Оглавление
Предисловие к русскому изданию
Предисловие редактора перевода
Предисловие
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ
Глава 1. Классическая механика
1.1. Лагранжева механика
1.1.2. Принцип наименьшего действия
1.1.3. Примеры лагранжевых систем
1.1.4. Симметрии и теорема Нётер
1.1.5. Одномерное движение
1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера
1.1.7. Преобразование Лежандра
1.2. Гамильтонова механика
1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве
1.2.3. Действие как функция координат
1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона
1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции
1.2.6. Симплектические многообразия
1.2.7. Пуассоновы многообразия
1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля
1.3. Замечания и ссылки
Глава 2. Основные принципы квантовой механики
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика
2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга
2.1.3. Динамика
2.2. Квантование
2.2.2. Координатное и импульсное представления
2.2.3. Свободная квантовая частица
2.2.4. Примеры квантовых систем
2.2.6. Гармонический осциллятор
2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы
2.3. Соотношения Вейля
2.3.2. Инвариантная формулировка
2.3.3. Квантование Вейля
2.3.4. *-произведение
2.3.5. Деформационное квантование
2.4. Замечания и ссылки
3.1. Общие свойства
3.1.2. Характеризация спектра
3.1.3. Теорема о вириале
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера
3.2.2. Разложение по собственным функциям
3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния
3.2.4. Другие граничные условия
3.3.1. Операторы углового момента
3.4. Задача двух тел
3.4.2. Трехмерная теория рассеяния
3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале
3.5.1. Дискретный спектр
3.5.2. Непрерывный спектр
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I
3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени
3.6.3. Правила квантования Бора -Вильсона - Зоммерфельда
3.7. Замечания и ссылки
4.1. Спин
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле
4.2.2. Частица в однородном магнитном поле
4.3. Система тождественных частиц
4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN
4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций
4.4. Замечания и ссылки
ЧАСТЬ II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СУПЕРСИММЕТРИЯ
5.1. Фейнмановский интеграл по путям
5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом пространстве
5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурационном пространстве
5.1.4. Несколько степеней свободы
5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям
5.2.2. до-символ
5.2.3. Вейлевский символ
5.2.4. Виковский символ
5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора
5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора
5.3.3. Тождество Мелера
5.4. Гауссовы интегралы по путям
5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического осциллятора
5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов
5.5.2. Периодические граничные условия
5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка
5.6. Квазиклассическая асимптотика - II
5.6.2. Строгий вывод
5.7. Замечания и ссылки
6.1. Гауссовы меры
6.1.2. Бесконечномерный случай
6.2. Мера Винера и интеграл Винера
6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца
6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана
6.3. Гауссовы интегралы Винера
6.3.2. Периодические граничные условия
6.4. Замечания и ссылки
7.1. Канонические антикоммутационные соотношения
7.1.2. Алгебры Клиффорда
7.2. Алгебры Грассмана
7.2.2. Дифференциальные формы
7.2.3. Интеграл Березина
7.3. Градуированная линейная алгебра
7.3.2. Примеры супералгебр
7.3.3. Суперслед и березиниан
7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных
7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции
7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых переменных
7.5. Замечания и ссылки
8.1. Супермногообразия
8.2. Эквивариантные когомологии и локализация
8.2.2. Бесконечномерный случай
8.3. Классическая механика на супермногообразиях
8.3.2. Классические системы
8.4. Суперсимметрия
8.4.2. Преобразование суперсимметрии
8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многообразии
8.5. Квантовая механика на супермногообразиях
8.6. Формула Атьи- Зингера для индекса
8.7. Замечания и ссылки
Литература
Text
                    Л. А. Тахтаджян
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
ДЛЯ МАТЕМАТИКОВ
Л. А. Тахтаджян
R&C
Dynamics


Quantum Mechanics for Mathematicians Leon A.Takhtajan Graduate Studies in Mathematics Volume 95 American Mathematical Society Providence, Rhode Island
Л. А.Тахтаджян Квантовая механика для математиков Перевод с английского к. ф.-м. н. С. А. Славнова Под научной редакцией акад. РАН А. А. Славнова R&C Москва ♦ Ижевск 2011
УДК 530.145.6 ББК 22.314 Τ 243 РФФИ Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту № 10-01-07034 Интернет-магазин · физика • математика К • биология • нефтегазовые http://shop.rcd.ru технологии Тахтаджян Л. А. Квантовая механика для математиков. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследова- ний, 2011. - 496 с. Книга посвящена математически строгому изложению квантовой механи- ки, в особенности вопросов, связанных с методом континуального интегрирова- ния и суперсимметрий. Она будет полезна аспирантам и научным сотрудникам- математикам, в сфере научных интересов которых находятся математические аспек- ты квантовой механики, а также ее приложения и связи с различными подходами современной математики. ISBN 978-5-93972-900-0 ББК 22.314 Оригинальное издание опубликовано на английском языке издательством Атепсап Mathema- tical Society под названием Quantum Mechanics for Mathematicians. © Л. А. Тахтаджян, 2011 © НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru
Оглавление Предисловие к русскому изданию 13 Предисловие редактора перевода 15 Предисловие 17 ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ 21 Глава 1. Классическая механика 23 1.1. Лагранжева механика 24 1.1.1. Обобщенные координаты 24 1.1.2. Принцип наименьшего действия 25 1.1.3. Примеры лагранжевых систем 30 1.1.4. Симметрии и теорема Нётер 39 1.1.5. Одномерное движение 45 1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера .... 47 1.1.7. Преобразование Лежандра 52 1.2. Гамильтонова механика 58 1.2.1. Уравнения Гамильтона 58 1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве 61 1.2.3. Действие как функция координат 63 1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона .... 67 1.2.5. Канонические преобразования и производящие функ- ции 69 1.2.6. Симплектические многообразия 73 1.2.7. Пуассоновы многообразия 84 1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля 91 1.3. Замечания и ссылки 96
6 Оглавление Глава 2. Основные принципы квантовой механики 98 2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 101 2.1.1. Математическая формулировка 102 2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга 111 2.1.3. Динамика 113 2.2. Квантование 119 2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга 120 2.2.2. Координатное и импульсное представления 126 2.2.3. Свободная квантовая частица 135 2.2.4. Примеры квантовых систем 142 2.2.5. Старая квантовая механика 147 2.2.6. Гармонический осциллятор 147 2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы . . 158 2.3. Соотношения Вейля 167 2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана 168 2.3.2. Инвариантная формулировка 176 2.3.3. Квантование Вейля 181 2.3.4. *-произведение 191 2.3.5. Деформационное квантование 196 2.4. Замечания и ссылки 204 Глава 3. Уравнение Шрёдингера 207 3.1. Общие свойства 207 3.1.1. Самосопряженность 208 3.1.2. Характеризация спектра 211 3.1.3. Теорема о вириале 213 3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 214 3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода 215 3.2.2. Разложение по собственным функциям 225 3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния 234 3.2.4. Другие граничные условия 244 3.3. Угловой момент и SO(3) 248 3.3.1. Операторы углового момента 248 3.3.2. Теория представлений SO(3) 251 3.4. Задача двух тел 254 3.4.1. Отделение центра масс 254 3.4.2. Трехмерная теория рассеяния 256 3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале . . . 258 3.5. Атом водорода и SO(4) 265 3.5.1. Дискретный спектр 265
Оглавление 7 3.5.2. Непрерывный спектр 270 3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия 272 3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 280 3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени 281 3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени 284 3.6.3. Правила квантования Бора -Вильсона - Зоммерфельда 288 3.7. Замечания и ссылки 290 Глава 4. Спин и тождественные частицы 293 4.1. Спин 293 4.1.1. Операторы спина 293 4.1.2. Спин и теория представлений SU(2) 295 4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 298 4.2.1. Гамильтониан Паули 298 4.2.2. Частица в однородном магнитном поле 300 4.3. Система тождественных частиц 302 4.3.1. Постулат симметризации 302 4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений SymN . . . 308 4.3.3. Двойственность Шура-Вейля и симметрия волновых функций 311 4.4. Замечания и ссылки 314 ЧАСТЬ П. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ И СУ- ПЕРСИММЕТРИЯ 317 Глава 5. Фейнмановская формулировка квантовой механики . 319 5.1. Фейнмановский интеграл по путям 319 5.1.1. Фундаментальное решение уравнения Шрёдингера . . 319 5.1.2. Фейнмановский интеграл по путям в фазовом про- странстве 323 5.1.3. Фейнмановский интеграл по путям в конфигурацион- ном пространстве 327 5.1.4. Несколько степеней свободы 330 5.2. Символы оператора эволюции и интегралы по путям 332 5.2.1. pq-символ 332 5.2.2. до-символ 333 5.2.3. Вейлевский символ 335 5.2.4. Виковский символ 336 5.3. Фейнмановский интеграл для гармонического осциллятора . 340
8 Оглавление 5.3.1. Гауссово интегрирование 340 5.3.2. Пропагатор гармонического осциллятора 341 5.3.3. Тождество Мелера 345 5.4. Гауссовы интегралы по путям 346 5.4.1. Гауссов интеграл по путям для свободной частицы . . 347 5.4.2. Гауссов интеграл по путям для гармонического ос- циллятора 351 5.5. Регуляризованные детерминанты дифф. операторов 357 5.5.1. Граничные условия Дирихле 357 5.5.2. Периодические граничные условия 365 5.5.3. Дифференциальные операторы первого порядка .... 370 5.6. Квазиклассическая асимптотика - II 373 5.6.1. Использование фейнмановского интеграла по путям . 373 5.6.2. Строгий вывод 375 5.7. Замечания и ссылки 379 Глава 6. Интегрирование в функциональных пространствах . . 382 6.1. Гауссовы меры 382 6.1.1. Конечномерный случай 382 6.1.2. Бесконечномерный случай 384 6.2. Мера Винера и интеграл Винера 387 6.2.1. Определение меры Винера 387 6.2.2. Условная мера Винера и формула Фейнмана-Каца . . 392 6.2.3. Соотношение между интегралами Винера и Фейнмана 395 6.3. Гауссовы интегралы Винера 397 6.3.1. Граничные условия Дирихле 398 6.3.2. Периодические граничные условия 400 6.4. Замечания и ссылки 404 Глава 7. Фермионные системы 405 7.1. Канонические антикоммутационные соотношения 405 7.1.1. Мотивировка 405 7.1.2. Алгебры Клиффорда 410 7.2. Алгебры Грассмана 414 7.2.1. Реализация канонических антикоммутационных соот- ношений 415 7.2.2. Дифференциальные формы 417 7.2.3. Интеграл Березина 420 7.3. Градуированная линейная алгебра 426
Оглавление 9 7.3.1. Градуированные векторные пространства и суперал- гебры 426 7.3.2. Примеры супералгебр 429 7.3.3. Суперслед и березиниан 431 7.4. Интегралы по путям для антикоммутирующих переменных . 434 7.4.1. Виковские и матричные символы 434 7.4.2. Интеграл по путям для оператора эволюции 440 7.4.3. Гауссовы интегралы по путям в грассмановых пере- менных 443 7.5. Замечания и ссылки 447 Глава 8. Суперсимметрия 449 8.1. Супермногообразия 449 8.2. Эквивариантные когомологии и локализация 452 8.2.1. Конечномерный случай 452 8.2.2. Бесконечномерный случай 456 8.3. Классическая механика на супермногообразиях 463 8.3.1. Функции с антикоммутирующими значениями 463 8.3.2. Классические системы 466 8.4. Суперсимметрия 469 8.4.1. Полный угловой момент 469 8.4.2. Преобразование суперсимметрии 470 8.4.3. Суперсимметричная частица на римановом многооб- разии 473 8.5. Квантовая механика на супермногообразиях 475 8.6. Формула Атьи- Зингера для индекса 481 8.7. Замечания и ссылки 483 Литература 485
Моему учителю Людвигу Дмитриевичу Фаддееву с восхищением и благодарностью
Предисловие к русскому изданию Квантовая механика является одним из наиболее замечательных до- стижений человеческого духа прошлого столетия. Математический аппарат теории безупречен, а ее физические основания, описывающие явления мик- ромира на уровне электронов в атоме, атомов в молекулах и т. д., самосо- гласованы. Многие достижения научно-технического прогресса основаны на законах квантовой механики, и мы постоянно наблюдаем их в проявле- ниях повседневной жизни, используя разнообразные электронные приборы и прочую аппаратуру. В то же время явления микромира настолько проти- воречат нашему каждодневному опыту, основанному на восприятии клас- сической физики макромира, что распространено мнение о том, что понять квантовую механику невозможно. Цель настоящей книги — изложить квантовую механику от ее ма- тематических оснований до последних приложений в стиле, понятном читателю-математику, как профессиональному исследователю, так и аспи- ранту. Насколько эта задача удалась, судить читателю. Обстоятельства сло- жились так, что эта книга вначале была напечатана по-английски в издании Американского математического общества. Я благодарен канд. физ.-мат. на- ук С. А. Славнову за возвращение книги на язык оригинала, на котором она была первоначально задумана автором. Я признателен акад. А. А. Славнову, который любезно согласился быть научным редактором русского издания. Я также благодарен Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку работы над русским изданием и издательству «Регулярная и ха- отическая динамика» за работу по опубликованию этой книги. Л. А. Тахтаджян Сентябрь-ноябрь 2010 г. Санкт-Петербург, Россия, и Сент-Джеймс, Нью-Йорк
Предисловие редактора перевода Квантовая механика существует уже более ста лет, и над ее обосно- ванием работали выдающиеся математики. Тем не менее в этой области существует ряд нерешенных проблем и до сих пор отсутствует рассчита- ное на математиков подробное изложение предмета. Книга Л. Тахтаджяна в значительной мере исправляет этот недостаток. Л. Тахтаджян — известный специалист в области современной мате- матической физики. В своей книге он подробно излагает на современном математическом уровне основные разделы квантовой механики. В тех слу- чаях, когда полное математическое обоснование того или иного утвержде- ния отсутствует, автор отмечает, что в данном вопросе изложение ведется на «физическом уровне строгости». Книга Л. Тахтаджяна несомненно будет полезна широкому кругу чи- тателей, как аспирантам, изучающим математические проблемы квантовой механики, так и сложившимся ученым, желающим получить более полную информацию о состоянии науки в данной области. Считаю своим приятным долгом поблагодарить Российский фонд фун- даментальных исследований за финансирование данного издания и Л. Тах- таджяна за сотрудничество.
Предисловие Эта книга основана на спецкурсах, читавшихся автором в течение последних четырнадцати лет на математическом факультете университета Стони Брук. Целью этих курсов было познакомить не изучавших прежде физику аспирантов второго курса с основными концепциями и методами квантовой механики. В последние 50 лет квантовая физика была движущей силой для множества замечательных математических достижений, сыграв роль, похожую на роль классической физики в период между семнадцатым и девятнадцатым столетиями. Классическая физика, в особенности класси- ческая механика, была неотъемлемой частью математического образования вплоть до начала двадцатого века, в частности, ее преподавали Гильберт и Пуанкаре. Удивительно, что квантовая физика, в особенности квантовая механика, несмотря на ее внутреннюю красоту и связи с многочисленны- ми областями математики, так и не стала частью математической програм- мы аспирантуры. Данный курс был разработан, чтобы частично воспол- нить этот пробел и сделать квантовую механику доступной для аспирантов и исследователей-математиков. Л. Д. Фаддеев был первым, кто разработал курс квантовой механики для студентов-математиков. С 1968-го по 1973-й год он регулярно читал лекции на математико-механическом факультете Санкт-Петербургского го- сударственного университета в Санкт-Петербурге1, и автору выпала удача прослушать его курс. Материал этой книги вырос из попытки создать по- хожий курс для аспирантов, использующий более продвинутую математику и покрывающий большее разнообразие тем, включая фейнмановский под- ход к квантовой механике, основанный на интеграле по путям. Существует множество замечательных учебников квантовой механи- ки для физиков, начиная с классических текстов П.A.M. Дирака [Dir47], Л.Д.Ландау и Е.М.Лифшица [Лан89Ь] и В.А.Фока [Фок76Ь] и закан- чивая энциклопедическим трудом А. Мессиа [Mes99], новым популяр- ным учебником Дж. Дж. Сакураи [Sak94] и множеством других. Среди ма- тематически ориентированных книг имеются классические монографии Дж. фон Неймана [vN96] и Г.Вейля [Wey50], а также более свежая кни- В то время Ленинграде.
18 Предисловие га Дж. У Маки [Мас04], в которых обсуждаются основной математиче- ский формализм и логические основания теории. Есть также монумен- тальный проект [DEF+99], созданный с целью познакомить аспирантов и исследователей-математиков с царством квантовых полей и струн как в их математическом, так и в физическом аспекте. Однако, хотя он и содержит ориентированное на математическую аудиторию очень подробное изложе- ние классической механики, классической теории поля и суперсимметрии, квантовая механика обсуждается лишь мельком (за исключением изящного введения в квантовую механику Л. Д. Фаддеева в [Fad99]). Отличные лек- ции для студентов Л.Д.Фаддеева и О.А.Якубовского [Фад01] — это, ка- жется, единственная книга по квантовой механике, полностью доступная математикам. Недавно вышедшие книги С. Дж. Густафсона и И. М. Сига- ла [GS03] и Ф. Строкки [Str05] тоже ориентированы на математиков. По- следняя — это краткий вводный курс, тогда как первая — скорее среднего уровня сложности монография по квантовой теории, чем учебник кванто- вой механики. Существует также множество специализированных книг по различным разделам квантовой механики, таким как теория рассеяния, опе- ратор Шрёдингера, С*-алгебры и основания и т.д. Данная книга представляет собой исчерпывающее изложение кванто- вой механики с математической точки зрения и включает такие темы, как математические основания, квантование, уравнение Шрёдингера, фейнма- новский интеграл по путям и функциональные методы, суперсимметрию. Ее можно использовать для годового спецкурса или двух семестровых кур- сов: вводного курса, основанного на материале первой части, и более про- двинутого курса, основанного на второй части. Первую часть книги, состо- ящую из глав 1-4, можно рассматривать как расширенную версию [Фад01]. В ней используется более продвинутая математика, чем в [Фад01], и содер- жатся строгие доказательства всех основных результатов, включая знамени- тую теорему Стоуна-фон Неймана. Она должна быть доступна для аспи- рантов второго курса. Как и в [Фад01], мы используем подход, восходящий к Дираку и впоследствии разработанный Фаддеевым, согласно которому классическая и квантовая механика — просто две различные реализации фундаментальной математической структуры физической теории, исполь- зующей понятия наблюдаемых, состояний, измерений и временной эволю- ции — динамики. Вторая часть, состоящая из глав 5-8, связана с функци- ональными методами в квантовой механике и выходит за рамки материала в [Фад01]. Изложение в ней менее подробно и требует определенной мате- матической искушенности. Хотя в нашем изложении свободно используются все необходимые ин- струменты современной математики, оно следует духу и традиции выше-
Предисловие 19 перечисленных классических текстов. В этом смысле его можно рассмат- ривать как «неоклассическое» (по сравнению с более абстрактным подхо- дом в [DF99a]). Каждая глава книги заканчивается специальным разделом Замечания и ссылки, в котором приводятся ссылки на необходимую мате- матическую информацию и физические источники. Решительный читатель может на самом деле выучить необходимую математику, изучая основной текст и заглядывая в эти ссылки, а имея достаточный опыт — «переводить» соответствующие части физических учебников на язык математики. Для студентов-физиков книга предоставляет возможность ознакомиться с ма- тематическими основаниями и методами квантовой механики с помощью разбора частных случаев. Стоит отметить, что развитие многих математи- ческих дисциплин было стимулировано квантовой механикой. Материал этой книги можно изучать разными способами. Поверхност- ный читатель может бегло знакомиться с основным текстом, пропуская многочисленные замечания и задачи, расположенные в конце разделов. Это- го будет достаточно для получения минимальных основных знаний в кван- товой механике. Целеустремленному читателю следует восстанавливать де- тали вычислений в основном тексте (необходимы карандаш и бумага) — только так можно овладеть материалом, — и пытаться решить элементарные задачи2. Наконец, подлинно заинтересованному читателю следует попы- таться решить все задачи (вероятно, заглядывая в соответствующие ссылки в конце каждого раздела) и разобрать замечания, которые часто могут быть связаны с другими темами, не вошедшими в основной текст. Автор хотел бы поблагодарить студентов, слушавших его курсы, за комментарии к наброскам лекций. Он особенно благодарен своим коллегам Петру Петровичу Кулишу и Ли-Пень Тео за внимательное чтение рукопи- си. Работа над книгой была частично поддержана грантами НСФ DMS- 0204628 и DMS-0705263. Любые мнения, находки и выводы или рекомен- дации, приведенные в этой книге, принадлежат автору и необязательно от- ражают взгляды Нэйшнэл Саенс Фаундэйшн. 2 Мы оставляем читателю самому решить, какие задачи элементарные, а какие продвину- тые.
Часть I Основы
Глава 1 Классическая механика Мы предполагаем, что читатель знаком с основными понятиями тео- рии гладких (т.е. С°°) многообразий, и напоминаем здесь стандартные обозначения. Если явно не сказано иное, все отображения предполагают- ся гладкими, а все функции — гладкими и вещественнозначными. Локаль- ные координаты q = (ql, ... ,gn) на гладком n-мерном многообразии Μ в точке q Ε Μ — это декартовы координаты на φ(υ) С Мп, где (С/, φ) — координатная окрестность в Μ с центром в q Ε U. Для данной функ- ции / : U —► Rn мы будем обозначать (/ о φ~1)(ς1, ..., qn) как f(q), а гра- диент функции / в точке q Ε Ш71 с декартовыми координатами (ςτ1, ..., qn) обозначать как dl=(df_ дЛ dq \dq1,'",dqn)' Будем обозначать как η А*(М) = ®Ак{М) градуированную алгебру (по отношению к внешнему произведению) глад- ких дифференциальных форм на Μ и как d — дифференциал де Рама, градуированное дифференцирование на А*(М) степени 1, такое, что df — дифференциал функции / е А°(М) = С°°(М). Пусть Vect(M) — алгеб- ра Ли гладких векторных полей на Μ со скобкой Ли [ , ], заданной ком- мутатором векторных полей. Для X G Vect(M) мы обозначаем как Сх и %х соответственно производную Ли вдоль X и внутреннее произведе- ние с X. Производная Ли — это дифференцирование степени 0 на Л*(М), коммутирующее с d и удовлетворяющее соотношению Cx(f) = X{f) для / G А0 (М), а внутреннее произведение — дифференцирование степени — 1
24 Глава 1 на Л* (Μ), удовлетворяющее соотношениям ix(f) = 0 и ix(df) = X{f) для / G Д°(М). Они удовлетворяют формулам Картана Сх =ixod + doix = (d + ix)2, i[X,Y] — Cx οτγ -τγ о Сх. Для данного гладкого отображения многообразий / : Μ —► TV будем обо- значать как /* : ТМ —► TN и /* : T*N —► Т*М соответственно ин- дуцированные отображения на касательном и кокасательном расслоениях. Другие обозначения, включая традиционные для классической механики, будут введены в основном тексте. 1.1. Лагранжева механика 1.1.1. Обобщенные координаты Классическая механика описывает системы конечного числа взаимо- действующих частиц1. Система называется замкнутой, если ее частицы не взаимодействуют с внешними материальными телами. Местоположение системы в пространстве определяется местоположением ее частиц и за- дает точку в гладком, конечномерном многообразии М, конфигурационном пространстве системы. Координаты на Μ называются обобщенными коор- динатами системы, а размерность η = dim M называется числом степеней свободы2. Состояние системы в любой момент времени описывается точ- кой q G Μ и касательным вектором ν еТяМ в этой точке. Основной прин- цип классической механики — это принцип детерминированности Ньюто- на-Лапласа, утверждающий, что состояние системы в данный момент вре- мени полностью определяет ее движение в любой другой момент времени t (и в будущем, и в прошлом). Движение описывается классической траек- торией — путем 7(0 в конфигурационном пространстве М. В обобщен- ных координатах путь η записывается как j(t) = (gfl(i), ..., qn(t)), и соот- •i W ветствующие производные q = —г- называются обобщенными скоростя- ми. Принцип Ньютона-Лапласа — это фундаментальный эксперименталь- ный факт, подтверждаемый нашим восприятием повседневного опыта. Из Частица — это материальное тело, размерами которого при описании его движения можно пренебречь. 2Системы с бесконечным числом степеней свободы описываются классической теорией поля.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 25 него следует, что обобщенные ускорения ql = —— однозначно определяют- ся ся обобщенными координатами ql и обобщенными скоростями ql, так что классические траектории удовлетворяют системе обыкновенных дифферен- циальных уравнений второго порядка, называемых уравнениями движения. В следующем разделе мы сформулируем наиболее общий принцип, управ- ляющий движением механических систем. 1.1.2. Принцип наименьшего действия Лагранжева система на конфигурационном пространстве Μ задается гладкой, вещественнозначной функцией L на Τ Μ х Ж — прямом произве- дении касательного расслоения Τ Μ κ Μ и временной оси3, — называемой функцией Лагранжа (или просто лагранжианом). Движение лагранжевой системы (М, L) описывается принципом наименьшего действия в конфигу- рационном пространстве (или принципом Гамильтона), который формули- руется следующим образом. Пусть P(M)f0il = Ь ■ Mi] - М; 7(to) = 90, 7(*i) = 9i} — пространство гладких параметризованных путей в М, соединяющих точ- ки qo и qi. Пространство путей Р(М) = P(M)g*'j* является бесконеч- номерным многообразием Фреше, и касательное пространство ΤΙΡ(Μ) к Р(М) в точке 7 G Р(М) состоит из всех гладких векторных полей на η, обращающихся в ноль в конечных точках qo и q\. Гладкий путь Г в Р(М), проходящий через 7 £ Р(М), называется вариацией с закрепленными кон- цами пути 7(0 в М. Вариация Г это семейство ηε(t) = Г(£, ε) путей в Μ, задаваемое гладким отображением Г: [t0,ti] х [-ε0,ε0] -> Μ, таким, что Г(*,0) = j(t) для t0 ^ t < h, и Γ(£0,ε) = q0,r(ti,e) = qi для — εο ^ ε ^ εο· Касательный вектор G ΤΙΡ(Μ), 3Из принципа Ньютона-Лапласа следует, что L может зависеть только от обобщенных координат и скоростей и от времени.
26 Глава 1 соответствующий вариации je(t), по традиции называется бесконечно ма- лой вариацией. Конкретно Sj(t) = Г*(£)(*,0) G Tl{t)M, t0^t^ tu где -^ — касательный вектор к интервалу [—εο,εο] в точке 0. Наконец, ка- сательный подъем пути η : [to^i] —> Μ — это путь η' : [io?^i] -> ТМ, определяемый формулой j'(t) = 7*(J^) £ ΤΙ^Μ, to ^ t ^ £ь где ^ — касательный вектор к [to^i] B точке t. Другими словами, j'(t) — вектор скорости пути 7(0 в момент времени t. Определение. Функционал действия S : Р(М) —► R лагранжевой системы (М, L) задается формулой S[n)^JL{n\t),t)dt. to Принцип наименьшего действия (Принцип Гамильтона). Путь 7 £ Ρ Μ описывает движение лагранжевой системы (М, L) между поло- жением qo Ε Μ в момент времени to и положением q\ Ε Μ в момент времени t\, если и только если он является критической точкой функцио- нала действия S, вы = о, 1е=0 А de для всех вариаций с закрепленными концами 7ε (0 пути j(t). Критические точки функционала действия называются экстремаля- ми, и принцип наименьшего действия утверждает, что лагранжева систе- ма (М, L) движется по экстремалям4. Экстремали описываются уравнени- ями движения — системой дифференциальных уравнений второго порядка в локальных координатах на ТМ. Уравнения движения записываются наи- более изящно при следующем выборе локальных координат на ТМ. Определение. Пусть (U,tp) — координатная окрестность в Μ с ло- кальными координатами q = (q1, ..., qn). Координаты (q,v) = (q\...,qn,v\...,vn) на окрестности TU пространства ТМ, где ν = (υ1, ..., vn) — координаты в слое, соответствующие базису —-, ..., -^-^ пространства TqM, называ- dqL oq ются стандартными координатами. 4Принцип наименьшего действия не утверждает, ни что экстремаль, соединяющая точки qo и qi, минимизирует S, ни что такая экстремаль единственна. Не утверждает он и того, что любые две точки можно соединить экстремалью.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 27 Стандартные координаты — это декартовы координаты на <p*(TU) С С TRn ~ М71 х Rn. Они обладают свойством, что для (q,v) G TU и / G C°°(U) выполняется г=1 Пусть (С/, у?) и ({/', у?') — координатные окрестности в Μ с функциями пе- рехода F= (F\ ...,Fn) = φ,οφ'1 : <p(t/n[/') -> <р'([/П£/') и пусть (ς, ν) и (q',v') — соответственно стандартные координаты на TU и ТС/'. Имеем —- (θ) } — матричнозначная функция на φ(U Π С/'). Таким образом, «вертикальные» координаты ν — = (ν1, ... ,г?п) в слоях Τ Μ —► Μ преобразуются при замене координат на Μ как компоненты касательного к Μ вектора. Касательный подъем j'(t) пути j(t) в Μ в стандартных координатах на TU записывается как (q(t),q(t)) = (q1{t),...1qn(t),q1(t),...1qn(t))9 где точкой обозначается производная по времени, так что L(Y(i), t) = L(q(t),q(t), «)· Придерживаясь многовековой традиции5, мы обычно будем записывать стандартные координаты как (q,q) = (q1,...,qn,q1, ...,qn), где точка не обозначает производную по времени. Поскольку мы рассмат- риваем только те пути в ТМ, которые являются касательными подъемами путей в М, путаницы не будет6. Теорема 1.1. Уравнения движения лагранжевой системы (M,L) в стандартных координатах на Τ Μ — это уравнения Эйлера -Лагранжа ^(q(t),q(t), t) - I (g(«(«),№,«)) = 0. 5 Которой следуют все тексты по классической механике и теоретической физике. 6Мы резервируем обозначение (q(t), v(t)) для произвольных путей в ТМ.
28 Глава 1 Доказательство. Предположим сперва, что экстремаль j(t) лежит в координатной окрестности U многообразия М. Тогда простым вычислением в стандарт- ных координатах, используя интегрирование по частям, получаем о=|| зы = α4ε=0 *i = Μ ( L(q{t,e),q{t,e),t)dt = to to Вторая сумма в последней строке обращается в ноль из-за свойства $Ql(to) — Sql(ti) = О, г = 1, ... , п. Первая сумма равна нулю для любой гладкой функции Sql на интервале [£o>£ib равной нулю в конечных точках. Из этого следует, что для любого слагаемого подынтегральное выражение тождественно равно нулю: ^(g(i),4(i),i)-|fe(ii(i),e(i),i)j=0, i=l,...,n. Поскольку ограничение экстремали функционала действия S на коор- динатную окрестность в Μ — это опять экстремаль, каждая экстремаль в стандартных координатах на Τ Μ удовлетворяет уравнениям Эйлера- Лагранжа. Замечание. В вариационном исчислении производная функциона- ла S по направлению, соответствующему касательному вектору V Ε ΤΙΡ(Μ), — производная Гато — определяется формулой SvS=ie 5Ы, ε=0
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 29 где 7ε — путь в Р(М) с касательным вектором V в точке 7о = 7· Итог вышеприведенного вычисления (когда η лежит в координатной окрестно- сти U С М) можно записать как *1 -/( to to η Здесь V(t) = У^ vl(t)—г — векторное поле вдоль пути 7 в М. Формула (1.1) называется формулой первой вариации действия с закрепленными кон- цами. Принцип наименьшего действия — это утверждение, что SyS^) = О для всех V е ΤΙΡ(Μ). Замечание. Удобно также рассмотреть пространство Р(М) = — {l: fah^i] -^ Μ} всех параметризованных путей в М. Касательное про- странство ΤΙΡ(Μ) к Р(М) в точке 7 € Р(М) — это пространство всех гладких векторных полей на пути 7 в Μ (без всяких условий на конечные точки). Вычисление в доказательстве теоремы 1.1 дает следующую форму- лу для первой вариации действия со свободными концами: ti , — — \vdt + — t dt dq J dq 6VS= f (ψ-^^τ )vdt+ ^v (1.2) to Задача 1.1. Покажите, что функционал действия — это значение определенной на Τ Μ х R 1-формы L dt на лежащей в Τ Μ х Ж 1-цепи 7' ад = / Ldt, 7 где 7 = {(У(О^)^о ^ t ^ ti}, a Ldt(w,cj^) = cL(q,v), w G etmtm, сеж. Задача 1.2. Пусть / Ε С°°(М). Покажите, что у лагранжевых си- стем (М, L) и (М, L + df) (где d/ — послойно линейная функция на ТМ) одинаковые уравнения движения.
30 Глава 1 Задача 1.3. Приведите примеры лагранжевых систем, у которых экс- тремаль, соединяющая две заданные точки, (i) не является локальным ми- нимумом; (ii) не единственна; (Ш) не существует. Задача 1.4. Для экстремали η функционала действия S вторая ва- риация S определяется как х * Ιε1=£2=υ где 7ei ,ε2 "" гладкое двухпараметрическое семейство путей в М, таких, что касательные векторы к путям 7^1,0 и 7ο,ε2 в Р{М) в точке 7о,о = 7 £ Ε Р(М) — это V\ и У~2 соответственно. Найдите вторую вариацию 5 для лагранжевой системы (М, L) и проверьте, что для заданных V\ и V^ она не зависит от выбора 7ε i ,ε2 · 1.1.3. Примеры лагранжевых систем Для описания механических явлений необходимо выбрать систему от- счета. От этого выбора зависят свойства пространства-времени, в котором происходит движение. Пространство-время характеризуется следующими постулатами7. Ньютоново пространство-время. Пространство является трехмер- ным аффинным евклидовым пространством Е3. Выбором начала коорди- нат 0 Ε Е3 — точки отсчета — устанавливается изоморфизм Е3 ~ М3, где на векторном пространстве Ш3 определено евклидово скалярное произ- ведение, и задана фиксированная ориентация. Время — ось времени Μ — одномерно, и пространство-время — это прямое произведение Е3 х R. Инерциальная система отсчета — это система координат с заданным на- чалом 0 Ε Е3, начальным моментом времени to и ортонормированным ба- зисом в Ж3. В инерциальной системе пространство однородно и изотропно, а время однородно. Законы движения инвариантны по отношению к преоб- разованиям г н-> g-r-\-r0, *»->* +to, где г, го Ε М3, a g — ортогональное линейное преобразование простран- ства R3. Время в классической механике абсолютно. 7Строго говоря, эти постулаты верны только в нерелятивистском пределе специальной тео- рии относительности, когда скорость света в вакууме предполагается бесконечной.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 31 Группа Галилея — это группа всех аффинных преобразований про- странства Е3 х R, сохраняющих временные интервалы и являющихся изо- метриями Е3 при любом t G Μ. Любое преобразование Галилея является композицией вращения, пространственно-временного сдвига и преобразо- вания г н-> г + vt, t\-^t, где ν G Μ3. Любые две инерциальные системы связаны преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея. Законы движения инвариантны относительно группы Галилея. Эти постулаты накладывают ограничения на лагранжианы механиче- ских систем. К примеру, из первого постулата следует, что лагранжиан L замкнутой системы не зависит явно от времени. Физические системы опи- сываются специальными лагранжианами в соответствии с эксперименталь- ными фактами, касающимися движения материальных тел. Пример 1.1 (Свободная частица). Конфигурационное простран- ство свободной частицы — это Μ = R3, и из принципа относительности Галилея можно вывести, что лагранжиан свободной частицы — это L = \тг2. Здесь т > О8 — это масса частицы, а г2 = \г\2 — квадрат длины вектора скорости г е TrR3 ~ М3. Уравнения Эйлера-Л агранжа приводят к закону инерции Ньютона г = 0. Пример 1.2 (Взаимодействующие частицы). Замкнутая систе- ма N взаимодействующих частиц в Ш3 с массами т\,..., шдг описывается конфигурационным пространством Μ = R3N = R3 x ... x R3 4 ν / Ν с вектором координат г = (ri, ..., т·^), где ra £ R3 — вектор координат α-й частицы, а = 1, ..., N. Известно, что лагранжиан задается формулой N L = Y^\marl-V{r) = T-V, а=1 Иначе функционал действия неограничен снизу.
32 Глава 1 где величина N α=1 называется кинетической энергией системы, а V(г) — потенциальная энер- гия. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнениям Ньютона где — сила, действующая на а-ю частицу, а = 1,...,ЛГ. Силы такого вида называются консервативными. Из однородности пространства следует, что потенциальная энергия V(r) замкнутой системы из N взаимодействующих частиц зависит только от положения частиц друг относительно друга, что приводит к уравнению N $> = о. а=1 В частности, для замкнутой системы из двух частиц выполняется 2*1 +1*2 = О, из чего следует равенство сил действия и противодействия, известное как третий закон Ньютона. Потенциальная энергия замкнутой системы, в которой частицы взаи- модействуют только попарно, имеет вид V(V)= Σ Уаъ(Га-П). ' l^a<b^N Из изотропности пространства следует, что V(r) зависит только от рас- стояний между частицами, так что лагранжиан замкнутой системы из N попарно взаимодействующих частиц имеет вид N L = Σ \ш^ - Σ Vab^Va - Гь1)· α=1 l^a<b^N
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 33 Если потенциальная энергия V(г) — однородная функция степени р, V(Xr) = XpV(r), то средние значения Τ и V кинетической и потенциаль- ной энергий на замкнутой траектории связаны теоремой о вириале 2T = pV. (1.3) Действительно, пусть r(t) — периодическая траектория с периодом г > О, т. е. г(0) = г(т), г(0) = г(т). Пользуясь интегрированием по частям, урав- нениями Ньютона и теоремой Эйлера об однородных функциях, получаем \ Ν Ζ. Ν 2? = \ Ι Σ m^ldt = -ψ / Σ т*Г*ГаМ = ο a=1 о α=1 ο α=1 ч Пример 1.3 (Всемирное тяготение). Согласно закону всемирно- го тяготения Ньютона потенциальная энергия силы притяжения между двумя частицами с массами та и ть — это т// „ ч п гпать У{га -Гь) = -G- -п\ где G — гравитационная постоянная. Конфигурационное пространство N частиц с гравитационным взаимодействием — это Μ = {(η, ...,rN)e R3N : r a φ rb для α ^ 6, α, b = 1, ..., TV}. Пример 1.4 (Частица во внешнем потенциальном поле). Здесь Μ = R3 и £=-1-тг2-У(г,£), где потенциальная энергия может явно зависеть от времени. Уравнения движения — это уравнения Ньютона mr = F = -2£. or Если V = V(\r\) является функцией только расстояния \г\, потенциальное поле называется центральным.
34 Глава 1 Пример 1.5 (Заряженная частица в электромагнитном по- ле9). Рассмотрим частицу с зарядом е и массой га в М3, движущуюся в зависящем от времени электромагнитном поле со скалярным и векторным потенциалами φ(ν) и A(r) = (Ai(r), A2(r), A3 (г)). Лагранжиан имеет вид г тг2 . (гА \ где с — скорость света. Уравнения Эйлера-Лагранжа приводят к уравнени- ям Ньютона с силой Лоренца где х — векторное произведение в М3, а Е = -^- и В -curl A — электрическое и магнитное поля1" соответственно. Пример 1.6 (Малые колебания). Рассмотрим частицу массы га с η степенями свободы, движущуюся в потенциальном поле V(q), и пред- положим, что потенциальная энергия U имеет минимум в точке q = 0. Раскладывая V(q) в ряд Тейлора около 0 и сохраняя только квадратичные члены, получаем лагранжеву систему, описывающую малые колебания око- ло положения равновесия. Конкретно, L = \mq2 - V0(q), где Vo — положительно определенная квадратичная форма на Rn, заданная формулой 9 Это нерелятивистский предел примера из классической электродинамики. 10Также используется обозначение В = rot А.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 35 Поскольку любую квадратичную форму можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием, можно предположить с самого нача- ла, что координаты q = (g1, ..., qn) выбраны так, что Vo(q) диагональна и г=1 где cji , ..., ωη > 0. Такие координаты q называются нормальными коорди- натами. В нормальных координатах уравнения Эйлера-Лагранжа прини- мают вид ql + u2ql = 0, г = 1, ...,п, и описывают η несвязанных (т. е. невзаимодействующих) гармонических ос- цилляторов с частотами lji, ..., ωη. Пример 1.7 (Свободная частица на римановом многообра- зии). Пусть (M,ds2) — риманово многообразие с римановой метри- кой ds2. В локальных координатах ж1, ..., хп на Μ ds2 = 9μν{Χ)αΧμαΧν', где по традиции предполагается суммирование по повторяющимся индек- сам. Лагранжиан свободной частицы на Μ — это L(v) = ±(v,v) = i\\v\\2,v€TM, где ( , ) обозначает скалярное произведение в слоях ТМ, задаваемое рима- новой метрикой. Соответствующий функционал Sfr) = \ J \W{t)\\2dt = \j g^{x)x»x»dt to to называется функционалом действия в римановой геометрии. Уравнения Эй- лера-Лагранжа — это .. &9μν .μ.\ _ 1 %хА . ц . х 9μνΧ дхх Х Х " 2 дх»Х Х '
36 Глава 1 а после умножения на обратный метрический тензор даг/ и суммирования по ν они принимают вид Χσ + ΓΖ1/ΧμΧ"=0, σ = 1, ...,η, где — символы Кристоффеля. Уравнения Эйлера-Лагранжа свободной части- цы, движущейся по риманову многообразию, — это уравнения геодезиче- ских. Пусть V — связность Леви-Чивита — метрическая связность без кру- чения на касательном расслоении ТМ, и пусть V$ — ковариантная произ- водная по отношению к векторному полю ξ е Vect(M). Конкретно, (νξ7?)μ=(Ι5+Γ^λ)Γ' где *=™^η~^Χ)δ*· Для пути j(t) = (Χμ(η) обозначим символом V^ ковариантную производ- ную вдоль 7, (VjV)4t) = ^^+Kx№))i'/(t)vX(t), где V = r,4t)£: — векторное поле на 7· Теперь можно написать формулу (1.1) в инвариант- ной форме: SS to известной как формула первой вариации действия в римановой геометрии. Пример 1.8 (Твердое тело). Конфигурационное пространство твер- дого тела в R3 с закрепленной точкой — это группа Ли G = SO(3) сохра- няющих ориентацию ортогональных линейных преобразований простран- ства М3. Любая левоинвариантная риманова метрика ( , ) на G задает лагранжиан L : TG —► R формулой L(v) = Uv,v), veTG. "1
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 37 Согласно предыдущему примеру уравнения движения твердого те- ла — это уравнения геодезических на G по отношению к римановой мет- рике ( , ). Пусть д = $о (3) — алгебра Ли группы G. Вектор скорости д £TgG определяет угловую скорость тела по формуле Ω = (Lg-i)*g e д, где Lg: G —> G — это левые сдвиги на G. В терминах угловой скорости лагранжиан принимает вид где ( , )е — скалярное произведение на g = TeG, задаваемое римано- вой метрикой ( , ). На алгебре Ли g — алгебре Ли кососимметрических матриц 3 х 3 — имеется инвариантное скалярное произведение (u, v)о = = —-Truv (форма Киллинга), так что (Ω, Ω)β = (А · Ω, Ω)ο для некоторого симметрического линейного оператора А : g —► g, положительно опреде- ленного по отношению к форме Киллинга. Такой линейный оператор А называется тензором инерции тела. Главные оси инерции тела — это орто- нормальные собственные векторы ei, ег, е3 оператора А; соответствующие собственные значения Д, /г> h называются главными моментами инерции. Положив Ω = ΩΙβΙ + Ω2β2 + Ωβββ11, получаем В такой параметризации уравнения Лагранжа превращаются в уравнения Эйлера: /1Ω1 = (72-/3)Ω2Ω3, /2Ω2 = (/3-/1)Ω1Ω3, /3Ω3 = (/1-/2)Ω1Ω2. Уравнения Эйлера описывают вращение свободного твердого тела около закрепленной точки. В системе координат, осями которой выбраны главные оси инерции, главные моменты инерции — это Д, ДДз- Задача 1.5. Определите движение заряженной частицы в постоян- ном однородном магнитном поле. Покажите, что если начальная скорость по оси z (выбранной в направлении поля, В = (О, О, В)) г>з = 0, то тра- cmvt ектории являются окружностями радиусов г = —=т~ в плоскости, перпен- дикулярной полю (плоскости ху), где vt = \Jv\ + v\ — начальная скорость 11 Так устанавливается изоморфизм алгебр Ли g ~ R3, где скобка Ли на R3 задана вектор- ным произведением.
38 Глава 1 в плоскости ху. Центры (хо,уо) окружностей определяются формулой cmv\ cmvo где (ж, у) — точки на окружности радиуса г. Задача 1.6. Покажите, что уравнения Эйлера-Лагранжа для лагран- жиана L(v) = ||г>||, v G ТМ, совпадают с уравнениями геодезических, за- писанными по отношению к постоянному множителю натурального пара- метра. Задача 1.7. Докажите, что для частицы в потенциальном поле, об- суждавшейся в примере 1.4, вторая вариация функционала действия, опре- деленная в задаче 1.4, задается формулой S2S= f Jfarfardt, to где <$ir, δ2ν G Т7РЖ3, 7 = r(t) — классическая траектория, rr „<Ρ τ d2y g2y ( β2γ Ι 3 I — единичная матрица 3 x 3, a —-(t) = < -^—~—(r(t)) > . Линейный dr2 {dradrb J a>b=1 дифференциальный оператор второго порядка J, действующий на вектор- ные поля на 7, называется оператором Якоби. Задача 1.8. Найдите нормальные координаты и частоты для лагран- 1 п жевой системы, рассмотренной в примере 1.6 с Vo(q) = ^а2 Σ (<7г+1 ~Яг)2> 2 г=1 где </η+1 = q1. Задача 1.9. Докажите, что вторая вариация функционала действия в римановой геометрии дается формулой S2S = J(J(Sl7),S27)dt. to Здесь 5i7,^27 G ΤΙΡΜ, J = -V? - R(j, -)j — оператор Якоби, аЯ- оператор кривизны — послойно линейное отображение R: Τ Μ ® Τ Μ —> —> End(TM) векторных расслоений, определенное формулой Д(С,гу) = = νηνξ - νξνη + VKji7]: ТМ -> ТМ, где ξ, η G Vect(M).
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 39 0 Ω3 -Ω2 -Ω3 0 Ω1 Ω2\ "Ω! ο ) ^(Ω1,Ω2,Ω3)6 Задача 1.10. Выбрав главные оси инерции в качестве базиса в покажите, что изоморфизм алгебр Ли g ~ М3 задается формулой 93 Задача 1.11. Покажите, что для любого симметрического А Е End g существует симметрическая 3x3 матрица А, такая, что А · Ω = ΑΩ, + ΩΑ, и найдите А для диагонального А. ЗАДАЧА 1.12. Выведите уравнения Эйлера для твердого тела. (Ука- зание: воспользуйтесь тем, что L = — -ΤτΑΩ,2, где Ω = д~гд и 5Ω = = —д~г6д Q-\-g~1Sg, и получите уравнения Эйлера-Лагранжа в матричной форме ΑΩ + UA = ΑΩ2 - Ω2 А) 1.1.4. Симметрии и теорема Нётер Чтобы описать движение механической системы, необходимо решить соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа — систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в обобщенных координа- тах. Это может быть очень сложной задачей. Поэтому особенный интерес представляют функции обобщенных координат и скоростей, остающиеся постоянными во все время движения. Определение. Гладкая функция / : ТМ —► R называется интегралом движения (первым интегралом, или законом сохранения) для лагранжевой системы (M,L), если |/(7'W)=0 для любой экстремали j функционала действия. Определение. Энергия лагранжевой системы (М, L) — это функция Ε на Τ Μ х R, определенная в стандартных координатах на Τ Μ формулой η E(q, q, t) = V <f |^(q, q, t) - L(q, q, t). Лемма 1.1. Энергия Ε = q — — L является корректно определенной функцией на Τ Μ х R.
40 Глава 1 Доказательство. Пусть (£/, φ) и ([/', φ') — координатные окрестности в Μ с функциями перехода F = (F1, ..., Fn) = φ' о φ-1 : φ(ΙΙ Π V) ^ φ'{11 Π Ε/'). Соответ- ствующие стандартные координаты (ς, q) и (</', <j') связаны соотношениями qf = F(q) и q' = F*(q)q (см. раздел 1.1.2). Имеем dq' = F*(q)dq и dq' = = G(g, q)dq + F* (ςτ)φ/ (для некоторой матричнозначной функции G(g, </)), так что at 9L i/ . dLi-i . 9L i, =Ш™+§g^ «)dq+§f*№+ftdt= Таким образом, при замене координат WF*{q)=d4 и «а*=«а*· так что Ε — корректно определенная функция на ТМ. Следствие 1.2. При замене локальных координат на Μ компонен- ты — (q,q,t) = I —-, ..., —— I преобразуются как компоненты 1- oq \dq OQ. I формы на М. Предложение 1.1 (Сохранение энергии). Энергия замкнутой систе- мы является интегралом движения. Доказательство. Для экстремали η положим E{t) = E(^{t)). Согласно уравнениям Эй- лера -Лагранжа имеем dE_ = A (dL\ · , dLfi - ^n - <^п -QL = dt dt\dq)q dq4 dq4 dq4 dt ( d_ (dL\ _dL\n_dL=- \dt \dqj dq)q dt 9L dt' Поскольку для замкнутой системы — = 0, энергия сохраняется.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 41 Сохранение энергии для замкнутой механической системы — фунда- ментальный физический закон, следующий из однородности времени. Для произвольной замкнутой системы из N взаимодействующих частиц, рас- смотренной в примере 1.2, Ν Ν Ε = Σ таг\ ~L = Y^ \mar2a + V(r). α=1 α=1 Другими словами, полная энергия Ε = Τ + V — это сумма кинетической и потенциальной энергий. Определение. Лагранжиан L : Τ Μ —► Ж инвариантен относительно диффеоморфизма д : Μ —► Μ, если L(g*(v)) = L(v) для любого υ G ТМ. Диффеоморфизм д называется симметрией замкнутой лагранжевой систе- мы (M,L). Группа Ли G — это группа симметрии (M,L) (группа непре- рывных симметрии), если существует левое действие G на М, такое, что для любого д G G отображение Мэхи^-xgM- симметрия. Непрерывные симметрии приводят к законам сохранения. Теорема 1.3 (Э.Нётер). Пусть лагранжиан L : Τ Μ —> Ж инвариан- тен относительно однопараметрической группы {gs}seR диффеоморфиз- мов М. Тогда лагранжева система (M,L) допускает интеграл движе- ния I, записываемый в стандартных координатах на Τ Μ как 1 dLn s=0/ д где X = у^al(q)—г — векторное поле на М, соответствующее пото- ку gs. Интеграл движения I называется интегралом Ветер. Доказательство. Из следствия 1.2 следует, что / — корректно определенная функция на ТМ. Далее, дифференцируя L((gs)^(jr(t))) = L(jf(t)) по отношению к s при s = 0 и используя уравнения Эйлера-Лагранжа, получаем η dL„.dL. d (dL\„,dLda d (dL \ щеаЦ)=(а1Ш),...,апШ)).
42 Глава 1 Замечание. Векторное поле X на Μ называется бесконечно малой симметрией, если соответствующий локальный поток gs поля X (опреде- ленный для любого s Ε Ш в некоторой окрестности Us С М) — симметрия: L ° (<7s)* = £ на Us. Любое векторное поле X на Μ поднимается до век- торного поля X' на ТМ, определенного локальным потоком на ТМ, инду- цированным соответствующим локальным потоком на М. В стандартных координатах на Τ Μ Легко проверить, что X является бесконечно малой симметрией, если и только если dL(X') = О на ТМ, что в стандартных координатах запи- сывается как Замечание. Теорема Нётер обобщается на лагранжианы L : Τ Μ х хМ->М, зависящие от времени. А именно: определим на расширенном конфигурационном пространстве М\ = Μ х R не зависящий от времени лагранжиан L\ как Li(q,T,q,r) = L (ςτ, |,rjf, где (ςτ, τ) — локальные координаты на Mi, а (ςτ, г, g, f) — стандартные ко- ординаты на TMi. Интеграл Нётер 1\ для замкнутой системы (Mi,Li) определяет интеграл движения I для системы (М, L) по формуле I(Q,Q,t) = Ii(q,t,q,l). Когда лагранжиан L не зависит от времени, L\ инвариантно относитель- но однопараметрической группы сдвигов г н-> г + s, и интеграл Нётер h = -^т- дает I = -Ε. στ Теорему Нётер можно обобщить следующим образом. Предложение 1.2. Пусть для лагранжиана L : Τ Μ —> Ж существуют векторное поле X на Μ и функция К на ТМ, такие, что для любого пути η β Μ Щх')Ш) = jtK(.i'm
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 43 Тогда η — интеграл движения лагранжевой системы (М, L). Доказательство. Используя уравнения Эйлера-Лагранжа, получаем, что на экстрема- ли 7 A. (dLa\ = dLa + dLa = dK dt \dq J dq dq dt Пример 1.9 (Сохранение импульса). Пусть М = V — векторное пространство, и допустим, что лагранжиан L инвариантен относительно однопараметрической группы gs(q) = q + sv, υ Ε V. Согласно теореме Нётер — интеграл движения. Теперь пусть (Μ, L) — замкнутая лагранжева систе- ма из N взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2. Имеем Μ = V = R3N, и лагранжиан L инвариантен при одновременном сдвиге координат га = (г*,г2,г3) всех частиц на один и тот же вектор с £ М3. Таким образом, υ = (с, ..., с) Ε R3iV, и для любого с = (с1, с2, с3) Ε Ш3 является интегралом движения. Интегралы движения Р\,Р2,Рз определя- ют вектор (или, точнее, вектор в пространстве, двойственном к М3), называемый им- пульсом системы. Конкретно, N Р = ^2тага, а=1 так что полный импульс замкнутой системы равен сумме импульсов инди- видуальных частиц. Сохранение импульса — фундаментальный физический закон, отражающий однородность пространства.
44 Глава 1 По традиции величины щ = —г называются обобщенными импулъса- dql ми, соответствующими обобщенным координатам ql, a Fi = —г — обоб- dq% щенными силами. В этих обозначениях уравнения Эйлера -Лагранжа име- ют такой же вид: как и уравнения Ньютона в декартовых координатах. Из сохранения им- пульса следует третий закон Ньютона. Пример 1.10 (Сохранение углового момента). Пусть Μ = V — векторное пространство с евклидовым скалярным произведением. Пусть G = SO(V) — связная группа Ли автоморфизмов V, сохраняющих скаляр- ное произведение, и пусть g = $o(V) — алгебра Ли группы G. Допустим, что лагранжиан L инвариантен относительно действия однопараметриче- ской подгруппы gs(q) = esx · q группы G, где х G д, a ex — экспоненциаль- ное отображение. Согласно теореме Нётер — интеграл движения. Теперь пусть (M,L) — замкнутая лагранжева си- стема из N взаимодействующих частиц, рассмотренная в примере 1.2. Имеем Μ = V = RSN, и лагранжиан L инвариантен относительно од- новременных поворотов координат га при одном и том же ортогональ- ном преобразовании пространства М3. Таким образом, х = (щ ... ,и) £ G 5θ(3) Θ ... Θ 5θ(3), и для любого и е 5о(3) 4 ν ' N является интегралом движения. Пусть и = и1Х\ + и2Х2 + и3Хз, где Х± ~ = (оо-1),Х2=( ooo),X3=(i оо)— базис в so(3) ~ R3, соответ- Voi о/ v-ioo/' Vo оо/ v J ствующий вращениям вокруг векторов е1,в2,ез из стандартного ортонор- мированного базиса R3 (см. задачу 1.10). Получаем I = и1 Mi + и2М2 + и3М3,
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 45 где Μ = (Mi, Мг, Мз) Ε М3 (точнее, Μ лежит в пространстве, двойствен- ном к 50(3)) задается формулой N dL М = Е^Г л дга а=1 Вектор Μ называется угловым моментом системы. Конкретно, N Μ = ^гах тага, о=1 так что полный угловой момент замкнутой системы равен сумме угловых моментов индивидуальных частиц. Сохранение углового момента — фунда- ментальный физический закон, отражающий изотропность пространства. Задача 1.13. Определите, как полный импульс и полный угловой момент преобразуются при преобразованиях Галилея. 1.1.5. Одномерное движение Движение систем с одной степенью свободы называется одномерным. При использовании декартовой координаты х на Μ = R лагранжиан при- нимает вид L= \mx2-V(x). Закон сохранения энергии Ε = ±тх2 + V(x) позволяет решить уравнения движения в замкнутой форме с помощью раз- деления переменных. Имеем так что dx [т f 2 J V'Ε - V(x) Обратная функция x(t) — общее решение уравнений Ньютона, ах с двумя произвольными константами, энергией Ε и постоянной интегриро- вания.
46 Глава 1 Поскольку кинетическая энергия неотрицательна, для заданного значе- ния Ε фактическое движение происходит в области R, в которой V(x) < Ε. Точки, где V(x) = Ε, называются точками поворота. Движение, ограни- ченное двумя точками поворота, называется финитным. Финитное движе- ние периодично — частица осциллирует между точками поворота х\ и x<i с периодом dx Т(Е) = V2^ / yjE - V(x) Если область V(x) ^ Ε не ограничена, то движение называется нефинит- ным, и частица в конце концов уходит на бесконечность. Области, в кото- рых V{x) > Ε, недоступны. На фазовой плоскости с координатами (х,у). уравнение Ньютона сво- дится к системе первого порядка dV тХ = У> У='1х-' Траектории соответствуют фазовым кривым (x(t),y(t)), лежащим на лини- ях уровня функции энергии. Точки (#о, 0), где хо — критическая точка потенциальной энергии V(x), соответствуют положениям равновесия. Локальные мини- мумы соответствуют устойчивым положениям, а локальные максимумы — неустойчивым. Для значений Е, не соответствующих положениям равнове- сия, линии уровня — гладкие кривые. Эти кривые замкнуты, если движение финитное. Простейшая нетривиальная одномерная система, не считая свободной частицы, — это гармонический осциллятор с V(x) = \kx2 (k > 0), рассмот- ренный в примере 1.6. Общее решение уравнения движения — x(t) = Acos(u;t Η-α), где А — амплитуда, ω = у — — частота, а а — фаза простого гармо- нического движения с периодом Τ = —. Энергия — это Ε = ^τηω2Α2, и движение финитно с одним и тем же периодом Τ при Ε > 0.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 47 Задача 1.14. Покажите, что при V(x) = —х4 существуют фазо- вые кривые, определенные не во все моменты времени. Докажите, что ес- ли V(x) ^ 0 для любого х, то фазовые кривые определены во все моменты времени. Задача 1.15. Простой маятник — это лагранжева система с Μ = = S1 = Μ/2πΖ и L = \θ2 Η-cos θ. Найдите период Τ маятника как функцию амплитуды колебаний. Задача 1.16. Допустим, что потенциальная энергия V(x) четна, V(0) = 0 и V(x) — взаимнооднозначная монотонно возрастающая функция при х ^ 0. Докажите, что обратная функция x(V) и период Т(Е) связаны преобразованием Абеля T{E) = 2V^1% W и x<y) = -±—VfT{E)dE dV ^/E-V 2nV2^J VV-E о о 1.1.6. Движение в центральном поле и задача Кеплера Движение системы двух взаимодействующих частиц — задачу двух тел — тоже можно полностью описать. А именно: в этом случае (см. при- мер 1.2) Μ = R6 и mif? ГП2Г2 __„ |ч Вводя на Ш6 новые координаты „ „ „ „ Т7 rain + ГП2Г2 Г = 7*1 — Г 2 И It = ; , mi + га2 ' получаем L = \mR2 + \μτ2 - V(|r|), ГП1ГП2 л где m = тпл-\- mo — полная масса, а μ, = ; приведенная масса си- стемы двух тел. Лагранжиан L зависит только от скорости R центра масс, но не от его положения R. Обобщенная координата с таким свойством на- зывается циклической. Из уравнений Эйлера-Лагранжа следует, что обоб- щенный импульс, соответствующий циклической координате, сохраняется.
48 Глава 1 В нашем случае это полный импульс системы: OR так что центр масс R движется равномерно. Таким образом, в системе от- счета, где R = О, задача двух тел сводится к задаче об одной частице массы μ во внешнем центральном поле V(|r|). В сферических координа- тах на М3, х = г sin д cos φ, у = г sin $ sin φ, z = r cos $, где 0 ^ $ < π, 0 ^ φ < 2π, ее лагранжиан принимает вид L = \μ{τ2 + т2Ь2 + г2 sin2 tf φ2) - V(r). Из сохранения углового момента Μ = μν Χ г следует, что во время движения вектор положения г лежит в плоскости Р, ортогональной к Μ в Ш3. Вводя полярные координаты (г, х) на плоскости Р, получаем х2 = = д2 + sin2 д φ2, так что L=IM(r2+rV)-V(r). Координата х — циклическая, а ее обобщенный импульс μν2\ совпадает с \М\, если х > 0, и с — \М\, если х < 0. Обозначая эту величину как М, получаем уравнение μτ2Χ = Μ, (1.7) эквивалентное второму закону Кеплера12. Воспользовавшись уравнени- ем (1.7), получаем для полной энергии Ε = \μ(τ2 + r2x2) + V(r) = \μτ2 + V(r) + M^. (1.8) Μ2 2μτ2 Таким образом, радиальное движение сводится к одномерному движению на луче г > 0 с эффективной потенциальной энергией Veff(r) = V(r) + ^, 12Это утверждение о том, что секторальная скорость частицы в центральном поле посто- янна.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 49 где второе слагаемое называется центробежной энергией. Как и в преды- дущем разделе, решение дается формулой t= /jj:/-—£ . (1.9) Из (1.7) следует, что угол \ — монотонная функция t, определяемая другой квадратурой: Μ I dr_ V^J r2^E-Veff(r)' X = ^=/-^=^=^- (1.Ю) задающей уравнение траектории в полярных координатах. Множество Veff(r) ^ Ε является объединением колец 0 ^ rmin ^ < г < Гтах < оо, и движение финитно, если 0 < ГтгП ^ г < гтах < оо. Несмотря на то, что при финитном движении r(t) осциллирует между rmin и Гщах, соответствующие траектории не обязательно будут замкнуты. Необ- ходимым и достаточным условием того, чтобы финитное движение имело замкнутую траекторию, является требование, чтобы угол гтах АХ=М_ [ dr л/2Д J r2y/E-Veff(r) rmin был соизмерим с 2π, т. е. Δ% = 2π™ для каких-то га, η Ε Ζ. Если угол А\ не соизмерим с 2π, орбита всюду плотна в кольце гШгП ^ г ^ гтах. Если lim 14//(г) = lim V(r) = V < оо, движение нефинитно при Ε > V — частица уходит на бесконечность с ко- нечной скоростью J^{E — V). Очень важен частный случай, когда v(r) = -a. Он соответствует ньютоновскому гравитационному притяжению (а > 0) и кулоновскому электростатическому взаимодействию (притягивающему или отталкивающему). Сперва рассмотрим случай, когда а > 0 — задача Кеплера. Эффективная потенциальная энергия равна Veff{r) = —г+- 2/хг2
50 Глава 1 и имеет глобальный минимум Υο = -α2μ 2М2 М2 при го = -QJ7T· Движение нефинитно при Ε > 0 и финитно при Vo ^ Ε < 0. Явную форму траекторий можно определить элементарным интегрирова- нием в (1.10), которое дает Μ Μ х = сов-1—r r° +a ^2μ(Ε-ν0) Выбирая постоянную интегрирования С = 0 и вводя обозначение ρ = го и е получаем уравнение орбиты (траектории) — P = l + ecosx. (1.11) Это уравнение конического сечения с одним фокусом в начале координат. Величина 2р называется фокальным параметром орбиты, а е — эксцентри- ситетом. При выборе С = 0 точка с \ = 0 — ближайшая к началу коор- динат (она называется перигеем). Когда V0 ^ Ε < 0, эксцентриситет е < 1, так что орбита — эллипс13 с большой и малой полуосями: „_ Ρ _ а и_ Ρ 1М1 П19ч а-1_е2-2|яГ *-^Γ^2-ν/2ΜΕΓ ( } Соответственно, rmin = , rmax = , и период Τ эллиптической орбиты дается формулой 2\Е\3 Последняя формула — это третий закон Кеплера. Когда Ε > 0, эксцентри- ситет е > 1 и движение нефинитно, орбита является гиперболой с внут- ренним фокусом в начале координат. Когда Ε = 0, эксцентриситет е = 1, частица начинает движение из состояния покоя на бесконечности, и орби- та — парабола. 13Утверждение, что планеты движутся по эллиптическим орбитам с фокусом в Солнце, это первый закон Кеплера.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 51 Для случая отталкивания, а < О, эффективная потенциальная энер- гия Veff (г) всегда положительна и монотонно убывает от оо до 0. Движе- ние всегда нефинитно, а траектории — гиперболы (парабола, если Ε = 0) Ρ ψ = -1 + ecosx Μ2 L ^_ 2EM2 р=^ и e=v1+7^· Задача Кеплера весьма специальна: для любого a Ε Ш лагранжева си- стема на Ш3 с ^ L = \μν2 + f (1.13) имеет три добавочных интеграла движения Wi, W2, W3, помимо компонент углового момента М. Соответствующий вектор W = (Wi, W2, W3), назы- ваемый вектором Лапласа-Рунге-Ленца, задается формулой W = rxM-^. (1.14) Действительно, воспользовавшись уравнениями движения μν = — ^ и со- 3 г хранением углового момента Μ = μν Χ г, получаем xir / .ч αν ol{v-v)v W = μν X (г X г) - ψ + ν з = = (//r · r)r - {μν -v)v - — Η = -0. Воспользовавшись тем, что μ(ν х Μ) · г = iVf2, и равенством (о X б)2 = = а2 Ъ2 — (а · Ь)2, получаем W2 = q2 + 2m!£( (115) где — энергия, соответствующая лагранжиану (1.13). Тот факт, что все орби- ты — конические сечения, следует из этой добавочной симметрии зада- чи Кеплера. Задача 1.17. Докажите все утверждения этого раздела.
52 Глава 1 Задача 1.18. Покажите, что если limnVeff(r) = -00, г—»и то существуют орбиты с rmin = 0, соответствующие «падению» частицы на центр. Задача 1.19. Докажите, что все финитные траектории в центральном поле замкнуты только в том случае, когда V(r) = kr2, k>0, и V(r) = -f, α>0. Задача 1.20. Найдите параметрические уравнения орбит в задаче Кеплера. Задача 1.21. Докажите, что вектор Лапласа-Рунге-Ленца W смот- рит в сторону главной оси орбиты и что | W\ = ае, где е — эксцентриситет орбиты. Задача 1.22. Используя сохранение вектора Лапласа - Рунге - Ленца, докажите, что траектории в задаче Кеплера с Ε < О — эллипсы. (Указание: вычислите W · г и используйте результат предыдущей задачи.) 1.1.7. Преобразование Лежандра Уравнения движения лагранжевой системы (М, L) в стандартных ко- ординатах, связанных с координатной окрестностью U С М, это уравнения Эйлера-Лагранжа. В развернутой форме они задаются следующей систе- мой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка: = Υ" I -^- (q, q) qj + -^- (q,q) qj ) , г = 1, .. ., η. ^{\dqxdq>K dqldtfK J J Для того чтобы эта система разрешалась для старших производных при лю- бых начальных условиях на TU, необходимо, чтобы на TU была обратима симметричная η х η матрица
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 53 Определение. Лагранжева система (М, L) называется невырожден- ной, если для любой координатной окрестности U в Μ матрица Hb(q,q) обратима на TU. Замечание. Заметим, что η х η матрица Hl — это гессиан функции Лагранжа L для вертикальных направлений на ТМ. При замене стандарт- ных координат q' = F(q) и q' = F*(q)v (см. раздел 1.1.2) она преобразу- ется по закону HL(q,q) = F*{q)THL{q',q')F*{q), где F*(q)T — транспонированная матрица, так что условие detHb φ 0 не зависит от выбора начальных координат. Для инвариантной формулировки рассмотрим 1-форму #l, опреде- ленную в стандартных координатах, связанных с координатной окрестно- стью U С М, формулой ^dq1 dq ч г=1 * Из следствия 1.2 выходит, что 9l — корректно определенная 1-форма на ТМ. Лемма 1.2. Лагранжева система (М, L) невырождена, если и только если 2-форма d0L на Τ Μ невырождена. Доказательство. В стандартных координатах d6L = V f -^-dqj Λ dql + -^-dqj Λ dq*] , и, рассмотрев 2п-форму αθ™ = d0L Λ ... Λ d0L, легко видеть, что 2-форма 4 ν у η авь невырождена, если и только если матрица Hl невырождена. Замечание. С использованием 1-формы 6l интеграл Нётер I в тео- реме 1.3 можно записать как I = ix>(0L), (1.16) где X1 — подъем векторного поля X с Μ на ТМ, заданный уравнением (1.5). Из (1.6) также мгновенно следует, что если X — бесконечно малая симметрия, то £x<(0l) = O. (1.17)
54 Глава 1 Определение. Пусть (U, φ) — координатная окрестность в М. Коор- динаты (Р,9) = (Рь.--?Рп,д1,...,0 в окрестности T*U ^ Mn x U кокасательного расслоения Т*М называются стандартными координатами1*, если для (p,q) G T*i/ и / G C°°(U) Pt(df) = τ— > i = 1, ...,η. Эквивалентным образом, стандартные координаты на T*i/ можно од- нозначно охарактеризовать условием, что ρ = (pi, ... ,pn) — координа- ты в слое, соответствующие базису dq1, ..., dgn пространства Τ* Μ, двои- ственному к базису —-, ..., ^-^ пространства TqM. Определение. 1-форма θ на Т*М, определенная в стандартных коор- динатах формулой η 6 = ^2pidql = pdq, г=1 называется канонической 1-формой Лиувилля. Из следствия 1.2 видно, что θ — корректно определенная 1-форма на Т*М. Ясно, что 1-форма θ допускает также инвариантное определение θ(μ)=ρ(π+(*)), где иеТмТ*М, а π \Т*М —> Μ — каноническая проекция. Определение. Послойное отображение тх, : ТМ -^> Т*М называется преобразованием Лежандра, связанным с лагранжианом L, если 0l = t£(0). В стандартных координатах преобразование Лежандра задается фор- мулой TL(q,q) = (p,q), где p=—{q,q). Отображение tl — локальный диффеоморфизм, если и только если лагран- жиан L невырожден. 14По традиции первые η координат параметризуют слой Т*£/, а последние η координат — базу.
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 55 Определение. Пусть преобразование Лежандра п, : Τ Μ —> Τ* Μ — диффеоморфизм. Гамильтониан Η : Τ*Μ —> Μ, соответствующий лагран- жиану L : Τ Μ —> R, определяется как HorL = EL = q^-L. dq В стандартных координатах H(p,q) = {pq-L(q,q))\ dL , где q — функция рид, определяемая уравнением р = τττ(ς,q) по теореме dq о неявной функции. Кокасательное расслоение Т*М называется фазовым пространством лагранжевой системы (М, L). Оказывается, что в фазовом пространстве уравнения движения принимают очень простой и симметрич- ный вид. Теорема 1.4. Пусть преобразование Лежандра tl '· Τ Μ —> Τ* Μ — диффеоморфизм. Тогда уравнения Эйлера-Лагранжа в стандартных ко- ординатах на ТМ, cLdL_dL=Q i = 1 dtdq1 dq1 ' эквивалентны следующей системе дифференциальных уравнений первого порядка в стандартных координатах на Т*М: дн дН Р* = --Т7> Я1 = ^~, « = 1, dq dpi' ,п. Доказательство. Имеем ш-%**щ*·- = (pd4+idp-eLdg_eLd4} = ('*-§Н dL р=щ dL ' р=щ Таким образом, при преобразовании Лежандра *-Щ -*-i l_dL = dL=_ t dq dq дн dq'
56 Глава 1 Соответствующие дифференциальные уравнения первого порядка на Т*М называются уравнениями Гамильтона {каноническими уравнениями). Следствие 1.5. Гамильтониан Η постоянен на решениях уравнений Гамильтона. Доказательство. Для H(t) = H{p(t),q(t)) имеем dH = дн. j дн . = дн дн дндн =0 dt dq dp dq dp dp dq Для лагранжиана L = ?ψ- - V(r) = Τ - V, r G Μ3, частицы массы т в потенциальном поле V(r), рассмотренном в приме- ре 1.4, имеем dL Ρ = -77Т = ТПГ. dr Таким образом, преобразование Лежандра tl : ТШ3 —> Т*М3 — глобальный диффеоморфизм, линейный на слоях, и H(p,r)=(pr-L)\.=2.=7^ + V(r) = T + V. Уравнения Гамильтона f = дН = Р dp m' ρ = дН = dV дг дг эквивалентны уравнениям Ньютона с силой F = — ——. or Для лагранжевой системы, описывающей малые колебания, рассмот- ренной в примере 1.6, имеем ρ = mq и, используя нормальные координаты, получаем H(p,q) = (pq-L(q,q))\4=£ = f^+ВД = ^(р2 + m2 f>2(<f)2)· г=1
1.1. ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА 57 Схожим образом для системы из N взаимодействующих частиц, рас- смотренной в примере 1.2, имеем ρ = (pi, ... ,Pn), где Ρα = д-г- = mara, α = 1, ..., TV. ота Преобразование Лежандра тх : TM3iV —> T*R3N — глобальный диффео- морфизм, линейный на слоях, и N Н(р,г) = (рг - L)\.=£_ = Σ ъ=г + У (г) = T + V. т " ЛТПа а=1 В частности, для замкнутой системы с попарными взаимодействиями Я(Р^) = Е^-+ Σ Vab(ra-Vb). α=1 α l^a<b^N В общем случае рассмотрим лагранжиан η где A(q) = {а^(я)}^=1 ~ симметричная матрица п х п. Имеем η Pi = — = Y^aij{q)q\ i = 1, ...,n, и преобразование Лежандра — глобальный диффеоморфизм, линейный на слоях, если и только если матрица A(q) невырождена для любого q £Шп. В этом случае η H(p,q) = (pq-L(q,q))\ 9L = £ У*{q)piPj+ V{q\ где {alJ'(<z)}ij=1 = ^4-1(ςτ) — обратная матрица. Задача 1.23 (Второе касательное расслоение). Пусть π: ТМ -> —> Μ — каноническая проекция и пусть Ту(ТМ) — вертикальное каса- тельное расслоение расслоения ТМ вдоль слоев π — ядро отображения расслоений π*: Т(ТМ) —> ТМ. Докажите, что существует естественный изоморфизм расслоений г: ТМ ~ Ту(ТМ).
58 Глава 1 Задача 1.24 (Инвариантное определение 1-формы 0l). Пока- жите, что 6L(v) = dL((i о 7г*)г>), где ν е Т(ТМ). 3 А дач а 1.25. Дайте инвариантное доказательство (1.17). Задача 1.26. Докажите, что путь ^(t) в Μ — траектория лагранжевой системы (М, L), если и только если irW(d0L) + d£L(Y(*)) = O, где У(£) — вектор скорости пути Y(t) in TM. Задача 1.27. Покажите, что для заряженной частицы в электромаг- нитном поле, рассмотренной в примере 1.5, p = mr + ^A и Н(р,г) = ^ [Р- |AJ + ер(г). Задача 1.28. Допустим, что для лагранжевой системы (Rn, L) преоб- разование Лежандра tl — диффеоморфизм, и пусть Η — соответствующий гамильтониан. Докажите, что при фиксированных q и q у функции pq — — Η (ρ, q) имеется единственная критическая точка при ρ = —. Задача 1.29. Приведите пример невырожденной лагранжевой систе- мы (М, L), такой, что преобразование Лежандра тх : Τ Μ —► Τ* Μ одно- значно, но не сюръективно. 1.2. Гамильтонова механика > 1.2.1. Уравнения Гамильтона Каждой функции Η : Τ*Μ —> R на фазовом пространстве Τ*Μ со- ответствуют уравнения Гамильтона — система обыкновенных дифферен- циальных уравнений первого порядка, которая в стандартных координатах на T*U имеет вид Соответствующее векторное поле Хн на T*U, η г=1 дн д dpi dqi дн д \ dqi dpi) дн д dp dq дн д dq дру
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 59 порождает корректно определенное векторное поле Хн на Т*М, назы- ваемое гамилыпоновым векторным полем. Предположим теперь, что век- торное поле Хн на Г*Μ полно, т.е. что его интегральные кривые опре- делены во все моменты времени. Соответствующая однопараметрическая группа {gt}teR диффеоморфизмов Т*М, порожденная Хн, называется га- милыпоновым фазовым потоком. Он определяется равенством gt (p, q) = — ОКО? #(£))> гДе pW> Q(t) ~ решение уравнений Гамильтона, удовлетворя- ющее условию р(0) = р, q(0) = q. Каноническая 1-форма Лиувилля θ на Т*М определяет 2-форму ω = αθ. В стандартных координатах на Т*М она задается формулой У] dpi Λ dql = dp Adq и является невырожденной 2-формой. Форма ω называется канонической симплектической формой на Т*М. Симплектическая форма ω определя- ет изоморфизм J : Τ* (Τ* Μ) —> Τ (Τ* Μ) касательного и кокасательно- го расслоений к Т*М. Для любого (p,q) G Τ*Μ линейное отображе- ние J~l : Γ(ρ?ς)Τ*Μ —> 7? .Τ*Μ задается уравнением Ш{иъи2) = J_1(^2)(^l), 1*1,1*2 € T{p,q)T*M' Отображение J индуцирует изоморфизм бесконечномерных векторных пространств Аг(Т*М) и Vect(T*M), являющийся линейным над С°°{Т*М). Если 1? — 1-форма на Т*М, то соответствующее векторное поле J {β) на Τ* Μ удовлетворяет соотношениям ω(Χ, J(0)) = 0(Х), X G Vect(T*M), и J~l(X) = —гΧω. В частности, в стандартных координатах J(dp) = l и J(4,) = -A так что Хя = J(dH). Теорема 2.1. Гамильтонов фазовый поток на Т*М сохраняет кано- ническую симплектическую форму.
60 Глава 1 Доказательство. Надо доказать, что (<7г)*и; = ω. Поскольку gt — однопараметрическая группа диффеоморфизмов, достаточно показать, что 5<*>·» = СХни = 0, t=0 где Схн — производная Ли вдоль векторного поля Хц. Поскольку для лю- бого векторного поля X Cx(df) = d(X(f)), можно посчитать, что схАЪ) = -аШ\ и cxM)=d(yir так что С*н" = J2 (Сх" (*<) Λ dqi + dpi Λ Сх" №*)) = г=1 = Σ ("* (f) Λ *' + ** ** (f)) = "« = 0. Следствие 2.2. Схн(в) = d(—H + 0(Хя)), где β — канониче- ская 1-форма Лиувилля. Каноническая симплектическая форма ω на Т*М определяет форму ωη 1 объема =-т = —- ω А ... Λα; на Т*М, называемую лиувиллевой формой η объема. Следствие 2.3 (Теорема Лиувилля). Гамилыпонов фазовый поток на Т*М сохраняет лиувиллеву форму объема. Ограничение симплектической формы ω, определенной на Т*М, на конфигурационное пространство Μ — тождественный ноль. Обобщив это свойство, получаем следующее понятие.
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 61 Определение. Подмногообразие %? фазового пространства Т*М на- зывается лагранжевым подмногообразием, если dim J£ = dimM и α;|_^ = 0. Из теоремы 2.1 следует, что образ лагранжева подмногообразия под действием гамильтонова фазового потока — лагранжево подмногообразие. Задача 2.1. Проверьте, что Хн — корректно определенное векторное поле на Т*М. Задача 2.2. Покажите, что если все поверхности уровня гамильто- ниана Η — компактные подмногообразия Т*М, то гамильтоново векторное поле Хн полно. Задача 2.3. Пусть π : Τ*Μ —> Μ — каноническая проекция и пусть «if — лагранжево подмногообразие. Покажите, что если отобра- жение π|^ : 5£ —> Μ — диффеоморфизм, то 5£ — график гладкой функции на М. Приведите примеры, когда для некоторого t > 0 соответствующая проекция gt{&) на Μ больше не диффеоморфизм. 1.2.2. Функционал действия в фазовом пространстве С каждой функцией Η на фазовом пространстве Т*М ассоциирована 1-форма θ - Hdt = pdq - Hdt нерасширенном фазовом пространстве Т*М xR, называемая формой Пу- анкаре-Картана. Пусть 7 · [to, ti] —> Τ*Μ — гладкий параметризованный путь в Т*М, такой, что π(7(£ο)) = Qo и tt(7(£i)) = <?ь гД.е я*: Т*М —> Μ — каноническая проекция. По определению подъем пути 7 в расширенное фа- зовое пространство Т*М х R — это путь σ: [to, ii] —► Т*М х Μ, задаваемый формулой a(t) = (^(i)^t), и путь σ в Т*М хR называется допустимым пу- тем, если он является подъемом пути η в Т*М. Пространство допустимых путей в Т*М х Μ обозначается P(T*M)^^J. Вариация допустимого пути σ — это гладкое семейство допустимых путей σε, где ε Ε [—£о, εο] и σο = σ, а соответствующая бесконечно малая вариация — это G ΤσΡ{Τ*Μ)1>% ε=0 (см. раздел 1.1.2). Принцип наименьшего действия в фазовом простран- стве — следующее утверждение.
62 Глава 1 Теорема 2.4 (Пуанкаре). Допустимый путь σ в Т*М х R — экстре- маль функционала действия *1 5(σ) = /(pdg - ЯЛ) = f(pq - Η) dt, σ to если и только если он является подъемом пути j(t) — (p(t),q(t)) в Τ*Μ, где p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона . дН . дН Доказательство. Как в доказательстве теоремы 1.1, для допустимого семейства ae{t) = = (p(t,e),q(t,e),t) можно посчитать, интегрируя по частям, А de S{?e) = £] Wpi-pM - ψτδ? - ШврЛ dt + + E^t г=1 Поскольку Sq(to) = Sq(ti) = О, путь σ — критический, если и только ес- ли p(t) и q(t) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.1). Замечание. Для лагранжевой системы (M,L) любой путь j(t) = = (q(t)) в конфигурационном пространстве М, соединяющий точки qo и qi, определяет допустимый путь j(t) = (p(t),q(t),t) в фазовом про- странстве Т*М по формуле ρ = —. Если преобразование Лежандра п, : dq Τ Μ —» Г* Μ — диффеоморфизм, то 5(7) = J(PQ ~ H)dt = jLtf (t),t)dt. to to Таким образом, принцип наименьшего действия в конфигурационном про- странстве — принцип Гамильтона — следует из принципа наименьшего дей- ствия в фазовом пространстве. На самом деле, в этом случае оба принципа эквивалентны (см. задачу 1.28). Из следствия 1.5 мгновенно получается следующий результат.
1.2. Гамильтонова механика 63 Следствие 2.5. Решения канонических уравнений Гамильтона, лежа- щие на гиперповерхности Н(р, q) = Е, — экстремали функционала Jpdq σ в классе допустимых путей σ, лежащих на этой гиперповерхности. Следствие 2.6 (Принцип Мопертюи). Траектория j = (q(r)) зам- кнутой лагранжевой системы (М, L), соединяющая точки qo и q\ и имею- щая энергию Е, является экстремалью функционала jpdq = У§|(«(т),д(т)Жт)Л на пространстве всех путей в конфигурационном пространстве М, соеди- няющих точки qouqi и параметризованных так, что Н(Щ(т), q(r)) = Ε. Функционал Soil) = / Pdq 7 называется укороченным действием15. Доказательство. Любой путь 7 = я(т), параметризованный так, что Н{Щ^) = Е, под- нимается до допустимого пути σ = (§§(т),д(т),т), а ^ г < 6, лежащего на гиперповерхности Н(р, q) = Ε. Задача 2.4 (Якоби). На римановом многообразии (М, ds2) рассмот- рим лагранжеву систему с L(q,v) = ||Н|2 — V(q). Пусть Ε > V(q) для всех q Ε Μ. Покажите, что траектории замкнутой лагранжевой систе- мы (М, L) с полной энергией Ε являются геодезическими для римановой метрики ds2 = (Ε - V(q))ds2 на Μ. 1.2.3. Действие как функция координат Рассмотрим невырожденную лагранжеву систему (М, L) и обозначим как 7(£; qo, vo) решения уравнений Эйлера-Лагранжа d dL _ <9L _ q dt dq dq Аккуратная формулировка принципа Мопертюи принадлежит Эйлеру и Лагранжу.
64 Глава 1 с начальными условиями 7(^0) = Qo £ Μ и "у(£о) = ^о £ TqoM. Допу- стим, что существует окрестность Vo С TVoM вектора vq и момент време- ни t\ > to, такие, что для всех ν Ε Vo экстремали ^{t\ qo,v), начинающиеся в момент to в точке qo, не пересекаются в расширенном конфигурационном пространстве Μ х R для моментов времени to < t < t\. Такие экстремали, как говорят, образуют центральное поле, включающее экстремаль 7о(£) = — 7(^5 Яо,уо)· Существование центрального поля экстремалей эквивалентно условию, что для любого to < t < t\ существует окрестность Ut С Μ точ- ки 7о(£) £ -&f> такая, что отображение Vo Э ν .-> q(t) = j(t- qo, ν) G Ut (2.2) — диффеоморфизм. Основные теоремы теории обыкновенных дифферен- циальных уравнений гарантируют, что для t\, достаточно близкого к to, любую экстремаль j(t) для to < t < t\ можно включить в централь- ное поле. В стандартных координатах отображение (2.2) задается форму- лой q h-> q(t) =7(t)q0,q). Для центрального поля экстремалей j(t; qo, q), to <t < t\, определим действие как функцию координат и времени (или классическое действие) формулой S(q,t;q0,t0) = J L(7f(r))dr, to где 7(т) — экстремаль из центрального поля, соединяющая до и q. При заданных q0 и to классическое действие определено для t e (to^h) и q е G \Jt <t<t Ut. При фиксированной энергии Ε S(q, t\ go, to) = 50(g, t; go, *o) - E(t - f0), (2.3) где So — укороченное действие из предыдущего раздела. Теорема 2.7. Дифференциал классического действия S(q,t) с закреп- ленной начальной точкой дается формулой dS = pdq — Hdt, где ρ = τττ((Ζ,q) и Η = pq — L(q, q) определяются скоростью q экстре- мали 7(τ) в момент времени t Доказательство. Пусть qe — путь в М, проходящий через q в момент ε = 0 с касатель- ным вектором ν е TqM ~ М™, и для достаточно малых ε пусть ηε(τ) —
1.2. Гамильтонова механика 65 семейство экстремалей из центрального поля, удовлетворяющих услови- ям 7е (£о) = Яо и 7ε (0 = 9ε · Для бесконечно малой вариации δη имеем ^7(^о) = 0 и Sj(t) = ν, а для фиксированного £ получаем из формулы для вариации со свободными концами (1.2), что dS(v) = &ν. dS Это показывает, что — = р. Положив q(t) = j(t)9 получаем ±Sm),t) = fq^ft=L, dS τ . rj так что -7Г- = L — pa = —Η. dt Следствие 2.8. Классическое действие удовлетворяет следующему нелинейному уравнению в частных производных: 1+я(1'9)=0· (2·4) Это уравнение называется уравнением Гамильтона-Якоби. Уравнения Гамильтона (2.1) можно использовать для решения задачи Коши S(q,t)\t=0 = s(q), seC°°(M), (2.5) для уравнения Гамильтона-Якоби (2.4) методом характеристик. А именно: допустим, что существует гамильтонов фазовый поток gt на Т*М, и рас- смотрим лагранжево подмногообразие Х={(р,я)еТ*М:Р=д8^ dq /' график 1-формы ds на Μ — сечение кокасательного расслоения π: Τ* Μ —► —► Μ. Отображение π\^ взаимно однозначно, и для достаточно малых t ограничение проекции π на лагранжево подмногообразие Jft = 9t(-&) оста- ется взаимно однозначным. Другими словами, существует t\ > 0, такое, что для всех 0 ^ t < t\ отображение щ = π о gt о (π\^>)-1: Μ —► Μ — диф- феоморфизм, а экстремали 7(г><7(ь<7о) B расширенном конфигурационном βττ пространстве Μ х R, где qo = -?— (ро, <7о) и (ро, <7о) G -S?, не пересекаются. up Такие экстремали называются характеристиками уравнения Гамильтона- Якоби.
66 Глава 1 . Предложение 2.1. Для 0 ^ t < t\ решение 5(g, t) задачи Коши (2.4)- (2.5) дается формулой τ S(q,t)=s(qo) + jL(1'(T))dT. Здесь 7(τ) — характеристика с j(t) = q и начальной точкой до = 7(0)> однозначно определяемой по q. Доказательство. Как в доказательстве теоремы 2.7, мы используем формулу (1.2), где теперь до зависит от д, и получаем поскольку ^-(go) = Po = -^-(QOiQo)- Положив q(t) = j(i), получаем ag0 ago так что f —Н(р,я), и S удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби. Можно также рассмотреть действие 5(g, £;до,£о) и как функцию пе- ременных д и до. Аналогом теоремы 2.7 будет следующее утверждение. Предложение 2.2. Дифференциал классического действия как функ- ции начальной и конечной точки дается формулой dS = pdq - podqo ~ Я (ρ, q)dt + Я(ро, qo)dt0. ЗАДАЧА 2.5. Докажите, что решение задачи Коши для уравнения Га- мильтона-Якоби единственно.
1.2. Гамильтонова механика 67 1.2.4. Классические наблюдаемые и скобка Пуассона Гладкие вещественнозначные функции на фазовом пространстве Т*М называются классическими наблюдаемыми. Векторное пространство С°°(Т*М) является R-алгеброй — ассоциативной алгеброй над R с еди- ницей, заданной постоянной функцией 1, и умножением, заданным пото- чечным произведением функций. Коммутативная алгебра С°°(Т*М) назы- вается алгеброй классических наблюдаемых. Предполагая, что гамильтонов фазовый поток gt определен для всех моментов времени, временная эволю- ция любой наблюдаемой / е С°°(Т*М) дается уравнением /*(р, я) = f(9t(p, я)) = /(pW, <?(*)), (р, я) е тм. Эквивалентно временная эволюция описывается дифференциальным уравнением dft dfs+t dt ds d(ft о ga) s=o ds = XH(ft) = s=0 dpi dq1 dq1 dpi J dp dq dq dp ' называемым уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых. По- ложив {/^} = ЗД) = ||-||. /,*ес~(т*м), (2.6) можно переписать уравнение Гамильтона в сжатой форме: ! = {",/}, (2-7) где подразумевается, что (2.7) — дифференциальное уравнение для семей- ства функций ft на Т*М с начальным условием ft(p,q)\t=o = f(p,q)· Свойства билинейного отображения { , } : С°°(Г*М) х С°°(Г*М) -+ С°°(Т*М) перечислены ниже.
68 Глава 1 Теорема 2.9. Отображение { , } удовлетворяет следующим свой- ствам: (/) (Связь с симплектической формой) {/, д} = oj(J(df), J(dg)) = ω{Χ}, Хд); (и) (Кососимметричность) {f,g} = -{gJh (Ш) (Правило Лейбница) {f9,h} = f{9,h}+g{f,h}; (iv) (Тождество Якоби) {/,{^М} + {л{л,/}} + {л,{/,в}} = о для любых f,g,he С°°(Г*М). Доказательство. Свойство (i) мгновенно следует из определений ω и J в разделе 1.2.1. Свойства (ii)-(iii) очевидны. Тождество Якоби можно проверить прямым вычислением, используя (2.6), или с помощью следующего изящного рас- суждения. Заметим, что {/, д} — билинейная форма в первых частных про- изводных функций / и д, и каждый член в левой части тождества Якоби — линейная однородная функция вторых частных производных /, д и h. Те- перь единственные члены в тождестве Якоби, которые действительно могут содержать вторые частные производные функции h, это {/, {<?, h}} + {д, {А, /}} = (XfXg - XgXf)(h). Однако это выражение не содержит вторых частных производных h, по- скольку это коммутатор двух дифференциальных операторов первого по- рядка, что сам является дифференциальным оператором первого порядка!
1.2. Гамильтонова механика 69 Наблюдаемая {/, д} называется канонической скобкой Пуассона на- блюдаемых / и д. Отображение скобки Пуассона { , } : С°°(Т*М) х х С°°(Т*М) —► С°°(Т*М) превращает алгебру классических наблюдае- мых С°°{Т*М) в алгебру Ли со скобкой Ли, задаваемой скобкой Пуас- сона. Ее важное свойство — скобка Ли является бидифференцировани- ем по отношению к умножению в С°°(Т*М). Алгебра классических на- блюдаемых С°°{Т*М) — это пример пуассоновой алгебры — коммута- тивной алгебры над R, наделенной структурой алгебры Ли с тем свой- ством, что скобка Ли — дифференцирование по отношению к произведению в алгебре. В лагранжевой механике функция I на Τ Μ — интеграл движения для лагранжевой системы (М, L), если она постоянна на траекториях. В га- мильтоновой механике наблюдаемая I — функция на фазовом простран- стве Т*М — называется интегралом движения (первым интегралом) для уравнений Гамильтона (2.1), если она постоянна на траекториях гамильто- нова фазовового потока. Согласно (2.7) это эквивалентно условию {Я,/} = 0. Говорят, что наблюдаемые Η и I находятся в инволюции {коммутируют в смысле скобки Пуассона). 1.2.5. Канонические преобразования и производящие функции Определение. Диффеоморфизм д фазового пространства Т*М назы- вается каноническим преобразованием, если он сохраняет каноническую симплектическую форму ω на Т*М, т.е. д*{и) = ω. По теореме 2.1 га- мильтонов фазовый поток gt — однопараметрическая группа канонических преобразований. Предложение 2.3. Канонические преобразования сохраняют уравне- ния Гамильтона. Доказательство. Из равенства д*{ш) = ω следует, что отображение J : Τ* (Τ* Μ) —► —► Τ (Τ* Μ) удовлетворяет соотношению g+ojog* = J. (2.8) Действительно, для любых X,Y e Vect(M) имеем16 ω(Χ, Υ) = 9*{ω){Χ, Υ) = u{g*{X),g*{Y)) о д, 16Так как д — диффеоморфизм, д*Х — корректно определенное векторное поле на М.
70 Глава 1 так что для любой 1-формы д на Μ ω(Χ, J(g*(m = 9*(#)(Х) = #ЫХ)) °9 = Ц<?*Р0, W)) ° <?> что дает g*(J(g*($))) = «/($)· Используя (2.8), получаем 9*{Хн) = 9*{J(dH)) = JWy^dH)) = Хк, где К = Η о д~х. Таким образом, каноническое преобразование д отобра- жает траектории гамильтонова векторного поля Хц в траектории гамиль- тонова векторного поля Хк- Замечание. В классических терминах предложение 2.3 означает, что канонические уравнения Гамильтона в новых координатах (P,Q) = g(p,q) по-прежнему имеют каноническую форму P = -||(P,Q), Q=||(P,Q) со старой функцией Гамильтона К(Р, Q) = Н(р, q). Рассмотрим теперь классический случай Μ = Шп. Для канонического преобразования (Р, Q) = g(p, q) положим Ρ = Р(р, q) и Q = Q(p, q). Поскольку dP AdQ = dp Λ dq на T*M ~ R2n, 1-форма pdq - PdQ - разность между канонической 1-формой Лиувилля и ее прообразом при отображении д — замкнута. Из леммы Пуанкаре следует, что существует функция F(p, q) на R2n, такая, что pdq - PdQ = dF(p, q). (2.9) Теперь предположим, что в какой-то точке (po,qo) η х η матрица dP Гад! _ невырождена. По теореме об обратной функции суще- ор ствует окрестность U точки (po,qo) в М2™, ДОЯ которой функции Р, q — координатные функции. Функция S(P,q)=F(p,q)+PQ
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 71 называется производящей функцией канонического преобразования g на U. Из (2.9) следует, что в новых координатах Р, q на U Р=Щ(Р,Я) и Q = j£(P,q). Обратное утверждение легко выводится из теоремы о неявной функции. Предложение 2.4. Пусть S(P, q) — функция на некоторой окрестно- сти U точки (Ро, до) £ №?п, такая, что η х η матрица d2S-(P0,qo) = l-^L-(P0,qo)\ dPdq" υ'^υ/ \dPidq> невырождена. Тогда S — производящая функция локального (т. е. опреде- ленного в некоторой окрестности (Ро,до) β Ж2п) канонического преобра- зования. Предположим, что существует каноническое преобразование (P,Q) = = g(p,q), такое, что H(p,q) = К (Ρ) для некоторой функции К. Тогда в новых координатах уравнения Гамильтона принимают вид Р = 0, Q = §§ (2.10) и тривиально интегрируются: P(t) = P(0), Q(t) = Q(0) + t|£(P(0)). яр Если предполагать, что матрица -^— невырождена, то производящая функ- ция S(P, q) удовлетворяет дифференциальному уравнению н(Щ(Р,д),д)=К(Р), (2.11) где после дифференцирования надо подставить q = g(P, Q), определенное каноническим преобразованием д~1. Дифференциальное уравнение (2.11) для фиксированного Р, как следует из (2.3), совпадает с уравнением Га- мильтона -Якоби для укороченного действия So = S — Et, где Ε = Κ (Ρ): "(!>·<>·<) -*■
72 Глава 1 OS деленные уравнениями р=—(Ρ, q), — интегралы движения в инволюции. dq Теорема 2.10 (Якоби). Предположим, что существует функция S(P,q), зависящая от η параметров Ρ = (Pi, . ..,РП), удовлетворя- ющая уравнению Гамильтона-Якоби (2.11) для какой-то функции К(Р) d2S и обладающая свойством, что пх η матрица невырождена. Тогда уравнения Гамильтона . дН . дН можно явно разрешить, и функции Р(р, q)=(P\ (p, g),..., Рп(р, q)), опре- деленные уравнения Доказательство. 8S dS Положим ρ = — (Ρ,q) и Q= -—(P,q). По теореме об обратной функции g(p,q) = (Ρ, Q) — локальное каноническое преобразование с производящей функцией S. Из (2.11) следует, что Н(р(Р, Q), g(P, Q)) = = К(Р), так что уравнения Гамильтона принимают вид (2.10). Посколь- ку ω = dP Λ dQ, интегралы движения Pi(p, g), ... ,Pn(p,q) находятся в инволюции. Решение уравнения Гамильтона-Якоби, удовлетворяющее условиям в теореме 2.10, называется полным интегралом. На первый взгляд кажется, что решение уравнения Гамильтона-Якоби, которое является нелинейным уравнением в частных производных, — более сложная задача, чем решение уравнений Гамильтона, которые являются системой обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Замечательно, что для многих задач классической механики можно найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби ме- тодом разделения переменных. По теореме 2.10 это дает решение соответ- ствующих уравнений Гамильтона. Задача 2.6. Найдите производящую функцию тождественного пре- образования Ρ = p,Q = q. Задача 2.7. Докажите предложение 2.4. ЗАДАЧА 2.8. Допустим, что каноническое преобразование g(p,q) = = (Ρ, Q) таково, что локально (Q, q) можно рассматривать как новые коор- динаты (канонические преобразования с таким свойством называются сво- бодными). Докажите, что функция S\{Q,q) = F(p,q), также называемая производящей функцией, удовлетворяет соотношению дБг _, dSi р=^- и p=~w
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 73 ЗАДАЧА 2.9. Найдите полный интеграл в случае частицы в R3, дви- жущейся в центральном поле. 1.2.6. Симплектические многообразия Понятие симплектического многообразия — это обобщение примера кокасательного расслоения Т*М. Определение. Невырожденная, замкнутая 2-форма ω на многообра- зии ЛС называется симплектической формой, а пара {Λε, ω) — симплекти- ческим многообразием. Поскольку симплектическая форма ω невырождена, симплектическое многообразие ^ с необходимостью четномерно, dim ^ = 2п. Не обраща- ющаяся в ноль 2п-форма ωη определяет каноническую ориентацию на ^, и, так же как в случае Μ = Τ* Μ, — называется лиувиллевой формой объема. Существует также общее понятие лагранжева подмногообразия. Определение. Подмногообразие J£ симплектического многообра- зия (Λ?,ω) называется лагранжевым подмногообразием, если dimJif = = ^ dim Μ и ограничение симплектической формы ω на Jif равно 0. Симплектические многообразия образуют категорию. Морфизм меж- ду Ml,^l) и (^#2 5^2), также называемый симплектоморфизмом, это отображение / : jM\ —► ^2, такое, что ω\ = /*(cj2)· Когда М\ — J^2 и ω\ = U2, поня- тие симплектоморфизма обобщает понятие канонического преобразования. Прямое произведение симплектических многообразий (^i,o;i) и (^2,^2) — это симплектическое многообразие {Л\ х ^2,7ri(cJi) +π5(ω2)), где 7Ti и 7Г2 - соответственно проекции Л\ х ^2 на первый и второй сомножитель декартова произведения. Помимо кокасательных расслоений, важный класс симплектических многообразий дается кэлеровыми многообразиями17. Напомним, что ком- плексное многообразие J% является кэлеровым, если на нем определена 17Конечно же, не каждое симплектическое многообразие допускает комплексную структуру, не говоря уже о кэлеровой.
74 Глава 1 эрмитова метрика, мнимая часть которой замкнутая (1,1)-форма. В локаль- ных комплексных координатах z = (z1, ... ,zn) на Jt эрмитова метрика записывается как η h= Σ Kp(z,z)dza ®αΖβ. α, β=1 Соответственно, η g = Reh=± J2 hap(z,z)(dza^d^ + d^(^dza) — риманова метрика на Μ и η cj = -^Im/i=| ]Г hap(z,z)dza Adz13 α, β=1 — симплектическая форма на Μ (рассматриваемом как 2п-мерное действи- тельное многообразие). Простейшее компактное кэлерово многообразие это СР1 ~ S2 с сим- плектической формой, задаваемой 2-формой площади эрмитовой метрики гауссовой кривизны 1 — стандартной метрики на 2-сфере. В терминах ло- кальной координаты z, ассоциированной со стереографической проекци- ей СР1 ~ С U {оо}, о. dz Λ dz ω = 2г (i + N2)2' Аналогично, естественная симплектическая форма на комплексном проек- тивном пространстве СРП — это симплектическая форма метрики Фуби- ни-Штуди. С помощью обратного образа она определяет симплектические формы на комплексных проективных многообразиях. Простейшее некомпактное кэлерово многообразие — это n-мерное ком- плексное векторное пространство Сп со стандартной эрмитовой метрикой. В комплексных координатах z = (z1, ..., zn) на Сп она дается формулой h = dz <S> dz = ^2 dza ® dza. a=l В терминах действительных координат (ж, у) = (я1, ..., хп, г/1, ..., уп) на R2n ~ Сп, где z = x + гу, соответствующая симплектическая фор-
1.2. Гамильтонова механика 75 ма ω = — Im h имеет канонический вид: η ω = %rdz Adz = Y^ dxa A dya = dx A dy. α=1 Этот пример естественно приводит к следующему определению. Определение. Симплектическое векторное пространство — это па- ра (V,u), где V — векторное пространство над R, а а; — невырожденная кососимметрическая билинейная форма на V. Из элементарной линейной алгебры следует, что любое симплекти- ческое векторное пространство V имеет симплектический базис — ба- зис е1, ..., en, /i, ..., /η в V9 где 2n = dim V, такой, что u(e\ej)=u(fijj) = 0 и и(е\ fc) = δ), i, j = 1, ... ,n. В координатах (ρ, qr) = (pi, ... ,pn, g1, ..., qn), соответствующих этому базису, V ~ R2n и η ω = dp Adq = 2_\ d>Pi A d#z. i=l Таким образом, любое симплектическое векторное пространство изоморф- но прямому произведению фазовых плоскостей R2 с канонической сим- плектической формой dp A dq. Вводя комплексные координаты z = ρ + iq, мы получаем изоморфизм V ~ Сп, так что любое симплектическое вектор- ное пространство допускает кэлерову структуру. Один из основных результатов симплектической геометрии состоит в том, что любое симплектическое многообразие локально изоморфно сим- плектическому векторному пространству. Теорема 2.11 (Теорема Дарбу). Пусть (Λ?,ω) — 2п-мерное сим- плектическое многообразие. Для любой точки х Ε Ж существует со- держащая х окрестность U с локальными координатами (p,q) = = (pi, ... ,pn, q1, ·. ·, qn), такая, что на U η ω = dp Adq = 2_\ dpi A dq1. i=l Координаты р, q называются каноническими координатами (коорди- натами Дарбу). Доказательство проводится индукцией по п, два основных этапа предложены как задачи 2.13 и 2.14.
76 Глава 1 Невырожденная 2-форма ω определяет для любого х^Ж изоморфизм J: Т*Л(^>ТХЛ( по формуле ω(ηΙ,η2) = J~l{u2){u\), u\,%i2 e TxJi. Конкретно, для любого X е Vect(^) и д е Лх(^) мы имеем u;pf,J(tf)) = tf(X) и J-1(X) = -ix(uj) (см. раздел 1.2.1). В локальных координатах х = (ж1, ... ,ж2п) для коорди- натной окрестности (С/, у?) на ^# 2-форма ω дается формулой 2п ω = \ Y^ Uij(x) dxl Λ бЬ·7, где {uij(x)}%j=i — невырожденная, ко со симметрическая матричнозначная функция на φ(υ). Обозначая обратную матрицу как {u>lj(х)}?™=1, имеем 2п J(dxi) = -J2u^(x)-£J, < = l,...,2n. Определение. Гамильтонова система — это пара, состоящая из симплектического многообразия (^, cj), называемого фазовым простран- ством, и гладкой вещественнозначной функции Η на ^, называемой га- мильтонианом. Движение точек фазового пространства описывается век- торным полем Хн = J(dH), называемым гамильтоновым векторным полем. Траектории гамильтоновой системы ((^#,cj), Η) — интегральные кри- вые гамильтонова векторного поля Хн на ЛИ. В канонических координатах (р, q) они описываются каноническими уравнениями Гамильтона (2.1), . дН . дН Допустим теперь, что гамильтоново векторное поле Хн на Jt полно. Гамилътонов фазовый поток на М9 ассоциированный с гамильтониа- ном Н, — это однопараметрическая группа {gt}teR диффеоморфизмов ^, порожденная Хн- Следующее утверждение обобщает теорему 2.1.
1.2. Гамильтонова механика 77 Теорема 2.12. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектиче- скую форму. Доказательство. Достаточно показать, что Схни> = 0. Используя формулу Картана £х = ix ° d + d о гх и то, что dw = 0, получаем, что для любого X е Wect(JK) £xcj = (doix)(cj). Поскольку гх(а;)(У) = ω(Χ,Υ), имеем для X = Хн и любого Υ Ε Ε Vect(^), что <**М00 = w(J(dH),Y) = -dH{Y). Таким образом, %хн (ω) = —dH, и утверждение следует из того, что d2 = 0. Следствие 2.13. Векторное поле X на Ж — гамильтоново векторное поле, если и только если 1-форма %х{ио) точна. Определение. Векторное поле X на симплектическом многообра- зии (^, ω) называется симплектическим векторным полем, если 1-форма i>x{u) замкнута, что эквивалентно тому, что J£xu = 0. Коммутативная алгебра С°° (Л() с умножением, задаваемым поточеч- ным произведением функций, называется алгеброй классических наблюдае- мых. В предположении, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все моменты времени, временная эволюция любой наблюдаемой / Ε С°°(ЛК) дается формулой ft(x) = f{gt{x)), xeJZ, и описывается дифференциальным уравнением — уравнением Гамильтона для классических наблюдаемых. Уравнения Га- мильтона для наблюдаемых на Μ имеют тот же вид, что уравнения Га- мильтона на ^ = Т*М, рассмотренные в разделе 2.3. Поскольку XH(f) = df(XH) = ω(ΧΗ, J(df)) = ω(ΧΗ,Χ/), мы имеем следующее естественное определение.
78 Глава 1 Определение. Скобка Пуассона на алгебре С°°(^) классических на- блюдаемых на симплектическом многообразии (JK, ω) — это билинейное отображение { , } : С°°{Л() х С°°(Л() —» С°°(Л(), определенное форму- лой {f,g} = w(Xf,Xg), f,geC° Теперь уравнения Гамильтона можно записать в сжатом виде: ! = {*,/}, (2.12) где подразумевается, что это дифференциальное уравнение для семейства функций ft на Μ с начальным условием ft\t=Q = /. В локальных коорди- натах х = (я1, ..., х2п) на Л {f,9}(x)=-f:«4x)dfix)dg{x). Х П ' ^, дх1 дх> Теорема 2.14. Скобка Пуассона { , } на симплектическом многообра- зии (Λ?,ω) кососимметрична и удовлетворяет правилу Лейбница и тож- деству Якоби. Доказательство. Первые два свойства очевидны. Из определения скобки Пуассона и формулы [Xf, Xg](h) = (XgXf - XfXg){h) = {g, {/, h}} - {/, {g, h}} следует, что тождество Якоби эквивалентно свойству [Xf,Xg]=X{f,a). (2.13) Пусть XylY — симплектические векторные поля. Используя формулы Кар- тана, получаем ЦхХ[(и) = Cx(iY(u)) - iY(Cx(u)) = = d(ix ο Ιγ(ω)) + ixd(iY(Lu)) = = α(ω(Υ,Χ)) = %Ζ(ω), где Ζ — гамильтоново векторное поле, соответствующее ω(Χ,Υ) Ε С° Поскольку 2-форма ω невырождена, это означает, что [Χ, Υ] = Ζ, так что, положив X = Xf,Y = Xg и используя равенство {/, g} = Lu(Xf,Xg), получаем (2.13). Из (2.13) мгновенно получается следующий результат.
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 79 Следствие 2.15. Подпространство Иа,т(М) гамильтоновых век- торных полей на Μ — подалгебра Ли алгебры Vect(M). Отображе- ние С°°(М) —> В.а,т(М), определенное как f \—> Xf, — гомоморфизм алгебр Ли с ядром, состоящим из локально постоянных функций на М. Как в случае Μ = Т*М (см. раздел 1.2.4), наблюдаемая I — функция на фазовом пространстве Μ — называется интегралом движения (первым интегралом) для гамильтоновой системы ((Μ, ω), Я), если она постоянна на траекториях гамильтонового фазового потока. Согласно (2.12) это экви- валентно условию {Н,1} = 0. (2.14) Говорят, что наблюдаемые Я и 7 находятся в инволюции (коммутируют в смысле скобки Пуассона). Из тождества Якоби для скобки Пуассона по- лучаем следующий результат. Следствие 2.16 (Теорема Пуассона). Скобка Пуассона двух интегра- лов движения — интеграл движения. Доказательство. Если {Я, /i} = {Я, 72} = 0, то {Я,{/ь72}} = {{Я,71},/2}-{{Я,72},71} = 0. Из теоремы Пуассона следует, что интегралы движения образуют алгебру Ли и, согласно (2.13), соответствующие гамильтоновы вектор- ные поля образуют подалгебру Ли в Vect(^). Поскольку {7, Я} = = dH(Xj) = 0, векторные поля Xj касательны к подмногообразиям Me = = {х Ε М: Н(х) = Е} — поверхностям уровня гамильтониана Я. Это определяет алгебру Ли интегралов движения для гамильтоновой систе- мы ((Μ, ω), Я) на поверхности уровня Me- Пусть G — конечномерная группа Ли, действующая на связном сим- плектическом многообразии (Μ, ω) симплектоморфизмами. Алгебра Ли g группы G действует на Μ векторными полями s=0 и линейное отображение g Э ξ i—> Χ ξ Ε Vect(M) — гомоморфизм ал- гебр Ли, [Χξ,Χη] =Χ[ξ,η], ξ,η€&· ВД)(*) А ds
80 Глава 1 G-действие называется гамилътоновым действием, если Χξ — гамиль- тоновы векторные поля, т.е. для любого ξ Ε g существует функ- ция Φ ξ G C°° (·/#), определенная с точностью до аддитивной постоян- ной, такая, что Χξ = Χφξ = J(dΦξ). Оно называется пуассоновым дей- ствием, если можно выбрать функции Φξ, такие, что линейное отображе- ние Φ : g —> С°° (Л() — гомоморфизм алгебр Ли, {ф£,Ф„} = Фк>„,, f,fy€fl. (2.15) Определение. Группа Ли G — группа симметрии гамильтоновой си- стемы ((«/#, ω), Я), если существует гамильтоново действие G на «/#, та- кое, что Н(д · ж) = Я (ж), ^GG, xGi". Теорема 2.17 (Теорема Нётер с симметриями). /ьсли G — группа симметрии гамильтоновой системы ((Λ?,ω), Я), то функции Φξ, ξ Ε д — интегралы двиэюения. Если действие G пуассоново, интегралы двиэюения удовлетворяют (2.15). Доказательство. По определению гамильтонова действия для любого ξ е g 0 = Χξ(Η) = ΧΦ((Η) = {Φξ,Η}. Следствие 2.18. Пусть (М, L) — лагранэюева система, такая, что преобразование Лежандра tl '· Τ Μ —> Τ* Μ — диффеоморфизм. Тогда ес- ли группа Ли G — симметрия (М, L), то G — группа симметрии соответ- ствующей гамильтоновой системы ((Τ*Μ,ω), Я = El otl1)> u соответ- ствующее G-действие на Τ* Μ пуассоново. В частности, Φ ξ = — Ιξ ο τ~1, где Ιξ — нётеровы интегралы двиэюения для однопараметрических под- групп G, порожденных ξ Ε g. Доказательство. Пусть X — векторное поле, ассоциированное с однопараметрической подгруппой {es^}sGR диффеоморфизмов М, использовавшейся в теоре- ме 1.3, и пусть X' — его подъем на ТМ. Имеем18 Χξ = -(пМх% (2.16) 183нак «минус» отражает различие в определениях X и Χξ.
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 81 и из (1.16) следует, что Ф^ = ix€ (θ) = θ(Χξ), где θ — каноническая 1-форма Лиувилля на Т*М. Из формулы Картана и (1.17) получаем αΦξ = а(гх€(в)) = -гх€(ав) + Сх,{в) = -%Χ<(ω), так что J(d<f><) =-J(iXt(w)) = Х(, и G-действие гамильтоново. Используя (1.17) и другую формулу Картана, получаем %„] = 4Χ(,Χη](θ) = CXi{iXn{e)) + 1Χη(£Χ((θ)) = = Χξ(Φν) = {Φξ,Φη}. Пример 2.1. Лагранжиан L = \mr2 - V(r) для частицы в R3, движущейся в центральном поле (см. раздел 1.1.6), ин- вариантен по отношению к действию группы SO(3) ортогональных пре- образований евклидова пространства R3. Пусть ui,u2, Щ — базис алгебры Ли so(3), соответствующий вращениям вокруг осей, задаваемых векторами стандартного базиса е1,ег,ез пространства R3 (см. пример 1.10 в разде- ле 1.1.4). Эти генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям [Ui,Uj] = SijkUk, где i,j, к = 1,2,3, и е^к — полностью антисимметрический тензор, £123 = 1. Соответствующие нётеровы интегралы движения даны равенства- ми Фп, = -Ми где Mi = (г х р)г = г2р3 ~ г3Р2, М2 = (г х р)2 = г3рг - прз, М3 = (г х р)3 = пр2 - r2pi — компоненты вектора углового момента Μ = г х р. (Здесь удобно опу- стить индексы координат г* с помощью евклидовой метрики на R3.) Для гамильтониана
82 Глава 1 имеем {Я,М<} = 0. Согласно теореме 2.17 и следствию 2.18 скобки Пуассона компонент угло- вого момента удовлетворяют равенству {Mi,Mj} = -eijkMk, которое также легко проверить напрямую, используя (2.6): . df дд df дд {/^}(Р,Г)=^-^· Пример 2.2 (Задача Кеплера). Для любого α е R лагранжева си- стема на R3 с L = \тг2 + £ ■ имеет три добавочных интеграла движения — компоненты W\, W2, W% век- тора Лапласа-Рунге-Ленца, даваемого формулой \γ = — х М- — т г (см. раздел 1.1.6). Используя скобки Пуассона из предыдущего примера вместе с равенствами {/*;, Mj} = —е^кТк и {pi, Mj} = —ецкРк* с помощью простого вычисления получаем {WhMj} = -eijkWk и №,УУз} = ЩетМку Р2 а где if = - — — гамильтониан задачи Кеплера. 2га г Гамильтонова система ((^,ω),Η), dim^# = 2п, называется вполне интегрируемой, если у нее есть η независимых интегралов движения Fi = = Η, ..., Fn в инволюции. Первое условие означает, что дифферен- циалы dFi(x), ... ,dFn(x) Ε Т*^ линейно независимы для почти всех х G Μ. Гамильтоновы системы с одной степенью свободы, такие, что dH имеет лишь конечное число нулей, являются полностью интегри- руемыми. Полное разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби (см. раздел 1.2.5) доставляет другие примеры вполне интегрируемых га- мильтоновых систем.
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 83 Пусть ((*/#, ω), Η) — вполне интегрируемая гамильтонова система. До- пустим, что поверхность уровня Jtj = {x G Jt: Fi(^) = /1, ..., Fn(x) = = /n} компактна, а касательные векторы JdFi, ..., JdFn линейно незави- симы для всех х G jjtf. Тогда, по теореме Лиувилля-Арнольда, в окрестно- сти jjtj существуют так называемые переменные действие-угол: координа- ты I = (Д, ... ,/n) G Щ = (М>о)п πφ = (<ри ...,φη)£Τη = (Μ/2πΖ)" такие, что ω = dΙ Λ αφ и Η = Η{Ι\, ... ,/η). Согласно уравнениям Га- мильтона . gTT li = 0 и <^<=о;< = —, i = l, ...,n, так что переменные действия постоянны, а переменные угла меняются рав- номерно, <£*(£) = <£г(0) + о;^, * = 15 ..., п. Классическое движение почти периодично с частотами cji, ..., ωη. ЗАДАЧА 2.10. Покажите, что симплектическое многообразие (^,ω) допускает почти комплексную структуру: отображение расслоений J : TJi -► TJi такое, что J2 = -id. ЗАДАЧА 2.11. Дайте пример симплектического многообразия, допус- кающего комплексную структуру, но не кэлерову. Задача 2.12 (Коприсоединенные орбиты). Пусть G — конечно- мерная группа Ли, пусть g — ее алгебра Ли и пусть д* — двойственное векторное пространство к д. Для и G д* пусть Jt = Ои — орбита и при коприсоединенном действии G на д*. Покажите, что формула L0{ui,U2) =U([XI,X2}), где и\ = a,d*xi(u),U2 = ad*X2(u) £ Ou, a ad* обозначает коприсоединен- ное действие алгебры Ли д на #*, дает корректно определенную 2-форму на ^, которая замкнута и невырождена. (2-форма а; называется симплек- тической формой Кириллова - Костанта.) ЗАДАЧА 2.13. Пусть (Л?,ω) — симплектическое многообразие. Для х G Ж выберем функцию q1 на ^#, такую, что ql(x) = 0 и dg1 не об- ращается в ноль в х, и положим X = —Xqi. Покажите, что существуют содержащая xg/ окрестность U и функция р\ на С/, такие, что X{ql) = = 1 на U, и существуют координаты pi, g1, г1, ..., z2n-2 на £/, такие, что βρΙ Ρ1 а*1 ЗАДАЧА 2.14. Продолжая задачу 2.13, покажите, что 2-форма ω — — dpiAdq1 на U зависит только от координат z1, ..., z2n~2 и невырождена.
84 Глава 1 Задача 2.15. Проделайте вычисление в примере 2.2 и покажите, что алгебра Ли интегралов Mi, М2, М3, W\, W2, W3 в задаче Кеплера при if (р, г) = Ε изоморфна алгебре Ли so (4), если Ε <0, евклидовой алгебре Ли е(3), если Ε = О, и алгебре Ли so(l, 3), если £ > 0. Задача 2.16. Найдите переменные действие-угол для частицы с од- ной степенью свободы, когда потенциал V(x) — выпуклая функция на R, удовлетворяющая условию lim V(x) = ос. (Указание: определите I = \х\—юо = §pdx, где интегрирование ведется по замкнутой орбите с Н(р, х) = Е.) Задача 2.17. Покажите, что гамильтонова система, описывающая ча- стицу в R3, движущуюся в центральном поле, вполне интегрируема, и най- дите переменные действие-угол. Задача 2.18 (Симплектическая редукция). Для пуассонова дей- ствия группы Ли G на симплектическом многообразии (^, ω) определим отображение моментов Ρ : Ж —> д* по формуле Ρ(Χ)(ξ) = Φξ(Χ), Цед, xeJf, где д — алгебра Ли группы G. Для любого ρ е д*, такого, что стабилиза- тор Gp точки ρ действует свободно и собственно на Жр — Р~1(р) (такое ρ называется регулярным значением отображения момента), факторпростран- ство Μ ρ = Gp\^p называется приведенным фазовым пространством. По- кажите, что Мр — симплектическое многообразие с симплектической фор- мой, однозначно определяемой условием, что ее обратный образ на Жр совпадает с ограничением на Jtv симплектической формы ω. 1.2.7. Пуассоновы многообразия Понятие пуассонова многообразия обобщает понятие симплектическо- го многообразия. Определение. Пуассоново многообразие — это многообразие ^, снабженное пуассоновой структурой — кососимметрическим билинейным отображением { , } : С°°{Л() х С°°(лГ) -► С°°М0, удовлетворяющим правилу Лейбница и тождеству Якоби. Эквивалентно, Jt — пуассоново многообразие, если алгебра Л = = С°°(^) классических наблюдаемых является пуассоновой алгеброй —
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 85 алгеброй Ли, у которой скобка Ли — бидифференцирование по отноше- нию к умножению в Л (поточечному произведению функций). Из свойства дифференциальных операторов следует, что в локальных координатах х = = (ж1, ..., xN) на Л скобка Пуассона имеет вид 2-тензор rfi(x), называемый тензором Пуассона, определяет глобальное сечение η векторного расслоения TJt Λ ΤЛЛ над Л. Эволюция классических наблюдаемых на пуассоновом многообразии дается уравнениями Гамильтона, имеющими тот же вид, что (2.12): | = ад/) = {я,/}. Фазовый поток gt для полного гамильтонова векторного поля Х# = {if, · } определяет оператор эволюции Щ : А —► А по формуле Ut{f)(x) = /Ы*)), f€A. Теорема 2.19. Допустим, что любое гамильтоново векторное поле на пуассоновом многообразии (Л, { , }) полно. Тогда для любого Η Ε Λ соответствующий оператор эволюции Ut является автоморфизмом пуас- соновых алгебр А, т. е. Ut({f,g}) = {Ut(f),Ut(g)} длялюбых f,geA (2.17) Обратно, если кососимметрическое билинейное отображение { , }: : С°°(Л) х С°°(Л) —> С°°(Л) таково, что Хн = {#, · } — полные век- торные поля для всех Η Ε Λ, и соответствующие операторы эволюции Щ удовлетворяют (2.17), то (Л, { , }) — пуассоново многообразие. Доказательство. Пусть ft = Ut(f), gt = Ut(g) и19 ht = Ut({f,g}). По определению £{ft,gt} = {{H,fthgt} + {ft,{H,gt}} и ^ = {Я,М. 'Здесь gt — это не фазовый поток!
86 Глава 1 Если {JK, { , }) — пуассоново многообразие, то из тождества Якоби следу- ет, что {{H,ft},gt} + {ft,{H,gt}} = {H,{ft,gt}}, так что ht и {fti9t] удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (2.12). Поскольку эти функции совпадают при t = 0, (2.17) следует из теоремы единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений. Обратно, мы получаем тождество Якоби для функций /, д и Η, диф- ференцируя (2.17) по t при t = 0. Следствие 2.20. Глобальное сечение η расслоения Τ Ж Λ ΤΛ( — тен- зор Пуассона, если и только если £>х} η = 0 для любого f G Л. Определение. Центр пуассоновой алгебры Л — это Ζ (Л) = {/ G Л : {/, д} = 0 для любого д G Л}. Пуассоново многообразие (^#, { , }) называется невырожденным, если центр пуассоновой алгебры классических наблюдаемых Л = С°°(Л() со- стоит из одних локально постоянных функций (Z(A) = R для связного Ж). Эквивалентно, пуассоново многообразие (^#, { , }) невырождено, ес- ли тензор Пуассона η невырожден везде на ^, так что ^ с необходимо- стью четномерно. Невырожденный тензор Пуассона определяет для любо- го х G <М изоморфизм J : Т*ЛК —> ТХЖ по формуле r\(u\,u2) = u2(J(ui)), Ui,u2 G Г^. В локальных координатах х = (х1, ... ,хм) для координатной окрестно- сти ([/, φ) на Ж имеем N 3(αΧ*) = Σην{Χ)-^-, i = l,...,N. Пуассоновы многообразия образуют категорию. Морфизм между 0^1, { , }i) и (^2,{ , Ъ) — это отображение φ : Jt\ —> Jt2 гладких многообразий, такое, что {f°<P,9°<p}i = {f,9h°<P для всех f,ge С°°(<Ж2).
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 87 Прямое произведение пуассоновых многообразий {Л\\ , }i) и (^2,{ > }г) — это пуассоново многообразие (Л\ х ^#25 { , }), определяемое тем свой- ством, что отображения естественных проекций -к\ : Л\ х Лъ —> Л\ и Ε2 : Л\ х Л%2 -* ^2 — пуассоновы отображения. Для / G С°°(Л\ x Л?) и {х\,х?) G ^#i х ^#2 обозначим соответственно как fxj и fxj ограниче- ния / на Jt х {хг} и {xi} х л^2· Тогда для /, # G C°°(^i x Ji<i)> Невырожденные пуассоновы многообразия образуют подкатегорию катего- рии пуассоновых многообразий. Теорема 2.21. Категория симплектических многообразий (анти-) изо- морфна категории невырожденных пуассоновых многообразий. Доказательство." Согласно теореме 2.14 любое симплектическое многообразие имеет пуассонову структуру. Ее невырожденность следует из невырожденности симплектической формы. Обратно, пусть (Ж, { , }) — невырожденное пуассоново многообразие. Определим 2-форму ω на Л формулой ω(Χ,Υ) = J~l{Y){X), X,Y G Vect(^), где изоморфизм J : Τ* Л —> Τ Л определяется тензором Пуассона ту. В ло- кальных координатах х = (ж1, ..., xN) на Л, ω — — Y^ r\ij (x) dxl Λ dxj, где {Vij(x)}?j=i — матрица, обратная к {vl^(x)}i!j=i- 2-форма ω кососим- метрична и невырождена. Для любого / G Λ пусть Xf = {/, ·} — соот- ветствующее векторное поле на Л. Тождество Якоби для скобки Пуассо- на { , } эквивалентно условию Cxf η = О для любого / Ε Л, так что Cxfu = 0. Поскольку Xf = Jdf, мы имеем ω(Χ, Jdf) = df(X) для любого X G G Vect(^), так что ЦХ/,Хв) = {/,$}. По формуле Картана dw(X, Г, Ζ) = | (£хЦУ, Ζ) - £уо;(Х, Ζ) + €Ζω(Χ, Υ) - -ω([Χ,Υ],Ζ)+ω([Χ,Ζ],Υ)-ω([Υ,Ζ},Χ)),
88 Глава 1 где X, У, Ζ е Vect(^). Теперь, положив X = Х/,У = Хр,^ = Xh, получаем dw{xf,xg,xh) = = Ι (ω(ΧΗ, [Xf,Xg])+u>(Xf, [Xg,Xh])+u>(Xg, [Xh,Xf])) = = | ("(Xh, X{f,g}) + u(Xf, X{g,h}) + W(^' X{h,f})) = = § ({Λ, {/, <?}} + {/, {^ h}} + {<?, {/., /}}) = = 0. Точные 1 -формы df, f e Л порождают векторное пространство 1-форм Л1 (Л) как модуль над Л, так что гамильтоновы векторные поля Xf = = Jdf порождают векторное пространство Vect(^) как модуль над Л. Таким образом, δω = 0 и (^#, а;) — симплектическое многообразие, ассо- циированное с пуассоновым многообразием (JZ, { , }). Из определений следует, что пуассоновы отображения невырожденных пуассоновых мно- гообразий соответствуют симплектоморфизмам ассоциированных симплек- тических многообразий. Замечание. Эту теорему можно также доказать простым вычисле- нием в локальных координатах х = (ж1, ... ,xN) на Л. Просто заметим, что условие dVijjx) 9ηβ{Χ) дщг(х) . . ; : :—= U, г, j.l = 1, ..., iV, дх1 дхг dxi ' J которое является координатной записью условия du = 0, следует из усло- вия которое является координатной записью тождества Якоби, если его трижды умножить на обратную матрицу гу^(ж) и использовать то, что
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 89 Замечание. Пусть Jt = T*Rn со скобкой Пуассона { , }, дава- емой канонической симплектической формой ω = dp Λ dq, где (ρ, q) = — (Pi> · · · >Pn,<?\ · · · ><Zn) — координатные функции на T*Rn. Невырож- денность пуассонова многообразия (T*Rn, { , }) можно сформулировать как свойство, что единственная наблюдаемая / е C°°(T*Rn), удовлетворя- ющая условию {f,Pi}= ■·■ ={f,Pn} = 0, {f,q1}= ... ={/,<Л = 0, это /(ρ, q) = const. Задача 2.19 (Пространство, двойственное к алгебре Ли). Пусть д — конечномерная алгебра Ли со скобкой Ли [ , ], и пусть 9* — ее двойственное пространство. Для /, д Ε С°°(д*) определим {f,g}(u) = u([df,dg}), где w G д* и Ги*9* ^ 0. Докажите, что { , } — скобка Пуассона. (Ее ввел Со- фус Ли, и она называется линейной, или скобкой Ли-Пуассона.) Покажите, что эта скобка вырождена, и определите центр Λ = С°°(д*). Задача 2.20. Скобка Пуассона { , } на Ж ограничивается до скобки Пуассона {, }о на подмногообразии Jf, если вложение г : jY —> jM яв- ляется отображением Пуассона. Покажите, что скобка Ли-Пуассона на д* ограничивается до невырожденной скобки Пуассона на коприсоединенной орбите, ассоциированной с симплектической формой Кириллова -Костан- та. Задача 2.21 (Группы Ли-Пуассона). Конечномерная группа Ли называется группой Ли-Пуассона, если она обладает структурой пуассоно- ва многообразия (G, { , }), такой, что групповое умножение G x G —> G — пуассоново отображение, где G x G — прямое произведение пуассоновых многообразий. Используя базис д\, ..., дп левоинвариантных векторных полей на G, соответствующих базису х\, ..., хп алгебры Ли д, скобку Пуассона {, } можно записать как η {/ь/2}Ы= Х>уЫйМ/2, где 2-тензор rfi(g) определяет отображение η : G —> A2g формулой 77(g) = п = Σ rf-i(g)xi ® Xj· Покажите, что скобка { , } определяет на G структуру
90 Глава 1 Ли-Пуассона, если и только если выполняются следующие условия: (i) для всех д G G Cik(9) = Σ (Vil№rfk(g) + rfl(g)dlVki(g) + ηΜ (д)д^(д)) + 1=1 · + Σ (4XJ(9hkl(9) + 4Pvph(9)vil(9) + ^pvpi(g)rfl(g))=0, l,p=l n где [x^^j] = Σ cijxk'·, (ii) отображение η — групповой 1-коцикл с при- к=1 соединенным действием на А2д, т.е. 77(^1^2) = Ad_1#2 · v(9i) + ^(^2), 9u92 eG. ЗАДАЧА 2.22. Покажите, что второе условие в предыдущей задаче тривиально выполняется, когда η — кограница, η{ρ) = — г + Ad-1g · г для η некоторого г = Σ гг^Хг 0 Xj G А2д, а первое условие тогда выполняется, если и только если элемент f (г) = [Г12, Г13 + Г23] + [Пз, Г2з] G Л3£ инвариантен при присоединенном действии д на А3д. Здесь г\2 = п п п — J2 rtjXi®Xj®l, Г13 = Σ rljXi®l®Xj иг2з = Σ ru 10 a^ 0 гг, — i,j=l i-ij—l z,j'=l соответствующие элементы в универсальной обертывающей алгебре Ug ал- гебры Ли д. В частности, G — группа Ли-Пуассона, если выполняется условие ξ (г) = 0, называемое классическим уравнением Янга-Бакстера. п Задача 2.23. Допустим, что г = Σ r^Xi 0 Xj G Λ2# таково, что матрица {г2·7} невырождена, и пусть {г^·} — обратная матрица. Покажи- те, что г удовлетворяет классическому уравнению Янга-Бакстера, если и только если отображение с : А2д —> С, определенное формулой с(х, у) = п п п — Σ TijU%v^ где х = ^2 игХг, у = J2vlXi, является невырожденным 2- i,j=l г=1 г=1 коциклом на алгебре Ли, т. е. оно удовлетворяет уравнению Ф, [У, А) + ф, [ж, 2/]) + ф, [г, ж]) =0, ж, 2/, z G 9-
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 91 1.2.8. Представления Гамильтона и Лиувилля Чтобы завершить формулировку классической механики, необходимо описать процесс измерения. В физике под измерением классической си- стемы понимают результат физического эксперимента, дающий численные значения классических наблюдаемых. Эксперимент состоит из создания определенных условий для системы, и всегда предполагается, что эти усло- вия можно воспроизводить снова и снова. Условия эксперимента определя- ют состояние системы, если повторение этих условий приводит к распре- делению вероятностей значений всех наблюдаемых системы. Математически состояние μ на алгебре Л — С°°(<Ж) классических наблюдаемых на фазовом пространстве Ж — это соответствие где «^(R) — множество вероятностных мер на R — борелевских мер на R, таких, что полная мера R равна 1. Для любого борелевского подмножества ЕСМ величина 0 ^ μ f(E) ^ 1 — это вероятность того, что в состоянии μ значение наблюдаемой / принадлежит Е. По определению математиче- ское ожидание наблюдаемой / в состоянии μ дается интегралом Лебега- Стильтьеса оо Εμ(/) = J Μμ/(\), — оо где μ/(λ) = μ/ ((—ос, λ)) — функция распределения меры αμ/. Соответ- ствие / ь-> μ/ должно удовлетворять следующим естественным свойствам. 51. |Εμ(/)| < оо для / Ε Ло — подалгебре ограниченных наблюдаемых. 52. Εμ(1) = 1, где 1 — единица в Л. 53. Для всех a, b еЖи f,g e A Eli(af + bg) = aEli(f) + bEli(g)i если и Εμ(/), и Εμ^) существуют. 54. Если /i = φ о /2, где φ : R —> R — гладкая функция, то для любого борелевского подмножества Ε С R МАЕ) = μ^φ~\Ε)).
92 Глава 1 Из свойства S4 и определения интеграла Лебега -Стильтьеса следует, что Εμ(¥>(/)) = / ψ(Χ)αμ/(λ). (2.18) — оо В частности, Εμ(/2) > 0 для всех / е Л, так что состояние определя- ют нормализованные, положительные, линейные функционалы на подал- гебре До· Предполагая, что функционал Εμ продолжается до пространства огра- ниченных, кусочно-непрерывных функций на <Ж и удовлетворяет (2.18) для измеримых функций φ, можно восстановить функцию распределения из математических ожиданий по формуле μ/(λ) = Εμ(0(λ-/)), где в(х) — функция Хевисайда, w [0, х ^ 0. Действительно, пусть х — характеристическая функция интервала (—ос,λ) С С R. Используя (2.18) и определение интеграла Лебега-Стильтьеса, полу- чаем ж Εμ(*(λ -Λ)=/ Χ(*)Φ/(β) = μ/((-οο, λ)) = μ/(λ). — ОО Любая вероятностная мера αμ на jjt определяет состояние на Л, со- поставляя20 любой наблюдаемой / вероятностную меру μ/ = /* (μ) на R — трансфер меры αμ на ^ с помощью отображения /: ^ —> R. Она опре- делена формулой μ/(Ε) = μ(/~1(Ε)) для любого борелевского подмноже- ства Ε С Ж и имеет функцию распределения μ/(λ) = μ(/_1(-οο, λ)) = / αμ, где ^x(f) = {xE J: /(x) < λ}. Из теоремы Фубини следует, что оо Εμ(/) = J λαμΙ(λ) = J/αμ. (2.19) — ОО Μ 'Обозначение и состояния, и меры символом μ не должно вести к путанице.
1.2. ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА 93 Оказывается, что вероятностные меры на Ж, по сути, единственные примеры состояний. А именно: для локально компактного топологическо- го пространства Ж теорема Рисса - Маркова утверждает, что для любого положительного линейного функционала I на пространстве СС(Л?) непре- рывных функций на Ж с компактным носителем существует единственная регулярная борелевская мера αμ на <Ж, такая, что 1(f) = / $αμ для любого / е Сс(^). Это приводит к следующему определению состояний в классической меха- нике. Определение. Множество состояний S для гамильтоновой системы с фазовым пространством Ж — это выпуклое множество &(ЛК) всех вероятностных мер на Л(. Состояния, соответствующие дираковским ме- рам αμΧ, сконцентрированным в точках х Ε ЛК, называются чистыми со- стояниями, а фазовое пространство Л( также называется пространством состояний21. Все остальные состояния называются смешанными состояни- ями. Процесс измерения в классической механике — это соответствие Л X S Э (/,μ) - μ/ = Д (μ) G <^(R), сопоставляющее каждой наблюдаемой / е Л и состоянию μ Ε S веро- ятностную меру μ/ на R — трансфер меры 6?μ на ^ посредством /. Для любого борелевского подмножества Ε С R величина 0 ^ l*f(E) ^ 1 — это вероятность того, что для системы в состоянии μ результат измерения наблюдаемой / лежит в множестве Е. Математическое ожидание наблюда- емой / в состоянии μ дается формулой (2.19). В физике чистые состояния характеризуются как имеющие свойство, что измерение любой наблюдаемой всегда дает однозначно определенный результат. Математически это можно выразить следующим образом. Пусть <#/) = Εμ ((/ - Εμ(/))2) = Εμ(/2) - Εμ(/)2 > О — дисперсия наблюдаемой / в состоянии μ. Лемма 2.1. Чистые состояния — это единственные состояния, в ко- торых любая наблюдаемая имеет нулевую дисперсию. Пространством чистых состояний, если быть точным.
94 Глава 1 Доказательство. Из неравенства Коши - Буняковского - Шварца следует, что σ^(/) = О, если и только если / постоянна на носителе вероятностной меры αμ. В частности, смесь чистых состояний αμΧ и αμυ, х,у G Ж, — это сме- шанное состояние с αμ — ααμΧ + (1 — α)αμυ, О < а < 1, так что σ2($) > 0 для любой наблюдаемой /, такой, что f(x) ^ f(y)· Для системы, состоящей из нескольких взаимодействующих частиц (скажем, движение планет в небесной механике), возможно измерить все координаты и импульсы, поэтому рассматривают только чистые состояния. Смешанные состояния с необходимостью появляются в макроскопических системах, где невозможно измерить все координаты и импульсы22. Замечание. Как топологическое пространство, пространство состо- яний Ж можно восстановить по алгебре Л классических наблюдаемых. А именно: предположим для простоты, что <Ж компактно. Тогда С-алгебра С = С (Ж) комплекснозначных функций на Л — пополнение комплекси- фикации R-алгебры Л классических наблюдаемых по отношению к sup- норме — коммутативная С*-алгебра. Это означает, что С(Л() — банахово пространство по отношению к норме ||/|| = supxG^ |/(#)| — имеет струк- туру С-алгебры (ассоциативной алгебры над С с единицей), задаваемую поточечным произведением функций, такую, что ||/ · #|| ^ ||/||||#||,и снаб- жено комплексной антилинейной инволюцией: отображением * : С —> С, задаваемым комплексным сопряжением /*(я) = f(x) и удовлетворяющим условию ||/·/* || = ||/1|2. Далее, теорема Гельфанда-Наймарка утверждает, что любая коммутативная С*-алгебра С изоморфна алгебре С(ЛК) непре- рывных функций на своем спектре — множестве максимальных идеалов С — компактном топологическом пространстве с топологией, индуцированной слабой топологией на С*, двойственном к С пространстве. Мы заканчиваем наше изложение классической механики, представ- ляя два эквивалентных способа описания динамики — временной эволю- ции гамильтоновой системы ((^#, { , }), Н) с алгеброй наблюдаемых Л = = С°°(<Ж) и множеством состояний S = ^(.Ж). Вдобавок, мы предпола- гаем, что гамильтонов фазовый поток gt определен во все моменты времени и на фазовом пространстве Ж определена форма объема dx, инвариантная относительно фазового потока23. 22Типически макроскопическая система состоит из N ^ 1023 молекул. Макроскопические системы изучаются в классической статистической механике. 23 Это лиувиллева форма объема, если пуассонова структура на jM невырождена.
1.2. Гамильтонова механика 95 Гамильтоново описание динамики. Состояния не зависят от вре- мени, а временная эволюция наблюдаемых дается уравнениями движения Гамильтона: ^=0, μΕβ, и | = {Я,/}, /€А Математическое ожидание наблюдаемой / в состоянии μ в момент време- ни t дается формулой Εμ(Λ) = fogtdμ= I f{gt(x))p(x)dx, где р(х) = — производная Радона - Никодима. В частности, математиче- ское ожидание / в чистом состоянии αμΧ, соответствующем точке х Ε <Ж9 это f(gt(x)). Представление Гамильтона повсеместно используется для ме- ханических систем, состоящих из нескольких взаимодействующих частиц. Лиувиллево описание динамики. Наблюдаемые не зависят от вре- мени а состояния αμ(Χ) = p(x)dx удовлетворяют уравнению Лиувилля ^ = -{Н,р}, p(x)dxeS. Здесь производная Радона-Никодима р(х) = — и уравнение Лиувилля по- нимаются в смысле обобщенных функций. Математическое ожидание на- блюдаемой / в состоянии μ в момент времени t дается формулой EIH{f) = j f{x)p{g-t{x))dx. Представление Лиувилля, в котором состояния описываются обобщен- ными функциями ρ(х) — положительными распределениями на ^, соот- ветствующими вероятностным мерам p(x)dx,— повсеместно используется в статистической механике. Равенство Εμ(Λ) = Εμ,(/) для любого f e Α, μ G S, следующее из инвариантности формы объема dx и замены переменных, выражает эквивалентность лиувиллева и гамильтонова описаний динамики.
96 Глава 1 1.3. Замечания и ссылки Классические ссылки — учебники [Арн89с] и [Лан88Ь], написанные соответственно с математической и физической точек зрения. Элегантность [Лан88Ь] дополняется вниманием к деталям в [Gol80], другой классической книге по физике. Краткий обзор гамильтонова формализма, необходимого для квантовой механики, можно найти в [Фад01]. Труд [АМ78] и энцик- лопедические обзоры [Арн85а], [Арн85Ь] предлагают исчерпывающее из- ложение классической механики, включающее историю предмета и ссыл- ки на классические работы и современные публикации. Учебник [Ste83], монографии [Дуб98Ь], [Дуб98а] и записки лекций [Вгу95] содержат весь необходимый материла по дифференциальной геометрии и теории групп Ли, а также ссылки на другие источники. Вдобавок, лекции [God69] тоже предлагают введение в дифференциальную геометрию и классическую ме- ханику. В частности, в [God69] и [Вгу95] обсуждается роль, которую играет второе касательное расслоение в лагранжевой механике (см. также моно- графии [YI73] и [Сга83]). Для краткого изложения теории интегрирования, включая теорему Рисса-Маркова, см. [RS80]; для доказательства теоре- мы Гельфанда-Наймарка и дальнейших деталей о С*-алгебрах см. [Str05] и ссылки в этой работе. Наше изложение следует традиционной схеме [Лан88Ь] и [Арн89с], на- чинающих с лагранжева формализма и вводящих гамильтонов формализм через преобразование Лежандра. Как в [Арн89с], мы сделали особый ак- цент на точных математических формулировках. Имея основной аудитори- ей аспирантов и исследователей-математиков, мы можем свободно исполь- зовать исчисление дифференциальных форм и векторных полей на гладких многообразиях. Это отличается от нацеленного на студентов младших кур- сов изложения в [Арн89с], в котором этот материал приходится вводить в основном тексте. Поскольку целью этой главы было представить толь- ко основы классической механики, фундаментальные для формулирования квантовой, мы опустили множество важных тем, включая аналогии меха- ника-геометрическая оптика, теорию колебаний, вращения твердого тела, теорию возмущений и т.д. Заинтересованный читатель может найти этот материал в [Лан88Ь] и [Арн89с] и вышеупомянутых монографиях. Вполне интегрируемые гамильтоновы системы тоже были только вкратце упомя- нуты в конце раздела 1.2.6. Мы отсылаем читателя к [Арн85Ь] и ссылкам в этой работе за исчерпывающим изложением и к монографии [Тах86а] за так называемым методом представления Лакса — представления нулевой кривизны теории интегрируемых систем, особенно в случае бесконечного числа степеней свободы.
1.3. Замечания и ссылки 97 В разделе 1.2.7, следуя [Фад01], [Дуб98Ь], [Дуб98а], мы обсуждаем пуассоновы многообразия и пуассоновы алгебры. Эти понятия, мало об- суждаемые в стандартных изложениях классической механики, фундамен- тальны для понимания значения квантования — перехода от классической к квантовой механике. Мы также включили в разделы 1.1.6 и 1.2.7 об- суждение вектора Лапласа-Рунге-Ленца, компоненты которого являют- ся дополнительными интегралами движения для задачи Кеплера24. Лишь вкратце упомянутый в [Лан88Ь] вектор Лапласа-Рунге-Ленца в действи- тельности не фигурирует во множестве учебников, за исключением [Gol80] и [Дуб98Ь]. В раздел 1.2.7, следуя [Фад01], мы также включили теоре- му 2.19, проясняющую значение тождества Якоби, и привели гамильтоново и лиувиллево описания динамики. Большинство задач в этой главе довольно стандартны и взяты из различных источников, в основном [Арн89с], [Лан88Ь], [Вгу95], [Дуб98Ь] и [Дуб98а]. Другие задачи указывают на интересные связи с теорией пред- ставлений и симплектической геометрией. Так, задачи 2.12 и 2.20 знакомят читателя с методом орбит [Кир02], а задача 2.18 — с методом симплектиче- ской редукции (см. [Арн89с], [Вгу95] и ссылки в этих работах). Задачи 2.21- 2.23 подводят читателя к теории групп Ли-Пуассона (см. [Дри86Ь], [Dri87], [STS85] и [Так90] для элементарного изложения). 24Мы увидим в главе 3, что эти дополнительные интегралы отвечают за скрытую SO(4) симметрию атома водорода.
Глава 2 Основные принципы квантовой механики Напомним стандартные обозначения и основные факты из теории са- мосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Пусть Ж — се- парабельное гильбертово пространство со скалярным произведением ( , ), комплексно-линейным по первому аргументу, и пусть А — линейный опе- ратор в Ж с областью определения D(A) С Ж — линейным подмноже- ством Ж. Оператор А называется замкнутым, если его график Г (А) = = {(φ, Αφ) G Ж х Ж : φ G D(A)} — замкнутое подпространство в Ж х Ж. Если область определения А плотна1 в Ж, т.е. D(A) = = Ж, то область определения D(A*) сопряженного оператора А* состоит из φ G Ж, таких что существует η G Ж со свойством (Αψ, φ) = (ψ, η) для любого ψ G D(A), и оператор А* определяется формулой Α* φ = η. Оператор А называется симметрическим, если (Αψ, φ) = (ψ, Αφ) для любого φ, ψ Ε £)(^4). По определению, регулярное мнолсество замкнутого оператора А с плотной областью определения D(A) это множество ρ (А) = {X G С |, отображение А — XI : £>(А) -^ Ж — биекция, а обратное отображение ограничено2}, для λ G р(А) ограниченный оператор R\(А) = (А — Х1)~1 называется резольвентой А в λ. Регулярное множество р(А) С С открыто, а его допол- нение σ(Α) = С\р(А) — это спектр А. Подмножество σρ(Α) спектра σ(Α), состоящее из собственных значений А конечной кратности называется то- чечным спектром. 1 Мы рассматриваем только операторы с плотной областью определения. 2По теореме о замкнутом графике последнее условие следует из первого.
Основные принципы квантовой механики 99 Оператор А самосопряжен (или эрмитов), если А = А*. Эквивалент- но, А симметрический и D(A) = D(A*); для таких операторов σ(Α) С R. Симметрический оператор А называется самосопряженным в существен- ном (говорят также, существенно самосопряженным), если его замыка- ние А = А** самосопряжено. Для симметрического оператора А следу- ющие условия эквивалентны: (i) А самосопряжен в существенном; (И) Кег(А* + И) = Кег(А* - И) = {0}; (Ш) 1т(А + И) = 1т{А - И) = Ж. Симметрический оператор А с D(A) = Ж ограничен и самосопряжен. Оператор А положителен3, если (Αφ, φ) ^ 0 для любого ф G D(A), что мы обозначаем как А ^ 0. Положительные операторы удовлетворяют неравен- ству Коши - Буняковского - Шварца \(Αφ,ψ)\2 ^ (Αφ,φ)(Αψ,ψ) для любых φ, ψ G D(A). (0.1) В частности, из (Αφ, φ) = 0 следует, что Αφ = 0. Любой ограничен- ный положительный оператор самосопряжен4. Мы обозначаем как «5f(Jif) С*-алгебру ограниченных линейных операторов в Ж с операторной нор- мой || · || и антиинволюцией *, задаваемой операторным сопряжением. Опе- ратор A G JS?(Ж) называется компактным5, если он отображает ограни- ченные подмножества Jif в предкомпактные множества6. Векторное про- странство Η (Ж) компактных операторов в Jif называется двусторонним идеалом7 С*-алгебры Jf (Jif). Оператор A G Ч>(Ж) называется оператором со следом*, если оо P||i = 5^^(A)<oo, n=l где μη(Α) — сингулярные значения Α: μη(Α) = у/Хп(А) ^ 0, где Хп(А) — собственные значения А* А. Эквивалентно, оператор A G ^(Ж) — опе- 3 Неотрицателен, если быть точным. 4 Это верно только для комплексных гильбертовых пространств. 5 Также употребляется термин вполне непрерывный оператор. — Прим. перев. 6Множества с компактным замыканием. 7Идеал ^(Ж) — единственный замкнутый двусторонний идеал в ££(Ж). 8 Также употребляется термин ядерный оператор. — Прим. перев.
100 Глава 2 ратор со следом, если и только если для любого ортонормального бази- са {еп}™=1 пространства Ж оо ^|(Аеп,еп)| < сю. п=1 Поскольку перестановка ортонормального базиса — снова ортонормальный базис, это условие можно заменить условием, что оо ^2(Аеп,еп) < оо п=1 для любого ортонормального базиса {еп}'^=1 пространства Ж. Если А — оператор со следом, то его след определяется как TrA = J2(Aen,en) п=1 и не зависит от выбора ортонормального базиса {еп}™=1 пространства Ж. Положительный оператор А е j£f (Ж) — оператор со следом, если для неко- торого ортонормального базиса {еп}^=1 пространства Ж выполняется оо Σ (Аеп, еп) < сю. Пространство 5?\ операторов в Ж со следом образует банахову алгебру с нормой ||A||i = Try/А*А и является двусторонним идеалом (идеалом фон Неймана-Шаттена) в С*-алгебре «£?(Ж). Свойство ТгАВ = ТтВА для любых А е Уи Be ££{Ж) называется циклическим свойством следа. Если А е <5?\, то отображе- ние 1а(В) = ТгАВ, В G У (Ж), — непрерывный линейный функцио- нал на а?(Ж), так что 5?\ лежит в Л£(Ж)* — банаховом пространстве, двойственном к J£(Ж). Однако, 5?\ ^ J? (Ж)*, в действительности <5?\ = = ^(Ж)*, и отображение Аи^- изоморфизм банаховых пространств. Аналогично, отображение В \->1в дает изоморфизм Л£(Ж) = У^.
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 101 Оператор А Ε JSf(^) называется оператором Гильберта - Шмидта, если АА* Ε «Яь Эквивалентно, оператор А Е Sf(Ji?) — оператор Гиль- берта-Шмидта, если и только если для некоторого ортонормального бази- са {еп}™=1 пространства Ж оо ^||Аеп||2 <оо. п=1 Векторное пространство «^ операторов Гильберта-Шмидта в ^ являет- ся гильбертовым пространством со скалярным произведением (Д В)2 = = ТгАВ*. Пространство Гильберта-Шмидта 5^2 тоже является двусторон- ним идеалом в С*-алгебре Jif (J^7). 2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика Квантовая механика изучает микромир — физические законы в атом- ных масштабах, которые нельзя адекватно описать с помощью классиче- ской механики. Свойства микромира очень сильно отличаются от нашего повседневного опыта, поэтому неудивительно, что его законы кажутся про- тиворечащими здравому смыслу. Так, классические механика и электроди- намика не могут объяснить устойчивость атомов и молекул. Точно также не могут эти теории согласовать разные свойства света — волнового характера в явлениях дифракции и интерференции и корпускулярного — в фотоэлек- трической эмиссии и рассеянии свободными фотонами. Фундаментальное различие между микромиром и наблюдаемым миром вокруг нас в том, что в микромире любой эксперимент приводит к взаимодействию с системой и тем самым нарушает ее свойства, тогда как в классической физике всегда предполагается, что можно пренебречь возмущениями, вносимыми в си- стему измерением. Это налагает ограничения на возможности наблюдения и приводит к выводу, что существуют наблюдаемые, которые нельзя изме- рить одновременно. Мы не обсуждаем здесь эти и другие основные экспериментальные факты, отсылая заинтересованного читателя к учебникам по физике. Мы также не будем следовать историческому пути развития теории. Вместо этого, мы покажем, как сформулировать квантовую механику, используя общие понятия состояний, наблюдаемых и временной эволюции, описан- ные в разделе 1.2.8 главы 1. Там мы видели, что коммутативность алгебры наблюдаемых А приводит к возможности ее реализации в виде алгебры функций на топологическом пространстве — пространстве состояний — и, таким образом, ведет нас в царство классической механики. Поэтому, для
102 Глава 2 того чтобы получить реализацию наблюдаемых и состояний, отличную от классической механики, нам надо допустить, что С*-алгебра, ассоцииро- ванная с наблюдаемыми, больше не коммутативна. Фундаментальный при- мер некоммутативной С*-алгебры дается алгеброй ограниченных операто- ров в комплексном гильбертовом пространстве, и оказывается, что как раз эта алгебра играет фундаментальную роль в квантовой механике! Здесь мы формулируем основные принципы квантовой механики, ис- пользуя точный математический язык. В этом месте необходимо заметить, что невозможно проверить прямо принципы, лежащие в основе квантовой механики. Тем не менее верность квантовой механики во всех ситуациях, где она применима, непрерывно подтверждается многочисленными экспе- риментальными фактами, полностью согласующимися с предсказаниями теории9. 2.1.1. Математическая формулировка Следующие аксиомы составляют базис квантовой механики. А1. С любой квантовой системой ассоциировано бесконечномер- ное сепарабельное комплексное гильбертово пространство Ж, называе- мое в физической терминологии пространством состояний™. Гильбертово пространство составной квантовой системы — это тензорное произведе- ние гильбертовых пространств компонент системы. А2. Множество наблюдаемых srf квантовой системы Ж состоит из всех самосопряженных операторов в Ж. Подмножество я/о — srf Π J£? (Ж) ограниченых наблюдаемых является векторным пространством над Ш. A3. Множество состояний 5? квантовой системы с гильбертовым про- странством Ж состоит из всех положительных (а значит, самосопряжен- ных) операторов Μ со следом ТгМ = 1. Чистые состояния это опе- раторы проектирования (проекторы) на одномерные подпространства Ж. Для ψ е Ж, \\ψ\\ = 1, соответствующий проектор на Сф обозначается Ρψ. Все остальные состояния называются смешанными состояниями11. А4. Процесс измерения — это соответствие β/ х У Э (А, М) ■-> μΑ € £>(R), 9Это относится к нерелятивистским явлениям в атомных масштабах. ^Пространством чистых состояний, если быть точным. 11В физической терминологии оператор Μ называется матрицей плотности.
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 103 сопоставляющее каждой наблюдаемой Аб^и состоянию Μ Ε У веро- ятностную меру μΑ на R. Для любого борелевского подмножества Ε С R величина 0 ^ №а(Е) ^ 1 — это вероятность того, что для квантовой систе- мы в состоянии Μ результат измерения наблюдаемой А принадлежит Е. Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой A G si в со- стоянии Μ £ У — это оо (А\М) = J λαμΑ{λ), — оо где μΑ(λ) = ^л((—оо, λ)) — функция распределения вероятностной ме- ры μ А. Множество состояний У выпукло. Согласно теореме Гильберта- Шмидта о каноническом разложении компактных самосопряженных опера- торов, для любого Μ £ У существует ортонормированный набор {фп}^=1 в Ж (конечный или бесконечный; в последнем случае N = оо), такой, что Ν Ν Μ = ΣαηΡψη и ТгМ = 5^ап = 1, (1.1) П=1 71=1 где ап > О — ненулевые собственные значения М. Таким образом, любое смешанное состояние — это выпуклая линейная комбинация чистых состо- яний. Следующий результат характеризует чистые состояния. Лемма 1.1. Состояние Μ € У — чистое, если и только если его нельзя представить в виде нетривиальной линейной комбинации в У. Доказательство. Допустим, что Рф = аМх + (1 - а)М2, О < а < 1, и пусть Ж — СгрфЖ\ — ортогональное разложение. Поскольку М\ и Мч — положительные операторы, для φ Ε Ж\ мы имеем α{Μ1φ,φ)^{ΡΦφ,φ) = 0, так что (Μ\φ,φ) = 0 для всех φ G Ж\, и по (0.1) получаем М\\^ — 0. Поскольку оператор М\ самосопряжен, он оставляет дополнительное подпространство Сф инвариантным, и из условия TrMi = 1 следует, что Mi = Ρψ. Поэтому Mi = М2 = Ρψ. Явная конструкция соответствия si х У —► «^(R) основывается на общей спектральной теореме фон Неймана, подчеркивающей фундамен- тальную роль самосопряженных операторов в квантовой механике.
104 Глава 2 Определение. Проекторная мера на Μ — это отображение Ρ: &(Ш) —► —► &(Ж) σ-алгебры 3§{Ш) борелевских подмножеств R в алгебру ограни- ченных операторов в Жу удовлетворяющее следующим свойствам. РМ1. Для любого борелевского подмножества Ε С R, оператор Р(Е) — ортогональная проекция, т.е. Р{Е) = Р(Е)2 и Р{Е) = Р(Е)*. РМ2. Р(0) = 0, P(R) = I, единичный оператор в Ж. РМЗ Для любого дизъюнктного объединения борелевских подмножеств ОО П Е.= ]]ЕП, Р(Я)= lim У*Р(£*) п=1 г=1 в сильной топологии Jf(Jif). Замечание. Аналогично, проекторная мера на Rn — это отображение Р: &(Rn) —► Л? (Ж), удовлетворяющее тем же свойствам РМ1-РМЗ. Из РМ1 - РМЗ следует, что Р(Е1)Р(Е2) = Ρ(Ei Π Е2) для любых EUE2 G ЩЩ. (1.2) С любой проекторной мерой Ρ на R ассоциируется проекторнозначная функция Ρ(λ) = Ρ((-οο,λ)), называемая проекторным разложением единицы. Она характеризуется сле- дующими свойствами. PD1. P(A)P(M) = P(min{A,M}). PD2. lim Ρ(λ) = 0, lim Ρ(λ) = I. λ—> —οο λ—>οο PD3. lim Ρ(μ) = Ρ(λ). μ—»λ μ<λ
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 105 Для любого ψ G Ж разложение единицы Ρ (λ) определяет функцию распределения (Ρ(\)φ, φ) ограниченной меры на Ш (вероятностной, ко- гда || φ || = 1). По поляризационному тождеству (Р(А)у>,ф) = \ {(Ρ(Χ)(φ + Ψ),φ + Ψ)~ (Ρ(Χ)(φ -φ),φ-φ) + + <( Ρ(λ)(φ + iil>), φ + τψ)- 1{Ρ{Χ){φ - %ψ), φ - гф)} , так что (Ρ(Χ)φ, ф) соответствует комплексной мере на R — комплексной линейной комбинации мер. Измеримая функция / на R называется финитной почти везде (п. в.) по отношению к проекторной мере Р, если она финитна п. в. по отношению ко всем мерам (Р-0, ф)9 ф Ε Ж. Для сепарабельного Ж теорема фон Неймана утверждает, что для любой проекторной меры Ρ существует φ G Ж, такое, что функция / финитна п. в. по отношению к Р, если и только если она финитна п. в. по отношению к мере (Ρφ, φ). Следующее утверждение — знаменитая спектральная теорема фон Неймана. Теорема 1.1 (Дж. фон Нейман). Для любого самосопряженного one- ратора А в гильбертовом пространстве Ж существует единственое про- екторное разложение единицы Ρ (λ), удовлетворяющее следующим свой- ствам. (0 D(A) =1.1реЖ: f \2α{Ρ{\)φ,φ) < оо \ , и для любого ψ € D(A) оо Αψ= [ ΧαΡ(λ)φ, —оо определенный как предел сумм Римана-Стильтьеса в сильной топо- логии на Ж. Носитель соответствующей проекторной меры Ρ сов- падает со спектром оператора А: X G σ (А), если и только если Ра((Х — ε, Χ + ε)) 7^ 0 для любого ε > 0.
106 Глава 2 (И) Для любой непрерывной функции f на R, f(A) — линейный оператор в Ж с плотной областью определения D(f(A)) = \φ е Ж : j \/(λ)\4(Ρ(λ)φ,φ) < оо I , определенный для φ £ D(f(A)) как оо !(Α)φ = У /(A)dP(A)V — оо и понимаемый, как в части (i). Оператор f(A) удовлетворяет усло- вию f(A)* = f(A), где f — комплексно сопряженная функция к /, а оператор f(A) огра- ничен, если и только если функция f ограничена на σ(Α). Для ограни- ченных на σ(Α) непрерывных функций fug оо /(Α)9(Α)φ = J /(Χ)9(λ)αΡ(λ)φ, φ&Μ>. — оо (ш) Для любой измеримой функции f на R, конечной п. в. по отношению к проекторной мере Р, f(A) — линейный оператор в Ж, определен- ный, как в (ii), где интеграл для /(Α)φ теперь понимается в слабом смысле: для φ G D(f(A)) и любого ψ G Ж оо (f(AW)= J /(Χ)α(Ρ(λ)φ,φ) — оо — интеграл Лебега-Стильтьеса по отношению к комплексной мере. Соответствие f i—► f(A) удовлетворяет тем же свойствам, что и в (ii), где интегралы понимаются в слабом смысле. (iv) Ограниченный оператор В коммутирует с А, то есть B(D(A)) С С D(A) и АВ = В А на D(A), если и только если он коммутирует с Ρ (λ) для всех X, и, следовательно, В коммутирует с любым опера- тором f(A).
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 107 (ν) Для любого проекторного разложения единицы Ρ (λ) оператор А в Ж, определенный, как в части (i), самосопряжен. С использованием спектральной теоремы соответствие (Α, Μ) \-> μ а, постулированное в А4, можно явно описать следующим образом. А5. Вероятностная мера μΑ на R, определяющая соответствие я/ х У —► &(№), дается формулой Борна-фон Неймана μΑ(Ε) = ТгРА(£)М, Ε е #(R), (1.3) где Р^ — проекторная мера на R, ассоциированная с самосопряженным оператором А. ЗАМЕЧАНИЕ. Вероятностную меру μ а на Ш можно рассматривать как «квантовый трансфер» состояния Μ посредством наблюдаемой А (см. об- суждение в разделе 1.2.8 в главе 1). Из разложения Гильберта-Шмидта (1.1) получаем Ν Ν Ν μΑ(Ε) = Σαη{ΡΑ(Ε)<ψη,<ψη) = ]Г ап\\РА{Е)фп\\2 < £αη = 1, 71=1 71=1 71=1 так что действительно 0 ^ μλ{Ε) ^ 1. Обозначим через μ α (λ) функцию распределения вероятностной меры μ α, μΑ(λ) = (Рд(А)^,^;) для Μ = Р^. Предложение 1.1. Допустим, что наблюдаемая А е я/ и состоя- ние Μ е У такие, что (А\М) < оо и ImM С £>(А). 7Ъг<)а AM G «Я! w (А|М) = ТЫМ. В частности, если Μ = Ρψ и ψ е D(A), то (Α\Μ) = (Αψ,ψ) и (А2\М) = \\Аф\\2. Доказательство. Пусть {еп}™=1 — ортонормированный базис в Ж. Поскольку оо μΑ(Ε) = ЪРА(Е)М = ^(РА(Е)Меп,еп), 71=1
108 Глава 2 получается, что для любого Ε е оо μΑ(Ε) = Σμη(Ε), n=l где μη — конечные комплексные меры на R, определенные форму- лой μη{Ε) = (Ра(£)Меп, еп). Поскольку / /αμΑ = Σ $αμη R для любой функции /, интегрируемой по мере μ а, из спектральной теоре- мы следует, что оо оо °° °° ]Г(АМеп,еп) = Σ / λφη(λ) = / λ^μΛ(λ) < оо. Таким образом, AM Е^и <^4|А^) = ТгЛМ. В частности, когда Μ = Рф ифе D(A), (А\М)= J \α(ΡΑ(\)ψ,ψ) = (Αψ, ψ). —оо Наконец, из спектральной теоремы и формулы замены переменных полу- чаем оо оо \\Аф\\2 = J \4(ΡΑ(\)ψ,ψ) = J\α(ΡΑ2(\)ψ,ψ) = (A2\M). Следствие 1.2. Если (А\М), (А2\М) < оо, то AM G Ух и (А\М) = = ТгАМ. Доказательство. Определим борелевские меры vn на Ε формулой νη{Ε) = = (РА(Е)Меп,Меп) = ||Рл(£)Меп||2. Так как по формуле (1.1) оо N Σ ME) = TrMPA(E)M = ТгР А(Е)М2 = ]Г α2η{ΡΑψη, φη) ^ п=1 п=1 N ^ Σ αη(ΡΑΨη,Ψη) = ТгРА(Е)М = μΑ(Ε), n=l
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 109 получается, что оо оо / \2dun(X) < ( λ2αμΑ(λ) = (А2\М) < оо. — оо —оо Таким образом, Меп £ D(A), т.е. еп е D(AM), и результат следует из доказательства предложения 1.1. Замечание. Удобно аппроксимировать неограниченный самосопря- женный оператор А ограниченными операторами Ап = Afn(A), где /п = = Х[-п,п] — характеристическая функция интервала [—η, η]. Предполагая, что (А|М) существует, имеем оо η (А\М) = [ λαμΑ(λ) = lim [ λαμΑ(λ) = lim (An\M). J η—>oo J η—>oo Определение. Самосопряженные операторы А и В коммутируют, ес- ли соответствующие проекторные меры Р^ и Р# коммутируют: Ра{Е1)Рв{Е2) = Рв(Е2)РА{Ег) для любых Еи Е2 е ЩШ). Следующие результаты, вытекающие из спектральной теоремы, очень полезны в приложениях. Предложение 1.2. Следующие утверждения эквивалентны. (0 Самосопряженные операторы А и В коммутируют. (к) Для любых λ, μ е С, Im λ, Im μ φ 0 RX(A)R^B) = Rfl(B)Rx(A). (ш) Для любых и, υ Ε Μ гиА ivB _ -ivB iuA (/ν) Для любых uGl операторы еги и В коммутируют. Слегка злоупотребляя обозначениями12, мы часто будем писать [А,В] = = АВ — В А = 0 для коммутирующих самосопряженных операторов АиВ. 12Вообще говоря, для неограниченных самосопряженных операторов А к В коммутатор [А, В] = А В — В А необязательно замкнут, т. е. он может быть определен только для φ = 0.
110 Глава 2 Предложение 1.3. Пусть А = {Ai, ..., Ап} — конечное множество самосопряженных, попарно коммутирующих операторов в Ж. На борелев- ских подмножествах Rn существует единственная проекторная мера Ра, обладающая следующими свойствами. (0 Для любого Е = Ехх ... х Еп е ЩЖп) PA(E) = PAl(E1)...PAn(En). (И) В сильной операторной топологии Ak= XkdPA, fe = 1, ...,n, где Xk — к-я координатная функция на Rn, Afc(xi, ... , xn) = х^. (in) Для любой измеримой функции f на Rn, финитной п. в. относительно проекторной меры, Ра, }{А\, ... ,Ап) — линейный оператор в Ж, определенный формулой f(A1,...,An) = JfdPA, Rn где интеграл понимается в слабой операторной топологии. Соответ- ствие f i—► f(A\, ... ,Ап) обладает теми же свойствами, что и в части (и) спектральной теоремы. Носитель проекторной меры Ра на Rn называется совместным спектром коммутативного семейства А = {А\, ..., Ап}. Замечание. Согласно теореме фон Неймана о порождающем опера- торе, для любого коммутативного семейства А самосопряженных операто- ров (необязательно конечного) на сепарабельном гильбертовом простран- стве Ж существует порождающий оператор — самосопряженный опера- тор R на Ж, такой, что все операторы в А являются функциями R. Кажется естественным, что одновременное измерение конечного мно- жества наблюдаемых А — {А\, ..., Ап} в состоянии Μ € У должно опи- сываться вероятностной мерой μ а на Rn, даваемой следующим обобщени- ем формулы Борна-фон Неймана: μΑ(Ε) = ТНРлЛ^) · · · РАп(Еп)М), Е = ЕгХ ... хЕпе @{Жп). ( ' '
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 111 Однако формула (1.4) определяет вероятностную меру на Rn, если и только если PAl(E\)... РАп(Еп) определяет проекторную меру на Rn. Посколь- ку произведение ортогональных проекций будет ортогональной проекци- ей, только если проекторы коммутируют, можно заключить, что операто- ры А\, ..., Ап должны составлять коммутативное семейство. Это согласу- ется с требованием, что одновременное измерение нескольких наблюдае- мых не должно зависеть от порядка измерений индивидуальных наблюдае- мых. Подытожим эти рассуждения в следующей аксиоме. А6. Конечное множество наблюдаемых А = {Ai, ...,An} может быть измерено одновременно (одновременно измеримые наблюдаемые), ес- ли и только если они составляют коммутативное семейство. Одновремен- ное измерение коммутативного семейства А С si в состоянии Μ е У описывается вероятностной мерой μΑ на Rn, задаваемой формулой μΑ(Ε) = ТгРА(Е)М1 Ε е ^(Rn), где Ра — проекторная мера из предложения 1.3. Конкретно, РА(Е) = = PAl(Ei)...PAn(En) ДДя Ε = Ех х ... х Еп G ЩШп). Для любо- го борелевского подмножества Ε С Rn величина 0 ^ ^а(Е) ^ 1 — это вероятность, что для квантовой системы в состоянии Μ результат одновре- менного измерения наблюдаемых А\, ..., Ап принадлежит Е. Аксиомы А1-А6 известны как аксиомы Дирака-фон Неймана. Задача 1.1. Докажите свойство (1.2). Задача 1.2. Докажите, что состояние Μ чистое, если и только если ТгМ2 = 1. Задача 1.3. Докажите, что формула Борна-фон Неймана (1.3) опре- деляет вероятностную меру на R, т. е. μΑ — σ-аддитивная функция на &(Щ. Задача 1.4. Докажите все оставшиеся утверждения этого раздела. 2.1.2. Соотношения неопределенности Гейзенберга Дисперсия наблюдаемой А в состоянии М, характеризующая среднее отклонение А от его математического ожидания, определяется как σ2Μ(Α) = ((А - (А\М)1)2\М) = (А2\М) - (А\М)2 > О при условии, что математические ожидания (А2\М) и (А\М) существуют. Из предложения 1.1 следует, что для Μ = Ρψ, где φ Ε D(A), σ2Μ(Α) = ||(Л - (Α\Μ)Ι)ψ\\* = \\Аф\\2 - (Аф,ф)2.
112 Глава 2 Лемма 1.2. Для А е srf и Μ 6 У дисперсия ам(А) = О, если и только если ImM — собственное подпространство оператора А, отвечающее собственному значению а = (А\М). В частности, если Μ = Ρψ, то φ — собственный вектор Α, Αψ = αφ. Доказательство. Из спектральной теоремы следует, что оо *мИ) = J (λ - α)2αμΑ(λ), — ОО так что ом (А) — О, если и только если вероятностная мера μ а сконцентри- рована в точке а Ε R, т. е. μ^({α}) = 1. Поскольку μ^({α}) = TrPa{{а))М и ТгМ = 1, можно заключить, что это эквивалентно тому, что ImM — ин- вариантное подпространство Pa({cl}), и из спектральной теоремы следует, что ImM — собственное подпространство А, отвечающее собственному значению а. Теперь мы сформулируем обобщенные соотношения неопределенно- сти Гейзенберга. Предложение 1.4 (Г.Вейль). Пусть А,Вея/и пусть Μ = Ρψ — чистое состояние, такое, что φ Ε D(A)r\D(B) и Аф,Вф Ε D(A)nD(B). Тогда а2м(А)а2м(В)>\(г[А,В]\М)2. Такое лее неравенство выполняется для любого Μ G У, где по определе- нию (i[A,B]\M) = lim (i[An,Bn]\M). п—юо Доказательство. Пусть Μ = Рф. Поскольку [А-(А\М)1,В-(В\М)Г\ = [А,В], достаточно доказать неравенство (A2\M)(B2\M)>\(i[A,B]\M)2. Имеем для любого а Ε Ш \\(А + гаВ)ф\\2 = а2(Вф, Вф) - га{Аф, Вф) + га{Вф, Αφ) + (Αψ, Αφ) = = α2(Β2φ,ψ) + а{г[А,В]ф,ф) + (А2ф,ф) > О, так что с необходимостью 4(А2ф, ф)(В2ф, ф) ^ (г[А, В]ф,ф)2.
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика ИЗ То же рассуждение работает для смешанных состояний. Поскольку σ2Μ(Α)σ2Μ(Β) = lim σ2Μ{Αη)σ2Μ{Βη) η—юо (см. замечание в предыдущем разделе), достаточно доказать неравенство для ограниченных А и В. Тогда, используя циклическое свойство следа, получаем для любого a Ε Ш О ^ Тг((Л + гаВ)М(А + iaB)*) = Тт((А + гаВ)М(А - гаВ)) = = а2ТгВМВ + гаТгВМА - гаТгАМВ + TrAMA = = а2ТгВ2М + аТг(г[Д В]М) + ТЫ2М, так что 4ТгА2МТгВ2М ^ Тт(г[А, В]М)2. Соотношения неопределенности Гейзенберга дают количественное вы- ражение того факта, что даже в чистом состоянии некоммутирующие на- блюдаемые не могут быть одновременно измерены. Это показывает фунда- ментальное различие между процессами измерения в классической меха- нике и квантовой механике. 2.1.3. Динамика Множество srf квантовых наблюдаемых не образует алгебру по от- ношению к операторному произведению13. Тем не менее действительное векторное пространство j#fo ограниченных наблюдаемых имеет структуру алгебры Ли со скобкой Ли i[A, В] = г(АВ - В А), А,В е я/0. Замечание. На самом деле С*-алгебра Jf(Jt?) ограниченных опера- торов в Ж имеет структуру комплексной алгебры Ли со скобкой Ли, данной коммутатором [А, В] = АВ — В А. Она удовлетворяет правилу Лейбница [АВ,С\ = А[В,С\ + [А,С]В, так что скобка Ли — дифференцирование на С*-алгебре «5f (Ж). 13 Произведение двух некоммутирующих операторов — необязательно самосопряженный оператор.
114 Глава 2 По аналогии с классической механикой мы постулируем, что времен- ная эволюция квантовой системы с пространством состояний Ж полно- стью определяется особой наблюдаемой Η Ε «β^, называемой оператором Гамильтона (для краткости — гамильтонианом). Как и в классической ме- ханике, структура алгебры Ли на j#o приводит к соответствующим кванто- вым уравнениям движения. Конкретно, аналогом представления Гамильтона в классической меха- нике (см. раздел 1.2.8 в главе 1) является представление Гейзенберга в кван- товой механике, в котором состояния не зависят от времени: Щ = О, Μ е У, at а ограниченные наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения Гейзен- берга j£ = {H,A}n, Ае4, (1.5) где {,}* = £[,] (1-6) — квантовая скобка — зависящая от Ь скобка Ли на j^fo. Положительное число Ь, называемое постоянной Планка, — это одна из фундаментальных физических констант14. Уравнение Гейзенберга (1.5) корректно определено, когда Η £ Μ)· Действительно, пусть U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов, ассоциированная с ограниченным самосо- пряженным оператором Н, U(t) = e л' , teR. (1.7) Она удовлетворяет дифференциальному уравнению гй^р = HU(t) = U(t)H, (1.8) так что решение A(t) уравнения движения Гейзенберга с начальным усло- вием А(0) = A Ε j#o дается формулой A(t) = U{tylAU(t). (1.9) 14Постоянная Планка имеет физическую размерность действия (энергия х время). В ее опре- деленном из эксперимента значении Тг = 1.054 х 10~27 эрг х сек проявляется тот факт, что квантовая механика — микроскопическая теория.
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 115 В общем случае сильно непрерывная однопараметрическая группа уни- тарных операторов (1.7), ассоциированная с самосопряженным опера- тором Я, удовлетворяет дифференциальному уравнению (1.8) только на D(H) в сильном смысле, т.е. при применении к векторам φ G D(H). Квантовая динамика определяется той же формулой (1.9), и в этом смыс- ле все квантовые наблюдаемые удовлетворяют уравнению движения Гей- зенберга (1.5). Оператор эволюции Ut : si —> si определяется формулой Ut(A) = A(t) = U(t)~1AU(t) и является автоморфизмом алгебры Ли sio ограниченных наблюдаемых. Это квантовый аналог утверждения, что опе- ратор эволюции в классической механике — автоморфизм алгебры Пуассона классических наблюдаемых (см. теорему 2.19 в разделе 1.2.7 главы 1). По теореме Стоуна любая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов15 U(t) имеет вид (1.7), где D(H) — < φ е Ж : Km φ существует > U(t) -1 и Η φ = гЬ lim φ. Область определения D(H) самосопряженного оператора Я, называемого инфинитезимальным генератором группы U(t), — инвариантное линейное подпространство для всех операторов U(t). Подытожим предшествующие рассуждения в следующей аксиоме. А7 (Представление Гейзенберга). Динамика квантовой системы опи- сывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t) уни- тарных операторов. Квантовые состояния не зависят от времени, У Э Э Μ ь-► M(t) = Μ Ε У, а зависимость квантовых наблюдаемых от време- ни дается оператором эволюции Ut, ^эАн A{t) = Ut{A) = U{t)~lAU{t) e si. На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых наблюдаемых опи- сывается уравнением движения Гейзенберга (1.5), где оператор Гамильто- на Я — это инфинитезимальный генератор U(t). Аналог представления Лиувилля в классической механике (см. раз- дел 1.2.8 главы 1) — это представление Шрёдингера в квантовой механике, определяемое следующим образом. 15 Согласно теореме фон Неймана на сепарабельном гильбертовом пространстве любая сла- бо измеримая однопараметрическая группа унитарных операторов сильно непрерывна.
116 Глава 2 А8 (Представление Шрёдингера). Динамика квантовой системы описывается сильно непрерывной однопараметрической группой U(t) уни- тарных операторов. Квантовые наблюдаемые не зависят от времени, «й/эА^ A(t) = А € я/, и зависимость состояний от времени дается об- ратным оператором эволюции Z7t-1 = U-u УзМи M(t) = U-t(M) = U{t)MU(i)-1 e У. (1.10) На инфинитезимальном уровне эволюция квантовых состояний описывает- ся уравнением движения Шрёдингера 4М = -{#,м}л, меУ, (1.П) где оператор Гамильтона Η — инфинитезимальный генератор U(t). Предложение 1.5. Гейзенбергово и шрёдингерово описания динамики эквивалентны. Доказательство. Пусть μΑ{€) и (μ*)а — соответственно, вероятностные меры на R, ассо- циированные с (A(t), Μ) е srf х У и (Д M(t)) е д/хУ согласно АЗ-А4, где A(t) = Ut(A) и M(t) = U-t(M). Нам надо показать, что μΑψ) = (μ^Α- Из спектральной теоремы следует, что PA(t) — U(t)~1PAU(t), так что, ис- пользуя формулу Борна-фон Неймана (1.3) и циклическое свойство следа, получаем для Ε G «^(R) μΑ(1){Ε) = TrPA{t)(E)M = Tr(U(t)-1PA(E)U(t)M) = = TriPAWUMMUit)-1) = TrPA(E)M(t) = Ыа(Я). Следствие 1.3. (A(t)\M) = (A\M(t)). По аналогии с классической механикой (см. раздел 1.1.4 главы 1) име- ем следующее определение. Определение. Наблюдаемая А е я/ является квантовым интегралом движения (или константой движения) для квантовой системы с гамильто- нианом Н, если в представлении Гейзенберга dA(t) = o dt
2.1. Наблюдаемые, состояния и динамика 117 Из предложения 1.2 следует, что оператор А £ я/ — интеграл дви- жения, если и только если он коммутирует с гамильтонианом Н9 так что в согласии с (1.5) {Н,А}п = 0. Это — квантовый аналог свойства коммутативности в смысле скобки Пуас- сона, даваемого формулой (2.14) раздела 1.2.6 главы 1. Из (1.11) следует, что временная эволюция чистого состояния Μ = Ρψ дается уравнением M(t) = Ρψμ), где ф(£) = U(t)i/). Поскольку D(H) инва- риантно относительно U(t), вектор ip(t) = и(Ь)ф удовлетворяет зависяще- му от времени уравнению Шрёдингера гП^- = Нф (1.12) at с начальным условием -0(0) = ψ. Определение. Состояние Μ £ У называется стационарным для квантовой системы с гамильтонианом Н9 если в представлении Шрёдин- гера dM(t) at 0. Состояние Μ стационарно, если и только если [М, U(t)] — 0 для всех t, и по предложению 1.2 это эквивалентно условию {Я,М}л = 0 в согласии с (1.11). Следующий результат фундаментален. Лемма 1.3. Чистое состояние Μ = Ρψ стационарно, если и только если ψ — собственный вектор Н, Нф = Хф, и в этом случае i/j(t) = е ^ ф.
118 Глава 2 Доказательство. Из равенства U(t)P^ = P^U(t) следует, что φ — общий собственный вектор унитарных операторов U(t) для всех t, и(Ь)ф = с(Ь)ф9 \c(t)\ = 1. Поскольку U(t) — сильно непрерывная однопараметрическая группа уни- тарных операторов, непрерывная функция c(t) = (и({)ф,ф) удовлетворяет уравнению c(t\ + £2) = c(ti)c(t2) для всех t\,t2 £ Μ, так что c(t) = e h для какого-то λ G I. Таким образом, по теореме Стоуна φ Ε D(H) и Нф = Хф. В физической терминологии собственные векторы Гамильтона Η на- зываются связанными состояниями. Соответствующие собственные значе- ния называются уровнями энергии и обычно обозначаются как Е. Уравне- ние на собственные значения Нф = Еф называется стационарным уравне- нием Шрёдингера. ЗАДАЧА 1.5. Покажите, что если наблюдаемая А такова, что для лю- бого состояния Μ математическое ожидание (A\M(t)) не зависит от t, то А — квантовый интеграл движения. (Это определение интегралов движения в представлении Шрёдингера.) Задача 1.6. Покажите, что решение задачи Коши для зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1.12) дается формулой оо т = J e-itxdP(\)rP, — ОО где Ρ (λ) — разложение единицы для гамильтониана Н. Задача 1.7. Пусть D — линейное подпространство в Ж, состоящие из векторов Гардинга оо Ь = f f{s)U(a)i>ds, /€^{Щ,феЖ, — оо где «У(М) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R. До- кажите, что D плотно в Ж и инвариантно относительно U(t) и Гамильто- на Н. (Указание: покажите, что и(Ь)ф/ = ф/ь Ε D, где ft(s) = f(s — t), и выведите Нф$ — Ц-ф/'.)
2.2. Квантование 119 2.2. Квантование Для изучения квантовой системы необходимо описать ее гильбертово пространство состояний Ж и гамильтониан Η — самосопряженный опера- тор в Ж, определяющий эволюцию системы. Когда у квантовой системы есть классический аналог, процедура построения соответствующего гиль- бертова пространства Ж и гамильтониана Η называется квантованием. Определение. Квантование классической системы ((./#, { , }),НС) с функцией Гамильтона16 Нс— это однозначное отображение QniA-*^ из множества классических наблюдаемых Л = С°°(^) в множество srf квантовых наблюдаемых — множество самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве Ж. Отображение Q^ зависит от парамет- ра Ti>0, и его ограничение на подпространство ограниченных классических наблюдаемых До — линейное отображение в подпространство j#o ограни- ченных наблюдаемых, удовлетворяющее свойствам \imjQbl(Qn(fi)Qn(f2) + Qn(/2)Q*(/i)) = /1/2 И lim Q^1({Qn(fi),Qn{f2)}n) = {/ь/2} для любых Д,/2 е Аь Последнее свойство — знаменитый принцип соответствия Нильса Бо- ра. В частности, Нс ь-► Qn(Hc) = Η — оператор Гамильтона квантовой системы. Замечание. В физической литературе принцип соответствия часто формулируется в виде [, ] ~ |{ , } при П - 0. Квантовая механика отличается от классической, так что соответ- ствие / ь-► Qn(f) Η^ может быть изоморфизмом алгебр Ли ограничен- ных классических и квантовых наблюдаемых с соответственно классиче- ской и квантовой скобками. Оно становится изоморфизмом только в пре- деле Ь —► 0, когда, согласно принципу соответствия, квантовая механика превращается в классическую. Поскольку квантовая механика представля- ет более аккуратное и подробное описание, чем классическая, квантование классической системы может быть не единственно. 16Обозначение Нс используется для различения функции Гамильтона в классической меха- ники и оператора Гамильтона Η в квантовой.
120 Глава 2 Определение. Два квантования Q^' и Q^' данной классической системы ((*/#, { , }),#с) называются эквивалентными, если существу- ет линейное отображение % : Л —► Л, такое, что Q^ = Q^ о % и lim ^ = id. Для многих квантовых систем из «реального мира» — систем, описы- вающих имеющие место физические явления, — соответствующий гамиль- тониан Η не зависит от выбора эквивалентного квантования и однозначно определяется классической функцией Гамильтона Нс. 2.2.1. Коммутационные соотношения Гейзенберга Простейшая классическая система с одной степенью свободы опи- сывается фазовым пространством R2 с координатами p,q и скобкой Пуассона { , }, ассоциированной с канонической симплектической фор- мой ω = dp Adq. В частности, скобка Пуассона классических наблюдае- мых pnq — импульса и координаты частицы — имеет следующую простую форму: {*>,<?} = !· (2.1) Другой постулат квантовой механики заключается в том, что при кванто- вании классические наблюдаемые ρ и q соответствуют квантовым наблю- даемым Ρ и Q — самосопряженным операторам в гильбертовом простран- стве Жу удовлетворяющим следующим свойствам. CR1. Существует плотное линейное подмножество D С Ж\ такое, что Р: D -> D и Q : D -+ D. CR2. Для всех ψ е D (PQ - С}Р)ф = ~гПф. CR3. Любой ограниченный оператор в Jif, коммутирующий с Ρ и Q, кра- тен единичному оператору /. Свойство CR2 называется коммутационным соотношением Гейзен- берга для одной степени свободы. В терминах квантовой скобки (1.6) оно принимает вид {P,Q}n = I, (2.2) такой же как скобка Пуассона (2.1). Свойство CR3 — квантовый аналог классического свойства, что пуассоново многообразие (R2, { , }) невырож- дено: любая функция, коммутирующая в смысле скобки Пуассона с ρ и q9 является константой (см. последнее замечание в разделе 1.2.7 главы 1).
2.2. Квантование 121 Операторы Ρ nQ называются соответственно оператором импульса и оператором координаты. Соответствие ρ \-> Р9 q \-^ Q с Ρ и Q, удовле- творяющими CR1 - CR3, — основа для квантования классических систем. Истинность (2.2), как и квантовой механики в целом, подтверждается со- ответствием теории с многочисленными экспериментами. Замечание. Кажется заманчивым продолжить соответствие р\-> Р, q ь-► Q на все наблюдаемые, определив отображение f(p,q) ·—► f(P,Q). Однако такой подход к квантованию довольно наивен: операторы Ρ и Q удовлетворяют (2.2) и не коммутируют, поэтому приходится разбираться, как же на самом деле определена «функция некоммутирующих перемен- ных» /(Р, Q). Мы обратимся к этой задаче упорядочивания некоммутиру- ющих операторов Ρ и Q в разделе 2.3.3. Из соотношений неопределенности Гейзенберга (см. предложение 1.4) следует, что для любого чистого состояния Μ = Ρψ с ψ Ε D vm(P)°m(Q) > \ Это — фундаментальный результат, который говорит о том, что невозмож- но одновременно измерить координату и импульс квантовой частицы: чем точнее измеряется одна величина, тем приблизительней значение второй. Часто говорят, что у квантовой частицы нет наблюдаемого пути, так что «квантовое движение» разительно отличается от движения в классической механике. Теперь не составляет труда рассмотреть классическую систему с η сте- пенями свободы, описываемую фазовым пространством R2n с координата- ми ρ — (pi, ... ,рп) и q = (q1, ..., qn), и скобкой Пуассона { , }, ассоци- ированной с канонической симплектической формой ω = dp Λ dq. Скобки Пуассона классических наблюдаемых ρ и q — импульсов и координат ча- стицы — имеют следующий вид: {р*,М = 0, {q\ql} = 0, {pk,ql} = Slk, Μ = 1,...,η. (2.3) Соответствующие операторы импульсов и координат Ρ — (Pi, . ..,Pn) и Q = (Q1, ..., Qn) — самосопряженные операторы, имеющие общее ин- вариантное плотное линейное подмножество D С Ж и удовлетворяющие на D следующим коммутационным соотношениям: {Pk,Pi}h = 0, {Q\Ql}n = V, {Pk,Ql}n = SlkI, fe,Z = l, ...,n. Эти соотношения называются коммутационными соотношениями Гейзен- берга для η степеней свободы. Аналогом CR3 является свойство, что любой ограниченный оператор в Ж, коммутирующий со всеми операторами Ρ и Q, кратен единичному оператору /.
122 Глава 2 Фундаментальная алгебраическая структура, связанная с коммутаци- онными соотношениями Гейзенберга, это так называемая алгебра Гейзен- берга. Определение. Алгебра Гейзенберга \)п с η степенями свободы — это алгебра Ли с образующими е1, ..., en, /i, ..., /п, с и соотношениями [ек,с}=0, [Д,с] = 0, [е*,/,] = #с, fc,/ = l,...,i (2.5) Инвариантное определение таково. Пусть (У, о;) — 2п-мерное симплек- тическое векторное пространство, рассматриваемое как абелева алгебра Ли, и д — одномерное центральное расширение V с помощью 2-коцикла на ал- гебре Ли, заданного билинейной формой ω. Это значит, что имеется точная последовательность векторных пространств О д - V - О, и скобка Ли на д определяется формулой [х,у] =ш(х,у)с, (2-6) (2.7) где х,у — образы в V элементов х,у Ε g, ас- образ 1 при вложении R <—► д, называемый центральным элементом д. Выбором симплектиче- ского базиса е1, ..., еп, Д, ..., fn в У (см. раздел 1.2.6 главы 1) устанав- ливается изоморфизм д ~ f)n, и соотношения (2.5) получаются из скоб- ки Ли (2.7). По теореме Адо алгебра Гейзенберга \)п изоморфна подалгебре Ли мат- ричной алгебры над R. Явным образом она реализуется как нильпотентная подалгебра алгебры Ли gln+2 матриц размерности (га + 2) х (га + 2) с эле- ментами Y^(uk fk + vkek) + ас ■■ fc=l f° 0 0 0 V> и1 0 0 0 0 и2 . 0 ·· 0 ·· 0 ·· 0 ·· . un • 0 • 0 • 0 • 0 α\ V\ V2 Vn o/ (2.8)
2.2. Квантование 123 Замечание. Точное представление f)n —> g[n+2, данное формулой (2.8), очевидно, приводимо: подпространство V = {х = (х\, ... ,жп+2) £ G Еп+2 : жп+2 = 0} инвариантно относительно ()п, причем центральный элемент с действует на нем как ноль. Однако, это представление не разло- жимо: векторное пространство Rn+2 нельзя записать в виде прямой сум- мы V и одномерного инвариантного относительно f)n подпространства. Этим объясняется, почему центральный элемент с представлен не диаго- нальной матрицей с первыми η + 1 нулями, а имеет особый вид, даваемый формулой (2.8). Аналитически, коммутационные соотношения Гейзенберга (2.5) соот- ветствуют неприводимому унитарному представлению алгебры Ли Гейзен- берга f)n. Напомним, что унитарное представление ρ алгебры f)n в гиль- бертовом пространстве Ж — это линейное отображение ρ : f)n —> isrf — пространство косоэрмитовых операторов в Ж> такое, что все самосопря- женные операторы гр(х), х Ε f)n, имеют общее инвариантное плотное ли- нейное подмножество D С Ж и удовлетворяют условию р([х,у])<р = (р(х)р(у) - р(у)р(х))<р, х,уеК, φ£ D. Формально применяя лемму Шура, скажем, что представление ρ непри- водимо, если любой ограниченный оператор, коммутирующий со всеми операторами гр(х) кратен единичному оператору /. Тогда коммутационные соотношения Гейзенберга (2.5) определяют неприводимое унитарное пред- ставление ρ алгебры Ли Гейзенберга f)n в гильбертовом пространстве Ж по формуле p(fk) = -iPk, р(ек) = -iQ\ к = 1, ..., η, р(с) = -гЫ. (2.9) Поскольку операторы Рк и Qk с необходимостью неограничены (см. зада- чу 2.1), условие Ρ^ΡΙψ = ΡΛψ для любого ipeD не обязательно означает (см. задачу 2.2), что самосопряженные операто- ры Ρ^ и Pi коммутируют в смысле определения в разделе 2.1.1. Чтобы избежать таких «патологических» представлений, будем полагать, что ρ — интегрируемое представление, т. е. его можно проинтегрировать (в точном смысле, определенном ниже) до неприводимого унитарного представле- ния группы Гейзенберга Нп — связной и одно связной группы Ли с алгеб- рой Ли f)n.
124 Глава 2 Конкретно, группа Гейзенберга — это унипотентная подгруппа груп- пы Ли SL(n + 2, R) с элементами /1 0 0 0 \° и1 1 0 0 0 и2 ■ 0 ·■ 1 ·· 0 · 0 ·· • ип ■ 0 • 0 • 1 • 0 а\ V\ V2 Vn ч Экспоненциальное отображение ехр : f)n —> Нп сюръективно, и группа Гейзенберга Нп порождается двумя η-параметрическими абелевыми под- группами / η \ / η \ ехриХ = ехр I У_\ukfk I ? ехрυΥ = ехр I У_\ Vke и, υ G ъп \к=1 / \к=1 / и однопараметрическим центром ехр ас, удовлетворяющим соотношениям η ехр мХ ехр vF = exp(—uvcjexpvY expuX, uv = \^икУк. (2.10) к=0 Действительно, из (2.5) следует, что [иХ, vY] = —uvc — центральный элемент, так что, используя формулу Бейкера-Кэмпбела-Хаусдорфа, по- лучаем ехриХ expvY = exp(—\uvc) ехр(иХ + vY), ехр vY ехр иХ = exp(^uvc) ехр(иХ + vY). В матричной реализации экспоненциальное отображение дается матричной экспонентой, и мы получаем еиХ = I + иХ, evY = I + vY и еас = I + ас, где / — единичная матрица (п + 2) х (п + 2). Пусть R — неприводимое унитарное представление группы Гейзенбер- га Нп в гильбертовом пространстве Ж — сильно непрерывный гомомор- физм групп R : Нп —> $/{Ж), где $/{Ж) — группа унитарных операторов в Ж. По лемме Шура R(eac) = е~гХа1, λ Ε R. Допустим теперь, что Х = Ъ, и определим две сильно непрерывные η-параметрические абелевы группы унитарных операторов U(и) = R(expuX), V(v) = R(expvY), u,veRn. Тогда из (2.10) следует, что унитарные операторы U(u) и V(v) удовлетво- ряют коммутационным соотношениям U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u)y ' (2.11)
2.2. Квантование 125 называемым соотношениями Вейля. Пусть Ρ = (Pi, ...,Pn) и Q = = (Q1, ... , Qn) — соответственно инфинитезимальные образующие под- групп U(и) и V(v), даваемые теоремой Стоуна, P„ = idU^ дик Q* = idV{v) dvk и=0 , к = 1, ... ,п. v=0 Взяв вторые частные производные соотношений Вейля (2.11) в начале ко- ординат и — υ = 0 и используя решение задачи 1.7 в предыдущем разделе, легко получить следующий результат. Лемма 2.1. Пусть R : Нп —> %{Ж) — неприводимое унитарное представление группы Гейзенберга Нп в Ж, такое, что Щеас) = е~гПа1, и пусть Ρ = (Pi, ..., Pn) uQ = (Q1, ..., Qn) — соответственно инфини- тезимальные образующие сильно непрерывных η-параметрических абеле- вых подгрупп U(u) и V(v). Тогда формулы (2.9) определяют неприводимое унитарное представление ρ алгебры Гейзенберга f)n на Jif. Представление ρ в лемме 2.1 называется дифференциалом представле- ния R и обозначается dR. Неприводимое унитарное представление ρ алгеб- ры f)n называется интегрируемым, если ρ = dR для какого-то неприводи- мого представления R группы Нп. Замечание. Неприводимые унитарные представления алгебры Гей- зенберга интегрируемы, так что соотношения Вейля нельзя получить из коммутационных соотношений Гейзенберга. Однако, следующее эвристи- ческое рассуждение (не учитывающее тонкостей обращения с неограни- ченными операторами) повсеместно используется в физических учебниках. Рассмотрим случай одной степени свободы и начнем с соотношения {P,Qh = i. Поскольку квантовая скобка удовлетворяет правилу Лейбница, для «подхо- дящей» функции / имеем {f(P),Qh = f{P). В частности, выбирая /(Р) = е~гиР = U(u), получаем U(u)Q - QU(u) = buU{u) или U^QUiu)'1 = Q + hul. Для «подходящей» функции g из этого следует U(u)g(Q)=g(Q + huI)U(u), и, положив g(Q) = е~гу® = V(v)9 получаем соотношение Вейля.
126 Глава 2 В разделе 2.3.1 мы докажем, что все интегрируемые неприводимые унитарные представления алгебры Гейзенберга f)n с одним и тем же дей- ствием центрального элемента с унитарно эквивалентны. Это оправдыва- ет следующую математическую формулировку коммутационных соотноше- ний Гейзенберга для η степеней свободы. А9 (Коммутационные соотношения Гейзенберга). Операторы им- пульсов и координат Ρ = (Рь ..., Рп) и Q = (Q1, ..., Qn) для квантовой частицы с η степенями свободы определяются формулами (2.9), где ρ — ин- тегрируемое неприводимое унитарное представление алгебры Гейзенберга f)n со свойством ρ (с) = — гЫ. Задача 2.1. Докажите, что не существует ограниченных опера- торов в гильбертовом пространстве Ж\ удовлетворяющих соотноше- нию [А, В]=1. Задача 2.2. Приведите пример самосопряженных операторов А и В, имеющих общее инвариантное плотное линейное подпростран- ство D С Ж, такое, что ΑΒφ = Β Αφ для любого φ G D, но егЛ и егВ не коммутируют. Задача 2.3. Докажите лемму 2.1. (Указание: как в задаче 1.7, пусть D — линейное множество векторов Гардинга ψ; = f f(u,v)U{u)V{v)<il>dnudnv, f G У(Ш2п), феЖ, где ^(R2n) — пространство Шварца быстро убывающих функций на R2n.) 2.2.2. Координатное и импульсное представления Начнем со случая одной степени свободы и рассмотрим две естествен- ных реализации коммутационных соотношений Гейзенберга. Они опреде- ляются свойством, что один из самосопряженных операторов Ρ и Q «диа- гоналей» (т. е. является оператором умножения на функцию в соответству- ющем гильбертовом пространстве). В координатном представлении J4?=L2(R, dq) — это L2-пространство на конфигурационном пространстве R с координатой q, являющемся лагранжевым подпространством пространства R2, определяемым уравне-
2.2. Квантование 127 нием ρ = 0. Положим D(Q)=heJT: jq*\<p(q)\2dq <oo\ и для φ G D(Q) определим оператор Q как «оператор умножения на q»: (Яч>Ш = чч>{ч), Qем, оправдывая название «координатное представление». Оператор координа- ты Q очевидно самосопряжен, и его проекторная мера задается формулой (Р(ВД(д) = Хе(яМя), (2-12) где %я — характеристическая функция борелевского подмножества Ε С Ж. Поэтому supp Ρ = R и a(Q) = R. Напомним, что спектр самосопряженного оператора А абсолютно непрерывен, если для любого ф G Я?9 \\ψ\\ = 1, вероятностная мера νψ, щ(Е) = (ΡΑ(Ε)ψ,<ψ), ЕеЩШ), абсолютно непрерывна относительно меры Лебега на R. Лемма 2.2. Оператор координаты Q имеет абсолютно непрерывный спектр R, и любой ограниченный оператор В, коммутирующий с Q, явля- ется функцией от Q, В = f(Q) с f £ L°°(R). Доказательство. Из (2.12) следует, что νψ{Ε) = f\if;(q)\2dq9 и это доказывает первое Ε утверждение. Дальше, ограниченный оператор В в Ж коммутирует с Q, ес- ли и только если ВР{Е) = Р{Е)В для всех Ε G «^(R), и, используя (2.12), мы получаем Β{ΧΕψ)=ΧΕΒ{ψ). (2.13) Выбирая в (2.13) Ε = Е\ и φ = хе29 где Е\ и Е2 имеют конечную меру Лебега, получаем В(Хе1 · Хе2) = В(хе1пе2) = ХЕгВ(хЕ2) = Xe2B(xEi), так что, обозначая /е = В(хе), мы получаем supp /Ε Q Ε и jEi\E1nE2 = JE2\EinE2
128 Глава 2 для любых Ei,E2 G 3&(β) с конечной мерой Лебега. Таким образом, су- ществует измеримая функция / на R, такая, что f\E = Je\e для любо- го Ε G 3S{R) с конечной мерой Лебега. Линейное подпространство, натя- нутое на все хе £ L2(R), плотно в L2(R), а оператор В непрерывен, так что получаем (B(p)(q) = f{q)(p{q) для любого φ G L2(R). Поскольку В — ограниченный оператор, / е L°°(R) и \\В\\ = ||/||оо· Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор В можно пред- ставить в виде интегрального оператора с обобщенным функциональным ядром K(q,q'). Тогда из коммутативности BQ = QB следует, что в смысле обобщенных функций (q-q')K(q,q') = 0, так что К «пропорционально» дельта-функции Дирака, т. е. K(q,q') = f(q)6(q-q'), для некоторого / Ε L°°(R). Это рассуждение обычно приводят в учебниках физики. Замечание. У оператора Q нет собственных векторов — уравнение на собственные значения Qp = Χφ не имеет решений в L2(R). Однако в смысле обобщенных функций это уравнение имеет для каждого λ е R единственное (с точностью до посто- янного множителя) решение <^\(q) = S(q—λ), и эти «обобщенные собствен- ные функции», называемые также собственными функциями непрерывного спектра, порождают ядро Шварца единичного оператора I в L2(R). Это отражает тот факт, что оператор Q диагоналей в координатном представле- нии. Замечание. Нормировку собственных функций непрерывного спек- тра ip\(q) можно также определить условием, что для любого Λ е R функ- ция λ Ыя) = j%φμ{4)αμ, $ag£2(r), λο удовлетворяет условию Шп^||Фл+д-Фа||2 = 1. (2.14) Здесь λο G R фиксировано и не входит в (2.14). Действительно, в нашем случае Фд = Χ(λ0,λ) — характеристическая функция интервала (λο,λ), так что ||Φλ+Δ -Φλ||2 = Δ.
2.2. Квантование 129 Для чистого состояния Μ — Ρψ, ностная мера μς> на R дается формулой 1 соответствующая вероят- μΩ{Ε) = νψ(Ε) = J mq)\2dq, Ε е ЩШ). ρ — LLJL Физически это интерпретируется так, что в состоянии Ρψ с «волновой функцией» ip(q) вероятность нахождения квантовой частицы между q и g + dq равна \^{q)\2dq. Другими словами, квадрат модуля волновой функ- ции — это распределение вероятности координаты квантовой частицы. Соответствующий оператор импульса Ρ дается дифференциальным оператором bd_ dq с D(P) = W1,2(M) — пространством Соболева абсолютно непрерывных функций / на R, таких, что / и ее производная /' (определенная п. в.) принадлежат L2(R). Оператор Ρ самосопряжен, и не составляет труда про- верить, что на D — C£°(R), пространстве гладких функций на R с компакт- ным носителем, QP-PQ = гЫ. Замечание. У оператора Ρ в Ж нет собственных векторов, уравне- ние на собственные значения Ρφ = ρφ, ρ £ R, имеет решение ;pq (p(q) = const x eh не принадлежащее L2(R). Мы увидим впоследствии, что семейство норми- рованных собственных функций непрерывного спектра порождает ядро Шварца обратного к зависящему от Ь преобразованию Фу- рье оператора, диагонализующего оператор импульса Р. В смысле обоб- щенных функций / Vp(q)<PP'(q)dq = δ(ρ - р').
130 Глава 2 Замечание. Как и в случае оператора координаты, нормировку соб- ственных функций непрерывного спектра φρ (q) оператора импульса можно определить условием (2.14). Действительно, ρ . / \ Фр(д)=[се>ак=^<~*Р<1 ~*Poq\ Щ Ро так что ФР+д(д) - ФР((?) = -q-e* 2 sin—. Используя элементарное интегрирование, получаем . ±\\Фр+А(д)-Фр(Я)\\2 = 2сЧ J ^dq = 2псЧ, так что с /2тгП Предложение 2.1. Координатное представление определяет неприво- димое, унитарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. Доказательство. Чтобы показать, что координатное представление интегрируемо, по- ложим U(u) = е~гиР, и пусть V(v) = е~гу® — соответствующая одно- параметрическая группа унитарных операторов. Ясно, что (ν(ν)φ)ψ(ς) = = e~lvq(p(q), и из теоремы Стоуна (или из определения производной) лег- ко выводится, что (U(u)ip)(q) = φ(ς — Ьи), так что унитарные операторы U(и) и V(v) удовлетворяют соотношению Вейля (2.11). Такая реализация соотношения Вейля называется представлением Шрёдингера. Для доказательства неприводимости координатного представления вы- берем ограниченный оператор Т, коммутирующий с Ρ и Q. По лем- ме 2.2 Τ = f(Q) для какого-то / Ε L°°(R). Дальше, из коммутативности Τ и Ρ следует, что TU(u) = U(u)T для любого ueR, а это эквивалентно тому, что f(q — Ьи) = f(q) для любых g,wGM, так что / = const п. в. на R. В итоге координатное представление характеризуется свойством, что оператор координаты Q — это умножение на q, а оператор импульса Ρ — это дифференцирование: Q = q и P=hj-. г dq
2.2. Квантование 131 Аналогично, импульсное представление определяется свойством, что оператор импульса Ρ — это умножение на р. А именно: пусть Ж = = L2(R, dp) — гильбертово £2-пространство на «пространстве импуль- сов» R с координатой р, являющемся лагранжевым подпространством в R2, определенным уравнением q = 0. Операторы координаты и импульса дают- ся формулами Q = i%A и р = р ар и удовлетворяют коммутационному соотношению Гейзенберга. Как и коор- динатное представление, импульсное представление — неприводимое, уни- тарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. В импульсном представлении квадрат модуля волновой функции ψ(ρ) чистого состоя- ния Μ = Ρφ, \\ψ\\ = 1, есть распределение вероятности импульса кван- товой частицы, т. е. вероятность, что квантовая частица имеет импульс, за- ключенный между ρ и ρ + dp, равна \ψ(ρ)\2αρ. Пусть β~η : L2(R) —> L2(R) — оператор зависящего от Ь преобразова- ния Фурье, определенный формулой оо ф(р) = &η{φ){ρ) = -т= [ e~bPqip(q)dq. ν2πη J /2n?i — оо Здесь интеграл понимается как предел φ = lim фп в сильной тополо- п—юо гии L2(R), где 1 / -- фп(р) = —== / е hPQ(p(q)dq. у/2тгП J -η По теореме Планшереля &% — унитарный оператор в L2(R), &пП = П&п = /, так что координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны. В частности, поскольку оператор Ρ очевидно самосопряжен, это мгновенно показывает, что и оператор Ρ самосопряжен. Для η степеней свободы координатное представление определяется за- данием Ж = L2(Rn, dnq), где dnq = dq1 · · · dqn - мера Лебега на Rn, и
132 Глава 2 Здесь Rn — конфигурационное пространство с координатами q — лагран- жево подпространство М2п, определяемое уравнениями ρ = 0. Операторы координат и импульсов самосопряжены и удовлетворяют коммутационным соотношениям Гейзенберга. Проекторные меры операторов Qk даются фор- мулами (Рк(Е)<р)(д) = хХ1;цЕ)(д)<р(д), где Ε G Зё(Ж)> а λ^ : W1 —> R — каноническая проекция на fc-ю компоненту, fc = 1, ..., га. Соответственно, проекторная мера Ρ коммутативного семей- ства Q = (Q1, ..., Qn) (см. предложение 1.3) определяется на борелевских подмножествах Ε CW1 формулой (P(E)tp)(q) = XE(qMq). Семейство Q имеет абсолютно непрерывный совместный спектр Мп. Координатные операторы Q1, ..., Qn образуют полную систему ком- мутирующих наблюдаемых. Это по определению означает, что ни один из этих операторов не является функцией оставшихся, и что любой ограни- ченный оператор, коммутирующий с Q1, ..., Qn, — функция Q1, ..., Qn, т.е. оператор умножения на f(q) для какого-то / £ L°°(Mn). Доказатель- ство дословно повторяет доказательство леммы 2.2. Для чистого состоя- ния Μ = Ρψ, \\ψ\\ = 1, квадрат модуля |^(g)|2 волновой функции — это плотность совместной функции распределения μQ коммутативного семей- ства Q, т. е. вероятность нахождения квантовой частицы в борелевском под- множестве Ε СМ71 дается формулой Мд(Я) = У*КИд)|2<Г9. Ε Координатное представление определяет неприводимое, унитарное, интегрируемое представление алгебры Гейзенберга f)n. Действительно, га- параметрические группы унитарных операторов U(u) = е~гиР и V(v) = = e~lv® описываются формулами {υ{η)φ){4) = φ(4-ηη), (ν(ν)φ)(ς) = е~™Мя) и удовлетворяют соотношениям Вейля (2.11). То же рассуждение, что и в доказательстве предложения 2.1 показывает, что это представление группы Гейзенберга Нп, называемое представлением Шрёдингера для га степеней свободы, неприводимо.
2.2. Квантование 133 В импульсном представлении Ж=Ь2(М.п, dnp), где dnp=dpi- · -dpn — мера Лебега на Мп, и <2 = ifti=(^>···'^)' Р = Р=(Р1,...,Рп). Здесь W1 — это пространство импульсов с координатами ρ — лагранжево подпространство М2п, определенное уравнениями q = 0. Координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны через преобразование Фурье. Как и в случае η = 1, преобразование Фу- рье β~η : L2(Rn) —► L2(Rn) — это унитарный оператор, определенный формулой ψ(ρ) = &η(φ)(ρ) =(2тгЬ)-"/2 j e'iP\(q)dnq = = lim (2жП)-^2 [ e~bP4(p(q)dnq, N—►00 J где предел понимается в сильной топологии на L2(Rn). Как в случае η — 1, имеем Qk = PnQk&n1* Ρ* = РпРк&п1* * = 1, · · · ,n. В частности, поскольку операторы Д, ... ,РП, очевидно, самосопряжены, это мгновенно показывает, что Р\, ..., Рп тоже самосопряжены. Замечание. Следуя Дираку, физики обозначают вектор ψ Ε Ж кет- вектором \ψ)9 вектор φ Ε Ж* в двойственном к Ж пространстве {Ж* ~ Ж — комплексный антилинейный изоморфизм) — бра-вектором (φ\, а их скалярное произведение — выражением (φ\ψ). В стандартных математиче- ских обозначениях (ψ, φ) = (φ\ψ) и (Αψ, φ) = (φ\Α\φ), где А — линейный оператор. С физической точки зрения дираковские обо- значения соответствуют интуиции и удобны для работы с координатным и импульсным представлениями. Обозначив как \q) = S(q — q1) и \р) = = (2пТь)~п/2еп множества общих обобщенных собственных функций операторов Q и Ρ соответственно; мы формально получаем Q\q) = q\q), P\p)=p\p),
134 Глава 2 где операторы Q действуют на q', и <ρ\ψ) = (21гПГ^2 J е~^РЧф(д)апд = ф{р), Rn так же как (q\qf) = S(q — q')9 (p\pf) = δ (ρ — ρ'). Хотя в нашем изложении мы не используем дираковские обозначения, эти формулы могут помочь заинтересованному читателю «переводить» обозначения из учебников фи- зики на стандартный математический язык. Замечание. Мы покажем в разделе 2.3.2, что любое лагранже- во подпространство симплектического векторного пространства R2n с ка- нонической симплектической формой ω = dp Λ dq порождает инте- грируемое, унитарное, неприводимое представление алгебры Гейзенбер- га f)n. Это простейший пример действительной поляризации, определяе- мой для заданного симплектического многообразия {*М,ω) как интегри- руемое распределение {Л?х}хе^ лагранжевых подпространств ££х каса- тельных пространств ТХЛ. Понятие поляризации играет фундаменталь- ную роль в геометрическом квантовании', оно позволяет построить (при определенных условиях) гильбертово пространство состояний Ж> ассоци- ированное с классическим фазовым пространством (Μ, ω). В линейном случае Ж — R2n, любое лагранжево подпространство «if в R2n порождает действительную поляризацию через идентификацию TxR2n ~ R2n. В част- ности, для координатного представления «if дается уравнением q = 0, а для импульсного — уравнением ρ = 0. Соответствующее гильбертово простран- ство Ж состоит из функций на R2n, постоянных на слоях поляризации. Задача 2.4. Приведите пример неинтегрируемого представления ал- гебры Гейзенберга. Задача 2.5. Докажите, что существует φ е Ж = L2(R,dq), такое, что векторы Ρ(Ε)φ, Ε Ε <^(R), где Ρ — проекторная мера оператора коор- динаты Q, плотны в Ж. Задача 2.6. Найдите порождающий оператор для коммутативного се- мейства Q = (Q1, ..., Qn). Есть ли у него физическая интерпретация? Задача 2.7. Найдите проекторную меру коммутативного семей- ства Ρ = (Pi, ..., Рп) в координатном представлении.
2.2. Квантование 135 2.2.3. Свободная квантовая частица Свободная классическая частица описывается фазовым простран- ством R2 с координатами р, q и скобкой Пуассона (2.1) и функцией Га- мильтона Hc{p'q)=L· (2л5) Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с одной степенью сво- боды — это и - р2 в координатном представлении он задается формулой Это самосопряженный оператор в Ж = L2(R,dq) с D(H0) = W2,2(M) — Соболевским пространством функций в L2(R), у которых обобщенные пер- вые и вторые производные принадлежат L2(R). Оператор Но — положительный, с абсолютно непрерывным спек- тром [0, сю) кратности два. Действительно, пусть #0 = L2(R>0,C2;da) — гильбертово пространство С2-значных измеримых функций Φ на полупря- мой R>o = (0, сю), интегрируемых с квадратом по мере da(X) = λ/^ d\ V ^А {оо Λ *W = (Й(А)) : ||ф|'2 = /d^iWI2 + |^(λ)|2)Λτ(λ) < оо Из унитарности преобразования Фурье следует, что оператор %:L2(R,dq)-*fi0, *<*><*>-·<*>-(№>)· унитарен, ^0*"% = /и "%^Ь* = ^о> где I и 1о — соответственно еди- ничные операторы в Ж и #о· Оператором % устанавливается изомор- физм L2(R, dq) ~ #0» и, поскольку в импульсном представлении Щ — оператор умножения на ^р2, оператор ^о^о^о"1 ~~ это оператор умно- жения на λ в 5зо-
136 Глава 2 Замечание. Оператор Гамильтона Но не имеет собственных векто- ров, уравнение на собственные значения Н0ф = Хф не имеет решений в L2(R). Однако для любого λ = -^к2 > 0 у этого диф- ференциального уравнения есть два линейно независимых ограниченных решения: /,(±) ФГ(я) = 1 ±Тк* /2πΤτ к>0. В смысле обобщенных функций эти собственные функции непрерывно- го спектра порождают ядро Шварца унитарного оператора %ь устанав- ливающего изоморфизм между Ж = L2(R, dq) и гильбертовым простран- ством йо, на котором Н0 действует как оператор умножения на λ. Нор- мировка собственных функций непрерывного спектра также определяется условием (2.14): lim 1 Δ^οΔ φ (±) fc+Δ -Ψ (±) 4^i(C-^C-^) = o, Задача Коши для уравнения Шрёдингера свободной частицы г%- dt = Η0ψ(^ ψ(0) = ψ, (2-16) легко решается с помощью преобразования Фурье. Действительно, в импульсном представлении оно принимает вид так что №,*) гр ~2mh ψ(ρ).
2.2. Квантование 137 В координатном представлении решение (2.16) дается формулой со со rl)(q,t) = -L= [ ebPq$(p,t)dp = —к= [ e^x(P,q,t)t^(p)dp, (2.17) V2ttU J V2nfi J -oo где Формула (2.17) описывает движение квантовой частицы и допуска- ет следующую физическую интерпретацию. Пусть начальное условие φ в (2.16) таково, что его преобразование Фурье φ = Тп{Ф) — гладкая функ- ция, сконцентрированная в окрестности С/q точки ро G Ж \ {0}, 0 ^ С/q, и оо / [ф(р)\Чр = 1. Такие состояния называются «волновыми пакетами». Тогда для любого компактного подмножества Ε сЖ имеем Jim [[tP(q,t)\2dq = 0. (2.18) Поскольку оо dq = l для всех t, из (2.18) следует, что частица покидает любое компактное под- множество Ш при |t| —> оо, и квантовое движение нефинитно. Для дока- зательства (2.18) заметим, что функция х(р, q,t) — «фаза» в интеграль- ном представлении (2.17) — обладает свойством, что \-^\ > С > 0 для всех ρ G C/q, q G Ε и достаточно большого |t|.
138 Глава 2 Интегрируя по частям, получаем V2n?iJ Uo ( = _I /A /A it V 2π J φ ^(p) dx(p,g,t) \ dp J ;x(p,q,t)t dp, так что равномерно по £ #?,*) = ОМ"1) при |*|-оо. Повторным интегрированием по частям получаем, что для любого η Ε Ν равномерно по Ε так что ψ(ς, t) = 0(\t\-°°). Для описания движения свободной квантовой частицы в неограничен- ных областях мы используем метод стационарной фазы. В своей простей- шей форме его можно сформулировать следующим образом. Метод стационарной фазы. Пусть f,g e C°°(R), где / веществен- нозначна, а д — функция с компактным носителем, и допустим, что / имеет одну невырожденную критическую точку х0, т. е. f'(xo) = 0 и f"(xo) φ 0. Тогда / eiNfWg(x)dx : 2π *l/"(*o)| ^/(*o)+f sgnr (,o)fl(a:o) + 0 ^ при TV —> oo. Применяя метод стационарной фазы к интегральному представлению (2.17) (и положив N = £)> находим, что критическая точка x(p,q,t) — эторо ^cX"(p0) = -i^O)H ^(9,*) = ^(!т£)е'5й'"*+0(Г1) = = il>o{q,i) + 0(£-1) при £ —> oo.
2.2. Квантование 139 Таким образом, при t —> оо волновая функция ip(q,t) концентрируется в районе ^С/о — области, где асимптотическая вероятность нахождения частицы отличается от нуля. При больших t точки в этой области движутся с постоянными скоростями ν = ^, ρ G Uq, В этом смысле классическое соотношение ρ = mv остается верным и в квантовом описании. Более того, асимптотическая волновая функция фо удовлетворяет условию оо оо J\Mv,t)\2dq=][fJ\rp(^) 2 dq= l, а следовательно, описывает асимптотическое распределение вероятности. Аналогично, положив JV = —1£|, можно описать поведение волновой функ- ции i/>(q,t) при t —> —оо. Замечание. В слабой топологии Ж имеем lim \j;(t) = 0. Действи- |t|—юо тельно, для любого φ Ε ^ получаем из тождества Парсеваля для интегра- лов Фурье ОО 2 и интеграл обращается в ноль при |t| —> оо по лемме Римана-Лебега. Свободная классическая частица с η степенями свободы описывает- ся фазовым пространством Ш2п с координатами ρ = (pi, ... ,рп) и ςτ = = (g1, ..., gn), скобкой Пуассона (2.3) и функцией Гамильтона: Оператор Гамильтона свободной квантовой частицы с η степенями свободы — это а в координатном представлении я°=-£д'
140 Глава 2 где Δ-(£)'-(£)>+-+(£ — оператор Лапласа17 в декартовых координатах на W1. Гамильтони- ан Hq является самосопряженным оператором в Ж = L2(Mn,dnq) с D(H0) = W2,2(Rn) — пространством Соболева на Rn. В импульсном представлении — оператор умножения на функцию в пространстве Ж = L2(Mn, dnp). Оператор Но положителен и имеет абсолютно непрерывный спектр [0, оо) бесконечной кратности. А именно: пусть 5n_1 = = {η G Йп: η2 = 1} — (η — 1)-мерная единичная сфера в Мп, пусть dn — мера на 5П"~1, индуцированная мерой Лебега на М71, и пусть {, = {/: 5"-1 -> С : Ц/Ц» = J \f(n)\2dn < оо}. Пусть 9)q = L2(M>o, г);б£ап) — гильбертово пространство измери- мых г)-значных функций18 Φ на М>о = (0, оо), интегрируемых с квадратом на М>0 по мере Λτη(λ) = (2τηλ)2 ^, оо ОО Я™ = | Φ : R>o - D, ||Ф||2 = Ι ||Φ.(λ)ΙΙ? Ατη(λ) < Ι ο i = 1, Щ = $)ο — соответствующее гильбертово пр< одной степени свободы. Оператор <% : L2(Rn, dnq) —► щ\ Щф){\) = Φ(λ), Φ(λ)(η) = ^(V^Xn), является унитарным и устанавливает изоморфизм L2(Rn,dnqr) ~ 9)0пК В импульсном представлении Щ — это оператор умножения на к—р2, так что оператор ^оНо^/0~г — оператор умножения на λ в щ . 17Это взятый с обратным знаком оператор Лапласа-Бельтрами стандартной евклидовой метрики наМп. 18То есть для любого f £ \) функция (/, Ф) измерима на R>o-
2.2. Квантование 141 Замечание. Как в случае η = 1, оператор Гамильтона Щ не имеет собственных векторов, уравнение на собственные значения Н0ф = Хф не имеет решений в L2(Rn). Однако для любого λ > 0 у этого дифферен- циального уравнения есть бесконечно много линейно независимых ограни- ченных решений параметризованных единичной сферой 5η_1. Эти решения не принадле- жат L2(Rn), но в смысле обобщенных функций они порождают ядро Швар- ца унитарного оператора %)» которым устанавливается изоморфизм между Ж = L2(Rn,dnq) и гильбертовым пространством щ\ где Щ действует как оператор умножения на λ. Как и в случае η = 1, уравнение Шрёдингера для свободной частицы гП^-= Н0ф(1), ψ(0)=ψ, решается с помощью преобразования Фурье: 2 il>(q,t) = (27гй)"п/2 [е^'^фМсГр. В случае волнового пакета, когда начальное условие φ таково, что его пре- образование Фурье φ = βΗ(Φ) — гладкая функция, сконцентрированная в окрестности Uq точки р0 £ Rn \ {0}, такой, что 0 £ С/о и / \ф(р)\2сГр = 1, квантовая частица покидает любое компактное подмножество М71, и движе- ние нефинитно. Асимптотически, когда |t| —> оо, волновая функция ф^Ь) отлична от 0 только при q = *^t, p G С/о. Задача 2.8. Найдите асимптотическую волновую функцию свобод- ной квантовой частицы с η степенями свободы.
142 Глава 2 2.2.4. Примеры квантовых систем Теперь мы опишем квантовые системы, соответствующие классиче- ским лагранжевым системам, вводившимся в разделе 1.1.3 главы 1. В га- мильтоновой формулировке фазовое пространство этих систем, за исключе- нием последнего примера, — симплектическое векторное пространство М2п с каноническими координатами p,q и симплектической формой ω = = φΛ dq. Пример 2.1 (Ньютонова частица). Согласно разделу 1.1.7 гла- вы 1 классическая частица в Rn, движущаяся в потенциальном поле V(q)9 описывается функцией Гамильтона *c(p,i) = f£ + V(fl). Пусть оператор Гамильтона квантовой системы дается формулой Р2 с некоторым оператором V, так что операторы координат и импульсов удо- влетворяют уравнениям движения Гейзенберга Р = {Н,Р}п, Q = {H,Q}h. (2.19) Ρ Для определения V потребуем, чтобы классическое соотношение q = — между скоростью и импульсом частицы сохранялось при квантовании, т. е. чтобы выполнялось Поскольку {Р2, Q}n = 2Р, из (2.19) следует, что это условие эквивалентно равенствам [V,Qfc] = 0, fc = l, ...,n. Из раздела 2.2.2 следует, что V — функция коммутирующих операто- ров Qi, ..., Qn, и естественный выбор19 — это V = V(Q). Таким образом, оператор Гамильтона ньютоновской частицы — это 191Ъ одтверждаемыи согласием теории с экспериментом.
2.2. Квантование 143 что согласуется с равенством Η = #С(Р, Q)20. В координатном представ- лении гамильтониан — это оператор Шрёдингера H = -£iA + V(q) (2.20) с вещественнозначным потенциалом V(q). Замечание. Сумма двух неограниченных самосопряженных опера- торов — необязательно самосопряженный оператор, и приходится описы- вать допустимые потенциалы V(q), для которых Η — самосопряженный оператор в L2(Rn,dng). Если потенциал V(q) — вещественнозначная, ло- кально интегрируемая функция на Rn, то дифференциальный оператор (2.20) определяет симметрический оператор Я на пространстве С^(Шп) дважды непрерывно дифференцируемых функций на Rn с компактным но- сителем. Потенциалы, для которых не существует самосопряженного про- должения симметрического оператора Н, очевидно, не физичны. Может также случиться, что у Η несколько самосопряженных продолжений21. Эти продолжения выделяются с помощью каких-нибудь граничных условий на бесконечности, и нет каких-то физических принципов, чтобы выбрать од- но из них. Физическим является один случай, когда симметрический опе- ратор Η допускает единственное продолжение, то есть когда Η самосо- пряжен в существенном. В главе 3 будут приведены необходимые усло- вия самосопряженности в существенном. Сейчас упомянем лишь критерий фон Неймана, заключающийся в том, что если А — замкнутый оператор и D(A) = Ж, то Я = А* А — положительный самосопряженный оператор. Пример 2.2 (Взаимодействующие квантовые частицы). В ла- гранжевом формализме замкнутая классическая система из N взаимодей- ствующих частиц в R3 была описана в примере 1.2 в разделе 1.1.3 гла- вы 1. В гамильтоновом формализме она описывается каноническими коор- динатами г = (ri, ..., г ν), каноническими импульсами ρ = (pi, ... ,Pn), ra. Pa G R3 и функцией Гамильтона N о2 #с(р,г) = ]Г|^ + У(г), (2.21) α=1 20Β частном случае #с(р, q) = f(p) + g(q) задача упорядочения некоммутирующих опе- раторов Ρ и Q не возникает. 21 Так обстоит дело, когда индексы дефекта Я равны и отличаются от нуля.
144 Глава 2 где та — масса α-й частицы, а = 1, ... ,Ν (см. раздел 1.1.7 в главе 1). Соответствующий оператор Гамильтона Η в координатном представлении имеет вид Ν 2 Η = -Ε^-αΑ»+ν^· (2·22) а=1 В частности, когда V(r)= Σ vir*-n), l^a<b^N оператор Шрёдингера (2.22) описывает задачу N тел в квантовой механике. Фундаментальная квантовая система — сложный атом, образованный ядром с зарядом Ne и массой Μ и N электронами с зарядом —ей массой га. Обозначая как R G М3 положение ядра и как ri, ... ,гм — положения электронов и полагая, что взаимодействие дается кулоновским притяжени- ем, получаем для функции Гамильтона (2.21) No N я«(/-,р,ад = £?+ЕЙ-Еп^г7+ Σ а=1 а=1 ' "' l^.a<b^.N ' ' где Ρ — канонический импульс ядра. Соответствующий оператор Шрёдин- гера Η в координатном представлении имеет вид22 9 Ν 9 Ν В простейшем случае атома водорода, когда N = 1, а ядро состоит из единственного протона 23, гамильтониан — это "~ 2М*Р 2шАе |гр-гвГ где гр — положение протона, а ге — положение электрона. В первом при- ближении протон можно рассматривать как бесконечно тяжелый, так что 22Пренебрегая тем фактом, что у электрона есть спин, см. главу 4. 23 В случае водорода-1 или протия; оно включает один или более нейтронов в случае дейте- рия, трития и других изотопов.
2.2. Квантование 145 атом водорода описывается электроном в притягивающем кулоновском по- ле —е2/]г|, где теперь г = ге — гр. Соответствующий оператор Гамильтона принимает вид ь2 о2 #=-77-A-f-. (2.23) 2га \г\ Мы решим уравнение Шрёдингера с этим гамильтонианом Η и определим его уровни энергии в разделе 3.5.1 главы 3. Пример 2.3 (Заряженная частица в электромагнитном поле). Классическая частица с зарядом е и массой га, движущаяся в зависящем от времени электромагнитном поле со скалярным и векторным потенциала- ми φ (г) и A(r), r Gl3, описывается функцией Гамильтона Яс(р'г) = 2к(р_сА) +е^г) (см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Соответствующий классический вектор скорости υ = {Нс,г} дается формулой ν=ρ- §А, и его компоненты ν = (г>1, г>2, г>з) имеют ненулевые скобки Пуассона: {vbv2} = V^3, {^2,^3} = %~въ {г>з,гл} = 1~β2, mzc mzc m'c где В = {В\,В2, В%) — компоненты магнитного поля В = curl А. Оператор Гамильтона квантовой частицы — это я=а(р-И2+е^(г) (2·24) — оператор Шрёдингера заряженной частицы в электромагнитном поле. Со- ответствующий квантовый вектор скорости V = {H,Q}n дается той же формулой, что и в классическом случае: и его компоненты V = (Vi, V2, V3) имеют ненулевые квантовые скобки: {VuV2}n = —^-B3, {V2,V3}n = —^-Bu {^3,Vib = —\B2. гаге vnrc m'c Таким образом, в присутствии магнитного поля три компоненты квантового оператора скорости больше не коммутируют, и одновременно измерить их нельзя.
146 Глава 2 Пример 2.4 (Свободная квантовая частица на римановом многообразии). Фазовое пространство классической частицы массы т = 1, движущейся на римановом многообразии (М,д), — это кокасатель- ное расслоение Т*М, и соответствующая функция Гамильтона дается фор- мулой Нс{р,х) = \д^{х)р^у, где д^{х) — тензор, обратный к метрическому тензору gμl/(x)9 а (р,ж) = (рь ...,рп,х\ ...,жп) — стандартные координаты на Т*М (см. раздел 1.1.7 главы 1). Гильбер- тово пространство квантовой системы — это Ж = Σ,2(Μ,αμ), где αμ = — y/g(&)dnx, g(x) = det(<7MI/(x)), — мера, ассоциированная с плотностью римановой метрики (римановой формы объема, если Μ ориентировано). Когда канонические координаты (р, х) определены на Т*М лишь локально, построить соответствующие операторы Ρ и Q невозможно. Тем не менее всегда можно определить оператор Гамильтона по формуле Я = £д„ где Δ, = --^^(ν^)^) (2.25) — оператор Лапласа-Бельтрами римановой метрики д на М. Заметим, что в этом случае имеется нетривиальная задача упорядочивания некоммутиру- ющих оператор в квантовании Нс(р, ж), возникающая, если в координатной окрестности на Μ заменить канонические координаты ρ и х оператора- ми Ρ и Q. Формула показывает, что локальные выражения НС(Р, Q) = \(дГ(Я)Р»Р* + iftiT (Q)r^(Q)P„) (2.26) склеиваются до корректно определенного самосопряженного оператора Η в Ж, даваемого формулой (2.25). Таким образом, когда Μ = Rn и кано- нические координаты (р, х) определены глобально на T*Rn, правильная формула для НС(Р, Q) — та, что продолжается на произвольные римановы многообразия, — дана в (2.26), где второй член представляет собой «кван- товую поправку» к наивному выражению gμu{Q)PμPv^
2.2. Квантование 147 2.2.5. Старая квантовая механика Представленная выше формулировка квантовой механики восходит к 1925- 1927-м годам и принадлежит Гейзенбергу, Шрёдингеру, Борну, Йор- дану и Дираку. Она заменила старую квантовую теорию, предложенную Бором в 1913-м году, базировавшуюся на планетарной модели атома Ре- зерфорда. В старой теории уровни энергии одномерной квантовой системы соответствуют замкнутым орбитам ассоциированной классической гамиль- тоновой системы, удовлетворяющим правилу квантования Бора -Вильсо- на - Зоммерфельда (правилу БВЗ): Φ pdq = 2n?i(n+ |), где η — неотрицательное целое число, и интегрирование ведется по замкну- той орбите в фазовом пространстве М2. Правила квантования Бора-Виль- сона-Зоммерфельда применяются и к вполне интегрируемым гамильтоно- вым системам с несколькими степенями свободы (см. раздел 1.2.6 главы 1). А именно: пусть Fi = Нс, ..., Fn — N независимых интегралов движения в инволюции. Правила квантования БВЗ — это pdq = 2пТг(п7 + j ind7), где интегрирование ведется по всем 1-циклам 7 в лагранжевом подмного- образии Λ = {(ρ, q) G R2N : Hc(p, q) = E, F2(p, q) = E2, ..., FN(p, q) = = En}, ind7 G Ζ — так называемый индекс Маслова цикла 7 в Λ. В одно- мерном случае замкнутая орбита — топологически круг, и ее индекс Мас- лова равен 2. В разделе 3.6.3 главы 3 будет показано, что, вообще говоря, правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда дают только асимп- тотику уровней энергии при Тг —> 0. Однако для интегрируемых систем с дополнительной симметрией, таких как гармонический осциллятор или задача Кеплера, правила квантования БВЗ определяют уровни энергии точ- но. Мы покажем это в следующем разделе для гармонического осциллятора и в разделе 3.5.1 главы 3 для задачи Кеплера. 2.2.6. Гармонический осциллятор Простейшая классическая система с одной степенью свободы, за ис- ключением свободной частицы, — это гармонический осциллятор. Он опи- сывается фазовым пространством R2 с каноническими координатами р, q J Λ/
148 Глава 2 и функцией Гамильтона (см. разделы 1.1.5 и 1.1.7 главы 1). Уравнения Гамильтона ρ = {НС1р} = -muj2q, q = {Яс, q} = — с начальными условиями ро> <7о легко решаются: p(t) = ро cos u;t — mujqo sin u;t, (2.28) tf (*) = Qo cos ujt + j^jjPo sin art, (2.29) и описывают гармоническое движение. Как и в разделе 1.2.6 главы 1, удоб- но ввести комплексные координаты на фазовом пространстве R2 ~ С, z = —L= (ως + гр), z = —1= (cjg - φ). (2.30) \/2ω \/2ω Имеем {г, z} = Jj, Яс(г, г) = mu;|z|2, (2-31) так что уравнения Гамильтона разделяются: i = {Яс, г} = —го;г, I = {Яс, г} = ги;г, и тривиально решаются: *(*) = e~iujtz0, z = eiujtz0. (2.32) Здесь *о = "т= (ω<7ο + ipo) i *o = -7= (ω<?ο - гро) · v2cj V2o; Для квантовой системы соответствующий оператор Гамильтона — это р2 ша;2д2 Я=2^ + ~~^~~'
2.2. Квантование 149 и в координатном представлении Ж — L2(R,dq) — это оператор Шрёдин- гера с квадратичным потенциалом, ff = Ь2 d2 . ™ш2д2 2т dq2 2 * Квантовый гармонический осциллятор — простейшая нетривиальная кван- товая система, за исключением свободной частицы, у которой явно реша- ется уравнение Шрёдингера. Он появляется во всех задачах, связанных с квантованными колебаниями, то есть в молекулярных и кристаллических вибрациях. Точное решение гармонического осциллятора, описываемое ни- же, обладает замечательными24 алгебраическими и аналитическими свой- ствами. На время положим т = 1 и рассмотрим операторы а = —L= (ujQ + iP), α* = —L= (ljQ - гР), (2.33) V2uh y2ub являющиеся квантовыми аналогами комплексных координат (2.30). Опера- торы α и а* определены на W1'2(R)nH?1'2(R), где И^'2(М) = J^(W1'2(R)), и легко показать, что а* — сопряженный оператор к α и а** = а, так что а — замкнутый оператор. Из коммутационных соотношений Гейзенберга (2.2) мы получаем каноническое коммутационное соотношение [а,а*}=1 (2.34) на VF2'2(R) Π W2>2(R). Действительно * P2+u2Q2 η P2+u2Q2 i aa = 2^Ь +2^[P'Q]= 2^Ь + 2h _ P2+u2Q2 _Juj_lpn]_ P2+u;2Q2 _ i aa~ 2ω% 2ω%1'41~ 2ω% 2Λ так что (2.34) выполняется на VF2'2(R) Π I?2'2(R), где t?2'2(R) = = J^(W2'2(R)),h Η = ω% (α*α + ± J) = а;П (αα* - | J) . В частности, из критерия фон Неймана следует, что оператор Гамильтона Η самосопряжен. 24Алгебраическая структура точного решения гармонического осциллятора играет фунда- ментальную роль в квантовой электродинамике и вообще в квантовой теории поля.
150 Глава 2 Операторы α, α* и Ν = α*α удовлетворяют коммутационным соотно- шениям [Ν, а) = -a, [TV, а*] = а*, [а, а*] = /. (2.35) Эти коммутационные соотношения соответствуют неприводимому унитар- ному представлению четрырехмерной разрешимой алгебры Ли i), ассоции- рованной с алгеброй Гейзенберга f) = f)i, введенной в разделе 2.2.1. А имен- но: \) — алгебра Ли с образующими е, /, ft, и с, где е, /, с удовлетворяют соотношениям алгебры Гейзенберга {) и [М = -/, [ft,/]=^2e, [ft,c]=0. Неприводимое интегрируемое представление ρ алгебры Гейзенберга {) (см. (2.9) в разделе 2.2.1) продолжается до унитарного представления алгеб- ры Ли fj, если положить Замечание. В инвариантных терминах алгебра Ли ^ — одномерное правое расширение алгебры Гейзенберга {), 0->f>->fj-*R-*0. Оно определяется 1)-значным 1-коциклом г Ε Zl(\), f)) на алгебре Ли — диф- ференциальным оператором на {), задаваемым на образующих формулой r(e)=/, r(/) = -u;2e, r(c) = 0. Конкретно, если ft Ε f) таково, что ft = 1 Ε R при проекции i) —► R, то, отождествляя элементы \) с их образами при вложении f) °-> I), имеем [ж + aft, 2/ + /3ft] = [ж, 2/] - аг(у) + /3r(j/), ж, у Ε f). Как раз благодаря этой Ли-алгебраической структуре коммутационных соотношений (2.35), уравнения движения Гейзенберга для гармонического осциллятора точно решаются. А именно: мы имеем а = {Н,а}п = —iua, а* = {Н,а*}% — iua*, так что a(t) = e-lujta0, a*(t) = elujta*. Сравнивая с (2.32), видим, что решения классических и квантовых уравне- ний движения гармонического осциллятора имеют один и тот же вид!
2.2. Квантование 151 Далее, используя коммутационные соотношения (2.35) и положитель- ность оператора Ν, мы решим задачу на собственные значения гамильто- ниана Η гармонического осциллятора, в явном виде определив его уровни энергии и соответствующие собственные вектора. Мы докажем, что соб- ственные вектора образуют полную систему векторов в Ж, так что спектр гамильтониана Η является точечным. Это квантово-механический аналог того факта, что классическое движение гармонического осциллятора всегда финитно. Алгебраическая часть точного решения состоит из следующего фунда- ментального результата. Предложение 2.2. Допустим, что существует ненулевое ψ € D(an)C\ Π D((a*)n), n = 1,2, ..., такое, что Щ = Хф. Тогда выполняются следующие утверждения. (Г) Существует ψο € Ж, \\ψο\\ = 1, такое, что Ηψο = ^Ττωψο. (if) Векторы (α*)η Ψη = ^-^Φο еЯГ, η = 0,1,2, ..., νη! — ортонормальные собственные векторы Η с собственными значени- ями 7τω(η+ ^), Ηψη = 1τω(η + %)Ψη· (Ш) Ограничение оператора Η на гильбертово пространство Ж§ — замкнутое подпространство Ж, натянутое на ортонормальное мно- жество {^n}^=o ~~ самосопряжено в существенном. Доказательство. Переписывая коммутационные соотношения (2.35) как Na = a(N-I) и Να* = α* (Ν + I) и положив А = 7τω(μ + ~), получаем для всех η > 0 Ναη<ψ =(μ- η)αηψ и Ν(α*)ηψ = {μ + η)(α*)ηψ. (2.36)
152 Глава 2 Поскольку N ^ 0 на D(N), из первого уравнения в (2.36) следует, что существует щ ^ 0, такое, что αη°ψ φ О, но αηο+1ψ = 0. Поло- an°ib жив ψο = G Ж9 получаем \\а η°ψ\\ αψ0=0 и Νψ0 = 0. (2.37) Поскольку Η = Tiu>(N + |/), это доказывает часть (i). Для доказательства части (ii) воспользуемся коммутационными соотношениями [α,(α*)η]=η(α*)η-\ (2.38) которые следуют из (2.34) и правила Лейбница. Используя (2.37)-(2.38), получаем α*Ψη = Vn+ Ιψη+u αΨη = у/пфп-ъ (2.39) так что H^nll2 = -τ=(α*ψη-1,φη) = ? = -1=(Ψη-1,αψη) = ||^n-i||2 = ... = ||^)||2 = 1. Из второго уравнения в (2.36) следует, что Νψη = ηψη9 поэтому ψη — нормализованные собственные векторы Η с собственными значениями Τυω{η+\). Собственные векторы ψη ортогональны, поскольку соответству- ющие собственные значения различны, а оператор Η симметрический. На- конец, часть (Ш) мгновенно следует из того факта, что, согласно части (ii), подпространства Im (Η ± U)\^Q плотны в Ж§9 что является критерием са- мосопряженности в существенном. Замечание. Поскольку координатное представление коммутацион- ных соотношений Гейзенберга неприводимо, заманчиво заключить, исполь- зуя предложение 2.2, что Ж§ = Ж. А именно: из построения следует, что линейная оболочка векторов ψη — плотное подпространство в Ж§ — инва- риантна относительно операторов Ρ и Q. Однако из этого не следует сразу, что оператор П0 проекции на подпространство Ж0 коммутирует с самосо- пряженными операторами Ρ и Q в смысле определения в разделе 2.1.1. Используя координатное представление, можно мгновенно показать существование вектора ^о в предложении 2.2 и доказать, что Ж§ = Ж.
2.2. Квантование 153 Действительно, уравнение αψο = О превращается в линейное дифференци- альное уравнение первого порядка: так что и оо — СХ) Вектор ^о называется основным состоянием гармонического осциллятора. Соответственно, собственные функции *·ω-^(^(--*5))"*' имеют вид Pn(q)e 2h , где Pn(#) — многочлены степени п. Следующий результат показывает, что функции {^n}^Lo образуют ортонормальный ба- зис в L2(R,dq). Лемма 2.3. Функции qne~q , η = 0,1,2, ..., полны в L2(R, dq). Доказательство. Пусть / Ε L2(R, d</) таково, что оо J f(q)qne-o2dq = 0, η = 0,1,2, .... —оо Интеграл оо ВД = / f(q)eigz-q2dq — ОО абсолютно сходится для всех z E С и поэтому определяет целую функцию.
154 Глава 2 Имеем σο F<n>(0)=in J f(q)qne-o2dq = 0, n = 0,1,2,..., — OO так что F(z) = 0 для всех г Ε С. Из этого следует, что функция g(q) = = f(<l)e~q2 Ξ L^R) П L2(M) удовлетворяет условию ^(#) = 0, где & — «обычное» (k = 1) преобразование Фурье. Таким образом, мы заключаем, что д = 0. Многочлены Рп выражаются через классические многочлены Эрмита-Чебышева Нп, определяемые формулой Яп(«) = (-1)пе«а^е-«2, п = 0,1,2,.... А именно: используя тождество 92 dqn V dq) Γ ~2 9 e2 dn- dgn -1 -1 e" η V получаем -(^Н^ ™ yjlnn\ VV ft Подытожим полученные результаты следующим образом. Теорема 2.1. Гамильтониан 2mdq2^ 2 квантового гармонического осциллятора с одной степенью свободы явля- ется самосопряженным оператором в Ж = L2(M, dq) с областью опреде- ления D(H) = W2,2(R) Π W2,2(M). Оператор Н имеет чисто точечный спектр Ηψη = ληψη, η = 0,1,2, ..., с собственными значениями λη = Ьи(п-\-^). Соответствующие собствен- ные функции ψη образуют ортонормальный базис Ж и даются формулами ^-Й^*"*'"-^')· <2·40» где Нп (q) — классические многочлены Эрмита - Чебышева.
2.2. Квантование 155 Доказательство. Рассмотрим оператор Я, определенный в пространстве Шварца У (Ж) быстро убывающих функций. Поскольку оператор Η симметрический и имеет полную систему собственных векторов в <У(М), подпростран- ство 1т(Н ± И) плотно в Ж\ так что Η самосопряжен в существенном. Доказательство того, что его самосопряженное замыкание (которое мы по- прежнему будем обозначать как Н) имеет областью определения простран- ство W2>2(M) Π W2,2(M), остается читателю. Замечание. Уровни энергии гармонического осциллятора можно также получить из правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда. Действительно, соответствующая классическая орбита с энергией Ε — эл- липс в фазовой плоскости, задаваемый уравнениями q{t) = Acos(ut + α), p(t) = — mLjAsm(ujt + α), где Ε = ^τηω2Α2 (см. раздел 1.1.5 главы 1). Таким образом, Φ pdq = dpAdq = πτηωΑ2 = Щ-Е, и по правилу квантования БВЗ получаются уровни энергии Εη=1τω(μ+ -). Замечание. Поскольку уровни энергии Гамильтона Η эквидистант- ны с интервалом Tiu, квантовый гармонический осциллятор описывает си- стему одинаковых «квантов» с энергией %ω. Основное состояние |0) = ψο в дираковских обозначениях — это вакуумное состояние, когда никаких квантов нет и вакуумная энергия равна ^%ω, а состояния \п) = ψη состоят из η квантов с энергией %ω(η + ^). Согласно (2.39) оператор а* добавляет состоянию \п) один квант, и он называется оператором рождения, а опе- ратор а уничтожает в состоянии \п) один квант и называется оператором уничтожения. Пример гармонического осциллятора — иллюстрация того, насколько отличается движение в квантовой механике от движения в классической механике. Классическое движение в потенциальном поле V(q) = -mu2q2 / орт финитно: частица с энергией Ε движется в области \uq\ ^ у —, тогда как для квантовой частицы всегда есть ненулевая вероятность обнаружиться за пределами классической области. Так, для энергии Ε = -%ω основного состояния эта вероятность равна / \Ыя)\2^Я = -7= / e~x2(ix - 0,1572992070. \я\>\ —
156 Глава 2 Классический гармонический осциллятор с η степенями свободы опи- сывается фазовым пространством R2n с каноническими координатами р, q и функцией Гамильтона 3=1 где a;i, ... ,ωη > О (см. разделы 1.1.3 и 1.1.7 главы 1). Соответствующий оператор Гамильтона есть — в координатном представлении Ж — L2(Rn, dnq) это оператор Шрёдин- гера с квадратичным потенциалом, Гамильтониан Η — самосопряженный оператор с D(H) = VF2'2(Rn) Π Π W2'2(Rn) с чисто точечным спектром. Соответствующие собственные функции ФкЫ) = ^kl(qi)...^kn(qn), где fc = (fci, ..., fcn) и rfrkj (Qj) — это собственные функции (2.40) с ω = Uj, образуют ортонормальный базис в L2(Rn,dnq). Соответствующие уровни энергии даются формулами Afe = Тшл(кг + \) + ... + bwn{kn + \). Спектр Η является простым, если и только если Ьи\, ..., Тилп линейно независимы над Ζ. Самый вырожденный случай — ω\ = ... = ωη = ω, тогда кратность собственного значения η A* = ftu; £)(*,■+ §) 3=1 — это статистическая суммарп(|&|)» т.е. число представлений целого чис- ла |fc| = к\ + ... + кп в виде суммы η неотрицательных целых чисел.
2.2. Квантование 157 Положив т = 1 и вводя операторы25 j = l, ...,n, (2.41) получаем канонические коммутационные соотношения операторов рожде- ния и уничтожения для η степеней свободы: [aj,cn] = 0, [aj,ai] = О, [clj,aj] = fy J, j,/ = 1, ...,η, (2.42) обобщающие соотношение (2.34) для одной степени свободы. Операто- ры aj,a,j и Nj = a*ja,j, j = 1, ...,n, удовлетворяют коммутационным соотношениям [Nj,at] = -£,№, [Λ/j, α*] = <W, j, i = 1, ..., η. (2.43) В частности, оператор η η удовлетворяет соотношениям [Ν, aj] = -α,, [iV, α*] = a*, j = 1, ...,n, Коммутационные соотношения (2.42) и (2.43) соответствуют неприво- димому унитарному представлению разрешимой алгебры Ли \}п с Зп + 1 образующими еj, /j, ftj и с, где еj, /j, с удовлетворяют соотношениям ал- гебры Гейзенберга f)n, и [ftj, е/] = -Sjifu [hj,fi] = iji^?ez, [ftj, с] = О, j, i = 1, ..., п. Задача 2.9. Покажите, что (Н\М) > \%ω для любого Μ е У, где if — гамильтониан гармонического осциллятора с одной степенью свободы. 5Здесь мы, используя стандартную евклидову метрику на Rn, опустили индексы у QK
158 Глава 2 Задача 2.10. Пусть q(t) = Acos(ujt + а) — классическая траектория гармонического осциллятора с т = 1 и энергией Ε = ^ω2Α2, и пусть μα — вероятностная мера на R, сконцентрированная в точке q(t). Покажите, что выпуклая линейная комбинация мер μα, 0 ^ а ^ 2π, является вероятност- ям2 - а2) ной мерой на R с функцией распределения μ(ς) = — , где 6(q) — π у/А2 - q2 функция Хевисайда. Задача 2.11. Покажите, что когда η —► оо и Ь —► 0, так что остается постоянным, огибающая фикции рас- пределения \фп(я)\2 на интервале \q\ ^ А совпадает с классической функ- цией распределения μ^) из предыдущей задачи. (Указание: докажите, что существует интегральное представление оо e-q2Hn(q) = ^ [e-y2yncos(2qy - \mt)dy, V71" ^ о и выведите асимптотическую формулу **<*> = ^у^С08{й(л28Ь_1 ^+iv^^?-|^)+o(i)} при П -> 0 и ft(n + i) = \ωΑ2, \q\ < Α.) Задача 2.12. Завершите доказательство теоремы 2.1. Задача 2.13 (Теорема об ΛΓ-представлении). Пусть φ е У (Ж). ОО Покажите, что сходящееся в L2 разложение φ = Σ спФп, где сп = (ф,фп), 71=0 сходится в ^(R). (Указание: воспользуйтесь тем, что Νφη = пфп.) Задача 2.14. Покажите, что операторы Е^ = a*dj, i,j = 1, ... ,n, удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли sl(n, С). 2.2.7. Голоморфное представление и виковские символы Рассмотрим гильбертово пространство оо р = }с={Сп}%±0: ||cf = ^ |с„|2 < оо 71=0
2.2. Квантование 159 последовательностей с суммируемым квадратом. Выбором ортонормально- го базиса {^n}£L0 B L2(R, dq)9 состоящего из собственных функций (2.40) оператора Шрёдингера гармонического осциллятора, устанавливается изо- морфизм гильбертовых пространств L2(M, dq) ~ £29 оо п=0 где — оо поскольку функции ψη вещественнозначны. Используя (2.39), получаем оо оо оо п=0 п=0 п=1 а^ = Σ С™а^™ = Σ V™cni>n-i = ^ >/nTTcn+i^n, ^ ^ D(a), п=0 п=1 п=0 так что в пространстве £2 операторы рождения и уничтожения а* и α пред- ставлены следующими полубесконечными матрицами: /0 у/1 0 0 ...\ 0 0 V2 0 0 0 0 V^3 0 0 0 0 \; ; ; ; /00 00 VI о о о 0 >/2 0 0 о о >/з о \; : ; ; В результате N = a*a = /оооо ...\ 0 10 0 0 0 2 0 0 0 0 3 V так что гамильтониан гармонического осциллятора представлен диагональ- ной матрицей Я = %ω(Ν + i) = diag{iftw, §Λω, f Йо;, ... }.
160 Глава 2 Это представление коммутационных соотношений Гейзенберга назы- вается представлением чисел заполнения и обладает тем свойством, что в нем гамильтониан Η гармонического осциллятора диагоналей. Другое представление, в котором Η диагоналей, строится так. Пусть Θ — пространство целых функций f(z) со скалярным произведением (/,5) =4 J' f{*)W)e-^d2z, (2.44) С где d2z = T^dz Λ dz — мера Лебега на С ^ М2. Легко проверить, что $ — гильбертово пространство с ортонормальным базисом fn(z) = ^— n = 0,l,2,.... Vn! Соответствие е Э с = {с„}-=0 ~ f(z) = £>/„(*) е 9 п=0 02 — изоморфизм гильбертовых пространств £2 ~ @. Реализация гильберто- ва пространства Ж в виде гильбертова пространства & целых фикций называется голоморфным представлением. В голоморфном представлении a* = z, «=£, и Я=Ц^ + |), и очень легко показать, что а* — оператор, сопряженный к а. Отображением оо со Ж Э φ = Σ °ηΨη ь-+ /(^) = ^ «"/«W € ^ п=0 п=0 устанавливается изоморфизм между координатным и голоморфным пред- ставлениями. Из формулы для производящей функции многочленов Эрми- та-Чебышева, со 71=0 следует, что соответствующий унитарный оператор U : Ж —► Sf — это интегральный оператор со Щ(г)= J U(z,q)rP(q)dq — со oq то; 2 / Ιτηω Ι \ [/(,,„) = £>(«)/»(*) = (/^е 2" ' "^ * "^" · (2-45) Т7.=П V с ядром
2.2. Квантование 161 Другая полезная реализация — представление в гильбертовом про- странстве 0) антиголоморфных функций f(z) на С со скалярным произ- ведением г {f,9) = hj f(z)g(z)e-W d2z, с задаваемое формулами аг Замечание. Голоморфное и антиголоморфное представления соот- ветствуют разным выборам комплексной поляризации симплектического многообразия R2. По определению комплексная поляризация симплекти- ческого многообразия (./#, ω) — это интегрируемое распределение на Ж комплексных лагранжевых подпространств комплексифицированных век- торных пространств ТХЖ ®rC. Как и понятие вещественной поляризации, понятие комплексной поляризации играет фундаментальную роль в геомет- рическом квантовании. В частности, голоморфное представление соответ- ствует комплексному лагранжеву подпространству в ТХШ2 ®r С ~ С2, за- данному уравнением z = О, где z и z — комплексные координаты на С2. (Заметим, что здесь z не является комплексно сопряженным kz!) Уравне- ние z = О определяет комплексное лагранжево подпространство, соответ- ствующее антиголоморфному представлению. Антиголоморфное представление используется для введения так на- зываемых виковских символов операторов. А именно: пусть А — оператор в Ф, являющийся многочленом с постоянными коэффициентами в опера- торах рождения и уничтожения а* и а. Используя коммутационное соотно- шение (2.34), можно перетащить все операторы а* налево от операторов а и представить А в виковской нормальной форме следующим образом: A = Y^Alm{a*)lam. (2.46) 1,771 По определению виковский символ A(z,z) оператора А — это A{z,z) = J2AimZlzm. (2.47) 1,771 Это ограничение многочлена A(v, z) в переменных ν к z uav = z. Чтобы определить виковские символы ограниченных операторов в Ф, рассмотрим семейство когерентных состояний (или векторов Пуассона)
162 Глава 2 Φν £ @, ν £ С, определенных формулой <bv(z)=evS, zeC. Они удовлетворяют свойствам αΦν = νΦν и f(v) = (/, Ф„), /gI,vGC. (2.48) Действительно, первое свойство тривиально, тогда как «воспроизводящее свойство» мгновенно следует из формулы оо где /п(г) = fn(z), η = 0,1,2, ..., — ортонормальный базис Ф. Имеем также (/,<?) = \Ju,bv)T^)e-^2d2v. (2.50) с Дальше, для оператора А в виковской нормальной форме (2.46) получаем, используя первое свойство в (2.48), (ЛФ„Ф*) = ^А1т((а*)1атФг,Ф^) = ΣΑ1π1{α™ΦΖ,α1Φν) = l,m l,m = Α(υ,Ζ)(ΦΖ,Φν). Поэтому так как из воспроизводящего свойства следует, что (Ф2, Φ ν) = ΦΖ(ν) = evz. Определение. Виковский символ A(z, z) ограниченного оператора А в гильбертовом пространстве @ является ограничением на подпростран- ство ν = z целой функции A(v, z) в переменных ν и z9 определенной фор- мулой Α(ν,Ζ) = β-υ*(ΑΦΛ,Φν). В следующей теореме мы перечислим основные свойства виковских символов.
2.2. Квантование 163 Теорема 2.2. Виковские символы ограниченных операторов в $) обла- дают следующими свойствами. (г) Если A(z,z) — виковский символ оператора А, то для виковского сим- вола оператора А* имеем A*(z, z) — A(z, z) и (ii) Для f G Φ (Af)(z) = I J A{z,v)f{v)e-^-^d2v. с (Hi) Вещественно-аналитическая функция A(z, z) является виковским сим- волом ограниченного оператора А в Ф, если и только если она есть ограничение на подпространство ν — z целой функции A(v, z) в пе- ременных υ и z со свойством, что для любого f Ε Φ интеграл в ча- сти (ii) абсолютно сходится и определяет функцию в $). (iv) Если Ai(z, z) и A2(z, z) — виковские символы операторов А\ и А2, то виковский символ оператора А — А\А2 задается формулой A(z,z) = I J A1(z,v)A2(v,z)e^v-z^-^d2v. с Доказательство. Имеем A*(v,z) = β-υΧ{Α*ΦΖ,Φ„) = е-уг(Фг,АФг) = β~νΖ{ΑΦ^ΦΖ) = A(z,v), что доказывает (i). Для доказательства (ii) воспользуемся воспроизводящим свойством и получим (Af)(z) = (Л/,Фг) = (/,Α*ΦΖ) = ^jf(v)(A^z)(v)e-M2d2v. с Еще раз используя воспроизводящее свойство, получаем (Α*ΦΖ)(υ) = (Α*ΦΖ, Φυ) = Α*(ν, Ζ)(ΦΖ, Φυ) = e»*A(z,v),
164 Глава 2 что доказывает (ii). Свойство (iii) следует из определения и принципа равномерной ограниченности, который нужен, чтобы показать, что опе- ратор А в ^, определенный интегралом в (ii), ограничен. Рутинные по- дробности остаются читателю. Чтобы доказать (iv), используя (2.50) и (i), мы получаем A(z,z) = е-^2(АгА2Ф^Ф2) = е~^2(А2Фг, Α\ΦΖ) = =± у (а2ф„ Ф,)(^Ф2,Ф.)е-(н2+|^2)^ = с = i У" Ai(z, ν)Α2(ν, *)e-(*-^-^V с Замечание. Свойства (i) и (iv) остаются верными для многочленов от а* и а — операторов вида (2.46). Матричный символ A(z, z) ограниченного оператора А в гильберто- вом пространстве Sf — это ограничение на подпространство ν — z целой функции A(v, z) в переменных ν и г, определенной следующим абсолютно сходящимся рядом: оо A(v,z)= Σ (AfmJn)fn(v)fm(z). (2.51) га,n=0 Матричный и виковский символы связаны следующим образом. Лемма 2.4. Для ограниченного оператора А в гильбертовом про- странстве 3> A(v,z) = evzA(v,z). Доказательство. Используя (2.49), получаем оо „ Α(υ,Ζ) = ± Σ fnWm(z) (Afm)(u)fn(u)e-M2d2u = га,n=0 £ = 11(АФг)(й)Щй)е-М2с12и = (ΑΦ„ Φ,-) = βνΜ(«, z). с Перестановка суммирования и интегрирования корректна в виду абсолют- ной сходимости.
2.2. Квантование 165 Следствие 2.3. Если Ai(z,z) и A<i(z,z) — матричные символы опе- раторов А\ и А2, то матричный символ оператора А = А\А2 дается формулой с Доказательство. Доказательство мгновенно следует из части (iv) теоремы 2.2 и лем- мы 2.4. Эти построения, очевидно, обобщаются на случай η степеней свободы. Гильбертово пространство 3)п, определяющее голоморфное представление, это пространство целых функций f(z) от η комплексных переменных z = = (zi, ..., zn) со скалярным произведением (/,5) = ±Jf(z)J(z)e-W2d2nz < оо, £п где \z\2 = z\ + · · · + z\ и d2nz = d2zi · · · d2zn - мера Лебега на Сп ~ Ш2п. Функции zmi ... znin frn(z) = , n==, mi, . ..,mn = 0,1,2, ..., Vmi!...mn! где га = (mi, ..., mn) — мультииндекс, образуют ортонормальный базис в Sfn. Соответствующие операторы рождения и уничтожения даются фор- мулами д , Гильбертово пространство Фп антиголоморфных функций f(z) на Сп опре- деляется скалярным произведением (/. 9) = ^ / /(^)^(i)e-l2l2rf2"z < оо, (2.52) Сп и операторы рождения и уничтожения даются формулами
166 Глава 2 Когерентные состояния — это Φυ(Ζ) = evz9 где vz = v\Zi Η \-vnzn, они удовлетворяют воспроизводящему свойству Я«) = (/,Ф„), fe®n, veCn. Виковский символ A(z,z) ограниченного оператора А в Фп определяется как ограничение на подпространство ν = z целой функции A(v, z) от 2n переменных ν = (vi, ..., vn) и z = (zi, ..., zn), заданной формулой Λ(«,Ζ)=β-Μ№>Φ,). Имеем (Af)(z) = ±JA(z,v)f(v)e-"^d2nv, f e 9n, С" и виковский символ A(z, z) оператора А = Ai A2 дается формулой A(z,z) = ± fA1(z,v)A2(v,z)e-^-z^-^d2nv, где Ai(z, z) и ^(z, z) — виковские символы операторов А\ и Лг. Матричный символ A(z,z) ограниченного оператора А в Фп опреде- ляется как ограничение на подпространство ν = z целой функции A(v, z) от 2п переменных г? = (vi, ..., vn) и z = (zi, ..., zn)9 заданной абсолютно сходящимся рядом оо A(v,z)= Σ (Afk,fm)fm(v)Mz), fc,m=0 где к = (fci, ..., fen), m = (гаь ..., mn) — мультииндексы и /m(z) = = fm(z). Матричный и виковский символы ограниченного оператора А связаны формулой A(v,z)=ev*A(v,z). Замечание. Антиголоморфное представление очень полезно в кван- товой механике и особенно в квантовой теории поля, в которой оно называ- ется голоморфным представлением (относительно переменных z). Слегка злоупотребляя терминологией, в части 2 мы тоже будем называть его голо- морфным представлением.
2.3. Соотношения Вейля 167 Задача 2.15. Найдите явную формулу для унитарного оператора, осуществляющего изоморфизм гильбертовых пространств ^n~L2(Mn, dnq). Задача 2.16. Докажите, что для ограниченного оператора А функ- ции A(г>, z) к A(v,z) являются целыми функциями от 2п переменных. Задача 2.17. Пусть А — оператор в Фп со следом и A(z,z) — его виковский символ. Докажите, что ТЫ=^ (A(z,z)e-W2d2nz. сп Задача 2.18. Покажите, что виковский символ A(z,z) произведе- ния А = А\... А\ дается формулой A(z,z) = /I Ai(z, zi-i)... Ai(zu z) exp j]PZk{zk-i - zk)jd2z1... d2zi-U где zq — z\ = z, z\ — z и Ak(z, z) — виковские символы операторов Л&. 2.3. Соотношения Вейля Пусть R — неприводимое унитарное представление группы Гейзен- берга Нп в гильбертовом пространстве Ж. Из леммы Шура следует, что R(eac) = егПа1 для некоторого Ь е R, где / — тождественный оператор в Ж. Если ft = 0, η-параметрические абелевы группы унитарных операто- ров U(и) = R(euX) nV(v) = R(evY) коммутируют, так что, еще раз вос- пользовавшись леммой Шура, заключаем, что существуют р, q E Rn, такие, что U(u) = е~гир1 и V(v) = e~lvqI. Потому в этом случае неприводимое представление R одномерно и параметризуется вектором (р, q) Ε Μ2η. Ко- гда Ь φ 0, унитарные операторы U(u) nV(v) удовлетворяют соотношени- ям Вейля U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u), (3.1) допускающим представление Шрёдингера, введенное в разделе 2.2.2. Ока- зывается, что любое неприводимое представление группы Гейзенберга Нп унитарно эквивалентно либо одномерному представлению с параметра- ми (р, q) Ε М2п, либо представлению Шрёдингера для какого-то Ь φ 0. Физически осмысленный случай соответствует значению Ь > 0, и пред- ставление с —Ь дается операторами U~l(u) = U(—u) и V(v).
168 Глава 2 2.3.1. Теорема Стоуна-фон Неймана Здесь мы доказываем следующий фундаментальный результат. Теорема 3.1 (теорема Стоуна-фон Неймана). Любое неприводимое унитарное представление соотношений Вейля для η степеней свободы, U(u)V(v) = eihuvV(v)U(u), унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера. Доказательство. Достаточно рассмотреть случай η = 1 — общий случай η > 1 описы- вается аналогично. Положим iTiuv S(u,v) = e~~ U(u)V(v). Унитарный оператор S(u,v) удовлетворяет свойству S(u,v)* = S(-u,-v), (3.2) и из соотношения Вейля следует, что — ( - \ S(uuv1)S(u2,v2) = е 2 {U1V2 U2Vl)S(u1+u2,vl+v2). (3.3) Определим линейное отображение W : Ll(R2) —► af(Jif), называемое пре- образованием Вейля, по формуле W(f) = ±Jf(u,v)S(u,v)dudv. R2 Здесь интеграл понимается в слабом смысле: для любого ψΙ,ψ2 Ε Jif (WWufo) = ^ J f(u,v){S{u,v)^2)dvdv. R2
2.3. Соотношения Вейля 169 Интеграл абсолютно сходится для всех фх, ψ2 Ε Ж и определяет ограни- ченный оператор W(f), удовлетворяющий условию linfllK^II/llLi. Преобразование Вейля обладает следующими свойствами. wti. Для/еь1^2) w(f)* = w{f*)> где f*(u,v) = f(-u,-v). WT2. Для f EL1 (Μ2) S(u1,v1)W(f)S(u2,v2) = W(f), где /(г*, ν) = е 2 /(гх - щ - U2, ν - ν\ - v2). WT3. KerW = WT4. Для/1,/2 где {0}. €L] (/l*ft/2)Kv): l(K2) ^(/l)W(/2) : 1 f \{uv'-u' R2 = W(h /i(u- *λ/2), - u',v - Первые два свойства следуют из определения и уравнений (3.2) и (3.3). Чтобы доказать WT3, предположим, что W(f) = 0. Тогда для лю- бых фх, ψ2 Ε Ж и всех i/, v'eM имеем 0 = (W(f)S(u',v')1pl,S(u',v')rp2) = = ± Jeih^'-u'^f(u,v)(S(u,v)^,xp2)dudv. R2 Поэтому f(u, v)(S(u, v)ipi,ip2) = 0 п. в. на R2, так что / = 0.
170 Глава 2 Для доказательства WT4 вычислим {W{h)W{f2)il>u*2) = (W(f2)il>uW(f1)*jh) = 2^ / f2(u2,v2){S(u2,v2)^i,W(f1yilj2)du2dv2 2π R2 2^ / f2(u2,v2)(W(fi)S(u2,v2)ipi^2)du2dv2 R2 JT-^o I I /l(Wl -^2,^1 -V2)f2(u2,V2) X R2 R2 x e 2 * 2 (S(ui,vi)^i,^2)duidvidu2dv2 — = 2^ /(/i *ft f2){u,v)(S(u,v)ip1,ip2)dudv. R2 Мы имеем Д *^ /2 Ε L^R2), и из ассоциативности произведения операто- ров и свойства WT3 следует, что линейное отображение *п '. L\R2) х L\R2) ^ L\R2) определяет новое ассоциативное произведение на L1(R2), /1 *ь {f2 *h /з) = (/1 *h /2) *ь /з Для любых /ь /2, /з € L^R2). Когда ft = 0, произведение *^ превращается в обычную свертку функ- ций в L^R2). Для любого ненулевого φ G Ж обозначим через Жф замкну- тое подпространство в Ж, натянутое на векторы S(u,v)ip для всевоз- можных и, ν Ε R. Подпространство Жф инвариантно для всех операто- ров U(u) и V(v). Поскольку представление соотношения Вейля неприво- димо, Ж^ = Ж. Существует вектор ψο Ε Ж, для которого можно явно вычислить все скалярные произведения с векторами S(u,v)ifjo, порождающими Жф0. А именно: пусть fo(u,v) = Пе 4 и положим W0 = W{f0).
2.3. Соотношения Вейля 171 Тогда W0* = Wo и W0S(u,v)W0 = e 4( + }W0. В частности, Wq = Wo, так что Wo — ортогональная проекция. Действи- тельно, используя WT4, получаем W0S(u,v)Wo = W(fo*hfo), где гТг , , , ч /o(u', t)')=e2 /о(« - «У - υ). «Дополнив квадрат», получим (/о *п /„)(«',«') = Ье~ * " т" т" т" '/(«', t/), * / 2 , 2, /2i / 2\ где /(ц'У) = A fe-%{(u''-u-u>+iv+ivrHv"-v-v'-iu-iur}dul,dv^ Сдвигая контуры интегрирования на 1т и" — —ν — ν', Imt/; = и + и1 и подставляя ξ = и" — и — и' + iv + г?/, η = ν" — ν — ν' — ги — ги\ получаем /(г*',г/) = Α [β-*(ξ2+η2)αξαη = 1. R2 Теперь пусть J^o = ImWo — ненулевое замкнутое подпространство ^ по свойству WT3. Для любых ^ъ V^ € <j#o имеем Wo ^i = ^i>Wo ^2 = ^и (5(ixi,vi)^i,5(iX2,v2)^2) = (5(1X1, vi)W0^i, 5(^2,^2)^0^2) = = (Wb5(-ti2,-^)5(iii,T;i)Wb^i,^2) = = e2 Ul^2 U2Vl (w0S(Ml -u2,vi -v2)W0^i,^2) = -5-(uif2-tt2Vl)-T{(^l-U2)2+(vi-f2)2}/ . , ν = e2 4 уфиЩ)-
172 Глава 2 Это означает, что подпространство Ж§ одномерно. Действительно, для лю- бых -01, -02 £ ^о> таких, что (-01, Ψ2) = 0, соответствующие подпро- странства Жфх и Жфъ ортогональны. Поскольку Жф = Ж для любого ненулевого ψ, по крайней мере один из векторов ψ\,ψ2 нулевой. Пусть Жо = Сфо, \\ψο\\ = 1, и положим ψα,β = 8(α,β)ψο, α,β еЖ. Замыкание линейной оболочки векторов ψαβ для всевозможных α, β Ε R есть Ж. Имеем /, , ч ' f (^-/37)-f{(a-7)2+(^-5)2} Дальше, рассмотрим представление Шрёдингера соотношения Вейля BL2(R,dq): (\J(u)(p)(q) = (p(q-b,u), '(y(v)<p)(Q)=e-ivq<p(q), ih (S(w, v)(p)(q) =e2UV ™Q(p(q - Пи). Для соответствующего оператора Wo имеем (WoV>)(«) = 1[е^(Л"2)е^-^(д _ hu)dudv = 00 ^ j e-b^-h2\{q_hu)db —00 00 V Tin J так что W0 — проекция на одномерное подпространство L2(R, dq), натяну- -—я2 тое на гауссову экспоненту (fo(q) — ~у^е 2П ·> \\ψο\\ = 1· Пусть у?а>/9 = S(a,/?)<p0.
2.3. Соотношения Вейля 173 Поскольку представление Шрёдингера неприводимо, замкнутое подпро- странство, порожденное функциями φαβ для всех α, β Ε Μ, это все гиль- бертово пространство L2(M, dq). (Это также следует из полноты функ- ций Эрмита-Чебышева, поскольку φα,β{(1) = -у= * е 2 2,i .) Имеем . ^(a5-/37)-T{(a-7)2 + (/J-*)2} {φα,β,φΙ,δ) = е2 4 и с/ \ -=-(u/3-va) Ъ[и, ν)φα,β = е Ζ φα+η,β+ν. Для ψ=Σ Схфоц^г £ ^ определим г=1 «Г(^) = £^а<|/3< GL2(R,dg). г=1 Поскольку скалярные произведения векторов фаф совпадают со скалярны- ми произведениями векторов φα,β, имеем \\ПФ)\\Ь = Н\\Ъ, так что *$/ — корректно определенный унитарный оператор, действую- щий между подпространствами, натянутыми на {ψα,β}α,β£№ и {φα,β}α,ββ^ Таким образом, <$/ продолжается до унитарного оператора Щ \ Ж —► ^L2(R,dq)n WS{a, β) = S(a, β)<% для всех α, β е R. Лемма 2.1 в разделе 2.2.1 становится простым следствием из теоремы Стоуна-фон Неймана. Следствие 3.2. Самосопряженные образующие Р=(Р\, ... ,Рп) и Q=(Q\ ..., Qn) η-параметрических абелевых групп унитарных опера- торов U(и) и V{v) удовлетворяют коммутационным соотношениям Гей- зенберга. Доказательство. Из теоремы Стоуна следует, что в представлении Шрёдингера образу- ющие Ρ и Q — это операторы импульсов и координат.
174 Глава 2 Замечание. Для η степеней свободы ih ih S(u,v) = е" 2 uvU(u)V(v) = е" 2 nV*nPe-*vQ, и, формально используя формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, мы по- лучаем S{u,v) = e-^uP+vQ\ (3.4) Таким образом, преобразование Вейля W(f) = -φψ j f(u,v)e-i^p+^dnudnv можно рассматривать как некоммутативное преобразование Фурье — опе- раторнозначное обобщение «обычного» преобразования Фурье f(p,q) = -φψ J /(и,ь)е-^+^аписГь. R2n Замечание. Теорема Стоуна-фон Неймана — очень сильный резуль- тат. В частности, из нее следует, что операторы рождения и уничтожения для η степеней свободы где Ρ и Q — соответствующие образующие26, удовлетворяющие коммута- ционным соотношениям Гейзенберга, унитарно эквивалентны соответству- ющим операторам в представлении Шрёдингера. Значит, всегда существу- ет основное состояние — вектор ψο £ Ji?9 обнуляемый операторами а = = (ai, ... ,an). Соответствующее утверждение уже не будет верным для квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых квантовой теорией поля, в которой существование основного состояния («физического вакуума») приходится постулировать. 263десь удобно опустить индексы с помощью евклидовой метрики на Rn и использо- вать Q = (Qi, ...,Qn).
2.3. Соотношения Вейля 175 Преобразование Вейля в представлении Шрёдингера Ж=Ь2(Шп,апф можно описать явно как ограниченный оператор с интегральным ядром. А именно: (S(u, v)1>)(q) = е 2 ην-™4ψ(ς - %и), φ € L2(Rn, cTq), (3.5) и для Vi,V>2 e 1,2(К",сГд) и / G L1(M2n)f]L2(M.2n) имеем (W(/)Vi,tfe) = t^t / /(«,t»)(5(u,t»)^i,i>2)dnudnv = R2n VjRn (2π)* R2n — uv—ivq (2тч» i i Iе2 •",/(u,»)*,(«-ftu)*,(i)<r«|if'iiirt.= 7 (/*<*·'' )Vi(<zW ^2(9)dnq, где ^(9'9° = (2^T//(2^'υ)6_|(,,+</>Λ· (3·6) Изменение порядка интегрирования корректно в силу теоремы Фуби- ни. Таким образом, W(f) — интегральный оператор с интегральным яд- ром K(q, q'), т/)Ф)(я) = J * to, я'Жя'Кя', Ψ е L2(r\ <rg). По теореме Планшереля J |ii(g,g')|2rfn9rfV = J \f(u,v)\2<Putrv, R2n R2n так что W(f) — оператор Гильберта - Шмидта в Ж. Линейное подпро- странство L1(R2n) Π L2(R2n) плотно в L2(R2n), и преобразование Вей- ля продолжается до изометрии W: L2(R2n) —► У2, где У2 — гильбертово пространство операторов в Ж = L2(Rn,dnq). Поскольку любой оператор Гильберта-Шмидта в Ж — ограниченный оператор с интегральным ядром из L2(R2n), отображение W сюръективно. Таким образом, мы доказали следующий результат.
176 Глава 2 Лемма 3.1. Преобразование Вейля W определяет изоморфизм L2(R2n)~J^2. Задача 3.1. Пусть Ρ = (Pi, ..., Рп) и Q = (Qb ..., Qn) — самосо- пряженные операторы27 в Ж, удовлетворяющие коммутационным соотно- шениям Гейзенберга (2.4) на некотором плотном подмножестве D в Ж η и такие, что симметрический оператор Η = Σ i^k + Q\)> определен- fc=l ный на D, самосопряжен в существенном. Предположим также, что любой ограниченный оператор, коммутирующий с Ρ и Q, кратен тождественному оператору в Ж\ Докажите, что Ρ и Q унитарно эквивалентны операторам импульсов и координат в представлении Шрёдингера. (Указание: по тео- реме Стоуна-фон Неймана достаточно показать, что Ρ и Q определяют интегрируемое представление алгебры Гейзенберга. Можно также доказать этот результат прямо, используя коммутационные соотношения между опе- раторами Η, α*, а и рассуждения из раздела 2.2.6. Это дало бы другое доказательство теоремы Стоуна-фон Неймана.) Задача 3.2. Докажите формулу (3.4). 2.3.2. Инвариантная формулировка Здесь мы представим бескоординатное описание представления Шрё- дингера. Пусть (V, ω) — конечномерное симплектическое векторное про- странство, dimF = 2п. Напомним, что (см. раздел 2.2.1) алгебра Гейзен- берга g = g(V) — это одномерное центральное расширение абелевой ал- гебры Ли V с помощью кососимметрической билинейной формы ω. Как векторное пространство алгебра Ли g совпадает с алгеброй V 0 R, в кото- рой скобка Ли определена равенством [и + ас, ν + /?с] = ш(щ v)c, u,v €V, α, β G R. Любое лагранжево подпространство £ пространства V определяет абелеву подалгебру £ 0 Re в д. Лагранжево подпространство £' дополнительно к £ в V, если £ 0 £' = V. Выбором дополнительного к £ лагранжева подпро- странства £' устанавливается изоморфизм g/(£®Rc) ~l!. См. предыдущее примечание.
2.3. Соотношения Вейля 177 Группа Гейзенберга G = G(V) — связная и односвязная группа Ли с алгеброй Ли д. Экспоненциальным отображением осуществляется изо- морфизм G и многообразия V Θ Кс, в котором групповой закон задан ра- венством exp(vi + aic) exp(v2 + а2с) = exp^i + v2 + {ol\ + a2 + \u{vi, v2))c), где v\,v2 G V, ai,«2 € К. Выбором симплектического базиса для V уста- навливается изоморфизм G(V) ~ Нп с матричной группой Гейзенберга, определенной в разделе 2.2.1. Форма объема d2nvAdc, где d2nv G A2nV* — форма объема на V, г V* — двойственное к V векторное пространство, определяет биинвариантную меру Хаара на G. Любое лагранжево подпро- странство £ определяет абелеву подгруппу L = ехр(£ 0 Re) в G, а выбором дополнительного лагранжева подмножества i' устанавливается изоморфизм G/L ~ £'. (3.7) Изоморфизм A2nV* ~ Ап£* Λ Ап£'* приводит к форме объема dnv' на £' и определяет меру dg на однородном пространстве G/L. Мера dg инвари- антна при левом действии G и не зависит от выбора £'. Для заданного Ь Ε Μ функция х : L —> С, X(exp(v + ас)) = eiha, v G V, α G R, определяет одномерный унитарный характер на L, х(М2) = х(Мх(Ы> ii.feeb. Определение. Представление Шрёдингера 5^ группы Гейзенбер- га G(V), ассоциированное с лагранжевым подпространством £ простран- ства V, это представление группы G, индуцированное одномерным пред- ставлением х соответствующей абелевой группы Ли L, Si = Iad(Zx. По определению индуцированного представления гильбертово про- странство Же представления St состоит из измеримых функций / : G —► С, удовлетворяющих свойству /Ы) = х(0_1/(5), 9 € G, l G L,
178 Глава 2 и таких, что Ш2 = / |/Ы12^<оо. G/L Соответствующие унитарные операторы Se(g), g G G, определяются левы- ми сдвигами: (SeWW) = Д<гУ), f£<m,geG. В частности, (Se(expac)f)(g) = f(exp(-ac)g) = f(gexp(-ac)) = eihaf(g), так что Si(expac) = егПа1, где / — тождественный оператор в J%. Для любого лагранжева подпространства £ пространства V представ- ление Se унитарно эквивалентно представлению Шрёдингера. Это можно явно показать следующим образом. По свойству (3.7) выбор дополнитель- ного лагранжева подпространства i' приводит к единственному разложе- нию д = expt/ exp(v + ас), и для / £ Же мы получаем f(g) = /(ехрг/ехрСи + ас)) = e"^a/(exp^), ν G I, v' G £', a G R. Таким образом, любое / G Же полностью определяется своим ограниче- нием на ехр£' ~ £', а отображение % : Же —► L2(t\dnv')9 определенное формулой W)(v') = f(exp±v'), υ'£?, является изоморфизмом гильбертовых пространств. Для соответствующего представления S^ = WiSi^1 в !?{£!,dnv') имеем (S*(expv)^)(i/) = е^^(г/), ν G £, ν' G £\ (Бе(ехри')ф)(у') = φ (υ' - Пи'), и', ν' G £'. Пусть е1, ..., en, /i, ..., fn — симплектический базис в V, такой, что £ = Re1 Θ ... 0 Ren и £' = R/i Θ ... Θ R/n, и пусть (ρ, q) = (pi, ... ,pn, q1, ..., qn) — соответствующие координаты
2.3. Соотношения Вейля 179 на V (см. раздел 1.2.6 главы 1). Тогда L2{t', dnv') ~ L2(Rn, dnq) и Se(expuX) = U(u) и Se(expvY) = V(v), где гхХ = £ и*/ь иУ = £ vfce\ a I7(u) = e"inP, V(v) = e~iv<^ - k=l k=l η-параметрические группы унитарных операторов, соответствующие опе- раторам импульсов и координат Ρ и Q. Отображение *&, — новое ассоциативное произведение на L1 (R2n), вво- дившееся в последнем разделе, — тоже можно описать в инвариантных терминах. Пусть В% = G/Tn — факторгруппа, где Т% = {ехр(^рс) G G G | η G Ζ} — дискретная центральная подгруппа в G, и пусть db = = d2nv Λ d*a — левоинвариантная мера Хаара на Bh, где d*a — нор- мализованная мера Хаара на окружности R/^Z. Банахово пространство Ll(Bn, db) имеет структуру алгебры по отношению к свертке: (ψ1 *ва ψ2)(Ρ) = Ι φ1^1)φ2^1^α^, φ\,ψ2 G Ьг(Вп,аЬ). Bh Соответствие Ll{V,d2nv) Э f(v) .-> φ(βΧρ(ν + ас)) = e~ihaf(v) G L^B^db) определяет отображение включения L1(V,d2nv) ^-> Ьг(Вп,аЬ), и об- раз LX(V, d2nv) будет подалгеброй L\Bn, db) относительно свертки. Имеем для/ь/2еОДЛ) (<Р1*вл<Р2)(<Щ>у) = = / (pi(exp(u + ас))(р2(ехр(—и — ac)expv)d2nvd*a = Вп = / (pi(expu)(f2(exp(v — w)exp(— \u{u,v)c))d2nv = ν = Jfi(u)Mv-u)e^Md2nv = ν = (fi*hh){v), v£V.
180 Глава 2 Задача 3.3. Докажите, что преобразование Вейля — есть ограничение на Ll(V, d2nv) отображения L^B^dfyBp^ f (p(b)St(b)db e af(J%). Задача 3.4. Пусть (г,(2,£з лагранжевы подпространства в V. Опре- делим индексМаслова тройки r[i\, t2, (3) как сигнатуру квадратичной фор- мы Q на i\ 0 i2 θ £з, определенной формулой Q(xu х2, хз) = uj{xi,x2) + ω(Χ2, хз) + ^(^з, ^i). Для лагранжевых подпространств £i,i2 пространства V пусть ^г2М ~ унитарный оператор, осуществляющий изоморфизм гильбертовых про- странств Ж^ ~ Жг2 и сплетающий представления S^ и Se2: Докажите, что «^^з^зА^гА = е "7riT^1^2'^3^7i, где Д — тождествен- ный оператор в Жег. Задача 3.5. Пусть Sp(V) — симплектическая группа простран- ства (V,u) — подгруппа группы GL(F), сохраняющая симплеюическую форму ω. Группа Sp(F) действует как группа автоморфизмов группы Гей- зенберга G по формуле h · exp(v + ас) = exp(/i · ν + ас), Λ, Ε Sp(F), vGK. Пусть Я — неприводимое унитарное представление G в гильбертовом про- странстве Ж\ Покажите, что существуют унитарные операторы U(h), опре- деленные с точностью до умножения на комплексное число модуля 1, такие, что U(h)R{g)U{h)-1 = R(h · <?), he Sp(V0, geG, и что U определяет проективное унитарное представление группы Sp(F) в Ж, называемое представлением Шейла- Вейля2*. Найдите реализацию гильбертова пространства Ж, такую, чтобы 2-коцикл представления Шей- ла-Вейля явно вычислялся в терминах индекса Маслова. 28Имеется в виду французский математик Андрэ Вейль. Не стоит путать с Германом Вей- лем. — Прим. перев.
2.3. Соотношения Вейля 181 2.3.3. Квантование Вейля Преобразование Вейля, вводившееся в разделе 2.3.1, определяет кван- тование классических систем, связанных с фазовым пространством R2n с координатами ρ = (pi, ... ,pn), q = (ς1, ... ,ςη) и скобкой Пуассо- на { , }, ассоциированной с канонической симплектической формой ω = = dp Λ dq. Пусть φ = W ο J^"1 : У(Ж2п) -+ if [Ж\ где W — преобразование Вейля, а ^~1 есть обратное преобразование Фу- рье, — линейное отображение пространства Шварца У(Ш.2п) быстро убыва- ющих комплекснозначных функций на R2n в банахово пространство огра- ниченных операторов Jif (Ж) в Ж = L2(Rn, dnq). В явном виде оно зада- ется интегралом $(/) = -^ψ J f{u,v)S{u,v)dnudnv, R2n понимаемым как предел римановых сумм в топологии равномерной сходи- мости на 3?{Ж), где f(u,v) = &~l{f){u,v) = ф^ J Пр,д)е^+^апрапд R2n и S(u,v) = е 2 U(u)V(v). Из (3.6) следует, что Ф(/) — интегральный оператор: для любого φ е L2(Rn, dnq) (*(f)iP)(Q) = JK(q,q')i>(q')dnq', Rn где Rn = <^/'^>><,~''><<>
182 Глава 2 Поскольку пространство Шварца самодвойственно относительно преобра- зования Фурье, К е y(Rn х Rn) С L2(Rn x Rn), так что Ф(/) - оператор Гильберта - Шмидта. Воспользовавшись свойством 5(ix,v)* = S(—и, — ν), получаем *(/)* = ф(А так что классические наблюдаемые — вещественнозначные функции на R2n — соответствуют квантовым наблюдаемым — самосопряженным операторам в Ж. Из свойства WT3 в разделе 2.3.1 следует, что отобра- жение Φ инъективно; его образ 1тФ и обратное отображение Ф-1 явно описываются следующим образом. Предложение 3.1. Подпространство ГтФ С Л?{Ж) состоит из операторов В Ε У\, таких, что соответствующие функции g(u,v) = = TinTr(В S(и, ν)~λ) принадлежат классу Шварца У{Ш?п); в этом слу- чае W(g) = В. Обратное отобраэюение Ф-1 = & о W~l дается формулой обращения Вейля /(u, ν) = ЙпТг(Ф(/)5(и, v)-1), f Ε У(Ж2п). Доказательство. Сперва рассмотрим случай η = 1. Пусть h=p2 + Q2 — гамильтониан гармонического осциллятора ст=1ии = 1. Согласно теореме 2.1 оператор Η имеет полную ортонормированную систему веще- ственнозначных собственных функций фп(я), состоящую из функций Эр- мита-Чебышева, с собственными значениями Ь{п + \), так что обратный оператор H~l Ε У^- Оператор ЯФ(/) является интегральным оператором 1 о pfi с ядром т:{-Ь -У-т + q2)K(q,q'), функцией на R2 из класса Шварца, так * dq что ЯФ(/) е <92· Оператор Ф(/)=Я"1ЯФ(/) — это произведение операторов Гильберта - Шмидта, поэтому имеет след. Используя ортонормальный базис {^n(q)}^Lo пространства Ж = L2(R), получаем оо K{q,q')= Σ стпфп(Я)фт(я'), (3.8) т,п=0
2.3. Соотношения Вейля 183 где / K(q,q,)^/jn(q)^/jrn(q,)dqdqf, R2 и ряд (3.8) сходится в L2(R2). Посколысу К G ^(R2), из теоремы об ΛΓ-представлении (см. задачу 2.13) следует, что этот ряд сходится и в топо- логии ^(R2). Именно это обстоятельство позволяет нам положить q' = q в (3.8), чтобы получить разложение оо т,п=0 которое сходится в У (R). Таким образом, мы получаем оо оо °Г ΤτΦν) = Σ(Φ(/)ψη,ψη) = Σοηη= / K{q,q)dq, n=0 n=0 J^ где перестановка порядков суммирования и интегрирования законна. Общий случай η > 1 аналогичен. Рассмотрим оператор Н = 2 и воспользуемся тем, что операторы НпФ(/) и Н~п принадлежат к классу операторов Гильберта-Шмидта. Для доказательства формулы / ТгФ(Л = J K(q,q)dnq Rn разложим ядро K(q,q'), используя ортонормальный базис {^*;(*7)}*°=о пространства L2(Rn), где Фк(д) = /Фк1((11)-"ФкЛ(1п), к = (fci, ...,fcn). Из явного вида ядра К получаем 1*Ф(/) = ^_ J J /(0, v)e-iv"cTv cTq = 7Гп/(0,0), (3.9) Rn Rn
184 Глава 2 что дает формулу обращения для и = ν = 0. Чтобы получить формулу об- ращения для всех it, ν Ε Rn, достаточно применить (3.9) к функции fuv = = &(fu,v), где ρ / / /\ λ/ / /\ ΤΓ(υ U — U V) \ fu,v(u,ν) = f(u + u,v + v')e 2 ν ;, и воспользоваться тем, что S(u,v)~x = S(u,v)* = S(—u,—v), а также свойством WT2 из раздела 2.3.1, W(f)S(-u,-v) = W(fu,v). Чтобы закончить доказательство, нам надо показать, что 1тФ состо- ит из всех В е У\, обладающих тем свойством, что функция g(u,v) = = %пТг(В S(u, v)~x) принадлежит к классу Шварца. По формуле обраще- НИЯ g(u,v) = hnTr(*(f)S(u,v)-1), где / = <^(д), поэтому достаточно доказать, что если Tr(BS(u,v)-1) = 0 для всех и, ν Ε Rn, то В = 0. Действительно, умножив на f(u,v) и про- интегрировав, получим TrBW(f)* = 0 для всех / G У(М?п). Поскольку класс Шварца плотен в L2(R2n), по лем- ме 3.1 получаем ТгВВ* = 0, и поэтому В = 0. Следствие 3.3. ™(Л = ^/1(р,я)^я. (2π%) Замечание. По теореме Шварца о ядре оператор S(u, ν) является интегральным оператором с обобщенным функциональным ядром ih — uv-ivq f / * \ е 2 o{q — q — пи), так что / \п TrS(u,v) = (^Ч δ(υ)δ(υ). Таким образом, как принято писать в книгах по физике, ТгФ(/) = Ь~п f f(u,v)S(u)S(v)dnudnv = 7ГП/r(0,0).
2.3. Соотношения Вейля 185 Пусть Ло = У (R2n, R) С Л — подалгебра быстро убывающих класси- ческих наблюдаемых на R2n, а я/0 = si Π J^f (Ж) — пространство ограни- ченных квантовых наблюдаемых. Предложение 3.2. Отображение Ло Э / ·—► Ф(/) £ ^о является квантованием, т. е. оно удовлетворяет условию lim ΙΦ-1 (Φ(Λ)Φ(/2) + Φ(/2)Φ(Λ)) = hh η—►() w принципу соответствия lim Φ"1 ({Ф(Л),Ф(/2)Ь) = {/ь/2}, /ь/2 € Л, л—+0 где — квантовая скобка и скобка Пуассона соответственно. Доказательство. В терминах произведения *^, которое вводилось в разделе 2.3.1, мы имеем Ф-1(Ф(/1)Ф(/2)) = ^(Л*й/2), и из свойства WT4 следует, что Φ-1(Φ(Λ)Φ(/2))(Ρ,9) = —^ J J /litibtfO/ate.t*) х (3.10) R2n R2n ih , x e 2 d uid u2dnvid v2. -(u1V2-U2V1)-i(u1+U2)p-i(v1+v2)q,n rn jnai jn„ Используя разложение ef (m^-ua^) = j + ijl(UlV2 _ U2t;i) + 0(Tl2(UlV2 - U2Vl)2) при Й^Ои основные свойства преобразования Фурье, &{uf{u,v)) =i — (p,q) и 3?(vf(u,v)) = г —(ρ, qr),
186 Глава 2 мы заключаем из (3.10), что при /г —> 0 Ф-1(Ф(Л)Ф(/2))(Р,9) = (/i/2)(p,9) - f {/i,/2}(p,9) +0(П2). Замечание о кососимметричности скобки Пуассона завершает доказатель- ство. Квантование, связанное с отображением Φ = W о &~г, называется квантованием Вейля. Соответствие / ·—► Ф(/) можно легко продолжить на векторное пространство L1(R2n) — образ Lx(R2n) при преобразовании Фурье, лежащий в пространстве C(R2n). В более общем виде для / Ε G У (R2n)' — пространству обобщенных функций медленного роста на R2n — соответствующее ядро K(q,q') = J^ J f(p,*¥)ebPi4-q,)dnp, (3.11) рассматриваемое как обобщенная функция медленного роста на Rn x Rn, является ядром Шварца линейного оператора Ф(/) : У{Жп) -> У(Шп)'. В частности, постоянная функция / = 1 соответствует тождественному оператору I с ядром K(q, q') = S(q—qf). В терминах ядра К(qr, q') формула обращения Вейля принимает вид /(р, q) = jK(q - \v, q + \ν)**?°<Ρν. (3.12) Rn Обобщенная функция f(p,q), определенная равенством (3.12), называется вейлевским символом оператора в L2(Rn, dnq) с ядром Шварца K(q, q'). В следующих примерах описываются классы обобщенных функций /, таких, что операторы Ф(/) — самосопряженные в существенном неограни- ченные операторы на подпространстве У (Rn) С L2(Rn, dnq). Пример 3.1. Пусть / = f(q) e Lp(Rn) для какого-то 1 ^ ρ ^ оо, или пусть / — функция, полиномиально ограниченная при \q\ —► оо. В смысле обобщенных функций f(u,v) = (2n)n/2S(u)f(v),
2.3. Соотношения Вейля 187 так что = S(q-q')f(^) = f(q)S(q-q'). Таким образом, оператор Ф(/) — это оператор умножения на f(q) в про- странстве L2(Rn). В частности, координаты q в классической механике со- ответствуют операторам координат Q в квантовой механике. Аналогично, если / = /(р), то Ф(/) = f(P). В частности, импульсы ρ в классической механике соответствуют операторам импульса Ρ в квантовой механике. Пример 3.2. Пусть Κ = £ + νω — функция Гамильтона в классической механике. Тогда Η = Ф(НС) — со- ответствующий оператор Гамильтона в квантовой механике, В главе 3 мы приведем необходимые условия того, чтобы оператор Η был самосопряжен в существенном. Пример 3.3. Здесь мы найдем / е У(Ш2п)\ такое, что ф(Я = Рф — чистое состояние Рф, где φ Ε L2(Rn), ||-0|| = 1. Проекция Рф есть инте- гральный оператор с ядром ψ^)ψ(&), и мы получаем из (3.11) (2^Г //(P. ^e^^Vp = ф(д)Ш- Введя ςτ+ = \{q + q'), q_ = \{q - q'), получим Ι(ψ,ν) = hn J^(q- + q+)1>(q+ - q-)e™«+dnq+, Rn
188 Глава 2 или f(u,v) = Пп (^{q+\hu)i>{q-\huyvqdnq. Rn Предполагая, что ψ не зависит от Ti, в соответствии со следствием 3.3 по- лучаем ^υ) = & jarfM = (^ / i^i2^^· (2nTi)nJK ' У (2тг) Таким образом, в классическом пределе /г. —>► 0 чистое состояние Ρψ кванто- вой механики становится смешанным состоянием классической механики, задаваемым вероятностной мерой αμ = p(p,q)dnpdnq on R2n с плотно- стью ρ(ρ,ς) = δ(ρ)\φ(ς)\2. Оно описывает покоящуюся классическую частицу (р = 0) с распреде- лением координат, заданным вероятностной мерой \i/j(q)\2dnq на Rn. Ко- г_ гда i/>(q) — еп <p(q), где ip(q) не зависит от Ti, соответствующая плот- ность - это р(р, q) = δ (ρ - p0)\(p(q)\2. Замечание. Квантование Вейля можно рассматривать как спо- соб определить функцию /(Р, Q) некоммутирующих операторов Ρ = = (РЬ ...,Pn)nQ = (Q1> ...,Qn), положив /(Р,д)=Ф(/). В частности, если /(ρ, qr) = g(p) + /i(g), то f(P,Q)=g(P) + h(Q). Для /(р, q) = pq= piq1 + ... + pnqn мы получаем, используя (3.11), /(,,g,_£2+S?. Это показывает, что квантование Вейля симметризует произведения неком- мутирующих множителей Ρ и Q. В общем случае пусть / — полиномиаль- ная функция, .-^ а f(p,q)= Ε c°/»PV> (3·13)
2.3. Соотношения Вейля 189 где для мультииндексов а = (аь ..., ап) и β = (/Зь ..., βη) Ρ«=ρΤ···Ραη\ 4β = {41)β1-.Λ<Ιη)βη, и \а\ = а\ + ... Η- αη, \β\ = β\ + ... + βη. Используя (3.11), получаем следующую формулу: *(/)= Σ ^Sym(P-Q^). (3.14) \<*\,\β\^Ν Здесь Sym(PaQ/3) — симметрическое произведение, определяемое форму- лой (иР + vQ)k = Σ Ши""* Sym(paQ^ (3·15) где гхР + vQ = и1 Pi + ... + ипРп + viQ1 + ... + vnQn и a! = ai!...an!, /3! = ft!.. ./U Замечание. Вдобавок к квантованию Вейля Φ рассмотрим также отображения Фг: У(Ш2п) -► JS? (JT) и Ф2 : J^(R2n) -► JS?(JT), определяе- мые формулами *i(/) = ^ / /(u,t;)e^t"5(tt,«)dnudnt; R2n И Ф2(/) = ~ J f(u,v)e-^uvS(u,v)dnucrv, где / = &~l{f) — обратное преобразование Фурье. Хотя Ф1 и Ф2 уже не отображают Ло в вещественное векторное пространство ^ ограниченных квантовых наблюдаемых, они удовлетворяют всем свойствам из предложе- ния 3.2. Из (3.5) следует, что для / G У{Е?п) операторы Фг(/) и Ф2(/) являются интегральными операторами с интегральными ядрами:
190 Глава 2 *1 К2(Я, q') = j^ j f(p, q)e^P{q-g')dnp соответственно. Как и в случае квантования Вейля, эти формулы продол- жают отображения / i—> $i(f) и / ь-> Ф2(/) пространства У{Ш?пу обоб- щенных функций умеренного роста на R2n. В частности, если /(р, q) — полиномиальная функция (3.13), то *i(/)= Ε **β**<*β (3·16) |α|,|/3|^ΛΓ И Ф2(/)= £ ε«β<3βΡα· (3.17) \<*\,\βΚΝ Поэтому отображение / ь-> $i(f) называется pq-квантованием, а отображение / \—> Фг(/) — qp-квантованием. Соответствующие формулы обращения — /(р, q) = j Кг(д - ν, q)e*pVdnv (3.18) /(ρ, q) = J K2(q, q + v)e*PVdnv. (3.19) Обобщенная функция f(p,q), определенная в (3.18), называется pq- символом оператора с ядром Шварца K\{q,q'), а обобщенная функ- ция f(p,q), определенная в (3.19), — qp-символом оператора с ядром Шварца K^q, q'). Эти символы повсеместно используются в теории псев- додифференциальных операторов. Из (3.18) и (3.19) следует, что ес- ли f{p,q) — pqr-символ оператора $i(f), то f(p,q) — qrp-символ сопря- женного оператора Фх(/)*. Задача 3.6. Докажите формулу (3.14). Задача 3.7. Докажите формулы (3.16)-(3.17). Задача 3.8. Докажите, что квантование Вейля, pq- и qrp-квантования эквивалентны. {Указание: найдите соотношения между вейлевским симво- лом, pq- и qrp-символами заданного оператора.)
2.3. Соотношения Вейля 191 2.3.4. •-произведение Квантование Вейля Φ : У(М.2п) —> J?(Ji?), обсуждавшееся в преды- дущем разделе, определяет новую билинейную операцию •л : У(Ш2п) х У(Ж2п) -> У(Ж2п) на У(Ш.2п) по формуле /1*λ/2 = Φ"1(Φ(/1)Φ(/2)). Эта операция называется *-произведением29. Согласно (3.10) (/i*ft/2)(p,<7) = —^ У У fi(ui,v1)f2(u2,v2)- (3.20) R2n R2n .eT(«^-«^)-«(«»+«»)P-<^+«»Vu1dntt2iflt;1dn«2. •-произведение на ^(Μ2η) обладает следующими свойствами. 1. Ассоциативность: /l *fc (/2 *ft /з) = (/l *ft /2) *ft /з· 2. Квазиклассический предел: (/i *ft /2)(Р, 9) = (/i/2)(p, q) ~ f {/1, /2}(P, 9) + 0(ft2) при ft -0. 3. Свойство единицы: / *n 1 = 1 •a /, где 1 — функция, тождественно равная 1 на R2n. 4. Циклическое свойство следа: t(/i*&/2) =T(/2*a/l), где С-линейное отображение г : <У (R2n) —► С определяется формулой r(/)=(2w//(P'9)rfnp^· 9В физике также называется произведением Мойяла.
192 Глава 2 Свойство 1 следует из соответствующего свойства произведения *^ (см. раз- дел 2.3.1), свойство 2 следует из предложения 3.2, а свойства 3 и 4 прямо следуют из определения (3.20). Комплексное векторное простран- ство У{Ш?п) 0 С1 с билинейной операцией •^ является ассоциативной алгеброй над С с единицей 1 и циклическим следом т, удовлетворяющей принципу соответствия: Urn i(/i *л h ~ h *n /i) = {/i, /2}. Рассмотрим тензорное произведение гильбертовых пространств L2(R2n) ® L2(R2n) ~ L2(R2n x R2n) и определим унитарный оператор U\ в L2(R2n) ® L2(R2n) формулой И(' JL**JL\ 171=е"2 V«p®^J, где η — бд — = V^ ^ <> д βρ β? t[9pk dqk' Из теории преобразования Фурье следует, что для /ь /г € ^(Ш2п) (Ui{fi ®/2))(Ρ1,91,Ρ2,92) = ^Γ^· / У /l(tll,t7i)/2(U2,«2) X (2т)2 2 2 ih ХеТ^-^-^-пгЯг-гъъ^^^^ «2· Аналогично, определив унитарный оператор [Т^ в L2(R2n) ® L2(R2n) по формуле получим (^2(/10/2))(Ρ1,91,Ρ2,92) = —^ / / fl(uuVi)f2(u2,V2)x (2π)2 R2n R2n zft x e 2 d uid u2dnvidnv2.
2.3. Соотношения Вейля 193 Наконец, определим унитарный оператор Un в L2(R2n) <g> L2(R2n) форму- лой Uh = ЩЩ1 = e~ 2 \*р**я-ея*др) и обозначим как т : У(М?п) <g> У(М?п) —► У(Ш2п) поточечное произведе- ние функций, (m(/i ® f2))(p,q) = /i(p,g)/2(p,qf). Тогда •-произведение можно записать в следующем сжатом виде: /1*л/2 = (то17л)(/1®/2). (3.21) По аналогии со скобкой Пуассона { , } на R2n, ассоциированной с ка- нонической симплектической формой ω = dp Λ dq, if f \ = dJ±.dJl _dJldJl uum dp dq dq dp, мы вводим обозначение 1 л* д д ^ д _ д2 д2 {?} dp dq dq dp dp\dq<i dq\dp2 Тогда из теории преобразования Фурье следует, что формулу (3.21) для •-произведения можно переписать как (/1*л/2)(р,д)= (е~^{? Vi(pi,<7i)/2(P2,<Z2) J \pi=P2=p . (3.22) Таким образом, мы показали, что на ^(R2n) •-произведение можно эквивалентно определить как формулой (3.20), так и формулами (3.21) и (3.22). Последнее представление имеет преимущество в том, что фор- _ihr ® т. мальное разложение экспоненты е 2 ' в степенной ряд дает асимпто- тическое разложение •-произведения при Ь —> 0. А именно: определим бидифференциальный оператор Вк : y(R2n) ® J^(R2n) -> J^(R2n) формулой Bk = т о { ® }к для к ^ 1 и В0 = т.
194 Глава 2 Лемма 3.2. Для любых /ъ /2 £ ^(M2n) w Z Ε N существует С > О, такое, что для всех p,q Ε M2n (Λ *п Л)(р, д) - Ε ЦЙт^(/ь /2)(р,9) ifcS 2fcfc! «S CTil+1 при Ti^O. Кратко, (Л *л Л)(р, ς) = Σ ^Зтг^(/ь Л)(р, 9) + 0(й°°). (3.23) к=0 2 к' Доказательство. Раскладывая экспоненциальную функцию е г в степенной ряд и повторяя доказательство предложения 3.2, получаем результат. Наконец, мы получаем другое интегральное представление для •-произведения. Применяя формулу обращения Фурье к интегралу по dnu\dnv\ в (3.20), получаем (fi*hf2)(p,q) = T^wT / /i(p-f«2,9 + fti2)/2(ti2,«2)x x e-^2p-^29dnw2dnv2 = = T^rW У У /i(P-fv2,g + ft*2)/2(P2,g2)>< R2n K2n Xe-^2P--ttl29+tU2P2+itl2qf2dnp2dng2dnW2dnW2) а заменив переменные pi = ρ — 7^2, <Zi = q + 5^2, имеем (/l*ft/2)(p,g) = *2n / / /l(Pl>9l)/2(P2>92)· R2n R2n >е|(й)-№+(1й-№+Я1-М)(Гр1(,1д1(Рй)Рд21 Пусть Δ — евклидов треугольник (2-симплекс) в фазовом пространстве М2п с вершинами (р, q)9 (pi, <Zi) и (р2,qfe). Легко видеть, что Pi<7 - Р<?1 + QiP2 ~ Q2Pi + PQ2 - Р2<7 =2/ω·
2.3. Соотношения Вейля 195 а это — удвоенная симплектическая площадь Δ — сумма ориентированных площадей проекций Δ на двумерные грани (pi, ς1), ..., (рп, Ч71)- Таким об- разом, имеем окончательную формулу (Λ *η /2)(ρ,ς) = —^ J J /i(pi,<zi)/2(P2,g2) x (3.24) — (ω xeh^dnp1dnq1dnp2dnq2, которая является формулой композиции для двух вейлевских символов. Замечание. Поучительно сравнить формулы (3.23) и (3.24). Послед- няя формула представляет •-произведение на У(Ш.2п) в виде абсолютно сходящегося интеграла и эквивалентна квантованию Вейля. Первая фор- мула — асимптотическое разложение •-произведения при Ь —► 0, которое не учитывает всех свойств квантования Вейля. В общем случае степенной ряд в (3.23) расходится; для полиномиальных функций ряд превращается в конечную сумму и дает формулу •-произведения многочленов. Задача 3.9 (Формула композиции для ρςτ-символов). Пусть fi(p,q) и /г(р,q) — соответственно ρςτ-символы операторов <E>i(/i) и Ф^/г)· Покажите, что ρςτ-символ оператора $i(/i)$i(/2) дается фор- мулой f(p,q) = -^ψ J fi(p,qi)f2(Px,q)eb{p-pi){4-qi)dnPl<rqi. (Указание: воспользуйтесь формулой для (га о Uf) (Д ® /2).) Задача 3.10 (Формула композиции для ςτρ-символов). Пусть /i(p?*z) и f2(p,q) — соответственно ςτρ-символы операторов $2(/i) и Ф2(/г)· Покажите, что ςτρ-символ оператора $2(/i)$2(/2) дается фор- мулой f(p,q) = ~щ^ J h(pi,q)f2(p,qi)e~^P~PlKq~qi)dnp1dnq1. R2n (Указание: воспользуйтесь формулой для (га о U^2) (/1 0/2)·)
196 Глава 2 Задача 3.11. Используя (3.24), докажите, что •-произведение ассо- циативно. Задача 3.12. Для классической наблюдаемой f(p,q) определим •-экспоненту (аналог оператора эволюции) формулой ы ехр*/ = V" —г f*hf*h--.*hf- п=0 Вычислите ехр+(—йНс), где Нс(р, q) — функция Гамильтона (2.27) гармо- нического осциллятора. 2.3.5. Деформационное квантование Здесь мы рассмотрим процедуру квантования с алгебраической точ- ки зрения как теорию деформаций ассоциативных алгебр. Пусть А — С-алгебра (или ассоциативная алгебра с единицей над полем к характери- стики ноль) с билинейным отображением умножения то : А<8>сА —► Л, ко- торое мы будем кратко записывать как α-b = то(а,Ь). Обозначим как C[[t]] кольцо формальных степенных рядов от t с коэффициентами из С, С[Щ] = <ΣαηΓ :апес\, и пусть At = A[[t}} — С [[i]]-алгебра формальных степенных рядов от t с коэффициентами из А. Умножение в At — С [[i]]-билинейное продолжение умножения в А, которое мы будем также обозначать ш0. Алгебра At Ζ-градуирована, со «At — \^р Ап, п=0 где Ап = tnA, так что Аш · Ат С Ат+п. Определение. Формальная деформация С-алгебры А с умножени- ем то это ассоциативная алгебра At над кольцом C[[i\] с С [[£]]-билинейным отображением умножения mt : At ®c[[t]] A ~> А-и таким, что со mt(a,b) = а · Ъ + 2_\£η?™η(α«Ь) п=1 для всех а,Ь £ А, где тп : А ®с А —► А — билинейные отображения.
2.3. Соотношения Вейля 197 Из С [[£]]-билинейности умножения га* следует, что условие ассоциа- тивности эквивалентно условию mt(mt{a, Ь), с) = rat(a, mt(b, с)) (3.25) для всех а^Ь^се А. Определение. Две формальные деформации mt и rht С-алгебры А эквивалентны, если существует С[[i]]-линейное отображение Ft : At —► Аи такое, что (i) для любого а е А оо Ft(a) = a + ^tn/n(a), п=1 где /п : А —► Л — линейные отображения; (ii) для любых а, 6 Ε А Ft(mt(a,b)) = mt(Ft(a),Ft(b)). Билинейные отображения тп удовлетворяют бесконечному числу со- отношений, которые получается из разложения (3.25) в формальный сте- пенной ряд по t. Первые два из них, происходящие из сравнения коэффи- циентов при tut2, это а · mi(b, с) — т\{а · 6, с) + mi (а, Ь · с) — mi (a, b) · с = О, и а · 7П2(&, с) — rri2(a · 6, с) + Ш2(а, & · с) — т2(а, 6) · с = mi(mi(a, 6), с) — mi(a, mi(&, с)). В общем, а · mn(&, с) — mn(a · &, с) + тп(а, Ь-с) — тп(а, Ь) · с~ п-1 = ^(mj(TOn-j(a,b),c) -mj(a,mn-j(b,c))). 3=1 Основной инструмент для понимания этих уравнений и изучения теории деформаций ассоциативных алгебр — когомологии Хохшильда. А именно: пусть Μ — Л-бимодуль, т. е. левый и правый модули над С-алгеброй А.
198 Глава 2 Определение. Коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, М) С-алгебры Л с коэффициентами в Л-бимодуле Μ определяется коцепями Сп(Л,М)=Нотс(Л0п,М), т.е. η-линейными отображениями /(ai, ... ,αη), определенными на Л со значениями в М, и дифференциалом dn : СП(Л, М) —► СП+1(Л, М), (dn/)(ai, «2, · · · ,an+i) = 0.x · /(α2, ..., an+i)+ n + ^(-l)J/(ai, ..., aj-iaj · aj+i, aJ+2 ..., an+i)+ + (-l)n+1/K ...,a„).an+i. Имеем d2 = 0, т. e. dn+i о dn = 0, и когомологии Η* (Α, Μ) комплек- са (С* (Л, Μ), d), ЯП(Л,М) = kerdn/Imdn-i, называются когомологиями Хохшильда алгебры Л с коэффициентами в Л- бимодуле М. В теории деформаций ассоциативных алгебр мы имеем простейший нетривиальный случай Μ = Л с левым и правым действиями Л, задавае- мыми отображением умножения. Уравнение ассоциативности (3.25) можно записать как (d2mi)(a, Ъ, с) = 0, п-1 (d2mn)(a, Ъ, с) = ^J (mj(mn-j(a,b))c) - mj(a,mn-j(b,c))), a,b,ce A. Замечательно, что коцепной комплекс Хохшильда С* (Л, Л) обладает доба- вочной структурой градуированной алгебры Ли, играющей фундаменталь- ную роль в изучении уравнения ассоциативности (3.25). А именно: для / е Ст(Л, Л) и д е СП(Л, Л) пусть (/ ° д)(а1, · · -^m+n-l) = га—1 = 2^(-l)J/(ai5 · · 4%'»0(%"+1» · · -^j+n^aj+n+i, .. .,am+n_i), j=0
2.3. Соотношения Вейля 199 определим lf,9}G = fog-(-l)(™-lKn-Vgof. Линейное отображение [, ]G : Ст(Д, Д) х СП(Д, Д) -► Ст+п_1(Д, Л) удо- влетворяет условию [/,<?] с? = — (—1)(т_1)(п_1)[<7, f]c и называется скобкой Герштенхабера30. Рассматривая ограничение умножения mt на Д ® с Л как формальный степенной ряд по t с коэффициентами в С* (Д, Л) и используя скобку Герштенхабера, можно переписать (3.25) в сжатом виде: [mt,mt]G = 0. (3.26) Пусть Л — коммутативная С-алгебра и At — формальная деформа- ция Д. Определим билинейное отображение { , } : Д ®с Д —► *Д формулой {а,6} = mi(a,fc) - rai(fr,а), а,6бЛ (3.27) Лемма 3.3. Формальная деформация At коммутативной С-алгебры А оснащает А структурой алгебры Пуассона со скобкой { , }. Доказательство. Рассмотрим уравнение αμ^α, 6, с) = 0. Вычитая из него уравнение с переставленными α и с и используя коммутативность А, получим {а · 6, с} — {а, 6 · с} = а · {6, с} — с · {а, 6}. Переставляя бис, получаем {а · с, 6} — {а, Ь - с} = а · {с, 6} — 6 · {а, с}, и, дальше переставляя α и с, получаем {а · с, 6} — {с, а · Ь} = с · {а, 6} — 6 · {с, а}. Сложение первого и третьего уравнений и вычитание второго дает {а-Ь,с} = a · {а,с} + Ь · {а,с}, так что кососимметрическая коцепь { , } Ε С2 (Д, Д) удовлетворяет прави- лу Лейбница. Чтобы доказать тождество Якоби, заметим, что mt(a,b)-mt(b,a) {a,b} = mod tAt. (3.28) 30Вместе с произведением Колмогорова -Александера (cup-произведением) коцепей скобка Герштенхабера оснащает С* (Λ, Λ) структурой алгебры Герштенхабера.
200 Глава 2 Воспользовавшись условием ассоциативности (3.25) (достаточно ассоциа- тивности цо^юдулю t2At), получаем {{а, 6}, с} + {{с,а}, Ъ) + {{Ъ, с}, а} = — ((га* (га*(а, b) - rat(b, а)), с)- -га*(с, mt(a, b) - mt(b, а)) + mt{mt{c, a) - mt(a, с), &)- -mt(b, mt(c, a) - mt(a, c)) + mt(mt(b, c) - mt(c, fr), a)- —mt(a,mt(b,c) — mt(c,b))) mod tAt = 0. Этим результатом мотивировано следующее определение. Определение. Деформационное квантование алгебры Пуассона (А, { , }) с коммутативным произведением гао : А (£>с *4 —► Л — это фор- мальная деформация At алгебры А, такая, что отображение умножения га* удовлетворяет (3.28). По лемме 3.3 любая формальная деформация At коммутативной алгеб- ры А является деформационным квантованием алгебры Пуассона (А, { , }) со скобкой Пуассона, заданной формулой (3.27). Согласно лемме 3.2, деформационное квантование алгебры Пуассона (еУ(М2п), { , }), в которой скобка Пуассона ассоциирована с канонической симплектической формой ω = dp Λ dq, есть алгебра «У (R2n )[[£]], где t = - —гft, a ft рассматривается как формальный параметр, и отображение умножения дается •-произведением. Следующее утверждение — формаль- ный алгебраический аналог представления (3.22) для •-произведения. Теорема 3.4 (Универсальная деформация). Пусть А — коммута- тивная С-алгебра с отображением умноэюения гао и пусть ψ\ и ψ2 — два коммутирующих дифференцирования алгебры А т. е. линейных отобра- жения ψ\,ψ2 ' А—> А удовлетворяющих правилу Лейбница и условию ψ\ °ψ2 = ψ2°φ\' Тогда выражение {a,b} = (fi(a) -(р2(Ъ) - ψ2{μ) -^i(b), a,b £ A, определяет на А скобку Пуассона, и формулой mt = то о е , Φ = ^0^, называемой формулой универсальной деформации, дается деформационное квантование алгебры Пуассона (А, { , }).
2.3. Соотношения Вейля 201 Доказательство. Тождество Якоби для скобки { , } следует из коммутативности диффе- ренциальных операторов ^i и ^. Чтобы показать, что At — деформацион- ное квантование алгебры Пуассона (Л, { , }), нам надо проверить условие ассоциативности (3.25) для отображения га*. Пусть Δ : А —► А 0с А — отображение копроизведения Δ(α) = α01 + 10α, α Ε Α Оно продолжается до С-линейного отображения из Ноте (А, А) в Ноте(-4®2, А®2), которое мы по-прежнему будем обозначать Δ, и Α(φ) = φ 0 id + id 0 y>, ^ G Нотс(Д, A). Для доказательства (3.25) заметим, что правило Лейбница и биномиальная формула дают следующее тождество для дифференцирования φ на А: etipomo = m0oetA^\ Воспользовавшись коммутативностью ψ\ и φ2, получаем mt(a, mt(b, с)) = т0(еьф(а 0 ш0(е£ф(6 0 с)))) = = (то о (id 0 т0))(е^а®АКФ)ет®ф(а ®Ъ®с)) = = (т0 о (id 0 т0))(е*(м®А)W+tid®*(a 0 6 0 с)), где (id (g) Δ)(Φ) = ψ\ 0 Δ(<^2) G Л03. Аналогично mt(mt(a, 6), с) = (m0 о (т0 0 id))(e*(A®id)(*)+**®id(a 0 6 0 с)), где (Δ 0 1α)(Φ) = Δ(^) 0 <^2 € -4®3. Поскольку т0 ο (id 0 m0) = = то о (то 0 id), ассоциативность умножения m* эквивалентна свойству (Δ 0 1<1)(Φ) + Φ 0 id = (id 0 Δ)(Φ) + id 0 Φ, которое, очевидно, выполняется, так как Φ = φ\ 0 φ2.
202 Глава 2 В общем случае 2п попарно коммутирующих дифференцирований ψ{ на коммутативной алгебре А определяют скобку Пуассона на А: η {α, b} = ^2(φ{(α) · <pi+n(b) - Vi+n(a) · ч>г{Ъ)), г=1 и деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона (Л, { , }) дается формулой универсальной деформации η ггц = ^о о е i=1 Деформационное квантование пуассонова многообразия {Ж, { , }) (см. раздел 1.2.7 главы 1) — это, по определению, деформационное кван- тование соответствующей алгебры Пуассона классических наблюдаемых (С°°(*/#),{ , }) с тем свойством, что линейные отображения ran,n ^ 1 являются бидифференциальными операторами31. Формальное разложе- ние (3.22) •-произведения в степенной ряд является деформационным квантованием пуассонова многообразия (М2п,{ , }), на котором скобка Пуассона соответствует канонической симплектической форме ω = dpAdq. Задача 3.13. Покажите, что С* (Л, А) — градуированная алгебра Ли по отношению к скобке Герштенхабера, т. е. что отображение [, ]g удовле- творяет градуированному тождеству Якоби (_l)(m-l)(p-l)[/5 ^ h]] + (_l)(n-l)(p-l)[ftj Ы] + + (-1)(ш-1)(п-1)Ь,[л,/]] = о для любых f eCm(A,A),ge СП(Д, Л), h е СР(А, А). Задача 3.14. Проверьте, что dnf = [/, т0]с где / € СП(Л, А) и dn — дифференциал Хохшильда. 31 Этим свойством гарантируется то, что единица алгебры Пуассона сохраняется при дефор- мации.
2.3. Соотношения Вейля 203 Задача 3.15. Покажите, что деформационные квантования, ассоции- рованные с квантованием Вейля, pq- и ςτρ-квантованиями, эквивалентны. (На самом деле все деформационные квантования канонического пуассоно- ва многообразия (М2п, { , }) эквивалентны.) Задача 3.16 .Пусть д — конечномерная алгебра Ли с базисом х\,..., хп и пусть д* — ее двойственное пространство, оснащенное скобкой Ли-Пуас- сона { , } (см. задачу 2.20 в разделе 1.2.7 главы 1). Для и е д* и х = η η = Σ Г**, у = Σ rfxt £ д пусть г=1 г=1 α, β где ξα = (ξ1)"1 ... (ξη)αη, if = (η1)^1 ... (ηη)@η — формальный групповой закон — «ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа». Покажите, что произведе- ние mt(/b/2) =^2aa0(u,t)Daf1(u)D0f2(u), Д,/2 € C°°(q*), α,β где для мультииндекса а = (ai, ...,an) и / € С°°(д*) Daf = β<*1+ . . .+αη ^ = —— α дает деформационное квантование пуассонова многооб- ии^ ...иипп разия (д\{ , }). Задача 3.17. Пусть (G, { , }) — группа Ли-Пуассона, где 77(g) = = — г + Ad-1g · г и невырожденное г удовлетворяет классическому урав- нению Янга-Бакстера (см. задачи 2.21—2.23 в разделе 1.2.7 главы 1). Используя ряд Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа для алгебры Ли д — од- номерного центрального расширения алгебры д с помощью 2-коцикла с (см. задачу 2.23 в разделе 1.2.7 главы 1), покажите, что существует эле- мент F e (Ug ® i/fl )[[£]] вида F = 1 — -tr + 0(t2), удовлетворяющий условию (Δ ® ld)(F)(F (g) 1) = (id ® A)(F)(1 ® F), где Δ — стандартное копроизведение в Ug.
204 Глава 2 Задача 3.18. Пусть Fl и Fr — образы F и F-1 при отождествлени- ях универсальной обертывающей алгебры Uq с алгебрами лево- и право- инвариантных дифференциальнах операторов на G (см. задачу 2.21 в раз- деле 1.2.7 главы 1) и пусть & = Fl о F#. Покажите, что произведе- ние mt = то о & дает деформационное квантование группы Ли-Пуас- сона (G, { , }), такое, что Δ о mt = (mt <S> mt) ο Δ, где Δ — стандартное копроизведение функций на G, A(f)(gi,g2) = = f(9i92)Je C°°(G). Алгебра Хопфа (C°°(G),muA,S)9 где S - стан- дартный антипод на G, S(f)(g) = f(g~x), называется квантовой группой, соответствующей группе Ли-Пуассона G, и обозначается Gq,q = el. Задача 3.19. Пусть R = a(F~l)F <E (Uq <g> Ug)[[t]]9 где σ - пере- становка — инволюция Uq ® Uq, определенная формулой σ(α ® b) = b ® a, a,b £ Uq. Покажите, что R = 1 — tr + 0(t2) и удовлетворяет квантовому уравнению Янга - Бакстера ^12^13^23 = ^23^13^12 (см. обозначения задачи 2.22 в разделе 1.2.7 главы 1). 2.4. Замечания и ссылки Классическая монография Дирака [Dir47] — фундаментальный текст. Другие классические источники — учебники физики [Фок76Ь] и [Лан89Ь]. Монография [Sak94] — популярный текст для аспирантских курсов на фи- зических факультетах. Другой полезный физический источник — энцикло- педический труд [Mes99], в котором обстоятельно обсуждается происхож- дение квантовой теории и развитие ее математического формализма. Эле- ментарный учебник [PW35] предлагает введение в старую квантовую тео- рию, включая правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда и при- ложения квантовой механики к химии. Мы отсылаем заинтересованного читателя к этим источникам за физическими формулировками и происхож- дением квантовой механики, включая обсуждение основных эксперимен- тальных фактов: эксперимента с двумя щелями и корпускулярно-волнового дуализма. Квантовая механика не описывает исходы одного измерения де- терминированным образом, и квантовый процесс измерения допускает раз- личные интерпретации. Общепринятой является так называемая копенга- генская, в которой измерение вызывает мгновенный «коллапс» волновой функции, описывающей квантовую систему.
2.4. Замечания и ссылки 205 Монографии [Rud87,Bnp80,AX93], также как и [RS80,RS75], содер- жат весь необходимый материал из теории операторов в гильбертовых про- странствах; последний труд охватывает также теорию обобщенных функ- ций, преобразование Фурье и самосопряженность. Книга [Кир78] знако- мит читателя с различными методами теории представлений, а моногра- фия [BR86], написанная для физиков-теоретиков, содержит всю необходи- мую информацию по теории представлений групп и алгебр Ли. Сжатое введение в метод стационарной фазы и другие асимптотические методы даются в классическом тексте [Erd56] и в [01v97]; см. также Приложение В в [BW97]. Свойства многочленов Эрмита-Чебышева32 можно найти в клас- сической монографии [Sze75], также как и в других справочных материалах по специальным функциям и ортогональным многочленам. Наше изложение в разделе 2.1.1 следует традиционному подходу к ма- тематическим основаниям квантовой механики, базирующемуся на аксио- мах Дирака-фон Неймана. Эти аксиомы восходят к классической моно- графии фон Неймана [vN96] и более подробно обсуждаются в [Мас04]; см. также [Бер83а], замечания к главе VIII [RS80] и ссылки в этих рабо- тах. Другое математическое описание квантовой механики основывается на С*-алгебрах и теореме Гельфанда-Наймарка-Сигала; его можно найти в [Str05] и цитируемых там работах. Наше изложение в разделе 2.2 следует схеме из [Фад01]; см. [Бер74] для общей математической формулировки задачи квантования и недавний обзор [АЕ05]. Имея в виду более продвинутую аудиторию, чем [Фад01], мы включили в разделы 2.2.1 и 2.2.2 полную математическую трактовку коммутационных соотношений Гейзенбсрга и координатного и импульсно- го представлений. В разделах 2.2.2 и 2.2.3 мы используем ту же нормировку собственных функций непрерывного спектра, что и в [Фок76Ь]; она соот- ветствует соотношению ортогональности в разделе 3.2.2 главы 3. В нашем изложении в разделе 2.2.6, которое в остальном стандартно, мы включили доказательство полноты собственных функций ipn(q), обычно только упо- минаемое в учебниках физики. Голоморфное представление в квантовой механике было введено В. А. Фоком в 1932 г. [Foc32], где скалярное про- изведение в @п давалось в терминах ортонормального базиса из одночле- нов fm(z). В терминах интеграла (2.52) это скалярное произведение бы- ло определено В. Баргманом [Ваг61]; голоморфное представление называют также представлением Фока-Баргмана. Обсуждение виковских символов 32Следуя В.А.Фоку [Фок76Ь], в разделе 2.2.6 мы использовали более подходящее назва- ние «многочлены Эрмита-Чебышева» вместо обычного «многочлены Эрмита» (см. весомые исторические основания в [Гер50]).
206 Глава 2 операторов в разделе 2.2.7 в основном следует [Бер83а]; больше деталей можно найти в оригинальной статье [Бер71Ь]. Метод геометрического кван- тования только мельком упоминается в замечаниях к разделам 2.2.2 и 2.2.7; мы отсылаем заинтересованного читателя к монографиям [GS77, Woo92], курсам лекций [SW76,BW97] и обзору [Кир85с]. Наше доказательство знаменитой теоремы Стоуна-фон Неймана в раз- деле 2.3.1 в основном следует оригинальной статье фон Неймана [vN31]. Главный инструмент доказательства — преобразование Вейля — был введен Г. Вейлем в классической монографии [Wey50] (см. [Ros04] по поводу ис- тории и обобщений теоремы Стоуна-фон Неймана). Инвариантную фор- мулировку теоремы Стоуна-фон Неймана, обсуждаемую в разделе 2.3.2, также как и связь с индексом Маслова, метаплектической группой, пред- ставлением Шейла- Вейля и приложениями к теории чисел можно найти в [LV80]. Мы отсылаем читателя к [Бер83а] за развернутым обсуждени- ем pq- и ςτρ-квантований, их связью с квантованием Вейля, также как и за большими подробностями о •-произведении, введенном в разделе 2.3.4. Красивая формула (3.24) для •-произведения — композиция вейлевских символов — принадлежит Березину [Бер71а]. Понятие деформационного квантования было введено в [BFF+78a, BFF+78b], где можно найти решение задачи 3.12. Фундаментальную теоре- му о том, что любое пуассоново многообразие допускает деформационное квантование, доказал Концевич в [КопОЗ]. Больше информации о когомоло- гии Хохшильда и теории деформаций ассоциативных алгебр можно найти в обзоре [Vor05] и цитируемых там работах. Подход теории деформаций к развитию физических теорий, например, к переходу от классической ме- ханики к квантовой, подчеркнутый в лекциях Фадцеева [Фад01], можно найти в [Fla82] и [Fad98]. Большинство задач в этой главе довольно стандартны и в основном взяты из работ [RS80, Бер83а]. Другие требуют большей искушенности и приведены с целью познакомить читателя с новыми темами. Так, асимп- тотическое разложение в задаче 2.11, которое можно найти в моногра- фии [Sze75], это пример квазиклассической асимптотики, а в задаче 3.1, взятой из [Nel59], дается критерий интегрируемости неприводимого уни- тарного представления алгебры Гейзенберга. Задачи 3.17-3.19 вводят чита- теля в теорию квантовых групп (см. [Jim85, Дри86Ь, Dri87, Реш89а]) и взя- ты из [Дри83Ь] (см. также [Так90]). Фундаментальный результат того, что любая группа Ли-Пуассона допускает деформационное квантование как в задаче 3.18, был доказан в [ЕК96] (см. также [EnrOl]).
Глава 3 Уравнение Шрёдингера 3.1. Общие свойства Теперь мы опишем общие свойства оператора Шрёдингера для кван- товой частицы в Мп, движущейся в потенциальном поле. Для упрощения обозначений в этой главе мы положим 7г=1ига=-и будем записывать декартовы координаты на Жп как х = (xi, .. .,хп). Напомним (см. раз- дел 2.2.4 главы 2), что соответствующий оператор Шрёдингера задается формальным дифференциальным выражением Я = -А + У(ж), где V(ж) — вещественнозначная, измеримая функция на Rn. Обозначим как *-—(£♦·-£) оператор Шрёдингера свободной квантовой частицы массы т = - на Ш.п9 также называемый оператором кинетической энергии, а как V — оператор умножения на V(ж), также называемый оператором потенциальной энер- гии, так что H = HQ + V. (1.1) Согласно разделу 2.2.3 главы 2 оператор Но самосопряжен и неограничен в Ж = L2(Rn) и имеет область определения D(H0) = W2>2(Rn) и абсо- лютно непрерывный спектр [0, сю), а оператор V самосопряжен и является ограниченным, если и только если V(ж) Ε L°°(lRn), когда ||У|| = ||^||оо· Сумма Но + V необязательно самосопряжена, и первая важная матема- тическая задача квантовой механики состоит в характеризации потенци- алов V(x), для которых формальное дифференциальное выражение (1.1) однозначно определяет самосопряженный оператор Η в Ж. Вначале по- знакомимся с некоторыми полезными критериями самосопряженности.
208 Глава 3 3.1.1. Самосопряженность Главный результат в этой области — это теорема Като - Реллиха о воз- мущениях самосопряженных операторов. Определение. Пусть А и В — плотно определенные операторы в Ж. Оператор В меньше, чем оператор А, в смысле Като, если D(A) С D(B) и существуют а,Ь £Ш, причем а < 1, такие, что для любого ψ G D(A) \\Вф\\^а\\Аф\\+Ь\Щ\. (1.2) Эквивалентно, оператор В меньше, чем А, в смысле Като, если суще- ствуют α, β G Ш, причем а < 1, такие, что для любого φ G D(A) \\Βψ\\2^α\\Αψ\\2+βΜ\\2. (1.3) Теорема 1.1 (Като-Реллих). Если А — самосопряженный опера- тор с областью определения D(A), а В — симметрический оператор, меньший, чем А, в смысле Като, то Η = А + В с областью определе- ния D(H) = D(A) — самосопряженный оператор. Доказательство. Напомним, что оператор Η самосопряжен, если и только если 1т(Н + XI) = 1т(Н — XI) = Ж для некоторого λ G г Μ, а значит, для любого λ G С \ σ(Η). Поскольку А — А*, для любого λ G гШ имеем R\ = = (А- XI)-1 G ££{Ж) и Im ДА = D(A). Далее, Η - XI = (I + BRX)(A- XI), и чтобы доказать, что 1т(Н — XI) = Ж, достаточно показать, что для довольно большого |λ| выполняется ||-ВДа|| < 1> поскольку тогда, че- рез ряд Неймана, / + BR\ становится обратимым ограниченным опера- тором, и Im(/ + BR\) = Ж. Действительно, для любого φ G Ж имеем неравенства следующие из уравнения ||(Л — ΧΙ)ψ\\2 = \\Αψ\\2 + |λ|2||^||2, если поло- жить φ = (А — ΧΙ)ψ. Далее, используя (1.2) с ф = R\ip, получаем ||ВДаИ| < *\\ARx<p\\ + Ь||ЯаИ| < (<* + щ)НИ1, так что ||ВДл|| < 1 для достаточно больших |λ|. Мы используем критерий Като-Реллиха для физически важного слу- чая, когда А = Но — оператор Шрёдингера свободной частицы в Ш3 и В = = V — оператор умножения на У (ж).
3.1. Общие свойства 209 Теорема 1.2. Пусть V = Vi + V2, где Vi(x) G L2(M3) u V2{x) G G L°°(1R3). Тогда Η = Щ + У — самосопряженный оператор и D(H) = W2>2( ~ Доказательство. Достаточно показать, что У меньше, чем Но, в смысле Като на С£°(М3) С W2>2(R3). Обозначая как || · Ц^ норму на L°°(1R3), для φ G G С£°(М3) имеем ||^|| <||Vi|||Mloo +Halloo Nl· Пусть h(p) = ρ2. Обозначая как || · ||i норму на L1(1R3) и используя преоб- разование Фурье и неравенство Коши - Буняковского - Шварца, получаем (2π)3/2|ΜΙοο = sup хеш3 \Jе^ф(р)а3р ш.3 < \\Фк < ^11(л + 1Г11111(л+ад<с(|М| + |И) = = с(||ЯоИ1 + 1М1)· Теперь заменим ф(р) на фг(р) = г3ф(гр), г > 0. Поскольку ||<£г||оо = = Nloo, ||^r||i = Nil, \\Фг\\ = г3/2\\ф\\, и \\Нфг\\ = г~1/2\\кф\\, получаем, что (2π)3/2|Μ|οο < r-^CCItfoHl+r2|MI), где г > 0 произвольно. Выбирая г таким, что а = r_1/2(27r)~3/2C||Vi|| < 1, заканчиваем доказательство. Следствие 1.3. Оператор Шрёдингера сложного атома, рассматри- вавшийся в примере 2.2 раздела 2.2.4 главы 2, существенно самосопряжен вС0°°(М3^+1)). Доказательство. Будем рассматривать только специальный случай гамильтониана атома водорода: Н = -А-£, г=\х\. Записав V = x\V + (1 — xi)V = V\ + V2, где \i — характеристическая функция единичного шара Bi = {x G Ш3 : |ж| ^ 1}, имеем V\(x) G L2( uV2(x)eLc
210 Глава 3 Другой полезный критерий применяется к вещественнозначным по- тенциалам V(ж) G L™c(Rn) из пространства локально ограниченных п. в. функций на Шп. В этом случае оператор Н, определенный фор- мальным дифференциальным выражением (1.1), является симметрическим на Со°(Мп), и имеется следующий результат. Теорема 1.4. Если потенциал V(x) G L{£c(Rn) ограничен снизу, V(x) ^ С п. в. на W1, то оператор Шрёдингера Η = Но + V существенно самосопряжен на Со°(Мп). На самом деле выполняется более общее утверждение. Теорема 1.5 (Сире). Предположим, что потенциал V(x) G L^c(Rn) удовлетворяет для любого х G Ш71 условию V(x) > -Q(\x\), где Q(r) — возрастающая непрерывная положительная функция на [0, оо), такая, оо [ dr _ / —, = оо. Тогда оператор Шрёдингера Η = Щ + V существенно самосопряжен наС^{Жп). Задача 1.1. Докажите следствие 1.3 в общем случае. {Указание: вы- ведите оценку (1.3) для каждого члена соответствующего оператора потен- циальной энергии.) Задача 1.2 (Неравенство Като). Пусть функция φ е Lloc(Rn) такая, что обобщенную функцию Аф, можно представить функцией из Lloc(Rn). Докажите, что в смысле обобщенных функций А|гх|^ / — \ 77 ( Т* ) ^Re ( ^Агм, где предполагается, что . . = 0, если и(х) = 0. (Обоб- \и / и(х) щенная функция Г G У{Ш.п)' неотрицательна, если Τ(φ) ^ 0 для любого неотрицательного φ G У(Шп).) Задача 1.3. Докажите теорему 1.4, используя неравенство Като. (Указание: покажите, что если ф G L2(Rn) удовлетворяет условию (—Δ + + V(x) + С + \)ф = О в смысле обобщенных функций, то ф = 0.) Задача 1.4. Докажите, что одномерные операторы Шрёдингера с неограниченными снизу потенциалами V(x) = х и V(x) = —х2 суще- ственно самосопряжены на Cq°(R).
3.1. Общие свойства 211 3.1.2. Характеризация спектра Вторая важнейшая математическая задача в квантовой механике — опи- сать спектральные свойства оператора Шрёдингера Н. Мы приводим здесь некоторые общие результаты, характеризующие спектр Н. Первый основ- ной результат заключается в следующем. Теорема 1.6. Предположим, что V(x) Ε L^c(lRn) удовлетворяет условию lim V(x) = оо. |гс|—>-оо Тогда оператор Η имеет чисто точечный спектр: существует орто- нормированный базис {фп}пеп в <№> состоящий из собственных функ- ций Η с собственными значениями \\ ^ А2 ^ · · · ^ λη ^ · · · конеч- ной кратности, Ηψη = ληΨη, и lim λη = 00. η—>·οο Напомним, что существенный спектр aess(A) самосопряженного опе- ратора А состоит из неизолированных точек σ(Α) и собственных значе- ний бесконечной кратности. Следующий результат дает достаточное усло- вие того, что существенный спектр оператора Шрёдингера заполнит интер- вал [0, сю). Теорема 1.7. Предположим, что V = V\ + V2, где Vi(x) Ε Lq(Rn), 2q ^ η для п > 4 и q ^ 2 для η ^ 41, и V2{x) € L°°(lRn) удовлетворяет условию lim V2(x) = 0. \х\—юо Тогда aess(H) = [0, сю), так что σ(Η)Γ\(—οο, 0) состоит из изолированных собственных значений Η конечной кратности. Следующий результат дает достаточное условие того, что у оператора Шрёдингера с убывающим потенциалом будут только отрицательные соб- ственные значения. 1В особом случае η = 4 имеем q > 2.
212 Глава 3 Теорема 1.8 (Като). Предположим, что V(x) G L°°(Rn) и lim \x\V(x) = 0. \х\—»оо Тогда у оператора Шрёдингера Η = Щ + V нет положительных соб- ственных значений. Напомним, что абсолютно непрерывный спектр и сингулярный спектр самосопряженного оператора А в Ж определены соответственно равен- ствами σΑ€(Α) = а(А\Жас) и asc(A) = σ(Α\^), где Жас и Ж8С — замкнутые подпространства для А, определенные следующим образом. Пусть Ра — проекционная мера для самосопряженного оператора А и пусть νψ = (ΡαΨ,Ψ) — конечная борелевская мера на М, соответству- ющая вектору ψ G Ж, φ φ 0. Тогда Ж^с состоит из 0 и всех φ G Ж, таких, что мера νψ абсолютно непрерывна по отношению к мере Лебега на R, а Ж&с состоит из 0 и всех φ G Ж, таких, что мера щ сингулярна по отношению к мере Лебега на R. Теорема 1.9. Предположим, что потенциал V(x) G L°°(lRn) для некоторого ε > 0 удовлетворяет условию V(x) = 0(\х\~1~е) при \х\ —> сю. Тогда у оператора Шрёдингера Η = Но + V нет сингулярного спектра и аас(Н) = [0, сю). Более того, σ{Η) Π (—сю,0) состоит из собственных значений Η конечной кратности, а его единственная возможная предель- ная точка — 0. Наконец, для физически важного случая η = 3 имеется полезная оцен- ка числа собственных значений оператора Шрёдингера. Теорема 1.10 (Бирман- Швингер). Предположим, что V(x) G L° // !"<■«/.;,<«. 2 I®-2/1 Тогда для полного числа N собственных значений оператора Шрёдинге- ра Η = Hq + V, считаемых с учетом кратности, имеется оценка II 1 Г Г\у(*)у(у)\#_*. „ _ 1ж-1у12 R3 R3 " «is?/У п^Г'"-■»· Задача 1.5. Докажите все результаты, перечисленные в этом разделе. (Указание: см. список библиографических ссылок к этой главе.)
3.1. Общие свойства 213 3.1.3. Теорема о вириале Пусть Η = Но + V — оператор Шрёдингера, у которого потенциал — однородная функция на Ш71 степени р, т. е. V(ax) = apV(x). Теорема о ви- риале в квантовой механике — это соотношение между математическими ожиданиями операторов Щ и V кинетической и потенциальной энергий в стационарном состоянии. Теорема 1.11 (Теорема о вириале). Пусть φ Ε Ж, \ф\ = 1, — собственная функция оператора Шрёдингера с однородным потенциалом степени ρ и пусть То = (Ηοψ, ψ) uVo = (Уф, φ) — соответствующие ма- тематические ожидания операторов кинетической и потенциальной энер- гий. Тогда 2Т0 = pV0. Доказательство. Из уравнения Шрёдингера -Аф + У(х)ф = Хф следует, что T0 + Vo = -{Αφ, φ) + (νψ, ψ) = \. Для любого α > 0 функция фа(х) = φ (ах) удовлетворяет условию -Афа + ар+2У{х)фа = а2Хфа, так что, дифференцируя это уравнение по а при а — 1 и используя теорему Эйлера об однородных функциях, получаем -Аф + V(x)tj> = Хф + (2λ - (ρ + 2)У{х))ф. (1.4) Поскольку φ G D(H)9 a H самосопряжен, выполняется ((Я -М)ф, ф) = (ф, (Я - \1)ф) = О, и из (1.4) получается, что 2А=(р + 2)Уо, что и завершает доказательство.
214 Глава 3 Замечание. Поскольку уровни энергии квантовых систем имеют отношение к замкнутым орбитам соответствующих классических систем, теорема 1.11 является квантовым аналогом классической теоремы о вириа- ле (см. пример 1.2 в разделе 1.1.3 главы 1). Задача 1.6 (Принцип Рэлея-Ритца). Докажите, что λ — соб- ственное значение самосопряженного оператора Η с собственной функ- цией φ тогда и только тогда, когда φ — критическая точка функциона- ла F[ip) = ((Я - ΧΙ)φ, φ) на D(H). Задача 1.7. Выведите теорему о вириале из принципа Рэлея-Ритца. 3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера Оператор Шрёдингера на вещественной прямой — одномерный опера- тор Шрёдингера — имеет вид где вещественнозначный потенциал V(x) принадлежит L11oc(lR), простран- ству локально интегрируемых функций на Ш. Соответствующая задача о собственных значениях, Нф = Хф, сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго поряд- ка: -у" + V(x)y = к2у, -оо < х < оо, (2.1) в котором удобно положить λ = к2. В этом разделе мы подробно изучим одномерное уравнение Шрёдингера (2.1) для случая, когда оо А(1 +|a:|)|V(a:)|da: < оо. (2.2) — ОО Условие (2.2) — это математическая формулировка физического утвержде- ния о том, что потенциал V(x) убывает при |х| —► оо. Она позволяет срав- нивать решения у(х,к) уравнения Шрёдингера (2.1) с решениями е±гкх уравнения Шрёдингера для свободной квантовой частицы, соответствую- щего случаю V = 0 в (2.1). Все результаты этого раздела верны для ве- щественнозначного потенциала V(x) G L11oc(lR), удовлетворяющего (2.2); для простоты изложения мы вдобавок предполагаем, что потенциал V(x) в (2.2) непрерывен на Ш.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 215 3.2.1. Функции Йоста и коэффициенты перехода Пусть оо оо а(х) = / |V(s)|ds и а\{х) = / a{s)ds. X X Посколысу V G Ь1(М), имеем lim а(х) — О и, используя условие (2.2) х—»оо и теорему Фубини, получаем оо оо оо t оо ai(x)= J J \V{t)\dtds= f f\V(t)\dsdt= I\t - x)\V(t)\ dt так что σ G Ll(x,оо) для любого х G R и lim ai(x) = 0. Аналогично х—»оо функции X X а(х) = / |V(s)|ds и ai(x) = / a(s)ds — оо —оо удовлетворяют условию lim а(х) = lim ai(x) = 0. Условие (2.2) х—►—оо х—* — оо гарантирует, что для вещественных А: дифференциальное уравнение (2.1) имеет решения /i(x, к) и /2(2, &), однозначно определяемые следующими асимптотиками: /i(x, к) = егкх + о(1) при а; —> оо, f2(x,k) = е~гкх + о(1) при х —> -оо. Они называются решениями Йоста и играют фундаментальную роль в тео- рии одномерного уравнения Шрёдингера. Теорема 2.1. Для вещественных к дифференциальное уравнение (2.1) имеет решения fi(x,k) и /2(ж, А:), удовлетворяющие следующим свой- ствам, (/) Оценки для k G R: |e-<b7i(*,fc) - 1| < М*) -<ri(a:+ щЖ'(х), |e<te/2(x,A:) - 1| < (^(х) - ах{х - ^ц))е^х).
216 Глава 3 (и) Асимптотики при \х\ —+ оо: lim e-ikxh(x, k) = 1, lim e~ikxf[(x, k) = ifc, X—ЮО Ж—ЮО lim e<fca:/2(»,fe) = l, Hm eikx&(x,k) = -tfc. (ш) Аналитичность: функции /i(x, A:) w /2(^5 &) допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость Imfc > 0 и являются непре- рывными в области Im A; ^ О равномерно по х на компактных подмно- жествах R. (/ν) Свойство сопряжения: fi(x,k) = /i(x,-fe), /2(ж,*) = /2(x,-fe), Imfc ^ 0. (ν) Оценки в части (i) выполняются для Im k ^ 0. Для к Φ 0 .. _— Im/cx 77Tcr(rE) 1*1 ., Лт/сх 777 σ (ж) l/afo*) -e-te| < ^-?(х)е'*1 . (ν/) Асимптотика при \k\ —► 00, Im A; ^ 0: e-to/!(x, fc) = 1 + Odfel"1), e<fc*/2(a;, fc) = 1 + 0(|*Г'). Доказательство. Из метода вариации произвольных постоянных получается, что диффе- ренциальное уравнение (2.1) с граничным условием lim e~lkxfi(x, k) = 1 ж—» 00 эквивалентно интегральному уравнению оо h(x, k) = eik* - J "^"Vfl/ift, *)*· (2-3) Положив у?(ж, А;) = e~tkxfi(x, к), получаем оо ψ(Χ, k) = l-J 1 ~ ^ш'^ ν®φ& k)dL (2'4)
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 217 При Imk ^ 0 интегральное уравнение (2.4) является уравнением типа Вольтерра, и его можно решить методом последовательных приближений. А именно: будем искать решение в виде оо (2.5) V(t)ipn(t,k)dt где φ0(Χ ,*) = 1и 4>n+i{x ,*) = ¥>(s,*0 : оо п=0 . р—2гк(х- 2гк ifa -*). ■ *), *ч*: оо / £ = / ( / e-2ife^-s)F(i)^n(i, fc)<*> I Λ. Ыг,*)^-^-. (2.6) Тогда для Im к ^ О ai(x)n η! Действительно, эта оценка верна для η = 0, и, используя теорему Фубини и предположение индукции, получаем оо / t \φη+1(Χ, fc)K i J I J \V(t)\ai(t)nds dt = x \x / oo / oo \ = ±jy\V(t)\a1(trdt\ds< OO n\J w 1W (n + 1)! Таким образом, Η*,Λ)Ι<βσ1(Χ). (2.7) По признаку сравнения Вейерштрасса функция у?(ж, А;), определенная схо- дящимся рядом (2.5), аналитична при ImA; > 0. Она также непрерывна вплоть до прямой ImA; = 0 равномерно по х на компактных подмноже- ствах R.
218 Глава 3 Первая оценка в части (i) теперь следует из (2.4) и (2.7). А именно: воспользовавшись равенством \V(t)\ = —cr'(t) и интегрируя по частям, по- лучаем \<p(x,k)-l\<J X 1 _ —2ifc(x—t) 2ik < eCTl(x) |fc| \V(t)\\<p(t,k)\dt< \ J {t-x)\V{t)\dt + ±- I \V(t)\dt x+w = e»iOO -(i-a;)CT(i) X+W X+W\ + J *(*)* +Щ J \V(t)\dt X+W\ = e°*M(a1(x)-a1(x+±[)) Для к = 0 эту оценку следует понимать как \<р(х, 0) — 1| ^ ai^e^^. Функция fi{x,k) = βτ1*Χφ{Χ,}η удовлетворяет интегральному уравне- нию (2.3) и в силу (2.7) в (2.3) можно дифференцировать под зна- ком интеграла. Это доказывает, что fi(x,k) удовлетворяет дифферен- циальному уравнению (2.1) и первой оценке части (i). В частности, lim е~гкхf\{x,k) = 1 для ImA; ^ 0. Дифференцируя (2.3) и используя ж—>οο то, что е-1т/с(*-ж)| Cos к(х — t)\ ^ 1 для t ^ х и 1т к ^ 0, получаем оо \e~ikxf[(x, к) -ik\^J \V(t)\\tp(t, k)\dt ^ а(х)е^х\ (2.8) так что lim е гкх/[(х, к) = гк для Im к ^ 0. ж—>οο Свойство сопряжения следует из единственности решения fi(x,k), удовлетворяющего оценке в части (i). Чтобы доказать единственность, обо- значим как х(х,к) однородное решение интегрального уравнения (2.4)
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 219 со свойством, что а(х) — supx<t<00 |%(£, к)\ < оо для любого х £ М. Рассмотрим неравенство оо / t \X{x,k)\< J U\V(t)\\X(t,k)\ds\dt, следующее из однородной формы уравнения (2.4). Повторяя доказатель- ai(x)n п\ лу η —► оо дает \(х, к) = 0. Для доказательства первой оценки в части (ν) рассмотрим неравенство ство оценки (2.6), получаем |х(ж,А;)| ^ а(х) :—, а переход к преде- оо Ых,к) - II < η^ρ -щ/лШЬк) - i\dt, (2.9) X следующее из (2.4) при к φ 0. Последовательно применяя (2.9), получаем 1 И*,*)-1|<2МеЙ'(Х). 1*1 Асимптотика в части (vi) следует из оценки в части (ν), что и заверша- ет доказательство для решения fi(x,k). Существование и аналитические свойства решения /г (ж, к) доказываются аналогично рассмотрением инте- грального уравнения х /2(х, к) = e-ik* + J Sinfc(*~*V(t)/2(i, k)dt. (2.10) Следствие 2.2. Для Imfc^Owfc^O . lim e-to(/i(x,fc)-ix/i(x,fc)) = 0, lim eikx(f2(x,k)+ixf2(x,к)) = О, где точка обозначает частную производную по к. Доказательство. Дифференцируя (2.4) по к, получаем следующее интегральное урав- нение для ф(х, к) = e~~tkx(fi(x, к) — ixfi(x, к)): оо /1 _ p-2ik(x-t) 2ik V(t)tp(t,k)dt,
220 Глава 3 где оо д(х, к) = | J(t - Χ)β-2^Χ-^ν(ηφ(1, k)dt + |(1 - φ(Χ, к)). Χ Из оценки в части (i) теоремы 2.1 и (2.7) следует, что \д(х,к)\ ^ ^ 7-;0-i(x)eai(x\ и, повторяя доказательство оценки (2.7), получаем, что \ф(х,к)\ ^ jr;cri(x)e2<Tl(x\ Поскольку lim a\(x) = 0, это доказывает \к\ х—уоо утверждение для Д (#,£;). Соответствующий результат для f2(x,k) дока- зывается аналогично. Для вещественных к ф 0 пары fi(x, к), fi(x, —A;) = = fi(x,k) и /2(х,к), f2(x,—k) = /2(3:,к) являются фундаментальными решениями дифференциального уравнения (2.1). Действительно, вронски- ан W(y\, 2/2) = У1У2 — 2/12/2 Двух решений (2.1) не зависит от х, а из части (и) получаем, что W(/i(я, fc),/i(*,-*))= lim W(/i(a;,fe),/i(a:,-fe)) = 2t*;, W(/2(a:, fc), /2(ж, -fc)) = lim W(f2(x, к), f2(x, -к)) = -2ik. X-+ — OO Поэтому для таких к имеем /2(ж, к) = a(fe)/i(x, -fc) + b(k)h(x, к), (2.11) где коэффициенты перехода а(к) и Ь(&) даются формулами «(*) = ±W(h(x,k),f2(x,k)), Ъ(к) = ±W{h{x,k),h{x,-k)) (2.12) и удовлетворяют равенствам а(к) = а(—к), Ь(к) = Ь(—к). Аналогично на- ходим, что h(x, к) = a(k)f2(x, -к) - b(-k)f2{x, к). (2.13) Подставляя (2.13) вместо fi(x,k) и fi(x,—k) в (2.11), находим для веще- ственных к ф 0 так называемое условие нормировки'. |а(А;)|2 = 1 + |Ь(А;)|2. (2.14) Из частей (iii) и (vi) теоремы 2.1 следует, что коэффициент а(к) допускает аналитическое продолжение в область Im к > 0 и а(к) = 1 + О^'1) при \к\ -> оо. (2.15) Более того, функция ка(к) непрерывна в области ImA; ^ 0.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 221 Условие нормировки (2.14) означает, что все нули а(к) лежат в верхней полуплоскости ImA; > 0. Пусть ко — такой ноль, а(ко) = 0. Из первого уравнения в (2.12) следует, что W(fi (ж, к0), /2(2, к0)) = 0, так что решения Иоста fi(x, ко), /2(^5 ко) линейно зависимы, fi(x,k0) = cof2(x,ko), для некоторого со φ 0. Из части (i) теоремы 2.1 следует, что при Imfc > 0 решение /i(x, к) экспоненциально затухает при х —► оо, а решение /г (ж, к) экспоненциально затухает при х —+ —оо. Поэтому /i( ·, fco) G I/2(R) — собственная функция оператора Шрёдингера Η с собственным значени- ем λο = k,Q. Поскольку оператор Η симметрический, его собственные зна- чения вещественны: оо Ao||/i(-,MI2= j {-K{xM) + V{x)h{xM)WxM)dx = —00 00 = J П(х,к0)(-П'(х,к0) + У(х)Мх,к0)) dx = Xo\\fi(- ,k0)\\2, — OO что легко видеть, дважды проинтегрировав по частям; вследствие ча- сти (i) теоремы 2.1 и оценки (2.8) граничные члены обращаются в ноль при \х\ —> оо. Таким образом, ко = гщ — чисто мнимая величина с κ0 > 0, так что λο = — Xq < 0, а соответствующая собственная функция fi(x,i>co) вещественнозначна. Предложение 2.1. У функции а(к) в верхней полуплоскости Imfc > 0 лишь конечное число чисто мнимых простых нулей ki = гщ, и а(гщ) = -гс/||/2(-,гх/)||2, / = 1, ...,п, где точка обозначает производную, а /\(х,гщ) = с//2(х, гщ). Функ- ция 1/а(к) ограничена в некоторой окрестности точки к = 0 в обла- сти Im к ^ 0. Доказательство. Из (2.14) и (2.15) следует, что к = 0 — единственная возможная предельная точка множества нулей а(к) в 1т к ^ 0. Сперва предполо- жим, что функции fi(x,k) и f2(x,k) линейно независимы при к = 0. Тогда непрерывная в области ImA: > 0 функция ка(к) удовлетворяет усло- вию lim ка(к) = W(fi(x, 0), /2(2,0)) φ 0. Поэтому а(к) φ 0 в некоторой /с—>O окрестности точки 0, и а(к) имеет лишь конечное число нулей в обла- сти Im к > 0.
222 Глава 3 Случай, когда /i(x,0) = с/2 (ж, 0), с ф 0, оказывается более тон- ким. Предположим, что в области Im/c > 0 есть сходящаяся к 0 под- последовательность кп = гкп нулей функции а(к). Из части (i) теоре- мы 2.1 следует, что существует А > 0, такое, что для любого κ ^ 0 вер- но Д(ж, г>с) > -ρ:β~κΧ для ж ^ А и /2(ж, г>с) > -ρ:βκΧ для ж ^ А, так что ОО —Α \ fi(x,iJ€n)fi(x,0)dx, / f2(x,iKn)f2{x,0)dx ^ — 4^η А Пользуясь интегрированием по частям, получаем, как и ранее, ОО К\ \ fi(x,i*n)fi(x,0)dx = — ею ОО = / (fifai*n)- V(x)f1(x,iKn))fi(x,0)dx = —оо ОО = J /i(a;,txil)(/i/(x,0)-Vr(a;)/i(x,0))dir = 0. — ОО С другой стороны, имеем сю А 0 = f1(x,i>cn)f1(x,0)dx + / /i(x,ixn)/i(a;,0)da;-|- (2.16) А -А -А + с-сп / /2(ж,гхп)/2(ж,0)^ж. — ОО Поскольку функция fi(x,k) непрерывна в области Im/c ^ 0, равномерно по х на компактных подмножествах R имеем А А Jrn^ / fi(x,i*€n)fi(x,0)dx= / /i(x,0)2dx ^ 0.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 223 Воспользовавшись равенством r r fi(x,i*n) Л(я,0) 2^ η lim с · сп = с lim —-—:—- = с ——— = с > О, п-+оо n_+oo f2(x^ lHnj у2^5 о) получаем из (2.16), что для достаточно больших η 0 > -±-е~^А. Это очевидное противоречие, поэтому у функции а(к) лишь конечное число нулей. Доказательство локальной ограниченности функции 1/а(к) в этом случае предоставляется провести читателю. Далее, рассмотрим дифференциальное уравнение (2.1) вместе с урав- нением, полученным из него дифференцированием по к: -y" + V(x)y = k2y, (2.17) -у" + V{x)y = к2у + 2ку. (2.18) Положим у = fi(x, к) в уравнении (2.17), у = /г(ж, /с) в уравнении (2.18) и умножим (2.17) на /2(ж, /с), а (2.18) — на /i (ж, /с). Вычитая получившиеся уравнения, получаем W(h(x, к), /2(х, fc))7 = 2fc/i(*, fc)/2(x, fc). Аналогично, положив у = /г(ж, /с) в (2.17), у = fi(x, к) в (2.18), перемно- жая и вычитая, получаем -W(f1(x,k)J2(x,k)), = 2kf1(x,k)f2(x,k). Поэтому W(/i(x,*)>Л(*>к))\Х_А = 2к j h(x,k)h(x, k)dx, (2.19) -A A - W(f1(x,k),f2(x,k))\* = 2kjf1(x,k)h(x,k)dx. (2.20) X Теперь предположим, что a(fco) — 0· Имеем W(/i(ar,fc),/2(x,*)) = 2ifca(fc),
224 Глава 3 так что, продифференцировав по А; и положив к = ко, получаем WX/i(ж, ко), /2(ж, ко)) + W(f! (ж, fc0), Λ(*> Μ) = 2ikoa(k0). Поскольку fi(x,ko) = cof2(x,ko), из теоремы 2.1 и следствия 2.2 следу- ет, что граничные члены в (2.19)-(2.20) обращаются в ноль при А —+ оо, и мы получаем, воспользовавшись тем, что функция f(x,ko) веществен- нозначна, что а(ко) =-г I fi(x,k0)f2(x,ko)dx = -ico\\f2(-,ki ;оЛ!2· Собственные значения оператора Шрёдингера Η просты. Действи- тельно, функция fi{x,i>c) — решение дифференциального уравнения (2.1) для λ = — х2 < 0, экспоненциально затухающее при х —> оо. Поскольку вронскиан любых двух решений (2.1) постоянен, другое решение (2.1), ли- нейно независимое с fi(x,ix), экспоненциально возрастает при х —► оо. Таким образом, любое экспоненциально затухающее при х —> оо реше- ние (2.1) для λ = — х2 отличается от fi(x,ix) на постоянный множитель. В частности, это доказывает, что точечный спектр Η прост. Этот результат следует также из простоты нулей функции а(к) и теоремы о разложении по собственным функциям, которую мы докажем в следующем разделе. Задача 2.1 (Теорема об осцилляциях). Пусть Ai = -х2 < < ... < Ап = х2 < 0 — собственные значения одномерного опера- тора Шрёдингера Н. Докажите, что соответствующие собственные функ- ции Д(ж, гщ) имеют в точности I — 1 простых нулей, / = 1, ..., п. Задача 2.2. Докажите, что при ImA; ^ 0 решение Йоста fi(x,k) допускает представление оо fi(x,k) = eikx + [ K^ty^dt, где оо К(х,х) = \ (v(t)dt и \Ki(x,t)\^ Ισ(ψ)ε° X + t а1(х)-а1(-^~)
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 225 Более того, ядро К\(х, i) дифференцируемо, и аналогичное неравенство выполняется для ^^(x,t). Соответственно, для ImA; ^ 0 решение Иоста f2(x,k) допускает интегральное представ- ление х f2(x,k) = e~ikx + / K2(x,t)e-iktdt, — оо в котором ядро K2(x,t) удовлетворяет аналогичным оценкам. (Указание: покажите, что (2.3) эквивалентно интегральному уравнению i)duds с условием K\(x,t) = 0 при t < x, которое решается методом последова- тельных приближений.) Задача 2.3. Покажите, что коэффициенты перехода а(к) и Ь(к) име- ют представления оо оо оо а(к) = 1_а / У{х)ах~Ш / А(*)вШЛ, Ь{к) = gjjfc У B(t)e-ihtdt, — оо 0 —оо где A(t) G L^O, оо) и B(t) G L^-oo, oo). ЗАДАЧА 2.4. Покажите, что для Imfc > 0 коэффициент перехода а(к) удовлетворяет дисперсионному соотношению оо / x+t 2 V(s)ds оо + hjv(s) х t t+(s-x) I -(s-x) ,., j 1 7 bg(l + |b(p)|2b 1 TT к — гщ 3.2.2. Разложение по собственным функциям Ниже мы в явном виде построим ядро резольвенты для одномерно- го оператора Шрёдингера Η и покажем, что оно самосопряжено и имеет
226 Глава 3 область определения, состоящую из функций φ Ε L2(Μ), дважды диффе- ренцируемых на Μ и таких, что —ψ" + V(x)tp £ L2(M). С помощью ком- плексного интегрирования мы выведем теорему о разложении собственных функций для оператора Я, обобщающую соответсвующий результат для оператора Щ свободной квантовой частицы, рассмотренный в разделе 2.2.3 главы 2. Для λ Ε С \ [0, оо) пусть Г fi(x,k)f2(y,k) R\(x,y) h(y,k)f2(x,k) V-2l> - 2ika(k) > «*■*<* где ветвь функции к = y/λ на С \ [0, оо) определяется условием, что ImA; > 0. При фиксированных х и у функция R\(x,y) мероморфна на С \ [0, оо) и имеет простые полюса в точках λ/ = — κ2, I = 1, ..., п. Для фиксированного λ φ λ/ функция R\(x,y) = R\(y,x) непрерывна по х и уу и из части (ν) теоремы 2.1 и (2.15) следует, что \Rx(x,y)\^C e-1"1*'*-^ C>0. (2.22) Ядро R\(x,y) определяет при λ φ λ/ ограниченный интегральный опера- тор R\ в L2(R) формулой (Яхф)(х)= f Rx(x,y)xP(y)dy. — ОО Действительно, из (2.22) следует, что для ψ £ L2 оо оо \к\2 ||ЗД|2 < С2 J (| e-Imk^-y^(y)\dy) dx = — оо —оо оо оо оо С2 j [ е-Ьп*(|*1|+||Ы) j \ф(х + У1Щх + у2)\ахаУ1ау2 < ^4С2(1тк) В частности, —оо 2/т™ 1Л-2||я/.||2 №»«щЬ-
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 227 Лемма 2.1. Оператор Η самосопряжен и R\ = (Η — XI) λ при λ G G С \ {[0, oo) U {Ai, ..., λη}}, где I — тождественный оператор в L2(M). Доказательство. Пусть g G L2(R). Как и в методе вариации произвольных постоянных, из (2.21) следует, что при λ G С \ {[0, oo) U {Ai, ..., λη}} функция у = = R\g G L2(R) дважды дифференцируема п. в. на Μ и удовлетворяет диф- ференциальному уравнению -у" + V(x)y = \y + g(x). Таким образом, (Н — XI)R\ = I и, в частности, 1т(Н ± И) = L2(M), так что оператор Η самосопряжен. Пусть #о — гильбертово пространство С2-значных функций Φ (λ) = = Ι /\\ ) на [0? °°) с нормой оо ЦФ|1о = /(Ь(А)|2 + Ь(А)|2)^(А), о где da(X) = —^—dX и у/Х ^ 0 при λ ^ 0 (см. раздел 2.2.3 главы 2, где следует положить % = 1 и т = -). Для λ > 0 положим Uj{x, л/λ) = -ГТКЫЪ д/λ), j = 1,2, (2.23) α(νλ) а для -0 G С2(Μ) определим С2-значную функцию &ψ на [0, оо) с компо- нентами {^ф)\ И (&ψ)2 формулой оо (^)j(A) = —L / ф{х)щ{х, V\)dx, з = 1,2. (2.24) ν 2π У — оо По предложению 2.1 функция Щф ограничена в точке λ = 0, а для боль- ших λ с помощью дифференциального уравнения (2.1) и интегрирования по частям получаем равенство оо (&ψ),(λ) = —^= { (~Ф"(х) + У(х)ф(х))иа(х, y/X)dx, Λ\/2π J показывающее, что Щф G йо·
228 Глава 3 Пусть Ρ — ортогональная проекция на подпространство Ж = L2(№), натянутое на собственные функции фг{х) = fi(x,i>ci), Z = 1, ... ,п. Функ- ции ф\ вещественнозначны и ортогональны, так что для φ £ Ж 7 (Ρψ)(Χ) = Σ-±-ψ1(Χ) / ф{у)ф1{у)ау. Теорема 2.3. Оператор ^ продолжается до оператора частичной изометрии % : Ж -+ S)0: fy*ty=I-P и &ty* = IQ, и устанавливает изоморфизм (I — Р)Ж ~ #о· Здесь I и 1о — соответ- ственно тождественные операторы в Ж w йо- Для спектра соответ- ствующего оператора Шрёдингера Η имеем σ(Η) = {—xf, ..., — х^} U U [0, оо) и где ЖрР = РЖ и Ж^ — (I — Р)Ж — соответственно инвариантные подпространства, связанные с чисто точечным и абсолютно непрерыв- ным спектрами Н. Оператор fyHty* — это оператор умножения на λ в йо> тяак что абсолютно непрерывный спектр [0, оо) оператора Η имеет кратность два, а оператор ^ «диагонализует» ограничение Η на подпро- странство ЖъС. Доказательство. Для доказательства соотношения ^*^ = I — Ρ — так называемого соотношения полноты — достаточно установить следующую классическую формулу разложения по собственным функциям для φ Ε Cq (Ж): О -сю оо +и2(х,k) J ip(y)u2(y,k)dy\ dk + (2.25) — СЮ « °° П „ + Σ 77172^'(x) / "Ф(у)Му)ау, fri Ш\ J
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 229 где все интегралы абсолютно сходятся, и мы положили у/Х = к, da{\) = dk. Действительно, предположив, что выполняется (2.3), получаем дляф,<р€С%(М.) —оо —оо 0 —оо оо + и2(х,к) / i/>(y)u2(y,k)dy)dk)dx + V-;Цо W^OW^vO = -оо t_ х η Pi ll^lr где ( , )o — скалярное произведение в 5} о, а изменение порядка интегриро- вания по ж и А; обосновано теоремой Фубини. Таким образом, (νψ,νφ)ο = ((Ι-Ρ)ψ,φ) (2.26) для ψ, φ G Cq(M), и можно заключить, что Щ продолжается до ограни- ченного оператора из Ж и йо? удовлетворяющего условию (2.26) для лю- бых ψ, φ G J£*. Чтобы доказать формулу разложения по собственным функциям (2.3), для A G С \ [0, оо) положим g(x, A) = (R\ij;)(x). Функция д(х, А) для фик- сированного х мероморфна на A G С \ [0, оо) и имеет простые полюса в точках А = \i, I = 1, ... ,п. Из (2.21) и предложения 2.1 следует, что оо Resx=Xlg(x,\) = -^Чг/гО^гх/) / /2(у,гщ)ф(у)ау = - ' ' ^i{x). — оо Поскольку HR\ = R\H = I + XR\, имеем -g"(x, A) + V(x)g(x, A) = ψ(Χ) + А$(ж, А), так что 5(х,А) = --^(х) + ±(ад(*), где ψ = -ψ" + V(x)ip 6 C0(R). Из (2.22) получаем |(Да^)(х)К 7Д7 при |λ| — оо, так что 0(ж,А) = —^(а0 + О(|АГ3/2) при |А| -* оо. (2.27) Л
230 Глава 3 Из предложения 2.1 и (2.21) следует, что д(х,Х)=0(\Х\-1/2) при А-40. t (2.28) Для 0 < ε < 1 < TV пусть С = C£in — контур, составленный из следу- ющих частей: (i) дуга Се окружности λ = 'εβτθ, ε < | arg#| < π, проходимая по часовой стрелке; (ii) дуга С ν окружности λ = Nel9, ε ν ^ | arg#| < π, проходимая против часовой стрелки, где N sin ε^ = ε sin ε; (iii) отрезки 1± прямых ImA = azesine, соединяющие границы дуг. Выберем ε и N так, чтобы все полюса А/ функции д(х, А) были внутри С, и рассмотрим с С одной стороны, по теореме Коши о вычетах С другой стороны, из (2.27) и (2.28) следует, что №ооЬп]Г9(х,Х)а\=-ф(х) и hm^}jg(x,X)dX = 0. Таким образом, мы получаем η Ψ(Χ) - Σ]ΓΓμ2^'^)^(ж) = = 1™о J™, Ш (А(х'X)dX - /5(Х'X)dX) = х+ X- оо оо = ^1(1{Пх^о{х,у)-Ях-го(х,у))ФШу)^ (2.29) /=1 где R\±io(x,y) = ]imR\±ie(x,y). ε—>0
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 231 Чтобы вычислить разность Дд+го(^, у) — R\-io(x,y), заметим, что на раз- резе λ ^ 0 выполняется у/Х + гО = к ^ 0 и л/А — гО = — к ^ 0. Из (2.21) следует, что при х^ у R\+io(x,y) - R\-io(x,y) = = 1_ ffifak)f2(y,k) fi(x,-k)f2(y,-k)\ 2гк у а(к) а(-к) ) ' и, воспользовавшись уравнениями ш ~к) = ~^k)h (2Лк) + ^/2(у'Λ)· следующими из (2.11) и (2.13), получаем R\+io(x,y) - R\-i0(x,y) = 2fe|a(fc)|: r(/i(x, fe)/i(y, fe) + /2(ж, k)f2(y, fe)) = где λ = А;2. Подставив это в (2.29) и используя симметрию R\(x,y) = = R\(y,x) ядра резольвенты, получаем разложение по собственным функциям (2.3). Пусть ^ас — ограничение оператора % на подпространство Жас = = (I — Р)Ж. Из соотношения полноты следует, что оператор ^ас — изометрия, так что Im^ = Im^ac — замкнутое подпространство в #о· Таким образом, для того чтобы проверить соотношение ортогонально- сти W&* = 1$, достаточно показать, что Im^ = 9)q. Пользуясь ин- тегрированием по частям, легко получаем, что самосопряженный опера- тор ^QjcH^/g^1 ~ это оператор умножения на λ в Im^ с областью опреде- ления WD(H). Более того, ^#μ = ^°%, деС\[о,оо),
232 Глава 3 где ΙΙμ ' — резольвента оператора умножения на λ в ?)о-> так что Im W — инвариантное подпространство для щ/. Далее, из леммы 2.2 в раз- деле 2.2.2 главы 2 следует, что существуют борелевские подмноже- ства Е\,Е2 С [0, ос), такие, что im*-{4«;£)· -CsM· Если, скажем, лебеговская мера множества Е\ = [0, оо) \ Е\ положительна, то для λ = к2 £ Ei имеем оо / щ(х, к)ф{х)ах = 0 для любого ψ G Cq (Μ), так что ui(x,k) = 0 для любых х £ R — противоречие. Поэтому, Im^ = йо· Пусть % · ^ —► #о ~ соответствующий унитарный оператор для оператора Шрёдингера Щ свободной частицы, построенного в разде- ле 2.2.3 главы 2 (при % — 1 и т = ^), и положим С/ = ^*% · «^ —► во- след ствие 2.4. Ограничение Η на абсолютно непрерывное подпро- странство Ж&С унитарно эквивалентно Щ: и\Жлс = ин0и~\ Замечание. В физической литературе соотношения полноты и орто- гональности, понимаемые в смысле обобщенных функций, обычно записы- ваются как оо ^- I (щ(х, k)ui{y, k) + и2(х, к)и2(у, k))dk + V * * = i(x - у) —оо где г, к = 1, 2 и к, ρ > 0. Когда коэффициенты перехода а(&) и &(&) диффе- ренцируемы при к φ О2, соотношение ортогональности можно вывести из оо 2Это имеет место, когда V{x) удовлетворяет условию f (1 + |х|2)|У(х)|йх < оо.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 233 тождества -^W{uj(x,k),uk(x,p)) = (А;2 -р2)и0{х,к)ик(х,р), (2.30) мгновенно следующего из дифференциального уравнения (2.1). А именно: рассмотрим случай j = к = 1 и проинтегрируем (2.30) на отрезке [—Ν, Ν]. Используя (2.13) и асимптотику решений Йоста, получаем N N I -N ixi (ж, k)ui{x,p)dx = — * W(fi(x, к), fi{x,p)) {к2 - р2)а(к)а(р) -N ei(k-P)N _ a(k)a(p)e-i{b-v)N + ъ(к)Ъ(р)е^к-^м а(к)а(р) \ к~Р а(к)Ъ(р)е-^к+^м - b(k)a(p)e^k^N^ к + р + о(1) при N —> оо. Поскольку fc,p > 0, по лемме Римана-Лебега предел в смысле обобщен- ных функций членов в третьей строке при N —+ оо равен нулю. Посколь- ку а(к) и Ь(к) предполагаются дифференцируемыми, во второй строке мож- но заменить а(р) и Ь(р) на а(к) и b(fc) соответственно, так как разность стремится к нулю при N —+ оо по лемме Римана-Лебега. Наконец, ис- пользуя (2.14), получаем N sinffc ν)Ν и\(х,k)ui(x,p)dx = 2 lim - = 2nS(k— p), Ν—юо к — ρ -Ν где последнее равенство — записанное в смысле обобщенных функций со- отношение ортогональности для преобразования Фурье. Замечание. Собственные функции непрерывного спектра Uj(x,\) удовлетворяют также свойству, аналогичному условию нормировки (2.14) из раздела 2.2.2 главы 2: lim — (С/^+д - Ujtk, ЭД,*+д - t/i,fc) = 2πδβ, j, /=1,2, Δ—»0 Ζλ где /с" /с υ^Χ) = Ι^(Χ^)^ = Ι^^αρ, j = 1,2. 2v^ У α(ρ) fc2 fco
234 Глава 3 Замечание. Качественная структура спектра Шрёдингера Η опре- деляется структурой линий уровня Нс(р,х) = λ классической функции Гамильтона Нс(р,х) = р2 + V(x). А именно: из условия lim V(x) = 0 |х|—>οο следует, что поверхности уровня при λ > 0 некомпактны, а классическое движение неограничено в обоих направлениях, и эти значения λ заполня- ют абсолютно непрерывный спектр [0, ос) оператора Η с кратностью два. Для λ < 0 линии уровня компактны, и классическое движение периодич- но. Согласно правилам квантования БВЗ (см. раздел 2.2.5 главы 2) уровни энергии — собственные значения Η — соответствуют замкнутым орбитам, а условием (2.2) гарантируется, что у Η лишь конечное число собственных значений. Задача 2.5. Найдите уровни энергии для потенциала v(X) = —§_; к>>о. cosh нх В частности, покажите, что если Vb = 2x2, то собственное значение всего одно — Ε = —я2. Задача 2.6. Покажите, что оператор R\ — Rrx \ где Wx * = (Щ — — λ/)-1 и λ G С \ [0, оо), имеет след и TV(i?A-X0)) = -^loga(v/A). (Указание: используйте свойства (2.19)-(2.20) из предыдущего раздела.) 3.2.3. 5-матрица и теория рассеяния В предыдущем разделе было показано, что для потенциалов V(x), удо- влетворяющих условию (2.2), операторы Η = Но + V и Но имеют один и тот же абсолютно непрерывный спектр. Среди множества операторов ча- стичной изометрии в Ж, устанавливающих унитарную эквивалентность между H\jp и Но, имеются два оператора W± фундаментальной физиче- ской значимости. Они определяются как W± = lim eiHte-itHo, (2.31) t—>±оо где предел понимается в сильной операторной топологии, и называются волновыми операторами (или операторами Меллера). В общем случае вол- новые операторы существуют для оператора Шрёдингера Η — Но + V на М.п с потенциалом V(q), достаточно быстро затухающим при \q\ —► оо. В этом разделе мы покажем, что для потенциалов V(x), удовлетворяющих условию (2.2), пределы (2.31) существуют.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 235 Волновые операторы удовлетворяют соотношению частичной изометрии W£W± = I. (2.32) Действительно, сильные пределы унитарных операторов сохраняют скаляр- ные произведения, так что (W±ip, W±tp) = (Ψ, φ) для всех ψ, φ G Ж. Из сходимости Ап —> А при η —+ оо в сильной операторной топологии не обязательно следует, что А* —+ А*, так что мы не можем заключить, что WiVFjl = I. Таким образом, в общем случае волновые операторы не унитарны. На самом деле, можно показать, что Im W± = Ж^ = (I — Р)Ж или, эквивалентно, W±W£ = I - Ρ, (2.33) где Ρ — ортогональная проекция на подпространство <Щ>Р. Хотя дока- зательство соотношения (2.33) довольно нетривиально, легко показать, что Im W± С (J — Ρ)Ж. Действительно, пусть ψ G Ж — связанное со- стояние — собственный вектор Н, Нф = λφ. Тогда для любого φ G Ж имеем (W±(p,il>)= Hm eiAt(e-itHV,^) = 0 по лемме Римана-Лебега, как мы видели в разделе 2.2.3 главы 2. Предполагая, что волновые операторы существуют и удовлетворяют соотношению (2.33), легко доказать, что f(H)W± = W±f(H0) (2.34) для любой измеримой функции / на R. Действительно, согласно спектраль- ной теореме, достаточно доказать это свойство для функций /(λ) = егтХ при всех г G R. В этом случае уравнение (2.34) мгновенно следует из тождества егтНei(t-r)He-i(t-r)H0 _ егШе-гШоегтН0 переходом к пределу t —> ±оо. Используя (2.34) и (2.32), заключаем — W1HW± = H0, так что ограничения волновых операторов на подпространство Жа,с уста- навливают унитарную эквивалентность между Н\ж и Щ.
236 Глава 3 Замечание. Физический смысл волновых операторов таков. Однопа- раметрическая группа U(t) = e~ltH унитарных операторов описывает эво- люцию квантовой частицы, движущейся в поле короткодействующего по- тенциала. При больших |£| частица с положительной энергией удаляется от центра, и когда \t\ —+ оо, ее эволюция описывается однопараметрической группой Uo(t) = e~ltH°, соответствующей свободному движению. Матема- тически это выражается тем фактом, что для любого ψ- G Ж существует вектор φ G Ж\ такой что lim \\е-инф - e~itHo(p- \\ = О, £—► — оо и такой вектор дается формулой ψ = W- ψ-. Аналогично для любого (/?+ G G Ж вектор φ = W+</?+ удовлетворяет условию lim ||e-<tH^-e-itHV+ll=0. £—►00 В физической интерпретации ортогональность ImW± к подпростран- ству Жрр объясняется тем фактом, что для всех моментов времени t свя- занные состояния локализуются вблизи потенциального центра, тогда как свободная квантовая частица уходит на бесконечность при \t\ —+ 00. Волновые операторы используются для описания рассеяния квантовой частицы на потенциальном центре. А именно: для заданного </?_ G Ж, существует φ = W-ψ- G Ж, такое, что решение ф(Ь) = и{€)ф нестаци- онарного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Η и начальным усло- вием ф(0) = φ при t —► —ос приближается к решению ψ-it) = υ^)ψ- нестационарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Щ и начальным условием у?_(0) = у>_. Поскольку ImW- = I111W+, су- ществует </?+ G Ж, такое, что φ = W+</?+ и решение ф{£) нестационар- ного уравнения Шрёдингера с гамильтонианом Η и начальным услови- ем -0(0) = φ при t —+ 00 приближается к решению </?+(£) = Uo(t)(p+ неста- ционарного уравнения Шрёдингера со свободным гамильтонианом Щ и на- чальным условием φ+(0) = φ+. Переход от решения <f-(t) свободно- го уравнения Шрёдингера, описывающего движение квантовой частицы при t = — 00, к решению (p+(t), описывающему ее движение при t = 00, — результат рассеяния квантовой частицы потенциальным центром. Вся ин- формация о рассеянии содержится в операторе рассеяния S (в физике так- же называемом S-матрицей), связывающем начальное и конечное усло- вия </?_ и φ+: φ+ = s<p-.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 237 Из (2.32) и ψ = W-ψ- = W+y?+ мгновенно получается, что S = W^W-, (2.35) а из (2.32)-(2.34) получается, что оператор рассеяния S унитарен в Ж и коммутирует со свободным гамильтонианом Но: S*S = SS*=I и SH0 = H0S. Это — набросок нестационарного подхода к теории рассеяния. В стационарном подходе к теории рассеяния волновые операторы W± и оператор рассеяния S строятся как интегральные операторы в коорди- натном представлении с интегральными ядрами, выраженными через осо- бые решения стационарного уравнения Шрёдингера. Здесь мы представим эту конструкцию для одномерного оператора Шрёдингера, рассмотренного в предыдущем разделе. А именно: пусть и\(х, к) и U2(x,k) — решения одномерного уравне- ния Шрёдингера (2.1), заданные формулами (2.23), где л/λ = к > 0. Из теоремы 2.1 и (2.11), (2.13) следует, что эти решения имеют следующую асимптотику: т(х, к) = sn(k)eikx + о(1) при х -> оо, (2.36) их(х,к) = eikx + s21(k)e~ikx + о(1) при х — -оо (2.37) и2(х, к) = e~ikx + s12{k)eikx + о{\) при х -* оо, (2.38) и2(х, к) = s22(k)e~ikx + о(1) при ж -> -оо, (2.39) где sn(*) - *22(fc) = -±т, *i2(*) = ^, *2i(*) = -ffi (2.40) a(A;) a(A;) a(fc) Решения ui(#, fc) и ^(я, к) называются решениями задачи рассеяния, функ- ция sn(fe) называется комплексным коэффициентом прохождения, а функ- ции si2(k) и S2i(fe) соответственно комплексными коэффициентами пра- вого и левого отражений. Следовательно, Τ = |sn(A;)|2 называется коэф- фициентом прохождения, а R = \si2(k)\2 = \s2i(k)\2 — коэффициентом
238 Глава 3 отражения. Матрица 2x2: Ь[к) ~ \S2l(k) S22{k))' называется матрицей рассеяния. Из (2.14) следует, что матрица рассеяния унитарна, S*(k)S(k) = I, где I — единичная матрица 2 х 2, и удовлетворяет условию S(k) = S(—k). В частности, из унитарности матрицы рассеяния следует, что Τ + R= 1, что называется сохранением вероятности. Физическая интерпретация решений щ(х,к) и U2(x,k) такова. Для простоты предположим, что потенциал V(x) гладок и обращается в ноль при \х\ > А, так что асимптотики (2.36) и (2.38) превращаются в равен- ства при х > А, а асимптотики (2.37) и (2.39) — при х < —А. В этом случае элементы s^· (к) матрицы рассеяния — гладкие функции при к φ 0. Как в разделе 2.2.3 главы 2, пусть ip\{k) и (р2(к) — волновые пакеты: глад- кие функции на (0, оо), сконцентрированные в некоторой окрестности Щ точки А:0 > 0. Функции, называемые рассеянными волнами, оо i/>j(x,t) = / ipj(k)uj{x,k)e~tk2tdk, j = 1,2, о — это решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера: г- = Нф. В области \х\ > А решение ф\{х, t) можно упростить так: оо ^i(s,t) = / <£i(A;)sii(fc)elfcx_*fc2idA;, когда х > А, о оо Mx,t) = JVl(k)(e—>t + s21(k)e-^)dk, когда * <-А Воспользовавшись методом стационарной фазы (см. раздел 2.2.3 в главе 2), получаем при t —► — оо
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 239 i/>i(x,t) = 0(\t\ *), когда х > А, 1 1 / \ гх ■ г7Г Vi(x,i) = ^Vi(§)e4t+4 +0(|i|-1), когда ж < -Л, и при i —► оо ^,i) = ^¥>i(§W(§V« t4+0(r1), когда х > Λ, • 1 ~i)52l("i)e4rT + 0(i~1)' когда ж<~А Предполагая, что окрестность С/о «достаточно мала», мы видим, как и в разделе 2.2.3 главы 2, что при t —> —оо решение ijji{x,t) представля- ет собой плоскую волну с амплитудой |y?i(fco)|, движущуюся от х = — оо вправо, по направлению к потенциальному центру, со скоростью ν = 2fco. Когда £ —> оо, решение ф\{х^ t) является суперпозицией двух плоских волн: падающей волны с амплитудой |sn(fco)|, умноженной на изначальную ам- плитуду, которая локализована справа от потенциального центра и движется по направлению к оо со скоростью ν, и отраженной волны с множителем амплитуды |s2i(fco)|, которая локализована слева от потенциального цен- тра и движется по направлению к — оо со скоростью —v. Соответствую- щие коэффициенты прохождения и отражения — это Τ = \su(ko)\2 и R = = \s2l(ko)\2. Аналогично имеем при t —> — оо <M*,i) = -^2f-§Je4t "4 +0(|<|-1), когда х>А, i>2(x,t) = 0(|f|_1), когда х < -А,
240 Глава 3 и при t —> оо г.2 ^2(a;,i) = -^V2i§jsi2i§je« * +0(Г1), когда х > Л, ~§г22(~§)ечгт+ °(*-1)' когда *<"А При t —► — оо решение V>2(#, £) — плоская волна с амплитудой |^2(&о)|> Дви- жущаяся от х = оо влево, по направлению к потенциаьному центру, со ско- ростью —v. Когда t —> оо, решение ^(я, t) будет суперпозицией двух плос- ких волн: падающей волны с таким же множителем амплитуды |s22(&o)|, которая локализована слева от потенциального центра и движется по на- правлению к — оо со скоростью —υ9 и отраженной волны с множителем ам- плитуды |«12(&о)|, которая локализована справа от потенциального центра и движется по направлению к оо со скоростью v. Формулы (2.40) показы- вают, что коэффициенты прохождения и отражения для решения т/^О^ t) те же, что и для решения фг(х, t), и не зависят от направления распростране- ния. Это — так называемое свойство взаимности коэффициента прохож- дения. Решения и\(х, к) и и2(х, к) стационарного уравнения Шрёдингера об- ладают тем свойством, что соответствующие решения ^i{x,t) и ф2{х^) зависящего от времени уравнения Шрёдингера переходят в плоские волны при t —> — оо. В согласии с такой интерпретацией мы обозначим их соот- ветственно как щ~*(х,к) и и2~\х,к). Решения стационарного уравнения Шрёдингера и[ *(х, к) = U2(x, к) = и2(х, — к) и и2 (х, к) = ui(x, к) = ui(x, — к) допускают похожую интерпретацию: они соответствуют решениям завися- щего от времени уравнения Шрёдингера, переходящим в плоские волны при t —> оо. Вводя \и2 }{х,к)) \и2 }{х,к)) элементарным вычислением с использованием (2.11) и (2.13) получа- ем, что U+(x,k) = S{k)U-(x,k). (2.41) Следующий результат устанавливает эквивалентность стационарного и нестационарного подходов к теории рассеяния.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 241 Теорема 2.5. Для одномерного оператора Шрёдингера Η = Но + V с потенциалом V(x), удовлетворяющим условию (2.2), волновые операто- ры существуют и могут быть заданы явными формулами W± = &£%. Здесь <&± : Ж —> S)o — интегральные операторы, задаваемые формулами оо <&±{ψ) = -pz / Ф(х)и±(х, V\)dx, ν 2π У α оператором % : J^ —> #o устанавливается унитарная эквивалент- ность между оператором Hq в Ж и оператором умножения на λ в fio, ^'-jsf **>№)*· Оператор рассеяния S в Ж и оператор умножения на матрицу рассея- ния S(V\) на Яо унитарно эквивалентны: S = %S(V\)%. Доказательство. Формула для оператора рассеяния мгновенно следует из опреде- ления операторов <$/±, формулы (2.41) и соотношения ортогонально- сти ^L^C = Jo (см. теорему 2.3). Для доказательства того, что W± = = ^±^о, достаточно показать, что для любого Φ = ( ψ1 1 £ S)o, где <pi(fc) и ψ2^) — гладкие функции на (0, оо) с компактным носителем, lim \\{e-itHWl - е-"Но%*)Ф\\ж = 0. t—>±oo
242 Глава 3 Действительно, положив x^(i) = (е гШ<Ж_* — е гШ°^0*)Ф, имеем сю + {uf\x, к) - e-ikx)<f2(k))e-ik Ык, и несложно оценить интеграл /(±) (<)Н: со , = J \XW(x,t)\2dx (2.42) при t —> ±оо. А именно: из леммы Римана-Лебега следует, что для лю- бого фиксированного А > 0 вклад в (2.42) от интервала [—Л, Л] стре- мится к 0 при t —> ±оо. В интегралах по промежуткам — оо ^ х ^ — А и А ^ х ^ оо заменим г42(ж>&) их асимптотиками (2.36)-(2.39). Ис- пользуя оценки в теореме 2.1, часть (ν), легко показать, что для достаточно больших А разность можно сделать сколь угодно малой равномерно по t. Чтобы завершить доказательство, остается показать, что для любой непре- рывной функции (р(к) на (0, оо) с компактным носителем интегралы оо со Чк А \0 dx Α СО J&\t) = \ l\ f f(k)e±ikx-ik2tdk -co |0 dx обращаются в ноль при t —> ±оо. Рассмотрим, к примеру, интеграл j[ ' (£). Для заданного ε > 0 существует гладкая функция r/(fc) на (0, оо) с компакт- ным носителем [α, β], такая, что \\<Ρ-η\\1 < ж0 4 ·
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 243 По теореме Планшереля имеем оо I оо dk dx s$ £ oo oo // (y>(fc) - v(k))e~lkx-lk 4k dx + oo oo // Ф)е -ikx—ik t jjl dx ^ ^ oo oo // (y>(fc) - v(k))e~lkx-lk 4k dx + oo oo // i/(fc)e dk dx < si OO OO § + //,№) e-ikx-ik tdk dx. Для оценки оставшегося интеграла применим интегрирование по частям, чтобы получить оо Jr}{k) e-i(kx+k4)dk ; оо I-, i{k) (х + 2Ы) e-i{kx+k*t)dk и поскольку —— ^ —— при хЛ > 0, имеем х + 2kt х + 2at оо оо {kx+k2t)dk dx^C' оо 2 / dx I с2 (x + 2at)2 A + 2af 2C2 t(+), Выбирая t > -fig-, получаем J[ '(f) < ε. Другие интегралы анализируются похожим образом.
244 Глава 3 Следствие 2.6. Волновые операторы удовлетворяют соотношениям ортогональности и полноты W±W± — 1 и W±W± — I — Р. Доказательство. Результат теоремы 2.3, доказанный для оператора % — ^_, очевид- но, выполняется и для оператора ^+. Таким образом, соотношения (2.32) и (2.33) следуют из соответствующих соотношений ортогональности и пол- ноты для операторов %±. Замечание. Соотношение ортогональности (2.32) тривиально, если установлено существование волновых операторов. Таким образом, теоре- ма 2.5 дает другое доказательство соотношения ортогональности в теоре- ме 2.3. Задача 2.7 (Критерий Кука). В абстрактной теории рассеяния до- кажите, что волновые операторы W± существуют, если для всех φ Ε Ж оо [\\Ve-itH^\\dt < оо. о Задача 2.8. Найдите матрицу рассеяния S(k) для потенциала V(x) из задачи 2.5 и покажите, что когда Vo = 2Х2, матрица рассеяния диаго- нальна. Задача 2.9 (Квантовое туннелирование). Найдите матрицу рас- сеяния S(к) для прямоугольного потенциального барьера: V(x) = О при х < 0 и х > 2а, и V(x) = V0 > 0 при 0 ^ х ^ 2а. Покажите, что когда Ε изменяется от 0 до Vo, Τ возрастает от 0 до (lH-Vbo2)-1, кванто- вая частица проникает через потенциальный барьер. 3.2.4. Другие граничные условия Здесь мы рассмотрим два примера оператора Шрёдингера с потенциалом V(ж), имеющим разные асимптотики при х —> ±оо.
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 245 Пример 2.1. Предположим, что потенциал V(x) удовлетворяет усло- вию О оо J (1 + |ж|)|У(я?) - c2\dx < оо и [(1 + \x\)\V(x)\dx < оо -оо О для какого-то с > 0. Оператор Шрёдингера if имеет отрицательный дис- кретный спектр, состоящий из конечного числа простых собственных зна- чений Ai < · · · < λη < 0, и абсолютно непрерывный спектр [0, оо), про- стой при 0 < λ < с2 и кратности два при λ > с2. Эта качественная структура спектра определяется структурой линий уровня Нс(р,х) = λ классической функции Гамильтона Нс(р, х) = р2 + V(х): собственные зна- чения могут возникать только в случае компактных линий уровня, когда классическое движение периодично, тогда как значения λ с некомпактными линиями уровня, для которых классическое движение нефинитно, принад- лежат абсолютно непрерывному спектру. Абсолютно непрерывный спектр имеет кратность один или два в зависимости от того, ограничено ли соот- ветствующее классическое движение в одном или двух направлениях, т. е. когда 0 < λ < с2 или λ > с2. Эти результаты можно доказать методами раздела 3.2.1. А имен- но: положим λ = к2 и определим функцию к\ = у/к2 — с2 условием, что Im fci ^ 0 при Im к ^ 0. В частности, sgn k\ — sgn к для веществен- ных к, \к\ > с. У дифференциального уравнения -y" + V(x)y = k2y (2.43) при вещественных к есть два линейно независимых решения Д (#,&), /i(ж, —к) = fi(x, к), где fi(x, к) имеет асимптотику /i(z, к) = eikx + о(1) при х -► оо. При вещественных к, \к\ > с, у уравнения (2.43) есть также два линейно независимых решения /г(ж, А;),/г(а;, — А;) = /г(ж, — fc), где f2(x,k) имеет асимптотику f2(x,k) = e~*fclX + o(l) при ж->-оо. (На самом деле, эти решения удовлетворяют оценкам, похожим на оценки из теоремы 2.1.) Как и в разделе 3.2.1, для вещественных к, \к\ > с, имеем /2(ж, к) = a(k)fi(x, -к) + b(k)f1(x, к),
246 Глава 3 где <k) = -±-W(f1(x,k)J2(x,k)), ΔΙΚ (2.44) b(k) = ±W(f2(x,k)J1(x,-k)), и а(-к) = а(к), Ь(—к) = &(&). Однако, W(f2(x, к), /2(0:, —А;)) = —2гки так что для вещественных к, \к\ > с, имеем /i(s,fc) = ±a{k)f2(x,-k) - JLb(-k)f2(x,k). Отсюда получаем условие нормировки \а(к)\2-\Ь(к)\2 = ^, \к\>с. При фиксированном х решения fi(x,k) и /2(х,к) можно аналитиче- ски продолжить в верхнюю полуплоскость ImA: > 0. При — с < к < с решение /2 (я, А;) вещественнозначно и удовлетворяет условию /2(я, к) = a(k)fi(x, -к) + a(k)fi(x, -к), где а{к) по-прежнему дается той же формулой (2.44). Функция а{к) не об- ращается в ноль при вещественных к и допускает мероморфное продолже- ние в верхнюю полуплоскость Im к > 0, где у нее имеется конечное число чисто мнимых простых нулей ixi, ..., гхп, соответствующих собственным значениям Ai = — xj, ..., λη = — х2. Абсолютно непрерывный спектр оператора Шрёдингера Η заполня- ет [0, сю). При 0 < λ = к2 < с2 спектр прост, а и(х, X) = —— f2(x, к), 0 < к < с, а(/с) — это аналоги нормированных собственных функций непрерывного спек- тра. При λ = к2 > с2 спектр имеет кратность два, и 1 кл — это аналоги нормированных собственных функций непрерывного спек- тра. Обозначая как ^i{x) нормированные собственные функции Н, соот- ветствующие собственным значениям λ/, получаем теорему о разложении
3.2. Одномерное уравнение Шрёдингера 247 по собственным функциям: для φ G L2(R) ф(х) = ^2Сф(х) + ^ C(k)u(x,k)dk + оо + ~ j{C1{k)u1{x,k) + C2{k)u2{x,k))dk, С где Q = (ψ, фО, I = 1, ..., n, a сю оо С(к) = / ф(х)и(х,к)ах1 Cj(k) = / ip(x)uj(x,k)dx, j = 1,2. Пример 2.2. Допустим, что потенциал \^(х) растет при я —> —оо и затухает при ж —> оо: оо J(l + \x\)\V(x)\d. х < оо для всех а, и что существует xq Ε R, такое, что спектр задачи Штурма-Лиувилля -у" + V(x)y = λ?/, -оо < ж ^ ж0, и ?/Оо) = О ограничен снизу и дискретен. Последнее условие — это конкретная форму- лировка свойства lim V(x) = оо. х—>—оо Тогда для любого вещественного к существует решение /(ж, к) диф- ференциального уравнения (2.43) с асимптотикой /(ж, к) = ег/сх + о(1) при ж —> оо и существует функция s(к), такая, что и(х, к) = /(х, —к) + s(k)f(x, к) интегрируемо с квадратом на промежутке (—оо, а) для любого веществен- ного а. Оператор Шрёдингера if имеет простой абсолютно непрерывный спектр [0, оо) и дискретный спектр, состоящий из конечного числа от- рицательных собственных значений. Функции и(х,к) — нормированные
248 Глава 3 собственные функции непрерывного спектра, и соответствующая теорема о разложении по собственным функциям имеет следующий вид: для любо- го ψ е L2(R) П ρ ф(х) =Σθφ{Χ) + ± / C(k)u(x,k)dk, 1=1 { где Q = (ф, ф{), 1 = 1, ..., п, и ОО С(к) = / ф(х)и(х, k)dx. Задача 2.10. Придайте явную форму теореме о разложении по соб- ственным функциям для потенциала V(x) = ех. Задача 2.11. Найдите уровни энергии потенциала Морса V(x) = = е~2ах - 2е~ах, а > 0. Задача 2.12. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по собственным функциям для потенциала V (х) — Fx, описывающего движе- ние квантовой частицы в однородном поле; согласно задаче 1.4 соответству- ющий оператор Шрёдингера самосопряжен. (Указание: решите уравнение Шрёдингера явно в импульсном представлении и выразите нормированные собственные функции непрерывного спектра в координатном представле- нии в терминах функций Эйри-Фока, определенных в разделе 3.6.2.) Задача 2.13. Сформулируйте в явном виде теорему о разложении по собственным функциям для потенциала V(x) = —^kx2, где к > 0 (соглас- но задаче 1.4 соответствующий оператор Шрёдингера самосопряжен). 3.3. Угловой момент и SO(3) 3.3.1. Операторы углового момента В главе 1 (см. пример 1.10 в разделе 1.1.4) мы ввели для классической частицы в R3 вектор углового момента Мс = х х ρ с компонентами Ма = Х2РЗ - ХЗР2, Мс2 = ХзР1 - Ж1Рз, ^сЗ = XlP2 ~ X2Pl-
3.3. Угловой момент и SO(3) 249 Согласно примеру 2.1 в разделе 1.2.6 главы 1, у них следующие скобки Пуассона в канонической пуассоновой структуре на T*R3: {МсЬМс2} = -Мсз, {Мс2,Мс3} = -Мс1, (3.1) {MC3,Mci} = -Mc2. Квадрат углового момента М"<? = М^ + М^2 + М^з удовлетворяет условию {Ml Мс1} = {Ml Мс2} = {Мс2, Мс3} = 0. Если функция Гамильтона Hc(p,x) = ^+V(x) инвариантна при вращениях, V(x) = У(|ж|), то компоненты углового мо- мента являются интегралами движения: {/1с,Мс1} = {Яс,Мс2} = {Яс,Мс3}-0 и {Яс,Мс2} = 0. Это также можно проверить прямо, используя скобки Пуассона {Mcj,pk} = -ejkiPi и {Mcj,Xk} = -ejkixi, г, j, fc = 1,2,3, (3.2) где ε^/ — полностью антисимметрический тензор, ε123 = 1. В свою очередь, в квантовой механике компоненты оператора углового момента Μ = Q х Ρ определяются формулами Мх = Q2P3 - Q3P2l M2 = Q3Pi - QiP3, M3 = Q2P3 - Q3P2, где Q = (Qi,Q2,Q3) и Р = (Pi,P2,P3) — соответственно, операто- ры координаты и импульса. Поскольку операторы Qi и Рк коммутируют при г Φ к, проблемы упорядочивания при определении операторов кван- тового углового момента не возникает. Из коммутационных соотношений Гейзенберга следует, что их квантовые скобки устроены также, как и соот- ветствующие скобки Пуассона (3.1): {МъМ2}п = -М3, {М2,МзЬ = -Мь {М3,М!}а = -М2. (3.3) Эквивалентно, [МЪМ2] = гПМ3, [М2, М3] = %ЬМЪ [М3, Mi] = гПМ2. (3.4)
250 Глава 3 Оператор квадрата полного углового момента М2 = Μ2 + Mf + М| удо- влетворяет уравнению [М2, Mi] = [Μ2, Μ2] = [Μ2, Ms] = 0. Соответственно, для оператора гамильтониана со сферически симметрическим потенциалом V(x) = У(|ж|) операто- ры Mi, M2, М3, а поэтому и М2, — квантовые интегралы движения: [tf,Mi] = [#,M2] = [tf,M3] = 0 и [Я,М2] = 0. Это можно прямо проверить, используя квантовые скобки {Mh Pk}h = SjkiPi, {Mj, Qk}h = -EjuQu h Μ = 1,2,3, (3.5) которые устроены так же, как скобки Пуассона (3.2), что следует из ком- мутационных соотношений Гейзенберга. В координатном представлении Ж = L2(R3, d3a?) операторы углового момента задаются следующими самосопряженными дифференциальными операторами первого порядка: Мг^гп(,3Л.-Х2£-), (3.6) М2 = гп(х1^Г-х3£-У (3.7) дх з М^гП^-^. (3.8) Они обладают свойством, что Мхф = М2^ = М3^ = 0 для любой сферически симметричной гладкой функции ф(х) = ^(|ж|). Иными словами, операторы углового момента действуют только на угло- вые координаты на R3. То есть пусть x\=r sin 1? cos (/?, Х2—Т sin 1? sin у?, хз = г cos 1?,
3.3. Угловой момент и SO(3) 251 где 0 ^ # < π, 0^^<2π — сферические координаты на R3. Явное вычисление дает Mi = ih ( sin φ-^-z + cot i? cos φ-=- i , \ dv οφ J M2 — ~ib ( cos φ-ρτ-τ — cot i? sin φ-7τ- ) , \ dv οφ) οφ Таким образом, Mz = -Tiz\ -А-^-[8Ш1?^+ * ^ sintfdtf V Л?/ wPtidtp2] ' так что оператор „Μ2 — сферическая часть оператора Лапласа на R3: A'HH)-ihu'· (3·9) 3.3.2. Теория представлений SO(3) Квантовые операторы углового момента связаны с теорией представле- ний группы вращений SO(3) — группы ортогональных матриц 3 х 3 с опре- делителем 1. SO(3) — компактная группа Ли, изоморфная вещественному проективному пространству RP3 как гладкое многообразие. Имеется изо- морфизм групп Ли SO(3) ~ SU(2)/{±/}, где SU(2) — группа Ли унитар- ных матриц 2 х 2 с определителем 1. Алгебра Ли so(3) группы SO(3) — трехмерная алгебра Ли кососимметрических матриц 3 х 3 с базисом Хг = О 0 -1 , Х: ООП 0 0 0 ■1 0 0/ , Х3 = /0-1 0 10 0 \0 0 0 Матрицы Xi,X2,^3 порождают соответственно однопараметрические подгруппы SO(3), состоящие из вращений вокруг координатных осей в R3. Они удовлетворяют коммутационным соотношениям [Xi,X2] = Хз, [Х-2, Хз] = Хи [Хз, Xi] = Х2,
252 Глава 3 подобным (3.4). Чтобы установить связь между квантовыми операторами углового момента и теорией представлений SO(3), рассмотрим регуляр- ное представление R группы SO(3) в Ж = L2(R3,d3x), определенное формулой (ЯШ)(х) = Ф(д-гх), д е SO(3), феЖ. Лемма 3.1. Имеем д/е и1Х1+и2Ха+«зХз) = е-^(«1Л/1+«аМ2+«зМ3)^ Доказательство. Положим иХ = и\Х\+ U2X2 + щХ^ и иМ = и\М\ + U2M2 + U3M3. Из теоремы Стоуна и прямого вычисления следует, что R(euX) = Mj, j = 1,2,3, где самосопряженные операторы Mi, М2, Мз даны формулами (3.6) - (3.8). Теперь для фиксированных ^1,7/2,^3 рассмотрим однопараметрическую группу [/(£) = R(etuX) унитарных операторов в Ж. По теореме Стоу- на U(t) = e~itA, где U(t) = \uM. t=o "* Замечание. Имеем Mj = ifip(Xj), где ρ = dR — соответствующее регулярное представление алгебры Ли so(3) в Ж. Все неприводимые унитарные представления R\ группы Ли SO(3) ко- нечномерны и параметризуются неотрицательными целыми числами I ^ 0. Соответствующее неприводимое представление р\ = dR\ алгебры Ли so(3) в 21 + 1-мерном комплексном векторном пространстве V\ можно явно описать следующим образом. Введем эрмитовы операторы Tj = ipi(Xj), j = 1,2,3, удовлетворяющие коммутационным соотношениям [Г1,Г2]=*Т3, [Т3,Т1]=гТ2, [Т2,Т3]=гТ1. гЬ _д_ А = г dt
3.3. Угловой момент и SO(3) 253 В векторном пространстве Ц есть ортонормированный базис {ezm}™z'_j, такой, что (Ti - iT2)elm = -Va + m)(/-m + l)eZm_b (3.10) (Ti +iT2)eZm = -^(/-т)(/ + т + 1)е/т+ь (3.11) T3e/m=me/m. (3.12) В частности, (T\ + гТ2)ец = 0, так что VJ — модуль со старшим весом. Представление pi неприводимо, и по лемме Шура T2 = l(l + l)Ih где 1\ — тождественный оператор в Ц. Это можно также прямо проверить, используя (3.10)-(3.12). Замечание. Когда I — полуцелое число, т.е. Ζ € ^ + Z^o> и га = —/,—/ + 1, ...,/ — 1, I, формулы (3.10) - (3.12) все еще определяют неприводимое представление pi старшего веса алгебры Ли so(3) размерно- сти 2/ +1, и любое неприводимое n-мерное представление so(3) изоморфно представлению pi с I = п ~ . Для полуцелых I представления pi не инте- грируемы: они порождают двузначные представления SO(3), так называе- мые спинорныеб представления. Однако рассматриваемые как представле- ния алгебры Ли su(2) ~ so(3), pi соответствуют неприводимым унитарным представлениям группы Ли SU(2). Из теории представлений SU(2) следует, что при /, V е \ъ^ъ 1 1+V Vi®Vv= 0 Vj (3.13) — это так называемое разложение Клебша- Гордона. В физике оно соот- ветствует сложению угловых моментов. Регулярное представление R группы SO(3) в Ж = L2(M?,d3x) не является неприводимым. Имеем Ж = L2(S2,dn) <g> L2(M>0,r2dr), (3.14) где dn — мера на S2, индуцированная мерой Лебега на R3. Группа SO(3) действует вращениями на первом сомножителе тензорного произведе- ния (3.14), тогда как она действует на второй сомножитель как тожде- ственный оператор. Таким образом, задача разложения регулярного пред- ставления R сводится к нахождению SO (3)-инвариантных подпространств
254 Глава 3 гильбертова пространства L2(S2, dn). Итог — разложение в ортогональную сумму оо L\S\dn) = ($®u (3.15) где @i ~ Vi. При этом изоморфизме ортонормированный базис У\ш в ^, соответствующий базису е\ш в V/, дается нормированными сферическими функциями yim(0, ψ) = -±=eim*Pr(cos#), m = -l,...,l, ν2π где Р™ (х) — нормированные присоединенные полиномы Лежандра, РТЫ = {-1Т\Р^л1Ц±^-*Г^^{*2-1)1, 1*1 < 1. 1 w v ' γ (i — m)! V 2 2'ΖΓ cte'-m Самосопряженный оператор ili2 в гильбертовом пространстве L2(S2,dn) имеет чисто точечный спектр, состоящий из собственных значений кратностей 21 + 1, I = 0,1,2, ..., и разложение (3.15) дает разложение по его собственным функциям: для любого ψ G L2(S2, dn) оо I 2π π ψ Σ Σ CtmYim, где Cim = / Ι ψ(υ,φ)ΥΙΧη(&,φ)ηη·&α&<Ιφ. I Г» I «^ «^ Z=0 m=—Ζ q q Задача З.1. Докажите все результаты этого раздела. {Указание: см. литературу к этой главе.) 3.4. Задача двух тел 3.4.1. Отделение центра масс Рассмотрим оператор Шрёдингера для задачи двух тел (см. пример 2.2 в разделе 2.2.4 главы 2):
3.4. Задача двух тел 255 Вводя v miXi+m2X2 Л. = ; И X = Хл — Жо, координаты центра масс и относительную координату, получаем где Μ = т\ Η- Ш2 — полная масса, а μ = — приведенная масса. Оператор Гамильтона Η диагонализуется методом разделения переменных. Конкретно, рассмотрим следующее разложение двухчастичного гильберто- ва пространства Ж = L2(R6) в тензорное произведение гильбертовых про- странств: Ж = L2(R3, d3X) ® L2(R3, d3x). (4.1) Оператор действует как тождественный на втором сомножителе в (4.1), а оператор Hm = -^Aa + V(x) (4.3) — как тождественный оператор на первом сомножителе в (4.1). У функций- решений задачи на собственные значения Нф = Εψ, (4.4) имеющих вид произведения ф(Х,х) = У(Х)ф(х), переменные разделяются: НХ^(Х) = Е^(Х) и Нхф(х) = Е2ф(х), где Ε = Ei + Е2. Поскольку з квантовая задача двух тел сводится к задаче о квантовой частице, движу- щейся в потенциальном поле, и описывается оператором Гамильтона (4.3) в гильбертовом пространстве L2(R3, d3x).
256 Глава 3 3.4.2. Трехмерная теория рассеяния Здесь мы обрисуем теорию рассеяния для оператора Шрёдингера Η = = — A+V(x) (где мы положим Ть= 1 и μ = -) с быстро убывающим потен- циалом. Конкретно, предположим, что ограниченная вещественнозначная функция V{x) на R3 удовлетворяет условию V(x) = 0(\х\-3~е) при |ж|^оо (4.5) для некоторого ε > 0. Тогда для любого к ЕЁ3 уравнение Шрёдингера -Аф(х) + У{х)ф(х) = к2ф(х), к = |fc|, (4.6) имеет два решения ^^(ж, fc), удовлетворяющих следующим асимптотиче- ским условиям при |ж| —> оо: «<=■=> (*, fc) = eifea! + /(±>(*,ω,η)4^ + ° (?) · (4·7) где fc = fco;, ж = гп. Асимптотики (4.7) называются условиями излучения Зоммерфельда. Для доказательства существования решений и^(х, к) надо рассмотреть следующие интегральные уравнения: и&(ж, к) = eikx + j G^(ж - у, k)V(y)uW(у, k)d3y, (4.8) R3 где GW(x,k) 1 e±ifcr 4π ^ * Интегральные уравнения (4.8) эквивалентны уравнению Шрёдингера (4.6) с условиями излучения Зоммерфельда (4.7) и называются уравнениями Липпмана-Швингера. При их анализе используется теория Фредгольма и теорема Като 1.8. Решения и^(х,к) называются стационарными рассеянными волна- ми. Они аналогичны решениям и^ '(х,к) для одномерного случая, где индекс j = 1,2 заменяется вектором ω G S2. Абсолютно непрерывный спектр Η заполняет [0, оо) и имеет равномерную бесконечную кратность, параметризованную точками двумерной сферы S2. Решения и^(х,к) — это нормированные собственные функции непрерывного спектра. В общем случае у оператора Η есть конечное число отрицательных собственных значений λ/ < 0 конечной кратности mi, I = 1, ..., п.
3.4. Задача двух тел 257 В терминах операторов <ft± : Ж —> Ж, данных формулами _з /· <&±{ф){к) = (2тг) 2 Ι ф(х)и№{х,к)(Рх, R3 соотношения полноты и ортогональности принимают вид где Ρ — ортогональная проекция на инвариантное подпространство для оператора Н, ассоциированное с чисто точечным спектром. Теперь пусть W± = t/£Vb, где <% = ^~х — обратное преобразование Фурье. Как и в разделе 3.2.3, можно доказать следующий результат. Теорема 4.1. Операторы W± — волновые операторы для операто- ра Шрёдингера Н. Соответствующий оператор рассеяния S = W+W_ имеет вид где S — интегральный оператор, s2 uf(k,U>,Lj')=fM(k,U>,U>'). Функция /(&, ω, ω') называется амплитудой рассеяния. Задача 4.1. Докажите, что если sup (\V{y)\—L-<Py<A^ хеш3 J I® - 1/1 R3 то интегральные уравнения Липпмана-Швингера можно решить с помо- щью ряда Неймана, а для фиксированных х и ω решения и^\х,к)9 к = ки>, допускают аналитическое продолжение в верхнюю полуплос- кость Гт к > 0. Покажите также, что в этом случае у оператора Шрёдинге- ра Η нет собственных значений.
258 Глава 3 Задача 4.2 (Борновское приближение). Покажите, что и^\х,к) = егкх _(_ о(1) при к —► оо, и выведите из этого, что /(fc, η, α;) + ^ / е4*^-")*у(ж)^3ж = о(1) при А; -^ оо R3 2 равномерно нап,а> G 5 Задача 4.3. Докажите унитарность оператора S, используя уравне- ние Шрёдингера (4.6), условия излучения (4.7) и формулу Грина. Задача 4.4 (Оптическая теорема). Покажите, что / \f(k,n,u>)\2dn = ^ Im/(*,ω,ω). (Здесь левая часть — это полное сечение в направлении ω при энергии Ε = = к2.) Задача 4.5. Пусть λ/ = — xf < О — собственные значения Η с крат- ностями пц, I = 1, ... , п. Докажите, что для фиксированных х и ω ре- шения ^^(a^fc) допускают мероморфное продолжение в верхнюю полу- плоскость Im к > 0 с полюсами порядка mi в точках гщ, I = 1, ..., п. Задача 4.6. Докажите, что волновые операторы W± существуют, используя нестационарный подход. (Указание: покажите, что когда V(x) удовлетворяет (4.5), применим критерий Кука, сформулированный в зада- че 2.7.) 3.4.3. Частица в центрально-симметричном потенциале Задача на собственные значения для оператора Шрёдингера упрощается, когда Η коммутирует с действием S0(3) на Ж = L2(R3, d3x): [Я, Т(д)\ = 0 для любого д в S0(3). Это сводится к условиям [Я,М<] = 0, < = 1,2,3, (4.9)
3.4. Задача двух тел 259 и эквивалентно свойству, что потенциал V сферически симметричен, V(x) = V(r), r = \х\.В частности, [Я,Мз] = [Я,М2] = 0, где М2 = М2 + Μ2 + Μ2, а операторы М3 и М2 — коммутирующие интегралы движения для гамильтониана Н. Как следует из результатов раз- дела 3.3.2, можно искать решения задачи на собственные значения Ηψ = Εψ, удовлетворяющие условию M3i/j = m^ и М2ф = П2/(/ + \)ф, ш = -/,...,/. Используя (3.9), получаем так что в согласии с разложениями (3.14) и (3.15) мы ищем решения в виде ф{х) = iu(r)Yjm(n), ж = гп, где У/т — нормированные сферические функции. Разделяя переменные, по- лучаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение на функ- цию Ri (r): Вводя Л(г)=гд|(г)) получаем так называемое радиальное уравнение Шрёдингера: Поскольку для непрерывного потенциала V(x) решение ф{х) также непре- рывно, уравнение (4.10) следует дополнить граничным условием //(0) = 0.
260 Глава 3 Радиальное уравнение Шрёдингера выглядит аналогичным уравнению Шрёдингера для одномерной частицы, если ввести так называемый эффек- тивный потенциал 2μτΔ в котором второе слагаемое называется центробежной энергией. Однако, поскольку // определено только при г > 0, уравнение (4.10) эквивалентно уравнению (2.1) с потенциалом, удовлетворяющим условию V{x) = оо при х < 0, описывающим бесконечный потенциальный барьер при х = 0. Поскольку радиальные операторы Шрёдингера получаются из трехмерного оператора Шрёдингера H = -^A + V(r) разделением переменных, операторы Hi самосопряжены в L2(0,oo), ес- ли Η — самосопряженный оператор в L2(R3). Оператор Но следует допол- нить граничным условием /о(0) = 0, тогда как в случае I > 0 никаких гра- ничных условий не требуется. В частности, из теоремы 1.9 в разделе 3.1.2 следует, что если ограниченный потенциал V удовлетворяет условию V(r) = 0(τ~1~ε) при г —► оо для некоторого ε > 0, то Hi — самосопряженные операторы с простым аб- солютно непрерывным спектром, заполняющим [0, оо), и отрицательными собственными значениями с возможной точкой сгущения в нуле. Если V(r) = 0(r~2~e) при г —► оо, то у операторов Hi конечно число отрицательных собственных значений, а при достаточно больших I собственных значений вообще нет. Такое же заключение верно, если /■ r\V(r)\dr < оо. (4.11) о Такие потенциалы V(г) называются короткодействующими потенциала- ми. Затухающие на бесконечности потенциалы, не удовлетворяющие (4.11), называются далънодействующими потенциалами.
3.4. Задача двух тел 261 Для короткодействующего потенциала V(r) дифференциальное урав- нение (4.10) при Ε φ 0 имеет два линейно независимых решения /^(г), удовлетворяющих следующим асимптотикам при г —+ оо: f±(r)=e±*r(l+o(l)), (4.12) где х — Λ/—2μΕ чисто мнимое, Im х > 0 при Ε > 0 и х > 0 при £" < 0. Когда г —► 0, наиболее сингулярный член в радиальном уравнении Шрё- дингера дается центробежной энергией. Поскольку элементарное диффе- ренциальное уравнение г=ч±п{ rz имеет два линейно независимых решения г~1 и r/+1, решение fi(r), удо- влетворяющее граничному условию //(0) = 0, имеет асимптотику ft(r) = CVZ+1 + о(1) при г -> 0 (4.13) и однозначно определено (с точностью до константы). Поскольку Л(г) = С1/+(г) + С2/Г(г) для некоторых констант С\ и Сг, зависящих от 2£, у дифференциально- го уравнения (4.10) нет решений с интегрируемым квадратом при Ε > 0. Соответствующее решение //(г) ограничено на [0, оо) и является собствен- ной функцией непрерывного спектра. Это согласуется с описанием в раз- деле 1.1.6 главы 1, поскольку при Ε > 0 классическая частица в централь- ном потенциале Vefi(r) уходит на бесконечность с конечной скоростью. При Ε < 0 уравнение С\(Е) = 0 определяет собственные значения Щ, которые просты. Это тоже согласуется с классической картиной, посколь- ку классическое движение финитно при Ε < 0. Для короткодействующего потенциала уравнение С\(Е) = 0 имеет лишь конечное число решений. Когда Veff(r) > 0 при г > 0 — случай отталкивающего потенциала, — у оператора Щ нет собственных значений. Замечание. Когда V(r) = 0, радиальный оператор Шрёдинге- ра Hi имеет только простой абсолютно непрерывный спектр, заполняю- щий [0, оо). Подстановка Mr) = VIΠξ), £=if и * = И = ^2μ£ > 0
262 Глава 3 сводит дифференциальное уравнение (4.10) к уравнению Бесселя αξΖ αξ полуцелого порядка ν = Ζ+ -. Соответствующее решение, регулярное в ну- 1+а ле, — функция Бесселя первого рода J г (ξ) — явно дается формулами А<%) ^(Q-i-iyMH^^ Jl+^) = J^sin^-li)+°{rl) при i->00· (4Л4) Можно показать, что '«<"-,/*'„.(£ удовлетворяют условию нормировки (2.14) из раздела 2.2.2 главы 2: оо / fc+Δ \ 2 Ит ^ J I | /в1(г)*т(Я) Jdr ;= 1, (4.15) где А; = \/2μΕ и da(E) = J ψ=αΕ = dk. Соответствующая теорема о раз- ложении по собственным функциям — особый случай классического пре- образования Фурье-Бесселя для целого /, обобщающего синусоидальное преобразование Фурье: для любого / Ε L2(0, oo) сю оо f{r) = JCl(E)fEl(r)da(E), c(E) = Jf(r)fEi(r)dr.
3.4. Задача двух тел 263 В общем случае для любого I = 0,1, ..., обозначим как /я/(г) реше- ние радиального уравнения Шрёдингера (4.10) со следующей асимптоти- кой: fEi(r) = J^ sin ^-^: + $Λ+ο(1) при r^oo. (4.16) Функция Si (к), к = y/2jIE, называется фазовым сдвигом. Из (4.14) следу- ет, что для случая свободного движения Si (к) = 0. Собственные функции непрерывного спектра /я/(г) удовлетворяют тому же условию нормиров- ки (4.15), что и собственные функции для случая свободного движения. Функция Si(k) — e2lSl^ играет роль матрицы рассеяния для радиально- го оператора Шрёдингера Щ. Она допускает мероморфное продолжение в верхнюю полуплоскость Imfc > Ос простыми полюсами к = ixki = = 1^/—2μΕω, где Ей — собственные значения Я/. Пусть Eqi < Е21 < ··· < E^i-u < 0 — собственные значения Я/, и пусть fji(r),j = 0, .. .,N1 — 1, — соответствующие нормированные соб- ственные функции. По теореме о колебаниях собственные функции fji(r) имеют j простых нулей на (0, оо). Функции Фз1т{х) = -ηρ—Yim(n), Ш = -/,..., /, — это нормированные собственные функции оператора Шрёдингера Я с собственными значениями Eji, а функции фЕ1т(х) = γ iim(n), Ш =-/,..., /, — это нормированные собственные функции непрерывного спектра. Соот- ветствующая теорема о разложении по собственным функциям для опера- тора Шрёдингера Я со сферически симметричным потенциалом утвержда- ет, что для любого ψ Ε L2(R3, d3x) оо I у оо Ζ Ni-l ΨΜ = ^]^ С1т{Е)фЕ1т(х)аа(Е) +Σ Σ Σ Сз1гпФят(х), 1=0 m=-l π 1=0 m=-l 7=0 где Cim(E) = / ф(х)фЕ1т{х)(Рх, Cjim = / i/j(x)i/jjim(x)d3X. R3 R3
264 Глава 3 Замечание. В физике параметр j собственной функции ф^ш(х) тра- диционно называется радиальным квантовым числом и обозначается пг. Параметр I называется азимутальным квантовым числом, а параметр т — магнитным квантовым числом. Эта терминология происходит из старой квантовой теории, в которой каждому значению Ем соответствует класси- ческая орбита. Параметр η = пг + I + 1 называется главным квантовым числом, так что пг = η — I — 1 — всегда количество нулей соответствующей радиальной собственной функции fji(r). Замечание. В общем случае собственные значения Eji оператора Шрёдингера Η со сферически симметричным потенциалом имеют крат- ность 21 + 1. Для особых потенциалов, благодаря дополнительным симмет- риям задачи, могут возникать «случайные вырождения» относительно ази- мутального квантового числа I. Таков случай оператор Шрёдингера атома водорода, который мы будем рассматривать в следующем разделе. Задача 4.7. Докажите все результаты, приведенные в этом разделе. (Указание: см. литературу к этой главе.) Задача 4.8. Найдите уровни энергии частицы с угловым момен- том I = 0 в центрально-симметричной потенциальной яме V(r) = — Vq < 0 при 0 < г < а и V(r) = 0 при г > а. Задача 4.9. Найдите спектр оператора Шрёдингера с потенциа- лом V(г) = аг~2 + br2, а, Ь > 0. Задача 4.10. Докажите, что рассеянная волна и(х,к) = и(+\х,к) в центрально-симметричном потенциале дается формулой j ОО и(х,к) = f ./£ У(21 + 1)гге^«/и(г)Р((со8^), 2 ^ 1=0 где х · к = кг cos д и, как в разделе 3.4.2, Тг = 1, а μ = ^. Задача 4.11. Используя результат предыдущей задачи, покажите, что оо /(fe,n,u;) = /(fe,costf) = ^^(2l + l)(Sz(fe)-l)fl(cost?) 1=0 — разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам, и получите следующую формулу для полного сечения: оо atot(k) = ^y(2l + l)sm2St(k). к i=o
3.5. Атом водорода и SO(4) 265 3.5. Атом водорода и SO(4) Атом водорода описывается дальнодействующим потенциалом V(r) = -% — кулоновским потенциалом, где а > О3. Соответствующая задача о соб- ственных значениях для оператора Шрёдингера с кулоновским потенциа- лом называется кулоновской задачей. Здесь мы представим ее точное реше- ния, используя так называемые кулоновские единицы Ti= 1, μ = 1,иа = I4. 3.5.1. Дискретный спектр Чтобы определить дискретный спектр, удобно положить 2Е = — м2 < О, так что уравнение на собственные значения (4.10) превращается в /Г+(|-^-^)/, = 0. (5.1, Асимптотики (4.12)-(4.13) для короткодействующих потенциалов наводят на мысль, что для дальнодеиствующего кулоновского потенциала можно искать решение с интегрируемым квадратом в следующем виде: Подставив это в (5.1), получаем уравнение ЛГ+(^-2*)л!+(р-?2а±!))л,=0, (5.2) которое можно решить с помощью степенного ряда оо Л,(г) = 5>*г*. (5·3) к=0 Подстановка этого степенного ряда в (5.2) дает следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов а&: 2х(к + 1 + 1)-2 ak+1=(k + l)(k + 2l + 2)ak> fc=1'2'···' 3Для атома водорода α = е2, где е — заряд электрона. Случай α = Ze2, где Ζ = 2,3, ..., соответствует ионам водорода. 4Когда α = е2, кулоновские единицы совпадают с атомными единицами.
266 Глава 3 где αο φ 0. Степенной ряд (5.3) сходится при всех г > 0 по признаку сходимости Даламбера. Когда к > 0 таково, что α& ^ 0 для любого к, имеем lim (fc + lK+1 = 2х. Таким образом, для любого ε > 0 существует Ν, такое, что при к > N все ak одного знака, скажем а& > 0, и Qfc+i > 2х- ε °>к " к + 1 ' Тогда при к > N получаем (2*-е)* afc ^ C~J\ с некоторой константой С > 0 (зависящей от ε), и поскольку для фиксиро- ванного N сумма первых N членов в (5.3) растет как rN при г —> оо, для достаточно большого г получаем5 А|(г) ^ Се^-£)г - drN > С2е{2"-е)г. Этим доказывается, что для таких значений н функция //(г) не интегриру- ема с квадратом на (0, оо). Однако для особых значений *=^ = гтттт степенной ряд (5.3) обрывается: Л/(г) превращается в многочлен Л^(г) порядка к и Д/(т·) = rz+1e_;><fcirAfc/(r) 6 Ь2(0, оо). Положив η = к + Ζ + 1, получаем явную формулу для собственных значений Для фиксированного η целое число Ζ изменяется от 0 до η — 1, и для каж- дого Ζ имеется 2Ζ + 1 ортогональных собственных функций —-—Yim(n) с собственным значением Еп. Таким образом, полная кратность собствен- ного значения Еп равна ]T(2i + l) = n2. i=o 5Можно показать, что Aj(r) = Ce2>trr(l + о(1)) при г —► оо.
3.5. Атом водорода и SO(4) 267 Собственные функции Д/(г) радиального уравнения Шрёдингера (5.1), соответствующие собственному значению Еп, можно выразить в тер- минах классических многочленов Лагерра. А именно: при к = — подста- 2т новка х = — сводит дифференциальное уравнение (5.2) к xQ" + (p+l-x)Q' + kQ = V, где ρ = 21 +1 и Q(x) = Λ/(г). Это — дифференциальное уравнение, которо- му удовлетворяют обобщенные многочлены Лагерра Qvk{x), определенные формулой6 Ql(x) = e*x-r^r{e-*xk+P), — это многочлены степени к со старшим коэффициентом (—1)к, у кото- рых имеется к нулей в промежутке (0,оо). Для каждого ρ обобщенные многочлены Лагерра {Я^(х)}^=о — это ортогональные по мере e~xxpdx многочлены на (0, оо) со свойством ОО О e-xxv+lQl(xfdx = k\(k+p)\(2k + p+l). Ортонормированные собственные функции оператора Шрёдингера Η для атома водорода, соответствующие собственному значению Еп, имеют вид л'"(')^7га(|)'е""'гг(|)у,"(п)· <5·4) где η = к + / + 1,1 = О, ..., η — 1, и т = — /, ..., I. Замечание. Возвращаясь к физическим единицам а = е2, где е — заряд электрона, получаем для уровней энергии атома водорода &п = — η _ о^2' 2пЧ2 где μ — приведенная масса электрона и ядра. В частности, энергия основ- ного состояния — Е\ = —13,6 eV; ее абсолютная величина — это энергия 6Также используются многочлены L™(x) = (—l)m- '·—— Q™_ш(х). (η — га)!
268 Глава 3 ионизации — энергия, необходимая, чтобы удалить электрон из атома водо- рода. Используя формулу Бора для частот спектральных линий получаем для атома водорода με4 ( 1 1 иПт = —о I -« о I i n<m. 27i3 \n2 m2y При n= 1иш = 2,3, ... получаем классическую серию Лаймана, η = 2 и значения т = 3,4, ... дают серию Балмера, тогда как η = 3 и т = = 4,5, ... — серию Пашена. Эти серии спектральных линий были откры- ты экспериментально задолго до того, как была сформулирована квантовая механика. Замечание. Уровни энергии атома водорода можно также опреде- лить из правил квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда. А именно: в сферических координатах (г, д, φ) на R3 лагранжиан задачи Кеплера при- нимает вид (см. раздел 1.1.6 главы 1) L = \ц(г* + гЧ2 + г2 sin2 υ ψ2) + f, и соответствующие обобщенные импульсы — это рг = μτ, № — μτ2$, ρφ = μν2 sin2 β φ. Условия квантования БВЗ prdr = 2nh(k+\), (5.5) >Р0{й? = 2тг(/-т+§), (5·6) Ρφαφ = 2пТьт, (5.7) l· в которых интегрирование ведется по замкнутой орбите задачи Кеплера с энергией Ε < 0, точно определяют уровни энергии Еп, η = к + I + 1. Действительно, имеем ρφ = Мсз, где Мс = (Mci, МС2,Мсз) — клас- сический угловой момент. Он постоянен на орбите, так что уравнение (5.7)
3.5. Атом водорода и SO(4) 269 определяет собственные значения оператора Мз (см. раздел 3.3.2). Для вы- числения §ρ$αυ воспользуемся полярными координатами (г, х) в плоско- сти орбиты Ρ (см. раздел 1.1.6 главы 1). Поскольку %2 = д2 + sin2$</?2, на орбите получаем pxdx = p^dd + ρφαφ, где рх = μν2Χ = |МС|. Условие (5.6) теперь следует из равенства fpxdx = 2тг|Мс| = 2пЦ1 + §), (5.8) то есть из правила квантования квадрата полного углового момента7. Нако- нец, чтобы вычислить ffprdr, воспользуемся уравнениями (1.7)и(1.11)из раздела 1.1.6 главы 1 и получим, что prdr = μτ-dr = μ-^x dr = —j- ( -£ ) dX = px 6 Sm X d\, dx r2 \dxj (1 + ecos*)2 где 0 < e < 1 — эксцентриситет орбиты. Имеем /МГ = P*I (l + Zl^ = ^ (ТГ^ - λ) ' что может быть показано с помощью подстановки z = егх и теоремы Коши о выче- тах8. Из уравнения (1.12) в разделе 1.1.6 главы 1 следует, что \Л - е2 = \мс\^/Щ α^[μ и из (5.5) и (5.8) получаем 2п2П Е\ = -Еп = μ(* 0, π = * + / + !. 7Это равенство дает квантованные значения /i2(/ + — )2, при больших Ζ хорошо согласую- щиеся с собственными значениями h2l(l + 1) оператора Af2. 8 Этот интеграл был вычислен Зоммерфельдом в 1916 г.
270 Глава 3 3.5.2. Непрерывный спектр Положим 2Е = к2, где к > 0, и рассмотрим уравнение Подстановкой fi(r)=rl+1e-ikrFl(r) уравнение (5.9) сводится к К+(Щ1>-^+(1-ЩтутЛ (5.Ш) Решение уравнения (5.10), удовлетворяющее условию i*}(0) = 1, можно в явном виде записать как Ft (г) = F (I + 1 + <λ, 21 + 2,2гкг), λ = ±, где F(a, 7, г) — вырожденная гипергеометрическая функция, определенная абсолютно сходящимся рядом ( '7* } ε*Γ(α)Γ(7 + η)η! для всех аи7^0,-1,-2, ... . Вырожденная гипергеометрическая функ- ция является целой функцией от переменной z и удовлетворяет дифферен- циальному уравнению zF" + (7 - z)F* -aF = 0. При а = — fc и 7 = Ρ + 1, где fc, ρ = 0,1, 2, ..., вырожденная гипергео- метрическая функция сводится к обобщенным многочленам Лагерра: (%(*) = £^F{-k,p + l,x), рассмотренным в предыдущем разделе. При Re 7 > Re α > 0 функ- ция F(a,7, z) допускает интегральное представление 1 F(a>7,*) = г, ^7) , [r-Hl-tr-o-Wdt, (5.11) Γ(α)Γ(7 - a) J
3.5. Атом водорода и SO(4) 271 получаемое по методу Лапласа. Вырожденная гипергеометрическая функ- ция удовлетворяет функциональному уравнению F(a,7,*) = ezF(7-a,7,-*) (5.12) и имеет следующую асимптотику при z —+ оо: ^(а'7'г) = г^)("гГа(1 + 0(г"1))+ (5·13) Из (5.12) следует, что функция fi(r) = rlJtle~ikrF(l + 1 + гА,2/ + + 2,2гкг) вещественнозначна, а из (5.13) следует, что функция Ыг) = J_' е™ |Г(/ + 1 - iA)|/i(r) (5.14) >/2π(2Ζ + 1)! имеет следующую асимптотику при г —^ оо: /£?i(r) - у | sin (кг + Alog2fcr - Ц + i,) + о(1), (5.15) где ««(*) = argT(/ + 1 - <λ), λ = \ = -L=, (5.16) — фазовый сдвиг. Частичная 5-матрица для кулоновской задачи — это Sl(k) _ ет{к) _ гр + 1-»А) Она допускает мероморфное продолжение в верхнюю полуплоскость ImA; > 0 и имеет простые полюса в точках к = ixji, соответствующих собственным значениям Eki радиального оператора Шрёдингера Hi. Ради- альные собственные функции непрерывного спектра (5.14) удовлетворяют условию нормировки (4.15).
272 Глава 3 Замечание. Поучительно сравнить асимптотику (5.15) для кулонов- ского потенциала, являющегося дальнодеиствующим, с соответствующей формулой (4.16) для общего короткодействующего потенциала. Дальнодей- ствующая природа кулоновского взаимодействия проявляется в добавочном логарифмическом члене Alog2fcr в (5.15). Теорема о разложении по собственным функциям для оператора Шрё- дингера Η атома водорода имеет такой же вид, как и в разделе 3.4.3: соб- ственные функции фыт{я) даются формулой (5.4), где к = О,1, ..., Ni = = оо, а собственные функции непрерывного спектра даются формулой Фе1гп(х) = -^—Yim(n), Ζ = 0,1, ..., т = -/,..., I. 3.5.3. Скрытая SO(4) симметрия Как мы видели в разделе 1.1.6 главы 1, у классической системы с функ- цией Гамильтона Яс(Р,*) = £^-?, вдобавок к угловому моменту Мс есть три добавочных интеграла движе- ния, которые даются вектором Лапласа-Рунге-Ленца W = — х Μ — — Согласно примеру 2.2 из раздела 1.2.6 главы 1, интегралы Мс и Wc для задачи Кеплера имеют скобки Пуассона: {Mcj, Мск} = -EjkiMd, {Wcj, Мск} = SjklWcU {Wcj,Wck} = 2HcejklMch rnej, k,l= 1,2,3 и 6i23 = 1· Квантовая задача Кеплера — это кулоновская задача. В координатном представлении Ж = L2(M3, d3x) ее гамильтониан — это и Р2 а где г = \х\, и мы положили т = 1. Квантовый вектор Лапласа-Рунге- Ленца — оператор Лапласа-Рунге-Ленца W — определяется формулой W=±(PxM-MxP)-?Q
3.5. Атом водорода и SO(4) 273 или покомпонентно Wj = yjki(PkMl-^MlPk)-^, j = 1,2,3. Здесь Qi — операторы умножения на xiy и все время подразумевается сум- мирование по повторяющимся индексам 1,2,3. В силу коммутационных соотношений (3.5) имеем также aQ olQ w = PxM--^-ihP = -м xp--^ + ihP, (5.17) где слагаемое ifiP играет роль «квантовой поправки». Следующий резуль- тат выявляет скрытую симметрию кулоновской задачи. Предложение 5.1. Оператор Шрёдингера Η атома водорода имеет шесть квантовых интегралов движения Μ и W, [Я,М,] = [Я,^]=0, г =1,2,3, удовлетворяющих условиям W'M = M-W = 0u v W2 = а2 + 2НМ2 + 2ft2 tf. (5.18) Кроме того, самосопряженные операторы Μ uW удовлетворяют следу- ющим коммутационным соотношениям: [Mj, Mk) = iUjkiMi, [Wj,Mk] = ibejklWi, [Wj,Wk] = -2iUjkiM{E. Доказательство. Мы знаем, что [H,Mj] = 0. Чтобы доказать, что Wj — квантовые интегралы движения, сперва вычислим отношений Гейзенберга следует, что , 1 Р2 Qi 31 г г6 Из коммутационных со- (5.19) так что, используя правила Лейбница и соотношения г2 — х\ + х\ + х2, [Mj, г] = 0 и QjPk - QkPj = EjkiMu получаем Р2 Qi = 2Л^ + 2<Йе^|%М|.
274 Глава 3 Теперь, воспользовавшись первым уравнением в (5.17) и уравнени- ем (5.19), получаем [H,Wj} = а aQj ^- - y,ejkiPkMt - -^ - гПР3 Qj Qk Qk Qj = -гаТг— - iaUejki—Mi + iaTiejki—Mi + гаТг— = 0. Легко доказать соотношение W · Μ = W\M\ + W2M2 + W3M3 = 0. Действительно, из определения Μ и коммутативности Рк и Q/ при к φ Ι следует, что MP = PM = MQ = QM = 0, и, используя первое уравнение в (5.17) и коммутационные соотношения для компонент углового момента, немедленно получаем, что W · Μ = 0. Чтобы доказать, что Μ · W = 0, надо воспользоваться вторым уравнени- ем в (5.17). Проверка условия (5.18) требует большей работы. Имеем W2 = WjWj = aQj , ,*D \ L о л„ aQj = SjkiMiPk ^ + ifiPj ejmnPmMn -+ - iftP, = = ejkiisjmnMiPkPmMn - аМ{Рк — - iUMiPkPj)- - OLEjmn-^-PrnMn + ο? ^-γ- + гаЬ-^-Рэ + гЬеэтпРэРшМп- - гаПР~ + П2Р7Р7· = j г 3* 3 = α2/ + ГР' + EjkiEjmnMiPkPmMn- - aejki f M/P^ + ^PfcM/ ) - iah Qj 31 r Поскольку операторы Μ3· и Р3 коммутируют, тождество (а X Ь)2 = а2Ъ2 — — (а· Ь)2 по-прежнему применимо, и мы получаем, что r2D2 е^е^пМЛРгпМп = -(МхР)-(РхМ) = М2Р2-(М-РУ = М2Р
3.5. Атом водорода и SO(4) 275 Используя (5.19), легко находим (суммирование по повторяющимся индек- сам), что ρ 9i = гП|-г + ^з)=—Г' Поскольку [М2, г] = 0, из равенства Μ = Q Χ Ρ следует, что ejkt (μΛ0- + ^РкмЛ = М-\ + 1М2 = 2М!. Собирая все вместе, получаем (5.18). Нетрудно также установить коммутационные соотношения между Mj и Wk. Используя (3.5) и свойства Sjki, получаем [MhWk] MhtkmnPmMn - ^А - ihPk } = iH£jrnp£kmnPpMn+ejnp€kmnPmMp)-iTiejkl f — h iUPi = ih(PjMk - MkPj) - ibejki (^p- + гЬРЛ = itejkiWi. Наконец, чтобы установить коммутационные соотношения между ком- понентами W, воспользуемся представлениями W = QP2-P(Q P)-^=P2Q-(P Q)P-^. (5.20) Первая формула в (5.20) следует из первой формулы в (5.17), если вос- пользоваться соотношениями EjklPkMi = SjklSimnPkQrnPl = Sjkl{eijkPkQjPk + ZlkjPkQhPj) = = PkiPkQj - PjQk) = QjP2 - Pj(P · Q) - 2ihPj и соотношением Ρ Q = Q- Ρ — ЗгЫ. Вторая формула в (5.20) следует из
276 Глава 3 первой в силу коммутационных соотношений Гейзенберга. Дальше имеем £jki[Wk, W[] = 2ejmnWmWn = = 2ejmn (p2Qm - (Ρ ■ Q)Pm - ^>j (quP* - Pn(Q · P) - ?Щ = = 2Mj (-P2{Q -P) + (P- Q)P2 + f (Q · P) - (P · Q)f) = (p2 - ψ) = -2i%Mj P2 - ψ = -AifiMjH, Ρ Q,\ ψ.Это где были использованы равенства [Μ", Ρ · Q] = 0 и доказывает, что [Wk, Wi] = —2i?i€jkiMjH. Пусть Jif0 = Ря(—оо, 0)Ж, где Ρ я — проекторная мера для оператора Шрёдингера Н. Поскольку самосопряженные операторы Μ nW коммути- руют с Н, подпространство Л?о — инвариантное подпространство для этих операторов. Оператор Шрёдингера Η неотрицателен на Jifo, так что на этом пространстве корректно определен оператор (—2#)-1/2. Далее, на <Щ по- ложим J(±) = |(М± (-2Я)"1/2И^). Из предложения 5.1 следует, что самосопряженные операторы J. ' на ^ удовлетворяют коммутационным соотношениям [jj±\4±)]=i**ii*j}±), H+),4i=0 (5.21) и (J(+))2 = (j(-))2 = _I^2/ + ^. (5.22) Уравнения (5.21) — это коммутационные соотношения для образующих ал- гебры Ли 50(4), что соответствует изоморфизму алгебр Ли so(4) ~ so(3) 0 0 5θ(3) и чем демонстрируется скрытая S0(4) симметрия кулоновской за- дачи! Вместе с (5.22) они позволяют найти уровни энергии чисто алгебра- ически. А именно: собственные значения операторов (J(+))2 и (J(-))2 — это соответственно ft2Zi(Zi + l) и ^2/2(Ь + 1), и из (5.22) следует, что l\ = ^ = U так что соответствующее собственное значение Η — это £« = -Г#1' п = 21 + 1. 2П2п2
3.5. Атом водорода и SO(4) 277 Предполагая, что Ж0с± 0 Vi®Vh (5.23) где суммирование происходит по всем неотрицательным целым и полу- целым значениям I, получаем из разложения Клебша-Гордона (3.13), что кратность собственного значения Еп — это 21 dim Vz ® Ц = Y^(2j + 1) = (2/ + Ι)2 = η2. з=о Для доказательства ортогонального разложения (5.23) надо рассмот- реть уравнение Шрёдингера для атома водорода в импульсном представле- нии. Используя сферические координаты вЕ3и элементарный интеграл I Sin Г , 7Г г аг ~ 2 ' о легко показать, что для любого φ е У(Ш3) 2n2?iJ \p-q\2 (>/2πη)3 J r где ψ = βΗ(Ψ) — зависящее от Ь преобразование Фурье9. Пусть ψ — соб- ственная функция Η с собственным значением Ε < 0. Из (5.24) следует, что в импульсном представлении соответствующее уравнение Шрёдинге- ра — уравнение на собственные значения Нф = Еф — принимает вид (р2+р1Жр) = \[-Щ^а\ (5.25) R3 αμ где ро = \/—2μΕ и λ = —^-. Дальше рассмотрим однородные координа- той ты -в!3 как координаты стереографической проекции единичной сфе- ры S3 в М4. А именно: обозначив как η единичный вектор из начала ко- ординат в северный полюс S3, получим для точки и £ S3, соответствую- ЩеЙ£еМ3' 2 2 и = — η + — Ρ- Р2+Ро Ρ +Ρο 9Поскольку х — переменная в координатном представлении, здесь q — другая переменная в импульсном представлении.
278 Глава 3 Для формы объема на 53 имеем аП (2ро)3 (р2+Р2о)3 53 2π2. Используя равенство , ,2 (Р2+Ро)(Г+Ро), ,2 |р - q\ = —~ \и ~ v\ где ν € Ss соответствует — е R3, и вводя Ф(и)- (2ро)2 вод 1 (р2 + р1)2 Ψ(ρ), у/Ро (2р0)2 можно переписать уравнение (5.25) как 2πΖ J \и — vr S3 Имеем также J |*(«)|2<Ю« = J ^^\i>(P)\2d3p = J \ф(Р)\2а3р. S3 , Ж3 ° Кз Действительно, из уравнения Шрёдингера следует, что I I2 ^ Jp2mP)\2d3P = ±j\^\d*x = J(E- У{г)Жх)\Ч*х, (5.26) (5.27) 2μ, ж3 Ж3 Ж3 и по теореме о вириале (см. раздел 3.1.3) получаем |2 i / ПИТ** = -^ /δ*(*Μ*)Λ* = -| J У(г)\ф(х)\Ч3х, где V(r) = — ", так что /" ^(г)|^(ж)|2й3х = 2Я /" |V(x)|2d3a; = 2£ /" |^(p)|2dV
3.5. Атом водорода и SO(4) 279 Это показывает, что задача о собственных значениях уравнения Шрё- дингера эквивалентна задаче о собственных значениях интегрального урав- нения (5.26) на L2(53, dQ). Последняя — классическая задача теории сфе- рических гармоник. А именно: функция G(u) = τ—r·, где и = \и\, 47Г1Г и G R4, — фундаментальное решение оператора Лапласа Δ на R4: ди2 ди2 ди2 ди2 а уравнение (5.26) — уравнение, которому удовлетворяют сферические гар- моники на 53: собственные функции сферической части Δ0 оператора Ла- пласа на R4, определенного формулой Δ = -L-£- (и3—} + —Δ и3 ди \ ди) и2 Хорошо известно из теории представлений группы Ли SO (4), что сфе- рические гармоники — это ограничения на 53 однородных гармонических многочленов на R4 степени η — 1, η Ε N. Соответственно, уравнение (5.26) получается как предел |гх| —> 1 формулы Грина для однородных гармо- нических функций степени η — 1 в единичном шаре в R4 с использо- ванием потенциала двойного слоя. Это дает λ = η, чем опять устанав- ливается точная формула для уровней энергии атома водорода. Изомор- физм Ж§ ~ L2(53, dVt) следует из (5.27), а (5.23) — из разложения L2(S3,dn)~ 0 Vi®Vi регулярного представления SO(4) в прямую сумму неприводимых компо- нент. Можно также получить явный вид (5.4) собственных функций, вос- пользовавшись теорией представлений SO(4). Мы оставляем все эти детали заинтересованному читателю. Замечание. При Ε > 0 надо рассмотреть подпространство Ж\ = = Р#(0, oo)J^ и определить J(±) = i(M ± (2H)~l/2W). Вместо (5.21) эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Ли 5о(3,1) группы Лоренца SO(3,1). Задачу нахождения собственных функций непрерывного спектра для кулоновской задачи можно решить, ис- пользуя гармонический анализ на трехмерном пространстве Лобачевского.
280 Глава 3 Задача 5.1. Покажите, что компоненты углового момента Μ — об- разующие 50 (4), соответствующие бесконечно малым вращениям в под- пространстве R4 с координатами (0,р), а компоненты вектора Лапласа- Рунге-Ленца W соответствуют бесконечно малым вращениям в плоско- стях (poPi), (P0P2) и (роРз) в М4. 3.6. Квазиклассическая асимптотика - I Здесь мы опишем соотношение между классической и квантовой ме- ханикой, рассмотрев поведение волновой функции t/j(q,t) — решения зави- сящего от времени уравнения Шрёдингера10 ih^ = -^Aip + vm (6.1) при Ь —> 0. Подстановка ф{Ч,Ь)=е-*8(с,т (6.2) сводит (6.1) к следующему нелинейному уравнению в частных производ- ных: , ν 2 Замечательно, что (6.3) отличается от уравнения Гамильтона-Якоби (2.4) для функции Гамильтона #с(р, q) = ~ \- V(q), рассмотренной в разде- ле 1.2.3 главы 1, только слагаемым в правой части, пропорциональным %. Таким образом, при Ь —► 0 уравнения движения квантовой механики пере- ходят в классические уравнения движения. --Et Для стационарного состояния t/j(q,t) = ^{q)e h подстановка (6.2) превращается в . ip(q,t) = е п . (6.4) Соответствующее нелинейное уравнение в частных производных: Χ(|)2 + η,) = Ε+||Δ<,, т отличается от соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби для укоро- ченного действия, рассмотренного в разделе 1.2.5 главы 1, пропорциональ- ным Ть слагаемым в правой части. 103десь будет удобно обозначать декартовы координаты на Rn как q = (qi, ..., qn).
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 281 В этом разделе мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику: асимптотики уравнений в частных производных (6.3) и (6.5) при Ть —> 0. Они описывают точное соотношение между квантовой и классической ме- ханикой и представляют количественную форму принципа соответствия, обсуждавшегося в разделе 2.2 главы 2. В частности, используя квазиклас- сическую асимптотику стационарного уравнения Шредингера, мы выведем правила квантования Бора- Вильсона - Зоммерфельда, которые были посту- лированы в разделе 2.2.5 главы 2. 3.6.1. Асимптотика, зависящая от времени Здесь мы рассмотрим задачу нахождения коротковолновой асимпто- тики — асимптотики при Ь —> 0 решения фп{ч^) задачи Коши для одно- мерного уравнения Шредингера (6.1), с начальным условием Mq,t)\t=Q = <p{q)ebs(q). Предполагается, что вещественнозначные функции <p(q) и s(q) — гладкие, s(q), φ{<1) £ C°°(R) и что у «амплитуды» φ(ς) компактный носитель. Под- становка (6.2) — это tl>h(q,t) = е*> ' ' , и дифференциальное уравне- ние (6.3) принимает вид dS . 1 fdS\\v(, ifi d2S ,RRx Чтобы определить асимптотическое поведение S(q,t,%) при Ь —> 0, пред- положим, что при Ь —> О оо S(q,t,?i) = J2(-ih)nSn(q,t), 71=0 и подставим это разложение в (6.6). Сравнивая члены с одинаковыми сте- пенями Ti, получим, что So(q,t) удовлетворяет задаче с начальными усло- виями w+Hti+vw=° (6·7)
282 Глава 3 So(q,t)\t=0 = 8(q), (6.8) где Si (q, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению dt + m dq dq 2m dq2 ' ^ ' так называемому транспортному уравнению, и Si(q,t)\t=Q = \og<p(q). (6.10) Функции Sn(q, t) при η > 1 удовлетворяют неоднородным дифференциаль- ным уравнениям, подобным (6.9). Задача с начальными условиями (6.7)-(6.8) — это задача Коши для уравнения Гамильтона -Якоби с функцией Гамильтона Hc(p,q)=^ + V(q), рассмотренной в разделе 1.2.3 главы 1. Согласно предложению 2.1 в раз- деле 1.2.3 главы 1, решение уравнений (6.7)-(6.8) получается методом ха- рактеристик: t S0{q,t) = s{qo) + J L{i{r))dT. (6.11) О Здесь L(q, q) = ^mq2 — V(q) — функция Лагранжа, a η (τ) — характери- стика, классическая траектория, начинающаяся в точке qo в момент вре- мени г = 0 с импульсом ро = -^-(qo) и заканчивающаяся в точке q в мо- мент г = t, где qo однозначно определяется из q. (Мы предполагаем, что гамильтонов фазовый поток gt удовлетворяет предположениям, сделанным в разделе 1.2.3 главы 1.) Из теоремы 2.7 в разделе 1.2.3 главы 1 следует, что на характеристике — (q,t)=m-(t\ так что ж + шд^1)^т) = ^1Ыш (6.12) Теперь мы можем решить задачу Коши (6.9)-(6.10) для транспортного уравнения явным образом. Рассмотрим поток π* : R —► R, определенный
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 283 в разделе 1.2.3 главы 1, и обозначим11 как 7(<2> Ч\т) характеристику, соеди- няющую точки q в момент τ = 0 и Q = π* (q) в момент г = t (при наших предположениях, что поток щ — диффеоморфизм и отображение q \-+ Q взаимно однозначно). Дифференцируя уравнение dSo-(Q,t) = m^(Q,q;t) dQ -Ι' по q, получаем **(Q t№ dQ2^' >dq "•J>-<>-f(f так что (6.9) можно переписать как и, используя (6.10), получаем 5i(Q,i) = v(9) а9 (?) Поэтому iMQ, *) = ¥>(«) 9ς (9) i. 2e^(S(Q,</;t)+S(</))(1 + 0(^))) (6.13) где S(Q,q;t) — классическое действие на характеристике, начинающейся в точке q в момент τ = 0 и кончающейся в точке Q в момент τ = t. Строгое доказательство того, что (6.13) — асимптотическое разложение при ^г. —► 0, использует предположения, сделанные в разделе 1.2.3 главы 1, и оставляется заинтересованному читателю. Здесь мы только заметим, что асимптотика (6.13) согласуется с сохранением вероятности: для любого борелевского подмножества Ε С R J \MQ, t)\2dQ = J Mq)\2dq + 0{П) Et Ε при % -> 0, где Et = щ(Е). Не путать с оператором квантовой координаты Q.
284 Глава 3 Замечание. Когда предположения раздела 1.2.3 главы 1 не выпол- няются, ситуация становится более сложной. А именно: в этом случае мо- жет быть несколько характеристик 7j(r)> которые заканчиваются в точке Q при τ = t, имея qj своими соответствующими начальными точками. Тогда Фп(я^) = Σ(ρ(<υ) dQ_ dq Ы i(5«^5*)+-to))-f^(i + OW)> где μ^ Ε Ζ — индекс Морса характеристики jj. Он определяется как число фокальных точек на фазовой кривой (q(r),p(r)) с начальными данными qj и pj = -^-(Qj) по отношению к конфигурационному пространству R. Это частный случай более общего индекса Маслова. Случай η степеней свободы рассматривается похоже. При предположе- ниях раздела 1.2.3 главы 1 решение фп(я^) уравнения Шрёдингера (6.1) с начальным условием M4,t)\t=0 = V>{q)e^4\ где вещественнозначные функции s(q) и (p(q) — гладкие, a (p(q) — еще и с компактным носителем, имеет следующую асимптотику при Ь —> 0: ^h(Q,t) = 4>{q) detlfta) ef (S(Q,<7;t)+*(<7))(1 + о(П)). (6.14) 3.6.2. Асимптотика, не зависящая от времени Здесь мы рассмотрим квазиклассическую асимптотику для одномерно- го уравнения Шрёдингера 5S + W"* (6.15) Этот асимптотический метод известен также как метод ВКБ (в честь Дж. Венцеля, X. Крамерса и Л. Бриллюэна). Подстановка (6.4) — это фп{х) =еп а{х\Тг) , и уравнение (6.5) принимает вид 2га ъЬ d2a dxj. v ' 2ra dx2
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 285 Как и в предыдущем разделе, воспользуемся разложением оо а(х,К) = Y^(-ih)nan(x) 71=0 и для первых двух членов получим ±<tf = E-V(x) и σ'0σ[ = -\σΙ (6.16) Пусть р(х) = л/2т(Е — V(x)) — классический импульс частицы, дви- жущейся в потенциале V(x) с энергией Е. Решение первого уравнения в (6.16) дается формулой Ч σο = ± / p(x)dx, а из второго уравнения в (6.16) мы получаем ai = -|logp. Волновая функция в приближении ВКБ имеет вид ЫХ) = 7^m(cJfP{X)dX + C2e-^Pix)dX)(l + 0(n)), (6.17) где р(х) вещественно в классической области V(x) < Ей чисто мнимо в классически недоступной области V(x) > Ε (см. раздел 1.1.5 главы 1). Заметим, что асимптотика (6.17) верна, только если %\ση\ <С (я7)2, что в первом приближении дает d ( П dx \p(x) <1. Введя классическую силу F = —^-, это условие можно переписать как ах Щ?- < 1. (6.18) ρ6 Таким образом, приближение ВКБ не работает, когда классический им- пульс р(х) мал. В частности, оно неприменимо вблизи точек поворота, где Ε = V(x), и поэтому р(х) = 0. Пусть х = а — точка поворота. Ес- ли F0 = F(a) т^ 0, то, используя приближение Ε — V(x) ~ F0(x — а) вблизи х = а, можно заменить (6.15) уравнением ^Ψ" = Ρ0(Χ-α)ψ.
286 Глава 3 Это дифференциальное уравнение в явном виде решается методом Лапласа. Его ограниченное решение — это 1_ φ(Χ)=Φ(ξ), £=(^)3(a-z), где Φ (ξ) — функция Эйри-Фока, определенная несобственным интегралом V 7Г J Асимптотика функции Эйри-Фока при больших ξ, полученная методом перевала, следующая: ФЮ = ^е"^5 (1 + 0(Г2)| при ξ ^οο, (6.19) Ф(0 = -7=въ(§1^ + Т ) (H-O(lir^)) при ξ^-οο. (6.20) Используя асимптотику (6.19)-(6.20), можно получить формулы, свя- зывающие приближения ВКБ для классической и недоступной областей. Строгое обоснование этого подхода технически достаточно трудоемко, и мы не будем приводить его здесь. Вместо этого мы обсудим простей- ший случай, когда имеется только одна точка поворота х = а с Fo > О, так что х < а — классически недоступная область. Из (6.17) получаем, что волновая функция ВКБ в недоступной области х < а экспоненциально затухает: тогда как в классической области х < а — осциллирует: 1 Τ f P(s)ds —— f p(s)ds - x V\vkb(x) = -r=(Cieft · + C2e n · ) = -£- sin(± fP(s)ds+a). y/p{X) \V\X) a a Как следует из (6.18), приближение ВКБ вблизи точки поворота х = а 1 остается уместным при \х — а\ > ^ ( -^=- 1 , что эквивалентно усло- 2 \mtoJ вию |£| > 1. С другой стороны, когда \х — а\ <С 1, волновая функция имеет
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 287 асимптотику 1М*) = сф(0(1 + ОД). Чтобы определить неизвестную фазу а и найти соотношения между коэф- 1 1 ( Ь2 λ 3 фициентами Л, В и С, рассмотрим область - I —— I <С |ж — а| <С 1 2 утгоJ и сравним приближение ВКБ для волновой функции с асимптотикой функ- ции Эйри-Фока при больших ξ. А именно: при х < а имеем ^>1и 2Л 2 ПГ-^г ч! 1 Λ , mj 4/7 >/1р(*)1 |f5 = Α^^(α _ Ж) 2 ~ I у |ρ(β)|ω> </£ y2mhF0 Сравнивая (6.19) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем, что 2Л = \/2mbFoC. При ж > α имеем £ <С — 1 и а; у/р(х) 0тЩ а Сравнивая (6.20) с волновой функцией ВКБ при х < а, получаем, что а — J и В — ^2m%FoC9 так что В = 2А. Таким образом, в этом примере волновая функция ВКБ — это a Uws)lds I /. , е а , когда х < а, ^wkb(x) = { ^^ я (6.21) 2А /р(х) sin(^ Jp(s)ds + J), когда ж > α. Случай, когда имеется только одна точка поворота ж = Ь с Fo < 0, так что х > Ь — классически недоступная область, сводится к предыду- щему примеру с помощью изменения ориентации х н+ — х. Как результат, получаем ^wkbOe) = < Ъ Щ- sin(£ Jp(s)ds + f), когда ж < 6, Р(Х) ! хж , (6.22) —■ — е ь , когда ж > о. [у/\р&)\
288 Глава 3 Задача 6.1 (Прохождение через потенциальный барьер). Рас- смотрим потенциальный барьер для заданной энергии Ε — потенциал V(x), такой, что {х Ε Μ : V{x) > Ε} = (α, b). Покажите, что 2 ь --f\p(x)\dx Jwkb = e Проверьте непосредственно, что коэффициент прохождения для потенциала из задачи 2.9 в квазиклассическом приближении дается этой формулой. Задача 6.2 (Отражение над барьером). Предположим, что по- тенциал V(x) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплос- кость, и пусть Ε — энергия, такая, что Ε > V(x) для всех веществен- ных х. Предположим, что существует лишь одно комплексное хо, такое, что V(xq) = Ε. Покажите, что в квазиклассическом приближении 4 хо — — Im f p(x)dx ^WKB — e α i где р(х) — yJlm{E — V(x)), a a G Μ (выбор α не влияет на мнимую часть интеграла в экспоненте). Проверьте непосредственно, что коэффициент от- ражения для потенциала в задаче 2.9 в квазиклассическом приближении дается этой формулой. Задача 6.3. Найдите коэффициенты прохождения и отражения для параболического барьера — потенциала V(x) = —^кх2, где к > 0, — и про- верьте непосредственно, что в квазиклассическом приближении они удо- влетворяют при Ε < 0 и Ε > 0 соответственно формулам из задач 6.1 и 6.2. 3.6.3. Правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда Метод ВКБ позволяет определить уровни энергии в квазиклассическом приближении. Рассмотрим для простоты финитное движение одномерной частицы в потенциальной яме: в потенциале V(x) с энергией Е, такое, что имеются две точки поворота а и Ь. Классическая область — это а ^ х < Ь, и движение периодично с периодом 6 6 6 ах Τ = 2 I ^ = 2т J ψ = урЫь ( yjE-V{x) Области х < а и х > Ь недоступны (см. раздел 1.1.5 главы 1).
3.6. Квазиклассическая асимптотика - I 289 Из (6.21) - (6.22) следует, что волновая функция ВКБ экспоненциально затухает в недоступных областях х < а и х > Ъ. Воспользовавшись (6.21), мы видим, что в классической области волновая функция ВКБ имеет вид ^wkb(z) = -r= sin [ £ / p(s)ds + \ , тогда как, используя (6.22), получаем ъ 2В fp(x) ^wkb(s) = -fesin τ Jp(s)ds + τ Ι = Χ Д- sin U Jp(s)ds + f - (Ι |ρ(,)Λ + f) Эти два выражения определяют одну и ту же функцию на а ^ ж ^ Ь, если и только если существует положительное целое число п, такое, что £^ρ(*)ω; + | = (η+1)7Γ, (6.23) α тогда Л = (—1)п+1£. Уравнение (6.23), записанное в виде ь λ [ ^2т(Е - V(x)) dx = пЦп + |), определяет квазиклассические уровни энергии. Из (6.21)-(6.22) следует, что число η равно количеству нулей волновой функции ВКБ. В соответ- ствии с теоремой об осцилляции случай η = О отвечает основному состоя- нию, случай η = 1 — состоянию со следующим уровнем энергии, и т. д.
290 Глава 3 Обозначив, как и в главах 1 и 2, координату х как q, можно переписать (6.23) как <bpdq = 2nh(n+l), (6.24) где интегрирование идет по замкнутой классической орбите в фазовой плоскости R2 с каноническими координатами р, q. Условие (6.24) — это известное правило квантования Бора - Вильсона - Зоммерфельда для случая одной степени свободы (см. раздел 2.2.5 главы 2). Подчеркнем, что, вообще говоря, правило квантования БВЗ применимо только для больших η и да- ет квазиклассическую асимптотику уровней энергии Еп. Однако, как было показано в разделе 2.2.6 главы 2, уровни энергии гармонического осцилля- тора, полученные по правилу БВЗ, точны. Правила БВЗ также точны для уровней энергии атома водорода (см. раздел 3.5.1). Этот квазиклассический анализ можно обобщить на системы с η сте- пенями свободы, соответствующие вполне интегрируемым классическим гамильтоновым системам (см. раздел 1.2.6 главы 1). Правила квантования Бора-Вильсона-Зоммерфельда принимают вид pdq = 2π.η(ηΙ + \ maj). (6.25) Здесь интегрирование ведется по всем 1-циклам η в лагранжевом подмного- образии Λ = {(ρ, q) е R2n : Яс(р, q) = Ε, F2(p, q) = E2, ..., Fn(p, q) = = En}, a ind7 — индекс Маслова цикла 7 в Λ. Для переменных действие-угол (Ι,φ) интегрирование в (6.25) ведется по базисным 1- циклам п-тора Тп, и получаются условия квантования Ii = {щ + -)Ti9 г = 1, ... ,п. 3.7. Замечания и ссылки Классический текст [Лан89Ь] содержит множество основных фактов относительно уравнения Шрёдингера, представленных с физической точки зрения. В учебнике [Фок76Ь], тоже классическом, пристальное внимание уделяется деталям. Существует масса математических статей и моногра- фий, посвященных разным аспектам уравнения Шрёдингера, и мы упомя- нем здесь только использованные нами источники. За критерием самосо- пряженности из раздела 3.1.1 читатель отсылается к энциклопедическому обзору [Роз89], а также к монографии [RS75] и ссылкам в ней; в частности, в [RS75] можно найти доказательство того, что оператор Шрёдингера слож- ного атома существеннно самосопряжен. Доказательство теоремы Сирса i
3.7. Замечания и ссылки 291 см. в [Бер83а]. Теоремы 1.6 и 1.7 (последняя — частный случай V\ = 0) из раздела 3.1.2 доказываются в [Бер83а] и [Роз89]; см. [RS78] для доказатель- ства теоремы 1.7 в общем случае и других обобщений. Доказательство тео- ремы Като можно найти в [RS78]; см. также [Роз89]. Доказательство оценки Бирмана-Швингера см. в [RS78]. В монографии [HS96], помимо введения в спектральную теорию, содержатся доказательства множества результатов из разделов 3.1.1-3.1.2; см. также монографию [CFKS08] для этого и дру- гих результатов. Раздел 3.2 основан на фундаментальной статье [Фад64], классических обзорах [Фад59, Фад74Ь] и монографии [Мар72], посвященной обратной задаче квантовой теории рассеяния. Для большей информации и деталей по поводу материала из раздела 3.2.1 и задач 2.2, 2.3, 2.4 см. [Фад64] и [Мар72]. Комплексное интегрирование ядра резольвенты — мощный ме- тод доказательства теоремы о разложении по собственным функциям, осо- бенно при наличии абсолютно непрерывного спектра, и в разделе 3.2.2 мы следовали изящному подходу [Фад59]; задача 2.6 взята из [Фад74Ь]. Раздел 3.2.3 основан на [Фад59, Фад64, Фад74Ь]; см. также монографию [New02] для исчерпывающего изложения теории рассеяния с физической точки зрения и новую книгу [Яфа94] для ее абстрактной математической формулировки. Мы отсылаем читателя к [Фад74Ь] и ссылкам в этой работе за большими деталями по поводу материала в разделе 3.2.4. Раздел 3.3 довольно стандартный; с физической точки зрения этот ма- териал можно найти почти в любом учебнике квантовой механики; см. ясное изложение в [Лан89Ь, Фок76Ь]. Группы Ли в квантовую механи- ку ввел Г.Вейль [Wey50], и в наше время теория представления групп Ли — часть учебной программы по физике; см., например, [BR86]. Есть и множество математических учебников и монографий по теории пред- ставлений компактных групп Ли; см., например, [Knp78,FH91], а также [Вил65]. В разделе 3.4 содержится стандартный материал, присутствую- щий в любом учебнике квантовой механики; см. физическое изложение в [Лан89Ь, Фок76Ь, Mes99]. Нашей целью здесь была точная математиче- ская формулировка основных фактов; за доказательствами всех результатов этого раздела (а также за решениями задач) и их обобщений мы отсылаем читателя к монографии [RS79]. Решение задачи о собственных значениях атома водорода, данное Э. Шрёдингером в 1926 г., было главным триумфом квантовой механики. До этого уровни энергии атома водорода получили Н. Бор в 1913 г., исполь- зовавший модель Бора (впоследствии ее заменила модель Бора-Зоммер- фельда и правила квантования БВЗ), и в 1926 г. В.Паули, воспользовав- шийся квантовым вектором Лапласа-Рунге-Ленца. Разделы 3.5.1 и 3.5.2
292 Глава 3 стандартны, и наше изложение следует [Лан89Ь, Фок76Ь]. Мы начали раз- дел 3.5.3, изложив подход Паули (см. [BR86] для дальнейшей детализа- ции по поводу теории представлений). Скрытую SO (4) симметрию ато- ма водорода открыл В.А.Фок, а конец раздела 3.5.3 основан на [Фок76Ь] (см. [BI66a, BI66b] для дальнейших деталей и случая абсолютно непрерыв- ного спектра). Имеется обширная литература по квазиклассической асимптотике и методу ВКБ, которых мы лишь слегка коснулись в разделе 3.6. Мы от- сылаем читателя к [Лан89Ь] и [Дав73] за физическим обсуждением и к [GS77,BW97] — за математическим введением. Детальное изложение одно- мерного метода ВКБ можно найти в [01v97] — справочной книге по спе- циальным функциям, использованным в этой главе. Мы отсылаем читателя к монографиям [Мас76а] и [Ler81] за детальным изложением гораздо более сложного многомерного метода ВКБ.
Глава 4 Спин и тождественные частицы 4.1. Спин 4.1.1. Операторы спина До сих пор мы молчаливо предполагали, что гильбертово простран- ство квантовой частицы — это Ж = 1/2(М3,е/3ж). Основываясь на этом допущении, мы нашли в разделе 3.5.1 главы 3 уровни энергии атома водо- рода. В частности, в основном состоянии третья компонента Ms операто- ра Μ квантового углового момента имеет собственное значение 0. Однако известный эксперимент Штерна-Герлаха показал, что у электрона в ато- ме водорода есть еще и «магнитный угловой момент», третья компонента которого в основном состоянии может принимать два значения, отличаю- щиеся знаком. Поэтому вдобавок к оператору Μ «механического углового момента» с компонентами Mi, M2, Ms у электрона есть еще и оператор S «внутреннего углового момента» с компонентами 5ь52,5з, называемый спином. Спин описывает внутренние степени свободы электрона и не за- висит от положения электрона в пространстве1. Гильбертово пространство состояний электрона — это Жз = Ж®С2, т. е. состояний у него вдвое боль- ше, чем у бесспиновой частицы. Гильбертово пространство Жз состоит из двухкомпонентных векторнозначных функций на R3, где ||ф||2 = j |^i(x)|2d3x + ( |^2(ж)|2^3ж < оо. Каждой наблюдаемой А в Ж соответствует наблюдаемая А 0 /г в ^5» задаваемая 2x2 блочно-диагональной матрицей ($ д). Наблюдаемые ви- да / 0 5, где I — тождественный оператор в Ж, a S — самосопряженный 1 Спин — это чисто квантовое явление, отсутствующее в классической механике.
294 Глава 4 оператор в С2, описывают внутренние степени свободы и коммутируют со всеми наблюдаемыми А ® /2. Полный набор наблюдаемых в J#s состоит из операторов Qi ® h, Q2 <8) h, <2з <8) h и / (8) 5i, J (8) 52, / (8) 5з, где Qj — операторы координат, а 57 — операторы спина, самосопряженные опера- торы в С2 с нулевым следом, удовлетворяющие тем же коммутационным соотношениям, что и квантовые операторы углового момента, [Si, S2] = ifiSs, [52,5з] = ifiSi, [S3, 5i] = i?iS2- В терминах стандартного базиса е\ = (J), е2 — (?) пространства С2, Sj = 7j&j, j = 1,2,3, где Gj — это так называемые матрицы Паули'. О 1\ /О -Λ Λ О повсеместно используемые в физике. Удобно также представлять Φ Ε ^5 как функцию ф(х,а) двух переменных, где х е R3, а σ принимает два значения - и —-, положив ф(х,-) = фг(х) и ф(х,—-) — ^(ж). Каждая функция ф(х,а) является конечной линейной комбинацией функ- ций ф{х)х(а) — разложимых на множители элементов тензорного произве- дения L2(R3) (8) С2. Здесь мы отождествляем С2 с комплексным векторным пространством функций %:{—^,^} —> С, сопоставляя стандартному бази- су еь е2 функции %ь %2, определенные формулами х1(1) = 1,х1(-1)=0 ихг(^) = 0,Х2(— ^) = 1. Это отождествление также повсеместно исполь- зуется в физике. В этих обозначениях оператор 5з становится оператором умноже- ния на Тьа, 8зф(х,с) = Тгаф(х,а), и Siip(x, σ) = %\σ\ψ(Χ, —σ), 52'0(ж, σ) = —гЬаф^х, —σ). Здесь и в нижеследующем мы всегда будем предполагать, что оператор спина действует только на переменную σ, и часто будем писать Sj вме- сто I <S> Sj. Оператор S2 = 52 + 52 + 5| называется оператором квадрата полного спина, и52 = li25(5 + 1)/2, где s = \σ\ = - — полный спин. В терминологии физиков спин электрона равен -.
4.1. Спин 295 4.1.2. Спин и теория представлений SU(2) Математическая интерпретация спина дается теорией представлений алгебры Ли su(2), обсуждавшейся в разделе 3.3.2 главы 3. А именно: пусть Α\=—-^σ\, Α2 = —-σ2, As = _9σ3 — стандартный базис алгебры Ли su(2) — алгебры 2x2 косоэрмитовых мат- риц с нулевым следом, удовлетворяющий коммутационным соотношениям [АиА2] =А3, [А2,Аз] =Аи [А^Аг] = А2, и пусть Pi — двумерное (фундаментальное) представление su(2) в Vx ~ С2. 2 2 Операторы спина даются формулами Sj=i?ip1(Aj), j = 1,2,3, и pj называется представлением спина -. В общем, представление р3 2 2 в 2 s + 1-мерном комплексном векторном пространстве V^ называется пред- ставлением спина s G ~^о· Действие операторов Tj = ips(Aj) на Vs опи- сывается формулами (3.10)-(3.12) из раздела 3.3.2 главы 3 (где I заменено на s). Существует другая явная реализация представления ps на векторном пространстве &*s многочленов f(z) степени не выше 2s. А именно: отоб- ражением . я 4-т. т = —s, —s+ 1, ... , s — l,s, y/(s + m)\(s — т)! устанавливается изоморфизм между векторным пространством Vs со ска- лярным произведением, определенным ортонормальным базисом esm, и векторным пространством 2PS со скалярным произведением (2а+1)! [ f(z)g(z) j2 (/,<?) = — J (1 + N2)2s+2d2' />i6#»· (L1) С Соответствующие операторы Tj = грДА,) в £?s даются формулой Тг - гТ2 = -f, Ti + гТ2 = z2 j- - 2sz, T3 = z^-~ s. (1.2) az az az
296 Глава 4 Легко проверить, что Т\, Тг, Тз — эрмитовы операторы по отношению к ска- лярному произведению (1.1). Представление ps алгебры Ли su(2) интегри- руемо, ps = dRs, где Rs — неприводимое унитарное представление группы Ли SU(2), определенное формулой Rs(g)(f)(z) = (fiz+apf (j^\ , 9 = ("ρ f) e SU(2), / e 9.. Замечание. Представление Rx в С2 спина i также явным образом 2 описывается как и называется фундаментальным представлением. Замечание. Представление Rs группы SU(2) можно поднять до се- мейства представлений всей унитарной группы U(2), действующей на том же векторном пространстве 2?s. А именно: любое д Ε U(2) можно за- писать как д — ago, где а2 = detg и определено с точностью до знака, а до G SU(2). Тогда для любого целого I с тем свойством, что 2s + I четно, формула Ri,a(g) = alR3(go) определяет неприводимое унитарное представление U(2) в £?s. Условие, что ^ + s — целое число, гарантирует, что RiiS не зависит от выбора знака в определении а. Представление R^s является представлением U(2) стар- шего веса с доминантными весами Ai = jr + s ^ Аг = jz — s, Ai + Аг = /. Обозначим соответствующий и(2)-модуль как У\,ь где А = (Ai, Аг) — до- минантный вес, причем \г + \2 = I. Как 8и(2)-модуль, V\j = Vs, где s = = |(Ai - λ2). Возвращаясь к основным принципам квантовой механики, сформули- рованным в разделе 2.1 главы 2, мы обобщаем теперь первый постулат А1 на случай частиц со спином.
4.1. Спин 297 ΑΙ0 (Частицы со спином). Гильбертово пространство состояний квантовой частицы спина s€{0 ^ 1,^, ...}- это J(?s = L2(R3)®Vs, где V3 — 2s -\- 1-мерное комплексное векторное пространство неприводи- мого представления Rs группы Ли SU(2) спина s. Операторы спина S = = (Si, S2, £3) даются формулой 5; = ihps(Aj), j = 1,2,3, где Ai,A2,As — стандартные образующие алгебры Ли su(2), a ps = dRs — соответствующее представление $и(2) в Vs. Частицы с целым спином на- зываются бозонами, а с полуцелым спином — фермионами. Как и в случае спина i будет удобно представить Φ Ε Жя как функ- цию ф(х,а) двух переменных, где х Ε Μ3, а переменная σ принима- ет 2s + 1 значение из множества {—s, —s +1, ..., s — 1, s}. Для заданного σ функция ψ(Χ,σ) — это fc-я компонента к = s — σ + 1, 2s + 1-мерного век- тора Φ (ж). Каждая функция ψ(Χ,σ) является конечной линейной комбина- цией функций ф(х)\(а) — разложимых элементов тензорного произведе- ния L2(R3)(g)C2s+1, где мы отождествили C2s+1 с комплексным векторным пространством функций % : {—s, — s + 1, ..., s — 1, s} —> С, сопоставляя элементам е& стандартного базиса ei, ..., е25+1 функции %&, определенные формулой Xfc(s -h 1 — fc) = 1 и равные 0 иначе. Полный набор наблюдаемых для квантовой частицы со спином s со- стоит из операторов координат Qi Θ/2^+1> Q2®hs+\, Qz®hs+u где hs+\ — тождественный оператор в Vs, и операторов спина I ® Si, I ® S2, / Θ S3. Операторы полного углового момента J = (Ji, J2, J3) в ^% — это самосо- пряженные операторы в J^s, задаваемые формулой J = M® /2e+i -f / 0 S. Они удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и опера- торы спина: [Λ, Ы = ibJz, [J2, J3] = ihJ\, [«/3, Λ] = sfrJ2. Как и операторы углового момента Μ (см. лемму 3.1 из раздела 3.3.2 главы 3), операторы полного углового момента J связаны с унитарным
298 Глава 4 представлением группы Ли SU(2) в гильбертовом пространстве J#s = = L2(M3, d3x) ® Vs. А именно: пусть R — унитарное представление SU(2) в Ж = L2(R3,d3x), соответствующее присоединенному представле- нию SU(2) в 5и(2) ~ Е3, (R(g)tl>)(x)=il>(Aag-1x), g G SU(2), ψ е Ж, где (Adg х) - σ = д(х · <х)<7-1, х · σ = xiai + £202 + #з0"з· Лемма 1.1. Имеем где α = (ai, α2, аз) G Μ3. Задача 1.1. Выведите формулы (1.2) и покажите, что операто- ры Ti, T2, Т3 эрмитовы по отношению к скалярному произведению (1.1). Задача 1.2. Докажите лемму 1.1. 4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 4.2.1. Гамильтониан Паули Классическая частица с зарядом е, движущаяся в электромагнитном поле с векторным потенциалом А(х) и скалярным потенциалом ср(х), опи- сывается функцией Гамильтона Яс(р, х) = 2^ (р " | А) + еу>(ж), ^ = (я, у, z) € Μ3 (см. задачу 1.27 в разделе 1.1.7 главы 1). Как мы видели в примере 2.3 из раздела 2.2.4 главы 2, соответствующий оператор Гамильтона бесспиновой частицы дается формулой Н° = ^{Р--сА)2+^х)· (2Л) Однако квантовые частицы со спином взаимодействуют с магнитным по- лем, так что гамильтониан Н°, являющийся оператором на гильбертовом
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 299 пространстве Ж = L2(R3,d3x), не адекватен для их описания при s ^ 0. Правильное предписание состоит в том, чтобы включить спиновые степе- ни свободы и рассмотреть оператор Гамильтона в гильбертовом простран- стве Jifs = Ж 0 Vs. В случае электрона — частицы со спином - — соответ- ствующий гамильтониан дается формулой Н=^(РА-<г)2 + е<р(х), РА = Р-\А. (2.2) Используя элементарные результаты о том, что матрицы Паули антикомму- тируют и удовлетворяют условиям о\ — о\ = о\—12^ σ\σ2 = газ, cr2a3 = io\, σ%σ\ = io2, мгновенно получаем (РА ■ σ)2 = (Pi - |Лх)2 + (р2 - § А2)2 + (р3 - |Л3)2 + + г [Pi - |ЛЬ Р2 - f А2] σ3 + г [р2 - §Л2, Р3 - |Л3] σΧ + + i[p3-|^3,Pi-|^i]a2 = = (ρ - f А)2 - ^(Βκη + β2σ2 + Ρ3σ3). Здесь Β = (Si,S2,B3) — магнитное поле, В = curl А, а в последней строке мы воспользовались коммутационными соотношениями Гейзенбер- га (см. похожее вычисление в примере 2.3 из раздела 2.2.4 главы 2). Га- мильтониан (2.2) принимает вид Η = Η°-μΒ.σ, μ = Μ-ο, (2.3) и известен как гамильтониан Паули; величина μ — это полный магнитный момент электрона. По традиции пишут μ — —μ^, где „в = *U 0,927 х 10- »Г 2тс ' гаусс — так называемый магнетон Бора. Соответствующее зависящее от времени уравнение Шрёдингера ~ , в этом контексте называется волновым уравнением Паули.
300 Глава 4 Замечание. Волновое уравнение Паули получается из релятивист- ского уравнения Дирака для электрона в пределе с —» оо отбрасыванием членов порядка с-2. Соответствующий гамильтониан для квантовой частицы со спином s и зарядом е имеет сходный вид: Н = Н °-Βμ, M=£S, где S = (Si, S2, S3) — операторы спина со спином s, величина μ — полный магнитный момент частицы, а оператор μ — ее «внутренний» магнитный момент. 4.2.2. Частица в однородном магнитном поле Здесь мы рассмотрим задачу нахождения уровней энергии заряженной частицы со спином -, движущейся в постоянном магнитном поле. Выбрав ось z в направлении поля, В = (0,0,Б), получаем А\(х) = —By, Лг(ж) = = Аз(х) = 0 и ip(x) = 0. Гамильтониан Паули принимает вид H=L· (Pi + py) +Pi + H μΒσ3- (2.4) Уравнение на собственные значения Нгр(х, σ) = Еф(х, σ) в Jifs сводится к двум (для каждого значения σ = ±-) уравнениям на собственные значения (Pi + fWf + pl + p- в Ж. Разделяя переменные ч T(kix+k3z) ф(х) = еп х(у), 1 2т ψ — μΒσψ = Εψ получаем где ~2^х +—(у-у ск\ (У-У0УХ= [Ε + μΒσ-^ (2.5) и ив \е\В тс '
4.2. Заряженная спиновая частица в магнитном поле 301 Уравнение (2.5) совпадает с задачей на собственные значения для од- номерного гармонического осциллятора с частотой ив, решенной в разде- ле 2.2.6 главы 2. Таким образом, мы получаем к2 1 Ε = (га + \)bwB + 2^ ~ μΒσ, η = 0,1, ...; σ = ±±. (2.6) Первое слагаемое в этой формуле дает дискретные уровни энергии, на- зываемые уровнями Ландау, для движения в плоскости, перпендикулярной магнитному полю. Спектр гамильтониана Паули (2.4) абсолютно непрерывен и заполняет [-(Ъшв — μΒ), оо) с переменной бесконечной кратностью. Его можно пред- ставлять как счетное объединение ветвей [(га + -)Tiujb — μΒσ, оо), каждая с кратностью, параметризованной R х {±1} (все к\ £ R и ±&з при фикси- рованном &з соответствуют одному и тому же Е). Соответствующие нор- мированные собственные функции непрерывного спектра — это грп(х;кик3) = г ти;в TTIUb 1 ft(k1x+k3z)--^-(y-y0y *·{№*)· 27гга у π ft, у/2пп\ где —оо < fci, кз < оо. Для электрона Тмив = ~Мв, и формула (2.6) принимает вид к2 Ε=(η+± + σ)μΒΒ + ^. В этом случае имеется дополнительное вырождение спектра: уровни энер- гии с га и σ = - и уровни сга + 1иа = — - совпадают. Задача 2.1. Выведите теорему о разложении по собственным функ- циям для гамильтониана (2.4). Задача 2.2. Покажите, что операторы соответствующие координатам центра окружности (см. задачу 1.5 из разде- ла 1.1.3 главы 1), являются квантовыми интегралами движения, т. е. комму- тируют с гамильтонианом Н, но {X0,Yoh = ^L
302 Глава 4 4.3. Система тождественных частиц Рассмотрим квантовую систему из N частиц спинов s\, ..., 5дг. Со- гласно основным принципам квантовой механики гильбертово простран- ство состояний системы дается формулой ^к = JKki ® · · · ® ЖБы = L2(R3) ® ... (8) L2(R3) ®Ув1 ® ... ® V^. 4 ν ' В терминах переменных & = (ж*,^), где ж» £ R3 и σ* £ {—s^, — s» + Η- 1, ... ,Si — 1, Si}, полную волновую функцию системы можно записать как Ф(£ь ..., &v)· Полная волновая функция — конечная линейная комби- нация произведений Ф(£ъ ..·,€λγ) = Ф(жь ...,xN)x(v\, ...,σΝ), где Ф(ж1, ... ,xn) £ L2(R3iV) — координатная часть, a x(ai, ... ,στν) — спиновая часть полной волновой функции. Спиновая часть, в соответствии со структурой тензорного произведения VSl ® ... ® VS7V, является конеч- ной линейной комбинацией произведений \kx {σ\)... \kN (адг) функций х^, определенных в разделе 4.1. Гамильтониан системы из N частиц (без спинового взаимодействия) в координатном представлении имеет вид Ν 2 Ν г=1 г г=1 l^i<k^N где первое слагаемое — это оператор кинетической энергии системы из N частиц, второе слагаемое описывает взаимодействие частиц с внешним полем, а последнее слагаемое описывает их попарное взаимодействие. Заметим, что хотя гамильтониан Ην действует только на координатную часть Ф(ж1, ... ,xn) полной волновой функции, физические свойства си- стемы зависят от спинов частиц. 4.3.1. Постулат симметризации Для системы из N тождественных частиц с массой т и спином s со- ответствующее гильбертово пространство — это JfN = L2(R3N)®V®N. (3.1)
4.3. Система тождественных частиц 303 Неприводимое представление Rs группы Ли SU(2) в векторном простран- стве Vs естественным образом определяет представление RfN в V®N: RfN(9)(vi 0 · · · 0 vN) = 11а(д)щ (8 · · · 0 Rs{g)vN, g G SU(2). Соответствующее представление pfN алгебры Ли su(2) дается формулой Ν pfN(x)(vi (8 · · · (8 vN) = ^2 Vl ® ''' ® Ps(x)yk (8 · · · (8 vN, x G su(2). k=l Операторы полного спина S = (Si,S2,Ss) системы из N тождественных частиц даются формулой N Sj^i?ipfN(Aj) = ^2s^\ j = 1,2,3. (3.2) k=l Здесь Sj = hs+i 0 · · · Θ iTips(Aj) 0 ... 0 /2s+i — операторы спина fc-й частицы; они нетривиально действуют только на fc-й множитель тензорного произведения Vg®^. Представления Я®^ и pfN приводимы и содержат все представле- ния Vi со спинами / G ~2^о, такие, что sN — I — неотрицательные целые числа. Действительно, оператор S2 квадрата полного спина имеет вид s2 = s2 + si + si = s.s+ + s3(s3 + ni), где S± = S\ ± 1S2, a I — здесь тождественный оператор в V^^. Лег- ко видеть из (3.2), что собственные значения оператора S% — это —TisN, Ti(—sN Η-1), ..., %(sN — 1), Us N. Далее, по лемме Шура ограничение S2 на неприводимое представление V\ — это Ti2l(l +1), помноженное на тожде- ственный оператор в Vi. Поскольку V\ содержит вектор старшего веса, кото- рый аннигилируется оператором 5+ и является собственным вектором опе- ратора 5з с собственным значением Ы, можно заключить, что V®N содер- жит все неприводимые представления спинов I G ~^о> таких, что sN—l — неотрицательные целые числа. Задача определения кратностей, с которыми представления Vi входят в разложение V®N в прямую сумму неприводи- мых представлений, будет обсуждаться ниже. Она играет фундаментальную роль в классификации уровней энергии системы из N тождественных ча- стиц спина s.
304 Глава 4 Имеется также естественное действие группы Sym^ перестановок N элементов на J4?n, задаваемое формулой ДгФ(€ь ...,€лг) = Φ(€π-1(1)» ••·>€π-1(ΛΓ)), π G Sym^. Соответствующий гамильтониан в этом случае имеет вид 2 Ν Ν Hn = ~L· ΣΔ*+Z)^xt(«i) + Σ *kt(*i - *o (з.з) i=\ г=1 l^i<k^N и коммутирует с действием Sym^: [Ην, Ρπ] = 0 для любого π G SymN. Таким образом, оператор Ην можно ограничить на SymN-инвариантные подпространства Ж, в частности, на подпространство Ж^ ' полностью симметричных функций Ф(£ь ..., &v): ΡπΦ = Φ для любого π G Sym^, и на подпространство полностью антисимметрических функций Ф(€ь ···,€*): ΡπΦ = (-1)ε^π^Φ для любого π G SymN, где ε (π) — четность перестановки π. В классической механике, в принципе, можно отметить тождественные частицы (скажем, целыми числами 1,2, ..., Ν) и проследить траекторию каждой отмеченной частицы индивидуально. Из соотношений неопреде- ленности Гейзенберга следует, что в квантовой механике невозможно про- следить временную эволюцию отмеченных частиц индивидуально. Други- ми словами, в квантовой механике тождественные частицы истинно «нераз- личимы», так что гильбертово пространство (3.1) содержит «слишком мно- го состояний». Существует еще один постулат квантовой механики, выде- ляющий «правильное» гильбертово пространство состояний системы тож- дественных частиц. АН (Постулат симметризации). Гильбертово пространство состоя- ний системы из N тождественных частиц со спином s — это полностью симметрическое подпространство Ж^ ' АГ-кратного тензорного произведе- ния (L2(R3) ® VS)®N в случае бозонов (частиц с целым спином) и пол- ностью антисимметрическое подпространство Ж^ ' в случае фермионов (частиц с полуцелым спином).
4.3. Система тождественных частиц 305 Замечание. Из постулата симметризации следует принцип запрета Паули, утверждающий, что никакие два фермиона не могут находиться в од- ном и том же состоянии. Принцип запрета Паули является фундаменталь- ным для атомной и молекулярной физики, также как и для всей химии. В случае тождественных частиц спина 0 из постулата симметриза- ции следует, что соответствующее гильбертово пространство Ж^ ' — это подпространство всех полностью симметричных функций ^(xi, ... , ждг) в L2(R3N), и для того чтобы найти уровни энергии системы, надо решить уравнение Шрёдингера HN4> = ENV (3.4) только в полностью симметрическом подпространстве Ж^ ' простран- ства Ж^. Решения задачи на собственные значения (3.4), не принадлежа- щие этому подпространству, не имеют физической интерпретации. Для частиц спина - ситуация отличается: свойства симметрии коор- динатной части полной волновой функции зависят от свойств симметрии соответствующей спиновой части. Рассмотрим сперва простой пример си- стемы из двух электронов. В этом случае имеем разложение в прямую сум- му гильбертовых пространств, ж2 = ж2{Б) ® ж2(А\ мгновенно следующее из представления Ф(€ь6) = £(Ф(€ь€2) + Ф(6,€1)) + £(Ф(€1,6) - Ф(€2,€0). Используя тождество Ф(жьa;2)x(ai, σ2) - Ф(ж2, х\)х(а2, σ{) = = !(*(*!, as2) + Ф(х2, *1 ))(x(*i, σ2) - \(σ2, σ1))+ + |(Ф(ц,ж2) - Φ(β2, яя))(х(^1,σ2) + Χ(σ2, σΧ)), можно представить Ж2 ' как прямую сумму гильбертовых пространств Ж2{А) = 6о®6и где во = (L2(K3) ® L2(R3))(S) ® Л2 С2
306 Глава 4 состоит из конечных линейных комбинаций произведений Φ (£1,^2) = = Ф(ж1,ж2)хх(^1,а2), причем Ф(ж1,ж2) G L2(R3)®L2(R3) симметрично, а х(я"ъ яг) € Λ2 С2 антисимметрично, и 6i = (L2(R3) ® L2(R3))(A) ® Sym2C2 состоит из конечных линейных комбинаций произведений, причем Щж i, ж2) антисимметрично, a х(аь аг) симметрично. Векторное пространство Λ2 С2 одномерно и порождается функцией хоо, соответствующей вектору ^(ei (8) е2 - е2 Θ ех) (Ξ С2 ® С2, а векторное пространство Sym2C2 трехмерно и порождается функция- ми хц, хю, Хы, соответствующими векторам ei0ei, ^(ei<g)e2+ e2(g)ei), e2 ® e2 G С2 <8> С2. Сравнивая разложение С2 0 С2 = Λ2 С2 Θ Sym2 С2 с разложением Клебша - Гордона 2 2 обсуждавшимся в разделе 3.3.2 главы 3, видим, что2 Λ2 С2 = Vo и Sym2 С2 = V\. В терминологии физиков Vo — это спин-синглетное про- странство, a Vi — спин-триплетное пространство. Мы резюмируем по- лученные результаты в следующем утверждении. Предложение 3.1. Для системы из двух тождественных частиц спи- на ^ полная волновая функция спина 0 имеет вид Ф^ьа^ХооСв'ъ^)* где Ф(ж1,Ж2) симметрично и удовлетворяет уравнению Шрёдингера (3.4). Полная волновая функция спина 1 имеет вид Ф(аз1, X2)Xim(^ii σ2)> где т = = —1,0,1, а Ф(жх,Ж2) антисимметрично и удовлетворяет уравнению Шрёдингера (3.4). Замечание. Координатная часть Ф(жх,Ж2) полной волновой функ- ции допускает обычную вероятностную интерпретацию. Таким образом, 2 Это также можно проверить непосредственно, вычисляя действие операторов полного спина.
4.3. Система тождественных частиц 307 для простого примера системы из двух электронов с Vint (ж) = 0 коорди- натная часть полной волновой функции имеет вид где ф\(х) и ф2{х) — одноэлектронные координатные волновые функции, знак плюс относится к спин-синглетному состоянию, а знак минус — к спин-триплетному состоянию. Соответствующая плотность вероятно- сти — это 1^(Ж1,Ж2)12^3Ж1^3Ж2 = J(l^i(^i)l2l^2(^2)|2 + |^1(ж2)|2|^2(ж1)|2± ±2Ке(ф1(х1)ф2(х2)ф1(х2)ф2(х1)))а3Х1с13Х2, где последнее слагаемое называется обменным членом. Из этой формулы следует, что когда два электрона находятся в спин-триплетном состоянии, вероятность найти их в одной и той же точке х £ R3 равна нулю. Однако когда электроны находятся в спин-синглетном состоянии, существует нену- левая вероятность найти их в одной и той же точке пространства благодаря обменной плотности. Рассмотрим теперь систему из N частиц со спином -. В этом случае полная волновая функция Ф(£ь ... ,£лг) £ ^у удовлетворяет условию ΗΝΦ = ΕΝΦ и 52Ф = ?i2s(s + 1)Ф (3.5) и описывает связанное состояние с полным спином s, где -N — s — неот- рицательное целое. Кажется естественным предположить, что если мож- но найти координатную волновую функцию ^(x\, ... ,xn), удовлетворя- ющую (3.4), и спиновую волновую функцию x(ai, ... ,адг), являющуюся собственной функцией S2, то полную волновую функцию Ф(£ь .. . ,£τν) можно получить процедурой антисимметризации: Ф(€ь --·Λν) = Σ (-1)ε(π)φ(Χπ(1), ...,απ(Λτ))Χ(σπ(1), ...,σπ(ΛΓ)). Однако может оказаться, что для координатной волновой функции Ф(жх, ...,ждг), удовлетворяющей (3.4), соответствующая полная волно- вая функция Ф(£ь ... ,&ν) — тождественный ноль! Требование того, что- бы полная волновая функция Ф(£ь ... , £τν) не обращалась тождественно в ноль, определяет допустимые свойства симметрии координатной волно- вой функции Ф(ж1, ..., xn), описываемые неприводимыми представлени- ями симметрической группы Sym^.
308 Глава 4 4.3.2. Диаграммы Юнга и теория представлений Sym^ Количество неприводимых представлений симметрической группы Sym^ — это число ее смежных классов, которое, в свою очередь, равно чис- лу разбиений λ = (Ai, ..., λη) числа Ν: Ν = λ\ + ... + λη, где λ\ ^ \2 ^ ^ ... > λη ^ 1. Обозначим как Раг(ЛГ) множество всех разбиений чис- ла N. Для каждого разбиения λ G Par (AT) существует неприводимое пред- ставление G\ группы Sym^, которое строится так. Пусть Y\ — диаграмма Юнга, связанная с λ G Par (Ν), — набор из N клеток, расположенных в η выровненных слева строк, где первая строка содержит Ai клеток, вторая — λ2 клеток, и т. д. Таким образом, диаграмма I 1 I 1 I ] соответствует разбиению 10 = 5 + 3 + 2. Таблица Юнга А, отвечаю- щая диаграмме Юнга Υ\ — это сопоставление N целых чисел 1,2, ..., N и N клеток, такое, что разным клеткам соответствуют разные числа; обо- значим как Та множество всех таблиц Юнга, соответствующих разбие- нию λ G Par (AT). Каноническая таблица Юнга А\ G Хд получается по- следовательной нумерацией клеток по строкам слева направо. Для таблицы Юнга A G Ха> которую мы назовем канонической, определим две подгруп- пы Sym^: Row(^) = {π G SymN : π сохраняет строки Л}, Со1(Л) = {π G Sym^ : π сохраняет столбцы А}. Теперь пусть 21 = CSym^ — групповая алгебра SymN, комплексное век- торное пространство с базисом {е