<!
5 о
Й < Л. А. Тахтаджян
М
|« , ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ
м^ | КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
3*

Quantum
Mechanics for
Mathematicians
Leon A.Takhtajan
Graduate Studies
in Mathematics
Volume 95
American Mathematical Society
Providence, Rhode Island

Л. А.Тахтаджян
Квантовая механика
для математиков
Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнова
Под научной редакцией акад. РАН А. А. Славнова
R&C
Москва ♦ Ижевск
2011

УДК 530.145.6
ББК 22.314
Т243
»СЕрИ
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского
фонда фундаментальных исследований по проекту № 10-01-07034
Интернет-магазин • физика
• математика
К
• биология
• нефтегазовые
http://shop.rcd.ru технологии
Тахтаджян Л. А.
Квантовая механика для математиков. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная
и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных
исследований, 2011. - 496 с.
Книга посвящена математически строгому изложению квантовой
механики, в особенности вопросов, связанных с методом континуального
интегрирования и суперсимметрий. Она будет полезна аспирантам и научным сотрудникам-
математикам, в сфере научных интересов которых находятся математические
аспекты квантовой механики, а также ее приложения и связи с различными подходами
современной математики.
ISBN 978-5-93972-900-0 ББК 22.314
Оригинальное издание опубликовано на английском языке издательством Атепсап
Mathematical Society под названием Quantum Mechanics for Mathematicians.
© Л. А. Тахтаджян, 2011
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

Оглавление
Предисловие к русскому изданию 13
Предисловие редактора перевода 15
Предисловие 17
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ 21
Глава 1. Классическая механика 23
1.1. Лагранжева механика 24
1.1.1. Обобщенные координаты 24
1.1.2. Принцип наименьшего действия 25
1.1.3. Примеры лагранжевых систем 30
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер 39
1.1.5. Одномерное движение 45
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера .... 47
1.1.7. Преобразование Лежандра 52
1.2. Гамильтонова механика 58
1.2.1. Уравнения Гамильтона 58
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве 61
1.2.3. Действие как функция координат 63
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона .... 67
1.2.5. Канонические преобразования и производящие
функции 69
1.2.6. Симплектические многообразия 73
1.2.7. Пуассоновы многообразия 84
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля 91
1.3. Замечания и ссылки 96

6 Оглавление
Глава 2. Основные принципы квантовой механики 98
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 101
2.1.1. Математическая формулировка 102
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга 111
2.1.3. Динамика 113
2.2. Квантование 119
2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга 120
2.2.2. Координатное и импульсное представления 126
2.2.3. Свободная квантовая частица 135
2.2.4. Примеры квантовых систем 142
2.2.5. Старая квантовая механика 147
2.2.6. Гармонический осциллятор 147
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы . . 158
2.3. Соотношения Вейля 167
2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана 168
2.3.2. Инвариантная формулировка 176
2.3.3. Квантование Вейля 181
2.3.4. •-произведение 191
2.3.5. Деформационное квантование 196
2.4. Замечания и ссылки 204
Глава 3. Уравнение Шрёдингера 207
3.1. Общие свойства 207
3.1.1. Самосопряженность 208
3.1.2. Характеризация спектра 211
3.1.3. Теорема о вириале 213
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 214
3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода 215
3.2.2. Разложение по собственным функциям 225
3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния 234
3.2.4. Другие граничные условия 244
3.3. Угловой момент и SO(3) 248
3.3.1. Операторы углового момента 248
3.3.2. Теория представлений SO(3) 251
3.4. Задача двух тел 254
3.4.1. Отделение центра масс 254
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния 256
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале . . .258
3.5. Атом водорода и SO(4) 265
3.5.1. Дискретный спектр 265

Оглавление
7
3.5.2. Непрерывный спектр 270
3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия 272
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 280
3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени 281
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени 284
3.6.3. Правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда 288
3.7. Замечания и ссылки 290
Глава 4. Спин и тождественные частицы 293
4.1. Спин 293
4.1.1. Операторы спина 293
4.1.2. Спин и теория представлений SU(2) 295
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 298
4.2.1. Гамильтониан Паули 298
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле 300
4.3. Система тождественных частиц 302
4.3.1. Постулат симметризации 302
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN . . . 308
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых
функций 311
4.4. Замечания и ссылки 314
ЧАСТЬ П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И
СУПЕРСИММЕТРИЯ 317
Глава 5. Фейнмановская формулировка квантовой механики . 319
5.1. Фейнмановский интеграл по путям 319
5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера . . 319
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом
пространстве 323
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в
конфигурационном пространстве 327
5.1.4. Несколько степеней свободы 330
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 332
5.2.1. pq-символ 332
5.2.2. до-символ 333
5.2.3. Вейлевский символ 335
5.2.4. Виковский символ 336
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора . 340

8 Оглавление
5.3.1. Гауссово интегрирование 340
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора 341
5.3.3. Тождество Мелера 345
5.4. Гауссовы интегралы по путям 346
5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы . . 347
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического
осциллятора 351
5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 357
5.5.1. Граничные условия Дирихле 357
5.5.2. Периодические граничные условия 365
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка .... 370
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II 373
5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям . 373
5.6.2. Строгий вывод 375
5.7. Замечания и ссылки 379
Глава 6. Интегрирование в функциональных пространствах . . 382
6.1. Гауссовы меры 382
6.1.1. Конечномерный случай 382
6.1.2. Бесконечномерный случай 384
6.2. Мера Винера и интеграл Винера 387
6.2.1. Определение меры Винера 387
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца . . 392
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана 395
6.3. Гауссовы интегралы Винера 397
6.3.1. Граничные условия Дирихле 398
6.3.2. Периодические граничные условия 400
6.4. Замечания и ссылки 404
Глава 7. Фермионные системы 405
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 405
7.1.1. Мотивировка 405
7.1.2. Алгебры Клиффорда 410
7.2. Алгебры Грассмана 414
7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных
соотношений 415
7.2.2. Дифференциальные формы 417
7.2.3. Интеграл Березина 420
7.3. Градуированная линейная алгебра 426

Оглавление 9
7.3.1. Градуированные векторные пространства и
супералгебры 426
7.3.2. Примеры супералгебр 429
7.3.3. Суперслед и березиниан 431
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных . 434
7.4.1. Виковские и матричные символы 434
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции 440
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых
переменных 443
7.5. Замечания и ссылки 447
Глава 8. Суперсимметрия 449
8.1. Супермногообразия 449
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 452
8.2.1. Конечномерный случай 452
8.2.2. Бесконечномерный случай 456
8.3. Классическая механика на супермногообразиях 463
8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями 463
8.3.2. Классические системы 466
8.4. Суперсимметрия 469
8.4.1. Полный угловой момент 469
8.4.2. Преобразование суперсимметрии 470
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом
многообразии 473
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 475
8.6. Формула Атьи-Зингера для индекса 481
8.7. Замечания и ссылки 483
Литература 485

Моему учителю Людвигу Дмитриевичу Фаддееву
с восхищением и благодарностью

Предисловие к русскому изданию
Квантовая механика является одним из наиболее замечательных
достижений человеческого духа прошлого столетия. Математический аппарат
теории безупречен, а ее физические основания, описывающие явления
микромира на уровне электронов в атоме, атомов в молекулах и т. д.,
самосогласованы. Многие достижения научно-технического прогресса основаны
на законах квантовой механики, и мы постоянно наблюдаем их в
проявлениях повседневной жизни, используя разнообразные электронные приборы
и прочую аппаратуру. В то же время явления микромира настолько
противоречат нашему каждодневному опыту, основанному на восприятии
классической физики макромира, что распространено мнение о том, что понять
квантовую механику невозможно.
Цель настоящей книги — изложить квантовую механику от ее
математических оснований до последних приложений в стиле, понятном
читателю-математику, как профессиональному исследователю, так и
аспиранту. Насколько эта задача удалась, судить читателю. Обстоятельства
сложились так, что эта книга вначале была напечатана по-английски в издании
Американского математического общества. Я благодарен канд. физ.-мат.
наук С. А. Славнову за возвращение книги на язык оригинала, на котором она
была первоначально задумана автором. Я признателен акад. А. А. Славнову,
который любезно согласился быть научным редактором русского издания.
Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований за
поддержку работы над русским изданием и издательству «Регулярная и
хаотическая динамика» за работу по опубликованию этой книги.
Л. А. Тахтаджян
Сентябрь-ноябрь 2010 г.
Санкт-Петербург, Россия, и Сент-Джеймс, Нью-Йорк

Предисловие редактора перевода
Квантовая механика существует уже более ста лет, и над ее
обоснованием работали выдающиеся математики. Тем не менее в этой области
существует ряд нерешенных проблем и до сих пор отсутствует рассчита-
ное на математиков подробное изложение предмета. Книга Л. Тахтаджяна
в значительной мере исправляет этот недостаток.
Л. Тахтаджян — известный специалист в области современной
математической физики. В своей книге он подробно излагает на современном
математическом уровне основные разделы квантовой механики. В тех
случаях, когда полное математическое обоснование того или иного
утверждения отсутствует, автор отмечает, что в данном вопросе изложение ведется
на «физическом уровне строгости».
Книга Л. Тахтаджяна несомненно будет полезна широкому кругу
читателей, как аспирантам, изучающим математические проблемы квантовой
механики, так и сложившимся ученым, желающим получить более полную
информацию о состоянии науки в данной области.
Считаю своим приятным долгом поблагодарить Российский фонд
фундаментальных исследований за финансирование данного издания и Л.
Тахтаджяна за сотрудничество.

Предисловие
Эта книга основана на спецкурсах, читавшихся автором в течение
последних четырнадцати лет на математическом факультете университета
Стони Брук. Целью этих курсов было познакомить не изучавших прежде
физику аспирантов второго курса с основными концепциями и методами
квантовой механики. В последние 50 лет квантовая физика была движущей
силой для множества замечательных математических достижений, сыграв
роль, похожую на роль классической физики в период между семнадцатым
и девятнадцатым столетиями. Классическая физика, в особенности
классическая механика, была неотъемлемой частью математического образования
вплоть до начала двадцатого века, в частности, ее преподавали Гильберт
и Пуанкаре. Удивительно, что квантовая физика, в особенности квантовая
механика, несмотря на ее внутреннюю красоту и связи с
многочисленными областями математики, так и не стала частью математической
программы аспирантуры. Данный курс был разработан, чтобы частично
восполнить этот пробел и сделать квантовую механику доступной для аспирантов
и исследователей-математиков.
Л. Д. Фаддеев был первым, кто разработал курс квантовой механики
для студентов-математиков. С 1968-го по 1973-й год он регулярно читал
лекции на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского
государственного университета в Санкт-Петербурге1, и автору выпала удача
прослушать его курс. Материал этой книги вырос из попытки создать
похожий курс для аспирантов, использующий более продвинутую математику
и покрывающий большее разнообразие тем, включая фейнмановский
подход к квантовой механике, основанный на интеграле по путям.
Существует множество замечательных учебников квантовой
механики для физиков, начиная с классических текстов П.A.M. Дирака [Dir47],
Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица [Лан89Ь] и В.А.Фока [Фок76Ь] и
заканчивая энциклопедическим трудом А. Мессиа [Mes99], новым
популярным учебником Дж. Дж. Сакураи [Sak94] и множеством других. Среди
математически ориентированных книг имеются классические монографии
Дж. фон Неймана [vN96] и Г. Вейля [Wey50], а также более свежая кни-
В то время Ленинграде.

18
Предисловие
га Дж. У. Маки [Мас04], в которых обсуждаются основной
математический формализм и логические основания теории. Есть также
монументальный проект [DEF+99], созданный с целью познакомить аспирантов
и исследователей-математиков с царством квантовых полей и струн как в их
математическом, так и в физическом аспекте. Однако, хотя он и содержит
ориентированное на математическую аудиторию очень подробное
изложение классической механики, классической теории поля и суперсимметрии,
квантовая механика обсуждается лишь мельком (за исключением изящного
введения в квантовую механику Л. Д. Фаддеева в [Fad99]). Отличные
лекции для студентов Л.Д.Фаддеева и О.А.Якубовского [Фад01] — это,
кажется, единственная книга по квантовой механике, полностью доступная
математикам. Недавно вышедшие книги С. Дж. Густафсона и И. М.
Сигала [GS03] и Ф. Строкки [Str05] тоже ориентированы на математиков.
Последняя — это краткий вводный курс, тогда как первая — скорее среднего
уровня сложности монография по квантовой теории, чем учебник
квантовой механики. Существует также множество специализированных книг по
различным разделам квантовой механики, таким как теория рассеяния,
оператор Шрёдингера, С*-алгебры и основания и т.д.
Данная книга представляет собой исчерпывающее изложение
квантовой механики с математической точки зрения и включает такие темы, как
математические основания, квантование, уравнение Шрёдингера, фейнма-
новский интеграл по путям и функциональные методы, суперсимметрию.
Ее можно использовать для годового спецкурса или двух семестровых
курсов: вводного курса, основанного на материале первой части, и более
продвинутого курса, основанного на второй части. Первую часть книги,
состоящую из глав 1-4, можно рассматривать как расширенную версию [Фад01].
В ней используется более продвинутая математика, чем в [Фад01], и
содержатся строгие доказательства всех основных результатов, включая
знаменитую теорему Стоуна-фон Неймана. Она должна быть доступна для
аспирантов второго курса. Как и в [Фад01], мы используем подход, восходящий
к Дираку и впоследствии разработанный Фаддеевым, согласно которому
классическая и квантовая механика — просто две различные реализации
фундаментальной математической структуры физической теории,
использующей понятия наблюдаемых, состояний, измерений и временной
эволюции — динамики. Вторая часть, состоящая из глав 5-8, связана с
функциональными методами в квантовой механике и выходит за рамки материала
в [Фад01]. Изложение в ней менее подробно и требует определенной
математической искушенности.
Хотя в нашем изложении свободно используются все необходимые
инструменты современной математики, оно следует духу и традиции выше-

Предисловие
19
перечисленных классических текстов. В этом смысле его можно
рассматривать как «неоклассическое» (по сравнению с более абстрактным
подходом в [DF99a]). Каждая глава книги заканчивается специальным разделом
Замечания и ссылки, в котором приводятся ссылки на необходимую
математическую информацию и физические источники. Решительный читатель
может на самом деле выучить необходимую математику, изучая основной
текст и заглядывая в эти ссылки, а имея достаточный опыт — «переводить»
соответствующие части физических учебников на язык математики. Для
студентов-физиков книга предоставляет возможность ознакомиться с
математическими основаниями и методами квантовой механики с помощью
разбора частных случаев. Стоит отметить, что развитие многих
математических дисциплин было стимулировано квантовой механикой.
Материал этой книги можно изучать разными способами.
Поверхностный читатель может бегло знакомиться с основным текстом, пропуская
многочисленные замечания и задачи, расположенные в конце разделов.
Этого будет достаточно для получения минимальных основных знаний в
квантовой механике. Целеустремленному читателю следует восстанавливать
детали вычислений в основном тексте (необходимы карандаш и бумага) —
только так можно овладеть материалом, — и пытаться решить элементарные
задачи2. Наконец, подлинно заинтересованному читателю следует
попытаться решить все задачи (вероятно, заглядывая в соответствующие ссылки
в конце каждого раздела) и разобрать замечания, которые часто могут быть
связаны с другими темами, не вошедшими в основной текст.
Автор хотел бы поблагодарить студентов, слушавших его курсы, за
комментарии к наброскам лекций. Он особенно благодарен своим коллегам
Петру Петровичу Кулишу и Ли-Пень Тео за внимательное чтение
рукописи. Работа над книгой была частично поддержана грантами НСФ DMS-
0204628 и DMS-0705263. Любые мнения, находки и выводы или
рекомендации, приведенные в этой книге, принадлежат автору и необязательно
отражают взгляды Нэйшнэл Саенс Фаундэйшн.
2Мы оставляем читателю самому решить, какие задачи элементарные, а какие
продвинутые.

Часть I
Основы

Глава 1
Классическая механика
Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями
теории гладких (т.е. С°°) многообразий, и напоминаем здесь стандартные
обозначения. Если явно не сказано иное, все отображения
предполагаются гладкими, а все функции — гладкими и вещественнозначными.
Локальные координаты q = (g1, ... ,qn) на гладком n-мерном многообразии М
в точке q G М — это декартовы координаты на <p(U) С Мп, где ([/, ip) —
координатная окрестность в М с центром в q e U. Для данной
функции / : U —► Мп мы будем обозначать (/ о у?-1)^1, ..., qn) как /(g), а
градиент функции / в точке q G Шп с декартовыми координатами (д1, ..., qn)
обозначать как
dl=(df_ df\
dq \dqV'",dqnj-
Будем обозначать как
п
Л-(М) = 0/(М)
градуированную алгебру (по отношению к внешнему произведению)
гладких дифференциальных форм на М и как d — дифференциал де Рама,
градуированное дифференцирование на А*(М) степени 1, такое, что df —
дифференциал функции / G Л°(М) = С°°(М). Пусть Vect(M) —
алгебра Ли гладких векторных полей на М со скобкой Ли [ , ], заданной
коммутатором векторных полей. Для X G Vect(M) мы обозначаем как Сх
и %х соответственно производную Ли вдоль X и внутреннее
произведение с X. Производная Ли — это дифференцирование степени 0 на Д*(М),
коммутирующее с d и удовлетворяющее соотношению Cx{f) = X{f) Для
/ G Л°(М), а внутреннее произведение — дифференцирование степени — 1

24
Глава 1
на А'(М), удовлетворяющее соотношениям ix(f) =0и ix(df) = X(f)
для / G Л°(М). Они удовлетворяют формулам Картана
Сх = *х о б? 4- d о гх = (d + гх)2,
*[х,У] = >Сх о гу - гу о £х-
Для данного гладкого отображения многообразий / : М —► TV будем
обозначать как /* : ТМ —> 7W и /* : T*7V —> Т*М соответственно
индуцированные отображения на касательном и кокасательном расслоениях.
Другие обозначения, включая традиционные для классической механики,
будут введены в основном тексте.
1.1. Лагранжева механика
1.1.1. Обобщенные координаты
Классическая механика описывает системы конечного числа
взаимодействующих частиц1. Система называется замкнутой, если ее частицы
не взаимодействуют с внешними материальными телами. Местоположение
системы в пространстве определяется местоположением ее частиц и
задает точку в гладком, конечномерном многообразии М, конфигурационном
пространстве системы. Координаты на М называются обобщенными
координатами системы, а размерность п = dim M называется числом степеней
свободы2.
Состояние системы в любой момент времени описывается
точкой q e M и касательным вектором v G TqM в этой точке. Основной
принцип классической механики — это принцип детерминированности
Ньютона-Лапласа, утверждающий, что состояние системы в данный момент
времени полностью определяет ее движение в любой другой момент времени t
(и в будущем, и в прошлом). Движение описывается классической
траекторией — путем 7(0 в конфигурационном пространстве М. В
обобщенных координатах путь 7 записывается как 7(0 = (д1(^), ..., Qn{t))9 и соот-
•г dql
ветствующие производные q = —— называются обобщенными скоростя-
at
ми. Принцип Ньютона-Лапласа — это фундаментальный
экспериментальный факт, подтверждаемый нашим восприятием повседневного опыта. Из
Частица — это материальное тело, размерами которого при описании его движения можно
пренебречь.
2Системы с бесконечным числом степеней свободы описываются классической теорией
поля.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
25
него следует, что обобщенные ускорения ql = —— однозначно
определяются
ся обобщенными координатами ql и обобщенными скоростями ql, так что
классические траектории удовлетворяют системе обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка, называемых уравнениями движения.
В следующем разделе мы сформулируем наиболее общий принцип,
управляющий движением механических систем.
1.1.2. Принцип наименьшего действия
Лагранжева система на конфигурационном пространстве М задается
гладкой, вещественнозначной функцией L на ТМ х R — прямом
произведении касательного расслоения ТМ к М и временной оси3, — называемой
функцией Лагранжа (или просто лагранэюианом). Движение лагранжевой
системы (М, L) описывается принципом наименьшего действия в
конфигурационном пространстве (или принципом Гамильтона), который
формулируется следующим образом.
Пусть
Р(М)Ц\ = Ь ■ Mi] - М; 7(*о) = 9b, 7(*i) = <?i}
— пространство гладких параметризованных путей в М, соединяющих
точки до и Qi- Пространство путей Р(М) = Р(М)^1о,^1о является
бесконечномерным многообразием Фреше, и касательное пространство Т1Р{М)
к Р(М) в точке 7 G Р(М) состоит из всех гладких векторных полей на 7>
обращающихся в ноль в конечных точках qo и qi. Гладкий путь Г в Р(М),
проходящий через 7 £ Р{М), называется вариацией с закрепленными
концами пути 7(0 в М. Вариация Г это семейство 7е(0 = Г(£,£) путей в М,
задаваемое гладким отображением
Г: [*0,*i] х [-e0,e0]->M,
таким, что Г(£,0) = 7(0 для £0 < * < *ь и T(t0,e) = qo,T(ti,e) = q\
для — so < 5 < So. Касательный вектор
G Г7Р(М),
£ = 0
3Из принципа Ньютона-Лапласа следует, что L может зависеть только от обобщенных
координат и скоростей и от времени.

26
Глава 1
соответствующий вариации 7е(0» по традиции называется бесконечно
малой вариацией. Конкретно
Sj{t) = Г«,(£)(*,0) G Tl{t)M, «о < * < *1,
где ^ — касательный вектор к интервалу [—£о,£о] в точке 0. Наконец,
касательный подъем пути 7 • [to,ti] —> М — это путь 7' • [to^h] —> ТМ,
определяемый формулой ^(t) = 7*(J^) £ Т^М, t0 < £ < £ь где ^ —
касательный вектор к [£o»£i] B точке t. Другими словами, j'(t) — вектор
скорости пути 7(0 в момент времени t.
Определение. Функционал действия S : Р(М) —► R лагранжевой
системы (М, L) задается формулой
S(<y) = fL(<y'(t),t)dt.
to
Принцип наименьшего действия (Принцип Гамильтона). Путь
7 £ РМ описывает движение лагранжевой системы (М, L) между
положением qo е М в момент времени to и положением q\ Е М в момент
времени £ь если и только если он является критической точкой
функционала действия 5,
5(7.) = 0,
-о
А
de
для всех вариаций с закрепленными концами 7е(0 пу™ 7(0-
Критические точки функционала действия называются
экстремалями, и принцип наименьшего действия утверждает, что лагранжева
система (М, L) движется по экстремалям4. Экстремали описываются
уравнениями движения — системой дифференциальных уравнений второго порядка
в локальных координатах на ТМ. Уравнения движения записываются
наиболее изящно при следующем выборе локальных координат на ТМ.
Определение. Пусть ([/, у?) — координатная окрестность в М с
локальными координатами q — (g1, ..., qn). Координаты
(q,v) = (q\...,qn,v\...,vn)
на окрестности TU пространства ТМ, где v = (и1, ..., г>п) — координаты
в слое, соответствующие базису —-, ..., -=— пространства TqM,
называем1 oq
ются стандартными координатами.
4Принцип наименьшего действия не утверждает, ни что экстремаль, соединяющая точки до
и (7ь минимизирует S, ни что такая экстремаль единственна. Не утверждает он и того, что
любые две точки можно соединить экстремалью.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
27
Стандартные координаты — это декартовы координаты на ip*(TU) С
С TW1 ~ Шп х Rn. Они обладают свойством, что для (q,v) G TU
и / е C°°(U) выполняется
w' 4^ даг dq
г=1
Пусть (U, ip) и ([/', у?') — координатные окрестности в М с функциями
перехода F= (F1, ...,Fn) = (^,o^-1 : <p(t/nt/') ^(^/((7П(7/)ипусть(д,1;)
и (<?'» v') — соответственно стандартные координаты на TU и ТС/'. Имеем
—- (</) ( — матричнозначная
dq3 I . . "
функция на ip(U П [/'). Таким образом, «вертикальные» координаты v =
= (г;1, ... ,vn) в слоях ТМ —> М преобразуются при замене координат
на М как компоненты касательного к М вектора.
Касательный подъем j'(t) пути 7(0 в М в стандартных координатах
на TU записывается как (q(t),q(t)) = {q1^),... ,qn(t),ql(t),... ,qn(t)),
где точкой обозначается производная по времени, так что
L(7'(t),t) = L(q(t),q(t),t).
Придерживаясь многовековой традиции5, мы обычно будем записывать
стандартные координаты как
(q,q) = (q1,...,qn,q1,...,qn),
где точка не обозначает производную по времени. Поскольку мы
рассматриваем только те пути в ТМ, которые являются касательными подъемами
путей в М, путаницы не будет6.
Теорема 1.1. Уравнения движения лагранжевой системы (М, L)
в стандартных координатах на ТМ — это уравнения Эйлера-Лагранжа
Щ(ЯУ),q(t),t)-ft (щШ,9(t),*)) = О-
5 Которой следуют все тексты по классической механике и теоретической физике.
6Мы резервируем обозначение (q(t), v(t)) для произвольных путей в ТМ.

28
Глава 1
Доказательство.
Предположим сперва, что экстремаль 7(0 лежит в координатной
окрестности U многообразия М. Тогда простым вычислением в
стандартных координатах, используя интегрирование по частям, получаем
0=|| 8{Ъ) =
аЧе=0
= -£ /L(q(t,e),q(t,e),t)dt =
а£\е=0 J
to
l~lt0 x '
to
Вторая сумма в последней строке обращается в ноль из-за свойства
fiql(to) = Sql(ti) = 0, г = 1, ... ,п. Первая сумма равна нулю для любой
гладкой функции Sql на интервале [to, £i], равной нулю в конечных точках.
Из этого следует, что для любого слагаемого подынтегральное выражение
тождественно равно нулю:
^(q(t), q(t),t) - | te(«(«), № t) J = 0, i = 1, ..., n.
Поскольку ограничение экстремали функционала действия 5 на
координатную окрестность в М — это опять экстремаль, каждая экстремаль
в стандартных координатах на ТМ удовлетворяет уравнениям Эйлера-
Лагранжа.
Замечание. В вариационном исчислении производная
функционала 5 по направлению, соответствующему касательному вектору V Е
Т1Р(М)9 — производная Гато — определяется формулой
*»-£
вы,
е=0

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
29
где 7е — путь в Р(М) с касательным вектором V в точке 7о = 7- Итог
вышеприведенного вычисления (когда 7 лежит в координатной
окрестности U С М) можно записать как
/о
*0
to
п
Здесь V(£) = У^ г>г(£)—т — векторное поле вдоль пути )вМ. Формула
(1.1) называется формулой первой вариации действия с закрепленными
концами. Принцип наименьшего действия — это утверждение, что SvS{y) = О
для всех V G Т1Р{М).
Замечание. Удобно также рассмотреть пространство Р(М) =
= {7: [to,ti] —> М} всех параметризованных путей в М. Касательное
пространство Т1Р(М) к Р(М) в точке 7 € Р(М) — это пространство всех
гладких векторных полей на пути 7 в М (без всяких условий на конечные
точки). Вычисление в доказательстве теоремы 1.1 дает следующую
формулу для первой вариации действия со свободными концами:
ti
d dL\ я ,. . дЬп
^s=j{fq-tt%)vdt+nv
to
(1.2)
Задача 1.1. Покажите, что функционал действия — это значение
определенной на ТМ х R 1-формы L dt на лежащей в ТМ х R 1-цепи 7*.
ад-/
Left,
7
где 7 = {b'(t),t);to < * < *i}, a Ldt{w,c§i) = cL(q,v), w G
gT{q,v)TM, ceR.
Задача 1.2. Пусть / G C°°(M). Покажите, что у лагранжевых
систем (М, L) и (М, L + c(f) (где df — послойно линейная функция на ТМ)
одинаковые уравнения движения.

30
Глава 1
Задача 1.3. Приведите примеры лагранжевых систем, у которых
экстремаль, соединяющая две заданные точки, (i) не является локальным
минимумом; (и) не единственна; (iii) не существует.
Задача 1.4. Для экстремали 7 функционала действия S вторая
вариация S определяется как
*2 о _ д2
SLv.S
у^°'д^дГ2
Sbeue2),
=0
где 7ei,e2 — гладкое двухпараметрическое семейство путей в М, таких, что
касательные векторы к путям 7еьо и 7о,е2 в Р{М) в точке 7о,о = 7 £
Е Р(М) — это V\ и У~2 соответственно. Найдите вторую вариацию 5 для
лагранжевой системы (М, L) и проверьте, что для заданных V\ и Vi она не
ЗаВИСИТ ОТ выбора 7ei,e2-
1.1.3. Примеры лагранжевых систем
Для описания механических явлений необходимо выбрать систему от-
счета. От этого выбора зависят свойства пространства-времени, в котором
происходит движение. Пространство-время характеризуется следующими
постулатами7.
Ньютоново пространство-время. Пространство является
трехмерным аффинным евклидовым пространством Е3. Выбором начала
координат 0 Е Е3 — точки отсчета — устанавливается изоморфизм Е3 ~ R3,
где на векторном пространстве R3 определено евклидово скалярное
произведение, и задана фиксированная ориентация. Время — ось времени R —
одномерно, и пространство-время — это прямое произведение Е3 х R.
Инерциальная система отсчета — это система координат с заданным
началом 0 Е Е39 начальным моментом времени to и ортонормированным
базисом в R3. В инерциальной системе пространство однородно и изотропно,
а время однородно. Законы движения инвариантны по отношению к
преобразованиям
где г, Го Е R3, a g — ортогональное линейное преобразование
пространства R3. Время в классической механике абсолютно.
7Строго говоря, эти постулаты верны только в нерелятивистском пределе специальной
теории относительности, когда скорость света в вакууме предполагается бесконечной.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
31
Группа Галилея — это группа всех аффинных преобразований
пространства Е3 х R, сохраняющих временные интервалы и являющихся изо-
метриями Е3 при любом t е Ш. Любое преобразование Галилея является
композицией вращения, пространственно-временного сдвига и
преобразования
г н-> г + vt, £ н-> £,
где v Е М3. Любые две инерциальные системы связаны преобразованием
Галилея.
Принцип относительности Галилея. Законы движения инвариантны
относительно группы Галилея.
Эти постулаты накладывают ограничения на лагранжианы
механических систем. К примеру, из первого постулата следует, что лагранжиан L
замкнутой системы не зависит явно от времени. Физические системы
описываются специальными лагранжианами в соответствии с
экспериментальными фактами, касающимися движения материальных тел.
Пример 1.1 (Свободная частица). Конфигурационное
пространство свободной частицы — это М = R3, и из принципа относительности
Галилея можно вывести, что лагранжиан свободной частицы — это
L = \тт2.
Здесь га > О8 — это масса частицы, а г2 = \г\2 — квадрат длины вектора
скорости г Е TrR3 ~ R3. Уравнения Эйлера-Л агранжа приводят к закону
инерции Ньютона
г = 0.
Пример 1.2 (Взаимодействующие частицы). Замкнутая
система TV взаимодействующих частиц в R3 с массами mi,..., гадг описывается
конфигурационным пространством
М = R3N = М3 х ... х R3
4 v /
N
с вектором координат г = (ri, ... ,гдг), где ra E R3 — вектор координат
а-й частицы, а = 1, ..., N. Известно, что лагранжиан задается формулой
N
L = J2>"*l-V(r) = T-V,
а=1
8 Иначе функционал действия неограничен снизу.

32
Глава 1
где величина
N
а=1
называется кинетической энергией системы, а V(г) — потенциальная
энергия. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнениям Ньютона
где
— сила, действующая на а-ю частицу, а = 1,...,7V. Силы такого вида
называются консервативными. Из однородности пространства следует, что
потенциальная энергия V(г) замкнутой системы из N взаимодействующих
частиц зависит только от положения частиц друг относительно друга, что
приводит к уравнению
N
а=1
В частности, для замкнутой системы из двух частиц выполняется
Fi + F2 = О, из чего следует равенство сил действия и противодействия,
известное как третий закон Ньютона.
Потенциальная энергия замкнутой системы, в которой частицы
взаимодействуют только попарно, имеет вид
V(r)= Y1 Уаь(Га-П).
Из изотропности пространства следует, что V(r) зависит только от
расстояний между частицами, так что лагранжиан замкнутой системы из N
попарно взаимодействующих частиц имеет вид
N
L = Y1 \m**l - 5Z у^к - п\).
a=l l^a<b^N

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
33
Если потенциальная энергия V(r)_— однородная функция степени р,
V(Xr) = \pV(r), то средние значения Т и V кинетической и
потенциальной энергий на замкнутой траектории связаны теоремой о вириале
2T = pV. (1.3)
Действительно, пусть r(t) — периодическая траектория с периодом т > О,
т. е. г(0) =г(т)9 г(0) = г(т). Пользуясь интегрированием по частям,
уравнениями Ньютона и теоремой Эйлера об однородных функциях, получаем
\ N тг N
2Т = \ J Y^mar2adt = -\ J ^mararadt =
о a=1 о a=1
-i }&.%*-*■
о a=1
ч
Пример 1.3 (Всемирное тяготение). Согласно закону
всемирного тяготения Ньютона потенциальная энергия силы притяжения между
двумя частицами с массами та и тъ — это
V(ra-rb) = -G-m«mb
-п\
где G — гравитационная постоянная. Конфигурационное пространство N
частиц с гравитационным взаимодействием — это
М = {(n, ...,rN)e R3N : га ф rb для а ф 6, a, b = 1, ..., TV}.
Пример 1.4 (Частица во внешнем потенциальном поле).
Здесь М = М3 и
где потенциальная энергия может явно зависеть от времени. Уравнения
движения — это уравнения Ньютона
mr = F = -^.
or
Если V = V(|r|) является функцией только расстояния |г|, потенциальное
поле называется центральным.

34
Глава 1
Пример 1.5 (Заряженная частица в электромагнитном
поле9). Рассмотрим частицу с зарядом е и массой га в R3, движущуюся
в зависящем от времени электромагнитном поле со скалярным и векторным
потенциалами ip(r) и A(r) = (Ai(r), А2(г), Л3(г)). Лагранжиан имеет вид
г тг1 , „ ( г А \
L = — +e\^—-<p),
где с — скорость света. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к
уравнениям Ньютона с силой Лоренца
тг = е(Е+£хВ),
где х — векторное произведение в R3, а
Е = -?£ и В = curl A
— электрическое и магнитное поля1и соответственно.
Пример 1.6 (Малые колебания). Рассмотрим частицу массы га
с п степенями свободы, движущуюся в потенциальном поле V(q)9 и
предположим, что потенциальная энергия U имеет минимум в точке q = 0.
Раскладывая V(q) в ряд Тейлора около 0 и сохраняя только квадратичные
члены, получаем лагранжеву систему, описывающую малые колебания
около положения равновесия. Конкретно,
L = \mq2 - V0(q),
где Vo — положительно определенная квадратичная форма на Rn, заданная
формулой
9 Это нерелятивистский предел примера из классической электродинамики.
10Также используется обозначение В = rot A.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
35
Поскольку любую квадратичную форму можно привести к диагональному
виду ортогональным преобразованием, можно предположить с самого
начала, что координаты q = (q1, ..., qn) выбраны так, что Vo(q) диагональна и
£=Х<72-£Ч2(<Л2), (1-4)
г=1
где lji , ..., ип > 0. Такие координаты q называются нормальными
координатами. В нормальных координатах уравнения Эйлера-Лагранжа
принимают вид
<f+c^V = 0, t = l, ...,n,
и описывают п несвязанных (т. е. невзаимодействующих) гармонических
осцилляторов с частотами ш\, ..., шп.
Пример 1.7 (Свободная частица на римановом
многообразии). Пусть (М, ds2) — риманово многообразие с римановой
метрикой ds2. В локальных координатах ж1, ..., хп на М
ds2 = g^v{x)dx^dxv',
где по традиции предполагается суммирование по повторяющимся
индексам. Лагранжиан свободной частицы на М — это
L{v) = \{v,v) = \\\v\\2,veTM,
где ( , ) обозначает скалярное произведение в слоях ТМ, задаваемое
римановой метрикой. Соответствующий функционал
ti и
S(l) = \f\W{t)\\2dt= \j g^{x)x»x»dt
to to
называется функционалом действия в римановой геометрии. Уравнения
Эйлера-Лагранжа — это
9fl"X dxx X X ~2dx»XX'

36
Глава 1
а после умножения на обратный метрический тензор gGV и суммирования
по v они принимают вид
£'+ r£I/i/V'= 0, о- = 1, ...,п,
где
"" 2^ ^Эх" ^ 9х^ дхх )
— символы Кристоффеля. Уравнения Эйлера-Лагранжа свободной
частицы, движущейся по риманову многообразию, — это уравнения
геодезических.
Пусть V — связность Леви-Чивита — метрическая связность без
кручения на касательном расслоении ТМ, и пусть V^ — ковариантная
производная по отношению к векторному полю £ G Vect(M). Конкретно,
(v«7?)" = (£+r^A)r' где t=?ww',l=1fix)di?-
Для пути 7(0 = (^(t)) обозначим символом V^ ковариантную
производную вдоль 7,
(y^r(t) = ^^+Kxb(tW(t)r,x(t), где v = r,4t)£:
— векторное поле на 7- Теперь можно написать формулу (1.1) в
инвариантной форме:
"1
6S = -J(Vrt,6<y)dt,
to
известной как формула первой вариации действия в римановой геометрии.
Пример 1.8 (Твердое тело). Конфигурационное пространство
твердого тела в R3 с закрепленной точкой — это группа Ли G = SO(3)
сохраняющих ориентацию ортогональных линейных преобразований
пространства R3. Любая левоинвариантная риманова метрика ( , ) на G задает
лагранжиан L : TG —► R формулой
L(v) = ±(v,v), veTG.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
37
Согласно предыдущему примеру уравнения движения твердого
тела — это уравнения геодезических на G по отношению к римановой
метрике ( , ). Пусть g = 50(3) — алгебра Ли группы G. Вектор скорости
д Е TgG определяет угловую скорость тела по формуле £} = (Lg-i)*g G g,
где Lg\ G —► G — это левые сдвиги на G. В терминах угловой скорости
лагранжиан принимает вид
где ( , )е — скалярное произведение на g = TeG, задаваемое
римановой метрикой ( , ). На алгебре Ли g — алгебре Ли кососимметрических
матриц 3 х 3 — имеется инвариантное скалярное произведение (u,v)0 =
= —-Truv (форма Киллинга), так что (П, Г2)е = (А • П, П)о для некоторого
симметрического линейного оператора А : q —> Q, положительно
определенного по отношению к форме Киллинга. Такой линейный оператор А
называется тензором инерции тела. Главные оси инерции тела — это орто-
нормальные собственные векторы ei, ег, ез оператора А; соответствующие
собственные значения Ji, /г» h называются главными моментами инерции.
Положив О, = fiiei 4- Пг^г 4- ^з^з11, получаем
В такой параметризации уравнения Лагранжа превращаются в уравнения
Эйлера:
/1Й1 = (12-/з)П2Пз,
J2fi2 = (J3-/l)filfi3,
/з«3 = (/1-/2)«1^2.
Уравнения Эйлера описывают вращение свободного твердого тела около
закрепленной точки. В системе координат, осями которой выбраны главные
оси инерции, главные моменты инерции — это Д, I<i, /з-
Задача 1.5. Определите движение заряженной частицы в
постоянном однородном магнитном поле. Покажите, что если начальная скорость
по оси z (выбранной в направлении поля, В = (О, О, В)) v$ = 0, то тра-
cmvt
ектории являются окружностями радиусов г = —— в плоскости, перпен-
ег>
дикулярной полю (плоскости ху), где vt = \Jv\ 4- v\ — начальная скорость
11 Так устанавливается изоморфизм алгебр Ли g ~ R3, где скобка Ли на R3 задана
векторным произведением.

38
Глава 1
в плоскости ху. Центры (хо,уо) окружностей определяются формулой
cmvi cmv2
где (х, у) — точки на окружности радиуса г.
Задача 1.6. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для
лагранжиана L(v) = ||г;||, v G ТМ, совпадают с уравнениями геодезических,
записанными по отношению к постоянному множителю натурального
параметра.
Задача 1.7. Докажите, что для частицы в потенциальном поле,
обсуждавшейся в примере 1.4, вторая вариация функционала действия,
определенная в задаче 1.4, задается формулой
и
S2S = fJ{S1r)S2rdt,
to
где Sir, S2r e T7PR3, 7 = r(t) — классическая траектория,
d2 r d2V,
dt2 dr2
я2у ( tfly Л 3
I — единичная матрица 3 x 3, a —-(t) = < -—-—(r(t)) > . Линейный
dr2 [дгадп )ab=1
дифференциальный оператор второго порядка J, действующий на
векторные поля на 7, называется оператором Якоби.
Задача 1.8. Найдите нормальные координаты и частоты для лагран-
1 п
жевой системы, рассмотренной в примере 1.6 с Vo(q) = -a2 J2 (<7г+1 — Яг)2>
где gn+1 = q1.
Задача 1.9. Докажите, что вторая вариация функционала действия
в римановой геометрии дается формулой
62S = J(J(6n),62>y)dt.
to
Здесь 5i7,^27 £ Т^РМ, J = — V? - #(7, -)7 ~~ оператор Якоби, a R —
оператор кривизны — послойно линейное отображение R: ТМ ® ТМ —►
—> End(TM) векторных расслоений, определенное формулой R(£,rj) =
= V*?V£ ~ VCvr? + V£,T7]: ТМ -> ТМ, где £, rj G Vect(M).
T ™ " Т О V П\

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
39
0
Пз
-п2
-Пз
0
fil
п2\
-nj
о J
->(ni,n2,n3)e
Задача 1.10. Выбрав главные оси инерции в качестве базиса в
покажите, что изоморфизм алгебр Ли g ~ R3 задается формулой
0Э
Задача 1.11. Покажите, что для любого симметрического А е End g
существует симметрическая 3x3 матрица А, такая, что А • О = АО, + fL4,
и найдите А для диагонального А.
Задача 1.12. Выведите уравнения Эйлера для твердого тела.
(Указание: воспользуйтесь тем, что L = — ^ТгАО2, где О = д~1д и 80 =
= —g~1Sg 0+д~г6д, и получите уравнения Эйлера-Лагранжа в матричной
форме АО + О А = АО2 - О2 А.)
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер
Чтобы описать движение механической системы, необходимо решить
соответствующие уравнения Эйлера -Лагранжа — систему обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка в обобщенных
координатах. Это может быть очень сложной задачей. Поэтому особенный интерес
представляют функции обобщенных координат и скоростей, остающиеся
постоянными во все время движения.
Определение. Гладкая функция / : ТМ —► R называется интегралом
двиэюения (первым интегралом, или законом сохранения) для лагранжевои
системы (M,L), если
|/(7'(0)=0
для любой экстремали j функционала действия.
Определение. Энергия лагранжевои системы (М, L) — это функция
Е на ТМ х R, определенная в стандартных координатах на ТМ формулой
E(q, 9,«) = Ё 9* Й(«' Я, *) ~ Hq, q, t).
Лемма 1.1. Энергия Е = q -^r — L является корректно определенной
функцией на ТМ х Е.

40
Глава 1
Доказательство.
Пусть ([/, if) и ([/', у/) — координатные окрестности в М с функциями
перехода F = (F1, ... ,Fn) = <р' о с/?"1 : <^(С/П С/')"—► ^'(t/fW).
Соответствующие стандартные координаты (g, g) и (</', д') связаны соотношениями
q' = F(q) и q' = F*(q)q (см. раздел 1.1.2). Имеем dq' = F*(q)dq и dq' =
= G(q, q)dq + F* (д)б?д (для некоторой матричнозначной функции G(q, q))9
так что
at 9L у/ . dL ,./ . 9L »,
^ = ^ + а* * + ж* =
Таким образом, при замене координат
так что Е — корректно определенная функция на ТМ.
Следствие 1.2. /7рм замене локальных координат на М
компоненты —г(</,#,£) = I —г, • • • > тгт^ I прообразуются как компоненты 1-
формы на М.
Предложение 1.1 (Сохранение энергии). Энергия замкнутой
системы является интегралом движения.
Доказательство.
Для экстремали 7 положим E(t) = E^it)). Согласно уравнениям
Эйлера -Лагранжа имеем
dE = A fdb\ . dL~ _ dL. _ dL~ _9L =
dt dt\dq)q dq4 dq4 dq4 dt
dt \dq) dq) Q dt dt'
Поскольку для замкнутой системы — = 0, энергия сохраняется.

1.1. Лагранжева механика
41
Сохранение энергии для замкнутой механической системы —
фундаментальный физический закон, следующий из однородности времени. Для
произвольной замкнутой системы из TV взаимодействующих частиц,
рассмотренной в примере 1.2,
N N
E = Y, mar2a ~L = Y^ \rnar2a + V(r).
а=\ а=1
Другими словами, полная энергия Е = Т + V — это сумма кинетической
и потенциальной энергий.
Определение. Лагранжиан L : ТМ —► R инвариантен относительно
диффеоморфизма д : М —► М, если L(g*(v)) = L(v) для любого v e ТМ.
Диффеоморфизм д называется симметрией замкнутой лагранжевой
системы (M,L). Группа Ли G — это группа симметрии (M,L) (группа
непрерывных симметрии), если существует левое действие G на М, такое, что
для любого д Е G отображение Мэх\->д-х£М — симметрия.
Непрерывные симметрии приводят к законам сохранения.
Теорема 1.3 (Э.Нётер). Пусть лагранжиан L : ТМ —> R
инвариантен относительно однопараметрической группы {gs}seR
диффеоморфизмов М. Тогда лагранжева система (M,L) допускает интеграл
движения I, записываемый в стандартных координатах на ТМ как
где X = Уаг(д)—г — векторное поле на М, соответствующее пото-
ку gs. Интеграл движения I называется интегралом Нётер.
Доказательство.
Из следствия 1.2 следует, что / — корректно определенная функция
на ТМ. Далее, дифференцируя L((gs)^(j (t))) = L(jf(t)) по отношению
к s при s = 0 и используя уравнения Эйлера -Лагранжа, получаем
О = ^а + ^-а = -^ (^Л а+<^^ = ^ (^а
dq dq dt \dq J dq dt dt \dq
rjva(t) = (a1(7(t)),...,an(7(t))).

42
Глава 1
Замечание. Векторное поле X на М называется бесконечно малой
симметрией, если соответствующий локальный поток gs поля X
(определенный для любого sGMb некоторой окрестности Us С М) — симметрия:
L ° (9s)* = L на Us. Любое векторное поле X на М поднимается до
векторного поля X' на ТМ, определенного локальным потоком на ТМ,
индуцированным соответствующим локальным потоком на М. В стандартных
координатах на ТМ
ti д<1 ~ ддг .^ dq> дЯг
Легко проверить, что X является бесконечно малой симметрией, если
и только если dL(X') = 0 на ТМ, что в стандартных координатах
записывается как
~[ dql .^ dq> dql
Замечание. Теорема Нётер обобщается на лагранжианы L : ТМ х
xR-^R, зависящие от времени. А именно: определим на расширенном
конфигурационном пространстве М\ = М х Ш не зависящий от времени
лагранжиан L\ как
Li{q,T,q,r) = L (q, Я,т)т,
где (д,т) — локальные координаты на Mi, a (g, r, g,f) — стандартные
координаты на TMi. Интеграл Нётер 1\ для замкнутой системы (Mi,Li)
определяет интеграл движения / для системы (М, L) по формуле
I(Q,Q,t) = Ii(q,t,q,l).
Когда лагранжиан L не зависит от времени, L\ инвариантно
относительно однопараметрической группы сдвигов г н-> г 4- s, и интеграл Нётер
ат
Теорему Нётер можно обобщить следующим образом.
Предложение 1.2. Пусть для лагранжиана L : ТМ —► R существуют
векторное поле X на М и функция К на ТМ, такие, что для любого
пути 7 в М
dL(X')(7(<)) = |*(V(*))-

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
43
Тогда
п
г=1 ^
— интеграл движения лагранжевой системы (М, L).
Доказательство.
Используя уравнения Эйлера -Лагранжа, получаем, что на
экстремали 7
А (йкЛ = 9La + ^d = ^
dt \dq J dq dq dt
Пример 1.9 (Сохранение импульса). Пусть М = V — векторное
пространство, и допустим, что лагранжиан L инвариантен относительно
однопараметрической группы gs(q) = q + sv, v G V. Согласно теореме
Нётер
— интеграл движения. Теперь пусть (М, L) — замкнутая лагранжева
система из TV взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2. Имеем
М — V = M3iV, и лагранжиан L инвариантен при одновременном сдвиге
координат ra = {rl,rl,rl) всех частиц на один и тот же вектор с G М3.
Таким образом, v = (с, ..., с) G Мзлг, и для любого с = (с1, с2, с3) G М3
'=|:(^+^+^)-с1р,+с2р2+с3р'
является интегралом движения. Интегралы движения Р\, Рг, Рз
определяют вектор
(или, точнее, вектор в пространстве, двойственном к R3), называемый
импульсом системы. Конкретно,
N
Р = ^Гтага,
а=1
так что полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов
индивидуальных частиц. Сохранение импульса — фундаментальный физический
закон, отражающий однородность пространства.

44
Глава 1
По традиции величины щ = —г называются обобщенными импульса-
dql
мщ соответствующими обобщенным координатам g\ a F» = —г — обоб-
dql
щенными силами. В этих обозначениях уравнения Эйлера -Лагранжа
имеют такой же вид:
p = F,
как и уравнения Ньютона в декартовых координатах. Из сохранения
импульса следует третий закон Ньютона.
Пример 1.10 (Сохранение углового момента). Пусть М — V —
векторное пространство с евклидовым скалярным произведением. Пусть
G = SO(V) — связная группа Ли автоморфизмов V, сохраняющих
скалярное произведение, и пусть g = $o(V) — алгебра Ли группы G. Допустим,
что лагранжиан L инвариантен относительно действия однопараметриче-
ской подгруппы gs(q) = esx • q группы G, где х Е д, а ех —
экспоненциальное отображение. Согласно теореме Нётер
I = y{x.q)idL
— интеграл движения. Теперь пусть (М, L) — замкнутая лагранжева
система из TV взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2.
Имеем М — V = R3iV, и лагранжиан L инвариантен относительно
одновременных поворотов координат га при одном и том же
ортогональном преобразовании пространства Ш3. Таким образом, х = (и, ..., и) Е
е 5о(3) 0 ... 0 50(3), и для любого и е 5о(3)
4 v '
N
а=1 \ а а
является интегралом движения. Пусть и = v}X\ + и2Х2 + и3Хз, где Xi =
= (oo-i),X2=( ооо),Хз=[1 оо)— базис в so(3) ~ М3, соответ-
Vo 1 о/ V-iоо/' Vo оо/ v ;
ствующий вращениям вокруг векторов е1,б2,ез из стандартного ортонор-
мированного базиса R3 (см. задачу 1.10). Получаем
/ = и1 Mi + и2М2 + и3М3,

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
45
где М = (Mi, M2, Ms) G М3 (точнее, М лежит в пространстве,
двойственном к 50(3)) задается формулой
Вектор М называется угловым моментом системы. Конкретно,
N
М = ^ГгаХ тага,
а=1
так что полный угловой момент замкнутой системы равен сумме угловых
моментов индивидуальных частиц. Сохранение углового момента —
фундаментальный физический закон, отражающий изотропность пространства.
Задача 1.13. Определите, как полный импульс и полный угловой
момент преобразуются при преобразованиях Галилея.
1.1.5. Одномерное движение
Движение систем с одной степенью свободы называется одномерным.
При использовании декартовой координаты х на М = R лагранжиан
принимает вид
L = \тх2 - V(x).
Закон сохранения энергии
Е = |шх2 + V(x)
позволяет решить уравнения движения в замкнутой форме с помощью
разделения переменных. Имеем
так что
dx
[т f
2 у
у/Е - V(x)
Обратная функция x(t) — общее решение уравнений Ньютона,
dx
с двумя произвольными константами, энергией Е и постоянной
интегрирования.

46
Глава 1
Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, для заданного
значения Е фактическое движение происходит в области Ш9 в которой V(x) < Е.
Точки, где V{x) = Е, называются точками поворота. Движение,
ограниченное двумя точками поворота, называется финитным. Финитное
движение периодично — частица осциллирует между точками поворота х\ и х^
с периодом
dx
Т(Е) = y/2m f
yjE - V(x)
Если область V(x) < Е не ограничена, то движение называется
нефинитным, и частица в конце концов уходит на бесконечность. Области, в
которых V(x) > Е, недоступны.
На фазовой плоскости с координатами (ж,у).уравнение Ньютона
сводится к системе первого порядка
dV
тх = у, у = - — .
Траектории соответствуют фазовым кривым (x(t), y(t)), лежащим на
линиях уровня
функции энергии. Точки (х0,0), где х0 — критическая точка потенциальной
энергии V{x), соответствуют положениям равновесия. Локальные
минимумы соответствуют устойчивым положениям, а локальные максимумы —
неустойчивым. Для значений Е, не соответствующих положениям
равновесия, линии уровня — гладкие кривые. Эти кривые замкнуты, если движение
финитное.
Простейшая нетривиальная одномерная система, не считая свободной
частицы, — это гармонический осциллятор с V(x) = \kx2 (k > 0),
рассмотренный в примере 1.6. Общее решение уравнения движения —
x(t) = Acos(u;t + a),
/ к
где А — амплитуда, uj = у — — частота, a a — фаза простого гармо-
нического движения с периодом Т = —. Энергия — это Е — ^muj2A2,
и движение финитно с одним и тем же периодом Т при Е > 0.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
47
Задача 1.14. Покажите, что при V{x) = —х4 существуют
фазовые кривые, определенные не во все моменты времени. Докажите, что
если V(x) ^ 0 для любого х, то фазовые кривые определены во все моменты
времени.
Задача 1.15. Простой маятник — это лагранжева система с М =
= 51 = R/2ttZ и L = ^02+cos0. Найдите период Т маятника как функцию
амплитуды колебаний.
Задача 1.16. Допустим, что потенциальная энергия V(x) четна,
V(0) = 0и V(x) — взаимнооднозначная монотонно возрастающая функция
при х ^ 0. Докажите, что обратная функция x(V) и период Т(Е) связаны
преобразованием Абеля
о о
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера
Движение системы двух взаимодействующих частиц — задачу двух
тел — тоже можно полностью описать. А именно: в этом случае (см.
пример 1.2) М = R6 и
т\г\ т2г2 тг/| |ч
L = -^ + -^-V(\n-r2\).
Вводя на Ш6 новые координаты
„ miri+m2r2
Г = Г\ — Г2 И К= ; ,
mi 4- га2 '
получаем
L=\mR2 + \iir2-V{\r\),
mim2 л
где т — mi+m2 — полная масса, a /i = — приведенная масса
системы двух тел. Лагранжиан L зависит только от скорости R центра масс,
но не от его положения R. Обобщенная координата с таким свойством
называется циклической. Из уравнений Эйлера -Лагранжа следует, что
обобщенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется.

48
Глава 1
В нашем случае это полный импульс системы:
Р=Ц-= mRy
dR
так что центр масс R движется равномерно. Таким образом, в системе
отсчета, где R = 0, задача двух тел сводится к задаче об одной частице
массы jji во внешнем центральном поле V(|r|). В сферических
координатах на М3,
х — г sin д cos </?, у = г sin д sin </?, z — г cos д,
где 0<$<7г, 0 < </? < 27Г, ее лагранжиан принимает вид
L = i/x(r2 + гЧ2 + г2 sin21? ф2) - V(r).
Из сохранения углового момента М = /хг X г следует, что во время
движения вектор положения г лежит в плоскости Р, ортогональной к М
в Ш3. Вводя полярные координаты (г, х) на плоскости Р, получаем х2 =
= д2 + sin2 д ф2, так что
L=\^+r2x2)-V{r).
Координата х — циклическая, а ее обобщенный импульс /хг2х совпадает
с \М\, если % > 0, и с — |М|, если х < 0. Обозначая эту величину как М,
получаем уравнение
»г2х = М, (1.7)
эквивалентное второму закону Кеплера12. Воспользовавшись
уравнением (1.7), получаем для полной энергии
Е = |д(г2 + г2*2) + V(r) = ±Mr2 + V(r) + ^. (1.8)
Таким образом, радиальное движение сводится к одномерному движению
на луче г > 0 с эффективной потенциальной энергией
Veff(r) = V(r) + ^,
12Это утверждение о том, что секторальная скорость частицы в центральном поле
постоянна.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
49
где второе слагаемое называется центробежной энергией. Как и в
предыдущем разделе, решение дается формулой
t = f-j-^JL=. (1.9)
dr
^E-Veff(r)
Из (1.7) следует, что угол \ — монотонная функция t, определяемая другой
квадратурой:
М
V^J r2^E-Veff(ry
x = ^=[-V7=d\/ , (1.Ю)
задающей уравнение траектории в полярных координатах.
Множество Veff (г) < Е является объединением колец 0 < rmin ^
< Г < Гтах < 00, И ДВИЖвНИе фиНИТНО, еСЛИ 0 < Tjnin ^ Г < Гтах < 00.
Несмотря на то, что при финитном движении r{t) осциллирует между гШ1П
и г max* соответствующие траектории не обязательно будут замкнуты.
Необходимым и достаточным условием того, чтобы финитное движение имело
замкнутую траекторию, является требование, чтобы угол
гтах
Дх=^- [ *
л/ЗД J Г2^Е- Veff(г)
rmin
был соизмерим с 27Г, т. е. А\ = 2ттЩ для каких-то га, n E Z. Если угол А%
не соизмерим с 27Г, орбита всюду плотна в кольце тШ1П < г < rmax. Если
lim Veff (г) = lim V(r) = V < оо,
1 ЮО 1 ЮО
движение нефинитно при Е > V — частица уходит на бесконечность с
конечной скоростью \/-(Е — V).
Очень важен частный случай, когда
V{r) = -$.
Он соответствует ньютоновскому гравитационному притяжению (а > 0)
и кулоновскому электростатическому взаимодействию (притягивающему
или отталкивающему). Сперва рассмотрим случай, когда а > 0 — задача
Кеплера. Эффективная потенциальная энергия равна
Veff(r) = -T +
2/хг2

50
Глава 1
и имеет глобальный минимум
v - a2fl
у о — — -
2М2
М2
при г0 = -^ц. Движение нефинитно при Е ^ 0 и финитно при Vo < Е < 0.
Явную форму траекторий можно определить элементарным
интегрированием в (1.10), которое дает
М М
x = C0S-i_T~^ +д
y/2fi(E-V0)
Выбирая постоянную интегрирования С = 0 и вводя обозначение
р = го и е
получаем уравнение орбиты (траектории) —
P = l + ecosx. (1.11)
Это уравнение конического сечения с одним фокусом в начале координат.
Величина 2р называется фокальным параметром орбиты, а е —
эксцентриситетом. При выборе С = 0 точка с х = 0 — ближайшая к началу
координат (она называется перигеем). Когда Vo < Е < 0, эксцентриситет е < 1,
так что орбита — эллипс13 с большой и малой полуосями:
^ р р m
Соответственно, rmin = , гтах = , и период Т эллиптической
1 4- е 1-е
орбиты дается формулой
Т=ттаЛ
2\Е\:
Последняя формула — это третий закон Кеплера. Когда Е > 0,
эксцентриситет е > 1 и движение нефинитно, орбита является гиперболой с
внутренним фокусом в начале координат. Когда Е = 0, эксцентриситет е = 1,
частица начинает движение из состояния покоя на бесконечности, и
орбита — парабола.
13Утверждение, что планеты движутся по эллиптическим орбитам с фокусом в Солнце, это
первый закон Кеплера.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
51
Для случая отталкивания, а < 0, эффективная потенциальная
энергия Veff{f) всегда положительна и монотонно убывает от оо до 0.
Движение всегда нефинитно, а траектории — гиперболы (парабола, если Е = 0)
Р
г = -1+ecosx
« M<1 » * /и- 2ЕМ2
Р=^ И e = f + ^T'
Задача Кеплера весьма специальна: для любого аЕЁ лагранжева
система на Ш3 с _,
L=i/xr2 + f (1.13)
имеет три добавочных интеграла движения Wi,W2, Ws, помимо компонент
углового момента М. Соответствующий вектор W = (Wi,W2,Ws),
называемый вектором Лапласа -Рунге- Ленца, задается формулой
W = rxM-^. (1.14)
Действительно, воспользовавшись уравнениями движения fir = — ^ и со-
г6
хранением углового момента М = цг X г, получаем
тхг / -ч СХГ а(Г"Г)г
W = firx(rXr)-^+ з =
/ •• .ч / -. ч. аг ос(г-г)г
— (//г • г)г - (//г • г)г - — Н =
= 0.
Воспользовавшись тем, что /х(г х М) • г = М2, и равенством (а х Ь)2 =
= а2 Ь2 — (а • Ь)2, получаем
И,2 = а2+2Л^Е) (Ы5)
где
— энергия, соответствующая лагранжиану (1.13). Тот факт, что все
орбиты — конические сечения, следует из этой добавочной симметрии
задачи Кеплера.
Задача 1.17. Докажите все утверждения этого раздела.

52
Глава 1
Задача 1.18. Покажите, что если
Ип?Л//(г) = -оо,
г—»U
то существуют орбиты с гт{П = 0, соответствующие «падению» частицы
на центр.
Задача 1.19. Докажите, что все финитные траектории в центральном
поле замкнуты только в том случае, когда
V{r) = kr2, k>0, и V(r) = -%, a>0.
Задача 1.20. Найдите параметрические уравнения орбит в задаче
Кеплера.
Задача 1.21. Докажите, что вектор Лапласа-Рунге-Ленца W
смотрит в сторону главной оси орбиты и что \W\ = ае9 где е — эксцентриситет
орбиты.
Задача 1.22. Используя сохранение вектора Лапласа-Рунге-Ленца,
докажите, что траектории в задаче Кеплера с Е < 0 — эллипсы. (Указание:
вычислите W • г и используйте результат предыдущей задачи.)
1.1.7. Преобразование Лежандра
Уравнения движения лагранжевой системы (М, L) в стандартных
координатах, связанных с координатной окрестностью U С М, это уравнения
Эйлера -Лагранжа. В развернутой форме они задаются следующей
системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:
dL,„ .ч d ( dL, Л
= Y I-^-{q,q)qj + -^-{qA)?], t = i, ...,n.
^ \dqxdq>K dqxdq>K ' J
Для того чтобы эта система разрешалась для старших производных при
любых начальных условиях на TU, необходимо, чтобы на TU была обратима
симметричная п х п матрица
HL(q,q)= \-^^(q,q)
V } \dqxdq>K }
i_i = \

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
53
Определение. Лагранжева система (M,L) называется
невырожденной, если для любой координатной окрестности U в М матрица Нь(я,я)
обратима на TU.
Замечание. Заметим, что пх п матрица HL — это гессиан функции
Лагранжа L для вертикальных направлений на ТМ. При замене
стандартных координат q' = F(q) и q' = F*(q)v (см. раздел 1.1.2) она
преобразуется по закону
HL(q,q) = F*(q)THL(q',q')F*(q),
где F*(q)T — транспонированная матрица, так что условие det Hl ф 0 не
зависит от выбора начальных координат.
Для инвариантной формулировки рассмотрим 1-форму 0^,
определенную в стандартных координатах, связанных с координатной
окрестностью U С М, формулой
0L = YdLdi = ?kd
hd(i dq
Из следствия 1.2 выходит, что вь — корректно определенная 1-форма
на ТМ.
Лемма 1.2. Лагранжева система (М, L) невырождена, если и только
если 2-форма 6Bl на ТМ невырождена.
Доказательство.
В стандартных координатах
deL=Y\ J?-L_dqj Л dq* + -^-dqj AdqA,
и, рассмотрев 2п-форму dO^ = d6b Л ... Л d9b, легко видеть, что 2-форма
п
dOb невырождена, если и только если матрица Hl невырождена.
Замечание. С использованием 1-формы вь интеграл Нётер / в
теореме 1.3 можно записать как
1 = гх>(вь), (1.16)
где X' — подъем векторного поля X с М на ТМ, заданный уравнением
(1.5). Из (1.6) также мгновенно следует, что если X — бесконечно малая
симметрия, то
Сх*(вь) = 0. (1.17)

54
Глава 1
Определение. Пусть ([/, </?) — координатная окрестность в М.
Координаты
(Р,9) = (Рь.-^Рп,?1,...,^)
в окрестности Т*£/ ~ Mn x [/ кокасательного расслоения Т*М называются
стандартными координатами1*', если для (р, g) Е T*U и / Е C°°(U)
Эквивалентным образом, стандартные координаты на T*U можно
однозначно охарактеризовать условием, что р = (р\, ..., рп) —
координаты в слое, соответствующие базису dq1, ..., dqn пространства Т*М,
двойственному к базису —-, ..., -^-^ пространства TqM.
dql Щ
Определение. 1-форма в на Т*М, определенная в стандартных
координатах формулой
п
в = ^РгС?дг = pdq,
г=1
называется канонической 1-формой Лиувилля.
Из следствия 1.2 видно, что в — корректно определенная 1-форма
на Т*М. Ясно, что 1-форма в допускает также инвариантное определение
0(и)=р(тг*(и)), где ueT(p,q)T*M,
а 7г: Т*М —► М — каноническая проекция.
Определение. Послойное отображение тх : ТМ -^ Т*М называется
преобразованием Лежандра, связанным с лагранжианом L, если
9ь = тЦ9).
В стандартных координатах преобразование Лежандра задается
формулой
Tb(q,q) = (p,q), где р = ^т (<?,<?).
Отображение тх — локальный диффеоморфизм, если и только если
лагранжиан L невырожден.
14По традиции первые п координат параметризуют слой T*U, а последние п координат —
базу.

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
55
Определение. Пусть преобразование Лежандра п : ТМ —> Т*М —
диффеоморфизм. Гамильтониан Н : Т*М —► Ш, соответствующий
лагранжиану L : ТМ —► М, определяется как
HorL = EL = q^-L.
dq
В стандартных координатах
H(p,q)= (pq-L(q,q))\ dL
dL,
где q — функция ри q, определяемая уравнением р = -^r(<Z, 9) по теореме
о неявной функции. Кокасательное расслоение Т*М называется фазовым
пространством лагранжевой системы (M,L). Оказывается, что в фазовом
пространстве уравнения движения принимают очень простой и
симметричный вид.
Теорема 1.4. Пусть преобразование Лежандра ть '• ТМ —► Т*М —
диффеоморфизм. Тогда уравнения Эйлера -Лагранжа в стандартных
координатах на ТМ,
d_dlL_dlL
dt dq1 dq1
эквивалентны следующей системе дифференциальных уравнений первого
порядка в стандартных координатах на Т*М:
ОН -г дН
.^_^ = 0, i = l,
,,n,
Рг = ~
dql
Q =
dpi
i = l,
Доказательство.
Имеем
dH=i§dp+fdq=
= [pdq + qdp - -g-dq - -^rdq
db_
'dq
= (Qdp- ^dq
dL
Таким образом, при преобразовании Лежандра
Я=Щ и р
dt dq dq
8Н_
dq'

56
Глава 1
Соответствующие дифференциальные уравнения первого порядка на
Т*М называются уравнениями Гамильтона (каноническими уравнениями).
Следствие 1.5. Гамильтониан Н постоянен на решениях уравнений
Гамильтона.
Доказательство.
Для H(t) = H(p(t),q(t)) имеем
dH = дН. | дН ■ = дН дН дНдН = 0
g?£ <9g Эр <9g <9р dp dq
Для лагранжиана
L = ^ - V(r) = Г - V, reR3,
частицы массы га в потенциальном поле V(r)9 рассмотренном в
примере 1.4, имеем
8L
р = тгг = гпг.
or
Таким образом, преобразование Лежандра tl ' ТМ? —> Т*М3 — глобальный
диффеоморфизм, линейный на слоях, и
Я(р, г) - (рг - L)^*. = ^ + V(r) = T + V.
Уравнения Гамильтона
г = дН = Р
dp m'
дг дг
дН _ dV
эквивалентны уравнениям Ньютона с силой F = —-^—.
or
Для лагранжевой системы, описывающей малые колебания,
рассмотренной в примере 1.6, имеем р = mq и, используя нормальные координаты,
получаем
г=1

1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА
57
Схожим образом для системы из N взаимодействующих частиц,
рассмотренной в примере 1.2, имеем р = (pi, ... ,Pjv), где
Ра = д-г- = mara, a = 1, ..., N.
ora
Преобразование Лежандра тх : TR3N —► T*R3iV — глобальный
диффеоморфизм, линейный на слоях, и
N
Н(р, г) = (рг - L)\.=£_ = J2£r + V^ = T + V-
m —: *iiba
a=l
В частности, для замкнутой системы с попарными взаимодействиями
a=l a Ka<KiV
В общем случае рассмотрим лагранжиан
п
L= E ^«(вОТ'-^Ы. дек",
где A(g) = {^ij(q)}i'j=i — симметричная матрица п х п. Имеем
п
Pi = —- = 5^%'(9)^» г = 1, ...,п,
и преобразование Лежандра — глобальный диффеоморфизм, линейный на
слоях, если и только если матрица A(q) невырождена для любого q еШп.
В этом случае
п
H(p,q) = (pq - L(q,q))\ эь = У] \ai](q)PiPj + V(q),
3q
*J = 1
где {o>^(q)}1ij=i — А 1(я) ~ обратная матрица.
Задача 1.23 (Второе касательное расслоение). Пусть п: ТМ —►
—► М — каноническая проекция и пусть Ту(ТМ) — вертикальное
касательное расслоение расслоения ТМ вдоль слоев 7г — ядро отображения
расслоений 7г*: Т(ТМ) —► ТМ. Докажите, что существует естественный
изоморфизм расслоений г: ТМ ~ Ту(ТМ).

58
Глава 1
Задача 1.24 (Инвариантное определение 1-формы 0l).
Покажите, что 6L(v) = dL((i о 7r*)v), где v e T(TM).
Задача 1.25. Дайте инвариантное доказательство (1.17).
Задача 1.26. Докажите, что путь ^y(t) в М — траектория лагранжевой
системы (М, L), если и только если
iy(t)(d6L) + dEL(<y'(t)) = 0,
где j'(t) — вектор скорости пути j'(t) in TM.
Задача 1.27. Покажите, что для заряженной частицы в
электромагнитном поле, рассмотренной в примере 1.5,
p = mr + ^A и Н(р,г) = — (р- \а\ +еф(г).
Задача 1.28. Допустим, что для лагранжевой системы (Mn, L)
преобразование Лежандра п, — диффеоморфизм, и пусть Н — соответствующий
гамильтониан. Докажите, что при фиксированных q и q у функции pq —
— Н(р, q) имеется единственная критическая точка при р = —.
Задача 1.29. Приведите пример невырожденной лагранжевой
системы (М, L), такой, что преобразование Лежандра ть : ТМ —> Т*М
однозначно, но не сюръективно.
1.2. Гамильтонова механика >
1.2.1. Уравнения Гамильтона
Каждой функции Н : Т*М —► R на фазовом пространстве Т*М
соответствуют уравнения Гамильтона — система обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка, которая в стандартных координатах
на T*U имеет вид
Соответствующее векторное поле Х# на T*U,
X = V (дн д дН д\ ^дН д дН д
" ^(ydPidq1 дд1дрг) dp Oq Oq dp'

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
59
порождает корректно определенное векторное поле Хн на Т*М,
называемое гамилыпоновым векторным полем. Предположим теперь, что
векторное поле Хн на Т*М полно, т.е. что его интегральные кривые
определены во все моменты времени. Соответствующая однопараметрическая
группа {gt}teR диффеоморфизмов Т*М, порожденная Хн, называется
гамилыпоновым фазовым потоком. Он определяется равенством gt(p,q) =
— (р(0> <?(0)> гДе р(0> Q(t) ~ решение уравнений Гамильтона,
удовлетворяющее условию р(0) = р9 q(0) = q.
Каноническая 1-форма Лиувилля в на Т*М определяет 2-форму
и = d6. В стандартных координатах на Т*М она задается формулой
2^ dpi A dql = dp A dq
г=1
и является невырожденной 2-формой. Форма ш называется канонической
симплектической формой на Т*М. Симплектическая форма ш
определяет изоморфизм J : Т*(Т*М) —► Т(Т*М) касательного и кокасательно-
го расслоений к Т*М. Для любого (р, q) G Т*М линейное
отображение J-1 : Т(р^Т*М —► Т(*р q>jT*M задается уравнением
uj(ui,u2) = J~l{u2){ui), иъи2 е Tfoq)T*M.
Отображение J индуцирует изоморфизм бесконечномерных векторных
пространств Аг(Т*М) и Vect(T*M), являющийся линейным над С°°(Т*М).
Если $ — 1-форма на Т*М9 то соответствующее векторное поле «/($)
на Т*М удовлетворяет соотношениям
ш(Х, J (if)) = tf (X), X е Vect(T*M),
и J~l(X) — —ixu. В частности, в стандартных координатах
J{dP) = -§-q и J№r) = -£,
так что Х# = J(dH).
Теорема 2.1. Гамильтонов фазовый поток на Т*М сохраняет
каноническую симплектическую форму.

60
Глава 1
Доказательство.
Надо доказать, что (#г)*и; = ил Поскольку gt — однопараметрическая
группа диффеоморфизмов, достаточно показать, что
!<•>•"
= Сх„и = 0,
t=0
где Схн — производная Ли вдоль векторного поля Х#. Поскольку для
любого векторного поля X
Cx(df) = d(X(f)),
можно посчитать, что
г(ф«) = -Л^П и CXH(dqi)=d(i.
так что
г=1
= £ (-* (f) а*' + &**(f)) = -W = о.
Следствие 2.2. СХн(в) = d(-H + в{Хн)), где в —
каноническая 1-форма Лиувилля.
Каноническая симплектическая форма ш на Т*М определяет форму
ып 1
объема =— = — си Л ... Ла; на Т*М, называемую лиувиллевой формой
п
объема.
Следствие 2.3 (Теорема Лиувилля). Гамильтонов фазовый поток
на Т*М сохраняет лиувиллеву форму объема.
Ограничение симплектической формы о;, определенной на Т*М,
на конфигурационное пространство М — тождественный ноль. Обобщив
это свойство, получаем следующее понятие.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
61
Определение. Подмногообразие «if фазового пространства Т*М
называется лагранжевым подмногообразием, если dim «if = dimM и о;|^ = 0.
Из теоремы 2.1 следует, что образ лагранжева подмногообразия под
действием гамильтонова фазового потока — лагранжево подмногообразие.
Задача 2.1. Проверьте, что Хн — корректно определенное векторное
поле на Т*М.
Задача 2.2. Покажите, что если все поверхности уровня
гамильтониана Н — компактные подмногообразия Т*М, то гамильтоново векторное
поле Хн полно.
Задача 2.3. Пусть 7г : Т*М —► М — каноническая проекция
и пусть j£f — лагранжево подмногообразие. Покажите, что если
отображение 7г|^ : J£f —► М — диффеоморфизм, то «if — график гладкой функции
на М. Приведите примеры, когда для некоторого t > 0 соответствующая
проекция gt(Sf) на М больше не диффеоморфизм.
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве
С каждой функцией Н на фазовом пространстве Т*М ассоциирована
1-форма
в - Hdt = pdq - Hdt
нерасширенном фазовом пространстве Т*М хМ, называемая формой
Пуанкаре-Картана. Пусть 7 • [£о5 ti] —> Т*М — гладкий параметризованный
путь в Т*М, такой, что 7г(7(*о)) = Яо и 7r(j(ti)) = <7ь где 7г: Т*М —► М —
каноническая проекция. По определению подъем пути 7 в расширенное
фазовое пространство Т*М х R — это путь сг: [£0, h] -^T*M хМ, задаваемый
формулой cr(t) = (7(0^)9 и путь сг в Т*М х М называется допустимым
путем, если он является подъемом пути j в Т*М. Пространство допустимых
путей в ГМ х 1 обозначается Р(Г*М)^^. Вариация допустимого пути
а — это гладкое семейство допустимых путей а£9 где е Е [—£о, £о] и сто = сг,
а соответствующая бесконечно малая вариация — это
G T„P(T*M)l?0
£=0
(см. раздел 1.1.2). Принцип наименьшего действия в фазовом
пространстве — следующее утверждение.

62
Глава 1
Теорема 2.4 (Пуанкаре). Допустимый путь а в Т*М хМ-
экстремаль функционала действия
ti
S(
а) = / (pdq - Hdt) = (pq- Я) dt,
если и только если он является подъемом пути j(t) = {p(t),q(t)) в Т*М,
где p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона
. дн . дн
Доказательство.
Как в доказательстве теоремы 1.1, для допустимого семейства оЕ (t) —
— (р(£> £)5 <?(^ £)5 О можно посчитать, интегрируя по частям,
А
de
S{*e) = Е/ Шрг-рМ - ^jrSq* - Щ-5рЛ dt +
г=1
Поскольку Sq(to) = Sq(ti) = 0, путь cr — критический, если и только
если p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.1).
Замечание. Для лагранжевой системы (M,L) любой путь 7(0 =
= {q(t)) в конфигурационном пространстве М, соединяющий точки q0
и qi, определяет допустимый путь 7(0 = (p(t),Q{t),t) в фазовом про-
странстве Т*М по формуле р = —. Если преобразование Лежандра ть :
ТМ -ч> Т*М — диффеоморфизм, то
и ti
5(7) = j(pq ~ H)dt = У*L(7'(t),t)dt.
to to
Таким образом, принцип наименьшего действия в конфигурационном
пространстве — принцип Гамильтона — следует из принципа наименьшего
действия в фазовом пространстве. На самом деле, в этом случае оба принципа
эквивалентны (см. задачу 1.28).
Из следствия 1.5 мгновенно получается следующий результат.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
63
Следствие 2.5. Решения канонических уравнений Гамильтона,
лежащие на гиперповерхности Н(р, q) — Е, — экстремали функционала Jpdq
а
в классе допустимых путей о, лежащих на этой гиперповерхности.
Следствие 2.6 (Принцип Мопертюи). Траектория 7 = (я{т))
замкнутой лагранжевой системы (M,L), соединяющая точки qo и q\ и
имеющая энергию Е, является экстремалью функционала
WIS
{q(r),q{r))q{r)dr
на пространстве всех путей в конфигурационном пространстве М,
соединяющих точки qouqi и параметризованных так, что Н(Щ(т), q(r)) = Е.
Функционал
Sob) = / PdQ
7
называется укороченным действием15.
Доказательство.
Любой путь 7 = q{t), параметризованный так, что H(^-,q) = Е,
поднимается до допустимого пути о — {ОН(г), q(r), т), а ^ г ^ 6, лежащего
на гиперповерхности Я(р, q) = Е.
Задача 2.4 (Якоби). На римановом многообразии (М, ds2)
рассмотрим лагранжеву систему с L(q,v) = ^\\v\\2 — V(q). Пусть Е > V(q)
для всех q G М. Покажите, что траектории замкнутой лагранжевой
системы (М, L) с полной энергией Е являются геодезическими для римановой
метрики ds2 = (Е — V(q))ds2 на М.
1.2.3. Действие как функция координат
Рассмотрим невырожденную лагранжеву систему (М, L) и обозначим
как 7(£; qo, vo) решения уравнений Эйлера-Лагранжа
d dL __ 9L _ q
dt dq dq
15 Аккуратная формулировка принципа Мопертюи принадлежит Эйлеру и Лагранжу.

64
Глава 1
с начальными условиями 7(^0) = Qo £ М и 7(^0) = ^о Е ТЯоМ.
Допустим, что существует окрестность Vo С TVoM вектора vo и момент
времени t\ > to, такие, что для всех v Е Vo экстремали j(t; qo, v), начинающиеся
в момент £0 в точке q0, не пересекаются в расширенном конфигурационном
пространстве МхМ для моментов времени to < t < t±. Такие экстремали,
как говорят, образуют центральное поле, включающее экстремаль 7о(0 =
= j(t; qo, vo)- Существование центрального поля экстремалей эквивалентно
условию, что для любого to <t <ti существует окрестность Ut С М
точки 7о(0 £ М, такая, что отображение
Vb Э v ■-> q{t) = -y(t; </о, v) Е Ut (2.2)
— диффеоморфизм. Основные теоремы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений гарантируют, что для £ь достаточно близкого к to,
любую экстремаль j(t) для to < t < t\ можно включить в
центральное поле. В стандартных координатах отображение (2.2) задается
формулой q ь-> q(t) =7(t)qo,q).
Для центрального поля экстремалей j(t; q0, q), to <t <t\, определим
действие как функцию координат и времени (или классическое действие)
формулой
S{q,t;q0,to) = J L{j'(T))dr,
to
где j(t) — экстремаль из центрального поля, соединяющая qo и q. При
заданных qo и to классическое действие определено для t Е (to,ti) и Q £
Е Ut0<t<ti ^*- ^Ри фиксированной энергии Е
S(q, t\ qo, to) = S0(q, t\ q0, t0) - E(t - t0), (2.3)
где So — укороченное действие из предыдущего раздела.
Теорема 2.7. Дифференциал классического действия S(q,t) с
закрепленной начальной точкой дается формулой
dS = pdq — Hdt,
где p — -prr{q, q) и Н = pq — L(q, q) определяются скоростью q
экстремали 7 (r) в момент времени t
Доказательство.
Пусть q£ — путь в М, проходящий через q в момент е = 0 с
касательным вектором v E TqM ~ Мп, и для достаточно малых е пусть 7e(r) ~~

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
65
семейство экстремалей из центрального поля, удовлетворяющих
условиям 7е(^о) — Яо и 7^(0 — Че- Для бесконечно малой вариации £7 имеем
#7(^о) = 0и 6j(t) = v, а для фиксированного t получаем из формулы для
вариации со свободными концами (1.2), что
dS(v) = йк*.
dS
Это показывает, что — = р. Положив q(t) =7(0» получаем
8S
так что — — L — pq — —H.
Следствие 2.8. Классическое действие удовлетворяет следующему
нелинейному уравнению в частных производных:
1+я(1'9)=0- (2-4)
Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби. Уравнения
Гамильтона (2.1) можно использовать для решения задачи Коши
S{q,t)\t=0 = a(q), seC°°(M), (2.5)
для уравнения Гамильтона-Якоби (2.4) методом характеристик. А именно:
допустим, что существует гамильтонов фазовый поток gt на Т*М, и
рассмотрим лагранжево подмногообразие
Х=[М&Т*М:Р=д8^
dq /'
график 1-формы ds на М — сечение кокасательного расслоения 7г: Т*М —►
—► М. Отображение 7г|^ взаимно однозначно, и для достаточно малых t
ограничение проекции 7г на лагранжево подмногообразие J£t — gti-5?)
остается взаимно однозначным. Другими словами, существует t± > 0, такое, что
для всех 0 < t < ti отображение щ = л о gt о (п\^)-1: М —► М —
диффеоморфизм, а экстремали 7(r><Zo,Qro) в расширенном конфигурационном
пространстве Mxl, где q0 = -=— (ро, </о) и (ро, Яо) € -^, не пересекаются.
up
Такие экстремали называются характеристиками уравнения Гамильтона-
Якоби.

66
Глава 1 .
Предложение 2.1. Для 0 < t < t\ решение 5(g, t) задачи Коти (2.4)-
(2.5) дается формулой
г
S{q,t) = 8{q0) + jLtf{T))dT.
Здесь т'(т) — характеристика с ~/(t) = q и начальной точкой qo = 7(0)»
однозначно определяемой по q.
Доказательство.
Как в доказательстве теоремы 2.7, мы используем формулу (1.2), где
теперь qo зависит от q, и получаем
поскольку ^-(д0) = Ро = -к~г-(Яо, Qo)- Положив q(t) = j(t), получаем
oqo oqo
так что
f = -*(p,,),
и 5 удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби.
Можно также рассмотреть действие S(q,t;qo,to) и как функцию
переменных g и qo. Аналогом теоремы 2.7 будет следующее утверждение.
Предложение 2.2. Дифференциал классического действия как
функции начальной и конечной точки дается формулой
dS = pdq - podqo - Я(р, q)dt + Я(р0, qo)dt0.
Задача 2.5. Докажите, что решение задачи Коши для уравнения
Гамильтона-Якоби единственно.

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
67
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона
Гладкие вещественнозначные функции на фазовом пространстве Т*М
называются классическими наблюдаемыми. Векторное пространство
С°°(Т*М) является М-алгеброй — ассоциативной алгеброй над R с
единицей, заданной постоянной функцией 1, и умножением, заданным
поточечным произведением функций. Коммутативная алгебра С°°(Т*М)
называется алгеброй классических наблюдаемых. Предполагая, что гамильтонов
фазовый поток gt определен для всех моментов времени, временная
эволюция любой наблюдаемой / е С°°(Т*М) дается уравнением
Л(р, Ч) = /ЫР, </)) = /(р(*), 9(0), (р, я) G ТЫ.
Эквивалентно временная эволюция описывается дифференциальным
уравнением
dft dfs+t
dt ds
= d(ft о gs)
s=0 ds
= XH(ft) =
s=0
ЭЯ 9Л _Шд/Л = дНdft дНdft
дрг dq1 dq1 dPi J dp dq dq dp '
называемым уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых.
Положив
{/,*}=*/(*)=||-!1> f,9ec~(i*M), (2.6)
можно переписать уравнение Гамильтона в сжатой форме:
f = {*,/>, (2.7)
где подразумевается, что (2.7) — дифференциальное уравнение для
семейства функций ft на Т*М с начальным условием ft{p,q)\t=o — /(Р^)-
Свойства билинейного отображения
{ , } : С°°(Т*М) х С°°(Т*М) -> С°°(Т*М)
перечислены ниже.

68
Глава 1
Теорема 2.9. Отображение { , } удовлетворяет следующим
свойствам:
(i) {Связь с симплектической формой)
{/, 9) = Ц .7(40, J{dg)) = *{Xf, Xg);
(и) (Кососимметричность)
{f,g} = -{g,fY,
(Hi) (Правило Лейбница)
{fg,h} = f{9,h} + g{f,hh
(iv) (Тождество Якоби)
{/Л^л}} + {^,{л,/}} + {л,{/^}} = о
для любых f,g,he C°°(T*M).
Доказательство.
Свойство (i) мгновенно следует из определений ш и J в разделе 1.2.1.
Свойства (ii)-(iii) очевидны. Тождество Якоби можно проверить прямым
вычислением, используя (2.6), или с помощью следующего изящного
рассуждения. Заметим, что {/, д} — билинейная форма в первых частных
производных функций / и д, и каждый член в левой части тождества Якоби —
линейная однородная функция вторых частных производных f,g и h.
Теперь единственные члены в тождестве Якоби, которые действительно могут
содержать вторые частные производные функции ft, это
{/, {<?, Л}} + (5, {h, /}} = (XfXg - XgXf)(h).
Однако это выражение не содержит вторых частных производных /г,
поскольку это коммутатор двух дифференциальных операторов первого
порядка, что сам является дифференциальным оператором первого порядка!

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
69
Наблюдаемая {/, д} называется канонической скобкой Пуассона
наблюдаемых fug. Отображение скобки Пуассона { , } : С°°(Т*М) х
х С°°(Т*М) —► С°°(Т*М) превращает алгебру классических
наблюдаемых С°°(Т*М) в алгебру Ли со скобкой Ли, задаваемой скобкой
Пуассона. Ее важное свойство — скобка Ли является бидифференцировани-
ем по отношению к умножению в С°°(Т*М). Алгебра классических
наблюдаемых С°°(Т*М) — это пример пуассоновой алгебры —
коммутативной алгебры над М, наделенной структурой алгебры Ли с тем
свойством, что скобка Ли — дифференцирование по отношению к произведению
в алгебре.
В лагранжевой механике функция / на ТМ — интеграл движения для
лагранжевой системы (Af, L), если она постоянна на траекториях. В га-
мильтоновой механике наблюдаемая / — функция на фазовом
пространстве Т*М — называется интегралом движения (первым интегралом) для
уравнений Гамильтона (2.1), если она постоянна на траекториях гамильто-
нова фазовового потока. Согласно (2.7) это эквивалентно условию
{Н,1} = 0.
Говорят, что наблюдаемые Н п I находятся в инволюции (коммутируют
в смысле скобки Пуассона).
1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции
Определение. Диффеоморфизм д фазового пространства Т*М
называется каноническим преобразованием, если он сохраняет каноническую
симплектическую форму и на Т*М, т.е. д*(ш) = и. По теореме 2.1 га-
мильтонов фазовый поток gt — однопараметрическая группа канонических
преобразований.
Предложение 2.3. Канонические преобразования сохраняют
уравнения Гамильтона.
Доказательство.
Из равенства д*(и) = и следует, что отображение J : T*(T*Af) —►
—у Т(Т*М) удовлетворяет соотношению
g*oJog* = J. (2.8)
Действительно, для любых X,Y e Vect(M) имеем16
u>(X,Y)=g*(u)(X,Y)=u;(g*(X),g*(Y))og,
16Так как д — диффеоморфизм, д*Х — корректно определенное векторное поле на М.

70
Глава 1
так что для любой 1-формы $ на М
ш(Х, J(g*(m = 9ЧЩХ) = 0ЫХ))°9 = <*ЫХ), W)) ° 9,
что дает g*(J(g*(•&))) = J(#). Используя (2.8), получаем
9*(Хн) = 9*{J{dH)) = JWr^dH)) = Хк,
где К = Hog-1. Таким образом, каноническое преобразование д
отображает траектории гамильтонова векторного поля Хн в траектории гамиль-
тонова векторного поля Хк-
Замечание. В классических терминах предложение 2.3 означает, что
канонические уравнения Гамильтона
« 9H,s . ОН,,
в новых координатах (Р, Q) = g(p,q) по-прежнему имеют каноническую
форму
^=~Ц(р'д)' ^=Ш{Р^]
со старой функцией Гамильтона К(Р, Q) = Я(р, q).
Рассмотрим теперь классический случай М = Шп. Для канонического
преобразования (Р, Q) = g{p,q) положим Р = P(p,q) и Q = Q(p,q).
Поскольку dP AdQ = dp Л dq на Т*М ~ М2п, 1-форма pdq - PdQ -
разность между канонической 1-формой Лиувилля и ее прообразом при
отображении g — замкнута. Из леммы Пуанкаре следует, что существует
функция Р(р, q) на М2п, такая, что
pdq - PdQ = dF(p, q). (2.9)
Теперь предположим, что в какой-то точке (po,qo) п х п матрица
-^— = < тг"- > невырождена. По теореме об обратной функции суще-
°Р \дРз\.. л
ствует окрестность U точки (ро»9о) в №2п9 Для которой функции Р, q —
координатные функции. Функция
S(P,q) = F(p,q)+PQ

1.2. Гамильтонова механика
71
называется производящей функцией канонического преобразования g на U.
Из (2.9) следует, что в новых координатах Р, q на U
Р=^(Р,я) и Q = §(P,q).
Обратное утверждение легко выводится из теоремы о неявной функции.
Предложение 2.4. Пусть S(P, q) — функция на некоторой
окрестности U точки (Ро, qo) Е Ш2п, такая, что п х п матрица
d2s-(P0,qo) = \-^-(P0,qo)\
dPdqK и'чи/ \dPidq>
невырождена. Тогда S — производящая функция локального (т. е.
определенного в некоторой окрестности (Po,go) в M2rV канонического
преобразования.
Предположим, что существует каноническое преобразование {P,Q) =
= g(p,q), такое, что H(p,q) = К(Р) для некоторой функции If. Тогда
в новых координатах уравнения Гамильтона принимают вид
Р = 0, Q=§§ (2.10)
и тривиально интегрируются:
P(t) = P(0), Q(t) = Q(0) + t^(P(0)).
дР
Если предполагать, что матрица -^г— невырождена, то производящая функ-
ор
ция 5(Р, q) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Н(Ц(Р,9),9)=А-(Р), (2.11)
где после дифференцирования надо подставить q = q(P, Q), определенное
каноническим преобразованием g~l. Дифференциальное уравнение (2.11)
для фиксированного Р, как следует из (2.3), совпадает с уравнением
Гамильтона-Якоби для укороченного действия Sq — S~ Et, где Е = К(Р):
и№р,я>,я)-в.

72
Глава 1
dS
деленные уравнениями p=-jr—(P, q), — интегралы движения в инволюции.
Теорема 2.10 (Якоби). Предположим, что существует функция
S(P,q), зависящая от п параметров Р = (Pi, . ..,РП),
удовлетворяющая уравнению Гамильтона-Якоби (2.11) для какой-то функции К{Р)
d2S
и обладающая свойством, что пх п матрица от_^ невырождена. Тогда
oPoq
уравнения Гамильтона
. дН . дН
можно явно разрешить, и функции Р(р, q)=(P\(p, q),..., Pn(p, q)),
определенные уравнения
Доказательство.
Положим р = — (Р, q) и Q = ^— (Р, q). По теореме об обратной
функции g(p,q) = (PiQ) ~~ локальное каноническое преобразование
с производящей функцией 5. Из (2.11) следует, что Н(р(Р, Q), g(P, Q)) =
= К(Р), так что уравнения Гамильтона принимают вид (2.10).
Поскольку и = dP A dQ, интегралы движения Pi(p, g), ... ,Pn(p, g) находятся
в инволюции.
Решение уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющее условиям
в теореме 2.10, называется полным интегралом. На первый взгляд кажется,
что решение уравнения Гамильтона-Якоби, которое является нелинейным
уравнением в частных производных, — более сложная задача, чем решение
уравнений Гамильтона, которые являются системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Замечательно, что для многих задач классической
механики можно найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби
методом разделения переменных. По теореме 2.10 это дает решение
соответствующих уравнений Гамильтона.
Задача 2.6. Найдите производящую функцию тождественного
преобразования Р = p,Q = q.
Задача 2.7. Докажите предложение 2.4.
Задача 2.8. Допустим, что каноническое преобразование g{p,q) =
= (Р, Q) таково, что локально (Q, q) можно рассматривать как новые
координаты (канонические преобразования с таким свойством называются
свободными). Докажите, что функция S\(Q,q) = F(p,q), также называемая
производящей функцией, удовлетворяет соотношению
р=^ и p=~w

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
73
Задача 2.9. Найдите полный интеграл в случае частицы в М3,
движущейся в центральном поле.
1.2.6. Симплектические многообразия
Понятие симплектического многообразия — это обобщение примера
кокасательного расслоения Т*М.
Определение. Невырожденная, замкнутая 2-форма ш на
многообразии М называется симплекгпической формой, а пара (*/#, ш) — симплекти-
ческим многообразием.
Поскольку симплектическая форма ш невырождена, симплектическое
многообразие jtf с необходимостью четномерно, dim jtf — 2п. Не
обращающаяся в ноль 2п-форма ujn определяет каноническую ориентацию на Му
и, так же как в случае М — Т*М9 — называется лиувиллевой формой
объема. Существует также общее понятие лагранжева подмногообразия.
Определение. Подмногообразие ^ симплектического
многообразия {ЛК,ш) называется лагранжевым подмногообразием, если dim-£f =
= | dim ЛК и ограничение симплектической формы ш на «£? равно 0.
Симплектические многообразия образуют категорию. Морфизм
между (*/#!,CJi)
и (с/#2>^2)> также называемый симплекгпоморфизмом, это отображение / :
М\ —> ^2, такое, что uj\ = /*(cj2)- Когда Jt\ = ^2 и uj\ = o;2,
понятие симплектоморфизма обобщает понятие канонического преобразования.
Прямое произведение симплектических многообразий {^\,oj\) и (^2^2)
— это симплектическое многообразие
где 7Ti и 7Г2 — соответственно проекции *М\ х М^ на первый и второй
сомножитель декартова произведения.
Помимо кокасательных расслоений, важный класс симплектических
многообразий дается кэлеровыми многообразиями17. Напомним, что
комплексное многообразие JH является кэлеровым, если на нем определена
17Конечно же, не каждое симплектическое многообразие допускает комплексную структуру,
не говоря уже о кэлеровой.

74
Глава 1
эрмитова метрика, мнимая часть которой замкнутая (1,1)-форма. В
локальных комплексных координатах z — (г1, ... ,гп) на Ж эрмитова метрика
записывается как
п
а,(3=1
Соответственно,
п
g = Reh=± J2 hap(z,z){dza®dzf3 + dzf3®dza)
a,/3=l
— риманова метрика на ^ и
п
o; = -|lm/i=| Yl hap(z,z)dza Adz?
а,(3=1
— симплектическая форма на ^ (рассматриваемом как 2п-мерное
действительное многообразие).
Простейшее компактное кэлерово многообразие это СР1 ~ S2 с сим-
плектической формой, задаваемой 2-формой площади эрмитовой метрики
гауссовой кривизны 1 — стандартной метрики на 2-сфере. В терминах
локальной координаты г, ассоциированной со стереографической
проекцией СР1 ~ С U {оо},
dz A dz
2г
2\2
(i + N2)
Аналогично, естественная симплектическая форма на комплексном
проективном пространстве СРП — это симплектическая форма метрики Фуби-
ни - Штуди. С помощью обратного образа она определяет симплектические
формы на комплексных проективных многообразиях.
Простейшее некомпактное кэлерово многообразие — это n-мерное
комплексное векторное пространство Сп со стандартной эрмитовой метрикой.
В комплексных координатах z = (z1, ..., zn) на Сп она дается формулой
h = dz <S> dz = ^^ dza <8> dza.
a=l
В терминах действительных координат (ж, у) = (ж1, ..., хп, у1, ..., уп)
на Ш2п ~ Сп, где z = x + гу9 соответствующая симплектическая фор-

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
75
ма и = — Im h имеет канонический вид:
п
и = ^rdz A dz = Y^ dxa A dya = dx A dy.
Этот пример естественно приводит к следующему определению.
Определение. Симплектическое векторное пространство — это
пара (V,o;), где V — векторное пространство над Ш9 а о; — невырожденная
кососимметрическая билинейная форма на V.
Из элементарной линейной алгебры следует, что любое
симплектическое векторное пространство V имеет симплектический базис —
базис е1, ..., en, /i, ..., fn в V, где 2п = dim V, такой, что
ш(е\е>)=ш(/и/,) = 0 и ш(е\ /,-) = *}, г, j = 1, ... ,п.
В координатах (р, g) = (pi, ... ,рп,Ч1, • • • 5<7П), соответствующих этому
базису, V ~ М2п и
п
ш = dp Adq = 2_] dpi Л б?дг.
г=1
Таким образом, любое симплектическое векторное пространство
изоморфно прямому произведению фазовых плоскостей М2 с канонической сим-
плектической формой dp A dq. Вводя комплексные координаты z = р + iq,
мы получаем изоморфизм V ~ Сп, так что любое симплектическое
векторное пространство допускает кэлерову структуру.
Один из основных результатов симплектической геометрии состоит
в том, что любое симплектическое многообразие локально изоморфно сим-
плектическому векторному пространству.
Теорема 2.11 (Теорема Дарбу). Пусть (Л(,ш) — 2п-мерное сим-
плектическое многообразие. Для любой точки х Е ЛК существует со-
держащая х окрестность U с локальными координатами (р, q) =
= (pi, ... ,pn, q1, • • •, Яп)> такая, что на U
п
lj = dp A dq = 2_] dpi A dq1.
2=1
Координаты р, q называются каноническими координатами
{координатами Дарбу). Доказательство проводится индукцией по п, два основных
этапа предложены как задачи 2.13 и 2.14.

76
Глава 1
Невырожденная 2-формао; определяет для любого хЕ^ изоморфизм
J: TlJt^TxJt по формуле
(jj(ui,u2) = J~l{u2){ui), ui,u2 e TxJt.
Конкретно, для любого X е Vect(^) и д G Al{JK) мы имеем
cj(X,J(0)) = 0(X) и 7"1(Х) = -«хИ
(см. раздел 1.2.1). В локальных координатах х — (ж1, ... ,ж2п) для
координатной окрестности (С/, у?) на JK 2-форма ш дается формулой
2п
ш = \ Y^ Wij(x) dx% A dx\
где {^у (ж)}?^=1 — невырожденная, ко со симметрическая матричнозначная
функция на ip(U). Обозначая обратную матрицу как {ujlj(ж)}?™=1, имеем
2п
J(dr') =-53^(8)^, * = 1,...,2п.
i=i
Определение. Гамильтонова система — это пара, состоящая из
симплектического многообразия (Л?,ш)9 называемого фазовым
пространством, и гладкой вещественнозначной функции Я на Л, называемой га-
мильтонианом. Движение точек фазового пространства описывается
векторным полем
Хн = J(dtf),
называемым гамилътоновым векторным полем.
Траектории гамильтоновой системы ((^,cj), Я) — интегральные
кривые гамильтонова векторного поля Хн на jtf. В канонических координатах
(Р»</) они описываются каноническими уравнениями Гамильтона (2.1),
. дН . дН
Допустим теперь, что гамильтоново векторное поле Хн на ЛК полно.
Гамильтонов фазовый поток на М, ассоциированный с
гамильтонианом Я, — это однопараметрическая группа {gt}teR диффеоморфизмов Ж,
порожденная Хн- Следующее утверждение обобщает теорему 2.1.

1.2. Гамильтонова механика
77
Теорема 2.12. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектиче-
скую форму.
Доказательство.
Достаточно показать, что Схн и = 0. Используя формулу Картана
£х — ix ° d-\- do%x
и то, что dw = 0, получаем, что для любого X е Vect(^)
Схи = (doix)(u).
Поскольку ix(w){Y) = и(Х, У), имеем для X = Хн и любого Y е
е Vect(^), что
гхнИ(У) = u{J{dH),Y) = -<Ш(У).
Таким образом, гхн (^) = — с?Я, и утверждение следует из того, что d2 = 0.
Следствие 2.13. Векторное поле X на Л( — гамилътоново векторное
поле, если и только если 1-форма ix(u) точна.
Определение. Векторное поле X на симплектическом
многообразии [шЖ^ и) называется симплектическим векторным полем, если 1-форма
ix(u) замкнута, что эквивалентно тому, что &хш = 0.
Коммутативная алгебра С°°(Ж) с умножением, задаваемым
поточечным произведением функций, называется алгеброй классических
наблюдаемых. В предположении, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все
моменты времени, временная эволюция любой наблюдаемой / Е С°°(Ж)
дается формулой
ft(x) = f(gt(x)), хеЖ,
и описывается дифференциальным уравнением
f=*„(/.>
— уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых. Уравнения
Гамильтона для наблюдаемых на Ж имеют тот же вид, что уравнения
Гамильтона на М — Т*М9 рассмотренные в разделе 2.3. Поскольку
XH(f) = df(XH) = u(XH, J{df)) = Lj(XH,Xf),
мы имеем следующее естественное определение.

78
Глава 1
Определение. Скобка Пуассона на алгебре С°°{Л() классических
наблюдаемых на симплектическом многообразии (^#, ш) — это билинейное
отображение { , } : C°°{JK) x C°°(JK) —> C°°(JK\ определенное
формулой
{f,g} = w(XftXg), f,g£C°°(^).
Теперь уравнения Гамильтона можно записать в сжатом виде:
| = {Я,/}, (2.12)
где подразумевается, что это дифференциальное уравнение для семейства
функций ft на М с начальным условием ft\t=0 = /• В локальных
координатах х = (х1, ..., х2п) на jtf
Теорема 2.14. Скобка Пуассона { , } на симплектическом
многообразии (Л?, ш) кососимметрична и удовлетворяет правилу Лейбница и
тождеству Якоби.
Доказательство.
Первые два свойства очевидны. Из определения скобки Пуассона
и формулы
[Xf, Xg](h) = (XgXf - XfXg)(h) = {g, {/, h}} - {/, {g, h}}
следует, что тождество Якоби эквивалентно свойству
[Xf,Xa] = X{f<g}. (2.13)
Пусть X и Y — симплектические векторные поля. Используя формулы Кар-
тана, получаем
i[xy\{u) = Cx(iY(uj)) - iY{Cx(u)) =
= d(ix o iy(uj)) + ixd(iy(uj)) =
= d(o;(y,X)) = izH,
где Z — гамильтоново векторное поле, соответствующее uQC, У) G С°
Поскольку 2-форма о; невырождена, это означает, что [X, У] = Z, так что,
положив X = Xf,Y — Xg и используя равенство {/,#} = uj(Xf,Xg),
получаем (2.13).
Из (2.13) мгновенно получается следующий результат.

1.2. Гамильтонова механика
79
Следствие 2.15. Подпространство Наш(^) гамильтоновых век-
торных полей на <Ж — подалгебра Ли алгебры Vect(^).
Отображение С°°(<Ж) —► Наш(^), определенное как f ь-► Xf, — гомоморфизм
алгебр Ли с ядром, состоящим из локально постоянных функций на ЛК.
Как в случае Л = Т*М (см. раздел 1.2.4), наблюдаемая I — функция
на фазовом пространстве jtf — называется интегралом движения (первым
интегралом) для гамильтоновой системы ((^,о;),Я), если она постоянна
на траекториях гамильтонового фазового потока. Согласно (2.12) это
эквивалентно условию
{Я,/} = 0. (2.14)
Говорят, что наблюдаемые Н и I находятся в инволюции (коммутируют
в смысле скобки Пуассона). Из тождества Якоби для скобки Пуассона
получаем следующий результат.
Следствие 2.16 (Теорема Пуассона). Скобка Пуассона двух
интегралов движения — интеграл движения.
Доказательство.
Если {Я, h} = {Я, /2} = 0, то
{Я,{/ь/2}} = {{Я,/J, J2} - {{Я,/2},/!} = 0.
Из теоремы Пуассона следует, что интегралы движения образуют
алгебру Ли и, согласно (2.13), соответствующие гамильтоновы
векторные поля образуют подалгебру Ли в Vect(^). Поскольку {/, Я} =
= dH(Xi) = 0, векторные поля Xj касательны к подмногообразиям ^е —
= {х G ^Ж'. Н(х) = Е} — поверхностям уровня гамильтониана Я. Это
определяет алгебру Ли интегралов движения для гамильтоновой
системы ((./#, о;), Я) на поверхности уровня j#e-
Пусть G — конечномерная группа Ли, действующая на связном сим-
плектическом многообразии (./#, ш) симплектоморфизмами. Алгебра Ли g
группы G действует на Ж векторными полями
f(e-«-x),
s=0
и линейное отображение g Э £ •—> Х% Е Vect(^) — гомоморфизм
алгебр Ли,
ВД)(*)
А
ds

80
Глава 1
G-действие называется гамильтоновым действием, если Х% — гамиль-
тоновы векторные поля, т.е. для любого £ £ q существует
функция Ф^ G С°°(./#), определенная с точностью до аддитивной
постоянной, такая, что Х^ = Хф€ = J(dФ^). Оно называется пуассоновым
действием, если можно выбрать функции Ф^, такие, что линейное
отображение Ф : g —у С°°(Л() — гомоморфизм алгебр Ли,
{Ф^,Ф|,} = ФК,17], ^Gg. (2.15)
Определение. Группа Ли G — группа симметрии гамильтоновой
системы ((^,о;),Я), если существует гамильтоново действие G на Л(9
такое, что
Н(д • х) = Я(ж), д G G, х^Л.
Теорема 2.17 (Теорема Нётер с симметриями). Если G — группа
симметрии гамильтоновой системы ((./#, о;), i7), wo функции Ф^, £ Е 0 —
интегралы двиэюения. Если действие G пуассоново, интегралы двиэюения
удовлетворяют (2.15).
Доказательство.
По определению гамильтонова действия для любого £ е Q
0 = Хс(Я) = Хф£(Я) = {Ф?,Я}.
Следствие 2.18. Пусть (М, L) — лагранэюева система, такая, что
преобразование Лежандра tl '• ТМ —► Т*М — диффеоморфизм. Тогда ее-
ли группа Ли G — симметрия (М, L), то G — группа симметрии
соответствующей гамильтоновой системы ((Т*М, lj), Н = El °т^ ), и
соответствующее G-действие на Т*М пуассоново. В частности, Ф^ = — Ц о т~1,
где 1% — нётеровы интегралы двиэюения для однопараметрических
подгрупп G, порожденных £ Е Q.
Доказательство.
Пусть X — векторное поле, ассоциированное с однопараметрической
подгруппой {es^}sGR диффеоморфизмов М, использовавшейся в
теореме 1.3, и пусть X' — его подъем на ТМ. Имеем18
Xz = -(tl).(X'), (2.16)
!3нак «минус» отражает различие в определениях X и Х^.

1.2. Гамильтонова механика
81
и из (1.16) следует, что Ф^ = гх^ (0) = О(Х^), где в — каноническая 1-форма
Лиувилля на Т*М. Из формулы Картана и (1.17) получаем
dH>z = d{iXi{6)) = -iXi{d6) + Сх€(в) = -гх,Н,
так что
J(^) = -J(*x,H) = X6
и G-действие гамильтоново. Используя (1.17) и другую формулу Картана,
получаем
%„] = *[xt,x,i(6) = £xf(ix,(e)) + ix,(£xt(C)) =
= Х€(ФЧ) = {Ф€,Ф,,}.
Пример 2.1. Лагранжиан
L = ±mr2 - V(r)
для частицы в М3, движущейся в центральном поле (см. раздел 1.1.6),
инвариантен по отношению к действию группы SO(3) ортогональных
преобразований евклидова пространства М3. Пусть ui,u2, u3 — базис алгебры
Ли 50 (3), соответствующий вращениям вокруг осей, задаваемых векторами
стандартного базиса е1,ег,ез пространства Ш3 (см. пример 1.10 в
разделе 1.1.4). Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
где i,j, к — 1,2,3, и Sijk ~ полностью антисимметрический тензор,
£123 = 1- Соответствующие нётеровы интегралы движения даны
равенствами Фп, = -Ми где
Mi = (г х p)i = г2р3 ~ ^зР2,
М2 = (г х р)2 = r3pi - прз,
М3 = (Г X р)3 = rip2 ~ Г2Р1
— компоненты вектора углового момента М = г х р. (Здесь удобно
опустить индексы координат г» с помощью евклидовой метрики на М3.) Для
гамильтониана
H=^ + V(r)

82
Глава 1
имеем
{Я,М,} = 0.
Согласно теореме 2.17 и следствию 2.18 скобки Пуассона компонент
углового момента удовлетворяют равенству
{Mi,Mj} = -eijkMk,
которое также легко проверить напрямую, используя (2.6):
/fw ^ dfdg dfdg
Пример 2.2 (Задача Кеплера). Для любого а еШ лагранжева
система на М3 с
L = \mr2 + f
имеет три добавочных интеграла движения — компоненты W\, W2, W3
вектора Лапласа-Рунге-Ленца, даваемого формулой
т г
(см. раздел 1.1.6). Используя скобки Пуассона из предыдущего примера
вместе с равенствами {г*, Mj} = —е^кГк и {pi, Mj} = SijkPk, с помощью
простого вычисления получаем
{Wi,Mj} = -eijkWk и {\Уг,\У1} = ЩетМк,
Р2
где Н = %■ — гамильтониан задачи Кеплера.
2га г
Гамильтонова система ((^, а;), Я), dim^ = 2n, называется вполне
интегрируемой, если у нее есть п независимых интегралов движения F\ =
= Н, .. .,Fn в инволюции. Первое условие означает, что
дифференциалы dFi(x), ... ,dFn{x) G Т*Л? линейно независимы для почти
всех х G Ж. Гамильтоновы системы с одной степенью свободы, такие,
что dH имеет лишь конечное число нулей, являются полностью
интегрируемыми. Полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби
(см. раздел 1.2.5) доставляет другие примеры вполне интегрируемых га-
мил ьтоновых систем.

1.2. Гамильтонова механика
83
Пусть ((^, о;), Н) — вполне интегрируемая гамильтонова система.
Допустим, что поверхность уровня JKf = {x G Л : Fi(:r) = /1, ..., Fn(x) =
= /п} компактна, а касательные векторы JdFi, ..., JdFn линейно
независимы для всех х G ^/. Тогда, по теореме Лиувилля - Арнольда, в
окрестности ,М$ существуют так называемые переменные действие-угол:
координаты I = (/ь ...,in)eRl = (м>0)п и v = (^i, ...,^)ег = (M/27rZ)n
такие, что w = dl Л d(p к Н = Н{1\, ...,/п). Согласно уравнениям
Гамильтона . QTT
li = 0 и <j)i=ui = -—-, г = 1, ...,п,
так что переменные действия постоянны, а переменные угла меняются
равномерно, tpi(t) = <Pi(0) + о;^, г = 1, ... ,n. Классическое движение почти
периодично с частотами cji, ..., ип.
Задача 2.10. Покажите, что симплектическое многообразие (Л(,ш)
допускает почти комплексную структуру: отображение расслоений
J : TJt -► TJt такое, что J2 = -id.
Задача 2.11. Дайте пример симплектического многообразия,
допускающего комплексную структуру, но не кэлерову.
Задача 2.12 (Коприсоединенные орбиты). Пусть G —
конечномерная группа Ли, пусть g — ее алгебра Ли и пусть д* — двойственное
векторное пространство к д. Для и G д* пусть Jt — Ои — орбита и при
коприсоединенном действии G на д*. Покажите, что формула
w(ui,u2) = и([ж1,ж2]),
где и\ = ad*xi(u),U2 = ad*^2(u) G 0ц, a ad* обозначает коприсоединен-
ное действие алгебры Ли g на д*, дает корректно определенную 2-форму
на ЛК, которая замкнута и невырождена. (2-форма и называется симплек-
тической формой Кириллова-Костанта.)
Задача 2.13. Пусть (Л?,ш) — симплектическое многообразие. Для
х G jtf выберем функцию q1 на jtf, такую, что q1(x) = 0 и dq1 не
обращается в ноль в х, и положим X = —Xqi. Покажите, что существуют
содержащая жЕ^# окрестность U и функция pi на [/, такие, что X{ql) =
= 1 на [/, и существуют координаты pi, q1, z1, ..., z2n~2 на [/, такие, что
Задача 2.14. Продолжая задачу 2.13, покажите, что 2-форма ш —
— dpiAdq1 на U зависит только от координат г1, ..., z2n~2 и невырождена.

84
Глава 1
Задача 2.15. Проделайте вычисление в примере 2.2 и покажите,
что алгебра Ли интегралов Mi, M2, М3, Wi,W2,Ws в задаче Кеплера при
Я(р, г) = Е изоморфна алгебре Ли so(4), если Е < О, евклидовой алгебре
Ли е(3), если Е = 0, и алгебре Ли so(l, 3), если Е > 0.
Задача 2.16. Найдите переменные действие-угол для частицы с
одной степенью свободы, когда потенциал V(x) — выпуклая функция на R,
удовлетворяющая условию lim V(x) = ос. (Указание: определите / =
= §pdx, где интегрирование ведется по замкнутой орбите с Н(р,х) = Е.)
Задача 2.17. Покажите, что гамильтонова система, описывающая
частицу в R3, движущуюся в центральном поле, вполне интегрируема, и
найдите переменные действие-угол.
Задача 2.18 (Симплектическая редукция). Для пуассонова
действия группы Ли G на симплектическом многообразии (J%, ио) определим
отображение моментов Р : Ж —> Q* по формуле
Р(*)(0 = Ф*(я), £ € я, х е Ж,
где д — алгебра Ли группы G. Для любого р е д*9 такого, что
стабилизатор Gp точки р действует свободно и собственно на Жр = Р~х(р) (такое р
называется регулярным значением отображения момента), факторпростран-
ство Мр = Gp\<Mv называется приведенным фазовым пространством.
Покажите, что Мр — симплектическое многообразие с симплектической
формой, однозначно определяемой условием, что ее обратный образ на Жр
совпадает с ограничением на Jtv симплектической формы и.
1.2.7. Пуассоновы многообразия
Понятие пуассонова многообразия обобщает понятие симплектическо-
го многообразия.
Определение. Пуассоново многообразие — это многообразие Л?9
снабженное пуассоновой структурой — кососимметрическим билинейным
отображением
{ , } : С°°{Л() х C°°{JK) -► C°°{JK\
удовлетворяющим правилу Лейбница и тождеству Якоби.
Эквивалентно, JK — пуассоново многообразие, если алгебра Л =
= С°°(Л() классических наблюдаемых является пуассоновой алгеброй —

1.2. Гамильтонова механика
85
алгеброй Ли, у которой скобка Ли — бидифференцирование по
отношению к умножению в А (поточечному произведению функций). Из свойства
дифференциальных операторов следует, что в локальных координатах х =
= (х1, ..., xN) на jtf скобка Пуассона имеет вид
2-тензор rfi{x), называемый тензором Пуассона, определяет глобальное
сечение ту векторного расслоения TJt A TJt над Л.
Эволюция классических наблюдаемых на пуассоновом многообразии
дается уравнениями Гамильтона, имеющими тот же вид, что (2.12):
£ = ЗД/) = {Я,/>.
Фазовый поток gt для полного гамильтонова векторного поля Хн = {Н, • }
определяет оператор эволюции Ut : А —> А по формуле
Ut(f)(x) = /М*)), feA.
Теорема 2.19. Допустим, что любое гамильтоново векторное поле
на пуассоновом многообразии (^#, { , }) полно. Тогда для любого Н Е А
соответствующий оператор эволюции Ut является автоморфизмом пуас-
соновых алгебр А, т. е.
Ut({f,9}) = {Ut(f),Ut(9)} длялюбых f,geA. (2.17)
Обратно, если кососимметрическое билинейное отображение { , }:
: С°°(Ж) х C°°{J?) -► C°°(J?) таково, что Хн = {Н, • } - полные
векторные поля для всех Н Е А, и соответствующие операторы эволюции Ut
удовлетворяют (2.17), то (<Ж, { , }) — пуассоново многообразие.
Доказательство.
Пусть ft = Ut{f), gt = Ut(g) и19 ht = Ut({f,g}). По определению
£t{ft,gt} = {{HJt},gt} + {ft,{H,gt}} и ^ = {Я,М-
'Здесь gt — это не фазовый поток!

86
Глава 1
Если (JK, { , }) — пуассоново многообразие, то из тождества Якоби
следует, что
{{H,fth9t} + {ft,{H,9t}} = {H,{ft,gt}},
так что ht и {ft, gt] удовлетворяют одному и тому же дифференциальному
уравнению (2.12). Поскольку эти функции совпадают при t = О, (2.17)
следует из теоремы единственности для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Обратно, мы получаем тождество Якоби для функций /, д и Н,
дифференцируя (2.17) по t при t = 0.
Следствие 2.20. Глобальное сечение ту расслоения ТЖ А Т<Ж —
тензор Пуассона, если и только если
^xff] = 0 для любого f Е Л.
Определение. Центр пуассоновой алгебры Л — это
2(A) = {/ е А '• {f,g} = 0 ДДЯ любого g G Л}.
Пуассоново многообразие {j& , { , }) называется невырожденным, если
центр пуассоновой алгебры классических наблюдаемых Л = С°°{Л()
состоит из одних локально постоянных функций (Z(A) = К для связного Ж).
Эквивалентно, пуассоново многообразие (JK, { , }) невырождено,
если тензор Пуассона ту невырожден везде на jM> так что jtf с
необходимостью четномерно. Невырожденный тензор Пуассона определяет для
любого х Е <М изоморфизм J : Т*Ж —> ТХЖ по формуле
rj(ui,u2) =u2(J(ui)), ui,u2 еТ*Л?.
В локальных координатах х = (х1, ... ,хм) для координатной
окрестности (С/, (f) на Л имеем
N
J^H^»^, i = l,...,N.
i=i
Пуассоновы многообразия образуют категорию. Морфизм между
(^#i,{ , }i) и {JK2,{ , Ь) — это отображение <р : Jt\ —> ^#2 гладких
многообразий, такое, что
{f°<P,g°<p}i = {/,Й2°^ для всех f,ge С°°{Лг).

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
87
Прямое произведение пуассоновых многообразий [Ж\\ , }i) и (^2,{ , }г)
— это пуассоново многообразие {Ж\ х .Мч, { , }), определяемое тем
свойством, что отображения естественных проекций -к\ : Ж\ х Жч —> Л\
и 7Г2 : Л\ х ^#2 —> ^2 — пуассоновы отображения. Для / Е С°°(Л(\ х ^2)
и (xi,x2) Е ^#i х ^#2 обозначим соответственно как f£2' и fij
ограничения / на Л х {#2} и {#i} х ^#2- Тогда для /, д Е C°°(^i x ^г),
и,д}Ы,х2) = {й?,д<£}1(Х1) + {й*\д™ЪЫ-
Невырожденные пуассоновы многообразия образуют подкатегорию
категории пуассоновых многообразий.
Теорема 2.21. Категория симплектических многообразий (анти-)
изоморфна категории невырожденных пуассоновых многообразий.
Доказательство."
Согласно теореме 2.14 любое симплектическое многообразие имеет
пуассонову структуру. Ее невырожденность следует из невырожденности
симплектической формы. Обратно, пусть (jM , { , }) — невырожденное
пуассоново многообразие. Определим 2-форму и на Jt формулой
ш(Х,У) = J-1(Y)(X), X,Y e Vect(^),
где изоморфизм J : T*^f —> TJt определяется тензором Пуассона ту. В
локальных координатах х = (х1, ..., xN) на Ж,
и = — Y^ щ (х) dxl A dxj,
где {Vij(x)}^j=i — матрица, обратная к {rfj(x))i!j=i- 2-форма и кососим-
метрична и невырождена. Для любого / Е А пусть Xf = {/,•} —
соответствующее векторное поле на Ж. Тождество Якоби для скобки
Пуассона {, } эквивалентно условию Cxf V = 0 для любого f € А, так что
Cxfu = 0.
Поскольку Xf = Jdf, мы имеем и(Х, Jdf) = df(X) для любого X Е
Е Vect(^), так что
v{Xf,Xg) = {f,g}.
По формуле Картана
dw(X, Y,Z) = \ (£xu>(Y, Z) - CYw(X, Z) + £zw(X, Y) -
-u([X,Y],Z) + w([X,Z\,Y)-u>(\y,Z\,X)),

88
Глава 1
где X, Y, Z G Vect(^#). Теперь, положив X = Xf,Y = Xg,Z = Xh,
получаем
db>(XhXg,Xh) =
= | (u>(Xh, [Xf,Xg])+u>(Xf, [Xg,Xh])+u>(Xg, [Xh,Xf])) =
= l (и(ХН,Х{/,д}) +U)(Xf,X{g,h}) +U(Xg,X{hJ})) =
= l ({*, {/, g}} + {/, fo, h}} + {9, {h, /}}) =
= o.
Точные 1-формы df,feA порождают векторное пространство 1-форм
Л1 (Л) как модуль над Л, так что гамильтоновы векторные поля Xf =
= Jdf порождают векторное пространство Vect(^) как модуль над Л.
Таким образом, duj = 0 и (^#, и) — симплектическое многообразие,
ассоциированное с пуассоновым многообразием (^#, { , }). Из определений
следует, что пуассоновы отображения невырожденных пуассоновых
многообразий соответствуют симплектоморфизмам ассоциированных симплек-
тических многообразий.
Замечание. Эту теорему можно также доказать простым
вычислением в локальных координатах х = (х1, ... ,xN) на Л. Просто заметим,
что условие
dVijjx) drijjjx) дгщ(х) . .
дх1 дхг дхэ ' J
которое является координатной записью условия du = 0, следует из
условия
которое является координатной записью тождества Якоби, если его трижды
умножить на обратную матрицу щ(х) и использовать то, что

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
89
Замечание. Пусть Л = T*Rn со скобкой Пуассона { , },
даваемой канонической симплектической формой ш = dp A dq, где (р, q) =
= (р\, ... ,pn,ql, ... ,qn) — координатные функции на T*Rn.
Невырожденность пуассонова многообразия (T*Rn, { , }) можно сформулировать
как свойство, что единственная наблюдаемая / е C°°(T*Rn),
удовлетворяющая условию
{/,Ы= ••• = {/,Pn} = 0, {f,q1}= ... = {/,«"} = О,
это /(р, qr) = const.
Задача 2.19 (Пространство, двойственное к алгебре Ли).
Пусть д — конечномерная алгебра Ли со скобкой Ли [ , ], и пусть д* —
ее двойственное пространство. Для /, д Е С°°(д*) определим
{f,g}(u)=u([df,dg}),
где и е 9* и Г^9* ~ д. Докажите, что { , } — скобка Пуассона. (Ее ввел Со-
фус Ли, и она называется линейной, или скобкой Ли-Пуассона.) Покажите,
что эта скобка вырождена, и определите центр Л = С°°(д*).
Задача 2.20. Скобка Пуассона { , } на Л ограничивается до скобки
Пуассона {, }о на подмногообразии <Ж, если вложение г : jV —> jtf
является отображением Пуассона. Покажите, что скобка Ли-Пуассона на д*
ограничивается до невырожденной скобки Пуассона на коприсоединенной
орбите, ассоциированной с симплектической формой Кириллова-Костан-
та.
Задача 2.21 (Группы Ли-Пуассона). Конечномерная группа Ли
называется группой Ли-Пуассона, если она обладает структурой
пуассонова многообразия (G, { , }), такой, что групповое умножение G x G —> G —
пуассоново отображение, где G x G — прямое произведение пуассоновых
многообразий. Используя базис д\, ..., дп левоинвариантных векторных
полей на G, соответствующих базису xi, ...,xn алгебры Ли д, скобку
Пуассона { , } можно записать как
п
{/ь/2}ы= ЕЛ)йм-/2,
где 2-тензор rfi{g) определяет отображение rj : G —> A2g формулой rj(g) =
п
= Yl rfi(g)xi®Xj. Покажите, что скобка { , } определяет на G структуру

90
Глава 1
Ли-Пуассона, если и только если выполняются следующие условия: (i) для
всех д G G
Cik(9) = Е (vil(9)dirfk(g)+rfl(g)dlr1ki(9)+Vkl(9)diVij(9)) +
1=1 ■
+ Е {^рЧд)г}к\д) + 4Рг1ркШ1{9) + скх'ш1{д)) = ъ,
1,р=1
п
где [хг,х.] = ^2 с\-хъ\ (ii) отображение ту — групповой 1-коцикл с при-
к=\
соединенным действием на Л2д, т.е. r)(g\g2) = Ad-1#2 • v(9i) + ^(дъ),
9ъ92 е G.
Задача 2.22. Покажите, что второе условие в предыдущей задаче
тривиально выполняется, когда ту — кограница, rj(g) = — г + Ad-1g • г для
п
некоторого г = J2 г^хг ® £j £ Л29, а первое условие тогда выполняется,
ij=l
если и только если элемент
f (г) = [ri2, ri3 + г23] + [пз, г23] G Л39
инвариантен при присоединенном действии д на А3д. Здесь г\2 =
п п п
= J2 rljXi®Xj®l,ri3 = J2 rljXi®l®Xj ИГ23 = J2 rlj\®Xi®Xj —
г, j=l *>.7 = 1 id=l
соответствующие элементы в универсальной обертывающей алгебре Ug
алгебры Ли д. В частности, G — группа Ли-Пуассона, если выполняется
условие £(г) = 0, называемое классическим уравнением Янга- Бакстера.
п
Задача 2.23. Допустим, что г = J2 г^хг ® хj £ А2д таково, что
матрица {г2-7} невырождена, и пусть {г^} — обратная матрица.
Покажите, что г удовлетворяет классическому уравнению Янга-Бакстера, если
и только если отображение с : А2д —> С, определенное формулой с(х, у) =
п п п
= J2 fijUlv^ где х = J2 и%хи У = J2 v%xu является невырожденным 2-
i,j=l г=1 г=1
коциклом на алгебре Ли, т. е. оно удовлетворяет уравнению
с(ж, [у, z\) + ф, [ж, ?/]) + с(2/, [z, х]) = 0, ж, 2/, z G 9-

1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА
91
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля
Чтобы завершить формулировку классической механики, необходимо
описать процесс измерения. В физике под измерением классической
системы понимают результат физического эксперимента, дающий численные
значения классических наблюдаемых. Эксперимент состоит из создания
определенных условий для системы, и всегда предполагается, что эти
условия можно воспроизводить снова и снова. Условия эксперимента
определяют состояние системы, если повторение этих условий приводит к
распределению вероятностей значений всех наблюдаемых системы.
Математически состояние \± на алгебре Л = С°°{Л() классических
наблюдаемых на фазовом пространстве jtf — это соответствие
где <^(R) — множество вероятностных мер на R — борелевских мер на R,
таких, что полная мера R равна 1. Для любого борелевского подмножества
Е С R величина 0 ^ l*f(E) ^ 1 — это вероятность того, что в состоянии \х
значение наблюдаемой / принадлежит Е. По определению
математическое ожидание наблюдаемой / в состоянии \± дается интегралом Лебега-
Стильтьеса
оо
Ем(/) = J Xdpf(\),
— оо
где /i/(A) = /i/ ((—ос, А)) — функция распределения меры d/i/.
Соответствие / ь-> jif должно удовлетворять следующим естественным свойствам.
51. |Ем(/)| < ос для / G Ло — подалгебре ограниченных наблюдаемых.
52. Ем(1) = 1, где 1 — единица в Л.
53. Для всех a, b eRu f,g e A
EIA(af + bg) = aEIA(f) + bEIA(g),
если и Ем(/), и Ем(#) существуют.
54. Если /i = (р о f2, где у? : R —> R — гладкая функция, то для любого
борелевского подмножества Е С R
M/l(E)=M/2(^-i(s)).

92
Глава 1
Из свойства S4 и определения интеграла Лебега-Стильтьеса следует,
что те
Е„(¥>(/)) = / ^(А)Ф/(А). (2.18)
— оо
В частности, Ем(/2) > 0 для всех / е Л, так что состояние
определяют нормализованные, положительные, линейные функционалы на
подалгебре До-
Предполагая, что функционал Ем продолжается до пространства
ограниченных, кусочно-непрерывных функций на jtf и удовлетворяет (2.18)
для измеримых функций <р, можно восстановить функцию распределения
из математических ожиданий по формуле
где в(х) — функция Хевисайда,
w [0, х^О.
Действительно, пусть х — характеристическая функция интервала (—ос,Л) С
С К. Используя (2.18) и определение интеграла Лебега-Стильтьес а,
получаем те
Ем(0(А ~Л)= J X(s№f(s) = /х/((-ос, Л)) = М/(Л).
— оо
Любая вероятностная мера d\x на Ж определяет состояние на Л,
сопоставляя20 любой наблюдаемой / вероятностную меру /i/ = /*(/х) на R —
трансфер меры d\x на Ж с помощью отображения /: ^ —> R. Она
определена формулой Hf(E) = fji(f~1(E)) для любого борелевского
подмножества ЕСМи имеет функцию распределения
МЛ) = М/ Ч-оо»*)) = / ф,
где ^x(f) = {х € <Ж: f(x) < А}. Из теоремы Фубини следует, что
оо
ВД)= J Xdfif(X) = J fdfi. (2.19)
ЛГ
'Обозначение и состояния, и меры символом /х не должно вести к путанице.

1.2. Гамильтонова механика
93
Оказывается, что вероятностные меры на Ж, по сути, единственные
примеры состояний. А именно: для локально компактного
топологического пространства jtf теорема Рисса - Маркова утверждает, что для любого
положительного линейного функционала I на пространстве СС(<Ж)
непрерывных функций на Ж с компактным носителем существует единственная
регулярная борелевская мера d\i на Л, такая, что
l(f)= / fdfj, для любого / G CC(J%).
Это приводит к следующему определению состояний в классической
механике.
Определение. Множество состояний S для гамильтоновой системы
с фазовым пространством jtf — это выпуклое множество &(ЛК) всех
вероятностных мер на JK. Состояния, соответствующие дираковским
мерам d\ix, сконцентрированным в точках х G Ж, называются чистыми
состояниями, а фазовое пространство М также называется пространством
состояний21. Все остальные состояния называются смешанными
состояниями. Процесс измерения в классической механике — это соответствие
А х S Э (/, /х) .- /х/ = /*(/х) G ^(R),
сопоставляющее каждой наблюдаемой / G А и состоянию \х G S
вероятностную меру jif на R — трансфер меры d\x на ^ посредством /. Для
любого борелевского подмножества Е С R величина 0 ^ l^f(E) ^ 1 —
это вероятность того, что для системы в состоянии \i результат измерения
наблюдаемой / лежит в множестве Е. Математическое ожидание
наблюдаемой / в состоянии /х дается формулой (2.19).
В физике чистые состояния характеризуются как имеющие свойство,
что измерение любой наблюдаемой всегда дает однозначно определенный
результат. Математически это можно выразить следующим образом. Пусть
<#/) = Е„ ((/ - Ем(/))2) = ЕД/2) - Ед(/)2 ^ О
— дисперсия наблюдаемой / в состоянии /х.
Лемма 2.1. Чистые состояния — это единственные состояния, в ко-
торых любая наблюдаемая имеет нулевую дисперсию.
Пространством чистых состояний, если быть точным.

94
Глава 1
Доказательство.
Из неравенства Коши-Буняковского- Шварца следует, что cr^(f) = О,
если и только если / постоянна на носителе вероятностной меры d\i.
В частности, смесь чистых состояний d\ix и d\±y, х, у Е ^#, — это
смешанное состояние с
d\x — Oid\xx + (1 — Oi)d\iy, 0 < а < 1,
так что сг^(/) > 0 для любой наблюдаемой /, такой, что f(x) ^ f(y)-
Для системы, состоящей из нескольких взаимодействующих частиц
(скажем, движение планет в небесной механике), возможно измерить все
координаты и импульсы, поэтому рассматривают только чистые состояния.
Смешанные состояния с необходимостью появляются в макроскопических
системах, где невозможно измерить все координаты и импульсы22.
Замечание. Как топологическое пространство, пространство
состояний Jt можно восстановить по алгебре Л классических наблюдаемых.
А именно: предположим для простоты, что Ж компактно. Тогда С-алгебра
С = С(<Ж) комплекснозначных функций на Ж — пополнение комплекси-
фикации R-алгебры Л классических наблюдаемых по отношению к sup-
норме — коммутативная С*-алгебра. Это означает, что C{JK) — банахово
пространство по отношению к норме ||/|| = sup^^ |/(#)| _ имеет
структуру С-алгебры (ассоциативной алгебры над С с единицей), задаваемую
поточечным произведением функций, такую, что ||/ • #|| ^ ||/||||#||,и
снабжено комплексной антилинейной инволюцией: отображением * : С —> С,
задаваемым комплексным сопряжением /*(#) = f(x) и удовлетворяющим
условию ||/-/* || = || /1|2. Далее, теорема Гельфанда- Наймарка утверждает,
что любая коммутативная С*-алгебра С изоморфна алгебре C(JK)
непрерывных функций на своем спектре — множестве максимальных идеалов С —
компактном топологическом пространстве с топологией, индуцированной
слабой топологией на С*, двойственном к С пространстве.
Мы заканчиваем наше изложение классической механики,
представляя два эквивалентных способа описания динамики — временной
эволюции гамильтоновой системы ((^#, { , }), Н) с алгеброй наблюдаемых Л =
= С°°(Л() и множеством состояний S = &(JK). Вдобавок, мы
предполагаем, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все моменты времени
и на фазовом пространстве jtf определена форма объема dx, инвариантная
относительно фазового потока23.
22Типически макроскопическая система состоит из N ~ Ю23 молекул. Макроскопические
системы изучаются в классической статистической механике.
23 Это лиувиллева форма объема, если пуассонова структура на Jt невырождена.

1.2. Гамильтонова механика
95
Гамильтоново описание динамики. Состояния не зависят от
времени, а временная эволюция наблюдаемых дается уравнениями движения
Гамильтона:
£-о,,€* . § = (*,/}, /ex
Математическое ожидание наблюдаемой / в состоянии \х в момент
времени t дается формулой
Е/х(Л) = f°9tdfj,= f(gt(x))p(x)dx,
где р(х) = — производная Радона - Никодима. В частности,
математическое ожидание / в чистом состоянии d\±x, соответствующем точке х Е <Ж,
это f(gt(x)). Представление Гамильтона повсеместно используется для
механических систем, состоящих из нескольких взаимодействующих частиц.
Лиувиллево описание динамики. Наблюдаемые не зависят от
времени
а состояния d/j,(x) = p(x)dx удовлетворяют уравнению Лиувилля
^ = -{н,Р}, P(x)dxeS.
Здесь производная Радона - Никодима р(х) = — и уравнение Лиувилля
понимаются в смысле обобщенных функций. Математическое ожидание
наблюдаемой / в состоянии /х в момент времени t дается формулой
Ед«
(f) = Jf(x)p(g.t(x))dx.
Представление Лиувилля, в котором состояния описываются
обобщенными функциями р(х) — положительными распределениями на Ж,
соответствующими вероятностным мерам p{x)dx— повсеместно используется
в статистической механике. Равенство
ЕМ(Л) = EMt(/) для любого / е Д, /х G S,
следующее из инвариантности формы объема dx и замены переменных,
выражает эквивалентность лиувиллева и гамильтонова описаний динамики.

96
Глава 1
1.3. Замечания и ссылки
Классические ссылки — учебники [Арн89с] и [Лан88Ь], написанные
соответственно с математической и физической точек зрения. Элегантность
[Лан88Ь] дополняется вниманием к деталям в [Gol80], другой классической
книге по физике. Краткий обзор гамильтонова формализма, необходимого
для квантовой механики, можно найти в [Фад01]. Труд [АМ78] и
энциклопедические обзоры [Арн85а], [Арн85Ь] предлагают исчерпывающее
изложение классической механики, включающее историю предмета и
ссылки на классические работы и современные публикации. Учебник [Ste83],
монографии [Дуб98Ь], [Дуб98а] и записки лекций [Вгу95] содержат весь
необходимый материла по дифференциальной геометрии и теории групп
Ли, а также ссылки на другие источники. Вдобавок, лекции [God69] тоже
предлагают введение в дифференциальную геометрию и классическую
механику. В частности, в [God69] и [Вгу95] обсуждается роль, которую играет
второе касательное расслоение в лагранжевой механике (см. также
монографии [YI73] и [Сга83]). Для краткого изложения теории интегрирования,
включая теорему Рисса-Маркова, см. [RS80]; для доказательства
теоремы Гельфанда-Наймарка и дальнейших деталей о С*-алгебрах см. [Str05]
и ссылки в этой работе.
Наше изложение следует традиционной схеме [Лан88Ь] и [Арн89с],
начинающих с лагранжева формализма и вводящих гамильтонов формализм
через преобразование Лежандра. Как в [Арн89с], мы сделали особый
акцент на точных математических формулировках. Имея основной
аудиторией аспирантов и исследователей-математиков, мы можем свободно
использовать исчисление дифференциальных форм и векторных полей на гладких
многообразиях. Это отличается от нацеленного на студентов младших
курсов изложения в [Арн89с], в котором этот материал приходится вводить
в основном тексте. Поскольку целью этой главы было представить
только основы классической механики, фундаментальные для формулирования
квантовой, мы опустили множество важных тем, включая аналогии
механика-геометрическая оптика, теорию колебаний, вращения твердого тела,
теорию возмущений и т.д. Заинтересованный читатель может найти этот
материал в [Лан88Ь] и [Арн89с] и вышеупомянутых монографиях. Вполне
интегрируемые гамильтоновы системы тоже были только вкратце
упомянуты в конце раздела 1.2.6. Мы отсылаем читателя к [Арн85Ь] и ссылкам
в этой работе за исчерпывающим изложением и к монографии [Тах86а] за
так называемым методом представления Лакса — представления нулевой
кривизны теории интегрируемых систем, особенно в случае бесконечного
числа степеней свободы.

1.3. Замечания и ссылки
97
В разделе 1.2.7, следуя [Фад01], [Дуб98Ь], [Дуб98а], мы обсуждаем
пуассоновы многообразия и пуассоновы алгебры. Эти понятия, мало
обсуждаемые в стандартных изложениях классической механики,
фундаментальны для понимания значения квантования — перехода от классической
к квантовой механике. Мы также включили в разделы 1.1.6 и 1.2.7
обсуждение вектора Лапласа -Рунге- Ленца, компоненты которого
являются дополнительными интегралами движения для задачи Кеплера24. Лишь
вкратце упомянутый в [Лан88Ь] вектор Лапласа - Рунге - Ленца в
действительности не фигурирует во множестве учебников, за исключением [Gol80]
и [Дуб98Ь]. В раздел 1.2.7, следуя [Фад01], мы также включили
теорему 2.19, проясняющую значение тождества Якоби, и привели гамильтоново
и лиувиллево описания динамики.
Большинство задач в этой главе довольно стандартны и взяты из
различных источников, в основном [Арн89с], [Лан88Ь], [Вгу95], [Дуб98Ь]
и [Дуб98а]. Другие задачи указывают на интересные связи с теорией
представлений и симплектической геометрией. Так, задачи 2.12 и 2.20 знакомят
читателя с методом орбит [Кир02], а задача 2.18 — с методом
симплектической редукции (см. [Арн89с], [Вгу95] и ссылки в этих работах). Задачи 2.21-
2.23 подводят читателя к теории групп Ли-Пуассона (см. [Дри86Ь], [Dri87],
[STS85] и [Так90] для элементарного изложения).
24Мы увидим в главе 3, что эти дополнительные интегралы отвечают за скрытую SO(4)
симметрию атома водорода.

Глава 2
Основные принципы квантовой
механики
Напомним стандартные обозначения и основные факты из теории
самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Пусть Ж — се-
парабельное гильбертово пространство со скалярным произведением ( , ),
комплексно-линейным по первому аргументу, и пусть А — линейный
оператор в Ж с областью определения D(A) С Ж — линейным
подмножеством Ж. Оператор А называется замкнутым, если его график Г (А) =
= {(<р,А(р) G Ж х Ж : (р G D(A)} — замкнутое подпространство
в Ж х Ж. Если область определения А плотна1 в Ж, т.е. D{A) =
= Ж, то область определения D(A*) сопряженного оператора А* состоит
из ср G Ж, таких что существует 77 G Ж со свойством
(А0, у?) = (ф, rj) для любого ф G £)(^4),
и оператор А* определяется формулой А*(р = rj. Оператор А называется
симметрическим, если
(А0, ф) = (ф, А(р) для любого ср,ф G £)(^4).
По определению, регулярное множество замкнутого оператора А с плотной
областью определения D(A) это множество р(А) = {Л G С |, отображение
А — XI : D{A) —> Ж — биекция, а обратное отображение ограничено2},
для Л G р(А) ограниченный оператор R\(A) = (А — Л/)-1 называется
резольвентой А в Л. Регулярное множество р(А) С С открыто, а его
дополнение а(А) = С\р(А) — это спектр А. Подмножество сгр(А) спектра сг(А),
состоящее из собственных значений А конечной кратности называется
точечным спектром.
1 Мы рассматриваем только операторы с плотной областью определения.
2По теореме о замкнутом графике последнее условие следует из первого.

Основные принципы квантовой механики
99
Оператор А самосопряжен (или эрмитов), если А = А*.
Эквивалентно, А симметрический и D(A) = D(A*); для таких операторов сг(А) С R.
Симметрический оператор А называется самосопряженным в
существенном (говорят также, существенно самосопряженным), если его
замыкание А = А** самосопряжено. Для симметрического оператора А
следующие условия эквивалентны:
(i) А самосопряжен в существенном;
(И) Кег(А* + И) = Кег(А* - И) = {0};
(Ш) 1т(А + И) = 1т(А - И) = Ж.
Симметрический оператор А с D(A) = Ж ограничен и самосопряжен.
Оператор А положителен3, если (А(р, (р) > 0 для любого ф Е D(A), что мы
обозначаем как А ^ 0. Положительные операторы удовлетворяют
неравенству Коши - Буняковского - Шварца
\(А(р,ф)\2 ^ (А(р,(р)(Аф,ф) для любых <р,я1>е D(A). (0.1)
В частности, из (A<p,tp) = 0 следует, что Аср = 0. Любой
ограниченный положительный оператор самосопряжен4. Мы обозначаем как jSf (Ж)
С*-алгебру ограниченных линейных операторов в Ж с операторной
нормой || • || и антиинволюцией *, задаваемой операторным сопряжением.
Оператор A е 5£{Ж) называется компактным5, если он отображает
ограниченные подмножества Ж в предкомпактные множества6. Векторное
пространство ^(Ж) компактных операторов в Ж называется двусторонним
идеалом7 С*-алгебры JSf (Ж).
Оператор А е ^(Ж) называется оператором со следом*, если
оо
P||i = 5^/Kn(A) <oc,
п=1
где fin(A) — сингулярные значения A: fin(A) = у/Хп(А) ^ 0, где Хп(А) —
собственные значения А*А. Эквивалентно, оператор А е £?(Ж) — опе-
3Неотрицателен, если быть точным.
4 Это верно только для комплексных гильбертовых пространств.
5 Также употребляется термин вполне непрерывный оператор. — Прим. перев.
6Множества с компактным замыканием.
7Идеал ^(Ж) — единственный замкнутый двусторонний идеал в 5£{Ж).
8 Также употребляется термин ядерный оператор. — Прим. перев.

100
Глава 2
ратор со следом, если и только если для любого ортонормального
базиса {еп}™=1 пространства Ж
оо
^|(Аеп,еп)| < ос.
71=1
Поскольку перестановка ортонормального базиса — снова ортонормальный
базис, это условие можно заменить условием, что
оо
У^(Аеп,еп) < оо
п=1
для любого ортонормального базиса {еп}™=1 пространства Ж. Если А —
оператор со следом, то его след определяется как
оо
ТгА=^2(Аеп,еп)
п=1
и не зависит от выбора ортонормального базиса {еп}^=1 пространства Ж.
Положительный оператор А Е Л£{Ж) — оператор со следом, если для
некоторого ортонормального базиса {еп}<^=1 пространства Ж выполняется
оо
^(Аеп,еп) < оо.
п=1
Пространство 5?\ операторов в Ж со следом образует банахову алгебру
с нормой ||A||i = Try/А*А и является двусторонним идеалом (идеалом
фон Неймана - Шаттена) в С*-алгебре Л£{Ж).
Свойство
ТгАВ = ТгВА для любых А е Уи Be 3?(Ж)
называется циклическим свойством следа. Если А Е У\, то
отображение 1а{В) = ТгАВ, В Е Л?(Ж), — непрерывный линейный
функционал на ^(Ж), так что 5?\ лежит в ££(Ж)* — банаховом пространстве,
двойственном к Jf (Ж). Однако, 5?\ ^ Jf (Ж)*, в действительности 5?\ —
= &(Ж)*, и отображение А\-+1а — изоморфизм банаховых пространств.
Аналогично, отображение В \->1в дает изоморфизм ££{Ж) = У£.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
101
Оператор А Е Jf(^) называется оператором Гильберта-Шмидта,
если АА* Е «Яь Эквивалентно, оператор А Е ^(Jf7) — оператор
Гильберта-Шмидта, если и только если для некоторого ортонормального
базиса {еп}™=1 пространства Ж
оо
£||Ае„||2<оо.
71=1
Векторное пространство 5^ч операторов Гильберта - Шмидта в Ж
является гильбертовым пространством со скалярным произведением (А,В)2 =
= TrАВ*. Пространство Гильберта-Шмидта 5?ъ тоже является
двусторонним идеалом в С*-алгебре ££(Ж).
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
Квантовая механика изучает микромир — физические законы в
атомных масштабах, которые нельзя адекватно описать с помощью
классической механики. Свойства микромира очень сильно отличаются от нашего
повседневного опыта, поэтому неудивительно, что его законы кажутся
противоречащими здравому смыслу. Так, классические механика и
электродинамика не могут объяснить устойчивость атомов и молекул. Точно также не
могут эти теории согласовать разные свойства света — волнового характера
в явлениях дифракции и интерференции и корпускулярного — в
фотоэлектрической эмиссии и рассеянии свободными фотонами. Фундаментальное
различие между микромиром и наблюдаемым миром вокруг нас в том, что
в микромире любой эксперимент приводит к взаимодействию с системой и
тем самым нарушает ее свойства, тогда как в классической физике всегда
предполагается, что можно пренебречь возмущениями, вносимыми в
систему измерением. Это налагает ограничения на возможности наблюдения
и приводит к выводу, что существуют наблюдаемые, которые нельзя
измерить одновременно.
Мы не обсуждаем здесь эти и другие основные экспериментальные
факты, отсылая заинтересованного читателя к учебникам по физике. Мы
также не будем следовать историческому пути развития теории. Вместо
этого, мы покажем, как сформулировать квантовую механику, используя
общие понятия состояний, наблюдаемых и временной эволюции,
описанные в разделе 1.2.8 главы 1. Там мы видели, что коммутативность алгебры
наблюдаемых А приводит к возможности ее реализации в виде алгебры
функций на топологическом пространстве — пространстве состояний — и,
таким образом, ведет нас в царство классической механики. Поэтому, для

102
Глава 2
того чтобы получить реализацию наблюдаемых и состояний, отличную от
классической механики, нам надо допустить, что С*-алгебра,
ассоциированная с наблюдаемыми, больше не коммутативна. Фундаментальный
пример некоммутативной С*-алгебры дается алгеброй ограниченных
операторов в комплексном гильбертовом пространстве, и оказывается, что как раз
эта алгебра играет фундаментальную роль в квантовой механике!
Здесь мы формулируем основные принципы квантовой механики,
используя точный математический язык. В этом месте необходимо заметить,
что невозможно проверить прямо принципы, лежащие в основе квантовой
механики. Тем не менее верность квантовой механики во всех ситуациях,
где она применима, непрерывно подтверждается многочисленными
экспериментальными фактами, полностью согласующимися с предсказаниями
теории9.
2.1.1. Математическая формулировка
Следующие аксиомы составляют базис квантовой механики.
А1. С любой квантовой системой ассоциировано
бесконечномерное сепарабельное комплексное гильбертово пространство Ж,
называемое в физической терминологии пространством состояний™. Гильбертово
пространство составной квантовой системы — это тензорное
произведение гильбертовых пространств компонент системы.
А2. Множество наблюдаемых srf квантовой системы Ж состоит из
всех самосопряженных операторов в Ж. Подмножество ^ = srf П ££{Ж)
ограниченых наблюдаемых является векторным пространством над R.
A3. Множество состояний 5? квантовой системы с гильбертовым
пространством Ж состоит из всех положительных (а значит,
самосопряженных) операторов М со следом ТгМ = 1. Чистые состояния это
операторы проектирования (проекторы) на одномерные подпространства Ж.
Для ф е Ж, \\ф\\ = 1, соответствующий проектор на Сф обозначается Рф.
Все остальные состояния называются смешанными состояниями11.
А4. Процесс измерения — это соответствие
si х 5? Э (А, М) ь-> цА е &>(М),
9Это относится к нерелятивистским явлениям в атомных масштабах.
^Пространством чистых состояний, если быть точным.
1! В физической терминологии оператор М называется матрицей плотности.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
103
сопоставляющее каждой наблюдаемой А Е si и состоянию М е У
вероятностную меру /ха на R. Для любого борелевского подмножества Е CR
величина 0 ^ Ца(Е) < 1 — это вероятность того, что для квантовой
системы в состоянии М результат измерения наблюдаемой А принадлежит Е.
Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой АЕ^в
состоянии М Е У — это
оо
(А\М) = J Афл(А),
— оо
где /м(А) = /хд((—оо, А)) — функция распределения вероятностной
меры /iA.
Множество состояний 5? выпукло. Согласно теореме Гильберта-
Шмидта о каноническом разложении компактных самосопряженных
операторов, для любого М Е 5? существует ортонормированный набор {Фп}п=1
в Ж (конечный или бесконечный; в последнем случае N — ос), такой, что
N N
М = ^а"Р^ и TrM = J2<*n = l, (1.1)
n=l n=l
где ап > О — ненулевые собственные значения М. Таким образом, любое
смешанное состояние — это выпуклая линейная комбинация чистых
состояний. Следующий результат характеризует чистые состояния.
Лемма 1.1. Состояние М Е 5? — чистое, если и только если его
нельзя представить в виде нетривиальной линейной комбинации в 5?.
Доказательство.
Допустим, что
Рф = аМх + (1 - а)М2, 0 < а < 1,
и пусть Ж — СффЖг — ортогональное разложение. Поскольку М\ и М2 —
положительные операторы, для (р Е Ж\ мы имеем
а{М1(р,(р)^{Рф(р,<р) = 0,
так что (Mi<p,(p) = О для всех ip E Ж\, и по (0.1) получаем М\\^ = 0.
Поскольку оператор М\ самосопряжен, он оставляет дополнительное
подпространство Сф инвариантным, и из условия TrMi = 1 следует,
что Mi = Рф. Поэтому Mi = М2 = Рф.
Явная конструкция соответствия si x S? —> «^(R) основывается на
общей спектральной теореме фон Неймана, подчеркивающей
фундаментальную роль самосопряженных операторов в квантовой механике.

104
Глава 2
Определение. Проекторная мера на R — это отображение Р:«
—> 3£(Ж) сг-алгебры 3&(Ш) борелевских подмножеств R в алгебру
ограниченных операторов в Ж, удовлетворяющее следующим свойствам.
РМ1. Для любого борелевского подмножества ВСЁ, оператор Р(Е) —
ортогональная проекция, т.е. Р(Е) — Р{Е)2 и Р(Е) = Р(Е)*.
РМ2. Р(0) = 0, P(R) = J, единичный оператор в Ж.
РМЗ Для любого дизъюнктного объединения борелевских подмножеств
ОО 71
E.= ]]En, P(E)= lim $>(£*)
n=l г=1
в сильной топологии Л?(Ж).
Замечание. Аналогично, проекторная мера на Rn — это отображение
Р: &(ЖП) —► Jf(Jf?), удовлетворяющее тем же свойствам РМ1-РМЗ.
Из РМ1 - РМЗ следует, что
Р(Ег)Р(Е2) = Р(Е1 П Е2) для любых ЕЪЕ2 G ЩЩ. (1.2)
С любой проекторной мерой Р на R ассоциируется проекторнозначная
функция
Р(А) = Р((-оо,А)),
называемая проекторным разложением единицы. Она характеризуется
следующими свойствами.
PD1.
P(A)P(/i) = P(min{A,/i}).
PD2.
lim P(A) = 0, lim Р(А) = I.
Л—►—оо А—юо
PD3.
lim Р(М) = Р(Л).
д—>Л

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
105
Для любого <р Е Ж разложение единицы Р(А) определяет функцию
распределения (Р(А)<р, у?) ограниченной меры на R (вероятностной,
когда ||<^|| = 1). По поляризационному тождеству
(Р(А)у>,ф) = \ {(Р(А)(у> + ф),<р + ф) - (Р(А)(у> - ^), у> - V) +
+ г( Р(А)(у> + #), ^ + #) - *(Р(А)(у> - t^), if - гф)} ,
так что (Р(\)(р,ф) соответствует комплексной мере на R- комплексной
линейной комбинации мер.
Измеримая функция / на R называется финитной почти везде (п. в.) по
отношению к проекторной мере Р, если она финитна п. в. по отношению ко
всем мерам (Рф, ф), ф Е Ж. Для сепарабельного Ж теорема фон Неймана
утверждает, что для любой проекторной меры Р существует <р Е Ж, такое,
что функция / финитна п. в. по отношению к Р, если и только если она
финитна п. в. по отношению к мере (Ру>, <р).
Следующее утверждение — знаменитая спектральная теорема фон
Неймана.
Теорема 1.1 (Дж. фон Нейман). Для любого самосопряженного
оператора А в гильбертовом пространстве Ж существует единственое про-
екторное разложение единицы Р(А), удовлетворяющее следующим
свойствам.
(0
D(A) = 1<реЖ: f \2d(P(\)ip, <р) < оо I,
и для любого <р € D(A)
оо
А<р= f \dP(\)<p,
— ОО
определенный как предел сумм Римана- Стильтьеса в сильной
топологии на Ж. Носитель соответствующей проекторной меры Р
совпадает со спектром оператора А: А Е с (А), если и только если
Ра((А — е, А + е)) Ф 0 для любого е > 0.

106
Глава 2
(ii) Для любой непрерывной функции f на R, f(A) — линейный оператор
в Ж с плотной областью определения
D(f(A)) =heJf: j |/(A)|2d(P(AW) < oo I,
определенный для (р 6 D(f(A)) как
OO
f{A)<p = f /(A)dP(AV
— OO
и понимаемый, как в части (i). Оператор f(A) удовлетворяет
условию
f(A)* = f(A),
где f — комплексно сопряженная функция к /, а оператор f(A)
ограничен, если и только если функция f ограничена на а(А). Для
ограниченных на а (А) непрерывных функций fug
(X)
f(A)g(A)V = J f(\)g(\)dP(\)<p, ^рвЖ.
— OO
(ш) Для любой измеримой функции f на R, конечной п. в. по отношению
к проекторной мере Р, f(A) — линейный оператор в Ж,
определенный, как в (ii), где интеграл для f(A)(p теперь понимается в слабом
смысле: для ср 6 D(f(A)) и любого ф 6 Ж
оо
{№<р,ф)= f /(A)d(P(A)^)
— интеграл Лебега - Стильтьеса по отношению к комплексной мере.
Соответствие f ь-> f(A) удовлетворяет тем же свойствам, что
и в (ii), где интегралы понимаются в слабом смысле.
(iv) Ограниченный оператор В коммутирует с А, то есть B(D(A)) С
С D(A) и АВ = В А на D(A), если и только если он коммутирует
с Р(А) для всех А, и, следовательно, В коммутирует с любым
оператором f(A).

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
107
(v) Для любого проекторного разложения единицы Р(Л) оператор А в Ж,
определенный, как в части (i), самосопряжен.
С использованием спектральной теоремы соответствие (А, М) ь-> /хд,
постулированное в А4, можно явно описать следующим образом.
А5. Вероятностная мера \ха на R, определяющая соответствие
si х ^ —> ^(R), дается формулой Борна-фон Неймана
цА(Е) = TrPA(E)M, E е ЩШ), (1.3)
где Рд — проекторная мера на R, ассоциированная с самосопряженным
оператором А.
Замечание. Вероятностную меру /л а на R можно рассматривать как
«квантовый трансфер» состояния М посредством наблюдаемой А (см.
обсуждение в разделе 1.2.8 в главе 1).
Из разложения Гильберта-Шмидта (1.1) получаем
N N N
цА(Е) = ^2*п{РА(Е)фп,фп) = ^аЛЫЕ)Ы2 <Е«п = 1,
71=1 71=1 71=1
так что действительно 0 ^ Ца(Е) ^ 1. Обозначим через /хд(А) функцию
распределения вероятностной меры /хд, Мл (А) = (Ра(Х)Ф,Ф) для М = Р</,.
Предложение 1.1. Допустим, что наблюдаемая А € я/ и
состояние М е У такие, что (А\М) < ос и ImM С D(A). Тогда AM e У\
и
(А\М) = ТгАМ.
В частности, если М = Рф и ф G -О(-А), wo
(A|M) = (^/>,V>) и (А2|М) = \\Аф\\\
Доказательство.
Пусть {enj^Lj — ортонормированный базис в Ж. Поскольку
ОО
ца(Е) = ТгРА(Е)М = ^(Рд(£)Меп,еп),
п=1

108
Глава 2
получается, что для любого Е е 38(Ж)
со
п=1
где \хп — конечные комплексные меры на R, определенные
формулой \in{E) — (рА(Е)Меп, еп). Поскольку
/ fdfiA = Ц / f^n
R
для любой функции /, интегрируемой по мере /лА, из спектральной
теоремы следует, что
оо со °° °?
^(Men,en) = J2 XdV>nW = / XdfjLA(X) < оо.
"=1 "=1-оо -co
Таким образом, AM e У\ и (А\М) = TrAM. В частности, когда М = Р-ф
u^eD(A),
СО
(А\М) = J Хй(РА(Х)ф,ф) = (Аф,ф).
— со
Наконец, из спектральной теоремы и формулы замены переменных
получаем
со со
\\Аф\\2 = J \Ч(РА{\)ф,ф) = JЩРА2(\)ф,ф) = (А2\М).
Следствие 1.2. Если (А\М), {А2\М) < ос, то AM e Уг и (А\М) =
= Tr AM.
Доказательство.
Определим борелевские меры vn на R формулой vn(E) =
= {РА(Е)Меп,Меп) = ||Рл(£)Меп||2. Так как по формуле (1.1)
со N
$>п(Я) = ТгМРА(Е)М = ТгР А(Е)М2 = ^^п(РАфп^п) ^
71=1 71=1
N
< $^а„(РА^„,^п) = ЪРа{Е)М = 11а{Е),
71=1

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
109
получается, что
ОО ОО
[ X2dun(X) ^ ( \2йцА{\) = {А2\М} < оо.
— оо —оо
Таким образом, Меп е D(A), т.е. еп е D(AM), и результат следует из
доказательства предложения 1.1.
Замечание. Удобно аппроксимировать неограниченный
самосопряженный оператор А ограниченными операторами Ап = Afn(A), где /п =
— X[-n,n] — характеристическая функция интервала [—п, п]. Предполагая,
что (А|М) существует, имеем
оо п
{А\М)= [ \<1цА(\)= lim [\(1цА(Х)= lira (An\M).
J n—юо J п—юо
Определение. Самосопряженные операторы А и В коммутируют,
если соответствующие проекторные меры Рд и Рв коммутируют:
Ра(Е1)Рв{Е2) = Рв{Е2)Ра(Е1) для любых ЕъЕ2еЩМ).
Следующие результаты, вытекающие из спектральной теоремы, очень
полезны в приложениях.
Предложение 1.2. Следующие утверждения эквивалентны.
(/) Самосопряженные операторы А и В коммутируют,
(и) Для любых A, \i е С, Im Л, Im \i ^ 0
RX(A)R^B) = R^(B)RX(A).
{Hi) Для любых и, v 6
iuA ivB _ -ivB iuA
(iv) Для любых uGl операторы егиА и В коммутируют.
Слегка злоупотребляя обозначениями12, мы часто будем писать [А,В] =
= АВ — В А = О для коммутирующих самосопряженных операторов А и В.
12Вообще говоря, для неограниченных самосопряженных операторов А и В коммутатор
[А, В] = А В — В А необязательно замкнут, т. е. он может быть определен только для ср = 0.

по
Глава 2
Предложение 1.3. Пусть А = {А\, ..., Лп} — конечное множество
самосопряженных, попарно коммутирующих операторов в Ж\ На борелев-
ских подмножествах Rn существует единственная проекторная мера Рд,
обладающая следующими свойствами.
(г) Для любого Е = Ех х ... х Еп е Зё(Жп)
PA(E) = PAl(E1)...PAn(En).
(И) В сильной операторной топологии
Ак= А/с^Ра, к = 1, ...,п,
где Xk — к-я координатная функция на Rn, Afc(#i, ... ,xn) = х^.
(Hi) Для любой измеримой функции f на Rn, финитной п. в. относительно
проекторной меры, Pa, f(A\, ... ,Ап) — линейный оператор в Ж,
определенный формулой
f(A1,...,An) = JfdPA,
Rn
где интеграл понимается в слабой операторной топологии.
Соответствие f i—► f(A\, ... ,Ап) обладает теми же свойствами, что и в
части (ii) спектральной теоремы.
Носитель проекторной меры Ра на Rn называется совместным спектром
коммутативного семейства А = {А\, ..., Ап}.
Замечание. Согласно теореме фон Неймана о порождающем
операторе, для любого коммутативного семейства А самосопряженных
операторов (необязательно конечного) на сепарабельном гильбертовом
пространстве Ж существует порождающий оператор — самосопряженный
оператор R на Ж, такой, что все операторы в А являются функциями R.
Кажется естественным, что одновременное измерение конечного
множества наблюдаемых А — {Ai, ..., Ап) в состоянии МбУ должно
описываться вероятностной мерой ца на Rn, даваемой следующим
обобщением формулы Борна-фон Неймана:
»а(Е) = ^(Pax^i) • • • Рап(Еп)М),
Е = Ехх ... хЕп€ @{Жп). [ ' '

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
111
Однако формула (1.4) определяет вероятностную меру на Rn, если и только
если PAiiEi)... Рлп(Еп) определяет проекторную меру на Rn.
Поскольку произведение ортогональных проекций будет ортогональной
проекцией, только если проекторы коммутируют, можно заключить, что
операторы А\, ..., Ап должны составлять коммутативное семейство. Это
согласуется с требованием, что одновременное измерение нескольких
наблюдаемых не должно зависеть от порядка измерений индивидуальных
наблюдаемых. Подытожим эти рассуждения в следующей аксиоме.
А6. Конечное множество наблюдаемых А = {А\, ...,АП} может
быть измерено одновременно {одновременно измеримые наблюдаемые),
если и только если они составляют коммутативное семейство.
Одновременное измерение коммутативного семейства А С srf в состоянии М Е 5?
описывается вероятностной мерой \ia на Rn, задаваемой формулой
цА(Е) = TrPA(E)M, E Е ЩЖп),
где Ра — проекторная мера из предложения 1.3. Конкретно, Рд(Е) =
= Рл1(£?1)...Рлп(£?п) Для Е = Ег х ... х Еп Е ЩШп). Для
любого борелевского подмножества Е С Rn величина 0 ^ 1*а(Е) ^ 1 — это
вероятность, что для квантовой системы в состоянии М результат
одновременного измерения наблюдаемых А\, ..., Ап принадлежит Е.
Аксиомы А1-А6 известны как аксиомы Дирака-фон Неймана.
Задача 1.1. Докажите свойство (1.2).
Задача 1.2. Докажите, что состояние М чистое, если и только если
ТгМ2 = 1.
Задача 1.3. Докажите, что формула Борна-фон Неймана (1.3)
определяет вероятностную меру на R, т. е. /л а — сг-аддитивная функция на ^(R).
Задача 1.4. Докажите все оставшиеся утверждения этого раздела.
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга
Дисперсия наблюдаемой А в состоянии М, характеризующая среднее
отклонение А от его математического ожидания, определяется как
о2м(А) = ((А - (А\М)1)2\М) = (А2\М) - (А\М)2 > О
при условии, что математические ожидания (А2\М) и (А\М) существуют.
Из предложения 1.1 следует, что для М = Рф, где ф Е D(A),
а2м(А) = \\(А - (А\М)1)фГ = \\Аф\\2 - {Аф,ф)\

112
Глава 2
Лемма 1.2. Для А € я/ и М е У дисперсия ам(А) = О, если и только
если ImM — собственное подпространство оператора А, отвечающее
собственному значению а = (А\М). В частности, если М = Рф, то ф —
собственный вектор А, Аф = аф.
Доказательство.
Из спектральной теоремы следует, что
оо
«м(А)= J(X-a)2d^A(X),
— ОО
так что ом (А) = О, если и только если вероятностная мера ца
сконцентрирована в точке a Е М, т.е. /хд({а}) = 1. Поскольку/хд({а}) = ТгРд({а})М
и ТгМ = 1, можно заключить, что это эквивалентно тому, что ImM —
инвариантное подпространство Pa({cl}), и из спектральной теоремы следует,
что ImM — собственное подпространство А, отвечающее собственному
значению а.
Теперь мы сформулируем обобщенные соотношения
неопределенности Гейзенберга.
Предложение 1.4 (Г.Вейль). Пусть А, В £ я/ и пусть М = Рф —
чистое состояние, такое, чтоф Е D(A)C\D(B) и Аф,Вф Е D(A)C\D(B).
Тогда
a2M(A)a2M(B)>\(i[A,B]\M)2.
Такое лее неравенство выполняется для любого М € У, где по
определению (i[A,B]\M) = lim (i[An,Bn]\M).
п—юо
Доказательство.
Пусть М = Рф. Поскольку
[А-(А\М)1,В-(В\М)Г\ = [А,В],
достаточно доказать неравенство
(A2\M)(B2\M)>\(i[A,B]\M}2.
Имеем для любого а Е R
||(А + гаВ)ф\\2 = а2(Вф, Вф) - га(Аф, Вф) + га(Вф, Аф) + (Аф, Аф) =
= а2(В2ф, ф) + a(i[A, В]ф, ф) + (А2ф, ф) > О,
так что с необходимостью А(А2ф,ф)(В2ф,ф) ^ (г[Д В]ф,ф)2.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
113
То же рассуждение работает для смешанных состояний. Поскольку
°м(А)<г2м(В)= lim <г2м(Ап)<тЪ(Вп)
п—-кэо
(см. замечание в предыдущем разделе), достаточно доказать неравенство
для ограниченных А и В. Тогда, используя циклическое свойство следа,
получаем для любого а Е R
О < Тг((А + iaB)M(A + taB)*) = Тт((А + гаВ)М(А - гаВ)) =
= а2ТгВМВ + гаТгВМА - гаТгАМВ + TrAMA =
= а2ТгВ2М + аТг(г[Д В]М) + ТЫ2М,
так что 4ТгА2МТгВ2М ^ Tr(i[A,B]M)2.
Соотношения неопределенности Гейзенберга дают количественное
выражение того факта, что даже в чистом состоянии некоммутирующие
наблюдаемые не могут быть одновременно измерены. Это показывает
фундаментальное различие между процессами измерения в классической
механике и квантовой механике.
2.1.3. Динамика
Множество si квантовых наблюдаемых не образует алгебру по
отношению к операторному произведению13. Тем не менее действительное
векторное пространство si§ ограниченных наблюдаемых имеет структуру
алгебры Ли со скобкой Ли
i[A,B] = г{АВ - В A), A, Be st0.
Замечание. На самом деле С*-алгебра ££{Ж) ограниченных
операторов в Ж имеет структуру комплексной алгебры Ли со скобкой Ли, данной
коммутатором [А, В] = АВ — В А. Она удовлетворяет правилу Лейбница
[АВ,С\ = А[В,С\ + [А,С]В,
так что скобка Ли — дифференцирование на С*-алгебре Jf(jf?).
13Произведение двух некоммутирующих операторов — необязательно самосопряженный
оператор.

114
Глава 2
По аналогии с классической механикой мы постулируем, что
временная эволюция квантовой системы с пространством состояний Ж
полностью определяется особой наблюдаемой Яе^, называемой оператором
Гамильтона (для краткости — гамильтонианом). Как и в классической
механике, структура алгебры Ли на j#fo приводит к соответствующим
квантовым уравнениям движения.
Конкретно, аналогом представления Гамильтона в классической
механике (см. раздел 1.2.8 в главе 1) является представление Гейзенберга в
квантовой механике, в котором состояния не зависят от времени:
Щ£ = 0, МеУ,
at
а ограниченные наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения
Гейзенберга
j£ = {H,A}n, Aes/o, (1.5)
где
{,}* = £[,] (1-6)
— квантовая скобка — зависящая от Ь скобка Ли на j#o. Положительное
число Ть, называемое постоянной Планка, — это одна из фундаментальных
физических констант14.
Уравнение Гейзенберга (1.5) корректно определено, когда Н Е
Недействительно, пусть U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая
группа унитарных операторов, ассоциированная с ограниченным
самосопряженным оператором Н,
--tH
U(t)=e л , teR. (1.7)
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению
dU(t)
гП—^1 = HU(t) = U(t)H, (1.8)
так что решение A(t) уравнения движения Гейзенберга с начальным
условием А(0) = A G «й^о дается формулой
A(t)=U(ty1AU(t). (1.9)
14Постоянная Планка имеет физическую размерность действия (энергия х время). В ее
определенном из эксперимента значении Ь, = 1.054 х 10~27 эрг х сек проявляется тот факт, что
квантовая механика — микроскопическая теория.

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
115
В общем случае сильно непрерывная однопараметрическая группа
унитарных операторов (1.7), ассоциированная с самосопряженным
оператором Н9 удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.8) только
на D(H) в сильном смысле, т.е. при применении к векторам (р G D(H).
Квантовая динамика определяется той же формулой (1.9), и в этом
смысле все квантовые наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения Гей-
зенберга (1.5). Оператор эволюции Ut : si —> si определяется формулой
Ut(A) = A(t) = U(t)~lAU{t) и является автоморфизмом алгебры Ли s/q
ограниченных наблюдаемых. Это квантовый аналог утверждения, что
оператор эволюции в классической механике — автоморфизм алгебры Пуассона
классических наблюдаемых (см. теорему 2.19 в разделе 1.2.7 главы 1).
По теореме Стоуна любая сильно непрерывная однопараметрическая
группа унитарных операторов15 U(t) имеет вид (1.7), где
D{H) — < <р G Ж : lim ip существует >
U(t) - I
и Hip = гЬ lim (p.
r t—о t r
Область определения D(H) самосопряженного оператора Н, называемого
инфинитезимальным генератором группы U(t)9 — инвариантное линейное
подпространство для всех операторов U(t).
Подытожим предшествующие рассуждения в следующей аксиоме.
А7 (Представление Гейзенберга). Динамика квантовой системы
описывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t)
унитарных операторов. Квантовые состояния не зависят от времени, 5? Э
Э М ь-> M(t) = M G 5?, а зависимость квантовых наблюдаемых от
времени дается оператором эволюции [/*,
s/эА^ A(t) = Ut(A) = U{t)-lAU{t) e si.
На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых наблюдаемых
описывается уравнением движения Гейзенберга (1.5), где оператор
Гамильтона Н — это инфинитезимальный генератор U(t).
Аналог представления Лиувилля в классической механике (см.
раздел 1.2.8 главы 1) — это представление Шрёдингера в квантовой механике,
определяемое следующим образом.
15 Согласно теореме фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве любая
слабо измеримая однопараметрическая группа унитарных операторов сильно непрерывна.

116
Глава 2
А8 (Представление Шрёдингера). Динамика квантовой системы
описывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t)
унитарных операторов. Квантовые наблюдаемые не зависят от времени,
srf Э А ь-> A(t) = A e я/, и зависимость состояний от времени дается
обратным оператором эволюции C/t_1 = U-t,
УзМи M(t) = U-t(M) = U{t)MU{t)-1 G У. (1.10)
На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых состояний
описывается уравнением движения Шрёдингера
4У- = -{н,м}н, Me У, (1.П)
где оператор Гамильтона Н — инфинитезимальный генератор U(t).
Предложение 1.5. Гейзенбергово и шрёдингерово описания динамики
эквивалентны.
Доказательство.
Пусть Ца{€) и (м*)а — соответственно, вероятностные меры на R,
ассоциированные с (A(t), М) е д/хУ и (A, M(t)) G^/хУ согласно АЗ-А4,
где A(t) = Ut(A) и M(t) = U-t(M). Нам надо показать, что HA(t) — (fa) а-
Из спектральной теоремы следует, что Ра(ь) — U{t)~lPAU(t), так что,
используя формулу Борна-фон Неймана (1.3) и циклическое свойство следа,
получаем для Е е «^(R)
fiA{t)(E) = TrPA{t)(E)M = Тг(и(Ь)-гРА(Е)ЩЬ)М) =
= Tr(PA(E)U(t)MU(t)-1) = TrPA(E)M(t) = (ih)a(E).
Следствие 1.3. (A(t)\M) = (A\M(t)).
По аналогии с классической механикой (см. раздел 1.1.4 главы 1)
имеем следующее определение.
Определение. Наблюдаемая А е srf является квантовым интегралом
движения (или константой движения) для квантовой системы с
гамильтонианом Н, если в представлении Гейзенберга
dA(t)

2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
117
Из предложения 1.2 следует, что оператор Л е srf — интеграл
движения, если и только если он коммутирует с гамильтонианом Н9 так что
в согласии с (1.5)
{H,A}h = 0.
Это — квантовый аналог свойства коммутативности в смысле скобки
Пуассона, даваемого формулой (2.14) раздела 1.2.6 главы 1.
Из (1.11) следует, что временная эволюция чистого состояния М = Р^
дается уравнением M(t) = P^t), где ф(Ь) = и(Ь)ф. Поскольку D(H)
инвариантно относительно U(t), вектор ф{Ь) — и(Ь)ф удовлетворяет зависяще-
му от времени уравнению Шрёдингера
гА = Нф (1.12)
at
с начальным условием ф(0) = ф.
Определение. Состояние М € У называется стационарным для
квантовой системы с гамильтонианом Н9 если в представлении
Шрёдингера
dM(t) = Q
dt
Состояние М стационарно, если и только если [М, U(t)] — О для
всех t, и по предложению 1.2 это эквивалентно условию
{H,M}h = 0
в согласии с (1.11). Следующий результат фундаментален.
Лемма 1.3. Чистое состояние М = Рф стационарно, если и только
если ф — собственный вектор Н,
Нф = Хф,
и в этом случае
--At
ф(р) = е h ф.

118
Глава 2
Доказательство.
Из равенства U(t)P^ = P^U(t) следует, что ф — общий собственный
вектор унитарных операторов U(t) для всех t, и(Ь)ф = с(Ь)ф, \c(t)\ = 1.
Поскольку U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая группа
унитарных операторов, непрерывная функция c(t) = (и(£)ф,ф) удовлетворяет
уравнению c(t\ + £2) = c(ti)c(t2) для всех t\,t2 G R, так что c(t) = e h
для какого-то Л G R. Таким образом, по теореме Стоуна ф G D(H)
и Нф = Хф.
В физической терминологии собственные векторы Гамильтона Н
называются связанными состояниями. Соответствующие собственные
значения называются уровнями энергии и обычно обозначаются как Е.
Уравнение на собственные значения Нф = Еф называется стационарным
уравнением Шрёдингера.
Задача 1.5. Покажите, что если наблюдаемая А такова, что для
любого состояния М математическое ожидание (A\M(t)) не зависит от t, то
А — квантовый интеграл движения. (Это определение интегралов движения
в представлении Шрёдингера.)
Задача 1.6. Покажите, что решение задачи Коши для зависящего от
времени уравнения Шрёдингера (1.12) дается формулой
сю
— оо
где Р(Л) — разложение единицы для гамильтониана Н.
ЗАДАЧА 1.7. Пусть D — линейное подпространство в Ж, состоящие
из векторов Гардинга
оо
Ь = J f(s)U(s)iPds, f € У {Ж), феЖ,
— оо
где <5^(R) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R.
Докажите, что D плотно в Ж и инвариантно относительно U(t) и
Гамильтона Н. (Указание: покажите, что и(Ъ)ф/ = ф/ь G D, где ft(s) = f(s — t),
и выведите Нф/ — —фу.)

2.2. Квантование
119
2.2. Квантование
Для изучения квантовой системы необходимо описать ее гильбертово
пространство состояний Ж и гамильтониан Н — самосопряженный
оператор в Ж, определяющий эволюцию системы. Когда у квантовой системы
есть классический аналог, процедура построения соответствующего
гильбертова пространства Ж и гамильтониана Н называется квантованием.
Определение. Квантование классической системы ((^#, { , }),НС)
с функцией Гамильтона16 Нс— это однозначное отображение Q^i Д —>£^
из множества классических наблюдаемых Л — С°°(^) в множество srf
квантовых наблюдаемых — множество самосопряженных операторов в
гильбертовом пространстве Ж. Отображение Q& зависит от
параметра Ть>09 и его ограничение на подпространство ограниченных классических
наблюдаемых Ло — линейное отображение в подпространство j#o
ограниченных наблюдаемых, удовлетворяющее свойствам
lim ^((ЫДШ/а) + Qn(/2)Q*(/i)) = /1/2
И
\imQ-1({Qh(f1),Qh(f2)}n) = {/ь/2} для любых Д,/2е4
Последнее свойство — знаменитый принцип соответствия Нильса
Бора. В частности, Нс i-> Qn(Hc) = Н — оператор Гамильтона квантовой
системы.
Замечание. В физической литературе принцип соответствия часто
формулируется в виде
[, ] ~ |{ , } при П -> 0.
Квантовая механика отличается от классической, так что
соответствие / ь-> Qn(f) не может быть изоморфизмом алгебр Ли
ограниченных классических и квантовых наблюдаемых с соответственно
классической и квантовой скобками. Оно становится изоморфизмом только в
пределе Ь —> 0, когда, согласно принципу соответствия, квантовая механика
превращается в классическую. Поскольку квантовая механика
представляет более аккуратное и подробное описание, чем классическая, квантование
классической системы может быть не единственно.
16Обозначение Нс используется для различения функции Гамильтона в классической
механики и оператора Гамильтона Н в квантовой.

120
Глава 2
Определение. Два квантования Q^' и Q^' данной классической
системы {{Л(, { , }),НС) называются эквивалентными, если
существует линейное отображение % • Л —► Л, такое, что Q^ = Q^ о %
и lim ^ = id.
ft—0
Для многих квантовых систем из «реального мира» — систем,
описывающих имеющие место физические явления, — соответствующий
гамильтониан Н не зависит от выбора эквивалентного квантования и однозначно
определяется классической функцией Гамильтона Нс.
2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга
Простейшая классическая система с одной степенью свободы
описывается фазовым пространством R2 с координатами р, q и скобкой
Пуассона { , }, ассоциированной с канонической симплектической
формой и = dp Adq. В частности, скобка Пуассона классических
наблюдаемых pnq — импульса и координаты частицы — имеет следующую простую
форму:
{p,q} = l. (2.1)
Другой постулат квантовой механики заключается в том, что при
квантовании классические наблюдаемые р и q соответствуют квантовым
наблюдаемым Р и Q — самосопряженным операторам в гильбертовом
пространстве Жу удовлетворяющим следующим свойствам.
CR1. Существует плотное линейное подмножество D С Ж> такое,
чтоР: D^DwQ: D-> D.
CR2. Для всех ф е D
(PQ - С}Р)ф = -гЩ.
CR3. Любой ограниченный оператор в Ж, коммутирующий с Р и Q,
кратен единичному оператору J.
Свойство CR2 называется коммутационным соотношением
Гейзенберга для одной степени свободы. В терминах квантовой скобки (1.6) оно
принимает вид
{P,Q}h = I, (2.2)
такой же как скобка Пуассона (2.1). Свойство CR3 — квантовый аналог
классического свойства, что пуассоново многообразие (R2, { , })
невырождено: любая функция, коммутирующая в смысле скобки Пуассона с р и q,
является константой (см. последнее замечание в разделе 1.2.7 главы 1).

2.2. Квантование
121
Операторы Р uQ называются соответственно оператором импульса и
оператором координаты. Соответствие р\->Р, q\->QcPuQ9
удовлетворяющими CR1-CR3, — основа для квантования классических систем.
Истинность (2.2), как и квантовой механики в целом, подтверждается
соответствием теории с многочисленными экспериментами.
Замечание. Кажется заманчивым продолжить соответствие р\-+ Р,
q ь-> Q на все наблюдаемые, определив отображение f(p,q) •—► /(Р, Q).
Однако такой подход к квантованию довольно наивен: операторы Р и Q
удовлетворяют (2.2) и не коммутируют, поэтому приходится разбираться,
как же на самом деле определена «функция некоммутирующих
переменных» /(Р, Q). Мы обратимся к этой задаче упорядочивания
некоммутирующих операторов Р и Q в разделе 2.3.3.
Из соотношений неопределенности Гейзенберга (см. предложение 1.4)
следует, что для любого чистого состояния М = Рф с ф Е D
Это — фундаментальный результат, который говорит о том, что
невозможно одновременно измерить координату и импульс квантовой частицы: чем
точнее измеряется одна величина, тем приблизительней значение второй.
Часто говорят, что у квантовой частицы нет наблюдаемого пути, так что
«квантовое движение» разительно отличается от движения в классической
механике.
Теперь не составляет труда рассмотреть классическую систему с п
степенями свободы, описываемую фазовым пространством Ш2п с
координатами р = (pi, ... ,рп) и q — (g1, ..., qn)9 и скобкой Пуассона { , },
ассоциированной с канонической симплектической формой и = dp A dq. Скобки
Пуассона классических наблюдаемых р и q — импульсов и координат
частицы — имеют следующий вид:
{Р*,Ы = 0, {g*,g'} = 0, {pk,ql} = Slk, fc,Z = l,...,n. (2.3)
Соответствующие операторы импульсов и координат Р — (Pi, ...,РП)
и Q = (Q1, ..., Qn) — самосопряженные операторы, имеющие общее
инвариантное плотное линейное подмножество D С Ж и удовлетворяющие
на D следующим коммутационным соотношениям:
{Pfe)P,b = 0, {Qfc,Q'b = 0,
{Pk,Ql}h = 6lkI, k,l = l,...,n.
Эти соотношения называются коммутационными соотношениями
Гейзенберга для п степеней свободы. Аналогом CR3 является свойство, что любой
ограниченный оператор в Ж, коммутирующий со всеми операторами Р
и Q, кратен единичному оператору /.

122
Глава 2
Фундаментальная алгебраическая структура, связанная с
коммутационными соотношениями Гейзенберга, это так называемая алгебра Гейзен-
берга.
Определение. Алгебра Гейзенберга \)п с п степенями свободы — это
алгебра Ли с образующими е1, ..., еп, Д, ..., /п, с и соотношениями
[е*,с] = 0, [/fc>c]=0, [efc,/,]=tfc, fc,i = l,...,n.
(2.5)
Инвариантное определение таково. Пусть (V, и) — 2п-мерное симплек-
тическое векторное пространство, рассматриваемое как абелева алгебра Ли,
и 9 — одномерное центральное расширение V с помощью 2-коцикла на
алгебре Ли, заданного билинейной формой и. Это значит, что имеется точная
последовательность векторных пространств
О
У^О,
(2.6)
и скобка Ли на д определяется формулой
[х,у] = и{х,у)с,
(2.7)
где ж, у — образы в V элементов х, у е д, а с — образ 1 при вложении
R с—► д, называемый центральным элементом д. Выбором симплектиче-
ского базиса е1, ..., еп, Д, ..., /п в У (см. раздел 1.2.6 главы 1)
устанавливается изоморфизм 9 ~ f)n, и соотношения (2.5) получаются из
скобки Ли (2.7).
По теореме Адо алгебра Гейзенберга f)n изоморфна подалгебре Ли
матричной алгебры над R. Явным образом она реализуется как нильпотентная
подалгебра алгебры Ли gln+2 матриц размерности (п + 2) х (п + 2) с
элементами
^(ик fk + vkek) + ас =
fc=i
f°
0
0
0
\v
и1
0
0
0
0
и2 .
0 ••
0 ••
0 ••
0 ••
. ип
■ 0
• 0
• 0
• 0
а\
V\
V2
Vn
°/
(2.8)

2.2. Квантование
123
Замечание. Точное представление f)n —> 9(71+2, данное формулой
(2.8), очевидно, приводимо: подпространство V — {х — [х\, ... , £n+2) £
G Rn+2 : xn+2 =0} инвариантно относительно f)n, причем центральный
элемент с действует на нем как ноль. Однако, это представление не
разложимо: векторное пространство Rn+2 нельзя записать в виде прямой
суммы V и одномерного инвариантного относительно f)n подпространства.
Этим объясняется, почему центральный элемент с представлен не
диагональной матрицей с первыми п + 1 нулями, а имеет особый вид, даваемый
формулой (2.8).
Аналитически, коммутационные соотношения Гейзенберга (2.5)
соответствуют неприводимому унитарному представлению алгебры Ли
Гейзенберга f)n. Напомним, что унитарное представление р алгебры f)n в
гильбертовом пространстве Ж — это линейное отображение р : f)n —> isrf —
пространство косоэрмитовых операторов в Ж\ такое, что все
самосопряженные операторы ip(x)9 x 6 f)n, имеют общее инвариантное плотное
линейное подмножество D С Ж и удовлетворяют условию
р([х,у])<р = (р(х)р(у) ~ p(y)p(x))(f, x,ye\)n, tpe D.
Формально применяя лемму Шура, скажем, что представление р непри-
водимо, если любой ограниченный оператор, коммутирующий со всеми
операторами ip(x) кратен единичному оператору /. Тогда коммутационные
соотношения Гейзенберга (2.5) определяют неприводимое унитарное
представление р алгебры Ли Гейзенберга f)n в гильбертовом пространстве Ж
по формуле
p(fk) = -iPk, p{eh) = -iQ\ fc = l, ...,n, р(с)=-гЫ. (2.9)
Поскольку операторы Рк и Qk с необходимостью неограничены (см.
задачу 2.1), условие
РкРцр = PiPkP для любого if Е D
не обязательно означает (см. задачу 2.2), что самосопряженные
операторы Рк и Pi коммутируют в смысле определения в разделе 2.1.1. Чтобы
избежать таких «патологических» представлений, будем полагать, что р —
интегрируемое представление, т. е. его можно проинтегрировать (в точном
смысле, определенном ниже) до неприводимого унитарного
представления группы Гейзенберга Нп — связной и односвязной группы Ли с
алгеброй Ли f)n.

124
Глава 2
Конкретно, группа Гейзенберга — это унипотентная подгруппа
группы Ли SL(n + 2, R) с элементами
/1
0
0
0
\°
и1
1
0
0
0
и2 ■■
0 ••
1 ••
0 ••
0 ••
• ип
■ 0
• 0
• 1
• 0
а\
VI
V2
Vn
ч
Экспоненциальное отображение ехр : f)n —> Нп сюръективно, и группа
Гейзенберга Нп порождается двумя п-параметрическими абелевыми
подгруппами
/ п \ / п \
ехриХ = ехр I ^ ukfk I , ехр vY = ехр I ^\fcefc I , u,v e Мп,
и однопараметрическим центром ехр ас, удовлетворяющим соотношениям
п
expuXexpvY = exp(—uvc)expvY ехриХ, uv = S_^ukVk. (2.10)
к=0
Действительно, из (2.5) следует, что [иХ, vY] = —uvc — центральный
элемент, так что, используя формулу Бейкера-Кэмпбела-Хаусдорфа,
получаем
expuXexpvY = exp(—\uvc) ехр(иХ + vY),
expvYехриХ = exp(^uvc) exp(uX + vY).
В матричной реализации экспоненциальное отображение дается матричной
экспонентой, и мы получаем еиХ = I + иХ, evY = I + vY и еас = I + ас,
где / — единичная матрица (п + 2) х (п + 2).
Пусть R — неприводимое унитарное представление группы
Гейзенберга Нп в гильбертовом пространстве Ж — сильно непрерывный
гомоморфизм групп R : Нп —> $/(Ж), где Щ(Ж) — группа унитарных операторов
в Ж. По лемме Шура R(eac) = е~гХос1, А £ R. Допустим теперь, что \ = Ь,
и определим две сильно непрерывные n-параметрические абелевы группы
унитарных операторов
U{u) = R(expuX), V(v) = R(expvY), u,veRn.
Тогда из (2.10) следует, что унитарные операторы U(и) и V(v)
удовлетворяют коммутационным соотношениям
U(u)V(v) = eihuvV{v)U{u), ' (2.11)

2.2. Квантование
125
называемым соотношениями Вейля. Пусть Р = (Pi, . ..,РП) и Q =
— (Q1) • • • ,Qn) — соответственно инфинитезимальные образующие
подгрупп U(u) hV(v), даваемые теоремой Стоуна,
Рк-г ^ I ид -г д^ , fc_l,...,n.
lit=0 lv=0
Взяв вторые частные производные соотношений Вейля (2.11) в начале
координат и = v = 0 и используя решение задачи 1.7 в предыдущем разделе,
легко получить следующий результат.
Лемма 2.1. Пусть R : Нп —> ^(Ж) — неприводимое унитарное
представление группы Гейзенберга Нп в Ж, такое, что R(eac) = е~гПос1,
и пусть Р = (Pi, ..., Pn) uQ = (Q1, ..., Qn) — соответственно
инфинитезимальные образующие сильно непрерывных п-параметрических абеле-
вых подгрупп U{u) и V(v). Тогда формулы (2.9) определяют неприводимое
унитарное представление р алгебры Гейзенберга \)п на Ж.
Представление р в лемме 2.1 называется дифференциалом
представления R и обозначается dR. Неприводимое унитарное представление р
алгебры \)п называется интегрируемым, если р — dR для какого-то
неприводимого представления R группы Нп.
Замечание. Неприводимые унитарные представления алгебры
Гейзенберга интегрируемы, так что соотношения Вейля нельзя получить из
коммутационных соотношений Гейзенберга. Однако, следующее
эвристическое рассуждение (не учитывающее тонкостей обращения с
неограниченными операторами) повсеместно используется в физических учебниках.
Рассмотрим случай одной степени свободы и начнем с соотношения
{P,QU = I.
Поскольку квантовая скобка удовлетворяет правилу Лейбница, для
«подходящей» функции / имеем
{f(P),Qh = f'(P).
В частности, выбирая /(Р) = е~гиР = U(u), получаем
U{u)Q - QU(u) = huU{u) или U{u)QU{u)-1 = Q + bul.
Для «подходящей» функции g из этого следует
U(u)g(Q)=g(Q + nuI)U(u),
и, положив g(Q) = e~lv® = V(v), получаем соотношение Вейля.

126
Глава 2
В разделе 2.3.1 мы докажем, что все интегрируемые неприводимые
унитарные представления алгебры Гейзенберга f)n с одним и тем же
действием центрального элемента с унитарно эквивалентны. Это
оправдывает следующую математическую формулировку коммутационных
соотношений Гейзенберга для п степеней свободы.
А9 (Коммутационные соотношения Гейзенберга). Операторы
импульсов и координат Р = (Рь ..., Рп) и Q = (Q1, ..., Qn) для квантовой
частицы с п степенями свободы определяются формулами (2.9), где р —
интегрируемое неприводимое унитарное представление алгебры Гейзенберга
f)n со свойством р(с) = —гЫ.
Задача 2.1. Докажите, что не существует ограниченных
операторов в гильбертовом пространстве Ж, удовлетворяющих
соотношению [А, В]=1.
Задача 2.2. Приведите пример самосопряженных операторов А
и В, имеющих общее инвариантное плотное линейное
подпространство D С Ж, такое, что АВр = ВА^р для любого <р е D, но егА и егВ
не коммутируют.
Задача 2.3. Докажите лемму 2.1. (Указание: как в задаче 1.7, пусть
D — линейное множество векторов Гардинга
il)f= ( f{u,v)U{u)V{v)^dnudnv, f G У{Ж2п), <феЖ,
где <5^(R2n) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R2n.)
2.2.2. Координатное и импульсное представления
Начнем со случая одной степени свободы и рассмотрим две
естественных реализации коммутационных соотношений Гейзенберга. Они
определяются свойством, что один из самосопряженных операторов Р и Q
«диагоналей» (т. е. является оператором умножения на функцию в
соответствующем гильбертовом пространстве).
В координатном представлении Ж=Ь2(Ж, dq) — это /^-пространство
на конфигурационном пространстве R с координатой q, являющемся
лагранжевым подпространством пространства R2, определяемым уравне-

2.2. Квантование
127
нием р = 0. Положим
D(Q) = I V е Ж : f q2W(q)\2dq < ос I
и для tp e D(Q) определим оператор Q как «оператор умножения на q»:
(Q<p)(q) = q<p(q), я^ш,
оправдывая название «координатное представление». Оператор
координаты Q очевидно самосопряжен, и его проекторная мера задается формулой
(P(E)lp)(q)=XE(q)<p(q), (2.12)
где хе — характеристическая функция борелевского подмножества Е СШ.
Поэтому supp Р = R и a(Q) = R.
Напомним, что спектр самосопряженного оператора А абсолютно
непрерывен, если для любого ф Е Ж, \\ф\\ = 1, вероятностная мера щ,
иф(Е) = (РА(Е)ф,ф), ЕеЩЖ),
абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на R.
Лемма 2.2. Оператор координаты Q имеет абсолютно непрерывный
спектр R, и любой ограниченный оператор В, коммутирующий с Q,
является функцией от Q, В = f(Q) с f e L°°(R).
Доказательство.
Из (2.12) следует, что щ(Е) = f fy(q)\2dq, и это доказывает первое
Е
утверждение. Дальше, ограниченный оператор В в Ж коммутирует с Q,
если и только если ВР(Е) = Р(Е)В для всех Е Е ^(R), и, используя (2.12),
мы получаем
B(xe<p)=XeB(ip). (2.13)
Выбирая в (2.13) Е = Ei и ip = хе2, где Е\ и Е2 имеют конечную меру
Лебега, получаем
В(хЕг • Хе2) = В(хе1пе2) = Хе1В{хе2) = Хе2В(хе1),
так что, обозначая /# = В(хе), мы получаем supp /я С i? и
/fill В гПЕ2 ~ iHE2

128
Глава 2
для любых Ei,E2 G 3S{R) с конечной мерой Лебега. Таким образом,
существует измеримая функция / на R, такая, что /1^ = Je\e Для
любого Е G 38(№) с конечной мерой Лебега. Линейное подпространство,
натянутое на все хе G Ь2(М), плотно в L2(R), а оператор В непрерывен, так
что получаем
(Bip)(q) = f(q)ip(q) для любого ip G L2(R).
Поскольку Б — ограниченный оператор, / G L°°(R) и ||В|| = ||/||ос-
Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор В можно
представить в виде интегрального оператора с обобщенным функциональным
ядром K(q, q'). Тогда из коммутативности BQ = QB следует, что в смысле
обобщенных функций
(q-q')K(q,q')=0,
так что К «пропорционально» дельта-функции Дирака, т. е.
K{q,q') = f{q)6{q-q%
для некоторого / G L°°(R). Это рассуждение обычно приводят в учебниках
физики.
Замечание. У оператора Q нет собственных векторов — уравнение
на собственные значения
Qip = Xip
не имеет решений в L2(R). Однако в смысле обобщенных функций это
уравнение имеет для каждого Л G R единственное (с точностью до
постоянного множителя) решение tp\(q) = S(q—А), и эти «обобщенные
собственные функции», называемые также собственными функциями непрерывного
спектра, порождают ядро Шварца единичного оператора / в L2(R). Это
отражает тот факт, что оператор Q диагоналей в координатном
представлении.
Замечание. Нормировку собственных функций непрерывного
спектра tp\(q) можно также определить условием, что для любого Л G R
функция Л
Ыя) = JvvWfr $aGL2(R),
Ло
удовлетворяет условию
Ит0^ЦФл+д-Фл||2-1. (2.14)
Здесь Ло G R фиксировано и не входит в (2.14). Действительно, в нашем
случае ФЛ = Х(л0,л) — характеристическая функция интервала (Ао, А), так
что ЦФл+а -$л||2 = А.

2.2. Квантование
129
Для чистого состояния М = Рф, \\ф\\ = 1 соответствующая
вероятностная мера jiQ на R дается формулой
1*q(E) = иф(Е) = j mq)\2dq, E G ЩЩ.
Е
Физически это интерпретируется так, что в состоянии Рф с «волновой
функцией» il>(q) вероятность нахождения квантовой частицы между q
wq + dq равна \^(q)\2dq. Другими словами, квадрат модуля волновой
функции — это распределение вероятности координаты квантовой частицы.
Соответствующий оператор импульса Р дается дифференциальным
оператором
р = Ъ.А_
г dq
с D(P) = W1,2(M) — пространством Соболева абсолютно непрерывных
функций / на R, таких, что / и ее производная /' (определенная п. в.)
принадлежат L2(R). Оператор Р самосопряжен, и не составляет труда
проверить, что на D = C£°(R), пространстве гладких функций на R с
компактным носителем,
QP-PQ = ibL
Замечание. У оператора Р в Ж нет собственных векторов,
уравнение на собственные значения
Pep = pep, p e R,
имеет решение
ip(q) = const x eh ,
не принадлежащее L2(R). Мы увидим впоследствии, что семейство
нормированных собственных функций непрерывного спектра
порождает ядро Шварца обратного к зависящему от Тг преобразованию
Фурье оператора, диагонализующего оператор импульса Р. В смысле
обобщенных функций
оо
/ (Pp(Q)(PP'(Q)dq = 5(p-pf).
— оо

130
Глава 2
Замечание. Как и в случае оператора координаты, нормировку
собственных функций непрерывного спектра (pp(q) оператора импульса можно
определить условием (2.14). Действительно,
р
фп(а)= [ceikqdk=^(ebPq-e^Poq
Ыя) = 1<
iq
Ро х '
так что
ФР+д(?) - ФР(я) = -д-е* 2 sin —.
Используя элементарное интегрирование, получаем
о
^||Фр+д(<7) - Фр(д)\\2 = 2сЧ J ^Л dq = 2кс2П,
Я2
— оо
так что с = , .
Предложение 2.1. Координатное представление определяет
неприводимое, унитарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга.
Доказательство.
Чтобы показать, что координатное представление интегрируемо,
положим U(и) = е~гиР, и пусть V(v) = е~гу® — соответствующая одно-
параметрическая группа унитарных операторов. Ясно, что (V(v)(p)^(q) =
= e~lvq(p(q), и из теоремы Стоуна (или из определения производной)
легко выводится, что (U{u)(p){q) = (p(q — Ъи), так что унитарные операторы
U(и) и V(v) удовлетворяют соотношению Вейля (2.11). Такая реализация
соотношения Вейля называется представлением Шрёдингера.
Для доказательства неприводимости координатного представления
выберем ограниченный оператор Т, коммутирующий с Р и Q. По
лемме 2.2 Т = f(Q) для какого-то / Е L°°(R). Дальше, из коммутативности Т
и Р следует, что
TU(u) = U(u)T для любого и е М,
а это эквивалентно тому, что f(q — Ъи) — f(q) для любых q, и Е R, так что
/ = const п. в. на R.
В итоге координатное представление характеризуется свойством, что
оператор координаты Q — это умножение на q, а оператор импульса Р —
это дифференцирование:
Q=q и Р=Ч±
г dq

2.2. Квантование
131
Аналогично, импульсное представление определяется свойством, что
оператор импульса Р — это умножение на р. А именно: пусть Ж =
= L2(R, dp) — гильбертово /^-пространство на «пространстве
импульсов» R с координатой р, являющемся лагранжевым подпространством в R2,
определенным уравнением q = 0. Операторы координаты и импульса
даются формулами
Q = ib4- и Р = р
ар
и удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга. Как и
координатное представление, импульсное представление — неприводимое,
унитарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. В импульсном
представлении квадрат модуля волновой функции ф(р) чистого
состояния М = Рф, \\ф\\ = 1, есть распределение вероятности импульса
квантовой частицы, т. е. вероятность, что квантовая частица имеет импульс,
заключенный между р и р + dp, равна \tl>(p)\2dp.
Пусть &% '• L2(R) —> L2(R) — оператор зависящего от Ь
преобразования Фурье, определенный формулой
оо
Ф(Р) = ЛЫ(Р) = -1= [ e-*P\{q)dq.
-оо
Здесь интеграл понимается как предел ф = Jim фп в сильной
топологии L2(R), где
п—юо
1 / ——
фп(р) = -== / е hPq(p(q)dq.
yzTrh J
По теореме Планшереля &% — унитарный оператор в L2(R),
*ьП = П&п = J,
так что координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны.
В частности, поскольку оператор Р очевидно самосопряжен, это мгновенно
показывает, что и оператор Р самосопряжен.
Для п степеней свободы координатное представление определяется
заданием Ж = L2(Rn, dnq), где dnq = dq1 • • • dqn - мера Лебега на Rn, и

132
Глава 2
Здесь Rn — конфигурационное пространство с координатами q — лагран-
жево подпространство R2n, определяемое уравнениями р — 0. Операторы
координат и импульсов самосопряжены и удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга. Проекторные меры операторов Qk даются
формулами
(Pk(E)ip)(q)=Xx^iE)(qMq),
где Е G <2?(R), a Afc : Rn —> R — каноническая проекция на к-ю компоненту,
к = 1, ..., п. Соответственно, проекторная мера Р коммутативного
семейства Q = (Q1, ..., Qn) (см. предложение 1.3) определяется на борелевских
подмножествах Е C.W1 формулой
(P(E)tp)(q)=XE(qMq).
Семейство Q имеет абсолютно непрерывный совместный спектр Rn.
Координатные операторы Q1, ..., Qn образуют полную систему
коммутирующих наблюдаемых. Это по определению означает, что ни один из
этих операторов не является функцией оставшихся, и что любой
ограниченный оператор, коммутирующий cQ1, ..., Qn, — функция Q1, ..., Qn,
т.е. оператор умножения на f(q) для какого-то / Е L°°(Rn).
Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 2.2. Для чистого
состояния М = Рф, \\ф\\ = 1, квадрат модуля |^(<7)|2 волновой функции — это
плотность совместной функции распределения \±q коммутативного
семейства Q, т. е. вероятность нахождения квантовой частицы в борелевском
подмножестве Е СМ71 дается формулой
HQ{E)= j\i>{q)\2<rq.
Е
Координатное представление определяет неприводимое, унитарное,
интегрируемое представление алгебры Гейзенберга f)n. Действительно, п-
параметрические группы унитарных операторов U(u) = е~гиР и V(v) =
_ e-wQ описываются формулами
№Ы(9)=^-Ц, (V(«M(«)=e-%(g)
и удовлетворяют соотношениям Вейля (2.11). То же рассуждение, что
и в доказательстве предложения 2.1 показывает, что это представление
группы Гейзенберга Нп, называемое представлением Шрёдингера для п
степеней свободы, неприводимо.

2.2. Квантование
133
В импульсном представлении Ж=Ь2(Мп, dnp)9 где dnp=dpi- • -dpn —
мера Лебега на Rn, и
Здесь Rn — это пространство импульсов с координатами р — лагранжево
подпространство R2n, определенное уравнениями q = 0.
Координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны
через преобразование Фурье. Как и в случае п = 1, преобразование
Фурье с^ь : L2(Rn) —> L2(Rn) — это унитарный оператор, определенный
формулой
ф(р) = &к{*){р) Кгтгй)-"/2/ e-&%{q)dnq =
= lim (2тгЪГп/2 f e~^P4ip(q)dnq,
N-+OO J
\Q\<N
где предел понимается в сильной топологии на L2(Rn). Как в случае п = 1,
имеем
Qk = &hQk&n\ Pk = &hPk&n\ fc = 1, • • • ,n.
В частности, поскольку операторы Д, ... ,РП, очевидно, самосопряжены,
это мгновенно показывает, что Р\, ..., Рп тоже самосопряжены.
Замечание. Следуя Дираку, физики обозначают вектор ф Е Ж кет-
вектором \ф), вектор ф Е Ж* в двойственном к Ж пространстве (Ж* ~
Ж — комплексный антилинейный изоморфизм) — бра-вектором ((р\9 а их
скалярное произведение — выражением (ср\ф). В стандартных
математических обозначениях
(ф, (р) = ((р\ф) и (Аф, if) = (<р\А\ф),
где А — линейный оператор. С физической точки зрения дираковские
обозначения соответствуют интуиции и удобны для работы с координатным
и импульсным представлениями. Обозначив как \q) = S(q — q1) и \р) —
г_
= {2irh)~n/2eh множества общих обобщенных собственных функций
операторов Q и Р соответственно; мы формально получаем
Q\q) = Q\q), p\p)=p\p),

134
Глава 2
где операторы Q действуют на q'9 и
(р\ф) = (2тгйГ"/2 / е-ъРЯф(д)с1пд = ф(р),
Rn
так же как (q\qf) = S(q — q')9 (p\pf) = S(p — p'). Хотя в нашем изложении
мы не используем дираковские обозначения, эти формулы могут помочь
заинтересованному читателю «переводить» обозначения из учебников
физики на стандартный математический язык.
Замечание. Мы покажем в разделе 2.3.2, что любое
лагранжево подпространство симплектического векторного пространства R2n с
канонической симплектической формой ио = dp A dq порождает
интегрируемое, унитарное, неприводимое представление алгебры Гейзенбер-
га f)n. Это простейший пример действительной поляризации,
определяемой для заданного симплектического многообразия {JZ,u) как
интегрируемое распределение {£?х}хел? лагранжевых подпространств ££х
касательных пространств ТХМ. Понятие поляризации играет
фундаментальную роль в геометрическом квантовании', оно позволяет построить (при
определенных условиях) гильбертово пространство состояний Ж\
ассоциированное с классическим фазовым пространством (JK,uo). В линейном
случае Ж — R2n, любое лагранжево подпространство ££ в R2n порождает
действительную поляризацию через идентификацию TxR2n ~ R2n. В
частности, для координатного представления ££ дается уравнением q = О, а для
импульсного — уравнением р — 0. Соответствующее гильбертово
пространство Ж состоит из функций на R2n, постоянных на слоях поляризации.
Задача 2.4. Приведите пример неинтегрируемого представления
алгебры Гейзенберга.
Задача 2.5. Докажите, что существует (/; е Ж = L2(R,dq), такое,
что векторы P(E)tp, E G ^(R), где Р — проекторная мера оператора
координаты Q, плотны в Ж.
Задача 2.6. Найдите порождающий оператор для коммутативного
семейства Q = (Q1, ..., Qn). Есть ли у него физическая интерпретация?
Задача 2.7. Найдите проекторную меру коммутативного
семейства Р — (Pi, ..., Рп) в координатном представлении.

2.2. Квантование
135
2.2.3. Свободная квантовая частица
Свободная классическая частица описывается фазовым
пространством R2 с координатами р, q и скобкой Пуассона (2.1) и функцией
Гамильтона
Нс{р,я)-^- (2.15)
Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с одной степенью
свободы — это
в координатном представлении он задается формулой
Это самосопряженный оператор в Ж — L2(R,dq) с D(H0) = W2>2(№) —
Соболевским пространством функций в L2(R), у которых обобщенные
первые и вторые производные принадлежат L2(R).
Оператор Щ — положительный, с абсолютно непрерывным
спектром [0, ос) кратности два. Действительно, пусть йо = I/2(R>0,C2; da) —
гильбертово пространство С2-значных измеримых функций Ф на
полупрямой R>o = (0, ос), интегрируемых с квадратом по мере da(\) = J^ d\
So = | Ф(А) = ($fy : ||Ф||2 = J(|Vi(A)|2 + |V*(A)|2)Ar(A) < oo 1.
Из унитарности преобразования Фурье следует, что оператор
%: L2(R,dq)^Sj0,
*(*)(Ч-.(Л)-(^^).
унитарен, ^0*% = i" и %^о* = ^о> где I и Iq — соответственно
единичные операторы в Ж и йо- Оператором Щ^ устанавливается
изоморфизм L2(R, dq) ~ 5э0» и, поскольку в импульсном представлении Щ —
оператор умножения на ^р2, оператор <%ЬНо<Щ^г — это оператор
умножения на Л в йо-

136
Глава 2
Замечание. Оператор Гамильтона Щ не имеет собственных
векторов, уравнение на собственные значения
Щф = Хф
не имеет решений в L2(R). Однако для любого Л = w^k2 > 0 у этого
дифференциального уравнения есть два линейно независимых ограниченных
решения:
4±](я) =
РШь
к>0.
В смысле обобщенных функций эти собственные функции
непрерывного спектра порождают ядро Шварца унитарного оператора %»
устанавливающего изоморфизм между Ж — L2(R,dq) и гильбертовым
пространством йо> на котором Я0 действует как оператор умножения на Л.
Нормировка собственных функций непрерывного спектра также определяется
условием (2.14):
lim ~
*£*-**
(±)
i=iItoi(e-»[+,1*u-«[-,)=o1
где *1±)Ы = / №\q)dp.
ко
Задача Коши для уравнения Шрёдингера свободной частицы
dibit)
(2.16)
легко решается с помощью преобразования Фурье.
Действительно, в импульсном представлении оно принимает вид
так что
ф[р,Ь) = е
гр
= о 2тК ф(р).

2.2. Квантование
137
В координатном представлении решение (2.16) дается формулой
оо сю
il>(q,t) = -р= [ e*Pq$(p,t)dp = —L= [ еЬх(р^ф{р)с1р, (2.17)
где
-оо — оо
V2 VQ
Формула (2.17) описывает движение квантовой частицы и
допускает следующую физическую интерпретацию. Пусть начальное условие ф
в (2.16) таково, что его преобразование Фурье ф — Тп{Ф) — гладкая
функция, сконцентрированная в окрестности С/q точки ро Е R \ {0}, 0 ^ С/q, и
оо
/
[m\2dp=i.
Такие состояния называются «волновыми пакетами». Тогда для любого
компактного подмножества Е С R имеем
lim [[il;(q,t)\2dq = 0. (2.18)
\t
E
Поскольку
оо
/ I#M)I2
dq = l
для всех t, из (2.18) следует, что частица покидает любое компактное
подмножество R при \t\ —> ос, и квантовое движение нефинитно. Для
доказательства (2.18) заметим, что функция х(р, #,£) ~ «фаза» в
интегральном представлении (2.17) — обладает свойством, что \-^\ > С > 0 для
всех р Е С/q, q Е Е и достаточно большого |£|.

138
Глава 2
Интегрируя по частям, получаем
~и0
(
<ф(д.
y/brtiJ
i/>(p)dp ■■
= _1 /A [A
it V 2тг J dp
dx(p,q,t)
\ dp J
Tx(p,q,t)t
dp,
так что равномерно по Е
^(q,t)=0(\t\-1) при |t|-oo.
Повторным интегрированием по частям получаем, что для любого п Е N
равномерно по Е
#М) = 0(1*ГП)>
так что ^(g,*) = 0(|t|-°°).
Для описания движения свободной квантовой частицы в
неограниченных областях мы используем метод стационарной фазы. В своей
простейшей форме его можно сформулировать следующим образом.
Метод стационарной фазы. Пусть f,g e C°°(R), где / веществен-
нозначна, а д — функция с компактным носителем, и допустим, что / имеет
одну невырожденную критическую точку #о, т. е. f'(xo) — О и f"{x§) ф 0.
Тогда
оо
Г eiNf{x)g(x)dx ■.
2тг
ЩГЫ\
шпХо)+^пГМд{хо) + Q ^
при N —> оо.
Применяя метод стационарной фазы к интегральному представлению
(2.17) (и положив N = t), находим, что критическая точка х{р,яЛ) —
эторо
mq
сх"(Ро) = -£#0,и
tf(?,*) = ftf(
™,7, (»
* /
+ 0(Г1) =
= tl>o(q,t) +0(t ) при £ —> оо.

2.2. Квантование
139
Таким образом, при t —> схэ волновая функция tl>(q,t) концентрируется
в районе ^[/о — области, где асимптотическая вероятность нахождения
частицы отличается от нуля. При больших t точки в этой области движутся
с постоянными скоростями v = ^, р Е С/о- В этом смысле классическое
соотношение р = mv остается верным и в квантовом описании. Более того,
асимптотическая волновая функция фо удовлетворяет условию
оо оо
1\Мя^)\Чя=]^1\гр(Щ
2
dq=l,
а следовательно, описывает асимптотическое распределение вероятности.
Аналогично, положив N = —\t\, можно описать поведение волновой
функции tl>(q,t) при t —> -оо.
Замечание. В слабой топологии Ж имеем lim ij)(t) = 0. Действи-
|t|-к»
тельно, для любого (р Е Ж получаем из тождества Парсеваля для
интегралов Фурье
оо 2
№)М= J Ф(р)Ше~^ dp,
и интеграл обращается в ноль при \t\ —> оо по лемме Римана - Лебега.
Свободная классическая частица с п степенями свободы
описывается фазовым пространством R2n с координатами р = (pi, ... ,рп) и q =
= (q1, ..., qn), скобкой Пуассона (2.3) и функцией Гамильтона:
*«(*«> = ё = ^<р?+••■+**>•
Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с п степенями
свободы — это
а в координатном представлении
я°=-£А'

140
Глава 2
где
— оператор Лапласа17 в декартовых координатах на Rn.
Гамильтониан Щ является самосопряженным оператором в Ж = L2(Rn,dnqr)
с D(Hq) = W2>2(Rn) — пространством Соболева на Rn. В импульсном
представлении
Ho = h
— оператор умножения на функцию в пространстве Ж — L2(Rn, dnp).
Оператор Щ положителен и имеет абсолютно непрерывный
спектр [0, оо) бесконечной кратности. А именно: пусть Sn~l =
= {п Е Rn: n2 = 1} — (п — 1)-мерная единичная сфера в Rn, пусть dn
— мера на 5П_1, индуцированная мерой Лебега на Rn, и пусть
(, = {/: 5"-1 - С : Ц/Ц» = J |/(n)|2dn < оо}.
Sn-1
Пусть #0 = £20&>о,*);^сгп) — гильбертово пространство
измеримых г)-значных функций18 Ф на R>o = (0, оо), интегрируемых с квадратом
на R>0 по мере dan{\) = (2mA) 2 ^,
Я<п) = { Ф : R>0 -> f>, ||Ф||2 = J ||Ф.(А)||2 dan(A) <
00
Когда п = 1, #о — Йо — соответствующее гильбертово пространство для
одной степени свободы. Оператор % • £2(Kn,dn<z) —► йо >
<%М(А) - Ф(А), Ф(А)(п) = ^(vSn),
является унитарным и устанавливает изоморфизм L2(Rn,dnqr) ~ #о •
В импульсном представлении Щ — это оператор умножения на -—р2, так
что оператор %)#o^_1 — оператор умножения на А в #о •
17Это взятый с обратным знаком оператор Лапласа - Бельтрами стандартной евклидовой
метрики на Rn.
18То есть для любого / 6 J) функция (/, Ф) измерима на R>q.

2.2. Квантование
141
Замечание. Как в случае п = 1, оператор Гамильтона Щ не имеет
собственных векторов, уравнение на собственные значения
Щф = Хф
не имеет решений в L2(Rn). Однако для любого Л > 0 у этого
дифференциального уравнения есть бесконечно много линейно независимых
ограниченных решений
/ \ /Л *\ — 77 rv2mAnq
фп(Я) = (2тгТь) 2еь
параметризованных единичной сферой 5n_1. Эти решения не
принадлежат L2(Rn), но в смысле обобщенных функций они порождают ядро
Шварца унитарного оператора %, которым устанавливается изоморфизм между
Ж = L2(Rn,dnq) и гильбертовым пространством щ \ где Щ действует
как оператор умножения на Л.
Как и в случае п = 1, уравнение Шрёдингера для свободной частицы
in^-=H0m, ф(о)=ф,
решается с помощью преобразования Фурье:
v2
iP(q,t) = (2тгТь)-п/2 f е^{рч~'^г)'ф{р)алр.
В случае волнового пакета, когда начальное условие ф таково, что его
преобразование Фурье ф = ^п{Ф) — гладкая функция, сконцентрированная
в окрестности С/о точки р0 G Мп \ {0}, такой, что 0 ^ С/о и
/'
Rn
квантовая частица покидает любое компактное подмножество Rn, и
движение нефинитно. Асимптотически, когда \t\ —> оо, волновая функция ф^^)
отлична от 0 только при q = j^t, р G С/о.
Задача 2.8. Найдите асимптотическую волновую функцию
свободной квантовой частицы с п степенями свободы.

142
Глава 2
2.2.4. Примеры квантовых систем
Теперь мы опишем квантовые системы, соответствующие
классическим лагранжевым системам, вводившимся в разделе 1.1.3 главы 1. В га-
мильтоновой формулировке фазовое пространство этих систем, за
исключением последнего примера, — симплектическое векторное пространство R2n
с каноническими координатами p,q и симплектической формой ио =
= dpA dq.
Пример 2.1 (Ньютонова частица). Согласно разделу 1.1.7
главы 1 классическая частица в Rn, движущаяся в потенциальном поле V(q),
описывается функцией Гамильтона
Пусть оператор Гамильтона квантовой системы дается формулой
Р2
с некоторым оператором V, так что операторы координат и импульсов
удовлетворяют уравнениям движения Гейзенберга
Р = {Я,РЬ, Q = {H,Q}h. (2.19)
Р
Для определения V потребуем, чтобы классическое соотношение q = —
между скоростью и импульсом частицы сохранялось при квантовании, т. е.
чтобы выполнялось
Q = m-
Поскольку {Р2, Q}h = 2Р, из (2.19) следует, что это условие эквивалентно
равенствам
[V,Qfc]=0, fc = l, ...,n.
Из раздела 2.2.2 следует, что V — функция коммутирующих
операторов Qi, ..., Qn, и естественный выбор19 — это V = V(Q). Таким образом,
оператор Гамильтона ньютоновской частицы — это
^Подтверждаемый согласием теории с экспериментом.

2.2. Квантование
143
что согласуется с равенством Н = HC(P,Q)20. В координатном
представлении гамильтониан — это оператор Шрёдингера
H = -^A + V(q) (2.20)
с вещественнозначным потенциалом V(q).
Замечание. Сумма двух неограниченных самосопряженных
операторов — необязательно самосопряженный оператор, и приходится
описывать допустимые потенциалы V(q), для которых Н — самосопряженный
оператор в L2(Rn,dnq). Если потенциал V(q) — вещественнозначная,
локально интегрируемая функция на Rn, то дифференциальный оператор
(2.20) определяет симметрический оператор Н на пространстве Со(Мп)
дважды непрерывно дифференцируемых функций на Rn с компактным
носителем. Потенциалы, для которых не существует самосопряженного
продолжения симметрического оператора Я, очевидно, не физичны. Может
также случиться, что у Я несколько самосопряженных продолжений21. Эти
продолжения выделяются с помощью каких-нибудь граничных условий на
бесконечности, и нет каких-то физических принципов, чтобы выбрать
одно из них. Физическим является один случай, когда симметрический
оператор Н допускает единственное продолжение, то есть когда Я
самосопряжен в существенном. В главе 3 будут приведены необходимые
условия самосопряженности в существенном. Сейчас упомянем лишь критерий
фон Неймана, заключающийся в том, что если А — замкнутый оператор
и D(A) = Ж, тоН = А*А — положительный самосопряженный оператор.
Пример 2.2 (Взаимодействующие квантовые частицы). В ла-
гранжевом формализме замкнутая классическая система из N
взаимодействующих частиц в R3 была описана в примере 1.2 в разделе 1.1.3
главы 1. В гамильтоновом формализме она описывается каноническими
координатами г = (ri, ... ,гдг), каноническими импульсамир = (pi, ... ,рдг),
ra,Pa G R3 и функцией Гамильтона
Hc(p,r)=J2^-a+V(r), (2.21)
20В частном случае Нс(р, q) = /(р) + g(q) задача упорядочения некоммутирующих
операторов Р и Q не возникает.
21 Так обстоит дело, когда индексы дефекта Я равны и отличаются от нуля.

144
Глава 2
где та — масса а-й частицы, а = 1, ..., N (см. раздел 1.1.7 в главе 1).
Соответствующий оператор Гамильтона Н в координатном представлении
имеет вид
N 2
н = -Т,£гаА* + у(г)> (2-22)
а=1
В частности, когда
V(r) = Yl V(r° - г")'
l^a<b^N
оператор Шрёдингера (2.22) описывает задачу N тел в квантовой механике.
Фундаментальная квантовая система — сложный атом, образованный ядром
с зарядом Ne и массой М и N электронами с зарядом —ей массой га.
Обозначая как R Е М3 положение ядра и как г\, ..., г^ — положения
электронов и полагая, что взаимодействие дается кулоновским
притяжением, получаем для функции Гамильтона (2.21)
а=1 а=1 I С а| 1<а<Ь<ЛГ ' а Ь|
где Р — канонический импульс ядра. Соответствующий оператор
Шрёдингера Н в координатном представлении имеет вид22
о N о N
и --Ж-л-\^ Il-л V^ Ne i V е
п~ 2МА 2^2т*а 2^\R_r\+ L. \Га-гьУ
a=l a=l ' а| 1<а<КЛГ ' а Ь|
В простейшем случае атома водорода, когда N = 1, а ядро состоит из
единственного протона 23, гамильтониан — это
"" 2МАр 2mAe |rp-re|'
где гр — положение протона, а ге — положение электрона. В первом
приближении протон можно рассматривать как бесконечно тяжелый, так что
22Пренебрегая тем фактом, что у электрона есть спин, см. главу 4.
23В случае водорода-1 или протия; оно включает один или более нейтронов в случае
дейтерия, трития и других изотопов.

2.2. Квантование
145
атом водорода описывается электроном в притягивающем кулоновском
поле —е2/|г|, где теперь г — ve — rp. Соответствующий оператор Гамильтона
принимает вид
Ъ2 р2
# =-77-Д-г7- (2'23)
2га \г\
Мы решим уравнение Шрёдингера с этим гамильтонианом Н и определим
его уровни энергии в разделе 3.5.1 главы 3.
Пример 2.3 (Заряженная частица в электромагнитном поле).
Классическая частица с зарядом е и массой га, движущаяся в зависящем от
времени электромагнитном поле со скалярным и векторным
потенциалами if (г) и A(r), r Е R3, описывается функцией Гамильтона
Яс(р'г)=2^(Р"сА) +е^г)
(см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Соответствующий классический
вектор скорости v — {НСуг} дается формулой
v=p- §А,
и его компоненты v — (vi,v2,vs) имеют ненулевые скобки Пуассона:
{vi,v2} = \-В$, {v2,v3} %~въ {^3,M = \~въ
mzc mrc mzc
где В = (В\, В2,В3) — компоненты магнитного поля В — curl A.
Оператор Гамильтона квантовой частицы — это
Я=2^(Р-И2 + ^(Г) (2'24)
— оператор Шрёдингера заряженной частицы в электромагнитном поле.
Соответствующий квантовый вектор скорости V = {H,Q}n дается той же
формулой, что и в классическом случае:
V = P-%A,
и его компоненты V = (Vi, V2, V3) имеют ненулевые квантовые скобки:
{Vi,V2}n = —\ВЪ, {V2yV3}h = --^-Ви {У3,Уг}п = —\В2.
mzc mzc mzc
Таким образом, в присутствии магнитного поля три компоненты квантового
оператора скорости больше не коммутируют, и одновременно измерить их
нельзя.

146
Глава 2
Пример 2.4 (Свободная квантовая частица на римановом
многообразии). Фазовое пространство классической частицы массы
т — 1, движущейся на римановом многообразии (М,д), — это кокасатель-
ное расслоение Т*М, и соответствующая функция Гамильтона дается
формулой
Нс(р,х) = Ig^ixfop,,,
где д^(х) — тензор, обратный к метрическому тензору gliv{x)9 a
(р,х) = (рь ...,рп,х\ ...,хп)
— стандартные координаты на Т*М (см. раздел 1.1.7 главы 1).
Гильбертово пространство квантовой системы — это Ж = L2(M,dfj,)9 где d\i =
— \/g{n)dnx, g(x) — det(gfJLi/(x))9 — мера, ассоциированная с плотностью
римановой метрики (римановой формы объема, если М ориентировано).
Когда канонические координаты (р, х) определены на Т*М лишь локально,
построить соответствующие операторы Р и Q невозможно. Тем не менее
всегда можно определить оператор Гамильтона по формуле
П
2
я = тА- где А' = --щш^)яГ^) (2-25)
— оператор Лапласа-Бельтрами римановой метрики д на М. Заметим, что
в этом случае имеется нетривиальная задача упорядочивания некоммутиру-
ющих оператор в квантовании Нс(р, ж), возникающая, если в координатной
окрестности на М заменить канонические координаты р и х
операторами Р и Q. Формула
показывает, что локальные выражения
HC(P,Q) = ^v(Q)P^Pv + ihg^(Q)r^(Q)Pv) (2.26)
склеиваются до корректно определенного самосопряженного оператора Н
в Ж, даваемого формулой (2.25). Таким образом, когда М = Rn и
канонические координаты (р,х) определены глобально на T*Rn, правильная
формула для НС(Р, Q) — та, что продолжается на произвольные римановы
многообразия, — дана в (2.26), где второй член представляет собой
«квантовую поправку» к наивному выражению g^v{Q)PjlPu^

2.2. Квантование
147
2.2.5. Старая квантовая механика
Представленная выше формулировка квантовой механики восходит
к 1925-1927-м годам и принадлежит Гейзенбергу, Шрёдингеру, Борну,
Йордану и Дираку. Она заменила старую квантовую теорию, предложенную
Бором в 1913-м году, базировавшуюся на планетарной модели атома Ре-
зерфорда. В старой теории уровни энергии одномерной квантовой системы
соответствуют замкнутым орбитам ассоциированной классической гамиль-
тоновой системы, удовлетворяющим правилу квантования Бора -
Вильсона - Зоммерфельда (правилу БВЗ):
Ф pdq = 2тгТь(п + |),
где п — неотрицательное целое число, и интегрирование ведется по
замкнутой орбите в фазовом пространстве R2. Правила квантования
Бора-Вильсона-Зоммерфельда применяются и к вполне интегрируемым гамильтоно-
вым системам с несколькими степенями свободы (см. раздел 1.2.6 главы 1).
А именно: пусть jF\ = Нс, ..., F/v — N независимых интегралов движения
в инволюции. Правила квантования БВЗ — это
pdq — 2тгТг(щ + \ ind7),
где интегрирование ведется по всем 1-циклам 7 в лагранжевом
подмногообразии Л - {(p,q) G R2N : Hc(p,q) = EyF2(pyq) = Е2, .. .,FN(p,q) =
— En}, ind7 G Z — так называемый индекс Маслова цикла 7 в Л. В
одномерном случае замкнутая орбита — топологически круг, и ее индекс
Маслова равен 2. В разделе 3.6.3 главы 3 будет показано, что, вообще говоря,
правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда дают только
асимптотику уровней энергии при Ь —> 0. Однако для интегрируемых систем
с дополнительной симметрией, таких как гармонический осциллятор или
задача Кеплера, правила квантования БВЗ определяют уровни энергии
точно. Мы покажем это в следующем разделе для гармонического осциллятора
и в разделе 3.5.1 главы 3 для задачи Кеплера.
2.2.6. Гармонический осциллятор
Простейшая классическая система с одной степенью свободы, за
исключением свободной частицы, — это гармонический осциллятор. Он
описывается фазовым пространством R2 с каноническими координатами р, q
J Л/

148
Глава 2
и функцией Гамильтона
(см. разделы 1.1.5 и 1.1.7 главы 1). Уравнения Гамильтона
Р= {Нс,р} = -mu2q, q = {Hc,q} = щ
с начальными условиями ро, qo легко решаются:
p(t) = po cosut — muqo smut, (2.28)
q(t) = q0cosut+ —p0sinut, (2.29)
и описывают гармоническое движение. Как и в разделе 1.2.6 главы 1,
удобно ввести комплексные координаты на фазовом пространстве R2 ~ С,
z = —= (uq + ip), z— —= (uq - ip). (2.30)
y/2uj y/2uJ
Имеем
{z,z}=^ Hc{z,z) = mu\z\\ (2.31)
так что уравнения Гамильтона разделяются:
z = {#с, z} = —iujz, z = {Нс, z} = iujz,
и тривиально решаются:
z(t) = e~iu,tzo, z = eiu,tz0. (2.32)
Здесь
zo = -p= (^<7o + ipo), z0 = —= (ujq0 - ipo).
V2cj y2uj
Для квантовой системы соответствующий оператор Гамильтона — это
р2 muj2Q2
Я-2^ + "~!~~'

2.2. Квантование
149
и в координатном представлении Ж = L2(R,dq) — это оператор
Шрёдингера с квадратичным потенциалом,
ff= П2 d2 rnu2q2
2т dq2 2 *
Квантовый гармонический осциллятор — простейшая нетривиальная
квантовая система, за исключением свободной частицы, у которой явно
решается уравнение Шрёдингера. Он появляется во всех задачах, связанных
с квантованными колебаниями, то есть в молекулярных и кристаллических
вибрациях. Точное решение гармонического осциллятора, описываемое
ниже, обладает замечательными24 алгебраическими и аналитическими
свойствами.
На время положим т = 1 и рассмотрим операторы
а = —L= (ujQ + iP), а* = —L= (ujQ - гР), (2.33)
у2ио7ь y2u/h
являющиеся квантовыми аналогами комплексных координат (2.30).
Операторы а и а* определены на W^2(R)nW^2(R)9 где W^2(R) = ^(W^2(R))9
и легко показать, что а* — сопряженный оператор к а и а** = а, так что а —
замкнутый оператор. Из коммутационных соотношений Гейзенберга (2.2)
мы получаем каноническое коммутационное соотношение
[а,а*) = 1 (2.34)
на W2>2(R) П W2>2(R). Действительно
аа 2иП ^2иП['Ч] 2иП +2Л
2uh 2иЪ['Щ 2иП 2Л
так что (2.34) выполняется на W2'2{R) П J?2'2(R), где W2>2(R) =
= #(W2>2(R))9 и
Я = иП (а* а + \1) = иТь (аа* - \l) .
В частности, из критерия фон Неймана следует, что оператор Гамильтона Н
самосопряжен.
24Алгебраическая структура точного решения гармонического осциллятора играет
фундаментальную роль в квантовой электродинамике и вообще в квантовой теории поля.

150
Глава 2
Операторы а,а* и N = а*а удовлетворяют коммутационным
соотношениям
[N, а] = -a, [N, а*] = а*, [а, а*] = I. (2.35)
Эти коммутационные соотношения соответствуют неприводимому
унитарному представлению четрырехмерной разрешимой алгебры Ли \),
ассоциированной с алгеброй Гейзенберга J) = J)i, введенной в разделе 2.2.1. А
именно: \) — алгебра Ли с образующими е,/, ft, и с, где е,/,с удовлетворяют
соотношениям алгебры Гейзенберга f) и
[М = -Л [h,f]=u2e, [ft,c]=0.
Неприводимое интегрируемое представление р алгебры Гейзенберга f) (см.
(2.9) в разделе 2.2.1) продолжается до унитарного представления
алгебры Ли f), если положить
Замечание. В инвариантных терминах алгебра Ли ^ — одномерное
правое расширение алгебры Гейзенберга f),
0-»J)->(j-»R-»0.
Оно определяется ^-значным 1-коциклом г Е Z1^, fj) на алгебре Ли —
дифференциальным оператором на f), задаваемым на образующих формулой
r(e)=/, r(/) = -cj2e, r(c)=0.
Конкретно, если ft e J) таково, что ft = 1 G R при проекции J) —► R, то,
отождествляя элементы J) с их образами при вложении f) °-> f), имеем
[ж + aft,?/ + /3ft] = [x,y] -ar(y) + fir(y), x,yef).
Как раз благодаря этой Ли-алгебраической структуре коммутационных
соотношений (2.35), уравнения движения Гейзенберга для гармонического
осциллятора точно решаются. А именно: мы имеем
а = {Н,а}п = —iu>a, а* = {Н^а*}^ = гиа*,
так что
a(t) = e~luJta0, a*(t) = e2u;ta*.
Сравнивая с (2.32), видим, что решения классических и квантовых
уравнений движения гармонического осциллятора имеют один и тот же вид!

2.2. Квантование
151
Далее, используя коммутационные соотношения (2.35) и
положительность оператора N, мы решим задачу на собственные значения
гамильтониана Н гармонического осциллятора, в явном виде определив его уровни
энергии и соответствующие собственные вектора. Мы докажем, что
собственные вектора образуют полную систему векторов в Jf7, так что спектр
гамильтониана Н является точечным. Это квантово-механический аналог
того факта, что классическое движение гармонического осциллятора всегда
финитно.
Алгебраическая часть точного решения состоит из следующего
фундаментального результата.
Предложение 2.2. Допустим, что существует ненулевое ф Е D(an)n
П D((a*)n), п = 1,2, ..., такое, что
Нф = Хф.
Тогда выполняются следующие утверждения.
(/) Существует фо Е Ж, ||^о|| — 1> такое, что
Нф0 = \?ьшфъ.
(и) Векторы
(а*)п
фп = ^-7=ТФоеЖ, п = 0,1,2,...,
Vn!
— ортонормальные собственные векторы Н с собственными
значениями Ъио(п+ ^),
Нфп = Ьи{п + \)фп-
(ш) Ограничение оператора Н на гильбертово пространство Ж§ —
замкнутое подпространство Ж, натянутое на ортонормальное
множество {^n}£L_0 — самосопряжено в существенном.
Доказательство.
Переписывая коммутационные соотношения (2.35) как
Na = a(N-I) и iVa* = a*(N + I)
и положив Л = /icj(/i + -), получаем для всех п ^ О
Мапф = {ц-п)апф и М(а*)пф = (/х + п)(а*)пф. (2.36)

152
Глава 2
Поскольку N ^ 0 на D(N), из первого уравнения в (2.36) следует,
что существует щ ^ 0, такое, что аПо,ф ф О, но аПо+1/0 = 0. Поло-
ап°ф
жив фо = -——- G Ж, получаем
а<ф0 = 0 и Л^0 = 0. (2.37)
Поскольку Н = fiw(N + ^7), это доказывает часть (i). Для доказательства
части (ii) воспользуемся коммутационными соотношениями
[о,(о')"]=п(о*)п-1> (2.38)
которые следуют из (2.34) и правила Лейбница. Используя (2.37)-(2.38),
получаем
а* Фи = у/п + l^n+i, а,фп = у/пфп-1, (2.39)
так что
||V>n||2 = —(0>„-i,^n) = ;
у/П
= -^{фп-^афп) = ||0n-i||2= ... = ||V>o||2 = l.
у/П
Из второго уравнения в (2.36) следует, что N^n = пфп, поэтому фп —
нормализованные собственные векторы Н с собственными значениями
Тил){п + \). Собственные векторы фп ортогональны, поскольку
соответствующие собственные значения различны, а оператор Н симметрический.
Наконец, часть (ш) мгновенно следует из того факта, что, согласно части (ii),
подпространства Im (H ± И)\^> плотны в Жо, что является критерием
самосопряженности в существенном.
Замечание. Поскольку координатное представление
коммутационных соотношений Гейзенберга неприводимо, заманчиво заключить,
используя предложение 2.2, что Жо = Ж. А именно: из построения следует, что
линейная оболочка векторов фп — плотное подпространство в Жо —
инвариантна относительно операторов Р wQ. Однако из этого не следует сразу,
что оператор По проекции на подпространство Ж$ коммутирует с
самосопряженными операторами Р и Q в смысле определения в разделе 2.1.1.
Используя координатное представление, можно мгновенно показать
существование вектора Vo в предложении 2.2 и доказать, что Жо = Ж.

2.2. Квантование
153
Действительно, уравнение афо = О превращается в линейное
дифференциальное уравнение первого порядка:
так что
и
оо
— оо
Вектор фо называется основным состоянием гармонического осциллятора.
Соответственно, собственные функции
_ ш 2
имеют вид Pn(q)e 2h , где Рп(<7) — многочлены степени п. Следующий
результат показывает, что функции {VVij^o образуют ортонормальный
базис в L2(R,dq).
Лемма 2.3. Функции qne~q , п = О,1,2, ..., полны в L2(R, dg).
Доказательство.
Пусть / G L2(R,dq) таково, что
ОО
J f(q)qne-"2dq = 0, n = 0,1,2, ....
— ОО
Интеграл
(X)
F(z) = J f(q)e^^2dq
— (X)
абсолютно сходится для всех z Е С и поэтому определяет целую функцию.

154
Глава 2
Имеем
ОО
F^(0)=in J f(q)qne-o2dq = 0, n = 0,1,2,...,
— ОО
так что F(z) = 0 для всех z Е С. Из этого следует, что функция g(q) =
= f(q)e~q2 € Ьг(М) П L2(R) удовлетворяет условию J*"(#) = 0, где & —
«обычное» (Ъ = 1) преобразование Фурье. Таким образом, мы заключаем,
что д = 0. Многочлены Рп выражаются через классические многочлены
Эрмита-Чебышева НП9 определяемые формулой
Hn(q) = (-l)ne^^e-"\ n = 0,1,2,....
А именно: используя тождество
я2
dqn V dq)
Г „2
Я
в 2
dn~
dqn
-l
-i
е~
-i
V
= -=w {*-%)"*
получаем
^) = ^-^«""ияп(у|,)
о; 1 „-й*2
^ \/2пп!
Подытожим полученные результаты следующим образом.
Теорема 2.1. Гамильтониан
н= П2 d2 гпш2д2
2т dq2 2
квантового гармонического осциллятора с одной степенью свободы
является самосопряженным оператором в Ж = L2(R, dq) с областью
определения D(H) = W2,2(R) П W2>2(R). Оператор Н имеет чисто точечный
спектр
Нфп = Хпфп, п = 0,1,2, ...,
с собственными значениями Хп = 1гио{п + \). Соответствующие
собственные функции фп образуют ортонормальный базис Ж и даются формулами
фп{9) = {/™^= е ^ " Нп (^«) ' (2'4°)
/ i ти> 2
/тш 1 л"^-9
^ у/2пп\
где Hn(q) — классические многочлены Эрмита- Чебышева.

2.2. Квантование
155
Доказательство.
Рассмотрим оператор Н, определенный в пространстве Шварца У(Ш)
быстро убывающих функций. Поскольку оператор Н симметрический
и имеет полную систему собственных векторов в У(Щ9
подпространство Im(# ± И) плотно в Ж\ так что Н самосопряжен в существенном.
Доказательство того, что его самосопряженное замыкание (которое мы по-
прежнему будем обозначать как Н) имеет областью определения
пространство W2>2(R) П \¥2>2(Щ, остается читателю.
Замечание. Уровни энергии гармонического осциллятора можно
также получить из правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда.
Действительно, соответствующая классическая орбита с энергией Е —
эллипс в фазовой плоскости, задаваемый уравнениями q(t) = Acos(ut + a),
p(t) = —mujAsm(u;t + а), где Е = ^тш2А2 (см. раздел 1.1.5 главы 1).
Таким образом,
Ф pdq = dpAdq = тттиА2 = ^j-E,
и по правилу квантования БВЗ получаются уровни энергии En=Tuj(n-\- -).
Замечание. Поскольку уровни энергии Гамильтона Н
эквидистантны с интервалом Тьш, квантовый гармонический осциллятор описывает
систему одинаковых «квантов» с энергией Тьш. Основное состояние |0) = Vo
в дираковских обозначениях — это вакуумное состояние, когда никаких
квантов нет и вакуумная энергия равна \Ьш, а состояния \п) = фп состоят
из п квантов с энергией Ьш{п + \). Согласно (2.39) оператор а* добавляет
состоянию \п) один квант, и он называется оператором рождения, а
оператор а уничтожает в состоянии \п) один квант и называется оператором
уничтожения.
Пример гармонического осциллятора — иллюстрация того, насколько
отличается движение в квантовой механике от движения в классической
механике. Классическое движение в потенциальном поле V(q) = -muj2q2
/op
финитно: частица с энергией Е движется в области \cuq\ ^ v/^f , тогда как
для квантовой частицы всегда есть ненулевая вероятность обнаружиться за
пределами классической области
состояния эта вероятность равна
пределами классической области. Так, для энергии Е = -Ьш основного
f \M<l)\2dq = -j= I e~x2dx ~ 0,1572992070.
i i\ / ft

156
Глава 2
Классический гармонический осциллятор с п степенями свободы
описывается фазовым пространством R2n с каноническими координатами р, q
и функцией Гамильтона
3 = 1
где cji, ... ,o;n > 0 (см. разделы 1.1.3 и 1.1.7 главы 1).
Соответствующий оператор Гамильтона есть
Р2 » mu)Q)
— в координатном представлении Ж = L2(Rn, dng) это оператор Шрёдин-
гера с квадратичным потенциалом,
Гамильтониан Я — самосопряженный оператор с D(H) = W2,2(M.n) П
П W^2'2(Rn) с чисто точечным спектром. Соответствующие собственные
функции
где к = (fci, ..., /сп) и т/^. (д^) — это собственные функции (2.40) с ш = ljj,
образуют ортонормальный базис в L2(Mn,dnq). Соответствующие уровни
энергии даются формулами
Afc = ftui(fci + \) + ... + bwn{kn + \).
Спектр Н является простым, если и только если Ьш\, ..., bujn линейно
независимы над Z. Самый вырожденный случай — ш\ = ... = шп = и,
тогда кратность собственного значения
п
A* = ftu £>,- + §)
i=i
— это статистическая сумма рп(|&|)> T-e- число представлений целого
числа |fc| = к\ + ... + /сп в виде суммы п неотрицательных целых чисел.

2.2. Квантование
157
Положив го = 1 и вводя операторы25
<ч = -j= (wQj + ipj)>
" j = l,...,n, (2.41)
получаем канонические коммутационные соотношения операторов
рождения и уничтожения для п степеней свободы:
[aj,(n) = О, [dj,af] = О, [a,, af] = SjtI, j,I = 1, ...,n, (2.42)
обобщающие соотношение (2.34) для одной степени свободы.
Операторы aj,cij и Nj = cLjdj, j = 1, ...,п, удовлетворяют коммутационным
соотношениям
[Nj, aj] = -fyaj, [Nj, aj] = fyaf, j, I = 1, ..., n. (2.43)
В частности, оператор
удовлетворяет соотношениям
[N, aj] = -aj, [N, a*] = a*, j = 1, ..., n,
Коммутационные соотношения (2.42) и (2.43) соответствуют
неприводимому унитарному представлению разрешимой алгебры Ли \)п с Зп + 1
образующими ej,fj,hj и с, где ej,/j,с удовлетворяют соотношениям
алгебры Гейзенберга J)n, и
[ftj, ej] = -fy/ь [ftj, //] = ^cJ?ez, [ftj, с] = 0, j, Z = 1, ..., п.
Задача 2.9. Покажите, что (Я|М) ^ ifta> для любого М е У, где
Н — гамильтониан гармонического осциллятора с одной степенью свободы.
5 Здесь мы, используя стандартную евклидову метрику на Мп, опустили индексы у QJ.

158
Глава 2
Задача 2.10. Пусть q(t) = Acos(ujt + a) — классическая траектория
гармонического осциллятора с т = 1 и энергией Е = -ш2А2, и пусть ца —
вероятностная мера на R, сконцентрированная в точке q(t). Покажите, что
выпуклая линейная комбинация мер /ла, 0 ^ а ^ 27Г, является
вероятностям2 - q2)
ной мерой на R с функцией распределения n(q) = ——=, где 9(q) —
ny/A2 - q2
функция Хевисайда.
Задача 2.11. Покажите, что когда п —► оо и Ь —► 0, так
что остается постоянным, огибающая функции
распределения \il>n(q)\2 на интервале |g| ^ А совпадает с классической
функцией распределения fi(q) из предыдущей задачи. (Указание: докажите, что
существует интегральное представление
оо
е-*2Я„(д) = ^ / е^У cos(2W - |n7r)dj/,
о
и выведите асимптотическую формулу
при ft -> 0 и ft(n + i) = ^^2, Ы < Л.)
Задача 2.12. Завершите доказательство теоремы 2.1.
Задача 2.13 (Теорема об TV-представлении). Пусть ф е У(Щ.
ОО
Покажите, что сходящееся в L2 разложение ф = ^ спфП9 где сп = (ф, фп),
п=0
сходится в S*(R). (Указание: воспользуйтесь тем, что Ифп = пфп.)
Задача 2.14. Покажите, что операторы Eij = a*aj, i,j = 1, ... ,n,
удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли sl(n,C).
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы
Рассмотрим гильбертово пространство
е = |с={с„}^о •• 1И2 = £ Iе"!2 < °°}

2.2. Квантование
159
последовательностей с суммируемым квадратом. Выбором ортонормально-
го базиса {/0гг}^=о в L2(R, dq), состоящего из собственных функций (2.40)
оператора Шрёдингера гармонического осциллятора, устанавливается
изоморфизм гильбертовых пространств L2(R, dq) ~ £2,
ОО
L2(R, dq)Btl; = ^2 спфп ~ с = {с„}^=0 € И2,
п=0
где
сп = (ф,фп) = / ^(q)^n(q)dq,
— оо
поскольку функции Vn вещественнозначны. Используя (2.39), получаем
оо оо оо
а*^ = ^2 с"а*^ = ^2 >/п + ! Спфп+i = ^2 у/псп-гфп, Ф G D(a*)
п=0
п=0
п=1
аф = ^2 cna>i>n = ^2 ^спФп-1 = ^2 Vn + lcn+iil>n, ф е 25(a),
п=0 п=1 п=0
так что в пространстве £2 операторы рождения и уничтожения а* и а
представлены следующими полубесконечными матрицами:
/0 у/1 0 0 ..-\ /0000 ..Д
у/1 0 0 0
0 0 у/2 0
0 0 0 V3
0 0 0 0
\; ; ; ;
В результате
N = a*a =
0 у/2 0 0
0 0 у/2, 0
V :
/0000
0 10 0
0 0 2 0
0 0 0 3
V
так что гамильтониан гармонического осциллятора представлен
диагональной матрицей
Я = bw{N + I) = diag{|fcj, |йы, fftu, ... }.

160
Глава 2
Это представление коммутационных соотношений Гейзенберга
называется представлением чисел заполнения и обладает тем свойством, что
в нем гамильтониан Н гармонического осциллятора диагоналей.
Другое представление, в котором Н диагоналей, строится так. Пусть
3 — пространство целых функций f(z) со скалярным произведением
(f,g) = ^jf(z)W)e-lzl2d2z, (2.44)
С
где d2z = %dz A dz — мера Лебега на С ~ R2. Легко проверить, что 3f —
гильбертово пространство с ортонормальным базисом
Ш = ^ п = 0,1,2,....
Соответствие
ОО
е э с={с„кг=0 ~ я*) = £ с»/«(2)6 ®
п=0
— изоморфизм гильбертовых пространств £2 ~ 3. Реализация
гильбертова пространства Ж в виде гильбертова пространства 3 целых функций
называется голоморфным представлением. В голоморфном представлении
и очень легко показать, что а* — оператор, сопряженный к а. Отображением
оо оо
Ж э ф = J2 °n^n •- /(*) = 53 cnfn(z) € 9
n=0 n=0
устанавливается изоморфизм между координатным и голоморфным
представлениями. Из формулы для производящей функции многочленов Эрми-
та-Чебышева,
оо
5>(<^=е^,
п=0
следует, что соответствующий унитарный оператор U : Ж —► ^ — это
интегральный оператор
ОО
иф{г)= J U{z,q)i>{q)dq
— ОО
оо ma; 2 / Imuj l \
щЯуЧ) = ^1мч)ш = №г™ч~\у » 9~^. (2.45)
Т».=П V
с ядром

2.2. Квантование
161
Другая полезная реализация — представление в гильбертовом
пространстве 3f антиголоморфных функций f(z) на С со скалярным
произведением г
U,9) = b ] f(z)g(z)e-^ d2z,
с
задаваемое формулами
Замечание. Голоморфное и антиголоморфное представления
соответствуют разным выборам комплексной поляризации симплектического
многообразия R2. По определению комплексная поляризация
симплектического многообразия (^,ш) — это интегрируемое распределение на jtf
комплексных лагранжевых подпространств комплексифицированных
векторных пространств ТХМ®rC. Как и понятие вещественной поляризации,
понятие комплексной поляризации играет фундаментальную роль в
геометрическом квантовании. В частности, голоморфное представление
соответствует комплексному лагранжеву подпространству в ТХШ2 0^ С ~ С2,
заданному уравнением z = 0, где z и z — комплексные координаты на С2.
(Заметим, что здесь z не является комплексно сопряженным к z\)
Уравнение z = О определяет комплексное лагранжево подпространство,
соответствующее антиголоморфному представлению.
Антиголоморфное представление используется для введения так
называемых виковских символов операторов. А именно: пусть А — оператор
в $), являющийся многочленом с постоянными коэффициентами в
операторах рождения и уничтожения а* и а. Используя коммутационное
соотношение (2.34), можно перетащить все операторы а* налево от операторов а
и представить А в виковской нормальной форме следующим образом:
A = Y,Alm{a*)lam. (2.46)
l,m
По определению виковский символ A(z, z) оператора А — это
A(z,z) = J2AirnZlzm- (2.47)
l,m
Это ограничение многочлена A(v,z) в переменных v и z на v = z.
Чтобы определить виковские символы ограниченных операторов в #,
рассмотрим семейство когерентных состояний (или векторов Пуассона)

162
Глава 2
Фу е @9v eC, определенных формулой
<$>v(z)=evE, zeC.
Они удовлетворяют свойствам
аФу = уФ„ и /(U) = (/, Ф„), / G 9, v G С. (2.48)
Действительно, первое свойство тривиально, тогда как «воспроизводящее
свойство» мгновенно следует из формулы
оо
Ы*) = Т,ШШ, (2-49)
п=0
где fn(z) = fn(z), га = 0,1,2, ..., — ортонормальный базис Ф.
Имеем также
(/,<?) = \ju,bv)T^)e-\v\2d2v. (2.50)
с
Дальше, для оператора А в виковской нормальной форме (2.46) получаем,
используя первое свойство в (2.48),
(АФЯ,ФС) = ^А1т((а*)1атФг,Фю) = ^Лт(а™Ф,,а<Ф,) =
1,т 1,т
= А(у,г)(Фг,Фю).
Поэтому
(АФг,Фю) _v
л(в'г) = 1ф^Г = е (АФ"'Фв)'
так как из воспроизводящего свойства следует, что (Фг,Фу) = Фх(у) = evz.
Определение. Виковский символ A(z, z) ограниченного оператора А
в гильбертовом пространстве 3) является ограничением на
подпространство v = z целой функции A(v,z) в переменных v и z, определенной
формулой
А(у,г) = е-"г(АФг,Ф1>).
В следующей теореме мы перечислим основные свойства виковских
символов.

2.2. Квантование
163
Теорема 2.2. Виковские символы ограниченных операторов в $
обладают следующими свойствами.
(i) Если A{z, z) — виковский символ оператора А, то для виковского
символа оператора А* имеем A*(z, z) = A(z, z) и
A*(v,z) = A(z,v).
(ii) Для/еФ
(Af)(z) = ± J A(z,v)f(v)e-^-^d2v.
с
(Hi) Вещественно-аналитическая функция A(z, z) является виковским
символом ограниченного оператора А в Sf, если и только если она есть
ограничение на подпространство v = z целой функции A(v,z) в
переменных v и z со свойством, что для любого f Е 3f интеграл в
части (ii) абсолютно сходится и определяет функцию в $).
(iv) Если А\ (z, z) и A2(z, z) — виковские символы операторов А\ и А2, то
виковский символ оператора А = А\А2 задается формулой
A(z,z)=\ fA1(z,v)A2{v,z)e^v-z^-^d2v.
с
Доказательство.
Имеем
A* (v, z) = е-™(А*Ф„Ф„) = е-в*(Ф„ ЛФ„) = е~^(АФ„Фг) = A(z,v),
что доказывает (i). Для доказательства (ii) воспользуемся воспроизводящим
свойством и получим
(Af)(z) = (Af, Фг) = (/, А*Фг) = | J f{v){A^z){v)e~^2dPv.
с
Еще раз используя воспроизводящее свойство, получаем
(А*Ф2)(у) = (Л*Фг, Ф„) = A*(v, *)(Ф„ Ф„) = e°'A(z,v),

164
Глава 2
что доказывает (ii). Свойство (iii) следует из определения и принципа
равномерной ограниченности, который нужен, чтобы показать, что
оператор Л в ^, определенный интегралом в (ii), ограничен. Рутинные
подробности остаются читателю. Чтобы доказать (iv), используя (2.50) и (i),
мы получаем
A(z,z) = е~^2(А1А2Ф^Ф2) = е-^2(Л2Фг,Л1Ф2) =
= \ J(А2Фг, Ф„)(А1Ф„ Фу)е-М2+№(Ру =
с
= Ь J M (*, *)МЪ z)e-<v-z№-*Wv.
с
Замечание. Свойства (i) и (iv) остаются верными для многочленов
от а* и а — операторов вида (2.46).
Матричный символ A(z,z) ограниченного оператора А в
гильбертовом пространстве 3f — это ограничение на подпространство v = z целой
функции A(v,z) в переменных v и z, определенной следующим абсолютно
сходящимся рядом:
оо
A(v,z)= J2 (AfrnJn)fn(v)fm(z). (2.51)
m,n=0
Матричный и виковский символы связаны следующим образом.
Лемма 2.4. Для ограниченного оператора А в гильбертовом
пространстве Я>
A(v,z) = evzA(v,z).
Доказательство.
Используя (2.49), получаем
оо «
A(v,z) = I J2 fn{v)fm{z) / (Afm)(u)fn(u)e-M2d2u =
га,n=0 ji
= \ 1(АФг)(й)Ф^Ще-^2(12и = (АФг, Ф0) = evzA(v, z).
с
Перестановка суммирования и интегрирования корректна в виду
абсолютной сходимости.

2.2. Квантование
165
Следствие 2.3. Если A\(z,z) и A<i{z,z) — матричные символы
операторов А\ и A<i, то матричный символ оператора А = А\А^ дается
формулой
A{z, z)=\JAl (z, v)A2(v, z)e~^2d2v.
с
Доказательство.
Доказательство мгновенно следует из части (iv) теоремы 2.2 и
леммы 2.4.
Эти построения, очевидно, обобщаются на случай п степеней свободы.
Гильбертово пространство 3>п, определяющее голоморфное представление,
это пространство целых функций f(z) от п комплексных переменных z =
= (zi, ..., zn) со скалярным произведением
(/.5) = ^ j f{z)W)e-^d2nz < оо,
где \z\2 = z? + • • • + z* и d2nz = d2zx • • • d2zn - мера Лебега на Cn ~ R2n.
Функции
zmi ... zmn
fm{z) = n—, mi, .. . ,mn = 0,1,2, ...,
Vmi!...mn!
где m = (mi, ... ,mn) — мультииндекс, образуют ортонормальный базис
в @п. Соответствующие операторы рождения и уничтожения даются
формулами
a*=Zj, aj = -^-, j = l, ...,n.
Гильбертово пространство 3>п антиголоморфных функций f(z) на Сп
определяется скалярным произведением
(/. 9) = ^ J f(z)gjz~)e-^2d2nz < оо, (2.52)
Сп
и операторы рождения и уничтожения даются формулами

166
Глава 2
Когерентные состояния — это $v(z) = evz, где vz = v\Z\ Л 1- vnzn, они
удовлетворяют воспроизводящему свойству
/(«) = (/,*«), /е^п, veC1.
Виковский символ A(z,z) ограниченного оператора А в Фп определяется
как ограничение на подпространство v = z целой функции A(v,z) от 2п
переменных v = (vi, ..., vn) и z = (zi, ..., zn), заданной формулой
Имеем
(Af)(z) = ^JA(z,v)f(v)e~^-^d2nv, f е $п,
и виковский символ A(z, z) оператора А = А\ Ач дается формулой
A(z,z) = ± f A1(z,v)A2(v,z)e^v-z^-^d2nv,
где A\(z, z) и Ai{z, z) — виковские символы операторов А\ и А2.
Матричный символ A(z,z) ограниченного оператора А в 3>п
определяется как ограничение на подпространство v = z целой функции A(v,z)
от 2п переменных v = (v\, ..., vn) и z = (zi, ..., zn), заданной абсолютно
сходящимся рядом
оо
A(v,z) = J2 (Afk,fm)fm(v)fk(z),
к,т=0
где к = (fci, ..., fcn), m = (mi, ... ,mn) — мультииндексы и fm(z) =
= fm(z)' Матричный и виковский символы ограниченного оператора А
связаны формулой
A(v,z)=evxA(v,z).
Замечание. Антиголоморфное представление очень полезно в
квантовой механике и особенно в квантовой теории поля, в которой оно
называется голоморфным представлением (относительно переменных z). Слегка
злоупотребляя терминологией, в части 2 мы тоже будем называть его
голоморфным представлением.

2.3. Соотношения Вейля
167
ЗАДАЧА 2.15. Найдите явную формулу для унитарного оператора,
осуществляющего изоморфизм гильбертовых пространств ^n~L2(Rn, dnq).
Задача 2.16. Докажите, что для ограниченного оператора А
функции A(v, z) и A(v, z) являются целыми функциями от 2п переменных.
ЗАДАЧА 2.17. Пусть А — оператор в Фп со следом и A{z,z) — его
виковский символ. Докажите, что
ТЫ=^ J A(z,z)e-W2d2n
z.
ЗАДАЧА 2.18. Покажите, что виковский символ A(z,z)
произведения А = Ai... А\ дается формулой
A(z,z) =
= — Ai(z,zi-i)...Ai(zi,z)exp{^2zk(zk-i - zk)jd2z1.. .d2zL-U
где zq = z\ — z, z\ — z и Ak(z, z) — виковские символы операторов Ak.
2.3. Соотношения Вейля
Пусть R — неприводимое унитарное представление группы Гейзен-
берга Нп в гильбертовом пространстве Ж\ Из леммы Шура следует,
что R(eac) = elTlOLI для некоторого Ь £ R, где / — тождественный оператор
в Ж. Если Ь = О, n-параметрические абелевы группы унитарных
операторов U(и) = R(euX) и V(v) = R(evY) коммутируют, так что, еще раз
воспользовавшись леммой Шура, заключаем, что существуют р, q £ Rn, такие,
что U(и) = е~гир1 и V(v) = e~lvqI. Потому в этом случае неприводимое
представление R одномерно и параметризуется вектором (р, q) £ R2n.
Когда Ь ф 0, унитарные операторы U{u) и V(v) удовлетворяют
соотношениям Вейля
U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u), (3.1)
допускающим представление Шрёдингера, введенное в разделе 2.2.2.
Оказывается, что любое неприводимое представление группы Гейзенберга Нп
унитарно эквивалентно либо одномерному представлению с
параметрами (р> я) £ ^2п> либо представлению Шрёдингера для какого-то Ь ф 0.
Физически осмысленный случай соответствует значению Ь > 0, и
представление с —Ь дается операторами U~l{u) = U(—u) и V(v).

168
Глава 2
2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана
Здесь мы доказываем следующий фундаментальный результат.
Теорема 3.1 (теорема Стоуна-фон Неймана). Любое неприводимое
унитарное представление соотношений Вейля для п степеней свободы,
U{u)V(v) = eihuvV(v)U(u),
унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера.
Доказательство.
Достаточно рассмотреть случай п = 1 — общий случай п > 1
описывается аналогично. Положим
iTiuv
S{u,v) = е~~'U{u)V(v).
Унитарный оператор S(u, v) удовлетворяет свойству
S(u,v)* = S(-u,-v), (3.2)
и из соотношения Вейля следует, что
— ( - \
S(u1,v1)S(u2,v2) = е 2 {U1V2 U2Vl)S(u1 + u2,v1+v2). (3.3)
Определим линейное отображение W : LX(R2) —► ЛС(Ж)9 называемое
преобразованием Вейля, по формуле
W(f) = ±Jf(u,v)S(u,v)dudv.
R2
Здесь интеграл понимается в слабом смысле: для любого фг, ф2 £ Ж
(WWuifo) = ^ f f(u,v)(S(u,v№uifo)dudv.
R2

2.3. Соотношения Вейля
169
Интеграл абсолютно сходится для всех ф\,ф2 € Ж и определяет
ограниченный оператор W(f), удовлетворяющий условию
imfliK^ii/iUi.
Преобразование Вейля обладает следующими свойствами.
wti. Для/еь^м2)
w(f)* = w(f*),
где
f*(u,v) = f{-u, -v).
WT2. Для /GL^R2)
5(Tii,i;i)^(/)5(Ti2,^) = W(/),
где
f(U, V) = в 2 /(tZ - TZi - TZ2, V - Vi - V2).
WT3. tferW = {0}.
WT4. Для/ь/гбЬ1
где
(/I*ft/2)(«,V):
l(R2)
W(/i)W(/2) :
I / у(ш;-1х
' 2тт J 6
R2
= w(/i
*л/г)
- u',v
Первые два свойства следуют из определения и уравнений (3.2)
и (3.3). Чтобы доказать WT3, предположим, что W(f) = 0. Тогда для
любых ф\, ф2 £ Л? и всех и', v' G R имеем
0 = (W(f)S(u',v')1pl,S(u',v')rp2) =
= ± Jeih^'-u'^f(u,v)(S(u,v)^,xp2)dudv.
R2
Поэтому f(u, v)(S(u, v)ipi,ip2) = 0 п. в. на R2, так что / = 0.

170
Глава 2
Для доказательства WT4 вычислим
(W(f1)W(f2)^i^2) = {wU2)^uW{hY^2) =
2^ / f2{u2,v2){S{u2,V2)^i,W{fiy\l)2)du2dv2
2тг
R2
^ / /2(W2,V2)(W(/l)5(tZ2,V2)^l,^2)dU2dV2
R2
-Г—2 / fl(ui-U2,Vi-V2)f2(u2,V2)*
R2 R2
ih
x e 2 x 2 (S(ui,vi)^i^2)duidvidu2dv2 =
2^: /(/i *n f2)(u,v)(S(u,v)ip1,ip2)dudv.
R2
Мы имеем /i *^ /2 G L1(R2), и из ассоциативности произведения
операторов и свойства WT3 следует, что линейное отображение
^rL^R^xL^R2)^!,1^2)
определяет новое ассоциативное произведение на L1(R2),
/i *h (/2 *ь /з) = (/1 *h /2) *ь /з Для любых /i, /2, /3 G L^R2).
Когда ft = 0, произведение *^ превращается в обычную свертку
функций в L^R2).
Для любого ненулевого ф Е Ж обозначим через Жф
замкнутое подпространство в Ж, натянутое на векторы S(u,v)i/j для
всевозможных iz, v G R. Подпространство Жф инвариантно для всех
операторов U(u) и V(v). Поскольку представление соотношения Вейля неприво-
димо, Жф = Ж.
Существует вектор фо Е Ж, для которого можно явно вычислить
все скалярные произведения с векторами 8(и,у)фо, порождающими Жф0.
А именно: пусть
fo(u,v) = tie 4
и положим
Wo = W(f0).

2.3. Соотношения Вейля
171
Тогда W0* = Wq и
^ ',.2 , л.2\
W0S(^)W0 = e 4(tt +v V0.
В частности, Wq = Wo, так что Wo — ортогональная проекция.
Действительно, используя WT4, получаем
W0S(u,v)W0 = W(fo*nfo),
где
ifi f , , .
/о(г/ ,v ) = е 2 f0(u - u,v - v).
«Дополнив квадрат», получим
(£ 2 \< I l\ -t ~j(U +V2+U'2+V'2) T, , /ч
где
R2
Сдвигая контуры интегрирования на Гтгх" = — v — v'9 Imv/; = tz + tz;
и подставляя £ = и" — и — и' + iv + гг/, rj = v" — v — v' — iu — iu', получаем
/(М'У) = ^ [e~*{eW)dZdr) = 1.
R2
Теперь пусть j£o = ImWo — ненулевое замкнутое подпространство Ж
по свойству WT3. Для любых ф\,фг £ «^о имеем Wo ^i = Ф\, Wo ^2 =^и
(5(tZi,Vi)^i,5(tZ2,V2)^2) = (S,(tZi,Vi)W0^l,5(tZ2,V2)Wo^2) =
= (W05(-m2,-V2)5(mi,t;i)Wo^i,^2) =
= e2 UlV2 U2Vl (W05(tzi -tz2,vi -v2)W0^i,^2) =
= e2 4 (Wo^l,^2) =
-5-(ltiV2-lt2t'l)-7{(lti-lt2)2 + (vi-V2)2} , . , ч
= e2 4 (^i,W-

172
Глава 2
Это означает, что подпространство Ж§ одномерно. Действительно, для
любых ^i,^2 € Жо, таких, что (^ъ^ъ) = 0, соответствующие
подпространства Жфх и Жф2 ортогональны. Поскольку Жф = Ж для любого
ненулевого ф9 по крайней мере один из векторов ф\,ф2 нулевой. Пусть
Ж§ = Сфо, Ц^о|| = 1, и положим
Замыкание линейной оболочки векторов фа^ для всевозможных а, (3 е R
есть Ж. Имеем
с/ \ / t(^-vq /
5(tZ, v)^a,0 = в 2 iPcL+utf+v
Дальше, рассмотрим представление Шрёдингера соотношения Вейля
EL2(R,dq):
(\J(u)(p)(q) =ip(q-tiu),
"(V(t;)V)(g)=e-<vV(g),
ih
(S(tz, v)</?)(qr) =е2^ ™V(<7 - 7m)-
Для соответствующего оператора Wo имеем
(W„¥>)(g) = ^fe-^{u2+v2)e^uv-ivq<p(q - hu)dudv =
M2
OO
^ji j e-b^-h2\{q_nu)db
-00
00
П7Г J
так что W0 — проекция на одномерное подпространство L2(R, dg), натяну-
-—я2
тое на гауссову экспоненту ipo(q) = -^тЦе 2;* , ||</?о|| = 1. Пусть

2.3. Соотношения Вейля
173
Поскольку представление Шрёдингера неприводимо, замкнутое
подпространство, порожденное функциями </?Qj£ для всех а, (3 £ R, это все
гильбертово пространство L2(R, dq). (Это также следует из полноты
функций Эрмита-Чебышева, поскольку ipa,p(q) = -у^ • е 2 2;* .)
Имеем
^(а*-07)-т{(а-7)2 + (/*-*)2}
и
С/ \ -^-(и/З-иа)
п
Для ^ = Z) сг^аг,/?г £ ^ определим
г=1
^WO = £ <*/><*, A G L2(R,dq).
г=1
Поскольку скалярные произведения векторов фа^ совпадают со
скалярными произведениями векторов </?а,/з, имеем
\\nn\h = \\п2ж,
так что <%£ — корректно определенный унитарный оператор,
действующий между подпространствами, натянутыми на {^а,/з}а,/зек и {</?а,/з}а,/зек-
Таким образом, <%£ продолжается до унитарного оператора fy \ Ж —►
-► L2(R,dq) и
WS(a, (3) = S(a, /?)<2Г для всех а, (3 е R.
Лемма 2.1 в разделе 2.2.1 становится простым следствием из теоремы
Стоуна-фон Неймана.
Следствие 3.2. Самосопряженные образующие Р=(Р\, ..., Рп)
и Q=(Ql, ... 5Qn) п-параметрических абелевых групп унитарных
операторов U(и) и V(v) удовлетворяют коммутационным соотношениям Гей-
зенберга.
Доказательство.
Из теоремы Стоуна следует, что в представлении Шрёдингера
образующие Р и Q — это операторы импульсов и координат.

174
Глава 2
Замечание. Для п степеней свободы
S(u,v) = e~^uvU(u)V(v) = e~l~*uve-iuPe-ivQ,
и, формально используя формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, мы
получаем
S(u,v) = e-«uP+vQ\ (3.4)
Таким образом, преобразование Вейля
W(f) = ^L_ I f(u, v)e-«uP+vC»dnu cPv
можно рассматривать как некоммутативное преобразование Фурье — опе-
раторнозначное обобщение «обычного» преобразования Фурье
f(p,q) = -^ J Пи,ь)е-^+^с1писГь.
R2n
Замечание. Теорема Стоуна-фон Неймана — очень сильный
результат. В частности, из нее следует, что операторы рождения и уничтожения
для п степеней свободы
где Р и Q — соответствующие образующие26, удовлетворяющие
коммутационным соотношениям Гейзенберга, унитарно эквивалентны
соответствующим операторам в представлении Шрёдингера. Значит, всегда
существует основное состояние — вектор фо Е Ж> обнуляемый операторами а =
= (ai, ... ,an). Соответствующее утверждение уже не будет верным для
квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых
квантовой теорией поля, в которой существование основного состояния
(«физического вакуума») приходится постулировать.
263десь удобно опустить индексы с помощью евклидовой метрики на Rn и
использовать Q = (Qi, ...,Qn).

2.3. Соотношения Вейля
175
Преобразование Вейля в представлении Шрёдингера Ж=Ь2 (W1, dn ф
можно описать явно как ограниченный оператор с интегральным ядром.
А именно:
(S(u, v)il>)(q) = e^uv~iv4*P(q - Пи), ф е L2(Rn, dnq), (3.5)
и для фиф2 е L2(Rn,dnq) и / е Ll(R2n) П L2(R2n) имеем
(WWwh) = Т^ТГ / /(u,t;)(5(u,t;)^1,^)crucrti =
(27Г)- У [Iе2
— uv—ivq
/(u,u)Vi(<7 - Пи)гр2(д)(Рд (PudTv =
Rn \R" /
где /• 1 /
Изменение порядка интегрирования корректно в силу теоремы Фуби-
ни. Таким образом, W(f) — интегральный оператор с интегральным
ядром K(q, q')9
(W(fW(q) = j K{q, </M<7 W, ф G L2(R", <Tq).
По теореме Планшереля
J Щд^'^сГдсГд' = J |/(u>t»)|2dBudn«)
M2n M2n
так что W(f) — оператор Гильберта - Шмидта в Ж. Линейное
подпространство L^R2™) П L2(R2n) плотно в L2(R2n), и преобразование
Вейля продолжается до изометрии W: L2(R2n) —► S^, где У2 — гильбертово
пространство операторов в Ж = L2(№.n,dnq). Поскольку любой оператор
Гильберта - Шмидта в Ж — ограниченный оператор с интегральным ядром
из L2(R2n), отображение W сюръективно. Таким образом, мы доказали
следующий результат.

176
Глава 2
Лемма 3.1. Преобразование Вейля W определяет изоморфизм
Ь2(Ш2п)^У2.
ЗАДАЧА 3.1. Пусть Р = (Ри ...,РП) и Q = (Qu ...,Qn) —
самосопряженные операторы27 в Ж9 удовлетворяющие коммутационным
соотношениям Гейзенберга (2.4) на некотором плотном подмножестве D в Ж
п
и такие, что симметрический оператор Н = J2 (Р% + Ql)> определен-
ный на D, самосопряжен в существенном. Предположим также, что любой
ограниченный оператор, коммутирующий с Р и Q, кратен тождественному
оператору в Ж. Докажите, что Р и Q унитарно эквивалентны операторам
импульсов и координат в представлении Шрёдингера. (Указание: по
теореме Стоуна-фон Неймана достаточно показать, что Р и Q определяют
интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. Можно также доказать
этот результат прямо, используя коммутационные соотношения между
операторами Н9 а*, а и рассуждения из раздела 2.2.6. Это дало бы другое
доказательство теоремы Стоуна-фон Неймана.)
ЗАДАЧА 3.2. Докажите формулу (3.4).
2.3.2. Инвариантная формулировка
Здесь мы представим бескоординатное описание представления
Шрёдингера. Пусть (V,uj) — конечномерное симплектическое векторное
пространство, dimF = 2п. Напомним, что (см. раздел 2.2.1) алгебра
Гейзенберга g = g(V) — это одномерное центральное расширение абелевой
алгебры Ли У с помощью кососимметрической билинейной формы и. Как
векторное пространство алгебра Ли g совпадает с алгеброй V 0 R, в
которой скобка Ли определена равенством
[и + ac,v + /?c] = uj(u,v)c, u,v£V, a,/?£R.
Любое лагранжево подпространство £ пространства V определяет абелеву
подалгебру £ 0 Re в д. Лагранжево подпространство £' дополнительно к £
в V, если £ 0 £' = V. Выбором дополнительного к £ лагранжева
подпространства £' устанавливается изоморфизм
д/(£®Шс) ~е.
См. предыдущее примечание.

2.3. Соотношения Вейля
177
Группа Гейзенберга G = G(V) — связная и односвязная группа Ли
с алгеброй Ли д. Экспоненциальным отображением осуществляется
изоморфизм G и многообразия V 0 Re, в котором групповой закон задан
равенством
ехр(г>1 + c*ic) ехр(г>2 + а2с) = exp(vi + v2 + (аг + а2 + \uj{vi,v2))c),
где v\,v2 G V, ai,a2 G R. Выбором симплектического базиса для V
устанавливается изоморфизм G(V) ^ Нп с матричной группой Гейзенберга,
определенной в разделе 2.2.1. Форма объема d2nvAdc9 где d2nv £ A2nV* —
форма объема на V9 a V* — двойственное к V векторное пространство,
определяет биинвариантную меру Хаара на G. Любое лагранжево
подпространство £ определяет абелеву подгруппу L = ехр(£ 0 Re) в G, а выбором
дополнительного лагранжева подмножества £' устанавливается изоморфизм
G/L ~ £'. (3.7)
Изоморфизм A2nV* ~ Ап£* А Ап£'* приводит к форме объема dnvf на £'
и определяет меру dg на однородном пространстве G/L. Мера dg
инвариантна при левом действии G и не зависит от выбора £'.
Для заданного Ь Е R функция х : L —► С,
Х(ехр(^ + ас)) = е*Ла, ^бУ,аеМ,
определяет одномерный унитарный характер на L,
х(М2) = х(Мх(Ы, luheb.
Определение. Представление Шрёдингера Se группы
Гейзенберга G(V)9 ассоциированное с лагранжевым подпространством £
пространства V, это представление группы G, индуцированное одномерным
представлением х соответствующей абелевой группы Ли L,
Se = lnd<ix-
По определению индуцированного представления гильбертово
пространство Же представления S? состоит из измеримых функций / : G —► С,
удовлетворяющих свойству
/Ы) = х(0"7Ы, geG,leb,

178
Глава 2
и таких, что
ll/ll2= j \f{g)\2dg<™.
G/L
Соответствующие унитарные операторы St(g)9 g Е G, определяются
левыми сдвигами:
(Si(g)fW) = Д<Г У), / е Жи д € G.
В частности,
(&(expac)/)(s) = /(exp(-ac)5) = f(gexp(-ac)) = eifta/(ff),
так что SV(expac) = егПа19 где / — тождественный оператор в ^.
Для любого лагранжева подпространства £ пространства V
представление Se унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера. Это можно
явно показать следующим образом. По свойству (3.7) выбор
дополнительного лагранжева подпространства £' приводит к единственному
разложению д = expv' ехр(г> + ас), и для / Е Ж^ мы получаем
f(g) = f(expv'exp(v + ас)) = e'ihaf(expv'), v G £, г/ e £\ a e R.
Таким образом, любое / G <Щ полностью определяется своим
ограничением на ехр^' ~ £\ а отображение % : J^? —► L2(£',dnv')9 определенное
формулой
W)(v') = /(«4>£t;'), »'еС,
является изоморфизмом гильбертовых пространств. Для соответствующего
представления
S, = %St>%-1 в L2(£', dnv') имеем
(S*(expv)^)(t/) = е^^'Щу'), ue^'G *',
(S*(expu')^)(v') = ^(г/ - W), u', г/ e £'.
Пусть e1, ..., en, /i, ..., /n — симплектический базис в У, такой, что
£ = Re1 0 ... 0 Ren и £' = R/i 0 ... 0 R/n,
и пусть (p,q) = (pi, ... ,Pn, q1, • • •, qn) — соответствующие координаты

2.3. Соотношения Вейля
179
на V (см. раздел 1.2.6 главы 1). Тогда L2(£', dnv') ~ L2(Rn, dnq) и
Se(expuX) = U(u) и St(expvY) = V(v),
где гхХ = £ ukfk9 vY = jr vkek9 а E7(ii) = e~iuP9 V(v) = e~ivQ -
k=i fc=i
n-параметрические группы унитарных операторов, соответствующие
операторам импульсов и координат Р и Q.
Отображение *^ — новое ассоциативное произведение на Ll (R2n),
вводившееся в последнем разделе, — тоже можно описать в инвариантных
терминах. Пусть Вп = G/Tn — факторгруппа, где 1\ = {ехр(Ц^с) £
£ G | п £ Z} — дискретная центральная подгруппа в G, и пусть db =
= d2nv A d*a — левоинвариантная мера Хаара на Bh9 где d*a —
нормализованная мера Хаара на окружности R/^Z. Банахово пространство
Ь1{Вп, db) имеет структуру алгебры по отношению к свертке:
(<Pi *Ва ^2)(Ь) = / 4>\{b\)ip2{bilb)dbi, (fi,(p2 € Ll{Bh,db).
Bh
Соответствие
L\V,d2nv) Э f(v) ^ (p(exp(v + ac)) = e~inaf{v) £ Ll{Bn,db)
определяет отображение включения L1(V,d2nv) <^-> Ll{Bh,db)9 и
образ Ll{V, d2nv) будет подалгеброй Ь1фп, db) относительно свертки. Имеем
для/ь/зеОД^т;)
(^l*Ba^2)(expv) =
= / (fi(exp(u + ac))(f2(exp(—и — ac)expv)d2nvd*a =
= / </?i(exptz)</?2(exp(v — iz)exp(— |o;(tz,t;)c))d2nv =
v
v
= (/i *a/2)(«), «eV.

180
Глава 2
ЗАДАЧА 3.3. Докажите, что преобразование Вейля — есть ограничение
на Ll(V, d2nv) отображения
Ll(Bh,db)3<p^ i\{b)St{b)dbe^{J%).
ЗАДАЧА 3.4. Пусть ^ь^25^з лагранжевы подпространства в V.
Определим индекс Маслова тройки т(£\, ^2, ^з) как сигнатуру квадратичной
формы Q на £\ 0 (,2 Ф ^з, определенной формулой
Q{xi,x2,X3) = и)(хих2) + и(х2,хъ) + и(хъ,х{).
Для лагранжевых подпространств £\^2 пространства V пусть ^г2М ~
унитарный оператор, осуществляющий изоморфизм гильбертовых
пространств Ж^х ~ Жг2 и сплетающий представления 5^ и SV2:
Докажите, что ^^^зЛ^,^ = е~7rir^1^2^3^/i, где /i —
тождественный оператор в J^.
ЗАДАЧА 3.5. Пусть Sp(V) — симплектическая группа
пространства (V,lj) — подгруппа группы GL(V), сохраняющая симплеюическую
форму и. Группа Sp(V) действует как группа автоморфизмов группы Гей-
зенберга G по формуле h • exp(v + ас) = exp(/i • v + ас), h е Sp(V), v e V.
Пусть R — неприводимое унитарное представление G в гильбертовом
пространстве Ж. Покажите, что существуют унитарные операторы U(h)9
определенные с точностью до умножения на комплексное число модуля 1, такие,
что
U{h)R{g)U{h)-1 = R(h • я), he Sp(T0, geG,
и что U определяет проективное унитарное представление группы Sp(V)
в Ж, называемое представлением Шейла- Вейля2*. Найдите реализацию
гильбертова пространства Ж, такую, чтобы 2-коцикл представления
Шейла-Вейля явно вычислялся в терминах индекса Маслова.
28Имеется в виду французский математик Андрэ Вейль. Не стоит путать с Германом Вей-
лем. — Прим. перев.

2.3. Соотношения Вейля
181
2.3.3. Квантование Вейля
Преобразование Вейля, вводившееся в разделе 2.3.1, определяет
квантование классических систем, связанных с фазовым пространством R2n
с координатами р = (р1? ...,pn), q = (q1, ...,qn) и скобкой
Пуассона { , }, ассоциированной с канонической симплектической формой и =
= dp A dq. Пусть
ф = W о &-1 : У(Ш2п) -> &(Ж),
где W — преобразование Вейля, а J^"-1 есть обратное преобразование
Фурье, — линейное отображение пространства Шварца У (R2n) быстро
убывающих комплекснозначных функций на R2n в банахово пространство
ограниченных операторов «if (Ж) в Ж = L2(Rn, dnq). В явном виде оно
задается интегралом
Ф(/) = фу J f(u,v)S(u,v)<ru<rv,
понимаемым как предел римановых сумм в топологии равномерной
сходимости на JZ (Jf?)9 где
f(u,v) = &-\f)(u,v) = j±- I f(p,q)ei^+^dnpdnq
ih
-uv .
и S(u,v) = e 2 U(u)V(v). Из (3.6) следует, что Ф(/) — интегральный
оператор: для любого ф G L2(Rn, dnq)
где
(ф(1Жя) = 1к(я,я'Жя>пя',
Rn
Rn

182
Глава 2
Поскольку пространство Шварца самодвойственно относительно
преобразования Фурье, К е У(Жп х Rn) с L2(Rn x Rn), так что Ф(/) - оператор
Гильберта - Шмидта. Воспользовавшись свойством S(u,v)* = S(—и, — v)9
получаем
ф(/Г = Ф(Л,
так что классические наблюдаемые — вещественнозначные функции
на R2n — соответствуют квантовым наблюдаемым — самосопряженным
операторам в Ж. Из свойства WT3 в разделе 2.3.1 следует, что
отображение Ф инъективно; его образ 1тФ и обратное отображение Ф-1 явно
описываются следующим образом.
Предложение 3.1. Подпространство 1тФ С jSf(J^) состоит из
операторов В Е У\, таких, что соответствующие функции g(u, v) —
= ЪпТг(В S(u, v)_1) принадлежат классу Шварца У{М?п); в этом
случае W(g) = В. Обратное отобраэюение Ф-1 = &oW~l дается формулой
обращения Вейля
/(и, v) = ^Тг(Ф(/)5(гх, v)-1), f e У(Ш2п).
Доказательство.
Сперва рассмотрим случай п = 1. Пусть
h=p2 + Q2
— гамильтониан гармонического осциллятора ст=1ии = 1. Согласно
теореме 2.1 оператор Н имеет полную ортонормированную систему веще-
ственнозначных собственных функций фп(я), состоящую из функций Эр-
мита-Чебышева, с собственными значениями Ь(п + ^), так что обратный
оператор Н-1 Е &2. Оператор ЯФ(/) является интегральным оператором
с ядром -(—Ь2-^ + q2)K{q,q')i функцией на R2 из класса Шварца, так
* dq
что ЯФ(/) е У*2- Оператор
Ф(/) = Н~1НФ(Л
— это произведение операторов Гильберта - Шмидта, поэтому имеет след.
Используя ортонормальный базис {фп(я)}™=о пространства Ж — L2(R),
получаем
оо
K(q,q')= Y, cmni>n(Q)^m(q'), (3.8)
га,n=0

2.3. Соотношения Вейля
183
где
/ K(q,qf)^n(q)^m(qf)dqdq',
Ш2
и ряд (3.8) сходится в L2(R2). Посколысу К е <^(R2), из теоремы об
АГ-представлении (см. задачу 2.13) следует, что этот ряд сходится и в
топологии ^(R2). Именно это обстоятельство позволяет нам положить q' = q
в (3.8), чтобы получить разложение
оо
K(q,q)= Yl cmn^n{q)^m{q),
т,п=0
которое сходится в У (R). Таким образом, мы получаем
оо оо °?
ТгФ(/) = ^(Ф(/)^п,^п) = ^спп= / K(q,q)dq,
n=0 n=0 J^
где перестановка порядков суммирования и интегрирования законна.
Общий случай п > 1 аналогичен. Рассмотрим оператор
Н= 2
и воспользуемся тем, что операторы Hn<f>(f) и Н~п принадлежат к классу
операторов Гильберта - Шмидта. Для доказательства формулы
ТгФ(/) = JK(q,q)dnq
разложим ядро K(q,q'), используя ортонормальный базис {ipk(q)}k^=o
пространства L2(Rn), где
Фк(д) = ФкЛЯ1)-"Фкп(Яп), к = (кг, ...,fcn).
Из явного вида ядра К получаем
ЪФ(/) = J^yl J J НО, v)e-iv"dnv <Гд = h-nf(0,0), (3.9)
R" Rn

184
Глава 2
что дает формулу обращения для и = v = 0. Чтобы получить формулу
обращения для всех гх, v £ Мп, достаточно применить (3.9) к функции fuv =
= &(fu,v), где
in , , ч
I / f f\ r/ . I l\ T(V U~U V) \
fu,v(U » V ) = f(U + U » V + V )e
и воспользоваться тем, что 5(ix,v)_1 = S{u,v)* = 5(—гх, — v), а также
свойством WT2 из раздела 2.3.1,
W(f)S(-u,-v) = W(fUtV).
Чтобы закончить доказательство, нам надо показать, что 1тФ
состоит из всех Б G У1, обладающих тем свойством, что функция g(u,v) =
= nnTr(B S(u,v)~l) принадлежит к классу Шварца. По формуле обраще-
НИЯ g(u,v) = hnTr(4>{f)S(u,v)-1),
где / = ^(д), поэтому достаточно доказать, что если
Tr(BS(u,v)-1) = Q
для всех u,v е Шп, то В = 0. Действительно, умножив на f{u,v) и
проинтегрировав, получим
TxBW{fY = 0
для всех / G У{Ш?п). Поскольку класс Шварца плотен в L2(R2n), по
лемме 3.1 получаем ТгВВ* = 0, и поэтому В = 0.
Следствие 3.3.
Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор S(u,v) является
интегральным оператором с обобщенным функциональным ядром
ih
— uv-ivq f
е 2 d{q — q — пи),
так что , v n
TrS(u,v)= (Ц-\ S(u)S(v).
Таким образом, как принято писать в книгах по физике,
ТгФ(/) = Ь'п f f(u,v)5(u)5(v)dnudnv = 7Гп/(0,0).

2.3. Соотношения Вейля
185
Пусть Ло = ^(R2n, R) С Л — подалгебра быстро убывающих
классических наблюдаемых на R2n, а ^ = я/ П «if (Ж) — пространство
ограниченных квантовых наблюдаемых.
Предложение 3.2. Отображение Ло Э f i—► Ф(/) £ ^о является
квантованием, т. е. оно удовлетворяет условию
lim АФ-1 (Ф(Л)Ф(/2) + Ф(/2)Ф(/1)) = hh
и принципу соответствия
Нтф-'^/О.Ф^Ы = {/ь/2}, /ь/2€4
а—+0
где
{ф(/0,Ф(Л)Ь = ^[Ф(Л),Ф(Л)] « {/ьЫ = § f-f f
— квантовая скобка и скобка Пуассона соответственно.
Доказательство.
В терминах произведения *^, которое вводилось в разделе 2.3.1, мы
имеем
ф-1(ф(/1)ф(/2)) = ^(/1*й/2),
и из свойства WT4 следует, что
Ф-1(Ф(/1)Ф(/2))(Р,9) = —^ | J h(*4,v{)hiV2,V2) X (3.10)
xeT("^-"^)-i^+«»)'*-i^+«»Vu1dnu2d"t»1d"«2.
Используя разложение
ef (UH,2-U2«1) = ! + ^(^^ _ и2171) + 0(ft2(Wlt;2 - и2Уг)2)
при fi-^Ои основные свойства преобразования Фурье,
3?(uf(u,v))=i^(p,q) и ^(«/(и,«))=г^(р,9),

186
Глава 2
мы заключаем из (3.10), что при Ь —► 0
ф-1(Ф(/1)Ф(/2))(р,д) = (/i/2)(p,9) - f {/i,/2}(p,9) + 0(ft2).
Замечание о кососимметричности скобки Пуассона завершает
доказательство.
Квантование, связанное с отображением Ф = W о J^""1, называется
квантованием Вейля. Соответствие / i—► Ф(/) можно легко продолжить
на векторное пространство L1(R2n) — образ L1(R2n) при преобразовании
Фурье, лежащий в пространстве C(R2n). В более общем виде для / £
G У(Ш2п)' — пространству обобщенных функций медленного роста на R2n
— соответствующее ядро
к(я, ч') = -^ J f(P, ^)>(</-4 VP, (з.п)
рассматриваемое как обобщенная функция медленного роста на Rn x Rn,
является ядром Шварца линейного оператора
Ф(/) : У(Шп) -+ У(Шпу.
В частности, постоянная функция / = 1 соответствует тождественному
оператору / с ядром K(q, q') = 5(q—q'). В терминах ядра K(q, q') формула
обращения Вейля принимает вид
f(p,q) = JKiq-^q+^e^rv. (3.12)
Обобщенная функция f(p,q), определенная равенством (3.12), называется
вейлевским символом оператора в L2(Rn, dnq) с ядром Шварца K(q, q').
В следующих примерах описываются классы обобщенных функций /,
таких, что операторы Ф(/) — самосопряженные в существенном
неограниченные операторы на подпространстве У (Rn) С L2(Rn, dnq).
Пример 3.1. Пусть / = f(q) e Lp(Rn) для какого-то 1 < р < оо, или
пусть / — функция, полиномиально ограниченная при \q\ —► оо. В смысле
обобщенных функций
/(и>») = (2тг)п/2Д(и)/(«)>

2.3. Соотношения Вейля
187
так что
*<*л-^/«<*>л.).-^л-
= S(Q-q')f(3¥L) = f№Q-Q')-
Таким образом, оператор Ф(/) — это оператор умножения на f(q) в
пространстве L2(Rn). В частности, координаты q в классической механике
соответствуют операторам координат Q в квантовой механике. Аналогично,
если / = /(р), то Ф(/) = /(Р). В частности, импульсы р в классической
механике соответствуют операторам импульса Р в квантовой механике.
Пример 3.2. Пусть
Яс = ^ + ^)
— функция Гамильтона в классической механике. Тогда Н = Ф(Яс) —
соответствующий оператор Гамильтона в квантовой механике,
В главе 3 мы приведем необходимые условия того, чтобы оператор Н был
самосопряжен в существенном.
Пример 3.3. Здесь мы найдем / е У(Ш2п)', такое, что
Ф(/) = Р*
— чистое состояние Рф, где ф £ L2(Rn), ||^|| = 1. Проекция Рф есть
интегральный оператор с ядром ^(q)^(qf), и мы получаем из (3.11)
Введя g+ = \{q + q'),q- = \{ч~ q'), получим

188
Глава 2
или
f(u,v) = Пп [i/;(q+±hu)il;(q-lhu)eivqdnq.
Предполагая, что ф не зависит от ft, в соответствии со следствием 3.3
получаем
^v)=te ukr^ = dr I ^4v4dnv-
(27rTi)nJK ' J (2тг)
Таким образом, в классическом пределе Ь —► О чистое состояние Р^
квантовой механики становится смешанным состоянием классической механики,
задаваемым вероятностной мерой dfi = p(p,q)dnpdnq on R2n с
плотностью
p(p,q) = 5(p)№(q)\2.
Оно описывает покоящуюся классическую частицу (р = 0) с
распределением координат, заданным вероятностной мерой \i/j(q)\2dnq на Rn. Ko-
г_
гда i/j(q) = eh p(q), где ip(q) не зависит от %, соответствующая
плотность - это р(р, q) = S(p - p0)\(f(q)\2.
Замечание. Квантование Вейля можно рассматривать как
способ определить функцию /(Р, Q) некоммутирующих операторов Р =
= (РЬ ...,P„)hQ = (Q1, ...,Qn), положив
/(Р,д)=Ф(/).
В частности, если /(р, д) = д(р) + h(q), то
/(P,Q)=5(P) + /*(Q).
Для f(p,q)=pq=Piq1+ • • • + Pntfn мы получаем, используя (3.11),
Это показывает, что квантование Вейля симметризует произведения
некоммутирующих множителей Р и Q. В общем случае пусть / —
полиномиальная функция, .-^ а
f(P,q)= £ ca0paqP, (3.13)
H,|/3|<jv

2.3. Соотношения Вейля
189
где для мультииндексов а = (аь ..., ап) и /3 = (/Зь ..., /?п)
и |а| = «1 + ... + ап, |/3| = /?i + ... + /Зп. Используя (3.11), получаем
следующую формулу:
*(/)= Е ^Sym(P-Q^). (3.14)
|a|,|/3|<iV
Здесь Sym(PQQ/3) — симметрическое произведение, определяемое
формулой
(иР + uQ)fc = £ Ши°^ Sym(P-Q^), (3.15)
где uP + vQ = и1Рг + ... + unPn + vxQl + ... + ^nQn и
a!=ai!...an!, /?! = ft!.. ./?„!•
Замечание. Вдобавок к квантованию Вейля Ф рассмотрим также
отображения Фх: У(Ш2п) -► if {Ж) и Ф2 : J^(R2n) -► if (J^7),
определяемые формулами
= фр j f(u,v)e* uvS(u,v)dnudnv
*i(/)
R2n
где / = ^~l(f) — обратное преобразование Фурье. Хотя Фх и Ф2 уже не
отображают Ло в вещественное векторное пространство srfo ограниченных
квантовых наблюдаемых, они удовлетворяют всем свойствам из
предложения 3.2. Из (3.5) следует, что для / G У{Ш?п) операторы Фг(/) и Ф2(/)
являются интегральными операторами с интегральными ядрами:

190
Глава 2
K2(q, q') = j^ J f(p, q)enp{4-q')dnp
соответственно. Как и в случае квантования Вейля, эти формулы
продолжают отображения / •—► Фх(/) и / i—► $2(/) пространства ^(М2п)'
обобщенных функций умеренного роста на R2n. В частности, если /(р, q) —
полиномиальная функция (3.13), то
*l(/)= E 0*0 P°Q" (3-16)
и
Ф2(/)= £ bpQ'P". (3.17)
Н,|/3|^ЛГ
Поэтому отображение / ь-► $i(/) называется pq-квантованием,
а отображение / ь-► Фг(/) — qp-квантованием. Соответствующие формулы
обращения —
f(p,q) = JK1(q-v,q)e^PVdnv (3.18)
/(р,9) = J K2{q,q + v)ebpvdnv. (3.19)
Обобщенная функция f(p,q), определенная в (3.18), называется pqr-
символом оператора с ядром Шварца Ki(q,q'), а обобщенная
функция f(p,q)9 определенная в (3.19), — qp-символом оператора с ядром
Шварца K2(q, q'). Эти символы повсеместно используются в теории
псевдодифференциальных операторов. Из (3.18) и (3.19) следует, что
если f(p,q) — pg-символ оператора $i(/), то f(p,q) — gp-символ
сопряженного оператора Фх(/)*.
ЗАДАЧА 3.6. Докажите формулу (3.14).
ЗАДАЧА 3.7. Докажите формулы (3.16)-(3.17).
ЗАДАЧА 3.8. Докажите, что квантование Вейля, pq- и др-квантования
эквивалентны. (Указание: найдите соотношения между вейлевским
символом, pq- и qrp-символами заданного оператора.)

2.3. Соотношения Вейля
191
2.3.4. •-произведение
Квантование Вейля Ф : У(Ш2п) —► «if(Jff), обсуждавшееся в
предыдущем разделе, определяет новую билинейную операцию
•л : У(Ш2п) х У(Ш2п) -► J^(R2n)
на У(Ш2п) по формуле
/1*л/2 = Ф-1(Ф(/1)Ф(/2)).
Эта операция называется •-произведением29. Согласно (3.10)
(/l**/2)(p,g) = Т^W / / /l(«il,«l)/2(ti2,«2)-
Y(uiV2-U2Vi)-i(ui+u2)p-i(vi+v2)q ,n ,n
(3.20)
е2^^2 ^,-w^w ^^>4dnUidnU2dnVidnV2
•-произведение на 5^{R2n) обладает следующими свойствами.
1. Ассоциативность:
/l *fc (/2 *fc /з) = (/l *fc /2) *Ь /з-
2. Квазиклассический предел:
(/i *д /2)(Р, 9) = (/i/2)(p, 9) - f {/1, /г}(р, 9) + 0(Й2) при ft ->_0.
3. Свойство единицы:
f*hl = l*hf,
где 1 — функция, тождественно равная 1 на R2n.
4. Циклическое свойство следа:
T(fl*hf2) =T(/2*h/l),
где С-линейное отображение г : У(Ж2п) —► С определяется формулой
R2n
9В физике также называется произведением Мойяла.

192
Глава 2
Свойство 1 следует из соответствующего свойства произведения *^ (см.
раздел 2.3.1), свойство 2 следует из предложения 3.2, а свойства 3 и 4
прямо следуют из определения (3.20). Комплексное векторное
пространство ^(R271) 0 С1 с билинейной операцией •^ является ассоциативной
алгеброй над С с единицей 1 и циклическим следом т, удовлетворяющей
принципу соответствия:
lim £(/i *л h ~ h *h /i) = {/ь /2}.
Рассмотрим тензорное произведение гильбертовых пространств
L2(R2n) ® L2(R2n) ~ L2(R2n x R2n)
и определим унитарный оператор U\ в L2(R2n) ® L2(R2n) формулой
где
п
dp dq 2^дрь dqk'
Из теории преобразования Фурье следует, что для /i, f2 £ ^(R2n)
(Ui(fi ® f2))(pi,qi,P2,q2) = ——^ / / fi(u1,v1)f2(u2,v2)x
W 2 2
ih
x e 2 a u\d u2d V\d v2.
Аналогично, определив унитарный оператор l/г в L2(R2n) ® L2(R2n)
по формуле
и2 = е~Лэя®Эр),
получим
{U2{fi® f2)){pi,qi,p2,q2)= * / / /i(iXi,Vi)/2(^2,V2)x
R2n R2n
— u2vi-iuipi-iu2P2-iviqi-v2q2 ,n ,n ,n ,n
x e 2 d uid u2dnvidnv2.

2.3. Соотношения Вейля
193
Наконец, определим унитарный оператор Un в L2(R2n) ® L2(R2n)
формулой
Uh
= UiV-i = ~ 2 {dp®dq-dq®dP)
и обозначим как т : У(В?п) <g> У(Ш2п) —► У(Ж2п) поточечное
произведение функций, (m(/i ® f2))(p,q) = fi(p,Q)f2(p,q)- Тогда •-произведение
можно записать в следующем сжатом виде:
/i *л /2 = (т о Un) (/i 0 /2). (3.21)
По аналогии со скобкой Пуассона { , } на R2n, ассоциированной с
канонической симплектической формой и = dp A dq,
if f\ = EA2k_dhdf2
vi,m др dq dq др>
мы вводим обозначение
1 ** д д ^ д _ д2 д2
{?}
dp dq dq dp dp\dq2 dq\dp2
Тогда из теории преобразования Фурье следует, что формулу (3.21) для
•-произведения можно переписать как
(/i**/2)(p,g)= (e~^{?}/i(Pi,<7i)/2(P2,<72) J |pi=P2=P . (3.22)
Таким образом, мы показали, что на 5?(Ш?п) •-произведение можно
эквивалентно определить как формулой (3.20), так и формулами (3.21)
и (3.22). Последнее представление имеет преимущество в том, что фор-
мальное разложение экспоненты е 2 ' в степенной ряд дает
асимптотическое разложение •-произведения при Ь —> 0. А именно: определим
бидифференциальный оператор
Вк : У{Ж2п) ® У(Ш2п) -> У(Ш2п)
формулой Bk = т о { ® }к для к ^ 1 и В0 = т.

194
Глава 2
Лемма 3.2. Для любых /ь /2 G У(Ш.2п) и I е N существует С > О,
такое, что для всех р, qr £ R2n
(/i ** /2)(p, g) - £ ^-B*(/i,/2)(p,g)
^ Cft'+1 ирм ft — 0.
Кратко,
oo ,
2fcfc!
(Л ** /2)(p, g) = E ^SiTB*(/l'/2)(р'9) + 0{n°°]- (3-23)
fc=0
Доказательство.
ih . .
Раскладывая экспоненциальную функцию е z в степенной
ряд и повторяя доказательство предложения 3.2, получаем результат.
Наконец, мы получаем другое интегральное представление для
•-произведения. Применяя формулу обращения Фурье к интегралу
по dnuidnvi в (3.20), получаем
(/1*л/г)(р,д) = т^у[ J flip- f«2,g +fu2)/2(iX2,'U2)x
R2n
x e-in2p-iV29dnix2rfnv2 =
= 7^Г / у /i(P-fv2,g + fix2)/2(p2,g2)x
R2n R2n
Xe-m2p-iV2q+m2p2+i,2q2dnp2(ing2dnW2dnV2)
а заменив переменные рг = p — ^v2, gx = g + ^гх2, имеем
(fi*hf2)(p,q) = *2n J J /i(pi,gi)/2(P2,g2)«
R2n ]R2n
2i
— (piqf-pqi+qfiP2-Q2Pi+pqf2-P2Q) jn ,n jn ,n
• e л d pidrqid p2ang2.
Пусть Л — евклидов треугольник (2-симплекс) в фазовом пространстве R2n
с вершинами (р,q)9 (pi,qi) и (р2,д2). Легко видеть, что
Pi9 - P<?i + 9iP2 - 92P1 + pq2 - P2q
=2/,,

2.3. Соотношения Вейля
195
а это — удвоенная симплектическая площадь Л — сумма ориентированных
площадей проекций Л на двумерные грани (р\, q1), ..., (рп, qn). Таким
образом, имеем окончательную формулу
(Л*д/2)(р,9) = —^ J J /i(Pi,gi)/2(P2,g2) х (3.24)
R2n Jj2n
4г /,
xeh*UJdnp1dnq1dnp2dnq2l
которая является формулой композиции для двух вейлевских символов.
Замечание. Поучительно сравнить формулы (3.23) и (3.24).
Последняя формула представляет •-произведение на 5?(Ж2п) в виде абсолютно
сходящегося интеграла и эквивалентна квантованию Вейля. Первая
формула — асимптотическое разложение •-произведения при Ь —> 0, которое
не учитывает всех свойств квантования Вейля. В общем случае степенной
ряд в (3.23) расходится; для полиномиальных функций ряд превращается
в конечную сумму и дает формулу •-произведения многочленов.
Задача 3.9 (Формула композиции для pg-символов). Пусть
fi(p,Q) и /г(р, q) — соответственно pqr-символы операторов <£i(/i)
и $i(/2)- Покажите, что pqr-символ оператора Ф1(/1)Фх(/2) дается
формулой
f(p,q) = j^ J h(p,qi)f2(Pi,q)e^p-piKq-qi)dnp1dnq1.
(Указание: воспользуйтесь формулой для (гп о Uf) (/i ® /2).)
Задача 3.10 (Формула композиции для gp-символов). Пусть
fi(p,q) и /г(р, q) — соответственно gp-символы операторов Ф2(Л)
и $2(/2). Покажите, что qrp-символ оператора $2(fi)$2(f2) дается
формулой
f(p,q) = j^ J fi(Pi,q)f2(p,qi)e-*{P~Pl){4-4l)dnp1dnq1.
R2n
(Указание: воспользуйтесь формулой для (m о U2 2) (/i 0/2)-)

196
Глава 2
Задача 3.11. Используя (3.24), докажите, что •-произведение
ассоциативно.
ЗАДАЧА 3.12. Для классической наблюдаемой f(p,q) определим
•-экспоненту (аналог оператора эволюции) формулой
п\
Е+— п
—Г f*hf*h.-.*hf.
77! n •
71=0
Вычислите ехр*(—йНс), где Нс(р, q) — функция Гамильтона (2.27)
гармонического осциллятора.
2.3.5. Деформационное квантование
Здесь мы рассмотрим процедуру квантования с алгебраической
точки зрения как теорию деформаций ассоциативных алгебр. Пусть А —
С-алгебра (или ассоциативная алгебра с единицей над полем к
характеристики ноль) с билинейным отображением умножения то : А®сА —> А,
которое мы будем кратко записывать как a-b = mo (a, b). Обозначим как C[[t]]
кольцо формальных степенных рядов от t с коэффициентами из С,
С[М] = |Х;апГ:апбс1,
и пусть
At = A[[t}}
— С [[t]]-алгебра формальных степенных рядов от t с коэффициентами из А.
Умножение в At — С [[t]]-билинейное продолжение умножения в А, которое
мы будем также обозначать то. Алгебра At Z-градуирована,
оо
71=0
где Ап = tnA9 так что Ат • Аш С Аш+п.
Определение. Формальная деформация С-алгебры А с
умножением то это ассоциативная алгебра At над кольцом C[[i\] с С[[t]]-билинейным
отображением умножения гщ : At ®c[[t]] At ~~> At, таким, что
mt(a,b) = а-Ъ+ ^ tnmn{a, Ь)
71=1
для всех а,Ь € А, где тпп : А 0с *4 —► Д — билинейные отображения.

2.3. Соотношения Вейля
197
Из С[[£]]-билинейности умножения mt следует, что условие
ассоциативности эквивалентно условию
mt{mt{a,b),c) = mt{a,mt{b,c)) (3.25)
для всех а,Ь,с€ А.
Определение. Две формальные деформации mt и rht С-алгебры А
эквивалентны, если существует С[[t]]-линейное отображение Ft : At —► At,
такое, что
(i) для любого a £ А
оо
Ft(a) = a+J2tnfn(a),
п=1
где /п : А —► -4 — линейные отображения;
(ii) для любых a,b € A
Ft(mt(a,b))=rnt(Ft(a),Ft(b)).
Билинейные отображения тп удовлетворяют бесконечному числу
соотношений, которые получается из разложения (3.25) в формальный
степенной ряд по t. Первые два из них, происходящие из сравнения
коэффициентов при t и £2, это
а • mi(6, с) — mi (а • 6, с) + mi (а, Ъ • с) — mi (а, 6) • с = О,
и
а • Ш2(Ь, с) — Ш2(а • 6, с) + Ш2(а, Ъ • с) — rri2(a, b) • с
= mi(mi(a,6),c) — mi(a,mi(6, с)).
В общем,
а • mn(6, с) — mn(a • 6, с) + mn(a, Ъ • с) — тп(а, Ъ) - с —
п-1
= 5^(mj(mn-j(a,b),c) -mj(a,mn-j(b,c))).
Основной инструмент для понимания этих уравнений и изучения теории
деформаций ассоциативных алгебр — когомологии Хохшилъда. А именно:
пусть М — Д-бимодуль, т. е. левый и правый модули над С-алгеброй А.

198
Глава 2
Определение. Коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, М) С-алгебры Л
с коэффициентами в Л-бимодуле М определяется коцепями
Сп(Л,М) = Нотс(Л0п,М),
т.е. n-линейными отображениями /(ai, ... ,ап), определенными на Л со
значениями в М, и дифференциалом dn : СП(Л, М) —► СП+1(Л, М),
(dn/)(ai,a2, . ..,an+i) = «i • /(«2, . ..,an+i) +
n
+ 2j(-l)J/(ai, .. .,aj-i,dj -aJ+i,aJ+2... ,an+i)+
+ (-l)n+1/(«i, ...,an)-an+i.
Имеем d2 = 0, т. е. dn+i о dn = 0, и когомологии #*(Л, M)
комплекса (C#(AM),d),
ЯП(Д, Af) = kerdn/Imdn-i,
называются когомологиями Хохшильда алгебры Л с коэффициентами в Л-
бимодуле М.
В теории деформаций ассоциативных алгебр мы имеем простейший
нетривиальный случай М = Л с левым и правым действиями Л,
задаваемыми отображением умножения. Уравнение ассоциативности (3.25) можно
записать как
(d2mi)(a,6, с) = 0,
п-1
(d2mn)(a, 6, с) = ^ (mj(mn-j(a,b),c) - mj(a,mn-j(b,c))), a,6,cGA
Замечательно, что коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, Л) обладает
добавочной структурой градуированной алгебры Ли, играющей
фундаментальную роль в изучении уравнения ассоциативности (3.25). А именно: для
/ G Ст(Л, Л) и д е СП(Л, Л) пусть
(f ° g)(ai, • • • ,am+n-i) =
га — 1
= 2^(~l)J/(ai5 • • • ,aj,9{aj+i, • • • ?aj+n),aj+n+i, • • • ,am+n-i),

2.3. Соотношения Вейля
199
определим
[f,9}G= fog-(-1)^-^-^90 f.
Линейное отображение [, ]G : Ст(Д Л) х С1 {Л, А) -► Сш+п-1{А, -4)
удовлетворяет условию [/, д]с = — (—l)(m-1)(n-1)[g, f]G и называется скобкой
Герштенхабера30. Рассматривая ограничение умножения vnt на А0с Л как
формальный степенной ряд по t с коэффициентами в С* (Л, Л) и используя
скобку Герштенхабера, можно переписать (3.25) в сжатом виде:
[mumt]G = 0- (3.26)
Пусть А — коммутативная С-алгебра и At — формальная
деформация А. Определим билинейное отображение { , } : А 0с А —► 14 формулой
{а,6} = mi(a,6) - mi(6,а), а,6еЛ (3.27)
Лемма 3.3. Формальная деформация At коммутативной С-алгебры А
оснащает А структурой алгебры Пуассона со скобкой { , }.
Доказательство.
Рассмотрим уравнение d/ii(a,b,с) = 0. Вычитая из него уравнение
с переставленными а и с и используя коммутативность А9 получим
{а - Ь,с} — {a,b - с} = а - {&,с} — с- {a, Ь}.
Переставляя бис, получаем
{а - с,Ь} — {а,Ь - с} = а - {с, Ь} — Ъ * {а, с},
и, дальше переставляя а и с, получаем
{а • с, 6} — {с, а • Ь} = с • {а, 6} — 6 • {с, а}.
Сложение первого и третьего уравнений и вычитание второго дает
{а - Ь,с} = a • {а, с} + 6 • {а, с},
так что кососимметрическая коцепь { , } Е С2 (А, А) удовлетворяет
правилу Лейбница. Чтобы доказать тождество Якоби, заметим, что
{a,6}=mt(a'fr);mt(MmodUf. (3.28)
30Вместе с произведением Колмогорова-Александера (cup-произведением) коцепей скобка
Герштенхабера оснащает С* (Л, Л) структурой алгебры Герштенхабера.

200
Глава 2
Воспользовавшись условием ассоциативности (3.25) (достаточно
ассоциативности nojAOgyjvo t2At), получаем
{{а, Ь}, с} + {{с, а}, Ъ} + {{Ь, с}, а} = —((mt(mt(a, Ъ) - mt(b, а)), с)-
-mt(c, mt(a, b) - mt(b, а)) + mt(mt(c, a) - mt{a, c),b)-
-mt{b, mt{c, a) - mt{a, c)) + mt(mt(b, c) - mt{c, b), a)-
—mt(a,mt(b,c) — mt(c,b))) mod tAt = 0.
Этим результатом мотивировано следующее определение.
Определение. Деформационное квантование алгебры Пуассона
(А, { , }) с коммутативным произведением то : А 0с *4 —► А — это
формальная деформация At алгебры А9 такая, что отображение умножения mt
удовлетворяет (3.28).
По лемме 3.3 любая формальная деформация At коммутативной
алгебры А является деформационным квантованием алгебры Пуассона (Л, { , })
со скобкой Пуассона, заданной формулой (3.27).
Согласно лемме 3.2, деформационное квантование алгебры Пуассона
(<У(М2п), { , }), в которой скобка Пуассона ассоциирована с канонической
симплектической формой и; = dp A dq9 есть алгебра «У (R2n)[[£]], где t =
= —гft, а Ь рассматривается как формальный параметр, и отображение
умножения дается •-произведением. Следующее утверждение —
формальный алгебраический аналог представления (3.22) для •-произведения.
Теорема 3.4 (Универсальная деформация). Пусть А —
коммутативная С-алгебра с отображением умножения то и пусть ip\ и <р2 — два
коммутирующих дифференцирования алгебры А, т. е. линейных
отображения (fi,(f2 • А —► А удовлетворяющих правилу Лейбница и условию
Тогда выражение
{а,Ь} = (fi(a) • ip2(b) - ip2(a) • (pi(b), a,b e A,
определяет на А скобку Пуассона, и формулой
mt = то о е£ф, Ф = ipi ® ip2,
называемой формулой универсальной деформации, дается деформационное
квантование алгебры Пуассона (А, { , }).

2.3. Соотношения Вейля
201
Доказательство.
Тождество Якоби для скобки { , } следует из коммутативности
дифференциальных операторов ipi и (р2. Чтобы показать, что At —
деформационное квантование алгебры Пуассона (Л, { , }), нам надо проверить условие
ассоциативности (3.25) для отображения vnt. Пусть А : А —> А 0с А —
отображение копроизведения
А(а) = а01 + 10а, а е А.
Оно продолжается до С-линейного отображения из Ноте (А, А)
в Нотс(-4®2, Л®2), которое мы по-прежнему будем обозначать А, и
А((р) = ip 0 id + id 0 if, ip e Home (.4, A).
Для доказательства (3.25) заметим, что правило Лейбница и биномиальная
формула дают следующее тождество для дифференцирования (р на А:
e^om0 = m0oeiA4
Воспользовавшись коммутативностью <р\ и (p2i получаем
mt{a,mt{b,c)) = т0(е'ф(а 0 то(е'ф(Ь0 с)))) =
= (т0 о (id 0 то))(е'(1а0А)(ф^ы®ф(а 0 6 0 с)) =
= (т0 о (id 0 mo))(e'<id®A><*)+'id®*(a 0 Ь 0 с)),
где (id 0 А)(Ф) = ipi 0 А(<^2) € 403. Аналогично
mt(mt(a, 6), с) = (т0 о (т0 0 id))(e'<A®id>(*>+'*®id(a 0 6 0 с)),
где (А 0 id)(<£) = A(y?i) 0 <£2 G Л03. Поскольку т0 о (id 0 т0) =
= то о (то 0 id), ассоциативность умножения rrtt эквивалентна свойству
(А 0 1<1)(Ф) + Ф 0 id = (id 0 А)(Ф) + id 0 Ф,
которое, очевидно, выполняется, так как Ф = (pi 0 <р2.

202
Глава 2
В общем случае 2п попарно коммутирующих дифференцирований щ
на коммутативной алгебре А определяют скобку Пуассона на А:
п
{а, Ъ} = ]Г(<#(а) • 4>i+n{b) - (pi+n(a) • <Pi(b)),
г=1
и деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона
(А, { , }) дается формулой универсальной деформации
п
t £ (4>t®4>t+n-4>i+n®4>i)
mt = то о е г=1
Деформационное квантование пуассонова многообразия (Л?, { , })
(см. раздел 1.2.7 главы 1) — это, по определению, деформационное
квантование соответствующей алгебры Пуассона классических наблюдаемых
(С°°(^),{ , }) с тем свойством, что линейные отображения тп,п ^ 1
являются бидифференциальными операторами31. Формальное
разложение (3.22) •-произведения в степенной ряд является деформационным
квантованием пуассонова многообразия (R2n,{ , }), на котором скобка
Пуассона соответствует канонической симплектической форме uj = dpAdq.
ЗАДАЧА 3.13. Покажите, что С9(Л, Л) — градуированная алгебра Ли
по отношению к скобке Герштенхабера, т. е. что отображение [ , ]g
удовлетворяет градуированному тождеству Якоби
(_!)(—i)(P-i)[/5 bj h]] + (-i)(n-D(p-i)[ftj [/,0]]+
+ (-1)(т-1)(я-1)Ь,[л,/]] = о
для любых / е Cm(A,A),g Е Cn(A,A),h е (У{Л, Л).
Задача 3.14. Проверьте, что dnf = [/,то]с где / е СП(Л, А) и dn
— дифференциал Хохшильда.
31 Этим свойством гарантируется то, что единица алгебры Пуассона сохраняется при
деформации.

2.3. Соотношения Вейля
203
ЗАДАЧА 3.15. Покажите, что деформационные квантования,
ассоциированные с квантованием Вейля, pq- и gp-квантованиями, эквивалентны.
(На самом деле все деформационные квантования канонического пуассоно-
ва многообразия (R2n, { , }) эквивалентны.)
Задача ЗЛб.Пустьд — конечномерная алгебра Ли с базисом х\,.. .,хп
и пусть д* — ее двойственное пространство, оснащенное скобкой
Ли-Пуассона { , } (см. задачу 2.20 в разделе 1.2.7 главы 1). Для и Е g* и х =
п п
= Е f ***, У = Е VlXi e д пусть
г=1 г=1
где fQ = (£X)Q1 ... (fn)Qn> rf = (ry1)^1 ... (ryn)^ - формальный групповой
закон — «ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа». Покажите, что
произведение
mt{h,h) = Yt^0(u,t)Daf1(u)Dl3f2(u), /ь/2 G С°°(0*),
где для мультииндекса а = (а\, ...,ап) и / Е C°°(g*) Z)Q/ =
= тг~^ 7пг- Дает деформационное квантование пуассонова многооб-
дщ1 ... ди%п
разия (д*,{ , }).
ЗАДАЧА 3.17. Пусть (G, { , }) — группа Ли-Пуассона, где rj(g) =
= — г + Ad_1g • г и невырожденное г удовлетворяет классическому
уравнению Янга-Бакстера (см. задачи 2.21—2.23 в разделе 1.2.7 главы 1).
Используя ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для алгебры Ли g —
одномерного центрального расширения алгебры g с помощью 2-коцикла с
(см. задачу 2.23 в разделе 1.2.7 главы 1), покажите, что существует
элемент F e (Ug 0 £^)[М] вида F = 1 — -Лт + 0(t2), удовлетворяющий
условию
(А 0 id)(F)(F 0l) = (id 0 A)(F)(1 0 F),
где А — стандартное копроизведение в Ug.

204
Глава 2
ЗАДАЧА 3.18. Пусть Fl и Fr — образы F и F-1 при
отождествлениях универсальной обертывающей алгебры Ug с алгебрами лево- и право-
инвариантных дифференциальнах операторов на G (см. задачу 2.21 в
разделе 1.2.7 главы 1) и пусть & = Fl о Fr. Покажите, что
произведение mt = то о ^ дает деформационное квантование группы
Ли-Пуассона (G, { , }), такое, что
Д о mt = (mt 0 mt) о Д,
где Д — стандартное копроизведение функций на G, A(f)(g1,g2) =
= f(gi92)Je C°°(G). Алгебра Хопфа (C°°(G),mt, Д, 5), где 5 -
стандартный антипод на G, S(f)(g) = f(g~x), называется квантовой группой,
соответствующей группе Ли-Пуассона G, и обозначается Gq, q = el.
ЗАДАЧА 3.19. Пусть R = (t(F-x)F e (Ug 0 £/g)[M], где а -
перестановка — инволюция Ug 0 ?7g, определенная формулой а (а 0 6) = b 0 а,
а, 6 G £7g. Покажите, что Я = 1 — tr + 0(£2) и удовлетворяет квантовому
уравнению Янга - Бакстера
Д12Д13Д23 = Д23Д13Д12
(см. обозначения задачи 2.22 в разделе 1.2.7 главы 1).
2.4. Замечания и ссылки
Классическая монография Дирака [Dir47] — фундаментальный текст.
Другие классические источники — учебники физики [Фок76Ь] и [Лан89Ь].
Монография [Sak94] — популярный текст для аспирантских курсов на
физических факультетах. Другой полезный физический источник —
энциклопедический труд [Mes99], в котором обстоятельно обсуждается
происхождение квантовой теории и развитие ее математического формализма.
Элементарный учебник [PW35] предлагает введение в старую квантовую
теорию, включая правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда и
приложения квантовой механики к химии. Мы отсылаем заинтересованного
читателя к этим источникам за физическими формулировками и
происхождением квантовой механики, включая обсуждение основных
экспериментальных фактов: эксперимента с двумя щелями и корпускулярно-волнового
дуализма. Квантовая механика не описывает исходы одного измерения
детерминированным образом, и квантовый процесс измерения допускает
различные интерпретации. Общепринятой является так называемая
копенгагенская, в которой измерение вызывает мгновенный «коллапс» волновой
функции, описывающей квантовую систему.

2.4. Замечания и ссылки
205
Монографии [Rud87,Bnp80,AX93], также как и [RS80,RS75],
содержат весь необходимый материал из теории операторов в гильбертовых
пространствах; последний труд охватывает также теорию обобщенных
функций, преобразование Фурье и самосопряженность. Книга [Кир78]
знакомит читателя с различными методами теории представлений, а
монография [BR86], написанная для физиков-теоретиков, содержит всю
необходимую информацию по теории представлений групп и алгебр Ли. Сжатое
введение в метод стационарной фазы и другие асимптотические методы
даются в классическом тексте [Erd56] и в [01v97]; см. также Приложение В
в [BW97]. Свойства многочленов Эрмита-Чебышева32 можно найти в
классической монографии [Sze75], также как и в других справочных материалах
по специальным функциям и ортогональным многочленам.
Наше изложение в разделе 2.1.1 следует традиционному подходу к
математическим основаниям квантовой механики, базирующемуся на
аксиомах Дирака-фон Неймана. Эти аксиомы восходят к классической
монографии фон Неймана [vN96] и более подробно обсуждаются в [Мас04];
см. также [Бер83а], замечания к главе VIII [RS80] и ссылки в этих
работах. Другое математическое описание квантовой механики основывается
на С*-алгебрах и теореме Гельфанда-Наймарка-Сигала; его можно найти
в [Str05] и цитируемых там работах.
Наше изложение в разделе 2.2 следует схеме из [Фад01]; см. [Бер74]
для общей математической формулировки задачи квантования и недавний
обзор [АЕ05]. Имея в виду более продвинутую аудиторию, чем [Фад01],
мы включили в разделы 2.2.1 и 2.2.2 полную математическую трактовку
коммутационных соотношений Гейзенберга и координатного и
импульсного представлений. В разделах 2.2.2 и 2.2.3 мы используем ту же нормировку
собственных функций непрерывного спектра, что и в [Фок76Ь]; она
соответствует соотношению ортогональности в разделе 3.2.2 главы 3. В нашем
изложении в разделе 2.2.6, которое в остальном стандартно, мы включили
доказательство полноты собственных функций il>n(q), обычно только
упоминаемое в учебниках физики. Голоморфное представление в квантовой
механике было введено В. А. Фоком в 1932 г. [Foc32], где скалярное
произведение в Qin давалось в терминах ортонормального базиса из
одночленов fm(z). В терминах интеграла (2.52) это скалярное произведение
было определено В. Баргманом [Ваг61]; голоморфное представление называют
также представлением Фока-Баргмана. Обсуждение виковских символов
32Следуя В.А.Фоку [Фок76Ь], в разделе 2.2.6 мы использовали более подходящее
название «многочлены Эрмита-Чебышева» вместо обычного «многочлены Эрмита» (см. весомые
исторические основания в [Гер50]).

206
Глава 2
операторов в разделе 2.2.7 в основном следует [Бер83а]; больше деталей
можно найти в оригинальной статье [Бер71Ь]. Метод геометрического
квантования только мельком упоминается в замечаниях к разделам 2.2.2 и 2.2.7;
мы отсылаем заинтересованного читателя к монографиям [GS77, Woo92],
курсам лекций [SW76, BW97] и обзору [Кир85с].
Наше доказательство знаменитой теоремы Стоуна-фон Неймана в
разделе 2.3.1 в основном следует оригинальной статье фон Неймана [vN31].
Главный инструмент доказательства — преобразование Вейля — был введен
Г. Вейлем в классической монографии [Wey50] (см. [Ros04] по поводу
истории и обобщений теоремы Стоуна-фон Неймана). Инвариантную
формулировку теоремы Стоуна-фон Неймана, обсуждаемую в разделе 2.3.2,
также как и связь с индексом Маслова, метаплектической группой,
представлением Шейла-Вейля и приложениями к теории чисел можно найти
в [LV80]. Мы отсылаем читателя к [Бер83а] за развернутым
обсуждением pq- и qrp-квантований, их связью с квантованием Вейля, также как и
за большими подробностями о •-произведении, введенном в разделе 2.3.4.
Красивая формула (3.24) для •-произведения — композиция вейлевских
символов — принадлежит Березину [Бер71а].
Понятие деформационного квантования было введено в [BFF+78a,
BFF+78b], где можно найти решение задачи 3.12. Фундаментальную
теорему о том, что любое пуассоново многообразие допускает деформационное
квантование, доказал Концевич в [КопОЗ]. Больше информации о когомоло-
гии Хохшильда и теории деформаций ассоциативных алгебр можно найти
в обзоре [Vor05] и цитируемых там работах. Подход теории деформаций
к развитию физических теорий, например, к переходу от классической
механики к квантовой, подчеркнутый в лекциях Фаддеева [Фад01], можно
найти в [Fla82] и [Fad98].
Большинство задач в этой главе довольно стандартны и в основном
взяты из работ [RS80, Бер83а]. Другие требуют большей искушенности
и приведены с целью познакомить читателя с новыми темами. Так,
асимптотическое разложение в задаче 2.11, которое можно найти в
монографии [Sze75], это пример квазиклассической асимптотики, а в задаче 3.1,
взятой из [Nel59], дается критерий интегрируемости неприводимого
унитарного представления алгебры Гейзенберга. Задачи 3.17-3.19 вводят
читателя в теорию квантовых групп (см. [Лт85,Дри86Ь,Оп87,Реш89а]) и
взяты из [Дри83Ь] (см. также [Так90]). Фундаментальный результат того, что
любая группа Ли-Пуассона допускает деформационное квантование как
в задаче 3.18, был доказан в [ЕК96] (см. также [EnrOl]).

Глава 3
Уравнение Шрёдингера
3.1. Общие свойства
Теперь мы опишем общие свойства оператора Шрёдингера для
квантовой частицы в Rn, движущейся в потенциальном поле. Для упрощения
обозначений в этой главе мы положим Й = 1ит=тИ будем записывать
декартовы координаты на Rn как х = (xi, ... ,хп). Напомним (см.
раздел 2.2.4 главы 2), что соответствующий оператор Шрёдингера задается
формальным дифференциальным выражением
H = -A + V(x),
вещественнозначная, измеримая функция на Rn. Обозначим как
\дх1 '" дх\ J
оператор Шрёдингера свободной квантовой частицы массы т = -z на Rn,
также называемый оператором кинетической энергии, а как V — оператор
умножения на V(x), также называемый оператором потенциальной
энергии, так что
H = H0 + V. (1.1)
Согласно разделу 2.2.3 главы 2 оператор Но самосопряжен и неограничен
в Ж = L2(Rn) и имеет область определения D(H0) = VK2'2(Rn) и
абсолютно непрерывный спектр [0, сю), а оператор V самосопряжен и является
ограниченным, если и только если V(x) Е L°°(Rn), когда ||V|| = ||V||oo-
Сумма Hq + V необязательно самосопряжена, и первая важная
математическая задача квантовой механики состоит в характеризации
потенциалов V(x), для которых формальное дифференциальное выражение (1.1)
однозначно определяет самосопряженный оператор Н в Ж. Вначале
познакомимся с некоторыми полезными критериями самосопряженности.
где V(x)

208
Глава 3
3.1.1. Самосопряженность
Главный результат в этой области — это теорема Като - Реллиха о
возмущениях самосопряженных операторов.
Определение. Пусть АиВ — плотно определенные операторы в Ж.
Оператор В меньше, чем оператор А, в смысле Като, если D(A) С D(B)
и существуют а,Ь еШ, причем а < 1, такие, что для любого ф G D(A)
\\Вф\\^а\\Аф\\+Ьи\\. (1.2)
Эквивалентно, оператор В меньше, чем А, в смысле Като, если
существуют а, /3 G R, причем а < 1, такие, что для любого ф G D{A)
||В^||2<а||^||2 + /ад2. (1.3)
Теорема 1.1 (Като-Реллих). Если А — самосопряженный
оператор с областью определения D(A), а В — симметрический оператор,
меньший, чем А, в смысле Като, то Н = А + В с областью
определения D(H) = D(A) — самосопряженный оператор.
Доказательство.
Напомним, что оператор Н самосопряжен, если и только если
1т(Н + XI) = 1т(Н — XI) = Ж для некоторого Л G Ш, а значит, для
любого A G С \ <у{Н). Поскольку А = А*, для любого Л G гМ имеем R\ =
= (А- XI)-1 G 3?(Ж) и ImRx = D(A). Далее,
Я - XI = (I + BRX)(A - XI),
и чтобы доказать, что 1т(Н — XI) = Ж, достаточно показать, что для
довольно большого |А| выполняется ||ВЯа|| < 1» поскольку тогда,
через ряд Неймана, / + BR\ становится обратимым ограниченным
оператором, и Im(/ + BR\) = Ж. Действительно, для любого (р G Ж имеем
неравенства
1|ДаИКщ1М1 и радК1М1,
следующие из уравнения ||(Л — Х1)ф\\2 = ||А0||2 + |А|2||^||2, если
положить (р = (А — Х1)ф. Далее, используя (1.2) с ф = R\(p, получаем
\\BRx<p\\ < «\\AR\<P\\ + Ь||Дл^|| < (а+ щ)1М1,
так что ||ЯДл|| < 1 для достаточно больших |А|.
Мы используем критерий Като-Реллиха для физически важного
случая, когда А = Но — оператор Шрёдингера свободной частицы в R3 и В =
= V — оператор умножения на V(x).

3.1. Общие свойства
209
Теорема 1.2. Пусть V = \\ + V2, где Уг(х) G L2(R3) и V2(x) G
G L°°(R3). Тогда Н = Щ + V — самосопряженный оператор и D(H)
= VK2'2PQ4
Доказательство.
Достаточно показать, что V меньше, чем Но, в смысле Като на
Q°(R3) С W2'2(R3). Обозначая как || • ||оо норму на L°°(R3), для tp G
G C^°(R3) имеем
II^KI|Vi|||Mloc+r2||oc||H|.
Пусть h(p) = р2. Обозначая как || • ||i норму на L^R3) и используя
преобразование Фурье и неравенство Коши-Буняковского-Шварца, получаем
(2тг)3/2|М|оо = sup
хеш3
ш.3
< ii^iii <
^||(л+1)-1||||(л+'ад<с(нм1 + 1И1) =
= С(||ЯоИ1 + НИ1)-
Теперь заменим <£(р) на фг{р) = г3ф(гр), г > 0. Поскольку ||<£г||оо =
= Halloo, ||^r||i = H^lli, \\фг\\ = г3/2||£||, и ||Л<рг|| = г~1/2\\Нф\1 получаем,
что
(27r)3/2||V>||00<r-1/2C(||HoHI+r2||HI),
где г > 0 произвольно. Выбирая г таким, что а = r-1/2(27r)~3/2C||Vi|| < 1,
заканчиваем доказательство.
Следствие 1.3. Оператор Шрёдингера сложного атома,
рассматривавшийся в примере 2.2 раздела 2.2.4 главы 2, существенно самосопряжен
в C§°(R3<N+1>).
Доказательство.
Будем рассматривать только специальный случай гамильтониана атома
водорода:
Я = -Д-£ г = |х|.
Записав V = X\V + (1 — XiW = Vi + V2, где xi — характеристическая
функция единичного шара В\ — {х G R3 : |х| < 1}, имеем V\(x) G L2(R3)
nV2(x)eLc

210
Глава 3
Другой полезный критерий применяется к вещественнозначным
потенциалам V(x) G 1;™с(Ж.п) из пространства локально ограниченных
п. в. функций на Rn. В этом случае оператор Н, определенный
формальным дифференциальным выражением (1.1), является симметрическим
на Co°(Rn), и имеется следующий результат.
Теорема 1.4. Если потенциал V(x) G L^c(Rn) ограничен снизу,
V(x) ^ С п. в. на Rn, то оператор Шрёдингера Н = Щ + V существенно
самосопряжен на Со°(Шп).
На самом деле выполняется более общее утверждение.
Теорема 1.5 (Сире). Предположим, что потенциал V(x) G L{^c(Rn)
удовлетворяет для любого х G Rn условию
V(x) > -д(|*|),
где Q(r) — возрастающая непрерывная положительная функция на [0, оо),
такая,
оо
Г dr _
/ —, = оо.
{ VoF)
Тогда оператор Шрёдингера Н = Щ + V существенно самосопряжен
на C0°°(Rn).
ЗАДАЧА 1.1. Докажите следствие 1.3 в общем случае. {Указание:
выведите оценку (1.3) для каждого члена соответствующего оператора
потенциальной энергии.)
Задача 1.2 (Неравенство Като). Пусть функция ф е L11oc(Rn)
такая, что обобщенную функцию Аф, можно представить функцией
из L11oc(Rn). Докажите, что в смысле обобщенных функций A|iz|^
^Re ( ^ Дгм, где предполагается, что ——- = 0, если и(х) = 0. (Обоб-
\а / и(х)
щенная функция Т G У(ШпУ неотрицательна, если Т(ф) ^ 0 для любого
неотрицательного (р G ^(Rn).)
ЗАДАЧА 1.3. Докажите теорему 1.4, используя неравенство Като.
(Указание: покажите, что если ф G L2(Rn) удовлетворяет условию (—А +
+ V(x) + С + \)ф = 0 в смысле обобщенных функций, то ф = 0.)
ЗАДАЧА 1.4. Докажите, что одномерные операторы Шрёдингера
с неограниченными снизу потенциалами V(x) = х и V(x) = —х2
существенно самосопряжены на Cq°(M).

3.1. Общие свойства
211
3.1.2. Характеризация спектра
Вторая важнейшая математическая задача в квантовой механике —
описать спектральные свойства оператора Шрёдингера Н. Мы приводим здесь
некоторые общие результаты, характеризующие спектр Н. Первый
основной результат заключается в следующем.
Теорема 1.6. Предположим, что V(x) Е L^c(Rn) удовлетворяет
условию
lim V(x) = оо.
|aj|—»oo
Тогда оператор Н имеет чисто точечный спектр: существует орто-
нормированный базис {фп}пеп в <№* состоящий из собственных
функций Н с собственными значениями Х\ ^ \2 ^ . • • ^ An ^ • • •
конечной кратности,
Нфп = КФп,
и lim Лп = оо.
п—»оо
Напомним, что существенный спектр aess(A) самосопряженного
оператора А состоит из неизолированных точек (т(А) и собственных
значений бесконечной кратности. Следующий результат дает достаточное
условие того, что существенный спектр оператора Шрёдингера заполнит
интервал [0, оо).
Теорема 1.7. Предположим, что V = V\ + V2, где V\(x) € L9(Rn),
2q ^ n для n > 4 и q ^ 2 для n < 41, и 1^(ж) G L°°(Rn) удовлетворяет
условию
lim V2(x) = 0.
|je|—>oo
Тогда aess(H) = [0, оо), так что а(Н)Г\(—оо, 0) состоит из изолированных
собственных значений Н конечной кратности.
Следующий результат дает достаточное условие того, что у оператора
Шрёдингера с убывающим потенциалом будут только отрицательные
собственные значения.
В особом случае п = 4 имеем q > 2.

212
Глава 3
Теорема 1.8 (Като). Предположим, что V(x) G L°°(Rn) и
lim \x\V(x) = 0.
|ж|—»оо
Тогда у оператора Шрёдингера Н = Щ + V нет положительных
собственных значений.
Напомним, что абсолютно непрерывный спектр и сингулярный спектр
самосопряженного оператора А в Ж определены соответственно
равенствами сгас(Л) = а(А\Жас) и asc(A) = а(А\Жвс), где Жас и Ж8С —
замкнутые подпространства для А, определенные следующим образом.
Пусть Ра — проекционная мера для самосопряженного оператора А
и пусть 1Уф = (РаФчФ) — конечная борелевская мера на R,
соответствующая вектору ф G Ж, ф Ф 0. Тогда Ж^с состоит из 0 и всех ф G Ж,
таких, что мера Уф абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега
на R, а Ж&с состоит из 0 и всех ф G Ж, таких, что мера Уф сингулярна по
отношению к мере Лебега на R.
Теорема 1.9. Предположим, что потенциал V(x) G L°°(Rn) для
некоторого е > 0 удовлетворяет условию
V(x) = 0(\х\~г~е) при \х\ —► оо.
Тогда у оператора Шрёдингера Н = Щ + V нет сингулярного спектра
и аас(Н) = [0, оо). Более того, сг(Н) П (—оо,0) состоит из собственных
значений Н конечной кратности, а его единственная возможная
предельная точка — 0.
Наконец, для физически важного случая п = 3 имеется полезная
оценка числа собственных значений оператора Шрёдингера.
Теорема 1.10 (Бирман- Швингер). Предположим, что V(x) G L°
\V(x)V(y)\
II
I®-2/1
2
d6x dry < oo.
Тогда для полного числа N собственных значений оператора
Шрёдингера Н = Hq + V, считаемых с учетом кратности, имеется оценка
И
1 f Г\У(*)УШ^*.
„ „ \х — v\2
R3 R3
"«й^/Уп^г'"'*
Задача 1.5. Докажите все результаты, перечисленные в этом разделе.
(Указание: см. список библиографических ссылок к этой главе.)

3.1. Общие свойства
213
3.1.3. Теорема о вириале
Пусть Н = Н0 + V — оператор Шрёдингера, у которого потенциал —
однородная функция на Rn степени р, т. е. V(ax) = apV(x). Теорема о
вириале в квантовой механике — это соотношение между математическими
ожиданиями операторов Щ и V кинетической и потенциальной энергий
в стационарном состоянии.
Теорема 1.11 (Теорема о вириале). Пусть ф Е Ж, \\ф\\ = 1, —
собственная функция оператора Шрёдингера с однородным потенциалом
степени р и пусть То = (Н$ф, ф) uVo = (Уф, ф) — соответствующие
математические ожидания операторов кинетической и потенциальной
энергий. Тогда
2Т0 = рУ0.
Доказательство.
Из уравнения Шрёдингера
-Аф + У(х)ф = Хф
следует, что
То + V0 = -(Аф, ф) + (Уф, ф) = Х.
Для любого а > 0 функция фа(х) = ф(ах) удовлетворяет условию
-Афа + ар+2У(х)фа = а2Хфа,
так что, дифференцируя это уравнение по а при а = 1 и используя теорему
Эйлера об однородных функциях, получаем
-Аф + У(х)ф = Хф + (2А - (р + 2)У(х))ф. (1.4)
Поскольку ф е D(H), a H самосопряжен, выполняется
((Я -Х1)ф, ф) = (ф, (Н - Х1)ф) = О,
и из (1.4) получается, что
2A = (p + 2)Vb,
что и завершает доказательство.

214 Глава 3
Замечание. Поскольку уровни энергии квантовых систем имеют
отношение к замкнутым орбитам соответствующих классических систем,
теорема 1.11 является квантовым аналогом классической теоремы о вириа-
ле (см. пример 1.2 в разделе 1.1.3 главы 1).
Задача 1.6 (Принцип Рэлея-Ритца). Докажите, что Л —
собственное значение самосопряженного оператора Н с собственной
функцией ф тогда и только тогда, когда ф — критическая точка
функционала F(ip) = ((Я - А7>, <р) на D(H).
ЗАДАЧА 1.7. Выведите теорему о вириале из принципа Рэлея-Ритца.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
Оператор Шрёдингера на вещественной прямой — одномерный
оператор Шрёдингера — имеет вид
*~£ + vW,
где вещественнозначный потенциал V(x) принадлежит L11oc(R),
пространству локально интегрируемых функций на R. Соответствующая задача
о собственных значениях,
Нф = Хф,
сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго
порядка:
-у" + V(x)y = k2y, -оо<х<оо, (2.1)
в котором удобно положить Л = к2. В этом разделе мы подробно изучим
одномерное уравнение Шрёдингера (2.1) для случая, когда
оо
J (1 + |ж|)|У(:г)|е£Е < оо. (2.2)
— ОО
Условие (2.2) — это математическая формулировка физического
утверждения о том, что потенциал V(x) убывает при |х| —► оо. Она позволяет
сравнивать решения у(х,к) уравнения Шрёдингера (2.1) с решениями е±гкх
уравнения Шрёдингера для свободной квантовой частицы,
соответствующего случаю V = 0 в (2.1). Все результаты этого раздела верны для ве-
щественнозначного потенциала V(x) E L11oc(R), удовлетворяющего (2.2);
для простоты изложения мы вдобавок предполагаем, что потенциал V(x)
в (2.2) непрерывен на R.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
215
3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода
Пусть
оо оо
а(х) = / |V(s)|ds и а\(х) = / a(s)ds.
X X
Посколысу V G L1^), имеем lim a(x) = 0 и, используя условие (2.2)
х—»оо
и теорему Фубини, получаем
оо оо оо t оо
аг(х)= f f \V(t)\dtds= f I \V(t)\dsdt= f(t-x)\V(t)\dt<oo,
X S XX X
так что a G Ьг(х,оо) для любого х G R и lim a\(x) = 0. Аналогично
х—»оо
функции
а(х) = / |V(s)|ds и cri(x) = / <7
(s)ds
удовлетворяют условию lim a(x) = lim &\{x) = 0. Условие (2.2)
х—* — оо х—►—оо
гарантирует, что для вещественных к дифференциальное уравнение (2.1)
имеет решения /i(x, к) и /г(ж, А;), однозначно определяемые следующими
асимптотиками:
/i(x, /с) = ег/сх + о(1) при х —► оо,
/г(я»*0 = е~гкх + о(1) при х —► -оо.
Они называются решениями Йоста и играют фундаментальную роль в
теории одномерного уравнения Шрёдингера.
Теорема 2.1. Для вещественных к дифференциальное уравнение (2.1)
имеет решения f\(x,k) и /г(ж, А;), удовлетворяющие следующим
свойствам.
(/) Оценки для k G R:
|e-ib;/i(:c, А) - 1| < (cn(x) - ffl(x + у^Ж^,
\eikxf2(x, к) - 1| < (гт!(х) - ?i(x - ^))е^1(ж).

216
Глава 3
(ii) Асимптотики при \х\ —► оо:
ikxf1(x,k) = l, lim e~ikxf[(
х—>оо
nikx r /„ i,\ i i;___ Akx ft (
lim e~lkxh{x,k) = l, lim e~ikx f'Ax,k) = ik,
x—»oo x—»oo
lim elfcx/2(a;,A;) = l, lim elkxf!,(x,k) = -ik.
x—*—oo
(ш) Аналитичность: функции /i(x, А:) и /2(3:, &) допускают аналитическое
продолжение в верхнюю полуплоскость \тк > 0 и являются
непрерывными в области Im к ^ 0 равномерно по х на компактных
подмножествах Ж.
(/v) Свойство сопряжения:
/i(x,fe) = /i(x,-fe), J2{x,k) = /2(ж,-к), Imfe > 0.
(v) Оценки в части (i) выполняются для Im k ^ 0. Для к Ф 0
.. _— Imfcx тт?0^35)
., ^Imfcx — cr(x)
|/2(x,A:)-e-^|<^—-a(x)e"fcl .
1*1
(v/) Асимптотика при \k\ —> сю, ImA: ^ 0:
e-ife7i (*, fc) = 1 + Odfcl"1), ete/2(x, fc) = 1 + 0(|A:|-1).
Доказательство.
Из метода вариации произвольных постоянных получается, что
дифференциальное уравнение (2.1) с граничным условием lim е~гкх f\{x, к) = 1
х—»оо
эквивалентно интегральному уравнению
оо
f1(x,k)=eikx-J^^p^V(t)f1(t,k)dt. (2.3)
X
Положив (р(х, к) = e~lkxfi(x, к), получаем
оо
/1 — 2гк(х—t)
^~к V(t)<p(t,k)dt. (2.4)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
217
При ImA; ^ О интегральное уравнение (2.4) является уравнением типа
Вольтерра, и его можно решить методом последовательных приближений.
А именно: будем искать решение в виде
оо
<р(х,к) = Y^Vn{x,k), (2.5)
71=0
где (р0(х,к) = 1 и
оо
/1 _ e-2ik(x-t)
— V(t)(pn(t, k)dt =
оо / t
= I I Ie-2ik{x-s)V(t)<pn(t,k)ds\dt.
X \X
Тогда для Im к ^ 0
Ы*,*)|<-^£. (2.6)
Действительно, эта оценка верна для п = 0, и, используя теорему Фубини
и предположение индукции, получаем
\<pn+1(x,k)\<±jlj\V(t)\<T1(t)nd8\dt =
х \х /
оо / оо \
^ J U т)ытЛ dS
„. *
оо
if,, мп, ffi(x)n+1
^у / a(s)a1(s)nds =
€ ■ ' -■—■■" - (n + i)!
X
Таким образом,
\ф,к)\^е°«х\ (2-7)
По признаку сравнения Вейерштрасса функция </?(х, А;), определенная
сходящимся рядом (2.5), аналитична при Imfc > 0. Она также непрерывна
вплоть до прямой Imfc = 0 равномерно по х на компактных
подмножествах R.

218
Глава 3
Первая оценка в части (i) теперь следует из (2.4) и (2.7). А именно:
воспользовавшись равенством \V(t)\ = —(r'(t) и интегрируя по частям,
получаем
\<p(x,k)-l\^J
х
1 _ e-2ik(x-t)
2гк
< eCTl(x)
\к\
\V{t)Mt,k)\dt^
\
J (t-x)\V(t)\dt + j- j \V{t)\dt
х+
\к\
= e°i(x)
х+
-(t-x)a(t)
*+ш
\к\
+
J *(*)* +щ / \V(t)\dt
х+
\к\
= е^х\а1{х)-а1{х + ^)).
Для к = 0 эту оценку следует понимать как |</?(х,0) — 1| ^ а\{х)еа1^х\
Функция fi(x,k) = егкхр(х,к) удовлетворяет интегральному
уравнению (2.3) и в силу (2.7) в (2.3) можно дифференцировать под
знаком интеграла. Это доказывает, что fi(x,k) удовлетворяет
дифференциальному уравнению (2.1) и первой оценке части (i). В частности,
lim e~lkxfi(x,k) = 1 для Imk ^ 0. Дифференцируя (2.3) и используя
х—>оо
то, что е~Im fc(*-x) | cos k(x — t)| ^ 1 для t^xnlmk^O, получаем
oo
\e~ikxf[(x, k) -ik\^ f \V(t)\\<p(t, k)\dt ^ a(x)e^x\ (2.8)
так что lim e lkxf[(x, k) = ik для Im к ^ 0.
x—»oo
Свойство сопряжения следует из единственности решения /i(x, к),
удовлетворяющего оценке в части (i). Чтобы доказать единственность,
обозначим как х(х, к) однородное решение интегрального уравнения (2.4)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
219
со свойством, что а(х) = supx^t<oc \x(t, к)\ < оо для любого х £ R.
Рассмотрим неравенство
оо / t
\X(x,k)\^J U\V(t)\\x(t,k)\ds\dt,
х \х /
следующее из однородной формы уравнения (2.4). Повторяя
доказательных)71
ство оценки (2.6), получаем |х(#, &)| ^ &{х) :—, а переход к
пределу п —► сю дает х(х, к) = 0.
Для доказательства первой оценки в части (v) рассмотрим неравенство
оо
\ф,к) - 1| < ^ -JLjo'itMbk) - IK (2.9)
X
следующее из (2.4) при к ф 0. Последовательно применяя (2.9), получаем
Асимптотика в части (vi) следует из оценки в части (v), что и
завершает доказательство для решения /i(x, к). Существование и аналитические
свойства решения /2(х,/г) доказываются аналогично рассмотрением
интегрального уравнения
X
f2(x,k)=e-ik*+ J Sinfc(*~*V(t)/2(*,fc)cfo. (2.10)
— оо
Следствие 2.2. Для Imk^Ouk^O .
lim e-ifcx(/i(x,A:)-zx/1(x,A:))=0, lim eikx(f2(x,k)+ixf2{x,к)) = О,
x—юо x—* —оо
где точка обозначает частную производную по к.
Доказательство.
Дифференцируя (2.4) по к, получаем следующее интегральное
уравнение для ф(х,к) = e~lkx(fi(x,k) — ixfi{x,k)):
оо
/1 _ p-2ik(x-t)
ш V(t)tp(t,k)dt,

220
Глава 3
где
оо
д(х, jfc) = I f(t - x)e-2ik(x-Vv(t)<p(t, k)dt + 1(1 - ф, к)).
X
Из оценки в части (i) теоремы 2.1 и (2.7) следует, что |g(x,A;)| ^
^ rTcri(x)e<Tl^x^ и> повторяя доказательство оценки (2.7), получаем, что
\ф(х, к)\ ^ —-(Ji{x)e2ai<<x\ Поскольку lim ai(x) = 0, это доказывает
\к\ х—>оо
утверждение для /i(x, к). Соответствующий результат для /2(х,/с)
доказывается аналогично. Для вещественных к ф 0 пары /i(x, A:), /i(x, —А;) =
= fi(x,k) и .М^, А;), /2(2:, — А:) = /2(х, А:) являются фундаментальными
решениями дифференциального уравнения (2.1). Действительно,
вронскиан W(yi, У2) = у[у2 — 2/i2/2 ДВУХ решений (2.1) не зависит от х, а из части
(ii) получаем, что
W(f1(x,k)J1(x,-k))= lim W(f1(x,k)J1(x,-k))=2ik,
х—»оо
W(/2(s> *), /2(x, -fc)) = lim W(f2(x, k), f2(x, -k)) = -2ik.
X—► — OO
Поэтому для таких А: имеем
/2(x, fc) = a(fc)/i(x, -A:) + b(fc)/i(x, fc), (2.11)
где коэффициенты перехода a(k) и 6(А:) даются формулами
a(A:) = 2kW(/l(x'fc)'/2(X'fc))' W = 2ikW{hix'k)'/l(x' ~fc))
(2.12)
и удовлетворяют равенствам a(k) = a(—k), b(k) = b(—k). Аналогично
находим, что
/i(x, fc) = a(fc)/2(x, -A:) - b(-k)f2(x, k). (2.13)
Подставляя (2.13) вместо /i(x, А:) и /i(x, — fc) в (2.11), находим для
вещественных А: ф 0 так называемое условие нормировки'.
|a(fc)|2 = l + |b(fc)|2. (2.14)
Из частей (iii) и (vi) теоремы 2.1 следует, что коэффициент а(к) допускает
аналитическое продолжение в область Im А: > 0 и
а(к) = 1 + 0(\к\-г) при |А;|-> оо. (2.15)
Более того, функция ка(к) непрерывна в области ImA; ^ 0.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
221
Условие нормировки (2.14) означает, что все нули а(к) лежат в верхней
полуплоскости ImA: > 0. Пусть ко — такой ноль, а(ко) = 0. Из первого
уравнения в (2.12) следует, что W(fi(x, ко), /2^, ко)) = 0, так что решения
Йоста /i(x, ко), /2(#, ко) линейно зависимы,
/i(x,fe0) = co/2(x,fe0),
для некоторого со ф 0. Из части (i) теоремы 2.1 следует, что при ImA: > 0
решение /i(x, А:) экспоненциально затухает при х —► оо, а решение /г(ж, А:)
экспоненциально затухает при х —► —оо. Поэтому /i(-,fco) £ £2(М) —
собственная функция оператора Шрёдингера Н с собственным
значением Ло = ftg. Поскольку оператор Я симметрический, его собственные
значения вещественны:
оо
A0||/i(-,fco)||2= J(-fi(x,ko) + V(x)f1(x,k0))7^ko)dx =
— ОО
ОО
= у/1(x,fc0)(-/r(^fco) + ^(:c)/1(;c,fco))^ = Ao||/i(-,A;o)||2,
— ОО
что легко видеть, дважды проинтегрировав по частям; вследствие
части (i) теоремы 2.1 и оценки (2.8) граничные члены обращаются в ноль
при |х| —► оо. Таким образом, A:q = гх0 — чисто мнимая величина с х0 > 0,
так что Ло = —Xq < 0, а соответствующая собственная функция /i(x,zx0)
вещественнозначна.
Предложение 2.1. У функции а(к) в верхней полуплоскости ImA: > 0
лишь конечное число чисто мнимых простых нулей ki = гх/, и
а{гщ) = -гс/||/2(-,г^)||2, I = 1, ...,п,
где точка обозначает производную, a /i(x, гщ) = с//2(х,гх/).
Функция 1/а(к) ограничена в некоторой окрестности точки к = 0 в
области Im A: ^ 0.
Доказательство.
Из (2.14) и (2.15) следует, что А: = 0 — единственная возможная
предельная точка множества нулей а(к) в ImA: ^ 0. Сперва
предположим, что функции /i(x, А:) и /2(х, А:) линейно независимы при А: = 0.
Тогда непрерывная в области ImA: > 0 функция А:а(А:) удовлетворяет
условию lim А:а(А:) = W(/i(x,0), /2(^,0)) ф 0. Поэтому а(к) ф 0 в некоторой
/с—>0
окрестности точки 0, и а(к) имеет лишь конечное число нулей в
области Im А: > 0.

222
Глава 3
Случай, когда /i(x,0) = с/2(х, 0), с ф 0, оказывается более
тонким. Предположим, что в области Im/c > 0 есть сходящаяся к 0
подпоследовательность кп = гнп нулей функции а(к). Из части (i)
теоремы 2.1 следует, что существует А > 0, такое, что для любого х ^ 0
верно /i(x, гх) > -^е~*х для х ^ А и /2(2:, гх) > ~е*ж для х ^ Л, так что
е *пА.
ОО —/1
/ /i(x,zxn)/i(x,0)dx, / /2(х,гхп)/2(х,0)бЬ ^ ^~
А —оо
Пользуясь интегрированием по частям, получаем, как и ранее,
оо
н\ / /i(x,zxn)/i(x,0)dx =
—00
00
= / (f"(x,ixn) - V(x)fi(x,iKn))f1(x,0)dx=:
—00
00
= J /i(x, ***,)(/"(*, 0) - V(x)/i(a:,0))da: = 0.
— OO
С другой стороны, имеем
оо А
0= J fi(x,iJCn)fi(x,0)dx+ I fi(x,iKn)f1(x,0)dx+ (2.16)
А -А
-А
+ с-сп / /2(x,zxn)/2(x,0)dx.
— оо
Поскольку функция fi(x,k) непрерывна в области ImA: ^ 0, равномерно
по х на компактных подмножествах R имеем
А А
lim / fi(x,ixn)fi(x,0)dx = / /i(x,0)2dx ^ 0.
-А -А

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
223
Воспользовавшись равенством
/i(x,zxn) /i(s,0) 2
lim c-cn = c lim —-—:—- = с ——— = с > О,
получаем из (2.16), что для достаточно больших п
0 > Л-е-"»А.
Это очевидное противоречие, поэтому у функции а (А;) лишь конечное число
нулей. Доказательство локальной ограниченности функции 1/а(к) в этом
случае предоставляется провести читателю.
Далее, рассмотрим дифференциальное уравнение (2.1) вместе с
уравнением, полученным из него дифференцированием по к:
-y" + V{x)y = k2y, (2.17)
-у" + V(x)y = к2у + 2ку. (2.18)
Положим у = fi(x,k) в уравнении (2.17), у = /2(х, А;) в уравнении (2.18)
и умножим (2.17) на /г(ж, А;), а (2.18) — на /i (x, А:). Вычитая получившиеся
уравнения, получаем
W(h(x, к), /2(х, *))' = 2fc/i(x, fc)/2(x, к).
Аналогично, положив у — /г(ж, А:) в (2.17), у = /i(x, А:) в (2.18),
перемножая и вычитая, получаем
-W(h(x, к), /2(х, *))' = 2fc/!(x, fc)/2(x, A:).
Поэтому
W{h{x, к), j2(x, к))^_л = 2к [ Л(х, k)f2(x, k)dx, (2.19)
-А
А
- W(Mx,k),h(x,k))\* = 2k f f1(x,k)f2(x,k)dx. (2.20)
X
Теперь предположим, что а(ко) = 0. Имеем
W(/i(x,fc),/2(x,A;))=22A;a(A;),

224
Глава 3
так что, продифференцировав по к и положив к = ко, получаем
W(f!(x, к0), /2(х, ко)) + W(h(я, *о), /2(х, ко)) = 2ik0d(ko).
Поскольку /i(x, fco) = со/2(^,^0)» из теоремы 2.1 и следствия 2.2
следует, что граничные члены в (2.19)-(2.20) обращаются в ноль при А —* оо,
и мы получаем, воспользовавшись тем, что функция f(x,ko) веществен-
нозначна, что
оо
а{ко) = -г / fi(x,k0)f2(x,ko)dx = -гс0||/2(-, М||2-
Собственные значения оператора Шрёдингера Н просты.
Действительно, функция /i(x,zx) — решение дифференциального уравнения (2.1)
для Л = — х2 < 0, экспоненциально затухающее при х —► оо. Поскольку
вронскиан любых двух решений (2.1) постоянен, другое решение (2.1),
линейно независимое с /i(x,zx), экспоненциально возрастает при х —► оо.
Таким образом, любое экспоненциально затухающее при х —► оо
решение (2.1) для Л = —х2 отличается от /i(x,zx) на постоянный множитель.
В частности, это доказывает, что точечный спектр Н прост. Этот результат
следует также из простоты нулей функции а(к) и теоремы о разложении по
собственным функциям, которую мы докажем в следующем разделе.
Задача 2.1 (Теорема об осцилляциях). Пусть Ai = -н\ <
< ... < Ап = х2 < 0 — собственные значения одномерного
оператора Шрёдингера Н. Докажите, что соответствующие собственные
функции fi(x,гщ) имеют в точности I — 1 простых нулей, / = 1, ..., п.
ЗАДАЧА 2.2. Докажите, что при Im/c ^ 0 решение Йоста fi(x,k)
допускает представление
оо
fi(x,k) = eikx+ J Kfaty^dt,
где
оо
К{х,х) = \ fv(t)dt и |^1(х,*Ж|а(^)е'
X + t
(Tl(x)-(71(-^-)

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
225
Более того, ядро К\(х, i) дифференцируемо, и
|^L(x,t) + i7(s±4)|<|<7i(xMs±i)e"1W>
аналогичное неравенство выполняется для ^^{x,t). Соответственно,
для ImA: ^ 0 решение Поста f2(x,k) допускает интегральное
представление х
f2(x, А;) = e~ikx + f K2(x, t)e-iktdt,
— оо
в котором ядро K2(x,t) удовлетворяет аналогичным оценкам. (Указание:
покажите, что (2.3) эквивалентно интегральному уравнению
оо оо t+(s—x)
Кг(х,г) = \ f V(s)ds + \ fv(s) f K^s^duds
x+t x t-(s-x)
2
с условием K\(x,t) = 0 при t < x, которое решается методом
последовательных приближений.)
ЗАДАЧА 2.3. Покажите, что коэффициенты перехода а (А;) и b(k)
имеют представления
оо оо оо
a{k) = l~2ik J V{x)dx~2ik / Л(*)еШЛ, Ъ{к) = ±j B(t)e-iktdt,
— оо 0 —оо
где A(t) e Ь\0, оо) и B(t) e L^-oo, оо).
ЗАДАЧА 2.4. Покажите, что для Imfc > 0 коэффициент перехода а(к)
удовлетворяет дисперсионному соотношению
a(fc) = exp<2-y — фН|^-п-.
— оо ) l~l
3.2.2. Разложение по собственным функциям
Ниже мы в явном виде построим ядро резольвенты для
одномерного оператора Шрёдингера Н и покажем, что оно самосопряжено и имеет

226
Глава 3
область определения, состоящую из функций ф £ L2(R), дважды
дифференцируемых на R и таких, что — ф" + У{х)ф Е L2(R). С помощью
комплексного интегрирования мы выведем теорему о разложении собственных
функций для оператора Я, обобщающую соответсвующий результат для
оператора Но свободной квантовой частицы, рассмотренный в разделе 2.2.3
главы 2.
Для Л е С \ [0, оо) пусть
( h(x,k)f2(y,k)
R\(x,y)
h(y,k)f2(x,k) V-2l>
2ika(k) ' если*^>
где ветвь функции к = л/Л на С \ [0, оо) определяется условием,
что ImA: > 0. При фиксированных х и у функция R\{x,y) мероморфна
на С \ [0, оо) и имеет простые полюса в точках А/ = — х2, I = 1, ..., п. Для
фиксированного А ф А/ функция R\(x, у) = R\(y, ос) непрерывна по х и уу
и из части (v) теоремы 2.1 и (2.15) следует, что
0— 1тк\х—у\
\Rx(x,y)\^C-^— , С>0. (2.22)
Ядро R\(x,y) определяет при А ф А/ ограниченный интегральный
оператор R\ в L2(R) формулой
оо
(Rx1>)(x)= J Rx(x,y)ip(y)dy.
— оо
Действительно, из (2.22) следует, что для ф Е L2(R),
оо оо 2
|fc|2 ||ад2 < С2 JП е-1тк^-У\Щу)\йу\ dx =
—оо —оо
оо оо оо
= С2 I /" e-imfc(li/il+|j/2l) f \^(x + y1)^x + y2)\dxdy1dy2^
—оо —оо —оо
^4C2(Imfc)-2||^||2.
В частности,

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
227
Лемма 2.1. Оператор Я самосопряжен и R\ — (Я — XI) г при A £
€ С \ {[0, оо) U {Ai, ..., Лп}}, где I — тождественный оператор в L2(R).
Доказательство.
Пусть g £ L2(R). Как и в методе вариации произвольных постоянных,
из (2.21) следует, что при A £ С \ {[0, оо) U {Ai, ..., Ап}} функция у =
= R\g £ L2(R) дважды дифференцируема п. в. на R и удовлетворяет
дифференциальному уравнению
-y" + V(x)y = \y + g(x).
Таким образом, (Я — \I)R\ = I и, в частности, 1т(Я ± И) = L2(R), так
что оператор Я самосопряжен.
Пусть #о — гильбертово пространство С2-значных функций Ф(А) =
= (^2(А) ) на f0'00^ С Н°РМ0Й
оо
|Ф||^ = /(1^(А)|2 + Ь(А)|2)^(А),
где da{\) = —^—d\ и у/\ ^ 0 при А > 0 (см. раздел 2.2.3 главы 2, где
Z v А
следует положить Ь = 1 и т = -). Для А ^ 0 положим
%(х,х/А) = -^—/,(х,х/А), j = 1,2, (2.23)
a(vA)
а для ^ G Cq (R) определим С2-значную функцию ^ф на [0, оо) с
компонентами {^ф)\ И {^ф)2 формулой
оо
(^^•(А) = —L [ ip{x)uj{x,\f\)dx, j = 1,2. (2.24)
— оо
По предложению 2.1 функция ^^ ограничена в точке А = 0, а для
больших А с помощью дифференциального уравнения (2.1) и интегрирования
по частям получаем равенство
оо
(<^),(А) = -±= [ (-ф"(х) + V{x)1>(x))uj(x,&)dxt
А\/27г J
— оо
показывающее, что <&ф £ #о-

228
Глава 3
Пусть Р — ортогональная проекция на подпространство Ж = Ь2(Ш)9
натянутое на собственные функции фь{х) = /i(x,zx/), I = 1, ... , п.
Функции ф\ вещественнозначны и ортогональны, так что для ф Е Ж
7
Теорема 2.3. Оператор fy продолжается до оператора частичной
изометрии
W : Ж -> S)0:
fy*fy=I-P и W* = h,
и устанавливает изоморфизм (I — Р)Ж ~ j}0. Здесь I и Iq —
соответственно тождественные операторы в Ж и 5эо- Для спектра
соответствующего оператора Шрёдингера Н имеем а(Н) = {—>ef, ..., — х^} U
U[0,oo) и
где Жрр = РЖ и Ж^ = (/ — Р)Ж — соответственно инвариантные
подпространства, связанные с чисто точечным и абсолютно
непрерывным спектрами Н. Оператор WHfy* — это оператор умножения на А
в #о> так что абсолютно непрерывный спектр [0, оо) оператора Н имеет
кратность два, а оператор fy «диагонализует» ограничение Н на
подпространство Жы.
Доказательство.
Для доказательства соотношения ^*^ = I — Р — так называемого
соотношения полноты — достаточно установить следующую классическую
формулу разложения по собственным функциям для ф Е Cq (R):
О -оо
оо
+и2(х,k) J ip(y)u2(y,k)dy\ dk + (2.25)
— ОО
7
Pt Ш\ J

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
229
где все интегралы абсолютно сходятся, и мы положили
da(X) = dk. Действительно, предположив, что выполняется (2.3), получаем
дпя^,у€С2(К)
—оо —оо 0 —оо
оо
+ и2(х,к) / ^(y)u2(y,k)dy)dk)dx + Y^7^^
-оо *=1
п
= (^^^^)о + ^-^(^^)(^,^),
где ( , )о — скалярное произведение в йо» а изменение порядка
интегрирования по х и А: обосновано теоремой Фубини. Таким образом,
(&il>,V<p)o = ((I-P)il>,<p) (2.26)
для ^, у? Е Cq(R), и можно заключить, что ^ продолжается до
ограниченного оператора из Ж и #о> удовлетворяющего условию (2.26) для
любых -0, </? Е J^7.
Чтобы доказать формулу разложения по собственным функциям (2.3),
для А € С \ [0, оо) положим д(х, А) = (R\i/j)(x). Функция д(х, А) для
фиксированного х мероморфна на А Е С \ [О, оо) и имеет простые полюса
в точках А = А*, I = 1, ..., п. Из (2.21) и предложения 2.1 следует, что
оо
Resx=xlg(x,А) = ттгЦ/гОМ^) / f2(y,i^i)^(y)dy = - ' ' ^i(s).
— оо
Поскольку ЯЯд = R\H = I + АЯд, имеем
-</'(х, А) + V»<?(x, А) = ф(х) + А<?(х, А),
так что
g{x,\) = -p>(x) + \(Rx<p)(x)1
где <р = -ip" + V{x)ip G С0(Ш.). Из (2.22) получаем
|(Ял¥>)(*)| < тЦ=: при |А| — оо,
|vA|
так что
д(х,\) = -±ф(х)+0(\\\-3/2) при |А|->оо. (2.27)

230
Глава 3
Из предложения 2.1 и (2.21) следует, что
£(х,А) = 0(|АГ1/2) при А^О. (2.28)
Для 0 < е < 1 < N пусть С = CEjn — контур, составленный из
следующих частей: (i) дуга Се окружности А = 'еегв, е ^ | arg#| ^ 7г, проходимая
по часовой стрелке; (и) дуга Cn окружности А = Neie9 ем ^ | arg#| < 7г,
проходимая против часовой стрелки, где N sin ем = е sin e; (iii) отрезки 1±
прямых ImA = ±esine, соединяющие границы дуг. Выберем е и N так,
чтобы все полюса А/ функции д(х, А) были внутри С, и рассмотрим
С
С одной стороны, по теореме Коши о вычетах
С другой стороны, из (2.27) и (2.28) следует, что
№oohl9^x)dX=:-^x) и HiiJ9{x'x)dX = 0-
Cn Ce
Таким образом, мы получаем
п
= ]™о A, h {f9^ ^dX ~ f9^ A^A) =
1+ X-
oo oo
fe / ( / (йл+ш(Х'У) " Дл-'°(х' уШу)*у\ <*\ (2-29)
2тгг
0 -oo
где
Да±ю(я,у) = ИтЯл±^(х,7/).
г—Ю

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
231
Чтобы вычислить разность R\+i0(x,y) — R\-io(x,y), заметим, что на
разрезе А ^ О выполняется >/А + гО = к ^ 0 и л/А - гО = -к < 0. Из (2.21)
следует, что при х ^ у
R\+i0(x,y) - RX-io(x,y)
1 (fi(x,k)f2(y,k) fi(x,-k)f2(y,-k)
2ik у а(к) а(-к)
и, воспользовавшись уравнениями
следующими из (2.11) и (2.13), получаем
R\+io(x,y) - RX-io(x,y) =
2fc|a(fc)|:
;(fi(x,k)f1(y,k) + f2(x,k)f2(y,k))
= 2fc (^i(x' fc)wi(2/i k) + и2(х, *)гг2(у, *)),
где Л = к2. Подставив это в (2.29) и используя симметрию R\(x,y) =
— R\{y,x) ядра резольвенты, получаем разложение по собственным
функциям (2.3).
Пусть ^ас — ограничение оператора % на подпространство Ж^с =
= (I — Р)Ж. Из соотношения полноты следует, что оператор ^ас —
изометрия, так что Im^ = Гт^ас — замкнутое подпространство в #0.
Таким образом, для того чтобы проверить соотношение
ортогональности ЩЩ* = /о, достаточно показать, что Гт^ = #о- Пользуясь
интегрированием по частям, легко получаем, что самосопряженный
оператор ^ас^^ас1 — это оператор умножения на А в Гт^ с областью
определения fyD(H). Более того,
«гям = я^, меС\[о,оо),

232
Глава 3
где Щ * — резольвента оператора умножения на Л в #0, так что Im ^ —
инвариантное подпространство для R^ . Далее, из леммы 2.2 в
разделе 2.2.2 главы 2 следует, что существуют борелевские
подмножества Е\,Е2 С [0, сю), такие, что
Если, скажем, лебеговская мера множества Е\ = [0,оо)\Е\ положительна,
то для Л = к2 £ El имеем
оо
/
и\(х, к)ф(х)(1х = 0 для любого ф е Cq (R),
так что ui(x,k) = 0 для любых х Е R — противоречие. Поэтому,
Гт^ = йо- Пусть ^о : Ж ^> fio — соответствующий унитарный оператор
для оператора Шрёдингера Щ свободной частицы, построенного в
разделе 2.2.3 главы 2 (при Ь = 1 и т = -), и положим С/ = ^*% : ^ —► ^с-
Следствие 2.4. Ограничение Н на абсолютно непрерывное
подпространство Жж унитарно эквивалентно Щ:
н\Жлс = ищи-1.
Замечание. В физической литературе соотношения полноты и
ортогональности, понимаемые в смысле обобщенных функций, обычно
записываются как
оо
^- I (т(х, к)иг(у,к) + и2(х,к)и2(у, k))dk + V * „ , * = б(х - у)
о
и
оо
2^7
— ОО
Uj(x,k)uk(x,p)dx = 5jkS(k-p),
где г, А; = 1,2 и fc,p > 0. Когда коэффициенты перехода а(к) и 6(fc)
дифференцируемы при к Ф О2, соотношение ортогональности можно вывести из
оо
2Это имеет место, когда V{x) удовлетворяет условию / (1 + |a:|2)|V(a:)|da: < оо.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
233
тождества
-^W(uj(x,k),uk(x,p)) = (k2-p2)uj(x,k)uk(x,p), (2.30)
мгновенно следующего из дифференциального уравнения (2.1). А именно:
рассмотрим случай j = к = 1 и проинтегрируем (2.30) на отрезке [—TV, N].
Используя (2.13) и асимптотику решений Йоста, получаем
N
N
I
-N
u1(x,k)u1(x,p)dx = — W{fi{x,k),fi(x,p))
(к2 - р2)а(к)а(р)
-N
ei(k-P)N _ а(к)а(р)е-{<<к-^м + b(k)b(p)ei(<k-^N
а(к)а(р) \ к~Р
a{k)b{p)e-^k+^N - b(k)a(p)e^k^N \
+ v J v y - v J v } +o(l) при ЛГ-юо.
k+p J
Поскольку k,p > 0, по лемме Римана-Лебега предел в смысле
обобщенных функций членов в третьей строке при N —► оо равен нулю.
Поскольку а(к) и Ь(к) предполагаются дифференцируемыми, во второй строке
можно заменить а(р) и Ь(р) на а(к) и Ь(к) соответственно, так как разность
стремится к нулю при N —► оо по лемме Римана-Лебега. Наконец,
используя (2.14), получаем
N
sin(& T>)N
ui(x,k)ui(x,p)dx = 2 lim = 27г5(к— р),
N—>oo к — p
-N
где последнее равенство — записанное в смысле обобщенных функций
соотношение ортогональности для преобразования Фурье.
Замечание. Собственные функции непрерывного спектра Uj(x, А)
удовлетворяют также свойству, аналогичному условию нормировки (2.14)
из раздела 2.2.2 главы 2:
lim — (C/j.fc+A - Ujik, C/z.fc+д - Uitk) = 2тг^-ь j, / = 1,2,
Д—Ю A
где
кА к
2v^ У а(р)

234
Глава 3
Замечание. Качественная структура спектра Шрёдингера Н
определяется структурой линий уровня Нс(р,х) = А классической функции
Гамильтона Нс(р,х) = р2 + V(x). А именно: из условия lim V(x) = 0
|х|—»оо
следует, что поверхности уровня при Л > 0 некомпактны, а классическое
движение неограничено в обоих направлениях, и эти значения Л
заполняют абсолютно непрерывный спектр [0, сю) оператора Н с кратностью два.
Для Л < 0 линии уровня компактны, и классическое движение
периодично. Согласно правилам квантования БВЗ (см. раздел 2.2.5 главы 2) уровни
энергии — собственные значения Н — соответствуют замкнутым орбитам,
а условием (2.2) гарантируется, что у Н лишь конечное число собственных
значений.
Задача 2.5. Найдите уровни энергии для потенциала
v(X) = —§—; И)>о.
cosh нх
В частности, покажите, что если Vo = 2x2, то собственное значение всего
одно — Е = —х2.
Задача 2.6. Покажите, что оператор R\ — Fcx \ где R\ ' — (Я0 —
— Л/)-1 и Л е С \ [0, сю), имеет след и
Т*(ДА-40)) = -^1о§а(^).
(Указание: используйте свойства (2.19)-(2.20) из предыдущего раздела.)
3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния
В предыдущем разделе было показано, что для потенциалов V(x),
удовлетворяющих условию (2.2), операторы Н = Я0 + V и Я0 имеют один
и тот же абсолютно непрерывный спектр. Среди множества операторов
частичной изометрии в Ж, устанавливающих унитарную эквивалентность
между Н\ж иЯо, имеются два оператора W± фундаментальной
физической значимости. Они определяются как
W±= lim eiHte-itHo, (2.31)
t—»±oo
где предел понимается в сильной операторной топологии, и называются
волновыми операторами (или операторами Меллера). В общем случае
волновые операторы существуют для оператора Шрёдингера Н = Щ + V
на Rn с потенциалом V(q), достаточно быстро затухающим при \q\ —> сю.
В этом разделе мы покажем, что для потенциалов V(x), удовлетворяющих
условию (2.2), пределы (2.31) существуют.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
235
Волновые операторы удовлетворяют соотношению частичной изометрии
W£W±=L (2.32)
Действительно, сильные пределы унитарных операторов сохраняют
скалярные произведения, так что (W±i/j, W±ip) = {Ф,Ф) для всех *ф, ip Е Ж.
Из сходимости Ап —> А при п —> оо в сильной операторной топологии
не обязательно следует, что Л* —> Л*, так что мы не можем заключить,
что W±W± = I. Таким образом, в общем случае волновые операторы не
унитарны. На самом деле, можно показать, что Im W± = J^c = (I — Р)Я?
или, эквивалентно,
W±W^ = I-P, (2.33)
где Р — ортогональная проекция на подпространство <Щ>Р. Хотя
доказательство соотношения (2.33) довольно нетривиально, легко показать,
что Im W± С (I — Р)Ж. Действительно, пусть ф е Ж — связанное
состояние — собственный вектор Н,
Нф = Хф.
Тогда для любого <р Е Ж имеем
(W±ip,ip) = lim eixt(e-itHo<p,ip) = О
t—»±оо
по лемме Римана-Лебега, как мы видели в разделе 2.2.3 главы 2.
Предполагая, что волновые операторы существуют и удовлетворяют
соотношению (2.33), легко доказать, что
f(H)W± = W±f(H0) (2.34)
для любой измеримой функции / на R. Действительно, согласно
спектральной теореме, достаточно доказать это свойство для функций /(A) = егтХ
при всех г Е R. В этом случае уравнение (2.34) мгновенно следует из
тождества
егтНei(t-r)He-i(t-r)H0 __ eitHe-itHoeirHo
переходом к пределу t —► ±оо. Используя (2.34) и (2.32), заключаем —
WIHW±=H0,
так что ограничения волновых операторов на подпространство Ж^
устанавливают унитарную эквивалентность между Н\^ и Щ.

236
Глава 3
Замечание. Физический смысл волновых операторов таков. Однопа-
раметрическая группа U(t) = e~ltH унитарных операторов описывает
эволюцию квантовой частицы, движущейся в поле короткодействующего
потенциала. При больших \t\ частица с положительной энергией удаляется от
центра, и когда \t\ —> оо, ее эволюция описывается однопараметрической
группой Uo(t) = е~гШ°, соответствующей свободному движению.
Математически это выражается тем фактом, что для любого </?_ Е Ж существует
вектор ф £ Ж, такой что
lim \е-*нф - e~itHo(p- \\ = О,
t—* —оо
и такой вектор дается формулой ф = W-<p~. Аналогично для любого </?+ Е
Е Ж вектор ф = W+<£+ удовлетворяет условию
lim ||е-"я^-е-ЙЯо<р+Н = ().
t—»оо
В физической интерпретации ортогональность ImW± к
подпространству <Щ>Р объясняется тем фактом, что для всех моментов времени t
связанные состояния локализуются вблизи потенциального центра, тогда как
свободная квантовая частица уходит на бесконечность при \t\ —> оо.
Волновые операторы используются для описания рассеяния квантовой
частицы на потенциальном центре. А именно: для заданного </?_ Е Л?9
существует ф = W-<p- Е Ж, такое, что решение ф{Ь) = и{£)ф
нестационарного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Н и начальным
условием ^(0) = ф при t —► —ос приближается к решению ip-(i) = Uo(t)ip-
нестационарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Но
и начальным условием </?_(0) = у?_. Поскольку ImW_ = ImW+,
существует </?+ Е Л?9 такое, что ф = W+y?+ и решение ф(£)
нестационарного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Н и начальным
условием ^(0) = ф при t —> оо приближается к решению ip+(i) = Uo(t)ip+
нестационарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Щ и
начальным условием у?+(0) = </?+. Переход от решения <p-(i)
свободного уравнения Шрёдингера, описывающего движение квантовой частицы
при t = — оо, к решению </?+(£), описывающему ее движение при t = оо, —
результат рассеяния квантовой частицы потенциальным центром. Вся
информация о рассеянии содержится в операторе рассеяния S (в физике
также называемом S-матрицей), связывающем начальное и конечное
условия </?_ и (р+:

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
237
Из (2.32) и ф = W-(f- = W+ </?+ мгновенно получается, что
5=Ж*.Ж_, (2.35)
а из (2.32)-(2.34) получается, что оператор рассеяния 5 унитарен в Ж
и коммутирует со свободным гамильтонианом Н0:
5*5=55* = / и 5Я0 = #о5.
Это — набросок нестационарного подхода к теории рассеяния.
В стационарном подходе к теории рассеяния волновые операторы W±
и оператор рассеяния 5 строятся как интегральные операторы в
координатном представлении с интегральными ядрами, выраженными через
особые решения стационарного уравнения Шрёдингера. Здесь мы представим
эту конструкцию для одномерного оператора Шрёдингера, рассмотренного
в предыдущем разделе.
А именно: пусть и\(х,к) и и2(х,к) — решения одномерного
уравнения Шрёдингера (2.1), заданные формулами (2.23), где у/\ = к > 0. Из
теоремы 2.1 и (2.11), (2.13) следует, что эти решения имеют следующую
асимптотику:
ui(x,k) = sn(k)eikx + о(1) при х -> оо, (2.36)
u1(x,k)=eikx + s2i(k)e-ikx + o(l) при х -> -оо (2.37)
и2(х, к) = e~ikx + s12(k)eikx + о(1) при х -^ оо, (2.38)
гх2(я, к) = s22(k)e~ikx + о(1) при х -> -оо, (2.39)
где
1 6(fc) 6(fc)
(2.40)
Решения tzi(x, А;) и ^(х, А;) называются решениями задачи рассеяния,
функция s\\{k) называется комплексным коэффициентом прохождения, а
функции s\2{k) и s2\(k) соответственно комплексными коэффициентами
правого и левого отражений. Следовательно, Т = |«ц(А:)|2 называется коэф-
фициентом прохождения, ай= |si2(&)|2 = |«2i(A:)|2 — коэффициентом

238
Глава 3
отражения. Матрица 2x2:
s(k) = Mkh\ *»<*>)
называется матрицей рассеяния. Из (2.14) следует, что матрица рассеяния
унитарна, S*(k)S(k) = I, где I — единичная матрица 2 х 2, и удовлетворяет
условию S(k) = S(—k). В частности, из унитарности матрицы рассеяния
следует, что Т + R = 1, что называется сохранением вероятности.
Физическая интерпретация решений и\(х,к) и U2(x,k) такова. Для
простоты предположим, что потенциал V(x) гладок и обращается в ноль
при |х| > А, так что асимптотики (2.36) и (2.38) превращаются в
равенства при х > А, а асимптотики (2.37) и (2.39) — при х < —А. В этом
случае элементы Sij(k) матрицы рассеяния — гладкие функции при к ф 0.
Как в разделе 2.2.3 главы 2, пусть <р\(к) и ^(к) — волновые пакеты:
гладкие функции на (0, оо), сконцентрированные в некоторой окрестности Щ
точки ко > 0. Функции, называемые рассеянными волнами,
оо
tlij(x,t) = / щ(к)щ(х,к)е~гк2Чк, j = 1,2,
о
— это решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера:
В области |х| > А решение ф\(х, t) можно упростить так:
оо
il>i(x,t) = / (pi(k)sn(k)elkx~ik2tdk, когда х > А,
* /..»,—— _....
о
Воспользовавшись методом стационарной фазы (см. раздел 2.2.3 в главе 2),
получаем при t —► — оо

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
239
i/>i(x,t) = 0(\t\ *), когда х > А,
/ \ гх2 in
M^^) = ^(Pi[ftU4t4 +0(И"1), когда х<-Д
и при £ —> сю
^i(^*) = ^^i(§)eii(§)e'^"^+0(r1), когда х>Д
^(х,t) = ^! f-| J s2i f-|) e^""T + 0(Г!), когда х < -А
Предполагая, что окрестность [/q «достаточно мала», мы видим, как
и в разделе 2.2.3 главы 2, что при t —> —сю решение i/ji(x,t)
представляет собой плоскую волну с амплитудой |(/?i(A;o)|, движущуюся от х = —сю
вправо, по направлению к потенциальному центру, со скоростью v = 2/со.
Когда t —> сю, решение i/ii(x, t) является суперпозицией двух плоских волн:
падающей волны с амплитудой |sn(fco)|, умноженной на изначальную
амплитуду, которая локализована справа от потенциального центра и движется
по направлению к сю со скоростью v, и отраженной волны с множителем
амплитуды |s2i(fco)|, к0Т0Рая локализована слева от потенциального
центра и движется по направлению к —сю со скоростью —v.
Соответствующие коэффициенты прохождения и отражения — это Т = |зц(А;о)|2 и R =
= |*2l(M2-
Аналогично имеем при t —> — сю
/ \ IX 27Г
M*,t) = ^W\-ftU~«~T+OQt\-1), когда х > А,
fo(x,t) =0(|i|_1), когда х < -А,

240
Глава 3
и при t —> сю
~2
lk(*. t) = -±= у>2 (|) в12 (|) е « 4 + о^-1), когда ж > А,
■ 1
/ \ / \ ZX 27Г
^2(x't) = i^2v^)S22v^)e^~T+0(tl)' когда Х<"А
При £ —► — сю решение ^2(я, 0 — плоская волна с амплитудой |</?2(&о)|>
Движущаяся от х = сю влево, по направлению к потенциаьному центру, со
скоростью —v. Когда t —> сю, решение ^2(ж? 0 будет суперпозицией двух
плоских волн: падающей волны с таким же множителем амплитуды |s22(&o)|,
которая локализована слева от потенциального центра и движется по
направлению к —сю со скоростью —V, и отраженной волны с множителем
амплитуды |si2(fco)|> которая локализована справа от потенциального центра
и движется по направлению к сю со скоростью v. Формулы (2.40)
показывают, что коэффициенты прохождения и отражения для решения ^2 (я, t) те
же, что и для решения i/;i(x,t), и не зависят от направления
распространения. Это — так называемое свойство взаимности коэффициента
прохождения.
Решения и\(х, к) и v,2(x, к) стационарного уравнения Шрёдингера
обладают тем свойством, что соответствующие решения i/;i(x,i) и ^{x^t)
зависящего от времени уравнения Шрёдингера переходят в плоские волны
при t —> — сю. В согласии с такой интерпретацией мы обозначим их
соответственно как и[~ (х,к) и и2 (х,к). Решения стационарного уравнения
Шрёдингера
Ui(x,k) = U2(x,k) = U2{x,—k) и и2 (#, к) = u\(x,k) = и\{х,—к)
допускают похожую интерпретацию: они соответствуют решениям
зависящего от времени уравнения Шрёдингера, переходящим в плоские волны
при t —> сю. Вводя
U+(x9k)=(u^^\ и U^k)=(Ul\^kjY
\и2 }(х,к)) \и2 }(х,к))
элементарным вычислением с использованием (2.11) и (2.13)
получаем, что
U+(x,k) = S(k)U-(x,k). (2.41)
Следующий результат устанавливает эквивалентность стационарного
и нестационарного подходов к теории рассеяния.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
241
Теорема 2.5. Для одномерного оператора Шрёдингера Н — Щ + V
с потенциалом V(x), удовлетворяющим условию (2.2), волновые
операторы существуют и могут быть заданы явными формулами
W± = «£<%.
Здесь (9У± : Ж —> йо — интегральные операторы, задаваемые формулами
оо
V±(il>) = -±= I i>(x)U±{x,sf\)dx,
у27Г J
а оператором <% • Ж —> #o устанавливается унитарная
эквивалентность между оператором Hq в Ж и оператором умножения на А в $)о,
%{-ф)
оо ,
Оператор рассеяния S в Ж и оператор умножения на матрицу
рассеяния S{\[\) на Ы унитарно эквивалентны:
S = %S{y/X)%.
Доказательство.
Формула для оператора рассеяния мгновенно следует из
определения операторов ^±, формулы (2.41) и соотношения
ортогональности Щ-Щ1 =/0 (см. теорему 2.3). Для доказательства того, что W± =
= $/±$/о, достаточно показать, что для любого Ф = ( ^1 \ £ #0, где ipi(k)
и </?2(&) — гладкие функции на (0, оо) с компактным носителем,
lim \\(е-нн^-е-ННо%*)Ф\\я* = 0.
t—»±оо

242
Глава 3
Действительно, положив х^(^) = (е гШ%£ — е гШо^0*)Ф, имеем
оо
Х{±)(х, t) = -j= J ({и?\х, к) - eikx)^{k) +
О
+ (4±}(z, *) - e-ikx)p2(k))e-ik2tdk,
и несложно оценить интеграл
ОО )
\х1±Ч*)\\2 = J \xl±4*,t)\2dx
(2.42)
при t —> ±оо. А именно: из леммы Римана-Лебега следует, что для
любого фиксированного А > О вклад в (2.42) от интервала [—Л, Л]
стремится к 0 при t —> ±оо. В интегралах по промежуткам —оо < х < —А
и А < х < сю заменим щ^х^к) их асимптотиками (2.36)-(2.39).
Используя оценки в теореме 2.1, часть (v), легко показать, что для достаточно
больших А разность можно сделать сколь угодно малой равномерно по t.
Чтобы завершить доказательство, остается показать, что для любой
непрерывной функции (р(к) на (0, оо) с компактным носителем интегралы
оо оо
Jp)(t) = I Л f <p(k)e*ikx-ik2tdk
А 10
dx
/л. оо
J?\t) = \j \J<p(k)
e±ikx-ik2tdk
—оо |0
dx
обращаются в ноль при t —> ±оо. Рассмотрим, к примеру, интеграл «/{ (£).
Для заданного е > 0 существует гладкая функция rj(k) на (0, оо) с
компактным носителем [а, /?], такая, что
Ib-*7ll3e& <
47Г*

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
243
По теореме Планшереля имеем
оо I оо
e-ikx-ikHdk
dx С
<
<
оо оо
//
оо
/
(ip(k)-ri(k))e-ikx-ik2tdk
dx +
оо оо
//
г)(к)е
dk
ОО
[(<р(к) - rj(k))e-ikx-ik2tdk
2 оо
оо
dx+ [\l r)(k)e-ikx-ikHdk
0 1 А |о
оо
А
оо
frj{k)
0
е-^.
bdk
2
dx.
dx <
dx ^
Для оценки оставшегося интеграла применим интегрирование по частям,
чтобы получить
и поскольку
/\(к)е-*кх+*ь><1к= f -
о
W(k)\
i{k)
(х + 2kt)
e~i{kx+k2t)dk,
х + 2kt ^ x + 2otf
при x, t > О, имеем
оо оо - оо
f Iг){к)е-*кх+кНЧк\ dx^C2 f —
dx
С2
(x + 2crt)2 A + 2af
2C2 C+)
Выбирая £ > -5^-, получаем J| ;(£) < е. Другие интегралы анализируются
похожим образом.

244
Глава 3
Следствие 2.6. Волновые операторы удовлетворяют соотношениям
ортогональности и полноты W±W± = I и W±W± = I — Р.
Доказательство.
Результат теоремы 2.3, доказанный для оператора % = ^_,
очевидно, выполняется и для оператора ^+. Таким образом, соотношения (2.32)
и (2.33) следуют из соответствующих соотношений ортогональности и
полноты для операторов <&±.
Замечание. Соотношение ортогональности (2.32) тривиально, если
установлено существование волновых операторов. Таким образом,
теорема 2.5 дает другое доказательство соотношения ортогональности в
теореме 2.3.
Задача 2.7 (Критерий Кука). В абстрактной теории рассеяния
докажите, что волновые операторы W± существуют, если для всех ср Е Ж
оо
/,||Vre-itifVl|A<cx).
о
Задача 2.8. Найдите матрицу рассеяния S(k) для потенциала V(x)
из задачи 2.5 и покажите, что когда Vo = 2Х2, матрица рассеяния диаго-
нальна.
Задача 2.9 (Квантовое туннелирование). Найдите матрицу
рассеяния S(k) для прямоугольного потенциального барьера: V(x) = О
при х < О и х > 2а, и V(x) = V0 > О при 0 < х < 2а. Покажите, что
когда Е изменяется от 0 до Vo, Т возрастает от 0 до (1 + Voa2)-1,
квантовая частица проникает через потенциальный барьер.
3.2.4. Другие граничные условия
Здесь мы рассмотрим два примера оператора Шрёдингера
*-£ + „<„
с потенциалом V(x), имеющим разные асимптотики при х —> ±оо.

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
245
Пример 2.1. Предположим, что потенциал V(x) удовлетворяет
условию
О оо
/ (1 + |z|)|F(x) - c2\dx < оо и /(1 + |x|)|F(x)|dx < оо
— оо О
для какого-то с > 0. Оператор Шрёдингера Н имеет отрицательный
дискретный спектр, состоящий из конечного числа простых собственных
значений Ai < • • • < Лп < 0, и абсолютно непрерывный спектр [0, оо),
простой при 0 < Л < с2 и кратности два при Л > с2. Эта качественная
структура спектра определяется структурой линий уровня Нс(р,х) = А
классической функции Гамильтона Яс(р, х) = р2 + V(x): собственные
значения могут возникать только в случае компактных линий уровня, когда
классическое движение периодично, тогда как значения Л с некомпактными
линиями уровня, для которых классическое движение нефинитно,
принадлежат абсолютно непрерывному спектру Абсолютно непрерывный спектр
имеет кратность один или два в зависимости от того, ограничено ли
соответствующее классическое движение в одном или двух направлениях, т. е.
когда 0 < Л < с2 или Л > с2.
Эти результаты можно доказать методами раздела 3.2.1. А
именно: положим Л = к2 и определим функцию к\ = \/к2 — с2 условием,
что Im к\ ^ 0 при Im к ^ 0. В частности, sgn k\ = sgn к для
вещественных к9 \к\ > с. У дифференциального уравнения
-у" + V(x)y = k2y (2.43)
при вещественных к есть два линейно независимых решения /i(x, к),
fi(x, —к) = /i(x, к)9 где /i(x, к) имеет асимптотику
/i(x, к) = eikx + о(1) при х —► оо.
При вещественных к9 \к\ > с, у уравнения (2.43) есть также два линейно
независимых решения /2(х,/с),/2(х, —/с) = /2(х, — к)9 где /2(х,/с) имеет
асимптотику
f2(x,k) = e~iklX+ о(1) при х —> -оо.
(На самом деле, эти решения удовлетворяют оценкам, похожим на оценки
из теоремы 2.1.) Как и в разделе 3.2.1, для вещественных к9 \к\ > с, имеем
/2(х, к) = a(k)fi(x, -к) + b(k)fi(x, к),

246
Глава 3
где
a(k) = 7±-W(f1(x,k),f2(x,k)),
AlK (2.44)
b(k) = ±W(f2(x,k)J1(x,-k)),
и a(-k) = a(fe), Ь(—к) = Ь(к). Однако, W(f2(x, к), /2(ж, -/с)) = -2г/сь так
что для вещественных к9 \к\ > с, имеем
/i(x,fc) = ^-a(k)f2(x,-k) - ^-b(-k)f2(x,k).
Отсюда получаем условие нормировки
|a(A;)|2-|6(fc)|2=!-, |fc|>c.
При фиксированном х решения fi(x,k) и f2(x,k) можно
аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость ImA: > 0. При — с < к < с
решение f2(x, к) вещественнозначно и удовлетворяет условию
/2(х, к) = a(k)fi(x, -к) + a(k)fi(x, -к),
где а(к) по-прежнему дается той же формулой (2.44). Функция а(к) не
обращается в ноль при вещественных А: и допускает мероморфное
продолжение в верхнюю полуплоскость Im A: > 0, где у нее имеется конечное число
чисто мнимых простых нулей гхх, ..., гхп, соответствующих собственным
значениям Ai = — xj, ..., An = — х^.
Абсолютно непрерывный спектр оператора Шрёдингера Н
заполняет [0, оо). При 0 < А = к2 < с2 спектр прост, а
и(х, А) = —— /2(х, к), 0 < к < с,
а{к)
— это аналоги нормированных собственных функций непрерывного
спектра. При А = к2 > с2 спектр имеет кратность два, и
и\(х, А) = ^т/гО*, *), u2(x, к) = 1-7ГтЛ(х' *)» к > с'
— это аналоги нормированных собственных функций непрерывного
спектра. Обозначая как ipi{x) нормированные собственные функции Н,
соответствующие собственным значениям А/, получаем теорему о разложении

3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
247
по собственным функциям: для ф £ Ь2(Ш)
ф(х) = ^Сф{х) + ± / C(k)u(x,k)dk +
1=1 п {
оо
+ h I(СЛк)их{х,к) + C2{k)u2{x,k))dk,
С
где С/ = (ф,ф1)91 = 1, . ..,n, a
оо оо
С(&) = / ip(x)u(x,k)dx, Cj(k) = / il;(x)uj(x,k)dx, j = 1,2.
Пример 2.2. Допустим, что потенциал V(x) растет при х —> —оо
и затухает при х —> сю:
оо
|(1 + И)|К(х)|с£
ж < сю для всех а,
и что существует хо Е R, такое, что спектр задачи Штурма-Лиувилля
-у" + ^(ж)у = Ау, -оо<х^х0, и у'(х0)=0
ограничен снизу и дискретен. Последнее условие — это конкретная
формулировка свойства lim V(x) = сю.
х—► —оо
Тогда для любого вещественного к существует решение f(x,k)
дифференциального уравнения (2.43) с асимптотикой
/(ж, к) = eikx + о(1) при ж—>сю
и существует функция s(k)9 такая, что
и(х, к) = /(ж, —/с) + s(k)f(x, к)
интегрируемо с квадратом на промежутке (—сю, а) для любого
вещественного а. Оператор Шрёдингера Н имеет простой абсолютно непрерывный
спектр [0, сю) и дискретный спектр, состоящий из конечного числа
отрицательных собственных значений. Функции и(х,к) — нормированные

248
Глава 3
собственные функции непрерывного спектра, и соответствующая теорема
о разложении по собственным функциям имеет следующий вид: для
любого ф е L2(R)
П р
ф(х) =Y,C^X) + ^ / C(k)u(x,k)dk,
1=1 *{
где С; = (ф, ipi), l = \, ..., п, и
оо
од = у ф{.
x)u(x,k)dx.
Задача 2.10. Придайте явную форму теореме о разложении по
собственным функциям для потенциала V(x) = ех.
ЗАДАЧА 2.11. Найдите уровни энергии потенциала Морса V(x) =
= е~2ах - 2е~ах, а>0.
Задача 2.12. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по
собственным функциям для потенциала V(x) = Fx, описывающего
движение квантовой частицы в однородном поле; согласно задаче 1.4
соответствующий оператор Шрёдингера самосопряжен. (Указание: решите уравнение
Шрёдингера явно в импульсном представлении и выразите нормированные
собственные функции непрерывного спектра в координатном
представлении в терминах функций Эйри-Фока, определенных в разделе 3.6.2.)
Задача 2.13. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по
\кх\
но задаче 1.4 соответствующий оператор Шрёдингера самосопряжен).
собственным функциям для потенциала V(x) = — ^кх29 где к > 0 (соглас-
3.3. Угловой момент и SO(3)
3.3.1. Операторы углового момента
В главе 1 (см. пример 1.10 в разделе 1.1.4) мы ввели для классической
частицы в R3 вектор углового момента Мс = х х р с компонентами
Мс1 = х2рз - %зР2, Мс2 = х3рг - Х1Рз, Мс3 = ххр2 - х2р\.

3.3. Угловой момент и SO(3)
249
Согласно примеру 2.1 в разделе 1.2.6 главы 1, у них следующие скобки
Пуассона в канонической пуассоновой структуре на Т*М3:
{МС1,Мс2} = -Мсз,
{Мс2,Мс3} = -Мс1, (3.1)
{Mc3,Mci} = -Мс2.
Квадрат углового момента М% = М^ + М^2 + М<?3 удовлетворяет условию
{Ml Мс1} = {Ml Мс2} = {Ml Мс3} = 0.
Если функция Гамильтона
Hc(p,x) = ^ + V(x)
инвариантна при вращениях, V(x) = V(\x\), то компоненты углового
момента
являются интегралами движения:
{/1с,Мс1} = {Яс,Мс2} = {Яс,Мс3}-0 и {ЯС,МС2}=0.
Это также можно проверить прямо, используя скобки Пуассона
{Mcj,pk} = -ejkiPi и {Mcj,xk} = -Sjkixi, i,j,k = 1,2,3, (3.2)
где Ejki — полностью антисимметрический тензор, £i23 = 1.
В свою очередь, в квантовой механике компоненты оператора углового
момента М = Q х Р определяются формулами
Мг = Q2P3 - Q3P2, М2 = Q3Pi - Q1P3, М3 = Q2P3 - Q3P2,
где Q = {Qi,Q2,Qz) и Р = (Pi,P2,P3) — соответственно,
операторы координаты и импульса. Поскольку операторы Qi и Pk коммутируют
при гфк, проблемы упорядочивания при определении операторов
квантового углового момента не возникает. Из коммутационных соотношений
Гейзенберга следует, что их квантовые скобки устроены также, как и
соответствующие скобки Пуассона (3.1):
{МъМ2}п = -М3, {M2,M3}h = -Mu {M3,M1}h = -M2. (3.3)
Эквивалентно,
[МЪМ2] = гЙМ3, [М2, М3] = ШМЪ [М3, Mi] = ihM2. (3.4)

250
Глава 3
Оператор квадрата полного углового момента М2 = М2 + М| + М$
удовлетворяет уравнению
[М2, Mi] = [М2, М2] = [М2, М3] = 0.
Соответственно, для оператора гамильтониана
со сферически симметрическим потенциалом V(x) = У(|ж|)
операторы Mi, Мг, Мз, а поэтому и М2, — квантовые интегралы движения:
[Я, Mi] = [Я, М2] = [Я, М3] = 0 и [Я, М2] = 0.
Это можно прямо проверить, используя квантовые скобки
{Mh Pk}h = -SjkiPi, {Mj, Qk}h = -SjkiQi, j, fc, Z = 1,2,3, (3.5)
которые устроены так же, как скобки Пуассона (3.2), что следует из
коммутационных соотношений Гейзенберга.
В координатном представлении Ж — L2(R3, d3x) операторы углового
момента задаются следующими самосопряженными дифференциальными
операторами первого порядка:
*=*(*>£;-**£;)' (3-6)
">-*{*£;-**£;)' (3-7)
Они обладают свойством, что
Мгф = М2ф = М3ф = 0
для любой сферически симметричной гладкой функции ф(х) = ф(\х\).
Иными словами, операторы углового момента действуют только на
угловые координаты на R3. То есть пусть
х\ — г sin $ cos (/?, Х2 = г sin # sin <p, X3 = rcosi?,

3.3. Угловой момент и SO(3)
251
где 0 ^ $ < 7Г, 0 ^ ip < 27Г — сферические координаты на R3. Явное
вычисление дает
Mi = гЬ ( sin ip-^-z + cot д cos (р-^- j ,
М2 = —г/г ( coscz?-^— — cot # sin </?-^— ) ,
\ <w д(р J
o<p
Таким образом,
M2 = -n2^^fsin^+ l ^
sintfdtf V 00/ sin2 ti d<p2 J '
так что оператор о ^2 ~~ сферическая часть оператора Лапласа на !
Ь
1 ^ („2_д\ 1 лл-2
3.3.2. Теория представлений SO(3)
Квантовые операторы углового момента связаны с теорией
представлений группы вращений SO(3) — группы ортогональных матриц 3 х 3 с
определителем 1. SO(3) — компактная группа Ли, изоморфная вещественному
проективному пространству RP3 как гладкое многообразие. Имеется
изоморфизм групп Ли SO(3) ~ SU(2)/{±/}, где SU(2) — группа Ли
унитарных матриц 2 х 2 с определителем 1. Алгебра Ли so(3) группы SO(3) —
трехмерная алгебра Ли кососимметрических матриц 3 х 3 с базисом
Хг = О 0 -1 , X:
ООП
0 0 0
■1 0 0/
, *3 =
/0-1 0
10 0
\0 0 0
Матрицы Хх,Х2,Хз порождают соответственно однопараметрические
подгруппы SO(3), состоящие из вращений вокруг координатных осей в R3.
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям
[Xi,X2] = Х%, [Х2,Хз] = Xi, [X3,Xi] = Х2,

252
Глава 3
подобным (3.4). Чтобы установить связь между квантовыми операторами
углового момента и теорией представлений SO(3), рассмотрим
регулярное представление R группы SO(3) в Ж = L2(M.3,d3x), определенное
формулой
(Щд)ф)(х) = ^(д-'х), д е SO(3), феЛГ.
Лемма 3.1. Имеем
Л^игХг+ъХъ+иъХъ} = е~ \ ЫМ1+и2М2+и3М3) ^
Доказательство.
Положим иХ = и\Х\ + г£2Х2 + ^з-^з и иМ = т/iMi + г/2М2 + г/зМз.
Из теоремы Стоуна и прямого вычисления следует, что
OUj
R(euX)=Mjy j = 1,2,3,
u=0
где самосопряженные операторы Mi, M2, Мз даны формулами (3.6) - (3.8).
Теперь для фиксированных и\,П2,щ рассмотрим однопараметрическую
группу U(t) = i?(etuX) унитарных операторов в Jf7. По теореме
Стоуна U(t) = е"**л, где
"-'г
t=o ^
Замечание. Имеем Mj = iTip(Xj), где р = dR — соответствующее
регулярное представление алгебры Ли so(3) в Ж.
Все неприводимые унитарные представления R\ группы Ли SO(3)
конечномерны и параметризуются неотрицательными целыми числами I ^ 0.
Соответствующее неприводимое представление р\ = dR\ алгебры Ли so(3)
в 21 + 1-мерном комплексном векторном пространстве V\ можно явно
описать следующим образом. Введем эрмитовы операторы 7} = ipi(Xj),
j = 1,2,3, удовлетворяющие коммутационным соотношениям
Pi,T2] = гГ3, [r3,Ti] = гГ2, [Г2,Г3] = гГь

3.3. Угловой момент и SO(3)
253
В векторном пространстве Ц есть ортонормированный базис {ejm}™~*_j,
такой, что
(Гх - iT2)eim = -V(l + m)(Z-m + l)ejm_i, (ЗЛО)
(7\ +гГ2)е*ш = -V(/-m)(/ + m + l)eim+b (3.11)
Тзе1т = meim. (3.12)
В частности, (Ti + iT<i)e\\ = 0, так что Vi — модуль со старшим весом.
Представление р\ неприводимо, и по лемме Шура
!* = *(*+ 1)4,
где 1\ — тождественный оператор в tyj. Это можно также прямо проверить,
используя (3.10)-(3.12).
Замечание. Когда I — полуцелое число, т. е. / е ~ + Z^o>
и m = —/,—/ + 1, ...,/ — 1,/, формулы (3.10)-(3.12) все еще определяют
неприводимое представление р\ старшего веса алгебры Ли so(3)
размерности 2/ +1, и любое неприводимое n-мерное представление so(3) изоморфно
представлению pi с I = п ~ . Для полуцелых / представления р\ не
интегрируемы: они порождают двузначные представления SO(3), так
называемые спинорныеб представления. Однако рассматриваемые как
представления алгебры Ли su(2) ~ so(3), p\ соответствуют неприводимым унитарным
представлениям группы Ли SU(2). Из теории представлений SU(2) следует,
что при I, V е \ъ^
1 1+V
Ц®Ц>= 0 Vj (3.13)
— это так называемое разложение Клебша-Гордона. В физике оно
соответствует сложению угловых моментов.
Регулярное представление R группы SO(3) в Ж — L2(M?,d3x) не
является неприводимым. Имеем
Ж = L2(52, dn) <g> L2(R>0, r2dr), (3.14)
где dn — мера на 52, индуцированная мерой Лебега на R3. Группа SO(3)
действует вращениями на первом сомножителе тензорного
произведения (3.14), тогда как она действует на второй сомножитель как
тождественный оператор. Таким образом, задача разложения регулярного
представления R сводится к нахождению SO(3)-инвариантных подпространств

254
Глава 3
гильбертова пространства L2(52, dn). Итог — разложение в ортогональную
сумму
оо
L2(S2,dn) = 0^, (3.15)
где @i ~ Ц. При этом изоморфизме ортонормированный базис Yim в ^,
соответствующий базису е\ш в Ц, дается нормированными сферическими
функциями
Ylm{fi,<p) = -±=eim* РГ (cos#), m = -l,...,l,
\/27Г
где Pln{x) — нормированные присоединенные полиномы Лежандра,
' w v } Y(/-m)!V 2 2*Z! ^~m
Самосопряженный оператор М"2 в гильбертовом пространстве L2(S2,dn)
имеет чисто точечный спектр, состоящий из собственных значений h2l(l+i)
кратностей 21 + 1, I = 0,1,2, ..., и разложение (3.15) дает разложение по
его собственным функциям: для любого ф Е L2(52 dn)
оо I
27Г 7Г
</>
^ 51 ^"i^m, где С^т = / i/>(tf,ip)Ylm(-d,<p)smddddip.
i=0 m=—l q q
Задача 3.1. Докажите все результаты этого раздела. (Указание: см.
литературу к этой главе.)
3.4. Задача двух тел
3.4.1. Отделение центра масс
Рассмотрим оператор Шрёдингера для задачи двух тел (см. пример 2.2
в разделе 2.2.4 главы 2):

3.4. Задача двух тел
255
Вводя
v mixi+m2x2
Л. = ; И X = Х\ — Х2,
Ш1+Ш2 '
координаты центра масс и относительную координату, получаем
л/г , Ш1Ш2
где М = mi + Ш2 — полная масса, a /i = — приведенная масса.
Оператор Гамильтона Н диагонализуется методом разделения переменных.
Конкретно, рассмотрим следующее разложение двухчастичного
гильбертова пространства Я? = L2(R6) в тензорное произведение гильбертовых
пространств:
Ж = L2(R3, d3X) <g> L2(R3, d3x). (4.1)
Оператор
Ях=-^Дх (4.2)
действует как тождественный на втором сомножителе в (4.1), а оператор
Hm = -^Aa + V(x) (4.3)
— как тождественный оператор на первом сомножителе в (4.1). У функций-
решений задачи на собственные значения
Нф = Еф, (4.4)
имеющих вид произведения
ф(Х,х) = У(Х)ф(х),
переменные разделяются:
НХ^(Х) = Е^(Х) и Нхф(х) = Е2ф(х),
где Е = Е\ + Е2. Поскольку
з
квантовая задача двух тел сводится к задаче о квантовой частице,
движущейся в потенциальном поле, и описывается оператором Гамильтона (4.3)
в гильбертовом пространстве L2(R3, d3x).

256
Глава 3
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния
Здесь мы обрисуем теорию рассеяния для оператора Шрёдингера Н =
= —A+V(x) (где мы положим Ti= 1и//= -) с быстро убывающим
потенциалом. Конкретно, предположим, что ограниченная вещественнозначная
функция V(x) на R3 удовлетворяет условию
V(x) = 0(\x\-3-£) при |ж|^оо (4.5)
для некоторого е > 0. Тогда для любого к € М3 уравнение Шрёдингера
-Аф(х) + У(хЩх) = к2ф(х), к = |fc|, (4.6)
имеет два решения и^(х, к), удовлетворяющих следующим
асимптотическим условиям при \х\ —> оо:
«<*>
-1*4 t»|» / "1 \
(x,k)=eiha + f^(k,uf,n)^+o\^J, (4.7)
где к = кш, х = гп. Асимптотики (4.7) называются условиями излучения
Зоммерфельда. Для доказательства существования решений и^(х, к) надо
рассмотреть следующие интегральные уравнения:
(*,*) = eikx + J G&(х - у, k)V(y)uW(у, k)d3y, (4.8)
к3
С(±)(ж,/0
*<*>
к3
где
1 e±ifcr
4тг г *
Интегральные уравнения (4.8) эквивалентны уравнению Шрёдингера (4.6)
с условиями излучения Зоммерфельда (4.7) и называются уравнениями
Липпмана-Швингера. При их анализе используется теория Фредгольма
и теорема Като 1.8.
Решения и^(х,к) называются стационарными рассеянными
волнами. Они аналогичны решениям Uj (x,k) для одномерного случая, где
индекс j = 1,2 заменяется вектором и е 52. Абсолютно непрерывный
спектр Н заполняет [0, оо) и имеет равномерную бесконечную кратность,
параметризованную точками двумерной сферы S2. Решения и^(х,к) —
это нормированные собственные функции непрерывного спектра. В общем
случае у оператора Н есть конечное число отрицательных собственных
значений А/ < О конечной кратности пц, I = 1, ..., п.

3.4. Задача двух тел
257
В терминах операторов <%S± : Ж —> Ж, данных формулами
_з /•
&±(ф)(к) = (2тг) 2 ф(х)и{±\х,к)(Рх,
к3
соотношения полноты и ортогональности принимают вид
*^«Г± = / - Р, ^±^± = /,
где Р — ортогональная проекция на инвариантное подпространство для
оператора Я, ассоциированное с чисто точечным спектром. Теперь пусть
W± = «£<%,
где <% = ^-1 — обратное преобразование Фурье. Как и в разделе 3.2.3,
можно доказать следующий результат.
Теорема 4.1. Операторы W± — волновые операторы для
оператора Шрёдингера Н. Соответствующий оператор рассеяния S = W+W-
имеет вид
где S — интегральный оператор,
(Sif>)(k, и) = ф{к, ш) + || J f(k, и, и')ф(к, w')dw',
Функция /(fc,u?,a/) называется амплитудой рассеяния.
Задача 4.1. Докажите, что если
sup /,|y(y)|rJ_^2/<47r,
К3
то интегральные уравнения Липпмана - Швингера можно решить с
помощью ряда Неймана, а для фиксированных ж и и? решения и^(х,к),
к = fco;, допускают аналитическое продолжение в верхнюю
полуплоскость Im к > 0. Покажите также, что в этом случае у оператора
Шрёдингера Н нет собственных значений.

258
Глава 3
Задача 4.2 (Борновское приближение). Покажите, что и(+\х,к) =
_ егкх + 0(1) при к —► оо, и выведите из этого, что
/(fc,n,w) + ^j; feik{n-^xV{x)d3x = o{l) при А:^оо
К3
равномерно на п, о; Е 52.
Задача 4.3. Докажите унитарность оператора 5, используя
уравнение Шрёдингера (4.6), условия излучения (4.7) и формулу Грина.
Задача 4.4 (Оптическая теорема). Покажите, что
/
52
\f(k,n,u)\4n = ^flmf(k,u>,u>).
(Здесь левая часть — это полное сечение в направлении о; при энергии Е =
Задача 4.5. Пусть Aj = — xf < 0 — собственные значения Н с крат-
ностями mi, I = 1, ... ,п. Докажите, что для фиксированных ж и о;
решения и^\х^к) допускают мероморфное продолжение в верхнюю
полуплоскость Im к > 0 с полюсами порядка mi в точках гщ, I = 1, ..., п.
Задача 4.6. Докажите, что волновые операторы W± существуют,
используя нестационарный подход. (Указание: покажите, что когда V(x)
удовлетворяет (4.5), применим критерий Кука, сформулированный в
задаче 2.7.)
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале
Задача на собственные значения для оператора Шрёдингера
H = -£b + V{x)
упрощается, когда Н коммутирует с действием S0(3) на Ж — L2(R3, d3x):
[Я, Т(д)} = 0 для любого д в S0(3).
Это сводится к условиям
[Я,М*] = 0, г = 1,2,3, (4.9)

3.4. Задача двух тел
259
и эквивалентно свойству, что потенциал V сферически симметричен,
V(х) = V(г), г = |а?|. В частности,
[Я,Мз] = [Я,М2] = 0,
где М2 = М2 + М| + М|, а операторы Мз и М2 — коммутирующие
интегралы движения для гамильтониана Н. Как следует из результатов
раздела 3.3.2, можно искать решения задачи на собственные значения
Нф = Еч/>,
удовлетворяющие условию
М3ф = тф и М2ф = h2l(l + l)tp, m = -/,...,/.
Используя (3.9), получаем
*~&£('£)+£+™
так что в согласии с разложениями (3.14) и (3.15) мы ищем решения в виде
ф(х) = Rt(r)Ylm(n), х = rn,
где Fjm — нормированные сферические функции. Разделяя переменные,
получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение на
функцию Ri(r):
Ь2 d ( 2dRi\ , П2Щ + 1)
т
+ -^—^Ri + V(r)Ri = ERt.
2/ir2 dr \ dr J fj,r2
Вводя
/i(r)=WJ,(r),
получаем так называемое радиальное уравнение Шрёдингера:
Поскольку для непрерывного потенциала V{x) решение ф{х) также
непрерывно, уравнение (4.10) следует дополнить граничным условием /j(0) = 0.

260
Глава 3
Радиальное уравнение Шрёдингера выглядит аналогичным уравнению
Шрёдингера для одномерной частицы, если ввести так называемый
эффективный потенциал
2firz
в котором второе слагаемое называется центробежной энергией. Однако,
поскольку fi определено только при г > 0, уравнение (4.10) эквивалентно
уравнению (2.1) с потенциалом, удовлетворяющим условию V(x) = оо
при х < 0, описывающим бесконечный потенциальный барьер при х = 0.
Поскольку радиальные операторы Шрёдингера
получаются из трехмерного оператора Шрёдингера
Я—Цд + Пг)
разделением переменных, операторы Hi самосопряжены в L2(0,oo),
если Н — самосопряженный оператор в L2(R3). Оператор Но следует
дополнить граничным условием /о(0) = 0, тогда как в случае I > 0 никаких
граничных условий не требуется. В частности, из теоремы 1.9 в разделе 3.1.2
следует, что если ограниченный потенциал V удовлетворяет условию
V(r) = 0(r~l~e) при г —> сю
для некоторого е > 0, то Hi — самосопряженные операторы с простым
абсолютно непрерывным спектром, заполняющим [0, оо), и отрицательными
собственными значениями с возможной точкой сгущения в нуле. Если
V(r) = 0{r~2~£) при г —► оо,
то у операторов Hi конечно число отрицательных собственных значений,
а при достаточно больших / собственных значений вообще нет. Такое же
заключение верно, если
/■
r\V(r)\dr < оо. (4.11)
о
Такие потенциалы V (г) называются короткодействующими
потенциалами. Затухающие на бесконечности потенциалы, не удовлетворяющие (4.11),
называются дальнодействующими потенциалами.

3.4. Задача двух тел
261
Для короткодействующего потенциала V (г) дифференциальное
уравнение (4.10) при Е ф 0 имеет два линейно независимых решения f^(r),
удовлетворяющих следующим асимптотикам при г —> оо:
/±(г) =6^(1+0(1)), (4.12)
где к — yJ—2[iE чисто мнимое, Im к > 0 при Е > 0 и х > 0 при Е < 0.
Когда г —> 0, наиболее сингулярный член в радиальном уравнении Шрё-
дингера дается центробежной энергией. Поскольку элементарное
дифференциальное уравнение
имеет два линейно независимых решения г~1 и r*+1, решение /j(r),
удовлетворяющее граничному условию // (0) = 0, имеет асимптотику
/,(r) = Crl+l + о(1) при г -> 0 (4.13)
и однозначно определено (с точностью до константы). Поскольку
Л(г) = С71/+(г) + С72/Г(г)
для некоторых констант С\ и Сг, зависящих от 2£, у
дифференциального уравнения (4.10) нет решений с интегрируемым квадратом при Е > 0.
Соответствующее решение fi(r) ограничено на [0, оо) и является
собственной функцией непрерывного спектра. Это согласуется с описанием в
разделе 1.1.6 главы 1, поскольку при Е > 0 классическая частица в
центральном потенциале Ve^{r) уходит на бесконечность с конечной скоростью.
При Е < 0 уравнение С\(Е) = 0 определяет собственные значения Щ9
которые просты. Это тоже согласуется с классической картиной,
поскольку классическое движение финитно при Е < 0. Для короткодействующего
потенциала уравнение С\{Е) = 0 имеет лишь конечное число решений.
Когда \4ff(r) > 0 при г > 0 — случай отталкивающего потенциала, —
у оператора Hi нет собственных значений.
Замечание. Когда V(г) = 0, радиальный оператор Шрёдинге-
ра Hi имеет только простой абсолютно непрерывный спектр,
заполняющий [0, оо). Подстановка
fi(r) = VZJ(0, Z=ir и к=\н\ = у/ЩЁ>0

262
Глава 3
сводит дифференциальное уравнение (4.10) к уравнению Бесселя
полуцелого порядка v — 1-\- -. Соответствующее решение, регулярное в
нуле, — функция Бесселя первого рода J x (£) — явно дается формулами
'+2
Ji+i^ = y^sin(e"ir)+0(rl) при е^°°- (4Л4)
Можно показать, что
™-№»№
удовлетворяют условию нормировки (2.14) из раздела 2.2.2 главы 2:
2
lim
А-
оо / fc+A \ *
!2о S / ( / fEl^daW I dr f= 1, (4.15)
0 \ к /
где к = \/2fiE и dcr(E) = \ тгб dE = dk. Соответствующая теорема о
разложении по собственным функциям — особый случай классического
преобразования Фурье-Бесселя для целого /, обобщающего синусоидальное
преобразование Фурье: для любого / Е Ь2(0, оо)
оо оо
/(г) = J ci{E)fEl{r)d(j{E), d(E) = J f(r)fm(r)dr.

3.4. Задача двух тел
263
В общем случае для любого Z = 0,1, ..., обозначим как /#j(r)
решение радиального уравнения Шрёдингера (4.10) со следующей
асимптотикой:
Mr) = ^sin(^-l-f+ S^+o(l) при г^оо. (4.16)
Функция 5i(k), к = \/2fiE, называется фазовым сдвигом. Из (4.14)
следует, что для случая свободного движения 5i(k) = 0. Собственные функции
непрерывного спектра /#j(r) удовлетворяют тому же условию
нормировки (4.15), что и собственные функции для случая свободного движения.
Функция Si(k) = e2lSl^ играет роль матрицы рассеяния для
радиального оператора Шрёдингера Щ. Она допускает мероморфное продолжение
в верхнюю полуплоскость Imfc > Ос простыми полюсами к = ixki =
= iy/—2iJ,Eki, где Eki — собственные значения Щ.
Пусть Eqi < E21 < ••• < E^i-n < 0 — собственные значения Hi,
и пусть fji(r), j = 0, ..., Ni — 1, — соответствующие нормированные
собственные функции. По теореме о колебаниях собственные функции fji(r)
имеют j простых нулей на (0, оо). Функции
Фз1т{х) = -^г—Fhn(ra), m = -/,..., Z,
— это нормированные собственные функции оператора Шрёдингера Н
с собственными значениями Eji, а функции
Фе1гп{х) = —?—Ylm(n)9 га = -Z, ..., г,
— это нормированные собственные функции непрерывного спектра.
Соответствующая теорема о разложении по собственным функциям для
оператора Шрёдингера Н со сферически симметричным потенциалом
утверждает, что для любого ф е L2(R3, d3x)
оо I у оо I Ni-1
Cjlmtyjlm \X),
l=0m=-lQ l=0m=-lj=0
где
Cim(E) = / ф(х)фЕ1т(х)(13Х1 Cjim = / ф(х)ф^т(х)(13Х.
К3 К3

264
Глава 3
Замечание. В физике параметр j собственной функции i/jjim(x)
традиционно называется радиальным квантовым числом и обозначается пг.
Параметр I называется азимутальным квантовым числом, а параметр т —
магнитным квантовым числом. Эта терминология происходит из старой
квантовой теории, в которой каждому значению Ем соответствует
классическая орбита. Параметр п — пг + I + 1 называется главным квантовым
числом, так что пг = п — I — 1 — всегда количество нулей соответствующей
радиальной собственной функции fji(r).
Замечание. В общем случае собственные значения Eji оператора
Шрёдингера Н со сферически симметричным потенциалом имеют
кратность 21 + 1. Для особых потенциалов, благодаря дополнительным симмет-
риям задачи, могут возникать «случайные вырождения» относительно
азимутального квантового числа I. Таков случай оператор Шрёдингера атома
водорода, который мы будем рассматривать в следующем разделе.
Задача 4.7. Докажите все результаты, приведенные в этом разделе.
(Указание: см. литературу к этой главе.)
Задача 4.8. Найдите уровни энергии частицы с угловым
моментом I = 0 в центрально-симметричной потенциальной яме V(r) = —Vq <0
при 0 < г < а и V(r) = 0 при г > а.
Задача 4.9. Найдите спектр оператора Шрёдингера с
потенциалом V(г) = ar~2 + br2, a, b > 0.
Задача 4.10. Докажите, что рассеянная волна и(х,к) = и^+\х,к)
в центрально-симметричном потенциале дается формулой
|2(«+l)i^W/^(r)fl(costf),
1=0
где х • к = кг cost? и, как в разделе 3.4.2, Ь = 1, a /i = -.
Задача 4.11. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что
сю
/(fc,n,w) = /(/с,cost?) = Л. ^(21 + 1)(ЗД - l)fl(cosi?)
1=0
— разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам, и получите
следующую формулу для полного сечения:
со
crtot(A0 = §£>' + !) sin2 ад.

3.5. Атом водорода и SO(4)
265
3.5. Атом водорода и SO(4)
Атом водорода описывается дальнодействующим потенциалом
V(r) = -S
— кулоновским потенциалом, где а > О3. Соответствующая задача о
собственных значениях для оператора Шрёдингера с кулоновским
потенциалом называется кулоновской задачей. Здесь мы представим ее точное
решения, используя так называемые кулоновские единицы Ь = 1, /i = 1, и а = I4.
3.5.1. Дискретный спектр
Чтобы определить дискретный спектр, удобно положить 2Е = — м2 < О,
так что уравнение на собственные значения (4.10) превращается в
^(«.Ш + Ч.^д.а ,,„
Асимптотики (4.12)-(4.13) для короткодействующих потенциалов наводят
на мысль, что для дальнодеиствующего кулоновского потенциала можно
искать решение с интегрируемым квадратом в следующем виде:
fl(r)=rl+1e-"rA(r).
Подставив это в (5.1), получаем уравнение
которое можно решить с помощью степенного ряда
оо
Al(r) = J2a^rk' (5-3)
fc=0
Подстановка этого степенного ряда в (5.2) дает следующее рекуррентное
соотношение для коэффициентов а&:
_ 2x(k + l+l)-2
ak+1-(k+l)(k + 2l + 2)ak> b-1'2'--"
3Для атома водорода а = е2, где е — заряд электрона. Случай а = Ze2, где Z = 2,3, ...,
соответствует ионам водорода.
4Когда а = е2, кулоновские единицы совпадают с атомными единицами.

266
Глава 3
где ао ф 0. Степенной ряд (5.3) сходится при всех г > 0 по признаку
сходимости Даламбера. Когда к > 0 таково, что а& ф 0 для любого А:,
имеем
lim (fc + 1)afc+1 = 2*.
Таким образом, для любого £ > 0 существует N, такое, что при k > N
все ak одного знака, скажем а& > 0, и
Qfc+i 2x — g
afc ^ к + l '
Тогда при к > N получаем
,(2*-е)*
a>k ^ С-
fc!
с некоторой константой С > 0 (зависящей от g), и поскольку для
фиксированного N сумма первых N членов в (5.3) растет как rN при г —> сю, для
достаточно большого г получаем5
А|(г) ^ Се(2~-е)г - CirN > С2е^-£)г.
Этим доказывается, что для таких значений н функция j\ (r) не
интегрируема с квадратом на (0, сю). Однако для особых значений
степенной ряд (5.3) обрывается: А\(т) превращается в многочлен Аы(г)
порядка к и /м(г) = г1+1е~*к1ГАы(г) е Ь2(0, сю). Положив п = к + I + 1,
получаем явную формулу для собственных значений
Для фиксированного п целое число I изменяется от 0 до п — 1, и для каж-
/w(r)
дого I имеется 21 + 1 ортогональных собственных функций —-—Yim(n)
с собственным значением Еп. Таким образом, полная кратность
собственного значения Еп равна
п-1
£(2/ + 1) = п2.
*=0
5Можно показать, что Aj(r) = Ce2>fr(l + о(1)) при г —► оо.

3.5. Атом водорода и SO(4)
267
Собственные функции /ы(г) радиального уравнения Шрёдингера
(5.1), соответствующие собственному значению Еп, можно выразить в
терминах классических многочленов Лагерра. А именно: при к — — подста-
су
новка х = — сводит дифференциальное уравнение (5.2) к
xQ" + (р + 1 - x)Q' + kQ = 0,
где р = 21 +1 и Q(x) = Ai(r). Это — дифференциальное уравнение,
которому удовлетворяют обобщенные многочлены Лагерра Qvk{x), определенные
формулой6
Гк(х)=ехх-Р-^{е-ххк+*)
— это многочлены степени к со старшим коэффициентом (—1)к, у
которых имеется к нулей в промежутке (0, оо). Для каждого р обобщенные
многочлены Лагерра {Q^(x)}^LQ — это ортогональные по мере e~xxpdx
многочлены на (0, оо) со свойством
оо
e-xxp+1Qpk(x)2dx = k\(k + p)\(2k + p+l).
о
Ортонормированные собственные функции оператора Шрёдингера Н для
атома водорода, соответствующие собственному значению Eni имеют вид
л'"<"^vra(^)'e""<г'+'(l)Vi"(',,• (5'4)
где п = к + I + 1, I = 0, ..., п — 1, и га = — /, ..., I.
Замечание. Возвращаясь к физическим единицам а = е2, где е —
заряд электрона, получаем для уровней энергии атома водорода
F - ^
£/п — —
~ 2*2'
2пгЬ<
где /л — приведенная масса электрона и ядра. В частности, энергия
основного состояния — Е\ = —13,6 eV; ее абсолютная величина — это энергия
6Также используются многочлены L™(x) = (—l)m- '•—— Q™_m(a:).

268
Глава 3
ионизации — энергия, необходимая, чтобы удалить электрон из атома
водорода. Используя формулу Бора для частот спектральных линий
получаем для атома водорода
/ле4 / 1 1
иПт = —т I -« и ' ' п<т.
2П3 \п2 га2,
При п = 1 и m = 2,3, ... получаем классическую серию Лаймана, п — 2
и значения га = 3,4, ... дают серию Балмера, тогда как п = 3 и m =
= 4,5, ... — серию Пашена. Эти серии спектральных линий были
открыты экспериментально задолго до того, как была сформулирована квантовая
механика.
Замечание. Уровни энергии атома водорода можно также
определить из правил квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда. А именно:
в сферических координатах (г, $, ф) на R3 лагранжиан задачи Кеплера
принимает вид (см. раздел 1.1.6 главы 1)
L = ±/х(г2 + гЧ2 + г2 sin2 д ф2) + f,
и соответствующие обобщенные импульсы — это
pr = /ir, р# = fir2'&, рр = fir2 sin21? ф.
Условия квантования БВЗ
prdr = 2тгЦк + \), (5.5)
>p*di? = 27r(Z-m+§), (5.6)
» Py,d<p = 2-кЪт, (5.7)
/3
в которых интегрирование ведется по замкнутой орбите задачи Кеплера
с энергией Е < 0, точно определяют уровни энергии ЕП9 п = к + I + 1.
Действительно, имеем р^ = Мсз, где М"с = (МС1,МС2,Мсз) —
классический угловой момент. Он постоянен на орбите, так что уравнение (5.7)

3.5. Атом водорода и SO(4)
269
определяет собственные значения оператора Ms (см. раздел 3.3.2). Для
вычисления §р^д воспользуемся полярными координатами (г, \) в
плоскости орбиты Р (см. раздел 1.1.6 главы 1). Поскольку \2 — $2 + sin2/#^2,
на орбите получаем pxd\ = p^dfi + p^dip, где рх = fir2x = \МС\. Условие
(5.6) теперь следует из равенства
lpxdX = 2тг|Мс| = 2Щ1 + |), (5.8)
то есть из правила квантования квадрата полного углового момента7.
Наконец, чтобы вычислить ffprdr, воспользуемся уравнениями (1.7) и (1.11) из
раздела 1.1.6 главы 1 и получим, что
dr . , lMc|/dr\2_, e2sin2x
где 0 < е < 1 — эксцентриситет орбиты. Имеем
2тг у ч
что может быть показано с помощью подстановки z = е%х и теоремы Коши
о
вычетах8. Из уравнения (1.12) в разделе 1.1.6 главы 1 следует, что
\Л - е2 =
|МС|^2Щ
и из (5.5) и (5.8) получаем
2
2п2Ь2
7Это равенство дает квантованные значения Ti2(l + — )2, при больших Z хорошо
согласующиеся с собственными значениями ft21(1 + 1) оператора Af2.
8 Этот интеграл был вычислен Зоммерфельдом в 1916 г.

270
Глава 3
3.5.2. Непрерывный спектр
Положим 2Е = к2, где к > 0, и рассмотрим уравнение
fl'+^ll±H + k^fl = 0. (5.9)
Подстановкой
уравнение (5.9) сводится к
К + (Щ2 - **) г, + (? - ^) я - о. (5.10)
Решение уравнения (5.10), удовлетворяющее условию i*}(0) = 1, можно
в явном виде записать как
Fi(r) = F (I + 1 + гА, 21 + 2,2гА:г), А = ±
/с
где F(a, 7, ^) — вырожденная гипергеометрическая функция, определенная
абсолютно сходящимся рядом
F(a7z)-f Г(а + П)Г(7)^
для всех а и 7 7^ 0, —1, —2, .... Вырожденная гипергеометрическая
функция является целой функцией от переменной z и удовлетворяет
дифференциальному уравнению
zF" + (7 - z)F* - aF = 0.
При а = — к и 7 = Р+ 1, где к,р = 0,1,2, ..., вырожденная
гипергеометрическая функция сводится к обобщенным многочленам Лагерра:
Ql(x) = ^±P^F(-k,p + l,x),
рассмотренным в предыдущем разделе. При Re 7 > Re а > 0
функция F(a, 7, z) допускает интегральное представление
1
Г{«,Ъг)= У [t«-\l-ty-«-leztdt, (5.11)
Г(а)Г(7 -о) J
о

3.5. Атом водорода и SO(4)
271
получаемое по методу Лапласа. Вырожденная гипергеометрическая
функция удовлетворяет функциональному уравнению
F(a,7,*) = e*F(7-a,7,-*) (5-12)
и имеет следующую асимптотику при z —> оо:
F(a'7'z) = f^)("-"ra(1+0(z_1))+ (5ЛЗ)
Из (5.12) следует, что функция fi(r) = rl+1e~ikrF(l + 1 + гЛ,2/ +
+ 2,2г£т) вещественнозначна, а из (5.13) следует, что функция
/д(г)= ,1/, ,в^|Г(^ + 1-гЛ)|/,(г) (5.14)
V27r(2Z + 1)!
имеет следующую асимптотику при г —> оо:
Ли (г) = у | sin (кг + Alog2fcr - Ц + «,) + о(1), (5.15)
где
St(k) = argT(/ + 1 - iA), A = \ = -L=, (5.16)
— фазовый сдвиг. Частичная 5-матрица для кулоновской задачи — это
Ш) - еЗД« _ r(f + l-tA)
M*,_e -Цг + 1+гА)'
Она допускает мероморфное продолжение в верхнюю полуплоскость
Imfc > 0 и имеет простые полюса в точках к = гх^, соответствующих
собственным значениям Е^ радиального оператора Шрёдингера Hi.
Радиальные собственные функции непрерывного спектра (5.14) удовлетворяют
условию нормировки (4.15).

272
Глава 3
Замечание. Поучительно сравнить асимптотику (5.15) для
кулоновского потенциала, являющегося дальнодеиствующим, с соответствующей
формулой (4.16) для общего короткодействующего потенциала. Дальнодей-
ствующая природа кулоновского взаимодействия проявляется в добавочном
логарифмическом члене Alog2Ar в (5.15).
Теорема о разложении по собственным функциям для оператора Шрё-
дингера Н атома водорода имеет такой же вид, как и в разделе 3.4.3:
собственные функции фыт(х) даются формулой (5.4), где к = 0,1, ..., Ni =
= оо, а собственные функции непрерывного спектра даются формулой
Фе1ш(х) = -^—Ylm(n), Z = 0,1, ..., га = -Z, ..., I.
3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия
Как мы видели в разделе 1.1.6 главы 1, у классической системы с
функцией Гамильтона
вдобавок к угловому моменту Мс есть три добавочных интеграла
движения, которые даются вектором Лапласа-Рунге-Ленца
Согласно примеру 2.2 из раздела 1.2.6 главы 1, интегралы Мс и Wc для
задачи Кеплера имеют скобки Пуассона:
{Mcj, Мск} = -SjkiMd, {Wcj, Мск} = -SjkiWd,
{Wcj,Wck} = 2HcejklMch
где j, к, I = 1,2,3 и em = 1.
Квантовая задача Кеплера — это кулоновская задача. В координатном
представлении Ж — L2(R3, d3x) ее гамильтониан — это
И_Р2 а
где г = |ж|, и мы положили га = 1. Квантовый вектор Лапласа - Рунге-
Ленца — оператор Лапласа - Рунге - Ленца W — определяется формулой
W = |(Р х М - М х Р) - ^?

3.5. Атом водорода и SO(4)
273
или покомпонентно
^ = |eiW(iW* + M,ft)-^, j = 1,2,3.
Здесь Qi — операторы умножения на Xj, и все время подразумевается
суммирование по повторяющимся индексам 1,2,3. В силу коммутационных
соотношений (3.5) имеем также
W = PxM-?Q-ihP = -М хР-^+ 1ЬР, (5.17)
где слагаемое гЬР играет роль «квантовой поправки». Следующий
результат выявляет скрытую симметрию кулоновской задачи.
Предложение 5.1. Оператор Шрёдингера Я атома водорода имеет
шесть квантовых интегралов движения М и W,
[Я,М<] = [Я,ИЪ]=0, t= 1,2,3,
удовлетворяющих условиям W-M = M-W = 0u v
W2 = a2 + 2ЯМ2 + 2ft2 tf. (5.18)
Кроме того, самосопряэюенные операторы М uW удовлетворяют
следующим коммутационным соотношениям:
[Mj,Mk] = ibejkiMi, [Wj,Mk] = ibejkiWh [Wj,Wk] = -2ifte jWMj#.
Доказательство.
Мы знаем, что [H,Mj] = 0. Чтобы доказать, что Wj — квантовые
интегралы движения, сперва вычислим | Г", -р- |. Из коммутационных
соотношений Гейзенберга следует, что
1 3") Г
(5.19)
так что, используя правила Лейбница и соотношения г2 = х\ + х\ + х\,
[Mh г] = 0 и QjPk - QkPj = EjkiMu получаем
Р2 Qi
= 2t7i%+2tfejW%M,.

274
Глава 3
Теперь, воспользовавшись первым уравнением в (5.17) и
уравнением (5.19), получаем
[H,Wj]
olQj
— y,£jkl^kMi -
■ ihPi
. +Qj . + Qk Л/Г . . * Qk Л/Г . . +Qj n
= -iah— - iahEjki—Mi + lahEjki—Mi + iah— = 0.
Легко доказать соотношение W • M = W\M\ + W2M2 + W3M3 = 0.
Действительно, из определения М и коммутативности Pk и Qj при к ф I
следует, что
MP = PM=:MQ = QM = 0,
и, используя первое уравнение в (5.17) и коммутационные соотношения
для компонент углового момента, немедленно получаем, что W • М = 0.
Чтобы доказать, что М • W = 0, надо воспользоваться вторым
уравнением в (5.17).
Проверка условия (5.18) требует большей работы. Имеем
W2 = WjWj =
= f ejkiMiPk - -j± + ihPj J f £jmnPmMn --p-- ibPj J =
= ejki(£J7nnMiPkPmMn - aMiPk^- - ifiMiPkPj)-
^jmn q x mlvln Tw ^
+ iafl — Pj + ibSjmnPjPmMn-
- iafiPj-y- + й2Р^- =
= a2/ + ft2P2 + SjklEjmnMlPkPmMn-
- aejki l МхРкЩ- + ^PfcMf ) - iah
Qj
1 3") r
Поскольку операторы Mj и Pj коммутируют, тождество (о X Ь)2 = а2Ъ2 —
— (а- Ь)2 по-прежнему применимо, и мы получаем, что
SjktEjmnMtPkPmMn = -(МхР)-(РхМ) = М2Р2-{М-Р)2 = М^Р2.

3.5. Атом водорода и SO(4)
275
Используя (5.19), легко находим (суммирование по повторяющимся
индексам), что
р 9а
= гП1-г + ^з)=- —'
Поскольку [М2, г] = 0, из равенства М = Q X Р следует, что
е,« ( Afift^ + ^ JW,) = M2i + >2 = Щ^-
Собирая все вместе, получаем (5.18).
Нетрудно также установить коммутационные соотношения между Mj
и Wk- Используя (3.5) и свойства Ejku получаем
[MjtWk]
ocQk
iftPkl
= ih{£jmp£kmnPpMn+ejnpekmnPmMp)—ifiEjkl ( ~у~ + %hP\\ =
= ih(PjMk - MkPj) - ibejki (jjr + гйл) = ibejkiWi.
Наконец, чтобы установить коммутационные соотношения между
компонентами W, воспользуемся представлениями
W = QP2-P{Q . Р) - ^ = P2Q - (Р Q)P - ^. (5.20)
Первая формула в (5.20) следует из первой формулы в (5.17), если
воспользоваться соотношениями
EjklPkMl = SjklSlmnPkQmPl = £jkl(^ljkPkQjPk + ^IkjPkQkPj) =
= flk(flfeQj - PiQfc) = Qj^2 " ^i(P ' Q) - 2гЛР^-
и соотношением Р • Q = Q • P — ЗгТг/. Вторая формула в (5.20) следует из

276
Глава 3
первой в силу коммутационных соотношений Гейзенберга. Дальше имеем
£jki[Wk, Wi] = 2ejmnWmWn =
= 2ejmn [p2Qm - (P ■ Q)Pm - ^) (quP2 - Pn(Q -P)-^n
= 2Mj (-P2{Q • J») + (P • Q)P2 + j (Q -P)-(P- Q)fj =
= -2ifiMj (p2 - Щ J = -AihMjH,
где были использованы равенства [М, Р • Q] =0и
р яЛ
^.Это
доказывает, что [Wfc, W{\ = —2iTi€jkiMjH.
Пусть ^о = Ря(—оо, 0)^, где Р# — проекторная мера для оператора
Шрёдингера Н. Поскольку самосопряженные операторы М и W
коммутируют с Н, подпространство Жо — инвариантное подпространство для этих
операторов. Оператор Шрёдингера Н неотрицателен на Жо, так что на этом
пространстве корректно определен оператор (—2Я)-1/2. Далее, на Жо
положим
J(±) = |(М± (-2Я)~1/2И0.
Из предложения 5.1 следует, что самосопряженные операторы «Л ' на *#о
удовлетворяют коммутационным соотношениям
[jf\ jf>] = «^„ jf>, [jj+), J*">] = 0 (5.21)
И
(J(+))2 = (J(-))2 = _I(V/+gL). (5.22)
Уравнения (5.21) — это коммутационные соотношения для образующих
алгебры Ли so(4), что соответствует изоморфизму алгебр Ли so(4) ~ so(3) 0
0 50(3) и чем демонстрируется скрытая SO(4) симметрия кулоновской
задачи! Вместе с (5.22) они позволяют найти уровни энергии чисто
алгебраически.
А именно: собственные значения операторов (j(+))2 и (J(~))2 — это
соответственно ft2Zi(Zi + l) и 7г2/2(Ь + 1)> и из (5.22) следует, что 1\ = 12 = /,
так что соответствующее собственное значение Я — это
В" = -^Т' » = 21 + 1.
27г2гг2

3.5. Атом водорода и SO(4)
277
Предполагая, что
Л&~ 0 Vt®Vh (5.23)
где суммирование происходит по всем неотрицательным целым и
полуцелым значениям /, получаем из разложения Клебша-Гордона (3.13), что
кратность собственного значения Еп — это
21
dim Vi ®Ц= ]T(2j + i) = (21 + l)2 = n2.
з=о
Для доказательства ортогонального разложения (5.23) надо
рассмотреть уравнение Шрёдингера для атома водорода в импульсном
представлении. Используя сферические координаты в R3 и элементарный интеграл
сю
Sinr , _ 7Г
/
г -dr=2>
о
легко показать, что для любого ф е У(Ш3)
Л, /г%*« = 77Г™ lhM'-{vm**> (^4)
2тт2Ь] \p-q\2 (у/2тгП)3 J
где ф — ^п(Ф) — зависящее от Ь преобразование Фурье9. Пусть ф —
собственная функция Я с собственным значением Е < 0. Из (5.24) следует,
что в импульсном представлении соответствующее уравнение
Шрёдингера — уравнение на собственные значения Нф = Еф — принимает вид
(Р2 +Р2о)Ф(р) = А / r^d3q, (5.25)
J \p-q\
к3
afi
где ро = \/—2/j,E и Л = —^. Дальше рассмотрим однородные
координатой
ты — в R3 как координаты стереографической проекции единичной
сферы 53 в R4. А именно: обозначив как п единичный вектор из начала
координат в северный полюс 53, получим для точки и € 53, соответствую-
Щей £ GR3,
гл = — п + — р.
Р +Ро Р + Ро
9Поскольку ж — переменная в координатном представлении, здесь q — другая переменная
в импульсном представлении.

278
Глава 3
Для формы объема на S3 имеем
dn
(2ро)3
d3p, fdn = 27T2.
s3
Используя равенство
|р-9|2 =
(р2+Р2о)3
(р2+Ро)(д2+Ро)
(2ро)2
\и — v\
где v e S3 соответствует — е М3, и вводя
можно переписать уравнение (5.25) как
27Г J \и -vr
s3
Имеем также
J Щи)\Чпи = 1^^щр)\Ч3р = J \ф(р)\Ч3Р.
(5.26)
(5.27)
S3 л К3 " ° КЗ
Действительно, из уравнения Шрёдингера следует, что
I I2
^|Р2Ир)|2^р = ^|р|^ d*x=:J(E-V(rm(x)\4
К3 К3 I I КЗ
и по теореме о вириале (см. раздел 3.1.3) получаем
|2
Ж,
i/h^ d3x = -^|Aф(x)ф(x)d3x = -l|v(r)\ф(x)\Ч3x1
к3 ' ' к3 к3
где У (г) = —у, так что
/ У(г)|^(ж)|2<23ж = 2Е f \*P(x)\2d3x = 2Е [ \ф(р)\Ч3р.

3.5. Атом водорода и SO(4)
279
Это показывает, что задача о собственных значениях уравнения Шрё-
дингера эквивалентна задаче о собственных значениях интегрального
уравнения (5.26) на L2(S*, dQ). Последняя — классическая задача теории
сферических гармоник. А именно: функция G(u) = г-^г, где и = \и\9
47ггг
и е R4, — фундаментальное решение оператора Лапласа Д на R4:
ди2 ди2, ди2 ди2
а уравнение (5.26) — уравнение, которому удовлетворяют сферические
гармоники на 53: собственные функции сферической части А0 оператора
Лапласа на R4, определенного формулой
и
/3 ди \ ди) и2
Хорошо известно из теории представлений группы Ли SO (4), что
сферические гармоники — это ограничения на 53 однородных гармонических
многочленов на R4 степени п — 1, п G N. Соответственно, уравнение (5.26)
получается как предел |гх| —> 1 формулы Грина для однородных
гармонических функций степени п — 1 в единичном шаре в R4 с
использованием потенциала двойного слоя. Это дает А = п, чем опять
устанавливается точная формула для уровней энергии атома водорода.
Изоморфизм <Щ ~ L2{S^, dVt) следует из (5.27), а (5.23) — из разложения
L2(S3,dft)~ 0 Vi®Vi
регулярного представления SO(4) в прямую сумму неприводимых
компонент. Можно также получить явный вид (5.4) собственных функций,
воспользовавшись теорией представлений SO (4). Мы оставляем все эти детали
заинтересованному читателю.
Замечание. При Е > 0 надо рассмотреть подпространство Ж\ —
= Рн(0,ос)Ж и определить j(±) = ±(М ± {2H)~lf2W). Вместо (5.21)
эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры
Ли so(3,1) группы Лоренца SO(3,1). Задачу нахождения собственных
функций непрерывного спектра для кулоновской задачи можно решить,
используя гармонический анализ на трехмерном пространстве Лобачевского.

280
Глава 3
Задача 5.1. Покажите, что компоненты углового момента М —
образующие so(4), соответствующие бесконечно малым вращениям в
подпространстве R4 с координатами (0,р), а компоненты вектора Лапласа -
Рунге-Ленца W соответствуют бесконечно малым вращениям в
плоскостях (poPi). (P0P2) и (роРз) в М4.
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
Здесь мы опишем соотношение между классической и квантовой
механикой, рассмотрев поведение волновой функции il>{q,t) — решения
зависящего от времени уравнения Шрёдингера10
ih^=-^Ai> + V(q)i> (6.1)
при /г —>► 0. Подстановка
*(д,«) = е-»5(,АЛ) (6.2)
сводит (6.1) к следующему нелинейному уравнению в частных
производных: . .2
Замечательно, что (6.3) отличается от уравнения Гамильтона-Якоби (2.4)
Р2
для функции Гамильтона Hc(p,q) = Ь V(q), рассмотренной в
разделе 1.2.3 главы 1, только слагаемым в правой части, пропорциональным Ь.
Таким образом, при /г —> 0 уравнения движения квантовой механики
переходят в классические уравнения движения.
--Et
Для стационарного состояния ip(q,t) = ip(q)e h подстановка (6.2)
превращается в i
i>(q,t)=e-b(°{g;h)-Et). (6.4)
Соответствующее нелинейное уравнение в частных производных:
Х(|)2 + у(,) = Е+ЦД<,, (6.5)
отличается от соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби для
укороченного действия, рассмотренного в разделе 1.2.5 главы 1,
пропорциональным Ь слагаемым в правой части.
103десь будет удобно обозначать декартовы координаты на Rn как q = (qi, ..., gn).

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
281
В этом разделе мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику:
асимптотики уравнений в частных производных (6.3) и (6.5) при /г —> 0.
Они описывают точное соотношение между квантовой и классической
механикой и представляют количественную форму принципа соответствия,
обсуждавшегося в разделе 2.2 главы 2. В частности, используя
квазиклассическую асимптотику стационарного уравнения Шредингера, мы выведем
правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда, которые были
постулированы в разделе 2.2.5 главы 2.
3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени
Здесь мы рассмотрим задачу нахождения коротковолновой
асимптотики — асимптотики при /г —> 0 решения ^^{q^t) задачи Коши для
одномерного уравнения Шредингера (6.1),
гП1 = ~к^+УШ>
с начальным условием
^h(q,t)\t=0 = ip(q)e*8q .
Предполагается, что вещественнозначные функции cp(q) и s(q) — гладкие,
s{q)^(p(q) £ С°°(М) и что у «амплитуды» p(q) компактный носитель.
Подстановка (6.2) — это i/jh(q,t) = eh ' ' , и дифференциальное
уравнение (6.3) принимает вид
dS , 1 fdS\2,rrf, ih d2S („^
-at+ъаущ) +У((?) = 2^^' (б'б)
Чтобы определить асимптотическое поведение S(q,t, %) при /г —>► 0,
предположим, что при h —> 0
оо
S(q,t,h) = Y,(-i*)nSn(q,t),
п=0
и подставим это разложение в (6.6). Сравнивая члены с одинаковыми
степенями Ь, получим, что So{q,t) удовлетворяет задаче с начальными
условиями

282
Глава 3
So(q,t)\t=0=8(q), (6.8)
где S\ (q, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению
dSi ^dSodfh = _ j_ c^So ,fi qx
d* ^ m dq dq 2m dq2 ' l j
так называемому транспортному уравнению, и
&(<7,01*=о = 1о6 ¥>(*)• (6-10)
Функции 5n (q, t) при п > 1 удовлетворяют неоднородным
дифференциальным уравнениям, подобным (6.9).
Задача с начальными условиями (6.7)-(6.8) — это задача Коши для
уравнения Гамильтона-Якоби с функцией Гамильтона
Hc(p,q)=£ + V(q),
рассмотренной в разделе 1.2.3 главы 1. Согласно предложению 2.1 в
разделе 1.2.3 главы 1, решение уравнений (6.7)-(6.8) получается методом
характеристик: t
S0(q,t) = s(q0) + jL(1'(T))dT. (6.11)
О
Здесь L(q,q) = -^mq2 — V(q) — функция Лагранжа, a j(t) —
характеристика, классическая траектория, начинающаяся в точке go B момент вре-
ds
мени г = 0 с импульсом ро = ~^~(Qo) и заканчивающаяся в точке q в
момент г = t, где до однозначно определяется из q. (Мы предполагаем, что
гамильтонов фазовый поток gt удовлетворяет предположениям, сделанным
в разделе 1.2.3 главы 1.) Из теоремы 2.7 в разделе 1.2.3 главы 1 следует, что
на характеристике
так что
9 +Ш^^)51(Т(*).*) = ^51(7(«),*)- (6-12)
dt^ ™ да да r*K,Kh '~dt'
Теперь мы можем решить задачу Коши (6.9)-(6.10) для транспортного
уравнения явным образом. Рассмотрим поток щ : R —► R, определенный

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
283
в разделе 1.2.3 главы 1, и обозначим11 как 7(Q, Q',т) характеристику,
соединяющую точки q в момент г = 0 и Q = я** (q) в момент т = t (при наших
предположениях, что поток щ — диффеоморфизм и отображение q н+ Q
взаимно однозначно). Дифференцируя уравнение
dSo
dQ
m)
m-^(Q,q;t)
no q, получаем
d2s.
°W,*)^=m^(0>e;*) = m|(^),
dQ2^'"' dq ' " dqdt
так что (6.9) можно переписать как
5*«'*> = -
й*
dQ
, используя (6.10), получаем
Si(Q,«) = ¥>(<*)
1оэтому
il>h(Q,t) = <p(q)
_1>
9Q<n\
(Q,g;t)+i
1
2
(</))(
(6.13)
где S(Q, q\ t) — классическое действие на характеристике, начинающейся
в точке q в момент т = 0и кончающейся в точке Q в момент т — t.
Строгое доказательство того, что (6.13) — асимптотическое разложение
при Ь —► 0, использует предположения, сделанные в разделе 1.2.3 главы 1,
и оставляется заинтересованному читателю. Здесь мы только заметим, что
асимптотика (6.13) согласуется с сохранением вероятности: для любого
борелевского подмножества Е СШ
J |^(Q, t)?dQ = j W{q)\2dq + 0(h)
Et E
при Ь —► 0, где £t = я*(Я).
Не путать с оператором квантовой координаты Q.

284
Глава 3
Замечание. Когда предположения раздела 1.2.3 главы 1 не
выполняются, ситуация становится более сложной. А именно: в этом случае
может быть несколько характеристик Jj{t), которые заканчиваются в точке Q
при г = t, имея qj своими соответствующими начальными точками. Тогда
MQ,t)
^Ч>{Яэ)
dQ_
dq
(Qj)
i
"2 А
л(5№^;*)+в(ад))-т^(1 + 0(й))>
где /j,j Е Ъ — индекс Морса характеристики jj. Он определяется как число
фокальных точек на фазовой кривой (q{r),p(r)) с начальными данными qj
ds
и pj = Tr{qj) по отношению к конфигурационному пространству R. Это
частный случай более общего индекса Маслова.
Случай п степеней свободы рассматривается похоже. При
предположениях раздела 1.2.3 главы 1 решение i/jh(q,t) уравнения Шрёдингера (6.1)
с начальным условием
M4,t)\t=0 = <p(q)e*'l4),
где вещественнозначные функции s(q) и p(q) — гладкие, a p(q) — еще и с
компактным носителем, имеет следующую асимптотику при h —> 0:
MQ,t) = <p(Q)
det
^(<j)) I 2 ehslQ«*)+'M\l + 0(h)). (6.14)
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени
Здесь мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику для
одномерного уравнения Шрёдингера
2т dx2
+ У(х)ф = Еф.
(6.15)
Этот асимптотический метод известен также как метод ВКБ (в честь
Дж. Венцеля, X. Крамерса и Л. Бриллюэна). Подстановка (6.4) — это
— <r(x;h)
Фп(х)
, и уравнение (6.5) принимает вид
2
2га \dxj.
+ У(х) = £ +
гТь сРа
2m dx2'

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
285
Как и в предыдущем разделе, воспользуемся разложением
оо
сг(х,П) = ^2(-гП)псгп(х)
71=0
и для первых двух членов получим
±v? = E-V(x) и а'0а{ = -^. (6-16)
Пусть р{х) = л/2т(Е — V(x)) — классический импульс частицы,
движущейся в потенциале V(x) с энергией Е. Решение первого уравнения
в (6.16) дается формулой
Ч
его = ± / p(x)dx,
а из второго уравнения в (6.16) мы получаем
СП =-|logp.
Волновая функция в приближении ВКБ имеет вид
Ых) = ^g-icj'*'* + C2e-lnfpix)dx)(l +Om (6.17)
где р(х) вещественно в классической области V(x) < Ей чисто мнимо
в классически недоступной области V(x) > Е (см. раздел 1.1.5 главы 1).
Заметим, что асимптотика (6.17) верна, только если Ъ\а"\ <С (о7)2» что
в первом приближении дает
d ( П
dx I p(x)
«1.
/7Т/
Введя классическую силу F = —^у-, это условие можно переписать как
dx
^f < 1. (6.18)
Таким образом, приближение ВКБ не работает, когда классический
импульс р(х) мал. В частности, оно неприменимо вблизи точек поворота,
где Е = V(x), и поэтому р(х) = 0. Пусть х = а — точка поворота.
Если F0 = F(a) ф- 0, то, используя приближение Е — V(x) ~ Fo(x — a)
вблизи х = а, можно заменить (6.15) уравнением
^" = Р*{х-а)ф.

286
Глава 3
Это дифференциальное уравнение в явном виде решается методом Лапласа.
Его ограниченное решение — это
1
#с)=Ф(0, £=(^)3(а-х),
где Ф(£) — функция Эйри-Фока, определенная несобственным интегралом
оо
Ф(0 = ^ Усов (|*3+ #)<«•
О
Асимптотика функции Эйри-Фока при больших £, полученная методом
перевала, следующая:
Ч0 = ще'^'2 (l + 0(ch) при С-^, (6-19)
*(0 = -7=sin(§K|2+? J (H-Odcrb) ПРИ е^-оо- (6-20)
Используя асимптотику (6.19)-(6.20), можно получить формулы,
связывающие приближения ВКБ для классической и недоступной областей.
Строгое обоснование этого подхода технически достаточно трудоемко,
и мы не будем приводить его здесь. Вместо этого мы обсудим
простейший случай, когда имеется только одна точка поворота х = а с Fq > О,
так что х < а — классически недоступная область. Из (6.17) получаем,
что волновая функция ВКБ в недоступной области х < а экспоненциально
затухает:
тогда как в классической области х < а — осциллирует:
— f p(s)ds — — f p(s)ds - x
^wkb(*) = -7TT(Cle e +C'2<3 П* ) = -jS=Sm(j:fp(8)d3+a).
y/p{x) \/P(X) a a
Как следует из (6.18), приближение ВКБ вблизи точки поворота х = а
I
остается уместным при \х — а\ > ^ ( -^— 1 , что эквивалентно усло-
2 утр о J
вию |£| > 1. С другой стороны, когда \х — а\ <С 1, волновая функция имеет

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
287
асимптотику
фл(х) = СФ(£)(1 + 0(П)).
Чтобы определить неизвестную фазу а и найти соотношения между коэф-
1
1 / t2 \3
фициентами А, В и С, рассмотрим область - ( —— 1 <С \х — а\ <С 1
и сравним приближение ВКБ для волновой функции с асимптотикой
функции Эйри-Фока при больших £. А именно: при х < а имеем ^>1и
2j_ 2./5Z^T/. ^1^1 fi„,^ 4/7 _ VW)
|e3 = ^У2^Ь(а - x)5 ~ I y |p(*)|de> Vf
0тЩ
Сравнивая (6.19) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем, что 2Л
= ty2m%FoC. При х > а имеем £ <С —1 и
||f|5 = Av^pr(a;_e)2~iyp(e)de) уЩ =
VP(x)
^/2mfiF0
а
Сравнивая (6.20) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем,
что а = j и В = yy2mTiFoC, так что Б = 2А Таким образом, в этом
примере волновая функция ВКБ — это
А \f\p(s)\ds
I /, , ч,е а , когда х < а,
^wkbW= V^l я (6.21)
2А
/р(я)
sin(^ f p(s)ds + f), когда х > a.
Случай, когда имеется только одна точка поворота х = Ь с Fo < 0,
так что х > 6 — классически недоступная область, сводится к
предыдущему примеру с помощью изменения ориентации х н+ — х. Как результат,
получаем
^WKb(z) = <
6
Щ= sin(£ Jp{s)ds + f), когда х < Ь,
Р(*} ! ** . (6.22)
I тг^тте ь > когда х > ь-

288
Глава 3
Задача 6.1 (Прохождение через потенциальный барьер).
Рассмотрим потенциальный барьер для заданной энергии Е — потенциал V(x),
такой, что {xeR: V(x) > Е} = (а,Ь). Покажите, что
2 ь
-Т f\p(x)\dx
Проверьте непосредственно, что коэффициент прохождения для потенциала
из задачи 2.9 в квазиклассическом приближении дается этой формулой.
Задача 6.2 (Отражение над барьером). Предположим, что
потенциал V(x) допускает аналитическое продолжение в верхнюю
полуплоскость, и пусть Е — энергия, такая, что Е > V(x) для всех
вещественных х. Предположим, что существует лишь одно комплексное хо, такое,
что V(xo) = Е. Покажите, что в квазиклассическом приближении
4 жо
— — Im f p(x)dx
-*Avkb — e a •>
где p(x) = y/2m{E — V(x)), aoeR (выбор а не влияет на мнимую часть
интеграла в экспоненте). Проверьте непосредственно, что коэффициент
отражения для потенциала в задаче 2.9 в квазиклассическом приближении
дается этой формулой.
Задача 6.3. Найдите коэффициенты прохождения и отражения для
параболического барьера — потенциала V(x) = — ^кх2, где к > 0, — и
проверьте непосредственно, что в квазиклассическом приближении они
удовлетворяют при Е < 0 и Е > 0 соответственно формулам из задач 6.1
и 6.2.
3.6.3. Правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда
Метод ВКБ позволяет определить уровни энергии в квазиклассическом
приближении. Рассмотрим для простоты финитное движение одномерной
частицы в потенциальной яме: в потенциале V(x) с энергией Е, такое, что
имеются две точки поворота а и Ь. Классическая область — это а ^ х ^ Ь,
и движение периодично с периодом
ь ь
y/E-V(x)
Области х < а и х > b недоступны (см. раздел 1.1.5 главы 1).

3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 289
Из (6.21)- (6.22) следует, что волновая функция ВКБ экспоненциально
затухает в недоступных областях х < а и х > Ь. Воспользовавшись (6.21),
мы видим, что в классической области волновая функция ВКБ имеет вид
^wkb(x) = -^Lj sin W p(s)ds + f ,
тогда как, используя (6.22), получаем
^wkb(z) = -4== sin
Vp(x)
-^sin
/p(«)
±Jp{s)ds + l J =
^ X /
г О X \
± j p(s)ds + l-(\ j p{s)ds+l)\.
Эти два выражения определяют одну и ту же функцию на а ^ х ^ 6, если
и только если существует положительное целое число п, такое, что
jrJp(x)dx + Z = (n+l)ir, (6.23)
а
тогда Л = (—\)п+1В. Уравнение (6.23), записанное в виде
ь
' J у/2т(Е - V(x)) dx = тгЦп + ±),
определяет квазиклассические уровни энергии. Из (6.21)-(6.22) следует,
что число п равно количеству нулей волновой функции ВКБ. В
соответствии с теоремой об осцилляции случай п = О отвечает основному
состоянию, случай п = 1 — состоянию со следующим уровнем энергии, и т. д.

290
Глава 3
Обозначив, как и в главах 1 и 2, координату х как q, можно переписать
(6.23) как
Ф pdq = 2тгП(п + |), (6.24)
где интегрирование идет по замкнутой классической орбите в фазовой
плоскости R2 с каноническими координатами р, q. Условие (6.24) — это
известное правило квантования Бора - Вильсона - Зоммерфельда для случая
одной степени свободы (см. раздел 2.2.5 главы 2). Подчеркнем, что, вообще
говоря, правило квантования БВЗ применимо только для больших п и
дает квазиклассическую асимптотику уровней энергии Еп. Однако, как было
показано в разделе 2.2.6 главы 2, уровни энергии гармонического
осциллятора, полученные по правилу БВЗ, точны. Правила БВЗ также точны для
уровней энергии атома водорода (см. раздел 3.5.1).
Этот квазиклассический анализ можно обобщить на системы с п
степенями свободы, соответствующие вполне интегрируемым классическим
гамильтоновым системам (см. раздел 1.2.6 главы 1). Правила квантования
Бора-Вильсона-Зоммерфельда принимают вид
pdq = 2тгЛ(п7 + \ ind7). (6.25)
Здесь интегрирование ведется по всем 1-циклам j в лагранжевом
подмногообразии Л = {(р, q) Е R2n : Яс(р, q) = E, F2(p, q) = £2, • • •, Fn(p, q) =
= Еп}, a ind7 — индекс Маслова цикла 7 в Л. Для переменных
действие-угол (/,<£>) интегрирование в (6.25) ведется по базисным 1-
циклам n-тора Тп, и получаются условия квантования 1{ — (щ + -)%,
г = 1, ... ,п.
3.7. Замечания и ссылки
Классический текст [Лан89Ь] содержит множество основных фактов
относительно уравнения Шрёдингера, представленных с физической точки
зрения. В учебнике [Фок76Ь], тоже классическом, пристальное внимание
уделяется деталям. Существует масса математических статей и
монографий, посвященных разным аспектам уравнения Шрёдингера, и мы
упомянем здесь только использованные нами источники. За критерием
самосопряженности из раздела 3.1.1 читатель отсылается к энциклопедическому
обзору [Роз89], а также к монографии [RS75] и ссылкам в ней; в частности,
в [RS75] можно найти доказательство того, что оператор Шрёдингера
сложного атома существеннно самосопряжен. Доказательство теоремы Сирса
£

3.7. Замечания и ссылки
291
см. в [Бер83а]. Теоремы 1.6 и 1.7 (последняя — частный случай V\ = 0) из
раздела 3.1.2 доказываются в [Бер83а] и [Роз89]; см. [RS78] для
доказательства теоремы 1.7 в общем случае и других обобщений. Доказательство
теоремы Като можно найти в [RS78]; см. также [Роз89]. Доказательство оценки
Бирмана-Швингера см. в [RS78]. В монографии [HS96], помимо введения
в спектральную теорию, содержатся доказательства множества результатов
из разделов 3.1.1-3.1.2; см. также монографию [CFKS08] для этого и
других результатов.
Раздел 3.2 основан на фундаментальной статье [Фад64], классических
обзорах [Фад59, Фад74Ь] и монографии [Мар72], посвященной обратной
задаче квантовой теории рассеяния. Для большей информации и деталей
по поводу материала из раздела 3.2.1 и задач 2.2, 2.3, 2.4 см. [Фад64]
и [Мар72]. Комплексное интегрирование ядра резольвенты — мощный
метод доказательства теоремы о разложении по собственным функциям,
особенно при наличии абсолютно непрерывного спектра, и в разделе 3.2.2
мы следовали изящному подходу [Фад59]; задача 2.6 взята из [Фад74Ь].
Раздел 3.2.3 основан на [Фад59, Фад64, Фад74Ь]; см. также монографию
[New02] для исчерпывающего изложения теории рассеяния с физической
точки зрения и новую книгу [Яфа94] для ее абстрактной математической
формулировки. Мы отсылаем читателя к [Фад74Ь] и ссылкам в этой работе
за большими деталями по поводу материала в разделе 3.2.4.
Раздел 3.3 довольно стандартный; с физической точки зрения этот
материал можно найти почти в любом учебнике квантовой механики; см.
ясное изложение в [Лан89Ь, Фок76Ь]. Группы Ли в квантовую
механику ввел Г. Вейль [Wey50], и в наше время теория представления групп
Ли — часть учебной программы по физике; см., например, [BR86]. Есть
и множество математических учебников и монографий по теории
представлений компактных групп Ли; см., например, [Кир78, FH91], а также
[Вил65]. В разделе 3.4 содержится стандартный материал,
присутствующий в любом учебнике квантовой механики; см. физическое изложение
в [Лан89Ь, Фок76Ь, Mes99]. Нашей целью здесь была точная
математическая формулировка основных фактов; за доказательствами всех результатов
этого раздела (а также за решениями задач) и их обобщений мы отсылаем
читателя к монографии [RS79].
Решение задачи о собственных значениях атома водорода, данное
Э. Шрёдингером в 1926 г., было главным триумфом квантовой механики.
До этого уровни энергии атома водорода получили Н. Бор в 1913 г.,
использовавший модель Бора (впоследствии ее заменила модель Бора-Зоммер-
фельда и правила квантования БВЗ), и в 1926 г. В.Паули,
воспользовавшийся квантовым вектором Лапласа-Рунге-Ленца. Разделы 3.5.1 и 3.5.2

292
Глава 3
стандартны, и наше изложение следует [Лан89Ь, Фок76Ь]. Мы начали
раздел 3.5.3, изложив подход Паули (см. [BR86] для дальнейшей
детализации по поводу теории представлений). Скрытую SO(4) симметрию
атома водорода открыл В.А.Фок, а конец раздела 3.5.3 основан на [Фок76Ь]
(см. [BI66a, BI66b] для дальнейших деталей и случая абсолютно
непрерывного спектра).
Имеется обширная литература по квазиклассической асимптотике
и методу ВКБ, которых мы лишь слегка коснулись в разделе 3.6. Мы
отсылаем читателя к [Лан89Ь] и [Дав73] за физическим обсуждением и к
[GS77,BW97] — за математическим введением. Детальное изложение
одномерного метода ВКБ можно найти в [01v97] — справочной книге по
специальным функциям, использованным в этой главе. Мы отсылаем читателя
к монографиям [Мас76а] и [Ler81] за детальным изложением гораздо более
сложного многомерного метода ВКБ.

Глава 4
Спин и тождественные частицы
4.1. Спин
4.1.1. Операторы спина
До сих пор мы молчаливо предполагали, что гильбертово
пространство квантовой частицы — это Ж — L2(M31d3x). Основываясь на этом
допущении, мы нашли в разделе 3.5.1 главы 3 уровни энергии атома
водорода. В частности, в основном состоянии третья компонента Мз
оператора М квантового углового момента имеет собственное значение 0. Однако
известный эксперимент Штерна-Герлаха показал, что у электрона в
атоме водорода есть еще и «магнитный угловой момент», третья компонента
которого в основном состоянии может принимать два значения,
отличающиеся знаком. Поэтому вдобавок к оператору М «механического углового
момента» с компонентами Mi, М2, Мз у электрона есть еще и оператор S
«внутреннего углового момента» с компонентами Si,S2,S3, называемый
спином. Спин описывает внутренние степени свободы электрона и не
зависит от положения электрона в пространстве1. Гильбертово пространство
состояний электрона — это Ж$ = Ж®С2, т. е. состояний у него вдвое
больше, чем у бесспиновой частицы. Гильбертово пространство Жз состоит из
двухкомпонентных векторнозначных функций на R3,
где
||ф||2 = j ^(х^^х + Г \ф2(х)\2с13х < оо.
Каждой наблюдаемой А в Ж соответствует наблюдаемая А ® 12 в Жз,
задаваемая 2x2 блочно-диагональной матрицей ($ д). Наблюдаемые
вида / 0 5, где / — тождественный оператор в Ж, а 5 — самосопряженный
Спин — это чисто квантовое явление, отсутствующее в классической механике.

294
Глава 4
оператор в С2, описывают внутренние степени свободы и коммутируют со
всеми наблюдаемыми Л0/2. Полный набор наблюдаемых в <ffls состоит
из операторов Q\ ® /2, Qi ® h, <2з ® ^2 и / ® Si, / (8) 52, / ® S3, где Q^ —
операторы координат, а Sj — операторы спина, самосопряженные
операторы в С2 с нулевым следом, удовлетворяющие тем же коммутационным
соотношениям, что и квантовые операторы углового момента,
[Si, S2] = ifiSs, [S2, S3] — «ftSi, [S3, Si] = 2ftS2.
В терминах стандартного базиса ei = (o),e2 = (5) пространства С2,
Sj = -tfj, i = 1, 2,3, где сг^ — это так называемые матрицы Паули:
О 1\ /О -А А О
671 =1ч1 ОУ' а2=^г О У' аз= V° -1
повсеместно используемые в физике. Удобно также представлять Ф Е J4?s
как функцию ф(х,а) двух переменных, где ж е R3, а сг принимает
два значения - и —-, положив ф(х,-) = ^(ж) и ф(х,—-) = ^2(ж).
Каждая функция ф(х,сг) является конечной линейной комбинацией
функций ф{х)х{(т) — разложимых на множители элементов тензорного
произведения L2(R3) (8) С2. Здесь мы отождествляем С2 с комплексным векторным
пространством функций х • {—i, i} —► С, сопоставляя стандартному
базису еь е2 функции Хъ Х2, определенные формулами х\{\) = 1, Xi(~^) = О
и Х2(^) = 0:Х2(— Ту) = 1. Это отождествление также повсеместно
используется в физике.
В этих обозначениях оператор S3 становится оператором
умножения на Tier,
Ssipfa^cr) = 7гсп/>(ж,сг),
и
SiV>(#, сг) = Ь\(г\ф{х, — сг), S2^(aj, сг) = —1Ъ(уф(х, — сг).
Здесь и в нижеследующем мы всегда будем предполагать, что оператор
спина действует только на переменную сг, и часто будем писать Sj
вместо I ® Sj. Оператор S2 = S2 + S% + S2 называется оператором квадрата
полного спина, и S2 = ft2s(s + 1)/2, где s = |сг| = - — полный спин.
В терминологии физиков спин электрона равен -.

4.1. Спин
295
4.1.2. Спин и теория представлений SU(2)
Математическая интерпретация спина дается теорией представлений
алгебры Ли su(2), обсуждавшейся в разделе 3.3.2 главы 3. А именно: пусть
М = — ^^ь А2 = — 2^2, Аз = — 2°"з
— стандартный базис алгебры Ли su(2) — алгебры 2x2 косоэрмитовых
матриц с нулевым следом, удовлетворяющий коммутационным соотношениям
[АЪА2] =Л3, [А2,Аг] =Аи [Аг,Аг] = Л2,
и пусть р! — двумерное (фундаментальное) представление su(2) в V1 ~ С2.
2 2
Операторы спина даются формулами
Sj^ibp^Aj), j = 1,2,3,
и рх называется представлением спина -. В общем, представление р3
в 2s + 1-мерном комплексном векторном пространстве \4 называется
представлением спина s Е ~^о- Действие операторов Tj = ips(Aj) на V^
описывается формулами (3.10)-(3.12) из раздела 3.3.2 главы 3 (где I заменено
на s). Существует другая явная реализация представления ps на векторном
пространстве £PS многочленов f(z) степени не выше 2s. А именно:
отображением
..s-\-m.
т = —s, —s + 1, ... ,s — l,s
a/(s + ra)!(s — га)!
i ^>
устанавливается изоморфизм между векторным пространством Vs со
скалярным произведением, определенным ортонормальным базисом esm,
и векторным пространством S?s со скалярным произведением
с
Соответствующие операторы Tj = ips(Aj) в ^s даются формулой
Тг-гТ2 = £ T1 + iT2 = f£-23z, T3 = Z£-s. (1.2)

296
Глава 4
Легко проверить, что Ti, T2, Т3 — эрмитовы операторы по отношению к
скалярному произведению (1.1). Представление ps алгебры Ли su(2)
интегрируемо, ps = dRs, где Rs — неприводимое унитарное представление группы
Ли SU(2), определенное формулой
Rs(9)(f)(z) = Фг+a^f (^=1J , 9=(?р f) € SU(2), / е £»..
Замечание. Представление Лх в С2 спина i также явным образом
2
описывается как
*4<"*-М(г)- *=ЙИ
и называется фундаментальным представлением.
Замечание. Представление Rs группы SU(2) можно поднять до
семейства представлений всей унитарной группы U(2), действующей на том
же векторном пространстве @*s. А именно: любое д Е U(2) можно
записать как д = ago, где а2 = detg и определено с точностью до знака,
а до 6 SU(2). Тогда для любого целого I с тем свойством, что 2s + I четно,
формула
Ri,s(9) = alRs(go)
определяет неприводимое унитарное представление U(2) в @*3. Условие,
что ^ + s — целое число, гарантирует, что R^s не зависит от выбора знака
в определении а. Представление R^s является представлением U(2)
старшего веса с доминантными весами Ai = jr + s ^ A2 = ^ — s, Ai + Л2 = /.
Обозначим соответствующий и(2)-модуль как V\j, где А = (Ai, A2) —
доминантный вес, причем Ai + А2 = /. Как SU(2)-модуль, V\j = Vs, где s =
= |(Ai-A2).
Возвращаясь к основным принципам квантовой механики,
сформулированным в разделе 2.1 главы 2, мы обобщаем теперь первый постулат А1
на случай частиц со спином.

4.1. Спин
297
А10 (Частицы со спином). Гильбертово пространство состояний
квантовой частицы спина s 6 {0 ^ 1, ~, ... } — это
где V3 — 2s + 1-мерное комплексное векторное пространство
неприводимого представления Rs группы Ли SU(2) спина s. Операторы спина S =
= (Si, S2, S3) даются формулой
Sj =iTtps(Aj)9 j = 1,2,3,
где А\, Л2, As — стандартные образующие алгебры Ли su(2), a ps = dRs —
соответствующее представление su(2) в Vs. Частицы с целым спином
называются бозонами, а с полуцелым спином — фермионами.
Как и в случае спина i будет удобно представить Ф Е Жя как
функцию ф(х,(т) двух переменных, где х Е Ш3, а переменная о
принимает 2s + 1 значение из множества {—s, —s +1, ..., s — 1, s}. Для заданного а
функция ф(х,а) — это к-я компонента к = s — сг+1, 2s + 1-мерного
вектора Ф(ж). Каждая функция ф(х,а) является конечной линейной
комбинацией функций ф(х)х(сг) — разложимых элементов тензорного
произведения L2(R3)®C2s+1, где мы отождествили с комплексным векторным
пространством функций \ : {—si~-s + 1, ...,s — l,s} —> С, сопоставляя
элементам е& стандартного базиса ei, ..., e2s+i функции хь определенные
формулой Xk(s + 1 — к) = 1 и равные 0 иначе.
Полный набор наблюдаемых для квантовой частицы со спином s
состоит из операторов координат Qi®/2s+i, Q2®ha+i, Qb®ha+u гДе hs+i —
тождественный оператор в Vs, и операторов спина I ® Si, I ® S2, / ® S3.
Операторы полного углового момента J = (Ji, J2, J3) в <^% — это
самосопряженные операторы в J?s, задаваемые формулой
J = М <8> /2e+i + J 0 5.
Они удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и
операторы спина:
Как и операторы углового момента М (см. лемму 3.1 из раздела 3.3.2
главы 3), операторы полного углового момента J связаны с унитарным

298
Глава 4
представлением группы Ли SU(2) в гильбертовом пространстве Жз =
= L2(R3, d3x) ® Vs. А именно: пусть R — унитарное представление SU(2)
в Ж — L2(R3,d3x), соответствующее присоединенному
представлению SU(2) в su(2) ~ R3,
(Щд)г1;)(х)^ф(Аад-1х), д е SU(2), ф е Ж,
где
(Adgx) • <т = д(х • <т)д~1, х • <т = х\0\ + х2сг2 + х3сг3.
Лемма 1.1. Имеем
{R®Rs){ea^+a*A*+a>A>) = е~Ьа^+а^+аз3з\
где а = (ец, а2, аз) 6 М3.
Задача 1.1. Выведите формулы (1.2) и покажите, что
операторы Ti, Г2, Г3 эрмитовы по отношению к скалярному произведению (1.1).
Задача 1.2. Докажите лемму 1.1.
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле
4.2.1. Гамильтониан Паули
Классическая частица с зарядом е, движущаяся в электромагнитном
поле с векторным потенциалом А(х) и скалярным потенциалом (р(х),
описывается функцией Гамильтона
Яс(р,ж)=2^(р-|Л) +еу>(ж), x = (x,y,z)em3
(см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Как мы видели в примере 2.3 из
раздела 2.2.4 главы 2, соответствующий оператор Гамильтона бесспиновой
частицы дается формулой
Я° = ^(р-§Л)2 + е^а?)- (2Л)
Однако квантовые частицы со спином взаимодействуют с магнитным
полем, так что гамильтониан Н°, являющийся оператором на гильбертовом

4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 299
пространстве Ж — L2(R3, d3x), не адекватен для их описания при s Ф 0.
Правильное предписание состоит в том, чтобы включить спиновые
степени свободы и рассмотреть оператор Гамильтона в гильбертовом
пространстве Жб = Ж ® Vs. В случае электрона — частицы со спином - —
соответствующий гамильтониан дается формулой
H=±(PA.<T)2 + e<p(x), PA = P-%A. (2.2)
Используя элементарные результаты о том, что матрицы Паули антикомму-
тируют и удовлетворяют условиям о\ = о\ — о\ — /2 и
о\02 = гсг3, сг2сг3 = гсгь а3сп = гсг2,
мгновенно получаем
(Рл • <т)2 = (рх - lA,)2 + (р2 - |Л2)2 + (р3 - |^4з)2 +
+ г [Pi - |ЛЬ Р2 - |Л2] аз + г [Р2 - |Л2, Р3 - §Л3] <п +
+ г[Рз-|Л3,Р1-|Л1](т2 =
= (Р - |Л)2 - £p(Bi<7i + В2а2 + Б3<т3).
Здесь В — (Б1,Б2,Бз) — магнитное поле, В — curl Л, а в последней
строке мы воспользовались коммутационными соотношениями Гейзенбер-
га (см. похожее вычисление в примере 2.3 из раздела 2.2.4 главы 2).
Гамильтониан (2.2) принимает вид
Н = Н°-»В.<т, „=^, (2.3)
и известен как гамильтониан Паули; величина /i — это полный магнитный
момент электрона. По традиции пишут /i = —/is, где
т=М=0,927х10-*Г
2гас ' гаусс
— так называемый магнетон Бора. Соответствующее зависящее от времени
уравнение Шрёдингера ~ .
в этом контексте называется волновым уравнением Паули.

300
Глава 4
Замечание. Волновое уравнение Паули получается из
релятивистского уравнения Дирака для электрона в пределе с —> оо отбрасыванием
членов порядка с~2.
Соответствующий гамильтониан для квантовой частицы со спином s
и зарядом е имеет сходный вид:
Н = Н°
В /х, /х
±s.
fis
где 5 = (Si, $2, S3) — операторы спина со спином s, величина /i — полный
магнитный момент частицы, а оператор /х — ее «внутренний» магнитный
момент.
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле
Здесь мы рассмотрим задачу нахождения уровней энергии заряженной
частицы со спином -, движущейся в постоянном магнитном поле. Выбрав
ось z в направлении поля, В = (0,0, В), получаем А\ (х) = —By, А2{х) =
= Аз(х) = 0 и <р(х) = 0. Гамильтониан Паули принимает вид
Я
2m
(p. + lByf + Pi + Pi
fiBcr3.
(2.4)
Уравнение на собственные значения
Нф(х, а) = Еф(х, а)
в <ffis сводится к двум (для каждого значения о = ±-) уравнениям на
собственные значения
[(р1 + |Б2/)2 + Р22 + Р5
в ^. Разделяя переменные
ф(х)=еЬ(к1Х+кз2)
получаем
1
2ш
ф — fiBcrxp = Еф
х(у),
- —*" +
где
mujt
Уо
[{У~Уо)2Х
( к2
Е+*в°-ш
(2.5)
ск\
"ёв
и сс;в
\е\В
тс '

4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 301
Уравнение (2.5) совпадает с задачей на собственные значения для
одномерного гармонического осциллятора с частотой с^в, решенной в
разделе 2.2.6 главы 2. Таким образом, мы получаем
Е = (п + \)Гш)ъ + тг~- »В(т, п = 0,1, ...; а = ±\. (2.6)
Первое слагаемое в этой формуле дает дискретные уровни энергии,
называемые уровнями Ландау, для движения в плоскости, перпендикулярной
магнитному полю.
Спектр гамильтониана Паули (2.4) абсолютно непрерывен и заполняет
[-(Tiujb — рЩ) °°) с переменной бесконечной кратностью. Его можно
представлять как счетное объединение ветвей [(п + -~)Ъшъ — цВсг, оо), каждая
с кратностью, параметризованной R х {±1} (все к\ Е Ш и ±&з при
фиксированном кз соответствуют одному и тому же Е). Соответствующие
нормированные собственные функции непрерывного спектра — это
фп(х;кик3) =
гаив
_ 1 JmujB I E(fci*+fcs*)--^(i/-i/o)' / mujB
2тг?ьУ тгП v^^j п\\ П У
где —оо < fci, кз < оо.
Для электрона ?илв = ~/лв, и формула (2.6) принимает вид
к2
В этом случае имеется дополнительное вырождение спектра: уровни
энергии с п и о = - и уровни сп+1исг = —- совпадают.
Задача 2.1. Выведите теорему о разложении по собственным
функциям для гамильтониана (2.4).
Задача 2.2. Покажите, что операторы
соответствующие координатам центра окружности (см. задачу 1.5 из
раздела 1.1.3 главы 1), являются квантовыми интегралами движения, т.е.
коммутируют с гамильтонианом Н, но
{X0,Y0}h = -^I.

302
Глава 4
4.3. Система тождественных частиц
Рассмотрим квантовую систему из N частиц спинов si, ... ,sn.
Согласно основным принципам квантовой механики гильбертово
пространство состояний системы дается формулой
Жм = Жэх ® ... ® J?sN = L2(R3) ® ... ® L2(R3) ®VSl ® ... ®VSN.
4 v '
N
В терминах переменных & = (x^cr^), где ж» G R3 и cr^ G {—s», — Si +
+ 1, . ..,Si — l,Si}, полную волновую функцию системы можно записать
как Ф(£ь ... ,£jv)« Полная волновая функция — конечная линейная
комбинация произведений
Ф(€ь •••,€*) = Ф(я?1, ...,Xiv)x(^b ...,^n),
где Ф(ж1, ... ,ждг) Е L2(R3N) — координатная часть, а х(°"ъ • • •, о"лг) —
спиновая часть полной волновой функции. Спиновая часть, в соответствии
со структурой тензорного произведения VSl ® ... ® VSN, является
конечной линейной комбинацией произведений \kt (o"i) • • • XkN (о"лг) функций \к,
определенных в разделе 4.1.
Гамильтониан системы из N частиц (без спинового взаимодействия)
в координатном представлении имеет вид
N 2 N
i=l l i=l l^i<k^N
где первое слагаемое — это оператор кинетической энергии системы из N
частиц, второе слагаемое описывает взаимодействие частиц с внешним
полем, а последнее слагаемое описывает их попарное взаимодействие.
Заметим, что хотя гамильтониан Ядг действует только на координатную
часть Ф(ж1, ... ,xn) полной волновой функции, физические свойства
системы зависят от спинов частиц.
4.3.1. Постулат симметризации
Для системы из N тождественных частиц с массой га и спином 5
соответствующее гильбертово пространство — это
Jt?N=L2{R3N)®V®N. (3.1)

4.3. Система тождественных частиц
303
Неприводимое представление Rs группы Ли SU(2) в векторном
пространстве Vs естественным образом определяет представление RfN в V®N:
R?N(9)(vi ® • • • ® vN) = Rs(g)vi 0 • • • 0 Rs(g)vN, g e SU(2).
Соответствующее представление pfN алгебры Ли su(2) дается формулой
N
pfN(x)(vi (8> • • • (8> идг) = ^2^1 ® •••&> ps(zH &>•••&> г>л/-, х е su(2).
fc=i
Операторы полного спина 5 = (51,5г,5з) системы из 7V тождественных
частиц даются формулой
5,=г^?ЛГ(Л) = Е^), j = 1,2,3. (3.2)
fc=l
Здесь Sj = /2s+i ® • • • ® ihPs(Aj) ® • • • ® ^2s+i — операторы спина /с-й
частицы; они нетривиально действуют только на /с-й множитель тензорного
произведения V®N.
Представления RfN и pfN приводимы и содержат все
представления Vi со спинами I Е ~2^о, такие, что sTV — / — неотрицательные целые
числа. Действительно, оператор S2 квадрата полного спина имеет вид
S2 = S2 + 522 + S* = 5_5+ + 5з(53 + Ш),
где S± = Si ± iS2, a I — здесь тождественный оператор в V^^.
Легко видеть из (3.2), что собственные значения оператора 5з — это —TisN,
Ti(—sN +1), ..., Ti(sN — 1), TisN. Далее, по лемме Шура ограничение S2
на неприводимое представление Vi — это Ъ21{1 +1), помноженное на
тождественный оператор в VJ. Поскольку V/ содержит вектор старшего веса,
который аннигилируется оператором 5+ и является собственным вектором
оператора 5з с собственным значением Til, можно заключить, что V®N
содержит все неприводимые представления спинов I Е ^^о, таких> чт0 sN—l —
неотрицательные целые числа. Задача определения кратностеи, с которыми
представления Vi входят в разложение V®N в прямую сумму
неприводимых представлений, будет обсуждаться ниже. Она играет фундаментальную
роль в классификации уровней энергии системы из N тождественных
частиц спина s.

304
Глава 4
Имеется также естественное действие группы Sym^ перестановок N
элементов на Жм, задаваемое формулой
^тгФ(£ъ .-•,€*) = Ф(€тг-1(1)» •••^7r-i(iv))) TreSym^.
Соответствующий гамильтониан в этом случае имеет вид
2 N N
г=1 2=1 l^i<k^N
и коммутирует с действием Sym^:
[Ядг, Ртг] = 0 для любого 7Г Е SymN.
Таким образом, оператор Н^ можно ограничить на SymN-инвариантные
подпространства Ж, в частности, на подпространство Ж^ ' полностью
симметричных функций Ф(£ь ..., £дг)-
Рпф = ф для любого 7Г Е Sym^,
и на подпространство Ж^ ' полностью антисимметрических функций
Ф«1,-.-,€лг):
РтгФ = (—1)е^Ф для любого 7Г G Sym^,
где е(7г) — четность перестановки 7Г.
В классической механике, в принципе, можно отметить тождественные
частицы (скажем, целыми числами 1,2, ..., N) и проследить траекторию
каждой отмеченной частицы индивидуально. Из соотношений
неопределенности Гейзенберга следует, что в квантовой механике невозможно
проследить временную эволюцию отмеченных частиц индивидуально.
Другими словами, в квантовой механике тождественные частицы истинно
«неразличимы», так что гильбертово пространство (3.1) содержит «слишком
много состояний». Существует еще один постулат квантовой механики,
выделяющий «правильное» гильбертово пространство состояний системы
тождественных частиц.
АН (Постулат симметризации). Гильбертово пространство
состояний системы из N тождественных частиц со спином s — это полностью
симметрическое подпространство Ж^ ' TV-кратного тензорного
произведения (L2(R3) ® VS)®N в случае бозонов (частиц с целым спином) и
полностью антисимметрическое подпространство Ж^ * в случае фермионов
(частиц с полуцелым спином).

4.3. Система тождественных частиц
305
Замечание. Из постулата симметризации следует принцип запрета
Паули, утверждающий, что никакие два фермиона не могут находиться в
одном и том же состоянии. Принцип запрета Паули является
фундаментальным для атомной и молекулярной физики, также как и для всей химии.
В случае тождественных частиц спина 0 из постулата
симметризации следует, что соответствующее гильбертово пространство Ж^ ' — это
подпространство всех полностью симметричных функций Ф(жь ..., я?лг)
в L2(R3iV), и для того чтобы найти уровни энергии системы, надо решить
уравнение Шрёдингера
HNV = ENV (3.4)
только в полностью симметрическом подпространстве Ж^ '
пространства Жм. Решения задачи на собственные значения (3.4), не
принадлежащие этому подпространству, не имеют физической интерпретации.
Для частиц спина - ситуация отличается: свойства симметрии
координатной части полной волновой функции зависят от свойств симметрии
соответствующей спиновой части. Рассмотрим сперва простой пример
системы из двух электронов. В этом случае имеем разложение в прямую
сумму гильбертовых пространств,
ж2 = ж2{Б) ® ж2{А\
мгновенно следующее из представления
Ф(*1,6) = £(Ф(*1,&) + Ф(€2,й)) + £(Ф(«Ь&) - *(fc,€l)).
Используя тождество
Ф(Ж1, Ж2)х(0-1, <Т2) - Ф(ж2, JBi)x(0"2, <7i) =
= 2-(Ф(ж1, х2) + Ф(ж2, эя))(х(<гь а2) - xfa, <ri)) +
+ |(Ф(Х1, х2) - Щх2, ai))(x(<ri, а2) + х(<г2, <п)),
можно представить Ж2 как прямую сумму гильбертовых пространств
^2(А) = 6оФбЬ
где
во = (L2(M3) ® L2(R3))(S) ® Л2 С2

306
Глава 4
состоит из конечных линейных комбинаций произведений Ф(£ь£2) =
= Ф(ж1,ж2)хх(сг1,сг2), причем Ф(жьж2) 6 L2(R3)(8)L2(R3) симметрично,
a х(°"ь G2) € Л2 С2 антисимметрично, и
6i = (L2(R3) 0L2(R3))(A) ® Sym2C2
состоит из конечных линейных комбинаций произведений, причем Ф(а?1, ж2)
антисимметрично, а х(°"ъ ^г) симметрично. Векторное пространство Л2 С2
одномерно и порождается функцией хоо, соответствующей вектору
^(ei ® е2 - е2 ® ei) G С2 0 С2,
а векторное пространство Sym2C2 трехмерно и порождается
функциями xiь Хю> Xi-ь соответствующими векторам
ei®ei, ^f(ei ® е2 + e2(g)ei), е2 (g) e2 G С2 ® С2.
Сравнивая разложение
C20C2 = A2C20Sym2C2
с разложением Клебша - Гордона
2 2
обсуждавшимся в разделе 3.3.2 главы 3, видим, что2 Л2 С2 = Vq
и Sym2 С2 = Vi. В терминологии физиков Vo — это спин-синглетное
пространство, a Vi — спин-триплетное пространство. Мы резюмируем
полученные результаты в следующем утверждении.
Предложение 3.1. Для системы из двух тождественных частиц
спина ^ полная волновая функция спина 0 имеет вид Ф(ж1,ж2)хоо(сг15сг2)>
где Ф(жь ж2) симметрично и удовлетворяет уравнению Шрёдингера (3.4).
Полная волновая функция спина 1 имеет вид Ф(жь ж2)х1т(я"ь &2)> где т =
= —1,0,1, а Ф(жх,ж2) антисимметрично и удовлетворяет уравнению
Шрёдингера (3.4).
Замечание. Координатная часть Ф(ж1,ж2) полной волновой
функции допускает обычную вероятностную интерпретацию. Таким образом,
2 Это также можно проверить непосредственно, вычисляя действие операторов полного
спина.

4.3. Система тождественных частиц
307
для простого примера системы из двух электронов с Vint (ж) = 0
координатная часть полной волновой функции имеет вид
где ф\{х) и ф2(х) ~ одноэлектронные координатные волновые функции,
знак плюс относится к спин-синглетному состоянию, а знак минус —
к спин-триплетному состоянию. Соответствующая плотность
вероятности — это
|*(ai,aj2)|2d3a5id3aj2 = |(|^i(«i)|2|^2(«2)|2 + |Vi(«2)|2|V^(«i)|2 ±
±2Ке(ф1(х1)ф2(х2)ф1(х2)ф2(х1)))(13х1(13х2,
где последнее слагаемое называется обменным членом. Из этой формулы
следует, что когда два электрона находятся в спин-триплетном состоянии,
вероятность найти их в одной и той же точке х Е Ш3 равна нулю. Однако
когда электроны находятся в спин-синглетном состоянии, существует
ненулевая вероятность найти их в одной и той же точке пространства благодаря
обменной плотности.
Рассмотрим теперь систему из N частиц со спином ^. В этом случае
полная волновая функция Ф(£ь ... ,£лг) € Ж^ ' удовлетворяет условию
НМФ = ЕМФ и 52Ф = Ti2s(s + 1)Ф (3.5)
и описывает связанное состояние с полным спином s, где -N — s —
неотрицательное целое. Кажется естественным предположить, что если
можно найти координатную волновую функцию Ф(жь ..., а?лг),
удовлетворяющую (3.4), и спиновую волновую функцию х(сг1: • • • j°"iv)j являющуюся
собственной функцией S2, то полную волновую функцию Ф(£ь .. .,£дг)
можно получить процедурой антисимметризации:
*(€b ...,€ЛГ)= 5Z (-1)£(7Г)ф(Ж7г(1), ■■■,ЗД)ХК(1), •••^тг(ЛГ)).
TrGSym^
Однако может оказаться, что для координатной волновой функции
Ф(а?1, ...,ждг), удовлетворяющей (3.4), соответствующая полная
волновая функция Ф(£ь ... ,£аг) — тождественный ноль! Требование того,
чтобы полная волновая функция Ф(£ь ...,£#) не обращалась тождественно
в ноль, определяет допустимые свойства симметрии координатной
волновой функции Ф(ж1, ..., ждг), описываемые неприводимыми
представлениями симметрической группы Sym^.

308
Глава 4
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений Syrrijy
Количество неприводимых представлений симметрической группы
Эутдг — это число ее смежных классов, которое, в свою очередь, равно
числу разбиений А = (Ai, ..., Ап) числа N: N = Х\ + ... + Ап, где Ai ^ A2 ^
^ ... ^ An ^ 1. Обозначим как Par(TV) множество всех разбиений
числа N. Для каждого разбиения A Е Par(TV) существует неприводимое
представление G\ группы Эушдг, которое строится так. Пусть Y\ — диаграмма
Юнга, связанная с А Е Par(TV), — набор из N клеток, расположенных в п
выровненных слева строк, где первая строка содержит Ai клеток, вторая —
Аг клеток, и т. д. Таким образом, диаграмма
1М1М
соответствует разбиению 10 = 5 + 3 + 2. Таблица Юнга А,
отвечающая диаграмме Юнга Y\ — это сопоставление N целых чисел 1,2, ..., N
и N клеток, такое, что разным клеткам соответствуют разные числа;
обозначим как Та множество всех таблиц Юнга, соответствующих
разбиению А Е Par(TV). Каноническая таблица Юнга А\ Е Та получается
последовательной нумерацией клеток по строкам слева направо. Для таблицы
Юнга А Е Та, которую мы назовем канонической, определим две
подгруппы SymN:
Row(j4) = {п Е SymN : 7Г сохраняет строки Л},
Со1(Л) = {7г Е Sym^ : 7г сохраняет столбцы А}.
Теперь пусть 21 = CSym^ — групповая алгебра SymN, комплексное
векторное пространство с базисом {еп}ж^утм и отображением умножения,
определенным правилом е7Г1 • еЖ2 = еЖ17Г2. Обозначим как R регулярное
представление SymN в 21, определенное формулой
R(-k)x = еп • х, х Е 21.
С заданной таблицей Юнга А можно связать два элемента в групповой
алгебре 21: симметризатор строк
ttGRow(A)

4.3. Система тождественных частиц
309
и антисимметризатор столбцов
си= £ (-i)^V
ttGCoI(A)
Определим симметризатор Юнга формулой
Па = CaRa e 21
и рассмотрим левый Sym^-модуль3 СУд = 21 • Пд и представление
Т\: SymN —* ЕпсК7д, где Sym^ действует умножением слева.
Следующий результат является фундаментальным.
Теорема 3.1. Всякое представление Т\ является неприводимым
представлением Sym^, и представления Т\ и Тм не изоморфны, если А ф /i.
Размерность представления Т\ дается формулой Фробениуса
dx = ~n—TlIT^-^)' h = K + n-i, г=1, ...,n,
г<3
и U\ = с1\Па- Любое неприводимое представление Sym^ изоморфно
представлению Т\ для некоторого разбиения A Е Par(TV).
Замечание. Из теории представлений конечных групп следует, что
R= 0 dxGx (21= 0 EndGA как алгебра),
АеРаг(ЛГ) AePar(iV)
такчто т = Y. «*•
AGPar(iV)
Существует и другое выражение размерностей d\ в виде произведения по
клеткам диаграммы Юнга Уд, которое дается так называемой формулой
длины крюка.
Замечание. Можно явно построить базисы подпространств G\ с
помощью следующей процедуры. Пусть А — стандартная таблица Юнга для
разбиения Л Е Par(TV): таблица Юнга, удовлетворяющая условию, что
в каждой строке У\ числа в клетках строго возрастают слева направо, а в
каждом столбце — строго убывают сверху вниз. Пусть 7Г Е SymN —
единственная перестановка, такая, что А = 7г(А\), и положим е& = Пде^.
Тогда векторы ед, где А пробегает по всем стандартным таблицам Юнга для
разбиения Л, образуют базис в G\. Другими словами, базисные элементы
получаются последовательной симметризацией по строкам У\ с
последующей антисимметризацией по столбцам.
3Другой выбор таблицы Юнга А £ Тд дал бы Sym^-модуль, эквивалентный G\.

310
Глава 4
Разбиение Л = (N) соответствует диаграмме Юнга только с одной
строкой и порождает тривиальное представление Sym^. Разбиение Л =
= (1, ..., 1) соответствует транспонированной диаграмме Юнга —
диаграмме только с одним столбцом — и порождает другое одномерное
представление, знакопеременное представление 7Г \—> (— 1)£(ж\ В общем случае
пусть Л' = (А'ь ..., А^) — разбиение, сопряженное к разбиению Л,
определенное транспонированием диаграммы Юнга Y\ с помощью перестановки
строк и столбцов (Л^ — это число слагаемых в разбиении Л, больших или
равных г). Тогда
rv = rA®r(lf...fl). (з.б)
Другие разбиения соответствуют симметриям смешанного типа.
Следующий результат будет играть решающую роль в определении
свойств симметрии координатных волновых функций.
Предложение 3.2. Тензорное произведение Т\ ® Тм содержит
тривиальное представление Sym^, если и только если fi = X, в каковом
случае оно имеет единичную кратность. В терминах базиса {егЬ=1
пространств G\, такого, что представление Т\ задается
ортогональными d\ х d\ матрицами t\{^)ij-
dx
T\(7r)ei = ^txi^jiej, г = 1, .. . ,dA,
j=i
одномерное подпространство тривиального представления пороэюдается
dx
вектором Y1 ег® ei ^ G\® G\. Соответственно, тензорное произведе-
г=1
ние Т\®Т^ содержит знакопеременное представление Sym^, если и
только если /i = Л', в каковом случае оно имеет единичную кратность. В
терминах базиса {е^}^ пространства G\/, такого, что представление Т\/
задается матрицами t\t (-к)ij = (—l)e^Hx(7T)ij, одномерное подпростран-
dx
ство знакопеременного представления порождается вектором ^ е^е\ Е
е Gx ® G\>.
Задача 3.1. Докажите все утверждения этого раздела. (Указание: см.
литературу к этой главе.)

4.3. Система тождественных частиц
311
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций
В добавление к диагональному действию группы Ли SU(2) на
тензорном произведении (С2)®^, обсуждавшемуся в разделе 4.3.1, имеется
также левое действие симметрической группы Sym^ перестановкой
множителей4:
Г(тг)(г>1 ® ... ®vN) = Vtt-i(i) ® ••• ®v*-4*r)i n e $Утм-
Для любого разбиения Л Е Par(TV) обозначим как ГЦ симметризатор
Юнга, соответствующий канонической таблице Юнга А\, и как S\C2
образ оператора Г(Пд) в (С2)®^. Подпространство S\C2 нульмерно, когда
у диаграммы Юнга Y\ более двух строк, и является неприводимым U(2)-
модулем, называемым модулем Вейля, когда у диаграммы Юнга Y\ одна или
две строки. Для разбиения Л = (N) модуль Вейля S\C2 = Sym^ С2 и
изоморфен модулю старшего веса Уд,лг с доминантным весом (7V, 0),
определенным в разделе 4.1.2. Для разбиения Л = (А^Аг) модуль Вейля S\C2
изоморфен модулю старшего веса V\,n с доминантным весом А.
Замечание. Эта конструкция — частный случай общей конструкции,
предложенной Г. Вейлем, подходящей к действию симметрической группы
на тензорном произведении V®N, где V — конечномерное векторное
пространство. Модули Вейля S\V, связанные с диаграммой Юнга Y\,
нульмерны, когда число строк больше чем п = dim V, и изоморфны модулям
старшего веса GL(V) с доминантным весом А, когда число строк меньше
или равно п. Сопоставление V •—► S\V называется функтором Шура.
Следующим результатом, известным как двойственность
Шура-Вейля, устанавливается явное соответствие между неприводимыми
представлениями U(2) и Syirijy, входящими в разложение представления SU(2) x
Sym^ в (C2)®N, на неприводимые компоненты.
Теорема 3.2 (Двойственность Шура-Вейля). Представление R®NxT
2
раскладывается в прямую сумму неприводимых компонент:
(С2)®"= 0 SAC2®GA,
AGPar(iV,2)
где Par(7V, 2) — множество разбиений N с количеством слагаемых,
меньшим или равным 2.
Оно передвигает вектор с г-го места тензорного произведения на 7г(г)-е место.

312
Глава 4
Положив Ai = ^ + s,A2 = ^ — s (см. раздел 4.1.2), получаем из
формулы Фробениуса / N \ / N \
Теперь вернемся к основной проблеме нахождения полных волновых
функций, удовлетворяющих (3.5). Из двойственности Шура-Вейля
следует, что имеется (2s + l)d\ линейно независимых спиновых волновых
функций Xruji^ii • • •, сгдг) со спином s, удовлетворяющих условию
S2Xmj = Tl2s(s + l)Xmj И SsXrnj = TimXmji (3.8)
где т = — s, —s + 1, ..., s — 1, s и j = 1, ..., d\. Здесь d\ соответствует
разбиению А = (^ + s, ^ — s) (или A = (N) при s = ^) и дается
равенством (3.7). Представление ps группы SU(2) со спином s действует на
индекс га спинной волновой функции Xmj(&ii • • •, сгдг), а представление Т\
группы Sym^ — на индекс j. Полная волновая функция имеет вид
*m(€l, --Лм) = ^2^j(xU ...,XN)Xmj((7l, ...,0-iv), (3.9)
.7=1
где m = — s, ..., s. Из предложения 3.2 следует, что полная волновая
функция
Фт(£ъ • • • j&v) полностью антисимметрична, если и только если
координатные волновые функции \£j(xi, ..., ждг) преобразуются согласно
сопряженному представлению Т\> группы Sym^:
(Р7ГФг)(жЬ ...,Ждг) = 5^*A'(7T)ii*i(aJl, ...,Xiv), i = l, ...,d\.
.7 = 1
Резюмируем эти результаты следующим образом. ^ ' '
Теорема 3.3. Координатными волновыми функциями ^j(xi, ..., xn),
соответствующими полной волновой функции со спином s системы из N
тождественных частиц спина -, являются решения N-частичного
уравнения Шрёдингера (3.4), которые преобразуются согласно
представлению Т\/ симметрической группы Эутдг, где А' — разбиение,
сопряженное к X = (— + s, -=— s). Спиновые волновые функции Xmjfoi, ..., сгдг)
удовлетворяют (3.8), а соответствующие полные волновые функции
Фт(£ь . ..,&v) даются формулой (3.9). В общем случае для заданного
уровня энергии Е существует 2s +1 линейно независимых полных волновых
функций со спином s, 0 ^ s ^ ^-, и ^J- — s — целое число.

4.3. Система тождественных частиц
313
Замечание. При наибольшем значении полного спина s = ^ коор-
динатная волновая функция Ф(ж1, ... ,ждг) полностью антисимметрична.
Поскольку (Л/у = (1, ..., 1) £ Par(7V, 2), когда N > 2, координатная
волновая функция в случае N > 2 не бывает полностью симметричной.
Используя явное описание симметризатора Юнга из предыдущего
раздела, получаем следующий результат.
Следствие 3.4 (В. А. Фок). Координатная волновая функция
Ф(жх, ... ,ждг), соответствующая полной волновой функции спина s,
характеризуется следующими свойствами симметрии:
(*) Ф(а?1, ..., ждг) антисимметрично по отношению к группе аргументов
жь ...,жь fc= — + s;
(и) Ф(ж1, ..., ждг) антисимметрично по отношению к группе аргументов
asfc+i, ... ,ждг;
(ш) Ф(жх, ..., ждг) удовлетворяет условию
Ф(жь ...,ждг) =
= 2^*(я:Ь ' ' мжг-1,ЖД;+1,Жг+1, .. . ,Xfc,X;,Xfc+2, . . . , Ждг).
г=1
Случай 7V тождественных частиц произвольного спина 5
разбирается подобным образом. Свойства симметрии координатных волновых
функций получаются с помощью двойственности Шура-Вейля для
действия U(Z) х Sym^ на С1, где I = 2s + 1. Она имеет вид
(Cl)®N= ф SxCl®Gx,
АеРаг(ЛМ)
где Par(7V, I) — это множество разбиений N с количеством слагаемых
меньшим или равным /, a S\Cl — модуль Вейля, соответствующий
представлению старшего веса группы U(Z) с доминантным весом Л.

314
Глава 4
Задача 3.2. Докажите следствие 3.4.
Задача 3.3 (Приближение одного электрона). Допустим, что
Mnt(ж) = 0, и пусть tpi(x), ..., фк(х), к ^ ^-, — одноэлектронные
волновые функции: собственные функции одноэлектронного оператора Шрёдин-
гера Н\ (см. (3.4)). Покажите, что координатные волновые функции
Ф(Ж1, .
. .,Ждг) =
^i(a:i) .
^fc(^i) •
• • ipi(xk)\
• • Фк(хк)\
1 ФЛхк+i)
...
\il>N-k{xk+i) •
il>i(xN)
• i>N-k{xN)
где | • • • | обозначает определитель матрицы, удовлетворяют свойствам
симметрии из следствия 3.4.
4.4. Замечания и ссылки
Понятие спина электрона оказывается фундаментальным при
согласовании квантовой механики с экспериментами. См. [Mes99] для
обстоятельного обсуждения основных экспериментальных данных, говорящих
в пользу гипотезы спина электрона (эффект Зеемана, эксперимент
Штерна-Герлаха). В классических текстах [Лан89Ь, Фок76Ь] также вводится
понятие спина с физической точки зрения. Теория представлений группы
Ли SU(2) — простейшей компактной неабелевой группы Ли — детально
обсуждается в [Вил65]; для описания всех неприводимых представлений U(n)
см. [FH91]. В обсуждении гамильтониана Паули в разделе 4.2.1 мы
следуем [Фок76Ь]; случай частицы в неоднородном магнитном поле из
раздела 4.2.2 впервые рассмотрел Л. Д. Ландау в 1930 г. (см. [Лан89Ь]). Задача 2.2
показывает, что в присутствии магнитного поля операторы Xq и 1q,
соответствующие координатам классических траекторий заряженной частицы,
нельзя измерить одновременно.
Волновое уравнение Паули в разделе 4.2.1 нерелятивистское, т.е. оно
не принимает в расчет постулаты специальной теории относительности.
Правильное квантовое описание электрона во внешнем электромагнитном
поле предложил Дирак; волновое уравнение Паули получается как
нерелятивистский предел уравнения Дирака [Фок76Ь]. Уравнение Дирака — это
уравнение для одной частицы, описывающее электрон и частицу с
зарядом —е — позитрон. Для описания квантовых процессов рождения и
уничтожения частиц необходимо перейти от квантовой механики к квантовой
теории поля, изучающей системы с бесконечным числом степеней свободы,
и мы отсылаем читателя к [IZ80] за введением в эту дисциплину.

4.4. Замечания и ссылки
315
Постулат симметризации, сформулированный в разделе 4.3.1, —
другой фундаментальный принцип квантовой механики, и мы отсылаем
читателя к [Mes99] за его физическим обоснованием. Все свойства атомов
описываются Af-частичным уравнением Шрёдингера. Однако на практике
его невозможно решить аналитически (для потенциалов атомной физики)
и даже численно, если N > 2; случай атома гелия (N = 3) показывает
трудности задачи. Для этой цели были разработаны различные
приближенные методы, такие как приближение одного электрона, метод Хартри -
Фока и его модификации (см. [Лан89Ь], [Фок76Ь] для подробностей и [Фад01]
для ясного введения). Правильное описание свойств атомов и объяснение
периодической системы элементов Д.И.Менделеева, основанное на этих
методах, было большим триумфом квантовой механики. Мы отсылаем
заинтересованного читателя к [Лан89Ь, Фок76Ь] и [Фад01] за детальным
изложением. TV-частичное уравнение Шрёдингера, в принципе, также
описывает5 все свойства молекул, которые изучает химия. Однако этот
«редукционизм» не работает из-за сложности квантовой задачи N тел, и
приближенные методы, такие как приближение Хартри - Фока, играют в квантовой
химии центральную роль.
Векторное пространство С2®С2 описывает спиновые степени свободы
двух электронов, и спиновые состояния, не представляемые в виде
тензорного произведения u®v, называются запутанными6. Запутанные состояния
используются при описании парадокса Эйнштейна - Подольского - Розена,
квантового эксперимента, который, как кажется, нарушает принцип
локальности (см. его описание в [Ве187, Sak94]). Тот факт, что квантовая
механика верна и позволяет дать аккуратное описание микромира, несомненен
и подтверждается многочисленными физическими экспериментами.
Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена является «парадоксом» только
потому, что классическая интуиция не всегда соответствует физической
реальности. Более того, из неравенств Белла [Ве187] следует, что любая попытка
превратить квантовую механику в детерминистскую теорию посредством
введения так называемых скрытых переменных обречена; мы отсылаем
читателя к веб-сайту http://en.wikipedia.org/wiki/EPR paradox
за дальнейшими ссылками. Векторное пространство С2 (8) ... ®С2,
описывающее спиновые степени свободы нескольких тождественных частиц
спина i также играет фундаментальную роль в теории квантовых
вычислений. Это быстро развивающаяся область, и мы отсылаем заинтересованного
читателя к монографии [Кит99] за математическим введением и к веб-сайту
В этом смысле квантовая механика — это «теория всего» для химии.
Недавно стали также употреблять термин зацепленные. —Прим. перев.

316
Глава 4
http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum computer за свежей ин
формацией о специальной литературе. Другое быстро развивающееся и
захватывающее новое приложение квантовой механики — квантовая
криптография, см. обзор на http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum
cryptography.
Раздел 4.3.2 представляет собой ускоренный курс теории
представлений симметрической группы Sym^ — красивого образца классической
математики, находящего множество интересных приложений в современной
комбинаторике и теории представлений. Нашей целью было дать сжатое
и ясное представление основных необходимых фактов, и мы ссылаемся
на классический текст [Wey50] и на [FH91] для подробного изложения
теории представлений, а на [GW98] — для обсуждения двойственности Шура-
Вейля. В разделе 4.3.3 мы подчеркиваем роль двойственности Шура-Вей-
ля в изучении свойств симметрии координатных волновых функций.
Физические учебники, такие как [Лан89Ь], [Дав73] и [Sak94], аккуратно
разбирают основные примеры, но остаются несколько туманны при описании
формы полной волновой функции N частиц. Монография [Фок76Ь] в этом
отношении очень четкая, но в своем изложении В. А. Фок старается
свести использование теории групп к минимуму. Нашей целью в разделе 4.3.3
было заполнить этот пробел и дать ясное описание свойств симметрии
координатных и спиновых частей полной волновой функции, используя язык
теории представлений. Для случая N частиц спина - эту задачу решил
В.А.Фок в 1940 г.; см. [Фок76Ь], а также классическую работу [Wig59].
Для дальнейших приложений теории групп к квантовой механике мы
ссылаемся на последний текст и на [Wey50].

Часть II
Функциональные методы
и суперсимметрия

Глава 5
Фейнмановская формулировка
квантовой механики
5.1. Фейнмановский интеграл по путям
В этой главе мы представим фейнмановский подход к квантовой
механике, основанный на интеграле по путям. В фейнмановском подходе про-
пагатор квантовой системы с гамильтонианом Н, т. е. ядро оператора эво-
--ш
люции U(t) — е п , выражается в виде «суммы по траекториям»
соответствующей классической системы.
5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера
Напомним (см. раздел 2.1.3 главы 2), что в терминах оператора эво-
--ш
люции U(t) = е п решение ip(t) задачи с начальными условиями для
зависящего от времени уравнения Шрёдингера
ih^{t) = нт, (l.i)
tf(<)lt=o = ^ (1-2)
дается равенством ij)(t) = U(t)ip. Для оператора Гамильтона
квантовой частицы в ]Rn, движущейся в потенциальном поле V(q), задача
с начальными условиями (1.1)-(1.2) в координатном представлении
превращается в следующую задачу Коши:
т^ = -&А7р + у{д)^ (L3)
ФШ)\1=0=Ф(Ч), (1.4)

320
Глава 5
где А — оператор Лапласа на Rn. При достаточно общих условиях на
потенциал V(q) (т.е. когда V е Ь™с(Шп) ограничен снизу) задача Коши (1.3)-
(1.4) имеет фундаментальное решение: это функция K(q, qf', t),
удовлетворяющая в смысле обобщенных функций уравнению в частных
производных (1.3) по отношению к переменной q (т. е. K(q, q', t) — слабое решение
уравнения Шрёдингера) и начальному условию
K(q,q',t)\t=0 = S(q-q'). (1.5)
Решение задачи Коши (1.3)-(1.4) формально можно записать как
ф(д', t)= j K(q', q, W(q)dnq, (1.6)
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций.
Для ф € Ь2(Ш.п) формулу (1.6) следует понимать как
ф(Ч', t) = l.i.m. f K(q', q, W(q)dnq = l.i.m. / K(q', q, t)^(q)dnq,
R—юо J J
\q\<R ^ Kn
где l.i.m. обозначает предел по норме L2. В общем случае ip(q,i) — лишь
слабое решение уравнения Шрёдингера (1.3); оно является регулярным,
когда ф принадлежит области Гординга D0 (см. задачу 1.7 в разделе 2.1.3
главы 2). Фундаментальное решение K(q,q',t) является обобщенным
функциональным ядром (в смысле теоремы Шварца о ядре) оператора
эволюции U(t).
Используя групповое свойство U(t + t') = U(t)U(t'), можно
переписать (1.6) в виде
ф(Ч', ?) = J K(q', t'; q, 1)ф(д, t)<Tq, (1.7)
где K(q' ,t'\q,t) — K{q',q,t' — t). Физический смысл функции
l^(<z'^';<Z>0l2 — распределение условной вероятности найти квантовую
частицу в точке q' Е W1 в момент времени t' при условии, что она была
в точке дбМпв момент t.
Замечание. В терминологии физиков обобщенное функциональное
ядро K(q', t'\ q, t) оператора эволюции U{t'—t) называется комплексной
амплитудой вероятности или, просто, амплитудой или пропагатором. В
обозначениях Дирака — K{q',t'; g, t) = (q\ t' \q,t).

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
321
Нахождение пропагатора заданной квантовой системы —
фундаментальная задача квантовой механики. Когда спектральное разложение
оператора Гамильтона Н известно, пропагатор можно получить в
замкнутом виде. А именно: допустим для простоты, что у Н чисто точечный
спектр, т. е. что имеется ортонормированный базис гильбертова
пространства Ж — L2(№n,dnq), состоящий из собственных функций {^n(q)}^L0
гамильтониана Н с собственными значениями Еп. Имеем
00 г
Ф(ч) ^^СпФпЫ), сп= ^{q^niqWq,
п=0 Кп
оо г
(&W)(g) = 5>~» Bntc„Vn(g)
так что
п=0
п=0 кп
где ряды и интегралы сходятся в смысле L2. Если бы перестановка
суммирования и интегрирования была обоснована, то можно было бы записать
оо i
К(д',1;д,г) = ^е~^ЕпТфп(д'Шч), T = t'-t. (1.8)
п=0
Ряд (1.8) сходится в смысле обобщенных функций и дает представление
пропагатора в терминах спектрального разложения Н.
Сходное представление пропагатора существует и когда спектр
гамильтониана Н абсолютно непрерывен. Рассмотрим простейший случай
свободной квантовой частицы с оператором Гамильтона
Р2
Соответствующее уравнение Шрёдингера можно решить методом Фурье
(см. раздел 2.2.3 главы 2), и мы получаем
2
i>(g',t') = 1Л.т.(2тгй)~2 febiq'P~*;;T)j>{p,t)dnp =
R"
= l.i.m. j' К{д',1';д,1Шд,1)йпд,

322
Глава 5
где
ВД,*';<*,О = J^T Je>{q'-q)-irnT^dnp, T = t'-t. (1.9)
Воспользовавшись классической интегральной формулой Френеля
/°° 7T2Sgn(a)
,-л^2 , : / 7Г
—сю
eiaxdx = e 4 JL (1.10)
'a
и выделив полный квадрат в (1.9), получаем следующее выражение для
пропагатора свободной квантовой частицы:
п
п 7ггп
где г2 = е~ 4 и Г > 0.
Замечание. Формально заменяя настоящее «физическое» время t
в уравнении Шрёдингера
ей 2т
для свободной квантовой частицы массы т евклидовым временем (или
чисто мнимым временем) —it, получаем уравнение теплопроводности
на Rn с коэффициентом теплопроводности D = -—. Замечательно, что
в соответствии с этой формальной процедурой пропагатор (1.11) для
свободной квантовой частицы получается из ядра теплопроводности1 на Rn
аналитическим продолжением Т \—> —гТ.
1Ядро теплопроводности, также называемое ядром уравнения теплопроводности, это
фундаментальное решение уравнения теплопроводности. — Прим. перев.

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
323
Задача 1.1. Покажите, что
R R
R->ooJ R->ooJ 2 у 2
О О
проинтегрировав функцию e~z по подходящему контуру.
Задача 1.2. Покажите непосредственно, что
п
ф(д',1) = (е-^"0ф)(д') = l.i.m. (^L_) * J e^{q-q')2 ф(д)^д.
Задача 1.3. Дайте выражение для пропагатора, когда Н — оператор
Шрёдингера с быстро убывающим потенциалом, рассмотренный в
разделе 3.2 главы 3.
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом пространстве
Для общего оператора Гамильтона Н = Hq + V, где V = V(Q),
нет простой формулы для пропагатора K(q,,t,;q,t), подобной (1.11). Это
--ш
связано с тем, что операторы Щ и V не коммутируют, так что е h ф
, -Uh0 -hv
Ф е п е п .
Фундаментальным открытием Фейнмана было то, что существует
другое представление пропагатора квантовой системы, описывающее его в
терминах соответствующей классической системы. Мы начнем с описания
фейнмановского подхода для случая квантовой частицы с одной степенью
свободы. Он основывается на так называемой формуле произведения Ли -
Като - Троттера, позволяющей выразить экспоненту ег(А+в) двух неком-
мутирующих самосопряженных операторов в терминах отдельных
экспонент егА и егВ.
Теорема 1.1 (Формула произведения Ли - Като - Троттера). Пусть А
и В — самосопряженные операторы на Ж, такие, что оператор А + В
существенно самосопряжен на D(A) П D(B). Тогда для ф Е Ж
е*(А+В)ф = lim (е"Ае"В)пф.

324
Глава 5
Доказательство.
Рассмотрим только частный случай, когда А и В — ограниченные
операторы, который был разобран уже Софусом Ли. Положим Сп = ег(л+в)/п
и Dn = егА/пегВ/пт Имеем телескопическую сумму
С: - Dnn = СЦ - Cnn~xDn + СГ * Аг - CZ~2D2n +...+
тг-1
= J2Cn-k~1(Cn-Dn)Dkn
k=0
ты с > 0, получаем
и, так как по формуле Тейлора \\Сп — Dn\\ ^ —- для некоторой констан-
п1
\\Cnn-Dl\\^%
Этим доказывается результат со сходимостью в равномерной топологии.
Будем всегда предполагать, что гамильтониан Н = Щ + V
существенно самосопряжен на D(Hq) П D{V), так что формула Ли - Като - Троттера
применима. (Согласно теореме 1.2 из раздела 3.1.1 главы 3, в случае п = 3
можно предположить, что V = Vi + V2, где Vi e L2(R3), a V2 e L°°(R3).)
rp rp
Применяя формулу Ли - Като - Троттера к А = ——Щ и В= — =-V,
получаем, что в сильной операторной топологии
e* =lim(e h e ^ )n, A* = £, (1.12)
где Т = tf — t. В координатном представлении оператор е h является
оператором умножения на функцию е п , а обобщенное функцио-
- — Но
нальное ядро оператора е h дается формулой (1.9), в которой Т
заменено на At. Таким образом, обобщенное функциональное ядро K(q', q\ At)
оператора е h e h дается формулой
ОО 2
K(q,q;At) = — J eh 2™ dp. (1.13)

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
325
Поскольку ядро произведения двух операторов является композицией
соответствующих ядер, получается следующее интегральное
представление для обобщенного функционального ядра Kn{q' ,t,m,q,t) операто-
pa (e h ° e h )n:
« «п—1 п—1
Kn(q',t';q,t) = J ■■■J fj K(qk+1,qk; At) fj dqk, (1.14)
]Rn-l ^=0 k=l
где go — Q, Qn — Qf- Теперь заменим каждый множитель K(qk+i,qk\At)
в (1.14) его интегральным представлением (1.13), в котором
соответствующая переменная интегрирования обозначается какр^, А; = О, ...,п— 1.
Поменяв порядок интегрирования в получившемся (2п— 1)-кратном интеграле
и используя (1.12), приходим к следующему замечательному
представлению пропагатора квантовой частицы в виде предела кратных интегралов,
когда число интегрирований стремится к бесконечности:
Ktf, *'; q, t) = lim Kn(q\ *'; q, t) = (1.15)
П—ЮО
//* . n—1
■ / eXP {t Yl (Pb(Qb+l ~ ^) ~
R2n-1 «—0
-»«м)йП
Фо тт Фь<%
2тг7г
fc=i
P2
Здесь Яс(р, q) = \- V(q) — классическая функция Гамильтона, aqo = q,
qn = 9;-
Эвристически формула (1.15) допускает следующую интерпретацию.
Каждой точке (ро,Ръ • • • >Рп-ъ#ъ • • • ,Qn-i) £ M2n_1 сопоставляется
кусочно-линейный путь сг в расширенном фазовом пространстве I2 хМ
классической частицы, определенный следующей процедурой
дискретизации времени. Пусть tk—t-\- kAt и сг(т) = (р(т), q(r),T)9 где
Р(г) = Pfc, д(т) = 9fc + (г - **) ^| _ ^

326
Глава 5
и т Е [£fc,£fc+i], А: = 0, ... ,п — 1. Тогда для интегрируемого по Риману
потенциала V(q) имеем
п-1
^2 (Pk(Qk+i ~ Як) ~ Нс(рк, qk)At) = S(cr) + о(1) при п -> оо, (1.16)
fc=0
где
5(a) - y(pdg - #cdr) - J(р(т)д(т) - ffc(p(r),g(r)))dr
— функционал действия классической системы с функцией
Гамильтона Hc(p,q) (см. раздел 1.2.2 главы 1). Это наводит на мысль
интерпретировать (1.15) как некий «интеграл» по пространству P(R2)^ всех
путей сг(т) = (p(t),<j(t),t) в расширенном фазовом пространстве R2 x R,
таких, что2 q(t) = qu q{t') = qf, которое использовалось при формулировке
принципа наименьшего действия в фазовом пространстве (см. раздел 1.2.2
главы 1). Таким образом, мы полагаем
K(q',t'',q,t)= J e^S{a)®p®q, (1.17)
Р(Ка)#'
где «мера» $tp$iq на P(R2)^ дается формулой
к=1
Представление (1.17)-(1.18) и есть известный фейнмановский
интеграл по путям в фазовом пространстве для пропагатора квантовой
частицы. Пропагатор K(q',t'\q,t) выражается в виде «взвешенной суммы» по
всем возможным «историям» классической частицы — путям о Е P(R2)^ ,
Обращаем внимание, что не накладывается условий на значения р(т) в конечных точках.

5.1. Фейнмановский интеграл по путям 327
причем каждый путь о имеет комплексный вес ехр{^5(сг)}. С одной
стороны, этим представлением ясно показывается фундаментальное различие
между классической и квантовой механикой. Так, в классической механике
частица движется по классическим траекториям, являющимся
критическими точками (экстремалями) функционала действия 5(сг), тогда как в
квантовой механике все возможные пути вносят вклады в комплексную
амплитуду вероятности K(ql\t'\q,i). С другой стороны, представление (1.17) —
(1.18) ясно указывает на соотношение между квантовой и классической
механикой в квазиклассическом пределе Ь —> 0. А именно: при Ь —► 0
веса ехр{^5(сг)} становятся быстро осциллирующими и их вклады в (1.17)
будут взаимно уничтожаться, кроме случая, когда действие почти
постоянно. Последнее имеет место вблизи критических точек, которые и дают
основной вклад в (1.17). Таким образом классические траектории
частицы возникают из квантового описания, что мы обсудим подробно в
разделе 5.6.1.
Замечание. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом
пространстве не является интегралом в смысле абстрактной теории интегрирования,
поскольку формальное выражение $ip$>q не определяет меры3 на
пространстве путей P(R2)q'tt . К тому же функционал exp{|-S(cr)} по модулю всегда
равен 1 и не может быть интегрируемым по отношению к какой бы то ни
было мере d/i, обладающей свойством /j,(P(R2)9qj ) = оо. Строго
математическое значение формул (1.17)-(1.18) — это изначальная формула (1.15),
выражающая пропагатор в виде предела кратных интегралов при
стремлении числа интегрирований к бесконечности. Этим объясняется видимый
«парадокс», в котором квантовая механика якобы определяется полностью
в классических терминах формулой (1.17). Это не так, поскольку нет
никакого «естественного» определения формулы (1.17) в классических
терминах, за исключением процедуры дискретизации времени (1.15), которая
сама требует специального выбора приближения (1.16) функционала 5(сг)
суммами Римана.
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурационном
пространстве
Используя интеграл Френеля (1.10) для интегрирования по р в (1.13),
получаем следующую формулу для обобщенного функционального ядра
3В абстрактной теории мера неотрицательна и счетно-аддитивна.

328
Глава 5
оператора е п е п :
г ,т {Я-Я')2
27riTiAt
Повторив процедуру дискретизации времени из предыдущего раздела,
вместо (1.15) получаем теперь
ки.^)=^Уш)** (1.19)
Полагая, что qk = q(tk), к = 0, ...,п, для некоторого гладкого
пути 7(f) = q{t) в R, где go = Q и qn — q\ получаем при п —► оо
где
5(7) = f L{l\r))dr = J L(q(r),q(T))dT, L(q,q) = \mq2 - V(q),
t t
— функционал действия классической частицы массы m, движущейся в
потенциальном поле V(q) (см. раздел 1.1.3 главы 1). Это наводит на мысль
интерпретировать предел кратных интегралов (1.19) как фейнмановский
интеграл по путям в конфигурационном пространстве
KtfJ\Q,t)= J e^S{l)®q. (1.20)
Здесь Р(Ш)^1 — пространство гладких параметризованных путей 7 B
конфигурационном пространстве R, соединяющих точки q и q', а «мера» @q

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
329
на Р(Ш)^1 дается формулой
п-1
4 у к=1
Как и фейнмановский интеграл в фазовом пространстве, фейнмановский
интеграл в конфигурационном пространстве не является в
действительности интегралом в смысле теории интегрирования, и математически
корректный смысл (1.20)-(1.21) дается формулой (1.19). Формула (1.20)
выражает пропагатор K(q',t';q,t) в виде суммы по всем историям в
конфигурационном пространстве классической частицы — путям j e P(R)qqft ,
сопоставляя каждому пути j комплексный вес ехр{^5(7)}.
Замечание. Сходимость в (1.19), также как и в (1.15), понимается
в смысле обобщенных функций. В частности, для любого ф Е L2(R)
п
(е-*ТНф)(д)= lim (V^V x
где все интегралы понимаются как J = lim J , а все пределы —
— ос
в смысле L2.
R^°°\q\^R
Замечание. В физических учебниках говорится, что фейнмановский
интеграл по путям в конфигурационном пространстве получается из фейн-
мановского интеграла по путям в фазовом пространстве вычислением
интеграла Френеля по 3>р\
/ eh* 2 &q= / eh* @p@q. (1.22)
Заметим, что у символа $q два разных значения: в левой части (1.22) он
определен формулой (1.21), а в правой — как часть формулы (1.18).

330
Глава 5
5.1.4. Несколько степеней свободы
Пусть
H-^ + V(Q)
— оператор Гамильтона квантовой частицы в Rn, движущейся в
потенциальном поле V(q). Как и в случае одной степени свободы, пропага-
тор K{q',t'\q,i) выражается с помощью формулы произведения Ли-Ка-
то-Троттера в виде предела кратных интегралов, когда число
интегрирований стремится к бесконечности,
JV-1
Ktf,t';q,t) = ^f'''fe*v{jl^2(Pk(qk+i-qk)- (1.23)
JR(2JV-l)n ^=0
-Hc(pk,qk)At) j^^ [[ -^^r-
здесь nc{p, q) = h V(q) — классическая функция Гамильтона, и qo=q,
Qn = qf- Это представление символически записывается в виде фейнманов-
ского интеграла по путям в фазовом пространстве Л — T*Rn:
/i f(pq-Hc(p,q))dr
enl** gpgq^ (L24)
где
<s> <* v dnPo TT dnpkdnqk
a P{^)q%*t — пространство всех допустимых путей а в расширенном
фазовом пространстве Jxl, соединяющих точки (q,t) и {q',t') (см.
раздел 1.2.2 главы 1).

5.1. Фейнмановский интеграл по путям
331
Эквивалентным образом пропагатор K(q', t'\ q, t) можно записать в
виде
nN
К«АЯЛ=*Ш„У&Ы)' X (1.25)
"/•••/-p{ii:(f(S!^)'-v(.))A«}n<r,.
Эта формула символически записывается в виде фейнмановского интеграла
по путям в конфигурационном пространстве,
г ь'
/Т f L(q,q)dr
ehi 9q, (1.26)
где L(q, q) = \mq2 — V(q) — соответствующий лагранжиан,
a P(M)J| — пространство гладких параметризованных путей в
конфигурационном пространстве М, соединяющих точки ди q'. Точный
математический смысл формулы (1.26) тот же, что у (1.20).
Замечание. Формально можно продолжить определение (1.24)
фейнмановского интеграла по путям в фазовом пространстве на
случай {Л, lj, Яс), где Л — Т*М и и = d9, дифференциал канонической 1-
формы Лиувилля на Ж. А именно: можно получить обобщенное
функциональное ядро K(q', t'\ q, t), используя ту же дискретизацию времени, что
и в (1.24), и заменив 1-форму pdq на в, а форму объема dnpkdnqk на
подходящую форму, пропорциональную форме объема Лиувилля на Ж. Точно
так же представление (1.26) можно формально продолжить на случай
произвольной лагранжевой системы (М, L), где конфигурационное
пространство М — какое-то риманово многообразие, используя ту же дискретизацию
времени и заменив dnqk на риманову форму объема на М. Однако в
общем случае неясно, для каких унитарных операторов эти фейнмановские

332
Глава 5
интегралы являются настоящими обобщенными функциональными
ядрами. Более того, даже в случае М — Жп со стандартной евклидовой
метрикой представления (1.26) и (1.24), где Нс — преобразование Лежандра
функции L, не обязательно соответствуют друг другу, когда L не
является функцией вида «кинетическая энергия минус потенциальная». Однако
если L = \g^v{x)x^xu — V(x) (см. пример 1.7 из раздела 1.1.3 главы 1),
то при определенной подходящим образом дискретизации времени фей-
нмановские интегралы по путям (1.26) и (1.24) совпадают и равняются
пропагатору для оператора Гамильтона
H = ^-Ag + V.
Здесь Ад — оператор Лапласа римановой метрики на М, введенный в
примере 2.4 из раздела 2.2.4 главы 2.
Замечание. Формула (1.24) может служить эвристическим
средством, помогающим в определенных случаях проквантовать классическую
гамильтонову систему {^,ui,Hc). В общем случае это довольно
нетривиальная задача, особенно когда фазовое пространство Ж — компактное
многообразие.
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям
В разделах 2.2.7 и 2.3.3 главы 2 были введены виковские, pq-9 qp-
— -ТН
и вейлевские символы операторов. Для оператора эволюции U(T) = e h
эти символы тоже можно представить с помощью фейнмановского
интеграла по путям. Здесь мы рассмотрим лишь случай одной степени свободы, так
как обобщение на несколько степеней свободы очевидно.
5.2.1. рд-символ
Пусть Fi(p,q,T) — pg-символ оператора эволюции U(T).
Используя (1.15) и формулу (3.18) из раздела 2.3.3 главы 2 — соотношение
между pg-символом оператора и его обобщенным функциональным ядром, —
получаем
F1(p,q.T)= J K(q-v,T;q,0)e^PVdv= (2.1)
— со
/Г • п~^ П—1 1 1
''' /expU ^ (Р*(я*+1 ~ 4*0 - Hc(pk,qk)At)} Yl 2^rft *'
J U—r\ и 1
k=0 k=l

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 333
где Рп-1 = р и qo = qn = q- Формулу (2.1) можно также получить
из формулы композиции pg-символов (см. задачу 3.9 из раздела 2.3.4
главы 2). Действительно, достаточно заметить, что од-символ операто-
iAt гАЬл. г At __ . ч
рае " е п — это f\p,q) = е п , и представить од-символ
оператора (е h e h )n в виде кратного интеграла
/ •" / f(PiQn-i)f(pn-2,qn-2)--f(p2,q2)f(po,q)x
R2n-2
( n-2 ^ n-1
V ^Ji^.^.^ln*-*,
где qo = q. В том же духе, что и (1.15), формулу (2.1) можно записать
в виде следующего фейнмановского интеграла по путям для од-символа:
F1(p,q,T)= J ebS{a)®p®q, S(a) = J\pdq - Hcdt), (2.2)
^(P,g)(R2)
где ft(p?(/)(R2) = {a : [0, T] -> R2 : <j(0) = a(T) = (p, g) € R2} -
пространство параметризованных петель в фазовом пространстве R2, начинающихся
и кончающихся в точке (р, #).
Замечание. Математический смысл (2.2) — исходная формула (2.1)
с подходяще выбранным приближением S(a) суммами Римана.
5.2.2. др-символ
Пусть F2(p, q, T) — до-символ оператора эволюции U(T). В этом
случае вместо формулы (1.12), удобной для од-символов, следует рассмотреть
эквивалентное представление
е *1П = Um (е * е л "0)"- (2.3)
п—юо
Обобщенное функциональное ядро K(q',q; At) оператора е h e h
дается формулой
ОО 2
K(q ,q;At) = — / е^ 2m dp, (2.4)

334
Глава 5
и, как и в разделе 5.1.2, получаем
.71 — 1 П— 1
/л it— j. /с— j.
••• / TJ tf(%+i,%;Д*) I~[d% =
• • • /ехр{| X] (р*(я*+1 ~ ^) - (2-5)
-ffc(pfc,gfc+i)A0|2^11
2тгП
Воспользовавшись формулой (3.19) из раздела 2.3.3 главы 2, получаем
из (2.5)
оо
F2(p,q,T)= J K(q,T;q + v,0)e^PVdv =
—оо
/г . п~1
• • • / exp{f X] (pfc(^+i ~ ?*) ~ (2-6)
R2n_/ fc=0
-Hc(pk,qk+l)At)}lidJ^,
fc=l
где ро = P и g0 = Qn = q- Формулу (2.6) можно также вывести из формулы
композиции для до-символов (см. задачу 3.10 из раздела 2.3.4 главы 2), за-
гМл. г At iAt
метив, что до-символ оператора е h е п — это опять е Л
В том же духе, что и (1.15), формулу (2.6) можно записать в виде
следующего фейнмановского интеграла по путям для до-символа:
F2(p,q,T)= J ebS{a)®p®q. (2.7)
Это выражение выглядит в точности как (2.2), т. е. формальное
представление в виде интеграла по путям не различает pq- и до-символов! Конечно,
математический смысл (2.7) — это исходная формула (2.6), которая
требует специального выбора приближения S(a) суммами Римана, отличного от
того, которое использовалось в случае рд-символа.

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 335
Задача 2.1. Выведите формулу (2.6) из формулы композиции для
до-символов.
5.2.3. Вейлевский символ
Пусть F(p, q; T) — вейлев символ оператора эволюции U(T). Из
формулы обращения Вейля — формулы (3.12) из раздела 2.3.3 главы 2 —
следует, что
оо
F(p,q,T) = J K(q - \v,T;q+ \v,0)e*pi'dv.
— OO
Однако в случае произвольного потенциала V(q) невозможно провести
интегрирование по v, используя или (1.15), или (2.5), и мы применим другой
подход. А именно: обозначим как U(At) оператор4 с вейлевским симво-
-±;Hc(p,q)At
лом е h и предположим, что
U(T) = lim U(At)n. (2.8)
п—юо
Используя формулу композиции вейлевских символов и формулу (3.24) из
раздела 2.3.3 главы 2, мы можем выразить вейлевский символ как
F(p,q,T)=\imoJ ...yexp{i(2^((pfc-a)(77fc+i-^)- (2.9)
R4(n-1) fc=0
dpkdqkd^k-1dr]k^1
- (Як ~ *7*)(&+i " &)) ~ J2 Hc^ Qb)At)} П nn
fc=0 fc=l
где £0 = P^o = q и £n_i = pn-i,^n-i = Qn-i- Что касается формулы
(1.15), формулу (2.9) можно записать как следующий фейнмановский
интеграл по путям для вейлевского символа:
F(p,q,T)= (2.10)
f TJ{2(p(t)-mWt)-2(q(t)-r)(tm(t)-Hc(p(t)Mt))}dt
4Не существует простого способа выразить его в терминах е h и е h

336
Глава 5
где
к=1
и «интегрирование» ведется по пространству вещественнозначных
функций p(t), q(t), £(t) и 7](t) на [О, Г], удовлетворяющих условиям £(0) =
= р, 1,(0) = q и £(Г) = р(Г), г?(Т) = 9(Г).
Замечание. Выражение (2.10) выглядит совсем не так, как (2.2)
и (2.7). Однако переменные £(£) и г](t) лишь линейно входят в
показатель экспоненты в (2.10), и их можно проинтегрировать явным образом.
Действительно, с помощью интегрирования по частям (опустим тонкости,
касающиеся обращения с граничными членами) можно преобразовать
интеграл по @£ в
4 ^J«t)MW-2i)(t))dt
/■
который равен произведению дельта-функций S(2fj(t) — q(t)) на [0, Т] и
позволяет заменить 2fj(t) на q(t) в (2.10). Таким образом, мы получаем
формулу
т
/Т f(pq-Hc(p,q))dt
выглядящую в точности как (2.2) и (2.7)! Эвристическое рассуждение
показывает, что наивно понимаемый фейнмановский интеграл по путям
«стирает» различие между разными символами оператора эволюции. Конечно,
для того чтобы получать правильные результаты, всегда следует говорить,
какое конкретно конечномерное приближение к S(a) используется.
Задача 2.2. Найдите интегральное ядро оператора U(At).
Задача 2.3. Выведите формулу (2.9).
5.2.4. Виковский символ
Вместо переменных z и z, использованных в разделе 2.2.7 главы 2,
удобно использовать переменные а = \fTiz и а = y/fiz, которые вводят
явную зависимость от Ь в исчислении виковских символов. Пусть Н(а, а) —
виковский символ оператора Гамильтона Н. Здесь мы выведем формулу
— — ТН
для виковского символа U(a,a\T) оператора эволюции U(T) = e h

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 337
^r- -Trt a \ — — H(a,a)At
Обозначим как U(At) оператор с виковским символом е п и, как
и в предыдущем разделе, предположим, что
U(T) = lim U(At)n. (2.11)
n—>oo
Используя формулу для композиции виковских символов (см. теорему 2.2
и задачу 2.18 в разделе 2.2.7 главы 2), получаем следующее выражение для
виковского символа ип{а,а\Т) оператора U(At)n:
Un(a,a;T)= /••• [exp{±(a(an-1-a)-iH(a,an-1)At+ (2.12)
£п-\
п—1 п—1 2
+ $^(й*(а*-1 ~ ак) - гН(ак, afc_i)A£)J | JJ -^,
fc=i fc=i
где ао = «• Положив ап = а, можно переписать суммы в (2.12) как
п
^(afc(afc_i - ак) + а(ап -а)- Ш{ак, ak-i)At)
k=i
и получить
C/(a,a;T) = lim 17п(а,а;Г) =
п—юо
= lim^ / • • • / exp J - ( ^2(ak(ak-i - ak) + a(an - a)- (2.13)
Cn-l k=1
■iff(afc>afc_i)At))} JJ
n-l j2
<rak
Как и в предшествующих примерах, можно представить формулу (5.2.4)
в виде следующего фейнмановского интеграла по путям для виковского
символа:
г т 1
/£ /(taa-H(a,a))dt+-a(a(T)-a)
ШТ)=а\
\а(0)=а/

338
Глава 5
где
n-l
®а®а= lim П ^*.
fc=l
Здесь интегрирование ведется по всем комплекснозначным функциям a(t)
и a(t), удовлетворяющим граничным условиям а(0) = а и а(Т) = а и
таким, что а(£) комплексно сопряжено с a(t) при 0 < t < Т.
Замечание. Следует подчеркнуть, что в формуле (2.14)
значения а(0) и а(Т) не являются комплексно-сопряженными к фиксированным
граничным значениям а(0) = а и а(Т) = а, а скорее представляют собой
«переменные интегрирования». Это следует сравнить с формулой (1.17),
в которой граничные значения функции q(r) фиксированы, а граничные
условия функции р(т) могут меняться. Различие в том, что при t = 0 мы
фиксируем граничное значение функции a(t), тогда как при t = Т мы
фиксируем граничное значение другой функции a(t).
ттн
Замечание. Виковский символ U(a,a;—iT) оператора е h
= U(—iT) можно также представить выражением
U(a,a\—iT) = lim Un(a,a;—iT) =
п—юо
/« п
••• / exp |-(^(afc(afc_i - ак) - H(ak,ak-i)At) + (2.15)
£п-1 &=1
П-1 ,9 Л 17/--, „/- ЧЧ^, 1
Л1 ТТ ^«fc /* -й/(аа+Я(а|а))Л+йа(а(Г)-а)
+ a(an-a)Jj Ц —^ = е h° h 3?a@a,
(а(Т)=а\
\а(0)=а/
fc=l
представляющим собой так называемый евклидов интеграл по путям —
фейнмановский интеграл по путям по отношению к евклидовому времени,
который будет обсуждаться в разделе 6.2.3 главы 6. В частности, если га-
-^тн
мильтониан Н имеет чисто точечный спектр, а оператор е h — оператор
со следом, то, воспользовавшись соотношением между следом и виковски-

5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 339
ми символами (см. задачу 2.17 из раздела 2.2.7 главы 2), получаем из (5.2.4)
--ТН f -\j{aa+H{a,a))dt
Tre *IM = / е *i 9a9a, (2.16)
(а(0)=а(Т)\
\a(0)=a(T)J
где интегрирование ведется по всем комплексно-сопряженным
функциям a(t) и a(t), удовлетворяющим периодическим граничным
условиям а(0) = а(Т) и й(0) = а(Т), и
п—>оо АА 7ГД
fc=l
Действительно, из евклидовой версии равенства (2.12) мгновенно
выводится, что
TrU(At)n = \ f Un(a, a; -iT)e~^~aad2a =
тгп J
с
/Г —^ E(-afc(afc-i-afc)+^(afc.afc-i)A0 -^апап ут Cpdk
J i i
ТГП '
fc=l
где переменные интегрирования a = ao и a = an теперь комплексно-
сопряжены. Это означает, что ао = а = ап,йо = а = аП9ив пределе п —> оо
получаем формулу (2.16).
В голоморфном представлении матричный символ К (а, а; Т)
оператора эволюции играет роль пропагатора K(qf, T; q, 0) в координатном
представлении. Используя соотношение между матричными и виковскими
символами (см. лемму 2.4 в разделе 2.2.7 главы 2), получаем
/i f{iaa-H{a,a))dt+\aa{T)
eh° h ®a®a. (2.17)
(a(T)=a\
\a(0)=a/
Задача 2.4. Найдите соотношение между виковским символом
оператора эволюции и пропагатором. (Указание: воспользуйтесь аналогом
формулы (2.45) из раздела 2.2.7 главы 2.)

340
Глава 5
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического
осциллятора
На первый взгляд, фейнмановский интеграл по путям
представляется не слишком практичным. Действительно, он определяется как предел
кратных интегралов при стремлении числа интегрирований к
бесконечности, и кажется, что посчитать его очень сложно. На самом деле это не так:
фейнмановский интеграл по путям оказывается очень полезным при самых
разных расчетах, а в ряде важных случаев его можно вычислить точно.
Здесь мы рассмотрим основной пример5 — фейнмановский интеграл по
путям для гармонического осциллятора.
5.3.1. Гауссово интегрирование
Вычисление фейнмановского интеграла по путям упрощается, когда
соответствующие конечномерные интегралы можно точно посчитать для
любого п (или для достаточно большого п). Так обстоит дело в случае
важного класса гауссовых интегралов.
Лемма 3.1 (Гауссово интегрирование). Пусть А — положительно
определенная, вещественная, симметрическая матрица п х п. Имеем
ri'^^V, = ^2 >~lp'p), (3.i)
VdetA
где (, ) обозначает стандартное евклидово скалярное произведение на W1.
Доказательство.
Выделяя полный квадрат, получаем
-\{Aq, Я) + (Р, ч) = -\{A{q - A~lp), (q - А^р)) + \{А~1р,р),
так что заменой переменных q = x+A~xp интеграл сводится к стандартно-
— ( А /у» or» Л
му гауссову интегралу J e 2 ' dnx9 который вычисляется приведением
Rn
матрицы А к диагональному виду и использованием одномерного гауссова
интеграла
Г ~2V
!•
5Простейший случай свободной частицы приводит к тривиальному примеру, поскольку
рмула произведения Ли-Като-Троттера сводится к то;
ла (1.14) дает такой же ответ, что и (1.11) для любого п.
формула произведения Ли-Като-Троттера сводится к тождеству егА = (еп )п, и форму-

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 341
Формула (3.1) — один из фундаментальных математических
результатов, используемый во множестве дисциплин, от теории вероятностей до
теории чисел. Для приложений к квантовой механике необходим вариант
леммы 3.1, в котором затухающий экспоненциальный множитель заменен
на осцилирующий экспоненциальный множитель, как в (1.10).
Следствие 3.1. Пусть А — вещественная, невырожденная
симметрическая матрица п х п. Тогда
4 у/\ША\е ' { }
Rn vii
/■
где интеграл понимается в смысле обобщенных функций как lim J ,
а и — число отрицательных собственных значений А.
Доказательство.
Формула (3.2) следует из (3.1) аналитическим продолжением. Ее
также можно доказать непосредственно, выделяя полный квадрат матрицы А
и используя интегральную формулу Френеля (1.10). Существует также
комплексная версия гауссова интегрирования, которая дается следующим
аналогом леммы 3.1.
Лемма 3.2 (Гауссово интегрирование в комплексной области).
Пусть С — комплексная п х п матрица, такая, что ее эрмитова
часть -(С + С*) положительно определена. Имеем
I
сп
e-(Cz,z)+(a,z)+(*,b)d2nz = _^_ е(С->«,Ь)^ (3.3)
det С
где ( , ) обозначает стандартное эрмитово скалярное произведение на Сп,
а,Ье Сп, и d2nz = dPzx...d2zn.
Задача 3.1. Докажите лемму 3.2.
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора
Классический гармонический осциллятор с одной степенью свободы
описывается функцией Лагранжа L(q,q) = \m{q2 — uj2q2).
Соответствующий оператор Гамильтона для квантового гармонического осциллятора

342
Глава 5
дается формулой
р2 mu2Q2
Я-2^ + _Т_ •
Следующий результат — точное вычисление пропагатора K(q',t';q,t) для
гармонического осциллятора с помощью фейнмановского интеграла по
путям в конфигурационном пространстве.
Предложение 3.1. Фейнмановский интеграл по путям явно
вычисляется следующим образом:
!
Д/tf-V)^
9q =
pmtt
muj
2mTismujT
g2h sin ujT
{{q2W 2) cosuT-2qq'}
nv
гдедля^- = Ти <T < Tv+X =
tt(i/+1)
UJ
, v G N, имеем
muj
7гг tviv
' 4 ~ 2
muj
2mhsmujT \/ 2тгЦ sinшТ\
Когда T —> Tu, правая часть сходится в смысле обобщенных функций
nils nils
к е 2 S(q — qf) при четных v и к е 2 S(q + qf) — при нечетных.
Доказательство.
В этом случае (п — 1)-кратный интеграл в (1.19) является гауссовым
и точно вычисляется по формуле (3.2). А именно: у нас есть
п-1
2((<Zfc+i ~ Як)2 ~ £2<lk) = (An-iq, Я) - 2(р, q) + q2 + q' 2,
fc=0
где £ = и;At, q = (qu ..., qn-i), P = (q, 0, ..., 0, q') — векторы в Rn_1,
a An-i — следующая трехдиагональная (n — 1) x (n — 1) матрица:
An-i =
/2-е2
-1
0
0
-1
2-е2
-1
0
0
0
-1 •
2-е2 ■
0
0
• 2
0
0
0
-e2
-1
0 \
0 '
0
-1
2-е2/

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 343
Из (3.2) следует, что
Х / U - 1с—Л
Rn-1 k—1
Y27riftAt|deti4n_i| ' V ;
где v = vn-\ — число отрицательных собственных значений матрицы А~\.
Легко найти det An_i и (А^гр,р). А именно: положим ап = det Ап.
Раскладывая det An по последней строке, получаем трехчленное рекуррентное
соотношение
an+i = (2 - е2)ап - ап_ь п = О,1, 2, ..., (3.5)
с начальными условиями a_i = 0 и ао = 1. Рекуррентное соотношение
(3.5) имеет два линейно независимых решения zn и z~n, где 2 — е2 =
= z + z-1, а решение an, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
это
-71 _ 1
2 — z
Отсюда легко вывести, что собственные значения матрицы Ап даются
формулой
\к = z + z'1 - 2 cos ^т, к = 1, ..., п.
п + 1
Поскольку £ = ^-, получаем, что z = егв, где в = е + 0(п-2), и
и при достаточно большом п матрица Ап-\ имеет в точности и
отрицательных собственных значений Ти < Т < Tv+\. Для того чтобы посчитать
скалярное произведение (А~]_гр,р), нам надо лишь знать угловые
элементы обратной матрицы В = А~^_г, задаваемые формулой
an_2 sin(n - 1)0
£>ll = £>n-ln-l = т;—~ — : 2—'
an-i sin гш
r> n 1 sin пв
an-\ suit/

344
Глава 5
Таким образом, получаем
q2 + q'2-(A-}_1p,p) =
= lib (2sinf cos^^(,2 + «'2)-2sin^') .
Воспользовавшись этими формулами и переходя к пределу п —> оо в (3.4),
получаем выражение для пропагатора в случае Т ф Tv. Предел Т —> Tv
вычисляется с помощью следующей стандартной формулы из теории
обобщенных функций:
г{х-у)2 тгг
Km ——= е 2t = е 4 5(х — у).
Замечание. Из предложения 3.1 следует, что в пределе ш —> 0 пропа-
гатор гармонического осциллятора превращается в пропагатор (1.11)
свободной частицы.
Замечание. При четных v особые значения Ти — целые числа, крат-
ные периоду — гармонического осциллятора (см. раздел 1.1.5 главы 1),
так что когда t' — t = Ти, экстремаль, соединяющая q в момент времени t
и q' в момент времени £', существует, если и только если q' = q.
Соответственно, когда t' — t — Tv при нечетных i/, экстремаль, соединяющая q
и qf, существует, если и только если q' = — q. В общем случае t' — t ф Ти,
экстремаль, соединяющая q в момент времени t и q' в момент времени t\
существует для всех q и q', Целое число и — это индекс Морса
траектории q{r) — число отрицательных собственных значений соответствующего
оператора Якоби J,
J = -m-f--mu2, t^r^t',
с граничными условиями Дирихле (см. задачу 1.7 в разделе 1.1.3 главы 1).
Задача 3.2. Вычислите вейлевский, pq- и до-символы оператора
эволюции для гармонического осциллятора, используя: (а) формулу (3.2)
и представление в виде интеграла по путям из раздела 5.2; (б) формулу
(3.6) и формулы (3.12), (3.18) и (3.19) из раздела 2.3.3 главы 2.

5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора 345
Задача 3.3. Покажите, что матричный символ оператора
эволюции для гармонического осциллятора — это К{а,а\Т) = ехр{аае~ги)Т —
— ^cjT}, используя: (а) ряд (1.8) в голоморфном представлении; (Ь)
лемму 3.2 и представление в виде интеграла по путям из раздела 5.2; (с)
формулу (3.6) и результат задачи 2.4.
5.3.3. Тождество Мелера
Поучительно сравнить замкнутое выражение
для пропагатора гармонического осциллятора с рядом (1.8). Положив х =
-q9 у = J——q и воспользовавшись явной формулой для норми-
п уд
рованных собственных функций
тпи> 2
4 ГШ_ ' - —
V nTl V2nn\
соответствующих собственным значениям Еп = Ъш(п + -), где Hn(q) —
классические многочлены Эрмита-Чебышева (см. раздел 2.2.6 главы 2),
получаем ряд
ОО -*gf(,2+,'2)-i«T(n+J)
K(q',t';q,t) = J^ Yl ~ 2^1 Hn(x)Hn(y),
» n=0
сходящийся в смысле обобщенных функций. Положив z = е~ги)Т и сравнив
с (3.6), получаем формулу
± &*.тм - ^ь -р {2x,z v:2;,v} • <")
где z ф ±1, а квадратный корень в правой части понимается как в
предложении 3.1. Когда \z\ < 1, формула (3.7) — это классическое тождество
Мелера из теории многочленов Эрмита-Чебышева. Таким образом,
вычислив пропагатор гармонического осциллятора двумя разными способами, мы
получили тождество Мелера при \z\ = 1 в смысле обобщенных функций.

346
Глава 5
Формула (3.6) показывает, что пропагатор K{q' ,t'\q,t) — гладкая
функция от q,q', и Т = t' — t всегда, когда Т ф Tv, и является
сингулярным при Т = TV. Соответствующие собственные значения ОПерато-
т-г/'л \ -7ги/(п+-)
ра эволюции u{Iu) — это е 2 , так что при v четном мы имеем
U{TU) = е 2 /, и поэтому
7viv
K{q',t + Tu-q,t) = e- 2 S(q - g'),
в совершенном согласии с предложением 3.1. При нечетных г/, используя
ряд (1.8), получаем
е-тнт,
v ттт " v" ж—>
п=0
где Рп — операторы проекций на собственные подпространства С^п
гамильтониана Н. Поскольку Hn(—q) = (—l)nHn(q), в этом случае
мы имеем
K(q',t + T„;q,t) = e- 2 % + <?'),
что опять согласуется с предложением 3.1.
5.4. Гауссовы интегралы по путям
Мы уже упоминали в разделе 5.1, что в квазиклассическом
пределе % —► 0 основной вклад в пропагатор K(q,t';q,t) дается
классической траекторией qc\(T). Поэтому разумно представлять путь 7 — я(т) €
€ P(R)gj как q(r) = qc\(T) + у(т), где у (г) — квантовые флуктуации —
удовлетворяют граничным условиям Дирихле y(t) = y(t') = 0. Из
принципа наименьшего действия (см. раздел 1.1.2 главы 1) следует, что
Sfacl + У) = Sci + I /W - V"(qcl(T))y2)dT +
+ члены старшего порядка по у,

5.4. Гауссовы интегралы по путям 347
где 5С1 = S(qc\) — классическое действие. Аналогично, в случае несколысих
степеней свободы,
t'
S(Qc\ + У) = Sc\ + \ \ J(y)y dr + члены старшего порядка по у, (4.2)
t
где J — соответствующий оператор Якоби (см. задачу 1.7 из раздела 1.1.3
главы 1). Замечательно, что гауссов интеграл
\ е2П * Sly
fy(t')=o\
I 2/(0=0 /
по флуктуациям можно явно вычислить в терминах регуляризованного
детерминанта дифференциального оператора второго порядка J. Здесь мы
проделаем это вычисление для случая свободной частицы и
гармонического осциллятора и дадим другую интерпретацию формул (1.11) и (3.6) для
пропагаторов. Гауссов интеграл по путям (4.3) также играет
фундаментальную роль в квазиклассической асимптотике, которая обсуждается в
разделе 5.6.1. В общем случае формула (4.2) с членами старшего порядка по у
и гауссовым интегрированием по $у составляет основу для пертурбатив-
ного разложения пропагатора6.
5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы
Пропагатор свободной квантовой частицы — это
. im{q-q')2 ^'fn^dr
К^^'^) = ^2^Те 2ПТ = J e ^' (44)
PWtt
а соответствующая классическая траектория —
(Zci(r) = q + (т - t)^A, T = t'-t.
Это разложение в ряд по теории возмущений. — Прим. перев.
(4.3)

348
Глава 5
Используя разложение q(r) = qc\(r) + у (г), где y(t) = y{t') = 0,
мы получаем
t'
S(q) = ±Jmq2dT = Scl + S(y),
t
где
t'
m(q - q'y
?ci = \ J mq2cl
dr
2T
Полагая, что @q = @y при «замене переменных» q = qc\ + у, можно
переписать фейнмановский интеграл по путям для свободной частицы как
гт р .2
KtfJ;q,t) = e*S« J е^* %/.
fy(t')=o\
\y(t)=oj
irn{q-q')2
~SC\
Замечательным образом классическая часть еh c = е 2hT в точности
воспроизводит экспоненциальный множитель в пропагаторе для свободной
частицы. Интеграл по флуктуациям — гауссов интеграл по путям для
свободной частицы — не зависит от q и q' и, как мы знаем, совпадает с первым
множителем в (4.4).
Концептуальная интерпретация этого результата следующая. Пусть
A = -D\ D=4~
dr
— дифференциальный оператор второго порядка на интервале [t,tf],
удовлетворяющий граничным условиям Дирихле y(t) = y(tf) = 0.
Оператор А самосопряжен на L2(t,tf). Для любой вещественнозначной
абсолютно непрерывной функции у (г), удовлетворяющей граничным условиям
Дирихле и такой, что у, у € L2(t, £'), интегрируя по частям, получаем
i ъ
(Ау,у) = - yydr= / у2dr.

5.4. Гауссовы интегралы по путям
349
«Подынтегральное выражение» в множителе, отвечающем флуктуациям,
/im * .2 ,
\y(t)=oj
— это экспонента квадратичной формы оператора Див соответствии с
конечномерной формулой (3.1) естественно ожидать, что этот гауссов ин-
1
теграл по путям пропорционален (detA) 2. Конечно, проблема здесь —
понять, что имеется в виду под детерминантом дифференциального
оператора. Ясно, что его следует определить с помощью какой-то регуляризации
расходящегося бесконечного произведения П^=1 ^п> ГД£ Ап — ненулевые
собственные значения А.
Самая естественная и полезная регуляризация дается так называемой
дзета-функцией оператора. А именно, пусть А — неотрицательный
самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Ж с чисто точечным
спектром 0 ^ Ai ^ А2 ^ ..., такой, что для некоторого а > 0
оператор (А + 1)~а имеет след. Тогда дзета-функция (а($) оператора А
определяется для Re s > а следующим абсолютно сходящимся рядом:
Ап>0 Лп
Если Ca(s) допускает мероморфное продолжение на большую область,
содержащую точку s = 0, и регулярна при s = 0, то можно определить
регуляризованный детерминант оператора А формулой
det'A = exp{-^-(0)}. (4.5)
Здесь штрих над символом det показывает, что нулевые собственные
значения не включаются в определение операторной дзета-функции. В том
случае, когда 0 не является собственным значением А, принято обозначать
регуляризованный детерминант А как det А. Мы будем писать также
det'A= Y[ V
Ап>0

350
Глава 5
где штрих означает, что бесконечное произведение регуляризуется дзета-
функцией оператора. Имеем Cca(s) = c~3£a(s) при с > 0, так что
det'cA = c<:a{0) det'А,
что показывает, что £д (0) играет роль «регуляризованной масштабной
размерности» гильбертова пространства Ж (по отношению к оператору А).
Если dime Ж = п < оо и А > 0, то Са(0) = п и Са(0) = log Ai + ... +
+ log An, и мы приходим к обычному определению det A.
Такая схема работает для общего случая эллиптического оператора на
компактном многообразии М. В квантовой механике фигурируют только
детерминанты дифференциальных операторов на одномерных7
многообразиях М = [£, t'} или М = S1. Мы изучим их систематически в разделе 5.5,
тогда как здесь мы рассмотрим простейший случай оператора второй
производной А = — D2, соответствующий свободной частице. Собственные
значения А, которые нас интересуют, это Ап = I — ] ,п=1,2,...,и для
дзета-функции оператора получается
2s
&(*)=(£) \(2S),
где £(s) ~~ дзета-функция Римана. Используя классические формулы
£(0) = -± и С'(0) = -± log27r, получаем
CA(0) = -i и ^(0) = -logJ-log27r = -log2T. (4.6)
Таким образом, для оператора А = — D2 на промежутке [£, £'],
удовлетворяющего граничным условиям Дирихле, имеем
detA = 2T. (4.7)
Формула
/
гт
е2^%/ = /--^
2тггйТ
/у(*')=о\
Ь«=о/
согласуется с нашей интерпретацией, в которой гауссов интеграл про-
_i
порционален детерминанту (det А) 2. Коэффициент пропорционально-
I ТП
сти ст,% = J—— определяется из сравнения с реальным пропагатором
свободной частицы.
7Многообразия высшей размерности используются в квантовой теории поля.

5.4. Гауссовы интегралы по путям
351
Замечание. В разделе 6.3.1 главы 6 мы докажем, что для гауссовых
винеровых интегралов соответствующая константа это л / —.
V 7Ш
Задача 4.1. Покажите, что пропагатор частицы в постоянном
однородном поле / задается следующей формулой:
K(q',tf;q,t) =
i trnjq-q'f /2T31
]/ 2mhT C
(Указание: воспользуйтесь функцией Лагранжа L = ~mq2 + /g.)
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического осциллятора
Замечательно, что такая же интерпретация (с такой же
константой ст?й) верна и для гармонического осциллятора. А именно: согласно
предложению 3.1 имеем
r im К. .2 2 2ч .
pmtt
= / шгпш expf Jmu; //2 , 2) CQSu;T _ 2 а 1
V 27T2frsinu;T \2ftsmu;TVV4 * ; ™;/
Далее, разрешив классические уравнения движения с граничными
условиями q(t) = q и q(tf) = q', получаем, что при Т фТ„
Эс1
г
= f /(й - "2&т = ^Jf W + q'2) C°SШТ - 2<?,?') '
— S
так что eh с — это в точности экспоненциальный множитель в пропагато-
ре. Что касается вклада от флуктуации — гауссова интеграла по путям для
гармонического осциллятора — имеем
/
im с .2 2 2\ .
м{(У -« У )dr . m
&у =
nift det Аи'
ЫО=о\
U(0=oj

352
Глава 5
где Аи = —D2 — ил2 — дифференциальный оператор второго порядка на
интервале [£,£'], удовлетворяющий граничным условиям Дирихле. Таким
образом, для того чтобы обосновать в нашем случае интерпретацию вклада
от флуктуации в терминах регуляризованного детерминанта, необходимо
показать, что det A„ = 2si^T, когда ТфТи.
На эвристическом уровне это можно сделать с помощью
следующего красивого вычисления, восходящего к Эйлеру. А именно: собственные
значения Аш — это An(u;)= уЩ\ ~^2 (О не является собственным
значениям Аи, так как Т ф Tv), и мы имеем
detA^ = тт АяИ = тт Л _ ш2Т2\ _ smuT
detAo ДАп(0) ПД п2п2) *Т '
Поскольку det А0 = 2Г, получаем результат. Для строгого вывода
удобней рассмотреть вместо оператора Аш положительно определенный
оператор Aiu}, где ш > 0.
Лемма 4.1. Пусть А^ = — D2 + о;2 — дифференциальный оператор
второго порядка на интервале [t, tf], удовлетворяющий граничным
условиям Дирихле. Тогда _ . , _
detAiw=2sv^T
Доказательство.
Обозначая Quj(s) = C4iu,(s)> имеем при Res > ■=,
nn 2 2
СО ТУ П
Г г2 x„sdx
е т х _ =
' ' о n=1
со
2T(s)Je V{t*J
О
со
ж
ж 2w2s
где i9(x) = J3 е 7ГП ж — тета-ряд Якоби. Воспользовавшись формулой об-
ращения Якоби
г? МИ = >/*#(*), х > 0,

5.4. Гауссовы интегралы по путям
353
получаем следующее представление:
со
О
1 , ?T(S-I) , т Г^..^-^
2и2а 2^u2s-1T(s) V5FT(e) J Z?! X
(4.8)
где
oo
Ks(x)=±Je--*iu+u~l)u°<%, x>0,
0
— if-функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя
второго рода). Поскольку К3{х) = 0(е~х) при х —> оо равномерно по s € С
на компактных подмножествах, из представления (4.8) и признака Вейер-
штрасса следует, что Qu>(s) допускает мероморфное продолжение на всю
плоскость s с простыми полюсами в точках s € — ^ + Z^o-
Поскольку limsr(s) = 1, получаем равенство Сги>(0) = — J. Воспользовавшись
s—►() ^
классическими формулами
К1_(х) = К_1_(х) = ^е-* (4.9)
и Г(|) = у/п, из (4.8) получаем
^(0) = logW-WT+5:Ie-2^ =
П=1
= logw - и>Т - log(l - e-2wT),
так что

354
Глава 5
Следствие 4.1. Пусть В^ = — D2 + iuoD — дифференциальный
оператор второго порядка на интервале [t, tf], удовлетворяющий граничным
условиям Дирихле. Тогда det B2u> = det Аш.
Доказательство.
Подстановка у(т) = eluJTf(r) превращает задачу на собственные
значения В2и;У = Ху в задачу на собственные значения Аш/ = А/.
Пусть / — тождественный оператор в L2(t, tf). Помимо регуляризован-
ного детерминанта det'Л дифференциального оператора А = —D2, можно
определить так называемый характеристический детерминант А — целую
функцию det (Л — XI) на комплексной плоскости Л, все простые нули кото-
/ \2
рой — собственные значения Лп = I ^ ) .
Действительно, рассмотрим для Re(Ai — Л) > 0 дзета-функцию
со со
n=l v ' п=1
где используется главная ветвь логарифма. Как и ранее, (^a-xi(s)
абсолютно сходится при Res > ^ допускает мероморфное продолжение в
комплексную плоскость s, и регулярно при s = 0. Тогда при Re(Ai — Л) > 0
определим
det(A - XI) = П'(АП - А) = ехр { - ^^(0)},
что дает голоморфную функцию от Л. Далее, предположим, что det(A-XI)
уже определено для Re(Ajv — Л) > 0 и является голоморфной функцией. Для
того чтобы продолжить ее на область Re(Ajv+i — Л) > 0, положим
N со
det(A - XI) = Ц(Хк - Л) J]' (Лп - А),
k=\ n=N+\
где регуляризованное произведение определяется «обрезанной» дзета-
функцией
со
n=N+l ^п ~ А>

5.4. Гауссовы интегралы по путям
355
при
°>>А->
Ап - A j = ехр < -
n=iV+l
J]' (An - А) = ехр{ - -^-(0)}. (4.11)
Требуется доказать, что Ca-xi (s) допускает мероморфное продолжение
в комплексную плоскость s и регулярно при s = 0. Это делается с
помощью представления
оо 1
Ca-xi (s) = ^Щ у e #iv+i(z)z ^ + ^щ у е tfiv+i(z)z "^,
1 0
где N
tfN+iW=tf(x)-2 5]e-^-l.
n=l
Поскольку Re(An — Л) > 0 для любого п > N, первый интеграл в этой
формуле абсолютно сходится при всех s G С и определяет
голоморфную функцию. Воспользовавшись формулой обращения Якоби и
разложив e~Xx,e~XlX, ..., е~ЛууЖ в степенной ряд по х, заключаем, как и
раньше, что второй интеграл допускает мероморфное продолжение в
плоскость s с простыми полюсами в точках s G — ~ + Z^o- Поскольку
при М > N
оо д/ оо
П' (Л« -л)= П (л* -л) П' (л" - А)>
n=iV+l fc=JV+l n=M+l
det(.A — Л/) корректно определено и является целой функцией от Л,
имеющей простые нули в точках Л = Лп.
Для того чтобы получить замкнутую (и простую) формулу для
det(j4 — А/), заметим, что при Re(Ai — Л) > 0 из (4.10) следует, что
OCa-xi , ч ^ 1
(«) = «£
дХ W ^(Хп-Х)^'
Этот ряд абсолютно сходится при Res > — ^ так что при Re(Ai — Л) > 0
имеем
ТХ ^(А - XI) = -^Сл-лНО) = £ ^ (4.12)
П=1

356
Глава 5
Аналитическим продолжением доказывается, что формула (4.12) верна для
любого Л ф Ап. Поскольку Лп = ( Щ- I , имеем
^А-Лп 2v/A 2A'
так что . рг
л j.t л \т\ Sin V Ai
det(A - XI) = с ——,
vA
а сравнение формулы det(A + uj2I) = det А^ш и леммы 4.1 дает
значение с = 2. Таким образом, мы доказали следующий результат.
Лемма 4.2. Характеристический детерминант det (Л — XI)
оператора А = — D2 на интервале [£, t'}, удовлетворяющего граничным условиям
Дирихле, корректно определен и является целой функцией от А. Явно он
задается формулой
det(A - XI) = det Л J] (l - А) = 2sin v/ДГ
71=1 ^ П '
VA
Задача 4.2. Докажите формулу обращения Якоби. {указание:
используйте формулу суммирования Пуассона
со со
п= —со п= —со
где / G <У(Щ, а / — преобразование Фурье функции /.)
Задача 4.3. Докажите формулу (4.9).
Задача 4.4. Пусть
L=^(x2 + y2 + z>) + ^(xy-yx)
— лагранжиан классической частицы, движущейся в постоянном магнитном
поле В = (0,0, В). Покажите, что пропагатор соответствующей квантовой
частицы (см. пример 2.3 в разделе 2.2.4 главы 2) дается формулой
з
K(r',t';r,t) = (-m-Y -^_exp^(ii^+
K2nihTj sinuT ^2h\ T
+ucotujT[(x - x')2 Л- {у- у')2] + 2и(ху' - ух')\.
{Указание: воспользуйтесь следствием 4.1.)

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 357
5.5. Регуляризованные детерминанты дифференциальных
операторов
Здесь мы изучим характеристический детерминант det(A — XI)
оператора Штурма-Лиувилля
A = -D2+u(x), D=£,
на интервале [О, Т] с граничными условиями Дирихле или периодическими
граничными условиями, а также его обобщения на случай матриц.
5.5.1. Граничные условия Дирихле
Допустим, что и(х) Е C^QOjT^R). Оператор А самосопряжен
в L2(0,T) и имеет область определения
D(A) = {у{х) € W22(0,T) : 2/(0) = у(Т) = 0},
где W2'2(0,T) — пространство Соболева. Его спектр — чисто точечный,
с простыми собственными значениями Ai < A2 < ... < An < • • • и точкой
сгущения в оо. Кроме того, при п —> оо
Лп=^ + с + 0(п"2), где c=±fu(x)dx. (5.1)
гр2
О
Рассмотрим сперва случай А > 0. Положив
оо
П=\
имеем для Re s > -
Ш = щ/Ы№^= (5.2)
О
оо 1
= ^/wf + ^/<Wf. (5-3)

358
Глава 5
Поскольку т?а(£) = 0(e~Xlt) при t —> оо, первый интеграл в (5.3)
сходится абсолютно при всех s € С и определяет целую функцию. Используя
асимптотику (5.1) и формулу обращения Якоби, получаем при t —> О
0л(*) = \e~ct (д (j£) - l) (1 + 0(t)) = ^ + «о + 0A{t),
где
в-* = ^' ao = "i М)
и #а(£) = 0(\Д). Таким образом, для второго интеграла в (5.3) имеем
2) о
так что он допускает мероморфное продолжение в полуплоскость Res> — -
и регулярен при s = 0. Поэтому можно определить
det'A=]X\n = exp{-^(0)}.
П=1
Теперь, слово в слово повторяя рассуждения в доказательстве леммы 4.2,
видим, что при Re(Aw — А) > 0 обрезанная дзета-функция Ca-xi \s) до~
пускает мероморфное продолжение до Res > — ^ и регулярна при s = 0.
Определив регуляризованное произведение IInLiv+i(^n ~ ^) T0** же самои
формулой (4.11), видим, что
N оо
det(A - XI) = JJ(Afc - A) Ц' (An - А)
/c=l n=iV+l
является целой функцией от А с простыми нулями при Ап. Чтобы
избавиться от предположения А > 0, заменим А на А = A+(a—Ai)/ > 0, где a > 0.
Тогда8
det(A - А/) = det(i - (А + Ai - a)/),
Определение детерминанта det'A не зависит от выбора a > 0.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 359
det'A = <
( det А, если 0 не является собственным
значением А,
lim Л l det(A + А/), если 0 является собственным
значением А.
Пусть у\ (ж, Л) — решение дифференциального уравнения
второго порядка
-у" + и(х)у = \у (5.5)
на [0,Т], удовлетворяющее начальным условиям
yi(0,A) = 0, yi(0,A) = l. (5.6)
Известно, что для любого 0 ^ х ^ Г решение yi (ж, А) — целая функция
от А порядка -, и при А —> оо
j,1(x,A) = -^^ + o(|A|-1e"Ito^*). (5.7)
Целая функция d(X) = yi (Г, А) обращается в ноль на собственных
значениях Ап оператора А и имеет следующее представление в виде произведения
Адамара:
«А)-.А'П (l-£> (M)
Здесь с — константа, 6=1, если 0 — собственное значение А, и £ = О
иначе.
Теорема 5.1. Характеристический детерминант det (А — А/) дается
простой формулой
det(A - XI) = 2d(A).
Более того,
det(A - А7) = Л
det'^ а„*о
nO-t)'
чел* определяется константа в (5.8), /ся/с «с= -(— l^det'A

360
Глава 5
Доказательство.
Поскольку и та, и другая функция — целые, достаточно доказать
равенство det(A — XI) = 2d(X) для Re(Ai — А) > 0. В этом случае, используя
равенство ^
со
Сл-л/(5) = 1>)/Ъе"(Л-л/)¥т
О
при Re s > - и дифференцируя под знаком интеграла, получаем
со
О
а этот интеграл теперь абсолютно сходится при Re s > — }-. Дифференцируя
по s при s = 0, получаем
со
^Сл-л/(0) = JTre-^-^dt = Tr(A - А/)"1.
О
Из (5.1) следует, что оператор R\ = (А — А/)-1 — резольвента
оператора А — имеет след. Таким образом, все наши манипуляции вполне
обоснованы, и мы приходим к следующей очень полезной формуле:
^ logdet(A - XI) = -ТгДа, (5.9)
обобщающей известное свойство конечномерных детерминантов.
Для того чтобы вычислить след в (5.9), воспользуемся представлением
оператора R\ при А ф Хп в виде интегрального оператора с непрерывным
ядром R\{x.X) (ср. с формулой (2.21) в разделе 3.2.2 главы 3). А именно:
пусть у2(х,Х) — другое решение уравнения (5.5) с граничными
условиями у2(Т, А) = 0 и у'2(Т, А) = 1, так что
W(yuy2)(X) = у[(х,Х)у2(х,Х) - у!(х,Х)у2(х,Х) = -d(X).
Используя метод вариации произвольных постоянных, для решения
неоднородного уравнения
-у" + и(х)у = Ху + /(ж), А ф Ап,

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 361
удовлетворяющего граничным условиям Дирихле, получаем
т
у{х) = J Rx(x,Q№d£t
где
Г yi(z,A)j/2 (£>•*)
R\(x,0 = <
d(X)
d(X)
, если х ^ £,
, если x > £.
(5.10)
Поскольку Дд — оператор со следом в L2(0,T) и интегральным
ядром R\(x,£), являющимся непрерывной функцией на [0,Г] х [0,Т], его
операторный след равняется «матричному следу»:
т т
TrRx = / R\(x,x)dx = -^ТдТ / yi(x,\)y2(x, \)dx.
Последний интеграл вычисляется тем же приемом, что
использовался в доказательстве предложения 2.1 в разделе 3.2.1 главы 3. А именно:
ду
положим у (ж, Л) = -^t(xi Л) и рассмотрим следующую пару уравнений:
ил
-у'{ + и{х)ух = Xyi + 2/i,
-у%+и(х)у2 =лу2.
Умножая первое уравнение на у2(ж,Л), второе уравнение на у\{х,А) и
вычитая, получаем
2/12/2 = Ш 2/2 ~ УгУ2 = -^(^1,2/2)',
так что
1
I yi(x,\)y2(x,X)dx = - W(yi,y2)\Q . (5.11)

362
Глава 5
Эта формула верна для любых двух решений дифференциального
уравнения (5.5). Из граничных условий для решений у\ и у2 мы наконец получаем
т
j yi{x,\)y2{x,X)dx = yl{T,X). (5.12)
~ о
Таким образом, мы доказали, что для Re(Ai — А) > О,
TrRx = --^\ogd(\), (5.13)
из чего следует, что
det(A-\I) = Cd(X) (5.14)
для любого A G С и некоторой константы С.
Из (5.7) следует, что
d(-ji) = ^^(l + 0(jT2)) при /х->+оо. (5.15)
Таким образом, для того чтобы определить константу С ъ (5.14),
достаточно вычислить асимптотику выражения det(A + fil) при fi —» -foo. Имеем
оо 1
Са+„/(*) = j^y f#A{t)e-»4° f + ^J^A(t)e-^f f.
1 0
Первый интеграл — целая функция от s, производная которой
экспоненциально затухает, когда s = 0 при ц —>• -foo. Что касается второго интеграла,
мы имеем
1 1
Поскольку 1?л(0 = 0(y/t) при £ —> О, первый интеграл абсолютно сходится

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 363
при Res > —-, а его производная, когда s = О, имеет порядок 0{ц 2)
при [i —> +оо. Для остальных интегралов имеем
W а 1 \
щ!Ы+"
p—\it j.s dt
е г t -
0 V / I-.,
а ! /^
r(--|)-/e-*t-»fj +
СЮ N
T(s)- [е~Ч3^
Элементарно показывается, что производная по s этого интеграла при s =
= 0 имеет асимптотику —20га х y/Ji — а0 log/x + 0(е_/х/2) при /х —» +оо.
Используя (5.4), мы наконец получаем
det(A + ji/) = ^^(l + 0(/x 5))
при [i —> +оо, и сравнение с (5.15) дает С = 2.
Замечание. Если ноль не является собственным значением А, то
обратный оператор А"1 имеет след и
det(A-AJ) J /r х А 1ч
detA =detF(/-A^),
где detir — это детерминант Фредгольма.
Замечание. В разделе 5.6.1 мы используем теорему 5.1 для
вычисления вклада от флуктуации в квазиклассическую асимптотику пропагатора,
а в разделе 6.3.1 главы 6 — для вычисления гауссовых интегралов Винера.
Сходный результат выполняется для матричнозначных операторов
Штурма-Лиувилля, удовлетворяющих граничным условиям Дирихле.
А именно: пусть U(x) = {uij(x)}7ij=1 — С^-функция на [0,Т], имеющая
значениями вещественные, симметрические п х п матрицы, рассмотрим
A = -D2In + U(x),

364
Глава 5
где In — единичная п х п матрица. Дифференциальный оператор А,
удовлетворяющий граничным условиям Дирихле, самосопряжен в
гильбертовом пространстве L2([0,T],Cn) Сп-значных функций и имеет чисто
точечный спектр с точкой сгущения в сю. Его регуляризованныи
детерминант det'A и характеристический детерминант det(A — AJ), где 7 —
тождественный оператор в L2([0,T],Cn), определяются как и в случае п = 1.
Пусть Y (ж, А) — решение дифференциального уравнения
-Y" + U{x)Y = АУ,
удовлетворяющее начальным условиям
У(0,А) = 0, У'(0,А) = /п,
и положим D(X) = det"K(T, А). Целая функция D(X) устроена так же,
как d(A), и выполняется следующий аналог теоремы 5.1.
Предложение 5.1. Характеристический детерминант det(A — А7)
дается формулой
det(A-\I) = 2nD(\).
Более того,
det(A-XI) = s
пИ)'
det'A An*0
где 8 — это кратность собственного значения А = 0.
Задача 5.1 (Тождество следов Гельфанда-Левитана).
Докажите, что
оо \
п=1 п
«(0) + и(Т)
гдеЛ10) = (^)2ис=1/Цх)^.
1 J о

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 365
5.5.2. Периодические граничные условия
Как и в предыдущем разделе, мы предполагаем, что и(х)еС1([01 Т], R).
Оператор Штурма-Лиувилля А = — D2 + w(x) с периодическими
граничными условиями самосопряжен в L2(0,T) и имеет область определения
D(A) = (2/(x) G W2>2(0,T) : у(0) = у(Г) и у'(0) = ^(Г)}.
У него чисто точечный спектр с собственными значениями
Ао < Ai ^ Лг < ... < А2п-1 ^ ^2п < • • •
и точкой сгущения в оо. Более того, при п —► оо
Л2„-1 = ^ + с+0(п-2), Л2п = ^ + с + 0(п-2), (5.16)
где с — то же, что и в (5.1). Заменяя при необходимости А на А — (Ло + а)/
с а > 0, всегда можно предположить, что Ло > 0, и определить
оо
ад) = 5>-А-<, *>о.
71=0
Используя асимптотику (5.16), получаем, что при t —» О,
0,1(0 = е~сЧ (М) (1 + О(0) = ^ + O(Vt),
Т
где a_i = —-=, как в (5.4), но ао = 0. Это позволяет определить
регуляризованный детерминант det'А и характеристический
детерминант det (А — XI) точно так же, как в предыдущем разделе.
Поскольку ао = О, мы теперь получаем, что при ji —> -foo
det(A + ц1) = е^т (l + 0(aa"5)) (5.17)
(см. конец доказательства теоремы 5.1).
Здесь мы обозначим9 как у\(х, А) и 2/2(^, А) решения уравнения
Штурма-Лиувилля (5.5), удовлетворяющие начальным условиям t/i(0, Л) = 1,
9Не должно возникать путаницы с обозначениями из предыдущего раздела.

366
Глава 5
г/i(О, А) = О и 7/2(0, Л) = 0, у'2{0,Х) = 1. Решения у\ и т/2 линейно
независимы для всех Л, и матрица
Y(x,X)=№X^\ »?J*'^
v ; \уЛх,\) 2/2 (ж, А)/
удовлетворяет начальному условию У(0, А) = /г» гДе h — единичная 2x2
матрица, и обладает свойством det У (я, А) = 1. Для фиксированного х
матрица У (ж, А) — целая матричнозначная функция от А со следующей
асимптотикой при А —» сю:
(cos у/Хх —— sin у/Хх \ / , , ID /г, л
v/A (/2 + 0(|A|-1elRe^J. (5.18)
y/X sin \/Аж cos л/Ая /
По определению матрица монодромии периодической задачи
Штурма -Лиувилля — это матрица
Г(А) = Г(Т,А).
Матрица монодромии удовлетворяет условию detT(A) = 1 и является
целой матричнозначной функцией. Следующий результат — аналог
теоремы 5.1 для периодических граничных условий.
Теорема 5.2. Имеем
det(A - XI) = -det2(T(A) - /2) = У1(Т, А) + j/2(T, A) - 2,
где det2 — детерминант матрицы 2x2. Более того,
det(A - XI) = s
n('-t)'
det'^ а„#о
где {Xn}^LQ — собственные значения оператора А, а0^5^2 —
кратность собственного значения X = 0.
Доказательство.
Доказательство близко следует доказательству теоремы 5.1, и мы
будем предполагать, что А > 0. Во-первых, в точной аналогии с (5.9) мы
получаем, что при А Ф Хп
^logdet(A-A/) = -Tr.RA,

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 367
где R\ = (А — Л/)-1. Чтобы получить замкнутое выражение для
интегрального ядра Я(я,£) оператора R\, воспользуемся тем же методом вариации
произвольных постоянных, что и в предыдущем разделе, но теперь для
периодических граничных условий. В результате получаем, что
симметрическое, непрерывное ядро R\(x,£) дается для х ^ £ формулой
Да(*,0 = - Ы*, А),у2(х, А)) (Г(А) - h)-lT{\) (^(t А)) =
= -lira {(Г(А) - h)-lT{X)Z{x^\)} ,
где Т>2 в последней формуле — матричный след, а
7(„ с. \\ _ ( У\{х,л)у2{^\) У2{?,\)у2{£,\)\
^х^Х) - {-yi{XiX)yi^\) -у2{х,\)У1&\)) '
т
Как и в доказательстве теоремы 5.1, нам надо посчитать J Z(x, x\ X)dx.
о
Из формулы (5.11) и определения матрицы монодромии мгновенно
следует, что
т
I
Z{x,x; X)dx = Г_1(А)-^-Г(А).
ил
Поэтому
^logdet(A-XI) = Tr2 ((Т(\) - I2)-!JLt(\)\ = ^logdet2(T(A)-/2)
и det(A — XI) = Cdet2(T(A) — /2). Чтобы определить константу С,
положим А = — /х —> +оо и сравним асимптотику (5.17) с асимптотикой
_1
det2(T(-/i) - J2) = 2 - ТгГ(-/х) = 2 - 2cosh v7ZT(l + 0(/х 2)) =
= -е^(1 + 0(м~Ь),
следующей из (5.18). Таким образом, С = —1.
Замечание. В разделе 6.3.2 главы 6 мы воспользуемся теоремой 5.2
для вычисления гауссовых интегралов Винера по пространству петель.

368
Глава 5
В частном случае и(х) = О имеем
2/1 (ж, А) = cos у/Хх и 2/2 (ж, А) = sin Ж,
vA
так что /г-
det(-L>2 - А/) = 2(со8\/АГ - 1) = -4 sin2 ^L. (5.19)
Положив А = —о;2 < 0, получаем для оператора Aiu) = — D2 + о;2, что
detA^=4sinh2^, (5.20)
а также
det'A0 = - hm Ц = lim ^ = Т2. (5.21)
Замечание. Используя тот факт, что спектр А^ состоит из двой-
(27гп\2
-=- J , п = 1,2, ..., и простого
собственного значения о;2, можно вывести формулы (5.20)-(5.21)
непосредственно, как мы сделали в разделе 5.4.2 для граничных условий Дирихле.
Имеется также аналог эвристического вычисления в разделе 5.4.2:
Похожий результат выполняется для дифференциального оператора
второго порядка общего вида А = —D2+v(x)D + u(x) на интервале [0, Т]
с периодическими граничными условиями. А именно: повторив
доказательство теоремы 5.2, имеем следующее.
Теорема 5.3. Для дифференциального оператора А = —D2 + v{x)D +
+ и(х) выполняется свойство
1 т
det(A- XI) = -e~2°V{X)dXdet2(T(X) - /2) =
I т т
— - J v{x)dx / f v(x)dx\
= e г 0 tm > x / ,„ > x .
(У1(Г,А)+^(Г,А)-1-ео ),
где решения t/i,2(#> А) и матрица монодромии Т(А) определены теми эюе
формулами, что и в случае v(x) = 0.
В частности, следующий результат будет использоваться в
разделе 8.2.2 главы 8.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 369
Следствие 5.4.
detf(-D2 + u>D) = Щ- sinh ^.
Доказательство.
Доказательство состоит в элементарном вычислении с использованием
теоремы 5.3 явного вида решений у\^(я, Л) и формулы
л и тл2 ™ I- det(-D2+u;D-A/)
det'(-D2 +u>D) = - lim - -.
Замечание. Поскольку оператор —D2+ujD на [О, Т] с
периодическими граничными условиями имеет простые собственные значения Лп(а) =
(2тгп\2 • /27гг?\
-— J + iuj ( -— J,n = —оо, ...,оо, можно также повторить
эвристическое вычисление в разделе 5.4.2:
det'(-D2+u>D) = тт / и£г?
det'(-£»2) J^V 4тг2п:
fi('^)-^-bbf-
Похожий результат выполняется для матричнозначного оператора
Штурма-Лиувилля с периодическими граничными условиями. А именно:
пусть U{x) = {uij(x)}2j=1 — С^-функция на [0,Т], имеющая значениями
вещественные, симметрические п х п матрицы, и рассмотрим оператор
A = -D2In + U(x).
Дифференциальный оператор А с периодическими граничными
условиями самосопряжен в гильбертовом пространстве L2([0,T],Cn) Сп-значных
функций и имеет чисто точечный спектр с точкой сгущения в оо. Его
регуляризованный детерминант det'А и характеристический
детерминант det (А — AJ), где I — это тождественный оператор в L2([0,T],Cn),
определяются так же, как для случая п = 1. Пусть УЦж, А) и У^(ж, А) —
решения дифференциального уравнения
-У" + U{x)Y = АУ,
удовлетворяющие соответственно начальным условиям
Ц(0,А) = /п, У/(0,А) = 0 и У2(0,А) = 0, У2'(0,А) = /П.

370
Глава 5
Матрица монодромии Т(Л) определяется как следующая блочная 2n x 2п
матрица:
тт_Л1(т,А) ^(Т.ЛЛ
1^>~{y{(t,x) y2'(r,A)J'
и является матричнозначной целой функцией. Аналог теоремы 5.2 —
следующее утверждение.
Предложение 5.2. Характеристический детерминант дается
формулой
det(A - Л7) = (-l)ndet2n(T(A) - /2п),
где det2n — детерминант 2п х 2п матрицы, и
det(A - XI)
-<-*аыу
det'A хпфо
где 8 — кратность собственного значения Л = 0.
ЗАДАЧА 5.2. Докажите теорему 5.3.
Задача 5.3. Выведите следствие 5.4.
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка
Здесь мы по-прежнему предполагаем, что и(х) е C^QOjTJjR), и
рассматриваем дифференциальный оператор первого порядка
А = D + и{х)
на интервале [0,Т] с периодическими граничными условиями у(0) = у(Т).
Уравнение
у' + гх(ж)2/ = \у
X
Xx—J и(т)с1т
имеет явное решение у(х) = Се ° , периодическое, если и только
если Л = Ап, где
т
\п = и0 + ^^, neZ, и ио = — I u(x)dx.
о
Таким образом, спектр оператора А совпадает со спектром
оператора А0 = D + и0.

5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 371
Предложение 5.3. При щ > О
det(D + и(х)) = 1 - е~и°т
и det'D = Т при щ = 0.
Доказательство.
Дзета-функция оператора А с щ > 0 дается рядом
п=-со Л^
где Х~3 = e-sl°gAn c главной ветвью логарифма. Этот ряд абсолютно
сходится при Res > 1. Введя дзета-функцию Гурвица
оо
n=0 v '
где Re а > 0 и Res > 1, можно переписать Ca{s) как
Ы*)=[т) (е"2 С(5,а)+е2 C(s,a)) + i, а = 1 - Щ^г.
Хорошо известно, что дзета-функция Гурвица допускает мероморфное
продолжение на всю плоскость s с одним простым полюсом в точке s = 1
с вычетом 1, и
ds
С помощью классической формулы
С(0, а) = | - а, -± (0, а) = log Г (а) - \ log 2тг.
Г(1 + г)Г(1 - 2) =
7Г2
81П7Гг
получаем
^(0) = log|r(a)|2-logUoT+^ =
UpT _U0T T
. =-log(e 2 -е 2 ) + Ц±,
так что det(D + и(х)) = 1 — е~и°т. Наконец, Cd(s) = lim (Ca(s) — uoS),
ио—>0
и мы получаем
det^=limdet^ + "0)=r.

372
Глава 5
Замечание. Для ^о < О надо использовать ветвь логарифма с
разрезом по положительной полуоси, и из приведенных выше рассуждений
следует, что
det(D + и(х)) = 1 - еиоТ.
Замечание. Можно также рассмотреть оператор А = D + и(х) на
интервале [О, Т] с антипериодическими граничными условиями у(0) = —
—у(Т). Соответствующие собственные значения — это
тгг(2п+1)
лп = и0-{ - , neZ,
и переход от периодических граничных условий к антипериодическим
сводится к замене ^о на ^о + Щ- Из предложения 5.3 следует, что при ^о > О
det(D + и{х)) = 1 + е-иоТ.
Замечание. Предложение 5.3 очень полезно при вычислении
гауссовых интегралов по путям в голоморфном представлении, обсуждавшемся
в разделе 5.2.4. В качестве примера рассмотрим гармонический
осциллятор с виковским символом Н(а, а) = uj{aa + -Ъ). Формула (2.16) выража-
ет след Ire n в виде интеграла по путям в голоморфном
представлении. С другой стороны, используя явный вид собственных значений Еп =
= uj%(n + т>), мы мгновенно получаем
1 оо 1 -~и>Т
е
1-е-«т о^ьуГ
n=o l e 2sinh
Сравнив с (2.16), приходим к формуле
1 т _
/—— {{aa+u>aa)dt л
е по @а®а=—-± -, (5.22)
det(D+w)
(а(0)=а(Т)\
\а(0)=а(Т)/
которую следует рассматривать как специальный аналог конечномерного
гауссова интегрирования в комплексной области — формулы (3.3).
Задача 5.4. Дайте прямое доказательство формулы (5.22).

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
373
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
Здесь мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику —
асимптотику пропагатора10 K^q',t'\q,t) при ^г —?► 0. Мы сравним эвристический
метод, основанный на представлении в виде фейнмановского интеграла по
путям (1.26), со строгим анализом, основанным на коротковолновой
асимптотике, выведенной в разделе 3.6.1 главы 3.
5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям
Начнем с лагранжиана L(q, q) = ^mq2 — V(q) для классической
частицы с одной степенью свободы. Пропагатор Krl(q,,t,;q,t) дается фейн-
мановским интегралом по путям (1.20), и мы формально применим
метод стационарной фазы для исследования его поведения при Ti —> 0. Как
и в разделе 5.4, мы предположим, что имеется единственная классическая
траектория #ci(t), соединяющая точки q и q' в моменты времени t и t\
положим q(r) = qc\(r) + у(т) и рассмотрим разложение (4.1), т. е.
г'
S(q) = 5d + \m J (у2 - u(T)y2)dT + 0(у%
t
гдеи(г) = ^К"(дс1(г)),и
t'
Sci = J{\™& - V(qc]))dr = S(q', t'; q, t).
t
Согласно методу стационарной фазы (см. раздел 2.2.3 главы 2) основной
вклад в фейнмановский интеграл (1.20) при ^ —^ 0 приходит от
критической точки функционала действия — классической траектории qc\(T). Таким
образом, мы получаем при Ть —> 0
i. о . Г 77? f(y2-u(r)y2)dr
Kh{q\t'-q,t)^ebS« J e2hJ< ®y =
fv(t')=o\
U(*)=oj
10Здесь зависимость от постоянной Планка Тг вводится явным образом.

374
Глава 5
Здесь А — это соответствующий оператор Якоби — дифференциальный
оператор второго порядка — D2 — и(т) на интервале [t,tf], удовлетворяющий
граничным условиям Дирихле. (Мы предполагаем, что потенциал V(q)
достаточно гладок, так что и(т) G Cl([t,t']).) Формула (6.1) —
замечательно простое выражение, показывающее глубокую связь между
квазиклассической асимптотикой квантово-механического пропагатора и классическим
движением.
Замечание. При и(т) = f^Vff (qc\(r)) регуляризованный
детерминант дифференциального оператора А = —D2 — и{т) на интервале [t,t'],
удовлетворяющего граничным условиям Дирихле, можно выразить
полностью в терминах классической траектории qc\(T). А именно:
дифференцируя уравнение Ньютона
mq = -V'(q) (6.2)
по отношению к т, мы находим, что функция у (г) = 4с\(т) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Ау = 0. Когда y(t) = qc\(t) = 0, функция11
( \ у^
Ш = Ш
удовлетворяет начальному условию (5.6) (где интервал [0, Т] заменен
интервалом [t, tf]). Согласно теореме 5.1 в этом случае мы имеем
det А = 2У1(0 = -2™^Т (6-3)
Чтобы найти решение у\{т) дифференциального уравнения Ау = 0 для
случая y(t) Ф 0, заметим, что вронскиан у\у — уу\ двух его решений
постоянен на [t, tf]. Используя (5.6), получаем
УгУ ~ УУ\ = y(t),
а решив это дифференциальное уравнение, —
2/1 (т) = y(r)y(t) I
y\s)
Таким образом, мы получили формулу
t'
det A = 2y(t)y(t') f -^- y(r) = qcl(T), (6.4)
J У (т)
выражающую осциллирующий множитель в квазиклассической
асимптотике пропагатора в терминах классического движения.
11 Здесь мы предполагаем, что y(t) Ф 0, так что V'{q) ф 0.

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
375
Аналогично для случая п степеней свободы, когда
L = \mq2 - V(q),
и V(q) e C3(Rn,R), мы получаем
при % —» 0, где А = —D2 — U(r) и
"М-0<*.М)-{^(*.М)Г •
5.6.2. Строгий вывод
Пусть Kh(q,q',i) — фундаментальное решение уравнения Шрёдин-
гера — решение задачи Коши (1.3) и (1.5). Поскольку K%(q'\t';q,i) =
= K%(q',q,T), где Т = t' — t, нам надо найти асимптотику
фундаментального решения K^q.q'.T) при ^ —?► 0. Решение этой задачи можно
разделить на две части.
1. Найти коротковолновую асимптотику — асимптотику при ^г —>► 0
решения фп^, Т) задачи Коши для уравнения Шрёдингера
..дф П2 д2ф __, , ,
с начальным условием
— ( \
^n(q,t)\t=0 = 4>(q)en3q ,
где s(q),ip(q) G C°°(R,R), и амплитуда ip(q) имеет компактный
носитель.
2. Используя представление
со
«<'-•>-ш/
¥>(«) /" Г«9-«о)
е**" w,d£,
— СО
где у? имеет компактный носитель и удовлетворяет условию ip(qo) = 1,
выразить K^Q^qo^T) в виде интеграла по d£ решений
уравнения Шрёдингера с начальной амплитудой ip(q) и начальной
фазой s(q, £) — £(q — qo). Используя асимптотику из части 1, вычислить
получившийся интеграл методом стационарной фазы при Ъ, —> 0.

376
Глава 5
Первую задачу мы решили в разделе 3.6.1 главы 3, так что сразу
перейдем ко второй. Для фиксированного £ пусть ^й(#, £;£) — решение
уравнения Шрёдингера с начальной амплитудой cp(q) и начальной
фазой s(q) = £(q — qo). По принципу суперпозиции
оо
Kn(Q, q0, Г) = ^ / MQ, Т; 0#- (6.6)
Пусть 7(£; <7> О — классическая траектория, решение уравнения
Ньютона (6.2) с начальными условиями
7(О;д,О = 0 « 7(0;д,0 = ш- (6J)
Как и в разделе 1.2.3 главы 1, мы предполагаем здесь, что
отображение q ь-> Q = 7(Г; #, £) — диффеоморфизм, и обозначаем соответствующую
обратную функцию как q = q(£, Q):
4(T;qfoQU) = Q. (6.8)
Асимптотика ^(Q, T;f) при ft —» 0 дается формулой (6.13) из
раздела 3.6.1 главы 3, где p(q) = ^- = £, так что характеристика,
заканчивающаяся в точке Q, имеет начальный импульс £ и начальную
координату Q ~ #(£> Q)- Подставляя это выражение в (6.6), получаем
ос I
— СХ)
xexp||(5(Q,^,Q);T) + e(^,Q)-9o))}^.
Для того чтобы применить метод стационарной фазы к этому интегралу,
надо найти критические точки функции S(Q, #(£, Q); Т) + £(#(£, Q) — qo).
Воспользовавшись формулой

5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
377
следующей из предложения 2.2 в разделе 1.2.3 главы 1, получаем
щ (S(Q, <?(£, Q); Т) + £(«,(£, Q) - д0)) =
= -е||(С, Q) + <?(£, Q)~qo + ф^, Q) = q% Q) - <7о,
так что единственная критическая точка £о определяется из
уравнения g(£o, Q) = <7о- Префактор в методе стационарной фазы дается формулой
<^Ы
^(T;q0^0)^(^Q)
которую можно упростить с помощью равенства ip(qo) = 1 и уравнения
0f dq d£ '
следующего из (6.8). Таким образом, окончательное выражение для
квазиклассической асимптотики — это
Kn(Q,q0;T)~
л/2тгИг
её
(T;q0,to)
2 1
S(Q,qo;T)
(6.9)
Замечательно, что формула (6.9) при отождествлении Q = qf и qo = q
совпадает с формулой (6.1)! Действительно, в них фигурируют одинаковые
экспоненциальные множители, а равенство соответствующих префакторов
следует из следующего результата.
Лемма 6.1. Пусть j(t; q, £) — классическая траектория с начальными
условиями (6.7). Тогда
|(r;,,0 = ^detA
(6.10)
где А — дифференциальный оператор —D2 — u(t) на интервале [0, Т], удо-
влетворяющии граничным условиям Дирихле, и u(t) = -
т

378
Глава 5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
#7/
Дифференцируя уравнение (6.2) по £, получаем, что y(t) = -^(t', q, f)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
rny = -V"fr(t,q,£))y,
так что Ау = 0. Дифференцируя начальные условия (6.7) по £, получаем
У(0) = 0 и у=±,
так что по теореме 5.1 det A = 2ту(Т).
Замечание. Можно получить другую замечательную формулу для
до
префактора в представлении (6.9). А именно: дифференцируя -k~(Q, Q] T)=
=—£ по Q, получаем
d2S
К
dqdQ
где Q = 7(^5 #> О- Таким образом, (6.9) можно переписать полностью
в терминах классического действия
Kn(Q,qo;T)
\j2mb
d2s
dqdQ
(Q,qd;T)
^S(Q,q0;T)
(6.11)
Замечание. Когда предположения из раздела 1.2.3 главы 1 не
выполняются, существует несколько характеристик, соединяющих точки qo и Q,
и ситуация становится сложней. В этом случаем мы имеем
1
tfn(Q,<fo,T)~£
1
y/2mh
$7
её
(T;<Zo,&)
^s(Q,q0^;T)--H
где fj — начальный импульс, a fij — индекс Морса
характеристики 7(£; %, £j) (см- раздел 3.6.1 главы 3).
Случай п степеней свободы рассматривается аналогично. Используя
коротковолновую асимптотику (6.14) из раздела 3.6.1 главы 3, получаем,
что при ^ —>► 0
Kh(Q,q0:T)~(27rih) 2
где Q = 7(*»9о,£о).
det
(6Q
(<Z<
'о,6))
j-S(Q,q0;T)
(6.12)

5.7. Замечания и ссылки
379
С помощью уравнения
можно переписать (6.12) как
*j=i
Kh(Q,q0;T)~(2niTi) 2
det(^(Q'9°;r)
1
2e^(Q,q0;T)e
<92S
Здесь det „ ^ _ известно под названием детерминанта ван Флека.
oqdQ
Задача 6.1. Обоснуйте вычисления в этом разделе.
5.7. Замечания и ссылки
Подход к квантовой механике, основанный на интегралах по путям,
разработал Фейнман в своей принстонской диссертации 1942 г.,
опубликованной в [Fey48]. В дополнение к классическому тексту [FH65] —
лучшему введению в фейнмановские интегралы по путям в конфигурационном
пространстве, написанному с физической точки зрения, — мы отсылаем
читателя к современному учебнику [DR01]. Фейнмановский интеграл по
путям в фазовом пространстве ввели Фейнман [Fey51] в 1951 г. и Тобок-
ман [ТоЬ56] в 1956 г. Сегодня это очень полезный метод квантовой
теории поля (см., например, лезушские лекции Фаддеева [Fad76] и
монографию [Сла88с]). Наш вывод фейнмановского интеграла в разделе 5.1
стандартен и следует монографии [RS75], содержащей также полное
доказательство формулы Като - Ли - Троттера. Как упоминалось в разделе 5.1, при
таком подходе сходимость конечномерных приближений, таких как (1.15)
и (1.23), к пропагатору устанавливается только в смысле L2. Мы отсылаем
читателя к статье [Fuj80] за доказательством сходимости в других
топологиях функциональных пространств и к монографии [АНК76] за строгим
определением фейнмановского интеграла по путям как бесконечномерного
интеграла Френеля.
В разделе 5.2 мы следуем схеме из [Бер71а] и [Fad76,Cjia88c] и строго
выводим формулы (2.1) и (2.6) для pq- и до-символов оператора эволюции
с помощью явных соотношений между символами и пропагатором.
Однако, соответствующие формулы (2.9) и (5.2.4) для вейлевских и виковских
символов оператора эволюции выводятся только эвристически.
Подчеркивалось уже в [Бер71а], что в этом случае необходимо обосновать
формулы (2.8) и (2.11). Эта нетривиальная задача была лишь недавно решена

380
Глава 5
в [Dyn98] для большого класса символов, и мы ссылаемся на эту статью
для дальнейших подробностей и ссылок. Однако, следуя [Fad76], [Сла88с],
мы аккуратно разбираемся с граничными условиями для виковского
символа, выводя правильное выражение (2.14) (а не формулу в [Бер71а]).
Материал раздела 5.3 — стандартный, и в нашем изложении сделан особый упор
на детали вычисления, связанные с индексом Морса. Формула для пропага-
тора гармонического осциллятора в предложении 3.1 называется формулой
Фейнмана-Сурио в [DR01]. Связь между формулой (3.6) для пропагатора
гармонического осциллятора и тождеством Мелера для многочленов Эр-
мита-Чебышева была установлена в [FH65]. За ответом к задаче 3.2 мы
отсылаем читателя к [Бер71 а] (где надо исправить опечатки), а за изящным
эвристическим решением задачи 3.3 — к [Сла88с].
Помимо своего концептуального значения, формализм интегралов по
путям важен как очень удобное вычислительное средство, так как он
позволяет использовать — хоть и на эвристическом уровне, — такие методы
конечномерного интегрирования, как замену переменных, интегрирование
по частям и приближение стационарной фазы. Существует обширная
литература, посвященная приложениям фейнмановского интегрирования по
путям к квантовой физике. Мы упомянем лишь пертурбативное разложение
пропагатора с помощью диаграмм Фейнмана [FH65], являющееся сегодня
главным вычислительным методом квантовой механики и квантовой теории
поля (см. также лекции [Kaz99] с математически строгим разбором
конечномерного примера). Для дальнейших приложений см. монографию [DR01]
и цитируемую там литературу.
Идея вычислять гауссовы интегралы по путям с помощью
раздельного вычисления классического вклада и вклада от флуктуации восходит
к работе [FH65], и задачи 4.1 и 4.4 брались из этого источника. В
разделе 5.4 мы подчеркнули роль регуляризованных дзета-функцией
детерминантов дифференциальных операторов, рассмотрев простейший пример
оператора А = —D2. Мы отсылаем читателя к учебнику [Аро76] за
основными свойствами дзета-функции Римана. Наше доказательство леммы 4.1
можно рассматривать как упрощенный одномерный аналог вывода
первой предельной формулы Кронекера, приведенной в [Lan87]. Для случая
операторов Лапласа на компактных римановых многообразиях
определение (4.5) регуляризованного детерминанта deb'А (под названием
аналитическое кручение) было дано в [RS71], а дзета-функция оператора Сл(^)
вводилась в [МР49]. Похожее понятие детерминанта возмущения восходит
к М. Г. Крейну [Кре62]; согласно задаче 2.6 из раздела 3.2.2 главы 3,
коэффициент перехода а(у/\) — это детерминант возмущения оператора H — XI,
где Н — одномерный оператор Шрёдингера. Заметим также, что регуля-

5.7. Замечания и ссылки
381
ризованные детерминанты дифференциальных операторов многократно
использовались в квантовой теории поля. Соответствующее определение дали
В. А. Фок в 1937 г. и Дж. Швингер в 1951 г., оно сходно с (4.5). В настоящее
время оно известно [IZ80] как метод собственного времени Фока-Швин-
гера.
В общем случае доказательство существования мероморфного
продолжения дзета-функции Сл(^) оператора А и его регулярности при s = 0
использует теорию комплексных степеней A~s, разработанную в [See67] (или
коротковолновую асимптотику t —> 0 выражения Tre~At — следа ядра
теплопроводности оператора А, — когда оператор А неотрицателен [GH95]).
В разделе 5.5 мы используем элементарный подход к коротковолновой
асимптотике ядра теплопроводности, основанный на асимптотике при
больших п собственных значений соответствующих граничных задач Штурма-
Лиувилля. В монографии [Лев88а] содержатся все факты, использованные
в разделах 5.5.1 и 5.5.2. Коэффициенты а_\ иао в формуле (5.4) и их
аналоги в периодическом случае называются коэффициентами Сили.
Наше доказательство ключевого соотношения (5.13) и его аналога для
периодического случая использует тождества вронскиана (5.11) и восходит
к статьям [Фад57], [БусбО] о тождествах следов для одномерных операторов
Шрёдингера (см. также задачу 2.6 в разделе 3.2.2 главы 3). Теорему о том,
что «операторный след равен матричному», использовавшуюся в разделах
5.5.1 и 5.5.2, также как и свойства определителя Фредгольма, можно найти
в классической монографии [ГК69]. Задача 5.1 — тождество следов Гель-
фанда - Левитана — взята из статьи [Гел53] (см. также [Дик58] для
обобщений). Свойства дзета-функции Гурвица, использованные в разделе 5.5.3,
доказываются в [Аро76]. За общим подходом к характеристическим
детерминантам дифференциальных операторов n-го порядка с матричными
коэффициентами на интервале, удовлетворяющих граничным условиям
Дирихле или периодическим граничным условиям, мы отсылаем читателя
k[BFK91,BFK95].
Наше изложение в разделе 5.6 следует [GS77] с учетом
упрощений, возникающих при рассмотрении случая одной степени свободы.
Лемма 6.1 устанавливает эквивалентность эвристического подхода в
разделе 5.6.1, использующего интегралы по путям, и строгого подхода в
разделе 5.6.2, использующего коротковолновую асимптотику. Мы отсылаем
читателя к [GS77] и [Мас76а] за деталями. Также см. [Фок76Ь] для
соотношения между детерминантом ван Флека и каноническими преобразованиями
в классической механике и [DR01] для примеров.

Глава 6
Интегрирование в функциональных
пространствах
В предыдущей главе мы изучали пропагатор K(q', t; q, 0) — интеграль-
_±tH
ное ядро оператора эволюции U(t) = e h , — используя представление
в виде фейнмановских интегралов по путям. Здесь мы заменим физическое
время t евклидовым — it и изучим интегральное ядро полугруппы е п
при t > 0, используя представление интегралами Винера.
6.1. Гауссовы меры
В этой главе мы рассматриваем простейшие примеры гауссовых мер,
которые естественно определяются на конечномерных и
бесконечномерных векторных пространствах и используются во многих областях анализа
и теории вероятностей. Основной результат о гауссовом интегрировании —
теорема Вика — представляет собой главный инструмент для пертурбатив-
ного разложения в квантовой механике и квантовой теории поля, удобно
выражаемый в виде диаграмм Фейнмана.
6.1.1. Конечномерный случай
Пусть А — положительно определенная, вещественная,
симметрическая п х п матрица. Основная формула гауссова интегрирования — это
/■
■^'WS
(см. лемму 3.1 в разделе 5.3.1 главы 5). Соответствующая гауссова мера,
связанная с матрицей А, это вероятностная мера jia на Rn, определенная

6.1. Гауссовы меры
383
формулой
«9)=JWe~hA4,4)dnq- (1-2)
Мера lla — это вероятностная мера на Rn с нулевым средним и ковариацией
G = А~х. Когда А = 1п — единичная пхп матрица, соответствующая мера
обозначается iin.
Как следует из леммы 3.1 в разделе 5.3.1 главы 5,
/
e^d^A(q) = e^Gp'P\ (1.3)
и, продолжая аналитически,
[ei{p>q)diiA(q) = Um / ei{p>q)diiA(q) = e 2^G™\ (L4)
J R-^oo J
кп WqHR
— — --(G )
Функция (27г) 2 е 2 — преобразование Фурье меры lla-
I
Теорема 1.1 (Теорема Вика).
{уъд)...(ум,д)(1ь1А(д) =
JO, N нечетно,
\E(Gvu, vi2)... (G^^,^), N четно,
где суммирование ведется по всем возможным спариваниям (21,22), ...,
(z'jv-i, 2'iv) — всем разбиениям на пары множества {1,2, ..., N}.
Доказательство.
Применяя к (1.3) производную по направлению вдоль вектора vSRn —
дифференциальный оператор
п
dp ;£rj дрк
(дифференцирование под знаком интеграла, очевидно, законно), получаем
/
(«,g)e<™>d/M(g) = (Gv,p)e*{Gp'p). (1.5)

384
Глава 6
Положив здесь р = О, получаем
{v,q)dfiA{q) =0,
тогда как применив к (1.5) другой оператор dv> и положив после
этого р = 0, получим
J(v,q)(v',q)dtiA(q) = (Gv,v'). (1.6)
В общем случае продифференцируем (1.3) N раз вдоль векторов v\, ..., vn
и положим р = 0.
Задача 1.1. Пусть Vi.Wj e Rn такие что (Av{,Wj) = 0, г,^ =
= 1, ...,iV, и пусть F и Н — ограниченные измеримые функции
на RN. Покажите, что функции f(q) = F((v\,q), ..., {vN,q)) и /i(g) =
= H((w\,q), ..., (гудг, q)) удовлетворяют соотношению
/ f(Q)h{q)diiA{q) = / f{q)dfiA{q) / h(q)dfiA{q)-
6.1.2. Бесконечномерный случай
Пусть У = R°° — декартово произведение счетного числа копий R,
снабженное топологией Тихонова, и пусть
Ж = £2(Ш) = lx = {Xi}^ e У : |И|2 = Y^xf < оо I
— вещественное гильбертово пространство со скалярным
произведенное
ем (х, у) = J2 хгУг- В частности, гильбертово пространство Ж содержит
г=1
все элементы с конечным носителем: элементы х Е У, такие что Х{ = О
при достаточно больших г.
Гауссова мера fi на У определяется как прямое произведение
гауссовых мер ц\\
V = А*оо = A*i x A*i х • • • х /xi х • • • .

6.1. Гауссовы меры
385
Точнее, мера [i определяется так. Пусть ^ — множество цилиндрических
подмножеств У\ С € ^, если С = р~х(Е\ х ... х Еп) для некоторого п,
где рп : У —► Rn — это проекция декартова произведения на первые п
сомножителей, a^i, ..., Еп — борелевские подмножества R. Тогда положим
^(C) = Aii(£7i)...^i(£7n)
и продолжим II на всю порождаемую ^ сг-алгебру с помощью теоремы
Колмогорова о продолжении меры. В частности, если F(x) = f(xi,...,xn),
где / — ограниченная измеримая функция на Rn, то
J Fdp = Jfdfin. (1.7)
У Rn
Эквивалентным образом гауссова мера ji характеризуется следующим
свойством.
Лемма 1.1. Мера [i — единственная вероятностная мера на У, такая,
что для любого v € У с конечным носителем
I
ei^dfi(x)=e-12M\
Доказательство.
Доказательство мгновенно следует из (1.4), поскольку меры [in
однозначно определяются своими преобразованиями Фурье.
Замечание. Гауссову меру fi эвристически можно представить в
виде
1 2 °°
^ = (27г)-°°е~21И| Y[dXi.
г=1
4н*н
Здесь «расходящееся к 0» произведение (2тг) °°е 2 компенсирует
«расходящееся к сю» произведение П^1 dxi-
Далее, для а = {с^} € У пусть
?40
= <х еУ :^2 а^х1 < °° \ •
Следующий результат — вариант известного закона Колмогорова 0-1 в
теории вероятностей.

386
Глава 6
Предложение 1.1.
если а ф Ж
«-{!
^ а/ [1, если а е Ж.
В частности, ц(Ж) = 0.
Доказательство.
Пусть Ха — характеристическая функция множества Жа С У,
Ха(х) = 1™ 1™ ехР ^
е—►On—юо I
Дважды применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем
У<(Жа) = I Xad/jt = lim lim / exp < — e2 2_"oi2x2 > dfin(x) =
= lim lim П(1+ 2А*2)"1/2,
г=1
и произведение IISi(l + 2£2а2) сходится, если и только если а € с^7.
Замечание. Для v e Ж пусть v^ = (г>ь .. .,vn,0,0, ...). Из (1.6)
следует, что «
(vM:x)2dfi(x) = \\vM\\2,
так что последовательность функций Fn(x) = (v^n\x), x € У, является
последовательностью Коши в Ь2(У\dfi) и сходится в L2 к функции F(x).
Злоупотребляя обозначениями, запишем F(x) = (v,x) € £2(У, cfyx). Таким
образом, несмотря на то что ц(Ж) = 0, лемма 1.1, а значит, и теорема
Вика, выполняются при v € Ж.
Задача 1.2. Докажите, что не существует вероятностной меры [i
на Ж, такой, что ц(С) = цп(Е) для любого цилиндрического
подмножества С = р~г(Е) пространства Ж, где рп : Ж —> Rn — естественная
проекция, а Е — борелевское подмножество Rn. Покажите однако, что
существует конечно-аддитивная, неотрицательная функция v на
цилиндрических подмножествах Ж, удовлетворяющая этому свойству.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
387
Задача 1.3. Покажите, что формула
п
v({xe У :хг € /i, ...,xn eln}) = JJ/ii(fc/fc),
k=l
где kik = (koLk,kf3k) при Ik = (ak,Pk) Q R> определяет вероятностную
меру v на У, такую, что z/(Jf) = 1.
6.2. Мера Винера и интеграл Винера
6.2.1. Определение меры Винера
Здесь мы определим вероятностную меру на пространстве ^ =
= C([0,oo),Rn;0) непрерывных параметризованных путей в Rn с началом
в нуле, называемую мерой Винера. Она связана с броуновским движением:
процессом диффузии в Rn с коэффициентом диффузии D > 0, который
описывается плотностью вероятности,
_п _ (q-qT
P(q',q\t) = (4nDt) *e *D* , (2.1)
того, что частица, изначально с определенностью находившаяся в
точке q e W1, через время t попадает в точку q' e Rn.
Будет удобно компактифицировать Rn, добавив точку на
бесконечности, Rn = Rn U {oo} ~ Sn. Пусть
(]= Д in
0<£<оо
— декартово произведение копий Rn, параметризованное М^о- В
топологии Тихонова ft — компактное топологическое пространство —
пространство всех параметризованных путей в Rn. Для любого
разбиения tm = {0 ^ *i ^ ... ^ tm] и любого F e C{Rn х ... х Rnj onpe-
т
делим if G С{VI) формулой
<р(7) = ^(7(*i)j • • -ЛЫ) ДЛЯ любого 7 £ О-
Обозначим как Cfin(fi) подпространство С(П), натянутое на функции у? при
всех возможных разбиениях tm и всех непрерывных функциях F. Опреде-

388
Глава 6
лим линейный функционал I на Сцп(П) по следующей формуле:
l(ip)= / ... / F(q1, ...,qm)P(qm,qm-i',tm-trn-1)... (2.2)
R™ R™
...P(q1,0;t1)dnqi...dnqm.
Из полугруппового свойства
P{q',qi;t' -t1)P(ql,q;t1-t)dnqi=P(q',q;t'-t)
I
(называемого также уравнением Колмогорова в теории вероятностей)
следует, что функционал I корректно определен. Функционал I положителен:
1((р) ^ 0 при ip ^ 0, он удовлетворяет свойству /(1) = 1, и
1*0*01 < Ы\оо = sup|y?(7)|.
-yen
Подпространство Cru(Q) разделяет точки в ft и 1 € Cfin(fl), так что по
теореме Стоуна-Вейерштрасса Сцп(П) плотно в C(Q). Далее,
функционал I допускает единственное продолжение до непрерывного
положительного линейного функционала на C(Q) с нормой 1, и по теореме Рисса-
Маркова существует единственная регулярная борелевская мера fiw на Q,
с /J<w{fy = 1) такая, что
1{ф) = / (pdfiw.
п
Мера jiw называется мерой Винера. Интеграл по мере Винера называется
интегралом Винера.
Замечание. Теорема Рисса-Маркова доставляет естественный
способ определять меры в различных задачах функционального анализа. В
общем случае она гарантирует существование бэровской меры — меры,
определенной на сг-алгебре множеств Бэра. Однако в случае компактных
пространств бэровская мера единственным образом продолжается до
регулярной борелевской меры — меры, определенной на сг-алгебре, порожденной
всеми открытыми множествами. Борелевская мера [i регулярна, если для
любого борелевского множества Е С ft
, . _ \ inf n(U), E С U, U открыто,
1 sup ц(К), К С Е, К — компактное борелевское множество.
Пространство Q настолько «велико», что его сг-алгебры бэровских и боре-
левских множеств не совпадают.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
389
Предложение 2.1. Мера Винера [iw сконцентрирована на
непрерывных путях с началом в нуле, т. е. jiwi^) = 1-
Заменяя плотность вероятностей P(qi,0;t\) на P(qi,qo',ti) в
определении (2.2), для фиксированного qo € Rn получаем меру Винера fiqo9
сконцентрированную на пространстве ^qo = C([0,oo),Rn;g0)
непрерывных путей в Rn с началом в до-
Замечание. Пространство, на котором сконцентрирована мера
Винера fiw, можно охарактеризовать точнее следующим образом. Для 0 < а ^ 1
пусть Qa — подпространство П, состоящее из гельдеровских непрерывных
путей порядка а:
hW-7(0
Па = <~у еП: sup —— < оо
I М'^0 \t — t |
Тогда
{1, если 0 < а < -,
О, если ± ^ а ^ 1.
Замечание. Кажется естественным определить меру Винера с
помощью следующей конструкции. Положим для простоты п=1 и для
любого разбиения tm={0 < t\ ^ ... ^ £т} и интервалов (ai, /?i), ..., (am, /?m)
определим меру цилиндрического множества
Ct = {^еП:ах <7(*i) <Pi, ...,am < j{tm) < /Зт}
формулой
KCt) = /••• / ^(ат,9т-1;*т-*т-1)...-Р(9ьО;*1)^1...^т. (2.3)
По теореме Колмогорова о продолжении меры и полугрупповому свойству,
[i продолжается до меры на сг-алгебре, порожденной цилиндрическими
подмножествами П, которую мы по-прежнему будем обозначать [i. Однако
множество ^ непрерывных путей с началом в 0 оказывается неизмеримым!
Конкретно, можно показать, что
^(<*?)=0 и ji*(V) = l,

390
Глава 6
где ц*(Е) и //*(£■) обозначают соответственно внутреннюю и внешнюю
меры подмножества Е С ft. Правильный подход к этой проблеме состоит
в том, чтобы с самого начала определить цилиндрические множества Ct как
множества, состоящие только из непрерывных путей, a ti(Ct) определить
той же формулой, что и выше. Тогда мера fi продолжается до сг-алгебры,
порожденной цилиндрическими подмножествами ^, и совпадает с мерой
Винера jiw.
Замечание. Ту же самую формулу (2.3) можно использовать для
определения меры Винера на пространстве C([0,7r],R;0) непрерывных
функций на интервале [0,7г], обращающихся в ноль при t = 0; в этом
случае tm будет разбиением отрезка [0,7г]. Это — классическое определение
меры Винера, которое дал сам Винер.
Следующий результат будет использоваться, чтобы представить инте-
-j;tH
гральное ядро однопараметрическои полугруппы е п для t > 0
интегралом Винера.
Предложение 2.2. Пусть вещественнозначная функция V € C(Rn)
ограничена снизу. Тогда для любого t ^ 0 функция Tt : ^ —* R,
определенная формулой
-SVb(r))dr
?t{l) = e о
интегрируема по мере Винера, и
J Tt d[iw = ^lim^ / ... / exp < - ^ V(qk)At > P(qN, Qn-i] At)...
t
P(qu0-At)dnqi...dnqN, At= N.
Доказательство.
Для7€ &
1 N
/V(7(r))dT= lim £Г(7(**))Д*
0 fc=1
N
где tk = kAt. Поскольку по определению любая функция J2 V(l(tk))At
k=l
измерима по мере Винера на ^, функция Tt измерима, будучи поточечным

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
391
пределом последовательности измеримых функций. Функция Tt
ограничена и поэтому интегрируема на ^ по мере Винера. Наконец, по теореме
Лебега о мажорируемой сходимости
сг> сг> V №=1 )
d^wb),
и результат следует из (2.2).
Замечание. Заметим, что предел в предложении 2.2 существует,
потому что функция Tt интегрируема, а не наоборот. Это напоминает
рассуждение из элементарного математического анализа о том, что предел
„1^o(1 + 5+---+^-1°g")
существует, потому что интеграл
/И*])*
сходится. Здесь [х] обозначает наибольшее целое, не превосходящее х.
Задача 2.1. Докажите все утверждения о носителе меры Винера.
Задача 2.2. Постройте меру Винера, определяя ее на
цилиндрических подмножествах ^ формулой (2.3).
Задача 2.3. Докажите, что мера Винера fiw на C([0,7r],R;0)
при D = -г на самом деле совпадает с мерой z/, определенной в задаче 1.3.
(Указание: покажите, что отображением ^f(t) ь-> j(t) — 7(0) устанавливается
изоморфизм пространства C([0,7r],R) функций, ортогональных к 1, с
пространством С([0,7г], R; 0), и используйте коэффициенты разложения Фурье
по синусам для вложения С([0,7г], R) <^-> У.)

392
Глава 6
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца
Пусть
*W = {7 6 J] Й" : l{t) = g,7(0 = q'}
— пространство всех параметризованных путей в Rn, начинающихся в
точке q € Rn в момент времени t и кончающихся в точке qf € Rn в момент t',
и пусть ffq^t — соответствующее подпространство непрерывных путей.
Условная мера Винера [1Ч,Ч> на Qq,q' определяется аналогично. Заменим
положительный линейный функционал I на С (ft) положительным
линейным функционалом lq^ на C(flq^), определенным для ip € Cfin(^q,q/)
формулой
WM = / • • • / F(^b • • •, Qm)P(q\ q™; t' -tm)...
• • • P{qi,q\t\ ~ t)(Pqi ... cTqm,
где £ ^ h ^ ... < tm < ^ и <p(7) = F(7(*i), ... ,7(*m)). Тогда
WM = / 4>dVq,q'-
Как и в случае меры Винера /х^, условная мера Винера [iq^
сконцентрирована на непрерывных путях, и
Пусть
H = Ho + V=^ + V{Q)
— оператор Шрёдингера в L2(Rn,dnq) с непрерывным, вещественнознач-
ным, ограниченным снизу потенциалом V(q). Обозначим как Ln(qf, tf; q, t),
t' > t, ядро теплопроводности — интегральное ядро оператора диффу-
-—я
зии е h . Вот главный результат этого раздела.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
393
Теорема 2.1 (Формула Фейнмана-Каца).
Lh(q\t';q,t)= J e hi d/w(7),
где iiq^qi —условная мера Винера с коэффициентом диффузии D = _—.
Доказательство.
Имеем по формуле произведения Ли - Като - Троттера
е~^ТН= lim (e"^°e"^f, At = £,
где Т = t' — t. Пусть Lfr(q',t';q,t) — интегральное ядро операто-
pa (e h e h )N. Вычисляя, как в разделе 5.1.3 главы 5, и используя
определение условной меры Винера, получаем
(q',t']q,t)= J exp|-i^^(7(^))^|^q^(7).
Значение предела N —+ оо находится по теореме о мажорирующей
сходимости, чем доказательство завершается.
Используя условную меру Винера, легко определить меру ц™р на
пространстве
£={7€ JJ К" = 7(*) = 7(0}
свободных параметризованных петель в Rn. А именно: пространство С —
дизъюнктное объединение по q € Rn пространств Qq,q
параметризованных петель с началом и концом в точке q € Rn. По
определению функция <р : С —+ С называется интегрируемой, если ее
ограничения <р\п измеримы по мере fiq,q для любого q Е Rn, и если
функция f ip d[iq,q : Rn —► С интегрируема по Лебегу на Rn. Тогда
«о
f ^ dyft* = ff<P d»™ dnQ. (2.4)

394
Глава 6
Допустим, что оператор Шрёдингера Н = Но + V с непрерывным, ве-
щественнозначным и ограниченным снизу потенциалом V(q) имеет чисто
г
— н
точечный спектр и что е h — оператор со следом1. Следующий
результат — полезное следствие формулы Фейнмана-Каца.
Следствие 2.2.
--н Г -\lvb{t))dt ,
Ire h = I е ho ф£ор(7).
с
Доказательство.
Ядро теплопроводности Lh(q',T]q,0) — интегральное ядро операто-
т
тт
pa е h со следом — непрерывная функция от q и q\ так что по теореме2
о том, что «операторный след равен матричному», использовавшейся в
разделах 5.5.1-5.5.2 главы 5, мы получаем
Tie"*" = J Lh(q,T;q,0)dnq.
Результат следует теперь из формулы Фейнмана-Каца и уравнения (2.4).
Замечание. Меру Винера на пространстве петель
£={7еС([0,Т],1):7(0)=7(Г)}
можно выразить в терминах коэффициентов Фурье
°о 2-Kint
*У\Р) = / ; спе, , сп = с_п,
п= — оо
следующим образом:
*"'"' = l/i& *> Й (;&)(*«>V3(W"• A.. P-»)
v п=1
'Так обстоит дело, когда V(q) —> сю при ||д|| —> сю «достаточно быстро»,
T.e.V(q)>C\\q\\2.
2 См. раздел 5.7 главы 5.

6.2. Мера Винера и интеграл Винера
395
В частности,
|/(7)^°Р(7) = У^ / (//(^7о)^°Р(7о) ) dx. (2.6)
С -оо Vo /
Здесь Со — это пространство петель 7о с со = 0, а £ = R х £0 в соответ-
т
ствии с разложением 7 — ж + 7о» где / jo(i)dt = 0, так что х = со(7)-
о
Задача 2.4. Выведите из формулы Фейнмана-Каца, что для
любого ф е L2(Rn)
(е * Ф)(ч) = I ФЬУ))е п° Фд(7).
Задача 2.5. Докажите формулу (2.5) и выведите из нее (2.6).
(Указание: воспользуйтесь задачей 2.3.)
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана
Очень поучительно сравнить интегралы Фейнмана и Винера. На
эвристическом уровне условную меру Винера можно записать как
®qw=e 2h* ®hq, (2.7)
где
(.
£w-i
лг—со \2-кЪ,Ы
)тп
7 fc=l
^9= Hm.hd^T KV (2.8)
Конечно, «меры» i^c/ не существует: бесконечное произведение (2.8)
расходится, а траектория 7 — я(т) не является, вообще говоря, дифферен-
t'
цируемой, интеграл f q2dr расходится. Однако из-за наличия знака минус
t

396
Глава 6
в экспоненте у нас получается неопределенность вида «бесконечность,
деленная на бесконечность», и получившемуся выражению (2.7) можно
придать точный смысл меры Винера. Соответствующая «мера» для фейнманов-
ского интеграла по путям получается заменой % на ih в (2.7)-(2.8), и
экспоненциальный множитель больше не компенсирует расходимость @гпЪ
поскольку представляет собой комплексное число с модулем 1 в случае
дифференцируемой траектории и не имеет смысла в случае недифференци-
руемой.
Однако, как мы видели в разделах 5.1.3-5.1.4 главы 5, фейнмановский
интеграл по путям позволяет представить пропагатор квантовой частицы
в весьма осмысленном виде, показывающем глубокую связь классической
и квантовой механики. А именно:
Kh(q',tf',q,t)= f e*Sh)9ihq,
I q(t)=q ]
t'
где 5(7) = J L(q,q)dr — функционал действия, вычисленный на траек-
t
тории 7 = q(r)> a L(q,q) = ^mq2 — V(q) — соответствующая функция
Лагранжа. Можно также формально переписать интеграл Винера для
интегрального ядра Lh(q',t'iq,t) — формулу Фейнмана - Каца — в похожем
виде:
1 «'
/-Т fE{q,q)dr
I Q(t)=q J
где E(q,q) = ^mq2 + V(q) — функция энергии. Однако в этом
представлении мы уже не видим соответствующего функционала действия, и связь
с классической механикой теряется.
Точное соотношение интегралов Винера и Фейнмана такое. Как и в
случае формулы Фейнмана-Каца, предположим, что вещественнозначный
потенциал V(q) € C(Rn) ограничен. Используя формулу Ли-Като-Тро-
ттера, легко показать, что ядро теплопроводности L^q',t'\q,t) для
оператора Н = Но — V, определенное при % > 0, допускает аналитическое
продолжение в полуплоскость Re % > 0. Тогда
Kh(q', *'; q, t) = Hm Lih+e(q', *'; q, t). (2.9)

6.3. Гауссовы интегралы Винера
397
Замечание. Пусть / — гладкая ограниченная функция на R, такая,
что f'(x) = 0(|ж|-1) при \х\ —> оо. Гауссов интеграл f f(x)e~x dx абсо-
—оо
оо . 2
лютно сходится, тогда как интеграл f f(x)etx dx сходится лишь условно.
—оо
В формуле
00 оо
1 f{x)eix2dx = lim I f{x)e(i-^x2dx
—оо —оо
он интерпретируется как предел е —+ 0 интеграла по комплекснозначной
гауссовой мере е^г~£^х dx. Было бы соблазнительно продолжить такую
интерпретацию и на интегралы Винера и определить комплекснозначную
меру Винера для комплексного коэффициента диффузии D с Re D > 0 такой
же формулой (2.2). Однако теорема Камерона утверждает, что линейный
функционал I, определенный по аналогии с (2.2) для ReD > 0, уже не
будет ограничен на Cfin(fJ), так что такой подход ни к чему не приводит.
Задача 2.6. Пусть I — функционал на Cfin(fJ), определенный
формулой (2.2), где P(q'\q,t) дается формулой (2.1) с ReD ^ 0.
(i) Докажите, что при Re D = 0
sup {\1(<р)\ : |М|оо = 1, Ф) = F(7(*))} = оо.
t^o,FeC(S)
(ii) Докажите, что при Re D > 0
sup_ {\1(<р)\ : |М1оо = 1,
tm,FeC(Rm)
^(7) = ^(7(*i),...,7(*m))} =
6.3. Гауссовы интегралы Винера
В разделе 5.4 главы 5 мы вычисляли гауссовы интегралы Фейнмана
в терминах регуляризованных детерминантов соответствующих
дифференциальных операторов. Здесь мы рассмотрим эту же задачу для гауссовых
интегралов Винера.
Ж.
ReD

398
Глава 6
6.3.1. Граничные условия Дирихле
Пусть
-D2 + u(t), D
dV
где и е С1 ([0 5 ^1) ~~ оператор Штурма-Лиувилля на интервале [О, Т],
удовлетворяющий граничным условиям Дирихле. Следующий результат
является фундаментальным.
Теорема 3.1. Допустим, что u(t) ^ 0. Тогда
fu(t)y2(t)dt
е ""
^0,0
/
Фо,оЫ
т
пТь det A
Доказательство.
Используя предложение 2.2 и формулу конечномерного гауссова
интегрирования (1.1), получаем
/
^0,0
%-fu(t)y2(t)dt
2h
dVo,o(y) =
= Hm I
m
Hm . л , А
n-^oo V 2-KaAt
/"•/ч-^ёк"'--»^
en-/ fc=0
n-1
A:=l П~^°° V
m
27rftAtdetA
n-1
(см. доказательство предложения 3.1 в разделе 5.3.2 главы 5). Здесь
Уо = Уп = 0, tk = kAt, At = —, и
An_i =
/ai -1 0 •
-1 a2 -1 •
О -1 a3 •
0 0 0-
\0 0 0 •
О 0 \
О О
О О
«п-2 -1
-1 ап-\)

6.3. Гауссовы интегралы Винера
399
где ak = 2 + u(tk)(At)2, к = 1, ... , п — 1. Пусть у^1' — At, умноженное
на главный минор порядка к — 1 матрицы An-i, соответствующий ее
левому верхнему углу, так что гД = Atdet An-\- Последовательность у^
удовлетворяет начальным условиям
у(2п) = 2At + 0((Д*)3), у{3п) = 3At + 0((Д*)3),
(n) j
и, раскладывая определитель ук+х порядка к по последней строке, мы
получаем рекуррентное соотношение
Й + У{:\ - 2у1П) = и{Ьк){Ы?у(:\ к = 3,...,п-1.
Поскольку
lim u{tk) = u{t), когда lim tk = t,
/c,n—юо fc,n—юо
из метода конечных разностей решения задач с начальными условиями для
обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что
lim y[n)=y(t),
fc,n—юо
где y(t) — решение дифференциального уравнения
-у" + u(t)y = О
с начальными условиями
(п) _ (п)
2/(0) = lim У{2п) = 0, 1/(0) = lim % У* = 1.
п—юо п—юо L\t
Используя теорему 5.1 из раздела 5.5.1 главы 5, наконец получаем
lim A^det Лп_1 = lim y^ = у(Т) = ±det'A.
п—юо п—юо 2
Замечание. Это же вычисление подходит и для фейнмановских
интегралов по путям, чем дается строгое доказательство формулы
/
|Ь2-«(*)»2)лл
е 2П ° ®у =
7гг*7г det Л'
(у(т)=о\
\1/(0)=0/
где А = —D2 — u(t) — положительно определенный оператор (см.
раздел 5.6.1 главы 5). В частности, коэффициент сш^ из раздела 5.4 главы 5
«-» I тп
действительно равен w-^rr.
V 7ггд

400
Глава 6
6.3.2. Периодические граничные условия
Пусть А = —D2 + u(t), где и е С1([0,Т']) — оператор Штурма-Ли-
увилля на интервале [0,Г], удовлетворяющий периодическим граничным
условиям. Здесь мы докажем следующий аналог теоремы 3.1.
Теорема 3.2. Предположим, что u(t) > 0. Тогда
!•
wt fu(t)y2(t)dt , 1
«орЫ =
VdetA
где С — пространство свободных петель в R, параметризованных
интервалом [0,Т].
Доказательство.
Как и в доказательстве теоремы 3.1, имеем
/■
2ft° Vrp(y) =
(-
т
lim . л , .
n-^oo \2nni\t
ram л—и
то
+u(tk)(At)2y2k)}T[dyk= lim
7 J АА то—>оо
к=1 +°° >/det Лп
Здесь уо = уп, а Ап — следующая матрица n x п:
/со -1 0 ••• 0 -1 \
-1 ai -1 ... 0 0
_ 0 -1 а2 ••• 0 0
п — I '. '. '. '. '.
0 0 0 ••• an_2 -1
\-1 0 0 ••• -1 ап-г/
где ак = 2 + ^(£&)(Д£)2, А: = 0,1, ..., п — 1. Вычислим det An с помощью
следующего изящного рассуждения. Во-первых, заметим, что
вещественное А является собственным значением Ап, если и только если разностное
уравнение
-(Ук+i + Ук-i ~ tyk) + u(tk)(At)2yk = \ук, к = 0, ..., п - 1, (3.1)

6.3. Гауссовы интегралы Винера
401
с начальными условиями y_i и уо имеет «периодическое решение» —
решение {Ук}п=1, удовлетворяющее условиям yn-i = y-i и уп = у0.
Для заданного А обозначим как v[, \Х) и v[, \X) решения уравнения
(3.1) с соответствующими начальными условиями v_l(X) = 1, v$ \X) = 0
и v_l(X) = 0, г^о (А) = 1 и положим
Гп(л)" U1}w «^W
Легко показать, что дискретный аналог вронскиана г;^._1(Л)г;^. (А) —
— v[ (X)v[_1(X) не зависит от к, так что detTn(A) = 1. Поскольку любое
решение yk задачи с начальными условиями для (3.1) — линейная
комбинация решений v[ *(X) и v[ (X), имеем
Х)-™(»У
Из этого можно заключить, что А является собственным значением
матрицы Ап, если и только если det(Tn(A) — /г) = 0, а кратность А — это
кратность корня этого алгебраического уравнения. Поскольку
41Л(А) = 0(А"-1), «(?)(А) = (-А)" + 0(Ап-1) при А - оо,
мы получаем
det(An - XIn) = - det(Tn(A) - /2) = ^(А) + t#>(A) - 2.
Остается вычислить lim det(An — XIn). Обозначим как yl \X)
п—юо
и уь \Х) соответственно два решения разностного уравнения (3.1) с
начальными условиями у_\(Х) = Уп(Х) = 1 и у_1(Х) = 0, у$ *(Х) = At.
Имеем
41)(а) = У11)(л)-^уГ(а) „ 42)(а) = ^у£2)(а),
так что
ЧА)-»^а(А) л
det(A„-AJ„) = »^1(A) + ^ 2. (3.2)

402
Глава 6
Теперь из метода конечных разностей следует, что
lim y£\\)=yi(t,\), lim </[2)(А) = y2(t,А) (3.3)
fc,n—юо fc,n—кзо
при lim tk = £, где 2/1,2 (£, А) — два решения дифференциального уравне-
fc,n—юо
ния
-у" + и(^2/ = Aj/
с начальными условиями 2/1 (0, А) = 1, T/i(0, А) = 0 и ?/2(0, А) = 0,
2/2(0, А) = 1. Используя (3.2)-(3.3) и теорему 5.2 в разделе 5.5.2 главы 5,
мы наконец получаем
lim det(An - A/n) = 2/1 (Т, А) + 2/2№ А) - 2 = det(A - A/).
Пример 3.1. Следствие 2.2 и теорему 3.2 можно использовать
для вычисления Tre h в случае гармонического осциллятора Я =
= w^(p2 + m2u;2Q2). Имеем
2mv
Tre ^ = x
где AiuJ = —D2 + а;2, и по формуле (5.20) из раздела 5.5.2 главы 5
Ъе'ъ™ = 1 . (3.4)
2sinh^
Конечно, поскольку собственные значения — это Еп = Ьы{п + -), можно
получить тот же результат, используя геометрическую прогрессию
1 оо 1 шт °°
Ъе'ъ™ = Уе~ъТЕп = e—Z~Ye-»Tn = * .
п=о п=о 2 sinn —
Аналогичные результаты имеют место для общего дифференциального
оператора второго порядка А = —D2 + v(i)D + г/(£) на интервале [0,Г],
удовлетворяющего периодическим граничным условиям.

6.3. Гауссовы интегралы Винера
403
Теорема 3.3. Допустим, что det А > 0, где А = —D2 + v{t)D + u{t).
Тогда
~■ f(v(t)y(tMt)+u(t)y2(t))dt 1
С
у/det A
Пример 3.2. Пусть А = -D2 + ujD. Из теоремы 3.3 и (2.6) следует,
что для е > 0
y/det(A + el)
/e--^(tMt)W(t))dtvrp(y) =
с
-оо £0
Т
где мы воспользовались разложением y(t) = х + г/о(0> f Uo(t)dt = 0.
о
Здесь £о — подмножество пространства С свободных петель, состоящее
из петель с нулевым постоянным членом в разложении в ряд Фурье.
Используя следствие 5.4 из раздела 5.5.2 главы 5, получаем
т T
J e 2h о <Vw°PM = lim
Мы воспользуемся этим результатом в разделе 8.2.2 главы 8.
Задача 3.1. Выведите формулу (3.4) с помощью (2.5).
Задача 3.2. Докажите теорему 3.3.

404
Глава 6
6.4. Замечания и ссылки
Имеется обширная литература о теории интегрирования Винера и
броуновском движении, и мы излагаем в очень сжатой форме только самые
основные результаты. Материал в разделе 6.1 стандартный, и наше изложение
следует разделу упражнений в [Rab95]. За необходимыми сведениями из
теории вероятностей, включая теорему Колмогорова о продолжении меры
и введение в случайные процессы, мы отсылаем читателя к классическому
труду [Loe77], [Loe78] и недавней монографии [Kho07]. В частности,
утверждение ц(Ж) = 0 в предложении 1.1 следует из сильного закона больших
чисел.
Изящное построение меры Винера в разделе 6.2 принадлежит Е.
Нельсону [Nel64], и наше изложение, включая доказательство формулы
Фейнмана-Каца, следует [RS75]. Мы отсылаем читателя к классической
монографии Ито - МакКина [IM74] за построением меры Винера с точки зрения
теории вероятностей; на этом пути получаются решения задач 2.1 и 2.2.
Классическая книга [Кас59] и лекции [Кас80] М. Каца — еще один
отличный источник информации об интегрировании Винера и его приложениях
к разным областям математики. Связь между интегралами по путям
Винера и Фейнмана в разделе 6.2.3 принадлежит Е. Нельсону [Nel64]. Задача 2.6
взята из статьи Р. Камерона [СатбЗ] (см. также [RS75]); этот результат
показывает, что не существует комплекснозначного аналога меры Винера,
связанной с комплексным коэффициентом диффузии с Re D > 0 (в противовес
утверждению, сделанному в [Гел56]).
Теоремы, доказанные в разделе 6.3, служат строгим обоснованием для
обсуждения гауссовых интегралов Фейнмана по путям в разделе 5.4
главы 5. Наше доказательство теоремы 3.1 в разделе 6.3.1, использующее
метод конечных разностей, следует схеме из работы [Гел56], в которой
приводится ссылка на [Моп52]. Доказательство теоремы 3.2 в разделе 6.3.2,
кажется, новое.
Евклидова квантовая механика, получаемая заменой физического
времени t евклидовым (или мнимым) временем — it, очень тесно связана с
теорией случайных процессов. Ее можно сформулировать с помощью аксиом
одномерной евклидовой квантовой теории поля, и мы отсылаем
заинтересованного читателя к [Str05] за подробным обсуждением.

Глава 7
Фермионные системы
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения
7.1.1. Мотивировка
В разделах 2.2.6 и 2.2.7 главы 2 мы показали, что гильбертово
пространство Ж ~ L2(R,dq) одномерной квантовой частицы можно описать
в терминах операторов рождения и уничтожения. А именно: операторы1
удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению
[а,а*] = 1
на W2'2(R) П W2'2(R), и векторы
фк = ^=-фо, fe = 0,l>2>...>
где il>o(q) = (тгй) 4е 2а € ^ удовлетворяет условию а^о = 0,
образуют ортонормированный базис в Ж. Соответствующий оператор N = а*а
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
Щк = кфк, fc = 0,l,2,
Аналогично для нескольких степеней свободы Ж ~ L2(Rn,dng)
операторы рождения и уничтожения даются формулами
a*k = -j=(Qk-iPk) и afc = —L(Qfc + iPfc), fc = l,...,n, (1.1)
V2ft V2U
1 Здесь для сравнения с разделом 2.2.6 главы 2 мы положим и — 1.

406
Глава 7
и удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям
[ak,ai] = [al,ai]=0 и [ak,a*l]= 8klI, к,1 = 1,...,п. (1.2)
П _ 1 2
Основное состояние, вектор ^о(^) — С71"^) 4е 2а € Ж, обладает
свойством
акФо = 0, к = 1, . . .,п,
и векторы
^fci,...,fcn = /у , , , -^0, fci, ...,Лп =0,1,2, ...,
V&i !...£;„!
образуют ортонормированный базис в Ж. Оператор
п
N = ^a*kak
к=\
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
Ni>kl,...,kn = (к\ + ... + кп)фк1,...,кп,
а гильбертово пространство ^ раскладывается в прямую сумму
инвариантных подпространств
оо
Ж = ($Жк (1.3)
fc=0
— собственных подпространств оператора N.
С другой стороны, операторы спина, вводившиеся в главе 4,
удовлетворяют алгебраическим соотношениям другого рода. А именно: рассмотрим
9 9
операторы а± — — S± = t(Si ± «S^)» где S\ и 5г — операторы спина
квантовой частицы со спином - (см. раздел 4.1.1 главы 4). Воспользовавшись
явным представлением операторов спина в виде матриц Паули, получаем
а- = (? о) ' а+= (о о) •
Операторы а± нильпотентны, g± = 0, и удовлетворяют
антикоммутационному соотношению
СГ+СГ- +СГ-СГ+ = 12,

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 407
где /2 — тождественный оператор в С2. Вводя понятие антикоммутатора
двух операторов,
[ДВ]+ = АВ + ВА,
мы видим, что операторы а = сг_ и а* = о+ удовлетворяют каноническим
антикоммутационным соотношениям
[а, а]+ = [а*,а*] + = 0 и [а,а*]+ = /2.
Вектор ео = (§) удовлетворяет свойству аео = 0, и вместе с
вектором а*ео = (J) они образуют ортонормированный базис в С2. Матрица
7V = a*a=|(<T3 + /2)=(j g)
имеет собственные векторы ео и а*ео с собственными значениями 0 и 1.
Таким образом, в полной аналогии с предшествующим обсуждением мы
скажем, что а и а* — фермионные операторы рождения и уничтожения
для случая одной степени свободы. Гильбертово пространство фермионной
частицы — это Ж = С2, а вектор ео — основное состояние.
Такая конструкция легко обобщается на случай нескольких степеней
свободы. А именно: канонические антикоммутационные соотношения
имеют вид
[ак,сц)+ = [а£,аП+ = 0 и [ajfe,a?]+= <*мЛ М = 1, ...,п, (1.4)
где I — тождественный оператор, и операторы рождения а!-
сопряжены к операторам уничтожения a,j в фермионном гильбертовом
пространстве Жр. Канонические антикоммутационные соотношения (1.4)
реализуются в гильбертовом пространстве Жр = (С2)071 = С2" следующим
образом:
ctk = 0"з ® ... 0 сг3 (8) а <8> /2 0 ... (8) /г» (1.5)
41 v /
fc-1
aJb =cr30 ... ®cr3®a*®/2 ® ••. ®^2, (1.6)
ч ^ /
fc-1
А: = 1, ... ,п. Основное состояние, вектор фо = ео ® ... ® ео £ J£f,
удовлетворяет условию
«fc^o = 0, fc = l, . ..,п, (1.7)

408
Глава 7
а векторы
^i,...,fcn = (ei)fcl---(OSto, кг, ...,*;„ = 0,1, (1.8)
образуют ортонормированный базис в ^£р. Оператор
п
fc=i
самосопряжен и имеет целочисленный спектр:
Nrl>klt...,kn = (*:i + ... +fcn)^fc1,...,fc«»
а гильбертово пространство с^р раскладывается в прямую сумму
инвариантных подпространств
п
/с=0
— собственных подпространств 7V.
Замечание. Фермионное гильбертово пространство Жр
изоморфно спиновой части гильбертова пространства п квантовых частиц со
спином -, обсуждавшегося в разделе 4.3.1 главы 4. Соответствующие ферми-
онные операторы рождения и уничтожения можно также использовать для
описания спиновых степеней свободы. Фундаментальное значение ферми-
онного и бозонного гильбертовых пространств — Жр = (С2)071 и Жв =
= L2(Mn^dnq) — выявляется в квантовой теории поля, которая формально
соответствует случаю п = оо и описывает квантовые системы с
бесконечным числом степеней свободы.
Лемма 1.1. Реализация (1.5)-(1.6) канонических
антикоммутационных соотношений в фермионном гильбертовом пространстве Жр непри-
водима: любой оператор в З^р, коммутирующий со всеми операторами
рождения и уничтожения а*к и а^, кратен mootedественному.
Доказательство.
Достаточно показать, что если {0} ф V С Жр — инвариантное
подпространство для всех операторов а^ и а£, то V = Жр. Действительно,
любое ненулевое ф € V можно записать в виде
Ф = X] ски...,кпФки...,кп.
fci,- • -,кп=0,1

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 409
Пусть Cfc1? ^пФкг,... ,fcn — какая-нибудь его ненулевая компонента с
максимальной степенью к\ + ... + кп. Используя канонические
антикоммутационные соотношения и (1.7), получаем
акпп ... а^ф = сф0, с = ckll... ,кп ф 0,
так что фо е V. Применив операторы рождения к фо, получаем V = Жр.
Замечание. Реализация канонических антикоммутационных
соотношений в фермионном гильбертовом пространстве Ж? аналогична
представлению канонических коммутационных соотношений числами
заполнения, обсуждавшемуся в разделе 2.2.7 главы 2, и называется
представлением числами заполнения для фермионов. Следует подчеркнуть, что
алгебраическая структура антикоммутационных соотношений допускает
реализацию в конечномерном гильбертовом пространстве, тогда как
алгебраическая структура коммутационных соотношений требует бесконечномерного
гильбертова пространства.
Аналогично (1.1) операторы координаты и импульса для фермионов
определяются формулами
Qk = уДы + а*к), Рк = -гуД(ак - а£), к = 1, ..., п. (1.10)
Как следует из (1.4), они удовлетворяют следующим антикоммутационным
соотношениям:
[Qk,Qi]+ = [Pk,Pi]+ = ti5kiI и [Pfc,Qj]+ = 0, fc,Z = l, ...,n,
(1.11)
— фермионному аналогу коммутационных соотношений Гейзенберга,
введенных в разделе 2.2.1 главы 2. Следующий результат представляет собой
фермионный аналог теоремы Стоуна-фон Неймана из раздела 2.3.1
главы 2.
Теорема 1.1. Любое неприводимое конечномерное представление
канонических антикоммутационных соотношений унитарно эквивалентно
представлению числами заполнения в фермионном гильбертовом
пространстве Жр.
Доказательство.
Пусть V — гильбертово пространство, в котором реализуется
неприводимое представление канонических антикоммутационных
соотношений (1.4). Прежде всего, существует ip0 £ V, \\(ро\\ = 1, такое, что
а\(ро = ... = an(f0 = 0.

410
Глава 7
Действительно, выберем любое ненулевое р £ V; если a\ip ф 0,
заменим его на вектор ацр, который, очевидно, удовлетворяет
условию ai(ai^i) = 0. Если а2{а\ср) ф 0, заменим его на а2а\ср, который
аннигилируется операторами а\ и аг, и т.д. За конечное число шагов мы
приходим к ненулевому вектору ф, который аннигилируется
операторами ai, ..., ап, и ро = ф/\\ф\\. Теперь рассмотрим подпространство Vo
пространства V, натянутое на векторы
Vfci,...,fcn = fai)*1--•(<)*"<Аь ku ...,fcn=0,l.
Из (1.4) следует, что Vo — инвариантное пространство для всех
операторов dk и а£, так что Vo = V. Поскольку операторы а*к и а& сопряжены по
отношению к скалярному произведению в V, легко видеть, опять
воспользовавшись каноническими антикоммутационными соотношениями (1.4), что
векторы фкц,.. .,кп образуют ортонормированный базис в V.
Отображением V Э (ркг,... ,кп •-> Фкх,... ,кп £ J&F устанавливается изоморфизм
гильбертовых пространств V ~ Жр.
Задача 1.1. Выразите операторы спина 5 • ' к-и частицы в системе п
частиц со спином - (см. раздел 4.3.1 главы 4) в терминах фермионных
операторов рождения и уничтожения на Жф.
7.1.2. Алгебры Клиффорда
Мы видели в разделе 2.2.1 главы 2, что гейзенбергова алгебра Ли
является фундаментальной математической структурой, связанной с
каноническими коммутационными соотношениями. Аналогично фундаментальная
математическая структура, связанная с каноническими
антикоммутационными соотношениями, это алгебра Клиффорда.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем к
нулевой характеристики и пусть Q: V —» к — симметрическая
невырожденная квадратичная форма на V, т.е. Q(y) = Ф(г>,г>), v € V,
где Ф : V (£)/с V —> к — симметрическая невырожденная билинейная форма.
Пара (V, Q) называется квадратичным векторным пространством.
Определение. Алгебра Клиффорда C(V, Q) = C(V),
ассоциированная с квадратичным векторным пространством (V, Q), это А:-алгебра,
порожденная векторным пространством V и соотношениями
v2 = Q(v) • 1, v е V.

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 411
Эквивалентно алгебру Клиффорда можно определить как факторалгеб-
РУ
C(V) = T(V)/J,
где J — двусторонний идеал в тензорной алгебре T(V) пространства V,
порождаемый элементами u®v+v®u—2Ф(и, v)-l при всевозможных u,v eV,
а 1 — единичный элемент T(V). В терминах базиса {бг}™=1 пространства V,
алгебра Клиффорда C(V) — это А;-алгебра с образующими еь ..., еп,
удовлетворяющими соотношениям
[ei,ej]+ = eiej + е^е* = 2Ф(е^е^) • 1, i,j = 1, ... ,n.
Когда А: = С (или любое алгебраически замкнутое поле нулевой
характеристики), всегда существует ортонормированный базис в V — базис {e^}^=1,
такой, что Ф(ег,е&) = £^. В этом случае в любой размерности п есть
одна (с точностью до изоморфизма) алгебра Клиффорда Сп с
образующими ei, ..., еп и соотношениями
Замечание. При А: = R существуют неотрицательные целые
числа р + g = п и изоморфизм У ~ Rn, такие, что
Q(x) = х\ + ... + х\ - х2р+1 - ... - а£, ж е Rn.
Так классифицируются алгебры Клиффорда над R.
Определение. Левый модуль S для алгебры Клиффорда C(V) — это
конечномерное векторное пространство S над к и линейное
отображение р : C(V) (8) 5 —> 5, такое, что
р(а6 0 s) = р(а (8) р(6 (8) s))
для всех а, 6 G С( V) и s £ 5.
Фермионное гильбертово пространство ^£р, введенное в предыдущем
разделе, является неприводимым С^п -модулем. Действительно, из
канонических антикоммутационных соотношений (1.4) следует, что
самосопряженные операторы
72fc-i =ak + al, (1.12)
12к = -г(ак-а*к), £; = !, ...,n, (1.13)

412
Глава 7
удовлетворяют соотношениям
7мlv + 7^7/х = 2(^7, /х, v = 1, ..., 2п, (1.14)
где 7 — тождественный оператор в J#f. Определим действие алгебры
Клиффорда С2п на Жр, положив
р{\) = 1 и р(ем) = 7/х, /х = 1, ...,2п,
и продолжим его до гомоморфизма С-алгебр р : С2П —* Епд.(Жр).
Соотношения (1.14) показывают, что отображение р допускает подобное
продолжение.
Предложение 1.1. Гомоморфизм р : С2п —» End(J^r) является
изоморфизмом ^-алгебр.
Доказательство.
Из леммы 1.1 следует, что представление р неприводимо: любой
оператор в Жр, коммутирующий со всеми элементами С-алгебры р(С2П),
кратен тождественному оператору. Тогда по теореме Веддерберна р(С2п) =
= End(c^p), и поскольку dim C2n = 22n = dim Еп6.(Жр), отображение р —
изоморфизм.
Замечание. Структура алгебры Клиффорда с нечетным числом
образующих несколько иная. Так, отображение р(е^) = &k, где сг&, к =
= 1,2,3, — матрицы Паули (см. раздел 4.1 главы 4), определяет
неприводимое представление Сз в Жр = С2. Однако в этом случае Сз ^
~ End(C2) ® С[е], где е = ге\е2е^ и удовлетворяет условию е2 = 1.
п
Определим оператор киралъности формулой T=entN, где N= ^ ajou.
i=i
Поскольку спектр оператора N целочисленный, Г2 = /. Более того, мы
имеем
[Г,7„]+ = 0, /х=1,...,2п. (1.15)
Действительно, как следует из (1.4),
Na*j =a*{N + I) и TVo,- = a,- (JV — /),
так что
е^а? = а*е"^+/) = -а*ежШ и е^о,' = a^""1) = -ajewiN.

7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 413
Таким образом, Г антикоммутирует со всеми aj,a,j, а значит, со всеми 7д.
Поскольку Г2 = /, операторы
Р± = |(/±Г)
являются операторами ортогональных проекций, и мы имеем разложение
на подпространства спиноров положительной и отрицательной кирально-
сти. Из (1.15) следует, что
7m(^/) = ^f~> J* = l,...,2n.
Также, поскольку e7riaiaj = I — 2a^aj = —ij2j-ij2j, мы имеем
Г = (-г)п71...72п.
Замечание. Когда п — 2, 4 х 4 матрицы 7ъ 72» 7з> 74 — это
знаменитые гамма-матрицы Дирака (для евклидовой метрики на R4), и Г = 75-
Задача 1.2. Покажите, что определение алгебры Клиффорда C(V)
совместимо с заменой поля: если к С К — расширение поля, и Vk =
= К®к Vk, то
C(VK) = K®kC(yk).
Задача 1.3. Пусть С • 1 = С0 С С1 с ... С Cn = C(V) -
естественная фильтрация алгебры Клиффорда C(V), где Сг натянуто на
элементы v\... v3, s ^ г. Пусть
п
с^г(у) = 0с/с/с/с-1
fc=l
— соответствующая градуированная алгебра. Покажите, что отображение
кососимметризации
vi Л ... Л vr ь-> i ^ (-l)e(a)va(1)... va(r)
' <r€Symr
устанавливает изоморфизм Z-градуированных алгебр Л* (V) ~ Cgr(V), где
Л* (V) — внешняя алгебра пространства V.
Задача 1.4. Сформулируйте и докажите аналог предложения 1.1 для
алгебр Клиффорда с нечетным числом образующих.

414
Глава 7
7.2. Алгебры Грассмана
Для квазиклассического описания фермионов необходимы алгебры
Грассмана — алгебры с антикоммутирующими образующими.
Соответствующее математическое определение таково.
Определение. Алгебра Грассмана на п образующих — это С-алгебра
Grn с образующими в\, ..., 0П, удовлетворяющими соотношениям
OiOj + OjOi = О, г J = 1, ..., п.
В частности, из этих соотношений следует, что образующие алгебры
Грассмана нильпотентны: в\ = ... =0^=0. Эквивалентно,
Grn = C(0i,...,0n)/J
— фактор свободной С-алгебры C(0i, ..., вп), порожденной образующими
01, ..., 0П, по двустороннему идеалу J, порожденному элементами 0^0j +
+ Oj0i,i,j = 1, ...,n.
Замечание. Из (1.11) следует, что в квазиклассическом
пределе ft —» 0 фермионные операторы Р& и Qk, к = 1, ..., 2п, удовлетворяют
определяющим соотношениям алгебры Грассмана Gr2n-
Сравнение с полиномиальной алгеброй
С[ж1, ...,жп] =С(жь ...,хп)/1
— фактором свободной С-алгебры C(a?i, ... ,жп) по двустороннему
идеалу, порожденному элементами XiXj — XjXi, i,j = 1, ..., п, показывает, что
алгебру Грассмана Grn можно рассматривать также как полиномиальную
алгебру от антикоммутирующих переменных 0i, ..., 0П. В нижеследующем
мы будем все время использовать латинские буквы для обозначения
коммутирующих переменных, а греческие — для антикоммутирующих, так что
Grn = C[0b...,0n].
Не стоит напоминать, что полиномиальная алгебра C[#i, ..., хп]
изоморфна симметрической алгебре векторного пространства, порожденного
элементами х\, ... , хп, а алгебра Грассмана C[0i, ... ,0n] изоморфна
внешней алгебре Л*V векторного пространства V = C0i 0 ... 0 C0n с
базисом 0Ь . ..,0П.

7.2. Алгебры Грассмана
415
Алгебра Грассмана Grn является комплексным векторным
пространством размерности 2П и градуирована над Z: она допускает разложение
Сг„ = фСг* (2.1)
fc=0
на однородные компоненты Grn степени к и размерности (£), А: = 0, ..., п,
где Gr^ = С • 1. А именно: обозначим как | • | степень однородности
элемента алгебры Грассмана, |а| = к для а € Gr^. Тогда умножение в Grn
удовлетворяет условию Gr^ • Grln С Gr£+', где Gr^~l = 0, если А: + / > п,
и является градуированно-коммутативным:
а/3=(-1)Н^/За, (2.2)
для однородных элементов а,/ЗЕ Grn. Элементы алгебры Грассмана Grn
четной степени называются четными элементами, а нечетной степени —
нечетными элементами.
7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соотношений
Алгебра Грассмана доставляет явное представление канонических
антикоммутационных соотношений с помощью операторов умножения и
дифференцирования, аналогичное голоморфному представлению канонических
коммутационных соотношений (см. раздел 2.2.7 главы 2). А именно: пусть
di = — :Grn-> Grn
— операторы частных производных слева, определяемые на однородных
одночленах 0^ ... вгк формулой
к
г 1=1
где 6it обозначает пропуск множителя в^. Операторы дифференцирования
имеют степень — 1 и удовлетворяют градуированному правилу Лейбница:

416
Глава 7
Замечание. Можно также ввести операторы частных производных
справа с помощью формулы
к
№i • -Qik)-En- = 2^(_1) finish ---0it.. .eik,
ощ 1=1
которые будут удовлетворять следующему градуированному правилу
Лейбница:
«*>&-«('&)+(-1>и(°я>
Чтобы различать левые и правые частные производные функции / Е Grn,
будем обозначать их соответственно как т^г-/ и /т^г-
Будучи комплексным векторным пространством, алгебра Грассма-
на Grn снабжена стандартным скалярным произведением, которое
определяется условием, что однородные одночлены в^ ... вгк со
всевозможными 1 ^ %\ < ... <%к ^п образуют ортонормированный базис:
(0ti • • ■ 0tfc, Ojx • • • 0ji ) = *w*tiji • • • ufcjfc • (2.3)
С помощью проверки на однородных многочленах элементарно
устанавливается, что
(9if,g) = {f Jig), f,geGrn,
где §i — операторы левого умножения на в г в Grn, так что в г = д*. Также
легко проверить, что операторы вг и дг удовлетворяют
антикоммутационным соотношениям
[§i, §j]+ = [di, 0j]+ = О И [§и dj]+ = SijI, i,j = l,...,U,
где I — тождественный оператор в Grn. Таким образом, получаем
следующий результат.
Предложение 2.1. Сопоставлением
устанавливается изоморфизм Жр ~ Grn между фермионным
гильбертовым пространством п тождественных частиц и векторным
пространством алгебры Грассмана на п образующих. Изоморфизм сохраняет
разложения (1.9) и (2.1) и обладает свойством, что
а* ■-► §i и а>г^-^~, г = 1, ...,п.

7.2. Алгебры Грассмана
417
С помощью предложения 2.1 очень легко проверить также, что
представление канонических антикоммутационных соотношений в фермионном
гильбертовом пространстве Жр неприводимо. Действительно,
предположим, что В £ End(Grn) коммутирует со всеми операторами в{ и <%. Тогда
di(B(l)) = B(di(l)) = 0, t=l,...,n.
Единственное решение уравнений d\f = ... = dnf = 0 — это / = с • 1,
так что В(1) = с • 1. Поскольку В коммутирует со всеми операторами
рождения в^ мы получаем В = cl.
Замечание. Мы покажем в разделе 7.2.3, что с использованием
понятия интеграла Березина скалярное произведение (2.3) в Grn можно
записать в виде (2.11) аналогично определению скалярного произведения в
голоморфном представлении формулой (2.52) в разделе 2.2.7 главы 2.
7.2.2. Дифференциальные формы
Алгебра дифференциальных форм от антикоммутирующих
переменных в\, ..., вп — это С-алгебра Г2* с нечетными образующими в\, ..., вп
и четными образующими
d6i, ..., d6n, удовлетворяющими соотношениям
вг • dOj = dOj • вг, г, j = 1, ..., п.
Эквивалентно Г2* — это симметрическое тензорное произведение над С
алгебры Грассмана Grn и полиномиальной алгебры C[d6i, ..., d6n]9 и любой
элемент ш £ Г2* единственным образом записывается в виде
оо
uj = ^fk(d61)ki...(den)k", /fc€Grn, (2.4)
fc=0
где к = (#1, ..., k,n) — мультииндекс и Д = 0 для любого fc, за
исключением конечного их числа. По определению степень однородности \шк\
компоненты Шк = fk (d6i)kl • • • (d6n)kri е Г2* — это |Д|, степень
однородности Д E Grn.
Замечание. Поучительно сравнить алгебру Г2* с алгеброй
полиномиальных дифференциальных форм на Сп. С одной стороны, Г2* —
бесконечномерная алгебра на коммутирующих переменных dQ\, ..., d6n с
коэффициентами в конечномерной алгебре Грассмана C[0i, ... ,вп]. С
другой стороны, алгебра дифференциальных форм от коммутирующих
переменных х\, ..., хп — это конечномерная алгебра на антикоммутирующих

418
Глава 7
переменных dx\, ..., dxn с коэффициентами в бесконечномерной
полиномиальной алгебре C[xi, ..., хп]-
Аналогом внешнего дифференциала (дифференциала де Рама) на
алгебре Г2* является отображение d : Г2* —> Г2*, определенное формулой
duJ = HYlwМАМт)1* • • • ИП)Ч л е Grn,
fc=0 г=1 г
где ш дается формулой (2.4). Дифференциал можно также записать в ви-
п
де d = Yl dOidi, где предполагается, что di(d6j) = 0 для любых
г=1
i,j = 1, ...,п.
Лемма 2.1. Внешний дифференциал d на Г2* удовлетворяет
градуированному правилу Лейбница
d{uj\uj2) = d^i ^2 + (—l)'a;i'o;idu;2
Эля однородных ш\ и является нилыготентным, d2 = 0.
Доказательство.
Градуированное правило Лейбница для d следует из
соответствующего свойства операторов частных производных дг. Свойство d2 = 0 следует
из коммутативности «дифференциалов» d6i и антикоммутативности
частных производных di. Следующий результат — аналог леммы Пуанкаре для
дифференциальных форм на антикоммутирующих переменных.
Лемма 2.2. Предположим, что форма ш £ Г2* замкнута, duj = 0.
Тогда ии точна: существует rj £ Г2*, такое, что lj = drj.
Определение. 2-форма ш £ Г2*,
п
ш = \ ]Г иГШцЮ^ uij = uji £ Grn, (2.5)
называется симплектической формой на алгебре Грассмана, если она
замкнута, du; = 0, и невырождена: симметрическая п х п матрица {шг^}^=1
обратима в Grn.

7.2. Алгебры Грассмана
419
В частности, 2-форма ш с постоянными коэффициентами ujlj £ С
обязательно замкнута и является симплектической, если и только если
матрица {^}^=1 невырождена. Поскольку любая квадратичная форма над С
записывается в виде суммы квадратов, всегда можно предположить, что
образующие в\, ..., вп выбраны так, чтобы симплектическая форма ш с
постоянными коэффициентами имела канонический вид
п
г=1
Любой симплектической форме (2.5) соответствует скобка Пуассона
на алгебре Грассмана, определенная формулой
{/.5}=Ei(/|-)^(j-ff)' /,'€Gr" (2'7)
где {u>ij}™j=i — это обратная матрица к {i<;u}"J=1, и использованы
обозначения для левых и правых частных производных, введенные в
предыдущем разделе. Следующий результат — аналог теоремы 2.9 из раздела 1.2.4
главы 1 — фундаментален для формулировки гамильтоновой механики для
систем с антикоммутирующими переменными, которые будут обсуждаться
в главе 8.
Предложение 2.2. Предположим, что все коэффициенты иг^
замкнутой симплектической формы ш четные. Тогда отображение скобки
Пуассона
{ , } : Grn х Grn -> Grn
удовлетворяет следующим свойствам:
(/) (Градуированная кососимметричность)
{/,<?} = -(-i)l/ll9W};
(И) (Градуированное правило Лейбница)
{f9,h} = f{9,h} + (-l)WMg{f,h};
(ш) (Градуированное тождество Якоби)
{/, {9, h}} + (-l)l/KI»l+lfcl){fl) {h, /}} + (_1)1М(1/1+Ы){Л> {/> д}} = о
для любых f,g,h£ Grn.

420
Глава 7
Доказательство.
Часть (i) следует из (2.2), свойства
d0iJ K } J d6i
и условия четности коэффициентов и;2-7. Градуированное правило Лейбница
следует из соответствующего свойства операторов правых частных
производных. Градуированное тождество Якоби для скобки Пуассона
соответствующей канонической симплектической форме (2.6), можно
проверить прямым вычислением. Доказательство в общем случае оставляется
читателю.
Задача 2.1. Завершите доказательство леммы 2.1.
Задача 2.2. Докажите лемму 2.2.
Задача 2.3. Завершите доказательство предложения 2.2.
7.2.3. Интеграл Березина
Есть существенная разница между дифференциальными формами от
коммутирующих и антикоммутирующих переменных. Первые можно
дифференцировать и интегрировать, и дифференциалы связаны с интегралами
по формуле Стокса. Последние же можно только дифференцировать. Тем
не менее аналог интегрирования по антикоммутирующим переменным
существует.
Определение. Интеграл на алгебре Грассмана Grn с упорядоченным
множеством образующих в\, ..., вп {интеграл Березина) — это линейный
функционал В : Grn —> С, определенный формулой
B(f) = f12-"n,
где
п
к=0 1^2l< . . . <2fc^Tl

7.2. Алгебры Грассмана
421
По традиции интеграл Березина записывают в виде
B(f) = Jf(O)d01...dOn,
где в = (0i, ..., 0П), как если бы / = /(0i, ..., 0П) и вправду было
«функцией антикоммутирующих переменных». Из определения операторов
частных производных следует, что
/
/(в)*...<».=д....А/,
откуда следует:
" д
/;
/(0)d0i...d0n = O.
Это приводит к следующей формуле интегрирования по частям для
интеграла Березина:
//(0) (A9){e)dei •■■<»»=/ кщ){в)д{в) Mi"' d6n>
для однородных f,ge Grn.
Замечание. Интеграл Березина не является интегралом в
смысле теории интегрирования. Он определяется как линейный функционал
на алгебре Грассмана Grn и зависит от того, как упорядочены
образующие 0i, ..., 0П алгебры Grn, что символизируется записью d6\... dOn. Для
любого a £ Symn
У/(0)d0i ...d9n = (-1)£(<т) J №Ма{1). ..Ма(п),
где е(а) — четность перестановки а.
Замечание. Используя вложение Gr^ с Grn при к ^ п, физики
обычно определяют интеграл Березина как «повторный интеграл», начиная
со следующих «одномерных интегралов»:
/ d6i = О, / OidOi = 1, г = 1, ..., п.

422
Глава 7
Лемма 2.3 (Замена переменных в интеграле Березина). Пусть
в\, ..., вп и в\, , вп — два множества образующих алгебры Грае-
п
смана Grn, связанных преобразованием вг = ^2 aij@j, где п х п матри-
ца А= {ci'ij}i'j=i невырождена. Тогда
f f(e)de1 ...мп = -^j f f(e)de1... den,
где f(§) = /(в) = f(t <*iA ..., £ a^O-).
3=1 J=l
Доказательство.
Из полилинейной алгебры следует, что f12-n = f12-n det А
Замечание. Согласно лемме «плотность» d6\... d6n преобразуется
по закону
(Юг... d6n = -^j d§!... dOn (2.8)
при замене переменных ^ = ^ a^fy. Это отличается от обычной формулы
замены переменных для интеграла Лебега
/ /(хь ...,xn)dx1...dxn = \detA\ / f(yu .. .,yn)dyi.. .dyn, (2.9)
или dx\... dxn = | det A\dy\... dyn, где Xi = £ a»j2/j. Конечно, интеграл
i=i
Березина — это скорее многократная производная, нежели интеграл по
мере, чем и объясняется такое глубокое различие.
Пусть А = {a2j}^j=i — кососимметрическая п х п матрица. Для
четного п = 2га пфаффиан Pf(А) определяется формулой
Pf(A) = ;^F ^ (-1)еММ1И2)-Мп-1Ип),
(TGSymn
где е(сг) — четность перестановки а. По определению Pf (A) = 0 при
нечетном п.

7.2. Алгебры Грассмана
423
Предложение 2.3 (Гауссово интегрирование по антиком
мутирующим переменным). Пусть А = {а^}^ =1 — кососимметрическая п х п
матрица. Тогда
(О
/п
ехР { 2 5Z Mi0j}d0i -..(16п = Pf(A).
(и) Для любой невырожденной п х п матрицы С
Pf(CAC7t)=Pf(A)detC7.
(ш)
Pf(A)2 = detA.
Доказательство.
Часть (i) очевидно выполняется для нечетных п, поскольку
подынтегральное выражение является четным элементом Grn. Из определения
пфаффиана мы получаем для п = 2га
га!2
y[(£aij0i0jyn = Pt(A)01...0n,
*>j=i
а раскладывая экспоненту в степенной ряд, —
/ ехР { \ It, aiiQiQi \ Ml ■ • •d6n = Pf (Л) fo1...ende1...den = Pf (Л)
Часть (ii) следует из части (i) и леммы 2.3. Часть (iii) — классический
результат, который можно доказать с помощью интеграла Березина
следующим образом. Допустим сперва, что А вещественнозначна. Существует
ортогональная матрица С с детерминантом 1, такая, что
С АС'1 =
{ О Ах
-А! О
О О
V О О
О 0 \
О О
О К
-Am 0 /

424
Глава 7
— блочно-диагональная матрица. Используя часть (и) с этой матрицей С,
получаем
Pf (A) = J
eXie1e2^...^xme2rn-1e2rndQi ^ ^ ^dQ2m = Ai... Am,
так что Pf(А)2 = det А. Это соотношение выполняется для комплексно-
значных А, поскольку левая и правая части — многочлены от
переменных dij, 1 ^ г < j ^ п, совпадающие при вещественных а#.
Для алгебры Грассмана Gr2n = C[0i,_... ,0п>0ъ • • • ,6п] с 2п
образующими обозначим как f dOdO = J dOidOi.. ,dQndQn соответствующий
интеграл Березина:
т9)Мв=жЛ-жЛ}- /еС19- '"*■ *■>•
I
Лемма 2.4. Для любой п х п матрицы А = {а^ }™--=1
I
ехр i X/ ач^з ( ^0^0 — det А.
Доказательство.
Из определения матричного детерминанта следует, что
^i I Y1 ЪзОгОз ) = det AMi . ..0п0п. (2.10)
Определение. Инволюция на алгебре Грассмана Grn над С — это
комплексное антилинейное отображение Grn Э / »-> /* £ Grn,
удовлетворяющее условиям (/*)* = / и (/#)* = g*f* для любых /,# £ Grn.
На алгебре Грассмана C[0i, ..., вп, #i, ..., вп] есть естественная
инволюция, определенная на образующих формулой (#i)* = 0i,(0i)* =
= 0i, ..., (0п)* = вп, (вп)* = вп. В частности, для
п
/W = E E /<1---ifc^i...eueGrncGr2n
fc=0 1^U< . . . <ik^n
имеем
n
fc=0 l^ii<. . . <ik^n
Следующая лемма выражает скалярное произведение на алгебре
Грассмана Grn, введенное в разделе 7.2.1, в терминах интеграла Березина.

7.2. Алгебры Грассмана
425
Лемма 2.5. Стандартное скалярное произведение (2.3) на алгебре
Грассмана Grn = C[#i, ... ,0П] дается следующим^ интегралом Березина
по алгебре Грассмана Gv2n — C[#i, •.., On, 0\> • • •>#n]-'
(/ьЛ) = j f№W)e~eeMM* (2.П)
гдевв = в1в1+ ... +Mn.
Доказательство.
Положим /i(0) = вгг ... вгк и /2(6) = #л • • • fyi. Ясно, что интеграл
(2.11) обращается в 0 всегда, кроме случая к = I и i\ = ji, .. .,ik = jk>
в каковом мы имеем
— \ 0\... 0n0n ...
. 0i <Ш0 =
в1в1...впвп<Ю(Ш=1.
Следующий результат уже приводился в разделе 7.2.1. Лемма 2.5
позволяет доказать его в духе, напоминающем о голоморфном представлении
(см. раздел 2.2.7 главы 2).
Следствие 2.1. Операторы дг и §i, i = 1, ..., п, сопряжены по
отношению к скалярному произведению на Grn.
Доказательство.
Используя лемму 2.5, формулы дг/(в) = О, дгв~вв = 6ie~ee, и
интегрирование по частям, получаем
Шъ /2) = J dihWJme-^dBdS =
= -(-1)1Л1+1/»1 [мв)7Щ Sie-^dOdB =
' = -(-1)1ЛНЛ1 j ^{в)Ш&)е-ёв<1в(1в =
поскольку и последний интеграл, и (/1,61/2) обращаются в 0 всегда, кроме
случая, когда |/i| + I/2I нечетно.

426
Глава 7
Задача 2.4. Вычислите интеграл Березина
/п п
ехР {\ XI ач&$з + XI VkOkfdex... d0n,
где 77i, ..., rjn — переменные Грассмана.
Задача 2.5. Докажите формулу (2.10).
Задача 2.6. Докажите, что
— постоянный член в разложении /(в) в сумму одночленов в С[0Ь ..., 0п].
7.3. Градуированная линейная алгебра
7.3.1. Градуированные векторные пространства и супералгебры
Понятия градуированного векторного пространства и супералгебры,
которые мы вводим в этом разделе, позволяют рассматривать
коммутирующие и антикоммутирующие переменные на одном и том же основании.
Определение. Ъ/2Ъ-градуированное векторное пространство
(градуированное векторное пространство — для краткости, или векторное
суперпространство) над С — это векторное пространство W вместе с
разложением
W = W0 0 W1
начетное и нечетное подпространства. Элементы VF°UVF1\{0} называются
однородными, а четность — это отображение | • | : W° UW1\{0} —*{0,1},
такое, что |ги| = 0 для w Е W0 и |ги| = 1 для w E W1.
Оставим обозначение V для обычных (четных) векторных пространств
и будем обозначать градуированные векторные пространства как W.
Если W конечномерно, определим градуированную размерность как
пару (dim W°, dim W1), что обычно обозначается как no|ni, где щ = dim Wl,
г = 0,1. Когда W0 = Ср и W1 = С9, соответствующее градуированное
векторное пространство W обозначается как Ср'9. Фермионное гильбертово

7.3. Градуированная линейная алгебра
427
пространство M"f — это градуированное векторное пространство, у
которого четное и нечетное подпространства даются разложением (1.9):
к четно к нечетно
Градуированная размерность Жр равна 2n_1|2n_1.
Прямая сумма и тензорное произведение градуированных
векторных пространств определяются так же, как для обычных векторных
пространств. В прямой сумме однородные подпространства определяются
формулой
(W1®W2)k = W?®W$, к = 0,1,
а в тензорном произведении —
(wx ® w2)k = 0 W7 ® wi, к = о, 1.
i+j=k
Разница между обычными и градуированными векторными
пространствами становится ясной при определении соответствующих тензорных
категорий. А именно: морфизм ассоциативности
cWlw2w3 : Wi ® (W2 ® W3) -> (Wi ® W2) ® W3
для градуированных векторных пространств определяется той же
формулой,
(wi ® (w2 ® гуз)) = (гУ1 ® ги2) ® w3,
что и в случае обычных векторных пространств, тогда как морфизм
коммутативности
: Wi ® W2 -> W2 ® Wi
определяется на однородных элементах формулой
^w2K ® w2) = (-l)|u,l||u,2|ii;2 ®ti;i.
Тензорная алгебра T(W) градуированного векторного пространства W
определяется с помощью морфизма ассоциативности. Однако, внешняя
алгебра A*W и симметрическая алгебра Sym(W) пространства W
определяются как факторалгебры алгебры T(W) с помощью морфизма
коммутативности. А именно
Sym(W) = T(W)/I,

428
Глава 7
где / — двусторонний идеал в T(W), порожденный элементами w\ 0 w<i —
— (T(W2 ®Wi),Wi,W2£ W, И
Am(W) = T(W)/J,
где J — двусторонний идеал в T(W), порожденный элементами w\ 0 w2 +
+ cr{w2 0 wi), wi,W2 £ W. Здесь a = owyv — морфизм коммутативности.
Определение. Пусть W = W° 0 W1 — градуированное векторное
пространство. Векторное пространство со сменой четности UW — это
градуированное пространство, у которого (ПЖ)0 = W1 и (ПЖ)1 = W0.
Из определений мгновенно следует, что для четного векторного
пространства V
Sym(UV) = Am(V) и Am(TlV) = Sym(V). (3.1)
Определение. Супералгебра над С — это градуированное векторное
пространство А = А0 0 А1 со структурой С-алгебры, такой, что 1 е А0 и
А0 • А0 с А0, А0 • А1 С Л1, А1 • А1 С А0.
Супералгебра А называется коммутативной супералгеброй, если
a.b=(-l)lallfelb.a
для однородных элементов а, 6 £ А
Четная супералгебра А — это просто обычная С-алгебра.
Определение. Левый (супер) модуль над супералгеброй А — это
градуированное векторное пространство М вместе с линейным отображением
таким, что \а • т\ = (\а\ + |m|) mod 2 для однородных а £ А и т Е М
иаЬ- т = а • (Ь • т) для любых а, 6 £ А и m £ М.
Задача 3.1. Пусть а Е Symn. Покажите, что изоморфизм
Wx 0 ... 0 Wn ~ Wa-i{1) 0 ... 0 И^-1(п),
индуцированный морфизмом коммутативности градуированных векторных
пространств, корректно определен: он не зависит от представления а в виде
произведения транспозиций в Symn.
Задача 3.2. Покажите, что для градуированного векторного
пространства W алгебры Sym(W) и Am(W) — супералгебры.

7.3. Градуированная линейная алгебра
429
7.3.2. Примеры супералгебр
Пример 3.1 (Тензорная алгебра). Тензорная алгебра
оо
T(V) = ($V®k, V° = C-1,
k=0
четного векторного пространства V является супералгеброй. Умножение
дается тензорным произведением, а четное и нечетное подпространства —
формулой
T(V)° = 0 V®k, T{V)1 = 0 V®k.
к четно к нечетно
Пример 3.2 (Симметрическая алгебра). Симметрическая
алгебра Sym(F) четного векторного пространства V является
коммутативной алгеброй. Выбором базиса х\, ...,хп в V устанавливается
изоморфизм Sym(y) ~ C[xi, ..., хп] — полиномиальная алгебра на
коммутирующих переменных х\, ..., хп.
Пример 3.3 (Внешняя алгебра). Внешняя алгебра А*У четного
векторного пространства V является коммутативной супералгеброй с
умножением, заданным внешним произведением; четное и нечетное
подпространства — образы соответствующих подпространств T(V) при сюръек-
тивном отображении
T(V) -> A'V = T{V)/J,
где J — двусторонний идеал в T(V), порожденный элементами u<g>v+v<g>u,
u,v £ V. Согласно (3.1) А* (V) = Sym(UV). Выбором базиса 0i, ...,0П
в нечетном векторном пространстве U.V устанавливается изоморфизм
Ae(V)-C[0b...A].
Здесь C[0i, ..., вп] — алгебра Грассмана, полиномиальная алгебра на анти-
коммутирующих переменных 0i, ..., вп.
Пример 3.4 (Алгебра дифференциальных форм). Пусть М — п-
мерное многообразие. Градуированная алгебра А* (М) гладких
дифференциальных форм на М — коммутативная супералгебра.
Пример 3.5 (Алгебра Клиффорда). Алгебра Клиффорда C(V)
квадратичного векторного пространства (V,Q) является супералгеброй

430
Глава 7
с умножением и градуировкой, унаследованными от тензорной
алгебры Т(V) при сюръективном отображении
T(V) -> AmV = T(V)/J,
где теперь J — это двусторонний идеал в Т(У), порожденный
элементами г/®г;Н-г;®гг—2Ф(и, г;)-1, гл, г; £ V. Естественное отображение V с-^ C(V)
инъективно, и V отождествляется со своим образом в C(V). Элементы V
нечетны в C(V). Фермионное гильбертово пространство Жр является
левым супермодулем над С2п, а изоморфизм С-алгебр р : С2п -* End(J^)
(см. предложение 1.1) — изоморфизм супералгебр.
Пример 3.6 (Градуированная матричная алгебра). Пусть W —
градуированное векторное пространство. Векторное пространство End(W)
всех эндоморфизмов W является градуированным векторным
пространством: четное подпространство состоит из всех эндоморфизмов,
сохраняющих градуировку W, а нечетное — из меняющих градуировку. Векторное
пространство End(W) — супералгебра с умножением, заданным
композицией эндоморфизмов, и W является модулем над End(W). Когда W = Ср'9,
супералгебру End(W) обычно обозначают Mat(p\q). Ее элементы удобно
представлять в виде блочных матриц 2x2
А _ (Ап А12\
" \А21 А22) '
где An, Ai2, А2\ и А22 — соответственно матрицы порядков р х р, р х q,
q х ри q x q. Четные и нечетные элементы Mat(p|g) — это соответственно
блочно-диагональные и антидиагональные матрицы {Лог а22) и (М ^о2)•
Пример 3.7 (Супералгебра Ли). Градуированное векторное
пространство g называется супералгеброй Ли, если на нем определена
суперскобка Ли — линейное отображение [ , ] : g 0 g -^ g, удовлетворяющее
следующим свойствам.
(i) (Суперкососимметричность)
[х,у} = -(-1рЫ[у,х]
для однородных х,у £ д.
(И) (Супертождество Якоби)
[х, [у,z}} + (-1)Шу\+\'П\у, [z,x}\ + (-1)W(W+I»I>[*, [x,y]} = 0
для однородных x,y,z e Q.
Согласно предложению 2.2 алгебра Грассмана Grn со скобкой
Пуассона (2.7) является супералгеброй Ли.

7.3. Градуированная линейная алгебра
431
Для классических простых алгебр Ли есть соответствующие
супералгебры Ли.
Задача 3.3. Докажите все утверждения этого раздела.
Задача 3.4. Покажите, что на супералгебре А вводится структура
супералгебры Ли с суперскобкой Ли, определенной формулой
[а,Ъ}=аЬ-(-1)^Ща
для однородных a, b £ А.
7.3.3. Суперслед и березиниан
Пусть А = Л° 0 Л1 — коммутативная супералгебра. Имеется
следующее общее понятие градуированной матричной алгебры.
Определение. Градуированная матричная алгебра с коэффициентами
в Л — это супералгебра Mat A(p\q) блочных 2x2 матриц
А _ (An A12\
" V421 A22J '
где Ац9 А12, А21 и А22 — соответственно матрицы порядков р х р, р х q,
qxpnqxqc элементами из А. Элемент A £ Mat ^{р\я) четен, если
соответствующие матрицы Ац и А22 состоят из четных элементов Л, а
матрицы Ai2 и А21 — из нечетных элементов А. Элемент A £ Mat^(p\q) нечетен,
если матрицы Аци А22 состоят из нечетных элементов Л, a Ai2 и А21 — из
четных элементов А. Градуированное векторное пространство Mat^(p\q) —
супералгебра с произведением, заданным умножением матриц.
Алгебра Mat(p\q) в примере 3.6 соответствует случаю А = С; другой
интересный пример — когда А — алгебра Грассмана.
Довольно замечательно, что такие основные понятия линейной
алгебры, как след и определитель, допускают нетривиальные обобщения на
случай градуированных матричных алгебр.
Определение. Суперслед на градуированной матричной алгебре — это
линейное отображение Trs : Ma,t A(p\q) —> Л, определенное формулой
TrsA = TrAn - (-1)1Л|ТЫ22, А = f£j *A e MatA(p\q),
где Тг — обычный матричный след.

432
Глава 7
Предложение 3.1 (Циклическое свойство суперследа).
TrsAB = (-l)WWTrsBA, A, Be M&tA(p\q)-
Доказательство.
Мы проверим только случай, когда обе блочные 2x2 матрицы А
и В — четные элементы Mat^(p\q). Другие случаи разбираются аналогично
и оставляются читателю. Из циклического свойства следа имеем
TrsAB = ЩАцВп + А12В21) - Tr(A2iB12 + А22В22) =
= Тг(Вг1 Ап - В21А12) - Тг(-В12А21 + В22А22) = TrsBA.
Супералгебра End(J7I?f) соответствует случаю А = С и является
изоморфной с Mat(2n_1|2n_1). Суперслед на End(j£5r) дается формулой
TrsA = ТгАц - ТгА22 = ТЫГ, А е EndpTF), (3.2)
где Г — оператор киральности (см. раздел 7.1.2). Как блочная 2x2 матрица
он имеет следующий вид:
где / обозначает тождественный оператор в Jtifj? и Jtifp.
Нетривиальной задачей является определение супердетерминанта —
естественного аналога детерминанта для градуированных матричных
алгебр, который был бы мультипликативен и удовлетворял обобщению
правила deteA = еТтА. Соответствующий объект, определенный только для
обратимых А £ Mat^(p|g), ввел Ф. А.Березин. Теперь этот объект
повсеместно называют березинианом и обозначают Вет(А).
Рассмотрим сначала случай четной диагональной А = ( 0П а° )• ^°"
отношение
Вег(еА) = е^А
определяет березиниан формулой
Вет(А) = detail detA^-
Таким образом, в этом случае четная q x q матрица А22 с необходимостью
обратима, т.е. det A22 — обратимый элемент коммутативной алгебры А0,

7.3. Градуированная линейная алгебра
433
так что существует обратная матрица А^. Теперь рассмотрим четную
матрицу А £ Mat д(р|д). общего вида и предположим, что матрица А22
обратима. Легко проверить следующий аналог разложения Гаусса:
[Ап А12\ (1Р А12А£\ (А11-А12А2-21А21 0\( 1Р 0\
\A2i А22] \0 Iq )\ О А22]\А^А21 ij'
где Ip и Iq — соответственно р х р и q x q единичные матрицы. Этим
обосновывается следующее определение.
Определение. Пусть А Е Mat^(p|g) — четная матрица, такая, что
соответствующая четная q x q матрица А22 обратима. Тогда березиниан
(супердетерминант) А дается формулой
Вег(Л) = det(An - А12А22А21) det А^1.
Предполагая, что р х р матрица Ац обратима, получаем разложение
(Ац А12\_( 1Р 0\(Аг1 О \(1р А^А12\
\А21 А22) \A2iA-,1 lj\0 A22-A2iArfA12)\0 Iq J1
из которого можно предположить, что также
Вет(А) = det Аи det(A22 - A2iAu1A12)~1.
Фундаментальный факт заключается в том, что для четных обратимых
A £ MatA(p\q) эти две формулы березиниана совпадают.
Теорема 3.1. Пусть
А = (АЛП Ал12)
\А21 A22j
— четный элемент Mat^(p|g). Тогда
(*) А обратимо, если и только если матрицы Ац и А22 обратимы;
(ii) при обратимых А Вег(А) — обратимый элемент Л°,
удовлетворяющий формулам
Вег(А) = det(An - А12А22 А2\) dek A22 =
= det Ац det(A22 - A21A^Ai2)~x

434
Глава 7
и
(ш) если четные А, В £ Ma,t^(p\q) обратимы, то
Вег(АВ) = Вет(А)Вет(В).
Задача 3.5. Завершите доказательство предложения 3.1.
Задача 3.6. Докажите теорему 3.1.
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих
переменных
7.4.1. Виковские и матричные символы
Здесь мы приведем исчисление виковских и матричных символов
операторов в фермионном гильбертовом пространстве Jffp, аналогичное
исчислению виковских и матричных символов в голоморфном представлении
в разделе 2.2.7 главы 2. Как и в случае бозонов, принято работать в
антиголоморфном представлении, используя J4?f = C[0i, ... ,6п] в качестве
фермионного гильбертова пространства с операторами рождения и
уничтожения
ак = 6к и а*к = -£-, * = 1, ...,п. (4.1)
двк
Скалярное произведение (2.11) принимает вид
(/i, h) = J /i (ёЩв)е-ввс10<Ю, (4.2)
и одночлены
fI(e) = eil...eik, l^ti < ... <ik^n,
параметризованные подмножествами / = {zi, ... ,ik} С {1, ...,п},
образуют ортонормированный базис в Жр.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 435
Определение. Матричный символ оператора А : <Щг —> J&F — это
элемент Л(0, в) G C[0i, ..., 6п, 6\, ..., вп], определенный формулой
Л(в, в) = 5^(i4/Js fi)fi(6)jj{3) =
I,J
= /XAfj, fl) eh... вгкв^ . . . в^.
I,J
Здесь ведется суммирование по всем подмножествам / = {zi, ...,г^}
и J = {ji, ...,j/} множества {1, ...,п}, и, как и в разделе 7.2.3, мы
обозначаем символом /(в) естественную инволюцию на алгебре Грассма-
наС[0ь...,Оъ ..-А]:
7А$) = Оь...оя для fJ(o) = ojl...9jl.
Согласно предложению 1.1 С2П — End(£^), так что любой
оператор А : Жр —> ^£f единственным образом представляется в виковской
нормальной форме следующим образом:
А = ^Г Ки a*ix ... a*kah ... ajr
i,j
Определение. Виковский символ оператора А : Жр —> M"f — это
элемент А(6, в) £ C[0i, ..., вп, 0i, ..., 0П], определенный формулой
A(e,e) = J2Kueil...eikejl...ejl.
I,J
Замечание. Определение матричного и виковского символов в фер-
мионном случае дословно повторяет соответствующее определение для
бозонов из раздела 2.2.7 главы 2. Заметим, однако, что в случае ферми-
онов произведение 6jt ... 6j1 в определении матричного символа
упорядочено противоположно, как того требует скалярное произведение (4.2)
вС[0ь ...А].
Матричному и виковскому символам Л(0, в) и А(в, в) оператора А
канонически сопоставляют элементы Л(0, а), А(0, а) и Д(а,0), А(а,в)
большей алгебры Грассмана:
С[а,а,0,0] =C[ai, . ..,ап,аь . ..,ап,0ь ...,Мь ...А],

436
Глава 7
заменяя соответственно 0* на oti и вг на с^. Неполный интеграл Березина
J dotdo. на С [а, а, 0,0] определяется формулой
/
№~lkik----kwj' /^K*.M.
и обладает свойством
A ft(0,0)#(а, a)dada = ft(0,0) / #(а, a)dada. (4.3)
Мы будем также использовать неполный интеграл Березина J dOdO,
определенный формулой
Как следует из доказательства следствия 2.1,
J{alh)T2e-e°dede = _(-l)l/li+l/»l jhT^ti)e-eeMde, (4.4)
где операторы а£ и а& даются формулой (4.1) и /i, /2 £ С [а, а, 0,0].
Следующий результат показывает, что матричный символ оператора А
в Жр, являющегося просто 2n x 2П матрицей, можно рассматривать как
интегральное ядро в антикоммутирующих переменных!
Лемма 4.1. Пусть Л(0, 0) — матричный символ оператора А в ^jr.
Тогда для любого f(0)eJ#F
(Af)(0) = f A(e,a)f(a)e-*adada. (4.5)
Доказательство.
Достаточно доказать (4.5) для / = /к, где К = {hi, . ..,fcm} С
С {1, ..., п}. Используя (4.3) и лемму 2.5, получаем
f A{e,OL)fK{6i)e-6LOLdoLd6L =
= ^(Л/^/7)/7(0) fjA^fK(cx)e-™dcxdcx =
i,j J

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 437
Следующим шагом введем грассманов аналог когерентных состояний
(см. раздел 2.2.7 главы 2). Положим
Фа(0) = /<* = £/7(0)№) и Фв(0) = е-& = £;Ш//(*)-
Как и в бозонном случае, элементы Фа,Фа £ С[а,а,0,0] удовлетворяют
уравнениям
dk^CL = ЗДФа И afc<lc* = -ttfcФа, fc = 1, . . . , П. (4.6)
Очень просто выразить матричный символ оператора в терминах
когерентных состояний.
Лемма 4.2. Пусть A(6l, a) — матричный символ оператора А в Жр-
Тогда
Л(а,а) = (ЛФа,Фа).
Доказательство.
Доказательство состоит в элементарном вычислении (см.
доказательство леммы 2.4 в разделе 2.2.7 главы 2)
Л(а,а) = Y, {AfjJi)fi(cx)TJ(&) =
i,j
= XI (^/jT^./K*)//) = (^*«, Ф«).
Следующий результат — точный аналог леммы 2.4 из раздела 2.2.7 главы 2.
Лемма 4.3. Матричный и виковский символы оператора А в Я?р
связаны соотношением
Л(а,а) = е*аА(а,а).
Более того, Л(а, в) = е*вЛ(а, 0) и i(0, а) = еёсхА(в, а).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Как следует из определения когерентных состояний,
(Фа,Фв) = еа<\
Теперь, представив оператор А в виковской нормальной форме и
воспользовавшись

438
Глава 7
свойствами (4.4) и (4.6), получаем
(АФа, Фв) = ]Г #/j« ... a*kajlL ... алФв, Фа)
/,j
/,j
/,J
= Л(а, а)(Ф«, Фа) = еасМ(а, а).
Этим же вычислением с заменой Фа на Ф#, или Фа на Фв, доказываются
оставшиеся две формулы. Таким образом, мы показали, что 2n x 2П
матрицы — операторы в фермионном гильбертовом пространстве Jffp — можно
рассматривать как интегральные операторы от антикоммутирующих
переменных, интегральные ядра которых даются матричными или виковскими
символами. Следующий результат — точный аналог теоремы 2.2 из
раздела 2.2.7 главы 2; в нем устанавливается исчисление символов для
операторов В J&F'
Теорема 4.1. Пусть А\ и А2 — операторы в J^f с матричными
символами А\(в,в) и Л2(0,в) и виковскими символами А\(в,в) и А2(в,в).
Тогда имеют место следующие формулы.
(/) Матричный и виковский символы оператора А — А\А2 даются
формулами
А(в,в) = fA1(e1a)A2(cLie)e-6LOLd(xda,
А(0,в) = fA1(e,a)A2(a,e)e-^e-^e-^dada.
(if) След и суперслед оператора А в Jtp даются формулами
TrA= f A(e,e)e-eedede= fA(e,e)e-Wedede,
tysa= f A(e,e)e-eeded§= fA(e,e)dede.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 439
Доказательство.
Часть (i) для матричных символов доказывается следующим
элементарным вычислением:
[ А1(ё,а)А2(а,в)е-*а(1сх(1а =
= ЕЕ(^М(4^^) ffi(e)J^fK(a)7U0)e-^adada =
I, J K,L J
= £ {A1fjJI)(A2fLJJ)fI(e)fL(0)
I,J,L
£ (A2fL,fj)(fj,A*1fI)fI(e)h(e)
I,J,L
= £ {A2fL,AVi)fi(6)fL(§) = £ Hi^2/l,//)//(0)/lW = i(M).
Соответствующая формула для виковских символов теперь следует из
леммы 4.3. Доказательство части (И) тоже очевидно. Имеем
/'A(e,e)e-eed0de = Yl(Afj,fi) 1ШЫв)е-вёс1вс1в
"" i,j ""
I
Аналогично,
[ А(в, в)е~ёЧвйв = J^/j, /') / 11Ф)1Ж)е-ёв<1Вйв
J I,J •*
= ^(-1)1/1(А//,//) = Ъ-8Д
где \1\ обозначает мощность подмножества JC{l,,..,n}.
Соответствующие формулы для виковских символов следуют из леммы 4.3.

440
Глава 7
Задача 4.1. Докажите непосредственно все результаты из этого
раздела для простейшего случая одной степени свободы, когда Жр — С2.
Задача 4.2. Покажите, что виковский символ произведения А =
= А\... А\ дается формулой
А(0,в) = / • • • / A,(e,ai_i)... Ai(ai,в)ехр { ^afc(afc_i - ак) +
J J k=i
+ 6(oli-i — в) >doLidoti... doti-idon-i,
где (xQ = в и Ак(в, в) — виковские символы операторов Ак.
Задача 4.3. Докажите, что виковский символ Г(0, в) оператора ки-
ральности Г это е~2вв.
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции
Пусть Н — гамильтониан системы из п фермионов — оператор
в M*f с виковским символом Н(в, в). Здесь мы выразим виковский
символ и(в,в\Т) оператора эволюции U(T) = е~гТН, используя интеграл по
путям в грассмановых переменных. Изложение будет параллельно
разделу 5.2.4 главы 5, с очевидными упрощениями, вызванными тем, что фер-
мионное гильбертово пространство Жр конечномерно. Конкретно, вместо
предположения (2.11), сделанного в разделе 5.2.4 главы 5, будет
использоваться следующий элементарный результат.
Лемма 4.4. Пусть U(At) — оператор с виковским символом e~lH(e^Atm
Тогда
U{T) = lim U(At)N, где At = £.
Доказательство.
Виковский символ оператора R(At) = I — iHAt — U(Ai) — это
многочлен от At с коэффициентами из алгебры Грассмана, с первым
членом (At)2. Легко видеть, что ||Д(Д£)|| ^ c(At)2 для некоторого с > 0,
и
U(T)= lim (I-iHAt)N = lim (U(At) + R(At))N = lim U(At)N.
N—►00 iV—юо N—*oo
Используя формулу для композиции виковских символов (см. теоре-

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 441
му 4.1 и задачу 4.2), можно представить виковский символ им(в,в',Т)
оператора U(At)N как (N — 1)-кратный интеграл Березина. А именно:
рассмотрим антикоммутирующие переменные ак = {а\, . ..,а£}, бск =
= {а\, ..., а£ }, /с = 1, ..., N — 1, — образующие алгебры Грассмана с ин-
п
волюцией — и обозначим оскак = JZ &1к&1к и т- Д- Тогда
Г Г N
UN(6, 0; Т) = / • • • / ехр { ]T(afc(afc_i - ак) + 0(а^ - в) -
N-l
-iH(6Lk,OLk-i)At)j Y[ dotkd6Lk,
k=l
где ao = 0, и мы положили a^v = 0. Из леммы 4.4 следует, что
и(в,в;Т)= lim им(в,в;Т) =
N—юо
= Ш /••• /exp{^(afc(afc_i-afc)+0(aiv-0)- (4.7)
ЛГ-1
-г#(а*,а*_1)Дт JJ dakdak.
k=i
Эта формула выглядит в точности, как соответствующая формула
(5.2.4) для виковского символа оператора эволюции в разделе 5.2.4
главы 5! Соответственно, мы интерпретируем предел N —> оо как следующий
фейнмановский интеграл по путям в грассмановых переменных (или грае-
сманов интеграл по путям):
Т
/I f{iOL6L-H{OL,OL))dt+e{OL{T)-0)
е о ®ol®6l. (4.8)
\<*(0)=в/
Здесь «интегрирование» ведется по всем функциям a(£), ct(t) с антикомму -
тирующими значениями2 на интервале [О, Т], удовлетворяющим граничным
2Для любого 0 ^ t ^ Т имеется копия независимой алгебры Грассмана с
образующими а1^), ....а'Ч^аЧ*), ...,an(t).

442
Глава 7
условиям а(0) = 0, а(Т) = в и
N-1
QiolQiol = TT da(t)da(t) = lim TT dakdak.
O^i^T fc=l
Как и в разделе 5.2.4 главы 5, при 0 < t < Т переменные ot(t)
сопряжены к ct(t) относительно инволюции алгебры Грассмана, тогда как а(0)
и а(Т) — тоже переменные интегрирования — не сопряжены к граничным
значениям а(0) = 0, а(Т) = 0.
Замечание. Следует подчеркнуть, что единственный строгий смысл
грассманова интеграла по путям (4.8) — это предел кратных интегралов
Березина в (4.4). Однако, как мы уже видели в главе 5, оказывается очень
полезным представлять, что у интеграла по путям есть и независимое
определение, и формально обращаться с ним так, как если бы это действительно
был интеграл.
Используя теорему 4.1, легко выразить суперслед оператора
эволюции U(T) — оператора в конечномерном гильбертовом пространстве Жр —
как грассманов интеграл по путям. Имеем
Trse-iTH = lim [ UN(e,e\T)Mde = lim /• • • /exp \в(ам - 0) +
N—юо J N—юо J J I
N N-1
+ ^(afc(afc_i -OLk) -iH(6Lk,OLk-1)At)j Д doLkdoLkd6de =
k=i k=i
T
/if(iaa-H(ct,a))dt
e° ^a^a
fa(0)=a(T)l
\a(0)=a(T)/
— грассманов интеграл по путям с периодическими граничными
условиями. Периодические граничные условия возникают здесь из условий olq = в
и aw = 0 точно так же, как в разделе 5.2.4 главы 5, с использованием на
этот раз теоремы (4.1) и задачи (4.2). Обозначив как Л соответствующее
«пространство грассмановых петель» — пространство всех функций с ан-
тикоммутирующими значениями а(£) и а(£), сопряженных относительно
инволюции алгебры Грассмана и удовлетворяющих периодическим
граничным условиям а(0) = а(Т) и а(0) = а(Т), — можно переписать
предыдущую формулу как
т
■г~ш Г if(icta-H(ct,ct))dt
Tvse-lTH = e о 0a0a.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 443
Заменяя физическое время t на евклидово время —it, a T на — гТ,
получаем представление виковского символа оператора U(—iT) = е~™ в виде
грассманова интеграла:
т
/-Г(аа+Я(а,а)Ц
е Ь 3>ol$6l,
f<k(T)=0\
\<*(0) = в/
а также для суперследа —
Trse"TH = / е ° ^а^а. (4.9)
Задача 4.4. Выразите матричный символ оператора эволюции как
грассманов интеграл по путям.
Задача 4.5. Покажите, что
Тте~™ = / е ° ^а^а
/
/а(0)=-а(Г)1
\а(0)=-а(Г)/
— грассманов интеграл по путям с антипериодическими граничными
условиями.
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых переменных
Для простоты мы рассмотрим здесь только случай п = 1. Как и в
разделе 5.5.3 главы 5, для u(t) G C^QO,!1],]^) положим
т
u0 = ^Ju(t)dt и D=j-t
о
и рассмотрим на интервале [О, Т] дифференциальный оператор первого
порядка D + u(t) с периодическими граничными условиями. Следующий
результат дает значение простейшего гауссова интеграла по путям для
грассмановых переменных.

444
Глава 7
Теорема 4.2. Имеем
г -J
Iе °
J(aa+u(t)aa)dt
3>аЗ>а = det(D + u(t)) = 1 - е~иоТ.
Доказательство.
Используя лемму 2.4, получаем
/
— f (aa+u(t)aa)dt
е ° 2)а^а =
= lim / • • • / efc"
N-^ooJ J
N (- - \ N
X) [ak(ak-i-ak)-u(tk)akak-iAt) „
[[dakdak
k=i
= lim det An •
Здесь ао = с*лг, Обо = Об n, tk = к At, a An — следующая N x N матрица:
iAT
/10 0
fci 1 0
0 b2 1
0 0 0
\o о о
0 bN\
о о
о о
1 0
bN-i i У
где Ьк = — 1 4- w(ffc) Af. Имеем
iV
TV
det AN = 1- (-1)N Ц 6, = 1 - Ц(1 - и(**)Д*)>
fc=i
fc=i
так что
\\m det AN = l-e о = i _ e-u°T.
Доказательство завершается использованием предложения 5.3 из
раздела 5.5.3 главы 5.

7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных 445
Пример 4.1 (Фермионный гармонический осциллятор). Фер-
мионный аналог гармонического осциллятора — это гамильтониан
Н = ±си(а*а - аа*) = и(а*а - \I) = w(N - \l),
где а* и а — операторы рождения и уничтожения в однофермионном
гильбертовом пространстве Jtfp — С2 (см. раздел 7.1.1). Виковский символ
оператора Н — это Н(а,а) = ш{аа — \). Теперь, воспользовавшись (4.9)
и теоремой 4.2, получаем
/* - J(ad+H(a,a))<ft
Тт3е~тн = / е о ЯаЯа =
л
^L Г - j{ad+ujaa)dt <^L _ . ,т
= е 2 / е о ®ol®ol = е 2 (1 - е"^) = 2sinhЦ-.
л
Конечно, тот же результат можно получить непосредственно, так как
е~тн — это просто матрица 2 х 2 с собственными значениями е 2 и е 2
и соответствующими собственными подпространствами <^р и ^р.
Таким образом,
ujT ujT лг,
TVse"T// = e2 _е"2 = 2sinh^-.
Замечание. Имеется следующий аналог формулы (2.6) из главы 6
для интеграла по путям в грассмановых переменных:
[ f(a, а)9а9а = I ( f /(/?, в- 0,0)9P9J3 j d6d0, (4.10)
A \ \A0 /
где
a(t) = 0 + 0(t) и [p(t)dt = 0,
а Ло — пространство грассмановых петель /?(£), /?(£) с нулевым постоянным
членом.

446
Глава 7
Пример 4.2. Воспользовавшись формулой (4.10) и теоремой 4.2,
получаем
т
/— f(aa+ujaa)dt
е ° 9а9а =
А
f ran -Г -fW+w00)dt _ Г - f{P(3+u;P/3)dt
= е-"твв(1в(1в е ° 9090 = сиТ е ° 9090,
Л0 Л0
так что
г -fppdt det(D + u;) 1-е-"т
/ е о 9090 = цт Ц= - = lim -—%-— = 1.
Л0
Эквивалентно,
/ е о 9090= ^ det'D, (4.11)
Л0
где det'D = Т (см. предложение 5.3 из раздела 5.5.3 главы 5). Введя
ад = А=№) + №), W) = ^=№) - Ш,
у/2 гу/2
так что 0j(t) = 0j(t), j = 1,2, можно переписать (4.11) как
-к J(0i0i+0202)<ft л
Л0
Поскольку Pf '(£>) = Vdet'Z) = >/Г, имеем
/* -\JoOdt л
/ е 2° 9e = ^-Vi'{D) = \. (4.12)
Ло(К)
Здесь область интегрирования Ло(М) состоит из всех функций 6(t) со
значениями в алгебре Грассмана над R, имеющим нулевой постоянный член
и удовлетворяющим периодическим граничным условиям 0(0) = в(Т). Мы
воспользуемся формулами (4.10) и (4.12) в разделе 8.2.2 главы 8.
j e 2ov "'"'9вх9в2 = j, det'D = 1.

7.5. Замечания и ссылки
447
Задача 4.6. Покажите, что
/
(а(0)=-а(Т)\
\a(0)=-a(T)J
т
- f(aa+u{t)aa)dt _
е о да9а = 1 + е~и°т
— регуляризованный детерминант оператора D + u(i) на [О, Т] с
антипериодическими граничными условиями.
Задача 4.7. Для фермионного гармонического осциллятора докажите
формулу
Тге-ТЯ = 2 cosh ^- как непосредственно, так и с помощью результатов
задач 4.5 и 4.6.
Задача 4.8. Докажите формулу (4.10). (Указание: следуйте
доказательству теоремы 4.2 и воспользуйтесь разложением зд = в + /?&, где /?о =
= pN и X) А = о.)
fc=l
Задача 4.9. Дайте прямое доказательство формулы (4.12).
7.5. Замечания и ссылки
Канонические антикоммутационные соотношения, обсуждавшиеся
в разделе 7.1, ввели П. Йордан и Э. Вигнер в 1928 г. [JW28]. Мы отсылаем
читателя к классической монографии Ф. А. Березина [Бер86с] за
исчерпывающим математическим разбором канонических коммутационных и
антикоммутационных соотношений. Хотя работа [Бер86с] посвящена в
основном квантовым системам с бесконечным числом степеней свободы,
изучающимся в квантовой теории поля, в ней обсуждается и более
простой случай конечного числа степеней свободы. Замкнутое математическое
введение в алгебры Клиффорда, их представления и другие темы
можно найти в [Var04] и цитируемых там работах. Фундаментальную идею
о том, что системы с грассмановыми переменными возникают как
квазиклассические пределы фермионов, сформулировал И.Л.Мартин в 1959 г.
[Mar59b,Mar59a]. Ф. А. Березин в [БербЗ] независимо ввел грассмановы
переменные для строгого математического описания вторичного квантования

448
Глава 7
фермионных систем с помощью производящих функционалов для векторов
и операторов. Материал в разделе 7.2 — дифференциальное и интегральное
исчисление на алгебре Грассмана — принадлежит Ф. А. Березину, и наше
изложение следует [Бер86с] и [Бер83с]. Супералгебру — линейную алгебру
градуированных векторных пространств, — которую мы очень кратко
излагаем в разделе 7.3, тоже открыл и разработал Ф. А. Березин [Бер83с].
Источники [Ман84], [Fre99] и [DM99] познакомят читателя с более абстрактным
математическим описанием предета, тогда как лекции [Var04] дополняют
теоретико-категорный подход [DM99] мотивациями из физики. Мы
ссылаемся на [Бер63,Бер86с] для общего обсуждения интеграла по путям в
переменных Грассмана и матричных и виковских символов операторов в фер-
мионном гильбертовом пространстве. В разделе 7.4 мы следуем изящному
изложению [Сла88с]; как и в разделе 5.2.4 главы 5, мы аккуратно разбираем
граничные условия для грассмановых интегралов по путям для виковских
символов (в отличие от формул [Бер71а]).

Глава 8
Суперсимметрия
8.1. Супермногообразия
На координатном векторном пространстве V = Rn есть естественная
структура гладкого многообразия, сопоставляющая любому открытому
подмножеству U CRn коммутативную R-алгебру C°°(U) всех гладких
функций на U. Сопоставление
U^C°°{U)
для открытых U С Rn определяет пучок коммутативных М-алгебр
(коммутативных колец) на топологическом пространстве Rn и превращает его
в окольцованное пространство. Любое гладкое n-мерное многообразие М
является окольцованным пространством — топологическим пространством,
на котором определен пучок коммутативных колец, — локально
изоморфным окольцованному пространству Rn. Легко видеть, что такое
определение эквивалентно стандартному, в котором многообразие получается
склеиванием координатных окрестностей. В понятии супермногообразия эта идея
обобщается с помощью локальных моделей, связанных с градуированными
векторными пространствами.
А именно: пусть W = Шр\д — координатное градуированное векторное
пространство размерности p\q над R. Следующим определением
формализуется интуитивное представление о том, что нечетные координаты на W
антикоммутируют.
Определение. Супермногообразие Rp\q — это топологическое
пространство Шр вместе с пучком коммутативных R-супералгебр
(суперкоммутативных колец) над R, называемым структурным пучком и определенным
сопоставлением
U^C°°(U)[e\ ...,0«]
для открытых U С Rp, где С00(?7)[б1, ..., в4] — алгебра Грассмана на
образующих 01, ..., вя над коммутативным кольцом C°°{U).

450
Глава 8
Замечание. Элементы С°°(С/)[^1, ..., вя] имеют вид
при / = {zi, ... ,2fc} С {1, ... ,#} и называются функциями на
супермногообразии Мр'9 над U. Таким образом, Rp\q — координатное пространство
с четными координатами х = (ж1, ... ,хр) и нечетными координатами
в = (01, ... ,6q), и мы будем записывать элемент / е С°°(С/)[(91, ... ,6q]
как /(ж, 0).
Определение. Супермногообразие размерности р|# — это пара
(X, 0х) — топологическое пространство X вместе с пучком Ох
суперкоммутативных колец над М, называемым структурным пучком, локально
изоморфным Мр'9.
Супермногообразия образуют категорию: морфизм между
супермногообразиями (Х,Ох) и (У, Оу) — это непрерывное отображение (р : X —> Y
вместе с отображением пучков ц>* : Оу —> Ох над (р — набором
гомоморфизмов суперкоммутативных колец над М,
Фу : Oy(V) —> Ох((Р~1(У)), где подмножество V СУ открыто,
коммутирующих с отображениями ограничений пучков.
Любому векторному расслоению Е ранга q над обычным р-мерным
многообразием М соответствует супермногообразие НЕ размерности p\q,
определяемое сменой четности в слоях Е. То есть для каждого
открытого U С М пусть C°°(U, Е) — пространство всех гладких сечений Е над U.
Это свободный С°°(U)-модуль, порожденный g сечениями в1, ..., в4.
Рассмотрим их как образующие алгебры Грассмана (этим объясняется
использование греческих букв) и определим структурный пучок
супермногообразия НЕ, сопоставляя U ь-> С00(?7)[б1, ..., б9]. Можно показать, что любое
супермногообразие изоморфно (неканонически) НЕ для некоторого
векторного расслоения Е над М.
Замечание. Морфизмов супермногообразий гораздо больше, чем
морфизмов векторных расслоений, так как разрешается перемешивать
четные и нечетные переменные. Так, для супермногообразия R1'2 с четной
координатой х и нечетными координатами в\, 02 отображение
ф) = х + в1в2, у>(0*) = в\ i = 1,2,
— изоморфизм М1'2, не индуцированный изоморфизмом тривиального
расслоения ранга 2 над R.

8.1. Супермногообразия
451
С помощью этих определений можно развивать дифференциальную
геометрию супермногообразий и соответствующую теорию
интегрирования, довольно похожие на обычную геометрию многообразий (см. ссылки
в разделе 8.7). Мы рассмотрим здесь только простейший пример
супермногообразия ПТМ, где М — обычное многообразие. Замечательно, что
основные понятия дифференциальной геометрии многообразия М можно
сформулировать в терминах супермногообразия ПТМ.
А именно: пусть А*(М) — коммутативная супералгебра гладких
дифференциальных форм на n-мерном многообразии М и пусть С°° (ПТМ) —
коммутативная супералгебра глобальных сечений структурного пучка
ПТМ — супералгебра функций на супермногообразии ПТМ. Изоморфизм
Д#(М)~С°°(ПТМ)
позволяет интерпретировать дифференциальные формы на М как функции
на ПТМ. Действительно, любой форме шр £ ЛР(М), заданной в локальных
координатах на U С М формулой
ujp = 2_] ah ...гр(x)dx4 Л ... Л dxlp,
сопоставим
1^*1 < • • • <гр^п
Из определения дифференциальной формы и супермногообразия ПТМ
тривиально выводится, что при заменах координат компоненты а^... гр (х)
преобразуются как коэффициенты дифференциальной формы, а в\... ,вп —
как компоненты касательного вектора, так что шр(х,в) — корректно
определенная функция на супермногообразии ПТМ. Соответственно,
дифференциал де Рама d порождает нечетное векторное поле 5 на ПТМ,
удовлетворяющее свойству S2 = 0. Наконец, на супермногообразии ПТМ
имеется каноническая форма объема dxdO — dx1... dxnd61... d6n,
корректно определенная благодаря противоположным формулам замен
переменных в обычном интеграле и интеграле Березина (см. раздел 7.2.3
главы 7). Интегрирование по М дифференциальной формы старшей степени
сводится к интегрированию соответствующей функции по ПТМ по
канонической форме объема,
/ шп = / un{x,0)dxdO.
М ПТМ

452
Глава 8
Замечание. Иногда в математической литературе, подчеркивая, что
формулы замены переменных в обычном интеграле и интеграле
Березина противоположны, форму объема на супермногообразии UTM
обозначают dxdO~x.
Задача 1.1. Докажите все утверждения этого раздела.
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация
8.2.1. Конечномерный случай
Пусть М — компактное ориентируемое n-мерное многообразие, на
котором задано действие окружности — действие абелевой группы U(l) = S1,
и пусть V Е Vect(M) — векторное поле, соответствующее этому действию,
V(f)(X) = |
f(elt-x), xeM.
Рассмотрим линейный оператор
D = d-iv: А*(М) -> Д#(М),
где гу — оператор внутреннего произведения с V. Воспользовавшись
отождествлением АШ(М) ~ С°°(ПТМ), в локальных координатах
х = (х1, ..., хп) на U С М можно представить D как
/х=1 /х=1
Из формулы Картана (см. главу 1) или непосредственно из (2.1) следует,
что
D2 = -СУ,
где Су — производная Ли. Таким образом, D — это дифференциал на
подкомплексе Am(M)s S* -инвариантных дифференциальных форм на М.
Когомологии этого комплекса и есть эквивариантные когомологии в
формулировке Картана. Поскольку dniy имеют соответственно степени 1 и —1,
эквивариантно замкнутые формы на М в общем случае имеют несколь-
п
ко компонент. Конкретнее, уравнение Da = 0 для а = ^2 ар G Am(M)
р=0
эквивалентно следующей системе уравнений:
dap = iyap+2, p = 0, ..., n — 2, и %уа.\ = О, dan-\ = 0.

8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 453
Пусть My — локус нулей векторного поля V, т.е. множество
неподвижных точек действия окружности. Имеем следующее фундаментальное
свойство эквивариантно замкнутых дифференциальных форм.
Лемма 2.1. Эквивариантно замкнутая дифференциальная форма на
компактном многообразии М эквивариантно точна на М \ My.
Доказательство.
Пусть а £ Лт(М) такое, что Da — 0. Мы хотим найти
дифференциальную форму Л на М\Му, такую, что а = DX на М\Му. Предположим,
что существует форма £ на М \ My с компонентами нечетных степеней,
удовлетворяющая условию D£ = 1. Положив Л = £ Л а, получаем
DX = D£ Л а - f Л Da = а.
Чтобы построить такую форму £, выберем S1-инвариантную риманову
метрику g на М и обозначим как /3 £ Л1(М) 1-форму на М, двойственную
к векторному полю V относительно римановой метрики, /3 = (V, •).
Поскольку метрика g S 1 -инвариантна, Суд = 0, поэтому Су/3 = 0. Имеем
DP = K + {1, где K = -\\V\\2 и П = d/3.
Поскольку К е Л°(М) не обращается в ноль на М \ My,
£ = 0(D/3)-1 = |(1 + K-'П)-1 = I Е(-!)'Й' l =
2=0 ^
является корректно определенной формой на М\Му со свойством D£ = 1.
Следствие 2.1. Старшая компонента эквивариантно замкнутой
формы на М точна на М\ My.
Замечание. В локальных координатах х = (ж1, ..., хп) на М рима-
нова метрика д имеет вид1 ds2 = g^dx^dx"', и уравнение £у<7 = 0 —
условие того, что У является векторным полем Киллинга относительно
метрики д, — можно записать в виде
д»\ V^A + $„a VMvA = 0. (2.2)
Здесь VM — ковариантная производная по векторному полю ^—. Для 1-
формы /3 = g^v^dx^ имеем также
DP = -g^vv + u^dx* Л dx", где ш^ = ^aV>\ (2.3)
1 Предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
П
2

454
Глава 8
В силу (2.2) п х п матрица ш{х) = {ои^1/(х)}'^1/=1 кососимметрична. Для
четного п = 21 ориентация на М позволяет определить Pf(u;(x)) как
произведение Ai... А/ наддиагональных элементов в канонической
форме2 кососимметричной матрицы ш{х) (см. раздел 7.2.3 главы 7). Соответ-
_i
ственно, Pf(uj)(x)(detg(x)) 2 не зависит от выбора локальных координат
и определяет функцию на М. Для любого х £ М существует также
линейное отображение Lx : ТХМ —> ТХМ, определенное формулой LXW =
— (VwV)(x), где W — ковариантная производная по W £ ТХМ.
Поскольку det Lx det д(х) = Pf(a;(x))2, определим
ЛЙ5--^. (2.4)
Для х е My отображение Lx не зависит от выбора S1-инвариантной мет-
рики д и дается матрицей < -^—^{х) >
Согласно лемме 2.1 интеграл J а эквивариантно замкнутой диффе-
м
ренциальной формы а локализуется на л оку се нулей My. Более точно это
выражается в следующем утверждении.
Предложение 2.1. Допустим, что Da=0 на М. Тогда для любого S1-
инвариантного /?Е Л1(М) интеграл j aetDf3 не зависит от t
м
Доказательство.
Обозначим этот интеграл как Z(t). Имеем
j aD(3etD? = j D((3aetD?) + f pD(aetD^) = О,
dt
MM M
где первый интеграл равен нулю по теореме Стокса, а второй — в силу
условий Da = 0и D2/3 — 0.
Обычно этот результат используется для вычисления Z(0) = J а с по-
м
мощью нахождения асимптотики Z(t) при t —> оо. Для подходящим
образом выбранной 1-формы /3 основной вклад дается интегралом по трубчатой
2 Полученной с помощью ортогонального преобразования с детерминантом 1.

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 455
окрестности локуса нулей компоненты К = (D/3)0 £ А°(М), который
можно вычислить в замкнутом виде при t —> оо. Простейший случай
явления локализации происходит, когда у действия окружности на М есть
только изолированные неподвижные точки, т. е. когда My — конечное
множество, a Lx невырождено при х £ My. В частности, в этом случае п
четно.
Теорема 2.2 (Теорема локализация Н. Берлин - М. Вернь). Пусть
М — компактное ориентированное 21-мерное многообразие, на котором
задано действие окружности, имеющее только изолированные
неподвижные точки. Тогда для любой эквивариантно замкнутой формы a £ Л* (М)
I
а = (2тг)< £ МХ)
*м xeMv VdetLx
Доказательство.
Пусть р — 1-форма, вводившаяся в доказательстве леммы 2.1, так что
в локальных координатах Q = d/3 = uj^vdx^ A dxv. Используя
предложение 2.1 и отождествление Лт(М) ~ С°°(ПТМ), получаем
[а= lim / a{x,e)e-t9^x^^vU^^^x^eudxde.
J t^oo J
M UTM
Имеем, в смысле обобщенных функций,
lim Ш y/detg(x)e-t9^^vlA^vU^ = S(V(x)) (2.5)
t—УОО \ /Г /
— главную формулу метода Лапласа (см. метод стационарной фазы в
разделе 2.2.3 главы 2) и
lim (2t)-' \ е^Л»)0"^ = 6(в) (2.6)
— главную формулу гауссова интегрирования по грассмановым
переменным (см. предложение 2.3 в разделе 7.2.3 главы 7). Поскольку а0(х) = а(ж,0),
результат получается с помощью формул (2.5)-(2.6), (2.4) и

456
Глава 8
Задача 2.1. Докажите формулы (2.2)-(2.4).
Задача 2.2. Докажите формулы (2.5) - (2.6) и завершите
доказательство теоремы 2.2.
8.2.2. Бесконечномерный случай
Важный класс бесконечномерных многообразий составляют
пространства петель. Пусть М — компактное ориентируемое n-мерное многообразие
и пусть
£(М) = С°°(51,М),
где 51 = M/Z — его пространство свободных петель. Пространство
петель С(М) — бесконечномерное многообразие Фреше, и касательное
пространство Т7С(М) к С(М) в точке 7 £ С{М) — это
Т7£(М) = Г(51,7*(ТМ))
— векторное пространство гладких векторных полей V = {v(t) Е
е T7(f)Af, 0 ^ t ^ 1} на петле 7 в М.
На пространстве петель С(М) определяется каноническое действие
окружности — действие 51 на себе вращениями. Соответствующее этому
действию векторное поле — это 7» векторное поле скоростей j(t) на
петле 7 в М. Неподвижные точки действия — это постоянные петли, так что
£(М)7 - М.
Векторное поле 7 на £(М) — генератор действия окружности
на С{М) — аналогично векторному полю V на М, рассмотренному
в предыдущем разделе. Как и в конечномерном случае, обозначим как D =
= d — ц эквивариантный дифференциал на комплексе A*(C(M))S экви-
вариантных дифференциальных форм на С{М). Воспользовавшись
отождествлением АШ(С(М)) ~ С°°(ПТ£(М)), имеем следующий
бесконечномерный аналог представления (2.1):
DF = j(e»(t)^)-x»(t)J^-Adt, FeC°°(HTC(M)). (2.7)
Здесь мы используем вариационные производные (как в вариационном
исчислении), локальные координаты х = (х1, ... ,хп) на М и
соответствующие стандартные координаты на ТущМ и ПТ7(4)М, так что *y(i) =
= (x^t), .. .,£»(*)) G Tl{t)M и 0{t) = {6\t), ... ,0»(*)) € ПГ7(0М. Как

8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 457
и в конечномерном случае,
Чтобы определить бесконечномерный аналог 1-формы /?, выберем
риманову метрику gyiVdx^dxv на М и рассмотрим 5 ^инвариантную риманову
метрику на £(М), полученную интегрированием # по петле3,
1
(vuv2)7 = J(vi(t),v2(t)№, УиУ2 е ВДМ).
о
1-форма /? на С(М) двойственна векторному полю 7 относительно рима-
новой метрики на £(М) и задается следующей функцией на ИТС(М):
1 1
Р(Ъ°) = J№)№))& = J9^h(t))^(W(t)dt (2.9)
о о
Лемма 2.2. 1-форма /3 на С{М) является S1-инвариантной, и
функция DP = —25 на ИТС(М) дается формулой
1
Sfr,0) = \ j (ll7(*)H2 + №),4me{t)))dt, (2.10)
0
где V7 — ковариантная производная вдоль 7- Первый член в —25 — аналог
функции К в конечномерном случае, а второй — аналог 2-формы П.
Доказательство.
1-форма /3 является 51-инвариантной по определению. Имеем
Df3 = d{3- ц/3,
3Здесь и ниже (vi(t), V2(t)) всегда обозначает скалярное произведение в Т^^М,
задаваемое римановой метрикой д.

458
Глава 8
где второй член, функция — ц/3 на ПТ£(М), очевидно, дает второй
член в (2.10). Далее, воспользовавшись тем, что, в смысле
обобщенных функций,
И
6 £"(*) - S^j-M -s) = -S^^-S(t - s),
Sxp(s) w dt v J ds
вычислим dp следующим образом:
l l
d/?(7,6») = J Jer(s)^_(g^(x(t))x»(t))e»(t)dsdt =
о о
1 1
= fJw(8)(^-xHt)6(t -s)- S^9^£s(t - s))ev{t)dsdt =
0 0
1
= / (g^itWiWit) + d-§^{x{t))x»{t)e»{tW{t))dt.
0
Из определения символов Кристоффеля (см. пример 1.7 в разделе 1.1.3
главы 1) и антикоммутативности 6^ следует, что
l^i^^^vrLi^V, (2.11)
и мы получаем
1
d/?(7,0) = Jg^(t)){e^t) + r»x(x(t))x°(t)e\t))e»(t)dt =
о
i
= J (V«t)e(t),0(t))dt.
Как и в главе 6, можно развивать теорию интегрирования на С(М)
по отношению к мере Винера, соответствующей римановой метрике на М,

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 459
с помощью соответствующего ядра теплопроводности4. Можно также
интегрировать дифференциальные формы по С(М) при условии, что С(М)
ориентируемо. Как и в конечномерном случае, последнее определяется
требованием, чтобы структурная группа £(80(п))-расслоения C(FM) —* С(М),
где FM —► М — расслоение базисов, редуцировалась к связной компоненте
единицы. Из гомоморфизма трансгрессии
H2(M1Z2)-*H1(C(M),Z2)
следует, что образ второго класса Штифеля - Уитни многообразия М —
препятствие к ориентируемости £(М). В частности, если М — спинорное
многообразие, то С(М) ориентируемо, а если М односвязно, то это условие
является и достаточным.
В нижеследующем мы не будем пытаться развивать теорию
интегрирования на С(М), а сформулируем и «докажем» бесконечномерную
версию общей теоремы локализации Берлин-Вернь только на
эвристическом уровне. Ключевое наблюдение состоит в том, что согласно лемме 2.2
дифференциальная форма e~s на С(М) эквивариантно замкнута, поэтому
функциональный интеграл / e~s локализуется — сводится к конечно-
£(М)
мерному интегралу по С{М)^ = М, локусу нулей векторного поля 7-
Для количественной формулировки этого результата вспомним
понятие Л-рода. А именно: Л-род риманова многообразия (М,д) — это
дифференциальная форма А(М), определенная следующим образом. Пусть
R £ Л2(М,ёо(ТМ)) — риманова кривизна М и пусть ем — локальный ор-
тонормальный базис ТМ. Положим
RMI/ = (Re^ev) e Д2(М),
ИПУСТЬ -™ А (™ъм\
— дифференциальная форма четной степени на М. Она не зависит от
выбора локального ортонормального базиса ТМ, и Л-род многообразия М
определяется формулой5
А{М) =j(R)"2 =det ' R'2
sinhR/2
Это замкнутая дифференциальная форма, класс когомологий которой не
зависит от выбора римановой метрики на М.
4В главе 6 рассматривался случай М = Rn со стандартной евклидовой метрикой.
5Это геометрическое определение Л-рода; в топологии R заменяют на (27ri)_1R.

460
Глава 8
Замечание. В локальных координатах на М
где Rpvpo — тензор кривизны Римана.
Теорема 2.3. Пусть М — компактное ориентируемое многообразие,
такое, что пространство свободных петель С{М) ориентируемо. Тогда
[ е"5 = (2тгг)"2 (А(М).
С(М) М
Доказательство.
(Эвристическое.) Интеграл
[ e~s= f e~s{ri^®x®e
С(М) ПТС(М)
локализуется на локусе нулей C(M)j = М, так что достаточно
проинтегрировать по маленькой трубчатой окрестности многообразия ПТМ
в ПТ£(М). Для этого рассмотрим нормальные римановы координаты
нормального расслоения J\f(UTM) к ПТМ в точке (хо,#о) ^ ПТ^М,
имеющие вид у(t) = (у1®, ...,2/nW) етХ0Миф) = tfit), ...,77nW) e
£ UTXoM и удовлетворяющие условию
1 1
[y»(t)dt = 0 И [ rf
(t)dt = 0, /i = 1, ... ,n.
Координаты (ey(t),erj(i)), где вещественное е достаточно мало,
соответствуют точке (ex.pXQ(€y(t)),P(£j)(0o + v(t))) B нормальном
расслоении Л/^ПТМ), где ехраГо — экспоненциальное отображение, a P(e,t) — па"
раллельный перенос в ПТМ из хо вдоль пути ехрх (sy(i)) при 5,
изменяющемся от 0 до е.
Поскольку мы интегрируем по произвольно малой трубчатой
окрестности ПТМ в ПТ£(М), достаточно разложить S(j,6) до членов второго
прядка в локальных координатах (y(t),rf(t)). Поскольку в римановых
нормальных координатах около хо на М
дтр дгра
9*а,(х) = ^Н-0(||ж||2) и дм^(х0) = -^--^,

8.2. ЭКВИВАРИАНТНЫЕ КОГОМОЛОГИИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ 461
легко получаем, что в (жо, #о) £ ПТ^М
5(7,0) = 5о(хо, #о; 2/, tjD + члены старшего порядка по у^(t), 77м(£),
где
1
= | У (у"(*)*"(*) - IW*o)^(*)»"(*) - tr{t)rf{t))dt, (2.12)
1
R/zi/(#o) — 2^м^р^(^о)^о^о-
Теперь, используя свойство (2.6) из раздела 6.2.2 главы 6 (где m = Ь — 1
и Т = 1), формулу (4.10) из раздела 7.4.3 главы 7 и производя гауссово
интегрирование, получаем
[ е-5 = (2тг)"^ / ( / e-So^eo;v^&y&v)dxod0o =
С(М)
UTM M{UTM)
(2тг)"2 / ае^(-^2^-К^(хо,6>о)^)"2^жо^0о,
птм
где мы также воспользовались формулой (4.12) из раздела 7.4.3 главы 7.
Поскольку R = {R/zi/}£,!/=1 — кососимметрическая матрица с четными
матричными элементами, существует ортогональная матрица С с
детерминантом 1, такая, что
CRC'1 =
Легко увидеть, что матричные дифференциальные операторы второго
порядка
(°
-п
1 °
V °
П ••
0 ••
о ..
0 ••
• 0
0
• 0
Тщ
°\
0
Тщ
о)
■ "-?

462
Глава 8
С(М) UTM
где /2 — единичная 2x2 матрица, имеют один и тот же спектр.
Воспользовавшись формулой (3.5) из раздела 6.3.2 главы 6со; = ±гг^, получаем
det'(-£>2<W - R^D) = f[ det' l-D2I2 + f ° ~~*k J L>) =
m
= JJ det'(-£>2 - irkD)det'(~D2 + irkD) =
fe=i
iU ^/2; v r/2 ;
= j(»R).
Поэтому, используя отождествление С°°(ПТМ) ~ Л*(М), мы в конце
концов получаем
J е-5 = (2тт)"2 I j{iR{x,e))~*dxde =
UTM "~
(2тгг)"2 [ А(М).
Замечание. Воспользовавшись формулами (2.6) из раздела 6.2.2
главы 6 и (4.10) из раздела 7.4.3 главы 7, можно видеть, что тот же результат
выполняется для пространства £/(М) петель на М, параметризованных
интервалом / = [0,Т]:
/ е ° ^ж^0 = (2тгг) 2 / Л(М).
ПТ£7(М) М
Задача 2.3. Выведите формулу (2.8).
Задача 2.4. Выведите формулы (2.11) и (2.12).
Задача 2.5. Обоснуйте рассуждения в «доказательстве» теоремы 2.3.
(Указание: см. ссылки в разделе 8.7.)

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 463
8.3. Классическая механика на супермногообразиях
Как упоминалось в главе 4, понятие спина является чисто квантовым
и не имеет классических аналогов, то же относится к фермионным
системам, рассматривавшимся в главе 7. Однако, можно формально рассмотреть
частицы с антикоммутирующими координатами и сформулировать
классическую механику на супермногообразиях. Хотя такие системы не имеют
физической интерпретации6, формальным квантованием из них
получаются фермионные системы. Это позволяет интерпретировать частицы с грас-
смановыми степенями свободы как квазиклассические пределы фермионов.
8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями
Любое гладкое отображение / : М —> N гладких многообразий М и N
порождает гомоморфизм алгебр Фреше
f* iC^w-^c^iM),
где f*(<p) = <po f для (f £ C°°(N). Обратно, любой гомоморфизм алгебр
Фреше F : C°°(7V) —► С°°(М) является гомоморфизмом такого вида для
некоторого гладкого отображения / : М —> N.
По определению отображение (морфизм) между
супермногообразиями X и Y — это гомоморфизм супералгебр
F:C00(Y)-^C00(X),
где С°°(Х) и С°°(У) — коммутативные супералгебры глобальных сечений
соответствующих структурных пучков Ох и Оу (см. раздел 8.1).
Обозначим как Мар(Х, Y) пространство всех отображений между
супермногообразиями X и Y. Вот простейшие случаи:
1. X = R0'1 — нечетное одномерное супермногообразие, a Y = М —
обычное (четное) многообразие;
2. X — R (или 51 и / = [£o,£i]) — четное одномерное многообразие,
a Y = М0'п — нечетное n-мерное координатное векторное
пространство.
В первом случае любой гомоморфизм супералгебр F : С°°(М) —> Щв]
имеет вид
F(v>) = %)+B(#, V6C°°(M),
6В классической механике, описывающей физические явления на макроскопическом
уровне, с необходимостью используются коммутирующие координаты.

464
Глава 8
где А : С°°(М) -> R - гомоморфизм М-алгебр, а В : С°°(М) -+
—> С°°(М) — дифференцирование на коммутативной алгебре С°°(М). По
теореме Гельфанда-Наймарка существует х £ М, такое, что А (у?) = <р(х)
и В(и>) = d<p(v)9 где г; £ Х^М. Таким образом, любое отображение
/: М0'1 —► М определяется точкой (ж, г;) £ ГМ.
Однако во втором случае мы имеем гомоморфизм супералгебр
F:R[0\ ...,0п]-+С°°(М),
и поскольку коммутативная алгебра С°°(М) не содержит нильпотентных
элементов,
F(61)= ... =F(en)=0.
Такой результат, конечно же, неудовлетворителен, поскольку любое
отображение R —> М0'п тривиально: 0k{t) = 0, к = 1, ... , п. Чтобы исправить
ситуацию, следует рассмотреть аналог функтора точек Гротендика из
алгебраической геометрии. А именно: введем вспомогательную алгебру Грассма-
на W = Щг]1, ..., rjN] и рассмотрим произведение7 W x R с супералгеброй
функций С00^)^1, ... ,r)N]. «И^-точки» пространства Map(R,M°'n)
определяются гомоморфизмами коммутативных супералгебр
F : Щв\ ...,вп]-> С°°(Щг}\ ..., rjN].
В этом случае принято писать
ek(t) = F{6k) = a^rj1 + ... + a%(t)riN, к = 1, ...,n, (3.1)
где вещественнозначные af (£), ..., ajy (£) £ C°°(M). Удобно думать о 6k{t)
как о гладких функциях от переменной t с антикоммутирующими
значениями и определять
ek(t) = ak1(t)r11+...+akN(t)r1N, (3.2)
где точка обозначает производную. Чтобы подчеркнуть, что грассмановы
переменные 6k(t) «вещественнозначны», мы всегда будем предполагать,
что W — это множество неподвижных точек в алгебре Грассмана с
инволюцией над С, так что
gb(t)=0k(t), Jfc = l, ...,П.
Таким же способом определяются Ж-точки пространств Мар(51,М°'п)
иМар(/,М°1п).
7Геометрически это соответствует семейству пространств, параметризованных W.

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 465
Замечание. Такое определение пространства отображений
Мар(/,М°1П) (а также пространств Мар(М,М°1п) и Map(S\M°ln))
мотивируется определением, которое используют физики: они вводят
бесконечномерную вспомогательную алгебру Грассмана W, так что для любого t
значения 6k(t) — «независимые грассмановы переменные».
Замечание. Можно также определить функции на пространстве
Мар(/, М°1П) — функционалы от функций с антикоммутирующими
значениями 6k(t). Так, для простейшего примера квадратичного функционала
и
S{6) = г-j e{t)6{t)dt, (3.3)
to
где мы положили п — 1 и 6l{t) — 6{t), используя (3.1)-(3.2), получаем
t\
S{6) = i f (ak(t)ai(t) - dk(t)aL(t))dtrikril £ R[rj\ ... ,VN].
to
Здесь множитель г = \f~\ гарантирует, что irjkrjl — вещественные
грассмановы элементы, т. е. irjkr]1 = —irf"r)k = ir\kjf. В общем случае пространство
«функций» на Map(J,R°ln) - это Л*(Мар(/,Мп)*)0И^, где Мар(/,МП)* -
(топологическое) векторное пространство, двойственное к векторному
пространству Мар(/, Mn), a W — алгебра Грассмана с бесконечным числом
образующих.
Векторные поля с антикоммутирующими значениями естественно
ассоциируются с пространством путей на гладком многообразии М. А
именно: пусть
Р7(М) = {7:1-М},
где / = [£()>£i]> — пространство гладких параметризованных путей на М.
Рассмотрим супермногообразие ИТМ (см. раздел 8.1), и для любого
7 £ Pi{M) пусть 7*(ПТМ) — обратный образ расслоения над /. По
определению векторное поле с антикоммутирующими значениями 6{t) — это
сечение 7*(ПТМ) над /. В локальных координатах х — (х1, ..., хп)
*(*) = 0"(t)g|renr7(i)M.
Таким образом,
ПГР/(М) = {(7,0) : 7 е Pj(M), в £ Г(/,7*(ПТМ))}.
Задача 3.1. Покажите, что 5 е A*(Map(J,R)*) ® W, где S —
квадратичный функционал, определенный формулой (3.3).

466
Глава 8
8.3.2. Классические системы
Здесь мы рассмотрим основные примеры классических систем на
супермногообразиях.
Пример 3.1 (Свободная классическая частица со спином i).
Конфигурационное пространство — супермногообразие ПТМ3 ~ М3'3,
касательное расслоение к Ш3 с обратной четностью слоев, с четными и
нечетными координатами х = (я1, я2, я3) и 0 = (в1,в2,в3). Функционал
действия 5 : ПТР/(М3) —> W, где W — некоторая вспомогательная алгебра
Грассмана, определен формулой
ti
S(x(t),0(t)) = f L(x(t),x(t),0(t))dt =
i
(тх2 + г00)<й, (ж(*),e{t)) e ПТР/(М3). (3.4)
to
ti
to
Здесь
L(x(O,£(*),0(O) = |(mx2(f) + ie(t)0(t))
функция Лагранжа. Она вещественнозначна, поскольку
%e{t)e{t) = -ie(t)e{t) = ie{t)e{t).
Как и в разделе 1.1.2 главы 1, классические уравнения движения имеют вид
следующих уравнений Эйлера-Лагранжа:
x(t) = О и 0(0 = 0.
Канонически сопряженные импульсы8 определяются формулами
к = Щ:=т±к и пк = _d^L = _iek fc = 12,3,
дхк двк 2
а функция Гамильтона Я получается с помощью преобразования Лежанд-
ра:
8Здесь индексы поднимаются и опускаются с помощью стандартной евклидовой метрики
наЕ3.

8.3. Классическая механика на супермногообразиях 467
В соответствии с классическими уравнениями движения 0{t) — 0
гамильтониан Н не зависит от нечетных переменных. Фазовое
пространство — супермногообразие М6'3 с вещественными координатами р, ж,0
и симплектической формой
ш = dp Adx — ^dOdO.
В согласии с разделом 7.2.2 главы 7 скобки Пуассона нечетных переменных
даются формулой
{вк,в1} = 18ы, к J = 1,2,3. (3.5)
Скобки Пуассона удовлетворяют следующему свойству инволюции:
{ЛГ^} = (-1)|/1||Л|{/1,/2}, /ъ/2еС[0\02,03]- (3.6)
Мы увидим в разделе 8.5, что после квантования эта система описывает
свободную квантовую частицу со спином -.
Пример 3.2 (Классическая частица со спином i в
постоянном магнитном поле). Эта система описывается
конфигурационным пространством М3'3 с вещественными координатами ж, 0 и функцией
Лагранжа
L = ^(mx2{t) + i0{t)0{t) - i{B x 0)0).
Соответствующие фазовое пространство и симплектическая форма — те же
самые, что и в предыдущем примере, а функция Гамильтона —
Мы увидим в разделе 8.5, что квантованием гамильтониана (3.7)
получается гамильтониан Паули.
Пример 3.3 (Свободная частица на Мп|п). Обобщая пример 3.1,
рассмотрим конфигурационное пространство ПТМП ~ Мп'п — касательное
пространство к W1 с обратной четностью слоев, с четными и нечетными
вещественными координатами х = (х1, ..., хп) ив= (й1, ..., 6п). Функция
Лагранжа
L(x(t),x(t),e{t)) = |(шх^ + #^) (3.8)
приводит к тем же уравнениям Эйлера-Лагранжа, что и в примере 3.1,
х = 0 и 0 = 0.

468
Глава 8
Соответствующее фазовое пространство — супермногообразие R2n'n с
вещественными координатами р, ж, в и симплектической формой
ш — dp Adx — ^dOdO,
а функция Гамильтона — 9
И- р
Пример 3.4 (Свободная частица на ИТМ). Пусть (М,д) —
риманово многообразие с римановой метрикой gixvdx^dxv. По аналогии
с построениями в разделе 8.2.2, рассмотрим фазовое пространство ИТМ
с функцией Лагранжа
L=|(||i||2 + t<0,V40», (3.9)
где Vi — ко вариантная производная вдоль пути x{t) (обозначаемая
также D/Dt) и 0(t) G UTXM. Соответствующий функционал действия
определяется как
s = \j{\\x\\2 + i{e,v*e))dt,
to
или, в локальных координатах х = (х1, ..., хп) на М,
ti
S =\ j g^{x{t))(x»x» +6^)dt =
to
tl
to
Мы увидим в следующем разделе, что этой системой описывается
суперсимметричная частица на римановом многообразии.
Задача 3.2. Разработайте лагранжев и гамильтонов формализмы
классической механики на супермногообразии.
Задача 3.3. Докажите формулу (3.6).
Задача 3.4. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для
системы с лагранжианом (3.9) — это
m Dx* _ 1 „ мм™ и DQ* _ n
9Х/Л~ЛГ ~ 2 Ap/tw/ ~dT ~
— уравнения движения вращающейся частицы в гравитационном поле.

8.4. Суперсимметрия
469
Задача 3.5. Опишите фазовое пространство и найдите функцию
Гамильтона в примере 3.4.
8.4. Суперсимметрия
Лагранжева система, которую мы рассмотрели в примере 3.3
предыдущего раздела, обладает замечательными симметриями.
8.4.1. Полный угловой момент
Во-первых, лагранжиан (3.8) очевидно инвариантен относительно
действия ортогональной группы G = SO(n):
Ь(д-х,д-в) = Ь(х,0), geG. (4.1)
Соответствующая сохраняющаяся величина — нетеровский заряд J e д*9
принадлежащий двойственному пространству к алгебре Ли g = so(n),
можно получить следующим образом (см. доказательство теоремы 1.3 в
разделе 1.1.4 главы 1).
Рассмотрим инфинитезимальную замену четных и нечетных координат
x(t) i-> x(t) = x{t) + Sx(t), 0(t) i-> 0(t) = 0(t) + 80{t),
и, используя равенство в 6в = —SO в, вычислим 6L = L(x + Sx, в + 5в) —
— L(x, в) с точностью до членов второго порядка по 8х и 6в:
SL = mxSx + t(See + eSe) =
= -тх8х + mj-(x5x) + \{5вв - в5в) + \j-(e8в) =
Cut £ & Cut
= -тх6х + т£(х6х)+{60в + ~(060).
Cut £ Cut
Таким образом, на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа х = 0, в = О
имеем
SL= ^-(тхбх+^вбву
Теперь, используя (4.1) с д = е£и, где и = {i^}™jI/=1 — кососимметри-
ческая п х п матрица, видим, что 6L = 0 для Sx^ = еи^хи и <50м = еи%6р'.

470
Глава 8
Выбирая стандартный базис в пространстве ко со симметрических пхп
матриц, находим, что компоненты
J*4" = m{x»xv - xvx») - WO" (4.2)
являются интегралами движения
iLjv, = 0
at
на решениях уравнений Эйлера -Лагранжа. В частности, при п = 3
получаем
J1:=J™ = M1-i02fi,
J2:=J31=M2-ie3e\
jS:=Ji2 = Ms_ieie2^
где М1, М2, М3 — компоненты углового момента М частицы в R3 (см.
раздел 1.1.4 главы 1). Мы увидим в следующем разделе, что после
квантования вектор J = (J1, J2, J3) перейдет в оператор полного углового момента
квантовой частицы со спином - в R3.
Замечание. На самом деле лагранжиан (3.8) инвариантен
относительно действия G х G на Мп'п, так что и угловой момент m{x^xv — хих^)
в Rn, и «грассманов угловой момент» —%B^ev в М°'п сохраняются.
8.4.2. Преобразование суперсимметрии
Замечательно, что вдобавок к симметриям, обсуждавшимся в
предыдущем разделе, лагранжиан (3.8) инвариантен также относительно
специальных преобразований Rn'n, которые перемешивают четные и нечетные
координаты. А именно: пусть (^(t), 0(t)) e IITP/(Rn), где 0(t) G IIT7P/(Rn) -
сечение над I = [to,ti] обратного образа касательного расслоения ТЖп при
отображении 7 с обратной четностью слоев:
*(*) = *"(*) А епг7(0м.

8.4. Суперсимметрия
471
Рассмотрим следующую инфинитезимальную замену координат,
перемешивающую четные и нечетные переменные:
x(t) .-> x(t) + 6£x(t) и e(t)^e(t) + S£6(t), (4.3)
где
6£x(t) = гев{г) е Tx{t)M.n, и 8£e{t) = -mex{t) e UTx{t)Rn, (4.4)
и е — нечетный вещественный элемент. Тогда для
6£L = L{x + Sex, в + 6£в) - L(x, в)
получаем
6еЬ = тх5еХ+Шеев + 06ев) =
= 1гпхев- Ц1(ехв + вЕх) =
= ^(ж£0 + £0ж) =
Таким образом, при периодических граничных условиях функционал
действия
н
S(y,0) = JL(<y(t),O(t))A
to
инвариантен при замене координат (4.3),
S£S(j1 0) = О для любых периодических (7, в) е ПТР/(МП).
Инфинитезимальное преобразование (4.3) называется преобразованием
суперсимметрии.
Замечание. Подчеркнем, что инвариантность действия при
преобразованиях суперсимметрии имеет место для всех (7(^)5 0(0) с
периодическими граничными условиями, а не только на уравнениях движения!

472
Глава 8
Введя величину
Q = imOx = iOp = гв^р^,
называемую генератором суперсимметрии (или суперзарядом), можно
резюмировать проделанное вычисление так:
«-if- <")
Другое замечательное наблюдение состоит в том, что лагранжиан L можно
восстановить по суперзаряду Q. А именно: простое вычисление
S£Q = т(6£в х + в 6£х) = те(—тх2 — гв в)
дает равенство
-2misL = S£Q. (4.6)
Используя (3.5), получаем
{Q, Q} = ~гр2 = -2гшЯ, (4.7)
что показывает, что гамильтониан Н тоже можно восстановить по
суперзаряду Q.
Замечание. Геометрически преобразование суперсимметрии — это
просто эквивариантный дифференциал на пространстве £/(Rn) свободных
петель на Rn, параметризованных интервалом / = [to, ^i], который мы
рассматривали в разделе 8.2.2 (для интервала [0,1]). А именно: положим т = 1
и рассмотрим виковский поворот 11—> — it в евклидово время, так что
преобразование суперсимметрии (4.3) - (4.4) превращается в
S£x(t) = iee(t), 6£e(t) = -iex(t). (4.8)
Теперь сразу видно, что формулы (4.8) можно записать в виде
6£x(t) = ieDx(t) и 6£e(t) = ieD0(t),
где D — эквивариантный дифференциал (2.7),
to

8.4. Суперсимметрия
473
удовлетворяющий уравнению D2 = —£7. Соответствующий евклидов
суперзаряд Q совпадает с функцией (3 на ПТ£(МП), заданной формулой (2.9),
так что
to
где мы используем стандартную евклидову метрику на Rn. Из леммы 2.2
следует, что
ti
DQ = - f(x(t)x(t) + e(t)e(t))dt = -2S(x(t),0(t)),
to
где 5 обозначает теперь евклидово действие. Инвариантность действия 5
при преобразовании суперсимметрии означает, что 5 эквивариантно
замкнуто, DS = 0.
Задача 4.1. Докажите, что
где £i,£2 — нечетные переменные, и выведите из этого формулу (4.7).
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многообразии
Классическая система с лагранжианом (3.9), рассмотренная в
примере 3.4 из раздела 8.3.2, описывает суперсимметричную частицу на
римановом многообразии (М,д). А именно: для (7,0) £ ПТР/(М) определим
преобразование суперсимметрии x(t) •—> x{t)+5£x{t) и 0(t) •—> e(t)+S£0(t)
в локальных координатах x(t) и в(Ь) той же формулой (4.4):
S£x(t) = ie0(t) е ПГ7(4)М, S£0(t) = -mex(t) e ПГ7(4)М, (4.9)
где е — нечетный вещественный элемент.
Лемма 4.1. Преобразование суперсимметрии (4.9) не зависит от
выбора локальных координат.
Доказательство.
Пусть х = (х1, ..., хп) — другие локальные координаты на М, хм =
= /м(ж), /i = 1, ..., п. Вдоль пути 7 = ж(£)
*Mw = §^(*с))*"(*) и ew = ^(«)^i,

474
Глава 8
где
Имеем
*ex»(t) = ^(X(t))6£x»(t) = i^(x(t))ent) = MUt)
= -me^{x{tW {t) + i£S^{x{t))e<T{tW{t) =
= -mex^it),
поскольку 0M(£) антикоммутируют.
Как и в предыдущем разделе, определим суперзаряд Q формулой
Q(t)=im(x(t),0(t)).
Главный результат этого раздела — следующее утверждение.
Предложение 4.1. При преобразовании суперсимметрии (4.9)
S£Q = -2mieL, (4.10)
где
Ь=^\\х\\2+г-(в,Щв) (4.11)
— лагранжиан свободной частицы на UTM. Также
Доказательство.
Вывод формулы (4.10) — простое вычисление с использованием (2.11).
Формула (4.12) доказывается с помощью другого вычисления подобно
тому, как доказывалось (4.5) в предыдущем разделе.

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 475
Следствие 4.1. Функционал действия
ti
Sfr,0) = jLMt),O(t))A
to
инвариантен при преобразованиях суперсимметрии,
S£S(j, в) = 0 для всех периодических (7, в) £ ПТР/(М).
Замечание. Как и для примера свободной частицы Rnln,
рассматривавшегося в разделе 8.4.2, евклидова версия преобразования
суперсимметрии (4.9) соответствует эквивариантному дифференциалу (2.7) на
пространстве £/(М) свободных петель на М, параметризованных
интервалом / = [to, t\]. Соответствующий евклидов суперзаряд Q (при т = 1)
совпадает с функцией /3 на ПТ£/(М), определенной формулой (2.9), и
предложение 4.1 сводится к утверждениям о том, что DQ = —25 и DS = О,
где 5 — евклидово действие, которые были доказаны в лемме 2.2.
Задача 4.2. Докажите все формулы этого раздела.
Задача 4.3 (Формализм суперполей). Для (7,6) e UTM
определим суперполе формулой X(t) = x(t) + rj6(t)9 где 7] — вспомогательная
грассманова переменная, и пусть V = ^ rj-^-. Покажите, что
г1
J g^(X(t))X(t)V(X)(t)dtdri = -J(\\x\\2 + (e,V^))dt
to
— удвоенное евклидово действие суперсимметричной частицы на римано-
вом многообразии М.
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях
Здесь мы опишем квантовые системы, которые соответствуют
классическим системам из раздела 8.3.2. Согласно принципу соответствия
(см. раздел 2.2 главы 2), чтобы проквантовать четные координаты, следует
заменить скобки Пуассона { , } скобками i[ , ], где г = у/^\ и [ , ] —
коммутатор9. Для квантования нечетных координат в соответствии с
разделом 7 Л главы 7 заменим соответствующие скобки Пуассона
скобками г[, ]+, где [, ]+ — антикоммутатор.
9 Здесь мы положили h = 1.

476
Глава 8
Пример 5.1 (Квантовая частица со спином ±).
Соответствующее фазовое пространство — супермногообразие R6'3 с четными
координатами р = (р1,Р2,Рз) и х = (х\,Х2,хз) и нечетными координатами10
в = (01? 02, #з)> с каноническими скобками Пуассона
{Pia,Xv} = 6IAv и {0МА} = 18^, /2,1/ = 1,2,3.
Квантовые операторы Р = (Р1,Р2,Рз) и Q = (<Зь<32,<Эз),
соответствующие каноническим координатам р и ж, удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга (см. раздел 2.2.1 главы 2), тогда как
операторы 0 = (б1,02,Эз), соответствующие антикоммутирующим
координатам 0, удовлетворяют следующим антикоммутационным соотношениям:
[ем,е„]+ = <^/, /*,!/ = 1,2,з. (5.1)
Поскольку операторы л/2 0М определяют представление алгебры
Клиффорда Сз, единственная неприводимая реализация (5.1) — это
ем = -^м, /1 = 1,2,3, (5.2)
где сгм — матрицы Паули (см. раздел 4.1.1 главы 4). Таким образом,
гильбертово пространство системы — это Ж = L2(R3) ® С2, гильбертово
пространство квантовой частицы со спином -, и оператор Гамильтона — это
Р2
2га
Используя (5.2) и таблицу умножения матриц Паули, получаем следующую
форму нётеровых квантовых интегралов движения (4.2):
где М — оператор углового момента (см. раздел 3.3.1 главы 3), a S = ^<х.
Таким образом J — это оператор полного углового момента квантовой
частицы со спином ^ (см. раздел 4.1.2 главы 4).
'Здесь удобно опустить все индексы с помощью стандартной евклидовой метрики на R3.

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 477
Пример 5.2 (Квантовая частица со спином ^ в постоянном
магнитном поле). Гильбертово пространство — то же самое, что и в
предыдущем примере, тогда как оператор Гамильтона, соответствующий
классическому гамильтониану (3.7), принимает вид
Я = ^ + UB х 0)0 = ^ - Щ£.
2т 2ч ' 2т 2
Таким образом, оператор Н — это гамильтониан Паули с полным
магнитным моментом /i = - (см. раздел 4.2.1 главы 4).
Пример 5.3 (Суперсимметричная квантовая частица
НА Rn). Фазовое пространство — супермногообразие М2п'п с четными
координатами р = (pi, ... ,рп) и х — (xi, ... ,хп) и нечетными
координатами в = (01, ..., 0П), с каноническими скобками Пуассона
{р^х1/} = 6/Л1/ и {0^,0,/} = *<W, /i,i/ = 1, ...,п.
Квантовые операторы Р = (Pi, ..., Рп) и Q = (Qi, ..., Qn)9
соответствующие каноническим координатам р и ж, удовлетворяют коммутационным
соотношениям Гейзенберга, а операторы 0 = (0i, ..., Эп),
соответствующие антикоммутирующим координатам 0, удовлетворяют следующим
антикоммутационным соотношениям:
[Qp,Qv]+ = 5tA„I, n,v= l, ...,п. (5.3)
Операторы у/2 0м определяют представление алгебры Клиффорда Сп. При
четном п единственная неприводимая реализация (5.3) — это
где 7/х — операторы в J#f = (C2)®d, с/ = ^, определенные формулами
(1.12)-(1.13) из раздела 7.1.2 главы 7. При нечетном п операторы 7
действуют на (C2)®d, где d = тт (см. задачу 1.4 из раздела 7.1.2 главы 7).
И в том, и в другом случае гильбертово пространство системы — это Ж =
= L2(Rn) <g> Же = L2(Rn) <g> С2*, оператор Гамильтона -
Р2
Я=2^'

478
Глава 8
а нётеровы квантовые интегралы движения —
После квантования суперзаряда получается оператор
где
— оператор Дирака на Rn.
Оператор Дирака антисамосопряжен в Ж\
$* = -$.
При четном п разложение Жр = Ж^ 0 Ж^ на подпространства спиноров
положительной и отрицательной киральности (см. раздел 7.1.2 главы 7)
дает разложение
j^ = j^+e^_, где je± = L2(Rn)®je£,
и, воспользовавшись тем, что 7/i(^F~) = ^f (cm- Р^Дел 7.1.2 главы 7),
можно представить оператор Дирака как следующую блочную 2x2
матрицу:
Здесь оператор $+ : J&+ —>«Ж. называется киральным оператором Дирака.
Имеем
[Q,Q]+ = 2Q2 = f = -2тН,
так что 2тН — лапласиан Дирака — $ . В матричном виде
Пример 5.4 (Суперсимметричная квантовая частица на ри-
мановом многообразии). Мы видели в примере 2.4 из раздела 2.2.4
главы 2, что хотя для свободной квантовой частицы на римановом
многообразии (М,д) нельзя построить операторы Р и Q, соответствующие

8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 479
стандартным локальным координатам (р,х) на Т*М9 оператор
Гамильтона Н корректно определен как оператор Лапласа-Бельтрами римановой
метрики. Замечательно, что для непротиворечивого квантования
суперсимметричной частицы необходимо, чтобы М было спинорным
многообразием, и при четном п = dimM соответствующий оператор суперзаряда Q
совпадает с оператором Дирака!
А именно: пусть Spin(n) — спинорная группа: связная односвяз-
ная группа Ли, двулистно накрывающая SO(n). Говорят, что
ориентированное риманово многообразие (М,д) размерности п имеет спинор-
ную структуру (и называется спинорным многообразием), если
расслоение SO(M) ориентированных ортонормальных базисов над М —
главное SO(п)-расслоение — продолжается до главного Spin(п)-расслоения
Spin(M). Это эквивалентно условию, что для некоторого открытого
покрытия М = LLeA Ua функции перехода tap : Ua П Up —► SO(n)
касательного расслоения ТМ поднимаются до функций перехода тар : Ua П
П Up —» Spin(n); tap = р(тар)9 где p : Spin(n) —> SO(n) —
каноническая проекция. Многообразие М — спинорное, если и только если
обращается в ноль его второй класс Штифеля-Уитни w^ € H2(M, Ъ^)\ в этом
случае различные спинорные структуры параметризуются пространством
Н1(М, Ъъ) ~ Hom(7ri(M),Z2), где 7Ti(M) — фундаментальная группа М.
При четных п= 2d неприводимое представление р алгебры Клиффорда Сп
в J(fp — С2 (см. раздел 7.1.2 главы 7) определяет унитарное
представление R спинорной группы Spin(n) на Жр, коммутирующее с оператором
четности Г. По определению расслоение спиноров 5 на четномерном спи-
норном многообразии М — это эрмитово векторное расслоение,
ассоциированное главному 8рт(п)-расслоению Spin(M) посредством унитарного
представления R. Другими словами, 5 — комплексное векторное
расслоение с функциями перехода R(rap) : Ua П Up —> U(2d), где U(2d) —
группа унитарных 2d x 2d матриц. Разложение векторных пространств
M"f = Жр 0 ^Г определяет разложение
5 = 5+0 5.
спинорного расслоения 5 на расслоения 5+ и 5_ спиноров положительной
и отрицательной киральности.
Оператор Дирака 0 : C°°(M,S) —> C°°{M,S) четномерного
спинорного многообразия М определяется так. Пусть Vs — связность на
расслоении спиноров 5, индуцируемая связностью Леви - Чивита на касательном
расслоении ТМ. Тогда в координатной окрестности U С М с локальными

480
Глава 8
координатами х— (ж1, ... ,хп) имеем
0 = ^(x)Vf, (5.5)
<? д
где V£ — ковариантная производная по векторному полю —- над U,
а 7м(ж) — эндоморфизмы расслоения спиноров S над U, удовлетворяющие
уравнению
[-f{x),-f{x)]+=2g^{x)I, (5.6)
где / — тождественный эндоморфизм. Легко показать, что существует
открытое покрытие М = \JaeA Ua, такое, что 7м(ж) существуют на
каждым Uа, и что локальные выражения (5.5) порождают глобально
определенный оператор 0 : C°°(M,<S) —» C°°(M,<S). Эквивалентно, если
£ eC°°(M,S) дается формулой £ = {£а}аеА, 6* : Ua —► J^K где
£а = R(Tap)€p на С/а П С/"/?, то
#«& = Щта^фрЬ, (5.7)
где $а дается формулой (5.5) при С/ = Ua. Имеем также
$ : C°°(M,S±) -+ C°°(M,<ST).
Эрмитова метрика || \\$ на расслоении спиноров S и риманова метрика #
на М позволяют определить гильбертово пространство Ж глобальных
сечений S с интегрируемым квадратом:
Ж= [i € Г(М,5) : |К||2 = jH(x)\\ldn(x) < оо}.
м
Будучи изначально определенным на С°°(М, 5), оператор Дирака
продолжается до антисамосопряженного оператора в Ж, который мы по-
прежнему будем обозначать $. Как и в предыдущем примере, используя
разложение гильбертова пространства Ж = Ж+ ®Ж-, можно представить
оператор Дирака как следующую блочную 2x2 матрицу:
где $+ : Ж+ —» Ж- — киральный оператор Дирака на спинорном
многообразии М.

8.6. Формула Атьи- Зингера для индекса
481
Замечание. Оператор Дирака из предыдущего примера — это
оператор Дирака на спинорном многообразии W1 со стандартной евклидовой
метрикой; соответствующее расслоение спиноров — тривиальное эрмитово
векторное расслоение Cn x ^р.
Пространство состояний квантовой суперсимметричной частицы на
спинорном многообразии (М, д) — гильбертово пространство Ж
интегрируемых с квадратом сечений расслоения спиноров S над М.
Соответствующие оператор суперзаряда Q и оператор Гамильтона Н даются теми же
формулами, что и в предыдущем примере:
Q = ^-0 и [Q,Q]+ = 2Q2 = f = -2тН.
Оператор
*"*- (Г+о*+Д)
— лапласиан Дирака на спинорном многообразии М.
Задача 5.1. Покажите, что спинорную группу Spin(n) можно
отождествить с группой обратимых элементов алгебры Клиффорда Сп.
Задача 5.2. Докажите соотношения (5.7).
8.6. Формула Атьи-Зингера для индекса
Пусть М — четномерное, ориентированное, компактное спинорное
многообразие с римановой метрикой д. Операторы $+$+ и $+$+ —
соответственно самосопряжены в гильбертовых пространствах Ж± и Ж-
и имеют чисто точечные спектры, состоящие из неотрицательных
собственных значений конечной кратности с единственной точкой сгущения на оо.
В частности, комплексные векторные пространства ker$+$+ = ker$+
и ker$+$+ = ker$+ конечномерны, и индекс ind$+ кирального оператора
Дирака $+ определяется как
ind $+ = dim ker 0+ — dim ker $+.
Имеем следующий основной результат.

482
Глава 8
Теорема 6.1 (МакКин-Зингер). Для любого Т > О
ind$+ = TrseT^ = Тге~тГ+0+ - Тге~т0+Г+.
С другой стороны, мы видели в примере 5.4 из последнего раздела,
что -Ф = 2Н, где Я — оператор Гамильтона свободной
суперсимметричной частицы массы га = 1 на спинорном многообразии М. Таким образом,
для любого Т > О
ind$+ = Trse~2TH.
В разделе 6.2.2 главы бив разделах 7.4.2 и 7.4.3 главы 7 был развит
формализм для выражения следов и суперследов оператора эволюции в
евклидовом времени с помощью интегралов по путям. Используя эти результаты,
на физическом уровне строгости можно представить суперслед Tvse~2TH
следующим интегралом по путям:
Тг5е-2ТЯ = [ е-8*^®х®в. (6.1)
IlTCi(M)
Здесь
sE(7,0) = \ J(\\i\\2 + (Щ, v^e(t)))dt
О
— евклидово действие суперсимметричной частицы на римановом
многообразии М, полученное из функции Лагранжа (4.11) заменой времени t на
евклидово время —it, а £/(М) — пространство свободных петель на М,
параметризованное интервалом [0,2Т]. Когда11 2Т = 1, интеграл в (6.1)
совпадает с интегралом / е-5, рассматривавшимся в разделе 8.2.2. Вос-
£(М)
пользовавшись теоремой 2.3, получаем
ind$+ = Тг5е-Я = (2тгг) 2 / А{М)
м
— знаменитую формулу Атьи-Зингера для индекса оператора Дирака на
спинорном многообразии!
Согласно замечанию в разделе 8.2.2 то же самое верно при любом Т > 0.

8.7. Замечания и ссылки
483
Интегрируя по грассмановым переменным в (6.1), по-
Тг5е-Я= j Pf(V^)<W, (6-2)
£(М)
где dfiw — мера Винера на пространстве петель £(М), ассоциированная
с римановой метрикой д на М. Можно показать, что когда М — спинор-
ное многообразие, пфаффиан Pf (V^) оператора ковариантной производной
вдоль 7 £ £(М) — корректно определенная функция на С(М). Таким
образом, формула (6.2), в отличие от локальных вычислений при выводе
теоремы 2.3, отражает глобальные свойства многообразия М.
Задача 6.1. Докажите теорему МакКина-Зингера.
Задача 6.2. «Выведите» формулу (6.1). {Указание: см. ссылки в
следующем разделе.)
8.7. Замечания и ссылки
Целью раздела 8.1, помимо определения супермногообразия, было
ввести изоморфизм Лт(М) ~ С°°(ПТМ), впервые отмеченный Э.Витте-
ном [Wit82a, Wit82b] и постоянно используемый в физической литературе.
Для систематического введения в супермногообразия мы отсылаем
читателя к классическим текстам [Kos77, Бер83с], также как и к современным
источникам [Ман84, DM99, Var04] и ссылкам в этих работах. Подробное
изложение эквивариантных когомологий и локализации в конечномерном
случае можно найти в монографии [BGV04]; наше доказательство теоремы
локализации Н. Берлин и М. Вернь в разделе 8.2.1 следует [SzaOO]. Наше
изложение бесконечномерного случая основывается на работах [ВТ95, SzaOO]
и проводится на физическом уровне строгости. Теорему 2.3 первоначально
сформулировал Э. Виттен в своем знаменитом подходе к выводу
формулы Атьи - Зингера для индекса оператора Дирака с помощью интеграла по
путям. Оригинальный подход Виттена ясно изложил Атья в [Ati85]. Наше
изложение следует [Wit99b], с особым упором на аккуратное обращение
с постоянными множителями; см. также [AG83,Alv95] и [ВТ95, SzaOO].
Для подробного объяснения функтора точек и обсуждения
классической механики на супермногообразиях см. [Fre99]; наши примеры
классических систем были взяты из [Alv95]. Суперсимметрия, введенная в
разделах 8.4.2-8.4.3, называется N = ^ суперсимметрией и получается
редукцией N = 1 суперсимметрии; см. лекции [Alv95,DF99b,Fre99,Wit99a,
Замечание.
лучаем

484
Глава 8
Wit99b] и [CFKS08] для дальнейших деталей и ссылок. В частности,
в [Fre99, Wit99a] описывается формализм суперполей, полезный для
построения суперсимметрических лагранжианов, намеченный в задаче 4.3 из
раздела 8.4.3. Материал в разделе 8.5 основан на лекциях [Alv95]; мы
отсылаем читателя к монографии [BGV04] за инвариантным определением
операторов Дирака на спинорных многообразиях и связанными с этим
темами.
Следует подчеркнуть, что наш вывод формулы Атьи - Зингера в
разделе 8.6 — чистая эвристика. Строгое обоснование этого подхода с помощью
исчисления случайных процессов Ито - Маллявена предложил Ж.-М.
Висмут [Bis84a,Bis84b,Bis85]; оказывается, что в формуле (6.2) в разделе 8.6
нужен дополнительный множитель: экспонента с показателем,
пропорциональным интегралу от скалярной кривизны по пути. При Т —> 0 эта строгая
формула для индекса совпадает с эвристическим выражением (6.2). Тем
не менее интегрирование дифференциальной формы «старшей степени» по
пространству петель в [Bis85] остается формальным, и это представляет
собой выдающуюся нерешенную задачу. Наконец, мы отсылаем
заинтересованного читателя к [ASW90] за выводом формулы характеров Г. Вейля
с помощью интеграла по путям и к [Wit99b] за разбором оператора Дирака
на пространстве петель.

Литература
[АМ78] R.Abraham and J. E. Marsden, Foundations of mechanics,
Benjamin/Cummings Publishing Co. Inc., Reading, Mass., 1978.
[AHK76] S. A. Albeverio and R. J. H0egh-Krohn, Mathematical theory of Feynman
path integrals, Lecture Notes in Mathematics, vol. 523, Springer-Verlag,
Berlin, 1976.
[AE05] S. Т. АН and M. Englis, Quantization methods: a guide for physicists and
analysts, Rev. Math. Phys. 17 (2005), no. 4, 391-490.
[AG83] L. Alvarez-Gaume, Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem,
Comm. Math. Phys. 90 (1983), no. 2, 161-173.
[ASW90] O. Alvarez, I. M. Singer, and P. Windey, Quantum mechanics and the
geometry of the Weyl character formula, Nuclear Phys. В 337 (1990), no. 2,
467-486.
[Alv95] O.Alvarez, Lectures on quantum mechanics and the index theorem,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Ser., vol. 1, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1995, 271-322.
[Apo76] Т. М. Apostol, Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts
in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1976.
[Ati85] M. F.Atiyah, Circular symmetry and stationary-phase approximation,
Asterisque (1985), no. 131, 43-59, Colloquium in honor of Laurent
Schwartz, vol. 1 (Palaiseau, 1983).
[BI66a] M. Bander and С Itzykson, Group theory and the hydrogen atom. Part I,
Rev. Mod. Phys. 38 (1966), 330-345.
[BI66b] M. Bander and С Itzykson, Group theory and the hydrogen atom. Part II,
Rev. Mod. Phys. 38 (1966), 346-358.
[Bar61] V Bargmann, On a Hilbert space of analytic functions, Commun. Pure
Appl. Math. 3 (1961), 215-228.
[BR86] A. O. Barut and R. Raczka, Theory of group representations and
applications, second ed., World Scientific Publishing Co., Singapore, 1986.
(Имеется рус. перевод: А. Барут, Р. Рончка, Теория представления групп
и ее приложения, Мир, М., 1980, 452)
[BW97] S. Bates and A. Weinstein, Lectures on the geometry of quantization,
Berkeley Mathematics Lecture Notes, vol. 8, Amer. Math. Soc, Providence,
R.I., 1997.

486
Литература
[BFF+78a] F. Bayen, M. Flato, С Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Stemheimer,
Deformation theory and quantization. I. Deformations of symplectic
structures, Ann. Physics 111 (1978), no. 1, 61-110.
[BFF+78b] F. Bayen, M. Flato, С Fronsdal, A. Lichnerowicz, and D. Stemheimer,
Deformation theory and quantization. II. Physical applications, Ann.
Physics 111 (1978), no. 1, 111-151.
[Bel87] J. S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, Collected
papers on quantum philosophy, Cambridge University Press, Cambridge,
1987.
[BGV04] N. Berline, E. Getzler, and M. Vergne, Heat kernels and Dirac operators,
Corrected reprint of the 1992 original, Grundlehren Text Editions,
Springer-Verlag, Berlin, 2004.
[Bis84a] J.-M. Bismut, The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach. I. The
index theorem, J. Funct. Anal. 57 (1984), no. 1, 56-99.
[Bis84b] J.-M. Bismut, The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach. II. The
Lefschetz fixed point formulas, J. Funct. Anal. 57 (1984), no. 3, 329-348.
[Bis85] J.-M. Bismut, Index theorem and equivariant cohomology on the loop
space, Comm. Math. Phys. 98 (1985), no. 2, 213-237.
[BT95] M. Blau and G. Thompson, Localization and diagonalization: a review
of functional integral techniques for low-dimensional gauge theories and
topological field theories, J. Math. Phys. 36 (1995), no. 5, 2192-2236.
[Bry95] R.L.Bryant, An introduction to Lie groups and symplectic geometry,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Sen, vol. 1, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1995, 5-181.
[BFK91] D. Burghelea, L. Friedlander, and T. Kappeler, On the determinant of elliptic
differential and finite difference operators in vector bundles over S1,
Comm. Math. Phys. 138 (1991), no. 1, 1-18.
[BFK95] D. Burghelea, L. Friedlander, and T. Kappeler, On the determinant of elliptic
boundary value problems on a line segment, Proc. Amer. Math. Soc. 123
(1995), no. 10, 3027-3038.
[Cam63] R. H. Cameron, The Ilstow and Feynman integrals, J. Analyse Math. 10
(1962/1963), 287-361.
[Cra83] M. Crampin, Tangent bundle geometry for Lagrangian dynamics, J. Phys. A
16 (1983), no. 16, 3755-3772.
[CFKS08] H. L. Cycon, R. G. Froese, W. Kirsch, and B. Simon, Schrodinger operators
with application to quantum mechanics and global geometry, Corrected and
extended 2nd printing, Texts and Monographs in Physics, Springer - Verlag,
Berlin, 2008.

Литература
487
[DEF+99] P. Deligne, P. Etingof, D. S. Freed, L. С Jeffrey, D. Kazhdan, J. W. Morgan,
D. R. Morrison, and E. Witten (eds.), Quantum fields and strings: a course
for mathematicians, vol. 1, 2, American Mathematical Society, Providence,
R. I., 1999, Material from the Special Year on Quantum Field Theory held
at the Institute for Advanced Study, Princeton, NJ, 1996-1997.
[DF99a] P. Deligne and D. S. Freed, Classical field theory, Quantum fields and
strings: a course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997),
Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 137-225.
[DF99b] P. Deligne and D. S. Freed, Supersolutions, Quantum fields and strings: a
course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer.
Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 227-355.
[DM99] P. Deligne and J. W. Morgan, Notes on supersymmetry (following
J. Bernstein), Quantum fields and strings: a course for mathematicians, vol.
1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999,
41-97.
[Dir47] P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics, Oxford, at the
Clarendon Press, 1947. (Имеется рус. перевод: П.А.М.Дирак,
Принципы квантовой механики, Мир, М., 1971, 244)
[DR01] W. Dittrich and M. Reuter, Classical and quantum dynamics. From classical
paths to path integrals, third ed., Advanced Texts in Physics, Springer-
Verlag, Berlin, 2001.
[Dri87] V. G. Drinfel'd, Quantum groups, Proceedings of the International Congress
of Mathematicians, vol. 1, 2 (Berkeley, Calif, 1986) (Providence, R. I.),
Amer. Math. Soc, 1987, 798-820.
[Dyn98] A. Dynin, A rigorous path integral construction in any dimension, Lett.
Math. Phys. 44 (1998), no. 4, 317-329.
[EnrOl] B. Enriquez, Quantization of Lie bialgebras and shuffle algebras of Lie
algebras, Selecta Math. (N. S.) 7 (2001), no. 3, 321-407.
[Erd56] A. Erdelyi, Asymptotic expansions, Dover Publications Inc., New York,
1956. (Имеется рус. перевод: А. Эрдели, Асимптотические
разложения, Гос. изд-во физ.-мат. лит., М., 1962, 127)
[ЕК96] P. Etingof and D. Kazhdan, Quantization of Lie bialgebras. I, Selecta Math.
(N.S.) 2 (1996), no. 1, 1-41.
[Fad76] L. D. Faddeev, Course 1. Introduction to functional methods, Methodes en
theorie des champs/Methods in field theory (Ecole d'Ete Phys. Theor.,
Session XXVIII, Les Houches, 1975), North-Holland, Amsterdam, 1976,
1-40.
[Fad98] L. D. Faddeev, A mathematician's view of the development of physics, Les
relations entre les mathematiques et la physique theorique, Inst. Hautes
Etudes Sci., Bures, 1998, 73-79.

488
Литература
[Fad99] L. D. Faddeev, Elementary introduction to quantum field theory, Quantum
fields and strings: a course for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ,
1996/1997), Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1999, 513-550.
[Fey48] R. P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics,
Rev. Modern Physics 20 (1948), 367-387.
[Fey51] R. P. Feynman, An operator calculus having applications in quantum
electrodynamics, Physical Rev. (2) 84 (1951), 108-128.
[FH65] R. P. Feynman and A. R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals,
McGraw Hill, New York, 1965. (Имеется рус. перевод: Р. Фейнман,
А. Гиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, Мир,
М., 1968, 382)
[Fla82] M. Flato, Deformation view of physical theories, Czechoslovak J. Phys B32
(1982), 472-475.
[Foc32] V. A. Fock, Konfigurationsraum undzweite Quantelung, Z. Phys. 75 (1932),
no. 9-10, 622-647.
[Fre99] D. S. Freed, Five lectures on supersymmetry, Amer. Math. Soc, Providence,
R.I., 1999.
[FH91] W.Fulton and J.Harris, Representation theory, Graduate Texts in
Mathematics, vol. 129, Springer-Verlag, New York, 1991.
[Fuj80] D. Fujiwara, Remarks on convergence of the Feynman path integrals, Duke
Math. J. 47 (1980), no. 3, 559-600.
[Gil95] P. B. Gilkey, Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah - Singer
index theorem, second ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.
[God69] С Godbillon, Geometrie differentielle et mecanique analytique, Hermann,
Paris, 1969. (Имеется рус. перевод: К. Годбийон, Дифференциальная
геометрия и аналитическая механика, Мир, М., 1973, 188)
[Gol80] H. Goldstein, Classical mechanics, Addison Wesley, 1980. (Имеется рус.
перевод: Г. Голдстейн, Классическая механика, Гостехиздат, М., 1957,
408)
[GW98] R.Goodman and N.R.Wallach, Representations and invariants of the
classical groups, Encyclopedia of Mathematics and its Applications,
vol. 68, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
[GS77] V. Guillemin and S. Sternberg, Geometric asymptotics, Amer. Math. Soc,
Providence, R. I., 1977, Mathematical Surveys, no. 14. (Имеется рус.
перевод: В. Гийемин, С. Стернберг, Геометрические асимптотики, Мир,
М., 1981, 504)
[GS03] S. J. Gustafson and I. M. Sigal, Mathematical concepts of quantum
mechanics, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2003.

Литература
489
[HS96] P. D. Hislop and I. M. Sigal, Introduction to spectral theory: With
applications to Schrodinger operators, Applied Mathematical Sciences,
vol. 113, Springer-Verlag, New York, 1996.
[IM74] K. Ito and H. P. McKean, Jr., Diffusion processes and their sample
paths, Second printing, corrected, Die Grundlehren der mathematischen
Wissenschaften, Band 125, Springer-Verlag, Berlin, 1974. (Имеется рус.
перевод: К. Ито, Г. Маккия, Диффузионные процессы и их траектории,
Мир, М, 1968, 396)
[IZ80] С. Itzykson and J. В. Zuber, Quantum field theory, International Series in
Pure and Applied Physics, McGraw-Hill International Book Co., New York,
1980. (Имеется рус. перевод: С. Ициксон, Дж. Б. Зубер, Квантовая
теория поля, Мир, М., 1984, 848)
[Jim85] M. Jimbo, A q-difference analogue ofU(g) and the Yang-Baxter equation,
Lett. Math. Phys. 10 (1985), no. 1, 63-69.
[JW28] P. Jordan and E. Wigner, Uber das Paulische Aquivalenzverbot, Z. Phys. 47
(1928), 631-658.
[Kac59] M. Kac, Probability and related topics in physical sciences, Lectures in
Applied Mathematics. Proceedings of the Summer Seminar, Boulder, Colo.
1957, vol. 1, Interscience Publishers, London-New York, 1959. (Имеется
рус. перевод: М. Кац, Вероятность и смежные вопросы в физике, Мир,
М., 1965, 399)
[Кас80] М. Kac, Integration in function spaces and some of its applications, Lezioni
Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei, Pisa, 1980.
[Kaz99] D. Kazhdan, Introduction to QFT, Quantum fields and strings: a course for
mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1999, 377^18.
[Kho07] D. Khoshnevisan, Probability, Graduate Studies in Mathematics, vol. 80,
American Mathematical Society, Providence, R. I., 2007.
[КопОЗ] М. Kontsevich, Deformation quantization ofPoisson manifolds, Lett. Math.
Phys. 66 (2003), no. 3, 157-216.
[Kos77] B. Kostant, Graded manifolds, graded Lie theory, and prequantization,
Differential geometrical methods in mathematical physics (Proc. Sympos.,
Univ. Bonn, Bonn, 1975), Lecture Notes in Math., vol. 570, Springer -
Verlag, Berlin, 1977.
[Lan87] S. Lang, Elliptic functions, second ed., Springer-Verlag, New York, 1987.
(Имеется рус. перевод: С.Ленг, Эллиптические функции, Наука, М.,
1984,312)
[Ler81] J. Leray, Lagrangian analysis and quantum mechanics, A mathematical
structure related to asymptotic expansions and the Maslov index, MIT
Press, Cambridge, Mass., 1981.

490
Литература
[LV80] G. Lion and M. Vergne, The Weil representation, Maslov index and theta
series, Progress in Mathematics, vol. 6, Birkhauser Boston, Mass., 1980.
(Имеется рус. перевод: Ж. Лион, М. Вернь, Представление Вейля,
индекс Маслова и тэта-ряды, Мир, М., 1983, 217)
[Loe77] M. Loeve, Probability theory. I, fourth ed., Graduate Texts in Mathematics,
vol. 45, Springer-Verlag, New York, 1977. (Имеется рус. перевод: М. Ло-
ев, Теория вероятностей, ИЛ, М., 1962, 720)
[Loe78] M. Loeve, Probability theory. II, fourth ed., Graduate Texts in Mathematics,
vol. 46, Springer-Verlag, New York, 1978.
[Mac04] G. W. Mackey, Mathematical foundations of quantum mechanics, Reprint
of the 1963 original, Dover Publications Inc., Mineola, N. Y, 2004.
(Имеется рус. перевод: Дж. Макки, Лекции по математическим основам
квантовой механики, Мир, М., 1965, 222)
[Mar59a] J. L. Martin, The Feynman principle for a Fermi system, Proc. Roy. Soc.
Ser. A 251 (1959), no. 1267, 543-549.
[Mar59b] J.L.Martin, Generalized classical dynamics, and the 'classical analogue'
of a Fermi oscillator, Proc. Roy. Soc. Ser. A 251 (1959), no. 1267, 536-
542.
[Mes99] Albert Messiah, Quantum mechanics, Dover Publications Inc., Mineola,
N. Y, 1999. (Имеется рус. перевод: А. Мессиа, Квантовая механика,
Наука, М., 1978, 1 том, 483, 2 том, 588)
[Mon52] E. W. Montroll, Markoff chains, Wiener integrals, and quantum theory,
Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952), 415^53.
[MP49] S. Minakshisundaram and A. Pleijel, Some properties of the eigenfunctions
of the Laplace-operator on Riemannian manifolds, Canadian J. Math. 1
(1949), 242-256.
[Nel59] E. Nelson, Analytic vectors, Ann. of Math. (2) 70 (1959), 572-615.
[Nel64] E.Nelson, Feynman integrals and the Schrodinger equation,
J. Mathematical Phys. 5 (1964), 332-343.
[New02] R. G. Newton, Scattering theory of waves and particles, Reprint of the 1982
second edition, with list of errata prepared by the author, Dover Publications
Inc., Mineola, N. Y, 2002. (Имеется рус. перевод: Р.Ж.Ньютон, Теория
рассеяния волн и частиц, Мир, М., 1969, 600)
[01v97] F. W. J. Olver, Asymptotics and special functions, Reprint of the 1974
original, АКР Classics, А К Peters Ltd., Wellesley, MA, 1997. (Имеется
рус. перевод: Ф. Олвер, Асимптотика и специальные функции, Наука,
М., 1990, 528)
[PW35] L.Pauling and E.B.Wilson, Introduction to quantum mechanics. With
applications to chemistry, McGraw-Hill Book Company, New York and
London, 1935.

Литература
491
[Rab95] J. M. Rabin, Introduction to quantum field theory for mathematicians,
Geometry and quantum field theory (Park City, UT, 1991), IAS/Park City
Math. Ser., vol. 1, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1995, 183-269.
[RS71] D.B.Ray and I.M. Singer, R-torsion and the Laplacian on Riemannian
manifolds, Advances in Math. 7 (1971), 145-210.
[RS75] M. Reed and B. Simon, Methods of modern mathematical physics. II.
Fourier analysis, selfadjointness, Academic Press, New York, 1975.
(Имеется рус. перевод: М. Рид, Б. Саймон, Методы современной
математической физики, т.2: Гармонический анализ. Самосопряженность,
Мир, М., 1978, 394)
[RS78] М. Reed and В. Simon, Methods of modern mathematical physics. IV.
Analysis of operators, Academic Press, New York, 1978. (Имеется рус.
перевод: M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической
физики. т.4: Анализ операторов, Мир, М., 1982, 432)
[RS79] М. Reed and В. Simon, Methods of modern mathematical physics. Ill,
Academic Press, New York, 1979, Scattering theory. (Имеется рус.
перевод: M. Рид, Б. Саймон, Методы современной математической
физики. т.З: Теория рассеяния, Мир, М., 1982, 443)
[RS80] М. Reed and В. Simon, Methods of modern mathematical physics. I,
Academic Press, New York, 1980. (Имеется рус. перевод: М. Рид, Б.
Саймон, Методы современной математической физики, т.1:
Функциональный анализ, Мир, М., 1977, 357)
[Ros04] J.Rosenberg, A selective history of the Stone-von Neumann theorem,
Operator algebras, quantization, and noncommutative geometry, Contemp.
Math., vol. 365, Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 2004, 331-353.
[Rud87] W. Rudin, Real and complex analysis, third ed., McGraw-Hill Book Co.,
New York, 1987.
[Sak94] J. J. Sakurai, Modern quantum mechanics, Addison-Wesley Publishing
Company, 1994.
[See67] R. T. Seeley, Complex powers of an elliptic operator, Singular Integrals
(Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, 111., 1966), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1967, 288-307.
[STS85] M. A. Semenov-Tian-Shansky, Dressing transformations and Poisson group
actions, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 21 (1985), no. 6, 1237-1260.
[SW76] D. J. Simms and N. M. J. Woodhouse, Lectures in geometric quantization,
Springer-Verlag, Berlin, 1976, Lecture Notes in Physics, 53.
[Ste83] S. Sternberg, Lectures on differential geometry, second ed., Chelsea
Publishing Co., New York, 1983. (Имеется рус. перевод: С.Стейнберг,
Лекции по дифференциальной геометрии, Мир, М., 1970, 412)

492
Литература
[Str05] F. Strocchi, An introduction to the mathematical structure of quantum
mechanics. A short course for mathematicians, Advanced Series in
Mathematical Physics, vol. 27, World Sci. Publishing, London - Singapore,
2005.
[SzaOO] R.J. Szabo, Equivariant cohomology and localization of path integrals,
Lecture Notes in Physics. New Series m: Monographs, vol. 63, Springer-
Verlag, Berlin, 2000.
[Sze75] G. Szego, Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc, Providence, R. I.,
1975. (Имеется рус. перевод: Г. Сегё, Ортогональные многочлены,
ГИФМЛ, М., 1962, 500)
[Так90] L. A. Takhtajan, Lectures on quantum groups, Introduction to quantum
group and integrable massive models of quantum field theory (Nankai,
1989), Nankai Lectures Math. Phys., World Sci. Publishing, River Edge,
NJ, 1990, 69-197.
[Tob56] W Tobocman, Transition amplitudes as sums over histories, Nuovo
Cimento (10) 3 (1956), 1213-1229.
[Var04] V. S. Varadarajan, Supersymmetry for mathematicians: an introduction,
Courant Lecture Notes in Mathematics, vol. 11, New York University
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 2004.
[vN31] J. von Neumann, Die eindeutigkeit der schrodingershen operatoren,
Mathematische Annalen 104 (1931), 570-578.
[vN96] J. von Neumann, Mathematical foundations of quantum mechanics,
Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press,
Princeton, NJ, 1996. (Имеется рус. перевод: Дж. фон Нейман,
Математические основы квантовой механики, Наука, М., 1964, 366)
[Vor05] Alexander A. Voronov, Notes on universal algebra, Graphs and patterns
in mathematics and theoretical physics (Stony Brook, NY, 2001), Proc.
Sympos. Pure Math., vol. 73, Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 2005,
81-103.
[Wey50] H. Weyl, Theory of groups and quantum mechanics, Dover Publications,
New York, 1950. (Имеется рус. перевод: Г. Вейл, Теория групп и
квантовая механика, Наука, М., 1986, 497)
[Wig59] E. P. Wigner, Group theory: And its application to the quantum mechanics
of atomic spectra, Pure and Applied Physics, vol. 5, Academic Press, New
York, 1959. (Имеется рус. перевод: Е. Вигнер, Теория групп и ее
приложения к квантомеханической теории атомных спектров, ИЛ, М.,
1961, 452)
[Wit82a] E. Witten, Constraints on supersymmetry breaking, Nuclear Phys. В 202
(1982), no. 2, 253-316.
[Wit82b] E. Witten, Supersymmetry and Morse theory, J. Differential Geom. 17
(1982), no. 4, 661-692 (1983).

Литература
493
[Wit99a] E. Witten, Homework, Quantum fields and strings: a course for
mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1999, 609-717.
[Wit99b] E. Witten, Index of Dirac operators, Quantum fields and strings: a course
for mathematicians, vol. 1, 2 (Princeton, NJ, 1996/1997), Amer. Math. Soc,
Providence, R.I., 1999, 475-511.
[Woo92] N. M. J. Woodhouse, Geometric quantization, second ed., Oxford
Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press,
New York, 1992.
[YI73] K. Yano and S. Ishihara, Tangent and cotangent bundles: differential
geometry, Marcel Dekker Inc., New York, 1973, Pure and Applied
Mathematics, no. 16.
[Арн85а] В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь, Симплектическая геометрия,
Динамические системы - 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат.
Фундам. направления, т. 4, ВИНИТИ, М., 1985, 5-135.
[Арн85Ь] В.И.Арнольд, В.А.Козлов, А.И.Нейштадт, Математические
аспекты классической и небесной механики, Итоги науки и техн. Сер.
Соврем, пробл. мат. Фундам. направления, т. 3, ВИНИТИ, М., 1985.
[Арн89с] В. И. Арнольд, Математические методы классической механики,
Наука, М., 1989.
[АХ93] Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман, Теория линейных операторов в
гильбертовом пространстве (2-е изд.), Наука, М., 1966, 544.
[БербЗ] Ф. А. Березин, О канонических преобразованиях в представлении
вторичного квантования, ДАН СССР 150(5) (1963), 959-962.
[Бер71а] Ф. А. Березин, Невинеровские континуальные интегралы, ТМФ 6
(1971), по. 2, 194-212.
[Бер71Ь] Ф. А. Березин, Виковские и антивиковские символы операторов, Ма-
тем. сб. 86(128) (1971), 578-610.
[Бер74] Ф. А. Березин, Квантование, Изв. АН СССР. Сер. матем., 38(5) (1974),
1116-1175.
[Бер83а] Ф. А. Березин, М.А.Шубин, Уравнение Шрёдингера, МГУ, М., 1983.
[Бер83с] Ф. А. Березин, Введение в алгебру и анализ с антикоммутирующими
переменными, МГУ, М., 1983.
[Бер86с] Ф. А. Березин, Метод вторичного квантования, Наука, М., 1986.
[Бир80] М. Ш. Бирман, М. 3. Соломяк, Спектральная теория
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, ЛГУ, Л., 1980.
[БусбО] В. С. Буслаев, Л. Д. Фаддеев, О формулах следов для
дифференциального оператора Штурма—Лиувилля, ДАН СССР 132 (1960), 13-16.

494
Литература
[Вил65] Н. Я. Виленкин, Специальные функции и теория представлений групп,
Наука, М, 1965.
[Гел53] И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, Об одном простом тождестве для
собственных значений дифференциального оператора второго порядка,
ДАН СССР 88 (1953), 593-596.
[Гел56] И. М. Гельфанд, А. М. Яглом, Интегрирование в функциональных
пространствах и его применения в квантовой физике, УМН 11 (1956),
по. 1(67), 77-114.
[Гер50] Я. Л. Геронимус, Теория ортогональных многочленов, Гостехиздат, М.-
Л., 1950.
[ГК69] И. Ц. Гохберг, М. Г. Крейн, Введение в теорию линейных
несамосопряженных операторов, Наука, М., 1965, 448.
[Дав73] А.С.Давыдов, Квантовая механика, Наука, М., 1973.
[Дик58] Л. А. Дикий, Формулы следов для дифференциальных операторов
Штурма-Лиувилля, УМН 13 (1958), по. 3(81), 111-143.
[Дри83Ь] В. Г. Дринфельд, О постоянных квазиклассических решениях
квантового уравнения Янга-Бакстера, ДАН СССР 273 (1983), по. 3, 531-535.
[Дри86Ь] В. Г. Дринфельд, Квантовые группы, Зап. научных семинаров ЛОМИ
155 (1986), 18^9.
[Дуб98а] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия.
Методы и приложения, т. 2: Геометрия и топология многообразий,
Эдиториал УРСС, М., 1998.
[Дуб98Ь] Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко, Современная геометрия.
Методы и приложения, т. 1: Геометрия поверхностей, групп
преобразований и полей, Эдиториал УРСС, М., 1998.
[Кир02] А.А.Кириллов, Лекции по методу орбит, Научная книга,
Новосибирск, 2002.
[Кир78] А.А.Кириллов, Элементы теории представлений, Наука, М., 1978.
[Кир85с] А.А.Кириллов, Геометрическое квантование, Динамические
системы - 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам.
направления, т. 4, ВИНИТИ, М., 1985, 141-176.
[Кит99] А. Китаев, А. Шень, М. Вялый, Классические и квантовые вычисления,
МЦНМО-ЧеРо, М., 1999.
[Кре62] М. Г. Крейн, Об определителях возмущения и формуле следов для
унитарных и самосопряженных операторов, ДАН СССР 144 (1962), 268-
271.
[Лан88Ь] Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Механика (Теоретическая физика, т. 1),
Наука, М., 1988.

Литература
495
[Лан89Ь] Л.Д.Ландау, Е.М.Лившиц, Квантовая механика: Нерелятивистская
теория. (Теоретическая физика, т. 1), Наука, М., 1989.
[Лев88а] Б. М. Левитан, И. С. Саргсян, Операторы Штурма -Лиувилля и
Дирака, Наука, М, 1988.
[Ман84] Ю. И. Манин, Калибровочные поля и комплексная геометрия, Наука,
М, 1984.
[Мар72] В.А.Марченко, Спектральная теория операторов
Штурма-Лиувилля, Наукова думка, Киев, 1972.
[Мас76а] В. П. Маслов, М. В. Федорюк, Квазиклассическое приблиэюение для
уравнений квантовой механики, Наука, М., 1976.
[Реш89а] Н. Ю. Решетихин, Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Квантование групп
и алгебр Ли, Алгебра и анализ 1 (1989), по. 1, 178-206.
[Роз89] Г.В.Розенблюм, М.3.Соломяк, М.А.Шубин, Спектральная теория
дифференциальных операторов, Дифференциальные уравнения с
частными производными - 7, Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл.
мат. Фундам. направления, т. 64, ВИНИТИ, М., 1989, 5-242.
[Сла88с] А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев, Введение в квантовую теорию
калибровочных полей, Наука, М., 1988.
[Тах86а] Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход в теории солито-
нов, Наука, М., 1986.
[Фад01] Л.Д.Фаддеев, О.А.Якубовский, Лекции по квантовой механике для
студентов-математиков, НИЦ Регулярная и хаотическая динамика,
Ижевск, 2001.
[Фад57] Л.Д.Фаддеев, О выражении для следа разности двух сингулярных
дифференциальных операторов типа Штурма -Лиувилля, ДАН СССР
115 (1957), 878-881.
[Фад59] Л. Д. Фаддеев, Обратная задача квантовой теории рассеяния, УМН
14(1959), по. 4(88), 57-119.
[Фад64] Л. Д. Фаддеев, Свойства s-матрицы одномерного уравнения Шрёдин-
гера, Тр. МИАН СССР 73 (1964), 314-336.
[Фад74Ь] Л. Д. Фаддеев, Обратная задача квантовой теории рассеяния II, Итоги
науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат., т. 3, ВИНИТИ, 1974, 93-180.
[Фок76Ь] В. А. Фок, Начала квантовой механики, Наука, М., 1976.
[Яфа94] Д. Р. Яфаев, Математическая теория рассеяния, Изд-во СПбГУ, СПб.,
1994.

Интересующие Вас книги нашего издательства можно заказать почтой или
электронной почтой:
subscribe@rcd.ru
Внимание: дешевле и быстрее всего книги можно приобрести через наш
Интернет-магазин:
http://shop.rcd.ru
Книги также можно приобрести:
1. Москва, ИМАШ, ул. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 414,
тел.: (499) 135-54-37, (495) 641-69-38
2. МГУ им. Ломоносова (ГЗ, 1 этаж)
3. Магазины:
Москва: «Дом научно-технической книги» (Ленинский пр., 40)
«Московский дом книги» (ул. Новый Арбат, 8)
Книжный магазин «ФИЗМАТКНИГА» (г. Долгопрудный,
Новый корпус МФТИ, 1 этаж, тел. 409-93-28)
С.-Пб.: «С.-Пб. дом книги» (Невский пр., 28)
Тахтаджян Леон Арменович
Квантовая механика для математиков
Дизайнер В. А. Толстолуцкая
Технический редактор А. В. Широбоков
Компьютерный набор и верстка П. И. Несмелое
Корректор О. А. Шемякина
Подписано в печать 11.07.2011. Формат 60 х 84У16.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 28,83. Уч. изд. л. 30,12.
Гарнитура Тайме. Бумага офсетная № 1. Заказ № Р-985.
АНО «Ижевский институт компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500-295
Отпечатано в полном соответствии с качеством
предоставленного электронного оригинал-макета
в типографии филиала ОАО «ТАТМЕДИА» «ПИК «Идел-Пресс».
420066, г. Казань, ул. Декабристов, 2.
E-mail: idelpress@mail.ru