Предисловие
Часть I
1.2. Проектор и полнота
1.3. Операторы: эрмитово сопряжение, унитарность
1.4. Наблюдаемые и эрмитовость
1.5. Собственные векторы, дисперсия и непрерывный спектр
1.6. Коммутатор
1.7. Соотношение неопределенностей
1.8. Гипотеза де Бройля: координата и импульс
Лекция 2
2.2. Оператор эволюции
2.3. Теорема Эренфеста
2.4. Полный набор наблюдаемых
2.5. Аксиоматика
2.6. Консервативные системы и спектральная задача, вакуум
Лекция 3
3.2. Волновой пакет
3.3. Интегралы движения, условия вырождения
3.4. Соотношение неопределенностей энергия-время
3.5. T-инвариантность
3.6. Представление Гейзенберга
Лекция 4
4.2. Калибровочная инвариантность
4.3. Импульсное представление
4.4. Р-четность
4.5. Оператор трансляций, квазиимпульс, номер зоны
Тема 2. Одномерное движение
5.2. Вырождение
5.3. Связанные состояния, осцилляторная теорема
5.4. Коэффициенты отражения и прохождения
5.5. Резонанс
5.6. Скачок производной
Тема 3. Гармонический осциллятор
6.2. Стационарные уровни, операторы рождения и уничтожения
6.3. Собственные функции, полиномы Эрмита
6.4. Когерентные состояния
Тема 4. Непрерывные симметрии пространства
7.2. Вращения
Лекция 8
8.2. Орбитальный момент, собственные функции
Лекция 9
9.2. Спинорная метрика
9.3. Принцип запрета Паули, перестановки тождественных частиц
9.4. Фермионный осциллятор, грассмановы переменные
Лекция 10
10.2. Задача двух тел, разделение переменных
10.3. Относительное движение в центральном потенциале
Тема 5. Атом водорода
11.2. Связанные состояния
11.3. Вырождение
11.4. Средние, рекуррентное соотношение Крамерса
11.5. Волновая функция в нуле
Тема 6. Квазиклассика
12.2. Метод JWKB
12.3. Условия отражения, сшивка решений в точках поворота
12.4. Правило квантования Бора—Зоммерфельда
12.6. Нормировка
12.7. Возмущение
12.8. Потенциальный барьер
13.1. Фейнмановский интеграл
13.2. Источник и производящий функционал
14.1. Т-произведение
14.2. Граничные условия: осциллятор в голоморфном представлении
14.3. Функционал S-матрицы
Часть II
15.2. Нестационарная теория
Тема 9. Сложение моментов
16.2. Тензорные операторы: правила отбора
Тема 10. Релятивистская квантовая механика
17.2. Бусты
17.3. Собственная ортохронная группа Лоренца
17.4. Дискретные преобразования
17.5. Классификация состояний: представления
Лекция 18
18.2. Ковариантный вид коммутаторов и дискретные симметрии
18.3. Скалярное поле
Лекция 19
19.2. Дираковские спиноры
19.3. Майорановские спиноры
Лекция 20
20.2. Связь спина со статистикой
20.3. Калибровочное взаимодействие
20.4. «Релятивистский» атом водорода: спектр
Тема 11. Нерелятивистское приближение: эффективная теория
21.2. Интерпретация поправок
21.3. Атом водорода: поправки
21.4. Аномальный магнитный момент
Тема 12. Атом гелия
22.2. Обменное взаимодействие
22.3. Уравнения Хартри—Фока
22.4. Самосогласованное поле: конфигурация электронов, термы
22.5. Основное состояние
22.6. Релятивистские поправки: электронные J-термы
Тема 13. Сложный атом
23.2. Поправки к центральному потенциалу: термы
23.3. Релятивистские поправки
Тема 14. Феноменология: атом во внешнем поле
24.2. Аномальный эффект Зеемана
24.3. Диамагнетизм
24.4. Парамагнетизм ван Флека
24.5. Эффект Пашена—Бака
Тема 15. Спонтанное излучение
25.2. Дипольные переходы в атомах: правила отбора
25.3. Индуцированное излучение и поглощение когерентного поля
Тема 16. Рассеяние
26.2. Функция Грина
26.3. Функция Грина свободной частицы
26.4. Интегральное уравнение
26.5. Асимптотическое поведение на больших расстояниях и формула для сечения
26.6. S-матрица, унитарность и оптическая теорема
26.7. Борновское приближение
Лекция 27
27.2. Разложение волны де Бройля по парциальным волнам
27.3. Фазовые сдвиги и парциальные сечения
27.4. Свойства фазовых сдвигов
27.5. Рассеяние тождественных частиц
27.6. О кулоновском потенциале, резонансах и неупругих столкновениях
Приложения
Основные формулы курса
Вопросы по курсу «Квантовая механика»
Дополнение I. Соотношение неопределенностей и корреляции
Дополнение III. Парадокс Эйнштейна—Подольского—Розена
Дополнение IV. Неравенства и теорема Белла
Дополнение V. Эйконал в рассеянии
Дополнение VI. Кулоновское рассеяние
Дополнение VII. Уровни Ландау
Литература
Предметный указатель
Text
                    В.  В.  Киселёв
 Квантовая  механика
 Курс  лекций
 Москва
Издательство  МЦНМО
2009


УДК 531:530.145 ББК 22.314 К44 Киселёв В. В. К44 Квантовая механика. Курс лекций. (Учебное пособие) — М.: МЦНМО, 2009.-560 с. ISBN 978-5-94057-497-2 В первой части книги в рамках аксиоматического подхода изложены основные принципы квантовой механики и их следствия в объеме первой части годового курса. Материал включает в себя детальное рассмотрение логических и математических принципов квантовой механики в форма¬ лизме Дирака, вывод основных свойств одномерного движения, гармони¬ ческий осциллятор и голоморфное представление для него, непрерывные и дискретные симметрии пространства в квантовой механике, квантова¬ ние момента количества движения, введение спина, рассмотрение атома водорода, квазиклассическое описание частицы и метод интеграла по тра¬ екториям. Во второй части изложена теория возмущений, процедура сложения моментов, релятивистская квантовая механика свободных скалярных, спи- норных и векторных частиц на основе группы Пуанкаре и метода вторич¬ ного квантования, нерелятивистский переход для спинора Дирака и ре¬ лятивистские поправки в атоме водорода, качественная теория сложных атомов, некоторые вопросы феноменологии атомов во внешних полях, тео¬ рия квантового излучения в дипольном приближении, рассеяние в подходе «^-матрицы и метод фазовых сдвигов. Пособие рассчитано на изучающих теоретическую физику студентов младших, старших курсов и аспирантов физических специальностей уни¬ верситетов, а также преподавателей и научных работников. ББК 22.314 Киселёв Валерий Валерьевич КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА Редактор К. В, Парфенов Корректор Т. Л. Коробкова Технический редактор Д. Е. Щербаков Подписано в печать 3/VIII 2009 года. Формат 70 х 100 Vi6. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Объём 35 печ. л. Гарнитура ITC Charter. Тираж 1000 экз. Заказ № 17696 Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 24174 83. Отпечатано по CtP-технологии в ОАО «Печатный двор» им. А. М. Горького. 197110, Санкт-Петербург, Чкаловский проспект, 15. ISBN 978-5-94057-497-2 © Киселёв В. В., 2009. © МЦНМО, 2009.
Оглавление Предисловие 9 Часть I Тема 1. Принципы квантовой механики Лекция 1 15 15 1.1. Формализм Дирака: бра и кет (20). 1.2. Проектор и полнота (23). 1.3. Операторы: эрмитово сопряжение, унитарность (26). 1.4. Наблюдаемые и эрмитовость (27). 1.5. Собственные векторы, дисперсия и непрерывный спектр (28). 1.6. Коммутатор (31). 1.7. Соотношение неопределенностей (32). 1.8. Гипотеза де Бройля: координата и импульс (34). Лекция 2 38 2.1. Канонический формализм квантования (38). 2.2. Оператор эволю¬ ции (40). 2.3. Теорема Эренфеста (41). 2.4. Полный набор наблюдаемых (42). 2.5. Аксиоматика (44). 2.6. Консервативные системы и спектральная задача, вакуум (46). Лекция 3 51 3.1. Уравнение непрерывности: поток вероятности (51). 3.2. Волновой па¬ кет (55). 3.3. Интегралы движения, условия вырождения (57). 3.4. Соотно¬ шение неопределенностей энергия-время (59). 3.5. Г-инвариантность (60). 3.6. Представление Гейзенберга (62). Лекция 4 65 4.1. Вариационный принцип (65). 4.2. Калибровочная инвариантность (66). 4.3. Импульсное представление (69). 4.4. Р-четность (70). 4.5. Оператор трансляций, квазиимпульс, номер зоны (72). Тема 2. Одномерное движение 77 Лекция 5 77 5.1. Одномерное движение: исходные положения (77). 5.2. Вырождение (78). 5.3. Связанные состояния, осцилляторная теорема (80). 5.4. Коэффициенты отражения и прохождения (82). 5.5. Резонанс (84). 5.6; Скачок производ¬ ной (90).
4 Оглавление Тема 3. Гармонический осциллятор 91 Лекция 6 91 6.1. Каноническое квантование (91). 6.2. Стационарные уровни, операторы рождения и уничтожения (93). 6.3. Собственные функции, полиномы Эрми- та (96). 6.4. Когерентные состояния (98). Тема 4. Непрерывные симметрии пространства 105 Лекция 7 105 7.1. Трансляции (105). 7.2. Вращения (109). Лекция 8 115 8.1. Момент импульса, квантование (115). 8.2. Орбитальный момент, соб¬ ственные функции (118). Лекция 9 125 9.1. Спин матрицы Паули (125). 9.2. Спинорная метрика (127). 9.3. Прин¬ цип запрета Паули, перестановки тождественных частиц (130). 9.4. Ферми- онный осциллятор, гр£ссмановы переменные (133). Лекция 10 136 10.1. Оператор конечных поворотов, углы Эйлера (136). 10.2. Задача двух тел, разделение переменных (140). 10.3. Относительное движение в центральном потенциале (141). Тема 5. Атом водорода 149 Лекция 11 149 11.1. Набор квантовых чисел и атомные единицы (149). 11.2. Связанные состо¬ яния (151). 11.3. Вырождение (154). 11.4. Средние, рекуррентное соотношение Крамерса (157). 11.5. Волновая функция в нуле (160). Тема 6. Квазиклассика 163 Лекция 12 163 12.1. Классический предел: h—>0 (163). 12.2. Метод JWKB (165). 12.3. Условия отражения, сшивка решений в точках поворота (170). 12.4. Правило кванто¬ вания Бора—Зоммерфельда (172). 12.5. Плотность состояний (173). 12.6. Нор¬ мировка (173). 12.7. Возмущение (174). 12.8. Потенциальный барьер (181). Тема 7. Интеграл по траекториям 191 Лекция 13 (дополнительная) 191 13.1. Фейнмановский интеграл (191). 13.2. Источник и производящий функци¬ онал (19 7). Лекция 14 (дополнительная) 206 14.1. Т-произведение (206). 14.2. Граничные условия: осциллятор в голоморф¬ ном представлении (208). 14.3. Функционал У -матрицы (216).
Оглавление 5 Часть II Тема 8. Теория возмущений 223 Лекция 15 223 15.1. Стационарная теория (223). 15.2. Нестационарная теория (229). Тема 9. Сложение моментов 245 Лекция 16 245 16.1. Сложение двух моментов: базис состояний (246). 16.2. Тензорные опера¬ торы: правила отбора (251). Тема 10. Релятивистская квантовая механика 255 Лекция 17 255 17.1. Вращения (255). 17.2. Бусты (259). 17.3. Собственная ортохронная группа Лоренца (261). 17.4. Дискретные преобразования (262). 17.5. Классификация состояний: представления (265). Лекция 18 270 18.1. Группа Пуанкаре (270). 18.2. Ковариантный вид коммутаторов и дис¬ кретные симметрии (274). 18.3. Скалярное поле (277). Лекция 19 288 19.1. Вейлевские спиноры (288). 19.2. Дираковские спиноры (294). 19.3. Май- орановские спиноры (304). Лекция 20 306 20.1. Безмассовое векторное поле (306). 20.2. Связь спина со статисти¬ кой (311). 20.3. Калибровочное взаимодействие (313). 20.4. «Релятивистский» атом водорода: спектр (318). Тема 11. Нерелятивистское приближение: эффективная теория 325 Лекция 21 325 21.1. Построение эффективного действия (325). 21.2. Интерпретация попра¬ вок (329). 21.3. Атом водорода: поправки (331). 21.4. Аномальный магнитный момент (335). Тема 12. Атом гелия 341 Лекция 22 341 22.1. Нерелятивистская задача (341). 22.2. Обменное взаимодействие (344). 22.3. Уравнения Хартри—Фока (346). 22.4. Самосогласованное поле: конфи¬ гурация электронов, термы (348). 22.5. Основное состояние (350). 22.6. Реля¬ тивистские поправки: электронные J-термы (354).
6 Оглавление Тема 13. Сложный атом 357 Лекция 23 357 23.1. Определитель Слетера (357). 23.2. Поправки к центральному потенциа¬ лу: термы (359). 23.3. Релятивистские поправки (361). Тема 14. Феноменология: атом во внешнем поле 369 Лекция 24 369 24.1. Атом в магнитном поле: энергия взаимодействия электронов (369). 24.2. Аномальный эффект Зеемана (371). 24.3. Диамагнетизм (372). 24.4. Па¬ рамагнетизм ван Флека (373). 24.5. Эффект Пашена—Бака (374). Тема 15. Спонтанное излучение 377 Лекция 25 377 25.1. Дипольное приближение (377). 25.2. Дипольные переходы в атомах: правила отбора (382). 25.3. Индуцированное излучение и поглощение коге¬ рентного поля (385). Тема 16. Рассеяние 389 Лекция 26 389 26.1. Асимптотические состояния и 5?-матрица (389). 26.2. Функция Гри¬ на (392). 26.3. Функция Грина свободной частицы (394). 26.4. Интегральное уравнение (396). 26.5. Асимптотическое поведение на больших расстояниях и формула для сечения (397). 26.6. ^-матрица, унитарность и оптическая теорема (399). 26.7. Борновское приближение (403). Лекция 27 405 27.1. Сферические волны свободной частицы (405). 27.2. Разложение волны де Бройля по парциальным волнам (408). 27.3. Фазовые сдвиги и парци¬ альные сечения (411). 27.4. Свойства фазовых сдвигов (412). 27.5. Рассеяние тождественных частиц (421). 27.6. О кулоновском потенциале, резонансах и неупругих столкновениях (423). Приложения Послесловие 431 Основные формулы курса 433 Вопросы по курсу «Квантовая механика» 451 Дополнение I. Соотношение неопределенностей и корреляции 481 Дополнение II. Матрица плотности, квантовая запутанность (entanglement), статистические ансамбли и энтропия 483 Дополнение III. Парадокс Эйнштейна-—Подольского—Розена 491
Оглавление 7 Дополнение IV. Неравенства и теорема Белла 498 Дополнение V. Эйконал в рассеянии 504 Дополнение VI. Кулоновское рассеяние 510 Дополнение VII. Уровни Ландау 538 Литература 541 Предметный указатель 543
Предисловие Материал этой книги представляет собой расширенный вариант лекций, предлагаемых автором студентам Московского физико-технического инсти¬ тута (Государственного университета) в качестве годового курса квантовой механики на кафедре теоретической физики. Целью первой части этих лекций является достаточно строгое теорети¬ ческое обоснование основных положений квантовой механики, начиная с принципов и их последовательного применения в одномерных задачах, для важнейших систем: осциллятора и атома водорода, при введении спина и описании частицы в квазиклассическом приближении, т. е. относительно стандартного набора ключевых знаний, характерного для курса квантовой механики в рамках теоретической физики. При этом необходимо иметь в виду, что студенты получают достаточно детальное представление о квантовомеханических явлениях на качествен¬ ном уровне в курсе общей физики, так что из этой части курса полностью исключен описательный феноменологический материал, который обычно предваряет введение «новых квантовых величин и понятий». Поэтому этот курс лекций построен не по традиционной схеме индуктивной логики от частного к общему, характерному при первом знакомстве учащегося с ма¬ териалом. Следование по такому стандартному пути приводит к проблеме «естественного обоснования понятий, не вписывающихся в схему старой физики», и к представлению исторического развития квантовой механики в виде революционного переосмысления концептуальных понятий, которое, в действительности, как всякая революция, противоречит логике нормально¬ го, т. е. эволюционного, развития, а следовательно, как раз и не может быть «естественным» с точки зрения парадигмы, оказавшейся в итоге не полной в своем описании явлений природы. Изложение курса ведется дедуктивно, посредством аксиоматического вве¬ дения основных принципов, которые не могут быть выведены из прежнего состояния науки, а возникают, по мысли Гильберта, как новые идеальные объекты, причем действия с ними и их отношения с прежними твердо уста¬ новленными законами должны быть строго определены в согласии с опытом. Подобный метод открывает возможность более элегантного и последо¬ вательного изложения материала с указанием тонких взаимосвязей меж¬ ду понятиями, но, с другой стороны, однозначно является более сложным для восприятия студентом: утешительным призом в этом случае становится лишь привлекательность самого стиля лекций, который, как известно, — дело вкуса, а также необходимость иметь разные точки зрения на предмет, если студент желает его основательно изучить. Нужно ещё учесть закон инвариантности: стандартная сумма знаний по курсу квантовой механики
10 Предисловие содержится в любом из учебников, хотя каждый из них излагает материал по-своему, со специфическими деталями. Весенний семестр довольно скоротечен, в соответствии с этим в основе первой части курса —12 лекций, которые читаются до майских праздников. Мы добавили еще 2 дополнительных лекции об интеграле по траекториям для любознательных (после майских праздников), т. е. для тех, у кого совре¬ менное звучание квантовой механики в научных исследованиях вызывает живой интерес. Во вторую часть курса, наряду со стандартным представлением теории возмущений, сложения моментов, качественного описания сложных атомов, взаимодействия атомов с магнитным полем, квантового излучения в ди- польном приближении и теории упругого рассеяния, включен существенно расширенный материал по релятивистской квантовой механике свободных частиц с последующим нерелятивистским переходом, а также У -матричный подход в теории рассеяния. Автор сознательно пошел на такое «усложнение», потому что широко распространенное эвристическое построение уравнения Дирака путем «ли¬ неаризации» уравнения Клейна—Гордона—Фока для скалярной частицы, на мой взгляд, уже превратилось в рудимент, представляющий интерес скорее в плане предметного изучения истории физики, а главное, оно порождает искаженное представление об истинном состоянии квантовой теории, раз¬ витие которой концептуально давно ушло вперед по сравнению с простыми, но фантастически точными шагами Дирака на заре квантовой эры. На смену отживших свое время конструкций типа «моря Дирака» и Zitterbewegung («циттербевегунг» — дрожание) электрона встали четкие и логически стро¬ гие представления, основанные на группе Пуанкаре и квантованном локаль¬ ном поле. Уравнение Дирака не угадывается, а последовательно выводится из этих квантово-релятивистских предпосылок. Та же программа реализуется и для безмассового векторного поля, для которого, как следует из релятивиз¬ ма, с необходимостью имеют место калибровочные преобразования (автор подсмотрел этот ход у Стивена Вайнберга в его трехтомнике «Квантовая теория поля»). Предмет квантованных свободных полей так обширен, что, несмотря на явно увеличенный объем четырех лекций по релятивизму, в них не вошли многие важные вопросы, такие, как, например, малая группа Виг¬ нера. Нерелятивистскому переходу придано современное звучание в свете по¬ строения эффективного действия: от релятивистских лагранжианов к ря¬ ду в терминах нерелятивистских полей, в котором выделен ведущий вклад и малые возмущения. Здесь опущено из рассмотрения преобразование Фол- ди—Ваутхойзена со всей его арифметической механикой разделения боль¬ ших и малых компонент, а упор сделан на физическом содержании нереля¬ тивистского перехода. При изложении рассеяния автор посчитал нужным расширить раздел, посвященный функциям Грина, настолько, чтобы стали возможными введе¬ ние ключевых понятий асимптотических состояний и У -матрицы, а также
Предисловие 11 последовательный вывод оптической теоремы из унитарности, наряду со стандартным анализом связи полных сечений с мнимой частью амплитуды рассеяния вперед при рассмотрении суммы парциальных сечений. Следует особо подчеркнуть, что лекции составляют необходимую теоре¬ тическую платформу для семинаров по квантовой механике в упражнени¬ ях и задачах, а также для решения двух заданий, без которых немыслима полнота курса и в отрыве от которых лекции превращаются в бесплодное схоластическое теоретизирование. Планы семинаров, упражнения и задачи для заданий по квантовой механике содержатся в методических изданиях МФТИ. Что касается сложности содержания курса для слушателей, то здесь прин¬ ципиально отметить следующее: в отличие от распространенного мнения о том, что материал лекций не должен сколько-нибудь превышать тот объем знаний, который будет затем запрошен к ответу у студентов на зачетах и эк¬ заменах, дабы лектор не «читал лекции для самого себя», автор этого курса придерживается другой точки зрения. Во-первых, лекции университетского цикла образования призваны представлять предмет как науку, т. е. отражать его логическую и концептуальную целостность наряду с методами получения основных фактов и результатов. Во-вторых, исключение лектором из мате¬ риала курса ряда ключевых логических элементов и методов по причине их сложности или «заведомой ненадобности» для использования большинством студентов в их будущей жизни, что вполне приемлемо, например, в выс¬ шей инженерной школе, ограничивает свободу выбора студентом степени своего кругозора и наносит удар по самому научному подходу к образова¬ нию в университете. Кроме того, если с некоторыми понятиями студенту действительно в дальнейшем и не придется столкнуться в практической жизни, то это скорее можно считать аргументом в пользу необходимости знакомства с ними на университетской скамье, что обеспечивало бы полноту его образования, того, что остается в памяти среди забытого через многие годы, чем поводом ограничиться вещами сугубо прагматическими. В свете такого взгляда на проблему автор полагает, что, имея курс лекций, построенный по научному принципу, а значит, в целом довольно строгий и сложный, студент способен самостоятельно варьировать глубину изучения того или иного вопроса курса, вникая более подробно в одни из них и зна¬ комясь с другими лишь вскользь, но оставаясь при этом в логическом поле целостного научного взгляда на материал курса. Автором выделены три уровня сложности, которые определяются сводкой вопросов, сгруппированных по следующему принципу: от студента требуется 1) знание основных фактов и умение оперировать ими, 2) понимание ло¬ гики и взаимосвязи понятий, обоснование важных результатов, 3) владение методами построения логической структуры предмета и умение доказывать результаты. Они отвечают программам бакалавра, магистра и аспиранта. На практике заинтересованный студент, к которому и адресована эта книга, вначале читает весь текст бегло в течение семестра и только затем при под¬ готовке к контрольным мероприятиям углубляется в те или иные вопросы.
12 Предисловие Таким образом, автор посчитал нужным поместить вопросы не частями по¬ сле каждой из лекции, а собрать их в виде единого списка в конце книги. Ряд вопросов, как и некоторые части текста, могут все же показаться излишне сложными, но не стоит забывать, что эта книга трактует теоретическую физику, саму по себе непростую, и это, как говорят,—«книга второго чтения», которую стоит брать в руки после первого знакомства с квантовой теорией в рамках курса общей физики. Автор благодарен профессору Ю. М. Белоусову за постоянную поддержку и разъяснения. Я признателен профессорам С. П. Аллилуеву, Г. С. Ирошникову и доцентам С. Н. Вергелесу, С. А. Гордюнину и В. П. Кузнецову за помощь при обсуждении решений задач и за интересные беседы, а также академику С. С. Герштейну за поддержку и Н. Н. Пастушковой за теплую атмосферу на кафедре. Особую благодарность автор выражает научному редактору книги доцен¬ ту кафедры квантовой теории и физики высоких энергий физического фа¬ культета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, кандидату физико-математических наук К. В. Парфенову, который внима¬ тельно прочел рукопись и в краткие сроки на высочайшем уровне квалифи¬ кации подробно сформулировал свои замечания, позволившие существенно улучшить изложение как по стилю, так и по содержанию, а также устранить в тексте не замеченные автором неточности в формулировках и фактах. Я сердечно признателен К. В. Парфенову за плодотворное сотрудничество при работе над книгой. Прошу читателей направлять свои замечания и отзывы о книге по элек¬ тронному адресу Valery.Kiselev@ihep.ru с пометкой «Курс квантовой механики».
Часть I ...Наука... не в состоянии озарить светом душу, которая лишена его, или заставить видеть слепого; ее назначение не в том, чтобы даровать человеку зрение, но в том, чтобы научить его правильно пользоваться зрением, когда он дви¬ жется... Мишель де Монтенъ
Тема 1 Принципы квантовой механики Лекция 1 Логические принципы, интерференция, суперпозиция, корпускулярно-волно¬ вой дуализм, состояние, амплитуда вероятности, средние значения, принцип соответствия, уравнение эволюции, гильбертово пространство, обозначения Дирака, формализм, эрмитово сопряжение, унитарность, наблюдаемые, ком¬ мутационные соотношения, соотношение неопределенностей, волны де Брой¬ ля, геометрическая оптика, принцип Ферма, оператор импульса, гамиль¬ тониан. Концептуальная проблема корпускулярно-волнового дуализма, заключа¬ ющегося в том, что одна и та же физическая сущность обладает как свой¬ ствами дискретности, характерными для частиц, так и свойствами интерфе¬ ренции, присущей волнам1, получила окончательное решение после форму¬ лировки копенгагенского стандарта квантовой механики. Фундамент кван¬ товой механики как последовательной теории был заложен в работах Бора, де Бройля, Гейзенберга, Борна, Шрёдингера и Дирака, наряду со множеством оригинальных работ, посвященных конкретным явлениям квантовой приро¬ ды и выполненных другими учеными, среди которых следует особо отметить Планка, который впервые ввел в физику постоянную h в пионерской работе о квантовом характере излучения абсолютно черного тела2. Согласно современному пониманию частица с набором характеризующих ее наблюдаемых величин представляет собой фундаментальную физическую сущность, непосредственно доступную для измерительных приборов, посред¬ ством которых детектируются значения присущих частице наблюдаемых ве¬ личин. Состояние частицы полностью определяется амплитудой вероятно¬ сти Ф(д) того, что частица имеет точные значения своих наблюдаемых {q}. Эхо состояние удовлетворяет динамическому уравнению, детерминирующе¬ му эволюцию корректно заданного начального состояния со временем3. От¬ сюда сразу следует, что в динамическое уравнение входит только первая производная состояния по времени: только в этом случае начальное состо¬ яние определяет всю его последующую эволюцию. качественная физическая картина явлений корпускулярно-волнового дуализма детально излагается в курсах общей физики. 2Планк нашел формулу, описывающую спектр излучения абсолютно черного тела, буквально в течение одной недели после публикации достаточно точных экспериментальных данных своих берлинских коллег-экспериментаторов. 3Мы рассматриваем здесь нерелятивистскую квантовую механику, так что время играет выделенную роль по сравнению с координатами пространства.
16 Тема 1 Принципы квантовой механики Амплитуда вероятности1 Ф(д) определяет волновую сущность состояния частицы, так как она с необходимостью по построению квантовой меха¬ ники обладает свойством интерференции: амплитуды вероятности физиче¬ ских состояний, являющихся решениями уравнения эволюции, можно склады¬ вать с произвольными комплексными коэффициентами, удовлетворяющими условию корректности, так что такие их линейные комбинации вновь яв¬ ляются физическими состояниями для данного уравнения эволюции, т. е. имеет место принцип суперпозиции состояний. Вероятность того, что частица имеет заданные значения физических наблюдаемых, определяется квадра¬ том модуля амплитуды вероятности2: w = | Ф(д) |2, так что для суперпозиции состояний имеет место интерференция волн амплитуд состояний, например, при интерференции двух состояний вероятность w = \c1'&1 (q) + с2Ф2С<?) I2- Принцип суперпозиции математически означает, что, во-первых, уравне¬ ние эволюции, которое называют также уравнением Шрёдингера, линейно по Ф-функции, во-вторых, физические состояния образуют комплексное вектор¬ ное пространство, спецификой которого в отличие от векторных пространств линейной алгебры с конечным числом базисных векторов является понятие о корректности элементов этого пространства и действий с ними. Корректность начального состояния Ф(д, t0) включает в себя два основ¬ ных требования: 1) в этом состоянии амплитуда вероятности должна иметь ненулевые значения только в допустимой области вещественных значений набора физических наблюдаемых3; 2) вероятность того, что наблюдаемые принимают значения в области допустимых значений, равна единице: 2 |^Cq,t0)|2 = l. Для всякого линейного пространства, каковым согласно принципу супер¬ позиции является пространство квантовых состояний физической системы, встает вопрос о количестве линейно независимых векторов, которые могут образовывать базис в этом пространстве. С физической точки зрения изме¬ рение вероятностных характеристик частицы или их совокупности может быть только счетным по своему количеству, так же как и число самих изме¬ рительных приборов, определяющих наблюдаемые величины с малыми, но конечными погрешностями. Значит, наблюдательная информация о системе будет полной только в том случае, если число линейно независимых кван- 1Эквивалентное название амплитуды вероятности—пси-функция; оно широко применяется, но, однако, несколько затеняет физическое содержание этого понятия. 2Это утверждение является точным, если все наблюдаемые принимают значения в дис¬ кретном множестве, в противном случае речь идет о плотности вероятности для непрерывно меняющихся переменных. 3В понятие допустимой области может входить и ограничение, связанное с абсолютны¬ ми законами сохранения, типа закона сохранения электрического заряда, в том смысле, что говорить о состоянии, которое с некоторой вероятностью имеет заряд Q1 или Q2, просто бессодержательно. Поэтому в таких случаях формулируют принцип суперотбора, который по определению сужает рассмотрение на подпространство квантовых состояний с одинаковыми сохраняющимися зарядами.
Лекция 1 17 тоных состояний максимально будет счетным. В противном случае знание о квантовой системе никогда не может считаться вполне достоверным. По¬ этому специфическим является требование предельной разложимости (iсепа¬ рабельности) начального состояния по счетному базису1 решений уравнения Шрёдингера fc=i где сходимость подразумевается в квадратичном смысле (в смысле вероятно¬ сти): К примеру, индекс к может нумеровать уровни энергии консервативной системы, заключенной в пространственной области конечного размера: свя¬ занные состояния или стоячие волны с учетом возможного вырождения этих состояний и допустимого перехода к пределу бесконечного объема. Другими словами, сепарабельность означает, что всякое физическое состояние харак¬ теризуется счетным числом амплитуд вероятности иметь точные значения наблюдаемых величин, даже если формально они лежат в непрерывной, континуальной в смысле мощности множества, области. Отметим, что, как мы неоднократно увидим в ходе дальнейшего изложения, именно наличие сепарабельности обеспечивает тождественность свойств возникающих поня¬ тий, операций с ними и конструкций, определенных дискретным и непре¬ рывным образом (например, сумм и интегралов) в пространстве амплитуд вероятности. Поэтому его можно считать формализованным отражением представления о корпускулярно-волновом дуализме поведения квантовых объектов. Корректность уравнения эволюции означает, что оно сохраняет нормиру¬ емость состояния на единицу, их суперпозицию, сепарабельность и оставляет значения наблюдаемых в области их допустимых значений. Дополнитель¬ ным является требование полноты: пространство состояний содержит в себе все свои предельные точки в смысле квадратичной сходимости. Важно по¬ вторить, что эволюция состояния детерминирована: если задано состояние физической системы в начальный момент времени, то уравнение эволюции однозначно определяет состояние во все последующие моменты времени. Математически это означает, что уравнение включает в себя только первую производную состояния по времени, и вдобавок, согласно принципу супер¬ позиции, эта производная линейно входит в уравнение эволюции. Принципиальным в квантовой механике является введение понятия ве¬ роятности и амплитуды вероятности. Только многократное измерение иден¬ тичных состояний дает возможность получить полную информацию об этом п lim V nKq, to) - V скФк(q, t0) = 0. R—>00 f | ( d {q} k=1 1Читателю, знакомому с функциональным анализом, конечно, известна традиционная, строгая формулировка этого понятия: бесконечномерное евклидово пространство называют сепарабельным, если в нем существует всюду плотное счетное множество.
18 Тема 1 Принципы квантовой механики состоянии экспериментально1. Здесь существенно отметить факт, следую¬ щий из различия понятий вероятности и амплитуды вероятности: поскольку измеряется модуль амплитуды вероятности, значение ее глобальной фазы не имеет физического смысла, |е^Ф(д)| = |Ф(9)|, содержательным же является лишь понятие относительной фазы состояний, которая наблюдается при интерференции: Ic^iCq) + с2Ф2(д) | = | |c1^1(q)| + eia|c2^2(q)) 11, где а —относительная фаза. Поэтому говорят, что в пространстве состояний наблюдаемыми являются не сами векторы, а лучи, так как есть соотношение эквивалентности векторов за счет глобального фазового сдвига2 Ф(д)*е*Ф(д). В силу вероятностного смысла состояния среди характеристик физической системы появляются такие понятия, как среднее значение наблюдаемой ве¬ личины (q), ее дисперсия Aq, корреляции величин и т. п. Например, среднее значение определяется согласно обычным формулам теории вероятности (q>=5j9l*(9) I2, {«> где состояние системы можно представить в виде разложения по заданному полному набору решений уравнений Шрёдингера, т. е. по базису состояний: ФСд) = S cfc^fcCq)- Как видим, пространство квантовых состояний строится в полной аналогии с комплексным3 векторным пространством с введением понятия нормы, с той лишь разницей, что размерность этого пространства является не строго заданным конечным натуральным числом, как в конечно¬ мерном евклидовом пространстве, а определяется характеристиками самой физической системы. Итак, квантовая механика имеет дело с физическим объектом — части¬ цей—и состоянием объекта—волной амплитуды вероятности. В этом заклю¬ чается единство существования волны и корпускулы и противоположность их сущности в составе полной системы объект-состояние. В дальнейшем под физической системой мы будем понимать либо ча¬ стицу, либо набор частиц. В некоторых случаях говорят также о макро¬ скопическом квантовом состоянии, как это имеет место при рассмотрении сверхтекучести или сверхпроводимости, а также при образовании других конденсатов. Мы будем полагать, что такая физическая система характери¬ зуется набором независимых «координат» {q} и канонически сопряженных им импульсов {р}. Исключение составляет случай собственных состояний, в которых соответствующие физи¬ ческие величины имеют точные значения. 2 Другое естественное ограничение, задающее луч состояния, — нормировка вероятности на единицу. 3Норма вектора задается произведением амплитуды вероятности на комплексно сопряжен¬ ную амплитуду с суммированием по области допустимых значений наблюдаемых величин.
Лекция 1 19 Здесь просматривается аналогия с классической механикой. Эта аналогия не случайна. Она является выражением еще одного принципа построения кпантовой механики—принципа соответствия: квантовая физическая систе¬ ма строится путем процедуры квантования классической системы с иден¬ тичными наборами наблюдаемых величин, причем для квантовой системы существует предел, в котором классическое описание становится с высокой степенью точным. Этот предел классического описания, очевидно, имеет место тогда, когда дисперсия наблюдаемой несущественна при описании динамики среднего значения наблюдаемой. Его обычно называют также пре¬ делом больших квантовых чисел, так как в случае наличия дискретного мно¬ жества значений наблюдаемой п среднее значение обычно становится много больше дисперсии при п—»оо. Сама процедура квантования включает в себя построение корректного уравнения эволюции и способа вычисления всех иероятностных характеристик наблюдаемых величин. В качестве иллюстрации принципа соответствия рассмотрим пример квантовой системы — электромагнитное поле, состоящее из квантов — фо¬ тонов. Состояние поля характеризуется амплитудой вероятности, так что полное описание предполагает многократные измерения с регистрацией каждого фотона и его характеристик. Однако если квантов много (п -* оо) и прибор регистрирует в области детектирования также много квантов, флуктуации числа которых малы (т. е. дисперсия несущественна), то поле с высокой точностью описывается классически, а именно, профиль амплиту¬ ды вероятности соответствует профилю поля. Здесь важно остановиться на часто встречающейся концептуальной ошибке, ведущей к непониманию важнейшего принципа квантовой механи¬ ки, —к неверному отождествлению волн амплитуды вероятности с волнами материи. Такое отождествление кажется естественным с позиций, основан¬ ных на восприятии волн в классическом понимании: приборы фиксируют распределение электромагнитного поля в пространстве, т. е. распределение волн электромагнитной материи. Но такое представление справедливо только в классическом пределе. Также неверно представлять себе электрон в атоме водорода в виде размытого облака, так как в действительности электрон как физический объект является точкой, частицей, и лишь в клас¬ сическом приближении, т. е. при многократном взаимодействии прибора с атомом, электрон может выступать в виде облака (как в химических процессах, где имеется много идентичных атомов). Итак, суммируя, можно отметить следующие основные характеристики понятия состояния в квантовой механике: a. Принцип суперпозиции: состояние является элементом векторного комплексного пространства 0состояния интерферируют, уравнение эволю¬ ции является линейным по квантовому состоянию). b. Базис: в пространстве состояний физической системы существует пол¬ ный базис, размерность которого мы считаем счетной Ссепарабельность).
20 Тема 1 Принципы квантовой механики c. Эквивалентность: состояние определено с точностью до комплексной фазы, общей для всех состояний (луч в пространстве состояний). d. Нормируемость: состояние имеет норму — вероятность обнаружить физическую систему в области допустимых значений наблюдаемых величин; эта норма является евклидовой: счетная сумма квадратов. e. Физический смысл: каждое состояние однозначно характеризуется амплитудой вероятности Ф(д), которая задает вероятность w(q) того, что ча¬ стица имеет точные значения наблюдаемых физических величин {q}: w(q) = = l*(q)|2. f. Динамика: состояние удовлетворяет уравнению эволюции во времени, уравнению Шрёдингера, причем это уравнение детерминировано: начальное состояние физической системы в исходный момент времени полностью опре¬ деляет состояние во все последующие моменты времени (уравнение линейно относительно производной состояния по времени). Указанные нами требования к квантовому описанию физической систе¬ мы относятся к случаю, когда мы оперируем полным знанием об этой систе¬ ме и о внешнем влиянии на нее. В классике это отвечало ситуации, когда о системе известны все начальные данные о всех степенях свободы и все си¬ лы, действующие как в самой системе, так и извне. Тогда траектории системы строго детерминированы. Если часть информации становилась недоступной наблюдению, например, при колоссальном числе степеней свободы в систе¬ ме, то приходилось говорить о статистическом, вероятностном, описании из-за неполноты наблюдательных данных. В этой связи законы классиче¬ ской механики самодостаточны и первичны, хотя для статистических систем имеют место и свои специфические законы. В квантовой механике вероят¬ ностный характер физических наблюдений не устраним по своей сути и в случае полного знания о всех степенях свободы и всех силах в системе. В этом смысле мы приступили к описанию, как говорят, «чистых состояний», инфор¬ мация о которых полна. Особенности систем, часть информации о которых не наблюдается, относящихся к «смешанным состояниям», мы опускаем, поскольку они обычно излагаются в курсах квантовой статистики. 1.1. Формализм Дирака: бра и кет Состояние физической системы можно описывать эквивалентными набо¬ рами наблюдаемых величин, что в классике просто соответствует обратимым заменам координат и, следовательно, импульсов при описании одной и той же траектории частиц в фазовом пространстве. Поэтому вектор состояния обычно характеризуют не конкретной амплитудой вероятности для задан¬ ного набора координат-наблюдаемых {q} —> ^(q), а абстрактным элемен¬ том пространства состояний в квантовой механике, которое по набору его свойств (бесконечномерное линейное пространство с комплекснозначным
Лекция 1 21 скалярным произведением) в математике называют гильбертовым простран¬ ством Н. Согласно обозначениям Дирака пишут |Ф) — кет-вектор, |Ф) е Н, (1.1) в полной аналогии с конечномерным векторным пространством V, где а — контрвектор, а е V. Поскольку такая аналогия гильбертова пространства Н с комплексным векторным евклидовым пространством V весьма наглядна и полезна, мы будем ее в дальнейшем детально прослеживать при введении основных поня¬ тий формализма Дирака. Выбор заданного набора наблюдаемых сопровож¬ дается решением уравнения Шрёдингера в этих переменных, среди которых можно определить базис — набор состояний с различными значениями на¬ блюдаемой, которую для определенности мы обозначим п: \п)- базис, (1.2) в пространстве V: еп — базис. Такую наблюдаемую называют квантовым числом п, если она принимает дискретные значения, или спектральным параметром v, если область зна¬ чений непрерывна. Квантовых чисел может быть несколько. По определению гильбертова пространства каждый элемент разлагается по базису: И: 1*)=2Ф»1П> ~ V:a = 2anen- С1-3) П П Коэффициенты разложения Фп и ап имеют смысл проекций вектора на ба¬ зисные орты. В квантовой механике они имеют физический смысл: Фп — амплитуда вероятности того, что в состоянии |Ф) наблюдаемая имеет зна¬ чение п. Для определения проекции необходимо ввести понятие скалярного произведения, которое в комплексном евклидовом пространстве V с орто- нормированным базисом задается в виде (a,b)=2<bn П и определяет положительно определенную норму вектора (а, а) = ^ а*ап ^ 0, (а,а) = 0 => а = 0. П В гильбертовом пространстве скалярное произведение векторов состояний |Ф) и |Ф) записывается как <Ф|Ф>=2ФпФп, п (1.4)
22 Тема 1 Принципы квантовой механики а норма— (ф|ф) = 2]ф;1фп^0, (Ф|Ф> = 0 => |Ф>=0. (1.5) и Ортонормальность означает, что базис выбран согласно V: (вп, ej = 5пт «-» Н: (п\тп) = 5пт. (1.6) Введение скалярного произведения сопровождается определением сопря¬ женного (дуального) векторного пространства: V: а <—> а* — ковектор; (а, Ь) = а* ■ Ъ, а* € V, К: |Ф)<—»(Ф| -бра-вектор; (Ф|Ф)=^Ф*ФП, (Ф^#, причем1 Если представить себе кет-векторы в виде столбцов с компонентами Фп а бра-векторы в виде строк с компонентами Ф*, «-(?) <Ф| = (ф;, ...), то операция сопряжения векторов является комбинацией транспонирова¬ ния (т) и комплексного сопряжения (*), которая называется эрмитовым сопряжением векторов и обозначается символомt: <ф| = |ф>*. |ф) = (фГ, (0+=((.)т)*. Это построение находится в полной аналогии с векторным пространством, где векторы представлены в виде столбцов, а ковекторы в виде строк. Если базис выбрать вещественным, то векторы в пространстве V ГЛ V:e1 = ? , ..., а=( j V aeCN, w N—размерность V, а ковекторы в дуальном пространстве V ?:аМа;,...,а;). Поскольку коэффициенты разложения вектора по базису суть его проекции на эти базисные векторы, то их следует отождествить со скалярными произ¬ ведениями V: ап = (е„, а), П: Фп = (п|Ф>. (1.8) 1Поскольку скалярное произведение обычно обозначается скобками, так что в V: («, >), а в Н\ (<|>), — Дирак ввел для объектов, составляющих скалярное произведение в гильбертовом пространстве в квантовой механике, обозначения согласно английскому слову bracket (скобка): (bra|cket), откуда и проистекают названия бра- и кет-векторов.
Лекция 1 23 Физический смысл этих соотношений в квантовой механике очень прост: для того чтобы вычислить амплитуду вероятности того, что в состоянии |Ф) на¬ блюдаемая имеет определенное значение п, необходимо взять проекцию, или скалярное произведение, состояния |Ф) на состояние с заданным значением наблюдаемой |гг). Из общего определения скалярного произведения следует, что <п|Ф) = <Ф|п>* = (Ф|п)П где в последнем равенстве мы использовали то, что скалярное произведение или, что то же в квантовой механике, амплитуда вероятности есть число (или функция от значений наблюдаемой), так что транспонирование переводит число в себя, и в этом случае операции комплексного и эрмитова сопряжения совпадают: (<|>)* = (<i|>)t. 1.2. Проектор и полнота Итак, мы установили, что важную роль при рассмотрении состояний и амплитуд вероятности играет проецирование: операция выделения компо¬ нент вектора состояния в заданном направлении с определенным значени¬ ем наблюдаемой величины. В результате проецирования в терминах строк и столбцов получаем (нет суммирования по п) V: ап=епап = еп(е^-а) => Н: |Фп) = |п)т/>п = |п)(п|Ф). Это действие, которое переводит один вектор состояния |Ф) в другой вектор состояния |ФЛ) в том же гильбертовом пространстве, т. е. оператор, называ¬ ется оператором проецирования Рп: |ф)^|ф„Ь что записывают в виде РП|Ф) = |Ф„) Ф* Р„|Ф) = |п)<п|Ф). В обозначениях Дирака пишут Р„ = |п)(п|. Очевидно, что повторное проецирование вектора состояния на то же направ¬ ление даст ту же проекцию, что и при однократном проецировании: р„|фп) = |фп> <=> р„2|ф)=р„|ф> V |Ф> ФФ р2=рп. Поэтому оператор называют проектором, если его квадрат равен ему само¬ му1: Р — проектор: Р2=Р. Обязательным является условие эрмитовости оператора проецирования, которое мы опре¬ делим ниже, хотя введенное эрмитово сопряжение бра- и кет-векторов состояния позволяет установить для проектора Р* = (|n)(n|)t = \п)(п\=Рп.
24 Тема 1 Принципы квантовой механики Согласно постулату о полноте базиса в гильбертовом пространстве, произ¬ вольный вектор из пространства представйм в виде разложения по базису, так что у|ф) |Ф)=2|п)^„=2]1г1)иф>=2]рп|ф)=1|ф)’ (1-9) п п п где 1 — единичный оператор, и полнота базиса эквивалентна записи 1=2рп=2|п><„|. (1.10) п п Конечно, под п мы понимаем такой набор независимых измеряемых ве¬ личин, который однозначно характеризует состояние заданной физической системы. Если же система характеризуется непрерывным спектральным парамет¬ ром v, принимающим значения на отрезке v е [vmin, vmax], то поступим со¬ гласно следующей схеме. — Выберем конечные значения riN) < и затем по счетной последо¬ вательности устремим их при N —»оо соответственно к vmin и vmax, которые, вообще говоря, могут принимать и бесконечные значения. — Разобьем отрезок [viN), v+N)] на N равных отрезков точками vk=+ + fce, где e = Av = j±1(.viN)-v™), k = l, ...,N — 1. — Построим базис состояний |vfc), отвечающий тому, что спектральный параметр принимает при измерении значение на отрезке [vk, vfc+1], где vfc, vk+1 нормированны условием (VnWm) ^ — Определим проектор соотношением откуда, действительно, следуют свойства проектора: Pk = Ivk)Av (vfc|vfc)Av(vfc| =Рк, р£=рк. 4 V ^ 1 Тогда разложение квантового состояния |Ф) по базису |vfc) дает 1ф) = 2 lvfc>77T7T = 2 Фк = К|Ф>. i {Vk'Vk> Ы В пределе N —»оо и е —»0 находим ^ ^ ^тах |Ф)=Нт 2^ |vfc)AvV»fc= J |v)dv0(v), £—>0 к=1 vmin
Лекция 1 25 где (г|Ф> называют волновой функцией. Аналогично для проектора N—1 v+0 P(v) = lim V |vfc)Av(vfc|= / |v)dv(v|, vfc-»v, N—»oo ( * e-»0 *:=! v_0 ' 4 ^ X V и для нормы состояния N-1 (Ф|Ф) = lim / (Ф|ук)Ау(уц.|Ф) = f dv |Ф(у)|2 = 1, iV—>00 J £—»0 k=l vmin так что p(v) = |Ф(г)|2 —это плотность вероятности (см. также формулы для иычисления средних значений наблюдаемых, из которых последнее утвер¬ ждение следует еще более явно). Например, для одномерного движения в качестве наблюдаемой можно выбрать координату частицы х, так что |Ф) = / сЪсФОО!*), (Ф|Ф) = / сЬсФЧхЖх), (х|х/) = 5(х-х/) и Ф(х) —-амплитуда плотности вероятности р(х) = |\К*)|2 обнаружить ча¬ стицу в точке х, если она находится в состоянии |Ф). Для состояния с определенным значением спектрального параметра |/х> запишем |д) = / dv |v)(v|ju), откуда немедленно получаем соотношение ортонормированности базиса с непрерывным спектральным параметром в терминах дельта-функции Дира¬ ка: (v|jLl) = 5(V-jLl). (1.11) Значит, при предельном переходе от бесконечно счетного (сепарабельного) базиса к непрерывному спектру мы получаем состояния, ненормируемые в стандартном смысле, и приходим к понятию обобщенных функций. Фор¬ мальное и физическое содержание этих понятий подробней обсуждается ниже после введения операторов физических величин. Здесь же отметим, что невозможность нормировать вектор состояния на единицу с учетом физиче¬ ского смысла амплитуды указывает на невозможность практической реали¬ зации соответствующего идеализированного состояния квантовой системы. Например, невозможно перевести точечную квантовую частицу в состояние со строго определенным значением координаты. Тем не менее, во многих случаях использование базиса с непрерывным спектральным параметром формально оказывается и удобным, и полезным в полной аналогии с подоб¬ ным же случаем в теории волн: вряд ли стоит сомневаться в невозможности практического создания идеальной монохроматической волны, но это не мешает использовать разложение реальных волновых пакетов в интеграл Фурье.
26 Тема 1 Принципы квантовой механики С учетом дискретного и непрерывного спектров условие полноты базиса состояний запишется в виде Vmax 1 = 2] WN+ / |v)dv(/i|. (1.12) 1.3. Операторы: эрмитово сопряжение, унитарность Среди операторов А, преобразующих одни векторы состояния в другие, |Ф>Д|ФА): |Фа)=А|Ф), выделяют те, что сохраняют свойство суперпозиции: ^(cl№l) +c2^2)) =cl^№l) +c2^l^2) ^|Ф1>2), их называют линейными1. Например, проекторы, рассмотренные выше, по построению являются линейными. Оператор эволюции £/(t) переводит состояние |Ф) в момент времени t = t0 (для краткости последующих обозначений мы полагаем без ограничения общности рассмотрения t0 = 0) в состояние |Ф(0) в момент времени t, так что \Ш)=Ш\я>). (1.13) Так как U(0 по определению сохраняет суперпозицию состояний, он—ли¬ нейный оператор. Поскольку U (t) сохраняет нормировку состояния на еди- НИЦУ’ (Ф(0|Ф(0) = 1. (1.14) Для произвольного оператора А его действие на вектор состояния в гильбер¬ товом пространстве записывают в виде А|Ф) = |ФА) = \Агр), при этом естественным образом вводят эрмитово сопряженный оператор А* согласно формуле (Ф|АТФ) = (Ф1ЛФ)1 У|Ф), |Ф). (1.15) Это определение в точности согласуется с определением для матриц в ко¬ нечномерном векторном пространстве. Действительно, для двух базисных векторов \п) и \т), если учесть, что эрмитово сопряжение числа совпадает с его комплексным сопряжением, определение эрмитово сопряженного опе¬ ратора переписывается в виде (m|Atn) = (п|Л т)* <=> А*т = (АПтУ, так что в правой части последнего равенства стоит элемент транспониро¬ ванной и комплексно сопряженной матрицы Апт, что и отвечает эрмитову сопряжению этой матрицы. 1Антилинейными называют операторы со свойством + c2|^2)) = ci^l^i) + с2^1^г) У|Ф12), т. е. они заменяют коэффициенты разложения на комплексно сопряженные.
Лекция 1 27 Взяв эрмитово сопряжение (1.15), получим другую запись этого же опре¬ деления эрмитова сопряженного оператора (А+Ф|Ф) = (Ф|ЛФ), У|Ф), |Ф). Тогда действие оператора эволюции можно переписать, используя эрмитово сопряженный оператор (Ф(0|ф(0) = (иш\иш) = (U'www, но с учетом сохранения нормировки (Ф(0|Ф(0) = {Ф|Ф) = 1 У|Ф), получаем операторное равенство (171'(0и(0Ф|Ф) = (Ф|Ф) Ф=> йЮ = 1. Поскольку последнее равенство означает, что эрмитово сопряженный опера¬ тор является и обратным, а также верно и обратное, то для произвольного оператора, удовлетворяющего равенству А*А=АА*=1, (1.16) говорят, что оператор А называется унитарным. Итак, унитарные операторы сохраняют нормировку волновой функции. Согласно этому определению, оператор эволюции является унитарным. 1.4. Наблюдаемые и эрмитовость Среднее значение наблюдаемой величины q в теории вероятности, как мы знаем, записывается как (<1> = 2 ql^Cq) I2=2 q^*(q)^(q). iq} {<J> В дираковских обозначениях эта запись преобразуется к виду (q)=J]q(mW)- iq> Введем для наблюдаемой {q} оператор Q: &\q)=q\q), (1-17) т. е. его действие на вектор состояния, в котором наблюдаемая имеет значе¬ ние q, дает значение этой наблюдаемой в этом состоянии |q). Тогда выраже¬ ние для среднего значения наблюдаемой в произвольном состоянии запишем в виде <д)=2(ф|(2д)^|ф>’ (118) ю
28 Тема 1 Принципы квантовой механики или, с учетом полноты базиса (единичный оператор можно «вставлять» и «со¬ кращать») Х>}<<?1 = 1, {q} найдем наиболее общий вид для среднего наблюдаемой в терминах операто¬ ра О: <?) = (Ф |Q*). (1.19) У наблюдаемой среднее должно принимать только вещественные значения, так что (q) = (q>* ^ <Ф|<гФ) = («да>+. Пользуясь определением эрмитово сопряженного оператора (1.15), запишем равенство = справедливое для любого вектора состояния: У|Ф) е W. В итоге (Ф|аФ)=(Ф|аЧ), и мы получаем операторное равенство1 Q = Qf. (1.20) Такие операторы называются эрмитово самосопряженными или просто эр¬ митовыми. Итак, физическим наблюдаемым отвечают эрмитово самосопря¬ женные операторы. Для эрмитовых операторов F = F* использование определения эрмитова сопряжения дает цепочку (ф|р-ф) =f (F+Ф|Ф) = ^Ф|Ф). Поэтому действие оператора «налево» и «направо» эквивалентно, так что для эрмитовых операторов пишут <Ф|#|Ф> и называют это число матричным элементом оператора F. 1.5. Собственные векторы, дисперсия и непрерывный спектр Для наблюдаемой {q} соответствующий ей эрмитов оператор Q в бази¬ се |q> может быть представлен диагональной матрицей, так как (<Z'lQlq>=qSqV 2Из равенства диагональных матричных элементов оператора и его эрмитово сопряженного оператора следует и равенство недиагональных матричных элементов этих операторов. Дей¬ ствительно, выбирая в качестве состояния |Ф) сначала |Ф) = |Ф) + |Т), а потом |Ф) = |Ф) + i|T) и записывая условие равенства диагональных матричных элементов операторов Q и Q*, легко приходим к равенству (Ф|<2|Т) = (Ф|<2*|Т) У|Ф>, |Т).
Лекция 1 29 где 5(Jtq имеет смысл символа Кронекера в случае дискретного спектра {q} и дельта-функции Дирака для непрерывного спектрального параметра. В произвольном базисе |/), который получается суперпозицией исходного ба- :шса, i/>=2№> (/I/)=Е=5//> iq} {q} Щ iq} матричные элементы оператора составляют, вообще говоря, недиагональ- иую матрицу </lQl/> =2 2 /4*(qlQ|q) =2 ffy * QV)5ff. iq} iq} iq} Основное равенство (1.17), определяющее оператор для наблюдаемой, как мы знаем из линейной алгебры, называется уравнением на собственное значение. Если вектор |Ф) — собственный для эрмитова оператора F, то дисперсия среднего для F равна нулю. В самом деле, дисперсия1 — флуктуация физиче¬ ской величины возле ее среднего значения: (AF)2=f (4'|(F-F)2|'I')j F = ('I'|F|'I'). Но для собственного вектора, нормированного на единицу, £|Ф)=/|Ф) <=> р = (ф|#|ф)=/, (F-F)|Ф) = 0, так что дисперсия равна нулю. Другими словами, если состояние является собственным для заданной наблюдаемой, т. е. в этом состоянии наблюдаемая имеет определенное значение, то дисперсия для среднего этой наблюдаемой равна нулю. Верно и обратное: если дисперсия наблюдаемой равна нулю, то состояние — собственный вектор для этой наблюдаемой. Действительно, в силу эрмитовости оператора для вектора |#) = (F-F)|'I') => ($| = |#>t = (^|(Ft-F) = (^|(F-F), норма (Ф|Ф) = (Ф|(#-Я2|Ф) = (ДР)2 = 0 => (F —F)|'I') = 0, так как вектор имеет нулевую норму, если он сам равен нулю, откуда #|Ф)=£|Ф), а значит, вектор — собственный. Итак, при нулевой дисперсии наблюдаемая не флуктуирует возле среднего, т. е. имеет определенное, точное значение, равное ее среднему в этом состоянии, которое является собственным для наблюдаемой. Наблюдаемая измерима точно, если состояние—собственное. При наличии непрерывного спектра со спектральным параметром v мы, прежде всего, воспользуемся описанной выше процедурой предельного пере¬ хода от сепарабельного базиса состояний |vfc) к состояниям, которые всюду 1 Дисперсией часто называют величину cr(F) = (AF)2.
30 Тема 1 Принципы квантовой механики плотно покрывают область допустимых значений спектрального параметра. Затем отметим, что наблюдаемая N, для которой построенный базис являет¬ ся собственным, tf|vfc)=vfc| vk), в произвольной степени т также удовлетворяет уравнению на собственные значения: tfm|vfc)=vfcm|vfc), а значит, и функция оператора /(N), представимая в виде ряда Тейлора по степеням оператора, дает /(tf)|vfc}=/(vfc)|vfc). Значит, для среднего значения оператора при наличии только непрерывного спектра находим vmax (Ф|/($)|Ф)= lim V(^|/(N)|vfc)Av(vfc^)= j dv |4»(v)|2/(v), (1.21) /V—>00 i i u £—♦0 Vmin откуда заключаем, что Ф(у) = (у|Ф) есть амплитуда плотности вероятно¬ сти p(v) = |^(v)|2 измерения спектрального параметра в бесконечно малой окрестности значения v. Пространство физических состояний непрерывного спектра, которое мы постро¬ или с помощью сепарабельного базиса покрытия области изменения спектрального параметра v счетным числом малых окрестностей1 точек vk в пределе бесконечно малых отрезков (е -> 0) и бесконечного числа точек разбиения N —> оо, обычно обо¬ значают символом Г2. Гильбертово пространство реальных физических состояний, очевидно, содержит в себе всякое пространство состояний с таким счетным разбие¬ нием отрезков непрерывного спектрального параметра, т. е. Н 2 П. По сути, гильбертово пространство физических состояний и при наличии непре¬ рывного спектра является сепарабельным, что отвечает физической процедуре изме¬ рений, в которой приборы всегда обладают конечным разрешением для непрерывных переменных. Это свойство является важным, поскольку верно следующее математиче¬ ское утверждение: гильбертово пространство является сепарабельным тогда и только тогда, когда оно обладает ортонормированным счетным базисом. Эта теорема позво¬ ляет строго обосновать введенное выше требование сепарабельности пространства физических состояний в качестве одного из постулатов, устанавливающих связь меж¬ ду понятийным и формальным аппаратом квантовой теории. Именно, физические наблюдаемые принимают определенные значения на счет¬ ном числе нормированных квантовых состояний, по которым можно построить су¬ перпозиции произвольных допустимых квантовых состояний, т. е. имеется счетный нормируемый базис. При этом по физическому смыслу такие состояния ортогональ¬ ны. В самом деле, скалярное произведение двух таких состояний определяет амплиту¬ ду (плотности) вероятности обнаружить в состоянии с заданным точным значением наблюдаемой величины ее же с другим, отличным от заданного значением, так что *Как говорил Кронекер: «Бог создал натуральные числа, все остальное выдумал человек», — нанося чувствительный удар по авторитету Вейерштрасса с его анализом бесконечно малых.
Лекция 1 31 ,тга амплитуда, очевидно, должна обращаться в нуль. Это свойство означает, между прочим, что пространства кет-векторов Н и бра-векторов Н по своей структуре ннляются эквивалентными, т. е. Н = Н, поскольку они совершенно эквивалентно определяют друг друга с помощью скалярного произведения которое мож¬ но рассматривать и как линейную комплекснозначную функцию бра-типа ТС2 над произвольными кет-элементами Нъ и как линейную комплекснозначную функцию кот-типа Hi над произвольными бра-элементами Н2- Ситуация кардинально меняется при рассмотрении скалярного произведения как билинейной операции над пространством Г2: {|П2>, (fi2l^ib определяющей и элементы пространства бра-векторов (П2| ей, поскольку такая операция уже при¬ нимает значения в пространстве комплекснозначных обобщенных функций, т. е. функциональных операторов. Так как обычные комплекснозначные функции явля¬ ются подмножеством обобщенных функций, находим, что Й2Й, т. е. пространство бра-векторов П шире пространства реальных физических состояний. Такая детально описанная нами явно конструкция из трех пространств состояний ПС.'Н = 'Н^й и математике называется оснащенным гильбертовым пространством (rigged Hilbert space), которое представляет собой идеализацию реального пространства состояний квантовой механики в пределе бесконечно точного измерения непрерывных спек¬ тральных параметров1. 1.6. Коммутатор Поскольку разным операторам наблюдаемых Q, F, ... соответствуют мат¬ рицы, умножение операторов, вообще говоря, может быть неперестановоч- HO: А А А А Q-F^F-Q,... В этом случае вводят определение коммутатора операторов [Q,P]=Q-P-P-&. (1.22) Очевидно, что коммутатор — антисимметричен [&£] = -[£,&, — линеен по сумме операторов [&+р,р]=[й,р]+[Р,р-\ — и удовлетворяет тождествам Якоби2 [& [Р, F]] + [Р, [F, Q]] + [F, [Q, Р]] =0. Для эрмитовых операторов _ A A J. ^ Л А А А ^ 4. AJ. Л J. A 1 А1 А Л А А _ Л А. [Q, FV = (Q'F-F-Q^=F^-Q1f-Qt-Fi=F-Q-Q-F = -[Q, F]. 1Благодаря основополагающим работам Пуанкаре знатокам математических тонкостей должно быть совершенно ясно, что само понятие непрерывности неразрывно связано с нали¬ чием окрестности точки в топологическом смысле. 2Векторное пространство (определены сложение элементов и умножение элементов на число), снабженное билинейной операцией с перечисленными свойствами, носит название алгебры Ли.
32 Тема 1 Принципы квантовой механики Здесь мы использовали выражение для эрмитова сопряжения произведения операторов: * * A A J. А1 Л 1 (Q-F)t = Ft-Qt, которое легко доказать, последовательно пользуясь определением эрмитова сопряжения: (Ф|(Q-F)%) = (Q - РФ|Ф) = (F<£|Qt^) = ($|Ff • Q4) У|Ф), |Ф). Итак, эрмитово сопряжение коммутатора эрмитовых операторов дает [Q, F]f = -[Q, F], поэтому, используя очевидное тождество для мнимой единицы if = i* = — i, вводят обозначение [Q,F] = ihC, где h — постоянная Планка «с чертой»: й = й/(2тг), a C = Ct — некий эрмитов оператор, так что (тсУ = -тс, что и требовалось по построению. Значит, коммутатор эрмитовых опера¬ торов выражается через другой эрмитов оператор с точностью до мнимой единицы. Для линейных операторов, с которыми мы имеем дело в квантовой меха¬ нике, комплексные числа выносятся из-под знака действия оператора: Fc = cF, се С. Это эквивалентно, в наших обозначениях, тому, что комплексные числа ком¬ мутируют со всеми линейными операторами: [с, F] = 0. Отсюда немедленно следует, что коммутатор линеен по сумме операторов с произвольными комплексными коэффициентами [ClQ + с2Р, F] = сг [Q, F] + с2 [Р, F]. Кроме того, сдвиг оператора на комплексное число не меняет его коммута¬ тор: [Q + с, F] = [Q, F]. 1.7. Соотношение неопределенностей Рассмотрим эрмитовы операторы А=At, В=В* со сдвигом на их средние значения в заданном состоянии |Ф) а = А-А, Ь = В-В: Л= <Ф|А|Ф>, В = (Ф|В|Ф).
Лекция 1 33 Коммутатор операторов [А, В] = i ПС после сдвига не изменяется, так что [a, b] = ihC. Средние «маленьких» операторов по построению равны нулю: (Ф|а|Ф) = (Ф| (А - А) |Ф) = О, (Ф|Ь|Ф) = (Ф| (В - В) |Ф) = О, в то время как их дисперсии совпадают с дисперсиями «больших» операто¬ ров, к примеру: (Да)2 = (Ф|а2|Ф) = (Ф|СА-Л)2|Ф) = (ДА)2, и аналогично для Ь. Составим вектор1 |Ф) = (а-1^)|Ф), £еЕ—вещественное число, и найдем его неотрицательную норму (Ф|Ф>^0, <Ф|(а - i£b)+(a - ^Ь)|Ф) = (Ф|{а2 - i £(аЬ - Ъа) + ?2Ь2}|Ф) ^ О ввиду эрмитовости операторов, что с учетом коммутатора [а, Ь]=ШС дает полином по £2 (Д В)2+П(С) I + (ДА)2 ^ 0. Другими словами, это квадратное уравнение по ^ либо не имеет веществен¬ ных корней, либо два вещественных корня совпадают. Такая ситуация имеет место тогда и только тогда, когда дискриминант неположителен V^O <=> Й2(С)2-4(ДА)2(ДВ)2^0. Отсюда получаем соотношение неопределенностей для дисперсий (флуктуа¬ ций) наблюдаемых (эрмитовых) величин АиВ ДАДВ^||(С)|, или ДАДВ^||([А,В])|, (1.23) которое называют еще соотношением неопределенностей Гейзенберга. Та¬ ким образом, если наблюдаемым величинам АиВ отвечают эрмитовы опера¬ торы, коммутатор которых не равен нулю, так что в заданном состоянии |Ф) и среднее от коммутатора не равно нулю, (Ф|С|Ф) ^0, то эти величины не могут быть совместно измерены точно: если дисперсия одной наблюдаемой стремится к нулю, то значение флуктуаций другой становится бесконечно большой, либо каждая из этих величин имеет конечную неопределенность. Проведенное построение носит название метода Вейля.
34 Тема 1 Принципы квантовой механики В итоге не все величины могут совместно входить в полный набор на¬ блюдаемых, характеризующих состояние частицы, так как по построению в квантовой механике состояние частицы задается амплитудой вероятности того, что частица имеет точные значения наблюдаемых в допустимой обла¬ сти. Очевидно, что соотношение неопределенностей минимизируется, если детерминант равен нулю и существует единственный вещественный корень для параметра £; = у е R. При этом значении параметра составленный нами вектор состояния |Ф) имеет нулевую норму, а значит, и сам он равен нулю, |Ф) = 0, т. е. (a-iyb)|Ф) = 0 <=> (Л-Л)|Ф) = 1‘г(В-В)|Ф), уем. (1.24) Примечательно, что это уравнение линейно по операторам наблюдаемых величин. Равенство нулю детерминанта определяет значение у, так как урав¬ нение принимает вид И2 (С)2?2+4(АА)2 (С) I + 4(ДЛ)4 = О с единственным корнем r=“2Wi =» lrl = fs- а25) Поскольку для заданного состояния (С) — некоторое число, то физический смысл параметра у сводится к тому, что он пропорционален дисперсии на¬ блюдаемой А. Вообще говоря, вероятностные характеристики в приведенных выше уравнениях с минимизацией неопределенностей могут зависеть от времени, так как само состояние эволюционирует. Особо выделяют случай, когда средние и дисперсия сохраняют свои значения. Тогда говорят, что имеет место когерентное состояние, так как минимизированные флуктуации на¬ блюдаемых не изменяются со временем. 1.8. Гипотеза де Бройля: координата и импульс Рассмотрим простейшую классическую систему—частицу с обобщенной координатой q и канонически сопряженным ей импульсом р. В рамках га¬ мильтонова формализма динамика классической частицы полностью задает¬ ся гамильтонианом H(q, р; t). Квантовая система полностью характеризует¬ ся амплитудой вероятности найти частицу в заданной точке Ф^) и зависи¬ мостью этой амплитуды от времени. Другими словами, построим квантовую систему, взяв в качестве базиса набор состояний \q) и задавая корректные правила вычисления оператора эволюции и вероятностных характеристик импульса (среднее, дисперсия, другие флуктуации). Поскольку базис состоя¬ ний фиксирован, имеет смысл все рассуждения проводить в терминах ампли¬ туды вероятности ^|Ф) = Ф(д), так что для операторов введем представления в этом базисе <д|д|Ф> = 4,Ф(д), <д|р|Ф> =#q*(q),
Лекция 1 35 где операторы в координатном представлении действуют на пси-функцию, стоящую справа от них, причем ввиду (q\q = q{q\ получим qq=<z, т, с. в координатном представлении оператор координаты — просто число, рпиное значению этой координаты. Вид оператора импульса в координатном представлении определим согласно принципу соответствия. В классическом пределе квантовой системы, когда многократное повторе¬ ние опытов с частицей аналогично наблюдению за ансамблем таких частиц с пренебрежимо малыми флуктуациями средних значений наблюдаемых, вви¬ ду корпускулярно-волнового дуализма необходимо получить согласованное совместное описание системы и как потока частиц, и как интерферирующих иолн материи. Поэтому, с одной стороны, классическая система описывается в рамках гамильтонова формализма, так что dq_dH dp _ дН dt “ Эр’ dt—lj’ (L26) или в терминах действия S(q,t)= f {pdq-Hdt}, QoJo так что имеют место уравнения Гамильтона—Якоби Щ=Р, f = (1.27) С другой стороны, волны материи, как в теории распространения света, могут описываться лучами, т. е. опять же траекториями корпускул с малыми флуктуациями, в рамках геометрической оптики с помощью принципа Гюй¬ генса, который утверждает, что фаза волны Ф(д, 0^е1ф задается формулой Ф= J {fcdq-codt}, <2o»fo где о> — фазовая частота волны, а к = 2п/Х—волновое число (или волновой вектор), и Я —длина волны, которая зависит от частоты v = со/(2п) и ско¬ рости распространения волны v: X=v/v. Эта фаза определяется принципом стационарности, сформулированным Ферма, 5Ф = 0, в полной аналогии с принципом наименьшего действия для классических частиц 5S = 0.
36 Тема 1 Принципы квантовой механики Указанная аналогия действия классической частицы и фазы волны в гео¬ метрической оптике приобретает особенно простую форму в случае движе¬ ния свободных частиц и лучей, так как при таком движении сохраняются энергия+импульс и частота+волновой вектор соответственно, так что S и Ф легко получить в явном виде: S = pq-Et, Ф = kq — cot. Подобие этих функций приводит к введению универсального, единого для всех физических систем постоянного фактора Й, имеющего размерность дей¬ ствия, так как фаза безразмерна. Тогда запишем ф = \s, (1.28) так что в случае свободного движения немедленно получим соотношения де Бройля: Е = hco, р = hk, (1.29) которые обобщают связь энергии с частотой, установленную Планком в ра¬ боте о спектре излучения абсолютно черного тела и Эйнштейном в теории фотоэффекта. Поскольку в классическом приближении волны материи тождественны волнам амплитуды вероятности, находим пси-функцию в приближении гео¬ метрической оптики (т. е. классического описания) ф(дд)?^с=е»5(<,’°. (1.30) Тогда из уравнений Гамильтона—Якоби (1.27) следует, что в координатном представлении для оператора импульса имеем цепочку равенств pqФ(д, О = ^-^(q, О = t). (1.31) Поэтому положим, что />,—!»£ аз» в операторном смысле. Кроме того, уравнения Гамильтона—Якоби определяют и эволюцию вол¬ новой функции, потому что, во-первых, дифференцирование дает Цф(<?> 0 = -ihfte^ “ t), (1.33) а во-вторых, из уравнений следует ih^Vtq, О =H(q, Pq, t)*(q, О, (1.34) где Я — оператор гамильтониана, так как в нем в качестве аргумента сто¬ ит оператор импульса. Дифференциальное уравнение эволюции (1.34) на¬ зывается уравнением Шрёдингера. Обобщение операторных соотношений с классического приближения на общий квантовый случай требует проверки
Лекция 1 37 основных требований корректности, предъявляемых к операторам импульса и гамильтониана. Покажем, например, что оператор импульса эрмитов на функциях, доста¬ точно быстро убывающих на бесконечности. Согласно общему определению эрмитова оператора следует показать, что (Ф|рФ>=(рФ|ф>- И координатном представлении запишем J dq Ф* (q){—ifi}^/(q) = (интеграл по частям) = = -J dq$,*(q){-iftWq) = J dq ч то и требовалось доказать. При этом в ходе выкладок мы полагали, что интегралы сходятся, а функции на концах интегрирования равны нулю, что гарантирует корректность применения интегрирования по частям. Найдем коммутатор координаты и импульса. Действуя на пси-функцию, запишем Ид, Pqmq)=qi-m±*(.q) -{-ift^q'Kq) = = q{-ift}^*(q)+q{ift}^*(q) + {ift}*(q), так что [qq> РдЖ q) = ifi«f(q), и в операторном виде = (1.35) Тогда из общих соотношений неопределенностей (1.23) для случая координа¬ ты и импульса с оператором С = 1 получим AqAp^f. (1.36) Заметим, что собственные функции оператора импульса в координатном представлении найти очень легко: очевидно, это экспоненты Фр^)~е-»и, которые подчинены условию нормировки на дельта-функцию Дирака / dq ^*,(q)^p(q)~5(p-p0. Однако следует обратить внимание на то, что эти функции не принадлежат пространству квадратично интегрируемых волновых функций и поэтому не описывают физически реализуемые состояния квантовых частиц. Это видно и из соотношения неопределенностей: в таких состояниях частица имела бы бесконечную неопределенность координаты. Таким образом, для корректно¬ го решения спектральной задачи для импульса надо использовать описанную выше конструкцию «оснащенного гильбертова пространства».
38 Тема 1 Принципы квантовой механики Что касается гамильтониана, то в простых случаях, таких как свободное движение или движение в потенциальном поле, его квантовое обобщение вполне однозначно. Проблемы возникают в двух обстоятельствах. Во-первых, у классической физической системы вклад в га¬ мильтониан могут давать члены с произведениями координат и импульсов. Например, что неэквивалентно, так как операторы не коммутируют, и это обычно назы¬ вают проблемой упорядочивания некоммутирующих операторов при кван¬ товании классической системы. Каждый способ упорядочивания может ока¬ заться корректным, так что при квантовании классической системы могут быть сформулированы различные квантовые обобщения. Во-вторых, классическая система может включать в себя связи. Квантова¬ ние систем со связями также можно провести в общем случае, но простей¬ шим является тот, в котором связи разрешаются в явном виде до квантова¬ ния. Такое разрешение связей в явном виде не всегда возможно и удобно, поэтому в квантовой механике разработана общая процедура квантования систем со связями. Скобки Пуассона, флуктуации, каноническое квантование, производная опе¬ ратора по времени, динамическое уравнение для оператора эволюции и его решение, теорема Эренфеста, совместная измеримость наблюдаемых, полный набор, принципы квантовой механики в картине Шрёдингера, спектральная задача, стационарное уравнение Шрёдингера и уровни энергии. В классической механике физические величины как функции обобщен¬ ных координаты q и импульса р удовлетворяют динамическим уравнениям Гамильтона. Действительно, если /=/(q, р, t), то H(q,p) = ^ + V(q) qp => qp или pq Лекция 2 2.1. Канонический формализм квантования (2.1) где, как обычно, точка над символом означает производную по времени на траектории. Пользуясь уравнениями Гамильтона для производных по време¬ ни координаты и импульса (1.26), находим
Лекция 2 39 Для выражения в фигурных скобках вводят термин — скобка Пуассона: для дмух величин / и g Xf = — (2 3) dqdp dpdq3 1J глк что % = |+(/, H>p. (2.4) Наш величины / и g не зависят от времени явно, то скобка Пуассона возника¬ ет также и при рассмотрении следующих вариаций переменных. Допустим, что дифференциал / обращается в нуль: d/ = |d4 + |di’=°- Тогда для дифференциала g находим dg=Mdq+^dp=dq{^£Z_^i£/l 1 , 6 dq 4 dp F 4 \ dq dp dp dq) df/dp ’ •r. e. dg = dq{g,/>P^. Заменяя символы дифференциалов на флуктуации, получаем 5g5f^{g,f}р 5q 5р. (2.5) Вводя стандартное обозначение для элемента фазового объема системы ДГ = 5q 5р, находим 5g5f*{g,f} РДГ, (2.6) т. е. произведение флуктуаций наблюдаемых величин в классике пропорци¬ онально их скобке Пуассона и флуктуации фазового объема системы, име¬ ющего размерность действия. Этот факт следует сравнить с результатом анализа соотношения неопределенностей в квантовой механике. Для кван¬ товых операторов тех же наблюдаемых произведение дисперсий задается коммутатором: AgAfc*\[gJ] |. (2.7) Аналогия становится явной, если применить приведенный анализ непосред¬ ственно к координате и импульсу, для которых {q,p}Р = 1 [q,p] = ift, так что, полагая ДГ^Й, находим, что классические и квантовые флуктуации согласуются, если считать, что квантовый коммутатор можно построить из соответствующей скобки Пуассона для классических наблюдаемых: [/, Я = {/,*}?• У*. (2.8)
40 Тема 1 Принципы квантовой механики Это соответствие скобки Пуассона и коммутатора было предложено в каче¬ стве процедуры канонического квантования1 Дираком. Отсюда, например, автоматически получаем уравнение, задающее производную оператора по времени согласно (2.4), умноженному на фактор Ш, = + (2.9) которое называют уравнением Гейзенберга. 2.2. Оператор эволюции Зависимость состояния от времени согласно уравнению Шрёдингера т±\т))=А\ш), (2.Ю) как мы установили выше, можно переписать в терминах оператора эволю¬ ции U (t): |Ф(0) = 0(0|Ф) У|Ф)<Е7*. Действительно, подставляя определение оператора эволюции в уравнение Шрёдингера при произвольных допустимых корректных начальных услови¬ ях, находим ih^-U=HU => -ihjrtP^A, (2.11) ot ot где мы использовали эрмитову самосопряженность гамильтониана, причем 0(0) = 1, так как в начальный момент времени исходное состояние преобразуется само в себя. Для бесконечно малого смещения dt получим U(dt) = 1 - dt + 0(dt2) = е~*й dt + 6>(dt2). При этом мы ввели общее определение функции от оператора в виде разло¬ жения Тейлора по степеням операторного аргумента. Решение дифференциального уравнения для оператора эволюции легко найти в случае, если гамильтониан не зависит от времени, так что иЮ=е-*ЙС, (2.12) при этом оператор эволюции и гамильтониан коммутируют и в исследуемом уравнении с ними можно обращаться как с числами. Если же гамильтониан зависит от времени, то осложнения возникают из-за того, что в разные моменты времени гамильтониан не коммутирует сам с собой: *В уравнении (2.8) в левой части стоят операторы, а в правой классические величины, которым необходимо придать операторное значение. Здесь мы опять сталкиваемся с проблемой упорядочивания, если только ситуация не является простой и скобка Пуассона наблюдаемых не равна числу, как в случае с координатой и импульсом.
Лекция 2 41 В подобной ситуации можно поступить следующим образом. Разобьем интервал интегрирования [0, t] на N малых отрезков. Тогда, пренебрегая изменением гамильтониана за время от tk до tfc+1, посредством малых сме¬ щений получим, что °<0=й1. С1 - dt) - яй('1>dt)=П *>• к=1 где символ f означает упорядочивание по времени: каждый фактор зависит от момента времени, большего, чем времена справа, и меньшего, чем времена слева. Такой предел (если он существует вне зависимости от разбиения) обозначают символом «Т-экспоненты»: U(t) = t{е- / i6(f) dt}. (2.13) Конечно, если гамильтониан не зависит от времени, то мы возвращаемся к обычному выражению экспоненты в (2.12). Найдем производную по времени среднего значения физической наблю- даемой / (q, р, t): 1й£(Ф(0|/|*(0) = ih±(*\u4t)fu(t№ = •г. е. ift£(*(t)lM(t)> = <*(0|{iftf£ + [/, Я]}|Ф(0>, так что, определяя производную оператора по времени как ihftf = ih& + [f,H] (2.14) и согласии с каноническим квантованием, находим, что среднее от произ¬ водной по времени наблюдаемой равно производной по времени от среднего значения наблюдаемой: /d/\ _d(/) \dtl dt * 2.3. Теорема Эренфеста Проведенное рассмотрение производной среднего значения оператора в сочетании с каноническим квантованием физической системы позволяет установить простое, но важное соотношение. Действительно, для координа¬ ты и импульса, которые не зависят явно от времени, в квантовом случае имеем = {[q, Я]) = ift(iq, Я}р) = ift ( ^ ) И in^ = ^А]> = Щ{р, Я}р) = - iй ( f|) >
42 Тема 1 Принципы квантовой механики где в конце цепочек равенств стоят средние от операторов, которые получа¬ ются из соответствующих классических выражений подстановкой операто¬ ров координаты и импульса, скажем, в координатном представлении. В итоге динамика средних значений координаты и импульса определяется средними значениями скорости и сил: что и составляет содержание теоремы Эренфеста. Значит, каноническое кван¬ тование гарантирует, что в случае, когда дисперсии несущественны, динами¬ ка квантовой системы в среднем в точности совпадает с динамикой исходной классической системы, и требования принципа соответствия квантовой и классической систем автоматически удовлетворяются при каноническом квантовании. Поскольку по построению квантовой механики амплитуда вероятности задает вероятность того, что наблюдаемые имеют некоторые точные зна¬ чения, пары некоммутирующих наблюдаемых ввиду соотношения неопре¬ деленностей не могут совместно входить в состав аргументов амплитуды вероятности: если значение одной из таких наблюдаемых точное, т. е. ее дисперсия равна нулю, то другая наблюдаемая флуктуирует, а значит, ее значение не является точным. Другими словами, невозможно определить Покажем, что, если две наблюдаемых / и g точно измеримы совместно, то их коммутатор равен нулю. В самом деле, мы уже вывели выше, что если наблюдаемая измерима точно, то состояние является для нее собственным вектором, а значит, в рассматриваемом нами случае которые с учетом возможности наличия и других квантовых чисел состав¬ ляют полный базис состояний в гильбертовом пространстве. Поэтому ра¬ венство нулю коммутатора на базисных векторах означает его операторное равенство нулю: lf,g] = 0. Если теперь коммутатор наблюдаемых равен нулю, то базис состояний можно выбрать так, что наблюдаемые измеримы точно. Действительно, пусть (2.15) 2.4. Полный НАБОР НАБЛЮДАЕМЫХ откуда = (&-*/)№> = 0. Значит, состояние характеризуется парой собственных значений |ф> = !/,*>,
Лекция 2 43 состояние является собственным для наблюдаемой /: Рассмотрим состояние Носпользуемся коммутативностью / и g в цепочке равенств №*))=&№)=&№=№№)), т. е. состояние £|Ф) — собственное для наблюдаемой /. Здесь возникают две иозможности. Во-первых, собственное состояние может быть невырождено, т. е. данно¬ му собственному значению отвечает единственный вектор |Ф) = |/). Тогда g|/) = const|/), где значение постоянной, очевидно, задает собственное значение наблюда¬ емой g в этом состоянии, так что обе наблюдаемых измеримы точно в этом состоянии с квантовыми числами / и g: |Ф) = |/, g). Во-вторых, состояние может быть вырожденным: заданному собственно¬ му значению отвечает набор собственных векторов, который мы пометим индексом а, так что |Ф) = |/, а). Тогда действие оператора g дает вектор из того же подпространства: g\f, а) = сар\Г,Р), где подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу р. Однако из эрмитовости оператора g = g* следует эрмитовость матрицы с: caj9 =c^a, гак что эту матрицу можно диагонализовать, т. е. перейти от базиса векто¬ ров |/, а) к базису собственных значений матрицы |/, Я{), в котором ^1/, Я£)=Я£|/, Я£>. Последнее равенство означает, что А* — собственные значения g, и мы по¬ строили базис, в котором пара коммутирующих наблюдаемых измерима сов¬ местно. Таким образом, полный набор наблюдаемых квантовой системы состав¬ ляет максимально возможное множество функционально независимых по¬ парно коммутирующих физических величин, характеризующих заданную си¬ стему. В частности, полный набор после квантования могут составлять обобщен¬ ные координаты классической системы1, в то время как канонически сопря¬ женные им импульсы составляют полный набор дополнительных перемен¬ ных. Из проведенного доказательства следует, что мы не можем расширить такой набор наблюдаемых координат добавлением одного из канонически Подчеркнем, что мы ограничиваем себя случаем систем без связей, которые приводят к функциональной зависимости между наблюдаемыми величинами, например между обобщен¬ ными координатами.
44 Тема 1 Принципы квантовой механики сопряженных импульсов, так как он не коммутирует со своей координатой. Но мы можем попарно заменять переменные координат и импульсов в до¬ полнительных наборах переменных. Отметим также простое свойство базисных векторов состояний: собствен¬ ные вектора наблюдаемой с различными собственными значениями ортого¬ нальны. В самом деле, действуя эрмитовым оператором в скалярном произ¬ ведении направо и налево, находим для /1Л)=Л1/>, /1Л>=Л1/> => (Л1/1Л) =Л</21Л) =/2<Л1Л>, и если /j Ф/2, то (/21Л)=о. 2.5. Аксиоматика Суммируем, наконец, в сжатом виде основные положения квантовой ме¬ ханики в форме Шрёдингера. Пусть дана классическая система, которая допускает гамильтоново описа¬ ние в терминах обобщенных координат {q} и сопряженных им импульсов {р} с гамильтонианом Я (q, р, 0 без связей. Постулат 1. Принцип суперпозиции. Квантовое состояние системы в мо¬ мент времени t—вектор гильбертова пространства: |Ф(t)) еН. Постулат 2. Наблюдаемые. Физическим величинам, построенным из обобщенных координат и импульсов, соответствуют наблюдаемые—эрмито¬ вы линейные операторы, действующие в гильбертовом пространстве состоя¬ ний, причем коммутационные соотношения для наблюдаемых определяются согласно формализму канонического квантования по скобкам Пуассона в ис¬ ходной классической системе. Постулат 3. Полнота описания. Среди наблюдаемых существует пол¬ ный набор {/}—максимальный набор функционально независимых взаимно коммутирующих наблюдаемых, так что собственные вектора для полного набора наблюдаемых образуют базис в гильбертовом пространстве: |f)en: |ФЮ>=2|/)(/|Ф(0>. (2.16) {/} Выбор полного набора неоднозначен, что определяет свободу различных представлений квантовомеханической системы. Постулат 4. Динамика. Эволюция вектора состояния по времени задает¬ ся уравнением Шрёдингера т^|Ф(0)=Н(4,р,С)|Ф(0>, (2.17) при этом решается спектральная задача—определяется область допустимых собственных значений полного набора наблюдаемых, среди которых выде¬ ляют: 1) квантовые числа п — дискретные значения наблюдаемых, 2) спек¬ тральные параметры v— непрерывные значения наблюдаемых; {/} = {п, v}:
Лекция 2 45 4'„(v, t) = (п, у|Ф(£)). Квантование, т. е. дискретная область значений на- Олюдаемой, отвечающей непрерывной переменной в классической систе¬ ме, возникает как следствие корректного решения уравнения Шрёдингера: решения должны принадлежать гильбертову пространству состояний, что п мависимости от свойств системы может иметь место только при дискретных шачениях классических физических величин. Постулат 5. Физический смысл — вероятностная интерпретация. Ам- 11литуда вероятности Фп (v, t) = (n, v | Ф (£)) определяет плотность вероятности но спектральным параметрам v и долю вероятности по квантовым числам п: dwn = |ФП(v, О|2 dv, (2.18) е нормировкой вероятности на единицу: 2/dv|«n(v,t)|2 = l, (2.19) П где гг и v могут быть многомерными. Принцип соответствия. Динамика средних значений наблюдаемых кван¬ товой системы в пределе малых флуктуаций (предел больших квантовых чисел) тождественна динамике соответствующих физических величин клас¬ сической системы. Принцип соответствия также можно отнести к системе постулатов, ес¬ ли не оговаривать заранее способ квантования. Однако, как мы видели, при каноническом квантовании имеет место теорема Эренфеста, так что принцип соответствия, по сути, доказывается как следствие введенной нами аксиоматики. Итак, если волновые свойства физического объекта-состояния полностью определяются вероятностной трактовкой гильбертова пространства состоя¬ ний, то природа дискретности в квантовой механике двойственна: во-пер- ных, первичные объекты, частицы, уже сами по себе кванты, так как ча¬ стица либо присутствует в системе, либо ее в ней нет1; во-вторых, по своей структуре динамическое уравнение в квантовой механике может приводить 1 Представление о частице как объекте квантовомеханического описания вполне естествен¬ но в нерелятивистской теории по самому построению физической системы, но оно остается справедливым и при квантовании релятивистской теории классических полей, где введение частиц уже выглядит менее тривиально и, по сути, может означать добавление дополнительного постулата о возможности «корпускулярной интерпретации» результатов измерений, производи¬ мых над квантовыми системами с помощью макроскопических измерительных приборов. Речь фактически идет о принципе дополнительности Бора, который до сих пор по-разному трактуется различными авторами и иногда сводится просто к рассуждениям о ключевой роли соотношения неопределенностей Гейзенберга. С нашей точки зрения этот принцип в развернутом виде звучит следующим образом: реальные физические приборы измеряют матричные элементы наблюда¬ емых величин для квантовой системы частиц в вероятностном смысле при многократном по- нторении опытов с идентичными состояниями системы. Эти измерения позволяют определить зависимость матричных элементов от времени, которая находится в согласии с принципом де¬ терминизма и уравнениями эволюции. Вероятностные характеристики измеряемых матричных элементов связаны между собой в соответствии с соотношениями неопределенностей. Поэтому
46 Тема 1 Принципы квантовой механики к дискретности точных значений наблюдаемой, которая рассматривалась как непрерывная переменная в классике. Это второе свойство, обусловлива¬ ющее динамическое квантование, и есть центральная проблема квантовой механики. 2.6. Консервативные системы и спектральная задача, вакуум Квантовая система называется консервативной, если ее гамильтониан не зависит явно от времени: H=H(q, р). Тогда энергия системы—сохраняюща¬ яся величина, так как т^ = [А,н]=о. Уравнение Шрёдингера с определенным значением энергии Йг|Ф(0)=В|Ф(0) (2.20) принимает вид ift^|*(t)>=fi|*(t)>. (2.21) Последнее уравнение легко интегрируется: |Ф(0) = е“*а|Ф), (2.22) где |Ф) — вектор состояния, не зависящий от времени. Если рассмотреть плотность вероятности для непрерывной наблюдаемой q р(.ч)=\№т2=\(т\2=\*т2, то, как видим, она не зависит от времени, т. е. профиль распределения для стационарного состояния не изменяется со временем. Уравнение (2.20) на собственные значения гамильтониана, не зависящего от времени, называется стационарным уравнением Шрёдингера. В коорди¬ натном представлении <q|A|*(t)> =Hq(q\nO) =Hg^(q, О с учетом сокращения зависящего от времени фактора в обеих частях уравне¬ ния (2.20) получим Hq^(q)=E^(q). Решение стационарного уравнения Шрёдингера определяет спектр состоя¬ ний, которые тем самым дают решение спектральной задачи — фиксируют область допустимых точных стационарных значений полного набора наблю¬ даемых. В стационарных состояниях энергия принимает точные значения, т. е. имеет нулевую дисперсию, так как эти состояния — собственные. Но это не полное знание о системе, формируемое при измерениях, предполагает дополнительность са¬ мого процесса измерения для величин, совместно не измеримых. Принцип дополнительности представляет собой согласованное объединение понятий детерминизма и корпускулярно-веро¬ ятностной трактовки концепции измерения в квантовой механике.
Лекция 2 47 чтчит, что у системы в общем случае не может быть энергий вне стационар¬ ных уровней. Действительно, можно построить суперпозицию, скажем, двух собственных состояний с разными энергиями (а значит, двух ортогональных состояний): Viq, t) =c1e-»Blt4'1(q) + c2e~hE^^2(.q), \сг\2 + |c2|2 = 1. Средняя энергия такого состояния (А) = |с1|2Б1 + |с2|2£2^£1>2, но в этом состоянии профиль распределения вероятности меняется со време¬ нем, так как |Ф(д, t)|2 = |)с1Ф1(д)|е-н^-^+1д“-№+1д^ + |с2Ф2(д)||2, где Да12(д) — разность комплексных фаз первого и второго состояний в су¬ перпозиции, а Д/312 — разность комплексных фаз постоянных коэффициен¬ тов съ с2. Поэтому интерференционная картина двух амплитуд зависит не только от координат q, но и от времени. Важнейшим понятием консервативной системы является вакуум — состо¬ яние с минимальной конечной энергией. Существование такого состояния является, по сути, еще одним постулатом квантовой механики: если энергия стационарного состояния неограничена снизу, то такая система считается несовместной с квантовой теорией, и, следовательно, само существование подобной системы запрещено. Энергия вакуума Evac является минимально допустимой средней энергией квантовой системы одинаково в стационарном или нестационарном состоя- пии: {Е)^Ечас. Задача 1.1. Найти стационарные уровни энергии частицы в потенциальном од¬ номерном ящике: Г О, 0<х<а, У(*) = < ( оо, х^а, х^О, м также их волновые функции, средние значения координаты, импульса, их дисперсии и сравнить с классическими выражениям для этих средних и флуктуаций. Решение. Потенциал в этой задаче показан на рис. 1, где мы полагаем, что потенциальные барьеры слева и справа от ямы стремятся к бесконечности, образуя тем самым потенциальный ящик, вне которого волновая функция обращается в нуль: гф(х^О)='ф(х^ а) = 0. Волновая функция, определяющая локальную плотность вероятности, должна быть непрерывна. Поэтому 0)=-ф(а) = 0, а стационарное уравнение Шрёдингера в интервале 0 < х < а -^гр"=Бгр, Е> О, имеет решения в виде h2k2 'ф 00 = Сг sin(foc) + С2 cos (foe), —— =Е.
48 Тема 1 Принципы квантовой механики Однако условие зануления волновой функции на концах интервала приводит к усло¬ виям ka = nn, n€ N, С2 = 0. (2.23) Это определяет дискретные значения квантованной энергии, которая принимает 2т а2 задающие среднее значение квадрата импульса частицы на n-м уровне {р2) = {2тЕп) = ^п2п2. Волновые функции принимают вид грМ = С1 0 <х<а. Нормированное на единицу решение получается, если положить Заметим, что условие (2.23) означает, что в потенциальном ящике укладывается целое число полуволн, поскольку волновой вектор к связан с длиной волны Я соот¬ ношением к = 2п/Х, так что а/Л = п/2. Средние значения координаты и ее квадрата после простейшего интегрирования <*> = Jd* 1Р2Ш = §, (х2) = f dx 1/>2(х)х2 = £- которые можно сравнить со средними в классической теории, где частица совершает периодические движения со скоростью v: е=!ТГ' т=Т■ *Ю={И' г Т\ °<tS2' так что Mclass = h J dt X(0 = (-^2) class = I J dt *2(0 =
Лекция 2 49 Кик видим, и в квантовой механике, и в классической частица в среднем находится н центре потенциального ящика, а флуктуации возле среднего определяются диспер¬ сией (Ах2) = {(х - (х))2) = (х2 - 2х(х) + (х)2) = (х2) - (х)2, •гп к что в квантовом случае (Дх)2= — и дисперсия стремится к классическому выражению при больших квантовых числах п -► а> в согласии с принципом соответствия. Поскольку среднее значение импульса ривно нулю: а а а (р) = J dx\j)(x){—ih\p/(x)}=—{-ift}/ dxrsin(bc) cos (/ос) = -ih- J dx sin(2foc) = 0, о a о a о дисперсия импульса равна среднему от его квадрата (Ар)2 = (р2) = (2 тЕп) = ~2 п2п2, а произведение неопределенностей для координаты и импульса— (Дх)2(Др)2 = £ (я2 п2 -6)2^, что согласуется с общим рассмотрением для координаты и импульса. Величину Ах Ар = АГ называют элементом объема фазового пространства. При п —> оо на одно состояние Ап = 1 приходится фазовый объем Л„1 dAr л h АГ к = ——Ап->——71. 1Дп=1 d п 2V3 Задача 1.2. Докажите операторное тождество 00 едВе-А=В + У’ [А, [А, ...[А, В]...]]. n=lN v ' п Решение. Вычислим производные операторной функции F(A) =емВе_ЛА по параметру Я в нуле: п п dnF(A) А= dA" = У AkeXABe~XAAn~k (-l)n~k . =V АкВАп~к(-1)П-к. я=о j—L я=о fc=0 fc=0 Значит, искомый оператор можно записать в виде разложения в ряд Тейлора опера¬ торной функции при значении Я = 1 п eABe~A=F( 1) = 2 ^ YjAkBAn~k(-l)n~k. п=0 * к=О При п = О о ^АкВАп_Ч-1)п_,:=В. к—О Докажем методом индукции равенство п = [А, [А, ...[А, В]...]]. ' ' к=О
50 Тема 1 Принципы квантовой механики Действительно, при n = 1 имеет место тождество 1 AkBAn~ki-1)"-* = -ВА+АВ= [А, В]. к=0 При п = т^1 верно т J]AkBAm-k(-l)m-k = [A, [А, ...[А, В]...]], fc=0 4 ^ ' Ш так что при п = т +1, выделяя первый и последний члены суммы, получим Ш+1 /■ Ш \ /• Ш \ 5] AfcBAm+1-4-l)m+1"'c = - (2 AkBAmk(~tynk )A+A{Y^ АкВАт~к(.-1)т-к ) = fc=0 W=o j У k=0 ' = [a, 2 AkBAm~k(—l)m-,: j = [А, [А, ...[А, B]...]] = [A, [A, ...[A, B]...]] . fc=0 m (m+1) Таким образом, утверждение доказано. Задача 1.3. Докажите операторное тождество для функции F(B) eAF(B)e-A=F(eABe"A). Решение. Согласно общему определению функция от оператора записывается в виде ряда Тейлора F(B)=2 iF(n)(0)Bn, так что рассмотрим выражение елвп е-А = еАВе-А еАВе-А = (еЛВе-А)П V V, ' 4 У ’ п где мы учли, что еАе“л = 1. Значит, действительно, 00 eAF(B)e_A = ^] ^jF(n) (0)(еАВе_Л)" =F(eABe“A). п=О Задача 1.4. Докажите, что для операторов Л и В, перестановочных со своим коммутатором [А, В], имеют место равенства еАеВ = е[А,В]еВеА и £еАеВуп _ е|п(п-1)[ДВ] епВепА Решение. Согласно предыдущей задаче еАеве“АеА = ехр(еАВе_А)еА. Как мы доказали выше, 00 еАВе~л=В + V [А, [А, ...[А, В]...]], Ь1, • ' П но этот ряд по условию задачи обрывается на первом слагаемом: еАВе~А = В + [А, В].
Лекция 3 51 Значит, еАеВ =еВ+[А,В]еА = е[А,В]еВеА9 поскольку [В, [А, В]] = [А, [Л, В]] =0, и первая часть утверждения доказана. Далее, __ ^AgBjn-lgAgB __ ^eAeBjn-l0[A,B]eBeA =е[А,В] ^AgBjn-lgBgA Уже доказано, что eAQkB =ек[А,В] екВеА где /с —число. Значит, п ^еАеВ^п = е^к1А,В]епВепА=е1п{п-тА,В}епВепА^ где мы использовали известное выражение для суммы арифметической прогрессии. Задача 1.5. Докажите, что для операторов Л и В, перестановочных со своим коммутатором [А, В], имеет место тождество Бейкера—Хаусдорфа gA+В = е 2 [А,В] qBqA ' Решение. Вычислим ехр(АН-В) как предел еА+в = lim (l + -(A+B)V = lim(eA/neB/n)", П-*oo \ Jl J П—*oo где порядок сомножителей под знаком степени, конечно, можно было выбрать и об¬ ратным, что не умаляет общности дальнейшего рассмотрения. В предыдущей задаче мы показали, что ^eA/neB/n^n = е jnCn-l) [А,В] евеА^ так что еА+в = Um е’n(n“1) £[дв] евеА = ег № евел. Лекция 3 Плотность потока вероятности, уравнение непрерывности, свободная нереля¬ тивистская частица, волновой пакет, фазовая и групповая скорости, неопре¬ деленность координаты и импульса, интегралы движения и инвариантность классического действия, условия вырождения состояний, неопределенность энергия-время, обращение стрелы времени, Г-четность, представление Гей¬ зенберга, матричная динамика. 3.1. Уравнение непрерывности: поток вероятности Рассмотрим нерелятивистскую частицу в потенциальном поле с гамиль¬ тонианом в координатном представлении H = J^ + V(r), р2 = (—iftV)2 = —h2A. Базис на непрерывных координатах |г) задает волновую функцию, амплитуду вероятности (г|Ф(0) = Ф(г, t), которая, следовательно, является непрерыв-
52 Тема 1 Принципы квантовой механики ной1. Определим зависимость плотности вероятности от времени ^р(г,0 = ^{Ф*(г,0Ф(г,0} с помощью уравнения Шрёдингера, так что, для краткости опуская аргумен¬ ты, = 1{(яф*)ф - ф*(яф)}= = S {+v*")'*-**(-+'}= = -^{(ДФ*)Ф - Ф*(ДФ)> = Д V • {Ф^Ф) - ^Ф*)Ф>. Zm Zm Введем вектор потока вероятности2 ; = -^|{Ф*^Ф) - (УФ*)Ф} (3.1) и получим в этих обозначениях уравнение непрерывности для плотности вероятности ^ + v-j=0 фф ^ + divj=0. (3.2) Интегрирование уравнения непрерывности по объему V в области допусти¬ мых значений координат дает, с одной стороны, — Г d3rp = —1 = 0, dt J н dt ’ так как вероятность нормирована на единицу, а с другой стороны, J d3r diу j=§ j-ds, V dV где dV — поверхность-граница объема V. Поэтому из уравнения непрерыв¬ ности и сохранения вероятности следует, что поток вероятности через по¬ верхность объема, где находится квантованная частица, должен обращаться в нуль. Рассмотрим, к примеру, свободную нерелятивистскую частицу в коорди¬ натном представлении. Гамильтониан — Поскольку т^=[р,й0]=о, Наблюдаемая плотность вероятности |Ф(г, t)|2 в непрерывной области переменной г по своему физическому смыслу может быть только непрерывной функцией от г. 2В терминах оператора скорости v = p/m вектор потока j есть просто оператор скорости «в обкладках волновой функции и ее комплексного сопряжения», т. е. оператор, подействовав¬ ший налево и направо: на волновую функцию Ф и Ф*, - так, чтобы результат был заведомо вещественным, а именно, j = ^{Ф*в>Ф) + (£Ф)*Ф}, и значит, поток вероятности отвечает плот¬ ности скорости.
Лекция 3 53 у свободной частицы сохраняются и энергия, и вектор импульса, причем они могут быть измерены совместно. Поэтому выберем в качестве базиса полного набора наблюдаемых импульс частицы, так что р|р>=р|р>, Н0\р) = ^\р). Для удобства отнормируем состояния согласно1 (р/|р) = (2яЮ35(р/-р) Ф* J 1р>сЙ)з(р1 = 1- Тогда справедливо равенство V)=j как это и должно быть согласно требованию о полноте базиса. Найдем вол¬ новую функцию свободной нерелятивистской частицы Фр(г) = <г|р), где в координатном представлении нормировка состояний задана соотноше¬ ниями (r'lr) = 6(1^ —г) <=> J |r) d3r (г| = 1. Используем координатное представление для оператора импульса: (г|р|р) = (г|р|р) <=> рФр(г)=рФр(г) ФФ — iftV'I'p(r) =р'1'р(г) => Фр(г) =7Vrenpr. Нормировочную константу N выберем вещественной и положительной (гло¬ бальная фаза ненаблюдаема), исходя из нормировки состояний: (р'\р) = (2яК)3 5(р'-р) <=> <^=> / (p'\r) d3r <r|p) = J Ф*,(г) d3r Фр(г) = =М2 f d3r ел(р-р ) г=Я2(2пК)3 5(р'-р), так что Я = 1, и Фр(г) = е^г. Таким образом, состояние свободной нерелятивистской частицы описывает¬ ся волной де Бройля Фр(г, t) = enip'T~Et\ Для этого состояния из (3.1) легко получить вектор потока вероятности j=P J тп} который совпадает с вектором скорости классической частицы. 1Трехмерный спектральный параметр — вектор v = и для состояний |v> стандартная 2 пп. нормировка (v|у') = 5(у -v') = (2пК)3 5(р-р')-
54 Тема 1 Принципы квантовой механики Задача 1.6. Выведите выражение для матричного элемента (г|р|г'), исходя из канонического квантования, т. е. из коммутатора координаты и импульса. Решение. Согласно каноническому квантованию коммутатор координаты и им¬ пульса покомпонентно равен Va, Рр\ = Ш5ар> где 5ар — символ Кронекера в 3-мерном евклидовом пространстве (индексы а, /3 пробегают значения от 1 до 3). Вычислим матричный элемент этого коммутатора, (г| • |г'). С одной стороны, (НЕra> PplW) = (r\faPfi-P^aW} = (r-r,')a(r\pp\r'}, поскольку базис построен из собственных состояний эрмитова оператора координа¬ ты, т. е. его действие дает числа Ur')=r'a\r'), (r\ra = ra(r\. С другой стороны, в силу нормировки базиса с непрерывным спектральным парамет¬ ром {г\ШарУ) = Ша0 бСг-г7). В итоге находим равенство в смысле обобщенных функций (г-г')а(г\рр\r') = ih5af} 5(г —г'). В фурье-представлении d3fc ,ifc-(r-r') (2л:)3 Введем представление в виде интеграла Фурье для матричного элемента 8(г-г')= | -rt-J теграла $ <r|p|r') = J (0eik^V(fc), ю необходимо установить. (r-r%{r\Pf,\r') = -i J (Цз//>№) где /(fc) — функция, которую необходимо установить. Тогда запишем jLpiHr-r7) дка и после интегрирования по частям с нулевым вкладом граничных членов (в этом можно убедиться позже, установив явный вид функции /) находим (г __ г'\ /Г|А IfA —i Г pifc-Cr-r') д//з№) (Г г)а(г|р^|г)-1 J (2я)3е дка , так что полученное выше соотношение для обобщенных функций дает id-^- = ihSaP =» m=hk, где мы положили константу интегрирования равной нулю. Значит, (r|p|r') = ft J ^3eifc(r-r/)fc=—invr J -^eik^ = -ihvr5(r-r'), где мы указали у символа набла аргумент дифференцирования. Совершенно анало¬ гично в импульсном представлении (р|г|р'> = iftVp 5(р-р0.
Лекция 3 55 3.2. Волновой ПАКЕТ Теперь мы можем представить волновую функцию стационарного состоя¬ ния в виде Ф(г, 0 = <г|Ф(0> = J* <г|р)^з<р|Ф(0), где (г|р) = Фр(г) = е»рг, о (р|Ф(0> = е-»*(р|Ф) = е"»йФ(р). Последнее выражение справедливо не только для стационарной волновой функции, но и для частицы с заданным законом дисперсии, т. е. зависи¬ мостью энергии от импульса Е = Е(р) (энергия точно задается значением импульса, что имеет место, например, для свободной частицы). В итоге получаем представление для волновой функции в виде волнового пакета ф(гд)=/ (^ф(р)е"Ср'г“£0 с амплитудой Ф(р) —пси-функцией в импульсном представлении. Запишем амплитуду в виде Ф(р) = |Ф(р)|е1а(р), так что комплексная фаза </?/Й в подынтегральном выражении1 для волнового пакета задается выражением <р = р • г — Et + fia(p). (3.3) Фронт волны задается поверхностью постоянной фазы ip = const, откуда на¬ ходим, что точки этой поверхности движутся по траектории 17 r(t) = ^2pt + r0 => </>=p-r0 + fta(p)= const. Скорость движения фронта волны называется фазовой скоростью: Для того чтобы определить характеристики движения пакета как целого, рассмотрим вклады в интеграл от двух областей. Во-первых, если фаза (/? меняется в некоторой области импульсов достаточно быстро по сравнению со скоростью изменения модуля амплитуды, то подынтегральное выражение быстро осциллирует и вклад этой области в интеграл подавлен. Во-вторых, фаза может иметь стационарную точку 13десь, в отличие от изложения квантовой гипотезы де Бройля, мы переходим от безразмер¬ ной фазы к величине ip с размерностью действия.
56 Тема 1 Принципы квантовой механики В этом случае вклад области вблизи стационарной точки доминирует, т. е. он определяет область, где в координатном пространстве волновая функция существенно отлична от нуля. Из явного выражения для фазы условие стаци¬ онарности фазы запишется в виде r-jpt + ft|2 = 0, др др ’ что можно переписать как r(t)=Vgrt+r0, где мы ввели групповую скорость 1/ -25 Ph~ др’ которая показывает, с какой скоростью перемещается волновой пакет как целое. Для свободной частицы e=pL 2т9 так что 1, __Е __Р_ _ _ Р Ph р2Р 2m5 V*h др т9 т. е. фазовая и групповая скорости существенно отличаются, и волновой пакет в ходе эволюции довольно быстро расплывается. Волновой пакет представляет собой пример преобразования Фурье. Легко оценить область вблизи стационарной точки, которая определяет основной вклад в интеграл. Очевидно, что только при изменении комплексной фазы порядка единицы (или 2 п) экспонента еще не начинает сильно осциллиро¬ вать и дает существенный вклад. В терминах (р: А y?~ft. Вариация фазы под знаком интеграла определяется зависимостью от импуль¬ са, так что Ду«ЦдР, но в первом порядке из-за стационарного условия эта флуктуация равна нулю в центре волнового пакета. Отличие от нуля возникает, если сдвинуть точку координат с траектории центра волнового пакета, т. е. положить AV * др^АРаАГр = АРаАГ“ ~ П’ где производная второго порядка для </> подставлена в явном виде. Поэтому из общих свойств преобразования Фурье заключаем, что характерные раз¬ меры пакета в координатном и в импульсном пространствах покомпонентно связаны соотношением АхАрх ^ ft, согласно принципу неопределенности.
Лекция 3 57 3.3. Интегралы движения, условия вырождения Согласно уравнению Гейзенберга для полной производной оператора по иремени (2.9) mdF = mfF + [^]’ среднее значение, дисперсия наблюдаемой и все ее статистические момен¬ ты распределения (средние высших степеней оператора) сохраняются, если полная производная оператора по времени df/dt тождественно обращается и пуль, а значит, ih% + U, Н]=0. (3.4) 11ри этом распределение вероятностей реализации значений наблюдаемой и ее спектре остается постоянным во времени, а сама наблюдаемая называ¬ ется интегралом движения1. В частности, для оператора, не зависящего явно от времени, следует положить U,H]= 0. Постоянные операторы, коммутирующие с гамильтонианом, сохраняются. Этот факт находится в полном согласии с каноническим формализмом п классической механике. В самом деле, динамической переменной /(q, р) соответствует, после замены координат, канонически сопряженная величи¬ на (р, которую можно отнести в ряд обобщенных координат2, так что dt- dip-"’ /Для интеграла движения скобка Пуассона обращается в нуль, что после ка¬ нонического квантования отвечает сохранению квантовой наблюдаемой. С другой стороны, как мы видим, обращение в нуль скобки Пуассона связано с тем, что гамильтониан классической системы не зависит от обобщенной ко¬ ординаты ip, т.е. имеет место инвариантность гамильтониана относительно сдвигов (// = ip + и. (3.5) Пара {/, ip} называется переменными действие-угол. Согласно теореме Нётер параметрическая замена координат ip' = ip'(ip, и) приводит к вариации действия в виде —= Г dи J dt Удф ди )’ гВ качестве примера интеграла движения, явно зависящего от времени, приведем галилеев момент замкнутой системы частиц K=2(mara - fPa)- а 2Можно так условиться для определенности.
58 Тема 1 Принципы квантовой механики где L — функция Лагранжа, связанная с гамильтонианом Я преобразованием Лежандра, но в исследуемом нами случае (3.5) V. ди 3 а по построению канонически сопряженный к </? импульс-—это /: дЬ_ _ г дф и он сохраняется, так что I=J а значит, действие инвариантно относительно трансляций переменной (/?. Таким образом, мы установили, что инвариантность действия классиче¬ ской системы отвечает интегралу движения и в квантовой механике1. Однако проведенное нами выше исследование относилось к наблюдаемой, соответ¬ ствующей непрерывным преобразованиям классических обобщенных коор¬ динат, в то время как преобразованиям, связанным с дискретными симмет¬ риями, отвечают исключительно квантовые интегралы движения, с приме¬ рами которых мы встретимся ниже. Теперь рассмотрим консервативную систему с интегралами движения / и g: [/,Я]= о, [g, Н]=0. Как мы знаем, если / и g коммутируют, то в полный набор наблюдаемых консервативной системы можно включить совместно измеримые значения энергии, / и g. Если же [/,g] = iftC^0, то / и g не измеримы точно совместно: имеют место флуктуации. Составим набор наблюдаемых из собственных векторов энергии и / и рассмотрим состояние |Ф): Я|Ф)=Е|Ф>, />)=/0|Ф). Тогда вектор №) является собственным для энергии, так как Hg = gH и Hg\*)=gH\*)=Eg\V). Итак, мы имеем два собственных вектора энергии |Ф) и £|Ф) с одним и тем же значением энергии. Но мы строили базис по совместным собственным век¬ торам энергии и оператора /. Поэтому рассматриваемый вектор состояния разлагается в этом базисе как m=Y>c№’fk>> 1ф>=|я,/о>- (з.б) к 1Если инвариантность классической системы после квантования не приводит к соответству¬ ющему интегралу движения, то говорят, что имеет место квантовая аномалия.
Лекция 3 59 Нектор состояния g\E, /0) не может быть представлен как суперпозиция соб¬ ственных векторов оператора / с одним и тем же значением /0, так как в этом случае, как мы показывали, коммутатор fug должен обращаться в нуль. !)то означает, что в сумме (3.6) имеются вклады от кф О, т. е. состояние с энергией Е вырождено: состояние с заданной энергией имеет несколько собственных значений оператора /. 3.4. Соотношение неопределенностей энергия-время Если система неконсервативна, то среднее значение энергии зависит от иремени, так как ЬН/Ъгф0. Рассмотрим оператор Л(д, р), среднее которого также зависит от времени. Тогда согласно уравнению Гейзенберга [A,H] = ih^. (3.7) Как мы показали в общем случае, из (3.7) следует, что флуктуации энергии и наблюдаемой А связаны соотношением AAAEZ| (£> (3.8) Особый интерес представляет ситуация, когда временная зависимость энергии и оператора А приводит к их малым флуктуациям АЕ, АЛ вблизи средних значений Ё, Л, а характерное время изменения средних—At. Тогда можно положить АЛ At ’ и в этом случае из (3.8) следует соотношение неопределенностей энергия- премя для неконсервативных систем: AEAt> |. (3.9) В качестве примера рассмотрим переход квантовой системы с одного квазистационарного уровня на другой. Квазистационарность означает, что в пренебрежении взаимодействиями, обусловливающими редкие переходы между уровнями, квантовая система с хорошей точностью описывается как стационарная, т. е. как система с неким спектром уровней энергии. При пе¬ реходах изменяется и энергия, и другие характеристики квазистационарных уровней. Если At—характерное время изменения наблюдаемых параметров квазистационарных уровней, то его называют временем жизни квазистаци¬ онарного уровня т. Флуктуация же энергии отвечает неопределенности в ча¬ стоте перехода между уровнями v = (Ег — Е2) /Й. Поэтому точность измерения частоты перехода ограничена шириной Г, а соотношение неопределенно¬ стей энергия-время устанавливает связь флуктуации энергии излучения при переходе между квазистационарными уровнями с временем жизни возбуж¬ денного состояния: тГ~Й.
60 Тема 1 Принципы квантовой механики 3.5. Г-ИНВАРИАНТНОСТЬ Классическая система без диссипации энергии (т. е. без трения) облада¬ ет инвариантностью относительно обращения времени t —> —t. Рассмотрим соответствующую консервативную квантованную систему в координатном представлении1 t) =H(q, Д,Жд, О- Отсутствие диссипации отвечает вещественности гамильтониана2: Я*=Я. Инвариантность квантовой системы относительно обращения стрелы вре¬ мени означает, что действие оператора обращения времени Т на волновую функцию f'Kq, 0 = ФГ(9, -t) дает волновую функцию, удовлетворяющую уравнению Шрёдингера Фг(д, -t) =H(q, Д,)ФТCq, -t). Уравнение для ФтСд, следует сравнить с уравнением Шрёдингера, в ко¬ тором мы заменим t—» — t и возьмем комплексное сопряжение обеих частей с учетом вещественности гамильтониана: ift£**(q, — О =H(q, Pg)^*(q, -t). В итоге заключаем, что преобразование волновой функции при инверсии времени имеет вид f*(q, t) = **(q, -О, ФтСд, t/) = »*(q, -t), = (3.10) Поскольку гамильтониан для исходной волновой функции и обращенной по времени один и тот же (по построению), это можно записать как3 ТН = НТ ФФ [Г, Я] =0, т. е. Т — интеграл движения. Таким образом, инвариантность классической системы относительно дискретной операции обращения стрелы времени 1 Изложение в этой лекции касается только однокомпонентных, скалярных, волновых функ¬ ций без внутренних квантовых чисел вроде спина и т. п. В противном случае необходимо определять, как операция обращения стрелы времени действует и на эти квантовые числа. 2В противном случае передача энергии во внешнюю по отношению к рассматриваемой системе среду означало бы возбуждение в ней квантовых состояний, так что равная единице вероятность найти систему и окружающую среду складывалась бы из вероятности обнаружить саму систему и вероятности найти возбуждения внешней среды, которая становится отличной от нуля, так что в полной вероятности обнаружить исходную систему возникали бы вклады, даю¬ щие убывание этой вероятности со временем, т. е. появились бы мнимые добавки к собственным значениям гамильтониана — энергии, которые определяют зависимость плотности вероятности от времени: |Ф(д; t)l2 = l^(q)2| expj-^(E —£*)t|. 3В этом можно убедиться и просто пользуясь уравнением Шрёдингера.
Лекция 3 61 приводит к возникновению нового квантового числа, которое называют Т-четностъ. Для стационарного состояния фактор временной зависимости под дей¬ ствием Т fe-iEt = e-iEt сохраняет свой вид, а координатная часть волновой функции просто ком¬ плексно сопрягается t9(q) = 9*(q). Значит, квадрат оператора обращения времени в квантовой механике равен единице: Г2 = 1, а его собственные значения Хт = ±1. Отсюда следует, что вещественные волновые функции стационарных состоя¬ ний являются, как говорят, Г-четными: f*(q)=*(q), ®*(q) = *(q), а чисто мнимые Г-нечетными: Гф(д) = -ф(д), ф*(д) = -ф(д). Так как после преобразования Г волновая функция удовлетворяет уравне¬ нию Шрёдингера, обращенные по времени состояния также обладают свой¬ ством суперпозиции, а значит, оператор обращения времени сохраняет прин¬ цип суперпозиции, но при этом f [c^a(q, t) + с2Ф2^, ОП =с*Ф*(q, -t) +с*Ф*(q, -t), то есть оператор t является антилинейным. В обозначениях Дирака преобразование имеет вид (q|f*(t))=**(q,-t). Тогда <ТФ(0|ГФ(0) =2,(r*(t)|q)(q|T»(t)> = J dq №*(q, -t)]***(q, -t) = = / dq #(q, -t)«*(q, ~0 = <Ф(-0|Ф(-0). В частности, <гф(0|гф(0) = <Ф(—0|Ф(—1)> = 1. В итоге оператор обращения времени, конечно, сохраняет нормировку состо¬ яния, так что он является антилинейным унитарным оператором.
62 Тема 1 Принципы квантовой механики 3.6. Представление Гейзенберга С помощью оператора эволюции £7(t) матричный элемент произвольного Поэтому динамику квантовой системы можно рассматривать в терминах операторов в представлении Гейзенберга: причем все вероятностные характеристики таких операторов вычисляются по не зависящим от времени состояниям, в отличие от рассматриваемых нами ранее состояний в представлении Шрёдингера: Итак, в представлении Гейзенберга векторы состояний не эволюциони¬ руют, вместо этого динамикой обладают операторы. Запишем динамические уравнения для операторов в представлении Гейзенберга. Для этого продиф¬ ференцируем оператор по времени и воспользуемся известным уравнением движения для оператора эволюции: т. е. получаем коммутатор операторов в представлении Гейзенберга. В итоге а значит, получается обычное уравнение Гейзенберга для производной опе¬ ратора по времени только в представлении Гейзенберга. Если оператор эрмитов в представлении Шрёдингера, то он эрмитов и в представлении Гейзенберга: В представлении Гейзенберга наблюдаемые зависят от времени, они удовле¬ творяют уравнению Гейзенберга. Если наблюдаемая не зависит от времени явно, то можно взять матричный элемент уравнения Гейзенберга по состоя¬ ниям (п\ • \т), откуда получаем Вставляя единичный оператор в виде l = 2fc 1Ж^1 в произведение операто¬ ров, матричный элемент коммутатора представим в форме FHV = u4t)FU(.t), (3.11) |ф)н=£Ч0|ф(0)=|ф>. (3.12) = ihufi£u+&(-йР+Рн)и. at dt (3.13) р*=р <=> F£ = (t>W = t>+Ft/=FH. (п|#н(2 |ВД)ЯН-ЯН(2] \k)(k\)PH\rn)=FnkHkm-HnkFkm, k k
Лекция 3 63 где справа подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу к. 11озтому уравнения эволюции для оператора примут вид i h^=FnkHkm-HnkFkm> (3.14) и и таком виде они являются основными динамическими уравнениями мат¬ ричной механики, сформулированной Гейзенбергом, Борном и Йорданом. Ксли система консервативная, то базис строится по собственным векторам оператора Гамильтона, т. е. Н-кт Ет&кт> матрица диагональна и уравнения Гейзенберга для наблюдаемых принима¬ ют вид ^Цг=Рпт(.Ет-Еп), (3.15) что необходимо также дополнить выражением для гамильтониана, т. ё. энер¬ гии. Например, для осциллятора с массой m и частотой со в матричном виде гг, л р2 , mco2q2 _ 1 , mсо2 H(q, р) 2m 2 > п 2т^п^^п 2 0-пкЧкпв !)то позволяет приравнять правые части в уравнениях (3.15), т. е. коммута¬ торы в матричном представлении, их явному выражению. Например, для координаты получим (n\[q,H]\m) = ih(n\^\m) = ih{n\£\m) = ih^, так что ih^ = qnm(Em-En) = ih^-, и аналогично для импульса (п\[р, Й]\т) = -ift(n|^|m) = -ih(n\ma>2Q\m) = -ihrnco2qnm, откуда ^ Рпт№m — Er) —iftmct) qnm- Уравнения матричной механики для осциллятора были решены Гейзенбер¬ гом еще до того, как Шрёдингер сформулировал свою волновую квантовую механику, поскольку этот вопрос, собственно говоря, составлял содержание первой статьи Гейзенберга, положившей основу матричной механики. Важно подчеркнуть, что в представлении Гейзенберга квантование не может воз¬ никнуть в качестве ограничений на волновую функцию, которые следуют из ее физического смысла, как это происходит в представлении Шрёдингера. Поэтому в качестве «условия квантования» в матричной механике выступает связь между матрицами координат и импульсов, а именно их коммутатор, который фактически был введен в упомянутой статье Гейзенберга.
64 Тема 1 Принципы квантовой механики В самом деле, из уравнений для производных координаты и импульса элемен¬ тарно заключаем, что, например, подстановка выражения для матричного элемента импульса через матричный элемент координаты дает qnm{(.Em-E„)2-h2a>2} = О, откуда qnn = 0 и qnm # 0, если \Ет — Еп \ = hco. Будем считать спектр связанных ста¬ ционарных состояний осциллятора дискретным и невырожденным1. Тогда каждому значению энергии Еп соответствует пара состояний с энергиями * En + hco = En+1, Еп ч Еп Ь.о) — Еп_ 1, где мы воспользовались свободой в выборе системы нумерации состояний. Именно для таких состояний не равны нулю матричные элементы qn>n±1. Далее, диагональный матричный элемент соотношения неопределенностей координата-импульс в матрич¬ ных обозначениях принимает вид (гг|[д,р]|п) = Ш => qnkpkn-pnkqkn = ih. Опять выражая импульс через координату, находим ft2 ft ЧпкЧкп (Рк *„) 2m ^ Q.n,n+l4n+l,n 4n,n-l4n-l,n 2тсо * Определим комплексные фазы состояний2 так, чтобы ненулевые матричные элементы координат оставались вещественными: qnm=q*m- Тогда в силу эрмитовости коорди¬ наты qnm = q*mn находим qnm = qmn. Значит, положительно определенные величины 8п =<?пп-1 =(?n,n-i<Jn-i,n образуют арифметическую прогрессию, так как для них мы установили рекуррентное соотношение _ ft gn+1 Sn 2mш' Для основного состояния с наименьшей энергией положим п = 0, и, следовательно, g0 = 0, поскольку состояния с энергией Е_г =E0-hco не существует. В результате, ft v I ft v . I mhco *" = 2^П => 4nji-i ~ у 2тсоП =* Pn.n-l = lV— Эти значения устанавливают матричные элементы в момент времени t=0, а их зави¬ симость от времени легко получается интегрированием записанных выше уравнений Гейзенберга, так что Наконец, элементарное суммирование в выражении для энергии по к=п± 1 приводит к выражению En = ha>(n+l). 1Это доказывается в лекции о свойствах одномерного уравнения Шрёдингера. 2В момент времени t = 0.
Лекция 4 65 Лекция 4 Уравнение Шрёдингера из вариации «квантового действия», вариационная задача, глобальная и локальная калибровочная инвариантность, закон со¬ хранения заряда, минимальное взаимодействие нерелятивистской скалярной частицы с электромагнитным полем, стационарное уравнение Шрёдингера в импульсном представлении, пространственная четность, трансляции, ква¬ зиимпульс, функции Блоха, номер зоны. 4.1. Вариационный принцип Волновую функцию можно рассматривать и как «поле» с действием1 S = J d3r dt Ф*(г, -я}ф(г, t). (4.1) Действительно, считая ФиФ1 независимыми переменными варьирования2, найдем уравнения Лагранжа—Эйлера согласно принципу экстремального действия: р~ = 0 <=> Щ=0 => ih^-H^ = 0; бфТ ЭФ* dt ’ !f = 0 ф=> = 0 =* -&A-ihjrVf = 0. <5Ф ЭФ dt ЭФ dt Как и следовало ожидать, вариация дает уравнения Шрёдингера для волно¬ вой функции и комплексно сопряженной к ней. Заметим, что для динамиче¬ ской переменной q —> Ф стандартное определение канонически сопряженно¬ го ей импульса дает р=|4 -»v=^= * dq ЭФ Это подтверждает обоснованность независимой вариации поФи Ф1*, как это имеет место в гамильтоновом формализме. Для стационарного состояния действие принимает вид Sstat = / d3r«t(r){£ —А}Ф(Г), где мы «убрали» тривиальный фактор интегрирования по времени. В этой форме вариационную задачу часто используют для приближенных оценок энергии стационарного состояния и его волновой функции, находя минимум действия в классе пробных функций с конечным числом параметров. 1При этом не следует забывать, что волновая функция —это не волна материи, а амплитуда вероятности! 2При варьировании, строго говоря, необходимо учитывать то, что в гамильтониан входят частные производные по координатам, но мы воспользуемся эрмитовостью гамильтониана, т. е. тем, что его действие «направо» эквивалентно действию «налево», так что при варьировании, иапример, по Ф будем считать, что гамильтониан со всеми своими производными действует на Ф*, и т. п.
66 Тема 1 Принципы квантовой механики Задача 1.7. Найти энергию стационарного состояния осциллятора в классе проб¬ ных функций Ф(д)~е 2о2. Решение. Действие гамильтониана осциллятора на пробную функцию дает Производные равны ЯФ(д)=■ Ф'(д) = -4е-^, ®"(q) = «L£ie-&. O’ сгч Прежде чем находить минимум действия по параметру пробной функции <т, необхо¬ димо отнормировать волновую функцию: N=J dq|^(q)|2= J dqe”^ = jj dqdq'e-4^ J ? — 00 — 00 — 00 так что, вводя на плоскости {q, q'} полярные координаты q = r cosip, q' = r sin ip, находим стандартное выражение для гауссова интеграла f2n <Х> ^2 ^1/2 N = | J d(/? J г dr е-^ | = у/па2. оо Тогда действие примет вид 00 г _ 1 f J -4 Гг. й2 Ч2Г_ 2 fi2 11 _г, ft2 а2 г_ 2 ft2 1 t_ а/гё J 4'6 а Г 2шсг2 2 [т<° mcr4 J J — 2тсг2 4 1”“° тег4!’ — 00 где мы использовали интегрирование по частям. Найдем экстремум по а2. Диффе¬ ренцируя и приравнивая производную нулю, получаем: S' - fi2 ma>2-0 => <т2 = — stat 4тсг4 4 тсо * В итоге значение гамильтониана в экстремуме Вторая производная s" =—<о stat 2mcr строго меньше нуля, т. е. мы имеем максимум действия, что отвечает минимальному значению гамильтониана в классе заданных пробных функций. Заметим, что, как и должно быть для осциллятора, средняя кинетическая энергия в стационарном со¬ стоянии равна потенциальной: h2 mo)2cr2 1 — ■ = -псо. 4 тег2 4 4 4.2. Калибровочная инвариантность Как мы уже упоминали выше, вектор состояния в гильбертовом про¬ странстве определен с точностью до глобальной комплексной фазы, так как
Лекция 4 67 подобная фаза входит в общий фактор всех состояний и не влияет на ин¬ терференцию, а вероятность задается модулем амплитуды. Вариационная формулировка динамики волновой функции позволяет воспользоваться тео¬ ремой Нётер для параметрических преобразований динамических перемен¬ ных, которые в нашем случае имеют вид Фи(г, t) = е-1иФ(г, t), *1 (г, О = е‘иФ+(г, t), (4.2) где фаза не зависит от координат Такие преобразования называют глобальными калибровочными преобразо- ипниями. Очевидно, что они образуют группу по умножению. Кроме того, согласно определению волновой функции Ф(г, t) = (г|Ф(0) ее преобразование эквивалентно введению преобразования базиса в коор¬ динатном представлении \ru) =e"iu|r), Фи(г, 0 = (г“|Ф(0). (4.3) На уравнениях движения по теореме Нётер производная действия, ин- нариантного относительно таких параметрических преобразований, равна пулю1: ds_ [ А+лзгЯ Г ас эф„ . эс du J *НЭЭМФ ди ддцФ* Эи J Если инвариантность установлена для произвольной области интегрирова¬ ния, то имеет место локальный закон сохранения—равенство нулю 4-дивер¬ генции тока: а — л /ти— I д£ -и’ J -ээ„ф Эи ээдф+ эи • Если же интегрирование идет по всему 3-мерному объему пространства и интервале времени от до t2, то J dtd3rd0J° + J dtd3rV-(/ = J d3^! +/dt <f> d2s-l/ = 0, где мы воспользовались теоремой Гаусса—Остроградского для объемного интеграла от дивергенции тока. Если поток через сферу на бесконечности равен нулю, то сохраняется заряд Q = / d3r J0. В исследуемом случае при и —> 0 Дф ЭФ* * Эи ’Эи ’ гКак принято, мы вводим нулевую компоненту х0 =ct.
68 Тема 1 Принципы квантовой механики для нерелятивистскои частицы в потенциальном поле лагранжиан— с=туЧ - (уф1) • (v^) - уф%, zm а компоненты тока— J0 = chv4, / = -^[Ф+УФ-(УФ+)Ф], т. е. этот 4-ток составлен из плотности вероятности и компонент потока вероятности, введенных выше: j^=h(cp,j), что в точности совпадает со стандартным током для заряженной частицы. Таким образом, глобальная калибровочная инвариантность приводит к за¬ кону сохранения вероятности и уравнению непрерывности, который также можно интерпретировать и как закон сохранения электромагнитного тока, если частица заряжена. Рассмотрим теперь обобщение на случай локальной калибровочной инва¬ риантности, т. е. с параметром, который зависит и от времени, и от коорди¬ нат. При этом частные производные, отвечающие ковариантному 4-вектору импульса частицы р„Ф=тэмФ=1й(и,УФ), рм=св/с,-р), при локальном преобразовании принимают вид p^u = e~iu(ih д^ + h ajLtu)'I'. Обычно вводят размерный параметр калибровочного преобразования /: е г где е —электрический заряд рассматриваемой частицы. Тогда РцФц = e-iu (j>n + 2 дц/) Ф • После локального калибровочного преобразования с параметром / лагран¬ жиан для волновой функции заряженной частицы примет вид Cf = сФ^ (ро + §Эо/)фи + ^ (рФи - fV/Фu)f • (рФи - f V/Ф»). Этот лагранжиан можно сделать инвариантным, если ввести векторное ка¬ либровочное поле Ам = (А0, —А), так что а . л е а Pfl ^ Рц~ cAli* с законом градиентного преобразования Л£=ЛМ + ЭМ/. (4.4) Это эквивалентно введению ковариантной или, как говорят, «длинной» про¬ изводной = + (4.5)
Лекция 4 69 гмк что с учетом калибровочного преобразования для поля (4.4) действие копариантной производной сохраняет групповые свойства, т. е. экспонен¬ циальный фактор выносится за знак дифференцирования и при локальном преобразовании: ^Фи = е"!,%Ф. (4.6) Тогда лагранжиан С = сФ* (ро - § А>) *+ 2^ (р*- §Аф)+ • (рФ -1 Аф) (4.7) инляется калибровочно инвариантным относительно локальных преобразо- нпмий. Калибровочное векторное поле определяет 4-вектор потенциала для лисктромагнитного поля. Лагранжиан (4.7) согласно принципу наименьшего действия приводит к уравнению Шрёдингера для однокомпонентной волновой функции заря¬ женной частицы в электромагнитном поле: 1Й^Ф(г, 0 = 2^(р-~сА)2*(г> О + еА0Ф(г, t). (4.8) Калибровочный принцип лежит в основе теории всех известных взаимо¬ действий не гравитационного типа: электромагнитных, слабых и сильных. Описание каждого из этих взаимодействий связано с введением сохраня¬ ющихся зарядов и взаимодействующих с ними векторных калибровочных нолей. Отличие же разных теорий состоит в различном выборе унитарной группы калибровочных преобразований полей материи. Как мы видели вы¬ ше, электромагнитному взаимодействию отвечает преобразование волновых функций унитарными множителями — комплексными числами е-ш, то есть группа U(l). 4.3. Импульсное представление В уравнении Шрёдингера (2.10) У1^|Ф(0)=А|Ф(0), возьмем проекцию на состояние с определенным значением импульса |р), т£<р|ф(0>=<р|Д|Ф(0), и для простоты ограничимся рассмотрением стационарных состояний (р|Ф(0) =е~*Бс(р|Ф), где амплитуда вероятности в импульсном представлении (р|Ф) = Ф(р). Тогда, пользуясь полнотой базиса в импульсном представлении, получаем ЕФ(р) = |(р|Н|к)^|з<*с|Ф) ЕФ(р) = |<р|Н|к>^|зФ(к).
70 Тема 1 Принципы квантовой механики Для нерелятивистской частицы выделим в матричном элементе гамильто¬ ниана вклад кинетической и потенциальной энергии. Для первого из них, очевидно, имеем =ё*=2^(2nh)3 5(р ~ ю’ где первое равенство получается ввиду того, что мы выбрали собственные векторы состояний для оператора импульса, а второе есть принятое нами условие нормировки состояний в импульсном представлении. Вклад потенциальной энергии в матричный элемент можно представить в виде <p|V(f)|fc> = /(p|V(f)|r) d3r (r\k), где мы воспользовались полнотой базиса в координатном представлении: / |r) d3r (г| = 1. Векторы состояний в координатном представлении — собственные для опе¬ ратора координаты, f|r) = r|r) => V(r)|r) = V(r)|r). Как мы выяснили при рассмотрении волнового пакета, (r|k) = e»fc'r, (p|r) =е“»рг, так что (p|V(r)|fc> = J d3r V(r)e«(fc_p) r = V(p — fc) (4.9) есть не что иное, как преобразование Фурье для потенциала. Собирая вклады кинетической и потенциальной энергий, получим урав¬ нение Шрёдингера в импульсном представлении я*(Р) = |^(р) + J Пр-к)Ф(к)•. (4.10) 4.4. Р-четность Если классическая система имеет потенциал, инвариантный при зеркаль¬ ном отражении всех трех декартовых координат, т. е. V(r) = V(-r), то в квантовом случае эта симметрия приводит к возникновению нового квантового числа, Р-четности. Действительно, введем оператор1 Р: Р|Ф) = |РФ), (г|РФ) = Ф(-г). (4.11) 1Как и при рассмотрении Т-инвариантности, изложение строится для скалярных волновых функций.
Лекция 4 71 11оскольку *(-!•) = <(-г)|Ф) => (г|РФ) = ((-Г)|Ф), длн двух произвольных состояний <Ф|РФ> = /(Ф|г) d3r (г|РФ) = /(Ф|г) d3r (с—г)|Ф> = = / <Ф|(—r)> d3r (г|Ф) = (РФ|Ф>, г. с. оператор P-четности эрмитов, и Р|г) = |(-г)>. Н частности, (г\Рр) = Фр(-г) = e~hpr = (г|( р)), откуда Р|р) = 1С-р)). Тиким образом, оператор зеркальной инверсии пространства меняет знак координат и импульсов. Очевидно, что квадрат оператора Р-четности равен единице Р2 = 1, поэтому собственные значения P-четности могут быть только Яр = ±1. Соответственно собственные функции оператора P-четности в координат¬ ном представлении будут либо четными, либо нечетными. Действие оператора на координату и импульс имеет вид Pf4r) = rP|r) = r|(-r)M . > => Рг= —гР №|r)=*|(-r)) = -r|(-r))J и аналогично Рр = -рР. Поэтому м-н&+т}~{ы+п~п}р=йр- так как по условию задачи потенциал инвариантен относительно зеркальных отражений всех координат. Отсюда следуют два заключения. Во-первых, как и следовало ожидать, оператор P-четности коммутирует с гамильтонианом, и значит, он—интеграл движения. Во-вторых, волновая функция, полученная при действии оператора Р-четности, удовлетворяет уравнению Шрёдингера с тем же гамильтонианом. Напомним, что условием вырождения уровней энергии является наличие двух наблюдаемых — интегралов движения, которые не коммутируют друг с другом. Как мы видели, импульс и P-четность не коммутируют, хотя оба они могут быть интегралами движения, например, для свободной частицы с V(r) = 0. Поэтому состояния свободной частицы с заданной энергией вырож¬ дены: инверсия пространства меняет знак импульса.
72 Тема 1 Принципы квантовой механики 4.5. Оператор трансляций, квазиимпульс, номер зоны По определению, оператор пространственных трансляций Га сдвигает аргумент волновой функции на вектор а: (г|ГаФ) = Ф(г+а). (4.12) Разлагая в ряд Тейлора оо Ф(г+а)= J] (а• V)Ф(г) = e(aV)Ф(г), к=О находим, что в координатном представлении оператор конечных трансля¬ ций1 <г|ГвФ) = ?вФ(г) принимает вид fa = e(aV). Используем выражение для оператора импульса в координатном представле¬ нии p = -ihv, откуда ta = e*ap, а значит, оператор конечных трансляций определяется оператором импуль¬ са. При этом инфинитезимальные преобразования имеют вид ra^l + ^a-p + (9(a2), a-*0. Поскольку оператор коммутирует с любой степенью самого себя (на любом собственном векторе оператора это верно с очевидностью), коммутатор им¬ пульса с оператором конечных сдвигов равен нулю: [Та)р]= 0. Найдем оператор, эрмитово сопряженный к fa. По определению для про¬ извольных состояний (Ф|гаФ) = (г2Ф|Ф>. Распишем левую часть этого равенства, пользуясь единичным оператором в координатном представлении: (Ф|ГаФ) = /(Ф|г> d3r (г|ГаФ) = J d3r Ф*(г)Ф(г+а) и совершим замену переменных г —> г — а, так что (Ф|ГаФ) = / d3r ф*(г—а)Ф(г) = (Га*Ф|Ф). Следовательно, <г|Г» = Ф(г-а) ХВ отличие от инфинитезимальных, т. е. бесконечно малых, трансляций.
Лекция 4 73 и армитово сопряженный оператор трансляций сдвигает аргумент волновой функции в обратную сторону. Отсюда легко заключаем, что Ttf =1 т. с. оператор трансляций унитарен. Рассмотрим собственные векторы унитарного оператора А А|А)=А|А). Для унитарного оператора (АЯ|АЯ> = (Я|Л+ЛЯ) = (Я|Я>. 11одставляя в это равенство собственный вектор оператора А, находим А*А(А|А) = (А|А) =» А*А = 1. Следовательно, собственные значения унитарного оператора суть комплекс¬ ные числа единичного модуля: A = elv, y?eR (mod27r). По сути, мы привели доказательство следующего утверждения: унитар¬ ный оператор А представим в виде А = е'1ф, ф = ф^, где ф — эрмитов оператор. В самом деле, в базисе своих собственных век¬ торов унитарный оператор—диагональная матрица1, образованная числами A = elv>, поэтому можно определить оператор ф как оператор, который в том же базисе имеет вещественные собственные значения, равные у. В итоге введенный оператор по построению эрмитов и имеет необходимую для сде¬ ланного нами предложения связь с исходным унитарным оператором2. В случае унитарного оператора конечных трансляций Га=е^ оператор фазы ф записывают в виде где оператор к называют оператором квазиимпульса. Его отличие от опера¬ тора импульса обусловлено тем, что фаза определена по модулю 2п, и, сле¬ довательно, квазиимпульс имеет собственные значения, определенные по модулю 2nh/a по каждой из компонент. Собственные волновые функции оператора трансляций Та |Ф> = е*“*|Ф) 1Если собственное значение вырождено, то необходимо выбрать ортонормированный базис в подпространстве, отвечающему этому собственному значению. 2Мы привели типовую схему доказательств связей между операторами: в базисе собствен¬ ных векторов оператора необходимые операторные соотношения сводятся к соотношениям между комплексными числами.
74 Тема 1 Принципы квантовой механики в координатном представлении (г|Га|Ф) = е»а*<г|Ф) удовлетворяют уравнению Ф(г + а) = е»а’*Ф(г). Такие функции представимы в виде Ф(г) =ейг*Ф(г), Ф(г+а) = Ф(г). Подобные функции называют функциями Блоха. Они находят свое примене¬ ние в задаче с периодическим потенциалом: V(r + a) = V(r). (4.13) Прежде чем рассматривать такую квантовую задачу, изучим действие опе¬ ратора конечных трансляций на базисные вектора состояний и операторы координаты и импульса. Волновая функция состояния |г') в координатном представлении (r\r') = 5(r-r/) согласно общему определению оператора трансляций (4.12) преобразуется как (r\Tar') = 5(r-r/ + a), откуда заключаем, что fa|r') = |r'-a). или, эквивалентно, Г» = |г+а>. Эти соотношения показывают, что базисные векторы в гильбертовом про¬ странстве под действием преобразования смещаются в обратную сторону по сравнению с векторами состояния системы, или, что то же, по сравнению с волновыми функциями. Поэтому можно эквивалентно говорить либо о том, что преобразование переводит одну физическую систему в другую (активная картина преобразований), либо о том, что система остается неизменной, а базис преобразуется обратным смещением (пассивная картина преобразо¬ ваний). Поскольку волновые функции полностью аналогичны координатам век¬ тора в комплексном векторном пространстве, обе эти картины хорошо зна¬ комы из линейной алгебры, где преобразования координат вектора мож¬ но считать результатом, скажем, либо поворота самого вектора в неизмен¬ ном базисе, либо смены базиса в пространстве под действием обратного поворота. Это соответствие активной и пассивной картин преобразований в векторном пространстве является точной аналогией для преобразований в гильбертовом пространстве.
Лекция 4 75 Теперь запишем Таг\г)=гТа\г)=г\г-а)А rta\r) = r\r-a) = (r-a)\r-a)j Аналогично, tavm=v(r+d)ta, тик что для периодического потенциала (4.13) коммутатор равен нулю: [Та, V(г)] = 0. It итоге для гамильтониана с периодическим потенциалом [fa, Н] = [fa, + vm] = 0. (4.14) Тпким образом, гамильтониан для волновой функции, полученной действи¬ ем оператора сдвига на период потенциала, тождественно равен исходному гамильтониану, т. е. если волновая функция удовлетворяет уравнению Шрё¬ дингера с периодическим потенциалом, то и волновая функция, полученная h:i этого решения уравнения Шрёдингера оператором сдвига, также является рсчиением этого уравнения. В классике инвариантность энергии при сдвигах на период потенциала очевидна. Поскольку при квантовании оператор сдвига на период потенциала ком¬ мутирует с гамильтонианом и эрмитов оператор квазиимпульса коммути¬ рует с гамильтонианом, т. е. квазиимпульс — интеграл движения, то базис можно строить по совместным собственным векторам энергии и оператора трансляций. Как мы видели, собственными функциями оператора трансля¬ ций являются функции Блоха. Инвариантность классического гамильтониа¬ на относительно сдвигов приводит к сохранению нового квантового числа — квазиимпульса. Если потенциал периодичен, то сдвиг можно проводить и в обратную (reverse) сторону: а-^-а. (4.15) !)та операция, очевидно, сохраняет гамильтониан, т. е. энергию: [R, Я]=0. (4.16) 11оэтому мы имеем новый квантовый интеграл движения, не имеющий ана¬ лога в классической физике, скажем, R-четность, так как R2 = 1. Однако эта операция изменяет собственные значения оператора конечных смещений: Я = е»ак е“ »a'fe = Я*, Значит, коммутатор R-четности с операторами трансляций и, следовательно, квазиимпульса не равен нулю: [R, fa] ф 0, [R, к] ф 0, если к ф 0.
76 Тема 1 Принципы квантовой механики Итак, у нас есть два интеграла движения, которые не коммутируют между собой: имеет место условие вырождения уровней энергии. Именно, каждому значению энергии частицы в периодическом потенциале соответствуют два значения квазиимпульса {к, —к}, если его значение не равно нулю1. Другими словами, энергия—функция квадрата квазиимпульса, Е=Е(к2). То, что фаза оператора трансляций определена по модулю 2тг, также приводит к нетривиальным последствиям в квантовой механике. Действи¬ тельно, определим параметр сдвига как а-^а + 2тгйп||, ne N, (4.17) где квазиимпульс к, естественно, не равен нулю. Кроме того, если добавка кратна стандартному шагу потенциала, то повторяется ситуация со сдви¬ гом на несколько периодов (что не несет новой информации о волновой функции). Мы положили п натуральным, так как введенная выше операция R-четности позволяет избавиться от рассмотрения отрицательных целых зна¬ чений. Очевидно, операция Dn введена так, чтобы оставить инвариантными собственные значения оператора сдвига: Л = е»а*^е»а*+2™ = Л, к-^к. Значит, [Ta,Dn] = [k, Dn]=0. (4.18) По построению, собственные состояния операторов Та иГ)п нумеруются спек¬ тральным параметром квазиимпульса к и новым квантовым числом п, кото¬ рое называют номером зоны. В общем случае энергия изменяется под действием зонных сдвигов (4.17), так как потенциал имеет фиксированное значение периода, не равное вели¬ чине в (4.17), Л Л [D„,H]#0. (4.19) Итак, [ta,Dn]=0, [Га,Я]=0, [А, А,]/ 0. Рассмотрим собственные состояния оператора конечных трансляций. Они характеризуются вектором квазиимпульса. Вдобавок мы имеем пару дру¬ гих операторов — зонные сдвиги и гамильтониан, — которые коммутируют с трансляциями, но не коммутируют друг с другом. Следовательно, налицо условие вырождения собственных значений квазиимпульса. Именно, каждо¬ му значению квазиимпульса отвечает бесконечное счетное множество значе¬ ний энергии: состояния можно пронумеровать непрерывным спектральным параметром к (квазиимпульсом) и квантовым числом п (номером зоны); базис— |к, п). С учетом R-четности, энергия частицы в периодическом потен¬ циале имеет вид 0 я=ВД2), где п—номер зоны. 1Описанное действие оператора R на энергию и квазиимпульс можно записать в виде Е(к) =
Тема Одномерное движение 2 Лекция 5 Вид потенциала, вронскиан, двукратное вырождение состояний энергии и непрерывном спектре, невырожденность в случае ограниченного движения, сиязанные состояния частицы в потенциале, дискретный спектр, осциллятор- ная теорема, задача рассеяния, соотношения взаимности для коэффициен¬ тов прохождения, сохранение потока вероятности, явление резонанса, время жизни возбужденного состояния, амплитуда Брейта—Вигнера, скачок произ¬ водной. 5.1. Одномерное движение: исходные положения Одномерное движение в квантовой механике является полигоном, упраж¬ нения на котором подготавливают сдобренную конкретными примерами и расчетами почву, призванную составить культурный слой для роста каче- ггменно новой квантовой интуиции в описании физических явлений. Эта интуиция не может быть заимствована из опыта изучения классических систем. Кроме того, одномерное движение может служить и моделью фи¬ зической системы со связями, приближенно ограничивающими движение чпетицы одномерной линией. Итак, квантовая система в одномерном случае описывается единственной непрерывной наблюдаемой — координатой частицы х (или сопряженным к ней импульсом). В этом случае амплитуда вероятности в координатном представлении —волновая функция ^(х), а стационарное уравнение Шрё¬ дингера для нерелятивистской частицы в потенциале имеет вид - (X) + У(х)'ф(х)=Е'ф (х), где штрих означает дифференцирование по координате. Это уравнение обыч¬ но переписывают как 1/>" + |^[Е-У(л:)]я/> = 0. (5.1) Если *ф19 /ф2—решения уравнения Шрёдингера с энергией Еъ Е2 соответ¬ ственно, то величина W0ф1г V’a) = V>2 - ^2 = det Q (5.2) называется вронскианом или определителем Вронского. Производная врон¬ скиана по координате, очевидно, выражается формулой W = М" - ip"ip2 = Щ (El - £2)^2- (5.3)
78 Тема 2. Одномерное движение Это соотношение позволяет проводить общий анализ спектральной задачи в одномерном случае. Рассмотрим непериодические ограниченные потенциалы, для которых имеет смысл ввести предельные значения потенциала на границах интервала допустимых значений координаты: V±= lim VQt), *—►±00 которые для определенности мы будем считать положительными или равны¬ ми нулю, V±£0, а также примем, что Кроме того, введем область а<х<Ъ, где У(х)<0. Подобный потенциал представлен на рис. 2. Рис. 2. Наглядное представление о типовом потенциале и его параметрах 5.2. Вырождение Покажем, что каждому значению энергии соответствует лишь единствен¬ ная волновая функция, если есть точка, где пси-функция заведомо равна нулю. В самом деле, из уравнения для производной вронскиана (5.3) при Ег =Е2 следует, что W' = 0 =Ф W = const. Значение константы, т. е. вронскиана, равно нулю, если существует точка, где волновая функция равна нулю: 3х0:гр1(х0)='ф2(х0) = 0 => W = 0, так как вронскиан сохраняет свое значение при изменении х. В итоге W(T/>i,4/>2)=V’lV,2-',/’i1/’2 = 0 => = ^ =
Лекция 5 79 где* С — постоянная, т. е. функции гр1 и 'ф2> отвечающие одному и тому же пшчению энергии, пропорциональны друг другу, если у них есть общий |«>рснь. Отсюда, в частности, следует, что такую волновую функцию можно пыЛрать вещественной. Действительно, пусть гр (х) — комплексное решение урпинения Шрёдингера, имеющее по условию рассмотрения нуль. Значит, общественная и мнимая части этой волновой функции обращаются в нуль и одной точке, при этом мы можем положить грг = Re|/0(x)], ^2=ImWW]j ко торые в силу принципа суперпозиции также являются решениями уравне¬ нии Шрёдингера с той же энергией; Tpi=lmx)+i>*m, я/>2=^'Фм-'ф*т, п является решением уравнения Шрёдингера в силу обратимости по нремени (см. Т-инвариантность в лекции 3). Но мы показали, что в этом случае пропорциональны друг другу, так что комплексная фаза реше¬ ния не зависит от х, и, следовательно, от нее можно избавиться за счет глобального калибровочного преобразования. Рассмотрим теперь, при каких обстоятельствах волновая функция обра¬ щается в нуль. Пусть Е < V_, т. е. энергия меньше асимптотического значения потенциала на бесконечности (движение финитно хотя бы в одну сторону). Тогда при х—> — оо уравнение Шрёдингера принимает вид t/>" + |£[E-V_Ji/> = 0, (5.4) где j£-[E-V_] = -x2_<0, х_>0, так что решение имеет асимптотику %1)М = С^~х-х + С2ех~х, х-* -оо. Однако экспоненциальный рост первого слагаемого приведет к тому, что иолновая функция не может быть нормирована на единицу, т. е. наличие ненулевого Сг выводит такое решение из гильбертова пространства кванто- иой механики: у решения нет физического смысла. Поэтому Сг = О и 'ф(х)с*С2ех~х —>0, х—> — оо. (5.5) Значит, если движение финитно хотя бы в одну сторону, т. е. энергия меньше асимптотического значения потенциала на бесконечности, то уровень энер¬ гии невырожден. Если энергия больше асимптотических значений потенциала на бесконеч¬ ности Е > У_ (движение инфинитно в обе стороны), то, например, 'ф" + к2_'ф = 0) Х-+-О0, (5.6) где ^[Е-у_]=к2_ >0, к_> О,
80 Тема 2. Одномерное движение так что решение имеет асимптотику гр(х)^С~е~1к-х+ С2 elk~x, х—►—оо. (5.7) Аналогичные выражения получаются и при х—>+оо с подстановкой |г[Е-У+]=*ч>0, К>0, И я/>(х) c*C+e~lk+x + С* elk+x, X—>+оо. (5.8) Следовательно, на бесконечности имеет место суперпозиция волн де Бройля для свободной частицы с двумя значениями проекции импульса на ось х. Если рассматривать уравнение Шрёдингера в этой области энергий как задачу Коши с начальными данными С^, С2 при х—> — оо, т. е. в виде (5.7), то при любом значении /с_ уравнение приведет к решению в виде (5.8) при х —> “Ь00, так что параметры С^, С2 являются функциями начальных данных Ci, С2: ^2 = С^2(С-2). Поскольку никаких ограничений на коэффициенты С+, С2 при х—>+оо нет, приходим к выводу: если движение инфинитно в обе стороны, т. е. энергия больше асимптотических значений потенциала на бесконечности, то уро¬ вень лежит в непрерывном спектре с двукратным вырождением по знаку импульса частицы на бесконечности. Если значение энергии лежит в промежуточной области V+<E<V_, то, комбинируя (5.5) и (5.8), заключаем, что в этом случае уровень энергии невырожден, так как волновая функция обращается в нуль при х —»—оо, а при х —> +0° имеется свободная волна, которую можно сделать вещественной. В этом случае спектр непрерывный: его можно «пронумеровать» импуль¬ сом к+. 5.3. Связанные состояния, осцилляторная теорема Если энергия находится в интервале ^min < V+, то в качестве начальных данных в задаче Коши можно рассматривать гранич¬ ное условие1 (5.5) с С2 = 1. В полной аналогии с получением этого условия, при х —> +оо уравнение Шрёдингера принимает вид 1Константу С2 без потери общности рассмотрения можно положить равной единице, так как ее всегда можно будет перемасштабировать в случае, если решение имеет конечную норму, так, чтобы полная вероятность была равна единице.
Лекция 5 81 ^[E-V+] = -x2+<0, х+>0, е решением в виде яр (х) ^ е~х+х + С2 ех+х, х —>+оо, П|)ичем коэффициенты являются функциями начальных данных: С+ = С+(Е), С+ = С+(Е). Для нормируемости волновой функции необходимо положить что и определяет квантовый невырожденный спектр связанных состояний, т. е. состояний, плотность потока вероятности для которых равна нулю, II плотность вероятности стремится к нулю при х-*±оо? что выполняется и рассматриваемой области энергий. Допустим, что уравнение (5.9) имеет два решения при значениях энергии /?! <Е2. Пусть Xi, х2 — последовательные узлы решения гр^х): <0(х1)= О, Ф (х2)=0. Такие узлы всегда есть, так как по меньшей мере волновая функция связанного состояния должна обращаться в нуль в конечных точках х-*±оо. Кроме того, как мы показали, наличие этих нулей позволяет считать вол¬ новые функции связанных состояний вещественными. Тогда согласно (5.3) инкремент вронскиана имеет вид Поскольку узлы волновой функции грг (х) последовательные и для опреде¬ ленности хг < х2, эта непрерывная волновая функция не меняет знак на интервале между корнями, т. е., например, она является положительной при Xi < х < х2, причем, очевидно, в этом случае Пользуясь методом «доказательства от противного», допустим, что волновая функция гр2(х) на интервале хг < х < х2 также является знакоопределенной, скажем, положительной. Тогда левая часть уравнения (5.11) С+(£) = 0, (5.9) WO0i>’/’г) 2 = ^р1^р2У 2 = тг(£1-£г) / dxxp1xl>2, (5.Ю) или с учетом я/>г (х1>2) = 0 ■ф[ V’i (*2) ^ 0. -V>iV>2 2^о, (5.12) в то время как правая часть (5.13)
82 Тема 2. Одномерное движение так как под интегралом стоит положительное произведение непрерывных функций, а разность энергии по построению отрицательна. Противоречие (5.12) и (5.13) говорит о том, что непрерывная функция г/)2М должна менять знак между двумя последовательными узлами волновой функции с меньшим значением энергии. Поскольку проведенное исследование справедливо для любой пары по¬ следовательных узлов волновой функции грг (х), а тг узлов этой функции, включая две конечные точки, разбивают интервал — оо < * < +оо на п — 1 последовательных интервалов, волновая функция имеет как минимум п +1 узел. Итак, мы пришли к утверждению о том, что связанное состояние с боль¬ шей энергией имеет большее количество узлов волновой функции. Более то¬ го, можно нумеровать невырожденные связанные состояния количеством внутренних узлов: по мере последовательного возрастания количества узлов последовательно увеличивается и энергия связанного состояния. Это утвер¬ ждение и составляет осцилляторную теорему. С учетом непрерывности волновой функции количество узлов, а следова¬ тельно, и количество связанных состояний может быть только счетным, а значит, спектр связанных состояний—только дискретным. Замечание о Р-четности. Если потенциал инвариантен относительно операции зеркального отражения V(x) = V(-x), то, как мы выяснили, уровни энергии можно классифицировать дополни¬ тельно новым квантовым числом, Р-четностью. В сочетании с осцилляцион- ной теоремой, очевидно, получаем следующее утверждение: волновые функ¬ ции уровней энергии с четным числом узлов имеют положительную чет¬ ность, а с нечетным числом узлом—отрицательную четность. 5.4. Коэффициенты отражения и прохождения Если энергия состояния лежит в непрерывном дважды вырожденном спек¬ тре, то ставят задачу рассеяния волны на потенциале. Запишем решение в виде fe-ik+X+R ik+X X_>+W uO)H .. (5.14) \ Sue •*, x—oo. В этих асимптотиках рассмотрим потоки вероятностей №0с)1 = -§{['Ф*Мг1>\х) - 0ф\х)Гх1>Ш, которые связаны с каждым из вкладов. Поскольку мы рассматриваем супер¬ позицию свободных волн, изученных нами выше, легко убедиться, что j [e-ifc+JC] = = "k+
Лекция 5 83 это поток волны, падающей из положительной бесконечности на потенци- ил (поток направлен в отрицательную сторону); j [Rueifc+x:] = j'back = \RU I2 щ k+ - это поток волны, отраженной от потенциала (поток направлен в положи¬ тельную сторону); и, наконец, j [Sue-ifc--] = jout = - |SU |2 -это поток волны, прошедшей через потенциал. Очевидно, из закона сохра¬ нения вероятности следует, что входящий и выходящий потоки равны: Jin Н" Jback Jout ^ k+(l “ l-^ul ) ^_|SU| • Коэффициент прохождения определяется как J out т = 1и Jin (5.15) и в нашем случае он равен Коэффициент отражения и в этой задаче он ти=^К\2. Jback Jin = 1 — т *ц = 1 RJ2- Аналогично можно рассмотреть волну, падающую на потенциал из отри¬ цательной бесконечности: Г Sveik+X, х —* +00, ik х -Ikx (5-16) [ e-+Rve , х —* —оо. В этой ситуации можно также ставить задачу о рассеянии—отражении и про¬ хождении волн. Например, коэффициент прохождения r„=^|s„|2. И тут возникает вопрос: совпадают ли в общем случае, для потенциала общего вида, коэффициенты прохождения и отражения в прямую и обратную стороны? Для ответа на этот вопрос напомним, что вронскиан для двух решений с одной и той же энергией остается постоянным, не зависящим от х. Для рассматриваемых решений мы можем вычислить вронскиан для пары волно¬ вых функций при х —> — оо и х —»+00, а затем приравнять эти величины. Так, например, W(u, v)x__00 = =Sue-ifc-x (ifc_eifc-* - ifc_R„e-ifc-*)-Su(-ik_)e~ik-x(.eik-x+R„e-ifc-;c),
84 Тема 2. Одномерное движение так что W(u, !/)*_>_«> = 2ik_Su. Совершенно так же W(и, i/)^+00 = 2ik+Sv. Сохранение вронскиана означает, что k_Su = k+Sv => Tv = ^|S,|2 = ^|Su|2 = ru, т. е. действительно имеет место соотношение взаимности: коэффициенты прохождения волной потенциала в прямом и обратном направлении совпа¬ дают. Отметим, что волновые функции, полученные операцией обращения стре¬ лы времени: Т * Т * и—>Ц*, V—>1/*, также являются решениями уравнения Шрёдингера с той же энергией. Ко¬ нечно, ввиду того, что уровни энергии дважды вырождены, эти новые реше¬ ния можно выразить через пару {u, v}. Однако сохранение вронскианов W(u,u*) и W(y,v*) позволяет установить также и закон сохранения потока вероятности. 5.5. Резонанс Рассмотрим непрерывный спектр невырожденных уровней энергии в по¬ тенциале VL ->+оо, х<0, V 00 = Vb < 0, 0 ^ х ^ а, (5.17) V+ = 0, х> а, показанном на рис. 3. По условию задачи V+<E<V_. Интервал значений координаты естественным образом разбивается на три области. I) х < 0. Согласно общему рассмотрению в (5.5) решение уравнения Шрё¬ дингера затухает на бесконечности экспоненциально, причем коэффициент затухания стремится к бесконечности1: X2_ = ^(V_-E)^+co, 1В случае конечного интервала по х решение представляется в виде суммы растущей и затухающей экспонент, и этот же коэффициент определяет степень экспоненциального роста. Поэтому в пределе бесконечно высокого потенциального барьера растущий вклад необходимо занулить, так как иначе волновая функция становится бесконечно большой.
Лекция 5 85 так что при наличии в некотором интервале конечной ширины бесконечно вы¬ сокого потенциала волновая функция обращается внутри этого интервала в тождественный нуль: гр100=0, х<0. II) 0 ^ х ^ а. Решение осциллирует, но поскольку в силу непрерывности волновой функции яК0)=0, решение уравнения можно выбрать с точностью до множителя веществен¬ ным, так что с учетом наличия узла в нуле Vn(*)=Asin(fcoX). %kkl=E~Vo> (5.18) где связь волнового вектора к0 с энергией следует из уравнения Шрёдингера. III) х > а. Запишем решение в виде xpmM = e-ikx+Reikx, |iк2=Е, (5.19) где первый вклад отвечает падающей из бесконечности на потенциальную яму волне, а второй — отраженной от стенки волне. Поскольку поток про¬ шедшей волны равен в этой задаче нулю, коэффициент отражения равен единице и |R| = 1 => R = eilfi, т. е. отраженная волна приобретает дополнительную фазу рассеяния </?. Для получения связи неизвестных параметров в волновой функции необ¬ ходимо потребовать непрерывности волновой функции и ее производной в точке сшивки решений я/»п(а)=^ш(а), ■0(1(а)='0'п(а). (5.20)
86 Тема 2. Одномерное движение Отсюда Asm(k0a) = e-ika + ei(-ka+,f\ к0А cos(к0а) = -ifce-lfca + ifcel№a+¥,) A=—2ik fc0 cos(k0x) — i/c sin(k0x)9 ei$ _ _e-2ifca fcp cos(fcpjc) + ifc sin(fc0x) fc0 cos(k0x) — ifc sin(fc0x)' (5.21) Модуль амплитуды Л, которая определяет вероятность нахождения частицы в потенциальной яме, задается величиной 4 к2 _ 4 к2 |Л|2 = : (5.22) к2 + (к2 - к2) cos2(fc0a) к2 - ^V0 cos2(kQa)' Как видим, квадрат модуля осциллирует в границах 0 ^\А\2 ^ 4. Характерный график этой функции в зависимости от волнового вектора показан на рис. 4. Рис. 4. Нормировка плотности вероятности обнаружить частицу в потенци¬ альной яме в зависимости от волнового вектора падающей волны (в едини¬ цах a = 10, — 2mV0/h2 =200) Пики распределения расположены при к0а = ^ + пп, п€ N. Эти пики сглаживаются, если их амплитуда мала, т. е. при 2m Vq (5.23) При обратном же соотношении пики хорошо разделены и ярко выражены. Это имеет место при fc2<fc2 vCv0, где v и Vq — скорости движения волны при х > а и в потенциальной яме. Другими словами, при наличии пиков потенциальная яма выглядит глубокой для рассеивающейся частицы. С ростом энергии, естественно, потенциаль¬ ная яма будет восприниматься как мелкая.
Лекция 5 87 Совершенно аналогично фаза 4> = -n-2ka + 2arctgtg(fc0a)] иблизи пика испытывает существенное изменение. В качестве более объ¬ ективной характеристики обычно рассматривают разность фаз падающей и отраженной волны, например, на границе потенциальной ямы, т. е. при х = а: Aip = 2 arctgtg(fc0a)J - п. (5.24) Эго же значение комплексной фазы получается при умножении найденного нами решения на фактор exp(i2fca), т. е. при переопределении глобальной, ненаблюдаемой фазы волновой функции в целом. Говорят, что пики амплитуды и быстрая смена фазы отвечают возбужде¬ нию резонансов в глубокой потенциальной яме. График разности фаз пред¬ ставлен на рис. 5, откуда видно, что вблизи пика комплексная фаза быстро меняется на 2п. Соотношение (5.23) показывает, что резонанс имеет место при условии, что в яме укладывается нечетное число четверть-волн, что в случае ямы с бесконечными стенками, т. е. потенциального ящика, соответ¬ ствовало бы положению ровно посредине между стационарными уровнями энергии1. Рис. 5. Разность фаз (по модулю 2л) в зависимости от волнового вектора Групповая скорость волны определялась из условия стационарности фазы d(p(x,t) др так что для отраженной волны с учетом переопределения фазы, как это было сделано при выводе Aip, 4>(.x,t)=px-Et + h(p, р—Кк, *В потенциальном ящике sin(fc0a) =0, в то время как в рассматриваемой задаче | sin(fc0a)| = = 1. Дополнительная фаза «набегает» за счет того, что одна из стенок не является бесконечно высокой.
88 Тема 2. Одномерное движение и ЭЕ д£ др дк’ что можно переписать в виде x=Vp(t-At), где запаздывание по времени определим по разности фаз А(р дА<р/дк _ дАу дЕ/др дЕ • В явном виде в рассматриваемой задаче производная дАу _ 2 f ак2 ,kl ~fc2 дк Л-18 в пике имеет значение ЭД (/? 2 Г ак k.Q — K | к2 tg2 (fc0a) + к% 1 cos2 (kQa) к0 ^^оа) | 2а, dfc Ipeak а между пиками при sin(fc0a) = О ^а2аЦ<2а- Эти соотношения можно проинтерпретировать следующим образом. В клас¬ сике частица проходит от одного конца ямы до другого за время ^=1=т/!- (5-ад В пике, когда частицу с высокой вероятностью можно обнаружить в глубокой потенциальной яме, в квантовом случае получаем Atquant = m§ = m^^>Atdass. (5.26) Это означает, что в случае резонанса частица многократно отражается от стенок ямы. Величину т = Atquant/4 называют временем жизни резонанса в глубокой потенциальной яме1. Вне резонанса время пребывания частицы в яме даже меньше, чем в классике. Рассмотрим поведение амплитуды резонанса вблизи пика с fc* фО. При этом | sin(fc0a) | —»1, соs(fc0a) —> О, так что, вводя малый параметр разложения A fc, fc = fc* + Afc, Afc—>0, находим fco=^/-^+^-y~^ + fc* + 2fc*Afc^fco + FAfc’ 1Время многократного прохождения половины длины ямы.
Лекция 5 89 vj\vt /Cq = k0№*)* Поскольку в пике cos (fc^a) = 0, k^a = ^ + nn, и окрестности пика получим fc0 cos(fc0a) —»(—l)n+1fc* sin^aAfc^ —► (—l)n+1k*aAfc. Тогда согласно выражению для амплитуды (5.21) вблизи пика резонанса e-ifc*a ^ А~ cos(fc0Jc)-ifc sin(fc0x) ~ (-l)n+1Jc*aAfc- (-l)"ifc*’ где мы учли, что sin(fcga) = (—1)". Выразим А к через разность энергий П2 ,Ь2 ъгл-? ". , ». откуда Стандартная запись подобной амплитуды резонанса в виде А (5.28) (£-£*)+ ^ Г называется приближением Брейта—Вигнера. Величину Г называют шириной резонанса. Квадрат модуля амплитуды — ^ ~(ДЕ)2 + ±Г2’ так что при АЕ = ±Г/2 плотность вероятности обнаружения резонанса пада¬ ет вдвое. Поэтому Г еще называют шириной на полувысоте. В рассматривае¬ мой нами задаче г. ofr2k* Г = 2—-. та Амплитуда Брейта—Вигнера как функция энергии представляет собой полюс в комплексной плоскости энергии при £poie=E*-|r. (5.29) Поэтому считают, что временная зависимость волновой функции резонанса ~e~nEp°let = e~bE*te~ibrt имеет затухающий фактор, так что плотность вероятности падает со време¬ нем как \гр\2 ~е~*п. Величину т = £ (5.30)
90 Тема 2. Одномерное движение называют временем жизни резонанса. Тогда M2~e-t/T. В нашем случае та 2КК’ что находится в полном согласии с приведенной выше интерпретацией вре¬ мени запаздывания сигнала в терминах комплексной фазы за счет возбужде¬ ния резонанса. 5.6. Скачок производной В ряде задач узкий потенциал вблизи некоторой точки х0 с конечной площадью иногда аппроксимируют 5-образным потенциалом: V(x)*-Vo5(x-x0) => JdxV(x) = -V0. В этом случае уравнение Шрёдингера iР" + ^[E + V05(.x- хь)]1р = 0 показывает, что вторая производная волновой функции содержит вклад 5-функции, а следовательно, у первой производной пси-функции есть скачок. Его легко определить, если проинтегрировать уравнение в пределах х0 — е < < х < х0 + е, где е —> +0: J dx {%p" + jp-[E + V0 5(х-х0)]гр}ъ Xq-E ^ ^'\х-е + ' 26 + = °’ откуда при e —> +0 \ hp'(x0 + 0) - \p'(.x0 - 0)] + V0ip (x0) = o. Выражение в квадратных скобках и есть скачок производной. При этом, конечно, сама волновая функция остается непрерывной.
Тема Гармонический осциллятор 3 Лекция 6 Канонический формализм, теорема вириала, характерные значения коор¬ динаты, импульса и энергии, операторы рождения, уничтожения и числа квантов, спектр, полиномы Эрмита, когерентные состояния, распределение Пуассона по числу квантов, голоморфное представление. 6.1. Каноническое квантование Одномерный осциллятор в классической гамильтоновой механике описы¬ вается следующим гамильтонианом ТУГ л Р2 , ™.“>2Ч2 г* HCq,p) = 2^ + -1—, (6.1) где {q, р} — пара координата-импульс, со — фазовая частота колебаний, так как уравнения движения сводятся к виду Г q=™ = L вРанШ ^ 4 + с°2я=0. (6.2) p = -— = -mco2q Соответствующая скобка Пуассона {q,p} Р = 1 переходит согласно формализму канонического квантования в квантовый коммутатор наблюдаемых [q, р] = ift. 6.1.1. Соотношение Фейнмана—Хеллманна и теорема вириала. Сред¬ ние значения кинетической и потенциальной энергии в квантовой механике связаны между собой так же, как и в случае классической системы, согласно теореме вириала. Для ее доказательства покажем сначала справедливость со¬ отношения Фейнмана—Хеллманна, которое устанавливает зависимость соб¬ ственного значения наблюдаемой от параметра: Ц = f\n)=fn\n), (6.3) л где /—наблюдаемая величина, fn—ее собственное значение на собственных векторах |п), а Я—параметр. Тогда й-=А{п^п)={пФп)+Шп1)^п)+(п|^(й|п)) •
92 Тема 3. Гармонический осциллятор Пользуясь уравнением на собственные значения, запишем далее Ж = + /" (Й<п0|п) +^"<п| (ж|п>) = <п|5Х|п) +^<n'n>’ где последнее слагаемое равно нулю, так как состояние нормировано на единицу при произвольных значениях параметра (п|п) = 1, так что соотношение Фейнмана-—Хеллманна доказано. Рассмотрим теперь нерелятивистскую частицу с гамильтонианом Я = г + У = -Цд + Пг), в котором мы проведем замену переменных г = Аг'. В штрихованных координатах Й=-шЬА'+П^- Найдем собственные векторы гамильтониана |п). Очевидно, что собствен¬ ные значения энергии Еп не зависят от того, в каких координатах мы решаем стационарное уравнение Шрёдингера, так что ^=0 дХ и< Воспользуемся соотношением Фейнмана—Хеллманна при Я = 1: /ril ЭЙ|_\ ЭХ ^ дХ I } А=1 где, очевидно, ЭЙ дХ = 2——А'+дУаг,) ЭАг' я=1 2 т Я3 ЭХ г' дХ =_2 ?+г*ш Я=1 Эг В итоге взяв среднее по стационарному собственному состоянию, находим -2<f) + (rf£)=0, (6.4) связь1 которая и устанавливает теорему вириала2 в квантовой механике: среднее значение кинетической энергии в стационарном состоянии связано с рабо¬ той потенциальных сил. 1К тому же результату придем, если рассмотрим производную по времени оператора D=г • р с помощью уравнения Гейзенберга и его среднее по стационарному состоянию. При этом нужно учесть, что среднее коммутатора произвольного оператора с гамильтонианом в стацио¬ нарном состоянии обращается в нуль, и в частности, (n|[D, Я]|п> = 0. 2Термин «вириал» происходит от латинского слова vires — «силы».
Лекция 6 93 Особую изящность теорема приобретает, если потенциал — однородная функция координат, когда производная потенциала, определяющая силу, лег¬ ко вычисляется. Например, V = V0(i*y => (f) = a(V). В частности, для осциллятора а = 1, и (T) = (V), (6.5) т. е. в среднем кинетическая энергия равна потенциальной. 6.1.2. Характерные значения координаты, импульса и энергии; заме¬ на переменных. Воспользуемся теоремой вириала для того, чтобы оценить характерные размерные параметры в задаче с квантовым осциллятором. Равенство кинетической и потенциальной энергий дает 2 Р 2 2 — ^mcL>zqz, т 4 3 в то время как согласно соотношению неопределенностей при колебаниях вблизи нулевых значений координаты и импульса откуда характерные значения координаты и импульса в осцилляторе— Ро = \/ mcoh, = а его энергия Е0 = § = Псо. т ?= а=-Г> HQ = ТГ- (6.6) Введем безразмерные величины Р. о-1 и п ’ п ’ nQ~ F • Ро Яо йо Тогда Hq = \{V2 + &2}, Я = HcoHq, (6.7) а коммутационные соотношения принимают вид _а_ ldQ* 6.2. Стационарные уровни, ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ Стационарное уравнение Шрёдингера в координатном представлении для квантового осциллятора принимает вид AeV>(O)=«K0, *=£;>
94 Тема 3. Гармонический осциллятор и оно представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Наиболее эффектный способ решения спектральной задачи для осциллятора основан на введении операторов1 ' й = -±=&+ iV), t 1 * . (6-8) A' = ±«2-iP) со следующими коммутационными соотношениями [&, af] = \{(й + iff)(й- iP) - (ё - i£) (3+i£)> = - §i • 2[Q,V] = 1, а значит, [а,а+] = 1. (6.9) Преобразования, обратные к (6.8), £ = -т=(аЧа), \2 (6.10) Р = -^-а), дают возможность найти оператор гамильтониана (6.7) в терминах a, at: Я2 = i {_ (а+ - а)2 + (af+ а)2} = \ {afa+aaf}=а+а+ \ [a, af] =afa + |. (6.11) Введем эрмитово самосопряженный оператор N = aTa, (6.12) тогда (6.13) Следовательно, решение задачи на собственные значения оператора N N\n)=n\n) дает и решение стационарного уравнения Шрёдингера с собственным значе¬ нием энергии Е = Ксо(п + \). Волновые функции таких стационарных состояний— Фп(2) = (е|п>. Найдем произведение Na = а*аа = (aaf — 1 )a = a(N — 1). aB классической механике траектория гармонического осциллятора в фазовой плоскости переменных {Q, *Р} представляет собой окружность, по которой точка движется равномерно. Поэтому для подобного движения выглядит естественным введение соответствующей комплекс¬ ной переменной a = (Q + iV)/V2, в точности отвечающей точке на окружности в фазовой плоскости.
Лекция 6 95 Аналогично No* = ataat = a1" (a^a +1) = a1* (N +1). Отсюда следует, что вектор состояния а\п) является собственным для опера¬ тора N: Na|n) = a(N — 1) |п) = (п — l)a|n) с собственным значением (гг — 1), причем соответствующее связанное стаци¬ онарное состояние частицы при одномерном движении невырождено, т. е. имеет единственный нормированный базисный вектор, так что состояние а\п) = Ьп\п-1), а его норма— (атг\ап) = (д|п»*й|п) = (п\а*а\п) = (n|N|n) = п поэтому а\п) = л/7г|п. — 1). (6.14) В частности, при п = О а|0) =0. (6.15) Совершенно аналогично находим а*\п) = у/пЛЛ \п +1). (6.16) Соотношения (6.14), (6.16) позволяют ввести следующие определения опера¬ торов a, af: — оператор а понижает значение энергии осциллятора на величину Йсо, это—понижающий оператор; — оператор дР повышает значение энергии осциллятора на величину hco, это—повышающий оператор. Квантование уровней. Квантование уровней, т. е. определение допусти¬ мых значений наблюдаемой N, возникает вследствие положительности энер¬ гии осциллятора. Действительно, согласно определению эрмитово сопряжен¬ ного оператора и в силу положительной определенности нормы вектора устанавливаем, что спектральный параметр не может принимать отрица¬ тельных значений, (n|N|n)=n Ф=» {n\tfan) = {an\an)=n^0. Теперь воспользуемся понижающим оператором для того, чтобы построить из |п) цепочку собственных состояний |п), а\п), а2\п), ..., ат\п), ... со значениями энергии + hco(n-l +hco^n — 2 + ^j, kco(n-m + ^j, ...
96 Тема 3. Гармонический осциллятор Для того, чтобы энергия принимала только положительные значения, необ¬ ходимо, чтобы цепочка оборвалась, т. е. существовало такое натуральное значение т, что ат+1|п) = 0, п-т^О. Это возможно только в случае, если am+1|n)~a|0) = 0, а значит, am+1|n) =а(атШ=й\/п(п-1 )...(п-т + 1) |п-т) И п = т, mGN. Таким образом, собственные значения оператора N должны быть только натуральными, а энергия стационарных уровней — E = ha>(n + ^, neN. (6.17) Энергия связанных состояний осциллятора принимает дискретные значения. При этом квантовое число п называют числом заполнения. Квант энергии, т. е. инкремент изменения энергии при изменении числа заполнения на единицу Ап = 1, равен АЕ = ha>, поэтому говорят, что п-й уровень содержит п квантов, а операторы а+, а называют еще операторами рождения и уничто¬ жения квантов. 6.3. Собственные функции, полиномы Эрмита Волновые функции стационарных состояний осциллятора можно постро¬ ить, воспользовавшись свойствами операторов рождения и уничтожения, именно: |п> = ^|0>, (6.18) причем а|0) =0, (6.19) и в представлении {Q} последнее уравнение для вакуумного состояния, т. е. состояния с минимальной энергией, принимает вид (s|ao)=o => ^(е+э|)1/’о(е)=о. Преимущество излагаемой процедуры ясно видно из этого уравнения: оно является уравнением первого порядка в отличие от исходного стационарного уравнения Шрёдингера для осциллятора! Решение имеет вид гауссова рас¬ пределения т<о 2 Ф0(д) =Ае" 2 =Ае~~*q , (6.20)
Лекция 6 97 где постоянная А определяется единичной нормировкой о Г - т{0 -2 A2 J dq е * 9 = 1, откуда Вакуумное состояние, нормированное в пространстве {Q},— (6.21) В этом же пространстве волновые функции n-го уровня получаются согласно так что в этих обозначениях волновые функции осциллятора выражаются через полиномы Эрмита в виде Так как потенциал осциллятора инвариантен при зеркальном отражении оси q, невырожденные уровни связанных состояний имеют определенное значение P-четности: число заполнения п равно числу внутренних узлов1 волновой функции стационарного состояния, и пространственная четность совпадает с четностью числа узлов. Эволюция по времени. Зависимость волновых функций стационарных состояний от времени является стандартной: фактор ехр[—iEnt/h]. Интерес представляет эволюция операторов рождения и уничтожения. Согласно урав¬ нению Гейзенберга (2.9) (6.18): (6.22) Заметим, что (е - Jo)x(Q) = (-l)e^ (Q)}, так что (fi - Й) VS) = C-Dne^^|r{e-^^(Q)}, откуда Полиномами Эрмита называют функции (6.23) (6.24) Ш^ = ШЭ? + [/Л’Й3’ 1Не считаем зануление волновых функций на концах интервала — оо <q< +оо.
98 Тема 3. Гармонический осциллятор с учетом того, что находим Коммутатор вида IАВ, С] часто встречается в задачах, так что рассмотрим его в общем виде: л Л Л Her АЛЛ Л л Л Л Л л ЛЛ ЛЛ АЛА АЛЛ АЛА [АВ, С] = ABC - CAB=А(ВС - СВ) - (СА-АС)В=А[В, С] - [С, А]В. В итоге [AB,C]=A[B,C]-[£i]il. (6.25) Поэтому ГА Л+ЛТ ГЛ+Л А1 А+ГЛ А1 , Г Л + АЛЛ А [а, а'а] = —[а'а, а] = —а1 [а, а] + [а1, а]а = а. Значит, .da 1dF = wa> и решение этого уравнения имеет вид a(t) =e_ia>ta. (6.26) Совершенно аналогично находим dt(t) = eia»tat (6.27) 6.4. Когерентные состояния Как мы показали в лекции 1, соотношение неопределенностей для двух наблюдаемых Л и В минимизируется, если (см. (1.24)—(1.25)) (А — А) |Ф) = ir (В — В) |Ф>, у е R, (1.24) где r = - 2iTTTC => 1г1 = т4- (1.25) <[А, В]) 1,1 ДВ- Для операторов Q и V в представлении {Q} со средними значениями (Q) = Q0 и (V)=V0 в состоянии |a): (Q|a) = <i/>a(Q), минимизирующем соотношение неопределенностей, уравнение (1.24) перепишется в виде (S-So)V>a(Q) = ir(-i^-'Po)V’a02) <=> (6-28) <=> (Q-r^)V>e(Q) = (eo-ir^o)V»e(G)- (6-29) Это обыкновенное дифференциальное уравнение легко решается в общем виде, так как &Фа ^ = dQ±(Q-Q0 + im>),
Лекция 6 99 откуда (Q~Qp)^ I q V'a(S) = '0Oe * +1PoS, и с учетом г = -2-^rOr— = —2(AQ)2 r m,v])\ находим (Q-Qp)2 , n 'ФаШ)='Фое "^"+lP°Q. (6.30) Значит, в общем случае соотношение неопределенностей координата-им- пульс минимизируется на волновых функциях гауссова типа с учетом нали¬ чия ненулевого среднего импульса, что приводит к стандартному фактору в виде комплексной фазы, зависящей от координаты. Итак, для произвольной системы мы можем изготовить состояние гауссо¬ ва типа, которое минимизирует соотношение неопределенностей координа- та-импульс в начальный момент времени. Но это не значит, что составленный таким образом волновой пакет сохранит это свойство минимизации в ходе эволюции: волновой пакет может расплыться в зависимости от гамильтони¬ ана физической системы и параметров начального состояния. Особый инте¬ рес представляют системы, для которых можно в явном виде построить ди¬ намически устойчивые волновые функции, минимизирующие соотношение неопределенностей координата-импульс, т. е. с минимальными неопределен¬ ностями во все моменты времени. Такие волновые функции представляют собой не расплывающиеся со временем волновые пакеты, в максимальной степени соответствующие движению исходной классической системы. В случае осциллятора заметим, что вакуумное состояние (6.21) является гауссовым волновым пакетом с (AQ)2 = | => Y = ~ 1. Этот волновой пакет—стационарное состояние, т. е. распределение не изме¬ няется со временем, и свойство минимизации является динамически устой¬ чивым. С этим параметром у = — 1 уравнение (6.29) перепишется в виде (e+^)^a(e)=(So+iWa(Q)- (6,31) Учитывая явное выражение для оператора а в представлении {Q}, находим а'фаШ) = а'фаШ), a = -j=(Q0 + iVo). (6.32) В обозначениях Дирака основное уравнение а\а) = а\а) (6.33) представляет собой уравнение на собственные значения оператора уничто¬ жения, причем комплексное собственное значение имеет вполне определен¬ ный физический смысл: с точностью до фактора д/2 вещественная часть соб¬ ственного значения есть среднее значение координаты осциллятора, а мни¬ мая часть —среднее значение импульса.
100 Тема 3. Гармонический осциллятор Кроме того, вычисляя квадрат вектора состояния (6.33), находим, с одной стороны, (а|а))+й|а) = (a|afa|a) = (a|N|a), а с другой— (а|а»+а|а) = |а|2(а|а) = \а\2, где мы учли нормировку состояния на единицу. Значит, (N) = |а|2, (6.34) т. е. среднее число квантов в таком состоянии определяется квадратом моду¬ ля собственного значения оператора уничтожения. 6.4.1. Разложение по базису. Коммутатор оператора уничтожения с га¬ мильтонианом [Я, а] = h<o[a*a, a] = —hoo[a, at]a = —hcocL не обращается в нуль (за исключением среднего значения для вакуумного состояния). Поэтому энергия в состоянии |а) флуктуирует вблизи своего среднего значения, определенного согласно (6.34): (£) = fta>((N) +1/2). Раз¬ ложим это состояние по базису стационарных состояний п и с учетом уравнения на собственные значения Сп(а) = (п|а) = ^(п\аа) = 1(&п\а), где мы воспользовались также определением эрмитово сопряженного опера¬ тора. По построению а}\п) = у/~пЛЛ |п + 1), так что получаем рекуррентное соотношение aC„(a) = д/п + 1Сп+1(а), которое можно разрешить в явном виде: Cn(a) = -^=C0(a). Разложение принимает вид \а) = C0(a) 7=Н =Со(«) £ ^Ю) = С0(а)е^|0), п * * п где мы использовали соотношение
Лекция 6 101 Коэффициент С0(а) можно определить из условия единичной нормировки состояния <а|а> = |C0(a)|2(0|e“*ae“at|0> = |С0(а)|2 £ ^ = 1, П где мы учли ортогональность стационарных состояний. Отсюда |C0(a)|2e|a|2 = l => C0(a)=e_12", и в это определение включено соглашение о фазе состояния. Окончательно, |a) = e-tre“at|0)=e-^ S^T|n)- (6-35) 6.4.2. Распределение по числу квантов. Доля вероятности того, что в состоянии |а) имеется п квантов, естественно, задается квадратом модуля коэффициента в разложении состояния по базису (6.35): pn = |(n|a)|2 = ^e-l“l2. Вспоминая, что получим гг! (N) = |a|2, Pn = ^e~W, (6.36) т. е. распределение Пуассона для числа квантов со средним значением (N). 6.4.3. Эволюция. Разложение по стационарным состояниям однозначно задает зависимость вектора состояния |a(t)) от времени |a(t)) =е"^ -^=е-»я"Чп), (6.37) где теперь необходимо учесть явный вид спектра Еп = hco(n + 1/2), так что Теперь введем зависящий от времени параметр a(t) = e~lwta. (6.38) Тогда зависимость состояния от времени сводится к |a(t)) = e_i&>te"!^L ^=Нп). (6.39) Учитывая зависимость оператора уничтожения от времени и сравнивая (6.39) с (6.35), замечаем, что a|a(t)) = a(t)|a(t)), a(t)|a(t)) = a|a(t)>, (6.40)
102 Тема 3. Гармонический осциллятор т. е. в ходе эволюции состояние остается собственным состоянием зависяще¬ го от времени оператора уничтожения. Это означает, что с учетом динамики сохраняется минимизация неопределенностей для координаты и импульса, и состояние является когерентным. Так как изменения сводятся к зависимости комплексной фазы собствен¬ ного значения от времени то среднее значение частиц в когерентном состоянии остается неизменным Сохраняется, следовательно, и распределение Пуассона по числу квантов. Наконец, распишем собственное значение через средние значения коор¬ динаты и импульса но это есть не что иное, как решение уравнений движения для классиче¬ ского осциллятора: в когерентном состоянии осциллятора средние значения координаты и импульса совершают классическое движение1. Поэтому коге¬ рентное состояние осциллятора с минимальными флуктуациями координаты и импульса максимально соответствует классическому движению частицы. 6.4.4. Полнота. Согласно (6.35) найдем скалярное произведение двух ко¬ герентных состояний Значит, когерентные состояния неортогональны. Кроме того, базис гиль¬ бертова пространства осциллятора составляют собственные состояния энер¬ гетического спектра, т. е. счетное число векторов, в то время как число когерентных состояний является континуумом в квадрате. Тем не менее, покажем, что сумма проекторов на когерентные состояния дает соотношение полноты2 янии средние значения координаты и импульса удовлетворяют классическим гамильтоновым уравнениям движения, так как эти уравнения линейны, но в стационарных состояниях сред¬ ние значения тождественно равны нулю, так что теорема Эренфеста сводится к тривиальным тождествам нулей. В других же, не когерентных, состояниях дисперсии координаты и импульса неминимальны. 2Под элементом площади в комплексном пространстве понимается площадь параллело¬ грамма, натянутого на векторы da •-> ех dx 4- iey dу и da* = da -»ех dx - iey dy в двумерном пространстве с ортами по осям х и у, так что da da=2i dx dy. |a(t)| = |a|, (JV(t)) = |a(t)|2 = |a|2 = (N). (6.41) (6.42) П (6.43) 13аметим, что согласно теореме Эренфеста для гармонического осциллятора в любом состо-
Лекция 6 103 где а = а* — комплексно сопряженное число. Для любых собственных состоя¬ ний энергии |n), |т) с учетом (6.35) матричный элемент (6.43) . _ I /_i~\dada,_l_\ _ | dada_-ial2 атап тп~] J -Щ-е после замены переменных а = re1{p, da da = 2i dip r dr сводится к 00 2п 1 — 2 I dip Cmn= I rdre r y== -^-[cos(m —n)y + i sin(m —n)t/j]. 0 0 Так как {m, n} € N, интеграл по углам идет по полному периоду, и 2п dip I [cos(m-n)y + isin(m — n)</>]=26„ Тогда ос I _ 2 »*2m dr2 е~гГ-г = 5 . = 5mn J mj —''mn> 0 что и требовалось показать. 6.4.5. Голоморфное представление. Выведенное выше соотношение полноты можно использовать для построения голоморфного представления. Введем волновые функции комплексной переменной фп(.а) = {а\п) • е“ = =, (6.44) где экспоненциальный фактор сокращает зависимость от комплексной пере¬ менной а: — свойство голоморфности. Тогда скалярное произведение базисных функ¬ ций в голоморфном представлении можно построить, вставляя единичный оператор, записанный через когерентные состояния, в соотношение орто- нормированности базиса (т\п) = 5пт, a)V>n(d)e-““ = Sn В голоморфном базисе действие операторов рождения и уничтожения дает &*'фп(.а) = (al^n) • е^ = (a|a»t|n) • е^ = а(а\п) • е^ = dipn(a), (6.45) й'фп (а) = (а|ап) • е^ = л/п{а\п -1) • ef = п а =-^-у=, (6.46) ^/(п —1)! daVn\
104 Тема 3. Гармонический осциллятор а значит, В этом случае действительно [а, а+] = , а] =1, и afi/)n(a) = да/>„(а) = \/п + 1-Д^= = ■\/n + l ipn+1(a), >/(п+1)! dn-l а-фпСа) = п-^=г = Vnip^id), как это и должно быть для собственных векторов энергии. Легко также показать, что с введенным скалярным произведением (■фт^Чп) = (tymWn) = у/п + 1 5mn+1, т. е. операторы рождения и уничтожения действительно являются эрми¬ тово сопряженными друг другу. Произвольные операторы в голоморфном представлении строятся в виде матриц с базисом функций {'фп(а)} (см., например, [17,19]).
Тема 4 Непрерывные симметрии пространства Лекция 7 Трансляции с непрерывным параметром сдвига, генераторы инфинитези- мальных преобразований, общий вид преобразования операторов, связь с классическими преобразованиями физических величин, вращения декарто¬ вых координат, спиновая матрица для вектора, генераторы вращений, момент импульса, коммутационные соотношения генераторов вращений с векторны¬ ми и скалярными наблюдаемыми, преобразование волновых функций ска¬ лярных и векторных частиц, полный момент количества движения, спин векторной частицы. В классической механике евклидово пространство обладает непрерывны¬ ми симметриями—трансляциями и вращениями—наряду с дискретной сим¬ метрией зеркальных отражений, которые сохраняют инвариантными длины векторов. Рассмотрим, как эти непрерывные преобразования действуют на состояния и операторы в квантовой механике. В лекции 4 мы изучили трансляции с фиксированным шагом а. В классике соответствующее преобразование координат Та записывается в виде Мы показали, что в квантовой механике оператор трансляций, сохраняющий нормировку состояния и, следовательно, являющийся унитарным, в которых действие оператора конечных трансляций на волновую функцию можно представить в виде 7.1. Трансляции г —> га = г - а. а на состояния как (г|?в|Ф)=Ф(г+а). Введем обозначения (7.1) (гв|Фа> = (»•№) *=> Фа(»’а) = Ф(г). (7.2)
106 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Это означает, что волновая функция после действия оператора трансляций в преобразованных координатах получается просто заменой переменных в исходной волновой функции. С другой стороны, соотношение (7.2) есть вы¬ ражение унитарности оператора трансляций: <Га|Фа) = = <Г|Ф>. Равенство (4.12) можно теперь записать и в виде ФаОО = ?аФ(г) = ф(г+а), откуда в координатном представлении мы нашли явный вид оператора транс¬ ляций через оператор импульса Матричный элемент оператора F (r'|F|r) =&(/, г) есть не что иное, как операторная функция1 двух переменных. Это клас- сическая величина, зависящая от координат. Поэтому вполне естественно положить, что преобразование трансляции приводит к матричному элемен¬ ту, который получается просто заменой переменных функции, т. е. &aK,ra)=&{r,,r), (7.3) точно так же, как это было при определении преобразования волновой функ¬ ции. В обозначениях Дирака последнее равенство запишется в виде K\Pa\ra) = (l'\P\r), (7.4) т. е. матричный элемент преобразованного оператора Fa в преобразованных координатах совпадает с матричным элементом исходного оператора F в ис¬ ходных координатах (можно говорить и о базисе состояний). Это утвержде¬ ние вполне согласуется с физической интерпретацией матричного элемента и волновой функции: результаты измерения наблюдаемых характеристик оператора (т. е. его матричные элементы) не зависят от того, в каких коор¬ динатах проводятся измерения. В принятых нами обозначениях (7.1) равенство (7.4) запишется в виде (r'\Wa\r) = (r'lFlr), VIг), И, (7.5) откуда Fa = faFtl (7.6) Кроме этого, покажем, что равенство (7.4) допускает решение в виде Ра = Т;ЧР), (7.7) :В матричный элемент, вообще говоря, могут входить производные по координатам и т. п.
Лекция 7 107 где Га(/) —преобразование величины f в классической механике при трансля¬ ции, а Т~х — обратное преобразование. В самом деле, для оператора коорди¬ наты в этом случае имеем (<|га|га) = (Та(г/)|Та-1(г)|Та(г)) = г(Та(г,)|Та(г)}, так как мы имеем дело с собственными значениями оператора координаты на собственных векторах1. В силу унитарности оператора трансляций (Та(г/)|Га(г)) = (г'|г), и мы приходим к необходимому равенству (г;|ГаМ=Иг|г>. Справедливость (7.7) для некоторого эрмитова оператора наблюдаемой сле¬ дует из того, что матричный элемент можно строить по собственным векто¬ рам этой наблюдаемой, так что доказательство дословно повторяет рассмот¬ ренную нами логическую цепочку для оператора координаты2. В итоге Fa = faFPa=T;\F). (7.8) Например, для оператора координаты, в силу того, что в классике Га(г) = г—а => Га_1(г) = г+а, (7.9) находим ra = tarf^ — r+a. (7.10) В справедливости этого утверждения мы убедились путем явных выкладок в лекции 4. Другой пример—оператор импульса. В классике импульс при трансляци¬ ях не изменяется Та(р)=р => Т~1(р)=р, откуда Pa = WZ=P- Вообще, для произвольных обратимых преобразований классической на¬ блюдаемой величины / /g = G(/), (7.11) следуя (7.8), в квантовом случае имеем FG = GFGf = G_1(F), (7.12) где F—квантовая наблюдаемая для /, G—унитарный оператор преобразова¬ ний, соответствующий классическому преобразованию G. Согласно определению функции от оператора в виде ряда Тейлора /(F) =Xm на собственных векторах этого оператора F\Fn)=Fn\Fn) получим элементарно f(F)\Fn) = =/(Fn)|Fn). Значит, действуя в той же схеме, найдем для обратимой функции /_1(^)|/(^п)) = =/_1(/(fn))l/(f„)) =fnl/Cfn)>. что и требовалось. 2В действительности компоненты, скажем, векторного оператора не обязательно комму- тируют друг с другом, как это было в случае координат, так что возможна ситуация, когда компоненты одного оператора не имеют общих собственных векторов. Тогда можно считать по¬ лученную связь определением закона преобразования операторов, обобщенного на квантовый случай.
108 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства 7.1.1. Инфинитезимальные преобразования, генераторы. Поскольку мы рассматриваем преобразования, зависящие от непрерывного параметра, в данном случае а, изучим предел бесконечно малого параметра трансляций, а-» 0: t.-1 + jfP-a- (7-13) Тогда преобразование называется инфинитезимальным, а эрмитов оператор, определяющий разложение унитарного оператора в виде (7.13), г = \р (7.14) — генератором преобразований (здесь —трансляций): f(a)-»l + ir-a, где а-»0. Отметим, что преобразования трансляций образуют группу Ли, так как 1) произведение трансляций определяется как последовательное применение сло¬ жной функции на координатах: Та о Тъ(г) = Га(Гь(г)), и по построению это произведе¬ ние ассоциативно: Та о (Тъ о Гс) = (Та о Тъ) оТс = ТаоТьоТс = Га(Ть(Гс(г))); 2) существует единичный элемент: Га=0 = 1; 3) у всякой трансляции существует обратная трансляция: ТаоТ_а = 1. Генераторы же бесконечно малых преобразований образуют алгебру Ли. В самом деле, так как произведения двух операторов группы в прямом и обратном порядке могут отличаться только на элемент в той же группе: (ТаоТь) = Гсо(ГьоТа), то отсюда для инфинитезимальных операторов при {а, Ь, с} 0 —ГаГь = — ГьГа + iTc, где Га = Г • а и т. п., так что 1Та> ГЬ] = -1ГС, т. е. коммутатор генераторов лежит в векторном пространстве, натянутом на базис генераторов. Кроме того, из ассоциативности следует справедливость тождеств Якоби для коммутаторов [[Га, Гь], Гс] + [[Гь, Гс], Га] + [[Гс, Га], Гь] =0 (циклическая перестановка индексов). Итак, у нас определено векторное простран¬ ство, образованное линейной оболочкой генераторов, так что в нем задан комму¬ татор, для которого справедливы тождества Якоби — это пространство называется алгеброй Ли генераторов группы Ли. В пределе бесконечно малого параметра преобразований соотношение для преобразования оператора координаты (7.10) сводится к ![pa>r*V = a0, откуда [Pa> =
Лекция 7 109 т. е. приходим к стандартному выражению для коммутатора импульса с ко¬ ординатой. В самом общем случае проведенное выше рассмотрение позволяет утвер¬ ждать справедливость следующего положения: если у классической системы {£I, Р} — пара канонически сопряженных пе¬ ременных координата-импульс, то после канонического квантования генера¬ тором трансляций координаты является величина Г = Ф/Н. В частности, если (р — угол вращения частицы относительно некоторой оси, а [л — проекция момента импульса на ось вращения, то, поскольку угол и момент образуют каноническую пару переменных, оператор вращения во¬ круг заданной оси имеет генератор F = fi/h. Впрочем, рассмотрим вращения в евклидовом пространстве более подробно. 7.2. Вращения Прежде всего напомним, как можно параметризовать бесконечно малые повороты в евклидовом пространстве, так как согласно процедуре, описан¬ ной в предыдущем разделе (см. (7.11), (7.12)), это позволит нам определить вид преобразования операторов в квантовой механике. При вращениях длина вектора г не изме¬ няется, так что малое приращение вектора 5г ортогонально самому вектору г-бг=0. Если е — единичный вектор вдоль оси враще¬ ния, а 5</? —-малый угол поворота вокруг этой оси, то, выделяя проекцию радиус-вектора на ось вращения гм = е(е • г) и поперечную к оси „ , .. г 11 г j рис ^ Малое вращение компоненту г± = г - гц, находим, что векторы {е, г1з5г} образуют правую тройку и, очевидно, направление оси вращения задается векторным произведением г± на 5г, а длина вектора приращения равна \5г\ = г±5(р, так что1 е 5ц> = \(г1 х 5г). г± Определим вектор малых углов поворотов как вектор, направленный по оси вращения, с модулем, равным углу поворота: 5<р = е5<р, (7.15) тогда малое смещение вектора при вращении можно переписать в виде векторного произведения 5r = —rx5ip, (7.16) :Во избежание путаницы мы обозначаем векторное произведение не квадратными скоб¬ ками, которые в курсе квантовой механики отвечают коммутатору двух величин, а крестом: векторное произведение а х Ь, а также часто выделяем эту величину круглыми скобками в фор¬ мулах с несколькими множителями.
110 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства где мы воспользовались ортогональностью радиус-вектора и его инкремента. В тензорных обозначения это векторное произведение перепишется в виде 5га = -еарггр 5 ipr, (7.17) где еарг—полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита. Как и для трансляций, определим матрицу инфинитезимальных преобра¬ зований координаты при вращениях на угол у —> 0 как1 га = ®арг13 = га + «а/3ГГ/3 Vr, * 5щ0 + Y4>r = 5а/3 + i(s • <p)af}, где векторная (3 х 3)-матрица s в координатном представлении покомпо¬ нентно определяется тензором Леви-Чивита: (sr)a0 = (7.18) Эта матрица эрмитова: (spa0 = (sp,3e = (sr)aj3> здесь мы использовали антисимметрию тензора Леви-Чивита. Покажем, что для этой матрицы имеют место соотношения коммутации [Sa>S/3] = i£a/3rV (7.19) В самом деле, слева в этой формуле стоит матричное выражение с индексами {М,А} (— i) 8vA ^/xv^avA) = &арйцх — + 5ajl5pX = 5ajX5px ~ Справа же имеем i(-i)ea/3rerM = 8ац?>1ЗА “ ^аЯ^ц/3> и тождество доказано. В матричных обозначениях + <р—>0, (7.20) откуда для конечных вращений находим ЗД) = еиГ (7.21) Поскольку длина вектора при поворотах сохраняется, получаем: (rV)2 = r2 =Ф Г*Г* = = ГрГр => £%ap&ap' = 5pp', или в матричных обозначениях = (7.22) 1Обратите внимание на изменение знака в первой формуле по сравнению с формулой (7.17) по аналогии с трансляциями, так как вращение (трансляция) на отрицательный угол (вектор) в классике соответствует вращению (трансляции) на положительный угол (вектор) для оператора наблюдаемой угла (координаты). Это следует из общей формулы для преобразования квантового оператора (7.12), где стоит обратное преобразование.
Лекция 7 111 Значит, матрица вращений ортогональна: обратная матрица равна транспо¬ нированной. Кроме того, детерминант матрицы det St = \, что определяет отсутствие зеркальных отражений, для которых det SI — —1. В итоге мы находим трехпараметрическую группу ортогональных преобра¬ зований с детерминантом, равным единице: группа вращений трехмерного евклидова пространства—SO (3). В классической механике установлено, что канонически сопряженный к углу вращения обобщенный импульс—орбитальный момент импульса: L = rxp. Действительно, кинетическая энергия вращения с угловой частотой ф T_mv2 _ тг2ф2 2 2 ’ так что обобщенный канонически сопряженный импульс дТ о « L = —r = mr<p=rx mv=rxp. dip 7.2.1. Преобразование операторов. Согласно общей схеме при канони¬ ческом квантовании оператор вращений в квантовой механике имеет гене¬ ратор А 1 А г=^ так что k=enLv. (7.23) Для операторов преобразование имеет вид Fv = RFRr = (F). (7.24) Рассмотрим два важнейших случая. 1 Скалярная наблюдаемая С. В классической механике скалярные вели¬ чины не преобразуются при вращениях. Поэтому <%(С) = С => 52-1(С)=С. Значит, и в квантовой механике скалярная наблюдаемая не преобразуется при действии оператора вращений ev=C. (7.25) Подставляя в (7.24) инфинитезимальный оператор вращений R=l + if.-y>, <р^ 0, (7.26) находим коммутатор оператора орбитального момента с произвольной ска¬ лярной наблюдаемой [1,С]=0. (7.27)
112 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства 2. Векторная наблюдаемая А. В классической механике векторные вели¬ чины преобразуются так же, как и координаты: А^ЯарАр => т-\А)а = ^1рАр, (7.28) так что квантовый векторный оператор преобразуется при вращениях как А1=йАа& = !%1§Ар. (7.29) Для бесконечно малых поворотов в правой стороне (7.29) получаем ®1(}АрЪАа-еа1}гАр<рг, <р->0, в то время как ЛЛЛф А 1_Л Л _ RAaRf ъ Аа + ^ [Lr<pr, Ла]. Сравнивая два предыдущих выражения, находим Аа] lfiSQpyApj так что после переобозначения индексов суммирования получаем общее вы¬ ражение для коммутатора момента импульса с векторной наблюдаемой: [La, Ар] — iheapyAy. (7.30) Обычно определяют безразмерный векторный оператор l=\t, (7.31) так что, в частности, из (7.30) следуют коммутационные соотношения для оператора момента импульса = (7.32) Последнее равенство можно также установить посредством выкладок в яв¬ ном виде, пользуясь выражением для оператора La = еа ругрРу Важным приложением общих результатов являются коммутационные со¬ отношения генераторов поворотов с квадратом момента импульса [1аЛ2] = 0, (7.33) как и должно быть для скалярного оператора Z2. 7.2.2. Преобразование состояний. Как мы знаем, в классическом при¬ ближении волновая функция состояния, амплитуда вероятности, переходит в волну материи, фаза которой пропорциональна классическому действию для корпускул, которые движутся по лучам согласно законам геометрической оптики. Однако пример поля — электромагнитные волны — показывает, что амплитуда волны обладает еще и такой характеристикой, как поляризация. Действительно, электрическое и магнитное поля являются векторами. Следо¬ вательно, амплитуда вероятности при квантовании будет характеризоваться
Лекция 7 113 не только своими модулем и фазой, зависящими от координат и импульсов, но и поляризацией. Поэтому частицы, составляющие, например, электромаг¬ нитное поле в квантовой механике, кроме координаты и импульса имеют еще и наблюдаемую величину Я, которая в классике соответствует поляри¬ зации волн. Для частиц с поляризацией базисом состояний может служить набор векторов с определенными значениями координаты частицы и ее по¬ ляризации |г,А). Тогда состоянию |Ф) соответствует волновая функция (г, А|Ф) = Фя(г). Особенностью преобразования квантовых состояний при вращениях являет¬ ся определение закона преобразования поляризаций частиц. Скалярные частицы. Скалярными называются частицы, у которых нет поляризации, так что имеет место стандартное определение преобразований состояния при вращениях: (г*|Ф*) = (г|Ф), Ф*(г*) = Ф(г), где k\*) = m, K|r> = |r*) = |^r>, где 9t — матрица поворотов в классике. Отсюда можно также записать ^(г) = Ф(^тг). С другой стороны, Ф*(г) = (г|А|Ф) =е«£^Ф(г) есть не что иное, как координатное представление оператора вращений, где i = -ih(rx V). В итоге 'К (г) = е»^Ф(г) = Ф(^тг). (7.34) В справедливости этого тождества можно убедиться прямыми вычисления¬ ми. Например, при у —> О инфинитезимально находим {1 + ц>- (гхУ)Жг) = Ф(г-гх</?), и, переставляя порядок вычисления смешанного произведения слева, полу¬ чаем верное тождество Ф(г)-(гх v?) • УФ(г) = Ф(г-г х </>). Векторные частицы. Векторными называются частицы, поляризация и состояние которых характеризуются вектором s. Поэтому волновая функция векторной частицы—вектор: (г,5Я|Ф) = Фя(г) или (г, з|Ф) —S' Ф(г). (7.35)
114 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Вектор поляризации при вращениях преобразуется так же, как координата, так что R\r, s) = И, sv) = |mr, 01s). (7.36) В силу унитарности оператора вращений Ш = 1 по-прежнему имеет место тождество {rv, sv’|'I'v’) = (г, «|Ф). (7.37) Отсюда (ад-Ф^(^г)=5-Ф(г), или после подходящей замены переменных г -»Й2тг и использования равен¬ ства {0ts • Ф) = &xpsp<S>x = = s • (52ТФ) получаем 5гтФ^(Г)=ф(^тг) ^ фУ(Г)=^ф(^тг)> (738) или в тензорной записи ф£(г)=^лрфр0%тг). (7.39) Далее используем матричную запись для М & = eiiv и операторное равенство (7.34) Ф(^тг) = еп^Ф(г), (7.34) так что (7.38) эквивалентно Ф? (Г) = е»(Ш)'^Ф(г), (7.40) где матричный оператор размерности действия S=hs (7.41) называется спином векторной частицы, а сумма M=t + S (7.42) — полным моментом импульса частицы. В принятых обозначениях преоб¬ разованная при вращениях волновая функция выражается через исходную волновую функцию действием оператора вращений с генератором полного момента количества движения Ф? (Г) = е»й^Ф(г), (7.43) так что физический смысл оператора спина, возникающего из-за введения поляризации волновой функции, есть собственный момент количества дви¬ жения частицы.
Лекция 8 115 Так как в координатном представлении дифференциальный оператор ор¬ битального момента коммутирует с постоянной матрицей спина [1а,^]=0, (7.44) а коммутационные соотношения для спиновой матрицы идентичны соотно¬ шениям для орбитального момента, для полного момента импульса1 получа¬ ем [Ма, Мр] = i heaj3rMr, (7.45) которые совпадают с коммутационными соотношениями как орбитального момента, так и спина. Лекция 8 Квантование момента импульса, повышающий и понижающий операторы, старший и младший вектор представления, вырождение квадрата момен¬ та по значениям проекции на ось, полуцелые значения момента импульса, допустимые значения орбитального момента, базис в полярных координа¬ тах, компоненты оператора орбитального момента в полярных координатах, сферические гармоники, полиномы Лежандра, присоединенные полиномы Лежандра, P-четность сферических гармоник, число узлов. 8.1. Момент импульса, квантование Полученные нами в предыдущей лекции коммутационные соотношения для компонент момента количества движения составляют основу для про¬ цедуры построения полного набора наблюдаемых, например, для свободной частицы2 в 3-мерном евклидовом пространстве: L/a* jp'i ^apyjy> А Ал U«J2] =о, lLp2]=o, (8.1) Ua; Pp]-i£aprPr- Кроме того, если энергия является скаляром3, то [ja,H]= 0. (8.2) гЧасто используют обозначения hj=J=M. 2При наличии взаимодействия, т. е. при включении потенциала в гамильтониан, необходим мо анализировать и перестановочные соотношения генераторов симметрий с потенциалом. 3Для частицы в потенциальном поле это всегда имеет место, если силы, действующие на частицу, центральные.
116 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Тогда полный набор наблюдаемых может включать в себя для свободной частицы следующие операторы1: Действительно, все эти операторы коммутируют, так что они могут быть измерены точно совместно, т. е. они имеют общие собственные векторы состояния. Важно подчеркнуть, что компоненты момента импульса, вообще говоря, не могут быть измерены точно совместно, так как их коммутатор не равен нулю. Исключение составляет случай т. е. если орбитальный и спиновый момент импульса тождественно равны нулю в данном состоянии. Рассмотрим задачу на собственные значения квадрата импульса и одной из его компонент, для определенности компоненты по оси z: так как выполнено условие вырождения: оператор j2 коммутирует со всеми компонентами j, но эти компоненты не коммутируют друг с другом. Введем операторы массу частицы в качестве величины, задающей связь между энергией свободной частицы и ее импульсом. (8.3) j2|A,ju) = A|A,ju), А|А,м)=м|А, м). (8.4) Сразу отметим, что собственные состояния j2 являются вырожденными по ju, (8.5) Тогда легко видеть, что и аналогично А Л Ал Aq А j~j+=j;+jy-jz. В итоге Ал I Л Л Л Л Ал j =^U+j- +)-)+)+j2- Коммутатор этих операторов с компонентой jz легко вычисляется Uz, j±] = lL )х ± i/y] = i/у ± i(-ijx) = ±j±. Это позволяет установить, что векторы /±|Я, /i) также являются собственны¬ ми векторами заданной пары наблюдаемых: jJ±|A, ju) =L(i ± 1)1 А, ц) = (jU± l)j±|A, ju). хМы включили в полный набор энергию частицы, но вместо нее можно было поставить
Лекция 8 117 Итак, операторы j± являются соответственно повышающим и понижаю¬ щим на единицу значение проекции момента импульса операторами. Значит, J± I я, М) =Л4 (А, /х) | А, д ± 1), где нормировочные множители Л4 легко определить, взяв модуль каждого из состояний: (А, /х|/_/+ (А, (л) = (А, д|(j2 -)2 - jz)|A, ju) = А - ц2 - /х ^ О и аналогично (A, /х| /+ /_ | А, д) = (А, ц\ (/2 - j2 + jz) I A, ju) = А - ц2+ц 2 О, откуда /±|А, ju) = \/А —juCju±l)|A, д±1). (8.6) Так же, как и в случае гармонического осциллятора, использование повыша¬ ющего и понижающего операторов позволяет провести квантование спектра собственных значений пары {j2, jz} с помощью условия неотрицательности нормы вектора состояния. В самом деле, повышающий оператор переводит ц -* ju +1 и изменяет норму вектора N2 —> Л/*2 [А — ju(ju +1)] ^ 0. Для того чтобы норма вектора состояния после многократного действия по¬ вышающего оператора оставалась положительно определенной, необходимо, чтобы цепочка многократного повышения прервалась, т. е. чтобы существо¬ вал старший вектор состояния: J+ |А,мя) = 0, А = /ха(/хл-Ы). (8.7) Составим цепочку состояний, многократно действуя на старший вектор по¬ нижающим оператором: |А,/*я). /-|А,Ма>, - с собственными значениями проекции Мя> ... Для того чтобы норма векторов в этой цепочке состояний оставалась положи¬ тельно определенной, необходимо, чтобы она оборвалась, т. е. существовал бы младший вектор: j_|A,v*)=0, A = va(va-1), (8.8) но при этом мы получаем собственное значение для младшего вектора пу¬ тем целого конечного числа шагов из собственного значения для старшего вектора: vx=nx-n, neN. Собственное значение А оператора j2 при действии повышающего и пони¬ жающего операторов не изменяется (соответствующий коммутатор равен нулю), так что согласно (8.7), (8.8) имеет место тождество Мя(Мя +1) = (Мя - п) (/хя - п -1)
118 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства с единственным решением Таким образом, проекция момента импульса на заданную ось принимает полуцелые значения, и состояния можно полностью охарактеризовать зна¬ чением проекции для старшего вектора /хя=j, так что J2\j, m)=j(j + l)\j, т), Jz\j> тп)=т\j, т), * , ' (8.9) ]-\j> -j) = o, причем количество состояний с заданным j равно числу шагов от старшего вектора к младшему п = 2j плюс одно начальное состояние построения це¬ почки (старший вектор), т. е. вырождение j2 по числу проекций есть k = 2j +1, (8.10) где {j, т}—полуцелые числа, j = |(fc-1), fceN, и fc—кратность вырождения j2. В частности, при k = 1 имеем j = 0. Кроме того, мы нашли, что матричные элементы повышающего и пони¬ жающего операторов задаются формулами (j, n\L\j, т) = Vi0' + l)-m(m±l)5nm±1. (8.11) 8.2. Орбитальный момент, собственные функции Допустимые значения орбитального момента. Совершим поворот неко¬ торой физической системы, у которой нет поляризации, т. е. спин системы тождественно равен нулю, вокруг некоторой оси на угол 2тс. При этом пре¬ образуются только координаты системы, так что система после поворота тождественно эквивалентна исходной системе до поворота. Другими слова¬ ми, поворот физической системы с нулевым спином вокруг некоторой оси на угол 2п приводит к тождественному преобразованию для волновой функции этой системы. Даже отличие волновых функций до и после такого поворота на глобальную фазу запрещено, потому что при наличии такой фазы можно было бы ее обнаружить по интерференции с неким другим состоянием при составлении одинаковых суперпозиций стороннего состояния с двумя состо¬ яниями системы до и после поворота. Итак, если е — единичный вектор вдоль оси поворота, то вектор углов 4> = 2пе, и согласно закону преобразования волновой функции состояния без спина при вращениях, поворот на угол 2п дает Ф(г) = е2^'еФ(г),
Лекция 8 119 где мы положили преобразованную функцию тождественно равной исход¬ ной. Квантование системы можно провести, положив в качестве проекции орбитального момента компоненту вдоль оси вращения, Л А k = l-e, так что для базисных состояний \l,lz)=e2nil‘\l,lz), откуда lz = me N, т. е. орбитальный момент может принимать только целые значения. Если у системы есть ненулевой спин, то совершим преобразование коор¬ динат путем поворота вокруг некой оси на угол 2тг, при этом сохраняя по¬ ляризации частиц. Такое преобразование также сводится к тождественному, так как мы получаем систему в тех же координатах и с теми же поляризация¬ ми. Поэтому приведенные выше формулы остаются в силе, так как спиновые степени свободы не преобразовывались по построению. В итоге приходим к тому же выводу о целочисленном значении собственных значений проек¬ ции орбитального момента. Собственные функции. Для построения собственных функций орбиталь¬ ного момента в координатном представлении используют полярную систему координат, так что вектор в декартовых координатах в = а*ех + ауеу + ажеж, где базисные векторы имеют вид ех = (1, 0,0), еу = (0,1, 0), ez = (0,0,1), выражают через базис в полярных координатах а = агег + + а^е^, где уже ег = (cos ip sin 0, sin ip sin 0, cos 0), ee = (cos ip cos 0, sin (p cos в, -sin 0), = (-sin (/?, cos (p, 0). При этом элемент длины dr2 = dr2 + г2 d02 + r2 sin2 0 dtp2 = dl2 + dt2e + dt2 сохраняет форму евклидовой метрики в терминах дифференциалов dtk, где индекс к принимает значения г, 0, </?. Тогда вектор набла имеет вид с суммированием по немому индексу к, а радиус-вектор— г=егг.
120 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Выразим компоненты орбитального момента в полярных координатах. Например, tz = ez • I=- iez • (г x V), (8.12) где векторное произведение запишем в полярных координатах г хЧ = е^гкгщ = евевг9г-£- + е9е9гвгщ, (8.13) где полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита определен стандарт¬ но, так что для правой тройки базисных векторов erOip = l- Отсюда для s-й компоненты находим I =—i — £* 1д(р* (8.14) что и следовало ожидать из канонического квантования, так как проекция орбитального момента на ось z как раз отвечает поворотам со сдвигом угла (р. Этот оператор эрмитов на функциях, периодических по </? с периодом 2тг. Для оставшихся компонент прямые вычисления после несложных выкла¬ док, которые мы здесь опускаем, дают lx = +i sin 4>jQ + i cos ctg 0^, откуда Zy = -icos<^ + i sin <p ctg 0^, г±=е±,’’(±зИ (8.15) (8.16) Как видим, компоненты орбитального момента зависят только от углов.
Лекция 8 121 (8.18) Для справок приведем также вид оператора квадрата орбитального мо¬ мента в угловых переменных: Р = —Afsin0:^l \-ZTT2- (8.17) Sin в дв V. дв J sin в дф Собственные функции 12щ1т(е,<р)=щ+1щт(в,<р), Ъ‘Щ,т(в>Ч’) = ™Щ,т(в> V), нормированные на единицу, 1 2 п / d cos в j d(p 9Cn(0,v)^(0.V) = l, -1 О называются сферическими гармониками. В угловых переменных уравнение на собственные значения для проекции момента на ось z ЪЧт(0> V) = -i^^,mC6, у) = ТПЩ'т(в, (?) легко интегрируется при разделении переменных, так что ^(0,V) = eimvyljm(0). Функции ^>т(0) проще всего найти, используя повышающий оператор, кото¬ рый зануляет старший вектор: ?+e£z(0,¥O=о, откуда дв• с решением ^Yu«9)-Zctg6>fy(e) = 0, &ц(9, ip) = С; sin1 0el!v, (8.19) где нормировочную константу Q определим, взяв интеграл 2 п Ii = J dcos0 J dip sin2*(0). о Проведем интегрирование по частям: 1 о Ii=2n J sin21 в d cos в = -2n 21 J cos в sin2Z_1 в cos 9 de=2l[Ii_1 - 1г], -1 n где после изменения порядка пределов интегрирования мы ввели Ii=2tc J sin2H_1 в d0. о Для этого интеграла аналогично находим к п Ii = —2n j sin2* 0dcos0=2Z J cos2 в sin2*-1 d6 =2Z[Iz_1 — Jz].
122 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Получаем рекуррентное соотношение 21 ~ 2212 1, = 21 + 17,-1 = (21) (21 +1)/)_1’ ZeN’ причем /0 = 4я, и, следовательно, ?_ 22|ао2 ' (2i+i)i Отсюда В итоге нормированная на единицу сферическая функция для старшего вектора— ip) = (-1)'sin! 0е^, (8.20) где фактор (—I)1 определяет общепринятое соглашение о фазе. Сферические гармоники с меньшими значениями проекции момента получаются действи¬ ем понижающего оператора: Li I, I)=Jki+d-ki-d I и i -1>, L| l, l-1) = y/l(l + l)-(l-l)(l-2) 11,1-2) = \/ 2(21 — 1) 11,1 - 2), так что t*\l, i) = V21(21 —1)2 \l, I — 2), L\U 1-2) = Ji(i+i)-(i-2)(i-3) 11, i- 3) = л/з(2г-2) IZ, г - з), или ti\l, l) = 21(21-1) (21 -2)2-3 |Z, 1-3). По индукции В частности, ®{jO(0, V?) = —^=Zi^(6>, ¥>). VC2Z)! В явном виде “8 9)Ч»С6)==to"M,(ted)^r^bsta" e) W»>- Отсюда находим sin' ^•'(9)=c^sin2' *•
Лекция 8 123 Собирая множители, получаем Согласно стандартному определению полиномами Лежандра называют функ¬ ции ЖО = ^^г(1-£2)г, (8.21) И m=jmPl,0S в). Так как сферические гармоники, являющиеся собственными векторами, ор¬ тогональны и нормированы на единицу, для полиномов Лежандра автомати¬ чески находим Кроме того, отметим следующее свойство этих полиномов: ргш=1, ргс-1)=(-1)г, что следует из того, что ненулевой вклад при |£| = 1 дает лишь слагаемое с нулевой степенью фактора (1 — £2), и поэтому нужно многократно диф¬ ференцировать лишь степень этого фактора, что и приводит к сокращению численного множителя в (8.21). Состояния Щут(6, <£>) с т > 0 обычно выводят с помощью действия повы¬ шающего оператора на функцию Щ}0(в, </?). Для этого найдем 1+%т(в, Ч>)= eiv + i ctg 0^)eim^,m(0) = = ei(m+1* :m ctg 0)^,m(0) = = -е«т+1^ {(sin 0)m+1 —!Ц- -r^rs Ь/т(б) = (. dcos0sinm0J L’m = y/l(l +1) - m(m + 1)Щ т(6, </>)• Значит, с одной стороны, = eim4-irj^fsinm 9j£^Pi(cos в), а с другой— о(д)=у/щ+1) Va - D«+2).. Va - m - mi+тщ^в, <*>)=
124 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства В итоге Щ>т(в, ip)=eim4-l)m]/2l4+n1 g-gK-Ccos в), (8.22) где присоединенные полиномы Лежандра— %(€) = (1 - ?2)т/2^гРг(?). (8.23) Совершенно аналогично строятся сферические гармоники Щ-т(.д, </>) с отрицательной проекцией орбитального момента на ось z, где т > 0: »u(e.v)=e"imv/^iiSp,-m(cos0)j (Km^> (8-24) так что имеет место элементарное соотношение комплексного сопряжения ^,-m(0^)=(-Dm^m(6^). Р-четностъ. При зеркальном отражении всех осей евклидова простран¬ ства г-^-> —г углы преобразуются как р р V?—»^ + я, 0—*п-в, или eimy> JU eim(V>+") = (—l)meim('’, cos 0 - cos 0. Присоединенные полиномы Лежандра суть производные функции четности (—1)г, так что их четность определяется просто числом производных, и Pi m(cos 0) (-l)i_mPi m(cos 0). Собирая факторы, находим ^>m(0, v) -L (-1 )1Щ1т(в, у). (8.25) Другими словами, Р-четность сферических гармоник равна АР = (-1)'. Отметим, что уравнение на собственное значение квадрата орбитально¬ го момента при условии справедливости уравнения на собственное значе¬ ние проекции орбитального момента (см. (8.17)—(8.18)), очевидно, сводится к одномерному уравнению второго порядка для присоединенных полиномов Лежандра. Это уравнение можно проанализировать стандартными метода¬ ми, рассмотренными нами при изложении квантовой механики в одном измерении. В частности, можно установить, что присоединенный полином Лежандра Р*>т(£) имеет I - т узлов на интервале — 1 < £ < 1, т. е. четность числа узлов этой волновой функции совпадает с ее Р-четностью.
Лекция 9 125 Лекция 9 Спин спинор и матрицы Паули, преобразование спинора при вращениях, поворот на угол 2п, эквивалентные представления группы вращения спино¬ ров SU(2), зарядово сопряженный спинор, спинорная метрика, индексы с точ¬ ками и без точек, тождественные частицы и принцип запрета Паули, опера¬ тор перестановок тождественных частиц, антисиметричные и симметричные волновые функции, фермионы и бозоны, «духи», фермионный осциллятор, антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения, голоморфное представление и переменные Грассмана. 9.1. Спин матрицы Паули Рассмотрим собственный момент импульса частицы, спин, s = В этом случае соответствующая спиновая матрица представляется в виде s = l&, (9.1) где а — матрицы Паули1. Найдем явный вид матриц Паули, используя общие выражения для матричных элементов момента импульса (8.9), (8.11). Базис спиновых состояний для краткости обозначений записывают как f,+f) = l+>, = (9-2) причем это —собственные векторы проекции спина s*l+) = |l+)> Sz|-) = -i|-). (9.3) Следовательно, эта матрица в рассматриваемом базисе имеет диагональный вид 2 U -1) • Согласно (8.11) ненулевые матричные элементы повышающего и понижаю¬ щего операторов <+|S+|-> = V/i(i + l)-(-1)1 (-5 +1) = 1, (9.4) (-|5_|+> = «+|1+|-)^ = 1, (9.5) откуда *♦=$£)> *-=(!!!)• <9« Тогда l, = |(St + 8.) = | (» J) (9.7) хМы часто в дальнейшем будем опускать «шляпку» над сигма-матрицами как символ, ука¬ пывающий, что мы имеем дело с оператором, потому что у матриц Паули нет классического числового аналога.
126 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства »,=£»♦-*->=!(? -»)• <9-8> Поэтому сигма-матрицы Паули—это &* = (л о) ’ &y = G "о) ’ *• = (J -!) • С9-9) Поскольку частица со спином которую называют спинором, обладает дву¬ мя поляризациями1 0а =(£))> « = {1,2}, волновая функция нерелятивистского спинора2 (г, ба|Ф) =я/>а(г) (9.10) — это так называемый двухкомпонентный спинор Паули. При вращениях спинор преобразуется согласно V»S(»#) = {eu-»}gV»/j(r), (9.11) где мы указали матричные индексы в явном виде. Так как по построению (г,0|Ф) = 0“г/>а(г) — инвариант при вращениях, спинор поляризации 0“ преобразуется как 00 = 0«{е“ч'}£ 0£ = 0“{е-*П£. (9.12) В матричных обозначениях xl>'f=Rs-i>, ev = e-Rl, fi.s = ei*'4>, (9.13) причем ipa — столбец, а 0a — строка. Для вычисления матричной экспоненты установим два факта: 1) коммутационные соотношения №а> = 2iеарг°г (9*14) следуют из коммутационных соотношений для момента импульса; 2) антикоммутационные соотношения {&а> У = &а&1} +°f}°a = 25а0 (9.15) устанавливаются прямыми вычислениями произведений матриц Паули. Поскольку <7а<7/3 = \ \&а> + |{0-а, &/}}, 1 Далее будем использовать для спинорных индексов греческие буквы в начале алфавита: а, /3,— а для векторных индексов греческие буквы в середине алфавита: д, v,... 2В отличие от векторов, для которых в евклидовом пространстве метрика в декартовых координатах—единичная матрица, так что можно не делать различий между верхними и ниж¬ ними индексами, для спиноров, как будет ясно ниже, верхние и нижние индексы несут разную информацию: метрика для спиноров отличается от единичной матрицы.
Лекция 9 127 (9.16) (9.17) где справа стоит векторное произведение векторов (не путать с коммутато¬ ром!). В частности, п=О четные степени разложения пропорциональны единичной матрице, а нечет¬ ные — оператору где е — единичный вектор вдоль оси поворота. Тогда суммирование четных и нечетных степеней дает т. е. волновая функция спинора меняет знак после поворота на угол 2п. Это свойство, очевидно, является общим для всех частиц с полуцелым спином, которые называются фермионами. а матрица ау чисто мнимая, и Для того чтобы отличать фиксированный набор матриц (9.9) от матриц, кото¬ рые получаются при проецировании на произвольно заданные оси декарто¬ вых координат {сгх, сгу, crz}, часто для матриц Паули используют обозначения С учетом антикоммутационных соотношений элементарно находим су-а')2 = ч>2. Тогда в экспоненте оператора вращений 00 (</> • O') = I </> I (е • <т) = (V? • е) (е • <х), ei* v’=cosQ(v>-e)j + i(e-d) sin(^(v?-е)). (9.18) При повороте вокруг оси на угол 2п = (<р • е) получаем rv =г и (9.19) Значит, (9.20) 9.2. Спинорная МЕТРИКА Заметим, что матрицы ах, az вещественные, так что а2о,*а2 = а2аТа2 = —а. (9.21)
128 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Отсюда немедленно следует, что cr2{eiS'v }тсг2 = e_iiv> фф a2RTsa2=Rl (9.22) и совершенно аналогично a2R*s<r2=Rs. (9.23) Говорят, что соотношения (9.22) и (9.23) устанавливают соответственно эк¬ вивалентность транспонированного представления группы вращения спино¬ ров эрмитово сопряженному представлению этой группы и эквивалентность комплексно сопряженного представления исходному спинорному представ¬ лению. Действительно, рассмотрим, например, спинор-столбец, построенный по комплексно сопряженному спинору: 'фс = 1<Г2‘Ф*- При вращениях он переходит в 'Фс = i^2 (^s^)* = cr2R*sa2{i(T2%p*') =Rs'ij)c, где мы воспользовались тем, что = 1, и соотношением (9.23). Значит, этот спинор при вращениях преобразуется так же, как и сам спинор гр. Поэтому произведение двух любых спиноров *l>lX =i>T(-i<r2)X =^а(- 1<Г2)аРХр является скаляром, т. е. инвариантом группы вращения спиноров. Итак, последняя формула определяет скалярное произведение двух спиноров. По¬ этому согласно общему представлению о метрическом тензоре (как о квад¬ ратичной линейной функции) введем метрическую матрицу для спиноров 6 = ia2=(_; J), (9.24) что является не чем иным, как полностью антисимметричным тензором второго ранга: {£}“/» = е“0 = -е0“, е12 = 1. В терминах метрики скалярное произведение двух произвольных спиноров гр их -ф-Х = ^ЖХр- (9-25) Метрика определяет спиноры с верхними индексами ярр = ера\ра, так что скалярное произведение раХа- Обратная метрика еа$ определяется согласно
Лекция 9 129 но так как (io-2)C-io-2) = 1» то, очевидно, еар = -еар = ера, е12 = -1. Определенный выше спинор-столбец грс называют зарядово сопряженным спинором, и его обычно обозначают спинором с чертой, который имеет верхний индекс с точкой: ^ = Ца2гР*Г = (еа^рГ. (9.26) Как мы показали, этот спинор при вращениях преобразуется так же, как и обычный спинор1. Поэтому скаляром будет величина х'■'Фс = Ход*> где мы ввели обозначение для спинора-строки с нижним индексом с точкой как эрмитово сопряженного к обычному спинору: Ха = (Ха)Г- (9.27) Элементарно получаем Xt = iX*}T = {-102(1О2**)}Т = {-102*}Т- Поэтому Х"Ф = еар Х*#&> еар = -Иог2}ф е12 = -1, т. е. метрика еаР в спинорных индексах с точкой совпадает с метрикой в индексах без точек. Метрика остается инвариантной при вращениях спиноров. Действитель¬ но, общий закон преобразования метрики дает es —RTssRs = etr'Rl^Rs = = 6, где мы воспользовались тождеством (9.22). Группа инвариантности спинор- ной метрики с det Rs = 1 называется специальной унитарной группой на двухкомпонентных спинорах: SU(2). Это трехпараметрическая группа. Мы уже исследовали алгебру генераторов группы при построении вращений спиноров. Эта алгебра совпала с алгеброй группы вращений трехмерного евклидова пространства SO(3). Тем не менее, сами группы не совпадают, так как в SU(2) допустимы и полуцелые собственные значения генератора sz, а в SO (3) — только целые значения jz. Это особенно ярко проявляется при проведенном выше рассмотрении вращения на угол 2п: для спиноров это вращение дает фактор —1, а для бозонов, частиц с целым значением спина, — фактор +1. ХВ релятивистской теории с бустами (преобразованиями Лоренца) зарядово сопряженный спинор преобразуется при действиях бустов иначе, чем обычный спинор.
130 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства 9.3. Принцип запрета Паули, перестановки ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ Рассмотрим два тождественных1 фермиона. Их волновая функция — (гъ пг; r2, ef2y п2|ф) =я/'5’П2)(г1, г2), где мы указали возможные многомерные квантовые числа (п1, п2), не свя¬ занные со спинорными характеристиками. После поворота на угол 2п коор¬ динаты первой частицы гг и ее поляризации эта функция меняет знак2 СГ1» Г2) ^Т"П2) (Г1’ Г2) = ~^аР (Г1» Подобное отличие в фазе волновой функции фермионов после вращения на угол 2п может быть обнаружено при интерференции с исходным состояни¬ ем3. Теперь рассмотрим ситуацию, когда квантовые числа двух фермионов тождественно совпадают: г1 = г2 = г, 0^ = 0^ = в1, п1 = п2 = п, т. е., другими словами, поместим тождественные частицы с одним и тем же набором значений наблюдаемых величин в одну точку пространства. В пол¬ ной аналогии с выводом допустимых значений квантованного орбитально¬ го момента потребуем выполнение следующего принципа: если состояния каждой из двух тождественных частиц неотличимы, то вращение одной из них на угол 2п ненаблюдаемо, т. е. должно приводить к тождественному преобразованию состояния. По сути, речь идет о вращении одной частицы относительно другой. Если две частицы находятся в тождественных кванто¬ вых состояниях (и, в частности, в одной точке), то такое вращение не имеет физического смысла, т. е. ненаблюдаемо. Следовательно, исходная волновая функция •фи'п) (г, г) буквально термин «тождественность» означает, конечно, что совпадают как полные наборы наблюдаемых для двух частиц, так и квантовые числа, которые принимают эти наблюдаемые в рассматриваемом квантовом состоянии. Мы же трактуем здесь это понятие несколько шире, а именно подразумевая под ним «неразличимость» частиц, т. е. совпадение их полных наборов наблюдаемых и спектров этих наблюдаемых, сохраняя, таким образом, в принципе и потен¬ циальную возможность для точного совпадения квантовых чисел этих частиц в квантовом состоянии. В такой ситуации у наблюдателя отсутствует всякая возможность определить, кван¬ товые числа какой из двух неразличимых частиц он измерил. Далее мы ставим вопрос о том, как полная тождественность спектров двух частиц сказывается на их квантовом состоянии. 2Такой формальный поворот соответствует реальной ситуации, когда две физические систе¬ мы пространственно разделены, так что одну из них можно повернуть на угол 2п независимо от другой. Для независимых подсистем доли вероятности обнаружить тот или иной эффект в каждой из них умножаются, что соответствует факторизации волновой функции невзаимо¬ действующих частиц в произведение волновых функций для каждой из частиц по отдельности: ^ь"2)(п, Г2) =№(п)^(г2). 3Наблюдаемые эффекты тесно связаны с действием так называемых обменных сил, возника¬ ющих вследствие составления суперпозиции состояний тождественных частиц (см. ниже).
Лекция 9 131 должна тождественно совпадать с волновой функцией после вращения коор¬ динат одной из частиц на угол 2п: (г, г) = —(г, г) = О, что достигается только в случае равенства нулю волновой функции тожде¬ ственных фермионов с тождественными квантовыми числами. Принцип запрета Паули. Два тождественных фермиона, т. е. две тож¬ дественных частицы с полуцелыми спинами, не могут находится в тожде¬ ственных квантовых состояниях. Этот принцип автоматически удовлетворяется, если волновую функцию тождественных фермионов антисимметризовать: ^’П2\гъ г2) = ±{-ф§’П2\гъ Г2)-^\г2, Г,)}, так как она обращается в нуль, если квантовые состояния фермионов тожде¬ ственны1; Антисимметризованная волновая функция двух фермионов являет собой пример общего принципа, возникающего в квантовой механике с тожде¬ ственными частицами. В самом деле, физическая система из тождественных частиц не изменится, если поменять местами пару этих частиц. В квантовой механике это утверждение означает, что состояние системы тождественных частиц не изменится при перестановке двух частиц из системы: |Ф: {Qi, Q* ..•}> = А|Ф: {Q2, Q1} ...}>, |А| = 1, (9.28) где {Ql5 Q2,...} — полный набор наблюдаемых для частиц {1, 2,...}. В этом уравнении мы требуем, чтобы при перестановке квантовых чисел первой и второй частиц вектор состояния остался прежним с точностью до фазово¬ го множителя (нормировка остается без изменения). Если ввести оператор перестановок : Q* ...}) = |Ф: {Q2> Qi, - Л), (9.29) то (9.28) есть не что иное, как уравнение на собственные значения для 5К Двукратное применение перестановки возвращает систему к исходному со¬ стоянию: 5*5* = 1, (9.30) откуда немедленно следует, что спектр собственных значений оператора перестановок тождественных частиц Я2 = 1 <=> А = ±1. (9.31) Поскольку перестановки не изменяют никаких наблюдаемых характеристик системы тождественных частиц, оператор перестановок коммутирует со все¬ ми наблюдаемыми2: [У, Я] = [У, р] = [У, }] = ... = 0. 1Фактор 1/\/2 обеспечивает единичную нормировку состояния. 2Это и есть, собственно говоря, строгое определение понятия тождественности частиц.
132 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Значит, собственное значение оператора перестановок тождественных ча¬ стиц является квантовым числом в любом полном наборе наблюдаемых, и все квантовые состояния можно строго разделить на состояния с симмет¬ ричными по перестановкам тождественных частиц волновыми функциями и с антисимметричными волновыми функциями. Антисимметричные волновые функции, очевидно, обращаются в нуль, если квантовые числа двух тождественных частиц совпадают. Как мы видели, это имеет место для фермионов—частиц с полуцелым спином. В этом случае А = е2™, (9.32) где 5—значение спина каждой из тождественных частиц. Эта формула, полу¬ ченная для полуцелых значений спина частиц, остается справедлива и для целых значений спина, т. е. для бозонов, которые, таким образом, имеют симметризованные по перестановкам волновые функции. Именно, в природе не наблюдаются псевдобозоны целого спина с антисимметричными по пере¬ становкам волновыми функциями. Тем не менее, поля таких частиц исполь¬ зуются для вспомогательных целей в квантовой теории поля для наиболее наглядной формулировки некоторых принципов симметрии. Поля псевдо¬ бозонов называют «гостами» (от английского ghost, что значит «дух») или просто «духами». При этом, однако, полагают, что число духов в начальном и конечном состоянии равно нулю, т. е. в полный набор наблюдаемых вклю¬ чают число духов, тождественно равное нулю. Подчеркнем, что рассмотренная связь спина со статистикой1 возникла благодаря пространственной вращательной симметрии2 для спиноров, т. е. благодаря группе SU(2). Однако это не значит, что присутствие какой-либо другой симметрии со спинорами в группе SU(2) также неминуемо приведет к антисимметризации волновых функций. Например, в стандартную модель взаимодействий элементарных частиц включено скалярное, а следовательно, бозонное, поле со спином 0, которое является спинором по калибровочной группе SU(2). Как мы показали, наличие калибровочной группы симмет¬ рии отвечает сохранению заряда, который в данном случае — заряд части¬ цы в слабом взаимодействии. Эта калибровочная группа никак не связана с пространственными вращениями, и поэтому она не означает введения каких-либо дополнительных ограничений на волновую функцию, связанных с симметрией по перестановкам. Такие группы, не связанные с вращения- 1 Связь спина со статистикой — это сформулированное выше однозначное соответствие между собственными значениями оператора перестановок тождественных частиц в состоянии и целым или полуцелым спином этих частиц. Антисимметрия по перестановкам приводит к статистике Ферми—Дирака, а симметрия — к статистике Бозе—Эйнштейна. 2Проведенное рассмотрение, как мы видели, представляет собой лишь аргумент в пользу такой связи спина со статистикой, поскольку никак не ограничивает симметрию по переста¬ новкам бозонов, и оно не является полным в математическом смысле необходимого условия. На теоремном уровне эта связь устанавливается при вторичном квантовании полей релятивистских частиц: для положительной определенности энергии частицы необходимо установить бозе- и ферми-статистику для частиц с целым и полуцелым спином соответственно (см. вторую часть лекций).
Лекция 9 133 ми и трансляциями пространства, называются группами внутренней сим¬ метрии, генераторы которых, следовательно, коммутируют с генераторами трансляций и вращений. 9.4. Фермионный осциллятор, грассмановы переменные При рассмотрении стационарных состояний гармонического осциллятора мы выяснили, что уровень энергии характеризуется числом тождественных кпантов Йсо. Число этих квантов принимало произвольное натуральное зна¬ чение или нуль в случае вакуума. Поэтому, как мы теперь понимаем, гармо¬ нический осциллятор соответствует системе квантов-бозонов, число которых н состоянии определяет квантовые уровни энергии. Обобщение осциллятора на случай фермионных квантов нетрудно по¬ строить в уже изложенном формализме с операторами рождения и уни¬ чтожения. Действительно, предположим, что мы рассматриваем фермион с заданной проекцией спина на ось z и фиксированным набором неспиновых квантовых чисел. Теперь уже число квантов п = а+а (9.33) должно иметь спектр собственных значений п = {0,1}, (9.34) •гак как согласно принципу запрета Паули в состоянии с фиксированным набором квантовых чисел может находится максимум один квант. Значит, у фермионного осциллятора базис образуют только два кет-вектора |0), |1). (9.35) Для этого необходимо, чтобы действие повышающего оператора на век¬ тор состояния |1) не приводило к возникновению нового состояния: df|l) = 0. (9.36) Но это есть не что иное, как уравнение на старший вектор. В то же время верно и определение вакуума а|0) =0, (9.37) что, очевидно, можно трактовать как уравнение на младший вектор. В итоге мы имеем квантовую систему с двумя уровнями со старшим и младшим векторами состояний. Такая квантовая систем уже была нами построена — это, по сути, спинор. В ней операторы представляются в базисе (9.35) как матрицы 2x2. Легко провести следующее отождествление n = l+sz, (9.38) так как в заданном базисе оператор числа квантов диагонален по построе¬ нию, как и матрица sz с собственными значениями откуда *-аа-
134 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства так что и состояния представлены столбцами1 Аналогично повышающий и понижающий операторы становятся оператора¬ ми рождения и уничтожения: af=s+, a=s_. (9.39) Для них имеет место антикоммутационное соотношение {a, a+} = {(s* - isy), (s* + isy)> = {s*, sx} + {sy, §y} = 1. Значит, для фермионного осциллятора = (9.40) Когерентные состояния определяются по-прежнему: а|6>) = 0|6>>, (9.41) где необходимо осторожно обращаться с числами нового типа в, свойства которых мы выясним при построении голоморфного представления. Разложим когерентные состояния по базису. Для этого рассмотрим <0|а|в> = (^|0>т = (1|е), откуда с учетом условия когерентности (9.41) находим С1 = (1|0) = б(О|0) = 0Со. Так как разложение включает в себя только два члена, |0) = Со(|О) + 0|1)). (9.42) Нормировка на единицу дает (0|0)= |Со|2(1 + 00), 0 = 0*. Разложение по базису позволяет построить голоморфное представление в полной аналогии со случаем бозонного осциллятора. Действительно, опре¬ делим базисные голоморфные функции согласно (п|0) = Со^*(0), п = {0,1}. (9.43) Значит, ^о(0) = 1, ^(0) = 0. (9.44) Отсюда получаем голоморфные представления операторов. Для оператора рождения имеем &гр0(в)='ф1(.в) => af = 0. 1 Очевидно соответствие с состояниями спинора |-Н) —> |1>, |-> -> |0).
Лекция 9 135 Однако, поскольку а^0х(0)= О, получаем необычное свойство числа в: в2 = 0 <=> {0,0} = О. (9.45) Взяв комплексное сопряжение, находим также {0,0} = О. (9.46) Для оператора уничтожения ai/>i(0)=i/>o(0) => а = Л, откуда автоматически ai/>o(0) = O, как и должно быть. Для операторов рождения и уничтожения в голоморфном представлении справедливы антикоммутационные соотношения {a,at> = l, так как на базисных функциях действительно легко вычислить с учетом антикоммутационных соотношений для переменной 0 {a, &Уф0 (б) = 1=ip0 (0) и {a,at>v»1(0) = 0=i/>1(0). С учетом того, что все функции от 0 и 0 разлагаются в ряд только до линей¬ ных по каждой из переменных членов, можно записать, что 1 + вв=еёв, откуда \С0\2 = е~ёв, т. е. имеет место прежнее выражение для вклада вакуума в когерентное состояние. Условие полноты когерентных состояний запишем в виде Jd0d0 |0)(0| = 1, (9.47) где необходимо определить правила интегрирования так, чтобы выполня¬ лись соотношения ортонормированности базисных векторов. Именно, Jd0d0 (n|0)(0|m) = 5nm, п, m = {0,1}. (9.48) Интеграл можно переписать с помощью голоморфных волновых функций как / d0 d0 е-ё91р*п(в)трт(в) (9.49)
136 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства и в матричном виде получить равенство I Ав 6в е~ёд (1 0 = (1<Л Ув eej vo \) (9.50) Справедливость этого равенства имеет место, если принять следующие пра¬ вила интегрирования: и их дифференциалов. Совокупность соотношений антикоммутативности (9.45), (9.46), (9.53) и правила интегрирования (9.51), (9.52) полностью определяют алгебру пе¬ ременных Грассмана, или грассмановы переменные. Углы Эйлера, спиновая и координатная части оператора конечных вращений, вращение спинора и матриц Паули, спинорная матрица конечных поворо¬ тов, собственные векторы матрицы а • п, выделение движения центра масс в задаче двух тел, факторизация волновой функции, относительное движение, центрально-симметричный потенциал, квантовые числа, радиальная волно¬ вая функция и ее уравнение Шрёдингера, оператор радиального импульса, редуцированное одномерное стационарное уравнение Шрёдингера и специ¬ фическое граничное условие при г 0, асимптотическое поведение радиаль¬ ной волновой функции вблизи нуля. 10.1. Оператор конечных поворотов, углы Эйлера Вращения евклидова пространства принято характеризовать последова¬ тельностью трех поворотов так, как это показано на рис. 8: сначала совер¬ шается вращение вокруг оси z на угол а; при этом оси х и у перемещаются в своей плоскости в положения, которые обозначены новыми осями х' и у1 соответственно; затем совершается поворот на угол /3 вокруг новой оси у;, причем ось z перемещается в положение z\ а ось х' уходит под плоскость {х, у}; наконец, третье вращение —на угол у вокруг оси z\ Такая совокуп¬ ность вращений называется параметризацией Эйлера1. Оператор вращений в параметризации Эйлера, очевидно, запишется в ви¬ де ассоциативного умножения (9.51) (9.52) а также антикоммутативность переменных {в, в} = 0 (9.53) Лекция 10 Д(а, р, г) =RAr)'Ry'Q3) -Я2(а), (10.1) 1В технической терминологии угол а — рысканье, /3 — тангаж, у — вращение.
Лекция 10 137 Рис. 8. Углы Эйлера где мы указали в качестве аргументов углы поворотов, а соответствующие оси вращений как нижние индексы. Точный вид первого операторного фактора нам уже известен, это-— A,(a) = eu*“, $, = \<т3. (10.2) Для определения второго фактора необходимо знать выражение для генера¬ тора syi. Запишем его в виде = ‘ву/), где еу — единичный вектор вдоль оси у', а а' — матрицы Паули в базисе {*', у', z}. Таким образом, это—оператор, который получается при вращении вокруг оси z на угол а исходного оператора *, = §(*•«,). Согласно закону преобразования операторов (&' ■ еу) = Rz (a) • (<т • еу) • А* (а), (10.3) откуда сразу получаем Ry,(p)=k2(a)-kyW)-Rl(a). (10.4) Совершенно аналогично учтем, что ось z' получается при вращении на угол /3 вокруг оси у', так что Значит, Д^(г)=Ау05)-А«(г)-А/05). (10.5) А(о, 13, у) =Rz>(r)-RyW) -4(a) =А/С/8) • А,(г) • AJ,(/8) • (/8) • Д,(а).
138 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Унитарность оператора вращений дает г, так что R(a, /3, у) =Ry(/3)-R2(r) -Kz(a) =Rz(a)-Ry(P) • Д*(а) -Я2(г) • K2(a). Легко сообразить, что при вращении вокруг одной оси углы складываются и, следовательно, ^(a)-R2(r) •£*(«) =£*(Г)> так как вращение на угол а компенсируется обратным вращением. Оконча¬ тельно находим R(a,/3,r)=K^a)-Ry(0)-Kz(r). (10.6) Очевидно, что вывод этого выражения нигде не опирался на свойства опера¬ торов спина так что полученная формула справедлива для частиц произ¬ вольного спина. В этом выражении все факторы строго определены. Например, спинорный оператор конечных вращений получается последо¬ вательным перемножением матриц a a /cos- + isin- Rz(a) = cos - + ia3 sin - = I P f 0 /• gia/2 о \ cos | - i sin | J V 0 e~ia/2) ’ Ry(a) = cos - + ia*2 sin тг = P . 0' cos sin “■ 2 2 В явном виде умножение матриц дает Г Rs(a,P,Y) = cos — • 2 sin|-ei(a"^2 Л (10.7) (10.8) - sin £ • el(r a^2 cos ^ • e *fr+a)/2 . \ Л Z / Поэтому преобразование спинора запишется в виде ^(r) = {Rs(a,/3,r)}^b(^Tr), где мы записали спинорный оператор вращений в матричной форме и ис¬ пользовали латинские спинорные индексы, чтобы не возникло путаницы с греческими обозначениями углов Эйлера. Здесь матрица вращений в ко¬ ординатном пространстве ^т = ^т(а, 13, r)=<(a)^y(/3)^J,(r) определяется теми же углами Эйлера. При этом пространственная часть оператора вращения дает £r(a, р, r)V>b(r) =iРьШг),
Лекция 10 139 где Яг(а, /3, г) =%(а)-Rry(/3)-Rrz(y) определяются операторами орбитального момента. В итоге преобразование спинора представляется в факторизованной форме как произведение завися¬ щих от углов Эйлера спинорного и орбитального операторов г/>*(г) =RS-Rrxp(f), R=R(_a, /3, у) =RS-Rr. Действие пространственных и спинорных операторов можно продемон¬ стрировать следующим образом: рассмотрим оператор ап, где а—матрицы Паули, а вектор п—единичный вектор вдоль радиус-вектора г. Вектор п есть результат действия оператора пространственных вращений на единичный вектор ez, определяющий ось z: n = Rrez{Rr)\ где вращение производится, как мы видели, на утлы Эйлера в обратном порядке1: сначала вокруг оси z на угол у, потом на угол /3 и затем лишь вокруг оси самого вектора п на угол а,—так что координаты вектора п в исходной системе— п = {cos у cos /3, sin у cos /3, sin /3}, при этом, конечно, значение угла а никак не сказывается на координатах вектора п, так как он задает вращение вектора п вокруг его собственной оси. Найдем собственные векторы (.a-n)X(k) = hX(k), где нет суммирования по к, который задает номер собственного значения спинора ха с индексом а = {1, 2}. Подействуем на предыдущее уравнение спинорным оператором вращений Rs и учтем его унитарность: Rs(a • пЩRsxik) = Яk&sX(ky Но согласно общему формализму Rs(.a • n)Rl=RsRr(a ■ e2)^(Rr)f = • e,. Значит, спиноры удовлетворяют уравнению на собственные значения Собственные значения известны: Я12 = ±1, так как у спинора могут быть только две проекции спина на заданную ось. Поэтому в базисе собственных векторов <rz'-eg’ = a3 хПо этой причине часто пишут оператор вращений с заменой а<—*у, чтобы произведение операторов повторяло порядок записи углов.
140 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства и т. е. v»i=(j), м;). Тогда собственные векторы для матрицы о1 • п даются спинорами *1,2 =^1,2, так что *1 = ^cos — *е ^а+т)/2^ 2 vsin J.e-i(a-r)/2 *2: (-sinLe*«-ryA cos — • ei(r+a)/2 2 В справедливости этих выражений для собственных спиноров матрицы ст • п можно убедиться прямыми вычислениями1. Подчеркнем, что вращение век¬ тора п вокруг собственной оси на угол а приводит к введению общей фазы у этих собственных векторов. 10.2. Задача двух тел, разделение переменных В задаче двух тел с массами т1 и т2 оператор кинетической энергии в координатном представлении Pi Н0 = т£- + Р\ 2 т1 2 т2 обычно переписывают в новых координатах т 1 г = Гг-г2) R= ri + : т7 -г2, (Ю.9) (10.10) mi + m2 m1-hm2 где г—относительная координата двух частиц, а R—координата центра масс частиц. Приведенная масса двух частиц определяется согласно _щггь_ т! + т2' Тогда замену переменных можно представить в матричном виде откуда СЭ-(4 №НЧ£)- Кинетический вклад •№) 1Проще всего поменять местами углы а <—> у.
Лекция 10 141 после замены переменных сводится к преобразованию (Vr,VR)-G- Г 1)'°тй). 2 m2J Г12 гак что элементарное умножение матриц дает -J—V2 + 'V2 = —V2 Н V2 2т! 1 2т2 2 2т г 2(т1 + т2) R* Поэтому, если полный гамильтониан есть сумма кинетической энергии и двух потенциалов H = H0 + y(r) + W(K), то его можно представить как а=-1а+ум+{-5(^^л*+и'(Ч где первые два члена дают вклад в энергию относительного движения частиц с приведенной массой: й = £+У(г)> P = ~ihVr, а выражение в фигурных скобках — вклад движения центра масс системы двух частиц #k = |^ + W(K), P=-ihVR> где М = т1 + т2 — масса системы. Если W = 0, то движение центра масс является свободным и суммарный импульс частиц сохраняется. Так как энергия движения в центральном потенциале является суммой независимых вкладов для энергии относительного движения и энергии дви¬ жения центра масс, стационарное уравнение Шрёдингера Hi/»(r, R) = £i/>(r, R) имеет решения в виде произведения волновых функций Ф(г,Я) = ^(г)ФСК), так что Нг1/> (г) = Егр (г), Йк Ф(К) = ЛЖЮ (10.11) И £=Е + М. (10.12) 10.3. Относительное движение в центральном потенциале Исследуем относительное движение в консервативной системе с цент¬ ральным потенциалом, т. е. потенциалом, который зависит только от рассто¬ яния между частицами. Стационарное уравнение Шрёдингера для нереляти¬ вистской частицы с нулевым спином— {^ + У(г)}гР(г)=ЕгР(г), г = |г|. (10.13)
142 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Очевидно, что в этом случае гамильтониан является скаляром, так что [1а,Н]=0, т. е. полный набор наблюдаемых могут составить энергия, орбитальный момент и его проекция на ось z: {.H,P,lz} h/>) = |E,l,m), причем операторы г и lZ) как мы показали, зависят только от углов, так что волновая функция факторизуется в произведение радиальной волновой функции и сферической гармоники {r\E, I, m)=*f(r)^jm(e,v>), и уравнения на собственные значения 12Щ,ш= Щ + 1р') = тЩ т(.6, </?) удовлетворяются. Поскольку коммутатор [Я, Р]=0 и момент импульса—псевдовектор: [Pjj= О, Р-четность может быть измерена точно совместно с моментом импульса и энергией, т. е. пространственную четность также можно рассматривать как квантовое число. Однако мы уже получили простую формулу для собствен¬ ных значений Р-четности яР=С-1)1, так что она однозначно задается орбитальным моментом. Найдем I =L-L = eaprrppreapyrplpY' = (5рр>5п> - 5ру-5гр>)гррггр,рг, и воспользуемся перестановочными соотношениями для координаты и им¬ пульса PrV = _ift6rj8' + VPr’ так что L2 = - ift(r• р - Зг • р) + г2р2 - бр^бур.гргрф^, = = 2ihr ■ р + г2?2 - ihr ■ р - (г • р)2 = г2?2 + ihr • р - (г • р)2. Теперь вычислим в полярных координатах г • р = — ihr • V =—ihrer • V = —iftr Jp. Отсюда
Лекция 10 143 В итоге n2l2 = r2p2 + 2h2rl+h2r2^, г дГ дг2 ИЛИ • & ^2=«2{?-7 Tr-Ы- (10J4) Пользуясь собственным значением квадрата орбитального момента на сфе¬ рических гармониках I2 1(1 +1), получаем уравнение для радиальной вол¬ новой функции “ TJF - М + V(r)Rf (г) =ERf(r). (10.15) Обычно вводят определение оператора радиального импульса рг = - ift(p + £), (Ю.16) квадрат которого й2 = -п2 (- + - — + — - + —1 = -п2 ( - — + —) Pr п v г2 г 9г 9г г дг2 J Кгдг^дг2) в точности совпадает с выражением, которое входит в уравнение для ради¬ альной функции. Поэтому +y(r)+К1[r)=ERi'Сг)- (10-17) Таким образом, потенциал ползает добавку за счет орбитального момента количества движения (центробежный потенциал) ДПг)=^щ+ц Подчеркнем, что оператор радиального импульса является эрмитовым, например, в классе функций, достаточно быстро стремящихся к нулю на бесконечности. В самом деле, скалярное произведение для радиальных вол¬ новых функций из-за интегрирования по 3-мерному евклидову пространству в полярных координатах d3r = r2 dr dQ задается формулой 00 i <ФГ|ФГ> = J Ф*(г)Ф(г)г2 dr, о поэтому 00 (Фг|ргФг) = | $*(r)(-ift){p + J:}'Hr)r2dr, о и после интегрирования по частям 00
144 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства так что оо (^rl^r) = J + |:}ф(г)) Ф(г)г2<1г=(ргФг|Фг}. О Значит, этот оператор—эрмитов. Наконец, заметим, что prpu(r) = -iftV(r) =» pfju(.r) = -h2ju"(r), где штрих означает, дифференцирование по г. Это свойство позволяет нам произвести эффективную подстановку Д?(г) = £и(г), (10.18) где мы опустили индексы энергии и орбитального момента. Тогда стационар¬ ное уравнение Шрёдингера для функции и (г) принимает вид -|V+{nr) + !!^±!i}u=Eu. (10.19) Но это есть не что иное, как стационарное уравнение Шрёдингера для одно¬ мерного движения, свойства которого нам хорошо известны. Единственное отличие обусловлено подстановкой функций (10.18) и связано с граничным условием при г = 0: ц(г) —>0, u(r) = 0(r), г->0, (10.20) так как радиальная волновая функция должна оставаться конечной при г—»0. Более точно, в случае, когда орбитальный вклад доминирует1: |v(r)l<^Ei^’ г^0’ 1*0> асимптотически уравнение сводится к _fa»+«22+!)u=o, 2т 2 тг2 и оно имеет два решения щ = г1+1, и2 — г 1, второе из которых недопустимо или некорректно, потому что сингулярно в нуле. Поэтому асимптотическое поведение радиальной волновой функ¬ ции— . «г(г)~г!, г —>0. (10.21) Подстановка для радиальной функции означает также, что скалярное про¬ изведение для функций и имеет стандартный одномерный вид: 00 (ф) = J v*(r)u(r) dr. (10.22) 1Поиск стационарных состояний в потенциалах, ведущих себя более сингулярно, чем 0(1 /г2), не имеет физического смысла (см. падение частицы на центр, рассмотренное у Ландау и Лифшица в § 35 [1]).
Лекция 10 145 Задача 4.1. Решите спектральную задачу для 3-мерного изотропного гармониче¬ ского осциллятора в полярных координатах. Решение. Гамильтониан 3-мерного изотропного гармонического осциллятора имеет вид 9 9 0 pz , тсоV 2т 2 ' Это — центральный потенциал. Набор квантовых чисел включает в себя энергию Еу орбитальный момент Z, его проекцию т и P-четность Яр = (—1)*. Уравнение для радиальной волновой функции R(r) = u(r)/r согласно общему формализму сводится к виду „ , Г(тсо}2 2 , Ш +1)1 2тЕ ~и + UirJ r +— \U=1FU- При г-*оо асимптотически получаем уравнение „ . С тсо Л2 2 л \ТГ) г и = 0’ для которого решение, отвечающее связанным состояниям, т. е. обращающееся в нуль на бесконечности, ведет себя как та> _2 Ц ~е 2Й ? Г—>00. Учитывая асимптотическое поведение при г—>0, u~rz+1, проведем подстановку u=i/(r)r'+1e"!^r2, где v(r) — новая неизвестная функция, удовлетворяющая условиям i/(0) = a0^0, i/(r)e_!^r2->0, г—»оо. Элементарное дифференцирование приводит радиальное уравнение Шрёдингера к виду v» + 2V'{l-±^-^fr}+V{e-^f(.2l + 3)}=0, где е = 2mE/h2 — параметр энергии. Будем искать функцию v(r) в виде ряда 00 Кг)=]>]акг\ а0Ф 0. к=О Тогда подстановка ряда в уравнение дает 00 'У \ rk |afc+2 (к + 2)(к + 21 + 3) + ак —— (2Z + 3 + 2fc)J } = к=0 Этот ряд тождественно обращается в нуль, если каждый его член равен нулю, т. е. имеет место рекуррентное соотношение e-uf-(2l + 3 + 2k') ак+2 = ~аЬ (к + 2)(к + 21 + 3) * При к —> оо асимптотически имеем O-k 2тсо а*+2~Т—> что отвечает связи между коэффициентами разложения при асимптотическом пове¬ дении фуНКЦИИ 2т&) 2 е л , которое является недопустимым для функции i/(r), отвечающей связанным состоя¬ ниям. Единственная возможность, исключающая подобное асимптотическое поведе¬ ние, — конечность ряда для z/(r), что имеет место, если в рекуррентном соотношении
146 Тема 4. Непрерывные симметрии пространства Е Рис. 9. Спектр низших состояний для 3-мерного изотропного гармонического осциллятора есть нулевой элемент, т. е. ЭпгеМ: а„г+2=0. Значит, е = “jpT = “jr~(2Z + 3 + 2nr) => E=ftw(z + nr + |). Поскольку в рекуррентном соотношении инкремент равен 2: ак ак+2, а а0 Ф 0, необходимо, чтобы радиальное квантовое число пг было четным, в то время как все коэффициенты ряда с нечетными номерами тождественно обращались в нуль: иначе, так как невозможно оборвать рекуррентную цепочку сразу и для четных и для нечетных степеней, соответствующие члены ряда дали бы функцию, асимптотически ведущую себя как г exp{2r2mo>/ft}, что совершенно недопустимо для заданного клас¬ са функций i/(r). Итак, главное квантовое число1 n = Z + nr + l, nr = 2р, р€{ 0,N}, определяет спектр2 E = ha)(ji + ^, пе N, причем четность главного квантового числа противоположна четности орбитального момента. Это означает, между прочим, что энергетический спектр невырожден по P-четности, но вырожден по орбитальному моменту с шагом 2. Степень вырождения легко вычислить с учетом 21 +1 состояний проекции момента при заданном Z. Так, 13десь радиальное квантовое число пг—степень полинома от г, определяющего радиальную волновую функцию, а следовательно, и число ее узлов. Однако поскольку это квантовое число четное, полином фактически зависит от квадрата расстояния, так что половина его узлов расположена зеркально относительно нуля при отрицательных значениях г, т. е. вне физической области. Поэтому фактическое число узлов радиальной волновой функции равно пТ/2=р. 2Подчеркнем, что в отличие от одномерной задачи с идентичной формулой для уровней энергии квантовое число п для изотропного трехмерного осциллятора начинает свой отсчет не с нуля, а с единицы!
Лекция 10 147 при нечетном главном квантовом числе и I = 2q степень вырождения (л—1)/2 k= ^ (4q + l) = -n(n + l), ч=о что остается верным, как легко убедиться непосредственным расчетом, и при чет¬ ном п. Спектр низколежащих состояний 3-мерного изотропного гармонического ос¬ циллятора в классификации1 nl приведен на рис. 9. гВ спектроскопии принято обозначать значения орбитального момента частицы в централь¬ ном поле 1 = {0,1,2,3,...} латинскими буквами {s, р, d, соответственно.
Тема Атом водорода 5 Лекция 11 Квантование связанных состояний, атомные единицы, асимптотическое по¬ ведение, главное и радиальное квантовые числа, полиномы Лагерра, спектр связанных состояний, вырождение уровней энергии по орбитальному момен¬ ту и Р-четности, интеграл движения для замкнутых орбит в кулоновском потенциале, рекуррентное соотношение Крамерса для средних значений сте¬ пени радиуса (rs), классический предел, среднее (г-2), волновая функция s-состояния в нуле. 11.1. Набор квантовых чисел и атомные единицы Кулоновский потенциал притяжения электрона и протона в атоме во¬ дорода в ведущем приближении, т. е. без учета релятивистских поправок и спинов этих фермионов, является центрально-симметричным, V(r) = -j, (11.1) так что стационарное уравнение Шрёдингера имеет решения, которые раз¬ лагаются по базису собственных функций следующих операторов: 1) Н — энергия стационарного уравнения Шрёдингера для радиального движения -£“" + {"7 + ^Ba}u=£u- <“-2) так что радиальная волновая функция «f(r) = pu(r), (11.3) где u(r)~r/+1, г-+ 0; (11.4) массовый параметр—приведенная масса электрона и протона: тетр т= — • те + тр’ Да 2) г — орбитальный момент, так что зависящая от углов часть волновой функции дается сферическими гармониками 12Щ,т(в> vO=W+l)9U(0, ¥>); (11.5) 3) lz — проекция орбитального момента с собственными функциями — сферическими гармониками: Ы,т(в, Ч>)=тЩ>т{в, V?); (11.6)
150 Тема 5. Атом водорода 4) Р-четность с собственными значениями АР = (-1)'. (11.7) Для полного определения волновой функции стационарного состояния *I>m(r)=Rf(r)^,m(0,¥>) необходимо решить радиальное уравнение (11.2) с эффективным потенциа¬ лом, учитывающим вклад орбитального движения, как показано на рис. 10. Рис. 10. Потенциал для радиального движения при нулевом орбитальном моменте в сравнении с кулоновским потенциалом (штриховая кривая) Но прежде чем это сделать, определим характерные значения размерных физических величин в задаче об атоме водорода: скорости движения элек¬ трона v0, его импульса р0 = mi/0, размера волнового пакета а = г0 и энергии mi/2 *o = Y- Атомные единицы. • Скорость t/0. Если воспользоваться теоремой вириала, которая для кулоновского по¬ тенциала дает 1 / , rnvl е2 т—\т ■* и соотношением неопределенности координата-импульс (по порядку величи- НЫГоРо = Ю то сразу найдем mvn е2 V0=~b' (U.8) • Постоянная тонкой структуры
Лекция 11 151 которая построена как отношение скорости и0 к скорости света: aem =v0/c. Полезно убедиться, что ает есть величина безразмерная. В самом деле, по¬ скольку потенциальная энергия V ~е2/г, квадрат заряда имеет размерность [е2] = [Я]-[г] т. е. размерность произведения энергии на длину, так же как и №] = №]• И, [с] = [г]/М => [йс] = [В]-[г]. Численно ает ^ 1/137,04. Отсюда следует, что электрон в атоме водорода движется нерелятивистски: 7 = «ет<1. • Импульс Ро = ™0 = тсает = . (11.10) • Боровский радиус „=»=-»-= 4. ош Ро тсает те2 Если считать массу протона бесконечно большой1 (или ядро бесконечно тя¬ желым), то численно а «0,5291772 • 10-8 см « 0,53 А, т. е. примерно пол-анг¬ стрема. • Энергия связи—«один ридберг» F -ть— mvQ-Po - тс2гЛ - те4 _ 1 П112') E0-Ry- — - — -—aem-^-^^. (11.12) Численно Ry«й 13,61 эВ (электрон-вольт). В атомных единицах стандарт¬ ную энергию обычно полагают равной Ё0 = 2Е0. 11.2. Связанные состояния Стационарное уравнение радиального движения с использованием во¬ ровского радиуса можно записать в виде и" + ^и- ^4r^u = —ей, (11.13) где е = 2mE/h2. Введем безразмерный параметр v, так что для энергии связи Е< 0 и e=JLJ.=_JL а2 Е0 a2v2' Поправки за счет отличия приведенной массы от массы электрона составляют величину порядка отношения масс электрона и протона те/тр «1/1836.
152 Тема 5. Атом водорода Совершим замену переменной (11.14) Тогда u(x) = u(r(x)) => и' = й'~ = 2-й' ы" = _£_*// dr va ’ v2a2 ’ где штрих означает производную по аргументу функции. Тогда уравнение для ц(х) примет вид й//+{1_га+1)_1}й=о (и15) Допустимая асимптотика функции ц(х) при х ^ 0 нам уже известна й~х1+\ На бесконечности уравнение й"~\й = 0г х^+00> для связанного состояния должно иметь затухающую асимптотику, так что допустимое поведение й(х)~е-*/2, *^+оо. Поэтому будем искать решение в виде й(х) =v0c)x!+1e“*/2, (11.16) где для функции v(x) есть ограничение, так как не допускается ее экспонен¬ циальный рост на бесконечности. Элементарная подстановка дает xv" + (21 + 2- x)v' - (I +1 - v)v=0. (11.17) Будем искать решение в виде степенного ряда к откуда после прямых вычислений производных получаем 2 ак{к(к -1)**"1 + 2« +1 - кхк - а +1 - v)xk} = О, к так что, приравнивая нулю коэффициенты ряда при степени хк, находим рекуррентные соотношения для коэффициентов ак: afc+i{Cfc + Dfc + 2(fc + l)a + i)}_afc{fc + z + 1_v} = 0j или = С1Ш> Значит, ак+1=а°(^тШш^у
Лекция 11 153 Если ряд бесконечный, то Qfc+i 1 ak fc’ т. е. ряд асимптотически ведет себя как экспонента i/(x) ~ е*. При такой асимптотике волновая функция расходится на бесконечности, так что подобные решения не принадлежат гильбертову пространству (не имеют физического смысла). Однако существуют такие значения энергии связи (параметра v), при которых ряд обрывается, т. е. содержит конечное число членов. Это возможно, только если 3 пг € N: аПг+1 = 0, (11.20) т. е. если v(x)—полином степени пг. Натуральное число пг называется ради¬ альным квантовым числом. Условие (11.20) согласно (11.18) означает, что v = nr +1 + 1 е N, (11.21) т. е. параметр v=п—натуральное число, которое называют главным кванто¬ вым числом: n = nr + l + l€N. (11.22) Квантование (11.21)—(11.22) дает уровни энергии связанных состояний ИЛИ Еп = -^а 1 = - 2п2 ет 2n2h2' Полиномы, которые возникают при квантовании энергии связанного со¬ стояния в кулоновском поле v(x) = CnrLll+1_1(x), (11.24) называют присоединенными полиномами Лагерра1. Их определение мы, по сути, дали в рекуррентной форме. Единственная неопределенность связана с нормировкой, т. е. коэффициентом а0. Его значение задается формальным определением не нормированных на единицу полиномов Лагерра, которое мы приведем здесь без доказательства: М:-e'&fe-W. LJ М = В итоге для 1^1Х _ [(n+Q!]2 0 (n —Z —1)!(2Z + 1)!* гМы следуем обозначениям, пришлым у А.Мессиа [2], которые отличаются от определения индексов полиномов Лагерра у Ландау и Лифшица [1].
154 Тема 5. Атом водорода Нормировочный коэффициент СпЬ обеспечивающий единичную нормировку волновой функции, приводится в справочных разделах учебников по кванто¬ вой механике (например, у А. Мессиа в дополнении Б в первом томе [2]). Важно отметить, что полином Лагерра имеет ровно пг узлов при 0 < г < <+оо, в то время как вещественная или мнимая части сферических гармоник имеют Z узлов (т у функции по </? и Z — т у присоединенных полиномов Лежандра). В итоге можно сказать, что главное квантовое число показывает, что волновая функция связанного состояния имеет п -1 узлов. 11.3. Вырождение Из общих установленных нами ранее свойств мы можем утверждать, что при фиксированном значении орбитального момента I уровень энергии вырожден по проекции орбитального момента, т. е. кратность вырождения равна 2Z +1, а радиальная волновая функция при фиксированном Z невырож¬ дена, так как радиальное движение описывается одномерным стационарным уравнением Шрёдингера и является ограниченным г > 0, т. е. все функции и (г) имеют общий узел и(0) = 0. Однако энергия вырождена по Z, так как уровень задается главным кван¬ товым числом п = nr + Z +1 и оно может оставаться неизменным при 1 = 0,1,..., n-1, nr = (n-1), (п-2), ...,0, т. е. если квантовые числа Z и пг коррелируют должным образом. Значит, кратность вырождения определяется суммой по допустимым уровням Z, каж¬ дый из которых вырожден 2Z +1 раз1: п—1 fc=J](2Z + l) = n2. 1=0 Поэтому для того, чтобы отличать уровни энергии по I, их обозначают двумя квантовыми числами: главным квантовым числом и орбитальным момен¬ том — nl, причем для низших значений орбитального момента электрона используют строчные буквы латинского алфавита согласно договоренности: Z = {0,1,2,3,...} l = {s, р, d,f,...}. О состоянии с Z = 0 говорят как о 5-волне и т. п. Спектр низших состояний в атоме водорода схематически показан на рис. 11. Природа кулоновского вырождения имеет глубокую причину: существу¬ ют только два типа центрально-симметричных потенциалов, у которых все *Сумма арифметической прогрессии Sn = а0 + (а0 + с) +... + (а0 4- пс) = ~ (п +1) (2а0+сп).
Лекция 11 155 1=0 1 = 1 1=2 I •3s ■2s ■3p • 2 p •3d Is Рис. 11. Спектр низших состояний для кулоновской системы ограниченные орбиты замкнуты. Это — кулоновский потенциал и потен¬ циал гармонического осциллятора1 (см. курс классической механики Ар¬ нольда [21]). Именно для этих потенциалов энергия связанного состояния вырождена по орбитальному моменту. В классической механике замкнутость произвольной ограниченной траектории в кулоновском потенциале притя¬ жения отвечает сохранению величины вектора2 В самом деле, Й(1хр)=1хр = (гхр) х р = (г р)р-р2г. Уравнения движения— r=v= p = -W(r) = -~r. т г г3 Тогда si= jj - \ (r • r)r+ {(r■ p)p + (r■ p)p + (r■ p)p - 2(p • p)r-p2r} = r r me = p - p-(r-i/)r+ ^|mv2v- Zy-v— ^f-(r-y)r+2^|-Cr-i;)r-m2v2v| = 0. Значит, s/ — интеграл движения. Физический смысл этого вектора прост. В точке минимального удаления от фокуса эллипса радиус-вектор ортогона¬ лен импульсу, так что если е = rmin/rmin — единичный вектор в направлении 1Орбиты — эллипсы, для кулоновского притяжения центр расположен в фокусе, для осцил¬ лятора—в центре эллипса, т. е. на пересечении большой и малой осей. 2Вектор Рунге—Ленца, известный в аналогичной кеплеровой задаче небесной механики еще Лапласу.
156 Тема 5. Атом водорода от фокуса до точки минимального удаления, то " ^г) l=rmta=e(1+4) Lmin’ где T/V — отношение кинетической энергии к потенциальной. При мини¬ мальном удалении кинетическая энергия принимает значения Т ^ — ^V, так что при равенстве орбита круговая. Поэтому выражение в круглых скобках не положительное. Поскольку этот вектор сохраняется, точка минимального удаления не перемещается со временем и орбита замкнута. В квантовом случае необходимо сначала записать вектор s# в таком виде, чтобы при подстановке операторов, например, в координатном представле¬ нии получающийся оператор был эрмитов. Поэтому перепишем его как ^ = f + ^{ixp-pxi}, (11-25) так что покомпонентно оператор наблюдаемой в координатном представле¬ нии Ч = Т + ivn IvPa+PaU (11.26) и это, очевидно, эрмитово самосопряженный оператор. Скобка Пуассона {Я, jzf}p = О, где стоит гамильтониан для атома водорода. Согласно каноническому кван¬ тованию соответствующий коммутатор также должен обращаться в нуль [Я, J2?\ =0. В этом можно убедиться прямыми вычислениями. Поскольку в классической механике j#—вектор, по общему правилу [la, = ieaprJ2/r, (11.27) и мы имеем ситуацию, когда пара интегралов движения I и не ком¬ мутируют, и, следовательно, уровни энергии вырождены по орбитальному моменту I. Кроме того, в отличие от орбитального момента, являющегося псевдо¬ вектором, j# — вектор, и он меняет свой знак при операции зеркального отражения всех осей пространства. Значит, коммутатор с оператором Р-чет¬ ности также не равен нулю \Р,Я\Ф о, и уровни энергии вырождены и по Р-четности.
Лекция 11 157 Алгебра операторов л$ и ее следствия детально исследованы1 у Ландау и Лифшица (см. § 36 в [1]). Приведем для справок только их коммутатор 11.4. Средние, рекуррентное соотношение Крамерса Теорема вириала о связи средней кинетической энергии в состоянии со средней потенциальной энергией (6.4) Обобщение этой формулы на другие степени радиуса г было получено Кра- мерсом в виде рекуррентных соотношений. Вывод рекуррентных соотношений Крамерса. Исходным пунктом вычис¬ ления средних значений является уравнение радиального движения для фун¬ кций и (г) (11.13), в котором подставлено проквантованное значение энергии связанного состояния 1В рамках матричной квантовой механики В. Паули использовал этот интеграл движения и коммутационные соотношения для него, чтобы рассчитать спектр атома водорода в нереля¬ тивистском приближении, и сделал это буквально за пару недель до появления первой статьи Э. Шрёдингера по волновой механике с решением той же задачи после введения стационарного уравнения Шрёдингера (точнее, статьи поступили в редакции журналов с разницей в 10 дней). в случае кулоновского потенциала дает (п, I, т\Т\п, I, m) = -|(n, I, m\V(r)\n, I, m), так что энергия связанного состояния En = (T) + {V) = l{V), т. е. и с использованием атомных единиц (11.28) (11.29) Домножим это уравнение на rsu(r) и проинтегрируем по г. Отсюда 00 J dr • rsuu" + \ (г5-1) -1 (I +1) (г5"2) - ~(г°) = О, о (11.30)
158 Тема 5. Атом водорода где введены обычные обозначения для средних значений 00 J dr-rsu2(r) = (rs). о Поскольку и(г) экспоненциально убывает при г—► +<», записанные выше интегралы сходятся на верхнем пределе. Поэтому важно проследить за по¬ ведением подынтегральных функций при г —>0. С учетом того, что u(r)~rz+1, г—>0, наиболее сингулярное поведение имеет вклад 00 (rs-2) = J dr-rs-2u2(r), о в котором подынтегральная функция ведет себя как rs~2u2(r)~rs+2', г—»0. Для сходимости интеграла на нижнем пределе необходимо наложить условие s + 2l>— 1, т. е. s > —21 — 1. (11.31) Интегрируя по частям, найдем простое вспомогательное соотношение Отсюда (rs)=J dr • r$u2 = J u2dr$+1 =—J dr-rs+1uu'. 0 s 0 s 0 / dr-rs+1uu' = -^(rs). (11.32) 0 Теперь найдем, интегрируя по частям, оо оо оо оо IS = J dr-rsuu" = f du'-rsu = — J dr-rs(u')2 — s f dr-rs~1uu'. ooo о Для второго члена воспользуемся связью (11.32), а первый перепишем так, чтобы проинтегрировать его по частям: 00 00 = I drs+1-(u')2 + ^s(rs-2) = j^1 f dr ■ rs+1u'u" + |s(s -1) (rs~2). 0 0 Подставим под интеграл выражение для и" из уравнения радиального дви¬ жения (11.29): 00 =ттт /dr • UU'H г*+ю+Dr5"1+^rs+1}+|s(s - D(r-2) о и снова воспользуемся выражением (11.32) для интеграла от ии', так что 2* = ТХТ^"1) - 7Z7«l +1 )(rs-2) - -^<r*> + is(s - 1)<г-2).
Лекция И 159 Подставляя это выражение в формулу (11.30) и приводя подобные члены, находим +г-чХш+2)+<^2> [-'«+ « 0 + Si) +!s(s - «] =°- Домножив на — (s + 1)а2/2, получаем рекуррентные соотношения Крамерса (rs) - a(2s +1) (rs_1) + |a2{( 21 +1)2 - s2}(rs_2> = 0, (11.33) причем 5>—2Z —1. (11.31) Иллюстрации. 1. Положим s = 0: Л-а(Г-1)=0 => (r-1> = ^, n anr и мы получили уже выведенное нами посредством теоремы вириала выраже- ние для среднего значения обратного радиуса. 2. При s = 1 ^(г)-За + Щ + 1)(г-1> = 0, откуда с использованием предыдущего примера (r) = §[3n2-Z(Z + l)]. (11.34) 3. При s = 2 ^ (г2) - 5 a(r) + |a2(4Z2 + 4Z - 3) = 0, так что приведение подобных членов в конце концов дает (r2) = ^[5n2 + l-3Z(Z + l)]. (11.35) При больших квантовых числах Z —> оо, пг < Z, п ~ I легко находим, что (г) ~ ап29 (г2) ~ a2n4, и, следовательно, дисперсия (Дг)2 = (г2)-(г)2<(г)2, т. е. имеет место классический предел: флуктуации средних значений стано¬ вятся несущественными, и среднее значение радиуса совпадает с классиче¬ ским выражением <r)*an2 = — т. е. е2 Еъ-- 2(г)' 4. Для вычисления среднего (г-2) соотношения Крамерса неприменимы, так как не удовлетворяется ограничение на степень радиуса. Поэтому иссле¬ дуем соотношение Фейнмана—Хеллманна в случае дЕп_/эЙ\
160 Тема 5. Атом водорода В левой части стоит выражение h2 д 1 h2 1 2та2 dl (nr + Z +1)2 та2 гг3 * В правой—среднее от Поэтому 1_\ 2_ 1 г2! a2 n3(2Z + l)’ (11.36) С учетом этой формулы можно затем применять соотношения Крамерса и для отрицательных s при условии, конечно, Z > —(s +1)/2. При выводе соотношений Крамерса мы полагали, что интегрирование по частям не содержит конечных вкладов при подходящих ограничениях на степень усредняемого значения радиуса. Если на бесконечности волновые функции убывают быстрее любой степени радиуса и такое положение имеет место почти автоматически, то вклад при г = 0 может оказаться не равным нулю. Это обстоятельство позволяет получить связь между волновыми функ¬ циями в нуле и средними значениями степеней радиуса. Например, уравнение для s-волнового стационарного состояния в потен¬ циале У (г) имеет вид где мы учли, что при г —► оо волновая функция связанного состояния стремит¬ ся к нулю, а при г —>0 функция u(r) =rR(r) дает u'(0) =R(0), т. е. выражается через радиальную волновую функцию s-состояния в нуле. Та же операция над правой частью (11.37) аналогично приводит к где вклад конечных членов равен нулю на обоих концах интегрирования: при г —> оо в силу зануления волновой функции связанного состояния, при г —>0— если потенциал ведет себя менее сингулярно, чем 1 /г2. В итоге, так как для s-волновых состояний Я(0) = д/4тс|Ф(0) |, получаем1 11.5. Волновая функция в нуле и//(г) = -^{Е-У(г)}и(г), (11.37) так что умножение на 2и! и интегрирование по г дает слева 2 Г и'и" dr = Г d(u02 = (u02 °° = -Я2(0), п J о -Щ ]{Е - V(r)} dи2 = ~^{Е - V(r)}u21“ - Щ / uV(r) dr=-^(V/(r)), l*(0)|2 = r£b<V'>. (11.38) Считается, что этот результат впервые был получен Ю. Швингером и излагался в его лекциях, которые впоследствии не были опубликованы.
Лекция 11 161 Задача 5.1. Рассмотрите связь волновой функции в нуле со средними в наиболее общем виде. Решение. Запишем стационарное радиальное уравнение Шрёдингера в виде1 и" (г) = —С(г) • u(r), £(r) = |£{E-V(r)}-^t!2. (11.39) Домножим его на фактор 2rsu' и проинтегрируем по радиусу. Тогда получим равен¬ ство оо оо / г1 d(u')2 = - J г*£(г) dи2. (11.40) О о Интегрируя слева по частям с учетом конечных вкладов, найдем для интеграла -sj г5-1 (и')2 dr. (11.41) I=rs(u')2 Для последнего интеграла интегрирование по частям дает 00 00 00 00 -s J rs-1(u')2dr = —s J rs-1u'du = -srs-1u/u + s(s-l) J г*~Чиdr + о о 0 о 00 00 +s Г rs-1u"udr = -sr5-1u'u +s(s-l) f rs~2u'u dr — s(rs_1£(r)), о 0 о где в последнем слагаемом мы воспользовались уравнением Шрёдингера, подставив значение второй производной функции и (г). Воспользуемся вспомогательным выра¬ жением для среднего с учетом конечных членов интегрирования по частям 00 00 00 (г5) = Г rsu2 dr= —-rs+1u2 - Дг Г rs+1u'u dr, J 5 + 1 л с-4-1 J S +1 что сводится к J rs+1 u'udr = -~(rs) + ^rs+1 и2 (11.42) (11.43) 2 2 U В итоге (11.41) дает j=|rs(u/)2-srs-1u'u+|s(s-l)rs-2u2}|”-s(rs-1£(r))-|s(s-l)(s-2)(rs-3). (11.44) С другой стороны, интегрирование по частям правой части уравнения (11.40) элемен¬ тарно приводит к +s(rs-1£) + (rs£/). (П.45) Z=-rsu2£ +s Г u2rs-1£dr+ Г u2rs£/dr = -rsu2£ 0 о о ^ Учитывая, что на бесконечности волновая функция связанного состояния затухает быстрее любой степени радиуса, и приравнивая (11.44) и (11.45), находим для конеч¬ ных вкладов |r5(u')2-5rS 1U/U+^5(s-l)rS 2U2-rV'uJ = = —2s(r5_1£) - {г5С') - ~s(5 — l)(s — 2) (rs-3). (11.46) 1Дальнейшее изложение следует обзору Q u i g g С., R о s п е г J. L. Quantum mechanics with applications to quarkonium // Phys. Rept. 1979. Vol. 56. P. 167.
162 Тема 5. Атом водорода Далее, при г -> О согласно общему результату при фиксированном значении орбиталь¬ ного момента запишем и — atrl+1, и' -> ах (Z+1 У, и" -> azZ(Z + Цг1’1, где а{ — неизвестные константы, которые полностью определяют поведение волновой функции вблизи нуля. Левая часть (11.46) не имеет сингулярности только при s ^ -21, а при 5 > —21 она обращается в нуль. В итоге приводя подобные члены при s = —21, получаем общее соотношение (21 +1 )2a?5s+2(i0 = —2s(г5-1 С) - (r*d) -\sb- l)(s-2)(rs"3). (11.47) Пример s = О, Z = 0. В этом случае C' = -2*V\r), а а0=К(0) = л/4гёФ(0), откуда, считая волновую функцию вещественной, получаем |ф(0)|2=^(у,)- (11-38) Для атома водорода V' = е2/г2, и, подставляя при i = 0 среднее значение (1/г2) =2/(a2n3), с учетом e2m/ft2 = l/a находим для s-волновых состояний 1*пЛ°)12 = г4-з- (11-48) па°п° Пример s = 1. В этом случае левая часть тождества (11.47) обращается в нуль при любом целом значении орбитального момента, а равенство 2(C) + (г£') = 0 сводится к теореме вириала.
Тема Квазиклассика 6 Лекция 12 Малые дисперсии и предел h —> 0, амплитуда и фаза волновой функции в классическом пределе, волновой фронт в геометрической оптике, уравнение непрерывности, разложение волновой функции по h методом итераций, метод ВКБ, классически доступная и недоступная области, нулевая и первая итера¬ ции, квазиклассическое приближение и необходимые условия его примени¬ мости, отражение волны от потенциального барьера, фаза отражения, сшив¬ ка возле точек поворота, вывод правила квантования Бора—Зоммерфельда, плотность энергетического спектра связанных состояний, нормировка вол¬ новой функции, малое возмущение и сдвиг уровня связанного состояния, туннельный эффект, коэффициент прохождения. 12.1. Классический предел: ft—► О Согласно принципу соответствия у квантовой системы должен существо¬ вать классический предел, в котором дисперсии физических величин малы при рассмотрении динамики их средних значений. Как мы отмечали, такой предел обычно имеет место при больших квантовых числах п —> оо, когда дисперсией можно пренебречь. Принцип соответствия использовался при построении основных операторов физических величин в приближении гео¬ метрической оптики, которая как раз дает предельный случай волновой механики, когда пренебрежение эффектами интерференции позволяет гово¬ рить о траектории корпускул, составляющих свет. Другой аспект принципа соответствия открывается, если взглянуть на соотношение неопределенностей физических наблюдаемых А и В: ДА-ДВ^||(С)|. Можно считать, что флуктуации наблюдаемых малы, если 0. (12.1) Кроме того, дискретность спектра физической величины, как мы видели, связана с конечностью значения постоянной Планка, так что этой дискрет¬ ностью можно пренебречь, если верно (12.1). Конечно, это условие является лишь необходимым, но не достаточным (знак неравенства в соотношении неопределенностей). Тем не менее, исследование предела (12.1) позволяет установить и достаточные признаки применимости классического описания и приближений к нему.
164 Тема 6. Квазиклассика Запишем волновую функцию как Ф(г, О =А(Г, t)e»s(r’°, {A(r, t), S(r, t)}eR, (12.2) т. e. в виде вещественной амплитуды А и фазы S. Подставляя это выражение в уравнение Шрёдингера dt 2т вычислим прежде всего ДФ = v2# = V • {е»5(г’° VA +1 Ae»s(r>t) vs} = = е»5(г’°{2^У5 • VA+ДА - ^A(VS)2 + ^AAs}, а затем eMS + bSH**' так что, сократив экспоненциальный фактор и после этого взяв мнимую и вещественную части от полученного уравнения, легко находим1 R ^ {2 V S • VA+A AS}, (12.3) _Alf = “£AA + ^(VS)2 + VA (12-4) Эти уравнения можно переписать в форме M + ivS-™+AAS„o, (12.5) g + _L(VS)i + V = |i^. (12.6) В первое из этой пары уравнений постоянная Планка не входит. Для его анализа вычислим плотность потока вероятности j=-v* - (v*m=^ vs 2лп т и его дивергенцию div j = Vj= -AVS • VA + —AS. m m Поэтому, домножая (12.5) на 2А, получаем 2Af^ + div j = 0 и с учетом того, что плотность вероятности р = |ф|2=А2, 1К таким же уравнениям мы придем, если перейдем от комплекснозначной функции Ф не к двум вещественным функциям А и S, а к комплекснозначным функциям А и S, которые являются четными по h.
Лекция 12 165 находим, что это уравнение сводится к уравнению непрерывности ^+divj = 0. Уравнение (12.6) содержит квадрат постоянной Планка. В пределе h —> О оно сводится к ff + ^(VS)2 + V = °, (12.7) т. е. к уравнению Гамильтона—Якоби в классической механике. Как и следо¬ вало ожидать, мы пришли к классическому пределу уравнения Шрёдингера. При этом комплексная фаза волны S/h удовлетворяет принципу Ферма. Для стационарного состояния — 0 — = —Е dt ’ dt и А А (VS)2-2m(E-V')=h2— (12.8) вместе с уравнением нулевой дивергенции потока вероятности. Классиче¬ ский импульс можно представить как обратную длину волны: р2 = 2т(£-У) = (|)2. Поэтому (vs)2=|0+*2ir). Следовательно, классическое приближение применимо, если А2^<1. (12.9) Тогда имеет место уравнение для волнового фронта в геометрической опти¬ ке: (V*)2 = -p, Ф = Js. (12.10) 12.2. Метод JWKB1 Уравнения (12.5), (12.6) являются эквивалентными уравнению Шрёдинге¬ ра/Их решение можно представить в виде рядов по Й. В этом и состоит метод JWKB, который мы проиллюстрируем на примере одномерного движения стационарного состояния. Уравнение непрерывности (12.5) для стационарных состояний сводится к виду 2S'A'+AS" = 0, 1По фамилиям Jeffries, Wentzel, Kramers, Brillouin—Джеффрис, Вентцель, Крамере, Бриллю- эн. Широко распространено сокращение ВКБ по фамилиям трех авторов, которые совместно детально разработали этот метод в квантовой механике в отличие от Джеффриса, применявшего его в 1923 г. до создания строгой теории. Отметим, что еще в 1912 г. лорд Рэлей использовал некоторые математические приемы ВКБ при решении задач о распространении волн.
166 Тема 6. Квазиклассика где, как обычно, штрих означает дифференцирование по координате частицы х. Это уравнение элементарно интегрируется: А(х) = ~7£=. (12.11) Значит, амплитуда волновой функции однозначно (с точностью до нормиров¬ ки С) задается ее фазой. В уравнение АД (VS)2 - 2m (Е - V) = Тг2 =р (12.8) теперь необходимо подставить вторую производную амплитуды согласно (12.11) (поскольку нормировка А выпадает, положим С = 1): v= s" Л„= з as")2 s'" 2v/CS0?> ijvw Значит, основное уравнение имеет вид (S')2 - 2 т(Е - V) = ^^{3(S")2 - 2S'S"'}. (12.12) Отсюда следует, что фаза раскладывается в ряд по степеням ft2: S = S0 + h2S1 + h4S2 + ... Поскольку волновую функцию можно теперь записать как Ф(х) = expjjrS(x) + ln A(x)J = С exp j^S(x) -1 InS'j, (12.13) ясно, что разложение фазы приводит и к разложению амплитуды по степеням ft2, а вещественного аргумента экспоненты—по нечетным степеням ft. Выражение с правой стороны (12.12) можно считать малым возмущением и решать уравнение методом итераций. Нулевая итерация: {Sg(x)}2=p2(x), p2 = 2m[E — V(x)], причем необходимо выполнение условия вещественности фазы, так что р2(х)=г о Ф=> EZVCx). Это значит, что пока нулевая итерация справедлива только в области, доступ¬ ной для классической частицы. При этом р (х) = ± ^2т[Е - V(x)], и возможно существование двух линейно независимых решений (в зави¬ симости от значения энергии в согласии с общими свойствами решений одномерного уравнения Шрёдингера). Решение уравнения имеет стандартный вид координатной части действия классической частицы: S0(x) = J р dx. (12.14)
Лекция 12 167 С учетом вклада энергии в комплексную фазу стационарного состояния S0(x, t) = J pdx — Edt получаем волновую функцию в классическом пределе Ф(х, t) = Cexp|^S0(x, t)}=Cexpj^ / pdx-Edt}. В итоге фаза волновой функции осциллирует в области, доступной для клас¬ сической частицы, например, между точками поворота, как показано на рис. 12. Рис. 12. Пример потенциала и классически доступной для частицы обла¬ сти а^х^Ь. Осциллирующее поведение волновой функции в этой области показано волнистой кривой, а в запрещенной для классического движения области пси-функция убывает экспоненциально Продолжение в классически недоступную область. Заметим, что выве¬ денная нами пара уравнений не изменится, если получать их, выделяя не мнимую и вещественную части в уравнении Шрёдингера, а вклады в виде четной и нечетной функций по ft. В самом деле, считая, что А и S — четные функции по ft, опять приходим к (12.3) и (12.4). Значит, нулевая итерация в классически запрещенной области координаты дает решение в виде Ф(х) = ! л/2т[Пх)-Я] dx + Сге-А J у/2m[V(x)-E] dx> причем значения коэффициентов Съ С2 зависят от налагаемых на волно¬ вую функцию граничных условий. Например, на рис. 12 волновая функция должна экспоненциально убывать на бесконечности, так что поведение при х —> +«> требует Сг = 0.
168 Тема 6. Квазиклассика Квазиклассическое приближение. Учтем линейный по h вклад в аргумент экспоненты для волновой функции, т. е. подставим выражение для функции А через S0. Тогда (12.15) где импульс р(х) = у/2т[Е- У(х)] уже вычисляется как комплекснозначная двулистная функция, т. е. имеется пара решений уравнений Шрёдингера в квазиклассическом приближении. При этом необходимо помнить, что гра¬ ничные условия, а именно наличие классического финитного движения при заданной энергии, могут приводить к фиксированной суперпозиции этих решений, так как при финитном движении в одномерном случае состояние энергии невырождено. Первая итерация и условие применимости квазиклассического приближе¬ ния. Уравнение для первой итерации, которая дает квадратичный по h вклад в S, очевидно, имеет вид (S;+?i2S')2 ър2 (х) + ^{3(S")2 - 2SqSq'} Поскольку с заданной точностью до ft2 (S£> + ft2S' )2 (S')2 + 2 h2S'0S'2 и S'0=p(x), из (12.16) следует, что S'2 = -^{3(p')2-2pp"}. (12.16) (12.17) Нулевая итерация является достаточно хорошим приближением, если этот вклад мал в сравнении с ведущим членом: П2 /\2 (р о а также Величина :|р21 р2 р р р <1, <1. (12.18) (12.19) р'1=р'Х = 5р есть изменение импульса на расстоянии в длину волны в первом порядке. Поэтому разложение по h оправдано, если 5р Р <1, (12.20) т. е. если относительное изменение импульса на длине волны пренебрежимо мало в первом порядке. Второе условие (12.19), очевидно, дает 52Р <1, 52р~р"Х2, (12.21)
Лекция 12 169 т. е. относительное изменение импульса на длине волны должно быть прене¬ брежимо мало и во втором порядке. условия применимости квазиклассического приближения можно записать в виде что, по сути, означает, что относительное изменение длины волны на рассто¬ янии в длину волны в первом и втором порядке должно быть пренебрежимо мало. Первое из условий (12.22) можно также переформулировать так: если £—интервал, на котором потенциал изменяется настолько существенно, что изменение длины волны сравнимо с длиной волны, то а значит, существенное изменение потенциала в условиях применимости квазиклассики происходит на расстояниях £, в которые укладывается боль¬ шое число длин волн. Другими словами, потенциал должен изменяться до¬ статочно медленно. Кроме того, используя явный вид функции р (х), запишем Р есть работа, совершаемая силой на расстоянии 5х = h/p = А, т. е. на длине волны. С учетом выражения для кинетической энергии условие применимости квазиклассики в первом порядке принимает вид т. е. работа, совершаемая силой на длине волны, должна быть пренебре¬ жимо мала в сравнении с кинетической энергией частицы. Поэтому ясно, что вблизи точек поворота, где кинетическая энергия и импульс стремятся к нулю, а сила остается отличной от нуля, квазиклассическое приближение неприменимо. С учетом |Я'|<1, \Х"Х\ < 1, (12.22) откуда сразу находим (12.23) _/ _ 2m V' т т? р—ir~pF’ где F = —У' — сила, действующая на частицу. Тогда -F*5x-F~5A (12.24)
170 Тема 6. Квазиклассика 12.3. УСЛОВИЯ ОТРАЖЕНИЯ, СШИВКА РЕШЕНИЙ В ТОЧКАХ ПОВОРОТА Вблизи точек поворота вместо квазиклассического приближения необхо¬ димо точно решить уравнение Шрёдингера. Тогда где в точке поворота У (а) =Е, и мы приходим к уравнению Шрёдингера для частицы, на которую действует постоянная сила F(a). Точное решение выра¬ жается через спецфункцию Эйри, которую необходимо затем сшить с квази- классическим приближением возле точки поворота. Результат такого строго¬ го рассмотрения в точности согласуется с более наглядным методом сшивки квазиклассических решений вблизи точки поворота, который мы и приведем ниже. По сути, речь идет об отражении частицы от потенциального барьера в квазиклассическом приближении. Пусть слева от точки поворота х = а расположена недоступная для клас¬ сической частицы область вплоть до х—> — оо, как это показано на рис. 12. Волновая функция при х < а в запрещенной для классической частицы об¬ ласти имеет вид затухающей экспоненты так что аргументы корней положительны. Совершим переход в классически доступную область х > а по двум конту¬ рам в комплексной плоскости х, как показано на рис. 13. Е - V(х) м Е - V(a) - V'(а) (х - а) = F(a) (х - а), где V'CaXO, а х а Рис. 13. Контуры обхода точки поворота Для этого сделаем замену переменных х — а = — ре1^, р = const > 0, (12.26) где для левого контура а для правого 05? </? 5? —п.
Лекция 12 171 При таком обходе точки поворота соответственно получаем пару вкладов при х>а p-irc/4 *lW = 2^exp{5bfe)djt}’ =§7=§f *ч>Н/ »w dx}- где уже p(x) = \J 2m [E - VOOL x>a, Е>У(х), — вещественная функция импульса. Каждое из этих решений можно про¬ должить по тем же контурам в обратную сторону в область х < а, поменяв контуры обхода местами. При этом, однако, возникает вклад, экспоненциаль¬ но растущий при х —> — оо: С е!я/2 VIpWI а Легко заметить, что этот недопустимый растущий вклад сокращается для суперпозиции X ФМ». = Фа(х) + Ф2(х) = -jL=. cos{i J р(х) dx - 5}. (12.27) V рОО а Таким образом, поскольку волны Ф2 и можно соответственно рассмат¬ ривать как падающую на потенциальный барьер волну и отраженную от него волну, при отражении от классически недоступной области потенциала возникает относительная фаза волн1 Совершенно аналогично при отражении от потенциального барьера спра¬ ва при х = Ъ затухающая волновая функция в классически недоступной обла¬ сти ъ *(*)*>(, = § ехр{ я f WI d*} (12.28) переходит в *Мх<ь = cos{| / p(x)dx-^Y (12.29) Снова убеждаемся, что фаза падающей на потенциальный барьер волны на — больше фазы отраженной волны. Подчеркнем, что в случае отражения от бесконечно высокого в точке по¬ ворота потенциального барьера конечной ширины2 волновая функция долж¬ 1При этом мы молча полагали, что в точке поворота на классическую частицу действует конечная, ограниченная по величине сила. 2Точнее, на границе барьера сила возврата обращается в бесконечность.
172 Тема 6. Квазиклассика на обращаться в нуль в точке поворота, так что, например, если V(x < а) = = +оо, то Пх)х>а=^Щcos^ Ipix) dx±^’ и относительная фаза падающей и отраженной волн равна ±п, т. е. вдвое больше, чем в случае потенциального барьера конечной высоты в точках поворота, отличных от бесконечности. 12.4. Правило квантования Бора—Зоммерфельда Рассмотрим потенциальную яму, изображенную на рис. 12. Согласно по¬ лученным нами условиям сшивки решения внутри ямы с затухающими на бесконечности решениями получаем х *(x)x>a = -^=cos{| J p(x)dx-f } (12.30) a И м D Ф(х),<ь = -j£== cos{± f p(x) dx - f }, (12.31) где С и С — нормировочные константы для решений, затухающих соответ¬ ственно при х—>+оо. Эти выражения должны быть тождественно равны друг другу, так как они описывают волновую функцию внутри классически доступной для частицы области. Значит, тЬ c°s(5 ! рМ = “8(я ! *»*-*}. (12.32, Это равенство имеет место, если, во-первых, амплитуды косинусов равны по модулю: |С| = |С|, (12.33) а во-вторых, зависящие от координат фазы косинусов совпадают с точностью до знака и сдвига на пп: i Jp(x)dx-^ = ±{j^ Jp(x)dx-^} + 7m, неZ. (12.34) a x Знак «плюс» дает 1 х 1 * ^ J р(х) dx+£ j p(x) dx = nn, a b так что слева стоит функция от х, а справа —постоянная: это уравнение не имеет решений (р(х) = 0 не имеет физического смысла). Взяв знак «минус», находим
Лекция 12 173 Здесь интеграл берется по полупериоду движения классической частицы в потенциальной яме. Переходя к интегрированию по полному периоду, находим правило квантования Бора—Зоммерфельда: р(х) dx = 2nh(n + ^, п€N. (12.36) Интеграл по циклу есть не что иное, как адиабатический инвариант — фа¬ зовый объем внутри траектории. Поэтому квазиклассическое квантование связанных состояний частицы показывает, что квантовое число п задает число ячеек фазового пространства АГ = 2nh, приходящихся на данное ста¬ ционарное состояние (с точностью до вклада основного состояния). Ясно, что фазовый объем равен целому числу ячеек только при некоторых дискрет¬ ных значениях энергии частицы. 12.5. Плотность состояний Продифференцируем формулу квантования Бора—Зоммерфельда по энер¬ гии f И<Ьг=2"в1§- <12-37> Здесь, очевидно, — плотность спектра состояний по энергии, а = v — скорость движения частицы. Так как dx=v dt, интеграл по периоду сводит¬ ся к f $k=$dt=T’ т. е. он равен периоду движения классической частицы. Отсюда = (12.38) и плотность состояний определяется круговой частотой движения со = 2п/Т. Эта частота не зависит от энергии у гармонического осциллятора, так что квазиклассика воспроизводит точный результат для разности энергий между двумя соседними уровнями: ДЕ = §|дп|Дп=1 = Йсо. В произвольном потенциале частота движения и расщепление между уров¬ нями связанных состояний зависят от энергии. 12.6. Нормировка При нормировке волновой функции связанного состояния в квазиклас- сическом приближении необходимо учесть два факта: 1) плотность вероят¬ ности обнаружить частицу вне классически доступной области пренебрежи¬ мо мала (экспоненциально подавлена); 2) само приближение справедливо
174 Тема 6. Квазиклассика лишь при п »1, т. е. когда число волн между точками поворота велико (в противном случае длина волны заведомо сильно изменялась бы за период колебаний от бесконечности в точке поворота до конечного значения внутри допустимого интервала координат). Значит, ь J |Ф(х)|2сЬ:*/ |Ф(х)|2 dx = |C|2 J |cos{-}|2^y. (12.39) а Здесь под косинусом стоит фаза, которая совершает большое количество ко¬ лебаний гг, а амплитуда этих колебаний, обратно пропорциональная импуль¬ су, по условию применимости квазиклассики медленно меняется. Значит, квадрат косинуса можно заменить его средним за период колебания: cos2{-}->|. Тогда с учетом dx=v dt и р = mv нормировка jLWPdx-gjd.-gl-. (12.40, —оо а где опять Г — полный период движения частицы в связанном состоянии. Волновая функция нормирована на единичную вероятность, так что \C\2 = f. (12.41) 12.7. Возмущение Рассмотрим задачу квазиклассического квантования связанных состоя¬ ний системы с гамильтонианом н = ^ + V0 М + 5 V(x) (12.42) с малым возмущением 5У<У0 в смысле малого отличия интегралов от функций V0 и V0 + 5V на разумных конечных интервалах координаты1. Будем считать, что решение задачи с гамильтонианом а2 Ho = fe + Vo00 (12.43) известно, так что § р$(х) dx = 2пП (n +1), (12.44) где, естественно, Ро ОО = y/2m[En-V0Ml (12.45) 1Наивное сравнение значений функций в точках не соответствует представлению о малости возмущения, так как потенциал У0 может просто обращаться в нуль там, где 5V ф 0. То же можно сказать и в отношении сравнения приращений, так как V0 может иметь экстремум, не совпадающий с экстремумом 5V.
Лекция 12 175 и интеграл берется между точками поворота (а, b). В задаче с возмущением правило квантования Бора—Зоммерфельда дает § рЕ+5Е(х) dx = 2nh(n + ^, (12.46) где импульс— рЕ+5Е(х) = ^2 т[Еп + 5Еп - У0(х) - 5У(х)]. (12.47) Здесь Еп + 5Еп=Ёп — значение уровня энергии в потенциале с возмущением, и мы полагаем, что 5Е —малая поправка. Пределы интегрирования, конечно, несколько ме¬ няются: (а + 5а, Ъ + 5Ь), — но вклад вблизи точек поворота в квазиклассике пренебрежимо мал, так что в (12.44) и (12.46) мы будем полагать пределы интегрирования одинаковыми (в рамках ведущего приближения это оправ¬ дано). Вычтем (12.44) из (12.46) при фиксированном п. Тогда имеем §{рЕ+5Е(х)-рЕ(х)} dx = 0. (12.48) Выражение для импульса можно разложить по малому возмущению энергии и потенциала: рЕ+5ЕМ = \/2т[£„ + 8Еп - V0(x) - 5V(x)] = = ]j2т[Еп - V0(x)]{l + } Po + fo[5£" " 5Vl Значит, Переходя к интегралу по времени, находим т 5£п = ^/ df 5V[*(t)L (12.50) о или 5£" = 7|ш51,М- №51) Первая из этих формул показывает, что среднее значение возмущения за период определяет сдвиг энергии связанного состояния, а вторая дает прак¬ тический рецепт расчета этого сдвига. Критерий применимости. Проведенное рассмотрение расчета поправ¬ ки к энергии стационарного состояния за счет возмущения в квазиклассиче- ском приближении следует считать справедливым только в том случае, если, прежде всего, изменение волновой функции 5%р в задаче с возмущением
176 Тема 6. Квазиклассика в некотором смысле мало по сравнению с самой волновой функцией гр0 в исходной задаче: \5гр\ = |*0 - 1 < |я/>0|. Так, потребуем, чтобы в ходе вре¬ менной эволюции, выраженной в волновой функции фактором exp{-i£t/ft}, за время периода колебаний частицы в потенциальной яме Т была мала поправка к волновой функции за счет разности энергий: Последнее возможно, только если фаза под знаком экспоненты мала по срав¬ нению с 2тг, т. е.1 где стандартным образом фазовая частота со = 2тс/Т. Как мы показали, ве¬ личина поправки к энергии определяется средним значением возмущения на классической траектории с энергией уровня в системе без возмущения: 5Е = (У), в то время как hco задает инкремент в дискретном спектре энергий системы АЕ. Поэтому критерий применимости теории возмущений в квази- классическом случае (12.52) можно записать в виде Таким образом, теория возмущений применима при условии малости возму¬ щения по сравнению с разностью энергий между соседними стационарными уровнями. При выводе критерия применимости методом рассмотрения временного фактора волновой функции мы по сути полагали, что в некоторой точке пространства в области, доступной для классической частицы и удаленной от точек поворота, где квазиклассика заведомо неприменима, пространствен¬ ные волновые функции в задаче с возмущением и без возмущения практи¬ чески совпадают, что и позволило рассмотреть лишь разность временных факторов. Но для этого необходимо, чтобы и пространственная зависимость этих волновых функция мало отличалась друг от друга. Поэтому запишем более подробно вид координатной зависимости волновой функции в квази¬ классике, используя разложение импульса по малым поправкам при наличии возмущения: Как мы уже установили, переход к временной зависимости на траектории дает |е лЕТ — е й£оТ|<1 Ф=> |е *5Е'Т —1|<1. <2я <=> \5E\Cho), (12.52) (12.53) exp {i J p(x) dxj^expj^ J p0(x) dx} expj^ J ^y(5£-V(x))J. 10тметим, что «набегание» фазы, кратное 2п, за время периода означало бы, что волновая функция в задаче с возмущением существенно отличается от исходной.
Лекция 12 177 где, конечно, время на верхнем пределе интегрирования параметрически зависит от координаты, t=t(x). Значит, координатная зависимость волновой функции в задаче с возмущением может быть представлена в виде причем первое слагаемое под знаком экспоненты по сути повторяет поправ¬ ку во временном факторе за счет малого сдвига энергии стационарного состояния, и мы знаем, что возникающей за счет него фазой за период колебаний можно пренебречь. Поэтому критерий применимости теории воз¬ мущений, учитывающий малое отличие пространственной зависимости вол¬ новой функции в задаче с возмущением от зависимости исходной волновой функции, можно представить в виде что опять же справедливо, только если на всем периоде колебаний набегаю¬ щая фаза мала по сравнению с 2я, т. е. В итоге и рассмотрение пространственной зависимости волновых функций приводит к тому же критерию теории возмущений в квазиклассике: харак¬ терные значения возмущения на интервале классического движения частицы должны быть существенно меньше разности энергий между соседними уров¬ нями. При этом не следует, конечно, забывать и о критерии применимости самого квазиклассического приближения, а именно об условии большого числа колебаний за период движения между точками поворота: п »1. Еще более наглядно критерий применимости теории возмущений в ква¬ зиклассике можно представить, если определить при больших квантовых числах малую вариацию номера уровня 5п: ще dE^/dn —обратная плотность состояний в спектре энергии, посредством которой расстояние между двумя соседними уровнями можно вычислить как Тогда условие применимости теории возмущений АЕ^>\5Еп\ представится в виде •0 (х) = 1/>0 (х) ехр{ ^5Е • (t -10) - ^ (V (t)> • (t -10)}, (У(У'Г <2n <=> |(У)|«|ДЕ| = Йй>. (12.54) (12.55) AE = -т-^-Ап приДп = 1. (12.56) |5n|<l, (12.57) т. e. возмущение эффективно сводится к малому сдвигу номера квантового состояния в задаче без возмущения, так что не происходит перекрытия с со¬ седними уровнями.
178 Тема 6. Квазиклассика Задача 6.1. Вычислить поправку к энергии осциллятора за счет возмущения 5V = em2co3x4/h, где е —> 0, и определить условие применимости метода теории воз^ мущений для конечных значений е. Решение. Согласно общему правилу квантования Бора—Зоммерфельда (12.36), спектр невозмущенной задачи — гармонического осциллятора — задается условием f p0№dx = 2nh(n+^, = так что с помощью параметрической замены Х=]]2Е™ находим Х-М V mar 0 sin (Z? mar 9р.(0) 2я f РоОО d* = -2- / cos2 </> dy> = -jE™. o В итоге спектр осциллятора в квазиклассике Е® =fia>(n+i) совпадает с точным выражением1. Поправку к энергии 5Е = J РО определяют интегралы X ^ = J_ Jd 2я J р0 тсо JQ тсо и X л 4(е£0))2 2|? . 4 з 2яЙ f , 1^2 | T.SVM=’-M lsm *Л*=?-^Г + г) ■ В итоге 5En = leh<o(n+l)2. Критерий применимости теории возмущений в квазиклассике, 5Е < hco, дает2 е • п2 < 1 при условии п »1. Отсюда, между прочим, следует, что требование точности вычислений по теории возмущений в квазиклассике на уровне, скажем, порядка нескольких процентов при конечном значении параметра малости е~0,1 может оказаться совершенно недости¬ жимым, поскольку для этого квантовое число п должно принимать слишком малые значения, что недопустимо в квазиклассическом приближении. Комбинированный критерий применимости квазиклассического приближения и теории возмущений приводит к двустороннему ограничению на квантовое число 1«П«4г, V® 1Надо иметь в виду, что «точное совпадение» выглядит менее «солидно», если помнить о критерии применимости квазиклассики тг» 1. 2Заметим, что наивное требование условия малости абсолютной величины поправки в виде 5Еп < Еп привело бы к неверной оценке области применимости теории возмущений: е • п < 1, что ошибочно увеличило бы верхнюю границу для допустимых значений квантового числа п.
Лекция 12 179 что, впрочем, совершенно ясно, поскольку четвертая степень координаты в конце концов начинает доминировать над квадратом при больших значениях х, где, сле¬ довательно, возмущение велико. Задача 6.2. Провести квазиклассическое квантование спектра частицы, движу¬ щейся в потенциале Решение. Введем безразмерную координату и = х/а, в терминах которой стаци¬ онарное уравнение Шрёдингера для ip (и) запишется в виде или после использования безразмерных параметров глубины потенциальной ямы f и энергии v=E/U0 В задаче без возмущения (е —> 0) правило квантования Бора—Зоммерфельда Свойства гамма-функции zY{z) = T(z +1), Г(г)Г(1 — z) = n/ sin(Trz) позволяют запи¬ сать Эта формула достаточно точно описывает систему уровней в задаче без возмущения уже при п > 1, что видно из рис. 14, где в случае £ = 1/6, е = 0 представлена величина 5п(0), которая определена как приращение к номеру уровня, необходимое для полу¬ чения спектра, рассчитанного численно, и задана согласно формуле считая е малым параметром. Провести сравнение с точным спектром при ip" + и0(м4 + еи^хр = Егр, дает § p0(u)du = § \/2(Cv — С^4) du=4-\/2f / duy/v-u4, о что введением переменной i/=u4/v сводится к бета-функции § p0(u)du=y2Cv tpv / dv-v = . так что в итоге Введем число и запишем спектр невозмущенной задачи
180 Тема 6. Квазиклассика так что Для расчета поправки используем ту же замену переменных в интегралах: X du V-J }Л ,_1 v-?r(l)r(l) Ф —TT = -^J dv'v 4(l-v) 2=“F=— /Зч J PoOO V2?J0 72? Г(|) X du e fj J i v? Г(|)Г(|) Ф T7TTU ~F= J dvtM(l-v) 2==-——^—^-, J PoM y/2Z 0 \/2? r(f) откуда по общей формуле c зГ(2)Г(|) з |Г2(|) 8 3 9Г4(|) — с у 2 -— = PV 2 — = PV 2 — r(f)r(i) flr2(l) 15eV 4** • В итоге 5v" = ^eg4|(n + i)2. Вычислим эффективный сдвиг номера уровня 5vci) 2 %. (п\\ ( 1Л з 5n=5^v^ = Ieg4?J v 2J <<L Значит, теория возмущений применима при Подчеркнем, что прямое сравнение поправки к энергии уровня со значением энергии в невозмущенной задаче привело бы к ошибочной оценке верхней границы области применимости теории возмущений по квантовому числу п, так как необходимо срав¬ нивать поправку с расстоянием между соседними уровнями. При заданных значениях параметров задачи £=1/6, е=0,1 для сравнения прибли¬ женных оценок в квазиклассической теории возмущений с точным расположением уровней следует провести численный расчет спектральной задачи. Стандартный при¬ ем состоит в том, чтобы построить схему итераций, реализуемую в виде алгоритма. Мы использовали следующий метод: при заданном начальном значении энергии вычислялись точки поворота а < Ь, после чего в качестве начальных значений задачи Коши бралось квазиклассическое выражение достаточно глубоко в области затухания волновой функции, скажем, правее Ъ; тем самым определялась необходимая для ре¬ шения уравнения второго порядка первая производная волновой функции в исходной точке х0 > Ъ с произвольной нормировкой *ф(х0). Затем вычислялось значение волно¬ вой функции в зеркальной точке гр (—x0) и определялось значение асимметричности d = \‘if> (х0) \-\ip (—х0) |. В изучаемой задаче потенциал—четная функция координаты, так что при верном выборе энергии в спектре уровней асимметричность d должна обращаться в нуль; при этом затухание волновой функции при отрицательных х также гарантировано выбором квазиклассического условия затухания при положительных х. Выбирая пару значений энергии Еъ Е2, легко провести линейную итерацию в точку, где асиммет¬ ричность должна обратиться в нуль: dfcEfc+i - dk+iEk Ei k+2 dk-dk+1
Лекция 12 181 Этот метод оказывается достаточно точным и быстро сходящимся при малом числе итераций, причем номер уровня контролируется прямым подсчетом числа узлов вол¬ новой функции, что легко реализуется в пакете аналитических и численных расчетов и графических построений mathematica. Рис. 14. Оценка точности квазиклассического приближения по приращению к номеру уровня 5п®\ которое нужно добавить для согласия с точным числен¬ ным расчетом энергии связанных состояний, в зависимости от квантового числа п в невозмущенной задаче е = О, £ = 1/6 Описанная процедура использовалась при численном расчете спектра как невоз¬ мущенной задачи, так и при наличии возмущения. Результат сравнения квазикласси- ческих вычислений с точными представлен на рис. 15 в терминах поправки к номеру уровня. Согласно нашему исследованию квазиклассика в совокупности с теорией возмущений может быть применима в ограниченной области значений квантового числа п: 1 < п < 7, что и подтверждается данными рис. 15: при малых п, в данном случае для основного состояния, квазиклассика дает плохую оценку и без возмущения, и при его наличии, а при больших п неприменима теория возмущений, так как, во-первых, поправки по сути начинают «перемешивать» соседние уровни, а во-вторых, ведущее приближение оказывается слишком неточным и становится необходимым суммирование поправок высшего порядка, т. е. выход за рамки теории возмущений. Фактически теория возму¬ щений в рамках квазиклассического приближения в этой задаче применима в весьма узкой области квантовых чисел, а именно при 1 < п < 4. 12.8. Потенциальный барьер Рассмотрим задачу, в которой на потенциальный барьер с конечной си¬ лой возврата в точках поворота для классической частицы ограниченной энергии, т. е. фактически конечной высоты на конечном отрезке коорди¬ нат, в интервале а<х<Ъ слева падает и отражается волна. В этом случае экспоненциальное затухание волны в классически недоступной области по¬ тенциального барьера приводит к конечной, отличной от нуля волновой
182 Тема 6. Квазиклассика функции и в области х>Ъ, где появляется уходящая на бесконечность волна, прошедшая через барьер (см. рис. 16). Волновая функция ^>b=7fe)exp^/pWd^ имеет асимптотику прошедшей через барьер волны с потоком, направлен¬ ным в положительном направлении х. Пользуясь методом сшивки реше¬ ний в квазиклассическом приближении, описанным в предыдущем разделе, мы получим в области а<х<Ъ суперпозицию экспоненциально падающего и растущего с ростом х вкладов. Оба вклада нормированы так, что они равны одной и той же константе С при х = Ь. Значит, в области а<х<Ъ возле х = а в рамках погрешности самого квазиклассического приближения следует пренебречь тем вкладом, который экспоненциально подавлен, так как его учет означал бы превышение точности метода расчета. Поэтому х VWa<x<b= ~f==e~ln/4 еХр{~| J d*} = VIpWI Ь =ехр{-н S 'рdx+я / d*} ^ а => УМа<х<Ь= еХР\Й -С dX}> где ъ С = Се-1Я^4 ехр|^ J |р(х)| dxj. (12.58) а Эта волновая функция повторяет ситуацию с отражением волны от потенци¬ ального барьера при х = а справа, так что ФСх)х<а=27Шcos^ Iр(х) dx~^' Коэффициент прохождения потенциального барьера Т определяется от¬ ношением потоков вероятности в прошедшей и падающей волнах: 7- =7- jclzjcl J out Jx>b р m m > и здесь при вычислении потока в волне дифференцируется только экспонен¬ та, а предэкспоненциальный множитель в квазиклассике изменяется очень медленно, т. е. выносится из-под знака дифференцирования, а после пред¬ ставления косинуса в области х < а в виде суммы двух экспонент с падающей и отраженной волнами, получаем
Лекция 12 183 Рис. 15. Приращение к номеру уровня 5п за счет поправки в теории возму¬ щений (квадраты) и дополнительный вклад, который нужно добавить для согласия с точным численным расчетом энергии связанных состояний (тре¬ угольники), в зависимости от квантового числа п Рис. 16. Туннельный эффект — проникновение волны через потенциальный барьер
184 Тема 6. Квазиклассика так что (12.59) Отметим, что в квазиклассике коэффициент отражения тождественно равен единице (разложение косинуса на две экспоненты с одинаковыми амплитуда¬ ми). Это не противоречит наличию ненулевого коэффициента прохождения, так как он экспоненциально подавлен, так что в разности 1 — Т сохране¬ ние второго члена являлось бы превышением точности. Экспоненциальное подавление обусловлено условием достаточной ширины барьера, так как ширина должна превосходить несколько длин волн для применимости ква¬ зиклассики вдали от точек поворота: где t = b — а — характерная длина, на которой потенциал существенно изме¬ нился, что находится в согласии с общим условием применимости квазиклас¬ сики: длина волны существенно меняется на расстояниях, много больших длины волны, А/£ <С 1. Строго говоря, при выводе коэффициента прохождения потенциального барьера, т. е. при рассмотрении эффекта туннелирования, для примени¬ мости квазиклассического приближения необходимо, чтобы потенциал до¬ статочно плавно вел себя вблизи точек поворота, так что, например, для потенциала на рис. 17 в области 0 < х < а нужно уже использовать точ¬ ное решение уравнения Шрёдингера. Это, однако, сказывается только на предэкспоненциальном множителе в коэффициенте прохождения (12.59), ко- ъ а V(x) WWW х а Ъ Рис. 17. Квазистационарное состояние в потенциальной яме и проникновение волны через потенциальный барьер
Лекция 12 185 торый становится отличным от единицы1. Поэтому по-прежнему Т~expj-| J |pOO|dx}. а Туннельный эффект был использован Гамовым для объяснения законо¬ мерностей а-распада квазистационарных состояний ядер в соответствии с расчетом коэффициента прохождения в потенциале типа рис. 17, где притя¬ жение (яма) обусловлено короткодействующими ядерными силами, а оттал¬ кивание—кулоновским взаимодействием положительного ядра и а-частицы. В этой связи заметим, что квазистационарными состояниями называют долгоживущие резонансы, возникающие в процессах рассеяния, о которых мы упоминали в лекции 5. К теории рассеяния и распадам квазистационар¬ ных состояний мы обратимся несколько позднее во второй части курса. Здесь же укажем на то, что резонансы могут образовываться как при упругом рас¬ сеянии, когда начальное и конечное состояния описываются одним и тем же набором частиц, так и при неупругом, когда набор частиц изменяется. Долгое время жизни резонанса позволяет рассматривать его безотносительно к про¬ цессу его происхождения, а задачи описания квазистационарных состояний составляют отдельный класс, который мы не рассматриваем в этом курсе. Флуктуации и виртуальные частицы. Физический смысл туннельного эффекта становится более ясным, если ввести понятие виртуальных частиц. В области потенциальной энергии, недоступной для классических частиц, имеют место существенные флуктуации, обусловленные тем, что операторы кинетической и потенциальной энергии по отдельности не коммутируют с гамильтонианом: [Tip), Я] = [|^, V(r)] = 2^(р[р, VCr)] + [р, V(r)]p) = = - J^AV(r) - f {W(r)> p и [V(г), Я] = — [Т(р), Я] Ф 0, так что значения кинетической и потенциаль¬ ной энергии имеют неопределенности в случае стационарного состояния с точно заданной энергией. Этими флуктуациями можно пренебречь в об¬ ласти, доступной для классической частицы, потому что —W = F — сила, действующая на частицу, и второе слагаемое в коммутаторе имеет порядок £{VV(r)> • р • J £ ~ SA • ГИп, 771 771 р ТП где, как и выше, 5А — работа силы на длине волны. Эта работа совершается за характерное время 5- Я ft 771 h Q [ Л; — r>sj — • rsj v P P W 1Впрочем, подчеркнем, что если движение частицы квазиклассично по обе стороны от барьера, то отличие предэкспоненциального множителя от единицы оказывается также экспо¬ ненциально подавлено.
186 Тема 6. Квазиклассика Первое слагаемое в коммутаторе того же порядка, что и второе: используя определение силы F=dp/dt=—VV, находим zm zm т Поскольку коммутатор с гамильтонианом определяет производную операто¬ ра по времени, для флуктуаций за время 5t находим => ТШ-5ТШ~5А-ТШ) а значит, согласно условию применимости квазиклассического приближения 7t m Xj kin ikin и флуктуациями как кинетической, так и потенциальной энергии в классиче¬ ски доступной области необходимо пренебречь. Поэтому можно проводить рассуждения в терминах импульса, зависящего от потенциальной энергии, как мы это делали при построении квазиклассического приближения. Ситуация коренным образом меняется в области, недоступной для клас¬ сической частицы, когда понятия кинетической и потенциальной энергии плохо определены по отдельности. Итак, имеется вероятность такой флук¬ туации потенциальной энергии, при которой частица может проникнуть в классически недоступную область с некоторым положительным значением кинетической энергии. Эта вероятность в квазиклассике определяется коэф¬ фициентом прохождения —2- w ~е я, где S — действие, зависящее от координаты частицы в глубине потенци¬ ального барьера. Частицы, проникающие под барьер за счет флуктуаций потенциальной и кинетической энергии, называют виртуальными. Таким образом, при наличии внешнего поля его потенциал испытывает флукту¬ ации, приводящие к распространению виртуальных частиц. Если внешнее поле меняется, скажем, адиабатически в зависимости от времени или рас¬ стояния, то виртуальные частицы могут попасть в классически доступную область, т. е. наблюдаться, как это имеет место при прохождении через по¬ тенциальный барьер: если потенциал медленно уменьшается ниже значения полной энергии в некоторой области пространства, то в ней наблюдается туннельный эффект — виртуальные частицы за счет флуктуаций проходят барьер и регистрируются в классически доступной области как реальные. Задача 6.3. В рамках квазиклассического приближения для туннельного эффекта оценить вероятность образования электрон-позитронных пар в постоянном электри¬ ческом поле за счет флуктуаций вакуума во внешнем поле. Решение. Квантовые флуктуации вакуума, которые приводят к рождению пар частица-античастица, возможны, если энергия флуктуации порядка массы частицы АЕ ~ тс2,
Лекция 12 187 а значит, время такой флуктуации согласно соотношению неопределенностей Atc^ ~2 • тсг Если на электрон-позитронную пару в вакуумной флуктуации действует внешнее электрическое поле 8, то возникающие силы разводят электрон и позитрон в разные стороны, так что эти виртуальные частицы могут перейти в состояние реальных, наблюдаемых частиц, т. е. может произойти туннельный переход — пробой вакуума. Вероятность туннельного перехода задается квазиклассической формулой —2- w~e ft, где S—действие виртуальной частицы S^p- Ах. Импульс в последней формуле по порядку величины задается энергией покоя рс^тс. Его вариация входит в уравнение движения: производная импульса по времени равна силе электрического поля; л л -=е£ => Др*—2. Но флуктуация импульса связана с флуктуацией координаты соотношением неопре¬ деленностей Ар • Ах ^ h, откуда действие с т2с3 ~ е£ * а вероятность рождения электрон-позитронной пары в постоянном электрическом поле . .t m2c3 W ~ е eft£ . В квантовой теории поля вычисляется и постоянная const = п, и предэкспоненци- альный множитель. Здесь же отметим лишь то, что введение комптоновской длины волны электрона Ае = —- тс позволяет записать аргумент экспоненты в виде фактора тс2 е£Ле’ т. е. он задается отношением массы покоя электрона к работе сил постоянного элек¬ трического поля на комптоновской длине волны электрона Ае. Рождение пар из вакуума становится статистически значимым, если значение этого фактора сравнимо с единицей, а значит, когда поле настолько велико, что его напряженность «разрыва¬ ет» вакуум на комптоновской длине электрона. Численно это поле чудовищно велико: S ~ 1014 В/м. При осмыслении полученного результата следует обратить внимание на то, что рождение пар частиц в течение бесконечного времени существования поля неми¬ нуемо приведет к необходимости учета обратного влияния рождающихся частиц на источники поля (согласно закону сохранения энергии), поэтому в действительности процесс рождения частиц носит существенно нестационарный характер, и при стро¬ гом подходе надо рассматривать поля с конечным временем существования.
188 Тема 6. Квазиклассика Задача 6.4. В рамках квазиклассического приближения для туннельного эффекта определить энергетическую зависимость вероятности рождения пар фотонов в грави¬ тационном поле черной дыры вблизи поверхности Шварцшильда за счет флуктуаций вакуума, если гравитационное ускорение возле сферы Шварцшильда равно хс2 (для х вводят термин «поверхностная гравитация»). Решение. Предположим, что в вакууме в течение времени At имеет место флук¬ туация: образуется пара фотонов с энергией Е > 0 и — Е < 0. На фотон с энергией Е и гравитационной массой т=Е/с2 действует сила гравитационного поля F = хс2 • т = хЕ, где, как видим, вместо массы покоя в релятивистском случае стоит энергия частицы. Эта сила направлена к центру черной дыры. На фотон с энергией — Е действует такая же по модулю сила, направленная в другую сторону, от центра, так как энергия отрицательна. Таким образом, гравитационные силы растаскивают фотоны из ваку¬ умной флуктуации в разные стороны, так что может иметь место «пробой вакуума», что, естественно, невозможно в отсутствие внешних сил. Поэтому говорят, что под действием гравитационного поля имеет место туннельный переход флуктуации в со¬ стояние с реальными фотонами. Сила определяет изменение импульса, так что в конечных приращениях Ар c^F — xE, At а изменение импульса для фотона связано с энергией флуктуации А Е Ар — -. с Отсюда время флуктуации, в течение которого фотон приобретает энергию Е, At i За это время фотон проходит расстояние At~ —. хс Ах ^ с At ^ -. х Поэтому характерное значение действия S для такой флуктуации С А Е 1 Sczp-Axc* , с х а вероятность туннельного перехода в квазиклассике w~e я дает w ~ e-constife = е~РЕ, где точное значение постоянной const=2п было рассчитано Хокингом (Hawking), так что В итоге энергетическая зависимость вероятности наблюдения флуктуации повто¬ ряет распределение Гиббса для излучения абсолютно черного тела с температурой кТ = 1/13, т— — — к ' 2п' где к — постоянная Больцмана и мы выделили фактор из фундаментальных постоян¬ ных, который обычно полагают равным единице за счет выбора единиц измерения температуры, длины, времени и энергии.
Лекция 12 189 Значит, гравитационные силы способны приводить к детектированию удаленным наблюдателем фотонов со спектром излучения абсолютно черного тела. При этом, конечно, необходимо, чтобы фотон с отрицательной энергией никогда не попадал в область действия измерительных приборов вне черной дыры. Это действительно возможно при наличии сферы Шварцшильда: тогда при квантовой флуктуации вбли¬ зи этой сферы фотон с положительной энергией достигает удаленного наблюдателя, а фотон с отрицательной энергией падает в черную дыру. В результате энергия черной дыры уменьшается ровно на столько, сколько ее унес с собой фотон к стороннему наблюдателю в измеряемом им спектре излучения. Качественно описанный процесс есть квантовый эффект испарения черных дыр, который носит имя Хокинга. Отметим, что, подобно предыдущему примеру с рождением пар частица-анти- частица в электрическом поле, в наших оценочных рассуждениях мы не учитывали нестационарность задачи о возникновении и существовании черной дыры, что в дей¬ ствительности весьма существенно в последовательной теории эффекта Хокинга. Наконец, определим значение поверхностной гравитации из качественных сооб¬ ражений. Фотон не может покинуть черную дыру, так как работа сил гравитации на расстоянии порядка размера черной дыры rg равна его энергии хЕ-г„с^Е => х^—, О Г rg так что температура черной дыры обратно пропорциональна размеру черной дыры1. Для примера, гравитационный радиус Солнца (М0 ^ 2 • Ю30 кг) 2GM© f©= ^ а температура черной дыры с массой Солнца была бы лишь Г0^ 5-10"8 К, но масса Солнца недостаточно велика, чтобы гравитационные силы необратимо сжа¬ ли бы его в черную дыру после исчерпания запасов термоядерного топлива (коллапс Солнца по современным представлениям невозможен). 1Точная формула для черной дыры Шварцшильда l/x = 2rg.
Тема Интеграл по траекториям 7 Лекция 13 (дополнительная) Вывод представления оператора эволюции в виде интеграла по траекториям в фазовом пространстве, граничные условия, квантовый принцип Гюйгенса— суперпозиция вкладов всех траекторий, классический предел, интегрирова¬ ние по траектории импульсов для квадратичных гамильтонианов, поворот Вика, континуальный интеграл при наличии источника, уравнения Швин- гера—Дайсона, производящий функционал, роль решения свободных класси¬ ческих уравнений движения при заданных граничных условиях, двухточеч¬ ная функция Грина, производящий функционал функций Грина, диаграммы Фейнмана, ангармоничный осциллятор, квантовое эффективное действие, квантовые поправки в функциональном уравнении Швингера—Дайсона, вер¬ шинные функции, графическое представление квантового уравнения для двухточечной вершины в виде диаграмм Фейнмана, петли, связь вершин со связными функциями Грина, введение возмущения для осциллятора. Рассмотрим эволюцию состояния, заданного в начальный момент време¬ ни t = t! в координатном представлении I*(t = t')> = / |q'} dq' Ф(д', t'), Ф(Ч', t') = (q'l'Kt')), (13.1) где q'—обобщенная координата (для простоты—в одномерном случае). Тогда согласно общему формализму состояние в момент времени t получается в результате действия оператора эволюции U(t, t') Здесь оператор эволюции записан в общем виде как символ «Т-экспоненты», т. е. понимается в виде предела произведения бесконечно малых сдвигов по времени, строго упорядоченных в порядке возрастания моментов времени, а нормировка записана с учетом ненулевого значения исходного момента времени. В соответствии с таким разбиением интервала t — t' на N отрезков, так что dt = (t - t')/N, при N -» » бесконечно малый сдвиг по времени t' —»tx = t' + dt дает 13.1. Фейнмановский интеграл |фсо)=era, t')i^(t')>, (13.2) где (см. (2.13))
192 Тема 7. Интеграл по траекториям и, подставляя единичные операторы в координатном и импульсном представ¬ лениях, находим l*fti)) = J d<2i l<2i)(<2ilPi)|^x х (p-у| expjtj) dt}|q'^ dq' tfCq', t') + 0(dt2). Для квадратичных по импульсу гамильтонианов вида H(q,p,t) = |^+V(q,t), очевидно1, (р|Н(<2, р, О|q) = H(.q, р, t)(p|q), (13.3) где ft(q, р, £) —гамильтониан классической системы. Поэтому, опуская члены второго порядка малости по инкременту времени, с учетом (p|q) = eipq/fi 1В общем случае при переходе от классического гамильтониана к квантовому возникает проблема упорядочивания некоммутирующих между собой наблюдаемых — координаты и им¬ пульса — так, чтобы оператор гамильтониана был эрмитовым. При этом выбор той или иной процедуры упорядочивания, конечно, приводит к различным квантовым обобщениям клас¬ сической теории. Мы фактически полагаем, что после принятия некоторого выражения для гамильтониана затем производятся перестановки импульса и координаты так, чтобы в итоге все операторы имульса оказывались бы левее всех операторов координаты. Что касается самой процедуры упорядочивания, то укажем, к примеру, обычно принимаемую стандартную схему — анзатц Вейля. Пусть дана классическая величина как функция импульса и координаты, F(p, q). Вычислим ее фурье-образ Ни, v) = / dp dq el(up+l/q)FCq, р) и построим оператор, упорядоченный по Вейлю, как обратный образ с операторами в экспонен¬ тах Этот оператор заведомо эрмитов, если исходная величина F вещественна. Вычислим, например, оператор, соответствующий упорядочиванию Вейля для величины F = pq. Преобразование Фурье для линейной функции J dp peiup = J dp eiup =2ят^5(и), дает фурье-образ Пи, V) = -(2n)28'(u)5'(v). Тогда обратное преобразование приводит к F(p,q) = - Г )25'(u)6'(v) =—— J (2 я)2 dud v lu=i/=0 так что ^=^(.рч+чр')- Ясно также, что для функций коммутирующих наблюдаемых, например, для функции, завися¬ щей только от импульса или только от координаты, упорядочивание Вейля сводится к стандарт¬ ной подстановке в функцию соответствующего оператора (импульса или координаты).
Лекция 13 0дополнительная) 193 получаем1 l*(ti)> = J dq' Ф(Ч', t'). (13.4) Повторял эту процедуру N раз, приходим к выражению г N |Ф(0) =^lim |qN) Р| ^^e№kbk-4k-0-n(qk,pk,tk)dt] dg/ ф(д/) ^ (13 5) ~~>°° J fc=l где qo = q'- Введем скорость q(tfc) = ^if^. (13.6) 1Вычислим матричный элемент Hio = Ы#(р, q, t)ko) = J(qilp>^(pl^(p, q, t)|q0) в схеме с упорядочиванием по Вейлю. Для этого следует записать гамильтониан в виде Н(р, q, t) = J ^e-w+^jecu, V, О, где Ж(u, v, О — фурье-образ функции Гамильтона в классической механике H(q, р, t). Следова¬ тельно, необходимо найти матричный элемент (ple-^+^lqo), который легко вычисляется согласно общей формуле Бейкера—Хаусдорфа для произведения экспонент операторов АиВ, коммутирующих с их коммутатором [Л, В], еАеВ=е\[А,В]еА+В так что e-i{up+v4) _ е- \ i2uv[p,4] e-iupe-iv4 и в силу [р, q] = -ih получаем <Ple_i(“^+1'^|qo>=e-^ifiui,e-iupe_i‘'l,o<p|qo>- Значит, н10= Г iL^е^(Ч1-Чо-ВДе-^ое-|^^(и, V,о. J 27ш (2тг) Однако интегрирование по импульсу дает дельта-функцию для переменной и: j ^е*рС,1",0"Ли)=5(91-чо-ад. так *гго под интегралом в Я10 можно сделать соответствующую подстановку, что приводит к >'(qo + =«'(чо + \(Я1 -<Зо)) = ^(<h +5о) И Н10= Г ^eSPt«i-4o)^e-i(uP+,'«o)^f(u)v,0, J 2яН (2я)2 где мы ввели срединную точку q0 = (qa +q0)/2. В итоге обратное преобразование Фурье берется для классических величин, и <<h|tf(p, Я, 0Ы = J ^e>^-«o)W(q0, Р, t). Таким образом, упорядочивание Вейля приводит к тому, что классический гамильтониан бе¬ рется в срединной точке координаты. В остальном проведенный в основном тексте вывод матричного элемента гамильтониана остается в силе.
194 Тема 7. Интеграл по траекториям. Тогда множество точек {qk} образует ломаную траекторию, которая показана на рис. 18. Точно так же вводится и траектория в импульсном пространстве Рис. 18. Ломаная траектория в координатном пространстве Тогда произведение экспоненциальных факторов под интегралом в (13.5) сводится к expj^ J[p(t)q(t)-H(q(t),p(t),t)] dt} = ехрt)}, (13.7) t' где S(t', t) — классическое действие на траектории в фазовом пространстве {q(t), p(t)} с граничными условиями в координатном пространстве q(t')=q' и q(t) =qN. Получающееся выражение для состояния |Ф(£")> = Um f \qN) dq' Ф(д', t') ]~[(13.8) J k=l обозначают как интеграл по траекториям I'Kt")) = J dqN \qN) dq' ^(q', t') J ©q Q>p ел5[<!'р:с'’с"], (13.9) где (первый и последний раз) указана функциональная зависимость класси¬ ческого действия S от траектории в фазовом пространстве, а мера интегри¬ рования получается при предельном переходе к континууму <шо> k=1 и поэтому фейнмановский интеграл по траекториям называют также конти¬ нуальным интегралом. Матричный элемент (q"|Ф(с7/)), как видим, сводится к вычислению выра¬ жения (q"|Ф(г")> = f{q"\U(.t", OlqO dq' V{q', t% (13.11)
Лекция 13 (дополнительная) 195 где (q"|U(t", t')\q') = f Щ 9p e»^'0 (13.12) есть интеграл по траекториям, причем интегрирование по qN «снялось» вследствие (ч"к w) = 5(q//-qN)> так что траектории движения в координатном пространстве имеют гранич¬ ные условия q(t/)=q/, q(t")=q". (13.13) Подчеркнем, что матричный элемент — это число или числовая функция, т. е. классический объект, и континуальный интеграл построен из чисто классических величин: траекторий и действия на них. Физический смысл такого представления матричного элемента в виде интеграла по траекториям прост: амплитуда перехода из точки q(t') = q' в точку q(t") = q" есть суперпозиция амплитуд для всех траекторий из ис¬ ходной точки в конечную, так что каждая траектория в фазовом простран¬ стве дает вклад ехр{iS/ft}, где S —действие на траектории. Как видим, в фейнмановской формулировке прослеживается явная связь с принципом Гюйгенса в теории волн, а именно, интеграл по траекториям устанавливает квантовый аналог принципа Гюйгенса. Оператор эволюции можно представить как U(t”, t')= / dq" |q")(q"|C>(t", t')\q') dq' (q'|, откуда1 U(t", t') = J dq" dq' |q")(q7| J ®q <2p (13.14) 1 Классический предел. При h-> О под интегралом стоит функция с быстро осциллирующей фазой S/ft, за исключением случая, когда у действия имеется стационарная точка: 5S = 0, 5q(t') = 5q{t")= 0, (13.15) 1 Обычно вводят запаздывающую функцию Грина уравнения Шрёдингера ihG(q"y tq', t') t')Iq'), где ^(0 — ступенчатая тэта-функция Хевисайда. Эта функция Грина удовлетворяет уравнению {ifi J_ р", t")}g(q", t"; q\ -1') S(q"-q'), так как дифференцирование тэта-функции дает дельта-функцию от разности времен, а опера¬ тор эволюции, во-первых, удовлетворяет уравнению Шрёдингера, а во-вторых, при равенстве времен обращается в операторную единицу, матричный элемент которой в координатном пред¬ ставлении равен дельта-функции от разности координат. В терминах функции Грина эволюция состояния вперед во времени дается соотношением ф(д" t") =/ g(q", t"; q', г'Жд', t') dq', t" > t'. В простейших случаях, например для свободной частицы, можно решить это уравнение в явном виде. Однако в этом разделе мы исследуем метод континуального интеграла, оставляя изложение аппарата запаздывающей функции Грина до рассмотрения теории рассеяния.
196 Тема 7. Интеграл по траекториям т. е. вариация действия на траектории с фиксированными концами обраща¬ ется в нуль. Но это есть не что иное, как принцип наименьшего действия в классической механике. Значит, Z0 = f Siq Sfp ^Aefi5o(t ,t/ ) + квантовые поправки, где S0— действие на «прямой» классической траектории. 2. Интегрирование по импульсу. Интеграл по импульсам можно взять, так как + 00 +00 где нормировочная константа ЛГ не зависит от траектории. Тогда г0=Л / Щ е* s(£''t"), (13.16) где уже действие зависит только от траектории в координатном простран¬ стве: t" S(t', t") = J dt - V[q(t), t]}, (13.17) t' a N сЛ— lim Г\лг. N->00 1 1 fc=1 3. Поворот Вика. Для интегрирования, в частности, для оценки констан¬ ты Я часто используют поворот Вика контура интегрирования по времени. Формально полагают, что dt=idt£, (13.18) где tE—«евклидово время» (см. рис. 19). Для правомерности такого поворота необходимо, чтобы на пути смещения контура не было особых точек. Обычно полагают, что это условие выполнено. Тогда + 00 кг- Г dP* 1 (Рк-Щк)2 / т J 2nh Pi h 2т Е) у 2nhdtE’ — 00 Отсюда видно, что, во-первых, нормировочный фактор действительно не зависит от параметров траектории и его можно вынести из-под знака кон¬ тинуального интеграла. Во-вторых, корректное определение континуального предела подразумевает «регуляризацию» этого расходящегося вклада.
Лекция 13 Сдополнительная) 197 Рис. 19. Поворот Вика 13.2. Источник и производящий функционал Рассмотрим теперь частицу, на которую действует внешняя сила ДО, зависящая от времени, так что n=^+V(q)-j(t)q. (13.19) В этом случае говорят о гамильтониане с источником j. В присутствии источ¬ ника интеграл по траекториям функционально зависит от j t" Z(j) =<yrj&q exp ji J dt - V(q(t)) + j(t)q(t)] J, (13.20) t' ИЛИ Z(j) = Jf J ®q exp{£s(t', t", j)}. (13.21) Функциональная замена переменных qW^№=qV + 5q(t), Sq(t') = 5q(t") = 0, представляет собой сдвиг, который не изменяет ни меры интегрирования Щ = Щ, (13.22) ни значения функционального интеграла Z(j) J Щ exp{|s(t', t", j)}. (13.23) Вычитая из функционала (13.23) самого себя в записи (13.21), находим при 5q(t)-> 0 (13.24)
198 Тема 7. Интеграл по траекториям Сюда нужно подставить вариацию Эйлера 5S ■ = —mq (t) — V' (q (t)) + j (t), 5q(t) где V'—производная потенциала по координате, так что / Щ {mq(t) -t-y'CqW) -j(t)}e«s(t'’t"J') = 0. (13.25) Значит, мы установили квантовый аналог уравнения Лагранжа—Эйлера: ура¬ внения движения остаются справедливыми в смысле интеграла по траекто¬ риям. Наличие источника позволяет преобразовать квантовые уравнения Эйле¬ ра-Лагранжа. Действительно, = ^ $ ®<J,<Z(t)e»s(t,’t'/,j)) (13.26) поэтому (13.25) представимо в виде тё{-ш1м}=-'''(-иш)2о>+^,>2ог аз.27) Принято делать подстановку Z(;) = ^Ke»G0), (13.28) тогда }=-''|вду(-1(щ)"ВД+т' (1329) Уравнения в функциональных производных (13.27) и (13.29) суть уравнения Швингера—Дайсона. Для иллюстрации приведем пример гармонического осциллятора: тсо2 V(q) = ~2^Ц2 => V/(q) = mo)2q, откуда уравнение на G(j) для осциллятора принимает вид d2 f5GQ'))_ 25gQ) i nooni dt2l 5jit) )~ 0 5j(t) (13.30) Это—функциональное уравнение с источником. Функционал G(j) можно разложить в функциональный ряд GO) = 0о + J Sa)(t)j(t) dt + i J a(2)(ti, t2)j(ti)j(t2) dtj dt2 + ... (13.31) Очевидно, So = ■-ift In Zo JT а основное уравнение (13.30) содержит в себе уравнения на все остальные функции Gn(t\,..., tn), потому что его можно дифференцировать и полагать j = 0. Так, при j = 0 в (13.30) находим d2,7(1)/■*■»_ 2
Лекция 13 Сдополнительная) 199 — уравнение для свободного классического осциллятора. Его решение — это e^(t) = q0(t)9 т. е. классическая траектория с заданными граничными усло¬ виями. Вариационная производная основного уравнения дает _d2 Г 62G(j) 1 , _ 2 S2GO) mdt21{5j(t1)5j(.t2)\ + m<°°5j(t1)5j{t2) 5(tl t2)’ так что, полагая j = 0, находим тdtf1^(2) ^ + тсоо$(2) t2) = 5(tj -12), т. е. уравнение для двухточечной функции Грина. Домножая это уравнение на j(t2) и интегрируя по t2i очевидно, находим уравнение движения для осциллятора с внешней силой (источником) m{dtj + а)о} $ dt2=j(ti), и решение этого уравнения записано в виде вынужденных колебаний q(j; t)=f g(2)(t, t2)j(t2) d t2, причем общее решение получается суммированием свободных колебаний q0(O и вынужденных q(j; t). Поскольку исходное уравнение для двухточеч¬ ной функции содержит оператор, симметричный по аргументам и t2, и за¬ висит от источника с аргументом tx —12, его общее решение можно предста¬ вить в виде а(2) (h, t2)=а(2) (tx -12)+с • gm (tjgm (t2), т. e. с точностью до вклада свободной волны с произвольной нормировкой С. Последний вклад просто дает добавку к траектории Aq(t) = С • q0(t) J q0(t2); (t2) dt = С • q0(t), и эта добавка заменяет уже имеющийся вклад q0(t) от с?(1) (t) qoCO-^qoWd + C), что несовместимо с заданными граничными условиями, если только С не равно нулю. Значит, для осциллятора имеем точное равенство s(24ti,t2)=a(2)(ti-t2). (13.32) Точно так же при О 3 уравнение Швингера—Дайсона означает, что т^2^(п)^1> •••> fn) +mct)2a(n)(ti,t„) = 0, и, следовательно, многоточечные функции Грина для осциллятора удовле¬ творяют свободному уравнению и могут быть построены в виде компози- ций gm(.tk), что опять приводит к нулевым коэффициентам нормировки из-за граничных условий (свободное движение уже включено в линейный вклад £(1)), так что о, з.
200 Тема 7. Интеграл по траекториям Для осциллятора G(j) = <?o + / S(1)(0j(t) dt +J 0C2)(ti-t2)j(ti)j(t2) dtx dt2. Это есть исключительное свойство гармонического осциллятора—системы, гамильтониан которой квадратичен как по импульсу, так и по координате. Подынтегральные выражения принято изображать в виде диаграмм Фей¬ нмана согласно правилам: 1) источнику j(tk) сопоставляется луч, показанный штриховой линией с началом в точке tk; 2) одноточечной функции Грина 0(1)(**) сопоставляется отрезок, показан¬ ный сплошной линией с началом в точке tk и концом в точке, помеченной знаком <8>, который обозначает зависимость от граничных условий; 3) многоточечная функция Грина 5(n)(ti,..., tn) изображается отрезками сплошной линии с началами в точках tl3..., tn и общим концом в точке, показанной кружком. Например, в разложении функционала G(j) для свободного осциллятора есть только два вклада: Qmj —* <8>; 0*2 _ . + . . В общем случае G(j) называют производящим функционалом для связных функций Грина так как по построению в нем не содержатся вклады, ко¬ торые можно представить в виде произведения интегральных множителей, которым соответствуют диаграммы Фейнмана, не соединенные никакими линиями. Если же рассмотреть разложение функционала Z(;‘) Z(j)=X>0-ift I X>(1)(t)j(0 dt+ Цг" J ^(ti’ t2)j(ti)Kt2) dt1dt2 + ..„ то в нем, несомненно, есть факторизуемые вклады, так как Z(j)=exp £ —jp~ ] • Действительно, для двухточечной функции V имеем чему соответствует диаграмма —ift • • 1 -•—® 0—•-— Очевидно, что вторая диаграмма не является связной (у нее есть разрыв). Точно так же четырехточечная функция V может быть представлена, в частности, вкладами произведений £(2)С/(2) с различными комбинациями аргументов, что дает члены типа т. е. опять же несвязные диаграммы.
Лекция 13 0дополнительная) 201 Ситуация с разложением производящего функционала и, следовательно, со множеством допустимых диаграмм существенно изменяется, если ввести ангармоничность осциллятора. Для определенности, пусть mcoi 0 Ха V(q) = ^q2 + ±q4, где Я —постоянная, задающая степень ангармоничности. Тогда в уравнении Швингера—Дайсона вклад потенциала задается величиной =‘»3ИадгМШ-р(!?)>ад}= .«.3 Я f i 83G 3 5G52G i f 5G\3) _ X Г 5G\3 \.r8G82G \r283G Ш 3! U 8j3 h2 Sj 5j2 h3 V 5j J J “ 6 U j) 2 Ш 8j 5j2 + 6n 5f ' Отсюда m/d2 x^2l5G Xf8G\3 X.h5G52G , Afi253G_ . m id? °J 5j 6 vSjJ ~2 ~8f~8j2 6 ~5p~ (13<33) В этом случае уже не приходится говорить, что многоточечные функции Гри¬ на равны нулю, так как получающиеся уравнения существенно нелинейны и содержат вклады, зависящие от источника. Однако по-прежнему можно утверждать, что многоточечные функции не содержат вкладов, построенных в виде произведения одноточечных функций. Вид уравнения Швингера—Дайсона для производящего функционала G(j) на примере осциллятора показывает, что естественно определить квантовый аналог классической траектории как = (13.34) так что 5GW = <?о(0, )- 0 j—0 5j(t) т. е. без источников в случае осциллятора получаем свободное движение, как это и должно быть, а при наличии, скажем, ангармоничности из (13.33) следует, что величина qd(t) удовлетворяет уравнению m{^ + Wo}qd(t) + -1iftqdCOnfp ■+=j> (13.35) а значит, в пределе h —* 0 получаем решение классического уравнения для q (t) при наличии источников. Вклады с Й приводят к квантовым поправкам. Преобразование Лежандра от j к qci приводит к функционалу r(qd) = “ J <Zci(Oj СО dt + G(;), (13.36)
202 Тема 7. Интеграл по траекториям который называют квантовым эффективным действием. Оно раскладывает¬ ся в функциональный ряд по траекториям qd (t)=qd (t) — q0 (t) наподобие ряда для G(;), причем по построению В разложении r(qci) = r(0) + J r(14t)qd(t)dt + ^ J ГС25(tx, t2)qcl(ta) qd(t2) dtxdt2 + ... коэффициентные функции называются многоточечными вершинами: г(п) = б^Г 12...п 5qd(t1)5qcl(t2)...5qcl(tn) qa=qo’ где мы ввели сокращенное обозначение для аргументов многоточечных фун¬ кций. Поскольку при j = 0 имеем qd(t) = q0(t) или qd = 0, замечаем, что разложение функционала Г происходит также при нулевом значении источ¬ ника j. Поэтому 5Г Г(1) (t) = 1 J 5qcl(t) = —J (t) lj=o = 0. j=о qcl=0 С учетом этих обозначений дифференцирование уравнения (13.35) при t = по qd(t2) и условие j = 0 дают т{^2 + шо}^12 + f 9o(fi)5i2 - + + f ifiq0(ti" |й^шзгз2 = “1ц, (13-37) где мы использовали равенство 5 _ 5j3 5 р(2)_5_ 5q2 5q2 5j3 32 6j3 и определения функций Грина. При этом, конечно, 512 = 5(fi — t2)> 4oCti) = ^i1^ и мы использовали сокращенное обозначение для «свертки» индекса 3, на¬ пример, 0шгз2 = I е(3) (h, h, t3)r(2) (t3 -12) dt3. Вариация второго порядка при нулевых источниках, очевидно, связана с обратной двухточечной функцией Грина: гса_ 52г gj(ti) _ Гбдdfe)]-1, 12 5qd(t1)5qd(t2) 5qd(t2) L 8j(ti) J L5j'(ti)5j'(t2) в смысле интегрального выражения 12 ^23 °13*
Лекция 13 0дополнительная) 203 Уравнение (13.38) справедливо не только при нулевом источнике, так что дифференцируя <52Г 52G 5qt5q2 5j25j3 513 еще раз по qd(t5), находим ■р(З) /^(2) р(2) л 1 12'5У2'3 1 12 ^234 45 ""и’ или с учетом обратного двухточечного оператора г-(З) - _лО) Г(2)г(2)г(2) _г(3) г^(2)1-1гг?(2)-|-1Гг(2)-,-1 1 12'5 “ у2341 12 1 32 45 “ ^234Li/12 J Ly32'J Lb/45 J J и т. п. Поэтому говорят, что вершинные функции—усеченные функции Гри¬ на, т. е. функции внешние, исходящие из кружка, линии которых отсечены обратными двухточечными функциями Грина. Действительно, если прене¬ бречь квантовыми поправками (ft —> 0) и взять третью производную уравне¬ ния (13.37) по qcl, то получим вершину четвертой степени в эффективном действии Г ^1234 ** ^^12 613614, а соответствующая функция Грина После этого уравнение для двухточечной вершиной функции (13.37) при¬ нимает вид + + f ihg™g™ [g™]-1 - Wgr1. (и.39) Это уравнение можно изобразить графически, если условиться обозначать вершинные функции так же, как и функции Грина, но с перечеркнутыми линиями. Итак, где мы ввели обозначение d2 (“т{^2+й)о}_|+ )512 * * А-О-+- Этот вклад можно также выразить в виде ■ / » / • =
204 Тема 7. Интеграл по траекториям Здесь же введена двухточечная вершинная функция для свободного осцилля¬ тора или, как говорят, собственная энергия осциллятора d2 _m{dt2 + a)o}5i2 —* *— Напомним, что этот вклад — квадратичный член в квантовом эффективном действии, т. е. просто Г(2) = -f Jdtqd(t){^^ + «gqd(C)} = J d Подчеркнем, что каждая замкнутая петля приводит к фактору h. Графическое представление уравнения Швингера—Дайсона (13.39) для двухточечной вершинной функции становится еще более наглядным, если использовать тривиальное тождество У41 -Оц'. Умножая уравнение на это тождество и интегрируя по t^, видим, что вклад с дельта-функцией не изменяется, а квантовые поправки теперь можно пред¬ ставить с использованием дополнительной усеченной двухточечной функции Грина («ампутированная нога»), так что —• = •—+-0-t—• + Эта запись «читается» так: двухточечная вершинная функция равна сумме вкладов собственной энергии с учетом квантовых эффектов самодействия и квантовых поправок за счет петель, причем однопетлевой вклад опреде¬ ляется трехточечной функцией Грина (кружок с тремя линиями) и «голой вершиной» д4-взаимодействия Я (точка с четырьмя линиями), а двухпетле¬ вой—«голой» четверной вершиной (точка с 4 линиями) и полной 4-точечной функцией Грина (кружок с 4 линиями). Совершенно аналогично собственная энергия с квантовыми поправками представляется как Я = —/ Т / Значит, наряду с собственной энергией свободного осциллятора есть вклад от «голой» вершины Я с учетом граничных условий и однопетлевой вклад (так называемый «головастик»). Наконец, укажем исходное положение способа построения теории возму¬ щений в терминах континуального интеграла и, следовательно, диаграмм
Лекция 13 (дополнительная) 205 Фейнмана. Пусть гамильтониан представлен в виде о2 тш2 2т + ~2 где У — малое возмущение. Тогда производящий функционал t" Z0‘)=^J 9>q expjl J dt [^^^_^q2(t)_V(q(t))+j-(t)q(t)] J t7 можно переписать в виде г Z0')=^exp[-i | dt v(-Wj^)} x t' t" x J @q exp{^ J dt ~~~Y2q2(0+J,(t)q(t) j, t7 где мы воспользовались тем, что значение координаты на траектории под знаком интегрирования получается при вариации континуального интегра¬ ла. Значит, производящий функционал при наличии возмущения выражается через действие дифференциального оператора на производящий функционал для свободного осциллятора: t" Z(j) = expj-i J dt V}zosc(j), (13.40) t7 где, как мы выяснили, ^oScO') = e»GU) И GO')=G0+Jacl)(t)j(t)dt+^ J aC23(ti-t2)j(ta)j(t2) dtj dt2. Дальнейшая процедура построения правил Фейнмана для многоточечных функций Грина задается вариационным дифференцированием в последо¬ вательном порядке малости по возмущению. Мы не будем рассматривать здесь теорию возмущений в рамках интеграла по траекториям, поскольку это обычно относят к курсу квантовой теории поля. Итак, фейнмановский интеграл по траекториям позволяет, во-первых, эффективно строить теорию возмущений при введении малой добавки к по¬ тенциалу. Во-вторых, по своему определению он дает метод численного ин¬ тегрирования квантовых задач, не поддающихся анализу в рамках теории возмущений. В-третьих, континуальный интеграл в квантовой теории поля позволяет наиболее наглядно и просто получать соотношения между функ¬ циями Грина при наличии симметрий исходного классического действия
206 Тема 7. Интеграл по траекториям и выявлять квантовые аномалии, т. е. случаи принципиально непреодолимо¬ го нарушения симметрии классического действия при квантовании, и т. п. Лекция 14 (дополнительная) Хронологическое упорядочение операторов и интеграл по траекториям, го¬ ломорфное представление для интеграла по траекториям, нормальное упо¬ рядочение, асимптотические состояния, стабильность вакуума, 5?-матрица, переходы вакуум-вакуум при наличии источников, фейнмановские гранич¬ ные условия, причинный пропагатор Фейнмана, физический смысл двухто¬ чечной функции Грина, античастицы как кванты отрицательной энергии, движущиеся обратно по времени, Sf -матрица как функционал от свободного классического решения, физический смысл коэффициентных функций, их связь с многоточечными функциями Грина, графическое представление ре¬ дукционных формул, пример введения взаимодействия осцилляторов. 14.1. Т-ПРОИЗВЕДЕНИЕ Представление оператора эволюции в виде континуального интеграла = J dq"\q")(q"\U(t",t')\q')dq' (q'\ = = J dq" dq' |q//)(q/| / ©q enS(t ,t"\ (13.14) очевидно, дано в представлении Гейзенберга, т. е., во-первых, в базисе не зависящих от времени состояний, а во-вторых, в терминах оператора, за¬ висящего от времени. Для оператора эволюции переход к представлению Гейзенберга AH = u4t", t')AU(t", t') дает 0H(t", t') = U4t”, Otfct", to = U(t", о в силу унитарности оператора эволюции. Значит, оператор эволюции при смене представления со шрёдингеровского на гейзенберговское остается прежним. Рассмотрим связь интеграла по траекториям от физических наблюдаемых с операторным представлением этих величин. Если задан континуальный интеграл от двух величин F и G в моменты времени > t2 T-Ffi = f@q@P e»s<-t ,c"->F[q(t1), p(tj), ti]G[q(t2), p(t2), t2], (14.1) то по построению интеграла по траекториям его можно представить как 1f,g = (q"\W, h)M(ti, t2)Gt)(t2, t')|q'), (14.2)
Лекция 14 Сдополнительная) 207 так как действие операторов на состояния в соответствующие моменты вре¬ мени как раз и дает значения координат и импульсов в эти моменты времени. В этом выражении порядок операторов строго задан условием t1>t2 \ Введем 6H(.t2) = U4t2,t')GU(t2,t') и воспользуемся, во-первых, унитарностью оператора эволюции и, во-вто- рых, его основным свойством сдвига квантового состояния по времени, на¬ пример, &(t1,t2)&(t2,t') = fr(t1,f'). Тогда С>(t", tJFUity, t2)GU(t2, = t^FiU^, t2)[/(t2, t')} x x {U4t2, t')GU(t2, t')} = Uit", tJFUit!, t'-)6H{t2) = = {U(t", t')}Fjf(ti)Gfj(t2) = U(t", t')FH(tj)Gj-f(t2). В итоге при tj > t2 J Siq Sip e»s(t/,t/)F[q, p, t] G[q, p, t] ti Если ввести обозначение для начального состояния в момент времени t! Iq/) = |in/), а для конечного в момент времени tn Ю = lout'7), то обратная эволюция дает |q/'> = |in,/). Поэтому получаем матричный элемент операторов в представлении Гейзен¬ берга по базису в начальный момент времени при строгом упорядочении операторов по времени ' J 9qSpe^sV^F[q,p,f] G[q,p,t] =(m"\FH(t1)GH(t2)\m'). (14.3) h t2 Как мы уже знаем, такой оператор хронологического упорядочивания обозна¬ чается символом f, так что при произвольных значениях моментов времени континуальный интеграл XF G равен матричному элементу «Т-произведения» операторов 1 J I (in ^(^„(t^lin), t2>ti. Обобщение на случай нескольких операторов очевидно.
208 Тема 7. Интеграл по траекториям 14.2. Граничные условия: осциллятор В ГОЛОМОРФНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ Для построения интеграла по траекториям в голоморфном представле¬ нии, как теперь понятно из проведенного выше общего анализа, необходимо рассмотреть оператор эволюции на fc-м шаге разбиения интервала времени от t' до t": U (tfc + dt, tfc) = J |afc+1) d<X|l2^a|c+1 (ak+i \U(.tk + dt,tk-)\ak) d(X2n“k (afcl- Матричный элемент гамильтониана сводится к функции (ak+1\H(a\ a, tfc)|afc) =П(ак+ъ ак, tk)(ak+1\ak), (14.5) если гамильтониан, как говорят, нормально упорядочен: все операторы рож¬ дения стоят слева от операторов уничтожения. В этом случае действие операторов уничтожения на кет-вектор когерентного состояния дает соб¬ ственные значения а\ак) = ак\ак), и аналогично для бра-векторов (afc+i |6f = («fc+i I «it+i • Например, для свободного осциллятора Йо = Ла)од?й + 1н<0о, и (ак+1\Н0\ак) = \ha>0ak+1ak + \ha>0} {ак+1\ак). Матричный элемент {ак+1\ак) был определен при построении когерентных состояний осциллятора (см. (6.42)): («fc+il«fc) =ехр{--~— - + ак+1ак}, который можно представить в виде <«fc+il«fc> = exp{|(afc+1 - ак)ак - \ак+1(ак+1 - afc)}. Поскольку множества точек {ак, ак} по построению соответствуют траекто¬ риям {a(t), a(t)}, естественно ввести скорости изменения параметров траек¬ торий (afc+i - afc) = a(tk) dt, (ak+1 - ak) = a(tk) dt. Значит, (“fc+il«fc) = exp{||a(tfc)a(tfc) -a(tfc)a(tfc)] dt}. (14.6)
Лекция 14 (дополнительная) 209 Таким образом, бесконечно малый шаг эволюции представим в виде fr(tfc + dt,tfc) = J \ак+1)Щ^Щ^{ак\х х expj^ dt [-y[d(tfc)a(tfc) -a(tfc)a(tfc)]-H(.a(tk), a(tk), tfc)] j, (14.7) а на конечном интервале времени N—1 j f n J J fc=2 2Tii fc=2 x expji J dt [-§ [S(t)a(t) - a(t)act)] -W(a(t), a(t), t)] J, (14.8) t' где, как нетрудно показать, интегрирование по времени дает действие на траектории в классической механике. В самом деле, вклад / p(t)q(t) dt можно после интегрирования по частям представить как \ /[pCOq(t) — q(t)p(t)] dt. Тогда стандартная замена переменных q(t) = + «СО], Р(0 = \/Нтсо0-±= [a(t) - a(t)] после приведения подобных членов дает \ J[p(t)q(t) — q(t)p(t)] dt = - J dtf [a(t)a(t) -a(t)d(t)]. (14.9) В пределе получаем интеграл по траекториям в представлении когерентных состояний U(t",t') = f / 9а Si а -е^'Л где действие на траектории t" S(.t", t')= J dt [-§ [fi(t)a(t) - a(t)a(t)] -H№), a(t), t)]. (14.10) t' Так же, как в координатно-импульсном представлении континуального ин¬ теграла интегрирование в фазовом пространстве по траектории импульса было независимым от интегрирования по траектории координаты (импульс не определяется скоростью!), в голоморфном представлении траектории a(t)
210 Тема 7. Интеграл по траекториям и а([) не связаны комплексным сопряжением, а являются независимыми однопараметрическими кривыми в двух комплексных плоскостях: z для а и w для а. Ядро оператора. Для определения голоморфного представления запишем для оператора А: A = j |ctout)^^2B(aoutlA|ain)^^(ain|, (14.11) причем матричный элемент можно определить с помощью полного набора собственных состояний энергии для осциллятора (a0Ut|A|ain) =2KutW(n|A|m)(m|ain) = п,т п,т где мы стандартно ввели матричные элементы оператора Апт = (п\А\т) и воспользовались голоморфным представлением для волновых функций соб¬ ственных состояний энергии осциллятора. Поэтому голоморфное ядро опе¬ ратора определяют в полной аналогии с волновыми функциями («out. «in) = <«outlA|ain) • = 2 ^j=Anm (14.13) n.m и оно действительно, как мы только что показали, является функцией только от aout и ain и не зависит от переменных, комплексно сопряженных к ним! В частности, голоморфное ядро оператора эволюции имеет вид °U(aout, ain) = J 9а 9а- eis(t" ° (1414) где граничные условия задаются равенствами «out = «(£")> «ш = «(0- (14.15) Для рассмотрения граничных условий при наличии источников мы бу¬ дем полагать, что t' —*• —оо и t" —> +оо, а сами источники отличны от нуля только при конечных временах (или достаточно быстро стремятся к нулю на временной бесконечности). Тогда состояния осциллятора в бесконечном прошлом и бесконечном будущем представимы в базисе собственных век¬ торов энергии свободного осциллятора, т. е. в базисе с заданным числом квантов в начальном и конечном состоянии эволюции. Этот базис опре¬ деляет асимптотическое пространство состояний, а матричные элементы оператора эволюции ynm = (n\U(.t",t')\m) , t'—»—00, t"—»+00, (14.16) j=0
Лекция 14 0дополнительная) 211 называют элементами «У-матрицы»1. У-матрица не является уже, вооб¬ ще говоря, диагональной, так как при наличии взаимодействия количество квантов разного сорта (если осцилляторов несколько) может изменяться (поглощаться и излучаться). Особый случай—вакуум. Мы будем считать, что вакуум стабилен. Это означает, что в ходе эволюции вакуум переходит в себя с вероятностью, равной единице, а значит, модуль амплитуды перехода равен единице: Другими словами, эволюция вакуума сводится к введению фазового множи¬ теля, который вообще зависит от источников как функционал, и этот фактор обычно полагают равным единице в отсутствие источников2. Поэтому для вакуума т. е. состояния «in» и «out» совпадают с точностью до фазы—производящего функционала связных функций Грина. Значит, Поэтому Т-произведения операторов, которые выражаются через интеграл по траекториям, при > t2 Элементы У -матрицы можно выразить через производные голоморфного ядра оператора эволюции при нулевых источниках, поскольку 1Гипотеза существования асимптотических состояний является ключевой при формулиров¬ ке квантовой теории взаимодействующих полей, и фактически она может быть обоснована только после нахождения точного решения динамических уравнений теории, что на практике редко представляется возможным для реальных физических ситуаций, предоставленных нам природой [имеются искусственные примеры точных решений, например, электродинамика частицы с половинным спином в одном пространственном измерении (модель Швингера)]. Математически строго этот вопрос рассматривается в рамках аксиоматического подхода (см., например, Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987). ^ 2Это означает, что мы производим сдвиг энергии вакуума: Е0 = -h<o0 ->Еуас = 0> — так что она принимается равной нулю. I (о\йь", to к» |=i, е - оо, t" -+оо. (14.17) |out) = t/|in) = enGCj-* |in), |in) = |0), (out\UFH(t1)GH(t2')\^) = (ш|#н(^)^н(е2)|т). (14.18) (14.19) так что i an+m rz737 Япп n Vn\m\ 3“Cuta!n “^(«out, «in) aOut=ain=0 'out in 1 . (14.20) </Шт! дапоша™ “out=“in=0
212 Тема 7. Интеграл по траекториям При расчете переходов из вакуума в вакуум дополнительные множители исчезают, a ain, aout—>0: <0|£|0) = ^(0,0), (14.21) и при наличии источников так же. Поскольку в голоморфном представлении состояния с заданным числом квантов являются собственными векторами оператора рождения с собствен¬ ными значениями а: &-фп(а) = спрп(с0, зависимость от времени параметров а повторяет зависимость от времени оператора рождения af(t) = е1С°0^ => a(t) = elc0ota, a(t) = e“lc0ota, так что с учетом граничных условий находим — при t —> t", т. е. в асимптотическом будущем1, q(0 =х0№) + a(t)] ^*0[е~^а (14.22) с зачетом aout —»0 означает, что д(0^х0е-^о^, (14.23) т. е. в асимптотическом будущем распространяются только положительно частотные моды; — при t —»tт. е. в асимптотическом прошлом, q(t) =x0[a(t) + a(t)] ^ХоСе^^^а^ + е^а] (14.24) с учетом ain —► 0 означает, что д(0^*0е^а, (14.25) т. е. в асимптотическом прошлом распространяются только отрицательно частотные моды. Эти граничные условия позволяют однозначно определить двухточечную функцию Грина для осциллятора. Вынужденные колебания задаются сверткой двухточечной функции Гри¬ на с источником q(t) = J S(2)(t-ti)j(ti) dtx, причем обратная к ней вершинная функция r(2)(ti -12) = + со2} 5(tx -t2) в импульсном представлении имеет вид Г^(со) = / r(2)(0eia,tdt=m(a>2-a>2). (14.26) 1Для краткости обозначим х0 = у/h/(2moj0).
Лекция 14 Сдополнительная) 213 Поэтому запишем вынужденные колебания в импульсном представлении 9(0 = | Ш dtj J = J j( Здесь 0®(й>) = - т(а>2-со%) (14.27) имеет полюса при со = ±о>0, обход которых должен быть согласован с гранич¬ ными условиями в асимптотическом прошлом и будущем. Решение в виде контура интегрирования в плоскости комплексной со показано на рис. 20. Рис. 20. Контуры интегрирования в плоскости комплексной переменной со при t—►+ оо (слева) и t—»—оо (справа) В самом деле, при £—>+оо контур можно замкнуть в нижней полуплоско¬ сти, так как отрицательная мнимая добавка к частоте в экспоненте приводит к нулевому вкладу по полуокружности, и полюс при со = со0 - iO в экспонен¬ те дает положительно частотную моду. Аналогично, при t —> —оо вклад по полуокружности в верхней полуплоскости обращается в нуль, и полюс при со = —coq + iO дает отрицательно частотную моду. В итоге получаем так называемую причинную двухточечную фейнманов- скую функцию Грина, которую также называют пропагатором: е(2)(о>)=- т со2 — col + iO' (14.28) Описанные граничные условия, очевидно, можно получить, заметив, что они выводятся посредством замены со0 —> а>0(1 — ie), где е —> +0, т. е. добавкой бесконечно малого затухания. Мы видели, что это затухание связано с ши¬ риной резонанса. Поэтому ясно, что физически малое значение е приводит к вымиранию возбуждений вакуума, т. е. следует из условия стабильности вакуума. Этот же аргумент приводит к математическому обоснованию по¬ ворота Вика в плоскости частот (соответствующие интегралы по контуру
214 Тема 7. Интеграл по траекториям при вращении от вещественной оси к мнимой на угол, п/2 не встречают полюсов). После преобразования Фурье + 00 g®(t) = J" j£.e-ia*g™(£0), которое можно найти, взяв при t > 0 интеграл Коши по контуру, изображен¬ ному слева на рис. 20, = e-W t>0j 2со0т ’ 5 и при t < 0 по контуру справа на рис. 20, получаем а(2) (О = 2^e_i"olt|- (14.29) Подчеркнем, что эти выражения получены в пределе бесконечно удален¬ ных прошлого и будущего. Если интервал эволюции конечен, соответствую¬ щие формулы можно найти, например, в курсе квантовой электродинамики С. Н.Вергелеса [22]. Итак, общее выражение для производящего функционала связных функ¬ ций Грина при наложении причинных фейнмановских граничных условий приобретает вид go*)=J g(1Kt)j(t) dt+± f gwcb-byctjjctj dt, dt2, где мы положили б0 = 0, а £(2) (tx -12) задается формулой (14.29). Единствен¬ ный оставшийся вопрос — решение свободного уравнения £(1)(0- В случае перехода вакуум вакуум, который является основным состоянием для ос- циллятора, очевидно, средние значения координаты и импульса тождествен¬ но зануляются, так что (Ч) = (Р)=0 => a(t)=0, q0CO=S(1)(O=0 и GO) = / aC2)(t! - dt! dt2, (14.30) откуда функционал zosc0) = exp{^G(j)} = exp{^y / £(2)(ti - t2)j(ta)j(t2) dtj dt2|, (14.31) и именно по этому функционалу строится теория возмущений для осцилля¬ тора.
Лекция 14 (дополнительная) 215 Согласно связи континуального интеграла с Т-произведением операто¬ ров, (in|f{4(t1)4(t2)}|in)=-ft2 52z(j) Поскольку = -ma(2)(t i-t2). (14.32) j=0 (in|T{q (t1)qCt2)}-|in) = (in|f {(ar (ti) + a (tx)) (a+ (t2) + a (t2))} |in) и вакуум переходит в вакуум, в этом Т-произведении члены, квадратичные по at и а, дают нулевой вклад, и, следовательно, (in|f{at(t1)a(t2) +a(t1)at(t2)}|in) = -2im<o05(2)(ti -12) =e"ic°o|tl“t21. (14.33) Эта формула показывает физический смысл двухточечной функции Грина в квантовой механике: двухточечная функция Грина —12) (с точно¬ стью до фактора —2imco0) задает амплитуду вероятности последователь¬ ного рождения кванта с энергией hco0 в момент времени t2 и его поглощения в момент времени tx > t2 (второе слагаемое), и аналогично при < t2 (первое слагаемое). Именно поэтому двухточечную функцию называют пропагато- ром, т. е. функцией распространения квантов. Этим обосновывается также графическое изображение пропагатора как линии из точки t2 в точку t1} которая тем самым дает «линию жизни» кванта. Наличие двух слагаемых в формуле (14.33) обусловлено вещественностью волновой функции одномерного осциллятора, т. е. неразличимостью яp(q) и гp*(q). Как мы знаем, комплексное сопряжение связано с операцией об¬ ращения времени. При обращении времени движение осциллятора остается инвариантным, т. е. полученная формула связи Т-произведения с пропагато- ром не изменяется. Однако при этом a(t)-^af(-t), Поэтому можно также сказать, что формула (14.33), а именно первое слага¬ емое в ней, задает и амплитуду вероятности последовательного рождения кванта с отрицательной энергией —hco0 в момент времени t' = —t2 (опера¬ тор а уменьшает энергию) и его поглощения в момент времени t[ = —t1 < t2 = =>—t2 (оператор a1*). Такие кванты с отрицательной энергией, движущиеся обратно по времени, Фейнман предложил считать античастицами. Для вещественной волновой функции кванты частиц и античастиц неразличимы. Поэтому они на равных правах входят в выражение для пропагатора (как это имеет место, например, для фотона, волновая функция которого веще¬ ственна). Если кванты частиц и античастиц различимы, как, например, при наличии ненулевого заряда, то обобщенные координаты таких квантов, т. е. динамические переменные, не могут быть просто вещественными числами. Динамические переменные заряженных частиц — классические поля — ком¬ плексные или многокомпонентные. Вопрос квантования классических полей (вторичное квантование) относится к курсу квантовой теории поля.
216 Тема 7. Интеграл по траекториям Фейнмановская трактовка квантов отрицательной энергии в качестве античастиц, конечно, тесно связана с введенными граничными условиями: положительно частотные решения (частицы) распространяются вперед по времени, отрицательно частотные — назад по времени. Другими словами, источники излучают частицы в будущее или поглощают античастицы из прошлого. 14.3. Функционал ^-матрицы Для граничных условий в голоморфном представлении введем решение классического уравнения движения для свободного осциллятора q0(t) = *o(aine-io>ot + “oute‘“ot)> *о = {1Л.2Л) и рассмотрим голоморфное ядро Sf -матрицы как функционал от этого реше¬ ния, т. е. запишем его в виде г •5"(aout. ain) = ^[q0(t)] = expj-£ J dt jzosc(j) (14.35) j=о где 2OSC0')=exp{ J emW№ dt+hJ gi2)(t' - dt! dt2} (14.36) И a(1)(t)=q0(t). Разложение этого функционала в ряд 00 # п =2 О П 9o(tfc) dtfc (14.37) П=1 * fc=l имеет наглядный физический смысл: коэффициентные функции 5*(л) задают амплитуды перехода одного асимптотического состояния в другое с общей суммой квантов в исходном и конечном состояниях, равной п. В самом деле, дифференцирование по параметру начального состояния ain и конечного aout можно представить как вариационную производную да™дап -г n=“om=0 J 5т+пУ[д0] “in=“om=0 J ^3o(^l)-"^4o(^m+n) lq0=0 dqofo) j* ft ^qp(ti) out <**> fc=l 111 1=1
Лекция 14 (дополнительная) 217 так что в правой части (14.38) сто