Курс высшей математики. Том четвертый, часть вторая - Смирнов В.И.

Author: Смирнов В.И.
Tags: математика высшая математика учебное пособие
Year: 1981
Similar
Курс высшей математики. Том третий, часть вторая
Курс высшей математики. Том четвертый, часть первая
Курс высшей математики. Том второй
Курс высшей математики. Том третий, часть первая
Text
                    В. И. СМИРНОВ
КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
ТОМ ЧЕТВЕРТЫЙ
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
механико-математических и физико-математических
факультетов университетов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКбй ЛИТЕРАТУРЫ
1931

fit
С по
УДК 51
,20203—127 Q1 17ЛОП1ЛЛЛЛ	© Издательство «Наука»
,,eomn. Qi 21-81. 1702010000	Главная редакция
Ooo@z)-ol	физико-математической
литературы, 1981,
с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора
ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Уравнения первого порядка	 9
1.	Линейные уравнения с двумя независимыми переменными (9).
2.	Задача Коши и характеристики A2). 3. Случай любого числа
переменных A7). 4. Примеры B3). 5. Вспомогательная теорема B5).
6. Нелинейные уравнения первого порядка B8). 7. Характеристи-
Характеристические многообразия C2). 8. Метод Коши C3). 9. Задача Коши C5).
10. Единственность решения C8). 11. Особый случай D1).
12. Любое число независимых переменных D4). 13. Полный, общий
и особый интегралы D6). 14. Полный интеграл и задача Коши D9).
15. Примеры E1). 16. Случай любого числа переменных E5).
17. Теорема Якоби E7). 18. Системы двух уравнений первого
порядка E9). 19. Метод Лагранжа — Шарпи F1). 20. Системы
линейных уравнений F3). 21. Полные и якобиевы системы F6).
22. Интегрирование полных систем F7). 23. Скобки Пуассона F9).
24. Метод Якоби G2). 25. Канонические системы. G3). 26. При-
Примеры G5). 27. Метод мажорантных рядов G6). 28. Теорема
Ковалевской G9). 29. Уравнения высших порядков (85).
§ 2. Уравнения высших порядков	 87
_ 30. Типы уравнений второго порядка (87). 31. Уравнения с постоян-
постоянными коэффициентами (90). 32. Нормальные формы при двух не-
независимых переменных (92). 33. Задача Коши (96). 34. Характе-
Характеристические полосы (98). 35. Производные высших порядков A00).
36. Вещественные и мнимые характеристики A04). 37. Основные
теоремы A06). 38. Промежуточные интегралы A08). 39. Уравнения
Монжа — Ампера A09). 40. Характеристики при любом числе не-
независимых переменных A10). 41. Бихарактеристики A13). 42. Связь
с вариационной задачей A18). 43. Распространение поверхности
разрыва A21). 44. Сильные разрывы A23). 45. Метод Римана A27).
46. Характеристические начальные данные A32). 47. Теоремы суще-
существования A34). 48. Формула интегрирования по частям и формула
Грина A38). 49. Метод Вольтерра A41). 50. Формула Соболева A45).
1*

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
51. Формула Соболева (продолжение) A49). 52. Построение функ-
функции а A51). 53. Общий случай начальных данных A56). 54. Обоб-
Обобщенное волновое уравнение A59). 55. Случай любого числа неза-
независимых переменных A60). 56. Энергетическое неравенство A63).
57. Теоремы единственности и непрерывной зависимости реше-
решений A69). 58. Случай волнового уравнения A72). 59. Теорема вло-
вложения в пространство непрерывных функций и некоторые ее след-
следствия A75). 60. Обобщенные решения уравнений второго по-
порядка A80). 61. О существовании и единственности обобщенных
решений задачи Коши для волнового уравнения A86). 62. Уравне-
Уравнения эллиптического типа A87).
§ 3. Системы уравнений	193
63. Характеристики систем уравнений A93). 64. Кинематические
условия совместности A98). 65. Динамические условия совмест-
совместности B01). 66. Уравнения гидродинамики B02). 67. Уравнения
теории упругости B05). 68. Анизотропное упругое тело B07).
69. Электромагнитные волны B09). 70. Сильные разрывы в теории
упругости B14). 71. Характеристики и большие частоты B18).
72. Случай двух независимых переменных B20). 73. Примеры B22),
ГЛАВА II
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Предельные задачи в случае обыкновенного дифференциального
уравнения	225
,74. Функция Грина линейного уравнения второго порядка B25).
75. Приведение к интегральному уравнению B29). 76. Симметрия
• функции Грина B32). 77. Собственные значения и собственные функ-
функции предельной задачи B33). 78. Знак собственных значений B36).
79. Примеры B38). 80. Обобщенная функция Грина B40). 81. По-
Полиномы Лежандра B45). 82. Функции Эрмита и Лагерра B49).
83. Уравнения четвертого порядка B51). 84. Уточненные теоремы
разложения Стеклова B52). 85. Оправдание метода Фурье для
уравнения теплопроводности B57). 86. Оправдание метода Фурье для
уравнения колебаний B59). 87. Теоремы единственности B62).
88.	Экстремальные свойства собственных значений и функций B65).
89.	Теорема Куранта B69). 90. Асимптотическое выражение соб-
собственных значений B71). 91. Асимптотическое выражение для соб-
собственных функций B75). 92. Метод Ритца B78). 93. Пример
Ритца B80).
% 2. Уравнения эллиптического типа	282
94. Ньютонов потенциал B82). 95. Потенциал двойного слоя B85).
96. Свойства потенциала простого слоя B93). 97. Нормальная произ-
производная потенциала простого слоя B95). 98. Нормальная производ-
производная потенциала простого слоя (продолжение) B97). 99. Прямое
значение нормальной производной B99), 100. Производная потен-

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
циала простого слоя по любому направлению C03). 101. Логариф-
Логарифмический потенциал C07). 102. Интегральные формулы и парал-
параллельные поверхности C09). 103. Последовательности гармонических
функций C14). 104. Постановка внутренних предельных задач для
уравнения Лапласа C18). 105. Внешние задачи в случае пло-
плоскости C20). 108. Преобразование Кельвина C23). 107. Единствен-
Единственность решения задачи Неймана C28). 108. Решение предельных
задач в трехмерном случае C31). 109. Исследование интегральных
уравнений C33). НО. Сводка результатов, касающихся решений
предельных задач C38). 111. Предельные задачи на плоскости C40).
112. Интегральное уравнение сферических функций C42). 113. Тепло»
вое равновесие излучающего тела C43). 114. Метод Шварца C45).
115. Доказательство леммы C47). 116. Метод Шварца (продолже-
(продолжение C49). 117. Суб- и супергармонические функции C53). 118. Вспо-
Вспомогательные предложения C56). 119. Метод нижних и верхних
функций C57). 120. Исследование граничных значений C61).
121. Уравнение Лапласа в «-мерном пространстве C65). 122. Функ-
Функция Грина оператора Лапласа C67). 123. Свойства функции
Грина C70). 124, Функция Грина в случае плоскости C73). 125. При-
Примеры C77). 126. Функция Грина и неоднородное уравнение C79).
127. Собственные значения и собственные функции C82). 128. Нор-
Нормальная производная собственных функций C87). 129. Экстремаль-
Экстремальные свойства собственных значений и функций C88). 130. Уравне-
Уравнение Гельмгольца и принцип излучения C90). 131. Теорема един-
единственности C93). 132. Принцип предельной амплитуды и принцип
предельного поглощения C95). 133. Предельные задачи для уравнения
Гельмгольца C96). 134. Дифракция электромагнитной волны D02).
135. Вектор магнитной напряженности D04), 136. Единственность ре-
решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений D06). 137. Урав*
нение До — Xv = 0 D10). 138. Асимптотическое выражение собствен-
собственных значений D15). 139. Доказательство вспомогательной тео-
теоремы D20). 140. Линейные уравнения более общего вида D29),
141. Тензор Грина D31). 142. Плоская статическая задача тео-
теории упругости D33). 143. О результатах Шаудера D35). 144. Обоб-
Обобщенные решения класса W\ (D) D38). 145. Первое основное (энергетиче-
(энергетическое) неравенство D44). 146. Пространство №|0(D) и второе основ-
основное неравенство D46). 147. Некоторые сведения о гильбертовых
пространствах и операторах, действующих в них D55). 148. О разре-
разрешимости задачи Дирихле в пространстве^^) D60). 149.0 фредголь-
мовой разрешимости задачи Дирихле D65). 150. О спектре симме-
симметричного оператора D72).
§ 3. Уравнения параболического и гиперболического типов	478
151. Зависимость решений уравнения теплопроводности от начального
и предельного условий и свободного члена D78). 152. Потенциалы
для уравнения теплопроводности в одномерном случае D80).

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
153. Тепловые источники в многомерном случае D84). 154. Функ-
Функция Грина уравнения теплопроводности D85). 155. Применение
преобразования Лапласа D86). 156. Применение конечных разно-
разностей Д491). 157. Метод Фурье для уравнения теплопроводности D94).
158. Неоднородное уравнение D96). 159. Свойства решений уравне-
уравнения теплопроводности E00). 160. Обобщенные потенциалы простого
и двойного слоя в одномерном случае E02). 161. С'уб- и суперпара-
суперпараболические функции E09). 162. Параболические уравнения общего
вида. Энергетическое неравенство E10). 163. Метод Фурье для
параболических уравнений E14). 164. Второе основное неравенство
и разрешимость первой начально-краевой задачи E21). 165. Гипер-
Гиперболические уравнения общего вида. Энергетическое неравенство
для первой начально-краевой задачи E25). 166. Метод Фурье для
уравнений гиперболического типа E28). 167. Предельная задача
для сферы E34). 168. Колебания внутренней части сферы E38).
169. Исследование решения E42). 170. Предельная задача для теле-
телеграфного уравнения E45).
Алфавитный указатель	548

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В предисловии ко второму изданию пятого тома A959 г.)
Владимир Иванович Смирнов писал, что «предполагается вы-
выпуск шестого тома с изложением некоторых вопросов современ-
современной теории дифференциальных операторов с одной и несколь-
несколькими независимыми переменными». Он хотел, чтобы я была
соавтором этого нового тома. Однако разные дела и обстоятель-
обстоятельства помешали осуществлению этого намерения, и было решено
ограничиться расширением четвертого тома. Для этого во вто-
второй том была включена теория интеграла Лебега и пространство
/,2, а четвертый том был разбит на две части (книги). В первой
из них изложена теория интегральных уравнений в пространстве
непрерывных функций и в пространстве L2, вариационное исчис-
исчисление, теория обобщенных производных, основные свойства про-
пространств Wl и W\ и задача о минимуме квадратичного функ-
функционала в обобщенной постановке. Эта часть вышла в свет в
1974 году. Переработка и расширение второй части четвертого
тома пришлась на время, когда здоровье Владимира Ивановича
было подорвано тяжелой болезнью. Тем не менее он нашел в
себе силы внимательно прочесть и отредактировать написанные
мною дополнения и изменения и высказал пожелания относи-
относительно окончательной редакции данной книги. У Владимира
Ивановича было намерение исключить часть материала преды-
предыдущего издания, которая ему казалась несколько устаревшей в
свете последующих исследований. Но в результате совместного
обсуждения он согласился сохранить его и внести лишь неболь-
небольшие коррективы, необходимые для увязывания старого и нового
текстов.
Из-за изменений, внесенных ранее в предыдущие тома, при-
пришлось переделывать номера ссылок на них. Они даются на по-
последние издания всех томов: 23-е издание первого тома A974 г.),

8	ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
21-е издание второго тома A974 г.), 10-е издание; первой части
третьего тома A974 г.), 9-е издание второй части третьего тома
A974 г.), на 1-е издание первой части четвертого тома A974 г.)
и на 2-е издание пятого тома A959 г.). Например, ссылка на пер-
первую часть третьего тома дается в виде [Шь 140], где число 140
указывает номер пункта. Если же имеется в виду данная книга,
то номер тома не пишется, а приводится лишь номер соответ-
соответствующего пункта (например, [150]), а иногда и страницы.
Апрель 1979 г.	О. А. Ладыженская

ГЛАВА I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными.
Мы неоднократно встречались с различными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями, содержащими частные производные искомой
функции. Это были всегда уравнения совершенно специального
вида, возникшие из конкретных задач математической физики.
Целью настоящей главы является изложение основ общей тео-
теории уравнений с частными производными, причем мы начинаем
изложение этой теории с рассмотрения уравнений первого по-
порядка.
Одно уравнение первого порядка с одной искомой функцией
и независимых переменных х\, •.., %п имеет вид
F{xlt ..., хПУ и, ри ..., рп) = 0,
где xk — независимые переменные и pk = uXk— частные произ-
производные искомой функции по этим независимым переменным. Мы
будем изучать сначала уравнения, линейные относительно част-
частных производных pky т. е. уравнения вида
ai(*i» ...,*«, и)р\+... + ап{хи ...,хп, и)рп = с(хи ..., хп, и), A)
причем коэффициенты ak и свободный член, с суть заданные
функции независимых переменных Xk и искомой функции и. По-
Поскольку сама функция и может входить любым образом в коэф-
коэффициенты и свободный член, такие уравнения называют иногда
не линейными, а квазилинейными уравнениями. В настоящем
параграфе мы будем рассматривать уравнение вида A) в случае
двух независимых переменных. В этом частном случае независи-
независимые переменные обозначаются обычно буквами х и у, а частные
производные мы будем, как всегда, обозначать следующим об-
образом: р = их и'д = иу. Таким образом, предметом исследова*
ния настоящего параграфа будут уравнения вида
а{х, у, и)р + Ь(х9 у, u)q = c(*, у, и).	B)

Ю	ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	\1
Напомним, что мы уже занимались линейными уравнениями с
частными производными раньше [II; 22] и видели, что задача
интегрирования уравнения вида B) равносильна задаче инте-
интегрирования некоторой системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Мы дополним полученные раньше результаты
некоторыми новыми фактами, которые окажутся нам полезными
в дальнейшем при исследовании более сложных задач.
Заданные функции а{х, у, и), Ь(х, у, и) и с(х, у, и) опреде*
ляют некоторое поле направлений в пространстве (х, у, и), a
именно, в каждой фиксированной точке этого пространства мы
имеем направление, у которого направляющие косинусы про-
пропорциональны а, Ь и с. Это поле направлений определяет семей-
семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в каждой
своей точке касательную, совпадающую с направлением поля в
этой точке. Это семейство линий получается в результате инте-
интегрирования системы обыкновенных уравнений
dx _ dy _ du	. .
а (xt у, и) Ь (х, у, и) с (х, у, и) '	^ '
или, если мы обозначим через ds общую величину написанных
трех отношений, системы
dx	,	\ dy 1 ,	ч du	,	ч	, .ч
— = а (*, у, и); -?. = b (x, у, и); ^j = c{x, у, и). D)
Величины р, q и (—1) пропорциональны направляющим коси-
косинусам нормали к искомой поверхности и = и(х,у), и уравнение
4 B) выражает условие перпендикулярности ар + bq + с(—1) =
= 0 нормали к искомой поверхности с направлением поля, т. е.
уравнение B) сводится к требованию, чтобы в каждой точке
искомой поверхности и = и(х, у) направление, определяемое
упомянутым выше полем направлений, находилось в касатель-
касательной плоскости к поверхности. Назовем линии, определяемые си-
системой D), характеристическими линиями или характеристиками
уравнения B). Если некоторая поверхность и = и(х, у) пред-
представляет собою геометрическое место характеристик уравнения
B), т е. образована линиями /', которые удовлетворяют системе
D), то в каждой точке этой поверхности касательная к линии
/', проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости
к поверхности, и, следовательно, эта поверхность удовлетворяет
уравнению B), т. е. является интегральной поверхностью этого
уравнения. Таким образом, если поверхность и = и(х, у) обра-
образована характеристиками уравнения B), то эта поверхность есть
интегральная поверхность этого уравнения.
Мы предполагаем, что поверхность и = и(ху у) имеет в каж-
каждой точке касательную плоскость и что направление нормали
к поверхности меняется непрерывным образом при перемеще-

Л ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Ц
нии вдоль поверхности. Это сводится к существованию и непре-
непрерывности производных первого порядка от и(х, у).
В дальнейшем, говоря об интегральной поверхности, мы бу-
будем предполагать, что эта поверхность обладает указанными
выше свойствами. Вообще такие поверхности мы для краткости
будем называть гладкими.
Выше мы показали, что гладкая поверхность, имеющая
уравнение и — и(х, у) и образованная характеристиками, есть
интегральная поверхность. Можно показать, что и, наоборот,
если некоторая гладкая поверхность удовлетворяет уравнению
B), т. е. есть интегральная поверхность, то ее можно покрыть
характеристиками.
Действительно, если некоторая поверхность S удовлетворяет
уравнению B), то в каждой ее *очке направление (а, Ь, с) ле-
лежит в касательной плоскости к 5, и мы имеем, таким образом,
на S некоторое поле направлений. Интегрируя соответствующее
этому полю направлений обыкновенное дифференциальное урав-
уравнение первого порядка, мы и найдем линии /', лежащие на по-
поверхности S и удовлетворяющие системе D). Этим уравнением
первого порядка может служить, например, уравнение
dx 	 dy
а (дс, у, и) ~~~" Ь (*, у, и) '
в котором и заменено его выражением и =li(xy у) из уравнения
поверхности S. Положим, что к полученному уравнению приме-
применима теорема существования и единственности, причем его ин-
интегральные линии / покрывают без пересечений некоторую об-
область D, в которой определена функция и = и{х, у). Линии V
суть те линии на S, проекциями которых на плоскость (х, у)
являются линии /.
При исследовании обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений первого порядка мы видели [II; 50, 51], что искомые
функции вполне определяются заданием начальных значений
этих функций при заданном значении независимого переменного.
Из этих начальных данных определяются произвольные постоян-
постоянные, входящие в общий интеграл, если этот последний нам уда-
удалось найти. Но определение решения по начальным данным
может быть произведено и без знания общего интеграла, хотя
бы при помощи метода последовательных приближений, кото-
которым мы пользовались при доказательстве теоремы существова-
существования и единственности [II; 51]. Общее решение уравнения B)
содержит уже не произвольные постоянные, а произвольные
функции [II; 23]% и задача определения решения по начальному
данному формулируется в этом случае следующим образом:
определить ту интегральную поверхность уравнения B), кото-
которая проходит через заданную кривую I в пространстве (х,у>и).

12 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	B
Если через к мы обозначим проекцию линии / на плоскость
(х,у), то формулированная задача приводится к задаче разы*
екания такого решения уравнения B), которое принимает за-
заданные значения в точках линии К. Наметим предварительно
решение поставленной задачи [II; 23]. Пусть Мо — некоторая
точка линии /. Примем ее координаты за начальные данные
функций, определяемых системой D). Согласно теореме суще-
существования и единственности, получим вполне определенную ха-
характеристику, выходящую из этой точки Мо. Проделывая это
для каждой точки линии /, мы будем иметь семейство характе-
характеристик; положим, что они образуют некоторую поверхность S
с уравнением и = и(х, у). Она проходит через линию I и, со-
согласно сказанному выше, является интегральной поверхностью
уравнения B).
Строгое проведение доказательства существования и един-
единственности решения задачи требует некоторых предположений
о правых частях уравнений D) и некоторых существенных ого-
оговорок относительно линии /. Если, например, заданная линия I
сама есть характеристика, то указанный выше прием проведения
характеристик из точек линии / приведет не к поверхности, а
к самой линии /. В этом случае решений может быть бесчислен-
бесчисленное множество [II; 24]. Действительно, проведем через некото-
некоторую точку линии / линию U, которая уже не является характе-
характеристикой. Проведя из точек этой линии характеристики (среди
них будет участвовать и данная линия /), мы получим, при
соблюдении некоторых условий, интегральную поверхность, про-
проходящую через заданную линию /. Принимая во внимание про-
произвольность в выборе /ь мы видим, что задача имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений, если заданная линия I есть характери-
характеристика. Может оказаться, что задача вовсе не имеет решения. Это
будет в том случае, когда характеристики, выходящие из точек
линии /, не образуют в окрестности этой линии поверхность,
имеющую явное уравнение и = и(х, у), где и(х, у) однозначна
и непрерывна и имеет непрерывные производные первого по-,
рядка. Так будет, например, если упомянутые характеристики
образуют цилиндрическую поверхность с образующими, парал-
параллельными оси и. В следующем параграфе мы перейдем к выяс-
выяснению условий, при которых поставленная задача имеет одно
определенное решение.
2. Задача Коши и характеристики. Под задачей Коши под-
подразумевают обычно формулированную выше задачу об опреде-
определении интегральной поверхности уравнения B), проходящей че-
через заданную линию /. Для точного исследования вопроса о
существовании и единственности решения этой задачи нам при-
придется пользоваться одной теоремой из теории обыкновенных
дифференциальных уравнений, а именно:

2]	ЗАДАЧА КОШИ И ХАРАКТЕРИСТИКИ	13
Теорема. Если правые части системы дифференциальных
уравнений
i? = fk(x,yu ..., Уп) (*-1. 2, ..., п)	E)
суть непрерывные функции своих аргументов в некоторой обла-
области, определяемой неравенствами
|*-а|<Л; \yk-bh\<B (k = 1, 2, ..., п\	F)
и если, кроме того, в этой области существуют непрерывные
частные производные -д-*-, то решение системы E), определяв-
°ys
мое в силу теоремы существования и единственности любыми
начальными данными(х0> y°it ..., у°п), находящимися внутри об-
области F):
Ук = Ук(Х> XV #1» •••» У°п) (*=1» 2> •••» «),
непрерывно по своим аргументам и допускает частные произ-
производные —~ по начальным данным, которые являются непре-
рывными функциями своих аргументов (лг, xQ, y°v ..,, у°п) в не-
некоторой окрестности взятых начальных данных.
Чтобы не прерывать изложение, мы отложим доказательство
этой теоремы до одного из следующих параграфов.
Вернемся к решению задачи Коши. Положим, что уравнение
линии / задано в параметрической форме:
г/о = г/о @; Uo = uo(t) (*o<'</i),	G)
и допустим, что правые части уравнений D) удовлетворяют
условиям формулированной выше теоремы в некоторой области
пространства (х, у, и), содержащей внутри себя линию /. При-
Принимая координаты точек / за начальные данные при s = 0, мы
получим решение системы D):
х = х{s, хо, г/о, но); y = y(s, х0, у0, щ)\ u = u(s, х0, щ, и0)
при s, достаточно близких к нулю, или, в силу G),
х = х ($, t); y = y (s, 0; и = и E, 0.	(в)
Считая, что правые части уравнений G) непрерывно диффе-
дифференцируемы по /, и пользуясь указанной выше теоремой, мы
можем утверждать, что функции (8) имеют непрерывные произ-
производные не только по s, но и по t. При любом заданном / из про-
промежутка t0 < t<Z t\ функции (8) определены при всех s,

14 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[2
достаточно близких к нулю. Составим функциональный опреде-
определитель от первых двух из этих функций по s и t:
(9)
Существенным для дальнейшего будет тот факт, является ли
этот определитель отличным от нуля или нет. Мы рассмотрим,
во-первых, тот случай, когда А ф 0 вдоль линии /, и, во-вторых,
тот случай, когда А = 0 вдоль линии /. Начнем с первого случая:
А Ф 0 (вдоль линии /),	A0)
т. е. А ф 0 при 5 = 0, но тем самым, в силу непрерывности про-
производных, А Ф 0 и в некоторой окрестности начального значе-
значения s = 0 и значения t, соответствующего некоторой точке М
линии /. При этом первые два из уравнений (8) можно решить
относительно s я t при всех х и уу находящихся в окрестности
координат (хо, уо) точки М линии /. Это решение — единственно;
и полученные функции s(x, у), t{xyy) итйеют непрерывные про-
производные первого порядка [ПЬ; 19]. Подставляя полученные
функции s(x, у) и t(xt у) в третье из уравнений (8), мы и будем
иметь в упомянутой окрестности функцию и(хуу), имеющую не-
непрерывные производные первого порядка, причем поверхность
и = и(хуу) содержит некоторый участок линии / в окрестно-
окрестности М. Из указанных в предыдущем параграфе геометрических
соображений непосредственно следует, что а (л:, у) удовлетворяет
уравнению B). Мы это проверим ниже и аналитически.
Отметим, что мы построили решение и(х, у) лишь в некото-
некоторой окрестности любой заданной точки М линии /, или, как го-
говорят, получили локальное решение задачи. При некоторых
условиях, налагаемых на а, Ъ, с и линию /, можно убедиться в
возможности построения интегральной поверхности в некоторой
окрестности всей линии /, т. е. при всех х и t/, достаточно близ-
близких к линии x = xo(t), у = yo(t) на плоскости (х, у). При этом
считается, что производные x'0(i) и y'Q{t) одновременно в нуль
не обращаются. Точная формулировка подобных результатов
будет указана в следующем параграфе.
Воцрос о существовании решения уравнения в некоторой на-
наперед предписанной области плоскости (х, у) представляет
большие трудности. Можно построить область В плоскости
(х, у) и в ней функцию Ь(х,у)у имеющую производные всех по-
порядков, так, что для уравнения
Ux + b {x, у)иу*~0
только u = const будет решением, имеющим непрерывные про-
производные первого порядка и существующим во всей области В.
Проверим теперь, что построенная функция и(х, у) действи-
действительно является решением уравнения B). Пользуясь правилом

2]	ЗАДАЧА КОШИ И XAPAKTFPHCTHKH	15
дифференцирования сложных функций и уравнениями D), мо-
«хем написать:
du
Это уравнение имеет место для всех s и t, находящихся в окрест-
окрестности s = 0, и значения /, соответствующего некоторой точке
М(хо, е/о, z0) линии I Но-~- = с, и, следовательно, и(ху у) удов-
удовлетворяет уравнению B) при всех (х, у)} лежащих в окрестно-
окрестности (х0, уо).
Для доказательства единственности достаточно убедиться в
том, что всякая гладкая интегральная поверхность и — и(х, у)>
проходящая через /, может быть образована характеристиками.
Образуем систему дифференциальных уравнений:
~j- = а [х9 у, и (х, у)]; 4jL = b[x9 у, и (х9 у)]. (И)
В силу сделанных предположений правые части таковы, что
имеет место теорема существования и единственности для всех
(х, у) в окрестности (хо, уо). Из того факта, что интегральная
поверхность имеет явное уравнение и = и(х9 у) и проходит через
участок линии / в окрестности точки М(х0, уо, го), следует, что
координаты (ху у) различных точек линии / в окрестности М
различны (мы считаем, что / не пересекает себя). Беря эти
координаты за начальные данные при интегрировании системы
A1) и подставляя полученные решения в функцию и = и(х,у),
будем иметь семейство линий на нашей интегральной поверхно-
поверхности. Вдоль этих линий, в силу A1), удовлетворяются первые
два из уравнений D). Нетрудно проверить, что удовлетворяется
и третье уравнение. Действительно, пользуясь A1), получаем
Но и = и(х, у) есть интегральная поверхность, т. е. иха + uyb =
= с, откуда "Т"-3^ Таким образом, упомянутые выше линии,
покрывающие поверхность и = и(х, у), суть действительно ха-
характеристики. Итак, при условии A0) задача Коши имеет един-
единственное решение. Мы еще вернемся к вопросу о единственности
при рассмотрении нелинейных уравнений первого порядка.
Положим теперь, что вдоль линии /, т. е. при 5 = 0, мы
имеем
= 0.	A2)
Покажем, что если в этом случае существует интегральная
поверхность и = и(ху у) с непрерывными производными первого

16 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[2
порядка, проходящая через /, то эта линия должна быть харак-
характеристикой. Здесь, как и выше, когда мы говорим, что поверх-
поверхность и = и(хуу) проходит через линию /, то понимаем это ло-
локально, т. е. рассматриваем лишь некоторый участок /.
Будем считать, что а и Ь отличны от нуля вдоль /. Прини-
Принимая во внимание первые два из уравнений D), мы можем напи-
написать условие A2) в виде
где буквою k мы обозначили общую величину написанных отно-
отношений. Пусть и = и(х, у)— интегральная поверхность, проходя-
проходящая через /. Подставляя в и(х, у) выражения х = xo(t) и у =
= f/o(O» дифференцируя по t и пользуясь A3), мы получим
—. — Uxka-\- tiykb. Принимая во внимание, что и = и(х, у) есть
решение уравнения B), и пользуясь этим уравнением, можем
du *
написать далее —тг = kc, что и приведет нас к системе
из которой следует, что линия / есть характеристика. Итак, если
Д = О, то для того, чтобы существовала интегральная поверх-
поверхность, проходящая через линию /, необходимо, чтобы эта линия
была характеристикой. При этом, как мы видели в предыдущем
параграфе, через линию / проходит бесчисленное множество
интегральных поверхностей. При проведенном выше доказатель-
доказательстве для нас, конечно, было существенным, чтобы интегральная
поверхность и = и(ху у), проходящая через /, имела в точках
этой линии непрерывные производные; может случиться, как
это мы увидим на примере, что / не есть характеристика, вдоль
нее Д = 0, и все же через / проходит интегральная поверхность,
но такая, что частные производные от и (х, у) перестают быть
непрерывными в точках /, т. е., иными словами, линия / является
особой линией интегральной поверхности. Если / — не характе-
характеристика, но вдоль нее Д = 0, то это значит, что вдоль линии I
Отметим одну особенность системы D). Вспомогательный па-
параметр 5 не входит в правую часть уравнений, и одна из произ-
произвольных постоянных входит как добавочное слагаемое к s. Эта
произвольная постоянная не играет существенной роли и сво-
сводится к произвольности выбора начального значения s. Таким
образом, мы имеем при интегрировании этой системы две су-

31	СЛУЧАЙ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ	17
щественные произвольные постоянные. Этот факт непосредствен-
непосредственно очевиден, если записать систему D) в виде C).
Напомним, что квазилинейное неоднородное уравнение B)
может быть приведено к чисто линейному однородному уравне-
уравнению, если искать решение в неявной форме [II, 21].
<р(х,у9и)=*С9	A4)
где С — некоторая произвольная постоянная. Согласно правилу
дифференцирования неявных функций, мы имеем
Ux~ Ф«' Uy~ <P«f
и уравнение B) порождает линейное однородное уравнение для
функции ф:
а (х, у, и)ух + Ь (х, у, и)<ру + с (х, у, и) фа = 0. A5)
Соответствующей ему системой обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений является система C). Если
Ф1 (х, у, и) = С{; ф2 (х, у, и) = С2
— два независимых интеграла этой системы, то ф =/7(ф1, ф2),
где F — произвольная функция своих аргументов, будет реше-
решением уравнения A5). Мы видели, каким образом из условий за-
задачи Коши можно найти явный вид этой функции [II; 24].
Изложенные рассуждения дают "повод к следующему во-
вопросу. Мы искали решение уравнения B) как решение, входя-
входящее в целый класс решений, имеющих неявное уравнение A4),
содержащее лроизвольную постоянную С. Нетрудно показать,
что^ мы таким путем не потеряем ни одного решения нашего
уравнения. Для этого надо принять во внимание то, что, ввиду
произвольности начальных данных в задаче Коши, мы можем
всякое решение нашего уравнения считать входящим в це-
целое семейство решений, содержащее произвольную постоян-
постоянную. Решая относительно этой произвольной постоянной, мы
и убедимся в том, что всякое решение может быть получено из
формулы вида A4). Мы могли бы потерять лишь такие решения
(особые решения), которые не могут быть получены указанным
выше процессом путем решения задачи Коши Таких решений не
может быть, если функции а, Ъ и с удовлетворяют некоторым
общим условиям. На подробностях доказательства мы не оста-
останавливаемся.
3. Случай любого числа переменных. Рассмотрим квазили-
квазилинейное уравнение 'с любым числом независимых переменных:
й\ (хи ..., х„ и) р{ + ... + ап (хь ..., хПУ и) рп = с (xit ..., хп, и).
A6)

18 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	ГЗ
В дальнейшем мы будем * всегда считать, что коэффициенты
а\9 п2, .. •, ап при рассматриваемых значениях переменных
хи *2> •••> хпу и одновременно в нуль не обращаются, т. е.
а\ + а\-\- ••• +а^>0. При исследовании уравнения A6) мы
будем пользоваться геометрическими терминами по аналогии с
трехмерным пространством. Детальных формулировок и доказа-
доказательств мы проводить не будем. В данном случае мы имеем
(п+1)-мерное пространство с координатами (х\, • ¦¦» хп, и).
Назовем m-мерным многообразием в таком пространстве сово-
совокупность точек, координаты которых выражаются через т про*
извольных параметров:
xk = xk(ti9 ..., tm)\ u = u(tb ..., tm) (*=1, 2, ..., n).
причем мы считаем, что какие-нибудь т из написанных уравне-
уравнений разрешимы относительно tu ..., tm. При т = п мы имеем
n-мерное многообразие, которое мы будем называть поверхно-
поверхностью. Если за параметры принять хи ..., хп, то будем иметь
явное уравнение поверхности: и = и(хи ..., хп). Именно такой
вид должно иметь уравнение интегральной поверхности уравне-
уравнения A6). При т= 1 соответствующее одномерное многообразие
называется линией (л+ 1)-мерного пространства.
Определим характеристики уравнения A6) следующей си-
системой:
t (	)	(	)
где s — вспомогательный параметр. Всякое решение этой систе-
системы порождает некоторую линию (л + 1) -мерного пространства,
так как решение, в котором все хн и и — постоянны, не может
существовать в силу нашего предположения, что а?+ #2+ •••
... + а\ > 0. Координаты этой линии будут выражаться через
параметр s. Чтобы построить из 'этих линий поверхность, нам
надо взять семейство таких линий, зависящее от (п—1) произ-
произвольных параметров. В общем получится совокупность точек,
зависящая от п параметров. Если некоторая гладкая поверх-
поверхность и = и(хи ..., хп) образована семейством характеристик,
зависящим от (п—1) параметров, то это. есть интегральная по-
поверхность уравнения A6). Действительно, дифференцируя
и(хи ..-, хп) по 5 и пользуясь уравнениями A7), получим
п
du
ds =
Но, в силу последнего из уравнений, -?— = <?, -откуда и вытекает
уравнение A6). Наоборот, всякую гладкую интегральную по-

3]	СЛУЧАЙ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ	19
верхность и — и(хи ..., хп) можно представить себе образо-
образованной семейством характеристик, зависящим от (п—1) пара-
параметров. Действительно, имея интегральную поверхность и =
= и(хи ..., хп), мы можем определить xk из системы уравнений:
-*~JL. = ak[xb ..., хп,и(хи ..., хп)] (k=l, 2, ..., п)у A8)
что даст нам (м—1) произвольных постоянных. Одна произ-
произвольная постоянная, входящая аддитивно в s, не будет играть
существенной роли. Подставляя решение системы A8) в пра-
правую часть и = и(х\, ..., хп), дифференцируя по s и пользуясь
уравнениями A6) и A8), мы убедимся в том, что и будет удо-
удовлетворять последнему из уравнений A7).
Мы считаем, как ив [2], что и(х\, ..., хп) и правые части
уравнений A7) имеют непрерывные производные первого по-
порядка.
Задача Коши для уравнения A6) состоит в определении ин-
интегральной поверхности, содержащей заданное (п—1)-мерное
многообразие:
xk = xk(t{	tn_x)\ u = u(tu ...> fft_i) (fe=l, 2, ..., /i), A9)
причем правые части этих равенств непрерывны и имеют непре-
непрерывные частные производные первого порядка внутри некото-
некоторой области D(n—1)-мерного пространства (tu ..., tn-\).
Считается, что ранг матрицы, составленной из производных
-^г", равен (п—1) и что различным системам значений (tu ...
..., tn-i) отвечают различные точки (х\, •••, ^л). Далее, как
упомянуто выше, предполагается, что коэффициенты uk(xu ...
..., хп, и) и с(х\, ..., хп,и) имеют непрерывные производные
первого порядка в некоторой области пространства, содержащей
внутри себя многообразие A9).
В частном случае это условие в задаче Коши может состоять
в задании искомой функции и при заданном значении одной из
независимых переменных как функции от остальных пере-
переменных:
W\ @) = ф(*2, ..., Хп).	B0)
Решение задачи проводится совершенно аналогично случаю
двух независимых переменных. Выражения A9) принимаем за
начальные условия при интегрировании системы A7). Таким
образом, мы получаем решение вида
*k = *k(s, tu ..•• k-i); u = u(s, tu ..., /«-i).	B1)

20
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Существенную роль в дальнейшем	играет определитель:
дхх дх2	дхп
ds * ds •	'••' ds
дх\ dx2	дхп
~Ш7	Ж
dx\	dx2
dtn-\ * dtn~]
дхп
B2)
который мы можем, принимая во внимание уравнения A7), пе-
переписать в виде
аи	а2, . .•, ап
dxx	dx2	dx,
dh •
dtx '
dtx
дхх
dx2
дхп
B3)
4n-x ' dtn-x f •'•' dtn-x
Если этот определитель на многообразии A9), т. е. при s = О,
отличен от нуля, то первые п из уравнений B1) можно решить
относительно s, U, ..., tn-\ и, подставляя это решение в послед-
последнее из уравнений B1), мы получаем интегральную поверхность
уравнения A6). Никаких других решений задача Коши в этом
случае иметь не может. Все это доказывается совершенно так
же, как и в случае двух независимых переменных. Рассмотрим
тот случай, когда начальное условие имеет вид B0); роль пара-
параметров t\9 ..., tn~\ играют Х2, ..., хп. Возьмем линейное урав-
уравнение и предположим, что определитель B3) на нашем много-
dx
образии отличен от нуля. Принимая во внимание, что -~^ = 0
ОХц
при рф q и -=-^ = 1, получим Д = а} Ф 0. Деля уравнение на
коэффициент аи придем к уравнению вида
Р\ + а2 (хи ..., хп) р2 + ... + ап (хи ..., хп) рп ==
= Ь (хь . • •, хя)и + с(хи ..., хп). B4)
Предположим, что аи, b и с непрерывны и имеют непрерывные
частные производные первого порядка по х2, ..»э Хп при а^
^ Х\ ^ Р и произвольных вещественных х2у ..., хп. Положим,
кроме того, что при этих условиях указанные функции ограни-
ограничены: |а^|^М; |6|^М; |с|^М.
Выбирая х\ за независимую переменную, запишем систему
A7) в виде
dXk	/	ч
dx{
du u(
ЧГх=Ь^
= 2, ..., n),
9 ..., xn).
B5)
B6)

3]	СЛУЧАЙ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ	21
Пусть xf>— начальное значение х\ из промежутка [a, ft].
Проинтегрируем систему B5) при некоторых начальных уело-*
виях:
д. | @) = xf® (k = 2, . •., п).
Из \uk\^M следует, что решения Xk системы B5) имеют
ограниченные производные —--
dxx
и тем самым сами вели-
величины Xk остаются ограниченными по абсолютной величине:
\xk—jcj^l^AfflJ— а). Применяя метод последовательных при-
приближений [II; 51], мы легко убедимся в том, что упомянутые
решения
Ч = Ф* (*р *iO)> 40)> • • • > *J?), (ft = 2, .... я)	B7)
существуют во всем промежутке а ^ х\ ^ Р, при произвольных
начальных данных x{k0) (k = 2, ..., п). Мы можем сказать, что
интегральная кривая, проходящая через точку Л0(л:A0), х®\ ...
..., л:^), приходит в точку А(х\, х% ..., хп)> координаты ко-
которой определяются формулами B7). Принимая во внимание
теорему единственности, можем утверждать, что если взять
точку А за начальную, то соответствующая интегральная кривая
пройдет через точку Ло. Отсюда следует, что уравнения B7) при
произвольных xk разрешимы относительно х{?\ ..., х{®\ причем
решение имеет вид
xf = % D°), xv xv...9xn) (ft == 2, ..., я). B70
Положим, что мы хотим решить задачу Коши при начальном
данном B0). Мы должны, согласно сказанному выше, проинте-
проинтегрировать уравнения B5) и B6) при начальных данных
где произвольные величины х{$\ ...,х{^ играют роль t\% . .•
..., tn-i. Подставляя B7) в уравнение B6), интегрируем послед-
последнее уравнение:
и = е» Гф D0), • • *, xf) + [с (Яр Ф2	Ф„) е- dxA. B8)
L	40)	J

-22 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[3
где
= \ Ь(хи ф2, ..., q>n)dxx
у. в аргументах Ь и с стоят фл(а:1> xf\ xf\ ..., х^). Подставляя
в правую часть B8) выражение B7i), получим искомое реше-
решение и(х\, ..., хп) задачи Коши. Оно будет существовать во всем
промежутке а ^ х\ ^ C и при любых х2, ..., хп. Это связано
с линейностью уравнения и с теми предположениями, которые
мы приняли относительно aky b и с.
Для квазилинейного уравнения A6) можно указать область существова-
существования решения при некоторых предположениях относительно а* и с. Приведем
соответствующий результат.
Пусть <2i = I, ak и с непрерывны, ограничены и имеют непрерывные про-
производные при условиях
l^-xf |<а,	B9)
bk<xk<ck (k==2> ••••«)	C0)
vl любых вещественных и, причем эти производные по абсолютной величине
не превосходят некоторой постоянной А. Пусть ф(а:2, ..., хп) непрерывна и
ограничена при условиях C0) и имеет непрерывные производные первого по-
порядка, которые по абсолютной величине не превышают некоторой постоян-
постоянной В При этом уравнение A6) (at =s 1) при условии B0) имеет решение
в области, определяемой неравенствами
• (tt-l)E+l)J
и неравенствами C0) [Камке (Kamke). Differentialgleichungen reeller Funk-
tionen, Leipzig, 1952].
Рассмотрим теперь тот случай, когда А = 0 на многообразии A9). Будем
считать, что один из миноров определителя А, соответствующих элементам
первой строки, отличен от,нуля. Равенство А = 0 показывает, что при этом
элементы первой строки представляют собою линейную комбинацию соответ-
соответствующих элементов остальных строк, т е. имеет место соотношение
п-\
дх.
Z-J I
где X/— определенные функции параметров (ti% ..., tn-i). Если на много-
многообразии A9) и функция с представима формулой
п-1
1~dt7%	C2)
/-i	f
то в этом случае многообразие A9) называется характеристическим много-
многообразием для нашего уравнения. Можно показать, что всякое характеристи-
характеристическое многообразие A9) уравнения A6) может быть образовано характери-
характеристиками этого уравнения и что, если для многообразия A9) А = 0 и через

4]	ПРИМЕРЫ	2$
это многообразие проходит гладкая интегральная поверхность и =
s= u(xu *2, ..., хп), то это многообразие должно быть характеристическим.
Через характеристическое многообразие может проходить бесчисленное
множество интегральных поверхностей.
Совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, можно
привести квазилинейное неоднородное уравнение A6) к чисто линейному
однородному уравнению, если искать решение уравнения A6) в неявной
форме:
ф(*ь ..., *«, «) = С,
где С — произвольная постоянная. Для функции ф получаем уравнение
Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет
C3>
dxn du
ах	ап	с
Если
Ф1 (хи ..., хп, w) = Cb ...; Фл(*ь ..., хп* и) = Сп	C4)
— ее независимые интегралы, то уравнение
(фь ..., Фя)вО,
где F— произвольная функция своих аргументов, дает решение уравнения
A6) в неявной форме. В правой части последнего равенства мы пишем нуль
вместо произвольной постоянной, поскольку F является произвольной функ-
функцией своих аргументов. Для построения интегральной поверхности, содержа-
содержащей данное многообразие A9), мы подставим выражения A9) в левые части
интегралов C4). Исключая из полученных таким образом п уравнений (п— 1)
параметров tu ..,, tn-u мы будем иметь соотношение между произвольными
постоянными:
F(CU ..., С„)«0.
Левая часть этого соотношения и определит нам вид функции F. Подставляя
в левую часть последнего уравнения вместо Ck функции (p*(*i, ..., хп, и),
мы и получим уравнение искомой интегральной поверхности.
4. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
3 (и- уJ р— q = 0.	C5)
Система D) имеет вид
?_,„-„.. 2—1, ?-*	,зв,
и ее решение, выраженное через начальные значения переменных (*, у, а),
будет
х = («о ~ У о + sK + х0 — (ио — у0K; y=> — s + y0; u=*Uq.	C7>
Положим, что уравнения G) линии /, через которую должна проходить иско
мая интегральная поверхность, имеют вид
х = 0, y = t; u*~t.	C8>
Подставляя в C7) х0 = 0, у0 = и0 — t, получим
' х = s3; у == — s + t\ и sbsb t\
определитель

24 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[4
обращается в нуль при s = 0, т. е. вдоль /. Линия C8) не является характе-
характеристикой уравнения C5), так как, в силу последнего из уравнений C6),
вдоль характеристики и должна быть постоянной. Имеется все же интеграль-
интегральная поверхность уравнения C5), проходящая через линию C8), а именно:
и = $7+ у.
2
тэ	1 ~Т
В данном случае р = их= -^ х , и эта частная производная обращается
в бесконечность вдоль линии C8).
2. Рассмотрим уравнение для функции и трех независимых переменных:
pi + Рг + Рг = и.
Составляя систему A7) и интегрируя ее, получим следующее решение,
выраженное через начальные значения х\ и к0 переменных:
xk = 5 + x°k; и = uQes (k = 1, 2, 3).	C9)
Пусть требуется найти интегральную поверхность, содержащую многообразие
Подставляя эти выражения вместо начальных значений в уравнения C9),
получим
D0)
Первые три уравнения разрешимы относительно s, ti и t2 (случай
А#0):
s = л:3 — 1; /i = -J (*i + х2 — 2хг + 2); t2 = у (#! — а:2);
подставляя эти выражения в последнее из уравнений D0), получим уравнение
искомой интегральной поверхности:
и = ^ (#i + х2 - 2*з + 2) (*! - д:2) в*.
3. Будем искать решение уравнения
«х — % = f (х + у),
непрерывное с производными первого порядка и удовлетворяющее условию
U s= 0 при х = 0. Мы можем ввести замену переменных:
пользуясь которой без труда получим следующий ответ:
и (х, у) = xf(x + у).
Эта формула действительно дает решение поставленной задачи, если функция
f(t) имеет непрерывную производную. Если f(t) не обладает непрерывной
производной, то поставленная задача не имеет гладких решений. Известно,
что существуют непрерывные функции f(t), не имеющие нигде производной.
Приведенный пример показывает существенность предположения о суще-
существовании и непрерывности производной уев уравнении B). [Перрон
(Perron).— Math. Z., 1928, 27, № 4.]

$J	ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА	25
5. Вспомогательная теорема. В настоящем параграфе приведем доказа-
доказательство теоремы, которую мы формулировали в [2]. Докажем сначала одно
вспомогательное предложение. Положим, что правые части системы уравнений
^t-f»(*. «/,	Уп,Х) (*-1.2	д)	D1)
содержат параметр К. Пусть, далее, эти правые части — непрерывные функ-
функции, имеющие непрерывные производные по всем yk при
|х-а|<Л; \Ук-Ьк\<В (Л—1, 2, ..., я),	D2)
где а и bk — заданные числа, и при изменении Я в некотором промежутке
а < Я < р.
Пусть М — наибольшая величина абсолютных значений
при указанных значениях переменных. При этом система D1) имеет един»
ственное решение, удовлетворяющее начальным данным:
»*1*-в-6* (*->. -..я).	D3)
Это решение существует в промежутке \х— а|^Л, где h — наименьшее из
двух чисел А и В/М, и оно может быть получено в этом промежутке по
методу последовательных приближений [II; 51]. Последовательные приближе-
приближения, вычисляемые по формулам, указанным в [II; 51], будут непрерывными
функциями х и А-, и, в силу равномерной сходимости последовательных при-
приближений относительно х и X [II; 51], мы можем утверждать, что и функции,
дающие решение системы D1), удовлетворяющее начальным условиям D3),
будут непрерывными функциями аргументов х и X. Мы могли бы считать,
конечно, что правые части уравнений D1) содержат не один, а несколько
параметров.
Мы можем, таким образом, считать доказанной следующую лемму:
Лемма. Если правые части уравнений D1) содержат некоторые пара-
параметры %и ..., Ks и удовлетворяют указанным выше условиям, то решение
системы, удовлетворяющее начальным данным D3), где а и bk— заданные
числа, состоит из непрерывных относительно х и fa функций: yk =
Замечание. Пусть х0 п y°k — значения, лежащие внутри области D2).
Решения, удовлетворяющие начальным данным yk (#0) = tpk% будут функция-
функциями этих начальных данных:
Ук = Ь(х> Ч>У% .... У°п\	D4)
причем эти функции определены в некоторой окрестности х = х0. Если ввести
новую независимую переменную ?• = х — х0 и новые функции r\k = yk — y^f
то система перепишется в виде
, я),
т. е. начальные значения вгойдут в качестве параметров в правые части, а в
начальные условия r\k{fi)= 0 будут входить лишь определенные числа. В силу
указанной выше леммы, мы можем утверждать, что функции D4.) суть не*
прерывные функции своих аргументов.

26 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[5
Перейдем теперь к доказательству теоремы, сформулированной в [2],
причем для простоты изложения рассмотрим сначала случай одною урав-
уравнения:
Положим, что правая часть непрерывна и имеет непрерывную производную
по у при
|дг-а|<Л; | у - Ь | < В.	D6)
Рассмотрим решение уравнения D5), удовлетворяющее начальному усло-
условию у(хо)~уо, где Хо и у о находятся внутри области D6). Это решение
будет функцией от Хо и у о:
у ж* ф (*, х0, г/о),	D7)
и будет определено при ху достаточно близких к х0. Изменим несколько на-
начальное значение функции и рассмотрим новое решение:
у+ — ф (х, х0, уо + Дуо).	D8)
Если Д#о достаточно мало по абсолютной величине, то решения D7) и D8)
существуют в некоторой определенной окрестности значения х = хо.
Из уравнения D5) следует, что
и это уравнение мы можем переписать в виде
d	а (х, Ауо) (у+ - у),	D9)
где
Это отношение мы считаем известной функцией от к и Д#о, поскольку мы
считаем известными решения D7) и D8). Нетрудно видеть, что функция
а(х> Ауо) является непрерывной функцией своих аргументов. Это очевидно
для тех значений х и Дг/о, при которых у+ — у ф 0. Если же при х-+х' и
Дг/о -> а' функции у+ и у имеют общий предел у', то из условия существо-
существования непрерывной производной непосредственно следует, что
ы*.
т. е. и в этом случае функция E0) непрерывна. Деля обе части D9) на
получим дифференциальное уравнение для отношения (у+ — у) : Д#о
При х = х0 мы имеем */+ |х-;ев = у0 + Дг/о и t/ |Х-Ж() == у0, т. е.
У
1.	E2)
Итак, отношение (у+ —у) : Ауй есть решение дифференциального уравнения
|j-a(*f ДуоК	E3)
удовлетворяющее начальному условию:

б\	ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА	27
Поскольку правая часть уравнения E3) есть непрерывная функция па-
параметра Д*/о при всех Ауоу достаточно близких к нулю, то и решение и, удо-
удовлетворяющее условию E4), есть непрерывная функция Аг/0, и, в частности,
существует предел упомянутого отношения при А#о ->¦ 0, т. е. функция D7)
имеет частную производную уу9 (ху xQt yQ) по у0. Эта* частная производная
должна быть решением уравнения E3) при Ауо = 0. Но, в силу E0),
а (х, 0) = fy [x, ф(я, *о, #о)], и, следовательно, мы можем утверждать, что
частная производная ф^(*> *о» #о) есть Решение уравнения
^[*ф(*%)]«
удовлетворяющее условию E4). Поскольку правая часть уравнения E5) есть
непрерывная функция параметров Xq и г/о, мы можем, пользуясь еще pas
леммой, утверждать, что и частная производная фуо (х, xQ, у0) есть непрерыв-
непрерывная функция своих аргументов, и тем самым теорема доказана.
Замечание 1. Придавая х0 некоторое приращение Ах0 и повторяя
предыдущие рассуждения, мы могли бы доказать тот факт, что функция D7)
имеет непрерывную частную производную ф^ (х, xQ, z/0). Эта частная произ-
производная также должна удовлетворять уравнению E5), но уже не начальному
условию E4), а условию
Это условие получится непосредственно, если записать уравнение D5) с
начальным условием у(хо)=Уо в виде интегрального уравнения [II; 51]
(х, у) dx.
Дифференцируя обе части по х0, мы и получим вышеуказанное начальное
условие для и = ф^ (л:, х0, */0)#
Замечание 2. Предыдущее доказательство сохраняет свою силу и для
системы уравнений E). Мы будем иметь решение этой системы:
У к - Ф* 0' % *&•...«?) (* - 1. 2, •.., п).	E6)
Придавая y°t приращение Ay°t, получим другое решение:
Написав систему E) для yk и у% и вычитая почленно полученные уравне-
уравнения, разность, получаемую в правой части, перепишем в виде
~^~ \Jk\х> У\> У2 » Уз * ' "* Уп) — fk \х> У\> У2^ Уз * • • •» Уп )\ "г"
Для отношений ик = (у? — у^: AyQt получаем систему линейных уравнений
п
duu

28 ГЛ I ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[6
где
и начальные условия
В остальном доказательство получается таким же, и мы убеждаемся в
существований у функций E6) непрерывных частных производных по у®.
Вместо уравнения E5) мы получаем для этих частных производных систему
уравнений
^^д!^У^ — У-Кг	E8)
причем,в коэффициенты этой линейной системы вместо yk надо подставить
функции E6). Начальные условия будут по-прежнему определяться формула-
формулами E7). Заметим, что систему E8) можно непосредственно получить, под-
подставляя функции E6) в уравнения E) и дифференцируя обе части по у%
Но без предварительного доказательства мы не можем утверждать существо-
существование частной производной по yf) и не можем, строго говоря, менять поря-
порядок дифференцирования по х и у\ в левой части. Отметим еще, что в случае
одного уравнения линейное однородное уравнение E5) интегрируется в ко-
конечном виде.
Замечание 3. Если правые части fk уравнений E) имеют, при усло-
условии F), непрерывные частные производные по ys до некоторого порядка т,
то и функции ф^ (лс, Xq, Уу, ..., Уп ) имеют непрерывные частные производ-
производные по у^ до порядка т Если fk имеют непрерывную частную производную
по х, то из самого уравнения E) следует, что ср* будет иметь непрерывные
производные д<^ второго порядка по х
6. Нелинейные уравнения первого порядка. Мы переходим
к рассмотрению уравнений с частными производными первого
порядка в общем случае. Как и для рассмотренных выше ли-
линейных уравнений, мы сначала будем предполагать, что имеют-
имеются лишь две независимые переменные. Уравнение с частными
производными первого порядка для функции от двух независи-
независимых переменных имеет вид
F(x, у, и, р, <7) = 0.	E9)
Выясним прежде всего геометрический смысл написанного урав-
уравнения. В любой фиксированной точке (ху у, и) уравнение E9)
представляет собою соотношение между р и q> т. е. соотношение
между направляющими косинусами нормали к поверхности.
Удовлетворяющие этому соотношению нормали образуют неко-
некоторую коническую поверхность с вершиной (хуу,и). Плоскости,
проходящие через точку (х, у, и) и перпендикулярные к обра-
образующим этого конуса, представляют собою возможные положе-

6)	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	29
ния касательной* плоскости в фиксированной точке (х, у, и) к
искомым интегральным поверхностям. Это семейство плоскостей,
так же как и семейство образующих конуса нормалей, будет
зависеть от одного параметра. Огибающая этого семейства пло-
плоскостей будет представлять собою новый конус, который мы
назовем конусом Т. Уравнение E9) эквивалентно, таким обра-
образом, заданию в каждой точке пространства конуса Г, а искомая
интегральная поверхность уравнения E9) должна обладать тем
свойством, что в каждой ее точке касательная плоскость должна
касаться конуса Г, соответствующего этой точке.
Составим уравнения образующих конуса Т в заданной точке
(х,у,и). Пусть р и q — функции некоторого параметра а, удо-
удовлетворяющие уравнению E9) в фиксированной точке (х,у,и).
Конус Т является огибающей семейства плоскостей:
p(a)(X-x) + q(a)(Y-y)-(U-u) = O.	F0)
Дифференцируя по параметру а, получаем добавочное уравне-
уравнение
'</1(Х-х) + -%г<Г-у)-0.	F1)
Дифференцируя по а соотношение E9), мы получим
РЖ + ^ = °>
где
Р = /у, Q = Fq.	F3)
В дальнейшем мы будем считать, что при рассматриваемых зна-
значениях переменных Fp и Fq одновременно в нуль не обращаются,
т. е. F2P + F2q > 0. Исключением будет лишь случай особых ре-
решений уравнения E9). Считая, что -р- и -Д- не могут быть
оба одновременно равны нулю, мы из однородных уравнений
F1) и F2) получаем
X — х _ Y-y
Р ~ Q '
и, наконец, уравнение F0) дает нам окончательно уравнение
образующих конуса:
Х-х _ Y-y _ U-u
Чтобы получить различные образующие конуса Г, мы должны
в знаменатели подставлять различные значения р и q, удовле-
удовлетворяющие соотношению E9) в фиксированной точке (х, t/, и).

30	ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	16
В случае линейного уравнения B) мы имели в каждой точке
одно определенное направление, и касательная плоскость к иско-
искомым интегральным поверхностям должна была содержать это
направление В данном случае мы имеем в каждой точке вместо
одного определенного направления конус Г, и касательная
плоскость к искомым интегральным поверхностям должна ка-
касаться этого конуса Мы не можем, таким образом, для нели-
нелинейного уравнения E9) строить непосредственно характеристи-
характеристические кривые так, как это мы делали для линейного уравнения
B), имея определенное поле направлений. В данном случае вме-
вместо поля направлений мы имеем поле конусов Т. Но мы пока-
покажем сейчас, что, имея интегральную поверхность 5 и = и(к, у)
уравнения E9), мы можем покрыть ее линиями, которые вполне
аналогичны характеристическим линиям линейного уравнения
B). Действительно, в каждой точке интегральной поверхности
касательная плоскость должна касаться конуса Г, соответствую-
соответствующего этой точке, и, тем самым, должна содержать одну из обра-
образующих этого конуса, вдоль которой она и касается конуса Эти
образующие конусов Т в различных точках поверхности создают
на интегральной поверхности некоторое поле направлений и, тем
самым, интегрируя соответствующее этому полю направлений
дифференциальное уравнение первого порядка, мы покрываем
нашу поверхность семейством кривых /', зависящим от одного
параметра. Направляющие косинусы упомянутого поля направ-
направлений должны быть пропорциональны знаменателям уравнения
F4), где р и q определяются непосредственно из уравнения рас-
рассматриваемой интегральной поверхности Таким образом, вдоль
упомянутых линий, покрывающих заданную интегральную по-
поверхность, должно выполняться соотношение
dx ___ <dy_	 du
P -"* Q ~ pP + qQ*
или
§=^ тН<* ?-/* + *.	«*>
Чтобы найти упомянутые линии на заданной интегральной по-
поверхности, достаточно проинтегрировать уравнение первого по-
порядка
?-^.	F7)
причем знаменатели написанных дробей содержат только пере-
переменные х и у, поскольку функция и и ее частные производные
р и q на заданной поверхности являются известными функциями
х и у. Интегрируя уравнение F7) и пользуясь уравнением по-
поверхности и = и(х, у), мы и получим упомянутые выше линии

6)	НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	31
/'. Правые части уравнений F6) имеют определенный смысл
только при определенном выборе интегральной поверхности
и = и{х, у). Знание интегральной поверхности дает нам р и q
как функции от (х, у). Мы дополним сейчас систему уравнений
F6) еще двумя уравнениями, содержащими дифференциалы dp
и dq так, чтобы получилась система дифференциальных урав-
уравнений, не зависящая от выбора интегральной поверхности урав-
уравнения E9). Обозначим через г, а и t вторые производные функ-
функции и:
г = ихх\ а = иху] t == иуу,
а через X, Y и U обозначим производные от левой части уравне-
уравнения E9) по х, у и и:
Дифференцируя левую часть уравнения E5) по х и у полным
образом, мы получим
X + Up + Рг + Qo = 0; Y + Uq + Pa + Qt = 0.
С другой стороны, мы имеем, очевидно,
Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что
и, следовательно, мы можем добавить к уравнениям F6) еще
два последних уравнения, и, таким образом, получим следую-
следующую систему пяги дифференциальных уравнений с пятью функ-
функциями вспомогательного параметра s:
4г * Ъ
.	F8)
?2. = _(* + ?/„); -fi"	(K + C/qr).
Мы можем, таким образом, утверждать, что на любой интеграль-
интегральной поверхности, вдоль всякой линии Г, построенной нами выше,
должны выполняться уравнения F8). Систему дифференциаль-
дифференциальных уравнений F8) мы можем рассматривать саму по себе,
независимо от инуегральных поверхностей уравнения E9).
Эта система называется характеристической системой урав-
уравнения E9),

32 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	{7
Отметим, что при выводе уравнений F8) мы пользовались
производными второго порядка функции и. Кроме того, для нас
существенно при интегрировании F8), чтобы правые части
имели непрерывные производные первого порядка. Учитывая все
это, сформулируем полученный нами результат. Пусть и(х, у) —
решение уравнения E9), имеющее непрерывные производные до
второго порядка в окрестности некоторой точки (xOj #о). Обо-
Обозначим ио = и(хОу уо), ро = их(хо, уо), qQ = Uy(x0, y0). Мы счи-
считаем, что F(x, у, и, р, q) однозначна, непрерывна и имеет непре-
непрерывные производные до второго порядка в некоторой окрест-
окрестности значений {х0, у0, «о, Ро, <7о). При этом система F8) имеет
одно определенное решение
Xo(s), yo(s), uo(s), po(s), qo(s)
с начальными условиями (х0, уо, Uo, Po, Qo) при s — 0. Из приве-
приведенных выше рассуждений следует, что интегральная поверх-
поверхность и = и(х, у) содержит указанное выше решение системы
F8) при всех 5, достаточно близких к нулю, т. е.
= u[xo(s), yo(s)]; po(s) = ux[xo(s)t yo(s));
yo{s)].
Систему F8) мы можем рассматривать, как мы уже упоминали
выше, саму по себе, независимо от уравнения E9), как систему
первого порядка для функций (лс, у, и, р, q). Нетрудно прове-
проверить, что она имеет интеграл
F(x, у, и, р, (?) = С.	F9)
Действительно, дифференцируя по s левую часть написанного
равенства и пользуясь уравнениями F8), мы получим
7. Характеристические многообразия. Всякое решение систе-
системы F8) представляет собой пять функций вспомогательного па-
параметра:
x(s), y(s), u(s), p(s), q(s).	G0)
Мы выделим только те решения системы, которые при подста-
подстановке в интеграл F9) дают постоянной С значение, равное
нулю. Назовем такие решения системы F8) характеристиче-
характеристическими полосами уравнения E9), т. е. характеристической поло-
полосой уравнения E9) называется система функций G0), удовле-
удовлетворяющих системе F8) и соотношению
F(x,y,u, p,q) = 0.	G1)

8]	МЕТОД КОШИ	33
Первые три из функций G0) определяют некоторую простран-
пространственную кривую, а последние две из этих функций определяют
вдоль этой кривой некоторую касательную плоскость. Всякая
пространственная кривая, входящая в состав характеристичен
ской полосы, называется обычно характеристической кривой
уравнения E9). В предыдущем параграфе мы показали, что
всякая интегральная поверхность может быть покрыта характе-
характеристическими полосами и, следовательно, соответствующими
этим полосам характеристическими кривыми. Если мы возьмем
на некоторой интегральной поверхности точку (хо, уо> ио) и со-
соответствующие этой точке значения р = ро и q = q$, то по тео-
теореме существования и единственности система F8) определит
единственную характеристическую полосу по начальным значе-
значениям (л:0, Уо, ио,~ро, qo), и эта полоса должна целиком принад-
принадлежать упомянутой интегральной поверхности, т. е. если харак-
характеристическая полоса имеет некоторый элемент, общий с инте-
интегральной поверхностью, то она целиком лежит на этой инте-
интегральной поверхности. Из этого утверждения непосредственно
вытекает, что если две интегральные поверхности касаются в
некоторой точке, т. е. имеют в этой точке общие р и q, то соот-
соответствующая этим начальным значениям характеристическая
полоса должна принадлежать обеим интегральным поверхно-
поверхностям. Иначе говоря, если две интегральные поверхности каса-
касаются в некоторой точке, то они касаются вдоль характеристиче-
характеристической полосы, имеющей начальным элементом точку касания по-
поверхностей. Во всех этих рассуждениях мы считаем, конечно, что
интегральные поверхности и функция F удовлетворяют усло-
условиям, указанным в предыдущем параграфе, и все относится к
окрестности некоторой точки (хо, уо).
Заметим еще, что для того чтобы решение системы F8) удов-
удовлетворяло соотношению G1), т. е. было характеристической по-
полосой, достаточно, в силу F9), проверить, что этому соотноше-
соотношению удовлетворяют начальные данные (x0, уо, ио, ро, qo) упомя-
упомянутого решения, т. е.
F (*о> Уо, Щ, ро, Qo) = 0.	G2)
8. Метод Коши. Мы выяснили связь системы F8) с уравне-
уравнением E9). В частности, мы выяснили, что всякая интегральная
поверхность представляет собой семейство характеристических
полос, зависящее от одного параметра. Положим теперь, что мы
сумели проинтегрировать систему F8) и тем самым нашли все-
всевозможные характеристические полосы. Покажем, каким обра-
образом мы можем из этих характеристических полос строить инте-
интегральные поверхности уравнения E9). Будем считать, что ре-
решение системы F8) выражено через параметр s и начальные

34 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[8
данные функций, входящих в систему
x = x(s, *о» у0, uOi р0, <7о),
y = y(s9 xQ, y0, uQy po, <7o)>
и = и(	),	G3)
Желая получить семейство характеристических полос, мы будем
считать, что начальные данные (хо, уоУ ио, po, Qo) мы взяли как
функции некоторого параметра t:
*о(О> ЫО. МО, Po(t), <7о(О,	G4)
причем эти функции должны удовлетворять соотношению G2).
Мы считаем, кроме того, что они имеют непрерывные производ-
производные при tQ < t < t\ и что правые части уравнений F8) имеют
непрерывные производные по (х, у, и, р, q) в некоторой области,
содержащей многообразие G4) внутри себя. Как мы видели в
предыдущем номере, будет удовлетворено при любых значениях
s и соотношение G1).
Подставляя функции G4) в правые части формул G3), мы
получим
* = дф, 0. y = y(s, t)> u = u(s, /),	G5)
p = p(s,t), q = q(s,t).	G6)
Уравнения G5) определяют в параметрической форме некото-
некоторую поверхность. Если определитель
А = xsyt — xtys	G7)
отличен от нуля, что мы будем в дальнейшем считать, то совер-
совершенно так же, как и для линейного уравнения, мы сможем опре-
определить явное уравнение этой поверхности и = и(х, у). Уравне-
Уравнение G1), как мы видели выше, будет удовлетворено, но остается
открытым вопрос, будут ли функции р и <7> определяемые фор-
формулами G5), частными производными от функции и(х> у) по
х и у. Если это обстоятельство имеет место, то, дифференцируя
функцию и(х, у) по 5 и ty мы будем иметь
ди	дх	ду п ди	дх	ду п
Поскольку определитель второго порядка, составленный из ко-
коэффициентов при р и <7, по условию, отличен от нуля, мы можем
утверждать, что и наоборот, если р и qy определяемые форму-
формулами G6), удовлетворяют соотношениям G8), то они являются
частными производными от и (х> у) по х и у. Первое из соотно-

8]	МЕТОД КОШИ	35
шений G8) непосредственно вытекает из первых трех уравнений
системы F8). Остается только выяснить, при каких условиях
будет выполнено второе из соотношений G8). Мы считаем, что
F(x, у у и, р, q) имеет непрерывные производные до второго по-
порядка в окрестности (х0, z/o, Uq, po, #о). При этом правые части
уравнений F8) имеют непрерывные производные первого по-
порядка, и из этих уравнений следует, что xs, ys, us имеют непре-
непрерывные производные по ty т. е. существуют непрерывные про-
производные Xst, yst, usu При этом существуют и непрерывные про-
производные xts, yts, uts, равные указанным выше производным. Это
следует из того, что если функция f(x, у) имеет в некоторой об-
области непрерывную производную fxy9 то имеется и производная
{ух, причем fyx = fXy Эта теорема может быть доказана неболь-
небольшим видоизменением рассуждения из [I; 155] (см., например,
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления, т. I. — М.: Наука, 1970).
Обозначая через L левую часть второго из уравнений G8) и
дифференцируя по s, мы получим
Ы	04 _ д2х __ д2у	dp дх dg ду
"Ж ™ dids P dtds q dtds ds dt ds dt '
С другой стороны, дифференцируя первое из соотноше^й
G8), которое, как мы только что видели, наверное выполнено,
по t, будем иметь
д*х	д2У д? дх dq дУ
О
U
ds dt q ds dt dt ds dt ds '
Вычитая почленно последнее равенство из предыдущегр, можем
записать -«j- в виде
= ER.^L 4- ЁЯ-ЛМ-	 dp дх 	 дд ду
~ dt ds "^ dt ds дГ~Ж ds dt '
или, пользуясь системой F8), в виде
Дифференцируя по t соотношение G1), которому удовлетворяют
функции G6) и G6), мы получим
Вычитая это равенство из предыдущего, мы можем преобразо-
dL
вать выражение для -г— к виду
¦ OS
dL TJ ( dx , ду ди\	dL	rTr
-s- = U[p-w+q-w--w) или ж^-иЬ,

36 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[9
откуда следует, что
- jj U ds
L*°*LQe о ,
где Lo — значение левой части второго из соотношений G8) при
s ™ 0:
I _ дщ	дх0	dyQ
Из написанной формулы непосредственно следует, что соотноше-
соотношение L = 0 будет выполнено при всяком s, если оно выполнено
при 5 = 0, т. е. для того чтобы удовлетворялось второе из соот-
соотношений G8), необходимо и достаточно, чтобы функции G4)
удовлетворяли соотношению
ЧГ = Ро^ + ^-	'	G9)
Мы можем, таким образом, утверждать, что если определитель
Д отличен от нуля при s = 0 и / = V (to < if < <i), и если функ-
функции G4) удовлетворяют соотношениям
F <*6. Уо, «о, Ро, Яо) = 0, *?- = Po*?. + qo*ljlL, (80)
то уравнения G5) при s и t> близких к s = 0 и t = t\ опре-
определяют интегральную поверхность и = и(х, у) уравнения E9).
Первые два из уравнений G5) дают непрерывно дифференци-
дифференцируемые функции s(x, у), t(xyy). Подставляя их в u(s,t)t p(s/t),
q(s, t)y получим непрерывно дифференцируемые функции х и у,
которые мы, не желая вводить новые символы, обозначим через
и(х,у), р(хуу) и q{x,y). В силу доказанного выше р(х,у) =
*= их(х, у) у q{x,y) = uy(xyy)y и потому и(х,у) имеет непрерыв-
непрерывные производные второго порядка. Для полученного решения
При 5 = 0 Uo(t) = u[xo(t), f/o(O] ПРИ U близких к t\ т, е. по-
поверхность и = и(х,у) содержит некоторый участок линии х =
|*= Хо @ > У = Уо @, и = по @ .-
9. Задача Кош и. Задача Коши для уравнения E9) форму*
лируется так же, как и в случае линейного уравнения: тре-
требуется найти поверхность, проходящую через заданную кривую
I. Рассмотрим сначала тот частый случай задачи, когда задан-
заданная кривая находится в плоскости х = х0, параллельной плоско-
плоскости (у, и), и имеет в этой плоскости явное уравнение и = г|)(#),
у. е. положим, что требуется найти интегральную поверхность,
удовлетворяющую следующему условию;
(81)

9]	ЗАДАЧА КОШИ	' 37
При рассмотрении задачи Коши мы, кроме доказательства су-
существования и единственности решения, будем всегда доказы-
доказывать и непрерывную в некотором смысле зависимость решения
от начальных данных. Пусть щ — решение задачи, для которой
в условии (81) \|)(#) заменено на г|) (у) + б (у). Указанная непре-
непрерывная зависимость в данном случае сводится к следующему:
в некоторой конечной области изменения (ху у) величина
\и — и\\ может быть сделана сколь угодно малой, если |6(#)|
достаточно мала. Эта непрерывная зависимость от начальных
данных обычно называется корректностью постановки задачи
Коши. Будем считать, что уравнение E9) написано в разрешен-
разрешенном относительно р виде:
P = f{x, У, и, q).	(82)
Из условия Коши (81) непосредственно вытекает, что в качестве
параметра мы можем взять переменную у, причем параметриче-
параметрическое уравнение кривой / будет иметь вид: х = а:0; у = у; и =
= i|)(i/). Нам остается еще определить вдоль этой кривой р и q
как функции параметра у так, чтобы удовлетворялись два усло-
условия (80). В данном случае эти условия перепишутся в виде
ро = /(*о, У, Ъ(У)> <7о); Ъ'(у) = Чо,	(83)
откуда видно, что ро и <7о определяются вдоль I единственным
образом, и, применяя указанный в предыдущем параграфе ме-
тод, мы получаем решение задачи.
Для того чтобы выполнялись указанные в предыдущем но-
номере условия, нам надо потребовать существование непрерыв-
непрерывной производной второго порядка у функции г|) (у). Условия для
/ вытекают из указанных в [8] условий для F.
Рассмотрим теперь более общее начальное данное, а именно,
пусть требуется провести интегральную поверхность через кри-
кривую
()	()	(84)
Эта задача может быть сведена к предыдущей при помощи за-
замены независимых переменных, а именно: вместо (х, у) вводим
новые независимые переменные (*', у') по формулам
х = х' + ф (/); у = у\
и выражаем производные по новым переменным через производ-
производные по прежним переменным:
и*> = р; иу = pq/ (/) + q>
откуда
Р = их>\ q = uy>- У (/

38 ГЛ. I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [10
и уравнение E9) в новых независимых переменных принимает
вид
FW + v(</')> У', и, их<9 иу-nxrf(*/')] = 0.	(85)
Линия (84) в новых переменных запишется в виде
*' = 0; и =
т. е. мы имеем задачу Коши рассмотренного выше вида. Возмож-
Возможность ее решения сводится к вопросу о разрешимости уравнения
(85) относительно иХ'-
В случае, если кривая / задана в параметрической форме:
мы должны будем определить функции po(t) и qo(t) из двух
уравнений:
УоУ), "o(O. Ро(О> <7o(O] = O, \
и'о @ - ро @ *о (/) - (/о @ jri @ = о. J	(86)
Функциональней определитель левых частей этих уравнений по
Ро и <7о
До = »о @^-4@^.	(87)
совпадает как раз с определителем G7) при s = 0, что непо-
непосредственно вытекает из первых двух уравнений системы F8).
Мы считаем, что определитель G7) отличен от нуля вдоль / и
что система (86) дает вдоль / вполне определенные значения
для ро и <7о- При этом можно применить указанный в предыду-
предыдущем параграфе метод построения решения, причем надо заме-
заметить, что определитель (87) будет отличным от нуля не только
при s = 0, но и при 5, близких к нулю. Для того чтобы функции
Ро(О» <7о(О имели непрерывные производные первого порядка,
нам надо потребовать существования непрерывных производных
второго порядка у функций хо(О> Уо(О» ио(О* Это видно из вто-
второго уравнения (86).
10. Единственность решения. При решении задачи Коши мы
строили интегральную поверхность при помощи характеристи-
характеристических полос. Единственность решения задачи на первый взгляд
получается непосредственно из того, что всякая интегральная
поверхность сможет быть покрыта характеристическими поло-
полосами. Но при доказательстве этого мы использовали существо-
существование непрерывных производных второго порядка у функции
ц(хуу). При сделанных выше предположениях мы получили в
[9] решение задачи, у которого и(х, у) имеет непрерывные про-
производные второго порядка. Но указанное простое доказатель-
доказательство единственности не годится, если предполагать лишь непре*
рывные производные первого порядка у функции и(х,у).

ОД	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ	39
Нетрудно доказать теорему единственности и в предположе-
предположении, что существуют лишь непрерывные производные первого
порядка. Мы сделаем это для (82) при условии Коши (81).
Доказательство основано на следующей лемме:
Лемма. Пусть функция и(х, у) непрерывна в замкнутом
треугольнике А, образованном прямыми
x = xQ; x — xo = ^(y — yi); x — лго= — -д-(# —#2) (88)
определена и имеет непрерывные производные первого порядка
при х > х0 в более широком треугольнике, образованном пря-
прямыми
x = xQ; x — xo = -j{y — ys); x — xQ = — -j{y — yA) (89)
(Уз <У\<У2< #4>-
Пусть далее эти производные во всем треугольнике А, кроме
основания х = Хо, удовлетворяют условию
\их\<А\и9\ + В\и\,	*	(90)
а на основании х = х0 имеет место неравенство
\и(хо,у)\<М.	(91)
Тогда во всем треугольнике А имеет место неравенство
\u(xt y)|<Afe*<*-4	(92)
Докажем сначала эту лемму при А = В = 1. Будем рассуждать
от обратного. Пусть в А имеются точки, в которых \и(х, у)\>
> Мех~х\ При этом функция и (х, у)ех*~х должна была бы до-
достигать наибольшего абсолютного значения не на основании.
Поскольку все условия содержат лишь абсолютные значения
функции и{ху у) и ее производных, мы можем, меняя, если это
надо, знак у и(х, у), считать, что произведение и(х, у)еХо~х до-
достигает наибольшего положительного значения не на основании
А. При этом можно фиксировать столь малое положительное
число %, что функция
v (xt у) = и (х9 у) е~«+»<*-*>	(93)
будет достигать наибольшего положительного значения не на
основании Д. Приведем это к противоречию. Если это имеет
место внутри А, то мы должны иметь в соответствующей точке
0	A Ь) 0	0 {0)
ур	у
vx == vy = 0, откуда следует: их — A + Ь)М = 0> иУ — 0 {^)
а это противоречит (90) при Л = В = 1/Если это имеет место
на стороне х — хо = у — ух (не в вершине А), то в соответ-
соответствующей точке мы должны иметь vy < 0f и, дифференцируя

40 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[10
вдоль этой стороны, получим vx + vy ==x 0- Это приводит к фор-
формулам
<0	+ A+Ь) (и>0),	(94)
которые опять противоречат (90) при А = В = 1. Если это
имеет место на стороне х — *о = — (у — f/г), то аналогично по-
получим vy ^ 0, vx — vy = 0, откуда .
м* = иу+A+Я)и (г/ > 0),	(95)
что опять находится в противоречии с (90) при А = В = 1. По-
Положим, наконец, что функция (93) достигает наибольшего поло-
положительного значения в вершине треугольника А. Мы должны
иметь во всяком случае в этой точке цх ^ 0, т. е. их ^ A + Х)и.
Если при этом иу = 0, то мы опять пришли к противоречию с
(90). Если в вершине иу < 0, то, дифференцируя вдоль стороны
х — х0 == у— уи получим vx-\- vy ^ 0, что приводит к неравен-
неравенствам иу<с0, их^—иу + A +Я)м, что прфтиворечит (90) при
А ш= В = 1. Если же в вершине иу > 0, то, дифференцируя вдоль
стороны х — Хо = —(у — у2), придем, как и выше, к противоре-
противоречию. Итак, лемма доказана при А = В = 1. Распространим ее
на общий случай. Мы имеем в треугольнике со сторонами (88)
условия (90) и (91). Введем новые независимые переменные
х' z±z Bxf у' = -д-у. Треугольник Л перейдет в треугольник Л7 со
сторонами
х' = Вхо\ х' — Вхо = у' — у'\\ х' — Вхо = — (*/' — у'2)
и вместо (90) мы будем иметь
а условие (91) по-прежнему будет иметь вид \и(Вхо, у') \ ^ М,
В ^илу доказанного выше, мы получим \и{х\ у')\^Ме{*'~Вхо) в
Л; или, возвращаясь к прежним независимым переменным, полу-
получим неравенство (92) в А.
Переходим к доказательству единственности решения урав-
уравнения (82) при условии (81) и сделанных выше предположе-
предположениях. Пусть имеются два решения и\{х,у), и2(х,у) в полосе
Хо ^ х ^ хи причем пусть \iik{x> у)\ и \uky(x, у)\, ? = 1,2, не
превосходят какого-либо числа М\. Относительно f(xyy,u,q) до-
достаточно предположить, что при любых {х, у) из этой полосы и
и*, qh, ^==1,2, не превосходящих по модулю Ми выполняется
неравенство
I/O*, У, и2, q2) — f{*> У> ии q\)\^B\u2 — ux\+ A\q2 — qx\,

11]	ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ	41
где А и В — некоторые постоянные. Вычитая из уравнения (82)
для и2(х,у) уравнение (82) для щ(х,у) и используя это свой-
свойство /, получим
\(	)\ Л| (	)
Применяя к разности п2 — и\ доказанную лемму и принимая во
внимание, что эта разность обращается в нуль при х = х0 (т. е.
Л4 = 0), мы из (92) видим, что u2(xty)—щ(ху */) = 0 в любом
треугольнике Л, т. е. единственность решения доказана. Общий
случай уравнения E9) при данных Коши на любой кривой мож-
можно привести к разобранному выше при помощи замены пере-
переменных и решения дифференциального уравнения относительно
одной из производных. Это мы уже делали в [9].
Рассмотрим теперь в треугольнике А два решения щ(х, у)
и и,2(х, у) уравнения (82) при различных условиях:
Применяя к разности (п2 — и\) лемму, получим следующее не-
неравенство в треугольнике А:
I и2 (х, у) - щ (х, у) I < max | ф2 (у) - % (у) \ ев <*-*>.
Это неравенство доказывает непрерывную зависимость решения
от начальных данных г|)(#), входящих в формулу (81).
Отметим еще одно обстоятельство, связанное с решением за-
задачи Коши. Если функция $(у) не имеет непрерывной произ-
производной второго порядка, то применение метода Коши может
привести к поверхности и = и(х, у), для которой и(х, у) не
имеет производной. Можно показать, что в таком случае задача
не имеет решения с непрерывной производной [X а а р (Нааг).—
Acta Szeged, 1928, 4, № 2]. Доказательство указанной выше
леммы в более общем случае и ее применения к доказательству
теорем единственности для уравнений с частными производными
можно найти в статье: М ы ш к и с А. Д. Единственность реше-
решения задачи Коши. —УМН, 1948, 3, № 2.
11. Особый случай. Положим, что нам задана полоса, удов-
удовлетворяющая двум соотношениям (80) и такая, что вдоль этой
полосы определитель (87) равен нулю:
До = xayt - xtys Uo = У'о @ Fp. - 4 @ Fqa = 0.	(96)
Положим, что существует интегральная поверхность и = и(х, у),
проходящая через,такую полосу, причем и(х, у) имеет непре-
непрерывные производные до' второго порядка. Если Fp и Fqo не
равны одновременно нулю, то из (96) и второго из соотношений

42 ГЛ, I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ fll
(80) следует, что наша полоса удовлетворяет уравнениям F6)',
в которых s надо заменить буквой /. Но тогда приведенные
в [в] вычисления покажут нам, что эта полоса удовлетворяет и
всем уравнениям F8), т. е. является характеристической поло-
полосой. Таким образом, если, при выполнении условия (96), сущест-
существует интегральная поверхность, содержащая заданную полосу,
то эта полоса должна быть характеристической полосой (причем
считается, что FDQ и FqoHe равны одновременно нулю). При
этом, совершенно так же, как и в случае линейного уравнения,
через эту полосу может проходить, вообще говоря, бесчислен-
бесчисленное множество интегральных поверхностей. Надо провести неко-
некоторую полосу со, которая имеет с полосой G4) некоторую общую
точку (xq, уq, ио) и общие в этой точке р0 и q0, и притом так,
чтобы вдоль новой полосы со определитель (87) был отличным
от нуля. При выполнении некоторых условий через эту полосу
проходит определенная интегральная поверхность, которая бу-
будет содержать характеристическую полосу G4), ибо она содер-
содержит ее начальный элемент. Ввиду произвольности в выборе по-
полосы со, мы и имеем бесчисленное множество решений задачи.
Если вдоль заданной полосы До = 0, но полоса не является
характеристической, то решение задачи невозможно, если гово-
говорить о функциях и(х, у), имеющих непрерывные производные до
второго порядка. Но может случиться, что соответствующая ли-
линия будет особой для интегральной поверхности. Заметим при
этом, что при проведении метода Коши нами были использо-
использованы производные второго порядка функции и(х, у). Если вы-
выполнено равенство (96) и полоса не характеристическая, то
вдол^ этой полосы удовлетворены только первые три из уравне-
уравнений системы F8). На доказательстве высказанных выше
утверждений мы не останавливаемся.
Предыдущие рассуждения имеют простой геометрический
смысл. Если нам задана некоторая линия /, тр первое из усло-
условий (80) показывает, что вдоль этой кривой плоскость, опреде-
определяемая величинами po(t) и qo(t), должна касаться конуса Т, а
второе условие равносильно тому, что эта плоскость должна со-
содержать касательную к /. Вспоминая уравнение F4) образую-
образующих конуса, мы видим, что условие Ао ф 0 равносильно тому
факту, что вдоль / касательные к / не совпадают с образующими
конуса Т. Разрешимость уравнений (86) относительно po{t) и
qo(t) сводится к возможности проведения плоскости, которая со-
содержит касательную к I и касается конуса Г. Положим, что мы
можем через касательные к / провести плоскости, которые ка-
касаются Т и непрерывно меняются вдоль / (po(t) и qo(t) должны
иметь непрерывные производные).
Мы дополним таким образом кривую / до полосы и, прини-
принимая эту полосу за начальные значения в решениях G3), будем

Ill	ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ	43
иметь интегральную поверхность. Если касательные к / явля-
являются образующими конусов Г, мы будем иметь, проводя каса-
касательную плоскость к конусу вдоль соответствующей образую-'
щей, значения ро и qo вдоль Т. Полученная таким образом по-
лоса может оказаться характеристической полосой. В этом слу-
случае задача имеет бесчисленное множество решений. Достаточно
пересечь кривую / другой кривой 1\, касательная к которой в
точке пересечения лежит в той же плоскости, что и касательная
к /, но не совпадает с этой касательной, и такую, что вдоль 1\
касательные не совпадают с образующими конусов Г. Инте-
Интегральная поверхность, проведенная через /ь будет содержать
и /. Может, наконец, случиться, что касательные к кривой /
совпадают с образующими конусов Г, но что эта кривая не ха-
характеристическая, т. е. что ее дополнение до полосы указанным
выше приемом не приводит к характеристической полосе. Из
каждой точки / в этом случае мы все же можем выпустить ха-
характеристическую полосу, имея начальные значения (хо> уо, и0,
ро, qo)- Если эти характеристические полосы образуют инте-
интегральную поверхность с явным уравнением и = и(х, у), то ли-
линия / является особой линией на построенной интегральной по-
поверхности. Эти рассуждения имеют лишь иллюстративное зна-
значение.
Отметим один важный тип интегральных поверхностей урав-
уравнения E9). Фиксируем некоторую точку (х0, уо> и0)- При этом
второе из соотношений (80) будет выполняться при любых зна-
значениях ро и qo, так как все производные, входящие в это соот-
соотношение, обращаются в данном случае тождественно в нуль.
Мы получаем одно первое из соотношений (80), которое даст
нам, вообще говоря, бесчисленное множество значений для ро
и qo. Это будут как раз те значения ро, ^о, которые определяют
возможные положения касательной плоскости в фиксированной
точке (хо, уо, и0). Мы можем, как и выше, считать po(t) и qo(t)
функциями некоторого параметра t. Подставляя фиксированные
значения (х0, уо, и0) и упомянутые выше выражения po(t) и
qo(t) в формулы G3), мы получим интегральную поверхность
уравнения E9), имеющую вид конической поверхности с верши-
вершиной (хо, уо, по). Эта поверхность будет иметь, вообще говоря,
криволинейные образующие, которые в вершине (хо, уо, tio) бу-
будут касаться образующих конуса Т. Эту поверхность называют
обычно интегральным коноидом уравнения E9) с вершиной
(хОу уо, Uo). Можно показать, что решение задачи Коши может
быть сведено к следующему построению. Строятся интеграль-
интегральные коноиды, имеющие вершины на заданной кривой /, и бе-
берется их огибающая, что и приводит к решению задачи. Все
последние утверждения требуют, конечно, строгих аналитических
доказательств, на которых мы не будем останавливаться. -

44 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [12
12. Любое число независимых переменных. Рассмотрим
уравнение первого порядка в случае любого числа независимых
беременных:
/Ч*ь •••> *я, «, Рь ..•> Р«) = 0.	(97)
Метод Коши интегрирования такого уравнения проводится
совершенно так же, как и в случае двух независимых перемен-
переменных, и мы ограничимся лишь указанием результатов. Характе-
Характеристическая система, соответствующая уравнению (97), имеет
вид
dx\	dxn	 du		dpi		 _
р, ™ -*'ЖВ*~ТГ~ piPi + ... + рпРя ~ -(Xi + Upt) — •"~
Укажем формальный путь, приводящий к системе (98). Пусть
имеется решение u = u(xu ..., хя) уравнения (97) с непрерыв-
непрерывными производными до второго порядка. При этом Xk, Pk и U
после подстановки и***и(хи ..., хп) и Pk = Uxk(x\> •••» ^я)
будут функциями (*ь ..., х„).
Напишем систему уравнений первого порядка
^S- = Pk (k=l, ..., л),
где s — вспомогательная переменная. Подставляя решения этой
системы в уравнение и = и(х\, ¦,., хп) и дифференцируя по s,
получим
П	J	П	П
axi V n
L^и точнотак
Дифференцируя (97) no xft, получим
i	k
Из этих равенств следует, что
Таким образом, мы получили все уравнения системы (98). Рас-
Рассмотрим подробнее сиотему (98), как систему относительно
функций х^ и, pk вспомогательного переменного 5.
Она допускает очевидный интеграл
. • ., Хп, U, Р\, . . ., РяK33"^»

12]
ЛЮБОЕ ЧИСЛО НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
45
Положим, что нам удалось проинтегрировать указанную си*
стему:
( ^^
(99)
D (s v@) -.@) D@)\
k\r> xk'u * Pup
где xf\ u{0\ p{?] — начальные значения функций при 5 = 0. Бу-
Будем считать, что эти начальные значения являются функциями
(п— 1) параметров
Y{0)(i	4 \ ij@) (f	j \ r№>)(t	i \ (\C\C\\
Ai, (i, •••, *„ if, W I (-1, «••• !> < It U\ l*i* • • • > f't. II* \ * \JKJr
ft \ 1	it—vJ	\ I	/l~~ 1/	* ft \ 1	tl~~l/ N	'
Подставляя это в формулы (99), мы будем иметь выражение
переменных Xk и и через п параметров. Рассмотрим функцио-
функциональный определитель
Л_ Р(хи ,.., хп)
который, в силу первых из уравнений системы, может быть
написан в виде
Рь .... Рп
dxi	дхп
A01)
Если этот определитель в окрестности начального значения s = 0
отличен от нуля, то уравнения A00) дают нам поверхность, ко-
которая может быть записана явной формулой u=*u(xi, .,., хп).
Для того чтобы эта поверхность оказалась интегральной поверх-
поверхностью уравнения (97), необходимо и достаточно, чтобы функ-
функции A00) удовлетворяли следующим п соотношениям:
F (xf\ ..., *<[», и®
р?\
0,
0=1, 2	n-1).
A02)
A03)
Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности
уравнения (97), содержащей заданное (п— 1) -мерное многооб-
многообразие:
Мы считаем, что э*го многообразие дополнено до многообразия
A00), так что удовлетворяются соотношения A02) и A03), Если

46	ГЛ. I ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ |13
при этом определитель A01) отличён от нуля вдоль такого мно-
многообразия, то указанный выше метод приводит к решению за-
задачи Коши, и это решение единственно.
Совершенно так же, как и в случае двух независимых пере-
переменных, мы можем строить интегральный коноид уравнения
(97), фиксируя некоторую точку (л;^, х®\ и@)) и выбираяpf\ ...
..., р{°> как функции (п—1) параметров так, чтобы удовле*
творялось соотношение A02).
Если уравнение (97) разрешено относительно р\\
..., хп, и, ръ ..., рп)%	A04)
и если условие Коши имеет вид
и \х =х(о> = t|) (х2, ..., хп),	A05)
то задача Коши имеет одно определенное решение.
Мы не приводим здесь всех условий непрерывности и существования
производных у / и \|). Это делается так же, как и при п = 2. Для уравнения
A04) с начальным данным A05) можно, при некоторых определенных пред-
предположениях относительно f и \|\ определить и ту область, в которой суще-
существует интегральная поверхность. Предположим, что функция f непрерывна
и имеет непрерывные производные f у . f _ и / (k = 2, ..., п) при I #,_#(°) |<
ЛК УК	**	| 1	1 |^
<а и произвольных Xk, Pk и и Положим, кроме того, что эти производные
имеют непрерывные производные по Х\. х& и и ^,и что производные fx f
f*k' f«' W f*k*l' f*k* ]*kPt f»»> !»Pk' fPkPi 0ГРаничены по абсолютной ве-
величине числом А при указанных значениях аргументов. Положим далее, что
t|)(^2, ..., Хп) имеет непрерывные производные до второго порядка и что
имеет место неравенство
При этом существует дважды непрерывно дифференцируемое решение урав-
уравнения A04) при условии A05) в области | х\ ~~ х\ |<а и произвольных
xk (k яа= 2, ..., п), где а ^ а. Кроме того, а должно удовлетворять условию
[см. Камке (Kamke). —Math Z, 1943, 49, № 3].
13. Полный, общий и особый интегралы. В настоящем и сле-
следующем параграфах мы укажем другой метод интегрирования
уравнения
F(x, yt и, р, ?)=- О	A06)
и, в частности, решения задачи Коши. Он часто в конкретных
примерах легко приводит к решению задачи. При изложении ме-
метода Коши мы выяснили условия его применимости и существо-

13]	ПОЛНЫЙ. ОБЩИЙ И ОСОБЫЙ ИНТЕГРАЛЫ	47
вания и единственности решения задачи Коши. Сейчас мы бу*
дем иметь в виду, главным образом, формальную сторону во-
вопроса и широко используем теорию огибающих семейства
поверхностей, зависящего от одного или двух параметров.
При применении метода Коши для интегрирования уравне-
уравнения A06) мы должны уметь проинтегрировать полностью соот-
соответствующую систему обыкновенных уравнений:
dx _ dy _ du __	dp _	dq
P — Q — pP + qQ — ~(X + Up)— -(Y+Uq)'
Мы покажем сейчас, что задача интегрирования уравнения
A06) требует лишь знания решения этого уравнения, завися-
зависящего от двух произвольных поетоянных. Пусть мы имеем такое
решение:
м = <р(*, у, a, ft),	A08)
где а и Ъ — произвольные постоянные. Частные производные р
и q будут выражаться по формулам
Р = Ч>х(х> У> а> b)\ q = yy{x, у, а, 6),	A09)
и мы будем иметь, следовательно, следующее соотношение:
F[x, у, фС*, у, а, 6), <рх(х, у, а, Ь), сру(х, у, а, Ь)] = 09 (ПО)
которое должно выполняться тождественно не только относи-
относительно (х, у), но и относительно (а, Ь). Мы считаем, что из трех
соотношений A08) и A09) могут быть исключены а и Ь и что
эго исключение приводит нас к уравнению A06). В этом случае
решение A08) уравнения A06) будем называть полным интегра-
интегралом данного уравнения. Нетрудно из полного интеграла уравне-
уравнения получить и другие решения этого уравнения. Положим, что
в формуле A08) постоянная Ь является некоторой функцией по-
постоянной а, т. е. Ь = со (а). Таким путем мы придем к семейству
интегральных поверхностей, зависящему от одного .параметра:
и = <р[х, у у а, со (а)].	A11)
Огибающая этого семейства, которая получается исключением
а из уравнения A11) и уравнения
У у <*> ю(а)] + Ф&[*» У у а, со (а)] о" (а) = 0, A12)
будет иметь вдоль линии касания с огибаемой поверхностью те
же самые р и q, что и огибаемая, а потому эта огибающая бу-
будет также интегральной поверхностью уравнения A06). Сово-
Совокупность всех таких интегральных поверхностей при любом вы-
выборе дифференцируемой функции со (а) образует общий интеграл
уравнения A06), Этот интеграл, как мы видим, содержит уже

48 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [13
произвольную функцию о)(а). Мы можем далее строить огибаю-
огибающую семейства интегральных поверхностей A08), зависящего
от двух параметров а и 6. Это приводит к исключению а и Ь
из уравнения A08) и уравнений
Фа(*. У> <*> b)=~Q; Уь(х, У> a, b) = 0.	A13)
Полученная интегральная поверхность не содержит никаких
произвольных элементов и называется обычно особым интегра-
интегралом уравнения A06). Мы считаем при этом, конечно, что все
указанные выше исключения возможны и приводят к функциям,
имеющим непрерывные производные
Вместо указанных геометрических соображений мы можем
получить общий и особый интегралы, пользуясь методом вариа-
вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения
A06) в виде A08), считая а и Ь искомыми функциями (х, у).
Частные производные функции и будут вычисляться уже не по
формулам A09), а по следующим формулам:
Р = Ф*	у
Если мы подчиним искомые функции а и Ь двум соотношениям*
+ ЧъЬх = 0; уаау + qbby = 0,	A14)
то выражения для частных производных останутся прежними, и
функция A08) будет, как и раньше, давать интегральную по-
поверхность. Все дело сводится к рассмотрению уравнений (Г14).
Эти уравнения имеют очевидные решения: а = const и Ь =
= const, что приводит нас опять к полному интегралу. Второе
очевидное решение получается, если а и Ь удовлетворяют соот-
соотношениям
Это приводит нас к особому интегралу. Если по крайней мере
одно из этих равенств не выполняется, то определитель однород-
однородной относительно сра и ф& системы A14) должен обращаться в
нуль:
1%> Ьу\ *
Мы считаем при этом, что а и b не являются одновременно по-
постоянными. Равенство нулю этого функционального определи-
определителя приводит нас к соотношению между а и b \\\\\\ 18]. По-
Положим, что это соотношение имеет вид Ь = со (а). При 'этом
уравнения A14) приводятся к одному, которое может быть запи-
записано в виде
Фа ~f~ Фбй>' (#) =ив О,

14]	ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЗАДАЧА КОШИ	49
и мы получаем общий интеграл. Можно показать, что при не-
некоторых условиях указанными выше решениями исчерпываются
все решения уравнения A06). По существу дело сводится к
тому, что, имея полный интеграл, мы можем решить задачу
Коши.
14. Полный интеграл и задача Коши. Покажем теперь, ка-
каким именно образом из полного интеграла следует решение за-
задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность,
проходящую через линию:
* = *(/); y = y(t); u = u(t).	A15)
Вопрос приводится к нахождению такой функции 6 = о (а)
в общем интеграле, определяемом равенствами A11) и A12),
чтобы полученная интегральная поверхность прошла через ли-
линию A15). Выясним предварительно одно свойство огибающей
поверхности. Пусть имеется семейство поверхностей с одним па-
параметром:
Ф(*. У, и, а) = 0.	A16)
Положим, что через всякую точку М линии A15) проходит по-
поверхность семейства (.116), причем касательная плоскость к
этой поверхности в точке М содержит касательную к линии
A15) в точке М. Покажем, что в этом случае огибающая семей-
семейства,A16) содержит линию A15). Действительно, мы имеем по
условию
ФИО, y(t)> u(t)f a] = 0,	A17)
причем различным точкам М линии A15) отвечают различные
значения постоянной а, т. е различные поверхности семейства
A16). Дифференцируя последнее тождество по t, получим
Ф«и* + Ф<А = 0.
С другой стороны, тот факт, что касательная плоскость к по-
поверхности семейства A16) содержит касательную к линии A15),
приводит нас к тождеству
и последние два тождества дают ypacit = 0, или, в силу сцфО,
мы имеем \J)a = 0. Итак, функции A15) удовлетворяют тожде-
тождественно относительно t уравнениям гр = 0 и фа = 0, т. е. огибаю-
огибающая семейства A16) действительно содержит линию A15).
Положим теперь, что мы имеем полный интеграл уравнения
A06), который напишем в неявной форме:-
Ф(*. У, и, а, Ь) = 0.	A19)
Нам надо определить функцию Ь = <д(а) так, чтобы выполня-
выполнялись соотношения A17) и A18). Левая часть уравнения A18)

50	ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [14
представляет собою производную по / от левой части уравнения
A17). Обозначим через ^(t, а, Ь) результат подстановки функ-
функций A15) в левую часть уравнения A19). Мы должны написать
таким образом два уравнения
V(/,fl,6) = 0; ?,(Л а, Ь) = 0.	A20)
Исключая из этих равенств t, мы будем иметь соотношение меж-
между а и Ь, т. е. найдем искомую функцию: Ь = со (а). Таким обра-
образом, для решения задачи Коши по полному интегралу надо в
уравнение полного интеграла подставить функции A15), полу-
полученное уравнение продифференцировать по / и из двух построен-
построенных таким образом уравнений исключить t Зто приведет нас к
соотношению между постоянными а и Ь. Соответствующий этому
соотношению общий интеграл и будет проходить через линию
A15).
Можно поступать и иначе Выразим из A20) а и Ь через t.
Подставляя в A19), будем иметь семейство поверхностей, зави-
зависящее от одного параметра t. Находя огибающую этого семей-
семейства, получим искомую интегральную поверхность, проходящую
через линию A15).
Отметим еще связь понятия общего интеграла с характери-
характеристическими полосами, которые получаются в результате интегри-
интегрирования системы A07). Огибающая семейства A11) касается
одной из огибаемых вдоль некоторой линии 1а. Проводя вдоль
этой линии касательную плоскость, общую огибающей и огибае-
огибаемой, мы получим некоторую полосу. Эта полоса принадлежит
двум интегральным поверхностям, а именно: огибающей и оги-
огибаемой, и, следовательно, должна быть характеристической по-
полосой. Мы можем, таким образом, утверждать, что формулы
и = ф (х, у у а, Ь)\ фа (*, уу а, Ь) + ф6 (*, у9 а, Ь) со' (а) = 0, Л
Р = Ух(х> У, a, b)\ q-=q>y(x, у, а, Ь)	)
определяют, при любом фиксированном а и любом выборе Ъ =
= о)(а), решение системы A07), удовлетворяющее условию
.A06).
Мы можем считать, что формулы A21) определяют четыре из
величин х9 г/, и, р, q, как функции пятой и трех произвольных по-
постоянных а, Ь и с = со/(а). Общий интеграл системы A07) со-
содержит четыре произвольные постоянные. Но, ввиду наличия
соотношения A06), семейство всех характеристических полос
должно зависеть только от трех произвольных постоянных, что
мы и получили согласно формулам A21). В одном из следую-
следующих параграфов, для случая любого числа независимых пере-
переменных, мы проверим путем непосредственного вычисления тот

15]	ПРИМЕРЫ	51
факт, что уравнения A21) действительно дают решение системы
A07).
Выясним возможность определения особого интеграла непо-
непосредственно по дифференциальному уравнению без помощи пол-
полного интеграла. Дифференцируя тождество (ПО) по а и ft, мы
получим
+ Fp(f>xb + Fqq>yb = 0.
Принимая во внимание определение особого интеграла A13), мы
можем утверждать, что на особой интегральной поверхности
выполнены следующие два равенства:
0; Fpqxb + Fqqyb = 0.
Будем считать, что определитель написанной однородной отно-
относительно Fp и Fq системы на особой интегральной поверхности
отличен от нуля, что по существу сводится к предположению о
возможности разрешения уравнений A09) относительно а и 6.
При этом написанная однородная система дает нам
Fp = Fq = 0.	A22)
Таким образом особый интеграл может быть получен путем ис-
исключения р и q из следующих трех уравнений:
F(x, у, и, р, q) = 0;Fp{xf у, и, p, ?) = 0; Fq (х> уу и, р, ?)=0. A23)
Уравнения A22) указывают на невозможность применения тео-
теоремы о неявных функциях к уравнению A06) по отношению к
переменной р или переменной q. Это показывает на невозмож-
невозможность получения особого интеграла в результате решения задачи
Коши, как это мы делали в [9], считая уравнение разрешенным
относительно р (или q). К этому же результату мы можем
прийти и иным путем. Какую бь! кривую мы ни взяли на особой
интегральной поверхности, вдоль этой кривой определитель
(96), в силу условий A22), будет равен нулю, что и указывает
на несуществование определенного решения задачи Коши при
любом выборе кривой на поверхности особого интеграла.
15. Примеры. 1. Уравнение
u=*xp + yq + f(p, q)	A24)
является аналогом уравнения Клеро, которое мы рассматривали раньше
[II; И] Заменяя р и q на а и Ь, как нетрудно проверить, получим его пол-
полный интеграл
u = ax + by +f (a, b).
Уравнение
и =* хр + yq + pq
имеет полный интеграл^
и = ах + by + ab>

52 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[15
и, применяя указанный выше метод, получим особый интеграл:
и = — ху.
Если мы возьмем на этой поверхности любую линию:
*о-ф(О; *о-*(*); ио--ф@*@.	A25)
то уравнения (86)
Ф @ Ро + * @ <7о + Ро<7о + Ф @ ¦ @ = 0,
ф' @ ¦ @ + ¦' @ Ф @ + Ф' @ Ро + V @ <7о = 0
имеют решения ро = —Ф@» #о = —ф@» и мы будем иметь вдоль линии
A25)
^-
Для уравнения
особый интеграл будет
и = ±-(х2 + у2).	A26)
Если решить уравнение A24i) относительно р, то мы получим
F = р - а; + У*2 + 2<7у - 2м - q* = 0,
и вдоль поверхности A26) частная производная от левой части уравнения
по и обращается в бесконечность.
2. Пусть имеется уравнение, содержащее только р и q:
/(Р. <7) = 0.
Такое уравнение имеет очевидное решение:
и = ах + с# + Ь,
где постоянные а и с должны удовлетворять соотношению f(a,c) = 0. Решая
его относительно с: c = /i(a), получим полный интеграл уравнения в виде
и = ах + f! (а) у + Ь.
Это уравнение дает некоторое семейство плоскостей. Общий интеграл будет
огибающей семейства плоскостей с одним параметром, т. е. развертывающейся
поверхностью [11; 153].
В качестве примера рассмотрим уравнение
02+^2^^	A27)
Принимая во внимание, что направляющий косинус нормали к искомой
поверхности с осью и выражается формулой
cos (л, и) =» ± —,	=яг = ±—,, :,.-..'. ,
Vl+P2 + ?2	Vl + ^2
мы видим, что уравнение A27) сводится к требованию, чтобы нормали к
искомой поверхности образовывали постоянный угол с осью и. Полный инте*
грал уравнения представляет собой семейство плоскостей
и *= ах + V&2 — а2У + Ь.

15]	ПРИМЕРЫ	53
Система F8) напишется в виде
и ее решение, выраженное через начальные данные, будет
х0; у = 2<70s -f- yQ; и = 2 (р§ + ql) s + ио> Р = Ро» <7 = <7о- A28>
Мы получим характеристические полосы, если подчиним ро и qo условию
Ро ~t~ <7о== ^ Это будут некоторые прямые, и вдоль этих прямых р и q
сохраняют постоянные значения.
Пусть требуется провести интегральную поверхность через окружность
х0 = cos t; у о = 0; и0 = sin Л
Уравнения (86) в данном случае имеют вид
Ро + <7о я ^2' cos / = — р0 sin /,
откуда
ро = — ctg ^; Gо == V^2 — ctg2 ^.
Подставляя в первые три из уравнений A28), получим параметрическое урав-
уравнение искомой поверхности, выраженное через параметры s и /:
х *= — 2s ctg t + cos t\ y = 2s У&2 — ctg2 t; и = 2fc2s + sin f.
3. Более общим является следующий тип уравнений первого порядка:
h (*> Р) = fa (У, Я)-
Для нахождения полного интеграла положим, что обе части уравнения равны
одной и той же постоянной a: fi(x, p) = а и fz(y, q)— а Решая эти уравне-
уравнения относительно р и q, получим p==(pi(#, а) и q = Ц>г(у, а), и полный
интеграл напишется в виде
и = \ ф1 (х, a) dx + \ ф2 («/, a) rfz/ + b,
где Ь — вторая произвольная постоянная. В применении к уравнению
pqxy = 0 или ~- = -|
этот прием дает
-xy = 0 или ~- = -|	A29)
« = 1а*2 + ~^2 + 6.	A30)
Пусть требуется провести интегральную поверхность через линию
* *; #	1
Подставляя в A30) и дифференцируя по /, получим
Исключение t дает b = 0, и мы получаем семейство интегральных поверх-
поверхностей с одним параметром	\

tJ4 ГЛ. I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [15
я огибающая этого семейства приводит к искомой интегральной поверхности
и = ху.
Если бы в качестве начального данного мы взяли линию
* = /, y = t. u = t2,	A31)
то примененный выше прием привел бы нас к уравнениям
из которых следует с«1, Ь = 0, и мы не смогли бы найти интегральной
Поверхности, проходящей через линию A31) Нетрудно видеть, что линию
A31) мы можем дополнить до характеристической полосы, полагая р — t
я q = t. Действительно, функции
удовлетворяют уравнению A29) и системе A07).
4. Если уравнение не содержит независимых переменных
F(u, pt q) = 0,
то можно построить полный интеграл, если искать решение уравнения вида
и=*ф(х + ау),	A32)
где а — произвольная постоянная В качестве примера рассмотрим уравнение
pq — м=*=0.	A33)
Совершая подстановку A32) и полагая g = х + ау, получим
*[<р'Ш]2-ф(?) = о,
U интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, получим пол-
полный интеграл уравнения A33):
(х + ау + Ьу
\а
Система F8) для уравнения A33) имеет вид
dx	dy	du л	dp	dq
и ее интегрирование дает
X = qoes + (*0 — <7о); У =* Рое* + (Уо — PoY> ti=* poqoe2S + (и0 — poqo); A33^
р = poes\ q
Пусть ищется интегральная поверхность, проходящая через прямую:
xo=*t; #0=1; uo*mt.
Для определения /?0 и ^о имеем уравнения
рткуда ро = 1 и qo =B t. Подставляя в первые три из уравнений A33i) и
Йолагая es «= у, получаем параметрические уравнения искомой поверхности,
выраженные через параметры v и t
x=*tv; y=*v; и «¦ /о8>
дли, в явной форме, a =» л^/»

161 СЛУЧАИ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ	55
16. Случай любого числа переменных. Полным	интегралом
уравнения
F(x\> ..., хП9 и, ри ..., р„) = 0	A34)
называется решение этого уравнения:
и = Ф(*ь ..., хП9 аи ..., ап)>	A35)
содержащее п произвольных постоянных as и такое, что исклю*
чение as из уравнений
Pk = 4>xk(xu ..., хп, аи ..., ап) (&= 1, 2, ..., я) A35J
и уравнения A35) приводит к уравнению A34). Будем считать,
что uk суть функции (п—1) параметров:
ak = ak(tb ..., tn^) (k=l, 2, ..., п).	A36)
Подставляя эти выражения в формулу A35) и исключая (п— 1)
параметров из п уравнений
u = q>{xu ..., хп, аь ..., ап),
q>tf{xu ..., xnt аи ..., art) = 0 (/= 1, ..., п — 1),
мы получаем общий интеграл уравнения A34). Он зависит от
выбора п функций A36). Переходим к решению задачи Коши.
Пусть требуется найти интегральную поверхность уравнения
A34), содержащую заданное многообразие (п—1) измерений:
u = u(tu ..., *n-i); xk = xk(tu ..., tn_i) (*=1,2, .... л). A38)
Решение этой задачи производится совершенно так же, как и в
случае двух независимых переменных. Подставляя выражения
A38) в формулу A35), мы придем к равенству вида
¦ Ci. ..., *й-ь аь ..., ап) = 0.	* A39)
Присоединяя к этому равенству еще (п—1) равенств, получен-
полученных дифференцированием последнего равенства по t\> ..., tn-\i
^ = 0; ф/2 = 0; ...; ^^ = 0,	A40)
будем иметь п уравнений, из которых можно определить
ak(k = \,2, ..., п) как функции параметров tu ..., *я-ь т. е.
из этих п уравнений определяются функции A36). Полученные
функции подставляем в формулы A37) и, исключая из п урав-
уравнений A37) t\, ..., tn-u будем иметь интегральную поверхность,
содержащую многообразие A38). Отметим, что в формуле A39)
число независимых параметров может оказаться меньше, чем
(п—1). Вместо A40) при этом надо дифференцировать по не*
зависимым параметрам.

56 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [16
Если фиксировать значение параметров th то п уравнений
A37) с (п+1) переменными (и, хи .*., хп) определят некото-
некоторую линию в (п-\- 1) -мерном пространстве. Присоединяя еще
уравнения A35i), дополняем эту линию до полосы первого по-
порядка. Эта полоса принадлежит двум интегральным поверхно-
поверхностям— огибающей поверхности, которая получается исключе-
исключением параметров t} из A37), и одной из огибаемых поверхно-
поверхностей. Поэтому эта полоса должна быть характеристической по-
полосой, т.е. должна удовлетворять системе Коши (98). Это даст
возможность, зная полный интеграл A35), построить решение
системы (98), зависящее от B/г—1) произвольных постоянных.
Будем считать для простоты, что ап есть функция (аи ..., ап-\),
причем эти последние играют роль параметров t\, ..., tn-\. Фор-
Формулы A37) и A350 примут вид
и = ф(*ь ..., хп, а{9 ..., ап),
Фа;+Фал6/ = О (/= 1, 2	/1-1),	A41)
Рк = Чхк(х\, ..., хп, аи ..., ап) (k= 1, 2, ..., /г),
где через Ь} мы обозначим производную от ап по а}. Формулы
A41) определяют упомянутую выше полосу первого порядка,
причем не только аи ..., сгПу но и &ь ..., Ьп-\ можно считать
произвольными, поскольку произволен выбор функции ап(аи ...
,.., ап-\). Докажем формально, что полоса, определяемая фор-
формулами A41), удовлетворяет системе (98).
Подставляя в уравнение A34) вместо и и pk их выражения
A41), мы должны получить тождество относительно Xk и а^(й=
= 1, ..., п). Дифференцируя это тождество по as> получим
п
^Фа,+ Z PkVxka,=0 U=U 2, ..., AZ — 1),
Умножая последнее равенство на 6/, складывая его с предыду-
предыдущим и пользуясь A41), мы будем иметь следующие (п—1) ра-
равенств:
п
Zx Pk (<Patxk + <Vanxkbi) = 0.	A42)
С другой стороны, беря полный дифференциал от левой части
второго из уравнений A41), мы получим следующие (п—1)
равенств:
п
Z (<l>vft + <PW>/) dxk = 0 (/ = 1, 2, ..., п - I). A43)

17]	ТЕОРЕМА ЯКОБИ	57
Считая, что по крайней мере один из определителей порядка
(п—1), составленный из коэффициентов f системы A42) или
A43), отличен от нуля, мы можем утверждать, что dxk должны
быть пропорциональны />*, т. е. выполняются соотношения
dxx	dxn
Л ••• Рп '
п
Далее из A41) следует, что du= 2 Pkdxk> и мы можем допол*
нить написанные выше равенства:
J*L= = *^ =	du	П44У
Pi •-- Рп PiPi + ... + РпРп '	U44;
Возвращаемся вновь к тождеству, которое получается, если в
уравнение A34) подставить вместо и и pk их выражения A41),
и дифференцируем это тождество по **:
Умножая на dxu и заменяя, в силу A44), PtdXk = Pkdxly мы по-
получим
п
(Xk + Upk) dxk + Рк Z 4>х(хк dx, = 0.
Ho
и, следовательно,
+ Pd = 0, т.е. ^ =
и мы получаем таким образом окончательно систему
dx\	dxn 	^__^	du
17. Теорема Якоби. Рассмотрим теперь тот частный случай
уравнения A34), когда оно не содержит искомой функции и и
разрешено относительно одной из производных. Для симметрии
письма обозначим независимые переменные через /, х\, ..., %п
и положим, что уравнение разрешено относительно ро = и*, т. е.
что оно имеет вид
po+H(t, хь ..., хп, рь ..., рп) = 0.	A46),

58 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [17
Соответствующая этому уравнению система A45) запишется в
виде
_ Арп _
~НХ
du
тг* A47)
Все написанные отношения, кроме последнего, не содержат
Ро и «, и мы получаем так называемую каноническую систему:
dxk	dpk
причем Xk и рк мы считаем функциями от t. Если нам удастся про-
проинтегрировать эту систему, то ро найдется из A46), а и опреде-
определится при помощи квадратуры из уравнения du — (<pQ + piHP{ +
+ ... + РпНРп) dt.
Поскольку уравнение A46) не содержит и, ко всякому реше-
решению этого уравнения мы можем прибавить произвольную по-
постоянную. Положим, что мы имеем полный интеграл уравнения
A46), который должен содержать (я+1) произвольных по-
постоянных, причем одну из них в виде слагаемого:
и == Ф {U Хи • • • > хп> d\f . •., ап) — по.
Применим к данному случаю равенства A41), причем роль ап
у нас будет играть постоянная а0. Принимая во внимание, что
в данном случае фо, = — 1, мы получаем общий интеграл ка-
канонической системы в следующем виде:
В этом состоит известная теорема Якоби, о которой мы уже упо-
упоминали в [IVi; 91].
Отметим, что если уравнение A34) не содержит искомой
функции w, но не разрешено относительно какого-либо pk, т. е,
имеет вид
F{xu •••> *п> Рь ..., А.) = 0,
то соответствующая этому уравнению система A45) будет
dxn 	 dpx 	 	 4рп	du
4
и мы получаем опять каноническую систему

18]	СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	59*
в которой роль независимого переменного играет вспомогатель*
ный параметр s. Если мы сумеем проинтегрировать эту систему,,
то и найдется с помощью квадратуры.
Изложенная выше теорема Якоби показывает нам, каким
образом можно, имея полный интеграл уравнения A46), проин-
проинтегрировать соответствующую каноническую систему. Метод
Коши, изложенный нами в [12], показывает, что и наоборот,
умея проинтегрировать систему A47), мы можем находить ре-
решения уравнения A46), удовлетворяющие любым начальным
условиям Коши, и, пользуясь этим, нетрудно показать, что, в
частности, может быть построен и полный интеграл уравнения
A46).
18. Системы двух уравнений первого порядка. Мы привели
ряд примеров, когда полный интеграл может быть найден при
помощи совершенно элементарных приемов. Возникает вопрос о
возможности построения общего метода разыскания полного ин-
интеграла для любого уравнения первого порядка. Для изложения
такого метода нам необходимо предварительно рассмотреть за-
задачу о нахождении решения двух уравнений первого порядка
с одной искомой функцией:
F(x, у, и, р, q) = 0\. Ф(л:, у, ut p, q) = 0.
Будем считать, что эти уравнения разрешены относительно р
и q так, что мы имеем уравнения следующего вида:
P = f(x, у, и); q = g(x, у, и).	A48)
Мы будем называть написанную систему вполне интегрируемой,
если она имеет решение, зависящее от произвольной постоян-
постоянной. Выясним необходимое и достаточное условие, при котором
это обстоятельство имеет место, и дадим прием нахождения
решения, если вышеупомянутое условие выполнено. Дифферен-
Дифференцируя первое из уравнений A48) по (/, а второе по х, мы полу-
получим, очевидно,
fy + fu<l=gx + guP>
или, в силу A48),
fy+fug = gx + gj.	A49)
Если написанное соотношение между переменными (х, у, и) не
выполнено тождественно, то оно определяет и как функцию от
х и у, и только эта функция, не содержащая произвольной по-
постоянной, и может быть решением системы A48). Таким обра-
образом, тождественное выполнение соотношения A49) является не-
необходимым условием*для того, чтобы система A48) была вполне
интегрируемой. Покажем, что оно и достаточно, и одновременно
дадим способ нахождения решений системы A48). Мы можем

60 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ A8
рассматривать первое из уравнений A48), как уравнение с од-
одним независимым переменным х, поскольку у входит в это урав-
уравнение как параметр. Интегрируя это уравнение первого порядка,
мы получим и, как функцию независимого переменного х, пара*
метра у и произвольной постоянной С (у), которую мы можем
считать функцией от у:
и = ф[*. у, С {у)].	A50)
Эта функция должна удовлетворять и второму из уравнений
A48), т. е. должно быть выполнено уравнение
<Pj, + <Pc-^- = g(*> У> и),
или
причем в правой части и надо заменить его выражением A50).
Покажем теперь, что если тождественно выполнено соотношение
A49), то правая часть A51) не содержит х. Действительно, при-
приравнивая нулю производную от правой части уравнения A51)
по х, мы получим
(8х + ёиУх - ф„*) Фс — Фс* (g ~ <Qy) = 0-	A52)
Но, поскольку функция A50) удовлетворяет первому из уравне-
уравнений A48), мы имеем следующие очевидные соотношения:
Ф* = U Уух = fy + fu<Vy> Фс* = /«Фс»
и с помощью этих соотношений условие A52) может быть запи-
записано в виде
(gx + 8uf — fy — fuVy) Фс — f «Фс (8 — Чу) = 0»
и оно, очевидно, выполнено, поскольку мы считаем соотношение
A49) выполненным тождественно. Таким образом, при' этом
уравнение A51) представляет собою уравнение первого порядка
относительно С (у), интегрируя которое, мы получим выражение
С через у и произвольную постоянную Ь. Подставляя это выра-
выражение в формулу A50), будем иметь решение системы A48),
содержащее одну произвольную постоянную. Таким образом,
необходимым и достаточным условием полной интегрируемости
системы A48) является тождественное выполнение соотношений
A49). Если это условие выполнено, то интегрирование системы
A48) приводится к интегрированию двух обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений первого порядка, и общее решение си-
системы A48) содержит одну произвольную постоянную.

19]
МЕТОД ЛАГРАНЖА - ШАРПИ
61
В непосредственной связи с решенной задачей стоит задача
интегрирования уравнения в полных дифференциалах:
Q,	A53)
где Р, Q и R — заданные функции (х, уу и). Это уравнение непо-
непосредственно приводится к системе A48), если положить
.	 _Р_	Q_
'~~~"~Т; 8~~~~R*
и условие интегрируемости A49) приводит в данном случае к
следующему соотношению между коэффициентами:
Мы уже раньше указывали на это соотношение, как необходим
мое и достаточное условие полной интегрируемости уравнения
A53) [II; 79].
19. Метод Лагранжа—Шарли. Этот метод дает общий при-
прием построения полного интеграла уравнения с частными произ-
производными первого порядка при двух независимых переменных:
F(x, У, и, р, q) = Q.	A54)
Постараемся подыскать второе уравнение вида
Ф(х, у, и, р, q) = a,	A55)
где а — произвольная постоянная, так, чтобы уравнения A54) и
A55) были разрешимы относительно р и q и чтобы после раз-
разрешения полученная система вида A48) была вполне интегри-
интегрируемой. Если это нам удастся сделать, то, интегрируя получен-
полученную систему, мы введем еще одну произвольную постоянную Ь
и таким образом получим полный интеграл уравнения A54).
Условие полной интегрируемости A49) может быть записано в
виде
A56)
Нам надо вычислить все частные производные, входящие в это
тождество, применяя правила дифференцирования неявных
функций р и q от переменных (х, у, и), определяемых уравне-
уравнениями A54) и A55). Дифференцируя соотношения A54) и A55)
по щ мы получим
откуда
Fp> Ря
Рр, Ри
Ф/ь Фи
Фд, Фа

62
ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
[19
Совершенно аналогичным образом, дифференцируя по х и у, мы
будем иметь
фр.
Фр
Fy.
Фу,
pp.
фр.
Фа
Ра
ф„
и условие интегрируемости A56) запишется в виде
ИЛИ
Fy.
Фу,
F
а
\
_
pp.
Фр.
Ft
Ф
Fx
фх
ш
+
+
Ф,
РиР
Фир
q -г
рР.
фр.
Ф<7>
Фу +
Фр»
Фи^
0.
A57)
Раскрывая определители и пользуясь обозначениями из [6], мы
придем к следующему уравнению с частными производными для
определения искомой функции Ф:
РФХ + Q®y + (рР + qQ) Фи-(Х + Up) ФР-(Г + Uq) Ф,=0. A58)
Строго говоря, это уравнение должно быть выполнено, если в
нем заменить р и q их выражениями из A54) и A55). Но мы
будем требовать большего, а именно того, чтобы оно выполня-
выполнялось тождественно. Соответствующая линейному однородному-
уравнению A58) система обыкновенных дифференциальных
уравнений есть как раз система Коши A07):
dx _ dy _
P ~~ Q ~~
du
	dp
dq

qQ ~ - (X + Up) — -(Y + Uq)
Нам достаточно найти один какой-либо интеграл этой системы,
такой, чтобы уравнения A54) и A55) были разрешимы отно-
относительно и р и q.
Мы знаем, что система A59) имеет очевидный интеграл
F = С. Наличие этого интеграла может облегчить нахождение
другого интеграла системы. При этом мы можем пользоваться
не только указанным интегралом, но и просто соотношением
F = 0.
Если уравнение A54) не содержит искомой функции и, т. е.
имеет вид F(x7y, p, q) = 0> то мы можем искать интеграл также
независящим от и:
Ф(х, У у Р, q) = a.
Условие A57) при этом запишется в виде
Fv, Fx
ФУ
= 0,
A60)

20)
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
63
или, в раскрытом виде
(FPOX - FXQ)P)
- 0,
что приведет к разысканию интеграла системы
dx dy 	 dp 	 dq
P ~~ Q "~ — X ~ — Y '
A61)
Выражение, стоящее в левой части формулы A60), назы-
называется обычно скобкой Пуассона функций F и Ф и обозначается
символом (F, Ф). Выражение, стоящее в левой части формулы
A57), называется скобкой Майера функций F и Ф и обозна-
обозначается символом* [/% Ф]. Если мы введем условное обозначение
для любой функции со, зависящей от переменных (а;, уу а, р, q),
-а именно, положим
d®	.	du>	.
-gj = юх + сомр; — = <йу + соы4,
то скобка Майера может быть записана в виде
[Л Ф] =
фя
dF
dx
dO
dx
Fa,
dF
dy
d<&
dy
A62)
Говорят, что две функции F и Ф находятся в инволюции, если
они обращают в нуль скобку Пуассона или скобку Майера.
В первом случае эти функции должны быть функциями от пере-
переменных (х, у, р, q), а во втором случае к этим аргументам до-
добавляется еще и. Сущность метода Лагранжа — Шарпи состоит,
таким образом, в подыскании такого интеграла системы A59)
или A61), который находился бы в инволюции с /\
Отметим одно обстоятельство, которое бросается в глаза при
сравнении методов Коши и Лагранжа. При применении метода
Коши% мы должны находить все интегралы системы A59), а в
методе Лагранжа — Шарпи мы должны найти только один ин-
интеграл этой системы. Но, имея полный интеграл уравнения
A54), который затем получится из метода Лагранжа — Шарпи,
мы сможем вполне проинтегрировать систему A59).
20. Системы линейных уравнений. Для обобщения метода Лагранжа —
Шарпи на случай любого числа независимых переменных нам надо предвари-
предварительно рассмотреть вопрос об интегрировании системы линейных однородных
уравнений с одной искомой функцией Рассмотрим такую систему, содержа-
содержащую m уравнений*
=0,
0,
A63)
Xm (и) = ampi + am2p2 + ¦.. +
0,

64 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[2о
где Рь~их ^ коэффициенты aik мы считаем непрерывными и непрерывно
дифференцируемыми функциями независимых переменных xs и через Хк(и)
обозначили для краткости левую часть k-то уравнения. Ставится вопрос об
отыскании функции ы, которая удовлетворяла бы одновременно всем уравне-
уравнениям системы A63). Говоря о решении системы A63), мы исключаем очевид-
очевидное решение и = const, которое для нас не имеет интереса. Мы предпола-
предполагаем, что уравнения A63) линейно-независимы, т.е. что не существует мно-
множителей Xk, которые могут быть функциями х$, таких, что среди них есть
отличные от нуля, и имеет место соотношение
тождественное относительно xs в некоторой области изменения этих перемен-
переменных и р3. Если бы такие множители существовали и хоть один из них был
отличным от нуля, то левая часть одного из уравнений A63) выражалась
бы линейно через левые части остальных уравнений. Это уравнение было бы
следствием остальных, и мы могли бы его вычеркнуть. Положим, что т ^ п,
и рассмотрим первые п уравнений системы. Поскольку эти уравнения линей-
линейно-независимы, определитель, составленный из и* коэффициентов, должен
быть отличным от нуля Но тогда однородная относительно ps система имеет
только йулевое решение pi ==... = рп = 0, откуда следует, что и = const,
т.е. при т^п система не имеет решений (кроме очевидного). Мы будем
таким образом в дальнейшем предполагать, что m < п.
Мы можем образовать новые линейные однородные уравнения, которые
являются следствием уравнений A63), но могут оказаться линейно-независи-
линейно-независимыми с уравнениями A63). Предварительно установим ряд элементарных
тождеств Если Mi и иг — любые две функции независимых переменных
Хи . • , хп, мы имеем следующие два очевидных тождества:
Xk(ux + Ui)~Xh(ux) + Xh{ut)\ Xk(uxu2) = u{Xk(u2) + u2Xk(ux). A64)
Заменим в выражении Xi(u) функцию и левой частью ?-го уравнения, т.е.
выражением Хь{и). Принимая во внимание A64), мы получим
Xt (Xk (и)) = Д Xt (aks) uXs + X aksX{ (в,Д
и совершенно так же
х* (х, («)) = S *k Ы «,, + Z я, А («*,>
Далее, очевидно, можно написать, пользуясь производными второго порядка
функции и:
п	п	п	п
z *ы*1 еч)=z % s %«*л=s z i «««*.«,,*,
н последнее выражение не меняется при перестановке значков i и ?, т. е
п	-п
и мы получаем следующую формулу:
h (Хк («)) " ** (*( («)) = Z [Xt («ь) - Хк (ais)]u	A66)
1	*	*

20J	СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	G6
правая часть которой представляет собой линейную однородную функцию от
ps = ux с коэффициентами, зависящими от х*. Распространим понятие ско-
скобок Пуассона на случай любого числа независимых переменных. Если ф и
i|) — любые функции переменных хи ..., хп и ри .<., Рп, то мы определяем,
по аналогии с прежним определением, скобку Пуассона этих двух функций
следующим равенством:
Положим в этой формуле ф = Xt(u) и ф = Хь(и). При этом
п
да,	уг^ да.
s-l
Подставляя это в правую часть формулы A66), получим
п / п	п	л \
{Xl {и), xk с.» - ц Е *« -й? - Е e« -nf) '*
или что то же
(X, (и), X, («)) = |]-[Х, (eAt) - X, (а,,)] р,
Сравнивая с правой частью формулы A65), мы приходим к важному тожде-
тождеству
Xt (Xk (и)) - ** (Х{ (и)) = (Xt (и), Xk (и)).	A67)
Если к удовлетворяет всем уравнениям системы A63), т е.
Xi(u) г 0 (/= 1, ..., /и),
то эта функция должна удовлетворять и линейному однородному уравн^г:ию
) = Q	A68)
при любом выборе значков / и k. Придавая значкам всевозможные значения,
мы составим таким образом —^—^	 новых линейных однородных урав-
уравнений, которые являются, в указанном смысле, следствием системы A63),
Некоторые из этих новых уравнений могут превратиться в тождество, т. е»
все их коэффициенты при р* могут оказаться равными нулю. Непревратив*
шиеся в тождество новые уравнения будем присоединять в некотором опре-
определенном порядке к уравнениям системы A63), испытывая каждый раз, но
является ли присоединяемое уравнение линейной комбинацией уже имею-
имеющихся уравнений Если это так, то такое уравнение мы, конечно, не будем
присоединять. Проделывая это со всеми уравнениями, мы получим новую
систему, в которой число уравнений может оказаться бблыним, чем т Для
новой системы будем опять составлять скобки Пуассона из левых частей, не
повторяя, конечно, тех скобок Пуассона, которые мы уже составляли для
исходной системы. Полученные новые уравнения будем, как и выше, присо-
присоединять к системе. Продолжая этот прием, мы можем иметь два различных
случая. Может случиться, что мы придем к такой системе, в которой число
уравнений будет равно п. Такая система имеет только тривиальное решение

66 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [21
и = const, а следовательно, и первоначальная наша система имеет только
тривиальное решение. Вторая возможность состоит в том, что мы придем
к такой системе с числом уравнений, меньшим, чем я, для которой все новые
уравнения, получаемые при помощи скобок Пуассона, оказываются линей*
ными комбинациями уравнений самой системы. Такая система называется
полной. Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что наша пер-
первоначальная система или имеет только тривиальное решение, или равносильна
некоторой полной системе, и мы приходим, таким образом, к задаче интегри-
интегрирования полной системы. Будем предполагать, что наша первоначально напи-
написанная система A63) является уже полной, т.е. всевозможные скобки Пуас-
Пуассона (Xt(u)t Xk(u)) суть линейные комбинации левых частей уравнений
(Xi (и), Xk (и)) - § № k)Xi W>	<169>
где коэффициенты р(/' ® суть функции Xk, или эти скобки обращаются тож-
тождественно в нуль.
21. Полные и якобиевы системы. Выясним некоторые основные свойства
полных систем. Введем вместо Xk новые независимые переменные
У*в<Р*(*1» ••" хп) (k=== *' 2» •••» я)'
Причем мы считаем, что написанное преобразование разрешимо относительно
%k. В новых независимых переменных система A63) будет иметь вид
где, согласно правилу дифференцирования сложных функций,
«/•??-*/(">	A70)
При любом выборе функций и мы имеем Y,(m)=s X,(u), причем правая часть
выражена через независимые переменные Xk, а левая —через независимые пе*
ремениые */*. Следовательно, при любых значках / и k
Xi(Xk(u))^Yt(Yk(u))
Хг (Xk (и)) - Xk (Xt (и)) - Yt (Yk («)) - Yk (У i («)).
Принимая во внимание A67) и A69), мы можем написать:
Yt (Yk (и)) - Yk (Y. (и)) = ? y(/' k)Yt {u)9
где коэффициенты у? fe) получаются из коэффициентов р^' fe) простым пере-
переходом к новым независимым переменным. Мы видим, таким образом, что
если первоначальная система была полной, то и новая система, полученная
в результате любой замены независимых переменных, также будет полной.
Выясним теперь второе свойство полных систем. Составим m линейных
комбинаций левых частей уравнений A63):
2; (и) - dnXx («)+... + dJmXm (и) (/ - 1, ..., m),
причем коэффициенты d}t считаются зависящими от ** и определитель, со-
составленный из этих коэффициентов, считается отличным от нуля» При этих
предположениях система уравнений
*i<«)-0 (/-1,2, ..., m)	A71)

223	ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ СИСТЕМ	67
будет, очевидно, равносильна системе A63). Б>*дем называть новую систему
эквивалентной системе A63). Покажем, что если первоначальная система
была полной, то и любая эквивалентная ей система будет полной. Действи-
Действительно, скобка Пуассона (Zi(u), Zk(u)) будет представлять собою сумму
выражений вида
dx (V(» V (dx <»
или, в силу A64), сумму выражений вида
dip iXp (dk4) Хя («> + dHXp (Xq («»] ~ dkq Iх „ (dtP) ХР («) +
+ dipXq (ХР W)] = diPXP idkq) Х„ («) ~ dk/q (diP) XP
Принимая во внимание, что все выражения Xp(Xq(u))—Xq(Xp(u)) суть ли-
линейные комбинации Х,(и), мы видим, что и скобка Пуассона (Zi(u)} Zk(u))
выражается линейно через Xj(u), а следовательно, и через Z}(u), что и до-
доказывает полноту системы A71). Введем теперь новое понятие, которое яв-
является частным случаем понятия полноты, а именно: мы будем называть си-
систему A63) якобиевой системой, если для нее все скобки Пуассона (Х*(м),
Xk(u)) обращаются тождественно в нуль, т.е. если в этих скобках все коэф-
коэффициенты при ps равны тождественно нулю. Нетрудно при помощи элемен-
элементарных алгебраических операций преобразовать полную систему в якобиеву.
Действительно, рассмотрим первоначальную систему A63), которую мы счи-
считаем полной. Поскольку уравнения этой системы линейно-независимы, таблица
ее коэффициентов имеет ранг га, и мы можем решить уравнения системы от-
относительно пг из величин ps. He ограничивая общности, мы можем считать,
что уравнения системы разрешимы относительно ри ..., Рт, т. е. вместо си-
системы A63) мы можем написать эквивалентную ей систему вида
Р\ + ci, m+iPm+i + .• • + с\,п Рп =0,
р2 + ^2, m+iPm+i + •»• + С2,п Рп ==0>	A72)
Рт + Сг
Эта система, по доказанному выше, должна быть полной. Покажем, что она
будет и якобиевой. Обозначим, по-прежнему, через Xt(u) левые части уравне-
уравнений написанной системы. Мы должны показать, что в формуле A69) все
коэффициенты pj равны тождественно нулю. Из вида системы A72) и
определения скобок Пуассона непосредственно следует, что выражение, стоя-
стоящее в левой части A69), не содержит ps при s ^ m, а в правой части коэф-
коэффициент при ps (s ^ m) равен, очевидно, f^1' k). Отсюда и вытекает непо-
непосредственно, что все коэффициенты р^' ' должны быть равны нулю, т. е.
система A72) действительно является якобиевой. Заметим, что не всякая
якобиева система должна обязательно иметь вид A72), но, в силу доказан-
доказанного выше, при приведении полной системы к виду A72) она оказывается
якобиевой.
22. Интегрирование полных систем. Вместо того чтобы интегрировать
полную систему A63), мы можем интегрировать равносильную ей якобиеву
систему A72).
Рассмотрим первое из уравнений этой системы и соответствующую ему
систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
dxx __ dx2 __ _ dxm __ dxm+x __ __ dxn
1	0 §if 0	0

68	ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 122
Эта система должна иметь (п— 1) независимых интегралов
ф2 {хи ¦.., хп) = С2;...; фп (хи ..., лгп) = Сп,
причем левые части написанных уравнений должны быть решениями первого
из уравнений A72). Заметим, что мы можем непосредственно написать
(т — 1) интегралов, а именно:
х2 = const;...; хт = const,
введем (п—1) новых переменных:
У в = Ф* (*ь ..., хп) (s = 2, ..., л).	A73)
В силу независимости интегралов, написанные уравнения должны быть
разрешимы относительно (п—1) из переменных хм, и мы можем выбрать
функцию (pi(*i, ..., хп) так, чтебы полная замена переменных
ys = q>s(xu ..., хп) (s=l, 2, ..., п)
была разрешима относительно всех переменных xk. Если, например, уравнения
{173) разрешимы относительно *i, ..., хп-\, то нам достаточно взять
ф! = хп. Преобразуем систему A72) к новым независимым переменным.
Пользуясь формулой A70), а также, тем обстоятельством, что фг, ..., Ф*
суть решения первого из уравнений A72), мы убеждаемся в том, что первое
из написанных уравнений приведется к виду -^— = 0. Пользуясь этим урав*
&У\
ди
пением, мы можем зачеркнуть все члены, содержащие -*—, в остальных
(пг—1) уравнениях и, в силу линейной независимости уравнений, можем
ди
решить эти уравнения относительно некоторых (т— 1) из производных-^—.
oys
Не ограничивая общности, можно считать, что мы можем решить оставшиеся
ди	ди „
уравнения относительно -^—, ..., -^—» Таким образом, преобразованная
система будет иметь вид
ди
0 074)
ди ,	, , ди
Первоначальная система была якобиевой и, следовательно, полной, а по-
потому и преобразованная должна быть полной. Но поскольку она разрешена
относительно производных, она должна быть и якобиевой. Отметим, между
прочим, что из рассуждений [21] непосредственно вытекает, что преобразо-
преобразование якобиевой системы к новым независимым переменным приводит также
к якобиевой системе.
Первое из уравнений A74) показывает, что функция и не должна зави-
зависеть от у\. Докажем, что коэффициенты в остальных уравнениях системы
(J74) не содержат у\. Действительно, всякое выражение:
дкл мЛ.\ ди	dhin ди
у, (у, («» - у, <у, (и» - _jjja±» —+ ... + п ,
Оу\ @Ут+\	®у\ ОУп
должно обращаться тождественно в нуль в силу того, что система A74)
якобиева, что и доказывает высказанное выше утверждение. Мы можем,

23]	СКОБКИ ПУАССОНА	69
таким образом, в системе A74) откинуть первое уравнение и интегрировать
остальные в предположении, что и не^ зависит от у\. Мы приходим, таким
образом, к замкнутой системе (т—1) уравнений с (п— 1) независимыми
переменными. Проделывая с этой системой указанную выше операцию, мы
придем к замкнутой системе (т—2) уравнений с (п — 2) независимыми
переменными и т. д. Окончательно мы придем к одному уравнению для
функции и от (п — т + 1) независимых переменных. Обозначая эти перемен-
переменные опять через у и ..., уп-т+и мы будем иметь, таким образом, уравнение
вида
ди , ди ,	,	ди	Л
C*/i	Oy2	ОУп-т+\
где независимые переменные yj являются функциями первоначальных незави-
независимых переменных хи ..., *Л. Соответствующая последнему уравнению систе-
система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь (п — т) незави-
независимых интегралов:
% (У\> .. • > Уп-т-ы) = ^1; .-•; 'Фя-т (*/ь .. • > Уп-m + i) ~?п-т*
и общее решение этого уравнения представится в виде
в-TWi	 «я-m),
где Ч1" — произвольная функция. Эта же формула дает и общее решение пер-
первоначальной системы A63).
23» Скобки Пуассона. Мы используем полученные впше результаты для
построения метода нахождения полного интеграла нелинейного уравнения
первого порядка в случае любою числа независимых переменных. Предвари-
Предварительно нам надо будет рассмотреть, как и в случае двух независимых пере"
менных, одну вспомогательную задачу. Пусть требуется определить функцию
и(Х[, ..., Хп), если заданы ее частные производные как функции независимых
переменных **:
Pk = Pk(xi> •••> хп) (* = 1>2> •••• п).	A75)
Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от
порядка, мы видим, что функции A75) должны удовлетворять следующим
п(п— 1) : 2 соотношениям:
dPj(xl	*g) ^ д»к(хУ ¦•- Хп)
dxk	dxt
Эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для определе-
определения функции и. Мы это доказывали раньше для случаев п = 2 и п = 3
[II; 76]. Обобщая формулу Стокса на случай «-мерного пространства, мы
обнаружим, как и в случае п = 3, что при выполнении условий A76) криво-
криволинейный интеграл
(x	хп) п
dxs
не зависит от пути и дает функцию и, имеющую частные производные A75).
Можно доказать достаточность условий A76) в общем случае, применяя
метод полной индукции. Будем считать, что достаточность условий A76) до-
доказана в случае (л — 1) независимых переменных,и докажем, что тогда это
же утверждение будет справедливо и для п переменных. Итак, положим, что
функции A75) удовлетворяют соотношениям A76). Принимая во внимание,
что мы считаем доказанным наше утверждение для (п— 1) независимых
переменных, можем^ пользуясь первыми (/г —1) из функций A75), построить

70 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [23
функцию и независимых переменных (*t, ,.., xn-i), имеющую частные про-
производные их.юPk(xv •••» хп) (^ваЬ 2, ••*, я— 1). Эта функция будет со*
держать хп в качестве параметра, ибо эта переменная входит в р*. Кроме
того, мы можем добавить к функции и произвольную постоянную, которую
можем считать функцией параметра хп.
Таким образом мы получим функцию
U {X{t ott, %n—U Хп) -f* С \Xfijt
которая удовлетворяет (я— 1) условиям
uXksssPk(xv •••• *п) (Ь—\, 2, .... я— 1).
Остается еще подобрать с(хп) так, чтобы удовлетворялось условие
и* WBZPn(x\	хЛ что приводит нас к уравнению
*П	га \ »	п/
dc (xn) = (х	х ) — и
dxn РпКХи •••» Хп) иХп>
и нам остается убедиться в том, что правая часть написанного уравнения
содержит только хп. Дифференцируя по Хн при Л<л и принимая во внима*
ние A76) и то, что и„ =Ри, мы получим
д2и	др„ д { ди .
ди \
дхи дх дх. дх. дх \ дх. ) дхи дх
«(то и требовалось доказать.
Положим теперь, что частные производные pk определены неявным обра-
образом при помощи п уравнений:
Fs (xi> •••> хп> Ри •••» Pn)~as (s88^ 2, •.., n),	A77)
которые мы считаем разрешимыми относительно р*. Докажем, что для того
чтобы рл, определяемые из уравнений A77), удовлетворяли соотношениям
A76), необходимо и достаточно, чтобы все скобки Пуассона из левых частей
равенств A77) обращались тождественно в нуль, т.е. мы должны иметь
я (п — 1)
следующие 	~	тождеств относительно xi и рг.
A78)
sl
При этом мы предполагаем, что в уравнениях A77) правые части суть про-
произвольные постоянные.
Возьмем два из уравнений A77) и продифференцируем их по незави«
симому переменному xs:
dxs Ч-Zi dp, dxs -"> dxs +L dPi dxs
Умножая первое из этих уравнений на -^-^9 второе на -д-1-, вычитая
ops	ops
из второго первое и суммируя по 5, мы получим
(F,,Fk)+f yp.p-p.-Y fPpp-0.
"' jLj Z-j dp, др. dxs La Lj др. дра dxs

23]	СКОБКИ ПУАССОНА	71
Меняя во второй сумме обозначение переменных суммирования, мы можем
переписать последнюю формулу в виде
* "	др. д
Если pk удовлетворяет соотношениям A76), то из последней формулы не-
непосредственно вытекает, что должны быть выполнены при любых значках
тождества A78). Положим теперь наоборот, что выполнены тождества A78),
и докажем, что pk, определяемые формулами A77), должны удовлетворять
соотношениям A76). Если тождества A78) выполнены, то формула A79)
переписывается в виде
у у k {( pi рЛ=о
Zi Lj dPj dps \ dxs dXj )
причем мы можем придавать любые значения значкам i и к. Придавая
значку к значения к — 1, 2, ..., п, мы получим п равенств, которые можем
рассматривать как п однородных уравнений относительно п величин
A80)
Определитель этой однородной системы представляет собою функциональный
определитель от функций Fs по переменным ps> и мы считаем его отличным
от нуля [система A77) разрешима относительно ps]. Следовательно, мы мо-
можем утверждать, что величины A80) должны равняться нулю. Фиксируя
значок / и придавая i значения i = 1, 2, ..., /г, мы получим, таким образом,
опять однородную систему относительно величин
определитель которой опять представляет собою функциональный определи-
определитель от Fs no ps. Отсюда непосредственно вытекает, что все величины A81)
должны обращаться в нуль, что мы и хотели доказать. Итак, для того чтобы
система A77) определяла pk, которые являются частными производными не-
некоторой функции иу необходимо и достаточно, чтобы функции Fi находились
попарно в инволюции. Мы предполагали, что правые части уравнений A77)
суть произвольные постоянные, и, в связи с этим, было необходимо требовать,
чтобы соотношения A78) выполнялись тождественно. Если мы фиксируем
значение некоторых из этих постоянных, то достаточно потребовать, чтобы
соотношения A78) выполнялись в силу полученных таким образом уравнений.
Отметим еще некоторые элементарные свойства скобок Пуассона. Если ср
и i|) — две какие-либо функции переменных Xk и Pk и а и Ь — числа, то из
определения скобок Пуассона непосредственно вытекают следующие соот-
соотношения:
(Ф, ф) = 0; (ф, ф) = ~ (ф, -ф); @, ф)=0; (аф, 6ф) = аб (ф,-ф).
Пусть со — еще некоторая функция упомянутых выше переменных. Имеет
место следующее тождество:
((Ф, г[>), со) + ((ф, Q), ф) + (К Ф), ф) = 0,	A82)
которое называется обычно тождеством Пуассона. Написанное тождество
содержит двойные скобки Пуассона. Для составления первого слагаемого в

72	ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ {24
написанной формуле мы должны составить скобку Пуассона (<р, ф) и затем,
пользуясь полученной таким образом функцией, составить скобку ((срС г|^, со).
Чтобы проверить тождество A82), заметим прежде всего, что каждое из
слагаемых этого тождества содержит производные первого порядка. Ввиду
симметрии написанного тождества относительно всех трех функций, а также
относительно переменных Xk и р*, чтобы проверить написанное -Тождество,
нам достаточно убедиться, что в левой части сократятся все члены, содержа-
содержала)
щие ¦¦г . Пользуясь определением скобок Пуассона, мы убеждаемся в том,
что коэфс] пциент при ¦ ^ в левой части тождества будет
п
ф \ д(д д
d	д dj
dxk ) dxs dxs { дхк ) dps
_
t dxs дх$ dp
_ V Г д ( д<° Ч дЪ _ _?_ ( d(S> \ дф 1
L [ d { dx ) dx dx { дх ) dp \-
Производя дифференцирование, мы без труда убедимся в том, что этот
коэффициент действительно равен нулю
24. Метод Якоби. Переходим теперь к изложению обобщения метода
Лагранжа — Шарпи, а именно к решению задачи о разыскании полного ин-
интеграла уравнения первою порядка с любым числом независимых переменных,
причем мы будем считать, что это уравнение не содержит искомой функции,
т. е. что бно имеет вид
Fi (хи .... *л, Рь .... Р/г) = О.	A83)
Если нам удастся подобрать еще (п— 1) функций Fk так, чтобы получен-
полученные п функций были попарно в инволюции и чтобы они были разрешимы
относительно ри, то, взяв систему A77), в которой положим а4 = 0, мы най-
найдем pk, удовлетворяющие условиям A76), и, следовательно, будем иметь и.
Система A77) даст нам (п—1) произвольных постоянных, и затем еще одна
произвольная постоянная получится при определении и по ее частным произ-
производным Pk- Нахождение функций Fk можно производить постепенно. Поло-
Положим, что первые т функций Fi, F2, ..., Fm уже имеются, так что они по-
попарно находятся в инволюции и разрешимы относительно т из величин pk-
Для нахождения следующей функции Fm+i мы должны составить т урав-
уравнений	/
СР,,и)«О; {F2, «0-0; ...; (FOT>tt) = 0.	A84)
Это будут линейные однородные уравнения для искомой функции Fm+i от 2п
независимых переменных Xk и р*.
Выпишем в раскрытом веде систему для Fm+i:
А	, ди dFj ди \
-z	^-"^—1 = 0 (/«=1, ..., т).	A85)
dxk dp
\
1 = 0
Поскольку мы считаем F} разрешимым относительно т из величин р*, мы
должны считать, что некоторый определитель порядка т от функций Fj по

25] А	КАНОНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ	73
переменным pk отличен от нуля, и, следовательно, у системы A85) ранг
таблицы коэффициентов при производных будет равен т, т.е. уравнения A85)
наверное линейно-независимы Покажем, что эта система будет полной. Что-
Чтобы обнаружить это, составим разности AСС) для системы A84):
(Ррг Рф «)) ~ (/> (fy. «))•
Нам надо доказать, что они обращаются тождественно в нуль. Применяя
тождество A82), мы можем преобразовать написанную разность к виду
- ((Fq, u\ Fp) - ((«, Fp)t Fq) - ((/> Fq\ и).
Но функции Fp и Fq находятся в инволюции, откуда и вытекает непосред-
непосредственно равенство нулю рассматриваемой разности. Гаким образом, в силу
сказанного в [22], система A85) имеет 2п— т независимых решений. Мы
имеем очевидные решения этой системы
u — Fx\ u*~F2; ...; u~Fm.	A86)
Следовательно, кроме них должны существовать еще 2п —- 2т решений, кото-
которые совместно с решениями A86) должны быть разрешимы относительно
B/г — т) из переменных х* н pk Следовательно, у системы A85) наверное
найдется решение и = Fm+t такое, что уравнения Л = 0; Fг = аг\ .. ¦
...; Fm+i «ат+1 будут разрешимы относительно (т + 1) из величин р*.
Для нахождения следующей функции Fm+2 мы построим систему
(Flf и)~0; ...; (Fm+lf и) -0,
относительно которой можем провести те же рассуждения, что и для си-
системы A84). Таким образом мы построим все п функций таких, что они
будут попарно в инволюции, и система A77) (при at = 0) будет разрешима
относительно всех р*. Это и приведет нас, как мы видели выше, к полному
интегралу уравнения A83).
Мы предполагали, что уравнение не содержит искомой функции. Если
имеется уравнение, содержащее эту функцию:
F(xu ..., хп, и, ри ..., ря)=*0,
то мы можем, увеличивая число независимых переменных на единицу, прийти
. к уравнению, не содержащему искомой функции. Для этого достаточно искать
решение уравнения в неявном виде:
v(x\	хп, м)=»С,
где С — произвольная постоянная. Применяя правила дифференцирования не-
неявных функций, мы получим, как всегда, для v уравнение, уже не содержа-
содержащее самой функции.
25. Канонические системы.Установим связь предыдущих рассуждений с
системой-* Коши. Мы будем рассматривать тот случай, когда уравнение не
содержит искомой функции и разрешено относительно одной из производных.
Для симметрии введем (п + 1) независимых переменных и одну из этих пере-
переменных обозначим через t, а производную по ней — через ро = ut. Уравнение
будет иметь вид
po + H{t> *и ..., хп, ри .... Рп) = 0,	A87)
а соответствующая система Коши будет канонической системой [17]
dx.	dp.
Пусть
<P {t, *i, ..., %» pi, ..., рл) = С

74	ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[25
есть интеграл этой системы, т. е.
**k
v*k dt ^^Pk dt ) — "
в силу системы A88). Иначе мы можем написать последнее равенство в виде
| / TJ	\ 	 /ч	/ \ Q(\\
ф» -р \il , ф) ==:::; U,	AоУ)
Следовательно, для того чтобы функция ф давала интеграл системы, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению A89). Положим, что
функции ф и "ф дают два интеграла системы. Покажем, что и их скобка
Пуассона (ф, \f>) также дает интеграл системы (или обращается в постоян-
постоянную). Из определения скобки Пуассона непосредственно вытекает равенство
д
~Д~~ (ф, Ф) = (фу;, *Ф) + (ф, 1|) А.
Подставляя функцию со = (ф, \|)) вместо ф в соотношение A89), мы получим
Но поскольку ф и \|) суть интегралы, мы можем в последнем равенстве за-
заменить
ф, = -(#,ф); ч>, •=-(#,*).
и, таким образом, придем к соотношению
- ((Я. ф), ф) - (ф, (Я, if)) + (Я, (ф, *)) = 0,
которое выполняется тождественно, в силу A82). Таким образом, скобка
Пуассона из двух интегралов канонической системы есть также интеграл этой
системы или постоянная.
Положим теперь, что мы имеем п интегралов системы A88)
ф5(*> хи ..., xnt plt ..., pn) = as (s = l, 2, ..., л),	A90)
которые попарно находятся в инволюции и разрешимы относительно pk. При-
Присоединим к уравнениям A90) само дифференциальное уравнение A87) и
покажем, что полученные (я+1) функций находятся попарно в инволюции,
-если принять во внимание независимые переменные t, хь ..., хп и соответ-
соответствующие производные ро, ри •••» Р«- Функции A90) будут, очевидно, по-
попарно в инволюции и после присоединения новой независимой переменной t,
так как они вовсе не содержат ро. Достаточно проверить, что каждая из
функций A90) будет в инволюции с левой частью уравнения A87). Прирав-
Приравняв нулю соответствующую скобку Пуассона, мы придем как раз к равенству
которое наверное выполнено, так как функции A90) суть интегралы системы
A88). Принимая во внимание результаты из [24], мы можем утверждать,
что если мы решим уравнения A90) относительно pk F=1, ..., п) и
уравнение A87) относительно ро, подставив в функцию Н полученные выра-
выражения р^ то сумма
pidx{ + p2dx2+ ... + pndxn — H dt
будет полным дифференциалом некоторой функции v(t, xu *.., хп,
ui, ..«, cin). Она будет давать, очевидно, полный интеграл уравнения A87),

26}	ПРИМЕРЫ	75
Пользуясь теоремой Якоби, мы можем утверждать, что остальные п интегра-
интегралов канонической системы A90) могут быть получены простым дифференци-
дифференцированием, а именно —они определятся равенствами vakz=z^)k (^—l» •••» ")•
Изложение последних параграфов имеет формальный характер.
26. Примеры. 1. Рассмотрим систему двух линейных однородных урав-
уравнений
р2 + (*з*4 ~ х2) Ръ + (х\ХгХ* + х2 — ххх2)
=0, 1
= 0. J
Составляя скобку Пуассона из левых частей, получим еще одно уравне-
уравнение Хз = рз + XiPi = 0.
Скобки Пуассона (Хи X3) и (Х2, Хз) лишь множителем отличаются от
левой части последнего уравнения. Таким образом, мы имеем полную систему,
состоящую из трех уравнений. Решая ее относительно ри рг, рз, получим
якобиеву систему
Р\ + (*3 + 3*l) />4 в OS P2 + X2Pi = °J РЗ + ^1^4 = °-
Последнее уравнение имеет решения Хи х2 и Хь — XiXs. Вводим независимые
переменные хи х2, *з и / = jc4 — XtXa. Система перепишется в виде
ди , о о ^м	^а , ди л ди Л
l dt	дх	2 dt	дх
дх, г°л' dt -"' дх2 т~2 dt ' дхг
Первые два уравнения дают якобиеву систему с независимыми переменными
4
Хи #2, t. Второе из них имеет решения Xi и t	~-. Вводим новые независи-
независимые переменные хи х2 и т = t - —. Упомянутые уравнения перепишутся
в виде
ОХ\	С7Т
Первое из этих уравнений имеет решение
и = т — х\ или м = х4 -
и произвольная функция этого и является решением системы A91).
2. Найдем полный интеграл уравнения
F, = (Pl + х2J + (Xi + р2J - л:3рз == 0.	A92)
Уравнение (Fiy и) = 0 имеет вид
A93)
Это уравнение имеет очевидное решение и = Xi + рг. Полагаем
^2 = *1 + Р2 = а2.	A920
Присоединяем к уравнению A93) уравнение (F2, и) = 0, т, е,
ди ^ ди _
dpi дх%

76	ГЛ I ОБЩ4Я ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ f27
Эго уравнение и уравнение A93) имеют решение и — Хзрз, т е
^з = XzPi = az	A922)
Решлем A92), A92i) и A922) относительно ри Рг, Рг\
P^ — H + ^H — fy Pi=*4-*t ^з^"^"-
Восстанавливая функцию и по ее частным производным, получим полный
интеграл уравнения A92)
и = — Х[Х2 + V4t~~ п\ Х1 + а2*2 +• аЗ lg *3 + а«
27. Метод мажорантных рядов. При исследовании задачи
Коши мы предполагали данные и искомые функции веществен-
вещественными функциями вещественных независимых переменных, обла-
обладающими лишь некоторой гладкостью. В данном и следующих
двух пунктах мы докажем однозначную разрешимость задачи
Коши для уравнений и систем любого порядка, но в предполо-
предположении, что все входящие в задачу функции являются аналити-
аналитическими. Независимые переменные хи ..., хп по-прежиему бу-
будем считать вещественными, а данные и искомые функции могут
принимать и комплексные значения. Предварительно нам надо
будет изложить некоторые вспомогательные предложения.
Пусть имеется степенной ряд от т переменных
оо
w (у	у \_ у а	урх	~г>т A94)
сходящийся при соблюдении условий
UiKfli; ...; l^m|</?m.	A95)
Мы будем считать, что радиусы сходимости ряда A94) даже
несколько больше чисел Rk. Пусть М — наибольшее значение
модуля функции A94) при соблюдении условий A95). Мы ви-
видели, что степенной ряд, полученный от разложения функции
[Ш2; 84]
м
±1
rJ-'V Rm)
будет иметь все коэффициенты положительные и не меньшие,
чем модули коэффициентов ряда A94). Иначе говорят, что по-
последний ряд будет мажорантным для ряда A94).
Вообще мажорантным для ряда
называется ряд такого же вида, но коэффициенты которого не-
отрица!ельны( т. е. больше нуля или равны нулю) и не меньше,

27]	МЕТОД МАЖОРАНТНЫХ РЯДОВ	77
чем* модули соответствующих коэффициентов ряда A97). Как
известно, всякий степенной ряд сходится абсолютно внутри
своих кругов сходимости [НЬ; 84]. Если некоторый мажорант-
мажорантный ряд для ряда A97) сходится при \zk\<CPk (ft=l,2, ...
..., га), то мы можем, очевидно, утверждать, что и ряд A97)
сходится внутри кругов |2а|<р*. Считая в выражении A96)
все числа /?*> одинаковыми (можно заменить все Rk наимень-
наименьшим), рассмотрим две функции;
М	A98)
~	-ГТ--	A99)
R
Разложения этих функций в степенные ряды будут иметь соот-
соответственно вид
и, раскрывая (г] + • • • +2т)р, мы убеждаемся, что коэффи-
коэффициенты в разложении функции A99) не меньше соответствую-
соответствующих коэффициентов в разложении A98), т. е. функция A99)
(или соответствующий степенной ряд) также будет мажорант^
ной для функции A97) (т. е. для соответствующего степенного
ряда).
Метод мажорантных степенных рядов применяется для до-
доказательств существования решения дифференциальных урав-
уравнений в случае аналитических функций. Проведем соответствую-
соответствующее доказательство сначала для обыкновенного дифференциаль-
дифференциального уравнения первого порядка. Пусть имеется дифференциаль-
дифференциальное уравнение
g
правая часть которого представляет собою степенной ряд отно-
относительно х и у, сходящийся в окрестности х = у = 0, т. е.
? ^	B00)
р, <7=0
Ищется решение этого уравнения, регулярное в точке л: = 0 и
удовлетворяющее начальному условию
*/1,-о = О.	B01)

78 ГЛ I ОБЩАЯ Т11ОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ \27
Для построения искомого решения достаточно составить его ряд
Маклорена, т. е. вычислить значения производных при х = 0.
Свободный член этого ряда Маклорена дается начальным усло-
условием B01) и равен нулю. Значение первой производной при
х = 0 дается дифференциальным уравнением, и мы имеем
^о = яоо. Для определения второй производной дифференцируем
обе части уравнения по х:
Р> <jr-0
и подставляя в его правую часть х = 0; у = 0; у' = аоо, опреде-
определим значение второй производной при х = 0:
Продолжая поступать так и дальше, мы сможем определить
производные всех порядков при х = 0 и составить ряд Мак-
Маклорена
t/o + -^* + -|-*2+ ...	B02)
Из предыдущих вычислений вытекает, что может существовать
только одно регулярное решение, удовлетворяющее данному на-
начальному условию. Но для того, чтобы утверждать, что такое
решение действительно существует, нам надо доказать, что ряд
B02) имеет радиус сходимости, больший нуля. Заметим при
этом, что все предыдущие операции, которые мы проделывали
с рядами, законны в силу основных свойств степенных рядов
внутри их кругов сходимости. Если ряд B02) окажется сходя-
сходящимся, то из самого закона составления его коэффициентов не-
непосредственно вытекает, что его сумма удовлетворяет уравне-
уравнению B00).
Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, что
коэффициенты ряда B02) являются полиномами от аря с неот-
неотрицательными численными коэффициентами. Действительно, при
последовательном дифференцировании уравнения и подстановке
в правую часть уже найденных начальных значений производ-
производных нам приходится производить над коэффициентами только
действия сложения и умножения. Поэтому если мы ряд, стоя-
стоящий в правой части уравнения B00), заменим мажорантным
рядом, то и ряд B02) заменится мажорантным рядом. Если этот
мажорантный ряд окажется сходящимся при х, достаточно близ-
близких к нулю, то тем более будет сходящимся и сам ряд B02) для
уравнения B00). Основным моментом в дальнейшем доказа-
доказательстве будет тот факт, что при замене в правой части урав-
уравнения B00) ряда мажорантным рядом мы получим уравнение,

281	ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ	79
которое проинтегрируется в конечном виде. Положим, что ряд,
стоящий в правой части уравнения B00), сходится абсолютно и
равномерно при |л:|^:/? и |у|^/?, и пусть М — наибольшее
значение суммы этого ряда при указанных условиях. Переходя
к мажорантному ряду, мы получим дифференциальное урав-
уравнение
аУ	М		/903)
л~(-т)(-*Г
в котором переменные разделяются:
Интегрируя и принимая во внимание B01), получим
откуда
+2Mlg(l --?-),	B04)
причем значение радикала надо брать равным единице при
х = 0, т. е. таким, чтобы удовлетворялось начальное условие
B01). Функция B04) является регулярной функцией в точке
х = 0 и, следовательно, разлагается в степенной ряд.
Коэффициенты этого ряда очевидно совпадают с теми коэф-
коэффициентами, которые получаются указанным выше процессом
из уравнения B03) его почленным дифференцированием. Таким
образом, для мажорантного уравнения ряд B02) оказывается
сходящимся в окрестности х = 0. Тем более он будет сходя-
сходящимся, как мы видели выше, и для основного уравнения. Этим
доказана не только единственность, но и существование регу-
регулярного решения уравнения B00), удовлетворяющего началь-
начальному условию B01).
28. Теорема Ковалевской. Указанный выше метод мажо-
мажорантных рядов или функций применим и для доказательства
существования и единственности решения задачи Коши для
уравнений с частными производными. При этом мы будем брать
всегда дифференциальные уравнения в разрешенной форме.
Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка
P\ = f{x\, ...» хп, и, р2, ..., рп)>	B05)
где / — регулярная функция в точке
х1= ... =*й = 0; и = и<\ />2 = /f; ...; Рп=Р{?, B06)

80	ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [28
причем без ограничения общности мы приняли начальные зна-
значения независимых переменных равными нулю. Ищется решение
уравнения, удовлетворяющее следующему условию Коши;
и|,1вО = ф(*2. ..., хп).	B07)
При этом мы считаем, что функция <р(х2, ..., хп) регулярна
при нулевых значениях своих аргументов и, кроме того,
(ф)о = «@); (ф;Jo = pf ik = 2	п), . B08)
и значок нуль, поставленный снизу, будет указывать всегда на
то, что все аргументы функции заменены нулями. Прежде чем
переходить к решению этой задачи, мы при помощи элементар-
элементарной замены искомой функции упростим условия задачи, а имен-
именно введем вместо функции и новую искомую функцию и' по
формуле
и = и' + ф (х2, ..., хп) -f- Ax\,
где постоянная А представляет собою значение правой части
уравнения B05) при начальных значениях B06) аргументов,
тт. е., проще говоря, А есть свободный член в разложении правой
4асти уравнения B05) в соответствующий степенной ряд
л-/(о..,., о, (фH. (ф4, .... (фОЛ.
Новая искомая функция должна удовлетворять уравнению
<, = /'(*i. • • •' хп> и' + Ч> + Axv и'хг + Фх2	Кп + Ф*„) -
-/@	О- (Ф)о, (Фх2H. ...,(фОо). B09)
Wвместо начального условия B07) мы будем иметь начальное
условие
«'L-o = O-
Обратим внимание на аргументы функции, стоящей в правой
части уравнения B09). Аргумент и'~\-ц>-\-Ах\ становится рав-
равным (ф)о, если положить все xs = 0 и и' = 0. Точно так же каж-
каждый из аргументов фх + и'х становится равным (фх V, если
положить опять все х =0 и и' =0. Таким образом, аргументы
упомянутой функции при нулевых значениях xs, и', игх совпа-
совпадают как раз с начальными значениями' B08), при которых
функция / регулярна. Мы можем, таким образом, утверждать,
что правая часть уравнения B09) есть регулярная функция в
точке

28}	ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ	81
Кроме гого, принимая во внимание вычитаемое, стоящее в
правой части B09), мы можем утверждать, что эта правая часть
обращается в нуль при начальных значениях B10) аргументов.
Мы привели таким образом начальное значение Коши и все
начальные значения аргументов у функции, стоящей в правой
части уравнения, к нулю. Удерживая прежнее обозначение, мы
получаем, таким образом, следующую задачу: имеется диффе-
дифференциальное уравнение
P\ = f{xl, ...,чхп, иу р2, ..., рп)>	BП)
где / — регулярная функция в точке
Х{= ... =хп = и = р2= ... = рп = 0,
равная нулю в этой точке, и ищется решение этого уравнения,
удовлетворяющее условию
«U-o = O.	B12)
Заметим, что правая часть уравнения B11) должна разлагаться
в ряд вида
oo
B13)
сходящийся при всех значениях аргументов, достаточно близких
к нулю.
Совершенно так же, как в случае обыкновенного дифферен-
дифференциального уравнения, мы будем, пользуясь уравнением B11) и
начальным условием B12), вычислять коэффициенты ряда Мак-
лорена искомой функции иу т. е. значение всех частных произ-
производных при нулевых значениях аргументов. При дифференци-
дифференцировании по любому аргументу, кроме хи мы можем предвари-
предварительно положить х\ = 0.
Таким образом, начальное условие B12) показывает нам, что
0'
где <Xk — какие угодно целые неотрицательные числа. Будем те-
теперь вычислять начальные значения тех производных, в которые
входит дифференцирование по х\. Из уравнения B11) следует,
что

g2	ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [28
Дифференцируя обе части уравнения B11) любое число раз по
переменным х2, ..., хп и вводя затем нулевые значения аргу-
аргументов, мы в правой части будем иметь уже вычисленные зна-
значения производных B14) и B15) и таким образом определим
\дх1дх?...дхая"H
при любых неотрицательных значениях аг, -«., а«. Возьмем те-
теперь то уравнение, которое получится ич уравнения B11) путем
дифференцирования по х\9 и будем поступать с ним так же, как
мы поступали с основным уравнением. Это даст нам вполне
определенные значения для производных
\дх*дх?...дхап"H
Поступая так и дальше, мы можем вычислить любую частную
производную искомой функции при начальных значениях аргу-
аргументов и составить ряд Маклорена
f'* - +ЧЛ х..
|6)
Предыдущие рассуждения так же, как и в случае обыкновенного
дифференциального уравнения, доказывают единственность ре-
регулярного решения поставленной задачи Коши. Для доказатель-
доказательства существования нам надо обнаружить, что при подстановке
полученных начальных значений производных в ряд B16) он
сходится в некоторых кругах с центром в начале. Совершенно
так же, как и в предыдущем параграфе, можно утверждать, что
если мы заменим ряд B13) мажорантным рядом, и если для
полученного мажорантного уравнения составленный указанным
выше образом ряд B16) будет сходящимся, то тем более он
будет сходящимся и для первоначального уравнения. Положим,
что ряд B13) абсолютно и равномерно сходится при условии:
и пусть М — наибольшее значение модуля суммы этого ряда при
этих условиях. Функция
М	ья
будет мажорантной для B13), причем мы вычли в правой ча-
части предыдущей формулы число М, чтобы избавиться от сво-

28J	ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОЙ	83
бодного члена, который отсутствует и в ряде B13). Тем более
мажорантной для ряда B13) будет функция
М	-Г--М.
(\ Х[ + •" + *« + и ^ (\ Р2+ ... +Р
v	р	)v	r ;
Если мы разделим переменную Х\ на некоторое число а, удов-
удовлетворяющее условию 0<а<1, то различные степени этого
числа появятся в знаменателях коэффициентов членов, содер-
^жащих степени х\, и функция
м
¦-М
, Рг + ¦ ¦ ¦ + Рп
1	?
будет и подавно мажорантной для B13). Мы имеем, таким обра-
образом, мажорантное уравнение
^-+*2+ ... +Xn+U
М. B17)
Вычисляя коэффициенты Маклорена для решения этого урав-
уравнения, удовлетворяющего начальному условию B12), мы полу-
получим степенной ряд, обращающийся в нуль при xs = 0, и мажо-
мажорантный для ряда B16), составленного для уравнения B11),
Если этот ряд окажется сходящимся, то тем более будет схо«
диться ряд B16), составленный для уравнения B11). Мы
строим сейчас решение уравнения B17), которое удовлетворяет
не нулевому начальному условию, а условию
Ч1==0 = Ф(*2, ..., хп),	B18)
где "ф — степенной ряд с неотрицательными коэффициентами.
Последовательное вычисление коэффициентов Маклорена для
такого решения может быть произведено совершенно так же,
как и выше, но только начальное условие B18) приведет к тому,
что в правой части формул B14) при всех неотрицательных
значениях аи будут стоять уже не нули, а некоторые неотрица-
неотрицательные числа. Вычисление дальнейших коэффициентов произ^
водится, как и выше, и приводит к действиям сложения и умно*
жения над уже полученными неотрицательными коэффициент
тами и положительными коэффициентами в разложении правой
части уравнения B18). Таким образом, если мы для уравнения
B17) заменим нулевое начальное условие B12) начальным

84	ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ {28
условием B18), где \|? разлагается в ряд с вещественными неот-
неотрицательными коэффициентами, то ряд B16) для уравнения
B17) с начальным условием B18) будет мажорантным по от-
отношению к ряду B16) для уравнения B17) с нулевым началь-
начальным условием B12) и тем более мажорантным по отношению к
ряду B16) для уравнения B11) с начальным условием B12).
'Таким образом, все сводится к доказательству того, что ряд
B16) для уравнения B17) с каким-либо начальным условием
вида B18), где г|) обладает указанным выше свойством, будет
сходящимся внутри некоторых кругов с центром в начале.
Иначе говоря, все дело сводится к построению решения урав-
уравнения B17), удовлетворяющего условию вида B18), и к дока-
доказательству того, что это решение разлагается в ряд Маклорена,
если Xk достаточно близки к нулю. Будем искать такое решение,
как функцию только одного аргумента z=x\ + а(х2 + ... + хп).
При этом
du	du	,, о	ч
и, следовательно, уравнение B17) примет вид
du	М
_ =	J—-\
I JL_lfi (""Па du
V р A1 r 47
ИЛИ
(п— \)Мд-\ du (n—\)a(du\i_ M
R )~dl	R V7	Г
Будем считать, что число а взята настолько близким к нулю,
что коэффициент при -т— положителен. В правой части написан-
написанного равенства мы получим, разлагая по формуле прогрессии,
степенной ряд без свободного члена с положительными коэффи-
коэффициентами. Последнее уравнение может быть записано в виде
(du V n, du , , ч Л
где h > 0 и <р(г, и)—степенной ряд без свободного члена с по-
положительными коэффициентами. Решая относительно-—-, полу-
получим уравнение первого порядка
% и),	B19)

291	УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	85
причем радикал надо считать равным единице при 2 = а —0.
Разлагая по биному Ньютона, мы получим
_ * _l  <Р 2Л) ф2 , 2V2 0B 2) <р* ,
— "~« + ТГТ	21	"F"	3!	/г5 "Г ••"
и все коэффициенты при степенях ф(г, и) оказываются положи-
положительными. Переразлагая по степеням z и и, мы получим в пра-
правой части уравнения B19) степенной ряд ф^г, и) с положитель-
положительными коэффициентами и без свободного члена и придем к урав-
уравнению первого порядка
•5Г = ф1B, U).
Мы уже имели теорему о существовании регулярного реше-
решения такого уравнения, удовлетворяющего начальному условию
м|г==0:=0. Это решение будет представляться рядом
оо
и = Z ckzkt
все коэффициенты которого положительны. Если в написанном
разложении пбдетавить г = х\-\- а(хг+ ••• +*л). то полним
решение уравнения B17), представимое степенным рядом с по-
положительными коэффициентами. Это решение будет удовлетво-
удовлетворять, при Х\ = 0, некоторому начальному условию B18), где
*И^2, ...» Хп) — степенной ряд с положительными коэффициен-
коэффициентами. В силу сказанного выше, построение такого решения урав-
уравнения B16) доводит до конца доказательство существования
решения задачи Коши. Приведенное доказательство принадле-
принадлежит Гурса. Сама теорема называется обычно теоремой Ковалев-
Ковалевской, так как впервые в законченной форме ее доказательство
было дано С. В. Ковалевской.
Из приведенного выше доказательства следует, что радиусы
тех кругов для переменных х«, внутри которых установлена схо-
сходимость ряда B16), дающего решения задачи B11), B12), за-
зависят лишь от радиусов сходимости правой части уравнения
B13) и максимума модуля М этой правой части, но не зависят
от конкретного вида функции /. Для B05), B07) присоединяется
еще зависимость от радиусов сходимости и максимума модуля
функции ф(*2, ¦.., хп), входящей в условие B07). Аналогичное
замечание имеет место и для результатов следующего пара*
графа.
29. Уравнения, высших порядков. Указанный выше метод
применим почти без всяких изменений и для случая уравнений
высших порядков. Рассмотрим для примера уравнение второго

86 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[29
порядка с двумя независимыми переменными, разрешенное от-
относительно производной второго порядка по х:
r = f(x, у, и, p,q, s, t)
(р~-=их, q = uyi r = uxx, s = uxy, t = uyy).
Начальные данные JCoiuh в данном случае состоят в задании
и и р при начальном значении х:
Пусть ф(#) и ty{yL—функции, регулярные в точке у = 0. Обо-
Обозначим
и положим, что правая часть уравнения B20) есть регулярная
функция в точке
При этом уравнение ^220) имеет единственное регулярное реше-
решение, удовлетворяющее условиям Коши B21). Мы не будем про-
проводить доказательства этого утверждения, которое аналогично
предыдущему доказательству, и ограничимся лишь указанием
на возможность однозначного вычисления коэффициентов Мак-
лорена искомого решения. Начальные условия B21) дают нам
непосредственно значение производных
даи\	( дх+аи
при любых неотрицательных значениях а, т. е. начальные усло-
условия дают нам начальное значение самой функции и тех ее про-
производных, в которых дифференцирование по х совершается не
больше одного раза. Само уравнение даст нам после этого
Aт) •
V дх2 /о
Дифференцируя обе части уравнения B20) несколько раз по у,
мы получим значения
Дифференцируя обе части уравнения B20) по х и пользуясь
полученным уравнением совершенно так же, как это мы делали
только что с исходным уравнением B20), мы будем иметь зна-
значения

30]	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	87
Продолжая так и дальше, мы получим вполне однозначно все
коэффициенты Маклорена искомой функции.
Формулируем теперь теорему Ковалевской в самом общем
случае для систем уравнений любого порядка. Пусть имеется
система т уравнений относительно искомых функций пи . ••> wm
от независимых переменных хи -.., хп
л.
Правые части этих уравнений содержат независимые перемен-
переменные xs, функции Uk и их производные до порядка г*, причем в
эти правые части не должны входить производные——-, отно-
дхгк
сительно которых система разрешена. Начальные данные Коши
имеют при этом вид
дг»~1и	' Х"°	I <223)
rk~l
х*
Функции, стоящие в правых частях последних равенств, мы счи-
считаем регулярными при нулевых значениях аргументов. Вычислим
с помощью этих функций значения всех функций, входящих в
функции Ь(...) (Л=1, ...,'«;,в точке л: = @, ..., 0). Пред-
Предположим, что функции fk(...) (k= I, ..., m) регулярны в ок-
окрестности этих вычисленных значений их аргументов.
При выполнении всех перечисленных условий имеет место
теорема существования и единственности регулярного решения
системы B22) при начальных условиях B23).
Заметим, что можно построить всю теорию дифференциаль-
дифференциальных уравнений с частными производными, ограничиваясь рас-
рассмотрением одних аналитических функций. В дальнейшем при
рассмотрении уравнений высших порядков мы выясним недоста-
недостаточность такой точки зрения.
§ 2. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
30, Типы уравнений второго порядка. Изложение общей тео-
теории уравнений высших порядков мы начнем с исследования
линейных уравнений второго порядка. Пусть имеется линей-
линейное уравнение второго порядка для функции и независимых

88 ГЛ 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 130
переменных #i, «,,, хп\
А
uXk + c(x)u^0.	A)
Коэффициенты alk мы считаем заданными функциями незави-
независимых переменных xs и можем, очевидно, считать, принимая во
внимание независимость результата дифференцирования от по-
порядка, что aki «=» alk. Все функции и независимые переменные
мы считаем вещественными.
В основе общей теории лежит разделение уравнений на типы.
Для уравнений, принадлежащих к различным типам, совершен-
совершенно иначе ставятся основные задачи, употребляются различные
приемы решения задач, и функции, удовлетворяющие уравне-
уравнениям различных типов, обладают различными аналитическими
свойствами. В настоящем параграфе мы дадим 'Определения
основных типов для уравнений вида A). Для этого составим
квадратичную форму от вспомогательных переменных ?s:
Z alk\tU.	B)
Придавая переменным xs определенные значения xs = xf\ мы
будем иметь квадратичную форму с численными коэффициен-
коэффициентами. Если эта форма оказывается определенно положительной
или определенно отрицательной [HIi; 35], то говорят, что урав-
уравнение A) в упомянутой точке xs = xf) принадлежит эллипти-
эллиптическому типу. Далее, мы будем говорить, что уравнение принад-
принадлежит к эллиптическому типу в некоторой области D простран-
пространства (хь ..., хп), если во всех точках этой области оно принад-
принадлежит эллиптическому типу. Принадлежность к эллиптическому
типу характеризуется тем, что в каждой точке области D ква-
квадратичная форма B) при приведении ее к сумме квадратов
имеет все коэффициенты одного и того же знака, причем ни один
из этих коэффициентов не должен равняться нулю.
Далее, мы говорим, что уравнение A) в области D принад-
принадлежит гиперболическому типу, если квадратичная форма B)
при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты,
кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффи-
коэффициент— противоположного знака. Если среди упомянутых коэф-
коэффициентов нет равных нулю, и мы не имеем ни эллиптического,
ни гиперболического типа, то иногда говорят, что уравнение
принадлежит ультрагиперболическому типу. Если коэффициенты
йщ постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному
типу не зависит от значений независимых переменных. Простей*
шим уравнением эллиптического типа является уравнение Лап-

Щ\	ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	89
ласа; уравнением гиперболического типа является волновое
уравнение.
Принято, наконец, выделять из уравнений общего вида A)
еще один класс уравнений, называемых параболическими. Эти
уравнения определяются не только коэффициентами alk(x) при
старших членах, но и коэффициентами bt(x) при производных
иХг Для них квадратичная форма B) после приведения ее к
сумме квадратов должна иметь один коэффициент равным нулю,
а остальные — одного знака. Как будет показано в следующем
пункте, невырожденной линейной заменой независимых перемен-
переменных уравнение A) в фиксированной точке х — л:@) может быть
приведено к виду
Z К (х@)) UyiVt + ? b[ (*<°>) Uyt + с (jfi) и = 0.
Условие параболичности уравнения A) в точке х@) состоит
в том, что после такого приведения одно из М*(о)) (пусть для
определенности Хп(х{0))) равно нулю, остальные все положи-»
тельны или все отрицательны, а коэффициент Ь'п(х{0))у стоящий
при производной Uy , отличен от нуля. Простейшим представи-
представителем параболических уравнений является уравнение теплопро*
водности
t=l l *	п
Переменные xt, i= I, 2, ..., п—1, в нем обычно называют про-
пространственными, а переменную хп — временем.
Определенные нами классы (типы) уравнений не охваты-
охватывают всех уравнений вида A). Действительно, среди последних
имеются такие, для которых несколько коэффициентов Я*(х@))
обращаются в нуль. Если при этом соответствующие им Ь[{хЩ
не обращаются в нуль, то иногда говорят, что уравнение в точке
х@) ультрапараболическое или параболическое с несколькими
временами. В противном случае в уравнение вообще не войдут
производные по некоторым направлениям, и соответствующие
им ijt будут играть роль произвольных параметров. Мы не будем
рассматривать все возможные ситуации и ограничимся в даль-
дальнейшем изучением лишь тех случаев, когда уравнение во всей
интересующей нас области принадлежит одному из классиче-
классических типов: эллиптическому, гиперболическому или параболи-
параболическому.
Если коэффициенты уравнения A) содержат функцию и и
ее частные производные их , то мы можем говорить о типе
уравнения, лишь* фиксируя какое-либо решение и{0){хи ..., хп)
этого уравнения. Подставляя и = и{0) и uXi = uix)l в коэффи*

90 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [31
диенты, мы получим функции только от xSf и можем на основа-
основании вышесказанного решить вопрос о тийе уравнения для дан-
данного решения w@).
Если уравнение нелинейно:
F(X[, ..., ХЛ9 U, пХ{У ..., Uxn, Ux^f .... *Чл) = 0'
то для определения типа уравнения для данного решения и{0)
строят коэффициенты аьи по формулам
а
и затем определяют тип линейного уравнения.
31. Уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим
уравнение A) с постоянными коэффициентами аьн и выпишем
соответствующую квадратичную форму. Попытаемся при помо-
помощи линейного преобразования независимых переменных приве-
привести совокупность членов, содержащих вторые производные в
уравнении A), к простейшему виду. Итак, введем вместо xs но-
новые независимые переменные ys при помощи линейного преобра-
преобразования
Ук = Ск\*1+ ••• +скпхп (k = l, 2, ..., п),
причем мы считаем, конечно, что определитель, составленный
из коэффициентов этого преобразования, отличен от нуля. Про-
Производные по старым переменным выразятся через производные
по новым переменным по следующим формулам:
( Z	y8	к	S
S'aa 1	S, * •" 1
Подставляя в уравнение A), мы получим преобразованное урав-
уравнение вида
где новые коэффициенты а\к выражаются через старые, соглас-
согласно формулам
п
o>'lk= E ciscktast.	C)
s, t = l
Если мы, с другой стороны, в квадратичной форме B) вместо
переменных gs введем новые переменные r\s при помощи таб-
таблицы, транспонированной по отношению к таблице ctkt но толь-
только будем выражать при помощи этой таблицы старые перемен-

81]	УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ <	§1
ные через новые, т. е. положим
h = с^щ + . ¦. + cnkr\n (k = 1, ..., п),
то нетрудно проверить, что преобразованная квадратичная фор-
ма будет иметь как раз коэффициенты a'ik> определяемые фор*
мулами C), т. е,
п	п
Но, как мы знаем, всегда можно подобрать коэффициенты ci%
так, чтобы квадратичная форма B) привелась к сумме квадра-
квадратов, т. е.
или, иначе говоря, я^ = 0 при 1фк и afu = ^t. Знаки коэф-
коэффициентов h и определят тип уравнения. Сохраняя прежнее
обозначение для независимых переменных, мы получим преобра-
преобразованное уравнение вида
Если уравнение линейно и с постоянными коэффициентами не
только относительно производных второго порядка, то преобра-
преобразованное уравнение будет иметь вид
п	п
Yj kiUx.Xi + X b'itlx. + CU—f (хь .. . f Xn).	D)
Добавляя к независимым переменным xs подходящим образом
подобранный численный множитель, мы всегда можем достиг-
достигнуть того, чтобы коэффициенты А/, отличные от нуля,, были рав-
равны (+1) или (—1). Положим, что все А,* отличны от нуля, и по-
покажем, что в этом случае при помощи элементарного преобра-
преобразования функции и мы можем освободиться и от членов, содер-
содержащих первые производные, а именно введем вместо и новую
искомую функцию v по формуле
• A t
u = ve '-> <	E)
Подставляя в уравнение D), мы получим, как это нетрудно
проверить, уравнение вида
п
2j ^ivxtxj "Ь С\° === ' 1 (^1» • • •» Хп)'
Для уравнения эллиптического типа все ^ — одного знака, и

92	ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [32
умножая, если надо, обе части уравнения на (—1), мы можем
считать, что все %ь положительны. Вводя вместо xL новые неза-
независимые переменные х. = лД;А:*> мы освободимся от коэффи-
коэффициентов %i и, сохраняя прежние обозначения, можем утверж-
утверждать, что всякое линейное уравнение эллиптического типа с по-
постоянными коэффициентами может быть приведено к виду
Любое гиперболическое уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами приводится к виду
/7-1
Z Uxtxt — UXnxn + CU = f (Xiy . . . , Xn) •
а параболическое к виду
n-l
Z tlx,x, — UXn + CU = f (Xiy . . ., Xn)9
причем независимую переменную xn называют временем и обо-
обозначают через t.
32. Нормальные формы при двух независимых переменных.
В [31] мы показали, что в случае постоянных коэффициентов
мы можем совокупность членов уравнения, зависящих от произ-
производных второго порядка, привести при помощи линейного пре-
преобразования к некоторой нормальной форме. В случае перемен*
ных коэффициентов, зависящих от xs, мы не можем, конечно,
надеяться совершить такое преобразование к нормальной форме
пои помощи линейного преобразования переменных и должны
пользоваться более общими преобразованиями, но даже и при
этом мы сможем решить задачу лишь для случаях двух незави-
независимых переменных. Итак, рассмотрим уравнение второго по-
порядка с двумя независимыми переменными, линейное относи-
относительно производных второго порядка
я (*, У) ихх + 26 (х, у) иху + с{х, у)иуу+ ... = 0.	G)
Введем вместо (х, у) новые независимые переменные (g, ц):
6 = Ф (*,#); Л = Ф(*,0).	(8)
Производные по старым переменным выразятся через производ-
производные по новым переменным по формулам:
Uxx = Иц<? + 2«^Ф А + Um^l
иуу = Ч^у + Чч* А + и^1 + *Ы*уу + ип
) т* А

32] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	93
Подставляя в уравнение G), мы будем иметь преобразованное
уравнение
а' (I, ч) ик + 2Ь' (|, л) и1ц + с' (|, л) «вд + ... = О,
где
а' A> Л) = «Ф*
с' (S, Л) - ot« + ^ ^
6' A, т)) = аф^ + 6 (фД, + фД,) + сф„Ф„.
(9)
Непосредственной подстановкой проверяется следующее тож-
тождество:
а'с' - Ь'2 = {ас - б2) (Ф,1|>, - <?у$х)\	A0)
Нетрудно видеть, что знак разности ас — Ь2 определяет тип
уравнения G). Если ас — Ь2 < 0, то уравнение принадлежит ги-
гиперболическому типу, при ас — Ь2 > 0 — эллиптическому типу
и при ас — Ь2 = 0 — параболическому типу. В силу A0), преоб-
преобразование переменных не меняет знака упомянутой разности,
т. е. не меняет, естественно, типа уравнения.
В случае уравнений гиперболического типа с постоянными
коэффициентами, простейшая форма при двух независимых пе-
переменных имеет вид
иях-иУ9+ ... =0.	A1)
Вводя вместо (я, у) новые независимые переменные (?, т|):
g_ Х + У . „_ *-У	/io\
ъ— 2'*— 2*	\lZi)
мы придем для гиперболического типа к простейшей форме вида
ии+ ... =0.	A3)
Мы видим, таким образом, что для гиперболического типа, в
случае двух независимых переменных, мы можем брать простей-
простейшую форму вида A1) или A3). Эти уравнения легко могут
быть преобразованы одно в другое.
Вернемся к уравнению G) и положим, что в некоторой обла-
области D плоскости (х, у) уравнение G) принадлежит к гиперболи-
гиперболическому типу. Это значит, что при значениях (лг, у), лежащих в
Д квадратное уравнение
а(х, у)т2 + 2Ь(х, у)х + с(х, */) = 0	A4)
имеет различные, вещественные корни. При этом мы считаем,
что или а Ф 0, или сфО. Если бы а = с = 0, то уравнение G)
уже имело бы простейшую форму A3), Не нарушая общности,

94 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [32
мы можем, конечно, считать а Ф 0. Рассмотрим дифференциаль-
дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка:
а (*, у) и\ + 2Ъ (х, у) ихиу + с {х, у) и\ =» 0.	A5)
Обозначая через fi{x, у) и fa(x, у) корни уравнения A4), мы
видим, что уравнение A5) распадается на два уравнения
w* = M*. У)ии	A6i)
и
«* = Ы*> У)иу.	A62)
Если коэффициенты а, & и с, а тем самым и функции f\ и /2,
достаточно гладкие, то у написанных уравнений имеются ре-
решения с непрерывными производными до второго порядка в не-
некоторой части области D (ср. [2]). Решение уравнения A6i)
возьмем за <p(jc, у), а уравнения (I62) за ty(x, у) в преобразова-
преобразовании (8). Можно выбрать эти решения так, чтобы определитель
<p*i|v — cpytyx был отличным от нуля в упомянутой части D. Отме-
Отметим, что мы имеем
Ф* = fxVy'f tyx = /2^^»
откуда
4>х% — Ф^* «(/i — /2) Ф^, V	A7)
Из написанных формул следует, что если определитель в неко-
некоторой точке обращается в нуль, то в этой точке равны нулю
обе частные производные первого порядка от ф или г|). Таким
образом, надо строить такие решения уравнений A6i) и A6г),
у которых обе частные производные первого порядка одновре-
одновременно не равны нулю.
Функции ф и г|? удовлетворяют уравнению A5), и, в силу
(9), мы имеем а/ = с' = 0, и из формулы A0) вытекает Ь'Ф0>
так что уравнение G) приводится к виду A3).
Как мы видели в [2], решение уравнений A6i) и A62) имеет
локальный характер, т. е. мы можем построить решения этих
уравнений, отличные от постоянных лишь в некоторой области,
которая будет, вообще говоря, лишь частью области, где fk{x,y)
непрерывно дифференцируемы, и приведение уравнения G) к
нормальному виду будет иметь место лишь в упомянутой обла-
области. То же замечание о локальности приведения уравнений G)
к нормальной форме относится и к дальнейшему изложению.
Переходим к рассмотрению уравнения эллиптического типа.
При этом ас — Ъ2 > 0, и корни уравнения A4) — мнимые сопря-
сопряженные. Мы можем по-прежнему писать уравнение A5). Напи-
Напишем одно из уравнений A6)
Т2
•и»

32] НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПРИ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	95
где радикал берется, например, арифметическим. Считая коэф-
коэффициенты а, Ь и с аналитическими функциями х и у и а Ф О,
мы сможем найти решение этого уравнения в виде аналитиче-
аналитической функции [28]: w = qp(x, y) + ty(x, y)i> причем получим
Ь	<\/ас — Ь2 .	,	6 1 I л/ас — Ь2
Совершим теперь замену переменных (8). Пользуясь написан-
написанной системой для ф и г|), а также формулами (9), мы получим
и после деленияГна аг уравнение принимает вид
д2и д2и .	_0
Вместо формулы A7) будем иметь
Таким образом, задача решена и в случае эллиптического типа.
Решение этой задачи в целом при некоторых условиях на коэф-
коэффициенты а, 6, с, которые не считаются аналитическими, имеется
в работе: Веку а И. Н. Задача приведения к каноническому
виду дифференциальных форм эллиптического типа и обобщен-
обобщенная система Коши — Римана. — ДАН СССР, 1955, 100, № 2; см.
также его книгу: Обобщенные аналитические функции. — М:
Физматгиз, 1959.
Остается рассмотреть уравнение параболического типа.
В этом последнем случае уравнение A4) имеет равные корни,
и уравнение A5) приводит только к одному уравнению, т. е.
уравнения A6i) и A62) совпадают. За функцию ф(х, у) возь-
возьмем решение этого уравнения, а вторую функцию гр(л:, у) возь-
возьмем какой-нибудь, но такой, чтобы функциональный определи-
определитель ф и г|) был отличным от нуля. В силу выбора ф(х, у) мы
будем иметь в преобразованном уравнении а' = 0. Кроме того,
в силу того, что уравнение принадлежит параболическому типу,
мы должны иметь ас — Ь2 = 0, и формула A0) покажет нам,
что &/ = 0. Таким образом, в результате преобразования, мы
будем иметь а' = bf = 0. Функция с' не может обратиться тож-
тождественно в нуль, так как в противном случае мы получили бы
уравнение первого порядка, и обратное преобразование от
(|, ц) к (ху у) не могло бы нам дать уравнение второго поряд-
порядка G). Таким образом, в параболическом случае мы будем
иметь следующую каноническую форму:
ищ+ ... =0,	A9)

96	ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [33
где ненаписанные члены не содержат производных второго по-
порядка, но обязаны иметь член с производной первого порядка
по ?.
33. Задача Коши. Мы видели выше [29], что для уравнения
второго порядка
F(x, уу иу р, q, r, 5, /) = 0	B0)
данные Коши, в частном случае, могут состоять в задании
функции к и ее производной их = р при начальном значении
¦ °	«и = Ф(»); рЦ = ^A/).	B1)
Будем называть такие данные специальными данными Коши.
Эти начальные условия сводятся к тому, что вдоль линии х = х0
плоскости (я, у) задается значение искомой функции м и ее
частной производной р. Отметим при этом, что значения другой
частной производной первого порядка q \х=Хо = <р' (у) непосред-
непосредственно получаются из первого из условий B1). Таким образом,
согласно начальным данным, мы будем знать вдоль линии
х = х0 самую функцию и ее обе частные производные первого
порядка. Нетрудно представить себе более общие данные Коши.
Пусть на плоскости (х, у) имеется некоторая линия к, не пере-
пересекающая сама себя, и положим, что вдоль этой линии нам
заданы значения искомой функции и. Тем самым мы будем
знать вдоль линии к и производную от и по направлению, каса-
касательному к линии к. Для того, чтобы знать производную пер-
первого порядка по любому направлению, мы должны иметь еще
одно данное вдоль линии к, а именно нам должно быть задано
вдоль линии к значение производной от функции и по любому
направлению, отличному от направления, касательного к ?,.
Имея производные по двум направлениям плЬскости (х, у)
вдоль линии ку мы будем знать и производную по любому на-
направлению в этой плоскости вдоль к. Таким образом, в рассма-
рассматриваемом случае вдоль линии к нам должны быть заданы зна-
значения самой функции и ее производной по любому направлению,
t не касательному к к. Задание значений и вдоль линии к плоско-
плоскости (х, у) приводит нас к некоторой линии / в трехмерном про-
пространстве (х, у, и). Кроме того, нам известны вдоль к частные*
производные р и q. Таким образом, окончательно данные Коши
сводятся к заданию некоторой линии / трехмерного пространства
(х, (/, и) и к заданию вдоль этой линии положения касательной
плоскости. Пользуясь параметрическим представлением, мы мо-
можем изобразить эти общие данные Коши в следующем виде:
заданы пять функций от одного параметра
x(t), y(t), u(i), p(t), q(t)f	B2)

33J	ЗАДАЧА КОШИ	97
которые должны удовлетворять соотношению
du = pdx + q dy.	B3)
Последнее соотношение сводится к тому требованию, чтобы за-
задание обеих частных производных р и q вдоль к не противоре-
противоречило заданию самой функции и вдоль А,, т. е. чтобы производная
в направлении, касательном Я, вычисленная на основании дан-
данных р и q, имела бы те же самые значения, которые получаются
в силу задания самой функции и вдоль %. Пять функций B2),
удовлетворяющих соотношению B3), определяют полосу в трех-
трехмерном пространстве (х, у, и), и задача Коши состоит в разы-
разыскании интегральной поверхности уравнения B0), .содержащей
заданную полосу.
Аналогичным образом ставится в общем случае задача Коши
и для "функций от любого числа независимых переменных. Рас-
Рассмотрим, например, уравнение второго порядка с тремя незави^
симыми переменными
F(x{, х2, *3» и, uXlf uXiJ uXiy uXlXly uXlX2, ...) = 0.	B4)
Начальные данные Коши сводятся в данном случае к заданию
функции и 'и ее частных производных первого порядка на неко-
некоторой поверхности S трехмерного пространства (jci, х2у #з). Раз
заданы значения самой функции и на поверхности S, то для
определения всех ее частных производных первого порядка
вдоль S достаточно задать вдоль S производную по любому на-
направление, не лежащему лишь в касательной плоскости к по-
поверхности S. Если поверхность S, несущая начальные данные
Коши, есть плоскость х{ = х[°К то мы имеем специальную форму
начальных данных Коши
и\ (о = Ф (х2, дс3); tiXl | «»= г|) (лг2, *3).	B5)
В параметрической форме указанная выше задача Коши
дится к заданию семи функций от двух параметров
xi(t\> ^2)» #2(^1» h)i xz(h> h)> u{t\> t2),
U>Xi(t\> t2), tlX2(t[y t2), tlXi(tl, t2)
причем должно быть выполнено условие
du = uXl dx{ + иХг dx2 + uXi dx3.	B7)
Задание функций х\9 х% jc3 сводится к заданию поверхности,
а остальные данные — к заданию функции а и ее частных про-
производных первого порядка вдоль этой поверхности. Данные B6),
удовлетворяющие условию B7), называют обычно полосой

98	ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 134
или —более точно — полосой первого порядка в четырехмерном
пространстве (хи х2у х3, и), и задача Коши состоит в определе-
определении интегральной поверхности уравнения B4), содержащей за-
заданную полосу. В случае функции и от п независимых перемен-
переменных (х\, ..., хп) полоса задается в виде Bя+1) функций от
(п—1) параметров
XkVu ...» **-i)» ti(t\f'>tn-i)> tixk(tu ...>tn_x) (k=l, 2, ...,n),
причем эти функции должны удовлетворять соотношению
п
Если одной из независимых переменных является время t, и
поверхность, несущая начальные данные Коши, есть плоскость
/ = 0, то мы имеем обычную задачу математической физики ин-
интегрирования данного уравнения при заданных начальных усло-
условиях [II; 176].
Начальные данные Коши определяют функцию и и все ее
частные производные первого порядка на той линии или по-
поверхности, которая несет на себе начальные данные. Если мы
к начальным данным присоединим еще само дифференциальное
уравнение, то, как мы видели в [29], в случае специальных дан-
данных Коши мы сможем однозначно определять на указанной ли-
линии или поверхности и все производные второго порядка от
искомой функции. Мы будем называть данную полосу характе-
характеристической полосой, если данная полоса вместе с самим диф-
дифференциальным уравнением не приводит к однозначному опре-
определению производных второго порядка. В следующем парагра-
параграфе мы выясним этот вопрос подробно для случая квазилиней-
v ного уравнения с двумя независимыми переменными.
34. Характеристические полосы. Будем рассматривать урав-
уравнение вида
ar + 2bs + ct + h = 0,	B8)
в котором коэффициенты и свободный член суть заданные функ-
функции (х, у, и, р, q). Требуется найти интегральную поверхность
этого уравнения, содержащую заданную полосу:
х @, у (/)> и (/), р (О, Я (t) (du = pdx + q dy).	B9)
Мы имеем, очевидно,
dp — rdx~{-s dy] dq = s dx + t dy,
и, присоединяя еще само уравнение, мы будем иметь три урав-
уравнения первой степени для определения производных второго

34]
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОЛОСЫ
99
порядка от искомой функции на основной линии Я: x(t), y{t),
несущей на себе данные Коши:
dx • г + dy • s = dp, Л
dx-s + dyt = dq, f	C0)
ar + 265 + ct = — ft. J
В этой системе г, s, t являются искомыми, а все остальные ве-
величины, в силу B9), суть известные функции параметра t. Если
определитель написанной системы отличен от нуля, то мы полу-
получаем определенные значения для производных второго порядка.
Таким образом, необходимым и достаточным условием несов-
несовместимости или неопределенности задачи разыскания производ-
производных второго порядка является равенство
Д==
dx, dy, 0
0, dx, dy
a, 2b, С
или, в раскрытом виде
a dy2 — 2bdxdy
= 0,
dx2 = 0.
C1)
C2)
Найдем второе условие, которое бы гарантировало нам, что
задача именно неопределенна, т. е. которое гарантировало бы
нам, что система уравнений C1) имеет бесконечное множество
решений. Будем считать, что один из миноров второго порядка
определителя 'C1) отличен от нуля. Для определенности поло-
положим, что
В данном случае система C0) будет иметь один характеристи-
характеристический определитель [HIi; 9], и для того, чтобы она была не-
неопределенной, необходимо и достаточно к условию C1) доба-
добавить еще равенство нулю этого характеристического определи-
определителя [IIIi; 9]:
dx, dp, 0
0 dq, dy =0,
a, —h, с
или, в раскрытом виде:
adpdy -\- hdxdy
с dxdq = 0.
C3)
Вспоминая еще равенство B3), мы получаем окончательно сле-
следующие три равенства, которые вполне характеризуют характе-
характеристическую полосу, как такую полосу, вдоль которой опреде-
определение производных второго порядка из системы C0) приводит

100 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [35
к бесчисленному множеству ответов:
cdx2 = 0, }
C4)
du~ pdx + qdy.
Разберем отдельно случай специальных данных Коши:
Р\Х~ХС = Ъ(У).	C5)
В данном случае в формулах B9) роль параметра t играет
переменная у, и переменная х сохраняет постоянное значение
х = хо Условие C2) приводит нас к равенству а = 0 Отметим,
что это равенство должно выполняться не тождественно, а после
подстановки в функцию а начальных данных C5). Система C0)
будет при этом иметь вид:
sdy = dp; tdy = dq\ 2bs + ct — — h.
и для того, чтобы она была неопределенной, необходимо и до-
достаточно, чтобы третье из написанных уравнений было след-
следствием первых двух. Умножая это уравнение на dy и принимая
во внимание первые два уравнения, мы приходим к следующему
условию.
2bdp + с dq = — h dy,
которое заменяет в этом случае условие C3). Окончательно, для
специальных данных Коши C5) мы будем иметь следующие
условия, определяющие характеристическую полосу:
а = 0; 2bdp + cdq = — hdy\ du = qdy.	C6)
Условие а = 0 показывает, что из уравнения B8) нельзя найти
ихх. Второе условие:
dy	dy '	'
означает, что заданные на прямой х = хо величины р и q та-
таковы, что удовлетворяется уравнение B8), ибо на упомянутой"
прямой s = -~- и ^ = "т^~' Третье условие дает очевидную фор-
формулу:
35. Производные высших порядков. В предыдущем парагра-
параграфе мы рассмотрели вопрос об определении производных второго
порядка на заданной полосе. Перейдем теперь к определению
производных высших порядков. Положим, что мы имеем дело с
тем случаем, когда определитель C1) отличен от нуля. Возьмем

SSJ	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	101
полный дифференциал от первых двух из уравнений C0) и про-
продифференцируем заданное уравнение B8) по х и по у. Таким
образом мы будем иметь четыре уравнения первой степени для
определения четырех производных третьего порядка от искомой
функции и на заданной полосе:
(dxJ uxxx + 2dxdy uxxy + (dyJ uxyy ==...,
• (dxJ uxxy + 2dxdy uxyy -f- (dyJ uyyy = ...,
ЯМххх i *>O Mxxy -p CUxyy ==: . . .,
auxxy + 2b uxyy -f cuyyy =. ...
Определитель этой системы имеет вид
(dxJ,	2dxdy,	(dyJ, 0
0,	(dxJ,	2dxdyf	(dyj>
a,	2bt	cy 0
0,	a,	26, с
Можно показать, что этот определитель равен квадрату опреде-
определителя C1), т. е. тоже отличен от нуля. Действительно, обозна-
обозначая через у какой-нибудь корень уравнения
а + 2Ьу + су2 = 0,	C7)
прибавим к элементам первого столбца определителя Ai эле-
элементы второго столбца, умноженные на у, третьего столбца,
умноженные на v2, и четвертого столбца, умноженные на y*t Эле-
Элементы первого столбца при этом окажутся следующими?
(dx + ydyf, y(dx + ydyJf 0, 0,
откуда видно, что Дь являющийся однородным полиномом чет-
четвертой степени относительно dx и dy, делится на (dx-\-ydyJ<
Коэффициент при (dx)A в выражении Aj равен с2 и, если мы
обозначим через у\ и ^2 корни уравнения C7), то можем напи-
написать;
д4 = с2 (dx + yi dyJ (dx + y2 dy)\
или, принимая во внимание свойство корней квадратного урав*
нения:
Д1 = (с dx2 -2bdxdy + a dy2J = А2.
При доказательстве мы предполагали, что уравнение C7) имеет
различные корни. Но если равенство Ai =¦ А2 справедливо при
таком предположении, то оно будет -справедливо и в том случае,
когда уравнение C7) имеет равные кории. Чтобы убедиться з
этом, достаточно несколько изменить коэффициенты а, 0, С так,
чтобы уравнение C7) имело различные корни, и затем в равен*
стве Aj = А2 перейти к пределу, уртремляя измененные значения

102 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ^РАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДИВШИ [35
коэффициентов к их исходным значениям, при которых уравне-
уравнение C7) имеет равные корни.
Совершенно так же мы можем получить пять уравнений
первой степени для определения пяти производных четвертого
порядка, и определитель этой системы также окажется отлич-
отличным от нуля и т. д. Предположим, что соответствующие функ-
функции будут аналитическими и регулярными. Таким образом, так
же, как и в случае специальных данных Коши и уравнения, раз-
разрешенного относительно г [29], мы можем и в более общем слу-
случае, предполагая определитель Д отличным от нуля, вычислять
на заданной полосе производные всех порядков. Составив соот-
соответствующий ряд Тэйлора, мы могли бы доказать, как и в [28],
его сходимость.
Переходим теперь к тому случаю, когда данная полоса ока-
оказывается характеристической полосой. Мы ограничимся при
этом только рассмотрением специальных начальных данных
Коши C5). Сами эти начальные данные дают нам 5 и t при
х = дг0, и остается определить только г. Но при подстановке по-
полученных начальных данных в уравнение B8), мы, в силу C6),
получаем тождество, и производная г при х = х0 на первый
взгляд остается совершенно неопределенной. Продифференци-
Продифференцируем обе части уравнения B8) по х:
arx + 2bsx + ctx + (ax + аир + apr + aqs) г
(...)' + (. .0 = 0, C8)
причем в круглых скобках с точками стоят выражения, совер-
совершенно аналогичные тому выражению, которое стоит в скобке,
содержащей производные от а. Если мы в написанное уравнение
подставим начальные данные C5) и уже известные производные
второго порядка:
то, обозначая г\ХшХ9 — ®(у)> мы получим для искомой функции
со (у), как нетрудно проверить, уравнение Риккатти, т. е. урав-
уравнение вида
а (У)»' (У) + Р (У) со2 (У) + V (У) со (у) + Ъ (у) - 0,
где а, р, у и б — известные функции от у. Если мы возьмем ка-
какое-нибудь решение этого уравнения, то тем самыяг будем знать
г при х = хоу а следовательно, будем знать и все производные
третьего порядка при х = х0, кроме иххх. Для определения на-
начального значения этой производной мы должны продифферен-
продифференцировать уравнение C8) по х и внести в полученное таким об-
образом уравнение все уже вычисленные начальные данные. Та-

35J	ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ	103
ким образом, мы придем для искомой функции иххх \XssXi) = a>\ (у)
к линейному дифференциальному уравнению:
«i (У) ©I (У) + Pi (У) ©i (У) + Yi (У) - 0.
Этот процесс может продолжаться и дальше. При интегрирова-
интегрировании упомянутого выше уравнения Риккатти и последующих ли-
линейных уравнений вводятся все новые и новые произвольные
постоянные, но вся трудность задачи заключается в том, чтобы
подобрать значения этих постоянных так, чтобы полученный ряд
Тейлора был сходящимся. Можно доказать, на чем мы не оста-
останавливаемся, что для уравнения гиперболического типа это мо-
может быть сделано бесчисленным множеством способов, т. е. че-
через характеристическую полосу действительно проходит бесчис-
бесчисленное множество интегральных поверхностей. Условия C6)
или, в более общем случае, C4) представляют собою, таким об-
образом, необходимые и достаточные условия, которым должны
удовлетворять начальные данные для того, чтобы существовали
интегральные поверхности, содержащие данную характеристи-
характеристическую полосу.
В качестве примера рассмотрим простейшее уравнение вто-
второго порядка параболического типа:
t — ux = O, т. е. их = иуу.	C9)
В данном случае а = Ь = 0, с = —1, и уравнение C2) 'дает
dx = 0, т. е. х = const. Вдоль всякой линии х = х0 мы должны
иметь некоторую особенность при попытке решения задачи
Коши. Положим, что мы имеем специальные данные Коши C5).
Полагая в уравнения C9) х = xOi получим г|) (у) = ф"(#)> откуда
мы видим, что функция ty(y) вполне определяется заданием
функции ф(#). Это соответствует необходимости выполнения
второго из условий C6). Таким образом, в данном случае до-
достаточно задавать лишь первое из условий C5).
Дифференцируя уравнение C9) по а: и полагая х = хо> мы
вполне определяем начальное значение: г \х==Хо = у{1у)(у). Имея
это начальное значение, дифференцируя C9) два раза по х и
полагая х = Хо, мы получим начальное значение при х = х0 про-
производной третьего порядка по х и т. д. В данном случае началь-
начальные значения производных по х определяются единственным о»б-
разом, а упомянутые выше дифференциальные уравнения вы-
вырождаются в конечные соотношения. Определив начальные зна-
значения лроизводных всех порядков по х при х = л;0, мы можем
построить соответствующий ряд Тэйлора. Оказывается, что он
будет сходящимся в окрестности х = х0 только в том случае,
если ф(#Х есть целая функция, удовлетворяющая некоторому

104 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ f33
дополнительному условию Напомним, что при рассмотрении за-
задачи распространения тепла в неограниченном стержне [1I;214]'
мы построили решение уравнения C9), удовлетворяющее пер-
первому из условий C5), в виде определенного интеграла. При
этом, конечно, не надо было предполагать, что ф(у) есть целая
функция. Для перехода к прежним обозначениям из [II; 214]
надо в уравнении C9) заменить х на / и у на х, и в уравнении
из [II; 214] считать а2 = 1.
Если мы положим ф(#) = 0, получим, очевидно, решение
уравнения C9), равное тождественно нулю. Покажем, что суще-
существует еще элементарное решение уравнения C9), удовлетво-
удовлетворяющее с исключением точки у — 0, х = х0 тому же начальному
условию* гг U^^o = 0- Положим, что
!		—
u = —F==re 4(x~*°> при х>х0,	D00
л/х — х0
и = 0	при х ^ х0.	D02)
Функция D0i) и все ее производные стремятся к нулю при
стремлении х к лс0 (от больших значений), т. е. функция, опре-
определяемая формулами D0i) и D0г), и все ее производные будут
сохранять непрерывность при переходе через прямую х = ac, a
на самой этой прямой функция и и все ее производные обра-
обращаются в нуль. Исключение представляет лишь точка х = х0,
у — 0, в которой построенная функция имеет особенность. Не-
Непосредственным дифференцированием D0i) убеждаемся в том,
что построенная функция удовлетворяет уравнению C9). Во
всякой точке прямой х = Xq построенная функция уже не будет,
конечно, аналитической, регулярной функцией от х, ибо слева
от этой прямой она тождественно равна нулю, а справа отлична
от нуля. Таким образом, построенная функция не. представима
рядом Тейлора по целым положительным степеням (х — х0).
Решение D0i) постоянным множителем отличается от решения,
дающего элементарный источник тепла [II; 214].
36. Вещественные и мнимые характеристики. Поскольку ко-
коэффициенты уравнения B8) могут зависеть не только от х и уу
но и от и, р, <?, мы можем определить тип уравнения, лишь фик-
фиксируя некоторую точку в пятимерном пространстве (л-, у, и, р,
q). При этом, если Ь2 — ас > 0, то мы имеем гиперболический
тип, если Ь2—ас < 0, то эллиптический, и если Ь2 — ас = 0,
то*—параболический. Пусть нам задана некоторая полоса B9),
которую мы считаем вещественной. Если вдоль этой полосы
наше уравнение принадлежит эллиптическому типу, то выраже-»
. ние, стоящее в левой части условия C2), не может обращаться
в нуль и, следовательно, никакая вещественная полоса не может
быть характеристической полосой. В дальнейшем мы будем рас-

361	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И МНИМЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ	105
сматривать только гиперболический тип. Уравнение C2) пред-
представляет собою квадратное уравнение относительно-—-.* В слу-
случае гиперболического типа оно имеет два вещественных различ-
различных корня, которые мы обозначим через juii (х, у, u, pf q) и
1^2 (х> у у и, р, q)> так что упомянутое выше уравнение распадается
на два, dy = \itdx{i = 1, 2). Мы можем таким образом вместо
уравнений C4) написать две системы уравнений:
dy — \xt dx = 0,	}
aiiidp + hiitdx + cdq^O, (/=1,2) ?	D1)
du = p dx + q dy,	)
которым соответствуют две системы характеристик.
Особенно просто обстоит дело в том случае, когда в уравне-
уравнении B8) стоящие при производных второго порядка коэффи-
коэффициенты а, Ь и с зависят только от независимых переменных
(лс, у). При этом основное уравнение C2) превращается в обык-
обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с пере-
переменными х и у:
а (х, у) dy2 — 26 (х, у) dxdy + с (х, у) dx2 = 0.
В гиперболическом случае оно определяет на плоскости (дг, у)
два семейства линий, которые называются обычно характеристи-
характеристическими линиями или характеристиками уравнения B8.). Харак-
Характерное свойство всякой характеристической линии состоит в том,
что если мы зададим вдоль такой линии некоторые данные
Коши, т. е. функцию и и ее производные первого порядка, то
полученная таким образом полоса или приведет к несовместной
системе C0) для производных второго порядка, или же ока-
окажется характеристической полосой. Для всякой линии, отличной
от характеристики, любые данные Коши приведут к определен-
определенным значениям производных второго и следующих порядков.
В эллиптическом случае уравнение C2) будет иметь мнимые
корни для -т~% и мы не будем иметь характеристических линий
на плоскости (я, у).^Если мы перейдем к комплексным значе-
значениям переменных (х> у), то сможем получить из уравнения C2)
мнимые характеристики. При этом, конечно, веб функции счи-
считаются аналитическими. Наконец, в параболическом случае
уравнение C2) даст нам на плоскости (х, у) одно семейство
характеристик. Обращаясь к результатам C2), мы видим, что
при приведении уравнения к канонической форме мы выбирали
за координатные линии на плоскости (х> у) семейство характе-
характеристических линий.

Юб ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ .[37
37. Основные теоремы. Характеристическое многообразие со-
совершенно так же, как и в случае уравнения первого порядка,
играет основную роль пр-и интегрировании уравнения. Мы имеем
здесь основные теоремы, аналогичные тем, которые имели место
и для уравнений первЪго порядка.
Положим, что две интегральные поверхности уравнения B8)
имеют вдоль некоторой линии / пространства (х, у> и) касание
конечного порядка, т. е. вдоль этой линии интегральные поверх-
поверхности имеют общую касательную плоскость, но некоторые про-
производные выше первого порядка оказываются для этих инте-
интегральных поверхностей на этой линии различными. Нетрудно
видеть, что эта линия вместе с касательной плоскостью вдоль
нее должна представлять собою характеристическую полосу.
Действительно, если бы это было не так, то из рассуждений
[35] следует, что мы получили бы вдоль / совершенно опреде-
определенные значения для производных всех порядков. Таким обра-
образом, мы имеем следующую теорему:
Теорема 1. Если две интегральные поверхности имеют
вдоль линии I касание конечного порядкау то эта линия вместе
с соответствующей касательной плоскостью представляет собою
характеристическую полосу.
Основным свойством характеристической полосу является
тот факт, что вдоль этой полосы уравнение приводит к неопре-
неопределенной системе C0) при разыскании производных второго по-
порядка. Это свойство не зависит, конечно, от выбора независимых,
переменных, и мы получаем, таким образом, следующую тео-
теорему:
Теорема 2. При любой обратимой и гладкой замене пере-
переменных х, у характеристические полосы переходят в характери-
характеристические полосы.
Пусть имеется некоторая интегральная поверхность S урав-
уравнения B8). На этой поверхности и, р, q суть определенные
функции независимых переменных (х, у). Подставляя в коэффи-
коэффициенты уравнения B8) вместо и, ру q их выражение черкез (х, у),
мы получим для этих коэффициентов определенные выражения
через (ху у), и уравнение C2) будет представлять собою диффе-
дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее две си-
системы линий на поверхности 5. Вдоль каждой из этих линий /
будут выполнены уравнение B3) и уравнение C2), и нетрудно
видеть, что вдоль такой линии должно быть выполнено и второе
из уравнений C4). Действительно, если бы оно не было выпол*
нено, то мы имели бы несовместную систему для определения
производных второго порядка, а это противоречит тому факту,
что полоса, определенная линией / и касательной плоскостью
интегральной поверхности S, находится на интегральной поверх-

371	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ	107
ности S. Мы получили, таким образом, следующую, третью, тео-
теорему:
Теорема 3. Всякую интегральную поверхность можно по-
крыть семейством характеристических полос.
Отметим, что этот результат, если оставаться в вещественной
области, имеет место только в гиперболическом или параболи-
параболическом случаях, причем в гиперболическом случае мы можем
покрыть интегральную поверхность двумя семействами харак-
характеристических полос.
Докажем теперь обратную теорему, а именно следующую,
четвертую, теорему:
Теорема 4. Если некоторое семейство характеристиче-
характеристических полос образует поверхность S: и = и(ху у), где а(#, у)
имеет непрерывные производные до второго порядка, то эта по*
верхность есть интегральная поверхность уравнения B8).
Пусть имеется поверхность S, покрытая семейством полос,
вдоль которых выполнены уравнения C4). Вдоль каждой из
этих полос мы имеем
dp = r dx + s dy\ dq — s dx -\-1 dy.
Подставляя эти выражения dp и dq во второе из уравнений C4)",
мы придем к следующим двум уравнениям:
asdy2 + (ar + ct + h)dxdy + csdx2 = 0,
ady2 - 2b dxdy + cdx2 = 0.
Умножая второе на s и вычитая из первого, мы и придем к ос-
основному уравнению B8), причем надо принять во внимание, что
произведение dxdy отлично от нуля, так как х и у — независи-
независимые переменные.
В случае уравнения первого порядка мы имели для характе-
характеристических полос обычную систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, и, благодаря этому, задача интегрирова-
интегрирования уравнения с частными производными первого порядка при-
велась к интегрированию системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений. В настоящем случае система C4) представ-
представляет собою систему трех уравнений (в полных дифференциалах)
для пяти искомых функций. В работе Леви (Math. Ann., 1927,
97) показано, каким образом можно систему C4) расширить
так, чтобы получилась система пяти дифференциальных урав-
уравнений первого порядка с пятью неизвестными функциями — си-
система, имеющая специальную форму. Для этой системы строится
определенным образом решение задачи Коши, что приводит к
решению задачи' Коши и для уравнения B8).
В следующем параграфе мы разберем частные случаи, когда
система C4) имеет интеграл.

108 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[38
38. Промежуточные интегралы. Для удобства дальнейших вычислений
преобразуем уравнения D1), определяющие характеристические полосы, к но-
новому виду. Вспоминая основное свойство корней квадратного уравнения, мы
с
с
можем написать РчЦ2 = —, и, пользуясь этим равенством, мы можем пере*
писать систему D1) при i = 1 в виде
dy — nldx = Q; dp-\-\i2dq-\	dx = 0; du —(p + q\i{) dx = 0.	D2)
Вторая система (при i = 2) получится из написанной перестановкой букв
ixt и (л2 Будем искать такую функцию V(x, у, и, р, q)t полный дифференциал
которой равен нулю в силу уравнений D2):
Vx dx + Vudy + Vu du + Vpdp + Vq dq — 0.	D3)
Определяя dy, du и dp из системы D2) и подставляя в левую часть послед-
последнего уравнения, мы должны будем приравнять нулю коэффициенты при
оставшихся дифференциалах dx и dq. Тдким образом, оказывается, что для
того, чтобы функция V была интегралом системы D2):
V(x,ytu,ptq) = C,	D4)
необходимо и достаточно, чтобы функция V удовлетворяла двум линейным
однородным уравнениям с частными производными первого порядка;
Если мы в этих уравнениях поменяем щ и |х2 местами, то получим аналогич-
аналогичную систему, выражающую необходимое и достаточное условие того, что
функция V является интегралом второй системы характеристических полос.
Методы разыскания решений системы D5) были нами изложены в [22], По-
Положим, что нам удалось найти решение этой системы, отличное от тривиаль-
тривиального решения, равного постоянному. Покажем, что при этом всякое решение
уравнения первого порядка D4), не являющееся особым решением, будет и
решением нашего уравнения B8). Действительно, в рассматриваемом случае
полный дифференциал V должен обращаться в нуль в силу D2), т.е. должен
быть линейной комбинацией левых частей этих уравнений:
dV = a (dy — p.! dx) + р (dp + ц2 dq + ~ dx} + y(du — pdx — q dy). D6)
Пусть имеется некоторая интегральная поверхность S уравнения D4). На
этой поверхности и, р, q являются определенными функциями (я, у), и, инте-
интегрируя уравнение первого порядка dy — \itdx = 0, мы получим некоторое се-
семейство линий, покрывающих поверхность «S. Кроме того, вдоль этих линий
мы должны, очевидно, иметь du = p dx + q dy. Принимая во внимание, что
в силу только что сказанного, сомножители при а и у в формуле D6) вдоль
наших линий равны нулю, мы получим вдоль этих линий, т. е. на поверхно-
поверхности S, равенство
— dx 1 = 0.
а /
По условию, интегральная поверхность «S не является особым решением, и,
следовательно, в левой части формулы D3) коэффициент при dp или dq
окажется отличным от нуля. Из этого вытекает^ что р ф 0t nt следователи^

39]	УРАВНЕНИЯ МОНЖА — АМПЕРА	109
вдоль наших линий выполняются все три уравнения D2), т.е. поверхность S
оказывается покрытой характеристическими полосами уравнения B8). Но
тогда, в силу четвертой теоремы из [37], эта поверхность является интеграль-
интегральной поверхностью уравнения B8). Таким образом, имея интеграл D4), мы
получаем некоторый класс решений уравнения B8), интегрируя уравнение
первого аорядка D4). Положим, что нам удалось найти два независимых
решения системы D5) V\ и 1/2. При этом выражение V4 — Ф(У2) при произ-
произвольном выборе функции Ф также будет решением системы D5), и мы будем
иметь следующий интеграл системы D2):
09	D7)
содержащий произвольную функцию Ф. Пусть ищется интегральная поверх-
поверхность уравнения B8), содержащая заданную полосу B9). Подставляя в
функции Vi и V2 вместо х, у] м, р, q их выражения B9), мы получим две
определенные функции параметра / vx(t) и v2(t). Уравнение D7) приведется
при этом к виду vi(t) — ф[и2(/)]=* 0. Введем вместо t новую переменную
а = 1>г@- Решая это уравнение относительно /, будем иметь / = со (а), п<
предыдущее равенство, выраженное в переменной а, определит нам вид функ-
функции Ф(а) = fi[co(a)]. После определения вида функции Ф(о) уравнение D7)
будет представлять собою определенное уравнение первого порядка. Решая
для него задачу Коши при начальных данных B9), мы получим решение
задачи Коши и для уравнения B8). Всякий интеграл системы D2) или ана-
логичной^системы, получаемой перестановкой \х\ и |Хг, называется обычно про-
промежуточным интегралом уравнения B8). Заметим, что если система D5)
"оказывается полной, то она имеет три независимых решения. Можно пока-
показать, что это может иметь место только при щ = jjl2.
Замечание. Положим, что h = 0, а коэффициенты a, b и с постоян-
постоянные или зависят только от р и q. При этом jii и м-г зависят также только
от р и q, и мы можем найти решение системы D5), если будем искать V,
зависящим только от р и q. Первое уравнение будет при этом удовлетворено
при любом выборе V(p, q), ибо h = 0, и для нахождения V мы получаем
одно уравнение Vq — |Аг(р, ?) Vp= 0. Найдя решение этого уравнения V\(p,q)y
мы получим уравнение первого порядка V\(p, q) = const, каждое решение ко-
которого удовлетворяет и исходному уравнению второго порядка. Вместо
\\2(р, q) мы могли бы использовать второй корень \ii(p, q) уравнения C2) и
получили бы другое уравнение первого порядка: Vi(p, q) — const.
39. Уравнения Мсжжа — Ампера. Вся изложенная выше теория характе-
характеристических полос и промежуточных интегралов распространяется непосред-
непосредственно и на уравнения более общего типа, а именно на уравнения, линейные
относительно г, 5, / и rt — s2, т. е. на уравнения вида
ar + 2bs + ct + g (rt ~ s2) + h = 0 (g Ф 0),
которые называются обычно уравнениями Монжр — Ампера Если задана не-
некоторая полоса, то определение производных второго порядка вдоль этой по-
полосы будет вполне однозначным, если выражение
А = a dy2 — 2b dx dy + с dx2 + g (dx dp + dy dq)
отлично от нуля. Если это выражение обращается в нуль, а выражение
В = a dp dy + h dx dy + с dq dx + g dp dq
отлично от нуля, то определение производных второго порядка приводит к
несовместной сиетеме, Характеристическая полоса определяется следующими
тремя уравнениями:
А = 0; В = 0; du = p dx + q dy.

110 ГЛ.1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	И0
Если обозначим через |Ai и |Хг корни уравнения
ц2 +'2b\x -f ас — gh = 0,
то две системы характеристических полос могут быть определены уравне-
уравнениями
g dp + с dx + p-i dy = 0; g dq + a d# + H>2 dx = 0; du = p dx + q dy.
Вторую систему можно получить из написанной, меняя [ii и \хг местами Bqe
эти результаты получаются при помощи вычислений, совершенно аналогичных
предыдущим. Для уравнения Монжа — Ампера остаются справедливыми так-
также основные теоремы, изложенные в [37].
При разыскании промежуточных интегралов мы, вместо системы D5),
приходим к системе
Вторая система может быть получена из написанной, как и выше, переста-
перестановкой Hi и |i2. Остаются справедливыми и все указанные выше свойства
промежуточных интегралов.
40. Характеристики при любом числе независимых перемен-
переменных. Будем рассматривать теперь уравнение второго порядка
с любым числом независимых переменных:
Е alkuXxk+ ... =0 (aik = aki)>	D8)
причем ненаписанные члены не содержат производных второго
порядка. Коэффициенты atk будем считать пока зависящими
только от независимых переменных xs. В данном случае мы
ограничимся выяснением только того условия, при котором
уравнение D8), совместно с начальными данными Коши, не дает
возможности однозначного определения производных -второго
порядка, т. е. приводит к несовместности или неопределенности
при разыскании этих производных. Это условие аналогично
условию C2) в случае двух независимых переменных. Мы нач-
начнем рассмотрение нашей задачи с того случая, когда начальные
данные Коши имеют специальную форму:
U | @) = ф (*2, . . ., Хп)\ UXl |	<0) = Ф (*2. • • • > Хп).
Эти начальные данные дают нам возможность определить на
гиперплоскости х{ = х^ все производные первого порядка и все
производные второго порядка, кроме иХхХх. Для определения этой
последней производной мы должны воспользоваться самим урав-
уравнением D8), положив в нем л:1 = л:A0). Если при этом окажется,
что пи Ф 0, то мы будем иметь определенное значение для
упомянутой производной. Если* же после указанной подстановки

40]	ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ЛЮБОМ ЧИСЛЕ ПЕРЕМЕННЫХ	111
окажется, что пц = 0, то мы или придем к невозможному ра-
равенству, или получим тождество. Таким образом, в случае спе«
циальных данных Коши, искомое" условие имеет вид
яи = 0.	D9)
Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные
Коши даны на некоторой гиперповерхности:
coi(*i, ...» *п) = 0.	E0)
Кроме функции со*, входящей в последнюю формулу, введем еще
(п—1) функцию (x>s(x\, .-.., Хп) E = 2, ..., п) так, чтобы мы
могли совершить замену независимых переменных:
*S = M*i, ..., хя) E=1, ..., л),	E1)
т. е. так, чтобы последние уравнения были разрешимы относи-
относительно xs. Выразим производные по старым переменным через
производные по новым переменным, выписывая лишь те члены,
в которые входят интересующие нас производные:
Преобразованное уравнение будет иметь вид
в«!г"?г' E2)
M
и невыписанные члены не содержат производной их'х*. В силу
E1) начальные данные для преобразованного уравнения за-
задаются на гиперплоскости х( = 0, т. е. они имеют специальный
вид. Таким образом, в данном случае мы можем воспользо-
воспользоваться условием D9), но только в новых независимых перемен-
переменных. Принимая во внимание E2), мы можем, таким образом,
утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на
гиперповерхности E0) приводили к несовместности или неопре-
неопределенности при отыскании производных второго порядка, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы функция coj удовлетворяла уравнению
а"ТГ-дГ-
причем это последнее уравнение должно быть удовлетворено
при coi =0, т. е., иначе говоря, в силу уравнения E0). Всякую
гиперповерхность,* удовлетворяющую этому условию, мы назо-*
вем характеристической поверхностью или характеристикой
уравнения D8),

112 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [40
Если мы фиксируем какую-либо точку Afo(jef\ ..., х^), то
в эюй точке коэффициенты а^ будут иметь фиксированные зна-
значения, которые мы обозначим а(^. Направление вектора, веще-
вещественные составляющие которого аь ..., ап удовлетворяют
уравнению
J=l «<>,«* = 0,	E3.)
назовем характеристическим направлением нормали в точке Мо.
Уравнение E3) равносильно тому, что в каждой точке поверх-
поверхности о>1 (хь ..., хп) = 0 направление нормали к этой поверхно-
поверхности есть характеристическое направление нормали. Если поверх-
поверхность S(o)i = 0) такова, что ни в одной ее точке направление
нормали не характеристическое, т. е. левая часть уравнения E3)
отлична от нуля вдоль всей поверхности, то из сказанного выше
следует, что, совершая "замену переменных E1), мы можем пе-
переписать уравнение D8) в виде
причем поверхность S переходит в плоскость х{ = 0. Это дает
возможность преобразовать задачу Коши при начальных данных
на упомянутой поверхности в задачу Коши с начальными дан-
данными на плоскости х{ = 0. Если уравнение D8) имеет аналити-
аналитический характер — например оно линейно и с аналитическими
коэффициентами, поверхность 5 нехарактеристическая и coi —
аналитическая функция, то преобразованная задача Коши мо-
может быть, при надлежащих условиях, решена согласно теореме
Ковалевской. Если поверхность 5 есть характеристическая, то
функция а и ее частные производные первого порядка должны
быть связаны на ней некоторым соотношением. Действительно,
и и ее частные производные на S выражаются через такие же
величины на плоскости 4 = 0 и наоборот. Пусть
И = фО(*2» ••" Х'пУ> М^Е=Ф1(Х2' ••" Хд ПРИ *'l = °»
Если S есть характеристическая поверхность, то в преобразован-
преобразованном уравнении а'п = 0 при х[ = 0> и мы имеем уравнение

41]	БИХАРАКТЕРИСТИКИ	113
где ненаписанные члены содержат лишь производные первого
порядка. Таким образом получается связь между функциями
Фо и q>ii
Это соотношение не приводится, вообще говоря, к тождеству от-
относительно фо И фь
Положим теперь, что коэффициенты htk зависят не только от
xs> но и от и и tixs> Начальные данные Коши на (п— 1)-мерном
многообразии E0) зависят от (п—1) параметров. Будем счи-
считать, что этими параметрами являются х2, ..., хп. Подставляя
эти выражения начальных данных в коэффициенты alk, мы по--
по-прежнему будем иметь уравнение E3), которое должно быть
выполнено в силу E0), и можем решить, является ли поверх-
поверхность o)i = 0 характеристической при заданных начальных
данных.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь того
случая, когда коэффициенты atk зависят только от xs. Заметим,
что если уравнение D8) принадлежит эллиптическому типу, то
уравнение E3), как и в случае двух независимых переменных,
не может иметь вещественных решений, кроме coi = const. По-
Последнее решение, очевидно, не представляет интереса для нашей
задачи.
41. Бихарактеристики. Уравнение E3) должно быть выпол-
выполнено в силу E0). Потребуем, чтобы это уравнение выполнялось
тождественно относительно xs. При этом уравнение E3) будет
представлять собою обычное дифференциальное уравнение с
частными производными первого порядка, и всякое его решение,
оушчное от постоянной, будет давать не одну характеристику,
а целое семейство характеристик:
©i(xb ..., *„) = С,	E4)
где С — произвольная постоя-нная. Наоборот, для того, чтобы
последнее уравнение определяло семейство характеристик при
произвольном постоянном С, необходимо и достаточно, чтобы
функция о>1 удовлетворяла уравнению E3). Совершенно так же,
как и выше [2], можно показать, что всякую характеристику
можно включить в семейство вида E4) и что таким образом ре-
решения уравнения E3) дадут нам все характеристики.
В уравнениях -математической физики одна из независимых
переменных, а именно время, играет исключительную роль по
сравнению с остальными переменными, которые обычно дают
пространственные координаты. В дальнейшем, мы будем считать,

114 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [41
что такой исключительной независимой переменной является
переменная хп, и будем обозначать хп = t. Для остальных пере-
переменных мы введем обозначение хи ..., хт, т, е. будем считать
п = т + 1 -
Напишем уравнение поверхности E0) в разрешенном отно-
относительно t виде: / — со(лсь ,.., хт) = 0 и будем считать, что ко-
коэффициенты щи не зависят от t.
Подставляя левую часть уравнения / — со = 0 в уравнение
E3), мы получим следующее" уравнение для функции со:
Это уравнение должно быть выполнено, строго говоря, в силу
г = (о. Но оно вовсе не содержит буквы t, и, следовательно, мы
можем утверждать, что оно должно быть выполнено тождест-
тождественно. Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим уравнение
E3) и напишем соответствующую этому уравнению первого nov
рядка систему Коши. Уравнение E3) не содержит самой функ-
функции соь и поэтому в соответствующей системе Коши мы не будем
выписывать того отношения, которое содержит dm* Таким об-
разрм, мы получим следующую систему обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений:
ds ^
(&= 1, 2, ..., n)
где s — некоторый вспомогательный параметр. Возьмем некото-
некоторое семейство характеристических гиперповерхностей (й\(хи ¦..
..., хп) = С и положим pk ±=-J2i-. При этом pi выразятся через
xk
k
{х\, •.., хп), и, подставляя эти,выражения в правые части урав-
уравнения E6i), получим систему первого порядка для (х\> ..., хп)\
Если взять какое-нибудь решение этой системы и подставить в
упомянутые выше выражения рн через (х\, ..., хп) то нетрудно
проверить, что полученные функции будут удовле^орять урав-
уравнениям E6г). Действительно,
*Р2 Z
R *

4lJ	БИХАРАКТЕРИСТИКИ	115
Заменим в уравнении E3) значок k на / и продифференцируем
обе части по ;&>:
В силу а// = a}i последние две суммы равны между собой, и.,
пользуясь последним тождеством, мы можем переписать фор-
формулу E7) в виде
CIS
.=_ ?
что и совпадает с уравнением Eбг). Заметим, что равенство
E4) представляет собою при этом интеграл системы E6i). Дей-
Действительно,
и последняя сумма равна тождественно нулю, в силу E3). Те
линии пространства Rn с координатами (хи ..., хп)У которые
получаются в результате интегрирования системы E60, в кото-
которой положено Pi—-fij~> называются бихарактеристиками, со-
соответствующими системе coi = С характеристических поверх-
поверхностей.
Если при интегрировании системы E6i) за начальные значе-
значения Xk мы возьмем точку, лежащую на некоторой гиперповерх-
гиперповерхности (Oi = Со, то вся соответствующая бихарактеристика будет
лежать на упомянутой гиперповерхности, т. е. всякая характе-
характеристическая поверхность уравнения D8) может быть образована
бихарактеристиками. Укажем теперь те условия, при которых
решения системы E6i), E6г) образуют характеристическую ги-
гиперповерхность. Поверхность E4)* представляет собою (п—1)-
мерное многообразие в Rn. В уравнение бихарактеристики вхо-
' дит параметр s, и, следовательно, для образования характери-
характеристической гиперповерхности E4) надо взять семейство бихарак-
бихарактеристик, зависящее от (п — 2) параметров. Будем считать, что
начальные значения х^] и р^ переменных, входящих в систему
E6i), E6г), зависят от (п — 2) параметров t\, ..., /л_2- Повто-
Повторяя рассуждения из [8], нетрудно убедиться в том, что для
того чтобы полученное семейство бихарактеристик давало ха-
характеристическую гиперповерхность, необходимо и достаточно.

П6 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ D1
чтобы указанные выше начальные значения удовлетворяли сле-
дующим соотношениям [12]:
t_xa?kP?Pf=V>	E8)
А дх{0)
0)Т = 0 С=1' ..".>*-2),	E9)
i
где а^ —результат подстановки х3 = х{^ в выражения а,*. При
этом предполагаем, что fto крайней мере один из функциональ-
функциональных определителей порядка (п—1) от переменных (хи ..., хп)]
по (s, t\y •-•» tn-z) отличен от нуля.
Все высказанные результаты вытекают непосредственно из
метода Коши -интегрирования уравнения первого порядка [12].
Несущественным осложнением в данном случае является тот
факт, что уравнение интегральной поверхности ищется в неявной
форме о>1 (jci, ..., Хп)— С и, в связи с этим, система Коши E6),
не содержит самой функции соь
Основную роль в математической физике играет особая инте-
интегральная поверхность уравнения E3), а именно, так называем
мый характеристический коноид этого уравнения. Эта характе-
характеристическая поверхность получится указанным выше методом,
если мы будем считать xf фиксированными, т. е. независящими
от параметров (вершина коноида), и подчиним р{^ условию
E8). Отметим, что из этого уравнения п величин р{?] опреде-
ляются как функции (п—1) параметров. В силу однородности
уравнения E8), один из параметров входит множителем в р^\
Но нетрудно проверить, что уравнения E6i) и E62) не меня-
меняются, если заменим s на ~$ и pk на apk, где а не зависит от s.
Таким образом параметр, входящий множителем при р{?\ яв-
является излишним, так как он все равно войдет через s. Поэтому
одну из величин pf] мы можем считать, например, равной еди-
единице.
• Если коэффициенты atk суть постоянные, то уравнения E6гУ
показывают, что pk должны быть постоянными, *а из уравнений
E6i) мы видим, что Хи будут полиномами первой степени от 5,
т. е, если atk — постоянные, то бихарактеристики суть прямые
линии в Rn.
Рассмотрим один важный частный случай. Введем указанное
выше обозначение Х\ = / и будем рассматривать уравнение спе-
специального вида
m
uJt — {TLiaikuXlXk+ ... =0,	F0)

4Ц	БИХАРАКТЕРИСТИКИ	117
где т — п—1, и коэффициенты, alk не содержат /, т. е. зависят
только от (хь ..., хт). Будем считать, что квадратичная'форма
определенно положительна при всех значениях gs. Уравнение
E3) в данном случае будет иметь вид
т
2
(E^LJ^ У дсо( д<*\ ^q
V dt ) jLj ~dxt dxk
Будем искать характеристическую гиперповерхность в виде, ре^
шенном относительно t:
®{Х\> ..., Хт) — / = 0 ИЛИ / = <*>(*!, ..., Хт).	F1)
При этом Po = -^L==— Ь и ДЛЯ функции со мы получаем урав«
нение первого порядка
т
Z aik(i>x(i>x =1	F2)
*,/г-1 u *
или
m
Z	l*	F3)
Соответствующая этому уравнению система Коши будет
**ь	dt	^
и /-1
Если мы возьмем некоторую конкретную характеристическую
гиперповерхность F1), то из F3) и последней системы следует,
что образующие ее бихарактеристики должны удовлетворять
следующей системе:
^	(Л = ©,,) (? = 1, ..., т).	F4)
Мы можем рассматривать поверхность F1) не как неподвиж-
неподвижную поверхность в n-мерном пространстве Rn с координатами
(хи •••> xmj)y а как поверхность, движущуюся с течением вре-
времени в m-мерном пространстве Rm с координатами (х\, «.., хт).
При этом решения системы F4) мы будем рассматривать, как
линии X в пространстве Rm> определяете параметрически при
помощи параметра t (время). При этом, конечно, в пространстбе

118 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [42
Rm линия К не будет уже находиться на движущейся поверхно-
поверхности F1).
Если, например, в пространстве R* с координатами (х\, x2i t)
мы имели конус
х\ + х\ — сЧ2 = О,
то на плоскости (хи х2) мы должны его рассматривать как
окружность с центром в начале и с переменным радиусом ct.
Если прямолинейные образующие этого конуса были бихаракте-
бихарактеристиками, то линии X в плоскости (хи х2) представляют собою
пучок прямых, выходящих из начала. Приведенный пример, как
мы увидим дальше, соответствует тому случаю, когда данное
уравнение есть волновое уравнение
ии — с2 (uXlXl + иХгХ2) = 0.
42. Связь с вариационной задачей. Пусть А — таблица ко-
коэффициентов a,ik. Решая систему F4) относительно pi, мы по-
л dx
лучим р = Л -jf* где» как всегда, Л~х — матрица, обратная
матрице Л. Подставляя полученные выражения pi в левую часть
уравнения F3), мы преобразуем квадратичную форму от р,- в
квадратичную форму от -^-> т. е. будем иметь
т	т
Е	dxt dxk _ ^	_
причем таблица В коэффициентов bik получается из таблицы Л
по формуле [llli; 32]
или, принимая во внимание, что А симметрична, получим В =
— А-1.
Введем в пространстве Rm метрику, определяемую равен-
равенством
т
do2= Z bikdXidxk.
Интеграл
взятый вдоль любой бихарактеристики, входящей в состав неко-
некоторой характеристической гиперповерхности F1), равен, в силу
F5), разности значений t, соответствующих концам пути инте«

42]	СВЯЗЬ С ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕЙ	119
грирования, т. е. длина любой дуги упомянутой бихарактеристи-
бихарактеристики, при наличии метрики F6), определяется разностью значений
времени, соответствующих концам дуги.
Сравнивая предыдущие результаты с результатами из [IVi;
89], мы видим, что уравнение F3) есть уравнение основной
функции поля для интеграла F6). Таким образом, семейство
гиперповерхностей (o(jti, ..., xm)=J представляет семейство
трансверсальных поверхностей некоторого поля вариационной
задачи для интеграла F6). Далее, нетрудно проверить, что би-
бихарактеристики, соответствующие взятому семейству характери-
характеристических поверхностей и определяемые уравнениями F4), бу-
будут экстремалями поля. Чтобы убедиться в этом, достаточно
проверить, пользуясь уравнением F4), тот факт, что бихаракте-
бихарактеристики пересекаются трансверсальио с гиперповерхностями
С0(*1, .. ., Хт) = t.
Действительно, условие трансверсальности в данном случае
сводится к пропорциональности pt = со^ и производных от
подынтегральной функции интеграла F6) по х\ [IVV, 89], т. е.
к пропорциональности рь и XI bikx'k. Но,-решая уравнения F4)]
относительно pi, мы получим
что и доказывает наше утверждение о трансверсальности пере-
пересечения семейства характеристических гиперповерхностей с со-
соответствующими бихарактеристиками.
Отметим, что случаю характеристического коноида соответ-
соответствуют квазисферы в пространстве Rm с центром (л:\0), ..., л;^)
соответствующим вершине коноида, и радиусом t.
Если уравнению F0) соответствует волновой процесс в про-
пространстве Rm, то уравнение первого порядка F3) определяет
геометрическую оптику этого процесса при помощи характери-
характеристических поверхностей, и бихарактеристики суть лучи, опреде-
определяющие эту же геометрическую оптику. Указанные выше сооб-
соображения приводят геометрическую оптику в непосредственную
связь с некоторой вариационной задачей. Если нам задан фронт
волны So при t = 0, то для того, чтобы получить фронт волны
St в любой момент времени t> мы должны построить семейство
квазисфер с центрами на 5о и радиусом t и взять огибающую
этого семейства (построение Гюйгенса). Это построение соот-
соответствует тому, что мы говорили в [11] относительно решения
задачи Коши для уравнений первого порядка при помощи ха-
характеристических коноидов этого уравнения. Мы не останавли-
останавливаемся на доказательстве указанного построения. Оно может

120 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [42
быть проведено-на основе теории полного интеграла. Заметим*
что огибающая квазисфер радиуса t может состоять из двух
гиперповерхностей. Только одна из них будет давать фронт вол-
волны в момент времени /.
Все предыдущие рассуждения можно провести не в про-
пространстве Rm, а в пространстве Rnf включая t в число координат
пространства. Для большей симметрии рассмотрим общий слу-<
чай уравнения D8):
п
? aikUXXk + ...' = 0 (aki = aik)t	F7)
где atk — заданные функции (хи ..., хп). Характеристические
поверхности будут определяться уравнением
D(xb ..., хп, рь ..., рп)=
где через D(xu ..., xn> Pu ..-, Pn) мы обозначили левую часть
уравнения. Соответствующая этому уравнению система Коши,
т. е. система обыкновенных уравнений, определяющая бихарак-
бихарактеристики, дается уравнениями E6i) и E6г). Заменяя вспомога-
вспомогательный параметр s на s/2, можем написать эту систему в виде
dxk 1	dpk
~ = D
F9)
Первые уравнения этой системы имеют вид
и	п
Решая эти уравнения относительно pt и подставляя в уравнение
F8), получим4
Edxt dxk
где таблица В коэффициентов btl выражается формулой В ==
= Л~1. Введем в пространстве Rn метрику
п
do\= ^bikdxtdxk.
Существенным отличием от предыдущего будет тот факт, что
для уравнения гиперболического типа правая часть написанной
формулы может принимать как положительные, так и отрица-
отрицательные значения (знакопеременная квадратичная форма [IIIi;
35]), и, следовательно, do\ может оказаться мнимой величиной.

43]	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА	121
Из G0) следует, что для бихарактеристик характерным яв-
является соотношение do\ — 0, т. е., при принятой метрике,
длина лю'бого отрезка бихарактеристики равна нулю. При этом
надо помнить невещественный характер введенной метрики.
43. Распространение поверхности разрыва. Положим, что
некоторое решение и уравнения D8) имеет на поверхности
l>(xlf ..«> хп) = 0	G1)
разрыв первого рода для производных второго порядка, причем
само решение и его производные первого порядка остаются не-
непрерывными при переходе через поверхность G\). Будем рас-
рассматривать упомянутое решение и с двух разных сторон поверх-
поверхности G1), как.два различных решения уравнения D8). Эти
решения имеют на этой поверхности одинаковые данные Коши,
но различные значения<для производных второго порядка, и мы
можем поэтому утверждать, что поверхность G1) должна бы*гь
характеристической поверхностью уравнения F7). К тому же
самому результату мы пришли бы, если бы предположили, чго
не только само решение и и его частные производные первого
порядка, но и частные производные второго порядка, остаются
непрерывными при переходе через поверхность G1), а разрыв
имеет место лишь для производных порядка выше второго. Во-
Вообще говорят, чго решение уравнения второго порядка F7)
имеет на поверхности G1) слабый разрыв, если при переходе
через эту поверхность и и его первые производные остаются не-
непрерывными, а некоторые производные порядка выше первого
имеют на поверхности G1) разрыв первого рода. Из предыду-
предыдущих рассуждений следует, что поверхностью слабого разрыва
может быть только характеристическая поверхность.
Выделяя по-прежнему независимую переменную хп = t, мы,
вместо G1), будем иметь движущуюся поверхность слабого раз-
разрыва в пространстве Rm:
¦ (*ь .... *т. 0 = 0.	G2)
Определим скорость перемещения этой поверхности. Возьмем
некоторую точку М на поверхности G2) и проведем из нее нор-
нормаль к поверхности в ту сторону, где if > 0. На этом направле-
направлении нормали возьмем отрезок ММХ от точки М до точки пересе-
пересечения Мх с поверхностью, соответствующей моменту (? + А/)!
времени t. Предел отношения |MMi|:Atf при Д/->0 называется
обычно скоростью перемещения поверхности G2). Вводя обо-
обозначение:
-V
_ h*>	G3)
i-l ' . ..

122 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [43
мы будем иметь следующие выражения для направляющих ко-
косинусов упомянутой нормали:
г>х*) = ^Г--	G4)
Продифференцируем соотношение G2):
Величину dxi можно считать проекцией бесконечно малого пере-
.мещения ММ\ вдоль нормали на координатную ось, и мы можем,
следовательно, написать:
т
Е ^ | MM11 cos (n, xt) + %dt = 0.
Дринимая во внимание G4), мы получаем следующее выраже-
выражение для скорости перемещения поверхности G2):
~
G5)
В случае т = 2 мы имеем перемещающуюся линию на пло-
плоскости {хи х2)у в случае т = 3 мы имеем поверхность, двигаю-
двигающуюся в трехмерном пространстве (хи х2, x3).
Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение при
т= 1:
ин — а2ихх = 0.
Основное уравнение E3) имеет вид
i|J — а2ф2 = 0 или -р- = ± а,
и оно показывает, что всякая слабая прерывность должна дви-
двигаться вдоль оси х со скоростью ±а. На плоскости (х, t) харак-
характеристиками будут два семейства прямых х ± at = с. Рассмо-
Рассмотрим еще уравнение
которое встречается при рассмотрении движения сжимаемой
жидкости в одномерном случае. Условие E3) запишется в виде
Положим, что на оси х с одной стороны от прерывности мы имеем
покой. Тогда с этой стороны от прерывности и в самой точке
прерывности мы имеем их = щ = 0. Предыдущее условие запи-

44]	СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ	123
сывается в виде ty2 —f @, 0I^ = 0, и скорость распространения
прерывности определяется формулой
P=±<JfWW.	G6)
Перейдем теперь к рассмотрению волнового уравнения с
тремя независимыми переменными:
ии — a2 (uXlXl + иХ2Х,) = 0.
Уравнение E3) запишется при этом в виде
или, пользуясь формулой G3), мы можем записать последнее
уравнение в виде ij?] — a2g-2 = 0, и это уравнение первого по-
порядка выражает тот факт, что всякая характеристическая линия
на плоскости (хи х2) должна двигаться со скоростью а. Совер-
Совершенно аналогичный результат мы получим и для хара'ктеристи-
ческой поверхности в трехмерном пространстве (хи х2, х3), если
будем исходить из волнового уравнения
ии — a2 (uXlXl + иХ2Х2 + Иад) = 0.
Заметим, что коэффициент а2 мы можем предполагать завися-*
щим от координат (хи х2, x$).
44. Сильные разрывы. При исследовании разрывных реше-
решений для уравнений второго порядка мы предполагали, что сама
функция и ее производные первого порядка остаются непрерыв-
непрерывными при переходе через поверхность разрыва и что разрыв
испытывают производные не ниже второго порядка (слабый раз-
разрыв). Только при таком предположении мы могли утверждать,
что.поверхность разрыва должна быть характеристической по-
поверхностью. Мы переходим теперь к исследованию сильных раз-
разрывов. Это значит, что в случае уравнения второго порядка,
разрыв имеют уже производные первого порядка. Нашей целью
является выяснение тех обстоятельств, при которых поверхно-
поверхностью разрыва по-прежнему является обязательно характеристи-
характеристическая поверхность. Мы рассмотрим волновое уравнение с тре-
тремя независимыми переменными. Введем в рассмотрение опера-
оператор, стоящий в левей части упомянутого уравнения:
? и = ихх + иуу — ~^г ип.
Это выражение называется обычно оператором Лоренца. Вве-
Введем в рассмотрение еще один оператор, содержащий производ-
производные первого порядка:
Р (и) = их cos (п, х) + и у cos (п, у)---2гЩ cos (n, 0, G7)

124 ГЛ I. ОБЩ\Я ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [44
где п — некоторое направление в пространстве (х, yt t). Пусть
D — некоторая область в пространстве (лс/ у, <), S — ограничи-
ограничивающая ее поверхность и п — направление внешней нормали к
поверхности 5. Применяя обычную формулу Гаусса, мы сможем,
совершенно так же, ка*к и в [II;. 203], написать для оператора
Лоренца следующую формулу Грина:
v]dx= Jjj [vP(u) — uP(v)]dS>	G8)
D
где и и v — две функции, имеющие непрерывные производные
до второго порядка в D.
В частности, для любых u<~C*(V) и а еС?° (?>)*)
vnu-unv]d% = 0.	G9)
Положим, что область D разбивается некоторой поверхностью а
на две части D\ и D2, причем эта поверхность а является по-
поверхностью разрыва для производных первого порядка от функ-
функции и. Выясним те условия, которым должен удовлетворять
этот разрыв, для того чтобы формула G9) осталась по-преж-
по-прежнему справедливой для всего объема D в применении к функции
и с разрывными производными и к любой функции t>eCo°(D).
Будем при этом предполагать, что сама функция и остается не-
непрерывной при переходе через ст. Пусть М — некоторая точка
поверхности о и / — любое направление, лежащее в касатель-
касательной плоскости к а в точке М. Мы будем считать, что произво'д-
ная -gr-t при приближении к точке М с обеих сторон поверхности
а, имеет один и тот же предел, и что этот предел равен произ-
производной от значений функции и на самой поверхности а, взятой
по направлению /. Это условие называют иногда кинематиче-
кинематическим условием совместности. Если п — фиксированное направ-
направление нормали к а в точке М, то мы будем считать, что -^~- при
приближении к точке М с той или другой стороны поверхности
имеет определенные пределы, но эти пределы могут быть раз-
различными на различных сторонах поверхности.
Переходим теперь к формулировке условия, которое назы-
называют динамическим условием совместности. Оно состоит в том,
что выражение G7) при приближении к любой точке поверхно-
поверхности (п — направление нормали в этой точке) имеет одинаковые
пределы на обеих сторонах поверхности, если в обоих случаях
¦) Напомним, что С^° — это совокупность всех бесконечно дифферента
руемых функций^ имеющих компактные носители^ принадлежащие D,

44]	СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ	125
брать одно и то же направление нормали п. Мы считаем далее,
что формула G8) применима в отдельности к частям D\ и D2
области D. Это будет наверное выполнено, если функция и имеет
в D\ и D2 непрерывные вплоть до поверхности а производные
до второго порядка. Если мы применим формулу G8) для Dx и
D2, то на поверхности а мы будем иметь в этих двух случаях
прямо противоположные направления внешней нормали, так что
выражение Р(и) для написанных двух интегралов будет отли-
отличаться знаком. Складывая эти две формулы, мы получим для
всего объема D формулу G9), так как два интеграла, взятых
по о, взаимно сократятся. Итак, при сделанных предположениях
относительно сильного разрыва функции и> мы получаем спра-
справедливость формулы G9) для всего объема D.
Выведем тегЬерь некоторые важные следствия из сделанных
предположений. Пусть п—единичный вектор нормали к а. Рас-
Рассмотрим векторное произведение gradtiXn. Если через 1 обо-
обозначить орт, имеющий направление проекции grad и на каса-
касательную плоскостьчк а, так что grad a = --^-1 + тг~п> то упомя-
упомянутое векторное произведение будет равна -~-1 X п, а потому
оно является непрерывным при переходе через поверхность а.
Если мы образуем три составляющие этого векторного произве-
произведения, то получим следующие три выражения, которые, в силу
кинематических условий совместности, должны быть непрерыв-
непрерывными при переходе через о:
их cos (пу у) — иу cos (п, х) = Mi, Л
иу cos (n, t) — ut cos (n, y) = M2, f	(80)
ut cos (n, x) — ux cos (n, t) = M3. )
Кроме того, формулированное выше условие дает нам четвертое
выражение, которое также должно оставаться непрерывным при
переходе через а:
1
их cos (я, х) + иу cos (n, y) — -Q2Ut cos (/г, /) = Af4. (81)
Будем рассматривать уравнения (80) и (81) как четыре урав-
уравнения первой степени относительно'и*, иу, щ. Если бы оказалось,
что таблица коэффициентов этой системы имеет ранг, равный
трем, т. е. если бы оказалось, что хоть один определитель треть-
третьего порядка в таблице коэффициентов отличен от нуля, то мы
смогли бы решить соответствующие три уравнения относительно
^указанных выше производных, и эти производные выразились
бы через непрерывные функции Ми- При этом оказгйюсь бы, что
все производные первого порядка функции и остаются непрерыв-
непрерывными при переходе через 0, и мы не имели бы сильного раз-

126 ГЛ I, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[44
рыва. Таким образом, мы можем утверждать, что ранг упомяну-
упомянутой таблицы коэффициентов должен быть меньше трех, т. е. все
определители третьего порядка таблицы
cos (я,	у)	-— cos (п, х)	О
О	cos (п, t)	— cos (п, у)
— COS (ft,	t)	О	COS (Я, X)
cos (п,	х)	cos (nf у)	2 cos (л> О
(82)
должны равняться нулю.
Легко подсчитывается, что
А? + Л2 + Лз = [cos2 (п> *) + cos2 ("> У) ~ j? cos2 (л» О]2.
а А4 = 0, где А* есть определитель матрицы, полученной из этой
таблицы вычеркиванием k-и строки. Следовательно, равенство
нулю всех Ал равносильно равенству
cos2 (п, х) + cos2 (л, у) — Дг cos2 (л, 0 = 0.	(83)
Если \|)(jt, j/, 0 = 0 есть уравнение поверхности а, то это равен-
равенство переписывается очевидно в виде
1	.су	г\
и мы видим, таким образом, что и в рассматриваемом случае
сильного разрыва поверхность о должна быть характеристиче-
характеристической поверхностью уравнения Пи = 0. Если условие (83) вы-
выполнено, то нетрудно показать, что и все определители третьего
порядка таблицы (82) равны нулю и что Л14 является линейной
комбинацией М\у м2 и Л13, а именно, мы имеем, очевидно, при
этом
cos (n, t) М4 = cos (п, у) М2 — cos (n, х) М3.
Мы видим, таким образом, что если выполнены кинематические
условия совместности, что дает непрерывность Мь Л12, М3, и по-
поверхность а есть характеристическая поверхность уравнения
\3и = 0, то отсюда уже вытекает непрерывность выражения Af4,
т. е. динамическое условие совместности. Заметим, что в преды-
предыдущих рассуждениях мы пришли к уравнению характеристиче-
характеристической поверхности, не занимаясь вовсе исследованием решений
уравнения Ои = f, а исходя лишь из равенства G9), содержа-
содержащего выражение Оиу стоящее в левой части этого равенства.
Итак, мы доказали следующее: если функция и имеет силь-
сильный разрыв на поверхности а и удовлетворяет на ней кинемати-
кинематическим и динамическим условиям совместности, то а является

45]	МЕТОД РИМ АН А	127
характеристической поверхностью, и функция и удовлетворяет
тождеству G9) при любой реСо°(?>) (и любой oeCo(D)).
Верно и обратное утверждение, а именно: если функция ш*
имеет сильный разрыв на а, удовлетворяет на а кинематическим
условиям совместности и тождеству G9) при любом ueCo°(D),
то а будет характеристической поверхностью, а для функции и
выполняется динамическое условие совместности: скачок
[Р(и)]а функции Р{и) при переходе через а равен нулю.
Действительно, нам дано, что и непрерывна в D (так что
[и] о = 0), a [gradw]o=7^0. Из тождества G9) следует
\v[P(u)]adS =
что в силу достаточного произвола в выборе функции v [IVi; 71,
112] дает [Р(и)]а = О, т. е. динамическое условие совместности.
Наконец, так как [grad и]а Ф 0 и [их]а, [иу]о, [ш]а удовлетво-
удовлетворяют однородной системе уравнений (80), (81), то, как было
показано выше, это возможно только в случае, когда а есть ха-
характеристическая поверхность.
С точки зрения физических задач уравнение Пи = / озна-
означает равновесие внутренних и внешних сил, действующих на
элемент объема в пространстве (х, у, t)y а уравнение [Р(и)]а =
= 0— отсутствие поверхностных внешних сил, действующих на
элемент поверхности а. Из нашего анализа следует, что эта
пара уравнений эквивалентна тождеству
ий-
¦ = 0,
где v — любая функция из СТ (D)> если и обладает указанной
выше гладкостью в D\ и Дг- В [60] мы опишем более широкие
классы разрывных решений уравнения Пи = f, а также других
линейных дифференциальных уравнений, положив в основу
их определения тождества этого типа.
45, Метод Римана. Мы переходим теперь к решению задачи
Коши и начнем со случая линейного уравнения с двумя неза-
независимыми переменными, причем берем это уравнение уже при-
приведенным к нормальной форме:
L (и) = иху + а (х, у)их + Ь (х, у)иу + с (х, y)u = f (x, у). (84)
В дальнейшем часто мы не будем выписывать аргументы у
коэффициентов и свободного члена. Через L(u) мы обозначили
левую часть уравнения. Напомним, что основное условие C2),
определяющее характеристики, для написанного уравнения
имеет вид dxdy = 0, так что характеристиками уравнения (84)j

128 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [43
будут прямые х = const и у = const, параллельные осям. На«
ряду с оператором L(u), рассмотрим так называемый сопря-
сопряженный оператор, который определяется следующим образом!
V (v) = vxy — (av)x — (bv)y + cv.
Коэффициенты а и b мы считаем при этом, конечно, непрерывно
дифференцируемыми. Пользуясь выражениями для L(u) и
L*(v), нетрудно проверить следующее элементарное тождество:
2 [vL {и) —- uL* (v)] = (uxv —- vxu + 2bwo)y + (uyv — vyu-Jr2auv)x. (85)
Рассмотрим на плоскости (x, i/) некоторую область D с гра-
границей % и положим, что функции и и v имеют в области D не-
непрерывные производные первого порядка и непрерывную сме-
смешанную производную второго порядка. При этом, интегрируя
обе части тождества (85) по области D и пользуясь известной
формулой [II; 72]:
D	X
мы получим следующую формулу Грина:
= & — (uxv — vxu + 2fo/o) йл: + {uyv — o^u + 2a«y) dy., (86)
A,
После этих предварительных вычислений переходим к решению
задачи Коши для уравнения (84),
Положим, что на плоскости (х, у) нам задана некоторая ли-
линия /, которая пересекается не более чем в одной точке с пря-
прямыми, параллельными осям. Уравнение этой линии может быть
написано в виде х==х(у) или у = у(х). Мы считаем, что су-
существуют производные х/(у) и у'(х), отличные от нуля, на рас-
рассматриваемом участке линии /. Ищется решение уравнения (84)]
по заданиям Коши на I, т. е. вдоль этой линии заданы значения
функции и и ее частных производных их> иу, причем, как всегда,
должно быть соблюдено условие du = uxdx + Uydy, Мы можем
считать, что и, иХ} иу заданы вдоль / как функции только от х
или только от у.
При этом предполагается, что функция, дающая значения и
на /, имеет непрерывную производную, а их и иу — непрерывные
функции. Коэффициенты а и bt как мы упоминали выше, по
предположению имеют непрерывные частные производные, а
с и f — непрерывны в той области, содержащей /, к которой

451
МЕТОД РИМАНА
129
будут относиться дальнейшие рассуждения. В дальнейшем мы
докажем, что при сделанных предположениях задача имеет ре-
решение. Нашей задачей сейчас является построение некоторой
формулы для решения задачи в предположении, что такое ре-
решение существует.
Возьмем за область В часть плоскости (х, у)у ограниченную
дугой линии I и двумя прямыми, параллельными осям и выхо-
выходящими из фиксированной точки Р(ху у) (рис. 1). Положим, что
ъ этой области нам известно решение одно-
однородного сопряженного уравнения:
Г(я) = 0.	(87)
Применяя формулу (86) к искомому решению
и задачи Коши и только что упомянутому ре-
решению уравнения (87), мы получим, поль-
пользуясь уравнением (84),
(88)
/в с
АВ
ВР РА
Рис. 1.
Интегрирование по контуру X разбивается на интегрирование по
дуге АВ кривой / и по прямым ВР и РА, параллельным осям.
Интеграл по дуге / мы должны считать известным, так как на
этой дуге нам заданы значения искомой функции м и ее обеих
частных производных первого порядка. Рассмотрим интегралы
по упомянутым прямым. Вдоль РА меняется только ху и, следо-
следовательно, при интегрировании по РА, мы получим интеграл
• \ (uxv — vxu + 2buv) dx.
PA
Подынтегральную функцию мы можем переписать в виде
их® —• р*« + %buv = (uv)x + 2u (bv — vx),
и, следовательно, будет:
— \ (uxv — vxu -f-2buv)dx = (uv)P — (uv)A — \ 2u (bv — vx) dx,
PA
PA
где, например, (uv)P есть значение произведения uv в точке Р.
Совершенно так же интегрирование по ВР даст нам следую-
следующий результат:
— vyu + 2auv) dy = (uv)P — (uv)B + j 2u (av — vy) dy.
BP
BP

130 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ f45
Формула (88) может быть переписана следующим образом:
2v {Р) и(Р) = $ [(uxv - vxu + 2buv) dx -
АВ
— (uyv — vyu + 2auv) dy] + u(A)v (A) + и (B\ v (B) +
+ ^2u(bv-vx)dx + ^2u(av-vy)dy-2^fvde. (89)
PA	PB	D
Положим, что нам известно не какое-нибудь решение уравнения
(87), а решение этого уравнения, удовлетворяющее на прямых
РА и РВ следующим условиям:
bv — vx = 0 на РА и av —-vy = 0 на РВ,
и притом такое, что v(P)= 1. В таком случае в формуле (89)
пропадут интегралы по РА и РВ, и мы получим следующую
формулу, выражающую значение искомой функции и(Р) в точке
Р, координаты которой обозначим через (х0, у0):
2и (*о, у0) = u(A)v (A) + u(B)v (В) +
+ \ (uxv — vxu -(- 2buv)dx — (uyv—-vyu+2auv)dy—2 \\fvdo. (90)
AB	D
Выясним теперь более подробно те условия, которым должно
удовлетворять решение v уравнения (87). Вдоль прямой РА
мы должны иметь
vx = b (х, yQ) v.
Это уравнение можно рассматривать как обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение по отношению к независимой перемен-
переменной х, и, интегрируя его, мы получаем следующие значения v на
прямой РА:
х
^ Ь (х, у,) dx
v(xt yo) = e*>	(на РА).	(91)
Совершенно так же на прямой РВ мы получим
5 о. (хэ, У) dy
х) (xOt у) = еУ»	(на РВ).	(92)
При этом в самой точке P(xQi у0) мы будем иметь v(xOf yo)= 1.
Итак, решение v уравнения (87) должно иметь на прямых РА
и РВ заданные значения, определяемые формулами (91) и (92).

451	МЕТОД РИМАНА	131
Оно будет зависеть, конечно, от выбора точки (хо, уо), т. е., по
существу говоря, оно будет функцией пары точек. Обозначим
его через
v (х, у] х0, уо).	(93)
Это решение уравнения (87), удовлетворяющее условиям (91)
и (92), называется функцией Римана. Эта функция не зависит
ни от данных Коши на i, ни от вида этого контура. Для нее
точка (х, у) играет роль аргумента, а точка (хОу уо) — роль па-
параметра. Отметим, что мы могли бы доказать существование ре-
решения задачи путем непосредственной проверки того, что фор-
формула (90) действительно дает функцию и(хОу уо), которая удов-
удовлетворяет уравнению (84) и условиям на /. Такая проверка
представляет некоторые затруднения, и мы дадим в одном из
следующих параграфов иное доказательство существования ре-
решения задачи Коши.
Изложенный выше метод Римаиа приводит решение задачи
Коши к нахождению функции Римана (93). Сама эта функция
является решением однородного уравнения (87) того же типа,
что и уравнение (84), но с добавочными условиями, совершенно
отличными от условий Коши, а именно, как мы видели выше,
задаются значения только самой функции v на двух характери-
характеристиках РА и РВ, выходящих из заданной точки Р. В дальнейшем
мы докажем существование функции Римана. Заметим еще, что
основная формула (90) получена нами в предположении, что
решение задачи существует. Таким образом, если решение за-
задачи существует, то оно должно обязательно выражаться фор-
формулой (90), и тем самым доказана единственность решения за-
задачи Коши. Но остается еще показать, что формула (90) дей-
действительно дает решение задачи. Дальше мы докажем не толь-
только существование функции Римана, но и существование решения
задачи Коши, а тем самым будет доказан и тот факт, что фор-
формула (90) дает действительно решение задачи.
Считая пока все указанные выше теоремы существования
доказанными, мы перейдем к выяснению некоторых следствий
из формулы (90). Как мы только что упоминали выше, эта фор-
формула показывает единственность решения задачи. Кроме того,
из этой формулы непосредственно вытекает, что если мы доста-
достаточно мало изменим данные Коши на контуре /, то и решение
задачи изменится на сколь угодно малую величину, т. е. решение
задачи Коши непрерывно зависит от начальных данных. Кроме
того, из формулы (90) непосредственно вытекает, что значение
искомой функции и в точке Р зависит только от начальных дан-
данных, распределенных на дуге АВ линии /. Если мы продолжим
начальные данные, заданные на дуге АВ, за эту дугу двумя раз-
различными способами, сохраняя непрерывность этих начальных

А
132 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	Г4'6
данных в точках Л и В, то получим вне криволинейного тре-
треугольника РАВ два различных решения задачи Коши, т. е., точ-
точнее говоря, мы будем иметь две различные системы данных
Коши, которым будут соответствовать два различных решения
задачи Коши, но эти решения будут совпадать в криволинейном
треугольнике РАВ, поскольку начальные данные в обеих задачах
совпадают вдоль дуги АВ. Характеристики РА и РВ будут теми
линиями, вдоль которых решения, одинаковые в упомянутом
треугольнике, расщепятся на два различных решения.
Все рассуждения настоящего параграфа не предполагают,
конечно, аналитичности функций. Отметим роль того условия,
что прямые, параллельные осям, т. е. ха-
характеристики, пересекают линию/ не более,
чем в одной точке. Возьмем (рис. 2) ли-
линию /ь которая пересекается прямыми, па-
параллельными оси х, в двух точках, и по-
положим, что на ней заданы начальные дан-
б	ные Коши. Применяя метод Римана, мы
^ можем определить значение искомой функ-
функции и в точке Р; пользуясь или криволи-
Рис- 2-	нейным треугольником РАВ, или криволи-
криволинейным треугольником РВС, Полученные
две формулы дадут, вообще говоря, в точке Р разные резуль-
результаты для и, и, таким образом, задача окажется неразрешимой.
46. Характеристические начальные данные. Рассмотрим те-
теперь ту задачу, к которой привелось построение функции Ри-
Римана, причем мы будем рассматривать только случай однород-
однородного уравнения. Пусть требуется определить решение уравнения
иху + аих + Ьиу + си = 0,	(94)
если заданы значения только искомой функции и на прямых
С А и СВ, параллельных осям (рис. 1). Через (?, г\) обозначим
координаты точки С. Отметим, что если нам заданы значения и
на СВ, то мы тем самым знаем вдоль СВ и частную производ-
производную их> Но тогда уравнение (94), при подстановке у = г\ и из-
известных функций и и их> превращается в обыкновенное линей-
линейное уравнение первого порядка для функции иу вдоль СВ. Инте-
Интегрируя это уравнение, мы будем знать и значение частной про-
производной иу вдоль СВ. Точно так же, имея значение и вдоль СА,
мы будем знать и обе частные производные первого порядка от
и вдоль СА. Произвольные постоянные, получаемые при инте-
интегрировании обыкновенных уравнений первого порядка, опреде-
определятся, так как можно считать известными иу и их в точке С.
Указанные рассуждения показывают нам, почему вдоль харак-
характеристик СА и СВ достаточно задавать только значения самой
функции и. Изложенный выше метод Pi/мана будет применим

-46]	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ НАЧАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ	133
дословно и к рассматриваемой задаче, и мы получим для иско-
искомой функции формулу
+ \ ("у® — vyu + 2auv) dy + \ (u*v — VxU + %buv) dx,
ca	ев
где, как и выше, v есть функция Римана (93).
В первом из написанных интегралов перепишем подынте*
тральную функцию в виде
tiyV — vyu + 2auv = — (uv)y + 2v (аи + uy)
« произведем интегрирование. Аналогичное преобразование при-
применим и ко второму интегралу. В результате мы будем иметь
^следующую формулу:
\	\	(95)
CA	CB
Применим полученную формулу для доказательства одного
свойства функции Римана. Заметим прежде всего, что операто-
оператором, сопряженным с оператором L*(u), будет исходный опера-
оператор L(u), Действительно,
L* (v) = vxy — avx — bvy + (c — ax — by) v,
и сопряженный оператор будет:
U (и) = иху + (аи)х + (Ьи)у + (с — ах — Ьу)и =
= иху + аих + buy + cu = L (u)r
Применим формулу (95) к функции Римана и оператора L*(v).
В операторе L*(v) коэффициенты при vx и vy равны (—а) и
{—Ь), и, следовательно, функция Римана этого оператора есть
решение уравнения (94), удовлетворяющее на прямых С А и СВ
уравнениям аи + иу = 0 и Ьи + их = 0, и, кроме того, мы долж-
должны иметь м(С)=1. Точка С(?, г\) будет играть при этом роль
точки Р(хо, г/о) функции (93).
Пользуясь формулой (95) для этого частного случая, мы
придем к следующей формуле:
и (*о> Уо\ 19 Ч) = v (?, tj; xQi yQ),
т. е. функция Римана (93) оператора L(u) переходит в функцию
Римана сопряженного оператора L*(v), если переставить у нее
точки (х, у) и (хо, уо). Если выражение L*(u) совпадает с выра-
выражением L(v)y то выражение или оператор L(u) называется сим-
симметричным, и для симметричного оператора функция Римана
будет симметричной функцией тех двух точек, от которых она

134 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ D7
зависит. Принимая во внимание выражения для L(u) и L*(v)%
нетрудно написать условия, при которых L(u) будет симметрия*
ным: а = 6=0. Задача определения решения уравнения (94)
при задании значений самой функции на двух характеристиках
называется обычно задачей с характеристическими начальными
данными. Формула (95) совершенно так же, как и в случае за-
задачи Коши, показывает, что задача с характеристическими на-
начальными данными может иметь только одно решение.
47. Теоремы существования. Нам осталось доказать тео-
теоремы, устанавливающие существование решения задачи Коши и
задачи с характеристическими начальными данными. Мы нач-
начнем с последней задачи и буде,м рассматривать только случай
однородного уравнения. Требуется найти решение уравнения
(94), принимающее заданные значения на характеристиках х —
= хо и у — у0:
(96)
Считая, что коэффициент Ъ имеет непрерывную производную по
t/, мы можем переписать уравнение (94) в виде системы двух
уравнений первого порядка:
их + Ьи = w\	(97>
wy-\- aw = du,	(98)
где
d = ab + by — с,
причем для вновь введенной функции w мы получаем следую*
щее начальное данное:
w
\ушу9 = ср' (х) + Ь (х, уо) Ф (х) = <*(х).	- (99)
Рассматривая уравнение (97) как обыкновенное линейное диф*
ференциальное уравнение и принимая во внимание первое из
условий (96), мы получаем выражение функции и(х, у) через,
функцию w (х, у):
*
~ $ Ь (?, у) d\\
и(х,у) = ех<>
ч г Sb (V'y) dl>	I
Созершенно так же уравнение (98) дает нам
г	Г с
- ^ а {х, я) dr\ I » ^ а {х, nO dri'
ю(дг, г/) = е *	Me»'	d(^, п)ы(х, ri)rfri +

47]	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	135
Зти уравнения равносильны уравнениям (97) и (98) с началь-
начальными условиями (96). Вводя обозначения
$ Ъ <*'. у) dV
а (я, rtf di\'
d(x, r\), A00)
можем переписать вышеуказанные уравнения в виде
X
- 5 Ь (|, у) dl	х
A01)
, у) = е у	co(a:)
Применение метода последовательных приближений с обычным
рассуждением для установления сходимости дает доказатель-
доказательство существования и единственности решения последней си-
•стемы. Для того чтобы можно было вернуться от уравнений (97)
и (98) к (94), должна существовать непрерывная смешанная
'Производная иху- Из уравнений A01), которым удовлетворяют
непрерывные функции и(х9 у) и w{x, у), видно, что утвержде-
утверждение относительно иху имеет место, если Ь (я, у) имеет непрерыв-
непрерывные частные производные первого порядка, а г|) (у)—непрерыв-
(у)—непрерывную производную. Если подставим выражение w(xt у) из второго
из уравнений A01) в первое, то получим для и(х, у) обычное
уравнение Вольтерра с двухкратным интегралом.
Переходим к доказательству существования решения задачи
Коши. Уравнение линии /, которая несет на себе данные Коши,
может быть записано, как мы видели выше, в виде х = х(у) или
у ={/ {х)$ где х (у) и у(х) имеют непрерывные, не равные нулю,
производные. Данные Коши на / мы можем считать функциями
или независимого переменного х или независимого переменного
у. Напишем эти данные в виде
и \ХяяХ {у) = ф (у) = Ь {х)\ их \ysay {х) = ф! (*).
При интегрировании уравнений (97) и (98) мы должны прини*
мать во внимание начальные данные
и \хшХ {у) — ¦ (У); w \ушУ {х) в Ф1W + ь [** У

136 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ F47
Таким образом мы, как и выше, получим следующую ^систему
интегральных уравнений:	~~
х
- $ b(t.y)dt	х
и(х9 у) = е *V>	$(у) + ) КЛх> У\ l)w{\> y)dl,
A02)
J a(x,r\)dr)	У
= e у <*>	щ (х) + jj /С2 (х, у; т}) и (х, r\) dr\y
У(Х)
<>
где /Ci(x, у\ |), К2(х, у\ г\) определяются формулами A00). До-
Доказательство сходимости метода последовательных приближе-
приближений проводится для системы обычным образом, и таким образом
можно получить теорему существования решения. Если точка Р
расположена так, как это указано на рис. 1, то при интегриро-
интегрировании по g, в оценках, длину пути интегрирования можно заме-
заменить на (а — х)9 а при интегрировании по ц на (Р — у), где а »
(J — наибольшие значения х и у в том прямоугольнике со сто-
сторонами, параллельными осям, в котором мы рассматриваем ре-
решение задачи и где коэффициенты удовлетворяют поставленным
выше условиям, например, непрерывны частные производные
первого порядка у а и & и непрерывны с и /, что нам было надо
при проведении метода Римана. Мы могли бы рассматривать и
неоднородное уравнение (84). Достаточно при этом в правой
части уравнения (98) добавить свободный член f(x, у). Легка
доказать единственность решения, и не прибегая к методу Ри-
Римана, а пользуясь системой A02).
Можно было бы для доказательства теорем существования применить
метод последовательных приближений непосредственно к самому уравнению*
(94), совершенно так же, как это мы делали для обыкновенных дифферент
циальных уравнений. Начнем со случая характеристических начальных дан-
данных (96). Уравнение (94) с начальными данными (96) равносильно интегро-
дифференциальному уравнению
х у
5 $
у
- 5 $[«F, Л)М
Хо Уо
+ Ь F, Л) иг, A, f|) + с (|, п) и F, ц)] dl <% A03)
причем, в силу очевидного условия <р(*о) = $(уо), внеинтегральный член в>
написанном уравнении удовлетворяет начальным данным (96).
Мы можем в качестве первого приближения взять функцию
«о (*. У) — ф (х) + * (у) - Ф (*о).

47]	ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	137
Остальные приближения вычисляются последовательно по формулам
-$([-
l. л)
, п) ^"^ *° + * №. Я) Ип-1 (I» *))] d% dt\ (д -1, 2> .. .)• (Ю4)
Применяя элементарные оценки, можно показать, что последовательности
¦функций
и (у ,л дип(х, У) д"п (х, у)
»nlx. у), 	Тх	, 	Ту
равномерно сходятся в прямоугольнике R> изображенном на рис. 1, причем
мы считаем, что коэффициенты уравнения — непрерывные функции в этом
прямоугольнике. Переходя в соотношении A04) к пределу, мы убедимся без
труда в том, что предельная функция последовательности ип{х,у) удовлетво-
удовлетворяет уравнению A03) и, следовательно, удовлетворяет уравнению (94) и на-
начальным данным (96).
Перейдем теперь к задаче Коши. Пусть R— прямоугольник, содержащий
внутри себя часть кривой /, на которой заданы данные Коши, и такой, что
в прямоугольнике R коэффициенты уравнения суть непрерывные функции.
Пусть (xf у)—некоторая точка внутри этого прямоугольника. Обозначим
через Dxy криволинейный треугольник РАВ, ограниченный дугой АВ линии /
« двумя прямыми РА и РВ, параллельными осям, выходящими из точки
Р(х, у). Начальные данные Коши мы можем записать в виде
«1,-ф <*) + ¦(*); «*Ь-ф'М. «Д-¦'<*).	(Ю5)
Действительно, как мы уже упоминали выше, мы можем всегда считать, что
«ачальные данные для их и иу выражены через х или у. Интегрируя эти
¦функции, мы получим и начальное данное для и в указанном выше виде.
Уравнение (94) с начальными данными A05) равносильно уравнению
(I, ц) + с F, п) и A, п)] dl dx[.
Dxy
В формуле A03) мы писали повторный интеграл с указанием пределов, и
яри этой форме записи безразлично расположение точки Р(х,у) относи-
относительно характеристик х = Хо и у = у0. В последней формуле мы пишем двои*
«ой интеграл и берем взаимное расположение точки, кривой и осей, указан-
указанное на рис. 1. В качестве первого приближения мы берем
«о (х, у) = Ф (*) + *Ф (у),
« следующие приближения вычисляются по формулам
*. у) - «о (*. У)+\\[а F. г)) ди*-^ ^ +
+ Ь F, i0 dUn-^1' П) + с (S, г,) «„-, (I, ti)] d\ dt\.
Совершенно так же, как и выше, при помощи элементарных оценок интегра-
.лов можно показать, что последовательность ип(х,у) в прямоугольнике R

138 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ №
равномерно стремится к предельной функции, которая и является решением
задачи Коши.
Метод последовательных приближений применим и для нахождения ре*
шений задачи Коши для квазилинейных гиперболических уравнений. Для-
этого целесообразно исходную задачу Коши свести к задаче Коши с одно-
однородными начальными данными. Рассмотрим уравнение
Uxy = f(x,y, u,p, q).	(Юб>
Положим, что начальные данные Коши на кривой 1(у = у(х)) выражены
через независимую переменную х: и(х), p(x)t q(x), причем мы должны иметь
и'(х) = р(х)-\- y/(x)q(x). Будем считать, что указанные выше функции имеют
непрерывные производные. Составим вспомогательную функцию
со (*, у) = и (х) + [у — у (х)] q (x),
которая, очевидно, имеет непрерывные производные со* и со„. Эта функция со
удовлетворяет на линии / требуемым начальным данным. Вводя вместо и
новую искомую функцию: и% = и — о), мы получим для нее на линии / на-
начальные данные Коши, равные нулю. Уравнение A06) для и порождает
аналогичное уравнение для и\. Мы можем, таким образом, считать, что для-
уравнения A06) имеем начальные данные Коши, равные нулю. Предполага-
Предполагается, что функция /, стоящая в правой части уравнения, имеет непрерыв-
непрерывные производные первого порядка по всем своим аргументам для значений
(х, у), достаточно близких к линии /, и для значений (и, р, q), достаточна
близких к нулю. Уравнение A06) с нулевыми начальными данными преобра*
зуется в уравнение
и(х, у) = — J у (g, Ц, и, р, q) dl dr\,
Dxy
а к этому уравнению применим обычный метод последовательных приближе-
ний, если мы ограничимся значениями (х, у), лежащими в некоторой окрест»
ности линии /. В качестве первого приближения мы должны взять «о = ро ==•
с= q0 = О, и следующие приближения вычисляются по формулам
n-u Pn-i, Яп-i) ^l di\,
Pn (x, у) = у (x, T|, ttn-b pn-u qn-x) dx\9
BP
Яп (x, y) == \ f (Б, У, un-u pn-u Яп-\) dt
AP
AP
Заметим, что при применении метода последовательных приближений для
линейного уравнения мы могли бы, конечно, рассматривать и неоднородное
уравнение, и совершенно так же, как и выше для уравнения (94), мы мог-
могли бы привести начальные данные в задаче Коши или в задаче с характе-
характеристическими начальными данными к нулю. При этом исходное однородное
уравнение уже стало бы неоднородным для преобразованной функции.
48. Формула интегрирования по частям и формула Грина.
Формулы Грина и Остроградского являются следствиями фор*
мул интегрирования по частям A6i)^ и {ЗЬХ Для двукратных

48]	ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ	139
и трехкратных интегралов, доказанных в [II; 66,72]. Эти по-
последние могут быть записаны в единой форме, пригодной для
интегралов любой кратности, если воспользоваться интегралами
вида [fdS по гиперповерхностям S, лежащим в евклидовом
s
пространстве Rm. В них dS есть элемент площади поверхности
{он всегда положителен), а \ dS дает величину площади ги-
s
перповерхности S. В [II; 65, 142] определены все эти понятия
для случая т = 3. Для т > 3 они определяются аналогично;
в частности, если 5 задана явным уравнением
где х' = (х\> ..., Хт-\) заполняет ограниченную область Dm-i
(	)	ру
m-l
1 + ? <# (x')dx'tdx' = dxi ... dxm-u в
\ фОО) поверхности S, а
где /(л:7) есть значение / в точке д: = (х\ <р(х')) поверхности 5.
Если S есть граница какой-нибудь ограниченной области D про-
пространства Rm и если S есть гладкая поверхность^ то ее можно
разбить на конечное число кусков S*, k = 1, ..., N, каждый из
которых можно задать явным уравнением, выражающим одну
из координат xik через остальные, и интеграл \ f ds no S опре-
s
делить как сумму интегралов \ fdS, взятых по этим кускам S*.
Формула интегрирования по частям имеет вид
\ -^j- v dx = — \ и -^j- dx + \ uv cos {n, x{) dS> i = 1, ,,., m.
D l	D	*	S
A07)
Она заведомо справедлива, если D есть ограниченная область
евклидова пространства Rm, ее граница S — гладкая гиперпо-
гиперповерхность, а функции и n v принадлежат Cl(D) (т. е. непре-
непрерывны и непрерывно дифференцируемы в B = D\JS). Стоящий
в ней cos (я, Xt) есть косинус угла между направлением оси
Xi и направлением нормали п к S, внешней по отношению к D.

140 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г4Э*
Формула A07) есть следствие формулы
dx = \ w cos (n, xt) dx,
D *	D
справедливой при любом i= 1, ..., m для S и w, обладающих
вышеуказанной гладкостью. Действительно, если в ней взять
w = uvy то придем к A07).
Получим с помощью A07) формулу Грида для произволь*-
ного линейного дифференциального оператора второго порядка.
Будем предполагать, что все те производные, которые встре^
тятся нам ниже, непрерывны в ограниченной области D вплоть-
до границы и S — гладкая.
Пусть
т	т
L(u)= S aikuXtXk + Ya bkuXk + cuy	A08>
где dik, bk и с — заданные функции х. Рассмотрим интеграл
jj vL (u) dx, dx = dxx ... dxm,
D
и преобразуем его с помощью формулы A07), перенося все
производные с и на v. Это приведет нас к формуле Грина
\ [vL (и) - uV (v)] dx = \ [vP (и) - uP (v) + uvQ] dS, A10)
D	S
в которой
m
P(u)= У aik-^cos(n, x{),
= ZH'-Z^L cos(«,^),
<-l\ fe-1 л/
а /г, как всюду, единичная внешняя нормаль к S.
Определим в точках поверхности S некоторое направление
v, которое называется конормалью к поверхности S. Для этога
положим
N=<\/t \taikcos{n, xt)]	A12)

491	МЕТОД ВОЛЬТЕРРА	141
и определим направление v формулами
os(nyxi) F = 1, 2, ..., /и). A13)
При этом первую из формул A11) можно переписать в виде
т
и формулу Грина (ПО) можем окончательно переписать в виде
\[vL(u)-uL*(v)]dx =
D
M??)HS- (U4>
s
Отметим, что если выполнены равенства
т
дхк
(/=1, 2, ...> m).
то Q обращается в нуль, оператор L*(v) совпадает с L(v)9 и мы
можем записать L(u) в виде
В этом случае оператор L(a) называют симметричным. В общем
же случае дифференциальный оператор L* не совпадает с L.
Его называют оператором, сопряженным к L в смысле Лагранжа»
49. Метод Вольтерра. Решение задачи Коши для уравнений
второго порядка в том случае, когда число независимых пере-
переменных больше двух, представляет гораздо большие трудности.
Для волнового уравнения, когда начальные условия заданы при
t = 0, мы дали явные формулы для решений задачи Коши
[II; 184]. Однако метод, с помощью которого они были получе-
получены, не переносится на^ более общие ситуации. В настоящем пара-
параграфе мы изложим другой метод решения задачи Коши для
уравнений с постоянными коэффициентами. Этот метод, являю-
являющийся обобщением метода Римана, основан, как и последний, на
своеобразном применении формулы Грина. Он дает решение
задачи Коши при задании начальных условий не только на пло-
плоскости ?=0, но и «на некоторых нехарактеристических поверх-
поверхностях. По своей основной идее он близок к методам, примени-
применимым и для уравнений с переменными коэффициентами-

142 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [49
Положим, что гиперповерхность S есть характеристическая
гиперповерхность уравнения L(u) = 0 или L(u) = f, где f — за-
заданная функция независимых переменных. Пусть (о(хь ...
,.., Хщ) = 0 есть уравнение этой гиперповерхности. Величины
cos (я, xt) пропорциональны частным производным Pi = (oXi и, в
силу A13), направляющие косинусы направления v пропорцио-
т
нальны величинам ? ctikpt. Написанные суммы представляют
собой правые части уравнений бихарактеристик [41]:
и	т
-5Г=2
образующих характеристическую гиперповерхность S, и мы мо-
можем утверждать, таким образом, что если S есть характеристи-
характеристическая гиперповерхность, то направление v на ней совпадает в
каждой точке с направлением бихарактеристики, лежащей на S
и проходящей через эту точку. Следовательно, в рассматривае-
рассматриваемом случае направление v лежит в касательной плоскости к 5.
Направление v называют иногда направлением конормали на S.
Выясним теперь значение формулы Грина A14) при решении
задачи Коши. Пусть требуется найти ре-
шение уравнения
L(u) = -f,	A15)
если заданы значения и и конормальной
производной -р на некоторой поверхно-
поверхности Si. Мы считаем, что Si такова, что
на ней направление v не находится в ка-
касательной плоскости. При этом задание
и и -р на Si дает на Si и значение про-
ис* '	изводной функции и по любому направ-
направлению. Для разыскания значения и в
некоторой точке M0(x°v ..., х°), лежащей вне Sb поступаем
следующим образом. Проводим характеристический коноид
уравнения A15) с вершиной Мо и предположим, что половина
этого коноида вместе с частью поверхности S\ образует ограни-
ограниченную область Ь пространства (хи ••-, хт) (рис. 3). Затем к
области D применяется формула Грина A14), причем за и мы
берем искомое решение уравнения A15) и за v — некоторое син-
сингулярное решение сопряженного уравнения L* (v) = 0. Поверх-
Поверхность области D состоит из куска поверхности Si, на котором и

49]
МЕТОД ВОЛЬТЕРРА
143
ди
и -т- нам заданы, и из боковой поверхности Г характеристиче-
характеристического коноида. На Г направление v совпадает с направлением
касательной к бихарактеристике, лежащей на Г, и это дает воз-
возможность при интегрировании по Г произвести интегрирование
по частям. Проведем этот метод для волнового уравнения
L (и) = ихх + иуу — utt = — f (x, у, /).	A16)
Характеристический коноид есть в данном случае круговой ко-
конус, у которого угол между образующей и высотой равен — .
Оператор L(u) есть симметричный оператор, формула A12)
дает N = 1, из формул (ИЗ) получаем
cos (v, х) •= cos (n, x)\ cos (v, у) = cgs (n, у); cos (v, /) = — cos (n, i)f
откуда видно, что направление v является зеркальным отраже-
отражением направления п в плоскости / = 0. Уравнение характери-
характеристического конуса с вершиной (хо, уо, ^о)
будет
(х - х0J + (у- уоJ -if- toJ = 0. A17)
Используем следующее решение уравне-
уравнения L(v) = 0:
где
Рис. 4.
Берем ту половину конуса A17), которая обращена в сторону
убывающих значений /. На боковой поверхности Г этого конуса
~~ ° =— 1, и решение A18) обращается на этой поверхности
в нуль. Дифференцирование по v на Г есть дифференцирование
по направлению конормали на Г, т. е. по направлению обра-
образующей конуса и, следовательно, на Г мы имеем не только
v = 0, но и -^- = 0. Но решение A18) имеет особенность при
г = 0, т. е. прямая, проходящая через вершину конуса парал*
лельно оси t9 является особой линией решения A18). Выделим
эту линию круговым цилиндром Те радиуса е. Оставшуюся
часть области D обозначим через D'. Граница этой области,
кроме Si и Г, будет содержать также боковую поверхность Тг
указанного цилийдра (рис. 4). Пусть Si—часть поверхности Su
заключающаяся внутри упомянутого конуса, за вычетом того,
что находится внутри цилиндра Г8. Применим теперь формулу

144 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [49
A14). Принимая во внимание, что L(v) = L*(v), L{u) =
=—f(x, у, t), L(v) = 0 и на Г: 0=-~- = О, получим
На поверхности Тг направление v совпадает с направлением
внешней нормали, т. е. противоположно направлению г, считае-
считаемому от оси t. Обозначая через ф полярный угол в системе ко-
координат: х — Xq = г cos ф и у — уо = г sin ф, получим
На Те мы имеем г = е и, в силу A18), v будет порядка lge.
Так как elge->0 при 8-^0, то мы можем утверждать, что ин-
интеграл A20) стремится к нулю вместе с е. Далее, мы имеем
dv	dv	t — /0
=7oJ - г2 '
причем радикал надо считать положительным. На Тг
и при г-*-0 этот радикал стремится к (/0 — 0» ибо t < /0- Мы
имеем, таким образом,
где ^ — значение /, получаемое в точке пересечения прямой
г = 0 с поверхностью Si. Таким образом, формула A19) дает
2я
\и(х0, уо, Qdt = \\(v%—u%
где S2 — часть поверхности Si, находящаяся внутри упомяну-
упомянутого выше конуса. Справа стоят данные величины, и, диффе-
дифференцируя по /о, мы получаем окончательный результат:

60]	ФОРМУЛА СОБОЛЕВА	145
Мы получили эту формулу, предполагая, что решение задачи
существует. Строго говоря, мы должны еще проверить, что пра-
правая часть удовлетворяет всем условиям задачи. Это требует
большого труда* так как при изменении t0 меняется положение
конуса A17). Если S>2 есть плоскость t = 0, то решение было
нами получено раньше. Указанный метод решения задачи Коши
принадлежит Вольтерра. Его подробное изложение можно найти
в книге: Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения
в частных производных математической физики, ч. 2. — ОНТИ,
1934, гл. 6.
С формулой Грина связан и другой метод решения задачи
Коши, а именно метод Адамара. При применении этого метода
берется решение уравнения L*(v) = 0, которое обращается в
бесконечность на всей боковой поверхности характеристического
коноида (конуса A17) в случае уравнения A16)). Это обстоя-
обстоятельство требует особых предосторожностей при применении
формулы Грина и приводит, естественно, к особому новому по-
понятию интеграла.
Для уравнений
особое решение Адамара имеет вид
1 HL
|2~ 2
[т	-1~
(t-tor-Zixs-хЩ
Подробное изложение метода Адамара в применении к линей-
линейным уравнениям с переменными коэффициентами можно найти
в его книге: Le probleme de Cauchy et les equations anx derivees
partielles lineaires hyperboliques. — Paris, 1932. Применение ме-
метода Адамара к уравнениям с постоянными коэффициентами
изложено в книге: Курант Р., Гильберт Д. Методы мате-
математической физики, т. II. — М.: Гостехиздат, 1951.
50. Формула Соболева. В случае волнового уравнения с че-
четырьмя независимыми переменными мы имели формулу Кирх-
Кирхгофа [II; 212]. Пусть и — решение волнового уравнения, имею-
имеющее непрерывные производные до второго порядка в некоторой
области D пространства (х\, х% х3), ограниченной поверхностью
S. Формула Кирхгофа выражает значение и в любой точке вну-
внутри области D через интеграл по поверхности 5, причем в этот
интеграл входят запаздывающие значения и и ее производных
первого порядка. Мы видели также, что при специальном выборе
поверхности S формула Кирхгофа приводит к решению задачи
Коши, когда начальные данные заданы при / = 0 [II; 212]. Фор-
Формула Кирхгофа может быть обобщена и на случай волнового

146 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ .ПРОИЗВОДНЫМИ f5G
уравнения с любым четным числом независимых переменных?
Щг =* ихххх "Г их2х2 + • • • + их2к+\х2к+1'
и так же, как и выше, она дает для этого уравнения решение
задачи Коши (см. об этом далее в [55]).
Мы укажем сейчас обобщение формулы Кирхгофа на случай
волнового уравнения с переменным коэффициентом
ии = с2 (ху у, z) (uxx + иуу + игг)>	A22)
где с(х, у, z) — положительная функция, имеющая достаточное
количество производных. В дальнейшем вместо с(х, у, z) мы
будем часто писать с(М), где М— точка с координатами
(х, У у г).
Принимая во внимание теорию характеристик для уравнения
A22), мы, естественно, приходим к задаче об экстремуме функ*
ционала
Mi	М.
т_ С	ds __ С л/dx2 + dy2 + dz2
J~ J c(x. ушг) ~ J	c(x,ytz) *
Mo	Mo
В данном случае условие трансверсальности совпадает с уело*
вием ортогональности, и мы можем строить поле для вариацион-
вариационной задачи так, как это было указано в [42]. Пусть х(М\М0) —
основная функция центрального поля с центром Мо. Эта функ-
функция дает величину интеграла A23), взятого по экстремали от
Мо до М. Уравнение т(М; Мо) = const дает квазисферы с цен-
центром Мо при метрике, определенной формулой A23). Для функ-
функции т(М; Мо) мы имеем уравнение
grad2T(M;M0)--^?y,	A24)
т. е.
Функция т(М;М0) является, очевидно, симметричной функцией
Мо и М. Если с есть постоянная, то х(М; Мо) = -7» где г есть
с
расстояние от Мо до М. В общем случае т будет применяться
нами вместо г/с, при определении запаздывающих значений ка*
кой-либо функции и(М, t), и мы, как и в [И; 212], введем обо-
обозначение
и(М, /-т) = [и(М,/)].
Положим, что и(М> t) .есть решение уравнения A22), и для
простоты письма обозначим и(М, t — т) = и\(М, t).

>50]	ФОРМУЛА СОБОЛЕВА	147
Перейдем в-уравнении A22) к запаздывающим значениям
[utt] = c>(M)[bu],	A25)
где Д — оператор Лапласа. Выразим [Да] через и\. Мы имеем
grad щ = [grad и] — [щ] grad т,	Л
A^i = divgradw!=	>	A26)
= [Аи] — 2 [grad ut] • grad т — [ut] Дт + [и„] grad2 r, J
и,, подставляя в A25) вместо [Дм] его выражение из последнего
уравнения, получим, пользуясь A24),
-щщ [ии] = Аи! + 2 [grad и,] • grad т + [и,] Дт - [ии]щщ.
Аналогично первой из формул A26) имеем
grad —^ = [grad ut] -~ [utt] grad т,
n, подставляя выражение для [grad Ut) из последнего уравнения
в предыдущую формулу, получим следующую важную для даль-
дальнейшего формулу:
а	г» j	л dti\ A дих
Ащ = — 2 grad т • grad -^	Дт —~.
Умножим обе части этого равенства на неопределенную пока
функцию о(М):
оАи{ = - 2(т gradT . grad ^ -аЬчЩ{-,	A27)
и подберем эту функцию о(М) так, чтобы правая часть была
расходимостью некоторого вектора вида (	•— wj, где w —
вектор, не зависящий от и\\
(^)	A28)
Раскрываем правую часть:
d^- • w.
Сравнивая с A27), видим, что равенство A28) будет иметь ме-
место и w не будет зависеть от щ, если удовлетворяются следую-»
щие два равенства:
w = 2a gradT; divw = crAT.	A29)
Подставляя первое из этих равенств во второе, мы получим
уравнение для определения а:
div Bа grad т) = а Дт,

148 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [50
т, е.
2 grad а • grad т + а Дт = 0,	A30)
или в координатах
2 (ал + оуху + ozxz)+ebx = 0)	A31)
т. е. для определения а мы имеем линейное уравнение первого
порядка. Имея а, мы сможем определить вектор w по первой из
формул A29). Пусть D — некоторая область трехмерного про-
пространства (х, у, г) и vS — ограничивающая его поверхность. По*
ложим, что в области D функции а и и\ имеют непрерывные
производные до второго порядка. Применим формулу Грина
где п — направление внешней нормали на S. Пользуясь форму-
формулами A28) и A29), можем переписать формулу Грина в виде
и, применяя к интегралу, содержащему расходимость, формулу
Остроградского, получим
Возвращаясь к функции и и принимая во внимание, что
дщ 	Г ди 1	Г ди*Л дх
дп ~[дп\ L dt J дп •
получаем следующую основную для дальнейшего формулу:
1
Во всех предыдущих вычислениях мы могли считать поле не
центральным, а любым. Функция а, которая должна удовле-
удовлетворять уравнению A30), зависит, очевидно, от т, т. е. от выбора
поля. В дальнейшем мы будем иметь дело только с централь-
центральным полем и функцию а будем обозначать через о(М\Мо). Все
наши рассуждения относятся лишь к такой окрестности точки
Мо, в которой экстремали интеграла A23) не пересекаются и

51]	ФОРМУЛА СОБОЛЕВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)	14$
образуют поле. Если с — постоянная, то, как мы уже указывали,
т = г/с, и нетрудно проверить, что уравнению A30) удовлетво*
ряет функция а= 1/г.
51. Формула Соболева (продолжение). Положим, что нам
удалось построить функцию o(M;Mq) с непрерывными произ-
производными до второго порядка в окрестности точки MOi имеющую
особенность в точке Мо и удовлетворяющую следующим усло-
условиям:
1)	произведение о(М, М0)х(М\ Мо) имеет непрерывные про-
производные до второго порядка, включая точку MOi и
lim а(М; М0)т(М; М0) = т^п\	A33)
2)	а(М0; М) = а(М; Мо)\	A34)
3)	оператор Лапласа от о(М',М0) удовлетворяет неравен-
неравенству
1КШ'	<135>
где К — постоянная (не зависит от М)\
4) если Si — некоторая замкнутая поверхность, содержащая
Мо внутри себя, и п — направление внешней нормали на Si, то
при беспредельном сжимании Si к Мо имеет место предельное
равенство
lim [[ да(М'Щ) dS^-An.	A36)
Если с — постоянная, то всем этим условиям удовлетворяет
функция от = —.
Используя функцию о(М\Мо) с указанными выше свой*
ствами, мы построим сейчас формулу для решений уравнения
A22). Пусть и(М, /)—-такое решение в области D, ограничен-
ограниченной поверхностью S, и пусть Мо — точка внутри D. Положим,
что существует центральное поле с центром Af0, содержащее об-
область Д и что у нас имеется функция о(М\Мо) с указанными
выше свойствами.
Исключим из области D малую сферу Se с центром Мо и ра*
диусом е. К оставшейся области Dr мы можем применить фор-
формулу A32):
= 0. A37)
D'

150 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [51
Покажем, что при е->0 интеграл по 5е даст нам — 4яи(Мо, t).
Действительно, величины
[диЛ	дх Г да
Ж] и ЖЫ
при приближении к Мо будут ограничены; х(М\ Мо) на Se будет
порядка е, и, в силу A33), а(М\М0) на 5е будет порядка 1/е,
а площадь Se будет порядка е2. Отсюда следует, что интегралы
стремятся к нулю вместе с е. Остается интеграл
Здесь нормаль берется внешней по отношению к области Z)',
т.е. внутренней по отношению к сфере 58. На сфере и(Му t-r-x)
стремится к и(М0, t) при е-^0, и, принимая во внимание A36)
и сказанное выше о направлении нормали, мы видим, что по-
последний интеграл действительно дает в пределе — 4пи(М0> t).
Формула A37) дает нам в пределе искомую формулу
A38)
которая была построена С. Л. Соболевым.
Если с — постоянная, то о = \/г и Да = 0, тройной интеграл
пропадает, и мы получаем обычную формулу Кирхгофа. В слу-
случае переменного с (неоднородная среда) значение и в точке Мо
получается в результате запаздывающего излучения не только
из точек поверхности S, но из всей области D.
Формула A38) может быть применена при решении задачи
Коши для уравнения A22). Пусть требуется найти решение
уравнения A22), удовлетворяющее заданным начальным усло-
условиям:
A39)
Применим к искомому решению формулу A38), причем за по-
поверхность S возьмем квазисферу St с центром Мо и радиусом /,

52]	ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ (Т	151
т.е. положим, что уравнение поверхности S имеет вид т(М;
Мо) = /. При этом в правой части значения функций
г , г ди 1 г ди 1
должны быть взяты в момент времени t — т(М;М0) или, в силу
х(М\ Мо)= t, в момент времени f = 0. Принимая во внимание
начальные данные A39), мы сможем переписать уравнение
A38) в виде
где Dt — область, ограниченная квазисферой St. Двойной ин-
интеграл, стоящий справа, представляет собою известную функ-
функцию, которую мы обозначим через F(M0, t). Мы получили, та-
таким образом, для и(М, t) интегральное уравнение
и (Мо, t) = F (Мо, /) + ^ \ \ \ [и] Да (М; Мо) dv.	A40)
Dt
При выводе этого уравнения мы должны были предпола-
предполагать, что t таково, что в области Dt существуют центральное
поле с.центром Мо и функция о(М\М0) с указанными выше
свойствами.
Заметим, что при изменении Мо и / меняется и область Dt,
и уравнение A40) аналогично уравнению Вольтерра. Можно
показать, что при /, достаточно близких к нулю, это уравнение
имеет единственное решение, которое может быть получено при-
применением обычного метода последовательных приближений, и
что это решение является вместе с тем и решением поставлен-
поставленной задачи Коши для уравнения A22). Если мы имеем безгра-
безграничное пространство, то близость t к нулю обусловливается
возможным появлением особенностей у поля вариационной за-
задачи при расширении Dt. При наличии границ мы должны, ко-
конечно, считаться с приходом возмущений, отраженных от гра-
границы, что также существенно ограничивает возможный проме*
жуток изменения t.
52. Построение функции а. Перейдем к построению функ-
функции а с указанными выше свойствами. Мы покажем, что эта
функция имеет явное выражение в конечном виде, если считать
известными экстремали, образующие упомянутое выше цент-
центральное поле. Предварительно докажем две леммы:
Лемма 1. Если имеется система дифференциальных урав*
нений
^- = Xk (I, хи х2, х3) (k -1, 2, 3)

162 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
и известен общий интеграл ее
*k = Фа (*. Яь а2, а3) (к = 1, 2, 3),
то имеет место формула
1, а2, а3) dxi ~ dx2 ~ dxz
A42)
A43)
В этой формуле под знаюм логарифма стоит функциональ-
функциональный определитель от функций A42) по аи #2, Яз, и в правой
ее части Xk надо заменить функциями A42). Выпишем упомяну-
упомянутый только что определитель и продифференцируем его по t.
Принимая во внимание основное определение определителя в
виде суммы произведений его элементов, мы можем утверж-
утверждать, что при дифференцировании определителя достаточно про-
продифференцировать в отдельности каждый его столбец и затем
сложить все полученные определители [ПЬ; 122]. Таким обра-
образом, мы получим
d
dt
D (фь Фг, Фз)
D (аи а2, а3)
dai dt dai
da2 dt da2
daz dt daz
z
da2
daz
dai
da2
daz
02Ф2
da{dt
da2dt
dazdt
*P3
z
даг
дф3
daz
«*, «f,
да[ да i
дф1 дфг
даг даг
да3 даз
da{
dh
да2
д2
daz
dt
dt
Фз
dt
A4
4)
Принимая во внимание, что функции A42) должны удовлет-
удовлетворять системе A41), мы получаем следующие тождества от-
относительно / и ал:
¦ = Xk(t, фь ф2, Фз) (k=l, 2, 3).
dt
Дифференцируя эти тождества по а5, будем иметь
аЛ. оф.
dasdt
а*; да4
Подставляя эти выражения вторых производных в правую часть
формулы A44) и разлагая каждый определитель на сумму трех
определителей, будем иметь
d D (Фи Ф2, фз) __ ( дХх . dX2 ¦ dXz \ />(ф!, ф2, Фз)
dt D {au a2t a8) V дхх ^	^ )'
что и дает формулу A43).
dx2 ^ dxz )' D {alt a2, a3) э

52]	ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ в	15Э
Лемма 2. Пусть t — единичный вектор касательной к не*
которому семейству кривых, зависящему от двух параметров и
заполняющему трехмерное пространство или некоторую его
часть, и б —функциональный определитель преобразования от
декартовых координат к криволинейным, причем за криволиней-
криволинейные координаты принимаем два параметра ах и а2у определяю-
определяющих линию упомянутого семейства, и длину дуги s вдоль этой
линии, отсчитываемую от некоторой поверхности, которая пере*
секает все линии семейства, или от точки, где все эти линии пе-
пересекаются. При этом имеет место формула
divt = l|*-.	A45)
Писть X(x,y,z), Y(x,y,z), Z(x,y,z)—составляющие вектора t
в точке (x,y,z). При этом кривые семейства удовлетворяют си-
системе дифференциальных уравнений
dx 	у9 dy 	yt dz 	у
ds	' ds ' ds *
Так как правые части не содержат s, одна из произвольных по-
постоянных so будет входить в качестве слагаемого к s, и общий
интеграл системы будет иметь вид
х = ф1 (s + so, аь #2); У — Ф2 (s + s0, au a2); z = ф3 (s + s0, аь а2).
Применяя предыдущую лемму, получим
Aivi=dX I dY I dZ _ д } Р(фьф2, Фз)
дх * ду ' dz ds ^ D (s0, au a2) *
и, принимая во внимание, что
dap* dapy
dsQ	ds
мы и получаем формулу A45).
Вернемся теперь к рассмотренному выше центральному полю
экстремалей с центром Мо и к уравнению A30), которому
должна удовлетворять функция а. Вектор gradt касается экстре-
экстремали, и из A24) следует, что -^~- = п (М), где п(М)— 1 :с(М).
Принимая это во внимание, можем переписать уравнение A30J
в виде
2 д(Уд{™] п(М) + а(М) Лт (М) = 0,
причем длина дугр s отсчитывается от точки Мо.
Для вычисления Ат(Л1) используем лемму 2. Мы имеем

Ш ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТВЙМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г52
где t — единичный вектор касательной к экстремали поля. От-
Отсюда
div grad т (М) = Дт (М) = t • grad п (М) + п (М) div t.
Первое слагаемое справа есть производная от п{М) по st
а второе, в силу леммы 2, равно
и уравнение для о(М) переписывается в виде
или
о dig a _ dlg/t dig 6
ds	ds	ds
откуда, интегрируя, получаем
где хР{а\,п2)—произвольная функция своих аргументов. В ка-
качестве параметров а\ и аг возьмем угловые координаты О0» фо
сферической системы координат для направления касательной к
экстремали в точке Мо. Предыдущая формула при этом запи-
шется в виде
о(М)=	Ч"*'^	.	A46)
Вид функции Чг(#&о, фо) мы определим из первого из условий
для функции о(М)у указанных в [51]. Это условие имеет вид
lim
Принимая во внимание вид интеграла A23), мы можем
написать
где интегрирование производится вдоль экстремали. Применяя
теорему о среднем, получим
и предыдущее условие для о{М) может быть записано в виде
lim a (M) 5=1.	A47)
0
Заметим, что при s-*Q точка М стремится к

52]	ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ОТ	155
Для исследования функционального определителя, стоящего
в формуле A46), обратимся к формулам, установленным
в [IVi; 90] для канонических переменных в задаче о геодезиче-
геодезических линиях. В данном случае
и канонические переменные имеют вид
рг = 2п2 (М) х'; р2 = 2п2 (М) у'\ р3 = 2л2 (М) z'.
Мы имеем следующие начальные условия
х'о = sin d0 cos ф0; y'Q = sin d0 sin ф0; z'o = cos d0
и
р10 = 2п2 (Mq) sin d0 cos ф0; р2о = 2п2 (Мо) sin #0 sin ф0;
Уравнения экстремалей поля будут:
x = <f\(ri9 r2, rZi хо, уо, Zq); ^/ = Ф2( ); г = Фз( ), A49)
где гн = spko и фл — функции, имеющие непрерывные производ-
производные до некоторого порядка. Дифференцируя первую из формул
по 5 и полагая затем 5 = 0, получим
sin flo cos фо = (Sp)s=0 Pio
Пользуясь.формулами A48) и произвольностью Фо и фо, по-
получим
Пользуясь и остальными формулами A49), получим следую*
щие общие формулы:
=1:2пЦМйУ> (%) =0 (l+k).
-о	\ ar/ /s=o
С помощью формул A48) и A49) мы можем составить функ-
функциональный определитель от функции ф* по переменным 5, до,
Фо. При дифференцировании по до и фо через посредство гь. мы
получим множитель s, и два столбца этого определителя будут
содержать этот множитель. Деля определитель на s2, мы перей-
перейдем к пределу, устремляя s к нулю. В результате придем к ра-
равенству
sin do cos фо cos О0 cos <р0 — sin д0 sin ф0
	(*, у, z)	s-n ^ s-n ^ cos ф^ sin ^ sin ^ COS(p0
cos d0	— sin d0	0
= sin

156 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г53
Для определения произвольной функции в формуле A46)
умножим обе ее части на s и устремим s к нулю. Пользуясь
последней формулой и формулой A47), будем иметь
1= ^°'фо)==, т.е.
У я (Мо) sin Ф
и окончательно мы получаем следующее выражение для функ-
функции а:
~(лл ал \ / п (Мо) sin ftp	/icm
а(М, Мо) = л /	n(Y u , •	A50)
Можно проверить, что Vra функция имеет все свойства, ука-
указанные в [51]. Если п(М) = const, то (s, Фо, Фо) суть обычные
сферические координаты точки М, и последняя формула дает
53. Общий случай начальных данных. Положим теперь, что
начальные условия заданы не на плоскости t = 0, а на какой-
либо поверхности с уравнением / = ф(М):
= /о(А*); щ \ЫЩМ) = /, (М).	A51)
Будем решать задачу при t>q>{M). Вместо гиперсферы
Мо) = t рассмотрим поверхность
/,	A52)
и предположим, что при всех положительных значениях раз-
разности [t — ф(М)], достаточно близких к нулю, поверхность
A52) есть замкнутая поверхность трехмерного пространства,
содержащая точку Мо внутри себя, причем часть пространства,
которая заключается внутри этой поверхности, определяется не-
неравенством
%{М\ МО) + Ф(М)</.	A53)
Применим теперь формулу A38), приняв за S поверхность A52).
При этом ё подынтегральной функции интеграла по 5 мы бу-
будем иметь
[и] = u(M;t-x) = u [М; Ф (М)} = f0 (М); [и,] = f, (М).
Покажем, что и -г~ выражается через начальные данные.
Мы имеем
а/о (М) _ ди [М; ф (М)] _ ди (М; t) |	, ди (М; /) I	ду(М)

sag	общий случай начальных данных	157
откуда
ди (М, t)
дп	*-ф(М)
df0 (М) ди (М, О 1	ду(М)
т. е.
ЛМ)
Га«(Л!;О1
L а^—J=
Вводя обозначение
F(M0) t) =
(Л1 М)
мы получаем для u(Mo\t) уравнение, аналогичное A40):
и (Мо; t) = F (Af0; 0 + -^г J $ $ [«] Да (М; Щ dv. A54)
Как и выше, оно может быть решено методом последовательных
приближений и дает решение задачи Коши при условиях A51).
Точное проведение всех доказательств требует наличия некото-
некоторого числа непрерывных частных производных у функций с(М),
h(M)U(M)(M)
Выясним х^вязь поверхности A52) с теорией характеристик.
Характеристический коноид уравнения A22) с вершиной (MOit)
имеет в четырехмерном пространстве (М\ ti) уравнение
tx = t — x(M\ Mo),	A55)
где t\ и M(x,y,z) — текущие координаты, a t и Мо — параметры.
Поверхность A52) представляет собою геометрическое место
тех точек трехмерного пространства, которые имеют те же ко-
координаты (ху у, г), что и точки пересечения характер истического
коноида A55) с поверхностью t\ = ф(М). четырехмерного про-
пространства, т.-е. поверхность A52) есть проекция указанного пе-
пересечения в трехмерное пространство (х, у, г). Для наглядности
представим себе, что все происходит в трехмерном простран-
пространстве (x9y,t\). Уравнению A55) соответствует обычная поверх-
поверхность конического типа. Эта поверхность пересекается с поверх-
поверхностью ?i=q>(x, у) вдоль некоторой линии. Проекция этой
линии на плоскость (х, у) должна быть замкнутой линией /,
которая и есть аналог поверхности A52). Проекция вершины
коноида на плоскость (лс, у) должна попасть внутрь /, и трех-
трехмерный интеграл формулы A54) имеет своим аналогом двой-
двойной интеграл по части плоскости (х,у), лежащей внутри /. Эта
область зависит, конечно, от положения вершины (я<>, #q, t)

158 ГЛ. Г. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ |Б&
коноида. Если эта вершина приближается к некоторой точке
(a:q, у'о, /') на поверхности U = ф(х, у), то линия должна стяги-
стягиваться в точку (х'о, у'о). Совершенно аналогично замкнутая по*
верхность S должна-стягиваться к точке Мо, если вершина ко*
ноида A55) стремится к некоторой точке {Mq> /') на поверхно-
поверхности t\ = ф(Л4).
Все эти геометрические свойства поверхности S, необходимые
для строгого доказательства существования задачи Коши, свя*
заны с тем, что касательная плоскость к поверхности t = cp(Af).
не должна слишком отклоняться от плоскости t = 0. Можно по*
казать, что это условие может быть записано в виде
-ггщ-.	A66)
При этом существенно, что функция с2(М) связана с т(М\М0))
уравнением A24). При соблюдении условия A56) говорят, что
поверхность t = (p(M) пространственно ориентирована. Для бо»
лее общего уравнения гиперболического типа
utt— Zu aijUxiXj+ ..• =0,
где и — функция независимых переменных хих2у *,., хт, гово*
рят, что поверхность t = <р(хи х2, ..., хт)— пространственна
ориентирована в некоторой своей точке, если в этой точке вы-
выполняется неравенство
m
Описанные нами конструкции и формулы и их применения к
решению задачи Коши для уравнения A22) были предложены
в работах С. Л. Соболева (Тр. сейсмологического ин-та АН СССР,
1930, № 6 и 1934, № 42). Они были перенесены В. Г. Гоголадзе
на более общие линейные уравнения гиперболического типа с
четырьмя независимыми переменными (ДАН СССР, 1934, l)t
Далее в работе С. Л. Соболева (Матем. сб., 1936, 1 D3), № lf
с. 39—72) указанный метод был распространен на общие линей*
ные уравнения гиперболического типа с четным числом незави-
независимых переменных. В следующем параграфе мы укажем на те
изменения, которые вносятся в изложенный метод для более
общих уравнений, что и было сделано в работе В. Г. Гоголадзе,.
а потом изложим распространение метода на любое четное число
независимых переменных лишь для волнового уравнения с по-
постоянным коэффициентом с2л

54]	ОБОБЩЕННОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ	159
54. Обобщенное волновое уравнение. Рассмотрим вместо
{122) более общее уравнение:
з	з
1	v»	. v1 и i и	/1С7,
—2~ lift = У CliUxfXf + У UiUx, "г" *Ш>	(IDi)
где коэффициенты ar-, bi, с и h — функции независимых перемен-
переменных хи Х2, xz, причем щ больше некоторого положительного
числа. Вместо функционала A23) строим функционал
м,
где
3 2
?-1 '
Основная функция х(М\М0) центрального поля удовлетворяет
следующему уравнению:
Как и в [50], определяется запаздывающее значение какой-либо
функции u(M\t). Вместо A31) получим следующее уравнение
для функции а:
2 ? ailXiaXi + а ? [а,т,А + B -^|— 6|) т, Л = 0. A61)
Условие A33) принимает вид
Игл а (М; Мо) т (Af; Afo) = -4=f (л(М) = тщг) • A62>
vi44
где а?— значение функции щ в точке Мо. Вместо A35) имеем
оценку
оценку
где L(a)"—правая часть уравнения A57) и К — постоянная, и
формула A36) принимает вид
lim WY, aiOxi cos fe xi) dS = — 4n.	A64)

160 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г55
Вместо A38) имеет место формула
D
где
з	з
р(у)= YiaiVxtcos^ Xi^ r = Yjyw~~ьчcos(n> x^
fa
причем L*(o) есть оператор, сопряженный с L(o). Пользуясь
формулой A65), можно, как ив [51], привести задачу Коши с
начальными условиями A39) к интегральному уравнению
и (Л*о; 0 = F (А10; 0 + -^ \ J \ [и] Г (a) dv.
D
Отметим, что в записи уравнения A57) имеет место некоторая
неопределенность, связанная с тем, что мы можем различным
образом выделять множитель с2. В частности, умножая обе ча-
части уравнения на с2 и включая эту функцию в коэффициенты
уравнения, мы можем считать с s= 1.
Дли функции а(М\М0) можно получить формулу, аналогич-
аналогичную A50):
\ п(М0) sin ftp?0 l~1'		паа.
q) = 	п( 	-т			,	A66)
п(М)	' / о п о
D (s, до, Фо)
где s — длина дуги экстремали, соединяющей Мо с М, причем
ds2 вычисляется по формуле A59).
55. Случай любого числа независимых переменных. При-
Применение метода С. Л. Соболева для случая многих независи-
независимых переменных требует введения нескольких функций а. Мы
изложим применение этого метода для волнового уравнения с
постоянным коэффициентом:
2/г-Ы
~rutt

55J	СЛЪ Ч\П ЛЮБОГО ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	161
(см. Соболев С. Л. Об одном обобщении формулы Кирх-
Кирхгофа.—ДАН СССР, 1933, 1).
Через М мы будем обозначать точки в пространстве R2k+l
с координатами (х\, ..., *2/ж)« Кроме того, будем рассматри-
рассматривать пространство R2k+2 с координатами (х\, ..., *2*+ь fi) или
{M;t\). Характеристический конус для A67) с вершиной (Мо; t)
имеет в R2k+2 уравнение
'i=<-7-	A68)
где
г2=1(^-^J.	A69)
Через [ф] обозначается, как и выше, запаздывающее значение
функции ф:
т. е. значение ф на нижней относительно t половине конуса
A68). Как мы уже отмечали [40], на характеристической по-
поверхности имеются соотношения между функцией и, удовлетво-
удовлетворяющей уравнению A67), и ее производными. Установим эти
соотношения для производных от и по t:
(s = 0, 1, 2, ...),	A70)
причем мы будем рассматривать us как функции в R2k+l. Отме-
Отметим предварительно, что основное уравнение A24) имеет в дан-
данном случае вид
(^J^	A71)
Производя дифференцирование функции us по координатам
как непосредственно, так и через посредство аргумента \t -™)'
мы получаем, пользуясь легко проверяемой формулой
grad u8+x • grad - = [grad -^J . grad - - \^w\ grad2 -,
где точка обозначает скалярное произведение в R2k+lf следую-
следующую формулу:
Ды5 = — 2 grad us+l • grad ~ — и5+1Д ^.	A72)
Вводя оператор
г	г	2 2Ш х - д:@)	v
- — v&j = — — J] ? r l ^ — yAr,
A73)

162 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[55
можем переписать A72) в виде
&us= L(us+\).	A74)
Это и есть те соотношения, которые выполняются на конусе
A68). Оператор L удовлетворяет соотношению
vL (w) + wL (v) == — div \2vw grad ~J .	A75)
Для степеней г мы имеем
br* = Bk + s-l)sr*-*; L(rs) = -^(s + k)r*~\ A76)
Вводим функции or.
Bk — 2) Bk -
(J . =2
(/=1, 2, ..., ?-1).	A77)
Мы имеем
= A<V, До* = 0 (/=1, 2, ...r~fe— 1). A78)
Пусть D — некоторая область пространства R2k+\ не содержа-
содержащая точки Mq. Составим интеграл кратности BА+1):
... dx2k+l. A79)
Из A74) и A78) следует, что этот интеграл равен нулю. Прини-
Принимая во внимание A75) и формулу
v Aw — w &v = div (v grad w — w grad v),
можем преобразовать интеграл A79) в интеграл по поверхности
S, ограничивающей область Z). Учитывая еще формулу
диа = Г*+11|1 _ Г
Г ds+lu 1 аТ
мы можем написать
k
где п — направление внешней нормали на 5. Если область D
содержит точку Mq внутри себя, то предыдущая формула приме*

56]	ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО	163
няется после выделения Л10 малой сферой. Переходя затем
обычным образом к пределу, получаем следующую формулу:
¦>ft-s-fl
1Ф- <180>
где постоянная А определяется формулой
2/г-1
2fe-l 2Л-1
2 Bfc ~ 1) П 2
При 2&+1=3 формула A80) совпадает с формулой Кирх-
Кирхгофа. Если за поверхность S взять сферу с центром Мо и ра-
радиусом ct, то запаздывающие значения производных функций и
выразятся через начальные данные для и и щ при / = 0, и мы
получим в явном виде решение задачи Коши, которое мы имели
раньше в другом .виде [II; 184], Совершенно так же, используя
формулу A80), можно решить задачу Коши и для того случая,
когда начальные условия даны на поверхности ti = y(M). От-
Отметим, что под знак интеграла будут входить и производные
от начальных данных, так что для решения задачи нам надо
требовать непрерывности производных от начальных данных
до определенного порядка, зависящего от k, что мы отмечали
и раньше. В работе С. А. Христиановича (Матем. сб., 1937, 2,
№ 5) этот метод был распространен на нелинейные гиперболиче-
гиперболические уравнения.
56. Энергетическое неравенство. Рассмотрим уравнение ги-
гиперболического типа, имеющее вид
() Y, kXik+Y*biUXi + cu — utt = f,	A81)
в котором dthj Ь1у с и / зависят от (xi, ..., xn,t)> причем Ъи с и
f — непрерывны, a alk имеет непрерывные производные первого
порядка в областях пространства (х\, ..., xn,t), о которых мы
будем говорить ниже. Поскольку мы считаем A81) уравнением
гиперболического типа, будет иметь место неравенство
Е fl gg >vEe (v>0),	A82)
причем мы будем считать, что v — положительная постоянная

164 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г53
для упомянутых выше областей. В дальнейшем, для большей
наглядности, мы будем считать, что п = 2, так что будем рас-
рассматривать трехмерное пространство с координатами (х\, х2, /)«
Рассуждения переносятся и на общий случай.
Наша задача — дать оценки для решений уравнения A81)
через начальные данные и коэффициенты. Из этих оценок сразу
будет следовать, между прочим, единственность решения за-
задачи Коши и непрерывная зависимость его от начальных дан-
данных. Наши последующие рассуждения будут сходны с теми, ко-
которые мы применяли при доказательстве единственности задачи
Коши и предельной задачи для волнового уравнения в [II; 192].
Для этого предварительно докажем следующую лемму.
Лемма. Если неотрицательная, абсолютно непрерывная
функция w(t) удовлетворяет при почти всех />0 неравенству
dwd{P <cx{t)w (/) + с2 (/),	A83)
где ct(t) — интегрируемые функции, тогда
*	Г	*	1
JdtfiXHi	'	-$ cAtx)dtx
0	\w(Q) + )c2(t2)e »	dt2l A84)
Если к тому же С\ {t) ^ 0, то при почти всех t > О
и
Г	±	и	1
U@)+J<:2(/2)e °	dt2 \
c2(t).
A85)
Из A84) и A85), в частности, следует, что если C\(t) есть
положительная константа Съ a c2(t) — неубывающая функция, то
w(Q<w @) #« + ^f± c2 (/)	A86)
и
^<[ciw@) + c2(t)]e°«.	A87)
Действительно, умножим обе части неравенства A83) на
е °	и результат запишем в виде
t	t
Интегрируя это неравенство по t от нуля до t, получим оценку
рру	р	у	, у	у
A84). Из нее и A83) в случае Ci(t)^O следует A85). Лемма
доказана.

*56]	ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО	165
Пусть в некоторой области, примыкающей к плоскости t = О
В расположенной в полупространстве, где t > 0, имеется реше-
решение уравнения A81), непрерывное с производными до второго
порядка вплоть до ее границы. Предположим, что в ней содер-
содержится область D типа усеченного конуса, нижнее основание
которого В@) лежит на плоскости t = О, верхнее В(Т) на пло-
плоскости t = Т > 0, cos (я,/) на боковой поверхности S положи-
положителен и S ориентирована пространственно-характеристическим
образом, т. е. на ней
2
cos2 (n, t) — 2 aik cos (п, xt) cos {ny xk) ^ 0	A88)
(напомним, что нормаль /г к 5 направлена вне D). Обозначим
^через B(t\) сечение D плоскостью t = t\. Рассмотрим равенство
t	t
JJ 2utL{u)dxxdx2dtl = -\ ЭД 2utfdxldx2dtl A89)
В (tt)	О В (ti)
для * e [0, T]. В силу тождеств
д 2	2	2
s t	i	i и	I	*
xk>
равенство A89) можно преобразовать, используя формулу
A07), к виду
2
' Г 2
+ S S г Ё aikuxkutcos («• **)
0 dB(ti) L /,Л-1
os (n> t] d? dti
2utfdXidx2dtu A90)

166 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [5$
где dB(t\) есть граница B(t\). Подынтегральное выражение,
стоящее в третьем члене, неотрицательно, ибо оно лишь поло-
положительным множителем cos (я,/) отличается от суммы
2
2] uik Ых, COS (tt, /) — Щ COS (ft, Xi)) (иХь COS (п, t) — Ut COS (и, Xk)) +
2
+ u) (cos2 (n, /) — ? aik cos (я, *,) cos (/г, xfe)J,
в которой первое слагаемое есть форма вида /L 0/*!^, кото-
рая неотрицательна при любых ?/, а второе неотрицательно в
силу предположения A83). В силу этого из равенства A90) сле-
следует неравенство
*«<«
0 B(t)
$$$
0 B(ti
^ 2utfdx{dx2dtu A91)
где
B(t)
dXy dx2.
Положим, что имеют место неравенства
да,
dt
где Со — некоторое положительное число. Тогда
A92)
A93)
Далее, мы имеем
Но, в силу A82),
i-1 Uk~\

$6]
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
167
л, следовательно,
2
да
ik
UxiUxk
О B(U) i,k-\
где C\ — положительная постоянная, зависящая от коэффициент
тов. Совершенно аналогично
О BU)
где Сг — постоянная, аналогичная С\. Обозначим
L(t)=
Применяя неравенство |2а
ние, что
получим
B(t)
:2.	A94)
и принимая во внима-
(П5)
5 5j
Q B(U)
Далее из
где
2 и A95) получим
JJ 2]utdxxdx
B(U)
A96)
Подставляя подученные оценки в A91), будем иметь
t	t	t
+ (Ci + C2 + C3 + 1) \ К (/,) rf/i + C3 5 L (/,) Л, + J M (/,) dh. A97)
О	0	0
Переходим к оценке L(t). Возьмем интеграл
t
О В {tt
О В {ti

168 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г5?
Его можно рассматривать как тройной интеграл по области Dtr
ограниченной снизу плоскостью t = О, сверху — плоскостью по*
стоянного t и сбоку — указанной выше поверхностью S, на кото-
которой cos (я, /)>0. Применяя формулу Остроградского, легко по»
лучим неравенство
$ и2 dxx dx2- 5J и2 dxx dx2,
В (t)	В @)
т. е.
t
5 J и2 dxx dx2 < J 5 и2 dxx dx2+\ \\ 2umx dx{ dx2 dtu A98)
В (t)	В @)	OB (*0
откуда, в силу 12uuti | ^ и2и + и2 и A95), следует, что
t	t
L (/) < L @) + \ К (/,) dh + \ L (h) dtx.	A99)
о	о
Складываем A97) и A99):
(Kt) + L(t)^
< К @) H- L @) + С \ [К (h) + L (h)] dh.+ J M (h) dh, B00)
0	'	0
где постоянная С = C\ -f- C2 + C3 + 2 зависит от величины коэф*
фициентов а»*, &^, с и производных от а,*. Воспользуемся теперь
неравенствами A86) и A87). Функция w(()=^[K(t\) +L(U)]dt%
о
удовлетворяет условиям леммы с
Поэтому для нее верны оценки
t
t	-
— S [K(tx) + HU)]dtx<-?^=±U + 5^(«*!
о	L 0	J
и
*»& ~K(t) + L (t) < ^ Г б + ( М (tx) dt],	B01)
L о	J
где б = /С@) + L@). Их называют энергетическими.

ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ	169
В силу предположения A82)
B(t) ,
Не ограничивая общности, можно считать, что v, входящее в
условие A82) удовлетворяет неравенствам 0<v^ 1. Тогда из
неравенства B01) следует оценка
.u*\dxdx<?-\[tfr а и и -
) 1 2^ -у	JJ\ L lk xt xk
А	г гг	1
-щ-\-и2 I d^! ^лг2 + \ \ \ / rf^i ^-^2 dt\ .
у	J J J	I
\\\	B02)
OB (tx	J
Она справедлива для всех t из [0, Г] и для любых областей
описанного выше типа Постоянные С и v в ней определяются
только коэффициентами уравнения A81) и не зависят от взя-
взятого решения и и свободного члена f.
Приведенные в этом пункте оценки имеются в работах
«Фридрихса, Леви, Шаудера
57. Теоремы единственности и непрерывной зависимости ре-
решений. Из доказанных неравенств легко следует теорема един-
единственности решения задачи Коши и непрерывная зависимость
решения туг начальных данных и свободного члена уравнения.
Рассматривая разность двух решений задачи Коши при одина-
одинаковых начальных данных, мы приводим теорему единственности
к следующему, если свободный член / в уравнении A81) равен
яулю и начальные данные имеют вид
u\t.Q = ut\M = 0,	B03)
то и решение задачи должно быть и ss 0 Проведем через ка-
какую-либо точку (xf\ x^\ tf@)) характеристический коноид и по-
положим, что он вместе с плоскостью / = 0 образует область D
указанного выше типа. Пусть u(xux2yt) —решение задачи при
f = 0 и с начальными условиями B03), непрерывное вместе с
производными до второго порядка в области D. Мы можем при-
применить, например, неравенство B01), причем из сказанного
выше следует, что 6 = 0. Таким образом
!(/) =
B(i)
я, следовательно, u ^ 0 в D. Это утверждение сохранит свою
силу, если однородные начальные условия B03) имеют место

170 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [57'
не на всей плоскости (х,у), но лишь на основании В@) обла*
сти D, ибо при этом одном 6 = 0. Отсюда можно заключить,
что значение решения однородного уравнения A81) в точке
(xf\ х?\ /@)) зависит от значений начальных данных только на
основании В@) характеристического коноида с вершиной (xf^xf*,
/@)). При этом предполагается, что этот коноид вместе с пло-
плоскостью t = 0 образует область D указанного типа.
Совершенно так же, как 'и выше, непрерывная зависимость
решения от начальных данных сводится к тому, что если / = 0,
и функции фо(*ь#2) и (pi(#i,X2), входящие в начальные условия
и к-о = Фо (*ь *2>; Щ 1*-о = Ф1 (х\, х2),	B04)
малы (в каком-либо смысле), то в известном смысле и решение
u(x\>X2it) также мало. Положим, что малость начальных дан-
данных мы понимаем в том смысле, что интегралы L@) и /С@) —
малы, т. е. положим, что мы имеем неравенства L@)^e и
/С@)^8, где е — малое положительное число. При этом из
B01) непосредственно следует, что L(t) и K(t) во всей области
D' имеют оценку вида
Непрерывную зависимость от начальных данных можно дока-
доказать не только в смысле оценок интегралов K(t) и L(/), но и &
смысле оценки абсолютного значения самой функции, если
п = 1, т. е. если мы имеем две независимые переменные х\ и /.
Это непосредственно следует из метода Римана [45], если
уравнение приведено к той канонической форме, которая была
принята при применении метода Римана. Если число независи-
независимых переменных больше двух, то, пользуясь указанными нера-
неравенствами, нельзя из малости |фо| и | срi ] получить малость
\и\ (при / = 0). Рассмотрим при помощи выведенных выше
неравенств случай п=\.
При этом мы имеем независимые переменные (х> t), и об-
область D есть трапеция АВВ\А\ с криволинейными/ вообще го-
говоря, боковыми сторонами. Прямая А\В\ имеет уравнение t=T.
Положим, что x = ^\(t) есть уравнение стороны АА\ и х =
= |2@—стороны ВВ\. Мы считаем, что не только функции
Фо(*) и <pi(*), входящие в начальные условия B04), но и про-
производная <ро(я) малы по абсолютной величине. При этом и ин-
интегралы от квадратов этих величин по основанию АВ области />
будут малы, и тем самым будут хмалы величины L@) и /(@),
причем в данном случае мы имеем
hit)
J
hi
hit)
J
hit)

Ъ7\
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ
171
где а(х,/)^т>0. Из малости L@) и К{0) следует, в силу
указанных выше оценок, малость величин L(t) и K{t) при О^С.
^ / ^ Г, откуда мы можем заключить о малости интегралов
hit)	|а @	bit)
J u2(x,t)dx\ J u2x(xft)dx; $ u)(x,t)dx. B05)
hit)	hit)	hit)
Положим, что эти интегралы не превышают некоторого положи-
положительного числа г]. Мы имеем, применяя неравенство Буняков-
Буняковского,
Г X	П2	X
= \ ux(x'>t)dx'\ < J и*(х', t)dx
откуда
(О
{^ (л:, 0-м (Б! @, О}2 < ar\
(t) < x < g2 (/)],
B05)
где а = ?2 @)—Si@) в D.
Благодаря неравенству Буняковского получаем оценку
[x	2
J \u(x', /)|d*'J
Из B06) следует
и Ri @> /] = и (х, t) + v (х, 0, где | и (х, 0 I < л/^П • B08)
Интегрируя обе части по х в пределах gi(/) ^ л: ^ ^2@ и поль-
пользуясь B07), получим
UBiWtflK^+V^.	B09)
где & равно _разности ^(Г)—h(T), так что |w[&i@»^]|^
^ A + b~l) л/ац. Пользуясь B08), получаем, на основании ука-
указанного только что неравенства, оценку
\и(х9
B10)
где г\ — оценка интегралов B05), а & = ?2GЧ) — h(T). Таким
образом, мы и имеем искомою оценку \и(ху t)\ во всей обла-
области Д считая Ъ > 0. Переходим теперь к оценке решения и(ху t)
в зависимости от свободного члена /.
Положим, что при однородных начальных условиях B03)
свободный член / отличен от нуля. Пусть |/|^-М0, где Мо —
положительное число; тогда, используя A96) и B01), получим
2ct.	B11)

172 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[5&
Можно использовать оценку не |/|, а величины M(t\), входящей
в формулу B01).
Интегралы K(t) и L(t) для разности и2 — щ двух решений
щ и «2 уравнения A81) с различными свободными членами, но
с одинаковыми начальными условиями, сколь угодно малы, если
достаточно мало абсолютное значение разности |/г — fi|*
При п = 1 мы, как и выше, можем получить отсюда оценку
и для \и2 — п\|.
58. Случай волнового уравнения. Легко увидеть (см. A91))*.
что для решений однородного волнового уравнения
Еи*л-и«	B12>
энергетическое неравенство имеет вид
-1	'	В @) ^t«
где dx = dx\ ... dxn. Оно выведено в предположении, что и
имеет непрерывные производные до второго порядка. Если же и
имеет в рассматриваемых областях непрерывные производные^
до порядка /п+1, то любая его производная Dlu9 I ^ т—U
также удовлетворяет уравнению B12), и поэтому для нее спра-
справедлива оценка B13), т. е.
J |	|	\ \(if	\x. B14}
Формула Пуассона [II; 184] дает решение задачи Коши для
уравнения B12), причем гладкость ее решения растет с ростом
гладкости начальных данных ср(х)= u\t=o и я|з(х) = щ\;=о.
Неравенства B14) позволяют исследовать вопрос о разре-
разрешимости задачи Коши и при негладких начальных данных. Дей-
Действительно, пусть функция ф квадратично суммируема в шаре
BR ={x\\x\ < R) и имеет в нем обобщенные производные до
порядка т, квадратично суммируемые по BR [IVi; 113,114]. Го-
Говоря иначе, пусть ф ^W™(Br). Относительно функции if> пред-
предположим, что она принадлежит множеству VPS1 (Br)*). Так же»
как и в случаях т = 1 и т = 2 [IVb 115], множество W™
может быть рассмотрено, как гильбертово пространство,
принято обозначать через L2 (D).

58J	СЛУЧАЙ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ	173
лярное произведение в котором определено равенством
г	т	т
Г	^ V1 гч/ rd~ Л j
t (ф> Ф/m = \ I ФФ "Г У, /j У ^ I *
BRl	/«1 (/)	J
где символ D1 означает производную порядка I любого вида,
а знак Yj — суммирование всех таких производных. Доказы-
(D
вается, что Wf (Вд) есть полное гильбертово пространство.
Обозначим через ф^ усреднения ф, определенные в [IV^ 110],
Известно, что они суть бесконечно дифференцируемые в BR-n
функции, сходящиеся к ф при /г->0 в нормах пространств
W^iBj^X где R\ — любое число, меньшее R. Аналогично tyh бу«
дут сходиться к г|) в нормах W™~x (B^,).
Пусть Uh(x, t) есть решение задачи Коши для уравнения
B12), отвечающее начальным данным фл и г^. Из формулы
Пуассона видно, что ин имеет непрерывные производные всех
порядков. Устремим h к нулю и исследуем этот предельный пе«
реход в конусе D\={(xJ)\ |х|<#ь 0</<|л;|}. Конус D\
удовлетворяет всем требованиям, которые были наложены на
область в пункте [56], и потому для ин справедливы неравен-
неравенства B14), в которых роль B(t\) играют сечения D\ плоскостью
t = t\. Эти же неравенства имеют место и для функций V\, 2 (x, t) =
= «/ll(x, i) — и\\ху f) (ибо они также являются решениями урав-
уравнения B12)), т. е.
x. B15)
При h\ и Лг, стремящихся к нулю, правая часть B15) пойдет
к нулю п*ри /==0, 1, ... т—1, следовательно, это же имеет
место и на любом сечении B{t)t t&[0, R\]. Сами функции V\,2
также стремятся к нулю в нормах L,2(B(t)), так как для лю-
любой гладкой функции v
v(x9 t) = v(x9 0) + \vtAx, t\)dtu
0
и потому (в силу неравенства Коши — Буняковского)]
t
о2 (*, 0 < 2v2 (х, 0) + 2t\ о» (х, /,) dtx

174 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[58
t
J v\x dxdxlm	B16)
B(t)	B@)	0 B(U)
Интегрируя B15) и B16) no t в пределах от 0 до /2 ^ /?ь убеж-
убеждаемся, что иi,2 и все их производные до порядка т сходятся
к нулю в норме L2C1). В силу полноты пространства L2{D\) и
свойств обобщенных производных, описанных в [IVi; 113,114],
существует элемент и пространства- WT{D\), к которому схо-
сходятся функции tih в норме W™ (D\). Более того, из B15) и B16)
видно, что имеет место сходимость un{xyt) в нормах WfiBit))
и сходимость Uht{xyt) в нормах W2m~l (В (t)) при любом t&
<=[0,/?i), так что функция u(x,t) будет принадлежать lFf(B(/)),
a ut(x, t)<=W?~l(B(t)) при любом *е[0, Rx), и для сбудут
выполняться неравенства B14) и B16). При т ^ 2 и будет
удовлетворять уравнению B12) при почти всех (х, t) из D\. Та-
Таким образом, мы сумели найти решение задачи Коши для урав-
уравнения B12) в области Du предполагая о начальных данных q>
и if, что они суть элементы W™{Br) и W™~ (B#), m ^ 2, соот-
соответственно. Более того, мы показали, что гладкость этого реше-
решения не ухудшается во времени, если эту гладкость характеризо-
характеризовать принадлежностью и[х, t) и ш{х91) к пространствам W™(B(t))
и W™'1 (В (/)). Если ф и if> мало меняются в нормах про-
пространств W^iBp) и W?~l (Вц) соответственно, то соответствую-
соответствующее им решение и и его производная щ мало меняются в нор-
нормах Г2т(?(/)) и W2~x{B{f)). Точнее, если и*, ft = 1,2, суть ре-
решения уравнения B12), отвечающие начальным данным *фа> и
л|)?, й = 1,2, то для их разности v = ai —112 справедливы нера-
неравенства B14) и B16), которые и характеризуют непрерывную
зависимость решений задачи Коши от начальных данных в со-
соответствующих интегральных нормах. Решение задачи Коши,
найденное нами выше, единственно в классе функций, принад-
принадлежащих W^iDi), если га^2 Действительно, для функций
этого класса справедливы рассуждения, приведенные в [56],
если все интегралы понимать в смысле Лебега и имеющиеся
там неравенства рассматривать не для всех, а для почти всех
значений t из [О, Т].
Обратим внимание на особую роль пространств W™(B(t))
для гиперболических уравнений С их помощью удалось уловить
весьма важное свойство решений уравнений B12): неухудшае-
мость их гладкости при увеличении времени. Более того, так как
изменение направления оси времени (т. е. замена t на —/) не

69]	ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ	175
меняет уравнения B12), то задача Коши для них решается
таким же образом и в направлении убывания t> и поэтому
гладкость решений не ухудшается и при уменьшении времени.
Тем самым, мы установили такой факт: решения однородного
волнового уравнения при любом t сохраняют со временем ту
гладкость, которой они обладали в начальный момент времени.
Это верно, если гладкость решений и характеризовать принад-
принадлежностью пары {u(xj)\ ut(x,t)} пространствам W?(B(t))X
X l^T {В (/)), t^(—Ru /?i). В терминах же других пространств
это свойство не улавливается. Например, оно не имеет место,
если гладкость решений характеризовать непрерывностью тех
или иных их производных (Курант Р., Гильберт Д. Ме-
Методы математической физики, т. II. — М.: Гостехиздат, 1951,
гл VI, § 10, п. 4).
Мы показали, как используются неравенство B13) и его
следствия B14) для решения и анализа задачи Коши приме-
применительно к уравнению B12). Так же подробно можно исследо-
исследовать и случай неоднородного волнового уравнения. Более того,
неравенство B01) и его следствия играют фундаментальную
роль и при изучении задачи Коши для гиперболических уравне-
уравнений общего вида A81). Мы проиллюстрируем это в следующей
главе на примерах более сложных задач для уравнений A81)
и покажем также, как из полученных там результатов вывести
разрешимость задачи Коши для уравнений A81).
59. Теорема вложения в пространство непрерывных функций
и некоторые ее следствия. Оказывается, если функция f(x),
х е D cz Rn, обладает квадратично суммируемыми обобщенными
производными по всем xt до порядка / и ^иИ+ *» то она
эквивалентна функции f(x), непрерывной в D, и max|f (x)\ оце-
нивается через норму / в пространстве Wl (D). Это верно при не-
некоторых ограничениях на область D, например для D с глад-
гладкой границей. Сформулированное утверждение является част-
частным случаем теорем вложения, установленных С. Л. Соболе-
Соболевым. Мы докажем несколько более слабое предложение: непре-
непрерывность f(x) лишь в открытой области D и оценку max|f (x) (
для любой внутренней подобласти D' области D. Сначала убе-
убедимся в справедливости следующей теоремы:
Теорема 1. Если функция f(xu ..., хп) имеет внутри п-
мерного шара D непрерывные производные до некоторого по-
порядка I и имеют место оценки
x> ••' d*n<A> (<x = 0, 1, ..., 1), B17)

176 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
5Э
то в любом концентрическом внутреннем шаре D\y для с чей
функции и ее производных до порядка I —1~-|—1, где |-у-| —
целая часть положительного числа —, имеют место оценки
где постоянная с зависит только от вь 5ора
Построим вспомогательную функц о
1 при *^"з".
о - 2
1
< и —и
1 е — е
где
	X
и =
B18)
B19)
Очевидно, м->-+оо при стремлении х к -«- от больших значе*
2
ний и и-*- — с» при стремлении ^ к j от меньших значений.
При этом о(х) стремится соответственно к единице и нулю, и
нетрудно проверить, что все производные а (л:) непрерывны при
х = V3 и х = 2/з. Пусть Мо — некоторая точка из D\ и h — раз-
разность радиусов D и D\. Введем сферическую систему координат
с центром Мо:
х2 = г sin Bi cos 82;
хп_2 — г sin 0i ... sin 0n_3 cos 0ft_2;
xn^\ — r sin 0i ... sin 0rt_2cos'Ф'»
xn = r sin 0i ... sin 0Л_2 sin ty,
причем 0 ^ 0* ^ n и 0 ^ г[) < 2я. Для элемента объема мы
имеем
г* sin* 0i sin* 02 ... sin 0n_2 dr dQx... dQn^

69]	ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ	177
Вычеркивая dr и полагая г= 1, получаем элемент dart. пло-
площади поверхности единичной сферы. Вводим функцию
= f (M) • -^ Г-?±- a f^ll -
где г — расстояние Af0Af. Непосредственно проверяются следую-
следующие формулы:
F (MQ) = / ШоУ, F(M) = O при r = h,
'^i+(_1)«-.4..rji^_af^i,
,h)\	dr1 I (/-!)' \h)\
f-1)!
B20)
и мы мсжем написать
причем интегрирование производится по лучу, выходящему из
Мо. Умножая обе части этой формулы на don = d(on : rn~ldrt ин-
интегрируя в пределах 0 ^ 0S ^ я; 0 ^ ip ^ 2я, получим
/(Мо) = -J
где А) — ш^Р с центром Мо и радиусом h и ст« — площадь по*
верхности единичной сферы в /?л. Полагая ^^["у!» перепишем
предыдущую формулу в виде
- г* дг
Do
и, применяя неравенство Буняковского, получим
f2(Mo)<
D)

178 ГЛ. I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	Г5»
При четном п показатель степени в последнем интеграле равен
единице, а при нечетном п — нулю. Таким образом, мы полу»
чаем
/2 (Мо) < с, j (-L ^-J Охг ... dxn,	B21)
где постоянная С\ зависит только от Л. Обратимся к формуле
B20). Коэффициент при f в правой ее части равен, чпри ^^у#
нулю в силу B19). С другой стороны, принимая во внимание
правило дифференцирования сложной функции, можем утверж-
утверждать, что —j есть линейная комбинация производных йорядка if
по хи .. • i хп с ограниченными коэффициентами. Благодаря
этому можем написать:
1 dF(M) _ f , у	dlf
rk dr	l n dxaxx ...dxann
где a — ограниченная непрерывная функция и |#<*,..-aJsOy'""*""»
При l^k-\-\, т. е. при ^[-f-J+ 1, все коэффициенты в напи-
написанной формуле ограничены, откуда, учитывая неравенство
(х{+ ... +хпJ^п(х2{+ ... +х2п) и оценку B17), получаем,
в силу B2V),
где постоянная с зависит только от h. Если для целого положи-
положительного р имеет место неравенство /¦—Р^[-у]+1, т.е. Р^
<[/ — [—-1 — 1, то мы можем применить все предыдущие рассуж-
рассуждения, заменяя f на какую-либо частную производную от f по-
порядка C и / — на (/—Р).
Таким образом, мы получили оценки B18). Теорема дока-
доказана.
Пусть теперь для функции f выполнены все условия этой
теоремы, кроме предположения о непрерывности f и ее произ-
производных, так что f есть элемент пространства^ (D). Фиксируем
какой-либо шар ?>2, концентрический с D и имеющий меньший
радиус. Для точек этого шара определим средние fh [IVb 110],
считая h непревосходящим разности радиусов D и D2. Для них
\ !1{х)с1х<,\!Чх)йх.	B22)
2>2	D

59]	ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ	179
Действительно, из определения fh и неравенства Буняковского
следует, что
* J
J
-у|<л
|
Так как для всех производных
х1--дхпл \дхг1 ••¦dxnnjli
l, то из B17) и B22) следует, что интегралы от квадратов
dkfh
всех —	?-, 0 ^ fe =s:/, по D2 не превосходят Л2, поэтому
dlda
B23)
Далее известно [IVb 111], что fh стремится при А->0к[ в нор-
норме Wl2{D2), определенной в B23), и поэтому ||/л, —/ftall^D^O
при Ль Аг-^О. В силу неравенства B18), примененного к функ-
функции fh, — fh2 и шару jDi, концентрическому с D2 и имеющему
меньший радиус, эта разность/л, — fft, и все ее производные по
х до порядка / — НН — 1 стремятся к нулю при h\ и Л2—^ 0, рав-
равномерно относительно х е D\. Так как, к тому же, функции fh
бесконечно дифференцируемы, то предельная для них функция
f будет непрерывной в В\ вместе со своими производными до
порядка /— -у- —1. Эта функция f совпадает с / для почти
всех х. Тем самым доказана
Теорема 2. Если из условий предыдущей теоремы отбро-
отбросить предположение о непрерывности f, а производные f счи-
считать обобщенными, то существует функция f, эквивалентная
f и непрерывная, вместе со своими производными до порядка
^ — |г]—1 в открытом шаре D. Для f верны оценки B18).
Эта теорема и* результаты, изложенные в [58], позволяют
сделать следующие выводы о существовании классических ре-
решений задачи Коши для уравнения B12);

180 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [60
Если ф (х) = и | г«=о принадлежит W™ ioc (Rn), a t|> (x) =
= и/1f=0 принадлежит W%T<L (Rn) и m^l + [-^г"] + l' ' ^ 2»
то соответствующее им решение u(xtt) задачи Коши для драв'
нения B12) непрерывно и имеет непрерывные производные до
порядка L *
Здесь принадлежность ср к W™\oc (Rn) означает, что <р е Wf (В)
для любого шара В cz Rn. Из рассуждений [58] следует суще-
существование решения и(х, t) задачи Коши, принадлежащего
^^loc (i?w+l)> а это совместно со второй теоремой данного пункта
гарантирует непрерывность u(x,t) и ее производных до порядка
1-4 11
Для неоднородного уравнения Пи== fix.t) решение задачи
Коши при тех же начальных данных будет классическим, если
f es WtToc (Rl+l)> где /?^+1 = {(xt t): xsR\t> 0}.
60. Обобщенные решения уравнений второго порядка. В [44]
мы исследовали вопрос, за какими функциями и(х, t), задан-
заданными в области D, имеющими разрывы производных первого
порядка на гладкой поверхности а и удовлетворяющими вне а
уравнению Пи = 0 или Пи — f, разумно сохранить название ре-
решений (лучше — обобщенных решений) этих уравнений в обла-
области D. С точки зрения физических задач, приводящих к этим
уравнениям, на такие функции надо наложить требование
[Р(и)]0 = 0, означающее, что на поверхности разрыва не со-
сосредоточены никакие внешние силы. С математической же точки
зрения желательно, чтобы для них сохранилась формула Грина
G9), центральная роль которой была понята в длительном про-
процессе изучения дифференциальных уравнений. В [44] мы пока-
показали, что эти требования эквивалентны, если'ы имеет «регуляр*
гые» разрывы, т. е. удовлетворяет кинематическим условиям
совместности, и поверхности разрывов гладкие. Для и, удовлет-
удовлетворяющих всем этим условиям и уравнению Пи = f вне а, спра-
справедливо тождество
^и П r\dxdt = ^ hdxdi	B24)
при любой T]^CJ°(D). С другой сторон: , в [IVi; 113; 114]
Сыли определены понятия обобщенных производных и обобщен-
обобщенных дифференциальных операторов для функций из L2(D). Со-
Согласно с этими определениями тождество B24) означает, что
для и определен :Г:бщенный оператор D и Пи == f¦

60]	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	131
Назовем функцию и(х, t) обобщенным решением класса L*
уравнения Пи = f в области D, если она квадратично сумми-
суммируема по любой ограниченной строго внутренней подобласти
D' области D и для нее выполняется тождество B24) при лю*
бой v\^C™(D). Будем под D' понимать только такие подоб*
ласти D.
Аналогично обобщенным решением класса L^ в области D
уравнения
L {и) в t aikuXixk + t btux. + cu*=*f	B25)
назовем любую функцию u(x), квадратично суммируемую по
всем подобластям D' и удовлетворяющую тождеству
B26)
при любой r\ e C~ (D). Здесь L* есть оператор, сопряженный
по Лагранжу к L, т. е.
Для корректности этого определения надо считать, что коэффи-
коэффициенты alk дважды дифференцируемы, а коэффициенты bt имеют
производные первого порядка. Предположим, что производные
Dlalk, I = 1, 2, и Dbt непрерывны в D. Решения уравнений B25),
принадлежащие C2(D) (в основном только такие решения мы
рассматривали до сих пор), будем называть классическими.
Классические решения уравнения B25) удовлетворяют тожде-
тождеству B26), ибо для любых u^C2(D) и tjgCJ°(D) справед-
справедлива формула Грина
\\	B27)
D	D
Верно и обратное: если u^C2(D) и удовлетворяет тождеству
B26), то она есть классическое решение уравнения B25). Дей-
Действительно, из B26) и B27) следует, что
\[L(u)-f]i\dx =
при любых r)^C^(Z)), а отсюда в силу теоремы 2 из [IVi; 113],
примененной к любой Ь', следует, что L(u) — /.
Имеет место следующая
Теорема 3. Если коэффициенты*L постоянны в D, то лю-
любое обобщенное решение класса Ьч однородного уравнения B25)

182 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	[60
можно аппроксимировать в нормах L2{D/) классическими реше-
решениями того же уравнения.
Действительно, пусть и есть обобщенное решение класса L2
однородного уравнения B25) вВ,т.е.м? L2{D') для любой D' и
L*(r\)dx = 0	B28)
при любой т] <= С~ (D). Возьмем в качестве г\ усреднения vh,
описанные в [IVi; 112], для функции v ^C^(D), При достаточно
малом h эти усреднения принадлежат С™ (D). В силу того, что
ядро усреднения зависит лишь от разности, для любой произ-
производной D1 от v верно равенство D[Vh = {Dlv)n, и потому L{vn) =
— (L(v))h Кроме того, нетрудно проверить, используя теорему
Фубини, что
J uwh dx = J uhw dx	B29)
для любых и из L2{D) ишиз C?°(D), если h достаточно мало
(величина h должна быть меньше расстояния носителя <ю до
границы D). Ввиду всего сказанного справедливы равенства
О = ^ «L* (Vh) dx = \и (L* (v))h dx = jj uhV (v) dx = ^ L (uh) v dx.
^	\	h	jj	^
D	D	D	D
B30)
Зафиксируем какую-либо внутреннюю подобласть D' области D.
Соотношения B30) справедливы при любой v из С0°°(О')и А,
меньших расстояния D' до границы D. Это в силу теоремы 2 из
[IVr, 112] гарантирует, что L(uh) = 0 в D\ t е. ин является
классическим решением однородного уравнения B25). При
Л~>0 они сходятся к обобщенному решению и в норме Li{D')y
так что высказанное выше утверждение доказано.
Легко видеть, что верно и обратное утверждение* если функ-
функция и может быть аппроксимирована в нормах L2{D')y D'aD,
классическими решениями и,п однородного уравнения B25), то
она является обобщенным решением этого уравнения в об-
области D.
Благодаря этим двум утверждениям можно было бы дать
другое определение обобщенных решений уравнения L(u) — 0
в Ь, как пределов в нормах L2{D') его классических решений,
причем это определение было бы эквивалентно данному выше.
Однако мы не будем работать с ним, ибо оно применимо лишь
к операторам L с постоянными (или, общее, с достаточно глад-
гладкими) коэффициентами. Отметим лишь, что в работах С. Л. Со-

60]	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	183
болева 30-х годов развивался именно такой подход при иссле-
исследовании разрывных решений волнового уравнения и нахожде-
нахождении решений задачи Коши для него. Далее он и ряд других ав-
авторов исследовали разрешимость задачи Коши для гиперболиче-
гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, исходя из
классических решений задачи Коши для специально построен-
построенных уравнений, аппроксимирующих данное. Обобщенные же
решения уравнения (или задачи Коши для него) определялись,
как пределы (в тех или иных нормах) классических решений
приближенных уравнений (или задач Коши для них), аппрок-
аппроксимирующих данное. Для тех же уравнений или предельных за-
задач для них, для которых имелись какие-либо хорошие интег-
интегральные представления решений, обобщенные решения опреде-
определялись с помощью этих представлений (см. работы Н. М. Гюн-
тера, Ж. Лерэ и др.). Доминирующая роль тождества B26)
была осознана не сразу, хотя оно фигурировало еще в работах
20-х годов (например, в работе: Винер Н. The Operational
Calculus. —Math. Ann., 1926, 95, p. 557—584).
Позже (в конце 40-х — начале 50-х годов) были даны опре-
определения обобщенных решений задачи Коши и предельных за-
задач для уравнений разных типов, не использующие ни представ-
представления этих решений, ни аппроксимационные процессы Эти оп-
определения, опирающиеся на интегральные тождества, оказались
плодотворными при решении предельных задач. Именно такая
идеология была систематически развита в работах О. А. Ла-
Ладыженской, в частности в ее монографии «Смешанная задача
для гиперболического уравнения» (М.: Физматгиз, 1953). В них
была понята целесообразность введения не одного какого-либо
класса обобщенных решений задачи, а целой шкалы обобщен-
обобщенных решений, если коэффициенты уравнения достаточно глад-
гладкие функции. Напротив, если коэффициенты уравнения неглад-
негладкие функции, то нередко с ним можно связать лишь какой-та
определенный класс обобщенных решений. Так, например, если
коэффициенты atk или bt уравнения B25) не имеют производ-
производных, входящих в выражение L*, то данное выше определение его
обобщенных решений, использующее тождество B26), неправо-
неправомерно. В следующей главе мы дадим определения обобщенных
решений различных предельных задач, принадлежащих тем или
иным функциональным пространствам, и покажем, как с их по-
помощью исследовать разрешимость этих задач.
Здесь же рассмотрим задачу Коши
п	п
L(u)ess Yj atkiixtxk+Yjbtux+cu — titt = f> B31)

184 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [60
считая, что коэффициенты L достаточно гладкие функции и
уравнение гиперболично. Умножим уравнение B31) на произ-
произвольную функцию ц(х, t)^C™ (Rn+l) (напомним, что такие
функции имеют компактный носитель) и полученное равенство
проинтегрируем по области /?++1 = {(лг, t)lx^Rn, t> О}. После
этого выполним в левой части интегрирование по частям, так,
чтобы на и не осталось никаких производных. При этом выде-
выделятся граничные интегралы по плоскости Rq = {(x, t) \ x e Rnf
t=Q}, содержащие функции u\t=0 и tit\t=o, которые мы заменим
на ф и г|) согласно требованиям B32). В результате этих опера-
операций мы придем к тождеству
uL* (т)) dx dt + \ (i|5T] — q>y)t) dx= \ ft\ dx dt. B33)
Rn+\
В нем
n+i	prc	pn+l
и все интегралы фактически берутся лишь по ограниченной об-»
ласти, где ц(х, t) отлична от нуля.
Назовем обобщенным решением класса Ь% задачи Коши
B31), B32) функцию и, принадлежащую L2, ioc(^++I) (т. е.
квадратично суммируемую по любой ограниченной подобласти
области /?++1) и удовлетворяющую интегральному тождеству
B33) при любой rjGCl^1).
Ясно, что если коэффициенты L имеют непрерывные произ-
производные, входящие в L*, / ^ Lu ioc 0?++I)> а ф и \|) принадлежат
L\, \oz{Rn)y то это определение не абсурдно, т. е. все интегралы,
входящие в равенство B33), сходятся. Классические решения
задачи B31), B32) удовлетворяют тождеству B33). Далее,
если функция и удовлетворяет этому тождеству при любой
t) (= C™(Rn+l) и дважды непрерывно дифференцируема при
/^0, то она будет решением задачи B31), B32). Чтобы убе-
убедиться в этом, надо выполнить интегрирование по частям, пере-
перенося обратно производные с т) на м, Это приведет к тождеству
[L{u)-f]r\dxdt+\№--ut)ri-(<f-u)rit]dx=*O. B34)
Для г] е С?° (#++1) интегралы по R" равны нулю, и из полу*
•ценного тождества, согласно теореме 2 из [IVij ИЗ] мы заклю*

601	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	18S
чим, что Lu = f в /?++I. Но тогда B34) эквивалентно тож-
тождеству
J [(¦ - и*) Л - (Ф - и) л J dx = 0.	B35>
*?
Возьмем теперь лишь те л из ^0° 0?п+1)> которые равны нулю
при t = 0. Тогда из B35) выпадет интеграл, в который входит
г), а из полученного тождества будет следовать (в силу той же
теоремы 2 из [IVi; 113]) равенство ср = гф=о, ибо в качестве
Л*|*=о можно взять любую функцию из C™(Rn). Таким обра-
образом, B35) редуцируется к тождеству
из которого аналогично заключим, что г(з = ^|/=о. Итак, мы убе-
убедились, что тождество B33) содержит в себе всю информацию
о задаче B31), B32). Из доказательства этого факта видно, на-
насколько существенным было то, что это тождество должно вы-
выполняться при любых т] из C™(Rn+l)- Если бы мы взяли более
узкий класс функций г), например только г\ еСо°(/?++1)> то мы
не смогли бы доказать, что функция и удовлетворяет начальным,
условиям B32). Из всего сказанного ясно, что данное выше оп-
определение обобщенного решения задачи B31), B32) действи-
действительно является расширением понятия ее классического реше-
решения. Такое расширение необходимо, если функции /, ср или -ф не
обладают достаточной гладкостью. Например, если / разрывна,
или если ф или if недифференцируемы, то задача B31), B32)
заведомо не имеет классических (дважды непрерывно диффе-
дифференцируемых в #++I) решений.
Однако введенное нами расширение понятия решения задачи
B31), B32) нуждается еще в одном оправдании. А именно, в
[57] мы доказали, что в классе классических решений задача
B31), B32) имеет детерминированный характер: она не может
иметь двух различных решений. Это одно из важнейших свойств
динамических задач желательно сохранить, и потому необхо-
необходимо выяснить, сохраняется ли в определенном выше классе
обобщенных решений теорема единственности. Приведенное в
[56] доказательство не годится, ибо для его правомерности ис-
исследуемые решения должны обладать хотя бы обобщенными
производными второго порядка. Другой способ доказательства
теоремы единственности был предложен в начале века Гольмг-
реном. Но он требует умения находить классические решения
сопряженной задачи при достаточно гладких и финитных сво-
свободных членах и начальных функций. Эта задача является, по-

186 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ F1
сути дела, такой же, что и исходная задача B31), B32). Для
'уравнений с переменными коэффициентами она была исследо-
исследована Ж. Адамаром, а затем И. Шаудером и другими, весьма тя-
тяжелыми средствами и при очень большой гладкости коэффи*
циентов L. Было желательно найти другие способы доказатель-
доказательства теоремы единственности для обобщенных решений, которые
не опирались бы на умение находить классические решения со-
сопряженной задачи. Это было сделано в работах О. А. Ладыжен-
Ладыженской в начале 50-х годов (см. упомянутую на с. 183 моногра-
монографию, статью: Ладыженская О. А. О разрешимости основ-
основных краевых задач для уравнений параболического и эллипти-
эллиптического типов.— ДАН СССР, 1954, 97, № 3, с. 395—398, и др.).
Что касается нахождения обобщенных решений задачи B31),
B32), то для этого можно воспользоваться методом Галеркина,
методом конечных разностей, функциональным методом
О. А. Ладыженской и другими.
61. О существовании и единственности обобщенных решений
задачи Коши для вЪлнового уравнения. Для волнового урав-
уравнения
? и — 2 uXixt — uit = f	B36)
обобщенные решения задачи Коши при «плохих» /, ф и ф можно
получить, используя формулу Пуассона — Кирхгофа. Если, на-
например, /eL2, ioc(Rn+l), фс=И?2, ioc(#n), а фе?2, юс (/?*), то
возьмем их усреднения fh, ф/г и ф^ и соответствующие им клас-
классические решения ин задачи Коши для оператора П. При
А->0 fh сходятся к f в нормах L2(D), фЛ к ф в нормах Wl(D)9
а фл к ф в нормах L2(D), где D и D — любые ограниченные
области из R*1*1 и Rn. Неравенство B02) для L = ? позволяет
утверждать существование функции u(x,t), являющейся пре-
пределом Uh{x,t) в нормах W\(D). Эта предельная функция будет
обобщенным решением задачи B36), B32). Действительно,
каждая из ин удовлетворяет тождеству B33) с / = fh, Ф = Ф*,
ф = ф^, и в этом тождестве можно перейти к пределу при А->0
(при фиксированной ц из C~(/?n+1)). В результате убедимся,
что и и удовлетворяет этому тождеству. Найденное нами реше-
решение обладает даже большей гладкостью, чем требовалось в оп«
ределении обобщенного решения из класса L% Для построения
решений, отвечающих менее гладким /, ф и ф, надо установить
неравенства, оценивающие подходящую норму решения через
нормы пространств, к которым принадлежат /, ф и ф. Мы не бу-
будем здесь этого делать, а вместо, этого докажем теорему един-
единственности задачи B36), B32) в классе обобщенных решений
из Ь2, следуя методу Гольмгрена.

62]	УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА	187
Пусть и! и и" — два таких решения. Тогда их разность v при-
надлежит Z,2,iocQ?++1) и удовлетворяет тождеству
vn^dxdt = 0	B37)
при любых г) е С~ (/?*+1)- Рассмотрим полосу П = {(лс, f): #е
€=/?", /е=@, Г)} и задачу
П w = f (*, /), w |,_г = 0, го, |,_г = 0,	B38)
считая f e С~ (П) *). Ее решение дается формулой Кирхгофа.
Оно есть бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю
при / ^ Т и в точках (х, ?) с t е [—Г, Г] и достаточно больших
|*|. Умножая его на бесконечно дифференцируемую функцию
Х(О» равную 1 при />0и нулю при / <: —Г, мы получим функ-
функцию w(x, t)= w{xy t)x(t) из C™(Rn+l)r совпадающую с w(xy t)
при / ^ 0. Поэтому мы можем взять в качестве х\ в B37) функ-
функцию w. Учитывая равенство Ow = /, получим
Так как это равенство справедливо при любой функции f из
С~ (П), то и = 0 в П. Ввиду произвольности выбора величины Г,
функция у = 0в /?++1' Теорема доказана.
62. Уравнения эллиптического типа. До сих пор при иссле-
исследовании задачи Коши мы рассматривали уравнения гипербо-
гиперболического типа. Остановимся теперь на простейшем уравнении
эллиптического типа, а именно на уравнении Лапласа с двумя
независимыми переменными:
Ихх + иуу = 0.	B39)
Мы знаем, что любое решение этого уравнения есть веще-
вещественная часть некоторой аналитической функции: f(z) =
= и(х, t/) + v(x, y)i [III2; 22]. Рассмотрим решение уравнения
B39) в окрестности некоторой точки, которую мы можем при-
принять за начало координат. Считая, что и имеет в этой точке и ее
окрестности непрерывные производные до второго порядка, бу-
будем иметь для f(z) разложение в степенной ряд:
*) Эта задача и называется сопряженной к исходной задаче.

188 ГЛ. I, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ F2
сходящийся в некотором круге |г|<7?, причем сп = an + bni
суть некоторые комплексные числа. Отделяя в членах ряда
п-0
вещественную часть, мы получим для и (х, у) представление
в виде ряда по однородным полиномам от (х, у):
и(х, „)-
B40)
и этот ряд абсолютно сходится при условии л/х2 + у2 </?. Запи-
Запишем последний ряд в виде двойного ряда по целым положитель-
положительным степеням х и у:
I dpqxpy\	B41)
и покажем, что он также будет сходящимся, если вещественные
значения х и у достаточно близки к нулю. Действительно, абсо-
абсолютные значения членов ряда B41) не превосходят членов
двойного ряда, который получается из ряда
/i0
Но ряд
t\cn\rn (г>0)
сходится при г < /?, и отсюда непосредственно следует, что ряд
B41) абсолютно сходится при условии |*| + |у| </?. В этом
ряде мы можем группировать члены, и получим, таким обра-
образом, ряд B40), т. е. сумма ряда B41) равна и(хуу). Таким об-
образом, всякое решение уравнения B39) представимо степен-
степенным рядом в окрестности любой точки (х, у), если в этой точке
рассматриваемое решение не имеет особенности, т. е., проще пь
еоря, всякое решение уравнения B39) есть аналитическая функ-
функция (х,у). Отсюда непосредственно следует, что гармониче-
гармоническая функция имеет производные всех порядков и что если две
гармонические функции совпадают на некотором двумерном
участке плоскости (ху у), то они совпадают везде.
Заметим, что совершенно иную картину мы имеем для урав-
уравнения гиперболического типа:
uV9-a*uxx = 0,	B42)

62]	УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА	189
где а — заданное вещественное -число. Это равнение имеет
очевидное решение [II; 177]:
B43)
где ф — произвольная функция, имеющая непрерывные произ-
производные до второго порядка. В теории функций вещественного
переменного доказывается, что можно построить ф(/), имеющую
непрерывные первую и вторую производные и не имеющую ни
при каком значении t производной третьего порядка. Для та-
такого ф(/) решение B42) не будет иметь ни при каких (х, у)
производных третьего порядка, и, тем самым, конечно, не может
быть аналитической функцией (х, у).
Для уравнения B39) может быть поставлена задача Коти.
Например, можно искать решение уравнения B39), если задана
и и ее производная их при х = 0:
Ч-о = Му); их\хяя0 = П(у),	B44)
где /о(у) и f\(y) — заданные аналитические функции у [29]. Эта
задача будет иметь в окрестности х = 0 одно определенное ре-
решение. Однако задача эта, как говорят, некорректна: ее решения
могут сильно меняться при малых изменениях данных Коши.
Действительно, возьмем
Ш = 0 и fi(y) = ± sin (пу),	B45)
где п — заданное положительное число. Нетрудно проверить, что
решение уравнения B39), удовлетворяющее этим начальным
данным, будет:
еПХПХ	B46)
Пусть п-^оо. При этом начальное данное f\{y) стремится
к нулю равномерно относительно уу ибо |sin(nf/)|^ 1, а реше-
решение B46) стремится к бесконечности, если х Ф 0 и пу отлично
от кратного я. Действительно, если, например, х > 0, то е~пх~>0,
а отношение епх/п2-+оо при я->-оо, так как показательная
функция епх растет быстрее, чем п2. Таким образом, при стрем-
стремлении начальных данных к нулю само решение будет беспре-
беспредельно возрастать. Иначе говоря, из приведенного примера мы
видим, что решение задачи Коши для уравнения B39) не обла-
обладает свойством непрерывной зависимости от начальных данных.
Для уравнения гиперболического типа такая непрерывная за-
зависимость, в том или ином смысле, всегда будет иметь место
<см. [57], [58]).
Мы доказали аналитичность решений уравнения Лапласа
для случая двух независимых переменных. То же самое будет

190 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	F62
иметь место и в случае трех независимых переменных
»хх + Uyv + Uzz = 0.
Наметим доказательство этого утверждения. Пусть имеется ре*
шение этого уравнения с непрерывными производными до вто-
второго порядка в начале координат и его окрестности. Функция и
будет, таким образом, гармонической функцией в некоторой
замкнутой сфере с центром в начале и радиусом R. Мы можем
выразить значение этой функции в любой точке (x,y,z)> нахо-
находящейся внутри сферы, через ее значение в точках (?, т], ?) на
поверхности сферы S по формуле [II; 207]:
" -tr + " +z}	jr-dS. B47)
• IJ + (y — ЛJ + B — ?J]
При всех х, у, z, достаточно близких к нулю, мы можем разло-
разложить функцию
(х2 + у2 + z2) - Bg* + 2i\y + 2?г) -f 2
л5	J
в степенной ряд по целым положительным степеням (х, у, z)r
пользуясь формулой бинома Ньютона. При этом и вся подын-
подынтегральная функция интеграла B47) представится таким рядом
с коэффициентами, зависящими от (|, г], ?). Интегрируя этот ряд
почленно по S, получим степенной ряд для и{х, у, г).
Аналогичным образом можно паказать, что и решения урав-
уравнения
дх2 * ду2 '
являются аналитическими функциями переменных (ху у), о чем
мы будем говорить в следующей главе.
Доказательство аналитичности решений для широкого клас-
класса уравнений эллиптическою типа дано в работах С. Н. Берн-
штейна
До сих пор речь шла о классических, т. е. дважды непре*
рывно дифференцируемых, решениях эллиптических уравнений.
Посмотрим, Какими свойствами обладают обобщенные (разрыв-
(разрывные) решения этих уравнений. Рассмотрим уравнение B39) и
соответствующий ему оператор Лапласа А Для него можно
провести рассуждения, аналогичные тем, которые сделаны в
[43] и [44] для оператора ? =Д — -^-щг* и придти к следую-
следующему выводу: уравнение B39) не имеет решений, обладающих
слабыми разрывами, а также решений с сильными разрывами,
удовлетворяющими кинематическим и динамическим условиям

62]	УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА	191
совместности. Это и понятно, ибо для тех и других решений
было установлено, что поверхностями как слабого, так и силь-
сильного разрывов могут быть лишь характеристические поверхно-
поверхности уравнения, а таковых эллиптические уравнения не имеют.
Мы докажем более общий факт:
Теорема. Любое обобщенное решение класса L2 уравнения
Лапласа является классическим.
Это утверждение справедливо при любом числе независимых
переменных. Лишь ради большей наглядности возьмем уравне-
уравнение B39). Пусть и(х, у) есть обобщенное решение уравнения
B39) в круге Д>0 = {(*, у): л/х2 + у2 < р0}, т. е и е= L2(DP) при
любом р < ро и
W	B48)
при любой г\ е С™ (DPo). Согласно теореме, доказанной в [60],
усреднения ин функции и являются гармоническими (а Потому
и аналитическими) функциями, аппроксимирующими и при
А->0 в нормах 12фр), Р < Ро. Напомним, что ин определена
в Dp с р ^ ро — h. Воспользуемся следующим свойством гармо-
гармонических функций:
uh(x,y) = ~ \\ uh(x\y')dx'dy\	B49)
В& (*, у)
где Ве(х, у) есть круг с центром в точке (х, у) радиуса е, ле-
лежащий в Doo-л- Покажем, что семейство функций {ин}> 0 < h ^
^ fti, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в
DQl, если pi < ро — 2h\. Воспользуемся для этого неравенством
Буняковского и тем, что при h ^ h\
\\
(см. B22)). Благодаря этим фактам
У<^ B50)
\Bfn (х, у)
при любой (х, у) е Z)Pl и /t^Ai. Далее, для любых (х, у) и (х,у)*
принадлежащих Z)p, и h<^hi,
\uk(x, y) — uh(x, P)l<7l2" \\1"а(*'» y')\dx'dy'^.
B51)

192 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [в2
где Л = (ВЛ1(лг, у) U Внг(х, у)) \ {Bhl{x, у) П Bhx (х, у))— симме-
трическая разность кругов Внх{х, у) и Внх (х, у), \В\ — ее пло*
щадь, a d= л/(х — хJ + (у — уJ. Неравенства B50), и B51)"
дают равномерную ограниченность и равностепенную непрерыв*
ность функций {ин(х, у)} в круге DPl. Поэтому предельная для
них функция, а ею является и(ху у), будет непрерывной в Z)Pl.
Чтобы доказать ее гармоничность, воспользуемся формулой
Пуассона (формула B5) из [II; 205]) для функций ик> h^.h\t и
произвольного фиксированного круга Вг(х, у), лежащего в DQl.
В этой формуле можно перейти к пределу по Л->0 и убедиться,
тем самым, что она справедлива для функции и. Но, как доказа-
доказано в [II; 206], отсюда следует, что и гармонична внутри Въ{х, у).
Тем самым теорема доказана.
Итак, мы убедились, что для уравнения Аи = 0 все его обоб-
обобщенные решения класса Li являются классическими, т. е. обыч«
ными гармоническими функциями. Напротив, для неоднородного
уравнения
Au = f	B52)
переход к обобщенным решениям существенно расширяет мно-
множество его решений. Известно, что для гладких f одно из реше-
решений B52) дается ньютоновским потенциалом. В случае трех
пространственных переменных он имеет вид
и (х, у, z) = - JL \\ \ /(*'>^*° dx* dy' dz\ B53)
где г = У(х — х'J + {у — у'J + (z_— z'J. Если / непрерывно
дифференцируема в замыкании D ограниченной области Д то
функция B53) имеет непрерывные производные в D до второго
порядка и удовлетворяет в D уравнению B52). Напротив, су-
существуют такие непрерывные функции f, для которых B53) не
имеет непрерывных производных второго порядка и поэтому
не является классическим решением уравнения B52). Покажем,
что при любой функции f, непрерывной в D, функция и яв-
является обобщенным решением класса L2 уравнения B52). Для
этого надо доказать, что ие^ФО, B'czD, и при любой
и Ач\ dx dy dz = \ \ \ fr\ dx dy dz.	B54)
. _	j j j
D	D
При наших предположениях относительно J функция и непре-
непрерывна и непрерывно дифференцируема в Д так что она заве-

63]	ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	193
домо принадлежит L2(D). Для проверки же равенств B54) рас-
рассмотрим функции
щн)(*, у, г) = - _1_\\\ j*(x'-y' z'] dx'dy'dz\ B55)
где fh есть усреднения функции f [IVj, ПО], продолженной ну-
нулем вне D. Для Щи) и fh справедливо тождество B54):
щН)Ar\dxdydz=W\ fhr\dxdy dz.	B56)
D
При /i->0 функции fh сходятся к / в норме L2(D) и равномерно
в любой внутренней подобласти D' области D. Отсюда нетрудно
убедиться, что щ^ сходятся к и равномерно в любой U. Ввиду
этого в B56) можно перейти к пределу по А->0 (при фиксиро-
фиксированной х\ из С~ (D)) и убедиться в справедливости B54) для и.
Соотношение B54) верно и при любой f^L2(D). Более того,
при fe?L2(D) решения и(х) уравнения B52) имеют обобщен-
обобщенные производные по х первого и второго порядков и удовлетво-
удовлетворяют уравнению почти всюду. Мы это докажем ниже в [148]
сразу для эллиптических уравнений общего вида. Здесь же от-
отметим, что утверждение теоремы, доказанной в данном пункте,
справедливо и для уравнения теплопроводности, а именно: обоб-
обобщенные решения класса L2 однородного уравнения теплопровод-
теплопроводности являются классическими. Доказательство этого утвержде-
утверждения можно найти в книге: Соболев С Л. Уравнения матема-
математической физики. — М.: Гостехиздат, 1950, с. 314. Его нетрудно
провести и самостоятельно.
§ 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
63. Характеристики систем уравнений. Мы переходим те-
теперь к исследованию систем уравнений с частными производ-
производными. Для аналитического случая вопрос о существовании и
единственности решения задачи Коши был изложен нами выше
[28]. В неаналитическом случае этот вопрос представляет го-
гораздо большие трудности по сравнению с одним уравнением.
Весьма общие результаты в этом направлении были получены
И. Г. Петровским в его работах «О проблеме Коши для систем
уравнений с частными производными» (Матем. сб., 1937, 2, № 5),
и «О проблеме Коши для системы линейных уравнений с част-
частными производными в области неаналитических функций»
(Бюлл. МГУ, 1938). Некоторые из относящихся сюда результа-
результатов изложены в книге: Петровский И. Г. Лекции об уравне-
уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 1961. Там же
указана литература вопроса и обзор результатов.

194 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ VPABHFHHH С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	163
Мы ограничимся немногим в отношении систем уравнений и
начнем с изложения теории характеристик и связанного с этой
теорией вопроса о прерывных решениях. При изложении теории
слабых разрывов и примеров мы следуем книге Леви-Чивита
«Теория характеристик и распространение волн».
Рассмотрим систему
т п
а(*>-^- +Ф, (**,«*) = О (' = 1'2	т). A)
k
Поскольку эта система есть система первого порядка, данные
Коши сводятся к заданию начальных значений функций
iis(xi, ...ухп) на данной поверхности пространства (*ь ..., х„).
Положим, что поверхность, несущая на себе эти данные, есть
плоскость х\ = 0, т. е. что мы имеем специальные данные Коши:.
«/ 1Х1_0 = Ф/ (*2> .. •, хп) (j = 1, ..., т).	B)
Эти начальные данные дают возможность вычислить на плоско-
плоскости Х\ = О все производные первого порядка, кроме производ-
ди}
ных •—-. Если система A) при подстановке х{—0 и других на-
ди,
чальных данных B) разрешима относительно-^-1- » то мы имеем
на х\ = 0 значения всех производных первого порядка. В про-
противном случае мы будем называть плоскость Х\ = 0 характери-
характеристической. Вообще, некоторая поверхность
<M*i. ..-, *я) = 0	C)
вместе с определенными на ней начальными данными назы-
называется характеристической, если эти начальные данные совмест-
совместно с системой A) не дают возможности однозначного определе-
определения на ней всех производных первого порядка. В том случае,
когда коэффициенты aff содержат только jcs, нам неважно
знать начальные данные функций щ на поверхности C). Для
того, чтобы получить те условия, которым должна удовлетворять
характеристическая поверхность C), введем, как и в [40], вме-
вместо Xk новые независимые переменные x'k по формулам
x'k = со* (*i, ..., хп) (k = 1, ..., я),	D)
где (п — 1) функций 0J, .... cort выбраны так, чтобы написанные
формулы были разрешимы относительно х*. Выражая производ-
производные по старым переменным через производные по новым пере-»
менным, мы получим
duJ ^л ди.} д(й3
dxk ~ дх' дхь

63]	ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ	195
Подставим эти выражения в систему A), причем выпишем
duf
только те члены, которые содержат производные —?¦:
В новых переменных мы имеем данные Коши в специальной
форме, а именно эти данные относятся к плоскости Xi = 0. Эта
плоскость будет характеристической, если последняя система не
ди,
дает определенных значений для производных —г1 т. е. если
дхх
определитель, образованный из коэффициентов при ~^~г' равен
нулю. Вводя для краткости обозначение
мы получаем следующее уравнение первого порядка, которому
должна удовлетворять всякая характеристическая поверхность
системы A):
©и»
ю«« ©22,
= 0.	F)
Это уравнение первого порядка будет m-й степени относительно
производных -у-. Оно вполне аналогично уравнению {53) из
[40].
Уравнение F) должно быть удовлетворено в силу C). Если
мы потребуем, чтобы оно было удовлетворено тождественно,
т. е. если мы будем рассматривать его как обычное уравнение
первого порядка для функции coi(jci, ..., хп), то мы будем иметь
семейство ы\(х\у ..., хп) = С характеристических поверхностей
системы A). Можно показать (ср. [3]), что всякая характери-
характеристическая поверхность может быть включена в такое семейство.
Если функция (oi(хи .-., хп) такова, что левая часть урав-
уравнения F) отлична от нуля на поверхности coi = 0, то, вводя
замену переменных D), мы можем решить преобразованную
систему (U) относительно —г#
дх{
Если в левой части уравнения F) заменить -^- на а*, то
oxk
получим уравнение степени т для составляющих вектора

196 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [63
(ось •*., ос/г), которое определяет в каждой точке характеристи-
характеристические направления нормали. В каждой точке характеристиче-
характеристической поверхности нормаль имеет характеристическое направ-
направление.
Совершенно аналогично мы можем рассмотреть и систему
уравнений второго порядка:
причем, как всегда, мы можем считать altk,=aki1,. Если мы имеем
специальные данные Коши на гиперплоскости Х\ = 0:
Uj U-o= Ф/ (*2. ..., хп); -
_ Ф/ B, ...» *я) (/=1, ..., т),
то мы знаем на этой гиперплоскости все производные первого
д2и,
порядка и все производные второго порядка, кроме—^-- Под-
ОХ I
ставляя начальные данные в коэффициенты системы и прирав-
приравнивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при
д2и,
—~> мы получим условие того, что гиперплоскость Х\ = 0 яв-
дх\
ляется характеристической поверхностью. В общем случае на
поверхности C) задаются сами функции и их производные пер-
первого порядка, и мы должны найти условие того, что система G)
совместно с начальными данными не дает однозначного опре-
определения производных второго порядка. Вводим опять вместо Xk
новые переменные х'н, по формулам D). Выражения производ-
производных по старым переменным через производные по новым пере-
переменным будут:
d	d д
dxk дх[ dx
д2пг доек do.
~/2 ~ ~ г • • •
dxk dxt дхх dxk dxt
d2ut
Подставляя в G) и выписывая лишь члены, (содержащие —77
дх{
мы получим в новых независимых переменных систему
пы асо» d(*i д2и>' м — п
В новых переменных начальные данные относятся к плоскости
х[ = 0 и мы должны написать условие того, что последняя си*

631
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
197
стема не дает однозначной^ возможности определения производ-
производных —т? * Вводя обозначения, аналогичные предыдущим:
(й'ц
ы да>{
k, Ы\
дхи
(8)
мы можем записать это условие в виде
сои
со21
wmi
@12
со22
/
..., colw
..., co2m
/
* * * * ttlftl
= 0.
(9)
Левая часть этого уравнения первого порядка является одно-
однородным полиномом степени 2т относительно производных -^~-
Возвратимся к системам первого порядка. Если в левой ча-
части уравнения F) заменить -^- на а*, то мы получим урав-
уравнение
Ф(аь ..., ая) =
(Ю)
где Ф — однородный полином степени т аргументов он, ..., ап
с коэффициентами, зависящими от (хи ..», хп). Если в некото-
некоторой области D пространства (хь ..., хп) левая часть уравнения
A0) обращается в нуль лишь при он = ... =а„=0, то гово-
говорят, что система A) эллиптического типа в области D. Анало-
Аналогично определяется эллиптический тип и для системы G). Тер#-
мин гиперболический тип применяют к системам в несколько
разных смыслах. Мы вернемся еще к этому вопросу для слу-
случая двух независимых переменных. Если в некоторой точке
(xi> ..., хп) или в некоторой области D можно соответствующим
линейным преобразованием переменных as свести однородный
полином Ф(ось ..., ап) к меньшему числу переменных, то гово-
говорят, что система A) параболически вырожденная в упомянутой
точке или области Z).
Если коэффициенты a(ff системы A) содержат функции щ
(система квазилинейна), то, подставляя в эти коэффициенты
какие-либо заданные на поверхности coi = 0 функции и\у мы мо«
жем составить уравнение F) и решить вопрос о том, будет ли
позерхность coi = 0 характеристической. Аналогичное замечание
относится и к системе G), если ее коэффициенты a^j содержат
функции Uj и их частные производные первого порядка (ср.
[30]). Отметим, что систему G) можно привести к системе

198 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ	Г64
уравнений первого порядка, если ввести тп новых функций:
Производя в уравнениях G) замену A0i), получим т уравне-
ний первого порядка относительно (т + тп) функций tij и wjk*
К этим уравнениям добавится еще тп уравнений A0i).
64. Кинематические условия совместности. Для дальнейшего
нам надо будет доказать одно предложение о дифференциро-
дифференцировании функций вдоль поверхности. Для большей геометриче-
геометрической наглядности мы будем доказывать эту лемму для случая
трех независимых переменных.
Пусть функция f(x\9 *2, *з)—непрерывна с одной стороны
некоторой поверхности S:
Ф (хь ** *з) = О
вплоть до 5, и предположим еще, что ее частные производные
первого порядка также непрерывны с упомянутой стороны S и
имеют определенные предельные значения fX( на S. Если с той
же стороны поверхности задана некоторая линия /:х* = х,(О
(/== 1, 2, 3), где Xi(t) имеют непрерывные производные по /, то
вдоль / функция { есть функция от /, и мы имеем
Лемма. Формула A1) имеет место, если I лежит на S.
Линию / мы можем предположить достаточно малой. Пусть
N\ и N2 — ее концы и N — переменная точка на L Проведем
через N прямую, параллельную нормали пх к поверхности &
точке N\, причем нормаль направим в ту сторону, где опреде-
определена функция f, и отложим на каждой из этих прямых отрезок
NN' одной и той же длины б. Мы считаем, что концы N' этих
отрезков образуют некоторую линию /', которая не пересекает
сама себя и лежит в той области, где определена функция /.
Точки этой линии имеют координаты %i = */(/) + 6cos(/ii, **)¦
Вдоль V мы можем применить формулу A1):
3
It // = Zj f*k @lf ^ ^*'k ^
fe-1
Интегрируем обе части по t в пределах от значения t = t\t соот-
соответствующего точке N\, до переменного t:

«4]	КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ	199
где f(t\) и f(t) в левой части — значения f на /' в точках, соот-
соответствующих указанным значениям t. По условию / и fxk не-
непрерывны вплоть до 5, и тем самым подынтегральная функция
в правой части — равномерно непрерывная функция параметра
•б. Переходя в последней формуле к пределу при 6->0, получим
t з
где слева стоят значения f на /. Дифференцируя обе части по
t, получим формулу A1). Доказанной леммой нам придется
пользоваться не только в этом параграфе, но и в следующей
главе.
Переходим к случаю любого числа переменных и положим
теперь, что некоторая функция /(*ь •¦•> %п) непрерывна при
переходе через поверхность S:
Ф(*1, ..., *J = 0,	A2)
а ее частные производные первого порядка имеют с каждой сто-
стороны этой поверхности определенные пределы, но эти пределы
различны на различных сторонах поверхности, т. е., короче го-
говоря, производные первого порядка функции f имеют на поверх-
поверхности A2) разрывы первого рода. Мы назовем две стороны по-
поверхности положительной и отрицательной сторонами. Для обо-
обозначения пределов, получаемых на положительной стороне, мы
будем приписывать к соответствующей величине знак (+), а
для отрицательной стороны знак (—). Так, например, условие
непрерывности / при переходе через 5 мы можем записать в
виде f+ = f-. Введем в рассмотрение скачок для производных
первого порядка:
PJfi
Вдоль всякой линии /, лежащей на поверхности A2), по усло-
условию f+ и f- совпадают. Таким образом, применяя лемму, по-
получим
t{ /+ dxk = t{ f;k dxk (на S).	A3)
На поверхности S переменные х% нельзя считать независимыми.
Если, например, уравнение поверхности задано в явной форме,
то одна из координат будет функцией остальных, а эти послед-
последние можно уже считать независимыми переменными.
Предыдущую формулу мы можем переписать в виде
п
]dxk = 0.

200 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [64
Мы имеем, кроме того,
i
Умножим последнее равенство на неопределенный пока множи-
множитель h и вычтем из предыдущего:
Определим теперь множитель h так, чтобы коэффициент при
дифференциале зависимого переменного обращался в нуль.
Оставшиеся коэффициенты при дифференциалах независимых
переменных, очевидно, должны быть равны нулю [I; 167], и мы
приходим, таким образом, к следующим п равенствам:
^/nlV	A4)
т. е. скачки производных первого порядка должны быть пропор-
пропорциональны частным производным от левой части A2) по соот-
соответствующим переменным. Написанные условия называются
обычно кинематическими условиями совместности.
Рассмотрим теперь тот случай, когда сама функция f и ее
производные первого порядка остаются непрерывными при пере-
переходе через поверхность A2), а разрыв непрерывности испыты-
испытывают производные второго порядка. Наше предыдущее рассуж-
рассуждение применимо тогда для каждой из функций fx . Каждая та-
такая функция будет иметь свой коэффициент пропорциональности
hk в кинематических условиях совместности, и скачок производ-
производной от функции fx по всякой переменной xi должен быть про-
пропорционален tyx , т. е. мы будем иметь следующие равенства
для скачков производных второго порядка:
Принимая во внимание независимость результата дифференци*
рования от порядка дифференцирования как с положительной,
так и с отрицательной стороны поверхности, мы можем напи-
h. h.
сать hktyx =A/'i|>Jci т. е. -г-5- = -г—. Иначе говоря, отношение
1	l	*xk ^xi
hb:tyY не должно зависеть от значка k. Полагая hb\^Y =h>
мы преобразуем окончательно последнюю формулу к виду

€5]	ДИНАМИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ	201
Эти формулы дают кинематические условия совместности для
случая разрыва второго порядка, т. е. разрыва производных
второго порядка.
65. Динамические условия совместности. Вернемся к системе
уравнений первого порядка A) и положим, что поверхность C)
является характеристической поверхностью для написанной си-
системы, причем некоторое решение и на этой поверхности имеет
слабый разрыв, т. е. само и — непрерывно, и разрыв может быть
лишь у производных первого порядка. Пусть и+ — то непрерыв-
непрерывное решение с положительной стороны поверхности и иг — то
непрерывное решение с отрицательной стороны поверхности, с
которыми совпадает и. Мы можем для и+ и и~ написать си-
систему A). Возьмем разность этих уравнений на самой поверх-
поверхности C). При этом члены Фг будут непрерывными при пере-
переходе через поверхность и при вычитании сократятся. Мы при-
придем таким образом к следующим т уравнениям, которым долж-
должны удовлетворять скачки производных первого порядка:
При выводе этих условий мы существенно использовали саму
систему A), которая обычно описывает некоторый физический
процесс; полученные условия для скачков называются динами-
динамическими условиями совместности. Каждая из функций и\ имеет
свой коэффициент пропорциональности h} в кинематических
условиях совместности A4):
L oxk Л	axk
Подставляя эти выражения в условия A6) и принимая во вни-
внимание обозначение E), мы получим систему m однородных
уравнений первой степени для коэффициентов /i;:
ль
5
= ° (/=1, 2, ..., т).	A8)
Из уравнения характеристической поверхности F) непосред-
непосредственно вытекает, что определитель этой системы равен нулю и,
таким образом, мы сможем получить решение системы, отлич-
отличное от нулевого. В общем случае, когда ранг таблицы коэффи-
коэффициентов системы A8) будет равен (т— 1), общее решение этой
системы определится с точностью до произвольного множителя,
который не играет существенной роли при определении каче-
качественной картины разрыва.

202 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 16$
Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений второго
порядка G). В данном случае решением, имеющим слабый раз-
разрыв, будет решение, в котором сама функция и ее производные
первого порядка непрерывны. Совершенно так же, как и выше,
мы получим динамические условия совместности для скачков
производных второго порядка: .
z z «вЫ-ad-0- <ie>
Каждая функция щ будет иметь свой коэффициент пропорцио*
нальности Л/ в кинематических условиях совместности:
Подставляя эти выражения в условие A9) и пользуясь обозна-
обозначением (8), получим опять систему однородных уравнений для
множителей Л/, определитель которой, в силу (9), равен нулю;
й-ь».
¦1-0.	B1)
66. Уравнения гидродинамики. Применим теорию характеристик к случаю
уравнений гидродинамики. Обозначим через (uiy ы2, «а) составляющие век-
вектора скорости, через р — давление, через р — плотность и через /i, /2, Ь —
-составляющие внешней силы, рассчитанной на единицу массы. Независимым»
переменными будут время t и пространственные координаты *i, X2, *з Мы»
будем иметь три уравнения Эйлера:
о
ди,	&u	I dp
-яг
и уравнение неразрывности [II, 114, 115]:
dxk w*
Будем считать жидкость сжимаемой и положим, что уравнение состояния
определяется зависимостью давления от плотности р «= р(р), где р(р)—за-
р(р)—заданная функция. Окончательно будем иметь четыре уравнения первого по
]>ядка для функций ии "г, «з, р от независимых переменных xit x2} x$, t\
Ol	immJ OX,	K	О flf
3

66]
УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
203
Величины «//, определяемые формулами E), будут в данном случае иметь вид
012 = С021 = ©13 = ©31 = ©23 = ©32 = О*,
з
©,1==—тг-=з—?г + > Нг^-и*. (/==1,2,3,4),
dt
1 dp
й р dp
1^7 *
(9@1
4).
где, как и раньше, (Oi есть левая часть уравнения характеристической поверх-
поверхности
©i(*i, хъ хг% /)=0.	B2)
Обозначим, как и выше, через gz сумму:
з
Уравнение первого порядка F), которому должна удовлетворять характери-
характеристическая поверхность B2), в данном случае будет иметь вид
dt
0
дх.
О -
Р
dt
0
1JT
о 1
1	dp	д<д\
р	dp	дх{
1	dp	^0t
р	dp	д*2
dt
1 dp ^0t
p dp дх^
d(i>i
dt
Раскрывая этот определитель, получим
-<¦¦?]
<¦
?]
*
B3)
Скорость Р перемещения поверхности B2) в направлении, нормальном к по*
верхности, определяется, как известно, формулой G5) из [43]. В каждый
данный момент поверхность B2) будет проходить через некоторые жидкие
частицы. Пусть ип — составляющая скорости жидкой частицы, лежащей на
упомянутой поверхности, на нормаль к поверхности в соответствующей точке.
Принимая во внимание, что
: g суть направляющие косинусы упомяну*
k
той нормали (в ту сторону, где cot > 0), мы имеем
з
1
ft-l
Разность Р — «я, выражающая скорость движения поверхности по отношению
к жидким частицам, называется обычно скоростью распространения волны*

204 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ДО
Мы имеем для этой скорости следующее выражение:
з
g dt g
или
Дифференциальное уравнение характеристических поверхностей B3) оказы*
вается равносильным двум уравнениям:
У»-0; V2 = -g".	B5>
Первому уравнению отвечает случай стационарного разрыва, и в дальнейшем
мы будем рассматривать лишь второе из написанных уравнений. Скорость V,
определяемая формулой B5), есть скорость звука:
Bб>
Установим теперь характер разрыва, пользуясь кинематическими и дина-
динамическими условиями совместности Обозначим через hk коэффициенты раз-
разрывности, входящие в формулу A7), для функций и*, и через г — соответ-
соответствующий коэффициент для функции р. Уравнения A8) в данном случае на-
напишутся в виде
dt "к ' р dp дХ„	"
или, принимая во внимание B4) и B5), в виде
Т. €.
Лй—^-со8(хА,	B7>
где cos a* — направляющие косинусы нормали к поверхности разрыва. Будем
рассматривать (hi, h2, hs) как составляющие некоторого вектора h (вектор-
разрыва производных скорости). Предыдущие формулы могут быть записаны
в следующей векторной форме:
h =	n,
Р
где п — единичный вектор нормали к поверхности разрыва. Мы видим, таким
образом, что вектор разрыва производных скорости направлен по нормали
к поверхности разрыва (продольная волна).
Составляющие вектора ускорения wt выражаются формулами
з
ди
fe-1
и имеют разрыв при переходе через поверхность. Положим, что с одной сто-
стороны поверхности мы имеем покой В силу непрерывности самой скорости, ее
предельные значения на поверхности с обеих сторон равны нулю, а производи

67]	УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	205
ные от скорости будут на поверхности иметь значения, равные скачку, по-
поскольку перед поверхностью там, где мы имеем покой, эти производные рав-
равны нулю. То же самое можно сказать и о составляющих вектора ускорения.
Скачок этих составляющих, в силу B7) и B4), определится равенством
з
[д(д\ , V*	d(Di	d(&\	rgV2
" l dt jLj l k dxk ' dt	p	l
или в векторной форме:
При указанном выше условии эта формула будет давать вектор ускорения
на поверхности разрыва.	-	j
Рассмотрим теперь так называемый стационарный случай, а именно тот
случай, когда функции Uk и р не зависят от / Считая cot также не зависящим
от t, будем иметь Р = 0 и V = —ип. Положим, что в некоторой области
скорость движения жидкости меньше скорости звука B6). При этом и по-
давно | ип | < \] ~т~ > и равенство V = — ип невозможно. Таким образом,
мы видим, что при дозвуковых скоростях мы не можем иметь в стационарном
случае распространяющихся прерывностей.
67. Уравнения теории упругости. В качестве примера применения теории
характеристик к системам уравнений второго порядка рассмотрим уравнения
теории упругости в простейшем случае однородной изотропной среды. Обо-
Обозначим через («1, U2, из) составляющие вектора смещения и через X и [х —
обычные постоянные упругого вещества. Основные уравнения теории упруго-
упругости представляют собою следующую систему трех уравнений второго порядка
для функций (ии и2у из) от независимых переменных (хи *2, *з, t)i
ди.	д2и1
Мы будем иметь в данном случае
1
\
(/,/=,,2,-3) (*„_{;• ;;;).	B8)
Уравнение (9), после раскрытия соответствующего определителя, будет
в данном случае иметь вид
[<*+«•¦-'
В <;илу формулы G5) из [43] это уравнение дает нам следующие две воз-
возможные скорости перемещения поверхности разрыва:

206 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [67
В данном случае деформации считаются малыми и не имеет смысла говорить
отдельно о скорости распространения, т. е. скорости перемещения по отноше-
отношению к частицам материальной среды.
Рассмотрим теперь характер прерывности. Вводим коэффициенты прерыв-
прерывности hj производных второго порядка функций и,:
C0)
В силу B8), уравнения B1) в данном случае имеют вид
з
Принимая во внимание, что
JjL^) (Л-1,2,3),
где п — направление нормали к поверхности C), мы можем переписать пре-
предыдущие уравнения в виде
з
cos ("• *<) Zcos ("• */) hie °-
/-i
Введем вектор h с составляющими (hu h%y ftj). Предыдущие уравнения
могут быть записаны в виде
1 - Р (-^гJ] hi + № + I*) ё* cos (n, xt) hn - 0,
где hn — величина проекции вектора h на нормаль п к поверхности C), или,
в векторной форме:
— р(-тг) \h + (l + n)g2hnn = 0,	C1)
где п — единичный вектор нормали к поверхности C). Если мы возьмем ско-
скорость перемещения Рг, то коэффициент при h будет равен нулю, и мы долж-
должны иметь hn = 0, т. е. вектор h должен лежать в касательной плоскости к по-
поверхности C) (поперечная волна). Если же мы возьмем скорость Ри то из
C1) непосредственно следует, что h лишь численным множителем отличается
от п, т. е. h должен быть направлен по нормали к поверхности C) (продоль-
(продольная волна). Отметим еще, что в уравнении B9) множитель, дающий скорость
поперечной волны, стоит в квадрате. Это обстоятельство получит свое объяс-
объяснение в следующем параграфе, где мы будем рассматривать уравнения теории
упругости для анизотропной среды.
Выясним механический смысл вектора h. Положим, что по одну сторону
от поверхности S: (Oi(*i, х2, *з, t)=0 слабого разрыва имеется покой, т. е. и,
(/ = 1, 2, 3) равны нулю. В точках поверхности S функции и, и их производ-
производные первого порядка также равны нулю. С той стороны, где имеется движе-
движение, значения вторых производных и, на 5 будут определяться формулами
C0), так как с другой стороны поверхности эти производные тождественно
равны нулю, т. е.
д(д.
*/
dx
k
•h,
д{
дхи
(/, Л-0, 1,2,3),

681	АНИЗОТРОПНОЕ УПРУГОЕ ТРЛО	207
причем мы считаем Хо == t. Возьмем некоторую точку М на поверхности S и
примем ее за начало координат в пространстве (лсо, *i, *2, *з). Разложим щ
в окрестности точки М в ряд Маклорена, доводя разложение до членов вто-
второй степени. Принимая во внимание предыдущие формулы и тот факт, что щ
и ее частные производные первого порядка обращаются в нуль в точке М,
получим приближенное равенство
причем значок нуль указывает, что надо брать значение производных в точ»
ке М.
Принимая во внимание, что функция со4 обращается в нуль в точке М,
получим следующее разложение Маклорена, доведенное до членов первой
степени:
з
xv
и предыдущую формулу можно переписать в виде
~— 2(
Это приближенное равенство для вектора смещения и будет справедливым
вблизи поверхности разрыва с той ее стороны, где имеет место движение.
68. Анизотропное упругое тело. Введем в рассмотрение составляющие
тензора деформации, несколько изменяя обозначения из [IVi; 104]:
_ - dUl . .. _ dU3 . dU2 . .. _ ди1 , dU3 . .. _ *«2 L д»1
"' —дх]' ri"" дх2 т Щ * Y2 ^ ^з r Tij"f уз - дх{ v dxj
(/—1,2,3).
В случае анизотропного тела с тремя взаимно перпендикулярными плоскостям
ми симметрии работа сил деформации, отнесенная к единице объема, выра*
жается через составляющие тензора деформации в виде следующего однород-
однородного полинома второй степени:
А = у (аг\ + Ьг\ + сг\ + 2а'е2е3 + 2б'е3е1 + 2сгхг2 + а"у\ + b"y\ + c'yfy,
где коэффициенты а, 6, ..., с" суть функции (хи х2, аг3, t) или постоянные,
в случае однородной среды. Уравнения из [IVi; 104] при наличии силы инер-
инерции могут быть записаны в виде
д / дА \ д / дА \ д ( дА \ ^_^. . v в0
дх\ \ дв\ ) дх2 \ дуг ) дхъ \ ду% )	л'2	>"~ »
ал \ , <? / ^Л \ , д Г дА
1x7
дА \ t д ( дА\ d2uz [ Yo^0

208 • ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г68
Подставляя выражения Л, получим следующие уравнения:
д2их
д2и,
— =0-
Ь"+	+ f +
дх\	дх\	дх\
д2и,	<Э2и2	д2м,
'	I	JL ... =0.
дг
Вводя для сокращения письма обозначения:
C2)
мы можем записать коэффициенты &ц в виде
/	" 2 i * 2 • // 2	2
» ©22яс P + bP + a Р — PW	з
, // о	// 2 . 2	9
* Pi-r« Р2 + ОД —РРо-
Уравнение первого порядка (9), определяющее характеристические по-
поверхности, совпадает, как нетрудно видеть, с основным уравнением относи-
относительно A, = p/?q, которое служит для приведения эллипсоида:
(ар2 -г с"р\ + Ь"р2) В? + (/'р? + Ьр\ +
+ {Ъ"р\ + а"р\ + cpf) I2 + 2 (а + а") р2р,п3 + 2 (&' + б'О
2el C3)
к осям симметрии [Ilh; 32, 33]. Заметим, что левая часть написанного урав-
уравнения может быть получена из выражения 2Л, если в нем положить
tk = pk&k\ Yi = P*h + РзЬ\ Y2 = РзЪ + р!?з; уз = Pih + P2E1, а потому она
представляет собою определенно положительную квадратичную форму от ?s
(ибо Л > 0), и, следовательно, уравнению C3) соответствует действительно
эллипсоид. Решая упомянутое выше уравнение для Я, мы получим в каждой
точке тела три положительных корня для р% причем р\ будет однородной
функцией второго измерения от ри Рг, рз. Если обе части уравнения C3) раз-
делить на g2, то Pk превратится в cos ан, где cos afe — направляющие коси-
косинусы нормали к поверхности волны, и полученный корень р\ превратится

69]	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	209
в Р2 Таким образом, в каждой точке мы для любого фиксированного напра-
направления будем иметь три возможные скорости перемещения волны.
Составляющие (hi, h2> /13) вектора прерывности будут получаться из
однородной системы, из которой определяются направления осей симметрии
эллипсоида C3). Таким образом, в каждой точке, при задании определенного
направления, мы имеем три взаимно перпендикулярных вектора прерывности,
соответствующих трем скоростям перемещения. Для того чтобы иметь про-
продольные и поперечные волны, необходимо и достаточно, чтобы одна из осей
эллипсоида была направлена по нормали к соответствующей волне. Если это
выполнено, то мы будем иметь одну продольную и две поперечные волны, при-
причем мы считаем, что при фиксированном направлении упомянутое кубическое
уравнение имеет различные корни В случае однородной изотропной среды,
как мы видели, один из корней будет двойным. Направляющие косинусы нор-
нормали к волне пропорциональны ри р2, рз, и, следовательно, указанное выше
условие равносильно тому, что для некоторого корня % = рр$ величины (hu
hi, h%) должны быть пропорциональны (ри ръ, ръ) при любом выборе рд, т. е.
при любом выборе направления. Заменяя в однородной системе для hk эти
величины пропорциональными величинами рк, мы получим
(ар] + с"р\ + Ь"р\ - ppl) р, + (/ + с") PlPl + (bf + b") plP\ = 0,
(/ + с") р1р2 + (c"p\ + bpl + a"p\ - ppl) p2 + («' + a") p2p\ = 0,
(b' + b") p1p3 + (af + a") pfc + (b"p\ + a"p\ + cp\ - ppl) ръ = О.
C4)
Если мы примем во внимание, что при любом выборе ри рг, рг должны
получить из трех уравнений C4) одно и то же значение для p/?Q, то мы при-
придем к следующим условиям для коэффициентов упругого потенциала Л:
a = b = c = a' + 2a" = b' + 2b" = c' + 2c",	C5)
и написанные три уравнения дают нам ppl = ag*t т. е. для скорости продоль-
продольных волн мы получаем
Остальные два корня, соответствующие поперечным волнам, вообще го-
говоря, различны и зависят от выбора направления волны, т. е. от выбора Pk-
Равенства C5) дают нам пять условий для девяти коэффициентов, входящих
в выражение упругого потенциала Л.
69 Электромагнитные волны. Рассмотрим первые два уравнения Макс*
велла для изотропной среды:
с rot Н = КЕ + еЕ*, с rot E -а — цН/,	C6)
•где Е и Н — напряжения электрического и магнитного поля, с — скорость све-
света, X — коэффициент проводимости среды, е и }х — диэлектрическая постоян-
постоянная и магнитная проницаемость. Векторы Е и Н являются функциями неза-
независимых переменных (хи лг2, л:3, 0- Обозначим через (е4, ег, ез) и (hiy /i2, h3)
составляющие этих векторов, можем переписать уравнения C6) в виде
е	дех	dh2	д/?3	,	___ п	ц	dh{	дег	де2 _п
с	dt	^	дх3	дх2	" '	с	dt	"*" дх2	dxz
г	де2	.	dhz	dh\ n	\i	dh2	. дех	деъ
с	dt	^	дхх	дх3	"*"•" и'	с	dt	"*" дхг	дхх
е	dez	dhx	dh2	.	__ 0	\i	dh3	де2	дех
с	dt	^	дх2	дхх	т" •••	—и»	с	&	"*" дх{	дх2 '
C7)

210 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !69>
причем ненаписанные члены не содержат производных от функций ek и Л*.
В данном случае мы имеем систему шести уравнений первого порядка с
шестью функциями. Будем нумеровать эти функции в следующем порядке:
Составляя выражения E) и написав уравнение F), мы получим следующее-
уравнение первого порядка дли характеристических поверхностей:
8
0
0
0
Рз
~Р2
0
8
7*
0
~ Рз
0
р\
0
0
8
7*
Ра
-Pi
0
0
— Рз
Ра
0
0
Рз
0
~р.
0
*
0
— р2
Р\
0
0
0
— Р(
C8>
Умножим элементы первых трех столбцов этого определителя на — р<>« После
этого к элементам первого столбца прибавим элементы пятого столбца, умно»
женные на (—Рз), и шестого, умноженные на рг\ к элементам второго столбца
прибавим элементы четвертого, умноженные на рз, и шестого, умноженные на
(—pi); к элементам третьего столбца прибавим элементы четвертого, умно-
умноженные на (—Рг), и элементы пятого, умноженные на pi. Разлагая затем по
элементам шестой, пятой и четвертой строк, придем к уравнению
Р\Р2
-о,
где
C9)
D0>
D1)
которое распадается на два. Если приравнять нулю сумму, стоящую в скоб-
скобках, то получим ро = 0 и будем иметь стационарную волну {43]. В дальней»
шем остановимся на втором случае, когда q = 0, т. е. когда
Раскрывая определитель, мы приходим к уравнению
_*М. 2.
что дает известное выражение для величины скорости перемещения волны
D2)
D3)
Будем теперь рассматривать характер разрыва. Обозначим через (oci, аг,
аз) коэффициенты прерывности для производных от составляющих вектора Е

«69J	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	211
« через (Pi, P2, рз) — аналогичные величины для составляющих вектора Н
Введем, как всегда, в рассмотрение векторы прерывности а(а4, аг, аз) н
"г, Рз). Мы можем написать
К (k = 0, 1, 2, 3; *о = О.	D4)
'• PkP )
Первые три из уравнений A8) запишутся в данном случае в виде
е
~ РгРз
—	ро«2 + Р1Р3 — Р3Р1 = О,
—	Ро«з + Р2Р1 — Р1Р2 = О,
D5)
или, обозначая через п вектор единичной нормали к поверхности волны
<ot = 0, направленный в ту сторону, где он > 0, мы можем написать послед-
последние уравнения в виде
причем справа стоит векторное произведение векторов р и п Совершенно так
же последние три из уравнений (8) могут быть записаны в виде
= -а X п.	D7)
Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что векторы а и Р лежат
в касательной плоскости к волне и взаимно перпендикулярны
Положим, что перед поверхностью волны, т е. там, где coi > 0, мы имеем
покой, т. е Е и Н равны нулю Формулы D4) дадут нам значение производ-
производных от векторов Е и Н на самой поверхности волны*
Разложим Е и Н вблизи фронта волны в ряд Тейлора, доводя разложение
до членов, содержащих производные первого порядка Принимая во внима-
внимание, что Е и Н обращаются в нуль на поверхности волны, мы можем напи-
написать, пользуясь формулами D8), следующие приближенные формулы:
в ~ -«Ео рк (** - *П н ~ - р ? Pk (*» - 40)).
где (*о°\ xf\ *20)> а:з0))—некоторая точка на поверхности волны. Применяя
формулу Тейлора для функции (Оь можем написать, принимая во внимание,
ЧТО 03} I Xa , Xt , X9 , #0 I — U.
3
з) ~ S
и предыдущие формулы могут быть переписаны в виде (ср. [66])
Е ~ — со* (*о, хи *2, Xi) а; Н ~ — (ot (x0, хи х2, х3) р.	D9)
Эти приближенные формулы будут иметь место вблизи волны с той ее сто-
стороны, где имеется электромагнитный процесс.

212 ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Г69
В случае однородной анизотропной среды величину е мы должны счи-
считать уже не числом, а симметричной таблицей из девяти элементов. Эта ве-
величина входит в формулу, связывающую вектор электрического смещения с
вектором Е [II; 130]. Величину \х будем по-прежнему считать числом. Выбе-
Выберем координатные оси так, чтобы таблица 8 привелась к диагональной форме,
и пусть 8з > ег > ei > 0 — ее собственные значения [IIIi; 32, 33]. При этом
первые три из уравнений C7) будут иметь вид
дех dh2
dt
de2
C2 *s*>2 * ^'*3
"" ^7 Г
dhx
(?JC2
дх9
dh2
dt l dx2 dxi ^ '" '
и вместо уравнения C9) мы будем иметь уравнение
Я\ + Р2\ Р\Р2
= 0,
= 0,
= 0,
Р\Р2
Р\Рг
Я2 + Р1
Р2Рз
+ р\
= 0,
E0>
где
Вводя обозначения
мы можем написать
А
Деля обе части уравнения E0) на g2t можем переписать его в виде
q2qs cos2 <*! + qzq{ cos2 a2 + qxq2 c(>s2 a3 + -p- q{q2q3 = 0.	E2)
Мы имеем очевидное решение этого уравнения q± = 0; cos at = 0. При-
Принимая во внимание E1), мы видим, что Vi есть возможная скорость распро-
распространения волны в любом направлении, параллельном плоскости Х\ = 0. Со-
Совершенно аналогично Уг и Уз суть возможные скорости распространения
волны в направлениях, параллельных плоскостям хг = 0 и х3 = 0. В общем
случае мы можем переписать уравнение E2), умножив обе его части на g2
и написав gi^s = ^i^2^3(cos2 ai + cos2 аг + cos2 аз), в виде [43]
E3>
Отбрасывая решение V = 0, которому соответствует стационарная волна, мы
получим для определения V при заданном направлении волны, характеризуе-
характеризуемом величинами cos a*, квадратное уравнение для У2;
2
cos a,
=0.
E4>

69]	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ	213
Совершенно так же, как в [II, 149], можно показать, что это уравнение
имеет два различных положительных корня для V2.
Если мы решим уравнение E0) или E2) относительно ро, то получим
уравнение вида
+ F(pXf ръ рз) = О,	E5)
где F — однородная функция первого измерения. Поскольку уравнение E5)
не содержит #*, система Коши для этого уравнения приведет к постоянным
значениям для pk, и бихарактеристики будут прямые линии. Их уравнение
напишется в виде
V
Проведем характеристический коноид с вершиной в начале. Он представ-
представляет собою поверхность волны от точечного источника в начале координат
в различные моменты времени. Его уравнение будет xk = Fp t или, при /= 1:
xk = FPk (k = 1,2,3).	E6 >
Поскольку Fp есть однородная функция нулевого измерения, правые
части уравнений E6) содержат два параметра, а именно отношения двух из
величин ри Pi, рз к третьей. Пусть S — поверхность E6), P(xiy x2t x3)— не-
некоторая точка на S и б — расстояние от начала координат до касательной
плоскости к S в точке Р. Если cos at — направляющие косинусы нормали к 5
в точке Р, то мы имеем, применяя формулу Эйлера для однородных функций
i-1	i-1	i = l
Беря для определенности знак (+)> что несущественно для дальнейшего, мы
можем написать уравнение касательной плоскости к 5 в виде
з
? х cos ctj — V = 0.	E7)
В это уравнение входят четыре параметра cos a* (i = 1, 2, 3) и V, кото*
рые связаны двумя соотношениями:
з	з	2
cos о..
так что уравнение E7) содержит два независимых параметра, как это и
должно быть. Сама поверхность 5 будет огибающей семейства плоскостей
E7), зависящего от двух параметров. Если проделать все вычисления, на
которых мы не останавливаемся, то мы получаем следующее уравнение по-
поверхности:
у2 2
Ери, например, Vi = V2i то эта поверхность четвертого порядка вырож-
вырождается в совокупность сферы и эллипсоида.

14 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ f7o
70. Сильные разрывы в теории упругости. Мы рассматривали раньше во-
лрос о сильных разрывах для решений одного уравнения [44]. Приведем те-
теперь с точки зрения теории сильных разрывов исследование уравнений теории
упругости.
Мы ограничимся при этом рассмотрением плоского случая. Пусть (ы, v) —
доставляющие вектора смещения на плоскости (*, у) и X, Y — составляющие
объемной силы. Обозначая, как всегда, через ах, оу, тху составляющие тензора
напряжений, мы будем иметь следующие два основных уравнения теории
упругости.
дЧ ._ ..„
•X,
E8)
К этим уравнениям надо добавить еще связь между тензором напряжений и
тензором деформации (закон Гука):
<*х = А, (и* + vy) + 2цих; Оу^Х (их + vy) + 2\ivy, %ху = \i (uy + vx). E80
Подставляя последние выражения в уравнения E8), получим уравнения тео-
теории упругости, выраженные через вектор смещения «о:
д2®
Р	(^
В дальнейшем под («, v) мы можем подразумевать любые две функции от
(*, у, /), имеющие непрерывные производные до второго порядка. При этом
уравнения E8) дадут нам величины X и У, соответствующие взятым функ-
функциям (и, v) Введем еще два линейных оператора, содержащих производные
первого порядка от функций (и, v):
Р (uf v) = or cos (л, x) + tv,, cos (л, #) — ом, cos (я, 0» ^
о / ч	,	ч	/	ч	/ .v Г	E9)
P.. \u> v) ~ Xyu C0S \n> X) + 0*.. COS (/I, [/) — pV, COS (rt, ^). I
у	лу	у	t	f
Рассмотрим две пары функций (a, v) и (и', и'), и пусть о'х, о'у, xxyt Xs\ Кл —
значения величин E84) и X, Yt соответствующие паре функций («', v'). Мы
имеем, таким образом,
Пользуясь этими выражениями и применяя обычную формулу Остроградского,
мы получим следующий аналог формулы Грина:
— \ \ \ (uXr + vY' - и'Х - v'Y) dx:
[м/>х (и', и') + oPj, (а', о') - и'Р* («, и) - v'Py {и, v)] dS, F0)
где D, как и выше, — некоторая область в пространстве (х, «/, /), S —огра-
—ограничивающая ее поверхность и п — направление внешней нормали к 5. Указан-
Указанная выше формула была впервые дана Вольтерра. Отметим, что под X, Y мы
разумеем просто выражения, стоящие в первых частях формул E8) и анало-
аналогично для X', Y', При выводе формулы F0) предполагается, конечно, что
функции («, v) и («', v') имеют в области D непрерывные производные до
второго порядка.

70]	СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	215-
Переходим теперь к рассмотрению тою случая, когда производные пер-
первого порядка функций (м, v) имеют разрывы Пусть область D рассечена по*
верхностью а на две части ?>i и D2y и положим, что на поверхности а первые
производные функций (и, v) имеют разрывы, удовлетворяющие указанным
в [441 кинематическим условиям совместности Положим, кроме того, что
выражения E9) остаются непрерывными при переходе через поверхность а.
В дальнейшем мы выясним механический смысл этих динамических условий
совместности Совершенно так же, как и в [44], мы можем утверждать, что
формула F0) будет иметь место для всего объема О, если (и, v) удовлетво-
удовлетворяют указанным выше условиям прерывности, а (и\ v') — любые функции
с непрерывными производными до второго порядка.
Выясним следствия из указанных выше условий. Как и в [44], мы можем
утверждать, что векторы grad «Xn и grad v X n должны оставаться непре-
непрерывными при переходе через а. Если мы выпишем составляющие этих век-
векторов, то получим шесть выражений, которые должны оставаться непрерыв-
непрерывными при переходе через о Добавив еще выражения E9) которые мы пре-
преобразуем, подставив в них вместо составляющих тензора напряжений их вы-
выражения по формулам E8i), мы будем иметь следующие восемь выражений,
которые должны оставаться непрерывными при переходе через а:
их cos (я, у) — иу cos (я, х) — М„
иу cos (я, t) — uf cos (я, у) -в Af2,
ut cos (я, x) — ux cos (я, t)» Afy
vx cos (n, y) — vy cos (я, x) == Af4,
vy cos (n, t) — vt cos (л, у) — Af5,
vf cos (n, x) — vx cos (л, t) «я Af6,
{X + 2\x) ux cos (л, x) + \шу cos (я, у) — рм, cos (л, /) + №х cos («, у) +
+ Xlty COS (Л, JC) «в Af7,
kux cos (л, #) + [iuy cos (n, i/) -f \ivx cos (/*,*) +
+ (Л + 2ц) vy cos (/i, #) — pvt cos (я, 0 = M8^
Будем рассматривать написанные уравнения как восемь уравнений относи-
относительно шести производных первого порядка от функций и и и. Если бы таб-
таблица коэффициентов этих уравнений содержала хоть один определитель ше-
шестого порядка, отличный от нуля, то мы могли бы выразить все шесть про-
производных первого порядка от функций и и v через непрерывные функции М/,
и не имели бы разрыва этих производных на а. Мы можем, таким образом,
утверждать, что все определители шестого порядка упомянутой выше табли-
таблицы должны равняться нулю Вычеркивая последние две строки упомянутой
таблицы и приравнивая оставшийся определитель нулю, мы получим тожде-
тождество Рассматривая остальные случаи, мы придем к единственному уравнению
{р cos2 (я, /) - (Я + 2ц) [cos2 (я, х) + cos2 (я, у)]} X
'X {Р cos2 (я, /) —|А [cos2 (я, х) + cos2 (я, у)]} = 0, F1>
которое и будет выражать тот факт, что упомянутая выше таблица имеет
ранг, меньший шести. Пусть уравнение а имеет вид \|э(я, у, /)=0. Напи-
Написанное ,зыше уравнение распадается на два уравнения:
O и р*?-|i ОЙ+ ¦?)-<>,
и мы видим, таким образом, что поверхность а должна быть характеристи-
характеристической поверхностью уравнений теории упругости [66].

216 ГЛ Г ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ G0
В данном случае мы будем иметь существенную разницу по сравнению
€ олним волновым уравнением. Кинематические условия совместности, кото'
рые сводятся к непрерывности Mit М2, ..., Me, совместно с тем фактом, что
о есть характеристическая поверхность, что сводится к уравнению F1), не
гарантирует нам еще непрерывности М7 и М8, т. е. не гарантирует динамиче-
динамических условий совместности. Выясним те дополнительные условия, при которых
мы получаем непрерывность М7 и Ms.
Возьмем на а некоторую точку N, и пусть / — прямая пересечения каса-
касательной плоскости к а в точке N с плоскостью t = const, проходящей через
точку N Выберем эту прямую / за ось у Ось t имеет в точке N фиксирован-
фиксированное направление, перпендикулярное к направлению прямой /. Тем самым опре-
определится и ось х Рассмотрим сначала тот случай, когда равен нулю первый
из множителей, стоящих в левой части уравнения F1):
р cos2 (п, t) - (А, + 2ц) [cos2 (л, х) + cos2 (п, у)) = 0,	F2)
что соответствует скорости продольных волн. В силу сделанного выбора оси у,
мы имеем в точке N cos (я, у) = 0, и, кроме того, производные щ и vy
остаются непрерывными при переходе через а в точке N. Составим выра-
выражение:
(X + 2ц) их cos (п, х) — puf cos* (я, t) = г.	• F3)
Пользуясь F2), можем написать
г cos (я, лс) = — р cos (/г, t) M3,
откуда вытекает, что, в силу кинематических условий совместности и уравне-
уравнения F2), выражение F3) непрерывно в точке N. При этом М1 оказывается
также непрерывным в точке N, а для непрерывности Ms оказывается необхо-
необходимым и достаточным непрерывность выражения
\xvx cos (я, х) — Qvt cos (п, t) = М.	F4)
Кроме того, мы имеем непрерывность выражения
vx cos (n, t) — vf cos (ny x) = — Мб.	F5)
Определитель системы уравнений F4) и F5), равный pcos2(tt, t)—(х cos2(/г, х),
в силу F2) и cos (/г, у) = 0, отличен от нуля, и, следовательно, непрерывность
выражения F4) равносильна непрерывности частных производных vx и vt.
Кроме того, мы уже имеем непрерывность частной производной vy в точке N.
Пересечение поверхности а с плоскостью t = const является линией разрыва
на плоскости (а:, у) в заданный момент времени, а прямая / есть касательная
к этой линии в точке N. Величина v есть проекция вектора смещения на на-
направление /, касательное к линии разрыва Мы показали выше, что все произ-
производные первого порядка от v должны быть непрерывными в точке N, т. е.
сильный разрыв может испытывать только составляющая и вектора смещения
«а направление, перпендикулярное к линии разрыва (продольный разрыв).
Итак, если выполнены кинематические условия совместности и уравнение F2),
то для соблюдения динамических условий совместности необходимо и доста-
достаточно, чтобы сильный разрыв имела только составляющая вектора смещения,
нормальная к движущейся в плоскости (я, у) линии разрыва. Совершенно
так же можно рассмотреть и уравнение
р cos2 (л, t) — ц [cos2 (л, x) + cos2 (n, y)] = 0.
При этом окажется, что сильный разрыв может испытывать только состав-
составляющая вектора смещения на касательную к линии разрыва.
Положим, что поле смещений потенциально:
(м, t/)=grad(p,

70]	СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	217
откуда следует, что
иу = Vx-
Выбирая по-прежнему координатные оси, мы будем иметь в точке N непре-
непрерывность производных иу, vy и vx. Но тогда из непрерывности М6 будет еле*
довать и непрерывность vt, и, таким образом, в случае потенциального поля,,
разрыв может испытывать только составляющая вектора смещения на нор-
нормаль к линии разрыва.
Положим теперь, что поле смещений соленоидально, т. е.
ux + vy = 0.
При этом мы будем иметь непрерывность производных иу, vy и их, а следо*
вательно, в силу непрерывности Мз, и производной щ, т. е. в соленоидальном
поле возможен только разрыв составляющей вектора смещения на касатель*
ную к линии разрыва.
Выясним теперь механический смысл изложенной выше теории, а именно
мы покажем, что наличие формулы F0) в простейших частных случаях по-
показывает, что закон импульсов оказывается справедливым и для объема, со-
содержащего внутри себя поверхность разрыва. Положим в формуле и' = I и
v' = 0. При этом, согласно формулам E8i), составляющие тензора напряже-
напряжений для (и\ vr) будут равны нулю и формула F0) приведется к виду
D	S
Совершенно так же, если положить и' = 0; vr = 1, то получится формула
(">t;)^	F7)
За область D возьмем цилиндр, образующие которого параллельны оси t, и
пусть основания этого цилиндра Si и 5г находятся в плоскостях / = /i и
t = /2. Положим, что внутри этого цилиндра находится поверхность раз-
разрыва а. На нижнем и верхнем основаниях Si и 5г ,мы имеем cos (/г, х) =
= cos (/г, у) = 0. На нижнем основании cos (n,t)=—1 и на верхнем основа*
нии cos (n, t)= +1. На боковой поверхности cos(n,t) = 0. Обозначая через St
переменное сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образую-
образующим^ через U линию пересечения этой плоскости с боковой поверхностью
цилиндра, мы можем переписать формулу F6) в виде
где
On = Ox cos («, x) + тху cos (n, y),
или
и	и
Y\yt\
tx\-st	J tx Ц Л st	u st	¦
Первое слагаемое левой части дает импульс объемных сил, приложенных
к площадке St плоскости (х, у) за промежуток времени [tit t2]. Второе ела*
гаемое дает импульс' сил напряжения, действующих на контуре этой пло-
площадки, а разность, стоящая справа, представляет собою приращение количе-
количества движения, рассчитанное для этой же площадки, причем как импульс

•218 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г71
силы, так и приращение количества движения спроектированы на ось х. Со*
вершенно так же формула F7) даст нам аналогичное соотношение для про*
екций импульса силы и приращения количества движения на ось у Таким
образом, мы действительно получаем для объема D, содержащего поверх*
ность разрыва, закон импульса,
71. Характеристики и большие частоты. Существует связь между теми
формулами, которые мы получили выше при изложении теории характеристик
-систем уравнений, и теми формулами, которые получаются, если пытаться
приближенно удовлетворить системе дифференциальных уравнений функциями
специального типа. Пусть имеется система уравнений второго порядка:
»'-° <'-•*	*>• F8>
Будем пытаться удовлетворить этой системе, задавая функции щ в виде
и,-*,*'»* (/-1, 2	т),	F9)
где Xi и Ф — некоторые искомые функции независимых переменных и ю —
число Подставляя выражения F9) в уравнение F8) и оставляя лишь члены,
содержащие квадрат числа со, мы придем к следующей системе уравнений;
т п
S Z вЛ^фл" ° 0 -1. *, • • •. т>	<7°)
/-1 *,/«1	* '
Будем рассматривать эту систему как систему однородных уравнений отно-
относительно Xf Чтобы получить решение, отличное от нулевого, мы должны при*
равнять нулю определитель этой системы. Таким образом, мы приходим
к уравнению первого порядка для искомой функции Ф:
К/Н0
которое совпадает с уравнением для характеристических поверхностей. Взяв
какое-нибудь решение этого уравнения, мы сможем определить X/, вообще
говоря, с точностью до произвольного множителя из системы G0). Эта систе-
система совпадает с системой B1), которую мы имели для определения коэффи-
коэффициентов прерывности hf. Уравнения этой последней системы должны были
иметь место лишь на поверхности волны Уравнения G0) должны иметь
место везде. Но при этсик мы лишь приближенно удовлетворили системе F8)
функциями вида F9). В данном случае Ф == const суть поверхности одина*
ковых фаз
Рассмотрим более подробно случай одного волнового уравнения:
и будем искать его решение в виде гармонического колебания частоты со по
отношению ко времени t:
где А и Ф — искомые функции только координат (х, у, г). Дело сводится
к подстановке выражения
0=*Лв*°ф	G2)
в уравнение
(|J)	G3)

71]	ХАРАКТЕРИСТИКИ И БОЛЬШИЕ ЧАСТОТЫ	219*
Мы имеем
Аналогичные формулы получатся и для производных по у и г. Подстав-
Подставляя в уравнение G3) и приравнивая нулю коэффициент при со2, получим
уравнение для Ф.
ф*+ф»+<&»--?,..	G4>
Приравнивая еще нулю коэффициент при (о, получим уравнение, в кото-
которое будет входить амплитуда А(х, у, г) решения G2):
А ДФ + 2 (АХФХ + АуФу + А2Фг) =- О,
или
grad lg A • grad Ф» —— АФ.	G5)
Легко установить связь уравнения G4) с уравнением характеристических по-
поверхностей. Для уравнения G1) мы имеем следующее уравнение характери-
характеристических поверхностей:
и подставляя coi = t + Ф, мы и получим уравнение G4). Обозначая через it
единичный вектор нормали в некоторой точке М к поверхности Ф = const
одинаковых фаз, проходящей через эту точку, мы. можем написать
grad Ф = ф (х, у, г) п,
где ф(х, у, г) —длина вектора grad Ф в точке (х, у, г). Уравнение G5) при
этом может быть записано в виде
gradn lg A « - -^ div (<pn),	G6)
где gradnlg^l — проекция gradlg>4 на направление п Уравнения G4) и G6)
должны иметь место во всем пространстве Но мы удовлетворили уравнению
G1) только приближенно.
Совершенно так же, если мы в уравнения Максвелла C6) подставим
Е = с^ф; Н = ЪешФ,	G7)
где е и h — векторы, Ф — скалярная функция, зависящие от (*i, x2t лгз, /),
и со — число, то мы получим, собирая члены, содержащие множитель со.
ф,-1-е=^^ФХп.	G8)
с
Это уравнение совпадает, по существу, с уравнением D6) из [69]. Совер-
Совершенно так же получится и уравнение, аналогичное уравнению D7) Уравне-
Уравнение G8) должно иметь место не только на поверхности Ф = const, и эта
последняя поверхность не есть поверхность разрыва, а поверхность одинако-
одинаковых фаз в решении G7).

220 ГЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Г72
72. Случай двух независимых переменных. Рассмотрим си-
систему уравнений первого порядка с двумя независимыми пере-
переменными и предположим, что она разрешена относительно част-
частных производных по х2. Таким образом, мы имеем систему в виде
д	т	д
где atJ могут зависеть от х\, х2. Вводя векторы и и Ф достав-
доставляющими ut и Ф, и матрицу А с элементами а,/, можем перепи-
переписать систему G9) в виде одного векторного равенства:
Введем вместо и новый вектор v по формуле
u = Bv,	(81)
где В— некоторая матрица с элементами Ъьи, зависящими от
Х\у х2, имеющими непрерывные производные в некоторой обла-
области D плоскости (х\у х2), и с определителем, отличным от нуля.
Мы имеем
"^7 = S^: + -^7V (^ = Ь2),	(82)
где дифференцирование матрицы В сводится к дифференциро-
дифференцированию ее элементов. Подставляя (81) и (82) в (80), получим
уравнение для v:
где *F — вектор, составляющие которого зависят от (х\9 х2, vf).
Умножая обе части на В~1, получим преобразованное уравнение
в виде
^B-AB-^ + V,.	(83)
Выберем теперь, если возможно, матрицу В так, чтобы матрица
В А В имела диагональную форму. Это связано, как известно,
с решением характеристического уравнения для матрицы А
[IIIi; 27]:
I Л — Л| = 0,	(84)
где в левой части стоит определитель матрицы (А — %), или, в
раскрытом виде:
ц — К, п[2у ..., aim
— К •••»
ати
= 0.	(85)

72]	СЛУЧАЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ	221
Положим, что в окрестности некоторой точки (xf\ х20)) коэф-
коэффициенты atk имеют непрерывные производные и уравнение (85)
имеет различные корни Xk(xu х2) (ft = 1, ..., m). Последнее
существенно для дальнейшего. При этом в упомянутой окрест-
окрестности мы сможем, пользуясь методом, описанным в [НЬ; 27],
построить матрицу В с указанными выше свойствами так, чтобы
матрица В~1АВ привелась к чисто диагональной форме, и при
этом уравнение (83) мы можем написать, выписывая все со-
составляющие, в виде
dv.	dv.
~д? — Ыхи *2)-^ + ^(*b *2. 0/) = O (/=1, 2, ..., т). (86)
Если все А,,(лсь х2)—вещественны в упомянутой окрестности, то
система называется гиперболической в этой окрестности.
Пользуясь обозначениями из [63], мы имеем для системы
а<*> = 0 при 1Ф\\ <>=1; аМ = -\(х19х2)9 (87)
для величин со,/, определяемых формулами E), получаем
С0г/ = 0 ПрИ 1ф]\
уравнение F) принимает вид
-
h х2) -^\ = О,
и оно распадается на т линейных уравнений:
-^L-Xt(XuX2)^- = 0 (,'=1, ...,m). (88)
Если (Oi(jCbJC2)—решение одного из этих уравнений, то семей-
семейство (oi (хь Х2) = С есть семейство характеристических линий
или характеристик для системы (86). Уравнение (88) равно-
равносильно обыкновенному уравнению:
dxx + К (хь х2) dx2 = 0, т. е. -~^- = - Xt (хь х2\ (89)
м через каждую точку плоскости той области, где мы имеем
функции К(х\, х2) с непрерывными производными первого по-
порядка, проходит т характеристик.
Рассмотрим точки, достаточно близкие к оси х2 = 0, и пусть
lt — часть интегральной линии уравнения (89), проходящей че-
через точку (хи х2), между этой точкой и пересечением этой ин-
интегральной линии с осью лгг = 0, в некоторой точке (л;^, 0).
Вдоль линии lt мы можем считать любую функцию i|?(xi, x2y
функцией только от х2 и, в силу (89), имеем

222 ТЛ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ G3
Таким образом, система уравнений (86) равносильна следую-
следующей системе интегральных уравнений:
v. (*р х2) = v t (*<<>, 0) - J ^ (xv xy v,) dx2 (/ = 1, ..., m). (90>
li
Принимая, что на оси дгг = 0 нам заданы значения функций
Vi(x\, ^2), мы можем считать известными ог(х[*\ 0) и можем
применить к системе (90) метод последовательных приближе-
приближений. Это дает теорему существования и единственности решения
задачи Коши и непрерывную зависимость от начальных данных.
Подробное изложение этого вопроса, а также рассмотрение тога
случая, кода уравнение (85) имеет кратные корни, можно найти
в упомянутой выше книге И. Г. Петровского.
73. Примеры. 1. Рассмотрим систему уравнений, которой определяются
вещественная и мнимая части аналитической функции [ПЬ, 2]:
дх\ дх2	дхх дх2
Мы имеем
°11 — а2\ — 2 "~ *• а12	*»
и остальные aff равны нулю. Левая часть уравнения F) при замене д !-
на а* имеет вид а^ + а^, и, следовательно, система (91) имеет эллиптический
тип. Принимая во внимание отмеченную выше связь этой системы с аналити*
ческими функциями, можем утверждать, что всякое ее решение с*непрерыв~
ными производными первого порядка есть аналитическая функция Х\ и хг.
2. Рассмотрим систему (Перрон (Perron)—Math. Z, 1927, 27, № 4)
(92)
дх\ дх2	dxi	дх2
где а — постоянная.
Левая часть уравнения F) при замене - ] на ал имеет вид а^ — аа^
axk
и, следовательно, система — эллиптического типа при а < 0 и параболиче-
параболического при а = 0. Уравнение (85), если написать систему в форме, решенной
относительно частных производных по хи имеет вид
j""Xf \ =0, т. е. Л2-а = 0,
и "при а > 0 оно имеет вещественные, различные корни, т. е. система гипербо-
гиперболическая при а > 0.
Положим сначала, что а > 0 Поступая, как указано в [72], вводим вме-
вместо Mi, u% новые функции:	*
,	(93)
и получаем два раздельных уравнения для v\ и иг:

73]	ПРИМЕРЫ	223
После введения новых независимых переменных:
Ч — <</ахх И- х2, 2ц —¦- Va*i + *г,
система переписывается в виде
^^'	О.	(95)
Найдем то решение системы (95), которое удовлетворяет начальному уело*
«ию:
Пользуясь (95), получаем
1+ч	5+11
\ а
В исходных независимых переменных:
1	Г F (О Л;
и согласно формулам (93) сможем определить Wi и «2, которые являются ре-
решением системы (92) и удовлетворяют начальным условиям:
«lU-o^^U^o^0»	(96)
Такое решение, очевидно, единственно.
При a sss 0 система (92) принимает вид
и мы получаем ее единственное решение, удовлетворяющее условиям (96):
причем мы должны предположить, что F(X2) имеет непрерывную производную
второго порядка.
Рассмотрим, наконец, тот случай, когда а = —Ьг < 0. Полагая
I г
Ьх\ = X' х2 ==а у, V\ = bti\ -f- -7- V /^ (t) dt\ t?2==s w»,	(97)
0 J
с
переписываем систему (92) в виде
дУ\ _^ ду2 п# ^>?2 , ду\ 	.
дх ду в * дх ду "" "
Отсюда видно, что t^i + t;2/ должна быть регулярной функцией г » х + yf, и,
в силу (96) и (97) эта функция при х-+0 должна стремиться к вещественной
функции
f)F(t)dt.	щ
С

224 ГЛ I ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ |73
Мы можем утверждать, что упомянутая регулярная функция должна быть
аналитически продолжима через прямую х = О и следовательно, должна
быть аналитической функцией и*на самой этой прямой [ПЬ; 24] Тем самым
функция (98), а потому и F(y), должны быть аналитическими функциями при
вещественных у Разлагая функцию (98) по степеням (*/— г/о), где у о — ка-
какое либо вещественное число
мы получим
при г, близких к iy0 Зная d и i>2, найдем (/i и иг согласно (97),

ГЛАВА II
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ОБЫКНОВЕННОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
74. Функция Грина линейного уравнения второго порядка»
Настоящая глава будет посвящена рассмотрению предельных
задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так
и для уравнений с частными производными. Мы неоднократно
уже встречались с решением таких задач. Цель настоящей гла-
главы— дать систематическое изложение вопроса.
Применение метода Фурье к решению предельных задач ма-
математической физики приводило нас неоднократно к следующей
предельной задаче для обыкновенного дифференциального урав-
уравнения второго порядка, содержащего параметр: найти такие
значения параметра А,, при которых в конечном промежутке
[а, Ь] существует отличное от нуля решение однородного урав-
уравнения
•&Г \Р (*) У'\ + № (х) - q (х)\ у = 0,	A)
удовлетворяющее на концах этого промежутка некоторым одно-
однородным предельным условиям:
ЩУ(а) + а2у/(а) = 0; р,у (b) + fc/ (b) = 0,	B)
где аи и р* — заданные числа. При этом мы, конечно, считаем,
что по крайней мере одно из чисел ai и а2, а также Pi и р2> от-
отлично от нуля. Мы будем предполагать, что р(х), q(x) и г(х) —
непрерывные функции в замкнутом промежутке [а, Ь]9 причем
функция р(х) не обращается в этом промежутке в нуль и имеет
непрерывную производную. Введем специальное обозначение для
суммы тех слагаемых левой части уравнения A), которые не
содержат параметра Я:
L{y)
Будем, как всегда,' называть собственными числами или соб-
собственными значениями те значения параметра Я, при которых

226	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г74
поставленная однородная задача имеет не нулевое решение, а
собственными функциями — сами эти решения. Они определя-
определяются, очевидно, с точностью до постоянного множителя. Не-
Нетрудно видеть, что всякому собственному значению может соот-
соответствовать только одна собственная функция. Действительно,
положим, наоборот, что при некотором значении X существуют
два линейно-независимых решения уравнения A), удовлетво-
удовлетворяющих предельным условиям B). При этом оказалось бы, что
и общий интеграл уравнения A) удовлетворяет этим предель-
предельным условиям B). Но этого быть не может, так как можно
определить решение уравнения A) при таких начальных данных
для у (а) и у'(а), которые не удовлетворяют первому из пре-
предельных условий B). Пользуясь элементарными преобразова-
преобразованиями, которые мы применяли много раз [ИЬ; 105, 146, 158],
можно показать, что собственные функции q>i(x) и фг(^), соот-
соответствующие различным собственным значениям, обладают
свойством ортогональности, а именно:
Мы введем сейчас для оператора L(y) функцию, аналогич-
аналогичную статическому прогибу струны под действием сосредоточен-
сосредоточенной силы, который мы рассматривали в [IVi; 1]. В этом послед-
последнем случае роль оператора L(y) играл оператор у". Для того
чтобы естественным путем придти к выяснению свойств упомя-
упомянутой выше функции, рассмотрим неоднородное уравнение
L(y) = -^[p(x)yr]-q(x)y = -f(x)	C)
и предположим, что функция f(x) равна нулю во всем проме-
промежутке [а, &], кроме малого промежутка [? — е, g + e], где ?—
фиксированная точка, лежащая внутри [а, &], причем выпол-
выполнено условие
\ f(x)dx = l.	D)
При стремлении е к нулю мы и получим в пределе аналог сосре-
сосредоточенной в точке jc == ^ силы. Рассмотрим при этом пред-
предположении относительно f{x) решение уг{х) уравнения C),
удовлетворяющее предельным условиям B), считая, что такое
решение существует. Интегрируя обе части уравнения C) по х
и принимая во внимание D), получим
1-е

74]	ФУНКЦИЯ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА	227
или в пределе, при е->0,
т. е. производная у'(х) упомянутого выше решения должна
иметь в точке х = ? разрыв непрерывности первого рода со
скачком, равным	тгт-. Это решение будет зависеть, конечно,
и от того, какую именно точку промежутка [а, Ь] мы выбираем
за точку ?, так что оно будет функцией двух переменных (х, Q,
и мы его в дальнейшем будем обозначать через G(x, ?) и назы-
называть функцией Грина оператора L(y) при предельных условиях
B). Предыдущие соображения приводят нас к следующему
строгому определению функции Грина: функцией Грина опера-
оператора L(y) при предельных условиях B) называется функция
G(x> ?)» удовлетворяющая следующим условиям: 1) она опре-
определена и непрерывна в квадрате k0, определяемом неравенства-
неравенствами а ^ х, ? ^ Ь\ 2) как функция переменной х, она имеет при
0^#<| и ? < х ^.Ь непрерывные производные до второго
порядка и удовлетворяет однородному уравнению L (у) = 0;
3) как функция от х, она удовлетворяет предельным условиям
B); 4) на диагонали упомянутого квадрата, т. е. при х = g, ее
производная по аргументу ху которую мы будем обозначать че-
через G'(x, |), имеет разрыв первого рода, причем должны быть
удовлетворены следующие два условия:
G'A + 0, |)-СF-0, ?) = --тж. )
1	\	E)
G'(?, t + O)-G'A,1-0) = _.!_-. J
Эти последние условия сводятся к одному следующему требо-
требованию: при приближении к любой точке х = g упомянутой диа-
диагонали как сверху, т. е. из области g > х, так и снизу, т. е. из
области I < х, производная G'(x?) должна иметь определенные
значения, и разность этих предельных значений должна рав-
равняться -тттг- В каждой из этих двух областей вторая производ-
производная по первому аргументу выражается, в силу L(G) = 0, сле-
следующим образом:
р (х) G" (х, 1) = -р' (х) G' (х, l) + q (x) G (*, ?),
и, следовательно, и эта вторая производная будет иметь опре-
определенные предельные значения при приближении к точкам диа-
диагонали с той или «иной стороны.
Докажем теперь, что существует, и притом единственная,
функция Грина, удовлетворяющая всем указанным выше уело*

228	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[74
виям. Мы будем при этом предполагать, что X = 0 не есть соб-
собственное значение, т. е. что уравнение ?(*/) = О не имеет реше-
решений, отличных от тождественного нуля, удовлетворяющих уело*
виям B). В дальнейшем мы увидим, каким образом надо видо-
видоизменить определение функции Грина в том случае, когда % = О
есть собственное значение. Построим решение у\(х) однородного
уравнения L(y) = Oy принимая за начальные значения у{ (а) и
у[{а) некоторые числа, удовлетворяющие первому из условий
B). Это решение у\(х) и вообще все решения С\у\(х)у при про-
произвольном постоянном Сь будут удовлетворять первому из пре-
предельных условий. Нетрудно видеть, что этим и исчерпываются
все решения, удовлетворяющие первому из условий B). Дей-
Действительно, если некоторое решение у(х) удовлетворяет этому
условию, то мы имеем два однородных уравнения относительно
щ и а2:
(а) + а2У[ (а) = 0; аху (а) -\- а2/ (а) = 0,
и поскольку мы, естественно, считаем, что по крайней мере одно
из этих чисел отлично от нуля, определитель написанной си-
системы должен равняться нулю, т. е. определитель Вронского
решений у (х) и у\(х) обращается в нуль при х = а, а потому
у(х) и У\(х) линейно-зависимы, т. е. у(х) = су\(х) [II; 25].
Совершенно так же пусть с2у2{х), где с2— произвольная по-
постоянная, суть решения уравнения L(y) = 0, удовлетворяющие
второму из условий B). Согласно теореме существования и
единственности, оба решения у\(х) и у2(х) определены во всем
промежутке [а, Ь] и линейно-независимы. Действительно, если
бы они оказались линейно-зависимыми, то у\(х) удовлетворяло
бы обоим предельным условиям B), и А, = 0 оказалось бы соб«
ственным значением, что противоречит сделанному выше пред-
предположению. При х^.% функция G(x\ |) должна иметь вид
с*у\(х), а при х ^ ? она должна иметь вид съуъ(х). Остается по-
подобрать постоянные сх и с2 так, чтобы в точке х = g функция
была непрерывной, а ее производная имела указанный выше
скачок. Это приводит нас к следующим двум уравнениям для
определения с\ и с2:
Определитель этой системы \_у2 F) У\ (й — У\ F) Уъ F)] отличен от
нуля, поскольку наши решения линейно-независимы, и таким
образом мы получаем определенные значения для постоянных
С\ и с2. Определитель Вронского наших двух решений, как не-*

75}	ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ	229
трудно видеть [И; 25], должен выражаться формулой
Ух (*) У2 (*) - У2 (*) У'\ (*) = тЬг'
где с — некоторая постоянная, отличная от нуля. Добавляя по-
постоянный множитель, например к решению у\{х), мы можем
считать, что наши решения будут удовлетворять соотношению
р(х)[ух(х)у2(х)-у2(х)у[(х)]=1.
Из него непосредственно следует, что система F) имеет ре-
решение: Ci = (/2(E) и ?а —#i(?)i и функция Грина G(xt ?) опре-
определяется следующим образом:
Нетрудно проверить непосредственно, что она удовлетворяет
всем четырем условиям. Ее единственность непосредственно вы-
вытекает из предыдущих рассуждений.
75. Приведение к интегральному уравнению. Рассмотрим не-
неоднородное уравнение
L(y) = ^7[p(x)y/]-q(x)y = ^f(x)9	(8)
где f(x) — заданная, непрерывная в промежутке [а, Ь] функция.
Будем искать решение уравнения (8), удовлетворяющее пре-
предельным условиям B). Такое решение может быть только одно,
так как если бы их было два, то их разность удовлетворяла бы
однородному уравнению L(y) = Q и предельным условиям B),
т. е. X = 0 было бы собственным значением. Проверим, что един-
единственное решение уравнения (8), удовлетворяющее предельным
условиям B), дается формулой
ъ
у(х)= \ G(x, ?)/(?) d%.	(9)
а
Аналог этой формулы, который был указан в [IVi; 1], имел тот
простой механический смысл, что, зная статический прогиб от
сосредоточенной силы, мы могли путем интегрирования полу-
получить статический прогиб и при непрерывно распределенной силе.
Перейдем к доказательству того, что функция, определяемая
формулой (9), удовлетворяет (8) и предельным условиям B)\
Принимая во внимание указанный выше разрыв функции Грина,
разобьем промежуток интегрирования на два:
к	Ъ
= \ Q(x, 0/0)dg + J G(x,

230	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г75
Дифференцируя по jc, найдем
а
Ь
+ $C(jc, t)f(l)dl-G(x, x+0)f(x>
X
или, в силу непрерывности функции Грина, т. е. в силу
G(xJx + 0)=G(x> х-0):
х	Ь	Ь
у'=\0'(х, |)/A)dl+\G'(х, |)/A)dl = \ Gr{x, I)f (|)d\. A0)
a	x	a
Из формул (9) и A0) и того факта, что G(x, l) удовлетворяет
предельным условиям B), непосредственно вытекает, что и
функция (9) удовлетворяет этим предельным условиям. Для
проверки уравнения (8) дифференцируем у' еще один раз по х»
После несложных преобразований получим
ь
у" = 5 С" (х, |) / (I) d% + \G' (х, х - 0) - G' (х, х + 0)] / (х),
а
и из E) вытекает
"
у" =
а
Подставляя в левую часть (8) вместо у, у' и у" их выражения
(9), A0) и A1), получим
ь
т. е. уравнение (8) удовлетворено, ибо функция G(x, l) яв-
является решением однородного уравнения L(#) = 0. Отметим
еще, что из написанных выше формул непосредственно выте-
вытекает, что функция у, определяемая формулой (9), имеет во всем
промежутке непрерывные производные до второго порядка. Мы
приходим, таким образом, к следующему утверждению: Если
Я = 0 не есть собственное значение дифференциального урав-
уравнения (8), то это уравнение при любой заданной непрерывной в
|[а, Ь] функции f(x) имеет единственное решение^ удовлетворяю-
удовлетворяющее предельным условиям B), и это решение определяется фор-
мулой (9). Можно еще сказать иначе: При любой заданной не-

75]	ПРИВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ	231
прерывной функции f(x) функция (9) имеет непрерывные про-
производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению (8) и
предельным условиям B).
Заметим, что если у(х) есть любая функция, имеющая непре-
непрерывные производные до второго порядка в промежутке [а, Ь] и
удовлетворяющая предельным условиям B), то мы можем, под-
подставляя эту функцию в левую часть уравнения (8), построить
соответствующую непрерывную функцию f(x), и при этом, со-
согласно доказанному выше, функция у(х) будет выражаться че-
через f(x) по формуле (9).
Таким образом, формулы (8) и (9) устанавливают взаимно-
взаимнооднозначное соответствие между функциями двух классов:
к первому принадлежат функции у(х)у имеющие в промежутке
|[а, Ь] непрерывные производные до второго порядка и удовле-
удовлетворяющие условиям B), а ко второму — функции f(x), непре-
непрерывные в промежутке [а, Ь]. Переход от у(х) к f(x) осущест-
осуществляется с помощью формулы (8), а от f(x) к у(х) по фор-
формуле (9).
Из сказанного выше непосредственно вытекает возможность
приведения предельной задачи, сформулированной в начале пре-
предыдущего параграфа, к интегральному уравнению. Действи-
Действительно, переписав уравнение A) в форме
мы из установленных выше результатов непосредственно полу-
получаем, что это уравнение с предельным условием B) равносильно
интегральному уравнению
ъ
G(x,t)r(l)y(l)dt	A2)
а *
Совершенно так же неоднородное уравнение
-? IP (х) у'\ + [*г (х) - q (x)] y = F(x)	A2t)
с предельным условием B) равносильно интегральному урав-
уравнению
ъ
у (х) = F, (х) + Я J С (х, I) г (|) у A) d%,	A22)
а
где
b
причем в обоих интегральных уравнениях мы должны искатв
непрерывное решение у(х)-

232	Г Л II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[7ф
76. Симметрия функции Грина. Формула G) определяет
функцию Грина не только при а < х < 6, но и на концах х = а
и х = й, т. е. во всем замкнутом квадрате ко: а <: х, ? ^ Ь, и иэ
этой формулы непосредственно вытекает, что функция Грина
обладает во всем квадрате свойством симметрии:
G(xt D = Gft, x).	A3)
Дадим другое доказательство симметричности функции Гри-
Грина, основанное на идее, применимой и в более общих случаях.
Нетрудно проверить следующее тождество:
uL (v) - vL (и) = -? [р (х) (uv' - vu%	A4)
В этом тождестве и(х) и i>(x) — любые две функции с непрерыв-
непрерывными производными до второго порядка. Подставим в A4):
u = G(x, gi) и v = G(x, ?2), причем для определенности будем
считать gi < |2. Интегрируя по промежуткам [a, gi], [?ь I2] и
1^2, Ь] и принимая во внимание, что функция Грина удовлетво-
удовлетворяет однородному уравнению L (у) = 0, мы получим
[р (х) (G {х9 6,) G' (х, |2) - G (*, У G' (х,
[р (*) (G (х, Ь) G' (х, Ь) - G (ж, ?2) G7 (jc, g,))K:t - О,
[р (х) (G (х, h) G' (х, У - G (*, Ь) G' (д:, h))]xxZl = 0.
Складывая эти три равенства и принимая во внимание непре-
непрерывность самой функции Грина и разрывность ее первой произ-
производной, мы придем к следующему соотношению
G&,, Ы-О(?2, |,)-
= [Р (х) (G (х9 h) G' (х, Ь) - G (х9 h) G' (х,	^
Нетрудно проверить, что разность, стоящая в правой части на-
написанной формулы, обращается в нуль при х = а и х = Ъ. Дей-
Действительно, функция Грина удовлетворяет первому из предель*
цых условий B), т. е.
aiG(a, ?i)
и так как мы естественно считаем, что заданные постоянные aL
и <х2 одновременно не могут равняться нулю, то определитель
написанной однородной системы должен равняться нулю, т. е.
упомянутая выше разность действительно обращается в нуль
при х = а. Аналогично доказывается, что она обращается в нуль
и при х =* 6, а тогда формула A5) и дает нам симметричность
функции Грина.

77]	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ	233
Можно рассматривать предельные условия более общие, чем
условия B), а именно такие, при которых значения функции и
ее производной на обоих концах промежутка входят в оба усло-
условия:
щу (а) + а2/ (а) + а3у (Ь) + а4/ (Ь) = О,
Piff (а) + Р2/ (а) + Рз</ (b) + Pi/ F) = 0.'
Все предыдущие рассуждения, кроме доказательства симметрич-
симметричности функции Грина, сохранят свою силу, а для того чтобы
предыдущее доказательство симметричности функции Грина
осталось справедливым, необходимо и достаточно, чтобы вы-
выполнялось условие,
а3, а4
Рз» Р4
Мы не останавливаемся на доказательстве этого утвержде-
утверждения. Нетрудно непосредственно проверить, что симметричность
функции Грина сохранится при чисто-периодических предельных
условиях у(а) = у{Ь)\ у'(а) = у'(Ь), если р(а)=р(Ь)9 т. е.
-если и функция р(х) обладает периодичностью. Отметим, что
если и остальные коэффициенты q(x) и г(х) обладают перио-
периодичностью, то предельная задача с указанными выше периоди-
периодическими предельными условиями сводится к разысканию тех
значений параметра Я, при которых уравнение A) имеет перио-
периодическое решение.
77. Собственные значения и собственные функции предель-
предельной задачи. Поскольку мы привели предельную задачу к ин-
интегральному уравнению, мы можем использовать результаты
общей теории интегральных уравнений и получить таким обра-
образом ряд утверждений, касающихся собственных значений и соб-
собственных функций предельной задачи. Рассмотрим сначала слу-
случай г(х)=з 1, когда уравнение A) имеет вид
¦37 к М «Л + & ~ 1W) У = °>	¦ №
причем мы считаем предельные условия такими, что функция
Грина симметрична. Интегральное уравнение A2) будет урав-
уравнением с симметричным ядром. Оно будет иметь вещественные
собственные значения, и его собственные функции, соответствую*
щие различным собственным значениям, будут ортогональны,
В данном случае, как мы видели выше [74], всякому собствен-
собственному значению будет соответствовать только одна собственная
функция. Это мы «доказали для предельных условий вида B).
В случае периодических предельных условий собственному зна-
значению могут соответствовать две собственные функции, но на

234	ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[77
больше, поскольку уравнение A6) имеет только два линейно-
независимых решения. Докажем еще, что ядро G(x, ?) уравне-
уравнения A6) есть полное ядро, т. е. что не существует непрерывной
функции /(х), не равной тождественно нулю и ортогональной
к ядру. Положим, наоборот, что такая функция существует:
Мы получим тогда, что функция (9), с одной стороны, должна
обращаться тождественно в нуль и, с другой стороны, должна,
в силу доказанного выше, удовлетворять неоднородному урав-
уравнению (8), что невозможно. Из полноты ядра вытекает, как из*
вестно [IVi; 42] существование бесчисленного множества соб-
собственных значений. Пусть Хп (л =1,2, ...)— собственные зна-
значения уравнения A6), т. е. нашей предельной задачи, и <рп(х) —
соответствующие собственные функции, образующие ортогональ-
ортогональную и нормированную систему. Положим, что функция f(\)]
удовлетворяет предельным условиям и имеет непрерывные про-
производные до второго порядка. Полагая L(f) = —Л(х), мы полу^
чим представление этой функции f(x) через ядро
и, следовательно, всякая функция, удовлетворяющая предель-
предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго
порядка в промежутке [а, 6], разлагается в этом промежутке в
регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям
ц>п(х) [IVi; 36]. Легко доказать еще следующую теорему.
Теорема. Если ряд Фурье непрерывной функции f(x)
оо	Ь
«<P» (*); сп = \ f (x) Фя (*) dx	A7)
равномерно сходится в промежутке [а, Ь], то его сумма равна
f(x).
Доказываем от обратного. Пусть f\(x) — сумма ряда A7), и
положим, что f\(x) не равно тождественно в [а, Ь] функции
f(x). При этом разность f\(x) — f(x), не равная тождественна
нулю, ортогональна ко всем функциям ф*(л:), а тем самым орто-
ортогональна ядру, что противоречит доказанной полноте ядра. Мы
будем дальше пользоваться доказанной теоремой.
Можно показать, что не только ядро G(x, Q полное, но и что
собственные функции ф«(х) образуют замкнутую систему. От-

?7]	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ в	235
сюда непосредственно будет следовать и доказанная выше тео*
рема.
Ниже, при рассмотрении многомерного случая, мы дадим до-
доказательство того, что для любой непрерывной функции имеет
место уравнение замкнутости. Это доказательство будет го-
годиться и для одномерного случая.
Рассмотрим теперь тот случай, когда г(х) отлично от еди-
единицы, и будем считать эту функцию положительной. Пользуясь
результатами из [IVf,. 44], мы видим, что и в этом случае пре-
предельная задача для уравнения A) приводится к интегральному
уравнению с симметричным ядром. В частности, всякая функ-
функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая в про-
промежутке [а, Ь] непрерывные производные до второго порядка,
разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным
функциям задачи
Z^nW	(is)
коэффициенты которого определяются по формулам
ъ
A9)
Для доказательства этого утверждения мы заметим, что, со-
согласно сказанному в [75], имеем
ъ
f (х) = - 5 G(x,l)L [/(?)] d\.
Но мы можем, очевидно, написать L [f (?)] = — л/г (?) h (Q, где,
в силу г(?)> 0, функция h(Q непрерывна в промежутке [а, Ь].
Таким образом, мы имеем для функции Vr (*)/(*) представле-
представление через ядро симметричного интегрального уравнения
ь
f (х) = \ G (х, t) s/r(x)r(l)h (|) d%, ' B0)
а
и рассуждения из [IVi; 44] сразу дают нам формулированную
выше теорему разложения. Так же, как и выше, может быть до-
доказана замкнутость ядра и, следовательно, существование бес-
бесчисленного множества собственных значений. Повторяя рассуж-
рассуждения из [74] для того случая, когда f(x) имеет непрерывную
первую производную и кусочно-непрерывную вторую производ-
производную и вспоминая, что теорема II из [IVi; 31] справедлива и в

236	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г7&
случае представления функции через ядро при помощи кусочно-
непрерывной функции h(x), мы можем убедиться в том, что фор-
формулированная выше теорема разложения справедлива и для тога
случая, когда функция /(х), удовлетворяющая предельным усло-
условиям, имеет непрерывную первую производную и кусочно-непре-
кусочно-непрерывную вторую производную. В дальнейшем мы укажем на те
случаи, когда при формулировке теорем разложения можно до*
пустить и кусочную непрерывность первой производной.
78. Знак собственных значений. При исследовании знаков
собственных значений мы будем предполагать, для простоты
дальнейших формул, что г(х)г= 1. Все рассуждения легко рас*
пространяются и на общий случай. Прежде всего дадим фор*
мулу, выражающую собственные значения через соответствую-
соответствующие собственные функции. Пусть, как и выше, К — собственные
значения и <рп(х)— собственные функции, образующие ортого-
ортогональную и нормированную систему. Мы имеем
Умножая обе части на фл(х), интегрируя « принимая во внима-
внимание нормированность собственных функций, получим
откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, придем к еле*
дующей формуле:
К = J [Р (х) Ф? (х) + q (x) <p* (*)] dx - [р (х) <рй (х) Ф; {x)f"Ja. B1)
а
Предположим, что внеинтегральный член этой формулы обра-
обращается в нуль. Это будет иметь место, например, в том случае,
когда предельные условия будут: ф„(а)= (рп(Ь) = О. При этом
формула B1) перепишется в виде
ъ
К=\[Р (х) ф;2 (х) + q (xWn (x)] dx.	B2>
а
Допустим, что р(*)>0. Если, кроме того, мы предположим,
что и q(x)^0 в промежутке [а, 6], то из написанной формулы
будет непосредственно следовать положительность всех соб-
собственных значений. Положим теперь, что q(x) — произвольная
непрерывная функция, и пусть т — ее наименьшее значение в

78]	ЗНАК СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ	237
промежутке, т. е. q{x)^m в [а, Ь]. Из предыдущей формулы
непосредственно вытекает
ь
Таким образом, в рассматриваемом случае может быть только
конечное число отрицательных собственных значений. Положим
теперь, что предельные условия имеют вид
/ (а)-/*!*/(а) = 0; / (b) + h2y (b) = 0,	B3)
где h\ и h2 — положительные постоянные. Внеинтегральный член
формулы B1) при этом окажется положительным, и мы, как и
выше, убедимся, что при предельных условиях B3) и q(x)^0
все собственные значения положительны.
- Если все собственные значения положительны или если
имеется только конечное число отрицательных собственных зна*
чений, то будет справедлива теорема Мерсера, и мы можем
написать разложение ядра в абсолютно и равномерно сходя-
сходящийся ряд:
f'fniTnn{l)-	B4)
Это равенство дает нам простую возможность распространить
доказанную в [77] теорему разложения по собственным функ-
функциям на более общий класс функций, а именно — положим, что
f(x) непрерывна, имеет непрерывную производную во всем про-
промежутке, кроме одной точки х = с> в которой она имеет разрыв
первого рода:
и существует кусочно-непрерывная производная второго по-»
рядка. Кроме того, как всегда, предполагаем, что f(x) удовле*
творяет предельным условиям. Составим разность
которая имеет непрерывную производную во всем промежутке
без исключения. Для этой разности справедлива теорема раз-
разложения по собственным функциям. С другой стороны, в силу
B4), вычитаемое G(x, с) может быть разложено по собственным
функциям, а следовательно, и первоначальная функция f(x) раз*
лагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по
собственным функциям. Приведенные рассуждения имеют, ко*
нечно, место и в том случае, когда производная f'(x) имеет ко-
конечное число разрывов первого рода в промежутке [а, Ь\. Они

238	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	|79
сходны с теми, которые мы применяли раньше при улучшении
сходимости рядов Фурье [II; 171].
79. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение
*/Г + Я# = О
и предельные условия у@) = у(\)= 0. В данном случае L(y)== y"t и функ-
функция Грина будет
A-х) 6 (|<х).
Собственные значения и собственные функции определяются в конечном виде:
Хп = п2д2; фл (а:) = ^[2 sin ппх (п = 1, 2, ...),
и мы имеем теорему разложения по этим собственным функциям для всех
функций, удовлетворяющих условиям, указанным в предыдущем параграфе.
Можно значительно расширить условия применимости теоремы разложения,
на чем мы останавливаться не будем.
2. Сохраняя прежнее дифференциальное уравнение, возьмем новые пре-
предельные условия у{0) = у'(\)= 0. В данном случае
а собственные значения и собственные функции имеют следующий вид:
%п = Bп+\J^\ <рп (х) - л/2 sin B/i + 1) -у х.
3. Рассмотрим теперь для того же уравнения предельные условия вида
0@) = 0; 0A)+Л/A)=О.
Составим соответствующую функцию Грина. Построим дза решения урав-
уравнения у" = 0, из которых одно удовлетворяет первому из предельных усло-
условий, а другое — второму: yi(x)=x-, уг(х)= (\+h)—x. Рассуждая так, как
это было указано в [74], мы придем к следующей формуле для функции
Грина:
В данном случае все собственные значения — положительны, и, полагая
% == ц2, мы убедимся без труда в том, что соответствующие значения jj, опре-
определяются из уравнения tg \i + Др, = О, а собственные функции будут сп sin |л„*,
причем постоянная сп должна быть найдена из условия нормирования этих
функций.
4. При исследовании колебаний круглой мембраны, закрепленной на
концах, мы пришли к следующей предельной задаче. Найти значения пара-
параметра Я, при которых уравнение
' + (ХH	B5)
имеет решение, конечное на конце х = 0 и равное нулю при х = I. Буква п
обозначает целое неотрицательное число. Эта предельная задача имеет осо-
особенность по сравнению с теми, которые мы рассматривали до сих пор, а
именно: коэффициенты уравнения имеют полюс на конце х = 0, и на этом

79]	ПРИМЕРЫ	239
конце, вместо определенного предельного условия, мы ставим только условие
ограниченности решения в окрестности х = 0. Это приводит к определенному
конечному значению решения уравнения B5) при х = 0.
Мы неоднократно встречались и раньше с такими особыми предельными
задачами. Умножая обе части B5) на х, мы перепишем уравнение в обычной
форме:	2
^ (ху') + (Л* - -^) у - 0,	B6)
и будем считать заданное число п положительным.
Определение функции Грина остается прежним, но только вместо пре-
предельного условия на конце х = 0 мы требуем конечности функции Грина при
х = 0. Уравнение L(y)= 0 будет уравнением Эйлера [И; 42], и оно будет
иметь линейно-независимые решения хп и х~п.
Принимая во внимание условие конечности на конце х = 0, мы должны
в промежутке 0 ^х ^ ? взять для функции Грина выражение ахпч а в про-
промежутке | ^ х ^ 1 мы должны составить такую линейную комбинацию ука-
указанных выше решений, которая обращается в нуль при х =* 1, т. е. в этом
промежутке мы должны взять для функции Грина выражение вида
сг (хп — х"п). Постоянные С\ и с% определятся, как всегла, из условий непре-
непрерывности функции Грина и скачка ее первой произзодной при х = ?. Это
даст нам следующую формулу:
Совершенно так же, как и раньше, неоднородное уравнение L(y)=s—f(x)
имеет единственное решение, удовлетворяющее указанным выше предельным
условиям, и это решение определяется формулой
1
Рассуждения из [78] покажут нам, что все собственные значения положи-
положительны. Полагая % = fi2, будем иметь для определения собственных значений
трансцендентное уравнение Jn(\i)= 1, а собственные функции будут фп(^)=8
8=5 cnJn(\inX). В случае п = 0 уравнение L(y)=* 0 имеет линейно-независимые
решения (/i(x)= 1 и iM*)— lg*, а функция Грина будет определяться фор-
формулой
Отметим, что в данном случае формула (9) дает нам
1	х	1
0	0	х
и непосредственно проверяется, что эта функция удовлетворяет уравнению
L(y)=—f(x) и предельным условиям. Из вида уравнения B6) непосред-
непосредственно следует, что^в данном случае мы имеем г(х)=х. При приведении
нашей предельной задачи к интегральному уравнению мы получим ядро
О (х, |) a/Ix у которое будет непрерывным во всем квадрате, включая и его
вершину х = I = 0.	"Ч^

240	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[80
Собственными функциями этого интегрального уравнения будут функции
<рл (х) авя сп ojх /0 (\*пх)> и мы будем иметь разложение в абсолютно и равно-
равномерно сходящийся ряд Фурье:
После деления на VI* мы получим
и для этого ряда мы можем утверждать его равномерную сходимость только
в промежутке [е, 1], где е — любое заданное положительное число. Постоян-
Постоянные Сп определяются, в силу условия нормированности, формулой [ИЬ; 145]j
Отметим при этом, что функция G(x, |), определяемая формулой B7), стре-
стремится к бесконечности, когда точка (х, ?) стремится к вершине квадрата
@, 0). В данном случае, кроме указанных выше особенностей, мы имеем ту
особенность, что функция /•(#) = х обращается в нуль на конце х = 0.
В томе V .мы подробно займемся предельными задачами для уравнений,
имеющих особые точки на концах промежутка, и для уравнений на бесконеч-
бесконечном промежутке.
80. Обобщенная функция Грина. Мы обращаемся теперь к
рассмотрению того случая, когда уравнение A) с предельными
условиями B) имеет собственное значение К = 0, т. е. однород-
однородное уравнение L(y) = 0 имеет некоторое решение у = Фо(#)>
удовлетворяющее предельным условиям B). Это решение мы
можем считать нормированным, что мы и будем делать в даль-
дальнейшем. В данном случае нам не удастся построить функцию
Грина, удовлетворяющую всем четырем условиям, указанным
в [73], и мы внесем некоторое изменение в само определение
функции Грина. Удерживая по-прежнему условие, касающееся
непрерывности самой функции, разрывности ее первой производ-
производной при х = g и удовлетворения предельным условиям, мы по-
потребуем, чтобы функция G(x, ?) в каждом из промежутков
[а, |] и [g, b] удовлетворяла уже не однородному уравнению
L(y) = 0, а уравнению с правой частью:
1[С(^е] = Фо(Б)ФоМ.	B8)
Если у (х) есть некоторое решение этого уравнения, удовлетво-
удовлетворяющее предельным условиям, то, поскольку фо(х) удовлетво-
удовлетворяет однородному уравнению и предельным условиям, сумма
у(х) + ссро(х) при произвольном постоянном q также будет удов-
удовлетворять уравнению B8) и предельным условиям; и для опре*
деления произвольной постоянной с мы введем еще новое до«
полнительное условие, а именно условие ортогональности функ*

801	ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА	241
ции G[x, g) к функции q>o(x):
ъ
0.	B9)
Наличие правой части в уравнении B8) имеет простой физиче-
физический смысл. Если к = 0 есть собственное значение задачи, то
мы имеем резонанс при частоте, равной нулю, и нам не удается
получить конечное статическое отклонение при наличии сосре-
сосредоточенной силы. Чтобы получить такое отклонение, мы должны,
кроме сосредоточенной силы, добавить непрерывно распреде-
распределенную силу, что и характеризуется добавлением правой части
в уравнении B8).
Будем строить обобщенную функцию Грина аналогично тому,
как это мы сделали в [74]. Пусть со (я) есть какое-либо решение
неоднородного уравнения
C0)
и q>\(x)—решение соответствующего однородного уравнения, ли«
нейно-независимое с <ро(#) и такое, что
Вспоминая, что общий интеграл неоднородного уравнения
есть сумма его решения co(x) и общего интеграла однородного
уравнения, мы должны положить:
G (х; g) = <*> (х) + скро (х) + с2ф! (х) (х < g),
G (х; I) = со (х) + еде (х) + с4ф1 (х) (х > I).
Эта функция должна удовлетворять предельным условиям B)\
Принимая во внимание, что фо(#) удовлетворяет этим условиям,
получаем два равенства:
ccjco (а) + а2а/ (а) + с2 [а{ц>{ (а) + а2ф, (а)] = 0,
№ (Ь) + р2ю' (Ь) + сА [р1ф1 F) + Р2Ф( F)] = 0,	C3)
из которых определяются с2 и С\. Коэффициенты при с2 и с^ от-
отличны от нуля, так как <$\{х)у линейно-независимое с фо(я), не
может удовлетворять ни одному из условий B) [74]. Условия
непрерывности в точке х = g и разрыва производной в этой
точке приводях к следующим двум равенствам:
(Cl — С3) ф0 (I) + (С2 ~ С4) ф! (g) = 0,
(сх - сг) Ф^ (I) + (с2 - с,) Ф; (I) = 1: р (I),
которые могут быть, в силу C1), переписаны в виде
с\ ~ с3 = - ф! (|); с2 — сА = ф0 (I).	C4)

242	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	f80
Остается еще удовлетворить условию B9). Постоянные С2
и с4 уже определены формулами C3). Первое из равенств C4)
дает Ci == с3 — Ф1 (|). Подставляя в первую из формул C2), мы
сможем определить Сз из условия B9) "и с\ определится по
только что написанной формуле. Все постоянные уже определе*
ны без использования второго из равенств C4), и нам остается
проверить тот факт, что с% и с4, определенные по формулам C3),
удовлетворяют второму из равенств C4).
Напишем для этого формулу A4):
Фо (х) L (со) - со (х) L (ф0) = 4^[Р М (Фо^ — <°Фо)]-
Проинтегрируем обе части этого равенства по основному
промежутку -{а, Ь). Принимая во внимание равенство /,(фо) = О,
уравнение C0) и нормированность функции фо(я), получим
'-4)Et-	C5>
Второе из равенств C4), которое нам надо проверить, может
быть записано, в силу C3), в виде
Mi (*) + Р2Ф1 W а1Ф1 (а) + а2Ф; (а)
Для фо(х) мы имеем предельные условия:
. а1Фо(а) + а2Ф^а) = О; Р1Фо (Ь) + Р2ф^) = 0.	C7)
Написав равенство C1) при х = а и х —6, сможем определить
из полученных равенств и равенств C7): Ф0(а), Ф^(#), Фо(^)
Ф^F). Подставляя полученные выражения в доказанное равен*
ство C5), придем к равенству C6). Проделаем вычисления для
предельных условий: у (а) = у(Ь) = О, т. е. для того случая,
когда а2 = Р2 = 0. При этом формула C5) перепишется в виде
%(l) = p(a)<*(a)<p'Q(a) — p(b)(u(b)q>'0(b). Формула C1) при х = a
и х = Ь даст р(а)ф1(а)фо(а) = /?(Ь)ф1(й)фоF) = — 1, т. е.
и подставляя в предыдущую формулу, получим
со (Ь) со (а)
а это и есть равенство C6) в случае аг = Рг = 0*
Для доказательства симметричности обобщенной функции
Грина мы напишем два уравнения:
L [G (х\ g,)] = Фо (Ei) Фо (х); L [G (х; |2)] == Фо (|2) ф0 (х).
Умножая первое на G(x, g2), второе на G(x;gi), вычитаем по-
почленно и интегрируем по основному промежутку. Пользуясь фор-

вО]	ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА	243
мулой Грина, предельными условиями и условием B9), мы при-
придем к равенству
[р (х) (G (х; Ь) G' (x; h) - G (х; |,) (У (*; ШГ-ь'+о + I ЙД = 0.
откуда и получится непосредственно, как и раньше, G(?i, ?2) =
= G(?2, h)- Отметим, что при интегрировании по основному
промежутку нам надо так же, как и в [76], разбить этот про-
промежуток на три части.
Обратимся теперь к рассмотрению неоднородного уравнения
L(y) = -f(x),	C8)
где f(x) — заданная непрерывная функция, ортогональная к
щ(х). Уравнение C8) может иметь только одно решение, удо-
удовлетворяющее предельным условиям и ортогональное к фо(*).
Действительно, если бы их было два, то %их разность должна
была бы удовлетворять однородному уравнению и предельным
условиям, т. е. должна была бы иметь вид сщ(х) и не могла бы
быть ортогональной к фо(#). Покажем теперь, что это единствен-
единственное ортогональное к фо(*) решение уравнения C8) определяется
формулой
ъ
y(x)=\G(x,l)f(l)dl	C9)
а
Действительно, разбивая промежуток интегрирования на части
[а,х] и [х, &], мы докажем, как и выше в [75], что
ъ
L(y\=\L[G(x,t)]f®dt-f(x).
а
Пользуясь уравнением B8), мы получим отсюда
ь
а из этой формулы непосредственно вытекает C8), поскольку,
по условию, f(x) ортогональна к уо(х). Итак, если f(x) ортого-
ортогональна к фо(*), то уравнение C8) имеет единственное решение,
удовлетворяющее предельным условиям B) и ортогональное к
(, и это решение определяется формулой C9).
Если F(x) — любая функция, ортогональная к фо(#), удовле-
удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные
производные до второго порядка, то, полагая f(x) = —L(F), мы
можем выразить F(x) формулой C9). Для доказательства этого
утверждения нам достаточно убедиться в том, что построенная
нами функция f(x) ортогнальна к фо(х). Для этого напишем
формулу Грина A4) для ы = фО(х) и v = F(x). Принимая во
внимание, что ?(ф0) = 0 и предельные условия для q>o(x) ft

244	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[80
F(x), мы путем интегрирования упомянутой формулы Грина по
основному промежутку и обнаружим ортогональность функций
Фо(*) и f(x). Отметим еще, что формула C9) при любом вы-
выборе непрерывной функции f(x) дает функцию, ортогональную
к <ро(*), поскольку ядро G(x, l) обладает этим свойством.
Обратимся теперь к предельной задаче для уравнения
1 (У) = Ж^Р W ^ -Я(*)У = -ЬУ	D0)
с предельными условиями B). Всякая собственная функция этой
задачи, отличная от фо(*), т. е. соответствующая собственному
значению, отличному от нуля, должна быть ортогональной к
фо(*) и, принимая во внимание все сказанное выше, мы видим,
что поставленная предельная задача (с исключением функции
<po(x)) равносильна интегральному уравнению
ь
D1)
Обратимся теперь к теореме разложения по собственным функ-
функциям для написанного уравнения. Нам надо выяснить вопрос
о представимости функции через ядро. Выше мы видели, что
всякая функция, имеющая непрерывные производные до вто-
второго порядка, удовлетворяющая предельным условиям и орто-
ортогональная к фо(х), представима через ядро, и, следовательно,
для всякой такой функции мы будем иметь абсолютно и равно-
равномерно сходящееся разложение в ряд Фурье по собственным
функциям уравнения D1). Отметим, что дополнительное усло-
условие ортогональности разлагаемой функции к щ(х) является не-
необходимым, поскольку все собственные функции уравнения D1)
ортогональны к щ(х). Из последнего факта непосредственно вы-
вытекает, что ядро уравнения D1) не будет полным. В указанной
выше теореме разложения, как всегда, можно непрерывность
второй производной заменить ее кусочной непрерывностью.
Отметим еще другой, более элементарный метод, при помощи
которого можно рассмотреть тот случай, когда к = 0 есть соб-
собственное значение. Уравлешге D1) будет иметь собственное зна-
значение, наименьшее по абсолютной величине, и пусть т — его аб-
абсолютная величицв. Внутри промежутка [—т, +т] будет
иметься единственное собственное значение к = 0 нашей пре-
предельной задачи./Возьмем внутри указанного промежутка какое-
нибудь значением %\ отличное от нуля, и введем вместо X в урав-
уравнение D0) новый параметр ц, полагая к 4= У! + р. При новом
выборе параме/гра уравнение A6) будет иметь вид

81]	ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА	245
причем, в силу сказанного выше, значение \х = 0 уже не будет
собственным значением, и, следовательно, будет иметь место
вся теория, построенная на применении обычной функции Грина.
В частности, собственные функции задачи будут образовывать
замкнутую систему. Отсюда, между прочим, непосредственно вы-
вытекает, что если мы к собственным функциям уравнения D1)
присоединим щ(х), то получится замкнутая система. Введение
нового параметра, как мы увидим на дальнейшем примере, мо-
может осложнить интегрирование того уравнения, которое служит
для определения обычной функции Грина. В следующем пара-
параграфе мы применим обобщенную функцию Грина к рассмотре-
рассмотрению предельной задачи, приводящей к полиномам Лежандра.
В этом случае на обоих концах промежутка функция р(х) обра-
обращается в нуль, и роль предельных условий играет требование
конечности решения на концах промежутка. Все сказанное
останется справедливым и в этом случае.
Для уравнения A) с предельным условием B) собственному
значению % = О может соответствовать, как мы видели, только
одна собственная функция. Для предельных условий периоди-
периодического типа, например у(а) = у(Ь) и у'(а) = у'(Ь), собствен-
собственных функций может быть и две. Для уравнений выше второго
порядка, о которых мы будем говорить ниже, их может быть
также больше одной. В э^их случаях можно строить функцию
Грина аналогично предыдущему. При этом в правой части урав-
уравнения B8) надо писать сумму, распространенную на все соб-
собственные функции, соответствующие собственному значению
Я, = О, причем эти функции считаются взаимно-ортогональными
и нормированными.
81. Полиномы Лежандра. Требуется найти такие значения параметра Я,
при которых уравнение
имеет решение, ограниченное на обоих концах промежутка [—1, 1] Мы уже
знаем, что собственными значениями этой задачи будут значения Хп =»
в= п(п+ 1) [НЬ; 105], а ортогональные и нормированные собственные функ-
функции будут
Фл (х) « <у2П^1 рп (х) (п — 0, 1, ...),	D3)
где Рп(х) —полиномы Лежандра Нетрудно видеть, что никаких других соб-
ственных значений и собственных функций не может быть Если бы суще-
существовали другие собственные функции, то мы имели бы собственную функцию,
ортогональную ко всем функциям D3), и для того чтобы показать, что такой
функции нет, нам достаточно показать, что функции D3) образуют замкнутую
систему Покажем это Пусть /(*)—любая заданная непрерывная в проме-
промежутке [—1, 1] функция Согласно теореме Вейерштрасса [II; 168], при лю-
любом заданном положительном е мы можем найти такой полином Q(x), чта

-246	Г Л II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г81
во всем промежутке f— 1, 1] имеет место неравенство \f(x)—Q(x)|<e, из
которого непосредственно вытекает
1
-i
Пусть т — степень полинома Q(x). Поскольку функция фп(я) есть полином
степени, в точности равной п, мы можем представить Q(x) в виде линейной
комбинации полиномов фо(*)	фт(*)> и предыдущее неравенство пере-
перепишется в виде
1 г
-1L
dx < 2e2.
Если вместо коэффициентов а* мы возьмем коэффициенты Фурье функции
f(x) относительно системы функций D3), то написанное неравенство будет
тем более удовлетворено.
Принимая во внимание произвольную малость числа е, мы можем утвер-
утверждать, что средняя квадратичная погрешность при представлении функции
/(*) отрезком ее ряда Фурье по функциям D3) стремится к нулю, т е. функ-
функции D3) действительно образуют замкнутую систему.
Вернемся к уравнению D2). В данном случае мы имеем
и непосредственно очевидно, что первая из функций D3), т.е. постоянная
ф0 (х) =——, удовлетворяет однородному уравнению L(y) = 0 и предельным
V2
условиям, т е ограничена на концах промежутка Иными словами, X = О
есть собственное значение, что вытекает и из формулы Хп ~ п(п + I) при
п = 0 Для построения функции Грина напишем неоднородное уравнение B8),
которое в данном случае будет иметь вид
¦ [о-
дет (/ = —~
Частное решение этого уравнения будет (/ = —~ Ig A — х2), а общий инте-
грал соответствующего однородного уравнения имеет вид с{ -f- c2 lg 1 —.
Решения, которые остаются конечными на концах х = ±1, имеют соответ-
соответственно вид
W 4lg02) + 4lg	+
где а, и Р — некоторые постоянные Подберем эти постоянные так, чтобы со-
составной решение было непрерывным при х = 5 и чтобы оно было ортого-
ортогональны^ к фо (х) = ——. Первое из этих условий дает
V2

81]
ПОЛИНОМЫ Л ЕЖ АН ДР А
247
в мы можем положить
a
где у — постоянная, которую надо определить из условия ортогональности
функции Грина G(x, |) и фо(*). Мы имеем
&<х).
Условие ортогональности
1
\ G (х, |) ф0 (х) dx = О, или просто \ G (x, |) dx — О,
-1	-I
дает нам следующее значение постоянной у: у = -5- — lg 2, и окончательно
обобщенная функция Грина определяется следующим равенством:
D4)
Ядро D4) становится неограниченным в окрестности вершин х = ? я= —1 и
д: = g = 1 основного квадрата. Легко проверить, что всякая представимая
через ядро функция
G (х9 I) g (I)
D5)
J
будет уже непрерывной, если непрерывна g(x), и мы будем иметь так же, как
и в [76], для таких функций теорему разложения в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд Фурье по функциям фл(х) (п = 1, 2, .,.). Всякая функция
f(x), имеющая в промежутке [—1, 1] непрерывные производные до второго
порядка и удовлетворяющая условию
0,
D6)
J
которое выражает ортогональность f(x) и фо(^), может быть представлена
по формуле D5) через ядро и разлагается в абсолютно и равномерно схо-
сходящийся ряд Фурье по функциям ц>п(х) (п = 1, 2, ...), те по полиномам
Лежандра Рп(х) (п = 1, 2, ...). Если f(x) не удовлетворяет условию D6),
то достаточно применить общую теорему разложения к функции
1

248	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г81
которая уже удовлетворяет условию D6). Для первоначальной функции /()
•получим разложение по всем полиномам Лежандра, включая Pq(x) = const
Ряд Фурье для ядра в данном случае имеет вид
2ft
D7)
Он не может сходиться равномерно во всем квадрате &о, так как ядро
неограниченно. Воспользуемся асимптотическим выражением полиномов Ле-
жандра при больших значениях п [ИЬ; 164]:
-1Л * - n 1
2) Tj
где бп->0 равномерно относительно tt если t принадлежит промежутку
[е, я — е], причем е — любое заданное положительное число. Фиксируем не-
некоторое значение ? внутри промежутка [—1, 1]. Для Рп(Ъ) мы имеем асимп-
асимптотическую оценку вида | Рп (?) К—~г, где тп остается ограниченным
v
при возрастании п. Для любых х, удовлетворяющих условию —1 ^ х ^ 1,
мы имеем неравенство |Pn(*)|< * [Hh; 133]. Отсюда видно, что при фикси-
фиксированном | ряд D7) сходится абсолютно и равномерно относительно х в
промежутке [—1, 1]. Функция D4) ортогональна к фо(*), и, следовательно,
ряд D7) есть ее ряд Фурье по отношению к замкнутой системе функций D3).
Из его равномерной сходимости следует, что его сумма равна ядру D4)
[IVi; 3]. Из предыдущих рассуждений непосредственно вытекает также, что
ряд D7) сходится абсолютно и равномерно в КЕадрате ?о, если исключить
из этого квадрата его вершины (—1, —1) и A, 1) кружками с центрами в этих
вершинах и со сколь угодно малым положительным радиусом.
Применим теперь другой подход к рассмотрению предельной задачи для
уравнения D2), указанный в предыдущем параграфе. Введем вместо X новый
параметр ц по формуле % = а + р(р + П, где р — некоторое фиксирован-
фиксированное не целое i i'c.io Уравнение D2) i , e ишется в виде
-57 К1 - -2) Л + р (р + 1) у + i*y - о.
Значение \i = 0 уже не будет собственным значением, причем мы должны
положить
L{y)=s4x~t(l "" *2) у'] + р(р+{>)У'
1 + X
Если ввести вместо х новую переменную / = —^	»то Уравнение L(y) =0
превратится в уравнение Гаусса [1Н2; ЮЗ, 104] с параметрами а = —р,
j$ = р+ 1, у = 1. Мы будем иметь два решения этого уравнения:
J/l
тз которых первое регулярно при х = —1, а второе при х = 1. Можно по»
добрать постоянную с так, чтобы имело место соотношение:

82]	ФУНКЦИИ ЭРМИТА И ЛАГЕРРА	249
Можно показать, что это дает с — -^—.—--, и, следовательно, обычная
функция Грина определяется равенством
nF (- р, р + 1, 1; ±±±Л F (- р, р + 1, 1; -Ц
При ? ^ х надо буквы х и \ поменять местами. Вследствие замены пара-
параметра собственные значения будут определяться формулой ц,ле=п(л+1) —
—р(р+1), а собственные функции будут прежние функции Фл(*). Ряд
Фурье для ядра D8) будет в данном случае иметь вид
Gih ч_У* Bп+\)Рп(х)РпA)
п«0
и, как и выше, он будет давать функцию Грина D8) при любом фиксирован-
фиксированном | внутри промежутка [—1, 1] для всех х из этого промежутка. Заме-
Заметим, что и в данном случае ядро D8) будет неограниченным.
82. Функции Эрмита и Лагерра. Можно построить функцию Грина и для
предельных задач, приводящих к функциям Эрмита и Лагерра.
Функции Эрмита фл(х) [ИЬ; 157] суть собственные функции для урав-
уравнения
при основном промежутке (—оо, +00) и при условии, что t/-*-0 при *-> — ос
и jc —>- -f-oo. Собственные значения суть К =* 2п + 1 (п =* 0, 1, ...). Заменяя
Я на (X— 1), можем переписать уравнение в виде
причем собственные значения теперь определяются по ,формуле %п **= 2п + 2
(п = О, I, ,..)• Уравнение
имеет решение у = е2 , и, вводя вместо # новую искомую функцию ш по
формуле у = we 2 , мы непосредственно найдем его общий интеграл:
где d и С2 — произвольные постоянные. При х < | мы должны взять реше«
ние, которое обращается в нуль при х = —оо:
— оо
где а — постоянная. При х > I точно так же возьмем решение
У2=>Ъе2

250
ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Г82
где Ь — новая постоянная. Эти постоянные определятся из условия непрерыв»
ности G(x, I) при х == 5 и скачка производной G'{xt\) при х = ?. Оконча»
тельно получим
G (*, I) -
e-v'dv
—оо
+ 00
л/л
Функции Лагерра ©„(я) (ср. [1И2; 161] при s = 0) суть собственные
функции для уравнения
при основном промежутке @, +оо) и при условии ограниченности решения
в окрестности х = 0 и обращения его в нуль при х = +°°. Собственные зна*
чения суть кп^-п + п* Заменяя Я на I К—— J, можем переписать урав-
нение в виде
O. где
собственные значения будут Хя = п + I (п «= О, 1, ...). Уравнение
имеет решение у ¦=¦ ех^2, и, совершая замену искомой функции у
сможем найти общий интеграл этого уравнения:
^wex*%% мы
#-«<
При х ^ 5 мы должны взять решение, регулярное при х ш* Оз
и при х ^ ? — решение, равное нулю при х = +оо:
у2 aass ЬВ \ — dV,
X
Определяя а и bt как и выше, получим окончательно
х+1
\^d0
J v
2 \ е

83]	УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА	251
83. Уравнения четвертого порядка. Понятие функции Грина
и приведение задачи к интегральному уравнению может быть
проделано, аналогично предыдущему, и для уравнений высшего
порядка. Рассматривая колебание стержня, мы получили сле-
следующую предельную задачу: найти такие значения параметра К,
при которых уравнение
y<iv)-Xy = Q	D9)
при четырех однородных предельных условиях имеет решение,
отличное от нуля. Если, например, стержень заделан на конце
х = 0 и свободен на конце х = I, мы получаем предельные усло-
условия:
*L.o=YL-o = O; */*=, = /"и = 0.	E0)
Для неоднородного стержня мы получим уравнение
r/<IV) — Xr(x)y = 0.	E1)
Функция Грина G(xy ?) будет соответствовать статическому про-
прогибу стержня под влиянием сосредоточенной силы. Она опре-
определяется из следующих условий: 1) она непрерывна со своими
первыми двумя производными по отношению к х в квадрате /г0;
2) при 0 < х <С Е и ? < х < / она имеет непрерывные производ-
производные до четвертого порядка и удовлетворяет однородному урав-
неник) G(IV)(jc, !) = 0; 3) при любых значениях ? из промежутка
[0, /] она удовлетворяет предельным условиям; 4) на диагонали
прямоугольника ее третья производная имеет скачок, опреде-
определяемый условием
С" (Б + 0,|)- G'" (| - о, Б) = - 1.	E2)
Если у(х)—функция с непрерывными производными до четвер-
четвертого порядка, причем производная четвертого порядка может
быть только кусочно-непрерывной, удовлетворяет предельным
условиям E0), то из соотношения y(IV) = —f(x) вытекает
t/(x)=[G(x,t)f(l)dh	E3)
и, наоборот, функция, определяемая последним равенством,
имеет непрерывные производные до четвертого порядка и удов-
удовлетворяет предельным условиям и уравнению t/(IV) = —f(x), если
f(x) непрерывна на [0, /]. Таким образом, предельная задача
для уравнения D9) приводится к интегральному уравнению

252	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г84
а для уравнения E1) —к интегральному уравнению
i
В данном случае собственные функции будут, как и раньше, об*
разовывать замкнутую систему, и всякая функция, удовлетво-
удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные произ*
водные до четвертого порядка, разлагается в абсолютно и рав«
номерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям. Со-
Совершенно так же, как и в [78], можно показать, что все соб-
собственные значения положительны и, следовательно, по теореме
Мерсера, мы имеем разложение самого ядра по собственным
функциям.
Построим фактически функцию Грина для случая стержня, заделанного
на обоих концах, т е при предельных условиях у@) =* г/'@I= #A)= J/'O) —
= 0, причем мы считаем r(x)s== 1 и /= 1 Общий интеграл уравнения
t/(iv) = о представляет собою полином третьей степени с произвольными
коэффициентами Мы можем легко найти решения, удовлетворяющие пре-
предельным условиям только на левом и только на правом конце Это будут
решения
у{ (х) = х2 {а{ + а2х) у2 (х) = (х — IJ (Ь{ + Ь2х).
Произвольные постоянные определятся из четырех условий, а именно — из
условия непрерывности функции и ее производных до второго порядка при
х = ? и разрыва E2) производной третьего порядка Проделывая злементар*
ные вычисления, мы придем к следующему окончательному выражению для
функции Грина в рассматриваемом случае*
Bx1 +х-
G(x, |)=
При ? ^ х надо поменять местами х и ?
84. Уточненные теоремы разложения Стеклова. В [77]
мы получили теорему разложения по собственным функциям
фл(х) уравнения A6). Предельные условия мы возьмем в виде
у(а)==#(&) = 0.	E4)
Теоремы разложения по функциям уп{х) при весьма общих
условиях, независимо от теории интегральных уравнений, даны
в работах В А Стеклова. Относящиеся сюда результаты со-
собраны в его книге «Основные задачи математической физики»г
т I (Пгр , 1922). Мы приведем некоторые из полученных им ре-
результатов.
Лишь ради упрощения рассуждения будем предполагать, чго
q{x)^0 Это ограничение можно отбросить во всех пунктах
[84] — [91] Пусть f(x)— непрерывная функция, имеющая непре-
непрерывную производную в промежутке [а, Ь] и удовлетворяющая

«4]	УТОЧНЕННЫЕ TFOPEMbT РАЗЛОЖЕНИЯ СТЕКЛОВА	253
предельным условиям E4). Существование производной второго
порядка не предполагается. Докажем предварительно формулу
= O при k ф I. E5)
Действительно, производя интегрирование по частям и пользуясь
уравнением, которому удовлетворяют собственные функции
q (x) Ф, (*) -^\р (х) Ф; (*)] = ЯЛ (х),	E6)
получим
ь
\ [Р (х) <t'k (х) Ф^ {х) + q (х) фА (х) Ф/ (*)] ^ =
W g:»+ч 5 Фк (*) Ф| (х) rfx.
Но внеинтегральный член равен нулю в силу ф/(а) = ф/F) = О,
а последний интеграл равен нулю в силу ортогональности соб-
собственных функций Рассмотрим теперь функционал
ь
*(У)=\ Ь (х) У'1 + Я (х) У21 dx	E7)
а
и подставим в него
y = rn(x) = f (x) - Z{ ck<pk (x),	E8)
где Ck — коэффициенты Фурье функции f(x):
ъ
ck=\f{x)<tk{x)dx.	E9)
а
Раскрывая скобки и принимая во внимание B2) и E5), полу-
получим
r	n-1	-1 h
: - 2 Л ck \ \P (x) f (x) ф; (x) + <7 (x) f (x) <f>k (x)] dx.
rt-i	П-1
ft-1	ft=l a

254	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[84
Производя в последнем интеграле интегрирование по частям и
принимая во внимание, что, по условию, f(a) = f(b) = О, а так-
также учитывая E6), получим
/<*)•-? ck% м = J [p w /'2 (*)+<? w /2 w] ^ - Z VI-
F0)
Если предположить, что не только р(*)>0, но и #(*) ^0, та
из этой формулы непосредственно следует неравенство, анало-
аналогичное неравенству Бесселя:
оо	Ъ
Z V* < \ Ь W /'2 W + Я (х) Р (х)] dx,	F1)
k~l	a
и сходимость ряда, стоящего слева. Все члены этого ряда поло-
положительны, ибо Kk> 0 при q(x) ^ 0.
Отметим, что доказательство неравенства F1) полностью
сохранится, если предположить, что непрерывная функция f(x)
имеет производную f (х) везде в [а, 6], кроме конечного числа
точек аи #2, «•-, Ят, причем производная непрерывна везде, кро-
кроме упомянутых точек, а в этих точках имеет конечные пределы
слева и справа (разрыв первого рода). При интегрировании по
частям достаточно интегрировать по промежуткам непрерывно-
непрерывности /' (х) и затем сложить все эти интегралы.
Докажем теперь, что при сделанных выше относительно f(x)
предположениях ее ряд Фурье
оо
? ck<fk(x)	F2)
регулярно сходится в промежутке [а, Ь], т. е. что ряд
оо
Z I **Ф*(х)I	F3)
равномерно сходится в этом промежутке. Пользуясь интеграль-
интегральным уравнением
ь
F4)
мы можем представить ряд F3) в виде
оо
где

84]	УТОЧНЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ СТЕКЛОВА	255
можно рассматривать как коэффициенты Фурье функции G {х, ?)
аргумента g. Пользуясь неравенством F1), можем написать
Ь
•?®G2
ft-1
где Gi(x, g) есть производная G(x, g) no g. Все функции, стоя-
стоящие под знаком интеграла, ограничены, и из F7) следует,
где М — некоторая постоянная. Заменим %k на V^ V^ и при-
применим к отрезку ряда F5) неравенство Коши
/т+
V i
? ft—
/т+р	1т+р
z чнл(| V i v2fe V?
fc—m	? ft—m	» ft—m
m+p	/m+p
или
и из этого неравенства и сходимости ряда с членами Я^с| непо-
непосредственно следует, что ряд F5) сходится равномерно на про-
промежутке [а, Ь], т. е. ряд F2) сходится регулярно. С другой сто-
стороны мы знаем, что его сумма равна f(x) [IVi; 3].
Приведем еще одно доказательство теоремы разложения без
предположения q(x)^0 и при прежних предположениях отно-
относительно f(x). Оно также принадлежит В. А. Стеклову. Вводя
обозначение E8), докажем прежде всего, что существует такая
постоянная С (не зависящая от л), что
< С.	F9)
и
а
Мы имеем
f	lrf	V1	/	I
п J	I	2L/ k k I
a	L	ft*l	J
a
г*
&	r-	ft —i
a	L	ft = l
ft-1 a

256	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[84
Интегрируя последний интеграл по частям и принимая во вни«
мание E6), а также ортогональность гп(х) к функциям (fk{x)]
(k = 1, 2, ..., п— 1), получим
ъ	ъ	ь
откуда, обозначая через до наибольшее значение |<7(#I в ПРО<|
межутке [а, Ь] и применяя неравенство Буняковского, причем
в первом интеграле заменяем р(х) = л/р(х) Ур (*), получим
I b	I Ь	Ъ
0 у j	у j n	°jn
а	а	а
Принимая во внимание, что, в силу уравнения замкнутости,
ь
lim \r2n(x)dx = 0,
п">0° а
мы получаем для ап неравенство вида
где С\ и с2 — положительные постоянные. Из этого неравенства
видно, что ап при возрастании п остается ограниченной, и мы
получаем F9).
Далее из
следует, что
откуда, применяя неравенство Буняковского и считая § < х, по-
получим
/¦* (*)<г2„(?) + 2 <у [ r
[ l(t)dt j\
ь
r'n2(t)dt.
а

85]	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	257
В случае х < 6 мы должны поменять пределы интегрирования
I п х. Интегрируя обе части по | на промежутке [а, Ь], по-
получим
ь
Обозначая через ро наименьшее значение положительной функ-
функции р{х) в промежутке [а, Ь]9 можем написать, в силу F9),
что
и предыдущее неравенство дает
ъ
Правая часть не зависит от х и при беспредельном возраста-
возрастании п стремится к нулю, откуда следует, что /*„(*)-> 0 равно-
равномерно в промежутке [а, 6], т. е. ряд F2) равномерно сходится
в этом промежутке и его сумма равна f(x). Можно доказать и
без предположения q{x)^0, что ряд F2) регулярно сходится.
85. Оправдание метода Фурье для уравнения теплопровод-
теплопроводности. Рассмотрим уравнение с частными производными:
ди д Г / v ди~\	, ч	,_лч
И^]^"'	G0)
которое соответствует распространению тепла в неоднородном
стержне с учетом лучеиспускания с поверхности стержня. Счи-
Считая а ^ х ^ ft, будем искать решение уравнения G0) при на-
начальном условии
G1)
и предельных условиях
«U = 0; aUBb = 0.	G2)
Применяя метод Фурье, получим решение задачи в виде
? ^	G3)
где %k и <pk(x) — собственные значения и собственные функции
уравнений
^	?(*=== О	G4)

258	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[85
при предельных условиях
у(а) = у(Ь) = 0,	G5)
и Ck — коэффициенты Фурье E9) функции f(x). Будем считать,
что q(x)^0 и что f(x) имеет непрерывную производную в
[а, Ь] и удовлетворяет предельным условиям G2). Отметим, что
все %k — положительны, ибо q(x)^0. Покажем, что функция
G3) удовлетворяет всем условиям задачи, т. е. удовлетворяет
G1), G2), а также уравнению G0) при t > 0.
Как мы доказали, ряд G3) регулярно сходится в промежутке
[а, Ь]. Принимая во внимание, что Х^> 0, можем утверждать,
что ряд G3) сходится абсолютно и равномерно при />0 и
а ^ х ^ Ь. Тем самым его сумма есть непрерывная функция при
указанных значениях аргументов, т. е.
оо
lim и (х, t) = u (х, 0) = Е Ck<Qk (x) = / (х).
Этим доказано выполнение начального условия G1). Предель-
Предельные условия G2) выполняются в силу того, что все функции
Фа>(х) удовлетворяют условиям G2). Остается проверить урав-
уравнение G0) при t > 0. Каждый член ряда G3) удовлетворяет
уравнению G0) по самому его построению, и нам достаточно
показать, что ряд G3) можно почленно дифференцировать один
раз по t и два раза по х, а для этого достаточно показать, что
ряды
? \ске-к*'<рк(х);	G60	Е che"^Wk(x)i	G62)
Е^е-^'М	"G6з)
равномерно сходятся при / ^ а, где а — любое положительное
число, и при а ^ х ^ Ь. Так как ^-^+°° при &->+оо, то
Я/^а->0ги ^"^<V"^a при t^a, т. е. существует
такое N (не зависящее от t), что Я^е"^* < I при t ^ а и k ^ N.
Отсюда, принимая во внимание равномерную сходимость ряда
F3), получаем равномерную сходимость ряда G6i) при / ^ a
Совершенно так же доказывается возможность почленного
дифференцирования ряда G3) по t сколько угодно раз при
t > 0. Для исследования следующих рядов напишем выражение
F4) для <Pk(x), пользуясь G):
х	Ь
Ф* (х) - ккух (х) \ у2 F) ср* (I) dl + КУг (х) $ ух (I) <?k (I)

86]	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ	259
откуда
х	Ъ
Ф* (*) = Ку\ (*) \ У2 (Б) Ф* (Б) <*6 + Ч^ (*) J Ух (Б) Ф* (Б) <*&
а	'	X
И
х	Ь
= У; (*) 5 У2 (Б) V"ЧЧ (Б)« + ^ W J Ух (Б) V4 (Б) <«. G7)
Принимая во внимание равномерную, относительно х, сходи-
сходимость ряда G6i) "в промежутке [а, Ь] при t > 0, мы можем
утверждать, что ряды
S jb (Б) Л^"х*' ф^ (Б) и ? У1 (Б) Vx*'Vik (I)
равномерно сходятся в промежутке [а, Ь], откуда, в силу G7),
следует и равномерная сходимость ряда G62). Остается иссле-
исследовать ряд G63). Для этого воспользуемся уравнением E6) для
собственных функций. Из него следует:
v" Х*Ч м=tW ["р/ {х) с*~Кк'<{х)+
+ q {х) cke~K^k (x) - Xkcke^fcpk (x)], G8)
и отсюда, в силу равномерной сходимости рядов G3), G60 и
G6г) в промежутке [а, Ь] при любом t > 0, следует и равномер-
равномерная сходимость ряда G63). Тем самым доказано, что функция
и{х9 t), определяемая формулой G3), имеет соответствующие
частные производные и удовлетворяет уравнению G0) при
/ > 0. Мы получаем таким образом следующую теорему:
Теорема. Если функция f(x), входящая в начальное усло-
условие, имеет непрерывную производную в промежутке [а, Ь] и
удовлетворяет предельным условиям G2), то функция u(x,t)>
определяемая формулой G3), удовлетворяет начальному уело-
вию G1), предельным условиям G2), а также уравнению G0)
при t > 0. Возможно почленное дифференцирование ряда G3)'
по t любое число раз и по х два раза при t>0.
86. Оправдание метода Фурье для уравнения колебаний.
Рассмотрим теперь, вместо G0), уравнение
д2и д Г , ч ди 1	, ч	,_лч
Здесь, кроме предельных условий G2), мы имеем два началь-
начальных условия;
fL	(80)

260	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	186
и применение метода Фурье дает решение задачи в виде
оо
и (*, 0 = S (я* cos V V + &* sin VV) Ф* (*).	(81)
где %k и q>*(x) имеют прежние значения, а
а* = \ f (х) Ф* (х) dx; bk = -j=r J П (х) ф* W dx. (82)
Как и в [85], нам достаточно показать, что ряд (81) и ряды,
которые из него получаются при двукратном дифференцирова-
дифференцировании по t и х, будут равномерно сходящимися в промежутке
[а, Ь] при любом t
Разобьем ряд (81) на два ряда и будем сначала рассматри-
рассматривать ряд
? aft cos YaI/фл (*).	(83)
Принимая во внимание, что Хь > 1 при всех достаточно боль-
больших к, можно утверждать, что л/Кк < Xk при всех достаточно
больших k.
Если мы докажем при некоторых условиях, налагаемых на
р(х), q(x) nf(x), что ряд
оо
S bk\ak<Vk(x)\	(84)
равномерно сходится в промежутке [а, 6], то отсюда, повторяя
буквально рассуждения из [85], мы докажем все указанные
выше утверждения о почленном дифференцировании ряда (83)
Действительно, это очевидно для самого ряда (83), ибо
ta->+oo, а для рядов, которые получаются дифференцирова-
дифференцированием Щ) t9 — в силу того, что <\/Xk < Xk при всех достаточно
больших k. При однократном дифференцировании по х нам до-
достаточно доказать равномерную сходимость ряда
Она непосредственно вытекает из равномерной сходимости ряда
(84) в силу формулы
х	Ь
У\ (х) J У2 (I) V А © * + У2 <*) J

*$	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ	261
аналогичной формуле G7). Для доказательства равномерной
сходимости ряда
достаточно использовать формулу, аналогичную формуле G8),
вычеркнув, как и выше, множитель е~~кк*. Таким образом, все
сводится к доказательству равномерной сходимости ряда (&4)«
Пользуясь уравнением E6), получим
V* = К\ f (*) Ф* (*) dx=\f{x){q (х) cpk (х) — ^\р (х) ф; (*)]} dx
Считая, что f{x) имеет непрерывные производные до второго
порядка и удовлетворяет условиям G2), и интегрируя по ча-
частям, получим
ь
Если предположить, что выражение, стоящее под знаком инте-
интеграла в фигурных скобках, имеет непрерывную производную и
удовлетворяет предельным условиям G2), то отсюда будет сле-
следовать, что ряд (84) равномерно сходится в [а, Ь]. Указанное
выше требование сводится к следующему: f(x) имеет непрерыв-
непрерывные производные до третьего порядка, р(х) имеет непрерывные
производные до второго порядка, q{x) имеет непрерывную про-
производную, и удовлетворяется условие
-jZ[p(x)f'(x)]-q(x)f(x) = O при х = а и x-ft. (85)
В силу того, что f(x) также должна удовлетворять условиям
G2), мы можем написать (85) в виде
[p(x)f(x)] = 0 при х = а и х = Ъ.	(86)
Рассмотрим теперь ряд
У*).	(87)
где bk определяются вторым из равенств (82). Как и выше, до-
достаточно доказать равномерную сходимость ряда

262	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	ДО
т. е. ряда
где
ъ
Считая, что f\(x) имеет непрерывные производные до второго
порядка и удовлетворяет условиям G2), получим, как и выше,
где Ь% — коэффициент Фурье непрерывной функции, стоящей в
фигурных скобках. Подставляя еще ^k{x)^=%k^k{x)} получим
откуда, по неравенству Коши,
т+р	/т+р	/т+р
*?m v^* I ь'к% (*> i < v fc?m &*2 • v *?m v*(;c)
или, принимая во внимание F8),
т+р
Но ряд, составленный из членов Ь%2, сходится, и из последнего
неравенства непосредственно следует, что ряд (88) равномерно-
сходится. Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
Теорема. Если р(х) имеет непрерывные производные да
второго порядка, q(x)^0 и имеет непрерывную производную,
f(x) имеет непрерывные производные до третьего порядка, удов-
удовлетворяет условиям G2) и условию (85), a f\(x) имеет непре-
непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет усло-
условиям G2), то функция и(х, t)% определяемая формулой (81),
удовлетворяет начальным условиям (80), предельным G2), а
также уравнению G9). При этом возможно почленное диффе-
дифференцирование ряда (81) по t и х два раза, и полученные ряды
равномерно сходятся в промежутке [а, Ь] при всяком t.
87, Теоремы единственности. Мы установили существование
решений уравнений G0) и G9) при соответствующих предель*
ных и начальных условиях. Докажем теперь единственность та-
таких решений.
Начнем с уравнения G0) при q(x)^0> и будем предпола*
гать, что решения непрерывны при /^0иа^л;^6и что при

87]	ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ	263
всяком t > 0 решение имеет непрерывную производную по t и
производные по х до второго порядка, непрерывные в проме-
промежутке [а, Ь]. Решение именно с такими свойствами и было нами
построено в [85].
Утверждение о единственности решения равносильно тому,
что решение Uq(x, t) уравнения G0) с указанными выше свой-
свойствами, удовлетворяющее однородному начальному условию
иок-о = О (а<*<Ь)	(89)
и предельным условиям G2), равно тождественно нулю при
*>0.
Напишем для Uq{x, t) уравнение G0), умножим обе его ча-
•сти на uq(x, t) и проинтегрируем по х. При этом считается t > 0.
Мы получим, таким образом, формулу
ь	ь	ь
Все операции выполнимы в силу упомянутых выше свойств
щ{ху t). В первом интеграле правой части интегрируем по ча-
частям и принимаем во внимание предельные условия. Таким об-
образом, получаем-
ь	ь	ъ
Таким образом, неотрицательная функция от t
. ь
\u\dx,	(90)
а
непрерывная при (>0 и равная нулю, в силу (89), при ? = 0
имеет неположительную производную при / > 0. Отсюда еле-
дует, что функция (90) тождественно равна нулю при t >> 0. Но
тогда и u(xft)*s0 при t ^ 0, что мы и хотели доказать.
Переходим теперь к доказательству теоремы единственности
для уравнения G9) при q(x)^ 0. Будем предполагать, что сами
решения и их производные щу Щи ихУ ихх непрерывны в проме-
промежутке а ^ х ^ Ь и при любом t. Решение с такими именно свой-
свойствами и было нами построено в [86]. Утверждение о единствен*
ности решения равносильно тому, что решение uq{x, t) уравне-
уравнения G9) с указанными выше свойствами, удовлетворяющее од-
однородным начальным условиям
• «оЬ-о—Ж-и-0	(91)
и предельным условиям G2), равно тождественно нулю*

264	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[8Г
Введем функцию
v {х, t) = \ uq (x9 т) dr.	(92>
о
Она имеет непрерывные производные vx, vt, vXXt vxu vu при ука-
указанных значениях переменных. Напишем для Uo(x, т) уравнение
G9) и проинтегрируем его по т на промежутке от т = 0 до т = ^
Принимая во внимание (91) и (92), получим
d2v (*, t) д
dt*
В этом уравнении заменим t на т, умножим обе части на vx(x, т)
и проинтегрируем по т на промежутке от т = 0 до т = t. При-
Принимая во внимание (91) и (92), получим
t
j v\ (xy t)=\vx (х, т) ^ [р (х) vx (х, т)] dx - \q (x) v2 (x, /).
о
Интегрируем обе части по х на промежутке [а, Ь] и в повторном
интеграле меняем порядок интегрирования:
ь
2
О n a
Во внутреннем интеграле проинтегрируем по частям и учтем,
что, в силу (91) и (92), внеинтегральный член равен нулю:
t , Ъ
О '-а
Меняя опять порядок интегрирования, производя интегрирование
по т и принимая во внимание, что vx(xt 0) = 0, получим
ь
•у

Щ	ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ	265
откуда следует
я потому vt(xt t) = 0 при а ^ х ^ ft и —оо <?; f < +°°. В силу
(92), получаем Uq(x9 /) = О, что мы и хотели доказать. Заметим,
<что условие q ^ 0 можно отбросить.
88. Экстремальные свойства собственных значений и функ-
дий. Вернемся к предельной задаче для уравнения
4г Ip w у'] + ^ ~ ч W1 у = °	(93)
или, что то же, для уравнения
d '
Б общем случае уравнения A) мы можем привести его к виду
{93), вводя вместо х новую независимую переменную:
(94)
Уравнение A) при этом перепишется в виде
г (х) {г\г (х) р (х) ^f 1 + (кг (х) - q (х)) y = 0t
и, деля обе части на г(х), мы получаем уравнение вида (93)»
При этом преобразовании существенно предположение, что г(х)'
яе обращается в нуль в замкнутом промежутке [a, b]. Mki счи-
считаем, что в уравнении (93) р(х) >0в промежутке [а, Ь], и по-
положим, что предельные условия имеют вид
у(а) = у (Ь) = 0.	(95)
При этом, как мы видели [78], собственные значения выража-
выражаются через соответствующие собственные функции по формуле
ь
tf(r\\<1v	(96)
и может существовать лишь конечное число отрицательных соб-
собственных значений, так что можно считать, что собственные
значения расположены в возрастающем порядке, т. е. Х\ <С %2 <?
Поставленная предельная задача равносильна интегральному
уравнению

266	ТЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г8*
где G(x, |) — функция Грина оператора L(y) при предельных
условиях (95). Мы знаем [IV; 42], что первое собственное зна-
значение Х\ равно наименьшему значению интеграла
ь ъ
tg	(97>
в классе непрерывных функций g>(jc), удовлетворяющих уело*
вию
.2
J JO(Jt,B©(g)rf8
(98)
Но интеграл
ь
, \)<ss{\)d\	(99)
при любом выборе непрерывной функции со(?) дает функцию
у(х) с непрерывными производными до второго порядка, удов-»
летворяющую предельным условиям (95). Наоборот, всякая
функция у(х) с указанными только что свойствами выражается
интегралом (99) при соответствующем выборе непрерывной
функции со (х) = —L (у).
Мы можем, таким образом, согласно (97), (98) и (99) утвер-
ждать, что A,i есть наименьшее значение интеграла
\	A00)
а
при выполнении условия:
ь
\y2{x)dx=\	A01)
в классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до
второго порядка и удовлетворяющих предельным условиям (95),
Производя в интеграле A00) интегрирование по частям, мы
видим, что К\ есть наименьшее значение интеграла
A02)
при условии A01) в только что указанном классе функций у(х)*
Первая собственная функция у = epi (x) дает при этом, в силу
(96), интегралу A02) наименьшее значение Ль Переходим ко

68]	ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	267
второму собственному значению %2- Мы знаем, что это есть наи-
наименьшее значение интеграла (97), если к условию (98) добавить
еще условие
ь
\ €0A)9,A)^1 = 0.	A03)
а
Если определить у{х) формулой (99), то [IVi; 31]
и, следовательно, условие A03) равносильно условию
ь
*Q.	A04)
Таким образом, Я* есть наименьшее значение интеграла A02) в
классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до
второго порядка и удовлетворяющих условиям (95), при допол-
дополнительных условиях A01) и A04).
Вообще, собственное значение %п является наименьшим зна-
значением интеграла A02) в классе функций у(х), имеющих не-
непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющих
предельным условиям (95) и следующим дополнительным усло-
условиям:
ь	ъ
= 0 (k=l, 2, ..., n-1). A05)
Покажем, что уравнение (93) есть уравнение Эйлера, рыра-
жающее необходимое условие экстремума интеграла A02) при
дополнительном условии A01). Действительно [IV^ 77]. мы
должны составить функцию
и для нее написать уравнение Эйлера
которое действительно совпадает с уравнением (93). Рассмо-
Рассмотрим теперь экстремум интеграла A02) при двух дополнитель-
дополнительных условиях, а именно, условиях A01) и A04). В данном слу-
случае мы должны составить~вспомогательную функцики

268	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	.(8*
и уравнение Эйлера для этой функции будет иметь вид
4г [р (х) У'\ + {b~q (х)) у + \ Ф1 (х) = 0.	A06)
Покажем, что постоянная \х должна равняться нулю, т. е. что
мы придем опять к уравнению (93). Для этого напишем уравне-
уравнение (93) для первой собственной функции:
-27 [Р (*) Ф{ (*)] + (\-д (х)) % (х) = 0.
Умножим это последнее уравнение на у, уравнение A06) на?
<pi(x), вычтем почленнЬ полученные уравнения и проинтегри-
проинтегрируем полученное таким образом уравнение по основному про-
промежутку. Принимая во внимание условие ортогональности A04)
и нормированность первой собственной функции, мы придем-ie
следующему соотношению:
ъ
Т = И У lu
Производя интегрирование по частям и пользуясь предельными
условиями, мы убедимся без труда в том, что написанный инте-
интеграл равен нулю, а отсюда непосредственно вытекает \х = 0,
что мы и хотели доказать. Вообще, если мы напишем уравнение-
Эйлера, выражающее необходимое условие экстремума инте-
интеграла A02) при дополнительных условиях A05), то придем^
как и выше, к уравнению (93).
До сих пор мы рассматривали случай r(*)= 1. Совершенно
аналогичные результаты будут иметь место и в общем случае,
причем мы считаем г\х) > 0. В этом общем случае дополни-
дополнительные условия A05) надо написать в виде
ь
\г(х)УЦх)с1х=и
ь п	(Ю7>
[r(x)<pk(x)y(x)dx=0 (/г = 1, 2, ..., л-1).
Чтобы удостовериться в этом, достаточно в общем уравнении-
A) совершить замену независимого переменного (94). При этом
мы получим уравнение вида (93), для которого результат нами
уже доказан. Возвращаясь к прежней независимой переменной,
мы получим интеграл A02) и дополнительные условия A07).
Отметим еще, что все изложенное выше фтается справедли-
справедливым и для предельных условий B).

891	ТЕОРЕМА КУРАНТА	269
При нахождении последовательных минимумов интеграла
A02) можно ставить эту задачу в классе функций, имеющих не
две, а только одну непрерывную в промежутке [я, Ь] производ-
производную. Можно показать, что в этой более широкой постановке по-
последовательные минимумы осуществляются по-прежнему функ-
функциями фл(х).
Рассмотрим уравнение колебания струны:
где р — линейная плотность струны и То— натяжение. Мы имеем следующие
выражения для кинетической и потенциальной энергии:
l	I
о	о
В случае синусоидального режима вида и = sin V)ty(x)t мы получим для у(х)
уравнение
при предельных условиях у@) = уA)— О, если струна закреплена на концах,
а кинетическая и потенциальная энергии будут выражаться формулами
r = i^lcos2CG/ij y2dx; ~^/ = -^-8т2соД у/2 dx.
о	о
Первое собственное значение этой задачи сводится к разысканию наименьшей
величины интеграла
\ у/2 dx при условии, что \ у2 dx = 1.
о	о
89. Теорема Куранта. Из рассуждений предыдущего параг-
параграфа следует, что наименьшее значение интеграла A02) при
условиях A05) осуществляется собственной функцией срп(х) и
равно %п. При таком определении Хп и уп(х) нам необходимо
знать все предыдущие собственные функции. Это обстоятельство
затрудняет применение высказанного экстремального принципа.
Мы докажем теперь теорему, которая позволяет определить Кп
и Цп(х) без использования предыдущих собственных функций.
Пусть Z\(x), ..., zn-\(x)—какие угодно заданные функции, не-
непрерывные в промежутке [а, Ь]. Поставим задачу о нахождении
наименьшего значения интеграла
ь
A08)

270	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	№
при дополнительных условиях:
ъ	ъ
\r{x)y*dx=\\ \r(x)zk(x)ydx = 0	A09)
а	а
(А=1, % ..., п-\)
в классе функций у(х), удовлетворяющих предельным условиям
и имеющих непрерывные производные до второго порядка. Мы
не знаем заранее, будет ли интеграл A08) при поставленных
условиях достигать наименьшего значения, но мы можем во
всяком случае говорить о точной нижней границе значений этого
интеграла. Эта точная нижняя граница будет, конечно, зависеть
от выбора функций zk(х). Мы обозначим ее через т (zu ..., zn-\).
Докажем сейчас следующую теорему Куранта: при любом вы-
выборе непрерывных функций zk(x) число m{zu ..., zn-i) не пре-
превосходит собственного значения Хл. Если при любом выборе
функций zk мы сможем построить такую функцию у(х), удовле-
удовлетворяющую условиям A09) и всем остальным требованиям, что
соответствующее ей значение интеграла A08) не больше А,„, та
число m(zi, ..., zn) и подавно будет не больше Хп, и теорема
будет доказана. Будем искать функцию у(х) в виде
y = ci<fi(x)+ ... +сауп(х),	(ПО)
где qk{x) — собственные функции предельной задачи и Сн — по-
постоянные, к определению которых мы сейчас и переходим. Пер-
Первое из условий A09), в силу ортонормированности функций
Фл(лс) с весом г(х) (см. A07)), приводит нас к равенству
с\-тс\+ ... +с2„=1.	A11)
Оставшиеся (п—1) условий дадут систему (п—1) однородных
уравнений с п неизвестными с\, ..., сп. Такая система, как из^
вестно [IHi; 10], имеет решения, отличные от нулевого. Всякое
такое решение можно умножить на произвольный постоянный
множитель, который можно выбрать так, чтобы выполнялось
равенство A11). Таким образом, при помощи формулы (ПО) мы
построили функцию, имеющую непрерывные производные до
второго порядка, удовлетворяющую предельным условиям и
всем дополнительным условиям A09). Нам остается только
подставить выражение (ПО) в интеграл A08) и убедиться, что
величина этого интеграла окажется ^ Хп. После упомянутой
подстановки под знаком интеграла мы будем иметь члены, со-
содержащие квадраты <р\(х) и квадраты Ф^2(х), а также члены с
произведениями (f^{x)(fl(x) и ф^(#)ф^(*). Но совершенно так

90]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	271
же, как и в [84], может быть и при г(х), отличном от единицц
доказана формула
ь
\ [Р (*) «Pi (х) ф; (х) + q (х) <рЛ (х) ф, (*)] dx = 0 (k Ф I).
а
Принимая еще во внимание формулу B2), убедимся в том, что
подстановка выражения A10) в интеграл A08) приведет к вы-
выражению
Принимая во внимание, что %\ < ... < Кп и пользуясь форму-
формулой A11), мы получим
что и дает окончательно теорему Куранта.
Следствие. Если мы примем zi *= q>i(*), ...,*гп_1 =»
= фп«1(х), то-, как мы видели выше, наименьшее значение инте-
интеграла A08) при условиях A09) будет равно в точности Кп и
будет достигаться при у = <рп{х). Таким образом, мы можем
сказать, что %п есть наибольшее значение всевозможных% ниж~
них границ mn(z\, ..., zn-\) значений интеграла A08) при до-
дополнительных условиях (Ш9) в классе функций у(х), удовле-
удовлетворяющих предельным условиям и имеющих непрерывные про-
производные до второго порядка, причем это наибольшее значение
точных нижних границ достигается при Zk = q>k(x) и у = уп (х)«
Это максимально-минимальное свойство собственных значений
Кп остается справедливым для широкого класса уравнений с
частными производными и играет основную роль при исследова-
исследовании собственных значений.
90. Асимптотическое выражение собственных значений. Заме-
Заменим в уравнении A) р(х) и q(x) новыми функциями р\(х) и
q\{x)> не меньшими прежних во всем промежутке
Р\ (х) > р (х); qx (*)>?(*) (а < х < Ь)
(р(х)>0; г (jc) > 0).
Функцию г(х) оставим прежней. Обозначим характеристичен
ские числа измененного уравнения через %гп и докажем нера«
венство Я«^ЯЛ. Для этого воспользуемся только что доказан-
доказанным свойством собственных значений.
При указанном изменении р(х) и q(x) дополнительные усло-
условия A09) остаются прежними, а интеграл A08) может только
увеличиться при фиксированной функции у. Поскольку совокуп-
совокупность функций у остается прежней при упомянутой замене коэф-
коэффициентов, и точная нижняя граница m{z\t ..»> zn-\) значений

272	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[90
интеграла A08) во всяком случае не уменьшится, а следова-
следовательно, не уменьшится и наибольшее из чисел m(zu ..., 2n-i)>
т. е. hn. Что и требовалось доказать.
Оставим теперь неизменными функции р(х) и q(x) и заме-
заменим г(х) на г\(х), причем г\(х)^ г(х) при а ^ х ^ Ь. В этом
случае нельзя уже говорить о сохранении класса конкурирую-
конкурирующих функций г/, ибо если у удовлетворяет первому из условий
A09), то после подстановки вместо г(х) функции г\(х) будем
иметь
ь
а
Легко, однако, из функции у получить допустимую функцию но-
новой задачи. Для этого достаточно подобрать число 0, удовлетво-
удовлетворяющее условию 0 < 0 ^ 1 так, чтобы
ъ
\jrl{x)Q2y2dx=\.
а
Нетрудно видеть, что функция Qy удовлетворяет и остальным
условиям A09), правда, для других функций Zk(x). Действи-
Действительно, так как 0 есть постоянная, то из A09) вытекает, что
ъ
=l, 2,..., k-l).
а
Но это и есть опять условия вида A09) для видоизмененного
уравнения, причем вместо функций Zk(x) здесь взяты функции
Каждой системе функций Zk(x) будет соответствовать система
функций zk(x), и наоборот. Обратный переход от функции Qy
для преобразованного уравнения к таким же функциям для
первоначального уравнения будет совершаться при помощи де-
деления Qy на 0. При замене у на Qy значение интеграла A08) не
может увеличиться. Следовательно, не может увеличиться и
точная нижняя граница этих значений, а потому не может уве-
увеличиться и число Хпу являющееся наибольшей из этих точных
нижних границ. Мы приходим, таким образом, к следующему
общему предложению: если измененные коэффициенты р\(х) и
q\{x) удовлетворяют условию A12), то собственное значение Хп
не может уменьшиться, а если измененный коэффициент г\(х)
удовлетворяет условию г\(х) ^ г(х), то %п не может увеличиться.
Применим доказанное предложение к асимптотической оцен-
оценке собственных значений Кп при больших значениях п. Пусть

90]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	27Э
(р, Р), (9, Q), (г, /?)—наименьшие и наибольшие значения
функций р(х), q(x), r(x) в промежутке [а, Ь\. Заменим в задан-
заданном уравнении A) р(х) на Р, q(x) на Q и г(х) на г. Полученное
новое уравнение с постоянными коэффициентами:
Py" + (Xr-Q)y = 0,	A13)
будет иметь собственные значения Х'п, во всяком случае не мень-
меньшие, чем собственные значения кп первоначального уравнения.
Но мы легко можем найти А?. Для этого заметим прежде всего,
что уравнение A13) может иметь решение, удовлетворяющее
предельным условиям (95) только в том случае, если г~ >
> 0. Принимая это во внимание, мы напишем общий интеграл
уравнений A13) в виде
Для простоты в дальнейших вычислениях примем за основной
промежуток [а, Ь] промежуток [0, /]. Из предельного условия
у@) = 0 следует С\=0, и второе предельное условие у{1) = 0
дает нам уравнение для определения %, а именно:
откуда
2
h'n —	1 и, следовательно, АЛ =
Совершенно так же, заменяя р(х), q{x)y r(x) соответственно на
р, q, R, мУ докажем, что
п -7Г Р + Я
и получаем таким образом следующую оценку для собственных
значений:
г
Отсюда вытекает, что %п при больших п есть величина порядка
п2 и ряд
п
есть ряд сходящийся^ Пользуясь максимально-минимальным
свойством Я„, можно получить более точную оценку, если пред*
варительно преобразовать исходное уравнение. Предположим,

274	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[90
что р{х) и г(х) имеют непрерывные производные до втерого по-
порядка и преобразуем уравнение A), вводя вместо х новую неза*
висимую переменную t:
и. вместо у новую искомую функцию и:
и = ^р(х)г(х)у.	A15)
Промежуток [а, Ь] изменения переменной х преобразуется в
промежуток [0, /] для переменной /, где
ь
Уравнение для u(t) будет иметь вид
-§.+ (*-*(/)) и«= 0,	A16)
где s(t) — некоторая непрерывная функция, которая легко опре*
деляется по заданным коэффициентам уравнения A). Из у{а)=&
з=гу(Ь) = 0 следует и@)= иA) = 0 и наоборот, а потому соб-
собственные функции исходного уравнения будут определяться соб«
ственными функциями преобразованного уравнения по формуле
A15), и наоборот, а собственные значения останутся прежними.
При определении собственных значений уравнения A16) мы
должны поставить минимальную задачу для интеграла
i
W2	]	A17)
Пусть а есть наибольшее значение для [s(/)| в промежутке
[0, /], так что
<(O<
Если вместо интеграла A17) мы поставим минимальную задачу
для интегралов
ъ
\2	A18,)
A18а)
а
И
Ъ

*lj	АСИМТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СОБСТВ ФУНКЦИИ	275
я обозначим через К и К соответствующие собственные зна-
значения, то получим
КЖЖ.	(П9)
Но числа К и К вычисляются элементарно из решений урав-
уравнений
" + (Х — о)и = 0 и
при предельных условиях и@) = н(/) = 0, и мы имеем
*.2_>2	-.2«>2
а Г ______ И Jt i .	л "	 ft Я*
В силу A19) получим
Я,Л = -^- + ЛЛ (|Ля|<а)	A20)
или
a,rt=-^?L+o(i),	A21)
где через A) мы, как всегда, обозначаем величину, которая
остается ограниченной по абсолютной величине при всех значе-
значениях п. Возвращаясь к старым переменным, получим
Ь	-,-2
|jy^J +0A),	A22)
, следовательно,
Точнб такие же асимптотические выражения собственных зна-
значений мы получим и для других предельных условий. Это непо-
непосредственно получается, если рассмотреть уравнение и" + \хи =
= 0 для различных предельных условий.
91. Асимптотическое выражение для собственных функций.
Имея асимптотическое выражение для собственных значений, мы
можем получить и асимптотические выражения для собственных
функций, пользуясь тем же самым методом, который мы при-
применяли раньше при выводе асимптотических выражений полино-
полиномов Эрмита и Лежандра [1И2; 163, 164].
При помощи указанного выше преобразования переменных
мы можем привести наше уравнение к виду A16):
При больших значениях п собственные значения Хп будут, как
мы знаем [78], положительными, и в дальнейшем мы будем

276	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[91
считать, что п настолько велико, что Хп > 0. Пусть и, (/) — соб-
собственные функции, соответствующие собственным з«:з • - \ч \ч.
Мы можем написать:
и получим
ип @ = «л sin лЛ/г / + 6Я cos
sin л/КУ-т) dr. A24K
Применим к интегралу, стоящему в правой части, неравенство
Буняковского:
0-12 t	t
s (т) ип (т) sin фГп{г-%) Л <5 i? (т) dr J
Jo	о
sin2
0
Jo	о
откуда следует, что при всяком t из промежутка [0, /]
		-12	/
s(T)un(x)sin^K(t-x)dx] <\s2(%)dx,	A25)
¦* о
причем мы приняли во внимание нормированность функций
Un{t).
Пусть фп(л:) — собственная функция исходного уравнения
A), получаемая из un(t) при помощи преобразований A14) и
A15). Из этих преобразований непосредственно следует
ъ	i
\r{x)<Pn{x)dx=\ul{t)dt=\,	A26)
J	J
а	О
т. е. обычная нормировка un(t) равносильна нормировке q>i(x)
с весом г{х). Предельное условие и@) =0 дает нам 6п = 0, :т
мы можем переписать формулу A24) в следующем виде:
«»W = fl«sin^ + ^-,	A27)
где, в силу неравенства A25), функция mn(t) остается ограни-
ограниченной при всех целых положительных п и всех t из проме-
промежутка [0, /], т. е. существует такое положительное число Л, что
\mn(t)\<A.	A28)
Возводя обе части A27) в квадрат, интегрируя по редовному
промежутку и принимая во внимание нормированность функций

ад	асимтотическоё выражение для собств. функций	277
«„(/), можем написать:
i	i	i
1 =а*\ sin2 лДТtdt + -^\mn(t) sin У^ / Л +-тЦ m* (/) Л.
Первый из написанных интегралов вычисляется до конца, а
остальные два, в силу условия A28), будут ограниченными по
абсолютной величине при всех значениях п. Таким образом мы
получим
±«ljZL	+ _L^ A29>
где рп и qn остаются ограниченными по абсолютной величине
при возрастании п. Вынесем в правой части а2п за скобки: '
sin 2
Если бы при возрастании п мы встречались со сколь угодна
большими значениями а2п, то при таких значениях п выраже-
выражение, стоящее в скобках, стремилось бы к пределу у, отличному
от нуля, и произведение, стоящее в правой части последней фор-
формулы, не могло бы равняться единице. Отсюда мы можем заклю-
заключить, что ап остается ограниченным при возрастании п. Прини*
мая это во внимание, мы можем переписать формулу A29) в
виде
{(Ь>	A30>
где, как всегда, через О Г—) мы обозначаем такую величину,.
что произведение хп • О f—J остается ограниченным при бес-
беспредельном возрастании п. Мы можем переписать последнюю
формулу следующим образом:
откуда вытекает:
Подетавляя это в A27), получим
"(t) A3Г>

278	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[92
где
причем Pn(t) ограничена по абсолютной величине при всех п и
всех t из промежутка 0 ^ t ^ /.
Из A21) вытекает:
откуда
sin
где О (—) = ^ , где ^«@ — ограничена по абсолютной ве«
личине при всех п и всех / из [0, /]. Подставляя это в A31), по*
лучим следующие асимптотические выражения для нормирован-
нормированных функций un(t):
л/j
j sin
2./+О(JL).	A32)
Возвращаясь к старым переменным согласно A14) и A15), мы
получим следующую асимптотическую формулу:
где собственные функции уп(х) нормированы согласно A26) и
о(—j = г ¦ , где гп{х) ограничена по абсолютной величине
при всех п и всех х из [а, Ь].
92. Метод Ритца. Уравнение
d
~т~ [р (х) У ] + [kr (х) — р (х)] у = 0	A34)
есть уравнение Эйлера для интеграла
ь
\ [р (х)'2 + q (x) у2] dx	A35)
а
при дополнительном условии
ь
Г (X) ;
а
й, как мы видели, разыскание последовательных собственных значений и соб-
собственных функций сводится к экстремальным задачам для интеграла A35).

92]	МЕТОД РИТЦА	279
Это приводит к практически удобному способу приближенного определения
собственных значений и собственных функций. Мы уже описывали этот спо*
соб (метод Ритца) в применении к отысканию абсолютного экстремума ин-
интеграла.
Берем последовательность линейно независимых функций vi(x), V2(x), ...,
удовлетворяющих предельным условиям, составляем линейную комбинацию
*-Е**Ч<*>'	A36>
и подставляем ее в интеграл
ъ
У'* + 1Я (*) - Лг (х)] у'} dx.
В результате получим квадратичную форму величин а?К Приравнивая ее
частные производные по а^ нулю, придем к системе п однородных уравне-
уравнений с п неизвестными ot?\ Полагая определитель этой системы равным нулю,
получим уравнение гс-й степени относительно Я. Корни этого уравнения
%^\ ..., Я^ могут быть приняты за приближенные значения первых п соб-
собственных значений задачи. Для каждого из них может быть найдена из упо-
упомянутой однородной системы система чисел а*?\ и по ней, согласно A36),
построена соответствующая функция у, которая приближенно может быть
принята за соответствующую собственную функцию. Сходимость этого про-
процесса существенно зависит от выбора координатных функций Vk(x). По этому
поводу мы приведем лишь некоторые результаты из работ академика
Н. М. Крылова (Mem. Sci. Math., 1931, 49).
Положим, что уравнение имеет вид
у№ + Кг (х) у = 0 (г (х) > 0).	A37)
Предельные условия берем в простейшей форме: у@)~уA) = 0. Если поло-
положить vn (х) = л/2 sin nnx, то разность между истинным значением Хт и /г-м
приближением к этому числу может быть оценена следующим образом:
или
Г (п+1Jя2-Я	Д t	A38)
где		;_
.г	/ ч	/ 41 / max r (#)	_. _	. .
А = [max г (х) - mm г (*)] д/—т—-f-f ;	В = 2 max г (*).
В практических вычислениях часто пользуются не тригонометрическими
функциями, а многочленами Положим, что мы по-прежнему имеем уравнение
A37) с предельными условиями у(—1)'= у(\) = 0, и примем vn(x)=*
= A — х2)хп~1 (множитель A—х2) обеспечивает удовлетворение предельных
условий). При таком выборе функций vn(x) имеют место следующие оценки:
Я/71

2Й0	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	f93
Эта оценка справедлива, если предположить только непрерывность функции
г(х). Если эта функция имеет еще непрерывную производную, то можно полу*
чить более точную оценку, а именно:
-
;
— i
\J7
х)
(х)
(п+\J(п.
где
Более точная оценка получается в предположении существования второй не-
непрерывной производной у функции г(х).
93. Пример Ритца. Приведем один пример приближенного вычисления
собственных значений и собственных функций. В этом примере собственные
значения и собственные функции могут быть определены точно в конечном
виде, и это даст нам возможность выяснить быстроту сходимости процесса.
Приводимый пример находится в мемуаре Ритца (J. reine und angew. Math.,
1909, 135). Рассмотрим уравнение
при предельных условиях у{—1) = г/ A) == 0, причем k2 играет роль пара-
параметра X. К такой предельной задаче приводит задача колебания струны, за-
закрепленной на концах. Основной тон струны дается решением
	 пх , 	jx_#
первый обертон —
у% «= sin nx, k% = я;
второй обертон—
Ъпх , Зя
y3 = cos-g--, Аг3 = -2~ и т. д.
Ищем приближенно четные решения в виде многочлена, расположенного по
четным степеням х. Общий вид такого многочлена, удовлетворяющего пре-
предельным условиям, будет
у = {\ — х2) \а0 + d\X + ... + апх ).
Ограничиваясь лишь двумя членами
и подставляя их в интеграл
мы получим
7 {у) " "ЗТ5~ t(l05 " Ш2) ао + D2 - 12fe2) ao*i + C3 ~ 2fe2) af\.
Приравнивая нулю частные производные по ао и аи придем к системе
C5 — \4k2) а0 + G — 2k2) a, = 0,
B1 - 6fc2) a0 + C3 - 2k2) a2 = 0,
я равенство нулю определителя даст нам уравнение
63 = 0,

93]	ПРИМЕР РИТ1ДА	28!
корни которого будут
*2 = 2,46744; ^ = 25,6.
Из точных же решений, приведенных выше, получается:
k\ = ~- = 2,467401100 ...; к\ = -^р- = 22,207.
При втором приближении
у = A - л:2) (а0 + ахх2 + а2х%
Для определения кг будем иметь уравнение
4fc6 — 450^4 + 8 910?2 — 19 305 = 0,
из которого находим
k\ = 2,467401108 ...; k\ = 23,301 ...
Подставляя это полученное приближенное значение для fcf в коэффициенты
системы, служащей для определения ао, аи 02, мы найдем и эти коэффи-
коэффициенты с точностью до постоянного множителя, которым можно распоря*
диться так, чтобы полученное решение удовлетворяло условию
1
пх _
которому удовлетверяет точное решение у = cos -^-. Таким путем мы при-
придем к следующему приближенному решению*
у = A — х2) A — 0,233430л;2 + 0,018962л:4).
Насколько мало отличается у от cos-^-, показывает следующая таблица,
в которой приведены мантиссы десятичных логарифмов этих функций:
X
, пх
lg«/
X
пх
lg cos -?-
lg«/
0,1
994620
994621
0,2
978206
978212
0,6
769219
769221
0,3
949881
949889
0,7
657047
657043 "
0,4
907958
907952
0,8
489982
489978
0,5
849485
849493
0,9
194332
194345
Собственные значения и функции, которые представляют собой нечетные
функции дс, можно приближенно искать в виде

282	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[94
§ 2. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
94. Ньютонов потенциал. Мы переходим сейчас к рассмотре-
рассмотрению предельных задач для уравнений с частными производны-
производными. Начнем с уравнения Лапласа. Мы уже решали задачу Ди-
Дирихле для этого уравнения в случае круга и сферы. Кроме
уравнения Лапласа, мы рассмотрим в настоящем параграфе и
другие уравнения эллиптического типа. Для этих уравнений
можно ставить задачи, аналогичные задачам Дирихле и Ней-
Неймана для уравнения Лапласа. Физически уравнения эти возни-
возникают обычно при рассмотрении статических задач или устано-
установившихся режимов. Напомним, что самое уравнение Лапласа
получается, например, при рассмотрении электростатического
поля и установившегося потока тепла.
Большое значение при рассмотрении предельных задач для
уравнения Лапласа имеет ньютонов потенциал. Напомним основ-
основные определения, касающиеся ньютонова потенциала, а также
введем и некоторые новые понятия.
Пусть D — ограниченная область трехмерного пространства,
\i(N) — непрерывная функция точки в этой области и г — рас-
расстояние от точки М до переменной точки N области D. Потен-
Потенциал объемных масс определяется, как известно, формулой
о)
Точно так же потенциал простого слоя, распределенного по по-
поверхности S с плотностью ji(AO, определяется формулой
Как мы знаем [II; 90, 210], вне масс функции и(М) и v(M)
имеют производные всех порядков и удовлетворяют уравнению
Лапласа. Для дальнейшего изложения важно прежде всего
указать те ограничения, которые мы будем налагать на поверх-
поверхность S, которую в дальнейшем будем считать замкнутой. Это
было впервые точно сформулировано А. М. Ляпуновым в его
работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле»
A898 г.). Работа эта сыграла выдающуюся роль в развитии тео-
теории потенциала и исследовании предельных задач для уравне-
уравнения Лапласа. В этом и дальнейших параграфах мы будем сле-
следовать изложению этой работы.
На поверхность S налагаются следующие требования.
1.	В каждой точке 5 существует касательная плоскость.
2.	Существует такое d > 0, что если No— любая ~точка"\$, то
всякая сфера с центром No радиуса d или меньшего радиуса

94]	НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ	283
делит 5 на две части, из которых одна заключается внутри и
другая вне сферы, и прямые, параллельные нормали к 5 в точке
No, пересекают часть S, находящуюся внутри упомянутой сфе-
ры, в одной точке.
3. Если Ф — острый угол, образованный нормалями к S в
двух ее точках N\ и N2, и г\, 2— расстояние между этими двумя
точками, то существуют два положительных числа а и а, не за-
зависящих от выбора N\ и 7^2» таких, что имеет место неравенство:
/?.2 (а<1)	C)
при любых положениях N\ и N2 на S.
Замкнутые поверхности, удовлетворяющие этим условиям,
называются обычно поверхностями Ляпунова. Дальше мы вве-
дем еще некоторые предположения относительно S, а сейчас вы-
выведем из сделанных предположений некоторые следствия.
Из C) непосредственно следует, что касательная плоскость
меняется непрерывно при перемещении точки касания вдоль по-
поверхности. Укажем теперь важное для дальнейшего следствие
из третьего условия. Пусть УУо — некоторая точка поверхности S.
Поместим в ней начало координат, ось Z направим по внешней
нормали к S в No, а оси X и Y расположим каким-либо образом
в касательной плоскости. При этом можно представить в явном
виде уравнение куска 5, заключенного внутри сферы Со с цен-
центром No и радиусом d:
С-5&Ч).	D)
Через (?, г], ?) мы будем обозначать всегда координаты перемен-
переменной точки N поверхности S, а через (х, у, z)—координаты лю-
любой точки М пространства. Указанные выше координатные оси
назовем местными осями в точке No.
Из существования касательной плоскости и ее непрерывного
изменения следует существование и непрерывность производных
первого порядка ?^(|, х\) и Ел(?> л). Мы считаем, что d взято до-
достаточно малым. Например, можно принять условие
ш*а<1,	E)
так что угол #о между нормалью в No и нормалью в любой
точке N куска поверхности 5, находящегося внутри сферы Со,
не достигает -у. Обозначая через го расстояние NoN(ro< d),
будем иметь
cos Фо> 1 —J- «2 > 1 - у a
откуда

284	ГЛ. II, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	194
и, следовательно, в силу E),
+ aVf < 3aV*\	(8)
Вводим полярные координаты:
? = Ро cos 9; л = ро sin 9.
Мы имеем
^ = (?|cose + ?nsin9J<^ + ^
откуда, в силу (8),
V	(9)
(Ю)
й, следовательно,
'•o=VpT+F<2Po-	00
Неравенства (9) и A1) дают
' |«J<V3a2X,	A2)
откуда
It К ^^ floa+1
1 ^ ' ^ а + 1 аро '
или тем более
Ut<2apoa^,	A3)
ибо 2а ^ а+ 1 при а ^ 1. Наконец, из F) следует:
l-cosd0<22a-1a2p2a.	A4)
Дадим еще оценку для cos(n, X) и cos(n, У), где п — единичный
вектор внешней нормали к S в точке N. Мы имеем на основа-
основании (8)
= /7^T7r
V i + ц + ц
и совершенно аналогично
|cos(n,
Мы имеем далее
cos(n,
Собираем вместе все оценки, которые мы получили выше:
UK cpj+a; | cos (n, X) | < q)«; | cos (n, Y) \ < cpj,
l~cos(n, Z)<cp2«; |cos(n, Z)|>~,	A5)
причем для простоты записи дальнейших формул мы обозна-
обозначили - через с — постоянную, равную наибольшей из постоянных,
входящих в соответствующие оценки. Указанные неравенства,

95]	ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ	285
очевидно, сохранятся, если в правых частях заменить ро на г0.
В точках пересечения S с Со мы имеем /*о = d, и из A1) следует:
yd. Таким образом, мы видим, что часть поверхности S,
вырезанная цилиндром, ось которого совпадает с осью Z (нор-
(нормаль в точке Л/о), а радиус равен -^dy лежит внутри Со. Будем
дальше обозначать эту часть S через Со- Ее проекция о'0 на
плоскость XY (касательная плоскость в точке No) есть круг:'
?2 + гJ<4г.	A6)
Для всех точек N, лежащих на ао, справедливы формулы A5).
Введем еще в рассмотрение часть Gi поверхности S, которая
вырезается из S круговым цилиндром, ось которого совпадает
с осью Z, а радиус основания равен некоторому числу du при-
причем d{<-^. Дальше мы используем произвольность в выборе
d\. На Qi также имеют место оценки A5). Проекция о\ куска а{
на касательную плоскость в точке No есть круг:
A7)
Мы переходим к исследованию свойств потенциалов простого
слоя, а также некоторых других потенциалов — потенциалов
двойного слоя, которые так же, как и потенциалы простого слоя,
представляются в виде интегралов по поверхности S.
95, Потенциал двойного слоя. Основную роль при построении
функций A) и B) играет сингулярное решение — уравнения
Лапласа. Введем теперь другое сингулярное решение этого урав-
уравнения. Пусть N — некоторая точка пространства и / — фиксиро-
фиксированное направление, проведенное из точки N. Берем в направ-
направлении I отрезок NN' длины е и помещаем в точке N заряд (—},
а в точке N' заряд (~~)- Обозначая через гиг' расстояния
от переменной точки М до точек N и N', будем иметь следующий
потенциал упомянутых двух зарядов:
г'-г 1 г'2-г*
" 8	ГГ' — 8 (г' + г)/Т/в
Введем в рассмотрение угол ср = (г,/), причем направление г
мы считаем от точки М к точке N.
Принимая во внимание равенство г'2 = г2 + е2 + 2ге cos <p,
мы можем написать:

286
ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
т
и в пределе при е->0 получим потенциал диполя единичной ин-
интенсивности с направлением /:
,д-ч 	 COS ф
г
Нетрудно проверить, что мы можем написать этот потенциал
как производную от ~ по направлению /, причем дифференци*
рование совершается по точке М:
Действительно, обозначая через (?, т], ?) координаты точки N
и через (jk, уу z)— координаты точки М, мы получим
J>/J\ __ A-х) cos (/, х) + (т) — у) cos (/, у) + (? — z) cos (/, z)
dl\r)~~~	г3
откуда, принимая во внимание формулу
cosф = %~х cos(/, х) + ц~у cos (/, у) + ?^г cos(/, 2),
мы и придем к формуле A8). Функция A8) удовлетворяет оче<
видно уравнению Лапласа и имеет особенность в точке N. По<
кроем поверхность S диполями так, чтобы в каждой точке по*
верхности направление диполя совпадало с направлением п
внешней нормали к поверхности, и пусть \i(N) — интенсивность
п	диполя, помещенного в точке #
поверхности. Мы придем таким
,*? образом к понятию потенциала
двойного слоя, который будет
определяться равенством (рис. 5);
A9)
= (г, п)].
рис# 5.	Функция A9) имеет везде вне
S производные всех порядков и
удовлетворяет уравнению Лапласа. Ее можно при этом диффе-
дифференцировать по координатам точки М под знаком интеграла.
Если точка М совпадает с некоторой точкой No, лежащей на по-
поверхности, то г обращается в нуль при совпадении N с Л^, и
интеграл A9) есть в этом случае несобственный интеграл. По-
Покажем, что он имеет смысл.
Достаточно исследовать подынтегральную функцию на участ-
участке ао поверхности вблизи точки Л^. При этом мы» можем восполь*

ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ
287
зоваться уравнением поверхности D) в местных осях для точ-
точки М).
Найдем выражение для cos ср0 = cos (r0, п), где Го есть на-
направление NqN:
cos Фо = f- cos (n, X) + -?- cos (n, Y) + -f cos (n, Z) ((n, Z) = O0),
'0	r0	'0
	 B0)
где (?, г), t>)— координаты точки JVaro= л/l2 + л2 + ?2• Прини-
Принимая во внимание полученные выше оценки A5), а также оче-
очевидные неравенства: |?|^ро; \ц\ ^ ро; Ро ^ го, получим
т. е.
<—г- (ро = VI2 + л2)
cosqpo
2-а
где 6 — постоянная. Кроме того, для непрерывной функции
ti(N) имеем оценку
||1(Л0КЛ (N на 5),	B2)
где постоянная А = max|[i"(iV) | при изменении iV на S. Заменяя
интеграл по а0 интегралом по проекции о'0 поверхности во на
плоскость XY Гкруг с центром No и радиусом -yj, получим
причем имеется, в силу B1), B2) и A5), следующая оценка
подынтегральной функции:
/«. ч cos cpo ^» 2Ab
(б> "Л)
откуда и следует сходимость интеграла A9), если точка М ле-
лежит на поверхности 5. Таким образом, функция A9) определена
во всем пространстве.
Рассмотрим интеграл A9) прц \i(N)= 1. Принимая во вни-
внимание A8), можем написать:
щ- dS>	<23>
5	S
причем мы считаем, что дифференцирование по направлению п
происходит по отношению к точке N, которая является перемен-
переменной интегрирований. Ввиду этого перед интегралом мы поста-
поставили знак минус.

288	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	195
Положим сначала, что точка М находится вне замкнутой по-
поверхности S. При этом — есть гармоническая функция внутри
S с непрерывными производными всех порядков вплоть до 5, и,
в силу одного из основных свойств гармонических функций, мы
имеем [II; 204]:
-s?-dS = Q (M вне S).
s
Пусть точка М находится внутри S. Выделим ее малой сферой
С с центром М и радиусом р. В части пространства D' между
С и S функция у — гармоническая, и мы имеем
S	С
Нормаль, внешняя по отношению к области /У, направлена на С
к центру сферы, и, следовательно,
д7
1
дп с Р2 '
так что предыдущая формула перепишется в виде
.1	.1
s	с	s
откуда
W\(M) = — \\ -~^~dS = 4n (M внутри S).
s
Положим, наконец, что точка М совпадает с некоторой точкой
Nq> лежащей на поверхности. Проведем сферу С с центром No и
радиусом d\ < -у и заменим участок о\ поверхности S, содер-
содержащийся внутри С, частью С сферы С так, чтобы точка Л^ ле-
лежала вне полученной поверхности, которая состоит из (S — О\)
и части С сферы С. Мы имеем
3±
Второе слагаемое вычисляется, как и выше, и оно равно телес-
телесному углу, под которым часть С сферы С видна из центра Л^о

95]	ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ	289
этой сферы:
\\~ dS-^^r\\dS.	B5)
Линия / пересечения сферы С с S обладает тем свойством, что
для координат ? точек этой линии имеет место, в силу A5), не-*
равенство |?l^«*i+<\ и точки / при di->0 беспредельно при-
приближаются к плоскости XY.
Отсюда следует, что при стремлении й\ к нулю телесный угол
B5) стремится к 2я, и формула B4) в пределе дает
4 -
-^~- dS = 2л; (М на S).
Мы имеем, таким образом,
An {M внутри S),
B6)
(М на S).
Рассмотрим еще незамкнутую поверхность Si и интеграл
B7)
причем мы считаем, что точка М лежит вне Si. Проведем конус
с вершиной М и основанием Si, и пусть 0i — часть сферы с цен-
центром М и достаточно малым радиусом
р, лежащая внутри упомянутого ко-
конуса.
Рассмотрим в пространстве область
Д ограниченную Si, в\ и боковой по-
поверхностью Г упомянутого конуса
(рис. 6). (Мы считаем, что упомяну- ''
тые поверхности ограничивают неко-	рис g
торую область D.)
Внутри D функция -у — гармоническая и, следовательно,
!4я (М внутри
О (М вне 5),
2я (М на S).
Si
На поверхности Г
г_	 cos ф	,

290	гл- ". ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
дТ
На о\ направление п противоположно г и "~5~ ——г* Обозна*
чая через со телесный угол, под которым Si видна из точки М,
мы получим из предыдущей формулы
т. е. интеграл B7) дает телесный угол, под которым S\ видна
из точки М. При этом нормаль п на Si направлена вовне об-
области D. Радиус-вектор из М может пересекать S\ в нескольких
точках. Если мы имеем, например, три точки пересечения, то в
двух из них coscp>0 и в третьей cos(p<0 (рис. 6). Элемент
рассматриваемого интеграла, т. е. СО82Ф dS, представляет собою
элементарный телесный угол rfco, под которым элемент площади
поверхности виден из точки М, причем этот угол будет положи-
положительным, если соэф > 0, и отрицательным, если coscp <C 0. Если
М лежит на 5ь то интеграл B7) надо рассматривать как несоб*
ственный, как это мы делали выше для замкнутой поверхности.
Из указанных выше рассуждений могут быть также получены
формулы B6).
Мы в дальнейшем будем предполагать поверхность 5 такой,
что при любом положении точки М выполняется неравенство
cos ср I
B8)
где с —определенное положительное число. Положим, напри*
мер, что существует такое целое положительное число k, что при
любом положении М можно разбить S на отдельные куски, чис«
ло которых не превышает &, так, что прямая, проходящая через
М, пересекает каждый кусок не более чем в одной точке, причем
на каждом из кусков cos ф сохраняет знак. При этом условие
B8) выполнено, если взять с = ink. *
Формулы B6) показывают, что при ц(УУ) = 1 потенциал двой-
двойного слоя A9) испытывает разрыв непрерывности, когда М пе-
пересекает поверхность S. Разберем этот вопрос для произвольной
непрерывной плотности.
Пусть No — фиксированная точка поверхности S. Составим
потенциал двойного слоя:
- ц (No)] 2?1- dS,	B9)

95]	ПОТЕНЦИАЛ ДВОЙНОГО СЛОЯ	291
и докажем, что он сохраняет непрерывность, когда М пересе-
пересекает поверхность в точке No- Пусть е — заданное положитель-
положительное число. Выделим такой участок а поверхности S, содержащий
точку No внутри себя, на котором выполняется неравенство
|Ц(ЛО-М^оI<17 (N на а),	C0)
где с — постоянная, входящая в условие B8). Разбивая S на
два куска, о и S — а, можем написать:
o	C1)
где
*= $ $ О w -» ТО] -^ dS>
C2)
ТО)] ^ dS-
При любом положении точки М мы имеем
К> (Л!) | < ^ | |i (АО -
0
откуда, в силу B8) и C0):
|4!)W|<t-	C3)
Из C1) следует:
Щ № - wolNo) = wM (М) - «#> (ЛГ0) + [<> (М) - ш<2)
откуда
| ^о (^) - ^о ТО | < | 4!) (АО | + | < ТО | + | Ч2) (М) -
или, в силу C3),
| w0 (М) -г»0Щ^±+\ <) (М) - <> (Л^о) |.	C4)
В потенциале двойного слоя w^(M) интегрирование совер*
шается по (S — а), а точка No лежит внутри а, и потому функ-
функция w^ (M) в точке No и ее некоторой окрестности непрерывна
(и имеет производные всех порядков). Таким образом, при всех
М, достаточно близких к Л^, мы имеем | w^ (М) — wf] (iV0) j ^-|,
и, в силу C4), \wq(M) — wo(Nq) \ ^ е, откуда и следует, в силу
произвольности е, непрерывность функции Wq(M), определяемой

«292	РЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
формулой B9), в точке No. Мы можем написать:
щ (М) *= w (M) - ji (Wo) J J ^ dS,	C5)
s
где до(М)— потенциал двойного слоя A9). Положим сначала,
что точка М находится на S. Обозначим ее через N. При этом,
в силу B6), имеем
щ (N) = w (N) - 2л[1 (No)	C6)
и
щ (NQ) - w (No) - 2яц (No),	C7)
где w(No) — значение интеграла A9) в точке iVp. Будем теперь
точку N, находящуюся на S, стремить к No. В силу доказанной
непрерывности wq(M)
wQ (N) -> wq (No) = w (No) - ?я|г (М>).
Отсюда и из формулы C6) мы видим, что w(N) имеет при этом
предел w(No), т. е. функция w(M)> определенная формулой A9),
есть непрерывная на поверхности S функция.
Положим теперь, что точка М находится внутри S. При этом,
в силу B6), имеем
Wq (M) = w(M) — 4п\х (NQ).	C8)
Будем теперь точку Л1, находящуюся внутри S, стремить к А^о.
В силу доказанной непрерывности wq(M), мы будем»иметь
а*о (М) ~> tt-o (#о) = w (No) - 2n\x (NQ).	C9)
Обращаясь к правой части формулы C8), мы видим, что и
w(M) имеет при этом предел. Обозначим этот предел через
wt(N0). Из C8) и C9) следует:
wt (No) - 4я|л (Nx) = w (No) - 2я|л (Л^о),
D0)
Отсюда видно, что предел wt(N0) и значение до (No) функции
w(M) в точке No различны, если \i(N0) ф 0. Если точка М на-
находится вне S, то вместо C8) имеем
и, рассуждая, как и выше, мы видим, что существует предел
ку(М), когда М стремится к JVo, находясь вне 5. Обозначая этот
предел w€(No), будем иметь, пользуясь C9),
w€ (No) = w (No) - 2n\i (No).	D1)
Обозначая черъз го и фо значения гиф при совпадении М с

9$	СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ	2ЭЗ
можем переписать формулы D0) иD1) в виде
D2)
Wi (No) = w(No) + 2яц(iV0) =!l|i(iV)^^dS
we (No) = w (No) -
Здесь фо есть угол, образованный направлением NoN с внешней
нормалью п в переменной точке N, т. е. фо = (го, п). Принимая
во внимание эти формулы и непрерывность функции w(No) при
перемещении No на S, мы можем утверждать, что функция
w(M), определенная формулой A9), непрерывна внутри S а
вплоть до S. Точно так же она непрерывна вне S и вплоть до S.
Напомним, что внутри и вне S эта функция имеет производные
всех порядков. Нетрудно видеть, что при беспредельном удале-
удалении точки М функция w(M) стремится к нулю. Действительно,
обозначая через D кратчайшие расстояния точки М, находя-
находящейся вне 5, до поверхности S [II; 92], имеем
S<-^--площадь S. D3)
Отсюда и следует, что w(M)-+0 при беспредельном удалении ЛЬ
Точнее говоря, если О — любая фиксированная точка, то при
любом заданном положительном 8 существует такое положи-
положительное число В, что |«>(Л!)|^е, если только М находится вне
сферы с центром О и радиусом В.
96. Свойства потенциала простого слоя. Потенциал простого
слоя
^tMLdS	D4)
5
является несобственным интегралом, если М лежит на S. Пусть
М совпадает с точкой jVo, лежащей на S. Покажем, что несоб-
несобственный интеграл D4) имеет при этом смысл. Как и в [95],
достаточно рассмотреть его на участке сто поверхности S, содер-
содержащем No внутри себя. Для сто пользуемся уравнением D) в
местных координатах. Мы имеем
В силу A5), B2) и го ^ ро, получаем следующую оценку подын-
подынтегральной функщш:

294
ТЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
01 куда непосредственно следует сходимость интеграла D4),
когда М лежи г на S. Таким образом, формула D4) определяет
и(М) при любом положении точки М. Функция и(М) нелре-
рывна в точках М, находящихся вне S. Покажем, что и(М) не-
прерывна и в любой точке No, лежащей на S. Пусть 8 — задан-
заданное положительное число и в\ — часть S, определяемая неравен-
неравенством A7). Покажем, что можно выбрать d\ настолько малым,
чтобы при любом положении М, в некоторой окрестности No,
выполнялось неравенство
Мы имеем
МАО
dS
D5)
D6)
где ао— круг с центром No и радиусом d\ и р\—длина проек-
проекции M\N\ отрезка MN на касательную плоскость. Положим, что
М находится внутри шара с центром No и радиусом d\. При этом
М\ принадлежит кругу а{, и если мы на плоскости (?, г|) возь-
возьмем круг а" с центром Mi и радиусом 2d\, то он будет содер-
содержать весь круг 0i, так что, в силу D6),
2n2dx
a,
Остается фиксировать d\ так, чтобы имело место неравенство
4nd{A^.^> и мы получаем оценку D5) при любом положении
М в шаре с центром iV0 и радиусом d\. Далее представляем
функцию D4) в виде
где
причем U2(M) — непрерывна в точке М>, и доказательство непре-
непрерывности и(М) в точке #о проводится совершенно так же, как
и в [95] для функции B9). Мы имеем, таким образом, следую-
следующий результат: потенциал простого слоя D4) определен во всем
пространстве и является непрерывной во всем пространстве
функцией. Совершенно так же, как и в [95], можно показать,
что и(М)-+0 при беспредельном удалении точки М.

НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
295
97. Нормальная производная потенциала простого слоя.
Пусть по — направление внешней нормали в некоторой точке NQ
поверхности S. Считая, что М лежит не на 5, составим производ-
производную от функции D4) по направлению п0. От М зависит только
множитель — , и мы можем дифференцировать под знаком инте-
интеграла:
D7)
Отметим разницу между последним интегралом и интегралом
A9), определяющим потенциал двойного слоя. В интеграле A9)
Ф = (г, п), где п — единичный
вектор внешней нормали в точ-
точке N, которая является пере-
переменной точкой интегрирования,
а в интеграле D7) -ф = (г, По),
где По — единичный вектор
внешней но'рмали в фиксиро-
фиксированной точке М) В обоих слу-
случаях г есть направление MN
(рис. 7). Покажем, что инте-
интеграл D7) существует и в том
случае, когда М совпадает	Рис 7
с точкой jVo, упомянутой
выше. В этом последнем случае мы будем записывать интеграл
D7) в виде
( C0SVQ) *S,	D8)
jj 4	jj	rQ
где го — расстояние |yVoiV| и угол г|)о = (Г(ь п0) есть угол между
направлениями N0N и п0 Далее мы покажем, что при прибли-
приближении М к No изнутри поверхности или извне поверхности по
нормали производная D7) имеет определенные пределы, и для
этих пределов имеют место формулы
+ 2я»х (N0),
dS - 2пц (No),
D9)
где, как и в [95], значки i и е показывают, что надо брать пре-
пределы ^ ' при стремлении М к No изнутри и извне, и левые

296	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	#7
части формул представляют собою лишь обозначения этих пре«
делов.
В местной системе координат с началом в No направление
по совпадает с направлением оси Z. Будем, как и выше, через
(л:, у, г) обозначать координаты М, а через (?, т|, t) — коорди*
наты N в упомянутой системе координат. Выделяя, как всегда,
участок со поверхности S, напишем интеграл D7) в виде
^-dS.	E0)
Если М совпадает с А/о> то г = 0, и интеграл принимает вид
(n, Z)
°1	°1
где ? заменено по формуле D), Принимая во внимание (\5)\ а
также неравенство го ^ ро, непосредственно убедимся в том, что
написанный интеграл имеет смысл. Таким образом, мы доказали
существование интеграла D7) для М, лежащих на S. Переходим
к доказательству формул D9).
Составим разность интеграла D7) и потенциала двойного
слоя с тою же плотностью \i(N):
S
Написанный интеграл имеет смысл, если М находится не на 5
или если М совпадает с No.
Докажем, что эта разность остается непрерывной, когда М
пересекает поверхность S в точке No. Для этого, как и в преды*
дущих параграфах, достаточно показать, что написанный инте«
грал, взятый по малому участку о\ поверхности S, определяв"
мому условием A7), может быть сделан сколь угодно малым по
абсолютной величине. Мы будем предполагать при дальнейших
оценках, что М находится на нормали к S в точке Л/о, т. е. что
в местной системе координат jc = t/==O. При этом мы имеем
COS tb — COS ф	?	/ лг\ V\	i ч/ч ? — ^ i	л	i \ /г*л\
—^—^2—~=---рг cos(n, X)—~cos(n, У)—*L-^—(cosfto—l). F2)
Принимая во внимание A5) и оценки
где ро = Vl2 + Л2 — длина проекции MN на плоскость XY, по-
лучим
| cos *ф — cos ф | ^ Ь\

08]	НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ	2$7
где &i — некоторая постоянная, и будем иметь, принимая во
внимание B2),
тило \2 ф^ < jj
2л <2,
Г Г dn0 tfq)	„ ,-оч
= 2ЛЙ! \ \ —Г^Г = W?. E3)
J J Ро
0 0
где i?2 — постоянная. Эта оценка имеет место при любом поло-
положении М на нормали к S в точке No, причем М может совпадать
с Nq. Отсюда и следует, что при d\9 достаточно малом, интеграл,
стоящий в правой части E1) и взятый по аи будет при соответ-
соответствующем выборе d\ по абсолютной величине меньше любого
заданного положительного числа. Тем самым доказано, что раз-
разность E1) непрерывна в точке Af0. Но w(M) имеет предел при
стремлении М к No изнутри или извне поверхности S. Отсюда
следует, что и величина D7) имеет также предел в обоих слу-
случаях Используя непрерывность разности E1), получим
и, принимая во внимание первую из формул D2), получим пер-
кую из формул D9). Аналогично получается и вторая из фор-
формул D9). Из этих формул непосредственно следует величина
скачка нормальной производной потенциала простого слоя:
98. Нормальная производная потенциала простого слоя (про-
(продолжение). Для последующего нам важно доказать, что нор-
нормальная производная стремится к своим пределам
( ди (No) \	( ди (Мо) \
равномерно для всей поверхности 5 при стремлении М к No по
нормали. Для этого сначала покажем равномерное стремление
к пределу интеграла, входящего в формулу E1). Обозначим
через ы(М) величину этого интеграла. Как мы уже упоминали,
эта функция имеет смысл, если М совпадает с No- Нам надо
показать, что при любом заданном положительном е существует
такое положительное tj, не зависящее от положения точки JV© на
5, что |со(Л1) — <о(А/о)|^е, если |M/Vo|^rb причем М нахо-
находится на нормали к S в точке М).

298	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[08
Фиксируем d\ таким, чтобы иметь b)d<i ^-т и представим
со(М) в виде со (М) = coi (М) + о>2 (М), где
При этом, в силу E3), мы имеем) coj (М) )<! j при любом поло-
положении М на нормали к S в точке No. Далее,
со (М) - со (No) = со! (М) - coi (NQ) + [со2 (М) - со2 (No)],
откуда
| СО (М) - СО (No) |< | COi (М) | + | СО! (iV0) | +
+ | со2 (М) ~ со2 (No) I < у + I co2 (Af) - 02 (No) \. E5)
Принимая во внимание E2), получим
Г cos 1L — cos ф 1	Г cos ib —
+ r\ cos (n, У) + J (cos o0 - l)] + ? (cos ft0 - 1) (*o = (n, Z)). E6)
Для точек (S — Gi) имеем r ^ di и г0 ^ rfi. Кроме того, при лю-
любом положении точек N и Af0 на 5 величины |, % ^ по абсолют*
ной величине не превышают диаметра поверхности S, т. е. наи-
наибольшего расстояния между точками S Далее мы имеем
k-ГоКИ и
1	1
—\г г \(х
\rQr
и, согласно формуле E6), получаем
I Г
II
cos г[з ~- cos ф I Г cos i|) — cos ф 1
где Ci — определенная постоянная, не зависящая от положения
Л^о. Она зависит, конечно, от выбора d\. Принимая во внимание
выражение сог(Л1), получаем
|со2(М)-со2(ЛГ0)К$ J||i(JV) 1^1 г |dS<^cl|2|-площадь S.
S-Qi
Если взять
площадь S •

Щ	ПРЯМОЕ ЗНАЧЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ	299
то мы будем иметь | со2 (М) — ю2 (Л/о) 1 ^ \» и, в силу E5), полу-
получим |(о(М) — со (Afo) | г^ е. За искомое число ц можно взять, та*
ким образом, правую часть неравенства E7),
Мы доказали, что разность
стремится к своему предельному значению, при стремлении М
к JVo по нормали, равномерно относительно положения точки М)
на 5. С другой стороны, потенциал двойного слоя w{M) является
функцией; непрерывной вплоть до 5, и, следовательно, w(M)
также равномерно стремится к своим предельным значениям на
с г\	ди(М)
S. Отсюда следует, что и нормальная производная —~— стре*
мится к своим предельным значениям D9) равномерно на 5.
Следуя А. М. Ляпунову, будем говорить, что гармоническая
внутри или вне S функция v(M) имеет правильную нормальную
производную, если при стремлении М к No по нормали к 5 ее
ди(М)
нормальная производная —^—- стремится к своим предельным
значениям равномерно по отношению к точке No, лежащей на S.
Мы можем, таким образом, утверждать:
Теорема. Потенциал простого слоя с непрерывной плот-
плотностью имеет правильные нормальные производные как внутри,
так и вне S.
Фиксируя положительное значение |г|, причем М находится
или внутри или вне 5, мы'можем считать, что значение нормаль-
нормальной производной д есть функция Мз, зависящая еще от па«
раметра |г|, причем эта функция есть непрерывная функция No,
ибо и(М) имеет внутри и вне S непрерывные производные, и на-
направление п0 на 5 меняется непрерывно.
Поскольку при |z|->0 стремление к пределу равномерно, мы
можем утверждать, что и предельные значения D9) суть непре-
непрерывные функции Л^о, а отсюда следует, что интеграл, входящий
в правые части формул D9), представляет собою непрерывную
функцию No на 5. Этот интеграл называется прямым значением
нормальной производной потенциала простого слоя на 5.
99. Прямое значение нормальной производной. Обозначим через
прямое значение нормальной производной на 5
E8)
Мы видели, что ^(Wo) —непрерывная функция положения точки No на S.
Докажем сейчас теорему, которая уточнит это свойство F(No). Эта теопема
была впервые доказана А. М. Ляпуновым.

зоа
ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
№
Теорема При непрерывной плотности [x(N) функция F(Nq) удовлетво-
удовлетворяет условию
ll,	E9)
где В и р — положительные постоянные и го, i == JA^oA^i|*
Будем v дальнейшем условие E9) называть условием Липшица*). Если
Го, 1 больше некоторой положительной величины, то мы можем, при любом
заданном положительном fl, удовлетворить этому неравенству путем соответ-
соответствующего выбора постоянной В. Действительно, функция F(N)f как мы
знаем, непрерывна на 5 и тем самым ограничена, т.е. ^(ЛГ) I ^ >4|, и если
h > 0, то, взяв В = —^~, мы получим, очевидно, неравенство E9)
>, i
—^~
при Го, i ^ h. Если при го, i < h мы получим в неравенстве E9) другое зна«
чение В, то, взяв наибольшее из двух полученных значений В, сможем напи*
сать E9) при всех значениях го, t. Мы можем, таким образом, считать, яа-
~d
пример, что r0)i < '
F (N{) - F (NQ)
Мы имеем
cos (гь nj)v cos (го, п0)
ro
где Го и Г|-векторы N0Af и NtNt а г0 и Ti — их длины, и, следовательно,
принимая во внимание B2), получим
cos(r,.
cos(r0, tip)
dS.
F0)
Вырежем часть а4 поверхности S при помощи кругового цилиндра, ось ко*
торого есть нормаль к S и Nq и радиус основания 2го, i. Разобьем интеграл
по S на две часги, по О\ и по S — ас
cos(rb n,) cos(ro,
л
cos (г,,
cos (r0, n0)
dS;
dS.
F1)
Вводя ска!ярнор произведение векторов, можем написать:
cos (ги п() cos (г0, пэ)
• По ¦""" Го • По
Т\ ' Пр
По I -г — •
где, как всегда, п0 и ni — единичные векторы внешней нормали в точках
No и Ni.
*) Часто в математической литературе это условие при а е @А 1\ назы-
называют условием Гельдера, а при а »I — условием Липшица,

ПРЯМОЕ ЗНАЧЕНИЕ НОРМАЛЬНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
361
Из написанного выше следует, что
! COS <
j, Ui)	COS (r0, П0)
Л
I Г] • По
|r,-n,
—
Го
ri
•nol
•no|
I Го • n0
Производим оценку отдельных слагаемых:
|Г, -Hi — Г1 «П0 1 = 1 rj . (П, — П0) К rj |П, — По |.
Образуя треугольник со сторонами по и пь получим |ni — по| ^ О, где Ф—
угол, образованный направлениями По и П]. Принимая во внимание условие
C), мы можем написать.
где а — постоянная Далее,
| г2 • п0 — г0 • п01 = | (г, — г0) • п01
| го,1 • п01 = |
где ?i — координата точки Ni в местной системе координат с началом в точ-
точке Nq. Принимая во внимание A5), будем иметь
Наконец, если точка интегрирования N достаточно близка к Wo, то в силу
A5) мы имеем | г0 • п0 |= | ? | ^J сг+
+а
как и в отношении неравенства
|	|
E9), мы можем считать, что и это последнее неравенство верно для всех зна-
значений Го. Подставляя все полученные оценки в F2), будем иметь
I cos (гь nO cos (г0, п0)
Wcu
1г0 1
1(ж
2Т
F3)
где ^i — наибольшая из постоянных а и с Из треугольника
?
Го. Но при интегрировании по (S — G\) мы имеем r0, i ^ -?-,
r\ + го, t ^
и следова-
следовательно, г\^-~. Пользуясь этими неравенствами,
\г\ — го| «^ Го, ь можем вместо (€3) написать:
cos (гь nO cos (г0, По)
r » "TV* *
а также неравенством
1+а 1-а
rori
8
Возвращаясь ко второй из формул F1), получаем
F4)

302	ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[}§
где Со = 19cj. Радиус цилиндра, которым вырезалась часть Oi поверхности S,
был взят равным 2го, i. Возьмем цилиндр с той же осью и с фиксированным
радиусом -х-. Он вырежет часть а0 поверхности S, причем а9 содержит at
о
внутри себя.
Мы имеем:
ИНИН Иг
S~Gi
Во втором интеграле r0 ^ d/З, и, следовательно,
f f dS . 9
\ \ —y ^ "^Т ' площадь S.
S-Oo
При интегрировании по (во — ai) мы можем свести интегрирование на ка-
касательную в точке Wo плоскость и получим путем обычных оценок (г0 ^ ро
и cos (n, Z)> у):
оэ-a, ° 0
Подставляя в F4), получим оценку вида
где Ai и Bi — постоянные. Эту оценку можно заменить оценкой вида:
если взять положительное C меньшим а.
Переходим к оценке /t Мы имеем
} At
Icosfr, n,)| ds+H | cos (г.. n.)
Применяя обычные оценки, получим
С С | cos (г0, п0) |	ff I tl	С С Ро'ЧХ^Ро^ 4 г«
JJ	Гл	JJ Га	J J	РО
(Ji	(Ji	0 0
где Лз — постоянная. Для оценки первого из интегралов F5) проведем сферу
с центром Ni и радиусом 4г0, и причем отметим, что 4r0, i <~f~» Она выре-
вырежет из S кусок о*2, содержащий кусок Oi. Эта часть Ог имеет явное уравнен
ние в местных координатах с центром Ni, и мы можем применить на этом
куске обычные оценки, сводя интегрирование на касательную в точке N{ пло-
плоскость Область интегрирования будет представлять собою часть круга с цен-
центром N\t и радиусом 4го, ь Интегрируя по всему кругу, получим оценку
Гf |cos(rb ni)l dS < f f [cos(rb щ)|

2001	ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПО НАПРАВЛЕНИЮ	30^
Подставляя все полученные нами оценки в F0), будем иметь
| F (N,) - F (No) | < А (А2г{ , + А5г« ,),
и окончательно можем написать E9), где Р — положительное число, мень-
меньшее а.
100. Производная потенциала простого слоя па любому направлению. Мы
исследовали в [97] предельные значения нормальной производной потенциала
простого слоя при приближении М к iV0 по нормали. Если относительно плот-
плотности \i(N) сделать большие предположения, чем непрерывность, то можно
доказать, что существуют предельные значения для производных по любому
фиксированному направлению и, кроме того, можно показать, что эти пре-
предельные значения не зависят от закона приближения М к No. Мы предполо-
предположим, что плотность удовлетворяет условию Липшица:
1М#2)-Ц(#,)|<Вл?J,	F6)
где Г|, 2 e \N\N2 |, В и б — положительные постоянные (б ^ 1). Пусть XYZ —
местная система координат в точке Nq поверхности S. Возьмем производную
от и(М) по направлению х? лежащему в касательной плоскости к S веточке
No. Будем пока считать, что М находится на нормали к S в точке No- Для
определенности предположим, что М лежит внутри S. Мы имеем
WJtdS ir-\MN\).	F7)
Введем величину тг = V?2 + Ч2 + z* и рассмотрим- интеграл
V (?2 + п2 + *2)
J \ И М) -^г cos (n, Z) dS - |i (№t) J J > 2g	d% di\ (z Ф 0), F8)
<*Л
где о0 есть круг | + т) ^ -^-. Мы имеем, очевидно,
н
Вместо F7) мы можем написать
-^^ = JJn(Af)l-dS+5 \jlL(N)l-dS = vl(M) + v2(M). F9)
00	S-O0
Пользуясь тем, что интеграл F8) равен нулю, будем иметь
oj (М) — \ \ | pv 7 — h-v ч/^р»> ^/ ^5.	G0)
Разность, стоящую под знаком интеграла, представим в виде
\i(N) ii (No) cos (n, Z) [i (N) - у (NQ) .

304	ГЛ II ПРЕДРЛЫШЕ ЗАДАЧИ	- П0О
Оценим каждое из сла1а-емых в правой части Пользуясь (GG), получим
откуда, принимая во внимание, что л> < 2р0 и г ^ ра, найдем, что
г3	рЗ-Р
Далее, из A5) и B2) следует
1 \i {No) | [1 —cos (n, Z)\ . cA	._gv
r3	Po~2a
Оценим третье слагаемое правой части G1) Величина г' есть длина вектора,
идущего из точки М в точку N\ которая является проекцией N на плоскость
AT, и из треугольника MNNf мы имеем
откуда следует
1
г/3
г + т^ +
ибо г и г' ^ ро и
/ 1	1 ч I	fi/ii
G4)
(iV0) cos (n, Z) (± - 4") I < -^S
При выводе оценок мы могли считать, что М совпадает с /Vo При этом 2 = 0
и г = Го
Подставляя выражение G1) в интеграл G0), мы разобьем vt(M) на три
интеграла
vi (М) = vx% , (М) + vi 2 (М) + olt з (М)	G5
по о*о, каждый из которых имеет смысл при любом положении точки М на
нормали в Л/о, в частности и при совпадении М с NQ Для подынтегральных
функций этих интегралов мы получили оценки G2), G3) и G4), которые
имеют вид
I ? I з~й » ' ^' з-2а ' 151 з-а »	(^
Ра	4 Ро	Ро
где постоянные Си Сг и Сз не зависят от положения точки ЛГ0 на S и точ-
точки М на нормали Отсюда следует, что vi k{M) (k = 1, 2, 3) при стремлении
М к А/о равномерно относительно положения точки No на S стремятся к пре-
предельным значениям, которые равны V\ *(ЛГ0) Приведем доказательство этого
для V\ 1 (М). Пусть е — заданное положительное число Выделим часть o~i
поверхности ad, определяемую неравенством I2 + rj2 ^ rfi, и выберем ^i на-
настолько малым, чтобы интеграл
И'

100]	ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПО Н \ПРАВ П[ I П1Ю	305
при любом положении точки М на нормали оставач^я по абсолютной вели-
величине ^б/4 Это можно сделать в силу первой из оценок G6) Далее пред-
представляем Vi i(M) в виде
0i	a —cfi
и получим
\ l Ш) - vit {{NQ) = v[lJ{ (Л1) - i^ (No) + [vf^ (AI) - v^{ (/Vo)],
откуда
I \ x (M) - vu x (No) | < у 4 | ^\ (M) - ^\ (iV0) |.	G7)
Интеграл i^j (M) берется по поверхности, все точки которой отстоят от No
и М не меньше, че\ ча c?i и, совершенно так же, как и в [98], мы получим
где С4 не зависит от положения No на S При этом G7) дает
и при | г К 7i7^" мы получаем
zC4
откуда и следует, что vlt \{M)-+vlt \(NQ) равномерно по отношению к поло-
положению No на S.
Возвращаясь к формуле G5), мы видим, что Vi(M) стремится равномер-
равномерно к пределу Vi(No) при М -+- No Отметим, что этот предел один и тот же
при стремлении М к NQ изнутри и извне 5. Проще говоря, при перемещении
М по нормали функция Vi(M) непрерывна в точке No
Интеграл Vz(M) берется по части {S — Go) поверхности 5, все точки
которой отстоят от М и No не ближе, чем на d/З Отсюда, как и выше, сле-
следует, что
|MAf)
где постоянная Съ не зависит от положения No на S и, следовательно,
• Vz(M)-+ Vz(No) равномерно относительно AV Окончательно, мы можем утвер-
ди {М)
ждать, что производная —g—- стремится равномерно к пределу при стрем-
стремлении М к No по нормали, причем этот предел один и тот же, когда М ~> Лго
извне и изнутри S Совершенно аналогичное утверждение имеет, очевидно,
ди(М) п ГЛО1	ди(М)
место и для —~	. В [98] мы доказали то, что и производная —-г—- стре-
стремится равномерно к пределу. Но там мы имели разные пределы изнутри и
извне Если / — любое направление, образующее утлы oti, аг, «з с осями X,
К, Z, то из предыдущего непосредственно следует, что производная
G8)
также равномерно стремятся к пределмшм значениям, кота
к Nq изнутри или извне S,

806
ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ЦОО
В силу равномерного стремления производной G8) к своим предельным
значениям изнутри и извне, можно утверждать, что эти предельные значения
представляют собой непрерывные функции точки No поверхности S.
Покажем, наконец, что производная G8) стремится к упомянутому выше
пределу при любом законе стремления М к Л/'о, а не только по нормали. По-
Положим, для определенности, что М стремится к No изнутри, и обозначим
через (o(JVo) предельные значения на поверхности производной G8), когда М
Стремится к No вдоль по Пусть е — заданное положительное число. Нам надо
показать, что существует такое положительное число т], что
ди(М)
dl
— со (N0)
G9)
если только |MAfo|^r], причем М находится внутри S. Проведем сферу с
центром No и выберем радиус ее 6 настолько малым, чтобы на части а' по-
поверхности 5, заключенной внутри этой сферы, имело место неравенство
| со (N) — со (No) I ^ -х--Считаем далее, что М находится внутри сферы с цен-
центром No и радиусом т], причем это число выбираем так, что
dl
если только М лежит на нормали к 5 в точке N и |Л1ЛП ^ ц.
„ л„п„ _	лЛ			„ ди(М) „ ,.,
в силу доказанной равномерности стремления
dl
Это возможно
к (d(N) на «S. Кроме
-г-. Если точка М отстоит от No не больше, чем
о
того, считаем еще, что
на rj, то тем более она отстоит не больше, чем на г\, от той точки N, на
нормали к которой она находится, причем эта точка N принадлежит о'. Мы
имеем
ди(М)
ди(М)
dl
dl
— о (N) + со (N) — со
-©(АО
В силу сказанного выше, оба слагаемых справа ^-^ и, следовательно,
ди(М)
dl
-<o(N0)
8 ПрИ
| ^ Т].
(80)
Выше мы использовали следующее элементарное предложение: кратчайшим
расстоянием от точки М до поверхности 5 является длина нормали MN
к поверхности S, проведенной через точку М.
Отметим еще, что интегралы F7) и F8) не имеют смысла при 2 = 0,
т.е. когда точки М и No совпадают. Однако их разность, как мы видели, уже
имеет смысл.
Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме, доказан-
доказанной впервые А. М. Ляпуновым:
Теорема. Если плотность \i(N) удовлетворяет условию Липшица F6),
то производная потенциала простого слоя по любому фиксированному на*
правлению непрерывна вплоть do S как изнутри, так и извне. Производная
по какому-либо касательному направлению в точке No поверхности S ма«
няется непрерывно при переходе точкою М поверхности в точке Nq%

1011	ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ	307
Исследование поведения производных потенциала двойного слоя при при-
приближении к поверхности 5 представляет большие трудности. Основные ре*
зультаты в этом отношении были получены также А. М. Ляпуновым в его
упомянутой уже выше работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей
Дирихле».
101. Логарифмический потенциал. В случае плоскости вместо
основного сингулярного решения — мы имеем lg — [И; 203]*).
Пусть / — замкнутый контур на плоскости XY и /о — его длина.
Потенциал простого слоя определяется формулой
rds.	(81)
Второе сингулярное решение, аналогичное диполю в трехмерном-
случае (см. A8)), будет
д (* ^ 1 \
и потенциал двойного слоя определится формулой
's,	(82)
где ф = (г, п). Выражение cos(p дает угол, под которым ви-
виден элемент контура ds из точки М, причем этот угол полу-
получается положительным, если coscp>0, и отрицательным, если
cos(p<C0. Аналогом формулы B6) будет следующая формула;
2я (М внутри /),
О (М вне /),	(83)
л (М на /).
Относительно контура / можно сделать предположения, анало-
аналогичные тем, которые мы делали относительно поверхности 5.
Положим теперь, что функции x(s), y{s)t дающие параме-
параметрическое уравнение линии / и имеющие период /о, допускают
непрерывные производные до второго порядка. Функцию |Li(iV) =
= |x(s) мы считаем непрерывной. Исследуем ядро потенциала
двойного слоя, считая, что точка М лежит на / и совпадает с
некоторой точкой No этой линии. Принимая во внимание, что
направляющие косинусы направления п выражаются производ-
производными y'(s) и —x'(s), мы можем написать:
cos ф _^ cos (г, п) [х (s) — х (s0)] у' (s) — [у (s) — у (s0)] х' (s)
г . -	г	[x(s)-x (so)J + [у (s) - у (so)]2
*) Обратим внимание, что во всех томах lg есть логарифм по основа-
основанию е%

308	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[101
Если s и So отличны, то написанное выражение представляет
собою непрерывную функцию s и s0 Положим теперь, что 5 и «о
стремятся к общему пределу S\. Применяя формулу Тейлора, мо-
можем написать:
x(s)-x (s0) = *' (*0) (s - О + у *" (s'o) (s - sQf,
y(s)-y (s0) = У' (s0) (s - 50) + ~ У" К") (s - s0
где значения sj, 5^, ^7/, 5q7// находятся между 5 и s0 Подстав-
Подставляя в (84) и сокращая на E — 50J, мы получим в пределе вы-
выражение
х' (s{) ц" (s ) - у' (S]) х" (sx) ^ х' (S]) if (s) - !Уг (^) х" (S])
равное половине кривизны кривой в точке s = s\ Таким обра-
образом, функция (84) является непрерывной функцией 5 и s0 вдоль
/. Обозначая эту функцию через L(s0, s), мы можем утверждать,
что потенциал двойного слоя w (No) = w(s0) =\\x(s)L (s0, s)ds
0
представляет собой непрерывную функцию jVo, если А;о нахо-
находится на /.
Таким образом, при сделанных предположениях относительно
х($) и y(s) функция (84) является непрерывной функцией s и $о
на /. В трехмерном случае функция cos2cp имела, вообще говоря,
полярность при совпадении N с УУо- Для потенциала двойного
слоя (82) можно доказать формулы, аналогичные D2):
wt (N0) = w (No) + яц (No) = \ii(N) cos (rro0' n) ds + яц (^Vo),
Г	г" ,	(85)
we (No) = w (No) - Я(г (No) =\\i(N) C0S ^ u> ds - яц (No),
где гр = 1 NqNI и (го, n) — угол, образованный направлением
NqN с направлением п внешней нормали к / в точке N. Из (85)
следует
wt (No) - we (No) = 2п» (No). „	(86)
Потенциал простого слоя (81) определен во всех точках
плоскости и непрерывен на всей плоскости.

102]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ	ЗОЭ
Пусть No — некоторая точка на S и По — направление нор-
нормали в этой точке. Мы имеем, если М не на S,
dtt(M) __
i
При приближении М к No по нормали изнутри и извне S произ-
производная (87) имеет пределы, которые определяются по формулам
ds + Ц ш
(88)
ds ~
из которых следует
Вместо (84) мы будем иметь
cos (г0> п0) 	[х (s) — х (sp)) if (so) — [у (s)—y (s0)] x' (sq)
и, как и выше, можно показать, что это выражение остается не-
непрерывным и при совпадении s и $о. Отметим, что потенциал
простого слоя (81) не обращается, вообще говоря, в нуль на
бесконечности.
102- Интегральные формулы и параллельные поверхности.
В дальнейшем нам придется пользоваться следующими инте-
интегральными формулами [II; 203]:
Шди dv . ди dv . dti dv \ , _
дх 'Тх"Г~дЦ"~Щ;*т~~д7' ~д?) йХ —
D
Шт' (90)
(91)
где Di — часть пространства, ограниченная поверхностью 5, и
п — направление внешней нормали к S. Они являются следствия-
следствиями равенства A07) из [48], Эти формулы справедливы при сле-
следующих предположениях: w, v и их частные производные пер-
первого порядка непрерывны в ?)< вплоть до S, частные производ-
производные второго порядка непрерывны внутри Dt и интегралы по Dtf
содержащие Д« и До, имеют смысл. Если Дм и Аи не обладают

310	Г Л II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[№
непрерывностью вплоть до 5, то это — несобственные интегралы,
которые получаются как пределы по любой последовательности
областей D{?\ которые содержатся внутри Д, когда эти области
D[n) стремятся к Д, так что всякая точка, находящаяся внутри
А, попадает внутрь областей D[n\ начиная с некоторого номера
п. В дальнейшем мы будем иметь дело с гармоническими функ*
циями, так что Аи = Ди = 0, и в (90) мы будем считать и =* v.
При этом указанные выше формулы принимают вид
S
Эти формулы справедливы и для бесконечной области А?, на-
находящейся вне S:
ШШ+(¦?)'+(*)>- И• (?).«• <и>
S
если только гармонические вне 5 функции и и v непрерывны со
своими частными производными первого порядка вплоть до S и
стремятся к нулю при беспредельном удалении точки М так, что
имеют место неравенства
где R — расстояние от М до какой-либо определенной точки О
пространства, А — численная постоянная и / — любое фиксиро-
фиксированное направление. В формулах (94) и (95) п есть направле-
направление нормали к S, внешней по отношению к De, т. е. направленной
внутрь 5.
Для доказательства формул (94) и (95) надо применить их
к конечной области, ограниченной поверхностью S и сферой с
центром О и достаточно большим радиусом. При стремлении
радиуса к бесконечности интеграл по поверхности сферы будет
стремиться к нулю, так как произведения и -^ и v -^ будут
иметь оценку порядка -т^-, а площадь поверхности —4nR2. Та-
Таким образом мы и получим формулы (94) и (95) (ср. [II; 204]).

!02]	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ	3U
Как мы увидим в одном из следующих параграфов, условия
(96) выполняются при единственном предположении, что гармо-
гармонические функции и(М) и v(M) стремятся к нулю при беспре-
беспредельном удалении М. Как следствие формул (93) и (95), мы
получаем следующую формулу [II, 204]:
где п — направление внешней нормали по отношению к Dt или
De, смотря по тому, к какому случаю применяется формула (97),
Укажем теперь более общие условия применимости приведен-
приведенных выше формул. Отложим на нормалях к S в каждой точке
этой поверхности отрезок одной и той же длины б, направив
этот отрезок внутрь S. Предположим, что геометрическое место
концов Р этих отрезков при всех досхаточно малых б образует
замкнутую поверхность, которая не пересекает сама себя, лежит
внутри S и имеет непрерывно изменяющуюся касательную пло-
плоскость. Обозначим эту поверхность через S6. Каждой точке N
на S отвечает определенная точка Р на S6, которая лежит на
нормали к S в точке N, и, наоборот, каждой точке Р на S6 отве-
отвечает определенная точка N на 5. Покажем, что нормаль к S в
точке N является и нормалью к S6 в точке Р. Обозначим через
(ху уу z) координаты точек S и через (х', у', z') — координаты со-
соответствующих точек Р в некоторой системе координат.
Мы имеем
х' = х — 6 cos (п, X),
y' = y-6cos(n, Г),	(98)
zr = z — 6 cos (n, Z),
где n — направление внешней нормали к S. Будем считать, что
некоторый кусок поверхности 5 имеет явное уравнение z =
= г(х, у), причем z(x, у) имеет непрерывные производные до
второго порядка. При этом направляющие косинусы нормали
будут непрерывно дифференцируемыми функциями координат.
Положим, что N описывает некоторую линию I на упомяну-
упомянутом куске S так, что (х, у, z) суть непрерывно дифференцируе-
дифференцируемые функции некоторого параметра t. При этом и (x't y\ z')
будут непрерывно дифференцируемыми фУнквдями t. Диффе-
Дифференцируя по t очевидное равенство
(*' _ ХJ + ^ _ уJ + B/ _ гJ = 62f
получим
[(*' - х) х\ + (/ - у) у\ + (г' - г) z't] -

312	Г Л II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[102
Но вторая квадратная скобка равна нулю, ибо PN есть нормаль
к 5 Отсюда следует, что и первая скобка равна нулю, а это
равносильно тому, что касательная к /' перпендикулярна к PN.
Отсюда непосредственно следует, что PN есть нормаль и к 5б.
Мы считаем, что всякую точку S можно поместить внутрь куска
поверхности с упомянутыми свойствами. Поверхность Sb назы-
называется поверхностью, параллельной поверхности S.
Положим теперь, что гармонические внутри S функции и и v
имеют правильные нормальные производные при стремлении N1
к N по нормали, причем сами и и v непрерывны в замкнутой
области Д. Мы можем при этом применить все указанные выше
формулы для области, ограниченной поверхностью S6 Прини-
Принимая во внимание равномерное стремление к пределу для и, v
и их нормальных производных, а также совпадение нормалей
у 5а и о, мы получим при 6->0 в пределе все эти формулы и
для Di. Тройной интеграл по Dt надо при этом считать несоб-
несобственным, как предел интегралов по внутренним областям, при
fix стремлении к Di. Так как подынтегральная функция положи-
*ельна, то несущественно, каким именно образом эти внутрен-
внутренние области стремятся kD, В частности, можно использовать
области, ограниченные 56. При предельном переходе надо еще
иметь в виду и изменение площади поверхности Элемент этой
площади выражается через коэффициенты первой Гауссовой
формы в виде [II; 142]:
если принять, например, х и у за параметры, и из (98) следует,
что Е, G и F — полиномы второй степени от б. Указанные выше
соображения применимы и для De. При этом в формулах (98)
надо знак минус заменить на плюс. Если гармонические функ-
функции и(М) и v(M) представимы потенциалами простого слоя с
непрерывными плотностями, то они непрерывны вплоть до 5 и
имеют правильные нормальные производные.
I Таким образом, мы имеем:
Теорема. Если возможно построение параллельных поверх-
поверхностей изнутри и извне S с указанными выше свойствами, то
для потенциалов простого слоя и(М) и v{M) с непрерывными
плотностями применимы вышеуказанные формулы.
Выясним теперь некоторые достаточные условия существо-
существования поверхностей Sfi, параллельных 5. Положим, что поверх-
поверхность S есть поверхность Ляпунова, причем в условии C) оь ===== 1.
Покажем, что при этом поверхность S6 при достаточно малых б
есть замкнутая поверхность без кратных точек, т. е. что разным
N на S отвечают и разные Р. Положим пока, что б <-<р и бу-
будем считать, что для разных точек N\(x\t yu ^i)> N2{x2, #2, 22)]

102J	ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ	313
мы получим одну и ту же точку Р, т. е.
ЛГ1 — 6 COS (ПЬ X) — Х2 —- б COS (П2, X),
У\~Ь cos (пь Y) = у2 — б cos (n2, У),	(99)
z\ — б cos (пь Z) = г2 — б cos (n2, Z),
где rij и п2 — направление внешних нормалей к S в точках N\ и
N2. ОтметимА что N2 лежит внутри сферы с центром N\ и радиу-
радиусом d. Обозначая через п,2 расстояние \N\N2\, получим, в силу
(99),
гЬ2 = б д/2A — cos ft),
где ft есть угол между п\ и п2. Но, в силу F), при а = 1 мы
имеем 1 — cos Ф ^ ~ъа%г\ 2> и П0Т0МУ rh 2 ^ а&ги 2«
Если взять б< —, то мы приходим к противоречию. Итак,
для поверхности Ляпунова, при а == 1, поверхность Sb не имеет
кратных точек, если б<-§~ и *<Х# Кроме того, из условий,
налагаемых на S [94], непосредственно следует, что все точки
Р при б < d находятся внутри (или вне) 5. Если мы, кроме
того, предположим, что уравнение куска поверхности z = z(x, у)
в местных координатах таково, что z(x9 у) имеет непрерывные
производные до второго порядка, то поверхность 5д будет иметь
касательную плоскость, непрерывно меняющуюся при переме-
перемещении вдоль 5б. Замкнутость 5б непосредственно следует из
того, что при непрерывном перемещении точки М, находящейся
внутри Du к поверхности S кратчайшее расстояние от М до S
будет, при некотором положении М, равным б.
Замечание. Положим, что и(М) — непрерывна вместе с
производными первого порядка внутри 5 и имеет правильную
нормальную производную. При этом предельные значения по-
последней f - *у М представляют собою непрерывную на S функ-
функцию [98], откуда следует, что существует такое число В, что
к
ди (N) \
дп Л
В (N на S).
С другой стороны, в силу равномерного стремления нормальной
производной к пределу, при любом заданном положительном е
существует такое число rj, что
причем точка М находится внутри S и на нормали к 5 в точке
N. Фиксируя е, мы получаем " ' ^(В+г) при

314	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	fiO3
откуда \и(М2)— u(Mi) |<(B + eNi, 2, где 6i,2 = |MiM2l. Отсю-
Отсюда следует, что и(М) имеет определенный предел u(N) при M-+N
по нормали. Мы можем далее написать:
\
О
где Mi — переменная точка на нормали, 6i = |JVAfi| и 6 = |ЛШ|,
причем 6i ^ б ^ г\. Из предыдущей оценки нормальной произ-
производной следует: \и(М) — u(N) | ^ (В + еN, откуда видно, что
и(М)-**u(N) равномерно относительно положения N на 5. При-
Принимая это во внимание, нетрудно показать (ср. [100]), что
и(М) стремится к u(N) при любом законе стремления М к N н
что и(М)—непрерывна вплоть до S. Аналогичные рассуждения
применимы и для De. Итак, при наличии правильной нормальной
производной функция и(М) непрерывна вплоть до S.
Таким образом, применение указанных выше интегральных
формул обусловлено лишь наличием правильных нормальных
производных у и(М) и v(M).
Все сказанное выше для D, переносится и на случай плоско-
плоскости. В случае бесконечной области на плоскости дело будет об-
обстоять несколько иначе, о чем мы будем говорить ниже.
103. Последовательности гармонических функций. Прежде
чем переходить к решению предельных задач для уравнения Лап-
Лапласа при помощи потенциалов простого и двойного слоя, мы
установим некоторые свойства гармонических функций в до-
дополнение к тем, которые мы имели раньше. Рассмотрим после-
последовательности гармонических функций или, что то же, ряды,
члены которых — гармонические функции. Мы будем проводить
все доказательства в случае плоскости. Для трехмерного про-
пространства они буквально такие же. Достаточно только вместо
формулы Пуассона применить формулу, дающую решение за-
задачи Дирихле для сферы.
Основная теорема о равномерно сходящихся рядах гармони-
гармонических функций чрезвычайно похожа на аналогичную теорему
из теории регулярных функций комплексного переменного
[HI 12]:
Если члены ряда
Ем*, у)	(юо)
гармонические функции внутри ограниченной области В и не-
непрерывные функции в замкнутой области В, и ряд равномерно
сходится на контуре I этой области, то он равномерно сходится
во всей замкнутой области и сумма ряда есть гармоническая
функция внутри В.

303]	- ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	315
Пусть е — наперед заданное положительное число. Ввиду
равномерной сходимости на контуре / существует такое N, что
при всяком п^ N и любом положительном р имеет место нера-
неравенство
п+р
Z uk(x, у)
<8 [(*, у) на /].
Написанная конечная сумма гармонических функций будет гар-
гармонической функцией внутри В и непрерывной в замкнутой об-
области Б, и, в силу основного свойства гармонических функций
относительно достижения экстремумов на контуре [II; 204], мы
можем утверждать, что раз написанное неравенство соблюдено
на контуре, то тем более оно соблюдено и во всех внутренних
точках, т. е., иначе говоря, оно соблюдено и во всей замкнутой
области, что и дает равномерную сходимость ряда A00) во всей
замкнутой области. Таким образом, сумма S(xt у) ряда A00)
есть непрерывная функция в замкнутой области. Докажем, что
она будет гармонической внутри области. Пусть Мо— любая
точка внутри В. Опишем круг 20 с центром Мо и таким радиу-
радиусом /?, чтобы весь этот круг лежал внутри В. Обозначим через
Sn(x, у) сумму первых п членов ряда A00). Эта конечная сум-
сумма будет гармонической функцией, и ее значения внутри круга
20 будут выражаться через ее значения на окружности этого
круга по формуле Пуассона:
2л
Sn(9, <P) = ^S Sn(R, ¦) ^
где (р, ф)—полярные координаты точки М(х> у), если точка Мо
принята за начало координат. На окружности упомянутого круга
SniRy г|э)->5(/?, -ф) равномерно по отношению кф,и мы имеем,
переходя к пределу,
2л
т. е. внутри упомянутого круга сумма ряда A00) выражается
интегралом Пуассона и является, следовательно, гармонической
функцией. Напомним, что точка Мо была любой точкой внутри
В. Заметим, что совершенно так же мы могли бы доказать, что
ряд A00) можно внутри В дифференцировать по переменным
(р, ф) сколько угодно раз. Действительно, из формулы Пуассона
непосредственно вытекает:
дик(р,ч) 1 /	д	**-р2

316	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ 'ЗАДАЧИ	[103
Умножая обе части ряда A00) на
д	R2 — р2
ф R2 — р	ф р
и интегрируя по окружности упомянутого круга, мы будем иметь
3S (р, ф) ^ дик (р, ф)
dp	L-j dp
&=»!
Доказанную теорему можно, конечно, формулировать и в тер-
терминах последовательности гармонических функЦТш, а именно:
если последовательность Sn(xyy) функций, гармонических вну-
внутри В и непрерывных в замкнутой области В, равномерно стре-
стремится к предельной функции S(x, у) на контуре /, то она равно-
равномерно стремится к предельной функции во всей замкнутой обла-
области В. Предельная функция будет гармонической внутри Ву и
внутри В последовательность можно дифференцировать сколько
угодно раз.
Докажем еще одну теорему, относящуюся к тому частному
случаю, когда члены ряда A00) суть положительные функции.
Предварительно выясним одно следствие формулы Пуассона.
Функция и(р, ф), гармоническая внутри круга р <С R с ценiром
Мо и непрерывная в замкнутом круге, выражается в этом Kpyie
по формуле Пуассона:
2Л
U (Р, ф) = ~ \и
Положим, кроме того, что эта функция положительна. Учи-
Учитывая, что |cos(tf> — ф) | ^ 1, мы можем написать неравенство
(R - рJ < /?2 - 2/?р cos (ф - Ф) + р2 < (/? + рJ,
и из формулы Пуассона непосредственно следует:
2л	2л
о	.	о
или, принимая во внимание теорему о среднем [II; 204],
A01)
Эта оценка значений положительной гармонической функции в
произвольной точке внутри круга через ее значение в центре
круга называется обычно неравенством Гарнака. Пользуясь
этим неравенством, мы можем доказать следующую теорему:

103J	ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ	#!?
Если имеется возрастающая последовательность Sn(M)
функций, гармонических внутри В, и если эта последователь-
последовательность имеет конечный предел в какой-либо одной точке Л10> ле*
жащей внутри В, то она сходится везде внутри В и притом
равномерно во всякой замкнутой области В и которая вместе со
своим контуром лежит внутри В.
По условию теоремы мы имеем внутри В: Sn+\(M) ^ Sn(M).
В силу сходимости последовательности в точке Мо при любом
заданном положительном г существует такое N, что
при n^N и любом положительном р. Пусть 20— круг с цен-
центром Af0 и радиусом /?, лежащий внутри В. Принимая во вни-
внимание, что написанная выше разность представляет собою по-
положительную гармоническую функцию, мы можем написать
где М — произвольная точка внутри упомянутого круга и р—•
расстояние от М до Мо. Взяв круг 26 с центром Мо и радиусом
(R — а), где а — любое малое заданное положительное число,
мы получаем в круге 2i оценку:
откуда вытекает равномерная сходимость Sn(M) в круге 26.
Взяв некоторую точку Mi внутри круга 2о и имея в ней сходи-
сходимость последовательности, мы при помощи вышеуказанных рас-
рассуждений получим равномерную сходимость внутри круга с цен-
центром в этой точке, лежащего внутри В. Продолжая так и даль-
дальше, мы совершенно так же, как это делали при аналитическом
продолжении, можем доказать равномерную сходимость после-
последовательности во всяком замкнутом круге, лежащем внутри В.
Всякую замкнутую область Si, которая вместе со своим конту-
контуром лежит внутри В, мы можем покрыть конечным числом кру-
кругов, лежащих внутри В, и это дает нам равномерную сходимость
последовательности в такой области В\. Заметим еще, что из
равномерной сходимости последовательности вытекает, в силу
предыдущей теоремы, и тот факт, что предельная функция по-
последовательности будет гармонической функцией внутри В.
Доказанную теорему можно формулировать и в терминах
рядов, а именно: пусть члены ряда A00)—гармонические функ-
функции внутри В и притом положительные, начиная с. некоторого
номера п. Если ряд сходится в некоторой точке внутри В, то
он сходится во всех точках внутри В, и равномерно во всякой

gig	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\№
замкнутой области Ви которая вместе со своим контуром лежит
внутри В. В предыдущей теореме вместо возрастающей после-
последе зательности мы могли бы, конечно, брать убывающую после-
последовательность и соответственно — вместо положительных функ-
функций— могли бы брать отрицательные функции
104. Постановка внутренних предельных задач для уравнения
Лапласа. Пусть Dt — конечная область трехмерного простран-
пространства, ограниченная поверхностью S Внутренняя задача Ди-
Дирихле состоит, как мы знаем, в разыскании функции и(М),
гармонической внутри Dly непрерывной в замкнутой области Dt
и принимающей на 5 заданные значения, которые представляют
собою непрерывную на 5 функцию Решение задачи может быть
только одно [II; 204]. В дальнейшем, при некоторых предполо-
предположениях о границе S, мы дадим доказательство существования
решения. В случае плоскости вопрос обстоит совершенно так же,
В задаче Неймана на границе задается не сама функ-
функция, а предельные значения f(N) нормальной производной
ди (М)	,, ..	.-,
—х*—L, причем считается, что M-^N по нормали. Если предпо-
предполагать еще, что и(М) имеет правильную нормальную производ-
производную, то мы можем применить формулу (93) к и(М) и v(M) = 1,
и получим
$JS = Of	A02)
таким образом, это равенство является необходимым условием
разрешимости внутренней задачи Неймана при наличии пра-
правильной нормальной производной. Заметим, что если некоторая
функция и(М) дает решение внутренней задачи Неймана, то
функция и(М)+С, где С — произвольная постоянная, также
дает решение задачи при том же предельном условии f(N) Тео-
Теорема единственности решения внутренней задачи Неймана со-
состоит в утверждении, что этим и исчерпываются все решения
задачи, т, е. если U\(M) и и2{М)— два решения задачи Неймана
при одном и том же предельном условии f{N)> то разность
U2{M) — U\{M) должна быть постоянной в D.
Легко доказать это утверждение, если предположить, что
U[(M) и U2(M) имеют правильные нормальные производные.
При этом разность v(M) = U2W) — щ(М) также имеет правиль-
правильную нормальную производную, предельные значения которой
равны нулю, тем самым v(M) непрерывна вплоть до S, так что,
применяя к v(M) формулу (92), получим:

104]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА	319
откуда и следует, что v(M) постоянна внутри Dt. В [107] мы
приведем доказательство единственности решения задачи Ней-
Неймана без предположения о существовании правильной нормаль-
нормальной производной.
Отметим, что при постановке внутренних задач Дирихле и
Неймана можно считать, что граница S состоит и из не-
нескольких замкнутых поверхностей.
Третья основная предельная за да ч а, связанная
с уравнением Лапласа, состоит в нахождении внутри 5 гармони-
гармонической функции, когда на границе области задана линейная
комбинация нормальной производной и самой функции, т. е. пре-
предельное условие имеет вид
(N на я <103>
где p(N) и /(Аг) заданные на S непрерывные функции, причем
мы считаем, что p(N)>0. Докажем теорему единственности,
считая, что и(М) имеет правильную нормальную производную
Если бы существовали два решения задачи, то их разность
v(N) удовлетворяла бы однородному предельному условию:
лО-О-	A04>
Применяя к v(M) формулу (92) и пользуясь A04), получим
Интеграл, стоящий справа, не может быть положительным, а
интеграл, стоящий слева, не может быть отрицательным, т. е*
оба они должны равняться нулю, откуда непосредственно сле-
следует, что v(M) = 0.
Все предыдущие результаты имеют место и для случая пло*
скости.
До сих пор мы рассматривали так называемые внутренние
задачи, при которых требуется определить гармоническую
функцию в ограниченной области при некотором предельном
условии. Мы переходим теперь квнешним задачам, когда
ищется гармоническая функция в бесконечной части простран-
пространства, находящейся вне некоторой замкнутой поверхности (илц
вне нескольких замкнутых поверхностей). Аналогично ставится
задача для плоскости. Существенную роль играет при этом то
требование, которое мы налагаем на искомую функцию в окрест*
ности бесконечно далекой точки. Этот вопрос будет решаться
различно для плоскости и для пространства. Мы начнем с вьщс-4
нения упомянутого требования на бесконечности и сначала раз*
берем случай плоскости.

320	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[П5
105. Внешние задачи в случае плоскости. Функцию w(Af),
гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки, мы на-
назовем регулярной в бесконечно далекой точке, если при стремле-
стремлении точки М к бесконечности функция и(М) имеет конечный
предел. Выясним смысл этого определения. Построим в окрест-
окрестности бесконечно далекой точки функцию v(M), гармонически
сопряженную с и(М) [НЬ; 2]. При обходе бесконечно далекой
точки против часовой стрелки функция v(M) может приобрести
постоянное слагаемое, которое мы обозначим через у. Функция
комплексного переменного
будет однозначной и регулярной в окрестности бесконечно дале-
далекой точки и, следовательно, должна разлагаться в этой окрест-
окрестности в ряд Лорана по целым степеням г. Покажем, что в этом
разложении вовсе нет членов с положительными степенями г.
Действительно, если бы таких членов было бы бесконечное мно-
множество, то функция /(г) при |г|->оо могла бы принимать зна-
значения, сколь угодно близкие к любому наперед заданному числу
[[НЬ; 17], а на самом деле вещественная часть функции, т. е.
u{z) — -?~lg I z | или стремится к бесконечности, если у Ф 0, так
как, по условию, и B) имеет конечный предел, или имеет конеч-
конечный предел при |г|—> оо, если у = 0.
Если бы членов с положительными степенями было конечное
число, т. е. если бы
f(z) = amzm + am_lzm-* + ... +ао+^1+ ... (ат Ф 0),
то мы имели бы
и (г) — -^ lg р = rpm cos (mq> + Ф) +
(г==р??ф, am — rei}b; Re — знак вещественной части).
Если разделить обе части равенства на рт и устремить р к бес*
конечности при фиксированном ф, то левая часть будет очевидно
стремиться к нулю, а правая будет иметь предел rcos(m<p + Ф)»
зависящий от ср, который не всегда равен нулю. Мы придем, та-
таким образом, к противоречию и, следовательно, в разложении
f(z) будет^только свободный член и члены с отрицательными
степенями*
f(z) = ao + ^ + ^+ ...	A05)
При jz|~>-оо функция f(z) имеет конечный и определенный
предел uq} и отсюда непосредственно вытекает, что постоянная

105]	ВНЕШНИЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ПЛОСКОСТИ	321
у должна быть равна нулю, т. е. если и(М) регулярна в беско-
бесконечно далекой точке и v(M) — сопряженная функция, то /(г) =
— u(z)-\- iv(z) имеет в окрестности бесконечно далекой точки
разложение A05). Из предыдущих рассуждений непосредствен-
непосредственно вытекает, что для получения этого результата достаточно
предположить, что и(М) просто ограничена по абсолютной ве-
величине в окрестности бесконечно далекой точки. Отсюда уже
будет вытекать разложение A05) и, тем самым, существование
конечного предела у и(М) при стремлении точки М к бесконеч-
бесконечности.
Внешняя задача Дирихле сводится к нахождению функции
и(М)у гармонической вне замкнутого контура /, регулярной но
бесконечности и принимающей на контуре / заданные значения
f{N). Пусть Zq — некоторая точка, находящаяся внутри /. Со-
Совершим конформное преобразование плоскости w = ———.
Часть плоскости, находящаяся вне /, перейдет в некоторую огра-
ограниченную область В, гармонические функции перейдут в гармо-
гармонические функции [11Ь; 31], точка z = оо перейдет в w = 0, и
f(z) будет регулярной функцией от w при w = 0. Формулиро-
Формулированная выше внешняя задача Дирихле перейдет во внутреннюю
задачу для преобразованной области, и мы, очевидно, можем
иметь только одно решение поставленной задачи.
Пользуясь разложением A05), дифференцируя его по z и
принимая во внимание, что
z2f'(z)-> — a_i при |г|^>оо,
мы можем утверждать, что если гармони-ческая функция и(М)
регулярна в бесконечно далекой точке, то произведения р2 -~- и
Р27Г~' где Р = 1г1» остаются ограниченными при беспредельном
удалении точки М. Отсюда непосредственно вытекает, что и про-
произведение р2-^—, где m — любое направление, которое может и
изменяться при перемещении точки М, остается ограниченным
при беспредельном удалении точки М. Если В есть часть плоско-
плоскости, находящаяся вне замкнутого контура /, а и(М) и v(M) —
функции, гармонические в В, непрерывные в бесконечно далекой
точке и непрерывные вместе с производными первого порядка
вплоть до контура, то имеют место формулы
$[¦(?).-(?)>-•• <107>

322	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	A05
где п — направление нормали к /, внешней по отношению к об-
области В. Формулы доказываются совершенно так же, как это
делалось в [102] для трехмерного случая. Достаточно иметь' в
виду, что на окружности С с центром в фиксированной точке О
и радиусом R произведения v (-р") и и (--г-) имеют оценку
-ш, а длина окружности — 2nR. Как и в [102], формулы A06)
и A07) остаются справедливыми, если вместо непрерывности
производных первого порядка вплоть до / потребовать существо-
существования правильных нормальных производных у и(М) и v(M).
Переходим к внешней задаче Неймана, когда на / имеется
предельное условие
f)	(Ю8)
при стремлении М к N по нормали, и сохраняется требование
регулярности функции и{М) на бесконечности. Пусть решение
задачи и(М) существует, и предположим, что и(М) имеет пра-
правильную нормальную производную на /. Проводя окружность
С достаточно'большого радиуса R и применяя формулу A07)
к и(М) и v(M)z== 1 для области, ограниченной / и С, получим
тт	л	* / ди \	1
Но на С производная 1-^—1 имеет порядок -^, откуда сле-
следует, что интеграл по С стремится к нулю при /?->оо, и мы по-
получаем в пределе, в силу A08),
s = 0.	(НО)
Это необходимое условие мы получили и для внутренней за-
задачи Неймана. Пользуясь формулой A06), можно доказать
единственность решения внешней задачи Неймана при условии
правильности нормальной производной (ср. [104]). В трехмер-
трехмерном пространстве мы не будем иметь условия, аналогичного
A10)* для разрешимости внешней задачи Неймана.
Отметим тот факт, что основное сингулярное решение lg —
не будет регулярным в бесконечно далекой точке. При г-+<х>
п	COS Ф
оно стремится к оо. Второе сингулярное решение—-1-, соответ*
ствующее диполю, уже будет регулярным в бесконечно далекой
точке, и оно обращается в этой точке в нуль, В трехмерном про-

Ш1	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЕЛЬВИНА	32а
странстве не только потенциал диполя, но и основное сингуляр-
сингулярное решение — обращается в бесконечно далекой точке в нуль.
Потенциал простого слоя (81), дающий гармоническую функцию
вне /, не будет, вообще говоря, регулярным в бесконечно дале-
далекой точке. Если общий заряд равен нулю, т. е. если
$ц
A11)
то в этом частном случае потенциал (81) будет регулярным.
Действительно, пусть R — расстояние точки М до начала. Вводя
в интеграл A11) множитель lgRy не зависящий от переменной
точки интегрирования N, мы можем написать потенциал (81)
в виде
и при беспредельном удалении точки М выражение lg — стре-
стремится к нулю равномерно по отношению к точкам N, лежащим
на /. Таким образом, мы видим, что потенциал действительно
будет регулярным в бесконечно далекой точке и равным нулю.
Докажем еще одно свойство гармонических функций. Поло-
Положим, что и(М) — гармоническая функция в некотором круге,
центр которого примем за начало координат No, кроме, может
быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в
этом круге. Покажем, что существует предел и(М) при M->iV0,
и если принять этот предел за значение u(No), то и(М) будет
гармонической во всем круге, включая начало. Чтобы убедиться
в этом, достаточно проделать те рассуждения, которые привели
нас к разложению A05), заменив бесконечно далекую точку
началом. Вместо A05) будем иметь
/ (г) = а0 + a{z + a2z2 + ...,
откуда и следует наше утверждение.
106. Преобразование Кельвина. При рассмотрении гармо-
гармонических функций в трехмерном пространстве мы уже не имеем
больше того важного вспомогательного аппарата, каким явля-
являлась в случае плоскости теория функций комплексного перемен-
переменного и, в частности, конформное преобразование, переводящее
всякую гармоническую функцию тоже в гармоническую функ-
функцию. В случае трехмерного пространства имеется все же некото-
некоторое точечное преобразование совершенно специального вида,
которое обладает тем же свойством, а именно: если и(х, уу z)—•

324	ГЛ. Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П«б
гармоническая функция в некоторой области D> то функция
(г« = Х>Чу'2 + г'2) (П2)
будет,гармонической в области ?)', которая получается из D при
помощи преобразования:
*' = ¦?; у' = -^; z' = -pr (r2 = *2 + */2 + 2>). A13)
Заметим прежде всего, что г' = — и что преобразование, обрат*
ное A13), имеет тот же вид:
X'	Ц*	Z'	/1 Ю \
х = ~рг> у=-^г> 2 = 7^'	( l)
Если ввести сферические координаты, то формула A12) пре-
преобразуется к виду:
о(г/,е,ф) = уг«Gг, е,
Принимая во внимание, что и{г, 6, ср) удовлетворяет уравнению
Лапласа
гЧгг + 2rur + -^-g- (uQ sin 6)e + j^tq мфф = О
и что имеет место очевидное тождество
24	.2
y vr') = Urr+y Un
мы без труда убедимся в том, что и функция v(r', О, ф) удовле*
творяет уравнению Лапласа. Преобразование (ИЗ) представ-
представляет собою преобразование симметрии относительно сферы с
центром в начале и радиусом единица (ср. [II; 207]). Мы могли
бы, конечно, брать центр сферы в любой точке (а, 6, с) и счи-
считать ее радиус R тоже любым. При этом формулы A12) и A13)(
запишутся в виде	. ,
7I*' i/ ?'\ 	 — 11 Г/7 4- -51 <V 	 П\	!•	(\\А\
г'2 =
Преобразование A14) называется преобразованием Кельвина.
Прежде чем выяснить понятие регулярности гармонической
функции в бесконечно далекой точке в трехмерном пространстве,
докажем свойство гармонических функций, которое в плоском

1061	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЕЛЬВИНА	325
случае мы доказали в конце предыдущего параграфа. Пусть
и(М) — гармоническая функция в некоторой сфере So с центром
в начале координат, кроме, может быть, самого начала, и огра-
ограничена по абсолютной величине в этой сфере. Покажем, что су-
существует предел и(М) при стремлении М к началу, и, если при-
принять этот предел за значение и(М) в начале, то и(М) будет
гармонической и в начале.
Пользуясь интегралом, указанным нами в [II; 207J, мы мо-
можем построить функцию U\(M), гармоническую в сфере So без
всякого исключения и принимающую на поверхности этой сферы
те же самые предельные значения, что и функция и(М).
Применим к разности щ(М)—и(М) преобразование Кель-
Кельвина по отношению к^ сфере Sq. Преобразованная функция ока-
окажется гармонической вне сферы So, равной нулю на поверхно-
поверхности этой сферы и стремящейся к нулю при стремлении точки
ЛГ к бесконечности. Последнее обстоятельство непосредственно
вытекает из вида формул A14) и того факта, что и(М), по усло-
условию, ограничена в окрестности начала координат. Принимая во
внимание, что экстремумы гармонической функции должны на-
находиться на границе области, мы можем утверждать, что функ-
функция и\(М)—и(М) должна быть равна тождественно нулю, т. е.
функция Ui(M) совпадает с функцией и(М), а потому эта по-
последняя функция будет гармонической и в начале координат.
Пусть и(М) — некоторая функция, гармоническая в окрестно-
окрестности точки О, которую мы примем за начало, и в самой этой
точке. Совершая преобразование Кельвина с центром в начале
и с радиусом хотя бы равным единице, мы получим преобразо-
преобразованную функцию и(АГ), которая будет гармонической функцией
в окрестности бесконечно далекой точки. Эта функция будет
стремиться к нулю при г'->оо и, больше того, из формулы A12)
непосредственно вытекает, что произведение r'v(M') остается
ограниченным при г'-+оо и то же самое можно утверждать от-
носительно произведении г -ту, г -g-г * г -тт. Последнее не-
непосредственно вцтекает из того факта, что производные функ-
функции и(М) в окрестности начала ограничены. Наоборот, если мы
имеем функцию и(М), гармоническую в окрестности бесконечно
далекой точки и такую, что произведение ги(М) остается огра-
ограниченным при г~>оо, то, совершая преобразование Кельвина,
мы убедимся в том, что преобразованная функция v(M') =
= —и(М) будет гармонической и ограниченной в окрестности
начала координат, а тем самым будет гармонической и в начале
координат. Но тогда из приведенных выше рассуждений непо-
непосредственно следует, что произведения ^2-^j» г2!Г~9 г*~57

326	ГЛ. Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	U06
остаются ограниченными при г—>оо. Положим, наконец, что про
функцию и(М)> гармоническую в окрестности бесконечно дале*
кой точки, известно только, что и(М)—>0 при г->оо, т. е. при
любом заданном положительном е существует такое положи-
положительное число Л, что \и(М) | ^ е, если только г^А. Построим
сферу 5о с центром в начале и настолько» большим радиусом,
чтобы и(М) была гармонической вне So и на самой поверхности
этой сферы. Мы можем построить функцию v}(M')t гармониче-
гармоническую внутри сферы So и имеющую на поверхности этой сферы
те же самые предельные значения, что и и(М).
Пусть щ(М) — результат преобразования Кельвина над
функцией V\{M') по отношению к сфере So. Разность и(М) —
— U\(M) — гармоническая функция вне So, равная нулю на So и
стремящаяся к нулю при г-+оо. Такая функция, как мы видели
выше, должна тождественно обращаться в нуль. Следовательно,
наша первоначальная функция и (М) должна совпадать с функ-
функцией U\(M)9 которая получилась в результате преобразования
Кельвина из функции i/i(AT), гармонической внутри сферы So.
Для такой функции, как мы видели выше, произведения
г*-*^. г*^, г-^Р-	A15)
должны оставаться ограниченными при г->оо. Мы видим, та-
таким образом, что из того, что и(М)->0 при г->оо, вытекает, что
для и(М) произведения A15) должны оставаться ограничен-
ограниченными при г-> оо.
Назовем функцию и(М), гармоническую в окрестности бес-
бесконечно далекой точки, регулярной на бесконечности, если
и(М)->0 при г-»-оо. Если известно только, что и(М) стремится
к конечному пределу 6, то можно сказать, что такая функция
равна сумме постоянного слагаемого b и гармонической функ-
функции, регулярной в бесконечно далекой точке. Если для гармо-
гармонических вне S функций и(М) и v(M) произведения A15)
остаются ограниченными, и эти функции имеют на S правиль-
правильные нормальные производные извне, то, как мы видели [102],
для таких функций имеют место формулы (94), (95), в которых
интегрирование распространяется на часть пространства, нахо-
находящуюся вне S.
Внешняя задача Дирихле состоит в разыскании
функции и(М), гармонической вне S, регулярной в бесконечно
далекой точке, непрерывной вплоть до S и принимающей на
поверхности S наперед заданные значения f(N). Принимая не*
которую точку MOi находящуюся внутри S, за начало и совер-
совершая преобразование Кельвина, мы сведем внешнюю задачу Ди-
Дирихле к внутренней задаче для преобразованной области. При
помощи обычных рассуждений доказывается единственность ре*

Ш1	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЕЛЬВИНА	327
шения внешней задачи Дирихле. Существование решения за-
задачи сводится к существованию решения внутренней задачи Ди-
Дирихле, а это последнее может быть доказано при общих предпо-
предположениях о поверхности при условии непрерывности граничных
данных.
Отметим разницу при постановке внешней задачи Дирихле
в случае плоскости и пространства. В плоском случае мы зада-
задавали предельные значения на границе и требовали только, что-
чтобы функция стремилась к конечному пределу при г-*оо. В слу-
случае трехмерного пространства мы задаем сам этот предел,
а именно — считаем его равным нулю. Мы могли бы считать,
что при г->оо наша функция стремится к некоторому задан-
заданному числу Ь. Рассматривая разность и(М)—ft, мы пришли
бы к прежней постановке задачи. Нетрудно видеть, что в случае
трехмерного пространства для определенности внешней задачи
Дирцхле недостаточно требовать, чтобы и(М) имела конечный
предел при г—>оо. Действительно, положим, что некоторое ко-
количество электричества находится в равновесии на проводящей
поверхности 5. Такой электростатический потенциал прЪстого
слоя будет иметь некоторое постоянное значение с на поверхно-
поверхности S, причем нетрудно показать, что и(М) будет давать гармо-
гармоническую функцию вне S и будет стремиться к нулю при г—>оо.
Сама постоянная с будет также гармонической функцией вне S
и будет иметь на S те же предельные значения, но она уже не
будет регулярной, согласно нашему определению, в бесконечно
далекой точке. Для случая плоскости это рассуждение уже не-
неприменимо, ибо электростатический потенциал простого слоя на
линии / обращается в бесконечность в бесконечно далекой точке.
Отметим еще, что иногда называют функцию и(М) гармониче-
гармонической вне поверхности 5 только в том случае, если она регуляр-
на в бесконечно далекой точке, т. е. некоторые авторы в опре-
определение функции, гармонической вне поверхности 5, включают
и регулярность в бесконечно далекой точке.
Внешняя задача Неймана состоит в нахождении
функции, гармонической вне 5, регулярной на бесконечности,
при заданных предельных значениях ее нормальной производной
на S. В данном случае предельные значения нормальной произ-
производной уже не должны удовлетворять условию (НО). Доказа-
Доказательство этого условия, проведенное нами в случае плоскости,
уже не годится в случае пространства, ибо площадь поверхности
сферы радиуса R имеет порядок R2, и величина интеграла от
-j~- по сфере достаточно большого радиуса не должна стре-
стремиться к нулю при /?-^оо. Если предположить, что решение
внешней задачи Неймана имеет правильную нормальную произ-
производную, то единственность решения задачи непосредственно еле-

328	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П07
дует из формулы (94). Аналогичное рассуждение мы проводили
для внутренней задачи Неймана.
Заметим в заключение настоящего параграфа, что указан*
ные выше свойства гармонической функции в окрестности беско-
бесконечно далекой точки могут быть непосредственно получены из
разложения этой функции в окрестности бесконечно далекой
точки по сферическим функциям.
107. Единственность решения задачи Неймана. В настоящем
параграфе мы дадим доказательство единственности решения
внутренней задачи Неймана без предположения правильности
нормальной производной. Предварительно рассмотрим тело не-
некоторого специального вида и построим в этом теле гармони-
гармоническую функцию, обладающую некоторыми свойствами, которые
будут ниже указаны. Пусть Г(а,?, h)—тело, ограниченное по-
поверхностью
1 + а
z=*k(x*+tf) 2	A16)
и плоскостью г = й, где k, а и h — положительные постоянные.
Точку @, 0, 0) назовем вершиной этого тела, и обозначим ее
No. Буквою о' обозначим ту часть границы этого тела, которая
лежит в плоскости г = А и буквою о" — остальную часть гра-
границы тела. Пусть далее ио и щ — две вещественные постоянные,
причем по < и\. Построим функцию w(M)—гармоническую вну-
внутри тела Г (a, k, ft), непрерывную вплоть до границы, и такую,
что w(M)<Mi на о', w(M)^Uo на сг" и w(N0)— и0. Если
г = л/х2 + У2 + Д 8 — угол между радиусом-вектором и осью z
и Рп (ж) —функция Лежандра [ПЬ; 142], то, как известно
i[in2; 136], при любом п функция rnPn{ cos0) будет гармониче-
гармонической внутри тела Г (a, ky h). Будем строить w(M) в виде
w(M) = y [r cos 6 + rWPx+ь (cos 6)] + i/0,	A17)
где у и р — положительные постоянные, которые будут опреде-
определены позднее. Мы имеем, очевидно, хм(Мо)=* «о- Покажем, преж-
прежде всего, что при всех р, достаточно близких к нулю,
Pi+p @) < 0.	A18)
Функция Рп(х) есть сумма гипергеометрического ряда:
вследствие чего можно написать:
^М 1	Г 2 (-1)
2
. у / i

1107]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА*	329
ИЛИ
Мы считаем 1 < п < 2, так что множители, соответствующие
s = 1 и s = 2, положительны, а остальные (к — 2) отрицатель-
отрицательны. Относя к этим последним множителям (—1)*~2, можем запи-
записать их в виде
fl ^ (n + s)(s-/i--l) _ s2--n2--s-tt 1 ,	.
2s2	2s2	2	"	• • • )•
Таким образом, выделяя первые два множителя, получаем не-
неравенство
/f-2
т. е.
откуда и следует, что Prt@)<Q, если д2 + п<8. Таким обра-
образом, A18) доказано при всех положительных р, достаточно
близких к нулю. Фиксируем J3 так, чтобы оно удовлетворяло
этому условию, а также условию р < а, где а из уравнения
A16). Принимая во внимание, что 2 = г cos 6, получаем на по-
поверхности A16)
г cos 9 + г1**Я!+з (cos 9) = kpl+* + rx+VPl+t (cos 9),
где р = л/х2 + *Л и, окончательно, на поверхности A16)
г cos 9 + rl+0P1+e (cos 9) = r1 ^ [ftra"^ sin1+a 9 + PUq{cos 9)].
Если г->0, то О*-*^' и, в силу A18) и р < а, квадратная
скобка имеет при этом отрицательный предел. Таким образом,
мы можем фиксировать положительное число h настолько ма-
малым, чтобы на всей части о" поверхности тела Г (a, kt h) иметь
г cos 9 + r1+^i+p (cos 9) < 0.	A19)
Выберем, наконец, положительное число у настолько малым,
чтобы формула A17) давала w(M)<,Ui на а7. Построенная
функция w(M) удовлетворяет всем указанным выше условиям.
На оси тела^Г(а, ft, А), т. е. на оси Z, мы имеем
w (М) = y t* + *нэ) + "о (г> 0).

330	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1107
Если М — переменная точка этой оси, то
Y.	A20)
Докажем теперь теорему:
Теорема. Если и(М) — функция, гармоническая внутри Di,
отличная от постоянной, по — конечная точная нижняя граница
значений и(М) внутри Di и существует такая точка Nq на S,
что и(М)-*и0 при стремлении М изнутри к No, то при стремле-
стремлении М к No no нормали, отношение
и(М) — и (No)
остается больше некоторого положительного числа.
Мы считаем, что существует тело Г (a, k, h), которое ка-
касается S в точке Nq и все точки которого, кроме No, лежат
внутри S. Число h фиксировано настолько малым, чтобы иметь
A19) на всей части о" поверхности упомянутого тела. Пусть
п\ — наименьшее значение и(М) на части а' поверхности
Т(а, k, h). Так как и(М) — отлична от постоянно^, то «о < «ь
и, выбрав у достаточно малым, мы можем построить w(M) с
указанными выше свойствами. При этом ^(М)) = u(N0), и
w(N)<iu(N) на остальной части поверхности Г(а, k, й). При
этом, направив ось Z по внутренней нормали к S в точке No, по-
получим
и (М) - и (No) __ и (М) - и (No) w(M)-w (No)	, .
\NqM\ ~~	z	>	г	^Y' {iZZ)
что и доказывает теорему.
Из доказанной теоремы непосредственно следует единствен-
единственность решения задачи Неймана в следующем смысле:
Если гармоническая внутри Di функция и(М) непрерывна
вплоть до S, и ( j ). — 0 на всей поверхности S, то и(М) —
постоянна. Пусть No — та точка S, где и(М) и^еет наименьшее
значение.. Из A22) непосредственно следует, что производная
по нормали в точке М> не может стремиться к нулю, когда
M-+No> оставаясь на нормали. Если бы это было так, то из
формулы конечных приращений мы получили бы
и (М) - и (No) ) Q
что противоречит A22).
Совершенно аналогично проводится доказательство един-
единственности и для внешней задачи Неймана.
Приведенное выше доказательство было дано в совместной
работе М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (ДАН СССР, 1937,
16, № ЗХ.

108}	РЕШЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ	331
Если можно коснуться поверхности 5 изнутри сферой, то до-
доказательство теоремы единственности проводится элементарно
(За рем б а С. — УМН, 1946, 1, № 3—4).
108. Решение предельных задач в трехмерном случае. Рас-
Рассмотрим внутренние задачи Дирихле и Неймана для области
Dh ограниченной поверхностью S. Будем искать решение вну-
внутренней задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя:
= \MN\),	A23)
где г — направление MN и п — направление внешней нормали
в точке N поверхности. Искомой является плотность \i{N). Со-
Согласно первой из формул D2), внутренняя задача Дирихле С
предельным значением
()Ь /(Л0	A24)
равносильна следующему интегральному уравнению для плот*
ности {N)
f(NQ) = \\»(N) cos(r20>n) dS + 2п\л(No) (го = |ЛГ0ЛП).
V	г°
Вводя ядро
ьг / дг , лп 		1 COS (Гр, П)
мы можем переписать последнее уравнение в виде
Ядро K(Nq\ N) не симметрично, поскольку нормаль берется в
точке N и Го обозначает направление NoN. Мы получим транс-
транспонированное ядро союзного уравнения [IVi; 9], если будем
брать нормаль в JVoH считать Го от N к М>. Это транспонирован-
транспонированное ядро K\(Nq\ N) определится, таким образом, формулой
; N) = К (N; No) = i2^Solf	A26)
где По — направление внешней нормали в М). Мы переменили
знак у ядра, так как в K\(Nq; N) должны были переменить на-
направление Го на противоположное, а в формуле A26) Го обозна-
обозначает по-прежнему направление М)ЛЛ Решение внутренней за-
задачи Неймана с предельным условием
' ди (N) \ _*f(m	П97ч

332	-ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	A08
ищем в виде потенциала простого слоя:
и(М)=* ll^r^dS.	A28)
Пользуясь первой из формул D9), приходим к интегральному
уравнению, равносильному поставленной задаче:
= \\ I*(Ю C°S(ГГ "о) dS + 2щх(No),
Это уравнение может быть также записано, в виде
ji W = гЯГ / М> - \ S •* W К*№ N>dS-
S
Совершенно так же, используя вторые из формул D2) и D9),
мы получим для внешней задачи Дирихле и внешней задачи
Неймана при предельных условиях
A300
интегральные уравнения
= -4гf (No) + \\\i(N) cos(|' n) dS, A310
= -~f(No) + \\ \x W ""У dS, A312)
причем, как и выше, решение задачи Дирихле ищется в виде
A23), а решение задачи Неймана — в виде A28). Напишем
уравнения с параметром:
= Ф (No) + К \ \ix (N) К (No; N) dS,	A32)
S
ix (No) = Ф (Л^о) Н- Я J J pi (Л/) Ki (No; N) dS.	A33)
s
Уравнение A32) при k = 1 и Ф(Л^о) =-^Г / (A^o) соответствует
внутренней задаче Дирихле, а при Х = —1 и ф(Л^о) =
= —jff М>) ~~ внешней задаче Дирихле. Уравнение A33) при
X = 1 и ф(Л^о) = —о~~ f Wo) соответствует внешней задаче
Неймана, и при Х = —1 и Ф (Л/о) =-^ f(^o) — внутренней за-
задаче Неймана. Если S есть поверхность 'Ляпунова и в условии

109]	ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	333
C) а= 1, то для ядра интегрального уравнения на основании
результатов из [94] мы получаем оценку
MC(JV0;tf)|<-f.	A34)
и мы можем считать, что для уравнений A32) и A33) спра-
справедливы основные теоремы теории интегральных уравнений
[IV,; 10].
109. Исследование интегральных уравнений. Рассмотрим
однородное уравнение:
I* (М>) = К \ \ IX (N) К (NQ\ N) dS.	A35)
5
Его исследование проводится совсем просто в случае выпуклой
поверхности. При этом cos(r0, п)^0и K(N0; N)^ 0. Положим,
что \x(N) есть решение уравнения A35), отличное от нуля, и
пусть No есть та точка, в которой \\i{N) | имеет наибольшее зна-
значение. Если \i(N) не есть постоянная, то мы получим
| ц (No) |< | X || |i (No) I \\ SSl^Hl dS>
о
или, в силу B6),
откуда |Я,|> 1. Если в формуле A35) мы положим, что \i(N)
есть постоянная, отличная от нуля, то, пользуясь опять форму-
формулой B6), мы получим Я = — 1.
Таким образом, мы получаем:
Если S — выпуклая поверхность, то К = 1 не есть собствен*
ное значение уравнения A35), а А, = —1 есть собственное зна-
значение с рангом единица, соответствующая собственная функция
|i(jV) = const. Следовательно, мы можем утверждать, что для
уравнения A33) Я=*1 также не есть собственное значение, а
X = —1 есть собственное значение ранга единица.
Покажем теперь, что эти же результаты будут иметь место
и для любой поверхности Ляпунова при а= 1, причем мы ис-
используем результаты из f 102}, основанные на возможности по*
строения параллельных поверхностей. Будем исходить сейчас из
уравнения A33) и рассмотрим соответствующее однородное
уравнение при X = 1:
|i (JV0)_= J \ ii (N) Kx (NQ; N) dS.	A36)
Пусть |Ио(ЛО — непрерывное решение этого уравнения. Нам
надо показать, что \io(N)^0. Потенциал простого слоя с плот-
плотностью iio(N)ljxacj нам функцию ио(М), гармоническую в Di

334	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П0&
и De, непрерывную во всем пространстве, у которой предельные
значения нормальной производной (—1~") на «S равны нулю.
Последнее следует из того, что \io{N) по условию удовлетворяет
уравнению A36). К потенциалу простого слоя ио(М) применима
формула (94), из которой следует, что uo(N) есть постоянная
в De. На бесконечности потенциал простого слоя равен нулю» и,
следовательно, щ = О в De> и, в частности, на S. При этом гар-
гармоническая функция по(М) — О и внутри S, т. е. Uo(M)zb~0 во
всем пространстве. Принимая во внимание E4), получим:
что и требовалось доказать. Таким образом, можем утверждать,
что X = 1 не есть собственное значение уравнений A32) и A33).
Однородное уравнение A35) при 1 = —1 имеет, в силу B6), ре-
решение, равное произвольной постоянной, т. е. К = —1 есть соб-
собственное значение уравнений A32) и A33). Покажем, что его
ранг равен единице. Достаточно показать, что однородное урав-
уравнение A33) при Я, =—1:
= - \ \ И (АО Кг (No; N)dS	A37)
имеет, с точностью до произвольного постоянного множителя,
только одну собственную функцию.
Пусть |ии(ЛО — собственная функция уравнения A37). Потен-
Потенциал простого слоя с плотностью \i\(N) дает функцию и\(М),
гармоническую в Dh для которой предел (ядп ) на S равен
нулю. Как и выше, формула (92) покажет, что щ(М) есть по-
постоянная в Dt и на S, т. е. плотность \i\(N) дает потенциал про-
простого слоя, сохраняющий на 5 и внутри S постоянное значение.
Иначе говоря, \x\(N) есть электростатическая плотность.
Покажем, что интеграл
A38)
дающий общее количество электричества, находящегося в рав-
равновесии на проводящей поверхности S, отличен от нуля. Как
мы уже упоминали, и\ сохраняет постоянное значение в D, и
формула E4) дает
Ы^1 ¦	<139>

1091	ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ	335
Если бы интеграл A38) был равен нулю, то мы имели бы
Применим к и\ формулу (94). На S функция и\ сохраняет
постоянное значение, и интеграл A40) равен нулю. Отсюда еле*
дует, что обе части формулы (94) равны нулю при и = и\, т. е.
их равна постоянной в De, и формула A39) покажет нам, что
\i\(N) равно нулю на 5, а это противоречит основному предполо-
предположению, что \i\(N) есть решение однородного уравнения A37), не
равное тождественно нулю. Таким образом интеграл A38) дей-
действительно отличен от нуля. Умножая \ii{N) на постоянный
множитель, мы можем придать интегралу A38) любое наперед
заданное значение.
Покажем теперь, что уравнение A37) имеет с точностью до
постоянного множителя только одно решение. Пусть \i2(N) —
какое-либо решение этого уравнения, отличное от нулевого. Су-
Существует такая постоянная с, что интеграл A38) при замене
\i\(N) на |Ш2(Л0 — c\ii(N) равен нулю. При этом |Л2(ЛО— c\i\{N)
есть также решение уравнения A37), и, в силу только что до-
доказанного, |И2(Л0 — c\i\(N)^ 0 на S, откуда ^(N) — c\i\(N), т. е.
формула ii(N) = C{i\(N%) при произвольном постоянном с дает
все решения уравнения A37).
Из приведенных рассуждений следует, что уравнения A32)
и A33) для К= 1 при любом свободном члене имеют опреде-
определенное решение, и мы получаем, таким образом, решение вну-
внутренней задачи Дирихле и внешней задачи Неймана.
Обратимся теперь к уравнению A33) при % = —1. Оно дает
плотность потенциала A28), решающего внутреннюю задачу
Неймана. Для существования решения необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы свободный член интегрального уравнения был ортого-
ортогональным к собственной функции однородного союзного уравне-
уравнения, т, е. к постоянной. Это приводит к условию;
0,	A41)
необходимость которого мы видели уже и выше. При сделанных
предположениях оно оказывается и достаточным. Если это усло-
условие выполнено, то решение неоднородного уравнения определено
с точностью до слагаемого, явл-яющегося решением однородного
уравнения A37), т. е. с точностью до слагаемого, которое яв«
ляется электростатической плотностью. Подстановка этого сла-
слагаемого в потенциал простого слоя приводит к постоянному
потенциалу, а постоянное слагаемое не играет существенной
роли при решении внутренней задачи Неймана.

336 '	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	|109
Рассмотрим теперь уравнение A32) при К = —1, что соот-
соответствует внешней задаче Дирихле. Для разрешимости уравне-
уравнения необходимо и достаточно, чтобы свободный член уравнения
был ортогональным к решению однородного уравнения A37),
т. е. к электростатической плотности \i\(N):	~"
= 0.	A42)
Это дополнительное условие не связано с существом задачи,
а происходит лишь от того, что мы ищем решение внешней за-
задачи Дирихле в виде потенциала двойного слоя. Из вида такого
потенциала непосредственно вытекает, что он~обращается в нуль
при г->оо порядка 1/г2. Такое усиленное обращение в нуль в
бесконечно далекой точке не является необходимым при реше-
решении внешней задачи Дирихле, и именно это обстоятельство и
вызывает наличие дополнительного условия A42). Покажем,
что можно решить внешнюю задачу Дирихле без всякого допол-
дополнительного условия, налагаемого на f(N), при помощи суммы
потенциалов простого и двойного слоя. Действительно, пусть*
|M<V) — электростатическая плотность, для .которой интеграл
A38) равен единице, и щ(М) — соответствующий ей потенциал
простого слоя. Потенциал и\(М) имеет на S предельные значе-
значения, равные некоторой постоянной &, отличной от нуля. Выбе-
Выберем постоянную с так, чтобы имело место равенство
т е по ;ю/ким
Мы можем, согласно предыдущему, образовать потенциал двой-
двойного слоя w{M)y решающий внешнюю задачу Дирихле с пре-
предельными значениями f(N) — с. При этом сумма
будет решать внешнюю задачу Дирихле с заданными предель-
предельными значениями f(N).
Замечание. В настоящем параграфе мы предполагали,
что область, для которой мы решаем предельную задачу, огра-
ограничена одной поверхностью S Результаты будут иными, если
конечная область D ограничена извне поверхностью So и изнутри
поверхностями Su (/?=1, 2, ..., га). Будем для этой области
искать решение задачи Дирихле в виде потенциала двойного
слоя. Для плотности мы по прежнему получим уравнение A32)

109]	ИССЛЕДОВАНИЕ *ИНТЕГР А ЛЬ*ШХ -ДОАВНвНИЛ	337
при X = 1, причем S будет полной границей D, т. е. S будет со-
состоять из поверхностей So и Sk (ft=l, 2, ..., m), и на поверх-
поверхностях Sk нормаль должна быть направлена вовне D, т. е. внутрь
Sk (k = 1, •.., m). Мы имеем, таким образом, внутреннюю за-
задачу Дирихле. Уравнению A33) при К= 1 соответствует внеш-
внешняя задача Неймана. В данном случае она состоит в нахожде-
нахождении функции, гармонической внутри каждой из поверхностей Sk
и вне So, причем" заданы значения ее нормальной производной
на этих поверхностях. На бесконечности, как всегда, функция
должна быть регулярной.
Если заданные значения нормальной производной равны ну-
нулю, то имеем однородное уравнение A33) при к == 1. Как мы
только что видели, это уравнение имеет только нулевое реше-
решение, если D ограничена одной поверхностью. В данном случае
это будет не так. Действительно, представим себе все поверхно-
поверхности проводящими. На поверхности Si поместим единицу положи-
положительного электричества, а поверхность So соединим с землей и
положим, что на всех поверхностях установился электростати-
электростатический режим. На поверхностях S/ A = 2, ..„«) мы будем
иметь "индуцированное распределение электричества с общим
зарядом нуль.
Пусть fxi (N) — плотность полученного электростатического
распределения на S. Потенциал простого слоя с такой плотно-
плотностью будет, очевидно, постоянным внутри каждой поверхности
Sk и равным нулю вне So, т. е. этот потенциал будет решением
внешней задачи Неймана с однородным предельным условием.
Иначе говоря, \ii(N) будет удовлетворять однородному уравне-
уравнению A33) при X = 1. Помещая единицу положительного элек-
электричества последовательно на каждой из поверхностей S^, мы
будем иметь т линейно-независимых решений \Xk{N) однород-
однородного уравнения A33) при X = 1 Можно показать, что эти функ-
функции fife(iV) составляют полную систему линейно-независимых
решений упомянутого однородною уравнения. Мы видим, таким
образом, что в рассматриваемом случае X = 1 еегь собствен-
собственное значение уравнений A32) и A33). Для того чтобы уравне-
уравнение A32) было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы
f(N) удовлетворяло т условиям:
Если хоть одно из этих условий не выполнено, то внутренняя
задача^Дирихле не разрешима в виде потенциала двойного слоя.
Можно1 показать, что она разрешима в виде суммы потенциалов
двойного и простого слоев, аналогично тому, что мы имели выше
для ^вйеишей задачи Дирихле. Подробной рассмотрение задач

338	ГД?. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[ПО
теории потенциала в случае границы, состоящей из нескольких
поверхностей, имеется в книге Н. М. Гюнтера «La theorie du
potentiel...» (Paris, 1934).
Мы доказали раньше единственность решения задачи Ней-
Неймана при условии, что искомая гармоническая функция непре-
непрерывна вплоть до S. Из приведенных выше рассуждений следует,
что это единственное решение задачи Неймана представимо по-
потенциалом простого слоя.
ПО. Сводка результатов, касающихся решений предельных
задач. Сформулируем полученные выше результаты, относящиеся
к решению задач Дирихле и Неймана, и приведем некоторые но-
новые результаты, относящиеся к этому вопросу. Для любой функ-
функции f(N), непрерывной на 5, уравнение A25) определяет непре-
непрерывную плотность \i(N) так, что потенциал двойного слоя A23)
дает решение внутренней задачи Дирихле при предельном усло-
условии A24). Сопряженное интегральное уравнение A3Ь) дает не-
непрерывную плотность \x(N) такую, что потенциал простого слоя
A28) решает внешнюю задачу Неймана при предельном усло-
условии A302). Если f(N) удовлетворяет условию A41), то уравне-
уравнение A29) определяет плотность \i(N) такую, что потенциал про-
простого слоя решает внутреннюю задачу Неймана.
Сделаем важные замечания по поводу решения задач Неймана. В урав-
уравнениях A29) и A312) интегральное слагаемое правой части удовлетворяет
условию Липшица [99]. Если функция f(N) та^же удовлетворяет такому
условию, то из упомянутых уравнений следует, что и \i(N) удовлетворяет
такому же условию. Но тогда из [100] следует, что при этом соответствую-
соответствующий потенциал простого слоя, т. е. решение задачи Неймана не только само
непрерывно вплоть до 5, но и имеет непрерывные вплоть до S частные произ-
производные первого порядка.
Вернемся теперь к условию A41) разрешимости внутренней
задачи Неймана. Оно было нами получено в предположении, что
решение и(М) имеет правильную нормальную производную. Тем
самым и(М) должно быть непрерывно вплоть до S [102]. Пока-
Покажем, что из одной непрерывности и(М) вплоть до S вытекает
необходимость условия A41). Положим, что f(N) не удовлетво-
удовлетворяет этому условию, но все же существует решение задачи Ней-
Неймана и(М), непрерывное вплоть до 5, и приведем это к проти-
противоречию.
Согласно предположению, мы имеем
SS
S
и можно подобрать такуде постоянную С, отличную от нуля, что
\\[f(N)-C]dS = 0.

llCft	РЕЗУЛЬТАТЫ, КАСАЮЩИЕСЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ	339
В силу сказанного выше, мы можем построить решение и\\М)
внутренней задачи Неймана с предельным условием
в виде потенциала простого слоя с непрерывной плотностью, при-
причем Ui(M)— непрерывно вплоть до S. Разность и2(М) = и(М) —
— U[(M\ также непрерывна вплоть до 5 и удовлетворяет пре-
предельному условию
/ ди2 (Л
V дп
Изменяя, если это надо, знак у и2(М)у мы можем считать, что
С > 0. Функция и2(М) достигает на S своего наименьшего зна-
значения в некоторой точке Л/о, а это находится в противоречии с
тем, что при стремлении М к No по нормали ^ стремится к
положительной величине С. Таким образом, необходимость уело*
вия A41) для разрешимости внутренней задачи Неймана выте*
кает из непрерывности искомого решения вплоть до S.
Выше мы указали свойства производных решения задачи Неймана при
приближении к S. Аналогичное исследование решения задачи Дирихле более
трудно в связи с тем, что это решение представлено в виде потенциала двой-
двойного слоя. Исследование потенциала двойного слоя было выполнено в упомя*
нутой выше работе А. М. Ляпунова, а также в его работе «О фундаменталь-
фундаментальном принципе Неймана в задаче Дирихле» A902).
Перечислим результаты, полученные А М. Ляпуновым в отношении по-
потенциала двойного слоя и решения задачи Дирихле.
1.	Значение в точках поверхности 5 потенциала двойного слоя w(N) с
непрерывной плотностью представляет собою функцию, удовлетворяющую
условию Липшица с любым показателем, меньшим единицы.
2.	Если потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью имеет пра-
правильную нормальную производную на S с одной стороны этой поверхности,
то он имеет правильную нормальную производную и с другой стороны по-
поверхности, и эти нормальные производные одинаковы во всех точках S.
3.	Для того чтобы решение внутренней или внешней задачи Дирихле с
непрерывными предельными значениями f(N) на S имело правильную нор-
нормальную производную на 5, необходимо и достаточно, чтобы потенциал двой-
двойного слоя с плотностью I (N) имел правильную нормальную производную на S.
Эта теорема доказана в предположении, что число а, входящее в условие C),
равно единице.
4.	Пусть F:(x, у, z)—однозначная, непрерывная с производными двух
первых порядков функция, определенная в некоторой окрестности поверхно-
поверхности S, и пусть f(N) —значение F(x, у, г) на S. При этом производная по
любому фиксированному направлению от функции и(М), гармонической в Di
или De и принимающей на S значения f(N)} непрерывна вплоть до S. Тео-
Теорема эта доказана без предположения а = 1.
А. М. Ляпуновым установлено также достаточное условие для того, чтобы
потенциал двойного слоя имел правильную нормальную производную. Приве-
Приведем его. Пусть Аго — какая-либо точка S, которую мы берем за начало полярных
координат (р, G) в касательной плоскости к S в точке No Значения плотно-
плотности [i(N) в точках Nt близких к No, можно рассматривать, проектируя N на

340
ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
касательную плоскость как функцию р и 9. Обозначим
2л
- , ч 1
2я
И (Р, в) d*.
Упомянутое выше условие сводится к следующему. Существуют два поло*
жительных числа b и р таких, что при любом выборе точки Nq имеет место
неравенство
P+1
Эта теорема доказана Ляпуновым в предположении а = 1
Дальнейшие результаты в теории потенциала объемных масс, простого и
двойного слоя и в отношении исследования решения задачи Дирихле можно
найти в упомянутой выше книге Н М Понтера и в заметке: С моли ц-
кий X Л. Оценки производных фундаментальных функций. — ДАН СССР,
1950, 24, № 2.
111. Предельные задачи на плоскости. Задачи Дирихле и
Неймана на плоскости рассматриваются совершенно так же, как
и в [108]. Решение задачи Дирихле ищется в виде потенциала
двойного слоя:
cos (г, п) *
	:	ds,
и задачи Неймана в виде потенциала простого слоя:
Для плотности получаются интегральные уравнения:
ji (No) = Ф (NQ) + X \\х (N) К (NQ; N) ds,
*x (No) = ф (No) + % \ ix (N) Kx (No\ N) ds,
A44)
A45)
A46)
A47)
= |JVotf|).
Уравнение A46) при X = 1 и ср (No) — ^~ / (No) соответ-
соответствует внутренней задаче Дирихле, а при Я = —1 и ф(А/0) =
—	f(No) — внешней задаче Дирихле. Уравнение A47) при
Я = 1 и ф(Л/о) =	f (No) соответствует внешней задаче Ней*
мана, а при Я = —1 и <р (No) = — / (No) —- внутренней задаче
Неймана. Во всех случаях <р(Л/о)—функция, входящая в пре-
предельное условие.
где
IS (AT. \T\		COS (Гр, tl)	If (\T . \7\ 	 COS (fp, tip)

Ill]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ	341
Уравнение A46) можно записать в виде
Г°
V U) = Ф Ы + Я, }\i (s) К {s0, s) ds,
и
где s и So — длины дуг LN и LNo контура I, отсчитываемые от
какой-либо фиксированной точки L в определенном направле-
направлении, а /о — длина контура /. Аналогично записываем и уравнение
A47), При сделанных в [101] предположениях о контуре / ядра
K(so\s) и Ki(so\s)—непрерывные ядра.
Как и в [109], К = 1 не есть собственное значение, а К = —1
собственное значение первого ранга При этом для уравнения
A46)	собственная функция есть произвольная постоянная, а для
уравнения A47) это — электростатическая плотность \io(N), при
которой потенциал простого слоя A45) равен постоянной на / и
внутри /.
Решение внутренних задач Дирихле и Неймана получается
так же, как и в трехмерном случае. Остановимся на внешних за-
задачах. Решение внешней задачи Неймана связано с уравнением
A47)	при Я= 1. При этом функция y(NQ) должна удовлетво-
удовлетворять условию [105]:
Интегрируя обе части A47) при X = 1 по точке М>, получим
и, следовательно, функция A45), где m-(jV)—решение уравнения
A47) при X = 1, будет гармонической функцией, регулярной на
бесконечности [105], и, тем самым, будет давать решение внеш-
внешней задачи Неймана.
Переходим к внешней задаче Дирихле. Если f(M) удовлетво-
удовлетворяет условию
\
Г
то подстановка решения уравнения A46) при % — —1 в фор-
формулу A44) дает решение задачи.
Если это условие не выполнено, то берем такую постоянную
а, чтобы иметь (ср. [109])

342	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[112
и, как и выше, получаем по формуле A44) решение задачи
w(M) при предельных значениях f(N)—а, и сумма w(M) + a
будет искомым решением задачи с предельными значениями
f(N). Добавление постоянной связано с тем, что формула A44)
даег гармоническую функцию, равную нулю на бесконечности,
а в плоском случае решение внешней задачи не требует обраще-
обращения в нуль на бесконечности.
112. Интегральное уравнение сферических функций. Рассмо-
Рассмотрим однородное уравнение A33) для случая сферы 2 с центром
в начале и радиусом единица. В данном случае направление По
есть направление радиуса ON0 и cos(r0, п0) — •— ~9 так что
однородное уравнение A33) будет иметь вид
^-».	<148>
Мы пришли бы к тому же самому уравнению, если бы исходили
и из уравнения A32). Интеграл, стоящий справа, представляет
собою значение в точке N0(Q0,<р0) потенциала сферического слоя
с плотностью —K\x(N) : 4я = —A,ju(8, ф) : 4я.
Рассмотрим сначала этот потенциал в точке М(р, 0', ф'), на-
находящейся внутри сферы. Обозначая через г расстояние \MN\
и через р |ОМ|, будем иметь разложение [ПЬ; 133]
(р<1),	A49)
где Pk(x)—полиномы Лежандра и v — угол, образованный ра-
радиусами-векторами ОМ и ON. Возьмем за jn(9, ф) некоторую
сферическую функцию порядка п:
Пользуясь написанным выше разложением, равномерно сходя»
щимся при р <; 1, мы получим
что непосредственно вытекает из следующих формул [НЬ; 134]}
\ \Уп(в, y)Pm{cosy)dS = 0 при тфп
\ \ Yn (в, Ф) Ря (cos Y) dS = -2^- Yn (9', Ф').

&13I	ТЕПЛОВОЕ РАВНОВЕСИЕ ИЗЛУЧАЮЩЕГО ТЕЛА	343
При совпадении точки М с точкой Мь лежащей на сфере, мы
будем иметь
\ \ n (в, Ф) j; do = -g^j— Yn (90( ф0).
Отсюда видно, что кп = —Bм+1) суть собственные значения
уравнения A48), и всякому такому собственному значению со-
соответствуют B/г+1) собственных функций, а именно этими
собственными функциями являются сферические функции по-
порядка п. Первому собственному значению Хо = —1 соответствует
собственная функция, равная постоянной (электростатическая
плотность для случая сферы).
Покажем теперь, что уравнение A48) не имеет других соб-
собственных значений и что всякому собственному значению Хп не
соответствуют никакие другие собственные функции, кроме ука-
указанных выше сферических функций. Пусть к' есть некоторое
собственное значение уравнения A48), отличное от указанных
выше, a \i'(N)— соответствующая собственная функция. Ядро
уравнений A48) есть симметричная функция N и No, а потому
\\'(N) должна быть ортогональна ко всем сферическим функ-
функциям и, в частности, к P()
х'(9, Ф) Pk (cos y) da = 0.
При этом из разложения A49) вытекает, что потенциал сфери-
сферического слоя с плотностью \i'(N) равен нулю везде внутри сфе-
сферы, а следовательно, и везде на сфере. Но тогда интегральное
уравнение A48) покажет нам, что \х (N) тождественно равно
нулю на всей сфере, что не должно иметь места для собственной
функции. Рассмотрим теперь собственное значение кп. Если бы
ему соответствовала какая-нибудь собственная функция, кото-
которая не является сферической функцией порядка /г, то мы могли
бы считать, что эга собственная функция ортогональна ко всем
сферическим функциям и, повторяя предыдущие рассуждения,
убедились бы, что эта функция должна равняться тождественно
нулю на всей поверхности сферы.
Таким образом, сферические функции представляют собою
полную совокупность всех собственных функций интегрального
уравнения A48).
113. Тепловое равновесие излучающего тела. Рассмотрим
третью предельную задачу для уравнения Лапласа.
В случае установившегося потока тепла температура и(М)
внутри тела должна удовлетворять уравнению Лапласа, а на
границе S должно быть выполнено условие

344	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	fll3
где h — коэффициент внешней теплопроводности и по — темпера-
температура внешней среды, соприкасающейся с телом. Обе эти вели-
величины мы можем считать функциями точки на поверхности S, и
приходим, таким образом, к задаче нахождения гармонической
функции внутри поверхности S, удовлетворяющей на этой по-
поверхности предельному условию вида:
A50)
где p(N) и f(N) заданные на 5 функции и p(N)>0. Будем
•искать решение этой предельной задачи в виде потенциала про-
простого слоя. Предельное условие A50) приведет к следующему
интегральному уравнению для плотности:
р (jv) cos <p» "<>> dS + 2jtji (No) + p (No) \\\x(N)ydS = f {No),
s	s
или
5
Покажем, что при сделанном выше предположении однородное
уравнение не может иметь решения, отличного от нулевого. Дей-
Действительно, мы видели выше [104], что при p(N)>0 гармони-
гармоническая функция, представимая потенциалом простого слоя и тем
самым имеющая правильную нормальную производную и удов-
удовлетворяющая однородному предельному условию
= 0,	A51)
тождественно равна нулю внутри S. Положим, что однородное
уравнение имеет решение \x(N). Потенциал простого слоя с
плотностью ц,(Л0 удовлетворяет однородному предельному усло-
условию A51) и, следовательно, равен нулю внутри 5. Поскольку он
равен нулю и на бесконечности, мы, как и раньше, заключаем
отсюда, что он равен нулю во всем пространстве и что [л(Л/)=е== 0,
т. е., действительно, однородное уравнение не имеет решений, а
потому неоднородное уравнение разрешимо при любом выборе
свободного члена f{No). Предположим, что поверхность 5 есть
сфера S единичного радиуса и что функция p(N) есть положи-
положительная постоянная h. В этом случае, в силу г0 = —2cos(r0, По),
мы получаем интегральное уравнение
которое мы разбирали в предыдущем параграфе. Если считать
h за параметр, то собственные значения этого интегрального

114]	МЕТОД ШВАРЦА '	345
уравнения определятся из уравнения 1—2/t = 2tt+l, т. е. соб-
собственные значения будут /i = 0, —1, —2, ..., а соответствующие
им собственные функции будут сферические функции. Совершен-
Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть третью предельную
задачу и для случая плоскости.
114. Метод Шварца. Опишем еще один метод решения зада*
чи Дирихле. Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле
для областей В\ и В2 при любых непрерывных предельных зна-
значениях, причем эти области имеют общую часть О, как это ука-
указано на рис. 8. Метод Шварца дает возможность решить задачу
Дирихле для области В = В\ + В2,
получаемой объединением областей В\
и В2. Мы проводим рассуждения в пло-
плоском случае, но они останутся совер- аЛ
шенно такими же и в случае трехмер-
трехмерного пространства. Контуры областей
В\ и В2 точками их пересечения де-
делятся на части ai и Pi для В\ и о&2 и Рг	Рис **•
для В2. Пусть на контуре /==ai+ob2
области В нам задана некоторая непрерывная функция )
Вычисления в методе Шварца проводятся следующим образом.
Функцию (o(jV), заданную, в частности, на ai, продолжаем ка-
каким-нибудь образом на Pi с сохранением ее непрерывности.
Пусть o>i GV)—полученная таким образом на pi функция. Решая
задачу Дирихле для В\, строим в В\ гармоническую функцию
и\(М) со следующими предельными значениями:
/т I
И'(Л0=П
на аь
со1(Л0 на ft.
Значения этой функции на р2 вместе со значениями co(N) на аа
принимаем за предельные значения новой гармонической функ-
функции V\{M) в В2:
/W на
на
Строим теперь в В\ гармоническую функцию Ыг(Л1) с предель-
предельными значениями:
(N) на аь
(Ю на ft.
Дальше строим в $2 гармоническую функцию v2{M) с предель-
предельными значениями;
на Ра

846- .	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	IU4
в т. д. Вообще	, „ , .„
па ^*1г
на Pi,
A52)
= О В В2 И 0Л (Л/) = S	/АЛ	Q
Докажем теперь, что существует \imun(M) в /?! И/Нтая(
в В2 и что в общей части областей Вх и В2 эти пределы совпа-
совпадают. Для этого используем одну лемму, которую сейчас и фор-
формулируем. Упомянем сначала о предположениях, которые мы
делаем относительно контуров областей. Мы предполагаем, что
контуры областей В\ и В2 состоят из конечного числа кусков,
имеющих непрерывно меняющуюся касательную. Таким обра-
образом, возможно конечное число угловых точек на контуре. Кроме
того, мы предположим, что в точках пересечения N\ и N2
;(рис. 8) оба контура имеют касательную, и что эти касательные
в N\ и N2 образуют между собою угол, отличный от нуля. Фор-
Формулируем теперь лемму: если контуры областей Вх и В2 удовле-
удовлетворяют указанным условиям и w(M) есть функция, гармониче-
гармоническая внутри В\, непрерывная в замкнутой области, принимаю-
принимающая на а\ значения нуль и на f$i удовлетворяющая условию
\w{N)\^,A, то существует положительная постоянная q<\,
зависящая только от областей Вх и В2,< но не от выбора w(M),
такая, что \w(M)\^qA на р2. Аналогичное утверждение будет
верно, если мы будем исходить из В2 и оценивать w(M) на Pi.
Мы можем при этом считать, что число q одно и то же в обоих
случаях. Откладывая доказательство леммы до следующего па-
параграфа, применим ее для доказательства сходимости процесса
Шварца.
Согласно построению:
на cii,
ft.
A53)
на
на
на
Рь
а2,
В*
Введем следующие обозначения:
Mn = max\un+i{N)--un{N)\==m2Lx\vn(N)--vn__i(N)\ на рь
M'n = max\vn+i(N)--vn(N)\==max\un+i(N)--un(N)\ на р2.
Принимая во внимание предельные условия A53) и лемму, по-
получим Mn^qMn и Mn^qM'n-i. Отсюда следует, что Мп^.
^ q*Mn-x (п = 2, 3, ...), т. е. Мп < q4»-»Mi.
Составим ряд
и, (М) + I [ая+1 (М) ~ ип (М)].	A54)
1

а 15]
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ
347
Его члены, начиная со второго, равны нулю на ai и имеют
оценку \un+i(N)—un(N) | ^ q2i»-l)Mi на рь Таким образом, на-
написанный ряд сходится абсолютно и равномерно на контуре В\,
а тем самым во всей замкнутой области. Его сумма и(М) будет
непрерывной в замкнутой области В\ и гармонической внутри В\.
Сумма первых членов ряда A54) есть ип{М), и мы можем, сле-
следовательно, утверждать, что ип(М)-*и(М) равномерно в замк-
замкнутой области. Совершенно так же_докажем, что vn(M)-+v(M)
равномерно в замкнутой области Б2, где v(M) — непрерывна в
замкнутой области В2 и гармоническая внутри В2. На основа-
основании A52)
ип(Л0 = tf/i-i(АО на Pi и vn(N) = un{N) на р2.
Переходя к пределу, видим, что u(N) и v(N) совпадают на
pi и р2. Отсюда следует, что они совпадают и везде в общей
части О областей В\ и В2. Таким образом, внутри В = Si -f- Вч
функции и(М) и v(M) дают единую гармоническую функцию.
В силу A52), эта гармоническая функция имеет заданные пре-
предельные значения cd(jV) на контуре / = ai + а2, и, таким обра^
зом, метод Шварца действительно решает поставленную выше
задачу.
115. Доказательство леммы. Образуем потенциал двойного
слоя, распределенного вдоль дуги Pi с плотностью единица:
1
дп
•ds.
A55)
Это есть угол, под которым видна дуга Pi из точки Му причем
мы считаем, что М принадлежит В\. Функция A55), гармониче-
гармоническая внутри В\, принимает непрерывные предельные значения
во внутренних точках дуг ai и pi (рис. 9).
При приближении точки Af контура к точке N\ со стороны
дуги ai и со стороны дуги pi мы будем иметь для упомянутых
предельных значений F(N) функции A55) различные пределы,
которые обозначим F~(N\) и F+(N\).
Эти пределы сутб углы, образованные секущей N\N2 с раз-
различными, направлениями касательной к контуру области В\ \

348	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[115
точке #i (рис. 10), причем мы имеем
F+(N{)-F_(N{) = n.	A56)
Если мы будем приближать точку М к N\ вдоль какого-ни-
какого-нибудь луча N\Q, который образует угол 0 с указанным на чер-
чертеже направлением касательной в точке, то функция A55) бу-
будет, как нетрудно видеть из чертежа, иметь предел: F+(A/t)-— 0,
который, на основании A56), может быть записан в виде
+(N{).	A57)
При приближении М к N\ любым образом функция A55) мо-
может иметь различные предельные значения, но они должны со-
содержаться между F-(N\) и F+(/Vi), и функция A55) будет огра-
ограниченной в окрестности N\. Совершенно аналогичные резуль-
результаты получатся и в точке Л^-
Определим на контуре / — on + Pi функцию f(N), равную
нулю внутри «1 и л внутри рь Обозначая, как и выше, через
F(N) предельные значения функции A55), внутри а\ и р} обра-
образуем функцию f\(N) — F(N)— f(N). Нетрудно видеть, что она
будет непрерывной на всем контуре / = <х\ + рь включая точки
N\ и N2, так как уменьшаемое и вычитаемое имеют в этих точ-
точках одинаковый скачок. Значение этой функции, например в
точке jVi, будет равно F-(Ni). Пусть F\(M)— гармоническая в
В{ функция, имеющая на контуре непрерывные предельные зна-
значения fi(iV). Построим гармоническую функцию
G(M) = -jr[F(M)-Fl(M)].	A58)
Ее предельные значения внутри ai будут нуль и внутри pt —
единица. Кроме того, в силу сказанного выше относительно
F(M)t при приближении М к N\ или N2 предельные значения
G(M) должны обязательно принадлежать промежутку [0, 1].
В силу принципа максимума и минимума и все внутренние зна-
значения функции A58) будут находиться внутри этого проме-
промежутка, т. е. 0<lG(M)<C 1, если М внутри В\. Положим, что 0i
и 92 суть углы, образованные касательными к линии р2 в точка к
Ni и N2 с касательными к контуру области В{ в этих же точках.
При приближении вдоль р2 к точке N\ функция F(M) имеет, в
силу A57), предел [/^(ЛЛ) — 9i], а функция F\(M) с непрерыв-
непрерывными предельными значениями f\(N) будет иметь предел
fi(Nl)= F^(Ni) и, в силу A56), функция A58) будет иметь
— ft
предал I	L. Точно так же в точке Л/2 функция A58) буде?
л
иметь предел 1	-. Оба эти предела меныце единицы, а зиу«

116]
МЕТОД ШВАРЦА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
349
три области мы имеем 0< G(M)< 1. Отсюда непосредственно
следует, что существует такое положительное число q < 1, что
G(Af)	р
O р
После этих вспомогательных построений вернемся к функции
w(M), упомянутой в лемме. Заменяя эту функцию на w(M):A,
можем считать, что число А, фигурирующее в лемме, равно еди-
единице, т. е. гармоническая функция w(M), непрерывная в замк-
замкнутой области Б\у имеет на а\ предельные значения, равные
нулю, и |ay(Af)|^ 1 на Рь В точках N\ и N2 предельные значе-
значения w(M) равны, очевидно, нулю. Составим гармоническую
функцию H(M)—G(M)—w(M). Ее предельные значения вну-
внутри дуги osi равны нулю и внутри дуги pi неотрицательны, ибо
внутри Pi имеем G(N)= 1 и \w(N) |^ 1. При приближении М
к N\ и N% предельные значения Н(М) должны принадлежать
промежутку [0, lj. Отсюда непосредственно следует, что
Н(М) ^Ов замкнутой области /Jj, т. е. w(M) ^ G(M) и, следо-
следовательно, на р2 мы имеем w(M) ^ G(M) ^ q. Совершенно так
же G(M)+ w(M) ^s 0 в Бь и отсюда следует, что — w(M)^.
G(M)q на Рг. Полученные два неравенства дают
|| q, что и доказывает лемму. Это доказательство мо-
жег быть повторено и в трехмерном случае1).
116. Метод Шварца «(продолжение). Мы рассмотрели при-
применение метода Шварца в простейшем слулае взаимного распо-
расположения областей В\ и В2- Контуры этих областей могут пере-
пересекаться более чем в двух точках (рис. 11), могут иметь общие
U
Of
Рис. 11.
Рис. 12.
Рис. 13.
части (рис. 12). Может случиться, что В{ и В2 односвязны, а их
сумма многосвязна (рис. 13). На рис. 11 контур области В =
= Bi +B2 есть линия CDEFGHJKC. На рис. 12 ломаная CDE
есть общая часть контуров, и на рис. 13 заштрихованные обла-
области являются общей частью областей В\ и Въ. Во всех случаях
построение последовательных приближений в методе Шварца
будет буквально таким же, что и выше. Несколько видоизменяя
метод вычисления, мы, умея решать задачу Дирихле для В\ и В2,
1) См Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики,
т, II.— М.: Гостехиздат, 1951,

350	, ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[Иб
сможем получить решение не для суммы этих областей, а для
области, которая является общей частью областей В\ и В2.
В случае рис. 8 это будет область, ограниченная контуром
P + p На этом контуре нам заданы предельные значения
Мы будем искать по этим предельным значениям гармони-
гармоническую функцию в виде суммы
w{M) = u (М) + v (M),	A59)
где и(М) — гармоническая в В\ и v(M) — гармоническая в В2.
Такое разбиение искомой функции на два слагаемых, очевидно,
не однозначно, что несущественно при дальнейшем построении.
Продолжим каким-нибудь образом заданные на pi значения
функции co(iV) на дугу ai так, чтобы получалась непрерывная
функция, и это продолжение обозначим через cpi(Af).
Построим последовательные приближения для и(М) и v(M)9
как решения задач Дирихле при следующих предельных усло-
условиях:
на cti,	( О	на а2,
на рь	' ( <u(N) — U\(N) на р2.
При этом заметим, что разность co(iV) — U\(N) равна нулю в
точках Ni и Л/. Для вычисления следующих приближений пола-
на а[у	ГО	на сс2,
и	1ю(Л/)-ия+1(]у)нар2.
Процесс будет сходящимся, и сумма A59) будет давать реше-
решение задачи.
Подробное изложение указанного метода можно найти в
книге: Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные
методы высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962, где этот метод
применяется не только для уравнения Лапласа, но и для других
уравнений эллиптического типа. Этот метод применим и для
трехмерного случая.
Укажем еще на одну возможность применения метода Швар-
Шварца. Нам придется сейчас иметь дело с решением внешней задачи
Дирихле и, в связи с этим, мы будем рассматривать не плоский
случай, а случай трехмерного пространства. Пусть в простран-
пространстве имеется п замкнутых поверхностей Sk (k=l, 2, .,., n),
причем тела, ограниченные ими, не имеют общих точек. Обо-
Обозначим через D часть пространства, находящуюся вне всех
поверхностей S*, и через Dk — часть пространства, находящуюся
вне Sk. Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для
всех Dk при любых непрерывных значениях на Sk, и покажем,

316]	МЕТОД ШВАРЦА (ПРОДОЛЖЕНИЕ?	351
каким образом можно при этом решить задачу Дирихле для D.
Все области Dk и область D содержат внутри себя бесконечно
далекую точку и, как обычно, при решении задачи Дирихле
считается, что гармоническая функция равна нулю на бесконеч-
бесконечности.
Итак, требуется найти функцию, гармоническую,внутри D
и принимающую на поверхностях Sk заданные непрерывные зна-
значения:
(ft=l, 2, .... п).	A60)
На первом шаге находим при каждом k функции «о, k(M)
(k = 1, 2, ..., п) — гармонические внутри Dk и принимающие
значения fk(N) на Sk- Далее находим функции щ, k(M) (k =
= 1, 2, ..., п), гармонические'внутри D&, с предельными зна-
значениями:
на Sk {k= I, 2, ..., я), A61)
причем суммирование производится по всем / от t= 1 до / = п,
кроме i = й.
Вообще при всяком целом положительном т находим функ-
функции ит, k(M) (k = 1, 2, ¦.., п), гармонические внутри Dk с пре-
предельными* значениями
ит. k(N)\sk = - Zkum-U t{N) на 5, (k=l, 2, ..., п). A62)
Функции
^m, к{Щ	(fe=l, 2, ..., П),
m-0
гармонические внутри D^ с предельными значениями
ia Sk (k= 1, 2, ..., п).
tm,k() fk()t
Вычитая из обеих частей сумму
можем переписать предыдущее равенство в виде
S Z%,iW = MiV)-«MWHaSft (fe= I, 2, ..., n). A63)
Если мы докажем, что при беспредельном возрастании р все
функции ир% k(M) (fe=l, 2, ...,я) стремятся равномерно в
замкнутой области D к нулю, то из A63) будет следовать, что

«52	гл- "• ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	(Ив
гармоническая внутри D и непрерывная вплоть до границы
функция
Р? tum.t№
при беспредельном возрастании р и дает решение задачи Ди-
Дирихле для области D с предельными значениями fk(N) на Sk-
«(М)= Е tum.t(M).	A64)
Переходим к выяснению условий, при которых функции uPtk(M)
стремятся к нулю равномерно в замкнутой области D. Обозна-
Обозначим через Vk(M) (ft=l, 2, ..., п) функцию, гармоническую
внутри Dk и равную 1 на S*. При этом vk(M)^ 0 внутри Dk, и,
в силу того, что vk{M)-+Q при беспредельном удалении точки
Л1, существует такая постоянная q^, удовлетворяющая условию
О < Цк < 1, что
Vk(M)<Qk на Si при 1фк (&= 1, 2, ..., п). A65)
Если Wk{M) (k = 1, 2, ..., л) — какие-нибудь функции, гармо-
гармонические внутри Dk, непрерывные вплоть до S* и удовлетворяю-
удовлетворяющие условию
\wk{M)\<akM?i Sk (k=l, 2, ..., n),	A66)
где ajfe — постоянные, то a^u^(M) — Wk{M) будут гармоническими
внутри Dk и неотрицательными на Sk, откуда следует, что
akVk(M)~Wk{M)^b в замкнутой области Dk, т. е. Wk(M)^
^ ukVk(M) в Ь*. Не меняя условия A66), мы можем переменить
знак у гармонической функции Wk(M)y и, таким образом, можем
считать, что Wk(M)^ 0 в рассматриваемой точке М, Таким об-
образом, из предыдущих рассуждений следует, что
\wk{M)\<zakvk{M)y	A67)
откуда, в силу A65),
\wk{N)\^akqk на St при 1фк (к= 1, 2, ..., л). A68)
Это неравенство является, таким образом, следствием A66).
Пусть а—-такое положительное число, что 1/^(^I^ а при
k = 1, 2, ..., пу и <7 — наибольшее из чисел qu q<i> ..., 9л, при-
причем, очевидно, 0 < # < 1. В силу A60) мы имеем | u%k(N) \ ^ a
на Sfe. В силу A61) и A68) мы имеем далее 1^1,^(^I^
^(n-l)aq на S* (Л — 1, 2, ..., п). Применяя далее A62)'
при т = 2 и пользуясь опять A68), получим \u2yk{N)\^
^{n—lJaq2 на Sk и, вообще, | иР| *(#) | ^ (л— 1)^а^ на 5^,
и, следовательно,
a (МвЪк) (*=1, ?,.-., л). A6Э)

117]	СУБ И СУПЕРГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	353
Если число поверхностей п = 2, то отсюда следует, чтс
ир, k(M)-+0 при /?~>оо равномерно в Dk и тем более равномерно
в замкнутой области D. Если п > 2, то мы получаем следующее
достаточное условие того, что uP} k(M)-+0:
(n-l)q<l.	A70)
Число q, по самому его построению, не зависит от предельных
условий fk{N) и определяется только областью D. Мы могли бы
совершенно так же рассмотреть и тот случай, когда область D
есть конечная область, имеющая внешнюю границу Si и вну-
тренние границы S2> 5з, ..., Sn. При этом для области D\, огра-
ограниченной поверхностью Si, мы имели бы внутреннюю задачу
Дирихле, а для областей Dk (k — 2, ..., п), как и выше, внеш-
внешнюю задачу. Указанное выше построение принадлежит Г. М. Го-
лузину (Матем. сб., 1934, 41, № 2). Оно неприменимо в пло-
плоском случае, как в этом нетрудно убедиться, задавая постоян-
постоянные значения на отдельных замкнутых контурах /*.
117. Суб- и супергармонические функции. При решении за-
задачи Дирихле методом интегральных уравнений были сущест-
существенны сравнительно тяжелые ограничения, которые приходилось
накладывать на границу области. Мы изложим другой метод
решения задачи Дирихле, годный при весьма общих предполо-
предположениях о границе области и предельных значениях на этой гра-
границе. Его часто называют «методом выметания». Он был пред-
предложен Пуанкаре, затем уточнен Перроном (Perron. Eine neue
Behandlung der ersten Randwertaufgabe fur Ди-= 0. — Math. Z.,
1923, 18, S. 42—54; см. также статью И. Г. Петровского:
Метод Перрона решения задачи Дирихле. — УМН,*1941, 8 и его
книгу по уравнениям с частными, производными) и Балле —
Пуссеном.
В настоящем параграфе мы изложим некоторые новые поня-
понятия, которые окажутся нам полезными при проведении упомя-
упомянутого метода. Эти новые понятия представляют и общий инте-
интерес в математической физике. Все изложение мы будем прово-
проводить для случая плоскости. В трехмерном пространстве они
буквально такие же. Разница в исследовании предельных зна-
значений гармонической функции, которая строится по упомянутому
методу, указана в конце изложения метода.
Для функции одной независимой переменной у(х) аналогом
уравнения Лапласа является уравнение у"(х) — 0, и его общий
интеграл есть полином первой степени: у — ах-\- Ь, а его гра-
график— прямая. Задача Дирихле, т. е. задача определения реше-
решения уравнения у"(х) = 0 внутри промежутка [а, Ь] при задан-
заданных значениях на. концах промежутка, сводится просто к
проведению прямой через две заданные точки. Характерным для
полинома первой степени является тот факт, что его значение

354	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[117
в какой-либо точке х = хо является средним арифметическим его
значений в точках x = xo-\-h и х = хо — Л, равноотстоящих от
х = хо Рассмотрим теперь непрерывную линию, обращенную
вогнутостью в сторону положительных ординат. Пусть у =
— у{х)— ее уравнение. В точках этой линии мы будем иметь
У(хо) <j[y(x0 + Л) + У(хо - А)].	A71,)
Совершенно аналогично, если линия обращена выпуклостью в
сторону положительных ординат, то
JfW > уЫ*о + А) + У (*о - А)].
Неравенство A711) непосредственно вытекает из того факта,
что в рассматриваемом случае каждый участок кривой нахо-
находится под своей хордой. Введем соответствующие классы функ-
иий и в случае нескольких переменных. Пусть /(Л1)—функция,
непрерывная внутри плоской области В. Мы назовем ее субгар-
субгармонической внутри Б, если для всякой точки Р, находящейся
внутри В, существует такое положительное число 6, что f(P)
не превосходит среднего значения f{M) на окружности с центром
Р и любым радиусом р < б Если ввести координаты (х, у) точки
Р, то высказанное условие запишется в виде
2я
f(x>y)<J^\ f (х + Р cos Ф> У + 9 sin ф) Лр (р < 6). A720
о
Если функция f(M) — гармоническая функция внутри В, то
для всякой точки внутри В в формуле A72i) имеет место знак
равенства [II; 204], и таким образом гармоническая функция
есть частный случай субгармонической функции. Определение
может быть непосредственно обобщено и на трехмерный случай,
только окружности мы должны заменить сферами. Совершенно
аналогично определяется супергармоническая функция Для нее
вместо A72i) мы должны иметь во всякой внутренней точке
области В:
2я
. У) > ^2лГ J
о
J	Р C°S ф' !/ + Р S
о
Гармоническая функция есть частный случай и супергармо-
супергармонической функции. Из определения непосредственно вытекает,
что если f(M) есть субгармоническая функция и С — постоян-
постоянная, то Cf(M) будет субгармонической при С>0 и супергар-
супергармонической при С <С 0. Если же f(M)—супергармоническая, то
Cf(M) — супергармоническая при С>0 и субгармоническая при
С < 0. Кроме того, из данных нами определений вытекает, что

ИГ]	СУБ- И СУПСРГЛРМОНИЧЕСГИЕ ФУТ1КТ1ТТИ	355
конечная сумма субгармонических функций есть субгармониче-
субгармоническая функция, и конечная сумма супергармонических функций
есть супергармоническая функция.
Положим, что /(М) = /(х, у) имеет внутри области В непре-
непрерывные производные второго порядка и
Ц=-ш+1&>0 (внутри в)-	A73l)
Применяя формулу Грина к кругу /СР с центром P(xt у), лежа-
лежащему внутри В, и полагая « = fiio = l, получим
A74)
ср
где Ср — окружность круга-Кр. Применим euje к функции / фор-
формулу [II; 203]:
СР
где г—расстояние от (х> у) до переменной точки интегрирова-
интегрирования. На Ср направление п совпадает с направлением г, a ds —
= pdcp, и, пользуясь A74), мы можем переписать предыдущую
формулу в виде
2т
^ J J A/ lg jdo.
0	%
В друге /Ср мы имеем г:р^1, и, в силу A731), последняя
формула дает неравенство A72j), т. е. при условии A730 функ-
функция f(M) есть субгармоническая внутри В функция. Точно так
же, если
Af<0 (в В),	A732)
то f(M) есть супергармоническая внутри В функция. В основ-
основном определении суб- и супергармонической функций мы не
предполагаем существования производных. Условия A73i) и
A732) аналогичны известным условиям выпуклости и вогнутости
кривой [I; 71].
Выясним некоторые простые свойства суб- и супергармони-
супергармонических функций. Положим, что f(M) непрерывна в замкнутой
области и субгармоническая внутри области. При этом из A72i)
непосредственно вытекает, что субгармоническая функция при-
принимает наибольшее значение на контуре. Больше того, она не
может иметь внутри максимума, в окрестности которого она не-
непостоянна. Точно так же супергармоническая функция прини-
принимает наименьшее значение на контуре.

356	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Ш8
118. Вспомогательные предложения. Мы докажем некоторые
предложения о суб- и супергармонических функциях, которые
нам будут нужны при решении задачи Дирихле. В дальнейшем
через Б мы, как всегда, будем обозначать ограниченную область
В вместе с ее контуром, т. е. замкнутую область.
Теорема I. Пусть fk(M) (k=\9 ..., m)-*-функции, непре-
рывные в В и субгармонические^внутри В. Построим функцию
Ф(Л1), которая в каждой точке В равна наибольшему из значе-
значений fk(M) (k= I, •.., m):
Ф(М) = max[ЫЛ1), ..., fm(M)].	A750
При этом ф(М) будет непрерывной в Б и субгармонической вну-
внутри В.
Теорема I'. Аналогично, если fk{M) — супергармониче-
супергармонические и
Ф(М) = min[f,Ш), ...,fm(Щ,	A75j)
то и \|>(М) — супергармоническая.
Непрерывность ф(М) в Б непосредственно вытекает из не-
непрерывности fk(M). Пусть (хо> {/о) — некоторая точка внутри В,
и пусть в этой точке ф(а-0, уо) равно, например, М*о, У^- ^ы
имеем, в силу субгармоничности f\(x, у),
Ф (*о, Ус) = /i Uo, УоХ 2JT J f\ (xo + Р cos ф, yQ + p sin <p) dq>.
о
Но, в силу A75i), на окружности, по которой производится ин-
интегрирование, (р(М)^ f\(M), а следовательно, и подавно
ф (*о> й)<2?) Ф (*о + Р cos ф, уо + р sin ф) д?ф,
о
что и дает субгармоничность ф(Л1).
Теоремами. Пусть f(M) субгармоническая внутри В и не-
непрерывная в В, К — круг, содержащийся в В, и ик(М)—та гар-
гармоническая внутри К функция, значения которой на окружности
круга К совпадают со значениями f(M). Тогда
f(M)<uK(M) (в К).	A76!)
Теорема II'. Аналогично, если f{M)—супергармоническая
функция, то
f(M)>uK(M) (в К).	A762)
Выражение / — и% ^= / + (—ик) есть сумма субгармониче-
субгармонической функции f{M) и гармонической (т. е. тоже субгармониче-
субгармонической) функции {—U&). Значит / — и& есть субгармоническая

119]	МЕТОД НИЖНИХ И ВЕРХНИХ ФУНКЦИЙ	357
внутри К функция, равная нулю на контуре. Следовательно, со-
согласно сказанному в предыдущем параграфе, / — ик ^ О внутри
/С, что и приводит к A76i).
Теорема III. Если при условиях теоремы II мы заменим
значения f(M) в круге К значениями ик(М) и обозначим новую
функцию через /VGW), то эта функция, непрерывная в Б> будет
субгармонической внутри В.
Теорема ИГ. Такое же построение для * с у пер гармониче-
гармонической функции даст супергармоническую функцию (к(Щ.
Вне /( функция 1к совпадает с /, и условие A72i) очевидно
выполнено во всякой точке вне К при достаточно малом б. Вну-
Внутри К функция f/c — гармоническая, и A72i) выполнено со зна-
знаком равенства. Остается проверить выполнение A72i) в точках
окружности круга /С Пусть (х0, уо) — такая точка, причем если
упомянутая окружность имеет точки, общие с контуром обла*
сти S, то мы считаем, что (*о, Уо) лежит внутри В. Мы имеем
2л
!к (хо7Уо) = f {х0, й)< ^ \ f (*о + Р cos ф, уо + Р sin ф) ^ф^ (р < 6).
о
Внутри /С, в силу теоремы II, fK ^ /, а вне К будет /* = /> сле<
довательно, и подавно
2л
/к (*<ь Уо) < -^ \ 1* (х° + р cos Ф'^о + Р sin ф) йф,
о
что и требовалось доказать.
119. Метод нижних и верхних функций. Мы переходим сей-
сейчас к изложению метода Пуанкаре — Перрона. Пусть на плоско-
плоскости имеется ограниченная область В и I ее граница, о которой
мы не делаем пока никаких предположений. Положим, что на /
задана функция co(jV)= co(x, у)} относительно которой мы пред-
предположим пока только, что она ограничена, т. е., что существуют
два таких числа а и Ь, что
A77)
Назовем нижней функцией всякую функцию ф(М), которая
является непрерывной функцией в замкнутой области, субгармо-
субгармонической внутри области, и на контуре удовлетворяет условию
Ф(/У) ^ co(iV). Аналогично верхняя функция г|?(М) должна быть
супергармонической внутри и на контуре должна удовлетворять
условию г|) (N) ^ w (N).
Существует, очевидно, бесчисленное множество тех и других
функций. Например, всякая постоянная, которая не превосходит
а, будет нижней функцией. Пусть ф — некоторая нижняя и ^ —

358	ТЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Ш9
верхняя функции. Выражение % = ф—1|) = ф -f (—ф), как сум-
сумма двух субгармонических функций, будет субгармонической
функцией_и х ^ 0 на '• Отсюда следует, что % ^ 0 в В, т. е.
Ф ^ t|) в В. Иначе говоря, всякая нижняя функция не больше
всякой верхней в В. Из теорем I и Г непосредственно следует,
что если fi(Af), MAI), ..., fm(M) —нижние функции, то и функ-
функция ф(М), определяемая формулой A75i), также нижняя функ-
функция, аналогично и для верхних функций и формулы A752). Точ-
Точно так же из теорем III и ИГ следует, что если / (М) — нижняя
функция, то и функция (к(М)— нио/сняя функция, и аналогично,
если f(M) — верхняя функция, то и \к{Щ — верхняя функция.
Совершенно очевидно, что нижние функции ограничены
сверху некоторым числом, а верхние ограничены снизу. Напри-
Например, число Ь, фигурирующее в неравенстве A77), есть верхняя
функция, и мы имеем для любой нижней функции ф(М)^й.
Совершенно аналогично для любой верхней функции г|)(Л1)^а.
Таким образом, множество значений всевозможных верхних
функций <ф (М) в любой фиксированной точке М, лежащей вну-
внутри В, имеет точную нио/снюю границу [1; 42], которую мы обо-
значим через и(М). Это будет некоторая функция, определенная
внутри В. Из г|)(Л1)^а следует, что и(М)^а, а поскольку по-
постоянная b есть верхняя функция, мы имеем и(М)^Ь, т. е. по-
построенная функция и(М) удовлетворяет условию а^и(М)^Ь.
Согласно определению точной нижней границы для каждой точ-
точки Мо, лежащей внутри В, существует такая последовательность
tyn(M) верхних функций, что tyn(Mo) — u(Mo) при п-+оо. Если
существует такая верхняя функция i])(M), что <ф (Мо) = w(Ai0),
то мы можем, например, считать •\jpn(M)= -ф (М) при любом
значке п. Для разных точек Мо последовательности tyn{M) мо-
могут быть разными. Докажем теорему:
Теорема. и(М) — гармоническая внутри В функция.
Отметим, что дальше значки у функций мы будем писать не
снизу, а сверху в скобках.
Предварительно докажем лемму:
Лемма. Если Р — произвольная фиксированная точка, ле-
жащая внутри В, то существует монотонная последовательность
верхних функций:
«pW (М) > Ф<2> (М) > ... (М в В)	A78)
таких, что ц)(п)(Р)-*и(Р).
Как мы видели выше, существует последовательность $п(М)
верхних функций таких, что tyn(P)-*u(P). Положим
A79)
Функции ф(п)(М), как мы видели выше, — непрерывные верхние
"функции. При возрастании п увеличивается число функций

П9]	МЕТОД НИЖНИХ И ВЕРХНИХ ФУНКЦИЙ	350
ty( из которых составляется минимум, и, следовательно,
ф(")(Л1) удовлетворяют условию A78). Из того, что функция
и(М) есть точная нижняя граница верхних функций, и из A79)
следует, что и(Р)< <р(л)(^)^ 'tyn(P), а отсюда, в силу Цп(Р)->
->й(Р), вытекает, что и ф(п)(Р)->и(Р). Лемма доказана.
Замечание. Пусть К — любой круг с центром Р, лежа-
лежащий внутри В. Построим функции ср^ (А1), как это указано в
теореме IIГ. Поскольку на окружности круга К соблюдаются
неравенства A78), то аналогичные неравенства соблюдаются и
во всем замкнутом круге /С. Вне круга К функции ^{М
совпадают с ц>(п){М), и, следовательно, тоже удовлетворяют
условию A78):
••• (М в В).
Кроме того, и (М )< ф?> (Af)< ф(/г) (Af), и, в силу ф(л>(Р)-*ы(Р)|
мы имеем <$$ {Р)-> и(Р). Таким образом, мы можем считать,
что функции ф(п)(Л1), фигурирующие в лемме, — гармонические
внутри любого фиксированного круга с центром Р, принадле-
принадлежащего В.
Переходим к доказательству теоремы. Достаточно показать,
что и(М) — гармоническая функция внутри любого круга /(, ле-
лежащего внутри В. Пусть Р —центр этого круга. Строим, со-
согласно лемме и замечанию к ней, функции ф(/г)(М), гармониче-
гармонические внутри К. Эти функции имеют предел и(Р) в точке Р. Со-
Согласно теореме Гарнака эти функции стремятся во всех точках
внутри К к некоторой гармонической функции
ф(п* (Af) -> v (Af) (Af внутри К\
причем сходимость равномерная во всяком замкнутом круге К'
с центром Р, лежащем внутри /С. Докажем, что v(M) = и(М)
внутри К- Этим теорема будет доказана. Доказываем от обрат-
обратного. Пусть в некоторой точке Рь лежащей внутри /С, мы имеем
и(Р\)фи(Р\). Поскольку ^n)(Px)-+v{P\) и и{Р\) есть точная
нижняя граница значений верхних функций в точке Рь мы
должны иметь v(P\)> и(Р\). Тем самым должна существовать
верхняя функция w(M), такая, что до (Pi) < a (Pi). Пусть К'—
круг с центром Р, на окружности которого находится точка Рь
Составим верхние функции:
9(п) (Af) = min \w {M), ф'»> (Af)] и р?) (Af),
причем
Поскольку ф(к)(М) равномерно в замкнутом круге /С' сходится
к t>(Af), мы можем утверждать, что и p(Al)(Af) равномерно

360	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[119
сходится там же к предельной функции:
min[w(M)t v
Тем самым равномерная сходимость имеет место на окружности
круга К' и мы можем утверждать, что и гармонические внутри
К' функции р($(А1) сходятся равномерно в замкнутом круге К'
к некоторой гармонической функции рк,(М). Поскольку w(P\)<,
<^(Pi), мы имеем p(Pi)<v(P\)9 и вообще во всех точках
окружности круга /С' мы имеем p(M)^.v(M). Таким образом,
по теореме о среднем для гармонических функций рКг(Р) < v(P).
Но v(P)— и(Р)> и, следовательно, РК>(Р) <и(Р). В точке Р
функция р^,(М)есть предел верхних функций р$(М), и неравен-
неравенство рк, (Р) < и (Р) противоречит тому, что и(Р) есть точная
нижняя граница значений верхних функций в точке Р. Таким
образом, теорема о том, что и(М) — гармоническая внутри В
функция, доказана.
В трехмерном случае доказательство буквально такое же.
Таким образом, при любой заданной на границе / ограниченной
функции w(jV) строится указанным выше методом функция
и(М)у гармоническая внутри В. Вместо того, чтобы строить точ-
точную нижнюю границу и(М) верхних функций, мы могли бы
строить точную верхнюю границу ио(М) нижних функций. Если
io(N) есть непрерывная на границе / функция, то можно пока-
показать, что ио(М) совпадает с и{М). В дальнейшем мы всегда бу-
будем говорить о точной нижней границе верхних функций.
Как мы уже упоминали, все построение без изменения пе*
реносится на трехмерный случай. Функцию и(М) называют обоб-
обобщенным решением задачи Дирихле с предельными значениями
io(N). Смысл этого выяснится в следующем параграфе.
Замечание. Указанное выше обобщенное решение задачи
Дирихле и(М) при непрерывности функции w(N) на границе I
можно построить еще одним способом, который мы сейчас ука«
жем. Продолжим функцию a>(N) на всю плоскость, сохраняя ее
непрерывность. Положим далее, что Вп (п = 1, 2, ...) есть по-
последовательность областей, которые лежат вместе со своими
границами 1п внутри В и стремятся к В, так что всякая точка М,
лежащая внутри В, находится внутри всех областей ВПу начи*
ная с некоторого номера п. Области Вп могут быть, например,
составленными из конечного числа кругов. Положим, что для
областей Вп мы умеем решать задачу Дирихле с непрерывными
значениями на 1п.
Пусть ип(М) — решение задачи Дирихле для Вп, причем
предельные значения на 1п задаются как продолжение функции
(V), о котором мы говорили. Можно доказать, что при беспре*

120]	ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ	361
дельном возрастании п функции ип(М) стромятся к построен-
построенному выше обобщенному решению и(М) задачи Дирихле, при-
причем это стремление равномерное во всякой замкнутой области,
лежащей внутри В. Таким образом, оказывается, предел ип(М)
не зависит ни от способа продолжения о(Л0, йи от выбора обла-
областей Вп. Важны лишь те свойства этих областей, о которых го-
говорилось выше. Доказательство этих фактов можно найти в об-
обзорной статье М. В. Келдыша (УМН, 1941, 8).
120. Исследование граничных значений. Пока мы не делали
никаких предположений о границе области В. Наложим теперь
некоторое условие, в формулировке которого будет фигуриро-
фигурировать некоторая фиксированная точка No границы области В.
Множество граничных точек области В будем обозначать бук-
буквой L
Условие I. Существует непрерывная в В и супергармони-
-ческая внутри В функция w(M) такая, что w(Nq) = 0 и w(M)>
> 0 в остальных точках ?. Докажем теперь следующую тео-
теорему:
Теорема. Если выполнено указанное условие а граничная
функция (x)(N) непрерывна в точке No, то и(М) стремится к
со (Л/о) при стремлении М к точке No изнутри области.^
Обозначим через рл множество тех точек области В, расстоя-
расстояние которых до М) не превышает ц > 0. Пусть е — заданное по-
положительное число. В силу непрерывности co(N) в точке jV0 су-
существует такое положительное число rj, что для всех точек гра-
границы В, принадлежащих Рг,, выполняется неравенство
со(АГо)-е<0(ЛО<со(АГо) + е (iV на I и в р^). A80)
Построим непрерывную в Я и субгармоническую внутри В функ-
функцию
ф1 (M) = (o(N0) - е - Cw(M),	A81)
где С — некоторая положительная постоянная, которую мы сей-
сейчас выберем. В силу A80) и w (М) ^ 0, мы имеем qpi {N) ^ со (N)
в точках /, принадлежащих рл. Выберем С настолько большим,
чтобы вне рл мы имели то же самое неравенство в точках /, т. е.
со(#о)~е--Сш(Л0<со(Л0 (N на / и вне р^). A82)
Во всех точках В, расстояние которых до iV0 не меньше т|, функ-
функция w(M) достигает наименьшего положительного значения, ко-
которое мы обозначим через тл. Это непосредственно следует из
того, что указанные точки образуют замкнутое множество, и
функция w(M) непрерывна и положительна на этом множестве
[{II; 92]. Для выполнения неравенства A82) достаточно взять

362	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\\2rt
где а—число, фигурирующее в неравенстве A77). При таком
выборе С функция A81) будет нижней функцией. Точно так же
при достаточно большом С функция
-ф! (Щ = со (No) + е + Qw (Af)	A83)
будет верхней функцией. Из w(N0) = 0 следует:
Ф1 (Л^о) = СО (Л^о) — 8,
и, в силу непрерывности cpi(M) в В, найдется такое малое поло-
положительное 6Р что в |36i:
<Pl(M)>u(N0)-2s (Af в pj.
Пусть ip (M) — любая верхняя функция. Мы имеем для всех то-
точек Л1, принадлежащих В: -ф (Af) ^ ф1 (Af), и, следовательно, из
последнего неравенства следует:
гИИ)>со(Л/о)-28 (М в Рв1).
Точная нижняя граница ty(Af) также должна удовлетворять
этому неравенству, т. е.
и (ЛГ)> со GV0)--2e (Af внутри Бив p6i). A84)
Точно так же из A83) следует:
и, следовательно, в силу непрерывности i|)i(M), существует та-
такое малое положительное б2, что в Р6 мы имеем
^(M)<(D(^) + 2e (M в PJ,
и тем более
и (М)< со (Wo) -f 2e (Af внутри Z? и в РЛо). A85)
Пусть б — наименьшее из чисел 6i и б2. В силу A84) и A85),
мы имеем
0	(No) — 2е < и (Af) < со (No) + 2& (М внутри Вив рб). A86)
Ввиду произвола в выборе е, отсюда следует, что «(Af) стре-
стремится к со (No) при M-^Nq изнутри области, и теорема доказана.
Доказательство годится как в двумерном, так и в трехмерном
случае. Если со (Л7) — непрерывна в каждой точке границы и в
каждой точке выполняется условие I, то функция и(М) непре-
непрерывна в замкнутой области В и принимает в граничных точках
значения со GV).
Определение. Если при любом выборе непрерывной на
1	функции со (TV) функция и(М) стремится к со(Л[0) при M-+Nq,
то точка Nq называется регулярной точкой границы. Точки гра-

120]	ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ	363
ницы, не обладающие этим свойством, называются иррегу-
иррегулярными точками границы.
Из доказанной выше теоремы следует, что условие I есть
достаточное условие регулярности точки No.
Укажем теперь для трехмерного случая простое достаточное
условие геометрического характера регулярности точки грани-
границы. Положим, что точка iV0 границы обладает следующим свой-
свойством: существует сфера, которая не содержит никаких точек В,
кроме точки No. Пусть Mi — центр этой сферы и R — ее радиус.
Обозначая через г расстояние |AfbM|, по-
построим функцию
W (М) = -jr — у *
Эта функция удовлетворяет, очевидно, всем
требованиям условия 1, причем внутри В	Рис- 14«
она — гармоническая.
Рассмотрим теперь плоский случай, и пусть граница В со-
состоит из конечного числа простых замкнутых кривых, имеющих
уравнения: x = x(tO y = y(t)y где x(t) и у(t)~ непрерывные
периодические функции параметра t (рис. 14). Положим сна-
сначала, что точка No находится на внешнем контуре 1\ (рис. 14).
Поместим в нее начало координат z = 0 и выберем масштаб
так, чтобы область Б помещалась внутри круга |г|< 1. Соста-
Составим функцию
Когда z двигается в Ву то_оно не может обойти вокруг начала, и
F(z) есть однозначная в В функция, регулярная внутри В и не-
непрерывная в Б, причем F@) = 0.	^
Полагая z = ре'ф, получим для вещественной части F(z) вы-
выражение
причем lgp<;0. Эта гармоническая функция удовлетворяет
всем указанным выше условиям.
В частности, вне ре мы имеем
(Ig еГ + Фо
где фо — наибольшее значение ф в В и /? — наибольшее расстоя»-
ние от начала до точек Б.
Положим теперь, что jV0 лежит на внутреннем контуре /2. Вы-
Выбираем внутри /2 какую-либо точку а и совершаем конформное

364	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1120
преобразование плоскости:
Z ~ z-a'
Контур l2 переходит во внешний контур, и мы для рассматривае-
рассматриваемой точки No можем построить функцию w(M) указанным выше
способом. Переходя к прежней переменной г, получаем требуе-
требуемую функцию. Таким образом, если o(iV) — непрерывна во всех
точках рассмотренного контура /, то и(М) будет непрерывна
вплоть до контура и на контуре равна со(Лг).
Положим теперь, что No есть точка разрыва co(/V)> причем
G)(iV) при стремлении N к No вдоль контура с обеих сторон
имеет пределы, но эти пределы различны (разрыв первого
рода). Обозначим их через o)i(iVo) и о>2(Л^о), и пусть coi(iVo)<
< 0J(No). Рассуждая совершенно так же, как и выше, получим
вместо A84)
и вместо A85)
При стремлении М к No изнутри области В функция и(М) мо-
может иметь различные пределы. Но для любого из этих пределов
и0 мы имеем, в силу предыдущих неравенств и произвольности &
©i(tfo)<Ho<©2(tfo).	A87)
Если co(W)— ограниченная функция, т. е. удовлетворяет усло-
условиям A77), то и функция и(М), как мы видели, удовлетворяет
этому условию. Таким образом, и(М) есть ограниченная гармо-
гармоническая функция, принимающая предельные значения to(Af) во
всех точках непрерывности этой функции.
Вернемся к трехмерному случаю. Можно построить сравни-
сравнительно простую замкнутую поверхность, имеющую иррегуляр-
иррегулярные точки. Это обстоятельство было открыто Лебегом и затем,
независимо от него, П. С. Урысоном. Более подробное выясне-
выяснение вопроса о предельных значениях можно найти в статье
М. В. Келдыша (УМН, 1941, 8).
Приведем еще пример в случае плоскости. Пусть В — круг
с центром в начале координат и с исключенным центром. Мно-
Множество / граничных точек состоит из окружности круга и его
центра. Пусть со(Л^) = О на окружности и co(N)=l в центре.
Такая функция co(iV) непрерывна на /."Гармоническая функция
и(М) стремится, очевидно, к нулю при приближении М к точ-
точкам окружности. Покажем, что и(М) не может стремиться к
единице при приближении к центру. Если бы это было так, то

Ш]	УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В п МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ	365
и{М) была бы гармонической внутри всего круга, если принять
ее значение в центре равным единице [105]. Но это противоре-
противоречит теореме о среднем значении гармонической функции в цен-
центре круга. Таким образом, начало координат — иррегулярная
точка границы.
Нетрудно показать, что в рассматриваемом случае и(М)^ 0.
Действительно, и(М) ограничена, а потому имеет предел при
стремлении М к центру [105], и если принять этот предел рав-
равным значению и(М) в центре, то и(М) — гармоническая везде
внутри круга [105] и равна нулю на окружности, т. е. и(М)=== 0.
Отметим еще, что вместо условия I можно поставить условие
регулярности, которое касается только окрестности точки No,
причем можно показать, что это новое условие равносильно
условию I.
Условие II. Для некоторой окрестности рл точки No суще-
ствует функция wn(M), непрерывная в рл вплоть до границы,
супергармоническая внутри (Зл и такая, что ^tl(iVo) = O и
юц(М)>0 $ остальных точках рл.
Можно показать, что в трехмерном случае точка NQ удовле-
удовлетворяет условию II, если эта точка является вершиной круго-
кругового конуса, всё точки которого, достаточно близкие к jVo> лежат
вне Б (кроме точки No). Таким образом, такие точки регулярны.
(См. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными
производными. — М.: Физматгиз, 1961.)
В дальнейшем мы будем всегда считать, если не будет соот-
соответствующих оговорок, что контуры или поверхности, ограничи-
ограничивающие области, о которых будет идти речь, таковы, что все их
точки суть регулярные точки. Таковыми будут, например, по-
поверхности Ляпунова. Для них мы построили решение задачи
Дирихле при помощи теории потенциала и интегральных урав-
уравнений.
Если на границе задана непрерывная функция o>(iV), и все
точки границы регулярны, то построенная гармоническая функ-
функция и(М) непрерывна вплоть до границы и на границе прини-
принимает значения o>(N). Мы знаем, что может существовать только
одна такая функция. Если на границе имеются нерегулярные
точки, то гармоническая функция и(М) ограничена внутри об-
области и принимает во всех регулярных точках границы значения
(о(Л'). Можно показать, что может существовать только одна
функция с такими свойствами. Доказательство этого утвержде-
утверждения и ряда других интересных фактов, в том числе критерия
регулярности Винера, можно найти в упомянутой выше статье
М. В. Келдыша.
121. Уравнение «Лапласа в я-мерном пространстве. До сих
пор мы рассматривали уравнение Лапласа на плоскости и в
трехмерном пространстве.

366	ТЛ II ПРГДРЛЬПЫЕ ЗАДАЧИ	П21
Результаты легко распространяются и на сличал л-мерного
пр странства, где уравнение имеет вид
п
Ли = S Uxtxt = 0.
Пр ::^дем основные результаты, касающиеся решений этого
ур зиекия. Функции, имеющие непрерывные производные до вто
ро порядка и удовлетворяющие этому уравнению, называются
ra;v 1°ч*:ческими Основное сингулярное решение имеет вид
~Г (п > 2).
причем постоянную С выбирают равной ( _ —, где ®п —
площадь поверхности сферы единичного радиуса в л-мерном
пространстве, так что основное сингулярное решение имеет вид
п
(п - 2) апг
Объем vn n-мерного шара радиуса г выражается формулой
III; Ю]
п
Bл) г	п
vn=tn(n — '2)	2~Г ПрИ четН0М П>
2 2 л 2
п при нечетном j
"" л (я-2)...
что, как легко проверить, может быть записано единообразно
в форме
откуда, дифференцируя по г и полагая г == 1, получим
Для гармонической в области D с поверхностью S функции
имеет место формула [II; 204]
- (ф.(г)&-«
S
причем везде мы будем писать лишь один знак интеграла! Вели-
Величина г есть расстояние переменной точки интегрирования ш>

122]	ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА	387
верхности S до М Справедливы основные свойства гармониче-
гармонических функций, среди них теорема о среднем для значения гар-
гармонической функции в центре сферы, а также единственность
решения задачи Дирихле
Формула, решающая задачу Дирихле для сферы с радиусом
R, имеет вид
5	(R2 + Р2 - 2Др cos 9) 2
где р — расстояние от центра О сферы до М, N — переменная
точка на сфере и 0 — угол между ON и ОМ.
На n-мерное пространство без изменения переносится метод
верхних и нижних функций для решения задачи Дирихле, при-
причем имеет место доказанное раньше условие регулярности точек
поверхности
122. Функция Грина оператора Лапласа. Мы можем опреде-
определить функцию Грина и для уравнения с частными производными
аналогично тому, как это мы делали для обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения. Начнем с определения функции Грина
для уравнения Лапласа при одном из следующих однородных
предельных условий:
u\s = 0,	A89
^L + p(N)u\s = 0 (p(tf)>0),	A90)
причем мы рассматриваем трехмерный случай Мы можем
строить функцию Грина как для конечной области Dly находя-
находящейся внутри S, так и для бесконечной области De вне S Нач-
Начнем с конечной области Dt Функция Грина G(P> Q) должна
быть функцией пары точек (Р, Q), причем, как функция Р, она
должна внутри Dt иметь везде, кроме точки Q, непрерывные
производные до второго порядка и удовлетворять уравне! ию
Лапласа, а на границе —предельному условию. Далее, G(P, Q)
как функция Р, должна иметь особенность в точке Q, соответ-
соответствующую конечному заряду (или массе), сосредоточенном) в
точке Q Принимая во внимание множитель 4я, входящий * фор*
мулу [II, 201]
l	MogD, (r = |Af0Af|), A9 1)
S
мы определим функцию Грина для условий A89) или A90) еле*
дующим образом:
Определение Функцией Грина оператора Лапласа, со-
соответствующей предельным условиям A89) или A90), насе-
насевается функция G(P,Q), удовлетворяющая, как функция Рг

368	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[122
при произвольно фиксированной точке Q е Д следующим усло-
условиям:
1)	внутри Dt} кроме точки Q, эта функция гармоническая4,
2)	она удовлетворяет предельному условию A89) или A90)}
3)	она может быть представлена в виде
G{P; Q) = G(x, у, г\ 8, Ч, Б) = 1йГ + г(р; Q)' A92>
где r = |/)Q| и #(?*; Q) — гармоническая функция везде вну-
внутри Dt.
Построение функции Грина сводится к нахождению ее ре«
гулярной части g(P\ Q). В случае предельного условия A89)
гармоническая внутри D/ функция g(P; Q) должна на 5 иметь
предельные значения
g^Q^-JL, A/eS, (r = \NQ\).	A93)
В случае A90) предельные условия для g(P\ Q) имеют вид
Таким образом, построение функции Грина сводится к решению
первой или третьей предельной задачи для уравнения Лапласа,
и мы можем считать установленным существование функции
Грина, если S — поверхность Ляпунова.
Для внешней области De к определению функции Грина до-
добавляется условие ее регулярности на бесконечности, т. е.
G(P\ Q) при любом фиксированном Q на конечном расстоянии
должна стремиться к нулю, если точка Р стремится к бесконеч-
бесконечности.
Пусть Dt — любая ограниченная область и 5 — множество ее
граничных точек. В Dt существует обобщенное решение задачи
Дирихле с предельным условием A93). При этом формула A92)
определяет обобщенную функцию Грина для области Di при
предельном условии A89). Если No— регулярная точка границы,
то G(P\ Q)->0 при P-+Nq Можно доказать и обратное утверж-
утверждение: если G(P\ Q)->0 при P-*No> то No—регулярная точка
границы, -
В случае плоскости определение функции Грина совершенно
аналогично, но только вместо A92) будет иметь место формула
G(P; Q)=== — lg— + g(P\ Q).	A95)
Из формул A92) и A95) следует, что функция Грина обра-
обращается в бесконечность при совпадении Р и Q, причем при Р до*

122]	ФУНКЦИЯ ГРИНА ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА	369
статочно близких к Q функция Грина положительна. Точка Q
называется полюсом функции Грина. Дальше мы будем рассма-
тривать функцию Грина лишь при предельном условии A89).
Покажем, что G(P\ Q) есть непрерывная функция точек Р и Q
внутри Dt, если эти точки не совпадают. Принимая во внимание
A92), можем утверждать, что доказательство непрерывности
G(P\ Q) может быть сведено к доказательству непрерывности
g(P\Q). Оценим разность g(P'; Q') — g{P"\ Q")\ добавляя и
отнимая g{P'\ Q")> получим
\g(P'->Q')-g(P";Q")\<
< I g {P'\ Q') - g {P'\ Q") \ + \g (/>'; Q") - g {P"\ QT) i.
Разность g{P'\Q") — g(P"\Qrf) есть разность значений g(P;Q")
в точках Р' и Р", и она очевидно стремится к нулю при Р"-+Р\
Разность g(P'>Q') — g{Pr] Q") представляет собою значение в
точке -Р' гармонической функции g(P\ Q') — g{P\ Q/7) с предель-
предельными значениями яЛ~ ~~~ 7"~) на ^' гда г' и *" Расстояния
переменной точки N на S от точек Q' и Q".
Если Q" достаточно близко к Q\ то абсолютное значение
разности (-—,	—) сколь угодно мало при изменении N на 5.
Но гармоническая функция g{P\ Q') — g(P'> Q") принимает наи-
наименьшее и наибольшее значения на границе S, и мы можем
утверждать, что g(P'\ Q') — g(P'\ Q")-+0 при Q"-+Q'. Этим и
доказывается непрерывность функции g(P\ Q), а тем самым и
G(P; Q).
Функция G(P\ Q)—положительна в окрестности точки Q и
равна нулю на S, и, следовательно, она положительна внутри
области Dt. To же рассуждение в трехмерном случае годится и
для De. Выведем еще одно простое неравенство для G(P\ Q).
Функция g(P\ Q) имеет на S отрицательные предельные значе-
значения A93). Тем самым, g(P, Q)< 0 в замкнутой области Dt, и,
следовательно,
0<О{Р^)<^ внутри Dt (r = \PQ\). A96)
Такая же оценка справедлива и для De.
Проведем теперь рассуждения для случая плоскости. Пусть
d — диаметр конечной области В на плоскости, т. е. наиболь-
наибольшее расстояние между двумя точками, принадлежащими замк-
замкнутой области В. Гармоническая функция g{P\ Q) + -9— lg~j
принимает на границе / значения -5—lg-j— отрицательные при
любом положении полюса Q внутри В. Таким образом, мы имеем

370	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	O2S
v~lg"T<0» т« е- §(Р> QX — "o~lg^ внутри В. Это
дает нам
т. е. имеет место неравенство вида
0<G(P;Q)<a\gj + b (внутри Я),	A97)
где а и Ь — постоянные. Неравенства A96) и A97) дают нам
оценки функции Грина, зависящие от расстояния г между точ-
точками Р и Q.
123. Свойства функции Грина. Рассмотрим функцию Грина
в Д, обозначая, как и выше, через г расстояние от переменной
точки пространства до точки Q^.Dt. Определим функцию
|g(P;Q), Ре5ь
I 4лг '	е*
Она—гармоническая, как внутри Du так и внутри De, и равна
нулю на бесконечности. В De она имеет производные любого по-
порядка, непрерывные вплоть до S. Мы можем рассматривать
v(P) в De как решение задачи Неймана с предельными значе-
значениями:
1	Я ж 1 ч
M^S,	A99)
и можем представить, таким образом, v(P) в De как потенциал
простого слоя с непрерывной плотностью:
.	B00)
Значения этого потенциала на S равны (—4^7)» гДе г =
т. е. такие же, что и у g(M\Q). Отсюда видно, что формула
B00) для функции v(P), определенной равенством A98), спра-
справедлива во всем пространстве, т. е.
l Q) = \\ ^P-dS (Р в Dt\	B01)
и, следовательно, g(P; Q) имеет в Dt правильные нормальные
производные на S. То же можно, очевидно, утверждать и отно-
относительно G(P\ Q).

1235	СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ГРИПА	371
Отметим, в связи с предельным условием A99), что функция —, при
любом положении точки Q внутри Dt> имеет производные всех порядков не
только на 5, но и в пространстве вблизи 5 На 5 правая часть A99) удо-
удовлетворяет, очевидно, условию Липшица.
I / (А^г)— /(A^i) К аг1? 2 (^i, 2 = 1 #iW21),	k
и мы можем утверждать, что и \i(N) удовлетворяет условию Липшица [98],
и, следовательно, G(P> Q) имеет непрерывные вплоть до 5 производные пер-
первого порядка [100]
Докажем теперь симметрию функции Грина:
G (P\ Q) = G (О; Р).	B02)
При этом заметим, что в силу доказанного выше, G(P\ Q) имеет
правильные нормальные производные на S. Внутри Dt она имеет
везде, кроме Q, непрерывные производные. Применим теперь
формулу
к функциям u = G(P\ Qi} и v = G{P\ Q2), выбирая за область
интегрирования D\ область Dt с исключением двух сфер с цен-
центрами в точках Qy и Q2 и с малым радиусом е. Такое применение
возможно в силу вышесказанного. Тройной интеграл по этой
области обратится в нуль, так как функции Грина вне полюсов
удовлетворяют уравнению Лапласа Интеграл по S обратится
в нуль, в силу предельного условия (все равно какого), и, таким
образом, мы придем к равенству
где 5j и 52—поверхности вышеупомянутых сфер. В точке Q2
функция GiP'.Qi) никаких особенностей не имеет, а функция
О (Я; Q2) обращается в точке Q2 в бесконечность порядка — .
Принимая во внимание, что произведение — на площадь по-
верхности сферы 4ле2 стремится к нулю при е->0, мы видим,
что единственными членами в написанной формуле, которые не
будут стремиться к нулю при е->0, будут те члены, которые
содержат нормальную производную от G(P; Qt) в окрестности
той точки, где G = +°°- Таких членов будет два, и мы получим,
выписав их явно, сумму:
д—	д
Si

372
ТЛ И ПРЕДРЛЬНЫС ЗАДАЧИ
П23.
где т]->0 при е->0, г\ — расстояние переменной точки Р до Qi
и г2 — расстояние переменной точки Р до Q2> В формуле Грина
мы имеем внешнюю нормаль, следовательно, в последних фор-
формулах нормаль должна быть направленной внутрь сфер, т. е.
противоположно радиусу, и мы имеем
S2	Si
Применяя к интегралам теорему о среднем, можем написать:
где Рг — некоторая точка на S2 и Pi— на S\. Переходя к пре-
пределу при е->0, мы получим
G(Q2;Qri) = G(Qi; Q2),
что и доказывает симметричность функции Грина. Из этого
равенства следует, что g(P, Q) непрерывна по (Р, Q) в D,X^«
за исключением множества, где Р = Qe S.
Для сферы функция Грина имеет вид [II; 208]
где р — расстояние точки Q от центра, г\ — расстояние точки Р
до точки Q', симметричной с Q относительно сферы, и R — ра-
радиус сферы. Обозначая через (л:, уу z) и (g, т), I) координаты то
чек Р и Q, можем написать:
= л/{х - 1У + (у-
1У
Дифференцируя формулу B03), например, по х и учитывая, что
< 1 и
получим оценку
dG (P, Q)
ал;
Принимая во внимание, что для точек Р и Q, находящихся вну-
внутри сферы, г\ > г и G (P; Q) > 0, получим
dx

124]	ФУНКЦИЯ ГРИНА В СЛУЧАЕ ПЛОСКОСТИ	373
Аналогичные оценки получаются и для других частных произ-
производных.
Пусть и(М) есть решение внутренней задачи Дирихле для
области Dty ограниченной поверхностью S, с предельными зна-
значениями f(N). Если нам известно, что и{Щ имеет правильную
нормальную производную, то мы можем применить к и(Р) фор-
формулу (91), полагая v = g(P\ Q). При этом мы получаем (ср<
[II; 208])
§*°l№L	B05)
А. М Ляпунов доказал, что эта формула дает решение задачи
Дирихле при любом выборе непрерывной функции f(N), входя-
входящей в предельное условие Ему же принадлежит и первое стро-
строгое доказательство симметричности функции Грина. Эти резуль*
таты, а также результаты, относящиеся к теории потенциала, о
которых мы говорили выше, содержатся в работе А. М. Ляпу-
Ляпунова «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле»
A898 г.), о которой мы уже упоминали
124. Функция Грина в случае плоскости. Рассмотрение функ-
функции Грина на плоскости представляет некоторые особенности
по сравнению со случаем пространства. Мы будем рассматри-
рассматривать функцию Грина для ограниченной области В, с контуром
/ при предельном условии A89) на /.
Определим, как ив [123], функцию v (P) на плоскости:
g (P; Q) внутри /,
v{P)=
it	,	B08)
Sr!«7 вне/'
Построим, как это мы делали в [123], потенциал простого
слоя;
\rds,	B07)
где г' есть расстояние от Р до переменной точки N на /. Предель-
Предельные значения его нормальной производной на / со стороны В&
равны
Ь**&* м*1
где г — направление MQ и п — направление нормали к / в точ-
точке Му внешней по отношению к замкнутому контуру /. Составим
теперь гармоническую в Ве функцию
a;(P)==\n(s)lg_ds + _lg- I	^' ), B09)
n внутри

374	ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[124
имеющую правильную нормальную производную на /, равную
нулю. Проведем внутри Ве какой-либо замкнутый обходящий
вокруг / контур Г, и применим формулу Грина при u = w(P)
и и = 1 к области, ограниченной / и /'. Мы имеем
(Р)
дп **° J дп
I
Г
)
V
причем в обоих случаях п — есть внешняя нормаль по отноше-
^	dw(P)
нию к замкнутому контуру. Отсюда, в силу того, что —7Г~^~
*=0 на I:
= 0	B10)
Но
dw(P) 	f , , cos(r',h) . . cos (r, n)
дп	J ^	г'	2лг *
l
где г' есть направление РЛ/, а г — направление PQ. Интегрируя
по V, меняя порядок интегрирования [IVi; 16] и принимая во
внимание, что точки Q и N находятся внутри /', получим, в
силу (83),
2n[\i(s)ds+l=0.
i
Мы можем теперь переписать B09) в виде
\jrds (r = \PQbr'=\PN\, Neil). B11)
i
При беспредельном удалении точки Р отношение -jr равно-
равномерно стремится к единице, т. е. при любом заданном положи-
положительном 8 существует такое положительное число М, что
1	^т-^8 при любом положении /V на /, если только г >> М.
Таким образом, функция B11), гармоническая в Ве, имеет на I
правильную нормальную производную, равную нулю, и стре-
стремится к нулю при беспредельном удалении точки Р. К такой
функции применима формула
из которой следует, что w(P) = 0 в Ве, т. е.
— ds = - ^lgy в

124J	ФУНКЦИЯ ГРИНА В СЛУЧАЕ ПЛОСКОСТИ	37>
Отсюда, как и в [123], непосредственно следует, что потенциал
простого слоя B07) совпадает с функцией v(P), определенной
равенством B06), на всей плоскости, и можно утверждать, что
g(P\ Q) имеет на / правильную нормальную производную. Да-
Далее, как и в [123], можно утверждать, что g{P; Q) имеет в Bt
непрерывные производные первого порядка вплоть до /. Доказа-
Доказательство симметричности G(P; Q) проводится совершенно так
же, как и в [123]. Для круга радиуса R функция Грина имеет
вид
при тех же обозначениях, что и в [123]. Это приводит к следую-
следующим оценкам:
6G (Р; Q)
дх
_i_ |*?(ftQ)l <_L,	B13)
Для решения задачи Дирихле в Bt имеет место формула, анало*
гичная B05).	•
Функция Грина оператора Лапласа для плоской односвяз-
ной области при предельном условии A89) тесно связана с функ-
функцией, совершающей конформное преобразование упомянутой об
ласти на круг |ш|< 1 [Ш2; 37]. Пусть В — односвязная областг
с контуром / и 2о = ? + т)/ — некоторая внутренняя точка это?
области. Пусть, далее, w = f(z)—функция, совершающая кон
формное преобразование В на единичный круг, причем /(го) = О
т. е. точка z = z0 переходит в центр упомянутого круга. При не
которых условиях гладкости контура f(z) непрерывна вплот!
до окружности |z|= 1 и преобразует ее в контур /.
Из однолистности преобразования вытекает, что f(z) имеет
в точке z = z0 простой корень:
-o,B-z0)+ ...] (аоФО). B14)
Образуем функцию
G(x,y;l,r\) = -±-lg\f(z)\.	B15
Нетрудно проверить, что это и будет функция Грина для обла
сти В с полюсом (?, г]). Действительно, lg|fB)| представляе
собою вещественную часть \gf(z) и, следовательно, удовлетво
ряет уравнению Лапласа. Согласно B14), бесконечная част
функции B15) в точке (?, ц) будет -^-~lg i	г и» наконеь
^-Jt	| Z ~-~ Zq |
контур / области В переходит в окружность единичного круга
т. е. |/(z)|=l на'контуре /, а функция B15) при этом обра-
обращается в нуль.

376	Г Л !! ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\П4
Обозначим через Н(х, у\ g, r\) функцию, гармонически со-
сопряженную с B15). Мы имеем
0 + *Я---5Г»в/(*)>	B16)
и, следовательно, можем выразить f(z) через функцию Грина и
сопряженную с ней функцию:
Функция Н определена с точностью до постоянного слагаемого,
и тем самым в правой части последней формулы мы имеем про-
произвольный постоянный множитель, по модулю равный единице,
что соответствует -произвольному повороту единичного круга
|ш|< 1 вокруг начала.
Положим, что контур / области В обладает следующим свойством: угол
9(s), образованный касательной к / с каким-либо фиксированным направле-
направлением, как функция длины дуги s, удовлетворяет условию Липшица
где b и р — положительные постоянные. Доказывается, что при этом произ-
производная \'(z) непрерывна вплоть до /, и существуют такие две положительные
постоянные т и М, что
<|//()|<Af	B18)
Эти постоянные зависят, конечно, от выбора той точки го, которая переходит
в начало координат на плоскости w. Зафиксируем эту точку zq и будем те-
теперь строить общее конформное преобразование В на круг \w\ < 1 при усло-
условии, что в начало координат переходит какая-либо точка г', лежащая вну-
внутри В. Для этого надо совершить сначала конформное преобразование
w = /(*)> а затем преобразовать круг |ш|^ 1 в себя так, чтобы точка f(z')
перешла в начало координат. Это последнее преобразование есть дробно-ли-
дробно-линейное преобразование, и окончательно мы получаем, отбрасывая постоянный
множитель с модулем, равным единице,
l-f(z)!(z')
где, как всегда, Re — знак вещественной части и G(z; zr) — функция Грина
области В с полюсом в точке z'. Дифференцируя по х, где за х можно при-
принять любое направление, получим
[	Г (г)
Re[	Г (г)
дх	L / (г) - f (г')
„ Re f П*)П-1Нг'Iг] )
\[f(z)-f(z')][l-f(z)f(z')] Г
•или, заменяя вещественную часть модулем,
6G (г; г')
дх
| }' (г) 11 1 - | f (г') |г 1
\l(z)-f (г') ||1 — f Car) / (г') |
я, принимая во внимание, что |/(г)|< 1 и |/(г')| < 1, получим
Ч dG%*'] \< l!(J)-)w7v-UV \) К \1(г)-Т{1' I ' B18l)

1251
ПРИМЕРЫ
377
Пусть г
в круге |
ф(ш) — функция, обратная функции w = f(z). Она определена
|^ 1. Из B18) следует, что )ф/(ш)|^—, и мы получаем
| ф (w) — ф (w') |«
V (т) d%
— \w — w'\9
причем указанное интегрирование можно производить по прямолинейному от*
-резку. Последнее неравенство дает \f(z) —f(z') | ^ т\г — г'\% и, принимая
во внимание B18i), получаем, в силу последнего неравенства
dG (г; г')
дх
2Af
2%m I z — z' |
М
птг
B19)
где г — расстояние точек z и zr. Таким образом, при сделанном относительно
контура / предположении, мы получаем оценку производной функции Грщт
по любому направлению, зависящую только от расстояния г.
Если область В — многосвязна, и каждый из ограничивающих ее замкну^
тых контуров удовлетворяет указанному выше условию, то можно и в этом
случае получить оценку вида B19). Указанное выше доказательство оценки
B19), а также и доказательство для многосвязной области, которое я но
привожу, было мне сообщено Г. М. Голузиным.
125. Примеры. Обратимся теперь к примерам построения функции Грина
и начнем с построения этой функции для круга \z\ •< 1. Мы имели раньше
функцию, преобразующую этот круг в себя, при условии, что некоторая точка
o = i + v)iy находящаяся внутри круга, переходит в начало. Эту функцию
мсжно записать в виде [ПЬ; 33]
Т=
где а — комплексное число, сопряженное с a, и a' — точка, симметричная
с а относительно окружности, т.е. а' «а-1. Обозначая через г4 и г2 расстоя-
расстояния переменной точки г' до точек а и а', получим непосредственно следую-
следующее выражение ф у нкци и Грина для круга;
1
— a'
Положим теперь, что область В есть прямоугольник с вершинами (О, О),
(О, а), (а, Ь), (О, Ь). Полагая wi в 2а и сог = 2/и, строим функцию Вейер*
штрасса c(z; «i, сог). Мы видели, что функция, преобразующая наш прямо-
прямоугольник в единичный круг так, что точка z == % + x\i переходит в начало,
имеет вид [Uhl 189]
te l )( + l + p
Таким образом, мы имеем следующее выражение функции Грина для
прямоугольника:
a (z — | — x\i) о (z + \ + т]р
Теория функций комплексного переменного может быть применена и при
построении функций Грина для многосвячной области, причем мы, как и
выше, ограничиваемся йредельным условием A89) на /. Пусть В, например,—
двусвязная область, ограниченная внешним контуром /| и внутренним /г, и
пусть О (г; а) — функция Грина этой области. Строим функцию Я (г; a), rap-

378	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[125
монически сопряженную с G(z;a), и функцию комплексного переменною
сг(г) = G(z;a) + //(z, a)'. В точке z = а, которая является полюсом функ-
функции Грина, функция ф(г) будет иметь логарифмическую особенность, а имен-
именно, в окрестное!** ^той точки она может быть представлена в виде с)ммы
	2— ^ (г — а) и слагаемого> регулярного в этой точке. Но, кроме того,
при обходе по замкнутому контуру вокруг /2 функция cp(z) будет приобре-
приобретать некоторое чисто мнимое слагаемое yi, а функция / (z) = <?~2яфB) будет
приобретать множитель e2nyi, по модулю равный единице. Кроме того, эта
последняя функция будет иметь в точке г = а простой корень, а на конту-
контурах U и h ее модуль будет равняться единице, так как на этих контурах
функция Грина G(z,<x) обращается в нуль. Таким образом, построение
функции Грина сводится к построению такой аналитической функции /(г),
которая имеет внутри миоюевязной области В однозначный модуль, равный
единице на контуре области, и точку г = а имеет единственным простым
корнем.
В качестве примера рассмотрим случай кольца, ограниченного двумя кон-
концентрическими окружностями. Примем центр этих окружностей за начало и
будем считать, что радиусы этих окружностей равны. /г~!/2 и hl/2, где
О <i h <C 1 Этого всегда можно достигнуть при помощи подходящим обра-
образом выбранного преобразования подобия. Введем вместо z новую перемен-
переменную v по формуле z = е1Ли и рассмотрим наряду с h чисто мнимое число
х = а (с > 0), определенное формулой h ~елхК Упомянутому выше кольцу
с
соответствует на плоскости v часть полосы, образованной прямыми у = ±-$,
параллельными вещественной оси, и ограниченной двумя прямыми, парал-
параллельными мнимой оси, отстоящими друг от друга на расстоянии, равном
двум
Функция f(z) как функция от v должна быть аналитической функцией
во всей упомянутой полосе. Переход от v к (v + 2) равносилен обходу во-
вокруг начала в кольце, и при этом /(г) должна приобретать множитель, по
модулю равный единице. На границах у = db -~- полосы должно быть вы-
выполнено условие \!(z)\= I, и если z = а есть полюс функции Грина в пло-
плоскости 2, то функция f(z) как функция от v должна иметь простые корни
в дочках C, определяемых равенством а = <?зх^. Этими точками и должны
исчерпываться все корни f{z) внутри полосы. Мы можем считать а веществен-
вещественным положительным числом. Этого всегда можно достигнуть простым поворо-
поворотом кольца вокруг начала Нетрудно проверить, что функция
будет удовлетворять всем поставленным выше условиям. В написанной фор-
формуле Oo(tf) и $i(v) суть функции, определенные нами в [ПЬ; 177], и
буквой Р мы обозначили для определенности чисто мнимое решение уравне-
уравнения а = 5Л' • Для проверки всех свойств функции f(z) нам надо использо»
вать таблицы A09) и A10) из [Ш>; 178], а также тот факт, что при веще-
вещественных h функции Ofe(i>) имеют мнимые сопряженные значения для мнимых
сопряженных значений v. Имея функцию f(z), мы получим функцию Грина по
формуле

126|	ФУНКЦИЯ ГРИНА И НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ	37Э
126. Функция Грина и неоднородное уравнение. Рассмотрим
неоднородное уравнение
Ди(Р) = -ф(Р)	B20)
в области Di, ограниченной поверхностью S. Мы считаем, что
<р(Р) непрерывна в Di вплоть до 5 и имеет внутри Д непрерыв-
непрерывные производные первого порядка. Ищем решение B20), непре-
непрерывное вплоть до 5 и удовлетворяющее предельному условию
u\s = 0.	B21)
Такое решение может быть только одно. Это непосредственно
следует из того, что разность двух решений уравнения' B20)
при условии B21) должна удовлетворять уравнению Лапласа и
условию B21), т. е. должна равняться тождественно нулю. По-
Покажем, что искомое решение имеет вид
rQf	B22)
или иначе:
и (х, у, г) = \\\ G(х, у, z; |, ть О Ф (*, г), QсЦйт\d?. B23|
В силу A92) можем написать:
^	• B24)
Первое слагаемое имеет внутри Dt непрерывные производные до
второго порядка, и оператор Лапласа от него равен [—ф(Р)]
(П; 211]. Г1окажем, что второе слагаемое можно дифференци-
дифференцировать'по координатам (х, у} z) точки Р сколько угодно раз под
знаком интеграла. Отсюда будет следовать, что оно предстаз-
ляет собою гармрническую внутри Dt функцию, ибо g(P\ Q)-^1
гармоническая функция точки Р. Сделаем сначала одно заме-
чание. Пусть предельные значения /(;V; а) гармонической фунКх-
ции зависят от параметра а. При этом и сама гармоническая
функция и(Р\ а) зависит ог а. Если при а->а0 мы имеем
f(N]a)-+f(N;ao) равномерно на 5, то и(Р\ а)-+ и(Р; а0) равно-
равномерно в замкнутой области Dt [103].
Так как g(P, Q) = g{Q, Р), то функция g(P\ Q) есть гармо-
гармоническая функция точки Q(g, tj, 5) [122] с предельными значе-
значениями (- ^ ) : где г° = л/{х-Ь?J + (у- у\У + (z- S0J, a
Q()(?°> 4°, ?°)^=S. Мы считаем, что Р находится внутри Di.

380	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[129
Функция
g (х + А*, у, г\ ?, ть ?) — g (*, у, г\ g, ч\, ?)	,99-,
есть гармоническая функция точки (?, rj, ?) с предельными зна-
значениями
1 Г	1
4л Ах L V (х + А* ~ ?0J + (*/ - tj0J + B - ?аJ
1
~ ?0J J'
V(*-?°J + (</-*i0J
При Дх-^О эти предельные значения равномерно на S стре-
стремятся к
и отсюда непосредственно вытекает, что отношение B25) равно-
равномерно по (|, т|, t>)^Di стремится к гармонической функции точ-
точки (I, г), %) с предельными значениями B26). Аналогичные рас-
рассуждения, применимы и для других производных до любого
порядка. Таким образом, функция g(P\ Q) имеет непрерывные
производные всех порядков по координатам точки Р, когда Р
D/, a Q g Dt. Отсюда и вытекает непосредственно возможность
дифференцировать второе слагаемое формулы B24) по (дс, у, г)
под знаком интеграла.
Остается доказать, что функция и(М), определяемая форму-
формулой B22), удовлетворяет предельному условию B21). По су-
существу это вытекает из того, что G(P; Q), как функция от Р,
удовлетворяет этому условию. Недостаточность такого рассуж-
рассуждения заключается в том, что при интегрировании точка Q мо-
может быть сколь угодно близкой к S, а с другой стороны, и точка
Р при проверке условия B21) должна стремиться к S. При этом
поведение функции G(P; Q) неясно.
Проведем строгое доказательство того, что функция B22)
удовлетворяет условию B21) в любой точке No^S. Пусть D\ —
часть области Д, находящаяся вне сферы с центром NQ и ра-
радиусом d|, и Г/1 — часть Du находящаяся внутри этой сферы.
Если задано положительное число е, то, принимая во внимание
оценку A96), мы можем взять d\ настолько малым, чтобы
интеграл, входящий в формулу B22) и взятый по D?, был по
абсолютной величине меньше -~ при любом положении точки Р
внутри упомянутой сферы. При интегрировании по D\ точка
Q принадлежит D\> а точку Р мы считаем находящейся в малой
окрестности точки iV0, например, внутри сферы с центром М) и
радиусом-—-. При этом расстояние \PQ\ больше -~-% и из [122]
следует, что G(P; Q)— непрерывная функция пары точек (Р; Q).

126]	ФУНКЦИЯ ГРИНА И НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ	381
Таким образом, в интеграле по D\ мы можем переходить к
пределу по Р при Р —>- /Vo, и этот предел равен нулю, ибо
G(P; Q) удовлетворяет условию B21). Такимиобразом, интеграл
по D'i будет по абсолютной величине меньше у, если Р доста-
достаточно близко к Л/о, а следовательно, п весь интеграл, входящий
в формулу B22), будет по абсолютной величине меньше е, если
Р достаточно близко к Nq. Отсюда, ввиду произвольности е, и
следует, что этот интеграл удовлетворяет условию B21). Таким
образом, наше утверждение о том, что формула B22) дает ре-
решение уравнения B20), удовлетворяющее условию B21), пол-
полностью доказано.
Замечание 1. При доказательстве существования непре-
непрерывных производных второго порядка у объемного потенциала
и формулы Пуассона достаточно предположить, что его плот-
плотность удовлетворяет в Di условию Липшица — вместо существо-
существования непрерывных производных первого порядка (см., напри-
например Г юн тер Н. М. Теория потенциала ...— Париж, 1934). Та-
Таким образом, наше утверждение о том, что формула B22) дает
решение задачи B20), B21), справедливо, если <р(Я) удовле-
удовлетворяет условию Липшица:
Если ф(Р) только непрерывна в замкнутой области Д, то мы
уже не можем утверждать, что первое слагаемое правой части
формулы B24) имеет непрерывные производные до второго по-
порядка и удовлетворяет уравнению B20). Но остается в силе
доказательство того, что второе слагаемое упомянутой формулы
есть гармоническая внутри D, функция и что и(М), определяе-
определяемая формулой B22), удовлетворяет условию B21).
Принимая во внимание, что объемный потенциал с непре-
непрерывной плотностью является обобщенным решением уравнения
B20) [62], мы можем утверждать, что формула B22) при непре-
непрерывности ф(Р) в замкнутой области Di дает обобщенное реше-
решение уравнения {220), удовлетворяющее условию B21).
Покажем, что такое решение единственно. Положим, что су-
существуют два непрерывных обобщенных решения и\{М) и ti2{M)
уравнения B20), удовлетворяющих условию B21). Мы имеем
\ \ \ u\ Да dx = — \ \ \ фа dx\
D	»
гле а — любая функция с непрерывными производными до вто-
второго порядка .в Dh равная нулю во всех точках, достаточно

*Ш	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	М \7
близких к S. Вычитая почленно, получим
откуда следует, что («2 — п\) — гармоническая внутри Dt функ-
функция [62]. Из того, что (и2 — Ы\) — непрерывна вплоть до 5 и
равна нулю на S, следует, что и2 тождественна с щ в Dt.
Таким образом, при любой непрерывной функции ср(Я) фор-
формула B22) дает единственное обобщенное решение уравнения
B20), удовлетворяющее условию B21). Это решение имеет в
Dt непрерывные производные первого порядка [II; 210].
Замечание 2. Положим, что нам дана функция и(Р)у не-
непрерывная в замкнутой области Dt, удовлетворяющая условию
B21) и имеющая внутри DL непрерывные производные до вто-
второго порядка, такие, что оператор Лапласа Аи(Р) непрерывен
вплоть до S. Подставляя эту функцию в левую часть уравнения
B20), мы получим функцию ср(Р)—непрерывную в замкнутой
области Д. Функция и(Р) является, очевидно, как обычным, так
и обобщенным решением уравнения B20), удовлетворяющим
условию B21), а потому эта функция и{Р) должна выражаться
формулой B22) через <р(Я).
Все сказанное переносится и на двумерный случай, когда
уравнение B20) имеет вид
Д«(*, 0) = -ф(*. У).	B28)
Его решение в области В с контуром /, удовлетворяющее пре-
предельному условию
и|/ = 0,	B2Э)
дается формулой
и(х, у) = \\ G{х, у; I, л)<р(|, ц)сЦйц.	B30)
В
127. Собственные значения и собственные функции. Доказан-
Доказанное выше основное свойство функции Грина в отношении неод-
неоднородного уравнения B20) лежит в основе применения функ-
функции Грина к решению предельной задачи для уравнения
До + ^ = 0 (внутри Л,),	B31)
при предельном условии
v\s = 0,	B32)
а это связано с решением предельных задач для волнового урав-
уравнения и уравнения теплопроводности, о чем будет подробнее
сказано позже.

J27J	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ	383
Перенося Kv направо, мы докажем, как и в [75], что постав-
поставленная задача B31), B32) равносильна интегральному урав-
уравнению
\\\	B33)
с симметричным ядром. Ядро этого уравнения обращается в
бесконечность при совпадении Р и Q, но к нему применима вся
теория из [IVi; 17] ибо, в силу A96), полярность ядра имеет
порядок —:
B34)
где К{Р\ Q)—ограниченная функция.
Представим уравнение B33) в виде
. B35)
Если v(P) есть непрерывное решение этого уравнения, то первое
слагаемое правой части имеет, как потенциал масс, распределен-
распределенных по Db с непрерывной плотностью, непрерывные первые про-
производные внутри Dh а второе слагаемое правой части имеет
внутри Dt, как мы видели выше, непрерывные производные лю-
любого порядка, и, следовательно, v(P) имеет непрерывные произ-
производные первого порядка внутри Д. Но при этом, как мы знаем
[II; 211], первое слагаемое правой части имеет внутри непре-
непрерывные производные до второго порядка. Тем самым, в силу
сказанного выше, и v(P) имеет непрерывные производные вто-
второго порядка. Применяя к обеим частям B35) оператор Д, убе-.
димся, что Av — —Kv. Предельное условие B32) тоже удовле-
удовлетворяется, как это мы видели в [126]. Наоборот, из B31) и B32),
как мы видели в [126], следует уравнение B33). Таким образом,
мы показали равносильность уравнения B31) с предельным ус-
условием B32) интегральному уравнению B33). Для ядра этого
интегрального уравнения мы имеем B34), откуда непосредствен-
непосредственно следует неравенство
B36)
С — некоторая постоянная.

884	ГЛ IT ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	.	И27
Пусть %k и Vk(P) — собственные значения и собственные
функции уравнения B33) или, что то же, задачи B31), B32):
&vk + %kvk = 0 (внутри Dt)\	B370
vk\s = 0.	B372)
Можно считать, что vk(P) образуют в Dt ортогональную норми-
нормированную систему;
1 + т>	B38)
y	1 при / — /п.
Пусть функция (о(Р) и ее производные до второго порядка не-
непрерывны в Di вплоть до S, и пусть эта функция удовлетворяет
условию B32). Мы можем представить ее в виде [126]
° (Р) = ~ \ \ \ G (P; Q) Дш (Q) dx>	B39)
и, применяя основную теорему разложения из [IVi; 31], мы мо-
можем утверждать, что ш(Р) разлагается в ряд Фурье по соб-
собственным функциям:
/f-l
ckvk(P),	B40)
причем этот ряд регулярно сходится в замкнутой области Dt.
Коэффициенты определяются обычным образом;
B41)
Таким образом, мы имеем*
Теорема Всякая функция со(Р) непрерывная, с непрерыв-
непрерывными производными до второго порядка в замкнутой области
Dt и удовлетворяющая условию B32), разлагается в ряд Фурье
по собственным функциям Vk{P), регулярно сходящийся в замк-
замкнутой области Dt
Дальше мы покажем, что число собственных значений Xk
бесконечно Мы это использовали при записи ряда B40). Из
равномерной * сходимости ряда B40) следует, что если (о(Р)
удовлетворяет указанным в теореме условиям, то имеет место
уравнение замкнутости.
оо
?|.	B42)

327]	СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ	385
В дальнейшем мы докажем, что это уравнение справедливо и
для любой непрерывной в замкнутой области Dt функции. Не-
Нетрудно показать, что если ряд Фурье
S akvk(P)	B43)
некоторой непрерывной в замкнутой области Dt функции ()
равномерно сходится в Blt то его сумма равна coi(P). Обозна-
Обозначая через со2(Р) сумму ряда B43), рассмотрим функцию Ю2(Р)—
— coi (P), непрерывную в Dt и ортогональную ко всем собствен-
собственным функциям vk{P). Тем самым она ортогональна и к ядру,
т. е
\\\ G(P;Q)[<»2(Q)- coi (Q)]dr = О (Р в Д).
Отсюда видно, что обобщенное решение уравнения
-(о2 (Р) -
при условии B32) есть и(Р)^ 0, и, следовательно, (*>2(Р) совпа-
совпадает с о>1 (Р).
Из последних рассуждений непосредственно следует, что
ядро G(Py Q) — полное ядро^ср. [77]), и тем самым имеется
бесчисленное множество собственных значений Л* [IV4; 42] По-
Покажем теперь, что уравнение замкнутости B42) имеет место
для любой непрерывной в Dt функции со(Р). Такая функция
обязательно ограничена, т е существует такое положительное
число Му что [со(Р)|:^Л1 Пусть е — заданное положительное
число. Выберем замкнутую область D\, лежащую внутри Dt9
так, чтобы объем (D* — D\) был меньше "^jr Проведем внут-
внутри {Dt — D'i) замкнутую поверхность S', содержащую D\ вну-
внутри себя, и определим функцию ср(Р) так, чтобы она была рав-
равна (о(Р) в замкнутой области D\ и равна нулю на S' и вне S'.
Эту функцию можно распространить на все пространство так,
что она будет непрерывной и будет удовлетворять неравенству
|ф(^I^М [59]. Пусть фя(Р) — средние функции для ф(Р).
Они имеют производные всех порядков, при всех достаточно
больших значениях п, равны нулю на поверхности S и удовле-
удовлетворяют неравенству |фЛ(Р)|^М. Функции (рп(Р) равномерно
в D't стремятся к со(Р), и мы можем фиксировать настолько
большое п, чтобы иметь
Шмя>-

386	ТЛ И
Для функций q>n(P) мы имеем, в силу сказанного выше^ урав-
уравнение замкнутости, т. е. существует такое число N, что
^± при tn^N,
где sm((f>n) — отрезок ряда Фурье функции ф„(Я). Принимая во
внимание неравенство (а -Ь&J ^ 2(а24-62Ь можем иаиисятч»;
\\\ [со(Р) - Ф„(Р)?dx + 2 \\\ [Фв(Я) - sm(Ф„
Мы имеем далее
=2 5 5 5[е> (р) ~ ф«(р)]2 dx
Для последнего интеграла мы используем неравенство
и получаем
2 5 5 5 tw (р) ~ф» (p)j2 йт ^8м2 ¦ °бъем (D^ ~ D'$< т •
±4- | + у=е при
после чего предыдущие неравенства дают
дЦР) — &щ (ф,г)]2 dx < -j
и тем более [IVi; 3]

IK8]	НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ	387
откуда, ввиду произвольности е, и следует уравнение замкнуто-
замкнутости для co(jP).
Отметим еще* что из ^236) следует, что ряд
оо
У—
к
является сходящимся рядом [IVi; 3]. Нетрудно доказаггъ урав-
уравнение замкнутости и для неограниченных функций указанного
в [IVi; 3] типа и, в частности, для функции Грина G(P; Q).
128. Нормальная производная собственных функций. Для
дальнейшего нам важно изучить поведение производных функ-
функций Vk(P) при приближении к S.
Теорема. Функции Vk(P) имеют правильную нормальную
производную на S.
Составим потенциал объемных масс:
D9
Он определен во всем пространстве, непрерывен, имеет непре-
непрерывные производные первого порядка, равен нулю на бесконеч-
бесконечности, есть гармоническая функция внутри Dei а внутри Dt имеет
непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяет
уравнению:
b	X	B44)
Мы можем построить потенциал простого слоя;
удовлетворяющий на S предельному условию:
/dv (N)\ __ ди (М)
\ дп )е	дп '
причем надо иметь в виду, что и(Р) имеет производные первого
порядка, непрерывные во всем пространстве. Составим функцию:
Она гармоническая внутри De, равна нулю на бесконечности и
имеет на S правильную нормальную производную извне, равную
нулю К функции w(P) применима в De формула Грина [102],
из которой следует, что w(P)^==0 в De, а тем самым и на S.
Внутри Di функция w(P) удовлетворяет, в силу B44), уравне-
уравнению
Arc; = Аи — At> = — lkvIit

388	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	J129
откуда следует, что в Dt функция w(P) совпадает с v*{P)9 т. е,
vk(P) = u(P)-v(P) (P из Dt\
где и(Р) и v(P) определены выше. Из этого и свойств и п v еле*
дует, что собственная функция vk(P) имеет на S правильную
нормальную производную. Благодаря этому, мы можем приме-
применить к функции Vk(P) (не гармонической) формулу Грина:
5$ "«Ш.^-
5
Принимая во внимание уравнение AVk = —hkVk и условие
B372), а также нормированное^ функций vk(P), т. е.
мы получаем формулу
из которой следует, что все Kk — положительны. Последний ре-
результат можно получить и проще. Он непосредственно следует
из теоремы, утверждающей, что уравнение B31) при КО и
условии B32) имеет только нулевое решение. Эта теорема будет
нами доказана в [136].
О более полных результатах по гладкости собственных функ-
функций вблизи S см. [143, 149].
В случае плоскости доказательство существования правильной производ-
производной у собственных функций проводится путем видоизменения предыдущего
доказательства, аналогично тому, что мы делали в [124] при доказательстве
существования правильной нормальной производной у функции Грина
129. Экстремальные свойства собственных значений и функ-
функций. Мы можем совершенно так же, как и в [88], выяснить
экстремальные свойства собственных значений Кп и собствен-
собственных функций vn(P). Как мы видели, это суть собственные зна-
значения и собственные функции интегрального уравнения B33) с
симметричным ядром, обладающим, согласно B34), слабой по-
полярностью. Мы считаем, что собственные значения %п (они — по-
положительны) расположены в неубывающем порядке, т. е. h ^

Й29) ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	389
^ ^2 ^ ^з ^ ... Мы знаем, что Х\ есть наименьшее	значение
интеграла:
SHSS	B4б)
в классе непрерывных функций ы(Р), удовлетворяющих условию
и это наименьшее значение достигается при v)(P)=Vi(P). Знач-
Значки у dx указывают на точку, которая является переменной ин-
интегрирования. Порядок интегрирования в интеграле B46) в от-
отношении точек Р и Q — безразличен (ср. [IVtT 16]).
Для получения следующих собственных значений и функций
надо добавлять условия ортогональности:
= 0 (k=l, 2, ..., n-1).
Вводя класс А функций, представимых через ядро,
v (Я)= \\ \Q(P;Q) со (Q)dxQt
Dt
где со(Q) —любая непрерывная в Dt функция, мы можем ука-
указанную выше задачу сформулировать как задачу на минимум
интеграла
^ v (Р) со (Я) dx при условии \ ^\ v2 (P) dx = 1
в упомянутом выше классе А функций v{P).
Этот класс функций есть класс обобщенных решений урав-
уравнения Пуассона
Ao(P) = -©(P)f
равных нулю на S, при любых непрерывных в Di функциях
(о(Р), и окончательно мы можем говорить о минимуме интеграла
B47)
в классе Л, где Ди — обобщенный оператор Лапласа. Указан*
ные выше условия ортогональности, как и в [88], сводятся к
условиям ортогональности для v (P):
\\\v(Pyvll(P)dx^0 (k=lf 2, .,., л-П. B48)

390	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	#30
Функции v(P) класса А имеют внутри Dt непрерывные произ-
производные первого порядка, и, повторяя дословно рассуждения из
[128], мы докажем, что v(P) имеет на 5 правильную нормаль-
нормальную производную.
Определим теперь класс функций Ль являющийся частью
класса Л. Класс А\ есть множество функций v(P), обладающих
следующими свойствами: функции v(P) непрерывны в замкну*
той области Dt и равны нулю на S, внутри Dt эти функции имеют
непрерывные производные до второго порядка, причем их опера-
оператор Лапласа Ди непрерывен вплоть до S. К классу А\ принадле
жат все собственные функции vn{P), Если v(P) принадлежит
классу А\9 то мы можем применить к интегралу B47) формулу
Грина, и, принимая во внимание, что и(Р) = 0 на S, можем вме-
вместо интеграла B47) написать интеграл
Таким образом, мы можем утверждать, что Х{ есть наимень*
шее значение этого интеграла в классе А\ при условии
. $$$р»Л-1,	B492)
Di
и это наименьшее значение достигается при v(P) = Vi(P). Для
получения следующих собственных значений и функций надо
добавлять упомянутые выше условия ортогональности B48) к
уже найденным собственным функциям. Можно показать, что
формула Грина
где Да— обобщенный оператор Лапласа, имеет место для любой
функции v из класса А.
Таким образом, указанные выше экстремальные свойства
собственных значений и собственных функций имеют место и
для всего класса А. В [150] мы покажем, что эти экстремаль-
экстремальные свойства имеют место и в гораздо более широком классе
функций. Обратим внимание, что в [143] и далее мы записываем
спектральную задачу в виде Lu = Xu, a|5 = 0, и соответствую-
соответствующие ей Я, для которых и Ф 0, называем собственными значе-
значениями L при первом краевом условии.
130. Уравнение Гельмгольца и принцип излучения. Рассмо-
Рассмотрим волновое уравнение
-^- = а2Да	B50)

130]	УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА И ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ	391
и будем искать его решение в виде установившегося синусо-
синусоидального режима заданной частоты:
u = emtv%	B51)
Для v мы получаем уравнение Гельмгольца:
&v + k2v = 0 (k = со : а),	B52)
по виду схожее с уравнением Лапласа. Выясним, прежде всего,
условие, которому должны удовлетворять решения этого урав-
уравнения на бесконечности. Мы уже упоминали об этом условии в
[Ш2; 155] и назвали его принципом излучения. Мы дадим в на-
настоящем параграфе точную математическую формулировку этого
условия. Пусть имеется установившийся режим вне некоторой
поверхности S. Проведем сферу 5Р с центром в некоторой точке
М, находящейся вне 5, и достаточно большим радиусом, так,
чтобы 5 лежала внутри 5Р, и. применим формулу Кирхгофа
[II; 212] (в ней r = \MN\, a NeeS):
[
S+SQ
к решению B51). В написанной формуле интегрирование совер-
совершается по S и 5Р. Для решения B51) мы имеем при t > р/а
[и]===е \ ajv.
и при интегрировании по Sp получим интеграл вида
^"*^ B53)
причем под знаком интеграла надо положить г = р. Естественно
потребовать, чтобы последнее выражение стремилось к нулю
при р-^сх» (отсутствие источника колебания на бесконечности).
Элемент площади поверхности сферы содержит множитель р2,
и указанное выше условие будет выполнено, если мы подчиним
v двум требованиям:
rv — ограничено и г Г-~ + ikv J-> 0
при г->оо, причем эти условия должны быть выполнены при
любом выборе начала радиусов-векторов г и равномерно отно-
относительно направления этих радиусов-векторов. В дальнейшем
мы будем пользоваться следующими обозначениями. Через
О(га) мы будем обозначать такую величину х, что отношение
х:г" остается ограниченным при г->оо, и через о(/а) мы будем

392	ГЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	AЭ1
обозначать такую величину х, что отношение х:га->0 при
г->оо, причем это должно иметь место равномерно относительно
направления радиуса-вектора г и независимо от выбора его на«
чала. Предыдущие условия могут быть записаны в виде
vsgsO(r~l);	B54)
*L+tkv = o{rl).	B55)
Эти условия и представляют собою математическую форму-
формулировку принципа излучения в трехмерном случае. Совершенно
аналогично в двумерном случае условия имеют вид
B56)
Основным сингулярным решением, удовлетворяющим прин«
ципу излучения, будет в трехмерном случае решение;
0(Р) = ^1,	B58)
где г—расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированнной
точки О до переменной точки Р. Дифференцируя решение B58)J
по г, убеждаемся, что оно удовлетворяет условию, более силь«
ному, чем условие B55), а именно вместо о(г) справа будет
стоять О(г~2). При этом мы считаем, что в формуле B55) рас*
стояния отсчитываются от той же точки О. Проверим теперь
формулы B54) и B55), считая, что расстояния отсчитываются
от другой точки О\9 и обозначим О\Р = р. Ограниченность pv
непосредственно вытекает из того, что р:г—»1. Формула B55)
проверяется простым дифференцированием решения B58> по р
через посредство г. При этом мы имеем
где v — Угол между направлениями г и р; применяя формулу
для квадрата стороны ОО\ в треугольнике ОО\Р% мы получаем
cosy=1 + 0{Г2).	B59)
В плоском случае основным решением, удовлетворяющим
принципу излучения, будет решение #о2)(?г), где #о2)B)~ вто*
рая функция Ханкеля. Чтобы проверить это, достаточно вос-
воспользоваться асимптотическим выражением функций Ханкеля
и формулой
¦я-яРЮ —яР(«).	B60>

J3ll	ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ	"	393
При этом условие B57) будет выполнено в усиленной форме,
а именно справа вместо о \г 2) будет стоять O\r 2 J. Умно-»
жим это решение М2) (kr) на такой постоянный множитель, что*
бы сингулярность при г = О сводилась к lg —. Мы получим та-
таким образом решение
v^^H^(kr).	B61)
Как и выше, можно показать, что принципу излучения будут
удовлетворять и решения
Н% (kr) cos шф; Н™ (kr) sin /шр (т = 1, 2, 3, ...). B62)
131. Теорема единственности. При наличии принципа излуче-
излучения может быть доказана теорема единственности, т. е. если
функция v удовлетворяет вне некоторого замкнутого контура I
уравнению B52), на бесконечности принципу излучения и на
контуре I однородному предельному условию, например уело*
вию v\i = 0 или ~ = 0, то она тоокдественно равна нулю.
Примени-М формулу
$$(-|r-tt2isr)rfs B63)
к области В\, ограниченной изнутри контуром / и извне окруж*
ностью Sr с центром в некоторой фиксированной точке и доста*
точно большим радиусом, и положим u\ = v и U2 — vt где v —
комплексно сопряженная с v. Считаем, что v непрерывна вплоть
до / и имеет правильную нормальную производную. В силу
B52) двойной интеграл будет равен нулю, и, в силу предель-
ного условия, интеграл по I также будет равен нулю. Останется
интеграл по Sr, и на этом контуре направление п совпадает с
направлением г. Условие B57) дает нам возможность заменить*
^г - - lkv + о (гт); ¦? = ikv + о
и таким образом мы приходим к равенству
2ik
Так как лГгю и <\[rv ограничены при г-^оо, то последние
два слагаемых стремятся к нулю, и, вводя полярный угол ср на

394	ГЛ, И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П»
окружности Sr, мы имеем
J |УГ1>|2Лр->0.	B64)
о
Применим теперь формулу Грина к решению v и к первому
из решений B62). Двойной интеграл по-прежнему сократится и
останутся интегралы по I и Sn а потому величина интеграла по
Sr не зависит от г. Оба взятые решения удовлетворяют прин-
принципу излучения, причем решения B62) удовлетворяют условию
B57) в усиленной форме, как и решение #!>2) (kr). Пользуясь,
как и выше, условием B57), мы получим, что интеграл по Sr
стремится к нулю, и поскольку его величина не зависит от г, он
просто равен нулю, т. е.
B) Г до
Нт {kr) J -^
Если положить
то это дает
ш
COS 1Щ ^ф -
LW= \
Г
^ (kr) f'm (г) =
dll™(kr) С
— , \ v cos шф
sr
v cos тф dy,
dlim \kr}
dr Im V>>
откуда \т (r) = cmH{^(kr)} где ст— постоянная,
= 0,1, ... .
Совершенно аналогично получим для
gm(r)= '
S
V v sin Шф ^ф
^Ф~0,
причем т
выражения gm (г) = dmH® (kr), где dm—-тоже постоянная.
Уравнение замкнутости fIVi;3] и формула B64) показывают,
что при фиксированном т и г->оо
Но из асимптотического выражения Hm(kr) следует, что
AjrH{m(kr) остается по модулю большим некоторого положи-
положительного числа при больших г, откуда следует, что ст = dm = 0,
т. е. /т(г)==?гл(г)==0, а отсюда вытекает, в силу уравнения
замкнутости, что v равно нулю на окружностях 5Г.
Если I есть окружность, то, взяв за Sr окружности, концен-
концентрические с U мы получим, что v тождественно рявно нулю вне
/, что и требовалось доказать. В случае 'общего контура преды-

132]	ПРИНЦИП ПРЕДЕЛЬНОЙ АМПЛИТУДЫ И ПОГЛОЩЕНИЯ	395
дущие рассуждения показывают, что v обращается в нуль в
окрестности бесконечно далекой точки. Дальше мы покажем
[132], что v(x, у) должна быть, как и для уравнения Лапласа,
аналитической функцией, и, согласно принципу аналитического
продолжения, из обращения v в нуль в окрестности бесконечно
далекой точки следует, что v = 0 везде вне /. Совершенно ана-
аналогичным образом теорема единственности доказывается и в
трехмерном случае.
132. Принцип предельной амплитуды и принцип предельного поглощения.
Как и в предыдущем пункте, можно показать, что условие излучения выде-
выделяет единственное решение уравнения
ДУ + k2v = — F (P) (k > 0),	BГ4|)
определенное во всем пространстве Будем считать F(P) непрерывно диффе-
дифференцируемой функцией точки трехмерного эвклидова пространства, определен-
определенной во всем пространстве и равной нулю вне некоторой конечной области D.
Тогда указанное решение определяется равенством
К нему же мы придем, рассматривая нестационарную задачу о вынужденных
колебаниях, происходящих под действием периодической силы. Именно, непо-
непосредственно из формулы Кирхгофа [II; 212] следует, что
г>(Р)= lim u{Ptt)e"M,
где и(Р, i) есть решение волнового уравнения
Au-utt=:-F(P)elkt9
удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Поэтому про решение v(P)
говорят, что оно есть «предельная амплитуда периодического колебания, уста-
устанавливающегося при больших / под действием периодической силы». Такой
принцип выделения решений уравнений B640 называется принципом пре-
предельной амплитуды
Другой принцип выделения решений уравнения B64i), так называемый
принцип предельного поглощения (см Игнатовский В. С. Ann. Phys.,
1905, 18), состоит в следующем: в уравнение вводят комплексный параметр
—is (е > 0) («поглощение»):
AOe+<*2-/e)os-.-/4i>),
и берут то решение ve (Р), которое стремится к нулю на бесконечности (та*
кое решение одно):
t—r	F{Q)dx<r
D
где ае — ibe = л/k2 — ie (ae > 0, Ьг > 0), причем Ьг -> 0 при • -* +0. При
e->-f0 предельная для ve(P) функция существует и совпадает с v(P)f
определенной формулой B64г).
Указанные в [130] и здесь три принципа выделения решений в рассмот-
рассмотренном нами простейшем случае приводят, как мы указали, к одному и тому

396	ГЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	ПЗЗ
же решению B642). Естественно ожидать, что они применимы и к более об-
общим задачам:1 к краевым задачам для эллиптических уравнений в неограни-
неограниченных областях. Однако область применимости этих принципов разная. Так,
принцип излучения пригоден для тех случаев, когда уравнение B64i) рас-
рассматривается во всем пространстве или в области Е, содержащей бесконечно
удаленную точку внутри себя [131]. Если же область Е является, например,
полосой 0^2^: 1, то уравнение B6li) не имеет ни одного решения, равного
нулю при z = О и 2=1 и удовлетворяющего условиям излучения в виде
B54) и B55) (F(Q) Ф 0)-. Однако, если эти условия несколько видоизменить,
то задача будет иметь единственное решение (см Свешников А. Г.
О принципе излучения. — ДАН СССР, 1950, 73, № 5).
На основании двух других принципов, применимых здесь без каких-либо
изменений, этот пример показывает, что «-условия излучения» должны зависеть
от формы области Е на бесконечности. Некоторые соображения физического
характера указывают на то, что и принцип предельного поглощения не всегда
применим в указанной выше форме, если Е достаточно быстро сужается на
бесконечности.
Вообще, вопрос о применимости формулированных здесь принципов ис-
исследован не полностью. Укажем в связи с этим на работы Ф. Реллиха (Jah-
resber. Deutsch. Math. Verein, 53t 57), в которых рассматривается форма
«условий излучения» для уравнения B640 в неограниченных областях разного
вида, на работу А. Я. Повзнера «О разложении функций по собственным
функциям оператора — Аи + си» (Матем. сб, 1953, 32, № 1, с. 107—156),
в которой дается обоснование принципа предельного поглощения для урав-
уравнения
Аи + q{P)u + k*u = -F (Р)
в безграничном трехмерном пространстве, и заметку О. А. Ладыженской
«О принципе предельной амплитуды» (УМН, 1957, 12, № 3, с. 161—164). Эта
заметка посвящена принципу предельной амплитуды для написанного выше
уравнения.
Из работ Повзнера и Ладыженской следует, что принцип предельного
поглощения имеет более широкую область применимости, чем принцип предель-
предельной амплитуды, по крайней мере в той форме, как он сформулирован выше.
Именно, предел решений уравнений
Аое + q (?) ve + (/г2 - /в) ve = - F (Р),
равных нулю на бесконечности, при е -*• +0 существует,- если только k% не
есть собственное значение оператора Av -f- q(P)v\ предел от решений соот-
соответствующей нестационарной задачи, lim u(Pft)e~iktt может не суще-
t++oo
ствовать, если оператор имеет хотя бы какое-нибудь собственное значение.
Отметим, что_ число с называется собственным значением оператора
Ди 4- Q(P)v> если уравнение Av + q(P)v + cv = 0 имеет решение, отличное от
нулевого, квадрат модуля которого интегрируем по всему пространству. Ис-
Исследованию этих принципов для более общих уравнений посвящены работы
Д. М. Эйдуса, Б. Р. Вайнберга и др.
133. Предельные задачи для уравнения Гельмгольца. Реше-
Решение B58) уравнения B52) имеет при г = 0 полярность ~, и
это дает нам возможность построить для уравнения B52) тео-
теорию потенциала, совершенно аналогичную теории ньютонова
потенциала для уравнения Лапласа. Обозначая через г расстоя-

H33J
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
397
ние между переменной точкой N поверхности S и точкой Р, мы
будем иметь в трехмерном случае следующие аналоги потенциа-
потенциалов простого и двойного слоя:
p-ikr
B65)
где п — направление внешней нормали к S в переменной точке
N. Выделяя из ядра полярное слагаемое —•, мы получим обыч-
обычные потенциалы, в которых предельный переход при стрем*
лепии Р на поверхность совершается по формулам из [95] и
[D7]. В оставшемся интеграле ядро уже не будет иметь сингу-
сингулярности при г == 0 и возможен предельный переход под зна*
ком интеграла. Мы получаем таким образом формулы, совер-
совершенно аналогичные формулам из [95] и [97}:
(го=| N0N |)
5 '
B66)
Wi (No) = 2jtji (No)
-^ (^т^1) dS,
B67)
причем в B66) ядро интеграла представляет собою значение
производной по направлению нормали п0 в точке No, а в B67)
по направлению нормали п в точке N; интегрирование, как во
всех аналогичных формулах, ведется по S.
В плоском случае мы имеем потенциалы простого и двойного
слоя:
w(Р) =
JL[? M2>(kr)]ds,
B68).

8?а	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	ЦЗЗ
и для них имеют место формулы, совершенно аналогичные фор-
формулам B66) и B67), причем справа множитель 2я надо заме-
заменить на п. Написанные потенциалы удовлетворяют уравнению
B52), и, в силу специального выбора ядер, каждый элемент на-
написанных интегралов и сами эти интегралы удовлетворяют прин*
ципу излучения.
Введем ядро
1 =v - cosqp
где ф0 — угол, образованный направлением п с направлением
NqN. Транспонированное ядро будет
К (N, No; Щ = Жо {—) - ——,	cos to,
где фо — угол, образованный нормалью по в точке No с направ-
направлением jV0Af. Совершенно так же, как и для уравнения Лапласа,
можно поставить задачи Дирихле и Неймана.
Внутренняя задача Дирихле состоит в отыскании внутри S
решения уравнения B52), удовлетворяющего на S предельному
условию
\
Аналогично формулируется и внешняя задача, причем на беско-
бесконечности должен быть выполнен принцип излучения. В случае
задачи Неймана мы имеем предельное условие
дп
s
Из теоремы единственности [131] вытекает, что внешние за-
задачи могут иметь только одно решение. Для внутренних задач
мы имеем единственность не при всяких k.
Число k2 называется собственным значением внутренней за-
задачи Дирихле, если существует внутри 5 решение уравнения
B52), удовлетворяющее на S однородному предельному усло-
условию: u\s = 0. Аналогично определяются собственные значения
внутренней задачи Неймана.
Если мы будем искать решение внешней задачи Дирихле в
виде потенциала двойного слоя и внутренней задачи Неймана
в виде потенциала простого слоя, то придем к союзным инте-
интегральным уравнениям:
И № + J ^ (Ю К (No, N;k)dS = -±-f (No), B69)
i + )) ц(N)К(N, No; k)dS = -^f (NQ),	B70)
s-

133]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА	399
где No — переменная точка 5. Пусть k2 не есть собственное та*
чение внутренней задачи Неймана. Покажем, что при этом одно-
однородное уравнение B69) имеет только нулевое решение. Будем
доказывать от обратного. Пусть оно имеет решение, отличное
от нулевого. При этом и однородное уравнение B70) должно
иметь решение ^io(N), отличное от нулевого. Составляя потен-
потенциал простого слоя с плотностью ^(N), получим решение урав-
уравнения B52) с однородным предельным условием -~- =0.
Но раз k2 не есть собственное значение внутренней задачи Ней-
Неймана, то это решение должно равняться нулю внутри S. В силу
непрерывности, упомянутый потенциал простого слоя должен
равняться нулю и на S, а тогда, согласно теореме единственности,
он должен равняться нулю и вне S. При этом, в силу формулы,
аналогичной E4), ^о(ЛО должно тождественно равняться нулю.
Полученное противоречие доказывает, что если к2 не есть соб-
собственное значение внутренней задачи Неймана, то однородное
уравнение B69) имеет только нулевое "решение, и, следователь-
следовательно, неоднородное уравнение разрешимо при любом f(No), т. е.
при любом f{No) внешняя задача Дирихле имеет решение в виде
потенциала двойного слоя. Совершенно аналогично, если k2 не
есть собственное значение внутренней задачи Дирихле, то внеш-
внешняя задача Неймана имеет решение в виде потенциала простого
слоя.
В книге: Купрадзе В. Д. Гр-аничные задачи теории коле-
колебаний и интегральные уравнения. — М., Гостехиздат, 1950, по-
подробно излагаются исследования автора, посвященные устано-
установившимся режимам в электродинамике и теории упругости, и в
частности задаче дифракции, о которой мы будем говорить в
следующем параграфе. В упомянутой книге разобраны и те
случаи, когда k2 есть собственное значение внутренней задачи
Дирихле или Неймана, и показано, как и в этих случаях строят-
строятся решения внешних задач.
Покажем теперь, что всякое решение v(P) уравнения B52)
с непрерывными производными до второго порядка внутри неко-
некоторой области D будет аналитической функцией координат.
Для этого достаточно показать, что v(P) будет аналитической
внутри некоторой сферы So с центром в любой точке Ро, лежа-
лежащей внутри D.
Попытаемся представить v(P) внутри 50 в виде потенциала
двойного слоя B65). Для плотности \x(N) этого слоя мы придем
к интегральному уравнению:
S^(^}S, B71)
So

4С0	IЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	ИЗЗ
где f(N)— значения v (Р) на сфере So. Радиус этой сферы можно
взять настолько малым, чтобы уравнение
)S	<272>
имело только нулевое решение. Докажем это. Пусть к\ — первое
собственное значение уравнения Да + Хи = 0 при предельном
условии w|so = 0> если So— сфера с радиусом, равным еди-
единице. Совершая преобразование подобия, мы убедимся без труда
8 том, что первое собственное значение для сферы с радиусом
R равно (%i I /?), и число R можно взять настолько малым, чтобы
(Х|iR) было больше числа к2. При этом внутренняя задача Ди-
рихле для уравнения Аи + k2u = 0 с однородным граничным
условием имеет только нулевое решение. Интегральное уравне-
уравнение B72) есть-уравнение для плотности потенциала двойного
слоя, который дает решение упомянутой только что однородной
внутренней задачи Дирихле. Принимая во внимание, что эта
задача имеет только нулевое решение, и рассуждая совершенно
так же, .как и в [109], кы и получим, что уравнение B72) для
сферы радиуса R имеет только нулевое решение. При таком вы-
выборе мы сможем утверждать существование решения у уравне-
уравнения B71) и будем иметь
So
или [II; 207]
К	•'* У +'>&'?*	B73)
где R — радиус 50 и р = |Р0Р|. Подынтегральная функция есть
аналитическая функция координат (ху у, z) точки Р, лежащей
внутри So, и из B73) следует, что и v (Я) — аналитическая функ-
функция (х, у, z) (ср. [61]). Аналогично проводится доказательство
и в плоском случае при помощи соответствующего сингулярного
решения, которое мы укажем ниже.
Мы можем для уравнения B52) построить функцию Грина
совершенно так же, как это мы делали для уравнения Лапласа.
В трехмерном случае основное сингулярное решение этого урав-
уравнения можно написать в виде со^ Г| . Функцию Грина, соответ*
ствующую условию
ols = 0,	B74)
надо искать в виде
QAP. Q: k2) = -^r + gi(P, Q; ft2) <r«j>QJ)*, B76)

Ш]	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА	401
где g\(P> Q; k2) удовлетворяет внутри D уравнению B52), а на
S предельному условию
Если k2 не есть собственное значение уравнения B52) при пре-
предельном условии B74), то мы можем построить такую функцию.
В плоском случае решения уравнения B52), зависящие
только от расстояния г == |/^Q|, имеют вид Zo{kr), где Zo(z) —
любое решение уравнения Бесселя, соответствующее значку
нуль:
±	0(z) = 0.	B77)
В качестве решения этого уравнения возьмем функцию Ней-
Неймана [Ш2; 150]:
<278>
Основное сингулярное решение, имеющее в точке Q поляр-
полярность -gjflgy» бУДет
-|^о(*г).	B79)
Из B78) следует, что, помимо указанного полярного члена, мы
будем иметь в выражении функции B79) члены вида r2n\gr
(п = 1, 2, ...), содержащие lgr. Эти члены стремятся к нулю
при г-*~0. Непосредственным дифференцированием нетрудно
убедиться, что и их производные первого порядка по координа-
координатам стремятся к нулю, и потому они имеют непрерывные произ-
производные первого порядка в R2. Пусть k не есть собственное зна-
значение уравнения B52) при предельном условии вида B74). Не-
Нетрудно построить при таких значениях k функцию Грина
G{(P, Q; k2) уравнения B52).
Будем искать эту функцию Грина в виде
О. (P. Q; &) = - 4 No (kr) + §l (P, Q; ft2).	B80)
Поскольку первое слагаемое в правой части удовлетворяет
уравнению и имеет требуемую полярность, вопрос приводится
к определению слдгаемого gt (P, Q; к2) так, чтобы оно не имело
уже полярности, удовлетворяло уравнению B52), а на контуре
/ удовлетворяло бы следующему неоднородному предельному

402	ГЛ *1 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	«f*SI
условию:
gi\i = TNo(kr).
Принимая во внимание, что к не есть собственное значение, мы
получим одну определенную функцию g\, удовлетворяющую
этим условиям.	*
Возвращаясь опять к трехмерному случаю, отметим еще одну
формулу, связанную с уравнением B52). Пусть Vo(Pf Q)—какое-
нибудь сингулярное решение этого уравнения с полярностью
i> и пусть v(P) — какая-нибудь функция, имеющая в области
t и вплоть до 5 непрерывные производные до второго порядка.
Рассуждая совершенно так же, как в [II; 203]; получим
)] Vo (Р' Q) dtp'
Если v удовлетворяет уравнению B52), то тройной интеграл ра-
равен нулю. Применим полученную формулу для того случая,
когда 5 есть сфера радиуса R и Q—ее центр, и, считая, что
sin kR ф 0, в качестве v0 возьмем функцию:
, ч cos kr ± un sin ^г	, п^. .
0oW = —	ctgkR—j—, где r = \PQ\.
В результате мы получим
*{nkR у(Р)
s
и справа стоит среднее от v по сфере S. Эта формула обобщает
свойство среднего гармонических функщщ.
134. Дифракция электромагнитной волны. К более сложной задаче при-
приводит явление дифракции синусоидальной электромагнитной волны, падающей
на тело с диэлектрической постоянной е и коэффициентом проводимости а.
Рассмотрим плоскую задачу. Пусть / — контур тела и вне / — пустота. Обоз-
Обозначим через Bt и Ве части плоскости, лежащие внутри и вне /. Матемэтически
задача сводится к нахождению функции Е(х,у), удовлетворяющей уравне-
уравнениям
^? = 0 (в В,); bE + k2eE = 0 (в Ве),	B81)
где
2 C0262 — (HOI	ro	2
Щ=—?Е—; *
со—частота падающей волны и с—скорость света в пустоте Функция ? пред-
представляет собою в Bi составляющую по оси Z вектора электрической напря-

134]	ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ	403
женности, возникшего в результате падающего возмущения ешА {х, у); в Ве
функция Е есть сумма падающей волны А и волны, полученной в результате
дифракции от контура /, так что разность (Е— А) должна удовлетворять
принципу излучения. Заданная функция А должна на всей плоскости удовле-
удовлетворять уравнению
ДЛ + ^Л==0.	B82)
Предельными условиями являются непрерывность Е и -^— при переходе
через контур
Применим формулу Грина B63) к области Bi и функциям E(Q) и
G (Р; <?>—§)- #ЕJ) (V) (r~\PQ\),	B83)
считая, что Р лежит внутри Bt При этом мы выделяем точку Р малой окр> ле-
леностью у» и оставшуюся часть Bt обозначим через В^:
Первое из уравнений B81) и аналогичное уравнение для функции B83)
дают:
Е AG - G Д? = {k\ - *2) О (Р; Q) ? (Q).
Принимая во внимание, что G(P,Q) имеет при г = 0 полярность lg—, п
беспредельно сжимая окружность у, мы получим (ср. [II; 199]):
2пЕ (Р) = (k\ - ^) J J G (P; Q) Я (Q) rfS + J (^ Ц - С ||) ds. B840
Густь 5р — окружность с центром в начале и достаточно большим радиусом р
и fle — часть ?<?, лежащая внутри Sp. Применяя формулу Грина к Ве и счи-
считая, что Р находится в Bt, получим
Считая теперь, что Р находится в Ве, и применяя фор-мулу к В/, получим
(p; q)
Наконец, считая Я находящейся в Ве и применяя формулу к Ве, получим
Р формулах BS4i) и*B84г) направления внешней нормали к контуру / про-
противоположны То же самое имеет место в формулах B84з) и B844). Склады-
Складывая почленно B84i) и B842), а также B833) и B844), и принимая во вни-

404	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[135
С дЕ
мание непрерывность Е и -тг— при переходе через контур I, мы получим одно
и то же уравнение для случаев, когда Р лежит в Bt или в Ве:
2пЕ (Р) = (*» - k2e) ^0(Р;<1)Е«1)<18+ J (fi Ц - G -Ц) ds. B85)
SP
n нам остается перейти к пределу, устремляя р к бесконечности. Применяя
формулу Грина к кругу, ограниченному окружностью Sp, и к функциям А и
G и считая, что Р находится внутри 5р, получим
$("¦?-<¦¦&)*
и, следовательно, криволинейный интеграл, входящий в формулу B85), равен
следующему выражению:
2пА (Р) + [ \[Е (Q) ~ A (Q)] dG (f' Q) - G (P; Q) -|- [E (Q) -
J I	on	On
SP	B86)
Пользуясь тем, что разность (Е — /1) должна удовлетворять принципу излу-
излучения, мы покажем в конце следующего параграфа, что написанный интеграл
должен стремиться к нулю, и формула B85) даст нам
Е (Р) = \п J J G (P; Q) ? (Q) dS + А (Р). '	B87)
Если считать, что Р находится в В/, то написанное уравнение представляет
собой обычное интегральное уравнение. Определяя из него Е(Р)} причем Р
принадлежит Bt, и подставляя полученное решение в правую часть B87), по-
полупим явное выражение Е(Р) для того случая, когда Р принадлежит Ве. Мы
получили уравнение B87), считая, что существуем решение задачи. Строго
говоря, надо произвести исследование уравнения B87) и показать, что оно
имеет решение, если Р принадлежит Bt, и что это решение является и реше-
решением поставленной задачи дифракции. Это проделано в работах, которые
будут указаны в конце следующего параграфа. Отметим еще, что в уравнении
B87) интегрирование производится не по контуру /, а по всей области В.
135. Вектор магнитной напряженности. Для определетш вектора И (х, у)
магнитной напряженности мы имеем те же с?мь?е уравнения и усаовия с
одним только изменением. Вместо непрерывности -тг— при переходе через I
мм должны иметь непрерывность ~Т"~л~~> гле * *** ^ в &i р * =¦* *« в &"
Кроме того, разность (Н~—В), где В(х,у)—заданная функция удовлетво-
удовлетворяющая уравнению B82), должна подчиняться принципу излучения. Это
приведет к уравнениям B84) для Н. Принимая во внимание требуемую
непрерывносто -г ~Т~* умножим B840 на -у, B842) на —г- п сложим. Та

§35]	ВЕКТОР МАГНИТНОЙ НАПРЯЖЕННОСТИ	405
же самое проделаем с B84з) и B844), Переходя затем, как и выше, к пре-
пределу, будем иметь
Я (Р) ki-ki t t
—rr-^Hhr1 \\G^ Q)#(qms +
IT W (; Q) H(Q) dS
ink] JJ
В силу полярности у функции С(Р; Q) при совпадении Р и Q написанный
криволинейный интеграл, при устремлении точки Р на контур, ведет себя как
потенциал двойного слоя, и мы получим для того случая, когда Р лежит на
контуре:
причем справа стоит то же, что и в предыдущих уравнениях. Мы можем пере-
переписать предыдущие три уравнения в виде одной формулы:
— k
2..
G (P; Q) H (Q),
J
Г Г
\ \
К
^U(Q)^rfs + ^, B88)
где k2 = k2 (если Я внутри ?t); /г2 = ^^ (если Р внутри
^=i(i+i) (еслк я ш °-
Если Р находится в замкнутой области Bi, то B88) есть нагруженное
интегральное уравнение [IVi; 56] и к нему приложима обычная теория Фред-
гольма. Можно показать, что оно имеет одно определенное решение и что это
решение дает и решение поставленной задачи дифракции. Отметим, что если
мы решим упомянутое выше интегральное уравнение, т. е. будем знать H(Q)
в замкнутой области Bi, то формула B88) даст нам Н(Р) в Ве.
Покажем теперь, что интеграл, стоящий в выражении B86), стремится
к нулю при р -*• оо. В силу асимптотического выражения для //q B) и ^
мы имеем

406	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[13$
В дальнейшем мы должны считать, что Р фиксировано и Q находится на Сд»
Мы имеем
dG (Р- Q) dG dr dG
dp ~~ dr * dp ~~ dr C0S Y>
где для cosy мы имеем выражение B59).
Далее, имеет место очевидное равенство:
и,'следовательно,
Интеграл, стоящий в выражении B86), можно переписать в виде
з	1
1 - \ {(Е - A) [-lk,G + О (р~~)] - О [~ike (E-A)+o(r ~T)] } da,
или
SP	SP
откуда и вытекает непосредственно, что / ~>- 0, Исследование задач дифракция
можно найти в следующих работах:
1.	Купрадзе В. Д. Граничные задачи теории колебаний и интеграль-
интегральные уравнения. — М.; Л : Гостехиздат, 1950.
2.	Штернберг (Sternbergy. Anwendung der Integralgleichungen in der
elektromagnetischen Lichttheorie — Сотр. Math., 1936, 3, № 2.
3.	Фрейденталь (Freudental). Uber Beugungsprobleme der elektro-
elektromagnetischen Lichtteorie. — Сотр. Math., 1938, 6, № 2.
136. Единственность решения задачи Дирихле для эллипти-
эллиптических уравнений. Прежде чем переходить к указанному в за-
заглавии вопросу докажем одно вспомогательное предложение,
относящееся к матрицам.
Лемма. Пусть А и В — две квадратные вещественные сим-
симметричные матрицы, причем все характеристические числа А —
положительны. Если при этом все характеристические числа В
не положительны, то след произведения АВ есть неположитель-
неположительное число: Sp(i4S)^0. Если же все характеристические числа
В не отрицательны, то Sp(AB)^0.
Пусть U — матрица ортогонального преобразования, приво-
приводящая В к диагональной форме, т. е. UBU~l ===== [juii, |Л2> ..., М»
где \kt — характеристические числа матрицы В. Известно, что
Sp (АВ) = Sp (UABU'1) = Sp (UAU'lUBU~l)
[IIIi; 27] и что вещественная симметричная матрица А' =
= UAU имеет те же характеристические числа, что и А. По

136J	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	407
условию все они положительны, и тем самым квадратичная
форма
определенно положительна. Полагая ?s = 1 и остальные \t рав-
равными нулю, мы видим, что {A'}ss>0 (s = 1, 2, ..., ri). С дру-
другой стороны,
п
Sp(i4fl)=SpD'[Hi> ^2, ..., \хJ) = Z {A')ssVs,
и отсюда непосредственно следует, что если все \xs ^ 0, то
Sp(/4B)^0, а если все \is ^ 0, то 5р(ЛБ)^0, и лемма до-
доказана.
Отметим еще один факт, который нам будет нужен в даль-
дальнейшем. Пусть и{Р) = и(хи х2у ..., хп)—вещественная непре-
непрерывная функция, определенная в некоторой области D простран-
пространства (хь *2, •••> хп) и имеющая в D непрерывные производные
до. второго порядка. Положим, что в некоторой точке Ро, лежа-
лежащей внутри D, функция и(Р) имеет максимум. При этом вещест-
вещественная симметричная форма
не может принимать положительных значений (ср. [IIIij 35])t
т. е. все характеристические числа вещественной симметричной
матрицы iix.Xk (Po) не положительны. Точно так же в точке ми-
минимума они не отрицательны.
Рассмотрим линейное эллиптическое уравнение:
п	п
I {и) =- Z aikuXXk + Z btuH +cu = f9	B89)
причем пусть atk, bj, с и f—непрерывные функции в некоторой
конечной области D и квадратичная форма
определенно положительная в D. Отметим, что сумма
П	П / П	N
Z aikux Xk = Е ( Z ciikuxx )	B90)
есть след произведения вещественных симметричных матриц
Ца**11 и \uXixk ||i причем мы считаем, что функция и(Р) имеет
непрерывные производные до второго порядка внутри D. Един-

408	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\№
ственность решения задачи Дирихле для уравнения B89) осно*
вана на следующей теореме.
Теорема. Если с < 0 внутри Д то всякое решение одно*
родного уравнения
/,(*/) = 0	B91)
не может иметь внутри D ни положительного максимума, ни
отрицательного минимума.
Доказываем от обратного. Положим, что в некоторой точке
Ро внутри D функция и(Р) имеет максимум w(Po)>O. В такой
точке все производные первого порядка должны быть равны
нулю, и уравнение B91) дает
п
S atKUxtxk = — cu (в точке Ро).	B92)
Из условия максимума следует, что все характеристические
числа матриц Ци^^Ц не положительны, и, в силу доказанной
выше леммы, левая часть равенства B92) ^ 0, а правая поло-
положительна, ибо по условию u(Pq)>0 и с(Р0)<0. Это противо-
противоречие и доказывает теорему. Невозможность отрицательного
минимума доказывается аналогично или заменой и на (—и).
Совершенно так же можно доказать, что если в неоднород-
неоднородном уравнении B89) f(P) ^ 0 внутри D, то решение такого урав*
нения не может иметь внутри D положительного максимума, а
если f(P)^O, то оно не может иметь отрицательного мини*
мума.
Из доказанной выше теоремы непосредственно следует, что
если с < 0 внутри D, то решение задачи Дирихле для уравнения
B89) единственно. Действительно, пусть и\(Р) и U2(P) — два
решения уравнения B89) внутри D, непрерывные в замкнутой
области В и удовлетворяющие на границе 5 области D одному
и тому же граничному условию
и]5 = Ф(Р).	*	B93)
При этом разность v{P)= и\(Р)—и2{Р) должна удовлетворять
однородному уравнению L(y) = 0 и обращаться в нуль на S.
Отсюда, в силу доказанной теоремы, следует, что у(/>) = 0 в D,
т. е. tti(P)sa u2(P) в D Действительно, если бы это было не так,
то v(P) должна была бы иметь внутри D положительные макси*
мумы или отрицательные минимумы (или и то и другое), а по
теореме этого не может быть. Можно доказать единственность
решения задачи Дирихле, заменив предположение с<0 более
слабым предположением, что с ^ 0 внутри D. Введем для этого
вместо функции v{P)y о которой мы упоминали выше, новую
функцию w(P), полагая
о = (а-е-**)и>,	B94)

«36]	ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	409
где числа аир мы определим ниже и притом так, что разность
а — е~$Хх будет положительной в D. Подставляя B94) в урав-
уравнение L(i>) = 0, получим для w уравнение вида
,,?., в-%»+ ? *>*, + c'w = °>
где Ь'ь как и &/, непрерывны в D и
Да	<296>
и, в силу B94), w — 0 на S.
Принимая во внимание, что ап > 0 в D, мы можем выбрать
число р так, чтобы иметь в D неравенство ftip— ЯпР2 <С 0, а за*
тем выбираем настолько большое число а, что а — е-Р*» > 0 в D.
При этом в уравнении B95)~с'<;0 внутри Z), и к функции
w(P), равной нулю на S, применима доказанная теорема, от-»
куда следует, что а>(Р)г==0 в Z5. Но тогда из B94) следует, что
и v(P) = 0 в D.
Предположение с ^ 0 существенно для единственности ре«
шения задачи Дирихле. Нетрудно дать пример, когда при с > 0
однородное уравнение L(u) = 0 имеет решение, равное нулю на
границе S, но не равное нулю тождественно. В качестве такого
примера приведем уравнение
0	B97)
и рассмотрим его в квадрате 0 ^ Х\ ^ я, 0 ^ х% ^ я. Если
взять k равным целому числу, то уравнение B97) имеет ре-1
шение
v = sin kx\ sin kx2y
равное нулю на границе указанного квадрата. Напомним, что
вообще уравнение
ду + Xv = 0 ~	B98)
имеет бесчисленное множество положительных собственных зна-
значений X = К\\ К = Я*» •.., таких, что при X = Я* уравнение имеет
решения, не равные тождественно нулю и обращающиеся в нуль
на границе 5 заданной области.
Замечание. Пользуясь указанными выше результатами,
можно получить некоторые оценки для решений задачи Ди-
Дирихле. Укажем простейшие из них.
Пусть и{Р) есть решение задачи
L(u) = f внутри D; aIs = 0.	B99)
Мы считаем с < 0 в D, Обозначим через \х наименьшее значе-»
ние |с| и через М наибольшее значение |/| вб

410	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\Ш
Введем функцию vt полагая v = u-{-kt где k — некоторая по-
постоянная. Мы имеем: L(v) — L{u)-\- ck = / + ck, так что v(P)
является решением задачи
L(v) = f + ck внутри D; v\s = k.	C00)
Положим сначала, что k =—. При этом f-\-ck^.O в D, и ре-
решения уравнения L(v) = f-\-ck не могут иметь внутри D отри-
отрицательных минимумов. Но значения v(P) на S равны положи-
положительной постоянной—, и отсюда следует, что v(P) не может
быть отрицательной, т. е v = u-\	^0 или и^	. Совер-
шенно так же, полагая k =	, получим и<—. Оконча-
Окончательно можем утверждать, что решение задачи B99) (если оно
существует) должно удовлетворять в D неравенству
Рассмотрим теперь задачу
L(h) = 0 внутри D; а|5 = ф	C01)
и обозначим через N наибольшее значение |ф| на S Полагая
опять v — и + k, приходим к задаче
L {v) = ck внутри D; v \s = Ф + k.	C02)
Положим k = N. Поскольку мы считаем с<0 внутри D, функ-
функция v не может иметь внутри D отрицательных минимумов. Для
граничных значений v(P) мы имеем очевидно ф + N ^ 0. От-
Отсюда, как И' #ыше, следует, что v = и -\- N ^ 0> т. е и ^ —N.
Совершенно аналогично, полагая k = —N, получим и ^ N, т е.
для задачи C01): |и| ^ W в /3.
137. Уравнение Аи — Xv = 0. Рассмотрим уравнение
Да — lv = Q,	C03)
где X — заданное положительное число, и поставим внутреннюю
задачу Дирихле с предельным условием
C04)
Решения уравнения C03) не могут иметь внутри Dt ни положи-
положительных максимумов, ни отрицательных минимумов [136], и от-
отсюда следует единственность решения указанной задачи Ди-
Дирихле.
Если функция f(N) удовлетворяет неравенству -—а ^ f (N) ^
^ Ь, где а и Ь — некоторые положительные числа* то такому же
неравенству в Dt должно удовлетворять и решение задачи Ди-
Дирихле (это следует из последнего результата [136]),

5S7]	УРАВНГНИГ Ао — Xv = 0	411
Рассмотрим сначала неоднородное уравнение
Да — Xv = — ф (Р) (внутри D<)	C05)
с однородным Предельным условием
ols = 0.	(COS)
Мы считаем, что ср(Р) непрерывна в замкнутой области Dt и
имеет внутри Dt непрерывные производные. Задача C05), C06)
равносильна интегральному уравнению (ср. [126])
C07)
где G(P; Q)—функция Грина уравнения Лапласа с предельным
условием C06). Поскольку (—X) — отрицательное число, а все
собственные значения ядра G(P\ Q) — положительны, уравне-
уравнение C07) имеет при любом свободном члене одно определенное
решение, которое и является решением задачи C05), C06).
Перейдем теперь к решению задачи Дирихле C03) и C04),
Пусть w{P) — решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
с предельным условием C04). Функция
u(P) = v (Р) - w (P)	C08)
должна удовлетворять уравнению
&и —¦ Хи = kw
и предельному условию
Мы только что доказали существование решения этой задачи.
Зная и (Р), мы найдем решение задачи Дирихле v{P) согласно
формуле C08).
Основным сингулярным решением уравнения C03) является
решение
vo(P)=—r	.	C09)
где г —расстояние точки Р до некоторой фиксированной точки
Q. Основываясь на этом решении, можно построить теорию по-
потенциала совершенно так же, как мы это делали в [132]. Мы
не будем на этом останавливаться и перейдем к определению
функции Грина.
Функция Грина Gi(P, Q; X) уравнения C03) при предельном
условии C06) есть функция Р, непрерывная в Bt\Q, имеющая
в Dt\Q непрерывные производные до второго порядка, удовле-
удовлетворяющая внутри Dt уравнению C03), на 5 — предельном/

412	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[W
условию C06) и имеющая вид
С, (Р, Q; Я) = ?~- + gl (P, Q; к),	C10)
где gi(P,Q\ к) имеет внутри Dt везде непрерывные производ-
производные до второго порядка. Функция g\(P, Q; К) есть решение за-
задачи Дирихле для уравнения C03) при предельном условии
, Q; *) к = -
е
4зтг
C11)
Совершенно так же, как и в [122], можно показать, что
gi(P7 Q; X)— непрерывная функция пары точек Р и Q и что
внутри Ъ, имеет место неравенство
0 < С, (Р, Q; Я) < ^Ijil (r = | PQ |).	C12)
Тем же способом, что и в [123], доказывается симметрия функ-
функции Gi(P, Q; А,).
Решение уравнения C05) при условии C06) можно выра-
выразить формулой
S S Sx- Cl3)
=* S S S
Это доказывается так же, как и в [126]. Интеграл
внутри Di удовлетворяет однородному уравнению C03) [126].
Интеграл с сингулярной частью можно представить в виде-
Di	Di	Dl
К первому слагаемому применима формула Пуассона, а во вто-
втором слагаемом ядро ограничено и возможно двукратное диф-
дифференцирование под знаком интеграла. Отсюда непосредственно
следует, что применение оператора (А —Я) к C13) даст [—-ф(Р)]«
Предельное условие C06) для функции C13) проверяется, как
и в [126].
Можно подойти к понятию функции Грина и иначе, а именно так же, как
это мы делали в [74]. Рассмотрим неоднородное уравнение C05) и будем
считать, что ф(Р) обращается в нуль везде, кроме сферы />е с центром Q
и малым радиусом е, причем

1371	УРАВНЕНИЕ До - kv - 0	413
Переходя к интегральному уравнению C07), мы можем написать его решение
в виде [IVi, 8]
S S S(з15)
S S S
где /?(Р, Q; %)— резольвента уравнения C07). Учитывая определение <p(Q')>
можем ожидать, что, при стремлении г к нулю, левая часть C15) стремится
к Gi(P, Q; Я), а правая — к R(P, Q; Л), так что
d(P, Q;*)-*(P, Q;*).
т.е. функция Грина Gi(P,Q\X) является резольвентой интегрального уравне-
уравнения C07).
Это, естественно, приводит к следующему соотношению:
О, (Р, Q; Я) - G (Р, Q) - A J J jj G (P, Q') О, (Q', Q; Л) dtQ,( C16)
О/
которое легко может быть доказано на основании того, что разность
И(Р% Q) = Gi(Pt 0; К)— G(P, Q) удовлетворяет уравнению Д#(Р, Q) ==
«= \Gi(P> Q;X), предельному условию C06) и сохраняет непрерывность в
точке Q. Но мы имели для резольвенты представление в виде ряда по соб-
собственным функциям ядра [IVi; 32], что даст в рассматриваемом случае
где %k и Vk(P)—собственные значения и собственные функции ядра G(P\Q),
т.е. уравнения B31) при условии B32). Сравнивая с C16), получим
мч+(^}• C17)
Ш
Сказанное выше не является строго обоснованным. Сейчас
мы проведем доказательство формулы C17), которая нам по-
понадобится в дальнейшем.
Напомним прежде всего, что ряд
*Г'	C18)
где %k — собственные значения задачи B37,), z = 1,2, сходится.
Определим коэффициенты Фурье функции G\(Q', Q; К) отно-
относительно собственных функций задачи B37t), i= I, 2;
Заменяя vk(Q') —	\	, получим
G{(Q\Q'X K)&vk
i

414	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	f!37
Из двух последних формул следует;
! «У, Q; Л) [Аи* (QO - Я^ (QO] йхф C19)
Принимая во внимание симметрию функции Gi(Q', Q; X) и тот
факт, что формула C13) дает решение уравнения C05), удов-
удовлетворяющее условию C06), мы можем утверждать, что правая
часть формулы C19) равна vk(Q). В данном-случае роль cp(Q)
в формуле C13) играет
- [bvk (Q0 - Xvk (QO] = (X + Xk) vk (QO.
Эта функция имеет внутри Di непрерывные производные, и если
ее взять за правую часть уравнения C05), то решение этого
уравнения, удовлетворяющее условию C06) (такое решение
единственно), будет v{P)= vk{P). Формула C19) дает:
Таким образом, правая часть формулы C17) есть ряд Фурье
левой части, причем эта последняя является функцией, предста-
вимой через ядро. Ряд, стоящий в правой части C17), сходится
регулярно относительно Р при любом фиксированном Q. Это
следует из оценок
г л л
совершенно так же, как и в [IVi; 31]. Первая из написанных
формул выражает уравнение замкнутости для функции G{P\ Q)
[127]. Отметим еще, что левая часть C17) есть непрерывная в
замкнутой области Dt функция точек Р и Q. Это может быть
доказано совершенно так же, как мы доказывали непрерывность
объемного потенциала и его производных первого порядка
[[II; 210]. Отметим, что член с наибольшей полярностью в подын-
подынтегральной функции левой части формулы C17) равен
где г и г' — расстояния от Q' до Q и Р.
Из сказанного выше следует справедливость формулы C17).
При совпадении Р и Q получаем формулу
wUM ''P; ")dTQi> C21)

Ш)	АСИМПТОТИЧЕСКОЙ «ДОАЖОДИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	445
причем ряд сходится равномерно в замкнутой области Dt, так
как справа, в силу сказанного выше, стоит непрерывная функция
Р [\\\\ 38]. Интегрируя C21) по Dti получим
_	C22)
где
о)?(Р, A,) = [[[ G (P; Q) Gx(Q, P; A,)dxQ.	C23)
J J j	ч
^>.
Формула C22) будет нами использована при исследований чи«
сел Яд>.
138. Асимптотическое выражение собственных значений.
Предварительно выясним некоторые свойства функции ^(Р, X)*
Принимая во внимание оценки для G и G\, имеем
ШтБ?^"^ (r = \PQ\)-	C24)
Интегрируя по всему пространству и вводя сферические коор-
координаты с центром Я, получим
оо л 2л
Ц C25)
oJ oJoJ	4я^Я
Докажем теперь, что в любой замкнутой области D\ лежащей
внутри D<, произведение -%/li>(P,X) цри А,-^+оо равномерно
стремится к -jjj-:
V^t|)(P, ^-^-^Г РавномеРно в ^	C26)
Учитывая те предельные значения, которые имеют функции
g(P\ Q) и gi(Pt Q; X) на S, мы получаем оценки
0>g(PlQ)>--?rl 0>gl(P,Q;V>—?^ (Р в DO,
где г' — расстояние от границы D7 до S. Мы имеем
Открываем скобки и разбиваем интеграл на четыре слагаемых;

416 ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\Ш
откуда видно, что интеграл, стоящий слева, стремится	равно*
мерно к нулю при А->+°°> если Р принадлежит D'.	Далее
имеем
и интеграл, стоящий справа, при любом положении Р в Dt не
превышает некоторой постоянной, откуда следует, что интеграл,
стоящий слева, стремится равномерно к нулю. Совершенно ана-
аналогично рассматривается интеграл
е
ТЯГ
SS
D
Осталось рассмотреть интеграл
S^	C27)
и доказать, что он равномерно стремится к -^-, если Р принад-
принадлежит D'. Пусть Do и Di — сферы с центром Р и радиусами,
равными г' и диаметру d области Dt. Мы имеем
Интегралы по Do и D\ выражаем в сферически^ координатах
с центром Р и вводим новую переменную р = дАг« Приходим
таким образом к неравенству.
При Х->-+оо крайние члены стремятся к -т—, и они не зависят
от положения точки Р в Df. Отсюда и следует непосредственно,
что интеграл C27) стремится к -^- равномерно в D\ и тем
самым утверждение C26) доказано. Принимая во внимание
C25), мы можем взять D' настолько близким к Dtt что интеграл
от YAi^P, А) по {Di~Df) будет меньше -^, где е-заданное

138]	АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ	\[J
положительное число. С другой стороны, в силу C26), при до-
достаточно больших К
где v' — объем D\ откуда
v
1л
где v — объем Di. Отсюда следует:
lim
з
и, в силу C22),
D,
C28)
Использование этой формулы для вывода асимптотического вы*
ражения для Хк основано на следующей теореме;
Теорема. Если ряд
/г-1
!* (Ск>0; Хк>0),
C29)
э, сходится при % > 0 и
lim Vk8{l) = H,	C30)
lim
l
2Я
C31)
причем в последней сумме суммирование распространяется ни
те значения k, для которых Xk ^ Я.
Применим эту теорему к ряду C28). В этом случае Ck = -j^
и # = -тг-' и мы получаем
lim -4=
2я8

418	'	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	.	[138
или, что то же,
C32)
где е(Я)->0 при Я-*+оо. Если взять Я = %п> то получим
п
Z Т	-^^+гпл/К (еп~>0).	C33)
Обозначим
?
а левую часть C32)" обозначим через ф(Я)\ Это неубывающая
функция X:
Чр(Я) = 0 при A,<Ai и ф(Я)==ат при Ят<А,<А,т+1, C34)
Выведем асимптотическое выражение Яя при больших п. Мы
имеем
.. + вп„\ (кп-\ — ^п) + ^Л* C35)
Неубывающая функция
Ф (Я) = -~т л/1 + г (Я) л/1	C36)
интегрируема по любому конечному промежутку, и, тем самым,
и второе слагаемое правой части также интегрируемая функция,
В силу C32) и C34) мы имеем
К
rvn
г=г^г^"Яя -4- \ гЩл/Айл* (oo/i
оЯ	J
0
Нетрудно показать, что
> 0 при л—> оо,	C38)

138]
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
419
Пусть б — заданное положительное число. Фиксируем р на*
столько большим, чтобы иметь |s(X) | ^ б при К ^ Хр. Мы имеем
(n> p),
откуда следует:
2 Г \ Г*	г	26Л8Л
v« О
При достаточно больших п квадратная скобка по абсолютной
величине ^ -^- б, т. е.
о
тг \ e(X)\Xdl ^6 при больших пр
V о
откуда и следует C38). Таким образом, мы получаем, в силу
C37),
где е«~>0 при п-*оо. Подставляя это в C35) и пользуясь
C33), получим
«=^^+е»	<339>
где е'п-+0. Отсюда
и окончательно
6я2/г М
6л8 О,Л"Т
В случае плоской области результат имеет вид
C40)
^ еГ«,	C41)
где 5 — площадь области.
Таким образом, все сводится к доказательству теоремы от-
относительно ряда C29).
При помощи указанного выше метода Карлеманом (Т, Carleman) в его ра-
работе «Ober die asymptojtis?he Verteiiung der Eigenwerte partieller Differential"»
gleichungen» (Ber. Sachsisch. Akad. Wiss. Leipzig, Math. Phys. Klasse, 1936,
88) была получена асимптотика собственных значений для уравнений общего
вида.

420	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П39
Приведем полученный им результат. Пусть имеется выражение
з	з
з
где ар<7, пр и а — заданные вещественные непрерывные функции в замкнутой
области D пространства (xi, х%, хъ). Пусть, далее, квадратичная форма
з
2_j apqlplq
P. <? = 1
переменных \k— определенно положительна, если точка (Х\, Хг, #з) находится
в замкнутой области D. Рассмотрим предельную задачу:
при условии C02). Она имеет бесчисленное мбожсство собственных значений,
которые могут быть и комлексными. Во всякой ограниченной части плоскости
находится лишь конечное число собственных значений, и если расположить их
в порядке неубывающего модуля, то имеет место следующая формула:
г п	1 f С С dv
lim —тг = -—;
П->оо %^
где Д — определитель, составленный из элементов apq. Отметим, что, в силу
положительности квадратичной формы, Д > 0, и правая часть последней фор-
формулы — вещественна.
В книге Куранта и Гильберта «Методы математиче-
математической физики», т. I, полученные выше асимптотические выраже-
выражения собственных значений Кп при- большом п для уравнения
Аи-\-Хи — 0 установлены при помощи экстремальных свойств
собственных значений. Этот метод нами изложен в [90] для
случая одного независимого переменного. В применении к урав-
уравнению Аи + ки = 0 проведение этого метода становится более
сложным.
139. Доказательство вспомогательной теоремы. Прежде чем
переходить к доказательству сформулированной в предыдущем
параграфе теоремы, установим некоторые вспомогательные фор*
мулы и докажем ряд лемм.
Введем следующие обозначения:
S ск;	C42)
<х
=Ё**.	C43)
В формуле C42) суммирование распространяется на те значе-
значения А, для которых %k «^ Л. Функция ф(Я) — неубывающая, неот-
неотрицательная функция Я:
при A<Af, (f(X) = om при Ял<Яг<Ат41. C44)

ri39]	'	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ	421
Принимая во внимание, что кь + к ^ 2к при ки ^ К можем
написать;
2* I т^т
и, принимая во внимание C30), получим
C45)
т. е, отношение ф{к): л/к остается ограниченным при к->оощ
Мы имеем далее
п	п—\
SC, v—ч /I I	\	(У
k	\* — I	*		 1 •	v;t
причем
1	\	t dx
h
и, принимая во внимание формулу C34), можем написаты
Но ая = ф(А,п), и из C45) следует, что аЛ:(ХЛ + ^)~^0 при
^~>oo, так что последняя формула дает
^Л- C46)
Из C45) непосредственно следует, что подынтегральная функ-
функция при л;->оо имеет порядок -т^# Для краткости записи вве-
введем одно обозначение. Если г|э (К) = аХ6 + е(X)%ьу где е(Х,)—*0
при Я,->оо, то будем писать: t|)(Jl)~ aX& (ср. [И12; 112]). Дока-
Докажем две леммы:
Лемма I. Если /(Я) определена при всех достаточно боль-
больших положительных X, имеет непрерывную производную, Xf'(k)
не убывает при возрастании К и f(X) ~ aV (q > 0), го /'(X) ~
q
Докажем сначала эту лемму при а = 1 и 9=1. Мы имеем
f (X) ~ К и надо доказать, что /'(X) ~ 1, т. е. надо доказать, что
f(A)M при А,->оо.

422	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	{Ш
Доказываем от обратного. Если f'(k) не стремится к еди-
единице, то существует такая последовательность значений %п, что
Хп->сю и fCk^-^-h, где число h отлично от единицы. Положим,
например, что h > 1. Пусть у— некоторое положительное число.
Принимая во внимание, что Я/'(А,) — неубывающая функция, мо-
можем написать:
Правая часть стремится к числу —lg(l+Y)> которое больше
единицы, если взять у достаточно близким к нулю. Но из
f(k) ~ К непосредственно следует, что мы должны иметь
Это противоречие и доказывает лемму при а = ?=1. Перехо-
Переходим к общему случаю. Полагая \i = iq, введем вместо /(X) но-
новую функцию /i (\x) = — f \\iq) . Мы имеем
Таким образом, |i/J0*)— неубывающая функция, и мы можем
применить к f\([i) лемму при а = q= 1, откуда следует;
/;Ы~1, т. е. -^Ц"
откуда следует: f (к) ~ aqKq~\ что и доказывает лемму. Изло-
Изложенное доказательство останется в силе и при h = оо.
Рассмотрим интеграл
du (p= 1, 2, ...).	C47)
Совершая замену переменных u = x:(l—х), преобразуем инте-
интеграл к виду [1П2; 72]:
»- гB;Л ¦ ^

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ	423
Лемма II. Пусть
р
S	2	С
0 («+	йЩ КХ
2
где 0 < а < 1. Яра этом
*,.»<%; ^.2>A-б;)^; ^.з<^р) C49)
бр, б^ и б^7, зависящие от выбора а, стремятся к нулю при
>- оо.
Мы имели формулу Стирлинга [ИЬ; 75]:
2e~z[l+B(z)] (е(г)->0 при
Применяя ее к правой части C48), получим
р
где бр->0 при р~>оо. Написанная дробь, умноженная на
стремится к единице при /?->оо, и мы можем написать:
Яр = Лр""^2~2р A + ъ'р) (е^-> 0),	C50)
где А = <у/2л2 2. Функция w:(w+lJ имеет при и=1 макси-
максимум, равный -J-, откуда следует:
1-а 1	оо _1
где 0 <&<-?-, и k зависит от выбора а. Мы получаем таким
образом
*,.1<Л1*Р.	C51)
где Ai = -^, и совершенно аналогично
/Ср.з<^1*р.	C52)
Мы имеем kp == f -г-"" ^) » где 8>0 и зависит от выбора а.
Из сказанного следует, что kp»22pp1b — [l—48)pp4*-+Q при

424	ТЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П39
р->ос\ и, принимая во внимание C50), C51) и C52), получаем
неравенства C49) для КР,\ и КР>ъ> Мы имеем далее
Кр, 2 = Кр — Кр, i — Кр> г^Кр — (dp + 6р")Кр,
откуда и следует неравенство C49) для /Ср,2, и лемма доказана*
Переходим к доказательству теоремы, формулированной в
[138]. По условию этой теоремы
¦ы=\т?-
(x)~dx~Hk".	C53)
Рассмотрим функцию Х2${К) и докажем, что ее производная по*
ложительна и не убывает при возрастании К:
о
Из последнего выражения и неубывания функции ср(дс) непо-
непосредственно следует, что и производная, стоящая в левой части
формулы, положительна и не убывает. Мы можем, таким обра*
зом, применить к функции K2s(K) лемму I и получим, принимая
во внимание C53),
=2 S irw dx ~ т нк~-	C54)
откуда
, — of <Р(*) л.. . . 1
о
Далее мы получаем
— Я3/ (Я) ~ 4" ЯЛ"'', - 4т [ЯУ (Я)] = 2-3
О
и можем опять применить лемму I к функции [—%zs'
откуда, производя дифференцирование и пользуясь C54)", полу».
чаем
«* W = 3I S IFFIjr
Т

13*1	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ	425
Продолжая таким образом и дальше, придем к формуле
(-1)т8т(Х) = (т+1)\\1 *1^*~ЬЗ--;Г~1)ЯА"^. C56)
J {X -f- А)	2
Изучим теперь асимптотическое поведение интеграла
при больших X. Мы имеем
=
(х + ЯJ^2	(х + Х)рf2
где
0
и, следовательно,
Принимая во внимание C56), получим
1 р
Первую из этих формул можно записать в виде
/, (Я) ~ЯГ'-^ ?(-!)*(; ) \V+aj) . C59)
Докажем теперь формулу
Рассмотрим для этого интеграл
1х,	C61)

4ZD	, ГЛ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ч	[139
который при помощи замены х = Хи и приводится к виду
Мы имеем
и интеграл C61) представляется в виде
Совершая замену и = х . A — #), получим
и подставим это в формулу C63):
v
2Л
2 s=°
Сравнивая это с C62), получаем C60), и формула C59) при-
нимает вид
Jp(X)~~b~P"Kp	C64)
или
1р (Л) = -^ Я""Р"% A + лО,	C65)
где т]х зависит от р и К и г^-^0 при фиксированном р и Х-^оо.
Интеграл /Р(Я.) представим в виде суммы четырех слагаемых:
р.З, C66)

1391	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ	427
где 0 < а < 1. Из C45) следует:
О<<р(Я)< А л/%,
где А — постоянная, и, следовательно,
х	dxA%-p->K
(х + ЯJ"+2
откуда, в силу леммы II,
2Н ГР-
где г\р зависит от р и а и %->0 при р->оо и фиксированном а.
Совершенно так же получим
2И л-Р-у
где ^ аналогично т]р. Оцениваем /pj 0:
~~ 2р + 1 L
где В и Si — постоянные (они не зависят от р и Я). Отсюда сле-
следует:
и мы имеем
где С — постоянная. Из предыдущих формул следует:
C67)
Принимая во внимание определение JP}2 и тот факт, что
не убывает при возрастании х, получим
1	1
(Я + ссЯ) /М+с^Т.-Р"*-	/оАоч
Д	Д«B>	\OOOy

428	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	AЗЭ
откуда
Ф (Я + аХ) р+1 /р, 2 / 1 -. а \Т п+1 /„, 2 / 1 - а \Т
^А ——I——I •
(Я + ейI'2 ^	/Ср, а Ч 1 + a /	Kp Ч 1 + a /
Принимая во внимание C67), получим
Аналогично из C68) имеем
ь+ax р+±	j
, ^ Ф (Я - аЯ) f	^ 2 -v __ф (Я - аХ) (\ - а\У8 . -р-^
откуда
Ф (Я — аХ) p+j 1^2
и, принимая во внимание лемму II и формулу C67), получим
yi^ff < ^- о+чх - < - лр - ч;) (тз^У2 (! - *»- C70)
(Я
при А—> оо;
Покажем теперь, что отношение ф(Я):Я1/а стремится к -jj--
^-.	C71)
Я/г
Вообще число Л будет одним из возможных предельных зна«
чений ф(Я): V^ ПРИ ^-*оо> если при любых заданных положи-
положительных е и М найдутсятакие значения Я', что|Л—<р(А,'): V^I^
^е и Я'^М. Аналогичным образом А = +оо будет одним
из возможных предельных значений <р (Я): <y/l, если ПРИ любых
заданных положительных М и N найдутся такие значения Я',
что ф(Х'): л/Х' ^ N и Я7 ^ М. При этом под возможным пре-
предельным значением мы понимаем такие значения Л, что сущест-
существует беспредельно возрастающая последовательность Яп значе-
значений Я такая, что q>(A,rt): <\[k^-*A. Нам надо показать, что су-
существует только одно возможное предельное значение и что
2#
оно равно -JJ-.
Обращаемся к неравенствам C69) и C70) и отметим, что
левая часть их не зависит от р, которое входит в правые части
неравенств Сначала фиксируем каким-нибудь образом р и а и
устремляем Я к бесконечности так, чтобы левые части C69) и

140]	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЕЕ ОБЩЕГО ВИДА	429
C70) стремились к одному из возможных предельных значений
А Мы получим при этом, принимая во внимание, что г)р и г\'р не
зависят от Я:
Левые части (т е. А) не зависят ни от р, ни от а, и считая, что р
фиксировано достаточно большим, а а достаточно близким к
нулю, мы и получим, что единственным возможным значением
А является 2# я, т. е. имеет место C71). Таким образом,
утверждение C31) теоремы из [138] доказано. Приведенное
выше доказательство принадлежит Харди и Литтльвуду. В ра-
работе упомянутых авторов установлено несколько более общее
предложение, частным случаем которого является доказанная
выше теорема
140. Линейные уравнения более общего вида. Рассмотрим
уравнение вида
з
? (и) = Z uXtXt + b(xu x2y x3)u = — f (хи хъ *3). C72)
Координаты (х\, х2, х$) или (?ь h> h) точек пространства мы в
дальнейшем будем обозначать просто (х) или (?).
Пусть ищется решение уравнения C72), удовлетворяющее
однородному предельному условию:
m|s —0.	C73)
Заданные функции Ь(х) и f(x) мы считаем непрерывными в
замкнутой области Dt и имеющими непрерывные производные
первого порядка внутри DL
Совершенно аналогично тому, что мы делали в [137], будем
искать решение указанной задачи в виде
dTv	C74)
где G{x\ I)—функция Грина оператора Лапласа с предельным
условием C73). Это последнее условие для функции и(х), опре-
определенной формулой C74), выполнено при любом выборе непре-
непрерывной функции \х(Ъ), и надо подобрать эту функцию так, что-
чтобы внутри Dt удовлетворялось уравнение C72). Считая, что
fx(g) имеет непрерывные производные, получим для н(Ю инте-
интегральное уравнение
SSSK(x; l) ^(|)rfT* C75)

430	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[140
с ядром
).	C76)
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
dxv	C77)
Di
Надо выяснить, имеет ли оно решения, отличные от нулевого.
Положим, что Ь(х)^. 0 в Д, и пусть \хо(х)— решение уравнения
C77). Формула C74) при |ы(?) = [го(|) дает решение уравнения
L(u)*=0> удовлетворяющее условию C73). Но такое решение
равйо тождественно нулю [136], т. е.
Из формулы C77) при \х(х) = \хо(х) непосредственно следует,
что ho(l) должно иметь внутри Di непрерывные производные
[126], и, применяя к обеим частям формулы C78) оператор Лап-
Лапласа, получим |^о(л:) = 0, т. е. уравнение C77) имеет при Ь(х)^.
^ 0 только нулевое решение, а следовательно, уравнение C75)
разрешимо при любом свободном члене. Поскольку f(x) имеет,
по условию, внутри Dt непрерывные производные первого по-
порядка, можно утверждать, что и \х(х) имеет такие же производ-
производный, откуда следует, что формула C74) дает решение постав-
поставленной выше задачи. Можно показать, что однородное уравне-
уравнение C77) имеет только нулевое решение, независимо от знака
b (x)y в том случае, если область Dt достаточно мала. Все ска-
сказанное выше применимо и в плоском случае. Если применить
указанный выше метод для уравнения
3	3
Е их,х. + ?сц (х) их +b(x)u = -f (x),	C79)
то мы придем к интегральному уравнению с ядром:
К (х; I) = E af(x) GXl (x; I) + b(x)G (x; I).	C80)
Если для производных функции Грина имеет место оценка
#.	C81)
то к упомянутому интегральному уравнению применимы обыч*
ные теоремы.
Сравнительно простое доказательство этой оценки имеется
в заметке Эйду с а Д. М. — ДАН СССР, 1956, 106, № 2,

141]	j ТЕНЗОР ГРИНА	431
141. Тензор Грина. Пусть L(u) есть некоторая линейная опе-
операция над вектором u(ab u2y м3), зависящим от (x,y,z), приво-
приводящая тоже к вектору. Рассмотрим уравнение
L (и) = — f,	C82)
где f — заданный вектор, зависящий от (дс, у, z). Разлагая ле*
вую и правую части на составляющие, получим систему трех
уравнений для составляющих (и\, и2, иг) вектора и. Положим,
что на поверхности S области D имеется, кроме того, однород-
однородное предельное условие, например условие:
u|s==0.	C83)
Под тензором Грина для L(u) с предельным условием C83)
подразумевают матрицу
IGn (?i2 Sis |
С31 Gs2 G33 II
такую, что уравнение C82) с предельным условием C83) равно-
равносильно формуле
\\Q	C84)
D
причем подынтегральное выражение представляет собою приме-
применение матрицы G(P\ Q), как оператора, к вектору !, т. е. это
подынтегральное выражение есть вектор с составляющими:
(/=1,2,3).
Каждый столбец тензора дает составляющие некоторого вектора
gk (k = 1, 2, 3), который, за исключением точки Q, имеет непре-
непрерывные производные, удовлетворяет однородному уравнению
C82) и предельному условию C83). Характер полярности в
точке Q легко вытекает обычно из физического смысла задачи.
Пользуясь тензором Грина, можно привести, как и выше, к си-
системе интегральных уравнений задачу о собственных значениях
и собственных векторах уравнения
L (и) + Яи = О
при предельном условии C83),
Напишем основное уравнение теории упругости для вектора смещения
[IVj; 104]:
Пользуясь формулой [II; 124]
rot rot u « grad div u — Au,

432
ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
[141
мы можем написать для статического случая уравнение в виде
А*и в a grad div u — b rot rot u = 0,	C85)
G Bm - 2)
где
или, вводя обычные постоянные А, и fi Ламе, а ;= X + 2[х; Ь = }г.
В безграничном пространстве сила, величины единица, действующая в
точке Q(g, tj, ?) параллельно оси Z, вызывает смещение с составляющими1):
ib-A[tZ-?
где
Аналогичные выражения для смещения мы имеем и в случае сил, парал-
параллельных осям X u Y. Тензор Грина в данном случае будет иметь вид
\ma
8л6
Pfr.
C86)
где
1
г
(У
(z
<*¦
— T|) 1
r3
— 6):
Г3
[jc —
5)
(x -l)(y- y)	U -l) (г- I)
,~nV
T)J
i (z - E)
(г - t) (y - ч)	1 B - SJ
I , (*-!)'	(* - 6) (У ~ Л)	(*-6)(z-?)
r I- Гз	гз	гз
(У - П) (* ~ I)	1 , (У — Л)*	(У - П) (г - E)
гз	r t" Аз	гз
(г — С) <лс — 1)	(г - E) (У - П)	1 ¦ (z-t)«
Г3	Л3	Г "*" Г3
Вместо предельного условия C83) мы имеем в данном случае обращение
в нуль в бесконечно далекой точке. Уравнение
Л*и » - f
имеет в данном случае решение C85) Тензор C86) называется обычно в
теории упругости тензором смещения Сомильяна (Somigliana). Его можно
записать в виде
р. 195,
Ляв А, Математическая теория упругости, — М.; Л.; ОНТИ, 1935Л

1421	ПЛОСКАЯ СТАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ	433
где Е — единичная матрица и г X г — тензор:
I(x-lf (ж-6) (у-Л) (*-!)(*-t) I
(»-4)(*-i) (</-nJ (ir-nMz-C) •
(г_С)(*-6) (г-С)(у-п)	(*-?)г I!
В работе Вейля 4) указаны различные аналоги формулы Грина для урав*
нения C85), приведено построение тензора Грина для ограниченной областк
и с помощью этого тензора исследованы собственные значения уравнения
Д*и + Ки = 0.
142. Плоская статическая задача теории упругости. Некоторые из пре-
предельных задач в плоском случае решаются с применением интеграла Коши.
Это относится, например, к задаче Дирихле для гармонического и бигармони-
ческого уравнений или к задачам конформного преобразования односвязной
области на круг или многосвязной области на области определенного типа
(Крылов В. И. — Матем. сб., 1938, 4 D6), № 1). С помощью интеграла
Коши эти задачи сводятся к шггаральным уравнениям Мы изложим приме-
применение этого метода к решению плоской статической задачи теории упругости
(М у с х е л и ш в и л и Н. И Некоторые задачи теории упругости). Если в ка-
качестве предельного условия мы имеем задание смещений на контуре обла-
области В, то решение статической задачи сводится к нахождению двух функций
ф(г) и ф(-г), регулярных в В и удовлетворяющих на контуре области пре-
предельному условию:
- Щ7) + 7У (г') + ф (г') « / (*') (г' на /),	C87)
где k — некоторая вещественная постоянная и /(г') —заданная на контуре
функция. Умножая обе части C87) на -г—т —т	;
интегрируя по /, получим
1 Г 5У (г')
гш ) z'-z
функция. Умножая обе части C87) на -г—г —-,	, где z лежит вне /, и
JiTCl Z — Z
где
т^—— dzf {z вне I)
известная вне / функция. Устремляя г на контур I, мы получим
Где интегралы надо понимать в смысле главного значения. Для того, чтобы
получить уравнение, содержащее обычные интегралы, напишем:
г' —1	2	2m' J г' — t
Умножая второе из написанных уравнений на t и складывая оба урав-
уравнения почленно с уравнением C88), получим
Rend. Circ. mah. Palermo, 1915.

434	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	N42
Наконец, производя в интеграле, содержащем ф'Сг7), интегрирование по ча-
стям, получим
\*iz')di^=T=Fe{t)- C89)
Если положить г' — t = re*®t то предыдущее уравнение переписывается в виде
\ U \ (z) Ж7I Л , @.	C90)
Отделяя вещественную и мнимую части, получим систему двух интеграль-
интегральных уравнений для значений вещественной и мнимой частей Ф(г') на /. Ре-
Решая эти уравнения, будем иметь ф(г') на /, и по формуле Коши получим
(г) внутри /. Для нахождения ф(г) умножим обе части C87) на
Ф(г)
т——
где г — внутри /, и проинтегрируем по /:
: — г
Изложенный метод приведения предельной задачи C87) к интегральному
уравнению принадлежит Н. И. Мусхелишвили (ДАН СССР, 1934, 3, № 1).
При составлении уравнения C89) мы считали, что задача имеет решение.
Можно, пользуясь уравнением C89), установить теорему существования по-
поставленной плоской статической задачи теории упругости не только в случае
односвязной области, что мы предполагали выше, но и в случае многосвязной
области *).
Приведение плоской статической задачи теории упругости к интеграль-
интегральному уравнению было дано в. работе В. А. Фока (С. г. Acad. Sci. Paris, 1926,
182, p. 264).
В уравнении C90) О есть угол, образованный радиусом-вектором из фик-
фиксированной точки t контура / в переменную точку г' того же контура. При*
нимая это во внимание, нетрудно видеть, что однородное уравнение C90)
имеет решение ф(г')= const, отличное от нулевого. То же самое можно ска-
сказать и об уравнении C89). Мы всегда можем считать, что z = 0 находится
внутри /. Из вида предельного условия C87) следует, что мы можем относить
постоянное слагаемое из ф(г) к ty(z) и можем считать ф@) =0. Отсюда
следует:
складывая это уравнение с C89), получаем новое уравнение, уже не имеющее
собственной функции.
Можно применить и другой метод при решении предельной задачи
C87) 2). Будем искать ф(г) п ty{)
1 Г ф{г'
44 ' 2я< J г' — ,
Ш е р м а н Д. И. — ДАН СССР, 1935, 4, № 3.
То же, 1940, 27, № 9,

143]	О РЕЗУЛЬТАТАХ ШАУДЕРА	435
где w(z')—искомая на I функция. Подставляя в C87) и пользуясь свой-
свойствами интеграла типа Коши, получим интегральное уравнение для со (г'):
Ы (t)
2я/ J	г' — ^ 2я/ J	г' — t	j
В указанной выше работе Д И. Шсрмана рассмотрен случай многосвязной
области и проведен анализ полученного интегрального уравнения.
143. О результатах Шаудера. Для эллиптических уравнений
второго порядка общего вида
п	п
L(u)= 2 atkuXlxk + S bkux + си = f	C91)
основными (классическими) предельными (краевыми) зада-
задачами являются задача Дирихле, в которой на границе 5 обла-
области D d Rn задаются значения ш
als-cpW.	C92)
эадача Неймана (вторая краевая задача), в которой на 5 за-
задаются значения производной и по конормали к S:
п
Р(и) И J aik^cos (п. хг)\ - ф{8)9	C93)
и третья краевая задача, в которой задается линейная комби-
комбинация Р(и) ни на S:
C94)
Наиболее красивые результаты по разрешимости задачи Ди-
Дирихле в ограниченных областях D были доказаны Шаудером и
частично Каччопполи в работах: Schauder J. Ober lineare
elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung. — Math. Z.,
1934, 38, S. 257—282; Numerische Abschatzungen in elliptischen
linearen Differentialgleichungen.—Studia Math., 1934, 5, S. 34—42;
Caccioppoli R. Sulle equazioni ellittiche a derivate partiali con n
variabili independenti. — Rend. Ace. Lincei, 1934, 19, p. 83—89.
Они формулируются в терминах пространств Гёльдера Cl+a(D)j
Элементами Са(В) являются функции и(х)у непрерывные в В
в смысле Гёльдера с показателем a (aG@,l)), т. е. и(х) не-
непрерывна bSh для нее конечна постоянная Гёльдера:
uw-yi^	C95)
Норма в Са[В) определяется равенством
11 и |?-sugl и (*)| + <и>«.	C96)

436	ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П43
Элементами СИа(В), /^1, являются непрерывные в D функ-
функции, имеющие всевозможные производные до порядка /, причем
производные порядка / суть элементы Са(В). Норма в Cl^a(D)
определяется равенством
II и |?+а) = ? ? sup | L4 (х) | + ? (D'u)aD.	C97)
ft «О (k) x<z=D	(I)
В нем X означает суммирование по всем производным порядка
<*)
k. Пространства C+a(D), /^0 являются банаховыми. Тако*
выми же являются и пространства Cl(B), I = 0, 1, ..., состоя*
щие из непрерывных в В функций, имеющих непрерывные в D
производные до порядка /. Норма в С1 (В) определяется
Ци|?>в? S sup\D»u(x)\.	C98)
fc«0 (k) Xt=D
Вместо С0 (В) принято писать просто С (В).
Будем говорить, что граница S области D c= Rn принадлежит
классу С/+а, /^5 1, а?@, 1), если существует число р > 0, та-
такое, что пересечение S с шаром Вр радиуса р с центром в произ-
произвольной точке x°eS есть связная поверхность, уравнение ко-
которой в местной декартовой системе координат (tj\, ..., уп) с
началом в точке х° имеет вид уп :=: co(t/i, ..., уп-\)> причем
6>(f/b •••» Уп-\) есть функция класса Ci+a в замкнутой области
В(х°, р), являющейся ортогональной проекцией пересечения
Sflfip на плоскость уп = 0. Термин «местная декартова система
координат с началом в точке х° е 5» означает, что ось уп на-
направлена по нормали к S в точке х°, а остальные, ортогональ-
ортогональные друг другу уи лежат в гиперплоскости, касательной к S в
точке х°.
Для функции tp, заданной на поверхности 5 класса С/+а, при-
принадлежность к Ck+$(S), й + р^/ + а, будет означать, что она
как функция местных координат (у\, ..., уп-\) принадлежит
C^P(fi(jc°, p)) для всех x°gS.
Основной результат Шаудера состоит в следующем:
Теорема 1. Если коэффициенты и свободный член f урав-
уравнения C91) являются элементами С1+а(В), /^0, где D — огра-
ограниченная область в Rn,
t^&l^vtlb v = const >0,
c(x)^.0, S принадлежит классу C/+2+a, а феС|+2+аE), то за-
задача C91), C92) имеет решение и, принадлежащее C/+2+a(D)t
и оно единственно.
На основу этой теоремы, предложения о компактности вло-
вложения С1+а(В) в С1 (В) и спектральных свойств вполне непре*

143]	О РЕЗУЛЬТАТАХ ШАУДСРА	437
рывных операторов устанавливается аналог первой и второй
теорем Фредгольма для оператора L при условии Дирихле.
А именно, рассмотрим наряду с задачей C91), C92) спектраль-
спектральную задачу
L(u) = Xu, tt|s = 0.	C99)
Чтобы сформулировать наиболее полный результат, надо считать
X комплексным числом, а // — комплекснозначной функцией ве-
вещественного переменного х. В соответствии с этим надо ввести
аналоги пространств C/+ct(Z5), элементами которых являются
комплекснозначные функции и(х) = щ(х)-\~ iu2(x) с Uk(x), k =
= 1,2, принадлежащими Cl+CC(D). Сохраним за ними те же обо-
обозначения С1+а{В). Норма в таком Cl+a(D) определяется * как
сумма норм C97) для и\ и и^.
Справедливо следующее предложение:
Теорема 2. Пусть для L и S выполнены все предположе-
предположения предыдущей теоремы, кроме условия с(х)^ 0. Тогда задача
C99)	имеет нетривиальные (г. е. отличные от тождественного
нуля) решения не более чем при счетном числе значений_Х:
Х — Хь, 6 = 1, 2, ..., и эти решения принадлежат C'+2+a(D)#
Числа Xk расположены в квадратичной параболе я—{А,=«
— X' + IX': X ^ ai (a2 — Я'), ai > 0), параметры которой щ
вычисляются по коэффициентам L. Каждое Xk имеет конечную
кратность, г. е. каждому Xk соответствует лишь конечное число
линейно независимых решений. Задача
L(u) = Xu + f, H|s = q>,	D00)
однозначно разрешима в С<+2+а(Г)) при любых feC/+a(D) a
Ф <= С/+2+аE), если X отлично от чисел Xk, k = 1, 2, ,». .
Последнее утверждение теоремы можно кратко формулиро-
формулировать так: из теоремы единственности для задачи D00) сле-
следует теорема существования. Числа {Xk} составляют спектр
оператора L при первом краевом условии. Соответствующие км
решения uk (т. е. решения задачи C99) при X = Xk) называются
собственными функциями оператора L при первом краевом
условии. Все они принадлежат C/+2+a(J5). Третью теорему Фред-
Фредгольма для задачи D00) при указанной выше гладкости коэф-
коэффициентов L формулировать в простом виде невозможно. Мы
это сделаем в дальнейшем при несколько иных предположениях
о коэффициентах L, когда будем подробно исследовать задачу
D00)	в гильбертовом пространстве W\ (D).
Доказательство этих теорем существенно опирается на сле«
дующее важное неравенство:
I! и С2+в) <С[IIL (И) ||?+a) + max| «| +1|«|g+t+«]. D01)

438	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[144
Оно справедливо для любой функции и из Ct+2+a(B). Постоян*
ная С в нем зависит лишь от норм коэффициентов L в простран*
стве С/+а(/5), константы эллиптичности v и границы 5, которая
должна принадлежать классу CH2fa. Если коэффициент с(х) в
L неположителен, то из правой части D01) можно выбросить
член тах|&|. Неравенство D01) принято называть неравен-
D
ством Шаудера (он установил его для / = 0).
Мы не будем излагать доказательств описанных здесь фак-
фактов, ибо они непросты и весьма техничны. Читатель может по-*
знакомиться с ними по монографии. Ладыженская О. А.,
Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
эллиптического типа. — 2-е изд—М.: Наука, 1973. Здесь же
отметим оригинальную и весьма плодотворную идею Корна
которую принято называть «замораживанием» коэффициентов.
Она позволила разбить всю задачу на несколько «канониче-
«канонических» задач, касающихся только оператора Лапласа. Для ре-
решения этих задач используется классическая теория потенциала,
изложенная нами в предыдущих параграфах. Эта идея нашла
себе широкое применение при исследовании общих краевых за-
задач для уравнений и систем произвольного порядка эллиптиче-
эллиптического и параболического типов, в частности, дала возможность
доказать фредгольмову разрешимость задач C91), C93) и C91),
C94).
В следующих пунктах мы докажем фредгольмову разреши-
разрешимость задачи D00) в гильбертовом пространстве Wl(D). Де-
Делается это значительно проще, чем в других пространствах, и
без использования упомянутой идеи Корна.
144. Обобщенные решения класса W\(D). Для дальнейшего
нам удобнее считать оператор L записанным в виде
Если коэффициенты aik имеют в D обобщенные производные
первого порядка, то любой оператор L из C91) может быть
представлен в виде D02) и наоборот (меняются только значе-
значения коэффициентов bt). В ближайших пунктах мы исследуем
разрешимость задачи Дирихле
L(u) = lu + f9 u\s = 0	D03)
в ограниченной области D для общих эллиптических операторов
L с переменными коэффициентами в зависимости от значений
числового параметра К. Если atk, bt и с суть измеримые ограни-
ограниченные на D функции и atk имеют ограниченные обобщенные
производные первого порядка, то для любой функции и из

144]	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССА W*(D)	439
W\(D) L(u) есть элемент L2{D) и при любой r\€=C™(D) имеет
место равенство
-\L(u)r\dx = L(u,r\),	D04)
D
где через L(u, r\) обозначена билинейная форма
L (а, т|) =» J (а^Л*, - btuXir\ - сиц) dx.	D05)
D
Здесь и в дальнейшем мы опускаем знак суммирования 2 по
дважды повторяющимся индексам. Равенство D04) получается
в результате интегрирования по частям первой группы членов
левой части D04) (см. формулу A07) из [48]). Так как L{u)e
&L2(D), а множество Co°(D) плотно в пространстве W2(D), то
о ^
равенство D04) справедливо при любой ц из W2(D). Действи-
тельно, произвольную функцию т] из W2(D) можно аппроксими-
аппроксимировать в норме Wl(D) функциями г\т из Со (D). Для и и х\т ра^
венСтво D04) имеет место, и в нем можно перейти к пределу
по т-*~оо. В результате получим D04) для любых функций и
из W\(D) и ч из Wl(D).
Если и принадлежит W](D) и удовлетворяет уравнению
L{u) = ku + f	D06)
(при почти всех х из D) с feL2(D), то для него и любой ц из
о
справедливо соотношение
D07)
Верно и обратное утверждение: если для элемента и из W\{D)
равенство D07) выполняется при любой ц из W2 (D) (или хотя
бы при любой г] из Co°(D)), то « есть решение уравнения D06)*
Действительно, из D07) и D04) следует, что
и так как первый множитель принадлежит L2{D), а второй есть
произвольный элемент W\ (D) (или хотя бы С™ (D)), то согласно
теореме 2 из [IVi; 112] первый множитель будет равен нулю.
Таким образом, уравнение D06) и тождество D07) с любым rj
из Wl(D) или С™ (D)' эквивалентны на функциях и из 1^2 (D).
Однако тождество D07) имеет смысл для функций и из W\(D).

440	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	М44
Более того, в него не входят производные aik no х. Благодаря
этому можно ввести следующее расширение понятия решения
уравнения D06):
Функция и(х) называется обобщенным решением класса
W\(D) уравнения D06) (короче об. решением), если она при*
надлежит 1^2 (D) и удовлетворяет тождеству D07) при всех г)
о .
из W2(D). Относительно коэффициентов aik, bt и с при этом
можно предполагать лишь, что они суть измеримые, ограничен-
ограниченные на D функции. В соответствии с этим обобщенным решением
1	*	о 1
класса W2(D) задачи D03) назовем функцию и из Wi{D), удов-
о ,
летворяющую тождеству D07) при всех х\ из Wi{D).
Такое расширенное толкование понятия решения задачи
D03) оказалось весьма целесообразным. Если для а^ при любых
вещественных числах |ь ..,, |„ выполнено неравенство
п
Z *ik М ?& > vZ \\, ^Д v = const > 0,
являющееся ни чем иным, как условием эллиптичности L, если
dik дифференцируемы, то для задачи D03) верны утверждения,
которые естественно было назвать теоремами Фредгольма. Они
аналогичны трем теоремам Фредгольма, доказанным выше для
интегральных уравнений Фредгольма второго рода, а также для
более общих уравнений вида &==ЯЛ(и) + / в сепарабельном
гильбертовом пространстве (в частности, в L2) с вполне не*
прерывным оператором А (см. [IVi; гл. I], а также [V; 133—
135]). Мы приведем здесь их формулировки. Доказательство
же этих утверждений, хотя и очень просто с аналитической
точки зрения, требует знания ряда понятий и теорем функцио-
функционального анализа, которые мы излагаем лишь в пятом томе*
Первая теорема Фредгольма утверждает, что если задача
D03) имеет не более одного об. решения класса W\(D), то она
разрешима при любой / из L2{D).
Это верно и при комплексных Я, только в этом случае надо
иметь дело с комплексными пространствами L,2(D)9 WziP) и
о .
W2(D), т. е. считать, что и и f суть элементы этих пространств.
Коэффициенты же для L мы везде предполагаем вещественными.
Для формулировки второй теоремы Фредгольма надо ввести
в рассмотрение две спектральные задачи:
L(u)*=Xu9 tt|5 = 0,	D08)
и
Г(и) = Аи, a|s = 0,	D09)

144]	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССА W*(D)	, 441
где L* есть дифференциальный оператор, сопряженный по Ла«
гранжу к L. Согласно с [48] L* имеет вид
«.	D10)
Под нетривиальными об. решениями классаWl(D) задачи D08)'
понимаются отличные от тождественного нуля элементы и е
е IF 2 ф), удовлетворяющие тождеству D07)" с / = 0. Анало-
Аналогично об. решения класса W[ (D) задачи D09) — это элементы
° 1
W2(D)f удовлетворяющие тождеству
L* (и, ч)= \ (aikuXknXi — btur\Xi — сит)) dx = — Я jj ur\
D	D
о t
при любой rj из IF2 (D).
Вторая теорема Фредгольма имеет следующее содержание?
задачи D08) и D09) имеют нетривиальные об. решения для не
более, чем счетного множества значений К: % = X*, ?«= 1, ,,,
Они совпадают с теми X*, о которых шла речь в [143]. Каж«
дому Xtt соответствует лишь конечное число линейно-независи*
мых об. решений задачи D08) и задачи D09), и число тех и
других совпадает. Набор чисел {Xk} называется спектром опера*
тора L и оператора L* в области D при условии Дирихле.
Таким образом задача D03) однозначно разрешима при лю«
бой / из L2(D) для всех Я, не совпадающих с {А.*}. Если же в
D03) % = ?*, то нетрудно убедиться, что для разрешимости
задачи D02) / обязано удовлетворять равенствам
\fvkdx = Qt	D11)
D
где Vk есть любое об. решение задачи D09) с X «= Xk* Это еле*
дует из D07), если в нем положить Х = Х*, а т) = и*, и заме*
тить, что
L {и, vk) = V (vkt и) = — Xk Jj vku dx.
D
Третья теорема Фредгольма для задачи D03) с Я = X*
утверждает, что выполнение равенства D11) является необхо-
необходимым и достаточным условием разрешимости задачи D03) в
пространстве W\{D). Задача в этом случае имеет бесчисленное
множество решений. Все они могут быть записаны в виде
и = ио+ ILciUk^ где uq есть какое-нибудь частное об. решение
задачи D03)%uki, i= I, ,tft Nk, суть об. решения задачи D08)]-

442	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[144
при X = 'kk, a Ci — произвольные числа. Для справедливости
всех перечисленных утверждений существенно, что область D —
ограничена и коэффициенты а-1к удовлетворяют условиям
где v й [х — положительные постоянные. Предположения же об
эграниченности Ьь и с могут быть ослаблены — заменены пред-
предположениями об их принадлежности Lq(D) с ?>« для bt и
q > л/з Для с- Может быть ослаблено и предположение относи-
относительно /; например, заменено на принадлежность / к Lq(D) с
<7 гЭ5	о" ПРИ ^>2 и с любым конечным q при п = 2. Близ-
ким образом исследуется и случай неоднородного краевого усло-
условия Дирихле, а также вторая и третья краевые задачи.
При bi = 0 уравнение
L(u) = f	D12)
является уравнением Эйлера для квадратичного функционала
Ци)=* J iaikuxktiXl — си2 + 2uf) dx,
D
а соответствующее D12) тождество
L (и, лMз J {atkuXki\Xi — сиц)dx = - \fi\dx
D	D
есть не что иное, как равенство нулю первой вариации J(u) на
функции и и 6w = г]. Таким образом с задачей Дирихле для
уравнения D12) связана вариационная задача о нахождении
экстремальных точек функционала J{u) на классе функций из
о 1
W2(D). Решения этой задачи (если они существуют) являются
не чем иным, как обобщенными решениями класса ^\.{D) задачи
Дирихле для D12).
В [IVi; 117—119] мы показали, что инфимум функционала
О 1	О .
'J(u) на 1^2@) реализуется на единственном элементе ^2@),
если с(х) = О (это же верно и при любой ограниченной непо-
неположительной функции с(х)). Проведенное там рассуждение но
опиралось на существование решения задачи Дирихле для урав-
уравнения D12); напротив, оно само гарантирует существование
обобщенного решения класса W\{D) задачи Дирихле для D12).
Основы такого пути изучения краевых задач (прямых методов)
были заложены Гильбертом, давшим оправдание принципа Ри-
мана для L = А. А именно, он доказал, не привлекая теории
потенциала1 что среди гладких функций, удовлетворяющих крае-

144]	ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССА W\{D)	443
2
вому условию u\s = Ф, имеется такая, которая реализует инфи-
мум интеграла
D t-1
и она является гармонической функцией в D. Правда, в то
время работали лишь с непрерывно дифференцируемыми функ*
циями и стремились получать сразу классические решения. Это
существенно усложняло все исследование. В 20-х годах начали
отказываться от обычных (классических) производных, вводя
те или иные обобщенные производные. В начале 30-х годов,
когда уже сформировалось то понятие обобщенного дифферен-
дифференцирования, которое изложено в конце тома [IVi], задача на
определение инфимума J (и) (при с(х)^0) была поставлена и
решена, по сути дела, в той форме, которая изложена в [IVr,
117—118]. В работе К. Фридрихса «Spektraltheorie halbbe-
schrankter Operatoren und Anwendungen auf die Spektralzer*
legung von Differentialoperatoren» (Math. Ann., 1934, 109,
№ 4—5, S. 465—487, 685—713) разрешимость этой задачи была
положена в основу построения самосопряженных полуограни*
ченных расширений эллиптических операторов
п
Е ?г
заданных первоначально на множестве всех гладких функций,
равных нулю на S. Коэффициенты щн при этом считались не-
прерывно дифференцируемыми (или общее — ограниченно диф«
ференцируемыми функциями л:), а за основное гильбертово
пространство, в котором ставили вопрос о расширениях неогра-
неограниченных операторов L, бралось пространство L2(D). Мы вер-
вернемся к этому вопросу в пятом томе.
Сформулированные в этом пункте теоремы о разрешимости
задачи D03) (и аналогичные теоремы о разрешимости для урав-
уравнения Ll^ — Xu-^-f других классических краевых задач) были
доказаны разными методами в конце 40-х годов М. И. Вишиком,
О. А. Ладыженской и С. Г. Михлиным. Введенные ими опреде-
определения обобщенных решений различны по форме, но эквива-
эквивалентны по существу дела. Мы привели определения обобщен-
обобщенного решения уравнения и обобщенного решения задачи D03),
предложенные О. А. Ладыженской. Они оказались удобными
при исследовании не только линейных, но и нелинейных крае-
краевых задач. Доказательство теорем Фредгольма, данное ею, про-
проводится по следующему плану: сначала устанавливается экви-
эквивалентность тождества D07) некоторому операторному урав-

444	ГЛ U ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П-П
о ,
нению вида и = L4(и) + / в гильбертовом пространстве W2(D)
с вполне непрерывным оператором А. Для этого используются
лишь оценки, доказываемые нами в следующем пункте, и тео-
теорема Рисса об общем виде линейного функционала. После этого,
с помощью теорем Фредгольма, справедливых для таких урав-
уравнений, извлекаются те утверждения о разрешимости задачи
D03), которые мы перечислили выше (см. в связи с этим лек-
лекции О. А. Ладыженской, изданные в виде книги: Краевые за-
задачи математической физики. — М.: Наука, 1970. Более подроб-
подробный анализ задач D03) и D08) и соответствующая библиогра-
библиография содержатся в монографии О. А. Ладыженской и
Н. Н. Уральцевой, указанной в предыдущем пункте).
145. Первое основное (энергетическое) неравенство. Предпо-
Предположим, что коэффициенты оператора L из D02) удовлетворяют
условиям п. [144], а именно при любых вещественных ?ь ¦.., %п
и хеО
Л	V	it К	W	fV	•	4
Ki
_		f	D13)
y?b](x) <ц„ Ii2<c(x):
где v и |j, > 0, Hi > 0, а (л2 и Из — какие-либо числа (не обяза-
обязательно положительные). Введем сокращенные обозначения;
(и, v)— \uv dx, || и || = V(M> u)» 
D
D14)
Будем считать параметр К и все функции вещественными, хотя
проводимые ниже рассуждения легко обобщаются и на случай
комплексных I, w и f, Мы будем использовать неравенство
(S)
J
D
которое является обобщением неравенства Буняковского—-
Шварца [II; 161] (и доказывается так же, как последнее), и эле*
ментарное неравенство
162,	D16)

145]	ПЕРВОЕ ОСНОВНОЕ НЕРАВЕНСТВО	445
справедливее для любых чисел а, Ь и любого е > 0. Оценим
L(u, а), определенное в D05), снизу, используя предположения
D13) и неравенство D15), следующим образом;
On	\1/2/ п	V/2
!«*/* (SJ
— 1»зH «* IP ^ -v II «* IP — 1*1 П ux ЦП u U — l*aИ и IP-
Отсюда, в силу D16), вытекает
L (и, и) > (v - е.) || их IP - (ц3 + ¦?") И«IP	D1?)
при любом 8i > 0. Пусть и есть обобщенное решение класса
W\{D) задачи D03), так что для него справедливо тождество
D07). Полагая в D07) у\ = и, получим равенство
L(u, м) + *||м|р = - \fudx.	D18)
D
Из него, используя D17), неравенство Буняковского — Шварца
и D16), извлекаем такое неравенство:
D19)
где ег — произвольное положительное число. Его и называют
первым основным (или энергетическим) неравенством. Из D19)
видно, что норма ||ы*|| об. решения и задачи D03) оценивается
сверху через ||/|| и ||и||. Если же
*-Цз—?- = *><>,	D20)
то D19) дает возможность оцепить норму ||аЛ|| только через
||/||. Действительно, возьмем, например, е2 = 6/4, а г\ таким,
чтобы Я — \х^—l*iDci)"~l — 36/4. Тогда элементарные подсчеты
показывают, что ej = vfif Fv + |а?)""!» и из D19) следует желае-
желаемая оценка:
^	^i[/li2,	D21)
или, короче,
f	D22)
Благодаря ей имеет место следующая теорема единственности:
Теорема 1. Если коэффициенты L удовлетворяют усло-
условиям D13) и выполнено условие D20), to задача D03) имеет

446	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[146
не более одного об. решения класса W\{D) (область D при этом
может быть и неограниченной).
Действительно, для разности v = и' — и" двух возможных
обобщенных решений задачи D03) справедливо тождество
D07) с f = 0; а потому и неравенство D22) с f = 0, из которого
следует, что v — 0, т. е. иг = и".
Для ограниченных областей D можно ослабить условие
D20). Чтобы сделать это, воспользуемся неравенством
u2xdx	D23)
D	D
(неравенство C2) из [IVij 115]), справедливым для любой
функции «eflfD) и ограниченной области D. При ei^@, v]
из D19) следует
^)^||/||2,	D24)
и потому, если
max I—у;—- + Х — \1з—7r"i^6i>0,	D25)
0<e!<v\ CD	el /
то, беря в D24) е2 == 6i/2, получим
11^1|2<6Г2||/||2.	D26)
Отсюда же и из D19), взятого, например, с ei=v/2, 82=1,
следует и оценка полной нормы и в W\{D), а именно:
D27)
Условие D25) выполнено, например, для L = Д при всех X ^ 0.
Условие же D20) для /, = ДиА,=*0не выполняется. Если
коэффициенты заданы в какой-либо области D\ и для них спра-
справедливы предположения D13) в области Du то условие D25)
выполняется для любого фиксированного X (в частности, для
Я = 0), если область DczDi взять достаточно малого объема,
ибо Cd-^0 при mesD->0. В связи с этим говорят, что в обла-
областях «достаточно малого объема» для задачи D03) справедлива
теорема единственности.
Замечание. В [IVi; 115] мы доказали, что Cd-^О, если
стремится к нулю диаметр D. Более тонкие рассуждения пока-
показывают, что Со пропорциональна [mesD\2/n.
146. Пространство Wl^(D) и второе основное неравенство.
Докажем предварительно неравенство
v\ + \vx\)dx.	D28)
S

146]	ПРОСТРАНСТВО W\ Q(D)	447
Оно справедливо для любой функции v, принадлежащей W\(D),
т. е. v из L\{D), имеющей обобщенные производные первого по*
рядка, суммируемые но D. Граница S области D должна обла-
обладать некоторой регулярностью, например принадлежать классу
С1. Неравенство D28) справедливо и для более широкого клас*
са областей: для областей с липшицевыми границами. Мы не
будем давать их точного определения, но из приводимого ниже
вывода нетрудно усмотреть, какие свойства S достаточны для
справедливости D28). Неравенство D28) потребуется нам лишь
для функций v, принадлежащих С1 (В)< Поэтому мы ограни-
ограничимся его доказательством лишь для таких v. Из этого факта и
плотности С1 (В)] в W\(D) следует справедливость D28) для
любой v&W\(D). Возьмем в произвольной точке x°eS мест-
местную декартову систему координат (у и ,,., уп)л и кусок Sp(x0)]
поверхности S, имеющий уравнение	г .
уя — ю(Уь •••> Уп-\),
У' — (Уи • • •> y*-i) еВр = {/: I \f К р}.
Пусть р таково, что область DMa {у\у'&Вр, ю (*/')— б <3
<Уп<<й(у')} принадлежит D. Функцию со будем считать не*
прерывно дифференцируемой в Яр. Функцию v, принадлежащую
C](D), рассмотрим как функцию координат у в D0t6. В силу
теоремы Ньютона — Лейбница
о
v (/, со (*/')) = v (/, 0 (/) - т) - J *><*'• «<*'> + » rf|. D29)
Возьмем от обеих частей D29) модули, результат умножим на
1 + 2 °^.(#') ^#' и проинтегрируем по Вр. Это и элемен-
элементарные оценки дают следующие соотношения:
J I v (/, со (/)) I А/1 + 2 со2 (/) d/ - J|t;
О
sss \ V \U * CD it/ )-— T) -J- \ 	Л6. 	6J
1 D30)
для tg @, 6). Постоянная С\ есть мажоранта для
'у 1 + Z co^ (/) в 5P. Проинтегрируем теперь неравенство

448	ГЛ Н ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[US
D30) по т в пределах от 0 до б и результат умножим на б-1,
В правой части появится интеграл
б
Ь~1\ dx \ Mf/',(D(</')-T)|d*A
который не превосходит б" \ \v(y)\dy. Таким образом мы
приходим к неравенству
J \v\dy + Ct
v\dx + Cl J \vx\dx.	D31)
Предполагая, что поверхность S можно покрыть конечным чис-
числом кусков типа SP(*°), мы придем к неравенству D28), сум-
суммируя D31) по всем таким кускам.
Определим теперь пространство W<2,o{D). Оно есть замкну-
замкнутое подпространство гильбертова пространства W.(D)> которое
определено в [IVi; 115]. Напомним, что Wi{D) состоит из всех
квадратично суммируемых по D функций, имеющих квадра-
квадратично суммируемые по D об. производные до второго порядка.
Скалярное произведение в W\(D) определяется так:
(и, vJ = $ {uv + uxvx -r uxxvxx) dx,	D32)
D
n	n
где uxvx = Ц ux vx , a uxxvxx= ? uxxvxx. Wl(D) является
полным гильбертовым пространством. Норму в нем будем обо-
обозначать || и llSf D = {и, u)l2I2t а иногда, короче, ||и||B).
Подпространство W\t о Ф) состоит из тех элементов W\ (D),
которые обращаются в нуль на границе S области D. При «хо-
«хороших» границах S в W\, o(D) плотно множество функций из
C2(D), равных нулю на S. Чтобы не доказывать этот важный
для пас факт, определим W\${D) иначе:	_
Wt% о (D) есть замыкание в норме W\ (D) множества С (D)
функций и из_ C2(D), равных нулю на S. (Мы ввели здесь обо*
амачение Co(D); не следует его смешивать с обозначением Co(D)
множества всех дважды непрерывно дифференцируемых функ-

||6*	ПРОСТРАНСТВО Vfi лф)	44§
ций, имеющих компактные носители, лежащие в D. Элементы
d{D) равны нулю не только на 5, но и в ее окрестности.)
Wl, о{D) есть полное гильбертово пространство с тем же ска-
скалярным произведением, что и в W22{D). Для гладких (и даже
липшицевых) границ 5 множество 1^1 о(?>) принадлежит множе*
о i
ству W2 (D). Мы предоставляем читателю доказать это утверж-
утверждение самостоятельно.
Теперь мы переходим к получению оценки нормы в W\ (D)
решений и задачи D03) через нормы и и / в L2(D). Для этого,
помимо условий D13) о коэффициентах L, будем считать, что
им имеют ограниченные об. производные первого порядка, т. е.
да,
	ik
D33)
Кроме того, предположим, что 5 принадлежит классу С2 (о до-
допустимых ослаблениях этого условия см. замечание в конце дан-
данного пункта). Эта оценка есть следствие неравенства
II" to < 4IIL («) Ik d + Ci\\u IU х„	D34)
справедливого для любой функции и mWlto(D). Оно и назы-
называется вторым основным неравенством для эллиптических one*
раторов Постоянная С\ в нем определяется некоторыми харак-
характеристиками границы области D и постоянными v, \i и \ц из
условий D13), D33). Неравенство D34) достаточно доказать
лишь для umCl(D), ибо Cl(D) плотно в W\t*(D). Действитель*
но, любое и из W\ о (D) можно аппроксимировать в норме Wt(D)
функциями Um из Со Ф)* Пусть D34) верно для всех ит. В силу
указанной сходимости ит к и в D34), взятом для ит, можно
Перейти к пределу по /п->оо и Получить D34) для и. Итак»
пусть и&С1[Б). Рассмотрим \(L(u)Jdx и оценим его снизу
следующим образом:
[ (L (и))* dx -
+ btuXi + сы) + (^ uXk + btuXl + cuj ] dx >
> A - e) \(alkuxt4fdx + (l - 1) [ (^tt- иХк+Ь,иЯ{+си)* dx>
> A - e) J (alkriX(Xkf dx - C2 (j - 1) \ (ы2 + u\) dx. D36)
[Xk (^

450	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	{14в
Здесь и ниже, если не оговорено противное, по повторяющимся
дважды индексам подразумевается суммирование от 1 до п\
е — произвольное число из интервала @, 1), а постоянная С%г
так же, как и вводимые ниже постоянные С*, определяются чис*
ловыми параметрами из условий D13), D33), и возможно, об*
ластью D. Преобразуем интеграл \ (ctikUXiX^f dx с помощью
D
двукратного интегрирования по частям (см. A07)" [48]) к виду
— -щ (atifln) uXiuXjXl + —• (aufln) w*,«V/] dx+y (s) dS,
где*)
/ (s) = aikanuxi \uxjxtcos (n> **) ~~ u*k4 cos (
y
Из D36) следует неравенство
(aikux.Xkf dx^\lx (x) dx+\l (s) dS
D
D
,ы|х + -i- a») dx, e, s @, 1), D37)
*) Для возможности первого интегрирования по частям функция и долж-
должна иметь производные третьего порядка, однако написанное нами равенство,
полученное в результате двукратного интегрирования по частям, содержит от
и лишь производные второго порядка и справедливо для любой функции и
из CZ{D). Чтобы убедиться в этом, надо аппроксимировать и из C2(D) функ-
функциями ит из Са (D) в норме С2 (D). Для каждой из ит равенство D36) имеет
место. Переходя в нем к пределу по m-^оо, получим D36) для и. Указан-
Указанные аппроксимации ит можно построить, например, так: продолжить и на
более широкую область Dz^D так, чтобы продолжение принадлежало С2(Л),
и затем от него взять усреднения Uh с /*=— [IV^ 110]. Можно убедиться
в справедливости D36) для «еС2(б) несколько иначе, не используя продол-
продолжения и на более широкую область. А именно, взять последовательность под-
подобластей D\ с D% с ... области Д с границами dDk, равноотстоящими от
6D [102]. Пусть dDk получена из 6D сдвигом вдоль внутренних нормалей к
dD на расстояние, равное -г. . Для фиксированной Dk усреднения и { функ-
т
ции и при т ^ k определяются только значениями и в D и сходятся при
ffi-)-oo к мв норме C2(Dk). Для области Dk и всех и | с т ^ k равенство
т
D36) справедливо. Переходя в нем к пределу по т -* оо, убедимся, что D36)
верно для функции и в области Dk. Затем сделаем предельный переход по
областям Dk, устремляя k к бесконечности. Это даст равенство D36) для и
и области D,

1461 ПРОСТРАНСТВО Т?\ Q (О)	451
в котором использовано следующее сокращенное	обозначение
h (х) = aik (х) а и (х) иНХ} (х) иЛк%1 (х).	D38)
Покажем, что в силу D13) имеет место оценка
Для этого зафиксируем произвольную точку x°gD и введем в
ее окрестности новые декартовы координаты: г/Л =¦' аЛ/ (jc —-#/)>
k, 1= 1, ..., п. Ортогональную матрицу а*»/ выберем так, чтобы
она приводила квадратичную форму а/*(*°)?,?* к диагональному
виду, т. е. чтобы
Л°)	М
где Kj(x°) — собственные числа формы а/*(*°)??*, а 8ц— сим-
символ Кронекера*). Тогда, учитывая условие D13) и закон пре-
преобразования uXiXf при переходе к координатам у, получим
п
8tt-\ s Ч vsyt) х_х*	уу
Но, как легко проверить, и2 =и2хх, и поэтому неравенство D39)
действительно имеет место для всех точек х° из D. Благодаря
D37) и D39) из D35) следует неравенство
\ (L (и)J dx > A - б) р |! ихх \\2+\l (s) dS - C38l || uxx |[2 -
а из этого неравенства — неравенство
A - в) (v2 - С3е,) || ихх IP < || L (и) |р - A - е) \ I (s) dS +
s
+ [С3еГ1 (l _ е) + С2 (в-1 - 1)](||а||A)J. D40)
Здесь ei — произвольное положительное число, е — произволь-
Г	v2
ное число из @, 1), а |мх;с|2= \ulxdx. При е= 1/7 и el=-p-
D40) примет вид
| v21| ихх |р < || L (и) IP - у J / (s) rfS + С4 (f|« ||U)J. D41)
s
До сих пор мы не использовали обращение и в нуль на 5. По-
Покажем, что если воспользоваться этим условием, то интеграл
*) Напомним, что &/* равно I при / = / д равно 0 при / =^

452	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1*48
WdS может быть преобразован к виду, не содержащему вто-
S
рые производные и по х. Этот факт является центральным при
выводе неравенства D34). Чтобы доказать это, рассмотрим
произвольную точку х° на поверхности 5 и введем в ней мест-
местные декартовы координаты у: ук = ckl {xt ~ xf), k = 1, ..., n,
т. е. такие, что ось уп направлена по внешней нормали п к 5 в
точке х° и матрица (cki)—ортогональна. Пусть г//г = о)(*/ь . .<
..., уп~\) есть уравнение поверхности S в окрестности начала
координат у = @, ,.., 0). По условию, функция о) (у\, ...
..,, j/n_jNC2, В силу ортогональности матрицы (ckt) имеем
xi ~* АгаС*Л> ' = I,..., /2, и потому cos(п, *,)= Спи l—h
,.., п. Рассмотрим выражение /(s) в точке л:0 и перейдем в нем
к координатам у:
e (bmnbpq — bmpbqn) иУтиУрУд, D42)
где
Используем теперь граничное условие w|s = 0. Вблизи точки
лге, координаты yi которой равны нулю, это условие имеет вид
и (у\, ..., уЛ_ь © (Уи ...» Уп~\))— О»
причем оно выполняется тождественно по уи .. •, уп-\ вблизи
у\ = ... = уп-i = 0. Продифференцируем это тождество по у%
и у и, i> ft=l, ..., м—1, и учтем, что в точке х° со^ = 0, i =»
«=1, ..., п — 1. В точке х° это даст
/, k=l, ..., /г— 1. Благодаря —-
X9
При р = п я произвольном ^, а также при q = n n произволь-
произвольном р члены, стоящие в круглой скобке D44) взаимно сокра-
сокращаются, что вместе с D43) дает для 1(х°) представление
D45)
Будем считать, что координаты уи ..., Уп-\ в касательной
плоскости к 5 в точке лс°* выбраны так, что все смешанные про*

1461	пространство ip|0 (О)	453
изводные сду „ , р Ф q в точке jc° равны нулю (этого, как из-
известно, всегда можно добиться за счет ортогонального преобра-
преобразования координат уи ..., f/«-i). Тогда
' (*°> - - Z F«А> - К„) (&)' • w <44в>
В силу предположения: 5еС2 найдется такое неотрицательное
число /С, что
Р' •"• Л"'	D47)
для всех точек х0 поверхности S. Если, в частности, D есть вы-
выпуклая область, то в качестве К можно взять нуль. Из условия
D13) следует, что 0 < ЬмЬРр — Ь2пр < |л2, и поэтому
D48)
Благодаря этому из неравенства D41) получаем
4	(a) IP + ^ ^ (п — 1) /С ^ D^-J ^^ + С4 (||а Ц<1)J.
s	D49)
Для оценки граничного интеграла при /С>0 воспользуемся
неравенством D28), взяв в нем v = u2:
= C5 J (u\ + 2\ux\\uxx|)dx<C3 J («^ + A + e-')«*)rf*f D50)
z>	о
где е — любое положительное число. Постоянная Cs равна кон-
константе С из D28). Подставим в D49) эту оценку граничного

454	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	A46
интеграла, взяв е==-^л?2Гу ц2(я—¦ 1) /СС5J , и приведем подоб-
подобные члены:
^\\ихх\?<^(и)\Г + С&(\\и\П2.
Прибавив к обеим ее частям член -y-(lUIIA)J> получим
С другой стороны, для любой функции wgCo(D) справедливы
соотношения
5
D
V2
с е > 0. Используем его с е = -^т- Для оценки сверху члена
Cylkxll2, имеющегося в правой части D51). В результате этого
элементарные преобразования приведут нас к неравенству
•X (И" ИB)J < IIL (и) ||2 + С81| и ||2,	D52)
из которого следует интересующее нас неравенство D34). Как
сказано выше, все постоянные Си определяются D и известными
нам параметрами из условий D13), D33). Они могут быть выпи-
выписаны явно, что легко сделать, следуя только что приведенному
выводу неравенства D34).
Если и есть решение задачи D03) из пространства Wl, о (D),
то благодаря неравенству D34) мы можем оценить его норму в
Wl(D) через ||/|| и ||и||э а именно:
D53)
Если же % таково, что выполняется неравенство D20), то от-
отсюда и из D21) следует возможность оценить Ци||B> только че«
рез Ц/11
f[4(^ Kf]	D54)
Замечание. Из данного нами доказательства неравенства
fD34) видно, что от области D были использованы лишь две
характеристики: постоянная С из D28) и постоянная К из D47),
причем условие D47) может нарушаться в отдельных точках S
и даже на целых множествах точек S поверхностной меры нуль.

1471	ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА, ОПЕРАТОРЫ	455
Весь вывод сохраняется для широкого класса областей D (на-
(например, для любых многогранников).
Неравенство D34) и приведенный здесь вывод взят из ра«
боты О. А. Ладыженской (ДАН СССР, 1951, 79, с. 723—725).
Такое же неравенство было установлено ею и для общих одно-
однородных краевых условий вида ("^7" + аа) —0» гАе ~jf озна*
чает дифференцирование по направлению, не касающемуся по-
поверхности S и гладко меняющемуся при переходе от одной
точки поверхности к другой. Более того, были даны оценки,
обобщающие неравенство D34) на случай производных и лю-
любого порядка (полные доказательства имеются в книге: Лады-
Ладыженская О. А. Смешанная задача для гиперболического
уравнения. — М.: Гостехиздат, 1953). Неравенство D34) для
первого краевого условия (т. е. для и|5=0) независимо от
О. А. Ладыженской и другим способом было доказано Каччоп-
поли (Giorn. Mat. Battaglini, 1950—51, 80, p. 186—212). Частный
случай D34), когда D есть круг, извлекается из работ С. Н. Берн-
штейна (Math. Ann., 1906, 62, S. 253—271; 1910, 69, S. 82—131).
Примечательной особенностью двумерного случая является то,
что неравенство D34) место для операторов
2	2
Иц)= Е atkUXixk + Z btux + си,
старшие коэффициенты atk которых могут быть произвольными
ч измеримыми функциями, удовлетворяющими лишь условиям
D13). Этот факт доказывается с помощью приема С. Н. Берн-
штейна, сводящего данный вопрос для L к аналогичному во-
вопросу для оператора Лапласа, и приема О. А. Ладыженской
преобразования и оценки контурного интеграла \l(s)dS, изло-
s
женного выше. При размерности пространства дг, большей двух,
прием С. Н. Бернштейна не работает и, оказывается, для спра-
справедливости неравенства D34) необходимо накладывать те или
иные дополнительные ограничения на коэффициенты ath (у нас—•
это условие D33)) (см. по этому поводу главы I и III книги;
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилиней-
квазилинейные уравнения эллиптического типа, — М.: Наука, 1973).
147. Некоторые сведения о гильбертовых пространствах и
операторах, действующих в них. Ранее мы имели дело с кон-
конкретными гильбертовыми пространствами — пространствами
L2(D), WX2(D), W\{D)y Wl(D)t Wlo(D). Всех их объединяют не-
некоторые общие им свойства, которые положены в основу опре-
определения абстрактного полного сепарабельного гильбертова про-
пространства #,

456	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	f!47
Приведем здесь краткую формулировку аксиом, определяю*
щих комплексное гильбертово пространство Н, а также некото*
рые их следствия (более подробно см. [V; гл. V]). Прежде всего,
Н есть линейное множество, т. е. его элементы и, v, .., можно
умножать на комплексные числа а, Ь, ... и складывать* и эти
операции обладают теми же свойствами коммутативности и
ассоциативности, что и в случае комплексного л-мерного век-
векторного пространства ([НЬ; 25]).
Во-вторых, для любого целого положительного m существует
m линейно независимых элементов. Наконец, каждой паре эле-
элементов и и v из Н сопоставляется комплексное число, называв*
мое скалярным произведением. Оно обозначается символом
(и, v). Это скалярное произведение должно обладать следую-
следующими свойствами:
(у, и) = (и, v)t (и + v, w) =¦- (и, w) + (v, w),
(aut v) = а (иу v) и (и, и) > 0, если
По (и, и) определяется положительное число, называемое
нормой элемента и, а именно: ||м|| = (и, и)Ч\ Она равна нулю
лишь для нулевого элемента Н (который мы обозначаем просто
через 0). В соответствии с этим вводится понятие сходимости:
последовательность {uk)^aal сходится к элементу и, если
lim || #д — и || = 0. Последовательность {uk}°° называется сходя-
щейся в себе, или последовательностью Коши, если \\uk — wm||->0
при k и m, стремящихся к бесконечности.
Пространство Н называется полным, если для любой после-
последовательности Коши {w/fe}~el существует элемент и, к которому
она сходится. Наконец, Н называется сепарабельным простран-
пространством, если существует счетное множество элементов Н: {fl*}?LP
плотное в Н. Последнее означает, что для любого элемента
и^ Н и любого е > 0 найдется такой элемент vk, что \]и —1>*||^
^ е. Если Н обладает всеми перечисленными свойствами, то
оно называется полным, сепарабельным, комплексным гильбер-
гильбертовым пространством. Часто свойства полноты и сепарабельности
включаются в понятие гильбертова пространства и в дальнейшем
не оговариваются особо. Мы также не будем указывать их от-
отдельно, считая, что оба эти свойства выполнены.
Если в качестве а, Ь, ,.. берутся лишь вещественные числа,
то скалярное произведение (и, v) также должно быть веществен-
вещественным, и в равенствах D55) комплексного сопряжения нет. В этом
случае говорят о вещественном гильбертовом пространстве Н.
Доказывается, что в абстрактном гильбертовом простран-
пространстве Я существует ортонормированный баэис, т. е. такая си-

' 147?	ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА; ОПЕРАТОРЫ	457
стема элементов {ф^Г-р что (Ф*» Ф*) —S*/ и любой элемент и
оо
представим рядом и = ? ("> Фл) Ф*> сходящимся к нему в норме
оо
пространства IL Отсюда следует, что || uf = ]? I (#> Фа) Р. Число
таких базисов неограничено. Но, выбрав один такой базис, мож-
но построить изоморфизм между двумя произвольными комплекс-
комплексными гильбертовыми пространствами Я/, в том числе между Н
и комплексным гильбертовым пространством /г. Элементами 1%
являются числовые последовательности x=z(x\t x2i ...) комп-
оо
лексных чисел xk> удовлетворяющие лишь условию ? | xk f <
<оо. Операции умножения на число и сложения определяются
так: ах = (ахи ах2, ...)> х + У = (х\ + Уи х2 + у2> ...), а ска-
лярное произведение равенством {х, #)/з = 2 xkyk.
Указанный выше изоморфизм строится так: элементу и^Н
сопоставляется набор й ==((«, фО, (м, фг), ...) его коэффициен-
коэффициентов («, ф/^) по выбранному в Н ортонормированному базису
{ф/г}Г-1* Нетрудно понять, что при этом (и> и) —(й, v)L*
Благодаря этому с абстрактной точки зрения все гильбер-
гильбертовы пространства (имеются ввиду лишь полные сепарабельные
пространства) устроены одинаково, и факты, доказанные для
одного из них, могут быть переформулированы для другого*
Пространства, указанные в начале данного пункта, изоморфны
вещественному пространству 1% а тем самым и друг другу. По-
Поэтому многое из того, что было доказано для пространства
L2(D), оказывается справедливым и для других пространств.
Например, неравенство Буняковского — Шварца есть простое
следствие аксиом D55). Для случая абстрактного пространства
И оно имеет вид | (и, v) |^ \\u\\ \\v\\. Однако мы не будем исполь-
использовать наличие изоморфизма между интересующими нас кон-
конкретными функциональными пространствами, ибо извлекаемые
из этого факты мало наглядны, и к тому же мы не доказали
еще, что пространства W2(D) с целыми / сепарабельные. Сепа-
рабельность Wi{D) и W2 o(D) будет следовать из предложений
пункта [150]. Ее нетрудно доказать для всех пространств Wlp(D)
из более простых и общих соображений, что и сделано в
[V; гл. IV].
В данном гильбертовом пространстве И можно ввести новую
гильбертову структуру (т. е. иное скалярное произведение) так,
чтобы оно оставалось при этом снова полным пространством.
Для этого надо, чтобы номя норма |Ы|*, соответствующая но-

Г458	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[147
вому скалярному произведению (,)* (т. е. \\и\\*= л]{и, и)*) бы*
ла эквивалентна исходной норме ||-||. Эквивалентность норм ||-||*
и Ц-11 означает существование таких двух положительных кон*
стант С\ и С2, что для всех элементов Я справедливы неравен*
ства
Ясно, что если последовательность элементов uki k= 1, 2, ...
сходится в норме ||-||, то она сходится и в норме ||-||* и наобо-
рот. Это гарантирует полноту Я и по отношению к сходимости
в новой норме. Если Я было сепарабельным, то и порожденное
им новое гильбертово пространство будет сепарабельным.
Одним из основных объектов изучения в гильбертовых про-
пространствах являются линейные операторы. Оператор А назы-
называется линейным ограниченный оператором в Я, если он отобра-
отображает Я в Я, причем А (аи + bv) = aA (и) + ЬА (v), и существует
такое положительное число С, что для всех элементов Я вы-
выполняется неравенство*)
1И (и) || < С || и ||.
Нижняя грань всех таких С называется нормой оператора А и
обозначается через ||Л||.
Докажем справедливость простого предложения, с которым
мы, по сути дела, встречались не раз для конкретных функцио-
функциональных пространств и конкретных операторов, действующих
в них.
Лемма 1. Пусть А есть линейный ограниченный оператор в
гильбертовом пространстве Я, и его норма ||Л||< 1. Тогда урав-
уравнение
u = A(u) + v	D56)
однозначно разрешимо в Я при любом v.
Для нахождения решения уравнения D56) используем ме-
метод последовательных приближений в его простейшей форме, а
именно: пусть ui = v, ип+\ — А[ип) + v, n—l, 2, ... Легко ви-
видеть, что
1! Щ || -1| v ||, I ия+| - ип II = || Л (ип - ««-О II <
<II4|Щ«„-и,.!Ц< ...	rl
Отсюда и из условия ||Л|| < 1 следует, что {***}?!i есть после-
последовательность Коши в пространстве Я, а так как Я полное, то
в Я существует элемент и, к которому сходится эта последова-
последовательность. В силу ограниченности А элементы A(Uk) сходятся
*) Часто вместо А (и) пишут короче Aiu

147J	ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА; ОПЕРАТОРЫ	459
к А (и), и потому и будет решением уравнения D56). Если бы
D56) имело два разных решений и и и\ то их разность w удов-
удовлетворяла бы уравнению w = A(w). Но это невозможно, ибо
||до|| = ||Л(до)|| ^ ||Л||||до|| < ||до||. Тем самым лемма доказана.
Замечание. В [V; 86] доказано аналогичное предложе-
предложение для нелинейных сжимающих преобразований, из которого
вытекает лемма 1.
В дальнейшем нам придется иметь дело с линейными неогра-
неограниченными операторами, действующими в пространстве Я. В аб-
абстрактном гильбертовом пространстве Я изучаются различные
классы таких операторов. В большинстве случаев предпола-
предполагается, что линейный неограниченный оператор А задан на не-
некотором линейном множестве, плотном в Я. Это множество на-
называют областью определения А и обозначают 2)(А). Так, на-
например, дифференциальный оператор L из D02) даже при глад-
гладких коэффициентах будет неограниченным в пространстве
L(D) В качестве области его определения можно взять мно-
множество Wl (D) или множество W\ o(D), если для L выполнены
условия D13) и D33). Оба они плотны в L2(D). Абстрактные
операторы Л, сопоставляемые L указанием области определения
L, обладают разными свойствами, и потому их надо различать.
В дальнейшем, имея в виду задачу Дирихле, мы будем считать,
что 2)(L) — wt,o(D). Ради упрощения записи обычно не вводят
специального обозначения для оператора, порождаемого кон-
конкретным дифференциальным оператором L, но четко указывают
область его определения (за этим оператором сохраняют сим-
символ L).
Нам потребуется в следующем пункте еще одно понятие, свя-
связанное с линейными операторами, а именно, понятие ограничен-
ограниченного линейного оператора Л, действующего из одного гильбер-
гильбертова пространства Я в другое гильбертово пространство Ни
Такой оператор определен на всем Я, и его значения лежат в
Ни он дистрибутивен, т. е. А (аи-{- bv) = aA (и)-\- ЬА (i>), и су-
существует такая константа Си что для любых элементов и из Я
справедливо неравенство
IIЛ (и) Ik <d || и ||,	D57)
где ||-|| есть норма в Я, a IHIi — норма в Ни Нижняя грань та-
таких чисел С\ называется нормой оператора А, и ее чаще всего
обозначают также ||Л||, без явного указания пространств Я и Нх
(если это не вызывает недоразумений). В соответствии с этим
определением дифференциальный оператор L из D02) будет
ограниченным линейным оператором, действующим из простран-
пространства Я = 1^2, оФ) в пространство H\ = L2{D), если коэффи-
коэффициенты L удовлетворяют условиям D13), D33). Не вводя и в

460	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[148
этом случае специального символа для оператора L, мы будем
четко указывать, какая область определения и область значений
оператора L имеется в виду.
148. О разрешимости задачи Дирихле в пространстве Wl(D).
Переходим теперь к исследованию разрешимости задачи D03)
в пространстве Wl(D). Пусть относительно L и D выполнены
условия п. [145] и п. [146], которые гарантировали справедлив
вость первого и второго основных неравенств. Обозначим через
L\ оператор L — %оЕ, где Е— единичный оператор, а число Ко
выбрано так, чтобы
a«-|*s—J7-«i>0.	D58)
Тогда в силу D17) для любой функции и из W2, о(D) справед-
справедливо неравенство
uf, D59)
из которого следует оценка
|| и || <5Г1 II Мы) ||.	D60)
С другой стороны, для оператора L\ и произвольного элемента
и пространства И?! о (Z>) имеет место неравенство D34) с неко-
некоторой постоянной Си определяемой областью D, числами v, ц,
lib щ из условий D13), D33) и числом Ц5 + |Яо|, где М*—
==max(|ji2|> !^з|Ь Из этого неравенства и оценки D60) по-
получим
B)	D61)
где C2 = 2v +Cifii . Докажем справедливость следующего
вспомогательного предложения:
Теорема 1. Пусть для L и оператора Lo, имеющего тот же
вид, что и L, справедливы условия D13) и D33), и для L{ =
= L — Х0Е и Lo справедливо неравенство D59). Область D пред-
полагаем удовлетворяющей условиям предыдущего пункта.
Пусть, кроме того, задача
Io(«)-f, и |5-0,	D62)
имеет решения и из Wl.o(D) для какого-либо плотного в L2{D)
множества ЗИ элементов f. Тогда задачи
Lx (и) = f, и \s = 0,	D63)
еде Lt = Lo4-f(^t — ^о), однозначно разрешимы в W\, a (D)
- <?ля #сел; t W3 [О, I] при любой f из Li{D)%/

148]	РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В W* (D)	461
Из условий теоремы следует, что для Lo справедливы нера-
неравенства
Lo(и, и) = — $ Lo(и)udx^bx\\u|p	D64)
Z)
и
||«Р<С2||1о(||)||	D66)
для любой w из ИРЦоФ). Благодаря D65) задача D62) одно-
однозначно разрешима в Wl,o(D) для любой / из L2(D). Действи-
Действительно, для /еЗЯ разрешимость дана одним из условий теоремы,
а единственность следует из D65). Если же /eL2(D), но не
принадлежит ЗИ, то возьмем последовательность /m, m = 1, 2, ...
из 5W, сходящуюся к / в норме L2(D). Для каждой из /т сущест-
существует решение ит задачи D62) с / = /т, принадлежащее Wl,o(D).
В силу линейности задачи D62) разность Uk — ит есть ее реше-
решение, соответствующее свободному члену / = /* — /т. Для ик —
— Ыщ справедливо неравенство D65), т. е.
из которого видно, что {ит}°^^х образуют последовательность
Коши в пространстве W\, о (D). В силу полноты последнего, су-
существует единственный элемент u^Wl o(D)y к которому схо
дятся ит в норме Wio(D). Так как коэффициенты Lo являются
ограниченными функциями, то Lo(um) будут сходиться в L2(D)
к Lq(u), и потому Lo(w) = /. Итак, мы убедились, что задача
D62) разрешима в Wl,o(D) при любом / из L2{D), причем в силу
D65) решение ее единственно. Тем самым, можно утверждать,
что оператор Lo устанавливает взаимно однозначное соответ*
ствие между полными пространствами tt?2,o(L>) и LziD). Обрат-
ОбратX	l
ный к Lo оператор LoX отображает L2(D) на Wl, o(D), и в СИЛУ
E	L(D)
р
неравенства D65) для любого элемента v из
|LiT1(t;)|B)<C2||o||.	D66)
Оценка D66), или что то же оценка (^о^Ц^Сг нормы Lo, как
оператора из L2(D) в W%o(D), дается неравенством D65) (дей-
(действительно, если в D65) функцию Lq(u) обозначить через и, то
и есть не что иное, KaKLo^)). Покажем, что этими же свой-
свойствами обладают и все операторы Lt, tg[0, 1]. Для этого при-
применим к обеим частям уравнения D63) оператор LoT1 и резуль-
результат запишем в виде
и + tLo"'1 (Li - Lo) {и) = L*1 (/).	D67)

462	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[148
Равенство D67) рассмотрим как операторное уравнение
u + xAo(u)^Lol(f)	D68)
в пространстве W\ о (D) со свободным членом Lo^). В нем
Ao = LqX(L\ — Lo) есть ограниченный оператор, действующий в
пространстве Wt,o(D). Его норма не превосходит постоянной Сз,
определяемой максимумами модулей коэффициентов L\ и Lo и
С2, ибо для любой uf=Wlo{D) норма ||(Li —?0) (и)||< С41М|<2\
и в силу D66)
|| Ло (u) f < || Ц111| (Li - Lo) (и) || < С31| и f\	D69)
Где С3==С2С4. В силу леммы 1 [147] D68) имеет единственное
решение в W\ o(D) для те[0, С^1). Но это означает, что
задачи D63) однозначно разрешимы в Wt,o(D) при любой
f <= L2(D) и любом неотрицательном т < Сз, и операторы LT
при те[0, С^1) устанавливают взаимно однозначное соответ-
соответствие между W\ о (D) и L2(D). Если CaT^l, то возьмем какое-
либо Ti из [V2C3, Сз) и, представив Lx в виде Lt==LTl +
+(т — T!)(L! — Zo), запишем задачу D63) в эквивалентной форме:
и + (т - ti) L7/ (Li - Lo) (и) - L7/ (f).	D70)
Оператор _4i=L^* (Li — Lo) является ограниченным в простран-
пространстве Wi,o (D) Покажем, что его норма не превосходит Сз. Для
этого заметим, что из условия D59) для L\ и Lo следует
D
ts[0, 1].
Кроме того, для коэффициентов Lt, стоящих при uXl и «*w
справедливы те же неравенства D13) и D33), что и для соот*
ветствующих коэффициентов L и Lo, а модуль коэффициента
при и не превосходит м-5 + |Яо|. Ввиду этого, для Lt справедливы
неравенства D60) и D61), а из этого следует, что Jx^Li —
— Lo)||<;CзДля тех т, для которых L71 существует, в частности
для т = ть Но тогда уравнение D70) однозначно разрешимо в
Wio(D) при т —Т!^[0, С^), в том числе при т=2ть Таким
образом, мы установили существование оператора Ых], обрат-
обратного ^.Если 2ti < 1, то представим LT в виде L2T,+(t—2т!)><
X (Li — Lo) и повторим для него только что проведенное рас-
рассуждение. Так, за конечное число шагов, мы исчерпаем весь
отрезок те[0, 1] и докажем обратимость операторов LT, а тем

ВД	РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В W*(D)	463
самым и нашу теорему I. При т = 1 оператор 1ГХ совпадает с
интересующим нас оператором Li=L— Х0Е.
Теорема I позволяет доказать безусловные теоремы сущест*
вования для задачи
Lx(u)*aL(u)-X& = f, u\s = 0,	D71)
для достаточно широкого класса областей D. Пусть сначала D
есть шар или параллелепипед*). Для таких D возьмем в каче-
качестве Ы оператор Лапласа. Для него задача D62) удовлетворяет
требованиям теоремы 1. Действительно, для таких областей нам
известно, что оператор Лапласа при первом краевом условии
имеет гладкие вплоть до границы собственные функции {#*}*_р
и они полны в пространстве L2 (Z))**)t Их можно считать орто-
нормированными в L2(D)t Любая функция / из L2(D) разла-
разлагается по ним в ряд
/м-Е (/.**) м*).
сходящийся к / в норме L2(D). Функции Uk удовлетворяют урав-
уравнениям
Auk = kkukf uk\s = 0.	D72)
Задача
Ди = Д a Is —0,	D73)
N	N
при любом /(*) = 2^ ckuk{x) имеет решение и(х) = 2^-^uk{x)9
/2 — 1	ft-1 k
и это решение принадлежит wI,q(D). Кроме того, множество Ш
функций f(x) вида 2 ck^k(x) c произвольными коэффициент
тами Ck плотно в L2(D). Оператор Lo = Д удовлетворяет и всем
другим требованиям теоремы 1, правда, вообще говоря, с дру-
другими, чем L\y постоянными v, in, б. Но это не играет существен-
существенной роли: можно в условиях D13), D33) и D59) выбрать по-
постоянные v, \ц и бь общими для Lo = Д и L\.
Таким образом мы показали, что задача D71) однозначно
разрешима в W?9о(D) при любой f<~L2{D) для случая, когда
D есть шар, или параллелепипед. Аналогичное рассуждение
*) При п = 2 (задача в R2) в качестве D можно взять круг или прямо-
прямоугольник.
**) В [II; 190, 191] и в [III; 134—137, 146, 154—1561 дан явный вид
всех Uk для таких областей Д из которого ясно, что иц е С00 (?)}; в [127] до-
доказана ПОЛНОТс "^ .,
4/1

4б4	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	A48
остается справедливым и для других областей D, для которых
известно, что все собственные функции Uk спектральной задачи
D71) принадлежат W\b o(D). Например, это так для сфериче-
сферического слоя D = {#. О < р < |jc| < pi} и других областей, являю-
являющихся параллелепипедами в сферической или цилиндрической
системах координат.
Пусть теперь область D может быть преобразована в область
/5, являющуюся одной из таких областей, причем функции у *=>
= у{х), хеб, осуществляющие это преобразование, и обрат-
обратные им функции х*ах(у), у&б, принадлежат C2(D) и С2 (Ъ)
*	д(у) д(х)
соответственно, а якобианы д ,«¦' и -\) , строго положительны*
Легко видеть, что если при этом и{х)& W*to{D), то й ((/)=»
= а(х({/)) будет элементом Wt,o(D) и наоборот. Дифференци-
Дифференциальное выражение L(u) при переходе от переменных х к у пре*
образуется так:
где
:-х {у)
а 5(у)== с (х (у)). Легко проверить, что кдэффициенты ? удов-
удовлетворяют неравенствам вида D13) и D33), правда, g другими
постоянными. По этим постоянным можно выбрать столь боль-
большое число Ао, что для С — %оЕ в D будет выполняться условие
вида D58), а потому и неравенство D59). Если D есть шар,
параллелепипед или шаровой слой, то из доказанного выше
следует, что задача L (й) — Аой = f (у), п \д% «¦ 0,однозначно разре-
цдима в Wl,o(D) при любой ]&L2(D). Переходя в ней к старым
переменным ху убедимся в однозначной разрешимости в W\t§{0)
задачи D71) при взятом нами Хо и любой /sL2(D), Таким об-
образом доказан^ следующая теорема;
Теорема 2. Если коэффициенты L из D02) удовлетворяют
условиям D13) и D33) и область D есть шар, параллелепипед
или шаровой слой, или может быть преобразована в одни из
этих областей с помощью регулярного преобразования у =

1491	ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	465
&C2(D), то задача D71) однозначно разрешима в Wl,o{D) при
любой f&L2(D) для всех достаточно больших Хо.
Замечание. С помощью этой теоремы можно доказать,
что такая же разрешимость имеет место для любой области D
(в том числе и неограниченной), граница которой есть поверх-
поверхность класса С2.
149. О фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле. Рас-
Рассмотрим теперь вопрос о разрешимости задачи Дирихле
L(u)~*%u + U u\s=*0,	D74)
при произвольном вещественном X. Все дальнейшее справедливо
для любых комплексных А,, но мы ограничимся случаем вещест-
вещественных А,. Пусть для L и D выполнены условия теоремы 2 пре-
предыдущего пункта. Возьмем столь большое Яо, что для L\ =
= L — XqE справедливо заключение этой теоремы, и преобра-
преобразуем задачу D74) к эквивалентному виду
и = (X _ Хо) Lf1 (и) + ЬГ1 (f).	D75)
В [148] было доказано, что Lf1 преобразует элементы L,2(D)
в элементы W\,о(D) и для любой f&L2(D)
/||	D76)
(см. D61)). В силу теоремы Реллиха (см. [IV; 116]) отсюда
следует, что Lfl является вполне непрерывным оператором
в L2{D) (т. е. как оператор, действующий из L2{D) в L%Ф))<
Поэтому к уравнению D75) применимы теоремы Фредгольма,
изложенные нами в [IVi; 29] (см. также [V, 133—135]), Из них
следует, что уравнение D75) однозначно разрешимо в Ьъф),
при всех %, кроме, может быть, счетного числа X. Эти исключи-
исключительные значения обозначим через {A*}, k =* 1, 2, ... Пусть % не
совпадает ни с одним из {А,/,}, и и есть соответствующее ему
решение уравнения D75). Это решение и фактически принадле-
принадлежит и^1оф)э т. к. оба члена правой части D75) принадлежат
W\, о (D), если /qL2(D). Поэтому и есть решение задачи D74)
из пространства W\t о(?>).
При к = Xk (и только при таких К) имеются нетривиальные
(т. е. отличные от тождественного нуля) решения однородного
уравнения
l(uk).	D77)
Они также принадлежат Wl,o{D), ибо из принадлежности uk
к ^(О) и свойств оператора ЬГ{ следует, что L\{{Uk) s W\tm(D)t
Благодаря этому и\ суть решения задачи
uk\s**O.	D78)

466	ГЛ. Ц. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[149
Они называются собственными функциями оператора L в обла-
области D при первом краевом условии, а Я* — его собственными
значениями. Из упомянутой выше теории линейных уравнений
с вполне непрерывными операторами следует, что каждому А*
соответствует лишь конечное число линейно независимых реше^
ний задачи D78), иначе говоря, каждое из %k имеет конечную
кратность. Для формулировки следующих утверждений нам надо
ввести операторы, сопряженные к операторам L и Lu действую-
действующим в пространстве L2(D).
Оператор, сопряженный к данному (линейному) оператору Л,
обозначается через Л*. Он определяется с помощью тождества
(А (и), v) = (u,Am(v))9	D79)
которое должно выполняться для всех элементов и> на которых
задан оператор Л. Для ограниченных операторов Л мы считаем,
что областью определения (задания) 2) (Л) оператора Л явля*
ется все L2(D), а для неограниченных Л — множество 2)(Л),
плотное в L2(D). Область определения оператора Л* (ее обо-
обозначают через 2)(Л*)) состоит из тех и только тех элементов v,
для которых выражение (A(u),v), являющееся линейной функ-
функцией от и на множестве 2)(А), может быть представлено в виде
(ut w), где w есть какой-нибудь элемент L2(D). В силу плотно-
плотности 2)(А) в L2(D) такой элемент w может быть только один, и
ему полагается равным значение A*(v).
Для случая ограниченных операторов А доказывается, что
2)(Л*) есть все L2(D) (все гильбертово пространство Я, если
вместо L2(D) взято Н). Это легко выводится из теоремы Рисса
об общем виде линейного функционала в L2(D) (см. [V; 123]),
Действительно, при любом фиксированном v из L2(D) выраже*
ние (A(u)yV) есть линейная непрерывная функция и, опреде-
определенная на всем L2(D) (т. е. линейный функционал)', и потому
найдется единственный элемент w такой, что (А(и), v) — (u, w)
при всех u^L2(D). Но это и значит, что ие®(Л*), w = A*(v)
и Я>(Л*) = Ы?>).
Для неограниченных операторов Л нахождение ?25 (Л*) и
«явного» вида Л* — вопрос сложный. Интересующие нас опера-»
торы L и L\ суть неограниченные операторы, заданные на мно*
жестве 2>(L) = 2>(Li) = Wl,o(D)9 плотном в L2(D). Мы пока-
покажем, что сопряженные им операторы L* и L\ имеют вид
= L»-*oa D80)
(т, е. являются дифференциальными операторами, сопряжен-
сопряженными в смысле Лаграижа к L и L\ соответственно — см. фор-*
мулу D10)), и их области определения совпадают с Wto(D).

149!	ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	467
Для этого проверим, что задача
Li(u) = f, a|s = 0,	D81)
где Li(tt) — есть дифференциальное выражение из D80), одно-
однозначно разрешима в Wl,o(D) при любой /е?г(О). Действи-
Действительно, для L\ выполняются все условия теоремы 2 [148], в том
числе и условие L\{u, и) > 6i || w ||2, 6i > 0, если Яо> 1, ибо
L\ {и, и) = (— L\ (и), и) = J (aikuXkuXl — bluuXi — си2
Обозначим через (LI)" оператор, сопоставляющий f решение и
задачи D81). Он является ограниченным оператором в L2(D)y
устанавливающим взаимно однозначное соответствие между
L2(D) и W\to(D). С другой стороны, для любых функций и и и
из Wit о(D) справедливо равенство
(Ц(и), ») = (u, L\(v))9
которое получается двукратным интегрированием по частям
левой части. Сопоставляя его с данным выше определением опе-
оператора Л*, сопряженного к оператору Л, видим, что элементы v
из множества W2,o{D) принадлежат 2)(А*) = 2D(L*) и А* = L
на нем вычисляется по правилу D80). Нам осталось проверить,
что Ж) (Ц) = Wtt о (?>)> т. е. доказать, что если для каких-то эле-
элементов v и / из L2(D) выполняется тождество
при любом weWito(D), то v &Wl,o(D) и f = L\(v). Найдем
по / элемент w = (L])~lf — решение задачи D81) (оно принад-
принадлежит W\% о {D)) и представим (a, f) в виде (а, L!(w)) = (Li(tt), w)
согласно формуле D82). Тогда (и, f) = (Li(m), w) = (^i(w), у),
и так как элементы ?i(a) пробегают все /^ФЬ когда а пробе-
пробеl
гает Wl,o{D), то отсюда следует, что v = w9 т. е. и действие
тельно принадлежит Wt,o{D) и f = L\{v).
Итак, мы показали, что оператор /Л, сопряженный к неогра-
неограниченному оператору Lu действующему в пространстве L2(D) и
определенному на множестве 2>(Li) — Wl9*{D)9 имеет своей об-
областью определения 3)(L\) то же множество W\%o(O), и на эле-
элементах этого множества его действие задается дифференциаль-
дифференциальным выражением D80). Так как дифференциальное выражение
L(u) отличается от L\(u) лишь на слагаемое кои, которому от-
отвечает ограниченный оператор, то	\

468	* ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
() () = Wlo(D) и действие оператора L* на Wlo(D)
задается дифференциальным оператором L* из D80).
Замечание. Когда говорят о дифференциальном опера-
операторе L*, задаваемом выражением D80), то имеют в виду лишь
правило вычисления L*(u) на функциях и(х). Надо отличать
это понятие от понятия оператора, сопряженного к неограни-
ченному оператору L, порожденному дифференциальным операто-
оператором L, В этом случае должна быть указана область определения
дифференциального оператора L и найдена соответствующая ей
область определения сопряженного к нему оператора.
Вернемся к изучению операторов L и L*, а также L\ — L —
— XqE и L\ = L*-—Яо?\ заданных на множестве W\ о (D) про-
пространства L2(D). Докажем, что сопряженным к ограниченному
оператору LT\ действующему в L2 (D) является ограниченный
оператор (L*)~~
Это легко выводится из известных уже нам фактов; а именно,
того, что оператор L\ и сопряженный ему оператор L\ устанав-
устанавливают взаимно однозначное соответствие между 3)(L\) —
*=!2)(L\) = W%,o(D) и всем пространством L2(D) и для них верно
тождество D82) при любых и, v e Wl, о (D). Когда и и v пробе-
пробегают множество Wl,o(D)y L\(u) и L\(v) пробегают все L2(D).
Обозначив L\(u) через ф, a L\(D) через ф, перепишем D82) в
виде
Так как это равенство справедливо при любых ф, г)?^/ (Щ$
то оно и показывает, что (if1)* равен ограниченному оператору
ЩГ1 в L2(D).
Вернемся теперь к задаче D74) и связанным с нею задачам
D75), D77) и D78). Так как If1 есть вполне непрерывный опе-
оператор в L2(D), то для сопряженного к нему оператора (Lf1)*
характеристическими числами являются те же числа (Ял — Яо),
что и для ЬГ , т. е. уравнение
(!У(о)	D82)
имеет ненулевые решения лишь для Я = Я*, А=1, 2, ... (на-
(напомним, что мы ограничили себя рассмотрением только вещест-
вещественных Я). Каждому %k соответствует конечное число нетриви-
нетривиальных решений Vu уравнения D82), равное числу линейно не-
независимых решений уравнения D77) при том же Я*. Иначе го-
говоря, кратности характеристического числа Я^ — Яо для ЬГ и для

149}	ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	469
(Lf1)* совпадают. Так как (if1)* = (?,!) ""*, то уравнение D82)
эквивалентно системе уравнений
которая, в свою очередь, есть не что иное, как система
L9(v) = kv, v\s = 09	D83)
решения которой ищутся в W\t о(D), а дифференциальный опе-
оператор L* задан равенством D80). Итак, вещественный спектр
операторов L и L* при первом краевом условии не более, чем
счетен, каждое из входящих в него Xk имеет конечную крат-
кратность и единственными предельными для {Xk} точками могут
быть лишь А, = ±оо. Однако из теоремы 2 [148] следует, что
при X, больших или равных Ко, задача D78) не имеет ненуле-
ненулевых решений, следовательно все Xk меньше Ко. Если бы мы с
самого начала рассмотрели комплексное гильбертово простран-
пространство L2(D) и задачу D74) с комплексными К то, используя
соответствующие теоремы Фредгольма для уравнения D75),
пришли бы к выводу, что полный спектр операторов L и L* со-
состоит из не более чем счетного числа собственных значений,
каждое из которых имеет конечную кратность. Сравнительно
простые оценки типа [145] показывают, что спектра нет вне
квадратичной параболы вида A, = ai(a2— К')9 где а/— неко-
некоторые вещественные числа, которые нетрудно подсчитать по
константе эллиптичности v и мажорантам \1С коэффициентов L,
причем ai > 0, а Я' и К" суть вещественная и мнимая части К
(т.е. K = K'-{-iK"). Значительно более сложный анализ пока-
показывает, что полный спектр задачи D74) состоит из неограни-
неограниченного числа собственных значений {Я^рИ ReXk->—оо при
й->оо. Это было установлено Карлеманом (см. [138]).
В следующем пункте мы докажем это для случая симметри-
симметрического оператора L, т. е. когда L* — L или, что то же, когда
6,(л:)=0, а сейчас перейдем к формулировке и доказательству
третьей теоремы Фредгольма для задачи D74).
Пусть в ней К равно какому-нибудь собственному значению
Кн. Если задача D74) имеет решение и для /, взятого из L2{D)
(мы всюду имеем в виду решения из класса Wl.o(D))f то умно-
умножая первое из уравнений D74) на произвольную функцию v из
класса Wl,o(D) и интегрируя затем по Df мы можем результат
преобразовать следующим образом:
\ L (и) v dx = [ uV {v) dx = Kk \ uv dx+ \fv dx.

470	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[149
Для v, равных любому из решений vk задачи D83) с X = Xk,
это равенство приобретает вид
$	0,	D84)
D
следовательно, оно необходимо для разрешимости задачи D74),
Докажем, что условие D84) является и достаточным для разре-
разрешимости задачи D74). Действительно, необходимым и достаточ-
достаточным условием разрешимости уравнения D75) в пространстве
L2(D), согласно третьей теореме Фредгольма для уравнений с
вполне непрерывным оператором Li~\ является условие
O = (Lfl(f), с*) = (Л(?ГТМ) = 1г^(/. vk)9
где vk — любое решение уравнения D82) с А, = Я&. Но задача
D82) эквивалентна задаче D83) с X = Xk, и их решения Vk со-
совпадают, так что это условие есть не что иное, как условие D84),
Оно имеет такой же вид и в случае комплексного Xk- Подыто-
Подытожим теперь все доказанное в виде теоремы:
Теорема 1. Пусть для L и D выполнены условия теоремы
2 предыдущего пункта. Тогда задача D74) однозначно разре-
разрешима eWt, o(D) для любого f из L2(D) при всех вещественных
X, кроме не более чем счетного числа значений Xk, k = 1, 2, ...,
составляющих вещественную часть спектра L в D при первом
краевом условии. Для этих и только этих значений %k однород-
однородная задача D78) имеет нетривиальные вещественные решения,
причем каждому Xk соответствует лишь конечное число линейно
независимых решений задачи D78). Множество {Xk} является
вещественной частью спектра сопряженной задачи D83), при-
причем Xk для нее имеет ту же кратность, что и для задачи D78).
Числа Xky k = 1, 2, ... можно расположить в порядке их убыва-
убывания, и единственной точкой накопления для {Xk} может быть
лишь X = —оо.
Для разрешимости задачи D74) при X — Xk необходимо и
достаточно выполнение условий D84) ортогональности f ко всем
решениям однородной сопряженной задачи D83) при том же
Xk> При выполнении этих условий общее решение задачи D74)
имеет вид и = «0+ 51 ?^,, где щ есть какое-либо частное ре-
шение задачи D74), ct — произвольные числа, a uki, i= I, ...
..., Nk — решения задачи D78) с данным Xk*
Эта теорема есть одна из возможных формулировок фред-
гольмовой разрешимости задачи Дирихле D74).
Как сказано выше, аналогично исследуется задача D74) для
%, заполняющих всю комплексную плоскость. Условие разре-

иЩ	ФРЕДГОЛЬМОВА РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	471
шимости задачи D74) при комплексном Xk имеет тот же вид
D84).
Полезно заметить, что для решений задачи D74) при всех
Я, отличных от {Xk}> справедлива оценка
1|и||B)<С,Ш,	D85)
постоянная С% в которой зависит от коэффициентов L, области
D и взятого X. Для тех X, для которых выполнено условие D20),
мы смогли дать явное выражение для С\ через некоторые срав-
сравнительно простые характеристики области D и параметры v, \i,
[it и X. В общем же случае, когда известно лишь, что X не сов-
совпадает со спектральными значениями Kk> k= I, 2, ..., мы мо-
можем утверждать существование постоянной С^ но не можем вы-
выписать ее явного вида. Ясно, что С*, стремится к бесконечности
при приближении % к спектру {Xk}. Заметим, что и фактическое
определение спектра для данных L и D является весьма слож-
сложной вычислительной задачей.
Из теоремы 1 данного пункта и теоремы 2 [148] вытекает
следующее предложение:
Теорема 2. Пусть для L и D выполнены условия теоремы 2
предыдущего пункта. Тогда любое обобщенное решение задачи
D74) из класса W\(D) является элементом Wl,o(D).
Действительно, пусть функция и является обобщенным ре*
шением задачи D74) из класса Wl (D), т. е. принадлежит
о ,
Wi{D) и удовлетворяет тождеству D07) при любой функции
о .
т)ей^2E). Запишем тождество D07) в виде
FLdx,	D86)
где F = f + (^ — Xq)u. Число Xq выберем столь большим, чтобы
выполнялось неравенство D20), гарантирующее теорему един-
единственности из [145] для задачи D74) с Х = Хо, т. е. для задачи
L(v) = k*v+F, v\s = 0,	D87)
причем функцию F = f -\-(Х — Х0)и рассматриваем как известную
(в ней в качестве и взято известное по условию теоремы обоб-
обобщенное решение из W\(D)). Ясно, что F&L2{D). В силу D86),
и есть обобщенное решение задачи D87) из W\(D) с только что
указанным F. С другой стороны, теорема 2 [148] гарантирует
однозначную разрешимость задачи D87) в классе Wt,o(D) (бла-
(благодаря D20) имеет место первая теорема Фредгольма). В силу,

472	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[150
же теоремы 2 [145] это решение обязано совпадать с исследуе*
О |
мым обобщенным решением и из W^iD), и потому и есть эле-»
мент W22,o(D), что и требовалось доказать.
150. О спектре симметричного оператора. Рассмотрим сим-
симметричные дифференциальные операторы L вида D02), т. е. та-
такие, для которых оператор L*, сопряженный L по Лагранжу
(его выражение дается равенством D80)), совпадает с L. Они
имеют вид
Изучим для них спектральную задачу
L{u) = U, а|5 = 0,	D89)
в ограниченной области Z), считая, что для коэффициентов L и
области D выполнены условия теоремы 2 [148]. Из результатов,
доказанных в [149], следует, что для неограниченного опера*
тора L, заданного на плотном множестве ®{L)~ Wto(D) про-
пространства L2(Z)) равенством D88), сопряженным оператором
является он сам с той же областью определения W\t оф). В этом
случае говорят, что L является самосопряженным оператором,
и записывают это в виде равенства L = L*. Соответствующая
ему квадратичная форма L(u, и) имеет вид
I (Ui u) = — ^L{u)udx= ^ (atkuXtuXk — си2) dx.
D	D
Так как по условию —с(х) ^ —ц,з, то при Хо = |лз
\
D90)
где Cd есть положительная постоянная из неравенства D23У
[145]. Согласно результатам ?148] для L\^Lq — KqE сущест-
существует обратный оператор Lf\ который является вполне непре-
непрерывным, самосопряженным оператором в пространстве 1г(Ь)*
Ввиду этого для него справедливы теоремы, доказанные в
[IVi; 30—36]. А именно, его спектр (полный) состоит не более
чем из счетного числа вещественных чисел, которые мы обозна*
чим через \xk> й= 1, 2, ... Каждому \xk соответствует конечное
число линейно независимых решений уравнения
'	D91)

В50]	СПЕКТР СИММРТРНЧНОГО ОПЕРАТОРА	473
являющихся элементами L2(D). Так как LT обратим, то число
р = 0 не есть точка спектра LT1 (т. е. ни одно |ы* не совпадает
с нулем), и потому число различных собственных значений ц*
неограничено. Из свойств оператора LT1 следует, что Uk принад*
лежат W\, о (D), и потому любое ы* есть решение задачи
1,и = -?-и, и|5 = 0,	D92)
с ц == [шде, и, наоборот, любое решение задачи D92), принадле-
принадлежащее W\ о Ф)у есть решение уравнения D91). В свою очередь,
задача D92) есть не что иное, как задача D89) с А, = Яо +ц*.
Из неравенства D90) следует, что все \ik отрицательны и —м*^2
^v-1Cd. Действительно, для и = ии неравенство D90) дает
оценку
Lx (uky ил) = - J-1| uk ||2 > vCE1 II ик II2.
Опять-таки в силу свойств, установленных в [IVi; 30—36] для
вполне непрерывных симметрических операторов, собственные
числа \iky k—l> 2, ... можно считать занумерованными в по-
порядке их возрастания. Кроме того, каждое собственное значение
удобно записывать в последовательности {ц*}]^ столько раз,
какова его кратность, и каждому из них сопоставить одну нор-
нормированную в L>2 (D) собственную функцию uk, причем выбрать
их так, чтобы они все были ортогональны друг другу. В соот*
ветствии со сказанным, мы будем считать, что
— v~1CD<[x1<^2< ... <0, [ifc-^0 при й->оо, D93)
и соответствующие им собственные функции {ик}^х удовлетво-
удовлетворяют условиям
(ик,щ) = Ък1.	D94)
Спектр оператора L при условии Дирихле состоит из чисел
{^}°°_i» ^^^o + ^jT1' и числУ ^ соответствует собственная
функция uk — решение задачи D89) при Я *= Л*. Все функции
Uky как отмечалось выше, суть элементы W%o(D). Ясно, что
X/j->-—с» при &->оо.
Займемся теперь теоремами разложения по системе соб-
собственных функций {и*)Г~г Теорема 5 [IVi; 36] утверждает, что
система {ик)™^{ образует базис в L2(Z)), т. е. любая функция /
из L2(D) разлагается по ней в ряд Фурье	j
/(*)¦= I (/,«*) uk(x),	D95)
^1

474	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	{150
сходящийся к ней в норме L2{D), и
НЛ12=Е (/, uk)\	D96)
Покажем теперь, что если /е W\t о (D), то ряд D95) сходится
к ней в норме 1^2, o(D)t т. е. ряд D95) допускает почленное диф-
дифференцирование по х один и два раза и полученные при этом
ряды (заметим, что они уже не ортогональны в L2 (?>)!) сходятся
в L2(D) к соответствующим производным f. Для доказатель-
доказательства этого рассмотрим W\tq(D) как гильбертово пространство
со скалярным произведением, определенным равенством D32),
и нормой ||.||B) [Н6].
Введем в W\t q(D) новое скалярное произведение:
{и, и}= \ Li(u)L\ (v)dx.
D
Соответствующая ему норма, которую мы обозначим через || - Ц2,
эквивалентна норме ||-[|B) (см. об этом [147]). Действительно,
неравенство
для любой MG?2,o(fl) следует непосредственно из ограничен-
ограниченна,,
ности ciik, -Q— и с. Обратное неравенство
Ы1B)< C2Uh = CuU (и) ||
есть не что иное, как неравенство D61). Итак, эквивалентность
норм ||-||B) и H-IU доказана. Функции uk принадлежат Wl,o(D)t
следовательно, ему принадлежат и конечные отрезки ряда D95).
Кроме того, функции {ик}^{ ортогональны друг другу в смысле
нового скалярного произведения, ибо из D92) следует, что
Ввиду этого просто подсчитать величину
т+р
- I, (LtV). utf.
При этом мы использовали то, что f ^W\% o{D). Числовой же
оо
ряд Е (^i (/)> ukf сходится и равен || Ц (/) Ц2, ибо Lx (/) е L2 {D)
/1

35G]	СПЕКТР СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА	476
(см. D96)). Поэтому функции fN (х) = ? (f, uk) uk (х), N = 1, 2, ...,
образуют последовательность Коши в пространстве W2t о (D)9
а так как оно полное, то существует элемент f (х) в W\ о (D),
к которому fN (x) сходятся в норме Wl.o{D). Но, с другой сто*
роны, мы знаем, что fN (x) сходится в L2(D) к f(x), следова-
следовательно, f (x) — f (х). Итак, мы доказали, что для f e Wl, о (D)
ряд D95) сходится в норме пространства W2,q{D)(t. e. в любой
из норм || • ||2 и || • ||B)), и потому
L (/) = Е (f, uk) L (uk) = ? lk (f, иЛ) г/ь	D97)
причем этот ряд сходится в норме L2(D) и
Е]ЯЦ/1«йJ.	D98)
О .
Докажем еще такое предложение: если f^.W2{D), то ряд D95)]
сходится к ней в норме W\ (D), т. е. ряд D95) и ряды, получен*
ные однократным почленным дифференцированием ряда D95)]
по Xi, сходятся в норме L2{D) к f и fXi соответственно. Для
о .
этого введем в гильбертово пространство W2(D) новое скаляр-
скалярное произведение
[и, v] = Lx (и, v) = jj (aikuXiv4 — cuv + Xouv) dx.
D
Из D90) и ограниченности \atk\ и \с\ следует, что соответ*
ствующая ему норма || -1|ж эквивалентна исходной норме ||-||A)
о «
пространства W2 (D). Собственные функции и* принадлежат
О |
VF2(D) и ортогональны по отношению к скалярному произведем
нию [•, -], ибо
[uk, щ] = (- Lxuh% щ) = - \iJ1 (uk> ut) = - ^!6feZ. D99)
Функции {*J—v>kUkW}^!образуют, тем самым, ортонормиро-
ванную систему функций в пространстве W2(D) с новым скаляр-
скалярным произведением. Поэтому для любой / из W2(D) и системы
(V— V>k uk)kxa\ справедливо неравенство Бесселя (см. [IVi;46J)i

476	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ.	П50
С другой стороны,
[Л V11^ tikf = (/, V3^^*J = (- шГ1 (Л %J E00)
!т+р	112 т+р
? (f, и») и* = S (- И*Г'(/, ukf.	E01)
fc—m	Hi fe=»m
Сопоставляя эти соотношения, видим, что функции fN =
N
«= Z (f> ^)"fe, ft = 1, 2, ... образуют последовательность Коши
о ,
в пространстве №2ф), и потому существует элемент f(x) этого
пространства, к которому fN(x) сходится в любой из двух норм
Wl(D), и
- Z [/, V11!^"J2 = Z (-1^^" (f. «.J- Z (Ao - h) (f, и*J.
fe»i	ft-i	fe*i
Но так как fN сходится к / в норме L2(D)9 то f(x) — f(x) и
*	Z	«,J.	E02)
Подытожим доказанные в этом пункте факты в виде тео-
теоремы (см. в связи с нею замечание на с. 390):
Теорема 1. Пусть для симметричного оператора L, опреде-
определенного равенством D88), и области D выполнены условия тео-
теоремы 2 из [148]. Тогда весь спектр задачи D89) (или, что то
же, спектр оператора L в области D при условии Дирихле) со-
состоит из счетного числа вещественных значений {^}~в1, стре-
стремящихся при й->оо к —оо и меньших числа Хо> мажорирующего
коэффициент с(х). Соответствующие им собственные функции
{и*}Г*1 можно ортонормировать в L2(D). Они образуют базис в
пространствах L2(D), W2(D) и W2to{D), так что ряд Фурье
D95) по ним для любой функции f из L2{D) сходится к f в нор-
мв L2(D), для любой f из W2(D) сходится к f в норме W2{D)f
а для любой f из W\,о(D) сходится к f в норме W\(D). Кроме
того, имеют место равенства D96) для f^L2{D)t равенство
E02) для f из W\{D) и равенства D97) и D98) для f из WltQ{D).
Изложенное здесь доказательство сходимости рядов D95) в
пространстве W\{D) принадлежит О. А. Ладыженской. Более
того, это было сделано ею для всех трех классических краевых
условий, причем не только в пространстве W\(D), но и во всех
пространствах Wi{D) с целыми / (см. гл. II книги: Ладыжен-

Ш)	СПЕКТР СИММЕТРИЧНОГО ОПЕРАТОРА	477
екая О. А. Смешанная задача для гиперболических уравнений.-—
М.; Физматгиз, 1953).
Собственные функции и собственные значения оператора L
обладают рядом экстремальных свойств аналогичных тем, ко-
которые мы установили ранее для интегральных операторов с сим-
симметрическими ядрами, для вполне непрерывных симметрических
операторов в L2(D) (см. [IVi; 36, 37]), для обыкновенных диф-
дифференциальных операторов типа Штурма — Лиувилля [88], для
оператора Лапласа [129] при условии Дирихле. Так, например,
из равенств D96) и E02), справедливых для любой функции f
о j
из W% (D), легко доказывается следующая теорема:
Теорема 2. Наименьшее значение квадратичного функцио-
функционала
/(/) = !(/,/)« \(atkfXifXk-cf2)dx
и
о ,
на множестве функций f из W<2(D) с ||/||= 1 равно — Х\ — пер-
первому собственному значению, взятому с обратным знаком. Оно
реализуется на первой собственной функции и\. Второе соб-
собственное значение, взятое с обратным знаком, дает наименьшее
О j
значение /(/) на множестве функций f из W2 {D), подчиняю-
подчиняющихся двум условиям: ||/||= 1 и (/, и\) = 0. Оно реализуется на
собственных функциях, соответствующих Я2 {обозначим одно из
решений этой задачи через «г)*). Следующая собственная функ-
функция Uz находится, как решение изопериметрической задачи на
определение нижней грани J(f) на множестве функций f из
W2(D), подчиненных условиям: \\f\\ — 1, (/, щ) = 0, (/, и2) = 0*
Значение J(f) при этом оказывается равным —-Я3 (оно будет
равно —Аг, если Х2 непростое собственное значение, т. е. если
кратность %2 больше единицы). Так подряд находятся все Uk и
соответствующие им Л*.
Для доказательства этих предложений надо учесть, что
О 1
0 < Ко — Я] ^ Ко — Х2 ^ ... Ввиду этого для любой / из IF2 (D)
Lx (/, /) > (Яо - Я,) I (/, ukf = (Яо - Л,) || / If,
а для / = «i значение L\(ux, т) = (Хо — h)\\u\\\2 = Яо — Яь еле-
О t
довательно, для любой /е W?.(D) с 11/11= 1 имеем
J(f) = L(f, /)-!,(/, /) — Яо ft / If >- Я, =/(«,),
*) Дополнительное рассуждение показывает, что первое собственное зна«
чение Однократное	'•

478	ГЛ, II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	|I5t
т. е., действительно, щ дает решение первой из указанных в тео-
теореме вариационных задач. В следующей вариационной задаче
о .
мы должны рассмотреть все f из W2 (D), удовлетворяющие усло-
условиям ||/|| = 1 и (/, щ) = 0. Для них Lx(f, f)XXo-K2)\\f\\2 =
= (к0— Х2), а, с другой стороны, L\(u2, и2) = К0— %2, следова-
следовательно, L(/, /) ^ L(u2i и2) = —Яг. Аналогично доказываются и
остальные утверждения теоремы.
Полезно отметить, что вариационные задачи, описанные в
этой теореме, имеют решения и при значительно меньших пред-
предположениях о коэффициентах L и D. Например, достаточно по-
потребовать, чтобы для L выполнялись условия, сформулирован-
сформулированные в [144], a D была бы произвольной ограниченной областью.
При этом мы получим те же числа Яь Я2, ..., но относительно
соответствующих им функций uk сможем утверждать лишь, что
о |
они суть,элементы 1^2ф). В соответствии с определением, дан-
данным в [144], uk(x) является обобщенным решением из класса
W2(D) спектральной задачи D89) при X = hk. Если же L и D
удовлетворяют требованиям теоремы 2 из [148], то каждое из
этих Uk(x) окажется элементом W\tо(D) и будет удовлетворять
уравнениям D89) (см. теорему 2 [149]).
§ 3. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО
И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ
151. Зависимость решений уравнения теплопроводности от
начального и предельного условий и свободного члена. Мы уста-
установили раньше теорему единственности для уравнения тепло-
теплопроводности, причем это доказательство было основано на тео-
теореме, которая утверждала, что наибольшее и наименьшее зна-
значения решения однородного уравнения теплопроводности дости-
достигаются или при t = 0 или на границе области.
Доказательство этой теоремы проводилось для одномерного
случая [II; 219]. Совершенно аналогично можно провести дока-
доказательство и в многомерном случае.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение теплопроводно-
сти в области В на плоскости (х, у):
Щ = ихх + uyy + f (x, у, t)	A)
с начальным и предельным условиями
и|/„о = ф(*» У) (в области В)\ u\i = ty{x> у, f),	B)
где / — контур В. Функцию f мы считаем непрерывной в замкну-
замкнутой области В при / ^ 0. Аналогичным образом ср считается не-
непрерывной в Б и ij) на / при / ^0± Представим себе в простран-

151]	ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	479
стве (х9 у, t) цилиндр D, основание которого есть область В на
плоскости (х, у) и образующие которого параллельны оси t.
Пусть Dt — часть этого цилиндра, ограниченная снизу плоско-
плоскостью < = 0и сверху плоскостью t = Т (Т > 0). Обозначим через
S' нижнее основание t = 0 и боковую поверхность DT. Пользуясь
рассуждениями, аналогичными тем, которые мы применяли в
[II; 219], легко доказать теорему.
Теорема 1. Если и удовлетворяет уравнению A) внутри D
и непрерывна вплоть до S\ и если />0e DT> то наименьшее зна-
значение и в DT достигается на S'. Если же f ^ 0 в DTi то наиболь-
наибольшее значение и достигается на S'.
Приведем коротко доказательство этой теоремы. Рассмотрим
только случай f<0 и будем доказывать от обратного. Пусть
наибольшее значение и достигается не на S', а в некоторой точке
(х'у у', tf) и равно М. Введем новую функцию:
T)9	C)
где k — положительное число, которое мы сейчас определим,
Мы имеем в Dt
и < i; < н + W,
и можно фиксировать k настолько близким к нулю, чтобы наи«
большее значение v на S' было, как и для и, меньше, чем зна-
значение и в точке (x't y\ ?). При таком выборе k функция v будет
достигать наибольшего значения или внутри DT или внутри
верхней границы t = Г. Приведем оба эти случая к противо-
противоречию.
Пусть v достигает наибольшего значения в некоторой точке
C(xyyJ) внутри DT. В этой точке v имеет максимум и, следо-
следовательно,
в точке С,
откуда следует vt — Vxx — Vyy^O, или, в силу C), ш — ихх —
— иуу — к ^ 0 в точке С, а это противоречит тому, что в точке
С должно удовлетворяться уравнение Ut — ихх — иуу — / = 0 и
f ^ 0. Положим теперь, что v достигает наибольшего значения
в точке С, находящейся внутри основания t = Т. В этой точке
должны быть vt ^ 0 и, рассматривая изменения v вдоль верхней
границы, получим: vxx ^0 и vyy ^0 в точке С. Это приводит
нас к противоречию совершенно так же, как и выше, и теорема
доказана. Пользуясь доказанной теоремой, легко установить
еще и такую теорему:
Теорема 2. Если ф, "ф и f удовлетворяют условиям \ ср | ^ а
на нижнем основании DT, \ г|) | ^ а на боковой поверхности DT и
" в &т> то\и\^2а в DT.

480	ГЛ I! ПРЕДЕЛЬНЫВ ЗАДАЧИ	П5*
Рассмотрим функцию
—0
1
D)
которая удовлетворяет уравнению
и следующим условиям:
— -f)
о ко = Ф + а; v \t = -ф + т ° -
Принимая во внимание условие теоремы и тот факт, что
О ^ t ^ T на боковой поверхности Z)r, можем утверждать, что
/—jr^O в DT\ | ф + а 1 ^ 2а на основании /«=0;
гф + -' jT ^ 2а на боковой поверхности Df
Из теоремы 1 следует при этом, что наибольшее значение v до-
достигается на Sr, и, следовательно, с/^2а в /5г. Принимая во
внимание, что второе слагаемое правой части формулы D) не-
неотрицательно, можем утверждать, что и ^ 2а Аналогично, вводя
функцию
^^1
мы докажем, что и 5* —2а, откуда и следует, что \и\ ^ 2а. Тео-
Теорема 2 дает оценку решения уравнения A) через оценку свобод-
свободного члена f и функций, входящих в начальное и предельное
условия.
Аналогично доказывается теорема и в случае любого числа
пространственных переменных.
152. Потенциалы для уравнения теплопроводности в одномер-
одномерном случае. Мы покажем сейчас, что можно построить для
уравнения теплопроводности теорию, аналогичную теории по-
потенциала для уравнения Лапласа, и таким образом привести
предельные задачи уравнения теплопроводности к интегральным
уравнениям.
Рассмотрим одномерное уравнение теплопроводности
ut*~a2uxx	E)
и положим, что для промежутка 0 ^ х ^ / поставлена предель-
предельная задача с предельными условиями
F)
и с начальным условием
G)

152]	ПОТЕНЦИАЛЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	481
Продолжим функцию f(x), заданную на промежутке [0,/], на
всю ось к гак, чтобы она была непрерывной и обращалась в нуль
вне некоторого конечного промежутка, и составим решение урав-
уравнения E) [И;214]:
$
которое удовлетворяет условию
Щ li.o = f(x) (- оо < х < + оо).	(9)
Вводя вместо а (я, 0 новую функцию до (я, f)e а(*, t)—Uo(x, /),
мы получим для w уравнение E) с однородным начальным
условием
| 0 @<
и с некоторыми условиями при х = 0 и х == /, правые части ко-
которых равны разности coi(/)-— до@, f) и а>г(О-—w(/, 0- Таким
образом, мы в дальнейшем будем искать решение уравнения E)
с предельными условиями F) и однородным начальным усло-
условием
и 1,.о = О (О <*</).	A0)
Основным сингулярным решением, соответствующим источ-
источнику, помещенному! в точке х = | и в момент ? = т, является
решение [II; 214]
Дифференцируя по g и добавляя постоянный множитель 2а2,
получим сингулярное решение, соответствующее диполю:
Умножая последнее решение на некоторую функцию ф(т) и
интегрируя по т от х = 0 до т =*= ty получим решение
2а л/п (t - т)8/ ^ ё;	'
соответствующее диполю в точке х ч= g, действующему от мо-
ментаЧ = 0, с интенсивностью ср(т). Тот факт, что функция A3)
при хФ1 удовлетворяет уравнению E), непосредственно про-
проверяется простым дифференцированием, причем дифференциро-
дифференцирование по верхнему пределу дает нуль, так как подынтегральная

482	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	№
функция при х Ф | стремится к нулю, если x-b-t Покажем, что
функция A3) удовлетворяет следующим предельным соотноше»
ниям, если х стремится к ? слева или справа:
и(? + 0, /) = ср(О, и(|-0, 0 = -<р@.	(И)
Считая хФ%, введем вместо т новую переменную интегрирова-
интегрирования:
Если х > ?, то а-^+оо при т-W, и если х < ?, то а-*—-оо
при т->/. В новой переменной получим
+ ОО
j
2а л/Г
и при х->? + 0 в пределе получим
Аналогично доказывается и второе из равенств A4). Кроме
того, решение A3) удовлетворяет, очевидно, однородному на-
начальному условию
и|*.о-О.	A6)
Мы не останавливаемся на более детальном проведении пре-
предельного перехода в формуле A5). Его легко можно проделать
при предположении непрерывности ф(т).
Положим, что у нас имеется формулированная выше задача
с предельными условиями F) и начальным условием A0).
Ищем решение в виде суммы двух диполей — одного, помещен-
ного в точке х = 0, и другого — в точке х = I, искомую интен-
интенсивность первого обозначив через ф(т) и второго через ()
0- 2a^(t-

1621	ПОТЕНЦИАЛЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	483
Предельные условия F), в силу A4), запишутся в виде
A8)
Эти уравнения представляют собой систему интегральных
уравнений Вольтерра для <р(т) и г|)(т) и ядра этих уравнений
зависят только от разности (t — т), так что к написанной си-
системе может быть применено преобразование Лапласа так, как
это мы описывали в [IVi; 53]. Если, например, на одном из кон-
концов задана не сама функция щ а ее производная -^~-, то на
этом конце надо поместить не диполь, а простой источник, дей-
действие которого дается формулой A1). Положим, например, что
предельные условия имеют вид
и \XstQ = со! @; -$j
A9)
и начальные условия, как и выше, имеют вид A6).
Для простоты дальнейших формул умножим решение A1)
на 2а2 и будем таким образом искать решение в виде
t
~ 'l)	yp"a2 (t-%) sir 4-
и(х, 0 =
2а л/я (t - т)h
у л/л л/t — х
il-x)t
B0)
Первое из условий A9) даст
t __
Ф@ + ^ ае,-а^ Ф
J л/л л/г — т
Дифференцируя формулу B0) по х и устремляя х к /, получим,
в силу A4) и второго из условий A9)
о -.
С 1- W * -
и мы получаем опять для <р(т) и -ф (т) систему интегральных
уравнений^ с ядрами, зависящими от разности (t — т).

484	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[153
153. Тепловые источники в многомерном случае. Идея потенциала может
быть применена и к мноюмерным задачам теплопроводности. Мы ограни-
ограничимся указанием результатов, которые аналогичны предыдущим. Доказатель-
Доказательство свойств потенциалов в многомерном случае представляет значительно
большие трудности по сравнению с одномерным случаем. Будем рассматри-
рассматривать плоский случай, т.е. уравнение
Пусть на плоскости (х, у) имеется область В с контуром /. Основное сингу-
сингулярное решение, соответствующее источнику в точке (|, г)), действующему с
момента времени т, имеет вид
г2
Аналог потенциала простого слоя дается следующей формулой:
t
: — х
B2)
где а — длина дуги контура I, отсчитываемая от некоторой фиксированной
точки, и а(а,т)—функция переменной точки а контура и параметра т. Че-
Через г обозначено расстояние от точки (я, у) до переменной точки о контура /,
Тепловой потенциал двойного слоя представляется формулой
B3)
где п — направление внешней нормали в переменной точке интегрирования,
или
t	2
v (х, у, *) - J Л J 4яУ(СГ/1)тJ *~4а'('-т) г cos (r, n) do. B30
о /
тде направление г считается из точки or в точку (я, у). Если ввести угол dip,
под которым элемент длины da виден из точки (х,у), то предыдущую фор-
формулу можно переписать в виде
v (х, у, 0 - - \ *Р J AnbJll11%? •" 4а2 «~х) г* dr.	B32)
/ о
Предельные значения потенциала двойного слоя в точке во(хо,уо) кон-
тура определяются формулами
где го — расстояние от переменной точки интегрирования до точки сго(#о, Уо)-
Потенциал простого слоя B2) непрерывен при переходе через kohtyd /. a

154]	ФУНКЦИЯ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	485
его производная по нормали п в точке оо контура имеет в этой точке пре-
предельные значения, определяемые по формулам
t
Пользуясь указанными формулами, можно приводить решение предельных за*
дач к интегральным уравнениям. Пусть, например, ищется функция v(x,yj)t
удовлетворяющая внутри В уравнению B1), имеющая на контуре / данные
предельные значения:
о |, = ©(«,/),	B6)
где s — координата точки контура, определяемая длиною дуги s, отсчитывав*
мой от некоторой точки Начальные данные считаются равными нулю. Оты-*
скивая решение в виде потенциала двойного слоя B3), получаем, в силу пер-
первого из равенств B4), интегральное уравнение для функции Ь(о, х)\
- b(s. t) + [ dx [ ^(i-x)* e 4aM'T)rcos(r, n)do = <o(st /),	B7)
где г — расстояние между точками s и о контура /, и направление г считается
от а и s. В написанном уравнении интегрирование по а совершается по фик-
фиксированному промежутку (О, L), где L — длина контура* /, и при интегриро-*
вании по х верхний предел является переменным. Иначе говоря, написанное
интегральное уравнение имеет характер уравнений Фредгольма ио отношению
к переменной а и характер уравнений Вольтерра по отношению к перемен-
переменной х. Несмотря на такой смешанный характер уравнения B7), обычный
метод последовательных приближений, описанный нами для уравнений Воль-
Вольтерра, оказывается сходящимся и в случае уравнения B7). Метод применим
и для области, ограниченной несколькими контурами. Он легко обобщается и
на трехмерный случай и применим к внешним задачам. Приведение началь-
начального условия к нулю совершается так же, как и в одномерном случае, при
помощи решения задачи для всей плоскости или всего пространства. В слу-
случае трехмерного^ пространства формула была нами дана в [II; 214], В дву-
двумерном случае формула имеет вид
Исследования свойств тепловых потенциалов и их применения к предель-
предельным задачам имеются в следующих работах: 1) Л ев и (Levi Е.). — Ann. di
Mat, 1908; 2) Же в рей (Gevrey М.). —J. Math. pur. et appl., 1913, 9;
3) Мюитц Г. М —Math. Z., 1934, 38, № 3; 4) Мюнтц Г. М. Интеграль-
Интегральные уравнения — М.; Л.: ГНТИ, 1934; 5) Тихонов А. Н. — Бюлл. МГУ
1938,-	*
154* Функция Грина уравнения теплопроводности. Совершенно тэ
как и щя уравнения Лапласа, можно ввести .функцию Грина и для'ура
теплопроводности. Для удобства в записи дальнейших формул об6зна((и"мГче-
об6зна((и"мГчерез щ(х — J, / — т) основное сишулярное решение (И). Функция Грина для
G <: л: ^ / при однородных''предельных условиях

486	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	|15б
определяется следующим образом г
|^-T)-"(x'/:|'T) '5T'	B9)
где и(ху t\ g, т) удовлетворяет уравнению теплопроводности по отношению
(х, /) при 0 < * < / и / > т, однородному начальному условию при / = t:
tt(*,T;g,T)«0,	C0)
и предельным условиям:
и @, /; g, т) = ив(-5,1- т); и (Г, ft g, т) = и0 (I — 6, ^ — т), f > т. C0,)
В написанных формулах g и т — фиксированы, причем 0 < g < / Из
приведенного определения непосредственно следует, что и(х, t\ g, т) и функ-
функция Грина зависят только от разности а = f — т, и вместо #(х, t, g, т) мож-
можно писать и (л:, g, a), a вместо G(xy t\ g, т) писать <j(*, g, а). Условия C0)
и C0i) дают предельные значения функции и(х, g, а) на контуре полупо-
полуполосы, ограниченной полупрямыми х=0 и х = / (/ ^ т) и отрезком 0 ^ х ^ {
прямой t = т. В вершинах этой полуполосы эти предельные значения непре-
непрерывны. Это непосредственно следует из того, что решение A1), при фикси-
фиксированном х, не равном |, и стремлении / к (т-ЬО), стремится к нулю. При-*
нимая во внимание, что указанные предельные значения не отрицательны, мы
можем утверждать, что и(ху t, a) ^ 0, и, следовательно, в силу B9),
G(x> I» a)^«o. Функция Грина имеет при / = т + 0 и x = g особенность,
характеризуемую сингулярностью и<>. Мы имеем и0 ^0, и, в силу C0),
и(х* g> a)->0 при а->-+0, и отсюда вытекает непосредственно второе не-
неравенство для функции Грина, а именно G(x, g, a) ^ 0. Можно доказать
симметричность построенной функции Грина по отношению к х и g.
Пользуясь функцией Грина, можно строить решение неоднородного урав-
уравнения теплопроводности, удовлетворяющее однородному начальному и одно-
однородным предельным условиям, а именно, если n(x,t) —непрерывная функция
в промежутке @, /) и при t > 0 имеющая непрерывные производные первого
порядка, то функция
t l
w (х, t) - J dx J G (x, |, a) я (g, т) dl	C1)
о о
удовлетворяет уравнению
dw 0 d2w . / ,,
и нулевым предельным и начальному условиям.
Все сказанное может быть проведено в многомерном случае. Доказа-
Доказательство высказанных утверждений можно найти в упомянутой выше работе
А Н Тихонова
155. Применение преобразования Лапласа. Как мы уже упоминали, при
решении системы интегральных уравнений A8) можно применить преобразо-
преобразование Лапласа Это преобразование можно непосредственно применить к са-
самому дифференциальному уравнению (о). В данном случае мы будем приме-
применять одностороннее преобразование
' -М/Ъ	C2)

155]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	487
Пусть мы имеем предельные условия F) и однородное начальное условие
A0), Вместо u(xtt) вводим в качестве искомой функции ее преобразование
по Лапласу!
оо
[ e-stu(x,t)dt.	C3)
Применим интегрирование по частям, причем будем считать, что произведение
e-stu(x, t) обращается в нуль при ^ = оо, Принимая во внимание-однородное
начальное условие A6), получим ^
ОО
0
Меняя масштаб для t или х, можем считать, что в уравнении E) а = 1,
Применяя к обеим частям уравнения преобразование Лапласа и считая, что
в формуле C3) мы можем дифференцировать по х под знаком интеграла,
получим для ф(#, s) уравнение, в которое будет входить производная только
по х:
д2Ф в	,о4\
Применяя преобразование Лаплдса и к уравнениям F), получим предела
ные условия для ф:
где
оо
e~st<>>k(t)dt (fc = l, 2).	C6)
Решение уравнения C4) при предельных условиях C5) без труда нахо-
находится в явном виде:
Ф (х, s) = а{ (s) ф! (л:, 5) + a2 (s) ф2 (*, s),	C7),
где
, ч sin (/ — х) V— s	. ч sin х д/—s	/ v
Ф1(^«) =	. f -г—	; Ф2(*, s)==	f ,	 .	C8)
sin / V— s	sin / V~ s
Применяя к функции C7) преобразование, обратное преобразованию C2),
получаем искомую функцию u(xj). Оказывается, что эта функция может
быть просто выражена через функции coi (/) и оJ(/), входящие в предельные
условия, и через функцию О3(у) Якоби [ПЬ; 177], причем при построении этой
последней функции мы принимаем h = е~~л*. Эту фукцию Якоби мы обозна-
обозначим через ^(а, t):
2	nWtt	C9)
В основе дальнейших вычислений лежит следующая формула:
р, Q] - - cosi!^~ l) *fz? - * (v, s) @<*<l), • D0)
V~ s sin V~" 5

488
ГЛ. Н. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
где для краткости письма мы через ty(y, *) обозначили написанную дробь.
Формулы C8) можно переписать в виде
*«•¦•>--4
**•»--т
«•<•<«>.
1-х
21
D1)
Мы имеем, кроме того, очевидно
/
оо
<<)««—?¦
т.е. при преобразовании C2) переход от f(s) к /(s/2s) равносилен переходу
от F(t) к -jj- F (~г)- Принимая во внимание это обстоятельство, а также
формулы D0) и D1), и производя дифференцирование по v под знаком ин-
интеграла, получим-
dv
дх
и
г-1
2/2
дх
Применяя теперь к функции C7) преобразование I| ! и принимая во
внимание формулы C6) и теорему о складке, получим окончательно
дх
¦+-!-.
@<х<1),
где мы ввели следующее обозначение
F\(t)*F2(t)'-
MotkIjo выразить через функцию §s(vt t) функцию Грина, О которой мы гово»
рили в предыдущем параграфе. Заметим. прежде всего, что формула D0)*
Имеет место лишь для промежутка 0 ^ и ^ 1. Если ¦—Л ^ v <; 0, та
0 <; v + 1 ^ 1 и, принимая во внимание периодичность i>z(v9t)^Ы
писать:	'	.^
.1,
+
-у— s sin V~ s

155]	ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА	480
т.е.
ММ.,О]._~»Ш??ЗЕГ (-1<Р<0).	D3)
V—ssinV""
Возьмем теперь неоднородное уравнение
с однородным начальным и однородными предельными условиями. Вводя
функцию	.......	.	;.
qr (дг, s) ~= L{ [к(х, t)} = [ e"stn (x, t) dt	. D5)
V»
и применяя к уравнению D4) преобразование Лапласа, яолучим
1"	"	:
D6)
и предельные условия
ф (О, s) = ф (/» s) = 0.	D7)
Для этих предельных условий функция Грина оператора, стоящего в ле-
левой части уравнения D6), как нетрудно проверить, будет
sin (/ — g) V— s • sin х у'— s
	_ кл ^ &;> ¦
D8)
sin (/ — л:) У— s • sin g У— s
V— -s sin / V~ <s
и через зту функцию Грина решение уравнения D6), удовлетворяющее пре-
предельным условиям D7), выражается в виде
i
ф (*, s) — Л у (х, ?; s) q (|; $) d^.	D9)
.. '	i*	• .
Для тога чтобы совершить преобразование Lj~ , представим функцик»
'J48) в виде	*
COS (X — I + /) У11! ' . COS (*•+ g — /) V^
^ s^ / V~~ ^	2 V— s sin / V— s
cos (х — | — /) V~ s , cos (х: — g — /) У— s
2 V— s sin f V*~" s	2 V~" 5 sin / y'— s
Принимая во внимание, что если 0 < jc ^ g ^ /» то — —.^ ¦ : ^,0 и
я, пользуясь формулами D0) и D3), мы получим
451)

490	ГЛ П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1155
Из теоремы о складке следует:
t
/-Г1 [Y (*> I; s) о (?; s)] = J я (|, т) С (*, g; / - т) dtt
о
и, следовательно, согласно формуле D9)
I t
и (*, t) - J d\ \n (?, т) G (a:, |; / - т) Л.	E2)
о о
Сравнивая эту формулу с формулой C1), мы видим, что функция
б(*, 4; t— т), определяемая согласно E1) через функцию Фз(у, 0, есть функ-
функция Грина уравнения теплопроводности, о которой мы говорили в предыду-
предыдущем параграфе.
Наметим теперь доказательство формулы D0), на которой были основаны
все предыдущие вычисления. Мы имели формулу
которая справедлива для промежутка —я ^ х ^ я [II; 157]. Полагая в ней
х = 2nv — я и z = V— s : я, мы получим
cos B» — 1) У— 5 1 о v^ cos 2ляо
V— $ sin У— «s s ^ 5 + п2п2 '
и написанное выше неравенство для х дает 0 ^ v ^ 1. С другой стороны, мы
имеем разложение #з(у, 0 в ряд Фурье [НЬ; 176]:
оо
^з (о, 0 = 1 + 2 2
Написанный ряд сходится равномерно относительно t во всяком конечном
промежутке 0 < е ^ / ^ Г, лежащем правее нуля. Считая вещественную
часть s положительной и интегрируя по частям, получим
Наличие л2 в знаменателе дает равномерную относительно ей Г сходимость
этого ряда, и, переходя к пределу при 8 -> 0 и Т -> оо, мы получим
л-1
что и дает формулу D0).
Подробнее изложение применения преобразования Лапласа к задачам
теплопроводности можно найти в работах Г. Дёча (Doetsch). — Math. Z, 22,
25, 26, 28 и в его книге «Руководство к практическому применению преобра-
преобразования Лапласа и г-преобразования». — М.: Наука, 1971,

156] ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ	491
156. Применение конечных разностей. Рассмотрим	неодно-
Рассмотрим	неоднородное уравнение теплопроводности
Щ = а2ихх + л(х, ()	E3)
с начальным условием
/)	E4)
и однородными предельными условиями
и|*во = О; и\Хш1 = 0,	E5)
причем мы будем в дальнейших формулах считать а = 1 и /= 1.
Этого всегда можно достигнуть изменением масштаба у t и х.
Возьмем некоторый промежуток [О, Г] изменения t и разделим
его на п равных частей точками tk = kh (& = 0, 1, ..., п), где
h = T:n. В уравнении E3) положим t = tk+\ и производную по
t заменим отношением приращения функции к приращению h
независимого переменного. В результате такой замены мы полу-
получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для
функций tik{x), которые являются приближенными значениями
для и(х, tk+\), поскольку мы производную по t заменили упомя-
упомянутым выше отношением. Система дифференциальных уравнений
для Ufr(x) имеет, очевидно, вид
Принимая во внимание E4), положим tio(x)= f(x)> а все
остальные функции tik+i (x) мы подчиняем предельным условиям
E5):
@	() = 0 (Л = 0э 1,..., /i-l).	E7)
Процесс вычисления сводится к следующему. Полагая в
уравнении E6) k = 0 и подставляя Uo(x) — f(x)> получаем
уравнение второго порядка для U\(x)t которое мы должны
проинтегрировать при предельных условиях E7). Найдя таким
образом и\(х) и полагая в уравнении E6) k = 1, получаем
уравнение для и2(х)> которое мы должны проинтегрировать при
предельных условиях E7), и т. д. В дальнейшем нам придется
исследовать уравнение вида
-j$--tn*y = -n(<)	E8)
при предельных условиях
0@) = 0A) = 0,	E9)
причем мы обозначили т2 = 1 : h. Введем фикцию Грина опе-
оператора, стоящего в левой части уравнения E8), при предельных

492	ТЛ U ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	U56
условиях E9). Нетрудно проверить, что она будет иметь вид
[74]
{_ (етх _ е-тх) [ет <|-1) __ е-т F-1)].
1)]. 2щ (ет — в~т)
2/И (** — *-да)
и решение уравнения E8), удовлетворяющее предельным уело*
виям E9), выражается формулой
1
G(x,l)n(l)dl.	F1)
О
Докажем лемму: Для решения уравнения E8), удовлетво-
удовлетворяющего предельным условиям E9), имеет место оценка
J max |я(*)|.	F2)
Рассмотрим сначала тот случай, когда п(х)^0 в промежутке^
[0, lj. Покажем, что при этом у(х)^0. Действительно, если
бы это было не так, то у(х) должна была бы иметь внутри про-
промежутка отрицательный минимум, и в соответствующей точке
было бы у" ^ 0 и пг2у < 0, а это противоречит E8) при я(дг)^
^ 0. Неравенство у(х)^ 0 следует и из F1).
Таким образом, все значения у(х) — неотрицательны, и в не-
некоторой точке внутри промежутка [0, 1] эта функция прини-
принимает наибольшее положительное значение. В этой точке мы
должны иметь у"{х)^.О, и из уравнения E8) непосредственно
следует —пг2у(х)^—п(х), откуда и вытекает оценка F2)#
Если п(х) принимает отрицательные значения, то, пользуясь
формулой F1) и принимая во внимание, что функция Грина F0)]
не принимает О1рицательных значений, получим оценку
\n{l)\dl.	<63)
Правая часть написанного неравенства представляет собою
решение уравнения
Л± — m2z = — \n (x) |,
удовлетворяющее предельным условиям E9). Для этого реше*
ния, как мы только что доказали, имеет место оценка
тах IяWI-
В силу {63), тем более имеет место оценка

156]	ПРИМЕНЕНИЕ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ	493
Введем в рассмотрение ошибку yk+\(x), получаемую от за-
замены и(х, lk+\) на iik+\{x), и ошибку tj*+i(*)» получаемую от за-
замены производной отношением приращения функции к прира-
приращению независимого переменного:
ди (л, О I
& \t t
F4)
причем, очевидно, ^оМ^О. Полагая в уравнении E3) t =¦ tk+\
и складывая почленно полученное уравнение с E6), будем иметь
уравнение
	_
или
F5)
Если предположить, что функция и{х, t) имеет непрерывную
вплоть до t = 0 производную по /, то из выражения F4) для
х\к+\(х)% путем применения формулы конечных приращений, мы
можем заключить, что для функций r\k+i(x) имеет место оценка
|t|a+i(x) | ^ т, где т не зависит от k и х и стремится к нулю вме-
вместе с Л. Обозначим через 6* максимум |y*(*)I ПРи 0^х^\.
Применяя к уравнению F5) доказанную выше лемму, получим
бл+1 ^ 6k + Лт. Суммируя это неравенство от? = 0до& = я— 1
и принимая во внимание, что бо = О, получим бЛ ^ пНт = Т%.
Это неравенство тем более будем иметь место, если суммиро-
суммировать от k = 0 до некоторого k = m^n— 1, т. е. мы имеем
\и(х, /J-ИлМКГт (т=1, 2, ..., л-1). F6)
Мы видим таким образом, что ошибка ут{х) стремится к нулю
вместе с Л. При доказательстве этого факта мы предполагали,
что существует решение задачи и(х> t) и что эта функция имеет
непрерывную вплоть до / = 0 производную по t.
*~ Указанное применение метода конечных разностей принад-
принадлежит Роте (Rothe E.) и изложено в его работе «rZweidimensio-
nale paraboliche Randwertaufgaben als Grenzfall eindimensiona-
ler Randwertaufgaben> (Math. Ann., 1929, 102), В этой работе
.рассматривается более общее уравнение вида
-^г «= a (*t Z)-^- + я (дс, /, w),
и изложенный метод ^пользуется для доказательства существо-
существования решения.

494	ГЛ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1157
Если мы имеем неоднородные предельные условия
и\ *=0 = «I @; и \x=i = ш2 @»
то, вводя вместо и новую искомую функцию v по формуле
V =п — A — #)CDi(/)—-#C02@>
мы приведем предельные условия к однородным. Указанная за-
замена функции изменит свободный член n(xt t)t что не играет
существенной роли.
Этот метод позволил исследовать и многомерные парабо-
параболические уравнения, причем не только линейные, но и некото-
некоторые классы квазилинейных уравнений (см. работу О. А. Лады-
Ладыженской: Первая краевая задача для квазилинейных парабо-
параболических уравнений. —ДАН СССР, 1956, 107, с. 636—639; Тр.
Моск. матем. об-ва, 1958, 7, с. 149—177, и ее книгу «Краевые
задачи математической физики». — М.: Наука, 1972).
157. Метод Фурье для уравнения теплопроводности. Мы
применяли часто раньше метод Фурье для решения предельных
задач. Проведем обоснование этого метода, пользуясь теорией
интегральных уравнений Рассмотрим, в случае трех независи-
независимых переменных, однородное уравнение
Щ = ихх + иуу	F7)
в области В с контуром I при следующих условиях.
u\tsO = f(P) (P из В);	F8)
и|, = 0.	F9)
Метод Фурье дает формально решение этой задачи в виде
и(Р;0=Е ake-Wvk(P)t	G0)
где Xky Vk(P) — собственные значения и собственные функции
уравнения
До + Яа = 0
при предельном условии
0|/ = О	G1)
и ак — коэффициенты Фурье функции f(P):
\\	G2)
В
Положим, что^ функция f(P) сама непрерывна, имеет в замкну-
замкнутой области В непрерывные производные до второго порядка и
равна нулю на /. При этом
?	G3)

157]	МЕТОД ФУРЬЕ	495
и написанный ряд регулярно сходится в В, т. е. ряд
Z\akvk{P)\	G4)
сходится равномерно в В (см. [127]),
Принимая во внимание, что 0^е~кк* ^ 1 при /^ О, мы мо-
можем утверждать, что и ряд G0) сходится регулярно, если Р
принадлежит В и t^O. Тем самым, его сумма и(Р, i) есть не*
прерывная функция Put, если Р принадлежит В и / ^ 0. От-
Отсюда следует:
т. е. функция и(Р\ /), определяемая формулой G0), удовлетво-
ряет начальному условию F8). Далее, каждая из функций Vk(P)
удовлетворяет предельному условию F9), а потому и функция
u(P\t) удовлетворяет этому условию при t ^ 0. Остается убе-
убедиться в том, что функция и(Р; t) внутри В и при t>0 имеет
непрерывную производную по /, непрерывные производные ихх>
ЫуУ и удовлетворяет уравнению F7).
Продифференцируем ряд G0) почленно по t:
-takXke'K^vk(P)9	G5)
и пусть а — произвольно выбранное положительное число. При-
Принимая во внимание, что при всех достаточно больших k мы
имеем 0 < Я^~я^ < l] и равномерную сходимость ряда G4),
можно утверждать, что ряд G5) сходится регулярно, если Р
принадлежит Ви^а, Совершенно аналогично доказывается,
что и ряд
полученный почленным дифференцированием ряда G5) по t\
также сходится регулярно при указанных выше условиях. От-
Отсюда следует, что и(Р; t) имеет непрерывные производные пер«
вого и второго порядка по / при t > 0 и Р, принадлежащем В,
и для этих производных мы имеем
Щ
(Р; /) = - Z ак1ке-%"\ (Р);	G6,)
А1
А-1
uit {P; t) = ^ акк\е~^к (Р).	G62)

496	ГЛ II ПРЕДРЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	П53
Аналогичное рассуждение применимо и для производных лки
бого порядка по t.
Но мы имеем
\G(P; Q)vk{Q)dS9
в
где G(P; Q)~-функция Грина оператора Лапласа, при предель-
предельном условии G1), и формулу G6i) можно переписать в виде
(Р; 0 = - ? J \ акх\е-**а (Р; Q) vk (Q) dS.
kl В
щ	J \
k~l В
Принимая во внимание равномерную сходимость ряда G62) в' В
При t > 0, можем переставить сумму и интеграл и получим
щ <Р; /) = - \ \ G (P; Q) uH (Q; /) dS,	G7)
в
и совершенно аналогично
и (Р; 0 = - S J G (P; Q) щ (Q; /) dS.	G8)
в
Функция tt^(Q, /) непрерывна в В при / > 0, и из G7) следует,
что щ(Р\ t) имеет внутри В при / >0 непрерывные производ-
производные первого порядка по координатам (х, у) точки А После
этого формула G8) показывает, что и(Р\ t) имеет внутри В при
t > 0 непрерывные производные до второго порядка и удовле-
удовлетворяет уравнению
Да(Р; 0 = МР; О,
что мы и хотели доказать
158. Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неодно-
неоднородное уравнение
Щ = ихх + иуу + п (х\ уу t)	G9)
с однородными начальными и предельными условиями
(80)
«|, = 0.	(81)
Введем в рассмотрение коэффициенты Фурье свободного члена
bk(t)=*\\n(P;t)vk(P)dS	(82)
в
и будем искать решение задачи в виде

158]	НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНГНИЕ	497
Подставляя в уравнение G9) и принимая во внимание, что
Avk — —hkVk, получаем для коэффициентов ck(t) дифференци-
дифференциальное уравнение:
*?(/) = -V* @ + МО,
откуда, принимая во внимание (80), т, е. сА@) = 0, получим
о
и подставляем это в (83):
оо	t
и (Р; 0 = 2°*(Р) SеН"'"" bk (//) rf//*	(84)
*-0	О
Оправдаем это решение при следующих предположениях о
бодном члене: п(Р\ t) имеет при всякбм /^0 внутри В непре-
непрерывные производные первого порядка- по координатам точки Я
и ряды
t bAOvAP); I М/)я*М/>); f,bh(t)kivk(P) (85)
k\	k\	k\
регулярно сходятся, если Р принадлежит замкнутой области В и
/любому конечному промежутку [0, Г]. Принимая во внимание
регулярную сходимость первого из рядов (85) и тот факт, что
0^?Я*(* ~t] ^ 1 при 0 ^ X' ^ /, можем утверждать, что ряд, стоя-»
щий в правой части формулы (84), равномерно сходится при
указанных условиях для Р н t. Его сумма w(P, /)— непрерывная
функция Р и t при тех же условиях для Р и t. Из вида правой
части (84) непосредственно следует, что u(P\t) удовлетворяет
условиям (80) и (81).
Остается проверить, что функция и(Р\ /), определяемая фор-
формулой (84), имеет внутри В и при / > 0 соответствующие не-
непрерывные производные и удовлетворяет уравнению G9). Диф-
Дифференцируя почленно по / ряд, входящий в формулу (84), по-
получим
ее
? h @ vh (P) -
i
Принимая во внимание регулярную сходимость второго из
Р9Д0В (85), мы можем у?в?рждэть, что4 ряд, стоящий в вычи-
вычитаемом написанной разности, равномерно сходится при прежних

498	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Г158
условиях для Put. Сумма ряда, стоящего в уменьшаемом, рав-
равна я(Р; 0» ибо по условию этот ряд регулярно сходится [IVi; 31].
Таким образом, мы имеем
щ (Р; t) = я (Р; ti-Yvk (P) h \ е%* <''"% (О Л', (86)
причем а^(Р; /) непрерывна при указанных условиях для Р и t.
Заменяя в этой формуле Р на Q, умножая обе части на
G{P\ Q) и интегрируя по Ву получим, принимая во внимание
интегральное уравнение для Vk(P)%
\\G(P;Q)ut(Q;t)dS =
в
оо	t
= \^G(P;Q)n(Q; /)dS- ? i>*(P) J ехь{t'-f)bk(/')d(',
В	fe-l	0
причем сумма последнего ряда равна и(Р; t). Таким образом
tt(P; 0 = -Ug(P;Q)u,(Q; 0^S+\\ G(P; Q)n(Q;/)rfS. (87)
Поскольку jt(Q; /) имеет внутри В непрерывные производные,
можем утверждать, что последний интеграл имеет внутри В не-
непрерывные производные до второго порядка по координатам
точки Р, и оператор Лапласа от этого интеграла равен [—n(Q; t)].
Используем теперь регулярную сходимость третьего из ря-
рядов (85) и докажем, что u(P\ t) имеет внутри В непрерывные
производные до второго порядка и удовлетворяет уравнению
G9).
Обозначим
оо	t
w (Р; 0 = - щ (Р; 0 + я (Р: 0 = ? *k (P) h $ eW-% (О df.
fc-l	О
Принимая во внимание регулярную сходимость третьего из ря«
дов (85), мы можем написанный равномерно сходящийся ряд
дифференцировать почленно по t, после чего получим
оо	оо	t
Wt (я; t)=Yj xkbk w vk (p) -~YiVk (p) K*k Se%k {t'~t)f)k ^ dt'>
причем написанные ряды равномерно сходятся. Заменяя в по-
последней формуле Р на Q, умножая обе части на G{P\ Q), инте-

15$	НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ	499
грируя по Q и учитывая уравнение для Vk(P), получим
\\G(P;Q)wt(Q;QdS~
V
со	оо	t
- ? Ьк (/) vk (P) - ?>* (р) Я* \ е^'% (О ^',
и, следовательно, принимая во внимание (86), получим
В
откуда следует, что щ(Р\ Q) имеет внутри В непрерывные про-
производные первого порядка. После этого формула (87) показы*
вает, что и(Р; t) имеет внутри В непрерывные производные до
второго порядка и удовлетворяет уравнению
Аи(Р; t) = ut(P; t) - п (P;t),
и тем самым формула (84) полностью оправдана.
Если говорить только об обобщенных решениях уравнения
G9), то можно оправдать формулу и при меньших предположе-
предположениях о свободном члене. Напомним определение обобщенного
решения уравнения G9). Пусть D — цилиндр, о котором мы го-
говорили в [151], и DT его часть, ограниченная сверху плоскостью
t = Г. Функция и(Р\ t) называется обобщенным решением урав-
уравнения, если для всякой функции а(Р;/)> имеющей внутри Вт
непрерывные производные до второго порядка и равной нулю
во всех точках, достаточно близких дс границе DT, имеет место
формула
\\\и(<*хх + <*уу + ot)dxdydt == •— \[\ паdxdydt. (88)
DT	DT
Мы ограничимся обобщенными решениями класса C(Z5j)«
Предположим, что первый из рядов (85) регулярно сходится,
если Р принадлежит Б и t находится в конечном промежутке
|[0, Т]. Тогда сумма зтого ряда равна зх(Р; /), и, как мы выше
видели, ряд (84) сходится равномерно, так что и будет принад-
принадлежать C(DT).
Обозначим через лп(Р; t) отрезок первого из рядов (85)
я„(Я;0=? bk(t)vk(P),
и через ип(Р\ О— отрезок ряда (84):
п	t
ип {PI t) = ? vk (P) \ eW-% {tf) dt\
*-i	о

Г Л " ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Функция un{P\ t) удовлетворяет уравнению G9) со свободным
членом пп{Р\ t). Таким образом, мы можем написать:
\\\
ип(ахх + <*уу + ot)dxdydt=^—y^ nnodxdydt.
DT	Df
Переходя к пределу при п->оо и принимая во внимание, что
nt(P; t)-+n(P\t) и Un(P\t)—*u(P\t) равномерно в Dt, мы по-
получим (88), т. е. функция и{Р> /), определяемая формулой (84),
есть обобщенное решение уравнения G9). Непосредственно
видно, кроме того, что эта сумма удовлетворяет условиям (80)
и (81).
Если использовать тот факт, что непрерывное обобщенное
решение однородного уравнения теплопроводности есть класси-
классическое решение этого уравнения [62], и теорему единственности
решения предельной задачи уравнения теплопроводности, то,
совершенно так же, как и для уравнения Пуассона, можно по-
показать, что обобщенное решение неоднородного уравнения G9)
при заданных начальных и предельном условиях — единственно.
159. Свойства решений уравнения теплопроводности. Рас-
Рассмотрим уравнение
ut-uxx=*0.	(89)
Пусть имеется решение и{к, t) этого уравнения, имеющее непре-
непрерывные производные их и ut в некоторой точке М и ее окрест-
окрестности Из уравнения (89) следует, что при этом производная
иХх — непрерывна.
Окружим точку М достаточно малым прямоугольником
ABCD, со сторонами, параллельными осям (рис. 15), так, чтобы
в этом прямоугольнике существовало указанное выше решение
и(ху t) Выберем начало координат в точке Л, и пусть / — длина
АВ, Обозначим через o>i (/) и ©2@ — значения нашего решения и
на сторонах AD и ВС, и через f(x) — его значения на стороне
АВ, Рассмотрим сначала тот случай, когда /(jt)s=Q. Мы можем
написать решение и(х> t) согласно формуле A7) в виде
~~	(90)
J 2а фГ (t - т) h
J 2а Уя (/ — т)
тде непрерывные функции <р(т) и ф(т) определяются нз*
4Гфляышх уравнений A8). При этом надо иметь в виду теорему
единственности для'уравнения (89).
Пусть точка (*0, to) находится внутри A BCD. Рассмотрим,
, первый из-интегралов, вдадящих в правую часть фор-

159]	СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ	501
мулы (90). Если мы заменим в нем х0 на х' -\-x"iy где хт доста-
достаточно близко кхои х" достаточно близко к нулю, то веществен-
вещественная часть (x'-\-x"iJ будет положительной, откуда видно, что
упомянутый интеграл будет равномерно сходящимся на отрезке
{О, /] по отношению к параметру x = x'-\-x"i при всех комп-
комплексных ху достаточно близких к Хо, и, с другой стороны, подын-
подынтегральная функция этого интеграла есть целая функция х при
0 ^ т < t. Отсюда следует, что величина интеграла есть голо-
голоморфная функция х в окрестности всякой точки (л:, 0» находя-
находящейся внутри ABCD [III2;70] и, в частности, точки М. То же
можно утверждать и относительно второго
из интегралов, входящих в правую часть
формулы (90).
Таким образом, решения уравнения (89)
суть аналитические функции перемен-
ной х.
Это утверждение не будет справедливым
по отношению к переменной t. Действи-
Действительно, если бы всякое решение уравнения ,
(89) было аналитической функцией /, то
значения функции на люёой прямой, парал-	Рис* 15<
лельной оси t и принадлежащей полупо-
полуполосе, изображенной на рис. 15, вполне определялись бы, в силу
принципа аналитического продолжения, теми значениями, ко-
которые имеет эта функция на отрезке упомянутой прямой, при-
принадлежащей прямоугольнику ABCD. Но это не будет иметь ме-
места, так как значения и зависят, очевидно, от того, каким именно
способом мчы будем продолжать функции o>i (^) и оJ@> задан-
заданные первоначально только на отрезках AD и ВС прямых х = 0
и х = /.
До сих пор мы предполагали, что f(xo)ssaO в промежутке
@, /). Если это не так, то мы можем продолжить эту функцию
'на более широкий промежуток [а, Ь\ так, чтобы она была рав-
равна нулю на концах этого промежутка, и затем продолжить ее
нулем вне этого промежутка. Составим разносты
разность имеет нулевые значения на отрезке АВ} и fc ней
указанные выше рассуждения. Ост&е?ся рассмотреть

602	ГЛ. И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	\т
Применяя теорему об интеграле, зависящем от параметра
([ПЬ; 70], мы видим, что Uo(x, t) будет регулярной функцией
(х, t) в окрестности любой точки, находящейся над осью / = 0,
т. е. при t > 0. Отметим еще, что из формулы (90) непосред*
ственно вытекает, что функция и имеет производные всех по«
рядков по t при 0 < х < /.
Можно дать оценку для производных от решения уравнения
(89) по t. Пусть и(х, t), аналитично по х, имеет производные всех
порядков по t в окрестности x = t = 0 и нечетно по х. Мы будем
иметь разложение в ряд Маклорена:
где
Пользуясь уравнением (89), можем написать:
Если р — положительное число, меньшее радиуса сходимости
ряда (91), то мы имеем неравенство [Ш2; 84]
где М — некоторое положительное число. Из (92) вытекает сле-
следующая оценка для производных функции u\(t):
dnux (t)
dtn
Эта оценка не гарантирует аналитичности функции u\(t). Если
бы мы имели более сильную оценку:
dnux(t) l^M-nl
то ряд Маклорена функции щ(() был бы сходящимся, и эта
функция была бы регулярной в окрестности начала.
160. Обобщенные потенциалы простого и двойного слоя в
одномерном случае. В [152] мы изложили решение предельной
задачи в полуполосе, ограниченной снизу характеристикой
t = 0 уравнения E), а сбоку прямыми х — 0 и х = 1. Рассмо-
Рассмотрим теперь область на плоскости (х, /), которая ограничена

160]	ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ	503
снизу характеристикой ? = &, а сбоку — двумя линиями /* с яв«
ным уравнением (рис. 16):
(93)
причем Oi(t) имеют непрерывные производные при t ^ &. Для
решения задачи в такой области нам надо построить обобщен*
ные потенциалы простого и двойного слоя, которые при Oi(t)=*<
= const обращаются в потенциалы, указанные в [152]¦ Эти
обобщенные потенциалы имеют вид
1 р со (П \atW-*\9
, 0 = —^ \ ^UJ= e "I'-n dt\	(94)
2a л/л J л/t ~ ?
где qp<@ и ^/(f) — непрерывные функции.
' Функции tii(x, t) и vi (x, t) имеют непрерывные производные
и удовлетворяют уравнению E) везде вне линии //. Оба потен*»
циала имеют смысл и в том случае, когда точка (х, t) находится
на линии U. Для потенциала щ(х} t) это непосредственно
очевидно, так как подынтегральная функция имеет оцецку
С(/ — /')~1/2> где С — постоянная, Для потенциала Vi{xt t), если
точка (х,/) находится на U, мы можем '
написать:
(t -
откуда и следует сходимость интеграла	Рис. 16.
(95).
Величина интеграла (94) по малому участку: t — H^f^t
стремится к нулю при б-*-0, при любом положении точки (xf t)f
и отсюда непосредственно следует, что щ(х, t) непрерывна вплоть
до /,. Для интеграла (95) существуют различные пределы при
стремлении (х, t) к точке (х0, /о), лежащей на //, а именно;
lim vi {x, t) = ± Ь (to) + Vi fa, t0),	(96)
>{ t9)
где vi(xo, U) — значение интеграла (95) в самой точке (л:0, to),
знак (+) надо брать, если (х, /)-*(*о, ^о) справа от U, и знак

504	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Пбв
(—), если (х, t)->(xo, to) слева от h. Если a,(/) = const, то оче-
очевидно, что У|(*о> /о) = О, и мы получаем результат из [152]. При
доказательстве формулы (96) мы не будем писать знак L
Рассмотрим интеграл (95) при <р (/')=!:
1 f	1
*(х' i)==i^r)т^[х-°{п]9~ 4ам'~° dt' (97)
и функцию
J*Jllz?Jl
b v
Вводя вместо t' новую переменную интегрирования
2a<y/t — t' '
получим
dtoo
vu (x, t) + w0 (x, i) — -4=- \ e~* dz,	(99)
причем в верхнем пределе надо брать знак (+), если лг-—
— о(/)>0, и знак (—), если х — о(/)<0. Если точка (лг0, to)}
лежит на /, т. е. лго — сг(/о) = О, то
о
vo (xQ, /о) + w0 (xOt to) = 4= \ е~* dz.	A00)
Из определения wo(xy t) непосредственно следует, как и выше,
что wq(x, t) непрерывна вплоть до /. Из (99) следует
lim [o0 (x, /) -f w0 (x, /)] = -L- [ е-*1 dz.
и, вычитая почленно формулу A00) из последней формулы,
лучим
lim v0 (x, t) = vo (xQy i0) + —=r \ e~2% dz,
т. e.
Hm vo (x, t) = ^o (*o, Q ± 1,
л мы получили формулу (96) при ^Ю— '•

1601	ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ	505
Переходим к общему случаю. Перепишем выражение v[xt t)
в виде
+ 1М, ^ t _^f ,/f [^ - q (/')] g~ ««' V-П dt'. A01)
Совершенно так же, как и в [95], достаточно показать, что пер-
первое слагаемое сохраняет непрерывность, когда точка (х, i) пе-
пересекает / в точке (х0, to). Пусть е — заданное положительное
число. Выберем положительное б настолько малым, чтобы
имело место неравенство
и разобьем промежуток интегрирования Ъ ^ f ^.t на части
b ^ t' ^ /о — б и fo — б ^ t' ^ t. Функция, которая выражается
интегралом по первому из этих промежутков, непрерывна в точ-
точке (*о, *о), и достаточно показать, что интеграл
t
2а л/л J	(t — t')*!*
to-6
достаточно мал при всех положениях точки (х, t), если она до-
достаточно близка к точке (хо> tQ) или совпадает с ней. Указанный
интеграл по абсолютной величине не превосходит
Г .	/,/ч, \оЦ')-х\*
л.	ш	1 ЛЛ	__ I 4- f \ I	.	-
2a
Предположим, что разность х — <т(/') меняет знак не больше чем
k раз, где k — определенное целое положительное число, при
h — 6 <; f ^ / и произвольном положении (х9 t) в некоторой
окрестности (лго, U). При этом интеграл
представится как сумма не более чем k интегралов вида
)

506	ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Ив
которые отличаются от интегралов
на величину ± J "llL'g «**-*'> dt\
которая по абсолютной величине не превышает некоторой по-
постоянной. Таким образом, упомянутый выше интеграл остается
ограниченным, когда (я, /) находится в некоторой окрестности
(jco, to)- Этот интеграл умножается на е, и тем самым доказа-
доказательство того, что первое слагаемое правой части формулы A01)
непрерывно, когда (х, /) пересекает I в точке (jco, to), доводится
до конца совершенно так же, как и в [95]. Пользуясь указан-
указанными выше потенциалами, можно привести предельную задачу
для области, указанной на рис. 16, к интегральному уравнению,
как это мы делали в [152]. Положим, что условия таковы:
и = 0 на характеристике t = b и u = G>t{t) на /,-. Будем искать
решение в виде
2 с ъ (П	l<>tin-xy
При этом для всяких kfi(t') удовлетворяется уравнение E) и пре«
дельное условие на характеристике / = 6, а из предельных усло-
условий на U получаем систему интегральных уравнений Вольтерра
для ф|(*):
A03)
Рассмотрим интегралы, входящие в первое уравнение:
4eI('"n df' A04)

160}
ОБОБЩЕННЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ
507
В интеграле A04) полярность при t' = t снижается за счет
числителя отношения
МО-crt (О
совершенно так же, как это было отмечено нами выше. Во вто«
ром интеграле показатель у е при f-*-t стремится к (—оо), и
это полностью снимает полярность. -Аналогично рассматри-
рассматриваются интегралы и для второго из уравнений A03). Таким об-
образом, система A03) имеет единственное решение и может быть
решена методом последовательных приближений.
Можно искать решение указанной выше предельной задачи и в виде
суммы двух потенциалов простого слоя:
A06)
2а л/п
J
/«1 ъ
При этом мы приходим к системе интегральных уравнений первого рода:
2 *
-е
= i b
2 *
2аУяГ ^ J л/t — t'
4а2 {t -О
[e}(t^a2(t)y
4а*(*-*0
dt'.
A07)
Умножим обе части на (у — /) 2 и проинтегрируем по / от / == Ь до f = у:
/-1 &
A08)
4a'('"r)
л,
A09)
причем справа мы изменили порядок интегрирования и воспользовались-Фор-
воспользовались-Формулой Дирихле III; 82]. Система A08) эквивалентна A07) (ср. [II, 82]).Мы

608	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
имеем, очевидно^
И60
и, принимая во внимание формулу [II; 79]
dt
0	при i Ф U
1	при l~*U
$
), л/(У - О V - /')
мы получаем
Дифференцируец систему A08) по у, причем мы считаем, что «*(/} имеют
непрерывны^ производные, и при этом функции fi(y) имеют также непрерыв-
непрерывные производные [II; 83];
С.у)
dt'\
Ы ъ
2
i-l b
A10)
Для вычисления производных представим Kij(t',y) в виде
- [arcsin Bi=f - l)].
Кц (/
р
у
. У) - $ •
Интегрируя по частям и дифференцируя по у, получим
«,</',*)	2 f	1
(у - t') J у(у_О(/~/')
X
При ( ^= ^ сходимость интеграла на пределе / = /' обеспечивается показа-
показательной функцией, а при t »» / дробь, стоящая в фигурных скобках, не имеет
полярности, и вся фигурная скобка стремится к нулю, как (/ — ?). Учитывая
все зто й производя элементарные оценки подынтегральной функции при
i Ф j и I «»= /, нетрудно убедиться, что интегралы мажорируются функцией
А1
*де С — некоторая постоянная. Отсюда видно, что
ЖдУ'.У) ^ Ln(t\y)
ду	VF=T"'
Где Ltt{t'ty)—непрерывные функции (/?,у), и к системе (НО) применим;
метод но€ле#двательных приближений [IVi; 50],

16*]	СУБ И СУЛЕРПАРАБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	609
161. Суб- и суперпараболические функции. При решении предельной за-
задачи для уравнения теплопроводности можно применить метод, аналогичный
методу верхних и нижних функций, который был нами изложен в [119]. Мы
рассмотрим на плоскости (х, /) область В, ограниченную сверху и снизу
характеристиками / = 0 и ( — bt а слева и справа линиями, имеющими урав-
уравнения ^93), причем мы не делаем пока никаких предположений о свойотвах
функции oi(t)t кроме тою, чю эго однозначные непрерывные функции и
Ot(t) •< Ог@- Г^РИ определении суб- и суперпараболических функций мы
'должны выбрать какую-либо основную область, для которой умеем решать
предельную задачу для уравнения
«,-«„-0	(Ш)
при любых непрерывных предельных условиях. Для уравнения Лапласа это
был круг. В качестве такой области для уравнения A11) мы выберем, на-
лример, равносторонний треугольник р, основание которого параллельно оси
/ = 0, а боковые стороны направлены в сторону возрастающего /. Решение
предельной задачи и(х, t) для такого треуюльника может быть получено по
способу, указанному в [160], и оно единственно. Это решение достигает сво«
ею наибольшего и наименьшего значения на сторонах треугольника [II; 219].
Непрерывная в замкнутой области В функция ф(М) = ф(х,/) называется суб-
субпараболической, если ее значение ц>(Мо) в любой точке Мо, лежащей внутри
'В, не больше, чем значение в этой точке тою решения уравнения A11) э
любом достаточно малом треугольнике р, содержащем Мо внутри себя, кою-
рое имеет на сторонах Р те же значения, что и ф(М). Суперпараболическая
ф	{(М) j( t)	б	(Af)
р	р Р	,	ф() урр
функция *{>(М)~ \jp(x, t) определяется аналогичным образом, но только ^(Afo)
должно быть не меньше значений решении уравнения A11) в треугольниках р.
Наименьшее значение суперпараболической функций и наибольшее субпара*
болической достшаются на границе В.
Нетрудно видеть, что если г|; (я, /) имеет внутри В непрерывные произ-
производные %, фх, tyxx и % — tyxx ^ 0 внутри Bt то ^{xj)—суперпараболическая
функция. Действительно, пусть и — функция, удовлетворяющая уравнению
A11) и совпадающая на сторонах Р с \|э. При этом разность w = $— и
равна нулю на сторонах р и wt — wxx ^ 0 внутри р. Но при этом функция &
должна достшать наименьшего значения на границе р [151], где она равна
нулю, т. е. w ^ 0 во всем треугольнике р, т. et *ф ^ и в р, что и требовалось
доказать.
Аналогичным образом, если <р* — ф** ^ 0 внутри В, то ф — субпараболи*
ческая функция Всякое решение уравнения A11) есть одновременно и суб«
и суперпараболическая функция Совершенно так же, как и в [118], можно
доказать, что если fi(M), ..., fm(M)—суперпараболические функции, то Й
$(М) = rnin[fi(M), ..., fm(M)]—суперпараболическая функция. Обозначим
через fp(M) функцию, которая совпадает с f(M) вне треугольника р и на его
сторонах и равна внутри р решению уравнения A11) со значениями на кон-
контуре Р, равными f(M). Как и в [U8], можно доказать, чт% если f(M)—супер«
параболическая функция, то то же можно утверждать и относительно f&(M)t
причем /p(At)</(Af) в В.
Предельные значения в В задаются на нижнем основании / « 0 и на бо-
боковых сторонах //, Обозначим эту часть контура В через /'. Определение
верхних и нижних функций такое же, что и для уравнения Лапласа В част-
частности, верхней функцией называется всякая суперпараболическая функциЯ|
которая на /' имеет значения ^ заданных предельных значений
Затем внутри В определяется функция u(xj) как точная нижняя границу
значений всех верхних функций. Можно показать, что эта функция удовле*
творяет уравнению A11) (ср, [119]). Она является обобщенным решение»!
указанной выше предельной задачи для уравнения A11). Исследование пове*
дения этой функции u(xt t) при приближении к V можно найти в работе
ti Г. П ет ров с кого «О первой предельной задаче1 для уравнения тепло-,
проводности» (Сотр. Math., 1935, 1, № 3)»	л

610	ГЛ П, ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	* [162
162. Параболические уравнения общего вида. Энергетичес-
Энергетическое неравенство. Уравнение теплопроводности, рассмотренное
нами в предыдущих пунктах, является простейшим представи-
представителем уравнений параболического типа. Канонический вид па-*
раболических уравнений с переменными коэффициентами;
u = f(x) t), A12)
n
причем atk = akh и квадратичная форма ? alk(x, t)ltlk Д°л"
жна быть положительно определенной в области D измене*
ния аргументов (х, t)t x = (x\} ..., хп). Переменные хь назы-
называются пространственными, а переменная t — временной. Для
таких уравнений корректно разрешимы задача Коши и различ-
различные начально-краевые (предельные) задачи в сторону возраста-
возрастания t *). Задача Коши для A12) состоит в определении решений
и(х, t) уравнения A12) в полупространстве
удовлетворяющих начальному условию и \tgat = ф(л:). На-
Начально-краевые задачи в области В пространства Rn суть задачи
на определение решений уравнения A12) в цилиндрической об*
ласти D = BX(to, T) пространства Rn+l = RnXRl (т. е. для
хеВ, t^(to, T))y удовлетворяющих начальному условию
и одному из классических краевых (предельных) условий, пер-
первому
и(*> 0и5 = *Ф(*> 0, t<=[tQ, т],
второму
п
Р(и{х, 0)Us^ 2 aik(x, ()*LJgdLcos (n, x,)Us = +(*. 0.
t e [tQ, T]
или третьему
(P (и (х} 0) + or (x, i) и (х, /)) \x&s = ф (xf /), / s [/о, П
Здесь 5 — граница области В, п —единичный вектор внешней
нормали к S, а ф, -ф и а —известные функции, заданные на В,
5Х ['о, Т] и SX ['о, 7] соответственно.
В предыдущих пунктах данного параграфа мы рассмотрели
задачу Коши и первую начально-краевую задачу (причем по«
*) Случай, когда в уравнении A12) перед первой суммой стоит знак
плюс, сводится к рассматриваемому нами случаю с помощью замены t на

162!	ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩГГО ВИДА	511
еледнюю в более общей постановке, когда граница области В
меняется со временем) применительно к уравнению теплопро-
водности. Эти рассмотрения обобщены и на случай уравнений
A12), а также на широкий класс систем параболического типа,
С имеющимися на данное время результатами по параболиче-
параболическим уравнениям и системам можно познакомиться по моно-
графиям О А Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Ураль-
цевой «Линейные и квазилинейные уравнения параболического
типа», (М : Наука, 1967) и С. Д. Эйдельмана «Параболические
системы» (М.: Наука, 1964), а также по работам В. А. Солон-
Солонникова «О краевчх задачах для линейных параболических си-
систем дифференциальных уравнений общего вида» (Тр. МИАН
СССР, 1965, 83) и др. Мы изложим лишь некоторые из резуль-
результатов О. А Ладыженской, установленные ею в начале 50-х годов.
Начнем с вывода энергетического неравенства для первой
начально-краевой задачи. Из этого неравенства следует, что эта
задача поставлена корректно. Вместо A12) рассмотрим урав-
уравнение
M(u) = ut—^(aik(х, ()uXk) + bi(x, t)uH +c(x9()u = f(x, /),
A13
где по повторяющимся индексам подразумевается суммирование
от 1 до п. Если uik{x, t) дифференцируемы по хи то уравнение
(ИЗ) может быть записано в виде A12) и наоборот. Для наших
целей форма A13) предпочтительнее. Предположим, что урав-
уравнение A13) задано в области D7 = BX@, T)czRn+l, и его
коэффициенты удовлетворяют в Dt условиям
da. (x, t)
dxk
(П5)
(!>?(*, о) ,
C(JC,
где v, \х и [it — какие-либо положительные постоянные. Пусть
и(х, t) удовлетворяет (в DT) уравнению A13) и начально-крае-
начально-краевым условиям
u\M = <t(x)	A17)
я|5г = 0, ST = SXl0,T].	A18)
Для дальнейшего нет необходимости считать функцию
u(xt t) гладкой. Достаточно потребовать, чтобы она принадле-
принадлежала L2(DT) и имела обобщенные производные^, uXt, uXixk из

БB	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[162
fL2{DT). Для таких функций имеет смысл говорить, что они удов-
удовлетворяют условиям A17), A18) (см. об этом fV; гл. IV]), и
для них справедливы все проводимые ниже раесуждения. Урав-
Уравнению A13) такие решения удовлетворяют для почти всех
(в смысле меры Лебега) точек (х, t) из Dr. Относительно функ-
функций f(x, t) и ф(х) достаточно предположить, что /eL2(Dr), a
да
. Производные ¦ , * • тоже можно считать обобщен*
0Xf
f
ными, причем постоянные \х и \i\ не будут входить в проводи-
проводимые ниже оценки.
Читатель, незнакомый с теорией обобщенных производных,-
может предполагать, что все входящие в наше рассмотрение
производные непрерывны в Dr.
Из A13) следует:
J M{u)udx = J fudx,	(lid)
В (*)	В {t)
где B(/i) — сечение области D плоскостью t = t\. Преобразуем
левую часть этого равенства, используя формулу интегрирова-
интегрирования по частям и условие A18), к виду
Т17 $ u2dx+ S («АА + М^ + ^А:. A20)
В (t)	В (О
Подставим это выражение в A19) и, воспользовавшись усло-
условиями A14) —A16), произведем следующие преобразования и
оценки;
S	\	$ (i cu2)d
B{t\	ВЦ)
Bit) i=-l
«o
(o ^ «to

1621	ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА	513
При этом мы использовали неравенство Коши — Буняковского
и неравенство Коши в форме: \аЪ \*^\а2-\- — Ъ2, а также со-
п
кращенное обозначение и?= ? и* • Из A21) следует:
~ J u2dx + \ J и'</*<(?, J u2dx+ J /2rfx, A22)
ВЦ)	ВЦ)	ВЦ)	ВЦ)
где Ci = — + 2^2+ 1. Воспользуемся теперь леммой из [56].
Для этого выбросим из A22) член v \ u2xdx. Тогда указанная
ВЦ)
лемма гарантирует для w(t)= \ u2dx оценку
\ и* dx^
ВЦ)
Подставляя
d
dt
ее в
ВЦ)
\ 
В @1
A22),
ВЦ)
t
dx+ J^w-*»
получим
- v \ ^ dx ^ С
ВЦ)
dx J /2(*,
В(/)
т)й?л:
f2dx.
A23)
Пусть Dt = ВХ@,/). Проинтегрируем неравенство A23) по / от
О до /. В результате элементарных вычислений и оценок получим
J u2dx + v ^u2xdxdt^ec>t\^q>2dx+ ^f2dxdi\t /<ee[0, T]. '
В @	^	IB	Dt	J	A24)
Это и есть желаемое энергетическое неравенство для решений w
задачи A13), A17), A18). Если и есть обобщенное решение,
обладающее лишь свойствами, описанными на странице 511, то
соотношения A22) и A23) справедливы для него не для всех t
из [О, Г], а для почти всех (в смысле Лебега) / из [О, Т]. Нера-
Неравенство же A24) выполняется для него при всех /е[0, Т].
Б правой ч^стп его стоят известные нам величины. Через них
оцениваются для и интегралы, стоящие в левой части A24).
Из этого неравенства следует такой важный вывод для задачи
,A13), A17), (И8):
Теорем а. Задача (ИЗ), A17), A18) при выполнении усло-
условий A14) —A16) цожет иметь не более'одного обобщенного
решвния и, принадлежащего LziDr) вместе со своими обобщен-
обобщенными производными uiy uXiy и*4*д.

514	ГЯ. II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	U63
Действительно, пусть указанная задача имеет два обобщен-
обобщенных решения и' и а" указанного класса. Тогда их разность
и = и' — и" есть такое же обобщенное решение той же задачи,
но с f(x, t) = О и ф(л:) = 0. Следовательно, для нее справедливо
неравенство A24), в котором [ и ф положены равными нулю.
Но тогда и \ и2(ху t)dx = 0при всех t е [0, Г], т. е. и' и и" совпа-
в
дают для почти всех (х, t) из От- (Заметим, что наш вывод
справедлив также для случая, когда и' и и" удовлетворяют не-
неоднородному краевому условию: и' (xt t) \XE.S = и" (х, t) \x(_s ==
1= я|) (х, /), / е @, Г).)
Из неравенства A24) следует также непрерывная зависи-,
мостЬ решений рассматриваемой задачи (в предположении, что
они существуют!) от / и ф в следующем смысле;
4t)	t
( ^	^X A25)
Здесь ии t=l. 2~-,суть обобщенные решения задачи /113),
A17), A18), отвечающие свободным членам ft и начальным дан*
ным ф^. Оценка A25) следует непосредственно из неравенства
A24), примененного к и — щ — аг, которое является решением
той же задачи, отвечающим f = f\ — f2 и ер = ф1 — Ф2.
В следующем пункте мы докажем теорему о разрешимости
задачи (ИЗ), A17), A18), но не для всего класса уравнений
A13), а для той его части, для которой решения хорошо пред-
представляются рядами Фурье.
163. Метод Фурье для параболических уравнений. Установим
однозначную разрешимость первой начально-краевой задачи для
параболических уравнений вида
М ("> = и* - -Ш; (а«* W ич) + с(х)и = 0.	A26)
Граничное условие будем считать однородным:
u\st = 0, S, = SX[0, t],	A27)
а начальное условие
«U = <Pto	A28)
определяемым функцией фе!2(В). Пусть относительно коэф-
коэффициентов оператора М и области В выполнены условия тео«

№)	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ	5Г5
ремы 2 [148]. В силу теоремы 1 из [150] спектральная задача
M	(а W ич) — с(х)и = Хи,
где S — граница области В, имеет вещественный спектр {Xk},
k = 1, 2, ..., который можно считать занумерованном в по-
порядке убывания значений Xk, причем Я*-*-—оо при ^-^оо. Пред-
Предположим, ради несущественных упрощений в записи, что с(х)^
^ 0. Тогда все Xk отрицательны. Будем считать также, что си-
система всех собственных функций {iik(x)}t A=l, 2, ..., орто-
нормирована в /,2(В), т. е.
* = ««.	A30)
В
причем Uk соответствует значению &*. В [150] доказано, что все
uk принадлежат пространству Wl,o(B) и образуют базис в про-
пространствах Li (В), Wl{B) и Wl, о (В). Кроме того, там же доказано,
что в пространствах Wi{B) и W% о (В) можно ввести новые
скалярные произведения
[и, v] = jj [aikuHvXk + cuv]dx
в
и
{и, v}^\L{u)L(v)dx
соответственно, которым отвечают нормы [| и Id = л/[и, и] и I! и ff2 =
= л/{и, и} у эквивалентные исходным нормам пространств W2 (В)
и Wi, о (В). В этих новых скалярных произведениях система соб-
собственных функций {t/yj~el ортогональна, причем
[и*. "/] = -М*ь	A31)
а
{и*, и,} = я1бл/.	A32)
Функции akeXktuk{x), k= 1,2, ..., при любых числах а* являются
решениями уравнения A26), удовлетворяющими краевому усло-
условию A27). Они и все их производные по t принадлежат при
всех t^O пространству W\о (В). Уравнению A26) они удовле-
удовлетворяют при всех t ^ 0 для почти всех х из В. Будем решение
и задачи A26)—-A28) искать в виде ряда
U{x9 t)^Z^f

[16	г л п.'предельные Задачи	fie"»
Формально, подставляя этот ряд в A28) и используя соотноше-
соотношения A30), мы найдем выражения для а&: _
aft = (q>, ик), 6=1, 2, ...
Маша дальнейшая цель состоит в том, чтобы исследовать ха-
характер сходимости ряда
и{х9 /)=Е(Ф. ик)е**'ик{х)	A33)
и убедиться, что он дает обобщенное решение задачи A26)—-
A28) из такого класса, в котором есть теорема единственности.
Во-первых, легко видеть, что ряд A33) сходится в ?г(?) равно-
равномерно относительно t ^ 0. Действительно, при любых т и р и
I ? (Ф, ик)
причем числовой ряд ? (<p, икJ сходится и его сумма равна
ЙФИ2. Следовательно, сумма а ряда A33) при любом t^O есть
элемент L2(fl), непрерывно зависящий от /^0 в норме L2(B).
Последнее означает, что \\и(х, / + Д/) ^-^(л:, t)\\-+0 Д10
и /, / + &t ^ 0. При / = 0 ряд A33) сходится к ф в норме
и потому \\и(х, А/) — ф(^)И -*0 при Д?—>+0- Покажем, что при
^>0 ряд A33) сходится в норме пространства Wl.o(B) равно-
равномерно относительно fe[e,oo), где е — любое положительное
число. Действительно, в силу A32)
/тр@-|
Но при t ^ 8 > 0 функции Л*^*' при всех А »» 1, 2, ... не пре-
превосходят некоторого числа Се, зависящего лишь от е. Поэтому
при t ^» е > 0
Но это и доказывает желаемую сходимость ряда A33), Из нее
следует, что сумгца и ряда A33) есть элемент W\t о (в), непре-
непрерывно зависящий "от / в норме этого пространства при t > 6.
- Шчленное дифференцирование ряда A33) по t дает ряд •
б!

163]	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ	517
который сходится в норме 1г(В) и даже в норме W\(B) равно-
равномерно по t при t ^ е > 0, где г — произвольное положительное
число. Доказывается это так же, как и выше, с учетом того, что
функции | hk \reXk* k = 1, 2, ..., на полупрямой / ^ е >0, не пре-
превосходят некоторого числа' С8,г, зависящего лишь от 8 и г. Такая
сходимость ряда A34) гарантирует принадлежность его суммы
к Wt,o(B) при всех t > 0 и то, что эта сумма есть обобщенная
производная по t суммы и(х, t) ряда A33) в областях Д>, г =
= ВХ(е, Т), г > 0. Из всего сказанного следует, что сумма
и(х, t) ряда A33) есть обобщенное решение задачи A26) —
A28) в области DT — BX@tT) из класса Шт, элементы кото-
которого v(x, t) обладают следующими свойствами: они суть эле-
элементы L2(B), непрерывно зависящие от /е[0, Т] в норме 1,2(В);
они имеют обобщенную производную vt{x, t) в DT, причем
v (x, t) и vt(x, t) являются элементами Wl,o(B)9 непрерывно зави-
зависящими от ?е@, Т], Сумма и(х, t) ряда A33) при любом />0
и почти всех х из В удовлетворяет уравнению A26). Граничному
условию A27) она удовлетворяет в том смысле, что при / > 0
является элементом W\ о (В). Начальное же условие выполняется
«в среднем»:
\\и(х, /) — ф(*)||->0 при /-> + 0.
Покажем, что в таком классе задача A26) — A28) не может
иметь двух разных решений. Одно из них, определенное форму-
формулой A33), мы уже нашли. Пусть и'(х, t) есть другое обобщен-
обобщенное решение задачи A26) — A28) из класса 9йг. Тогда их раз-
разность v(x, t) есть обобщенное решение из того же класса ЗЯТ
однородной задачи A26)— A28), т. е. задачи
Af(tO = 0, 0 1^ = 0, о k.o = O.	A35)
В области D8, г, е > 0, это решение обладает той гладкостью,
которая требовалась при выводе энергетического неравенства
A24), следовательно, для него справедливы оценки
J	J v2dx	A36)
В (t)	В (е)
при любом ее@,0 и/е [е, Т]. Устремляя в этом неравенстве
ь к нулю и используя то, что \ v2dx-+0 при е-*0, убедимся,
В (г)
что v (x, t) = 0. Теорема единственности доказана.
Если на ф(х) наложить дополнительные условия, то ряд
A33) будет сходиться лучше, и его сумма будет обладать
лучшими дифференциальными свойствами. Например, если

518	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[163
О |	с |
фЕ^о(В),то ряд A33) сходится в норме W>{B)равномерно от-
относительно t^O и его сумма, тем самым, будет элементом
О |	О •
W2 (В), непрерывно зависящим от t в норме W<i {В) при всех
Действительно, благодаря A31) и A29)
|р	|р р
? (Ф, «*)«**«* = ?|М(<Р, «ftJe2V<
|1 k—m
т. е. ряд A33) сходится в норме W\{B) равномерно относитель*
но ^е[0, oo). Покажем, что при y^W<i(B) ряды, полученные
(
двукратным почленным дифференцированием ряда A33) по
i= I, .«.., д, сходятся в норме L2(DT), где DT = BX(O, T), а
Т — любое конечное число. Это так, ибо
S ji
при т, р-^оо. Это же неравенство гарантирует и сходимость
ряда A34) в L2(D). Наконец, из того факта, что система {^}7«i
образует базис в пространстве W\,q(B) [150]^ следует, что при
Ф ^Wto(B) ряд A33) сходится в норме W](B) равномерно от-
относительно /е[0, оо), и его сумма есть элемент W\, о (В), непре-
непрерывно зависящий от /е[0, сю) в норме Н^2(В). Ряд A34) при
этом будет сходиться в норме L2(B) равномерно относительно
t е[0, оо), и его сумма v(x, t) = ut(xt t) будет элементом /.2E),
непрерывно зависящим от ^е[0, оо) в норме ?г(В).
Итак, мы доказали следующую теорему:
Теорема 1. Пусть коэффициенты уравнения A26) и об-
область В удовлетворяют условиям теоремы 2 [148], с(х)^О и
L{B). Тогда решение задачи A26)— A28) дается рядом

163]
МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
619
A33), который сходится в /^(В) равномерно относительно t<=
€= [О, оо); при t > 0 он сходится в норме W22(B) равномерно от-
относительно /е[е, оо), где е — произвольное положительное чис-
число. Ряд, полученный почленным дифференцированием ряда A33)
по t, сходится в L2(B) при />0 и равномерно относительно
/^[е, оо). Сумма ряда A33) есть обобщенное решение задачи
из класса Шт^(с любым Т), причем в этом классе имеет место
теорема единственности. Если фе1^2(В), то ряд A33) сходится
в W2(B) равномерно по /е[0, оо), а ряды, полученные его по-
членным дифференцированием один раз по гили два раза
по х, сходятся в норме L2(Dr), Dj ¦» ВХ@, Г). Наконец, при
qx~Wlo(B) ряд A33) сходится в норме W\ (В), а ряд A34) в
норме L,2(B) равномерно относительно /е[0, оо)#
Рассмотрим еще задачу
0,
A37)
где L — то же, что и в A26),-a /e
летворяет сумма ряда
00 t
0 =• ? S fk (х)
fe-l О
Ей формально удов-
удови
) dx uk (x),.
A38)
где fk(x) =' ^ /(л:, %)uk(x)dx. Покажем, что ряд A38) и ряды,
в
полученные его почленным дифференцированием по х один и
два раза сходятся в норме ?2фг)> так что сумма ряда и{х, t) и
ее производные uXi и ux%%k будут элементами Lz{DT). Для
этого достаточно убедиться, что
ГЦ m t	112
'р.
р. *
U-P
A39)
стремится к нулю при р и т-*оо. Это верно, ибо благодаря
A32)
т Т	t	2
Jp, m
k-*p О	О
m T
T t
m T
fe-p
ft-p О

520	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1163
а для функций f(x, t) из L2{DT) верны равенства
Г оо	оо Т
B
OB	б k-\	k~l
Из этой оценки jp, m следует также, что ряд, полученный почлен-
почленным дифференцированием ряда A33) по U сходится в L2(D).
Так как конечные суммы
iv t
Л«1 О
удовлетворяют (при почти всех (х, t) из DT) уравнению L(uN) —
= Р с fN(x, /)= S /л@и*(*)» и fN сходится к / в норме L2(DT),
то сумма ряда A38) будет при почти всех (х, t) из DT удовле-
удовлетворять уравнению A37). Чтобы проверить выполнение началь-
начального и граничного условия из A37), убедимся, что ряд A38)
сходится в норме W\{B) при любом t^O. Действительно, ис-
используя те же соображения, что и при оценке^/р,т, получим
2
If
0 3
Отсюда ясно, что при любом t^O сумма и(х, t) есть элемент
W\{B) и при *-*0 \\и(х, Olli-^O.
Тем самым мы доказали теорему:
Теорема 2. Если относительно L и В выполнены предполо-
предположения теоремы 2 [148], a f&L2(DT)> Df = fiX@, Г), то ре-
решение задачи A37) в Ьт дается рядом A38). Этот ряд и ряды,
полученные его почленным дифференцированием один раз по t
и х и два раза по х, сходятся в норме L2(DT). Сумма ряда A38)
при почти всех (х, t)&DT удовлетворяет уравнению A37), при
любом ./е[0, Т] она есть элемент W\{B) и при t->Q
1МОНA)о
Заметим, что решения второй и третьей начально-краевых
задач для уравнения L(u)s=f(x,t) определяются рядами вида
A33) и A38), только в качестве Uk(x) в них надо брать соб-
собственные функции L, отвечающие соответствующему краевому
условию.

061]	РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ	521
164. Второе основное неравенство и разрешимость первой
начально-краевой задачи. Опишем, как молено доказать разре-
разрешимость задачи fll3), A27), A28) в классе функций W\л (DT)9
Dr = BX@, Т)у состоящем из всех функций и(х, t)y принадле-
принадлежащих L2(DT) и имеющих обобщенные производные иь их.>
их.Хл из L2(DT). Это множество может быть рассмотрено как
полное гильбертово пространство со скалярным произведением
A40)
(здесь использованы сокращенные обозначения, введенные в
[145; 146]. Норму в W\l{DT) обозначим через || • ||]ЗД. Опре-
Определим W\\ о (Dt) как подпространство пространства Wf l (Dt),
полученное замыканием в норме Wf l {Dt) множества всех функ-
функций из C2(DT), равных нулю на боковой поверхности ST ци-
цилиндра DT. Будем предполагать, что область В удовлетворяет
требованиям теоремы 2 [148], а коэффициенты М удовлетво-
удовлетворяют условием A14)—A16) и
^|Ц,	A41)
Докажем, что для параболических операторов М справедливо
неравенство, близкое по своему характеру к неравенству D34)
из [146]. Для этого рассмотрим интеграл
J (M (u)f dx dx = \ [их - L (u)f dx dxy Dt = BX @, /),
Dt	Dt
где
t)ux.) — bi{x, t)uXl — c{xy t)u>
a u(x, t) — произвольная функция из C2(Dr), равная нулю на
ST Преобразуем его, используя формулу интегрирования по ча«
стям A07) [48], следующим образом:
(Af {u)f dx dx = \ [u\ + {Lu)f + 2aiuuXkux.x +
Dt
+ 2 {btuxi + cu) ux] dx dx = J \u\ + (L W
Q)
+ -^ (a{kuXiuH) - ~~ uHuXk + 2 (btuXi + cu) ux\ dx dx. A42)
17 В. И. Смирнов, т. IV

522	Г Л II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[164
Из этого равенства и предположений A16), A41) следует не-*
равенство
\ atkUxtUxkdx+ J \и\ + (L (и)J]dxdx < jj atkuXiuXkdx +
В (t)	Dt	В @)
Dt
\{M{u)J dxdx, A43)
постоянная C\ в котором определяется лишь ji2 и ji3, a е— произ*
вольное положительное число*). Воспользуемся теперь нера*
венством D52) [146]. Благодаря ему, а также условию A14),
из A43) выведем неравенство
V \ U2xdX+
В Ц)	D
< I* \u\dx + C2\ \ги\ + A + e-0D + u*)-\dxd% +
В @)	Df
+ ^(Af^rfjcdT. A44)
Dt
Здесь постоянная С2 зависит от v, |m, \xt и области В. Возьмем в
A44) е = BСг)". Тогда, огрубляя A44), придем к оценке
J x
В (t)
u2xdx+ \
uldx+ \(ul + u2) dxdx+ J (M{u)J dx dx]. A45)
J
В силу неравенства
J	J u2 dx + J (^ + a2) dr,	A46)
В (t)	В ф)	Dt
которое легко выводится из формулы Ньютона — Лейбница для
и2(х, t) с использованием неравенства Буняковского — Шварцэ
(см. A98) [56]), из A45) получим
В {t)	D
к+)<** + $ к+^2)dx dt +- \ <м ^^2 ^dTl*(l47)
*) Через B(t) и Б@) мы обозначили верхнее и нижнее основания
линдра Dt

8641	РАЗРЕШИМОСТЬ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ	523
Из него же выводится желаемая оценка
B{t)	D
t
Г \ К
[в @)
с помощью леммы из [56] (почти так же, как A24)). Нера-
Неравенство A48) и есть второе основное неравенство для парабо-
параболических операторов М при условии A27) Оно выведено для
любой функции и(х, t) из C2{DT)> равной нулю на ST Покажем,
что для таких функций интегралы ( \ {и^-^-п^йхЛ ,/е[0, 7],
\В (t)	)
мажорируются ИиЦ^. Для этого возьмем какую-либо гладкую,
неотрицательную функцию х@» равную 1 для /ef-^-, Ли ну-
нулю для/ е 0, -j-], и примем во внимание равенства
B(t)	OB (x)
2ux Д^х + ul%' + 2uux
Dt
Из них для /е[у, 71] следует
\ О* + U<1) dx < С5 \ К + Ulx + Ul + U*) dX dt<
В (/)	DT
Такое же неравенство верно и для /е 0, -^-1. Доказывается
это аналогично, надо только взять в качестве %(/) гладкую не-
неотрицательную функцию, равную единице при ш, -^-1 и нулю
при / е [-j-, 7J. Благодаря этому норма II-1^^ в W\\(DT)
эквивалентна норме
| и If = o max П (ul + «2) dxV'2 +1| и |g'^.	A50)

524	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	Н$4
Из этого факта и неравенства A48), доказанного нами для «,
принадлежащих С2(ВТ) и равных нулю на ST, следует справед-
справедливость A48) &ля любого элемента и из W\t\(DT). С его помо-
помощью можно доказать однозначную разрешимость задачи A13),
A27), A28) для любых f(x, t)€=L2(D) и у(х) ezWlm{B), исполь*
зуя метод продолжения по параметру (см. [148]) и теоремы
из [163]. А именно, надо рассмотреть семейство задач
= Ф, те[О, 1], )	{ '
П
где MQ(u) — ut— Yuuxx> a Mi(u) — M{u), и пару гильбертовых
t~\ l l
пространств: Wll(DT) и W = L2(DT) X Wl2 (В). Элементами W
являются пары функций {f(xf t); ф(х)}, а скалярное произве-
произведение в нем определено равенством
({/; Ф)> ill Ф})^== J ffdxdt+ ^((ЬФ* f фф)йх.
Задачи A51) можно интерпретировать как семейство оператор-
операторных уравнений
Лт («) = {/; <Р>, те [0, 1],	A52)
jb которых операторы Ах определены равенствами
ААи) = {МЛи)\ йЦ те [0, 1].	A53)
Операторы Ах действуют из пространства W22\\(DT) в простран-
пространство W. Однозначная разрешимость уравнения A52) при т = 0
и любых {/; ф} из W доказана в теоремах [163]. Отсюда с по-
помощью неравенств A49) и неравенства A48), справедливого
для всех7Ит, те[0, 1], с постоянной С4, которую можно выбрать
общей для всех т из [0, 1], нетрудно доказать однозначную раз-
разрешимость всех задач A52) при любых {/; ф} из W. Мы не будем
проводить это рассуждение, ибо оно вполне аналогично доказа-
доказательству теоремы 1 из [148], а сформулируем лишь окончатель-
окончательный результат:
Теорема. Пусть для коэффициентов М из A13) выполне-
выполнены условия A14) — A16) и A41), а для области В условия тео-
теоремы 2 {148]. Тогда згадача A13), A27), A28) однозначно раз-
разрешима в WI%Mdt), Dt ф ВХ(ОД) пРи любых / из L2{DT) и
Ф 'ш W,l(B)>

1653 ¦	ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА	525
165. Гиперболические уравнения общего вида. Энергетиче-
Энергетическое неравенство для первой начально-краевой задачи. Остав-
Оставшиеся разделы книги мы посвятим первой начально-краевой
задаче для уравнений гиперболического типа. Рассмотрим урав-
уравнение
п	п
М(и)= ? aikuXiXk + Yibtux +cu — utt = f A54)
того же вида, что и в [56], в области DT = В X (О, Т) евклидова
пространства Rn+l. Пространственные переменные х — (х\, ...
..., хп) меняются в области В пространства Rnt а временная
переменная t меняется на интервале (О, Г). Коэффициенты урав-
уравнения A54) и свободный член f могут зависеть от (х, t). Относи-
Относительно коэффициентов предположим, что они суть ограниченные,
измеримые функции на DT, причем atk дифференцируемы по
да,, да,.
х и t и производные —§р. -§—¦ ограничены на ит (эти произ-
производные в-общем случае — обобщенные). Свободный член / пусть
является элементом L2(DT). Гиперболичность уравнения A54)
гарантируется условием
aik(x, i)ttlk>vtlb	A55)
в котором v — положительная постоянная, а & — произвольные
вещественные параметры (как всюду, считаем, что aik = aki).
Поставим для уравнения A54) в области DT первую начально-
краевую задачу. Она состоит в определении функции и(х> t),
удовлетворяющей в DT уравнению A54), на нижнем основании
DT начальным условиям
«1*-о~фМ, и<1*-о = *(*)> хебВ,	A5G)
и на боковой поверхности DT краевому условию
u\sT = 0, Sr = SX[0, Г],	A57)
где 5 — граница В. Иначе говоря/мы определяем решение и(х, t)
уравнения A51) в области В евклидова пространства Rn в мо-
моменты времени t&@t T), которое в начальный момент времени
удовлетворяет условиям Коши A56) и во все эти моменты вре-
времени обращается в нуль на границе области В.
Покажем, что эта задача корректна, т. е. имеет не более
одного решения, и это решение непрерывно зависит от началь-
начальных данных и свободного члена уравнения. Непрерывность по-
понимается в смысле Интегральных норм, определяемых энергети«
ческим неравенством, которое мы сейчас выведем. Разрешимость

526	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	U65
задачи A54), A56), A57) мы докажем в следующем пункте,
правда, не для всего класса уравнений A54), а для той его ча-
части, для которой решения хорошо представляются рядами Фу-
Фурье. Здесь и ниже мы будем иметь дело с обобщенными реше-
решениями из класса W\ (DT). Они удовлетворяют уравнению A54)'
для почти всех (в смысле Лебега) точек (x,t)czDT. Элементы
и(х, t) этого класса при всех /е[0, Т] принадлежат Wl2(В) и
непрерывно зависят от / в норме этого пространства (т. е.
\\и{х, t + At)-u(xy t)||2(lM->0 при Д/->0 и t, / + Д/ее[0, Т]).
Их производная ut{x, t) при всех ^е[0, Т\ является элементом
L2(B) и непрерывно зависит от t в норме L2(B). В соответствии
с этим начальные условия принимаются в следующем смысле:
\\и{х9 О-фМИ^-^О и \\щ(ху t) — y(x)\\2,B-+0 при /-^+0, а
о j
условие A57) — в том, что и(х9 t) принадлежит W2 (В) при всех
fe[0, T] (более подробно о пространствах Wl2 см. [V; гл. IV]).
Относительно ф(х) и ty(x) естественно предположить при этом,
что
<р(х)€=#ПВ)> *eL2(B).	A58)
Вывод энергетического неравенства для решений задачи A54),
A56), A57) (мы будем опускать ниже эпитет «обобщенных»,
считая, что всюду речь будет идти об обобщенных решениях
класса Wl (DT), если не оговорено противное) близок к выводу
энергетического неравенства для решений задачи Коши, прове*
денному в [56]. Он даже проще последнего, ибо возникающие
в данном случае интегралы по боковой поверхности ST обра*
щаются в нуль в силу условия A57). Мы заимствуем из [56]
ряд обозначений и оценок. Точнее, обозначим через K(t) инте-
интеграл
ч + иЪ dx>
B'(t)
где В (to) есть сечение цилиндра DT плоскостью t — to> а через
Dtx— цилиндр ВХ@, /i), считая ti^T. Умножим уравнение
A54) на —2ut и результат проинтегрируем по Dt:
— J 2M {и) ut dx dt = — jj 2/м< rfx rf/.	- A59)
Левую часть A59) представим иначе, преобразуя часть членов,
в нее входящих, с помощью интегрирования по частям следую-

WBS\	ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ОБЩЕГО ВИДА	527
тцим образом:
Г	Г л	Г	С -
Dt	Dt	B(t)	J3@)
— ^ 2aikuXi4 -utdxdt= } \2alkuXjutXk + 2 -^~ux.щJdxd/ =
\ [tt
D
- T u*tu*k + 2l^u*tut] dx dt
= \ uikux.uXkdx— ^ aikuxuXkdx
t	В @)
В (t)	В @)
S	) dx dL
При выводе этих равенств мы учли, что и \$т = 0, а потому и
= 0. В силу них A59) эквивалентно следующему:
-K@)+)[^uXiuXk^2-^k
+ 2biUXiut 4- 2ош* — 2/аЛ dx d/, A60)
Дальнейшие оценки интеграла \ , стоящего в правой части
A60), вполне аналогичны тем, которые мы провели в [56] (то,
что в данном случае Dt есть цилиндр, а не конус, несуществен-
несущественно). Мы не будем повторять их здесь, а напишем интересующее
нас энергетическое неравенство, выводимое из A60) в резуль-
результате этих оценок. Оно имеет вид (в [56] ему соответствует не-
неравенство B01))
[ ( 2 I	и + 2\dx<
B(t)
<ectt J (u2t + aikuxuXk + u2)dx+ ^Pdxdtl. A61)
Входящая в него постоянная С определяется коэффициентами
М, точнее, числом v из условия A55) и максимумами мс^дулей
п
функций --эГ"» /' \idrm~bt\ и с в области Dt.

528	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	.	, Р«в
Функции, стоящие в правой части неравенства A61), извест»
ны из условий задачи, в частности, интеграл по В@) равен
\ ('Ф2 + uik*Pxt<Pxk + Ф2) dx. Из A61) следует неравенство
Bit)
ldxdt\ 0</<Г, A62)
где ^— постоянная из неравенства alkltlk ^ Ц X ^ (так что ц-—
мажоранта для а,*). Неравенство A62) также называется энер*
гетаческим. Из него следует
Теорема 1. Задача A54), A56), A57) имеет не более од-
ного решения из W\{DT), и ее решения непрерывно зависят о?
начальных данных и свободного члена.
Действительно, если ut(x, /), /= 1, 2, суть два решения из
Wl(DT), отвечающие начальным данным tyi(x), tyi(x) и свобод-
свободным членам (силам) /,(ху /),/== 1, 2, tq их разность и(ху /) есть
решение той же задачи из W\ (DT)y отвечающее начальным дан-
данным ф(х) = ф}(х)— ф2(*), ty(x) = ty\(x) — \Ы*) и свободному
члену f(x, t) = fl(x, t)— /2(x, /). Поэтому для и(х, t) справед-
справедливо неравенство A62), из которого и следуют оба утверждения
теоремы.
166. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа.
Здесь мы докажем разрешимость первой начально-краевой за-
задачи для гиперболических уравнений видл
ии^0. A63)
Предположим, что для эллиптической части L(u)=s
= ~д—(atkuxk) + си этого уравнения и области В выполнены ге
же условия, что и в теореме 2 [148], и, следовательно, система
собственных функций {*/*(*)}*_, и собственных значений {Kk}
оператора L при условии u\S = 0 обладает свойствами, описан-
описанными в [150]. Предположим пока, что с{х) <0. Это гарантирует
отрицательность всех X*, так что удобно %и обозначить через
— \х\,считая \ik > 0. Все решения уравнения A63), имеющие вид
и(ху t) = X(x)T(t) и удовлетворяющее краевому условию A57),
исчерпываются функциями (a* cos \ikt + bk sin \ikt) uk (x), где а*

Ш	метод фурье для уравнений гиперб€чшч. типа	529
и Ьи — произвольные постоянные, av Uk{x) — собственная функ-
функция, отвечающая собственному значению Aft = — \l\.
Ввиду этого, естественно решение задачи A63), A56), A57)]
искать в виде ряда
оо
и(ху /) = ? (ak cos \xki + bk sin \ikt) uk (x),	A64)
определяя eFO коэффициенты ak) bk из начальных условий A56),
Первое из этих условий дает выражение для а*:
** = (ф, ик), -	A65)
а второе— для bh\
**=~(*. ик).	A66)
Формально такой ряд удовлетворяет всем требованиям нашей
задачи. Наша цель — исследовать его сходимость, в частности,
показать, что его можно почленно дифференцировать два раза
по х и /. Последнее необходимо, чтобы оправдать справедли-
справедливость равенств
М(и)= м(^ (ак cos \xkt + bk sin \xkt)uk (x)) =
= Z M ( ak cos \xkt^~ bk sin цА/) uk (x) 1 = 0,	A67)
т. е. убедиться, что сумма ряда A64) удовлетворяет уравнению
A63). Мы докажем, что ряд A64) и ряды, полученные его по-
почленным дифференцированием по х и t до двух раз включитель-
включительно, сходятся в норме L2(B) равномерно относительно /е[0, оо).
Тем самым будет показано, что сумма ряда A64) удовлетворяет
уравнению A63) при почти всех (xt t) из DT (и даже более: при
всех / из [0, ос) для почти всех х из В). Начальные условия
будут выполняться в следующем смысле:
|| и (х, 0 - Ф (х) \f»B -> 0, || щ (ху /) - ф (х) ||<% -> 0 A68)
при /->+0. Граничное же условие A57) буде^ гарантировано
принадлежностью u(xt t) к Wit о (В) при всех t^O. Все это
о
2
будет иметь место, если qp (x) e W?, о (В), а г|) ef2(8). Действи-
Действительно^ как доказано в [150], функция ф(#) разлагается в ряд
оо
Фурье ф(*) = ? (ф, uk)uk(x)y сходящийся к ней в норме IHfo,
причем
A-i

530	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	1166
oo
а функция ф разлагается в ряд Фурье <ф=2 (ф, uk)uk(x).
сходящийся к ней в норме IHIi и
A70)
С другой стороны,
? (ak cos iik( -Ь Ъь sin \ikt) uk J =
A71)
|i«. A73)
Из сопоставления оценок A71) — A73) с A69) и A70) убеж«
даемся в справедливости высказанных нами выше утверждений
о сходимости ряда A64) и рядов, полученных его почленным
дифференцированием по х и t. При этом надо иметь в виду, что
нормы ||-||i и \\'\\2 эквивалентны исходным нормам пространств
W2(B) и Wlto{B) соответственно. Принадлежность при всех
t^O суммы и(х, t) ряда A64) к W22, о {В), а ее производных
о <
ut{x, t) и utt(x, t) к W2(B) и L2(B) следует из доказанной схо-
сходимости и того, что отрезки этих рядов суть элементы Wi,o(B)y
W2 (В) и L2(B). Итак, доказана теорема:
Теорема 1. Пусть для коэффициентов М и области В вы*
полнены условия теоремы 2 [148] и с(х)^.О. Тогда, если
фе^2,о(В), а -ф€=#2(В), то сумма и(х, t) ряда A64) с коэф-
коэффициентами uk и bk, определяемыми формулами A65) и A66),
есть решение задачи A63), A56), A57), Она при всех /^0

Ц661	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧ. ТИПА	531
принадлеоюит W\ о (В) и непрерывно зависит от t в норме этого
пространства. Ее производные ut(x, t) и utt(x, t) суть элементы
о «
Wz {В) и Ь%{В), непрерывно зависящие от t^O в нормах этих
пространств. Ряды, полученные почленным дифференцированием
ряда A64) по х и t до двух раз включительно, сходятся в L2{B)]
равномерно относительно t ^ 0.
Замечание 1. Если условие с(х)^0 отбросить, то сохра-
сохраняются все утверждения теоремы, только несколько первых
собственных значений %k могут оказаться положительными или
равными нулю. Соответствующие им члены будут иметь вид
yake^hki + bke"^Kk juk{x) или {at + bkt)uk(x). На сходимость
ряда A64) наличие нескольких таких членов влияния не ока-
оказывают: их сумму можно выделить из A64) в виде отдельного
слагаемого.
Замечание 2. Для гиперболических уравнений задача
Коши и начально-краевые задачи одинаково решаются как в
сторону возрастающего, так и убывающего времени t. Ряд A64)
сходится указанным образом и при t ^ 0.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение
M(u) = f(x, 0,	A74)
где М — то же, что и в A63). Найдем его решение, соответствую-»
щее однородным начальным и -граничному условиям
Для этого разложим / в ряд по {uk}™^{:
f (x, t) = J; (/ (x, /), uk (x)) uk (x) - Z{ fk @ uk (x)9
и найдем для уравнения
M(u) = fk(()uk(x)	A76)
решения и(х, t) вида Х(х) Т(t), удовлетворяющие условиям A75),
Положим и(х, 0= Tk{t)uk(x), тогда для Tk{t) из A76) следует^
уравнение
XkTk (/)	T'k (/) = fk (/).	A77)
Его решением, равным нулю вместе с производной при / = 0, яв«
ляется, как известно, функция
Tk (() - - -^ \ sin цА (/ - т) fk (r) dx,	A78)

532	ГЛ II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[166
где, как и выше, |х| = — Лл. Сумма ряда
Г
« (*> 0 = - ? IT J fk (т) sin ^ (/ - т) rft ик (х) A79)
формально удовлетворяет всем требованиям задачи A74), A75).
Для оправдания формулы A79) надо проверить, что ряд A79).
сходится так же, как ряд A64) в теореме 1. Убедимся, что спра-
справедливо следующее утверждение:
Теорема 2. Пусть относительно М и В выполнены те же
предположения, что и в теореме 1. Тогда, если f(x, /)eL2(Z)r),
О I
то ряд A79) сходится в норме Wг (В) равномерно по /е[0, Т].
Если, к тому жеу f(x, t) имеет обобщенную производную
ft(x, t)& L2(DT), to ряд A79) и ряды, полученные его почлен-
почленным дифференцированием один и два раза по х и t, сходятся в
/,2 (#) равномерно по /<=[0, Т]. В последнем случае сумма ряда
и есть обобщенное решение задачи A74), A75) из класса
Wl(Dr) (и даже несколько лучше).
Утверждения теоремы вытекают из нижеследующих соотно-
соотношений и оценок:
i
г* (/)«*(*)! =
t
P / t	\2	P T
X E) ? 5' (i8°)'
= 5 f*(x,1)dxdL A81)
Если к тому же /*(х, t)<^ L2(DT), то
Г* @ = - -Г \М*) ^ cos ц* (/ - т) =

166]	МЕТОД ФУРЬЕ ДЛЯ УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛИЧ. ТИПА	533
Отсюда
0
и потому
If г* @ «*(*)[ = f Ц(ОК
S
Z S (r*(x)J dx+8 Z к@)- A82>
fc 0	k
fc=»m 0
Из условий же f, ft^L2 (DT) следует, что / (ху 0)eL2 (В),
= ^f*(x,0)dx и
оо Т
Теорема 2 доказана.
При увеличении гладкости коэффициентов Af, функций ф, -ф,
/ и границы В, а также при повышении порядка согласования
начальных и граничных условий и уравнения на множестве то-
точек {(#, t): x&S, / = 0} улучшается сходимость рядов A64),
A79). Мы не будем приводить здесь точные формулировки, ка-
касающиеся этой зависимости, а отошлем ко второй главе книги
О. А. Ладыженской «Смешанная задача для гиперболического
уравнения» A953), из которой взят и изложенный в этом пункте
материал. Ею была исследована сходимость рядов A64), A79)
во всех пространствах W[{B)y I ^ 1, причем при условиях в опре-
определенном смысле необходимых. Это было сделано не только для
первого, но и для второго и третьего краевых условий. Из схо-
сходимости в Wl2 (В) и теоремы вложения вытекает соответствую-
соответствующая сходимость в нормах других пространств, в частности, при
f^Nf|+ 1 — равномерная сходимость. В указанной книге дано
обоснование других методов решения начально-краевых задач
для гиперболических уравнений, в том числе метода конечных
разностей для уравнений A54) общего вида. Для решения этих
задач можно использовать также метод Галеркина и «функцио-
«функциональный» метод, предложенный,О. А. Ладыженской в заметке
«О разрешимости основных краевых задач для уравнений па-
параболического и гиперболического типов» (ДАН СССР, 1954,
97, № 3, с. 395—398).

534	ГЛ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[167
1 В связи с этим см. также работы: Ладыженская О. А,
О решении нестационарных операторных уравнений. — Матем«
сб., 1956, 39, № 4, с. 491—524; Ладыженская О. А. О не-
нестационарных операторных уравнениях и их приложениях к ли«
нейным задачам математической физики. — Матем. сб., 1958, 45,
№ 2, с. 123—158; Ладыженская О. А., ВишикМ. И. Крае-
Краевые задачи для уравнений в частных производных и некоторых
классов операторных уравнений. — УМН, 1956, 11, № 6, с. 41—97.
Заметим наконец, что из разрешимости первой начально-
краевой задачи для гиперболических уравнений и конечности
области зависимости решений задачи Кошй (см. [56]) нетрудно
заключить о разрешимости задачи Коши для гиперболических
уравнений.
167. Предельная задача для сферы. Мы будем рассматривать
сейчас предельную задачу для волнового уравнения:
д2и д2и . д2и . д2и
ТТГТ
dt2 дх2 ~ ду2 ~ dz2
в случае сферы. Предварительно докажем лемму: если и ==»
*==ф(л:, у, г, ^) = ф(М, г1) есть решение уравнения A83) одно-
однородное, нулевой степени относительно переменных (л:, у, z, t)> и
если оно обращается в нуль на сфере г — t, гдег=-\/х2 + у2 + г2,
го выражение
t-r
со(т)ф(М, / — n)dx9	A84)
где со(т) — любая непрерывная функция и нижний предел может
быть любым заданным числом, также есть решение уравнения
A83).
Дифференцируя решение A84), получим
t-r
ди f / ч д(р (М, t — т) -	/,
Ж=) ^^^Ч	^^т-со(/~
о fc
Но по условию ф(М, г) = 0, и, следовательно,
t-r
ди f
17= \
о
Дифференцируем еще раз:
t-r
д2и 	 f , ч <32ф (М, t — т) , 	 ,.	Л \ ду (М, t — т)
дх2 J ^ '	дх2
о

367]	ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СФЕРЫ	635
Совершейно аналогичные выражения получим для вторых
производных по у и z. Для второй производной по t будем иметь
t-r
д2и 	 \ (^ д2ф (Af, t — т) ^ _^ ^ D ^ f дф (М, t — т)'
Подставляя в уравнение A83) и принимая во внимание, что
ф(М, / — т), по условию, удовлетворяет уравнению A83), полу-^
чим в результате подстановки равенство
со (t — г) Г ^ф (М, t — т) . ^ф (Му t — т) , ^ф (М, t — т)
г L dt	*	дх	ду
Но, в силу теоремы Эйлера об однородных функциях, мы имеем
|[1; 154]
У
Подставляя сюда т=/ — г, убеждаемся в том, что равенство
A85) выполнено, и, следовательно, формула A84) дает действие
тельно решение уравнения A83).
Будем теперь искать специального вида решение уравнения
A83), а именно:
D)я(е,Ф),	A86)
где Уп(9, ф) — сферическая функция порядка п и ф(х) — искомая
функция.
Преобразуя уравнение A83) к сферическим координатам, по-
получим [И; 131)
\\дBди
Подставляя выражение A86) и принимая во внимание, что
Ул(9>ф) удовлетворяет уравнению
мы придем к следующему уравнению для ^(t"
или
-O.	A88)

536	ТЛ II ПРЕДПЛЬНЫГ ЗАДАЧИ	[167
Чтобы найти tf{x), напомним уравнение, которому удовле-
удовлетворяют полиномы Лежандра [Ш2; 105]:
[A - х2) Р'п (х)У + п (п + \)Рп (х) = 0.
Введем полином степени (п + 1)
Л, (*)<**.	A89)
Интегрируя обе части предыдущего уравнения по промежут-
промежутку A, х), получим
(\-x*)P'n{x) + n{n+l)Qn+l{x) = 0
или, в силу A89),
A - x*)QU\ (x) + n(n+ l)Qn+l (x) = 0
и, сравнивая с A88), мы видим, что функция
п@,Ч>)	A90)
будет решением уравнения A83). В силу A89), Q^+i(l) = 0, т. е.
решение A90) обращается в нуль при r — t. Кроме того, оче-
очевидно, что решение A90) является однородной функией нуле-
нулевого измерения от переменных (х, у, г, t). Пользуясь леммой,
мы можем утверждать, что функция
t-r
A)x	A91)
при любом выборе непрерывной функции со(т) также будет ре-
решением уравнения A83).
После этих предварительных соображений перейдем к реше-
решению предельной задачи для специального вида предельного
условия. Пусть ищется вне сферы г = 1 решение уравнения
{183), удовлетворяющее однородным начальным условиям
и предельному условию вида
n(e,<p),	A93)
где f(t) — заданная функция. Мы предполагаем, что эта функ*
ция имеет непрерывные производные до второго порядка и что
f(O) = r(O) = O.	A94)
Обратимся к формуле A91). Если мы в правой ее части .за-
.заменим t на (t+Л), то получим вновь решение уравнения A83)

167]	ПРЕДГЛЫ1АЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СФЕРЫ	537
так как коэффициенты этого уравнения не содержат t. Будем
искать решение поставленной предельной задачи в виде
рЛ9,Ф) j ^)Qn+l(l±l^L)dr t>r-l
|	0
где со(т) — искомая функция от т при т ^ 0. Из A95) непосред-*
ственно следует первое из условий A92). Дифференцируя фор-
формулу A95) по t при г = 1 и полагая затем ? = 0, получим, в
силу Qn+\ A)== 0, второе из >словий A92). Предельное условие
A93) дает нам интегральное уравнение для о>(т):
Написанное уравнение есть уравнение Вольтсрра первого
рода. Дифференцируя его почленно, получим уравнение
причем, в силу A94), это последнее уравнение, равносильно пре-
предыдущему. Дифференцируя еще раз, получим, в силу A94),
равносильное уравнение второго рода*
со
Ядра написанных уравнений зависят только от разности
(t — т), и, применяя метод, указанный в [IVi;53], получим ре-
решение в виде
t
со (t) — / (!) —
о
где Я (г) есть сумма вычетов функции
относительно корней ее знаменателя.
Предельное условие A93) начинает действовать с момента
/ = 0. До этого момента мы имеем покой. Фронт возмущения
будет двигаться со скоростью единицы. Вне сферы с центром в
начале и радиусам {t + 1) мы будем иметь, в силу A95), к мо-
мейту времени 4 покой. На самом фронте волны могут терйеягь

538	ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[16S
разрыв непрерывности производные второго порядка. Отметим,
что к любому непрерывному предельному условию мы можем
приблизиться в среднем на сфере при помощи предельных усло-
условий вида A93). Это следует из замкнутости сферических функ-
ций. Указанный выше метод применим и на плоскости для внеш-
ности круга (Смирнов В. И. —ДАН СССР, 1937, 14, № 1).
168. Колебания внутренней части сферы. Будем теперь стро-
строить решение уравнения A83) при наличии условий A92) и A93)]
для внутренней части сферы. Если п ^ 1, то, как нетрудно пока-
показать, Qn+i(x) есть четная функция при четном (л+1) и нечет-
нечетная при нечетном (я + 1), и решение A91) мы можем записать
в виде	t_r
(IL)x.	A96)
Заменяя в правой части этой формулы /на t— 1, получим реше-
решение вида
\	(±L)ry A97)
где оJ(т)==О при т < 0. Этому решению соответствует волна,
идущая от поверхности сферы внутрь. Оно перестает быть ко-
конечным при t > 1 в центре сферы, т. е. при г = 0. При t = 1
соответствующая волна доходит до центра сферы, и естественно
добавить к этому решению решение A96), заменив в нем t на
/ — 1 и выбрав o)i (т) специальным образом. Это приводит нас
к решению вида
t-1+r
(T + ^^)T, A98)
где (о(г) = 0 при х < 0. В пределах интегрирования мы имеем
—г^т+1 — t^fy и решение A98) остается конечным и при
г = 0. Оно обращается при этом в нуль. Для того, чтобы делать
меньше предположений относительно производных функции
f(t), входящей в предельное условие A93) к возьмем за основное
то решение, которое получается из A98) дифференцированием
по t. Принимая во внимание, что Qn+i (± 1) == 0 при я ^ 1, полу-
получим решение
u(M,Q = Yn(b<PLn(r.t),	A99)
где
<р„ (/•,/) = < r ,_,J	^ r '	B00)
0	при / < 1 — '

168]
КОЛЕБАНИЯ ВНУТРЕННЕЙ ЧАСТИ СФЕРЫ
539
и о)(т) = 0 при т^О. Из этого выражения, как и в [167] сле-
следует, что при всяком о)(т) соблюдаются условие A92). Легко
непосредственно проверить, что формулы A99) и B00) дают
решение уравнения A83) и при п — 0, если со(т) имеет непре-
непрерывную производную. Отметим, что формула A98) не дает ре*
шения уравнения A83) при п = 0.
Предельное условие A93) приводит к следующему уравне-
уравнению:
t
\ a(x)Pn(x+l-1)dx ==/(/).
2
B01)
t-2
Положим, что f(t) имеет непрерывную производную и /@)
= f/@) = 0. Дифференцируя уравнение B01) по t> получим
t
—2)— J
<2
и при п = 0
©(/)-©(*-2) = ПО.
y
B02!)
B022)
Уравнение B02i) дает возможность построить со(т) методом по-
последовательных шагов. Сначала определяем со(О в промежутке
0 ^ / ^ 2 из уравнения Вольтерра;
Затем определяем со@ в промежутке 2 < t ^ 4 из уравнения
Г @ + (—
- 2)
- t)dx,
правая часть которого известна и т. д. Полученную функцию
со(т) подставляем в правую часть B00).
Для решения уравнения B02i) можно использовать одно-
одностороннее преобразование Лапласа. Наметим в общих чертах
этот метод. Окончательная формула будет нами получена ниже
другим путем.
В уравнении B02i) представляем интеграл в виде суммы двух
интегралов с нижним пределом нуль, умножаем обе части на

540	ГЛ Н ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	|168
e-sty где s = 01 + <*2i, а о\ —достаточно большое положительное
число, и интегрируем по / на промежутке 0 ^ / <; оо. Введем
обозначения:
Q(s)=\ e-st<* (/) dt, F(s)=\ e~stf (/) di\	B03)
о	о
воспользуемся теоремой свертывания [IVi; 52] и формулами
л
e~stPn (_ l _ О Л = (-1)" д/-?- в'т B"> Л/% (- is).
2
B04)
Эти формулы легко получаются путем непосредственного инте^
грирования левых частей Указанный прием приводит к следую*
щему уравнению для Q(s)
Использовав формулу обращения для преобразования Лапласа,
получим
Вещественное число <Ji берется настолько большим, чтобы все
особенности функции F(s) лежали левее прямой интегриро-
интегрирования
Оправдание возможности применения преобразования Лап-
Лапласа и обратного преобразования облегчается в данном случае
тем, что при помощи метода шагов мы уже установили существо-
существование с)@, и можем дать оценку этой функции при больших /,
если наложить некоторые условия на /'(/) при больших / Под-
Подставляя "выражение B05) в формулу B00), переставляя поря-
порядок интегрирования и пользуясь легко доказываемым равен-
равенством
1	/ 1 (- ip)
e	-
B06)

168}	КОЛЕБАНИЯ ВИУТРПШЕИ ЧАСТИ СФГРЫ	541
мы получим
(— trs)
J +
•¦ — o-ioo n-v-	B07)
Укажем более короткий путь получения последней	формулы.
Подставляя выражение A99) в уравнение A83) и	пользуясь
уравнением для Yn@} ф), получим следующее уравнение для
фя(г, 0-
д2ц)п 	 д2Фгг , 2 дуп п (п -f- 1)	/9ПЯ\
К этому уравнению надо добавить условия
= 0;	B09)
B10)
Умножая обе части уравнения B08) на e~st7 интегрируя по /
на промежутке 0 ^ / <С оо и учитывая условия B09), получим
для функции
оо
Л„(г, s) = $ e-st<?n(r,t)dl	B11)
уравнение
^ ^ (^Р±)п==0.	B12)
Применение преобразования Лапласа к B10) дает
B13)
Кроме того, функция Xn(r, s) должна быть конечной при г = 0.
Уравнение B12) приводится к уравнению Бесселя и, принимая
во внимание B13) и конечность Хп при г = 0, получаем
После этого обращение преобразования B11) и приводит нас
к формуле B07)
Выяснение условий, которые надо наложить на f(t) для
оправдания применения преобразования Лапласа и формулы
B07), находится в работе. Петрашень Г. И. Динамические
задачи теории упругости в случае изотропной сферы. — Уч. зап.
ЛГУ, сер. матсм. наук, 1950, № 21. Материал настоящего и еле*
дующего параграфов взят нами из этой работы. у

642	*	М. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	[169
169. Исследование решения. Проведем исследование полученного нами
решения
/ ! (— irs)
Г
! (
L_ С Г^( is
r 2m J ' i v— '5
a-too n+-j
Будем считать для определенности, что функция f(t) отлична от нуля лишь
на некотором конечном промежутке [О, Г], имеет непрерывную производную
до второгЪ порядка и
При этом, интегрируя два раза по частям, получим
т	т
F (s) = J e~8if (/) rf/ = ^ J в-"Г @ dt.	B15)
о	о
Мы будем предполагать, что функция F(s) имеет вид
Fl(s) + F2(s)e~sT,	B16)
где Fi(s) и F2(s)—рациональные дроби, у которых степень знаменателя по
крайней мере на две единицы выше степени числителя. Легко проверить, что
функция F(s) будет обладать таким свойством, например, в следующих двух
случаях!
/ (/) = t2 (Т — tJ\ f @ = sin2 y~ (О < t < Т).
Как видно из формулы B15), функция F(s) есть целая функция.
Функция / i (— is) имеет чисто мнимые корни, которые мы обозначим
zkksi(s*~\, 2, 3, ...), где ks — корни уравнения / х (k)=*0 [III2; 146].
Воспользуемся формулой
и следующими выражениями функций Ханкеля:
B17)
где ф1 Г—} и Ф2 I — J — полиномы относительно — без свободного члена
[Ш2; 149]. Подставляя * =,—/«, мы легко убедимся в том* что во всех точ-

169]	ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ	543
ках линии интегрирования, при достаточно больших о, модуль отношения
:/(!)
не превышает некоторого числа, меньшего единицы. Учитывая это, мы можем
написать:
(-«)
р-0
Я(" , (- is)
+
ЯB) , (- irs)
(-*<)
Подставляя в формулу B14) и интегрируя ряд почленно, получим
4>n(r> 0 s
2ш
O-Moo
\i
(-irs)
01 (-/*)
irS)
п + Т
(- irs)
F (s)est ds+
p-Q
ЯA)
F(s)estds. B18)
Покажем, что фактически в правой части мы имеем лишь конечное число
слагаемых, и это число растет с возрастанием L Рассмотрим в качестве при-
примера слагаемые первой суммы. Пользуясь формулами B17), мы можем напи-
написать интегралы, входящие в эту сумму, в виде
O+ioo
B19)
Положим, что число р настолько велико, что
B20)
Проведем справа от прямой интегрирования полуокружность с центром а и
достаточно большим радиусом R. Учитывая формулу B16) для F(s) и ука-
указанные выше свойства /*i(s) и /^(s), мы можем утверждать, что при условии
,B20) интеграл по этой полуокружности от подынтегральной функции инте-
интеграла B19) стремится к нулю при беспредельном возрастании R.
С другой стороны, интеграл по замкнутому контуру, образованному этой
полуокружностью 41 отрезком —R ^ o*i ^ R прямой интегрирования инте-
интеграла B19), равен нулю, так как внутри этого контура нет особых точек

644	ТЛ YY. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ	' f!69
подынтегральной функции. Отсюда следует, что при выполнении условия B20)
интеграл B19) равен нулю. Совершенно так же слагаемые второй суммы пра-
правой части формулы B18) равны нулю, если выполнено условие
/-Bр+1)-г<0.	B21)
Оставшиеся слагаемые описывают сферические волны, которые отразились то
или иное число раз от сферы г = 1. Пользуясь первой из формул B04), не-
нетрудно показать, что подынтегральная функция в интегралах, стоящих в пра-
правой части формулы B18), имеет конечное число особых точек на конечном
расстоянии, которые определяются, как корни уравнения:
zn - Р'п A) zn~l + ... + (-1)" Pf (i) = 0,
и что величина интеграла есть сумма вычетов в этих полюсах, т. е. уномяну-
тые интегралы выражаются через элементарные функции.
Указанное выше использование формулы B14) приводит, таким образом,
к «методу Даламбера» для решения задачи о колебании сферы при предель-
предельном условии A93).
Укажем теперь другое преобразование формулы B14), которое приводит
к «методу Фурьеа- или, точнее говоря, к разложению решения задачи в ряд
по собственным колебаниям сферы. Подставим в формулу B14) выражение
B1б?для F(s).
При подстановке слагаемого Fze~sT подынтегральная функция будет со-
содержать множитель es(i~T\ и совершенно так же, как и выше, можно показать,
что соответствующий интеграл обратится в нуль при / < Г, т. е. мы имеем
о+*оо / ! (— irs)
i	\ Г	Fl(s)esids.	<222)
— \ Г ,
2ш J J l \— ts)
o-ioo n+~
Можно показать, что величина этого интеграла равна сумме вычетов его
подынтегральной функции, и мы получаем, считая, что полюсы Ft(s) не сов-
совпадают с корнями / j (—is) (отсутствие резонанса):
оо	J I (kPr)
ZAP sin (kpt -f «„) n+-
-J—	-tj,-^1	-p=	,	B23)
* I \lzp)	Л/Г
где флО', t) соответствует сумме вычетов в полюсах Fi(s) и введено обозна-
обозначение
Можно показать, что при сделанных относительно .Fi(s) предположениях на-
написанный ряд сходится равномерно относительно /иг. Он представляет со-
собою наложение собственных колебаний системы. Отсюда следует, что слагае-
слагаемое \|>р(/\ 0> которое может быть представлено в конечном виде, удовлетво-
удовлетворяет уравнению A83) и предельному условию A93). Если имеется совпаде-
совпадение полюса Fi(s) с корнем / { (—is), то в правой части B23) появится-
резонансный член, содержащий / вне знака' тригонометрических функций.
Если t > Г, то мы получим только ряд по собственным колебаниям, по-
поскольку F(s) есть целая функция, и при t >• Т мы можем применять лемму
Жордана~ [1П2; 60] для некоторой системы полуокружностей с центром o*i для
подынтегральной функции, в которой стоиться функция F(s). При /'< Т мы

•470]	ПРЕДРЛЪНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ	545
не имеем должных оценок подынтегральной функции на вышеупомянутых по-
полуокружностях. Отсутствие дополнительного слагаемого, кроме ряда по соб-
собственным колебаниям, связано с выключением внешней силы, входящей »
предельное условие.
170. Предельная задача для телеграфного уравнения. При решении пре*
дельных задач для уравнении эллишического и параболического типов мы
использовали теорию потенциала, причем в основе всею построения лежало
некоторое сингулярное реш< \те еоопзешвующею дифференциального урав-
уравнения. Для уравнений гиперболическою типа применение этого метода за-
затруднительно. Лишь в одномерном случае можно, пользуясь основной идеей
этого метода, привести предельную задачу к интегральному уравнению Воль*
терра
Рассмотрим уравнение [II; 198]
-ж—д^+си	<224)
на промежутке 0 г? х ^ / с однородными начальными условиями
"Uo = u'l<=o = °	B25)
и предельными условиями
«U=0 = «>i@; «U=/=>«2@-	B26)
Отметим, что начальные условия могут быть всегда приведены к однородным^
если использовать решение задачи для неограниченного промежутка [II; 198],
как это мы уже делали в [1521 для уравнения теплопроводности Вводя, как
и в [II; 198], функцию /(г) = Jq(iz), мы без труда убедимся в том, что функ>
ция / (с Y/2 — х2) есть решение уравнения B24). Оно будет нам служить
в качестве основного решения.
Помещая соответствующие этому решению непрерывно действующие ис*
точникн на концах промежутка [0, /], мы получим, как нетрудно непосред-
непосредственно проверить, решения уравнения B24)
t-x
[ ер (т) / {с V(/ ~ тJ - х2) dx
о
t-il-x)
ф (т) / (с У(/ - тJ - х2 ) d
где функции ф(т) и *ф(т) считаются дифф( р< пцнру< мыми Дифференцируя эти
решения по ху получаем опить решения, и ищем решите задачи B24), B25)|
B26) в виде суммы
t-xJ-{l- xY ) dx, B27)
причем считается, что ф(т) = ф{т) = 0 при т <С 0.

$46
ГЛ. II. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Г170
Формулу B27) можно написать в виде
t-x
'¦ — ф (/ — X) — \ ф (т) ¦
(
с УС ~ тJ -
+ t (/ - / + г) + ^ ^ (.)
о
B28)
Напомним разложение:
s-o
Уравнение B24) и начальные условия B25) удовлетворяются при любом вы-
выборе (р(т) и 'ф(т). Предельные условия B26) приводят к следующей системе
уравнений для ф(т) и ф()
t-l
о
t-l
= e>i @,
= CD2 @*
B29)
Функции o)i(t) и оJ@ считаем непрерывно дифференцируемыми. Полагаем
* @ - Ч> @ - Ф1 @; * @ + ф @ = *i @.
Складывая и вычитая почленно уравнения B29), получаем раздельные урав-
уравнения для ф1@ и \|5t@-
t-l
@ —
B30)
причем ф!(т) = \|>i(t) = 0 при t < 0.

170]	ПРЕДЕЛЬНАЯ ЗАДАЛА ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ	Б47
Из этих уравнений можно определять cpi(O и \|?i(/) при помощи после*
довательных шагов на промежутках [0, /], [/, 2/], и т. д. Мы имеем
ф! (О = СО! (/) + С02 (/); «ф! @ = С02 @ — COi @ При 0 < / < 1\
t-l
(Р! (t) == @! (/) + С02 @ - Ф1 V - /) - Cl \ Tl (г) Х V V ' ' *2 ' *г
> B31)
при
и т. д.
Вместо метода шагов можно применить к решению интегральных уравне*
ний и преобразование Лапласа.
Материал настоящего параграфа взят мною из неопубликованной работы
Д. А. Добротина.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара метод решения задачи Коши
145
Бихарактеристики 113
Верхняя функция 357
Волновое уравнение, предельная за-
задача для сферы 534
Гармонических функций последова-
последовательность 314
Гарнака неравенство 316
Гельмгольца уравнение 390
Гидродинамики уравнения 202
Гиперболическая система 221
Гиперболический тип уравнения 88
Грина тензор 431
— формула 124, 128, 140
•— функция обыкновенного уравнения
225
	обобщенная 240
	оператора Лапласа 367
	дЛЯ круга 377
.	для прямоугольника 377
,	и неоднородное уравне-
уравнение 379
•	предельной задачи, приводящей
к полиномам Лежандра 247
.	к функциям Лагерра
250
	— Эрмита 250
	 уравнения Гельмгольца 4Q0
,	Ду — Xv = 0 411
•	уравнения теплопроводности
485
Дирихле задача внешняя в трехмер-
трехмерном пространстве 326
.	— иа плоскости 321
«	внутренняя в-трехмерном про-
пространстве 318
	, единственность 406
Дифракция электромагнитной волны
402
Задача, сопряженная к данной 187
Иррегулярные точки границы 362
Квазилинейное уравнение 9
Кельвина преобразование 323
Коноид интегральный 43
Конормаль 142
Конус 7 29
Координаты местные декартовы 452
Коши задача для линейного уравне-
уравнения первого порядка 12, 19
¦	для нелинейного уравнения 36,
45
.	1 единственность реше-
решения 38
	для уравнения второго порядка
96
	, корректность 37
—	метод интегрирования нелинейного
уравнения первого порядка 33, 44
—	специальные данные 96
Лагранжа — Шарпи метод 61
Лапласа преобразование, применение
к уравнению теплопроводности 486
Липшица условие 300
Лоренца оператор 123
Ляпунова поверхности 283
Мажорантных рядов метод 76
Майера скобка 63
Метод Гольмгрсиа 185
Множество С~ (D) 124
—	C2(D) 124
~ C20(D) 127
Монжа — Ампера уравнение 109
Неймана задача внешняя в трехмер-
трехмерном пространстве 327
	 на плоскости 322

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
649
Неймана задача внутренняя в трех-
трехмерном пространстве 318
•— — в трехмерном пространстве, ре-
решение 332
•	, единственность 328
	на плоскости, решение 340
Неравенство второе основное для ре-
решений параболических уравнений
521
__	— эллиптических уравне-
уравнений (неравенство Ладыженской)
449
—	обобщенное Буняковского — Швар-
Шварца 444
—	Шаудера 437
¦— энергетическое для решений ги-
гиперболических уравнений 525, 527
__	— параболических уравне-
уравнений 513
.	— эллиптических уравнений
(первое основное) 444
Нижняя функция 357
Норма оператора 458
Область определения оператора 459
Общий интеграл нелинейного уравне-
уравнения первого порядка 46, 55
Оператор линейный ограниченный 458
—	симметричный 133, 141
•— сопряженный 128
.	в смысле Лагранжа 141
— 	 теории операторов 4G6,
468
Ортонормированный базис 456
Особый интеграл нелинейного урав-
уравнения первого порядка 46
Параболическая вырожденная систе-
система 197
Параболический гип уравнения 89
Поверхность, ориентированная про-
пространственно характеристическим
образом 165
—, параллельная поверхности 312
—	пространственно ориентированная
158
Полный интеграл нелинейного урав-
неаая 49, 55
Последовательность Коши 456
-—, сходящаяся в себе 456
Потенциал двойного слоя 285
¦— логарифмический 307
—	объемных масс 282
¦—простого слоя'282
•	, нормальная производная
295	-	-
Потенциал простого слоя, производ-
производная по любому направлению 303
Правильная нормальная производная
299
Предельные задачи для уравнения
Гельмгольца 396
Пространство W2m(D) 172
—	L2{D) 172
~ ^Юс(^) 180
-	Ca(D) 435
—	C(D) 435
—	Cl(D), I = 0, 1, ... 436
—	C°(D) — C(D) 436
—	Ck+$(S) 436
—	W% 0(D) 448
—	вещественное гильбертово 456
«— комплексное гильбертово 456
—	полное 456
—	сепарабельиое 456
Пуассона скобки 63, 69
Разрыв слабый 121
Разрывы сильные 123
—	—в теории упругости 214
Регулярная в бесконечно далекой
точке гармоническая функция 320,
326
Решение задачи Коши обобщенное
класса Ьг 184
	обобщенное класса W\ (D) 438
—	обобщенное класса w\ (DT)- пер-
первой начально-краевой задачи для
гиперболического уравнения 531
—	уравнения классическое 181
	обобщенное класса L<2(D) 180
	W}2{P) 438
	2Л первой начально-крае-
начально-краевой задачи для параболического
уравнения 517
Римана метод 127
— функция 131
Ритца метод 278
Система двух уравнений первого по-
порядка 59
	вполне интегрируемая
60
—	полная 66
—	уравнений второго порядка 196
	первого порядка 193, 220
	 эквивалентная 67
—	якобиева 67

550
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Собственные значения 382
»— — внутренней задачи Дирихле для
уравнения Гельмгольца 398
•	предельной задачи для обыкно-
обыкновенного уравнения 225
— функции 382
	 предельной задачи 233
.	1 асимптотическое выраже-
выражение 275
	, экстремальные свойства
265 >
Собственных значений асимптотиче-
асимптотическое выражение 271
	 знак 236
*	экстремальные свойства 265
Совместности динамические условия
124, 201
•— кинематические условия 124, 198
Спектр эллиптического оператора при
условии Дирихле 441
Суб- и супергармонические функции
353
•	суперпараболические функции
509
Сферических функций интегральное
уравнение 342
Теорема вложения 175
—	Ковалевской 79
—	Куранта 269
Теоремы Стеклова 252
Теплопроводности уравнение неодно-
неоднородное 486
•— —, обобщенные потенциалы про-
простого и двойного слоя 502
*— —, потенциалы в двумерном слу-
случае 484
•	,	одномерном случае 480
—	—, применение конечных разностей
491
	, свойства решений 500
Третья предельная задача для урав-
уравнения Лапласа 319
	1 решение 343
Упругое анизотропное тело 207
Упругости теории плоская статичен
екая задача 433
	 уравнения 205
Формула интегрирования па частям
138
—	Соболева 145
Фредгольмова разрешимость задачи
Дирихле 465
Фурье метод для уравнения колеба-
колебаний 259
,	теплопроводности 257,
494
Характеристики вещественные и мни-
мнимые 104
—	линейного уравнения первого по-
порядка 10, 18
Характеристическая кривая 32
—	поверхность для систем уравнения
второго порядка 196
	 первого порядка 194
	 уравнения второго порядка lit
-— полоса уравнения второго поряд-
порядка 98
	первого порядка 32	\
¦— система 31, 44	х
Характеристические начальные дан-
данные 132
Характеристический коноид 116
Характеристическое многообразие 22
Шварца метод 345
Электромагнитные волны 209
Эллиптический тип уравнений 88
Эллиптического типа система перво-
первого порядка 197
Энергетические оценки 168
Якоби метод нахождения полного ин-
интеграла 72
—	теорема об интегрировании кано-
канонической системы 57

Владимир Иванович Смирнов
Курс высшей математики, том четвертый, часть вторая
Редактор А. В. Угарова
Техн. редактор Л. В. Лихачева
Корректор М. Л. Медведская
ИБ № 11927
Сдано в набор 06.02.81. Подписано к печати 19.10.81. Формат
60X90l/ia. Бумага тип. № 2. Литературная гарнитура. Высокая
печать. Условн. печ. л. 34,5 Уч -изд. л. 35.53. Тирам( 30 000 экз.
Заказ № 9G9. Цена 1 р. 40 к,
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинскдй проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие орде-
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга> им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли.
• 198052, г Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.