ГЛАВА 1 Основы анализа
сигналов
Анализ — один из ключевых компонентов обработки сигналов. Его теоретиче-
ские основы рассматриваются в большом числе книг — от учебников и учебных
пособий по курсу «Радиотехнические цепи и сигналы» [1-4] до фундаменталь-
ных монографий, таких как [5]. В данной главе будут приведены основополагаю-
щие понятия и методы анализа сигналов.
Эта глава является вводной и в ней рассматриваются аналоговые сигналы, а не
дискретные или цифровые. Однако методы анализа аналоговых и дискретных
сигналов тесно взаимосвязаны, поэтому полноценное освоение изложенного здесь
материала необходимо для глубокого понимания главы 3, посвященной дискрет-
ным сигналам. Глава получилась весьма объемной, поскольку в ней вводится и
обсуждается большое количество базовых понятий. Средства MATLAB в данной
главе используются в основном для построения графиков.
Основной целью анализа является сравнение сигналов друг с другом для выяв-
ления их сходства и различия. Можно выделить три основных составляющих
анализа сигналов:
□	измерение числовых параметров сигналов. К таким параметрам прежде всего
относятся энергия, средняя мощность и среднеквадратическое значение, а речь
об их расчете пойдет в разделе «Энергия и мощность сигнала»;
□	разложение сигнала на элементарные составляющие для их рассмотрения по
отдельности либо для сравнения свойств различных сигналов. Такое разло-
жение производится с использованием рядов и интегральных преобразова-
ний, важнейшими среди которых являются ряд Фурье и преобразование Фу-
рье. Им будут посвящены одноименные разделы;
□	количественное измерение степени «похожести» различных сигналов. Такое
измерение производится с применением аппарата корреляционного анализа,
который будет рассмотрен в соответствующем разделе.
18
Глава 1. Основы анализа сигналов
Классификация сигналов
ГТ	i
Прежде чем приступать к рассмотрению задач анализа сигналов, выделим неко-1
торые классы сигналов, которые будут часто встречаться нам в дальнейшем. Это
необходимо по двум причинам. Во-первых, проверка принадлежности сигнала к
конкретному классу сама по себе является процедурой анализа. Во-вторых, длу
представления и анализа сигналов разных классов зачастую приходится исполь-
зовать разные средства и подходы.
Итак, что же такое сигнал? В наиболее общей формулировке это зависимость
одной величины от другой (то есть с математической точки зрения сигнал явля-
ется функцией). Чаще всего рассматриваются зависимости от времени, хотя это
не обязательно. Например, в системах оптической обработки информации си-
гналом может являться зависимость интенсивности света от пространственных
координат. Физическая природа сигнала может быть весьма различной. Очень
часто это напряжение, несколько реже — ток, возможны и многие другие физи-
ческие величины.
В данной книге подразумевается (если иное не оговорено специально), что сиг-
нал представляет собой зависимость напряжения от времени.
К теперь обратимся к собственно классификации.
В зависимости от того, известен ли нам сигнал точно, различают детерминиро-
ванные и случайные сигналы. Детерминированный сигнал полностью известен —
его значение в любой момент времени можно определить точно. Случайный же
сигнал в любой момент времени представляет собой случайную величину, кото-
рая принимает конкретные значения с некоторой вероятностью. Специфические
свойства случайных сигналов будут рассмотрены в конце данной главы, а осно-
вы анализа сигналов мы будем обсуждать применительно к сигналам детермини-
рованным.
Следующий важный класс сигналов — сигналы с интегрируемым квадратом. Еще
их называют сигналами с ограниченной энергией (почему, станет ясно из раздела
«Энергия и мощность сигнала»). Для таких сигналов s(t) выполняется соотно-
шение
| s2(t)dt < оо.
Многие важные соотношения теории сигналов получены в предположении о ко-
нечности энергии анализируемых сигналов. Если это условие не выполняется,
приходится менять подходы к решению задачи (см., например, определения по-
нятия корреляционной функции для сигналов с конечной и бесконечной энер-
гией в разделе «Корреляционная функция») или прибегать к использованию
аппарата обобщенных функций (см. раздел «Фурье-анализ неинтегрируемых
сигналов»).
Еще один признак классификации сигналов, существенно влияющий на методы
их анализа, — периодичность. Для периодического сигнала с периодом Т выпол-
няется соотношение
s(t + пТ) - s(t) при любом г,
Классификация сигналов
19
' где п — произвольное целое число. Если величина Т является периодом сигнала s(t),
то периодами для него будут и кратные ей значения: 2Т, ЗТ и т. д. Как правило, го-
воря о периоде сигнала, имеют в виду минимальный из возможных периодов.
Величина, обратная периоду, называется частотой повторения сигнала: f = 1/Т.
В теории сигналов также часто используется понятие круговой частоты со = 2л/,
измеряемой в радианах в секунду.
Очевидно, что любой периодический сигнал (за исключением сигнала, тождест-
венно равного нулю) имеет бесконечную энергию.
Следующий класс — сигналы конечной длительности (их еще называют финит-
ными сигналами). Такие сигналы отличны от нуля только на ограниченном про-
межутке времени. Иногда говорят, что сигнал существует на конечном времен-
ном интервале.
Очевидно, что сигнал конечной длительности будет иметь и конечную энергию —
если только он не содержит разрывов второго рода (с уходящими в бесконеч-
ность ветвями функции).
Перейдем к более узким классам сигналов. Очень важную роль в технике обра-
ботки сигналов играют гармонические колебания, которые в самом общем виде
записываются следующим образом:
s(t) = A cos(<ni + <р).
Гармонический сигнал полностью определяется тремя числовыми параметрами:
амплитудой А, частотой <в и начальной фазой <р.
Гармонический сигнал является одним из широко распространенных тестовых
сигналов, применяющихся для анализа характеристик цепей. Кроме него к тес-
товым относятся еще две очень важные в радиотехнике функции: дельта-функ-
ция и функция единичного скачка.
Дельта-функция S(t), или функция Дирака, представляет собой бесконечно уз-
кий импульс с бесконечной амплитудой, расположенный при нулевом значении
аргумента функции. «Площадь» импульса тем не менее равна единице:
5(0 =4°’
[°о,
t * О,
t =0,
00
Js(o^ = i.
-00
Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать физически,
однако эта функция очень важна для теоретического анализа сигналов и систем.
На графиках дельта-функция обычно изображается жирной стрелкой, высота ко-
торой пропорциональна множителю, стоящему перед дельта-функцией (рис. 1.1).
Одно из важных свойств дельта-функции — так называемое фильтрующее свой-
ство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом
в качестве множителя, то результат интегрирования будет равен значению осталь-
ного подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен дельта-импульс:
J/(t)5(t-t0>* = /(t0).	(1.1)
-ОО
20
Глава 1. Основы анализа сигналов
5(0 ▲
▲ 28(«-1)
8(0
О'	1	t
Рис. 1.1. График сигнала s(f) = 8(f) + 28(t - 1)
Пределы интегрирования в (1.1) не обязательно должны быть бесконечными, глав-
ное, чтобы в интервал интегрирования попадало значение £0; в противном случае
интеграл будет равен нулю.
Из того факта, что интеграл от дельта-функции дает безразмерную единицу, сле-
дует, что размерность самой дельта-функции обратна размерности ее аргумента.
Например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с, то есть размерность
частоты.
Функция единичного скачка о(г), она же функция Хевисайда, она же функция вклю-
чения, равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для по-
ложительных. При нулевом значении аргумента функцию считают либо неопре-
деленной, либо равной 1 /2:
t <0,
o(t) =
0, t < 0,
1/2, i=0,
1,	i>0.
(1.2)
t >0.
В MATLAB данную функцию можно смоделировать с помощью оператора срав-
нения, возвращающего значение 0 или 1:
у = (х >= 0):
Отличие такой реализации функции включения от формулы (1.2) состоит толь-
ко в том, что при нулевом значении аргумента результат равен единице; впро-
чем, в большинстве случаев это отличие несущественно.
График функции единичного скачка приведен на рис. 1.2.
о(0 4
о
Рис. 1.2. Функция единичного скачка
Функцию единичного скачка удобно использовать при создании математиче-
ских выражений для сигналов конечной длительности. Простейшим примером
Энергия и мощность сигнала
21
является формирование прямоугольного импульса с амплитудой А и длительно-
стью Т:
s(t) = A(c(t) - o(t - Г)).
Вообще, любую кусочно-заданную зависимость можно записать в виде единого
математического выражения с помощью функции единичного скачка.
Энергия и мощность сигнала
В начале этой главы в качестве одной из составляющих анализа сигналов было
названо измерение их количественных параметров. На практике очень часто ис-
пользуются такие параметры, как энергия и мощность сигнала. Их определения,
принятые в теории сигналов, отличаются от обычных, а потому требуют некото-
рых комментариев.
Начнем с обычных, «физических» понятий мощности и энергии. Если к резисто-
ру с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся
в резисторе мощность будет равна
РАА.
R
За время Т в этом резисторе выделится тепловая энергия, равная
_ и2т
Е -----.
R
Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сиг-
нал s(t). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от
времени, то есть в данном случае речь идет о мгновенной мощности (instanta-
neous power):
Л
Чтобы вычислить выделяющуюся за время Т энергию, мгновенную мощность
необходимо проинтегрировать:
..г	ч т
Е = Jp(t)d£ = —|s2(0dt.
о	о
Можно ввести также понятие средней мощности (average power) за заданный
промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала:
г 1 Т	t
.FL = — = — [ s2(t)dt.
tp T RT{
Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки R. Однако, если
энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство
сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить
(принять R - 1). Тогда мы получим определения энергии, мгновенной мощности
и средней мощности, принятые в теории сигналов:
22
Глава 1. Основы анализа сигналов
Е = Js2(0rft,
p(t) = s2(Z),
(1.3)
* о
«Мощность» здесь имеет размерность В2, а «энергия» — В2 • с.
ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------------------------
Данные параметры, иногда называют удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть
подразумеваемое при этом единичное значение сопротивления нагрузки.
Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Например, любой сиг-
нал конечной длительности будет иметь конечную энергию (если только он не
содержит дельта-функций или ветвей, уходящих в бесконечность). А любой пе-
риодический сигнал, напротив, имеет бесконечную энергию.
Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на
всей временной оси. Для этого нужно воспользоваться формулой (1.3) и выпол-
нить предельный переход, устремив интервал усреднения в бесконечность:
. 7/2
Др =lim~ p2(O<fr.	(1.4)
^“2"-7/2
Квадратный корень из средней мощности дает среднеквадратическое (действую-
щее) значение сигнала (английский термин — root mean square, RMS):
Для периодического сигнала с периодом Т предельный переход в формулах (1.4)
и (1.5) выполнять не обязательно — достаточно выполнить усреднение по пе-
риоду.
Ряд Фурье
Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом
они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных
экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Для того
чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один
период должен удовлетворять условиям Дирихле-.
□	не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвя-
ми функции);
□	число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным;
Ряд Фурье
23
□	число экстремумов должно быть конечным (в качестве примера функции, ко-
торая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно
привести sin(l/x) в окрестности нуля).
В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько
форм записи ряда Фурье.
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------
Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов,
но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для
которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным
нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое
продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.
Синусно-косинусная форма
В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид:
$(£) = — + Х(°а cos(^ffi|O+ bk sm(Ai(Bit)).	(1.6)
2	*=i
Здесь <nt = 2л/Т — круговая частота, соответствующая периоду повторения сиг-
нала, равному Т. Входящие в формулу кратные ей частоты /гм, называются гар-
мониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом k; частота ак =
называется k-ii гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда ак и Ьк рассчитываются
по формулам:
2 772
ак =— Js(£) cos(^ffi! t)dt,
Т -Т/2
2 772
bk =—
•^-T/2
Константа а0 рассчитывается по общей формуле для ак. Ради этой общности и
введена несколько странная на первый взгляд форма записи постоянного слагае-
мого (с делением на два). Само же это слагаемое представляет собой среднее
значение сигнала на периоде:
п 4 г/2	/
1 -Т/2
ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------------------
Пределы интегрирования не обязательно должны быть такими, как в приведенных выше
формулах (от -Т/2 до Т/2). Интегрирование может производиться по любому интервалу
длиной Т— результат от этого не изменится. Конкретные пределы выбираются из сообра-
жений удобства вычислений; например, может оказаться удобнее выполнять интегрирова-
ние от 0 до Г или от -Т до 0.
Если s(t) является четной функцией, то все Ьк будут равны нулю и в формуле
ряда Фурье будут присутствовать только косинусные слагаемые. Если s(t) явля-
24
Глава 1. Основы анализа сигналов
ется нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициен-
ты ак и в формуле останутся лишь синусные слагаемые.
Вещественная форма
Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том,
что для каждого значения индекса суммирования k (то есть для каждой гармони-
ки с частотой kati) в формуле фигурируют два слагаемых — синус и косинус.
Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих
двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной ам-
плитудой и некоторой начальной фазой:
5(0 = -7Г +	cosC&Bjt + ФА).	(1.7)
Если s(i) является четной функцией, фазы (р^ могут принимать только значе-
ния 0 и л, а если s(t) — функция нечетная, то возможные значения для фазы рав-
ны ±л/2.
Комплексная форма
Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употре-
бимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением
косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление выте-
кает из формулы Эйлера е’х = cos х + j sin х):
Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим
суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показате-
лями:
5(0 = ~	(exp(jbV + j(pk) + ехр(-^<п/ -	)).
А теперь будем трактовать экспоненты со знаком «минус» в показателе как чле-
ны ряда с отрицательнымгцномерами. В рамках этого же общего подхода посто-
янное слагаемое а0/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате полу-
чится комплексная форма записи ряда Фурье:
5(0 =	(1-8)
/? = —00
Комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами Ак и фазами <рА, фигу-
рирующими в вещественной форме записи ряда Фурье (1.7), следующими не-
сложными соотношениями:
Ск =±Аке*>,
Ак=2\Ск\, <pA = arg(Ct).
Ряд Фурье
25
Несложно выглядят и формулы связи с коэффициентами ak и bk синусно-коси-
нусной формы ряда Фурье (1.6):
ak =2Re(G), bk =- 2Im(Ct).
Отсюда сразу же следует и формула непосредственного расчета коэффициентов
Ck ряда Фурье в комплексной форме:
1 т!2
ck=-
1 -Т/2
(1-9)
Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда Ск будут чисто веще-
ственными, а если s(t) — функция нечетная, коэффициенты ряда окажутся чис-
то мнимыми.
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным
спектром, а совокупность их фаз — фазовым спектром. Эти понятия не следует
путать с амплитудно- и фазочастотными характеристиками, которые относятся
не к сигналам, а к цепям.
Если анализируемый сигнал s(t) является вещественным, то его амплитудный
и фазовый спектры обладают симметрией:
А_к = Ak, <p_k = -ф*,
Примеры разложения сигналов в ряд Фурье
В данном разделе мы применим ряд Фурье для анализа конкретных сигналов.
Последовательность прямоугольных импульсов
Первым рассматриваемым сигналом будет последовательность прямоугольных
импульсов с амплитудой А, длительностью т и периодом повторения Т. Начало
отсчета времени примем расположенным в середине импульса (рис. 1.3).
40
-т/2
>
t
т
Рис. 1.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
26
Глава 1. Основы анализа сигналов
Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удоб-
нее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье — в ней будут присут-
ствовать только косинусные слагаемые ak, равные
аь
п Т/2
-Т М
1 -Т/2
(2nk Л ,
cos ---1 \at
2A . |
—sin
Ttk 1
пкхУ
T)
Внимательно рассматривая полученную формулу, можно заметить, что длитель-
ность импульсов и период их следования входят в нее не обособленно, а исклю-
чительно в виде отношения. Этот параметр — отношение периода к длитель-
ности импульсов — называют скважностью последовательности импульсов и
обозначают буквой q\ q = Т/х. Введем этот параметр в полученную формулу для
коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду sin(x)/x:
. (nk'
sin| —
q J
2A
q nk
q
nk
2A . I
a. =—sin
Ttk I
(1.10)
q
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------
В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называе-
мая коэффициентом заполнения (duty cycle) и равная х/Т.
При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение посто-
янного слагаемого ряда: поскольку при х -> 0 sin(x)/x -> 1, то
а0 _ А _ Ах
~2~~q~~’T
Теперь можно записать и само представление последовательности прямоуголь-
ных импульсов в виде ряда Фурье:
А ^2А . (я/гУ
s(t) = — + >,—sin —
q k^Tik {q.
(2лЛ Д
cos ----1 .
I Т J
Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по за-
кону sin(r)/x (рис. 1.4).
График функции sin(r)/.r имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих
лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров перио-
дических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси —
в номерах гармоник и в частотах. На рис. 1.4 градуировка оси соответствует но-
мерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помошью
размерных линий.
Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности
.последовательности (при k = nq имеем sin(n&/<?) = 0, если п 0). Отсюда следу-
ет важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов —
в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратны-
ми скважности.
Ряд Фурье
27
Рис. 1.4. Коэффициенты ряда Фурье для последовательности
прямоугольных импульсов
Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования
импульсов — 2я/Т. Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты,
равна 2п/т, то есть обратно пропорциональна длительности импульсов. Это, как
мы увидим далее, проявление общего закона — чем короче сигнал, тем шире его
спектр.
Меандр
Важным частным случаем предыдущего сигнала является меандр — последова-
тельность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда дли-
тельности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис. 1.5).
Подставив q = 2 в формулу (1.10), получим
	Д А=0,
_ sin(nty2) Cl 1 — /1	 — 6	лА/2	0,	k = 2т, т * 0, 2Л	7, , 1 —,	к = 4т+1, nk 2А -	, . . 	,	k = 4772-1. . Tlk
Здесь т — произвольное целое число.
28
Глава 1. Основы анализа сигналов
Таким образом, в спектре меандра присутствуют только нечетные гармоники.
Это согласуется с общим правилом, приведенным выше. Представление меандра
в виде ряда Фурье с учетом этого может быть записано следующим образом:
_ А 2А( (2л Л
s(t) = — +-- COS -1
2	л V	\Т )
1
+ —cos
5
1
3
cos 3—t
I Т
Гармонические составляющие, из которых складывается меандр, имеют ампли-
туды, обратно пропорциональные номерам гармоник, и чередующиеся знаки.
Покажем на примере меандра, как складывается заданный сигнал из отдельных
гармоник (рис. 1.6):
» N	=	8:	%	число ненулевых	гармоник
» t	-	-1:0.01:1: %	вектор моментов	времени
» А	=	1:	X	амплитуда
» Т	=	1:	X	период
» nh = (1:N)*2-1: X номера ненулевых гармоник
» X строки - гармоники
» harmonics = cos(2*pi*nh'*t/T);
» Am = 2/pi,/nh;	>	% амплитуды гармоник
» Am(2;2:end) = -Am(2:2:end):	% чередование знаков
» si = harmonics .* repmat(Am', 1. length(t));
» % строки - частичные суммы гармоник
» s2 = cumsum(sl):
» for k=l:N. subplot(4. 2, k), plot(t. s2(k,:)). end
Вообще, последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для пред-
ставления рядом Фурье — она содержит скачки, а сумма любого числа гармони-
ческих составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной функ-
цией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет
особый интерес. На графиках рис. 1.6 хорошо видно, что в окрестности точки
разрыва суммирование ряда Фурье дает наклонный участок, причем крутизна
наклона возрастает с ростом числа суммируемых гармоник. В самой точке раз-
рыва ряд Фурье сходится к полусумме правого и левого пределов:
s'(tn) = -f lim s(t)+ lim s(t)
2V~»o-o	' г-ио+о 4 '
Здесь s(t) — исходный сигнал, s'(t) — сумма ряда Фурье для него.
На примыкающих к разрыву участках сумма ряда Фурье дает заметные пульса-
ции, причем на графиках рис. 1.6 заметно, что амплитуда этих пульсаций не
уменьшается с ростом числа суммируемых гармоник — пульсации лишь сжима-
ются по горизонтали, приближаясь к точке разрыва. Это явление, присущее ря-
дам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), называет-
ся эффектом Гиббса. Можно показать, что амплитуда первого (самого большого)
выброса составляет примерно 9 % от величины скачка.
Ряд Фурье
29
0.5
-0.5
0
-1
Рис. 1.6. Промежуточные стадии суммирования ряда Фурье для меандра
Пилообразный сигнал
Следующий сигнал, который мы рассмотрим, — пилообразный (рис. 1.7). В пре-
делах периода он описывается линейной функцией:
9 А	1	1
=	(k-±)T<t<(k + ±)T.
Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно-
косинусной форме (1.6) будет содержать только синусные слагаемые:
30
Глава 1. Основы анализа сигналов
Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом:
/.ч 2А
s(t) = —
л
1 .
—sin
2
1 . Го2л
+ -sm 3—t
3
2л
1 .
—sm
4
Т
У рассмотренных выше спектров прямоугольного и пилообразного периодиче-
ских сигналов есть одна общая черта — амплитуды гармоник с ростом их номе-
ров убывают пропорционально k. У следующего сигнала скорость затухания
спектра будет иной, а почему, мы обсудим после расчета коэффициентов ряда
Фурье для него.
Последовательность треугольных импульсов
Очередной сигнал, для которого мы получим разложение в ряд Фурье, представ-
ляет собой периодическую последовательность треугольных импульсов. Строго
говоря, импульсы в предыдущем сигнале тоже были треугольными, но в данном
случае они будут иметь не пилообразную, а симметричную форму (рис. 1.8):
5(0 = Л1 1-4-—-—!•
Sr <ffc + -V.
< 2J 12)
Рис. 1.8. Последовательность треугольных импульсов
Вычислим коэффициенты ряда Фурье (сигнал является четной функцией, по-
этому в синусно-косинусной форме ряда Фурье (1.6) будут присутствовать толь-
ко косинусные слагаемые):
Преобразование Фурье
31
k = 2т,
k - 2т + 1.
Как и в случае меандра, здесь присутствуют только нечетные гармоники. Сам
ряд Фурье имеет следующий вид:
8Л
2л
2л
2л
... 8Л(	(2л ]	1	(„2л J	1	(„2л )	।
s(t) = — cos —t + —cos 3—t + —cos 5 — t +... .
л21	It )	з2	I r J	52	I t )	)
л'
52
T
T
1
T
Как видите» в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных
импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убы-
вают пропорционально второй степени номеров гармоник k. Это проявление об-
щего правила, гласящего, что скорость убывания спектра зависит от степени
гладкости сигнала. Прямоугольный и пилообразный сигналы имеют разрывы
первого рода (скачки), и в их спектрах присутствует множитель i/k. Треуголь-
ный сигнал является непрерывной функцией (но ее первая производная содер-
жит разрывы), и амплитуды гармоник его ряда Фурье содержат множитель 1/А2.
Экстраполировав эту зависимость, получим следующее правило: если N — номер
последней непрерывной производной сигнала, то спектр этого сигнала будет
убывать со скоростью 1/&л. Предельным случаем является гармонический сиг-
нал, дифференцировать который без потери непрерывности можно бесконечно.
Согласно общему правилу, это даст бесконечную скорость убывания спектра,
что вполне соответствует действительности (ряд Фурье для гармонического сиг-
нала содержит только одну гармонику).
Преобразование Фурье
Преобразование Фуръе (Fourier transform) является инструментом спектрально-
го анализа непериодических сигналов. Впрочем, чуть позже мы увидим, что его
можно применять и к сигналам периодическим, но это потребует использования
аппарата обобщенных функций.
Для наглядной иллюстрации перехода от ряда Фурье, к преобразованию Фурье
часто используется не вполне строгий математически, но зато понятный подход.
Представим себе периодическую последовательность импульсов произвольно-
го вида и сформируем ряд Фурье для нее. Затем, не меняя формы одиночных
импульсов, увеличим период их повторения (заполнив промежутки нулевым
значением) и снова рассчитаем коэффициенты ряда Фурье. Формула (1.9) для
расчета коэффициентов ряда показывает, что нам придется вычислить тот же
самый интеграл, но для более тесно расположенных частот cot - Acoj. Изменение
пределов интегрирования не играет роли — ведь на добавившемся между им-
пульсами пространстве сигнал имеет нулевое значение. Единственное дополни-
тельное изменение будет состоять в уменьшении общего уровня гармоник из-за
деления результата интегрирования на увеличившийся период Т.
На рис. 1.9 описанные изменения иллюстрируются на примере двукратного уве-
личения периода следования прямоугольных импульсов. Обратите внимание на
32
Глава 1. Основы анализа сигналов
то, что горизонтальная ось спектральных графиков проградуирована в значени-
ях частот, а не номеров гармоник.
Рис. 1.9. Изменение спектра последовательности импульсов
при двукратном увеличении периода их следования
Итак, с ростом периода следования импульсов гармоники располагаются ближе
друг к другу по частоте, а общий уровень спектральных составляющих становит-
ся все меньше. При этом вид вычисляемого интеграла (1.9) не меняется.
Наконец, если устремить период к бесконечности (превратив тем самым перио-
дическую последовательность в одиночный импульс), гармоники спектра будут
плотно занимать всю частотную ось, а их амплитуды упадут до нуля (станут бес-
конечно малыми). Однако взаимное соотношение между уровнями гармоник ос-
тается неизменным и определяется все тем: же интегралом (1.9). Поэтому при
спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффи-
циентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:
□	частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным
параметром преобразования (то есть kc$i в формуле (1.9) заменяется на и);
□	удаляется множитель 1/Т;
□	результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда Q явля-
ется функция частоты 5(со) — спектральная функция сигнала s(£). Иногда ее
называют также спектральной плотностью.
В результате перечисленных модификаций формула (1.9) превращается в фор-
мулу прямого преобразования Фурье-.
5(со)= Js(Oe’>(^.	(1.11)
—с»
Преобразование Фурье
33
В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяется интегри-
рованием (и, кроме того, перед интегралом появляется деление на 2л). Получаю-
щееся выражение называется обратным преобразованием Фуръе:
s(t) = А Г5(ю)е'ш,б/со.	(1.12)
2л Д
ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------------------------
Если использовать нс круговую частоту со, а обычную частоту/- <о/(2л), формулы прямо-
го и обратного преобразования Фурье становятся еще более симметричными, отличаясь
лишь знаком в показателе экспоненты:
$(/) = ]s(t)e~j2*f,dt,
—ос
ХО = ]'S{f)ei2^df.
Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять
следующим требованиям:
□	должны выполняться условия Дирихле (см. раздел «Ряд Фурье»);
□	сигнал должен быть абсолютно интегрируемым. Это означает, что интеграл
от его модуля должен быть конечной величиной:
J| s(t)| dt <оо.
-со
Однако с привлечением математического аппарата обобщенных функций воз-
можно выполнение Фурье-анализа и для некоторых сигналов, не удовлетворяю-
щих этим требованиям (речь об этом пойдет далее, в разделе «Фурье-апалйз не-
интегрируемых сигналов»).
Если анализируемый сигнал s(t) — вещественная функция, то соответствующая
спектральная функция 5(со) является «сопряженно-симметричной» относитель-
но нулевой частоты. Это означает, что значения спектральной функции на часто-
тах со и -со являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу:
5(-<о) = 5” (со).
Если s(f) — четная функция, то, как и в случае ряда Фурье, спектр будет чисто
вещественным (и, следовательно, будет являться четной функцией). Если, на-
против, s(£) — функция нечетная, то спектральная функция 5(со) будет чисто
мнимой (и нечетной).
Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром, а се ар-
гумент — фазовым спектром. Легко показать, что для вещественного сигнала ам-
плитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты:
15(-со)| = 15(со)|,
<ps(-co) = -срХсо).
34
Глава 1. Основы анализа сигналов
Примеры расчета спектральных функций конкретных сигналов и соответствую-
щие графики будут приведены далее.
Итак, преобразование Фурье (1.11) ставит в соответствие сигналу, заданному во
времени, его спектральную функцию. При этом осуществляется переход из вре-
менной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-одно-
значным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная
функция) содержит ровно столько же информации, сколько и исходный сигнал,
заданный во временной области.
Примеры расчета преобразования Фурье
В этом разделе будут рассмотрены примеры расчета преобразования Фурье для
некоторых сигналов, часто встречающихся при решении различных задач.
Прямоугольный импульс
Начнем с прямоугольного импульса, центрированного относительно начала от-
счета времени (рис. 1.10):
Ий т/2,
|Г|>т/2.
40 а
-т/2
Рис. 1.10. Прямоугольный импульс
Вычисляем спектральную функцию:
5(со) = '\Ae~iMdt = — sinf—1
-т/2	65 V 2 J
sin(cor/2)
r- -------------
cot/2
Как видите, спектр представляет собой функцию вида sin(x)/x (рис. 1.11). Ам-
плитудный спектр имеет лепестковый характер, и ширина лепестков равна 2л/т,
то есть обратно пропорциональна длительности импульса. Значение спектраль-
ной функции на нулевой частоте равно площади импульса — Ат. Спектральная
функция является вещественной, поэтому фазовый спектр принимает лишь два
значения — 0 и л, в зависимости от знака функции sin(x)/x Значения фазы п
и -л неразличимы, разные знаки для фазового спектра при со > 0 и со < 0 исподь-
зованы лишь с целью представить его в виде нечетной функции.
Теперь посмотрим, что изменится после сдвига импульса во времени. Пусть им-
пульс начинается в нулевой момент времени (рис. 1.12):
Преобразование Фурье
35

О	it
Рис. 1.12. Прямоугольный импульс, задержанный во времени
Вычисляем преобразование Фурье и строим графики амплитудного и фазового
спектров (рис. 1.13):
5(со)= fAe-^dt = — (1-е-*") = Ат^^ехрГ-;—1	(1.14)
о	;'со	сот/2 <	2 )
задержанного прямоугольного импульса
ЗАМЕЧАНИЕ —----------------------------------------------------------
Этот пример демонстрирует проявление свойства преобразования Фурье, касающегося
изменения спектра при сдвиге сигнала во времени. Это свойство в общем виде будет рас-;
смотрено далее, в разделе «Свойства преобразования Фурье».
36
Глава 1. Основы анализа сигналов
Из формулы (1.14) и графиков рис. 1.13 видно, что после сдвига импульса во
времени его амплитудный спектр остался прежним, а фазовый приобрел сдвиг,
линейно зависящий от частоты.
Строго говоря, спектр данного сигнала простирается до бесконечности, лишь по-
степенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра. Как
видно из графиков, спектр имеет лепестковый характер и ширина главного лепе-
стка равна 2л/т. При лепестковом характере спектра за эффективную ширину
спектра можно принять ширину главного лепестка. Из графиков видно, что она
составляет 2л/т, то есть обратно пропорциональна длительности импульса. Это
общее соотношение: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Произведение же
эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра (оно назы-
вается базой сигнала) остается равным некоторой константе, зависящей от кон-
кретного способа определения этих параметров. В пашем примере это произве-
дение, очевидно, равно 2л. Вообще, для сигналов простой формы (пе имеющих
сложной внутриимпульсной структуры) величина базы независимо от способа
определения эффективных значений длительности и ширины спектра составля-
ет несколько единиц.
Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются соотношению неопре-
деленности, гласящему, что произведение этих параметров (база сигнала) не мо-
жет быть меньше единицы. Ограничений максимального значения базы сигнала
ие существует. Отсюда следует, что можно сформировать сигнал большой дли-
тельности, одновременно имеющий и широкий спектр (такие сигналы называют
широкополосными, или сложными, или сигналами с большой базой). А вот корот-
кий сигнал с узким спектром, согласно соотношению неопределенности, сущест-
вовать не может.
Несимметричный треугольный импульс
Далее рассмотрим несимметричный треугольный импульс (рис. 1.14):
О S t <, Т,
t < 0, t>T.
Рис. 1.14. Несимметричный треугольный импульс
Рассчитываем спектр и строим графики (рис. 1.15):
5(со) = [ А - e~jM dt = —e~JaT - — е
!0 Т	j<*
Преобразование Фурье
37
Рис. 1.15. Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры
несимметричного треугольного импульса
На сей раз амплитудный спектр не содержит ярко выраженных лепестков, по-
этому для определения его эффективной ширины необходим иной критерий. Бу-
дем определять эффективную ширину спектра по уровню 0,1 от максимума. Из
графика видно, что эта ширина (она показана стрелкой) составляет примерно
бл/Г. База сигнала, таким образом, равна 6л.
Симметричный треугольный импульс
Следующий сигнал — симметричный треугольный импульс (рис. 1.16):
Рис. 1.16. Симметричный треугольный импульс
Рассчитываем спектральную функцию:
5(ш) = J а( 1	=	.
-Jr I Т)	(шГ/2)2
Далее строим график амплитудного спектра (рис. 1.17). Спектральная функция
оказывается не только вещественной (это сразу же следует из четности сигнала),
но и неотрицательной, поэтому фазовый спектр в данном случае чисто нулевой
и строить его график не имеет смысла.
38
Глава 1. Основы анализа сигналов
Рис. 1.17. Амплитудный спектр симметричного треугольного импульса
Из графика видно, что спектр опять имеет лепестковую структуру и ширина глав-
ного лепестка составляет 2л/Г, как и в случае прямоугольного импульса. Однако
длительность сигнала в данном случае вдвое больше (2Г), и база оказывается
равной 4л.
Далее перейдем от сигналов конечной длительности к бесконечно протяженным
сигналам.
Односторонний экспоненциальный импульс
Первым из сигналов бесконечной длительности будет рассмотрен односторон-
ний экспоненциальный импульс (рис. 1.18):
«(*) =
Ае~м,
О,
t >0,
Г <0.
Рис. 1.18. Односторонний экспоненциальный импульс
Рассчитываем преобразование Фурье:
Ч	А
5(со) = [ Ае~'“ dt =	.
о	a + ja>
Далее строим графики амплитудного и фазового спектров (рис. 1.19).
Преобразование Фурье
39
Рис. 1.19. Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры
одностороннего экспоненциального импульса
Двусторонний экспоненциальный импульс
Теперь пусть экспоненциальный импульс будет двусторонним (симметричным,
рис. 1.20):
Рис. 1.20. Двусторонний экспоненциальный импульс
Рис. 1.21. Амплитудный спектр двустороннего экспоненциального импульса
40
Глава 1. Основы анализа сигналов
Рассчитываем преобразование Фурье:
5(со) = f Ae~alele~^ dt =	.
а2 + со2
Спектр в данном случае чисто вещественный, поэтому строить график фазового
спектра нет смысла (рис. 1.21).
Гауссов импульс
Следующий очень важный сигнал — гауссов импульс (рис. 1.22). Как и преды-
дущий, он имеет бесконечную протяженность в обоих направлениях временной
оси:
s(t) = Ае~а2‘2.
Вычисляем спектр:
со
S(co)= jAe-^e-^dt
-со
Поскольку сигнал является четной функцией, его спектр чисто вещественный.
Поэтому строим график только для амплитудного спектра (рис. 1.23).
Важным свойством гауссова импульса является то, что его спектр тоже описыва-
ется гауссовой функцией.
Гауссов импульс имеет бесконечную протяженность как во временной, так и в
частотной области. Определим его эффективную длительность и ширину спек-
тра по уровню 1/е от максимума: т = 2/с, До> “ 2°- База сигнала, таким образом,
равна четырем.
Преобразование Фурье
41
Рис. 1.23. Амплитудный спектр гауссова импульса
Сигнал вида sin(x)/x
Следующий пример призван продемонстрировать дуальность преобразования
Фурье. Если сравнить формулы прямого и обратного преобразования Фурье,
можно заметить, что они отличаются друг от друга лишь знаком в показателе
комплексной экспоненты и множителем перед интегралом. Отсюда следует» что
если четной функции времени /(f) соответствует спектральная функция g(o>)
(она будет также четной), то функции времени g(f) будет соответствовать спек-
тральная функция 2л/(о>). Проверим это на конкретном примере. В начале этого
раздела мы выяснили, что прямоугольному импульсу соответствует спектраль-
ная функция вида sin(<o)/co. Теперь же рассмотрим временной сигнал вида
sin(t)/t и проверим, будет ли его спектральная функция прямоугольной.
Итак, задаем временной сигнал (используем параметр Т для обозначения полу-
периода функции sin) (рис. 1.24):
s(f) = А
sin (тсt/T)
тс t/T
Рассчитываем спектр и строим график (рис. 1.25):
JsinWOcosot
sin| о>+ — |f + sin со-— If
"	Г
5(<d)= J^S11^-rZr)e
,-jat
тс t/T
. ( тс
= АТ/с
2л 1
Т
t
dt -
= ^L1
2л
. f л т
sin (0+— t
I TJ
t
sinl co- — If
I T)
t
dt.
. AT г
dt +— [
2л Д
42
Глава 1. Основы анализа сигналов
-0.41-------'---'-------'----'------*------*----'------'------'----
-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	t/T
Рис. 1.24. Сигнал вида sin(at)/(at)
~п/Т	0	п/Т со
Рис. 1.25.' Сигнал вида sin(at)/(at) имеет прямоугольный спектр
Значение каждого из двух получившихся интегралов равно ±тс в зависимости от
знака множителей (со ± л/Г). Поэтому результат суммирования интегралов зави-
сит от частоты следующим образом:
Т'
Как видите, дуальность (симметрия) преобразования Фурье получила наглядное
подтверждение.
Сигнал данного вида имеет идеальный низкочастотный спектр — спектральная
функция постоянна в некоторой полосе частот, начинающейся от нулевой часто-
ты, и равна нулю за пределами этой полосы. Мы вповь встретимся с этим сигна-
лом в главе 3 при обсуждении разложения сигналов в ряд Котельникова.
Свойства преобразования Фурье
Под свойствами преобразования Фурье подразумевается взаимное соответствие
трансформаций сигналов и их спектров. Хорошее знание свойств преобразова-
ния Фурье позволяет предсказывать примерный (а иногда и точный) вид спек-
Преобразование Фурье
43
тра анализируемого сигнала и таким образом контролировать правдоподобность
результата, выдаваемого компьютером.
В этом разделе мы будем рассматривать два абстрактных сигнала, /(t) и g(t),
и считать, что их спектральные функции равны /(со) и G(co).
Линейность
Преобразование Фурье является линейным интыральпым преобразованием. Смысл
свойства линейности можно сформулировать так: спектр суммы равен сумме
спектров. Говоря математическим языком, линейная комбинация сигналов име-
ет спектр в виде такой же (с теми же коэффициентами) линейной комбинации
их спектральных функций:
если s(t) =	+ $g(t), то S(co) = a/(co) + pG(co).
Задержка
А теперь посмотрим, как сказывается на спектральной функции задержка сигна-
ла во времени. Итак, пусть т — время задержки:
5(0 ”/(«-т),
тогда спектральная функция изменится следующим образом:
S(co) = J/(t-T)e-jrat6/f=	= Р(со)еЧт.
—СО	—00
Результат показывает, что спектр исходного сигнала оказался умноженным на
комплексную экспоненту вида сЧэт. Таким образом, амплитудный спектр сигна-
ла не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен 1; к тому же
здравый смысл подсказывает, что соотношение между амплитудами спектраль-
ных составляющих из-за сдвига сигнала во времени измениться не должно). Фа-
зовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -сот, линейно зависящее от
частоты.
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Если в результате какого-либо преобразования сигнала его спектр умножается на некото-
рую функцию, не зависящую от преобразуемого сигнала, это означает, что данное преобра-
зование может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами. Речь
о системах данного класса пойдет в главе 2.
Изменение масштаба оси времени
Рассматривая конкретные примеры, мы уже познали на практике общее прави-
ло: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Теперь взглянем на это правило со
строгих теоретических позиций. Если изменить длительность сигнала /(i), со-
храняя его форму, то новый сигнал s(t) следует записать как
s(t) “/(a«).
44
Глава 1. Основы анализа сигналов
При |а| > 1 сигнал сжимается, при |а| < 1 — растягивается. Если а < 0, дополни-
тельно происходит зеркальное отражение сигнала относительно вертикальной оси.
Посмотрим, как такое преобразование сказывается на спектре:
5(Ю) = f /(at)dt = - f /(at)J(at) = - F\- |.
Л	«Д	я
Итак, изменение длительности сигнала приводит к изменению ширины спектра
в противоположную сторону (аргумент t на а умножается, а со делится) в сочета-
нии с увеличением (при растяжении, а < 1) или уменьшением (при сжатии,
а > 1) уровня спектральных составляющих.
Полученная формула справедлива для a > 0. При a < 0 использованная замена
переменной t —> at вызовет перестановку пределов интегрирования и, как следст-
вие, изменение знака у результата:
5(<о) =	a < 0.
a \aj
Объединяя оба случая, можно записать
5(со) = Де| а*0.
|a| {а)
В частном случае а = -1 полученная формула дает следующее:
5(<о) = F(-to) = Ё’(<о).
Итак, зеркальное отражение сигнала относительно начала отсчета времени при-
водит к зеркальному отражению спектра относительно нулевой частоты. Для ве-
щественного сигнала это соответствует комплексному сопряжению спектра.
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------
В данном случае результат не сводится к умножению исходного спектра па некоторую
функцию. В соответствии с предыдущим замечанием это означает, что изменение длитель-
ности сигнала не может быть осуществлено линейной системой с постоянными парамет-
рами.
Дифференцирование сигнала
Посмотрим, как влияет на спектр дифференцирование сигнала во временной
области. Для этого нам придется воспользоваться определением понятия произ-
водной:
dt с-»0 Е
Применим к этому выражению преобразование Фурье:
J с—>0	с	е~*0	£
—со	°
= Ё(о>)1ш1-— - j(oF((o).
ь-»0 g
Преобразование Фурье
45
Спектр производной получается путем умножения исходного сигнала на ;со.
Таким образом, при дифференцировании низкие частоты ослабляются, а высо-
кие усиливаются. Фазовый спектр сигнала сдвигается на 90° для положитель-
ных частот и на - 90° для отрицательных.
Множитель j& называют оператором дифференцирования сигнала в частотной
области.
Интегрирование сигнала
Интегрирование, как известно, является операцией, обратной дифференцирова-
нию. Поэтому, исходя из результатов, полученных в предыдущем разделе, каза-
лось бы, можно ожидать следующий результат:
ад. Ж
Однако все не так просто. Детальный анализ, выполненный, например, в [1], по-
казывает, что эта формула справедлива лишь для сигналов, не содержащих по-
стоянной составляющей, у которых
F(0)=	=0.
—оо
В общем же случае результат должен содержать дополнительное слагаемое в виде
дельта-функции на нулевой частоте. Множитель перед дельта-функцией пропор-
ционален постоянной составляющей сигнала:
5(<о) =	+ яД(0)5(со).	(1.15)
Итак, при интегрировании исходного сигнала высокие частоты ослабляются, а
низкие усиливаются. Фазовый спектр сигнала смещается на -90° для положи-
тельных частот и на 90° для отрицательных. Множитель 1/О'со) называют опера-
тором интегрирования в частотной области.
Спектр свертки сигналов
Свертка сигналов является очень часто используемой в радиотехнике интеграль-
ной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала че-
рез линейную систему с постоянными параметрами (подробнее это будет обсуж-
даться в главе 2):
= "\f(t’)g(t-t')dt'.
—ос
Подвергнем такую конструкцию преобразованию Фурье:
(1.16)
=	]g(t-t')e-Jml,-nd(t-t')dt'=F(a>)G{(d).
46
Глава 1. Основы анализа сигналов
Полученный результат очень важен, он часто используется на практике: спектр
свертки равен произведению спектров.
Спектр произведения сигналов
Дуальность преобразования Фурье и соотношение (1.16), полученное в преды-
дущем разделе, позволяют легко предугадать результат. Однако все-таки полу-
чим его:
s(t) = f(t)g(t),
тогда
ЭД = J f(t)g(t)e^dt = f Г А р(ш' ^dtAg^e^dt =
(1.17)
= A	dd в А р(со’)6(со-со')б/ю'.
_ г,	2it _
Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертку
спектров. Единственной дополнительной тонкостью является множитель 1/(2 л)
перед интегралом свертки.
ЗАМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------
При выводе соотношения (1.17) мы представили сигнал /(t) с помощью обратного преоб-
разования Фурье (1.12) от его спектральной функции.
Умножение сигнала на гармоническую функцию
Умножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую
функцию:
5(0 “ /(0 cos(co0t+ фо)-
Посмотрим, что произошло со спектром сигнала:
S(a>) = J/(i)cos(co0t + 90)e_>M'dr = f f(t)--------------------
-00	~
e~iatdt =
+ 1 J	=
2 _<я
(1-18)
= 1 e^F(<o- <o0 ) +1 e-*»F(co + co0).
Как видите, спектр «раздвоился» — распался на два слагаемых вдвое меньшего
уровня (множитель 1/2), смещенных на а>0 вправо (со - соо) и влево (со + со0) по
оси частот. Кроме того, при каждом слагаемом имеется множитель, учитываю-
щий начальную фазу гармонического колебания. С практическим применением
этого свойства мы столкнемся в главе 8 при обсуждении свойств сигналов с амп-
литудной модуляцией.
Преобразование Фурье
47
Связь преобразования Фурье
и коэффициентов ряда Фурье
Пусть s(£) — сигнал конечной длительности, а 5(о) — его спектральная функция.
Получим на основе s(t) периодический сигнал, взяв период повторения Т не
меньше длительности сигнала:
«т(0 = £s(£-W3.
Сравнивая формулы (1.11) для расчета преобразования Фурье сигнала s(t) и (1.9)
для расчета коэффициентов ряда Фурье сигнала sT(t), можно заметить, что эти
формулы предполагают вычисление одного и того же интеграла. Различие состо-
ит в том, что для расчета коэффициентов ряда Фурье в подынтегральное выра-
жение подставляются не произвольные, а дискретные значения частоты со* - 2пЛ/Г
и, кроме того, результат интегрирования делится на период сигнала Т.
Таким образом, между спектральной функцией 5(со) одиночного импульса и ко-
эффициентами Ск ряда Фурье для периодической последовательности таких им-
пульсов существует простая связь:
а 1 J2nk\
L'k — J’ I ' ~ 'Г J ’
ЗАМЕЧАНИЕ ---------------------------------------------------------
Данная формула справедлива и в том случае, если период повторения импульсов меньше
их длительности (то есть если соседние импульсы периодической последовательности пе-
рекрываются).
Фурье-анализ неинтегрируемых сигналов
При введении понятия преобразования Фурье были указаны условия его приме-
нимости: выполнение условий Дирихле и абсолютная интегрируемость сигнала.
Однако в ряде случаев можно применить преобразование Фурье и к сигналам,
этим условиям не удовлетворяющим, и получить при этом вполне осмысленный
и практически полезный результат.
Итак, в данном разделе мы воспользуемся преобразованием Фурье для спек-
трального анализа таких сигналов, к которым оно формально неприменимо.
Дельта*функция
Прежде всего вычислим преобразование Фурье для сигнала в виде дельта-функ-
ции (о ее свойствах шла речь в разделе «Классификация сигналов», и фильтрую-
щее свойство (1.1) нам сейчас как раз понадобится):
5(со)= j8(Oe~J“trft = l.
-I»
Спектр дельта-функции представляет собой константу, то есть является равно-
мерным в бесконечной полосе частот. Это вполне согласуется с общим соотно-
48
Глава 1. Основы анализа сигналов
шепнем между длительностью сигнала и шириной его спектра: дельта-импульс
имеет бесконечно малую длительность, а его спектр бесконечно широк.
Из полученного результата следует, что дельта-функцию можно записать в виде
обратного преобразования Фурье следующим образом:
8(r) = _l je^dca.	(1.19)
Это полезное соотношение мы используем при анализе следующего сигнала.
Постоянный во времени сигнал (константа)
Поскольку мы уже знаем, что спектром дельта-функции является константа, бла-
годаря дуальности преобразования Фурье можно сразу же сказать, что спектром
константы (5(f) “ Л) будет дельта-функция частоты. Проверим это, воспользо-
вавшись только что полученным соотношением (1.19):
5(ю) = jAe-Joitdt=2nA S(со).
—00
Наши предположения полностью подтвердились. Здесь опять хорошо прослежи-
вается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной
его спектра: бесконечно протяженный сигнал имеет бесконечно узкий спектр.
Функция единичного скачка
Функция единичного скачка (1.2) (см. раздел «Классификация сигналов») пред-
ставляет собой интеграл от дельта-функции, поэтому, в соответствии со свойст-
вами преобразования Фурье (см. предыдущий раздел), мы получаем
5(со) = f cr(f)e~JraI dt ~ п 5(со) - —.
Поскольку дельта-функция имеет ненулевую (равную 1) постоянную состав-
ляющую, то в полном соответствии с формулой (1.15), приведенной для данного
случая в разделе «Свойства преобразования Фурье», в спектре появляется до-
полнительное слагаемое в виде дельта-функции на нулевой частоте.
Гармонический сигнал
Рассчитаем спектр гармонического сигнала общего вида:
s(f) - A cos(coot + <р).
Для расчета спектральной функции представим косинус в виде полусуммы ком-
плексных экспонент и воспользуемся формулой (1.19):
»	“	„.Мо'+>Фо , „-.Мо'-Л>о
5(со) = J A cos((B0t + Фо dt= f А  ----—--------e~ja‘ dt =
-ос	-ОС	2
“ А	" А
= j	dt+ j “e-*»e-’^<^‘dt =	(1.20)
—co 2	2
= Aneivo S(w - <a0 ) + Лле-”’1’ 5(<a + <o0 ).
Преобразование Фурьв
49
Результат, как видим, представляет собой пару дельта-функций, расположенных
на частотах ±соо. Множители при них отражают амплитуду и начальную фазу (то
есть комплексную амплитуду ) гармонического сигнала.
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Тот же результат можно было бы получить, применив к спектру постоянного во времени
сигнала свойство преобразования Фурье (1.18), касающееся умножения сигнала на гармо-
ническую функцию.
Комплексная экспонента
Впервые в этой книге мы рассматриваем сигнал, не являющийся вещественным:
5(t) = A exp(jwot).
Результат вычисления его спектра легко предугадать: только что рассмотренный
гармонический сигнал дал спектральную функцию в виде двух дельта-функций,
а косинус с помощью формулы Эйлера можно представить в виде полусуммы
двух комплексных экспонент. Значит, спектром комплексной экспоненты долж-
на являться одиночная дельта-функция:
5(со) = Ае’ш"‘e~’at dt = 2Ллб(со-соо).	(1.21)
—00
Результат, как видите, не обманул наших ожиданий. Обратите внимание на то,
что поскольку сигнал не является вещественным, его спектр теряет свойство
симметрии.
На первый взгляд, польза от рассмотрения комплексных сигналов невелика. Од-
нако они оказываются очень удобным средством для анализа модулированных
сигналов, особенно когда у них одновременно меняются и амплитуда, и началь-
ная фаза. С такими сигналами нам предстоит встретиться в разделе «Комплекс-
ная огибающая» далее в этой главе.
Произвольный периодический сигнал
Как мы уже знаем, периодический сигнал с периодом Т может быть представлен
в виде ряда Фурье (1.8):
« .
Г .
Л =-ж
После вычисления спектров гармонического сигнала (1.20) и комплексной экс-
поненты (1.21) читателю уже должно быть ясно, что спектральная функция та-
кого сигнала представляет собой набор дельта-функций, расположенных на час-
тотах гармоник ряда Фурье:
5(со)= £ 2пСкд[ы- —1
*=-00	к Т )
Множители при дельта-функциях равны соответствующим коэффициентам ряда
Фурье Ск, умноженным на 2л.
50
Глава 1. Основы анализа сигналов
Корреляционный анализ
Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большую роль в теории
сигналов. Говоря кратко, его смысл состоит в количественном измерении степе-
ни сходства различных сигналов. Для этого служат корреляционные функции, с
рассмотрения которых мы и начнем этот раздел.
Корреляционная функция
Корреляционная функция (КФ; английский термин — correlation function, CF)
детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл
(в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг
относительно друга на время т:
Я5(т)= fs(t)s(t-T)dt.
—00
Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его
сдвинутой копией — чем больше значение корреляционной функции, тем это
сходство сильнее. Кроме того, корреляционная функция обладает следующими
свойствами:
1.	Значение КФ при т = 0 равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квад-
рата:
Bs(0)=Js2(OJf = £.
-00
2.	КФ является четной функцией своего аргумента т:
ДЛ) “ Bs(-t).
3.	Значение КФ при т - 0 является максимально возможным значением:
В,(т) < Bs(0).
4.	С ростом абсолютного значения т КФ сигнала с конечной энергией затухает:
lim В (т) = 0.
ki->«
5.	Если сигнал s(t) не содержит особенностей в виде дельта-функций, его КФ не
может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией).
6.	Если сигнал — напряжение, то размерность его КФ равна В2 • с.
В качестве примера вычислим КФ прямоугольного импульса (1.13), показанного
ранее на рис. 1.12:
□	при 0 < т < Т
Bs(x) = jA2dt = A2(T-x);
□	при -Т < т < О
Т+т
ВЛ(т) = р2Л = Л2(Т + т);
О
Корреляционный анализ
51
□	при |т| > Т
Bs(rf = 0.
Объединяя результаты, можно записать
[Л2(Т’-|т|), |г|<Г,
()'U	|,|>7.
График КФ прямоугольного импульса показан на рис. 1.26.
Рис. 1.26. Корреляционная функция прямоугольного импульса
В случае периодического сигнала (и вообще любого сигнала с бесконечной энер-
гией) воспользоваться приведенным определением не удастся. Поэтому КФ пе-
риодического сигнала с периодом Т вычисляют, усредняя произведение сдвину-
тых копий в пределах одного периода:
« Т/2
2 -т/2
Набор свойств такой КФ несколько меняется.
1.	Значение при т-0 равно не энергии, а средней мощности анализируемого
сигнала:
1 Ч2
B,(0)=i J52(t)^ = Prp.
* -т/2
2.	Свойство четности сохраняется: ВА(-т) - Д,(т).
3.	Значение КФ при т - 0 по-прежнему является максимально возможным:
Д,(т) < Д(0).
4.	КФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же пе-
риодом, что и сам сигнал: Д,(т + Г) - Д,(т).
5.	Если сигнал не содержит дельта-функций, его КФ будет непрерывной функ-
цией.
6.	Размерность КФ периодического сигнала — квадрат размерности сигнала (В2,
если сигнал — напряжение).
В качестве примера вычислим КФ гармонического сигнала с частотой с£>0:
s(t) - A cos(coot + фо)-
52
Глава 1. Основы анализа сигналов
Вычисляем корреляционный интеграл, учитывая, что период такого сигнала ра-
вен 2п/соо:
и п/г"	А2
В> (Т) = -7Г J А C0S (“о* + Фо И cos (“о (^ -1) + Фо	= — COS (со0т).
271 -Хо	2
Как видите, КФ гармонического сигнала тоже является гармонической функци-
ей. Еще очень важен тот факт, что полученный результат не зависит от началь-
ной фазы гармонического сигнала (параметр <р в полученное выражение не во-
шел). Это проявление общего свойства всех КФ, о котором пойдет речь далее в
разделе «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов».
Взаимная корреляционная функция
Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и
того же сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский тер-
мин — cross-correlation function, CCF) позволяет измерить аналогичную величи-
ну для сдвинутых экземпляров двух разных сигналов.
Общий вид формулы КФ сохраняется, по под интегралом стоит произведение
двух разных сигналов, один из которых задержан на время т:
bi2(t)= Js((t)s2(t-T)6?t.
ЗАМЕЧАНИЕ ---------------------------------------------------------
Очевидно, что КФ является частным случаем ВКФ, когда оба сигнала одинаковы:
«1(0 = s2(t) = л(Г).
В качестве примера вычислим ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов
(см. рис. 1.12 и 1.14):
□	при 0 < т < Т
Т	t-т	А2
В^ = \А2^й = ?-(Т-х)2-,
х 1	ZJ
□	при -Т < т < 0
□	при |т| > Т
В,2(т)-0.
Корреляционный анализ
53
Объединяя результаты, можно записать
Л2(т) =
д2
—(Г-т)2,
2Т
А2
— {Т2 -т2),
2Т
О,
График полученной ВКФ представлен на рис. 1.27.
Рис. 1.27. ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов
Свойства ВКФ несколько отличаются от свойств КФ:
1.	|В12(т)| <	, где Et и Е2 — энергии сигналов s((t) и s2(t).
2.	В|2(-т) = то есть изменение знака т равносильно взаимной перестанов-
ке сигналов.
3.	Значение ВКФ при т = 0 ничем не выделяется; максимум может быть распо-
ложен в любом месте оси т.
4.	С ростом абсолютного значения т ВКФ сигналов с конечной энергией зату-
хает:
lim В12(т)=0.
|t|->cc
5.	Если сигналы si(t) и s2(t) не содержат особенностей в виде дельта-функций, их
ВКФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией).
6.	Если сигналы — напряжение, то размерность их ВКФ равна В2 • с.
Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, хотя оно мо-
жет быть введено в случае, если сигналы si(t) и s2(t) имеют одинаковый период.
Связь между корреляционными функциями
и спектрами сигналов
Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральны-
ми преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти
характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи под-
54
Глава 1. Основы анализа сигналов
вергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая,
что сигналы х((0 и s2(t) имеют спектральные функции Л’Дсо) и S2 (со):
fВ12(т)е~>ю’б?т = j	dtdx =
—со	—оо —со
=	Js2(t-x)eia{‘~x)d(t-x)dt = St((£>)S2((i3).
-со	-со
Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так
называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр 512(со)для сигналов
s^t) и 52(t) представляет собой произведение их спектральных функций, одна из
которых подвергнута комплексному сопряжению:
512(и) = 51(со)5л2(сй).	(1.22)
Отсюда можно сделать очень важный вывод: если спектры сигналов не перекры-
ваются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна
нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах т. Таким образом, сигналы с непе-
рекрывающимися спектрами являются некоррелированными.
Приняв st(i) - 52(0 - s(t), получаем аналогичный результат для КФ:
|В5(т)е"?штс/т = j js(£)s(r-T)e-J“Tc/r<A =
— СО	—со —со
= {5(06’^ ]s(t-x)eia{‘-xyd(t-x)dt=	(1.23)
= 5(со)5*(со) = | 5(со)|2.
Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектраль-
ной функции, или с энергетическим спектром сигнала.
Отсюда следует еще один важный факт: КФ сигнала не зависит от его фазового
спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы,
а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие за-
ключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из-
за утраты информации о фазе).
Энергетические расчеты
в спектральной области
В разделе «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов»
мы показали, что ВКФ двух сигналов связана преобразованием Фурье с их вза-
имным спектром. Запишем эту связь в виде формулы обратного преобразования
Фурье:
В12(т) = Ар12(ш)ЛЮ.
Теперь подставим в эту формулу значение т = 0 и раскроем выражения для ВКФ
и взаимного спектра. Получится соотношение, именуемое теоремой Рэлея-.
Комплексная огибающая
55
(5t(t)s2(06?t = ^- рДсо^со)^.
Если теперь принять сигналы одинаковыми (s1(t) = s2(t) = 5(0), получится соот-
ношение, позволяющее вычислять энергию сигнала как во временной, так и в
частотной области и называемое равенством Парсеваля'.
Е = fs2(f)efc = — j|5(<o)|2 da.	(1.24)
Последнее, на чем следует остановиться в этом разделе, — это вычисление сред-
ней мощности периодического сигнала по коэффициентам его ряда Фурье. За-
пишем периодический сигнал s(£) в виде ряда Фурье в комплексной форме (1.8):
»	—I
хо= Ес/т .
k=-O3
А теперь применим к этому выражению формулу для расчета средней мощности
за период:
Pcp=^s\t)dt = ^ £ Е CkC,„]e ’ dt.
-* 0	* k «-co «г=-о>	о
Промежуток 0...Г соответствует целому числу периодов стоящей под интегралом
комплексной экспоненты, поэтому интеграл будет равен нулю при всех k * -m.
При k = -m экспонента становится константой, и интеграл будет равен Т:
Pep = EIGI2-
k~-x
Результат оказывается очень простым: средняя мощность периодического сигна-
ла равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье.
Комплексная огибающая
В различных системах передачи информации часто применяются узкополосные
сигналы, спектр которых сосредоточен в окрестности некоторой частоты со0. При
анализе таких сигналов удобно пользоваться понятиями комплексной огибающей,
амплитудной огибающей и фазовой функции сигнала. Эти понятия и будут рас-
смотрены в данном разделе.
Рассмотрим сигнал, представленный в виде колебаний с частотой соо, у которых
меняются во времени как амплитуда, так и начальная фаза:
s(0 - А(0 cos(co0* + <р(0).	(1.25)
Множитель А(0 называется амплитудной огибающей, а начальная фаза <p(t) —
фазовой функцией сигнала s(t). Весь аргумент функции cos называют полной фа-
зой сигнала:
*Р(0 = а>о £ + <р(0-
56
Глава 1. Основы анализа сигналов
Сигнал (1.25) можно представить как вещественную часть комплексной функ-
ции, заменив косинус комплексной экспонентой:
5(0 - Re(A(0 exp(j(coof + <р(Г)))).
В комплексном выражении, стоящем под функцией Re, можно выделить два мно-
жителя: exp(ycoot) представляет немодулировапное несущее колебание и является
быстро меняющимся, а Л(0 ехр(У<р(Г)) меняется, как правило, значительно мед-
леннее и содержит информацию об амплитудной огибающей и начальной фазе
одновременно. Этот медленно меняющийся множитель и называется комплекс-
ной огибающей сигнала:
Ди(О = А0ехр(;ф(0).
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------
Комплексная огибающая, объединяя в себе информацию об амплитуде и фазе сигнала, яв-
ляется обобщением понятия комплексной амплитуды, широко используемого в теоретиче-
ской электротехнике.
Рассмотрим теперь другую задачу — представим произвольный сигнал 5(f) в фор-
ме (1.25), то есть выделим его амплитудную огибающую и фазовую функцию.
Ясно, что способов сделать это бесконечно много, поскольку мы хотим одной
функции s(t) поставить в соответствие набор из двух функций A(t) и <p(t). Одна-
ко искомое представление должно удовлетворять нескольким очевидным огра-
ничениям. В частности, для гармонического сигнала искомая процедура должна
давать в результате постоянные амплитуду и начальную фазу. Кроме того, ра-
зумно потребовать, что фазовая функция не должна меняться при умножении
сигнала па произвольный постоянный множитель. С учетом этих требований
способ выделения амплитудной огибающей и фазовой функции из произвольно-
го сигнала оказывается единственным: такое выделение производится с помо-
щью преобразования Гильберта, речь о котором пойдет в следующем разделе.
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Подробное и интересное обсуждение данной проблемы можно найти в [6J. Вообще, с этой
.замечательной книгой, рассказывающей о различных парадоксах и заблуждениях, связан-
ных с теорией связи, должен познакомиться каждый, кто занимается обработкой сигналов,
радиотехникой или телекоммуникациями.
Преобразование Гильберта
Для выделения амплитуды и фазы произвольный сигнал s(t) представляется как
вещественная часть комплексного сигнала sa(f) (он называется аналитическим
сигналом):
s(0 = Re(5a(0).
Вещественная часть аналитического сигнала, естественно, должна совпадать с
исходным сигналом 5(f)- Мнимая же часть sx(f) называется сопряженным сигна-
лом или квадратурным дополнением:
sa(t) - s(t) +j sx(t).
Комплексная огибающая
57
Сопряженный сигнал получается из исходного с помощью преобразования Гиль-
берта. Вычисляется преобразование Гильберта следующим образом:
= dt'.	(1.26)
n’xt -t'
Данный интеграл представляет собой свертку сигнала s(f) и функции 1/(л£). Это
означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной систе-
мой с постоянными параметрами (такие системы будут описаны в главе 2; забе-
гая вперед, скажем, что система, осуществляющая преобразование Гильберта,
является физически нереализуемой, поскольку ее импульсная характеристика
имеет бесконечную протяженность в обоих направлениях временной оси). Из
этого, в свою очередь, следует, что мы можем определить частотную характери-
стику преобразования Гильберта:
(1.27)
Итак, АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой час-
тоты, то есть преобразование Гильберта не меняет амплитудных соотношений в
спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляющую. Фазы всех
спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на
90°, в области отрицательных частот — увеличиваются на 90°.
Таким образом, устройство, осуществляющее преобразование Гильберта, должно
представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазо-
вый сдвиг, равный 90°.
Очевидно, что обратное преобразование Гильберта должно вносить такой же фа-
зовый сдвиг, но с обратным знаком, опять же при сохранении амплитудных со-
отношений в спектре преобразуемого сигнала. Математически это будет выгля-
деть так:
K!(co)=-J— =
. Хх(со)
-Л
 о,
j,
со <0,
со = 0,
со>0.
Сравнение этой формулы с коэффициентом передачи прямого преобразования
Гильберта (1.27) показывает, что
Х1(со)=-Кх(со).
Следовательно, формулы обратного и прямого преобразований Гильберта разли-
чаются лишь знаком:
it' i-e
58
Глава 1. Основы анализа сигналов
Спектр аналитического сигнала
Ранее уже было сказано, что аналитический сигнал получается путем добав-
ления к вещественному сигналу s(t) мнимой части в виде его преобразования
Гильберта:
sa(0 = s(O+7sx(0-
Теперь вычислим спектр аналитического сигнала, учитывая, что преобразование
Гильберта является линейным и его коэффициент передачи определяется фор-
мулой (1.27):
5а (<о) = 5(со) + 7\(со) = 5(со)(1 + Х±(<о)) =
О,
 5(0),
25(со),
(о <0,
со = О,
со>0.
Полученный результат довольно любопытен. В области положительных частот
спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом допол-
нительного 90-градусного фазового сдвига, вносимого множителем j) складыва-
ются, давая удвоенный результат. В области же отрицательных частот эти спек-
тры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. В результате спектр
аналитического сигнала оказывается односторонним (рис. 1.28, а, б).
Итак, чтобы для произвольного сигнала определить амплитудную огибающую и
фазовую функцию, необходимо прежде всего сформировать аналитический сиг-
нал, получив его мнимую часть с помощью преобразования Гильберта. Далее ам-
плитудная огибающая находится как модуль аналитического сигнала:
= | sa (0| = 7s2(O + sf(0-
Полная фаза представляет собой аргумент комплексного аналитического сиг-
нала:
4/(0 = argsa(0.
Чтобы получить начальную фазу сигнала, нужно выделить из полной фазы ли-
нейное слагаемое <о0£. Для этого, в свою очередь, нужно знать значение централь-
ной частоты соо. После этого можно будет получить начальную фазу и комплекс-
ную огибающую:
<p(O = ’P(0-<oot,
Ли(0 = Л(0е'’<'>.
Спектр комплексной огибающей представляет собой сдвинутый на <о0 спектр
аналитического сигнала:
5Л,„(со) = 5а(со+соо).
В общем случае спектр комплексной огибающей не является симметричным от-
носительно нулевой частоты (рис. 1.28, в).
Выбор центральной частоты <о0, вообще говоря, является произвольным. Для
узкополосных сигналов существует «разумное» значение а»0, при использовании
которого оказывается наиболее простой аналитическая запись комплексной оги-
бающей. Например, для гармонического сигнала
s(t) == A cos(£2 t + <p)
Комплексная огибающая
59
аналитический сигнал имеет вид
sa(t) - А exp(j’Qi +;'ф).
Амплитудная огибающая равна А, полная фаза — Qf + <р. В общем случае, выбрав
произвольное значение «средней» частоты <о0, мы получаем начальную фазу
Ф(0 - (Q - со0)£ + ф
и комплексную огибающую
Am(t) - А exp(j(Q - <о0)£ +;'ф).
14(<о)1
О	о>0	со
Рис. 1.28. Амплитудные спектры вещественного сигнала (а), соответствующего ему
аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в)
Если выбранная «средняя» частота <о0 будет совпадать с частотой гармоническо-
го сигнала (<о0 - Q), комплексная огибающая станет константой:
Am(t) - А ехр(Уф).
Метод замены исходных функций их комплексными огибающими для анализа
прохождения сигналов через различные цепи называется методом низкочастот-
ного эквивалента. При этом принципиально то, что все комплексные огибающие
должны вычисляться относительно одной и той же центральной частоты соо, даже
если ее значение для некоторых сигналов будет выглядеть «неестественным».
60
Глава 1. Основы анализа сигналов
В целом же следует помнить, что понятие комплексной огибающей имеет смысл
только при указании частоты со0, относительно которой эта комплексная огибаю-
щая вычислена.
Случайные сигналы
В отличие от детерминированных сигналов, форму которых мы знаем точно, мгно-
венные значения случайных сигналов заранее не известны и могут быть предска-
заны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких
сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный вид.
В радиотехнике существует два основных класса сигналов, нуждающихся в веро-
ятностном описании. Во-первых, это шумы — хаотически изменяющиеся во вре-
мени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических
системах из-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случай-
ными являются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания зако-
номерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероят-
ностным моделям.
Ансамбль реализаций
Математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала называ-
ется случайным процессом. По определению, случайный процесс Х(1) — это
функция особого вида, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею
в любой момент времени t, являются случайными величинами.
ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------
В технической литературе термины «случайный сигнал» и «случайный процесс» часто ис-
пользуются как синонимы.
До регистрации (до приема) случайный сигнал следует рассматривать именно
как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функ-
ций времени x,(t), подчиняющихся некоторой общей для них статистической
закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после
приема сообщения, называется реализацией случайного процесса. Эта реализа-
ция является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. На
рис. 1.29 приведен пример нескольких реализаций случайного процесса.
Модели случайных процессов
Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также различных
его преобразований необходимо задать математическую модель случайного про-
цесса. Такая модель может представлять собой описание возможных реализаций
случайного процесса в сочетании с указанием относительной частоты их появле-
ния. Приведем несколько примеров моделей случайных процессов, задаваемых
таким образом.
Случайные сигналы
61
*i(0
*2<0
*з(0
Рис. 1.29. Реализации случайного процесса
Гармонический сигнал со случайной начальной фазой
Во многих практических задачах используется модель случайного процесса, реа-
лизации которого представляют собой гармонические колебания с известными
(детерминированными) амплитудой и частотой, но случайной начальной фазой.
Таким образом, реализация рассматриваемого случайного процесса может быть
записана как
x(t) = A cos(co01 + ср),
где А — амплитуда (детерминированная), соо — частота (детерминированная) и
<р — случайная начальная фаза, которая в большинстве практически интересных
случаев может считаться равномерно распределенной на интервале О...2л, то есть
имеющей следующую плотность вероятности:
О, в остальных случаях.
Графики нескольких реализаций данного случайного процесса, представляющие
собой синусоиды, смещенные друг относительно друга по временной оси, пока-
заны на рис. 1.30.
Как видите, конкретный вид реализации процесса в данном случае определяется
значением всего лишь одной случайной величины — начальной фазы.
ЗАМЕЧАНИЕ--------------------------------------------------------------
Случайные процессы, конкретный вид реализаций которых определяется значениями ко-
нечного числа параметров (случайных величин), иногда называют квазидетерминироваи-
ными случайными процессами.
62
Глава 1. Основы анализа сигналов
Рис. 1.30. Реализации гармонического сигнала со случайной начальной фазой
Случайный телеграфный сигнал
Таким сигналом в [5] назван случайный процесс, реализации которого принима-
ют значения +1 и -1, причем перепады уровня происходят в случайные моменты
времени и число N перепадов уровня, происходящих за время т, является слу-
чайной величиной с дискретным распределением вероятности, описываемым за-
коном Пуассона:
Р(ДГ>т) = <^1е-^.	(1.28)
Здесь X — неотрицательный параметр, определяющий среднюю частоту возник-
новения перепадов уровня.
ЗАМЕЧАНИЕ --------------------------------------------------------
Напомним, что прописной буквой Р обозначается вероятность некоторого события, ука-
зываемого в скобках. В формуле (1.28) P(N, т) — это вероятность того, что за время т прои-
зойдет N перепадов уровня сигнала.
Скачки уровня происходят в случайные моменты времени tk, поэтому аналити-
чески записать формулу для отдельной реализации данного случайного процес-
са оказывается весьма затруднительно, а изобразить ее график можно лишь
условно (рис. 1.31).
Рис. 1.31. Реализация случайного телеграфного сигнала
В данном случае конкретная реализация задается бесконечным множеством слу-
чайных величин — моментов перепадов уровня tk, а характеристики случайного
процесса определяются статистическими свойствами этих случайных величин.
Итак, полное описание случайного процесса дает его ансамбль реализаций. Одна-
ко для решения практических задач часто достаточно более простых характери-
Случайные сигналы
63
стик, выражающихся в виде числовых параметров и детерминированных функ-
ций. Об этом пойдет речь далее.
Вероятностные характеристики
случайных процессов
Пусть X(t) — случайный процесс, заданный ансамблем реализаций {тКО. x2(t),->
x*(Z),...}. Выбрав произвольный момент времени tu зафиксируем значения, при-
нимаемые всеми реализациями: {*1(4), x2(ti).x*(ti), ...} (см. рис. 1.29). Сово-
купность этих значений образует одномерное сечение случайного процесса и пред-
ставляет собой случайную величину X(tj). Напомним кратко основные характе-
ристики случайных величин, отметив при этом, что для одномерных сечений
случайных процессов они в общем случае зависят от выбранного момента време-
ни tt.
Функциональные характеристики
Функция распределения вероятности (cumulative distribution function, CDF),
обозначаемая как F(x, tj), равна вероятности того, что в момент времени значе-
ние случайного процесса не превосходит х:
F(x,ti)~ P(X(ti)<x).
F{x, tj) является неубывающей функцией, значения которой лежат в диапазоне
О < F(x, ti) < 1. Для предельных значений х выполняются следующие соотноше-
ния: F(-oo, tt) ~ 0 и F(oo, ij) = 1.
Вероятность попадания значения случайного процесса в интервал (a, i] равна
разности значений функции распределения на концах этого интервала:
P(g < X(t\) <b) = F(b, ti) - F(a, ti).
Одномерная плотность вероятности (probability density function, PDF) обозна-
чается p(x, tO и представляет собой производную от функции распределения:
dF(x,t{)
P(x,ti)= -1-<.
dx
Произведение р(х, ti) dx равно вероятности попадания значения случайного про-
цесса X(ti) в бесконечно малый интервал шириной dx в окрестности т:
p{x,ti)dx = Р
откуда следует, что-плотность вероятности является неотрицательной функцией:
р(х, ti) £ 0. Чтобы рассчитать вероятность попадания значения Х(Ч) в произ-
вольный интервал [а, Ь], необходимо вычислить следующий интеграл:
h
Р(а <X(t,) 5 b) = j p(x,tt)dx.
а
Так как случайная величина обязательно принимает какое-нибудь значение, долж-
но выполняться условие нормировки:
dx	dx\
х-~ -Х(г>)-х + у]’
64
Глава 1. Основы анализа сигналов
ОС
J p(x,tf )dx = Р(-О0 < X(ij) < oo) = 1.
-co
(1.29)
Зная плотность вероятности, можно рассчитать.и функцию распределения:
F^x,^) = [p(x,tt)dx.	(1.30)
Числовые характеристики
Знание одномерной плотности вероятности р(х, tt) позволяет произвести стати-
стическое усреднение как самой величины X(tf), так и любой функции от лее.
Под статистическим усреднением (ensemble averaging) подразумевается усред-
нение по множеству (по ансамблю реализаций) в каком-либо сечении процесса,
то есть в фиксированный момент времени.
Для практических приложений наибольшее значение имеют следующие пара-
метры случайного процесса:
□ математическое ожидание (mean value), которое служит теоретической оцен-
кой среднего взвешенного значения случайного процесса в момент времени t:
mA(t) = =Jxp(x,t)dx;	(1.31)
—co
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Во многих практических задачах приходится вычислять математическое ожидание неко-
торой функции / от случайной величины х, имеющей плотность вероятности рА(х). Такое
вычисление выполняется по следующей несложной формуле:
J f(x)px(x)dx.	(1.32)
— 30
Формула для математического ожидания (1.31) является частным случаем (1.32) при
f(x) -х.
□	дисперсия (variance), характеризующая среднюю мощность отклонений слу-
чайного процесса от его среднего значения mx(t), называемых флуктуациями
(fluctuation):
Dx(t) - Л/|[Х(Г)-щг(с)]2 J = Л/|Х2(Г)| -mx(t) = Jx2p(x,t)dx-m2(t); (1.33)
□	среднее квадратическое отклонение (standard deviation), представляющее со-
бой квадратный корень из дисперсии и служащее амплитудной мерой разбро-
са значений случайного процесса в момент времени t относительно математи-
ческого ожидания:
Од.(0 = 7РД0 = ^Й{[Х(О-ОТ1(О]2} = ^Л/{Х2 (t)} ~m2(t).	(1.34)
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Дисперсия случайной величины X часто обозначается как
Случайные сигналы
65
Равномерное распределение
Одним из часто используемых на практике законов распределения случай-
ных величин является равномерное распределение (uniform distribution). При
этом плотность вероятности является константой на некотором интервале [a, i]
(рис. 1.32, слева). Величина этой константы, согласно условию нормировки
(1.29), должна быть равна 1/(Ь - а):
р(х) = - Ь-а
а<х <Ь,
Рис. 1.32. Плотность вероятности (слева) и функция распределения (справа)
случайной величины с равномерным распределением
Функция распределения, согласно (1.30), на интервале [а, Ь] линейно возрастает
от 0 до 1 (см. рис. 1.32, справа):
х < а,
а<х <Ь,
х > Ь.
Математическое ожидание, как и предсказывает интуиция, равно середине ин-
тервала возможных значений случайной величины:
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------
Если функция плотности вероятности имеет симметричный вид, то значение математиче-
ского ожидания всегда совпадает с центром симметрии.
Для расчета дисперсии необходимо сначала определить средний квадрат:
М{Х2} = L2 -1-dx = .Ь3 ~а3 = ±ЛаЬ + Ь\
1	* b-а 3(Ь-а)	3
Теперь можно рассчитать дисперсию согласно (1.33):
& _a2+ab + b2 С а +	_ (Ь - а)2
х 3 I 2 J 12 '
66
Глава 1. Основы анализа сигналов
Итак, дисперсия равна одной двенадцатой квадрата ширины интервала. Среднее
квадратическое значение, естественно, оказывается пропорциональным этой ши-
рине:

Ь-а
ITT
Нормальное распределение
Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин (normal distri-
bution, Gaussian distribution) очень удобен для анализа и часто встречается на
практике, особенно он характерен для помех канала связи. Одномерная плот-
ность вероятности нормальной случайной величины определяется выражением
/X 1 f (х - тх У1	/4 оех
р{х) =----= ехр----------— ,	(1.35)
ад. V2n (	)
где тх и и/ — соответственно математическое ожидание и дисперсия процесса.
На рис. 1.33 приведен график плотности вероятности нормальной случайной ве-
личины, построенный согласно (1.35) при тх - 0 и ож - 1.
Рис. 1.33. Плотность вероятности случайной величины с нормальным распределением
Функция распределения для закона Гаусса, к сожалению, не выражается через
элементарные функции. В отечественной литературе принято выражать ее через
так называемый интеграл вероятности:
Ф(т) = J-Д^ехр Idr'.	(1.36)
Для нормального закона с математическим ожиданием тх и дисперсией а2
функция распределения выражается через интеграл вероятности следующим об-
разом:
.	^(х ~ тх )
.F(t) = Ф ----- .
I J
В зарубежной литературе большее распространение получила так называемая
функция ошибок (error function) erf:
Случайные сигналы
67
erf (х) = ~ j е ‘г dt.	(1.37)
vn о
Связь между функцией ошибок (1.37) и интегралом вероятности (1.36) выража-
ется с помощью линейных преобразований аргументов функций и их резуль-
татов:
erf(x) = 2Ф(х-Т2)-1,
Ф(х) = - + - erf I -^= |.
2 2
Функция распределения для нормального закона с математическим ожиданием
тх и дисперсией с2 выражащгя через функцию ошибок (1.37) следующим обра-
зом:	Wx
( ч
х т,.
1 1
F(x) = - + - erf
2 2
ЗАМЕЧАНИЕ —-----------------------------------------------------------
В MATLAB имеется функция erf, реализующая формулу (1.37). Есть также функция erfc,
возвращающая значение 1 - erf (х), и обратная функция erfinv.
Непосредственно вычислять функциональные характеристики нормального закона рас-
пределения можно с помощью функций normpdf (плотность вероятности), normcdf (функ-
ция распределения) и norminv (обратная функция распределения), входящих в пакет
Statistics:
у = normpdf(х. m, sigma):
у = normcdf(х, т, sigma):
х = norminv(y. т. sigma):
Здесь т — математическое ожидание, sigma — среднее квадратическое отклонение.
Широкое распространение нормального закона распределения в природе объяс-
няется тем, что при суммировании достаточно большого числа равномощных
статистически независимых случайных величин, имеющих произвольные плот-
ности распределения вероятности, плотность распределения суммы стремится к
нормальной. Это положение носит название центральной предельной теоремы.
Весьма полезным для математического анализа свойством нормального распре-
деления является то, что из некоррелированности гауссовых случайных величин
следует их статистическая независимость (о разнице между этими понятиями
см. далее в разделе «Корреляционные функции случайных процессов»).
Одномерная плотность вероятности и связанные с ней числовые характеристики
позволяют получить важную информацию о свойствах случайного процесса. Од-
нако для решения многих задач таких сведений недостаточно, так как они дают
вероятностное представление о случайном процессе X(t) только в отдельные мо-
менты и ничего не говорят о том, как он изменяется во времени. Для описания
его временных характеристик необходимо использовать корреляционную функ-
цию или привлечь для этого спектральные характеристики случайного процесса.
Упомянутые способы описания случайных процессов будут рассмотрены далее.
68
Глава 1. Основы анализа сигналов
Корреляционные функции случайных процессов
Как отмечалось в разделе «Вероятностные характеристики случайных процес-
сов», одномерной плотности вероятности недостаточно для описания поведения
случайного процесса во времени. Гораздо больше сведений можно получить, рас-
полагая двумя сечениями случайного процесса в произвольные моменты време-
ни и t2 (см. рис. 1.29). Совокупность этих двух сечений образует двумерную
случайную величину {X(£t), X(t2)}, которая описывается двумерной плотностью
вероятностир(Х\, х2, tit t2). Произведениеp(xit х2, tb t2)dx\dx2 представляет собой
вероятность того, что реализация случайного процесса X(t) в момент времени t\
попадает в бесконечно малый интервал шириной dx\ в окрестности xlt а в мо-
мент времени t2 — в бесконечно малый интервал шириной dx2 в окрестности х2:
p(xl,x2,ti,t2)dxidx2 =p||X(£i)-*th^p \X(t2)-x2\^^
Естественным обобщением является n-мерное сечение случайного процесса, при-
водящее к и-мерной плотности вероятности р(хь х2,..., х„, tb t2,..., Г„). При п -»'со
такая функция является исчерпывающей вероятностной характеристикой слу-
чайного процесса.
Описание свойств случайных процессов с помощью многомерных плотностей ве-
роятности высокой размерности может быть весьма подробным, однако на этом
пути часто встречаются серьезные математические трудности. К счастью, многие
задачи, связанные с описанием случайных сигналов, удается решить на основе
двумерной плотности вероятности.
В частности, задание двумерной плотности вероятности р(х\, х2, t\, t2) позволяет
определить важную характеристику случайного процесса — его ковариационную
функцию
Kx(tt,t2) = Л/{х(^)х(г2)}.
Согласно этому определению, ковариационная функция случайного процесса
X(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений слу-
чайной функции X(t) в моменты времени tt и t2.
Для каждой реализации случайного процесса произведение x(ti)x(t2) является
некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных
чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероят-
ности p(xltx2, tb t2). Если эта плотность вероятности известна, операция усредне-
ния по множеству осуществляется по формуле
со ео
) — f ^xix2p{xl,x2,ti,t2)dxldx2.
—ОС -СО
Часто при анализе случайных процессов основной интерес представляет их флук-
туационная составляющая. В таких случаях применяется корреляционная функ-
ция, представляющая собой статистически усредненное произведение значений
центрированной случайной функции X(t) - тх(С) в моменты времени и t2:
Случайные сигналы
69
ЯХ(£Р *2) = M{[x(tt) - mx(tt )|[x(f2) -mx(t2)]} =
= J ^[x{ti)-mx(ti)}[x{t.i)-mx{t2)}p{xi,x2,ti,t2)dxidx2 =
= Kx(t1,t2)-mx(i1)mx(i2 ).
Корреляционная функция характеризует степень статистической связи тех значе-
ний случайного процесса, которые наблюдаются при t = Ц и t - t2. При t\ = t2 “ t
последнее выражение соответствует определению дисперсии случайного процес-
са X(t) (см. формулу (1.33)). Следовательно, при совмещении сечений функция
корреляции равна дисперсии:
адо = кж(г,0-^(г)=п,(«).
(1.38)
ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------
Так сложилось, что в иностранной литературе используется обратная терминология —
Kr(ti, ta) называется корреляционной (correlation), a Rx(t\, t-z) ковариационной функцией
(covariance). Во избежание недоразумений об этом следует помнить при работе с зарубеж-
ными источниками. Впрочем, при анализе центрированных (имеющих нулевое математи-
ческое ожидание) случайных процессов корреляционная и ковариационная функции
совпадают.
(1.39)
В качестве примера рассчитаем корреляционную функцию гармонического сиг-
нала со случайной равномерно распределенной начальной фазой (см. раздел
«Модели случайных процессов» ранее в этой главе).
Можно легко убедиться, что данный случайный процесс является центрирован-
ным, то есть его математическое ожидание не зависит от времени и равно нулю:
тх(х) = J x(t)pv(tp)d(p = J4cos(co0t + (p)-i-t((p = 0.
Поэтому ковариационная и корреляционная функции данного процесса совпа-
дают и могут быть найдены следующим образом (поскольку реализации данно-
го случайного процесса представляют собой функции, зависящие от одной слу-
чайной величины, для усреднения произведения нет необходимости прибегать
к двумерной плотности вероятности — достаточно воспользоваться формулой
(1.32), позволяющей произвести усреднение произвольной функции от случай-
ной величины):
ОС
ДХМг) = Kx(tvt2) = jx(tt )x(t2 )р/ф)</ф =
2it	j
= J A cos(co0^ + <p)A cos(a>0£2 + (p)— dtp =
о	2л
А2 Г2г 1	2”1
= J 9 со8(Юо (£’ + )+ 2<p)rf<p + J о cos(“0 (A -12 »dtp .
k 0 z	о	J
Здесь в первом слагаемом интегрирование производится по двум периодам функ-
ции cos, поэтому данный интеграл равен нулю. Во втором слагаемом подынте-
70
Глава 1. Основы анализа сигналов
гральная функция не зависит от переменной интегрирования ф, так что резуль-
тат интегрирования равен произведению подынтегрального выражения и длины
промежутка интегрирования, равной 2л. Окончательно получаем
Л2
RAti^2)=:Kx(ti,t2) = — cos((£>0(tl-t2)).	(1.40)
Как видите, корреляционная функция данного случайного процесса гармониче-
ски зависит от расстояния между анализируемыми моментами времени. При
совпадении моментов времени и t2 мы получаем величину дисперсии случай-
ного процесса:
А2
ад) = ВД0 = у-	(1-41)
Некоррелированность и статистическая независимость
Если совместно рассматривать две случайные величины Xt и Х2, между ними мо-
жет существовать либо не существовать статистическая связь. Отсутствие та-
кой связи означает, что плотность вероятности одной случайной величины не за-
висит от того, какое значение принимает другая случайная величина. Двумерная
плотность вероятности при этом представляет собой произведение одномерных
плотностей:
р(хь х2) - pi(xj р2(х2).
Это условие называется условием статистической независимости.
При наличии статистической связи между случайными величинами статистиче-
ские свойства каждой из них зависят от значения, принимаемого другой случай-
ной величиной. Эта связь может быть сильной или слабой, линейной или нели-
нейной. Мерой линейной статистической связи между случайными величинами
является коэффициент корреляции:
_М{Х,Х2]-М{Х,}М{Х,}
а Тадад 	(U2)
Можно показать, что |r]2| £ 1. Предельные значения ±1 достигаются, если реали-
зации случайных величин жестко связаны линейным соотношением х2 = ах{ + b,
где aiib — некоторые константы. Знак коэффициента корреляции при этом сов-
падает со знаком множителя а.
Равенство коэффициента корреляции нулю свидетельствует об отсутствии ли-
нейной статистической связи между случайными величинами (при этом говорят
об их некоррелированности). Как видно из (1.42), при этом математическое ожи-
дание произведения случайных величин равно произведению их математиче-
ских ожиданий:
M{XtX2} - M{Xj} М{Х2}.
Легко показать, что из статистической независимости следует некоррелирован-
ность случайных величин. Обратное утверждение в общем случае неверно — не-
коррелированные случайные величины могут быть зависимыми.
Случайные сигналы
71
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Классическим примером этого является пара случайных величии xi = cos <р и хг = sin ф, где
Ф — случайная величина, равномерно распределенная на интервале 0... 2л. Очевидно, что Xi
и ха зависят друг от друга; однако их коэффициент корреляции оказывается равным нулю.
Стационарные и эргодические
случайные процессы
В общем случае, как уже говорилось, вероятностные и корреляционные характе-
ристики случайных процессов зависят от одного или нескольких моментов вре-
мени, в которые эти характеристики определяются. Однако существует класс
случайных процессов, у которых зависимость характеристик от времени отсутст-
вует. Кроме того, для некоторых случайных процессов не обязательно произво-
дить усреднение по ансамблю реализаций — можно ограничиться рассмотрением
одной реализации и ее усреднением во времени.
Такие случайные процессы и будут рассматриваться в данном разделе.
Стационарные случайные процессы
Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики ко-
торых одинаковы во всех временных сечениях.
Говорят, что случайный процесс строго стационарен (или стационарен в узком
смысле), если его многомерная плотность вероятности р(хь х2,	х„, tit t2.t„)
произвольной размерности п не изменяется при одновременном сдвиге всех вре-
менных сечений tit t2,..., tn вдоль оси времени на одинаковую величину т:
р(хь Х2, ..., Хп, tt, t2, ..., tn) “ p(Xt, X2,..., Xn, tt+l, t2+l,..., tn + т) при любом T.
Если же ограничить требования тем, чтобы от временного сдвига не зависели
лишь одномерная и двумерная плотности вероятности, то такой случайный про-
цесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарности в уз-
ком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот.
Для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия
не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов
времени, а только от интервала между ними т = t2 - i(:
Rx{tt, t2) = Rx(t2 - tt) - Rx(z),
По этой причине при записи статистических параметров стационарного случай-
ного процесса можно опускать обозначения фиксированных моментов времени:
mx,Dx, Кх(т), Rx(r).
Легко убедиться, что корреляционная функция стационарного случайного про-
цесса является четной:
Rx(-t) - Rx(z).
Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых т не превышают ее
значения при т = 0 (напомним, что это значение равно дисперсии случайного
процесса):
|Кх(т)| < Rx(0) = Dx.
72
Глава 1. Основы анализа сигналов
Часто удобно использовать коэффициент корреляции (его также называют нор-
мированной корреляционной функцией)
Dx
Для коэффициента корреляции выполняются соотношения rx(0) = 1, |гЛ.(т)| < 1
игж(-т) = ъ(т).
Функции Дх(т) и гк(т) характеризуют связь (корреляцию) между значения-
ми X(t), разделенными промежутком т. Чем медленнее убывают эти функции с
ростом абсолютного значения т, тем больше промежуток, в течение которого на-
блюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайного
процесса, и тем медленнее, плавнее изменяются во времени его реализации.
Легко видеть, что гармонический случайный процесс со случайной начальной
фазой (см. раздел «Модели случайных процессов» и вычисление характеристик
этого процесса в разделе «Корреляционные функции случайных процессов»)
является стационарным в широком смысле. Действительно, зависящие от одно-
мерной плотности вероятности математическое ожидание (1.39) и дисперсия
(1.41) не зависят от времени, а корреляционная функция (1.40), зависящая от
двумерной плотности вероятности, зависит лишь от интервала между рассмат-
риваемыми моментами времени:
А2
Ях(т) = Кх(т) = -^—cos(co0t).	(1.43)
Коэффициент корреляции такого случайного процесса равен
Гг(О = -“- = СО8(с00т).
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------
Здесь следует отметить, что стационарным будет любой случайный процесс, реализации
которого являются периодическими функциями, идентичными по форме и различающи-
мися лишь «начальной фазой», то есть положением начала отсчета времени в пределах пе-
риода. При этом принципиальной является равномерность распределения начальной
фразы в пределах периода. Действительно, пусть у гармонического процесса начальная
фаза равномерно распределена в пределах половины окружности — на интервале 0...Л. Ма-
тематическое ожидание процесса в этом случае будет равно
М*) = |х(0р9(ф)й?ф = J Acos(co0if + ф)^ф = --Xs—
Результат вычислений показывает, что математическое ожидание процесса зависит от
времени, следовательно, он ие является стационарным.
Эргодические случайные процессы
Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при исполь-
зовании условия эргодичности процесса. Стационарный случайный процесс
называется эргодическим (ergodic), если при определении любых его статисти-
Случайные сигналы
73
ческих характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквива-
лентно усреднению по времени (time averaging) одной, теоретически бесконечно
длинной, реализации.
Обозначив усреднение по времени угловыми скобками, можно записать следую-
щие выражения, позволяющие вычислить важнейшие статистические характе-
ристики эргодического случайного процесса по его единственной реализации
x(t) (еще раз обращаем внимание на то, что эргодический случайный процесс
обязательно является и стационарным, но не наоборот):
1 Т/2
™х = (x(t)) = lim— \x(t)dt
1 -Т/2
Т/2
Dx = ([*(0- mx ]2) = lim| Jx2 (t)dt - mlx
Ях(т)=([x(0~ mx][x(£ ~ x) -mx]) ’ (x(t)x(t - t)} - mx =
J T/2
= lim— Jx(t)x(t-T)di-m2.
? -T/2
Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоян-
ной составляющей любой его реализации, а дисперсия имеет наглядный физиче-
ский смысл мощности флуктуационной составляющей.
Достаточным условием эргодичности случайного процесса, стационарного в ши-
роком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с рос-
том временного сдвига т:
1ппДх(т) = 0.	(1.44)
t—>00
При экспериментальном исследовании случайных процессов доступно, как пра-
вило, наблюдение одной реализации сигнала, а не всего ансамбля. Если изу-
чаемый процесс является эргодическим, то его реализация достаточной длины
является «типичным» представителем статистического ансамбля. Согласно при-
веденным выше формулам по этой единственной реализации можно определить
математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодическо-
го случайного процесса. На практике интегрирование выполняется, естественно,
не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна
быть тем больше, чем выше требования к точности результатов измерения.
В качестве примера проверим эргодичность гармонического процесса со случай-
ной начальной фазой (стационарность такого процесса была проверена ранее).
Его корреляционная функция (1.43) с ростом т не стремится к нулю, так что
условие (1.44) не выполняется. Однако это лишь достаточное, но не необхо-
димое условие, поэтому его невыполнение еще не означает неэргодичности про-
цесса. Проверим эргодичность согласно определению, вычислив усредненные по
времени параметры:
со
(r(0)=-xL Mcos(co0t+(p)cft =0 = 771,
2л
74
Глава 1. Основы анализа сигналов
/[х(0-?лх]2\	[A2 cos2(co0r + <p)<ft = ^— -Dx,
'	' 2л -к	2
^[x(i)-njx][x(t-T)-w?x]^ = — JA2 cos(ro0t +(p)cos(ro0(t-r)+<p)Ji =
2л -"/«о
Д2
= —cos(<d0t) = Дд.(т).
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Тот факт, что реализации рассматриваемого процесса являются периодическими функ-
циями, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному (в преде-
ле) промежутку времени усреднением по одному периоду, равному в данном случае 2л/соо.
Итак, параметры, вычисленные усреднением по времени, совпали с параметра-
ми, полученными ранее путем статистического усреднения. Следовательно, гар-
монический случайный процесс со случайной начальной фазой является эргоди-
ческим.
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
Здесь также следует отметить, что любой случайный процесс, реализации которого яв-
ляются периодическими функциями, идентичными по форме и различающимися лишь
равномерно распределенной в пределах периода «начальной фазой», будет не только ста-
ционарным, но и эргодическим.
Спектральные характеристики
случайных процессов
Каждая отдельно взятая реализация случайного процесса представляет собой де-
терминированную функцию, и к ней можно применить преобразование Фурье.
При этом различные реализации будут, естественно, иметь различные спектры.
Нас же интересуют статистически усредненные характеристики случайных про-
цессов. Попытаемся найти среднее значение спектральной плотности случайно-
го процесса (горизонтальной чертой здесь и далее обозначается операция стати-
стического усреднения по ансамблю реализаций):
5х(со) = Jx(t)e j<s“dt = Jx(t)e ]ы!dt = Jmx(t)e dt.
— CO	—CO	—00
Как видите, усредненная спектральная плотность случайного процесса представ-
ляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожи-
дания). Для центрированных процессов mx(t) - 0 и 5x(co) = 0. Таким образом,
усредненное значение спектральной плотности не несет никакой информации о
флуктуационной, то есть собственно случайной, составляющей случайного про-
цесса. Это говорит о том, что фазы спектральных составляющих в различных
реализациях процесса случайны и независимы.
Случайные сигналы
75
Можно, однако, рассмотреть спектральную плотность мощности случайного
процесса, поскольку мощность не зависит от соотношения фаз спектральных со-
ставляющих.
Рассмотрим центрированный случайный процесс и выделим из его ансамбля ка-
кую-либо реализацию x(i), ограничив ее длительность конечным интервалом
времени [—Т/2; Т/2]. Применив затем к этой реализации прямое преобразование
Фурье, найдем ее спектральную плотность Хг(ю). Энергию ЕТ рассматриваемого
отрезка реализации согласно равенству Парсеваля (1.24) можно вычислить как
Г/2	л оо
Ет = J x2{t)dt = ± J|xr(co;
Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мощность РГ реализации на дан-
ном временном интервале:
При увеличении длительности промежутка времени Т энергия отрезка реализа-
ции неограниченно возрастает, а средняя мощность стремится к некоторому пре-
делу. Совершив предельный переход Т -> оо, получим
.	1 “ Xr(<D)	4 °°
х2 (£)\ = — f lim-------da = — f W(co) da,
' 2л ДТ*" T	2л Д
где функция
|Xr(<D)|2
W(co) = lim!-----—	(1.45)
представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматривае-
мой реализации.
ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------
Часто говорят «спектральная плотность мощности» или «спектр мощности». Английский
термин — power spectral density, PSD.
В общем случае спектральную плотность мощности W(co) необходимо усреднить
по множеству реализаций. Однако, если ограничиться рассмотрением эргодиче-
ских процессов, можно считать, что найденная по одной реализации (то есть пу-
тем усреднения по времени) функция W(co) характеризует весь процесс в целом.
Так как мы рассматриваем центрированный эргодический случайный процесс,
средняя мощность любой его реализации равна дисперсии процесса. Таким об-
разом,
D* = ~Е~ [^(соИа).	(1.46)
‘С.
76
Глава 1. Основы анализа сигналов
W(a>) — вещественная функция, она не содержит информации о фазах спектраль-
ных составляющих и не позволяет восстановить отдельные реализации случай-
ного процесса. Кроме того, из определения спектральной плотности (1.45) оче-
видно, что W(co) является неотрицательной и четной функцией частоты.
ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------
Здесь не приводится примеров расчета спектра случайного процесса согласно приведенно-
му определению, поскольку такого рода расчет редко необходим на практике. Как прави-
ло, вычисление спектра случайного процесса производится на основе его корреляционной
функции с помощью теоремы Винера— Хинчина, речь о которой пойдет в следующем раз-
деле.
Теорема Винера—Хинчина
Как распределение спектральной плотности мощности, так и вид корреляцион-
ной функции связаны со скоростью изменения случайного процесса во времени.
Найдем связь между этими двумя характеристиками.
Как известно, корреляционная функция детерминированного сигнала связана
преобразованием Фурье с его энергетическим спектром. Применим это свойство
к отрезку реализации случайного процесса длительностью Т:
7?2	1 “| •	|2
J x(t)x(t--i)dt = —J|Xr(a>)| eiaxd(ti.
-Т/2
Разделим обе части этого равенства на Г и устремим Т к бесконечности:
<772	|Хг(со)|'
lim— f x(t)x(t -t)dt = — f lim-------e^dm.	(1-47)
T-™T _f/2	2лДт-->» т
Если считать рассматриваемый процесс эргодическим, то в левой части послед-
него равенства стоит корреляционная функция процесса, полученная путем
усреднения по времени. В правой части под интегралом содержится выражение
(1.45) для спектральной плотности мощности случайного процесса. С учетом
этого
Л(г) = ^- JVT(co)e7“Tc?co.	(1.48)
ЗАМЕЧАНИЕ ------------------------------------------------------------
В случае неэргодического процесса к обеим частям равенства (1.47) необходимо дополни-
тельно применить усреднение по ансамблю реализаций, что приведет к тому же самому
результату.
Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектраль-
ная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это со-
отношение носит название теоремы Винера—Хинчина.
Случайные сигналы
77
Так как и Д(т), и W(co) являются четными вещественными функциями, можно
отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к
полубесконечным пределам интегрирования:
/?(т) = - JlV(co)cos (сот)б?со,
71 о
W(co) = 2 |Т?(т)со8(сот)б?т.
о
Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что
воспользоваться непосредственно определением (1.45) для расчета спектраль-
ной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удается
вычислить корреляционную функцию, получить спектральную информацию по-
зволяет теорема Винера—Хинчина.
В качестве примера рассмотрим случайный телеграфный сигнал (см. раздел
«Модели случайных процессов»). Поскольку скачки уровня происходят в слу-
чайные моменты времени, для данного случайного процесса затруднительно
даже изобразить график отдельной реализации, не говоря уже о расчете спектра
ее ограниченного во времени фрагмента.
Однако рассчитать корреляционную функцию для данного процесса оказывает-
ся совсем несложно. Действительно, произведение значений случайного процес-
са, разнесенных во времени на т, может быть равно +1 (если эти значения имеют
одинаковый знак) или -1 (если знаки противоположны). Но совпадение знаков
означает, что за интервал т произошло четное количество перепадов уровня,
а несовпадение знаков соответствует нечетному количеству перепадов. Итак, что-
бы найти вероятности для двух возможных значений произведения x(t) x(t - т),
нужно просуммировать значения, даваемые формулой (1.28) отдельно для чет-
ных и нечетных N:
P(x(f)x(t - т) = 1) = J P(2k,\т I) = £ <^21	=
= l(e,w +e-A|t|)e-^ =1 + 1е-ад,
2	2 2
P(x(t)x(t - т) = -1) = £ P(2k +1,| т | ) = £ (,Х‘Т|-^т	=
м № + 1)!
2V	2 2
Полученные результаты позволяют рассчитать среднее значение произведения
x(t) x(t - т):
Rx (т) = 1 • (- + - е’2х|т| L(-l).fl-l е-2^
<2 2 J <2 2

Итак, корреляционная функция данного случайного процесса экспоненциально
затухает с ростом абсолютного значения т. Теперь с помощью теоремы Вине-
ра—Хинчина можно найти спектральную плотность мощности:
78
Глава 1. Основы анализа сигналов
со	со
Wx(q) = J Rx{t')e~imdt = Je“2,’|t| e-J™dx = -^-7
L,	<	4X + co
Интервал корреляции
Случайные процессы, встречающиеся в задачах обработки сигналов и изучаемые
в радиотехнике, часто обладают следующим свойством: их функция корреляции
стремится к нулю с увеличением временного сдвига т (напомним, что это явля-
ется достаточным условием эргодичности процесса). Чем быстрее убывает функ-
ция /?(т), тем слабее оказывается статистическая связь между мгновенными зна-
чениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.
Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реали-
заций случайного процесса, является интервал корреляции тк, определяемый
как
Тк =тЫ|/г<т)1бМмл-
МЧ о	о
Если известна информация о поведении какой-либо реализации случайного про-
цесса «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на
время порядка тк.
Эффективная ширина спектра
Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется спектром плотности
мощности W(<b), имеющим максимальное значение Winax. Заменим мысленно
данный случайный процесс другим, у которого спектральная плотность мощно-
сти постоянна и равна VVmax в пределах некоторой полосы частот, выбираемой из
условия равенства дисперсий (то есть средних мощностей) обоих процессов.
Ширина этой полосы частот называется эффективной шириной спектра случай-
ного процесса'.
ЩмхДЮж!, = JW(co)f/co,
-00
До)э* =йГ~
’’’inax -оо
Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить и други-
ми способами, например исходя из условия уменьшения значений спектра мощ-
ности на границе этого частотного интервала до уровня 0,1 Wraax. В любом случае
величины тк и Дго.к1) связаны известным из свойств преобразования Фурье соот-
ношением неопределенности
ДсОэф Тк — 2л.
Для иллюстрации этого соотношения на рис. 1.34 в центре приведены примеры
реализаций двух случайных процессов, слева — корреляционные функции этих
процессов, а справа — их спектры плотности средней мощности.
Случайные сигналы
79
Рис. 1.34. Взаимосвязь между видом реализаций случайных процессов (слева),
их корреляционными функции (в центре) и спектрами (справа)
Белый шум
В радиотехнике белым шумом (white noise) называют стационарный случайный
процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах:
W(co) - Wo - const.
Согласно теореме Винера—Хинчина, корреляционная функция белого шума пред-
ставляет собой дельта-функцию:
7?(т) = -7-fe^co = W05(T)1
то есть равна нулю всюду, кроме точки t  0. Дисперсия белого шума бесконечно
велика.
В несовпадающие моменты времени значения белого шума некоррелированы —
как бы ни был мал интервал т, сигнал за это время может измениться на любую
величину.
Белый шум является абстрактной математической моделью и физически суще-
ствовать не может. Это объясняется прежде всего бесконечностью его дисперсии
(то есть средней мощности). Однако в тех случаях, когда полоса пропускания
исследуемой системы существенно уже эффективной ширины спектра шума, ко-
торый на нее воздействует, можно для упрощения анализа приближенно заме-
нить реальный случайный процесс белым шумом.
ЗАМЕЧАНИЕ ----------------------------------------------------------
Отметим еще раз, что вероятностные и корреляционные (или спектральные) характе-
ристики случайного процесса — это совершенно разные и не связанные между собой
функции. Так, например, нормальный случайный процесс может иметь разнообразную
спектральную плотность мощности, а белый шум — произвольную функцию распределе-
ния. Единственная «точка соприкосновения» вероятностных и корреляционных харак-
теристик — это возможность расчета дисперсии случайного процесса как на основе
одномерной плотности вероятности (формула (1.33)), так и исходя из корреляционной
функции (формула (1.38)).
80
Глава 1. Основы анализа сигналов
Узкополосный случайный процесс
Важную роль в радиотехнике играет особый класс случайных процессов, спектр
которых сосредоточен в относительно узкой полосе вблизи некоторой частоты соо-
Рассмотрим статистические свойства таких процессов.
Итак, пусть x(t) — случайный процесс, спектр плотности мощности которого
W/co) имеет узкополосный характер (рис. 1.35). Будем также считать этот слу-
чайный процесс стационарным, нормальным и центрированным.
I Л.
О	а>о о
Рис. 1.35. Спектральная плотность мощности узкополосного случайного процесса
Согласно теореме Винера—Хинчина (см. формулу (1.48)), корреляционная функ-
ция и спектральная плотность мощности случайного процесса связаны друг с
другом преобразованием Фурье. Узкополосный характер спектра W/co) говорит
о том, что корреляционная функция Rx(x) имеет вид узкополосного радиосиг-
нала:
/?А(т) = Д0(т) COS [cOqT + Фо(т)],
где Ro(r) и Фо(т) ~ медленно (по сравнению с cos (со0т)) меняющиеся функции.
Узкополосный спектр и осциллирующий характер корреляционной функции озна-
чают, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представ-
ляют собой квазигармонические колебания:
x(t) - A(t) cos [coot + ф(0],
у которых как огибающая A(t), так и начальная фаза cp(t) являются случайными
функциями, медленно (по сравнению с cos (co0t)) изменяющимися во времени.
Для того чтобы определить статистические параметры огибающей и начальной
фазы, рассмотрим комплексный аналитический сигнал Z(t), соответствующий ве-
щественному случайному процессу x(t) (см. раздел «Комплексная огибающая»
ранее в этой главе):
Z(t) = x(t) + yx±(t),
где x±(t) — сопряженный случайный процесс, реализации которого связаны с
реализациями процесса x(t) преобразованием Гильберта (см. ранее раздел «Пре-
образование Гильберта»):
xx(t) = -	(1.49)
л Lt-t'
В том же разделе было показано, что с помощью сопряженного сигнала можно
определить мгновенные значения огибающей и полной фазы узкополосного сиг-
нала:
Случайные сигналы
81
Л(£) = |Z(£)| = 7*2(0 + *2(О>
q>(t) = arg Z(t) =
arctg [£( t)lx(t)],	(t) a 0,
arctg [i(t)/x(0] + л, x(t) < 0.
Рассмотрим статистические свойства сопряженного процесса. Во-первых, опре-
делим его математическое ожидание, применив усреднение к формуле (1.49) и
затем поменяв усреднение и интегрирование местами:
М{х±(0} = м]-	= - J
1 ?M{x(t')} ,
= - f k? ,sdt'=O.
- t-t'
Результат равен нулю, так как процесс х(Г) является центрированным.
Далее, поскольку процесс x(t) нормальный, а преобразование Гильберта являет-
ся линейным интегральным преобразованием, то нормальным будет и сопряжен-
ный процесс x2(t).
Из свойств преобразования Гильберта (см. ранее раздел «Преобразование Гиль-
берта», формула (1.27)) следует, что спектры конкретных реализаций процессов
x(t) и х±(£) связаны следующим образом:
откуда видно, что энергетические спектры реализаций процессов x(t) и x±(t) сов-
падают, а следовательно, совпадают и спектральные плотности мощности этих
процессов: W^±(co) = Wx(co). Корреляционные функции связаны со спектрами
плотности мощности обратным преобразованием Фурье, поэтому они тоже рав-
ны: Дх±(т) = ЯДт).
Нам осталось выяснить, имеется ли статистическая связь между процессами x(t)
и х±(Г). Ограничимся при этом расчетом корреляции между ними в совпадающие
моменты времени, то есть вычислим Дхх±(0)
Д„±(0) = M{x(i)x±(t)} = Л/J x(i)— Jdt'\ = Af - J
1	t-t'	n<
1 rx(Qx(^)A,
-1 t-t'
t-t'
Далее, как и ранее, внесем операцию статистического усреднения под знак инте-
грала, а затем используем замену переменной т - t - f:
о глч 1 гЛф(0Х(г')}	1* R(t — t').	1гДДт),	_
л,Х1 (0) = - —1-------аг = - —---------at' = — аг - 0.
пД t-t'	лД t-t'	лД т
Результат интегрирования равен нулю, так как Дх(т) является четной функцией,
а все подынтегральное выражение, следовательно, — нечетной. Таким образом,
процессы х(Г) и х±(Г) в совпадающие моменты времени некоррелированы. По-
скольку они, кроме того, являются нормальными, то из некоррелированности
следует статистическая независимость.
82
Глава 1. Основы анализа сигналов
Огибающая и полная фаза
узкополосного случайного процесса
Мгновенное значение комплексного случайного процесса Z(t) можно графиче-
ски изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 1.36). Проекции
этого вектора на оси Re и Im равны мгновенным значениям процессов x(t) и
x±(t) соответственно. Эти мгновенные значения статистически независимы и
имеют нормальные распределения с нулевым средним и одинаковыми диспер-
сиями (равенство дисперсий следует из равенства корреляционных функций).
Поэтому совместная плотность вероятности процессов x(Z) и х±(£) равна произ-
ведению их одномерных плотностей вероятности, каждая из которых имеет вид
(1.35):
1	( х2 + х2'
р„±(х,хх) = px(x)pxJjcL) = j-exp--------—-i-
Z71GX	ZOX >
(1.50)
Рис. 1.36. Комплексный случайный процесс
в виде вектора на комплексной плоскости
Для определения статистических свойств огибающей и фазы необходимо пе-
рейти в выражении (1.50) от декартовой (х, х±) к полярной системе коорди-
нат (А, ср) (см. рис. 1.36) и определить совместную плотность вероятности
рЛф(А, ф)- Связь между этими двумя системами координат выражается следую-
щими формулами:
х = A cos ф,	к
Х± = А8Шф.
Кроме того, вероятность попадания в бесконечно малую область в окрестности
каждой точки комплексной плоскости при смене системы координат должна,
очевидно, остаться неизменной. Площадь такой бесконечно малой области в
декартовых координатах выражается как dxdxL, а в полярных — как A dA dtp
(рис. 1.37). Таким образом, получаем
рхх±(х, xjdx dxL = рхх±(А cos ф, Asinф)A dAdtp = рЛф(А, tp) dAdtp.
Отсюда видно, что искомая плотность вероятности выражается как
РлФ(А Ф) = АР^ (A cos ф, Asin ф) = -—- ехр
А2 '
2о2 >
(1.51)
Чтобы найти одномерные плотности вероятности для огибающей и фазы, нужно
проинтегрировать двумерную плотность (1.51) по «лишним» координатам:
Случайные сигналы
83
Рис. 1.37. Переход от декартовой системы координат
к полярной
2л
Лч(Л) =
о
00
Р<р(ф) = }Рл<р(Аф)^-
о
Так как двумерная плотность (1.51) не зависит от фазы ср, плотность вероятно-
сти амплитуды рассчитывается совершенно элементарно:
2" Л
Ра(а)=1г~7
о 2лах
( А2 Л
ехр б?ср =
i 2<СГГ
2лА
2 ла2
ехр -
А2 А ( А2 '
2^Г^еХР1 2<
(1.52)
Целесообразно перейти к безразмерной переменной z = А/ог, относительно ко-
торой
р(х) = zexp(-z2/2).	(1.53)
Плотность вероятности, описывающаяся законом (1.52) или (1.53), носит на-
звание закона Рэлея (Rayleigh). График этого распределения, соответствующий
формуле (1.53), приведен на рис. 1.38. Из графика видно, что наиболее веро-
ятны некоторые средние (порядка сг) значения огибающей. Б то же время ма-
ловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к. нулю, так и
значительно превосходящие среднеквадратический уровень ах узкополосного
процесса.
Рис. 1.38. Плотность вероятности огибающей узкополосного
случайного процесса (закон Рэлея)
84
Глава 1. Основы анализа сигналов
ЗАМЕЧАНИЕ -------------------------------------------------------------
Для работы с законом распределения Рэлея в статистическом пакете расширения
MATLAB (Statistics Toolbox) имеются следующие функции: raylrnd (генерация случай-
ных чисел, распределенных по закону Рэлея), raylpdf (расчет плотности вероятности),
raylcdf (расчет функции распределения), raylinv (расчет обратной функции распределе-
ния) и raylstat (расчет математического ожидания и дисперсии).
Формула (1.52) позволяет известным способом (см. раздел «Вероятностные ха-
рактеристики случайных процессов») вычислить среднее значение и дисперсию
огибающей:
®	(	«2 Л
М{А} = |Арл(А)гМ={-5-ехр
О	О ах k У
. 1,253с,
.	“ А3 ( Д2 \
А2}-М2{А} = Ц-ехР dA--^x
= (2--V «0,429а2.
< 2) 1
Чтобы найти плотность вероятности фазы, необходимо проинтегрировать выра-
жение (1.51) по А:
г А
Р<р^> = 1 й—Гехр
о 2то2
А2 Ъл 1
----- аА =—,
2гса2) 2л
(1.54)
то есть фаза имеет равномерное распределение на интервале [0, 2л]. Физически
это означает отсутствие какого-либо преимущественного значения полной фазы
у отдельных реализаций узкополосного случайного процесса.
Из (1.51), (1.52) и (1.54) видно, что
РлФ(Аф) = РлИ)рДф)>
следовательно, амплитуда и полная фаза узкополосного случайного процесса
в один и тот же момент времени являются статистически независимыми.
Узкополосный случайный процесс при наличии
детерминированной составляющей
Рассмотрим теперь ситуацию, когда к узкополосному шуму добавлен узкополос-
ный детерминированный сигнал. Комплексный случайный процесс в данном
случае будет иметь следующий вид:
Z(t) = х(Г) + js^f) + x(t) + jxjt).
Изображение мгновенного значения Z(t) на комплексной плоскости будет отли-
чаться от рис. 1.36 наличием детерминированного вектора s(t) (рис. 1.39).
Совместная плотность вероятности вещественной и мнимой частей этого комп-
лексного процесса будет отличаться от (1.50) наличием смещений для х и х±,
равных д(О и 5±(0 соответственно:
Случайные сигналы
85
(x-s(t))2 +(х±
1
P«1U^i) = Px(^)Pxx(^i) = -—г exp -
2ла:
2с2
Рис. 1.39. Комплексный случайный процесс в виде вектора
на комплексной плоскости при наличии
детерминированной составляющей
Переход от декартовой системы координат к полярной, аналогичный рассмот-
ренному ранее (см. (1.51) и рис. 1.37), дает следующее:
Рис. 1.40. Плотность вероятности огибающей узкополосного случайного процесса
при наличии детерминированной составляющей (закон Рзлея—Райса)
Интегрирование этой двумерной плотности по фазе ср дает одномерную плот-
ность вероятности для амплитуды данного случайного процесса (промежуточ-
ные выкладки опущены):
/лх f /и чл А ( А2 + S2\ (AS„
Ра(А)= ГрЛф(Аф)б/<р = -техр----------S- 70 —
о	I 2aJ ) I а2
(1.55)
где Sm =js2(t) + s2(J:) — амплитудная огибающая детерминированного сигна-
ла в данный момент времени, 10 — модифицированная функция Бесселя первого
86
Глава 1. Основы анализа сигналов
рода нулевого порядка. Плотность вероятности (1.55) носит название закона
распределения Рэлея-Райса. На рис. 1.40 показаны графики данной плотности
вероятности, соответствующие разным отношениям сигнал/шум, то есть разным
значениям Sm/cx. При Sm = 0 из (1.55) получается плотность вероятности, соот-
ветствующая закону Рэлея (1.53). При 5т/ид- » 1, как видно из .графиков, рас-
пределение огибающей приближается к нормальному закону.
ЗАМЕЧАНИЕ -----------------------------------------------------------
Для расчета плотности вероятности закона Рэлея—Райса с помощью MATLAB придется
непосредственно воспользоваться формулой (1.55), поскольку пакет расширения Statis-
tics не содержит специальных средств для этого. Функция распределения закона Рэлея-
Райса выражается через так называемую (2-функцию Маркума. Для ее расчета в пакете
расширения Communications имеется функция marcumq.