
(Αχ) для всякой сходящейся к нулю последовательности {ап}
элементов пространства Ε существуют ее
подпоследовательность {аПк} и последовательность {Хк} вещественных чисел
такие, что Xk —> оо и XkQ>nk —> 0.
Доказательство. Пусть / — с-дифференцируемое в точке
хо Ε Ε отображение Ε в G; покажем, что если выполнено
условие (Αχ), то / секвенциально непрерывно в xq. Мы можем и будем
считать, что / е US(E,G) (т.е. что х0 = 0, /(0) = 0, /'(О) = 0).
Пусть {hn} — сходящаяся к нулю последовательность
элементов Е. Если f(hn) -f* 0, то существует такая строго
возрастающая последовательность \п^\ натуральных чисел, что никакая
подпоследовательность последовательности {f(hnk)} не сходится
к нулю. Но в силу условия (Αχ) существуют
подпоследовательность {пц^} последовательности {n/J и последовательность {λ^}
вещественных чисел такие, что λ^ —> оо и Xihnk(i) —> 0. Из этих
соотношений в силу включения / Ε 7£s(e, G) вытекает, что
f(hnk(i)) = ν1λ</(\Γΐ(λίΛηΛ(<))) -> 0 при г -> оо;
однако это противоречит выбору последовательности {п^}.
Пусть условие (Αχ) не выполняется и {hn} — такая
сходящаяся к нулю последовательность отличных от нуля элементов Е, что
если {Χι} — стремящаяся к бесконечности последовательность
вещественных чисел и {щ} — строго возрастающая
последовательность натуральных чисел, то X{hni -f* 0. Пусть S — множество
элементов последовательности {/in}, Is — его индикатор, a Ε G,
α φ 0 и д{х) = Is(x)a, χ Ε Ε. Тогда отображение д: Ε —> G
является s-дифференцируемым (и даже Ь-дифференцируемым) в
нуле, но не является в этой точке секвенциально непрерывным. D

4.3. Дифференцируемость и непрерывность
343
4.3.2. Замечание. Как показывает доказательство
предложения, оно остается справедливым, если в его формулировке
термин «s-дифференцируемость» заменить термином
«Ь-дифференцируемость».
Отметим, что топологическое векторное пространство Ε
удовлетворяет условию (Αχ), если оно удовлетворяет следующему
«условию сходимости Макки» из леммы 2.10.18:
для всякой последовательности {хп} элементов Е,
сходящейся к нулю, найдется такая последовательность {гп}
вещественных чисел, что гп —> оо, но гпхп —> 0.
Нам неизвестно, равносильны ли эти два условия.
Напомним (см. § 2.10(i)), что топологическое пространство
называется пространством Фреше-Урысона, если для всякой его
части А и всякой точки а из замыкания А существует
последовательность элементов множества А, сходящаяся к а.
Секвенциальная непрерывность отображения из
пространства Фреше-Урысона влечет непрерывность, поскольку прообраз
всякого замкнутого множества оказывается замкнутым.
4.3.3. Лемма. Пусть Ε — топологическое векторное
пространство Фреше-Урысона и для каждого k Ε IN дана
сходящаяся κ нулю последовательность {а^} элементов Е. Тогда
найдутся строго возрастающие последовательности натуральных
чисел {к(г)} и {п(г)}, для которых ajfj\ —> 0 при г —> оо.
Доказательство. Можно считать, что dim Ε Φ 0. Пусть
хо ε E, xq φ 0. Для η, k Ε IN положим xn^ = k~lx$ + an+fc/c, если
k~lXQ φ —a^+fc, и xnk = k~lXQ в противном случае. Пусть также
А = {xnk}· Тогда 0 Ε А\А. То, что 0 ^ А, очевидно.
Пусть теперь V — окрестность нуля в Е. Тогда в Ε существует
такая окрестность нуля Vo, что Vo + Vo С V. Пусть к и η —
натуральные числа, для которых кхо Ε Vo и а^+к Ε Vo
(существование п, для которого справедливо последнее включение, вытекает
из того, что о!^+к —> 0 при η —> оо). Тогда xnk = к~гхо + а^+к Ε V.
Так как Ε — пространство Фреше-Урысона, то найдутся
последовательности {к\(г)} и {ni(r)} натуральных чисел такие, что
xm(r)ki(r) ~^ 0· При этом fci(r) —> оо. Иначе можно было бы,
перейдя к подпоследовательности, считать, что fci(r) = ко = const.
Тогда было бы верно соотношение п\{г) —> оо, а следовательно,

344
Глава 4. Дифференциальное исчисление
и соотношение an°(r\ —> — &о#о 7^ 0, вопреки тому, что по условию
мы имеем an+fco —> 0. Перейдя к подпоследовательности, можно
считать, что fci(r) < k\(r+l) и ni(r) + fci(r) < ni(r + l) + fci(r + l)
для всех г. Положим теперь fc(r) = fci(r) и n(r) = k\(r) + ^i(r).
к(г)
Тогда CL^fr) ~^ 0 ПРИ г —> оо, причем последовательности индексов
строго возрастают. D
Последовательность {&nZ?\}> Для которой п(1) < п(2) < ···
и к(1) < к(2) < · · ·, естественно назвать квазидиагоналъной.
Таким образом, лемма утверждает, что из последовательности
сходящихся к нулю последовательностей можно выбрать
квазидиагональную последовательность, также сходящуюся к нулю. Это
верно не для всякого пространства.
4.3.4. Следствие. Всякое топологическое векторное
пространство Фреше-Урысона удовлетворяет условию (Αχ) из
предложения 4.3.1.
Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся к нулю
последовательность элементов топологического векторного
пространства Фреше-Урысона. Для доказательства того, что существуют
ее подпоследовательность {xni} и последовательность {λ^}
вещественных чисел, для которых λ; —> оо и ХгХщ —> 0, достаточно
применить лемму к последовательности {кхп} сходящихся (при
фиксированном к) к нулю последовательностей. D
4.3.5. Теорема. Пусть Е, G — топологические векторные
пространства, причем dim G > 0, β — некоторая система
ограниченных подмножеств Е, причем β D af. Для того чтобы
всякое β-дифференцируемое в некоторой точке отображение из Ε
в G было непрерывным в этой точке, необходимо и достаточно,
чтобы Ε было пространством Фреше-Урысона.
Доказательство. Пусть Ε — пространство
Фреше-Урысона и отображение / из Ε в G является β-дифференцируемым в
точке xq Ε Е. Так как β D af, то это отображение тем более
s-дифференцируемо в точке х$. В силу доказанного выше
следствия пространство Ε удовлетворяет условию (Αχ) из
предложения 4.3.1, следовательно, отображение / секвенциально
непрерывно в точке xq; так как Ε — пространство Фреше-Урысона,
отсюда вытекает, что / и непрерывно в этой точке.

4.3. Дифференцируемость и непрерывность
345
Предположим, что Ε не является пространством Фреше-Уры-
сона. Пусть А С Ε обладает предельной точкой xq, не
являющейся пределом никакой сходящейся последовательности
элементов Д Ια — индикатор А, Ъ Ε G, Ъ φ 0. Тогда функция
д: χ ι—> /д(х)Ь, Ε -+ G,
очевидным образом разрывная в точке х$, является
/3-дифференцируемой в этой точке. Так как σ^ D /3, то нам достаточно
доказать Ь-дифференцируемость / в xq. Пусть {tn} —
сходящаяся к нулю последовательность отличных от нуля
вещественных чисел и {hn} — ограниченная последовательность
элементов пространства Е. Так как множеству А может принадлежать
лишь конечное число точек последовательности {хо + tnhn}, то
^п1{я{хо + tnhn) — д(хо)) -> 0 ПРИ η —> оо. Но это и означает, что
отображение д является Ъ-дифференцируемым в точке хо (и
обладает в этой точке нулевой производной). D
Еще одно условие, близкое к условию (А\) и условию Макки,
будет использовано в §4.10(i).
Выше было показано, что лишь для отображений,
определенных на топологических векторных пространствах Фреше-
Урысона, s-дифференцируемость в точке влечет непрерывность
в данной точке (тем самым это верно и для дифференцируемости
по системе ограниченных множеств). Может, однако, случиться,
что топологическое векторное пространство Ε имеет следующее
свойство: из с-дифференцируемости произвольного отображения
из £ в произвольное топологическое векторное пространство G
в одной точке не вытекает его непрерывность, но в то же время
s-дифференцируемость в каждой точке произвольного открытого
множества уже влечет непрерывность на этом множестве. Один
класс топологических векторных пространств, обладающих
таким свойством, описывается ниже.
4.3.6. Теорема. Пусть Ε — индуктивный предел
расширяющейся последовательности банаховых пространств Еп, причем
вложения Еп —> Εη+ι компактны. Тогда всякое отображение f
пространства Ε в топологическое векторное пространство G,
s-дифференцируемое в некоторой окрестности точки χ Ε Ε,
является непрерывным в этой точке.
Доказательство. Пусть отображение /: Ε —> G
является s-дифференцируемым во всех точках некоторой окрестности
точки xq. Возьмем в этой окрестности замкнутую окрестность V

346
Глава 4. Дифференциальное исчисление
точки xq. Мы докажем, что сужение /на7 непрерывно (отсюда
будет следовать непрерывность исходного отображения во всякой
внутренней точке множества V).
Предположим противное. Тогда в G найдется такое замкнутое
множество В, что множество А = f~l(B) Π V не замкнуто в V;
тогда оно не замкнуто и в Е. В условиях теоремы подмножество
F пространства Ε замкнуто в том и только том случае, если для
всякого η пересечение F Π Εη замкнуто в Еп (следствие 2.7.7).
Поэтому при некотором η множество Α Π Εη не замкнуто в Еп.
Это значит, что множество АП(УПЕп) не замкнуто в VPiEn,
следовательно, сужение fn отображения / на подпространство Еп не
является непрерывной функцией на множестве V Π Εη. Однако
отображение /п, очевидно, s-дифференцируемо в каждой точке
множества V Π Εη в банаховом пространстве Еп. По
предыдущей теореме оно должно быть непрерывно на множестве V ПЕП.
Полученное противоречие завершает доказательство. D
Пространство Ε из этой теоремы является пространством
Фреше-Урысона в точности тогда, когда оно конечномерно.
Поэтому индуктивные пределы бесконечномерных строго
расширяющихся банаховых пространств с компактными вложениями
образуют класс пространств, о котором говорилось перед
формулировкой теоремы. Действительно, если Ε бесконечномерно, то
Εη φ Εη+\ для бесконечного множества индексов η (иначе не
все канонические вложения Еп —> Еп+\ компактны). Можно
считать, что Εη φ Εη+\ для всех п. Пусть xn G Εη+ι\Εη для
каждого натурального п; если Ε — пространство Фреше-Урысона, то
по лемме 4.3.3, примененной к последовательности сходящихся к
нулю последовательностей {k~1xn}<j*L1, существуют такие
строго возрастающие последовательности {п(г)} и {А;(г)}
натуральных чисел, что k{i)~lxn(i) —> 0 в Е. Тогда найдется такое т, что
k{i)~lxn^ G Ет для всех г (следствие 2.7.9); последнее
противоречит тому, что п(г) —> оо.
4.3.7. Замечание. Выше обсуждалась возможность
получить обычную непрерывность из довольно слабых в ненормируе-
мых пространствах видов дифференцируемости; неудивительно,
что это возможно не всегда. Однако положение изменится, если
ослабить понятие непрерывности. Пусть дан некоторый класс А
ограниченных множеств в топологическом векторном
пространстве X. Последовательность {хп} назовем Л-сходящейся к ж, если

4.4. Дифференцируемость и непрерывность по подпространству 347
есть такая последовательность чисел tn —> 0, что (хп — x)/tn Ε А
Л
для некоторого Л £ Л. Обозначение: хп —> х.
Например, сходимость по Макки из определения 2.10.17
соответствует выбору в качестве А класса всех банаховых дисков
(см. лемму 2.10.18). В метризуемом пространстве обычная
сходимость равносильна Л-сходимости для всякой системы Л,
содержащей все компакты (это верно и для более широкого класса
пространств, удовлетворяющих условию сходимости Макки,
упомянутому на с. 342). В общем случае из Л-сходимости очевидно
следует сходимость в топологии X.
Отображение /из!в локально выпуклое пространство Υ
назовем Л-непрерывным в хо, если f(xn) —> f(xo) при хп —> хо.
Для пространств с условием сходимости Макки Л-непрерывность
равносильна секвенциальной непрерывности, если s С Л. Если
бесконечномерное гильбертово пространство наделить слабой
топологией, то функция f(x) = (χ, χ) будет в ней разрывна, но зато
Л-непрерывна для класса Л всех ограниченных множеств.
Из Л-дифференцируемости / в xq следует Л-непрерывность
в этой точке. В самом деле^ считая, что xq = 0 и f(xo) = 0, при
hn -> 0 получаем f(hn) = f(tnhn/tn) = f(0)(tnhn/tn) + r(tnhn/tn)
для соответствующих tn —> 0 с hn/tn Ε Л, где A Ε Л. Так как
/'(О) Ε CA(X,Y), то получаем f(hn) -> 0.
Для открытого множества U С Ε по индукции вводятся
классы Сд(?7, G) отображений, η-кратно Л-дифференцируемых в U
и имеющих Л-непрерывные производные. Например, C\{U,G)
состоит из Л-дифференцируемых отображений /, для которых
Л-непрерывно отображение ж ь> /'(ж) из U в C^(E^G). Тогда
/ е C%(U, G), если / е C\{U, G) и /' € θχ\ϋ, Ln-X).
Для нормированных пространства и класса Л = Ь это
приводит к обычному классу отображений Cn(C/, G), имеющих η
непрерывных производных Фреше.
4.4. Дифференцируемость и непрерывность по
подпространству
Пусть Eq — векторное пространство, Ε и G — топологические
векторные пространства, причем Ε — векторное подпространство
в пространстве Eq.

348
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.4.1. Определение. Отображение f:EQ-^>G будем
называть непрерывным в точке χ Ε Е$ по подпространству Ε
{или Ε-непрерывным), если отображение h \—> f(x + h) из Ε в G
непрерывно в нуле. Аналогичная терминология вводится для
секвенциальной непрерывности.
4.4.2. Определение. Отображение f': Eq —> G будем
называть σ-непрерывным в точке χ Ε Е$ по подпространству Ε
{короче, σ Ε-непрерывным в х), если для всякого В Ε σ мы имеем
f(x + th) —> f(x) при t —> 0 равномерно по h Ε В.
Если Ε = Ео, то вместо термина «σΕ^-непрерывность» будем
использовать термин «σ-непрерывность».
Отметим, что σ ^-непрерывность в точке χ Ε Е$ равносильна
непрерывности в точке t = 0 отображения t \—> [h ι—> f(x + th)],
IR —> Ta(E,G). Используя язык теории псевдотопологических
пространств, можно переформулировать аналогичным образом
и определение 4.4.1; об этом будет сказано ниже.
Определения 4.4.1 и 4.4.2 фактически носят локальный
характер и могут быть легко переформулированы для отображений,
определенных на множестве V + ж, где V С Ε — окрестность
нуля. Отметим еще, что отображения, σ-непрерывные в данной
точке, образуют векторное пространство, и что то же верно и для
отображений, σΕ^-непрерывных в данной точке.
Следующие утверждения — аналоги результатов, полученных
выше для дифференцируемых отображений.
4.4.3. Предложение. Чтобы отображение /: Е$ —> G
было Ε-непрерывным в точке χ Ε Е$, необходимо и достаточно
выполнение следующего условия: каковы бы ни были множество
В е σ, последовательность {hn} его элементов и
сходящаяся к нулю последовательность вещественных чисел {tn}, при
η —> оо имеет место сходимость f(x + tnhn) —> f(x) в G.
Доказательство совершенно аналогично доказательству
предложения 4.3.1.
АЛЛ. Предложение, (i) Всякое секвенциально
непрерывное отображение Ε в G σ-непрерывно. (и) Всякое Е-непрерывное
отображение Eq в G σ Ε-непрерывно, (iii) Всякое ограниченное
линейное отображение Ε в G σ-непрерывно.
Справедливость всех этих утверждений немедленно вытекает
из определений (для доказательства (и) надо еще заметить, что
непрерывность влечет секвенциальную непрерывность).

4.4. Дифференцируемость и непрерывность по подпространству 349
Непосредственным следствием определений является также
такой факт.
4.4.5. Предложение. Всякое σΕ-дифференцируемое в
некоторой точке отображение /: Е$ —> G является в этой точке
σ Ε-непрерывным.
4.4.6. Предложение. Если dimG > 0, то все sE-непрерыв-
ные в данной точке отображения из Ео в G являются Е-секвен-
циально непрерывными в этой точке в точности тогда, когда
Ε удовлетворяет условию (Αι) из предложения 4.3.1.
Доказательство этого предложения аналогично
доказательству предложения 4.3.1.
АЛЛ. Теорема. Если dimG > 0 и σ D af, то для
того, чтобы всякое σ Ε-непрерывное в данной точке отображение
из Ео в G было Ε-непрерывным в этой точке, необходимо и
достаточно, чтобы Ε было пространством Фреше-Урысона.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 4.3.5.
Приведем один связанный с непрерывностью результат
о дифференцируемое™ обратного отображения.
Дополнительные замечания будут сделаны в последнем параграфе главы. Для
произвольных топологических векторных пространств теорема
о существовании (локального) отображения, обратного к
дифференцируемому, и теорема о дифференцируемое™ обратного
отображения просто неверны (для введенных определений
дифференцируемое™); соответствующие примеры будут приведены
в дальнейшем. Здесь мы приведем одно простое утверждение,
основным достоинством которого является то, что оно
справедливо для всех топологических векторных пространств.
Пусть Ε — топологическое векторное пространство, σ —
некоторая система его ограниченных подмножеств, содержащая все
одноточечные множества. Отображение g: E-+E будем называть
сильно σ-непрерывным в точке χ Ε Ε, если для всяких
множества BGa, сходящейся к нулю последовательности
вещественных чисел {tn} и последовательности {hn} С В найдется такое
множество Ρ Ε σ, что д(х + tnhn) G д(х) + tnP. Если σ D af, то
всякое σ-дифференцируемое в точке χ G Ε отображение сильно
σ-непрерывно в этой точке; кроме того, сильная σ-непрерывность
влечет σ-непрерывность. Однако даже для пространства Ε = IR
сильная σ-непрерывность не вытекает из непрерывности.
4.4.8. Теорема. Пусть д — взаимно однозначное
отображение открытого подмножества V топологического векторного

350
Глава 4. Дифференциальное исчисление
пространства Ε на открытое подмножество W того сисе
пространства. Предположим, что отображение g
о-дифференцируемо в точке χ Ε V, причем д'(х) — линейный гомеоморфизм
пространства Е, и что обратное к д отображение д~1 сильно
σ-непрерывно в точке ζ = д{х). Тогда отображение g~l
о-дифференцируемо в точке ζ и (g~1)/(z) = (</(#))
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что χ = ζ = 0 и что gr{x) — тождественное отображение.
Таким образом, g(h) =h + r(h), причем г е 1Ζσ(Ε,Ε). Положим
g~l(p) = p + s(p). Нам надо показать, что s e ΤΖσ(Ε, Ε). Ясно, что
s(p) = -г{9(р))· Пусть Q е σ, рп eQ,tn е К, tn φ О, tn —> О. Так
как отображение g~l сильно σ-непрерывно в нуле, то найдется
такое ΒΕσ, что t~lg~l(tnpn) Ε В для всех η и, следовательно,
t~ls{tnpn) = -t~lr{tn{t~lg(tnpn))) —> 0 при η —> 0. Это и значит,
что s еПа(Е,Е). D
4.4.9. Замечание. Если σ = σ^ и Ε — нормированное
пространство, то в формулировке теоремы требование сильной
σ-непрерывности отображения g~l можно заменить требованием
его непрерывности. В общем случае, как мы увидим в §4.10(i),
это сделать нельзя.
Отметим еще, что выполнение условий теоремы не влечет
непрерывность отображения д.
4.4.10. Пример. Пусть, как и в примере 4.2.19,
Xmk(t) = τη~ιφ{ί) + fc~V(* - m)> Ψ e V, φ Φ 0, га, к G IN, t G IR,
Пусть отображение Φ: V —> V определяется так: Ф(хтк) = zmk,
Ф&тк) — хтк-> Ф(#) = х в остальных точках. Тогда Φ взаимно
однозначно отображает РнаР, причем Φ и Φ-1
σ&-дифференцируемы в нуле и разрывны в нуле.
4.5. Производная композиции
В этом параграфе для каждого топологического векторного
пространства Ε символ сг(Е) обозначает некоторое множество
его ограниченных подмножеств, содержащее все конечные
подмножества, и ε — некоторый класс топологических векторных
пространств. Будем говорить, что в классе £ справедливо цепное

4.5. Производная композиции
351
правило для σ-производных п-го порядка, если выполнено
следующее условие: каковы бы ни были Е, G, F Ε £, η раз
σ-дифференцируемое в точке χ Ε Ε отображение /: Ε —> G и η раз
σ(0)-дифференцируемое в точке f(x) отображение д: G —> F,
композиция до/: Ε -^ F η раз а(£?)-дифференцируема в
точке ж. Далее вместо символа σ{Ε) обычно используется символ σ.
Тема о композициях продолжена в § 4.9, где рассмотрена
обратная задача установления дифференцируемости отображения
через дифференцируемость его композиций (слева или справа).
(i) Производные первого порядка
Прежде чем перейти к более специальным утверждениям,
приведем один результат, относящийся к дифференцируемости
по системе компактных множеств (с требованием
секвенциальной непрерывности производной) и легко проверяемый
непосредственно (см. Богачев, Смолянов [21, теорема 12.2.3]).
4.5.1. Теорема. Пусть Χ, Υ и Ζ — отделимые локально
выпуклые пространства, ty = GoF:X-+Z, где F: X —> Υ и
G: Υ —> Ζ, хо Ε X и уо = F(xq). Предположим, что F и G
с-дифференцируемы в точках хо и уо соответственно, а
оператор F'(xq) переводит компакты в компакты. Тогда Φ тоже
с-дифференцируемо в xq, причем Ф7(жо) = G'(yo)F,(xo).
Аналогичное верно, если оба отображения Ъ-дифференциру-
емы, а оператор F'(xq) переводит ограниченные множества в
ограниченные. Наконец, если F дифференцируемо в xq no Гато,
a G с-дифференцируемо в уо, то Φ дифференцируемо в xq no
Гато, причем справедлива указанная выше формула для Ф7(жо)·
Аналогичное утверждение верно в случае
дифференцируемости по системе секвенциально компактных множеств, поскольку
F'{xq) секвенциально непрерывно (здесь не требуется, чтобы
оператор F'{xq) переводил компакты в компакты).
Композиция дифференцируемых по Гато отображений не
обязана быть дифференцируемой по Гато (задача 4.10.36).
4.5.2. Предложение. Пусть ε — некоторый класс
топологических векторных пространств. Для справедливости цепного
правила для σ-производной первого порядка в классе ε
достаточно выполнения следующих условий:
(а) если Е, G, F е ε, г е Ka{E,G), I Ε C(G,F), то имеет
место включение lor Ε lZa(E,F);

352
Глава 4. Дифференциальное исчисление
(б) если Е, G, F е £, г е lZa(G,F) ив — такое σ-диффе-
ренцируемое в точке 0 отображение Ε —> G, что θ(0) = О, то
roeena(E,F).
Если при этом /: Ε —> G — σ-дифференцируемое в точке
хо е Ε отображение, g: G —> F — σ-дифференцируемое в точке
f(xo) отображение, где E,G,F G ε, то
(gofy(xo) = g'{f(xo))of'(x0)·
Доказательство. Проверим, что если /: Ε —> G,g: G —> F,
причем оба отображения σ-дифференцируемы в нуле
(соответствующего пространства), /(0) = 0, д(0) = 0, то композиция gof
является σ-дифференцируемой в точке 0 Ε Е. При
перечисленных предположениях, если h Ε £?, то
?№))=г'(о)№) + г,(/(Ч) =
= </(0)/'(0)/> + р'(0)г/(/г) + г5(/'(0)/> + rf(h)),
где r9G7?.<T(Gr, F), rf£TZ(T(E,G), поэтому в силу условий (а) и (б)
^-^(Ог/^+г^/'да + г/СЛ))] £Г(£,С).
Последнее утверждение видно из доказательства. D
4.5.3. Замечание. Аналогичные утверждения справедливы
и для σ-производных (вместо непрерывных линейных операторов
рассматриваются секвенциально непрерывные) и Л-производных.
4.5.4. Следствие. Для Ъ-, с-, s-, Ъ- и s-производных первого
порядка цепное правило справедливо в классе всех
топологических векторных пространств.
Доказательство. Проверим, например, выполнение
условий (а) и (б) для Ь-дифференцируемое™. Пусть F, E, G Ε £,
г Ε Kb(E,G), I Ε C(G,F), Q Ε σξ, {hn} с Q, {tn} - сходящаяся
к нулю последовательность ненулевых чисел. Тогда
t-l[l(r(tnhn))] = l^ritnK)) - 0
при η —> 0, так что lor Ε lZb(E,F). Если еще θ —
b-дифференцируемое отображение Ε в G, причем 0(0) = 0, г Ε lZb(G, F),
{К} С Q Ε σξ, то θ = А + Г0, А Ε С{Е, G), τθ Ε ПЬ{Е, G) и
t-lr(e{tnhn)) = t-lr[tn(Ahn + t-lre{tnhn))} -> 0,
ибо {A/in} Ε af и t-lre(tnhn) -> 0. Итак, ro0 Ε TZb(E,G). D

4.5. Производная композиции
353
Отметим, что в списке нет с-производной из-за того, что образ
компакта при секвенциально непрерывном операторе может быть
некомпактным.
(ii) Производные высших порядков. Случай
произвольных топологических векторных пространств
4.5.5. Лемма. Пусть Е, F, G — топологические
векторные пространства, t]eg и VGF ~ некоторые множества
ограниченных подмножеств пространств Ca{E,G) и Ca{G,F)
соответственно и η — множество всех подмножеств пространства
£a(E,G)xCa(G,F), каждое из которых содержится в
некотором (зависящем от рассматриваемого подмножества)
множестве вида С\ хС2, где С\ Ε t\eGj C2 Ε VGF- Предположим
далее, что для любых множеств Ceg Ε Veg, С Ε σ(Ε) и
отображения g Ε Ca(E,G) справедливы включения Ceg(C) Ε &(G),
g(C) E c(G). Тогда отображение
ф: (/i,/2)~/2o/b Ca(E,G)x£„(G,F) ^Ca(E,F)
σ-дифференцируемо в каждой точке и для всех (/ι,/г), (<7ъ<72)
из Са(Е, G) χ Ca(G, F) верно равенство
^'(/ьЛХяъЯг) = Ψ(ίι,92)+Ψ(92,ίι) =92°fi + f2°9i·
Доказательство. Так как
Ψ{ίΐ+9ΐ,ί2+92) =Ψ{ίΐ,ί2)+Ψ(ίΐ,92)+Ψ(9ΐ,ί2)+Ψ(9ΐ,92),
то достаточно показать, что при фиксированных f\ и /2 линейное
отображение
Φι: (9i,92) »(92ofi + f2ogi), Ca(E,G)xCa(G,F) -+Ca(E,F)
секвенциально непрерывно, а отображение
Ψ- (9i,92) »92ogi, £a(E,G)xZa(G,F) -+Za(E,F)
является 77-малым. Чтобы доказать секвенциальную
непрерывность Φχ, мы покажем, что секвенциально непрерывны
отображения _ _
Ф2: 92»92ofu Ca(G,F)^Ca(E,F),
Фз_: 9i»f2ogi, Ca(E,G)^Ca(E,F).
Пусть ψη —>0 в Ca(G, F). Для обоснования сходимости Фг^п) ~~> О
в Ca(E,F) достаточно проверить, что если Q Ε сг(Е) и {hn} С Q,
то Ф2 (^п)(^п) —^ 0 в F (предложение 4.1.5). Поскольку при этих

354
Глава 4. Дифференциальное исчисление
условиях {fi(hn)} e cr(G), причем φη —> 0 в Ca(G,F), то имеем
Ф2(^п)(^п) — ψη{ίι{^η)) —> 0 в F (предложение 4.1.5). Таким
образом, секвенциальная непрерывность Φ 2 доказана.
Далее, если ηη —► 0 в Ca(E,G) и {/ιη} С В е σ(Ε), то,
снова в силу предложения 4.1.5, мы имеем ηη{Ηη) —> 0 в G, откуда
Фз(7п)(^п) — /2(7п(^п)) -^ Ов F ввиду секвенциальной
непрерывности /2· Поэтому Фз(7п) —> 0 в Ca(E,F) (мы опять
воспользовались все тем же предложением); тем самым секвенциальная
непрерывность Φ χ доказана.
Для доказательства включения
достаточно показать, что если {ηη, φη} — последовательность
элементов некоторого множества из системы 77, {tn} —
последовательность отличных от нуля вещественных чисел, то ίηφηοηη —> О
в Ca(E,F), т.е. что ίηφη^η(Ηη)) —> 0 в F для всякой
последовательности {hn} С Q Ε с(Е). Но из указанных в условии
леммы включений и того, что элементы ηη принадлежат одному из
множеств η eg (ибо {(^η-,ψπ)} содержится в одном из множеств
системы 7у), следует, что элементы 7п(^п) содержатся в одном
из множеств системы &(G). Так как элементы ψη принадлежат
одному из множеств системы ηοΕ и потому последовательность
{ψπ} ограничена в Ca(G, F), то последовательность {φη(Ίπ{^η))}
ограничена в F, значит, ίηφη^η(Ηη)) —> 0 в F. D
4.5.6. Замечание. Справедливо также и предложение,
получаемое заменой в формулировке леммы всех символов £σ(·)
символами Са( ·). Мы оставляем доказательство этого
утверждения в качестве упражнения.
4.5.7. Предложение. Для Ь-, с-, s-, Ъ- и s-производных
второго порядка цепное правило справедливо в классе всех
топологических векторных пространств.
Доказательство. Пусть /: Ε —> Gng: G —> F — два
отображения, причем для определенности / дважды
Ь-дифференцируемо в точке χ Ε Е, a g дважды Ъ-дифференцируемо в f{x).
Значит, один раз Ъ-дифференцируемо в χ отображение χ ι—> /7(р(ж)),
Ε —> Ca(G,F) (как композиция двух дифференцируемых в
соответствующих точках отображений — отображения χ ι—> g(x),

4.5. Производная композиции
355
Ε —> G и отображения г ι-> /'(ζ), G —> Ca(G,F)). Так как
отображение ж ι—> д'{х), Ε —> Ca(E,G) также дифференцируемо
в ж (ибо д дважды дифференцируемо в ж), то дифференцируемо
и отображение
x"(f'{g(x)),9'(x)), E^£„(G,F)xC„(E,G) (4.5.1)
(это вытекает из задачи 4.10.34, но может быть проверено и
непосредственно). Отображение χ \—> f'(g{x))°gr{x), Ε —> Ca(E,F),
т. е. производная отображения fog, является композицией
отображения (4.5.1) и отображения, дифференцируемость которого
доказана в лемме 4.5.5. Поэтому в силу предложения 4.5.2 это
отображение также дифференцируемо в χ и его производная
определяется равенством
(fog)"(x) =
= [Λι -► [h2 ~ f"(g(x))g'(x)hig'(x)h2 + /'(д(х))д"(х)кф2]].
Для остальных дифференцируемостей, упомянутых в
формулировке, доказательство совершенно аналогично. D
4.5.8. Лемма. Пусть Е, G, F — топологические векторные
пространства, причем пространство G удовлетворяет условию
(Αχ) из предложения 4.3.1. Тогда отображение φ из леммы 4.5.5
бесконечно Ъ-дифференцируемо.
Доказательство. В силу леммы 4.5.5 достаточно
установить, что линейное отображение
<//: Cb(E,G)xCb(G,F) - Cb{Cb(E,G)xCb(G,F),Cb(E,F)),
(/ь/2) ■-► [(5ь52) ■-► 52θ/ι + /2051]
секвенциально непрерывно. Пусть {φη} и {ηη} —
последовательности элементов пространств Cb(E,G) и Cb(G,F), сходящиеся
к нулю в этих пространствах; нам нужно доказать, что
последовательность отображений [(#ь 52) ·—> 520<£ι+7η05ι] сходится к нулю
в пространстве Cb(Cb(E,G)x£b(G,F),£b(E,F)). Для этого снова
воспользуемся предложением 4.1.5. Пусть {ап} и {χη} —
ограниченные последовательности в пространствах Cb(E, G) и Cb(G, F)\
достаточно показать, что тогда последовательность ΧηΡψη + Ί'ηΡ&η

356
Глава 4. Дифференциальное исчисление
элементов пространства Cb(E,F) сходится к нулю в этом
пространстве, для чего, в свою очередь, достаточно доказать, что
если {hn} — ограниченная последовательность в Е, то
Χη{ψη{Κ)) + ln{oLn(hn)) -> 0 в F.
Из ограниченности {ап} и {hn} вытекает, что последовательность
{an(hn)} ограничена в G. Поэтому ввиду соотношения ηη —> О
в Cb(G,F) мы имеем ηη
Таким образом, осталось показать, что Xn(^n(^n)) —> 0 в F.
Если это не так, то найдется подпоследовательность последней
последовательности, не содержащая никакой сходящейся
подпоследовательности, и мы сейчас приведем это заключение к
противоречию. В силу условия (Αι) из предложения 4.3.1 и
сходимости φη(Ηη) —> 0 в G для всякой подпоследовательности {rij}
последовательности натуральных чисел существуют еще более
редкая подпоследовательность {п^)} и последовательность {U}
ненулевых вещественных чисел с тем свойством, что U —> оо, но
ич>п-и\ (^п-(г)) —> 0. Тогда в F ограничена последовательность
элементов Xni(i)(*i^ni(i)(^ni(i))). Следовательно,
Х»;со (Ч>пщ) (4(0)) = ^1 (хпт {U<Pnm (Kj{i)))) -> 0,
что дает искомое противоречие. D
4.5.9. Лемма. .Бели Е, G, F — топологические векторные
пространства, то отображение
ф: Cs(E,G)xCs(G,F) ^CS(E,F), (/ь/2)->/2ο/ι
бесконечно s-дифференцируемо.
Доказательство совершенно аналогично доказательству
предыдущей леммы.
4.5.10. Замечание. Любопытно, что естественные аналоги
двух последних лемм для Ь- и s-дифференцируемых отображений
неверны.
4.5.11. Теорема. В классе всех топологических векторных
пространств цепное правило справедливо для с-производных
произвольного порядка. В классе топологических векторных
пространств, удовлетворяющих условию (Αι) предложения 4.3.1,
цепное правило справедливо для Ъ-производных произвольного
порядка.

4.5. Производная композиции
357
Доказательство. Эти утверждения выводятся с помощью
стандартного рассуждения из следствия 4.5.4 и лемм 4.5.8 и 4.5.9.
Докажем, например, второе.
Пусть Е, G, F — топологические векторные пространства,
причем G удовлетворяет условию (Αχ), / — η раз
Ъ-дифференцируемое в точке хо отображение Ε в G, д — η раз
Ь-дифференцируемое в точке f(xo) отображение G в F; покажем, что тогда
композиция gof является η раз Ь-дифференцируемой в точке xq.
В силу следствия 4.5.4 композиция gof один раз
Ь-дифференцируема в точке хо. Поэтому можно воспользоваться индукцией
по п. Пусть η > 1 и отображение χ \—> g'(f(x)) из Ε в Cb(G,F)
b-дифференцируемо в этой точке η — 1 раз. Так как это, конечно,
верно и для отображения χ ι—> f'(x) из Ε в Сь(Е, G), то η — 1 раз
Ъ-дифференцируемо в точке х$ и отображение
x^(f'(x),g'{f(x))), E^£b(E,G)xCb(G,F).
Поскольку по лемме 4.5.8 отображение ψ взятия композиции
всюду бесконечно дифференцируемо,_то по предположению
индукции отсюда следует, что η — 1 раз Ъ-дифференцируемо в точке xq
отображение χ ι—> g'(f(x))0f'(x), Ε —> £&(£?, F), являющееся —
там, где оно определено — первой Ь-производной отображения
х |—> d{f(x))i Ε —> F. Это и означает, что последнее отображение
η раз Ь-дифференцируемо в х$. D
Из наших рассуждений вытекает такой факт.
4.5.12. Следствие. Пусть Е, G, F — топологические
векторные пространства, причем G удовлетворяет условию (Αι),
а Е — следующему условию:
(А2) все секвенциально непрерывные отображения из Ε во
все топологические векторные пространства непрерывны.
Если отображение f:E—>G является η раз Ъ-дифференци-
руемым в точке х$, а отображение g: G —> F является η раз
Ъ-дифференцируемым в точке f(xo), то композиция gof
оказывается η раз Ъ-дифференцируемой в х$. Аналогичное утверждение
справедливо и для с-производных.
Нам неизвестно, справедливо ли цепное правило для Ь-, Ъ-
и s-производных в классе всех топологических векторных
пространств; в классе всех локально выпуклых пространств, как
будет показано в следующем пункте, во всех этих случаях оно все
же справедливо.

358
Глава 4. Дифференциальное исчисление
(iii) Производные высших порядков. Пространства,
обладающие достаточным запасом линейных
непрерывных функционалов
Если Е, F и G — топологические векторные пространства,
I Ε £(G, F), то для каждого η Ε IN через Щ обозначается
линейное отображение пространства Ca(E,G) в Ca(E,F),
определяемое так: если feC^(E, G) и х\,..., хпеЕ, то
(С(Я)(яь ..., яп) = *(/(*ъ ..., жп)).
Кроме того, мы полагаем I® = I.
Далее, если Ε и G — топологические векторные
пространства и η G IN, то через B™(E,G) обозначается наделенное
индуцированной топологией подпространство пространства £a(E,G),
состоящее из тех отображений, которым соответствуют — при
каноническом вложении этого пространства в пространство всех
п-линейных отображений Ex.. .χΕ в G — симметричные
отображения. Таким образом, Φ Ε B™(E,G) в том и только том случае,
если Φ е ~C%(E,G) и Ф(хь ... ,хп) = Φ(ζ5(ΐ),... ,х8(п)) Для вся"
кой перестановки s чисел {1,2,... , п}. Кроме того, мы полагаем
B°(E,G)=^(E,G) = G.
4.5.13. Лемма. Если η Ε IN и д — η раз σ-дифференцируемое
в точке хо Ε Ε отображение Ε в G, то для всякого I Ε £(G, F)
композиция log таксисе η раз σ-дифференцируема в xq, причем
(^)^Ы = С(</(п)Ы).
Справедливость этой леммы проверяется непосредственно.
Аналогичное утверждение справедливо и для
σ-дифференцируемых отображений.
4.5.14. Предложение. Пусть Ε — топологическое
векторное пространство, G — локально выпуклое пространство,
причем система σ{Ε) включает класс тех ограниченных
подмножеств пространства Е, которые содержатся в
конечномерных подпространствах Е. Если g — η раз σ-дифференцируемое
в точке хо Ε Ε отображение Ε в G, то
gtn\xo)el%(E,G).

4.5. Производная композиции
359
Доказательство. Мы можем считать, что хо = 0. Пусть
/ii,...,/in Ε Ε, д — сужение д на порожденное /ΐχ,...,/ιη
подпространство Еп С Ε и / G £(G, IR). В силу предыдущей
леммы композиция log представляет собой вещественную функцию,
определенную на конечномерном пространстве и η раз
σ-дифференцируемую, т.е. дифференцируемую в классическом смысле.
Поэтому по соответствующей классической теореме
(Jo0)W(O)(fci,... ,К) = (l°9)in40)(hs(i),- · · А(„)) (4-5.2)
для любой перестановки s чисел 1,2, ...п. В самом деле^ если
ψ: IRn —> IR определено равенством ψ(ίι,..., tn) = l(g Y27=i ^гЫ),
то, как это вытекает из определения σ-дифференцируемое™, это
отображение η раз дифференцируемо в классическом смысле,
причем
дпф(0) дпф(0)
dti... dtn 5ts(i)... 5ts(n)'
Левая часть последнего равенства совпадает с левой частью
равенства (4.5.2), а правая — с правой частью (4.5.2) (это
снова непосредственно вытекает из определения
σ-дифференцируемое™). Из (4.5.2) в силу предыдущей леммы следует, что
l(g^(0)(h1,...,hn))=l(g^(0)(hs{1),...,hs{n))).
Так как I — произвольный элемент £(G, К), то
^)(0)(^,...,Μ=5(η)(0)(^(ΐ),...,^(„))
по теореме Хана-Банаха. D
4.5.15. Замечание. Аналог доказанного предложения с тем
же доказательством верен и для σ-дифференцируемых
отображений. Предложение останется справедливым, если требование
локальной выпуклости пространства G заменить более слабым
требованием существования разделяющего точки пространства G
множества непрерывных линейных функционалов на G.
4.5.16. Лемма. Пусть Е, G, F — топологические
векторные пространства, причем пространство F локально выпукло,
k Ε IN, ηο,ηι,..., rife — такие неотрицательные целые числа,
что щ-\ \-rik = Щ. Предположим, что выполнено следующее
условие:

360
Глава 4. Дифференциальное исчисление
(А3) если Ai € a(££(E,G)), A\ e σ{Ε),...,Αηβ € σ(Ε) при
всех г G {1,2,..., Л}, Ь € C^(E,G), то А\А1Е,... ,Αηβ) G σ(£),
Ь(4 ^)6^(G)·
Пусть, наконец,
/J={B|Vie{0,l,...,fc} ]Α*€σΡ(£,(?)),
j4o€*(B*(G,F)): ВсА0хЦА1}.
г=0
Если щ = 0, то считаем, что Аг(А1Е,..., А7^) = Аг, bUi (·) = bni;
используются и другие аналогичные соотношения. Тогда отоб-
ражепие s: Bk„(G,F)xY[k=0T;{E,G) -> B?>{E,F),
s: (b,bn\...,bnk)^ [(xi,...,s„)->
ι—> 0^0 (Χι, - · · ι ХП\ )i ν (Xni+i, . . . , ХП1+П2 J, . . .
. ..,6 (#щН \-rik-i+l,...,Xnk))\
β-дифференцируемо в каждой точке, причем значение его
производной в точке (bi,^1,... ,b^fc) представляет собой
отображение
вЧЬьб?1,...,^*): φ2,ογ,...,ογ)~8φ2,%\...,οΐη+
+ 8(Ь1,Ь?,...,Ь?) + --- + 8(Ь1,Ь?,...,Ь?).
Доказательство. Покажем прежде всего, что для всякого
г е {1, 2,..., к} при фиксированных Ьь b™1,..., Ь^"1, bj<+1,..., Щ*
секвенциально непрерывно отображение
8\: bn2i^s(bl,bnl\...,bnli-\bn2iXli+l...,bnlk),
rj(E,G)^C^(E,F). _^
Пусть последовательность {φΓ} в пространстве Cal(E,G)
сходится к нулю. Покажем, что тогда в пространстве Ca{E,F) сходится
к нулю последовательность s^(bi, Щ1,..., φτι..., b™fc), т. е. что
s'i(b1,br{\...,cpr,...,b7tk)(a1r,a2r,...,a?)^0 (4.5.3)
в F для каждого j Ε {1,2, ...,η}, {α^} С Q Ε σ(£?).
Воспользовавшись симметричностью 6χ, можно переписать выражение

4.5. Производная композиции
361
в (4.5.3) следующим образом:
...,bifc(a?1+-+nfc+1,...,a?).
Поскольку у>г(а?1+"' Пг_1+ ?... , а™1+'"+гч) —> 0 в G и, кроме
того, для каждого г последовательность Ъ™г{') является элементом
некоторого множества из σ(<7), соотношение (4.5.3)
действительно справедливо.
Покажем, что при любых фиксированных Ь™1,Ь™2,..., Ъ™к
отображение s'0: Ь2 ^ 5(62,6^,...,6?fc), Bka{G,F) -> Bka{E,F)
секвенциально непрерывно. Если последовательность {gr} в
пространстве Bk(G, F) сходится к нулю и для каждого г = 1, 2,..., η
дана последовательность {αφ} С Е, содержащаяся в некотором
множестве из σ(Ε), то
дг{Ъ?(с£,...,а?Ч,...,Ъ?№+"^+1,...,<$))-+О
в F, поскольку по условию леммы для каждого г
последовательность Ь™*(...) содержится в одном из множеств системы cr(G).
Это и означает, что отображение s'0 секвенциально непрерывно.
Из секвенциальной непрерывности отображений s'^ г < /с,
вытекает, что непрерывно и отображение Σΐ=ο si'·* таким образом,
для окончания доказательства леммы осталось установить, что
при фиксированных 6χ, Ь™1, Ь™2,..., Ь™к отображение пространства
B*{G,F)xUl[=1££{E,G) в B%(E,F), значение которого на
элементе (р2, &2* 5 Щ2 > · · · > ^2fc ) Равн0
-*(δι,6^6^...,6?*)-β(δι,6^ν..,6?*)
-«(Ьх.ьГ^Г.···^)-^,^1,..·,^),
является /3-малым. Описанное отображение представляет собой
сумму конечного числа отображений вида
(Ь2,Ь^,...Щк)^з(Ь1,р1,...Рк) (4.5.4)
ИЛИ
(b2,b^,...b^)^s(b2,Pl,...pk), (4.5.5)

362
Глава 4. Дифференциальное исчисление
где pi = b%{ или Ρί — Щ1, причем в случае (4.5.4) последнее
равенство справедливо не менее чем для двух значений индекса г,
а в случае (4.5.5) — не менее чем для одного. Таким образом,
остается установить, что /3-малыми являются отображения (4.5.4)
и (4.5.5). Но доказательство этого совершенно аналогично
только что проведенному доказательству секвенциальной
непрерывности отображений Sq, s71? ..., s'k. D
4.5.17. Лемма. Пусть Ε, G, F, к, щ — те сисе, что и в
предыдущей лемме, для г = О,1,... к отображение fi: Ε —> G
является щ + 1 раз Ъ-дифференцируемым в точке xq Ε Е,
отображение g: G —> F является к + 1 раз Ъ-дифференцируемым
в точке fo(xo)· Тогда отображение
Ф: x~[(h1,...,hn)^gW(fo(x))(fini\x)(h1,...,hni),...
•••■>fk k (x)(hn1+n2+-+nk-1+i,■ ■ ■ ,hnk))\
из Е в В%(Е, F) является Ъ-дифференцируемым в точке xq,
причем, если h е Ε, то
4>'{xQ)h = [(hi,...,hn)~
" 9{k+1) (/оЫ) (10ЫК /[П1)(хо)(Ы, ...,hni),...
•••ifk k (xo)(hni+n2+-+nk-1+i, ■ ■ ■ ,hnk)) +
+ 9{k){fo(xo)){flni+1\xo)(h,h1,...,hni),...
"">fк Oro)(^ni+n2+--+nfc_i+b · · · 5 hnk)) H
••• + jw(/oM(/ini)W(/ii,..A1),·.
' · · -> fk k (xo)(h, Л711+П2Ч—-H-rifc-i+li · · · 5 ^nk)\ ·
Это вытекает из леммы 4.5.16, предложения 4.5.14 и
следствия 4.5.4.
4.5.18. Теорема. Пусть Е, G, F — топологические
векторные пространства, причем F локально выпукло, f —
отображение Ε в G, η раз Ъ-дифференцируемое в точке хо Ε Е, g —
отображение G в F, η раз Ъ-дифференцируемое в точке f(xo)- Тогда
композиция gof является η раз Ъ-дифференцируемой в точке xq,

4.5. Производная композиции
363
причем справедливо равенство
(9°f)in)(xo)(hi,...,hn) =
= ЕЕ^)(/Ы)(/(Г1)Ы(Ц,...,^1),·..
fc=l
...,f^\x0)(hik hikr )), (4.5.6)
1 rk
где внутренняя сумма берется по всем разбиениям множества
{/ii,..., /ιη} на к непересекающихся множеств {h^,..., h^ }, ...,
{/ι·*,..., h{k }, причем п-\ \-rk = n, rj > Q, г{ <г32 < · · · <iJrj,
j = 1,2,..., Л, г\ <г\ <··· <г\.
Доказательство. Для η = 1 это верно по следствию 4.5.4.
Возможность перехода от η κ η + 1 для Ъ- и s-производных
вытекает из леммы 4.5.17. Из справедливости этой теоремы для
Ь- и s-производных вытекает, что она справедлива также и для
Ь- и s-производных. Аналогичные утверждения верны в случаях
fe-, s- и s-дифференцируемостей. D
4.5.19. Замечание. Во всех предыдущих предложениях
требование локальной выпуклости пространства F можно заменить
требованием существования разделяющего точки пространства
F множества непрерывных линейных функционалов на F.
Равенство (4.5.6) при Ε = F = G = К1 переходит в известную
формулу Фаа де Бруно.
4.5.20. Предложение. Пусть φ — непрерывное билинейное-
отображение произведения E\xE2 двух топологических
векторных пространств в топологическое векторное пространство F
и для г = 1,2 отображение g{\ G —> Е{ η раз
σ-дифференцируемо в точке xq Ε G. Тогда отображение f: x \—> <p(gi(x),g2(x)),
G —> F является п раз σ-дифференцируемым в точке х$ Ε G и
fin)(xo)(h1,...,hn) =
= J2(p(9ikl\xo)(hil,..., hiki ),g(22\xo){hjl,..., hjk2)),
где сумма берется по всем разбиениям множества {/ΐχ,..., hn}
на два дизъюнктных множества {h^,..., hik } и {hjx,..., hjk },
где k\ + k2 = η, i\ < · · · < ikl, ji < · · · < jk2-

364
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Справедливость этого предложения доказывается индукцией
по порядку дифференцируемости п.
4.6. Теорема о среднем
Отображение / части V вещественной прямой в
топологическое векторное пространство G называется дифференцируемым
справа в точке xq GT, если точка xq принадлежит замыканию
множества V Π (жо? оо) и если существует конечный предел
этот предел обозначается через f+(xo) и называется правой
производной отображения / в точке х$. Аналогично определяются
дифференцируемость слева и левая производная.
4.6.1. Теорема. Пусть S — не более чем счетное
подмножество отрезка [a,b], G — локально выпуклое пространство,
В — его выпуклое замкнутое подмножество, /: [а, Ь] —> G —
непрерывное отображение ид— непрерывная неубывающая
вещественная функция на [а, Ь], причем в каждой точке t Ε [α, b]\S
функции fug дифференцируемы справа и верно включение
f'+(t)€g'+(t)B. (4.6.1)
Тогда
f(a)-f(b)e(g(b)-g(a))B. (4.6.2)
Эта теорема вытекает (как будет показано ниже) из
следующей леммы.
4.6.2. Лемма. Пусть a, b и S — те же, что и в теореме,
(риф — непрерывные вещественные функции на [а,Ь],
дифференцируемые справа в каждой точке из [a, b]\S. Предположим, что
функция ψ возрастает и в каждой точке t Ε [α, b]\S справедливо
неравенство r'+(t) < $+(£). Тогда r(b) — г (а) < s(b) — s(a).
Доказательство. Пусть S = {tn}. Для каждой точки t
из [а, Ь] обозначим через Nt множество всех тех натуральных
чисел п, для которых tn < t. Нам достаточно установить, что для
каждого ε > 0 выполнена оценка
у>(6) - φ{α) < ф(Ь) - ф(а) + ε ^ 2"η + ε(ί - α) + ε. (4.6.3)
neNt

4.6. Теорема о среднем
365
Пусть для некоторого ε > 0 неравенство (4.6.3) неверно. По
непрерывности для всех t Ε [α, Ь], достаточно близких к Ь, имеем
<p(t) - φ{α) > ψ(ί) - ф(а) + ε ^ 2"η + ε(ί - α) + ε. (4.6.4)
neNt
Пусть с — точная нижняя грань множества Τ тех £, для которых
справедливо неравенство (4.6.4). Тогда с <£ Т, ибо в силу
непрерывности обеих функций вместе с каждой точкой t множество Τ
содержит и все достаточно близкие к t точки, расположенные
левее t. Если теперь с Ε 5, то опять в силу непрерывности найдется
такое δ > О, что для каждой точки t отрезка [с, с + δ] справедливо
неравенство
φ{ί) - φ{α) < ф(Ь) - ф(а) + ε J] 2"n + ε(ί - α) + ε.
n£Nt
Это противоречит тому, что с = inf{t: t G Τ}.
Если же с ^ 5, то в точке с обе функции
дифференцируемы справа, причем <р+(с) ^ V*+(c) п0 условию. Следовательно,
существует такое η > 0, что если ί Ε (с, с + ту], то
/ , ν ¥>(*) ~ ¥>(с) ^ , ^(t) - ^(с) ε
*+(с)= i-c "2' ^(С)< t-c "2-
Из последних трех неравенств следует, что
y>(t) - <р{с) < ^(ί) - ^(с) + ε(ί - с).
Так как с ^ Т, то
(^(с) - ^(о) < ^(с) - ^(о) + ε ^ 2"η + ε(ί - α) + ε.
Из последних двух неравенств вытекает, что
<p(t) - φ(α) < φ(ί) - ф(а) + ε ^ 2"η + ε(ί - α) + ε.
η€Νί
Итак, если ί Ε (с, с + г?], то t <£ Τ вопреки определению с. Значит,
неравенство (4.6.3) верно для каждого ε > 0. D
Доказательство теоремы 4.6.1. Если включение (4.6.2)
неверно, то по теореме Хана-Банаха существует такой
непрерывный линейный функционал I на G, что
l{№-№) >supl((g(b)-g(a))z). (4.6.5)
z€B ч '

366
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Положим d = supZ(z), ψ(ί) = dg(t), φ{ί) = Ζ (/(£)). Β силу (4.6.1)
zeB
функции φ и ψ удовлетворяют условиям доказанной выше
леммы, откуда l(f(b) - f(a)) > (g(b) - д(а)) supzeBl(z). Так как
g(b) — д{а) ^ 0, то правая часть последнего неравенства равна
правой части неравенства (4.6.5). Полученное противоречие
доказывает теорему.
4.6.3. Замечание. Конечно, аналогичное утверждение
справедливо и для дифференцируемости слева. Чтобы это показать,
достаточно принять во внимание, что замена аргумента t на —t
переводит функцию, дифференцируемую слева, в функцию,
дифференцируемую справа.
4.6.4. Следствие. (Теорема о среднем) Пусть S — не
более чем счетное подмножество отрезка [а, Ь], G — локально
выпуклое пространство u f: [α, b] —> G — непрерывное
отображение, дифференцируемое в каждой точке множества [a,b]\S.
Тогда
№ - /(а) в conv {/'(0)(Ь - а): θ е (а, b)\S].
Доказательство. Достаточно применить теорему, положив
g(t)=t(b-a) иВ= δδδν{/'(0)(6-α): 9е {a,b)\S}. П
4.6.5. Следствие. Пусть V — открытое связное
множество в топологическом векторном пространстве Ε и f —
отображение V в локально выпуклое пространство G,
дифференцируемое по Гато в каждой точке множества V. Если f'(x) = О
для каждого χ Ε V, то f(x) = с Ε G.
Теоремы о среднем из этого параграфа, несмотря на
тривиальность их обоснований, относятся к важнейшим результатам
теории дифференцирования.
4.7. Формула Тейлора
Сначала рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом
в форме Лагранжа.
4.7.1. Теорема. Пусть S — не более чем счетное
подмножество отрезка [а,Ь], η — целое неотрицательное число, G —
локально выпуклое пространство, f: [α, b] —> G — отображение,

4.7. Формула Тейлора
367
которое η раз дифференцируемо всюду на [а, Ь] ип+1 раз
дифференцируемо в каждой точке множества [a,b]\S, причем
отображение f^ : [α, b] —> G непрерывно. Тогда справедливо
следующее соотношение (называемое формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа):
/(6)-/(а)-Е^(<)(а)(й-а),е
г=1 Ъ-
€c5nv{^-^j/(n+1)((9)(b-o)n+1: 0€{a,b)\s}. (4.7.1)
Доказательство. Для η = 0 наше утверждение совпадает
с теоремой о среднем из предыдущего параграфа. Предположим,
что оно уже доказано для целого η = т ^ 0, и докажем, что
тогда оно справедливо и для η = т + 1. По теореме о среднем
для функции
ί-/(ί)-Σ/'(α)(ί-α)'
• ι г]
г=1
справедливо включение
771+1
€ conv | (/'(α + 9(b - а)) - /'(о)-
-Σ^+1)(α)(0(&-<)(6-α): O<0<l|.
г=1 * '
Далее, по предположению индукции, примененному к функции
/': [а, а + 9(Ъ — а)] —> G, которая удовлетворяет всем нужным
для этого условиям, получаем
т 1
/> + *(Ь - а)) - f'(a) - £ -/(*+*) (а)(0(Ь - а))* G
г=1
€ conv {/(™+2) (а + а0(Ь - а)) (0(6 - а))т+1:
а + а0(Ь - а) $ S, О < а < 1}.

368
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Из двух последних включений находим
m+l .
f(b)-f(a)-J2-if(i4a)(b-aYe
г=1
е conv {/(™+2) (α + а0(Ь - α)) · (0m+1(b - a)m+2) :
а + ав(Ь-а) £ S, 0 < a < 1,0 < 0 < l},
что и требовалось. D
4.7.2. Следствие. Пусть Е — топологическое векторное
пространство, G — локально выпуклое пространство, χ\,χ<ι^Ε,
[#ь#2] — отрезок, соединяющий точки х\, Х2; г — натуральное
число и f — отображение Ε в G, непрерывное в каждой точке
отрезка [х\^Х2] и г раз слабо дифференцируемое в каждой
точке множества (χι,χζ) — [#ъ#2]\{#ь#2}, причем отображение
х ,__> f(n)(x1 — х2), [х\,Х2\ —> G непрерывно. Тогда
п 1
f(x2) - f(xi) - Σ VW(^l)(^2 - ^l) . . . {X2 ~ Xl) e
e eonvj + 1м/(П+1)(:г)(:г2 -Χι)···(χ2 -xi)· x € (xi,X2)}.
Доказательство. Надо применить теорему к отображению
t ^ f(xi + t(x2 - χι)), [0,1] -> G. D
Теперь обратимся к формуле Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано. Доказанная выше формула Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа применима к η + 1 раз
σ-дифференцируемому отображению произвольного
топологического векторного пространства в произвольное локально
выпуклое пространство; при этом свойства «остаточного члена» не
зависят от σ. В противоположность этому свойства остаточного
члена в форме Пеано явно зависят от системы множеств σ; этот
остаточный член представляет собой σ-малое отображение
соответствующего порядка.
4.7.3. Теорема. Пусть отображение g топологического
векторного пространства Ε в локально выпуклое пространство G
является η раз σ-дифференцируемым в точке хо Ε Е. Тогда
существует такое σ-малое отображение г: Ε —> G порядка п,

4.7. Формула Тейлора
369
что для всех h Ε Ε справедливо равенство
9(хо + Л) - д(хо) = Σ ^(0(*о)(Л, · · ·, Л) + г(Л). (4.7.2)
г=1 г* ^^
Доказательство. Заметим, прежде всего, что если η > 1 и
s — отображение Ε в C™~l(E, G), являющееся значением n-й
производной (в некоторой точке) некоторого отображения из Ε в G,
то <£>s: хи s(x,...,#) — σ-малое отображение. Это вытекает из
того, что все пространства £™(E,G) (которым принадлежат
значения производных) — топологические векторные и,
следовательно, в каждом из них каждая окрестность нуля — поглощающее
множество, по этой причине отображение
JR}\{0} 3t^[x^ ί~1φ8(ίχ)] = [x^ ίη~1φ8(χ)], 0 ^ 0
из К1 в Τσ(Ε,ϋ) является непрерывным в нуле.
Покажем теперь, что если s = д^п\хо), то отображение
φ8 : χ ι—> s(x,..., ж), Ε —> G
бесконечно σ-дифференцируемо в каждой точке и для
каждого натурального г ^ η выполнено следующее равенство
(напомним, что в соответствии с принятым соглашением С%(Е, G) = G,
φ8 : х ·—► s(x,..., χ) e G и т. д.):
(<*)(0(*) =
= [(hi,... ,1ц) ι-» n(n— 1) ··· (n — г + l)s(x,... ,x, hi,..., hi)],
(i)
а для каждого натурального г > η имеем φ8' = 0.
Прежде всего, отображение φ8 один раз σ-дифференцируемо,
и для г = 1 справедливо (4.7.2). Действительно, отображение
ψ: h ι—► φ8(χ + /ι) — ¥>s(#) — ns(x,... ,χ, Κ)
представляет собой (ввиду доказанной в предложении 4.5.14
симметричности отображения s) линейную комбинацию с целыми
положительными коэффициентами отображений

370
Глава 4. Дифференциальное исчисление
где к е {2, 3,..., п}; σ-малость каждого из этих отображений
следует из сказанного в самом начале доказательства, поскольку
4(ν = (^n-fc>)(feW(>v^(ev^3),
к п—к
причем отображение
h~(gin-V){k)(x0)(h,...,h), Е^СГк{Е,С)
σ-мало, ибо является производной отображения g(n_fc); тем более
оно является σ-малым как отображение Ε в C7i~k(E,G)
(топология сходимости на множествах системы σ(Ε) мажорирует
топологию поточечной сходимости в пространстве отображений
пространства Ε в произвольное топологическое векторное
пространство). Далее, пусть для некоторого г ^ п — 2 (п > 2) утверждение
об г-кратной σ-дифференцируемое™ отображения ^ио
значении его г-й σ-производной уже доказано. Тогда дифференцируе-
мость отображения φ^ вытекает из уже проведенных
рассуждений, равенства
[(Иъ..., hi) ■-► s(x,...,x,hi,...,hij\ = (#(г))
η—г
и σ-малости отображения, являющегося σ-производной порядка
j > 1 в данной точке некоторого другого отображения. Наконец,
если доказываемое утверждение о дифференциальных свойствах
φ3 уже установлено для г = η — 1, то справедливость его для
всех больших натуральных г вытекает из (4.7.2) и линейности
и непрерывности отображения
h " (р(п-1))'(хо)/», Ε -* СГЧЕ,С).
Таким образом, для каждого номера г Ε {1,2, ...,п}
отображение χ ι—> д^г\хо)(х1... ,х) бесконечно σ-дифференцируемо,
причем все его производные, кроме г-й, равны нулю в точке 0, а г-я
равна г\д^г\хо). Значит, если отображение г: Ε —> G
определяется равенством (4.7.2), то г(0) = 0, г'(0) = 0,...,г^(0) = 0
(символы дифференцирования обозначают σ-производные
соответствующих порядков) и, следовательно, как сейчас будет
показано, г Ε lZna(E,G). Так как для η = 1 это верно по
определению, можно воспользоваться индукцией по п. Пусть η ^ 2,
причем только что сказанное верно для η — 1. Из п-кратной

4.8. Частные производные
371
σ-дифференцируемое™ отображения г в точке 0 вытекает, что
для всех h Ε Ε верно включение
t-nr(th) e cmv{t-(n-VrJ(eth)h: 0 < θ < 1} (4.7.3)
для всех достаточно больших по модулю ненулевых t Ε К1. По
предположению индукции, если {tj} — сходящаяся к нулю
последовательность ненулевых вещественных чисел, {hj} — последо-
вательность элементов множества Q Ε σ, то t- y r,(tjhj) ~~> О
в Ca(E,G). Но отсюда и из включения (4.7.3) вытекает в силу
локальной выпуклости пространства G, что t~lr{tjhj) —> 0 в G,
т.е. что reKna(E,G). D
4.8. Частные производные
Следующая теорема является аналогом классического
утверждения, согласно которому для дифференцируемости
вещественной функции η вещественных переменных в данной точке (в
классическом смысле, т. е. по Фреше) достаточно, чтобы все ее
производные существовали в некоторой окрестности этой точки и были
непрерывны в самой этой точке.
4.8.1. Теорема. Пусть Ε = Ει χ... χ Εη, где Е\,..., Εη —
топологические векторные пространства, β — некоторое
семейство ограниченных подмножеств Е, причем β D σ^η. Для
каждого г Ε {1,2,..., п} обозначим через Д· семейство всех тех
подмножеств Е{, которые являются проекциями на Е{ множеств
из β. Пусть G — векторное пространство, т\ и Т2 — две
локально выпуклые топологии на G, обладающие одинаковым запасом
замкнутых выпуклых множеств.
Если д: Ε —> G является β-дифференцируемым по
подпространству Ει в точке xq как отображение из Ε в (G,т\) и для
г = 1, 2,..., η дифференцируемо по Гато по подпространству Ει
в некоторой окрестности х$ как отображение из Ε в (G, тг),
причем gr{x) Ε £/?.(£?, (G, τχ)) для каждого χ Ε Ε и
отображения χ ι—> д'Е\х), Ε —> Ι1βϊ{Ε, (G, τχ)) секвенциально непрерывны
в точке xq, то д является β-дифференцируемым в х$, причем
η
g'(xo)h = ^9Ei(xo)hi-
г=1

372
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Доказательство. Ограничимся случаем η = 2; для
перехода к общему случаю достаточно воспользоваться индукцией по п.
Если h = {h\^2) G Ε, то справедливо равенство
r(h) = д(х0 + К) - д(х0) - gEl(x0)hi - gE2(xo)h2 =
= [д{хо + (Λι,/12)) - д(хо + (Λι,Ο)) -g'E2(xo)h2] +
+ [g(xo + (hi,Q)) -g(xo) -gEl(xo)hi].
Пусть r2(h) — выражение во вторых квадратных скобках; из
условии теоремы вытекает, что Г2 en0(E,G). Поэтому остается
доказать, что если r\{h) — выражение в первых квадратных скобках,
то г ι G TZ@(E, G). По теореме о среднем при t G И1, t ^ 0 имеем
t~lr(th) G
G Шы {gE2(xo + t(hi,0) + et(0,h2))h2- g'E2(xo)h2: О<0<1}.
Отсюда с учетом секвенциальной непрерывности отображения
χ ι—► д*Е (χ), Ε —> Ср(Е2, G) вытекает, что π G ΈΡ(Ε, G). D
Проведенное доказательство показывает, что аналог этой
теоремы справедлив и для β-дифференцируемых отображений.
4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила
Хорошо известно (см. также задачу 4.10.57), что
непрерывность отображения f:X—>Y между нормированными
пространствами равносильна непрерывности всех композиций /οφ для
непрерывных отображений φ: IR —> X, а также равносильна
непрерывности композиций ψο/ для всех непрерывных функций
ψ: Υ —> К. Здесь мы обсудим аналоги таких описаний
дифференцируемое™. В частности, будет показано, что для ряда
важных видов дифференцируемости отображение /
бесконечномерного пространства X входит в класс Сп, если композиция $οφ
входит в класс Сп для всякого С°°-отображения ψ из Ш2 в X.
Однако сначала приведем ряд примеров, показывающих, что
ситуация с дифференцируемостью все же сложнее.
4.9.1. Пример. Пусть /: К2 -> К1, f(x,y) = уг/(х2 + у2),
/(0,0) = 0. Тогда функция / не дифференцируема в нуле по Гато,
хотя для всякого φ G С1 (К1, И2) имеем /οφΕ С1 (К1).

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 373
Доказательство. Для базисных векторов е\ и е2 мы
имеем 0е1/(О,О) = 0, 0е2/(О,О) = 1, ае1+е2/(0,0) = 1/2, поэтому
/ не имеет производной Гато в нуле. Пусть φ Ε С1 (И1, К2),
φ = {φι,φζ). Проверим непрерывную дифференцируемость /οφ
в окрестности нуля. Можно считать, что φ(0) = (0,0), иначе
никаких проблем нет. Если φ2{0) Φ 0, то непосредственным
вычислением получаем равенство
(/о^)'(о) = К(о))3(|^(о)|2 + l^(o)!2)-1.
В этом случае ψ2^) Φ 0 при t Φ 0 в окрестности нуля, откуда
легко получить доказываемое утверждение. Пусть φ'(0) = (0,0).
Тогда (fopY(0) = (0,0), ибо |/(y>(t))/t| < \ψ2^)/ί\ -> 0. Тем самым
установлена дифференцируемость композиции во всех случаях.
Если в окрестности нуля φ(ί) Φ (0,0) при t Φ 0, то
(fo<p)' = θχ/(φ)φΊ + dyf((p)(p'2,
что при t —> 0 стремится к нулю, ибо простая проверка
показывает ограниченность dxf и dyf. Значит, композиция имеет
непрерывную производную. Если начало координат не является
изолированным нулем φ, то, как и выше, производная композиции
в нуле равна нулю. Поэтому надо проверить, что {/οφΥ(ίη) —> 0
при tn —> 0. Здесь достаточно рассматривать лишь точки, в
которых (/οφ)'(ίη) Φ 0. Из этого следует, что φ2(ίη) Φ 0. Если
4>(tn) Φ (0,0), то
(f°v)'(tn) = δχ/(φ(ίη))φι(ίηΥ + dyf((p(tn))(p'2(tn) -> 0,
ибо φΊ(ίη) —> 0 и φ2{ίη) —> 0 в силу того, что φ[(0) = ^(О) = 0
(начало координат не является изолированным нулем). В
оставшемся случае φ(ίη) = (0,0) получаем, как и выше,
(/°<л>'(*п) = (ν>2(*»))3(Κ(ί«)Ι2 + Ι^(ίη)|2)-1 -> о,
что завершает доказательство. D
4.9.2. Пример. Пусть X = Ζ,^Ο, 1],
f{x) = / sin x(t)dt.
Jo
Тогда / не имеет производной Фреше ни в одной точке
(пример 4.2.14), но при всех η Ε IN для всякого φ Ε C1(IRn,X) верно
включение focpe С1 (К1), что проверяется непосредственно.

374
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Теперь три примера со внешними композициями (т.е. слева).
4.9.3. Пример. Пусть /: К1 -> со, /(*) = (n_1 sin(nt)).
Тогда / не дифференцируемо ни в одной точке даже в слабой
топологии, хотя ipofe С1 (Ж1) для всех φ Ε С1(со), в частности
1(f) Ε С1 (Ж1) для всех Ζ Ε cf0.
Доказательство. Если бы / было дифференцируемо хотя
бы в слабой топологии, то мы бы имели /'(О) = (cos(ni)), что
не является элементом со ни при каком t. Для λ = (λη) Ε I1 = c'0
мы имеем l(f)(t) = Σ1η=ι ^_1Ansin(ni), что является непрерывно
дифференцируемой функцией. Из следствия 4.5.4 вытекает, что
фо/ Ε С1 (Ж1) для всех φ Ε СЧоьЖ1,^)). □
4.9.4. Пример. Пусть /: К1 -> Ζ2, /(ί) = (ίη(2η€)), где
г? Ε C^flR1), 77(0) = 0 при ί 0 [3/4,5/4], т?(1) = 1. Тогда / не
дифференцируемо в нуле, непрерывно дифференцируемо в
слабой топологии, причем φ of Ε С1 (К1) для всех φ Ε C1(i2,IR1).
Если положить f(t) = (imry(2ni)), где га Ε IN, га ^ 2, то
^о/ Ε Ст(Ж1) для всех ^ Ε Cm(i2,IR1), причем / Ε С™"1^1,/2),
но/^с^т1,/2).
Доказательство. Для λ = (λη) Ε ί2 получаем
вещественную функцию 1(f) (t) = Σ™=ι ληίη(2ηί). Этот ряд можно
почленно дифференцировать, получая Σ™=ι \n[v(2nt) + t2nrf (2nt)], ибо
последний ряд (как и исходный) сходится равномерно, поскольку
носители функций η(2ηί) не пересекаются при разных η и λη —> 0.
Как и в предыдущем примере, это дает непрерывную дифферен-
цируемость фо$ е С1 (К1) для всех φ Ε С1(со,К1,со). Однако
производной в нуле в топологии нормы нет, так как при tn = 2~п
имеем ||f(tn) — f(0)\\/tn = 1, хотя производная в нуле в слабой
топологии существует и равна нулю: разностное отношение f(t)/t
покоординатно стремится к нулю и ограничено по норме. Случай
га > 1 аналогичен. D
4.9.5. Пример. Пусть X = L2[0,1] и F: X -> X задано
формулой F(x)(t) = smx(t). Тогда F не дифференцируемо по
Фреше ни в одной точке (пример 4.2.15), хотя фоР Ε С1(Х) для
всех φ Ε С1 (X) и Focp ε С1(ЖП, X) для всех φ Ε С1(Жп,Х) при
всех п, что проверяется непосредственно.

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 375
Перейдем к положительным результатам. Они допускают
единообразное описание в терминах дифференцируемости по
системе Л подмножеств отделимого локально выпуклого
пространства X, удовлетворяющей следующим условиям: Л содержит все
конечные множества (тем самым Л-дифференцируемость
влечет дифференцируемость по Гато), замкнута относительно
умножения на скаляры, причем объединение двух множеств из Л
лежит во множестве из Л. Этим условиям удовлетворяют
системы конечных множеств, ограниченных множеств,
компактных множеств, секвенциально компактных множеств, а также
банаховых дисков. Класс сходящихся последовательностей
последнему условию не удовлетворяет, но на него можно
перенести приводимые ниже результаты, используя секвенциальную
компактность множеств этого класса. Для метризуемых
пространств можно иметь в виду дифференцируемости по
системе ограниченных множеств и по системе компактов. Напомним
(см. §4.1), что через £д(Х, Y) обозначается линейное
пространство всех линейных Л-непрерывных операторов из X в Υ с
топологией равномерной сходимости на классе Л, а определение
Л-дифференцируемости отображения /: Χ-+Υ в точке х$
вводится путем замены включений f\xo) в класс С(Х, Y)
непрерывных операторов или класс С(Х, Y) секвенциально непрерывных
операторов включением f(xo) = ff(xo) £ Ад(X, У)-
Для открытого множества U С X класс Сд(?7, Y) состоит
из η-кратно Л-непрерывно дифференцируемых отображений.
Через Dj^f будем обозначать Л-производную порядка п. В случае
нормированных пространств и класса Л всех ограниченных
множеств Л-дифференцируемость есть дифференцируемость Фреше,
а класс Сд(£7, У) есть обычный класс η-кратно
дифференцируемых по Фреше отображений с непрерывными производными до
порядка п. Теперь получим обращение формулы Тейлора.
Для /с-линейного отображения Φ положим Ф/гА := Ф(/г,..., К).
4.9.6. Теорема. Пусть Α-непрерывное отображение f из U
в локально выпуклое пространство Υ таково, что при
некотором η Ε IN для каждого χ Ε U и каждого к = 1,...,п есть
такое симметричное k-линейное отображение Ф/с(ж): Хк —> У,
что отображение гпу задаваемое формулой
/(я + h)- /(я) = Σ li*k(x)hk + rn(x, h),
fc=l

376
Глава 4. Дифференциальное исчисление
имеет такие свойства: гп(х, 0) = 0, причем для всяких Л, В Ε Л
равномерно по ν Ε A, h Ε В при t —> 0 выполнено соотношение
rn(x + tv,th)/tn -> 0. Тогда / Ε С^(С/,У) tx ^/(ж) = Ψ*(ζ).
Доказательство. Взяв η различных чисел су Ε (0,1),
можно линейно выразить ^^{x)hk через f(x + аг^/г) — f(x) — rn(x, ог^/г)
из равенств /(ж + ау/г) — f(x) — rn(x, ау/ι) = ]Cfc=i Oik^k{^)hk /k\.
Из условия следует Л-непрерывность f{x + otjh) и rn(x,ajh) по /г
в нуле. Это дает Л-непрерывность ^^(х)Нк по /г, откуда в силу
симметричности следует Л-непрерывность отображения Ф&(#).
Считая, что теорема верна для η — 1, проверим ее утверждение
для п. Записав разложение для f(x + h + w) двумя способами как
для χ + (h + w) и (χ + h) + w, получаем
η 1 η ι
5^туФ/с(^+^)^+гп(ж+/г,^) = ^ ту Ф*(я)(/И-ги)*+гп(а;, /H-w),
fc=l ' fc=l
откуда
σ(χ, h,w) : = rn(x + h,w) — rn(x, /г + w) =
= gi(x, h)w + · · · + gn(x, h)wn, где ^(ж, К)еСкл(Х, У);
это проверяется с помощью fc-линейности Ф^. Например,
gi(x, h)w = Φι(χ + /г)г^ - ^ ^k{x){hk~\w). (4.9.1)
fc=l
Теперь надо проверить, что к отображению Φι: U —> £д(Х, У)
применимо предположение индукции. Для этого надо установить,
что это отображение Л-непрерывно и для всех Л, В Ε Л
равномерно по i; G А и /ι G В в Дд(Х, У) выполнено соотношение
gi(x + £г>,th)/tn~l —> 0 при £ —> 0. С этой целью заметим, что
σ(χ + £г>, ί/ι, tw) _ гп(ж + ίν + th, tw) — rn(x + tv, th + £w)
при ί —> 0 равномерно по ν Ε Л, /г Ε В, ги Ε С для
фиксированных А,В,С Ε Л. Как и выше, элементы <7fc(#> h)wk можно
линейно выразить через a(x,h,ctjw) из системы Y^=i^gk(x^h)wk —
σ(χ, /г, ауги). Из этого в силу отмеченного свойства σ следует
равномерная сходимость gi(x + tv,th)w/tn~l = g\{x + tv,th)(tw)/tn
к нулю при t —> 0. Отсюда вместе с (4.9.1) и непрерывностью

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 377
к-линейных отображений Ф&(х) вытекает непрерывность
отображения χ \—> Φι (ж). Наконец, нетрудно проверить по определению,
4to/7 = *i. D
Пусть Χ, Υ — отделимые локально выпуклые пространства,
η Ε IN, С^(Х, Υ) — класс отображений д: X —> У, которые η раз
дифференцируемы по системе ограниченных множеств, причем
при к < η отображения χ \—> д^к\х) секвенциально непрерывны
при наделении пространства fc-линейных секвенциально
непрерывных отображений из Хк в Υ топологией сходимости на
ограниченных множествах. Пусть Л — класс ограниченных множеств
в X, удовлетворяющий указанным выше условиям.
4.9.7. Теорема. Пусть η Ε IN. (i) Если f:U—>Y таково,
что для всякого бесконечно дифференцируемого по Фреше
отображения φ: Ж2 —> U композиция focp является п+1 раз
непрерывно дифференцируемой, то f Ε C^{U^Y).
(ii) Если для всех А, В Ε А множество UaeA ьев telo ι] α + ^
лежит β Λ и всякая бесконечная последовательность в А
содержит Α-сходящуюся подпоследовательность, то из того, что
fotp Ε СП(К2,Г) для всех функций φ Ε C°°(IR2,?7); следует,
что f eC%(U,Y).
Доказательство. Мы применим предыдущую теорему, для
чего построим необходимые к-линейные отображения Ф^. Пусть
D\ и D2 — операторы дифференцирования по первой и второй
переменным функций на К1, D — оператор дифференцирования
функций на прямой, h\,..., /ιη+ι £ Х- Положим
Φι(χ)/ΐι = l>i(/oy>)(0,0), где φ(ίιΜ) = x + tihu
V2(x)(huh2) = D2D1(fo<p)(0,0), где φ{ίιΜ) = х + *i^i + t2h2.
Заметим, что ^2{h\,h2) = D^i(x -{- th2)hi(0).
Отображение Φι (χ) линейно, ибо для τ\ = λχίι, т2 = \2t2,
«(*1j*2) = x + ti(X\hi + \2h2), P(t\,t2) = χ + T\h\ +r2h2 имеем
Φι(3?)(λιΛι + λ2Λ2) = Α(/οα)(0,0) =
= ^i(/o/3)(0,0)Вщ(0,0) + D2(f οβ)(0,0) A r2(0,0) =
= λιΦι(α:)Λι +λ2Φι(χ)/ι2.
Отображение /ι ι ι—> Ф2(#)(^ъ ^г) линейно как производная от
линейного по h\ отображения, поэтому оно линейно и по h2 из-за
симметричности смешанной производной.

378
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Предположим, что для некоторого к > 1 определены
полилинейные отображения Ф^(:г), j = 1,..., /с, для которых
Ф*(ж)(Ль . · ·, hk) = £>*fc-i(z + thk)(hu..., Λ*-ι)(0),
Φ,·(*)(Λι,. · ·, hk) = Σ ^k{x)vt (4.9.2)
г=1
где V{ — некоторая линейная комбинация h\,..., hk с
постоянными коэффициентами, причем аналогичные соотношения
верны и для меньших к. Тогда, как несложно проверить, мы имеем
Фк(х)у% = £>ι(/οα)(0,0), где a(tut2) = x + t\v{ + t2hk+i. Поэтому
дифференцируемо отображение t \—> ^к(х + thk+\)v^ причем
D4>k{x + thk+1)vf(0) = D2D\{foa){Q, 0). (4.9.3)
Положим
Φ*+ι(ζ)(Λι,..., /ifc+i) = £>Φ*(ζ + <Λ*+ι)(Λι, · · ·, hk)(0).
Заметим, что оператор D2D\ можно записать как линейную
комбинацию операторов дифференцирования вида <9™, где щ Ε IR2.
Для этого можно воспользоваться тождеством
т 1 т
ι ΠΙ. ι ...
г=1 r=l i\<i2<-'-<ir
верным для коммутирующих элементов произвольного кольца.
Это тождество применяется к дифференциальным операторам
z\ — ^2? Z{ = D\, г > 1, что дает в правой части степени
дифференцирований вдоль векторов вида kiei + (г — ki)e2. Из этого
с учетом (4.9.2) и (4.9.3) получаем представление
*ib+i(a;)(/ib ..., /ifc+ι) = J] W*fc+i(^)^+1,
i=l
где u^ — некоторая линейная комбинация /ΐχ,..., /ι^+ι с
постоянными коэффициентами. Тем самым выполнено (4.9.2) для к + 1.
Из линейности Ф&(ж) по /ΐχ,..., /г^ следует линейность Φ&+ι(:τ) по
этим аргументам, а линейность по /ι&+ι вытекает из (4.9.3) и
линейности D2(foa)(0) no /ifc+i· Таким образом, индуктивный
переход обоснован. Значит, при всех к < п + 1 определяются Ф&(:г),
причем ФЛ(х + thk)(hu...,hk) = D^Jk_i{x + thk)(hu ... ,/ι&_ι),
откуда Фь(ж + £/i)/ifc = ^fc/(x + ί/ι).

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 379
Докажем Л-непрерывность отображения (х, К) \—> ^k{x)hk
(при этом Л есть класс всех ограниченных множеств в
случае (i)). Пусть χι —> xq и hi —> Hq. Допустим, что
элементы 4?k(xi)hi не сходятся к Φ^(χο)^ο· Перейдя к
подпоследовательности, можно считать, что все они лежат вне некоторой
окрестности Φ^(χο)^ο· Используя задачу 4.10.44, получаем
бесконечно дифференцируемые отображения ж, h: К1 —> X и числа
£г —> 0, для которых x(ti) = Xi и h(U) = hi для бесконечно
многих г. Пусть а(т, t) = x(t) + rh(t). Тогда выполнено тождество
Vk(x(t))hk(t) = J5f(/oa)(0,i). По условию foa e СП+1(К2,Г),
следовательно, отображение t \—> 4?k(x(t))hk(t) непрерывно и
^k(x(U))h>k(ti) —> ^k(x(to))hk(to), что противоречит нашему
допущению. Итак, доказана Л-непрерывность (ж, К) \—> ^k(x)hk.
Перейдем к применению обращения формулы Тейлора. Для
этого, положив
rn(x, h) = f(x + h) - f{x) - Σ ^ЫФк,
fc=l
надо проверить, что rn(x + tw,th)/tn —> 0 при t —> 0 равномерно
по w и /г из фиксированных множеств из Л. Функция t \—> гп(х, ί/г)
входит в Cn(JR}jY). Формула Тейлора для функций
вещественного переменного дает включение
rn(x,th) e ^-conv {Фп(ж + eth)hn - ^n(x)hn: θ е (0,1)},
η!
откуда в случае (i), где композиции входят в Cn+1(IR2, ?7),
получаем включение
rn(x + tw,th)/tn е
tn
е — conv{^n+1(x-\-tw-\-91th)(9th,hn): θ,θχ e (0,1)}.
С учетом Л-непрерывности Φη+ι получаем нужное равномерное
соотношение. В случае (и) условия на Л (в том числе
существования Л-сходящейся подпоследовательности во всякой
последовательности из фиксированного множества из Л) показывают, что
tyn(x + tw + 9th)hn — tyn(x + tw)hn —> 0 при t —> 0 равномерно по w
и h из фиксированных множеств в Л и по θ Ε (0,1). Итак,
условия предыдущей теоремы выполнены, что позволяет заключить,
что / еСД(Е/,У). D

380
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Условия на А выполнены, если X метризуемо и А — класс
всех компактов. Из примеров 4.9.2 и 4.9.5 видно, что в случае (i)
неизбежно понижение класса дифференцируемости на единицу,
даже если допускать всевозможные φ класса С1, а не только С°°
(тем самым в (i) основную роль играет условие Д-секвенциальной
компактности множеств из Л). Из примера 4.9.2 ясно, что нельзя
К2 заменить на К1 (однако см. задачу 4.10.37). Задача 4.10.47
показывает, что недостаточно рассматривать сужения на
всевозможные замкнутые гиперплоскости.
4.9.8. Следствие, (i) Если X метризуемо, то f Ε С™(Х, Y)
в точности тогда, когда /οφ ε Cn(1R2,Y) для каждого
бесконечно дифференцируемого по Фреше отображения φ: И2 —> X.
(и) Если X нормируемо, то f Ε Cn(C/, Y) в точности тогда,
когда /οφ Ε Сп+1(К2,У) для каждого бесконечно
дифференцируемого по Фреше отображения φ: К2 —> X. Поэтому включение
f Ε С°°(?7,Υ) равносильно тому, что focpe C°°(1R2,Y) для
каждого бесконечно дифференцируемого по Фреше отображения
φ: К2 -> X.
Отметим, что полученный результат совершенно неочевиден
даже для отображений конечномерных пространств.
Перейдем к внешним композициям ipof. Сначала рассмотрим
важный частный случай непрерывных линейных функционалов.
4.9.9. Теорема. Пусть Υ секвенциально полно в топологии
Макки и η Ε IN. Если 1(f) Ε C%(U) для всех I Ε Υ', то
имеем f Ε Сд~ (U,Y), а если Υ секвенциально полно в топологии
σ(Υ,Υ'), то f Ε C%(U,Ya). Если же в Υ ограниченные
множества относительно компактны, то f E Сд(С/,У).
Доказательство. Пусть χ е U, А е Л, I e Y'. По теореме
о среднем для 1(f) имеем
/ f(x + th)-f(x) _ f(x + rh)-f(x) ч =
= (lof)f(x + ath)h - (lof)'(x + βτΗ)Η -> 0 (4.9.4)
при £, r —> 0 равномерно по h Ε А (здесь α,/3 Ε (0,1)). Поэтому
для всякой последовательности ненулевых чисел tn —> 0
последовательность уп = (f(x + tnh) — f(x))/tn слабо фундаментальна

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила
381
равномерно по hn Ε А. Тем самым множество ее элементов
ограничено в топологии Макки. Следовательно, f(x + th) —> f(x) при
t —> 0 равномерно по /г Ε Л, что показывает Л-непрерывность /.
Если Υ слабо секвенциально полно, то {уп} имеет слабый
предел у Ε Υ равномерно по /г Ε А, причем этот предел не
зависит от {£п}, ибо 1(у) = (lof)'(x)h для всех Ι Ε Υ'. Положим
fr(x)h := у. Тогда отображение /г ι—> fr{x)h линейно и слабо
ограничено на множествах из Л, т.е. f'(x) Ε C^(X^Ya). Из равенства
(l,f'(x)h) = (lofY(x)h получаем включение / Ε C\(U,Ya).
Пусть η ^ 2. Применяя в (4.9.4) еще раз теорему о среднем,
при t φ τ находим
1 /у f(x + th)-f(x) _ f(x + rh)-f(x) \ _
t-τΥ' t τ 7"
= αί~_βΤ{Ιοί)"(χ + /Зт/ι + 0(at - βτ)Η)Η2,
что при ί, τ —> 0 ограничено равномерно по /г Ε А. Значит, для
всякой последовательности ненулевых чисел tn —> 0
последовательность векторов уп = (/(ж + tnh) — f(x))/tn
фундаментальна в топологии Макки равномерно по h Ε А. Если Υ
секвенциально полно в топологии Макки, то {уп} имеет равномерно по
h Ε А предел у Ε У, не зависящий от {tn}. Это дает Л-диф-
ференцируемость / и равенство у = f'{x)h. Учитывая
включение 1(f) Ε C\(U) при всех Ι Ε Υ' и ограниченность слабо
ограниченных множеств, получаем, что для всяких фиксированных
Л, В Ε А равномерно по h Ε Л, ги Ε В при £ —> 0 ограничено
отношение (f'(x + iw)/i — f'(x)h) /t. Это дает Л-непрерывность /'.
Итак, / Ε C\{U, У). Для распространения доказанного на все η
снова применим теорему 4.9.6. С этой целью построим
отображения Ф/с(ж) Ε C\(X,Y) при к ^ η — 1, а в случае секвенциальной
полноты У^- и при к = п, полагая ^i(x)h\ = Jr/(# + ^ι)|ί=0,
*fc(x)(/ii,...,/ifc) = — *fc_i(a: + i/ifc)(/ii,...,/ifc_i)|t=0, Λ > 1.
Построение корректно, ибо для Ι Ε Υ' имеем
l(gk-i){x) = (io/)(fc_1)(z)(/>i, · · ·, Λ*-ι),
где 3fc-i(x) = Φ^_ι(χ)(/ΐι,... ,/ifc-i). По построению мы имеем
равенство (/, Ф/Дх)/^) = (/ о f)^k\x)hk, поэтому если записать

382
Глава 4. Дифференциальное исчисление
f(x + К) - f(x) = ΣΪΖΙ 4>k{x)hk/k\ + гп-г(х, /ι), то при I Ε У по
обычной формуле Тейлора с остаточным членом в форме Ла-
гранжа (/,rn_i(:r, К)) = {lof)(n\x)hn/n\. Следовательно,
элементы t~n(l, rn-i{x + tw, th)) = (lof)W(x + tw + 9th)hn/n\ при t -> 0
ограничены равномерно по ги и h из фиксированных множеств
класса Д. Теорема 4.9.6 дает / Ε Сд_1(г7,У).
В случае секвенциальной полноты Υσ можно получить и
включение / Ε C%(U, Υσ) аналогично случаю η = 1.
Наконец, если в Υ все ограниченные множества относительно
компактны, то имеем и / Ε Сд(£7, У). В самом деле, в этом случае
У слабо секвенциально полно, поэтому уже имеем / Ε Сд(С/, У).
По формуле Тейлора для слабой топологии получаем
η
/(ж + Λ) - /(χ) = Σ f^(x)hk + r„(a:, h),
fc=l
где rn(x,h) входит в замкнутую выпуклую оболочку векторов
[f(n\x + eh)hn - f(n)(x)hn]/n\, θ е (О,1). Из этого следует, что
rn(x + tw,th)/tn —> 0 равномерно по w и /г из фиксированных
множеств в Л, ибо это имеет место в слабой топологии, а всякое
слабо ограниченное множество в Υ лежит в компакте в
исходной топологии, причем на компактах слабая топология совпадает
с исходной. Аналогично проверяется Л-непрерывность f(n\ D
4.9.10. Следствие. Если X удовлетворяет условию
сходимости Макки, Υ секвенциально полно, причем для всех I Ε Y'
функция 1(f) является п+ 1 раз с-дифференцируемой в U, то f
имеет Ъ-производную порядка η в U.
Доказательство. Теорема дает включение / Ε C™(U,Ya).
Проверим, что с-производная порядка η в точке xq Ε U служит
и Ь-производной порядка п. Можно считать, что для производных
меньших порядков это уже известно. Требуется показать, что
f^-'Hxo + th)(hu..., hn-t) - /(""^(χοΧ/ΐι, · · ·, Κ-!) =
= tfW(x0)(h1,...,hn-1,h)+r(th),
где r(th)/t —> 0 равномерно по /г, /ΐχ,..., hn-\ из каждого
фиксированного ограниченного множества. По теореме о среднем
вектор r(th)/t лежит в замкнутой выпуклой оболочке векторов
[f^(x0 + 9th) - f{n\x0)](hi,..., К-г, h), где θ € (0,1).

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 383
Предположим, что найдутся последовательность ненулевых
чисел tj —> 0, числа 9j Ε (0,1), векторы /г·7, h\,..., b?n_Xl лежащие
в ограниченном множестве А, для которых
[f^(x0 + θ,ψ) - /(п)(*о)](Ч, · · ·,h?n_x,h?) -h 0.
Можно считать, что tj > 0. Из условия следует слабая
ограниченность последовательности
[/W(*o + Ojififh?) - /Μ(χ0)}(εΧ,.. .,ε^ί_νε^)/(θ//2),
где ε^ = ί·' , ибо Sjh\ —> 0. Так как 6jt·' —> 0, то приходим
к противоречию. Наконец, в силу условия сходимости Макки в X
и задачи 4.10.54 имеем f(n\x0) е £%{X, Y). D
Это следствие можно доказать и непосредственно без
использования предыдущей теоремы. Кроме того, для существования
последней Ь-производной в точке х$ достаточно существования
с-производной порядка η + 1 в этой точке функций 1(f)
(задача 4.10.55).
Отметим также, что в этих результатах вместо открытости U
достаточно, чтобы U было дополнением секвенциально
замкнутого множества.
4.9.11. Следствие. Пусть X борнологично и
удовлетворяет условию сходимости Макки. Чтобы f было η раз Ъ-диффе-
ренцируемо в U, достаточно, чтобы f было η + 1 раз
с-дифференцируемо как отображение в Υσ.
4.9.12. Следствие. Для отображений между
пространствами Фреше бесконечная дифференцируемость Фреше
равносильна бесконечной дифференцируемости Адамара.
В случае однократной дифференцируемости Адамара не
происходит потери дифференцируемости по сравнению с
композициями.
4.9.13. Теорема. Пусть Υ сепарабельно и секвенциально
полно, Λ — класс всех компактов в X. Если ψ of ε C\(U) при
всех ф Ε СЦу), то f E C\(U, Y).
Доказательство. Пусть χ ε U. Можно считать, что χ = 0
и f(x) = 0. Из условия следует, что 1(f) Ε Cl(U) для всех Ι Ε Υ'.
Поэтому для всякой последовательности ненулевых чисел tn —> 0
для фиксированного h Ε X последовательность уп = f(tnh)/tn

384
Глава 4. Дифференциальное исчисление
слабо фундаментальна и потому ограничена. Если она предком-
пактна, то она сходится в исходной топологии Υ в силу
секвенциальной полноты Υ. Это показывает дифференцируемость / по
направлению h. Нарушение предкомпактности ведет к
противоречию, ибо тогда предложение 4.1.13 дает функцию φ Ε С* (У), для
которой ^(0) = 0, ψ'(0) = 0, но предел ip(tnyn)/tn не существует,
а это противоречит существованию предела ip(f(tnh)) /tn.
Заметим, что в этом рассуждении можно вместо tnh брать tnhn для
произвольной последовательности векторов hn из любого
фиксированного компакта. Это доказывает Л-непрерывность /. Из
включений 1(f) Ε Cl(U) следует линейность dhf(x) по /г, а также
включение / Ε C^(U,Ya).
Покажем, что для всякого компакта А С X и всякой
последовательности {хп} С С/, которая Л-сходится к xq Ε U множество
S = {ff(xn)h: h Ε Α,η Ε IN} предкомпактно в Υ. Это
множество слабо ограничено, поэтому ограничено в топологии Макки.
Если оно не предкомпактно, то с помощью задачи 4.10.53
получаем равностепенно непрерывную последовательность {fn} С У,
сходящуюся к нулю равномерно на предкомпактных множествах,
а также векторы ут = f(xnrn)hm, hm Ε А, для которых fm(ym) = 1,
fm(yk) — 0 ПРИ к < т. Далее считаем, что пт = т и что
хо = 0, f(xo) = 0. Пусть zn = f(xn). Здесь можно перейти
к случаю тп = fn(zn) Φ 0, fn(Vn) > V2· в самом деле, если
оказалось, что /п(гп) = 0 с некоторого номера, то из равенства
f(xn + thn) = f(xn) + tf(xn)hn + r(xn,thn) и свойств fn следует
возможность выбора такой последовательности tn —> 0, что для
векторов zn = f(xn + tnhn) и уп = f(xn + tnhn)hn мы получим
fn(zn) Φ 0 и fn(yn) = fn(yn) + [fn(yn) - fn(yn)} > 1/2.
Условие xn —> 0 сохранилось, ибо tn —> 0 и /ιη Ε А. Далее
считаем, что такой переход сделан. Заметим, что последовательность
Ζ = {zn = f(xn)} предкомпактна, ибо сходится к /(0) = 0 в силу
установленной Л-непрерывности /. Поэтому тп —> 0. Теперь
используем соображения, аналогичные доказательству
предложения 4.1.13. Выбрав подпоследовательность в {ίη}, можно считать,
что |ίη|Σί=ι \ti\~1 < 4"nsup{|/i(z)|: j E IN, ζ Ε Ζ}. Для тех же
φι и <£>2, что и в предложении 4.1.13, но еще с условием φ;2(1) = 1,
положим
оо
Ψ(ν) = 'Σ(-1)ητηψι{ίι(υ)/η) · · ·<Ρΐ{ίη-ι(ν)/τη-ι)φ2(/η(ν)/τη).
η=1

4.9. Обращение формулы Тейлора и цепного правила 385
Как и в том предложении, ψ G Cl(Y). Дифференцируя ряд
почленно, легко проверить, что ψ*(у) G У, причем ψ'(0) = 0 и
ip'(zn)yn > 1/2. Поскольку по построению
^'{zn)yn = ip'(f(xn))f'(xn)hn = (ipof)'(xn)hn,
(ipofY(0) = ψ'(0)Γ(0) = 0, получаем противоречие с условием
ipof eCc (U). Итак, предкомпактность S установлена. Если теперь
допустить, что fr{xn)h — fr(xo)h не сходится к нулю равномерно
по h G А, то найдется такая последовательность {hn} С А, что
последовательность zn = f'(xn)hnf'(xo)hn не сходится к нулю в У,
но предкомпактна и имеет лишь нулевую предельную точку (ибо
zn —> 0 слабо), что невозможно. Итак, доказана Л-непрерывность
отображения f \ U —> £д(Х, У). D
В работе Лобанов [89] показано, что в теореме 4.9.9
использование вместо линейных функционалов нелинейных внешних
функций не дает выигрыша. Точнее говоря, верно следующее.
4.9.14. Теорема. Если в ситуации теоремы 4.9.9 мы имеем
1(f) G Сд{и) для всякого ограниченного линейного функционала
I на Y, то ipofe C%(U) для всех ψ G С£(У), где Ъ — класс
всех ограниченных множеств. Если же η > 1, множества из
Л являются Л-секвенциально компактными 1(f) G C%(U) для
всех I G Y1', то ipof G C%(U) для всех ψ G С™(Υ), где с — класс
всех компактов.
В той же работе с помощью обращения формулы Тейлора
доказан результат о дифференцируемости композиции, дающий
важное дополнение к материалу § 4.5. Пусть Ζ — еще одно
отделимое локально выпуклое пространство, V — открытое множество
в пространстве У, /: U —> У, д: V —> Ζ.
4.9.15. Теорема. Пусть η ^ 1, / G СД(Е/,У), д G C?(V,Z).
Если η > 1 и множества из Л являются А-секвенциально
компактными, то gofe C%(U,Z). При η = 1 то же верно при
дополнительном условии, что Υ' совпадает с пространством
ограниченных линейных функционалов или в У выполнено
условие сходимости Макки.
Отметим, что условия на / и g несимметричны: скажем, если
η = 1, X = Ζ = К1, У = К2 и Л — класс всех ограниченных
множеств, то условие g G C\(V, Z) недостаточно, что видно из
примера 4.2.11.

386
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.10. Дополнения и задачи
(i) Теорема об обратной функции (386). (ii) Многочлены (387).
(iii) Обыкновенные дифференциальные уравнения в локально
выпуклых пространствах (390). (iv) Предельный переход под знаком
производной (395). (ν) Полнота пространств гладких
отображений (398). (vi) Дифференцируемость через псевдотопологии (405).
(vii) Гладкие функции на банаховых пространствах (406).
Задачи (407).
4.10(i). Теорема об обратной функции
Хорошо известно, что классическая теорема об обратной
функции верна и для дифференцируемых по Фреше отображений
банаховых пространств (см. [21, гл. 12]). Одна из наиболее употребительных
формулировок такова: если непрерывно дифференцируемое в области
отображение банаховых пространств имеет в некоторой точке
обратимую производную, то в окрестности этой точки само отображение
обратимо (причем обратное дифференцируемо). Более слабая версия этой
теоремы (ее можно назвать теоремой о дифференцируемости
обратной функции) утверждает, что если заведомо обратимое отображение /
банахова пространства дифференцируемо в точке а, причем обратное
отображение /_1 непрерывно в /(а), а оператор f'(a) обратим, то /_1
дифференцируемо в f(a). Впрочем, эта версия не является следствием
упомянутой теоремы, но в приложениях бывает важна именно
локальная обратимость нелинейного отображения с обратимой производной.
Естественно возникает вопрос об аналогах этих результатов для
более общих пространств. Конечно, здесь также можно рассматривать
различные формулировки. Например, можно искать условия
обратимости нелинейного отображения с обратимой производной, а можно
интересоваться дифференцируемостью обратного отображения в
предположении его существования. Оказывается, что для ненормируемых
пространств положение становится более сложным во всех постановках
задачи. Во-первых, обратимость производной уже не всегда
обеспечивает локальную обратимость самого отображения.
4.10.1. Пример. Пусть φ — гладкая функция на прямой с
носителем в [1/4,3/4], φ{\/2) = 1. Отображение /: Н°° —> Н°° зададим
формулой (/(#)) = хп - φ{Χη)· Оно всюду дифференцируемо по системе
ограниченных множеств (совпадающей здесь с системой предкомпакт-
ных множеств), /'(О) = /, а отображение χ »—> f'(x) непрерывно при
наделении пространства операторов топологией сходимости на
ограниченных множествах (достаточно заметить, что если для каждого η мы
имеем хп,к —> хп и hn,k —> hn при к —> оо, то <p'(xn,k)hn,k —> ^{xn)hn)·
Однако ни в какой окрестности нуля / не является инъективным, ибо
в любой такой окрестности есть точки χ с хп = 1/2, хк = 0 при кфп.

4.10. Дополнения и задачи
387
Не следует из обратимости производной и даже локальная сюръ-
ективность / (задача 4.10.42).
Во-вторых, даже для дифференцируемых гомеоморфизмов с
обратимыми производными обратные отображения могут быть недиффе-
ренцируемыми. Приведем эффектный результат Ю.И. Простова [111].
4.10.2. Теорема. Для всякого ненормируемого пространства Фре-
ше X существует такой гомеоморфизм f:X^>X, что /(0) = 0,
/ имеет в нуле обратимую производную по системе ограниченных
множеств, но отображение /_1 не имеет производной в нуле
производной даже по системе компактных множеств. Для X = JR°° такой
гомеоморфизм можно взять даже вещественно-аналитическим.
В работе Смолянов [144] описан класс всех пространств, в которых
верна теорема о дифференцируемости обратной функции.
4.10.3. Теорема. Следующие условия равносильны для локально
выпуклого пространства X: (i) для всякой последовательности
векторов ап φ 0, сходящейся к нулю в X, найдутся такие числа Хп, что
последовательность {Αηαη} ограничена, но не сходится к нулю;
(и) если взаимно однозначное отображение f: X —> X
дифференцируемо в точке χ по системе ограниченных множеств,
отображение /~г непрерывно в точке f(x), а оператор f'(x) является
линейным гомеоморфизмом, то /_1 дифференцируемо в f(x) no системе
ограниченных множеств.
Класс пространств, удовлетворяющих условию (i), содержит все
нормированные пространства и замкнут относительно образования
строгих индуктивных пределов расширяющихся последовательностей
пространств. Напротив, ненормируемые метризуемые пространства
этому условию не удовлетворяют (задача 4.10.35).
В работе Шавгулидзе [173] показано, что всякое
бесконечномерное вещественное локально выпуклое пространство С°°-диффеоморф-
но дополнению некоторого своего замкнутого подпространства, причем
если сопряженное данного пространства слабо сепарабельно, то в
качестве такого подпространства можно взять любое конечномерное
подпространство. Для ненормируемых пространств Фреше известен ряд
тонких теорем об обратной функции, ориентированных на применения
к конкретным пространствам (см. Ниренберг [104], Ekeland [289]).
4.10(ii). Многочлены
Пусть Ε и F — линейные пространства над полем IR.
4.10.4. Определение. Отображением /: Ε —> F называется
однородным полиномиальным {или однородным многочленом) степени
k Ε IN, если f(x) = Wk(x, · · - ,х), где отображение Wk '· Ек —> F
линейно по каждому переменному отдельно. Однородным многочленом
степени к = 0 называется постоянное отображение.

388
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Многочленом {или полиномиальным отображением) степени η
называется отображение вида f = fn + т" + fi + fo, где Д —
однородный многочлен степени к при к ^ п. Наименьшее возможное η
в таком представлении называют точной степенью многочлена.
Ясно, что /с-линейное отображение Wk, порождающее однородный
многочлен степени /с, можно выбрать симметрическим, перейдя к
Vk{xu...,xk) = -^^Wk{xil,...,xik),
где суммирование ведется по всем перестановкам 1,..., к.
4.10.5. Предложение. Пусть Д — однородный многочлен
степени к. Тогда порождающее его к-линейное симметрическое
отображение однозначно задается формулой
Vk{xu...,xk) = — Σ (-l)fc_£l ε*Λ(ζ0+ειΖι + ··· + ε*ΖΑ;),
' ei,...,efc€{0,l}
(4.10.1)
где хо Ε Ε — произвольная точка.
Доказательство отнесено в задачу 4.10.45. Читателю предлагается
доказать также следующий элементарный, но нетривиальный факт.
4.10.6. Лемма. Если функция f на JRn является многочленом по
каждому переменному при фиксированных остальных, то она есть
многочлен.
4.10.7. Лемма. Пусть отображение /: Ε —> F
полиномиально на каждой аффинной прямой. Тогда найдется последовательность
таких полиномиальных отображений Д: Ε —> F, k = 0,1,...,
однородных степени к, что f(x) = Y^L0fk(x), причем для каждого χ
лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Доказательство. Для каждого χ отображение 1»-> f(tx)
полиномиально. Поэтому f(tx) = Σ&1ο ^Λ(χ)' где Λ(χ) ^ F и лишь конечное
их число отлично от нуля. Так как
оо оо
f(stx) = ^2sktkfk(x) = ^2skfk(tx),
k=0 k=0
то fk{tx) = tkfk{x)· Покажем, что Д является однородным
полиномиальным степени к. Зададим Vk по Д согласно формуле (4.10.1). Тогда
fk{x) = Vk{x·>.·-·>х)·> поэтому достаточно проверить, что Vk является
/с-линейным. Это следует из леммы 4.10.6, ибо проверка линейности
отображения Vk по каждому переменному сводит все к некоторому
конечномерному подпространству, а на нем / полиномиально. D
Нам понадобится такой любопытный алгебраический факт.

4.10. Дополнения и задачи
389
4.10.8. Лемма. Пусть /: Ε —> F — однородное полиномиальное
отображение, множество U С Ε уравновешено, множество V С F
абсолютно выпукло, причем f(U + a) С V для некоторого a G Е. Тогда
имеем /((2е)_117) С V.
Доказательство. Пусть / однородно степени к. Тогда из (4.10.1)
получаем равенство f(x) = jj J^rn=0(-^)k~rnCj^lf(a-\-mx). При χ G U/k
и т ^ к имеем (—l)k~mf(a + mx) G V. Значит, f(x) G XV при χ G 17/А;,
где А = 5Zm=0 С™/к\ = 2к/к\. Поэтому при χ £ U мы имеем включение
/(я) G (2fc)fcV/fc! С (2e)fcy. Вместо (2е)-1 годится 1/2, для чего надо
применить одну оценку Чебышёва (см. [53, упражнение 78, с. 404]). D
4.10.9. Предложение. Пусть Ε и F — вещественные
локально выпуклые пространства, f: Ε —> F — однородное полиномиальное
степени к отображение. Тогда следующие утверждения равносильны:
(i) отображение f непрерывно,
(И) отображение f непрерывно в некоторой точке,
(ш) для каждой непрерывной полунормы q на F функция q of
ограничена на некотором непустом открытом множестве.
Если Ε метризуемо, то непрерывность f равносильна
непрерывности композиций /о/ для всех I G F'.
Доказательство. С помощью предыдущей леммы легко
проверить, что ограниченность q о f на некоторой окрестности дает
ограниченность на окрестности нуля, откуда легко усмотреть и
непрерывность в нуле. Остальные импликации тривиальны. Если Ε метризуемо,
то отсутствие окрестности нуля, на которой функция qof
ограничена, дает последовательность ап —> 0, для которой {f(an)} не является
ограниченной, но тогда найдется функционал / G F', для которого
последовательность чисел l(f(an)) не является ограниченной. D
4.10.10. Следствие. Многочлен f на локально выпуклом
пространстве Ε непрерывен в точности тогда, когда он ограничен на
некоторой окрестности нуля, причем это равносильно
непрерывности его однородных компонент (а также порождающих их
симметричных k-линейных функций). Последнее верно и для полиномиальных
отображений в локально выпуклое пространство F.
Доказательство. Пусть многочлен / степени к ограничен на
абсолютно выпуклой окрестности нуля U. Тогда на [—1,1] равномерно
ограничено семейство многочленов px(t) = f(tx) степени /с, χ G U.
Значит, равномерно ограничены их производные в нуле, что дает
ограниченность на U однородной части / степени /с, из которой следует
ее непрерывность. Непрерывность порождающих к-линейных функций
ясна из (4.10.1). Если / принимает значения в F и q — непрерывная

390
Глава 4. Дифференциальное исчисление
полунорма на F, то, взяв окрестность нуля [7, на которой
ограничена функция q(f), получаем ограниченность на U многочленов /(/), где
IgF'h |/| ^ q. Для однородных компонент Vk отображения / это дает
ограниченность на U функций Ζ(Τ4), а тогда и q(Vk)- □
4.10.11. Следствие. Непрерывный многочлен на плотном
линейном подпространстве в локально выпуклом пространстве
продолжается до непрерывного многочлена на всем пространстве. Это же
верно для полиномиальных отображений в полные локально выпуклые
пространства.
Доказательство. Предыдущее следствие сводит это к
продолжению /с-линейных функций, порождающих однородные компоненты,
а тем самым к продолжению непрерывных линейных функционалов
или операторов. D
4.10.12. Теорема. Пусть Ε и F — вещественные локально
выпуклые пространства, причем Ε — бэровское, отображение f: Ε —> F
непрерывно и полиномиально на каждой аффинной прямой. Тогда f —
полиномиальное отображение. При этом однородные компоненты f
непрерывны.
Доказательство. По лемме 4.10.7 есть однородные степени к
полиномиальные отображения Д, для которых / = Y^™=0fk поточечно.
Заметим, что fk непрерывны. Это проверяется по индукции. В
самом деле, если /i,...,/fc_i непрерывны, то Л(#) = lim gn(x), где
η—>·οο
gn(x) = nfc(/(n_1x) - /(0) - fi{n~1x) fk-iin^x)).
Отображения gn непрерывны. Значит, в силу бэровости Ε для всякой
непрерывной полунормы q на F последовательность функций qogn равномерно
ограничена на некоторой окрестности (задача 3.12.153). Предыдущее
предложение дает непрерывность fn.
Множества Мп = {χ Ε Ε: fk(x) = 0 V/c > η} замкнуты и
покрывают Ε. Еще раз используя бэровость £7, находим Мп с непустой
внутренностью. Из леммы 4.10.8 ясно, что тогда Д = 0 при к > п. D
Конечно, бэровость Ε важна. Например, на пространстве
финитных последовательностей функция f(x) = Y^kL0 Xk не является
многочленом, хотя полиномиальна на каждой аффинной прямой.
4.10(iii). Обыкновенные дифференциальные уравнения
в локально выпуклых пространствах
Здесь мы дадим очень краткий обзор основных результатов,
связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями в
локально выпуклых пространствах. Значительно более подробное обсуждение
и обширная литература есть в Лобанов, Смолянов [90], Bogachev [229].

4.10. Дополнения и задачи
391
Пусть Ε — локально выпуклое пространство и /: Ε —> Ε непрерывно.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
x'(t) = f(x(t)), x{0) =x0eE. (4.10.2)
Его решением называется непрерывное отображение /: [0,(5) —> Ε
на некотором полуинтервале [0,(5], которое дифференцируемо в (0,(5)
и удовлетворяет (4.10.2). Конечно, можно рассматривать решения на
любом промежутке [to, to + δ) вместо [0, δ). Классический результат
(теорема Пеано) утверждает, что в случае Ε = JRn такое уравнение
разрешимо на некотором [0,(5). Иная ситуация в бесконечномерных
пространствах.
4.10.13. Пример, (i) (Пример Дьедонне) Пусть Ε = cq и
/(*) = (/«(*»)). /»(*) = N1/2·
Тогда / непрерывно в Е, но (4.10.2) не имеет решений для хо = (ап)
с бесконечным числом положительных координат. В самом деле^ если
x(t) = xn(i) есть решение на [0,(5), то t = 2\xn(t)\1/2 — 2ап —» 0 при
η —> оо, где берутся лишь номера с ап > 0.
(и) Пусть Ε = JR°° и f(x) = (/„(*„)), fn(z) = z2 + n2. Тогда
интервал существования решения одномерного дифференциального
уравнения y'(t) = y{t)2 + η2, t/(0) = 0 стремится к нулю, поэтому нет общего
интервала существования всех этих решений.
(ш) Пусть Ε = Со°[—1,1] — пространство всех бесконечно
дифференцируемых функций φ с носителем в отрезке [—1,1], наделенное
системой норм ρη(φ) = supt |y?^(i)|. Тогда Ε — ядерное
пространство Фреше, оператор /: φ »—> φ" линеен и непрерывен, но уравнение
(4.10.2) разрешимо лишь при xq = 0. Действительно, если φ(ί) —
решение с ненулевым φ(0), то g(t,x) = φ(ί)(χ) удовлетворяет уравнению
ft=d2xg,g(0,x) = <p(0).
Это следует из того факта, что сходимость в Ε влечет поточечную
сходимость. Однако решения последнего уравнения аналитичны и не
могут иметь ограниченного носителя, кроме случая ^ξ0.
Оказалось, что пример (i) типичен для банаховых пространств.
А.Н. Годуновым [49] был установлен замечательный факт, что на
каждом бесконечномерном банаховом пространстве есть непрерывное
отображение /, для которого уравнение (4.10.2) не имеет решений. Позже
С.А. Шкарин [178] заметил, что эта теорема распространяется на
пространства Фреше, причем случай ненормируемых пространств Фреше
оказался даже много проще. По теореме 3.12.44 в таком
пространстве Ε имеется дополняемое подпространство £Ό, изоморфное И00;
пусть Ρ: Ε —> Eq — соответствующая проекция. По следствию 3.9.14

392
Глава 4. Дифференциальное исчисление
теоремы Майкла о селекции существует такое непрерывное
отображение S: Eq —> Ε, что PS (χ) = χ для всех х Ε Eq. Это дает отображение
F: Ε —+ Ε, F(x) = S(f(Px)), где / — построенное выше отображение
в Eq = IR00, для которого (4.10.2) не имеет решения. Тогда
уравнение x'(t) = F(x(t)) с нулевым начальным условием не имеет решений
в £7, иначе проекция решения на Eq была бы решением в Eq в силу
выбора S. Более того, С.А. Шкарин [179] еще более модифицировал
конструкцию, что привело к такому результату.
4.10.14. Теорема. На всяком бесконечномерном пространстве
Фреше существует такое непрерывное отображение f, что
уравнение x'(t) = f(x(t)), ar(io) — #o we имеет вообще никаких решений ни
при каких to и xq.
Упомянем ряд положительных результатов. Первые общие
теоремы существования были получены А.Н. Тихоновым для непрерывных
отображений пространства IRT с ограниченным образом и Р. Филлип-
сом для непрерывных отображений пространств Фреше с предкомпакт-
ным образом. На банаховы пространства очевидным образом
переносится теорема существования единственного решения уравнения с лип-
шицевым /. Следующая теорема из Astala [205] интересна тем, что
охватывает все непрерывные отображения данного пространства.
4.10.15. Теорема. Если в секвенциально полном локально
выпуклом пространстве Ε есть компактная или секвенциально
компактная бочка, то в Ε выполнена теорема Пеано.
Возможно, что выполнение теоремы Пеано в секвенциально
полном локально выпуклом пространстве Ε равносильно тому, что Ε
обладает счетно компактной бочкой, но эта гипотеза Шкарина остается
открытой. Важным общим результатом является следующая теорема
В.М. Миллионщикова [94], позволяющая комбинировать липшицевость
и компактность (как и другие факты, мы приводим ее для автономных
уравнений).
4.10.16. Теорема. Пусть Ε — секвенциально полное локально
выпуклое пространство, /: Ε —> Ε.
(i) Предположим, что для каждой полунормы ρ из некоторого
набора V, задающего топологию, мы имеем p(f(x) — f{y)) ^ Кр(х — у)
в окрестности U точки xq. Тогда (4.10.2) имеет решение на
некотором интервале.
(и) Это же верно, если непрерывное f имеет вид / = /ι + /2, где
fi удовлетворяет условиям из (i), /2 непрерывно в U и /г(^) лежит
в компакте.
В частности, теорема Пеано верна для непрерывных отображений
секвенциально полных пространств с относительно компактными
образами.

4.10. Дополнения и задачи
393
Интересно, что в пространстве И00, в отличие от Cq°[—1,1], всякое
линейное уравнение (4.10.2) разрешимо. Этот нетривиальный
результат с обманчиво элементарной формулировкой был доказан С.А. Шка-
риным [175].
4.10.17. Теорема. Пусть А — непрерывный линейный оператор
в JR°° и отображение f: [0,1] —> IR°° непрерывно. Тогда уравнение
x'(t) = Ax(t) + f(t) разрешимо с любым начальным условием.
Необходимо отметить, что единственности решения при этом
может и не быть.
4.10.18. Пример. Пусть (Ах)п = χη+ι· Тогда линейное уравнение
x'(t) = Ах, х(0) = 0 имеет ненулевые решения в JR°°. Действительно,
для всякой бесконечно дифференцируемой функции φ на прямой
формула xn(i) = φ(η\ί) задает решение уравнения x'(t) = Ax(t) с
начальным условием (<р'(0),..., φ(η\θ),...). Остается взять ненулевую
функцию φ так, что φ^ (0) = 0 при всех п.
Следующий факт был впервые замечен А.Н. Годуновым.
4.10.19. Предложение. Пусть А — непрерывный линейный
оператор в отделимом локально выпуклом пространстве Ε, ζ Ε Ε,
причем задача Коти x'(t) = Ax(t), x(0) = ζ имеет решение в слабой
топологии σ(Ε, Ε'). Тогда это решение является решением и в
топологии Макки.
Доказательство. Пусть х: [0, с) —> Ε — решение в слабой
топологии. Нам надо проверить дифференцируемость χ в топологии Макки.
Пусть t G (0, с). Множество x([t — г, t + г]), где [t — г, t + г] С (0, с), слабо
компактно. Если 0 < \h\ < г, то по теореме о среднем
— ί~ - Ax(t) e abs conv {Ax(t + s) - Ax(t): s G [i-r,i + r]},
причем для всякой окрестности нуля V в топологии Макки множество
в правой части лежит в V при достаточно малом г. Следовательно, мы
имеем (x(t + К) — x(i))/h —> Ax(t) в топологии Макки при h —> 0. D
Будем говорить, что локально выпуклое пространство Ε обладает
свойством (Р), если из сходимости хп —> 0 в Ε и сходимости уп —> 0
в Е' в топологии σ(Ε',Ε) следует сходимость (уп,хп) —> 0.
Свойством (Р) обладают все бочечные пространства (более общим
образом, пространства Макки, для которых Е' секвенциально полно
в топологии σ(Ε',Ε), см. задачу 4.10.52).
4.10.20. Предложение. Если Ε имеет свойство (Р) и и G Е'
таково, что в Е' разрешима задача Коши y'(t) = A*y(t), y(0) = и,
то (u,x(t)) = 0 для всякого решения χ задачи Коши x'(t) = Ax(t),

394
Глава 4. Дифференциальное исчисление
х(0) = 0. Значит, если задача Коти для А* имеет решение при всех
и Ε Ε', то задача Коти для А имеет не более одного решения.
Будем говорить, что оператор Α Ε £(Е,Е) имеет экспоненту,
если для каждого χ Ε Ε при всех t Ε IR в пространстве Ε сходится
ряд exp(tA)x := Σ™=1 tnAnx/n\. Если Ε бочечно, то оператор exp(L4)
непрерывен. Для сходимости этого ряда при всех t в топологии Макки
достаточно иметь слабую сходимость (задача 4.10.40).
Непосредственно проверяется, что exp(ta)z есть решение задачи Коши x'(t) = Ax(t),
х(0) = ζ. Однако однозначная разрешимость таких задач Коши не
влечет существование экспоненты.
4.10.21. Пример. Пусть Ε = Х^Н1), Af = /'. Тогда задача Коши
x'(t) = Ax(t), x(0) = ζ для каждого ζ Ε V(JR) имеет единственное
решение, задаваемое формулой x(t)(s) = z(t + s), но exp(tA)z существует
лишь для ζ = 0. В самом деле, нетрудно проверить, что аналогичная
формула дает решение задачи Коши для А* в D', что по предыдущему
предложению обеспечивает однозначную разрешимость задачи Коши
для А. Из существование exp(tA)z вытекает аналитичность z(t + s)
по £, что возможно лишь для ζ = 0 из-за компактности носителя.
4.10.22. Предложение. Если Ε имеет свойство (Р) (скажем,
бочечно) или локально полно (скажем, секвенциально полно), то из
существования exp(tA)z при всех t и ζ следует однозначная
разрешимость задачи Коши для А при всех начальных условиях.
Доказательство. Если Ε бочечно, то достаточно заметить, что
R(t)u = exp(tA)*u дает решение задачи Коши y'(t) = A*y(t), y(t) = и.
В общем случае приходится обходить существование Д(£), ибо оператор
exp(tA) не обязан быть непрерывным. Пусть x'(t) = Ax(t), x(0) = 0.
Покажем, что x(t) = 0. Заметим, что достаточно проверить, что для
всякого τ > 0 и всякого у G Е' функция
оо
t^Y^tn{{A*)ny,x{r-t))/n\
71=1
имеет нулевую производную (эта функция равна 0 при t = τ и (t/, χ (τ))
при t = 0). В силу равенства χ(τ — t)' = —Ах(т — t) формальное
дифференцирование дает нужный ответ, но его надо обосновать. Для этого
достаточно проверить равномерную сходимость ряда из производных
на отрезках. Производная n-й частичной суммы ряда равна
-Г{(А*)п+1у,х(т - t))/n\ = -tn{(A*)ny,Ax(r - t))/n\.
Если t G [—с/4, с/4], где с > 0, то значения х(т — t) попадают в компакт
в £7, который в случае локально полного Ε лежит в банаховом диске В.

4.10. Дополнения и задачи
395
Из существования exp(tA) следует, что для каждого ν Ε Ε есть такое
число k(v) > 0, что
\(((A*)ny,v)\^k(v)c-nn\.
Функционалы (А*)пу непрерывны на Ев, поэтому из теоремы Банаха-
Штейнгауза следует, что числа к (ν) могут быть выбраны
ограниченными в совокупности для всех ν Ε В, тем самым и для всех ν = х(т — t)
при t Ε [—с/4,с/4]. Это обеспечивает равномерную сходимость
производных членов интересующего нас ряда. Если же вместо локальной
полноты есть свойство (Р), то функционалы tn(A*)ny/n\ поточечно
сходятся к нуля в силу существования exp(tA). Поэтому для всякой
сходящейся последовательности чисел tn —> t имеет место сходимость
£%((А*)пу, Ax(r — tn))/n\ —> 0, откуда следует нужная равномерная
сходимость. D
Дополнительные результаты см. в Leonov, Shkarin [377], Shkarin
[457], [459], [460].
В работе Смолянов [147] для нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений в локально выпуклых пространствах получен
аналог теоремы Гольмгрена, дающий условие единственности решения.
4.10(iv). Предельный переход под знаком производной
Здесь мы обсудим сходимость дифференцируемых отображений.
4.10.23. Теорема. Пусть Ε — топологическое векторное
пространство, G — локально выпуклое пространство, β — некоторая
система ограниченных подмножеств Е, обладающая следующими
свойствами:
(1) если {hn} — сходящаяся в Ε последовательность, то
множество ее элементов является элементом системы /3;
(2) если В £ β, {λη} — сходящаяся числовая последовательность
и {hn} С В, то множество элементов последовательности {Αη/ιη}
является элементом системы /3;
(3) если χ е Ε и В е β, то х + В е β.
Пусть fn: Ε —> G, где η Ε IN, — β-дифференцируемые
отображения, f'n — β-производная fn. Тогда верны следующие утверждения:
(I) если последовательность {fn} сходится в Τβ(Ε,ΰ) к
отображению f, а последовательность {f'n} сходится в Jrp(KE^Cp{E^G))
к отображению д, то отображение f β-дифференцируемо и f= g\
(II) если последовательность {f'n} сходится в Τβ{Ε^β{Ε^ϋ))
к отображению g и для некоторого хо Ε Ε сходится в G
последовательность {fn{xo)}, причем G секвенциально полно, то
существует такое β-дифференцируемое отображение /: Ε —> G, что f = g
и имеет место сходимость fn^>fe ^(E^F).

396
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Доказательство. Докажем сначала (II). Пусть {hk} —
последовательность элементов некоторого множества Бе/5, {tk} —
ограниченная последовательность отличных от нуля вещественных чисел и для
каждого набора (т, п, к) натуральных чисел
Ьт,щк = t^1 (fm(Xo + tkhk) ~ fm(Xo)) ~ t^1 (fn(XO + tkhk) ~ /η(^θ))·
Тогда
Ът,щк e conv {f'm{xo + 9tkhk)hk - f'n{xo + 9tkhk)hk: 0 < θ < 1}
для всех допустимых m, n, /с. Так как в силу условия (2),
наложенного на систему /3, множество элементов последовательности {\nhn}
является элементом системы β для каждой сходящейся числовой
последовательности {Ап} и так как f'm — f'n —> 0 в Jrp(KE,Cp{E,G)) при
n, m —> оо, то
f'm{xo + ΑΛΛΛ)ΛΛ - /;(я?о Η- ΑΛΛΛ)ΛΛ ► О (4.10.3)
πι,η,κ—»оо
в G, если последовательность {А&} сходится в И1. Поэтому для каждой
окрестности нуля V пространства G найдутся такие натуральные числа
по, то, ко, что если η > щ, к > ко и т > то, то
ст,щк = {fln(xo + 0tkhk)hk-ftixo + 0tkhk)hk: 0 < θ < 1} С У, (4.10.4)
поскольку в противном случае для некоторой окрестности нуля Vo в G
существовали бы такие строго возрастающие последовательности {щ},
{га*}, {кг} натуральных чисел и такая последовательность {9г}
вещественных чисел, что числовая последовательность {tki6i} сходится и
f'rm(χο + 0tkihki)hki - fn. (x0 + 0tkxhki)hki £ V0 для всех г, но это
противоречит (4.10.3).
Если множество V замкнуто и выпукло, то из (4.10.4) вытекает, что
conv Cm^n-k С V для таких т, гг, /с; так как пространство G локально
выпукло, отсюда следует, что в G мы имеем
Ът,щк > 0. (4.10.5)
т,п,к—>οο
Так как по условию существует такое zo Ε G, что /п(#о) "~* ζο, то
amn ξ fm(xo) — fn(xo) —► 0 в G при m, η —> оо; отсюда и из (4.10.5)
вытекает (если положить £& = 1 для всех /с), что
/m(s0 + hk) - fn(xo + hk) > 0. (4.10.6)
m,n,k—»oo
Следовательно, для каждого χ e Ε получаем
/m(s) - /nW > 0, (4.10.7)
га,η—»oo
поскольку можно считать, что hk = χ — Xq для каждого /с.

4.10. Дополнения и задачи
397
Из (4.10.7) в силу секвенциальной полноты G следует, что
существует отображение /': Ε —> G такое, что fm{x) — f(x) —> 0 для каждого
вектора χ Ε Ε; в частности, для каждого к имеем
fm(xo + hk) - f(x0 Η- Λ*) > 0. (4.10.8)
га—юо
Из соотношений (4.10.6) и (4.10.8) в силу следствия 4.5.4 вытекает, что
fm(xo + hk) — f{xo + hk) —» 0 при m, /с —> оо; это значит, что имеет место
сходимость /т —> / в J^(£?, G).
Докажем теперь, что / является /3-дифференцируемым в каждой
точке χ G £", причем /' = #. Так как уже доказано, что
последовательность {fm{x)} сходится для всех χ Ε Е, то без ограничения общности
можно предполагать, что χ = xq.
Для каждой пары г, j натуральных чисел положим
Cij = ^(fiixo + tjhj) - fi{xo)),
сз = t^iffro + tjhj) - f(x0)).
В силу (4.10.5) имеем cm£ — спк —> 0 при га, гг, /с —> оо и в силу (4.10.8)
имеем ст& — Ск —> 0 при га —> оо для каждого /с. Поэтому
Crafc - cfc ► 0. (4.10.9)
m,fc—>00
Этот факт проверяется непосредственно.
Теперь для каждой пары г, j натуральных чисел положим
(Uj = с^ - fl(xo)hj, dj = Cj - g(x0)hj.
Поскольку в силу сходимости последовательности {//} в пространстве
Τ{Ε,€β(Ε,ΰ)) справедливо соотношение
fl(xo)hj - g(x0)hj — ► 0,
1,3^00
то из (4.10.9) вытекает, что
dij - dj > 0. (4.10.10)
ij—»oo
Кроме того, из дифференцируемости каждой из функций fi следует,
что
dij > 0. (4.10.11)
Из (4.10.10) и (4.10.11) вытекает, что dj —> 0; но это означает, что
отображение г: h »—> f(xo + h) — f(xo) — g(xo)h является /3-малым.
Таким образом, чтобы установить /3-дифференцируемость
отображения / в точке хо и равенство f'(xo) = д{хо), достаточно показать, что
д(хо) Ε C(E,G). Это включение является следствием того, что предел
в Τ β (Ε, G) последовательности секвенциально непрерывных
отображений является секвенциально непрерывным отображением. Докажем это

398
Глава 4. Дифференциальное исчисление
последнее утверждение. Пусть su^sb Τβ(Ε,ΰ), {hk} — сходящаяся
последовательность элементов Ε и хо Ε Ε. Поскольку множество
элементов последовательности {hk} принадлежит семейству /3, то
fm(xo + hk) - f(x0 + hk) > О,
га,/с—»оо
fm(xo + Л*) - f(xo) > 0 Vra, fm(xo) > f(xo)-
к—юо га—юо
В силу утверждения (II) теоремы 4.10.23 из этих соотношений следует,
что f(xo + /ifc) —> /(#о); это и означает, что / секвенциально
непрерывно. Утверждение (II) теоремы доказано. Та часть проведенного
доказательства, которая посвящена установлению /3-дифференцируемое™ /,
является в то же время и доказательством утверждения (I). D
4.10.24. Замечание. Условиям, наложенным в теореме 4.10.23 на
систему /3, удовлетворяют системы σ^ и σ<?.
4.10(ν). Полнота пространств гладких отображений
Если E,G — топологические векторные пространства, β —
некоторое множество ограниченных подмножеств £7, то символом C^(E,G)
обозначается множество всех секвенциально непрерывных
отображений Ε в G, наделенное топологией, индуцированной из Τβ{Ε, G); легко
видеть, что Cp(E,G) — топологическая векторная группа. Далее,
через Οβ(Ε, G), где А; € IN, будем обозначать топологическую векторную
группу, определяемую так:
Сд{Е, G) состоит из таких отображений / Ε С β (Ε, G), что /
является к раз β-дифференцируемым в каждой точке х, причем отображение
х ·—* f^\x)i Ε -* £/3(-E?G) секвенциально непрерывно для каждого
j Ε {1, 2,..., к}. Топология в С*(Е, G) есть проективная топология
относительно отображений
Ckp{E,G)^T{E,Zjp{E,G)), /-/<'>.
Через С β (Ε, G), где к G {0,1,2,... }, будем обозначать наделенное
индуцированной топологией подпространство топологического
векторного пространства Οβ(Ε, G), состоящее из всех таких отображений /, что
для всякого j е {0,1,2,..., к} отображение χ ^ fu)(x), Ε -> £?β(Ε, G)
ограничено (т.е. переводит ограниченные множества в ограниченные).
Очевидно, все Οβ(Ε, G) — топологические векторные пространства.
Через C™(E,G) будет обозначаться проективный предел относительно
канонических отображений последовательности пространств С β (Ε, G).

4.10. Дополнения и задачи
399
4.10.25. Теорема. Пусть Ε и G — топологические векторные
пространства, причем G секвенциально полно. Тогда топологическое
векторное пространство Ср(Е, G) секвенциально полно. Если же β —
множество ограниченных подмножеств Е, удовлетворяющее
условиям теоремы 4.10.23, то топологическая векторная группа Cp(E,G)
секвенциально полна (к = 0,1, 2,...).
Доказательство. Первое утверждение легко проверяется
непосредственно; второе вытекает из теоремы 4.10.23. D
Исследуем дифференцируемость отображения взятия композиции.
Для дальнейшего потребуется следующая лемма.
4.10.26. Лемма. Пусть Ео, Go — топологические векторные
пространства, То — локально выпуклое пространство, причем Go
удовлетворяет условию сходимости Макки из замечания 4.3.2. Пусть L —
топологическое векторное подпространство в C^(E0^Go),
отображение F Ε C£(Go,To) всюду дважды Ъ-дифференцируемо и
отображение Fq ограничено. Определим F*: L —► C^(Go,T0) так: если φ Ε L,
то F*((p)(x) = F{if{x)). Тогда F* всюду секвенциально непрерывно и
Ъ-дифференцируемо, причем для φ, h £ L и χ Ε Ε имеем
(F.)'(v)W(x) =F'(<p(x))(h(x)). (4.10.12)
Доказательство. В силу условия сходимости Макки,
наложенного на Go, из ограниченности и секвенциальной непрерывности
отображения ζ ι—> F'(z), Go —> Cb(Go, To) вытекает, что если φ Ε C®(Eo, Go),
то отображение Ы [хи F'(φ(χ)) (h(x))], L —> C®(Eo,To) корректно
определено и секвенциально непрерывно. Пусть теперь φΕΣ,, {χη} —
ограниченная последовательность в Е, {hn} — ограниченная
последовательность в L и {tn} — сходящаяся к нулю последовательность
ненулевых чисел. Тогда элемент
t-1 (F(<p(xn) + tnhn(xn)) - F(¥>(*n))) - F'{ip{xn)) (hn(xn))
входит в множество
conv {F'{ip'{xn) + 9tnhn(xn))hn(xn) - F'(<p(xn)hn(xn)): 0 <θ< l}c
С conv {F"(φ(χη) + \etnhn(xn)) · tnhn{xn) · hn(xn): 0 < A,0 < l}.
Из ограниченности последовательностей {hn} и {хп} вытекает, что при
любом выборе последовательностей {Ап} и {θη} из [0,1]
последовательности {φ(χη) + \nQntnh»n{xn)} и {hn(xn)} ограничены в G. Так как
tn —> 0, то отсюда следует, что для таких {Ап} и {θη} мы имеем
F"(tp{xn) + Xn0ntnhn{xn)) · tnhn(xn) · hn(xn) -> 0

400 Глава 4. Дифференциальное исчисление
в То при η —> оо; это означает, что выполнено соотношение
i-1(F*((^ + in/in)-F*(^))-F,((^(.))/in(-)-^0 при η ^οο
в С®(Ео, То), т. е. отображение F* является Ь-дифференцируемым в
точке φ и справедливо равенство (4.10.12). D
Пусть Е, G, Τ — топологические векторные пространства, причем
Τ локально выпукло, com — отображение взятия композиции:
com : (/, д) -> fog, T(E, G) x Τ{β, Τ) -> ^(£7, Τ),
ρ — натуральное число, q — неотрицательное целое число, с\ —
сужение отображения com на С^?(£, G) χ С!?+Р+1(С, Т) и с2 — сужение
отображения com на Cqb{E,G) xC69+p+1(G,T).
4.10.27. Теорема. Отображение с\ секвенциально непрерывно и
ρ раз s-дифференцируемо как отображение своей области определения
в пространство С%(Е,Т). Отображение С2 секвенциально непрерывно
и ρ раз Bb-дифференцируемо как отображение своей области
определения в пространство С%(Е,Т), а если пространство G
удовлетворяет условию сходимости Макки из замечания 4.3.2, то с% и ρ раз
Ъ-дифференцируемо. Если при этом г Ε {1,2,... ,р} и
{9,f),{kiM),...,{kr,hr)eCqb{E,G)xCl+p+1{G,T),
то в естественных обозначениях
4rW)((*i>>»i),...,(fcr,M) = (4.10.13)
Г
= Σ ^"^teX**·,..., fct+i, fct-i,..., fci) + f{r)(g)(kr, ·. ·, /ci);
i=l
если (#,/), (fci,fti),...,(fcr,ftr) e C% (E,G) χ Cj+P+1{G,T), то
выполнено равенство, получаемое из равенства (4.10.13) заменой символа c<i
символом с\.
Доказательство. Тот факт, что образы отображений С2 и с\
лежат в соответствующих пространствах, вытекает из результатов § 4.5.
Секвенциальная непрерывность отображения
с2: СЦЕ, G) χ C!+P+1(G, Г) -> СЦЕ, Т)
вытекает из теоремы 4.5.18 (проверьте это).
Из леммы выше почти непосредственно вытекает, что отображение
С2 один раз Ь-дифференцируемо для ρ = 1, q = 0. В самом деле, эта
лемма утверждает, что отображение С2 в этом случае 6-дифференцируемо
по подпространству С®(Е, G); кроме того, линейность и непрерывность
отображения
δϊ(0,Τ)3φ~φο/Ε6£(Ε,Τ)

4.10. Дополнения и задачи
401
означают, что отображение С2 6-дифференцируемо и по
подпространству Cb{Cb{E,G)xCb~]~p~]~1(G,T)). Поэтому из секвенциальной
непрерывности отображения
C0b(E,G)xCi(G,T)^cl{C0b(E,G)xC2b(G,nC°b(E,T)),
(/b/2) »-> [(УьУЪ) ^ y?2 0/l]
(являющейся следствием того, что пространство G удовлетворяет
условию сходимости Макки) и теоремы 4.8.1 вытекает, что отображение С2
является 6-дифференцируемым и для соответствующих аргументов мы
имеем
(c2)'(g,f)(k,h) =h(g(.)) +f(g(.))(k(.)). (4.10.14)
Пусть теперь s ^ 1, ρ = 1. Пользуясь леммой 4.5.17, можно установить,
что линейное отображение
6ξ(Ε,0)χ6ξ+2(0,Τ) - С«(£,Г), (Л,Л) -> Ло5 + /'(5(.))А(·)
секвенциально непрерывно при фиксированных д, f из
соответствующих пространств. Поэтому для доказательства 6-дифференцируемое™
отображения С2 и равенства (4.10.13) достаточно показать, что если
кп,9 £ С£(.Е, G), /ιη?/ € G^+2(G,T), га е IN, причем
последовательности {/cn} и {/ιη} ограничены в соответствующих пространствах, то
в естественных обозначениях мы имеем
tn1 ((/ + tnhn)o(g + tnkn) - fog) - hnog - /'(#(·)) o/cn(·) -> 0
в Cb(E,T), если £n —> 0, tn G IR1\{0}. Для этого достаточно показать
(в силу (4.10.14)), что для каждого j G {1,2,..., #} последовательность
6-производных порядка j отображений
χ „ (/ + W((g + ^)(»))-/(g(»)) _ к{д{х)) _ гш)кп{х)
сходится к некоторому отображению из Ε в СЬ(Е,Т) равномерно на
ограниченных множествах из Е, ибо в силу теоремы 4.10.23 и
соотношения (4.10.14) это отображение будет тождественно равно нулю.
Последнее утверждение будет доказано, если удастся доказать, что
(для каждого из указанных j) отображение
Ф: (<?,/) ~ (f°9)ij\ C!(E,G)xC!+2(G,T) -+ C°b(E,cl(E,T))
b-дифференцируемо; при этом автоматически — снова в силу
теоремы 4.10.23 — 6-производная этого отображения в точке (#, /) при
приращении (/с, h) будет равна j-R производной отображения, стоящего
в правой части (4.10.14).
В силу теоремы 4.5.18 отображение Φ представляет собой сумму
конечного числа отображений; каждое из этих отображений задается

402
Глава 4. Дифференциальное исчисление
натуральными числами т G {1,2,..., j} и щ,..., nm, η ι Η hnm = j;
отображение, заданное этими числами, определяется так:
(до f)^f^(g(-))(g^ (■),...,д^Н-))еб^(Е,с1(Е,Т)).
Обозначим это последнее отображение через Ф; таким образом, все
сводится к доказательству его 6-дифференцируемое™.
Пусть V = Gxl%1(E,G)x...x£;rn(E,G), f G C«+2(G,T), Fvf -
отображение V в £b(E,T), определяемое так:
Fvf(z, h,..., lm) = fW(z)(!i(·), ■■-, U·))·
В силу леммы 4.5.16 отображение Fyf бесконечно
6-дифференцируемо по подпространству Сь λ (Ε, G) χ · · · χ £6m (E, G). Из двукратной b-
дифференцируемости отображения /(m): G —> Cb (G,T) и
секвенциальной непрерывности и ограниченности его первых двух
производных вытекает, что производная отображения Fyf по подпространству
Сь λ (Ε, G) χ · · · χ £6m (E, G) является 6-дифференцируемой по
подпространству G и что само Fyf дважды Ъ-дифференцируемо по
подпространству G. При этом (снова по лемме 4.5.16) 6-производная
отображения Fyf по подпространству G оказывается 6-дифференцируемой по
подпространству Сь λ (£7, G) χ · · · χ Cb m (Ε, G).
Все перечисленные производные секвенциально непрерывны как
отображения в соответствующие пространства. Из указанных свойств
отображения Fyf и теоремы 4.8.1 следует, что это отображение
дважды Ь-дифференцируемо. Наконец, из того, что значения двух первых
производных отображения f^ ограничены на ограниченных
множествах, вытекает, что аналогичным свойством обладают и первые две
производные Fyf (чтобы это заметить, следует воспользоваться явным
видом этих производных, устанавливаемым при помощи леммы 4.5.16).
Из сказанного в последней фразе следует, что отображение Φ
является 6-дифференцируемым по подпространству Cq(E,G).
Действительно, если / G C9+2(G, T), то отображение д »—> Ψ(#, /) представляет
собой композицию двух отображений:
Οξ(Ε,Ο) Λ Clm{E,V) ^^ С°Ь(Е,С1(Е,Т));
здесь Л = [д »-> (#(·)> #(П1Ч')> · · · >#(ПтЧ')]> а символ (·)* был определен
в лемме выше.
Отображение Л линейно и непрерывно, а потому оно бесконечно
Ь-дифференцируемо; по упомянутой выше лемме отображение (Fyf)*
тоже Ъ-дифференцируемо. Поэтому ввиду теоремы 4.5.11 отображение

4.10. Дополнения и задачи
403
д ь-> Ф(#, /) также 6-дифференцируемо. Поскольку отображение Φ
линейно и непрерывно по второму аргументу, оно 6-дифференцируемо
и по подпространству C9+2(G, T). Из условия сходимости Макки,
наложенного на пространство G, вытекает, как легко видеть, что
отображение
(ff,/)~*2(0>/)>
C?(S, G) χ C69+2(G, Τ) ^ (СЦЕ, G) x C«+2(G, Г) Д°(Е,?Ь{Е, Г))),
Φ2(·,·) = Φ5;+»(σ,Γ)(·'·)
секвенциально непрерывно. Таким образом, в силу теоремы 4.8.1
отображение Φ являетсяб-дифференцируемым. Итак, доказано, что
отображение С2 один раз Ь-дифференцируемо при всяком s, а также что для
г = 1 справедливо равенство (4.10.13).
Предположим теперь, что р^ 2, j Ε {1,2,...,р— 1}и уже доказано,
что отображение
с3: С69(£, G) χ C69+P+1(G, Г) -+ СЦЕ, Т)
j раз 6-дифференцируемо, причем для г = j и соответствующих
значений аргументов справедливо равенство (4.10.13); докажем, что тогда
все сказанное верно и для j + 1.
Достаточно показать, что отображение
d: C69(X,r)xC69+p+1(r,Z)^
- V (6ξ(Χ, Υ) χ6ξ+ρ+1 (Υ, Ζ), СЦХ, Ζ)),
Gi(g,f): (*!,...,*,·) ~/ω(0)(^.,...,Αι)
и при г ^ j отображения
Qn Cl{X,Y)^L\Cl{X,Y)*Cl+v+\Y,Z),Cl{X,Z)),
Qi(g): (/с1,...,/сг-ь/сг+ъ·.. ,kj,hi) ь-> h\J~1\g)(kj,..., кг)
один раз 6-дифференцируемы, причем
G[(gJ)(k,h): (^,...,^)^^ωω(^?.·.^ι)+
+ /ϋ+1)(<?)(Μ,-,...^ι),
Q'i(9)(k): (/ci,...,/ci-i,fe+i,...,/cj,/ii) »-> h\J\g)(k, kj,..., /ci).
В доказательстве 6-дифференцируемое™ отображений (^ и Gi
используется то обстоятельство, что утверждение теоремы уже доказано для
ρ = 1. Именно, отображение G\ есть композиция следующих
отображений: (#, /) ι—> (g,f^) »—> f^\g)\ δ-дифференцируемость первого из них
очевидна, 6-дифференцируемость второго вытекает из уже доказанной

404
Глава 4. Дифференциальное исчисление
части теоремы. Пусть теперь г ^ j и hi — фиксированный элемент
пространства С^+Р+1(У, Z). Тогда отображение
д ь-> [(кг,..., кг-г^кг+и · · ·, kj) ^ h\3~1)(g)(kj,..., кг)]
из Cb(X,Y) в Lb(Cb(X,Y),Cb(X,Z)) является 6-дифференцируемым
по уже доказанной части теоремы. Это значит, что отображение Qi
тоже Ъ-дифференцируемо как отображение в пространство,
совпадающее по запасу элементов с Vb(Cqb(X,Y) x С69+Р+1(У, Z),Cqb(X,Z)), но
наделенное топологией поточечной сходимости. Отсюда в силу
теоремы 4.8.1 вытекает, что Ъ-дифференцируемо и Qi (при проверке
выполнения одного из условий этой теоремы — непрерывности
соответствующей производной — используется условие сходимости Макки).
Утверждение теоремы о 5-дифференцируемое™ доказано.
Утверждение о s-дифференцируемое™ доказывается сходным
образом; при этом утверждения, аналогичные тем, при проверке которых
в ходе проведенного выше доказательства использовалось условие
сходимости Макки, оказываются справедливыми и без этого ограничения.
Наконец, доказательство оставшейся части теоремы о Бб-дифферен-
цируемости также близко к проведенному доказательству последней
ее части; отличие состоит опять же в том, что использование
условия сходимости Макки следует заменить непосредственной проверкой
принадлежности возникающих отображений нужным пространствам.
При этом те линейные отображения, которые являются производными
(соответствующих отображений) оказываются всего лишь
ограниченными, но не секвенциально непрерывными. D
Рассмотрим теперь так называемый экспоненциальный закон для
пространств гладких отображений. Пусть X и Υ — топологические
векторные пространства и β(Χ) — некоторое множество
ограниченных подмножеств X. Будем говорить, что для β-дифференцируемых
отображений пространств X и Υ справедлив экспоненциальный закон,
если для всякого локально выпуклого пространства Ζ отображение из
С^(Х χΥ,Ζ) в С™ (X, CpD(Y, Z)), переводящее отображение / в
отображение χ ь-> F/, Ff(x)(y) = /(ж,у), представляет собой изоморфизм
этих пространств.
4.10.28. Теорема. Экспоненциальный закон выполнен для Ъ-диф-
ференцируемых отображений произвольных топологических
векторных пространств, удовлетворяющих условию сходимости Макки.
Доказательство можно прочитать в Смолянов [146, с. 57].
Различные результаты, связанные с построением и продолжением
гладких функций на локально выпуклых пространствах, можно найти
в Atkin [206], Colombeau [254], Shkarin [454], [456].

4.10. Дополнения и задачи
405
4.10(vi). Дифференцируемость через псевдотопологии
Множество всех фильтров на непустом множестве Ρ обозначим
через Ф(Р); 2ф(р) — множество всех подмножеств Ф(Р).
4.10.29. Определение. Псевдотопологией на Ρ называют
отображение τ: Ρ —> 2ф(р\ для которого (i) фильтр Фх всех
подмножеств, содержащих х, входит в т(х) для всех х\ (и) для всякой
точки χ имеем φ Π ψ G τ (χ) для всех φ, ψ G τ {χ), причем если фильтр
η G Φ (Ρ) содержит элемент из τ (χ), то η G τ (χ).
Пространство с псевдотопологией называется
псевдотопологическим. Всякое топологическое пространство оказывается
псевдотопологическим, если т(х) задать как набор всех фильтров, сходящихся к х.
Фильтр φ в псевдотопологическом пространстве Ρ сходится к точке
ρ G Ρ, если φ G τ (ρ). Отображение /: Ρ —> Q псевдотопологических
пространств называется непрерывным в точке р, если оно переводит
сходящиеся к ρ фильтры в фильтры, сходящиеся к /(р).
Произведение псевдотопологических пространств (Ρ,τρ) и (Q,tq)
наделяется псевдотопологией rpXQ = tpxtq, являющейся слабейшей
среди псевдотопологий на PxQ, для которых проекции на сомножители
непрерывны. Сходимость фильтра η в этой псевдотопологии к (р, q)
означает, что η содержит φχψ, где фильтр φ сходится к ρ в тр, а фильтр
ψ сходится к q в tq.
С помощью этого вводится понятие псевдотопологического
линейного пространства (-Х",т), т.е. линейного пространства, для которого
линейная структура согласована с псевдотопологией в том смысле, что
операции (ж, у) »—> χ — у и (А, х) »—> Хх непрерывны на Χ χ X и И1 χ Χ
соответственно. Через rtv обозначим сильнейшую векторную
топологию на X, для которой порождаемая псевдотопология мажорируется
псевдотопологией т; положим Xtv = (X,rtv).
Пусть даны псевдотопологические линейные пространства X и У.
Предположим, что пространство F(X, У) отображений из X в Υ также
наделено некоторой псевдотопологией т. Будем говорить, что
отображение г: X —> Υ является т-малым первого порядка, если непрерывно
в нуле отображение 1»—> г*, И1 —> Т(Х, У), заданное следующим
образом: rt(x) = ί~λτ(ίχ) при t Φ 0, ro(x) = 0.
Конечно, можно считать, что рассматриваются отображения лишь
в подмножество Т{Х, У), снабженное псевдотопологией.
Предположим еще, что в Т(Х, Υ) даны линейные подпространства
Η(Χ,Υ) и ΊΖ(Χ,Υ), причем ΊΖ(Χ,Υ) состоит из т-малых первого
порядка отображений, и если L G Н(Х, У), г G Т1(Х, У) и L(x) = г (χ) для
всех χ из некоторой окрестности нуля в rtv, то L = 0. Роль Τί(Χ,Υ)
обычно играет некоторое пространство линейных отображений. Пусть
хо G V С X, причем есть такая окрестность нуля Vo G rtv, что xq + Vq С У.

406
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.10.30. Определение. Отображение f :V —>F назовем НТ
-дифференцируемым в хо, если найдется отображение f'(xo) Ε Η(Χ,Υ),
для которого f(xo + h) — f(xo) = ff(xo)(h) + r(h), где г е ΊΙ(Χ,Υ).
Различные виды дифференцируемое™ можно получать, варьируя
части Т(Х, У), на которых могут быть заданы различные
псевдотопологии т, и выбирая различные классы Η(Χ,Υ) и ΊΖ(Χ,Υ). Подробно
эти вопросы рассмотрены в книге Смолянов [146]. В работе
Смоляное [145] показано, что для широкого класса локально выпуклых
пространств значительная часть известных определений бесконечной
дифференцируемое™ распадается на две серии, состоящие из
эквивалентных определений. Отметим, что из такой дифференцируемости отнюдь
не всегда следует непрерывность.
4.10(vii). Гладкие функции на банаховых пространствах
Упомянем несколько фактов, связанных с гладкими функциями на
банаховых пространствах. Специфика этого случая столь значительна,
что вряд ли уместно обсуждать его в книге по общим топологическим
векторным пространствам, но все же некоторые сведения привести
стоит. Мы коснемся трех вопросов: приближение гладкими функциями,
существование гладких функций с ограниченными носителями и
теорема Сарда. Подробнее с этим направлением можно познакомиться по
книгам Benyamini, Lindenstrauss [220], Deville, Godefroy, Zizler [262],
Fabian и др. [290], [291], Llavona [382] и статьям Немировский,
Семенов [103], Царьков [167], Bogachev [228], где можно найти и
доказательства приводимых фактов и ссылки.
Начнем с замечаний о приближении дифференцируемыми
отображениями в бесконечномерных пространствах. Пусть X — сепарабель-
ное банахово пространство с замкнутым единичным шаром U.
4.10.31. Теорема. Всякая равномерно непрерывная вещественная
функция f на U равномерно приближается липшицевыми функциями,
дифференцируемыми по Адамару.
Однако на пространстве С[0,1] даже норма не приближается
равномерно на U функциями, дифференцируемыми по Фреше.
4.10.32. Теорема. На гильбертовом пространстве равномерно
непрерывные функции приближаются равномерно функциями с
ограниченными и непрерывными вторыми производными Фреше, однако
на I2 есть липшицева функция, которая не приближается равномерно
на U функциями с равномерно непрерывными вторыми производными.
Таким образом, даже в случае гильбертова пространства
граница между положительными и отрицательными результатами проходит
между непрерывностью и равномерной непрерывностью ограниченных
вторых производных приближающих функций.

4.10. Дополнения и задачи 407
Положение с приближением бесконечномерных отображений еще
более сложное. Существуют равномерно непрерывные отображения из
сепарабельных банаховых пространств в /2, которые нельзя
равномерно приблизить липшицевыми отображениями. Однако равномерно
непрерывные отображения между гильбертовыми пространствами
обладают равномерными липшицевыми приближениями с ограниченными
производными Фреше. Задачи построения различных приближений
бывают связаны с существованием гладких функций с ограниченными
носителями. Упомянем несколько любопытных фактов.
4.10.33. Теорема, (i) На С[0,1] нет ненулевых
дифференцируемых по Фреше функций с ограниченными носителями.
(и) Если на банаховом пространстве X и на его сопряженном
есть ненулевые функции с ограниченными носителями и локально
липшицевыми производными, то X гильбертово.
(ш) Существование ненулевых функций с ограниченными
носителями и липшицевыми производными равносильно существованию
эквивалентной нормы с липшицевой производной на единичной сфере.
(iv) На со есть ненулевая С°° -функция с ограниченным носителем
(на со есть даже эквивалентная норма, вещественно-аналитическая
вне нуля).
(ν) Если X обладает ненулевой Ск-функцией с ограниченным
носителем, то X содержит изоморфную копию либо cq, либо lk.
О теореме Ролля в бесконечномерных пространствах (включая
разные контрпримеры) см. Шкарин [176]. Закончим этот экскурс
упоминанием известной теоремы Сарда, согласно которой гладкое отображение
конечномерных пространств переводит множество своих критических
точек (т. е. точек, где производная не является обратимым оператором)
во множество меры нуль. Эта теорема имеет ряд бесконечномерных
аналогов, но эти аналоги требуют различных дополнительных условий.
Например, в задаче 4.10.48 указан многочлен третьей степени на /2,
у которого образ множества критических точек заполняет целый
отрезок, а также полиномиальное отображение третьей степени в С[0,1],
у которого образ множества критических точек имеет внутренность.
См. также Bates [216] и задачу 4.10.51.
Задачи
4.10.34.° Проверить дифференцируемость отображения (4.5.1).
4.10.35. Пусть X — ненормируемое метризуемое локально выпуклое
пространство. Показать, что в X есть сходящаяся к нулю последовательность
ненулевых векторов αη, для которой при любом выборе чисел λη
последовательность векторов ληαη либо сходится к нулю, либо неограничена.
4.10.36.° Привести пример двух дифференцируемых по Гато
отображений плоскости, композиция которых не дифференцируема по Гато.

408
Глава 4. Дифференциальное исчисление
4.10.37. Доказать, что отображение F: X —► Υ нормированных
пространств дифференцируемо в ю 6 X по Адамару в точности тогда, когда
существует такой оператор L £ £(Х, У)-, что для всякого
дифференцируемого в нуле отображения φ: Ш1 —> X с φ(0) = хо композиция Fotp: IR1 —> Υ
дифференцируема в точке 0 и (Fo(^)'(O) = Ly/(0).
Указание: см. Богачев, Смолянов [21, теорема 12.2.5].
4.10.38.° (i) Доказать, что пересечение аффинных подпространств
векторного пространства есть аффинное подпространство.
(ii) Пусть X и Υ — линейные пространства и Μ — аффинное
подпространство в Χ χ Υ. Доказать, что множество Му = {х £ X: (х, у) £ М}
является аффинным подпространством в X для каждого у £ Υ.
4.10.39. (С.А. Шкарин) Пусть Ε — секвенциально полное локально
выпуклое пространство и отображение F: £?х[0,1] —> Е таково, что для всякого
χ £ Ε отображение 1ι—> F(x, t) липшицево (по каждой полунорме на Ε из
задающего топологию набора), а для каждого t £ [0,1] отображение χ ι-> F(x, t)
линейно и секвенциально непрерывно. Доказать, что F секвенциально
непрерывно по совокупности переменных.
4.10.40.° Пусть Ε — локально выпуклое пространство, {νη} С Е,
причем для каждого t £ (—1,1) ряд Ση°=ι ^Пуп сходится в топологии σ(Ε,Ε').
Доказать, что он сходится в топологии Макки.
4.10.41. (Astala [205]) Доказать, что для локально выпуклого
пространства Ε следующие условия равносильны: (i) пространство Ε секвенциально
полно и содержит компактную бочку; (ii) оно имеет вид (Χ',τ), где X' —
сопряженное к бочечному нормированному пространству X, наделенное
локально выпуклой топологией т, промежуточной между σ(Χ\ Χ) и
топологией сходимости на предкомпактных множествах из X.
4.10.42? (i) Пусть X = C^IR1) с топологией равномерной сходимости на
компактах, f(x)(t) = exp x(t). Показать, что / имеет производную /' по
системе компактных множеств, непрерывную относительно топологии сходимости
на компактах, /'(0) = /, но никакая окрестность /(0) не входит полностью
в образ /. (ii) Построить аналогичный пример отображения /: IR°° —> IR°°.
4.10.43? Пусть в ситуации примера 4.2.16 множество К компактно,
выпукло и уравновешено, причем {Jn°=1 n^ плотно в X. Показать, что / имеет
нулевую производную Гато во всех точках Uo<t<i ^·
4.10.44. Пусть последовательность {хп} в локально выпуклом
пространстве Ε такова, что существуют числа λη —> +оо, для которых ληχη —> 0.
Показать, что найдутся такие функция / £ С°° (Ш1, Е) и числа tn —> 0, что
f(tn) = хп для бесконечно многих п.
2
Указание: перейдя к подпоследовательности, считать, что 2П хп —> 0;
рассмотреть f(t) = £~=1 φι(2η-Η)φ2(2ηί)χη, где <ри<р2 £ С00^1), φι(ί) = 1
при t ^ 1/2, φι(ί) = 0 при t ^ 3/4, φ2(ί) = 0 при t ^ 3/4, φ2(ί) = 1 при t ^ 1;
тогда /(2"п) = хп.
4.10.45. Доказать предложение 4.10.5 и лемму 4.10.6.

4.10. Дополнения и задачи
409
4.10.46. (Лобанов [89]) Пусть сепарабельное локально выпуклое
пространство Ε содержит ограниченное не предкомпактное множество. Тогда
для каждого т Ε IN и всякого предкомпактного множества К С Ε найдется
функция / Ε С™(Ε), у которой производная порядка т по системе
ограниченных множеств не существует ни в одной точке К.
Указание: модифицировать доказательство предложения 4.1.13, взять
тп = sup{|/i(x)|: г ^ η, ж Ε К}, заменить 4_п на 8_п в оценке для £п, перейти
к случаю тп < £п/8, в формуле для /(ж) вместо tn взять £™, а функцию ψ2
взять с дополнительным условием ψ2~ W — 1 ПРИ 1^ — Ц ^ 1/8·
4.10.47. (Лобанов [88]) Пусть φ: JR^l2,t^ {tn/n\}%Lu Uk - шар в I2
радиуса 8_fc с центром в точке ак = φ(2~Η). Тогда функция / на Ζ2, равная
нулю вне всех Uk и на каждом Uk являющаяся бесконечно
дифференцируемой по Фреше с носителем строго внутри Uk и /(ак) = 1, разрывна в нуле,
но ее сужение на всякую замкнутую гиперплоскость бесконечно
дифференцируемо по Фреше.
4.10.48. (Bonic [236]) Пусть φ(ί) = St2-2t3, φη{€) = 21~ηφ(2η/4). (i)
Показать, что функция / на /2, заданная формулой /(ж) = Σ™=1 ψη{χη)·,
является непрерывным многочленом третьей степени, а образ множества ее
критических точек содержит [0, 2].
(и) Проверить, что отображение /: жиж3 пространства С[0,1] имеет
в качестве множества критических точек множество S функций ж, имеющих
нули, причем S обладает внутренними точками и f(S) = S.
4.10.49. (Bonic [236]) Пусть F: I2 -> Z2, F(x) = (ж?,ж2,...).
Показать, что F — непрерывное полиномиальное отображение второй степени,
но неверно, что оно переводит слабо сходящиеся последовательности в
сходящиеся по норме, хотя все производные F'(x) — компактные операторы.
4.10.50. Пусть F — пространство Фреше, uq Ε F и для каждого η Ε 1Ν
задано непрерывное η-линейное симметричное отображение ип: IRn —> F.
Доказать, что существует такое бесконечно дифференцируемое отображение
и: IR1 —> F, что и^п\0) = ип при всех η ^ 0. Более общие утверждения см.
в Colombeau [254], Шкарин [177].
4.10.51. (Bates [217]) Пусть X — бесконечномерное банахово
пространство. Доказать, что существует бесконечно дифференцируемое по Фреше
сюръективное отображение /: X —> IR2, для которого производная /'(ж)
не сюръективна ни в одной точке ж.
4.10.52. Показать, что если Ε — пространство Макки, причем Е'
секвенциально полно в топологии σ(Ε',Ε) (что верно для бочечного Е), то из
сходимости хп —> 0 в Ε и сходимости уп —► 0 в топологии σ(£", Ε) следует
сходимость (уп,Хп) —> 0.
4.10.53. Пусть множество А ограничено, но не предкомпактно в сепара-
бельном локально выпуклом пространстве Е. Доказать, что найдутся
последовательность {ап} С Л и равностепенно непрерывная последовательность
{fk} С Е\ поточечно сходящаяся к нулю, для которых fn(an) = 1, /т(ап) = О
при т > п. Ср. с задачей 3.12.152.

410
Глава 4. Дифференциальное исчисление
Указание: найдутся абсолютно выпуклая окрестность нуля W и
последовательность {ап} С А, для которых сц — clj 0 W при всех г φ j; пусть
{bi} — всюду плотная последовательность в Е\ перейдя к
подпоследовательности в {αη}, можно считать, что ρ\ν(αη — о>%) ^ 1 и pw(an — Ы) ^ 1 при
η > г; на линейной оболочке αι,...,αη и &ι,..., 6η-ι есть линейный
функционал /п ^ pw, для которого fn(an) = 1, /η(α0 = fn(bi) = 0 при г < η;
продолжить fn на Ε1, заметить, что {/п} С W0 и fn(bi) —> 0 при каждом
фиксированном г.
4.10.54. Пусть локально выпуклое пространство X удовлетворяет
условию сходимости Макки. Показать, что для всякого локально выпуклого
пространства У всякое η-линейное отображение L: X —► У, ограниченное на
сходящихся к нулю последовательностях, ограничено на ограниченных
множествах.
Указание: если последовательности {h[},..., {hJn} ограничены в X, но
{L(h{,..., /in)} неограничена в У, то найдутся cj —> 0, для которых
неограничен {L(cjh[,... ,/in)}; взяв Tj —> оо так, что TjCjh[ —> 0 в X, заметить,
что Γ/1/ηΛ{ - 0, откуда Цс^ГГ^.ТГ1/"^,... ,Τ/1/ηΛ^) - 0.
4.10.55. Доказать такой аналог следствия 4.9.10: если X удовлетворяет
условию сходимости Макки и У секвенциально полно, то для существования
6-производной /: X —> Υ порядка η в точке хо достаточно существования
с-производной порядка η + 1 в этой точке всех функций /(/), где Ζ Ε У'.
4.10.56. Пространство Ε финитных последовательностей наделим
топологией строгого индуктивного предела пространств IRn. Пусть еп £ Ε
имеет 1 на месте η и 0 на остальных местах. Функционалы /п зададим так:
fn(x) = Хп, х = (хп)· Показать, что оператор Ах = Σ™=1 fn(x)en+i
непрерывен в £7, но уравнение x'(t) = Ax(t), х(0) = ζ разрешимо лишь при ζ = 0.
Указание: всякий компакт в Ε лежит в некотором IRn.
4.10.57.° Пусть X и У — нормированные пространства. Показать, что
непрерывность отображения /: X —> У равносильна непрерывности всех
композиций /οφ для непрерывных отображений φ: IR —> X, а также
равносильна непрерывности ψ of для всех непрерывных функций ф: У —> IR.
4.10.58. (Царьков, Шавгулидзе [168]) (i) Пусть S — единичная
сфера в /2. Существует бесконечно дифференцируемая по Фреше изометрия
F: I2 -> 5с ограниченными производными всех порядков, (ii) Для
всякого сепарабельного банахова пространства X существует бесконечно
дифференцируемая по Фреше изометрия из X в сферу в С[0,1] с ограниченными
производными всех порядков.
4.10.59. (Теорема Петре) Доказать, что всякое линейное отображение
L: C°°(IRn) —> C°°(IRn) с suppL/ С supp/ есть дифференциальный
оператор локально конечного порядка с гладкими коэффициентами.
Указание: см. Peetre [421], Нарасимхан [102, с. 166].
4.10.60. (Ekeland [289]) Пусть /: X —► У — непрерывное и
дифференцируемое по Гато отображение банаховых пространств, /(0) = 0, причем при
||х|| ^ 1 операторы /'(ж) обратимы и ||(/'(х))~ || ^ М. Тогда для каждого у
с ||у|| < 1/М найдется χ с ||х|| < 1 и /(х) = у.

Глава 5
Меры на линейных пространствах
В этой главе дается краткий очерк теории меры на линейных
пространствах. При этом предполагается знакомство с
основами лебеговской теории меры и интеграла в объеме стандартного
университетского семестрового курса (см., например, главы 2 и 3
в [21]). Приведены основные факты теории гауссовских мер,
сведения о слабой сходимости мер, подробно обсуждается
преобразование Фурье мер.
5.1. Цилиндрические множества
Пусть Ε и G — вещественные линейные пространства в
двойственности; приводящую их в двойственность билинейную форму
будем обозначать через (, ); т. е. действие функционала д Ε G на-
элементе χ Ε Ε есть (д,х), причем эта же формула превращает χ
в линейный функционал на G.
Множества вида вида
Сди...,дП9в := {хеЕ: (gi(x),...,gn(x)) e В},
где gi,...,gn Ε G и В лежит в борелевской σ-алгебре В(Жп)
(см. §5.2), называются G-цилиндрическими множествами или
G-цилиндрами в пространстве Е, порожденными
двойственностью с G. Если Ε — локально выпуклое пространство и G = Е',
то будем употреблять термины цилиндрическое множество или
цилиндр в Ε без указания пространства функционалов.
Разумеется, такого вида множества можно рассматривать для
произвольного набора G линейных функций на Е, необязательно
являющегося линейным пространством.
Класс всех G-цилиндров обозначим символом 21<з· Легко
видеть, что Sic? — алгебра. Действительно, дополнение цилиндра

412
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Сди...,дП1в есть цилиндр Cpiv..jPnjiRn\B, а объединение двух
цилиндров Cgu..eygnyBl и СЛ,...,д,в2, где Вг е В(Жп) и В2 е В(Шк),
можно записать в следующем виде: сначала заметим, что
C9U...,9n,Bi = Cgu...,gnifu...JklBiXJRk>
Cfu...,fk,B2 = Cgu...,gn,fu...,fk№.nxB2>
где множества В% := Βχ хЖк и В4 := Кп хВ2 оказываются боре-
левскими в Кп , после этого ясно, что
C<n,...,<M,Bi иС/ь...)Л)в2 = Cgu^gnju_jkiB3uB4-
Порожденная G-цилиндрическими множествами σ-алгебра
обозначается символом σ{ά).
Обозначим линейное отображение (#ι,... , gn): Ε —> IRn через
Pgi,...,gn и возьмем конечномерное линейное пространство if С Е,
дающее Ε в прямой сумме с подпространством L := ПГ=1 #ζ_1(0)'
т.е. с L = ΚβτΡ9ι^9η. Тогда цилиндр CgUmmmygnyBl = Ρ^...,9η{β)
можно записать в таком геометрически наглядном виде:
C<7i,...,<b,Bi = Pgi]...,gSB) = С + L,
где С — борелевское множество в конечномерном пространстве Η
(наделенном своей единственной локально выпуклой
топологией). Действительно, пусть d — размерность Рд1,...,дп(Е); тогда
размерность Η также равна d, причем Рд1,..пдп\н оказывается
линейным изоморфизмом Η и Рд1,...,дп(Е). Теперь в качестве С надо
ВЗЯТЬ Рд1^дп\н1{В).
Обратно, всякое множество вида С +1/, где С Ε В{Н),
является цилиндром и имеет вид Сди.^д^в, где В = Pgil...,gn(C).
Таким образом, «геометрическое» описание G-цилиндричес-
ких множеств состоит в следующем: это множества вида
C + L,
где L — пересечение ядер конечного набора элементов G и С —
борелевское множество в конечномерном пространстве,
алгебраически дополняющем L. Если Ε — локально выпуклое пространство
и G = Е', то подпространства L указанного вида — всевозможные
замкнутые линейные подпространства конечной коразмерности.
Множество С называют основанием рассматриваемого
цилиндра, а множество L — образующей.

5.1. Цилиндрические множества
413
Ясно, что множества L и С не определяются однозначно
цилиндром C+L, но если взять L наименьшей возможной
коразмерности, то тогда L определяется уже однозначно. Конечно, выбор
множества С все равно остается неоднозначным, ибо L можно
дополнять разными подпространствами.
5.1.1. Пример. Пусть Τ — непустое множество, Ε = Кт,
G — Е'. Тогда Е' — IRq и цилиндры в Ε — множества вида
{zElRT: {x(ti),...,x(tn)) eB},
где В е В(ЖП), tb...,tneT.
5.1.2. Пример. Пусть Ε — гильбертово пространство,
причем G = Е'. Тогда цилиндры в Ε — множества вида
{х еЕ: Рхе Б},
где Ρ — ортогональный проектор на некоторое конечномерное
линейное подпространство в Ε и В — борелевское множество в этом
подпространстве.
5.1.3. Замечание. Отметим, что если семейство линейных
функционалов G на Ε не является линейным пространством, то
порождаемая им алгебра цилиндров совпадает с алгеброй
цилиндров, порожденных линейной оболочкой Lin G множества G.
Действительно, всякое множество С/^...j^b из 2lunG можно записать
как Cgil...ignic, гДе Яг £ GnC Ε i3(IRn), ибо найдутся такие
элементы #ι,... ,дп Ε G, что функционалы fa являются их линейными
комбинациями, т. е. fa = сц,\д\ Л V &г,п9п, что позволяет в
качестве С взять борелевское множество А~1(В), где А — линейный
оператор в Кп с матрицей (a^,j)·
5.1.4. Предложение. Пусть F С G, причем каждый
функционал из G является пределом некоторой поточечно
сходящейся последовательности функционалов из F. Тогда a(G) = c(F).
Доказательство. Известно, что измеримость
относительно σ-алгебры сохраняется при поточечных пределах
последовательностей, поэтому для всякого g Ε G множества {χ: g(x) < с}
входят в cr(F). Значит, входит в cr(F) и вся порожденная ими
σ-алгебра. D
Ниже мы увидим, что порожденная цилиндрами σ-алгебра
играет важную роль в теории меры.

414
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.2. Меры на топологических пространствах
Напомним, что σ-алгебра А в пространстве X есть класс
множеств, содержащий X и замкнутый относительно взятия
дополнения и счетных объединений и пересечений. Далее термин «мера
на измеримом пространстве (X, Л)» означает вещественную
(конечную) счетно-аддитивную меру на σ-алгебре А в X (см. [21,
гл. 2]). Когда речь будет идти о цилиндрических мерах, не
предполагающихся счетно-аддитивными, обязательно будет
использоваться дополнительный термин «цилиндрическая».
Функция / называется измеримой относительно σ-алгебры Л,
если {х: f(x) < с} Ε А для всех с Ε К1.
Для любой меры μ на σ-алгебре А в X существует разложение
μ = μ+ — μ~, называемое разложением Хана-Жордана, в котором
меры μ+ и μ~ неотрицательны и сосредоточены на
непересекающихся множествах Х+,Х~ Ε А с X = Х+ U Х~. Ясно, что
последним условием меры μ+ и μ~ определены уже однозначно.
Через |μ| обозначим вариацию μ, т.е. сумму |μ| := μ+ + μ~. Если
μ ^ 0 и μ(Χ) = 1, то μ называют вероятностной. Если μ ^ 0, то
μ*(5) := Ίηί{μ(Α): S С A, A G Л} называется внешней мерой.
Положим ||μ|| := |μ|(Χ). Пространство всех ограниченных
'мер на А банахово с нормой μ ι—> \\μ\\.
Для неотрицательной меры μ через Αμ обозначается лебе-
говское пополнение А относительно μ, τ. е. класс множеств вида
Л U С, где A G А и С имеет внешнюю меру нуль. Множества
из Αμ называются μ-измеримыми. Для знакопеременной меры μ
через Αμ будем обозначать Α\μ\. Множество Ε называется
множеством полной μ-меры, если \μ\(Χ\Ε) = 0. Мера μ ^ 0
называется безатомической, если всякое множество положительной
меры имеет подмножество меньшей ненулевой меры.
Обычно Αμ шире Л, поэтому Лм-измеримых функций
больше, чем Л-измеримых. Полезно ввести еще чуть более широкое
понятие μ-измеримой функции: так называется всякая функция /
на X, которая определена и конечна на множестве Ε С X полной
μ-меры и Дм-измерима на нем, т.е. {хеЕ: f(x) < с} G Αμ при
всех с G IR1; вне Ε функция / может быть вообще не определена
или принимать бесконечные значения. Термины «почти всюду»,
«п.в.» или «μ-п.в.» означают «вне множества меры нуль».
Класс всех μ-измеримых функций обозначается через С0(μ),
а его подкласс функций, интегрируемых в степени ρ G (0,+оо),

5.2. Меры на топологических пространствах
415
обозначается через £ρ(μ). Класс £°°(μ) состоит из ограниченных
всюду определенных μ-измеримых функций. Если / = g почти
всюду, то / и g называются эквивалентными, а также версиями
или модификациями друг друга; обозначение: / ~ д.
Пространство классов эквивалентности функций из £ρ(μ) обозначается
через ί^(μ), ρ G (0, +oo]. Для знакопеременной меры μ
интегрируемость / относительно μ понимается как ^-интегрируемость.
При этом по определению полагают
[ /(χ)μ(ώε):= [ /(χ)μ+(άχ)-ί /(χ)μ-(ώε).
Jx Jx+ Jx-
При ρ G [l,+oo) пространство Ζ/Ρ(μ) наделено нормой
if \1/p
ρ(μ):=ΙΙ/ΙΙρ:=(^№)ΓΙμ|(ώ)
Норма на Ζ/°°(μ) вводится так: ||/||оо := mig~f suPxex \э(х)\^ гДе
inf берется по всем функциям д, эквивалентным /.
В случае знакопеременной меры μ также и символ (/, д)ь2^)
понимается как (/,5)l2(|^|)·
Если X — банахово пространство, то через £ρ(μ,Χ)
обозначим пространство таких μ-измеримых отображений / со
значениями в X, что / принимает значения в сепарабельном
подпространстве и ||/(·)|| G £Ρ(μ), где ρ G [1,+оо). Пространство
Ζ^(μ, Χ) классов эквивалентности в £ρ(μ, X) наделено нормой
II/IIp=(/|№)IIpNw) ,
относительно которой оно оказывается банаховым.
Пусть даны две меры μ и ν на σ-алгебре Л в пространстве X.
Мера ν называется абсолютно непрерывной относительно μ, что
обозначается посредством и <С μ, если и (А) = 0 для всех
множеств A G А с |μ|(Α) = 0. Согласно теореме Радона-Никодима,
это равносильно тому, что ν имеет вид ν = ρ · μ, ρ G >^1(μ), т.е.
справедливо равенство
ι/(А) = / ρ(χ)μ(άχ), A G Д.
Функцию ρ называют плотностью ν относительно μ (или
плотностью Радона-Никодима) и обозначают через dv/άμ. Если ν<^μ

416
Глава 5. Меры на линейных пространствах
и μ < г/, то меры μ и ν называются эквивалентными-,
обозначение: μ ~ ν. Это равносильно тому, что ι/«μπ |μ|-π.Β. dv/άμ φ 0.
Если найдется такое множество А$ Ε А, что |μ|(Αο) = |μ|(-Χ")
и |г/|(Х\Ло) = |ζ/|(-Χ"), то μ и ν называются взаимно
сингулярными, что обозначается посредством μ _L и. В общем случае имеет
место разложение ν = v\ + &% где ζ/χ <С μ и ζ/2 -L μ·
Пусть А ^ 0 — такая мера на А, что μ = f'Xиιy = g'X
(например, можно взять А = |μ| + |ζ/|). Тогда имеет место равенство
Нм-И1= / l/-0|dA.
./χ
Борелевская σ-алгебра /3(-Х") топологического пространства X
есть наименьшая σ-алгебра, содержащая все открытые
множества. Измеримые относительно В(Х) функции называются боре-
левскими. Иногда используется бэровская σ-алгебра Ва(Х)
топологического пространства X — наименьшая σ-алгебра,
относительно которой измеримы все непрерывные функции на X.
Если X — локально выпуклое пространство, то весьма
употребительна также σ-алгебра σ(Χ'), порожденная множествами вида
{х: 1(х) ^ с}, где I Ε X' и с Ε К1, т. е. наименьшая σ-алгебра,
относительно которой измеримы все функционалы I Ε X'. Она же
есть σ-алгебра, порожденная цилиндрами. Ниже мы будем иметь
дело с такими σ-алгебрами.
Мы будем также иметь дело с σ-алгебрами, порожденными
семействами множеств: для любого семейства множеств Λ4 в
данном пространстве есть наименьшая σ-алгебра, содержащая ΛΊ,
обозначаемая символом σ(Λ4) и называемая σ-алгеброй,
порожденной Λ4 (не следует пытаться представить себе элементы из
σ(Λ/ί) как-то конструктивно выраженными через множества из
набора М). Всякое множество A Ε σ{Μ) на самом деле
входит в более узкую σ-алгебру σ({Μη}), порожденную некоторым
счетным набором {Мп} С ΛΊ; это следует из того, что
объединение всех таких счетно-порожденных σ-алгебр само оказывается
σ-алгеброй. Произведение σ-алгебр А и В есть σ-алгебра А®В,
порожденная множествами Α χ В, где A Ε А, В Ε В.
Если Τ — некоторый класс функций на данном
пространстве, то существует наименьшая σ-алгебра σ{Τ), относительно
которой измеримы все функции из Т\ это — σ-алгебра,
порожденная множествами {х: f(x) < с} (здесь даже можно брать
не все вещественные с, а лишь рациональные). Из сказанного
выше следует, что всякая функция д, измеримая относительно сг(^г),

5.2. Меры на топологических пространствах
417
измерима относительно σ({/η}) для некоторого счетного набора
{fn} С Т, причем она имеет вид д = ^(/ъ /2, · · ·)> гДе Ψ ~ боре-
левская функция на Ш°° (задача 5.12.73).
Например, всякое множество из сг{Хг) входит в сг({1п}) для
некоторого счетного набора {1п} С Х'\ при этом оно имеет вид
{х Ε X: {l\{x),l2{x),. ·.) Ε #}, где В — борелевское множество
в К°°. Другой пример: бэровская σ-алгебра Ва(Х) порождена
классом Сь(Х) ограниченных непрерывных функций на X, а
всякая функция /, измеримая относительно этой σ-алгебры,
имеет вид f(x) = il>(fi(x),f2(x)i · · ·)' гДе Ψ ~ борелевская функция
ыт?°и{/п}сСь(х).
Если X — метрическое пространство, то борелевская и
бэровская σ-алгебры совпадают, ибо всякое замкнутое множество
может быть представлено в виде множества нулей непрерывной
функции (например, расстояния до этого множества). В общем
случае борелевская σ-алгебра шире бэровской даже для
компактных пространств. Например, если X = [0,1]С — произведение
континуума копий отрезка, то всякая непрерывная функция на X
является функцией от счетного числа координат, т. е. имеет вид
f(x) = /о(тг(#)), где π — проекция X на некоторое счетное
произведение отрезков и /о — непрерывная функция на этом счетном
произведении (это ясно из теоремы Стоуна-Вейерштрасса, ибо
функции указанного вида образуют замкнутую алгебру и
разделяют точки). Поэтому, скажем, такое простое борелевское
множество как точка не является здесь бэровским множеством. Можно
проверить также, что и на произведении континуума прямых
борелевская σ-алгебра шире бэровской по аналогичной причине.
Если X — локально выпуклое пространство, то σ{Χ')
входит в бэровскую σ-алгебру, но включение может быть строгим.
Например, если X — несепарабельное гильбертово пространство,
то его отдельные точки и замкнутые шары не входят в σ(Χ').
В самом деле^ если В G сг(Х7), то В G cr({Zn}) для
некоторого счетного набора функционалов 1п. Подпространство L, равное
пересечению ядер ίη, бесконечномерно, ибо функционалы 1п
имеют вид 1п{х) = (ж, /ιη), где hn G X, поэтому L есть ортогональное
дополнение к линейной оболочке {/ιη}, которое бесконечномерно,
ибо иначе X оказалось бы сепарабельным. Теперь заметим, что
В = В + L (если В пусто, то В + L тоже). Это следует из того,
что индикатор В есть функция от {1п} (как отмечено выше). Тем
самым в σ(Χ7) вообще нет непустых ограниченных множеств.

418
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.2.1. Предложение. Пусть Ε — сепарабельное метризуе-
мое локально выпуклое пространство. Тогда σ{Ε') = В(Е),
причем есть счетная часть Г С Ε', для которой σ(Γ) = В (Ε). Если
Ε полно, то это верно для всякого набора Г С Ε', разделяющего
точки пространства Е.
Доказательство. Перейдя к пополнению, можно считать
Ε полным. В силу сепарабельности Ε имеется счетная часть Ε'\
разделяющая точки. При этом для всякой такой счетной части
σ(Γ) = В (Ε), что вытекает из более общего результата,
содержащегося в [17, теорема 6.8.9] (см. также теорему 5.12.70 ниже). D
5.2.2. Определение. Борелевской мерой на топологическом
пространстве называется мера на борелевской σ-алгебре.
Бэровской мерой на топологическом пространстве
называется мера на бэровской σ-алгебре.
5.2.3. Определение. Борелевская мера μ на отделимом
пространстве называется радоновской или мерой Радона, если для
каждого борелевского множества В и каждого ε > 0
существует такой компакт К в В, что \μ\(Β\Κ) < ε.
Всякая мера Радона имеет топологический носитель, т. е.
наименьшее замкнутое множество полной меры. Это следует из
того, что для радоновской меры объединение любого числа
открытых множеств меры нуль также имеет меру нуль (ибо
всякий компакт в таком объединении покрывается конечным числом
этих открытых множеств меры нуль).
Множество всех радоновских мер на хаусдорфовом
пространстве X обозначается через МГ(Х), а его подмножество,
состоящее из вероятностных мер, обозначается через Vr(X).
Радоновская мера μ регулярна: для всякого В Ε В(Х) и
всякого ε > 0 найдутся замкнутое множество Ζ С В и открытое
множество U D В с |μ|(ϊ7\Ζ) < ε. Однако регулярность не
равносильна радоновости.
5.2.4. Предложение. Всякая борелевская мера μ на
метрическом пространстве (X, d) регулярна.
Доказательство. Можно считать, что μ ^ 0. Пусть ε —
класс всех множеств В G В(Х), для которых при всяком ε > 0
существуют замкнутое множество Ζ и открытое множество U
с Ζ С В С U и μ(υ\Ζ) < ε. Замкнутые множества входят в £,
ибо для замкнутого В можно взять Ζ = В и открытое множество

5.2. Меры на топологических пространствах
419
Un := {x: dist(x,B) < 1/п} при некотором п, так как множества
Un убывают к В. Класс Ε очевидным образом замкнут
относительно взятия дополнения. Кроме того, В = (J^=i Вп £ £? если
Вп Ε ε. В самом деле, для ε > 0 находим открытые множества
Un D Вп с μ(υη\Βη) < ε4~η и полагаем С/ = (JiJli ^η· Затем
находим такое iV, что μ(Β\υη=1 i?n) < ε/4, и берем замкнутые
множества Ζη С Вп с μ(Βη\Ζη) < ε4_η. Для замкнутого
множества Ζ = (Jn=i Zn С В имеем μ{υ\Ζ) < ε. Значит, £ — σ-алгебра,
содержащая все замкнутые множества, т. е. ε = В{Х). D
5.2.5. Замечание. Из доказательства видно, что класс ε
является σ-алгеброй и в случае топологического пространства.
Метризуемость X нужна для того, чтобы сделать вывод о
принадлежности к ε замкнутых множеств.
Если взять неизмеримое относительно меры Лебега λ
множество X С [0,1] с Х*(Х) = 1, то формула μ(ΒΠΧ) := Х(В)
корректно задает вероятностную борелевскую меру на X. Действительно,
легко проверить, что борелевские множества X имеют вид ВПХ,
где В — борелевское множество в [0,1]. При этом Х(В\) = A(i?2),
если В\ Π Χ = Β<ι Π X, ибо λ*(Χ) = 1. По доказанному мера μ
регулярна, но она не радонова, так как X неизмеримо в [0,1],
а компакты из X являются компактами и в [0,1].
Радоновская мера μ является плотной в смысле следующего
определения.
5.2.6. Определение. Неотрицательная функция
множества ν на некоторой области определения 21 в топологическом
пространстве X называется плотной, если для всякого ε > 0
найдется такой компакт Ке С X, что ν(Α) < ε для всякого
множества A G 21, не пересекающегося с Ке.
Знакопеременная мера μ на σ-алгебре называется плотной,
если плотна ее полная вариация.
Однако это также не равносильно радоновости: имеются
примеры нерегулярных борелевских мер на неметризуемых
компактах. Лишь сочетание регулярности и плотности
равносильно радоновости. На большинстве встречающихся в приложениях
пространств все борелевские меры радоновы (хотя есть и
исключения, например произведение континуума отрезков). В
частности, имеет место следующая теорема Улама.
5.2.7. Теорема. На всяком полном сепарабельном
метрическом пространстве все борелевские меры радоновы.

420
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Доказательство. Пусть μ — неотрицательная борелевская
мера на полном сепарабельном метрическом пространстве X. Мы
уже знаем, что эта мера регулярна. Используя сепарабельность
и полноту X, мы установим ее плотность. Пусть ε > 0 и {хп} —
счетное всюду плотное множество в X. Для каждого к Ε IN
объединение открытых шаров В(хп, 1/к) радиуса 1/к есть все X.
Значит, найдется такое Nk, что v(X\\Jnti Β(χη, Vе)) < s2~k.
Положим В := f)kLi{Jn=iB(xnA/k). Тогда μ(Χ\Β) < ε.
Множество В вполне ограничено, ибо для каждого к оно покрыто
конечным числом шаров радиуса 1/к. Значит, В имеет
компактное (ввиду полноты X) замыкание с искомым свойством. D
5.2.8. Теорема. (Теорема Лузина) Если μ — мера Радона
на тихоновском пространстве X и f — μ-измеримая функция,
то для всякого ε > 0 есть такая непрерывная функция f£, что
\μ\(χ: f(x)*fe(x))<e.
К важнейшим результатам теории меры на топологических
пространствах принадлежит приводимая ниже теорема об
измеримости суслинских множеств, восходящая к Лузину.
5.2.9. Определение. Суслинскими множествами в хаус-
дорфовом топологическом пространстве X называются образы
полных сепарабельных метрических пространств при
непрерывных отображениях в X.
Борелевские множества в полных сепарабельных
метрических пространствах являются суслинскими, однако во всяком
несчетном полном сепарабельном метрическом пространстве есть
суслинское множество, не являющееся борелевским
(доказательства всех приводимых здесь фактов см. в Богачев [17, гл. 6, 7]).
Суслинские множества в полных сепарабельных метрических
пространствах можно описать также с помощью операции Су-
слина над замкнутыми (или открытыми) множествами.
Пусть ε — некоторый класс подмножеств пространства X.
Если каждой конечной последовательности натуральных чисел
(ηι,... ,nfc) сопоставлено множество AniimtmiTlk Ε £, то будем
говорить, что задана суслинская схема (или таблица) множеств
{^4ni,...,nfc} со значениями в £. Операция Суслина (или
Α-операция) над классом ε есть отображение, которое каждой суслинской
таблице {Aib...,nfc} со значениями в ε сопоставляет множество

5.2. Меры на топологических пространствах
421
Множества такого вида вместе с пустым множеством называются
£-суслинскими или ^-аналитическими. Их совокупность
обозначается через S(S). Оказывается, что если применить операцию
Суслина к классу замкнутых (или открытых) множеств в полном
сепарабельном метрическом пространстве, то получится как раз
класс суслинских множеств. В случае прямой достаточно
применить операцию Суслина к классу отрезков. Еще одно
равносильное описание ^-суслинских множеств состоит в том, что это
проекции на X множеств из Хх[0,1], представимых как счетные
пересечения счетных объединений произведений вида £?х[а, Ь],
где Ε Ε £ и [а,Ь] С [0,1]. Этот же класс совпадает с проекциями
множеств из 8®В([0,1]). Например, множество А С К1
является суслинским в точности тогда, когда оно является проекцией
борелевского множества на плоскости. Важно иметь в виду, что
такая проекция может не входить в класс борелевских множеств.
5.2.10. Теорема, (i) Пусть μ — мера на измеримом
пространстве (X, А). При применении операции Суслина к
множествам из Λμ получаются множества из Αμ, т. е. операция
Суслина сохраняет измеримость.
(и) В хаусдорфовом пространстве X суслинские множества
измеримы относительно всякой радоновской меры на X. Если X
суслинское, то всякая борелевская мера на X радонова.
(Ш) Все борелевские отображения между суслинскими
пространствами переводят суслинские множества в суслинские.
Нетривиальность утверждения (i) понятна: ведь в
образовании множества с помощью операции Суслина используется
несчетное объединение по всем бесконечным
последовательностям (щ) натуральных чисел! Приведем еще один полезный
результат из этой области (см. Богачев [17, следствие 6.10.10]).
5.2.11. Теорема. Пусть (Х,£) — измеримое пространство
и Υ — суслинское пространство. Тогда проекция на X всякого
множества из S(£®B(Y)) входит в <S(£) и потому измерима
относительно каждой меры на (Χ,£).
Например, если X — хаусдорфово топологическое
пространство и ε = В(Х), то для суслинского пространства Υ имеем
равенство (см. [17, лемма 6.4.2])
Β(ΧχΥ)=Β(Χ)®Β(Υ).
(5.2.1)

422
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Поэтому для всякого множества В из B(XxY) его проекция на X
измерима относительно всех борелевских мер на X, хотя даже в
случае X = Υ = [О,1] эта проекция не обязана быть борелевской.
Известно, что если μ и и — такие радоновские меры на
тихоновском пространстве X, что
/ ί{χ)μ(άχ)= \ f(x)v(dx)
Jx Jx
для всех функций / из класса Сь(Х) ограниченных
непрерывных функций на X, то μ = v. Верно даже чуть более сильное
утверждение.
5.2.12. Лемма. Если указанное выше равенство, где μ и и —
радоновские меры, верно для всех функций из некоторого класса
Τ С Сь(Х) с тем свойством, что для всяких различных точек
х, у Ε X найдется функция f Ε Τ с f(x) φ f(y), mo μ = v.
Доказательство. Слабейшая топология на X, в которой
непрерывны все функции из Τ', вполне регулярна, а меры μ и ν
радоновы в ней, ибо компакты в исходной топологии компактны
и в новой топологии. Поэтому значения этих мер совпадают на
компактах из новой топологии, в частности на компактах в старой
топологии, откуда следует совпадение наших мер на борелевских
множествах относительно исходной топологии. D
В заключение кратко обсудим важный вопрос о
существовании радоновских продолжений мер, первоначально заданных на
более узких σ-алгебрах или даже алгебрах. Следующая теорема
и ее следствия весьма полезны в приложениях. В доказательстве,
которое можно найти в Богачев [17, §7.3], используется
внутренняя мера μ*, построенная по неотрицательной аддитивной
функции множества μ на алгебре Л по формуле
μ* (Ε) = sup{/i(A): А е Л, А С Е}.
5.2.13. Теорема. Предположим, что А — некоторая
алгебра подмножеств хаусдорфова пространства X, содержащая
базу топологии, и μ — регулярная аддитивная функция
множества ограниченной вариации на А. Если мера μ плотна, то она
допускает единственное продолжение до радоновской меры на
пространстве X.
В случае μ ^ 0 продолжение для всех множеств В G В(Х)
дается формулой
μ(Β) = Ίιιί\μ*(υ): U открыто β Χ и В С и]. (5.2.2)

5.2. Меры на топологических пространствах
423
Важно иметь в виду, что эта теорема принципиально
отличается от известной из учебного курса теоремы о продолжении
счетно-аддитивной меры с алгебры на порожденную σ-алгебру:
последней теоремы может не хватить для получения
продолжения на всю борелевскую σ-алгебру. Рассмотрим следующий
простой пример плотной бэровской меры, для которой радоновское
продолжение на борелевскую σ-алгебру существует, но его нельзя
получить лебеговским пополнением Ва(Х).
5.2.14. Пример. Пусть X = Кт, где Τ — несчетное
множество (скажем, отрезок прямой), и пусть х$ — любой
элемент X (например, тождественно нулевая функция), a v —
мера на σ-алгебре Ва(Х), определенная формулой ν{Β) = 1, если
xq ε β, и ν{Β) = 0 в противном случае (т. е. и — дираковская мера
или мера Дирака δΧο в xq). Ясно, что эта мера плотна и той же
самой формулой может быть продолжена на В{Х). Однако
одноточечное множество {хо} неизмеримо относительно лебеговского
пополнения меры ν на Ва(Х). В самом деяе^ иначе это множество
было бы объединением некоторого множества из Ва(Х) и
некоторого множества внешней меры нуль относительно ν на Ва{Х),
что невозможно, поскольку никакое одноточечное множество не
является бэровским в нашем пространстве, в то время как данная
точка хо имеет внешнюю меру 1 (как объяснено выше).
Вот типичный пример применения теоремы 5.2.13.
5.2.15. Пример. Всякая плотная бэровская мера на
тихоновском пространстве X имеет единственное радоновское
продолжение. Это следует из того, что бэровскими являются множества
вида {х: f(x) > 0}, где / — непрерывная функция на X, а такие
множества образуют базу топологии, ибо X вполне регулярно.
В частности, этот пример применим к отделимым локально
выпуклым пространствам, но здесь хотелось бы иметь
радоновское продолжение плотной цилиндрической меры (о таких мерах
речь пойдет ниже в § 5.4). Непосредственно из теоремы 5.2.13 это
не следует, поскольку алгебра цилиндров редко содержит базу
топологии (если это не слабая топология). Однако из теоремы
можно вывести такой факт (см. Богачев [17, §7.3]).
5.2.16. Следствие. Пусть X — тихоновское пространство
и Г — некоторое семейство непрерывных функций на X,
разделяющее точки X. Тогда всякая плотная мера μ на
σ-алгебре сг(Г); порожденной Г, допускает единственное продолжение

424
Глава 5. Меры на линейных пространствах
до радоновской меры на X. Более того, то же самое верно, если
μ есть регулярная и плотная аддитивная функция множества
ограниченной вариации на алгебре 21(Г); порожденной Г.
Этот результат уже очевидным образом применим к алгебре
цилиндров, что будет сделано в теореме 5.4.10.
Следует иметь в виду, что плотная бэровская мера на
тихоновском пространстве может иметь борелевские продолжения, не
являющиеся радоновскими (такое случается даже для
компактов, где все бэровские меры плотны); если же бэровская мера не
плотна, то она может не иметь никаких борелевских
продолжений (см. Богачев [17, гл. 7]). Хотя лебеговское пополнение
алгебры цилиндров может не охватывать всех борелевских множеств,
верен следующий важный факт.
5.2.17. Предложение. Пусть μ — мера Радона на
отделимом локально выпуклом пространстве Ε и В £ В(Е). Тогда
для всякого ε > 0 существует такое открытое цилиндрическое
множество Се, что \μ\(Β Δ С£) < ε.
Если В компактно, то С£ можно взять содержащим В.
При этом μ(Β) = inf μ(Β + Η), где inf взят по замкнутым
подпространствам Η конечной коразмерности.
Доказательство. Ясно, что достаточно проверить второе
утверждение, где В компактно. Найдем такой компакт Ке D В,
что \μ\(Ε\Κε) < ε/2. Кроме того, можно найти и открытое
множество U£ D В, для которого |μ|(ϊ7\-Β) < ε. На компакте Ке
исходная топология совпадает с σ{Ε,Ε'). Поэтому найдется такое
σ(Ε, Е^-открытое множество VEl что Ve Π Κε = U£ Π Κε.
Множество Ve является объединением некоторого набора открытых
цилиндрических множеств, поэтому ввиду компактности В
можно взять конечное объединение этих цилиндров, лежащее в V£
и покрывающее В. Это объединение С£ — искомое множество,
ибо \μ\(Οε\Β) < \μ\(ν£\Β) < \μ\(υε\Β) + ε/2 < ε. Наконец, если
цилиндр С покрывает компакт i?, то возьмем конечномерное
подпространство L, содержащее основание С, а затем непрерывный
проектор Ρ на L. Пусть Η = Р_1(0), К = Ρ (В). Тогда цилиндр
К + Η = Р{К) + Η = Р~1(Р(К)) с компактным основанием
содержит В и лежит в С. D
Интересно выяснить, можно ли взять Се выпуклым для
выпуклого В (если В выпукло и компактно, то это верно). Отметим,
что в обосновании этого в [16, лемма 2.6.7] есть пробел.

5.3. Преобразования и сходимость мер
425
5.2.18. Следствие. Для всякой радоновской меры μ на
локально выпуклом пространстве Ε множество ограниченных
цилиндрических функций всюду плотно во всех Σ,ρ(μ), ρ Ε [1,+оо).
Более того, всюду плотным является множество функций вида
φ{1ι,..., ln), где φ е C0°°(IRn), 1г е Е*'.
5.2.19. Замечание. Полезным абстрактным обобщением
понятия радоновской меры служат меры с компактными
приближающими классами. Класс /С подмножеств множества X
называется компактным, если для всякой последовательности множеств
Кп Ε /С с тем свойством, что все конечные пересечения Πη=ι ^η
непусты, множество Π^=ι Кп также непусто. Любой класс,
состоящий из компактов в топологическом пространстве, является
компактным, но это определение не требует введения топологий.
Компактный класс /С в X называется приближающим для
аддитивной функции μ ^ 0 на алгебре множеств До в X, если
для всяких Л Ε Ло и ε > 0 найдутся такие Ке Ε /С и Ае Ε До,
что Ае С Ке С А и μ(Α\Αε) < ε. Нетрудно проверить, что из
этого следует счетная аддитивность μ на До· Хотя существуют
счетно-аддитивные меры на σ-алгебрах, не имеющие компактных
приближающих классов (см. [17, пример 7.5.3 и теорема 7.5.6]),
все же для мер, встречающихся в реальных приложениях такие
классы обычно имеются.
5.3. Преобразования и сходимость мер
Пусть (X, Д) и (Υ,β) — измеримые пространства, т.е.
пространства с σ-алгебрами. Отображение f:X—>Y измеримо
относительно пары σ-алгебр (А, В) (или (Д, #)-измеримо), если
f~l{B)eA при всех Be В.
Если (Υ,Β) есть прямая К1 с борелевской σ-алгеброй В = В(Ш}),
то (Д, #)-измеримые функции — в точности Д-измеримые
функции: Д-измеримость вещественной функции / равносильна тому,
что f~l{B) Ε Д для всех борелевских множеств В С К1. Если X
и Υ — топологические пространства, то (В{Х), Б(У))-измеримые
отображения называют борелевскими.
Образ меры μ на (X, Д) при измеримом относительно μ
отображении f из X в (Υ, β), т. е. (Дм, )В)-измеримом, например (Д, В)-
измеримом, обозначается через μο/_1 и задается равенством
μοΓ\Β)=μ(Γ\Β)).

426
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Из этого определения следует формула замены переменных
ί φ(ί(χ))μ(άχ)= [ φ{ί)μοΓ1{άί), (5.3.1)
JX J1R1
справедливая для всякой ограниченной ^-измеримой функции φ\
более общим образом, эта формула верна для всякой В-измеримой
функции φ, интегрируемой относительно меры |μ|ο/_1.
Произведение пространств с мерами (X, Д, μ) и (Υ, β, ν)
обозначим через (ΧχΥ, Α®Β,μ®ν), см. Богачев [17, гл. 3].
С отображениями мер связано и понятие условной меры,
которое мы обсудим в случае суслинских пространств
(доказательства и подробное обсуждение см. в [17, гл. 10]).
Пусть X и Υ — хаусдорфовы пространства, причем X
является суслинским (например, полным сепарабельным метризу-
емым), μ — неотрицательная радоновская мера на ХхУ, μγ -
проекция μ на У. Тогда для каждого у Ε Υ существует такая
радоновская вероятностная мера μυ на Хх{у}, что для всякого
множества A Ε Β(ΧχΥ) функция у \—> μυ (АП(Хх{у})) измерима
относительно μγ и выполнено равенство
μ(Α) = J μν(Αη(Χχ{ν}))μγ(άν). (5.3.2)
Аналогичное равенство верно и для знакопеременных мер с той
лишь разницей, что вместо меры μγ надо брать проекцию \μ\γ
меры |μ| на У, а меры μν могут быть знакопеременными; при этом
они удовлетворяют условию \\μυ\\ = 1. Для этого надо записать
меру μ в виде μ = ρ · |μ|, где \ρ\ = 1, и взять меры μν = ρ · \μ\ν.
Меры μυ называются условными или регулярными условными.
Условные меры μυ на Хх{у} определены μy-oднoзнaчнo: два
семейства таких мер совпадают μγ-и.в. Если и пространство Υ
является суслинским (что имеет место в большинстве приложений),
то меры μυ можно выбрать так, что функции у \—> μυ(АГ\(Хх{у}))
будут борелевскими для всех борелевских A G B(XxY).
Можно также вместо мер μν на слоях Хх{у} задать условные
меры μν на X. Тогда в (5.3.2) вместо Α Π (Χ χ {у}) надо брать
сечения Ау := {х е X: (х,у) G А}.
Для всяких множеств А е Β(Χ)®Β{Υ) и В е Β(Υ) из (5.3.2)
следует равенство
μ(ΑΠ(ΧχΒ)) = [ μУ(An(Xx{y}))μγ(dy). (5.3.3)
JB

5.3. Преобразования и сходимость мер
427
Из (5.3.2) следует также, что для всякой |/л|-интегрируемой
борелевской функции / выполнено равенство
/ /άμ= ί ί ί(χ,υ)μν(άχ)\μ\γ(<1ν), (5.3.4)
JXxY JY JXx{y}
где повторный интеграл существует в следующем смысле: при
|/л|у-п.в. у Ε Υ функция χ \—> /(х,у) интегрируема относительно
условной меры μυ, а полученный интеграл является |/л|у-интег-
рируемой функцией.
Отметим одно следствие последней формулы. Пусть ν — радо-
новская мера наХхУ, причем г/</1. Тогда ν можно представить
в виде
и(А)= ί ί аУ(АП(Хх{у}))Му(ау), (5.3.5)
JY JXx{y}
где σν при у Ε Υ — радоновские меры на пространствах Χ χ {у},
причем функции у \—> ау(А) при A Ε В(Х) и у \—> \\сгу\\
интегрируемы относительно \μ\γ. Действительно, можно считать, что
μ ^ 0. По теореме Радона-Никодима ν = ρ · μ, где ρ Ε С1 (μ) —
борелевская функция. По формуле (5.3.4) находим
ι/(Α)= ΐΑθάμ= / ΙΑ(χ^)ρ(χ^)μυ(άχ)μγ№) =
JXxY JY JXx{y}
= [ σУ{An(Xx{y}))μγ(dy),
JY
где σν := ρ(- ,y) · μυ. Меры σν с указанными свойствами также
определены однозначно с точностью до переопределения таких
мер для точек у из некоторого множества |/л|у-меры нуль.
Иногда бывает полезно представить меру μ на Χ χ Υ в виде
μ(Β) = J μν(Βυ) a(dy), By := {χ G X: (χ, у) Ε Β}, (5.3.6)
где μν — борелевские меры на X, σ — некоторая неотрицательная
радоновская мера на У, для которой μγ <<£ σ, причем функции
у н-> μυ(Βυ) и у ι—> \\μυ\\ интегрируемы относительно меры σ.
Меры μυ определены однозначно с точностью до переопределения
для точек у из множества σ-меры нуль. Если даны две меры μ
и ν на произведении ХхУ, причем мера ζ" := |μ| + \ν\ обладает
условными мерами (у на X, то можно взять σ = ζγ и получить

428
Глава 5. Меры на линейных пространствах
представление вида (5.3.6) для μ и и с общей мерой σ.
Аналогичное возможно и для счетного набора мер.
5.3.1. Предложение, (i) Соотношение μ <С ν равносильно
тому, что μυ <С иу при σ-η.β. у. (и) Соотношение μ _Ι_ ν
равносильно тому, что μν J_ иу при σ-η.β. у.
Доказательство. Пусть μ,ζ/, σ — вероятностные меры.
Если μν <С иу при σ-п.в. у, то μ <С и. Пусть μ <С ν и / = άμ/dv.
Тогда мера μ представима как с помощью мер /(*,у) · vy', так
и с помощью мер μν, откуда μν = /(·, у) · иу для σ-п.в. у ввиду
существенной единственности представляющих мер. Если μ _L ζ/,
то найдется множество β с μ(-Β) = 0, ν (В) = 1. Тогда μυ(Βυ) = О
и иу(Ву) = 1 σ-п.в., т.е. μ2' J_ uy. Обратно, пусть μν J_ иу σ-п.в.
Если неверно, что μ _L г/, то μ = μι + μ2, где μι <С г/, μ2 J- z/. Тогда
μ^ = μ^ + μ| ввиду единственности, причем μ\ <^ иу и μ^ -L νν по
доказанному. Так как μ^ J_ г/у, то μ^ = 0 σ-п.в., т.е. μι = 0.
Случай знакопеременных мер сводится к рассмотренному с помощью
разложения Хана. D
Важный частный случай возникает, когда локально выпуклое
пространство X с радоновской мерой μ представляется в виде
прямой суммы X = Χ$®Υ, где Υ — конечномерное линейное
подпространство и Х$ — замкнутое линейное подпространство,
дополняющее Υ\ такое Хо? как мы знаем, всегда существует для
конечномерного Υ.
Результаты об условных мерах можно представить в более
общей форме. Для упрощения предположим, что π: X —> Υ —
борелевское отображение суслинских пространств. Пусть μ — бо-
релевская вероятностная мера на X и ν = μ ο π-1. Тогда на
множествах π-1 (у), где у Ε У, существуют такие
вероятностные меры μ2', что для всякого множества В G В(Х) функция
у ι—> μυ(Β Π π-1 (у)) измерима относительно г/, причем
μ{Β) =[μν(ΒΠ тг-Чу)) u(dy). (5.3.7)
Для μ-интегрируемой борелевской функции / имеем равенство
[ Ιάμ= [ [ /(χ)μν(άχ)ν(άν).
Jx Jy Jx
Можно сделать все функции у ι—> μυ(Β) борелевскими, если
допустить, что меры μν сосредоточены на π-1 (у) не для всех у, а лишь

5.3. Преобразования и сходимость мер
429
при ζ/-π.Β. у. В общем случае совместить требование борелевости
всех таких функций с равенством μ2/(π_1(?/)) = 1 при всех у
нельзя даже для борелевской функции π на [0,1]. Если X nY —
борелевские множества в польских пространствах, то совместить
оба требования можно лишь тогда, когда тг(Х) — борелевское
множество и π обладает борелевской селекцией, т. е. существует
борелевское отображение д: тг(Х) —> X с тг(д(у)) = у (см.
результат Блэкуэлла и Рыль-Нарджевского, описанный в [17,
задача 10.10.55]). Существование нужных условных мер при наличии
указанного отображения д доказывается просто. Возьмем такие
условные меры μ^, что функции у \—> μυ(Β), В G В(Х), являются
борелевскими и /^(π-1^)) = 1 для всех у Ε Уо, где Yq С тг(Х) —
борелевское множество полной г/-меры. При у Ε π(Χ)\Υο
положим μυ := Sg(yy Легко проверить, что функции у \—> Sg(y)(B),
В Ε В(Х), являются борелевскими. Борелевская селекция
существует не всегда (см. [17, §6.9]). Если X и Υ — польские
пространства, то для ее существования достаточно, чтобы множества
π-1 (у) были счетными объединениями компактов.
Разложение Хана-Жордана дает (5.3.7) для знакопеременной
меры μ с ν = |μ|οπ_1, причем меры μν на π-1 (у) определены
однозначно ζ/-π.β. (для однозначности п.в. достаточно счетной
порожденное™ В(Х)).
Рассмотренный выше случай произведения — частный
случай, в котором π есть проектирование произведения на
сомножитель. В свою очередь, из этого частного случая легко получить
общий. Для этого перейдем к пространству Χ χ Υ с мерой μο
на графике π, полученной как образ меры μ при отображении
χ ι—> (ж, π (ж)) из X в Χ χ Υ. Проекция этой меры на Υ равна
ν = μοπ-1. Согласно (5.3.2), на слоях Хх{у} имеются условные
меры /iQ. При ζ/-π.β. у эти меры сосредоточены на пересечениях
слоев с графиком π, т.е. на множествах тг_1(у) χ {у}, что
позволяет задать искомые меры μν на π-1 (у) при г/-п.в. у. В случае
произвольных пространств эти формулировки неэквивалентны,
причем никаких условных мер может и не существовать.
К важнейшим понятиям теории меры на топологических
пространствах относится и слабая сходимость мер. Приведем
основные факты (доказательства см. в [17, гл. 8]). Пусть Сь(Х) —
пространство ограниченных непрерывных функций на
топологическом пространстве X. Последовательность радоновских мер μη

430
Глава 5. Меры на линейных пространствах
на X называется слабо сходящейся к радоновской мере μ, если
для всякой функции / G Сь(Х) выполнено равенство
lim / /(χ)μη(άχ)= / /(χ)μ(άχ).
"-*°° J χ J χ
Аналогично определяется сходимость направленности мер μα κ μ.
Эти понятия содержательны для вполне регулярных
топологических пространств и имеют смысл также для бэровских мер.
Слабая сходимость есть сходимость в топологии а(М,Съ{Х)) на
пространстве мер Л4 (бэровских, борелевских или радоновских),
называемой слабой, где элемент / Ε Сь(Х) задает функционал на
пространстве Л4 просто как интеграл от / по мерам из Л4.
Для вероятностных мер имеет место следующий критерий
слабой сходимости, полученный А.Д. Александровым.
5.3.2. Теорема. Пусть даны тихоновское топологическое
пространство X, последовательность вероятностных
радоновских мер {μη} и вероятностная радоновская мера μ. Тогда
следующие условия равносильны:
(i) последовательность {μη} сходится слабо к μ;
(ii) для каждого замкнутого множества F справедливо
неравенство limsup/in(F) < μ(^);
η—>оо
(iii) для каждого открытого множества U справедливо
неравенство liminf μη(υ) ^ μ(υ).
η—>оо
Это же верно для направленностей.
Отметим, что в части достаточности в условиях (ii) и (iii)
вместо произвольных замкнутых и открытых множеств можно брать
функционально замкнутые и функционально открытые
множества, т.е. множества вида {χ: φ{χ) = 0} и {χ: φ{χ) Φ 0}
соответственно, где ψ Ε Съ{Х)- На самом деле приведенная теорема
верна и для бэровских мер, если в ее формулировке
рассматривать функционально открытые и замкнутые множества.
Еще один важный результат А.Д. Александрова означает
секвенциальную полноту пространства бэровских мер Μσ в
топологии а(Ма,Съ{Х)).
5.3.3. Теорема. Если последовательность бэровских мер μη
на X слабо фундаментальна (т. е. интегралы от каждой
функции f G Сь(Х) по мерам μη имеют конечный предел), то {μη}
слабо сходится к некоторой бэровской мере μ.

5.3. Преобразования и сходимость мер
431
Пространство радоновских (или плотных) мер не всегда
слабо секвенциально полно: слабый предел последовательности мер
Радона может не быть плотной мерой (задача 5.12.75).
Конечно, такой проблемы не возникает, если все бэровские меры на X
имеют радоновские продолжения.
Поскольку Сь(Х) является банаховым пространством
относительно sup-нормы, то возникает вопрос о связи его банахова
сопряженного с пространством мер (разумеется, сопряженное в
топологии а(Сь(Х),М)) всегда будет М). Основной факт здесь —
следующая теорема Рисса.
5.3.4. Теорема. Для компакта X сопряженное к
пространству Сь(Х) с sup-нормой отождествимо с пространством
радоновских мер на X, т. е. всякий непрерывный линейный
функционал на Сь(Х) задается как интеграл по некоторой мере Радона.
Компактность пространства X ва^кна.
5.3.5. Пример. На пространстве (^(К1) есть непрерывный
линейный функционал, который нельзя представить в виде
интеграла по борелевской мере на М1. В качестве такого функционала
можно взять продолженный с сохранением нормы функционал
1(f) = lim f(t) на подпространстве функций, имеющих предел
t—»+оо
на бесконечности.
В общем случае верен такой факт.
5.3.6. Теорема, (i) Пусть X — топологическое
пространство. Непрерывный линейный функционал I на Сь(Х) задается
как интеграл по некоторой бэровской мере в точности тогда,
когда l(fn) —> О для всякой последовательности {fn} С Сь(Х),
поточечно убывающей к нулю.
(и) Пусть X — тихоновское пространство. Непрерывный
линейный функционал I на Сь(Х) задается как интеграл по
некоторой мере Радона в точности тогда, когда для всякого ε > О
найдется такой компакт Ке, что \l(f)\ ^ ^sup^ \f(x)\ для
всякой функции f G Сь(Х), равной нулю на Ке.
Из утверждения (ii) следует, что для всякого функционала
I G Сь(Х)'\ где X — тихоновское, есть мера Радона ν на компак-
тификации Стоуна-Чеха βΧ пространства X, для которой 1(f)
есть интеграл по мере ν от продолжения / на βΧ.
Для приложений весьма важно иметь конструктивные
критерии того, что из данной последовательности мер можно выбрать

432
Глава 5. Меры на линейных пространствах
слабо сходящуюся подпоследовательность. Основной общий
результат получен Ю.В. Прохоровым.
5.3.7. Теорема. Пусть X — полное метрическое
пространство и {μη} — последовательность радоновских мер на X.
Необходимое и достаточное условие того, что из всякой
подпоследовательности в {μη} можно выбрать дальнейшую
подпоследовательность, слабо сходящуюся к радоновской мере, состоит
в том, что последовательность {μη} равномерно ограничена по
вариации и равномерно плотна, т. е. для всякого ε > 0 найдется
такой компакт Κε, что \μη\(Χ\Κε) < ε при всех п.
5.3.8. Теорема. Пусть X — пространство Фреше и Л4 —
равномерно плотное семейство радоновских мер на X. Тогда
существует такое компактно вложенное в X сепарабельное
рефлексивное банахово пространство Е, что \μ\(Χ\Ε) = 0 для
всех μ Ε Λ4, причем ограничения мер из М. на Ε образуют
равномерно плотное множество мер относительно нормы
пространства Е. Поэтому для слабо сходящейся последовательности
мер μη на X пространство Ε с указанными свойствами можно
выбрать так, что меры μη|# будут слабо сходиться на Е.
Для тихоновских пространств верен такой факт.
5.3.9. Теорема. Всякое равномерно ограниченное и
равномерно плотное множество радоновских мер на тихоновском
пространстве лежит в компакте в слабой топологии.
5.4. Цилиндрические меры
Пусть Ε — вещественное векторное пространство, G —
некоторое подмножество его алгебраического сопряженного, 21<з —
алгебра G-цилиндрических подмножеств в Е.
5.4.1. Определение. Цилиндрической мерой на (£7,21<з) или
G-цилиндрической мерой на Ε называется функция и: 21<з —> Ж1,
сужение которой на каждую σ-алгебру 21/г, где F С G конечно,
является счетно-аддитивным.
Если ν ^ 0 и ν{Ε) = 1, то будем называть ν вероятностной
G-цилиндрической мерой.
Аналогично определяются комплексные цилиндрические
меры, а также цилиндрические меры со значениями в локально
выпуклом пространстве Т.
В основном нас будут интересовать ограниченные (т. е.
имеющие ограниченное множество значений) цилиндрические меры.

5.4. Цилиндрические меры
433
Отметим, что цилиндрическая мера на (£7,21<з) аддитивна.
Это очевидно из того, что всякие два множества из (Е,21с) ле_
жат в одной из алгебр 21/г. Однако весьма существенно то
обстоятельство, что эта мера не обязана быть счетно-аддитивной на
всей алгебре 21с? (счетная аддитивность есть лишь для цилиндров
с основаниями в общем конечномерном пространстве).
Напомним общий факт (см. [53, гл. IV]), относящийся ко
всякой ограниченной аддитивной вещественной функции ν на
алгебре 21, — теорему Жордана о разложении, согласно которой
ν = ν+ — ν~, где для каждого А е 21 справедливы равенства
iA(A) = sup{u(B): ВС А, ВеЩ, и~(А) = (-*/)+(А), (5.4.1)
причем функции г/+ и v~ на 21 аддитивны.
Всякий конечный набор 5ι?···?5η £ G порождает оператор
Рх = {д\{х), · ·. ,<7п(#)) и проекцию μρ цилиндрической меры μ
на Нп по формуле
μΡ(Β)=μ(ρ-1(Β)), ВеВ(Шп).
Эта проекция по условию счетно-аддитивна.
5.4.2. Лемма. Пусть и — ограниченная вещественная
G-цилиндрическая мера на Ε и ν = ζ/+ — ν~ —ее
разложение Жордана. Тогда ζ/+ и ν~ таксисе являются ограниченными
G-цилиндрическими мерами на Е.
Доказательство. Цилиндрическая мера ν ограничена,
поэтому теорема Жордана к ней применима, но возникает вопрос
о счетной аддитивности конечномерных проекций. Для каждого
A G 21<з верны равенства (5.4.1) с 21 = 21с?· Нам надо показать,
что для всякого отображения Ρ: Ε —> IR , где Ρ = (gi,..., <7fc)>
gi Ε G, и всякой последовательности попарно непересекающихся
множеств Вп Ε В(Ж ) с объединением В выполнено неравенство
оо
п=1
Зафиксируем ε > 0. По определению найдется такой G-цилиндр
С С Р~г(В), что г/+(Р_1(Б)) ^ г/(С)+е. Увеличив /с, мы придем
к случаю, когда С = P~l{D), D Ε В(Жк). Тогда в силу счетной
аддитивности voP~l получаем
оо оо
и(С) = Σν{ρ-\ΌΓ\Βη)) < Σν+{ρ-\Βη)),
n=l n=l

434
Глава 5. Меры на линейных пространствах
что ввиду произвольности ε дает нужное неравенство,
доказывающее счетную аддитивность ζ/+. Счетная аддитивность ν~
следует из равенства ν~ = (—z/)+. D
Функция ν ι—> 11 ν 11 := v+{E) + v~{E) — норма на пространстве
ограниченных цилиндрических мер, с которой оно полно.
5.4.3. Определение. Отображение f из пространства Ε
в локально выпуклое пространство У будем называть G-ци-
линдрическим, если существуют такие число η Ε ΊΝ,
функционалы g\,...,gn £ G и отображение φ: Кп —> Υ, что выполнено
равенство f(x) = φ{β\{χ),... ,<7п(#)) для всех χ G Ε.
Числовые цилиндрические отображения называют
цилиндрическими функциями.
Если отображение φ из этого определения является борелев-
ским, т. е. измеримым как отображение измеримого пространства
(Нп, i3(IRn)) в измеримое пространство (У, #(У)), то
цилиндрическое отображение измеримо как отображение измеримого
пространства (£7>21{01ν..,0η}) в измеримое пространство (У, #(У));
такое цилиндрическое отображение мы будем называть борелев-
ским цилиндрическим.
Поскольку сужение G-цилиндрической меры на σ-алгебру 21/г
при конечном F С G счетно-аддитивно, то для вещественной
(или комплексной) борелевской G-цилиндрической функции
имеет смысл понятие интеграла Лебега по числовой
G-цилиндрической мере. Для всякой ограниченной цилиндрической функции /
имеет место равенство
[ ί(χ)μ(άχ)= ί φ{ν)μρ(άν), (5.4.2)
JE «/IRn
где Ρ = (<7ι,... ,5η) ? μ Ρ — соответствующая проекция μ и φ —
функция, использованная в указанном выше представлении /.
Это равенство можно взять в качестве определения интеграла
в левой части.
В частном случае, когда Ε = IRT, задание цилиндрической
меры μ означает на языке теории случайных процессов задание
«согласованной системы конечномерных распределений», т. е.
задание для каждого конечного набора различных точек t\,..., tn
из Τ конечной счетно-аддитивной меры /iti,...,tn на К™? причем
должны выполняться следующие условия согласованности:
(i) проекция меры μ*ι,...,ίη н& Κη_1 совпадает с μ*ι,...,ίη-ι>

5.4. Цилиндрические меры
435
(и) если набор точек sx,...,sn G Τ является перестановкой
набора ίι,...,ίη? т0 мера ^Slv..,Sn есть образ μ*1ν..,ίη ПРИ
отображении Кп, порожденном соответствующей перестановкой
координат.
Например, мера /it2,ti является образом меры /iti,t2 ПРИ от°б-
ражении (х\,Х2) »—► (#2?#ι)·
Эти же понятия имеют смысл и при рассмотрении
произведений произвольных непустых измеримых пространств (Xt,At)-
Конечно, в этом случае произведение (состоящее из наборов
вида (xt), где xt G Xt) уже может не быть ни линейным
пространством, ни топологическим пространством, но по-прежнему есть
σ-алгебра А = ®t Л*> порожденная произведениями П*^*> гДе
лишь для конечного числа индексов множества At могут быть
отличны от Х^, причем At G At при всех t.
Если на А задана мера μ, то ее проекции μ£ι,...,ίη задаются на
Xti,...,tn — -^ti x* * 'χΧίη вместо IRn. Эти проекции удовлетворяют
условиям согласованности (i) и (ii), которые определяются
совершенно аналогично; в условии (ii), конечно, при перестановках
индексов σ: {ίχ,..., tn} —> {ίχ,..., tn} рассматриваются
отображения Пространств Xtu...,tn -> *σ(ίι),...,σ(ίη)·
В этом круге вопросов важнейшей является следующая
знаменитая теорема Колмогорова о согласованных распределениях;
определение приближающего компактного класса во второй ее
части (полученной Э. Марчевским) приведено в замечании 5.2.19.
5.4.4. Теорема. Пусть Τ — непустое множество и дано
согласованное семейство вероятностных распределений μ*ι,...,ίη
на пространствах Кп. Тогда существует такая
вероятностная мера μ на σ-алгебре, порожденной цилиндрическими
множествами в что для каждого набора различных точек ίχ,..., tn
из Τ мера μ*1ν..,ίη совпадает с образом меры μ при проекции
χ ι—> (x(t\,..., χ(ίη))· Аналогичное утверждение верно для мер
на произведениях абстрактных пространств (Xt, At) при
дополнительном условии, что меры μt на Xt обладают компактными
приближающими классами.
Сравнительно несложное доказательство этой классической
теоремы имеется во многих учебниках теории случайных
процессов (см., например, Вентцель [34], Гихман, Скороход [47]),
поэтому мы его не приводим.
Здесь уместны небольшие пояснения. В теореме
Колмогорова речь идет о различных точках ^, но это не принципиально.

436
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Можно вместо наборов различных точек рассматривать
конечные подмножества S С Τ и соответствующие им меры μ^ на
конечномерных пространствах К . Тогда останется лишь одно
условие: если Si С *?2, то мера μ^ должна совпадать с проекций
/is2 при естественной проекции К5^2 на Ш?1, которая сопоставляет
функции на $2 ее ограничение на Si. Второе условие в
приведенной формулировке как раз и означает, что можно корректно
задать меру μ^, занумеровав точки S в каком-то порядке si,..., sn,
причем мера μ^ не будет зависеть от способа нумерации.
Разумеется, при описанном альтернативном подходе в
терминах конечных подмножеств автоматически точки различны.
Однако, имея меры /iti,...,tn Для несовпадающих точек t^ легко
доопределить и меры /iSb...,Sm для наборов с возможно
повторяющимися точками: если, скажем, точки si,..., sn различны и
sn = sn+i = · · · = sm, то надо взять в качестве /iSlv..)Sm образ
меры μβ1ν..)5η при отображении Кп —> IRm, переводящем (яд,... ,жп)
в (яд,..., хП1 хП1..., хп). Таким образом, мы придем к
рассматривавшейся выше ситуации, когда брались отображения (gi,... ,gn)
с возможно повторяющимися gi Ε G\ в данном случае в качестве
набора функционалов G на Кт берутся функционалы
вычисления χ ι—> x(t) для всевозможных точек t Ε Т.
Более того, поскольку всякий непрерывный линейный
функционал на Ε = Нт (с топологией произведения) имеет вид
χ i-> c\x{t\) Η h Cnx{tn)
с некоторыми q G Μ и ij G Τ, то по мерам μί1ν..,£η однозначно
восстанавливаются меры μζ1ν..,ζΛ, где Zi £ £7'· В самом деле, если
^ — Q,i^i + · · · + Ci^ntUl где ίχ,..., £n Ε Τ — все точки,
используемые для задания ίχ,...,^, то в качестве μζ1ν..,ζΛ берется образ
Μίι,...,ίη ПРИ линейном отображении из Кп в IRfc, заданном
формулой Р(яД, ...,Хп) = (У1, . . . ,ί/fc), Уг = СгдЖ1 Η h Q,nXn. Тем
самым мы получаем ^'-цилиндрическую меру на Ε = Жт.
Подчеркнем, что сказанное справедливо и для
знакопеременных мер. Итак, задание семейства согласованных мер μ*ι,...,*η ока_
зывается равносильным заданию цилиндрической меры на Кт.
При этом ограниченность этой цилиндрической меры
равносильна равномерной ограниченности вариаций мер μί1ν..,£η; это видно
из того, что вариация рассмотренной выше меры μζι,.,.,ζ*. не
превосходит вариацию меры μ*1ν..,ίη.

5.4. Цилиндрические меры
437
5.4.5. Следствие. Теорема Колмогорова остается в силе
для согласованной системы счетно-аддитивных мер /i£i,...,tn на
пространствах Кп; вариации которых равномерно ограничены.
Доказательство. Как пояснено выше, система мер μ*ι,...,ίη
порождает цилиндрическую меру μ на Кт с проекциями μ*ι,...,ίη·
При этом μ оказывается ограниченной из-за равномерной
ограниченности вариаций данных мер, как отмечено выше. Поэтому мы
получаем неотрицательные цилиндрические меры μ+ и μ~,
которые счетно-аддитивны по теореме Колмогорова. Тогда счетно-
аддитивна и их разность μ. D
Теорема Колмогорова имеет дело с ситуацией, в которой
каждая ограниченная цилиндрическая мера на данном
пространстве счетно-аддитивна. Это объясняется обширностью
пространства Кт. Приведем пример вероятностной цилиндрической меры,
не счетно-аддитивной на алгебре цилиндров.
5.4.6. Пример, (i) Возьмем в качестве Ε гильбертово
пространство Ζ2, а в качестве G — семейство координатных
функционалов χ ι—> хп. Вероятностную G-цилиндрическую меру λ на Ε
зададим так: если С = Р_1(Б), где В е B(JRn) и Ρ —
ортогональная проекция на Кп, то \(С) := λη(Β Π [0,1]η), где λη —
обычная мера Лебега на IRn. Фактически G-цилиндрическая
мера λ на I2 порождается настоящей вероятностной мерой на IR°°,
представляющей собой счетную степень меры Лебега на [0,1].
Мера λ не является счетно-аддитивной на алгебре G-цилинд-
ров. Действительно, иначе она бы продолжалась до
вероятностной борелевской меры на Ζ2, но внешняя мера относительно λ
всякого шара Br радиуса R с центром в нуле в I2 равна нулю,
ибо при фиксированном R мы имеем
А2„(ВЙ) = R2n\2n{Bx) = 7rnR2n/n\ -> О,
значит, продолжение было бы нулевой мерой. Вместо λ можно
взять любое счетное произведение вероятностных мер на прямой,
равное нулю на I2 (оно счетно-аддитивно на Ш°°).
(и) Возьмем опять Ε = I2 и отождествим G — Е' обычным
образом с Е. Цилиндрическую меру ν на Ε зададим так: если
С = Р~1{В), где Ρ — ортогональная проекция на n-мерное
подпространство Еп С Ε и В G В(Еп), то положим v(C) := ηη{Β),
где 7п — стандартная гауссовская мера на Еп, т.е. мера с
плотностью (2π)_η/2 ехр(— (ж, х)2/2) относительно стандартной меры

438
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Лебега на ЕП1 соответствующей данному скалярному
произведению. Непосредственно проверяется, что цилиндрическая мера ν
задана корректно (фактически это следует из того, что проекция
7η+ι на Кп совпадает с ηη). Однако, как и выше, счетной
аддитивности нет: опять внешняя мера всякого шара в Ε равна
нулю (задача 5.12.76). Описанную цилиндрическую меру называют
«канонической цилиндрической гауссовской мерой на
гильбертовом пространстве». Ниже в §5.7 мы более подробно рассмотрим
гауссовские цилиндрические меры.
5.4.7. Замечание. Общая G-цилиндрическая мера и яг, Ε
также может быть описана как система согласованных (в том же
смысле, как и в теореме Колмогорова) мер ^lv..,pn на
пространствах Кп. В самом деле^ тогда можно просто положить
НСди...,дп,в) '=^ди^9п(вУ
Специфика ситуации из теоремы Колмогорова состоит в том,
что там пространство Ε оказывается достаточно большим,
чтобы «вместить» счетно-аддитивную меру, а в общем случае это не
всегда так.
Пусть даны векторные пространства Е\ и Ε<ι с заданными на
них пространствами линейных функций G\ и G2, причем
существует такое линейное отображение Т: Е\ —> Ε<ι, что доТ Ε G\
для всякого д Ε С?2. Тогда для каждого A Ε 21<з2 мы имеем
Т~г(А) Ε 21с?!. Тем самым всякая цилиндрическая мера v\ на Е\
порождает цилиндрическую меру ζ/2 :— ^ιοΤ-1 на 21<з1?
называемую образом цилиндрической меры v\ при отображении Т.
Цилиндрические меры могут быть или не быть
счетно-аддитивными на алгебре цилиндров. Оказывается, однако, что
всякое векторное пространство с заданной алгеброй цилиндрических
множеств можно расширить таким образом, чтобы все
цилиндрические меры на расширении, порожденные ограниченными
цилиндрическими мерами на исходном пространстве, стали счетно-
аддитивными на расширении. Точный смысл сказанному
придается следующим образом.
5.4.8. Теорема. Пусть Ε — векторное пространство uG —
некоторое линейное пространство линейных функций на Е,
разделяющее точки. Обозначим через j естественное иньективное
вложение Ε в IR , заданное формулой j(x)(g) = (g,x). Тогда для
всякой ограниченной цилиндрической меры ν на 21с? мера voj~l
на алгебре цилиндров в Ж° счетно-аддитивна.

5.4. Цилиндрические меры
439
Доказательство. Поскольку цилиндрическая мера uoj l
на IR также ограничена, то она счетно-аддитивна по теореме
Колмогорова о согласованных распределениях. D
5.4.9. Замечание. Эта теорема приводит к следующему
универсальному способу построения ограниченных цилиндрических
мер. Пусть даны линейные пространства Ε и G в двойственности
и дано измеримое пространство (Ω, В) с ограниченной (счетно-
аддитивной) вещественной мерой μ на В. Предположим, что
задано также отображение ξ из G в пространство £ο(μ) измеримых
относительно μ вещественных функций на Ω, причем ξ линейно
в следующем смысле: для всяких #1,...,дп G G и αϊ,..., ап Ε И1
почти всюду выполнено равенство
ξ(αι5ι + · · · + оспЯп) = αιξ(5ι) + · · · + ап^(дп).
Фактически это означает, что задано линейное отображение из G
в ΐΡ{μ) — пространство классов эквивалентности. Тогда можно
положить
"ди...,дп :=^oFn\ ^пИ = (£ЫН,...,£ЫН).
Очевидно, что меры vgi,...,gn на Кп согласованы и потому
порождают G-цилиндрическую меру ν на Е. Если μ —
вероятностная мера, то ξ называют «случайной линейной функцией на Е»
(в этом случае говорят также, что задано «слабое распределение
на Е»).
Универсальность этого способа состоит в том, что всякая
ограниченная G-цилиндрическая мера ν на, Ε получается таким
образом из некоторой счетно-аддитивной меры. Для этого
достаточно взять в качестве μ счетно-аддитивную меру voj~l на JRG
из предыдущей теоремы (продолженную до счетно-аддитивной
меры на порожденной σ-алгебре) и положить £(g)(u;) := и{д).
Приведем теперь один общий результат о радоновских
продолжениях цилиндрических мер, непосредственно вытекающий
из следствия 5.2.16.
5.4.10. Теорема. Пусть Ε — топологическое векторное
пространство и G — семейство непрерывных линейных
функций на Е, разделяющее точки Е. Тогда всякая плотная
ограниченная мера на алгебре G-цилиндров допускает единственное
продолжение до радоновской меры на Е.

440
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Доказательство. Упомянутое выше следствие применимо,
ибо всякая G-цилиндрическая мера регулярна из-за регулярности
борелевских мер на IRn. D
5.4.11. Пример. Пусть X — нормированное пространство,
μ — мера на σ-алгебре S пространства X7, порожденной
элементами X. Тогда μ обладает единственным продолжением до ра-
доновской меры на X' с *-слабой топологией. В самом деле^ по
теореме Банаха-Алаоглу шары в X' компактны в *-слабой
топологии. Поэтому мера μ плотна.
В заключение приведем еще одну весьма полезную теорему
Колмогорова, позволяющую ограничивать меры, изначально
построенные на пространстве всех траекторий, на пространство
непрерывных траекторий. Сначала отметим, что множество всех
непрерывных функций С[0,1] не входит в σ-алгебру σ(Ιν0,1]),
порожденную цилиндрами в пространстве всех функций
на [0,1], ибо каждое из множеств последней σ-алгебры
определяется по значениям функций на некотором счетном множестве.
Более того, даже если взять какую-либо борелевскую
вероятностную меру Ρ на С[0,1] и построить по ней меру на σ^^0'1!) по
формуле Р(В) = Р(В Π С[0,1]), В е σ^0'1!), то С[0,1] не будет
входить даже и в лебеговское пополнение σ(Κ'0,11)
относительно Ρ на σ(Κ'0,1'). В самом деле^ множество С[0,1] не содержит
непустых множеств из σ(Κ'0,1'), поэтому если оно входит в
лебеговское пополнение σ(Κ'0,11) относительно Р, то имеет внешнюю
Р-меру нуль, что невозможно в данной ситуации.
Таким образом, даже продолжив Ρ на σ^'0'1'), нельзя
обычным образом обратно сузить продолжение на С[0,1]. Однако
имеется чуть более сложная процедура сужения меры на множество
полной внешней меры, необязательно измеримое. А именно:
если Ρ*(Ω*) = 1 для некоторого множества Ω* в измеримом
пространстве (Ω,^7) с вероятностной мерой Р, то можно
превратить Ω* в измеримое пространство с вероятностной мерой ζ),
взяв σ-алгебру множеств вида Ω* Π Ρ, где F Ε J7, и положив
ζ)(Ω* Π Ρ) := P(F)· Это определение корректно, так как если
Ω* HF = Ω* Π G, где P,G е Τ, то P(F) = P(G), поскольку
F AG С Ω\Ω*, откуда P{F Δ G) = 0 из-за равенства Ρ* (Ω*) = 1
(это равенство означает, что в дополнении Ω* нет множеств из Τ
положительной меры).

5.5. Преобразование Фурье
441
5.4.12. Теорема. Пусть Τ = [а,Ъ] и Ρ — такая
вероятностная мера на JRT, что при некоторых М>0, α^1ηβ>1 для
всех t,s eT выполнено неравенство
I
x(t) - x(s)\a P(dx) ^ M\t - sf.
Тогда Ρ* (С[a, b}) = 1. Если Χ — банахово пространство, то
аналогичное утверждение верно для мер на пространстве ХТ с
заменой С[а, Ь] на пространство С ([а, Ь], X) непрерывных функций
со значениями в X.
Доказательство см. в Вентцель [34], где рассмотрен первый
случай, но случай С([а, Ь],Х) совершенно аналогичен. Вместо
отрезка [а, Ъ] можно взять любое множество на прямой. Есть
близкие результаты и для метрических пространств.
5.5. Преобразование Фурье
Здесь мы рассмотрим введенное А.Н. Колмогоровым [363]
преобразование Фурье мер на бесконечномерных пространствах
(впрочем, он использовал термин «преобразование Лапласа»,
следуя тогдашней французской математической традиции).
Преобразованием Фурье (или характеристическим
функционалом) ограниченной борелевской меры μ на IRn называется
комплексная функция
μ(υ) = / ехр(г(ж,у)) μ(άχ).
Jwc1
Если мера μ задана плотностью ρ относительно меры Лебега, то μ
лишь отсутствием множителя (2π)_η/2 отличается от обратного
преобразования Фурье функции ρ.
Далее опять рассматривается пара пространств Ε и G в
двойственности.
5.5.1. Определение. Преобразованием Фурье вещественной
или комплексной G-цилиндрической меры и на Ε называется
комплексная функция ν на G, определяемая равенством
и(д) = / exp(i(g,x))u(dx).
JE
Если Ε — гильбертово пространство, G = Е' и ν —
цилиндрическая мера на Е, то, отождествив Е' с Ε с помощью теоремы

442
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Рисса, ее преобразование Фурье ν можно считать заданным на
самом Ε по формуле
Цх)= [ e*x>zK(dz),
Je
где (·, ·) — скалярное произведение в Е. Такое преобразование
Фурье можно назвать «гильбертовым преобразованием Фурье».
Пусть μ ρ — мера на IRn, равная образу μ относительно
оператора Ρ = (#ι,..., дп): Ε —> Кп, где gi е G. Из формулы (5.4.2)
для а = (αχ, · · · , ап) находим
μ(αι5ι Η h <*пдп) = / exp(mi#i Η h iangn) άμ =
Je
ехр(гац/1 Η h ianyn) μρ(άν) = μρ(α). (5.5.1)
В частности, если ид — мера на прямой, являющаяся образом
меры ν относительно д Ε G, то выполняется равенство
Цд)= [ ^ug{dt).
Далее обычно будут рассматриваться две ситуации. В одной
из них роль Ε будет играть некоторое локально выпуклое
пространство, а роль G — его топологическое сопряженное Е'\ в
другой ситуации в роли Ε будет топологическое сопряженное к
некоторому локально выпуклому пространству G.
5.5.2. Предложение. Если μ и ν — две цилиндрические
меры на (£7,21<з), причем Jl(g) = v{g) для всех g Ε G, πιο μ = vy
т. е. цилиндрическая мера однозначно определяется ее
преобразованием Фурье.
Доказательство. Предположим сначала, что Ε = IRn; при
этом алгебра 21# совпадает с σ-алгеброй всех борелевских
множеств в Жп, а меры μ и и счетно-аддитивны. Чтобы доказать, что
μ = ν, достаточно доказать, что обе меры приписывают равные
интегралы каждой непрерывной функции / с компактным
носителем. Зафиксируем ε > 0. Можно считать, что / имеет носитель
в кубе К = [—7г&,7г/с]п, где к столь велико, что Жп\К имеет меру
менее ε относительно меры |μ| + \ν\. Кроме того, можно считать,
что |/| < 1. Найдется 27г&-периодическая по каждому
переменному функция φ вида φ(χ) = сг ехр(г(уъх)) Η \-CrneyLp{i(ym,x)),
-L

5.5. Преобразование Фурье
443
для которой \f(x) — φ{χ)\ < ε для всех χ Ε К. Тогда \ψ{χ)\ < 1 + ε
для всех ж, откуда \f(x) — cp(x)\ < l+ε для всех х. Следовательно,
с учетом равенства интегралов от φ по мерам μ и ζ/ мы получаем
/ /άμ- //&/< / |/-И<*(Н + И)<
./ГО.™ «'В I ./ГО™
< / I/ - И <*(Ы + И) + (i + <0(H + |^|)(ж«\лг) <
<е(|Ы| + И1)+е(1+е)(1И + 1И).
При ε —> 0 получаем нужное равенство. Другое обоснование
дается с помощью равенства Парсеваля (см. ниже).
Общий случай сводится к рассмотренному: для #1,... ,дп Ε G
оператор Ρ = (#ι,... ,дп)- Ε —> IRn переводит меры μ и ζ/ в их
проекции μρ и ζ/ρ на IRn, причем μρ = ζ/ρ, ибо по формуле (5.5.1)
мы имеем два равенства
μρ(ά) = μ(αι5ι Η h «n^n), ^ρ(α) = £(αι5ι Η h o>ngn),
где α = (αχ,..., αη). Значит, μ ρ = ζ/ρ, откуда μ = ζ/ ввиду
произвольности P. D
5.5.3. Предложение. Пусть Ε uG — векторные
пространства в двойственности7 μ и ζ/ — счетно-аддитивные меры на
σ-алгебрах σο β Ε и σβ в G соответственно, причем функция
(д,х) ь-> (д,х) измерима относительно произведения σ-алгебр
σο и σε- Тогда справедливо следующее равенство Парсеваля:
[ Цх) μ(άχ) = ί μ{9) v{dg). (5.5.2)
JE JG
Доказательство. По условию существует интеграл
exp(i(g,x)) μ®v(dxdg).
je>
lExG
Вычисляя этот интеграл по теореме Фубини двумя способами,
получаем искомое равенство. D
Из равенства Парсеваля также следует совпадение мер с
равными преобразованиями Фурье, ибо если μι = μ2, то μι и μ2
приписывают одинаковые интегралы преобразованию Фурье всякой
меры ζ/, что влечет равенство интегралов по ним от всякой
функции / Ε Co°(IRn), поскольку каждая такая функция / есть
преобразование Фурье меры gdx, где д лишь множителем отличается

444
Глава 5. Меры на линейных пространствах
от прямого преобразования Фурье функции / (это вытекает из
известной формулы обращения преобразования Фурье).
Равенство Парсеваля дает один из способов восстановления
меры по ее преобразованию Фурье. Естественно возникает
вопрос, можно ли непосредственно по функции χ на Жп определить,
является ли она преобразованием Фурье какой-либо
ограниченной меры. Конструктивного ответа на этот вопрос нет (как нет
и явного описания класса преобразований Фурье интегрируемых
функций), но имеются конструктивные необходимые и
достаточные условия в весьма важном частном случае неотрицательных
мер на Кп.
5.5.4. Определение. Комплексная функция φ на линейном
пространстве Ε называется положительно определенной,
если для всяких векторов х\,...,хп Ε Ε и комплексных чисел
ci,..., Сп справедливо неравенство ]C?,fc=i CjC^{xj — Xk) ^ 0.
Справедлива следующая классическая теорема Бохнера-Хин-
чина (доказательство можно найти, например, в [17, §7.13]).
5.5.5. Теорема. Комплексная функция на JRn непрерывна и
положительно определена в точности тогда, когда она
совпадает с преобразованием Фурье неотрицательной ограниченной
борелевской меры на Кп.
Конечно, можно сказать, что преобразования Фурье
ограниченных мер суть разности непрерывных положительно
определенных функций, но толку от такой «характеризации» немного.
Условие непрерывности можно формально ослабить, потребовав
ее лишь в нуле, но полностью снять его нельзя (см. ниже).
5.5.6. Следствие. Комплексная функция φ на
пространстве G является преобразованием Фурье некоторой Е-цилин-
дрической неотрицательной меры на G в точности тогда, когда
эта функция положительно определена и ее сужение на
каждое конечномерное подпространство в G непрерывно (в его
стандартной топологии).
Доказательство. Необходимость вытекает из того, что для
всяких #ι,..., gn e G функция (*ь ..., tn) ь-> v(t\g\ Η h tngn)
на IRn представляет собой преобразование Фурье образа меры
ν при отображении Ρ9ι,...,9η = (#ъ · · · ,9η)'· Ε —> IRn.
Достаточность следует из предыдущей теоремы. В самом деяе^ для
всяких д\,..., дп Ε G указанная выше функция непрерывна и
положительно определена и потому совпадает с преобразованием

5.5. Преобразование Фурье
445
Фурье некоторой ограниченной неотрицательной борелевской
меры ^01ν..,0η. При этом полученное семейство мер оказывается
согласованным, ибо образ меры ν9ι,...,9η относительно естественной
проекции Нп на Hn_1 имеет преобразование Фурье, вычисляемое
по формуле
« га—1
(yi,...,yn-i) >-> / exp(iJ2yjXj)v9i,...,9n(dx) =
= "Т^дЛУъ · · · ,Уп-ъ$) = ψ{ν\9ι + '" + Уп-\9п-\),
что совпадает с преобразованием Фурье меры vgi,...,gn_1· Поэтому
этот образ есть ^b...,pn_i· Π
Полезно иметь в виду, что существуют разрывные
положительно определенные функции на прямой, но непрерывность в
нуле положительно определенной функции влечет ее непрерывность
всюду ввиду следующего неравенства, вытекающего, как
нетрудно проверить, из определения:
Ых) ~ <Р(У)\ < 2у>(0)(1 - Re<p(x - у)). (5.5.3)
5.5.7. Теорема. Последовательность вероятностных мер
μ^ на Нт с σ-алгеброй σ((Κτ)/) слабо сходится к вероятностной
мере μ в точности тогда, когда Jlj(l) —> μ(1) для всех I е (Кт)/.
Для Нп это теорема Леви (см. [17, с. 270]), что дает
случай Н°° в силу [17, пример 8.2.16], а теорема 5.12.67 влечет
общий случай. В §5.11 мы обсудим условия счетной аддитивности
цилиндрических мер в терминах их преобразований Фурье. Здесь
приведем лишь один простой общий результат, обеспечивающий
непрерывность преобразования Фурье в некоторой топологии.
5.5.8. Предложение. Пусть μ — радоновская мера на
локально выпуклом пространстве Е. Предположим, что Е'
наделено топологией равномерной сходимости на такой системе
S борелевских подмножеств Е, что \\μ\\ = 8ΐιρ{|μ|(5): S Ε <S}.
Тогда функция μ непрерывна в указанной топологии.
Доказательство. С помощью разложения Жордана
утверждение сводится к неотрицательным мерам. Поэтому можно
считать, что μ — вероятностная мера. Ввиду неравенства (5.5.3)
достаточно проверить непрерывность Re μ в нуле. Пусть ε Ε (0,1/2).
Возьмем такое множество Sg5, что μ(Ε\3) < ε/4. Множество

446
Глава 5. Меры на линейных пространствах
V = {/ Ε Ε'\ sup^s |/(^)| < ε} является окрестностью нуля
в рассматриваемой топологии на Е'. Для всех / Ε V ввиду
оценки 1 — cos t < t2 имеем
ί[1- cos f(x)} μ(άχ) < 2μ(Ε\5) + /" \f(x)\2 μ(άχ) < ^ε + ε2 < ε,
что дает желаемую непрерывность. D
5.5.9. Пример. Если Ε квазиполно, то функция μ
непрерывна в топологии Макки т(Е',Е). Фактически достаточно, чтобы
всякий компакт из Ε лежал в выпуклом компакте.
Следует иметь в виду, что Квапень и Тариеладзе [373]
построили пример радоновской вероятностной меры на метризуе-
мом локально выпуклом пространстве X, преобразование Фурье
которой не является непрерывным в топологии Макки т(Х',Х).
Таким образом, в предыдущем примере какие-то дополнительные
условия на пространство (или на меру) необходимы.
5.6. Ковариационные операторы и средние мер
На протяжении этого параграфа X предполагается
отделимым локально выпуклым пространством, а все рассматриваемые
меры считаются неотрицательными.
5.6.1. Определение, (i) Мера μ на σ(Χ') называется мерой
со слабым моментом порядка г > 0 (или слабого порядка г), если
X' входит в Ζ/Γ(μ).
(ii) Борелевская (или бэровская) мера μ на X называется
мерой с сильным моментом порядка г > 0 (или сильного
порядка г), если ψ£ΐ;ν(μ) для всякой непрерывной полунормы φ на X.
Атомическая мера μ на гильбертовом пространстве I2
сосредоточенная в точках пеп, где {еп} — стандартный базис, и
принимающая на них значения п-2, имеет слабый первый момент, ибо
^^=1п_1|уп| < оо при (уп) G Z2, но не имеет сильного первого
момента, ибо Σίϊ=ι η_1 = °°·
5.6.2. Определение. Будем говорить, что мера μ на X
(возможно знакопеременная) слабого порядка 1 имеет среднее
(или барицент) πιμ Ε X, если для каждого I Ε X' справедливо
равенство
1(τημ) = / 1(χ)μ(άχ).
Jx

5.6. Ковариационные операторы и средние мер
447
В общем случае существование слабых моментов не
гарантирует существование средних. Например, пусть мера μ
определена на банаховом пространстве cq посредством μ(2ηβη) = 2_п, где
еп — элементы стандартного базиса в cq. Тогда μ имеет слабый
первый момент, но не имеет среднего, иначе все координаты
среднего т были бы равны 1 ввиду равенства Zfc(ra) = ]CrS=i h(en) — 1
для всякого координатного функционала Ik- Интересно отметить,
что такой пример невозможен в пространствах, не содержащих со-
5.6.3. Предложение. Если полное метризуемое локально
выпуклое пространство X не имеет подпространств, линейно
гомеоморфных с$, то каждая радоновская мера μ на X, имеющая
слабый порядок 1, имеет среднее τημ.
Доказательство можно найти в Вахания, Тариеладзе [32].
5.6.4. Лемма. Если мера μ на σ{Χ') имеет среднее τημ,
а непрерывная полунорма ρ интегрируема относительно μ, то
ρ{™>μ) < ράμ. (5.6.1)
Jx
Доказательство. По теореме Хана-Банаха имеется
функционал / Ε X7, для которого }{τημ) = ρ{τημ) и f(x) < р(х) для
всех χ Ε X. Тогда
ν{^ημ) = ί{πιμ)= Ι /(χ)μ(άχ)^ / ρ(χ)μ(ώε),
Jx Jx
что и требовалось. D
Приведем достаточное условие существования среднего,
обеспечивающее также возможность выразить его в виде векторного
интеграла
L
χμ(άχ), (5.6.2)
IX
понимаемого в следующем смысле: существует направленность
борелевских отображений Fa: X —> X, каждое из которых
принимает конечное множество значений гад,..., ζα^ на множествах
А*,Ъ · · · , A*,fc» ГДе к = к(а) И limmaxi^fc M(^a,i) = 0, Причем
lim / р(х — Fa(x)) μ(άχ) = 0
а Jx
для каждой непрерывной полунормы р, а интегралы от Fa,
определяемые как СуММЫ Σί=1 Μ^α,Ο^α,ί? СХОДЯТСЯ В Χ Κ ΤΠμ.

448
Глава 5. Меры на линейных пространствах
В случае банаховых пространств это дает интеграл Бохнера.
Отметим, что отображение χ — Fa(x) является борелевским,
ибо на каждом из борелевских множеств Аа^ оно отличается от
тождественного сдвигом на постоянный вектор. Поэтому
функция ρ [χ — Fa{x)) также измерима по Борелю.
Если пространство X полно, то интегралы от Fa образуют
фундаментальную направленность и потому автоматически
сходятся; это же верно, если указанные интегралы лежат в компакте.
Действительно, для всякой непрерывной полунормы ρ и
интегралов та от Fa легко проверяется оценка
р(та - πΐβ) < / p(Fa(x) - Fp(x)) μ(άχ),
Jx
причем p{Fa{x) — Fp(x)) < p(x — Fa(x)) +p(x — Fp(x)). В общем
случае сходимость интегралов приходится требовать отдельно.
Пусть даны множество S в локально выпуклом
пространстве X и направленное множество индексов 21, причем для
каждого индекса а дано конечное разбиение πα = {Sa,i} множества S
на дизъюнктные множества Sa,i, где г = 1,..., к(а). Будем
говорить, что направленность разбиений πα является
измельчающейся, если для каждой непрерывной полунормы ρ на X мы имеем
limsup sup p(x — у) = 0.
а г x,yeSoc,i
5.6.5. Лемма. В случае вполне ограниченного множества S
измельчающаяся направленность конечных разбиений всегда
существует, а в случае метризуемого компакта имеется счетная
измельчающаяся последовательность конечных разбиений. При
этом для борелевских множеств элементы разбиений можно
выбрать борелевскими.
Доказательство. В качестве множества индексов V
возьмем семейство всех непрерывных полунорм на X, наделенное
естественным частичным порядком, заданным поточечным
сравнением. Это множество оказывается направленным, ибо сумма
непрерывных полунорм есть непрерывная полунорма. Для ρ Ε V
по условию найдутся такие si,..., s\~ Ε 5, что S покрыто
множествами Si + V, где V = {χ: ρ{χ) < 1}. Значит, можно разбить
S на дизъюнктные части 5рд,..., SPik, для которых р(х — у) < 1
при х,у Ε SPj. Если S было борелевским, то и Spj легко выбрать
борелевскими.

5.6. Ковариационные операторы и средние мер
449
Покажем, что нами построена измельчающаяся
направленность разбиений. Пусть ρ G V и ε > 0. Тогда qe = ε~ιρ G?h для
всех q ^ qe и всех х,у Ε S^? гДе ^,г строятся по q указанным
выше способом, мы имеем
р(х -у) = eqe(x - у) < eq(x - у) < ε,
что доказывает сказанное.
Пусть теперь 5 компактно и метризуемо метрикой d. Для
каждого η разделим S на конечное число частей S\,..., S^
диаметра менее п-1, где к = к(п). Покажем, что для всякой
непрерывной полунормы ρ и всякого ε > 0 найдется такое по, что
при каждом η ^ щ для всех г ^ &(п) выполнено неравенство
р(х — у) < ε при ж, у Ε Si. Для этого достаточно установить, что
найдется такое δ > 0, что р(х—у) ^ ε при d(x, у) ^ 5.
Существование нужного δ > 0 следует из того, что функция (ж, у) н-> р(# — у)
непрерывна на компакте SxS с метрикой ^i((xi,yi), (#2,2/2)) =
d(#i,#2) + ^(7/1,7/2), а тогда и равномерно непрерывна, причем на
диагонали она равна нулю. D
5.6.6. Предложение. Пусть вероятностная мера Радона μ
на X имеет компактный носитель, лежащий в выпуклом
компакте К. Тогда μ имеет среднее πιμ Ε К, причем для любой
измельчающейся направленности разбиений К на дизъюнктные
борелевские части Аа^ и при любом выборе точек χα,ί £ Аа^
средние мер μα '-= Σί μ{Αα^)δΧθίί сходятся к πιμ. Более того,
существует интеграл (5.6.2).
Доказательство. Положим та := Σιμ(Αα^)χα^. В силу
выпуклости К имеем та Ε К. Отображения Fa, зададим так:
Fa(x) — χα,ί при х Ε А*,;· Пусть ρ — непрерывная полунорма
на X и ε > 0. Выберем индекс а$ так, что
sup sup p(x — у) < ε
при а ^ а$. Тогда при ж Ε Ла^ мы имеем р(х — ха,г) ^ £ для всех
г < к. Значит, интеграл от ρ (χ — Fa{x)) по множеству Аа^
относительно меры μ не превосходит εμ(Αα^). Тем самым интеграл от
р{х — Fa(x)) по всему К не превосходит ε. Из сказанного выше
следует сходимость {та} в К κ некоторому вектору га. При этом
интеграл от / по К равен f(m). D

450
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.6.7. Следствие. Если вероятностная мера Радона на
слабо секвенциально полном и квазиполном локально выпуклом
пространстве имеет слабый первый момент, то она имеет среднее
в этом пространстве.
Доказательство. Пусть μ — вероятностная мера Радона
на пространстве X с указанными свойствами. Квазиполнота дает
выпуклые компакты Кп, для которых μ(Χ\Κη) —> 0. Меры Ικη-μ
имеют средние тп. Если μ имеет слабый первый момент, то для
каждого /g!' последовательность чисел /(гап), равных
интегралам / по КП1 сходится к интегралу от /. По условию найдется
вектор т Ε X, для которого предел этой последовательности
есть /(га). Поэтому т — среднее μ. D
Ниже мы увидим, что это верно и без предположения слабой
секвенциальной полноты для мер слабого порядка ρ > 1.
5.6.8. Следствие. Пусть вероятностная мера Радона μ на
секвенциально полном пространстве X сосредоточена на
счетном объединении выпуклых компактов (что имеет место, если
X квазиполно) и обладает сильным первым моментом. Тогда μ
имеет среднее πιμ Ε X.
Доказательство. Пусть μ сосредоточена на объединении
выпуклых компактов Кп. Мы уже знаем, что меры μη = 1кп'№
имеют средние тп Ε Кп. Для всякой непрерывной полунормы ρ
при η ^ I выполнена оценка
р(тп -га/) < / ράμ,
JKn\Kt
откуда ввиду интегрируемости ρ следует фундаментальность
последовательности {тп}. Так как X секвенциально полно, то эта
последовательность сходится к некоторому т Ε Χ. Очевидно, что
т служит средним меры μ. D
Для метризуемых компактов условие полноты X можно
немного ослабить. Доказательство следующего утверждения
легко усмотреть из сказанного выше.
5.6.9. Предложение. Если X секвенциально полно, а
компакт К метризуем, то всякая борелевская мера на К имеет
среднее Ι(μ) в X. При этом Ι(μ) входит в замкнутую
выпуклую оболочку К, если μ — вероятностная мера.

5.6. Ковариационные операторы и средние мер
451
Отметим, что разложение Жордана μ = μ+ — μ~
знакопеременной меры μ дает среднее 1{μ), лежащее в замкнутой
абсолютно выпуклой оболочке К, если ||μ|| ^ 1.
5.6.10. Теорема. Замкнутая абсолютно выпуклая оболочка
метризуемого компакта в локально выпуклом пространстве X
метризуема, а если X секвенциально полно, то она компактна.
Доказательство. Первое утверждение следует из второго,
ибо X имеет пополнение (которое, конечно, секвенциально
полно). Пусть X секвенциально полно. По теореме Рисса С (К)* есть
пространство знакопеременных борелевских мер на указанном
компакте К. Замкнутый единичный шар U в С (К)* компактен
в *-слабой топологии. Так как пространство С (К) сепарабельно
(задача 1.12.65), то U — метризуемый компакт в слабой топологии
(теорема 3.1.4). Рассмотрим отображение /: U —> X из
предыдущего предложения (с учетом сказанного про знакопеременные
меры). Легко видеть, что это отображение непрерывно, если U
рассматривается со *-слабой топологией, а X — со слабой. Поэтому
абсолютно выпуклое множество I(U) слабо компактно в X.
Ввиду метризуемости U это множество метризуемо (задача 1.12.66).
Ясно, что I(U) содержит замкнутую выпуклую оболочкуА
множества К, ибо К С I{U) ввиду равенства k = /(ifc), где Sk —
вероятностная мера в точке к. Поэтому А — метризуемый компакт
как замкнутое подмножество метризуемого компакта (на самом
деле^ как легко проверить, I{U) совпадает с множеством A). D
В приложениях бывают нужны аналогичные факты для
слабых компактов (но без предположения слабой полноты X).
5.6.11. Теорема. Пусть X — сепарабельное полное
локально выпуклое пространство, К — слабо компактное множество
в X. Тогда его замкнутая выпуклая оболочка слабо компактна
и совпадает со множеством барицентров вероятностных мер
Радона (в слабой топологии) на К.
Доказательство. Пусть V(K) — множество вероятностных
мер Радона на К (со слабой топологией), наделенное слабой
топологией. Для μ G V{K) рассмотрим функционал из (X7)*,
переводящий I G X' в интеграл от I по мере μ. В силу следствия 3.8.6
этот функционал задается некоторым вектором Β(μ) G X, ибо
если последовательность {1п} С X' сходится к нулю поточечно, то
она равномерно ограничена на К (из-за слабой компактности),

452
Глава 5. Меры на линейных пространствах
поэтому имеет место сходимость интегралов. Поскольку S
выпукло и замкнуто, то 6(μ) Ε S. При этом отображение т н-> 6(μ)
непрерывно в слабой топологии. Тем самым образ выпуклого
компакта V(K) оказывается выпуклым слабо компактным
множеством, плотным в S этот образ содержит выпуклую оболочку К,
так как для всякого к Ε К имеем к = b(ifc)). Следовательно,
S совпадает с этим образом. D
5.6.12. Следствие. (Теорема Крейна) Пусть множество
К компактно в отделимом локально выпуклом пространстве Е.
Его замкнутая выпуклая оболочка S компактна в точности
тогда, когда она полна в топологии Макки. В частности, если
множество К слабо компактно и его замкнутая выпуклая оболочка
полна в топологии Макки, то она слабо компактна.
Доказательство. Если S компактно, то оно и полно в
топологии Макки. Пусть S полно в топологии Макки. Так как S
предкомпактно, то достаточно показать, что оно полно в
исходной топологии, а для этого достаточна слабая полнота. Поэтому
можно с самого начала считать, что слабая топология
является исходной. При этом можно считать Ε полным, ибо S полно
и в пополнении. Кроме того, в силу выпуклости S слабо
замкнуто. Тем самым надо установить относительную слабую
компактность 5, что по теореме Эберлейна сводится к прверке того, что
всякая последовательность в S имеет слабую предельную точку
в Е. В итоге все свелось к проверке относительной слабой
компактности S в сепарабельном полном пространстве Е, так что
остается применить предыдущую теорему. D
С рассмотренными вопросами связан важный результат
Шоке о представлении точек из замкнутых выпуклых оболочек
компактов в виде средних вероятностных мер на этих компактах.
Пусть X — отделимое локально выпуклое пространство, К —
компакт в X и μ — вероятностная мера Радона на К. Из
полученных выше результатов следует, что если μ имеет среднее έμ, то
6μ Ε conv К. При этом среднего может не быть, если на X не
накладывать дополнительных условий (типа квазиполноты или
более слабого требования компактности замкнутых выпуклых
оболочек компактов). Тем не менее верен следующий факт.
5.6.13. Теорема. Замкнутая выпуклая оболочка любого
компакта К совпадает со множеством барицентров
вероятностных мер Радона на К (имеющих барицентры).

5.6. Ковариационные операторы и средние мер
453
Доказательство. Если X полно, то всякая мера Радона μ
на К имеет барицентр 6μ е convK. Поэтому, рассматривая X
в его пополнении и учитывая компактность К в пополнении,
достаточно доказать теорему для полного X. В обосновании
нуждается лишь возможность представить всякий элемент из сот К
в виде барицентра вероятностной меры Радона на К. Точки
самого К являются барицентрами мер Дирака в этих точках.
Поэтому допускают нужное представление все точки из conv К.
Теперь заметим, что отображение /: μ н-> 6μ из множества Ρ (К)
вероятностных мер Радона на К в X непрерывно при
наделении пространства мер слабой топологией и пространства X
топологией σ(Χ, Χ'). Ввиду компактности К множество Р{К)
также компактно, значит, компактен и его образ. Так как мы уже
знаем, что образ Р(К) плотен в conv К, то получаем равенство
l(P(K)) = conv К. Конечно, здесь можно рассуждать более
непосредственно: для Ъ Ε conv if можно взять сходящуюся к Ъ
направленность Ъа Ε conv К средних дискретных вероятностных мер μα
на if, выбрать из {μα} сходящуюся в топологии а(С(К), С(К),У)
поднаправленность с пределом μ (лежащим в Ρ (К)), что даст
очевидным образом Ъ = 6μ. D
Мера μ называется представляющей мерой для Ь, если Ъ = 6μ.
Для выпуклого компакта бывает полезно иметь представляющую
меру, сосредоточенную на множестве его крайних точек.
Существование таких мер обеспечивается следующей теоремой Шоке -
Бишопа - де Лю. Шоке доказал эту теорему для метризуемых К.
В этом случае множество extK крайних точек компакта К
является G^-множеством, в частности борелевским. В общем случае
это не так, что приводит к необходимости модифицировать
формулировку.
5.6.14. Теорема. Если К — выпуклый компакт в X, то для
всякого к £ К существует вероятностная мера Радона μ на К,
представляющая к и равная нулю на всех бэровских множествах
из K\extK. Если К метризуемо, то μ(βχίΚ) = 1.
О представлениях Шоке см. работы Мейер [93], Фелпс [161],
Эдварде [185], Alfsen [196], von Weizsacker [508], von Weizsacker,
Winkler [510], где можно найти дополнительные ссылки.
Для меры μ слабого порядка ρ получаем оператор
естественного вложения
Τμ: Χ'-+υ>(μ).

454
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.6.15. Лемма. Пусть мера μ на локально выпуклом
пространстве X имеет слабый момент порядка р. Тогда
оператор Τμ: Χ' —► Π? (μ) имеет замкнутый график при
наделении X' любой топологией τ, мажорирующей σ(Χ',Χ). Поэтому
этот оператор непрерывен, если для (Χ',τ) выполняется
теорема о замкнутом графике (например, если (Χ',τ) является
пространством Фреше или строгим индуктивным пределом
последовательности таких пространств).
Доказательство. Если /п,/ еХ'и fn(x) —► f(x)
поточечно и fn —► g в Ι^(μ), то последовательность {|/п|р} равномерно
интегрируема, откуда fn~^fB ^(аО и f = g п.в. D
Например, если X — нормированное пространство, то X'
банахово с естественной нормой, поэтому для него выполнена
теорема о замкнутом графике. Достаточна также бочечность X' в
топологии Макки τ(Χ',Χ), но это означает полурефлексивность X
(см. §3.7).
Теперь приведем модификацию леммы 5.6.7.
5.6.16. Лемма. Если радоновская вероятностная мера μ на
квазиполном локально выпуклом пространстве X такова, что
X' С 1Ρ(μ), где ρ > 1, то оператор Τμ: Χ' —► ^(μ) непрерывен
при наделении X' топологией Макки т(Х', X) и μ имеет среднее.
Доказательство. Так как квазиполнота влечет локальную
полноту (см. §2.10(iii)), то в силу примера 3.9.13 достаточно
проверить, что Τμ непрерывен относительно топологии т(Х', X) и
топологии сходимости по мере на Ι^(μ). Еще раз используя
квазиполноту, для каждого ε > 0 можно найти такой выпуклый
компакт Ке С X, что μ(Χ\Κε) < ε. Если теперь / Ε X' и
suPxeK \f(x)\ ^ ε> т0 очевидным образом μ(χ: \f(x)\ > ε) < ε.
Это и есть нужная непрерывность.
Поскольку X совпадает с сопряженным к X' с топологией
τ(Χ',Χ), то имеется сопряженный оператор Т*: Lq(μ) —► X, где
ρ~ι + q~l = 1, который дает среднее по формуле т = T*l Ε X.
В самом деяе^
/(Г*1) = (1, Г/> = / f(x) μ(άχ), f Ε Χ',
Jx
что следует из определения Т*. D

5.6. Ковариационные операторы и средние мер
455
5.6.17. Определение. Пусть μ — мера слабого порядка 2 на
локально выпуклом пространстве X. Ее ковариацией
называется функция Ομ\ X'хX' —> К; определенная формулой
Ομ(1\,ΐ2)= / li(x)h(x) μ{άχ) - I Ιχ(χ) μ(άχ) / 12(χ)μ(άχ).
Jx Jx Jx
Ковариационный оператор RfJi из X' в алгебраически
сопряженное к X' определяется равенством
я„: χ'^(χγ, Зд)(<г) = ед,<7).
Рассматривают также оператор
Κμ: Χ'^(Χ')*, Kll(f)(g) = (f,g)L4/l).
Если мера μ слабого второго порядка имеет среднее т, то ее
ковариационный оператор совпадает с ковариационным оператором
сдвинутой меры μγη(Β) = μ(Β + га), имеющей нулевое среднее,
т.е. ϋμ = Κμηι.
Ясно, что всякий ковариационный оператор R имеет
следующие свойства:
1) линейность,
2) неотрицательность, т.е. (/,R(f)) ^ 0 для всех / Ε X7,
3) симметричность, т.е. (R(f),g) = (R(g),f), f,g G X'.
При широких предположениях относительно меры или
пространства ковариационный оператор принимает значения в более
узких подпространствах алгебраически сопряженного к X'
(например, в X" или X) и оказывается непрерывным в разумных
топологиях. Этот вопрос детально исследован в Вахания, Тарие-
ладзе [32]. Приведем несколько основных результатов.
5.6.18. Теорема. Пусть μ — вероятностная мера Радона на
полном {или квазиполном) локально выпуклом пространстве X,
имеющая слабый второй момент. Тогда R^X') С X.
Доказательство. По лемме 5.6.16 мера μ имеет среднее,
что сводит утверждение к мере с нулевым средним. Остается
применить указанную лемму и заметить, что i?M/ = T*f,feX\ где
Τ* : Ι?(μ) —> Χ сопряжен оператору Τμ из леммы. D
Если Χ — гильбертово пространство со скалярным
произведением (·, ·), то удобно отождествить X' с X и рассматривать

456
Глава 5. Меры на линейных пространствах
ковариационный оператор меры μ как оператор в X, заданный
формулой
(Дмгг, г;) = / (u,x)(v,x) μ(άχ) — / (и, χ) μ(άχ) / (ν, χ) μ(άχ).
Jx Jx J χ
Для мер с нулевым средним мы получаем
(Дмгх,г;)= / (μ,χ)(ν,χ)μ{άχ).
Jx
5.6.19. Теорема. Класс ковариационных операторов мер
слабого второго порядка на сепарабельном пространстве Фре-
ше X совпадает с классом всех симметричных
неотрицательных операторов из X' в X.
Доказательство см. в Вахания, Тариеладзе [32]. Обычно класс
ковариационных операторов мер сильного второго порядка уже.
5.6.20. Предложение. Пусть Η — сепарабельное
гильбертово пространство и μ — мера слабого порядка 2. Тогда μ имеет
сильный второй момент, если и только если ее ковариационный
оператор Λμ является ядерным.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис
в Н. Если μ имеет сильный второй момент, то по доказанному
выше она имеет и среднее т, причем мера /im также имеет
сильный второй момент. Поэтому можно считать, что μ имеет нулевое
среднее, а тогда
« оо „ оо
/ (χ,χ)μ(άχ) = Σ (х,еп)2 μ(άχ) = У](Дмеп,вп).
^Н п=1 ^Я п=1
Итак, i?M — оператор со следом. Обратно, пусть i?M — ядерный
оператор. Если мера μ имеет нулевое среднее, то предыдущее
равенство сразу дает интегрируемость (ж, х) ввиду теоремы Беппо
Леви. В общем случае мы замечаем, что μ имеет среднее т (по
следствию 5.6.7). Значит, мера μΎη имеет сильный второй момент,
а тогда такова и μ. D
В заключение приведем еще один результат из [32].
5.6.21. Теорема. Если X банахово, то следующие условия
равносильны: (i) X линейно гомеоморфно гильбертову
пространству] (и) для всяких двух радоновских вероятностных мер μ и и
на X с ίίμ = Rv существование сильного второго момента
меры μ влечет существование сильного второго момента меры и.

5.7. Гауссовские меры
457
5.7. Гауссовские меры
Подробное обсуждение гауссовских мер и обширную
библиографию можно найти в книгах Богачев [16], [230]. Здесь
напоминаются лишь некоторые основные понятия и факты, необходимые
для дальнейшего.
5.7.1. Определение. Гауссовской мерой на К1 называется
вероятностная борелевская мера, которая либо сосредоточена
в некоторой точке а, т. е. является дираковской мерой δα в а,
либо задана плотностью (2πσ)-1/2 ехр(—(2σ)~1(χ — α)2)
относительно меры Лебега, где a Ε К1 — среднее и σ > 0 — дисперсия.
Мера, для которой а = 0 и σ = 1, называется
стандартной гауссовской. Непосредственным вычислением легко
убедиться, что преобразование Фурье гауссовской меры с параметрами а
и σ имеет вид
expl гах — —х 1.
Пусть линейные пространства Ε и G находятся в
двойственности.
5.7.2. Определение. Вероятностная мера η на σ-алгебре
cr(G) называется гауссовской, если для всякого g Ε G
индуцированная мера ^од-1 — гауссовская на прямой.
Радоновская вероятностная мера η на локально выпуклом
пространстве X называется гауссовской, если таково ее
ограничение на σ{Χ').
Из формулы замены переменных и формулы для
преобразования Фурье одномерной гауссовской меры получаем следующее
выражение для преобразования Фурье гауссовской меры на &(G):
l{g) = exp[iag - -j-J, g e G,
a9= g(x)l(dx), σ9= {d(x) - α9)2η(άχ).
JE JE
Ясно, что функция g ι—► ag линейна на G, а функция g \—> σ9
является неотрицательной квадратичной формой на G. Эта
квадратичная форма порождается билинейной функцией
Q(f,9) = / (/0*0 ~ af) {9(x) ~ o.g) η{άχ),
JE
представляющей собой ковариацию меры η.

458
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Обратно, если мера η на cr(G) такова, что существуют
линейная функция а и квадратичная функция Q на G, для которых
l(g) = exp(ia(g)-±Q{gj), (5.7.1)
то 7 оказывается гауссовской мерой. В самом деле^ для каждого
д Ε G функция t \—> ^{tg) имеет вид exp(itag — t2Q(g)/2), т.е.
является преобразованием Фурье гауссовской меры с параметрами
ад и ад. Но эта функция есть преобразование Фурье меры 7°#-1·
Здесь важно, что заранее дано, что правая часть (5.7.1)
является преобразованием Фурье некоторой меры. Отнюдь не для
каждой неотрицательной квадратичной формы Q на G функция
ехр(—Q/2) оказывается преобразованием Фурье
счетно-аддитивной меры. В §5.11 мы вернемся к этому вопросу.
Известно, что радоновская гауссовская мера η имеет среднее
т Ε X, т. е. такой вектор, что
f(m)= [ ί{χ)Ί{άχ) V/GX*.
Jx
Если т = 0, т.е. меры 7°/-1 ПРИ / £ X* имеют среднее 0, то
7 называется центрированной. Любая радоновская гауссовская
мера 7 есть сдвиг центрированной гауссовской меры 7т? заданной
формулой 7т(-В) := ί(Β + т)-
Важнейший пример гауссовской меры — счетное
произведение стандартных гауссовских мер на прямой. Такая мера задана
на пространстве Н°°. Ее преобразование Фурье имеет вид
(Уь ·.., Ути 0,0,...) ■-► ехр (-£ (У? + * * * + у1)) ·
Другой ключевой пример — мера Винера Pw на пространстве
всех функций на [О, Т] или на пространстве непрерывных
функций С [О, Т]. На пространстве мера Винера
определяется своими конечномерными проекциями Ргь...,гп, которые при
О < t\ < · · · < tn ^ Τ задаются относительно меры Лебега на Кп
плотностями Ptlv..,tn(xi,... ,хп) следующего специального вида:
1 (_ΞΪΛ χ 1 / (х2-х\)2\ χ
Λ/2^7ΘΧΡν 2tJ Х ^/2π(ί2-ίι)ΘΧΡ^ 2(ί2-ίι)/ Х'"Х
\%п Xn—l)
ехр
^2π(ίη - ίη_χ) V 2(ί
n, Xn—l) \
*п tn—l) '

5.7. Гауссовские меры
459
Кроме того, требуется, чтобы Р$ = δο. С помощью теоремы
Колмогорова о согласованных конечномерных распределениях легко
проверить существование меры Винера на Ιν0'Τ'. Затем с
помощью другой теоремы Колмогорова 5.4.12 проверяется, что
множество С[0, Т] непрерывных функций имеет внешнюю меру 1 и
потому меру Pw можно задать и на С[0, Т], что и называется
классической мерой Винера. Для применения указанной теоремы
надо заметить, что
/
x{t) - x(s)\4 Pw(dx) = 3|ί - s
з
Есть способы задания меры Винера непосредственно на С[0, Т]
(так действовал и сам Винер). Можно взять ортонормированный
базис {ψη} Β £2[0,1], последовательность {ξη} независимых
стандартных гауссовских случайных величин и рассмотреть
случайный ряд Y^=i £n(^)en(£), где еп — неопределенный интеграл от
φη на [0,1]. Оказывается, такой ряд сходится равномерно на [0,1]
для почти всех о;, а порождаемая им мера и есть мера Винера.
Преобразование Фурье классической меры Винера
определено на сопряженном к С[0,Т], т.е. на пространстве борелевских
мер на [О, Т], и задается формулой
ν \—>ехр(— - / / min(£, s) v(dt) v{ds)
V 2 J[0,T] J[0,T] j
Это равенство можно проверить так. Сначала непосредственным
вычислением оно проверяется для мер вида ν — X^=iQ<^., где
ti G [0,Τ]. Для этого с помощью указанных выше
конечномерных распределений находится явный вид образа меры Винера
относительно линейного функционала χ ι—> Y27=i cix(U),
совпадающий с образом меры с плотностью Ргь...,гп на Нп относительно
линейной функции χ \—> Σ?=ι °ϊχϊ- Затем предельным переходом
результат переносится на все меры (для чего мера ν
приближается слабо сходящейся последовательностью дискретных мер).
Для центрированной радоновской гауссовской меры η
обозначим через X* замыкание X' в 1?{η). Элементы X* называются
7- измеримыми линейными функционалами. Существует
оператор Rj: X* —> X, называемый ковариационным оператором
меры 7, такой, что
/(Щд) = ί f(x)g(x) 7(dx), f€X',geX;.

460
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Положим h := д, если h = i?7g. Тогда h называется 7-измеримым
линейным функционалом, порожденным h. Выполнено и
векторное равенство (если X банахово, то в смысле интеграла Бохнера)
Ry9= / g{x)xi{dx), geX*.
Таким образом, этот оператор продолжает ковариационный
оператор, заданный на X'.
Например, если η — центрированная гауссовская мера на сепа-
рабельном гильбертовом пространстве X, то существует
неотрицательный ядерный оператор К на X, для которого К у = Ё^у
для всех у Ε X при отождествлении X' с X. Тогда получаем
(Ky,z)= / {y,x){z,x)-)(dx), ч(у) = ехр(--(Ку,у)).
Возьмем собственный ортонормированный базис {еп}
оператора К с собственными числами {кп}. Тогда η совпадает с
образом счетной степени 7о стандартной гауссовской меры на Ж1 при
отображении Ж°° —► X, (хп) ·—> Σ/nLi VknXn^n- Этот ряд
сходится 70-п-в- в X из-за сходимости ряда Σ/nLi кпх^, вытекающей из
сходимости ряда из кп и того факта, что интеграл от х^ по мере
7о равен 1. При этом X* отождествляется с пополнением X по
норме χ ι—> \у/Кх\х, т.е. вложение X = X' —► X* — оператор
Гильберта-Шмидта.
Возвращаясь к общему случаю, отметим равенство
7(0 = ехР(-^|Д7(0|2н), 1еХ',
которое теперь можно перенести и на I Ε X*.
Пространство Η {η) = Ну (X*) называется пространством
Камерона-Мартина меры η. Оно оказывается гильбертовым
относительно скалярного произведения
(h,k)H := / h(x)k(x)/y(dx).
Jx
Соответствующая норма задается формулой
\h\H := INIz^w
Более того, известно, что Η(η) с указанной нормой сепарабель-
но. Если X метризуемо, то это — простой факт, вытекающий из

5.7. Гауссовские меры
461
сепарабельности 1?{μ) для всякой радоновской меры μ на
метрическом пространстве; в общем же случае доказательство весьма
нетривиально. Отметим, что та же самая норма на Η{η) задается
формулой
\h\H = sup{/(/>): / G X', ||/||L2(7) *Ξ 1}. (5.7.2)
Надо иметь в виду, что если dim #(7) = 00, то 7(^(7)) — 0.
В указанном выше примере гауссовской меры η на
гильбертовом пространстве мы имеем Η {η) = л/К(Х). Действительно,
здесь X* есть весовое гильбертово пространство
последовательностей (уп), для которых Σ^=ι кпУп < оо, а оператор Ry
переводит (уп) в (кпуп) и имеет образ у/К(Х).
5.7.3. Теорема. Множество Η(η) есть совокупность всех
таких h G X, что 7л, ~ Ί, где Ίη{Β) := η(Β + h), причем
плотность Радона-Никодима меры 7л, относительно η задается
следующей формулой Камерона-Мартина:
^ = eM-h-\h\l/2).
Для каждого h £ Η(η) имеем η _L 7/1·
Центрированная радоновская гауссовская мера однозначно
определяется своим пространством Камерона-Мартина (с
указанной нормой!): если μ и ν — такие центрированные радоновские
гауссовские меры, что Η(μ) = Н(и) и |/ι|#(μ) = |^|#(ι/) при всех
h Ε Η (μ) = Η (ν), το μ = ν. Пространство Камерона-Мартина
называют также воспроизводящим гильбертовым пространством.
Если 7 — мера на X = Ш°°, являющаяся счетным
произведением стандартных гауссовских мер на прямой, то X*
можно отождествить с пространством всех последовательностей вида
/ = 1/Ί,···,Λι,0,0,...). При этом (/,flOL2(7) = Y^LifiQi-
Поэтому X* можно отождествить с Z2; элемент I = (en) Ε I2 задает
элемент L2^) п0 формуле 1(х) := Σ™=ιθπΧη, где ряд сходится
в 1/2(7)· Следовательно, пространство Камерона-Мартина Η {η)
совпадает с пространством I2 с его естественным скалярным
произведением. Элемент I представляет собой непрерывный
линейный функционал только тогда, когда лишь конечное число чисел
Сп отлично от нуля. Ограничение же I на I2 очевидным образом

462
Глава 5. Меры на линейных пространствах
непрерывно на I с гильбертовой нормой, ибо имеет вид
скалярного произведения с вектором (сп).
Для меры Винера на С[0,1] пространство Камерона-Мартина
совпадает с классом W0' [0,1] всех таких абсолютно
непрерывных функций h на [0,1], что /г(0) = 0 и Ы Ε L2[0,1]; скалярное
произведение в нем задано формулой
(huh2)H := / h[(t)hf2(t)dt.
Jo
Общий вид измеримого линейного функционала для меры
Винера задается стохастическим интегралом (см. [34])
l(x)= [ ti{t)dx{t).
Jo
Такой функционал непрерывен на С[0,1] в точности тогда, когда
Ы имеет ограниченную вариацию.
Отображение h \—> h устанавливает сохраняющий скалярное
произведение изоморфизм между Η (η) и X* При этом Ryh = h.
Если {еп} — ортонормированный базис в Η(η), то {е^} — орто-
нормированный базис в X* и е^ — независимые случайные
величины. Можно взять в X* ортонормированный базис из
элементов ξη е X*. Общий вид элемента I G X* таков: I = Σ™=ιθαξη,
где ряд сходится в 1?{η). Так как ξη — независимые гауссов-
ские случайные величины, то ряд сходится и 7~п.в. Область его
сходимости L — борелевское линейное подпространство полной
меры (даже L Ε σ(Χ)). Можно взять версию Ζ, линейную на
всем X в обычном смысле; она называется собственно
линейной версией. Например, пусть I на L есть сумма указанного ряда;
на все X доопределим I произвольно по линейности (взяв
линейное подпространство Li, алгебраически дополняющее L,
положим 1{х + у) = 1{х) при χ Ε L, у Ε Li). Такая версия
неединственна в бесконечномерном случае, но всякие две собственно
линейные версии совпадают на подпространстве Η {η) (хотя оно и
имеет меру нуль!). Это видно из того, что если 1\{х) = h(x) п.в.
и h Ε Η(η), то 1\{х — К) = 12(х — К) п.в. ввиду эквивалентности
мер 7 и 7λ·
Итак, каждый 7-измеримый линейный функционал / имеет
версию, линейную на всем пространстве. Такая версия
автоматически непрерывна на Η {η) с нормой | · |я.

5.7. Гауссовские меры
463
Обратно, всякий непрерывный линейный функционал I на
гильбертовом пространстве Η (η) допускает единственное
продолжение до такого 7-измеримого собственно линейного
функционала Z, что I совпадает с I на Η {η). Для каждого h Ε Η (η)
такое продолжение функционала χ ι—> (ж, h)H есть как раз h. Если
h = Σ™=ι£η€>η, то h = Y^LiCne^. Два 7-измеримых линейных
функционала равны почти всюду в точности тогда, когда их
собственно линейные версии равны на Η {η). Известно, что всякая
собственно линейная 7-измеримая функция входит в X*
5.7.4. Определение. Радоновская гауссовская мера η на
локально выпуклом пространстве X называется невырожденной,
если для всякого ненулевого функционала f Ε X* мера 7°/-1 не
сосредоточена в точке.
5.7.5. Теорема. Невырожденность радоновской гауссовской
меры 7 равносильна тому, что ^(U) > 0 для всякого непустого
открытого множества U С X. Это равносильно таксисе тому,
что пространство Камерона-Мартина Η (η) плотно в X.
Для вырожденной радоновской гауссовской меры η
существует наименьшее замкнутое линейное подпространство L С X,
для которого ^(L + m) = 1, где т — среднее меры η. Если т = О,
то на L мера η уже оказывается невырожденной.
Из этой теоремы следует, что упомянутое в ней наименьшее
замкнутое аффинное (а для центрированной меры линейное)
подпространство полной меры совпадает с топологическим
носителем меры 7? т·е· наименьшим замкнутым множеством полной
меры. Кроме того, мы получаем, что в случае меры с нулевым
средним всякая окрестность нуля имеет положительную меру.
Роль счетного произведения стандартных гауссовских мер
ясна из следующей важной и трудной теоремы Б.С. Цирельсона.
5.7.6. Теорема. Пусть η — центрированная радоновская
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, {еп} —
ортонормированный базис в Η (η) и {ξη} — независимые
стандартные гауссовские случайные величины (например,
последовательность координатных функций на Ж°° со счетным
произведением стандартных гауссовских мер на прямой). Тогда ряд
]CrS=i £п(и)еп сходится в X для п.в. ω, причем распределение его
суммы есть η. В частности, это верно, если ξη = €п.
Кроме того, существует такое суслинское линейное
подпространство S С X, что 7(5) = 1.

464
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Эта теорема показывает, что счетная степень стандартной га-
уссовской меры на прямой — главный (и, по существу,
единственный) пример центрированной радоновской гауссовской меры, ибо
всякая центрированная радоновская гауссовская мера η есть
образ этого счетного произведения при измеримом линейном
отображении Τ (однако Τ не обязано быть непрерывным);
отображение Τ задается указанным в формулировке рядом, а его сужение
на I2 является изометрией между I2 и Η {η).
По аналогии с функционалами отображение Τ из X в
локально выпуклое пространство Υ будем называть η-измеримым
линейным оператором, если оно измеримо относительно пары
σ-алгебр Β(Χ)Ί и Β(Υ) и имеет линейную в обычном смысле
версию (называемую собственно линейной).
5.7.7. Теорема. Пусть η — центрированная радоновская
гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X с
пространством Камерона-Мартина Н. Тогда для всякого
оператора Τ G С{Н) существует η-измеримое собственно линейное
отображение Т: X —► X со следующими свойствами:
(i) на Η отображение Τ совпадает с Т,
(И) образ меры η при отображении Τ есть
центрированная радоновская гауссовская мера μ с пространством Камерона-
Мартина Η (μ) = Τ (Η).
Всякие два таких отображения равны η-п.в. Если мера η
есть распределение ряда Σ/nLi £п(и)еп из теоремы 5.7.6, то μ
есть распределение ряда Σ/nLi £n(u;)Ten; который сходится п.н.
Отметим, что преобразование Фурье меры μ имеет вид
Д(0=ехр(-|Гад£/2).
Из этой теоремы можно получить несколько более общий
результат (перейдя к пространству ΧχΥ).
5.7.8. Следствие. Пусть η и μ — центрированные радонов-
ские гауссовские меры на локально выпуклых пространствах X
и Υ соответственно. Пусть Α: Η {η) —> Η (μ) — непрерывный
линейный оператор. Тогда А продолжается до η-измеримого
линейного отображения А: X —► У', причем образ η при этом
отображении является центрированной радоновской
гауссовской мерой с пространством Камерона-Мартина Α[Η{η)).

5.7. Гауссовские меры
465
Обратно, если А: X —► Υ — такое η-измеримое линейное
отображение, что мера μ = ηοΑ-1 радонова, то для собственно
линейной версии имеет равенство
оо
Ах = у^^ёп{х)Аеп η-η.β.,
п=1
где ряд сходится в Υ, причем Α[Η{η)) = Η(μ) и А = А|#(7)·
Для гильбертовых пространств Hi и Ή.2 через Ή,{Ηι,Η2)
обозначим пространство операторов Гильберта-Шмидта из Н\ в Я2,
наделенное его естественной структурой гильбертова
пространства (см. [21, гл. 7]), задаваемой скалярным произведением
(А,В)Н = Y^{Aea,Bea)H2,
а
где {еа} — ортонормированный базис в Н\.
5.7.9. Следствие. Пусть X и Υ — локально выпуклые
пространства, 7 — центрированная радоновская гауссовская мера
на X. Непрерывный линейный оператор Α: Η {η) —► Υ является
сужением на Η {η) измеримого линейного оператора А: X —► Υ,
для которого мера ηοΑ~ι радонова, в точности тогда, когда
существует такая гауссовская радоновская мера ν на Υ, что
Л (Я" (7)) С Η (и). Если Υ — гильбертово пространство, то это
равносильно включению A Ε 7ί(Η(η),Υ^, значит,
существованию оператора Гильберта-Шмидта Τ на Υ с Л (Я"(7)) С Τ(Υ).
Важным свойством гауссовских мер является выполнение так
называемого закона 0-1, утверждающего, что множества
определенного вида могут иметь меру только 0 или 1.
5.7.10. Теорема. Пусть η — радоновская гауссовская мера
на локально выпуклом пространстве X.
(i) Для всякого η-измеримого аффинного подпространства
L С X имеем либо j(L) = 0, либо j(L) = 1.
(и) Пусть {еп} — ортонормированный базис в Η {η). Пусть
η-измеримое множество Ε таково, что для каждого п и
каждого рационального числа г множества Ε и Ε + геп совпадают
с точностью до множества меры нуль. Тогда либо η(Ε) = 0,
либо η(Ε) = 1. В частности, это верно, если η-измеримое
множество Ε инвариантно относительно сдвигов на векторы геп.

466
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Другая классическая альтернатива теории гауссовских мер —
теорема Гаека-Фельдмана об эквивалентности и сингулярности.
5.7.11. Теорема. Если μ и и — радоновские гауссовские меры
на одном пространстве, то либо μ ~ ν, либо μ J_ v.
Еще один важный факт — следующая теорема Ферника.
5.7.12. Теорема. Если η — центрированная радоновская
гауссовская мера и η-измеримая функция q является
полунормой на τ-измеримом линейном подпространстве полной меры,
то exp(eq2) Ε Ь1(7) пРи некотором ε > 0.
В теории гауссовских мер важную роль играют многочлены
Эрмита (или Чебышёва-Эрмита) ifn, задаваемые равенствами
Я0 = 1, Hn(t) = t^e^^(e-^), п>1.
Они имеют следующие свойства:
K(t) = ν№ι-ι(«) = tHn(t) - y/n+lHn+1{t).
Кроме того, система функций {Нп} — ортонормированный базис
в 1/2(7)? гДе 7 — стандартная гауссовская мера на прямой.
Для стандартной гауссовской меры ηη на Нп (произведение
п стандартных гауссовских мер на прямой) ортонормированным
базисом в L2(7n) является множество многочленов вида
Hku_fkn(xi,...,xn) = Hkl(xi)---Hkn(xn), ki ^ 0.
Если 7 — центрированная радоновская гауссовская мера на
локально выпуклом пространстве X и {1п} — ортонормированный
базис в X*, то базис в L2{^) образуют многочлены
нки...,кЛх) = Hkl(li(x))---Hkn(ln(x)), ki^O.neTN.
Например, для счетной степени стандартной гауссовской меры
на прямой такой многочлен есть Hklt...,fcn(#i, · · · ?#п)·
Многочлены iffclv..,fcn удобно сгруппировать по их степеням к\ + · · · + кп.
Для к = 0,1,... обозначим через Хк замкнутое линейное
подпространство, порожденное функциями Нки„^кп с к\ + · · · + кп = к.
Пространство Xq одномерно и состоит из постоянных, а Х\ = X*.
Можно показать, что каждый элемент f € Хъ представим в виде
/ = Σ/nLi ап(1п ~ 1)? гДе {In} — ортонормированный базис в X*
и Σ™=ι ап < °° (т·е· РЯД Для / сходится в £2(7))·

5.7. Гауссовские меры
467
Сейчас мы проясним роль пространства Η в ситуации,
когда стандартная цилиндрическая гауссовская мера на Η
«продолжается» до настоящей гауссовской меры на расширении Н.
Для формулировки полезно одно общее понятие.
5.7.13. Определение. Будем говоришь, что (Ε',Η,Ε) —
оснащенное гильбертово пространство (гельфандовская
тройка), если сепарабельное гильбертово пространство Η
непрерывно вложено в отделимое локально выпуклое пространство Ε
в качестве плотного линейного подпространства, что задает
также плотное вложение jH: Ε' С Η, определяемое формулой
С?н(0>)я = (hh), где leE',heH.
5.7.14. Лемма. В ситуации предыдущего определения мы
имеем
Н={хеЕ: sup{l(x): I е Е', \jH{l)\H ^ 1} < оо}. (5.7.3)
Доказательство. В самом деяе^ ясно, что если h e if, то
Kh) = (jH(l)ih)H ^ \Зн(1)\н\Ь\н1 поэтому h входит в правую
часть доказываемого равенства. Пусть χ G Е\Н. Значит,
элемент χ не входит ни в одно из множеств ηU, где U — замкнутый
единичный шар из Н. Множества nU замкнуты и в Ε ввиду
слабой компактности в Н. Поэтому для каждого η найдется такой
функционал fn Ε Ε', что fn(x) > 1 и fn(u) ^ 1 при всех и Ε nU.
Значит, (jH(fn),u)H ^ п~г при и Ε U, откуда \jH(fn)\ ^ п~г.
Таким образом, для ln = nfn мы получаем 1п{х) > п, но |j#(£n)| ^ 1.
Это означает, что χ не входит и в правую часть (5.7.3). D
5.7.15. Предложение. Если (Ε',Η,Ε) — такое оснащенное
гильбертово пространство, что образ стандартной
цилиндрической гауссовской меры уц на Η при вложении Η β Ε
продолжается до радоновской меры η на Е, то Η совпадает с
пространством Камерона-Мартина этого продолжения.
Доказательство. Для каждого I ε E' по определению
продолжения цилиндрической меры мы имеем
7(0 = ^(7я(0)=ехр(~Ья(01я).
где для ин используется гильбертово преобразование Фурье. Это
означает, что \jH(l)\H = |Ау(01я(7)» откуда сразу следует, что

468
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Η = Η (η), ибо Η (η) есть множество всех векторов с конечной
нормой (5.7.2), а Н характеризуется равенством (5.7.3). D
Имеется обширная литература о ковариационных операторах
гауссовских мер (см. ссылки в Богачев [16], [230], Вахания, Та-
риеладзе [32], Вахания, Тариеладзе, Чобанян [33]).
5.8. Квазимеры
Введенное выше понятие цилиндрической меры не
охватывает конструкций, связанных с «мерой Фейнмана». Чтобы
включить и этот случай в рассматриваемую теорию, вместо алгебры
всех цилиндрических множеств будем рассматривать ее
подалгебру, которую сейчас определим.
Пусть, как и раньше, Ε — векторное пространство, G —
некоторое векторное пространство линейных функционалов на Е. Для
каждого п Ε IN и каждого набора д\,..., дп элементов из G
обозначим символом Рд1,...,дп отображение Ε —> IRn, определяемое
формулой Рди...,9п(х) = (5ι(ζ),...,5η(ζ))· Пусть Вьп — алгебра
подмножеств в IRn, определяемая так: А Е Въп тогда и только
тогда, когда либо Д либо IRn\A — ограниченное борелевское
подмножество IRn.
Обозначим через 21^ь...^п алгебру множеств Ρ^[]...ι9η(Βη) и п0~
ложим
*k= U <,..*»·
Класс 21^? представляет собой алгебру подмножеств Е; всякий ее
элемент Д имеющий непустое ограниченное основание В в каком-
нибудь из представлений вида А = Р~^■ (В), мы будем
называть скалярно ограниченным G-цилиндрическим подмножеством
пространства Е.
5.8.1. Определение. Будем называть G-цилиндрической
•квазимерой на 21^ всякую аддитивную комплексную функцию
ν на 21^у со следующим свойством: каковы бы ни были п Ε IN,
9\ι· · - iQn £ G и ограниченное борелевское множество В G IRn,
сужение ν на σ-алгебру подмножеств множества Ρ^[]...ί9η(Β)>
состоящую из всех множеств вида P^]...ign(V)> где V —
борелевское подмножество В, является счетно-аддитивным.

5.8. Квазимеры
469
Во всех приводимых ниже примерах значение квазимеры на
всем Ε считается равным 1, поэтому достаточно будет задавать
ее значения только на скалярно ограниченных элементах 21^: для
множества A Ε 21^, обладающего скалярно ограниченным
дополнением Е\А, мы полагаем и {А) = 1 — 1у(Жп\А). Заметим, что для
знакопеременных мер это не означает ограниченности значений
меры.
5.8.2. Пример. Пусть Ε = Кп канонически отождествлено
со своим сопряженным. Квазимера ν на Sljj^n называется
невырожденной классической квазимерой Фейнмана, если существуют
такие симметричный положительный оператор Q в IRn,
называемый корреляционным, и элемент a Ε Кп, называемый
математическим ожиданием или средним квазимеры ζ/, что для
всякого ограниченного борелевского множества А Е IRn выполнено
равенство
1у(А) = (2^-n/2(detQ)"1/2 i expJ-i^Q-^z-a^z-a))] dx.
Для прочих скалярно ограниченных цилиндрических множеств
вида А = Ρ~ιΑχ, где Ρ: Ε —> Ρ (Ε) — ортогональный проектор
в Ε и Αι — ограниченное множество в Р(Е), полагаем
v{A) =(2^-dimP^/2(detPQ)-1/2x
(z-P(a)),z-P(a))] dx.
Ясно, что PQ оказывается невырожденным положительным
оператором из Р(Е) в Р(Е).
5.8.3. Пример. Пусть снова Ε = IRn = G, причем
размерность η = 2k четна. Симплектической квазимерой Фейнмана
на Кп называется квазимера ν на Кп, значение которой на
каждом ограниченном борелевском множестве А С Кп определяется
равенством
г/(А)= / exp(f ^PXjXk+j) dx = // ехр(г(у, г)Шк) dy dz,
где χ = (жь ... x2fc), У = (si, · · · Хк), * = (sfc+i, · · · х2к)', Для прочих
скалярно ограниченных цилиндрических множеств, являющихся

470
Глава 5. Меры на линейных пространствах
прообразами ограниченных борелевских при линейных фактори-
зациях, значение меры определяем как значение образа ν на
образе исходного множества относительно этой факторизации.
5.8.4. Пример. Пусть Η — вещественное бесконечномерное
гильбертово пространство со скалярным произведением (·, ·),
отождествленное со своим сопряженным. Стандартной казиме-
рой Фейнмана на Η называется if-цилиндрическая квазимера ζ/φ
на Н, определяемая так: если Ρ — ортогональный проектор Η
на конечномерное подпространство Нр пространства Η и А —
ограниченное борелевское множество в Нр, то
иФ{р-1А) = (2n)~dimHp/2 ί expj-φζ,ζ)] dx.
Сейчас мы опишем цилиндрические функции, которые можно
интегрировать по G-цилиндрическим квазимерам.
Будем называть G-цилиндрическую функцию / финитной,
если f(x) = φ(β\{χ),... ,Sn(z)), гДе 0ь · · · ,0n G G и ψ — борелев-
ская функция на IRn, равная нулю вне некоторого шара.
Интеграл от цилиндрической финитной борелевской функции
/ по цилиндрической квазимере ν определяется как интеграл от
функции φ по мере vgi,...,gn (если последний существует, что имеет
место, если, скажем, функция φ ограничена на шарах).
Обозначим через Vq множество всех финитных G-цилиндри-
ческих функций / вида f(x) = φ{β\{χ),... ,5η(ζ)), гДе π G IN,
gu...,gneGji<p£V(]Rn).
Непосредственно проверяется, что каждая такая
цилиндрическая функция является преобразованием Фурье меры,
сосредоточенной на подпространстве L пространства G, порожденном
функционалами gi,...,gn; в том случае, когда эти
функционалы линейно независимы, она обладает плотностью относительно
меры Лебега на L (порождаемой выбором элементов <7ι?···?5η
в качестве ортонормированного базиса); эта плотность с
точностью до числового множителя является (конечномерным)
прямым преобразованием Фурье функции φ.
Это обстоятельство позволяет определить преобразование
Фурье G-цилиндрической квазимеры на Е.
5.8.5. Определение. Преобразованием Фурье
G-цилиндрической квазимеры ν называется функция ν на G, обладающая
следующим свойством: каковы бы ни были число η Ε ΊΝ,
линейно независимые элементы д\,...,дп Ε G, векторы βχ,..., еп ЕЕ,

5.8. Квазимеры
471
для которых (gj^e^) = 8jk, и функция φ Ε T>(JRn), выполнено
равенство
J]Rn k=i k=i Je
где для ζ — (ζχ,..., ζη) Ε Κη мы положили
η ρ η η
&\£2Zh9k) := / пеХ^У^г^к^Хкек^)^\^Хкек) dxl'"dxn-
k=i ^IRn fc=i fc=i
Иначе говоря, преобразование Фурье определяется с
помощью равенства Парсеваля. Следует подчеркнуть, что не всякая
квазимера обладает преобразованием Фурье в этом смысле.
Преобразование Фурье произвольной квазимеры на Кп можно
естественным образом определить как функционал на пространстве
Т>(Жп) преобразований Фурье функций из Т>(Шп).
Стандартная квазимера Фейнмана на Η преобразованием
Фурье обладает; оно определяется равенством
и(д) = ехр(-^(д,д)У
Для цилиндрических квазимер имеют смысл конструкции,
описанные выше для цилиндрических мер. В частности, для них
определяются образы при линейных отображениях, которые
оказываются связанными с операцией преобразования Фурье той же
самой формулой, что и приведенная в задаче 5.12.79 для
цилиндрических мер.
В приложениях квазимеру Фейнмана наиболее удобно
задавать с помощью ее преобразования Фурье. В частности, если Ε —
векторное пространство, G — векторное подпространство его
алгебраического сопряженного и Ъ — билинейная функция на GxG,
то G-цилиндрическая квазимера Фейнмана на Ε с
корреляционной функцией Ъ (и нулевым математическим ожиданием) есть
по определению G-цилиндрическая квазимера w, преобразование
Фурье которой определяется равенством
w(g) =exp(-ib(g,g)/2).
Аналогично определяется квазимера Фейнмана и с ненулевым
математическим ожиданием. Если Ε — гильбертово
пространство, G = Е' — Е, то вместо корреляционного функционала

472
Глава 5. Меры на линейных пространствах
удобно говорить о корреляционном операторе ζ), определяемом
равенством (Qx,x) = Ъ{х,х).
5.9. Достаточные топологии
В этом параграфе Ε — вещественное векторное пространство,
G — некоторое векторное пространство линейных функционалов
на Е.
Топология τ в векторном пространстве Ε (не предполагаемая
согласованной со структурой векторного пространства)
называется положительно достаточной, если из непрерывности в этой
топологии преобразования Фурье неотрицательной
^-цилиндрической меры на G вытекает, что эта мера счетно-аддитивна. Если
же непрерывности преобразования Фурье достаточно для
счетной аддитивности знакопеременных ограниченных
^-цилиндрических мер на G, то топология называется достаточной.
Очевидно, что всякая достаточная топология является и
положительно достаточной; в этом параграфе будет показано, что
в классе топологий, инвариантных относительно сдвигов, верно
и обратное. В следующем параграфе будут описаны две
достаточные топологии — топология Сазонова и топология Гросса-
Сазонова.
Топология τ в векторном пространстве Ε называется
необходимой, если из счетной аддитивности ограниченной
вещественной ^-цилиндрической меры на G вытекает, что преобразование
Фурье этой меры непрерывно в топологии т.
Аналогично можно было бы определить и положительно
необходимую топологию; однако из теоремы Жордана, согласно
которой всякая счетно-аддитивная вещественная мера
ограниченной вариации, определенная на некоторой алгебре подмножеств
произвольного пространства, является разностью двух
неотрицательных счетно-аддитивных мер на той же алгебре, следует, что
всякая положительно необходимая топология является и
необходимой; так как и обратная импликация очевидным образом
справедлива, то класс положительно необходимых топологий
совпадает с классом необходимых топологий.
Основной результат этого параграфа — следующая теорема
Тариеладзе [158] (доказательство использует метод работы Смо-
лянов, Шавгулидзе [153]).
5.9.1. Теорема. Всякая инвариантная относительно
сдвигов положительно достаточная топология в векторном
пространстве Ε является достаточной.

5.9. Достаточные топологии
473
Доказательство. Пусть τ — положительно достаточная
топология в Е, инвариантная относительно сдвигов, и ν — огра^
ниченная цилиндрическая мера на (G, 21#), причем функция ν
непрерывна на (Е, т). Пусть и = ζ/+ — ν~ — разложение Жордана
меры v. Согласно лемме 5.4.2, г/+ и ν~ — также ограниченные
неотрицательные цилиндрические меры.
Для доказательства счетной аддитивности ν достаточно
доказать счетную аддитивность г/+ и ζ/~; для этого, в свою очередь,
достаточно доказать, что непрерывны функции ζ/+: (£?, τ) —> С,
ν~ : (£?, г) —> С. Последнее же будет доказано, если показать, что
ζ/+ и ζ/~ могут быть равномерно приближены линейными
комбинациями сдвигов преобразования Фурье исходной меры ν\ это
будет сделано в следующем предложении в общем случае.
Непрерывность же функций χ \—> ν(χ + хг) видна из непрерывности ν
и инвариантности топологии τ относительно сдвигов. D
5.9.2. Предложение. Пусть ν — ограниченная
цилиндрическая мера на (G, 21#) и ν — ζ/+ — ν~ —ее разложение Жордана.
Тогда функции и+ и и~ равномерно приближаются функциями
вида χ ι—> ]C?=i cjv(x + Xj), где сj Ε С и Xj Ε Ε.
Доказательство. Проведем доказательство для ζ/+;
утверждение для ν~ получается переходом к —v. Итак, пусть ε > О
и множество А е 21# таково, что и (А) > ^+(G) — ε. Так как
ν(Α) = ν+(Α)-ν-(Α), то
v+(G\A) < ε + ι/(Α) - v+(A) = ευ~{Α) ^ ε,
откуда ввиду неравенств г/+ ^ 0, ν~ ^ 0 получаем
ζ/+(σ\Α)<ε, ι/"(Α)<ε.
Наше множество Л имеет вид А — Р_1(Б), где В G #(IRn),
Ρ = (φι,..., ^η): G —> Κη, ^ G £. Мера |ζ/| = ι/+ + ν~ также
является ограниченной цилиндрической. Ввиду счетной
аддитивности меры |ζ/|οΡ_1 существуют такие числа ci,..., Ck G С и такие
линейные функции Zi,...,Zfc на IRn, что комплексная функция
Ф(и) = J2j=icjexP(ilj(u)) приближает 1в в Ll(\u\oP~l) с
точностью до ε, τ. е.
/ \1в-Ца{\и\ор-1)<£.

474
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Положим F(g) := Y^j=iCj exp(ilj(Pg)). Из формулы замены
переменной получаем оценку
f \IA(g)-F(g)\\u\(dg)<e;
Jg
последний интеграл определен, так как подынтегральная
функция является ограниченной борелевской Е-цилиндрической.
Оценим теперь функцию |z/+ — F - z/|, где F · и —
^-цилиндрическая мера на 21#, определяемая равенством
(F.v)(C)= [ F(g)v(dg);
Jc
аналогично определяется и мера Ια · ν- Используя соотношение
г/+ — Ια - ν = Iq\a 'V^ — Ia'V~ , мы получаем цепочку неравенств
\и+{х) - Т^{х)\ < \1а{х) - 72^{х)\ + \U^{x) - Р^(х)\ <
/+ - /д . ι/Ц + [ \IA(g)-F(g)\H(dg)
JG
L
< 11^ - /^ . И1 + / 1Ы<7) - Па)I МШ <
При этом выполняются равенства
fT^(x) = ί J2cJeilj{Pg)eig{x) "Ш =
Jg 3=1
к к
J2 Cjei9^ei9M v{dg) = ^ ци(х + Xj),
Gj=l j=l
где векторы Xj Ε Ε построены так: записав функционалы lj в
виде lj(x) = Xj,iv>i Η h Xj^nUn, полагаем Xj := Xj,iipi Η l· Xj^n,
j = 1,..., fc, где P# = (^1(5),..., V>n(5)), ψι,...,ψη€Ε. При
таком выборе lj(Pg) = g(xj) при j = 1,..., /с. Итак, существование
искомых равномерных приближений установлено. D
Подчеркнем, что никакой счетной аддитивности ν не
предполагалось. Однако ограниченность вариации меры ν была
существенна. Отметим, что ограниченность вариации ν не вытекает
из ограниченности ν даже при дополнительных условиях
непрерывности ν (см. задачу 5.12.93).

5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова
475
5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова
В этом параграфе вводятся топологии Сазонова и Гросса-
Сазонова и доказывается, что они являются необходимыми.
Будет показано также, что, хотя топологии Сазонова и
Гросса-Сазонова различны, преобразование Фурье ограниченной
цилиндрической меры непрерывно в одной из них в точности тогда, когда
оно непрерывно в другой.
Всюду далее в этом параграфе символом Η обозначается се-
парабельное вещественное гильбертово пространство со
скалярным произведением (·, ·)# и нормой | · |я; для каждого г > 0 через
Sr обозначается открытый шар радиуса г с центром в нуле в Η
и через wr — гауссовская цилиндрическая мера в if,
преобразование Фурье которой имеет вид χ \—> ехр(—^г(ж,ж)); в частности,
w\ — каноническая гауссовская мера в Н.
Для каждого замкнутого векторного подпространства F
пространства Η через Рр обозначается оператор ортогонального
проектирования на F. Множество всех конечномерных векторных
подпространств в Η обозначается символом Fin(iJ); через J(H)
обозначим множество всех неотрицательных самосопряженных
ядерных операторов в Н. Как и выше, Ή(Η) — множество всех
операторов Гильберта-Шмидта в Н.
Для каждого оператора Τ G J{H) обозначим через р(Т)
полунорму на if, определяемую равенством рт(х) = у/(Тх,х)н-
5.10.1. Определение. Топологией Сазонова в
пространстве Η называется локально выпуклая топология, задаваемая
семейством полунорм Sh = {ρτ- Τ G J (Η)}.
Полунормы указанного вида есть в точности полунормы вида
Ps(x) — l^ltf' гДе S — оператор Гильберта-Шмидта в Н. В
самом деле^ если Τ е J{H), то можно взять S — \/Т; обратно,
для всякого оператора Гильберта-Шмидта S оператор Τ = S*S
входит в J(H) и (Тх,х)н = (Sx,Sx)h-
Пусть теперь Ε — произвольное вещественное отделимое
локально выпуклое пространство.
5.10.2. Определение. Топология Сазонова rs в Е,
ассоциированная с исходной топологией Е, задается следующим
семейством полунорм SE на Ε: ρ Ε SE в точности тогда, когда
существуют непрерывный линейный оператор Λ: Ε —> Η (где Η
наделено топологией, порожденной нормой) и полунорма q Ε Sh,
для которых р(х) = q(Ax).

476
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Легко видеть, что если Ε — сепарабельное гильбертово
пространство, то rs совпадает с топологией Сазонова, заданной
выше для этого специального случая. В самом деяе^ если ρ Ε S#, to
ρ Ε SE, ибо можно взять тождественное отображение Λ.
Обратно, если ρ Ε SE, то можно считать, что Ε = if, а тогда включение
ρ Ε Sh следует из того, что композиция непрерывного линейного
оператора и оператора Гильберта-Шмидта также является
оператором Гильберта-Шмидта.
Оказывается, для задания базы топологии Сазонова не нужно
брать пересечений шаров по различным полунормам из SE.
5.10.3. Предложение. Семейство подмножеств
пространства Ε вида {χ Ε Ε: ρ(χ) < 1}; где ρ Ε SE, образует базу
окрестностей нуля в топологии Сазонова.
Доказательство. Надо доказать, что для всяких р, q e Se
существует такая полунорма ро £ Е, что
{χ Ε Ε: ρο(χ) < 1} С {х: р(х) < 1} Π {χ: q(x) < 1}.
По определению есть такие Т\,Тч Ε J(H) и Λχ,Λ2 Ε С{Е,Н), что
р(х) = (ΤιΑιχ,Αιχ)ή , q(x) = (T2A2X, A2X)jj для всех χ Ε Ε.
Положим Щ = ΗχΗ и зададим Λ Ε C(E,Hq) и Τ Ε J{Hq)
равенствами Л(ж) := (Λι(χ),Λ2(χ)), Τ(/ΐι,/ι2) := (Ti/ii,T2/i2). Если
1 /9
теперь ро(#) :— {Tg{x),g{x)) , то имеем нужное включение. D
Отметим, что из сказанного в § 2.9 (см. теорему 2.9.5)
вытекает, что отделимое локально выпуклое пространство
является ядерным, если его топология совпадает с ассоциированной
с ней топологией Сазонова. Напомним, что всякое локально
выпуклое пространство Ε ядерно в ослабленной топологии σ(Ε, Ε'),
(в частности ядерно всякое конечномерное локально выпуклое
пространство). Тем самым такие пространства наделены
топологиями Сазонова.
Перейдем к определению топологии Гросса-Сазонова. Эта
топология также сначала определяется для сепарабельного
гильбертова пространства Н.
5.10.4. Определение. Полунорма q на Η называется
измеримой, если выполнено следующее условие:
νε > 0 ЗС > 0: ъиг(х Ε Я: q{PFx) > С) < ε VF Ε Fin(tf).

5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова 477
Отметим, что если dim if < оо, то всякая полунорма на Η
измерима в этом смысле. Отметим также, что в определении
измеримости полунормы никакая алгебра (или σ-алгебра)
подмножеств не используется.
Приведем пример измеримой полунормы.
5.10.5. Пример. Если Τ — неотрицательный
самосопряженный ядерный оператор в if, то полунорма χ \—> {Τχ,χ)1'2 на Η
измерима.
В самом деяе^ пусть F Ε Fin(iJ), PF — ортогональный
проектор из Η на F и wF — каноническая гауссовская мера в F. Тогда
ввиду неравенства Чебышёва
wi(heH: \VfPFh\H>C)=wF(zeF: (PFTz,z)H > С2) <
< С~2 ί (PFTh,h)wF(dh) = С~2 = C"2tr (PFT) < C"2trT,
где tr — след, откуда вытекает сказанное.
5.10.6. Замечание. Если {еп} — ортонормированный
базис в if, Рп — проектор на линейную оболочку βχ,..., еп и q —
непрерывная полунорма на if, то для ее измеримости достаточно
выполнения нужной оценки лишь для счетного числа
проекторов Рп, т.е. достаточно для каждого ε > 0 иметь такое С > 0,
что
νε > 0 ЗС > 0: wx{x e H: q{Pnx) > С) < ε Vn.
В самом деяе^ в этом случае для всякого конечномерного
проектора Ρ с использованием непрерывности q можно подобрать
такой проектор PF на подпространство F, содержащееся в Рп(Н)
для достаточно большого п, что
wi(x е Н: q(Px) > С) < w\(x G Я: q(PFx) > С) + ε.
Поскольку w\(x Ε Η: q(PFx) > С) ^ w\(x Ε H: q(Pnx) > С),
то левая часть меньше 2ε.
5.10.7. Определение. Топология Гросса-Сазонова tqs в Η
задается семейством Г# всех измеримых полунорм.
Топология Гросса-Сазонова tqs в произвольном локально
выпуклом пространстве Е, ассоциированная с исходной
топологией этого пространства, задается семейством полунорм Vе.
определяемым так: ρ Ε Г^ в точности тогда, когда
существуют непрерывное линейное отображение Λ: Ε —> Η и полунорма
q Ε Г# такие, что р(х) = q(Ax).

478
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Отметим два очевидных следствия определения: если
полунорма ρ измерима, а полунорма q такова, что q ^ кр при
некотором &, то q тоже измерима; кроме того, сумма конечного числа
измеримых полунорм измерима. Например, если полунормы р\
и р2 измеримы, то для всякого С > 0 мы имеем
{х: Pl(PFx) + p2(PFx) >C}C
С {х: pi{PFx) > С/2} U {x: p2{Pfx) > С/2},
поэтому мера левой части не превосходит ε, если мера каждого
слагаемого в правой части не превосходит ε/2.
Как и для топологии Сазонова, в случае, когда Ε — сепа-
рабельное гильбертово пространство, два получившихся
определения топологии Гросса-Сазонова равносильны, т.е. Г# = Гя.
Включение Гя С Гя верно по тем же соображениям, что и
аналогичное включение для топологии Сазонова. Противоположное
же включение немедленно вытекает из следующей леммы
(которая будет использована далее и для другой цели).
5.10.8. Лемма. Для всякой измеримой полунормы q на Η
и всякого непрерывного линейного оператора Α: Η —> Η
полунорма qoA таксисе измерима.
Доказательство. Для каждого F e Fin(ff) обозначим
через wF каноническую гауссовскую меру на пространстве F.
Положим V := {х Ε Н: q(x) ^ 1}. Свойство измеримости полунормы
q оказывается равносильным следующему свойству множества V:
νε > 0 ЗС > 0 VF e Fin(tf): wF{C-VC\ F) ^ 1 - ε. (5.10.1)
Пусть W := {х β Η: q(Ax) < 1} = Α"1^). Чтобы доказать,
что полунорма qoA измерима, достаточно проверить, что
множество W обладает свойством, аналогичным свойству (5.10.1)
множества V. Заметим, что достаточно доказать наше утверждение
для обратимых операторов Л, ибо оператор Лд := Л — XI
обратим при |λ| > ||Л|| и р(Ах) ^ р(А\х) + |А|р(ж), а сумма
измеримых полунорм измерима. Далее, как непосредственно вытекает
из определения этого свойства, можно считать, что ||Л|| ^ 1.
Так как V обладает свойством (5.10.1) ввиду измеримости д,
то для доказательства того, что аналогичным свойством
обладает и W, достаточно проверить, что для каждого F G Fin(iJ)
существует такое Ζ Ε Fin(iJ), что w (W П F) ^ wz(V П Ζ). Мы
покажем, что это верно, если Ζ = A(F).

5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова
479
Пусть А — линейная изометрия Ζ на F. Из определений мер
wF и wz очевидно, что wz(V Π Ζ) = wF(A(V Π Ζ)), т.е.
достаточно показать, что w (A(V Π Ζ)) < wF(W Π F). Поскольку
выполнено равенство A(V Π Ζ) = AA(W Π F), где ||A/\|| ^ 1, то
нужное неравенство вытекает из такого общего факта,
доказательство которого можно найти в [16, §1.8] или доказать в
качестве задачи 5.12.77: если U — абсолютно выпуклое множество
в Жп и 7 — стандартная гауссовская мера на Кп, то для всякого
линейного оператора S в пространстве IRn с ||5|| ^ 1 справедливо
неравенство j(^S(U)) ^ *y(U). □
Следующий факт не вполне очевиден из определения.
5.10.9. Лемма. Всякая измеримая полунорма на Η
непрерывна.
Доказательство. Пусть q — измеримая полунорма, не
являющаяся непрерывной в нуле. Тогда найдутся такие hn Ε if,
что \Нп\н —> 0 и q{hn) —> +оо. По условию найдется такое С > 0,
что w\(x е Н: q(PFx) > С) < 1/4 для всех F е F'm(H). Это
значит, что стандартная гауссовская мера пересечения F с
множеством V := {х: q(x) ^ С} не меньше 3/4. В частности, это
верно для одномерных подпространств. Для них указанное
пересечение — либо вся прямая, либо симметричный отрезок. Однако
при q(hn) > С точка hn не входит в V и потому V Π JR}hn —
отрезок длины менее 2|/ιη|#. Ясно, что одномерная гауссовская
мера такого отрезка стремится к нулю при η —> оо, что ведет
к противоречию. D
5.10.10. Лемма. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство. Тогда семейство {(#оЛ)-1([0,1)): q е Г#,Л е С{Е, Н)}
образует базу окрестностей нуля в топологии rSG.
Доказательство. Непосредственно из определения
топологии rSG вытекает лишь, что это семейство множеств образует
ее предбазу. Пусть Л^ G C(E,H), qk G Гя, к = 1,2. Положим
Hi = НхН; далее, оператор Л Ε С{Е, Н\) определим равенством
Ах = А\х + Λ2#; положим, наконец, q(x) = q\{x) + 92(^)· Тогда
полунорма q на Н\ измерима, причем справедливы неравенства
qk(Akx) ^ q(Ax), к = 1,2. D
Значение введенного понятия измеримой полунормы тесно
связано со следующим обстоятельством.

480
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.10.11. Теорема. Предположим, что непрерывная норма q
на Η такова, что образ канонической цилиндрической гауссов-
ской меры на Η при естественном вложении Η в банахово
пространство X, полученное пополнением Η по норме q, является
счетно-аддитивной мерой. Тогда норма q измерима.
Доказательство. Предположим противное. Тогда
найдется такое ε > 0, что для всякого η Ε IN в Η есть конечномерное
подпространство Fn со следующим свойством:
w\ (χ е Η: q(PFrix) ^ η) ^ 1 - ε.
Выберем С > 0 так, что η{χ е X: q(x) ^ С) > 1 — ε, где η —
боре л евское продолжение счетно-аддитивного образа меры w\ при
естественном вложении Η в X. Согласно предложению 5.7.15
множество Η — пространство Камерона-Мартина меры η.
Далее рассматриваем только номера п^ С; для них мы
имеем w\(χ G Η: q(PFnx) ^ С) ^ 1 — ε. Рассмотрим возрастающие
подпространства iin, равные линейным оболочкам F\,..., Fn.
Заметим, что w\(x Ε Η: q(PHnx) ^ С) ^ 1 — ε при всех п ^ С.
Это следует из того, что стандартная гауссовская мера выпуклого
уравновешенного множества Q в IRn не превосходит меру Q Π lRk
относительно стандартной гауссовской меры на IR при к ^ п
(задача 5.12.77). Более того, увеличивая подпространства ifn,
можно считать, что их линейная оболочка плотна в Н. Обозначим
через Sn измеримые линейные операторы в X, соответствующие
конечномерным проекторам Р#п (см. §5.7). Из теоремы Цирель-
сона следует, что Snx —> χ почти всюду относительно η. Поэтому
7(ж: q(Snx)^C)-+7(x: q(x) ^ С) > 1 - ε.
Так как η(χ: q(Snx) ^ С) = w\(x Ε Η: q(PHnx) ^ С), то это
ведет к противоречию. D
Ниже мы увидим, что обратное утверждение неверно: из
измеримости нормы не следует счетная аддитивность образа
стандартной гауссовской меры при вложении в пополнение по этой
норме.
5.10.12. Теорема. Топология Гросса-Сазонова на
бесконечномерном гильбертовом пространстве строго сильнее
топологии Сазонова. При этом на Η существует измеримая норма,
не мажорируемая никакой нормой вида h ι—> (Т/г, h)^ , где Τ —
неотрицательно определенный ядерный оператор в Н.

5.10. Топологии Сазонова и Гросса-Сазонова
481
Доказательство. Пусть Η = Wq^QO, 1]), а в качестве q
возьмем норму q(h) = \\h\\c = maxiG[0)1] \h(t)\, h Ε H. Норма q
измерима, ибо пополнение Н относительно нормы q
представляет собой пространство Со [0,1], а образ канонической
цилиндрической гауссовской меры w\ на Η относительно канонического
вложения Η —> С[0,1] представляет собой меру Винера ν на
алгебре цилиндрических подмножеств.
Докажем теперь, что не существует такого
неотрицательного самосопряженного ядерного оператора Τ в if, что для всех
1 /2
h Ε Η выполняется неравенство \\h\\c ^ (Т/г,/г)^ .
Действительно, иначе для каждой ортонормированной системы {еп} в Η ряд
Σ™=ι llen|lc Д°лжен сходиться. Поэтому для доказательства
несуществования ядерного оператора, обладающего описанным
свойством, достаточно построить такую ортонормированную систему
{еп} в Я, что Σ ||en||£r = оо.
Пусть д — функция на [0, оо), определяемая так: g(t) = £, если
t Ε [0, ^]; g(t) = 1 —ί, если £ ε [^, 1]; g(t) = 0, если ί > 1. Пусть для
каждого натурального η и каждого m = 1,2,... ,2n_1 функция
еП)ТП на [0,1] определена следующим образом:
en,™ = 2-^g(2n-\t - 2-"+V - 1)))·
Легко проверить, что {вП)т} — ортонормированная система в Η,
причем ||еП)т||^ = 2_η_1 для каждого η Ε ΙΝ при всех
допустимых т. Значит, ^щт \\ещт\\2с = ££°=1 ^"J 2"n"1 = oo. D
5.10.13. Замечание. В книге Го [48] полунорма q на
гильбертовом пространстве называется измеримой (а мы будем
называть ее измеримой по Гроссу), если выполнено следующее
условие: для всякого ε > 0 существует такое F Ε Fin(iJ), что для
всякого G Ε Fin(iJ), ортогонального F, выполнено неравенство
w\{z Ε Η: q(PGz) > ε) < ε.
5.10.14. Предложение. Всякая полунорма на
гильбертовом пространстве, измеримая по Гроссу, измерима.
Доказательство. Пусть ε Ε (0,1). По условию существует
такое Fq Ε Fin(iJ), что для каждого F\ Ε Fin(iJ),
ортогонального Fq, выполнено неравенство w\(z Ε Η: q{Pp1z) > ε/2) < ε/2.
Возьмем С > 0, для которого w\(z Ε Η: q(PF0z) > С) < ε/2; его

482
Глава 5. Меры на линейных пространствах
существование вытекает из того, что сужение w\ на σ-алгебру
21/г0 счетно-аддитивно. Из неравенства q{h\ + /12) ^ q{hi) + ^(^2)
вытекает, что
{zeH: q(z)^C+l}D{heF0: q(h) ^ C} + {heF^: q(h)<e/2}.
Теперь для произвольного F Ε Fin(iJ) возьмем
подпространство i<2, порожденное F и Fo, и обозначим через F\ ортогональное
дополнение F0 в F2. Тогда
{zeH: q(PFz) > С + 1} С {ζ е Η: q{Pp2z) >C+1}C
С {ζ е Н: q{PFoz) > С} U {z е Η: q{PFlz) > ε/2},
так что w\[z G Η: q(Ppz) > С + l) < ε. Ввиду произвольности
ε > 0 это означает измеримость q. D
Сейчас мы увидим, что обратное неверно: не всякая
измеримая полунорма на Η измерима по Гроссу. В той же книге Го [48]
была введена «топология Гросса» в гильбертовом пространстве:
так была названа в этой книге топология в Я, задаваемая
множеством всех измеримых по Гроссу полунорм на Н. Из сказанного
вытекает, что эта топология строго слабее введенной выше
топологии Гросса-Сазонова в Η (для произвольных локально
выпуклых пространств топология Гросса в [48] не вводилась).
ι/ο
5.10.15. Пример. Норма q(x) = supn |жп|(1п(п + 1)) на
Η = I2 измерима, но не является измеримой по Гроссу.
Действительно, для последовательности независимых стандартных гаус-
совских случайных величин ξη почти наверное мы имеем равен-
ι/ο
ство Km sup |ξη(ΐη(η + 1)) ΧΗ = 1. Поэтому из замечания 5.10.6
п—кх>
следует измеримость q. Из указанного факта видно также, что
нет такого т, что w\(z G Η: q(Pcz) > 1/4) < 1/4 для всех
проекторов Pg на подпространства, ортогональные Рт{Н). Из этого
можно вывести и отсутствие вообще каких-либо проекторов Рр,
требуемых определением Гросса. Возможно и иное обоснование:
если бы норма q была измерима по Гроссу, то, как показано ниже,
образ стандартной цилиндрической гауссовской меры на Η при
вложении в пополнение Η по норме q был бы счетно-аддитивен.
Поскольку это пополнение сепарабельно, а центрированная гаус-
совская мера на сепарабельном банаховом пространстве
положительна на всех шарах с центром в нуле (см. §5.7), то мы бы
получили, что P(supn |ξη| < г) > 0 при всех г > 0, что неверно.

5.11. Условия счетной аддитивности
483
5.10.16. Предложение. Если норма q на Η измерима по
Гроссу и В — пополнение Η по норме q, то образ стандартной
гауссовской цилиндрической меры при естественном вложении
Η в В счетно-аддитивен. Обратно, для измеримости по Гроссу
верен аналог теоремы 5.10.11.
Доказательство. Из определения следует, что найдется
последовательность проекторов Рп на возрастающие
конечномерные подпространства Нп С if, для которых объединение Нп
плотно bHkw^x: q(Px) > 2~п) < 2~п при Ρ _L Pn. Пусть {е*} —
ортонормированный базис в if, причем βχ,..., екп — базис в Нп.
Возьмем последовательность независимых стандартных гауссов-
ских случайных величин ξι. Последовательность случайных
элементов ηη = Σ^=ι &ei B В фундаментальна по вероятности, ибо
P(q(Vn-Vk)>2-n)=w1(x: q(Pnx - Ркх) >21~п) <
^wi(x: q(Pnx) >2"n) +wi(x: q(Pkx) >2~n) <21_n Vк^n.
Значит, некоторая подпоследовательность {qUk } сходится в В
почти всюду. Ясно, что распределение ее предела совпадает с
образом стандартной гауссовской цилиндрической меры на Н.
Обратное утверждение доказывается аналогично теореме 5.10.11. D
Обсуждение измеримых норм продолжено в §5.12(xii).
5.11. Условия счетной аддитивности
Здесь будут даны достаточные условия счетной аддитивности
мер в терминах: их преобразований Фурье. Множество S в
векторном пространстве будем называть эллипсоидом, если оно имеет
вид S = {х: Q(x) ^ 1}, где Q — неотрицательная квадратичная
форма, т.е. Q(x) = В(х,х), где В — симметричная билинейная
функция hQ^O.
5.11.1. Замечание. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, ν — неотрицательная ^-цилиндрическая мера на Е' с
преобразованием Фурье ν и τ — произвольная топология на Е,
согласующаяся со структурой векторного пространства (и никак не
связанная с исходной топологией). Если функция ζ/ непрерывна
в топологии τ в нуле, то она непрерывна в этой топологии всюду.
Действительно, ввиду (5.5.3) мы имеем
\ϊ{χλ) - Цх2)\2 < 2?(0)(1 - КеЦхг - ж2)),
откуда и следует сказанное.

484
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.11.2. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, V — некоторое множество вероятностных Е-цилиндри-
ческих мер на Е'. Для того чтобы V было равномерно
плотным при наделении Е' топологией σ(Ε',Ε), достаточно, чтобы
множество преобразований Фурье мер из V было равностепенно
непрерывно в нуле в топологии Гросса-Сазонова,
ассоциированной с исходной топологией пространства Е.
Это вытекает из следующей основной теоремы параграфа.
5.11.3. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, 0{Е) — множество всех окрестностей нуля в
топологии Гросса-Сазонова TqS, ассоциированной с исходной
топологией Е, /С — множество всех компактных эллипсоидов
пространства (Ε',σ(Ε',Ε)). Тогда для всяких ε > 0 и V Ε 0{Е) можно
найти такой эллипсоид К Ε 1С, что если для вероятностной
Ε-цилиндрической меры ν на Е' мы имеем \ν{χ) — 1| < ε при
всех χ eV, то и (А) < 6ε для всякого А е ЩЕ', Е) с АПК = 0.
Доказательство. Предположим сначала, что Ε
гильбертово. Пусть V е 0(Е), С > О, F e Fin(£), и е V(E). Через || · || мы
будем обозначать исходную норму в пространстве Е, а через Ό с —
замкнутый шар в Ε радиуса С относительно этой нормы с
центром в нуле. Тогда верна следующая цепочка равенств и
неравенств (обоснование тех из них, которые не являются вполне
очевидными, приводится ниже):
v{x e F: \\PFx\\ >C)= voP-\F\Uc) ^
< у/ё{у/ё - l)"1 f (l - e-^λ vop-l(dx) =
= v^(v^~ I)"1 / {I-Hz)) (w1/C2oPp1)(dz) <
JF
^V^(V^-I)"1 / \1-ΐ{ζ)\(νϋι/02θΡ-ι)(άζ)+
JVClF
+ V^(V^-1)_1 / \l-u{z)\{wl/C2op-l){dz).
JF\V
Первое из встречающихся в этой цепочке неравенств получается
из оценки
1 < —^—-(l - е~~кР\ при xeF\Uc, т.е. при ||ж|| > С,
ve-1 V /

5.11. Условия счетной аддитивности
485
и последующей замены области интегрирования F\Uc на F,
возможной ввиду неотрицательности подынтегральной функции.
Следующее за этим неравенством равенство представляет
собой равенство Парсеваля: ν — преобразование Фурье меры νοΡρ1,
а мера Wi/q2oP~ на F, т. е. гауссовская мера на F с
корреляционным оператором С-2/, есть мера, преобразованием Фурье кото-
_ (х,х)
рой является функция χ ι—> е 2с'2 на F\ кроме того, используется
то, что меры ν и и)г/С2 являются вероятностными.
По условию мы имеем |1 — v{x)\ < ε при χ G У, так что
/ \l-u{z)\{wl/C2oP-l){dz)<e.
JVC\F
Кроме того, для заданного ε > 0 существует такое С > 0, что
l-Tf(z)\{w1/C2oP-1)(dz)<e.
IF\V
В самом деле^ делая замену у = С ζ, находим
/ \l-u(z)\(wl/C2PF-1)(dz) =
JF\V
= [ li-HC-^Kw^p-^dy).
JF\CV
Так как V — окрестность нуля в топологии rj^, то V
содержит единичный шар Vb по некоторой измеримой полунорме q:
Vo = {х G E: q(x) ^ 1}. Согласно определению измеримости
полунормы, для всех С ^ С (ε, Vo) мы имеем
(w1op-1)(F\CV0)<e/A.
Поскольку Vo С У, то тем более {w1op-1)(F\CV) < ε/4, откуда
с учетом оценки 11 — ν | ^2 для таких С получаем неравенство
/,
/ |1 - y{C~ly)\ (wioP-^dy) < ε/2.
JF\CV
Окончательно получаем v(x G F: \\Pfx\\ > С) < 2еу/ё(у/ё— I)"1.
Нетрудно проверить, что правая часть не превосходит 6ε. Таким
образом, для гильбертова пространства теорема доказана: как
видно из приведенных рассуждений, ее заключение будет
справедливым, если взять К = Uc(e,v0)·

486
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Пусть теперь Ε — общее локально выпуклое пространство,
ε > О, непрерывный линейный оператор Л: Ε —> if, окрестность
V Ε О (Η) и вероятностная Ε-цилиндрическая мера ν на Е'
таковы, что |1 — ν(χ)\ < ε, если Ах Ε V. Можно считать, что
V = {q < 1}, q Ε 5я· Покажем, что тогда подходит множество
К = A*(Uc(£y))i гДе Λ* рассматривается как отображение из Η
в Е' (пространство Н' отождествляется с Η обычным образом).
Достаточно показать, что для всякого конечномерного
подпространства F С Ε верна оценка (uo^~l)(Ep\Gp) < 6ε, где ψ —
каноническое отображение Е' на факторпространство Ер := Е'/F°
*GF:=rJ>{A*(UC(e,v))).
Обозначим через Ει векторное подпространство в Ер,
порожденное множеством Gp, через £?2 — его алгебраическое
дополнение в Ер. Пусть (·, ·)ι — скалярное произведение в Е\,
относительно которого G*fi = (C(s, V)) Gp является единичным
шаром, и пусть (·, · )г — произвольное невырожденное скалярное
произведение в £?2· Для каждого δ > 0 обозначим через q$ норму
в Ер, определяемую равенством q$(xi+X2) — (#ι?#ι)ι+ί(#2?#2)2?
где Xj Ε Ej. Пусть, далее, В$ — единичный шар в Ер
относительно этой нормы и q\ — норма в F, относительно которой
единичным шаром является поляра В% в F множества Д$.
Так как Gf = П$>о *^(ε> ^0 Дь т0 Для доказательства нужного
неравенства достаточно показать, что для всех δ > 0 выполнено
неравенство
νοψ-1(Ερ\0(ε,ν)Βδ) <6ε.
Обозначим через Ло сужение Л на поляру Е% подпространства
Е2 С Ер, взятую в F (Ер и F находятся в естественной
двойственности). Тогда Ло осуществляет изометрическое вложение
в Η пространства (Е%, я1\щ)> гДе у1\щ ~ сУжение ч\ на Щ- Пусть
Λχ — продолжение Ло до изометрического вложения в Η
пространства F, наделенного нормой qj-, Hi = A\(F). Обозначим
через Τ: Ер —> Н\ оператор, сопряженный к Л^1: Hi —> F. Пусть
vi — if-цилиндрическая мера в if, заданная так:
ui = ь>о<ф-1оТ~1.
Для ее преобразования Фурье справедливо равенство
щ(у) = и(А11у), уеНъ

5.11. Условия счетной аддитивности
487
так что |1 — z/i(y)| < ε, если у Ε V Π Η\. Следовательно,
νοψ-ι{ΕΡ\0(ε,ν)Β6) = νι{Η{\υ0{ε,ν)) < 6ε,
как и требовалось. □
Непосредственным следствием этой теоремы является такое
утверждение.
5.11.4. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, ν — вероятностная Ε-цилиндрическая мера на Е'. Для
счетной аддитивности меры ν достаточно непрерывности ее
преобразования Фурье в нуле в топологии Гросса-Сазонова,
ассоциированной с исходной топологией пространства Е.
Ниже мы увидим, что, хотя топология Гросса-Сазонова
строго сильнее топологии Сазонова, непрерывность преобразования
Фурье ^-цилиндрической меры в топологии Гросса-Сазонова
влечет его непрерывность и в топологии Сазонова.
5.11.5. Замечание, (i) Из счетной аддитивности
неотрицательной ^-цилиндрической меры не следует непрерывность ее
преобразования Фурье в исходной топологии пространства Е.
Например, пусть Ε — бесконечномерное сепарабельное
гильбертово пространство со слабой топологией. Возьмем центрированную
гауссовскую меру на Ε с преобразованием Фурье ехр(—(φχ,χ)),
где Q — неотрицательный ядерный оператор в Ε с
бесконечномерным образом. Эта функция разрывна в слабой топологии.
Отметим в то же время, что преобразование Фурье
произвольной ^-цилиндрической счетно-аддитивной меры всегда
является секвенциально непрерывным; это вытекает из теоремы Лебега
о мажорируемой сходимости.
(ii) Так как топология Гросса-Сазонова и топология
Сазонова, ассоциированные с ослабленной топологией произвольного
локально выпуклого пространства, совпадают с ней, то из (i)
следует, что счетная аддитивность ^-цилиндрической меры на Е' не
влечет непрерывность ее преобразования Фурье ни в топологии
Сазонова, ни в топологии Гросса-Сазонова (впрочем, как уже
было сказано, для преобразований Фурье цилиндрических мер
непрерывность в одной из этих топологий равносильна
непрерывности в другой).
(ш) Возникает вопрос: если пространство Ε наделено
топологией Макки т(Е, Ег), будет ли в этом случае из счетной
аддитивности ^-цилиндрической меры на Е' следовать непрерывность ее

488
Глава 5. Меры на линейных пространствах
преобразования Фурье в топологии Сазонова, ассоциированной
с τ(Ε,Ε') (или, что равносильно, в топологии Гросса-Сазонова,
ассоциированной с τ{Ε,Ε'))Ί Ответ остается отрицательным.
Соответствующим контрпримером служит пространство С[0,1]
с мерой Винера. Именно: пусть Ε = (С',т(С',С[0,1])), где С —
сопряженное к банахову пространству С[0,1]. Тогда, как явствует
из теоремы 5.10.12, преобразование Фурье меры Винера не
является непрерывным в топологии Сазонова (значит, и в топологии
Гросса-Сазонова), ассоциированной с исходной топологией
пространства Е.
В этом примере пространство С[0,1] сепарабельное банахово,
поэтому преобразование Фурье меры Винера непрерывно в
топологии Макки т(Е,Ег) на С. Однако, как уже отмечалось, Ква-
пень и Тариеладзе [373] построили весьма тонкий пример радо-
новской вероятностной меры на метризуемом локально
выпуклом пространстве X, преобразование Фурье которой не является
непрерывным в топологии Макки т(Х',Х).
Следующая теорема, конкретизирующая предложение 5.5.8,
представляет собой частичное обращение теоремы 5.11.3.
5.11.6. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, ν — счетно-аддитивная числовая мера на σ-алгебре бо-
релевских подмножеств пространства (Ε',σ(Ε\Ε)),
обладающая следующим свойством: для всякого ε > 0 существует
такое компактный эллипсоид К пространства (Ε',σ(Ε', Ε)), что
||z/||(E^if) < ε. Тогда преобразование Фурье и этой меры
непрерывно в топологии Сазонова ts, ассоциированной с топологией
Макки.
Доказательство. Переходя от ν к ||г/||, можно считать, что
исходная мера ν неотрицательна; кроме того, ее можно считать
вероятностной, так что и(0) = 1. В силу неравенства (5.5.3)
достаточно установить непрерывность функции Re v на (E,ts)
в нуле. В свою очередь, для этого достаточно показать, что для
каждого ε > 0 есть такие гильбертова полунорма ре на
пространстве (Ε, τ(Ε',Ε)) и неотрицательный оператор Гильберта-
Шмидта Αε: ΕΡε —> ΕΡε, где ΕΡε — пополнение факторпростран-
ства ΕΡε предгильбертова пространства (Ε,ρε) по его
подпространству ρε_1{0}, имеющие следующие свойства. Если символом
ρε обозначить продолжение на ΕΡε нормы на ΕΡε, порожденной

5.11. Условия счетной аддитивности
489
нормой ρε, то из неравенства p£(A£QPex) < 1, где QPe —
канонический оператор Ε —> ΕΡε, вытекает неравенство \Reu(x) —1| < ε.
Напомним, что множество {χ Ε Ε: p£(A£QPex) < l}
представляет СОбоЙ ОКреСТНОСТЬ НуЛЯ В ТОПОЛОГИИ Т£.
Итак, пусть ε > 0 фиксировано, и пусть К — компактный
эллипсоид в (Ε',σ(Ε',Ε)), для которого и(Е'\К) < ε/4. Как было
проверено в доказательстве предложения 5.5.8, при этих условиях
1—Rez/(x) ^ ε для всякого такого ж, что \х{д)\ ^ ε для всех д Ε К.
Положим р(х) := sup{\g(x)\: д Ε К}, χ Ε Ε.
Так как if — компактный эллипсоид в (Ε',σ(Ε',Ε)^ то ρ —
гильбертова полунорма на Е; из абсолютной выпуклости и
компактности множества К вытекает, что ρ непрерывна в топологии
Макки τ{Ε,Ε'). При этом гильбертово пространство (Е')к, т.е.
порожденное К линейное подпространство в Е' с нормой рк, для
которой замкнутым единичным шаром является К, можно
естественным образом отождествить с гильбертовым пространством,
сопряженным к Ер. Для этого достаточно для каждого χ Ε Ер
и каждого д Ε (Е')к положить д(х) = g{Q^>lx), где Q —
каноническое отображение Ε в Ер (это определение корректно, ибо
при д G {Е')к функция χ \—> д{х) постоянна на каждом из
множеств Q~lx)-, затем для каждого д Ε {Ег)к можно продолжить
функцию χ ·—> д(х) с пространства Ер на пространство Ер с
сохранением непрерывности относительно нормы р.
Пользуясь описанным отождествлением, зададим
неотрицательный квадратичный функционал φ на Ер равенством
ф(х) = [ \g(x)\2v(dg).
JK
Найдется такой неотрицательный оператор А в Ер, что
р{Ах)2 = ф(х)
для всех χ Ε Ер. Положим, наконец,
Α-ε'1/2А.
Если тогда р(Ах) < 1, то ф(х) < ε; значит (по определению ψ),
если χ Ε Ε удовлетворяет неравенству p(AQpx) < 1, то
1 — Reu(x) < ε.

490
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Покажем теперь, что А (а тем самым и А) — оператор Гильберта-
Шмидта. Пусть {еа} — ортонормированный базис в Ер. Тогда
5>2(леа) = 5>(е«) = Σ / ьы12"(<&)<
к Jk
J К J К
так как по определению нормы ρ к при д Ε К мы имеем рк(д) ^ 1
(то, что в выписанной цепочке соотношений на третьем месте
поставлен знак неравенства, а не равенства, объясняется
возможной несчетностью множества {еа}). Таким образом, нормаρε = ρ
и оператор Ае = А обладают всеми требуемыми свойствами. D
Аналогично доказывается и следующая теорема.
5.11.7. Теорема. Пусть Ε — бочечное локально выпуклое
пространство и Л4 — множество вещественных борелевских
мер на пространстве (Ε',σ(Ε',Ε)^ со следующими свойствами:
(i) supilHKE7): veM} <oo;
(ii) для всякого ε > 0 существует такой компакт К в
пространстве (Ε',σ(Ε',Ε)), что для каждой меры ν Ε Μ
справедливо неравенство \\и\\{Е'\К) < ε.
Тогда множество Λ4 преобразований Фурье мер из Λ4
равностепенно непрерывно в топологии пространства Е.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что
все меры из Л4 — вероятностные. Пусть ε > 0 и К —
соответствующий компакт из условия теоремы. Тогда, как и в доказательстве
предложения 5.5.8, для каждой меры и G Λ4 справедливо
неравенство 1 — Rez7(x) ^ ε, если \х(д)\ < ε для всех д Ε К. Пусть
К° — поляра в Ε множества К. Так как Ε бочечно, то К°
является окрестностью нуля в Е. Положим V = ει/2Κ°. Если χ Ε У, то
в силу предыдущего неравенства мы получаем равностепенную
непрерывность функций из Λ4 в нуле пространства Е. Из
неравенства \v(x2) — ?(#ι)|2 ^ 2(1 — Re v(x2 — Χι)) теперь следует, что
для всякого ε > 0 в Ε существует такая окрестность нуля У, что
\v(x2) — ν(χι)\ < ε·> если ^ £ ·Α"ί и χι — Х2 Ε V. Итак, множество
преобразований Фурье мер из Λ4 равностепенно непрерывно на
пространстве Е. D

5.11. Условия счетной аддитивности
491
Из теоремы 5.11.6 непосредственно вытекает такой факт.
5.11.8. Теорема. Пусть Ε — локально выпуклое
пространство, и — числовая Ε-цилиндрическая мера на Е'', причем для
всякого ε > 0 найдется такой компактный эллипсоид К в
пространстве [Ε1\σ(Ε*,£?)), что |^(С)| < ε для всякого Е-цилин-
дрического множества С в Е1', не пересекающегося с К. Тогда
преобразование Фурье меры ν непрерывно в топологии Сазонова.
С учетом теоремы 5.11.3 получаем такое утверждение.
5.11.9. Следствие. Если на сопряженном Е' к локально
выпуклому пространству Ε задана неотрицательная Е-цилиндри-
ческая мера и, преобразование Фурье которой непрерывно в нуле
в топологии Гросса-Сазонова на Е, то оно непрерывно всюду
и в топологии Сазонова.
Отметим еще, что обратное утверждение, разумеется, также
верно, так как топология Гросса-Сазонова мажорирует
топологию Сазонова.
5.11.10. Теорема. Пусть Ε — бочечное локально
выпуклое пространство, топология которого может быть задана
семейством гильбертовых полунорм. Функция φ на Ε является
преобразованием Фурье некоторой неотрицательной меры
Радона на пространстве (£?',σ (£?',£?)) в точности тогда, когда
эта функция положительно определена и непрерывна в
топологии Гросса-Сазонова или в топологии Сазонова,
ассоциированных с исходной топологией в Е.
Доказательство. Если φ — преобразование Фурье
неотрицательной меры Радона г/, то функция ψ является положительно
определенной; ее непрерывность доказывается так. Для каждого
ε > 0 существует такой компакт К в пространстве (£/, σ(Ε', £?)),
что ν{Ε'\Κ) < ε. Пусть Вк — замкнутая выпуклая закругленная
оболочка этого множества; тогда тем более ν(Ε'\Βκ) < ε.
Поскольку топология бочечного пространства является топологией
Макки, то поляра В°к в пространстве Ε множества Вк
представляет собой окрестность нуля в Е. Так как топология этого
пространства по предположению задается семейством гильбертовых
полунорм, то существует такая непрерывная гильбертова
полунорма ρ на Е, что множество S = {х £ Е: р(х) < 1} содержится
в В χ] тогда поляра S° в Е' множества S — компактный
эллипсоид в (Ε',σ(Ε',Ε)), причем S° D В. Значит, v(E'\S°) < ε. Таким

492
Глава 5. Меры на линейных пространствах
образом, для ν выполнены условия теоремы 5.11.8, откуда и
вытекает непрерывность φ в топологии Сазонова. Обратное вытекает
из доказанного выше. D
Следствием является классическая теорема Минлоса.
5.11.11. Следствие. Если Ε — ядерное локально выпуклое
пространство, то любая положительно определенная
непрерывная функция на Ε является преобразованием Фурье
неотрицательной меры Радона на (Ε',σ(Ε',Ε)) (радоновской и в сильной
топологии β(Ε',Ε)). Если Ε бочечно, то верно и обратное.
Применительно к гильбертовым пространствам получаем
другой классический факт — теорему Сазонова.
5.11.12. Следствие. Ограниченная цилиндрическая мера на
сепарабельном гильбертовом пространстве счетно-аддитивна
в точности тогда, когда ее гильбертово преобразование Фурье
непрерывно в топологии Сазонова {или Гросса-Сазонова).
Например, из этого утверждения вытекает такой уже
известный нам факт: для того, чтобы гауссовская цилиндрическая
мера на сепарабельном гильбертовом пространстве была счетно-
аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы ее корреляционный
оператор был ядерным.
5.12. Дополнения и задачи
(i) Свертка (492). (ii) Законы 0-1 (496). (iii) Выпуклые меры (499).
(iv) Центральная предельная теорема (502). (ν) Безгранично
делимые и устойчивые меры (504). (vi) Банаховы носители мер (513).
(vii) Бесконечномерные винеровские процессы (516). (viii) Прохо-
ровские локально выпуклые пространства (517). (ix) Измеримые
линейные и полилинейные функции (523). (х) Связь различных
σ-алгебр (532). (xi) Радонизующие операторы (534). (xii)
Измеримые нормы (535). Задачи (536).
5.12(i). Свертка
Если μ и ν — две меры, определенные на σ-алгебре σ(Χ') в
локально выпуклом пространстве X, то их произведение μ® и есть мера на
σ((Χ χ X)'). В случае радоновских мер μ и ν их произведение μ® у
оказывается плотной мерой и потому допускает однозначное
продолжение до радоновской меры на Χ χ X. То же самое верно, если X —
отделимое топологическое векторное пространство. Под произведением
радоновских мер мы всегда будем подразумевать это продолжение.

5.12. Дополнения и задачи
493
5.12.1. Определение. Пусть μ и у — радоповские меры на
отделимом локально выпуклом (или хаусдорфовом топологическом
векторном) пространстве X. Их свертка μ * ν определяется как образ
радоновского продолжения меры μί&ν на пространстве ХхХ при
отображении X хХ —> X, (ж, у) ι—> χ + у. Свертка мер на σ(Χ')
определяется аналогично на сг(Х').
Всюду далее рассматриваем отделимые пространства.
5.12.2. Теорема. Пусть μ и ν — радоновские меры на локально
выпуклом пространстве X. Тогда для всякого борелевского
множества В С X функция χ ι—> μ(Β — χ) является борелевской, причем
μ*ν(Β)= Ι μ(Β — χ) v(dx).
Jx
Кроме того, μ*ν = ν * μ и /Γϊΐ = Jiv.
Доказательство. Множество А = {(χ, у) еХхХ:х + уеВ}
является борелевским. Согласно общему факту (см. Богачев [17,
теорема 7.6.5]), мера А относительно радоновского продолжения
произведения мер μ и ν равна интегралу по мере ν от функции Х2 ·—> μ(ΑΧ2),
где
ΑΧ2 = {χι: (χι,χ2) е А} = {χ: Χχ + х2 G В} = В - х2,
причем указанная функция борелевская. То же самое верно для этих
мер в другом порядке. D
Ясно, что аналогично можно определить свертку и двух
ограниченных цилиндрических мер.
5.12.3. Предложение. Пусть μ и А - радоновские
вероятностные меры на локально выпуклом пространстве X. Предположим, что
существует положительно-определенная функция φ: Χ* —> С,
такая, что А = φμ. Тогда существует радоновская вероятностная мера
ν на X си = φ. Кроме того, А = ν * μ.
Доказательство. Из условия вытекает, что сужения функции φ
на конечномерные подпространства непрерывны в нуле, а значит, и в
любой другой точке. Следовательно, φ является характеристическим
функционалом неотрицательной квазимеры ν на алгебре
цилиндрических множеств. Осталось показать, что функция множества ν плотна,
ибо тогда из равенства А = ν"μ будет следовать равенство А = ν * μ.
Пусть ε > 0 и S — такой компакт, что μ(Χ\3) + X(X\S) < ε/2. Можно
считать, что О G S. Множество К := S — S компактно и S С К. Пусть
С — цилиндрическое множество с С Π К = 0. Множество С имеет вид
С = Р~г(В), где В е B(\Rn) и Ρ: X —> Ип — непрерывное линейное
отображение. Заметим, что ВГ\Р(К) = 0, ибо если xG С, то x + h £ С

494
Глава 5. Меры на линейных пространствах
для всех h е Кет Р. В частности, BnP(S) = 0, т.е. CnP-1(P(S)) = 0.
Для цилиндрического множества Со := P~1(P(S)) имеем S С Со и
1 - ε/2 ^ X(S) < А(С0) = / у(С0 - χ) μ{άχ) ^ / и(С0 - χ) μ{άχ) + ε/2,
Jx Js
откуда следует существование такого хо Ε 5, что у {Со — хо) ^ 1 — ε.
При этом (Со - хо) П С = 0, ибо Р(Со — хо) С P(S — 5), так как х0 £ 5.
Итак, v(C) ^ ε, т. е. мера ν плотна. D
Доказательство следующего предложения можно прочитать в
Бахания, Тариеладзе, Чобанян [33, § VI.3].
5.12.4. Предложение. Пусть μι и μ2 — неотрицательные
цилиндрические меры на алгебре цилиндрических множеств в
локально выпуклом пространстве X, причем мера μι симметрична, т. е.
μι(Α) = μι(-Α). Если μ = μι * μ2 допускает радоновское
продолжение, то обе меры μι и μ2 допускают радоновские продолжения.
От предположения, что μι симметрична, отказаться нельзя. В
самом деле, пусть / - разрывный линейный функционал на X* (который
существует, например, если X — бесконечномерное банахово
пространство). Тогда функционалы ехр(г/) и ехр(—И) являются
преобразованиями Фурье двух цилиндрических мер на Су1(Х,Х*) без радоновских
продолжений, но их свертка есть мера Дирака δ. Этот пример типичен:
согласно Rosinski [439], если μ и ν — такие неотрицательные
цилиндрические меры на Су1(Х,Х*), что μ * ν плотна, то существует элемент
/ из алгебраического сопряженного X* с тем свойством, что
цилиндрические меры μ * δι и ν * δ-ι (где δι и δ-ι — цилиндрические меры
с преобразованиями Фурье ехр(г/) и ехр(—И) соответственно) плотны
на X (и потому имеют радоновские продолжения). Эти результаты
могут быть обобщены на семейства мер следующим образом (см. Вахания,
Тариеладзе, Чобанян [33, предложение 1.4.8]).
5.12.5. Предложение. Пусть {μχ} и {ν\} — два семейства
радоновских вероятностных мер на хаусдорфовом топологическом
векторном пространстве X. Предположим, что семейство {μχ*νχ}
равномерно плотно, т. е. для каждого ε > 0 есть такой компакт Ке,
что μ\*ν\{Χ\Κε) < ε для всех А. Тогда существует такое семейство
{х\} точек в X, что {μ\*δΧχ} — равномерно плотное семейство.
Если, кроме того, меры μχ симметричны, то оба семейства {μχ} г* {^а}
равномерно плотны.
Для меры Радона μ обозначим через 5μ ее топологический носитель
(наименьшее замкнутое множество полной меры, см. §5.2).
5.12.6. Предложение. Пусть μ и ν — радоновские
вероятностные меры на локально выпуклом пространстве X. Тогда S^*^ есть
замыкание βμ + S„.

5.12. Дополнения и задачи
495
Доказательство. Если а е 5μ, Ь е Sv, то для всякой абсолютно
выпуклой окрестности нуля U имеем μ(α + ϋ) > 0, v(b + U) > О, откуда
μ * ν{α + Ь + 2£7) > 0, ибо μ(α + Ь + 2£7 - х) > О при жЕб+[/ из-за
включения U С 2U — χ при χ е U. Значит, 5μ + 5^ С 5μ^, что влечет
включения и для замыкания в силу замкнутости SM*I/. Пусть теперь
с Ε 5μ*ϊ,. Если с не входит в замыкание 5μ + 5^, то найдется такая
абсолютно выпуклая окрестность нуля [7, что с £ βμ + Sv + U. Тогда
(с + [7 — χ) Π 5μ = 0 при всех xGS^, откуда /i(c + £7 — χ) =0. Тем
самым μ * и(с + [7) = 0 — противоречие. D
5.12.7. Определение. Случайным вектором в локально
выпуклом пространстве X называют измеримое отображение ξ из (Ω, Τ, Ρ)
в (Χ, σ(Χ')), где (Ω,.77, Ρ) — вероятностное пространство.
Распределение случайного вектора ξ есть вероятностная мера μ
на σ-алгебре сг(Х'), являющаяся образом Р, т. е. μ(Β) = Ρ[ξ~1(Β)).
Если μ имеет нулевое среднее, то ξ называется центрированным.
Два случайных вектора ξ и η со значениями в X называются
независимыми, если
Ρ(ξ ΕΑ,η£Β) = Ρ{ξ£ Α)Ρ(η е В) V А, В е σ(Χ').
Это равносильно тому, что распределением случайного вектора (ξ, η)
в Χ χ X является произведение распределений векторов ξ и η. Значит,
для независимых случайных векторов ξ и η с распределениями Ρξ и Ρη
распределение случайного вектора ξ + η равно свертке распределений
(иг/,т.е. Ρξ+η = Ρξ*Ρη.
Важный раздел теории меры на топологических векторных
пространствах связан с изучением сходимости рядов случайных векторов.
Приведем один характерный результат. Для последовательности
случайных векторов ηη в локально выпуклом пространстве X можно
рассматривать ее сходимость к случайному вектору η почти всюду, по
вероятности (т. е. сходимость по вероятности к нулю последовательности
Q(v — Vn) для каждой непрерывной полунормы q на X) и по
распределению, т. е. слабую сходимость распределений ηη к распределению η.
5.12.8. Теорема. Пусть {ξη} — последовательность
независимых случайных векторов в сепарабельном пространстве Фреше F.
Тогда для ряда из ξη равносильны сходимость почти всюду, сходимость
по вероятности и сходимость по распределению.
Доказательство этого факта, легко сводящегося к случаю
банаховых пространств из-за наличия общего банахова носителя
распределений, можно найти в Булдыгин [25, с. 90], Вахания, Тариеладзе, Чоба-
нян [33, с. 213], Круглов [84, с. 121]. В случае симметричных
распределений имеет место несколько более сильное утверждение.

496
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.12.9. Теорема. Пусть {ξη} — последовательность
независимых случайных векторов с симметричными распределениями в се-
парабельном пространстве Фреше F. Тогда сходимость ряда из ξη
почти всюду равносильна равномерной плотности распределений
частичных сумм этого ряда.
Кроме того, она равносильна существованию такого случайного
элемента ζ со значениями в F', что для каждого функционала g из
некоторого разделяющего точки из F множества G С F' ряд из д(£п)
сходится почти всюду к д(С).
В этом круге вопросов часто применяется следующее неравенство
Леви (обоснование см. в [33, с. 210]).
5.12.10. Теорема. Пусть последовательность случайных
векторов ξη в локально выпуклом пространстве X знакоинвариантна, т. е.
для всякого набора чисел θη = ±1 последовательность {θηξη} имеет
такое же распределение, что и {ξη}- Пусть Sn = ξι + · · · + ξη. Тогда
для всякого множества В Ε сг{Х') верны неравенства
η
P(U {Sk <jL (В + В)/2}) < 2P(5n ft В),
k=l
η
p(U {& * (β + β)/2)) < 2ρ(5» *β)·
fc=l
5.12(и). Законы 0-1
Мы уже встречались с законами 0-1 для гауссовских мер
(теорема 5.7.10). Утверждение для аффинных пространств является частным
случаем результата для устойчивых мер, обсуждаемых ниже, но
может быть выведено и из второго утверждения об инвариантных
множествах, которое, в свою очередь, можно получить из следующей теоремы
Колмогорова, относящейся к так называемым продакт-мерам, т. е.
произведениям мер. Пусть даны вероятностные пространства pQ, Д^,/^),
их произведение X = Πϊι ^ наделено σ-алгеброй Λ = 0°^ Αι и
мерой μ = φ^μ». Положим Хп := ®£η+1 Λ и Χ := f£Li *n, где
множества из Хп естественно отождествляются с подмножествами X.
5.12.11. Теорема. Для всякого Ε Ε X имеем либо μ(Ε) = 1, либо
μ(Ε) = 0. В частности, всякая X-измеримая функция μ-η.β. равна
некоторой постоянной.
В случае одинаковых сомножителей справедлив следующий
результат Хьюитта и Сэвиджа (доказательства обеих теорем можно найти
в книге Богачев [17, § 10.10(iv)]).

5.12. Дополнения и задачи
497
5.12.12. Теорема. Пусть (Χη,Λη,μη) = (-Χ"ι?.Αι5μι) при всех η,
Sn — σ-алгебра, порожденная всеми Α-измеримыми функциями,
инвариантными относительно всех перестановок переменных Χι,..., хп,
S := f)™=1Sn. Тогда для всех Ε Ε S имеем либо μ(Ε) = 1, либо
μ(Ε) = 0. В частности, всякая S-измеримая функция μ-η.β. равна
некоторой постоянной.
5.12.13. Следствие. Пусть μ-измеримая функция f такова, что
для каждой перестановки σ натурального ряда, затрагивающей лишь
конечное число элементов, μ-η.β. мы имеем равенство f(x) = f(a(x)),
где σ(χ) = (χσ(ΐ),χσ(2)ι · · ·)· Тогда эта функция μ-η.β. равна некоторой
постоянной.
Доказательство. Множество Σ всех перестановок указанного
вида счетно. Для каждого σ G Σ есть множество Ωσ Ε Λ полной меры, на
котором f(x) = f(a(x)) и сужение функции / на которое Д-измеримо.
Нетрудно проверить, что класс Λ инвариантен относительно
преобразований X, порожденных перестановками из Σ, причем мера μ также
инвариантна относительно таких преобразований. Поэтому входит в Л,
имеет полную меру и инвариантно относительно перестановок из Σ
пересечение счетного числа множеств, полученных из всех Ωσ
всевозможными преобразованиями посредством различных перестановок из Σ.
На этом пересечении Ω функция / измерима относительно Λ и
инвариантна относительно перестановок из Σ. Вне Ω положим / = 0.
Полученная функция совпадает с постоянной μ-п.в., откуда следует
доказываемое. D
Эти утверждения мы применим к ситуации, где уже имеется
векторная структура. Следующий результат получен в Смолянов [138].
Пусть дано семейство линейных пространств Еа, a Ε 21, наделенных
σ-алгебрами Аа и вероятностными мерами μα на Аа. Отметим, что
линейная структура в Еа никак не связана с измеримой. Положим
Ε = ΠαΕα, μ = ®αμα, Λ = ®аАа. Напомним, что аффинное
подпространство линейного пространства Ε есть множество вида L + г?,
где L — линейное подпространство в Ε, ν Ε Ε.
5.12.14. Теорема. Предположим, что всякое аффинное
подпространство из (Λα)μα имеет меру либо 0, либо 1. Тогда это же верно
для аффинных подпространств из Λμ.
Доказательство. Пусть Μ е Λμ — аффинное подпространство
и μ(Μ) > 0. Сначала рассмотрим случай 21 = IN. Покажем, что для
каждого η найдется такое аффинное подпространство Мп в £7, что
мп = Π£ι^, где Li Ε {Λί)μί и μ»(£») = 1, причем сужение
функции 1м на Мп не зависит от первых η переменных. Для η = 1
запишем Ε в виде Е\ хУ и μ в виде μι®и. По теореме Фубини найдется
у Ε У, для которого μι(Μυ) > 0, Му = {х Ε Е\: (ж, у) Ε М}. Так как

498
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Му — аффинное подпространство (проверка составляет содержание
задачи 4.10.38), то по условию имеем μι(Μυ) = 1. Положим Mi = MyxY.
Если (χ, ζ) G Μι Π Μ и {χ', ζ) G Μι, το (χ,у) G M, (x\y) G Μ,
откуда {χ' — χ, 0) входит в линейное пространство L, дающее Μ в виде
Μ = L + v, υ е Е. Поэтому (я', z) = (xf - χ, 0) + (χ, ζ) G Μ. Тем самым
сужение /м на Μι не зависит от х\. Найдем такое аффинное
подпространство М^) для каждого г ^ η и положим Мп = М^) П· · -П М(п),
М(!) := Μι. Получено аффинное подпространство нужного вида.
Независимость сужения 1мп на 1м от rci,..., хп проверяется так.
Пусть χ G Мп Π Μ, у G Mn, х^ = 2/г при г > п. Рассмотрим точку
х' = (2/1, #2,..., #п? · · ·)· Так как х, у G M(i), где Μ(ΐ) есть произведение
аффинного подпространства в Е\ на остальные Ει, то я' G M(i), откуда
х' G М, ибо я/ = ж-жГ + уь 2Г = (жь0,0,...),2/1 = (2/ъ0,0,...) G М(1).
Продолжая по индукции, получаем, что у G М.
Множество Мос = р|^=1Мп является аффинным подпространством
полной меры. Рассматривая меру μ на Моо и применяя колмогоровский
закон 0-1, получаем, что μ(Μ) = 1, ибо μ(Μ) > 0.
Обратимся к несчетному 21. Тогда найдутся счетная часть Θ С 9Я
и множество Б G ®#Ge Дз> Для которых Μ С £хУ, где Υ = П<*£е ^*>
μ(Μ) = μ(Β χ У). Положим X = П/зее Εβ и обозначим через Ρ
естественную проекцию Ε на X. Рассмотрим множество М' = Р-1 (Р(М)).
Ясно, что Μ С М' С 5x7, поэтому М' измеримо и μ(Μ') = μ(Μ).
При этом М' = Р(М) χ У, значит, Р(М) совпадает с В с точностью до
множества меры нуль относительно проекции меры /хнаХ. Тем самым
Р(М) имеет положительную меру относительно этой проекции. Легко
проверить, что Р(М) — аффинное подпространство в X; по
доказанному выше оно имеет полную меру, значит, таково и М. D
Условию теоремы удовлетворяют борелевские вероятностные меры
на конечномерных пространствах, эквивалентные мерам Лебега, гаус-
совские меры, рассматриваемые ниже выпуклые меры и
симметричные устойчивые меры. Особенно прост случай, когда все пространства
Еа одномерны и наделены борелевскими вероятностными мерами μα.
Тогда необходимое и достаточное условие выполнения закона 0-1 для
измеримых аффинных подпространств в Ε состоит в том, что всякая
мера μα либо не имеет точек положительной меры, либо является ди-
раковской мерой в точке.
Заметим также, что если для меры μ на линейном пространстве Ε
с σ-алгеброй S выполнен закон 0-1 для измеримых аффинных
подпространств и Τ — измеримое аффинное отображение из Ε в линейное
пространство F с σ-алгеброй Т, то для меры μοΤ~λ также выполнен
этот закон. Тем самым можно значительно расширить число примеров,
исходя из уже указанных.

5.12. Дополнения и задачи
499
Приведем еще один результат, связанный с линейными носителями
и вытекающий из предложения 7.14.58 в книге Богачев [17].
5.12.15. Предложение. Если вероятностная мера μ на
σ-алгебре сг(Х') в локально выпуклом пространстве X не сосредоточена ни
на какой замкнутой гиперплоскости, то для всякого выпуклого и
компактного в топологии σ(Χ',Χ) множества Μ С X' эта топология
метризуема на Μ и совпадает с топологией сходимости по мере μ
{это верно для поляр окрестностей нуля в топологии Макки на X).
Поскольку в случае радоновской меры пересечение всех замкнутых
линейных подпространств полной меры также имеет полную меру, то
можно перейти к ситуации, описанной в этом предложении.
5.12.16. Следствие. Если X — метризуемое локально выпуклое
пространство и μ — радоновская относительно слабой топологии
мера на X у то она плотна и относительно исходной метрики на X.
Доказательство. Как указано выше, можно перейти к случаю
меры, не сосредоточенной на гиперплоскости. Взяв базис выпуклых
окрестностей нуля [/пв1, получаем из предыдущего предложения,
что их поляры U° — метризуемые компакты в топологии σ(Χ',Χ), что
дает сепарабельность X' в этой топологии. Значит, есть счетный
набор {fn} С X', разделяющий точки в X. Поэтому слабо компактные
множества в X метризуемы. Мера μ сосредоточена на счетном
объединении таких множеств Кп. Возьмем в каждом Кп счетное плотное в
слабой топологии множество. Полученное счетное множество S плотно
в X относительно исходной метрики, ибо в противном случае можно
было бы найти замкнутую гиперплоскость, содержащую 5, а тогда и
все Кп, что невозможно по нашему условию на меру. Следовательно,
борелевская σ-алгебра X относительно метрики совпадает с cr(Xf)
согласно предложению 5.2.1. Борелевское продолжение меры μ на
пополнение X (как метризуемого локально выпуклого пространства)
является мерой Радона в силу сепарабельности X, причем множества Кп
замкнуты в пополнении в силу их слабой компактности в X. Поэтому
мера μ оказывается радоновской и относительно метрики. D
5.12(iii). Выпуклые меры
5.12.17. Определение. Заданная на σ-алгебре σ(Χ') в
локально выпуклом пространстве X вероятностная мера μ называется
выпуклой (или логарифмически вогнутой), если для всех непустых
множеств А,Ве сг(Х') и всех а Ε [0,1] выполнено неравенство
μ, (аА + (1 - а)В) > μ(Α)αμ(Β)1-α.
Выпуклость радоновской вероятностной меры μ понимается как
выпуклость ее сужения на σ(Χ').

500
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Выпуклость вероятностной меры на IRn равносильна тому, что она
на некотором аффинном подпространстве задается плотностью вида
ехр(—V), где V — выпуклая функция (см. Borell [237]).
5.12.18. Лемма. Радоновская вероятностная мера μ выпукла,
если (и только если) выпуклы все ее конечномерные проекции.
Доказательство. Взяв в качестве А и В цилиндрические
множества, получаем выпуклость конечномерных проекций. Обратно, пусть
все такие проекции выпуклы и А, В G В(Х). Ввиду радоновости μ
достаточно рассмотреть случай, когда А и В компактны. Поскольку
в слабой топологии А и В компактны, а μ радонова, то для заданного
ε > 0 можно найти такое открытое цилиндрическое множество С, что
аА + (1 - а)В С С и μ(Ο) < μ(αΑ + (1 - ά)Β) + ε. Еще раз используя
компактность Аи В, найдем такую выпуклую цилиндрическую
окрестность нуля V, что а(А + V) + (1 — а)(В + V) С С. Множества А + V
и В + V — цилиндры. В силу выпуклости конечномерных проекций
μ{/0) > μ{α(Α + V) + (1 - а)(В + V)) ^ μ(Α + ν)αμ(Β + V)1"" ^
^μ(Α)αμ(Β)1-α9
что ввиду произвольности ε дает нужную оценку. D
5.12.19. Следствие, (i) Если μ — выпуклая радоновская
вероятностная мера на локально выпуклом пространстве X иТ: X —> Υ —
непрерывное линейное отображение в локально выпуклое
пространство Υ, то мера μοΤ~χ выпукла.
(и) Если μ — выпуклая радоновская вероятностная мера на
локально выпуклом пространстве X и ν — выпуклая радоновская
вероятностная мера на локально выпуклом пространстве Υ, то μ®ν —
выпуклая мера на X xY. (iii) Если X = Υ, то μ * ν — выпуклая мера.
Отметим также такие результаты из работ Borell [237], [239]
(обоснования можно найти также в Богачев [18, §4.3]).
5.12.20. Теорема. Пусть μ — выпуклая мера Радона на локально
выпуклом пространстве X и ρ — полунорма на X, измеримая
относительно μ. Тогда существует такое с > 0, что ехр(ср) G ^(μ).
В частности, ρ G £Γ(μ) для всех г G (0, оо).
5.12.21. Теорема. Пусть μ — выпуклая мера Радона на
локально выпуклом пространстве X, h G X — ненулевой вектор и Υ —
замкнутая гиперплоскость, для которой X = УфЖ1^. Тогда на
прямых у-\-ШгН, у ΕΥ, можно выбрать такие выпуклые вероятностные
меры μν, что μ(Β) = / μυ(Β)ν{άυ), В G В(Х), где ν — образ μ при
естественной проекции X —> Υ.

5.12. Дополнения и задачи
501
Для выпуклых мер имеет место следующий закон 0-1,
установленный в работе Borell [237] (см. также [240]).
5.12.22. Теорема. Пусть μ — выпуклая радоновская мера на
локально выпуклом пространстве X.
(i) Предположим, что G — аддитивная подгруппа X. Тогда либо
/i*(G) = 0, либо /i*(G) = 1. Если G G Β(Χ)μ, то либо μ(ΰ) = 0, либо
μ(0) = 1.
(и) Предположим, что для всякого /Gl' носитель меры μ ο/ λ
есть либо точка, либо вся вещественная прямая. Тогда
топологический носитель μ — замкнутое аффинное подпространство.
Доказательство, (i) Пусть 0< μ*(6?) < 1. Берем компакт K0cG
с μ(Κ0) > 0. Положим К = K0U(-K0) и Я = ЦГ=1 кп, Кп = Кп-г+К,
Κι = К, т.е. Η — наименьшая аддитивная подгруппа, содержащая К.
Тогда Я С G и μ(Η) ^ μ,(С?) < 1. Пусть ε = 2"1 ππη(μ(Χ), 1 - Мя))·
Возьмем еще компакты Q С Х\Н и S С X так, что
μ(0) > 1 - μ(Η) - ε, μ(Χ\5) < 2"1 (l - μ(Η) - ε). (5.12.1)
Ясно, что 0 ^ К + Q, ибо иначе Q Π Κ φ 0. Поэтому найдется такое
η G IN, что
Нп := (п - 1)К + nQc X\S. (5.12.2)
В самом деле^ если есть такие кп Ε К, qn £ Q, что (п— l)kn + nqn G 5, то
в силу ограниченности S и К получаем кп + qn —> 0, откуда 0 G if + Q
из-за замкнутости К + Q. Теперь воспользуемся включением
п"1 (АД(Я U Нп)) + (1 - гг-1)^ С Х\(Я U Q).
Оно проверяется так. Если χ G Я U Q имеет вид п~1у + (1 — п~1)к,
где у G Х\{Н U Яп), то при χ е Η получаем у + (п — \)к G Я, откуда
у £ Н, что невозможно, а если χ G Q, то у G nQ — (η — l)if = Яп,
что тоже невозможно. Из установленного включения и выпуклости μ
следует оценка
M(X\(ffUQ))^min(M(X\(ffUffn)),M(if)).
Так как левая часть есть 1 — μ^) — μ(ζ?) < ε < μ(Κ) в силу (5.12.1),
то верно неравенство
ε > μ(Χ\(Η U Q)) > μ(Χ\(Η U Hn)) > 1 - μ(Η) - μ(Яn),
дающее оценку μ{Ηη) ^ 1 - μ(Я) - ε > 0. Однако из (5.12.1) и (5.12.2)
следует неравенство μ(Ηη) < μ(Χ\5) < 2_1(l— μ (Я)— ε). Полученное
противоречие означает, что μ^) = 1. Значит, μ*(β) = 1.
(ii) Будучи радоновской мерой, μ имеет топологический носитель S.
Из выпуклости μ следует выпуклость S: если а, 6 G 5, то для всякой

502
Глава 5. Меры на линейных пространствах
выпуклой окрестности нуля V множества V + а и V + b имеют
положительные меры, откуда μ(ν +(α+ Ь)/2) ^ μ(ν + α)1/2μ(Υ + ί))1/2 > 0, т.е.
(а+Ь)/2 Ε 5, а тогда и весь отрезок [а, Ь] лежит в S. Если S φ Χ, то для
всякой точки ζ £ S найдется функционал f € X' с f\s ^ 1 и f(z) > 1.
Из условия следует, что почти всюду / совпадает с некоторой
постоянной с/. Значит, S лежит в замкнутом аффинном подпространстве
Hf = /_1(с/). Из этого следует, что S совпадает с пересечением всех
замкнутых аффинных подпространств полной меры, ибо это
пересечение Η имеет полную меру в силу радоновости μ, причем ограничение
μ на, Η не может иметь меньшего носителя. D
5.12(iv). Центральная предельная теорема
Ряд интересных классов мер на бесконечномерных пространствах
вводится с помощью независимых случайных векторов или сверток.
В этом и следующем пунктах мы рассмотрим примеры, причем здесь
пойдет речь о центральной предельной теореме (сокращенно: ЦПТ).
Пусть X — локально выпуклое пространство и {ξη} —
последовательность Х-значных независимых центрированных случайных
векторов с одним и тем же радоновским распределением μ. Положим
Q _ ξΐ + ■ ■ ■ + ξη
у/П
Отметим, что распределение ξη совпадает с мерой μ*η, определенной
равенством μ*η(Α) = (μ * ... * μ)(η-1/2А), где свертка n-кратна.
Первая из проблем, с которыми связана центральная предельная
теорема, состоит в исследовании сходимости последовательности случайных
векторов Sn (в подходящем смысле).
5.12.23. Определение, (i) Вероятностная мера μ со средним т
на σ{Χ') называется предгауссовской, если она имеет слабый второй
момент и существует такая гауссовская мера 7 со средним т на X,
что
[ /9άμ= [ fgdh, Vf,geX'.
Jx Jx
(ii) Радоновская вероятностная мера μ с нулевым средним на X
удовлетворяет центральной предельной теореме (ЦПТ), если
последовательность {μ*71} равномерно плотна. Радоновская
вероятностная мера μ со средним т называется удовлетворяющей ЦПТ, если
мера μ-m с нулевым средним удовлетворяет ЦПТ.
(ш) Пространство X называется пространством со свойством
ЦПТ, если всякая радоновская вероятностная мера μ на X с нулевым

5.12. Дополнения и задачи
503
средним и сильным вторым моментом удовлетворяет ЦПТ; X
называется пространством со строгим свойством ЦПТ, если ЦПТ
выполняется для всякой радоновской вероятностной меры μ на X, имеющей
нулевое среднее и слабый второй момент.
Локально выпуклые пространства со строгим свойством ЦПТ
введены в Богачев [15].
Отметим, что даже для мер на прямой для выполнения ЦПТ не
требуется конечного второго момента, но мы в связи с ЦПТ
рассматриваем лишь меры со слабым вторым моментом.
5.12.24. Лемма. Пусть μ — радоновская вероятностная мера
с нулевым средним на X и слабым вторым моментом. Если
последовательность {μ*η} равномерно плотна, то она слабо сходится к
некоторой центрированной радоновской гауссовской мере η. Кроме того,
μ — предгауссовская мера.
Доказательство. Из равномерной плотности {μ*η} следует
существование радоновской вероятностной меры 7? предельной для
множества {μ*71} в слабой топологии. Проверим, что 7 — гауссовская мера.
Для этого достаточно проверить гауссовость всех мер μ о f~x на
прямой, / G X'. Тем самым утверждение сводится к одномерному случаю,
в котором оно хорошо известно. D
На IRn всякая вероятностная мера со слабым вторым моментом
удовлетворяет ЦПТ. Конечно, такая мера имеет и сильный второй
момент. Совсем иное положение в бесконечномерном случае. Например,
пространство С[0,1] не имеет свойства ЦПТ. Более того, существует
предгауссовская мера с компактным носителем в С[0,1], не
удовлетворяющая ЦПТ. С другой стороны, существует мера с компактным
носителем в С[0,1], которая не является предгауссовской. Наконец,
существует мера на С[0,1], которая удовлетворяет ЦПТ, но не имеет
сильного второго момента (по поводу таких примеров см. книгу Па-
улаускас, Рачкаускас [107]). Известно, что гильбертово пространство
имеет свойство ЦПТ. Поскольку в гильбертовом пространстве
ковариационный оператор вероятностной меры μ является ядерным в точности
тогда, когда μ имеет сильный второй момент, то здесь класс предгаус-
совских мер совпадает с классом мер, удовлетворяющих ЦПТ (а также
с классом вероятностных мер, имеющих сильный второй момент). Как
показывает пример С[0,1], эти три класса мер могут быть различны
в общих банаховых пространствах. Совпадение этих классов
характеризует гильбертовы пространства. Иначе говоря, банахово
пространство линейно гомеоморфно гильбертову тогда и только тогда, когда
наличие сильного второго момента у вероятностной меры равносильно
тому, что она удовлетворяет ЦПТ. Известно, что всякая
вероятностная мера с сильным вторым моментом на банаховом пространстве X
удовлетворяет ЦПТ в точности тогда, когда X — пространства типа 2

504
Глава 5. Меры на линейных пространствах
(определения типа и котипа см. в Вахания, Тариеладзе, Чобанян [33]).
Таким образом, на негильбертовых пространствах типа 2 обязательно
есть меры, удовлетворяющие ЦПТ, но не имеющие сильного второго
момента. Если же всякая мера на X, удовлетворяющая ЦПТ, имеет
сильный второй момент, то X — пространство котипа 2, причем это
свойство полностью характеризует пространства котипа 2. Наличие
котипа 2 равносильно также тому, что всякая предгауссовская мера на X
удовлетворяет ЦПТ. Доказательства этих утверждений и
соответствующие ссылки можно найти в [107, гл. 3], Ledoux, Talagrand [375, гл. 10].
5.12.25. Теорема, (i) Банахово пространство имеет строгое
свойство ЦПТ в точности тогда, когда оно конечномерно.
(и) Строгое свойство ЦПТ наследуется замкнутыми
подпространствами и сохраняется при образовании строгих
индуктивных пределов возрастающих последовательностей замкнутых
подпространств, счетных произведений, произвольных прямых сумм
и счетных проективных пределов.
Доказательство см. в [15] (см. также задачу 5.12.90).
5.12.26. Пример. Пусть X — сопряженное к полному ядерному
бочечному локально выпуклому пространству Y. Тогда X с сильной
топологией обладает строгим свойством ЦПТ. Например, это верно,
если X — сопряженное к ядерному пространству Фреше. Следующие
пространства имеют свойство ЦПТ: C£°[a,i>], S(JRk), S'(JRk), JR°°.
5.12(ν). Безгранично делимые и устойчивые меры
5.12.27. Определение. Случайный вектор ξ в локально
выпуклом пространстве X называется устойчивым порядка a Ε (0,2], если
для всякого η найдется такой вектор ап Ε X, что для независимых
случайных векторов ξι,..., ξη с тем же распределением μ, что и ξ,
случайный вектор η~1/α(ξι + · · · + ξη) — ап имеет распределение μ.
Распределение устойчивого порядка а случайного вектора
называется устойчивой порядка а мерой. Если можно взять ап = 0, то μ
называется строго устойчивой.
Вероятностная мера μ наа(Х/) называется безгранично делимой,
если для каждого η найдется такая вероятностная мера νη на σ(Χ'),
что μ совпадает с η-кратной сверткой ип.
Всякая устойчивая порядка а мера μ безгранично делима,
поскольку она равна n-кратной свертке распределения случайного вектора
η-ι/α^ξ _ ni/a-ia^y Устойчивые порядка 2 случайные векторы есть
в точности гауссовские векторы.
В терминах преобразования Фурье безграничная делимость меры
означает, что μ = (ΐ^,)η, а устойчивость равносильна соотношению
μ(1) = β-ί1(α^μ(η-1Ιαΐ)η.

5.12. Дополнения и задачи
505
Рассмотрим меру вида
оо +п
М = еИ:=е-^)£^,
п=0 П'
где ν — конечная неотрицательная радоновская мера на Χ, ν*η —
n-кратная свертка ν, ν*° := δο. Для преобразования Фурье такой меры
получаем μ = е~и^х^еи. Тем самым μ = и^к при всех /с, где у к — e(^/fc),
поэтому μ безгранично делима.
Общие безгранично делимые меры описываются с помощью так
называемых пуассоновских мер следующего вида. Пусть В — абсолютно
выпуклый компакт в X и G — неотрицательная борелевская мера на X
со значениями в [0, +оо], сосредоточенная на линейной оболочке В,
конечная на множествах Х\гВ, г > 0, причем /2/(1 + /2) Ε LX(G) при
всех / Ε X'. Положим
K(f,x) = eif{x)-l-if(Tx), Тх = х при хеВ, Тх = х/рв(х) при х^В.
Предположим, что функция
exp(Y K(f,x)G(dx)\
является преобразованием Фурье вероятностной радоновской меры Π
на X. Тогда мера Π называется пуассоновской мерой со спектральной
мерой G (или мерой Леей G) и обозначается символом 11(G). При
широких условиях на пространство X безгранично делимые меры на X
есть в точности меры вида μ = 7*n(G), где G — некоторая мера Леви.
Например, это верно для пространств Фреше (случай банаховых
пространств разобран в Круглов [84], а случай пространств Фреше к нему
сводится ввиду наличия банахова носителя, см. §5.12(vi)).
В работе Tort rat [487] получено следующее представление
преобразования Фурье устойчивой меры μ.
5.12.28. Теорема. Пусть μ — радоновская устойчивая порядка а
мера на квазиполном локально выпуклом пространстве X. Тогда
найдутся такие вектор a Ε X и неотрицательная мера Г с компактным
носителем в X, для которых
μ(1) = exp(il(a) - ί \l(x)\a T(dx) + iQ(a, Г, l)\ le X', (5.12.3)
Q(a,rj) = tg^Jl(x)\l(x)\a-1T(dx), аф\,
Q(l,T,/) = -- [l(x)ln\l(x)\T(dx).

506
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Мера Г называется спектральной. Ясно, что она не определяется
однозначно. Например, при а ф 1 ее можно заменить мерой A-qTa,
где Га — образ Г при гомотетии с коэффициентом А. Тем самым
можно сделать меру Г вероятностной. В работе Богачев [14] рассмотрено
модифицированное представление
ji(l) = exp(il(a) - ί \l(x)\aT{dx) + iPQ(a,T,l)\ /3 е [0,1], (5.12.4)
преобразования Фурье меры μ, лучше отражающее свойства
симметрии меры. Например, если мера μ симметрична, т.е. μ(Β) = μ(—Β), то
Q(a, Г,/) = 0, поэтому возможно представление (5.12.4) с β = 0.
Показателем асимметричности β(μ) устойчивой порядка а
меры μ называется точная нижняя грань чисел β Ε [0,1], с которыми
возможно представление (5.12.4) с некоторыми α Ε Χ и мерой Г с
ограниченным носителем. В [14] доказан следующий результат.
5.12.29. Теорема. Показатель асимметричности устойчивой
меры μ равен точной верхней грани показателей асимметричности
конечномерных проекций μ. При этом существуют такие a Ε X и
мера Г с компактным носителем, что (5.12.4) верно с β = β (μ).
Если β(μ) = 0, то мера μ симметрична и совпадает со своей
симметризацией μ8(Β) = μ * Д(21/аБ), где ~μ{Β) = μ{—Β). Ясно, что JTS = |μ|.
Если β (μ) = 1, то μ называется полностью асимметричной. Наконец,
если 0 < β(μ) < 1, то существует такая полностью асимметричная
устойчивая порядка а мера ^, что μ = μ\*ν, где μι(Β) = μ8(ί~1/αΒ),
t = 1 - β(μ).
Для устойчивых мер в Dudley, Kanter [280] получен следующий
вариант закона 0-1.
5.12.30. Теорема. Пусть μ — радоновская устойчивая мера на
локально выпуклом пространстве X. Тогда для всякого μ-измеримого
аффинного пространства L С X либо μ(Σ) = 0, либо μ(Σ) = 1.
Доказательство. Перейдя к сдвигу меры, можно считать, что
L — линейное подпространство. Предположим сначала, что μ
симметрична. Пусть μ(Σ) = а > 0. Можно считать L борелевским, ибо в L
есть компакт положительной меры, поэтому можно перейти к его
линейной оболочке. Обозначим через μ1 образ μ при гомотетии χ ι—> tx,
t > 0. Заметим, что μ1 = μ* . Поэтому для всех t G (0,1) мы имеем
μ = μ1 * /is, где sa = 1 — ta. Взяв t = η-1, получаем
μ(Σ — n~1x) = / μ(ηΙ, — χ — ns~1y) μ^) ^
Jx
^ / μ(ηΣ — χ — ns~1y) μ^) = /i(L — χ)μ(Σ)

5.12. Дополнения и задачи
507
для всех х. Если χ £ L, то множества L — η гх дизъюнктны, откуда
следует, что μ(Σ — χ) = 0 при χ £ L. Тогда в силу равенства μ * μ = μθ,
где θ = 21/Q:, получаем
α = μ(Ζ,) = μ(0£) = /i*/i(L) = / μ(Σ—χ) μ(άχ) = / μ(Σ—χ) μ(άχ) = α2,
откуда α = 1. Теперь не будем предполагать меру симметричной. Пусть
ν = μ * μ, μ(£) = μ(—Β). Так как i/(L) ^ μ(£)2, то по доказанному
^(L) = 1. Значит, μ(£ + χ) = 1 при μ-п.в. χ. В частности, такой χ
найдется в множестве L положительной меры, что дает μ(£) = 1. D
Аналогичное утверждение верно для устойчивых мер на σ(Χ').
5.12.31. Лемма. Пусть μ — радоновская вероятностная мера на
отделимом локально выпуклом пространстве X, т — радоновская
вероятностная мера на топологическом пространстве (Т,В), причем
при каждом t G Τ дана цилиндрическая вероятностная мера щ па X
со следующим свойством: при каждом I G X' функция 1ь-> щ{1)
измерима относительно т и
Щ= I vt{l)m{dt).
Предположим еще, что для каждого ε > 0 найдется такой компакт
S£ С Τ с m(Se) > 1 — ε, что для всякого цилиндра С с
компактным основанием функция 1ь-> щ(С) на S£ полунепрерывна сверху {это
выполнено автоматически, если есть счетное множество в X',
разделяющее точки X). Тогда для т-п.в. t мера щ имеет радоновское
продолжение, причем для всякого В G В(Х) функция t ь-> щ(В)
измерима относительно т и верно равенство
μ(Β) = J vt{B)m(dt). (5.12.5)
Доказательство. Из условия следует, что для функций /,
являющихся линейными комбинациями ехр(г/), где Ι Ε Xf, интеграл от / по
мере щ измеримо зависит от £, причем
[ /άμ= [ [ f(x)vt(dx)m(dt).
J X J Τ J Χ
Легко распространить это утверждение на ограниченные функции /
вида доР, где Ρ — конечномерный проектор, д — борелевская функция
на Р{Х). Поэтому (5.12.5) верно для цилиндров В.
Пусть η G IN. Зафиксируем компакт К С X. Рассмотрим
множество Η всех замкнутых подпространств в X конечной
коразмерности. Оно направлено по естественному отношению частичного порядка:
Н\ ^ #2, если Н2 С Hi. Направленность функций /# (£) = щ(К + Н)

508
Глава 5. Меры на линейных пространствах
убывает к f(t) = inf#/#(£). На каждом компакте S£ из условия
теоремы функции /я полунепрерывны сверху. Значит, такова и /. По
лемме 7.2.6 из [17] имеем
/ f dm = lim / /я dm.
Jse H Jse
Ввиду произвольности ε получаем измеримость / и равенство
fdm = \im fH dm = \\ταμ{Κ + Я) = μ(Κ),
Jt η Jt h
где последнее соотношение следует из предложения 5.2.17. Взяв
компакты Кп с μ(Κη) ^ 1-п~2, для Тп := {t: mfHut(Kn-\-H) ^ 1-п-1}
получаем оценку
т(Гп) + (1-п-1)(1-т(Гп)) ^ / f dm ^ 1 - η"2,
откуда m(Tn) ^ 1—η-1. Множество То = U^Li ^n имеет полную т-меру
и тгя щ(Кп+Н) ^ 1—п-1 при ί Ε То. Это означает, что меры vt плотны
при t Ε ТЬ: для всякого борелевского цилиндра С, дизъюнктного с Кп,
мы имеем щ{С) < га-1, ибо найдется Η е Η с (Кп + Н) П С = 0.
Радоновские продолжения мер щ будем обозначать теми же символами.
В силу доказанного выше формула (5.12.5) верна для компактов В,
так как щ(В) = Ш1я щ(В + Н) при t Ε То. Пользуясь радоновостью μ,
легко распространить доказанное на замкнутые множества В. Ясно,
что класс В множеств В Ε В(Х), для которых (5.12.5) верно, допускает
счетные объединения дизъюнктных множеств, причем если В\,В2 Ε β
и Βι С #2, то В2\В\ £ #· Так как класс замкнутых множеств входит
в β и допускает конечные пересечения, то по известной теореме о σ-ад-
дитивных классах (см. [17, теорема 1.9.3]) мы имеем В = В(Х).
Наконец, если есть счетный набор {1п} С X', разделяющий точки
в X, то указанное дополнительное условие полунепрерывности
сверху выполнено автоматически. Действительно, для каждого η выберем
счетное множество Тп гладких функций на IRn с компактными
носителями, которыми можно равномерно приближать все непрерывные
функции с компактными носителями. Далее удобно считать, что J~n за-
мкнуто относительно операций min(/, 1), max(/, 0), min(/i,..., /η), где
/, fi Ε Τη. Множество Τ функций вида /(Zi15 ...,/*„)? / € Fn, счетно.
Поэтому для каждого ε > 0 найдется такой компакт S£ С Т, что при
всех / Ε Τ непрерывны на Se функции
t\
j fdvt.
Пусть С — цилиндр с компактным основанием в конечномерном
подпространстве L и Η Ε Η.

5.12. Дополнения и задачи
509
Проверим полунепрерывность сверху функции д: t ь-> vt(C + Η)
на S£. В силу непрерывности на S£ функций из Τ нам достаточно
найти последовательность функций fn Ε Τ, поточечно убывающую к д.
Это сводится к следующему: дан компакт К С IR ; надо найти
функции fn Ε Тп, поточечно убывающие к Ιχ· Пусть Кп — открытая п-1-
окрестность К. Возьмем непрерывную функцию ψη с 0 ^ ψη ^ 1,
равную 1 на К и 0 вне Кп. Найдем φη е Тп с sup^. \фп{х) — φη(χ)\ ^ ™-1;
можно считать, что 0 ^ φη ^ 1, перейдя к функциям min((^n, 1), затем
к max((£n, 0). Наконец, возьмем min((^i,..., φη). D
Следующий результат из Sztencel [471] показывает, что
распределения симметричных устойчивых векторов являются смесями гауссов-
ских мер.
5.12.32. Теорема. Для всякой симметричной устойчивой
порядка а радоновской меры μ на локально выпуклом пространстве X
существуют такие радоновская вероятностная мера т на пространстве
Τ = X^xJR00 и симметричные радоновские гауссовские меры jt па X,
где t Ε R, что для каждого В Ε В(Х) функция t »—> jt(B) измерима
относительно т и выполнено равенство
μ{Β) = ί ъ(В) ™{dt), В Ε В(Х). (5.12.6)
Доказательство. Будем считать, что а < 2, так как при а = 2
сама мера μ оказывается гауссовской. Кроме того, сначала предположим,
что X квазиполно. По теореме Тортра мы имеем (5.12.3) с некоторой
вероятностной мерой Г, сосредоточенной на компакте if, иа = 0, Q = 0.
Пусть {ξι} — последовательность независимых центрированных гаус-
совских случайных величин с 1Е|^|а = 1, {ηι} — последовательность
независимых случайных величин с экспоненциальным
распределением, Ζ,Ζι,... — последовательность независимых случайных векторов
в X с распределением Г, причем все эти последовательности
независимы в совокупности. Можно считать, что они заданы на пространстве
Ω = JR°° x IR00 xl°° с произведением соответствующих одномерных
распределений. Положим Sk = Щ Η \-щ. Тогда IEs^ = /с. В качестве
меры т возьмем mi(g>m2, где га ι есть распределение {^}, rri2 есть
распределение {sk}. Тем самым вероятностное пространство можно
считать равным Г = Х°° χ Н°°, отождествив IR00 x JR°° и JR°°. Пусть
/»оо
Са = s~a sinsds.
Jo
Известен такой факт (см. LePage, Woodroffe, Zinn [378]): для
последовательности одинаково и симметрично распределенных случайных
величин ζ&, независимых в совокупности с {щ} и имеющих конечный
k=\sk С& сходится почти наверное и его

510
Глава 5. Меры на линейных пространствах
сумма имеет устойчивое порядка а распределение с преобразованием
Фурье у .-> exp(-C-1|y|aIE|Ci|a). Теперь мы рассмотрим формальный
ряд
<£/βΣ
— 1/а<. г?
k=l
Этот формальный ряд «сходится» в следующем смысле: для каждого
I G X' ряд
оо
к=1
из вещественных случайных величин сходится почти наверное, а для
преобразования Фурье его суммы Л/ в силу приведенного выше факта
верно равенство
Eexp(iAz) = exp(-E|Z(Zi)|a) =
= ехр(- ί \1{χ)\α T{dx)) = μ(1). (5.12.7)
В силу закона больших чисел имеется такое множество S С IR°° полной
т2-меры, что lim Sk/k —> 1 для всех (sk) G S. Для каждого элемента
к—»оо
t G X^xIR00 вида t = ((ж*;), (5fc)), где Хк G if, мы хотели бы задать
центрированную гауссовскую меру 7* как распределение случайного
вектора Са Y^Li s^ £,к%к· Если а < 1, то легко показать, что этот ряд
сходится в X почти наверное, а его распределение есть центрированная
радоновская гауссовская мера. В самом деле, будем считать, что
распределение {£&} есть мера на И00, равная счетной степени одномерного
распределения ξχ. Заметим, что линейное подпространство L С И00
последовательностей ξ = (£fc) с limsupfc^oo |ξ&||1η(1 + /с)|_1//2 < оо имеет
полную меру. При всех t G K°° x S и (£&) G L ряд Y^=1 s^ £k%k
сходится в X, ибо для каждой непрерывной полунормы ρ на X сходится
рад ΣΤ=ι sk 1/al&|p(ffO»так как
s* 1/a < С/с"1/", |&| < С| ln(fc + 1)|1/2, supp(xfc) < оо.
k
В общем случае проверка технически сложнее, поэтому вместо нее мы
зададим сначала 7* как цилиндрическую меру, а затем проверим, что
она плотна. Первое сделать совсем легко, так как для каждого
функционала I G X' ряд Са SSfcLi 5fc £kl(xk) из независимых гауссов-
ских случайных величин сходится почти наверное ввиду сходимости
ряда из s^ \l(xk)\2, вытекающей из ограниченности / на К и оценки
s~2/a < СТГ2/", где 2/а > 1.

5.12. Дополнения и задачи
511
Проверим теперь, что m-почти все цилиндрические меры jt плотны
и для них выполнено (5.12.6). Сначала проверим (5.12.6) на
цилиндрических множествах. Для этого достаточно убедиться, что интеграл от
jt(l) по мере т равен μ(1) для всех / Ε X'. Непосредственное
вычисление показывает, что
оо
Ъ(1) = exp(-Qt(/)/2), Qt(l) = С2а/а^8-2/а\1(хк)\2Щ1
к=1
Из это формулы очевидна борелевость функции t »—> Qt{l)· Интеграл
от jt(l) по мере т совпадает с величиной
оо
к=1
равной Д(/), что вытекает из формулы (5.12.7) и теоремы Фубини,
применяемой с учетом независимости рассматриваемых случайных
величин. Итак, равенство (5.12.6) верно для цилиндрических множеств.
Чтобы завершить доказательство применением предыдущей леммы,
надо еще проверить указанное там дополнительное условие с
полунепрерывностью (выполненное автоматически, если есть счетный набор
в X', разделяющий точки). Для этого заметим, что во введенном
выше множества S С Ш°° полной Ш2-меры можно взять подмножества
Sm = {($к)'- Sk ^ М~гк} с т2(5м) —> 1, Μ —> оо. Это дает оценку
s~^ 'а ^ М2/ак~2/а на Sm, из которой следует непрерывность
ограничений функций 1»—> Qt(l) на SmxK°° при всех / Ε X'. Как легко видеть,
это дает непрерывность ограничений на Sm χ Κ°° интегралов по
мерам щ от цилиндрических функций вида /(/ι,..., /η), где / Ε Cb(IRn),
li Ε X'. Как видно из доказательства последнего утверждения леммы,
мы получаем нужную полунепрерывность сверху. D
Получим условие невырожденности гауссовских мер 7t-
5.12.33. Следствие. Пусть в X' есть счетный набор
разделяющих точки функционалов {например, X — сепарабельное
пространство Фреше). Если мера μ из теоремы не сосредоточена ни на каком
собственном замкнутом линейном подпространстве, то это верно
и для т-почти всех мер 7t-
Доказательство. Ввиду радоновости мера μ сосредоточена на
линейном подпространстве Хо, равном объединению возрастающей
последовательности компактов ϋΓη, которые метризуемы в силу наличия
разделяющей точки последовательности {lj} С X', причем в качестве
такой метрики мы возьмем d(x, у) = Σ^ι 2_J min(|/j(x — у)\, l). Тогда
на Хо сосредоточены и почти все меры 7t? поэтому можно иметь дело
сХ = Х0.

512
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Покажем, что для m-п.в. t все меры jt°l, I € -Χ"'? Ι Φ О, имеют
положительные дисперсии. Из доказательства теоремы явствует, что
надо показать, что при mi-п.в. (хк) Ε К°° мы имеем supfc |/(^a;)| > 0 для
всех ненулевых Ι Ε X'. Каждому элементу ζ = (ζ к) Ε К°° сопоставим
замкнутую линейную оболочку Ε (ζ) последовательности векторов Zk-
Нам достаточно установить, что Ε (ζ) = X при mi-п.в. ζ.
В каждом Кп выберем счетное всюду плотное по метрике d
множество {χη,ί}- Для каждой фиксированной пары номеров п, г рассмотрим
функцию
ψη,ί{ζ) = inf {d(xn,t, х): хе Ε (ζ) Π Κη}, ζ Ε Κ°°.
Эта функция — борелевская, ибо является пределом функций
Ψη,ΐΑζ) = inf{d(xn,i,»): x Ε (zu...,zk)}nKn,
где (ζι,..., Zk) — линейная оболочка z\,..., Zk, причем функции фп,г,к
непрерывны. Так как Ε (ζ) не меняется при перестановках компонент ζ,
то этим свойством обладает и фп,г,к, поэтому в силу теоремы 5.12.12
функция фп,г,к равна постоянной rai-п.в. Поэтому имеется множество
Ωο полной mi-меры, на котором постоянны все функции фп^. Это
означает, что на Ωο пространство Ε (ζ) постоянно. Действительно, если
Ε (ζ) φ E(zf), то для некоторого Кп имеем Кп Π Ε (ζ) Φ Κη Π Ε(ζ').
Можно считать, что есть точка χ G (ΚηΓ\Ε(ζ))\Ε(ζ'). Значит, найдется
шар радиуса ε > 0 с центром вх,в котором нет точек из ΚηΓ\Ε(ζ')',
далее, найдется такая точка χη,%·> что d(x, xn,i) < ε/4. Тогда ψη,ΐ{ζ') > ε/2,
хотя ψη^(ζ) < ε/4 из-за включения χ Ε Κη Π Ε (ζ).
Наконец, Ε (ζ) = Χ при всех ζ Ε Ωο, ибо иначе найдется ненулевой
функционал / Ε X', ядро которого содержит все Ε (ζ) при ζ Ε Ωο,
т.е. l(zk) = 0 при всех /с, если ζ Ε Ωο, откуда мы получаем равенство
Г(/_1(0)) = 0, ибо rai = Г°°. Ясно, что из этого следует и равенство
μ(Ζ_1(0)) = 0, противоречащее условию. D
Вместо счетного разделяющего набора функционалов можно
потребовать более общее условие: метризуемость компактов в X; однако
это сводится к рассмотренному тем же рассуждением, что и в
доказательстве следствия.
В работах Acosta [188], Louie, Rajput, Tortrat [383], Rajput [432],
[433], [434] Rajput, Rama-Murthy, Zak [435], Tortrat [485], [486], [488],
где можно найти дополнительные ссылки, исследованы топологические
носители безгранично делимых и устойчивых мер; установлено, что
топологический носитель Ξμ симметричной устойчивой меры является
линейным подпространством, а носитель безгранично делимой меры —
выпуклым конусом (см. [434]).

5.12. Дополнения и задачи
513
5.12.34. Теорема. Пусть μ — симметричная радоповская
устойчивая порядка а мера. Тогда ее топологический носитель — линейное
пространство. Если а ^ 1, то топологический носитель радоновской
α-устойчивой меры — аффинное подпространство. Если а < 1, то
топологический носитель — выпуклый конус.
Доказательство. Мы проверим только первое утверждение
(доказательство второго см. в [434]), вытекающее из предыдущего
следствия. Пусть данное пространство X сепарабельно и метризуемо.
Перейдя к наименьшему замкнутому линейному подпространству полной
меры, получаем, что почти все гауссовские меры 7t? смесью которых
является μ, положительны на непустых открытых множествах. Значит,
это верно и для μ.
Рассмотрим общий случай. Пусть есть точка а, не входящая в 5μ.
Тогда найдется замкнутая абсолютно выпуклая окрестность нуля V
с μ(α + V) = 0. Рассмотрим нормированное пространство Е^уу
получаемое факторизацией X по ядру функционала Минковского
множества V. Обозначим через ν образ меры μ при естественной проекции
π: X —> Е{уу при которой V переходит в замкнутый единичный шар
в Е(у)- Радоновская мера ν симметрична, устойчива и не
сосредоточена на собственном замкнутом подпространстве (иначе μ сосредоточена
на прообразе этого подпространства), поэтому на основании
доказанного получаем, что ее носитель есть все Ε (у у Однако шар радиуса 1
с центром в π (α) должен иметь нулевую z^-меру, так как его прообраз
при проекции π есть а + У, ибо прообраз единичного шара есть V.
Полученное противоречие показывает, что βμ = X. D
Неизвестно, всегда ли радоновская устойчивая мера имеет метри-
зуемый компакт положительной меры (как это верно для гауссовских
мер). Дополнительную информацию о бесконечномерных устойчивых
и безгранично делимых мерах можно найти в книгах Круглов [84],
Hazod, Siebert [320], Linde [380] и статьях Acosta [188], Acosta, Samur
[189], Chung, Rajput, Tortrat [251], Dettweiler [261], Dudley, Kanter
[280], Fernique [296], Kanter [347].
5.12(vi). Банаховы носители мер
Во многих приложениях оказываются полезны результаты,
утверждающие, что те или иные меры на бесконечномерных пространствах
сосредоточены на некоторых более специальных или более простых
пространствах. Например, имея меру на общем локально выпуклом
пространстве, неплохо знать, что на самом деле она сосредоточена на
меньшем банаховом пространстве, а добившись последнего, можно
думать и о гильбертовом носителе. Конечно, не всегда это возможно, но
некоторые положительные результаты есть.

514
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Следующий результат был получен В.В. Булдыгиным [26] для
банаховых пространств, а затем распространен в [15] на пространства
Фреше (ранее несколько менее общие результаты были получены в
работах Kuelbs [369], Sato [442], Островский [105]).
5.12.35. Теорема. Пусть μ — радоновская мера на пространстве
Фреше X. Тогда найдется такое рефлексивное сепарабельное банахово
пространство Ε С X, что \μ\(Χ\Ε) = О и замкнутый единичный шар
из Ε компактен в X.
Доказательство. Топология X задается метрикой ρ. Для
каждого η возьмем компакт Кп с μ(Χ\Κη) < 1/п. Тогда /i(|J^Li К η) = 1·
Выберем числа сп > О так, что спКп входит в шар радиуса 1/п с
центром в нуле. Легко проверить, что замыкание S множества IJ^Li cnKn
компактно (в нем всякая последовательность имеет предельную
точку). Замкнутая абсолютно выпуклая оболочка Ко множества S
компактна, но это множество может не подойти, ибо Ек0 не обязано быть
даже сепарабельным. Однако по теореме 2.5.11 можно взять большее
абсолютно выпуклое компактное множество W так, что Ецг будет
сепарабельным рефлексивным пространством, a Kq будет компактно и
как подмножество Ew· Меру μ теперь можно ограничить на Ε = Еу/,
ибо борелевские множества из Е$ являются борелевскими и в X (см.
обсуждение ниже). D
В общем случае нельзя выбрать Ε с базисом Шаудера (см. Fonf,
Johnson, Pisier, Preiss [299]; достаточное условие см. в теореме 5.12.63).
Тем более его не всегда можно сделать гильбертовым, однако для мер
на JR°° это легко сделать (задача 5.12.78). Известен такой факт (см.
Муштари [100], Sato [443]).
5.12.36. Теорема. Если в банаховом пространстве или в
пространстве Фреше X всякая радоновская мера сосредоточена на
непрерывно вложенном сепарабельном гильбертовом пространстве, то X
изоморфно гильбертову пространству.
Нетрудно заметить, что достаточно, чтобы условие выполнялось
для мер с ограниченными носителями.
Мера μ на банаховом пространстве имеет сильный момент
порядка г, если || · ||r G b1(/i). Более общим образом, мера μ на локально
выпуклом пространстве имеет сильный момент порядка г, если всякая
непрерывная полунорма входит в Lr(/i).
Для таких мер теорему 5.12.35 можно уточнить (Bogachev [231]).
5.12.37. Теорема. Пусть μ — вероятностная борелевская мера
на сепарабельном банаховом пространстве X с сильным моментом
некоторого порядка г > 0. Тогда существует линейное
подпространство Ε С X со следующими свойствами:

5.12. Дополнения и задачи
515
(i) Ε с некоторой нормой || · \\е является сепарабельным
рефлексивным банаховым пространством, замкнутые шары которого
компактны в Х\ (и) μ(Ε) = 1 и / ΙΙ^ΙΙ^; μ(άζ) < оо.
JE
Если μ на X имеет все сильные моменты, то и Ε можно
выбрать с таким свойством. Наконец, эти утверждения верны и для
сепарабельных пространств Фреше.
Доказательство. Модифицируем рассуждения теоремы 5.12.35.
Пусть φ ^ О — убывающая функция на [0, оо) и Σ™=1 φ(η) < оо.
Найдутся числа ап [ О, для которых апп —> оо и Σ™=ι φ(αηη) < оо.
Пусть φ{Κ) = μ(χ: \\х\\ > R1^). Тогда Σ™=1 φ(η) < оо. Возьмем αη,
как и выше. Для каждого η есть компакт Кп в шаре Un радиуса п1//г
с центром в нуле, такой, что μ(αη Κη) ^ μ(αη Un) — 2~п. Множество
К = IJ^Li спКп, где сп := ап; n_1//r, имеет компактное замыкание.
Замкнутая выпуклая оболочка V множества К также компактна. Пусть
ру и Еу — функционал Минковского V и соответствующее банахово
пространство. Так как {ру ^ с} = cV при с ^ 0, то функция ру
измерима. Далее, otn Кп с г\}1гК с {ру ^ n1//r} = n1/rV. В силу выбора
компактов Кп получаем ру Ε b1(/i), ибо
μ(χ: prv(x) >η) = 1-μ(χ: ρν{χ) ^ n1/r) ^ 1 - μ(α1η/7'Κη) ^
<$ 1 + 2"η - μ{αΙ/Γυη) = 2"η + μ(χ: \\χ\\ > α^η1^) = 2~η + φ(αηή).
Ясно, что μ(Εγ) = 1 и μ(αη Κη) —> 1? так как шары ап Un имеют
радиусы (ann)1//r —> оо, ибо апп —> оо. Далее рассуждаем, как в
теореме 5.12.35. Случай пространства Фреше сводится к доказанному выше
переходом к подпространству Х0 := {q < оо}, где qr := Σ™=1 cn(fn
и qn — задающие топологию полунормы, сп = 2~n(\\q'!n\\Li^ + I)-1. □
Отметим, что эта теорема не переносится на слабые моменты (см.
задачи 5.12.80 и 5.12.81).
5.12.38. Следствие. Пусть μ — вероятностная мера с сильным
моментом порядка г на сепарабельном банаховом пространстве X со
свойством аппроксимации, т. е. для всяких компакта К в X и δ > 0
есть конечномерный оператор S Ε С(Х) с $Щ>хек \\х ~ $х\\ ^ δ. Тогда
для всякого ε > 0 найдется такой конечномерный оператор Τ G С(Х),
что \ \\х— Тх\\г μ(άχ) < ε.
Jx
Доказательство. Пусть Ε — пространство из предыдущей
теоремы и К — его единичный шар. Найдем такое εο > 0, что интеграл

516
Глава 5. Меры на линейных пространствах
от функции ||ζ||я на Ε меньше s/sq. Возьмем конечномерный
оператор Τ с sup \\z — Tz\\ ^ εο· Тогда имеем \\ζ — Τζ\\ ^ £о|И|# при ζ G Ε.
к
Итак, интеграл от \\ζ — Tz\\r не превосходит интеграла от Ц^Ц^ по Е,
умноженного на εο, что меньше ε. D
Это следствие не переносится на произвольные банаховы
пространства (см. Fonf, Johnson, Pisier, Preiss [299]).
5.12(vii). Бесконечномерные винеровские процессы
Пусть X — отделимое локально выпуклое пространство, Η — сепа-
рабельное гильбертово пространство, непрерывно и плотно вложенное
в X, jH: X* —> Η — вложение, определенное следующим образом. Для
всякого k Ε X* функционал h »—> (/с, h) непрерывен на Н. Значит, есть
такой вектор jH (к) G Я, что для всех h G Η имеем
(jH(k),h)H = (k,h)
Пусть (Ω, Τ, Ρ) — вероятностное пространство.
5.12.39. Определение. Непрерывный случайный процесс (Wt)t^o
на (Ω, Т, Р) со значениями в X называется винеровским процессом,
ассоциированным с Н, если для каждого k Ε X* с \jH{k)\H = 1
одномерный процесс (/с, Wt) — винеровский.
Пусть Tt С Т, t ^ 0, — возрастающее семейство σ-алгебр.
Винеровский процесс (Wt)t^o называется ^-винеровским процессом, если
для всех τ ^ 0, £, s ^ τ случайный вектор Wt — Ws независим с Тт,
а случайный вектор Wt является ^-измеримым.
Необходимым и достаточным условием существования какого-либо
винеровского процесса в X является существование непрерывно и
плотно вложенного в X сепарабельного гильбертова пространства (см.
Богачев [16, §7.2]). Конечно, это условие выполнено не для
всякого локального выпуклого пространства. Например, оно не выполнено
для строгих индуктивных пределов возрастающих замкнутых
подпространств. Для сепарабельных пространств Фреше оно выполнено.
Более тонким является вопрос о существовании винеровского процесса
с заданным Н. Приведем достаточное условие (см. [16, §7.2]).
5.12.40. Предложение. Пусть X — секвенциально полное
локально выпуклое пространство, на котором существует
центрированная гауссовская мера Радона 7 с пространством
Камерона-Мартина Η = H(j), плотным в X. Тогда существует винеровский
процесс (Wt)t^o, ассоциированный с Н, для которого распределение W\
совпадает с η.
(5.12.8)

5.12. Дополнения и задачи
517
Как отмечено в [16, § 7.2], вместо условия секвенциальной полноты
можно потребовать существование выпуклого компакта
положительной 7-меры. Однако остается неизвестным, достаточно ли лишь одного
предположения о существовании меры η.
5.12(viii). Прохоровские локально выпуклые пространства
Здесь мы рассмотрим важный класс пространств, связанных со
слабой сходимостью мер и теоремами 5.3.7 и 5.3.9. Символом МГ{Х)
обозначим множество всех радоновских мер на топологическом
пространстве X. Через Л4*(Х) обозначим множество неотрицательных
плотных бэровских мер на топологическом пространстве X.
5.12.41. Определение, (i) Тихоновское топологическое
пространство X называется пространством Прохорова или прохоровским,
если всякое множество в пространстве мер M.f(X), компактное
в слабой топологии, равномерно плотно.
(и) Тихоновское топологическое пространство X называется
секвенциально прохоровским, если каждая последовательность
неотрицательных плотных бэровских мер, слабо сходящаяся к плотной
мере, равномерно плотна.
В этом определении можно было бы говорить о радоновских мерах,
т.е. заменить Л4£(Х) на М~^(Х), поскольку всякая плотная бэровская
мера на X имеет единственное радоновское продолжение (см. § 5.2).
Если в определении допускать знакопеременные меры, то приходим
к классам сильно прохоровских и сильно секвенциально прохоровских
пространств.
Каждое полное сепарабельное метрическое пространство
является пространством Прохорова; произвольное метрическое пространство
является секвенциально прохоровским (см. [17, §8.10(ii)]). Ясно, что
пространства Прохорова — секвенциально прохоровские. Однако
известно, что пространство Q рациональных чисел является
секвенциально прохоровским, но не прохоровским. Заметим, что секвенциальное
прохоровское свойство слабее, чем требование, чтобы слабо сходящиеся
последовательности плотных мер были равномерно плотны (поскольку
их пределы не обязаны быть плотными мерами).
5.12.42. Теорема. Класс пространств Прохорова сохраняется
при образовании (i) счетных произведений, (и) счетных пересечений,
(iii) замкнутых подпространств и открытых подпространств, тем
самым G$-подмножеств.
Кроме того, пространство является пространством Прохорова
при условии, что каждая точка имеет окрестность, которая есть
прохоровское пространство (например, допускает локально конечное
покрытие замкнутыми прохоровскими подпространствами).

518
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Доказательство можно найти в Hoffmann-j0rgensen [323] (см.
также задачу 5.12.83).
Напомним, что пространство X называется хемикомпактным,
если оно обладает фундаментальной последовательностью компактов Кп
(т.е. всякий компакт в X содержится в одном из Кп). Если же для
непрерывности функции на X достаточна ее непрерывность на всех
компактах, то X называется /сд-пространством. Последним свойством
обладают /^-пространства, т. е. пространства, в которых замкнуты
множества, имеющие замкнутые пересечения со всеми компактами.
Нетривиальный пример: индуктивный предел с компактными вложениями
(см. §2.7).
5.12.43. Следствие. Прохоровскими являются все локально
компактные пространства и все хемикомпактные kR-пространства.
Объединение двух прохоровских подпространств, даже если одно
из которых — точка, не обязано быть прохоровским. Кроме того,
счетное объединение замкнутых прохоровских подпространств не всегда
прохоровское.
Приведем некоторые результаты и примеры, позволяющие
строить более широкие классы прохоровских и секвенциально прохоровских
пространств с помощью операций, упомянутых в теореме 5.12.42.
5.12.44. Предложение. Пусть X — тихоновское пространство,
обладающее счетным набором замкнутых подпространств Хп со
следующим свойством: функция на X непрерывна, если и только если ее
ограничение на каждое Хп непрерывно.
(i) Если каждое Хп — прохоровское, то таково и X.
(и) Если все Хп либо являются польскими пространствами, либо
компактны, то каждая слабо фундаментальная последовательность
в Л4Г(Х) равномерно плотна. В частности, X — сильно
секвенциально прохоровское пространство.
Доказательство можно найти в Богачев [17, §8.10(и)].
5.12.45. Пример. В любом из следующих случаев каждая слабо
фундаментальная последовательность плотных мер на X равномерно
плотна:
(i) X — хемикомпактное /сд-пространство;
(и) X — локально выпуклое пространство, являющееся
индуктивным пределом возрастающей последовательности таких сепарабельных
банаховых пространств Еп, что вложения Еп в Еп+1 — компактные
операторы. По определению X наделено сильнейшей локально выпуклой
топологией, для которой вложения Еп —> X непрерывны.
Доказательство. Случай (i) ясен из предложения 5.12.44. (и) Из
доказанного в § 2.7 следует, что X есть /с-пространство с
фундаментальной последовательностью компактов. D

5.12. Дополнения и задачи
519
5.12.46. Лемма. Пусть X = U^Li Хп — отделимое локально
выпуклое пространство, являющееся строгим индуктивным пределом
возрастающей последовательности замкнутых подпространств Хп.
Если последовательность {μι} неотрицательных мер Радона на X
слабо сходится к мере Радона μ, то для каждого ε > О существует
такое га Ε IN, что μι(Χ\Χη) < ε для всех г Ε IN.
Более того, для всякого семейства {μα} неотрицательных радо-
новских мер на X, которое имеет компактное замыкание в слабой
топологии в пространстве Л4Г(Х), и каждого ε > О существует
такое га Ε IN, что μα(Χ\Χη) < ε для всех а.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что μι
и μ — вероятностные меры (если μ%{Χ) —» 0, то утверждение
тривиально). Если утверждение неверно, то для каждого га Ε IN
найдется г(п) Ε 1Ν с μΐ(η)(Χη) < 1 — ε. Переходя к новой
последовательности мер, можно считать, что г (га) = га. Выберем т Ε IN так, что
μ(Χγη) > 1—ε/2. Положим fci := га. Найдем /с2 > га с /лт(Х&2) > 1 —ε/2.
Затем найдем такое выпуклое симметричное открытое множество U\
в пространстве Xk2, что Хт С Ui и /xm(f/i) < 1 — ε. Такое
множество U\ существует. В самом деле, по теореме Хана-Банаха
подпространство Хт является пересечением всех содержащих его замкнутых
гиперплоскостей. В силу радоновости μπι найдется такой конечный
набор замкнутых гиперплоскостей Li,...,Lp в Xk2, что Хт С ΠΓ=ι ^ч
и Mm(П?=1 ^0 < 1 - ε. Тогда L* = 1~г(0) для некоторых k Ε Χ£2,
и множество ΠΓ=ι ^ϊ (~^ ^) можно взять в качестве U\ для достаточно
малых δ > 0. Далее возьмем k$ ^ Аъ с μ^{Χ^) > 1 - ε/2.
Существует такая выпуклая симметричная окрестность нуля W С Хк3-> что
WT\Xk2 = U\ (см. лемму 1.3.12). Как и выше, найдется такое выпуклое
симметричное открытое множество V в пространстве Xk3, что Xk2 С V
и /ifc2(V) < 1 — ε. Положим U^ := И^П V. Продолжая описанный процесс
по индукции, мы получим возрастающую последовательность индексов
кп ^ га таких, что в каждом пространстве -X"fcn+1 имеется выпуклое
симметричное открытое множество {7П, причем
1) С/п Π Хкп = Un-U 2) μ*η(Ε/η) < 1 - ε, μ*η(Χ*η+1) > 1 - ε/2.
По определению строгого индуктивного предела пространств
множество U = U^Li Un является окрестностью нуля в X. По построению
для каждого га справедлива оценка
М*„ (U) < μ*η (С/ Π Xfcn+1) + ε/2 = μ*η (£/η) + ε/2 < 1 - ε/2,
что противоречит слабой сходимости (см. теорему 5.3.2), поскольку
μ(υ) > 1 — ε/2. В случае относительно слабо компактного семейства
{μα} рассуждения аналогичны. Выберем последовательность {μα(η)}ι
как и выше, и обозначим через μ ее слабую предельную точку. Прежний

520
Глава 5. Меры на линейных пространствах
выбор U опять приводит к противоречию с теоремой 5.3.2, поскольку
существует поднаправленность {μβ} в {μα(η)}> сходящаяся слабо к
указанной мере μ. D
Неясно, верна ли эта лемма для знакопеременных мер.
5.12.47. Предложение. Предположим, что локально выпуклое
пространство X является строгим индуктивным пределом
возрастающей последовательности своих замкнутых подпространств Хп.
Тогда X — пространство Прохорова, если все пространства Хп про-
хоровские. В частности, если Хп — сепарабельные пространства Фре-
ше, то каждая слабо фундаментальная последовательность
неотрицательных бэровских мер на X равномерно плотна.
Доказательство. В силу леммы 5.12.46 для каждого ε > 0 меры
из всякого компактного в слабой топологии семейства Μ
неотрицательных радоновских мер на Χ ε-сосредоточены на некотором
подпространстве Хп. Согласно [17, следствие 8.10.2], ограничения мер из
Μ на Хп образуют множество с компактным замыканием. Чтобы
получить последнее утверждение, достаточно напомнить, что
объединение последовательности сепарабельных пространств Фреше является
суслинским, а бэровские меры на нем радоновы (см. §5.2). D
Очевидно, что можно умножить число таких примеров, строя
счетные произведения и переходя к замкнутым подмножествам. Заметим,
что многие классические пространства функционального анализа,
такие как D(IRd), P'(]Rd), S(JRd), <S'(IRd), являются пространствами
Прохорова, ибо могут быть получены с помощью указанных операций.
5.12.48. Замечание. Пространство Х^Н1) является
пространством Прохорова, но не является ни /сд-пространством (задача 5.12.82),
ни хемикомпактным пространством (кроме того, оно не σ-компактно).
Отсутствие счетного семейства компактных множеств, которое либо
фундаментально, либо является исчерпывающим, вытекает из
теоремы Бэра, примененной к подпространствам Х^ДН1), и того факта, что
каждое компактное множество в D(IR ) содержится в одном из Pn(IR ).
Обсудим еще одно близкое к прохоровскому свойство. Оно
связано со следующим важным результатом А.Д. Александрова [195, §18],
доказательство которого можно найти в [17, предложение 8.1.10].
Напомним, что функционально замкнутым называют множество нулей
непрерывной функции.
5.12.49. Предложение. Если последовательность бэровских мер
μη на топологическом пространстве X слабо сходится к мере μ, то
эта последовательность не имеет ускользающей нагрузки, т. е.
lim sup|/ifc|(Zn)=0 (5.12.9)
η—»оо д.

5.12. Дополнения и задачи
521
для всякой последовательности попарно непересекающихся
функционально замкнутых множеств Zn с тем свойством, что объединение
любого подсемейства из {Zn} функционально замкнуто.
Если меры μη радоновы, а пространство вполне регулярно, то верен
такой факт.
5.12.50. Предложение. Пусть последовательность радоновских
мер μη на вполне регулярном пространстве X слабо сходится к
мере μ. Тогда
lim sup^k\(Un)=0 (5.12.10)
n->oo k
для всякой локально конечной последовательности дизъюнктных
открытых множеств Un.
Доказательство. Здесь можно применить то же рассуждение,
которым доказывается результат А.Д. Александрова (оно даже
упрощается). Рассуждая от противного и переходя к
подпоследовательности, получаем такие компакты Кп С Un, что |μη|(Χη) ^ с > 0.
Существуют такие непрерывные функции ψη: X —> [—1,1], что ψη = 0
вне Un, а интеграл от ψη по мере μη не меньше с/2. Для всякой
ограниченной числовой последовательности {с&} функция ψ{€ΐί} '-= Σ&1ι скфк
ограничена на X и непрерывна из-за локальной конечности {Un}. По
условию последовательность интегралов от такой функции сходится.
Это означает, что последовательность векторов υη = (г?™,^, ...), где
Vk = / Ψι<άμη,
Jx
слабо фундаментальна в банаховом пространстве I1. Действительно,
vn G I1 из-за дизъюнктности носителей функций ^, а результат
применения к νη функционала на Ζ1, заданного ограниченной
последовательностью {с*;}, есть
оо
Σ-
к=1
ск Ι 'φ]ζάμη= Ι φ{ο^άμη.
Jx Jx
Поскольку из слабой фундаментальности последовательности в I1
следует ее сходимость по норме (задача 3.12.83), то найдется такой
номер ΛΓ, что |г>™| < с/4 при п> ΛΓ, что противоречит нашему
предположению. D
Отметим, что предельная мера μ не предполагается радоновской
(и вполне может оказаться нерадоновской).
Используя терминологию А.Д. Александрова, можно назвать
свойство (5.12.10) отсутствием ускользающей нагрузки на открытых
множествах.

522
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.12.51. Замечание. Для любой последовательности мер Радона
μη на нормальном пространстве свойство (5.12.10) равносильно
выполнению (5.12.9) для всякой последовательности попарно
непересекающихся замкнутых множеств Ζη с тем свойством, что объединение
любого подсемейства из {Ζη} замкнуто.
В самом деле^ если {Un} — локально конечная последовательность
дизъюнктных открытых множеств, то для любых компактов Кп С Un
получаем последовательность множеств, все объединения которых
замкнуты. Обратно, пусть для всякой последовательности локально
конечных дизъюнктных открытых множеств Un мы имеем (5.12.10).
Достаточно проверить (5.12.9) для компактов. Пусть дана
последовательность дизъюнктных компактов Zn, все объединения которых
замкнуты. Предположим, что μη(Ζη) ^ с > 0. По индукции
строятся попарно дизъюнктные открытые множества Un D Zn. Например, U\
находится так: компакт Z\ и замкнутое по условию множество U^=2 ^™
отделяются открытыми множествами U\ и V\; затем в V\ берем
окрестность Ό2 компакта Ζ2, которая не пересекается с некоторой
окрестностью замкнутого множества (J^=3 ^n, и т. д. Так как пространство
нормально, то имеется непрерывная функция /: X —> [0,1], равная 1 на
замкнутом объединении Ζηπ0 вне открытого объединения Un. Теперь
положим ψη = f на Uп и ψη = 0 вне Un. Непосредственно
проверяется непрерывность ψη и функций ψ{0η} (см. доказательство
предложения 8.1.10 в Богачев [17]).
Тем самым для совершенно нормальных пространств (т.е. таких,
где все замкнутые множества функционально замкнуты) и мер Радона
равносильны свойство (5.12.9) для общих замкнутых множеств и
свойство (5.12.10).
Можно рассмотреть классы пространств, для которых из (5.12.9)
или (5.12.10) следует равномерная плотность. Пусть АС — класс
тихоновских пространств X, для которых всякая не имеющая
ускользающей нагрузки последовательность плотных бэровских мер μη
равномерно плотна; такие пространства можно назвать александровскими.
Пусть АСц — класс тихоновских пространств X, для которых всякая не
имеющая ускользающей нагрузки на открытых множествах
последовательность радоновских мер μη равномерно плотна; такие пространства
можно назвать U-александровскими.
В силу предыдущих предложений эти классы входят в класс сильно
секвенциально прохоровских пространств. Кроме того, пространства
мер Радона на этих пространствах слабо секвенциально полны. Для
совершенно нормальных пространств оба введенных свойства
совпадают. Нетрудно проверить, что полные метрические пространства входят
в АС и АСц: фактически именно это обычно устанавливается при
доказательстве теоремы Прохорова для полных метрических пространств
(см. доказательство теоремы 8.6.2 в [17]).

5.12. Дополнения и задачи
523
Однако неполное сепарабельное метрическое пространство не
обязано быть александровским (хотя всегда является секвенциально про-
хоровским). Скажем, можно взять неизмеримое по Лебегу множество X
в [0,1] внешней меры 1 и внутренней меры 0, на котором есть
последовательность мер с конечными носителями, слабо сходящаяся к нерадо-
новской мере на Е, индуцированной мерой Лебега (см. задачу 5.12.75
или пример 8.4.6 в [17]); эта последовательность не является
равномерно плотной, хотя не имеет ускользающей нагрузки. Легко проверяются
следующие свойства классов ЛС и ЛСи (задача 5.12.84).
5.12.52. Предложение, (i) Замкнутые подмножества
совершенно нормальных пространств класса ЛС входят в этот класс.
(и) Классы ЛС и ЛСи допускают счетные произведения.
5.12.53. Предложение. Всякое к-пространство со счетной
фундаментальной системой компактов входит в ЛС и ЛСи-
Доказательство. Можно считать, что данное пространство X
является объединением строго возрастающей последовательности
компактов ifn, причем всякий компакт из К лежит в некотором из Кп.
Если X не входит в ЛСи, то можно построить последовательность ра-
доновских мер μ& и последовательность дизъюнктных компактов Qk
со следующими свойствами: μΐτ((2ΐς) ^ с > О, причем с каждым Кп
пересекается лишь конечное число Qk- Значит, любое объединение Qk
замкнуто. Поскольку X нормально (задача 5.12.85), то остается
применить замечание 5.12.51. D
5.12.54. Следствие. Индуктивный предел последовательности
локально выпуклых пространств с компактными вложениями
входит в ЛС и ЛСи-
Каких-либо явных описаний класса прохоровских пространств или
класса ЛС нет.
5.12(ix). Измеримые линейные и полилинейные функции
Пусть μ — вероятностная мера Радона на отделимом локально
выпуклом пространстве X с топологически сопряженным X'. Будем
называть функцию /: X —> И1 собственно линейной μ-измеримой, если она
линейна на всем X в обычном смысле и μ-измерима. Совокупность всех
таких функций обозначим через Λ(μ). Пусть Λ(μ) — класс всех
функций, имеющих модификацию из Λ(μ). Есть и другой естественный
способ определять измеримые линейные функции. А именно: обозначим
через Λο(μ) замыкание X' в Ι/°(μ), т. е. / Ε Λο(μ), если существует
последовательность функций in G I', сходящаяся к / по мере. Поскольку
из {1п} можно выделить почти всюду сходящуюся
подпоследовательность, то можно считать, что 1п —> / п.в.

524
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.12.55. Лемма. Справедливо включение Λο(μ) С Λ (μ).
Доказательство. Пусть 1п —> / по мере, ln е X'. Как уже
отмечено, можно считать, что 1п —> I п.в., а тогда имеет полную меру линейное
подпространство Хо всех х, для которых существует конченый предел
1о(х) = lim ln{x). Ясно, что на Хо функция /о линейна и измерима.
п—»оо
Остается взять ее произвольное линейное продолжение на X. D
Известны различные примеры, в которых Λ (μ) φ Λο(μ) даже для
симметричной меры μ, см. Скороход [132], Kanter [347], [348],
Smolensk! [466], Urbanik [492]. Один из примеров — распределение
устойчивого порядка а < 2 процесса с независимыми приращениями.
Аналогичным образом можно ввести два класса измеримых
линейных отображений из X в локально выпуклое пространство Y; класс
Λ(μ, Υ) состоит из μ-измеримых отображений bFc σ-алгеброй σ(Υ'),
имеющих линейную версию, а класс Λο(μ, Υ) из отображений, которые
μ-п.в. являются пределами последовательностей непрерывных
линейных операторов. Конечно, можно взять еще более узкий класс Λι(μ, Υ)
отображений, которые μ-п.в. имеют вид Ах = lim Anx, где Ап —
n—*oo
непрерывный линейный оператор с конечномерным образом.
Рассмотрим следующее свойство отображения А:
(RB) существует сепарабельное рефлексивное банахово
пространство (Е, || · \\е) полной меры, компактно вложенное в X, такое, что
А имеет версию, являющуюся непрерывным линейным оператором из
пространства (Е, \\ · \\е) в пространство Υ.
5.12.56. Теорема. (Юрова [187]) Пусть X и Υ — сепарабель-
ные пространства Фреше, μ — борелевская вероятностная мера на X,
Ап: X —> Υ — последовательность непрерывных линейных
операторов и Апх —> Ах почти всюду. Тогда существуют компактно
вложенное в X сепарабельное рефлексивное банахово пространство (Е, \\-\\е)
полной меры и непрерывный линейный оператор А: Е —> У', почти
всюду совпадающий с А, т. е. А имеет свойство (RB).
Доказательство. Как мы знаем, существует компактно
вложенное в X сепарабельное рефлексивное банахово пространство (£Ό, || · ||я0)
полной меры. Очевидно, что на (£Ό, || · \\е0) операторы Ап непрерывны
и4пх^ Ах почти всюду на Е$. Поэтому нам достаточно установить
наличие банахова пространства Ε С Eq со всеми нужными свойствами,
кроме рефлексивности (ибо в нем можно будет найти меньшее
рефлексивное пространство). Сначала предположим, что Υ банахово.
Покажем, что найдется подпоследовательность индексов {rik} такая, что
оо
Σ 1kUnk+1x - Ankx\\2Y < оо (5.12.11)
к=1

5.12. Дополнения и задачи
525
почти всюду. Заметим, что для этого достаточно, чтобы почти
всюду выполнялось неравенство J^^i 2/c||Anfc+1x — Ах||у < оо. Докажем
существование {n&}. Из поточечной сходимости Ап —> А следует
сходимость по мере, следовательно, для всякого к существует Пк такое,
что μ (ilk) < 2_/с, где Ω& = {х: \\АПкх — Αχ\\γ > 2~2к}. Положим
Л = n~=iU£L]v«*· Поскольку μ(υΤ=Ν^) < 21"", то μ(Λ) = 0.
Если χ е -ХДЛ, то ΣΤ=ι 2к\\АПк+1х — Ankx\\Y < оо, что и требовалось.
Рассмотрим пространство Ε С Eq всех таких векторов х, что
выполнено (5.12.11). Это линейное подпространство полной меры; определим
на нем следующую норму:
00 1/2
\\х\\е = \\х\\ео + ($^2*ЦАп,+1я " ^»**11у) ·
fc=l
Пространство (£7, || · \\е) полно, что нетрудно проверить. В самом деле,
пусть {хп} — фундаментальная последовательность в Е. Тогда она, как
следует из вида нормы на £7, фундаментальна в Eq. Так как Eq полно,
то у нее есть некоторый предел хв^· Проверим, что \\хп — х\\е —► 0.
Пусть ε > 0. Тогда при некотором N для всех га, η > N имеем неравен-
СТВО ΣΤ=ι 2>к\\(Апк+1 - ЛПк)(хп - Хт)\\у < е. Переходя к пределу при
га —> оо и учитывая непрерывность операторов Ак, получаем оценку
оо
^22к\\(АПк+1 - АПк)(хп - χ)\\2γ^ ε.
к=1
Значит, χ е Ео и \\хп — х\\е —> 0. Таким образом, (Е, || · \\е) —
банахово пространство, непрерывно вложенное в (Ео, \\ · \\е0) и компактно
вложенное в X. Из (5.12.11) следует, что μ(Ε) = 1. Рассмотрим
пространство Ζ = £о00/2Уь где Ук = (У,2к\\ · ||у), а /2-сумма
пространств Yk есть пространство последовательностей ζ = (zk)(j£=1, где
ζ к € Ук-, с конечной нормой (SSfcLi ||2fc||yfc) · Легко проверить, что
оно сепарабельно, ибо EqhY сепарабельны. Отображение
Г: E^Z,
1 χ = ух, (АП2 — АП1 )х, \АПз — АП2 )х, \АП4 — Апз )х,...J
устанавливает линейную изометрию между пространством Ε и
подпространством сепарабельного пространства Ζ, следовательно, само Ε
сепарабельно. Для всякого χ Ε Ε последовательность {АПкх} очевидным
образом фундаментальна в Υ и потому сходится в Υ. Далее
рассматриваем версию А, равную пределу {АПк} на Е. Для этой версии имеем
|| Ах || у = lim ||Anfcx||y, откуда с учетом равенства
к—»оо
nfc^ = \-™-ПкХ ■™-Пк_1Х) -\- ' · · + у/±П2Х /±П1Х) -ή- J±UlX

526
Глава 5. Меры на линейных пространствах
получаем
оо
\\Αχ\\γ < |ИП1х||у + ^|| АПк+1Х AnkX\\Y ^
к=1
ОО -t Icy ОО .. Icy
< \\аП1х\\у + (j22_fe) (J22kwA^x-Αχ\\2γ) <
к=1 к=1
^ ||АП1ж||у + \\х\\е·
Следовательно, оператор А непрерывен из (£7, || · ||#) в (У, || · ||у).
Обратимся к общему пространству Фреше Υ и укажем
необходимые изменения в рассуждениях. Можно считать, что топология Υ
задана последовательностью полунорм рп, причем рп ^ ρη+ι- Теперь вместо
оценки (5.12.11) можно добиться выполнения почти всюду
соотношения
ОО
Σ 2кр2к{АПк+1х - АПкх) < оо. (5.12.12)
к=1
Норму на Ε зададим формулой
оо -^ 12
\\х\\е = \\х\\е0 + (Ц2^|(Ап,+1х- АПкх)) .
к=1
Как и выше, с этой нормой Ε полно и сепарабельно. Оператор А: Ε —> У
зададим равенством Ах = lim Anfcx. Из того, что при фиксирован-
к—»оо
ном m и всех к > т верны оценки
Pm\A.rik+i Χ) <ζ
<z Рт\АПк + 1Х — ЛПкХ) + * * · Т^т(ЛПт+1Х — ЛПгпХ) + pm^/Lnm£J ^
ζ Рк \АПк+1 х — АПк X) -\- - - - -\- Рт \АПгп+1 χ — АПгп X) + Рт \АПгп X) ^
^ \\х\\Е+Рт(АПтх),
вытекает непрерывность A. D
Получим небольшое усиление доказанного.
5.12.57. Следствие. Вместо сепарабельности пространств X
и Υ можно потребовать лишь радоновость меры μ на X.
Доказательство. В этом случае мера μ сосредоточена на
некотором сепарабельном замкнутом подпространстве Хо? а, замыкание
линейной оболочки сепарабельных множеств Ап(Хо) оказывается сепара-
бельным пространством Фреше. D
Из определения нормы в Ε очевиден такой факт.

5.12. Дополнения и задачи
527
5.12.58. Следствие. Если Υ — банахово пространство, то
упомянутое в теореме пространство Ε можно взять так, что
некоторая подпоследовательность {АПк} будет сходиться на Ε по
операторной норме.
5.12.59. Теорема. (Юрова [187]) Пусть (Е, || · ||) — сепарабель-
ное рефлексивное банахово пространство, компактно вложенное в
локально выпуклое пространство X, А — непрерывный линейный
оператор из (Е, || · ||) в банахово пространство (У, || · ||у) с базисом Шаудера.
Тогда существует последовательность конечномерных непрерывных
линейных операторов Ап: X —> (У, || · \\γ), поточечно сходящихся к А
на пространстве Е.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай Υ = R. Пусть V —
замкнутый единичный шар в (Е, \\ · ||), В* — замкнутый единичный
шар в сопряженном пространстве Е*\ тогда Ε = U^Li nV· Так как Ε
рефлексивно и компактно вложено в X, то V — компакт в X.
Очевидно, что норма на Ε совпадает с функционалом Минковского ру
множества V. Применяя предложение 2.5.13, получаем, что множество
всех функционалов из Б*, непрерывных относительно топологии,
индуцированной из X, плотно в В* относительно топологии поточечной
сходимости на V. Так как Ε сепарабельно, то топология поточечной
сходимости на V метризуема. Следовательно, элемент замыкания
является пределом некоторой последовательности. В нашем случае,
если / G £"*, то //11/11 £ В*, поэтому существует последовательность
gn e В*, сходящаяся к //||/|| поточечно и состоящая из функционалов,
непрерывных на Ε в топологии, индуцированной из X. Ясно, что тогда
Н/Н#п —> /· Функционалы ||/||<7п можно по непрерывности продолжить
на все X. Случай Υ = Шк легко выводится из доказанного, что дает
случай, когда Υ конечномерно. Пусть теперь Υ — пространство с
базисом Шаудера {еп}. Пусть Pk — проекция Υ на линейную оболочку Yk
векторов ei,..., е&. Это непрерывный оператор, поэтому для каждого
из конечномерных непрерывных операторов РкА существует
последовательность непрерывных операторов Ak,n · X —> Υ·> поточечно
сходящаяся к PkA на Е. Остается выбрать подпоследовательность {Ak,nk},
поточечно на Ε сходящуюся к А. Например, можно воспользоваться
метризуемостью поточечной сходимости на У. D
Две предыдущие теоремы дают такой факт.
5.12.60. Следствие. Если X — пространство Фреше и Υ —
банахово пространство с базисом Шаудера, то включение в Αο(μ,Υ)
равносильно свойству (RB). При этом Αο(μ,Υ) = Αι(μ,Υ).
5.12.61. Замечание, (i) Пространство Ε в теореме 5.12.56 можно
взять гильбертовым, если Χ πΫ гильбертовы. Для этого надо сначала
взять гильбертово пространство Eq.

528
Глава 5. Меры на линейных пространствах
(и) Неясно, существенно ли наличие базиса Шаудера в Υ в
теореме 5.12.59 и следствии 5.12.60. Нетрудно видеть, что оба утверждения
остаются в силе и для пространства Фреше Υ с базисом.
В работах Негег [321] и Okazaki [416] рассмотрены так называемые
стохастические базисы в сепарабельном пространстве Фреше X с боре-
левской вероятностной мерой μ, т.е. такие системы векторов φη Ε X,
что найдутся /n Ε X' с /«(<£*) = $пк, причем для Рпх := Σ"=1 ί%{χ)φ%
имеем Рпх —> χ для μ-и.в. х. В [416] получены следующие две теоремы.
5.12.62. Теорема. Если для радоновской вероятностной меры μ
в сепарабельном пространстве Фреше X существует
стохастический базис, то найдется непрерывно вложенное в X банахово
пространство полной меры с базисом Шаудера.
Доказательство. По теореме Егорова найдутся возрастающие
компакты Кп, на которых сходимость PjX —> χ равномерна. Положим
Ро = I. Пусть топология X задана некоторой возрастающей
последовательностью полунорм qn. В силу равномерной сходимости конечны
величины Сп = 1 + sup^^ -^0 Qn{Pj%)- Рассмотрим пространство Хо
всех векторов χ Ε X с конечной нормой
оо
||x|| = ^2-C-1sup9n(Pjx).
Тот факт, что это норма, следует из того, что функции qn(Pjx)
являются полунормами, причем если ||х|| = 0, то qn{x) = 0 при всех п,
откуда χ = 0. Ясно, что Кп С Хо при всех п, значит, μ(Χο) = 1. Из
непрерывности qn и Pj следует замкнутость множества {х: \\х\\ ^ 1}
в X, поэтому Xq банахово. Вложение Хо в X непрерывно, поскольку
для фиксированного η имеем qn{x) ^2пСп\\х\\.
Заметим, что ||-Рш#|| ^ \\х\\ ПРИ всех т? ибо PjPm,x = РщХ при всех
j ^ га, откуда supj->0 q^PjPmx) ^ sup^o Qn{Pjx)- Тем самым
операторы Рт оказываются конечномерными проекторами bIq с единичной
нормой.
Множество Ε = {х е Хо- Ит ||Рпх — х\\ = 0} является замкнутым
п—»оо
линейным подпространством в Хо и потому также оказывается
банаховым пространством. При этом Кш С Ε для всех га. Действительно, для
заданного ε > 0 найдется номер п\ > га с Ση>ηι 2_η < ε/4, затем такой
номер ji, что qn(PjX — χ) < ε/2 при j ^ j\ для каждого η = 1,..., η\.
Тогда при j ^ ji получаем \\PjX — х\\ ^ ε, так qn(Pjx) ^ Сп при всех
j^Onn^mB силу включения χ Ε ifm С ifn- Итак, Ε — банахово
пространство полной меры с базисом Шаудера. D
Неясно, можно ли сделать такое пространство с базисом Шаудера
рефлексивным и компактно вложенным. Кроме того, неясно, можно ли

5.12. Дополнения и задачи
529
его выбрать так, чтобы мера μ на нем имела конечный сильный момент
порядка г, если она имела его на исходном пространстве.
5.12.63. Теорема. Пусть μ — такая радоповская вероятностная
мера на пространстве Фреше X, что непрерывные полунормы входят
в 1?(μ), элементы X' обладают нулевыми средними, причем
имеется последовательность функционалов fn Ε X', элементы которой —
независимые случайные величины относительно μ, а их линейная
оболочка плотна в X' по норме из £2(μ). Тогда в X есть стохастический
базис. Следовательно, есть непрерывно вложенное в X банахово
пространство полной меры с базисом Шаудера.
Доказательство. Из доказанного выше ясно, что можно
перейти к случаю сепарабельного рефлексивного банахова пространства X.
Возьмем последовательность {fn} с X', являющуюся ортонормиро-
ванным базисом в X' со скалярным произведением из £2(μ). Пусть
Κμ\ X' —> X — ковариационный оператор μ. Положим φ^ = Κμ/k
и покажем, что получен стохастический базис. Для этого σ-алгебру,
порожденную функционалами /ι,...,/η? обозначим через Тп и
заметим, что в силу наших предположений элемент Рпх := Σ™=1 ίι{χ)φ%
является условным математическим ожиданием тождественного
отображения относительно Тп. Действительно, для всякой функции ψ
вида ψ(χ) = g(fi(x), ·. ·, /η(^))? где функция g ограничена и непрерывна
на IRn, и всякого / Ε Χ' мы имеем
/ 1(χ)ψ(χ) μ(άχ) = / 1(Ρηχ)ψ(χ) μ(άχ),
Jx Jx
ибо из-за независимости {fn} это равенство верно для / = /j, а на все
элементы X' оно переносится в силу плотности линейной оболочки {fn}
в X' по норме из £2(μ). Кроме того, борелевская σ-алгебра В(Х)
порождается объединением Тп. Как известно (см. Вахания, Тариеладзе,
Чобанян [33, теорема 4.26]), из этого следует сходимость \х — Рпх\\ —> О
почти всюду. D
Из упомянутого в § 5.12(vi) результата работы Fonf, Johnson, Pisier,
Preiss [299] следует, что стохастические базисы существуют не всегда.
Такие базисы имеются для гауссовских мер в общих пространствах.
5.12.64. Пример. Рассмотрим случай, когда 7 — центрированная
гауссовская радоновская мера на локально выпуклом пространстве X
и А- измеримый линейный оператор на X со значениями в сепарабель-
ном пространстве Фреше Y. Тогда (см. § 5.7) существуют ортонорми-
рованный базис {еп} в пространстве Камерона-Мартина H(j) меры 7
и последовательность {ξη} С X*, ортонормированная в Ь2(7), такие,
что векторы Апх = Y^=i £,k{x)Aek сходятся к Ах почти всюду. Ясно,

530
Глава 5. Меры на линейных пространствах
что Ап — непрерывные линейные операторы. Если X — также
пространство Фреше, то по теореме 5.12.56 существуют компактно
вложенное в X сепарабельное рефлексивное банахово пространство (Е, || · \\е)
полной меры и непрерывный линейный оператор А: Е —> У, почти
всюду совпадающий с А. В частности, из этого следует хорошо
известный факт, что для радоновской гауссовской меры на пространстве
Фреше X пространство измеримых линейных функционалов Ао(7)
(совпадающее с Л(7)) совпадает с множеством линейных функций,
обладающих непрерывными сужениями на компактно вложенные
рефлексивные сепарабельные банаховы пространства полной меры.
Заметим, что в пространстве Λο(μ) можно выделять меньшие
подпространства Λρ(μ), состоящие из пределов сходящихся в £ρ(μ)
последовательностей непрерывных линейных функционалов (конечно, для
тех мер, для которых X' С Σρ(μ)). В случае гауссовских мер все
пространства Λ (μ), Λο(μ), Λρ(μ) совпадают. Было бы интересно расширить
класс мер, для которых имеются такие совпадения. Неясно, могут ли
отличаться классы Λ (μ) и Λο(μ) для выпуклых радоновских мер μ (но
для них Λ0(μ) = Λρ(μ)).
С измеримыми многочленами порядка выше первого положение
еще сложнее. Здесь естественными выглядят такие пространства
многочленов (иной подход см. в Смолянов [136] и задаче 5.12.110):
1) Рк(ц) — пределы по мере последовательностей многочленов вида
/(/ι,..., /η), где li G X' и / — многочлен на IRn степени /с;
2) 7\ρ(μ) — пределы в £ρ(μ) последовательностей многочленов
вида /(/ι,..., In), где U G X' и / — многочлен на IRn степени к (это имеет
смысл для мер /icl'c Lkpfa));
3) Vk(l^) — μ-измеримые функции, обладающие версиями, которые
являются многочленами степени к на X в обычном алгебраическом
смысле.
Кроме того, в 1) и 2) вместо конечномерных многочленов можно
было бы брать любые непрерывные многочлены степени к. В гауссов-
ском случае это не расширит классы Vk{/J>) и 7\ρ(μ), но общий случай
пока не был исследован. Однако даже и для гауссовской меры μ на
сепарабельном гильбертовом пространстве остается невыясненным
вопрос о соотношении пространств Рк{ц) и Рк(ц) (известно лишь, что
Pk(l^) С 7\(μ)). Вопрос открыт даже для к = 2. В этой связи отметим
следующий важный результат С.Г. Бобкова [226].
5.12.65. Теорема. Положим С := 22/In2. Пусть ν — выпуклая
мера на JRn и f — многочлен на JRn степени не выше к. Тогда при
всех ρ G [Ι,οο) выполнено неравенство
\\f\\LH»)<PCk\\f\\L^).

5.12. Дополнения и задачи
531
В частности, на пространстве Рк(Шп) полиномов на JRn степени не
выше к все Ьр{и)-нормы эквивалентны с постоянными, не
зависящими от размерности п, а зависящими лишь от к и р.
Из оценки Бобкова вытекает следующий результат (полученный
в Berezhnoy [221]).
5.12.66. Теорема. Пусть μ — выпуклая вероятностная мера на
отделимом локально выпуклом пространстве X. Тогда верны
следующие утверждения.
(i) Для всякого ρ Ε [Ι,οο) имеем Тк(^) = 7\р(а0> причем
II/IIlpM < Рск\\/\\ьци), / € ТМм). (5.12.13)
(и) На пространстве Рк(ц) нормы из всех £ρ(μ) при ρ Ε [1,+оо)
эквивалентны, причем оно полно относительно каждой из них.
(ш) Если последовательность {fj} С Vk(l^) сходится по мере, то
она сходится во всех Ι;ρ(μ), ρ Ε [1, +оо).
Доказательство. Обозначим через Vk класс всех
конечномерных многочленов на X вида / = /о(/ι, · · · ,Ιη), где 1% Ε X' и /о —
многочлен на IRn степени к. Так как всякая выпуклая мера на IRn
имеет все моменты, то Vk С £ρ(μ) при всех ρ < оо. Предположим, что
последовательность многочленов φ$ Ε Vk сходится по мере к φ.
Ввиду цитированного результата Бобкова имеет место оценка (5.12.13) для
всех ψ G ?fc. Такая оценка верна при ρ = 2 и ψ = φ^. Из этого
следует равномерная ограниченность норм ||^-||ь1(д)· Действительно, в
противном случае, перейдя к подпоследовательности, можно считать, что
ΙΙ^ΙΙ^(μ) —> оо. Тогда функции ^/||^||^(μ) сходятся к нулю по мере
и имеют единичные нормы в L1(/i), а их нормы в £2(μ) оцениваются
через 2Cfc, откуда вытекает сходимость к нулю в b1(/i), что невозможно.
Ограниченность в Σ,ρ(μ) вместе со сходимостью по мере дает
сходимость в Ζ/Γ(μ) при г < р. Так как это верно для всех ρ < оо, то {φ^}
сходится к φ во всех Ερ(μ). Тем самым мы получаем не только
включение φ Ε £ρ(μ), но и выполнение оценки (5.12.13) для всех ψ Ε Vk{v)-
Применяя это же рассуждение уже ко всему классу Vk(^), мы
получаем утверждения (i)-(iii). В частности, эквивалентность всех £р-норм
следует из (5.12.13) и неравенства H/Hl1^) ^ ||/||ζ,ρ(μ)· Из сказанного
ясна и полнота Vk(/J>) относительно всех этих норм. D
Неясно, верно ли это для Vk{^)- Неизвестно даже, верно ли, что
Vk{v) С ^(μ). Теорема 5.12.20 дает интегрируемость по выпуклой
мере μ непрерывного многочлена / (взяв абсолютно выпуклое замкнутое
вполне ограниченное множество V с μ(ν) > 0, получим
нормированное пространство Еу с μ{Εγ) = 1, на котором многочлен / непрерывен,
откуда следует оценка |/| ^ 1 + С ρ у).

532
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.12(х). Связь различных σ-алгебр
Пусть X — локально выпуклое пространство. Как мы видели, для
целей теории меры бывает полезно рассматривать σ-алгебру σ(Χ'),
порожденную цилиндрами в X, борелевскую σ-алгебру В(Х) и бэров-
скую σ-алгебру Ва(Х). При наделении X иными локально
выпуклыми топологиями появятся соответствующие тройки σ-алгебр (конечно,
для согласующихся с двойственностью топологий σ(Χ') не меняется).
Если X — сепарабельное пространство Фреше, то эти три σ-алгебры
совпадают, а для метризуемых пространств совпадают В(Х) и Ва(Х).
В общем случае эти σ-алгебры могут различаться. Поэтому бывают
полезны неочевидные случаи совпадения. Отметим некоторые из них.
Следующий важный результат восходит к М.Ф. Бокштейну [227]
и Mibu [401] (см. Архангельский, Пономарев [10, задача 386, с. 104])
и описывает структуру бэровских множеств в произведениях.
5.12.67. Теорема. Пусть {Xt}teT — набор сепарабельных
пространству Υ — сепарабельное метрическое пространство и
отображение F: Х\гет Хг~^У непрерывно. Тогда есть конечное или счетное
множество S С Τ и непрерывное отображение F$: Y\ses^s —> У,
такие, что F = Foons, где ns: ГЪет ^ ~~* Tlses ^ ~~ естественная
проекция. В частности, Ba(Y[teTXt) порождается координатными
отображениями в пространства (Xt,Ba(Xt)).
В основе этого утверждения лежит такой интересный факт
(именно он и был обнаружен М.Ф. Бокштейном), который нам понадобится
ниже (доказательство см. в [10, задача 385, с. 104, 132]).
5.12.68. Предложение. Замыкание всякого открытого
множества U в произведении сепарабельных пространств Xt,t ET, зависит
лишь от счетного числа координат, т. е. для некоторого не более чем
счетного множества S С Τ имеет вид ZxY[t^sXt, где Ζ замкнуто
в YlsegXs- Равносильное утверждение: для дизъюнктных открытых
множеств U и V в YltexXt найдется такое не более чем счетное
множество S С Т, что в Y[ses Xs есть дизъюнктные открытые
множества U uV с U С Ks\U), V С тг^ОО.
Следующий результат (вытекающий из теоремы 5.12.67) получен в
Edgar [286].
5.12.69. Теорема. Если X наделено топологией σ(Χ,Χ'), то
соответствующая бэровская σ-алгебра совпадает с σ(Χ').
Доказательство. Ясно, что σ(Χ') входит в бэровскую σ-алгебру
пространства X со слабой топологией. Для проверки обратного
включения достаточно показать, что для всякой непрерывной в топологии

5.12. Дополнения и задачи
533
σ(Χ,Χ') функции F на X множество {х G X: F(x) > 0} входит
в σ(Χ'). Вложим X в IR как плотное линейное подпространство, взяв
в качестве Τ базис Гамеля в X'., плотность следует из того, что для
всякого конечного набора £ι,..., tn G Τ и любых чисел ci,..., сп
найдется такой вектор ν G X, что ti(v) = q. При этом слабая
топология X совпадает с индуцированной из IRT. Для рациональных г
положим Ur = {x G X: F(x) > r}, Vr = {x G X: F(x) < г}. Найдем
открытые в IRT множества Ur,Vr с UrC\X = Ur, VrC\X = Vr. При этом
UrnVr = 0, ибо X плотно в IRT. Теперь применим предложение 5.12.68,
дающее такие счетное множество S и открытые в IR множества Ur,V^
что U'r Π V^ = 0, Ur С п^г(иг), Vr С ^sl^Yr)' Открытые множества
Ur,V^ в метризуемом пространстве JRS являются бэровскими,
поэтому Χ Π 7T^1(t/^) и Χ Π 7T^'1(V7) входят в σ(Χ'). Остается заметить, что
{х £ X: F(x) > 0} совпадает с объединением множеств Χ Π ^^{U^)
по рациональным г > 0, что проверяется непосредственно. D
Отметим также такой факт (см. Богачев [17, гл. 6]).
5.12.70. Теорема. Если X — суслинское локально выпуклое
пространство, то σ(Χ') = В(Х) = Ва(Х).
5.12.71. Предложение. Пусть на банаховом пространстве X
с замкнутым единичным шаром U и единичной сферой S задана
такая локально выпуклая топология τ, что шар U замкнут в ней. Тогда
отображение (£, и) ь-> tu является борелевским изоморфизмом
пространств ((0,+оо)х5,В((0,+оо)х(5,г))) и (Х\{0},В(Х\{0},т)).
Доказательство. Так как топология τ локально выпукла, то
указанное отображение непрерывно относительно этой топологии на X,
поэтому оно является борелевским. Обратное отображение имеет вид
х ·—* (II#II? #/\\х\\)- И3 условия следует, что норма измерима по Борелю
на (-Х",т), откуда вытекает борелевость обратного отображения. D
Отметим, что β((0, +оо) х (S, τ)) = β((0, +οο))®β(£, τ), как и для
любого сепарабельного метрического пространства вместо луча (0,+оо),
см. [17, лемма 6.4.2].
5.12.72. Следствие. Пусть τ\ и Т2 — такие локально выпуклые
топологии на банаховом пространстве X, что в них замкнут
замкнутый единичный шар, причем они совпадают на единичной сфере. Тогда
Β(Χ,τ1)=Β(Χ,τ2).
Например, если X гильбертово, то в качестве т\ и Т2 можно взять
топологию нормы и слабую топологию (задача 3.12.49).
Сделаем еще замечание об измеримости операций в локально
выпуклом пространстве Ε при наделении его какой-либо σ-алгеброй £.

534
Глава 5. Меры на линейных пространствах
Здесь возникает вот какая тонкость: произведение £®£ может быть
меньше соответствующей σ-алгебры в Ε χ Ε. Например, как мы
знаем, такое может происходить для борелевской σ-алгебры В(Е). В
результате, скажем, для несепарабельного банахова пространства X
может быть неизмерима операция сложения Χ χ X —► X относительно
В(Х)®В(Х) и В(Х). Отметим, что в работе Talagrand [476]
показано, что X является измеримым векторным пространством, т.е.
операция (£, х, у) ь-> tx + у, И1 χ Χ χ X —> X измерима относительно
В(Ш1)®В(Х)®В(Х) и В(Х), в точности тогда, когда верно равенство
В(Х)®В(Х) = В(ХхХ). Там же доказано существование
несепарабельного банахова пространства X, для которого выполнено это равенство.
Кроме того, установлено, что из гипотезы континуума следует
измеримость в указанном смысле пространства /°°. Кстати, в Talagrand [475]
показано, что для пространства /°° борелевские σ-алгебры,
соответствующие слабой топологии и топологии нормы, различны. Однако
подобные проблемы не возникают для σ-алгебры σ(£"), порожденной ΕΊ
для всяких локально выпуклых пространств X и Υ имеем
σ((ΧχΥ)')=σ(Χ')®σ(Υ'),
так как (ΧχΥγ = Χ'χΥ', значит, σ((ΧχΥ)') порождается
множествами вида {(ж,у): f(x) + д(у)<с}, где / G X', д G У, но всякое такое
множество можно записать как счетное объединение множеств вида
{х: f(x) G Cj}x{y: g(y) G -Dj}, записав полуплоскость {(s,i): s+t < с}
в виде объединения счетного набора квадратов Cj x Dj.
Согласно Fremlin [302], существует банахово пространство X, в
котором борелевская σ-алгебра не порождается шарами. Однако, как
показано в Talagrand [474], существует несепарабельное метрическое
пространство, борелевская σ-алгебра которого порождается шарами.
5.12(xi). Радонизующие операторы
Пусть X и Υ — локально выпуклые пространства. Оператор
Τ G C(X, Y) называется радонизующим, если он переводит всякую
вероятностную цилиндрическую меру на X в меру на У с радоновским
продолжением. Если же это верно лишь для цилиндрических мер со
слабым моментом порядка ρ G (0, оо), то Τ называют р-радопизующим\
наконец, если указанное свойство выполнено лишь для гауссовских
цилиндрических мер, то такой оператор называют j-радопизующим.
Классы радонизующих, р-радонизующих и 7-радонизующих
операторов обозначают через Ь\(Х, Y), *RP(X,Y) и 9Ц(Х, Y) соответственно.
Класс 9iPiq(X, Υ), где 0 < q ^ р, состоит из операторов Τ G £(Х, У),
переводящих всякую вероятностную цилиндрическую меру со слабым
моментом порядка ρ в меру с радоновским продолжением и сильным
моментом порядка q. Вместо термина «радонизующий» употребляется
чуть более длинный «радонифицирующий».

5.12. Дополнения и задачи
535
Для гильбертовых пространств X и Υ класс радонизующих
операторов совпадает с классом 7-суммирующих операторов и с классом
операторов Гильберта-Шмидта. Нетривиальным некомпактным радо-
низующим оператором является тождественное вложение I1 —► /2.
Если X и Υ — банаховы пространства, то *КР,Р(Х, Υ) = 9tp(-X", Y)
при 0 < ρ < оо, причем каждый р-радонизующий оператор
является р-суммирующим, а каждый радонизующий оператор
оказывается р-суммирующим при всех ρ > 0. При 1 < ρ < оо классы
р-радонизующих и р-суммирующих операторов равны. Если 0 < ρ < 1,
то имеет место включение Ь\Р(Х, Υ) С *К(Х, У).
Имеется обширная литература по этим классам в банаховых
пространствах (см., например, Вахания, Тариеладзе, Чобанян [33],
Владимирский [37], [38], [39], Пич [110], Diestel, Jarchow, Tonge [264],
van Neerven [413], Schwartz [450]). Многие результаты для банаховых
пространств непосредственно прилагаются к локально выпуклым
пространствам с помощью факторизации операторов через банаховы или
гильбертовы пространства. Например, всякий непрерывный линейный
оператор из банахова пространства в ядерное пространство
оказывается радонизующим, ибо является композицией непрерывного оператора
и оператора Гильберта-Шмидта в гильбертовом пространстве.
5.12(xii). Измеримые нормы
Как мы видели в § 5.10, введенный там класс измеримых норм
шире класса норм, измеримых по Гроссу (замечание 5.10.13). Последнее
определение в работе Dudley, Feldman, Le Cam [279] было
распространено на общие неотрицательные цилиндрические меры на локально
выпуклых пространствах. Пусть Υ = Ε' — сопряженное к локально
выпуклому пространству Ε и т — неотрицательная ^-цилиндрическая
мера на Υ. Полунорму q на Υ назовем (£).Р1/)-измеримой
относительно га, если выполнено следующее условие: для всякого ε > 0
существует такое конечномерное подпространство L С F, что для всякого
конечномерного подпространства К, лежащего в поляре L в Ε (т.е.
в аннуляторе L), выполнено неравенство
т(у Ε Υ: inf{q(y - ζ), ζ е К°} > ε) ^ ε.
Согласно [279], для непрерывной в топологии Макки τ(Υ, Ε)
полунормы q ее (Л^1/)-измеримость относительно т равносильна тому, что
образ га при отображении изУв банахово пространство,
порожденное (?, имеет радоновское продолжение. Кроме того, если непрерывный
линейный оператор Τ из Υ в локально выпуклое пространство Ζ,
имеющий плотный образ, переводит т в меру с радоновским
продолжением, то для всякой непрерывной полунормы ρ на, Ζ полунорма роТ
является (£).Р1/)-измеримой относительно га. Наконец, если Υ = I2
и га — стандартная цилиндрическая гауссовская мера на Υ, то (DFL)-
измеримость совпадает с измеримостью по Гроссу. Однако в Maeda

536
Глава 5. Меры на линейных пространствах
[389], Maeda, Harai, Hagihara [390] построены примеры негауссовских
цилиндрических мер т на гильбертовом пространстве, для которых
есть (£)^Ь)-измеримые нормы, не являющиеся измеримыми по Гроссу
(такую норму можно сделать даже измеримой по Гроссу относительно
стандартной гауссовской цилиндрической меры).
Задачи
5.12.73. Пусть Τ — некоторое семейство вещественных функций на
множестве X и σ(Τ) — порожденная этим семейством σ-алгебра в X.
Доказать, что всякая функция #, измеримая относительно σ(Τ), имеет вид
д = ψ(/ΐι /2,...)» гДе Φ ~ борелевская функция на IR°° и {/п} С Т.
5.12.74.° Доказать, что линейная оболочка компакта в топологическом
векторном пространстве является борелевским множеством.
5.12.75? Пусть Ε С [0,1] — неизмеримое по Лебегу множество внешней
меры 1 и μ — ограничение меры Лебега на борелевскую σ-алгебру Е\ тогда
μ — нерадоновская борелевская мера. Показать, что существует
последовательность мер с конечными носителями на £7, слабо сходящаяся к μ.
5.12.76.° Пусть 7п — стандартная гауссовская мера на IRn, т.е. мера
с плотностью (27г)_п/2 ехр(—(х,х)2/2) относительно меры Лебега. Показать,
что lim 7п(^я) = 0 для шара Br радиуса R с центром в нуле в IRn.
η—юо
5.12.77. (i) Пусть ν — центрированная гауссовская мера на IRn и С —
абсолютно выпуклое множество. Доказать, что v{C — К) ^ v(C) для всех
векторов h £ IRn.
(ii) Пусть v\ и i/2 — центрированные гауссовские меры на IRn с
ковариационными операторами R\ иЙ2, причем Ri ^ ife, т.е. выполнено
неравенство (Riv,v) ^ (R2V,v). Доказать, что для всякого абсолютно выпуклого
множества С в IRn верна оценка 71(C) ^ 72(C)·
(iii) Пусть С — абсолютно выпуклое множество в IRn и 7п — стандартная
гауссовская мера на IRn. Доказать, что для всякого линейного оператора S
в IRn с ||5|| ^ 1 справедливо неравенство 7n(£(C)) ^ Jn(C).
Кроме того, показать, что 7п(С) ^ Ук(С П IRfc) при к < п.
Указание: (i) перейти к стандартной гауссовской мере и использовать
полярные координаты; (ii) заметить, что 71 = 72*7з> где 7з — центрированная
гауссовская мера, применить (i); вывести (iii) из (ii).
5.12.78. Доказать, что всякая борелевская мера на IR°° сосредоточена
на компактно вложенном гильбертовом пространстве.
Указание: заметить, что такая мера сосредоточена на линейной
оболочке произведения отрезков.
5.12.79.° Пусть ν — цилиндрическая мера на локально выпуклом
пространстве Χ, Τ — непрерывный линейный оператор из Ε в локально
выпуклое пространство Υ. Показать, что преобразование Фурье цилиндрической
меры η = νοΤ~χ задается формулой rj(f) = u(T*f), f е Υ'.

5.12. Дополнения и задачи
537
5.12.80. Пусть вероятностная мера μ на I2 сосредоточена на счетном
множестве векторов пеп, причем μ(ηεη) = сп~2. Показать, что не
существует компактно вложенного в I2 банахова пространства Ε полной меры, для
которого Е' С Ι/2(μ).
Указание: проверить, что тогда существовало бы большее гильбертово
пространство Ε с таким свойством, а из этого следовала бы компактность
ковариационного оператора меры μ на /2.
5.12.81. Пусть вероятностная мера μ на со со слабым первым моментом
не имеет среднего, например, μ(2ηεη) = 2_п, где еп — элементы стандартного
базиса в со- Показать, что не существует компактно вложенного в со банахова
пространства Ε полной меры, для которого Е' С Ι/1(μ).
Указание: проверить, что тогда существовало бы большее
рефлексивное банахово пространство Ε с таким свойством, а из этого следовало бы
существование среднего меры μ.
5.12.82. Доказать, что ^(IR1) со стандартной топологией не является
/ся-пространством (см. §5.12(viii)).
5.12.83. (Hoffmann-J0rgensen [323]) Пусть даны прохоровские
пространства Хп, вполне регулярное пространство X и непрерывные отображения
fn: X —> Хп, такие, что если множества Кп компактны в Хп, то множество
Π^=ι /тГЧ-Кп) компактно в X. Доказать, что X — прохоровское
пространство, вывести из этого утверждения (i)-(ii) теоремы 5.12.42.
5.12.84. Доказать предложение 5.12.52.
5.12.85. Доказать, что всякое /с-пространство, обладающее счетной
фундаментальной системой компактов, нормально.
Указание: считая, что X есть объединение возрастающих компактов Кп
с тем свойством, что всякий компакт из X лежит в каком-то из Κη, для
всяких дизъюнктных замкнутых множеств А и В индуктивно строится
непрерывная функция / с /|д = 0, /|в = 1; такая функция есть на компакте К\\
если она уже построена на Кп, то ее можно продолжить на Κη+ι так, что
/|лпкп+1 = 0, /|впкп+1 = 1; для этого полагаем / = 0 на Α Π Κη+ι, / = 1
на В П Kn+i, замечаем, что получена непрерывная функция на компакте
Кп U (Α Π Kn+i) U (В П Κη+i) и продолжаем ее на Кп+\.
5.12.86.° Пусть X и Υ — локально выпуклые пространства, линейные
операторы Ап: X —> Υ непрерывны, причем на некотором множестве ScX
эти операторы равномерно сходятся к нулю. Доказать, что имеет место
равномерная сходимость и на замкнутой абсолютно выпуклой оболочке S.
5.12.87. Пусть К — компакт в локально выпуклом пространстве £7,
последовательность {/п} С Е' равномерно ограничена на К и fn(x) —► 0 для
всех χ Ε К. Доказать, что тогда fn(y) —► 0 для всех векторов у из замкнутой
выпуклой оболочки К.
Указание: применить теорему 5.6.13 и теорему Лебега о мажорируемой
сходимости.
5.12.88. Пусть ζ и η — независимые случайные векторы в локально
выпуклом пространстве X, причем распределение η симметрично. Доказать,

538
Глава 5. Меры на линейных пространствах
что для всякого абсолютно выпуклого множества С £ σ(Χ') выполнено
неравенство Ρ (ξ 0 С) ^ 2Ρ(ξ + η 0 С), а если распределения ξ и η радоновы, то
это верно для всех борелевских абсолютно выпуклых множеств С.
5.12.89. Пусть отделимое локально выпуклое пространство Ε
является строгим индуктивным пределом своих возрастающих замкнутых
подпространств Еп, а вероятностная радоновская мера μ на Ε такова, что Е' входит
в Ι/1(μ). Доказать, что найдется такое п, что μ(Εη) = 1.
Указание: если есть компакты Кп С Е\Еп с μ(Κη) > 0, то можно
считать, что Кп С Еп+\\ найдется такой функционал / £ Е', что интеграл
от |/(х)| по Кп не меньше 1; для этого по индукции строятся /п £ Е' с
/п\еп = 0, для которых интеграл от функции |/п(х)| по Кп больше интеграла
от функции |/ι(χ) Η h /n-i(x)| + 1 по Кп\ наконец, / = Σ™=1 fn 0 ^(μ).
5.12.90. Доказать утверждение (ii) теоремы 5.12.25, используя
предыдущую задачу.
5.12.91? Пусть К — выпуклый компакт в локально выпуклом
пространстве X. Предположим, что последовательность радоновских вероятностных
мер μη на К сходится к мере μ в *-слабой топологии на С (К)'. Доказать, что
барицентры мер μη сходятся к барицентру μ.
Указание: на К слабая топология совпадает с исходной.
5.12.92. (Talagrand [478, с. 184]) Пусть Ε — банахово пространство всех
ограниченных функций на [0,1], отличных от нуля не более чем в счетном
множестве точек, с нормой supt \f(t)\. Тогда на слабо борелевской σ-алгебре
В((Е, σ(Ε, Ε'))) существует вероятностная мера, принимающая лишь
значения 0 и 1, но не являющаяся радоновской.
5.12.93. Построить пример цилиндрической квазимеры
неограниченной вариации на /2, у которой характеристический функционал ограничен
и непрерывен в топологии Сазонова.
Указание: пусть Pn(t) = π_12η(1 + 22п£2)-1; взять произведение мер
pndt и функцию φ(ν) = — г(у, /1)Д(у), см. Богачев [18, пример 3.6.9].
5.12.94. (Kwapien [372]) Пусть £п — такие случайные величины на
вероятностном пространстве (Ω, Т, Р), что ряд Σ JUL ι λήξη сходится по
вероятности для всякой последовательности чисел λη, сходящейся к нулю. Доказать,
чт0 Σ^=ι \ζ™\2 < °° Π·Β· Вывести из этого, что вложение ι1 -г2
является радонифицирующим операторов, т. е. переводит всякую неотрицательную
цилиндрическую квазимеру на I1 с непрерывным характеристическим
функционалом в радоновскую меру на /2.
5.12.95. (Borell [238]) Всякая линейная функция на пространстве Фре-
ше, измеримая относительно всех радоновских гауссовских мер, непрерывна.
Значит, измеримость линейной функции на банаховом пространстве
относительно всех мер Радона влечет ее непрерывность (Schwartz [449]).
Указание: см. Богачев [16, предложение 3.9.9]; см. также близкие
результаты в Christensen [250], Кац [70].
5.12.96. (Talagrand [477]) В предположении аксиомы Мартина в
каждом бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве X существует

5.12. Дополнения и задачи
539
незамкнутая гиперплоскость Хо, которая измерима относительно всякой бо-
релевской меры на X. Вывести из предыдущей задачи, что Хо не может быть
ядром универсально измеримой линейной функции.
5.12.97. Пусть Τ — топологическое пространство и Μσ(Τ) —
пространство всех бэровских мер на Τ со слабой топологией а(А4а(Т),Съ(Т)).
Показать, что в Λ4σ(Τ) всюду плотно множество конечных линейных комбинаций
дираковских мер.
Указание: для заданных меры μ £ Λ4σ(Τ), функций /ι,..., /η из
единичного шара в Съ(Х) и ε > 0 разбить Τ на дизъюнктные части Τι,..., Τν
вида ПГ=1{С ^ /* ^ с + ε}5 считая, что ||μ|| ^ 1, взять по точке U £ Т»
и рассмотреть меру Σ^=1 м№)^г·
5.12.98. (Ostling, Wilansky [418]) В секвенциально полном локально
выпуклом пространстве замкнутая выпуклая оболочка компакта не всегда
компактна. Показать, что в качестве такого компакта можно взять К = {0,1}*,
где к имеет мощность более континуума, так что К несепарабельно, причем
К вложено в пространство Л4 радоновских мер на К с сепарабельными
носителями, наделенное слабой топологией σ(Λ"ί, С(К)), а вложение переводит
k £ К в меру Дирака Sk-
Указание: образ К в Μ компактен (вложение К гомеоморфно); Л4
секвенциально полно, ибо слабый предел последовательности мер с
сепарабельными топологическими носителями также имеет сепарабельный носитель;
кроме того, Л4 плотно в пространстве Мг всех мер Радона со слабой
топологией, а замкнутая выпуклая оболочка К в Л4Г есть множество всех
радоновских вероятностных мер на К и содержит меру νκ', где ν{—Χ) = и(1) = 1/2;
наконец, мера ν не входит в Λ4, ибо ее носитель есть все множество К.
5.12.99. (von Weizsacker [509]) (i) Пусть Χ — пространство всех боре-
левских мер на [0,1], наделенное слабой топологией, и К — выпуклый
компакт в X, состоящий из вероятностных мер. Пусть λ — мера Лебега и μ —
образ λ при непрерывном (в указанной топологии) отображении π: t ι—► St,
[0,1] —► К, где St — дираковская мера в точке t. Положим
С:=Р£=1{тпеК: Χ + η-^Χ-πήϊΚ}.
Доказать, что С — выпуклое множества типа G& в К и μ(0) = 1, однако
μ (5) = 0 для всякого выпуклого компакта S С С.
(ii) Пусть К — выпуклый компакт в локально выпуклом пространстве X,
имеющий бесконечномерную линейную оболочку. Доказать, что найдутся
такие выпуклое множество С С К и вероятностная мера Радона μ на К, что
С является Gs -множеством в некотором метризуемом выпуклом компакте
Ко С К, μ(0) = 1, однако μ(5) = 0 для всякого выпуклого компакта S С С.
Указание: (i) Легко проверить, что С выпукло, представимо в виде
пересечения последовательности открытых множеств в К со слабой
топологией, причем С = К\ (J£>0{m £ К: λ-\-ε(λ — τη) £ К}. Пусть D — множество
всех дираковских мер. Тогда D — компакт в К и μ(Ό) = 1. Если S С С —
выпуклый компакт с μ(ϋ) > 0, то μ(5 Π D) > 0. Тогда А := π-1 (5 П D) —
компакт и λ (Α) > 0. Так как St £ S при t £ А, то в силу выпуклости и
замкнутости S получаем, что всякая вероятностная мера ν на, А входит в S.

540
Глава 5. Меры на линейных пространствах
В частности, ν := Х(А)~1Х\а £ S. Мера λ + Х(А)(Х — ν) — вероятностная,
т. е. входит в К. Согласно указанному равенству для С получаем, что ν 0 С.
Это противоречит тому, что ν £ S С С. Утверждение (ii) выводится из (i)
с помощью подходящего отображения (см. детали в [509]).
5.12.100. (Fremlin [303, § 461Е]). Пусть X — полное локально выпуклое
пространство и μ — т-аддитивная вероятностная мера на X (если {Ε/α} —
возрастающая направленность открытых множеств, то μ(υ<* ^α) = 1ΐπΐαμ(Ε/α))
с ограниченным носителем. Тогда μ имеет барицентр.
5.12.101. Пусть μ и и — т-аддитивные меры на локально выпуклом
пространстве X с равными преобразованиями Фурье. Доказать, что μ = v.
Указание: пусть ρ — непрерывная полунорма на X и Хр —
нормированное пространство, полученное факторизацией X по р_1(0), πρ: X —> Хр —
естественная проекция. Множества вида π^"1(Ε/), где ρ — непрерывная
полунорма, a U открыто в Хр, образуют базу топологии в X. Поэтому
достаточно показать совпадение μ и ν на этих множествах. Меры μ ο π"1 и
ν ο πρ г на Хр имеют равные преобразования Фурье и т-аддитивны. Оба этих
свойства сохраняются для естественных продолжений обеих мер на
пополнение Хр. На банаховом пространстве т-аддитивные меры радоновы, что дает
равенство указанных продолжений на пополнении Хр, а потому и равенство
μοτΓρ1 = иотгр1. Значит, μ(π^"1(Ε/)) = ι/(π^"1(Ε/)) для всех открытых Е/ С Хр.
5.12.102. Пусть X — хаусдорфово топологическое векторное
пространство, μ и и — радоновские вероятности с μ = μ * v. Показать, что ν — мера
Дирака в нуле.
Указание: см. Вахания, Тариеладзе, Чобанян [33, предложение 1.4.7].
5.12.103. (Grothendieck [315, с. 229]) Предположим, что К — компакт,
Μ := Μ г {К) = С(КУ и множество Μ С Μ имеет компактное замыкание
в топологии Макки т(.М,С(К)). Показать, что Μ имеет компактное
замыкание и в топологии σ(Μ,Μ').
Указание: согласно теореме Эберлейна-Шмульяна и теоремам 4.7.24
и 8.10.58 из [17], достаточно показать, что lim μη(Ε/η) = 0 для всякой по-
п—кх>
следовательности мер μη £ Μ и всякой последовательности дизъюнктных
открытых множеств Е/п С К. Если это не так, то найдутся такие функции
/п £ С (К), что \fn\ ^ 1, /п = 0 вне Е/п и интеграл от /п по μη не меньше
некоторого ε > 0; {/η} сходится к нулю поточечно и потому в слабой
топологии в С (К). Легко проверить, что замкнутая выпуклая оболочка {/п}
слабо компактна. Это противоречит компактности замыкания Μ в топологии
равномерной сходимости на выпуклых слабо компактных множествах.
5.12.104. Построить пример вероятностной меры на локально
выпуклом пространстве (X, т), которая определена на σ(Χ') и плотна в слабой
топологии σ(Χ, X'), но не является плотной в исходной топологии т.
Указание: пусть Ε = С[0,1], X := Е' наделено топологией σ(Ε',Ε),
μ — образ меры Лебега на [0,1] при отображении t ι—► St. Тогда μ —
плотная бэровская мера в топологии σ(Ε',Ε). В качестве τ возьмем топологию
Макки т(Е',Е). Если бы μ была плотна в этой топологии, то она была бы

5.12. Дополнения и задачи
541
плотна и в топологии σ(Ε',Ε") в силу задачи 5.12.103. Тогда μ имела бы
радоновское продолжение в топологии нормы, а потому и сепарабельный по
норме носитель. Это ведет к противоречию, ибо \\St — δ8\\ =2 при t φ s.
5.12.105. (Богачев [16]) Пусть Ρ — вероятностная мера и 7 —
центрированная радоновская гауссовская мера на L2(P) с пространством Камерона-
Мартина, вложение которого в L2(P) не является ядерным. Показать, что
тогда ^у(Е) = 0 для всякого сепарабельного гильбертова пространства £7,
непрерывно вложенного в L°°(P). Из этого следует доказанное в Смолянов,
Угланов [150] отсутствие гильбертова носителя меры Винера на С[0,1].
Указание: использовать тот факт, что вложение Ε —► L2(P) — оператор
Гильберта-Шмидта (см. [21, следствие 7.10.28]).
5.12.106. (ср. Wi£niewski [514]) Пусть X и Υ — сепарабельные
пространства Фреше, причем Υ имеет свойство аппроксимации, μ — вероятностная
борелевская мера на I и Л: X —► Υ — такое отображение, что
существует последовательность непрерывных линейных операторов Ап: X —> Υ, для
которых при каждом I £ У μ-почти всюду 1(Апх) —> 1(Ах). Тогда
найдется последовательность непрерывных конечномерных линейных операторов
Qn: X —> Υ, μ-почти всюду сходящаяся к А.
Указание: легко видеть, что А измеримо; пусть {рк} —
возрастающая последовательность полунорм на У, задающая топологию;
достаточно установить, что для всяких к и ε > 0 найдется такой непрерывный
конечномерный оператор Q: X —> У, что μ(χ: рк(Ах — Qx) > ε) < ε; пусть
ν = μ о Л-1; взяв компакт К с ν(Υ\Κ) < ε/2, находим оператор Τ £ C(Y)
вида Ту = Σ?=1 Mv)Vi, fi e У, Уг е У, рк(уг) ζ l с рк(у - Ту) < ε/2 для
всех у Ε К; затем находим такое п, что μ(χ: \fi(Ax) — fi(Anx)\ > ε(27τι)_1),
г ^ га; пусть Qx = Y^L-^ fi{Anx)yi\ тогда μ(χ: pk(Ax — Qx) > ε) не
превосходит сумму μ (χ: рк(Ах — Τ Αχ) > ε/2) и μ (χ: рк(ТАх — Qx) > ε/2), причем
первое слагаемое есть ν (у: Рк(у — Ту) > ε/2) < ε/2, а второе оценивается
через ΣΤ=ιΚχ: \fi(Ax) - fi(Anx)\ > ε(2τη)-1) < ε/2.
5.12.107. Пусть В — борелевское множество в сепарабельном
пространстве Фреше, / — борелевская функция на Б, причем f(z) = α/(χ) + β/(у),
если х, у, 2 £ В, ζ = αχ + Ру. Доказать, что / продолжается до борелевской
линейной функции на линейной оболочке L множества В.
Указание: множества LxIR1 и S = U^Li (ВпхШп) — суслинские,
отображение д: Бп хПГ ^ LxIR1, (Ъи ..., Ьп, tu ·. ·, *п) ■-> (ΣΓ=ι Ын, ΣΓ=ι W0)
непрерывно; проверить, что его образ есть график линейной функции на L;
использовать тот факт, что отображение суслинских пространств с суслин-
ским графиком борелево (см. [17, лемма 6.7.1]).
5.12.108. Пусть X = П~=1 Χ», μ = ®~=1 μη, μ^ = <g>~=fc+1 μ», где
(Χη, An, μη) — вероятностные пространства. Показать, что для всякой
функции φ Ε ^(μ) функция <^n(a;i,...,Xn), полученная интегрированием
функции φ(χι,..., Χη, 2Μ+1, · ·.) по (уп+i,...) по мере μ^η\ есть условное
математическое ожидание / относительно σ-алгебры, порожденной χι,...,χη. Из
этого следует сходимость φη κ φ почти всюду (см. [17, § 10.2]).

542
Глава 5. Меры на линейных пространствах
5.12.109. (Смолянов [138]) Пусть μ — счетная степень симметричной
вероятностной борелевской меры μι на прямой, не имеющей атомов, \ь £ IR.
Показать, что если множество сходимости ряда J^fcLi ^кх\ содержит
линейное подпространство полной μ-меры, то J^fcLi \^k\ < °о. Если же мера μι
имеет конечный второй момент, то верно и обратное.
5.12.110. (Смолянов [136]) Пусть га — симметричная вероятностная
борелевская мера на прямой, не имеющая точек положительной меры, μ —
мера на IR°°, равная счетной степени га, / — μ-измеримая линейная функция
на IR°°. (i) Доказать, что Σ™=ι 1/(е^)|2 < °°5 гДе еп ~ вектор, имеющий 1 на
месте η и 0 на остальных местах, а также, что /(х) = J^ULi f(en)xn п.в., где
ряд сходится почти всюду, (ii) Функцию F, μ<8)μ-π.Β. определенную и
измеримую на IR°° xIR°°, назовем измеримой билинейной, если при каждом у, для
которого функция χ \-> F(x,y) определена μ-п.в., она линейна на некотором
измеримом линейном подпространстве μ-меры 1, и аналогично для
другого переменного. Показать, что две такие функции либо различны п.в., либо
равны п.в., причем последнее имеет место в точности тогда, когда они равны
на всех векторах с конечным числом ненулевых компонент.
Указание: функция ехр(г£/(х)) при каждом t п.в. есть предел
интегралов от функций exp(itf(PnX + Sny)) по у, где Рпх = х\е\ + · · · + хпеп,
; обозначая через φη(ί) интеграл от exp(itf(Sny)) по у,
получаем, что ехр(г£Σ?=ι /(ei)xj')^nW "~*" ехр(г£/(ж)) п.в., откуда несложно
получить сходимость ряда из f(ej)xj п.в.; так как Xj — независимые
случайные величины относительно μ, то по теореме Колмогорова о трех рядах
(см. Гихман, Скороход [47, с. 91]) с учетом симметричности га получаем для
каждого с > 0 сходимость ряда из интегралов от функций ψ по мере га, где
Vj(s) = l/(ei)s|2 ПРИ \f(ej)s\ ^ c> Vj(s) = 0 при |/(е,)«| > с; отсюда
следует сходимость ряда из /(е-/)2; наконец, можно заметить, что ряд из f(ej)xj
сходится п.в. именно к /(х); вывести (ii) из (i) и теоремы Фубини.
5.12.111. (Wi£niewski [515]) Пусть X и Υ — сепарабельные
пространства Фреше, μ — симметричная борелевская вероятностная мера на X (т. е.
μ(Β) = μ(—Β)), не сосредоточенная на собственном замкнутом линейном
подпространстве, ив! есть такой стохастический базис {φη} с
соответствующей последовательностью функционалов /n G X', что /п являются
независимыми случайными величинами на (Χ, μ). Тогда для всякого μ-измеримого
линейного оператора А: X —► Υ почти всюду Ах = Σ™=ι fn(x)Aipn.
5.12.112. (Косов [82]) Пусть μ — вероятностная борелевская мера на
сепарабельном банаховом пространстве X и X' С Ι/1(μ). Тогда следующие
условия равносильны: (i) существует компактно вложенное сепарабельное
банахово пространство Υ С X с μ(Υ) = 1 и Υ' С ^(μ), (ϋ) сужение μ на
всякое борелевское множество имеет среднее.
Если X' С £ρ(μ), где ρ > 1, то существование компактно вложенного
сепарабельного банахова пространства Υ С X с μ(Υ) = 1 и У С £ρ(μ)
равносильно тому, что оператор вложения X' —► Ζ/Ρ(μ) компактен и для всякого
ψ £ Ι/ς(μ), где q = ρ/(ρ — 1), мера ψ · μ имеет среднее. Если р = 2, то это
равносильно компактности ковариационного оператора Κμ: X' —► X.

Комментарии
История развития теории топологических векторных пространств
неотделима от общей истории функционального анализа (см. Данфорд,
Шварц [53], Birkhoff, Kreyszig [225], Dieudonne [273], Lutzen [384],
Mauldin [391], Monna [402], Narici [410], Pietsch [426], Taylor [483]).
Ее предыстория — различные бесконечномерные пространства
последовательностей и функций, в том числе И00, рассматривавшиеся в
начале XX века М. Фреше, Д. Гильбертом, В. Вольтерра, Ф. Риссом,
Г. Вейлем и другими исследователями, проблемы выпуклого анализа
(Г. Минковский, Г. Хан, Э. Хелли, С. Банах), слабая сходимость в
гильбертовом и более общих функциональных пространствах (Д. Гильберт,
Ф. Рисе, Г. Вейль, Дж. фон Нейман), а также общая топология
(особенно работы Ф. Хаусдорфа и А.Н. Тихонова). Зарождение
собственно теории топологических векторных пространств и локально
выпуклых пространств относят к 30-40-м годам XX века, когда появился ряд
ставших теперь классическими работ А.Н. Колмогорова, Дж. фон
Неймана, А.Н. Тихонова, В.Л. Шмульяна, М.Г. Крейна, Д.П. Мильмана,
Ж. Дьедонне, В. Эберлейна, Н. Бурбаки. Огромное влияние на это
направление оказала (и продолжает оказывать) теория банаховых
пространств, созданная в выдающейся монографии ее основоположника
(см. Банах [13]). А.Н. Колмогоров [362] обратился к топологическим
линейным пространствам в 1934 году (по-видимому, размышляя о
мерах в таких пространствах) и получил свой критерий нормируемости;
в 1935 году вышла работа Дж. фон Неймана [415], посвященная
таким пространствам (в ней появились вполне ограниченные множества);
в том же году появилась работа А.Н. Тихонова [491] о неподвижных
точках непрерывных отображений выпуклых компактов, где впервые
был введен термин «локально выпуклое пространство».
В оригинале использовался термин lokal-konvexer Raum;
возможно, поэтому первоначально в отечественной литературе было принято
написание «локально-выпуклое», безграмотное с точки зрения русской
орфографии и искажающее смысл термина (тем не менее до сих пор

544
Комментарии
в ряде наших математических журналов от авторов требуется именно
такое написание, а равным образом «непрерывно-дифференцируемая
функция», «бесконечно-дифференцируемая функция» и т.п.).
Современное определение локально выпуклого пространства с помощью
полунорм дал Ж. Дьедонне [268]. Используются также термины «поли-
нормированное пространство», «мультинормированное пространство»,
которые при всей своей мнемоничности имеют тот недостаток, что
формально более точными были бы менее благозвучные
«полиполунормированное», «мультиполу нормированное».
Первые реальные достижения теории локально выпуклых
пространств были связаны как раз со слабыми и *-слабыми топологиями
банаховых пространств. В 1929 году слабая топология явным образом
была введена в гильбертовом пространстве в работе von Neumann [414],
в 1934 году в работе Kothe, Toepliz [361] она была задана на
некоторых пространствах последовательностей, в Wehausen [507]
определение фон Неймана было перенесено на нормированные пространства,
наконец, в 1939 году В.Л. Шмульян [182] рассмотрел слабую топологию,
порожденную линейным пространством функционалов (т.е. a(E,G)
в современных обозначениях; о его работах см. Райков [121]), а
годом позже Ж. Дьедонне [266] ввел дуальные пары (пары в
двойственности), сделав определение симметричным. В 1938 году в Goldstine
[308] было показано, что элементы шара второго сопряженного к
банахову пространству являются «слабыми» пределами направленностей
элементов шара исходного пространства (см. задачу 3.12.80), а Ала-
оглу [191] и Бурбаки [242] (подробное изложение в Alaoglu [192],
Dieudonne [268]) установили важнейший факт *-слабой компактности
шара в сопряженном пространстве (несколько позже это доказали
также Шмульян [182] и Какутани [343]); конечно, существенную роль
здесь играла компактность произведения отрезков, открытая
незадолго до этого А.Н. Тихоновым, а также рассмотренный ранее Банахом
случай сепарабельного пространства (многие исследователи с
удивлением отмечают, что Банах не использовал уже известных тогда и
быстро получавших распространение понятий общей топологии; его
результаты, связанные со слабой сходимостью, формулировались в
терминах трансфинитных последовательностей). К этому кругу вопросов
примыкают появившиеся в те же годы обобщения и геометрические
версии теоремы Хана-Банаха о продолжении линейных
функционалов; Мазур [392] получил результат о разделении выпуклых множеств
в нормированных пространствах, близкие результаты были получены в
Eidelheit [288], Kakutani [342], Krein, Shmulian [366], Dieudonne [267];
Сухомлинов [157] рассмотрел комплексный случай (а также кватер-
нионный). В связи с исследованием слабой компактности надо
упомянуть работы Шмульяна [180], [181], [183], [184] (см. также Гантма-
хер, Шмульян [41]) и Эберлейна [285]. Фихтенгольц [164] рассмотрел

Комментарии
545
секвенциальную непрерывность функционалов, не связанную с нормой
или метрикой. Отметим, что не всякая разумная сходимость в
линейном пространстве задается топологией. Например, нельзя задать
топологией сходимость почти всюду измеримых функций на [0,1] (даже
непрерывных или многочленов), см. [17, задача 2.12.67].
Однако говорить об этой теории как о самостоятельной области
стало возможным, пожалуй, только в 50-х годах XX века после
исследований Л. Шварца [448] в теории обобщенных функций и
стимулированных отчасти этими исследованиями (а отчасти изучением слабых
топологий банаховых пространств) работ А. Гротендика, Ж. Дьедонне,
Дж. Макки, Р. Аренса, Г. Кёте, В. Кли, В. Птака и других математиков
многих стран. Основными темами этого периода развития стали теория
двойственности и слабые топологии, специальные классы ненормируе-
мых пространств (типа индуктивных и проективных пределов) и
тензорные произведения. Важнейшие достижения этих лет (вплоть до 60-х
годов XX века) хорошо отражены в книгах Бурбаки [27], Канторович,
Акилов [66], Робертсон, Робертсон [127], Шефер [174], Эдварде [185],
Grothendieck [315], Kelley, Namioka [353], Kothe [360], Treves [490].
Первые подробные изложения теории дали еще в 50-х годах
авторские коллективы Бурбаки [27] и немного позже Kelley, Namioka [353]
(в последний входили также W.F. Donoghue, K.R. Lucas, B.J. Pettis,
E.T. Poulsen, G.B. Price, W. Robertson, W.R. Scott, K.T. Smith), а также
Кёте [360]; обширный материал был представлен в книгах Grothendieck
[315] и Гельфанд, Шилов [46], но все же они носили более специальный
характер; на русском языке довольно подробное изложение дано в [66]
(в новом издании [67] оно сокращено). Следует упомянуть и несколько
статей, опубликованных в эти годы и сыгравших в дальнейшем весьма
заметную роль: Гротендик [51] (в Cakic и др. [245] дан обзор по
решению проблем Гротендика), Дьедонне, Шварц [59], Себаштьян-и-Сильва
[129], Arens [202], Grothendieck [311]-[314], Mackey [386], [387]; из
более кратких обзоров укажем Dieudonne [269], Hyers [328], Nakano [408].
Отметим, что в Kakutani [341] доказано существование инвариантной
относительно сдвигов метрики метризуемой абелевой группы (в
частности метризуемого топологического векторного пространства, см.
теорему 1.6.1), а в Klee [355] решена поставленная Банахом проблема
о полноте такой инвариантной метрики в случае существования
полной метрики, задающей топологию.
В исследование слабой компактности очень важный вклад внесли
работы Grothendieck [311], James [330]-[333]. Отметим также цикл
работ Klee [354], [356], [357], посвященный исследованию выпуклости.
В связи с указанным в задаче 3.12.192 условием равенства двойных
пределов и его применением к слабой компактности упомянем работы
Птака [115], [429]. В последней обсуждается связь этого условия с
рядом других задач. В частности, там доказано, что для ограниченной

546
Комментарии
раздельно непрерывной функции / на произведении S хТ
тихоновских пространств равенство lim lim /(sm,£n) = lim lim /(sm,£n)
m—*oo n—*oo n—*oo m—*oo
верно для всех последовательностей {sm} С S и {tn} С Τ, для
которых оба предела существуют, в точности тогда, когда / продолжается
до раздельно непрерывной функции на произведении компактифика-
ций Стоуна-Чеха S и Т, причем это равносильно тому, что множество
функций s»->/(i,5), где t ЕТ, относительно слабо компактно в Cb(S).
В последующие годы основной прогресс был связан с решением
отдельных важных проблем (например связанных со свойствами
пространств V и V и других конкретных пространств гладких и
обобщенных функций) и приложениями, среди которых в первую очередь
следует упомянуть математические проблемы квантовой физики (см.
Боголюбов и др. [22]), теорию обобщенных функций с ее
применением к уравнениям с частными производными, развитие колмогоровских
идей об оценке сложности функциональных пространств (см.
Колмогоров, Тихомиров [78]), оптимальное управление и экстремальные
задачи, теорию меры на бесконечномерных пространствах и
бесконечномерный стохастический анализ. Важными источниками развития
явились исследования по операторным идеалам, ядерным пространствам,
базисам и приближениям. Наконец, необходимо отметить
продолжающееся и сейчас активное влияние общего нелинейного
бесконечномерного анализа, благодаря чему постоянно появляются новые
интересные объекты исследования и актуальные проблемы. Достижения
60-80-х годов XX века хорошо отражены в весьма информативных
монографиях Jarchow [334], Perez Carreras, Bonet [424], Valdivia [497],
Wilansky [513]. Из более поздних книг укажем Narici, Beckenstein [411].
Весьма велико число работ по индуктивным пределам локально
выпуклых пространств. Помимо уже упоминавшихся в задачах работ
и указанных выше книг отметим еще статьи Райков [116], [118], [120],
Макаров [92], Смолянов [134], Ретах [125], Bierstedt [223].
Внимание многих исследователей было привлечено к обобщению
фундаментальных теорем, связанных с именем Банаха и относящихся
к условиям непрерывности линейных операторов (теоремы о
замкнутом графике, обратном операторе, открытом отображении и т.п.).
Одно направление обобщений шло по линии свойств типа полноты и
категории, см. Гротендик [51], Дьедонне, Шварц [59], Птак [113], [114],
Kalton [345], Mcintosh [393], для чего были введены различные классы
полных пространств (пространства Птака и другие; гиперполнота
введена Келли [72]). Этим видам полноты посвящено много работ, ссылки
на которые можно найти в указанных выше книгах; см. также
Райков [119], Смолянов [137], [139]-[143], Шавгулидзе [170]-[172].
Однако Смоляновым [139] было показано, что важнейшее среди неметризуе-
мых пространств гладких функций пространство V не совершенно
полно; в этой работе доказано более сильное утверждение, что V обладает

Комментарии
547
неполным факторпространством, изоморфным плотному
подпространству счетного произведения прямых и потому даже метризуемым. Тот
же метод применим для нахождения неполного факторпространства
в V, откуда вытекает, что V не совершенно полно; последний
результат был ранее получен в Slowikowski [463] (см. замечание на с. 249
в дополнении Д.А. Райкова к [127]) и Смолянов [137]. Как показал
затем Вальдивия [494], [495], из этого же результата вытекает, что Т>
и V не являются Бг-полными; независимо последнее доказал Шавгу-
лидзе [171], использовавший не результат, а метод [137], [139]. Эти
неожиданные для специалистов результаты привели к заметному
снижению интереса к упомянутым видам полноты. В § 2.10(i) изложены
результаты, полученные методом из [139], в частности, описаны
замкнутое линейное подпространство пространства V и на нем
секвенциально непрерывный разрывный функционал, откуда следует, что
теорема Хана-Банаха не распространяется на секвенциально
непрерывные функционалы (для Т> такой пример дан в [463]), а также, что так
называемая секвенциальная топология на Т> не согласуется с
векторной структурой. Другое направление было связано с идеей оснащения
пространства некоторыми покрытиями и перекликалось с методами
дескриптивной теории множеств и топологии типа схем Суслина и
аналитических пространств, см. Schwartz [449], Райков [122], De Wilde
[255]-[257], Забрейко, Смирнов [61], Smirnov [464], Ferrando, K$kol,
Lopez Pellicer [292], Robertson [437]. Представляется, что для
практических применений наиболее полезными оказались подходы Шварца и
Де Вильда, которые и были изложены в гл. 3.
Большие разделы по различным аспектам теории локально
выпуклых пространств имеются во многих книгах по функциональному
анализу и уравнениям с частными производными, см. Богачев, Смолянов
[21], где приведена обширная библиография, а также Рид, Саймон
[126], Эдварде [185], Choquet [249], Garnir, De Wilde, Schmets [306],
belong [376], Meise, Vogt [395]. О борнологии см. Паламодов [106],
Hogbe-Nlend [326], Waelbroeck [506], Wilansky [512].
Обобщенные функции, дифференциальные операторы с частными
производными и некоторые возникающие при этом вопросы теории
локально выпуклых пространств обсуждаются в Агранович [5],
Владимиров [36], Дрожжинов, Завьялов [57], Трев [159], Хёрмандер [165],
Duistermaat, Kolk [282], Garsoux [307], Horvath [327], Kanwal [350].
Однако в нашей книге теория обобщенных функций не обсуждается, так
как топологические вопросы на нынешнем этапе развития этой теории,
несомненно, играют второстепенную роль, а на первом плане
присутствуют аналитические проблемы. Тем не менее надо сказать, что ряд
важных конкретных проблем теории обобщенных функций и
уравнений с ними оказался связан именно с проблемами топологического
характера. Например, исследование разрешимости дифференциальных

548
Комментарии
уравнений в V' и связанных с ними уравнений в свертках в свое
время привело к задачам о продолжимости секвенциально непрерывных
функционалов на подпространствах до обобщенных функций (не
всегда разрешимым, см. задачу 2.10.63).
Упорядоченные векторные пространства рассматриваются в Аки-
лов, Кутателадзе [6], Канторович, Вулих, Пинскер [68], Шефер [174],
Aliprantis, Burkinshaw [197], Luxemburg, Zaanen [385], Peressini [423].
О геометрии и топологии банаховых пространств см. Дистель [54],
Дэй [60], Кадец, Кадец [64], Albiac, Kalton [193], Beauzamy [219],
Benyamini, Lindenstrauss [220], Bourgin [243], Carothers [246], Defant,
Floret [258], Deville, Godefroy, Zizler [262], Diestel, Uhl [265], van
Dulst [283], Fabian и др. [290], [291], Guerre-Delabriere [317], Johnson,
Lindenstrauss [335], Li, Queffelec [379], Lindenstrauss, Tzafriri [381],
Megginson [394], Pietsch [426], Pisier [427], Wojtaszczyk [517]. По
операторным идеалам см. Defant, Floret [258], Diestel, Jarchow, Tonge [264],
Junek [336]. Интересным модельным локально выпуклым
пространством, на котором отрабатываются многие важные общие концепции
и явления, служит пространство СР(Т) непрерывных функций на
топологическом пространстве Т, наделенное топологией поточечной
сходимости; см. Архангельский [9], Tkachuk [484]. Топологические
пространства с некоторыми структурами типа бесконечномерных
многообразий изучаются в Федорчук, Чигогидзе [160], Чепмэн [169], Bessaga,
Pelczynski [222], van Mill [398], [399]. Теории топологических групп
посвящена фундаментальная монография Arhangel'skii, Tkachenko [203].
Про нелинейные уравнения и неподвижные точки см. Ахмеров
и др. [11], Ниренберг [104], Deimling [260], Granas, Dugundji [309],
Namioka [409]. Отметим, что лишь недавно Р. Коти (Cauty [248])
положительно решил остававшуюся открытой 70 лет проблему о
справедливости теоремы Шаудера-Тихонова для любых топологических
векторных пространств (необязательно локально выпуклых).
Естественно, здесь нет возможности хотя бы кратко упомянуть
все современные направления развития теории топологических
векторных пространств; дополнительную информацию можно найти в
Колесников [75], Кондаков [80], Фетисов, Филиппенко, Козоброд [162],
Akbarov [190], Aytuna и др. [207], Banaszczyk [213], Beattie, Butzmann
[218], Bierstedt [223], Bierstedt, Bonet [224], Cascales, Orihuela [247],
Ferrando и др. [293]-[295], Kadelburg, Radenovic [337], K^kol, Kubis,
Lopez-Pellicer [338], K§tkol, Lopez Pellicer [340], Kalton, Peck, Roberts
[346], Klee, Maluta, Zanco [358], Kunzinger [371], Peralta и др. [422],
Perez-Garcia, Schikhof [425], Rolewicz [438], Valdivia [501], Vogt [502],
Waelbroeck [505], Zahariuta [521]. В частности, о пространствах Фреше
см. [295], [346], [371], [438]. Эффективный способ значительного
расширения сведений о современных исследованиях — обращение к базе

Комментарии
549
MathSciNet и нахождение списков публикаций авторов из нашей
библиографии, а также цитирующих их авторов. К активно
развивающимся в настоящее время направлениям теории локально выпуклых
пространств можно отнести исследование общетопологических вопросов
(в частности связанных с компактностью), мер на бесконечномерных
пространствах и разных классов операторов и тензорных произведений
на стыке с геометрией банаховых пространств и конкретных
функциональных пространств (типа пространств гладких функций).
Стоит отметить, что не так уж давно были получены ответы на
известные вопросы Гротендика, поставленные еще в 50-х годах. Так в
Taskinen [479], [480] был построен пример монтелевского пространства
Фреше F со свойством аппроксимации, для которого в тензорном
произведении Fg)nF есть ограниченное множество, не лежащее в замкнутой
абсолютно выпуклой оболочке никакого множества А®В с
ограниченными А и В. Значит, такое тензорное произведение не является мон-
телевским. По этой теме см. также работы Bonet, Diaz, Taskinen [232],
Bonet, Galbis [233], Bonet, Taskinen [235], Defant, Floret, Taskinen [259].
По теории дифференцирования и дифференциальному исчислению
в бесконечномерных пространствах имеется очень много работ;
укажем лишь обзоры и книги Авербух, Смолянов [1]-[3], Балабанов [12],
Бухер, Фрелихер [29], [30], Дьедонне [58], Картан [69],
Красносельский, Забрейко [83], Смолянов [146], Сова [154], [155], Сухинин [156],
Bastiani [215], Deimling [260], Eells [287], Frolicher, Kriegl [304], Gaehler
[305], Keller [352], Kriegl, Michor [367], Milnor [400], Mujica [406], Neeb
[412], Omori [417], Yamamuro [519]. Обширные исторические
комментарии есть в [1], [3], Pietsch [426], Taylor [482]. Про субдифференциалы
и выпуклый анализ см. Кусраев, Кутателадзе [86], Mordukhovich [403],
Singer [461], [462], Zalinescu [522]. Результаты §4.9 получены в работе
Лобанов [89], где найдены усиления и обобщения результатов для
банаховых пространств, доказанных в Albrecht, Diamond [194], Hain [318],
а также результатов из Кац, Курато [71], Смолянов [145] о
композициях с линейными функциями на локально выпуклых пространствах.
По общим вопросам теории меры в бесконечномерных
пространствах см. Богачев [16]-[18], [230], Булдыгин [25], Вахания [31],
Бахания, Тариеладзе, Чобанян [33], Вершик, Судаков [35], Гельфанд, Ви-
ленкин [44], Гихман, Скороход [47], Го [48] (правильное написание его
фамилии — Куо — было по каким-то причинам искажено при
переводе), Круглов [84], Муштари [100], [407], Скороход [131], Смолянов,
Фомин [151], Смолянов, Шавгулидзе [152], Badrikian, Chevet [208],
Buldygin, Solntsev [244], Hazod, Siebert [320], Heyer [322], Hoffmann-
j0rgensen [324], Ledoux, Talagrand [375], Linde [380], Schwartz [451],
Yamasaki [520]. Важнейшую роль для возникновения и развития
теории меры на бесконечномерных линейных пространствах сыграли
работы и идеи Н. Винера, А.Н. Колмогорова, М. Фреше, Ю.В. Прохорова,

550
Комментарии
И.Μ. Гельфанда (в частности можно указать работы [511], [363], [301],
[112], [428], [44]). Из близких по времени работ отметим Fortet, Mourier
[300], Gross [310], Mourier [405], Segal [452]. В книге [17, § 7.14(vii)]
приведены сведения о так называемых радоновских пространствах, в
которых все борелевские меры радоновы. Правда, стоит отметить, что
практическая ценность этого понятия невелика, так как в
приложениях крайне редко появляются меры, заданные на всей борелевской
σ-алгебре, радоновость которых неочевидна. Гораздо чаще возникает
проблема проверки плотности меры, заданной на какой-либо более
узкой σ-алгебре (например порожденной цилиндрами), с целью ее
последующего продолжения до меры Радона. Гауссовским мерам посвящены
книги Богачев [16], [230], Го [48], Лифшиц [87], Fernique [297]. Про
векторное интегрирование см. Dinculeanu [274], Panchapagesan [420], Roth
[440]. Векторную функцию ψ на измеримом пространстве (Χ,Α,μ) со
значениями в локально выпуклом пространстве X называют
интегрируемой по Петтису, если для всякого / Ε X' функция (Ι,ψ)
интегрируема и ее интеграл есть /(га), где га Ε Хне зависит от /; тогда га называют
интегралом Петтиса от ψ. Нередко такая терминология используется
при более сильном предположении, что в первом смысле интегрируемы
сужения φ на все множества А Е А. Введенное в тексте среднее меры
есть интеграл Петтиса от ψ(χ) = χ именно в первом смысле.
Наиболее удобными для приложений условиями счетной
аддитивности цилиндрических мер в терминах их преобразований Фурье
являются теоремы Сазонова [128] и Минлоса [96], появившиеся под
сильным влиянием идей Ю.В. Прохорова [112] и И.Μ. Гельфанда [43];
важное наблюдение по этому вопросу сделано Колмогоровым [76]. Вопрос
о переносе этих результатов на знакопеременные меры был поставлен
О.Г. Смоляновым еще в конце 60-х годов, но был окончательно решен
лишь почти 20 лет спустя Тариеладзе [158] (промежуточный результат
был получен в Смолянов [148]). Обширное исследование топологий на
бесконечномерных пространствах в связи с преобразованиями Фурье
мер было проведено Д.Х. Муштари [98]-[101], [404], [407]. Конечно,
как видно из этих и многих других работ (см. Владимирский [40]),
достаточное условие счетной аддитивности цилиндрической меры может
быть выражено не только через преобразование Фурье; например, для
этого используются различные операторы, порождаемые мерой.
О предельных теоремах в банаховых пространствах см. также
Kuelbs, Zinn [370], Ledoux, Talagrand [375], Johnson, Lindenstrauss [335,
с 1177-1200]. О законах 0-1 в линейных пространствах см. Hoffmann-
J0rgensen [325], Takahashi, Okazaki [472], Zinn [523]. Измеримые
линейные функции и операторы изучаются также в Kanter [349], Smolenski
[465], [467], [468], Wisniewski [516]. Дифференцируемость, связанная
с мерами на бесконечномерных пространствах, изучается в Авербух,
Смолянов, Фомин [4], Богачев [18], Богачев, Смолянов [19].

Литература
[1] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Теория дифференцирования в линейных
топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968. Т. 22, №6.
С. 200-260. [549]1
[2] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Различные определения производной в
линейных топологических пространствах. Успехи матем. наук. 1968.
Т. 23, №4. С. 67-116. [549]
[3] Авербух В.И., Смолянов О.Г. Дополнение к статье «Различные
определения производной в линейных топологических пространствах».
Успехи матем. наук. 1968. Т. 23, №5. С. 223-224. [549]
[4] Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин СВ. Обобщенные функции и
дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск.
матем. об-ва. 1971. Вып. 24. С. 132-174. [550]
[5] Агранович М.С. Обобщенные функции. МЦНМО, М., 2008; 128 с. [541]
[6] Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные
пространства. Наука, Новосибирск, 1978; 368 с. [548]
[7] Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию.
Наука, М., 1977; 368 с. [16]
[8] Александрян Р.Α., Мирзаханян Э.А. Общая топология. Высш. шк., М.,
1979; 336 с. [16]
[9] Архангельский А.В. Топологические пространства функций. Изд-во
МГУ, М., 1989; 223 с. [292, 548]
[10] Архангельский А.В., Пономарев В.И. Основы общей топологии в
задачах и упражнениях. Наука, М., 1974; 423 с. [16, 292, 532]
[11] Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов А.С, Родкина А.Е.,
Садовский Б.Н. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. Наука,
Новосибирск, 1986; 265 с. [548]
[12] Балабанов М.В. Дифференцирование отображений в
бесконечномерных векторных пространствах. Ком Книга, М., 2006; 176 с. [549]
[13] Банах С. Теория линейных операций. НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», Ижевск, 2001; 262 с. (1-е фр. изд.: Warszawa, 1932). [543]
[14] Богачев В.И. Показатели асимметричности устойчивых мер. Матем.
заметки. 1986. Т. 40, №1. С. 127-138. [506]
[15] Богачев В.И. Локально выпуклые пространства со свойством ЦПТ и
носители мер. Вестн. МГУ, мат., мех. 1986. №6. С. 16-20. [503, 5Ц]
В квадратных скобках указаны страницы цитирования публикаций.

552
Литература
Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997. [424, 457, 468, 479,
516, 517, 538, 541, 550]
Богачев В.И. Основы теории меры. Т. 1, 2. 2-е изд. НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», Москва - Ижевск, 2006. [244, 288, 291, 305,
418, 420 - 424, 426, 429, 445, 496, 499, 518, 522, 533, 541, 545, 549]
Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД,
Москва - Ижевск, 2008; 544 с. [500, 538, 549, 550]
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства
бесконечномерных распределений. Успехи матем. наук. 1990. Т. 45, №3. С. 3-83. [550]
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Обобщенные функции, полученные
регуляризацией неинтегрируемых функций. Докл. РАН. 2008. Т. 419, №6.
С. 731-734. [308]
Богачев В.И., Смолянов О.Г. Действительный и функциональный
анализ. 2-е изд. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Москва -
Ижевск, 2011; 728 с. [8, 16, 43, 46, 78, 1Ц, 126, 171, 173, Щ, 198, 229,
233, 307, 321, 351, 386, 408, 541, 547]
Боголюбов Н.Н., Логунов Α.Α., Оксак А.И., Тодоров И.Т. Общие
принципы квантовой теории поля. Наука, М., 1987; 616 с. [546]
Борсук К. Теория ретрактов. Мир, М., 1971; 292 с. [134]
Брудно А.Л. Теория функций действительного переменного. Наука, М.,
1971; 120 с. [16]
Булдыгин В.В. Сходимость случайных элементов в топологических
пространствах. Наукова думка, Киев, 1980; 239 с. [495, 549]
Булдыгин В.В. Носители вероятностных мер в сепарабельных
банаховых пространствах. Теория вероятн. и ее примен. 1984. Т. 29, №3.
С. 528-532. [5Ц]
Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. ИЛ, М., 1959;
410 с. [7, 136, 137, 304, 309, 310, 318, 545]
Бурбаки Н. Общая топология. Вып. 1, 3. Наука, М., 1968, 1975; 272 с,
408 с. [69, 77, 285]
Бухер В., Фрелихер А. Дифференциальное исчисление в векторных
пространствах без нормы. Мир, М., 1970; 168 с. [549]
Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных
операторов. ГИТТЛ, М., 1956; 344 с. [549]
Вахания Н.Н. Вероятностные распределения в линейных
пространствах. Мецниереба, Тбилиси, 1971; 156 с. [549]
Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И. Ковариационные операторы
вероятностных мер в локально выпуклых пространствах. Теория вероятн. и
ее примен. 1978. Т. 23, №1. С. 3-26. [447, 455, 456]
Вахания Н.Н., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А. Вероятностные
распределения в банаховых пространствах. Наука, М., 1984; 368 с. [468, 494,
495, 504, 529, 535, 540, 549]
Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. Наука, М., 1975;
320 с. [435]
Вершик A.M., Судаков В.Н. Вероятностные меры в бесконечномерных
пространствах. Зап. научн. семинаров Ленингр. отд. мат. ин-та АН
СССР. 1969. Т. 12. С. 7-67. [549]

Литература 553
Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. 2-е
изд. Наука, М., 1979; 320 с. [129, 547]
Владимирский Ю.Н. Цилиндрические меры и ρ-суммирующие
операторы. Теория вероятн. и ее примен. 1981. Т. 26, №1. С. 59-72. [535]
Владимирский Ю.Н. К вероятностной характеризации некоторых
классов локально выпуклых пространств. Теория вероятн. и ее
примен. 1983. Т. 28, №3. С. 521-532. [535]
Владимирский Ю.Н. О компактности ^-суммирующих операторов.
Матем. заметки. 1985. Т. 37, №5. С. 743-750. [535]
Владимирский Ю.Н. Об условиях счетной аддитивности
цилиндрической меры в сопряженном локально выпуклом пространстве. Матем.
заметки. 1994. Т. 56, №3. С. 13-19. [550]
Гантмахер В., Шмульян В. О слабой компактности в пространстве
Банаха. Матем. сб. 1940. Т. 8, №3. С. 489-492. [5Ц]
Гельфанд И.М. Sur un lemme de la theorie des espaces lineaires. Зап.
Харьковск. матем. об-ва. 1936. Т. 13. С. 35-40. [317]
Гельфанд И.М. О некоторых проблемах функционального анализа.
Успехи матем. наук. 1956. Т. 11, №6. С. 3-12. [321, 550]
Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Обобщенные функции. В. 4. Некоторые
применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства. ГИФМЛ, М., 1961; 465 с. [549]
Гельфанд И.М., Костюченко А.Г. Разложение по собственным
функциям дифференциальных и других операторов. Докл. АН СССР. 1955.
Т. 103, №3. С. 346-352. [321]
Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над
ними. В. 2. Пространства основных и обобщенных функций. ГИФМЛ, М.,
1958; 308 с. [Ц8, 545]
Гихман И.И., Скороход А.В. Теория случайных процессов. Т. 1. Наука,
М., 1971; 664 с. [435, 542, 549]
Го X. Гауссовские меры в банаховых пространствах. Мир, М., 1979;
176 с. [481, 550]
Годунов А.Н. О теореме Пеано в банаховых пространствах. Функц.
анализ и его прил. 1975. Т. 9, №1. С. 59-60. [391]
Горин Е.А., Митягин Б.С. О системах норм в счетно-нормированном
пространстве. Успехи матем. наук. 1958. Т. 13, №5. С. 179-184. [205]
Гротендик А. О пространствах (J7) и (DJ7). Математика (сб.
переводов). 1958. Т. 2, №3. С. 81-127 (Grothendieck A. Sur les espaces (F) et
(DF). Summa Brasil. Math. 1954. V. 3. P. 57-123). [317 - 319, 545, 546]
Гутник Л.А. О локально выпуклых пространствах, не обладающих
бесконечномерными ограниченными множествами. Успехи матем. наук.
1977. Т. 32, №6. С. 251-252. [320]
Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория. ИЛ,
М., 1962; 896 с. [126, 127, 389, 543]
Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств. Вища школа, Киев,
1980; 216 с. [548]
Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кете. Изд-во Рост. гос. ун-та,
Ростов-на-Дону, 2003; 143 с. [299]

554
Литература
[56] Драгилев Μ.Μ., Чалов П.А. О пространствах Фреше с безусловным
базисом. Матем. заметки. 2006. Т. 80, №1. С. 29-32. [299]
[57] Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Введение в теорию обобщенных
функций. Лекционные курсы НОЦ. Матем. Ин-т РАН им. В.А. Стек-
лова, М., 2006; 162 с. [541]
[58] Дьедонне Ж. Основы современного анализа. Мир, М., 1964; 431 с. [549]
[59] Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (J7)
и (CJ7). Математика (сб. переводов). 1958. Т. 2, №2. С. 77-107;
(Dieudonne J., Schwartz L. La dualite dans les espaces (J7) et (CJ7). Ann.
Inst. Fourier Grenoble. 1949. V. 1. P. 61-101). [545, 546]
Дэй Μ.Μ. Нормированные линейные пространства. ИЛ, М., 1961; 233 с.
[548]
Забрейко П.П., Смирнов Е.И. О теореме о замкнутом графике. Сиб.
матем. ж. 1977. Т. 18, №2. С. 304-313. [5^7]
Зобин Н.М., Митягин Б.С. Примеры ядерных метрических линейных
пространств без базиса. Функц. анализ и его прил. 1974. Т. 8, №4.
С. 35-47. [299]
Кадец В.М., Кадец М.И. Об одном условии нормируемости
пространств Фреше. Матем. заметки. 1985. Т. 38, №1. С. 142-147. [320]
Кадец В.М., Кадец М.И. Перестановки рядов в пространствах Банаха.
Тартуский гос. ун-т, Тарту, 1988; 196 с. (англ. пер.: Birkhauser, 1997).
[197, 548]
Кадец М.И. Доказательство топологической эквивалентности всех
сепарабельных бесконечномерных пространств Банаха. Функц. анализ
и его прил. 1967. Т. 1, №1. С. 61-70. [295]
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в
нормированных пространствах. Физматгиз, М., 1959; 684 с. [545]
Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, М.,
1977; 744 с. [545]
Канторович Л.В., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ
в полуупорядоченных пространствах. Гостехиздат, М.-Л., 1950; 548 с.
[548]
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные
формы. Мир, М., 1971; 392 с. [549]
Кац М.П. Непрерывность универсально измеримых линейных
отображений. Сиб. матем. ж. 1982. Т. 23, №3. С. 83-90; исправление: ibid.,
1983. Т. 24, №3. С. 217. [538]
Кац М.П., Курато А. Достаточные условия дифференцируемости век-
торнозначных функций. Вестн. МГУ, сер. 1, Матем., механика. 1976.
№4. С. 44-51. [549]
Келли Дж.Л. Гиперполные топологические линейные пространства.
Математика (сб. переводов). 1960. Т. 4, №6. С. 79-92; (Kelley J.L.
Hyper complete linear topological spaces. Michigan Math. J. 1958. V. 5.
P. 235-246). [546]
Келли Дж. Общая топология. Наука, Μ., 1968; 384 с. [16, 69, 77, 121]
Кириллов Α.Α., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального
анализа. Наука, М., 1979; 384 с. [205]

Литература
555
Колесников А.П. Функциональные сплайны в топологических
векторных пространствах. УРСС, М., 2008; 440 с. [548]
Колмогоров А.Н. Замечание о работах Р.А. Минлоса и В.В. Сазонова.
Теория вероятн. и ее примен. 1959. Т. 4, №2. С. 237-239. [550]
Колмогоров А.Н. Избранные труды. Математика и механика. Теория
вероятностей и математическая статистика. Наука, М., 1985, 1986. [569]
Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. ε-энтропия и ε-емкость множеств
в функциональных пространствах. Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, №2.
С. 3-86. [546]
Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. 4-е изд. Наука, М., 1976; 544 с. [8, 15, 205]
Кондаков В.П. Три основных принципа функционального анализа, их
обобщения и приложения. ВНЦ РАН, Владикавказ, 2007; 208 с. [548]
Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы. Успехи матем. наук.
1981. Т. 36, №1. С. 73-126. [299]
Косов Е.А. Носители мер со слабыми моментами. Докл. РАН. 2012.
[542]
Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы
нелинейного анализа. Наука, М., 1975; 512 с. [549]
Круглов В.М. Дополнительные главы теории вероятностей. Высш. шк.,
М., 1984; 264 с. [495, 505, 513, 549]
Курош А.И. Лекции по общей алгебре. Наука, М., 1973; 400 с. [10, 15]
Кусраев А.Г., Кутателадзе С.С. Субдифференциальное исчисление.
Теория и приложения. Наука, М., 2005; 529 с. [549]
Лифшиц М.А. Гауссовские случайные функции. TBiMC, Киев, 1995;
246 с. [550]
Лобанов С.Г. Достаточные условия дифференцируемости
отображений локально выпуклых пространств. Матем. заметки. 1986. Т. 39, №1.
С. 70-82. [409]
Лобанов С.Г. Цепное правило и его обращение для отображений
локально выпуклых пространств. Матем. заметки. 1989. Т. 45, №1.
С. 43-56. [385, 409]
Лобанов С.Г., Смолянов О.Г. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в локально выпуклых пространствах. Успехи матем. наук. 1994.
Т. 49, №3. С. 93-168. [390]
Макаров Б.М. Об индуктивном пределе последовательности
нормированных пространств. Докл. АН СССР. 1958. Т. 119. С. 1092-1094. [201]
Макаров Б.М. О некоторых патологических свойствах
индуктивных пределов В-пространств. Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, №3.
С. 171-178. [201, 546]
Мейер П.-А. Вероятность и потенциалы. Мир, М., 1973; 326 с. [453]
Миллионщиков В.М. К теории дифференциальных уравнений в
локально выпуклых пространствах. Матем. сб. 1962. Т. 57, №4. С. 385-406.
[Ц0, 392]
[95] Милютин А.А. Изоморфность пространств непрерывных функций
над компактами континуальной мощности. Теория функций, функц.
анал. и прилож., Харьков. 1966. Т. 2. С. 150-156. [296]

556
Литература
[96] Минлос Р.А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до
меры. Тр. Моск. мат. об-ва. 1959. Т. 8. С. 497-518. [550]
[97] Митягин Б.С. Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных
пространствах. Успехи матем. наук. 1961. Т. 16, №4. С. 63—132. [190,
299]
[98] Муштари Д.Х. Некоторые общие вопросы теории вероятностных мер
в линейных пространствах. Теория вероятн. и ее примен. 1973. Т. 18,
№1. С. 66-77. [550]
[99] Муштари Д.Х. Топологические вопросы теории вероятностных мер в
пространствах Фрейме. Изв. вузов. Матем. 1983. №12. С. 43-51. [550]
[100] Муштари Д.Х. Вероятности и топологии в банаховых пространствах.
Изд-во Казанского ун-та, Казань, 1989; 152 с. [5Ц, 549, 550]
[101] Муштари Д.Х., Чупрунов А.Н. Достаточные топологии и нормы.
Теория вероятн. и ее примен. 1983. Т. 28, №4. С. 700-714. [550]
[102] Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных
многообразиях. Мир, М., 1971; 232 с. [410]
[103] Немировский А.С, Семенов СМ. О полиномиальной аппроксимации
функций на гильбертовом пространстве. Матем. сб. 1973. Т. 92, №2.
С. 257-281. [406]
[104] Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. Мир,
М., 1977; 232 с. [387, 548]
[105] Островский Е.И. О носителях вероятностных мер в сепарабельных
банаховых пространствах. ДАН СССР. 1980. Т. 225, №6. С. 1319-1320.
[514]
[106] Паламодов В.П. Гомологические методы в теории локально выпуклых
пространств. Успехи матем наук. 1971. Т. 26, №1. С. 3-65. [541]
[107] Паулаускас В.И., Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в
центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Мокслас,
Вильнюс, 1987; 190 с. [503]
[108] Пелчинский А. Линейные продолжения, линейные усреднения и их
применения к линейной топологической классификации пространств
непрерывных функций. Мир, М., 1970; 144 с. [296]
[109] Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. Мир, М., 1967;
266 с. [129, 198]
[110] Пич А. Операторные идеалы. Мир, М., 1982; 536 с. [535]
[111] Простов Ю.И. Для гомеоморфизмов ненормируемых пространств
Фреше теорема о дифференцируемости обратной функции неверна.
Матем. заметки. 1990. Т. 47, №2. С. 78-88. [387]
[112] Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные
теоремы теории вероятностей. Теория вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1,
№2. С. 177-238. [550]
[113] Птак В. О полных топологических линейных пространствах. Чехосл.
матем. ж. 1953. Т. 3, №4. С. 301-364. [546]
[114] Птак В. Полнота и теорема об открытом отображении. Математика
(сб. переводов). 1960. Т. 4, №6. С. 39-67; (Ptak V. Completeness and the
open mapping theorem. Bull. Soc. Math. France. 1958. V. 86. P. 41-74).
[546]

Литература
557
[115] Птак В. Комбинаторная лемма о существовании выпуклых средних и
ее приложение к слабой компактности. Математика (сб. переводов).
1966. Т. 10, №6. С. 44-59. [545]
[116] Райков Д.А. О двух классах локально выпуклых пространств,
важных в приложениях. Труды семинара по функциональному анализу,
Воронеж, 1957. Вып. 5. С. 22-34. [546]
[117] Райков Д.А. Об одном свойстве ядерных пространств. Успехи матем.
наук. 1957. Т. 12, №5. С. 231-236. [320]
[118] Райков Д.А. Индуктивные и проективные пределы с вполне
непрерывными отображениями. Докл. АН СССР. 1958. Т. ИЗ. С. 984-986. [546]
[119] Райков Д.А. Признак полноты локально выпуклых пространств.
Успехи матем. наук. 1959. Т. 14, №1. С. 223-229. [546]
[120] Райков Д.А. Экспоненциальный закон для пространств непрерывных
линейных отображений. Матем. сб. 1965. Т. 67, №2. С. 279-302. [546]
[121] Райков Д.А. О работах В.Л. Шмульяна по топологии линейных
пространств. Успехи матем. наук. 1965. Т. 20, №2. С. 135-147. [544]
[122] Райков Д.А. Двусторонняя теорема о замкнутом графике для
топологических линейных пространств. Сиб. матем. ж. 1966. Т. 7, №2.
С. 353-372. [266, 54Ά
[123] Резниченко Е.А. Нормальность и коллективная нормальность
функциональных пространств. Вестник МГУ. Сер. Матем. Мех. 1990. №6.
С. 56-58. [292]
[124] Ретах B.C. О сопряженном гомоморфизме локально выпуклых
пространств. Функц. анализ и его прил. 1969. Т. 3, №4. С. 63-68. [321]
[125] Ретах B.C. Подпространства счетных индуктивных пределов. Докл.
АН СССР. 1970. Т. 194. С. 1277-1279. [546]
[126] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1.
Функциональный анализ. Мир, М., 1977; 359 с. [5^7]
[127] Робертсон А.П., Робертсон В. Топологические векторные пространства.
Мир, М., 1967; 258 с. [266, 267, 315, 545, 541\
[128] Сазонов В.В. Замечание о характеристических функционалах. Теория
вероятн. и ее примен. 1958. Т. 3, №2. С. 201-205. [550]
[129] Себаштьян-и-Сильва X. О некоторых классах локально выпуклых
пространств, важных в приложениях. Математика (сб. переводов). 1957.
Т. 1, №1. С. 60-70 (Sebastiao e Silva J. Su eerie classi di spazi localmente
convessi importanti per le applicazioni. Rend. Mat. Appl. (5). 1955. V. 14.
P. 388-410). [545]
130] Сипачева О.В. Об одном классе свободных локально выпуклых
пространств. Матем. сб. 2003. Т. 194, №3. С. 25-52. [134]
131] Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука,
М., 1975; 232 с. [549]
132] Скороход А.В. Линейные и почти линейные функционалы на
измеримом гильбертовом пространстве. 1978. Т. 23, №2. С. 397-402. [524]
133] Смолянов О.Г. О линейных топологических пространствах без первой
аксиомы счетности. Успехи матем. наук. 1964. Т. 19, №6. С. 199-200.
[322]

558
Литература
[134] Смолянов О.Г. О топологии индуктивных пределов бесконечных
последовательностей линейных топологических пространств,
удовлетворяющих первой аксиоме счетности. Вестник МГУ, сер. мат., мех. 1965.
№1. С. 26-29. [546]
[135] Смолянов О.Г. О локально выпуклых топологиях в пространстве К
и в некоторых других пространствах финитных функций. Вестник
МГУ, сер. Мат., мех. 1965. №3. С. 5-11. [320]
[136] Смолянов О.Г. Об измеримых полилинейных и степенных
функционалах в некоторых линейных пространствах с мерой. Докл. АН СССР.
1966. Т. 170, №3. С. 526-529. [530, 542]
[137] Смолянов О.Г. Почти замкнутые линейные подпространства
строгих индуктивных пределов последовательностей пространств Фреше.
Матем. сб. 1969. Т. 80, №4. С. 513-520. [191, 546, 541]
[138] Смолянов О.Г. Измеримые линейные многообразия в произведениях
линейных пространств с мерой. Матем. заметки. 1969. Т. 5, №5.
С. 623-634. [497]
139] Смолянов О.Г. Пространство V не является наследственно полным.
Изв. АН СССР, сер. матем. 1971. Т. 35, №3. С. 682-696. [546, 541]
140] Смолянов О.Г. Несколько результатов о совершенно полных и
наследственно полных пространствах. Успехи матем. наук. 1972. Т. 27, №2.
С. 181-182. [546]
141] Смолянов О.Г. Секвенциально замкнутые подмножества
произведений локально выпуклых пространств. Функц. анал. и его прил. 1973.
Т. 7, №1. С. 88-89. [191, 546]
142] Смолянов О.Г. Об объеме классов гиперполных пространств,
удовлетворяющих условию Крейна-Шмульяна. Успехи матем. наук. 1975.
Т. 30, №1. С. 259-260. [546]
143] Смолянов О.Г. Почти замкнутые подмножества счетных
произведений локально выпуклых пространств. Тр. Моск. матем. об-ва. 1975.
Т. 32. С. 61-76. [191, 546]
144] Смолянов О.Г. Класс пространств, в которых справедлива теорема об
ограниченной дифференцируемости обратной функции. Матем.
заметки. 1975. Т. 17, №5. С. 703-709. [387]
145] Смолянов О.Г. О высших производных отображений локально
выпуклых пространств. Матем. заметки. 1977. Т. 22, №5. С. 729-743. [406,
549]
146] Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и
его приложения. Изд-во МГУ, М., 1979; 86 с. [58, 324, 404, 406, 549]
147] Смолянов О.Г. Один метод доказательства теорем
единственности для эволюционных дифференциальных уравнений. Матем. заметки.
1979. Т. 25, №2. С. 259-269. [395]
148] Смолянов О.Г. Теорема Гросса-Сазонова для знакопеременных
цилиндрических мер. Вестник МГУ, сер. матем., мех. 1983. №4. С. 4-12. [550]
149] Смолянов О.Г. О топологии пространств Т> и V'. Вестник МГУ, сер.
матем., мех. 1984. №1. С. 66-68. [191]
150] Смолянов О.Г., Угланов А.В. Всякое гильбертово подпространство
винеровского пространства имеет меру нуль. Матем. заметки. 1973.
Т. 14, №3. С. 369-374. [541]

Литература 559
[151] Смолянов О.Г., Фомин СВ. Меры на топологических линейных
пространствах. Успехи матем. наук. 1976. Т. 31, №4. С. 3-56. [549]
[152] Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Континуальные интегралы. Изд-во
МГУ, М., 1990; 150 с. [549]
[153] Смолянов О.Г., Шавгулидзе Е.Т. Простое доказательство теоремы
Тариеладзе о достаточности положительно-определенных
топологий. Теория вероятн. и ее примен. 1992. Т. 37, №2. С. 421-424. [472]
[154] Сова М. Общая теория дифференцируемости в линейных
топологических пространствах. Чехосл. матем. ж. 1964. Т. 14, №3. С. 485-508.
[549]
[155] Сова М. Условия дифференцируемости в линейных топологических
пространствах. Чехосл. матем. ж. 1966. Т. 16, №3. С. 339-362. [549]
[156] Сухинин М.Ф. Избранные главы нелинейного анализа. Изд-во РУДН,
М., 1992; 302 с. [549]
[157] Сухомлинов Г.А. О продолжении линейных функционалов в
комплексном и кватернионном линейном пространстве. Матем. сб. 1938. Т. 3,
№2. С. 353-357. [544]
[158] Тариеладзе В.И. О топологическом описании характеристических
функционалов. ДАН СССР. 1987. Т. 295, №6. С. 1320-1323. [472, 550]
[159] Трев Ф. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с
постоянными коэффициентами. Мир, М., 1965; 296 с. [547]
[160] Федорчук В.В., Чигогидзе А.Ч. Абсолютные ретракты и
бесконечномерные многообразия. Наука, М., 1992; 232 с. [548]
[161] Фелпс P.P. Лекции о теоремах Шоке. Мир, М., 1968; 112 с. [453]
[162] Фетисов В.Г., Филиппенко В.И., Козоброд В.Н. Операторы и уравнения
в линейных топологических пространствах. ВНЦ РАН, Владикавказ,
2006; 432 с. [548]
[163] Филиппов В.В. Об одной задаче Э. Майкла. Матем. заметки. 2005. Т. 78,
№4. С. 638-640. [133]
[164] Фихтенгольц Г. (Fichtenholz G.) Sur les fonctionnelles lineaires, continues
au sens generalise. Матем. сб. 1938. Т. 4, №1. С. 193-214. [138, 544]
[165] Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с
частными производными. Т. 1, 2. Мир, М., 1986; 464 с, 456 с. [547]
[166] Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. ИЛ, М.,
1962; 829 с. [95, 99, 157]
[167] Царьков И.Г. Сглаживание гильбертовозначных равномерно
непрерывных отображений. Изв. РАН. 2005. Т. 69, №4. С. 149-160. [406]
[168] Царьков И.Г., Шавгулидзе Е.Т. Гладкие изометричные погружения в
бесконечномерную сферу. Функц. анализ и его прил. 1999. Т. 33, №3.
С. 93-95. [410]
[169] Чепмэн Т.А. Лекции о ^-многообразиях. Мир, М., 1981; 160 с. [548]
[170] Шавгулидзе Е.Т. О гиперполноте локально выпуклых пространств.
Матем. заметки. 1973. Т. 13, №2. С. 297-302. [546]
[171] Шавгулидзе Е.Т. О Вг-полноте. Функц. анализ и его прил. 1975. Т. 9,
№4. С. 95-96. [546, 547]
[172] Шавгулидзе Е.Т. Условия некоторых видов полноты в классе
проективных пределов последовательностей индуктивных пределов

560
Литература
последовательностей пространств Фрейме. Функц. анализ и его прил.
1977. Т. 11, №1. С. 91-92. [546, 547]
[173] Шавгулидзе Е.Т. Об одном диффеоморфизме локально выпуклого
пространства. Успехи матем. наук. 1979. Т. 34, №5. С. 231-232. [387]
[174] Шефер X. Топологические векторные пространства. Мир, М., 1975;
359 с. [33, 162, 183, 185, 189, 244, 254, 265, ЗЦ- 318, 321, 545, 548]
[175] Шкарин С.А. Несколько результатов о разрешимости
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в локально выпуклых
пространствах. Матем. сб. 1990. Т. 181, №9. С. 1183-1195. [393]
[176] Шкарин С.А. О теореме Ролля в бесконечномерных банаховых
пространствах. Матем. заметки. 1992. Т. 51, №3. С. 128-136. [407]
[177] Шкарин С.А. О проблеме моментов в пространствах Фреше. Матем.
заметки. 1993. Т. 54, №1. С. 110-123. [321, 409]
[178] Шкарин С.А. Теорема Пеано в бесконечномерных пространствах
Фреше неверна. Функц. анализ и его прил. 1993. Т. 27, №2. С. 90-92. [391]
[179] Шкарин С.А. Теорема Пеано неверна в бесконечномерных
F'-пространствах. Матем. заметки. 1997. Т. 62, №1. С. 128-137. [391]
[180] Шмульян В.Л. О регулярно замкнутых и слабо компактных
множествах в пространствах типа (В). Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, №7.
С. 403-405. [544]
[181] Шмульян В.Л. О принципе вкладок в пространстве типа (В). Матем.
сб. 1939. Т. 5, №2. С. 317-328. [544]
[182] Шмульян В.Л. Uber lineare topologische Raume. Матем. сб. 1940. Т. 7.
С. 425-444. [544]
[183] Шмульян В.Л. О линейных топологических пространствах. II. Матем.
сб. 1941. Т. 9, №3. С. 727-730. [544]
[184] Шмульян В.Л. О компактных и слабо компактных множествах
в пространствах типа (В). Матем. сб. 1943. Т. 12, №1. С. 91-98. [544]
[185] Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. Мир, М.,
1969; 1071 с. [16, 121, Ц0, 204, 236, 253, 298, 304, 307, 309, 311, 313,
317, 453, 547]
[186] Энгелькинг Р. Общая топология. Мир, М., 1986; 752 с. [16, 69, 77, 121,
192, 292]
[187] Юрова Е.В. О непрерывных сужениях измеримых линейных
операторов. Докл. РАН. 2012. Т. 443, №3. С. 300-303. [524, 527]
[188] Acosta A. de. Stable measures and seminorms. Ann. Probab. 1975. V. 3.
P. 865-875. [512, 513]
[189] Acosta A. de, Samur J. Infinitely divisible probability measures and the
converse Kolmogorov inequality in Banach spaces. Studia Math. 1978.
V. 66. P. 143-160. [513]
[190] Akbarov S.S. Pontryagin duality in the theory of topological vector spaces
and in topological algebra. J. Math. Sci. (New York). 2003. V. 113, №2.
P. 179-349. [548]
[191] Alaoglu L. Weak convergence of linear functionals. Bull. Amer. Math. Soc.
1938. V. 44. P. 196. [544]
[192] Alaoglu L. Weak topologies of normed linear spaces. Ann. Math. 1940.
V. 41. P. 252-267. [544]

Литература 561
Albiac F., Kalton N.J. Topics in Banach space theory. Springer, New York,
2006; xii+373 p. [548]
Albrecht F., Diamond H. A converse of Taylor's theorem. Indiana Univ.
Math. J. 1971/1972. V. 21, №4. P. 347-350. [549]
Alexandroff A.D. Additive set functions in abstract spaces. Матем. сб.
1940. Т. 8(50). С. 307-348; ibid. 1941. Т. 9(51). С. 563-628; ibid. 1943.
Т. 13(55). С. 169-238. [520]
Alfsen Ε.Μ. Compact convex sets and boundary integrals. Springer-Verlag,
Berlin - New York, 1971; 210 p. [453]
Aliprantis CD., Burkinshaw O. Locally solid Riesz spaces with applications
to economics. 2nd ed. Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2003;
xii+344 p. [548]
Amemiya I. Some examples of (F) and (DF) spaces. Proc. Japan Acad.
1957. V. 33. P. 169-171. [319]
Amemiya I., Komura Y. Uber nicht-vollstandige Montelrdume. Math. Ann.
1968. B. 177. S. 273-277. [253]
Anderson R.D. Hilbert space is homeomorphic to the countable infinite
product of lines. Bull. Amer. Math. Soc. 1966. V. 72. P. 515-519. [295]
Antosik P., Burzyk J. Sequential conditions for barrelledness and bomology.
Bull. Pol. Acad. Sci., Math. 1987. V. 35. P. 457-459. [305]
Arens R. Duality in linear spaces. Duke Math. J. 1947. V. 14. P. 787-794.
[545]
Arhangel'skii Α., Tkachenko M. Topological groups and related structures.
Atlantis Press, Paris; World Sci. Publ., Hackensack, New Jersey, 2008;
xiv+781 p. [548]
Arias de Reyna J. Normed barely Baire spaces. Israel J. Math. 1982. V. 42.
P. 33-36; correction: ibid., 1985. V. 50. P. 264. [286]
Astala K. On Peano's theorem in locally convex spaces. Studia Math. 1982.
V. 73, №3. P. 213-223. [392]
Atkin C.J. Extension of smooth functions in infinite dimensions. I. Unions
of convex sets. Studia Math. 2001. V. 146, №3. P. 201-226. [Щ]
Aytuna Α., Djakov P.В., Goncharov A.P., Terzioglu Т., Zahariuta V.P.
Some open problems in the theory of locally convex spaces. Linear Topol.
Spaces Complex Anal. 1994. V. 1. P. 147-165. [548]
Badrikian Α., Chevet S. Mesures cylindriques, espaces de Wiener et
fonctions aleatoires gaussiennes. Lecture Notes in Math. 1974. V. 379.
P. 1-383. [549]
Banakh T. Topological classification of strong duals to nuclear (LF)-
spaces. Studia Math. 2000. V. 138, №3. P. 201-208. [322]
Banakh Т., Cauty R. Topological classification of closed convex sets in
Frechet spaces. Studia Math. 2011. V. 205, №1. P. 1-11. [295]
Banakh Т., Repov§ D. A topological characterization of LF-spaces.
Topology Appl. 2012. V. 159, №5. P. 1475-1488. [322]
Banaszczyk W. The Steinitz theorem on rearrangement of series for nuclear
spaces. J. Reine Angew. Math. 1990. B. 403. S. 187-200. [206]
Banaszczyk W. Additive subgroups of topological vector spaces. Lecture
Notes in Math. V. 1466. Springer-Verlag, Berlin, 1991; viii+178 p. [548]

562 Литература
[214] Banaszczyk W. Rearrangement of series in nonnuclear spaces. Studia
Math. 1993. V. 107. P. 213-222. [206]
[215] Bastiani A. Applications differ entiables et varietes differ-entiables de
dimension infinie. J. Anal. Math. 1964. V. 13. P. 1-114. [549]
[216] Bates S.M. On the image size of singular maps. Duke Math. J. 1992. V. 68,
№3. P. 463-476. [401\
[217] Bates S.M. On smooth rank-1 mappings of Banach spaces onto the plane.
J. Differential Geom. 1993. V. 37. P. 729-733. [409]
[218] Beat tie R., Butzmann H.-P. Convergence structures and applications to
functional analysis. Kluwer, Dordrecht, 2002; xiv+264 p. [548]
[219] Beauzamy B. Introduction to Banach spaces and their geometry. 2nd ed.
North-Holland, Amsterdam, 1985; xv+338 p. [548]
[220] Benyamini Y., Lindenstrauss J. Geometric nonlinear functional analysis.
Amer. Math. Soc, Providence, Rhode Island, 2000; 488 p. [406, 548]
[221] Berezhnoy V.E. On the equivalence of integral norms on the space of
measurable polynomials with respect to a convex measure. Theory Stoch.
Process. 2008. V. 14, №1. P. 7-10. [531]
[222] Bessaga C, Pelczynski A. Selected topics in infinite-dimensional topology.
Polish Scientific Publ., Warszawa, 1975; 353 p. [295, 322, 548]
[223] Bierstedt K.D. An introduction to locally convex inductive limits. In:
Functional Analysis and its Applications (H. Hogbe-Nlend, ed.), World
Sci., 1988. P. 35-133. [546, 548]
[224] Bierstedt K.D., Bonet J. Some aspects of the modern theory of Frechet
spaces. Rev. R. Acad. Cien. Ser. A Mat. 2003. V. 97. P. 159-188. [5j8]
[225] Birkhoff G., Kreyszig E. The establishment of functional analysis. Historia
Math. 1984. V. 11, №3. P. 258-321. [543]
[226] Bobkov S.G. Remarks on the growth of Lp-norms of polynomials. Lecture
Notes in Math. 2000. V. 1745. P. 27-35. [530]
[227] Bockshtein M. Un theoreme de separabilite pour les produits topologiques.
Fund. Math. 1948. V. 35. P. 242-246. [532]
[228] Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximations
in infinite dimensional spaces. Acta Math. Univ. Carolinae, Math, et Phys.
1990. V. 31, №2. P. 9-23. [406]
[229] Bogachev V.I. Deterministic and stochastic differential equations in infinite
dimensional spaces. Acta Appl. Math. 1995. V. 40. P. 25-93. [390]
[230] Bogachev V.I. Gaussian measures. Amer. Math. Soc, Providence, Rhode
Island, 1998; 433 p. [457, 468, 550]
[231] Bogachev V.I. Average approximations and moments of measures.
J. Complexity. 2000. V. 16. P. 390-410. [5Ц]
[232] Bonet J., Diaz J.C., Taskinen J. Tensor stable Frechet and (DF)-spaces.
Collect. Math. 1991. V. 42, №3. P. 199-236. [549]
[233] Bonet J., Galbis A. A note on Taskinen's counterexamples on the problem
of topologies of Grothendieck. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2). 1989. V. 32,
№2. P. 281-283. [549]
[234] Bonet J., Lindstrom M., Valdivia M. Two theorems of Josefson-
Nissenzweig type for Frechet spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1993. V. 117,
№2. P. 363-364. [319]

Литература 563
Bonet J., Taskinen J. Quojections and the problem of topologies of
Grothendieck. Note Mat. 1991. V. 11. P. 49-59. [549]
Bonic R.A. Four brief examples concerning polynomials on certain Banach
spaces. J. Differential Geom. 1968. V. 2. P. 391-392. [409]
Borell C. Convex measures on locally convex spaces. Ark. Math. 1974.
V. 12, №2. P. 239-252. [500]
Borell C, Gaussian Radon measures on locally convex spaces. Math. Scand.
1976. V. 38, №2. P. 265-284. [538]
Borell C. A note on conditional probabilities of a convex measure. Lecture
Notes in Math. 1978. V. 644. P. 68-72. [500]
Borell C. Convexity of measures in certain convex cones in vector space
σ-algebras. Math. Scand. 1983. V. 53, №1. P. 125-144. [501]
Borges C.J.R. On stratifiable spaces. Pacif J. Math. 1966. V. 17, №1.
P. 1-16. [134]
Bourbaki N. Sur les espaces de Banach. C. R. Acad. Sci. Paris. 1938. T. 206.
P. 1701-1704. [544]
Bourgin R.D. Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodym
property. Lecture Notes in Math. V. 993. Springer-Verlag, Berlin, 1983;
xii+474 p. [548]
Buldygin V.V., Solntsev S.A. Asymptotic behaviour of linearly transformed
sums of random variables. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 1997;
xvi+500 p. [549]
Cakie N., Kadelburg Z., Rajovie M., Radenovie S. On some problems
of Grothendieck concerning (F) and (DF) spaces. Numer. Funct. Anal.
Optim. 2009. V. 30, №1-2. P. 37-45. [545]
Carothers N.L. A short course on Banach space theory. Cambridge
University Press, Cambridge, 2005; xii+184 p. [548]
Cascales В., Orihuela J. On compactness in locally convex spaces. Math. Z.
1987. B. 195. S. 365-381. [548]
Cauty R. Retractes absolus de voisinage algebriques. Serdica Math. J. 2005.
V. 31, №4. P. 309-354. [548]
Choquet G. Lectures on analysis. V. I: Integration and topological vector
spaces. W.A. Benjamin, New York, 1969; xx+360+xxi p. [5^7]
Christensen J.P.R. Topology and Borel structure. North-Holland,
Amsterdam - London, Amer. Elsevier, New York, 1974; 133 p. [538]
Chung D.M., Rajput B.S., Tortrat A. Semistable laws on topological vector
spaces. Z. Wahr. theor. Verw. Geb. 1982. B. 60. S. 209-218. [513]
Cohen P.E. Products of В aire spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1976. V. 55,
№1. P. 119-124. [286]
Collins H.S. Completeness and compactness in linear topological spaces.
Trans. Amer. Math. Soc. 1955. V. 79. P. 256-280. [316]
Colombeau J.F. Infinite dimensional C°°-mappings with a given sequence
of derivatives at a given point. J. Math. Anal. Appl. 1979. V. 71. P. 95-104.
[404, 409]
De Wilde M. Theoreme du graphe ferme et espaces a reseau absorbant.
Bull. Math. Soc. Sci. Math. R. S. Roum. 1967. V. 11. P. 225-238. [267,
54Ά

564
Литература
De Wilde M. Reseaux dans les espaces lineaires a semi-normes. Mem. Soc.
Roy. Sci. Liege. 1969. V. 18, №2. P. 1-144. [267, 54l\
De Wilde M. Closed graph theorems and webbed spaces. Pitman, London,
1978; viii+158 p. [267, 54l\
Defant Α., Floret K. Tensor norms and operator ideals. North-Holland,
Amsterdam, 1993; xii+566 p. [548, 548]
Defant Α., Floret K., Taskinen J. On the injective tensorproduct of (DF)-
spaces. Arch. Math. 1991. B. 57, №2. P. 149-154. [549]
Deimling K. Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985;
xiv+450 p. [548, 549]
Dettweiler E. Grenzwertsatze fur Wahrscheinlichkeitsmasse auf Badrikian-
schen Raumen. Z. Wahr. theor. Verw. Geb. 1976. B. 34. S. 285-311. [513]
Deville R., Godefroy G., Zizler V. Smoothness and renormings in Banach
spaces. Longman Scientific &; Technical, Harlow; John Wiley L· Sons, New
York, 1993; xii+376 p. [406, 548]
Dierolf S., Lurje P. Deux exemples concernant des espaces (ultra)
bornologiques. С R. Acad. Sci. Paris. Ser. A-B. 1976. T. 282, №23.
P. A1347-A1350. [306]
Diestel J., Jarchow H., Tonge A. Absolutely summing operators. Cambridge
University Press, Cambridge, 1995; xvi+474 p. [535, 548]
Diestel J., Uhl J.J. Vector measures. Amer. Math. Soc, Providence, 1977;
xiii+322 p. [548]
Dieudonne J. Topologies faibles dans les espaces vectoriels. C. R. Acad.
Sci. Paris. 1940. T. 211. P. 94-97. [544]
Dieudonne J. Sur le theoreme de Hahn-Banach. Revue Sci. 1941. V. 70.
P. 642-643. [544]
Dieudonne J. La dualite dans les espaces vectoriels topologiques. Ann. Sci.
Ecole Norm. Super. (3). 1942. V. 59. P. 107-139. [544]
Dieudonne J. Recent developments in the theory of locally convex vector
spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 1953. V. 59. P. 495-512. [545]
Dieudonne J. On biorthogonal systems. Michigan Math. J. 1954. V. 2.
P. 7-20. [299]
Dieudonne J. Sur les espaces de Montel metrisables. C. R. Acad. Sci. Paris.
1954. T. 238. P. 194-195. [318]
Dieudonne J. Bounded sets in (F)-spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1955.
V. 6. P. 729-731. [319]
Dieudonne J. History of functional analysis. North-Holland, Amsterdam -
New York, 1981; vi+312 p. [543]
Dinculeanu N. Vector integration and stochastic integration in Banach
spaces. Wiley-Interscience, New York, 2000; xvi+424 p. [550]
Drewnowski L. The metrizable linear extensions of metrizable sets in
topological linear spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 51. P. 323-329.
[206]
Drewnowski L. Resolutions of topological linear spaces and continuity of
linear maps. J. Math. Anal. Appl. 2007. V. 335, №2. P. 1177-1194. [319]
Dubinsky E. The structure of nuclear Frechet spaces. Lecture Notes in
Math. V. 720. Springer, Berlin, 1979; ii+187 p. [299]

Литература 565
Dubinsky E. Nuclear Frechet spaces without the bounded approximation
property. Studia Math. 1981/82. V. 71, №1. P. 85-105. [299]
Dudley R.M., Feldman J., Le Cam L. On seminorms and probabilities,
and abstract Wiener spaces. Ann. Math. (2). 1971. V. 93. P. 390-408.
Corrections: ibid. 1976. V. 104, №2. P. 391. [535]
Dudley R.M., Kanter M. Zero-one laws for stable measures. Proc. Amer.
Math. Soc. 1974. V. 45, №2. P. 245-252; Correction: ibid. 1983. V. 88, №4.
P. 689-690. [506]
Dugundji J. An extension of Tietze's theorem. Pacif J. Math. 1951. V. 1.
P. 353-367. [134]
Duistermaat J.J., Kolk J.A.C. Distributions: theory and applications.
Springer, New York, 2010; xvi+445 p. [541\
Dulst D. van. Reflexive and superreflexive Banach spaces. Mathematisch
Centrum, Amsterdam, 1978; v+273 p. [548]
Dynin Α., Mitiagin B. Criterion for nuclearity in terms of approximative
dimension. Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. Astronom. Phys. 1960.
V. 8. P. 535-540. [299]
Eberlein W.F. Weak compactness in Banach spaces. I. Proc. Nat. Acad.
Sci. U. S. A. 1947. V. 33. P. 51-53. [544]
Edgar G.A. Measurability in a Banach space. I. Indiana Math. J. 1977.
V. 26, №4. P. 663-677; II. ibid., 1979. V. 28, №4. P. 559-579. [532]
Eells J. A setting for global analysis. Bull. Amer. Math. Soc. 1966. V. 72,
№5. P. 751-807. [549]
Eidelheit M. Zur Theorie der konvexen Mengen in linearen normierten
Raumen. Studia Math. 1936. V. 6. P. 104-111. [303, 544]
Ekeland I. An inverse function theorem in Frechet spaces. Annales Inst.
H. Poincare (C) Non Linear Anal. 2011. V. 28, №1. P. 91-105. [387, 4Щ
Fabian M., Habala P., Hajek P., Montesinos Santalucia V., Pelant J., Ziz-
ler V. Functional analysis and infinite-dimensional geometry. Springer-Ver-
lag, New York, 2001; x+451 p. [406, 548]
Fabian M., Habala P., Hajek P., Montesinos V., Zizler V. Banach space
theory. The basis for linear and nonlinear analysis. Springer, New York,
2011; xiv+820 p. [406, 548]
Ferrando J.C., Kakol J., Lopez Pellicer M. A revised closed graph theorem
for quasi-Suslin spaces. Czech. Math. J. 2009. V. 59. P. 1115-1122. [267,
54Ά
Ferrando J.C., Kakol J., Lopez Pellicer M., Saxon S.A. Quasi-Suslin weak
duals. J. Math. Anal. Appl. 2008. V. 339. P. 1253-1263. [548]
Ferrando J.C., Kakol J., Lopez Pellicer M., 3liwa W. Web-compact spaces,
Frechet-Urysohn groups and a Suslin closed graph theorem. Math. Nachr.
2010. B. 283, №5. S. 704-711. [267, 548]
Ferrando J.C., Lopez Pellicer M., S&nchez Ruiz L.M. Metrizable barrelled
spaces. Pitman Research Notes in Math. Ser. V. 332. Longman, Harlow;
Wiley, New York, 1995; 238 p. [548]
Fernique X. One demonstration simple du theoreme de R.M. Dudley et
M. Kanter sur les lots zero-un pour les mesures stables. Lecture Notes in
Math. 1974. V. 381. P. 78-79. [513]

566
Литература
Fernique X. Fonctions aleatoires gaussiennes, vecteurs aleatoires gaussiens.
Universite de Montreal, Centre de Recherches Mathematiques, Montreal,
1997; iv+217 p. [550]
Floret K. Weakly compact sets. Lecture Notes in Math. V. 801. Springer-
Verlag, Berlin - New York, 1980; vii+123 p. [290, 291, 296, 311, 322]
Fonf V.P., Johnson W.B., Pisier G., Preiss D. Stochastic approximation
properties in Banach spaces. Studia Math. 2003. V. 159, №1. P. 103-119.
[Щ, 5Ц, 516, 529]
Fortet R., Mourier E. Les fonctions aleatoires comme elements aleatoires
dans les espaces de Banach. Studia Math. 1955. V. 15. P. 62-73. [550]
Frechet M. Les elements aleatoires de nature quelconque dans un espace
distancie. Ann. Inst. H. Poincare. 1948. V. 10. P. 215-310. [550]
Fremlin D.H. В or el sets in non-separable Banach spaces. Hokkaido Math.
J. 1980. V. 9. P. 179-183. [534]
Fremlin D. Measure theory. V. 1-5. University of Essex, Colchester, 2000-
2003. [540]
Frolicher Α., Kriegl A. Linear spaces and differentiation theory. John Wiley
& Sons, Chichester, 1988; xvi+246 p. [549]
Gaehler W. Grundstrukturen der Analysis. B. 1, 2. Birkhauser, Basel -
Stuttgart, 1977, 1978; viii+412 S., viii+623 S. [549]
Garnir H.G., De Wilde M., Schmets J. Analyse fonctionnelle. T. I—III.
Birkhauser Verlag, Basel-Stuttgart, 1968,1972,1973; 562 p., 287 p., 375 p. [5^7]
Garsoux J. Espaces vectoriels topologiques et distributions. Dunod, Paris,
1963; xiii+324 p. [541\
Goldstine H.H. Weakly complete Banach spaces. Duke Math. J. 1938. V. 4.
P. 125-131. [544]
Granas Α., Dugundji J. Fixed point theory. Springer, New York, 2003;
xv+690 p. [548]
Gross L. Harmonic analysis on Hilbert space. Mem. Amer. Math. Soc. 1963.
V. 46. P. 1-62. [550]
Grothendieck A. Criteres de compacite dans les espaces fonctionnels
generaux. Amer. J. Math. 1952. V. 74. P. 168-186. [545]
Grothendieck A. Resume des resultats essentiels dans la theorie des
produits tensoriels topologiques et des espaces nucleaires. Ann. Inst. Fourier
Grenoble. 1952. V. 4. P. 73-112. [545]
Grothendieck A. Resume de la theorie metrique des produits tensoriels
topologiques. Bol. Soc. Mat. Sao Paulo. 1953. V. 8. P. 1-79. [545]
Grothendieck A. Produit tensoriels topologiques et espaces nucleaires.
Mem. Amer. Math. Soc. 1955. №16. 140 p.; erratum: Ann. Inst. Fourier,
Grenoble. 1955-1956. V. 6. P. 117-120. [266, 545]
Grothendieck A. Espaces vectoriels topologiques. Inst. Mat. Рига Apl.,
Univ. de Sao Paulo, Sao Paulo, 1954; 240 p.; англ. пер.: Topological vector
spaces. Gordon and Breach, New York - London - Paris, 1973; x+245 p.
[266, ЗЦ, 540, 545]
Gruenhage G. Metrizable spaces and generalizations. Recent Progress in
General Topology-II (M. Husek, J. van Mill, eds.). P. 201-225. Elsevier,
Amsterdam, 2002. [294]

Литература 567
Guerre-Delabriere S. Classical sequences in Banach spaces. Marcel Dekker,
New York, 1992; xvi+207 p. [548]
Hain R.M. A characterization of smooth functions defined on a Banach
space. Proc. Amer. Math. Soc. 1979. V. 77, №1. P. 63-67. [549]
Haworth R.C., Mccoy R.A. Baire spaces. Dissert. Math. CXLI. Warszawa,
1977; 73 p. [285]
Hazod W., Siebert E. Stable probability measures on Euclidean spaces
and on locally compact groups. Structural properties and limit theorems.
Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2001; xviii+612 p. [513, 549]
Herer W. Stochastic bases in Frechet spaces. Demonstr. Math. 1981. V. 14.
P. 719-724. [528]
Heyer H. Structural aspects in the theory of probability. 2nd ed. World
Sci., Hackensack, New Jersey, 2010; xii+412 p. [549]
Hoffmann-j0rgensen J. Weak compactness and tightness of subsets of
M(X). Math. Scand. 1972. V. 31, №1. P. 127-150. [518]
Hoffmann-j0rgensen J. Probability in Banach spaces. Lecture Notes in
Math. 1976. V. 598. P. 1-186. [549]
Hoffmann-j0rgensen J. Integrability of serninorms, the 0-1 law and the
affine kernel for product measures. Studia Math. 1977. V. 61, №2.
P. 137-159. [550]
Hogbe-Nlend H. Theorie des bornologies et applications. Lecture Notes in
Math. V. 213. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971;
iv+168 p. [54Ά
Horvath J. Topological vector spaces and distributions. V. I. Addison-
Wesley, Reading - London - Don Mills, 1966; xii+449 p. [54l\
Hyers D.H. Linear topological spaces. Bull. Amer. Math. Soc. 1945. V. 51,
№1. P. 1-21. [545]
James R.C. A non-reflexive Banach space isometric with its second
conjugate space. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 1951. V. 37. P. 174-177. [30l\
James R.C. Reflexivity and the supremum of linear functionals. Ann.
Math. (2). 1957. V. 66. P. 159-169. [545]
James R.C. Characterizations of reflexivity. Studia Math. 1963/1964. V. 23.
P. 205-216. [545]
James R.C. Weakly compact sets. Trans. Amer. Math. Soc. 1964. V. 113.
P. 129-140. [290, 5j5]
James R.C. Reflexivity and the sup of linear functionals. Israel J. Math.
1972. V. 13. P. 289-300. [545]
Jarchow H. Locally convex spaces. B.G. Teubner, Stuttgart, 1981; 548 p.
[129, 154, 160, 191, 245, 269, 298, 319, 546]
Johnson W.B., Lindenstrauss J. (ed.) Handbook of the geometry of Banach
spaces. V. I, II. North-Holland, Amsterdam, 2001, 2003; x+1005 p.,
xii+1007-1866 p. [548, 550]
Junek H. Locally convex spaces and operator ideals. Teubner, Leipzig, 1983;
180 p. [548]
Kadelburg Z., Radenovie S. Subspaces and quotients of topological and
ordered vector spaces. University of Novi Sad, Inst. Math., Novi Sad, 1997;
iv+122 p. [548]

568
Литература
Kakol J., Kubis* W., Lopez-Pellicer Μ. Descriptive topology in selected
topics of functional analysis. Springer, Berlin, 2011; xii+493 p. [267, 294,
548]
Kakol J., Lopez Pellicer M., Todd A.R. A topological vector space is
Frechet-Urysohn if and only if it has bounded tightness. Bull. Belg. Math.
Soc. Simon Stevin. 2009. V. 16, №2. P. 313-317. [294]
Kakol J., Lopez Pellicer M. On realcompact topological vector spaces. Rev.
R. Acad. Cienc. Exactas Fiis. Nat. Ser. A Math. RACSAM. 2011. V. 105,
№1. P. 39-70. [548]
Kakutani S. Uber die Metrisation der topologischer Gruppen. Proc. Imper.
Acad. Tokyo. 1936. V. 12. P. 82-84. [545]
Kakutani S. Bin Beweis des Satzes von M. Eidelheit uber konvexe Mengen.
Proc. Imper. Acad. Tokyo. 1937. V. 13. P. 93-94. [544]
Kakutani S. Weak topology, bicompact set and the principle of duality.
Proc. Imper. Acad. Tokyo. 1940. V. 16. P. 63-67. [544]
Kakutani S., Klee V. The finite topology of a linear space. Arch. Math.
(Basel). 1963. V. 14. P. 55-58. [15l\
Kalton N.J. Some forms of the closed graph theorem. Proc. Cambridge
Philos. Soc. 1971. V. 70. P. 401-408. [309, 546]
Kalton N.J., Peck N.T., Roberts J.W. An F-space sampler. Cambridge
University Press, Cambridge, 1984; xii+240 p. [548]
Kanter M. Linear sample spaces and stable processes. J. Funct. Anal. 1972.
V. 9, №4. P. 441-459. [513, 524]
Kanter M. Random linear functionals and why we study them. Lecture
Notes in Math. 1978. V. 645. P. 114-123. [524]
Kanter M. Completion measurable linear functionals on a probability space.
Colloq. Math. 1978. V. 38, №2. P. 277-304. [550]
Kanwal R.P. Generalized functions. Theory and applications. 3d ed.
Birkhauser Boston, Boston, 2004; xviii+476 p. [5^7]
Keller O.-H. Die Homoiomorphie der kompakten konvexen Mengen im
Hilbertschen Raum. Math. Ann. 1931. B. 105, №1. S. 748-758. [295]
Keller H.H. Differential calculus in locally convex spaces. Lecture Notes
in Math. V. 417. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1974;
143 p. [549]
Kelley J.L., Namioka I. Linear topological spaces. 2nd ed. Springer-Verlag,
New York - Heidelberg, 1976; xv+256 p. [119, 315, 545]
Klee V.L. Convex sets in linear spaces. Duke Math. J. 1951. V. 18.
P. 443-466. [545]
Klee V.L. Invariant metrics in groups {solution of a problem of Banach).
Proc. Amer. Math. Soc. 1952. V. 3. P. 484-487. [545]
Klee V.L. Boundedness and continuity of linear functionals. Duke Math. J.
1955. V. 22. P. 263-269. [545]
Klee V.L. Some topological properties of convex sets. Trans. Amer. Math.
Soc. 1955. V. 78. P. 30-45. [545]
Klee V., Maluta E., Zanco C. Basic properties of evenly convex sets.
J. Convex Anal. 2007. V. 14, №1. P. 137-148. [548]

Литература 569
Knowles R.J., Cook T.A. Incomplete reflexive spaces without Schauder
bases. Proc. Cambridge Philos. Soc. 1973. V. 74. P. 83-86. [253]
Kothe G. Topological vector spaces. V. I, II. Springer-Verlag, Berlin, 1969,
1979; xv+456 p., xii+331 p. (нем. изд.: Topologische lineare Raume. I.
Springer-Verlag, Berlin, 1960; xii+456 S.) [318, 319, 545]
Kothe G., Toepliz O. Lineare Raume mit unendlichvielen Koordinaten
und Ringe unendlicher Matrizen. J. Reine Angew. Math. 1934. B. 171.
S. 193-226. [544]
Kolmogoroff A.N. Zur Normierbarkeit eines allgemeinen topologischen
linearen Raumes. Studia Math. 1934. V. 5. P. 29-33 (пер. в [77, кн. 2,
с. 168-171]). [63, 543]
Kolmogoroff A. La transformation de Laplace dans les espaces lineaires.
С R. Acad. Sci. Paris. 1935. T. 200. P. 1717-1718 (пер. в [77, кн. 1,
с. 178-179]). [441, 550]
Komura Y. Some examples on linear topological spaces. Math. Ann. 1964
B. 153. S. 150-162. [253]
Komura Т., Komura Y. Uber die Einbettung der nuklearen Raume in (s)A.
Math. Ann. 1966. B. 162. S. 284-288. [190]
Krein M., Smulian V. On regulary convex sets in the space conjugate to a
Banach space. Ann. Math. (2). 1940. V. 41. P. 556-583. [544]
Kriegl Α., Michor P.W. The convenient setting of global analysis. Amer.
Math. Soc, Providence, Rhode Island, 1997; x+618 p. [549]
Krom M.R. Cartesian products of metric Baire spaces. Proc. Amer. Math.
Soc. 1974. V. 42. P. 588-594. [286]
Kuelbs J. Some results for probability measures on linear topological vector
spaces with an application to Strassen's LogLog Law. J. Funct. Anal. 1973.
V. 14, №1. P. 28-43. [514]
Kuelbs J., Zinn J. Another view of the CLT in Banach spaces. J. Theoret.
Probab. 2008. V. 21, №4. P. 982-1029. [550]
Kunzinger M. Barrelledness, Baire-like- and (LF)-spaces. Pitman Research
Notes in Math. Ser. V. 298 Longman, Harlow; Wiley h Sons, New York,
1993; xiii+160 p. [548]
Kwapien S. Complement au theoreme de Sazonov-Minlos. C. R. Acad. Sci.
Paris Ser. A-B. 1968. T. 267. P. A698-A700. [538]
Kwapien S., Tarieladze V. Mackey continuity of characteristic functionals.
Georg. Math. J. 2002. V. 9, №1. P. 83-112. Щ6, 488]
LarmanD.G., Rogers C.A. The normability of metrizable sets. Bull. London
Math. Soc. 1973. V. 5. P. 39-48. [206]
Ledoux M., Talagrand M. Probability in Banach spaces. Isoperimetry and
processes. Springer-Verlag, Berlin, 1991; xii+480 p. [504, 550]
Lelong P. Introduction a l'analyse fonctionnelle. I: Espaces vectoriels
topologiques. Les cours de Sorbonne. Centre de Documentation
Universitaire, Paris, 1971; ii+230 p. [541\
Leonov Α., Shkarin S. On weak and strong Peano theorems. Russ. J. Math.
Phys. 2004. V. 11. P. 77-80. [395]
LePage R., Woodroofe M., Zinn J. Convergence to a stable distribution via
order statistics. Ann. Probab. 1981. V. 9, №4. P. 624-632. [509]

570 Литература
Li D., Queffelec Η. Introduction a l'etude des espaces de Banach. Soc. Math.
de France, Paris, 2004; xxiv+627 p. [548]
Linde W. Probability in Banach spaces - stable and infinitely divisible
distributions. Wiley, New York, 1986; 195 p. [513, 549]
Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces. V. 1,11. Springer,
Berlin - New York, 1996; 424 p. [297, 311, 548]
Llavona J.G. Approximation of continuously differentiable functions.
North-Holland, Amsterdam, 1986; xiv+241 p. [406]
Louie D., Rajput B.S., Tortrat A. A zero-one dichotomy theorem for
r-semistable laws on infinite-dimensional linear spaces. Sankhya, Ser. A.
1980. V. 42. P. 9-18. [512]
Lutzen J. The prehistory of the theory of distributions. Springer-Verlag,
New York - Berlin, 1982; viii+232 p. [543]
Luxemburg W.A.J., Zaanen A.C. Riesz spaces. V. I, II. North-Holland,
Amsterdam - London; American Elsevier, New York, 1971, 1983; xi+514 p.,
xi+720 p. [548]
Mackey G. On infinite-dimensional linear spaces. Trans. Amer. Math. Soc.
1945. V. 57. P. 155-207. [545]
Mackey G. On convex topological linear spaces. Trans. Amer. Math. Soc.
1946. V. 60. P. 519-537. [545]
Mankiewicz P. On topological, Lipschitz, and uniform classification of LF-
spaces. Studia Math. 1974. V. 52. P. 109-142. [322]
Maeda M. Some examples of measurable norms. J. Math. Anal. Appl. 1984.
V. 98, №1. P. 158-165. [536]
Maeda M., Harai K., Hagihara R. Some examples and the connection
between cylindrical measures and measurable norms. J. Math. Anal. Appl.
2003. V. 288, №2. P. 556-564. [536]
Mauldin R.D. (ed.) The Scottish Book. Mathematics from the Scottish
Cafe. Birkhauser, Boston, 1981; xiii+268 p. [543]
Mazur S. Uber konvexe Mengen in linearen normierten Raumen. Studia
Math. 1933. V. 4. P. 70-85. [544]
Mcintosh A. On the closed graph theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 1969.
V. 20. P. 397-404. [309, 546]
Megginson R.E. An introduction to Banach space theory. Springer-Verlag,
New York, 1998; xx+596 p. [308, 548]
Meise R., Vogt D. Introduction to functional analysis. The Clarendon Press,
Oxford University Press, New York, 1997; x+437 p. [129, 318, 54l\
Michael E. A selection theorem. Proc. Amer. Math. Soc. 1966. V. 17.
P. 1404-1406. [133]
Mill J. van. Domain invariance in infinite-dimensional linear spaces. Proc.
Amer. Math. Soc. 1987. V. 101, №1. P. 173-180. [296]
Mill J. van. Infinite-dimensional topology. Prerequisites and introduction.
North-Holland, Amsterdam, 1989; xii+401 p. [548]
Mill J. van. The infinite-dimensional topology of function spaces. North-
Holland, Amsterdam, 2001; xii+630 p. [548]

Литература 571
Milnor J. Remarks on infinite-dimensional Lie groups. In: Relativity,
groups and topology, II (Les Houches, 1983). P. 1007—1057. North-Holland,
Amsterdam, 1984. [549]
Mibu Y. On Baire functions on infinite product spaces. Proc. Imp. Acad.
Tokyo. 1944. V. 20. P. 661-663. [532]
Monna A.F. Functional analysis in historical perspective. John Wiley &
Sons, New York - Toronto, 1973; viii+167 p. [543]
Mordukhovich B.S. Variational analysis and generalized differentiation. I.
Basic theory. II. Applications. Springer-Verlag, Berlin, 2006; xxii+579 p.,
xxii+610 p. [549]
Mouchtari D. La topologie du type de Sazonov pour les Banach et les
supports hilbertiens. Ann. Univ. Clermont. 1976. V. 61. P. 77-87. [550]
Mourier E. Elements aleatoires dans un espace de Banach. Ann. Inst.
H. Poincare. 1953. T. 19. P. 161-244. [550]
Mujica J. Complex analysis in Banach spaces. Holomorphic functions and
domains of holomorphy in finite and infinite dimensions. North-Holland,
Amsterdam, 1986; xii+434 p. [549]
Mushtari D.H. Probabilities and topologies on linear spaces. Kazan
Tracts in Mathematics, 1. Kazan Mathematics Foundation, Kazan', 1996;
xiv+233 p. [549]
Nakano H. Topology of linear topological spaces. Maruzen, Tokyo, 1951;
viii+281 p. [545]
Namioka I. Kakutani-type fixed point theorems: a survey. J. Fixed Point
Theory Appl. 2011. V. 9, №1. V. 1-23. [548]
Narici L. On the Hahn-Banach theorem. Advanced courses of mathematical
analysis. II, p. 87-122, World Sci. Publ., Hackensack, New Jersey, 2007
(http://at.yorku.ca/p/a/a/o/58.htm). [543]
Narici L., Beckenstein E. Topological vector spaces. 2nd ed. CRC Press,
Boca Raton, Florida, 2011; xviii+610 p. [546]
Neeb K.-H. Towards a Lie theory of locally convex groups. Japan. J. Math.
2006. V. 1, №2. P. 291-468. [549]
Neerven J. van. η-radonifying operators: a survey. Proc. Centre Math.
Appl. Austral. Nat. Univ., 44, Canberra, 2010. P. 1-61. [535]
Neumann J. von. Zur Theorie der Gesellsschaftsspiele. Math. Ann. 1929.
B. 100. S. 295-320. [544]
Neumann J. von. On complete topological linear spaces. Trans. Amer.
Math. Soc. 1935. V. 37. P. 1-20. [543]
Okazaki Y. Stochastic basis in Frechet space. Math. Ann. 1986. B. 274.
S. 379-383. [528]
Omori H. Infinite-dimensional Lie groups. Amer. Math. Soc, Providence,
Rhode Island, 1997; xii+415 p. [549]
Ostling E.G., Wilansky A. Locally convex topologies and the convex
compactness property. Proc. Camb. Phil. Soc. 1974. V. 75. P. 45-50. [539]
Oxtoby J.C. Cartesian products of Baire spaces. Fund. Math. 1960/1961.
V. 49. P. 157-166. [286]
Panchapagesan T.V. The Bartle-Dunford-Schwartz integral. Integration
with respect to a sigma-additive vector measure. Birkhauser, Basel, 2008;
xvi+301 p. [550]

572
Литература
Peetre J. Rectifications a Varticle "Une caracterisation abstraite des
operateurs differentiels". Math. Scand. 1960. V. 8. P. 116-120. [410]
Peralta A.M., Villanueva I., Wright J.D.M., Ylinen K. Weakly compact
operators and the strong* topology for a Banach space. Proc. Roy. Soc.
Edinburgh Sect. A. 2010. V. 140, №6. P. 1249-1267. [548]
Peressini A.L. Ordered topological vector spaces. Harper &; Row, New
York - London, 1967; x+228 p. [548]
Perez Carreras P., Bonet J. Barrelled locally convex spaces. North-Holland,
Amsterdam, 1987; xvi+512 p. [Ц0, 170, 175, 177, 201, 202, 203, 237, 243,
245, 260, 285, 304, 306, 308, 546]
Perez-Garcia C, Schikhof W.H. Locally convex spaces over non-
Archimedean valued fields. Cambridge University Press, Cambridge, 2010;
xiv+472 p. [548]
Pietsch A. History of Banach spaces and linear operators. Birkhauser
Boston, Boston, 2007; xxiv+855 p. [543, 548]
Pisier G. Introduction to operator space theory. Cambridge University
Press, Cambridge, 2003; vii+478 p. [548]
Prohorov Yu.V. The method of characteristic functionals. Proc. 4th
Berkeley Symp. Math. Statist, and Probab. V. 2. P. 403-419. University of
California Press, Berkeley, 1960. [550]
Ptuk V. An extension theorem for separately continuous functions and
its application to functional analysis. Czech. Math. J. 1964. V. 14, №4.
P. 562-581. [545]
Pryce J.D. Weak compactness in locally convex spaces. Proc. Amer. Math.
Soc. 1966. V. 17. P. 148-155. [290]
Qiu J. Local completeness and dual local quasi-completeness. Proc. Amer.
Math. Soc. 2000. V. 129, №5. P. 1419-1425. [206]
Rajput B.S. On the support of certain symmetric stable probability
measures on TVS. Proc. Amer. Math. Soc. 1977. V. 63. P. 306-312. [512]
Rajput B.S. On the support of symmetric infinitely divisible and stable
probability measures on LCTVS. Proc. Amer. Math. Soc. 1977. V. 66.
P. 331-334. [512]
Rajput B.S. Supports of certain infinitely divisible probability measures on
locally convex spaces. Ann. Probab. 1993. V. 21, №2. P. 886-897. [512]
Rajput B.S., Rama-Murthy K., Zak T. Supports of semi-stable probability
measures on locally convex spaces. J. Theor. Probab. 1994. V. 7, №4.
P. 931-942. [512]
Repov§ D., Semenov P.V. Continuous selections and multivalued mappings.
Kluwer Acad. Publ., Dordrech - Boston - London, 1998; viii+356 p. [133]
Robertson W. On the closed graph theorem and spaces with webs. Proc.
London Math. Soc. (3). 1972. V. 24. P. 692-738. [54l\
Rolewicz S. Metric linear spaces. 2nd ed. Reidel, Dordrecht; PWN - Polish
Sci. Publ., Warsaw, 1985; xii+459 p. [548]
Roshiski J. On the convolution of cylindrical measures. Bull. Acad. Polon.
Sci. 1982. V. 30, №7-8. P. 379-383. [494]
Roth W. Operator-valued measures and integrals for cone-valued functions.
Lecture Notes in Math. V. 1964. Springer, Berlin, 2009; x+356 p. [550]

Литература 573
Sakai К. On R°° -manifolds and Q°°-manifolds. Topology Appl. 1984. V. 18,
№1. P. 69-79. [322]
Sato H. Banach support of a probability measure in a locally convex space.
Lecture Notes in Math. 1976. V. 526. P. 221-226. [5Ц]
Sato H. Hilbertian support of a probability measure on a Banach space.
Lecture Notes in Math. 1979. V. 709. P. 195-205. [514]
Saxon S.A. Two characterizations of linear Baire spaces. Proc. Amer.
Math. Soc. 1974. V. 45, №2. P. 204-208. [286]
Saxon S.A., S&nchez Ruiz L.M. Dual local completeness. Proc. Amer. Math.
Soc. 1997. V. 125. P. 1063-1070. [206]
Schmets J. Espaces de fonctions continues. Lecture Notes in Math. V. 519.
Springer-Verlag, Berlin - New York, 1976; xii+150 p. [290]
Schreier J. Bin Gegenbeispiel zur Theorie der schwachen Konvergenz.
Studia Math. 1930. V. 2. P. 58-62. [312]
Schwartz L. Theorie des distributions. Τ. Ι,ΙΙ. Hermann & Cie, Paris, 1950,
1951; 148 p., 169 p. (2e ed.: Hermann, Paris, 1966; xiii+420 p.) [545]
Schwartz L. Sur le theoreme du graphe ferme. С R. Acad. Sci. Paris. 1966.
T. 263. P. 602-605. [538, 541\
Schwartz L. Probabilites cylindriques et applications radonifiantes. J. Fac.
Sci. Univ. Tokyo, Sect. I A. 1971. V. 18. P. 139-286. [535]
Schwartz L. Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical
measures. Oxford University Press, London, 1973; xii+393 p. [549]
Segal I. Distributions in Hilbert space and canonical system of operators.
Trans. Amer. Math. Soc. 1958. V. 88, №1. P. 12-41. [550]
Shirota T. On locally convex vector spaces of continuous functions. Proc.
Japan Acad. 1954. V. 30. P. 294-299. [241]
Shkarin S.A. Extending smooth functions from linear subspaces of locally
convex spaces. J. Math. Sci. (New York). 1998. V. 91. P. 3323-3338. [404]
Shkarin S.A. On stratifiable locally convex spaces. Russ. J. Math. Phys.
1999. V. 6. P. 435-460. [294]
Shkarin S.A. Whitney's type theorems for infinite dimensional spaces. Infm.
Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 2000. V. 3. P. 141-160. [404]
Shkarin S.A. Sequentially continuous non-linear fundamental systems of
solutions of affine equations in locally convex spaces. Demonstratio Math.
2003. V. 36. P. 611-626. [395]
Shkarin S.A. Monotonically normal topological vector spaces are
stratifiable. Topology Appl. 2004. V. 136, №1. P. 129-134. [294]
Shkarin S.A. On solvability of linear differential equations in RN.
Demonstratio Math. 2005. V. 38. P. 85-99. [395]
Shkarin S.A. Compact perturbations of linear differential equations in
locally convex spaces. Studia Math. 2006. V. 172, №3. P. 203-227. [395]
Singer I. Abstract convex analysis. John Wiley & Sons, New York, 1997;
xxii+491 p. [549] .
Singer I. Duality for nonconvex approximation and optimization. Springer,
New York, 2006; xx+355 p. [549]

574
Литература
Slowikowski W. Extensions of sequentially continuous linear functionals in
inductive sequences of (^-spaces. Studia Math. 1966. V. 26. P. 193-221.
[206, 547\
Smirnov E. Hausdorff spectra in functional analysis. Springer, London,
2002; viii+209 p. [267, 54Ά
Smolenski W. Pre-supports and kernels of probability measures in Frechet
spaces. Demonstr. Math. 1977. V. 10, №3-4. P. 751-762. [550]
Smolenski W. An abstract form of a counterexample of Marek Kanter.
Lecture Notes in Math. 1984. V. 1080. P. 288-291. [524]
Smolenski W. On the approximation of measurable linear functionals.
Statist. Probab. Lett. 1985. V. 3, №4. P. 205-207. [550]
Smolenski W. On the kernel of probability measures on a Banach space.
Demonstr. Math. 1988. V. 21. P. 569-572. [550]
Smolyanov O.G. Nonclosed sequentially closed subsets of locally convex
spaces and applications. Note di Matematica. 1992. V. 12. P. 237-244. [191]
Smolyanov O.G. Solutions of D.A. Raikov's problems in the theory of
topological vector spaces. Russian J. Math. Phys. 2008. V. 15, №4.
P. 522-529. [191]
Sztencel R. On the lower tail of stable seminorm. Bull. Acad. Polon. Sci.
1984. V. 32, №11-12. P. 715-719. [509]
Takahashi Y., Okazaki Y. 0-1 laws of a probability measure on a locally
convex space. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 1986. V. 22, №1. P. 97-102. [550]
Talagrand M. Sur une conjecture de H.H. Corson. Bull. Sci. Math. (2).
1975. V. 99, №4. P. 211-212. [293]
Talagrand M. Les boules peuvent engendrer la tribu borelienne d'un espace
metrizable поп separable? Seminaire Choquet, 17e anee. 1977-1978. F. 5,
№2, 2 pp. Paris, 1978. [534]
Talagrand M. Comparaison des boreliens d'un espace de Banach pour
les topologies fortes et faibles. Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27, №6.
P. 1001-1004. [534]
Talagrand M. Est-ce que l°° est un espace mesurable? Bull. Sci. Math.
1979. T. 103, №3. P. 255-258. [534]
Talagrand M. Hyperplans universellement mesurables. C. R. Acad. Sci.
Paris, Ser. A. 1980. T. 291. P. A501-A502. [538]
Talagrand M. Pettis integral and measure theory. Mem. Amer. Math. Soc.
1984. V. 51, №307. P. 1-224. [538]
Taskinen J. Counterexamples to "probleme des topologies" of Grothendieck.
Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. Dissertationes. 1986. №63. 25 p. [549]
Taskinen J. The projective tensor product of Frechet-Montel spaces. Studia
Math. 1988. V. 91, №1. P. 17-30. [549]
Taskinen J. A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented
subspace without basis. Proc. Amer. Math. Soc. 1991. V. 113, №1.
P. 151-155. [299]
Taylor A.E. The differential: Nineteenth and twentieth century
developments. Arch. Hist. Exact Sci. 1974. V. 12. P. 355-383. [549]

Литература 575
Taylor Α.Ε. Α study of Maurice Frechet. 1-111. Arch. Hist. Exact Sci. 1982.
V. 27, №3. P. 233-295; ibid., 1985. V. 34, №4. P. 279-380; ibid., 1987. V. 37,
№1. P. 25-76. [543]
Tkachuk V.V. A selection of recent results and problems in Cp-theory.
Topology Appl. 2007. V. 154, №12. P. 2465-2493. [548]
Tortrat A. Structure des lots indefiniment divisibles (μ G 3 = 3(X)) dans
un espace vectoriel topologique (separej X. Lecture Notes in Math. 1967.
V. 31. P. 299-327. [512]
Tortrat A. Sur la structure des lots indefiniment divisibles (classe X(X))
dans les espaces vectoriels X (sur le corps reel). Z. Wahr. theor. verw. Get).
1969. B. 11. S. 311-326. [512]
Tortrat A. Lois e(A) dans les espaces vectoriels et lois stables. Z. Wahr.
theor. verw. Geb. 1976. B. 37, №2. S. 175-182. [505]
Tortrat A. Sur le support des lois indefiniment divisibles dans les espaces
vectoriels localment convexes. Ann. Inst. H. Poincare. 1977. V. 13. P. 27-43;
Complement: ibid., P. 293-298; Second complement: ibid., P. 349-354. [512]
Torunczyk H. Characterizing Hilbert space topology. Fund. Math. V. 1981.
V. 111. P. 247-262. [295]
Treves F. Topological vector spaces, distributions and kernels. Academic
Press, New York - London, 1967; xvi+624 p. [545]
Tychonoff A. Bin Fixpunktsatz. Math. Ann. 1935. B. 111. S. 767-776. [543]
Urbanik K. Random linear functionals and random integrals. Colloq. Math.
1975. V. 38, №2. P. 255-263. [524]
Valdivia M. Mackey convergence and the closed graph theorem. Arch.
Math. 1974. B. 25. S. 649-656. [270]
Valdivia M. The space of distributions V'{U) is not Br-complete. Math.
Ann. 1974. B. 211. S. 145-149. Щ1\
Valdivia M. The space V(U) is not Br-complete. Ann. Inst. Fourier
(Grenoble). 1977. V. 27, №4. P. 29-43. [54l\
Valdivia M. On weakly complete sets in a locally convex space. Arch. Math.
(Basel). 1977. B. 28, №6. S. 638-643. [321]
Valdivia M. Topics in locally convex spaces. North-Holland, Amsterdam,
1982; xiii+510 p. [285, 316, 546]
Valdivia M. Br-complete spaces which are not B-complete. Math. Z. 1984.
B. 185, №2. S. 253-259. [260]
Valdivia M. A characterization of totally reflexive Frechet spaces. Math. Z.
1989. B. 200, №3. S. 327-346. [320]
Valdivia M. Bases and quasi-reflexivity in Frechet spaces. Math. Nachr.
2005. B. 278, №6. S. 712-729. [299]
Valdivia M. On certain (LB)-spaces. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin.
2007. V. 14, №3. P. 565-575. [548]
Vogt D. Regularity properties of (LF)-spaces. Progress in functional
analysis. P. 57-84. North-Holland, Amsterdam, 1992. [548]
Vogt D. A nuclear Frechet space of C°° -functions which has no basis. Note
Mat. 2005/06. V. 25, №2. P. 187-190. [299]

576
Литература
[504] Vogt D. A nuclear Frechet space consisting of C°°-functions and failing
the bounded approximation property. Proc. Amer. Math. Soc. 2010. V. 138,
№4. P. 1421-1423. [299]
[505] Waelbroeck L. Topological vector spaces and algebras. Lecture Notes in
Math. V. 230. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1971; vii+158 p. [548]
[506] Waelbroeck L. Bornological quotients. Academie Royale de Belgique.
Classe des Sciences, Brussels, 2005; 251 p. [5^7]
[507] Wehausen J. Transformations in linear topological spaces. Duke Math. J.
1938. V. 4. P. 157-169. [544]
[508] Weizsacker H. von. Der Satz von Choquet-Bishop-de Leeuw fur konvexe
nicht kompakte Mengen straffer Mafie iiber beliebigen Grundraumen. Math.
Z. 1975. B. 142. S. 161-165. [453]
[509] Weizsacker H. von. A note on infinite dimensional convex sets. Math.
Scand. 1976. V. 38, №2. P. 321-324. [539]
[510] Weizsacker H. von, Winkler G. Integral representation in the set of
solutions of a generalized moment problem. Math. Ann. 1979. B. 246.
S. 23-32. [453]
[511] Wiener N. Differential space. J. Math. Phys. 1923. V. 2. P. 131-174. [550]
[512] Wilansky A. Functional analysis. Blaisdell - Ginn, New York - Toronto -
London, 1964; xvi+293 p. [5^7]
[513] Wilansky A. Modern methods in topological vector spaces. McGraw-Hill,
New York, 1978; xiii+298 p. [304, 309, 546]
[514] Wigniewski A. Measurable linear operators on Banach spaces. Colloq.
Math. 1987. V. 54, №2. P. 261-265. [541]
[515] Wigniewski A. Measurable linear functionals and operators on Frechet
spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 1992. V. 114, №4. P. 1079-1085. [542]
[516] Wi£niewski A. Measurable linear operators induced by stochastic processes.
Demonstr. Math. 2002. V. 35, №4. P. 873-878. [550]
[517] Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts. Cambridge University Press,
Cambridge, 1991; xiv+382 p. [548]
[518] Wojtynski W. On conditional bases in non-nuclear Frechet spaces. Studia
Math. 1970. V. 35. P. 77-96. [299]
[519] Yamamuro S. Differential calculus in topological linear spaces. Lecture
Notes in Math. V. 374. Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York,
1974; iv+179 p. [549]
[520] Yamasaki Y. Measures on infinite-dimensional spaces. World Sci.,
Singapore, 1985; x+256 pp. [549]
[521] Zahariuta V. Linear topologic invariants and their applications to
isomorphic classification of generalized power spaces. Turk. J. Math. 1996.
V. 20, №2. P. 237-289. [548]
[522] Zalinescu C. Convex analysis in general vector spaces. World Scientific,
River Edge, New Jersey, 2002; xx+367 p. [549]
[523] Zinn J. Zero-one laws for поп-Gaussian measures. Proc. Amer. Math. Soc.
1974. V. 44, №1. P. 179-185. [550]

Предметный указатель
Л-, Л-дифференцируемость, 328
Л-непрерывность, 347
Л-сходимость, 347
Адамара производная, 332
Аренса топология, 303
абсолютная непрерывность
мер, 415
абсолютно суммирующий
оператор, 197
аксиома выбора, 13
алгебра цилиндров, 411
алгебраическая сумма, 39
- множеств, 13
алгебраически внутренняя
точка, 100
алгебраически открытое
множество, 100
алгебраически сопряженное, 11
алгебраический базис, 10
алгебраическое дополнение, 39
алгебраическое ядро, 100
альтернатива Фредгольма, 280
аффинное подпространство, 12
β-полное пространство, 259
Вг-полное пространство, 259
6-, 6-дифференцируемость, 331
Банаха теорема
- об обратном операторе, 264
- о замкнутом графике, 264
Банаха-Алаоглу-Бурбаки
теорема, 210
Банаха-Дьедонне теорема, 262
Банаха-Макки теорема, 171
Банаха-Штейнгауза теорема, 231
Бэра теорема, 233
базис Гамеля, 10
базис Шаудера, 297
базис алгебраический, 10
базис фильтра, 21
банахов диск, 169
банахово пространство, 33
барицентр, 446
безгранично делимая мера, 504
безусловная сходимость, 190, 196
борелевская σ-алгебра, 416
борелевская мера, 418
борелевская функция, 416
борелевское множество, 416
борелевское отображение, 425
борнологическое
пространство, 237
бочечное пространство, 230
бочка, 171
бэровская σ-алгебра, 416
бэровская мера, 418
бэровское множество, 416
бэровское пространство, 233, 285
Винера мера, 458
вариация меры, 414
вектор собственный, 275
векторное пространство, 9
вероятностная мера, 414
версия функции, 414
взаимная сингулярность мер, 415
внутренность множества, 19
внешняя мера, 414
вогнутая функция, 49
вполне ограниченное
множество, 61
вполне регулярное
пространство, 20
вполне упорядоченное
множество, 14
всюду плотное множество, 19
выпуклая мера, 499
выпуклая оболочка, 12
выпуклая функция, 49
Гамеля базис, 10
Гато производная, 331
Гильберта-Шмидта оператор, 198
Гросса-Сазонова топология, 477
гауссовская мера, 457
- центрированная, 458
гиперплоскость, 11
- опорная, 101
- разделяющая, 101
гиперподпространство, 11
гиперполное пространство, 259
гомеоморфизм, 19
гомеоморфные пространства, 19
график отображения, 264

578
Предметный указатель
Джеймса теорема, 290
Дирака (дираковская) мера, 423
диск, 199
- банахов, 169
дифференцируемость, 325
- *А-, *А-, 6-, 6, с, с, s-, s-, σ-, σ-,
328, 331, 332
- ограниченная, 331
- по Адамару, 332
- по Гато, 331
- по Фреше, 331
- порядка п, 330
достаточная топология, 472
ε-сеть, 61
зависимость линейная, 10
закон 0-1, 465, 496, 501, 506
закругленная оболочка, 12
закругленное множество, 12
замкнутая выпуклая оболочка, 47
замкнутое множество, 16
замкнутый шар, 16
замыкание, 19
измеримая полунорма, 476
— по Гроссу, 481
измеримая функция
- относительно меры, 414
- относительно σ-алгебры, 414
измеримое отображение, 425
— по Борелю, 425
— относительно μ, 425
измеримое пространство, 414
измеримый линейный
оператор, 464, 523
измеримый линейный
функционал, 459, 523
изолированная точка, 19
индуктивная топология, 153
индуктивный предел, 153
- расширяющихся
пространств, 163
- с компактными
вложениями, 178
- строгий, 176
индуцированная топология, 18
интеграл Бохнера, 448
интеграл Петтиса, 550
Какутани теорема, 95
Какутани-Ки Фаня теорема, 127
Камерона-Мартина
пространство, 460
Кёте пространство, 129
Колмогорова теорема, 435
Крейна теорема, 452
Крейна-Мильмана теорема, 123
Крейна-Шмульяна
- пространство, 259
- теорема, 260
калибровочная функция, 50
квазибочечное пространство, 236
квазимера, 468
квазинорма, 34
квазиполное пространство, 70
ковариационный оператор, 455
компакт, 20
компактное пространство, 20
компактность относительная, 20
компактность секвенциальная, 88
компактность счетная, 88
компактный оператор, 272
коразмерность, 11
крайняя точка, 123
Леви мера, 505
Линделёфа свойство, 292
Лузина теорема, 420
лемма Цорна, 15
линейная независимость, 10
линейная оболочка, 12
линейная упорядоченность, 14
линейно упорядоченное
множество, 14
линейное многообразие, 12
линейное пространство, 9
линейный оператор, 11
- измеримый, 464, 523
линейный порядок, 14
линейный функционал, 11
- измеримый, 459, 523
- разрывный, 94
липшицево отображение, 332
логарифмически вогнутая
мера, 499
локально выпуклое
пространство, 29
локально полное
пространство, 199
μ-измеримая функция, 414
μ-измеримое множество, 414

Предметный указатель
579
μ-почти всюду, μ-п.в., 414
Майкла теорема, 133
Макки-Аренса теорема, 216
Макки пространство, 217
Макки сходимость, 199
Макки топология, 216
Макки условие, 343
Маркова-Какутани теорема, 126
Минковского функционал, 50
Минлоса теорема, 492
максимальный элемент, 14
мажоранта, 14
мера
- т-аддитивная, 540
- Дирака (дираковская), 423
- Винера, 458
- Леви, 505
- Радона, 418
- Фейнмана, 469
- абсолютно непрерывная, 415
- безгранично делимая, 504
- борелевская, 418
- бэровская, 418
- вероятностная, 414
- выпуклая, 499
- гауссовская, 457
— центрированная, 458
- логарифмически вогнутая, 499
- плотная, 419
- радоновская, 418
- регулярная, 418
- устойчивая, 504
- цилиндрическая, 432
меры взаимно сингулярные, 415
меры эквивалентные, 415
метрика, 17
метризуемое пространство, 17
метрическое пространство, 17
- полное, 69
минимальное пространство, 299
многообразие линейное, 12
многочлен, 387
множество
- μ-измеримое, 414
- абсолютно выпуклое, 12
- борелевское, 416
- вполне ограниченное, 61
- вполне упорядоченное, 14
- всюду плотное, 19
- второй категории, 285
- выпуклое, 12
- закругленное, 12
- замкнутое, 16
- измеримое, 414
- компактное, 20
- линейно упорядоченное, 14
- нигде не плотное, 94
- ограниченное, 50
- открытое, 16
- первой категории, 285
- поглощающее, 12
- полной меры, 414
- предкомпактное, 61
- равностепенно
непрерывное, 91
- секвенциально
замкнутое, 73, 191
- сильно ограниченное, 247
- слабо ограниченное, 118
- суслинское, 420
- частично упорядоченное, 14
- упорядоченное, 14,
- уравновешенное, 12
- цилиндрическое, 411
модификация функции, 414
момент сильный, 446
момент слабый, 446
монтелевское пространство, 318
направленность, 20
- сходящаяся, 21
- фундаментальная, 70
независимость
- алгебраическая, 10
- линейная, 10
непрерывное отображение, 19
неравенство треугольника, 17
нигде не плотное множество, 94
норма, 10
- ядерная, 184
нормальное пространство, 292
нормированное пространство, 17
носитель меры, 418
обобщенная функция, 43
оболочка
- абсолютно выпуклая, 12
- выпуклая, 12
- выпуклая уравновешенная, 12
- закругленная, 12
- замкнутая выпуклая, 47

580
Предметный указатель
- замкнутая линейная, 12
- замкнутая уравновешенная
выпуклая, 47
- линейная, 12
образ меры, 425
образ оператора, 11
обратный спектр пространств, 147
ограниченная
дифференцируемость, 331
ограниченное множество, 50
ограниченное отображение, 237
ограниченность слабая, 118
ограниченный оператор, 237
однородно-выпуклая функция, 49
оператор
- Гильберта-Шмидта, 198
- абсолютно суммирующий, 197
- измеримый линейный, 464, 523
- ковариационный, 455
- компактный, 272
- линейный, 11
- ограниченный, 237
- сопряженный, 219
- ядерный, 184, 185
опорная гиперплоскость, 101
отделимое пространство, 19
открытое множество, 16
открытый шар, 16
относительная компактность, 20
отношение эквивалентности, 13
отображение
- к-линейное, 89
- борелевское, 425
- дифференцируемое, 332
— по Адамару, 332
— - по Гато, 331
— по Фреше, 331
- измеримое, 425
— по Борелю, 425
- липшицево, 332
- ограниченное, 237
- непрерывное, 19
- равномерно непрерывное, 75
- секвенциально
непрерывное, 89
Прохорова теорема, 432
Птака пространство, 259
плотная мера, 419
плотность Радона-Никодима, 415
поглощающее множество, 12
подпространство аффинное, 12
полное метрическое
пространство, 69
полное пространство, 70
полунорма, 10
- измеримая, 476
— по Гроссу, 481
полупространство, 101
полурефлексивное
пространство, 248
поляра, 208
пополнение, 77
порожденная σ-алгебра, 416
порядок линейный, 14
порядок частичный, 14
последовательность
- Коши, 69, 70
- сходящаяся, 21
- фундаментальная, 69, 70
поточечной сходимости
топология, 31, 91
предбаза окрестностей, 18
предел индуктивный, 153
- с компактными
вложениями, 178
- строгий, 176
предел направленности, 21
предельная точка, 19
предкомпактное множество, 61
представление Шоке, 453
принцип равномерной
ограниченности, 231
произведение σ-алгебр, 416
произведение мер, 426
производная, 325
- Адамара, 332
- Гато, 331
- Радона-Никодима, 415
- Фреше, 331
- порядка п, 330
проективная топология, 141
пространство
- Б-полное, 259
- Бг-полное, 259
-С[а,Ъ], 125, 131
- СбРО, 130, 417
- £>(IRn), 42, 164
- £>'(IRn), 43

Предметный указатель
581
- £(ПГ), 42
- £'(НП), 43
- Lp, 130
- Ζ2, Ζρ, 130
- IR°°, 32
- <S(IRn), 41
- ,S'(IRn), 43
-Σ, 41
- Камерона-Мартина, 460
- Кёте, 129
- Крейна-Шмульяна, 259
- Макки, 217
- Птака, 259
- Шварца, 318
- Фреше, 70
- Фреше-Урысона, 192
- банахово, 33
- борнологическое, 237
- бочечное, 230
- бэровское, 233, 285
- векторное, 9
- вполне регулярное, 20
- гильбертово, 33
- гиперполное, 259
- измеримое, 414
- квазибочечное, 236
- квазиполное, 70
- компактное, 20
- линейное, 9
локально выпуклое, 29
- локально компактное, 20
- локально полное, 199
- метризуемое, 17
метрическое, 17
— полное, 69
минимальное, 299
монтелевское, 318
нормальное, 292
нормированное, 17
отделимое, 19
полное, 70
полу рефлексивное, 248
прохоровское, 517
равномерное, 120
рефлексивное, 245, 248
с сетью, 267
секвенциально полное, 70
секвенциальное, 192
сепарабельное, 19
- совершенно полное, 259
- сопряженное, 11, 46
— алгебраически, 11
- суслинское, 420
- счетно нормированное, 148
- тихоновское, 20
- топологическое, 16
— векторное 23
- ультраборнологическое, 237
- ультрабочечное, 236
- хаусдорфово, 19
- ядерное, 185
псевдометрика, 18
псевдонорма, 33
прохоровское пространство, 517
прямая сумма пространств, 39, 159
прямой спектр пространств, 162
псевдотопология, 405
Радона мера, 418
Радона-Никодима плотность, 415
Радона-Никодима теорема, 415
Рисса теорема, 431
равномерно непрерывное
отображение, 75
равномерное пространство, 120
равностепенно непрерывное
множество, 91
радоновская мера, 418
разделяющая гиперплоскость, 101
разделяющее множество, 46, 207
разделяющая линейная
функция, 100
разложение Хана-Жордана, 414
разрывный функционал, 94
регулярная мера, 418
рефлексивное
пространство, 245, 248
s-, s-дифференцируемость, 331
σ-алгебра, 414
- борелевская, 416
- порожденная, 416
σ-, σ-дифференцируемость, 328
Сазонова теорема, 492
Сазонова топология, 475
свертка мер, 493
секвенциальная компактность, 88
- относительная, 88
секвенциально замкнутое
множество, 73, 191

582
Предметный указатель
секвенциально непрерывное
отображение, 89
секвенциально полное
пространство, 70
секвенциальное пространство, 192
сепарабельное пространство, 19
сильная ограниченность, 247
сильная топология, 246
сильнейшая локально
выпуклая топология, 40, 166
сильное сопряженное, 248
сильный момент, 446
слабая сходимость, 44
- мер, 430
слабая топология, 44
слабо ограниченное
множество, 118
слабый момент, 446
собственное число, 275
собственный вектор, 275
совершенно полное
пространство, 259
сопряженное пространство, 11
- алгебраически, 11
- топологически, 11, 46
сопряженный оператор, 219
спектр, 275
- пространств обратный, 147
- пространств прямой, 162
среднее меры, 446
строгий индуктивный предел, 153
сублинейная функция, 49
сумма множеств
алгебраическая, 13
сумма пространств прямая, 39, 159
суслинское множество, 420
суслинское пространство, 420
сходимость безусловная, 190, 196
сходимость Макки, 199
сходимость мер слабая, 430
сходимость слабая, 44
сходящаяся направленность, 21
сходящийся фильтр, 22
счетная компактность, 88
- относительная, 88
счетно нормированное
пространство, 148
То-, Τι-, Тз-пространство, 19
Тейлора формула, 367, 369
тензорное произведение, 182
- проективное, 183
теорема
- Банаха-Алаоглу-Бурбаки, 210
- Банаха-Дьедонне, 262
- Банаха-Макки, 171
- Банаха-Штейнгауза, 231
- Бэра о категории, 233
- Джеймса, 290
- Какутани, 95
- Какутани-Ки Фаня, 127
- Колмогорова, 435
- Крейна, 452
- Крейна-Мильмана, 123
- Крейна-Шмульяна, 260
- Лузина, 420
- Майкла о селекции, 133
- Макки-Аренса, 216
- Маркова-Какутани, 126
- Минлоса, 492
- Прохорова, 432
- Радона-Никодима, 415
- Рисса, 431
- Сазонова, 492
- Хана-Банаха, 104, 107,
ИЗ, 114
- Цермело, 15
- Шаудера-Тихонова, 125
- Шмульяна, 226, 227
- Эберлейна, 225
- о биполяре, 209
- о замкнутом графике, 264
- о среднем, 366
- о ядре, 190
- об обратном операторе, 264
- об открытом отображении, 264
тихоновская топология
произведения, 19
тихоновское пространство, 20
топологическая сумма, 159
топологически сопряженное, 46
топологический носитель
меры, 418
топологическое векторное
- подпространство, 35
- пространство, 23
топологическое дополнение, 39
топологическое пространство, 16
топология, 16
- Аренса, 303

Предметный указатель
583
- Гросса-Сазонова, 477
- Макки, 216
- Сазонова, 475
- достаточная, 472
- индуктивная, 153
- индуцированная, 18
- локально выпуклая, 29
- поточечной сходимости, 31, 91
- проективная, 141
— тензорная, 183
- произведения, 19, 146
- равномерной сходимости
на классе множеств, 91
- сильная, 246
- сильнейшая локально
выпуклая, 40, 166
- слабая, 44
- согласованная
с двойственностью, 215
- тихоновская произведения, 19
- ящичная, 202
точка
- изолированная, 19
- крайняя, 123
- предельная, 19
- прикосновения, 19
ультраборнологическое
пространство, 237
ультрабочечное пространство, 236
ультрафильтр, 22
упорядоченное множество, 14
уравновешенная выпуклая
оболочка, 12
уравновешенное множество, 12
условие Макки, 343
устойчивая мера, 504
Фейнмана мера, 469, 469
Фредгольма альтернатива, 280
Фреше производная, 331
Фреше пространство, 70
Фреше-Урысона
пространство, 192
факторпространство, 11, 159
фактортопология, 37, 159
фильтр, 21
- сходящийся, 22
формула Тейлора, 367, 369
фундаментальная
направленность, 70
фундаментальная
последовательность, 69, 70
функционал Минковского, 50
функционал линейный, 11
- измеримый, 459, 523
функция
- борелевская, 416
- выпуклая, 49
- измеримая
— относительно меры, 414
— относительно
σ-алгебры, 414
— по Борелю, 416
- калибровочная, 50
- обобщенная, 43
- однородно-выпуклая, 49
- сублинейная, 49
Хана-Жордана разложение, 414
Хана-Банаха теорема, 104, 107,
ИЗ, 114
хаусдорфово пространство, 19
с-, с-дифференцируемость, 331
Цермело теорема, 15
Цорна лемма, 15
центрированная гауссовская
мера, 458
цилиндр, 411
цилиндрическая мера, 432
цилиндрическое множество, 411
частичный порядок, 14
число собственное, 275
Шаудера базис, 297
Шаудера-Тихонова теорема, 125
Шварца пространство, 318
Шмульяна теорема, 226, 227
Шоке представление, 453
шар, 16
Эберлейна теорема, 225
эквивалентности отношение, 13
эквивалентные меры, 415
эквивалентные нормы, 10
ядерная норма, 184
ядерное пространство, 185
ядерный оператор, 184, 185
ядро алгебраическое, 100
ядро оператора, 11
ящичная топология, 202

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой
или электронной почтой: subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин: http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415,
тел.: (495) 641-69-38, факс: (499) 135-54-37
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
ISBN 978-5-93972-941-3
9ll785939"729413
Богачев Владимир Игоревич
Смоляное Олег Георгиевич
Соболев Владимир Иванович
Топологические векторные пространства
и их приложения
Авторская редакция
Технический редактор А. В. Бакиев
Подписано в печать 24.07.2012. Формат 60 χ 84У16.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 33,95. Уч. изд. л. 36,45.
Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1. Заказ №12-35.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: +7(3412)500-295
Переплет выполнен в ГУ Π У Ρ «Ижевский полиграфический комбинат»
426039, г. Ижевск, Боткинское шоссе, 180.

**
r